ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга является вторым томом пособия по теоретической физике. Как и в первом томе, мы придерживаемся правила: не приводить тот материал, который достаточно обстоятельно излагается в современных курсах общей физики. В частности, не, обсуждаются экспериментальные основы квантовой физики.

Учитывая.что овладение математическим аппаратом квантовой механики связано с большими трудностями, мы старались придать выкладкам возможно большую простоту и наглядность. С этой целью особенно тщательно выбирались обозначения. Во всех случаях, когда это было возможно и целесообразно, мы пользовались символической записью скалярных произведений функций в виде (ф|ф) вместо интегральной записи ^ф*фб/К. Это существенно упростило ряд формул и облегчило их анализ и запоминание.

Книга снабжена математическими приложениями. Иногда мы ссылаемся на математические приложения первого тома.

Пособие предназначено в первую очередь для студентов нетеоретических специальностей вузов. Ознакомление с ним облегчит более основательное изучение предмета по фундаментальным руководствам.

Март 1976 г. И. Савельев

Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Введение

Закономерности, обнаруживаемые в микромире, коренным образом отличаются от закономерностей, которым подчиняются макро- скопйческие объекты, т. е. закономерностей классической физики. Поскольку непосредственному чувственному восприятию поддаются лишь макроскопические тела, мы располагаем наглядными образами только таких тел. Перенесение этих образов на микроскопические объекты (например, представление электрона в виде микроскопического шарика) совершенно неправомерно и даже вредно. Поэтому лучшее, что можно сделать, приступая к изучению механики микромира (квантовой механики), это с самого начала отказаться от стремления построить наглядные образы изучаемых объектов и процессов.

В обыденном смысле слово «понять» означает составить себе наглядный образ либо схему объекта или процесса. Как это ни парадоксально звучит, но квантовую механику нельзя понять в указанном выше смысле. Один из создателей квантовой теории, Дирак, писал по этому поводу: «... главная задача физической науки состоит не в том, чтобы снабжать нас наглядными картинами, а в том, чтобы формулировать законы, управляющие явлениями, и использовать эти законы для открытия новых явлений... В случае атомных явлений нельзя ожидать, что существует наглядная картина в обычном смысле слова, в котором под «наглядной» понимается модель, действующая в основном по классическим принципам. Можно, однако, расширить смысл слова «картина» так, чтобы включить в него любой способ рассмотрения основных законов, при котором их взаимная согласованность становится очевидной. В этом более широком смысле слова картина атомных явлений постепенно раскрывается по мере изучения законов квантовой теории.» х).

[) П. А. М. Дирак., Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960, стр. 26.

Квантовую механику можно облечь в различные математические формы. Уже при своем рождении эта наука возникла одновременно и независимо в виде волновой механики Шредингера и матричной механики Гайзенберга. Впоследствии Дирак разработал «векторную» форму квантовой механики. Все формы квантовой механики эквивалентны — они приводят к одинаковым физическим результатам и могут быть преобразованы друг в друга.

Математический аппарат квантовой механики очень своеобразен и в общем не прост. Изложенные обстоятельства, а именно невозможность наглядных представлений и сложность математического аппарата, делают квантовую механику трудной наукой.

Состояние

Понятие состояния является одним из основных, исходных в квантовой механике. Поэтому затруднительно дать безукоризненно строгое его определение. Дирак вводит понятие состояния следующим образом: «... Рассмотрим некоторую атомную систему, состоящую из частиц или тел с определенными известными нам свойствами (масса, момент инерции и т. д.); силы взаимодействия между частями этой системы также известны. Возможны различные движения, совместимые с законами действия этих сил. Каждое из таких движений называется состоянием системы».

Примем определение состояния, данное Дираком, в качестве предварительного. Полностью содержание термина «состояние» будет вскрываться в процессе изложения сути квантовой механики.

Информацию о состоянии микросистемы получают, производя измерения, т. е. заставляя систему взаимодействовать с прибором, который представляет собой макроскопическую систему. Поэтому результаты измерений, производимых над микросистемами, поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макроскопических тел (координата, импульс, момент импульса, энергия и т. д.). Эти характеристики носят название динамических переменных.

Свойства микрочастиц коренным образом отличаются от свойств макроскопических тел. Поэтому микрочастицам нельзя приписывать динамические переменные, приписываемые макротелам. Однако при взаимодействиях с прибором (или природным макротелом) микрочастица ведет себя так, как если бы она характеризовалась хотя бы частью названных выше динамических переменных. Своеобразие свойств микрочастиц проявляет себя в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Существуют, например, такие состояния электрона, в которых он, взаимодействуя с макротелами (т. е. при измерениях), ведет себя так, как если бы он обладал импульсом рх, причем сколько бы раз мы ни производили измерения над электроном, находя-

щимся в таком состоянии, каждый раз будет получаться для рх одинаковое значение. Если же мы попытаемся определить положение электрона, находящегося в том же состоянии, то для координаты х с равной вероятностью будут получаться все значения от —оо до +°°. О таком состоянии электрона говорят как о состоянии, в котором электрон имеет определенное значение динамической переменной рх.

Возможны также такие состояния электрона, в которых он при измерениях (т. е. при взаимодействиях с макротелами) ведет себя так, как если бы обладал вполне определенным значением координаты х. Импульс рх в этих состояниях оказывается совершенно неопределенным. В этом случае говорят, что электрон находится в состоянии с определенным значением координаты х г).

Наконец, существуют такие состояния электрона, в которых ни х, ни рх не имеют определенных значений. В этом случае при многократных измерениях, осуществляемых над электроном в одном из подобных состояний, будут получаться для х значения, заключенные в некотором интервале Ах, а для рх — значения, заключенные в интервале Ар*, причем Ах и Арх связаны соотношением неопределенности Гайзенберга:

Ax-Ap^^/z/2. (2.1)

Соотношение неопределенности указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики в применении к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Переписав соотношение (2.1) в виде

Ах - A^^S/2m,

мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенность ее координат и скорости и, следовательно, с тем большей точностью применимо к частице понятие траектории. Даже если взять микрочастицу размером всего в 1 мкм, то ее масса будет превосходить массу атома примерно в 1012 раз. Для такой частицы неопределенности значений х и их оказываются за пределами точности измерения этих величин, так что практически ее движение будет неотличимо от движения по траектории.

Таким образом, чем больше масса частицы, тем с большей точностью применимы к ее движению понятия и законы классической

!) Л. И. Мандельштам считал, что в применении к микрочастицам величины х и Рх нужно называть квазикоординатой и квазиимпульсом (Л. И. Мандельштам, Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике, «Наука», 1972, стр. 336).

механики. Это утверждение является частным случаем более общего утверждения, называемого принципом соответствия. Согласно этому принципу при предельном переходе Й -» 0 законы и соотношения квантовой механики переходят в соответствующие законы и соотношения классической механики. Практически это означает, что чем меньше роль эффектов, пропорциональных постоянной Планка Н, тем поведение рассматриваемой системы ближе к классическому.

Перебрасывая мост между квантовыми и классическими законами, принцип соответствия позволяет находить квантовомеханические аналоги классических величин.

Для характеристики состояния, в котором находится рассматриваемая микросистема, естественно взять значения тех динамических переменных, которые в данном состоянии имеют определенную величину- Совокупность всех динамических переменных, имеющих в данном состоянии определенные значения, называется полным набором. Полные наборы для разных состояний различны. В частном случае полный набор может состоять только из одной динамической переменной. В таком состоянии все переменные, кроме одной, образующей полный набор, оказываются неопределенными.

Говоря о динамических переменных вообще (т. е. без конкретизации того, о каких именно переменных — х, р,, Е и т. д. — идет речь), мы обычно будем обозначать их буквой Q, иногда буквами R, А, В и т. д.

Совокупность численных значений, которые может принимать данная динамическая переменная, называется ее спектром. Если допустимые численные значения образуют непрерывную последовательность, говорят, что данная величина обладает н е- прерывным (или сплошным) спектром значений. Если допустимые численные значения образуют дискретную последовательность, говорят, что данная величина обладает дискретным спектром значений. В общем случае спектр значений динамической переменной может включать в себя как непрерывные, так и дискретные участки.

Различные значения переменной Q мы будем обозначать символом q, причем если данное значение принадлежит дискретному спектру, мы будем ставить внизу индекс, указывающий номер значения, т. е. писать qn. Отсутствие индекса при q будет указывать на то, что данное значение принадлежит непрерывному спектру.

Мы уже отмечали, что закономерности микромира коренным образом отличаются от закономерностей, наблюдаемых для макроскопических тел. Это отличие проявляется в том, что состояния и динамические переменные приходится характеризовать математическими величинами другой природы, чем те, которые используются в классической физике. Каждой динамической переменной при-

водится в соответствие некоторый линейный оператор. Состояние системы характеризуется некоторой, вообще говоря, комплексной функцией ф, которую называют либо волновой функцией, либо пси-функцией, либо амплитудой вероятности. Мы будем 'пользоваться термином «пси-функция». Дирак ввел для характеристики состояния комплексный вектор особого рода, который он назвал вектором состояния.

Заметим, что возможны такие состояния, которым нельзя сопоставить никакой пси-функции. Их называют смешанными состояниями, в отличие от чистых состояний, описываемых пси- функциями. Мы будем рассматривать только чистые состояния. Поэтому слово «чистые» мы будем для краткости опускать и говорить просто о состояниях системы.

Принцип суперпозиции

Основным принципом квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Суть этого принципа заключается в следующем утверждении. Пусть некоторая система может находиться либо в состоянии хрт, в котором какая-то величина Q имеет определенное значение qlt либо в состоянии ф2, в котором та же величина имеет определенное значение q^ Тогда существует состояние ф = с^ + с2ф2 (с2 и с2 — произвольные комплексные числа), в котором измерение величины Q приводит либо к результату qx, либо к результату ^2.

Из принципа суперпозиции вытекает, что наложение состояний фт и ф2, в которых Q имеет определенные значения, приводит к новому состоянию ф, в котором Q оказывается неопределенной.

Аналогичный результат получается при наложении большего чем два числа состояний. Если существуют состояния фп ф2, ..., фя, в которых некоторая величина Q имеет определенные значения ?i> qn •••. qm то существует и состояние

Ф — У стфтФ — У стфтт = 1т = 1(3.1)(3.1)

Ф — У стфт

Ф — У стфт

т = 1

т = 1

(3.1)

(3.1)

(ст — произвольные комплексные числа), причем измерение величины Q в этом состоянии дает одно из значений qv q^, ..., qn.

Справедливо и обратное утверждение, заключающееся в том, что любое состояние ф квантовой системы может быть представлено как результат наложения (суперпозиции) указанных выше состояний ф1, ф2фя. Это утверждение также может служить формулировкой принципа суперпозиции.

Описываемое уравнением (3.1) поведение сопоставляемых состояниям системы величин фт аналогично поведению векторов.

Действительно, умножив векторы аь а2, .... а„ одинаковой природы на вещественные числа съ сг, ..., с„ и затем сложив их, мы получим новый вектор той же природы: а = Scmam. Эта аналогия и послужила для Дирака основанием для того, чтобы рассматривать сопоставляемые состояниям системы величины как векторы в особом пространстве.

Наложив некоторое состояние фт само на себя, т. е. положив Ф1 = Фа = Фт, мы получим, согласно (3.1), состояние, описываемое функцией

Ф = С1Фт + с2фт = (Cj + с2) фт = сфт.

Это состояние будет, как и исходное состояние фт, характеризоваться тем, что при измерениях величины Q мы всегда будем получать результат qm. Естественно предположить, что полученное нами состояние не отличается от исходного. Исключением является случай, когда с = сг + с2 = 0. В этом случае при умножении фт на с мы не получим никакого состояния (ф = 0 означает отсутствие какого-либо состояния).

В соответствии со сказанным выше принимается, что состояния, описываемые функциями ф и сф (с — произвольное отличное от нуля комплексное число), тождественны. Если пользоваться векторным представлением состояний, то из последнего утверждения следует сделать вывод, что состояние определяется лишь направлением вектора, а «длина» вектора оказывается несущественной.

Отметим, что принцип суперпозиции имеет место и в классической механике, например для колебаний струны. Произвольное колебание струны может быть представлено как наложение (суперпозиция) , гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте. Эта аналогия послужила причиной того, что квантовую механику раньше называли волновой механикой, а величину ф, сопоставляемую состоянию квантово-механической системы, назвали волновой функцией. Однако следует иметь в виду, что отмеченная аналогия простирается не очень далеко. Между суперпозицией в квантовой теории и любой классической суперпозицией имеется глубокое различие. Например, суперпозиция состояния колеблющейся струны с самим собой приводит к состоянию с другой амплитудой колебания, так что результирующее колебание оказывается отличным от исходного. В квантовой же механике1 суперпозиция состояния с самим собой не приводит к возникновению нового состояния. У квантового состояния нет характеристики, аналогичной амплитуде классических колебаний.

Физический смысл пси-функции

В так называемом координатном представлении пси-функция является функцией координат образующих систему частиц и времени. Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы. В этом

случае ф = ф (х, у, 2, /). Квадрат модуля пси-функции, т. е. величина | гр |2 = ф*ф (гр* — величина, комплексно сопряженная с гр), определяет плотность вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства. Если умножить | гр (х, у, г, t) |2 на элемент объема dV = dx dy dz, взятый в точке х, у, г, ‘то получится вероятность dP того, что частица при измерении, произведенном в момент времени t, будет обнаружена в пределах dV:

dP = | гр j2 dV = ф*ф dV. (4.1)

Аналогично для системы, состоящей из двух частиц, величина с!/5=|ф(х1, у^, zv х2, у2, z2, f^dVxdV2

(xi, yv zT — координаты первой частицы, x2). y2, z2 — координаты второй частицы, dVT = dxx dy3 dzT, dV2 = dx2 dy2 dz^ дает вероятность того, что при измерениях, произведенных над системой в момент времени t, частица 1 будет обнаружена в пределах объема dVlt а частица 2 — в пределах объема dV2.

Поскольку частица с достоверностью, т. е. с вероятностью, равной единице, где-то находится, суммирование вероятностей (4.1) по всему пространству должно давать единицу. Таким образом, мы приходим к условию нормировки пси-функции

$iip|W=l. (4.2)

В предыдущем параграфе мы установили, что пси-функция допускает умножение на произвольное отличное от нуля комплексное число. Следовательно, если интеграл конечен, условие (4.2) может быть выполнено. Пси-функцию, удовлетворяющую этому условию, называют нормированной. Очевидно, что нормированная пси-функция определена с точностью до так называемого фазового множителя вида ez“ (а — произвольное вещественное число).

В некоторых случаях интеграл (4.2) оказывается расходящимся (т. е. обращается в бесконечность) и осуществить нормировку пси- функции в соответствии с условием (4.2) бывает невозможно. Тогда | ф |а не может быть истолкован как плотность вероятности. Однако и в этих случаях отношение значений | ф |2 для разных точек пространства определяет относительную вероятность соответствующих значений координат.

Зная вероятности различных положений частицы, можно вычислить средние значения ее координат. Так, среднее значение радиуса- вектора частицы (г)*) определяется выражением

(г) = § г dP = § г |ф |2dV = ф* гф dV

(чтобы придать формуле симметричный вид, мы поставили г внутрь произведения ф*ф). Это векторное равенство эквивалентно трем скалярным:

<х) = ^ф*хфйУ, (у) = $ф*уф dV, (г) = $ ф*гф dV. (4.3)

Аналогично можно, найти среднее значение любой функции координат, например среднее значение потенциальной энергии частицы:

(U) =^*U (х, у, 2)^dV.(4.4)

Последнее выражение имеет следующий смысл. Допустим, что производится многократно определение потенциальной энергии частицы, причем в момент каждого определения частица находится в одном и том же состоянии ф. Тогда по мере увеличения числа определений среднее значение полученных результатов будет стремиться к значению (4.4).

. Итак, мы научились, зная пси-функцию частицы, предсказывать вероятность, с которой будут получаться при измерениях различные значения любой функции координат, а также средний результат этих измерений. Однако пока остается неясным, как определять вероятность значений тех физических величин, которые не являются функциями координат частицы (например, импульса, момента импульса, энергии). Остается также невыясненным вопрос о том, как находить пси-функцию частиц, находящихся в различных силовых полях. Рассмотрением этих вопросов мы теперь и займемся.

§ 5. Уравнение Шредингера

Пси-функцию частицы, находящейся в силовом поле, описываемом потенциалом х) U = U (х, у, г, /), можно найти, решив открытое Шредингером дифференциальное уравнение в частных производных

2т \ ох2 ду2 1 дг2) 1 т dt

или в более компактной форме

(5.1)

где V2 = Д — оператор Лапласа, т. — масса частицы, Н — по стоянная Планка h, деленная на 2л.

Не обращаясь к вопросу о том, какие соображения привели к открытию этого уравнения ), отметим лишь, что уравнение (5.1) следует рассматривать как основное исходное предположение, справедливость которого подтверждается совпадением вытекающих из него выводов с результатами экспериментов.

Особый интерес представляет тот случай, когда потенциал U не содержит явно времени t. В этом случае U имеет смысл потенциальной энергии. При указанном условии решение уравнения (5.1) упрощается, так как пси-функция распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат частицы, другой — только от времени). Чтобы проверить это утверждение, представим пси-функцию в виде

Ф(М, г, О = Ф(^ У. ^М^

и подставим это выражение в уравнение (5.1). Учтя, что оператор V2 действует только на множитель <р, a df/dt = df/dt, получим

Разделив это уравнение на <р/, придем к соотношению

— — V2<p + t/<p

—^ =(5.2)

Фf at'

Левая часть этого соотношения содержит только координаты частицы, правая — только время. Две функции от разных независимых переменных могут быть равны друг другу при произвольных значениях этих переменных только в том случае, если эти функции равны одной и той же постоянной величине. Обозначим эту постоянную величину буквой Е. Тогда мы придем к двум дифференциальным уравнениям

- -S^v + ^-Ev.<5-)

73-<5Л)

Второе уравнение можно представить в виде

Мы пришли к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами. Решив это уравнение с помощью подстановки / = е^, найдем, что.

1 = е-»№Ее(5.5)

(мы опустили в общем решении произвольный множитель С, поскольку пси-функция определена с точностью до подобного множителя)..

Обратимся к уравнению (5.3). Из него можно выяснить смысл постоянной величины, которую мы обозначили буквой Е. Из требования, чтобы все члены уравнения (5.3) имели одинаковую размерность, вытекает, что Е имеет такую же размерность как U, т. е. размерность энергии. При движении в потенциальном силовом поле остается постоянной полная энергия системы. Поэтому отождествим Е с полной энергией частицы. ■

Итак, при движении частицы в потенциальном силовом поле пси-функция имеет вид

ф (х, у, г, /) = ф(х, у, г') • e-w^ Et,(5.6)

где Е — полная энергия частицы. Отсюда следует, что плотность вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства равна: | ф | 2 = | ф |2, т. е. не зависит от времени. Поэтому состояния, описываемые пси-функциями вида (5.6), называются стационарными. '

Задача нахождения пси-функции для стационарных состояний сводится по существу к нахождению функции ф (х, у, г), в связи с чем эта функция называется пси-функцией стационарного состояния и обозначается буквой ф. Заменив в уравнении (5.3) букву ф буквой ф, мы придем к так называемому уравнению Шредингера для стационарных состояний:

-^^ + £ф = £ф..(5.7)

Это уравнение часто пишут в виде

?2ф+^(£-£)ф=0.(5.8)

Положив в (5.8) U = 0, получим уравнение Шредингера для свободной частицы

^+^Ф = 0.,(5.9)

Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция

ф = е±1кг.■(5.10)

где

k2 = 2mB/^2 = pW(5.11)

(р — классический импульс частицы).

Заменив в (5.10) к через р/й и подставив получившееся выражение в (5.6), получим пси-функцию свободной частицы

ф(г, /) = е-Ц/л)(штрг).(5.12)

Такая же функция (точнее, ее вещественная часть) описывает плоскую волну с частотой (о = EIH и волновым вектором к = р/Й. Это совпадение является отражением двойственной, корпускулярноволновой, природы микрочастиц, которая проявляется в опытах по дифракции. Например, при воздействии на фотопластинку пучка электронов, прошедшего через кристалл, получается картина дифракционных колец, аналогичная картине, получающейся при воздействии на пластинку прошедших через кристалл рентгеновских лучей.

Отметим, что верхний знак (плюс в (5.10) и минус в (5.12)) отвечает волне, бегущей вдоль направления к, нижний знак (минус в (5.10) и плюс в (5.12)) — волне, бегущей навстречу направлению к. Поэтому при рассмотрении стационарных состояний пси-функцию вида eikx мы будем трактовать как волну, бегущую вдоль оси х вправо, а пси-функцию вида е~1кх — как волну, бегущую влево.

Общим решением уравнения Шредингера для свободной частицы с определенным значением импульса будет суперпозиция двух волн вида (5.10)

ф = CjC1^+C2e-lkr.(5.13)

При CY = С2 или Ci = —С2 функция (5.13) может быть представлена соответственно в виде

ф = Л cos кг или ф = В sin кг.(5.14)

Очевидно, что обе эти функции описывают стоячую волну.

Рассмотрим движение свободной частицы, положение которой локализовано внутри интервала Дх (для простоты мы рассматриваем одномерную задачу). Согласно принципу неопределенности импульс частицы будет иметь неопределенность порядка Й/Дх.

В соответствии с принципом суперпозиции пси-функция частицы может быть представлена как наложение состояний вида (5.12) со значениями импульса, заключенными в интервале от р0 — Др до р0 + Др:

Ро + Ар

ф (х, /) =$ b (р) e-WtEt-px') Др,

Ро — ^Р

Заменив Е частотой со = Е/К, а р — волновым числом k = p/h, получим

.. Ад -{- А А

ф (х, /) = ^ с (й) el dk.(5.15)

Ад ДА

Мы пришли к выражению, описывающему волновой пакет, или группу волн.

Частота со есть некоторая функция волнового числа й: со = = со(й). Разложим эту функцию в ряд в окрестности точки к6. Ограничившись двумя первыми членами разложения, получим

со (k) = со0 + (dto(dk)6 (й — кй).(5.16)

Предположив, что коэффициент с(й) в (5.15) представляет собой медленно меняющуюся функцию, вынесем его за знак интеграла (Ай считается малым). Одновременно заменим со в показателе экспоненты ее значением (5.16) и введем новую переменную интегрирования £ = й —й0. В результате получим

+ ДА

ф (х, /) = с (йд) е1^"*-ю°^ $ е* ^— ^й,,1г^° ^ ^ d^.

Интеграл легко берется и мы приходим к выражению

ф П = 2сs2EAl£=Wd^aL^lei (^- «.о =

4[x-(da/dk)ot] е

= Л(х, р)^-*^.(5.17)

Вследствие малости ^k можно считать, что функция (5.17) описывает почти монохроматическую волну с медленно меняющейся во времени и пространстве амплитудой Л (х, f). Максимум амплитуды находится в той точке, для которой знаменатель выражения (5,17) равен нулю. Таким образом, центр волнового пакета (т. е. точка, в которой амплитуда максимальна) им^т координату

хц = (dto/dk),, t. (5.18)

Из (5.18) видно, что центр волнового пакета перемещается со скоростью

игр = (dto/dk^,(5.19)

где игр — групповая скорость.

Нерелятивистское выражение для энергии свободной частицы имеет вид: Е = р212т. Заменив Е через Йео, а р — через кк, полу- 'чим связь между со и й:•

со = k^h/^m.(5.20)

Продифференцировав (5.20) по к, полудим для скорости волно-

вого пакета, описывающего движение свободной частицы, значение kh/m = р/т = и, где и —скорость частицы. Таким образом, волновой пакет перемещается с такой же скоростью, как и сама частица.

Под шириной волнового пакета следует понимать расстояние между двумя ближайшими к центру пакета точками, в которых амплитуда обращается в нуль. Этим точкам соответствуют значения х, при которых аргумент синуса в (5.17) равен ± л (нулевое значение аргумента соответствует центру пакета). Следовательно, координаты границ пакета удовлетворяют условию: [х —(dto/d£)0/J А£ = ± л, откуда

х = (d<o/d/z)o / ± л/АА.(5.21)

Из (5.21) для ширины волнового пакета получается постоянное значение 2л/Д&. Если учесть в (5.20) дальнейшие члены разложения, то для ширины волнового пакета получается значение, увеличивающееся со временем —волновой пакет расплывается. Это означает, что локализация частицы в пространстве по мере ее движения становится все менее точной.

Плотность потока вероятности

Наряду с понятием плотности вероятности нахождения частицы в разных точках пространства можно ввести понятие плотности потока вероятности. Чтобы прийти к этому понятию, рассмотрим интеграл ^|ф|аЛ/, взятый не по всему бесконечному объему, а по некоторому конечному объему V. Этот интеграл представляет собой вероятность нахождения частицы в данном объеме. Вычислим производную от этой вероятности по времени:

^|ip|adI/ = ^^*i|)dl/=5(ip*^ + ip^)dV. (6.1) VVV

В соответствии с уравнением (5.1)

dt 2mi v V u dt smi vih uv

(второе уравнение является комплексно сопряженным с первым; оно получено из первого путем замены ф на ip* и I на —i). С помощью этих соотношений правую часть формулы (6.1) можно представить в виде

— ^ _^ f^*v2tp — iJ>V2ip*) dIZ + ^L t (ф*^ф-ф^ф*) dV. VV

Второй из этих интегралов, очевидно, равен нулю. Первый

интеграл можно записать так: .

— § 2^^(ф*7ф —ф?ф*) dl7.(6.2)

' v

Это вытекает из следующего элементарного вычисления:

V (-ф*V-ф — фVф *) = V-ф*Vip + -ф*V2ip — Vф'7ф* — фУ72ф* =

= ф * V2ф — ф V2ф *.

Таким образом, правую часть формулы (6.1) можно заменить выражением (6.2). В результате получим

^ 5 I Р dV = - ( V {А (ф*7ф - dV. (6.3) vv

С помощью теоремы Остроградского —Гаусса правую часть этого соотношения можно заменить интегралом по поверхности S, ограничивающей объем V. Это приведет к формуле

(6.4)

VS

(мы перенесли знак «—» в левую часть формулы).

Из соотношения (6.4) можно заключить, что стоящий справа поверхностный интеграл определяет скорость убывания вероятности нахождения частицы в объеме V и, следовательно, представляет собой поток вероятности через поверхность S. В связи с этим величину

1 = 2^7 (ф*^ф-ф?ф*)(6.5)

можно трактовать как плотность потока вероятности.

Воспользовавшись обозначением (6.5), напишем формулу (6.3) следующим образом:

^\WdV^l\^dV = -^idV.

VVV

Ввиду произвольности выбора объема V должно в каждой точке пространства выполняться условие

(6.6)(6.6)|Ж2 + ?)-0.

(6.6)

(6.6)

Мы пришли к типичному уравнению непрерывности. Аналогичное уравнение, например, в электродинамике имеет вид: dp/dt + + Vj = O, где р —плотность заряда, a j — плотность электрического тока (см. т. 1, формулу (51.1)).

Подставив в (6.6) выражение (6.5) для j, получим условие, которому должна удовлетворять пси-функция:

£ (w+££v(^-w)=o.(б.?)

Напомним, что |ф|2 определяет вероятность нахождения частицы в разных точках пространства. Отсюда вытекает, что пси-функция должна быть: 1) однозначной, 2) непрерывной, 3) конечной (за исключением, быть может, особых точек). Кроме того, из условия (6.7) следует, что пси-функция должна иметь непрерывную и конечную (за исключением, быть может, особых точек) первую производную.

Совокупность перечисленных требований, предъявляемых к пси-функции, носит название стандартных* условий.

Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Основные постулаты

В основе квантовой механики лежит несколько постулатов. К их числу можно отнести уже известное нам утверждение о том, что состоянию системы можно сопоставить пси-функцию, а также уравнение Шредингера. В этом параграфе мы рассмотрим еще три постулата1).'

Первый из них утверждает, что каждую физическую величину можно представить л и не й ным оператором.

Под оператором подразумевается правило, с помощью которого одной функции <р сопоставляется другая функция /. Символически это записывается так:

f = Q».(7.1)

Операторы мы будем обозначать буквами с «шляпкой» над ними. Например: Q, А, х, ри т. д.

Оператор называется линейным, если он удовлетворяет следующим условиям:

Q (ф1 + ф2 + • • • + фп) = 5Ф1 + С?Ф2 + • • • + 9фл,

Q (сф) = с(2ф,где с — произвольная постоянная. Оба эти условия можно объеди-нить вместе и записать в компактном виде:

Q f У СтФт j = У cmQvpm.(7.2)

\т=\/т=\

Из сопоставления формул (3.1) и (7.2) можно заключить, что линейный оператор согласуется с принципом суперпозиции.

В качестве примеров линейных операторов можно привести умножение на х (Q=x) и дифференцирование по х (Q = d/dx).

!) Выбор системы постулатов квантовой механики не является вполне однозначным. Общепринятой системы постулатов пока не существует.

Действительно,

х 2 Ф^ = 2 ХФ">. х (СФ) = сх^-

Аналогично

Эх \/ ti Эх ' Эх Ф' Эх

В математике каждому оператору сопоставляется уравнение 5ф = ^ф,(7.3)

где ф —некоторая функция, q — параметр. Затем ставится задача об отыскании всех функций, обращающих уравнение (7.3) в тождество и вместе с тем удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, например стандартным условиям (см. § 6). Для многих операторов оказывается, что удовлетворяющие поставленным условиям решения уравнения (7.3) получаются не при любых, а лишь при некоторых избранных значениях параметра q. Эти особые значения параметра называются собственными значениями оператора Q, а функции ф, получающиеся из уравнения (7.3) при подстановке в него вместо q собственных значений, называются собственными функциями оператора, принадлежащими соответствующим собственным значениям. Может случиться, что одному и тому же собственному значению соответствует несколько собственных функций. Тогда говорят, что данное собственное значение является вырожденным. Число разных функций, принадлежащих собственному значению, называется кратностью вырождения.

Второй постулат квантовой механики гласит, что в результате измерения физической величины Q, представляемой оператором Q, может получаться лишь одно из собственных значений qm оператора Q.

Таким образом, уравнение вида (7.3) играет в квантовой механике весьма важную роль. Отметим, что в силу второго постулата параметр q в уравнении (7.3) должен иметь размерность величины Q. Такую же размерность должен иметь и оператор Q.

Совокупность собственных значений оператора Q называется спектром оператора или спектром величины Q. Спектр может состоять из дискретных значений qv q^ и т. д.; тогда его называют дискретным. Если совокупность собственных значений образует непрерывную последовательность, спектр называется непрерывным или сплошным. В общем случае спектр может включать как дискретные, так и непрерывные области.

В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции оператора Q можно пронумеровать:

71, 72, • • •, 7m, • • •

Ф1, ^2Фт, .. .

В квантовой механике предполагается, что совокупность собственных функций любой физической величины образует полную систему. Это означает, что любую непрерывную функцию ф можно разложить по собственным функциям, т. е. представить в виде

ф = 2Ст^т>(7-4)

где ст — постоянные, в общем случае комплексные, коэффициенту.

Представим в виде (7.4) пси-функцию некоторого состояния системы. Третий постулат квантовой механики утверждает, что при измерениях, осуществляемых над системой, находящейся в состоянии ф, для определения значения величины Q, по функциям которой осуществлено разложение (7.4), вероятность получить значение qm равна (при надлежащей нормировке функций) квадрату модуля коэффициента с,„.

В соответствии со смыслом коэффициентов ст должно выполняться условие

S|Cm|2=l.(7.5)

Ниже мы докажем, что при надлежащей нормировке функций фт это условие действительно выполняется.

Если все коэффициенты разложения, кроме одного, с номером т, равны нулю, формула (7.4) переходит в соотношение: ф = фт (напомним, что пси-функция определяется с точностью до фазового множителя е/а). В этом случае при измерениях всегда будет получаться результат qm. Следовательно, собственная функция фт есть пси-функция состояния, в котором величина Q имеет определенное значение, равное qm.

Когда в разложении (7.4) отличен от нуля более чем один коэффициент, величина Q не имеет в состоянии ф определенного значения. При измерениях для нее будут получаться значения qv q^, ... Естественно предположить, что вероятность, с которой будет получаться то или иное значение, должна определяться весом, с которым входит в (7.4) соответствующая функция фт, т. е. «величиной» коэффициента ст. Сам ст ввиду своей комплексности не может быть равен такой вероятности. Поэтому по аналогии с тем, что вероятность обнаружить частицу в пределах объема dV определяется не функцией ф, а квадратом ее модуля, следует в качестве вероятности взять квадрат модуля ст. Это

рассуждение нельзя рассматривать как доказательство третьего постулата. Оно призвано лишь пояснить, как к этому постулату можно было прийти. Сам же постулат нужно рассматривать как исходное предположение, положенное в основу квантовой механики. ,

В следующем параграфе мы покажем, что собственные функции любого оператора, представляющего физическую величину с дискретным спектром, образуют так называемую ортонор- мированную систему. Это означает, что

$фтфл^ = 6т„.(7.6)

Интегрирование производится по всей области изменения переменных, в которой определены функции ф*.

В математике имеется понятие скалярного произведения функций ф и ф, которое обозначается символом (ф | ф) и определяется следующим образом:

(ф | ф) = ^ Ф*ф dE(7.7)

(dV = dx dy dz). Если скалярное произведение равно нулю, функции называются ортогональными. Аналогично скалярное произведение взаимно перпендикулярных, т. е. ортогональных векторов равно нулю.

Из определения (7.7) следует, что

<Ф |ф>* = <ф|Ф>.(7.8)

Скалярный квадрат функции, т. е. скалярное произведение функции на саму себя

<Ф, ф) = ф*ф dV = 51 ф |2 dV

есть, очевидно, вещественная положительная величина.

Возьмем произведение вида (аф | Zn)), где а и Ь— комплексные числа. Приняв во внимание определение (7.7), можно написать, что

(цф | йф) = а*Ь <ф | ф).(7.9)

Таким образом, при вынесении за знак скалярного произведения постоянных коэффициентов коэффициент при первом сомножителе превращается в комплексно сопряженное с ним число, а коэффициент при втором сомножителе остается без изменений.

Воспользовавшись обозначением (7.7),. формулу (7.6), выражающую условие ортонормированности собственных функций, можно записать в виде

<фт | ФЛ) = 8тп.(7.10)

Аналогичному условию удовлетворяют орты прямоугольных координатных осей

^т^п " ^тп-

С помощью условия (7.10) можно найти выражение для коэффициентов ст, входящих в разложение (7.4). Для этого умножим соотношение (7.4) скалярно на фл и примем во внимание (7.10):

(Фл | Ф) = У Сщ (Фл | Фт) = 2j Ст6пт = Сп.

Таким образом мы пришли к формуле

с„ = <фл|ф) = $флф^.(7.11)

Знание коэффициентов с„ позволяет найт.и среднее значение физической величины в том состоянии, в котором эта величина не имеет определенного значения. Вероятность получить при измерении величины Q значение qm равна | ст |2. Следовательно, среднее значение этой величины определяется формулой

' (?) = 2 I ст Р Чт = 2 СтстЧт-(7.12)

тт ■

Согласно (7.11) Ст = (ф|фт). Подставим это выражение в формулу (7.12):

(?) = 2] (Ф I tm> СтЧт = £ <Ф I Чт^ Ст.'

Заменим в - соответствии с (7.3) Чт^т через Сфт, внесем ст под знак скалярного произведения и воспользуемся линейностью оператора:

(?) = ^(ф|Сфт)ст = 2<ф|$стфт> = (ф|^2стфт).ттт

Наконец, приняв во внимание (7.4), получим

(?> = <Ф1«Ф)(7.13)

ИЛИ

(q) = ^ф*Уф dV.(7.14)

Мы получили одну из важнейших формул квантовой механики. Она позволяет, зная пси-функцию состояния, находить среднее значение результатов измерений любой физической величины. Для этого нужно знать также вид оператора, соответствующего данной величине.

Линейные операторы

Физические величины являются вещественными. Поэтому они могут изображаться только такими операторами, собственные значения которых вещественны. Естественно, что именно такие операторы в основном рассматриваются в квантовой механике. Однако при проведении выкладок часто бывают полезными вспомогательные операторы с комплексными собственными значениями. В связи с этим мы должны будем ознакомиться со свойствами и этих операторов.

Начнем с основных определений. Два оператора Qt и Q2, обладающие свойством

<Ф|91ф> = <ф*|92Ф*>,(8.1)

где ф и ф —две произвольные функции, называются т р а н с п о - нированными друг с другом. Оператор, транспонированный с Q, принято обозначать символом Q. Следовательно, если Qj в (8.1) обозначить просто Q, то Q2 нужно обозначить симво

лом Q:

<ф|^ф> = <ф* ^Ф*>-(8-2)

Итак, операторы Q и Q, удовлетворяющие условию (8.2), называются транспонированными друг с другом. Приняв во внимание определение (7.7), условие (8.2) можно написать в виде

551р5<Р* ti?^-(8.3)

Сопоставим оператору Q оператор Q+, такой, что для любой произвольно взятой пары функций ф и ф выполняется равенство

<ф|0Ф) = <0+ф|Ф>.(8.4)

Оператор Q* называют эрмитово сопряженным (или просто сопряженным) оператору Q. В то время как оператор Q действует на функцию, стоящую справа от него, оператор Q* действует на функцию, стоявшую слева от Q. Таким образом, добавление к символу оператора Q знака сопряжения « + » переключает действие оператора с функции, стоящей справа от него, на функцию, стоящую слева от него. Если принять правило, согласно которому оператор Q+ пишется справа от функции, на которую он действует, то соотношение (8.4), определяющее сопряженный оператор, примет вид

Следовательно, в выражениях вида (8.5) одновременно с добавлением к символу оператора знака сопряжения нужно переносить «перегородку» из левого по отношению к оператору положения в правое.

Определим еще оператор Q*, удовлетворяющий условию

Ш*=^*Ф*.(8.6)

Такой оператор называют комплексно сопряженным оператору Q.

Преобразуем правую часть равенства (8.2), приняв во внимание свойство (7.8) скалярного произведения:

<Ф* 1 $ф*) = <0ф*| Ф* )* = <(Сф* У к) = <0*ФI Ф>-

Мы воспользовались тем, что в соответствии с определением (8.6) (^Ф*) = 5*ф. В результате формула (8.2) примет вид

(ф19Ф) = <0*ф|Ф>-

Из сравнения с (8.4) вытекает, что

Q+ = 5*.'(8.7)

где под Q* подразумевается оператор, комплексно сопряженный транспонированному оператору Q. Соотношение (8.7) показывает, что эрмитово сопряженный оператор Q+, вообще говоря, не совпадает с комплексно сопряженным оператором^*.

Пусть оператор представляет собой умножение на комплексное число: С = с. Найдем эрмитово сопряженный оператор. Согласно (8.5)

<Ф| Сф) = (фС+1 ф).

Оператор С+, очевидно, также будет некоторым числом. Поэтому, воспользовавшись свойством (7.9), можно написать:

С(ф|ф) = (С+)*(ф|ф),

откуда следует, что С=(С+)*, т. е. С* = С+. Итак, если С = с, то С+ = с*(8.8)

и, значит, С* = С*.

Мы определили три вида операторов, которые можно сопоставить данному оператору Q: транспонированный оператор Q, эрмитово сопряженный Q+ и комплексно сопряженный Q*. Теперь выясним, каким условиям должен удовлетворять оператор для

того, чтобы его собственные значения были вещественными. Умножим уравнение Уфл = q^n скалярно на ф„:

<4>/i I Q^«> = ^л<Фл|Фл)-

Квадрат фп заведомо веществен (для нормированных функций он равен единице). Поэтому для вещественности qn необходимо, чтобы была вещественной левая часть равенства, т. е. выполнялось условие

<Фл | <Ж> = <Фл | Офл)*

или с учетом (7.8)

<Фл ) ОФл) = \9Фл | Фл)-

Сравнение с (8.4) показывает, что это условие будет выполнено, если оператор Q совпадает с сопряженным ему оператором Q+. Оператор, для которого выполняется равенство

Q = Q\(8.9)

называется самосопряженным или эрмитовым. С учетом соотношения (8.7) условие эрмитовости оператора можно написать в виде

Q = ^*.(8.10)

Итак, мы пришли к выводу, что физические величины должны изображаться самосопряженными (эрмитовыми) операторами Q, для которых справедливо соотношение

<ф|Уф) = <0ф]ф)(8.11)

(см. (8.4) и (8.9)). Рассматривая Q в правой части как Q+, это соотношение можно написать также в виде

(ф | Уф) = (фУ | ф)(8.12)

(для самосопряженных операторов «перегородку» можно ставить по любую сторону от оператора).

Из (8.11) вытекает, что для эрмитового оператора справедливо соотношение

J Ф*УФ dV = J фУ*ф* dV,(8.13)

которое также можно рассматривать как определение самосопряженных операторов.

Покажем, что собственные функции эрмитовых операторов взаимно ортогональны. Напишем уравнение (7.3) для m-го и п-го собственных значений величины Q:

^Фш = qm^m, 9фл = д»фл.

Умножим первое уравнение скалярно на ф„ справа, а второе — на ipm слева. В результате получим

(Офя. 1Фя> = Am ('I’m 1Фя).

(фяг I Офя/ = Ап (фяг I Фя>-

В силу эрмитовости оператора левые части этих уравнений равны (см. (8.11)). Поэтому, вычтя из верхнего уравнения нижнее, найдем, что

■ кАт An) (^я» | Фя/ = 0,

откуда следует, что при qm Ф qn (т. е. при т =£ п х)) скалярное произведение собственных функций фт и ф„ равно нулю: (ф^! ф„) = = 0, а это и означает, что указанные функции ортогональны.

В § 3 было показано, что пси-функция определяется с точностью до произвольного комплексного множителя. В случае дискретного спектра этот множитель всегда можно выбрать так, чтобы квадрат каждой из функций фй был равен единице. Тогда система собственных функций окажется ортонормированной. Таким образом, мы доказали формулу (7.10). В дальнейшем мы будем предполагать, что собственные функции дискретного спектра нормированы на единицу.

Наконец, воспользуемся свойством ортонормированности собственных функций для доказательства соотношения (7.5). Подставим выражение (7.4) в условие нормировки пси-функции (см. (4.2)), приняв во внимание (7.10):

= ^ф*ф(Д/ = ^/^С^ф^\/^СпфпрИ =

" = 5 ѫѫ (Тяг I Фя) = 2 ^С„6тя = S | Ст |, т.пт.пт

что и требовалось доказать.

§ 9. Представление операторов в матричной форме2)

Уравнение

/ = Фф(9.1)

можно записать в матричной форме. Для этого разложим функции f и ф по собственным функциям ф^ некоторого вспомогательного оператора R, причем будем предполагать, что система

х) Мы предполагаем, что каждому qk принадлежит только одна собственная функция, т. е. отсутствует вырождение.

функций ipV* является ортонормированной, т. е.

(CWW^.(9.2)

Итак, положим, что

<р = У ап^\(9.3)

f=SW,(9-4)

к

где

йп = <Ф« ’ | ф>, Ьк = (ф^ I />(9.5)

(см. формулу (7.11)).

При фиксированном выборе функций ф^> функция <р будет определяться набором коэффициентов а„, а функция / — набором коэффициентов й^). Поэтому, скажем, функцию <р можно представить как столбец (т. е. матрицу порядка ooxl)

либо как строку (т. е. матрицу порядка 1хоо))

Ф=(а1а2...а„...).(9.7)

То же самое справедливо и для функции f.

Подставим разложения. (9.3) и (9.4) в уравнение (9.1), учтя, что ап и Ьк суть числа, на которые оператор Q не действует. В результате получим

М’^ = У anQ^-

Умножим скалярно обе части этого равенства, на ф^>:

S^«I^)> = 2^«|Q<>>-кп

Согласно формуле (9.2) коэффициент при Ьк равен 6тк. Поэтому сумма, стоящая слева, равна просто Ьт, и мы приходим к

соотношениюсоотношению

соотношению

соотношению

Ьт = 2 Qmnan,(9.8)

где символом Qmn обозначено следующее выражение:

Qmn =« |М’> = $ «Ж1 dV.(9.9)

Уравнение (9.1) определяет правило, с помощью которого функция ср преобразуется в функцию /. Уравнение (9.8) определяет правило, с помощью которого совокупность коэффициентов а„ (представляющая функцию ср) преобразуется в совокупность коэффициентов Ьт (представляющую функцию /). Следовательно, уравнение (9.8) представляет собой другую форму записи уравнения (9.1). Коэффициенты ап представляют в этом уравнении функцию ср, коэффициенты Ьт — функцию /. Совокупность величин Qmn представляет оператор Q. Эта совокупность может быть записана в виде квадратной матрицы с бесконечным числом строк и столбцов:

Qu Qn ■•■ Qin --Л

Q21 Q22 ••• Qin • ■•

(9.Ю)

Qml Qmi ••■ Qmn ••• I

Матричному соотношению между функциями / и <р можно придать форму, и внешне сходную с уравнением (9.1). Для этого покажем, что выражение

(9.П)(9.П)

(9.П)

(9.П)

где справа стоит произведение двух матриц, эквивалентно формуле (9.8).

(9.12)(9.12)Согласно правилу перемножения матриц (см. т. 1, формулу (VII.28)) элементы ртД, матрицы В получаются из элементов ymn и апк перемножаемых матриц Г и А (В = ГА) с помощью формулы

(9.12)

(9.12)

Pm* — ^ 1 Утл^л*.

Если матрица А имеет только один столбец с элементами ая1 = = а„, формула (9.12) дает для элементов матрицы В значения Pmi = S YmA- Следовательно, матрица-произведение также

(9.13)(9.13)оказывается столбцом с элементами pml==pm, причем

(9.13)

(9.13)

Pm = S Тт,«„.

Взяв вместо а„, ут„ и рт соответственно ап, Qmn и Ьт, мы придем к соотношению (9.8). Тем самым доказана правомерность матричной записи (9.11).

Итак, оператор Q можно записать в виде матрицы (9.10), элементы которой вычисляются по формуле (9.9). Эти элементы зависят от выбора «базис а», т. е. вспомогательного оператора R, собственные функции которого используются для разложения функций ф и /. Коэффициенты разложения функций ф и / также зависят от выбора R. О совокупности коэффициентов ап, совокупности коэффициентов Ьт и матрице Qmn говорят соответственно как о функции ф, функции / и операторе Q, взятых в г-представлении. Если R есть оператор координаты, говорят о координатном представлении функций и оператора. Если Л — оператор импульса, получится импульсное представление, и т. д. Заметим, что все операторы и функции, входящие в любое соотношение, всегда нужно брать в одинаковом представлении. ,

Если в формуле (9.9) в качестве функций ф6 взять собственные функции ф^’ самого оператора Q, то получится оператор в своем собственном представлении. Так как в этом случае функции, которые используются для вычисления матричных элементов по формуле (9.9), удовлетворяют уравнению Сф„ = ^пф„, то имеет место следующее упрощение:

Qmn = (фш | Офп"*) = (фт’ ! Чп^) = Цп^тп- (9.14)

Полученный результат означает, что матрица оператора в его собственном представлении оказывается диагональной, причем диагональные элементы совпадают с собственными значениями оператора:

/91 0 О ...\

(Qm.)= ; £ М(9.15)

Если оператор Q взять в его собственном представлении (функции ф и / также нужно взять в ^-представлении), то соотношение (9.8) упрощается следующим образом:

^т — ^j QmnPn — ^ Яп^тпРп — ЯтРт*пп

2 И. В. Савельев, т. 2

Этот результат означает, что коэффициент Ьт получается из ат умножением на соответствующий диагональный элемент матрицы, определяющей оператор в его собственном представлении.

Возьмем в уравнении (9.1) в качестве <р собственную функцию ф^ оператора R".

f = №-(9.17)

Тогда, согласно (9.2) и (9.5), ап = 6пк. Подставив это значение в (9.8), получим, что

Ьт " У Qmnbnk = Qmk> п

Следовательно, учтя (9.4), функцию (9.17) можно представить в виде

-(9.18)

(мы поставили при матричном элементе индекс (г), чтобы подчеркнуть, что он вычислен в г-представлении).

Соотношение (9.18) можно трактовать так, что IQmtl5 определяет вероятность того, что система, состояние которой описывается функцией <2ф/Г\ окажется в состоянии ф^'. Иными словами, |Qmfc|2 дает вероятность того, что система в результате воздействия, описываемого оператором Q, перейдет из. состояния ф^' в состояние фт\ В соответствии с этим Qmk называют матричным элементом, соответствующим переходу из состояния к в состояние т.

Приведем несколько определений, касающихся матриц. Матрица А называется транспонированной по отношению к матрице А, если выполняется соотношение

(А)тп = Апт.(9.19)

Таким образом, транспонированная матрица получается из исходной заменой строк столбцами.

Матрица А*, элементы которой комплексно сопряжены с элементами матрицы А;

(А*)тп = (Атп)*,(9.20)

называется комплексно сопряженной с матрицей А.

Эрмитово сопряженной с матрицей А называется такая матрица А+, элементы которой определяются с помощью правила.

Л^=(Атп)* = А*П1.(9.21)

Следовательно, матрица Л+ получается из матрицы А путем последовательного выполнения операций транспонирования и

комплексного сопряжения. Соотношение (9.21) аналогично соотношению (8.7), определяющему эрмитово сопряженный оператор.

Наконец, самосопряженной или эрмитовой назы: вается матрица Атп, удовлетворяющая условию

Amn = A*m = AU(9.22)

(ср. с (8.9) и (8.10)). Таким образом, в случае эрмитовой матрицы элементы транспонированной матрицы совпадают с комплексно сопряженными элементами исходной матрицы.

Покажем, что определение (9.21) эрмитово сопряженной матрицы согласуется с определением (8.7) эрмитово сопряженного оператора. В соответствии с (9.9), (8.7) и (8.3)

А1пп = (фт | tM +) = <ф„ Л+ 1фш)* = <Тр„ I Л фт)* = А*т-

Следовательно, взяв в качестве исходного определение (8.7), мы пришли к определению (9.21).

Найдем матричное выражение, эквивалентное скалярному произведению двух функций (ф|ф). Разложим эти функции по собственным функциям ф6 некоторого оператора R".

<Р = 2атфт, Ф = 56Л-тп

Подстановка этих выражений в формулу (7.9) дает

<ф I Ф) = <5 ЙА I У, Мя) = У а«Ьп (фт 1ф„> = тпт, п

= ^а*тЬп6тп = Ца*пЬп (9.23) т, пп

(см. (7.10)).

В r-представлении функции <р и ф определяются матрицами /«1 \/»1 \

ф^Л = 1а2 , ф^В=162 . .

Для того чтобы получить выражение (9.23), нужно перемножить матрицы Л+ и В. Действительно, по правилу умножения матриц /61 \ (а^...) 62 =^а*Ьга.

Итак, мы пришли к формуле

(<р|ф) = А*В.(9.24)

Комплексно сопряженной функции <р под знаком интеграла в формуле (7.7) соответствует эрмитово сопряженная матрица в формуле (9.24).

Найдем матричное выражение для среднего значения величины Q. Для этого разложим пси-функцию рассматриваемого состояния по собственным функциям некоторого оператора R (т. е. возьмем пси-функцию в г-представлении): Ф = 2СЛГ) и подставим это разложение в формулу (7.14):

<») = ^ ^т | Q У С„ф„) = У, С^Сп (фт | Ql|)„). тпт, п

Выражение (фт 10ф„) есть матричный элемент оператора Q в /•-представлении. Следовательно,

= У CmQmnPn-(9.25)

пг, п

Полученная формула является матричным аналогом формулы (7.14).

Если оператор Q взять в собственном представлении (тогда и пси-функцию нужно брать в ^-представлении), матричные элементы будут равны: Qmn = qn8mn (см. (9.14)), так что формула (9.25) принимает вид

^9) = У ст17л8тлсл= У стдтст,пг, пт

совпадающий с выражением (7,12).

Наконец, выясним, как можно решить в матричном виде уравнение Сф = ^ф, т. е. как, зная матрицу Qmn в г-представ- лении, найти собственные значения qn и собственные функции (в /--представлении) величины Q. Подставим в уравнение вместо ф (х) ее разложение по собственным функциям ф„ (х) оператора

У Сл^фл (х) = q У с„ф„ (х).

Умножим это соотношение скалярно на фт (х): , Сп (фт | Сфл/ = Я У Сп (фт | ф„).

Множитель при сп слева есть Qmn — матричный элемент оператора Q в /--представлении, множитель при с„ справа есть dm„. Следовательно,

У cnQmn = д -У сп6тп = дст.(9,26)

Беря в (9.26) последовательно т=\, 2 мы получим

систему бесконечного числа линейных однородных уравнений с бесконечным числом неизвестных сх, с2, ... (матрица Qmn

предполагается заданной):

(Qll~Я) с1 + Q12C2+ • • • + QlmCn+... = 0,

С?21<ц+ (Q22 — 9) С2 + • • • + QlmPm+••• = 0,

(9.27)

QmlCi + Qm2C2+• • •+ (Qmm — ?) Ст +•. . = 0,

Как было выяснено в Приложении VIII тома 1, система однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение только в том случае, если определитель системы равен нулю:

Qu—qQ12••■Qim

(9.28)(9.28)QsiQ22—q••■Qim

(9.28)

(9.28)

QmiQmi•••Qmm — q•••

Соотношение (9.28) представляет собой уравнение бесконечно большой степени для неизвестной д. Его следует рассматривать как предел выражения вида (9.28), написанного для конечного числа N строк и столбцов, получающийся при N -> оо. Разумеется, что уравнение (9.28) имеет смысл лишь в том случае, если такой предел существует.

Уравнение (9.28) имеет бесконечно большое число корней: ди д2, ■ ■ •, Цт, • ■ • Они представляют собой те значения д, при которых получаются ненулевые значения коэффициентов сд, с2 с„, ..., определяющих ф (х) в /"-представлении (в котором заданы Qmny Следовательно, корни уравнения (9,28) суть собственные значения величины Q.

Подставив в систему (9.27) g = gt и разрешив ее относительно неизвестных сп, найдем набор коэффициентов с„, которые определяют собственную функцию оператора Q, отвечающую д = дх. Подставив в (9.27) д = д», найдем набор коэффициентов, определяющих вторую собственную функцию, и т. д. Таким образом, будет решена задача на нахождение собственных значений и собственных функций оператора Q, заданного матрицей Qmn.

Если матрица Qmn определена в ее собственном представлении, все недиагональные элементы будут равны нулю и уравнение (9.28) примет вид

Qu—q

0 ..

0

0

Q22—q «•

0

0

0 .'.

Qmm 9 *••

= 0. .

Корни этого уравнения, очевидно, равны: gi = Qn, g^ = Q22, ...,

Яm = Qmm^ •■•> так что мы приходим к уже известному резуль-

тату: диагональные элементы матрицы, написанной в ее собственном представлении, равны собственным значениям данной величины.

Итак, чтобы привести матрицу Qmn к диагональному виду, нужно составить уравнение (9.28) и найти его корни. Эти корни и будут элементами матрицы после приведения ее к диагональному виду (см. (9.15)).

Коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций (см. следующий параграф). Следовательно, их матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному виду.

Алгебра операторов

Линейные операторы можно складывать и перемножать. В дальнейшем, чтобы не повторяться, мы слово «линейный» будем опускать, однако всегда будут подразумеваться линейные операторы.

Суммой операторов А и В называется оператор С = = А + В, определяемый условием

Сф = (А 4- В) ср = Л ср + Вф.(Ю.1)

Подставив выражение (10.1) в формулу (9.9), получим соотношение между операторами А, В и С в матричной форме

Стп = Атп + Втп. .(Ю.2)

Это соотношение согласуется с правилом сложения матриц (см. т. 1, формулу (VII. 25)).

Произведением операторов А и В называется оператор П = АВ, определяемый условием

/7ф = (ЛВ)ф=Л (Вф)(10.3)

(чтобы получить функцию 77ф, нужно найти функцию Вф, а затем подействовать на нее оператором Л). Согласно формуле (9.8)

Птп = <фт| ЛВф„) = <фт| Л (Вф„)),(10.4)

где ф* — собственная функция оператора R.

Функцию Вф„ можно, как и всякую другую функцию, разложить в ряд по собственным функциям ф* того же оператора R, т. е. представить в виде Вф„ = XCA> причем для коэффициентов ск получается по формуле (7.11) значение ск = (ф6 | Вф„). Последнее выражение есть матричный элемент Вкп оператора В в г- представлении. Следовательно,

Вфл = 2В^-<1015)

к

Подстановка выражения (10.5) в (10.4) дает

птп=(^т \ А /2 5алФа\> = Л5а«<Ф/п| Лф(!> = 2 ВкаАтк.

\ k) kк

Наконец, поменяв местами сомножители, придем к формуле

Птп = У1АткВк„,(10.6)

которая согласуется с правилом перемножения матриц.

В соответствии с определением произведения операторов под квадратом оператора Q2 следует понимать двукратное действие на функцию оператора Q:

С2Ф=<2(М '(Ю.7)

Аналогично определяются и более высокие степени оператора.

Найдем оператор, транспонированный с произведением операторов П = АВ. Используя определение (8.2) транспонированного оператора и свойство (7.8) скалярного произведения двух функций, можно написать следующую цепочку преобразований:

(ф I Лвф) = ((Вф)* | Лф*) = (Лф* I (Вф)*у =

= <(Лф*)* j вф) = <ф* | в (Лф*)) = <ф* |.^Лф*>.

Вместе с тем по определению

<ф|/7ф> = <ф*|Лф*>.

Из сравнения полученных соотношений следует, что

Ав=бА,(10.8)

т. е. оператор, транспонированный с произведением двух операторов, равен произведению транспонированных сомножителей, взятых в обратном порядке.

Аналогичное соотношение имеет место для транспонированных матриц. Согласно (10.6) матричный элемент произведения АВ матриц А и В равен (АВ)тп = У AmkBkn. Воспользовавшись соот- к

ношением (9.19), можно написать:

(АВ)тп = (АВ)пт = ^ АикВкП1 = ^ AknBmk =кк

= У, BmkAhn = (ЙЛ)тл,к

откуда следует, что

^В = ВА.(10.9)

Согласно формуле (8.6).•

(ЛВф)* — (АВ)* ф*.

Вместе с тем

(ЛВф)* = [Л (Вф)]* = Л* (Вф)* = Л*В*ф*.

Из сравнения этих выражений получается соотношение

(АВ)* = А*В*.(10.10)

Наконец, найдем оператор, эрмитово сопряженный с оператором АВ. Рассматривая АВ как единый оператор, напишем соотношение (8.5) в виде■

(ф | ЛВф) = (ф (АВу | ф).

Если же учесть, что ЛВф = Л(Вф), можно написать:

(ф | ЛВф) = (фЛ+| Вф) = <((фЛ+) В+ | ф) = (фЛ+В+1 ф).

Сопоставление обоих соотношений дает, что

(ЛЛВ)+ = Л+В+.(Ю.П)

Полученный результат означает, что в то время как до сопряжения сначала действуют на функцию оператором В, а затем на получившийся результат,—оператором А, после сопряжения действуют на функцию сначала оператором Л+, а затем на получившийся результат — оператором В*. Следовательно, сопряжение меняет последовательность, в которой действуют операторы А и В. Это справедливо и при большем чем два числе сомножителей.

Возьмем оператор вида CQ, где оператор С есть просто умножение на число с. Согласно (10.11) (CQ)+ = C+Q+. В § 8 было показано (см. (8.8)), что если С = с, то С+ = С*. С учетом этого обстоятельства можно написать соотношение

(CQ)* = C*Q+.(10.12)

В частности,

(iQy = - [(у.ПОЛЗ)

Найдем матрицу, эрмитово сопряженную произведению матриц Л и В. Согласно (9.21)

(АВут = (АВ)*т = ^АпкВкт\* = ^ № = 2 В^А^.

'\ к) кк

Полученный результат означает, что

(ЛВ)+ = В+Л+.(10.14)

Матрица, эрмитово сопряженная произведению двух матриц, равна произведению эрмитово сопряженных матриц, взятых в обратном порядке.

Теперь мы имеем возможность пояснить, почему эрмитово сопряженный оператор следует писать справа от функции, на которую он действует. Для этого обратимся к уравнению (9.8), описывающему преобразование функции ср в функцию / под действием оператора Q. Запишем это уравнение следующим образом:

Ьтг — У Qmnani.(10.15)

п

Индекс «1» указывает на то, что матрицы а и b имеют только по одному столбцу.

Соотношение (10.15) можно написать так:

b = Qa,(10.16)

где b, Q и а — соответствующие матрицы. Напишем соотношение, эрмитово сопряженное с (10.16), причем воспользуемся формулой (10.14):

b* = (Qa)* =(10.17)

При эрмитовом сопряжении матриц столбцы заменяются строками и, кроме того, матричные элементы заменяются их комплексно сопряженными (см. (9.21)). Следовательно, матрицы Ь* и а+ имеют только по одной строке. Представив матрицы, фигурирующие в (10.17), в виде таблиц, получим

М Qm ..Д

(№...b^...) = №t..aL..) «ы Рм--).(10.18)

Здесь матрица с элементами Q*m представляет оператор Q*.

Легко видеть, что правильный результат может получиться только в том случае, если матрица Q+ в выражениях (10.17) и (10.18) стоит справа от матрицы а+ (напомним, что при перемножении матриц умножается строка на столбец). Отсюда и вытекает правило, согласно которому оператор Q+. нужно писать справа от функции, на которую он действует.

Произведение операторов, вообще говоря, некоммутативно: АВ #= ВА.

В этом можно убедиться на примере операторов А = д/дх и В = х. Действительно,

И8)ф=^(%ф)=х§ + ф,

М^х^.

Операторы Л и В, для которых выполняется условие

Ав = вА,(10.20)

называются коммутирующими между собой. Если условие (10.20) не выполняется, операторы называются некоммутирующими.

Операторы, для которых

Ав = — ЁА,(10.21)

называются антикоммутирующими.

Образованный из операторов А и В оператор АВ — ВА называется коммутатором данных операторов и обозначается символом [Л, В]. Таким образом,

[Л, В] = АВ-ВА.(10.22)

В соответствии с (10.19) .

Это означает, что, подействовав на некоторую функцию ср оператором [д/дх, х], мы снова получим ту же функцию ср. Оператор, который оставляет функцию неизменной, называется единичным. Следовательно, коммутатор операторов д/дх и х равен единичному оператору.

Для коммутирующих операторов коммутатор равен нулю.

В квантовой механике с помощью операторов изображаются физические величины. Выясним, как согласуются правила сложения и умножения операторов с понятиями суммы и произведения физических величин.

Пусть две физические величины Q и R могут одновременно иметь определенные значения. Пси-функция состояния, в котором величина Q имеет значение qn, а величина R — значение гп, должна удовлетворять одновременно двум уравнениям: ,

<Ж = <7Ж(10.23)

^Ф» = гпф„,(10.24)

т. е. быть собственной функцией обоих операторов. Таким образом, операторы двух одновременно измеримых величин имеют общие собственные функции. Сложив уравнения (10.23) и (10.24), получим

(<9 + Л)фл = (<7„ + гл№.(10.25)

Следовательно, собственные значения оператора Q + R равны суммам собственных значений операторов Q и R. Соответственно под

суммой величин Q и R следует понимать такую, величину Q + /?, собственные значения которой равны суммам собственных значений складываемых величин.

Под произведением одновременно измеримых величин Q и R понимают такую величину QR, собственные значения которой равны произведениям собственных значений перемножаемых величин. В соответствии с этим, обозначив оператор произведения величин Q и R буквой *П, можно написать:

,П^п = ЧпГп^п.(10.26)

Подействуем на уравнение (10.24) оператором Q, приняв при этом во внимание уравнение (10.23):

Ш = гД^п = rnqn^n = qnrn^n.(10.27)

Сравнение полученного равенства с (10.26) дает для оператора произведения щвух величин_выражение n = QR, согласующееся с правилом (10.3).

Из сказанного выше вытекает, что квадрату величины Q отвечает оператор Q2, где Q — оператор величины Q. Аналогично величине Qs отвечает оператор Qs.

Подействовав на уравнение (10.23) оператором R, получим с учетом (10.24), что

&Офп = Чп^п = qnr,$n-

Сравнение с (10.27) позволяет заключить, что QR = RQ, т. е. операторы Q и R коммутируют друг с другом.

Полученные результаты можно подытожить следующим образом. Если две величины могут одновременно иметь определенные значения, то:

их операторы имеют общие собственные функции,

их операторы коммутируют друг с другом.

Утверждения 1) и 2) взаимно вытекают друг из друга. Выше мы показали, как из утверждения 1) получается утверждение 2). Теперь докажем, что из утверждения 2) вытекает утверждение 1).

Пусть операторы А и В коммутируют друг с другом. Их собственные функции удовлетворяют уравнениям

А<=аЖ\(10.28)

Вф^-М^-(10.29)

Подействуем оператором В на уравнение (10.28) и воспользуемся тем, что А и В можно менять местами:

ВАф^ = аМ? =5 А [Вф^] = а„ [ВфП

Полученный результат означает, что функция [Вф^’] с точностью до постоянного множителя с совпадает с собственной функцией оператора А, принадлежащей собственному значению ап, т. е. что

Из полученного уравнения в свою очередь следует, что ф^’ является собственной функцией оператора В, причем с = Ьп. Таким образом, любая собственная функция ф„а) оператора А является также собственной функцией оператора В. Подействовав оператором А на уравнение (10,29) и проведя те же рассуждения, мы придем к заключению, что любая собственная функция ф^ оператора В является также собственной функцией оператора А. Следовательно, мы доказали, что коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций.

В заключение сделаем несколько замечаний, касающихся матриц, изображающих физические величины. Выше мы установили, что произведению одновременно измеримых величин Q и R соответствует оператор QR. Соответственно матрица произведения этих величин есть матрица оператора QR, т. е. матрица, определяемая соотношением (10.6):

№?)„.„ (10.30) к

Полученный результат означает, что матрица произведения двух величин равна произведению матриц перемножаемых величин. Соответственно матрица квадрата величины Q определяется формулой

^m^^QmkQ^. (Ю.31)

§11. Соотношение неопределенности

Если операторы Л и В не коммутируют друг с другом, то соответствующие этим операторам величины не могут иметь одновременно определенные значения. Попытаемся установить в каком соотношении находятся неопределенности значений этих, величин.

Для характеристики разброса результатов измерения величины возьмем среднеквадратичное отклонение результатов отдельных измерений от среднего значения данной величины. Отклонение отдельного измерения от среднего значения равно

М = а — (а).

Сопоставим ему оператор

АА = А-(а)(11.1)

(оператор, отвечающий (а), есть просто число).

Среднеквадратичное отклонение по определению есть ^((Да)2). Следовательно, задача нахождения среднеквадратичного отклонения сводится к определению величины ((Да)2). Если величине Да сопоставляется оператор ДА, то величине (Да)2 должен быть сопоставлен оператор (ДА)2 (см. § 10). По общему правилу вычисления средних значений

((Да)2) = 5ф*(/£А)2ф^К,ч (11.2)

Аналогично

<(Дй)2) = ^* (ABy^ dV.(11.3)

Рассмотрим вспомогательный интеграл

S (Л) = | (т| ДА -1 кВ) ф |2 dV 0,(11.4)

зависящий от произвольного вещественного параметра гр Очевидно, что этот интеграл не может иметь отрицательных значений. Запишем его следующим образом:

е7 (ц) = ^ [(ц ДА — i АВ) ip] [(цДА* + i ДВ*) ф*] dV =

= ^ (Л ДАф — Z ДSip) (т] ДА*ф* +I ДВ*ф*) dV.

Раскроем скобки в подынтегральном выражении и представим интеграл в виде

^ (tj) = г]2 ^ (ДАзр) ДА*тр* dV 4- it] ^ (ДАзр) ДВ*ф* dV —

— it) (ДВлр) ДА*ф* dV + ^ (ДВхр) ДВ*ф* dV.

Воспользовавшись самосопряженностью операторов, осуществим в каждом из интегралов преобразование (8.13), рассматривая выражения вида (ДАф) как одну из функций, фигурирующих в (8.13). Кроме ^гого, объединим второй и третий интегралы. В результате мы придем к формуле

(л) = Л2 $Ф* (ДА)2 ф dV — it) ^ ф* (ДА ДВ — ДВ ДА) ф tZK +

+ $Ф* (ДВ^Ф^К^О. (11.5)

Первый и третий интегралы равны соответственно ((Да)2) и ((Д6)2) (см. (П.2) и (И.З)). Под знаком второго интеграла стоит

коммутатор операторов АА и АВ. Чтобы избавиться в (11.5) от мнимой единицы, обозначим этот коммутатор символом iK, т. е. введем обозначение

[АЛ, АВ] = ДА АВ — АВ ДА = г К-(11.6)

Подставим в (11.6) выражение (11.1) для АЛ и аналогичное выражение для АВ: (Л — (а)) (В — (Ь)) — (В — (6)) (А — (а)) = iK. После несложных преобразований левая часть превращается в коммутатор операторов А и В. Следовательно,

[АЛ, Дв] = [а, B^ = iK,(Н.7)

так что можно считать iK коммутатором операторов А и В. Воспользовавшись обозначением (11.6), второй член формулы (11.5) можно представить в виде

— й| $ ф* (гЛ')ф dV =Л 5 Ф*А"Ф dV = ц <к\

где (К) — среднее значение величины, изображаемой оператором К.

Приняв во внимание все вышесказанное, формулу (11.5) можно написать следующим образом:

^(p) = P2(M2)+p<A> + ((Ab)a>;sO.(11.8)

Исследуем, при каком соотношении между коэффициентами трехчлен вида ах2 + Рх + у (а>0) не может ни при каких х принимать отрицательные значения. Для этого осуществим преобразование

а^ + р^ + у = а (х + Р/2а)а + у — Р2/4а.

Минимальное значение этого выражения равно у — р2/4а (оно достигается при таком значении х, при котором выражение в скобках обращается в нуль). Следовательно, для неотрицательности трехчлена должно иметь место соотношение

у —Р2/4а^0, или ау^р2/4.

Применив полученный результат к трехчлену (11.8), придем к условию

<(Аа)2><(А&)2>^<^>2/4, откуда,

X^VWbm . (11.9)

Соотношение (11.9) называется соотношением неопределенности. Из него вытекает уже известный нам результат: если операторы А и 6 коммутируют между собой, т. е. если К = 0, то величины А и В могут одновременно иметь определен

ные значения.

§ 12. Непрерывный спектр

Если оператор Q обладает непрерывным спектром собственных значений q, то собственные функции нельзя пронумеровать. Для того чтобы отличить эти функции друг от друга, будем писать при символе функции в качестве индекса собственное значение q, которому отвечает данная функция, например: ф„-, ф4- И т. д.

В отличие от формулы (7.4), разложение произвольной функции ф по собственным функциям оператора с непрерывным спектром имеет вид интеграла

Ф W = ^(qy^^dq.Ф W = ^(qy^^dq.(12.1)(12.1)

Ф W = ^(qy^^dq.

Ф W = ^(qy^^dq.

(12.1)

(12.1)

Интегрирование производится по всей области значений, которые может иметь величина Q. Коэффициент с (q) есть некоторая функция q, которая Определяет пси-функцию в ^-представлении.

(12.2)(12.2)Заменив в выкладках, которые следуют за формулой (8.13), фт через ф^-, ф„ через ф^ и соответственно qm через q', a qn через q”, получим формулу

(12.2)

(12.2)

<фд'|фв"> =$ФЖ'^К = 0to'^"),

из которой следует, что собственные функции сплошного спектра, как и функции дискретного спектра, ортогональны.

Сложнее обстоит дело с нормировкой собственных функций оператора с непрерывным спектром. Оказывается, что для таких функций интеграл ^ф^ф9^К всегда расходится (т. е. обращается в бесконечность).

В § 17 мы покажем это на примере собственных функций оператора импульса.

Нормировку функций-, принадлежащих непрерывному спектру, осуществляют с помощью дельта-функции Дирака (см. Приложение VIII).

При нормировке функций фп дискретного спектра на единицу квадраты модулей коэффициентов сп в разложении (7.4) определяют вероятности значений qn величины Q. Попытаемся отнорми- ровать функции ф, таким образом, чтобы образованное из функций с (q) выражение \c(qY2dq определяло вероятность того, что в состоянии, описываемом функцией (12.1), величина Q имеет значение, заключенное в пределах от q до q-^dq. Тогда среднее значение величины Q будет вычисляться по формуле

(12.3)(12.3)<q> = $ k to)!2 q dq, которая является аналогом формулы (7.12).

(12.3)

(12.3)

Сумма вероятностей всех возможных значений данной величины должна быть равна единице. Отсюда вытекает условие, накладываемое на функцию с (<7):

$|с(^))=^ = 1.(12.4)

Эта формула является аналогом формулы (7.5). Вместе с тем она является аналогом формулы (4.2).

Для того чтобы выполнялось требование (12.4), функции ф9 должны удовлетворять определенным условиям. Для нахождения этих условий подставим функцию (12.1) в условие (4.2) нормировки функции ф:

$ {$с* (q-) ф£ dq'^c (q") ф9» dq”^ dV = 1.

Перепишем это выражение следующим образом:

с* (q') dq' $ с (q") { $ ф^ф»' dV^ dq" = 1.(12.5)

Покажем, что соотношение, к которому мы пришли, переходит в условие (12.4) в том случае, если стоящий в фигурных скобках интеграл по dV заменить функцией b(q’ — q"), т. е. положить, что

<Ф»-1Ф»"> = 5 dV = 6 (q'- q").(12.6)

■ Такая замена приводит (12.5) к виду

^с* (q*) dqf ^с (q") 6 (q'— q") dq" ™ 1.

Согласно свойству (VIII.2) интеграл по dq” равен c(q'), так что мы приходим к соотношению

с* (q') с (q*) d^=i, которое совпадает с (12.4).

Таким образом, для того чтобы выражение \с ^\2 dq представляло собой вероятность в указанном выше смысле, функции ф? должны удовлетворять условию (12.6), т. е. быть нормированными на дельта-функцию.

Заметим, что формула (12.6) включает в себя и свойство (12.2). Поэтому систему функций, удовлетворяющую условию (12.6), можно назвать ортонормированной. Формула (12.6) является обобщением формулы (7.10) на случай непрерывного спектра.

Теперь можно установить способ нахождения функции с(^). С этой целью умножим уравнение (12.1) скалярно слева на ф^:

<Ф»' IФ> = $с (</) <ф^ |ф?> dq.

Воспользовавшись условием (12.6), получим

(ф,-1 Ф> = $ С (q) 6 (</ - q) dq = с (q').

Наконец, опустив штрих при q, придем к формуле

с(?) = <Ф9|ф> = ^Ф^^1/.(12.7)

Эта формула является обобщением формулы (7.11) на случай непрерывного спектра.

Найдем матричную форму оператора Q в случае, когда вспомогательный оператор R обладает непрерывным спектром (характер спектра оператора Q безразличен). В этом случае разложение функций <р и /, фигурирующих в операторном уравнении

f = Q^(12.8)

имеет следующий вид:

<р = ^ а (/) фг. dr', f=\b (г') фг* dr*

(см. (12.1); переменную интегрирования мы обозначили г' вместо г). Подстановка этих выражений в уравнение (12.8) дает

§ b (/) фг< dr' = а (/) Q^z- dr.

Умножим обе части равенства скалярно на ф/

§ b (г') (фг |фг/) dr’ = ^а (г') (фг |<2фЛ') dr'. (12.9)

Приняв во внимание условие нормировки (12.6), преобразуем левую часть равенства следующим образом:

b (/) (ф, | фгф dr' = $ b (г') 8 (г — г') dr' = b (г).

Таким образом, формуле (12.9) можно придать вид

b (г) = $ Qr, ,-а (г-) dr',,(12.10)

где

Q„- = <фг! <2Фг'> = $ Ж dV.(12.11)

Формулы (12.10) и (12.11) являются обобщением формул (9.8) и (9.9) на случай непрерывного спектра. Они определяют преобразование функции й (г) в функцию b (г) под, действием оператора Q.

Выражение (12.11) определяет оператор Q в г-представлении. Индексы г и / изменяются непрерывно. Несмотря на это, формально можно рассматривать каждое из выражений Qr, ,- как матричный элемент оператора Q, а совокупность всех значений этих элементов как матрицу, число строк и столбцов которой

несчетно. При таком подходе правую часть выражения (12.10) можно трактовать как произведение матриц, индексы элементов которых изменяются непрерывно, вследствие чего суммирование заменяется интегрированием.

. Дираковские обозначения

Мы уже отмечали сходство между выражениями

Ф = 5С* и v=Sy”=e"--

тtn

Первое из них представляет собой разложение пси-функции по собственным функциям некоторого оператора, второе —выражение вектора в многомерном пространстве через орты координатного базиса и компоненты вектора по осям. Это сходство позволяет определить пси-функцию как вектор в так называемом гильбертовом бесконечномерном пространстве. Систему ортонор- мированных собственных функций фт можно в этом случае рассматривать как базис, выбранный в таком пространстве, а величины ст — как компоненты ректора ф по осям этого базиса. В зависимости от вида базиса (т. е. от выбора системы собственных функций, от выбора представления) получается та либо иная совокупность компонент ст.

Указанная аналогия натолкнула Дирака на мысль сопоставить каждому состоянию системы вектор состояния, который он обозначил символом |) и назвал термином «кет». Так, например, состоянию, описываемому функцией фа (х), сопоставляется вектор состояния |а). Индекс а, называемый индексом состояния, обозначает набор значений физических величин или соответствующих квантовых чисел, которые определяют состояние.

Каждому вектору «кет» (например, вектору |а)) приводится в соответствие сопряженный с ним вектор «бра», обозначаемый символом (| (в нашем примере это («I)). Для обозначения сопряжения этих векторов Дирак применил тот же значок « + », который используется для обозначения эрмитово сопряженных операторов. Таким образом, векторы бра и кет связаны соотношением

<а| = 1«>+.(13.1)

Очевидно, что состояние фа можно характеризовать либо вектором |а), либо вектором (а|.

Скалярным произведением двух векторов состояния Дирак назвал произведение бра-вектора одного состояния на кет-вектор

другого состояния. Это произведение записывается в виде

<а|р).(13.2)

Оно представляет собой некоторое комплексное число.

Скалярное произведение (13.2) соответствует скалярному произведению двух пси-функций. Поэтому оно обладает всеми свойствами, присущими выражению (7.7). В частности,

<а|р> = ф)а>*(13.3)

(см. (7.8)).

Для состояний, пси-функции которых ортогональны, векторы состояния также ортогональны: ■

<«|р> = 0.(13.4)

Если (а|а) = 1, вектор состояния нормирован на единицу.

На векторы состояния можно воздействовать линейными операторами, в результате чего получаются новые векторы состояния. Если на вектор кет действуют оператором Q, то на сопряженный с кет вектор бра нужно действовать сопряженным оператором Q+. Действие Q на кет-вектор дает новый кет-вектор. Действие Q+ на бра-вектор дает новый бра-вектор. Записывая эти операции, ставят оператор Q слева от кет, а оператор Q+— справа от бра:

,0)=Q|a\ <P| = <ajQ+.

Если оператор эрмитов, то Q = Q+ и написанные выше соотношения выглядят следующим образом:

1P) = QI«), <₽| = <a|Q-(13.5)

Прежде чем излагать дальше алгебру векторов состояний, напомним некоторые понятия из алгебры обычных векторов. Вектор v в n-мерном пространстве определяется его проекциями цп и2, ..., ип на оси координат, т. е. на орты еп е2, ... ..., е„, образующие базис координатной системы (эти проекции называют также компонентами вектора). Проекция ит вектора v на т-ю ось равна скалярному произведению векторов v и ет:

Vm = emV.(13.6)

Таким образом, вектор v определяется набором п чисел:

е^, e2ve„v.(13.7)

Вернемся снова к векторам состояний. Возьмем в качестве базиса в гильбертовом пространстве совокупность векторов состояний | ^т), сопоставляемых полной системе ортонормированных

собственных функций оператора Q. По аналогии с (13.6) проекцию вектора состояния | а) на m-й орт базиса можно найти, перемножив скалярно векторы состояний | qm) и |а). В результате этого умножения получим комплексное число <(^т|а). Набор таких чисел

<911“>. <^2! «>»<?т|а), •••(13.8)

полностью определяет вектор |а), а значит, и функцию фа. Следовательно, набор чисел (13.8) представляет собой функцию фа в (/-представлении. Сопоставление с формулой фц (х) = У, с (qm) х X ф^ (х)т) позволяет заключить, что

с (</m) = <<7m I ”>•(13.9)

Если величина q обладает непрерывным спектром, набор дискретных чисел (13.9) переходит в непрерывную функцию

С ((/) = <(/!«>,(13.10)

которая является пси-функцией состояния а в (/-представлении. Обозначение этой функции в виде (91 а) очень удобно, так как содержит как индекс состояния а, так и индекс представления q. Последний индекс указывает, от каких переменных зависит пси- функция.

Если в качестве базиса взять векторы |х), соответствующие собственным функциям координаты х, то функция (13.10) будет пси-функцией в координатном представлении, т. е. функцией фа(х). Следовательно, в дираковских обозначениях пси- функция состояния а записывается в виде

фа(х) = <х|а).(13.11)

Если спектр энергии дискретный, то, согласно (13.9), фа (х) в энергетическом представлении будет определяться набором коэффициентов

с(Ет) = (Ет\а).(13.12)

Запишем в дираковских обозначениях собственные функции фст в координатном представлении. В соответствии с (13.11) ф£т(х) = <х|£т>.‘(13.13)

В данном случае состояние характерно тем, что энергия имеет значение Ет. Следовательно, это значение нужно взять в качестве индекса состояния а.

*) Коэффициенты разложения мы обозначили символом с (qm) вместо Сщ\ чтобы формула (13.10) получалась из (13.9) просто отбрасыванием индекса т.

Из (13.3) следует, что ф| (х) = (Еп | х). Поэтому свойство ортонормированности функций фсй запишется так:

+ 00

$ (En\x)<x\Em)dx=6nm(13.14)

(для простоты мы рассматриваем одномерный случай, вследствие чего вместо dV пишем dx).

Пси-функция состояния а в ^.-представлении имеет вид с(рх) = <^!“)-

Сравнение полученных формул с (7.11) и (12.7) приводит к выводу, что произведение двух векторов состояний совпадает со скалярным произведением соответствующих пси-функций, например

<Ет|а> =(ф£т]фа), <рх|а) = (фРх|Фа). (13.15)

Напишем матричный элемент оператора Q в /--представлении. Если функции ф^1 сопоставить кет-вектор | гп\ то функции Qip^1 должен быть сопоставлен вектор состояния Q\rn). Наконец, скалярному произведению функций ф^ и фф^ будет соответствовать скалярное произведение векторов состояний ] rm) и Q | гя). Поэтому величина (9.9) в дираковских обозначениях запишется следующим образом:

Qmn = (rm\Q\rn).(13.16)

В случае эрмитового оператора это выражение можно трактовать либо как произведение бра <rm] на кет Q\rn\ либо как произведение бра (rm\Q на кет | гя) (см. (13.5)).

Когда нет необходимости указывать, в каком представлении ведется рассмотрение, выражение (13.16) допускает еще более простую запись:

Qmn = <m\Q\n).(13.17)

Наконец, найдем дираковскую форму записи соотношения (9.8). Напомним, что это соотношение выражает в матричной форме операторное уравнение / = @Ф (см. (9.1)). Сопоставим функции ф вектор |а), а функции / — вектор | 0). Тогда определяемые формулами (9.5) коэффициенты можно представить в виде

an = <rn\a), Ьт = <гт\$).

Подставив эти выражения, а также выражение (13.16) в формулу (9.8), получим

И = 2Ок)Ш(13-18)

п

Это и есть формула (9.8) в дираковской записи. Ее можно написать в еще более простом виде:

<mjP) = £(/7i[Q!rt)</i|a).(13.19)

Формулы (13.18) и (13.19) определяют в ^-представлении преобразование вектора | а) в вектор | Р) под действием оператора Q.

14. Преобразование функций и операторов

от одного представления к другому

Найдем общие правила преобразования пси-функций и операторов от одного представления к другому. Эти преобразования осуществляются с помощью так называемой унитарной матрицы S или унитарного оператора S, в связи с чем они называются унитарными преобразованиями.

Возьмем пси-функцию некоторого состояния фа (х) (х обозначает совокупность координат х, у, z; а —индекс состояния). Рассмотрим два различных представления этой функции, которые назовем a-представлением и ^-представлением. Вначале для простоты будем считать, что операторы А и В, отвечающие этим представлениям, обладают дискретными спектрами собственных значений ап и Ьп.

В a-представлении функция фа (х) определяется набором коэффициентов

ctM^ktoH^^(ИЛ)

(см. (7,11)), где фт* — собственные функции оператора А. Числа с^ являются коэффициентами разложения фа (х) по функциям ф^ ^ху.

фаМ^^сЖИ-(14.2)

Аналогично в ^-представлении фа (х) определяется набором коэффициентов

С<,ьМф<Ь)(х)|фа(х)),(14.3)

где фп’ (х) — собственные функции оператора В. Числа c^ суть коэффициенты разложения

фаЮ-^ф^Х).(14.4)

п

Заметим, что функции фа (х), ф^ И фл’ в формулах (14.1) — J14.4) представляют собой пси-функции в координатном пред-

ставлении. Если бы это было не так, их нельзя было бы интегрировать по V (dV = dxdydz).

Нам предстоит установить правило, с помощью которого набор коэффициентов й преобразуется в набор коэффициентов с^. Аналогичную задачу представляет собой преобразование компонент ит вектора v по осям базиса, образованного ортами ет, в компоненты и'п того же вектора по осям базиса, образованного ортами е„. Как известно, это преобразование имеет вид

и'п = 5 °Vm, где ам = е„ет(14.5)

т

(см. т. 1, формулы (VI. 36) и (VI. 37)). Вектор v в базисных представлениях ет и е„ определяется выражениями

v= и v = 2uX.(14.6)

Сопоставление выражений (14.2) и (14.4) с (14.6) приводит к заключению, что системы собственных функций ф™* и фп* можно рассматривать как различные базисы, используемые для представления функции фа (х), а совокупности коэффициентов сЙ* и с«1 — как компоненты этой функции по осям соответствующего базиса.

Чтобы установить правило перехода от коэффициентов сЙ* к коэффициентам c»1, разложим каждую из функций ф^ в ряд по функциям фпЬ):

фЙ^^^фп’-(14.7)

п

В соответствии с общим правилом, выражаемым формулой (7.11), коэффициенты разложения, обозначенные символом Snm, определяются следующим образом:

S^-^W’)(14.8)

(теперь видна целесообразность той последовательности индексов при S, которая принята в формуле (14.7)).

Подставим выражение (14.7) для ф^ (х) в формулу (14.2):

Фа W = 2 ^ 2 S^6’ (х) = 2 ф(„6) (X) 2 Snm4\т ппт

Сопоставление полученного выражения с формулой (14.4) позволяет заключить, что

^) = 2S^>-(14.9)

пг

В дираковских обозначениях эта формула запишется следующим

образом:

<6я|а) = 5<6я|ат><ат|а>(14.10)

(см. (13.15)).

Формула (14.9) дает искомое правило перехода от «-представления к ^-представлению. Коэффициенты перехода, определяемые выражением (14.8), образуют матрицу S с бесконечно большим числом строк и столбцов:

Заметим, что формула (14.9) сходна с формулой (14.5), причем матричные элементы Snm выполняют при преобразовании роль коэффициентов апт. В связи с этим говорят, что преобразование, осуществляемое матрицей S, соответствует «повороту» в гильбертовом пространстве.

Символически преобразование (14.9) можно написать в виде

с(Ы = 5с(а),(14.12)

где с(6) — матрица-столбец с элементами с<пЬ); с(а) — аналогичная матрица с элементами с^.

Очевидно, что обратное преобразование (т. е. преобразование от ^-представления к «-представлению) определяется формулой

cW = S'cw,(14.13)

где S' — матрица с элементами

З^^фЛЛ(14.14)

(ср. с (14.8)). Подставив один раз (14.12) в (14.13), а другой раз (14.13) в (14.12), получим два соотношения:

cw = S'Sc(a>, cw = SS'cw,

из которых следует, что произведение матриц S и S', независимо от порядка сомножителей, должно равняться единичной матрице Е (элементы такой матрицы равны 6т„; см. т. 1, формулу (VII. 24)):

S'S = E, SS' = E.

S = ( <ip<6>|^>S = ( <ip<6>|^><^) I ^"^ • • •<^) I ^"^ • • •(14.11)(14.11)Матрицы S и S', удовлетворяющие этим соотношениям, называются обратными друг другу (см. т. 1, формулу (\ZII. 38)). Матрицу, обратную матрице S, принято обозначать символом S-1. Таким образом, матрица S' представляет собой матрицу S-1.

S = ( <ip<6>|^>

S = ( <ip<6>|^>

<^) I ^"^ • • •

<^) I ^"^ • • •

(14.11)

(14.11)

Согласно (14.14)

Сравнение с (14.8) дает, что

пт — ^тп —

Итак, мы установили, что матрица S, осуществляющая преобразование пси-функции от одного представления к другому, обладает свойством

S^S-1.(14.15)

Поскольку S+^=S, матрица S не является самосопряженной. Матрицы, удовлетворяющие условию (14.15), называются унитарными (слово «унитарный» означает «объединенный»). Это условие можно преобразовать, умножив обе части равенства на матрицу S. Тогда, учтя, что S-1S = £, получим

S+S = E.(14.16)

Оператор S, удовлетворяющий условию

,S+S=l,(U.17)

также называется унитарным.'

Приняв во внимание все вышесказанное, формулу разложения функции ф^* (х) по функциям ф^а| (х) можно написать в виде

фт? W = 5 $™ Ф^ (х) = 5 S^* (х)(14.18)

пп

(ср. с (14.7)).

Теперь перейдем к установлению правила преобразования операторов от одного представления к другому. Возьмем произвольный оператор Q. В ^-представлении он изображается матрицей

. 5^ = (ф^10ф^),(14.19)

в ^-представлении — матрицей

(14.20)

Напишем разложения функций ф„’ и ф^’ по функциям ф!а).

В соответствии с (14.18)

Подставим эти выражения в формулу (14.20):

Q«™ = <2 5^Фа ’ IQ 2 ЗыФ/а') = кI

= 2 (Sti*Sz+ <> IQ ф}а>) = s SmbQ$ Szt к, Iк, I

Сначала мы воспользовались свойством (7.9), затем — правилом (9.21) и, наконец, приняли во внимание выражение (14.19). Представим полученный результат в виде

^n-^Sm^Q^Stn. (14.21) к I

Сумма по / представляет собой к, п-й матричный элемент произведения матриц Q^ и Sz+. Обозначим его символом (5(о)5+)йл, тогда

к

Это выражение представляет собой т, н-й элемент произведения матриц S и (Qta)S+). Таким образом, обозначив матрицу с элементами Q^ символом Qw, можно написать, что

Q(*) = SQ^>S+. (14.22)

Формула (14.22) определяет искомое правило перехода от выражения оператора Q в a-представлении к выражению того же оператора в 6-представлении. Переход осуществляется с помощью матрицы S (см. (14.11)) и сопряженной с ней матрицы 3+. Обратное преобразование имеет вид

QW-S+Q^S. (14.23)

Эту формулу можно получить, умножив соотношение (14.22) на S+ слева и на S справа й приняв во внимание, что S+S = = S-1S = E1). С помощью правила (9.12) легко убедиться в том, что для любой матрицы А справедливы соотношения: ЕА = АЕ = А.

Итак, преобразование оператора от одного представления к другому осуществляется с помощью унитарного преобразования (14.22). Мы знаем, что в случае, когда матрица оператора физической величины оказывается диагональной, диагональные элементы равны собственным значениям данной величины. Отсюда следует, что задача определения собственных значений любого оператора Q сводится к нахождению унитарного преобразования S, которое приводит матрицу Q к диагональному виду. Практически это делается так, как было показано в конце § 9.

Каждому матричному соотношению отвечает аналогичное операторное соотношение. Поэтому, введя унитарный оператор S, отвечающий матрице 5, можно записать формулу (14.9) в виде

^W^S^to), (14.24)

!) Произведение матриц ассоциативно. Это означает, что АВС = А (ВС) = = (АВ)С.

где ф(й!) — некоторая функция в a-представлении, ф(6) — та же функция в 6-представлении.

Формула (14.22) в операторном виде выглядит следующим образом:

qw _ SQMS+,(14.25)

где Qlal — оператор величины Q в a-представлении, Ql6) — оператор той же величины в 6-представлении, Подчеркнем, что операторы QU) и Q(6) изображают одну и ту же физическую величину Q. Ту же величину будет изображать оператор в любом, отличном от а и 6 представлении, переход к которому осуществляется с помощью унитарного преобразования. Следовательно, каждой физической величине соответствует не один, а множество операторов, между которыми имеются соотношения вида (14.25). Ясно, что свойства физической величины (ее вещественность, спектр возможных значений и т. п.) не могут зависеть от выбора представления, т. е. не должны изменяться при унитарном преобразовании (14.25).

Найдем оператор, эрмитово сопряженный с оператором (14.25). Учтя, что оператор, эрмитово сопряженный с произведением операторов, равен произведению эрмитово сопряженных сомножителей, взятых в обратной последовательности (см. (10,11))J), А можно написать, что

(QW)+ = (8^а\8*У = S (Q(a>)+S+ = SQ^S* = QW.

Таким образом, если оператор Q(a) является самосопряженным, т. е. Q^ = (Q(a))+, то и оператор Q^* будет самосопряженным. Напомним, что собственные значения самосопряженных операторов вещественны.

Покажем, что спектр собственных значений оператора не изменяется при унитарных преобразованиях. Подействуем на обе части уравнения

= Яп<(14.26)

оператором S. Кроме того, заменим в левой части функцию ф,^* равной ей функцией ^Sipif1 (см. (14.17)). Полученное в результате уравнение

SQ^S+Ma) = ^Ma)

можно с учетом (14.24) и (14.25) представить в виде

Q^’^^rf-(14.27)

Т Поскольку в произведение входят и Q+, и Q, мы сейчас не придерживаемся правила, согласно которому сопряженный оператор ставят справа от функции, на которую он действует.

В уравнения (14.26) и (14.27) входит один и тот же множитель q„, из чего следует, что операторы Q(a) и Q(b) имеют одинаковые собственные значения.

Наконец, докажем, что унитарное преобразование оставляет неизменным след матрицы Q, т. е. сумму ее диагональных элементов. Подставим в выражение для следа матрицы Q(b) значения Qmm, получающиеся по формуле (14.21):

Sp Q(6) = 2 Q^ = 2 S S^/’S/t = 2 Q^ 2 SztSmk.mm k, Ik, / in

Сумма по m представляет собой /, й-й элемент произведения матриц S+ и S. Поскольку S+S = E (см. (14.16)), этот матричный элемент равен &1Ь. Поэтому

sp Qw = 2 <ЖЬ = 2 Qu) = sp Q^'-<14-28)

I

что и требовалось доказать.

В заключение рассмотрим, как осуществляется переход Аот одного представления к другому, если спектры операторов А и В непрерывны. В этом случае вместо формул (14.2) и (14.1) будем иметь

фа (х) = $ с (п) фа (х) da,(14.29)

с (а) = <фа | фа) = ^ фа (х) фа (х) dx(14.30)

(см. (12.1) и (12.7)). Функция с (а) определяет фа в а-представ- лении. Формулы (14.4) и (14.3) переходят в

фа (х) = 5 С (Ь) ф6 (х) db,(14.31)

С ^ = <ф61 фа) = $ ф£ (х) фа (х) dx.(14.32)

Разложив функцию фа (х) по функциям ф6 (х), получим выражение

Фа W = $ ^ (Ь, а) Ф» W db,(14.33)

где

S (Ь, а) = <ф61 фа) = $ фь (х) фа (х) dx. (14.34)

Подставим выражение (14.33) в формулу (14.29). В результате придем к соотношению

Фа (х) = § с (а) ^а $ S (b, а) ф6 (х) db = $ ф6 (х) db $ S (b, а) с (a) da.

Сравнив его с выражением (14.31), приходим к выводу, что

c (b) = ^S(b, а) с (a) da(14.35)

(ср. с (14.9)). Эта формула дает правило перехода от а-пред- ставления к 6-представлению в случае непрерывного спектра. В дираковских обозначениях она имеет вид

(6 | а) = $ (Ь | а) (а | а) da.

Пусть оператор А обладает дискретным, а оператор В — непрерывным спектром. В этом случае переход от а-представления к 6-представлению осуществляется по формуле

с (6) = £5 (6, а^,'(14.36)

т

где

5 (6, а^ = <ф6 | <>) = $ ф? (х) ф^ (х) dx. (14.37)

Наконец, допустим, что оператор А обладает непрерывным, а оператор В —дискретным спектром. Тогда формула перехода от a-представления к 6-представлению выглядит следующим образом:

с^ = J 5 (Ьп, а) с (a) da,(14.38)

где

S (Ьп, а) = (ф^11 фа> = ^ W"* Wl* ^а W dx- (14.39)

Глава III. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Операторы физических величин

Сравнив формулы (4.3) и (4.4) с выражением (7.14), заключаем, что оператор любой из координат представляет собой умножение на данную координату:

х = х, у = у, г = г.(15.1)

Аналогично оператор, который следует сопоставить любой функции координат,' например потенциальной энергии U (х, у, г), также сводится к умножению на эту функцию:

0 = 17.'(15.2)

Основываясь на уравнении (7.3), можно установить вид оператора еще одной физической величины. Действительно, обозначив оператор полной энергии символом Н1), напишем уравнение

Н^ = Е^.(15.3)

Сравнив это выражение с уравнением (5.7), получим-, что А

Этот оператор называют гамильтонианом.

Как мы только что выяснили, U представляет собой оператор потенциальной энергии U. Оператор Н есть оператор полной энергии. По аналогии с классическим выражением H = T-VU можно заключить, что оператор кинетической энергии должен иметь вид

аЙ2

*) В квантовой механике энергию всегда выражают не через скорость, а через импульс. В аналитической механике энергию, выраженную через импульсы, называют функцией Гамильтона и обозначают буквой В (см. т. 1, § 30).

Сравнив это выражение с классическим соотношением между кинетической энергией Т и импульсом р частицы

Р22m ’

можно предположить, что оператор импульса р должен быть пропорциональным SV (V —оператор Гамильтона). Знак минус в выражении оператора (15.5) можно получить, введя в р мнимую единицу, взятую либо со знаком плюс, либо со знаком минус. С помощью предельного перехода к классической механике можно показать, что множитель i надо взять со знаком минус. Следовательно,

p = — ih^.(15.6)

Соответственно операторы компонент импульса будут иметь вид

Мы все время следовали принятому в квантовой механике правилу: соотношения между операторами должны быть аналогичными наблюдающимся в классической физике соотношениям между соответствующими физическими величинами. Это правило является следствием упоминавшегося в § 2 принципа соответствия.

Зная вид операторов р и г (в соответствии с формулами (15.1) г = г), можно написать выражение для оператора момента импульса М. Его называют также оператором момента количества движения либо оператором углового момента. Мы в дальнейшем будем преимущественно пользоваться последним названием. В классической механике М = [гр]. Следовательно,

M = [fp] = [r, —i^V] =— i^[rVJ. (15.8) Запишем векторное произведение в виде определителя

ехеуег

М = — thМ = — thхуг

М = — th

М = — th

д99

Эхду9г

Отсюда можно получить выражения для операторов компонент углового момента:

“•—^^е-и-бУ<l5-9<

Оператор квадрата углового момента определяется через операторы для компонент:

М? = Ml+№„ + №.(15.10)

Обычно бывает удобнее пользоваться выражениями для операторов квадрата и компонент углового момента в сферических координатах. Согласно формулам, выведенным в Приложении I,

Мг = -1Й^,(15.11)

М2 =— Й21 . --г('sin ФН—(15.12) I sin О ди \ ду) ' sin2 и дф2 )'

Выражение, стоящее в формуле (15.12) в фигурных скобках, представляет собой угловую часть оператора Лапласа, взятого в сферических координатах (см. т. 1, формулу (XI.88)). Обозначив это выражение символом А», ф, можно написать:

М2 = —Й2АШ.(15.13)

Заметим, что координата г не входит ни в одну из формул (15.11) — (15.13).

Оператор углового момента тесно связан с оператором бесконечно малого поворота на угол dtp. Такой поворот можно трактовать двумя способами. Во-первых, можно считать, что система координат остается неподвижной, а поворачивается вокруг начала координат рассматриваемая система частиц; во- вторых, можно считать, что система частиц остается неподвижной, а поворачивается система координат (система К переходит в систему К'). В обоих случаях изменяются координаты частиц, т. е. осуществляется преобразование г->г', причем, очевидно, что для получения одинакового изменения координат поворот в обоих случаях нужно осуществлять в противоположные стороны.

Изменение координат при повороте координатных осей можно рассматривать как результат действия оператора преобразования координат g:

r'—gr.(15.14)

Обратное преобразование имеет вид

r = g Ч'.(15.15)

Изменение координат при повороте системы частиц можно истолковать как действие оператора G;

г'= Gr.(15.16)

Очевидно, что

G = g-^(15.17)

(последовательное применение операторов g и G оставляет координаты частиц без изменений: Gg=V).

Рассмотрим изменение пси-функции, обусловленное преобразованиями координат (15.14) и (15.16).

При повороте системы частиц (для простоты мы будем считать, что система состоит из одной частицы) на бесконечно малый угол 6ф радиус-вектор частицы получает приращение 6г = [6ф, г] (см. т. 1, формулу (VI.46)), следовательно,

г'= Gr = г + 6г = г + [6<р, г].(15.18)

Соответствующее изменение пси-функции можно рассматривать как действие на нее оператора поворота Ra\

Ф (г') = £оФ (г)(15.19)

(индекс G указывает, что изменение координат обусловлено вращением системы частиц). С учетом (15.18) можно написать:

ф (г') = ф (г + 6г) = ф (г) + 7ф (г) 6г = ф (г) + {[6<р, г] V} ф (г).

Осуществив циклическую перестановку в стоящем в фигурных скобках смешанном произведении векторов, получим

ф (г') = ф (г) + 6ф [гV ] ф (г) = (1 ф- 6ф [гV ]) ф (г) = {1 + (Z/Й) 6фМ} ф (г)

(см. (15.8)). Сравнение с (15.19) дает, что

Ро = 1 + (t/^) 6фМ.(15.20)

Теперь найдем Rg — оператор преобразования пси-функции при повороте системы координат на угол 6ф. Поскольку поворот системы координат не изменяет состояния системы, новая функция от новых координат должна иметь в данной точке пространства такое же значение, как и старая функция от старых координат, т. е.

ф'(г') = ф(г).(15.21)

Оператор поворота, преобразующий пси-функцию при повороте системы координат, определяется равенством

Ф' (Г') = Я^ф (г')

(обозначение аргумента функции безразлично, можно вместо г' написать слева и справа г). Отсюда, приняв во внимание (15,21), получим

ф (г) — ^ф (г').(15.22)

С учетом (15.15) видоизменим это соотношение следующим образом:

Ф(г') =^-1Ф(г).

3 И. В. Савельев, т. 2

Сравнение с (15.19) показывает, что Rg^Ra, что согласуется с (15.17).

С помощью соотношения (15.20) можно дать определение оператора углового момента более общее, чем (15.8). Это более общее определение не связано с представлением об «орбитальном» движении и поэтому может быть распространено на более сложные случаи, например на спиновый момент.

Не для всех физических величин можно получить операторы, используя аналогию с классическими формулами. Существуют величины, например спин, не имеющие классического аналога. Операторы таких величин будут приведены в дальнейшем.

Правила коммутации операторов физических величин

Операторы двух любых координат, очевидно, коммутируют между собой (ху — ух = 0 и т. д.). Следовательно, все три координаты частицы могут одновременно иметь определенные значения. То же самое справедливо и для компонент импульса (д/дх • д/ду — д/ду • д/дх = 0).

Найдем коммутатор операторов х = х и рх =— Иг д/дх. Для этого рассмотрим действие коммутатора на некоторую функцию ф:

[х, рДф = х (— th -^-) - (— (Й) -^ (хф) = ih^.

Из полученного соотношения вытекает, что

[х, PxA = ih.(16.1)

Согласно (11.7) оператор К в этом случае равен й, так что (/?) = Й и соотношение (11.9) выглядит следующим образом:

УЧ(М)УЖРх^^Ш.(16.2)

Мы пришли к соотношению неопределенности Гайзенберга, которое обычно записывают в виде (2.1). Теперь мы знаем, что в соотношении (2.1) под Ах и \рх нужно подразумевать среднеквадратичные отклонения величин от их средних значений.

Поскольку х ■ д^/ду = д (хф)/дг/, операторы х и ри оказываются коммутирующими. Следовательно, возможны состояния частицы, в которых х и ру имеют определенные значения. То же справедливо для х и р2, у и рх и т. д.

С помощью обозначений

Х = Х1, У = Х2,2 = Ха, Рх = Р1, Рд = р2, Рг = Рз

всю совокупность соотношений коммутации между операторами координат и компонент импульса можно записать в виде одного

выражения:

к*, Pm\ = Mhm.(16.3)

Координата х и компонента импульса рх являются частным случаем канонически сопряженных величину и р (см. т. 1,§30). Соотношение неопределенности

\q-кр^Н/О.(16.4)

имеет место для любой пары канонически сопряженных величин q и р при условии, что операторы этих величин определены на одном и том же множестве функций. Например, для канонически сопряженных переменных <р и М2 (ср — азимутальный угол) соотношение Аср ■ \М2 ^ Й/2 справедливо только при условии, если ((Аср)2) <^ л2. Это обусловлено тем, что оператор М2 является самосопряженным лишь на множестве функций ф (гр), периодических с периодом 2л. Переменная же ср не является оператором на этом множестве функций, так как функция <рф (ср) не принадлежит к этому множеству1).!

К числу канонически сопряженных величин относятся энергия и время. Следовательно, имеет место соотношение

ЬЕ-Ызай/З.(16.5)

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью ДЕ должно занять интервал времени, равный по меньшей мере ikt^ftl^E. Поскольку процесс измерения энергии некоторого состояния системы может происходить в течение промежутка М, не превосходящего время жизни состояния т, энергия состояния имеет неопределенность ДЕ^Й/т. Эту величину называют шириной энергетического уровняй обозначают буквой Г. Таким образом,

Г—Й/т.(16.6)

Найдем правила коммутации операторов углового момента с операторами координат и импульсов. Приняв во внимание формулы (15.9), получим

\МХ, х]ф = — Ш ^У ^-г^^-х^у j—2^ф} = °.

Отсюда следует, что [Мл, х] = 0. Аналогичный результат получается и для других операторов момента и координат. Таким образом,

[М„ х]=0, [М„ у] = 0, [М„ 2] = 0.(16.7)

9 4. С. Давыдов, Квантовая механика, «Наука», 1973, стр. 55. 3*

Теперь подействуем на гр коммутатором [М^, у]:

[М„ y\^ = -ih^y ly-z^y^-yly^-z^^-

= -т V 4г - гУ ^ - ^ - У2 ж+Уг ^ =

Следовательно, [Мх, у] = iliz. Осуществив циклическую перестановку, получим

[МА, у\ = 1Нг, [Му, г\ = 1Кх, [Mz, x\ = th.y. (16.8)

Заметим, что формулы (16.7) и (16.8) можно записать в виде одного соотношения

[А1д, ХД = itt^htm^ms(16.9)

где xt=x, х2 = у, x3 = z, М^МХ и т. д., е^ — кососимметричный символ Кронекера (см. т. 1, выражение (VI. 15)).

Из полученных формул вытекает, что компонента углового момента и соответствующая координата могут иметь одновременно определенные значения. Компонента же Мх и координата у (или г) не могут быть определены одновременно. То же самое имеет место для Мд и координаты г (или х), а также для Mz и координаты х (или у).

Подействуем на ф коммутатором [MA, pxV

Мх, рх ф = (— Аг \\у -чч- У — г> = 0.

L рм т idz ду) дх дх \й дг ду /)

Мы получили, что \МХ, Рх1 = 0. Тот же результат получается и для двух других аналогичных коммутаторов. Иначе обстоит дело в случае коммутаторов вида [/ИА, ри\‘.

* . ., U д 5 \ дф д / дф дф

ЛК, Pul Ф = (— I») ( У лг^- -дА— — у -~ — z~ ) = 1 х' тдг ду / ду ду \3 дг ду

— 11"? ду дг ду2 и дг ду дг ' 6 ду1 ) “

= (— 1НУ - -^-) = 11г (^— ih ^ = №р2^.

Полученные результаты можно представить формулой

[Л^Ат Pll = i^®himPm,(16.10)

аналогичной формуле (16.9).

С помощью формул (16.9) и (16.10) легко получить коммутаторы компонент углового момента:

\МХ, М J - МХМ9 - МуМх = Л1Л (грх -хр2)- (грх - хр;) Мх =

= Мх2рл - Млхрг - грхМх + хргМХ1

Воспользовавшись тем, что Мх коммутирует как с х, так и с рх, переставим операторы Мх и х во втором слагаемом, а также операторы рх и Мх в третьем слагаемом. В итоге получим

[Мх, Mti\ = Mxzpx — хМхр2 - zMxpx + хр2Мх =

= (Mxz — zMx} Рх — х[Мхр2 — р2М,) =

= ШгхгуУРх - хШ&Х2уру = /Й (хру - урх^ = ШМг

(мы воспользовались формулами (16.9) и (16.10); е^у = е132 = = -1).

Осуществив циклическую перестановку, получим

[Мх, Му\ = 1Ш2, [Мд, М21 = 1ЙМХ, [К, Мх\ = Л^и, (16.11) или

А, МЛ^Ша^Мт.(16.12)

Наконец, вычислим коммутатор операторов М2 и А4Х. С учетом (15,10) имеем:

[М2, Мх] = (Мх- М; 4* Mi) Мх — Мх {Мх Ц- Му -|- Мх) =

^М + М^уМхА-М^Мх-М'х-МхМу -Мхм (16.13)

Воспользовавшись тем, что МхМм — MuMx = ihM2 (см. (16.11)), преобразуем второе и пятое слагаемые следующим образом:

№иМх - МхМу = Л4уМуМх-МхМуЛ1у =

= Ми[ЙхМу-ИгМ2)-[МуМхА-1НМ2) $„ =

=—т {^Ум2^-^Л^.

Использовав соотношение М,МХ — Мх^2 = ihMy, произведем аналогичное преобразование третьего и шестого слагаемых:

Мх - МхМх = М2М2МХ - МХМ2М2 =

= М2 (MxM2 + ihMy)-[M2Mt-iftMy} М2 = Пг [М2Мд-\- ИуДД,).

Подстановка преобразованных нами выражений в формулу (16.13) обращает правую часть в нуль. Такой же результат получается для коммутаторов М2 с Мм и М2. Таким образом,

[М2, МИ = 0, [М2, Л/у] = 0, [М2, М2\ = 0.(16.14)

Из формул (16.11) и (16.14) заключаем, что одновременно могут быть определены только квадрат вектора М и одна из его проекций на координатные оси. Остальные две проекции оказываются неопределенными (исключая случай, когда все три

компоненты равны нулю). Следовательно, относительно вектора М можно знать только его «длину» и угол, образуемый вектором с некоторой осью. Направление же вектора М определению не поддается.

Собственные функции операторов координаты и импульса

Найдем собственные функции оператора координаты. Поскольку х = х, уравнение (7.3) имеет вид

х^х-=х'^х-,(17.1)

где х’ — некоторое вещественное число, а фх- = фх- (х) — собственная функция, отвечающая собственному значению х, равному х*. Напишем соотношение (VIII.6) для аргумента х — х’-.

(х — х') 6 (х — х') = 0.

Раскрыв скобки, получим: х8 (х — х') — х'8 (х — х') = 0, откуда

х8 (х — х') = х'8 (х — х').

Сопоставление с уравнением (17.1) дает, что

фх'W = 6 (х —%')•(17.2)

Это и есть собственная функция оператора х, отвечающая х = х'. Спектр оператора х, очевидно, является непрерывным.

Вычислим скалярное произведение функций 6 (х — х') и 8(х — х"). Поскольку функция 8 (х) вещественна, то

+ со

(6 (х — х') | 6 (х — х")) =8 (х — х") 8 (х — х") dx.

Этот интеграл можно привести к виду (VIII.2), если положить 6 (х — х') = f (х) и х" — а. Согласно (VIII.2) такой интеграл равен f(a), т. е. 6(х" — х'). Таким образом,

(8 (х — х') 16 (х — V')) = 6 (х" — х’).

Это означает, что функции (17.2) нормированы на дельта-функцию (см. (12.6)).

Разложим функцию фа (х) (а —индекс состояния) по собственным функциям (17.2) оператора х. В соответствии с (12.1)

+ ОО-(-СО

Фа (х) = $ с (х') фх- (х) dx' = J с (х') 6 (х — х') dx’ = с (х). (17.3)

Полученный нами результат означает, что пси-функция в координатном представлении есть сама фа(*)> К тому же выводу

можно прийти, вычислив функцию с (х') по формуле (12.7). Заменив q на х', получим

00

С (х') = <ф^ | ф„) = $ Ф^ И Фа М dx.

Дельта-функция вещественна, поэтому ф*- = фх, = 8 (х — х'). Следовательно,

00

С (х') = $ 6 (Х — х') фа (х) ^Х = фа (х'). — ОО

Опустив штрих при х, придем к соотношению: с(х) = фа(х).

В трехмерном случае фа = фа(л;1 У. г) = фа(г), а собственные функции оператора г равны фг- (г) = 8 (г — г') (это можно установить, проделав выкладки, аналогичные тем, которые привели нас к формуле (17.2)). Разложив фа в ряд по функциям фг-, получим результат, аналогичный (17.3):

фа (*. У. ^ = фа (г) = $ С (г') фг- dV = \с (г') 8 (г — г') dV =

= с(г)=с(х, у, г).(17.4)

Напишем уравнение (7.3) для оператора импульса рх =— ihdjdx-.

Jib

Решением этого уравнения будет функция

^ = Сец№рхх.(17.5)

Спектр оператора рх, очевидно, является непрерывным.

Попытаемся отнормировать функцию (17.5) на единицу. Для этого попробуем вычислить интеграл

со4~оо4-00

$ \Се№рхх\Мх= 1С |2 dx = IС |2 dx.— 00— 00—ОО

Оказывается, что при любом С^О интеграл расходится (обращается в бесконечность). Следовательно, осуществить нормировку собственных функций оператора рх на единицу невозможно. Как уже отмечалось в § 12, результат, к которому мы пришли, является общим для всех собственных функций с непрерывным спектром. В этом случае производится нормировка на дельта-функцию.

Вычислим скалярное произведение двух функций вида (17.5); (ф^ i ^ = ТС*е”1 Се^ Р"хХ dx = C*C ^\е ^ “ л dx.

72СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III

Поменяв в (VIII.12) ролями к и х,‘получим формулу

§ eifex dx = 2л6 (/г).(17.6)

Согласно этой формуле

Y е‘ [(щ - p>h dx = 2л6 [№ - PW = 2л//6 № - р’х) (17.7)

(мы воспользовались свойством (VIII.7)). Таким образом,

<%; । ^р^ = с*с'2лй6 № - Рх) ■

Отсюда заключаем, что для того, чтобы функции (17.5) оказались нормированными на дельта-функцию, нужно положить |С| равным 1/(2лЙ)'\ Поскольку пси-функция определяется с точностью до фазового множителя е‘“, можно считать С вещественным и равным Yi^nhy^.

Итак, нормированные на дельта-функцию собственные функции оператора импульса равны

фрл. (х) = (2 лй)- 'ьеу№ Рх\(17.8)

Легко убедиться в том, что нормированные на дельта-функцию (трехмерную) собственные функции оператора р имеют вид

фр = (2лй)— 3/=е(<ул) рг(17.9)

§18. Импульсное и энергетическое представления

Пусть мы имеем пси-функцию фа (х) некоторого состояния а в координатном представлении (в х-представлении). Найдем выражение той же функции в импульсном представлении (в рх- представлении). В этом случае в формулах (14.35) и (14.34) нужно положить а = х, Ь = рх. В результате получим

с(рх) = $ ^ (рх, х) с (х) dx,(18.1)

S (рх, х) = ф^ (х') фА (х') dx'(18.2)

(переменную интегрирования мы обозначили символом х', чтобы не спутать ее с переменной х, от которой зависит S (_рх, х). Согласно (17.8) ф^ (х') = (2л^)- ,/ге~ рхК , функция фл (х') =

= 6 (х' — х). Следовательно,

S (рх, х) = (2пИ)-'$ е~ ^№ 'av6 (х’ - .г) dx' = (2лЙ)" 4ie~ WM рх\

Подставив это выражение в (18.1) и учтя, что, согласно (17.3), с (х) = фа (х), пол учим

са (рх) = (2лй)~ V» е~ № р*х фа (х) dx(18.3)

— со

(мы снабдили с индексом а, чтобы подчеркнуть, что эта функция описывает то же состояние, что и t|:a). Этот результат можно получить также с помощью формулы (12.7), заменив в ней q через рх.

В трехмерном виде формула (18.3) запишется следующим образом:

са (р) = (2лй)~Ргфа (г) dV(18.4)

(интегрирование осуществляется ио всему бесконечному объему).

Формула (18.3) дает преобразование от фа (х) (т. е. пси-функции в координатном представлении) к са (рж) (т. е. пси-функции в импульсном представлении). Обратное преобразование (т. е. преобразование от импульсного представления к координатному) можно получить, разложив фа (х) по собственным функциям (17.8) оператора рх:

Ф« (х) = (2лй)~ */= $ с (рх^ е№ Р<х dpx.(18.5)

Сопоставив формулы (18.5) и (18.3), приходим к выводу, что они представляют собой по существу (с точностью до несущественного множителя й) прямое и обратное преобразования Фурье (см. т. 1, формулы (XIV.21) и (XIV.22)). Поэтому можно сказать, что функция с (рх) является фурье-образом функции фа (х).

Подставив в формулу (18.3) функцию ipx-(х) = 6 (х — х'), получим собственную функцию координаты в импульсном представлении (для значения координаты, равного х')

сх, (рх) = (2лЙ)_$ е~ lt№ рхх 6 (х — х') dx = (2лЙ)~ ‘^е-^ х'рх.

(18.6) Эта формула отличается от формулы (17.8) тем, что рх и х поменялись ролями; кроме того, изменился знак у экспоненты.

Теперь возьмем в качестве фа (х) собственную функцию оператора импульса фр- (х), отвечающую значению рх = р'х.

Подстановка этой функции в (18.3) дает

+ СО

с ■ (рх) = (2лй)— ‘А ( е— {‘т рхх I (2лЙ)— p-vX dx =

РхJLJ

— СО

— (2лй)-1e<1/ri) (Рх~ Рх^х dx = (2л^)-1 2лйб (рх — рх)

(см. (17.7)). Итак, с учетом того, что 6(—х)=б(х), получаем

с^ (рх) = б (рх - р'х)(18.7)

(ср. с (17.2)).

Рассмотрим пси-функцию в энергетическом представлении. Допустим, что гамильтониан Н имеет дискретный спектр собственных значений: Еи Е2, ... Соответствующие собственные функции обозначим: ф^’, ф(£), ... Разложим фа (х) в ряд по этим функциям:

Фа W = S C«W ’

Согласно (14.1) коэффициенты с^) определяются выражением

+ со

i Фа> = S [Ф^1 М]*фа (х) dx. (18.8)

Набор коэффициентов с^> представляет собой пси-функцию состояния а в энергетическом представлении. В дираковских обозначениях

^^(Eja)(18.9)

(ср. с (13.12)).

Перейдем к установлению вида операторов х и рх в р-пред- ставлении. Мы знаем (см. (15.1) и (15.7)), что в х-представлении эти операторы имеют вид

х = х, px = —ih-^.(18.10)

Будем исходить из формулы (7.14) для средних значений физических величин. В одномерном случае эта формула запишется так:

+ СО

(р) = 5 Ф* (х) Оф (х) dx.(18.11)

— ОО

Напомним, что, пользуясь этой формулой, нужно брать пси- функцию и оператор в одном и том же представлении. Результат (т. е. значение (q)) от вида представления не зависит.

Согласно формуле (12.3)

<Рх) = $ Iс ^ I2 Р* dPx = S Iе № РхС ^Р^ dPx-

С другой стороны, согласно (18.11)

4-00

(Рх) = 5 [С ЫА* РхС (pj dpx,

где рх — оператор импульса в р-представлении. Сопоставление последних двух выражений для (рх) дает, что действие на с (рЛ оператора импульса в собственном представлении сводится к умножению с (рх) на рх, так что

Рх = Рх.(18.12)

Аналогично в координатном представлении х = х.

Среднее значение координаты х определяется в координатном представлении формулой

(х)= § ф* (х) хф (х) dx,(18.13)

— 00

а в импульсном представлении— формулой

4-°о

<х) = $ с* (рх) хс (рх) dpx,(18.14)

где х — оператор координаты в импульсном представлении. Покажем, что если положить

(18.15)

то выражение (18.14) преобразуется в (18.13), т. е. получается правильное значение (х).

Подставим в (18.14) выражение (18.3) для с(рх) и выраже

ние (18.15) для х:

со ,(х) = ^ / (2лй)~ 'l1со ,(х) = ^ / (2лй)~ 'l1+ со§ е^№рх^^* (g) d4 х+ со§ е^№рх^^* (g) d4 х, 1Х/Й——У^лЙ)-^ I е" и№ ^ф (t]) dri °РхJI— 00, 1Х/Й——У^лЙ)-^ I е" и№ ^ф (t]) dri °РхJI— 00dpx.dpx.Напомним, что ф* (£) и ф (г)) суть пси-функции в координатном представлении. Во избежание путаницы мы обозначили переменную интегрирования в выражении для с* (р^ буквой g, а вНапомним, что ф* (£) и ф (г)) суть пси-функции в координатном представлении. Во избежание путаницы мы обозначили переменную интегрирования в выражении для с* (р^ буквой g, а вфт = (2л)~1/2 e'm<t.фт = (2л)~1/2 e'm<t.(19.5)(19.5)Легко проверить, что функции (19.5) взаимно ортогональны, так что для них выполняется условиеЛегко проверить, что функции (19.5) взаимно ортогональны, так что для них выполняется условие2л(фт' | фт4 — ^ фт'Фт" ^ф — ^т'т"‘62л(фт' | фт4 — ^ фт'Фт" ^ф — ^т'т"‘6(19.6)(19.6)Теперь обратимся к собственным значениям и собственным функциям оператора М2. Подставив в уравнение (7.3) выражениеТеперь обратимся к собственным значениям и собственным функциям оператора М2. Подставив в уравнение (7.3) выражение

со ,

(х) = ^ / (2лй)~ 'l1

со ,

(х) = ^ / (2лй)~ 'l1

+ со

§ е^№рх^^* (g) d4 х

+ со

§ е^№рх^^* (g) d4 х

, 1

Х/Й——У^лЙ)-^ I е" и№ ^ф (t]) dri °РхJ

I— 00

, 1

Х/Й——У^лЙ)-^ I е" и№ ^ф (t]) dri °РхJ

I— 00

dpx.

dpx.

Напомним, что ф* (£) и ф (г)) суть пси-функции в координатном представлении. Во избежание путаницы мы обозначили переменную интегрирования в выражении для с* (р^ буквой g, а в

Напомним, что ф* (£) и ф (г)) суть пси-функции в координатном представлении. Во избежание путаницы мы обозначили переменную интегрирования в выражении для с* (р^ буквой g, а в

фт = (2л)~1/2 e'm<t.

фт = (2л)~1/2 e'm<t.

(19.5)

(19.5)

Легко проверить, что функции (19.5) взаимно ортогональны, так что для них выполняется условие

Легко проверить, что функции (19.5) взаимно ортогональны, так что для них выполняется условие

2л

(фт' | фт4 — ^ фт'Фт" ^ф — ^т'т"‘6

2л

(фт' | фт4 — ^ фт'Фт" ^ф — ^т'т"‘6

(19.6)

(19.6)

Теперь обратимся к собственным значениям и собственным функциям оператора М2. Подставив в уравнение (7.3) выражение

Теперь обратимся к собственным значениям и собственным функциям оператора М2. Подставив в уравнение (7.3) выражение

выражении для с (рх) — буквой ц. Произведем в интеграле по переменной т] дифференцирование по параметру рх В результате появится множитель — ix\/h, который вместе с th даст гр Теперь запишем получившееся выражение следующим образом:

СОН- ОО+ ОО

<х> = (1/2л) 5 ф* Й) ^ $ ф (л) л <М е< ^ №~^d 1Р^- — ОО— СО— ОО

Согласно (VIII. 12) интеграл по переменной pjh равен 2л6 (^ —л). Таким образом,

4- оо4- со4-00

(х)= 5 4*Ю^ $ Ф(л)лй^-Л) ^л= $ О^@& — 00— СО— 00

что отличается от выражения (18.13) лишь обозначением переменной интегрирования (В вместо х).

Итак, мы доказали, что оператор координаты в импульсном представлении имеет вид (18.15). В трехмерном виде этот оператор определяется выражением

r = ih^g(18.16)

(индекс р указывает, что дифференцирование производится по рх, Ри PzV В координатном представлении

p^_;7zVr.(18.17)

Сравнение (18.16) с (18.17) показывает, что при переходе от одной из этих формул к другой р и г как бы меняются ролями. Кроме того, эти формулы отличаются знаком (ср. с (17.2) и (18.7)).

Собственные значения и собственные функции оператора углового момента

В § 17 мы нашли собственные функции операторов координат и импульсов и установили, что эти операторы обладают непрерывными спектрами собственных значений. В оператор энергии Н входит в качестве слагаемого потенциал U (см. (15.4)). Поэтому вид собственных функций и спектр значений энергии зависят от характера силового поля, в котором движется частица. В дальнейшем мы решим задачу на нахождение собственных значений и собственных функций оператора энергии для некоторых типичных силовых полей. В настоящем параграфе мы найдем собственные значения и собственные функции оператора проекции углового момента на некоторое направление, которое мы будем называть осью 2, и оператора квадрата углового момента.

Рассмотрение будем вести в сферических координатах. Напишем уравнение (7.3) для Mz, приняв во внимание (15.11):

-ift^- = M^.(19.1)

Решением этого уравнения будет функция

(19.2)

Для того чтобы эта функция была однозначна, необходимо выполнение условия: ф(ф + 2л)=ф(ф), т. е.

gi (Мг/А) (ф + 2л) ^ е< (A!z/A) ф

Это условие будет выполнено, если положить Mz = mh, где т — целое положительное или отрицательное число либо нуль. Следовательно, Мг может принимать только дискретные значения:

Мг = тН (m = 0, ±1, ±2, ...),(19.3)

так что оператор М2 обладает дискретным спектром. По причинам, которые выяснятся в дальнейшем, т называется магнитным квантовым числом.

Подставив в (19.2) Mz = mtl, получим собственные функции оператора Мг

qm = Ceimv.(19.4)

Осуществим нормировку этих функций на единицу. Квадрат модуля фт равен | С |2. Следовательно, 2л2л

<фт|^т> = 5 ФЖ^р= $ ;смф=2л|С|2.оо

Отсюда видно, что для того, чтобы функция (19.4) оказалась нормированной на единицу, нужно положить С = (1/]/2л) е‘а. Опустив фазовый множитель eia, получим для нормированных собственных функций выражение

фт = (2 л)-’/2 е'тф.(19.5)

Легко проверить, что функции (19.5) взаимно ортогональны, так что для них выполняется условие

2л

<фт' | фт") = ^ фт'фт" ^ф " бт'т"-(19.6)

6

Теперь обратимся к собственным значениям и собственным

функциям оператора М2. Подставив в уравнение (7.3) выражение

для оператора, получим

[sin Ф dti \ дй / ' sin2 $ dtp2 J Y‘

Разделив это уравнение на Й2 и перенеся все члены в одну сторону равенства, придем к дифференциальному уравнению сферических функций (см. формулу (II. 1))

-т—г 81П Ф 2 а = О, (19.7) sin V ду \ оу j ' sin2 и dip2 1 Y ' ’

в котором параметр а = М2/й2.В Приложении II показано, метра а равныa = M2/^ = Z(Z+l)в котором параметр а = М2/й2.В Приложении II показано, метра а равныa = M2/^ = Z(Z+l)что собственные значения пара-(/ = 0, 1, 2, ...)(19.8)что собственные значения пара-(/ = 0, 1, 2, ...)(19.8)

в котором параметр а = М2/й2.

В Приложении II показано, метра а равны

a = M2/^ = Z(Z+l)

в котором параметр а = М2/й2.

В Приложении II показано, метра а равны

a = M2/^ = Z(Z+l)

что собственные значения пара-

(/ = 0, 1, 2, ...)(19.8)

что собственные значения пара-

(/ = 0, 1, 2, ...)(19.8)

(см. (11.37)), а собственными функциями являются сферические функции

m+|m|,г—, -,- ,, ,,;г-п-

/„. = (-1)2-1/ .+ 1) (/ -1 m I ^p-n (^(1Q 9)

7/2л Г 2(Z + |m| )!

(cm. (11.35)).

Из условия (19.8) следует, что квадрат углового момента имеет дискретный спектр:

М2 = Й2/(/+1) (Z = 0, 1, 2, ...).(19.10)

Квантовое число / называется азимутальным. Каждому собственному значению квадрата момента (т. е. каждому значению Z) отвечает 2Z-J-1 различных функций Yim, отличающихся значениями магнитного квантового числа т.

Функцию (19.9) можно представить в виде Суе'тф, где Св— коэффициент, зависящий только от д'. Отсюда легко заключить, что функции Ylm удовлетворяют уравнению (19.1), т. е. являются одновременно собственными функциями оператора М2. Функции Ylm отличны от нуля только при \т\^1 (см. текст, следующий за формулой (II. 28)). Следовательно, операторы М2 и М2 имеют отличные от нуля собственные функции при

Z = 0, 1, 2, ...; tn=—I, -/+1, .... -1, 0, 1Z-l, Z.

(19.11)

Азимутальное квантовое число Z определяет по формуле (19.10) величину квадрата углового момента, а магнитное квантовое число m определяет по формуле (19.3) проекцию углового момента на ось 2. Заметим, что отличных от (19.10) и (19.3) значений М2 и М2 не может быть ни при каких обстоятельствах. Следовательно, моменты макроскопических тел также подчиняются правилам (19.10) и (19.3). Правда, вследствие малости Й

дискретность моментов макроскопических тел практически не обнаруживается, подобно тому как вследствие малости элементарного заряда е не обнаруживается дискретность макроскопических электрических зарядов.

В заключение приведем выражения нескольких первых функций У 1т, определяемых формулой (11.35):

У оо— 1/V 4л,

У]0 = ]/3/4л cos fl,У11±1 = ^УЗ/8л$шдР'ф

У2О = ]/5/16л (3 cos2 ^- 1), У2, + 1 = ч=У 15/8л sin ftcos Фе^'т,

У2. ± 2 = УТ5/32л sin2 0е± <2ф.

(19.12)

20. Четность

Четность есть сугубо квантовомеханическая величина, не имеющая классического аналога. Чтобы прийти к понятию четности, рассмотрим поведение пси-функции при инверсии координатных осей.

Инверсия заключается в изменении направления всех осей на обратные. Легко сообразить, что инверсия превращает правую систему координат в левую и, наоборот, левую в правую. В результате инверсии изменяются знаки всех координат и, следовательно, функция ф (х, у, 2) переходит в ф (— х, —у, — гу Этот переход можно рассматривать как результат действия на пси-функцию оператора инверсии Р;

Ф(— X, -у, -г) = Рф(х, у, Z).(20.1)

Подействовав на соотношение (20.1) еще раз оператором Р, мы слева получим исходную функцию, т. е. придем к соотношению

ф(х, у, z) = P^(x, у, 2),

из которого следует, что квадрат оператора Р равен единице. Для того чтобы определить собственные значения оператора инверсии, нужно решить уравнение

Рф(х, у, г) = Р^(х, у, г).(20.2)

Подействуем на это уравнение оператором инверсии:

Р2ф(х, у, г) = РРф(х, у, г).

Приняв во внимание, что Р2=1, а Рф = Рф, получим

ф(х, у, г) = Р2ф(х, у, г),

откуда следует, что Р2 = 1, т. е. Р = ±1.

(21.2)(21.2)(21.3)(21.3)(<?) = Jj ф*Уф dV,

(21.2)

(21.2)

(21.3)

(21.3)

(q) = $ Ф*ФФ d v.

Таким образом, собственные значения оператора инверсии равны + 1 и — 1. С учетом этого обстоятельства уравнение (20.2) можно записать в виде

Рф (х, у, z) = ± гр (х, у, г). (20.3)

Наконец, подставив полученное значение Рф в (20.1), придем к соотношению

ф(—я, -у, -z) = ±^(x, у, z). (20.4)

Величина, изображаемая оператором Р, называется четностью. Полученный нами результат, выражаемый формулами (20.3) и (20.4), означает, что пси-функции состояний с определенным значением четности можно разделить на два класса: 1) функции ф(+), не претерпевающие изменений при действии на них оператора инверсии, и 2) функции ф^, изменяющие при действии на них оператора инверсии знак на обратный.

Функции ф(+) и фн удовлетворяют соотношениям

РФ(+)=Ф<+)- Рф(-)=-Фн- (20.5)

Состояния, отвечающие функциям ф(+), называются четными, а отвечающие функциям ф(_, — н е ч е т н ы м и. Четность состояния, описываемого функцией ф = с1ф(+) + с2ф(-), будет неопределенной .

Определим четность состояния с азимутальным квантовым числом I. В сферических координатах операция инверсии означает замену $ на л-# и <р на (р + л. Косинус О при этом меняет знак. Изменение знака при cos А в формуле (11.35) приводит к появлению множителя (—l)z+lm| (^р^—х) = (—ГурДху см. (II. 21)). Кроме того, eim41 переходит в е'^Ч'+л) = утугрта? _ = (— i)me‘m<p Окончательно получаем, что при инверсии сферическая функция (19.9) умножается на (—i)z+imM-m = (—jy

Таким образом, состояния с четными / имеют положительную четность, состояния же с нечетными / — отрицательную четность.

Кроме рассмотренной выше четности, которая определяется поведением при инверсии пси-функции, описывающей движение частиц, существует внутренняя (собственная) четность частиц1). Так, например, протон, нейтрон и электрон имеют положительную внутреннюю четность, а их античастицы — отрицательную внутреннюю четность, все пи-мезоны (л+, л-, л°) имеют отрицательную внутреннюю четность и т. д.

Четность системы частиц определяется как произведение внутренних четностей частиц, входящих в систему, на четность пси-функции, описывающей движение частиц.

ф Подобно этому, кроме орбитального углового момента, частицы обладают внутренним (собственным) моментом —спином.

Глава IV. ЗАВИСИМОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

ОТ ВРЕМЕНИ

. Производная оператора по времени

В классической механике нахождение производной физической величины по времени связано с рассмотрением значений величины в два близких момента времени. Однако в квантовой механике величина, имеющая в некоторый момент времени определенное значение, в следующий момент определенного значения уже не имеет. Действительно, как отмечалось в § 2, динамическая характеристика микрообъекта появляется лишь в результате измерения (так, для краткости мы называем взаимодействие микрообъекта с макроскопическим телом). Измерение же приводит к неконтролируемому изменению состояния микрообъекта. Поэтому измерения какой-либо величины, осуществляемые над одной и той же системой через равные промежутки времени, дадут результаты, которые не лягут на плавную кривую, а будут располагаться совершенно хаотическим образом.

Из сказанного выше вытекает, что в квантовой механике классическое понятие производной физической величины по времени теряет смысл. Однако это понятие можно применить к средним значениям физических величин. Определим производную по времени Q от величины Q как величину, среднее значение которой равно производной по времени от среднего значения величины Q. Аналитически это определение запишется следующим образом: \§/=5<^’ илн(211)

Найдем выражение! для оператора Q (оператора производной по времени от величины Q), удовлетворяющие условию (21.1). Согласно формуле (7.14)

<<7> = 5 ф*Уф dV,(21.2)

(21.3)(21.3)(q) = 5

(21.3)

(21.3)

Продифференцируем выражение (21.2) по времени, допуская, что как функция ф, так и оператор Q могут явно зависеть от /:

Если бы время не входило явно в ф и Q, то интеграл в правой части был бы просто числом, производная которого по / равна нулю. Если же время входит явно в подынтегральную функцию, то оно играет роль параметра, по которому осуществляется дифференцирование. Следовательно,

^^^^^^т^Ф^Ф^а- ^*Q§^. (21.4)

Уравнение Шредингера (5.1) можно написать в виде

Н^ = 1П^,(21.5)

откуда

Взяв выражение, комплексно сопряженное с (21.6), получим

(21.7)

Заметим в первом и третьем интегралах формулы (21.4) производные пси-функции по / их выражениями (21.6) и (21.7)

^(q) =^ ^ (H^*WdV + $ Ф* ^Ф^Е-

- jr jj ф*№ф)^. (21.8)

В силу эрмитовости оператор Н удовлетворяет условию (8.13). Следовательно,

§ UP^QHV = ^ (Уф) /7*Ф* dV = $ ^*H(Q^ dV

(второй интеграл получился просто путем перестановки сомножителей). Произведя такую замену в первом интеграле выражения (21.8) и объединив затем все три интеграла в один, получим

А = $ ф * (| HQ + $ - |QH^ф dV. (21.9)

Наконец, подставим выражения (21.3) и (21.9) в условие (21.1):

$ ф*Уф dV = $ Ф * [i HQ + д1 - iQh') Ф dV.

Отсюда следует, что

0 = ^ + 4^-^)= ^ + |^> Q1-(21-10)

где \Н, Q] есть коммутатор операторов Н и Q (см. формулу (10.22)).

Из (21.10) следует, что если оператор Q не зависит явно от времени и, кроме того, коммутирует с гамильтонианом, то Q = 0 и, следовательно, среднее значение величины Q остается постоянным: (<?) = const (чтобы в этом убедиться, нужно рассмотреть формулы (21.3) и (21.1)), Величины, обладающие таким свойством, называются сохраняющимися.

В § 31 тома 1 для производной по времени от функции /(^, Рь Л канонических переменных qk, рк и времени t было получено выражение (см. т. 1, формулу (31.5))

з = й + №А.(21-11)

где

П ^\9ph8qk dpkdqk)

так называемая скобка Пуассона для функций f и Н (Н— функция Гамильтона).

Формулы (21.10) и (21.11) сходны по форме. По этой причине выражение

^Н, Q\ = ^H, Q^^VHQ-Ш (21.12)

называют к в а нт о в ой скобкой Пуассона.

Найдем выражение для оператора скорости частицы, ограничившись для простоты случаем одного измерения. Согласно (21.10)

^ = 1 = + 1 (нх - хН) = 4 {Нх - хН)

(напомним, что х = х\ Подстановка выражения для Н приводит к формуле

Х~йН 2та дх2 +^М]Х 2тв дх- + U ^Jj’

Элементарные вычисления дают, что

дх2^ дх2 дх*

Следовательно,

£ — JI^\р£ = _ ^L 3. = Р£.ti \2т0/ " дх тй дх т0'

Итак,

^=^=§.(21ДЗ>

В трехмерном случае

<2U4)

Мы видим, что соотношение между операторами скорости и импульса имеет такой же вид, как соотношение между самими этими величинами в классической механике.

Теперь можно найти оператор ускорения частицы. Согласно (21.10) и (21.13)

dt 1 п х1 пт0 х r г 1

i (Г№ д'2 । г / /х I д \/5 \ Г^2 д2 . ,, , . П

йт02та дх2 1'дх;\дх; [2тодх2 1 v

1iin0\ v ’ \ дх) \ дх) v J т0Эх

Таким образом,

^'= —(21.15) тй дх''

или в трехмерном случае

= —J-V67.(21.16)

Полученное нами операторное уравнение совпадает по форме с уравнением второго закона Ньютона в классической механике.

Зависимость от времени матричных элементов

В случае стационарных состояний зависимость пси-функции от времени определяется экспоненциальным множителем (см. формулу (5.6));

фп(х, у, г, 0 = Ф»(^. У- г^е-1^'^*.

Подставим эту функцию в выражение (9.9), определяющее матричные элементы величины Q:

Если оператор Q не содержит производной по времени, экспоненту можно вынести из-под знака оператора. В результате

Qmn ^=е1^Ет-Еп.УЧ 1 J <p*Q(Pn dV =6®^ Qmni где

to,lln-E-2^(22.1)

есть величина, называемая частотой перехода между состояниями т и п, а

Qmn = $ tp^QtpndV(22.2)

— не зависящий от времени матричный элемент. В случае, когда зависимость матричных элементов от времени является несущественной, рассматриваются лишь матрицы с элементами (22.2). В частности, так мы поступали в § 9, причем обозначали функцию (%, у, 2) буквой ф.

Итак,

QmnUW^Q^.(22.3)

Напишем выражение (9.25) для среднего значения величины Q:

(q) = 5 с'Жп (О сп(22.4)

(коэффициенты с*п и сп определяют ф* и ф состояния, для которого вычисляется <<;».

Среднее значение величины Q в том же состоянии определяется выражением (22.4), в котором Q нужно заменить на Q:

<q) = Ц (QU (/) сП1(22.5)

т. п

причем так же, как для Q, '

(О)тп(П = ^"'(0)™(22.6)

(см. (22.3)).

Продифференцируем выражение (22.4) по /, помня, что с1« и сп суть числа:

^<7>= 2^[/FQ-W]c„.(22.7)

В предыдущем параграфе мы определили производную физической величины с помощью соотношения (21.1), т. е. положив равными величины (22.5) и (22.7). Следовательно, должно выполняться равенство

^mn^=^Qmn^..(22.8)

Слева стоит матричный элемент величины Q, справа — производная матричного элемента величины Q.

Приняв во внимание формулу (22.3), найдем, что

№)тп (О = i®mnP тп Qmn = ^mnQmn W

Наконец, подставив в левую часть полученного соотношения выражение (22.6) для (Q)mn (0 и сократив с обеих сторон временной

множитель, придем к формуле

(Q^mn = itomnQmn.(22.9)

Применив дважды соотношение (21.1), можно написать, что

<22-10)

Двукратное дифференцирование выражения (22.4) с учетом (22.3) дает

5 <q) = 2 [Й Qmn w] С„ = 2 Ст [- ^mnQmn V ] С„. (22.11) т, пт, п

Вместе с тем

®=MUt)C,(22.12)

(ср. с (22.4) и (22.5)).

Согласно (22.10) выражения (22,11) и (22.12) равны друг другу. Следовательно,

^Q)mn М = — tomnQmn (0(22.13)

или, после сокращения на временной множитель,

(Q)m/i = — tomnQmn-(22.14)

Формулы (22.9) и (22.14) дают возможность, зная матрицу величины Q, найти матрицы величин Q и Q. Напомним, что все выкладки произведены в предположении, что состояние, в котором определялись (<?), (<)) и (§), стационарно.

Глава V. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В РАЗЛИЧНЫХ

силовых полях

Частица в центральном поле сил

Потенциальная энергия частицы, находящейся в центральносимметричном силовом поле, зависит только от расстояния частицы от силового центра: U = 1) (г). Следовательно, гамильтониан частицы имеет вид

Чтобы не путать массу частицы с магнитным квантовым числом т, мы обозначили эту массу т0.

Вследствие центральной симметрии силового поля целесообразно решать задачу в сферических координатах. Выражение оператора Лапласа V2 в сферических координатах найдено в Приложении XI тома 1 (см. формулу (XI.88)). Подставив это выражение в (23.1), получим

[ 1 д / „ д \ .1д / . » д \ ,

Л = — о Ы 5- + Т":—Г Sin и + 2т0 (г2 dr \ dr j ' fi sin d dd \ dd /

+ этк$1+у<')- <23-2>

Сравнение с выражением (15.12) показывает, что второй и третий члены в фигурных скобках тождественны с оператором квадрата углового момента М2, деленным на —h^r1. Поэтому гамильтониан (23.2) можно представить следующим образом:

Н = —++(23.3)

2m0r2 dr \ dr j ' 2mor2 1' '''

Легко убедиться в том, что оператор (23.3) коммутирует как с оператором М2, так и с оператором Mz. Действительно, сумма первого и последнего членов выражения (23.3) представляет собой оператор Q(r, д/дг), который содержит только г и д/дг и не содержит ни углов О, ср, ни производных по углам. Таким образом, можно написать, что

Н = (Пг, ^4--Цм2.

х \ ’ dr У 1 2m0r2

Оператор М2 содержит только угол Ф и производные по углам ■& и ф. Поэтому М2 коммутирует с Q (г, д/дг) и не действует на множитель 1/г2. Отсюда и вытекает, что М2 коммутирует с оператором (23.3).

Оператор М- содержит только производную по углу ф (см. (15.11)). Поэтому он коммутирует с оператором Q(r, д/дг) и не действует на множитель 1/г2. Кроме того, известно, что М, коммутирует с оператором М2 (см. формулу (16.14)). Из этого вытекает, что Mz также коммутирует с оператором (23.3).

Итак, операторы № и М2 коммутируют с оператором Н частицы, находящейся в поле центральных сил. Отсюда следует (см. § 10), что такая частица может обладать одновременно определенными значениями и энергии, и квадрата углового момента, и проекции этого момента на выделенное направление г. Согласно формулам (19.3), (19.10) и (19.11) квадрат и проекция углового момента могут иметь значения

M3 = ^3Z(Z+1)(/ = 0,1,2,...),(23.4)

М2 = тП (m = —Z, — Z+1, ..., —1, 0, + 1, ..., Z - 1, Z). (23.5)

Чтобы найти значения энергии частицы, нужно решить уравнение

' м2ф + ^(/')Ф = ^ Ф(23.6)

2mnr2 dr \ dr / ' 2m0r2 т 1 т т''

(см. (7.3) и (23.3)). Попробуем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от г, другая — только от углов ■& и ф:

ф (г, О', ф) = R (г) • Y (О, ф).(23.7)

Подстановка выражения (23.7) в уравнение (23.6) приводит к соотношению

-+ RNVYЩг) RY = ERY.

2mar2 dr\ dr j 1 2mQr21'

Мы написали знак полной производной по г, поскольку функция R зависит только от г. Напомним, что оператор М2 не содержит дифференцирования по г.

Умножив полученное соотношение на r2/RY, приведем его к виду

d / 2 dR 2 [£ _у (f)j _ ’ ^Y.(23.8)

2m0R dr\ dr . 1' n 2m»Yv 7

Мы видим, что подстановка (23.7) привела к разделению переменных: в левой части соотношения (23,8) содержится только

переменная г, в правой части —только переменные $ и <р. Соотношение (23.8) должно выполняться при произвольных значениях переменных г, + ср. Это возможно только в том случае, если правая и левая части соотношения порознь равны одной и той же постоянной величине С. Следовательно, вместо уравнения (23.8) можно написать два уравнения:

i R " и ^1R - CR = °-(23-9)

Uf \ иг у

М2У = 2т0СУ.(23.10)

Уравнение (23.10) принадлежит к типу (7.3). Его решениями являются собственные функции оператора М2, т. е. сферические функции Y 1т (О, ср) (см. (19.9)), а собственными значениями — величины (19.10). Поэтому константа С должна удовлетворять условию

2т0С = Й2/(/+1)(/ = 0,1,2,...),

откуда

С = (Й2/2т0)/(/+1)(/ = 0,1,2,...).(23.11)

Таким образом, угловая часть пси-функции (23.7) совпадает с собственными функциями квадрата углового момента.

В соответствии со свойствами решения уравнения (23.10) нас будут интересовать только те решения уравнения (23.9), которые получаются при значениях С, определяемых формулой (23.11). Поэтому перепишем уравнение (23.9), заменив в нем С величиной (23.11)

т (''2+ гЧЕ -U (r)lR-~ 1(1 + 1) R = 0.

2m0 dr\dr, L v4m0 v 1 '

Преобразуем это уравнение, продифференцировав по г выражение, стоящее в круглых скобках, и разделив все уравнение на Й2/2т0. В результате получим следующее дифференциальное уравнение для R (г):

г2$ + 2г^ + ^[Е-П(г)]/?-/(/ + 1)/? = 0. (23.12)

Для того чтобы решить это уравнение, надо задать вид функции U (г). Таким образом, радиальная часть пси-функции (23.7) определяется характером силового поля. Угловая же часть пси- функции от вида U (г) не зависит. Она определяется значениями квантовых чисел / и т, т. е. величиной углового момента и его проекции на ось z.

Решив уравнение (23.12), можно найти собственные значения энергии Е и соответствующие им функции R. Эти функции зависят от квантового числа / и, следовательно, должны быть

записаны в виде Ri(r). Таким образом, решение уравнения (23.6) имеет вид

(23.13)(23.13)W, », <p)=R1(r)YIm(», q>).

(23.13)

(23.13)

(23.14)(23.14)Самым общим решением уравнения (23.6) будет суперпозиция функций вида (23.13)

(23.14)

(23.14)

Ф (Г, ^, ср) = 2 CtmRi (г) Y 1т (О, ср).I, т

Уравнение (23.12) не содержит квантового числа т. Следовательно, значения Е не зависят от т. Это означает, что состояния с различными значениями т (всего таких значений 2/4-1) обладают одинаковой энергией. Подобное явление называется вырождением. Таким образом, для частицы в центральном поле сил имеет место вырождение по квантовому числу т, причем кратность вырождения равна 2/4-1.

Вырождение по т обусловлено сферической симметрией силового поля. В силу этой симметрии энергия не зависит от ориентации углового момента в пространстве, т. е. от величины его проекции на произвольно выбранное направление.

Состояния с различными значениями углового момента (т. е. с различными значениями квантового числа /) принято обозначать буквами латинского алфавита:

значение I 0 1 2 3 4 5 6 7..., символ состояния s р d f g h i к ...

Выясним, как ведет себя радиальная функция Ri(r) вблизи начала координат и на очень больших расстояниях от силового центра. Это удобнее сделать, представив функцию в виде

RiW^yX^ (23.15)

(чтобы не усложнять обозначений, мы не будем писать индекс I при х)- Подстановка выражения (23.15) в (23.12) приводит к следующему уравнению для x(d:

З+Е^^-^-т1]^0- (23J6>

Полученное уравнение проще уравнения (23.12). Этим оправдывается представление радиальной функции в виде (23.15).

Отметим, что уравнение (23.16) формально совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения частицы в силовом поле:

UiW-Um^;^1. (23.17)

причем член

№ /(/+1) _ М'12m„ г1 2т0г2

можно назвать центробежной энергией.

Выясним сначала вид радиальной функции при очень малых г. Предположим, что потенциальная энергия вблизи начала координат ведет себя так, что

lim/У (г) г2 = 0.(23.18)

г- О-

Это условие, в частности, выполняется для частицы, находящейся в кулоновском поле, т. е. в поле вида U = а!г.

Из (23.18) следует, что U (г) растет при г-^-0 медленнее, чем 1/г2. Поэтому в уравнении (23.16) можно пренебречь слагаемым 2т0(Е — U^/h2 по сравнению со слагаемым / (/+ 1)/г2. Таким образом, при малых г функция % (г) является решением уравнения

d2X_HL+_llx==o.(23.19)

To обстоятельство, что коэффициенты уравнения пропорциональны 1 и 1/г2, наводит на мысль попробовать искать решение в виде: ^ = Сг\ где С —константа, a s —целое число. Подстановка этого выражения в уравнение (23.19) приводит к квадратному уравнению для s:

S (s — 1) = I (/+ I)-

Корнями этого уравнения будут

s = / + 1 и s = — /.

Второй корень не годится, так как при s = — / получается, что R^r-''m' и, следовательно, при любом / функция/? обращалась бы в бесконечность при г = 0 (напомним, что /^0). Таким образом, вблизи начала координат % ~ rz+1 и радиальная функция определяется формулой

R^ = Crl.(23.20)

Теперь установим вид радиальной функции при очень больших г. Если, как это обычно бывает, значение потенциальной энергии на бесконечности принять равным нулю, то

11m U (г) =0.(23.21)

Поэтому при больших г слагаемым —2т0Их/№ в уравнении (23.16), равно как и слагаемым /(/+1)х//-2> можно пренебречь по

сравнению с ImoE^jH1. Тогда уравнение упростится следующим образом:

§ + £2X = 0,(23.22)

где

кг = 2т0Е1№.(23.23)

Общее решение этого уравнения имеет вид

Х = Axeikr-V Л2е ikr.(23.24)

Соответственно асимптотическое (при г ->оо) выражение для R (г) определяется формулой

(23.25)

В случае, когда энергия Е положительна, параметр к будет вещественным. Поэтому (23.25) представляет собой суперпозицию расходящейся и сходящейся сферических волн. Если потребовать, чтобы Rt (г) была вещественной, функцию (23.25) для Е > О можно записать в виде

R, (г) = ^Цт+М.(23.26)

Итак, при очень малых г асимптотическое выражение радиальной функции определяется формулой (23.20), а при очень больших г и Е>0 —формулой (23.26). Отметим, что эти асимптотические выражения не зависят от вида функции U (г). Необходимо лишь, чтобы эта функция удовлетворяла условиям (23.18) и (23.21).

Асимптотический вид функции R (г) при очень больших г и Е<0 будет рассмотрен в следующем параграфе.

§ 24. Электрон в кулоновском поле. Атом водорода

Кулоновское поле является центральным. Поэтому все результаты предыдущего параграфа относятся и к данной задаче. Ограничившись рассмотрением случая притяжения, представим потенциальную энергию электрона в виде

U = -(24.1)

где е — элементарный заряд, Z —целое число. При 7 = 1 выражение (24.1) представляет собой потенциальную энергию электрона в атоме водорода, при 7 > 1 — потенциальную энергию электрона в водородоподобном ионе. Отметим, что функция (24.1) удовлетворяет условиям (23.18] и (23,21).

Подстановка функции (24.1) в (23.12) приводит к уравнению

''2S'+2^ + t|£ + t]/?-Z(Z + 1^ = ° (24.2)

(тс — масса электрона). Чтобы избавиться в этом уравнении от громоздких коэффициентов, принято переходить к так называемым атомным единицам физических величин.

В атомных единицах полагают тй = 1, е = 1, Й = 1. В качестве единиц других величин принимаются комбинации те, е и й, имеющие соответствующие размерности. Так, единицей длины служит величина

== 0,529 А,(24.3)

совпадающая с боровским радиусом (радиусом первой боровской орбиты). За единицу энергии принимается

£о = ^ = - = 27,2 эВ = 2 ридберга1). (24.4)

Единица времени равна

/0=--= 2,42-10 17 с(24.5)

тее4 ’''

и т. д.

Осуществим в уравнении (24.2) следующие подстановки:

г = г^ = ^^’ Е = Ейб = -^е,.(24.6)

При этом примем во внимание, что, как следует из (24.6), г (д/дг) = р (д/др) и r2(5W2) = p2(d2/dp2). В результате подстановок получим

р’а^+2раг + ^[^+^]«-'(' + 1)R=°-

Учтя значения г0 и £0 и разделив уравнение на р2, получим окончательно

« + 2® + Г2е+?5_Ы+1>Ы = о. (24.7)

dp2 р dp [ р Р2 1''

Напомним, что р —расстояние электрона от силового центра, измеренное в единицах (24.3), е —энергия электрона, измеренная в единицах (24.4).

Заметим, что, положив в уравнении (24.2) те, е и Й равными единице, а также заменив г на р и Е — на е, мы также пришли бы к уравнению (24.7).

9 Ридбергом называется единица энергии, равная энергии основного состояния атома водорода, взятой с обратным знаком,

В предыдущем параграфе было установлено, что при очень малых г радиальная функция пропорциональна г1 (см. (23.20)). Соответственно

^(р)~р' ПРИ р->0. (24.8)

При очень больших р в уравнении (24.7) можно опустить все члены, в которых стоит в знаменателе р или р2 (dR/dp в силу стандартных условий должна быть конечной; см. конец § 6). Тогда уравнение (24.7) упрощается следующим образом:

^ + 2е^ = 0.(24.9)

Это хорошо известное уравнение. Его решение зависит от знака энергии е. В § 11 первого тома было выяснено, что при е>0 движение частицы в поле центральных сил притяжения оказывается инфинитным, а при 8 <; 0— финитным. Такое же соотношение имеет место и в квантовой механике. Мы будем интересоваться только связанными состояниями электрона, т. е. финитным движением. Поэтому рассмотрим случай, когда е<0. Введем обозначение:

а2 = — 2е>0.(24.10)

Тогда уравнение (24.9) запишется так:

Общее решение такого уравнения имеет вид

R (р) = Ле-а₽ + Ве“Р.

Чтобы удовлетворить стандартным условиям (7? должна быть всюду конечной), нужно положить В = 0. Таким образом, поведение R (р) на очень больших расстояниях от силового центра передается функцией

/?(р) = Ле“Р.(24.11)

Функция

R (р)=е~аРр! 5 akpk(24.12)

4 = 0

будет вести себя нужным образом как при р->0 (из-за множителя pz), так и при р —*-оо (из-за множителя в'а₽). Поэтому будем искать решение уравнения (24.7) в виде (24.12). Число слагаемых суммы пока оставим неопределенным. Запишем выражение (24.12) следующим образом:

R^=e^ 2(24.13)

4 = 0

Дифференцирование этой функции по р дает

^ = —ае ар 2 atpfr+z + e ар 2 ак (k-V I) рь*1-1. (24.14) ^ = 0,к=0

Повторное дифференцирование приводит к выражению

S = а.^ ^ ак^1 ~ 2cte^P 2 “h ^ + Z) pW 1 + 4=04 = 0

+ <гар 2 ак^Л-1НкА-1-^рм-г. (24.15) 4 = 0

Подстановка выражений (24.13)—(24.15) в уравнение (24.7) дает после объединения аналогичных сумм (напомним, что, согласно (24.10), а2 + 2е = 0) следующее соотношение:

е^ / 2 2 [Z - а (6 +I + 1)] ak^w +

1.4 = 0

+ s [(6+z+i)(6+z)-z(z+i)]^z-2l=o. 4=0J

Для того чтобы полученное соотношение выполнялось при любых значениях р, необходимо равенство нулю коэффициентов при всех степенях р. Одинаковая степень р получается, если в первой сумме взять член с номером /г, а во второй сумме — член с номером 6+1. Следовательно, при любом 6 должно соблюдаться условие

2 [Z — а (6 +Z+1)] ак + №-Н + 2) (к + Z + 1) - I (/ + 1)]ак^ = 0.

Отсюда получается рекуррентная формула для коэффициентов ак п 2 [а (^ -|- / + 1) Z]। ,.,

6+1(^ + / + 2)(^ + /+1)-/(/+1) Uk‘

С помощью этой формулы по известному значению а0 можно вычислить аъ затем а2 и т. д. Значение а0 определяется из условия нормировки пси-функции. Заметим, что каждому значению а (т. е. энергии) соответствует свой набор коэффициентов ак.

При больших к можно пренебречь Z в числителе и Z(Z+ 1) в знаменателе формулы (24.16). Тогда рекуррентное соотношение приобретает вид

а*+1=-Г^Др2’а*-(24.17)

Хотя соотношение (24.17) получено для больших значений к, распространим его и на малые значения. При этом мы не внесем существенной ошибки в значения функции (24.12) при больших р, так как при р+>1 первые члены ряда вносят пренебрежимо малый вклад. Вычисляя последовательно коэффициенты

по формуле (24.17), получим следующие значения:

_ 2а2а

й°"+ + / + 1 й°-

2а(2сс)2

^ — 1 +/4-2 01 — (1+7+1)72 + 7+1) °0

п(2а)"п _(/ + !)! W44 „

а"-(1+/ + 1)(2 + /+1)...(А + / + 1)"°(2а+ (A + /+DI

Таким образом, при больших р с большой степенью точности

у .+^474 у . №^ к =

L (2a)m Z (* + < + !)' Р

6 = 04 = 0

рй-ф/+1рй-ф/+1- Л+'Ч+т) У _ДЧЧЧ1_(2аЧ 1 Z (* + /+1)1

рй-ф/+1

рй-ф/+1

2 “^к = 02 “^к = 0Введем обозначение: s = й-|-Z + 1 - Тогда

2 “^

к = 0

2 “^

к = 0

(24.18)(24.18)Wt-im) у (W s(2a),+1 ( Z s! ! '

(24.18)

(24.18)

Ряд Маклорена для функции ега!* имеет вид

е2ар = У ^р5.si г

s=0

По сравнению с этим рядом в сумме (24.18) не хватает первых /+1 слагаемых, не играющих заметной роли при больших р. Поэтому с точностью до постоянного множителя (/+1)!/(2а)'41 можно написать, что

У, tzfcp6 P--(ZHl^ap,6 = 0

Подстановка этого выражения в формулу (24.12) дает, что

4 (р) ^ g-aPpZp (Ш)е2ар __ р-1еа.'>.

Эта функция при р->оо обращается в бесконечность. Отсюда можно сделать следующий вывод: если бы число слагаемых в сумме, входящей в выражение (24.12), было бесконечным, функция R (р) не удовлетворяла бы требованию конечности на любом расстоянии от силового центра. Таким образом, R (р) будет удовлетворять стандартным условиям только в том случае, если ряд Vftkpk оборвется на некотором члене с номером пг. Для этого нужно, чтобы коэффициент ак с номером п,+ 1 ока-

зался равным нулю. Тогда в силу рекуррентного соотношения (24.16) все последующие коэффициенты также будут нулями.

Итак, допустим, что ап =#0, a<zn +i =0. Это получится в случае, если при k = nr числитель в формуле (24.16) обращается в нуль. Аналитически это условие запишется . следующим образом:

a(nr + Z+l)-Z = 0.(24.19)

Вспомнив, что константа а связана с энергией состояния соотношением а2 = —е (см. (24.10)), получим те значения энергии, при которых пси-функция удовлетворяет стандартным условиям. Эти значения равны

72

—(24.20)

где п — целое число, определяемое соотношением

п = Пг^1^\.(24.21)

Его называют главным квантовым числом. Число пг называется радиальным квантовым числом. Поскольку пг не может быть отрицательным, должно выполняться условие

п 3s Z+ 1.

Отсюда вытекает, что максимально возможное значение азимутального квантового числа Z при заданном п равно n—1, т. е. что

Z^h- 1. (24.22)

Формула (24.20) определяет энергию электрона в атомных единицах. Чтобы выразить энергию в эргах, нужно умножить е„ на Ео = m^lh2 (см. (24.4) и (24.6)). В итоге получим значение

Е.Е.tn^Z2/^2п2tn^Z2/^2п2(24.23)(24.23)

Е.

Е.

tn^Z2/^

2п2

tn^Z2/^

2п2

(24.23)

(24.23)

совпадающее со значением, полученным Бором в его теории водородного атома.

Энергия частицы, находящейся в кулоновском поле, оказалась зависящей только от главного квантового числа п. Следовательно, в кулоновском поле имеет место вырождение не только по т, но и по I. Вырождение по Z присуще только кулоновскому полю, вырождение же по пг наблюдается, как мы установили в предыдущем параграфе, в сферически симметричном поле любого вида (с любой зависимостью от г). Чем больше поле отличается от кулоновского, тем больше отличаются энергии состояний с различными значениями Z (при одинаковых п).

4 И. В. Савельев, т. 2

Согласно формулам (24.19) и (24.21) параметр а может иметь дискретные значения

ал = 2/и (л = 1, 2, ...).(24.24)

Подставим это значение в выражение (24.12). Кроме того, учтем, что, начиная с к = пг + 1 = п — I, все коэффициенты ак являются нулями. В итоге получим для радиальной части пси-функции следующее выражение:

п— I— 1

Rm^ = e-^mpi 2 акрк(24.25)

6 = 0

(мы поставили при R индексы п и I, поскольку выражение для этой функции определяется значениями этих квантовых чисел). Коэффициенты ак в формуле (24.25) можно вычислить по рекуррентной формуле:

22(^+/ + 1—я)

«би— п 1 (6+z+2)^ + /+i)_/(/ + i)a6.(24.26)

Эту формулу мы получили, подставив в выражение (24.16) значение (24.24) для а.

Отметим, что полиномы с коэффициентами, удовлетворяющими формуле (24.26), совпадают с точностью до постоянного множителя с так называемыми полиномами Л а герр а. Подробно на этом мы останавливаться не будем.

Полная пси-функция водородоподобного атома имеет вид фп/т = ^л/(р) У/т^, ф).(24.27)

Найдем Rni для основного состояния (т. е. состояния с наименьшей возможной энергией). В этом состоянии /г = 1, / = 0 (см. (24.22)), п — I — 1=0, так что сумма содержит только одно слагаемое, отвечающее к = 0. Следовательно,

7?10(р) = а0е-гР.(24.28)

Для и = 2, / = 0 формулы (24.25) и (24.26) дают выражение

/?20(р) = а0е-2Р/2(1-Zp/2).(24.29)

При п = 2, / = 1 получается

Я21 (р) ^oe-'^Zp(24.30)

и т. д.

Коэффициент ц0 в полученных нами выражениях может быть найден из условия нормировки подфункции:

^ф*фс!К = \(RY)* (RY) р2 sin & dp d^ с(ф = 1.

Напишем это условие следующим образом:

J R^p2 dp J Y*mYim sin 0 d^ dtp = 1 0

(функция Rnt вещественна). Сферические функции нормированы на единицу. Таким образом, мы" приходим к условию нормировки для Rnl

\RVdp=L(24.31)

о

Вычисления по этой формуле дают значения коэффициента а0, равные: 2Z3^ для R10, Za/V]^2 для R20 и Z3/V2]/6 для R21 *).

Элемент объема в сферических координатах определяется выражением dV = р2 sin ft dp d^ d<p = p2 dp dQ (dQ —элемент телесного угла; dV есть объем, вырезаемый из шарового слоя радиуса р и толщины dp телесным углом dQ). Вероятность того, что электрон будет обнаружен в пределах этого объема, равна dPP, <^ = WdV = IYlm 2 dQ • /?^;р2 dp. (24.32)

Проинтегрировав эту вероятность по углам, получим выражение dPp = /?^/р2 dp, определяющее вероятность того, что электрон будет обнаружен в шаровом слое толщины dp, т. е. на расстоянии от ядра, заключенном в пределах от р до p + dp. Соответственно выражение Ртир2 представляет собой плотность вероятности того, что электрон находится на расстоянии р от ядра. Для основного состояния водородного атома (п = 1, / = О, Z = 1) функция /?iop2 = = аое~2рра. Легко убедиться в том, что максимум этой функции достигается при р=1. Таким образом, боровский радиус представляет собой то расстояние, на котором с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон в основном состоянии водородного атома.

На рис. 24.1, а показаны графики найденных нами выше функций Rnl для состояний Is (п=1, / = 0), 2s (п = 2, / = 0) и 2р (п = 2, Z=l), Z принято равным единице. Заметим, что радиальное квантовое число n.r = n — I— 1 дает число узлов функции Rnl, т. е. число пересечений графика этой функции с осью р (исключая начало координат). На рис. 24.1, б изображены графики плотности вероятности RniP2 для тех же состояний.

Т) Если подставить в (24.31) р = г/г0 (см. (24.6)), то перед интегралом появится множитель 1/г§. Соответственно приведенные значения и0 нужно умножить на (1/ГоТ/2«

4*

Если проинтегрировать выражение (24.32) по р от 0 до оо, получится вероятность нахождения электрона в пределах телесного угла dQ (на любом расстоянии от силового центра). В силу (24.31) эта вероятность равна

dP»i(p = \Yim\2dti.

Выражение | Ylm |2 представляет собой плотность вероятности

5)

Рис. 24.1.

того, что электрон будет обнаружен в направлении, определяемом углами Ф и ф. Из вида функции Ylm^, ф) (см. формулу (19.9)) следует, что квадрат ее модуля не зависит от угла ф. Таким образом, плотность вероятности обнаружить электрон в некотором направлении симметрична относительно оси г.

На рис. 24.2 приведены полярные диаграммы, характеризующие распределение вероятности в зависимости от угла $ для s- и p-состояний электрона. Значения | Y !т |2 определяются длиной отрезка, отсекаемого диаграммой на луче, проведенном из начала координат под углом 9. Чтобы получить пространственное распределение вероятности, нужно изображенные на

рисунке диаграммы привести во вращение вокруг оси г. Отметим, что вид диаграмм |У/т|2 не зависит от квантового числа п. Более того, эти диаграммы выглядят одинаково как для кулоновского, так; и для некулоновского центрально-симметричного полей.

Воспользовавшись формулами (19.12) и (24.28) — (24.30), напишем несколько первых пси-функций водородоподобного иона:

. /гул 1

Va / V it

(24.33)(24.33)

(24.33)

(24.33)

Чтобы получить пси-функции атома водорода, нужно в этих формулах положить Z=l.

До сих пор мы рассматривали движение электрона в поле неподвижного ядра. Однако в действительности происходит

движение и электрона, и ядра вокруг центра инерции системы. Покажем, что в квантовой механике, как и в классической, задача о двух взаимодействующих частицах (задача двух тел) сводится к задаче о частице, движущейся в центральном поле сил, причем массу этой частицы нужно принять равной приведенной массе /иприв = т1т2/(т1 + т2).'

В классической механике энергия системы, состоящей из двух взаимодействующих частиц, равна,

Е = -РЬ + ^ + П(г).2т,2т, 1' '

Здесь mj и т2 —массы частиц, рх и р2 — их импульсы, U (г) — энергия взаимодействия, /- — расстояние между частицами. Соответственно гамильтониан системы имеет вид

(24.34)

где V] = At есть сумма вторых частных производных по координатам первой частицы, V^ = A2 — сумма таких же производных по координатам второй частицы.

Введем вместо радиусов-векторов частиц п и г2 вектор взаимного расположения частиц г и радиус-вектор центра инерции системы гс. Введенные векторы связаны с rt и г2 соотношениями r = r2-r1, vc=<m1t1-Vm^^lkmvYm^,

или в декартовых координатах

х = хг — хх, xc=x1m1/(m1-\-m2)-Vx2m2/(m1-\-m2'), (24.35)

Согласно соотношениям (24.35)

9 д Эх, д дхс д , тг 9

ЭххЭх дхг Эхс Эх,Эх "г"тг + тг9хс ’

д2 _ / 9 \2 _ / _ д mt д\а _

Эх-у — \5«1 /\Эхnt, + т2 Эхс ) —

(24.36)(24.36)(24.37)(24.37)_ Э2 _2т! д2 / mt у

(24.36)

(24.36)

(24.37)

(24.37)

Эх2 тх + т2 Эх 9хс ^«j + т2 / Эх2"

Аналогично

9 9 Эх . 9 Эхс d I «2 ддх2дх дх3 "* дхс дх2дх т, + т2 дхс *

д2 _ /_д_\2 _ (।_д\2 =-

дх| — \дх2 / — \дх |* /«! + т2 дхс ) —

_ З2 2т2 д2 . / т2 \2 д1 дх2mt + т2 дх дхс \mv + т2/ дх2 *

Разделив (24.36) на mlt а (24.37) — на т2 и сложив получившиеся выражения, придем к соотношению

1 dg J_ ^_ = / J_" , ф\ d2 .1 д2

т, dx, "i тг дх^ \mt т2 / dx2 mt -\-т2 дх? *

Точно такие же соотношения получаются для производных по координатам у и г. Отсюда заключаем, что

— V| -4- - Vi=—— v) д!— v2

«1«2 «прив М1+т2’■

где тирив = m1m2/(m1 + m2), V; —оператор Лапласа по компонентам вектора г, V2 —оператор Лапласа по компонентам вектора гс.

Подстановка в (24.34) дает

Я = —И. (24.38) 2(mj+m2) ‘ 2тирив ■' /'/

Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых гамильтонианов, один из которых содержит суммарную массу системы и радиус-вектор центра инерции, второй —приведенную массу и вектор взаимного расположения частиц.

Напишем уравнение Шредингера:

Й2Й2'

Будем искать его решение в виде произведения двух функций:

где фс —функция гс, а фл —функция г. Подстановка в уравнение дает

Й2Й2

— i\— о4cV^r + U (г) фЖ = ЕфЖ.

Разделив на фсфг, получим

{- 2<^i v*l +1- 5^Ь i v*+" «I - E-

Выражение в первой фигурной скобке зависит только от гс, выражение во второй скобке — только от г. Сумма этих выражений при любых значениях гс и г должна равняться постоянной величине Е, Это возможно лишь в том случае, если каждое из выражений равно своей константе, причем сумма этих констант равна Е. Следовательно, мы приходим к двум дифференциальным уравнениям

й2

-] v^c = ЕсФс,(24.39)

- V ^ + и ^ ^ =(24.40)

<Ec^Er=EY

134 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В РАЗЛИЧНЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЯХ [ГЛ. V \

Уравнение (24.39) есть уравнение Шредингера для свободной частицы с массой /п1 + т5. Очевидно, что Ес представляет собой кинетическую .энергию движения системы как целого. Уравнение (24.40) отличается от уравнения Шредингера для электрона, находящегося в центральном поле сил, лишь тем, что вместо массы электрона в него входит приведенная масса электрона и ядра. Ег есть внутренняя энергия системы (атома).

Таким образом, учет движения ядра приводит к тому, что во всех формулах, в частности в выражении (24.23), для Еп нужно вместо те написать тПрив- В остальном полученные нами результаты остаются без изменений.

Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется частица с одной степенью свободы, потенциальная энергия которой выражается формулой

U ==(25.1)

где т0 — масса частицы, & —коэффициент квазиупругой силы, а» — собственная (классическая) частота осциллятора, рацная К^М-

Уравнение Шредингера (см. (5.8)) в данном случае выглядит следующим образом:

d2^ . 2т0 / р dx2 + № Vd2^ . 2т0 / р dx2 + № Vт^х2'т^х2'(25.2)(25.2)

d2^ . 2т0 / р dx2 + № V

d2^ . 2т0 / р dx2 + № V

т^х2'

т^х2'

(25.2)

(25.2)

Чтобы упростить вид уравнения, перейдем к безразмерной переменной

(25.3)(25.3)| = х Vm^ulfl .

(25.3)

(25.3)

В результате получим дифференциальное уравнение

(25.4)(25.4)

(25.4)

(25.4)

При очень больших £ величиной ЧЕ/Нт можно пренебречь по сравнению с £2. Тогда уравнение упрощается следующим образом:

(25.5)(25.5)ф" — £2ф = 0.

(25.5)

(25.5)

Асимптотические решения этого уравнения при £->оо имеют вид e±^/2# Действительно,

^^^2-(^2±1)е±^2^^^2-(^2±1)е±^2^е±^/2(^е±^/2(

^^^2-(^2±1)е±^2

^^^2-(^2±1)е±^2

^е±^/2(

^е±^/2(

так что уравнение (25.5) оказывается удовлетворенным. Поскольку мы ищем конечные решения, экспонента со знаком плюс в показателе должна быть отброшена.

Таким образом, решение уравнения (25.4) ведет себя при ^->оо как е-^12. Поэтому будем искать решение в виде

^=^4^.(25.6)

Подстановка выражения (25.6) в уравнение (25.4) приводит к следующему дифференциальному уравнению для /(£):

f(£)-2^) + (^-l)f£) = 0.(25.7)

Решения уравнений такого вида были найдены в Приложении III. В формуле (III. 1) коэффициент при f (£) обозначен буквой X. Следовательно, при использовании результатов, полученных в Приложении, нужно иметь в виду, что

(25.8)

Согласно формуле (III.8) собственные значения параметра X равны 2л. Отсюда вытекает условие

- 1 = 2/1(« = 0, 1, 2, ...),

ЙО)'’’ м

определяющее возможные значения энергии осциллятора:

£„ = Й<о (n + V2) (п = 0, 1, 2, ...).(25.9)

Отметим, что энергия' гармонического осциллятора не может принимать нулевое значение. Минимальное значение £0 = ^м/2 называется нулевой энергией.

Собственными функциями уравнения (25.7) являются полиномы Чебышева— Эрмита, определяемые формулой (III.И)

Hn^ = k-\Y^nW (л = 0, 1, 2, ...).(25.10)

✓ Чтобы получить собственные функции осциллятора, нужно полиномы (25.10) умножить на экспоненту е"У!2 (см. (25.6)). Таким образом,

ф„£) = Л„е-^ад.(25.11)

Коэффициент Л„ должен быть определен из условия нормировки. Согласно формуле (III.20)

Гш=^ = ^1 е-^[Я„Й)]2^=.Л^!2я/й. (25.12)

— СО

Поэтому для того, чтобы функции фл(£) были нормированы на единицу, нужно положить Д„ = [п'. 2я ]/л]-1/’ так, что

фя ® = [и! 2я /л]"1/2 tr^ Нп ®.(25.13)

Согласно формуле (III. 19) при пфт.

+ оо4-со

^т^=Д„Дт ^ е-¥Н„^Нт®<=0.

Таким образом, система функций (25.13) является ортонормиро- ванной.

Рис. 25.1.

Каждому значению энергии Еп (каждому значению п) соответствует только одна функция фп(^). Следовательно, уровни энергии осциллятора являются невырожденными.

Собственные функции (25.13) выражены через безразмерную переменную £. Чтобы перейти к переменной х, нужно заменить £ в соответствии с (25.3). Произведя такую замену в формуле,

выражающей условие нормировки функции (25.12), получим

-4-00

5 [ф„ MF dx =

= [и! 2" V"л]-1 5 е~ т-ох1^ ^Нп (х Vmoto/fl)]2 V moto!H dx = 1.

Из сравнения подынтегральных выражений получается следую

щее выражение для ф„ (х):

ф„ W = а1-'- [«! 2” К^Р’ w'2Нп^,(25.14)

где

а = ]/т0®/Й.(25.15)

Воспользовавшись формулами (III.24)—(111.27), напишем выражения для первых четырех функций ф„(х):

фо (%) = aV« [ул]-1/2 е-«2*2/2((25.16)

^х) = а^42УлУ/ге~аг^^(25.17)

ф2 М = с^2 [8 /л ]’1/2 е~ aW 2 (4а2х2 - 2),(25.18)

фз (х) = а1/г [48 Vл]-1/! g-'^2/2 (8а3х3 — 12ах).(25.19)

На рис. 25.1, а показаны графики этих функций, а на рис. 25.1, б —графики функций [фп(х)]2. Последние графики определяют плотность вероятности обнаружения осциллятора в точке с координатой х. Отмеченные на оси х точки —а и + а соответствуют наибольшим отклонениям (амплитудам) классического осциллятора. Значения а получены из соотношения £„ = т0а2ш2/2.

Решение задачи о гармоническом осцилляторе

в матричной форме

В квантовой электродинамике электромагнитное поле представляется в виде суперпозиции независимых квантовых осцилляторов. В связи с этим задача о гармоническом осцилляторе является весьма важной. Поэтому рассмотрим ее решение в матричной форме. К тому же впервые эта задача была решена Гай- зенбергом в 1925 г. именно матричным методом.

Потенциальная энергия осциллятора определяется выражением U = m0to2x2/2. Напишем уравнение движения осциллятора в виде (21.15). Приняв во внимание, что ди1дх = тй«?х, получим операторное уравнение

х + о)2х = О.(26.1)

Это уравнение тождественно по форме с классическим уравнением для осциллятора (напомним, что х = х\

Обозначив функции стационарных состояний осциллятора (т. е. собственные функции оператора Н) символом ф„ (яр,, = гр„ (х)), можно написать согласно (26.1):

+ оо403+°°

Фт(-Х"+ <02Х) ^ndx = § фт^фп dX + to2 $ фт^фл dx = 0. — ОО—ОО—со

Первый интеграл представляет собой матричный элемент ускорения, т. е. (х)тл. второй интеграл — матричный элемент координаты, т. е. хтп. Таким образом, мы пришли к уравнению движения в матричной форме

(х)ти + со2хтп = 0.'(26.2)

Согласно формуле (22.14) (x)mn = — tomnxmn. Подстановка этого выражения в (26.2) дает

(со2-со^)хт„ = 0.(26.3)

Поскольку для вычисления матричных элементов были использованы собственные. функции оператора Н, мы решаем задачу в энергетическом представлении. В этом представлении матрица энергии является диагональной, причем диагональные элементы матрицы равны собственным значениям энергии. Гамильтониан осциллятора равен

Всякому операторному уравнению соответствует аналогичное матричное уравнение. В этом легко убедиться, умножив (как мы поступили при выводе уравнения (26.2)) операторное уравнение на фт слева и на ф„ справа и проинтегрировав получившееся соотношение. Уравнению (26.4) соответствует

и F т0ш2 , «х

llmn — Lmtt— 22

Приняв во внимание формулу (10.31), получим

= у ^ ^ (i)ftn + ^ 2 ХтЛл>

Наконец, произведя замену: ^тп = i®mnxmn (см. (22.9)) и объединив обе суммы в одну, придем к следующей формуле:

Етп— 4 ^ (to2 ^тк^кп) XmkXfen-(26.5)

к

Таким образом, для того чтобы найти собственные значения энергии, нужно вычислить частоты <отл и матричные элементы хтп.

Из формулы (26.3) следует, что отличными от нуля могут быть только те элементы хтп, для которых

«тп = ±<о.(26.6)

Согласно (22.1) «частота перехода» между состояниями фт и фл связана с энергиями состояний соотношением

®тп®тпр Fр F(26.7)(26.7)

®тп

®тп

р F

р F

(26.7)

(26.7)

Следовательно, условие (26.6) означает, что отличны от нуля только те хтп, которые соответствуют «переходам» между состояниями с энергиями, отличающимися на К®. Пронумеруем стационарные состояния (т. е. функции фл и значения энергии Е„) так, чтобы у состояний с энергиями, отличающимися на Йео, индексы отличались на единицу, причем энергия состояния возрастала с номером п. В соответствии с (26.7) это означает, что нумерация должна быть выбрана так, чтобы

®л+1, п = *Л,®л-1, п=]®-(26.8)

Значит, отличными от нуля будут только элементы хл+ъ „ и хп_х, п. Для нахождения этих элементов воспользуемся правилом (16.1) коммутации операторов х = х и рх = т0£, согласно которому [х, рЛ = хрх — рхх — th. Отсюда

хх— xx = ihjm0.(26.9)

Перейдя указанным выше способом от операторного соотношения (26.9) к матричному, получим

(хх)тп (хх)тп = Ц.11(1Т1о^ бщп-

В частности, при т = п

^ХХ) пп ^ХХ^пп = I^/MIq,

Воспользовавшись формулой (10.30), можно написать, что

У, ^пк (^)кп У, ^^nkXfcn = iHjtTlg. кк

Осуществим замену: V^mn = ййтпхтп (см. (22.9)):

f ^, Хлдй)длХдл I ^^F^nkXnkXkn = 1Н11Пд, RА

Сократив на мнимую единицу и приняв во внимание, что в силу эрмитовости матрицы хтп = Хпт, придем к формуле

У, ^кп^ХпХкп^ ^nk-^knXkn = ft,,ТЦ>.

кк

Наконец, учтя, что №Пк =— ®кп (см- (26.7)), получим

2 У, О)дл [ Хкп Р “ ^//Цд.к

В этой сумме отличны от нуля только два слагаемых. В одном из них й = «+1 и, следовательно, шА„ = шп+1] „ = <о, в другом к = п — 1 и tokn = ton_Vi п = — го (см. (26.8)). Таким образом,

2(®|хл+11Л|2-®|хл_11Л|2) = Й/т0.(26.10)

Поскольку Хп-х, „ = хХ „-г, | x„_lt л |2 = | хп, л_! |2. Осуществив в (26.10) такую замену, придем к соотношению

I хл+1, „ |2 = | х„, л_, |2 + ^/2тою.(26.11)

Из формулы (26.11) вытекает, что квадраты модулей матричных элементов образуют неограниченную сверху арифметическую прогрессию. Снизу эта прогрессия ограничена требованием, чтобы все ее члены были больше нуля. Первым членом прогрессии будет квадрат модуля матричного элемента, меньший из индексов которого совпадает с номером основного состояния (состояния с наименьшей энергией). На нумерацию состояний мы наложили пока лишь одно ограничение — мы так расположили пси-функции в ряду возрастающих номеров, чтобы условие ®тп = ± и выполнялось для пары функций, номера которых отличаются на единицу, и, кроме того, с увеличением номера состояния возрастала его энергия Еп. Однако вопрос о том, какой номер приписать основному состоянию, остался пока открытым. В принципе этот номер можно положить равным, скажем, —12 или +8. Однако естественно приписать основному состоянию номер нуль либо единица. Принято приписывать ему номер нуль.

При указанном выборе номера основного состояния все пси- функции с отрицательными номерами будут тождественно равны нулю (соответствующих состояний не существует). Следовательно, скажем,

х0,-i= фо^Ф-т <^х= 0.— СО

Аналогично будут нулями все хп, n_j с отрицательными значениями п.

Подставив в правую часть соотношения (26.11) значение х0, -i = = 0, получим, что | х10 |2 = Й/2тош. Затем, подставив в правую часть это значение, получим, что | х2112 = 2Й/2тосо и т. д. Таким образом, мы приходим к формуле

I хЛ| л-112 = | хл-1, л |2 = пй/2то®.(26.12)

Сделаем допущение, что матричные элементы хП1П_г вещественны, Правильность такого допущения будет подтверждена тем,

что оно не приведет нас ни к каким противоречиям. Тогда из (26.12) получаем следующее выражение1) для матричных элементов координаты:

хп, И ! = ХП-1]П = V п.И/2т0<о. (26.13)

Матрица координаты гармонического осциллятора имеет вид

/ОУ1о0...\

(26.14)(26.14)0/20...

(26.14)

(26.14)

(xm„)=VW^ 0 ^2 0 ^3...ооУзо....

Согласно (22.9) (х)тп = itomnxmn. Матрица хтп симметрична, множитель ютп при перестановке индексов меняет знак на обратный. Следовательно, У')тп =— (х)пт, т. е. матрица скорости антисимметрична. Приняв во внимание (26.8) и (26.13), получим

УУ, п-г = iV"nftto#2m0, У)п-1,п =— iVnhtoJ^mo. (26.15)

Умножив выражение (26.15) на массу осциллятора т0, можно найти матричные элементы импульса. Матрица импульса выглядит следующим образом:

I о -Ухо о ...\

(Ухо —Уго ...\

(Ш=гУт>/2 О /20 -Уз... . (26.16)

оо Узо ... /

Теперь найдем с помощью формулы (26.5) матрицу энергии осциллятора. Сначала выясним, каковы значения Етп для т Ф п. При т — п>2 и п — т'>2 все слагаемые суммы (26.5) будут равны нулю либо из-за множителя хтк, либо из-за множителя хкп. То же самое имеет место при т — и=1 и п — т=\. В случае т — п = 2 отлично от нуля лишь произведение хткхкп, у которого т — 1 = й = /г+Ь но ПРИ таком условии множитель, стоящий в скобках, равен (го2 —tom,m lto,i+1]„) = 0 (см. (26.8)), так что ЕтП = 0- Аналогично можно убедиться в том, что при п — т = 2 выражение (26.5) также обращается в нуль. Все полученные нами

*) При подстановке в формулу (26.13) отрицательных значений я получается отличная от нуля мнимая величина. Это, казалось бы, противоречит доказанному выше утверждению, что »„,„., с отрицательными п равны нулю Однако следует помнить, что выражение (26.13) получено из формулы (26.12), которая справедлива лишь при «5=0, так что подстановка в формулу (26.13) отрицательных п неправомерна.

результаты можно было предвидеть, так как матрица энергии в своем собственном представлении должна быть диагональной.

Вычислим диагональные элементы матрицы. Положив в (26.5) т = п, получим

ЕПп = (^о/2) У (<О2 tonk^kn) ^пк^кп ~

к

= (т0/2) У, (ы2 + to^ х-пк = тош2 ^ Аккк

(напомним, что юПк = — Юкт <о^ = ю2, хпк = хк^. В полученной нами сумме отличны от нуля только слагаемые ск = п — 1 и 6 = — п+1. Следовательно,

£„„ = тосо2 [(х„, „ ч)2 + (хп, и+1)2].

Подставим сюда значения матричных элементов, определяемые формулой (26.13):

Епп = т»ю2 Г2^ + ^г1 = т <2rt + 1। x/71qUJ £П1(р) J Д

Диагональные матричные элементы равны собственным значениям оператора энергии. Поэтому можно написать, что

E^Hto^n-V1!^(n = Q, 1, 2, ...)(26.17)

(ср. с формулой (25.9)). Матрица энергии имеет вид /А ооо ....

/ О3АО0

(£тп) = Й(о 006А0 ■■■.(26.18)

' ооо’А ...

Для нахождения собственных функций осциллятора воспользуемся тем обстоятельством, что формула

ОЧ1» = 5j(26.19)

т

(см. (10.5)) справедлива для любого оператора. Возьмем в качестве Q операторы (x + icox) и (х —мох). У этих операторов заведомо равны нулю все матричные элементы кроме тех, которые имеют индексы и—1, п и «+1, п. Поэтому формула (26.19) для этих операторов выглядит следующим образом:

(/+ tiox) ф„ = (х + шх)^, „ ф^ + (х + icox)n+1, „ ф„+1, да 20 (/ - МОХ) фп = (X - IWX)^!, п фп-! 4- (х — М0х)л+1, п фи+1.

Для упрощения записей введем обозначение

Р = Й<о/2то-(26.21)

Тогда, согласно формулам (26.13) и (26.15),

(х 4- itoxVi, П = У)пЧ1 „ + itox^, n = — i У пр + i Уnp = 0,

(x + кох)л+1| n = i У(n + 1) P + i У(/г-|-1) p = 21 ф^(п 4~ 1) P-

Изменив в этих формулах знак перед Z, получим

(х — Z(ox)„_L п = — 2Z У пр, (х-10)х)„+1|Л = 0.

Подставив в формулы (26.20) выражение оператора скорости: х = (—ihtmQ)d/dx и найденные значения матричных элементов, придем к дифференциальным уравнениям

[-(#)^ + ®^^ = 2К(«4-1)РФл+1,(26.22)

[-(Д-)|х-юх]фл = -2К(фФл-1.(26.23)

Уравнением (26.23) можно воспользоваться для нахождения функции ф0. Поскольку ф_х = 0, получается уравнение

/ Й А дф0 ,, л

Представив это уравнение в виде ф; _ т0<о Фо й

легко получаем выражение

ф0 = Ae-<m«tox2i2n\(26.24)

совпадающее с (25.16). Приняв во внимание значение пуассоновского интеграла

+ °о/

е^хг dx = V л/у,

можно убедиться в том, что константа Л имеет такое же значение, как в формуле (25.15).

Уравнением (26.22) можно воспользоваться как рекуррентной формулой. Для этого перепишем его следующим образом:

фл+r — ^2(1Г+Г) \ Г той Эх + V Х/

Наконец, перейдя к безразмерной переменной ^ = х Уm0&/h (см. (25.3)) и уменьшив номера функций на единицу (т. е. заменив п

на я—1), получим формулу

которую можно представить в виде

=(26.25)

V 2п di,

Подставив в эту формулу значение (26.22) для ф0, можно найти фи затем ф2 и т. д.

Собственные функции оказались вещественными. Поэтому матричные элементы хп, nv = ^ ф^ф„. т dx = § флхфя-1 dx будут также вещественными. Тем самым подтверждается правильность сделанного нами предположения о вещественности х„, п^.

Операторы уничтожения и рождения

Задачу о гармоническом осцилляторе можно решить очень изящно, введя сопряженные друг с другом операторы а и а\ определяемые с помощью следующих соотношений:

а 1 Гmoco А . i А \

/2 \ Г йVт^ /

, г■(27.1)

Сопряженность этих операторов вытекает из того, что операторы х и Рх самосопряженные. Следовательно, х+ = х, Рх = рх. Кроме того, (ip.v)v= — ip'x (см. (10.13)).

Вид операторов (27.1) сильно упрощается, если вместо координаты х ввести безразмерную переменную £, определяемую соотношением: ^, = xVmoto,A (см. (25.3)). Произведя в выражениях (27.1) такую замену и приняв во внимание, что

рх = — ih^ = — th УтоыЩ ^, придем к формулам

6 ~М+У'<27-2)

В применении к операторам, обозначаемым буквой а (малое), мы будем рассматривать знак сопряжения «+» просто как индекс, позволяющий различить операторы (27.2) и (27.3). В связи с этим

мы не будем придерживаться правила, согласно которому сопряженный оператор пишется справа от функции, на которую он действует. Соответственно условие сопряженности для этих операторов мы будем писать в виде

<Ф | аф) = (а+ф | ф)(27.4)

(см. (8.4)), а не в виде (8.5).

Ниже мы покажем, что, действуя на пси-функции гармонического осциллятора, оператор а превращает функцию ф„ в фп-р йфп ^/цфп-^(27.5)

т. е. как бы уменьшает энергию осциллятора на «квант» Йео. Поэтому его называют оператором уничтожения (или п о- глощения). Оператор а* превращает функцию ф„ в ф„+1:

а^Фл =/«+ I ф„+1,(27.6)

т. р. как бы увеличивает энергию осциллятора на Нт, в связи с чем его называют оператором рождения1).

Найдем коммутатор операторов а и d+:

[d, а^ = ^ - d^d = ^ [(g + д/д^ (g - d/dg) - (g - d/dg) (g + d/dg)] == V2 №= +d/dg. g-g-d/dg-d2/dg2)-

- (g2 - d/dg ■ g + g • d/dg - d2/dg2)] = d/dg ■ g - g-- d/dg = 1 (27.7) (ср. с коммутатором операторов d/dx и x, стр. 42). Таким образом, коммутатор равен единице:

[d, d+] = dd+ — d+d = 1.(27.8)

Заменив в квадратных скобках выражения (27.7) минус на плюс, получим, что

dd* + d^d = g2 — d2/dg2.

Легко убедиться в том, что полученный нами оператор пропорционален гамильтониану осциллятора, выраженному через переменную g. Действительно,

Л р* । /и0о2х2 № d2 , moco2x2П — 2m0 + 2 ~ 2^ dx3 2 1

Произведя замену: g = x]/moa>/^ придем к выражению О \

Л — Т\5 dp/’

из которого следует, что

/f = y (dd+ + <$+<2).(27.9)

9 Полностью смысл названий «оператор рождения» и «оператор уничтожения» будет раскрыт при рассмотрении вторичного квантования (см. § 50).

Приняв во внимание правило коммутации (27.8), можно представить гамильтониан в виде

Я = Йм(^+-1/2),(27.10)

либо в виде

Н = П<й^аА-1к').(27.11)

В соответствии со смыслом гамильтониана

Н^п=Еп^п,(27.12)

где ф„ — собственная функция осциллятора, Еп — его энергия. Попробуем подействовать оператором Н на функцию аф„, получающуюся в результате действия оператора а на функцию ф„. Взяв гамильтониан в виде (27.10), получим

Н ^ф„) = Йео (dd+ — V,) (аф„) = Йео (аа+а% — ^афя) =

= айм [(d+d 4- х/2) - 1 ] Ф».

Мы придали выражению такой вид, чтобы можно было, воспользовавшись формулой (27.11), написать:

Н (йф„) = а{Н — Йео) ф„ = а (Н^п) — Йеоафп.

Наконец, сделав подстановку (27.12), придем к соотношению

Н (аф„) = а (Е^ — Йеоаф„ = Епа^п — Йеоаф„, из которого следует уравнение

Н (цф„) = (Еп — Йео) (dф„).

Результат, к которому мы пришли, означает, что функция йф„ является собственной функцией фт осциллятора, отвечающей собственному значению энергии Em = En — t№. Пронумеровав состояния осциллятора в порядке возрастания их энергии и допустив, что между Еп и Ет нет других разрешенных значений энергии, мы должны положить tn = n — 1. В результате окажется, что

аф„ = Сф„_1, Еп_1 = Еп — Ню.(27.13)

Коэффициент С нужно определить так, чтобы функции ф„ и ф„_, были нормированы на единицу. Таким образом, мы доказали правильность утверждения, что действие оператора а превращает функцию ф„ в ф„_! (см. (27.5)).

Теперь попробуем подействовать оператором Н на функцию й+ф„. Оператор возьмем в виде (27.11)

Н (й+ф„) = ЙСО (d+d + v2) (d+фп) = d+Йео [(dd+ — х/2) + 1 ] фл =

= d+ (А + Йео) ф„ = d+ (£„ + Йео) ф„ = фп + Йео) (d+ф^.

Полученный результат означает, что а^п = C'lpn+L E„^v = En-\-hto.(27.14)

Таким образом, мы доказали утверждение, содержащееся в формуле (27.6).

Вычислим диагональный матричный элемент оператора Н, взяв этот оператор в виде (27.11).

Нпп = Й<о<1рл | ^а + V2) Фл) = МФл I а+ (афл)) +

+ (Йш/2) <фл I фл) = Йы(йфл | цф„) + М2 =

4-00

= Н<д|афл|2 ^ + %<о/2

— 00

(см. формулы (10.3) и (27.4)). Итак, мы пришли к соотношению

Еп = Нпп = Н® jj |аф„ |2^ + М2,(27.15)

из которого видно, что энергия осциллятора не может быть меньше Йсо/2.

Припишем состоянию с наименьшей энергией индекс /г = 0. Соответствующей ему функцией будет ф0 Состояний с меньшей энергией не существует. Поэтому для всех отрицательных к функции ipft = 0. В частности, тождественно рав#<а нулю и ф-р Напишем уравнение (27.13) для п = 0:

а’фо = Сф_1^О.(27.16)

Подстановка в (27.15) значения (27.16) для аф0 дает .для Ео = Н№ значение Йо>/2. Интервал между соседними уровнями, как мы установили, равен Йот Следовательно,

Еп = (п + i/2) Па.(27.17)

Сопоставление выражений (27.15) и (27,17) приводит к заключению, что

| 4ф„ |2 dg = п.

— 00

Заменив, согласно (27,13), &^п через Cipn-^ получим соотношение

I с I3 $ |фл-11а^ = щ— 00

Если предположить, что фл_! нормирована на единицу, для |С| получается значение, равное Уп, Ввиду произвольности фазового

множителя положим С равным |/я. Подстановка этого значения в (27.13) приводит к формуле (27.5).

Чтобы найти значение коэффициента С в формуле (27.14), подставим в выражение для Нпп оператор Н в виде (27.10)

Нпп = Нт(^п | (dd+ — Vs) Фп) = Мфя I«(а+Ф«) > — й®/2 =

= Йы(а+фя | а+фя) — htol’Z.

Таким образом,

4-00

Hnn=ftto $ |й+ф„|2^ —Йсо/2.

— СО

Сопоставление этого выражения с (27.17) дает, что

4-со

$ |о+фя|2 ^ = « + 1,

откуда с учетом (27.14)

|С'|2Т|фл + 1|2 ^ = «+1.— со

Следовательно, для константы С в формуле (27.14) получается значение ]/л+1, и мы приходим к соотношению (27.6).

Подставив в уравнение (27 16) выражение (27.2) для а, получим следующее дифференциальное уравнение:

|" + Et.-O, пли |

Решение этого уравнения имеет вид

фо = Ае-^4.

Из условия нормировки 4-оо4-оо

$ |фо|2^ = И12 $ <H?dHA^= 1

получается, что Л=л-1/« (опускаем множитель вида е*“). Таким образом,

фо = л—*ие— ^^

(ср. с фо®, получающейся из формулы (25.12) при д = 0).

Остальные функции можно получить из ф0 последовательным действием оператора п+. Из (27.6) следует формула

Фл+1= (1/Кп + 1)а+фл:

с помощью которой получаем, что

^ = ТтТт ^ = F^+ (d^o)=Tsiт2г[,(”

= ^(«+)лФо,у /г!

Использованный нами прием нахождения функций фл по существу совпадает со способом, которым были определены фл в предыдущем параграфе. Однако мы сочли целесообразным, несмотря на их сходство, изложить оба способа.

Глава VI. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Введение

Точное решение уравнения Шредингера возможно только для небольшого числа простейших силовых полей. Большинство задач квантовой механики допускает лишь приближенное решение. Довольно часто оказывается, что реальные физические системы не очень сильно отличаются от идеализированных систем, допускающих точное решение. В этих случаях приближенное решение задачи о собственных функциях и собственных значениях сводится к нахождению поправок к точному решению идеализированной задачи. Общий метод вычисления этих поправок называется теорией возмущений.

Таким образом, теория возмущений представляет собой один из методов приближенного решения задач квантовой механики, применимый в тех случаях, когда отклонение рассматриваемой системы от системы, допускающей точное решение, можно представить в виде малой добавки (возмущения) к гамильтониану невозмущенной системы.

Представив поправки к собственным функциям и собственным значениям в виде суммы величин разного порядка малости, вычисляют сначала поправки того же порядка малости, что и возмущение, затем поправки, квадратичные по возмущению, и т. д. Следовательно, метод теории возмущений представляет собой по существу метод последовательных приближений.

Теория возмущений подразделяется на стационарную и , нестационарную. Стационарная теория (или теория возмущений для стационарных состояний) имеет дело с возмущениями, не зависящими от времени. Нестационарная теория (которую называют также методом вариации постоянных), рассматривает системы, гамильтониан которых зависит явно от времени.

Возмущения, не зависящие от времени

В этом параграфе мы изложим основы теории возмущений для стационарных задач с дискретным спектром энергии. Для того чтобы состояния рассматриваемой физической системы были

стационарными, ее гамильтониан Н не должен содержать явно времени.

Теория возмущений может быть применена для решения данной задачи в том случае, если гамильтониан Н допускает разбиение на два слагаемых:

H = HQ+V,(29.1)

где Но есть гамильтониан задачи, допускающей точное реше-, ние, а V — малая добавка, называемая оператором возмущения (точный смысл определения «малая» выяснится в дальнейшем). Оператор Но мы будем называть невозмущенным гамильтонианом. Оба слагаемых, по предположению, не зависят явно от времени.

Собственные функции оператора Нй будем обозначать символом фп", а собственные значения — символом £„'. Предполагается, что эти собственные значения являются невырожденными; Имеет место соотношение

НоС-ВД"'.(29.2)

Собственные функции и собственные значения оператора Н обозначим соответственно ф„ и Еп. Приняв во внимание (29.1), можно написать

(Яо+И)фл = £пф».(29.3)

По предположению, уравнение (29.2) имеет точное решение, уравнение же (29.3) точного решения не допускает. Будем искать приближенное решение последнего уравнения в виде рядов:

Еп = Е™4 ^' + А£-+ ... ,(29.4)

фп = С + Аф„' + М2’ + .. • ,(29.5)

где Af^' и Аф),11 —поправки того же порядка малости, что и возмущение, \Е’п и Аф,’ — поправки, квадратичные по возмущению, и т. д.

Разложим функцию ф„ по собственным функциям ф* ’ невозмущенного оператора Н0‘-

^ = Ecrf'1) (и=1, 2, ...).(29.6)

к.

Задача нахождения функций (29.5) сводится к отысканию коэффициентов спк. Приближенные значения этих коэффициентов

!) Следует иметь в виду, что величины спк нельзя рассматривать как элементы квадратной матрицы. Совокупность коэффициентов спк образует множество матриц-столбцов, отличающихся друг от друга значениями п.

будем также искать в виде рядов

Спк = Спк + ^Cnk + ^пк + • • •(29.7)

Подстановка выражения (29.7) в формулу (29.6) дает

фл = 5 <Ж+ £ ^к< + ^ АсЖ + • • •(29.8)

ккк

В нулевом приближении фл = ф«' (см. (29.5)). Чтобы получить такой результат, нужно положить Спк = Ьпк. Поэтому ряд (29.7) выглядит следующим образом:

Спк = ^пк + ^Crlk + ^C'nk + . ..(29.9)

Для того чтобы сделать-нагляднее порядок каждого приближения, введем обозначение

V = X№,(29.10)

где U7 —оператор того же порядка величины, что и Но, а X — малый безразмерный параметр. При таком обозначении выражения, содержащие X в первой степени, будут одинакового порядка малости с возмущением; выражения, содержащие X2, будут квадратичными по возмущению и т. д. В окончательных формулах мы перейдем от вспомогательного оператора W к оператору возмущения V, заменив XW через V.

Соответственно напишем ряды (29.4) и (29.9) в виде

^^ЧХ^-Ь^'Ч-...(29.11)

с„к = Ж + Хс^ + Х^к +...,(29.12)

где Е„\ Еп, ... — величины одинакового порядка с Еп, с'пк, Спк, ... — величины порядка единицы.

Подстановка ряда (29.12) в формулу (29.6) приводит к выра-

фпЖ' + А£спЖЧХ25сЖ'+... (29.13) кк

(ср. с (29.5)).

Замена оператора V выражением (29.10) приводит уравнение (29.3) к виду

(Ha+XW^n-E^n.(29.14)

Подставим в это уравнение выражения (29.11) и (29.13) для Еп и фл. В разультате получим соотношение

(Ао+х^Ж' + х^^Ж’ + ^З^Ж^..^

= ^ + ХЕ" + Х2Е^ +...) (С + х 5 <Ж + X2 5 c^< + ...).

Раскрыв скобки, сгруппируем вместе члены одинакового порядка малости:

я 0<+х (^ ^//0<+М0’)+х2 (5 сЖс+5 с^ Нп+.. •= 6кк

= Е™’< + X (Е™ 2 с^К + Е^"’) +

+ X2 (£„’ 2 а< + Е^ с'Ж + ЕЖ^ +... кк

Заменим в соответствии с (29.2) выражения вида Н^6' через Е/Л,ф/01 (в результате чего первые члены сократятся), а затем умножим обе части равенства скалярно на ф^’:

X (^ сЖ « I О + <#’ I М"'» +

+ х2 (2 еж <^ । о+2 «й । ш”»+... =

= X (Е™ 2 с^ « I О + Е'^ <^’ I ^"'» 4- X2 (ЕЯ” 2 Е& (W I Ф'Л +

+ ^ £ ей <^' | О + Е^' <^’ | ^’» +... (29.15) к

Выражение

^ = (С1Ж)(29.16)

есть матричный элемент оператора $ в «Е(0,-представлении». Воспользовавшись обозначением (29.16) и учтя, что /ф/1ф^01) = = 6rs, приведем формулу (29.15) к виду

X (5 с-Ж6тк + Wmn) + X2 (2 c^E^'6mA + 5 ей Wmk) + .. .=

" =X(E*5^6mA + E^6,„„) +

+ X2 (E™ 2 с'Ж ^Е™^ сЖ + Е',ГМ + • ■ • кк

уравнений

Wmn = (E^-E^c’^ + E^nmi(29.18)

5 ^ Wmh = к^п' - Е^) с^ + E^+E^’L,(29.19)

Положив в уравнении (29.18) т = п, получим, что

E^=Wnn,(29.20)

откуда следует, что в первом приближении

Ert = E^-V-XE^ = E^ + XWnn = E^-VVnn • (29.21) (см. (29.11) и (29.10)). Заметим, что поправка первого приближения к Еп01, равная

AE^-y^^'lN’*).(29.22)

есть не что иное, как среднее значение возмущения в состоянии, описываемом невозмущенной функцией фп01.

Положив в (29.18) т^п, придем к соотношению Wmn =

= (Е„‘ — Em ) Cnm, ИЗ КОТОрОГО

С^ = -^^Г кт^пу(29.23)

fan —fam

Таким образом, в первом приближении

Cnm = c'^WAk = -^^km^nV (29.24)

Cn —fam

Эта формула' дает значения всех коэффициентов с„т, кроме с„„. Последний коэффициент нужно выбрать таким, чтобы функция фп была нормированной с точностью до членов порядка X.

Подставив (29.24) в выражение (29.6), получим

Ф« = + У Ф^’ (29.25) fan —Ст

(штрих при знаке суммы указывает, что берутся только слагаемые с т^п). Вычислим скалярный квадрат функции (29.25), представив Vmn в виде Vmn = XWmn:

(Фп|Фп) =(Фп|Фп) == <С«Пфп’ I СЯЖ’> + X У «С,# I Ф»*) + fan —fa к= <С«Пфп’ I СЯЖ’> + X У «С,# I Ф»*) + fan —fa кV' / ^тпоtV' / ^тпоtЛ \ р<0>р<0> Yrnfan —fam tnЛ \ р<0>р<0> Yrnfan —fam tnV /^mn а.<0)Л \ hoi c(o) fan —fam, tn, кV /^mn а.<0)Л \ hoi c(o) fan —fam, tn, кfan —Ekfan —Ek(29.26)(29.26)

(Фп|Фп) =

(Фп|Фп) =

= <С«Пфп’ I СЯЖ’> + X У «С,# I Ф»*) + fan —fa к

= <С«Пфп’ I СЯЖ’> + X У «С,# I Ф»*) + fan —fa к

V' / ^тпоt

V' / ^тпоt

Л \ р<0>р<0> Yrn

fan —fam tn

Л \ р<0>р<0> Yrn

fan —fam tn

V /^mn а.<0)

Л \ hoi c(o) fan —fam, tn, к

V /^mn а.<0)

Л \ hoi c(o) fan —fam, tn, к

fan —Ek

fan —Ek

(29.26)

(29.26)

Первое слагаемое полученного нами выражения равно

Второе слагаемое - можно преобразовать к виду

^2'^ «io.

Поскольку при суммировании исключается значение к = п, все члены последней суммы равны нулю (из-за 6Л)!,). Аналогично можно показать равенство нулю и суммы ^' в выражении (29.26),

т

Мы хотим отнормировать функцию фл с точностью до членов порядка Л. Поэтому пропорциональным X2 членом в (29.26) можно пренебречь. Таким образом, мы приходим к выводу, что с требуемой точностью (фл | фя) = | спп |2. Следовательно, для того чтобы функция ф„ была нормирована, модуль спп должен равняться единице: |слл|2=1. Поскольку пси-функция определяется с точностью до произвольного фазового множителя, можно положить) слл=1. Заметим, что в соответствии с (29,12) равенство спп единице означает, что

^ = 0.(29.27)

Положив в (29.25) слл=1, получим окончательное выражение для фл в первом приближении:

^ - < + У' <.(29.28)

tn

Итак, в первом приближении собственные значения и собственные функции оператора (29.1) вычисляются по формулам (29.21) и (29.28).

Перейдем к нахождению энергии во втором приближении. Положив в уравнении (29.19) т = п, найдем, что

^«пк = Е'А'с'^Е^\

откуда

Е^' = - ЕМ + »пп + 2' с^пк k

(мы выделили из суммы член с к = п). Однако с^ = 0 (см. (29.27)). Следовательно,

Ем^дапк.

к

Подстановка значения (29.23) для с'пк дает

Р<”| _ V' ^пк ^кп”Ё^’-Ё^ "

Согласно (29.11) квадратичная по возмущению поправка к энергии равна

'(2) 1 2 F'2 1 V' (xU^nfe) (М" кп) м Л/ ,r.(0)Еп —Ek'(2) 1 2 F'2 1 V' (xU^nfe) (М" кп) м Л/ ,r.(0)Еп —Ek= У' УпкУкп = У' ! Vnk I2 ь Еп'—Ёк Е^’-Ек’

'(2) 1 2 F'2 1 V' (xU^nfe) (М" кп) м Л/ ,r.(0)

Еп —Ek

'(2) 1 2 F'2 1 V' (xU^nfe) (М" кп) м Л/ ,r.(0)

Еп —Ek

(в силу эрмитовости Vkn=Vnk).(в силу эрмитовости Vkn=Vnk).Таким образом,

(в силу эрмитовости Vkn=Vnk).

(в силу эрмитовости Vkn=Vnk).

(мы обозначили немой индекс буквой т вместо к, чтобы обозначения в формулах (29.28) и (29.29) совпадали). Прибавив найденную поправку к выражению (29.21), найдем энергию во втором приближении

Е„ = Е»' + Уяя + У • (29.30) ^ Еп —Ет

Энергия основного состояния минимальна. Поэтому, если индекс п примет значение, отвечающее основному состоянию, то во всех слагаемых выражения (29.29) будет Е„’ -<Ет. Отсюда следует, что поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.

Вычислять пси-функции во втором приближении мы не станем, так как на практике обычно ограничиваются вычислением энергии во втором приближении, а пси-функций— в первом приближении. Однако в некоторых случаях приходится прибегать и к приближениям более высоких порядков.

Изложенный метод может привести к правильному результату в том случае, если ряд последовательных приближений, будет сходящимся х). Необходимым условием сходимости является малость каждой последующей поправки по сравнению с предыдущей. Из формулы (29.30) легко заключить, что для того, чтобы А£я' была много меньше А£я', должно иметь место неравенство

\Vnm\<\E^’-E^\ (29.31)

для всех т#=п. Таким образом, условие применимости теории возмущений заключается в требовании, чтобы недиагональные элементы матрицы V были малы по сравнению с разностями соответствующих значений невозмущенной энергии.

При наличии вырождения одно и то же значение энергии реализуется в нескольких различных состояниях, например в /t-м и m-м (Е'п=Е'т). Поэтому в формулах (29.28) и (29.30) появляются бесконечно большие слагаемые. Следовательно, изложенный в этом параграфе метод расчета при наличии вырождения неприменим.

В качестве иллюстрации к изложенному методу расчета рассмотрим возмущение уровней энергии гармонического осциллятора при сообщении потенциальной энергии малой добавки, квадратичной по х. Этот пример, в частности, интересен тем, что позволяет получить точные значения энергии возмущенной задачи и сравнить их с приближенными значениями, полученными методом теории возмущений.

Напомним, что уровни осциллятора не вырождены, так что все формулы настоящего параграфа справедливы. В рассматриваемом примере

^=iS+¥ (Д = тА

V=b4 (b<a),

Е’п = (и + ’Л) Йо (см. § 25).

Матричные элементы Vnm можно представить следующим образом:

Vnm = (6/2) ^Лпт = (6/2) 2 хпкхкт(29.32)

к

(см. формулу (10.31)). В § 26 было установлено, что отличны от нуля лишь те матричные элементы хпт, у которых индексы отличаются на единицу, причем xn, n_t = xn_lt п = '|/Фг7г/2тосо (см. (26.14) и (26.12)). Следовательно, отличными от нуля будут только те слагаемые в (29.32), у которых к удовлетворяет одному из соотношений:

к = п + 1 — т + 1, к = п ф- 1 = т — 1, к = п — 1 = т ф-1,

к = п — 1 = т — 1.

Первое и четвертое соотношения реализуются при т = п, второе — при т = иф-2, третье —при т = п — 2. Таким образом, отличны от нуля лишь три матричных элемента:

^л, л-2 = (6/2) хп, n_^Xn — ^t п — Ч = ®V ^ (^!)•

^л, л = (6/2) (ХП] n-jX^-i, л ф- Хп_ л-цХд^ п) = 01 (2/1 ф- 1),

Vп, л+ 2 = (6/2) Хп, л + 1Хл + 1, л + 2 = & k (rt Ф~ 1) (И 4" 2),

где а — (6/2) (к/2т^й) = кш (Ь}^.

Подстановка этих значений матричных элементов в формулы (29.22) и (29.29) приводит к следующему значению энергии {напомним, что Еп' — Ет = (п — т) Йю):

+1)+ D +-£lg=lL _

Подставив значение а и произведя преобразования, получим £„=(Л+{)«Ш(| + А-Д).(29.33)

Вместе с тем гамильтониан

описывает осциллятор с частотой го' —]/((? +6)/т0, так что точное значение энергии «возмущенной» системы равно £,-(„+!)»/ЗЕ-

- 4+4) ® /(^) (<+1) - ("+1)V+1 ■

Разложив это выражение по степеням малой величины b/а, придем к формуле

велик вклад функции гр!"' в поправку к фг”. Поэтому целесообразно уже в нулевом приближении искать решение в виде

ф = аф'|“’ + ^'.(30.1)

Подставив это значение в уравнение /Уф = £ф (где Д = Д04-И), получим

аН^"’ + ЬН^°1 = аЕ^л ’ + b Е^1.

Умножим это соотношение скалярно сначала на ф10', а затем на ф™. В результате получится два уравнения

aHYY-VbHu = aE, аН21-\-ЬН22 — ЬЕ,(30.2)

где

Нт„ = <ф£ I Н<) = «' | М’П + « I И<) = ЕпЕтп + Ут„.

(30.3)

Преобразуем уравнения (30.2) следующим образом:

(Ни-Е)а + Н12Ь = 0,Н21а + (Н22 - Е) b =-0.

Для того чтобы эта система имела ненулевые решения, ее определитель должен быть равен нулю. Отсюда вытекает квадратное уравнение для нахождения Е:

(Нп — Е) (Н22-Е)-Н12Н21 = 0, или Е»-(Нн + Н22) Е +

4" кН нН 22 — Д12Д21) = 0.

Корнями этого уравнения будут

Еа = 42 [(Ди + Н22) + VkH^ - Н22у + 4 | Д1212],EoVo^HkHu-W^M

(В силу эрмитовости Н12 = Н21).

Исследуем выражения (30.5) в двух предельных случаях.

Предположим, что

I Нн - Н221 I Н121.(30.6)

В соответствии с (30.3) это означает, что

|.(Д1”1 + ' '„) - кЕ1^ + V22) | ^ | Е?’ - Е'? | > | И121,

т. е. выполняется условие (29.31) применимости обычной теории возмущений, рассмотренной в предыдущем параграфе. В самом грубом приближении можно отбросить 41Д1212 под корнем в (30.5). Тогда получим

Еи = Нп — Е1”' 4* Иц, Е2 = Н22 = Е2 -(- V22,

б И. Bt Савельев, т. 2

е. значения энергии в первом приближении обычной теории возмущений. В менее грубом приближении, т. е. применив формулу У" 1 +х 1 -J-1/^ (х<1), получим

£i = V2 [№i + //22) + Wu - //22) + ^^] -

++(30.7)

Л11 — Л 22^2

где E^ = E^'A-Vnn.

Аналогично

£2 = ^’ + ^ + ^^.(30.8)

Найденные значения Ех и Е^ практически совпадают с получаемыми во втором порядке по формулам обычной теории возмущений. Отличие состоит в том, что в знаменателе стоит разность энергий не нулевого, а первого приближения и, кроме того, отсутствуют слагаемые с т>2. Однако, по предположению, все остальные уровни лежат далеко от Е\“’ и Е^', так что их вкладом в сумму можно пренебречь.

2. Предположим, что

\НХХ — НМ\ <|Я12|.(30.9)

В этом случае с точностью до членов первого порядка малости р На4-Нзз _^_ L „ । । (Яц — Я22)21

Исследуем, в каком соотношении находятся разность значений энергии, определяемых формулами (30.5), и разность Ни— — //22. С этой целью положим

^п = ^о + ух, Нгй = Нй — ^х,(30.10)

где у —постоянный коэффициент, х — независимая переменная. Тогда

Нц — /У22 = 2ух, Нп-\- Н22 = 2Н0.

Произведя соответствующие замены в формулах (30.5), получим:

E1 = H0 + V4fxH\H1112, F2 = ^o-W^ + I//1212- (30.11)

На рис. 30.1 показаны графики функций (30.11) (сплошные линии) и функций (30.10) (штриховые линии) для некоторого фиксированного значения | Н12|. Разность ординат сплошной и- ближайшей пунктирной линий дает поправку второго порядка к значениям энергии. Отметим, что поправки второго порядка всегда увеличивают расстояние между уровнями. В связи с этим иногда говорят об «отталкивании уровней», понимая под этим

Рис. 30.1.Рис. 30.1.увеличение расстояния между двумя близкими уровнями, возникающее в результате учета в гамильтониане тех членов, которые отбрасывались в более упрощенной задаче.

Рис. 30.1.

Рис. 30.1.

Из рис. 30.1 видно, что даже в том случае, когда разность Ни — И22 обращается в нуль, между Ег и Ег существует различие, равное 2 | Н121 = = 2| V12|.

Найдем пси-функции, отвечающие значениям энергии Ех и Еа. Для этого надо определить значения коэффициентов а и b в формуле (30.1). Согласно первому *) из уравнений (30.4)

я/b = Н^ЦЕ — Ну^.

получим два значения отноше-(30.12) индексу(30.13)получим два значения отноше-(30.12) индексу(30.13)Подставив сюда Еу и Ег, определяемые выражениями (30.5), ния alb1.

получим два значения отноше-

(30.12) индексу

(30.13)

получим два значения отноше-

(30.12) индексу

(30.13)

6/1.2 “ (#ц-Я22) { -1 ± К1 + [2//12/(Яп-Я23)Р}

(индексу 1 при alb соответствует плюс перед корнем, 2 —минус). Если ввести обозначение

1ё2а = 2Д13/(Ди-Да2),

формула (30.12) примет вид

WX12 = tg 2а/[— 1 ±/1 + tg2 2а].

Упростив это выражение с помощью тригонометрических преобразований, получим

(30.14)(30.14)(a/&)1 = ctga, (a/6)2 = —tga.

(30.14)

(30.14)

Для того чтобы функция (30.1) была нормированной, должно выполняться соотношение

(30.15)(30.15)й2-]-62 = 1.

(30.15)

(30.15)

Очевидно, что условия (30.14) и (30.15) будут выполнены, если положить

a1 = cosa, (?1 = sina; а2 = — sin a, 62 = cosa.

0 Тот же результат получится, если выразить отношение аГо из второго уравнения.

б*

Поставив эти значения в формулу (30.1), получим нормированные пси-функции, отвечающие значениям энергии Ег и Ей;

(30.16)(30.16)Ф1 = ФГ cos а + Ф21 sin ct, фа = — Ф'Л sin а + ф.2°1 cos а.

(30.16)

(30.16)

Согласно (30.13) в случае, когда имеет место неравенство (30.6), tg2a^0 и, следовательно, i|’i = "Ф!0 • а Ф2 = Ф-2". т- е- новые функции совпадают с исходными. В случае, когда имеет место неравенство (30.9), tg 2а«а оо, т. е. а = л/4 и, следовательно функции фС и фд' входят в ф2 и ф2 с одинаковым весом.

Из сказанного вытекает, что среди значений энергии

^-2, с3 ) £4 , • •

не будет близких друг к другу. Следовательно, эти значения и соответствующие им функции

Ф1, Ф2, ФГ, Ф4°', ...

можно использовать в качестве нулевого приближения при вычислении по формулам (29.28) и (29.29) пси-функций в первом приближении и поправок к энергиям во втором приближении.

Этот же прием можно использовать в том случае, если Ег = Е2, т. е. имеется двукратно вырожденный уровень с функциями фц1 и ф(д. Все формулы этого параграфа остаются справедливыми, если в них под ф)0’ понимать фн, а под фа” —функцию ф^'.

Стационарная теория возмущений

при наличии вырождения

Изложенный в предыдущем параграфе способ применяется и в том случае, когда все уровни вырождены, причем кратность вырождения больше двух.

Допустим, что невозмущенный уровень Е„’ имеет кратность вырождения, равную s„х) (разные уровни могут иметь неодинаковую кратность вырождения). Это означает, что энергия Е»' реализуется в sn различных состояниях, описываемых функциями

ф^1, ф^, ..., ф^ф^;.ф^1, ф^, ..., ф^ф^;.(31,1)(31,1)

ф^1, ф^, ..., ф^ф^;.

ф^1, ф^, ..., ф^ф^;.

(31,1)

(31,1)

Систему функций (31.1) мы будем обозначать символом ф^ (А = = 0, 1, ..., s„) и рассматривать как исходную в данной задаче. Недостаток этих функций заключается в том, что под влиянием слабого возмущения они изменяются очень сильно (из-за нулей, возникающих в знаменателе формулы (29.28)).

9 Чтобы не усложнять обозначений, мы будем индекс п при s писать не всегда.

В силу принципа суперпозиции вместо функций (31.1) можно взять любые s„ независимых линейных комбинаций этих функций, т. е. sn выражений вида

W=ij4W4 (/ = 1, 2, .... sn) (31.2)

4 = 1

(ср. с (30.1)). Попытаемся выбрать эти выражения так, чтобы соответствующие им значения возмущенной энергии оказались несовпадающими *). Удовлетворяющую этому требованию совокупность функций (31.2) мы будем называть правильной. Для правильных функций характерно то, что их изменение под влиянием слабого возмущения является малым.

Исходные функции (31.1) принадлежат значению энергии Е„ и, следовательно, удовлетворяют уравнению

Н^-Е^пЧ (^=1, 2, .... s„).(31.3)

где Но — невозмущенный гамильтониан. Правильные функции (31.2) также принадлежат значению энергии £„ и удовлетворяют аналогичному уравнению

te = fn°W((=1,2s„).(31.4)

Заметим, что независимость энергии состояния ф'й от индекса I может рассматриваться как вырождение по «квантовому числу» i.

Одна из задач, которую нам надлежит решить, заключается в нахождении правильных функций нулевого приближения, т. е. таких значений коэффициентов c'nU, при которых функции (31.2) будут мало изменяться под воздействием возмущения. При отсутствии вырождения такая задача не возникала — исходные функции ф^° (см. § 29) были правильными и могли быть взяты в качестве нулевого приближения.

Первый шаг, который мы можем предпринять, заключается в нахождении функций нулевого приближения (т. е. правильных функций фй’) и поправок первого порядка АЕ'^ к значениям энергии Еп’. Для этого подставим в уравнение Шредингера, написанное для оператора Н = H0A-V, пси-функции в нулевом приближении и значения энергии, взятые в первом приближении. В результате получится соотношение:

(/Wl/MM^’ + Af)*^ (i = l, 2, .... s„), которое с учетом (31.4) упрощается следующим образом:

Уф^А^'ф,?,(1 = 1,2s„).(31.5)

Подставив сюда выражение (31.2) для фп), получим равенство:

5 dnii№ = S А£" с™ж и = 1. 2S„). 6 = 16=1

Умножим скалярно обе части этого равенства на исходную функцию фит (т-ю функцию из совокупности (31.1)):

s с& » I№ I ФЖ>

6=14=1

(i, m= 1, 2, ..., s„).

Функции ф^ предполагаются нормированными: (ф^т | ф^) = 6,^. Следовательно, полученное соотношение можно представить в виде

(z, m=l, 2s„),(31.6)

6=16=1

где

Vnm.nh = <Ф'л%| W (rn, A=l,2s„)(31.7)

есть матричный элемент оператора возмущения, вычисленный с помощью исходных функций (31.1).

Перенеся все члены соотношения (31.6) в левую часть равенства, получим совокупность Sn уравнений

£ (Vnm,nA - 6тйД£^') с'^ = 0(z, т = 1, 2, ..., sn), (31.8)

6=1

отличающихся друг от друга значениями индексов z и т. Отобрав из этой совокупности все уравнения с одинаковым значением индекса z (z = const, m=l, 2s„),получим систему s„ линей

ных однородных уравнений с sn неизвестными с^ (z = const, k = 1, 2s„). Эти неизвестные являются коэффициентами в вы

ражении (31.2) для ф^' с данным значением z. Следовательно, решив такую систему, мы найдем правильную функцию фпЛ Решив все s„ систем (для z = l, 2, ..., s„), найдем все s„ функций фпУ (z = 1, 2, ..., 5Л).

Зафиксируем z и напишем sn уравнений вида (31.8) (для т = 1, 2, ..., зл) в развернутом виде:

(^Л1,л1 — ^Еп') СпЦ + УЛ1,л2с'л1-2+ • • • + V п1, nsCnis= О,

V na,nlc'ni\+ (^п2,л2 — ^п’) cnZii+ • • • 4" ^л2, nsCni's=0,

Vns, тспйVns, тспй4* Vns,n^,Cn^4* Vns,n^,Cn^+ ...-V(Vns.lls-^E,Г)cX = O.

Vns, тспй

Vns, тспй

4* Vns,n^,Cn^

4* Vns,n^,Cn^

(31.9)

Для того чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевые решения, определитель системы должен быть равен нулю:

Vпг, тVпг, т^Ш,П2^П2,Л2 ^Еп ...^Ш,П2^П2,Л2 ^Еп ...V.v,V.v,nt.nsnt.ns02, MS02, MS= 0.(31.10)= 0.(31.10)

Vпг, т

Vпг, т

^Ш,П2

^П2,Л2 ^Еп ...

^Ш,П2

^П2,Л2 ^Еп ...

V.

v,

V.

v,

nt.ns

nt.ns

02, MS

02, MS

= 0.(31.10)

= 0.(31.10)

^OS, 02^OS.OS^Еп

Раскрыв определитель, получим алгебраическое уравнение з„-й степени относительно неизвестной ^Еп'. Это уравнение называется секулярным или вековым1).

Секулярное уравнение имеет, вообще говоря, s„ различных вещественных корней: kEni (t = l, 2sn). В частном случае некоторые корни могут оказаться кратными. При отсутствии кратных корней невозмущенный з^-кратно вырожденный уровень Еп расщепляется под воздействием возмущения V на s„ несовпадающих подуровней

F'«! — ро I дри, «-nt — !- п н £A1", тF'«! — ро I дри, «-nt — !- п н £A1", т(1 = 1, 2, ..., s„).(1 = 1, 2, ..., s„).(31.11)(31.11)

F'«! — ро I дри, «-nt — !- п н £A1", т

F'«! — ро I дри, «-nt — !- п н £A1", т

(1 = 1, 2, ..., s„).

(1 = 1, 2, ..., s„).

(31.11)

(31.11)

Таким образом, возмущение снимает вырождение по «квантовому числу» I (см. текст, следующий за формулой (31.4)). При наличии кратных корней секулярного уравнения снятие вырождения будет частичным.

Подставив в (31.9) значение ^Е’п, равное ЬЕД Ц.= 1), получим систему уравнений, имеющую ненулевые решения c„% (fe=l, 2, ...,s„). Подстановка этих значений в (31.2) даст функцию Ф«1 — функцию возмущенного состояния с энергией Д,^ в нулевом приближении. Подставив в (31.9) последовательно ДД^, ДДлз и т. д., получим остальные функции фХ

Определив описанным выше способом правильные функции нулевого приближения фяЛ можно перейти к нахождению вида пси-функций в первом приближении.

Прежде всего отметим, что вычисленная с помощью правильных функций матрица VnnY>nk (см. (31.7)) будет диагональной. Действительно, правильные функции удовлетворяют уравнению (31.5), т. е. Уфпй = ДД^ф^. Следовательно,

Vnm,nk = № М = № | ДД») = ^E^nmMl (31 .12)

откуда вытекает, что недиагональные элементы матрицы равны нулю, а диагональные представляют собой соответствующие поправки первого порядка к энергетическим уровням:

(m = 1, 2, ..., s„).(m = 1, 2, ..., s„).(31.13)(31.13)

(m = 1, 2, ..., s„).

(m = 1, 2, ..., s„).

(31.13)

(31.13)

9 Название заимствовано из небесной механики.

Определитель (31.10) сводится в этом случае к выражению

(КД1]Л1 — А£я') (^Л2]Л2 — АДл11) ... (V^-АД^О.

Теперь будем действовать по той же схеме, которая была принята в § 29, Нахождение функций ф„г сведем к отысканию коэффициентов разложения этих функций по правильным функциям нулевого приближения ф^:

фП1 = 2^,^(п=1,2i=l, 2, ..., s„)(31.14)

kp

(ср. с (29.6)). В этой сумме индекс А пробегает значения: 1, 2, ... , л,..., а индексу при заданномк — значения: 1, 2, ..., $д. Полное число слагаемых равно: s1 + s2 + ... + s„ + • •.

Собственные значения энергии и коэффициенты сп1,кр представим в виде рядов, аналогичных (29.11) и (29.12):

Eni = E™i + кЕ1^ + К1 Ent + ...,(31.15)

Cni,kp = &nl,kp + Хс«1,кр + ХТл^Ар + •••(31.16)

Символ Кронекера отличен от нуля при условии, что n = k, i = p.

Далее подставим в уравнение Шредингера для оператора Н = HtiVV = H0-\-XW выражение (31.15) для Ещ и (31.14) для фл( (в последнем нужно заменить коэффициенты рядами (31.16)), затем умножим получившееся соотношение на фт) и т. д.

Из сказанного ясно, что формулы, к которым мы придем, будут отличаться от формул, полученных в § 29, лишь тем, что вместо индекса п будет стоять двойной индекс ni, вместо k — kp и вместо m — ml. В частности, замена п на ni в (29.21) приводит к результату:

Eni = E^ + Vni,nb(31.17)

совпадающему с (31.13), Требование, чтобы фл; были нормированы с точностью до членов порядка X, приведет к условию

<« = 0(31.18)

(см. (29.27)).

Напишем аналоги формул (29.18) и (29.19):

wmi,ni = (Е^ - Е!,^ c^mi + E^nl.mi,(31.19)

^с^кр^кр = <Е^ - Е^) с^,т1 + Е^,т1 + Е^6п1,т1. (31.20) кр

Положив в формуле (31.19) т^п, получим

^.mi =(т^п)(31.21)

(ср. с (29.23)). Теперь напишем (31.20) для т — п, 1^г.

Htil,kpWni>!ip = E^c^)„t(31.22)

кр

(вследствие вырождения £„; = £$).

Согласно (31.13) Eni = Wni,ni (напомним, что А£(1) = ХЕ^, У = ^^). Осуществим в (31.22) такую замену и, кроме того, выделим из суммы по индексам k и р те слагаемые, у которых к = п\

^^Cnt ,npW ni,np~V У Cn'i.kpW п1,кр = Wni,nlCni ,nl- Ркр

Матрица Wni.nP, как и матрица Vni,nP, диагональна (см. (31.12)), Поэтому в сумме по р отлично от нуля только одно слагаемое (у которого р = Ц, причем это слагаемое равно c'nl.niW nl,nl. С учетом этого обстоятельства можно написать, что

С nt, nl =пт/, Cni kpWnibp.

w nl.ni—w nl.nl kp

Наконец, подставив вместо с„1 ,кР его значение, вытекающее из (31.21), получим формулу

<111X W ni.kpW ftp.nl

Cni.nl = ~- У' ^^(3L23)

w nl.ni — W nl.nl ■ Eni—Ekpkptk^m

Формулы (31.21) и (31.23) дают значения всех коэффициентов Cni.mi, кроме Cni.ni, но последний, как мы знаем, равен нулю (см. (31.18)). Таким образом, мы имеем возможность написать выражение для пси-функции в первом приближении:

Ф„;=Ф™гч у Jmi’n‘v<i+

Eni — Emi ml (тфп)

+ 2 v ■ 1—, 2 ^"^W (31-24) / *пьт v nLnl l Eni —Ekp

(ср. c (29.28)).

Найдем поправку к энергии во втором приближении. Для этого воспользуемся соотношением (31.20), положив в нем т = п и 1 = 1\

кр

Отсюда с учетом (31.18) получаем, что

E^ = ^c^,npWn!,np+ 2 c^pW^p Ркр

(мы разбили сумму, стоящую слева в (31.25), на две суммы). Все слагаемые первой суммы равны нулю: при р = 1 из-за Cni,ni, при р^Ы из-за диагональности матрицы Wniinp. Поэтому, подставив во вторую сумму значения (31.21) для коэффициентов Cnl.hp, получим для поправки к энергиям во втором приближении следующую формулу:

№ = №>= У(31.26)

Ent—Ekp

Примеры на применение стационарной теории возмущений

В качестве примеров на применение стационарной теории возмущений рассмотрим эффект Зеемана для частицы без спина и эффект Штарка для водородного атома.

Начнем с эффекта Зеемана. Рассмотрим частицу, отличающуюся от электрона только тем, что ее спин равен нулю; Пусть эта частица движется в кулоновском поле атомного ядра. Тогда гамильтониан частицы имеет вид

<32J)

В § 24 было найдено, что собственные значения такого оператора определяются выражением (24.23), а собственные функции имеют вид

^nlm = Rnlkry¥lm^, ф)

(см. (24.27)).

Найдем, как изменятся значения энергии, если подействовать на систему ядро — частица однородным постоянным магнитным полем В. Для этого надо знать выражение гамильтониана для заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле. В § 70 тома 1 было, выяснено, что функция Гамильтона для частицы с зарядом е (а не —е, как у нашей частицы) определяется выражением

,Я-^7(Р-7А)= + ^(32.2)

где Р —обобщенный импульс частицы, А и ф — векторный и скалярный потенциалы поля в точке, в которой находится частица (см. т. 1, формулу (70.12)).

Обобщенному импульсу Р сопоставляется такой же оператор — iAV, как и обычному импульсу р. Поэтому вместо Р пишут р. В координатном представлении векторному потенциалу, как и всякой другой функции координат, сопоставляется оператор А = А. В соответствии с этим гамильтониан определяется выражением fp--A? + eV.(32.3)

2me v с /

Раскрыв скобки, получим

=РА—Ар+^тА2 + еф. (32.4)

2m , гrг 2тес2 1 т v '

Легко найти, что коммутатор операторов р и А равен

[р, А] = рА — Ар = —t'SVA.(32.5)

Поэтому, заменив рА через Ар — t^VA, можно привести (32.4) к виду

^ = ^ Р2 ~ ^ АР + ^А + 2^ А2 + ^^

Напомним, что это выражение гамильтониана получено для частицы с зарядом е. Мы рассматриваем движение частицы с зарядом —е. Для такой частицы гамильтониан (32.6) нужно записать следующим образом:

А| АрАр^

Н = 2^7 Р2 + АР + А + А2 -<32-7)

В § 47 тома 1 было показано, что векторный потенциал однородного постоянного поля В, направленного по оси 2, можно представить формулами

Ах =— '/аВу, Ау = ^кВх, Az = 0.(32.8)

Определим вид гамильтониана (32.7) для данного случая. Легко видеть, что для потенциала с компонентами (32.8) VA = 0. Следовательно, третий член в (32.7) исчезает. Далее, согласно (32.8),

Ар = — VaBy • Рх + ^аВх • ру = VaB (хру - ур,) = xkBMzr^B (32.9) (см. (15.11)),

A2 = V4B2 (х* + у2)~В*.(32.10)

Если ограничиться рассмотрением слабых полей, то в формуле (32.7) четвертым членом, пропорциональным В2, можно пренебречь по сравнению со вторым членом, пропорциональным В.

Отбросив в формуле (32.7) третье и четвертое слагаемые, а также подставив значение ф для поля ядра, придем к

следующему выражению:

Д = -р2- —+—Ар = Д0 + —Ар (32.11) 2me м г 1 тес г 1 тес р '*

(см. (32,1)). Таким образом, гамильтониан распался на сумму невозмущенного гамильтониана //0 и оператора возмущения:

^ = 7Г7АР = ^7^(32.12)

(мы воспользовались соотношением (32.9)).

Значения энергии Е™ невозмущенных состояний определяются формулой (24.23), собственные функции ф^/т —формулой (24.27), п — 1

причем n-му значению энергии соответствует 2 (2/ + 1) = и2 1 = 0

функций, отличающихся значениями квантовых чисел I и т (имеет место вырождение по I и т).

При наличии вырождения поправки к энергии в первом приближении находятся из решения секулярного уравнения (31.10). Вычислять эти поправки непосредственно по формулам (31.13) и (31.12) с использованием функций (24.27) нельзя, так как может оказаться, что эти функции являются «неправильными» (напомним, что функции, фигурирующие в формуле (31.12), предполагаются «правильными»).

Для составления секулярного уравнения необходимо знать матричные элементы

Vnlm.nl'm' = <^nim\ V^n/'m')-(32.13)

В § 23 было выяснено, что оператор (32.1) коммутирует с оператором Mz. Поэтому функции ^п1т являются одновременно собственными функциями оператора Mz, т. е. удовлетворяют уравнению

А4гфХ = ^фХ.

Следовательно, V^ni'm' = (еВ!2т.,с) M^nl-m- = (еВ/2тес) тИ^т'. Подстановка этого выражения в (32.13) дает

V nlmt пГт* " (eBj2m^ тГг^п1гП1ПГт-.(32.14)

Оказалось, что при любом п матрица V диагональна. Это означает (см. текст, предшествующий формуле (31.12), что по отношению к возмущению (32.12) функции (24.27) являются «правильными». В этом случае поправки к энергии в первом приближении равны диагональным матричным элементам (32,14), т. е.

№п = ^-Вт = ^Вт,(32.15)

где рв — магнетон Бора.

Мы выяснили, что при действии на атом (с бесспиновым электроном) магнитного поля энергия атома стала зависеть от квантового числа т (поэтому его и называют магнитным). Таким образом, магнитное поле снимает вырождение по т. Однако, поскольку поправка к энергии не зависит от квантового числа /, вырождение по / остается, так что в данном случае возмущение снимает вырождение только частично.

Теперь перейдем к рассмотрению эффекта Штарка. Пусть на атом водорода действует слабое постоянное и однородное электрическое поле напряженности £, направленное вдоль оси 2. Потенциал этого поля равен <р = — Ez =— Er cos'd. Следовательно, оператор возмущения имеет вид

V = eEr cosd. (32.16)

Вычисленные с помощью функций (24.27) матричные элементы оператора (32.15) выглядят следующим образом:

Vnlm.nl'm- = <ФХ ! eEr cos d^lm-> =

-= еЕ J Y*mYrm, cos d sin d d^ dtp $ RniRm-r- r2 dr. (32.17)

о

Основное состояние является невырожденным. Поэтому функция фюо является «правильной» и, согласно (31.13) (а также (29.22)), ■ Af)1' = V100,100 = (Фию1 eEr cos $ф1Оо).

Подставив сюда ф100 из (24.33), получим (2=1):"

Af i1’ = —1— ( e~v/r«eEr cos dr2 sin d dr dd d®.

2л л-

Так как § dtp § cos d sin d dd = 0, получается, что Af^^O. Сле- 00

довательно, для основного состояния атома водорода эффект

Штарка первого порядка отсутствует..

Первое возбужденное состояние атома водорода (п = 2) четырехкратно вырождено —энергии Е2 соответствуют функции (см. (24.33)):■■

Ф200

Ф211 —

г’Л4 /2л

1

_e-r!Vorgi<$ sjn $,

Ф210 —

Ф21-1

е-гпгч cos $ гЧД V 2л

—1e^^^re-11® sin d.

(32.18)

Из шестнадцати матричных элементов У^[т1у>т-, которые можно получить с помощью функций (32.18), отличны от нуля только два, отвечающие 1^-1' и т. = т’. В этом можно убедиться непосредственной проверкой. Однако такой результат вытекает также из следующих соображений. В § 20 было показано, что четность функции Ylm (d, <р) совпадает с четностью квантового числа Z —это означает, что при замене: d->n —d, <р-э-<р + л функция Y[m умножается на (—l)z. Радиальная функция Rnl (г) является четной (при инверсии г не изменяется). Функция cos'd является нечетной. Следовательно, четность подынтегральной функции в (32.17) равна .Z-p/' + l. Интегрирование нечетной функции углов по dQ = sin d dd dtp в пределах полного телесного угла 4л дает нуль. Таким образом, интеграл отличен от нуля лишь для четных значений Z + Z'+ 1, т. е. для 1=^Г. Далее, при т^т' выражение (32.17) будет содержать множитель

2л

^ gKm-m'Xf ^ф = 0 При Ш ^= т'. о

Итак, отличны от нуля лишь элементы V200,210 и Р2ю,2оо. Они имеют значение

V 200,210 = V 210, 200 —

ОО лОО л\ бг,1Тй — (2—— ) cos di£r cos d • 2лг2 sin d dr dd =\ бг,1Тй — (2—— ) cos di£r cos d • 2лг2 sin d dr dd =rg32n j j r0 \ r0 / о 0rg32n j j r0 \ r0 / о 0= —3e£r0.(32.19)= —3e£r0.(32.19)

ОО л

ОО л

\ бг,1Тй — (2—— ) cos di£r cos d • 2лг2 sin d dr dd =

\ бг,1Тй — (2—— ) cos di£r cos d • 2лг2 sin d dr dd =

rg32n j j r0 \ r0 / о 0

rg32n j j r0 \ r0 / о 0

= —3e£r0.(32.19)

= —3e£r0.(32.19)

Заметим, что в данном случае матрица V недиагональна, так что по отношению к возмущению (32.16) функции (32.18) не являются «правильными» (напомним, что по отношению к возмущению (32.12) они были «правильными»).

Выбрав последовательность индексов: 200, 210, 211, 21—1, напишем секулярное уравнение (см. 31.10))

0 —Д£—Зс£г00 —Д£—Зс£г0—Зе£ г00 —Д£—Зе£ г00 —Д£о оо ооооо000-Д£0000-Д£00000 —Д£0000 —Д£= 0.= 0.

0 —Д£

—Зс£г0

0 —Д£

—Зс£г0

—Зе£ г0

0 —Д£

—Зе£ г0

0 —Д£

о о

о о

оо

оо

0

0

0-Д£

0

0

0

0-Д£

0

0

0

0

0 —Д£

0

0

0

0 —Д£

= 0.

= 0.

Раскрыв определитель, получим

' (-Д£)2[(-Д£)2-(-Зе£го)2] = О.

Корни этого уравнения равны

ДД^ЗеДгд, Д£а = —Зе£г0, Д£3 = Д£4 = 0.(32.20)

(32.21)(32.21)£0 +^^£0 +^^(32.22)(32.22)Фз = Ф2И, Ф4 = Ф21-1.Фз = Ф2И, Ф4 = Ф21-1.(32.24)(32.24)

(32.21)

(32.21)

£0 +^^

£0 +^^

(32.22)

(32.22)

Фз = Ф2И, Ф4 = Ф21-1.

Фз = Ф2И, Ф4 = Ф21-1.

(32.24)

(32.24)

Взяв А£4, получим систему уравнений для определения коэффициентов сУт (см. (31.9))■

— ЗеЕгй ■ сг — ЗеЕг0 ■ с2 = О,

— ЗеЕг0 ■ сг — ЗеЕг0 ■ с2 = О,

— ЗеЕг0 • с3 = О,

■— 3eErti • с4 = 0.

Отсюда с4 =— с2, с3 = с4 = 0. Таким образом, уровню соответствует в нулевом приближении функция

Ф1 = с (ф2оо — фгю) тр==- (Ф200Ф210) =

2--(l+cosft) .

Г? ЗУ ЛГо

Составив систему, аналогичную (32.21), для А£2 =— ЗеЕг0, найдем, что с4 = с2, с3 = с4 = 0. Следовательно, уровню Е0-\-\Е2 соответствует функция

=(^200 + ^210) =[2 — — (1 — cos ft)l. (32.23)

У 2г0'2 8У л| г0|

Подстановка в систему (31.9) значения А£ = 0 дает, что с1==с2 = 0, остальные коэффициенты остаются неопределенными, так что можно положить

Совокупность функций (32.22) — (32.24) образует «правильную» систему функций нулевого приближения в случае, когда оператор возмущения имеет вид (32.16). С помощью этих функций поправки первого приближения к энергиям можно вычислять по формуле (31.13). Подставив, например, в эту формулу функцию (32.22), получим

ОО л

Д£ =( е~ Г1Г« [2 — — (1 + cos ft) Г г cos ft ■ 2лг2 sin ft dr d& =

^64л J .) L r0 v 1 Ч о о

= 3eEr0, что совпадает с Д£4 из (32.20), Легко убедиться в том, что

(Фз) ^ф3) = <ф4| Уф4> = 0,

.где ф3 и ф4 определяются формулами (32,24). Этот результат также согласуется с (32.20).

Подводя итог, можно сказать, что из четырех вырожденных состояний, соответствующих п = 2, в первом приближении два состояния вообще не изменяются при воздействии слабого элек-

трического поля. Два других состояния, описываемые функциями (32.22) и (32.23), приобретают добавочную энергию ЗеЕг0 и — ЗеЕгд. Это можно интерпретировать так, что атом водорода в первом возбужденном состоянии ведет себя как диполь с моментом Зег0, способный ориентироваться параллельно полю (одно состояние), антипараллельно полю (одно состояние) и перпендикулярно к полю (два состояния).

Возмущения, зависящие от времени

Пусть оператор возмущения V зависит явно от времени. Тогда гамильтониан рассматриваемой задачи

H=H0^V(t)(33.1)

также содержит явно время. В этом случае нельзя говорить о поправках к собственным значениям энергии невозмущенных состояний, так как стационарных возмущенных состояний (т. е. состояний с постоянной энергией) не существует. Поэтому наша задача будет заключаться в приближенном вычислении пси- функций возмущенных состояний.

Указанную задачу мы будем решать, предполагая, что первоначально (при / <0) рассматриваемая система находилась в одном из стационарных состояний, описываемом функцией ф„' невозмущенного оператора Но (это означает, что V (/) = 0 при /<0). В момент / = 0 на систему начинает действовать слабое возмущение. Вследствие малости этого возмущения пси-функцию возмущенного состояния можно считать мало изменяющейся с течением времени.

' Пси-функции невозмущенной задачи с учетом зависимости их от времени выглядят следующим образом:

^"Чх, t)=^'(x)e-timE>‘,(п=1, 2, ...)(33.2)

(см. (5.6); под х подразумевается совокупность координат частиц, входящих в систему). Напомним, что функции фп (х) удовлетворяют уравнению

Но^п Чх) = Еп^’ (х), а функции фл (х, /) — уравнению

Н6С (х, t) = iH .(33.3)

В отличие от предыдущего параграфа теперь стационарными состояниями (т. е. состояниями с определенной энергией) являются только невозмущенные состояния. Поэтому нет необходимости писать при значениях энергии вверху индекс «(0)».

Поскольку возмущенное состояние не стационарно, его' пси- функцию нельзя представить в виде, аналогичном (33.2). Однако в силу полноты системы функций (33,2) функцию ф (х, /) можно в любой момент времени разложить в ряд по этим функциям, т. е. представить в виде

Ф (х, /) = 2 спк ^ ф£' (х, /) = 2 спк (О ф^ (X) е"г< (33.4) кк

где коэффициенты спк (/) зависят только от t. Если, как мы предположили, система находилась первоначально в стационарном состоянии ф'п'" (х, /), то в момент / = 0 должно выполняться условие: ф (х, 0)=ф„°’(х, 0). Согласно (33.4) это условие будет соблюдено, если

сПб(0) = 6пй.(33.5)

Функция ф (х, 0 является решением уравнения

[^о + V (/)] Ф (х, Ц = Ш(33.6)

Подставим в это уравнение выражение (33.4) для ф(х,/):

[Wo+ V ф] ^спк (t) ф^" (х, t) = iH ^ 2С»6 ^ < (х, tyкк

В Нй время явно не входит, в V (t) время входит как параметр. Поэтому операторы Но и V (I) не действуют на коэффициенты cnk(ty Следовательно, полученное нами уравнение можно преобразовать следующим образом:

2 спк Нй< (х, /) + V Спк V «) ф^’ (х, /) = кк

VIдф,? ’ (х, Лde. (Л

= ^спк (/)ty

кк

В силу (33.3) первую сумму в левой и правой частях равенства можно опустить. Оставшееся равенство умножим скалярно, на Фт (X, О-

^^(^«(Х. П^^^ЧХ, о> = к

= in^ML«x, /)IW(-r, /)>.

(33.7)(33.7)к Наконец, введя обозначение

(33.7)

(33.7)

vm^) = <Wx, oiv(№(*. Ф

и приняв во внимание, что (ф™ (х, /) |ф*’ (х, /)) = 6ть> можно написать:

Ш^^ = ^Vfflfc(t)cnfcV).(33.8)

Отметим, что определяемый формулой (33.7) матричный элемент возмущения можно записать следующим образом:

Vmk (t) = Ж (х) е"{im «‘ | V «) < (х) е-(1^ Е^} =

= е№ (Ет-Еь)' Ж' ^ | у W ^' ^^е^ть* Vmk (t),(33.9)

где

ow = ^=^-,(33.10)

утН0 = Ж’М I v иж^у(33.11)

Используя обозначения (33.10) и (33.11), можно написать:

.(33.12)

Вернемся к уравнению (33.8). Будемискать его решения

в виде

спт (0 — стп (t) 4* ХСпт U) + Х"Спт (04" ■ •.

Если в качестве нулевого приближения взять невозмущенную функцию зфп' (х, /), то с'™ (0 = 8пт (см. (33.5)). Следовательно, Спт (0 = ^пт 4" ^Спт (0 4" ^Спт (0 4" • • • =

= ^пт 4" ^Спт (0 4" ^спт (t) 4" •••(33.13)

Матричные элементы V тк (/) представим в виде XWmh(tY Тогда уравнение (33.8) запишется следующим образом:

- к 2 ir« щ б„,+v 2 w» (о в (о +...

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях X, получим ряд уравнений

^1) (А

(33.14)

iH -^Т- = ^mkV> С^ ^,(33.15)

к

Интегрирование этих уравнений дает для поправок к коэффициентам с'и%(/) = 6„т следующие значения:

Дс^ = ^ = -1 ^ Vmn ^ dt = -^ vmn (/) е£атп« dt, (33.16)

Дс^,= № = - 1 ^ S Vmk V') Д^ (П dt' =

= (-|)2 2Symft(r)<?‘ V П у^(Пе1М^" d/Adf (33.17)

(во избежание путаницы мы обозначили переменную интегрирования вместо / в одном случае Г, в другом /"). Напомним, что п в этих формулах означает индекс первоначального, невозмущенного состояния.

Подставив вычисленные таким способом поправки в формулу (33.13), найдем коэффициенты разложения cnm(f), а следовательно, и саму возмущенную функцию (33.4). Таким образом, решение задачи сводится к нахождению матричных элементов (33.7) и вычислению интегралов (33.16), (33.17) и т. д.

Итак, с учетом формул (33,5), (33.16) и (33.17).,

+ (- |)2 2 S Umfe (f) el<W j S У^ ^ el<Sknt" dt"\dt'A"... (33.18)

Допустим, что в момент времени т возмущение прекращает свое действие. Начиная с этого момента, коэффициенты разложения принимают постоянные значения с„й(т). Следовательно, при />т состояние системы ф будет суперпозицией'стаиионар- ных состояний: .

4 = 5 с"к СО ф*' (х) е Ц№ Ек‘

(см. (33.4)). В этом случае вероятность Рпт того, что система находится в стационарном состоянии с энергией Ет, определяется квадратом модуля коэффициента слт(т). Если ограничиться

первым приближением, то, согласно (33.18),

Спт (Т) = —СоответственноРпт = | спт (т) 2 = <,2Спт (Т) = —СоответственноРпт = | спт (т) 2 = <,2j § итп ^etlflmnt dt Оj § итп ^etlflmnt dt О<т^п\(33.19)<т^п\(33.19)т2§ ит„ ^е1®^ dt от2§ ит„ ^е1®^ dt о(m=#n).(33.20)(m=#n).(33.20)

Спт (Т) = —

Соответственно

Рпт = | спт (т) 2 = <,2

Спт (Т) = —

Соответственно

Рпт = | спт (т) 2 = <,2

j § итп ^etlflmnt dt О

j § итп ^etlflmnt dt О

<т^п\(33.19)

<т^п\(33.19)

т2

§ ит„ ^е1®^ dt о

т2

§ ит„ ^е1®^ dt о

(m=#n).(33.20)

(m=#n).(33.20)

Выражение (33.20) определяет вероятность перехода системы из стационарного состояния -фп ’ (х) в стационарное состояние ф„ (х) (m^n) за время действия возмущения.

Отметим, что полученное нами выражение для Р^ справедливо только в том случае, если матричные элементы Vтп (/) и время возмущения т достаточно невелики для того, чтобы поправки Ас„ш (т) были малыми по сравнению с единицей.

Если V (0) = V (т) = 0 (соответственно равны нулю также vmn (0) и итл(т)), формулу (33.20) можно преобразовать, взяв интеграл по частям:

om„(/)e‘“^ dt оom„(/)e‘“^ dt о1Штп1ШтпI^-e^mn'dt.I ,мтл ' dt 00I^-e^mn'dt.I ,мтл ' dt 00

om„(/)e‘“^ dt о

om„(/)e‘“^ dt о

1Штп

1Штп

I^-e^mn'dt.

I ,мтл ' dt 00

I^-e^mn'dt.

I ,мтл ' dt 00

Первый член при подстановке пределов интегрирования обращается в нуль. Поэтому можно написать, что

РптРпт1№^тп1№^тпТ2A atТ2A at(33.21)(33.21)

Рпт

Рпт

1

№^тп

1

№^тп

Т2

A at

Т2

A at

(33.21)

(33.21)

До сих пор мы рассматривали простейший случай, когда оператор Нй обладает дискретным спектром собственных значений. Соответственно выражение (33.20) дает вероятность перехода между состояниями, принадлежащими дискретному спектру. Больший интерес представляют переходы из состояния, принадлежащего дискретному спектру, в состояние, принадлежащее непрерывному спектру. Такие переходы возможны в том случае, когда спектр оператора Но содержит как дискретные, так и непрерывные области. В этом случае вместо (33.4) получается формула

ф (х, t) = 2 сь (0 ^ (х, ^) + $ (0 ipv1 (х, f) dv, (33.22)

где индекс v характеризует состояние, принадлежащее непрерывной части спектра (см. (12.1)). После подстановки этого

выражения в уравнение (33.6) и упрощений придем к соотношению

5 ск ^ У#" (х, /) + $ cv (Z) V< (х, /) dv = к

= ih'2r^L^'<х, t) + in\^^-^'(х, t)dv. (33.23)

Умножив (33.23) скалярно на фт (х, /) и приняв во внимание, что в силу ортогональности собственных функций (фт | ФУ') = О, получим аналог уравнения (33.8)

Ш ^Г = 2 ^ (Z) Ch ^ + V™ (/) с" ^ dv’ (33>24) где

HmvW = «(x, Z)[W(^. Ф,(33.25)

а Ут» (0 дпределяется формулой (33.7). Представив в (33.24) искомые коэффициенты в виде

Ск И) = &пк + И“ (О + W (/) + ...;2

cv (/) = Х41’Ф + ^У' ф + ...(’

(мы предполагаем, что ф (х, 0)=ф„0’(х, 0), поэтому все 4” Ф = = 0) и, приравняв затем коэффициенты при одинаковых степенях X, придем к уравнениям, аналогичным (33.14) и (33.15):

1Й ^-=№тпф,(33.27)

/А ^Г = 2 Wmh ^ Ск ^ + У Wm^ ^ с<4‘ ^ dt’ (33128)

(Wmn=Vтп(Х и т. д.). Их решения имеют вид

АФ1 = Хс^1 = -1 j Vmn ^<11 = -^^ итп (t) е1йтп‘ dt (33.29) Ас^1 = Х2^’ =

- - ^ S Vmk (Z) 4" ^ dt+\dv\ v^ (0 eV' W d^L (33.30) (доJ о • I

(ср. с (33.16) и (33.17)).

Умножив (33.24) скалярно на ф^ (х, О и проделав аналогичные выкладки1), придем к уравнениям

iH^=^vnVV(33.31)

^г = 2 ^ (п с? ^ + J Wvv У) ^’V) dv< (33132)

где

WVn т = <^’ (х, t) I W (/) ф^' (х, /)>,(33.33)

№v.v (/) = <ф<°,' (х, /) | W (/) -ф”»’ (х, /)).(33.34)

Решив уравнение (33.31), найдем коэффициент cv в первом приближении:

cv = ^' = ^ =

= - ^ Vvn (/) dt = — ^ Vvn (t) е1щ^ dt,(33.35)

оо

где

Vvn (0 = <ф(/ (х) I V (Офл’ (я)); <ov„ = (£v — En^h.. (33.36)

Формула (33.20) определяет вероятность перехода из определенного состояния п в определенное состояние т. В отличие от этого, в случае переходов в непрерывный спектр следует рассматривать вероятность перехода из состояния п в одно из состояний, принадлежащих интервалу от v до v-f-dv. Выражение для этой вероятности выглядит следующим образом (мы опускаем штрих при v):Формула (33.20) определяет вероятность перехода из определенного состояния п в определенное состояние т. В отличие от этого, в случае переходов в непрерывный спектр следует рассматривать вероятность перехода из состояния п в одно из состояний, принадлежащих интервалу от v до v-f-dv. Выражение для этой вероятности выглядит следующим образом (мы опускаем штрих при v):а?пм = | cv I2 dv =а?пм = | cv I2 dv =§ yv„ (О е^п1 dt о§ yv„ (О е^п1 dt о2dv.2dv.(33.37)(33.37)

Формула (33.20) определяет вероятность перехода из определенного состояния п в определенное состояние т. В отличие от этого, в случае переходов в непрерывный спектр следует рассматривать вероятность перехода из состояния п в одно из состояний, принадлежащих интервалу от v до v-f-dv. Выражение для этой вероятности выглядит следующим образом (мы опускаем штрих при v):

Формула (33.20) определяет вероятность перехода из определенного состояния п в определенное состояние т. В отличие от этого, в случае переходов в непрерывный спектр следует рассматривать вероятность перехода из состояния п в одно из состояний, принадлежащих интервалу от v до v-f-dv. Выражение для этой вероятности выглядит следующим образом (мы опускаем штрих при v):

а?пм = | cv I2 dv =

а?пм = | cv I2 dv =

§ yv„ (О е^п1 dt о

§ yv„ (О е^п1 dt о

2

dv.

2

dv.

(33.37)

(33.37)

Рассмотрим два предельных случая поведения возмущения V (/): 1) Случай, когда возмущение, возникнув в момент Z = О, медленно нарастает от нуля до некоторого значения, а затем медленно убывает до нуля в момент / = т. В течение всего промежутка времени от 0 до т производная dV/dt очень мала. Такое возмущение называется адиабатическим. 2) Случай очень быстрого, «внезапного», включения взаимодействия. Увеличившись за очень короткий промежуток времени А/ от нуля до

!) Производя выкладки, следует учесть, что (фу (х, /) [ ф™’ (х, /))> = = 6(v' — v) (см. (12.6)).

(33.38)(33.38)С *w.) ' dtС *w.) ' dt

(33.38)

(33.38)

С *w

.) ' dt

С *w

.) ' dt

некоторого значения, возмущение в дальнейшем изменяется адиабатически и к моменту / = т обращается адиабатически в нуль. В этом случае производная dV ,dt очень велика в промежутке от 0 до Д/, все остальное время она очень мала.

Будем считать собственные значения невозмущенного оператора дискретными и невырожденными. Для оценки вероятностей перехода воспользуемся формулой (33,21). Допустим, что

(адиабатическое изменение возмущения). За время т экспоненциальный множитель в (33.21) совершит много осцилляций. Поэтому сравнительно медленно изменяющийся множитель dVmJdt можно вынести за знак интеграла, взяв для него некоторое среднее значение в интервале [0, т]. Тогда можно утверждать, что

।. 1 Idy«n

dt

Приняв во внимание условие (33.38), получим, что Pnm<CV Это означает, что система, находившаяся до включения возмущения, удовлетворяющего условию (33.38), в невырожденном состоянии ф„, останется в этом состоянии и после выключения возмущения.

При внезапном включении возмущения вклад в интеграл (33.21) будет заметным только за время включения возмущения Д/, которое мы будем считать много меньшим 1/<от„. Все остальное время возмущение изменяется адиабатически, так что существенного вклада в вероятность перехода, как было установлено выше, внести не может. За очень малое время Д/ экспоненциальный множитель изменяется мало (ютп Д/^1), поэтому его можно вынести за знак интеграла и положить равным единице. В результате получим

Ясно, что ут„ (Д/) определяется величиной внезапно включенного возмущения.

§ 34. Возмущения, изменяющиеся со временем по гармоническому закону

Пусть возмущение в промежутке О^/sgx имеет вид

(7(/)=.-17(е'^4-е(34.1)

а при /<0 и />т равно нулю. Здесь V — оператор, который не содержит времени явно.

Рассмотрим переход из дискретного спектра в сплошной, происходящий под влиянием такого возмущения. В этом случае матричный элемент I/Vn (t) (равный произведению X на выражение (33.33)) можно представить в виде

V™ (/) = « (х) е~EJ | V ^etof + e-w) ^Ol (x) c" v№ E-^ =

= W’ W I VV W> e^n1 (e№< + e-^) =

= ^пк<м^ + и)Ч^(м^_и)/],(34.2)

где Vvn — просто число, a mvn = (Ev — Е„)/Й.

Проинтегрировав выражение (34.2) по времени, получим

с( /(“vn + ^^i ' Чшуп-и)т_1 \

(34.3)(34.3)S= Vvn I Z(<ov„ + <o)1-(^„-ш) Г

(34.3)

(34.3)

О

Полученный результат свидетельствует о том, что особенно велика вероятность переходов в такие состояния, лежащие в интервале от v до v + dv, для кото-

А^пА^прых <ovn^ <0, т. е.

А^п

А^п

Htovn - Ev — Е„ =« tta>. (34.4)

Для того чтобы это условие могло соблюдаться, частота возмущения <о должна удовлетворять требованию:

hm^> Ет — Еп, (34.5) пгде Em— граница между дискретной и

Рис. 34.1непрерывной областями спектра (рис.

. В дальнейшем мы будем предполагать, что условие (34.5) имеет место. Заметим, что, как следует из рис. 34.1, cov„>O.

При частоте и, близкой к ®vn (<D^a>vn) второе слагаемое в (34,3) будет много больше первого. Поэтому опустим первое

слагаемое. Тогда (34.3) примет видслагаемое. Тогда (34.3) примет видV™ (/) dt ^ V. оV™ (/) dt ^ V. о= V^e1= V^e1V” i(<Ovn —<о)—(cov/I — ю) т/2 6— е ' ул УЯ (ov„ — <о)/2“I/J (o)Vra — ш) т/2 sin (Муд — <а) т/2 («>уд-Ш)/2V” i(<Ovn —<о)—(cov/I — ю) т/2 6— е ' ул УЯ (ov„ — <о)/2“I/J (o)Vra — ш) т/2 sin (Муд — <а) т/2 («>уд-Ш)/2Возведя модуль получимnv — ^2 ! к v/i IВозведя модуль получимnv — ^2 ! к v/i Iэтого выражения в квадрат и подставив в (33.37),этого выражения в квадрат и подставив в (33.37),TJXw2*-^^^^^<34-6!TJXw2*-^^^^^<34-6!где g = £ (v) — ((ovn — ш)/2 — аргумент, а т —параметр (dPnv есть функция от v).где g = £ (v) — ((ovn — ш)/2 — аргумент, а т —параметр (dPnv есть функция от v).

слагаемое. Тогда (34.3) примет вид

слагаемое. Тогда (34.3) примет вид

V™ (/) dt ^ V. о

V™ (/) dt ^ V. о

= V^e1

= V^e1

V” i(<Ovn —<о)—

(cov/I — ю) т/2 6— е ' ул У

Я (ov„ — <о)/2“

I/J (o)Vra — ш) т/2 sin (Муд — <а) т/2 («>уд-Ш)/2

V” i(<Ovn —<о)—

(cov/I — ю) т/2 6— е ' ул У

Я (ov„ — <о)/2“

I/J (o)Vra — ш) т/2 sin (Муд — <а) т/2 («>уд-Ш)/2

Возведя модуль получим

nv — ^2 ! к v/i I

Возведя модуль получим

nv — ^2 ! к v/i I

этого выражения в квадрат и подставив в (33.37),

этого выражения в квадрат и подставив в (33.37),

TJXw2*-^^^^^<34-6!

TJXw2*-^^^^^<34-6!

где g = £ (v) — ((ovn — ш)/2 — аргумент, а т —параметр (dPnv есть функция от v).

где g = £ (v) — ((ovn — ш)/2 — аргумент, а т —параметр (dPnv есть функция от v).

На рис. 34.2 изображена входящая в (34.6) функция

fa, T)=sin2T^2.(34.7)

Из графика видно, что наибольшей вероятностью обладают переходы, для которых значения £ = (wvn — со)/2 = (Ev — Еп — Ну^^П заключены в пределах ^±1/т, т. е. разность между £v и ЕпО-И<й не превышает по модулю ^Й/т:

Ev — (Ел + Й<о) < Й/т. (34.8) Этому же условию удовлетворяет неопределенность энергии конечного состояния:

АЕу^й/т (34.9) (ср. с (16.5)).

Из (34.9) следует, что при т—>-оо A£v —>0, так что отличную от нуля вероятность имеют лишь переходы в состояние с вполне определенной энергией Ev, удовлетворяющей условию

Ev — Еп = И<й.(34.10)

К тому же результату можно прийти другим путем. Представим выражение (34.6) в виде

dPnv = ^2" I ^™ I2 F (L т) лт dv, где

F(l, V ==(34.11)

Покажем, что

lim £(£, т) = Ит =(34.12)

Действительно, поскольку lim (sin2 а/а2) = 1, выражение (34.12) а ->0

при £ = 0 равно т/л, т. е. в пределе обращается в бесконечность.

Далее, при любом £ ^ 0 предел (34.12) равен нулю. Наконец,

sin2 т£ лт22sin2 т£ лт22+ со+ соsin2 и ~й?~sin2 и ~й?~du = \.du = \.

sin2 т£ лт22

sin2 т£ лт22

+ со

+ со

sin2 и ~й?~

sin2 и ~й?~

du = \.

du = \.

Итак, выражение (34.12) обладает всеми свойствами 6-функции. Поэтому при очень больших т формулу (34.6) можно представить в виде

dP„. = ^ I |2 6 (^-^) т dv = ^ | Vvn |2 6 (fc|p^ т d„ = = ^ I Vvn |2 6 (£v — Еп — Й<й) т dv (34.13)

(мы воспользовались свойством (VIII.7)).

Проинтегрировав (34.13) по v, получим вероятность того, что система перейдет из n-го дискретного состояния в одно из состояний непрерывного спектра:

Р = ^ dPm = ^ J | Vv„|26(£v-£„-MTdv =

= ^1^'Иа^'Т.(34.14)

Здесь gv — кратность вырождения уровня с энергией Ev, удовлетворяющей условию (34.10) Таким образом, мы снова пришли к заключению, что при т->оо отличную от нуля вероятность имеют лишь переходы в состояния с энергией EV1 удовлетворяющей условию (34.10).

Полученные нами формулы справедливы в том случае, если изменения первоначальной функции фп0' относительно малы. Для выполнения этого требования нужно, чтобы суммарная вероятность перехода, т. е. величина (34.14), была много меньше единицы:

^|^|2^т<1.(34.15)

Поскольку левая часть этого неравенства пропорциональна т, время действия возмущения не должно быть чрезмерно большим. Конечность же т приводит, согласно (34.9), к конечности интервала AEV.

В соответствии с (34.13) dPnv пропорциональна времени действия возмущения т. Поэтому, разделив выражение (34.13) на т, мы получим вероятность перехода в состояния, находящиеся в интервале от v до v + dv, за единицу времени:

^|д/ = |=^-| Kv„|26(£v-£„-M^.(34.16)

Индекс v, характеризующий состояния непрерывного спектра, включает в себя совокупность параметров, в число которых может входить и энергия состояния Е. При этом одному и тому же значению Е могут соответствовать несколько состояний, отличающихся значениями других параметров. Поэтому интервалу значений энергии dE соответствует интервал значений индекса v, равный

dv = g(E) dE,(34.17)

где g (Е) —функция, называемая плотностью состояний. Подставив (34.17) в (34.16) и заменив соответственно v на Е, получим

dPnE U* = I = ^ I V£„ |2 6 (Е - Еп - М g (Е) dE. (34.18)

Проинтегрировав по Е, получим суммарную вероятность перехода

Е|д< = 1 =^| V^[2^(F),(34.19)

где Е' удовлетворяет тому же условию, что и Е^ в (34.10) (ср. с (34.14)).

Полученные нами результаты неприменимы к переходам между состояниями дискретного спектра, так как в резонансном случае (т. е. при ш = ычт) поправки к т^'п становятся большими и условия применимости выведенных формул нарушаются. Поэтому при решении задачи о переходах в дискретном спектре под влиянием возмущения вида (34.1) требуется другой подход.

Будем исходить из точного уравнения (33.8) для коэффициентов ст (/)

т^Е = ^тЬ^С1г^.(34.20)

Подстановка в (33.7) выражения (34.1) для V (t) приводит к значению Vm(i), отличающемуся от (34.2) лишь тем, что вместо индексов vn будут стоять индексы mk. Подставив это значение в (34.20), придем к уравнению

Ш ^^- = jv^Je'^ + ^' + e4^"^']^^)- (34.21)

Наибольшую роль в этом уравнении играют те члены, которые осциллируют с наименьшей из частот. Это можно понять, обратившись к формуле (34.3): самым большим в этой формуле является член с меньшим знаменателем, т. е. член, осциллирующий с меньшей частотой. Заметим, что в (34.3) по условию все cov„>O. В формулу же (34.21) входят слагаемые как с положительными, так и с отрицательными значениями штк.

Выберем из всей совокупности невозмущенных состояний два таких состояния тип, для которых &тп = {Ет — Е^/Н отличается от <о на очень малую величину е:

tomn — ы = (Ет~ Еп — Йо))/А = е.(34.22)

Заметим, что при неэквидистантности уровней такой выбор может, быть сделан, вообще говоря, единственным способом.

В соответствии со сказанным выше заметнее всего будут изменяться со временем коэффициенты ст^ и с„(/). Именно в уравнениях (34.21), написанных для этих коэффициентов, будет содержаться очень медленно осциллирующее слагаемое. Изменением со временем остальных коэффициентов можно пренебречь.

Пусть Ет > Ет так что ютп > 0. Очевидно, что тпт = —ютп < 0. Поэтому в уравнении (34.21), написанном для ст, нужно сохранить справа лишь слагаемое с экспонентой е( (®тл - ш)z = e‘et. В уравнении же (34.21), написанном для сП1 нужно сохранить член с экспонентой е 1®™*®)1 = e-lei'). Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений вида (34.21):

»Й^^- = ИтЛ(0,(34 23)

iS^T-=Vnme-ie,cm(t),(34.24)

th ^0 (для всех I, не равных тип).

Для нахожден ия коэффициентов ст (/) и сп (/) нам нужно решить систему из двух дифференциальных уравнений (34.23) и (34.24). Введем вместо сл (/) вспомогательную функцию

й„(0 = ^„(0.(34.25)

Дифференцирование этой функции дает, что

ёп (О = [йп (t) - ieun (/)] e~iei.(34.26)

С учетом (34.25) и (34.26) уравнения (34.23) и (34.24) приобретают вид

Аст = VmnWni

^ [^л Дил] = V птст.

Из этих уравнений можно исключить функцию cm(t), продифференцировав предварительно второе уравнение по I. В результате получится следующее дифференциальное уравнение для «„(/):

ил-гемл+(| Vmn|W)u„ = 0(34.27)

(в силу эрмитовости оператора V имеет место соотношение V„m = V*mn).

Решив уравнение (34.27) подстановкой ип = еш, получим для X два значения

Х1(е/2)+<оо, Х3 = (е/2)-<о0 (о)о =/(е2/4) + ([Утл | W)) (34.28)

Следовательно, общее решение уравнения (34.27) имеет вид

ил (/) = Ае^' + Ве^.

В соответствии с (34.25)

сп (t) = eiEtun {t) = Ае1^ + Ber^,(34.29)

где

«1 = Xi — е = соо— (е/2), а2 = е — Х2 = <оо + (е/2).(34.30)

Подставив производную функции (34.29) в левую часть уравнения (34.24), получим следующее выражение для ст (/):•

ст (0 = (Wnm) (а2Ве ^ - ^AW. '(34.31)

Таким образом, мы получили для коэффициентов ст (/) и сп (/) ’ формулы (34.29) и (34.31). Постоянные А и В определяются из условия нормировки и начальных условий.

Пусть в момент включения возмущения (т. е. при / = 0) система находится в состоянии фл’. Тогда в момент времени / пси-функция системы будет равна (см. (34.4)):

ф(х, /) = Сл (/) ф^’ (х,0 =

= (Ае^ 4- Ве-^') фг? + (Й/Упт) 1а»Ве~^ - ^Ае^) ф’^1.

Из начального условия: ф(х, О^фп '(х, 0) получаются следующие соотношения:

А + В = 1, а^В — агА = 0.

Из этих соотношений с учетом (34,30) находим, что

А = а2/2м0. В = а^Юо.

Заменив о^ и а2 их значениями (34.30), а также приняв во внимание, что а1а2 = ио — е2/4 = | Kmn|2/^2 = VmnVnmlh2, можно написать:

ф (х, /) =ei (“о - =/2) < + (too - У (“°+ е/2) ^' +

= e-‘8Z/2 [cos <оо/4--;^-sin ШоЯфп1 — е‘е</3 ^mn-sinto0/ -tf ■ (34.32)

Легко убедиться в том, что сумма квадратов модулей коэффициентов при фп’ и ф„ равна единице.

Квадрат модуля коэффициента при ф™ равен

I Ст (/) |2 = (I Vmn |Wto§) sinw = (I vmn IWM) (1 - cos 2to0/). (34.33)

Следовательно, вероятность того, что система в момент времени / окажется в состоянии ф^ (х, Z), изменяется с частотой 2ш0 в пределах от нуля до | Итп |2/Й2о)о. Напомним, что (см. (34.28) и (34.22))

too = VWWOR = ЧЛ VkEm-En-WA-4\Vmn I2.

При точном резонансе (т. е. при е = 0) ш0 = | Vmn\/H и (34.33) переходит в

\ст W^^fl -cos (2 \Vm„ VftVL (34.34)

Из (34.34) следует, что система периодически переходит из состояния п в состояние m и обратно. Частота этого перехода тем больше, чем больше | Vmn |, т. е. чем интенсивнее возмущение.

Подчеркнем, что все полученные результаты справедливы только в том случае, если в момент включения периодического возмущения система находится на одном из уровней Еп или Ет, удовлетворяющих условию (34.22).

Можно показать, что если дискретный спектр эквидистантный (как, например, у гармонического осциллятора), то при выполнении условия (34.22) система будет переходить на все более высокие уровни. Это соответствует раскачке классического осциллятора под действием внешней силы, изменяющейся с резонансной частотой.

Переходы в непрерывном спектре

Положив в формуле (34.1) со = О, получим оператор возмущения V, который не содержит времени явно (он эквивалентен 2V в (34.1)). Соответственно выражение (34.2) для матричных элементов будет выглядеть так:

(35.1)(35.1)Vxn (I) =.

(35.1)

(35.1)

Интегрирование матричного элемента по / дает

^ Vxn (/) dt=Vxn^ Vxn (/) dt=Vxn6‘“vnT l v ^q^t/2 Sin(tov„T/2)

^ Vxn (/) dt=Vxn

^ Vxn (/) dt=Vxn

И далее

По аналогии с (34.16) можно написать:1 гт ।*^ । г? 19 е //Н\ j। т 1По аналогии с (34.16) можно написать:1 гт ।*^ । г? 19 е //Н\ j। т 1(35.2)

По аналогии с (34.16) можно написать:

1 гт ।*^ । г? 19 е //Н\ j। т 1

По аналогии с (34.16) можно написать:

1 гт ।*^ । г? 19 е //Н\ j। т 1

dPnx \m = v=^\ vw I2 6 (Mv„/2) dv = -^ I Vv„ P:6 (Ev - En) dv. (35.3)

Из (35.3) следует, что возмущение, не зависящее от времени, может вызывать переходы только между вырожденными состояниями. Уровни непрерывного спектра всегда вырождены (например, в случае свободной частицы энергия Е реализуется во множестве состояний, отличающихся направлением импульса р). По этой причине действие постоянного возмущения представляет интерес в основном применительно к состояниям непрерывного спектра. Имея это в виду, перепишем (35.3) следующим образом:

(35.4)(35.4)dPw |д/ = 1 = I VWo |2 6 (Е„ - £VJ dv.

(35.4)

(35.4)

Здесь v0 —индекс исходного состояния, которое мы теперь предполагаем принадлежащим непрерывному спектру, v — индекс конечного состояния.

Напишем по аналогии с (34.17), что

dv = ^dE = g(E) dE.dv = ^dE = g(E) dE.(35.5)(35.5)

dv = ^dE = g(E) dE.

dv = ^dE = g(E) dE.

(35.5)

(35.5)

Произведем такую замену в-(35.4), после чего осуществим интегрирование по Е. В результате получим полную вероятность перехода из состояния v0 в другие состояния с той же энергией Е:

(35.6)(35.6)

(35.6)

(35.6)

Пусть роль индекса v выполняет импульс частицы р. Тогда dv = dpx dpg dpz = p2 dp dQ — pm0 d£l dE = g(E) dE, где dQ —элемент телесного угла, E = p'2/2m0 — энергия конечных состояний частицы. Подстановка найденного значения g (Е) в (34.6) дает

|д/ = 1 =^ I VPPo |2 pmodQ.(35.7)

Эта формула дает вероятность того, что частица, имеющая импульс ро, перейдет за единицу времени в одно из состояний, направления импульсов которых лежат в пределах телесного угла dQ.

Потенциальная энергия как возмущение

Рассмотрим случай, когда в качестве возмущения может рассматриваться потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Тогда невозмущенное уравнение Шредингера представляет собой уравнение свободно движущейся частицы:

_ _^_ 72^(0) =£(0)^(0).(36 1)

Если ввести обозначение

А2 — 2т0Е№/№ = р^/№(36.2)

(р —импульс частицы), уравнению (36.1) можно придать вид (72 + ^2) ^(0)^0(36.3)

Решением этого уравнения является плоская волна:

ф(о) = фкг(36.4)

(к = р/Й).

Добавив в уравнении (36.1) к оператору Но =—(Й2/2т0) V2 оператор возмущения V, роль которого играет потенциальная энергия U, получим уравнение

(- 2^2 + (7)ф = Еф.(36.5)

Чтобы найти пси-функцию в первом приближении, подставим в (36.5) ф = ф(0) + Аф(1) и Е = Е(0):

(- -Д- 72 +(ф(0) + АфИ») = Е№ (ф‘<” + Аф!1»).-(36.6)

\2т0/

Раскрыв скобки и приняв во внимание (36.1), получим - 2L 72 д^!о + и^О) + и д^<1) = £W д^ы).

В силу малости величин U и Аф(1) их произведением можно пренебречь. Оставшееся после этого уравнение приведем с помощью соотношения (36.2) к виду

V2 Дф(и (г) + £2 д^п (г) = М и (Г) ^(0) (Г)(36 7)

Оставим на время это уравнение и обратимся к известному из электродинамики уравнению Даламбера для скалярного потенциала <р (г, /), создаваемого зарядами плотности р (г, /):

V2<p (г, /)_^-^_0=_4лр(г> 0.(36.8)

Решением этого уравнения является запаздывающий потенциал:

.<р (г, /)= ^ p(r'* ‘-^-dV.(36.9)

Мы ввели обозначение:

/? = |г-г'|(36.10)

(см. т. 1, формулы (76.1) и (76.11)).

Рассмотрим случай, когда плотность заряда в каждой точке изменяется по гармоническому закону:

Р (г, /) = Ро(г)е-‘“(36.11)

Формула (36.9) принимает в этом случае вид

Ф(г, /) = Jdr = <po(r)e-'w,(36.12)

где

Фо (r) = j Р0^'^ dV.(36.13)

Подставив функции (36.12) и (36.11) в (36.8) и сократив во всех членах множитель e~itot, получим дифференциальное уравнение для фо (г):

^2<Ро(г) + -^-фо(г) = —4лр0(г).(36.14)

Решением этого уравнения является функция (36.13).

Интересующее нас уравнение (36.7) аналогично уравнению (36.14). Поэтому его решение можно получить, заменив в формуле (36.13) (о/с через А и р0(г') через — (то/2лй2) 17 (г') ф>(0) (г') = = — (то/2лй2) U (f) elkr'cos (см. (36.4);— угол между векто

рами к и г'). В результате получим

Дф(1) (г) = _( J. 1/(36.15)

Y х 1 2лй2 J I — г |4 7v 7

(мы заменили R через |г — г' |; см. (36.10)). Напомним, что эта функция представляет собой обусловленную возмущением V = = U (г) поправку первого порядка к невозмущенным функциям ф<0) (г).

Выясним условия, при которых потенциал U (г) можно рассматривать как возмущение. При этом мы будем исходить из того, что условие применимости теории возмущений заключается в требовании: | Аф(1) | <( | ф'0) |. Поскольку модуль невозмущенной функции (36.4) равен единице, мы приходим к условию: |Аф(1) |^

т. е.

^| $(36.16)

Пусть функция U (г) заметно отлична от нуля лишь при г^а (тильда означает, что речь идет не о точных значениях, а о порядках величин). Тогда основной вклад в выражение (36.16) внесет та часть интеграла, которая относится к объему радиуса а. Отсюда следует, что Дф(1) убывает с г, так что, если условие (36.16) будет выполнено при г = 0, оно будет выполнено при любом г. Таким образом, условие (36.16) можно заменить условием

( -^(г'^'^+^Н^!.(36.17)

г'

Произведем оценку интеграла в двух предельных случаях:

При столь малых энергиях, что to^l. Соответственно

Е^№(тоаг(36.18)

(мы опустили несущественную двойку в знаменателе).

При столь больших энергиях, что ка^Х. Соответственно

Е>к^тоаг.(36.19)

Отметим, что выражение й2/т0п2 дает порядок величины кинетической энергии, которой, согласно соотношению неопределенности, обладала бы частица, запертая в объеме с радиусом порядка а (импульс такой частицы был бы порядка h/a). Можно также показать, что это выражение равно минимальной глубине сферической потенциальной ямы радиуса а, при которой возникает связанное состояние частицы с дискретным энергетическим уровнем.

В первом случае экспоненциальный множитель в подынтегральном выражении во всей области, по которой осуществляется интегрирование, практически равен единице, так что (36.17) переходит в

т«\ С( ^1 = _^.^^|2лп2<1,

2nft2 J г2лй2 1 ' / 1 J f 2лй2 * ' ' 1

где ((/) —значение потенциальной энергии, усредненное по области радиуса а. Из полученного неравенства вытекает условие

(36.20)(36.20)| (Vх) \<Л2/тйа2.

(36.20)

(36.20)

Напомним, что это условие должно выполняться в случае энергий, удовлетворяющих соотношению (36.18).

Во втором случае экспоненциальный множитель в (36.17) изменяется очень быстро и совершает при интегрировании по области г'^ а много полных циклов изменения. Поэтому заменим сравнительно медленно изменяющийся множитель U (г') его средним значением (I/) и вынесем за знак интеграла. В результате условие (36.17) примет вид

-^IW!-^IW!eiAr'(cos»+ 1) sjn ф ^ г' дг’eiAr'(cos»+ 1) sjn ф ^ г' дг’<1<1(36.21)(36.21)

-^IW!

-^IW!

eiAr'(cos»+ 1) sjn ф ^ г' дг’

eiAr'(cos»+ 1) sjn ф ^ г' дг’

<1

<1

(36.21)

(36.21)

(мы заменили dV' через 2л sin 0 dO г'2 dr' и сократили числитель и знаменатель на 2л; А—угол между векторами к и г', отсчитываемый от фиксированного вектора к). Вычисление интеграла дает

^ г* dr' ^ ^'■'(cos»+i) gin ^d^ = ^- ( ^е1^'’ — 1) dr' = о оо

1 ге2>»«— 11 а

~ ik L 2<аit

(мы пренебрегли первым членом в квадратных скобках, поскольку по условию к очень велико).

Подставив найденное значение интеграла в неравенство (36.21), получим откуда

\№\<^.(36.22)

Напомним, что такому условию должна удовлетворять функция U при значениях энергии, определяемых соотношением (36.19). Отметим, что условие (36.22) более слабое, чем (36.20). Действительно, правая часть (36.22) в ка раз больше, чем правая часть (36.20), а в случае 2 произведение ка очень велико. Поэтому, если (/ можно рассматривать как возмущение при малых энергиях частицы, то это возможно и при больших энергиях.

Условие (36.22) можно представить в виде

IWKv-(36-23)

где и = hk[mQ = р/т0 есть скорость частицы.

6*

В случае кулоновского поля потенциал U — a/r спадает так медленно, что нельзя ввести понятие об эффективном радиусе области взаимодействия а. Взяв произвольно некоторую величину а, найдем значение кулоновского потенциала, усредненное по сфере радиуса а:

- 4лг2 dr

' ' 4/3лйэ J га

о

Таким образом, произведение {U} а не зависит от выбора а и равно а. Поэтому условие (36.23) для кулоновского поля можно

написать в виде

(36.24)(36.24)а^Йи.

(36.24)

(36.24)

(36.25)(36.25)В частности, если потенциал создается ядром с зарядом Ze, а частица имеет заряд е, условие (36.24) выглядит следующим образом:

(36.25)

(36.25)

Ze- <СЙи.

Глава VII. КВАЗИ КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Предельный переход к классической механике

В ряде случаев поведение микрообъектов мало отличается от классического. Примером тому может служить движение электрона в электронно-лучевой трубке. В таких случаях оказывается полезным приближенный метод решения квантовомеханических задач, называемый квазиклассическим приближением). В основе этого метода лежит разложение пси-функции в ряд по степеням h и отбрасывание членов высших порядков малости относительно Н.

Подобно тому, как комплексное число пишут в виде ре‘“ (р —модуль, а —фаза или аргумент числа), представим пси-функцию частицы в виде

ф(г, /) = <р(г, t, A)exp{i/(r, t, й)}.(37.1)

Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что в пси-функцию может входить Й, мы ввели эту постоянную в (р и / в качестве параметра.

Преобразуем функцию (37.1) следующим образом:

ф(г, /) = ехр {/[/(г, t, Й) —г In ср (г, t, й)]}.

Наконец, обозначив функцию, стоящую в квадратных скобках, посредством (1/Й) S (г, /, Й), получим

ф (г, /) =ехр \{i)H}S (г, t, Й)}.(37.2)

При рассмотрении квазиклассического приближения представление пси-функции в виде (37.2) оказывается очень удобным. В дальнейшем мы будем писать обозначение функции <$ в виде S (г, /), опуская параметр Й.

Подставив функцию (37.2) в уравнение Шредингера (5.1), получим

_ ^до । Uev№S =

Осуществив дифференцирование4 и сократив на общий множитель e№s, придем к уравнению для функции S (г, /)

<37-3)

Произведя в (37.3) формальный переход Й->0, получим уравнение

_L(vsp + £/ = —2тй '7 dt ’

которое совпадает с известным из классической механики уравнением Гамильтона — Якоби (см. т. 1, формулу (32.15)). Именно это обстоятельство имеют в виду, когда говорят, что при й->0 уравнения квантовой механики переходят в уравнения классической механики.

Нас, однако, интересует квазиклассический случай, когда роль квантовых эффектов хотя и очень мала, но все же отлична от нуля. Поэтому нам нужно исследовать уравнение (37.3), Чтобы упростить задачу, напишем его для стационарных состояний и, кроме того, ограничимся рассмотрением одномерных движений. В пси-функцию стационарных состояний время входит через множитель e-<-i№Ei. Поэтому функция S (г, /) в (37.2) имеет для стационарных состояний вид

S (г, t) = S (r) — Ei.(37.4)

Подстановка выражения (37.4) в уравнение (37.3) приводит к следующему уравнению для функции S (г);

^<и>’-^та+у-£<37-5)

или в случае одного измерения

(37.6)(37.6)1 f dSy ill d^S и _ р

(37.6)

(37.6)

2/и0 \ dx)2та dx1 ‘1

В (37.6) и во всех дальнейших формулах под S подразумевается

функция S (х).

Попробуем искать решение уравнения (37.6) в виде ряда

(37.7)(37.7)S — So-{-у Sx + ^уj S2 + ...,

(37.7)

(37.7)

где величины So, Slt S2 и т. д. уже не содержат Н. Подстановка в (37.6) дает

1 Г dSaй dSj /tty dS2 у _

(37.8)(37.8)2m0 [ dxi dx ' \l ) dx‘" "J

(37.8)

(37.8)

2m0 L dx2 i dx1 \ t / dx4 "

' Раскроем скобки, причем ограничимся написанием членов, содержащих h/i в степени, не выше первой;

1 / dS0 у1_ 2 dS0 ft. dS,/Й ^5а

2/ra0 \ dx ] ' Vm^ dx i dx •2m0 dx2 • • • T •

Приравняв коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях к, получим ряд уравнений

2т0 \ ах j х ’

. 9 dS0 dStd2S0(37.9)

z dx dxdx2

Первое уравнение представляет собой одномерное уравнение Гамильтона — Якоби для укороченного действия (см. т. 1, уравнение (32.16)). Разрешив это уравнение относительно dS^dx, получим, что

dSo/dx = ±]/2m0 [Е — U (х)] = ± р (х),(37.10)

где

рх = У2т0[Е-(/(х)Ь(37.11)

При E>U величина р (х) вещественна, при E<zU — мнима. В последнем случае мы будем обозначать ее Цр (х) [.

Интегрирование уравнения (37.10) дает

So (х) = ± р (х) dx(37.12)

to

(о выборе нижнего предела интегрирования будет сказано ниже). Продифференцировав (37.10) по х, получим, что

d2Soldx2 = ± dp/dx.(37.13)

Разрешим второе из уравнений (37.9) относительно dS-Jdx и подставим в него значения (37.10) и (37.13) для производных So по х. В результате получится дифференциальное уравнение

Проинтегрировав его, найдем, функцию S, (х);

Sx (х) =— % In р +const.(37.15)

Итак, с точностью до членов порядка Й/i функция (37.7) имеет вид

S (х) = ± р (х) dx — г/2 (Й/i) In р + const'. (37.16)

Ха

Чтобы учесть оба знака в (37.16), напишем выражение для пси-функции в виде двух слагаемых:

ф(х) = Лехр]^ф(х) = Лехр]^р (х) dx — у -г- In р + const' л

ф(х) = Лехр]^

ф(х) = Лехр]^

+ Вехр J j+ Вехр J jр (х) dx — ^y In р +const'

+ Вехр J j

+ Вехр J j

Введя обозначения: Ct = Aev№const‘, С^ = Bev№eonsV л получим для пси-функции следующие выражения:

( X)

^=С1т^ехр Н Sр ^ ^(+

+ С2 ?2_ ехр \ p^dx+ С2 ?2_ ехр \ p^dx(E>U), (37.17)(E>U), (37.17)

+ С2 ?2_ ехр \ p^dx

+ С2 ?2_ ехр \ p^dx

(E>U), (37.17)

(E>U), (37.17)

^ w=с’ ехр 14

V I P to I р Ц

(E<U). (37.18)(E<U). (37.18)+ С2^г4д7ехР{~ ^A\p(x)\dxг IР to I " ?

(E<U). (37.18)

(E<U). (37.18)

Теперь видно, что от выбора нижнего предела интегрирования зависят только значения коэффициентов С и С', характер пси-функций от этого выбора не зависит.

Два полученных решения существенно отличаются друг от друга. При движении частицы в классически дозволенной области (E>U, импульс вещественный) пси-функция имеет осциллирующий характер, при движении, нереализуемом с классической точки зрения \Е <_U, импульс мнимый) пси-функция представляет собой сумму двух экспонент.

В точках, где E = U, называемых точками поворота, импульс обращается в нуль и выражения (37.17) и (37.18) теряют смысл. Следовательно, развитый нами метод вблизи точек поворота становится неприменимым. Между тем, поведение пси-функций вблизи точек поворота необходимо знать для того, чтобы определить коэффициенты С15 С2, С\ и С2, входящие в выражения для пси-функций, т. е. произвести «сшивание» пси-функций в точках поворота. Из сказанного ясно, что нижний предел интегрирования в (37.17) и (37.18) нужно выбирать так, чтобы интервал [х0, х], в котором осуществляется интегрирование, не содержал точек поворота.

Отметим, что входящий в выражения для пси-функций множитель \lV"p~V(Vu имеет простой смысл. Благодаря этому множителю вероятность нахождения частицы в интервале от х до x-\-dx, равная |ф(х)|2сД, оказывается в основном пропорциональной dx/u = dt, т. е. промежутку времени, в течение которого «классическая» частица находится в пределах dx.

Установим условия применимости квазиклассического приближения. Роль квантовых эффектов характеризуется относительной величиной члена (— i^/2m0) V2S в уравнении (37.5) (когда этот член равен нулю, получается чисто классическое уравнение). Поэтому в качестве условия квазиклассичности нужно взять требование, чтобы этот член был по модулю много меньше первого члена в (37.5):

H\^S\<^Sy.

В одномерном случае это неравенство имеет вид

Производная действия по координате дает компоненту импульса, соответствующую этой координате (см. т, 1, формулу (32.6)); это следует также из (37.12)). Следовательно, (37.19) означает, что должно выполняться соотношение

^|^|<Р2.(37.20)

Из (37.11) вытекает, что

dp I _ ^0 I U \ | dx I р | dx I’

Подстановка этого выражения в (37,20) приводит к условию квазиклассичности

йт°|^1<р3'07.21)

Таким образом, квазиклассическое приближение правомерно для достаточно быстрых частиц (большое р"), движущихся в поле, не слишком сильно изменяющемся от точки к точке (малое dUldx).

Условие (37.20) можно выразить с помощью длины де-брой- левских волн. Для этого заменим р в соответствии с равенством: Х = й/р1). В результате получим

dWx<\(37.22)

или

ах

*) Величина X в 2л раз меньше де-бройлевской длины волны X, определяемой соотношением: Х = 2лй/р.

Левая часть последнего неравенства представляет собой изменение X, происходящее при перемещении частицы на отрезок Ах = Х. Следовательно, условие квазиклассичности можно сформулировать как требование, чтобы изменение длины волны на отрезке X было много меньше самой X.

Из условия (37.21) легко оценить расстояние до точки поворота, на котором еще можно пользоваться квазиклассическим приближением. Пусть координата точки поворота равна а. В этой точке потенциальная энергия равна полной: U (а) = Е. Разложим потенциальную энергию в ряд в окрестности точки а:

U(x) = U (а) + ^(х-а) = Е + ^г^х-ау

Подставив это разложение в (37.11), получим

р2 = 2т01-^-11 х - а |.

Наконец, исключив \dU/dx\ из этого выражения и из (37.21), придем к соотношению

==(37.23)

11 2р (х)2 4л '''

где Х(х) —длина волны де-Бройля, которой обладает частица в точке х. Это соотношение определяет расстояние |х — а\ до точки поворота, на котором квазиклассическое приближение еще правомерно.

§ 38. Граничные условия в точке поворота

Слева от заштрихованнойСлева от заштрихованнойНа рис. 38.1 показана точка поворота с координатой х = а.

Слева от заштрихованной

Слева от заштрихованной

качестве промежуточногокачестве промежуточногоi области пси-функция определяется выражением (37.18) (обозначим его ф!), справа — выражением (37.17) (обозначим его ф2). Для того чтобы «сшить» эти две функции в одну, т. е. установить соотношения между коэффициентами Съ С2 и С^ С2, нужно знать поведение пси-функции в заштрихованной области. В этой области квазиклассическое приближение неприменимо, поэтому придется искать для нее приближенное решение точного уравнения Шредингера, чтобы использовать его в звена при «сшивании» функций хрт и

качестве промежуточного

качестве промежуточного

ф2. Эта задача облегчается тем, что вследствие относительной

малости размеров заштрихованной области потенциальную энергию в этой области можно считать изменяющейся линейно с х.

Итак, разложим U (х) в ряд, ограничившись членами нулевого и первого порядка:

и ^ = U ^-VU’ (а)(х — а).(38.1)

Учтя, что Ща) = Е, а —U* (а) равно силе F, действующей на частицу, можно написать (38.1) в виде

U (х) = Е — Р- (х — а).(38.2)

Заметим, что в окрестности точки х — а сила F>0.

Из (38.2) вытекает соотношение

E — U (х) = Р-(х-а).(38.3)

Подставив это значение E — U(x) в уравнение Шредингера (5.8), получим

-^г + ~й2-(я-я)Ф = 0.(38.4)

Перейдем от переменной х к новой переменной £, связанной с х соотношением

№ = х-а,(38.5)

причем выберем константу 0 так, чтобы коэффициенты при d2ip/^2 и при ^ф в получившемся уравнении стали одинаковыми. Подстановка (38.5) в (38.4) дает

1 Д2ф . ЧпгцР дЕ „Р2 d^2 + Й2 Р^ —0.

Из условия 1/р2 = 2m0F^/h2 находим, что надо взять

p = (^/2mflF)‘^.(38.6)

Прежде чем продолжить исследование уравнения (38.4), выведем два вспомогательных соотношения, которые окажутся полезными в дальнейшем. В соответствии с (38.3)

р (х) = У2т0 \E — U (х)] = КЧтоР • (х — а) = ]/гшо^Р^ (38.7) откуда

I = (1/2^0^) [р (х)]2 = у [р (х)]2,(38.8)

где у — положительная константа. Далее, приняв во внимание формулу (38.7), вычислим следующий интеграл:

$ Р (X) dx = Р © р d^=V^w ^ d^ = h -| ^. а00

ОтсюдаОтсюда2 If4^=4 4W^-2 If4^=4 4W^-(38.9)(38.9)Обратимся снова к уравнению (38.4). Сделав подстановку (38.5) и разделив получившееся соотношение на ^moF/ft2)2/, придем к уравнению

Отсюда

Отсюда

2 If

4^=4 4W^-

2 If

4^=4 4W^-

(38.9)

(38.9)

(38.10)

которое тождественно с уравнением (V.5). Следовательно, его решением является функция Эйри Ф (У (см. (V.2)). Таким образом, приближенное решение’) уравнения Шредингера в окрестности точки х = а имеет вид

ф(х) = СФ[Ш1.

(38.11)(38.11)где ^(х) определяется соотношением (38,5). Коэффициент С введен для нормировки.

(38.11)

(38.11)

Множитель Р = ^^тоРу, вообще говоря, очень мал. Поэтому при (х — а), отвечающих краям заштрихованной зоны (см. рис. 38.1), значения £ будут по модулю очень большими. Следовательно, можно взять асимптотические выражения (V.6) для Ф (у.

Согласно (38.5) слева от точки х = а переменная £<02). Поэтому нужно подставить в (38.11) второе из выражений (V.6):

(38.12)

I £3/21= I ^Р^йхI £3/21= I ^Р^йх(38.13)(38.13)Из (38.9) вытекает, что3)

I £3/21= I ^Р^йх

I £3/21= I ^Р^йх

(38.13)

(38.13)

| J | р (х) | dx| J | р (х) | dxj\\p(x)\dx (38.14)j\\p(x)\dx (38.14)

| J | р (х) | dx

| J | р (х) | dx

j\\p(x)\dx (38.14)

j\\p(x)\dx (38.14)

Слева от точки х = а импульс р (х) = i | р (х) |. Поэтому цепочку преобразований (38.13) можно продолжить следующим образом:

(напомним, что х<й). Подставив в знаменатель выражения (38.12) значение | g | из (38,8), а в показатель экспоненты — выражение (38.14), получим

^ ^ = ТЙТЖ6ХР Р ' j кх<а, Е<Щ, (38.15) где Л = С/у1/‘, Эта функция затухает при удалении влево от точки х = а.

Справа от точки х = а переменная |>0. Поэтому нужно взять первое из асимптотических выражений (V.6)

^W=-§-Sin^^+^.(38.16)

Здесь С имеет то же значение, что и в (38.12) (выражения (38.12) и (38.16) аппроксимируют одну и ту же функцию). Подстановка значений (38.8) и (38.9) приводит к формуле

/ XX

AТТ I

ф (х) = -^=- sinJ ^ р (х) dx+ Д (х>а, E>U). (38.17)

Теперь мы можем согласовать коэффициенты Сь С2, С}, С2 квазиклассических функций (37.17) и (37.18). На левой границе

заштрихованной области (см. рис.

должны совпадать функции (37.18) и (38.15). Для этого нужно в качестве х0 взять координату точки поворота а. Кроме того, необходимо выполнение условий

С; = А/2, С2 = 0,(38.18)

в результате чего (37.18) перейдет в (38.15).

произойдет при условии,произойдет при условии,чточтоС; = Ae^^i, С; = — Ae-w/^i,С; = Ae^^i, С; = — Ae-w/^i,(38.19)(38.19)На правой границе заштрихованной области должны совпадать функции (37.17) и (38.17). Если х0 = а, это

произойдет при условии,

произойдет при условии,

что

что

С; = Ae^^i, С; = — Ae-w/^i,

С; = Ae^^i, С; = — Ae-w/^i,

(38.19)

(38.19)

в результате чего (37.17) перейдет в (38.17).

Формулы (38.18) и (38.19) определяют граничные условия в точке поворота типа изображенной на рис. 38.1.

Итак, функции квазиклассического приближения в области их применимости имеют вид (38.15) слева от х = а и (38.17) справа от х = а.

Проведя те же рассуждения для точки поворота типа изображенной на рис. 38.2, получим для функций квазиклассического

приближения следующие формулы:

. / , вф (х) = —ехр^VTpW\. / , вф (х) = —ехр^VTpW\PW dx+ jPW dx+ j(x>b, E<W), (38.20)(x>b, E<W), (38.20)Ф W =Ф W =вУрООвУрОО(x<b, E>U). (38.21)(x<b, E>U). (38.21)

. / , вф (х) = —ехр^VTpW\

. / , вф (х) = —ехр^VTpW\

PW dx+ j

PW dx+ j

(x>b, E<W), (38.20)

(x>b, E<W), (38.20)

Ф W =

Ф W =

в

УрОО

в

УрОО

(x<b, E>U). (38.21)

(x<b, E>U). (38.21)

Дадим сводку правил «сшивания» функций у границ потенциальной ямы (рис. 38.3, а) или потенциального бугра (рис. 38.3, б):

слева от аА ( к^ = rrwn ехрИ SU)M'dxслева от аА ( к^ = rrwn ехрИ SU)M'dxсправа от асправа от аслева от bслева от bф = „Д_ sin [ i Р W dx + у |т Кд (х)\ й J4)(38,22)справа от bф = -т^=ехр< — i \ | р (х) | dxVТ 2/!д(х)|J(38.23)ф = „Д_ sin [ i Р W dx + у |т Кд (х)\ й J4)(38,22)справа от bф = -т^=ехр< — i \ | р (х) | dxVТ 2/!д(х)|J(38.23)

слева от а

А ( к

^ = rrwn ехрИ SU)M'dx

слева от а

А ( к

^ = rrwn ехрИ SU)M'dx

справа от а

справа от а

слева от b

слева от b

ф = „Д_ sin [ i Р W dx + у |т Кд (х)\ й J4)

(38,22)

справа от b

ф = -т^=ехр< — i \ | р (х) | dxV

Т 2/!д(х)|J

(38.23)

ф = „Д_ sin [ i Р W dx + у |т Кд (х)\ й J4)

(38,22)

справа от b

ф = -т^=ехр< — i \ | р (х) | dxV

Т 2/!д(х)|J

(38.23)

Отметим, что, скажем, функция, определяемая выражением (38.22), содержит только одну произвольную постоянную, А (то

же справедливо в отношении функции, определяемой выражением (38.23)). Следовательно, она не может быть общим решением дифференциального уравнения второго порядка, каким является уравнение Шредингера. Общее решение можно получить в виде суммы двух линейно независимых решений. Способ «сшивания» функций с помощью асимптотических выражений для функции Эйри позволяет найти лишь одно из таких решений. Для нахождения второго решения придется изобретать другие пути.

Для нахождения второго решения понадобится соотношение, которое мы сейчас выведем. Пусть ф! (х) и ф2 (х) — два несовпадающих решения уравнения Шредингера. Каждое из них удов-

летворяет уравнению: ф" +(2/Ио/Й2) (£ —17) ф = О, или ф"/'ф = = (2т0/й2) (U — £). Поэтому можно написать:

1 d2^ _ 1 d23p2 _ 2m0 ,,, р.

гр! dx2 ф2 dx — № H-

Отсюда

Фа

Приведя это уравнение к общему знаменателю и отбросив этот знаменатель, поскольку он не есть тождественный нуль, получим

Ф1Ф2 — Ф1Ф2 = (Ф1Ф2 — ФЛ)' = О, или

ф1ф2 — фхф2 = const.(38.24)

Это и есть нужное нам соотношение.

Возьмем в качестве гр! функцию (38.22) и попробуем сконструировать линейно независимую с ф! функцию ф2, которая вместе с фх удовлетворяла бы соотношению (38.24). Тогда мы можем быть уверенными в том, что ф2 есть решение уравнения Шредингера и, следовательно, сможем использовать ее для получения общего решения. Для независимого от (38.22) выражения слева от а естественно взять функцию

(х<а)(х<а)(38.25)(38.25)ф = ■:—,exp I IW I dx\

(х<а)

(х<а)

(38.25)

(38.25)

Т 2К|р(х)|Й 2j

(функции ех и е~х линейно независимы). Для выражения справа от а точно так же естественно взять функцию

А” -sinVp(x)А” -sinVp(x)X1 с й зX1 с й зp (x) dx + ap (x) dx + a(x>a),(38.26)(x>a),(38.26)

А” -sin

Vp(x)

А” -sin

Vp(x)

X

1 с й з

X

1 с й з

p (x) dx + a

p (x) dx + a

(x>a),(38.26)

(x>a),(38.26)

\ р \ dx\ р \ dxd Аd А—7="ехР dx)2K|p|—7="ехР dx)2K|p|

\ р \ dx

\ р \ dx

d А

d А

—7="ехР dx)2K|p|

—7="ехР dx)2K|p|

где аф- л/4. Проверим, удовлетворяют ли функция (38.22), рассматриваемая как гр!, и функция ф2, определяемая выражениями (38.25) и (38.26), соотношению (38.24). Имеем:

£ й£ й(38.27)(38.27)слева от а

£ й

£ й

(38.27)

(38.27)

справа от асправа от аddxddx>1 . -y^Sin Vp>1 . -y^Sin VpГ xй" pdx + TГ xй" pdx + T1 C . , 1]

справа от а

справа от а

ddx

ddx

>1 . -y^Sin Vp

>1 . -y^Sin Vp

Г x

й" pdx + T

Г x

й" pdx + T

-\ p dx +« | -

a

x

— -г\рДх4-а,\ = "a

= -^sin(a +J). (38.28)

Таким образом, для рассматриваемых функций соотношение (38.24) выполняется как слева, так и справа от точки а. Поскольку слева и справа мы рассматриваем пси-функцию одного и того же состояния, константы (38.27) и (38.28) должны быть одинаковыми. Отсюда следует, что

А 72 = A" sin ^« + ^.

Этому условию проще всего удовлетворить, положив

А" = А'/2 и а = л/4.(38.29)

Следовательно, решение, линейно независимое с (38.22), имеет вид

Ф = 91Дт7-Гехр!~ 4 1Ж1М (*<«), (38.30)

Ф = 2^__ sinf-y p(x)dx + jl(х>а). (38.31)

Аналогичные рассуждения дают для функции, линейно независимой с (38.23) следующие формулы:

Ф =exp Ы | р X) |dx\ (x>b),(38.32)

ЗИМ*) 1p a

^ = ~2T^Tsin '^ P ^ ^ + t' U<bV (38.33)

Таким образом, общее решение уравнения Шредингера в ква- зиклассическом приближении имеет вид:

слева от а

1

2/^7^

(х<а), (38.34)

справа от а

ф = ^.- J A sinф = ^.- J A sin1 (й J1 (й J. А’ .+ т81п. А’ .+ т81пйй(x>a), (38.35)(x>a), (38.35)

ф = ^.- J A sin

ф = ^.- J A sin

1 (

й J

1 (

й J

. А’ .

+ т81п

. А’ .

+ т81п

й

й

(x>a), (38.35)

(x>a), (38.35)

слева от bслева от b

слева от b

слева от b

ф — /=_■Vp№ф — /=_■Vp№В sinВ sin1 С й j ь1 С й j ьр (х) dx-^ +р (х) dx-^ ++ -rsm+ -rsm1й1й(x<6), (38.36)(x<6), (38.36)ьь

ф — /=_■

Vp№

ф — /=_■

Vp№

В sin

В sin

1 С й j ь

1 С й j ь

р (х) dx-^ +

р (х) dx-^ +

+ -rsm

+ -rsm

1й

1й

(x<6), (38.36)

(x<6), (38.36)

ь

ь

справа от bсправа от b

справа от b

справа от b

11) =,..■2/|р(х)|11) =,..■2/|р(х)|В ехр —В ехр —66

11) =,..■

2/|р(х)|

11) =,..■

2/|р(х)|

В ехр —

В ехр —

6

6

(x>b). (38.37)(x>b). (38.37)+ B' exp -^ ^ | p (x) | dxъ

(x>b). (38.37)

(x>b). (38.37)

Функция (38.35), так же как и функция (38.36), представляет собой суперпозицию двух плоских волн, бегущих во встречных направлениях (ср. с формулами (5.13) и (5.14)). Выделим эти волны, выразив синусы через экспоненты. После несложных преобразований получим

ф = —7=Vp^ф = —7=Vp^Сх ехрСх ехрi/Гi/Гр (х) dxр (х) dx+ С2 ехр+ С2 ехрр (х) dxр (х) dx(38.38)(38.38)

ф = —7=

Vp^

ф = —7=

Vp^

Сх ехр

Сх ехр

i/Г

i/Г

р (х) dx

р (х) dx

+ С2 ехр

+ С2 ехр

р (х) dx

р (х) dx

(38.38)

(38.38)

где

(38.39)(38.39)1Aew-A'e-W п А'е1л^-ЧАё~^

(38.39)

(38.39)

41, Ьг- 4[-

Множитель при СА в (38.38) представляет собой волну, бегущую вправо вдоль оси х, множитель при С2 — волну, бегущую влево вдоль оси х. Это легко понять, положив р(х) = const. Тогда первый множитель примет вид ethx (k = pjh), второй — вид e*ikx (ср. с формулой (5.13)).

Легко проверить, что при

А' = — 2/Л(38.40)

коэффициент С2 обращается в нуль, а коэффициент Cj стано-

вится равным Ае~1111\ В этом случае квазиклассическая пси функция справа от точки х = а имеет вид

ф = —т= Ae~la^ exp 1 Р to dx\ =

p (x) dx —p (x) dx —(38.41)(38.41)Vp(x)j

p (x) dx —

p (x) dx —

(38.41)

(38.41)

A

= • 7 . exp Ji

Vp № p

т. e. представляет собой волну, бегущую вправо вдоль оси х.

Подстановка значения (38.40) для А' в формулу (38.34) приводит к следующему выражению для пси-функции слева от точки х = а".

ААехрехр(38.42)(38.42)Выразив синусы через экспоненты в формуле (38.36), можно представить пси-функцию слева от точки х = Ь в видеВыразив синусы через экспоненты в формуле (38.36), можно представить пси-функцию слева от точки х = Ь в виде1 I В’е™А _-2Ве-иА ifc = —7=1Кр И I 411 I В’е™А _-2Ве-иА ifc = —7=1Кр И I 41ехрехр^Ве1яА _в'е-1л1'+у,ехр^Ве1яА _в'е-1л1'+у,ехр14 Vp (х)14 Vp (х)р (х) dxр (х) dxъ\Р(х) dxъ\Р(х) dx(2В — iB') ехр Н(2В — iB') ехр Нр (х) dx +р (х) dx ++ (2В +iB') ехр )— i+ (2В +iB') ехр )— i(38.43)(38.43)

А

А

ехр

ехр

(38.42)

(38.42)

Выразив синусы через экспоненты в формуле (38.36), можно представить пси-функцию слева от точки х = Ь в виде

Выразив синусы через экспоненты в формуле (38.36), можно представить пси-функцию слева от точки х = Ь в виде

1 I В’е™А _-2Ве-иА ifc = —7=1

Кр И I 41

1 I В’е™А _-2Ве-иА ifc = —7=1

Кр И I 41

ехр

ехр

^Ве1яА _в'е-1л1'

+у,ехр

^Ве1яА _в'е-1л1'

+у,ехр

1

4 Vp (х)

1

4 Vp (х)

р (х) dx

р (х) dx

ъ\Р(х) dx

ъ\Р(х) dx

(2В — iB') ехр Н

(2В — iB') ехр Н

р (х) dx +

р (х) dx +

+ (2В +iB') ехр )— i

+ (2В +iB') ехр )— i

(38.43)

(38.43)

Первое слагаемое в этой формуле отвечает волне, бегущей слева направо, второе — волне, бегущей справа налево.

§ 39. Правила квантования Бора — Зоммерфельда

Рассмотрим в квазиклассическом приближении движение частицы в потенциальной яме (рис. 39.1). Будем предполагать, что, кроме этой потенциальной ямы, других дозволенных областей движения частицы не существует. Полную энергию частицы обозначим посредством Е„.

Пси-функцию частицы в пределах ямы можно представить двумя способами (см. (38.22) и (38.23)):

Vp WVp WVp (х)Vp (х)J р(х) dx+^J р(х) dx+^(39.1)

Vp W

Vp W

Vp (х)

Vp (х)

J р(х) dx+^

J р(х) dx+^

(39.2)(39.2)Ф« (х)Ф« (х)VTwVTwsinsinp(x)dx-V^Vp(x)dx-V^V(39.3)(39.3)

(39.2)

(39.2)

Ф« (х)

Ф« (х)

VTw

VTw

sin

sin

p(x)dx-V^V

p(x)dx-V^V

(39.3)

(39.3)

(во втором выражении мы избавились от минуса перед интегралом, поменяв местами пределы интегрирования). Оба выражения должны в каждой точке интервала [а, 6] иметь ^W"

одинаковое значение. Это требование устанавливает

соотношения между коэф-

фициентами А и В, а так

же между аргументами си-J

нуса в обеих формулах. Вы-„,

берем последнее соотно

шение так, чтобы в него входил интеграл ^pdx, взятый в пределах от а до b. С этой целью мы воспользуемся формулой х): sina = (—1)” sin [(и + 1)л — а]. В соответствии с этой формулой оба выражения (39.1) совпадут, если положить В = (— 1)" А и

§ р (х) dx = (п +х)^ лй (и = 0, 1, 2, ...)

(поскольку в пределах ямы р (х) > 0 и b>a, интеграл (39.2) может иметь лишь отличные от нуля положительные значения).

Таким образом, в качестве квазиклассической пси-функции, описывающей поведение частицы в потенциальной яме, нужно взять выражение

Индекс л) при ф (х) указывает на то, что аргумент синуса изменяется от л/4 в точке а до [(п + х!^ л + л/4] в точке Ь, т. е.

9 В справедливости этой формулы проще всего убедиться, рассмотрев на «тригонометрическом круге» случаи: п = 0, :L1, ±.2 и т. д.

получает приращение, равное (n + Va)^ Легко сообразить, что синус при этом п раз обращается в нуль. Таким образом, функция ф„ имеет п узлов.

Пусть х0 и х0 + Ах — координаты соседних точек, в которых ф„ (х) обращается в нуль. Фазы синуса в этих точках отличаются на л. Следовательно,

х<> +Ах

л = ^ р (х) dx № у р (х) Ах,

Хо

откуда Ах^ л [Й/р (х)] = лк (х). Таким образом, расстояние между соседними нулями пси-функции имеет порядок величины де-брой- левской длины волны. В § 37 мы установили, что формулы ква- зиклассического приближения справедливы, начиная с расстояний от точки поворота порядка нескольких де-бройлевских длин волн (см. неравенство (37.23)). Вместе с тем при п~ 10 на таком расстоянии от точек а и b находится середина потенциальной ямы. Отсюда следует, что формула (39.3) справедлива лишь для очень больших п, причем результаты, получаемые с помощью квазиклассического приближения, будут тем точнее, чем больше п.

Определим из условия нормировки коэффициент А в формуле (39.3). Слева от точки а и справа от точки b пси-функция быстро убывает. Поэтому вкладом этих участков в нормировочный интеграл можно пренебречь. Тогда условие нормировки будет выглядеть следующим образом: b6, х\

( |ф„(х) |2 dx = Л2 ( T7^-sin2H ( р(х') dx' + j> = 1. (39.4)

Поскольку на отрезке la, й] квадрат синуса очень быстро осциллирует (п очень велико), его можно заменить средним значением, равным Va. В результате условие (39.4) примет вид

ь

Преобразуем входящий в (39.5) интеграл следующим образом:

bй6

С dx 1 С dx 1 С ,,1 л\

\ —74 = \ —74 = \ dt = о—т = ,(39.6)

J р (х) mfl J у (х) т0 J 2m0 тоа>х '

aaa

где т —период движения1) классической частицы в рассматриваемой потенциальной яме (время, затрачиваемое на прохожде-

9 Классическая частица с отличной от нуля полной энергией, находясь в потенциальной яме, будет совершать колебательное движение между точками а и 6.

ние пути от точки а до точки b и обратно), со —круговая частота классической частицы. Подстановка (39.6) в (39.5) приводит к следующему значению коэффициента А:

A = V ‘Im^lK. (39.7)

Таким образом, нормированная квазиклассическая пси-функция для частицы в потенциальной яме определяется формулой

(39.8)(39.8)ф„ М = V Itonluu (х) sin Д $ р (х) dx +

(39.8)

(39.8)

с тем, что частота зависит пределы интегрирования;(39.6) и рис. 39.1), при со ставлен индекс п.Движение классическойс тем, что частота зависит пределы интегрирования;(39.6) и рис. 39.1), при со ставлен индекс п.Движение классическойсм.по-см.по-ча-ча-траектория имеет форму эллиптраектория имеет форму эллип(мы подставили (39.7) в (39.3) и учли, что p = mov). В связи от энергии состояния (через р (х) и

с тем, что частота зависит пределы интегрирования;

(39.6) и рис. 39.1), при со ставлен индекс п.

Движение классической

с тем, что частота зависит пределы интегрирования;

(39.6) и рис. 39.1), при со ставлен индекс п.

Движение классической

см.

по-

см.

по-

ча-

ча-

траектория имеет форму эллип

траектория имеет форму эллип

стицы в рассматриваемых условиях изображается на фазовой плоскости замкнутой кривой, симметричной относительно оси х (рис. 39.2). Эта кривая называется фазовой траекторией. Ее форма зависит от вида U (х). Если в пределах всей ямы (7 (х^х2, фазовая

са. Отметим, что на рис. 39.2 рх означает проекцию импульса на ось х, в то время как р(х), стоящее под знаком интеграла в (39.8), означает модуль импульса в точке х.

Площадь, охватываемая фазовой траекторией, равна

S = §pxdx = 2 $ р (х) dx.(39.9)

Приняв во внимание формулу (39.2), получим, что

ф рх dx = (п + '/г) 2лй (n = 0, 1, 2, ...)(39.10)

Соотношение (39,10) определяет в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу квантования Бора — Зоммерфельда в старой квантовой теории (в этой теории отсутствовала Va при п).

Из формул (39.9) и (39.10) вытекает, что при переходе из n-го состояния в (n-ф- 1)-е площадь, охватываемая фазовой траекторией, возрастает на 2лй (см. рис. 39.2). Согласно (39.9) для этого нужно, чтобы увеличились значения функции р (х) (т. е. разность E — U), либо увеличился интервал интегрирования

[а, 6]. Как видно из рис. 39.1, оба эти процесса взаимосвязаны. Энергетический уровень, соответствующий (/г-)-1)-му состоянию изображен штриховой прямой. Таким образом, с увеличением п энергия состояния возрастает.

Из того факта, что при переходе из n-го состояния в (п + 1)-е площадь, охватываемая фазовой траекторией, возрастает на 2лА, вытекает также, что каждому квантовому состоянию соответствует на фазовой плоскости ячейка площади 2лй. Обобщив этот результат на случай движения в пространстве трех измерений, получим, что каждому состоянию соответствует в фазовом пространстве ячейка объемом (2лД)8. Следовательно, число состояний, соответствующих фазовому объему AQ = AxAz/Az АрдДру Apz, равно

... АЙ ДхДуД2ДрхДрыДрг

— (2лй)з ~(2лй)3‘1"

Последняя формула является основной в статистической физике.

Наконец, оценим расстояние ДЕ между соседними энергетическими уровнями, т. е. Е№Н — Еп (разумеется, для больших п). Поскольку при больших п выполняется неравенство АЕ^ЕП, можно считать, что

Pn+i W-Pn И=%^Е.

Проинтегрировав это соотношение по периоду движения частицы и учтя (39.10), получим, что

2лй = АЕ dx = АЕ j дЕj (дЕ/др)

Из выражения: Е = p2/2m0 + ^ to находим, что дЕ/др = р/тй = у. Следовательно,

2лй = АЕ ^ ^ = ^Ет = 2л ДЕ/со, откуда

ДЕ = Дсо„.(39.12)

При больших п имеет место неравенство (АЕ/Е)<4, соответственно (Асо/со)<^1; поэтому частоты со„ для группы соседних уровней можно считать приблизительно одинаковыми. Отсюда следует, что в пределах небольших участков квазиклассичеекой части спектра уровни расположены практически эквидистантно.

Полученные в этом параграфе формулы справедливы, вообще говоря, лишь при больших п. В случае гармонического осцил лятора формула (39.12) оказывается точной при любом п, причем со не зависит от п (см. (25,9)).

§ 40. Прохождение через потенциальный барьер

Потенциальным барьером называется участок, на котором потенциальная энергия U (х) превышает полную энергию частицы Е (рис, 40.1). Классическая частица преодолеть такой барьер не может. Для квантовомеханической же частицы

имеется отличная от нуля вероятность оказаться по другую сторону барьера, т. е. как бы пройти сквозь туннель в барьере (туннельный э ф ф е к т). Для выполнения условий квазиклассичности барьер должен быть широким и не слишком крутым, (см. (37.21)).

Пусть частица падает на ба

рьер, двигаясь слева направо.

^№)еХР ^^№)еХР ^\ Р (x) dx - ^\ Р (x) dx - ^(40.1)(40.1)Тогда за барьером (т. е. при х^а) может существовать только волна, распространяющаяся вправо вдоль оси х. Такая волна описывается формулой

^№)еХР ^

^№)еХР ^

\ Р (x) dx - ^

\ Р (x) dx - ^

(40.1)

(40.1)

(см. (38.41). В области Ь^х^а пси-функция имеет вид

Ф =Ф =АА2/|р(Д|[2/|р(Д|[ftft\р (x)\dx — 2t exp\р (x)\dx — 2t exp- \ I р (х) I dx- \ I р (х) I dx(40.2)(40.2)

Ф =

Ф =

А

А

2/|р(Д|[

2/|р(Д|[

ft

ft

\р (x)\dx — 2t exp

\р (x)\dx — 2t exp

- \ I р (х) I dx

- \ I р (х) I dx

(40.2)

(40.2)

ааПоэтому, введя обозначениеПоэтому, введя обозначениеIР М I dx.IР М I dx.(40.4)(40.4)

а

а

Поэтому, введя обозначение

Поэтому, введя обозначение

IР М I dx.

IР М I dx.

(40.4)

(40.4)

(см. 38.42)). Эту же функцию, согласно (38.37), можно предста

вить в виде

фф1 о

ф

ф

—... ехр

2/|Р(Д|

Чтобы согласовать выражения (40.2) и (40.3), примем во внимание, что

формулу (40.3) можно записать следующим образом:

12/Д^П12/Д^ПBeY expBeY expйй| р (х) ] dx +| р (х) ] dx +4-B'evexp —4-B'evexp —Выражения (40.2) и (40.5) = —21А, В'еу = А, т. е.Выражения (40.2) и (40.5) = —21А, В'еу = А, т. е.совпадают присовпадают приJ \р(х) \dxусловии, чтоJ \р(х) \dxусловии, что(40.5)Be-v =(40.5)Be-v =

1

2/Д^П

1

2/Д^П

BeY exp

BeY exp

й

й

| р (х) ] dx +

| р (х) ] dx +

4-B'evexp —

4-B'evexp —

Выражения (40.2) и (40.5) = —21А, В'еу = А, т. е.

Выражения (40.2) и (40.5) = —21А, В'еу = А, т. е.

совпадают при

совпадают при

J \р(х) \dx

условии, что

J \р(х) \dx

условии, что

(40.5)

Be-v =

(40.5)

Be-v =

В = — 2/Л^, В’ = Ле-v.

Подставив эти значения коэффициентов В и В' в формулу (38.43),найдем пси-функцию перед потенциальным барьером (для x<_by.

+ (4eY — e-v) exp / — i+ (4eY — e-v) exp / — i1 t й" J й1 t й" J йp (x) dx +p (x) dx +(40.6)(40.6)

+ (4eY — e-v) exp / — i

+ (4eY — e-v) exp / — i

1 t й" J й

1 t й" J й

p (x) dx +

p (x) dx +

(40.6)

(40.6)

Допустим, что на потенциальный барьер падает пучок частиц, которые частично отражаются от барьера, после чего движутся в обратную сторону, частично же проходят «сквозь» барьер и продолжают двигаться в первоначальном направлении. В этом случае падающие частицы описываются первым слагаемым в (40.6), отраженные частицы — вторым слагаемым в (40.6), а прошедшие частицы— функцией (40.1). Каждому потоку частиц можно сопоставить плотность потока вероятности j, определяемую формулой (6.5). Отношение (5ПроШеДШ I к Дпад| определит коэффициент прохождения частиц через барьер, который мы обозначим буквой D:

(40.7) /пал

Аналогично

(40.8)

1 пад

где Д — коэффициент отражения частиц.

Вычислим плотности потоков на достаточно большом расстоянии от барьера, где импульс частицы и, следовательно, множитель 1/]/р(х) можно при вычислении производных считать постоянным.

В соответствии с формулой (6.5) в случае одного измерения

/ =(40.9)

'| 2moi V dx dx ) \v '

Все функции, с помощью которых мы будем вычислять потоки, и производные функций имеют вид

- (ft J*0- (ft J*0dx 1 \ ft У .dx 1 \ ft У .pdx-Va ),pdx-Va ),(40.10)(40.10)

- (

ft J

*0

- (

ft J

*0

dx 1 \ ft У .

dx 1 \ ft У .

pdx-Va ),

pdx-Va ),

(40.10)

(40.10)

Следовательно,

(ф*— ф^-^ = ф*ф(±(— (фф*) f t 4\ =

V dx f dx У Y т \ й у г / й у

= ±фф*2/^ = ±2(^.

Подставив это значение в (40.9), получим

/ = |С|2М.(40.11)

Таким образом, вычисление плотности потока сводится к нахождению квадрата модуля коэффициента в функции (40.10).

Для прошедшего потока, согласно (40.1), | С |2 = | А |2, для падающего потока (первое слагаемое в (40.6)) | С |2 = | А |2 (ev + V^^)2 и, наконец, для отраженного потока | С |2 = | А |2 (eY — Vi^)2. С учетом этих значений

D = (eY + V4e-Y)2 = (1 Vt^Y '(40.12)

(eY-i/4e-Y)2 _ (1-у4е-2У)2. „

А (eY4-i/4e-Y)2(1 + i/4e-2Y)2 •

Легко убедиться в том, что О+ /? = !.

Мы уже отмечали, что квазиклассическое приближение справедливо лишь для достаточно широкого потенциального барьера. В этом случае величина у, определяемая формулой (40.4) велика и e-2Y^l. Поэтому в формуле (40.12) знаменатель можно считать равным единице, так что а .

— (2/Л) J |р(хЦЩ

D^e-^ = e ь .(40.14)

Формула (40.14) определяет вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Напомним, что эта формула справедлива только при выполнении условий квазиклассичности. Эти условия, кроме большой ширины барьера, предусматривают достаточно плавный, не слишком крутой ход функции U (х). На практике часто приходится иметь дело с барьерами, у которых U (х) с одной из сторон идет настолько круто, что квазиклассическое приближение оказывается неприменимым. Соответствующие вычисления дают в этом случае для D выражение, в котором, кроме точно такого экспоненциального множителя, как в (40.14), имеется еще предэкспоненциальный множитель.

Глава VIII. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ЧАСТИЦ СО СПИНОМ

§41. Пси-функция частицы со спином

Ряд экспериментальных фактов (тонкая структура спектральных линий, аномальный эффект Зеемана и т. п.) указывает на существование у микрочастиц специфической внутренней степени свободы. С этой степенью свободы связан собственный угловой момент частицы М5, получивший название спина.

Спин имеет сугубо квантовый характер. При переходе к классической механике (при Й->0) спин обращается в нуль. Поэтому спин не имеет классического аналога.

Существование и величина спина электрона строго вытекают из релятивистской квантовой механики. Однако ряд свойств частиц со спином может быть получен и без привлечения релятивистской теории, на основании общих квантовомеханических соображении и небольшого числа экспериментальных фактов. В настоящей главе излагается полуэмпирическая теория частиц со спином.

Пси-функция частицы со спином зависит, не только от ее пространственных координат, но также и от четвертой координаты а, характеризующей внутреннее состояние частицы:

ф = ф(х, у, 2, о, I).(41.1)

В качестве координаты о принимается величина проекции спина MS2 на произвольную ось 2, выраженная в единицах Й (М5г = ой). Координата о принимает 2s + 1 дискретных значений, отличающихся друг от друга на единицу:

о = s, s—1, .... —s+ 1, — s,(41.2)

где s —квантовое число, определяющее величину квадрата спина по формуле, аналогичной (19.10):

М^ = Й2з (s 4-1).(41.3)

Ввиду дискретности переменной а ее значения можно приписывать пси-функции в качестве индекса. Следовательно, функцию (41.1) можно рассматривать как совокупность нескольких различ-

$ 41] ПСИ-ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 187 ных функций пространственных координат, отличающихся значением индекса а. Эту совокупность можно записать в виде матрицы-столбца с 2s 4-1 строками:

/%, \

Выражение |ф0. (х, у, z, /)|2dE определяет вероятность того, что в данный момент времени частица находится в элементе объема dV, причем проекция ее спина на ось z равна Йо;. Величина

Pt = § |ф0. ^х, у, z, /) |2 dV

дает вероятность того, что в данный момент времени частица, находясь в одной из точек пространства, имеет проекцию спина, равную hot. Сумма таких вероятностей должна быть равна единице. Следовательно, условие нормировки функции (41.4) имеет вид

2^Фо;^> У- 2' WV=\. (41.5)

В дальнейшем мы в основном будем рассматривать частицы со спином, равным l/2 (s = 1/2)- В этом случае координата о может принимать лишь два значения: о1 = -}-1/2 и о2 = — V2, так что

Если вероятности проекций спина не зависят от координат частицы, т. е. вероятность иметь то или иное значение проекции спина и вероятность находиться в различных точках пространства не зависят друг от друга, функция (41.1) может быть представлена в виде произведения двух функций:

ф (х, у, z, о, /) = ф(х, у, г, /)-<р(<т). (41.7)

Множитель ф (х, у, 2, f) есть обычная (координатная) пси-функция, множитель ср (о) — спиновая пси-функция, которая может принимать только два х) значения:

<р(+1/3) = а1 и <p(—

При подстановке выражения (41.7) в (41.6) координатную функцию можно вынести за знак матрицы, в результате чего получится

4 В общем случае 2з-]-1 значение.

следующее выражение для тр:

ф (х, у., z, а, /) = ф(х, у, г, /)(а1\(41.8)

\Д2 /

Таким образом,

Ф (") = (?,)•(41.9)

где с^ и й2 —некоторые, вообще говоря, комплексные числа. Величины | Cj |2 и | а212 дают .вероятности того, что проекция спина MS2 имеет значения соответственно + Й/2 и — Й/2. Для нормированной пси-функции должно выполняться условие:

ЕслиЕсли(41.10)(41.11)(41.10)(41.11)|О1 Р + Дг!2- Е

Если

Если

(41.10)

(41.11)

(41.10)

(41.11)

ф(а)=^0/)’

т. е. аг=\, <22 = 0, проекция спина имеет определенное значение, равное + Й/2. Если

Ф(а) = (°),(41.12)

проекция спина имеет определенное значение, равное — Й/2. Если оба числа, ах и а2, отличны от нуля, частица будет находиться в состоянии, в котором проекция спина не имеет определенного значения.

§ 42. Операторы спина

Найдем вид линейных операторов Q, которые могут действовать на спиновые функции. Их действие на некоторую спиновую функцию (р (о) должно превращать ее в другую, тоже спиновую функцию / (о):

f (а) = 0ф (о). (42.1)

Согласно (41.9) функции <р(о) и / (а) представляют собой матрицы-столбцы:

$^ЦЬЛ(42.2)

\^2/\°2/

Отсюда следует, что оператор Q должен иметь вид двухрядной (в общем случае (2s+1)-рядной) квадратной матрицы:

(Qll Q12

W21 С22

Подставив матрицы (42.2) и (42.3) в уравнение (42.1), получим

/^i)/Qu @12 \ /Й1 \/@n«i + @12^2 W2 /\@21 QiiJx^iJ \Q21al+Q22o2.

(мы перемножили матрицы Q и а). Таким образом, действие оператора Q на функцию с компонентами аг и а2 переводит ее в функцию с компонентами:

bi = QuO] + 512^2 и Ьг — QsA + QaA.

что можно записать так:

(42.4)(42.4)@u @ia\ /ai\ /@11^1 + 912^2,@21 @22/ \ ^2/ \@21^1 4“ @22^2.

(42.4)

(42.4)

Если разбиение пси-функции на координатную и спиновую составляющие невозможно, то формула (42.4) должна быть видоизменена следующим образом:

Итак, любой оператор, действующий на спиновую функцию (41.6), должен иметь вид (42.3). В частности, такой вид должны иметь оператор квадрата спина s2 и операторы проекций спина на координатные оси: s^, sy, s2. Для этих операторов имеют место такие же перестановочные соотношения, как и для операторов орбитального углового момента (см. (16.12) и (16.15)), а именно:

sxsa — sgsx = itls21 stis2 — s2sti = itlsx, s2sx — sxs2 = ihsg, (42.6) s2^ —sxs2 = 0, s2s„ — Ls2 = 0, sas2 — s2s2 = 0.(42.7)

Операторы квадрата и проекций спина связаны соотношением (см. (15.10))

(42.8)(42.8)Sx + Sy + Sz = S2,

(42.8)

(42.8)

Из правил коммутации следует, что квадрат спина и, скажем, проекция спина на ось г могут одновременно иметь определенные значения, так что их матрицы можно одновременно привести к диагональному виду. Две другие проекции спина будут при этом неопределенными, а их матрицы недиагональными.

Если рассматривать операторы sa и s2 в их собственном представлении, то диагональные элементы соответствующих матриц будут равны собственным значениям операторов, а недиагональные элементы будут нулями.' Собственные значения оператора s2 равны №s (s 4-1) = № V2 (V2 + 1) = 3М2. Собственные

значения оператора sz равны + Й/2 и —Й/2. Следовательно,

_1).(42.10)= т&?)“1^(42-Ч)_1).(42.10)= т&?)“1^(42-Ч).^ = |^ ^,(42.9)

_1).(42.10)

= т&?)“1^(42-Ч)

_1).(42.10)

= т&?)“1^(42-Ч)

— 2 \0

Квадрат оператора (42.10) равен

" •„_№/!0W10\

S, — 4 \0 -1До -V

Чтобы найти операторы sx и sy, определим сначала вид-вспомогательных операторов:

s^Sx-ViSy и s.=sx — iSy(42.12)

(ср. с (1.3)). Как и операторы «ж и sH, эти вспомогательные операторы представляют собой квадратные двухрядные матрицы. Установив вид операторов s+ и s_ и взяв их сумму, мы получим sxi вычтя же их друг из друга, получим sH.

Найдем коммутаторы операторов (42.12) с оператором sz. Воспользовавшись формулами (42.6), получим

[S-н 8^] = (s ,- -J- tSy) SzSz (St -J- I Sy) = (SXSZ SzSx) 4 i (SyS2 SzSy) =

= (— ihsy) + i (ihsx) = — h ^sx + isy) = — йз+. Таким образом,

[s+, sj = s+s2 — szs+ = — tis*.(42.13)

Аналогичные вычисления дают

[s_, sj = s.sz — szs. = tls_.(42.14)

Обозначив собственное значение оператора sz символом аН, можно написать:

5уф0 = (ТЙфа,(42.15)

где фст — собственная функция оператора sz, отвечающая собственному значению ой1). Подействуем оператором s+ на

уравнение (42.15):

s+syi|)a = ah 5.,д|)ст.

Преобразовав левую часть с помощью соотношения (42.13), получим

5г8+фст — hs+1pa= ОЙ8+1|)а, что можно записать следующим образом:

^ Ма) = (» + 1) h (з+фа).(42.16)

Полученный результат означает, что функция s+40 с точностью до произвольного постоянного множителя X совпадает с собственной функцией оператора sz, отвечающей собственному значению (о+1)Й. Следовательно, оператор s+, действуя на функцию фст, превращает ее в Хфа+1:

®+Фа = Хфа-ц.

Размерность s+ совпадает с размерностью Й (см. (42.12) и (42.10), размерности s^, sy и sz одинаковы). Поэтому константу X можно представить в виде: X = hcT, где ^ — безразмерная постоянная. В результате получим соотношение-

5+фа = Йс1ф0+1.(42.17)

Подействовав на уравнение (42.15) оператором s_ и воспользовавшись соотношением (42.14), легко получить, что

8_фа = ЙС2фа-1- ■(42.18)

Теперь можно найти матричные элементы операторов s+ и s_ в 5г-представлении. Для s+ имеем

(s+)ao'= <ф» | £ьфа'> = <фа I ^фа'-н) ^ ^(42.19)

Индексы а и а' принимают два значения: + х/2 и — V2. Отличен от нуля (причем равен hc^ только тот матричный элемент, у которого а = а'-|-1. Следовательно,

(мы так расположили значения индекса о в ряду (41.2), что в направлении слева направо численные значения о убывают).

Найдем элементы матрицы з_. В соответствии с (42.18)

(S_)o, о'= <ф0 ! 5-ф^) = <фа|ЙС2ф0'_1) = ЙС2д0,0'-ь (42,21)

У этой матрицы отличен от нуля лишь элемент, у которого <т = о' — 1. Поэтому

с Vz ^-^‘/z, —Vz )/0 0\, <2 99)

(Sj М v2U Ор (42’2^

\Ч ’ /2» V2 ' ’— /2» /а/х'

Операторы, так же как и пси-функции, определяются с точностью до произвольного фазового множителя. Поэтому можно считать постоянные Cj и с2 в (42.20) и (42.22) вещественными.

Между элементами матриц (42.20) и (42.22) имеется соотношение, которое позволяет установить связь между константами Сл и с2.

Чтобы найти это соотношение, напишем в соответствии с формулами (42.12) два равенства:

0ч)а, о' = (Sjc)o, a' 4* < (5y)a, <r,(42.23)

(S-)a, a' = (Sx)a, a' — I (sy)c, a'.(42.24)

Из (42.24) вытекает, что (s_)o-.c = (sjo-.a + i (sy)o',a. Но в силу эрмитовости операторов sx и sy выполняются условия: (5^,0 = = (sja,a- И (sti)^,a = (Sy)o.a'. Следовательно,

(s-)<r, о = (s^)o.o' + i (Sy)a, a' = (s+)a, a'.(42.25)

Это и есть искомое соотношение.

Из (42.20) и (42.22) вытекает, что (s+)i/2i_^2 = ЙСц (s-)-i/„ Vz = = (s_)_V!,i/2 = ^2. Согласно (42.25) (s_)l.A’ v, = (s+)v„ _./2, откуда получаем, что с1 = с3 = с. Таким образом, индексы 1 и 2 при с в матрицах (42.20) и (42,22) можно опустить,

В соответствии с (42,12) оператор s* равен полусумме матриц (42.20) и (42.22), т. е.

Sx = 4G оУ(42'26)

Разделив разность матриц (42.20) и (42.22) на 2t (что эквивалентно умножению на — (/2), найдем, что

s>4(? "З-(42-27>

Возведя матрицы (42.26) и (42.27) в квадрат, получим

'4 U 0Д| О/ 4ДО

„№ /о —/\/о/1 о\

S° — C 4\i0)4о)- С" 4 \0 1)‘

Найдем сумму матриц (42.28) и (42.11):

Sx4- Sy4-Sz-C -4 Д ^4-^ 4Д Д4-4Д J 4^0 l+2c2f

Согласно (42.8) полученная нами матрица должна совпасть с матрицей (42.9). Для этого нужно положить с=1. Подставив это значение в (42.26) и (42.27), получим окончательно

х ^=4(1 У-(42-29)

.^ = 44 "о)-<42'3°)

В соответствии с формулами (42.11) и (42.28) (в (42.28) нужно положить с2=1) получается, что

й = 8* = &(42.31)

Матрицы

Д). -Hi -?) <42'32>

называются матрицами Паули. Воспользовавшись этими матрицами, выражения (42.29), (42.30), и (42.10) можно записать следующим образом:

^JC =Зу =*2" Оу, ®2 " ~2 ^Z*(42.33)

Найдем произведения матриц ах и ау:

Аналогичные формулы получаются и для других пар матриц Следовательно,

ОхОд ” О уС$ х " ^О2, ОуС2 О2Оу = iox,

CzOx = — oxo2 = iOy. (42.34)

Из соотношений (42.34) легко получить правила коммутации дЛя матриц Паули:’.

oxoH — oyax = ‘2to2, Gya2 — o2<3g = 2icx, a2ox — axa2 = 2iay. (42.35) Из (42.34) вытекает также, что -

ОхОд + оуох = 0, иуо2 + огау = 0, а2ах ф- ахо2 = 0. (42.36)

Последние соотношения означают, что матрицы Паули антикоммутируют друг с другом (см. (10.21)). Очевидно, что аналогичные правила антикоммутации имеют место также и для операторов проекций спина:

sxsy Ч- SySx = 0, sgs2 ф- s2Sy = 0, s2sxф- s.^ = 0.(42.37)

•7 И. В. Савельев, т. 2

Легко убедиться в том, что квадраты матриц Паули равны единичной матрице:

<ti = ^ = ^ = (i у.(42.38)

Отсюда с учетом (42.33) следует, что

(42.39)

что согласуется с (42.8) и (42.9).

Мы получили выражения операторов для случая, когда спин частицы равен половине. Для других значений спина нахождение операторов осуществляется аналогичным образом. Так, например, если спин равен единице, то собственное значение оператора s2 есть № 1(1 + 1) = 2/г2, а собственные значения s2 равны -|-1, 0, —1. Соответственно

/1О0\

82 = 2Й2 010(42.40)

\001/

(спиновая функция в этом случае имеет три компоненты),

/1 00\

з2 = ЙО ОО .(42.41)

\0 0 — 1/

Формулы (42.19) и (42.21) были получены без конкретизации значения спина. Следовательно, они годятся и в случае s=l. Воспользовавшись этими формулами, получим х)

Л /(А'+)1,1

(s+)l, 0

(s+)l,-i \

/0 1

Д = 1 (S+)o.l

(s+)o,o

(s+)o.-i

= tic 0 0

1 ,(42.42)

\(S+Li,i

(S+)-l. 0

(s+)-l, _1/

\0 0

0/

А/(s-)i,i

(s-)l, 0

(£-)l,-l \

/0 0

0\

S- = fsoo.i

(s-)o,o

(S-)o. -i

= tic 1 0

0 .(42.43)

\(s-)-i,i

(S-)-l,0

(S_)_1,_1/

\o 1

0/

Взяв сначала полусумму этих матриц, а затем их разность, деленную на 2i, найдем, что

/О10\л /О— I0\

sx = c-^ 101],sg = c^ z0—1].(42.44)

\01О/\0iО/

Квадраты матриц (42.44) и (42.41) равны

=0 2 0 ,=0 20 , $^=^2 0 О 0 . (42.45)

4 \1 0 1/\— 1 01/\0 0 1/

9 Таким же. способом, как для з = 1/2, можно показать, что коэффициент с в матрицах (42.42) и (42.43) одинаков.

Сложив их, получим

А А А А /1+С2/2 00\

S2 = sl + Sy 4-Sz= Й2 Ос2 0],

'\001+с2/2/

Чтобы согласовать это выражение с (42.40), нужно положить с2 = 2. Отсюда с = ]/2. Подставив это значение в (42.44), получим

StStй/2й/2О 1 ОО 1 О1 о11 о10\1 ’ О/0\1 ’ О/8У8Уй/2й/2'Оi<0'Оi<0—IОi—IОi(42.46)(42.46)

St

St

й

/2

й

/2

О 1 О

О 1 О

1 о

1

1 о

1

0\

1 ’ О/

0\

1 ’ О/

8У

8У

й

/2

й

/2

'Оi

<0

'Оi

<0

—I

О

i

—I

О

i

(42.46)

(42.46)

Заметим, что, согласно (42.45), в случае s=l квадраты операторов проекций спина не совпадают (s, ^fc st^ s^), как это было для 8 = Чй (см. (42.31)). Для матриц (42.46) и (42.41) нет также соотношений, аналогичных (42.37). Правила коммутации (42.6) и (42.7), разумеется, выполняются, в чем можно убедиться непосредственной проверкой.

§ 43. Собственные значения и собственные функции операторов спина

Уравнение (7.3) для операторов st, sy, s2 имеет вид

Si44 = Si4!i (i = x, у, г),(43.1)

где <р; —столбец с двумя строками (см. (41.9)). Подставив выражение (42.29) для sx, получим уравнение

А /о 1)/аД-= (аЛ

2 и

Перемножение матриц, стоящих слева, дает

Ца^Ца^’ °™УДаЦа^Ца^’ °™УДа/йаа/2\ _ /$хаДWys) \sxaj/йаа/2\ _ /$хаДWys) \sxaj

Ца^Ца^’ °™УДа

Ца^Ца^’ °™УДа

/йаа/2\ _ /$хаД

Wys) \sxaj

/йаа/2\ _ /$хаД

Wys) \sxaj

У равных матриц равны соответствующие элементы. Следовательно, получается два линейных однородных уравнения с неизвестными аг и а2:

s^ - (Й/2) а2 = 0,

(Й/2) аг — sxa2 = 0.'

Для того чтобы эта система имела ненулевые решения, ее определитель должен быть равен нулю:'

Й/2 . а

Й/2 -^

откуда — $* + (Й/2)2 = 0. Решениями этого уравнения будут $^- + Й/2, ^= — Й/2.(43.3)

Это и есть собственные значения проекции спина на ось х.

Подстановка в (43.2) sx = Hl2 и сокращение на Й/2 приводит к системе

«I-«2 = 0,

а2 — Qi = О,

из которой вытекает, что а1 = аг = а. Поэтому

Фзх=А/2 = Ц.

Из условия нормировки (41.10) следует, что 2|а|2=1, откуда а = (1/]/2) elat. Таким образом,

v.»-M-^«“'(i)-<43-4>

Подстановка в (43.2) sx =— Й/2 и решение получившейся системы приводят ко второй собственной функции оператора sx:

Ф8х=_й/2 = ^е^(_|1у(43.5)

Теперь напишем уравнение (43.1) для sy. С учетом (42.30) имеем

l/o -1\(ЬЛ (ъд

2V 0)\ЬД—

Перемножив матрицы и приравняв соответствующие элементы, получим систему

s^ + i (Й/2) &2 = 0, iM^-Syb^O.[’

Положив определитель системы равным нулю, получим уравнение

-s= + (W = 0.

Его решения

Sg—^-H/^! ^у —— ^/2(43.7)

представляют собой собственные значения оператора sg.

Подставив в (43.6) sy = ti('2^ получим после сокращения на Й/2 систему

Ьх + i&2 = 0,ibx - bi = о,

из которой следует, что Ьг = 1Ьг, а значит, |62[ = [6Х|. Согласно условию нормировки: 1 = | 6t |2+16212 = 2 | 6Х |2 = 2 |6212. Отсюда

Pi = (1//2) е'“», 62 = (i//2) ?“а.

Таким образом,

' (43-8)

Аналогичные выкладки дают, что

^--М-^ЦУ(43.9)

Подставив в (43.1) выражение (42.10) для s2 и решив получившуюся систему уравнений, получим уже известный результат:

8г = +^/2, s2 =— Й/2,(43.10)

е'»-^), <р$г—Mi = ettt«^(43.11)

(см. (41.11) и (41.12)).

Отметим, что собственные значения всех трех проекций спина одинаковы и равны ± ^/2, собственные же функции оказываются различными (напомним, что рассмотрение ведется в s^-представ- лении). Произвольные фазовые множители вида eta в выражениях (43.4), (43.5), (43.8), (43.9) й (43.11) можно, разумеется, положить равными единице (т. е. принять а = 0).

Уравнение (7.3) для оператора s2 выглядит следующим образом:

4 \0 1/\а2/ \аг)

(см. (42.9)). После перемножения матриц получается соотношение з^ /“Л = sa

4\^2/\^2/ *

из которого следует, что собственное значение оператора s2 равно 82 = ЗЙ2/4, а собственной функцией является любой столбец вида

элементы которого удовлетворяют условию нормировки: |«i|2 + + Ы2=1-

§ 44. Спиноры

В настоящем параграфе мы покажем, что спиновые пси-функ- ции представляют собой спиноры.

Спинором' называется многокомпонентная математическая величина, особым образом (отличающимся, в частности, от спо-

соба преобразования тензоров) преобразующаяся при изменениях системы координат. Простейшим является спинор первого ранга. Он имеет две компоненты — комплексные величины гх и z2, преобразующиеся по закону

(44.1)(44.1)'z(\ = /« р\ /МzV \? бДг2/

(44.1)

(44.1)

где гь z2 — компоненты спинора в системе координат К", г'ъ г2 — компоненты спинора в системе координат К'; а, 0, у, 6 —элементы матрицы преобразования, удовлетворяющие условию: D = = aS —0у=1 (D — определитель матрицы).

Спинором второго ранга называется совокупность четырех комплексных величин, преобразующихся как произведения компонент двух спиноров первого ранга (аналогично компоненты тензора второго ранга преобразуются как произведения компонент двух тензоров первого ранга, т. е. векторов). Сходным образом определяются спиноры более высоких рангов.

Произвольный поворот системы координат К' относительно системы К можно охарактеризовать с помощью углов Эйлера ф, Ф, if)) (см. т. 1, §22). Поворот осуществляется в три этапа (рис. 44.1):

поворот вокруг совпадающих осей г и г' на угол ф; -

поворот вокруг нового положения оси х (вокруг линии узлов) на угол А;

поворот вокруг оси г' на угол ф.

В случае, когда изменение системы координат заключается в повороте вокруг начала координат, входящая в (44.1) матрица

преобразования имеет вид

а 0\/е1 W + ’W/2 cos 0/2 /е~‘1Ф-^/2sin 0^2\... -.

V 6/W^-^sin 0/2 б-^ф + ’М/ЗсозО/г/(44'2'

(легко убедиться в том, что определитель этой матрицы равен единице). Особенно отчетливо обнаруживается различие в способах преобразования спиноров и тензоров, если рассмотреть поворот вокруг оси у на угол Ф. Такой поворот можно осуществить с помощью последовательных поворотов на углы: (р = л/2, ■О1 =-О' и ф =— л/2. Подставив эти значения в (44.2), получим матрицу

/ cos 0/2 sin„

■ \— sin 0/2 cos 0/2 у •1 • /

которая отличается от матрицы аналогичного преобразования тензоров первого ранга (т. е. векторов) тем, что вместо полного угла поворота А в нее входит половинный угол. По этой причине спиноры называют также полувекторами.

Теперь обратимся к установлению формул преобразования операторов' спина и спиновых функций при поворотах системы координат. Рассмотрим две системы координат: К -систему с осями х, у, г и повернутую относительно нее /('-систему с осями х'л у', г'. Спиновая функция рассматриваемой физической системы может быть написана либо в системе /(: <p(K), либо в системе К’". ср(К'), эти функции определяют одно и то же состояние в двух различных представлениях: первая в /(-представлении, вторая в /('-представлении.

В § 14 было выяснено, что преобразование функций и операторов при переходе от одного представления к другому осуществляется с помощью унитарного оператора. В данном случае этим оператором является оператор поворота R (см. конец § 15). Поскольку этот оператор унитарный, эрмитово сопряженный с ним равен обратному:

R* = R-1(44,4)

(см. (14.15)). Согласно (14.24) и (14.25)

<р(К') = R^k^(44.5)

s^ = Rs^R-* = Rs^R-1 (т=х,у,г).(44.6)

Компоненты всякого вектора при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам

Ьщ ~ ^ ^mn^nt Ьт =(44,7)

па

где am/2 = eme„ = cos (хт, х„) (см. т. 1, Приложение VI). В частности, в случае, когда система К' повернута относительно системы К вокруг оси 2- на угол ф, матрица коэффициентов преобразования ат„ имеет вид

/ cos ф sin ф О'^Р-тп) = — sin ф cos ф О

и в соответствии с формулами (44.7)

Ь'х = bx cos ср + bu sin ср, b'y = — bx sin ф + Ьу cos ср, b'2 = b2, (44.8)

bx = bx cos ср — Ь'у sin ср, by = b, sin ф +by cos ф, b2 = b2. (44.9)

Угловой момент, в частности спин, является псевдовектором, поэтому его компоненты преобразуются по формулам (44.8) и (44.9). Между операторами имеются такие же соотношения, как между изображаемыми ими величинами. Отсюда заключаем, что операторы sx, Sy, s2 должны преобразовываться при повороте системы координат по формулам (44.8) и (44.9), причем Эти формулы можно писать как в /(-представлении, так и в /('-представлении.

Условимся понимать под Sx, sy, s2 операторы проекций спина на оси системы К, а под sx., sv-, s2- — операторы проекций спина на оси системы К (в формулах (44.7) s^ и т. д. соответствуют компоненты bm, a sx< и т. д. — компоненты Ь'щ), Напишем формулы (44.9) в /(-представлении:

(44.10)(44.10)(44.11)(44.11)= s^ cos ф — s^ sin ф,= s^ sin ф+ s^> cos ф,

(44.10)

(44.10)

(44.11)

(44.11)

В /('-представлении эти формулы имеют такой же вид:

S^ * = S^9 COS ф — Sy^ * sin ф,s^9 = Sv 9 sin ф + s ^ cos ф,

Обе системы координат совершенно равноправны. Поэтому, скажем, оператор s^9 имеет точно такой вид, как s*^ (оба определяются формулой (42.29)). То же относится к двум другим операторам. Следовательно,

(44.12)

С учетом этих соотношений формулы (44.11) можно видоизменить следующим образом:

slK )= s^ cos ф — s™ sin ср,

SyK)= s^ sin ф+ s^’ cos ф,(44.13)

1(K')_ '№

Мы получили формулы преобразования операторов проекций спина от /(-представления к /('-представлению. Согласно (44.6) эти формулы можно написать с помощью унитарного оператора поворота Rz;

Ох —*\ Z^ X *\ 2>

sT’^^^71,(44.14)

(чтобы подчеркнуть, что имеется в виду поворот вокруг оси г, мы поставили индекс г при R).

Сопоставление формул (44.13) и (44.14) позволяет найти оператор Rz. Из сравнения последней формулы (44.13) с последней формулой (44.14) заключаем, что

s^=r;s№r7\

Умножив обе части равенства справа на Rz, получим s^Rz = Rzs^

(R7XRZ= 1\ откуда вытекает, что операторы s^’ и Rz коммутируют друг с другом. Матрицы коммутирующих операторов одновременно приводятся к диагональному виду (см. последний абзац § 9). Оператор sz изображается диагональной матрицей (42.10). Следовательно, и матрица оператора Rz должна быть диагональной, т. е. иметь вид

^ = Со У-(44.15)

Эрмитово сопряженный оператор определяется матрицей

=х?)(44-16>

(см. (9.19)). Вследствие унитарности произведение матриц (44.15) и (44.16) должно равняться единичной матрице:

/х, OWx* OX/lxJ20 \/1 0\

\0 хДо х*/\ 0^0 1/’

Отсюда | хх |2 = | х2|2 = 1. С учетом этого напишем матрицу (44.15) в виде

- /etol о \

Rz = to).(44.17)

где а! и а2 вещественны.

Пока были использованы только третьи из уравнений (44.13) и (44.14). Чтобы найти связь между фазами о^ и а2, воспользуемся остальными уравнениями. Умножение первого из уравнений (44.14) справа на Rz приводит к соотношению

Заменим в нем s^’ в соответствии с первым из уравнений (44.13). В результате получим

s^Rz cos ф — s уК)£г sin ф = Rzs(44.18)

В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с операторами проекций спина в /(-представлении. Поэтому верхний индекс (К) мы больше писать не будем. Подставим в (44.18) вместо s, матрицу (42.29), вместо sy —матрицу (42.30) и вместо Rz — матрицу (44.17)

й /0 1\ /еШ| 0 \ ft /0 — i\ /е‘“10 \

COS ф 0Д 0— у sin ф . оДо е1аг]

И /е‘а‘0 \ /О 1\

= ^\0 е;“2Д1 О/

Перемножение матриц дает (на й/2 сокращаем) / 0 e£ctl\ ./ 0— в‘“2\/ 0 eia*\

COS ф I to, 0 ) —151Пф1 to, а ) = I /а20 )

(обратите внимание на то, что операторы sx и Rz не коммутируют между собой). Приравняв соответствующие матричные элементы, получим два уравнения:

cos ф е‘“2 4-i sin ф е£“2 =

.....(44.19)

cos ф е‘“‘ — i sin ф е‘“‘ = е1ач

Выразив в них sin ф и cos ф через экспоненты, придем к соотношениям

gf (a2 + <p) = gia,, gi (a, — ф) — gta2,(44.20)

Заметим, что, взяв второе из уравнений (44.14) и проделав те же преобразования, мы также пришли бы к уравнениям (44.19).

Простейшее условие, при котором удовлетворяются соотношения (44.20), гласит, что ат —а2 = ф. Положим а1 = а0 + ф/2, а2 = = а0 —ф/2 и подставим эти значения в (44.17). В результате получим

Произвольный фазовый множитель е£а" можно опустить. Следовательно, оператор поворота системы координат вокруг оси 2 на угол ср имеет вид

А//ф/20 \

ДД(44.21)

Этот оператор можно представить следующим образом:

а , 1 _ /cos ф/2 +/ sin ф/20\ _

Кг (ф/qсод ф/2 — i дщ <р/2/

/1 О\ , . .0\

= cos ф/2^ + 181ПФ/2^О _J.

Множитель при cos ф/2 есть единичная матрица Е, множитель при isin ф/2 представляет собой матрицу Паули а2 (см. (42.32)). Следовательно,

Нг (ф) = cos Ф/2 • Е + i sin ф/2 ■ az.(44.22)

В выражениях подобного вида символ Е можно не писать. Поскольку второе слагаемое содержит двухстрочную квадратную матрицу, в первом слагаемом также должна быть двухстрочная квадратная матрица, которая, если она не указана, может быть лишь единичной. Таким образом, сокращенно можно писать (44.22) в виде

R= (ф) = cos ф/2 +1 sin ф/2-az.(44.23)

Если угол поворота бесконечно мал, выражение (44.23) переходит в

Кг (6ф) = 1 + i (6ф/2) az = 1 + (i/й) 6ф • ®г (44.24)

(ср. с (15.20)).

Оператор поворота вокруг любой другой оси имеет такой же вид, как (44.23), нужно лишь заменить ог матрицей Паули для соответствующей оси. Следовательно,

Кх (О) = cos -0-/2 + iax sin #/2,(44.25)

Ку (А) = cos #/2 + ioу sin ^/2.(44.26)

Подставив в последние выражения матрицы Е, ох и ау, получим

6l№ = cos ?)-Hsin 6/2 (? У -‘'=«П»/22). <44'27>

^m-cos«/2(; f)-Hsin0/2(° 7'И_“Х ”3 <44.28)

Сравнение (44.28) с (44.3) показывает, что при повороте вокруг оси у матрица преобразования спиновых функций совпадает с матрицей преобразования спинора. Убедимся в том, что это имеет место и при произвольном повороте координатной системы.

Произвольный поворот, как было указано в начале этого параграфа, можно осуществить с помощью трех последовательных поворотов на углы ф, Ф и ф. Первый поворот описывается оператором ^z(<p), второй — оператором Rx^ и третий —оператором Д-(ф)1). Оператор результирующего поворота равен произведению этих трех операторов

R (ф, О, ф) = £г(ф) AXW Rz(<p).

Подставив выражение (44.21) для R2 и (44.27) для Rx, получим

6 /1 t \_( ^° \ /cos 0/2 ‘ sin 0/2 \0=

К (Ф, V, ф) о e-iw)\i sin 0/2 созО/гД о e-W2y

= //«p+W/2 cosW2 ;e-i«p-W2sin^/2\

W^-^2 sin 0/2 r«»+W cos^/2/l

(ср. c (44.2)).

Спиновая функция частицы co спином х/2 имеет вид столбца Ф = ^ (см. (41.9)). Следовательно, формула преобразования этой функции при повороте системы координат выглядит следующим образом:

®=R^, О, ф)(Ч(44.30)

где R (ф, О, ф) — матрица (44.29), "совпадающая с матрицей преобразования спинора первого ранга. Таким образом, мы доказали, что спиновая функция является спинором. Спиновая функция системы из двух частиц со спином У2 представляет собой спинор второго ранга. -

Для любого спинора ф = ^ всегда можно найти такой оператор R (ф, О', ф), который превращает ф в ф' = ^Д Тогда углы

*) Мы не поставили штрих -при индексе г, поскольку а2, = а^ и, следовательно, в соответствии с (44.23) RZ.=RZ.

Ф, О', ф определят направление, по которому «ориентирован» спин частицы (т. е. направление, для которого проекция спина равна + 1).

Подставив в (44.30) матрицу (44.27) и выполнив умножение, найдем, что *)

til = <2! cos 0/2 + а2 sin 0/2, а2 =— ^ sin 0/2 +а2 cos 0/2.

Осуществим поворот на 0 = 2л. Тогда а\ = — аи a'i= — a2, т. е. спинор меняет знак на обратный. То же, очевидно, справедливо при повороте на 2л вокруг произвольной оси (ось у ничем не отличается от любой другой осц). Отсюда вытекает, что спинор не может иметь непосредственного физического смысла (всякая физическая величина при повороте на 2л переходит сама в себя). Это не удивительно — ведь спинор это пси-функция, а пси-функция непосредственного физического смысла не имеет.

Физический смысл могут иметь лишь билинейные выражения вида а^ — а2Ьъ где ^ и Qj — два спинора. При повороте на 2л оба спинора меняют знак на обратный, произведение же их остается без изменений.

4 Подобного рода преобразования, т. е. преобразования вида a^aaj + Paa

называются бинарными.

Глава IX. СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ

Принцип неразличимости одинаковых частиц

В классической механике частицы одинаковой природы (например, электроны) в принципе можно различать. Пронумеровав их в некоторый начальный момент времени /0, можно следить за каждой из них при ее движении по траектории и в любой момент времени t указать, какой номер был присвоен той либо иной частице.

В квантовой механике положение оказывается в корне иным. В силу принципа неопределенности понятие траектории частицы теряет всякий смысл. Если даже положение частицы точно определено в некоторый момент времени, то уже спустя бесконечно малый промежуток времени координаты частицы оказываются совершенно неопределенными. Поэтому, даже локализовав все частицы в момент /0 и пронумеровав их, мы не сможем указать, какая из частиц будет локализована в момент t в некоторой точке пространства. Следовательно, невозможно следить за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их. Таким образом, в квантовой механике частицы одинаковой природы полностью теряют свою «индивидуальность» — такие частицы оказываются совершенно неразличимыми. Это утверждение носит название принципа неразличимости (или принципа тождественности) одинаковых частиц.

Принципиальная неразличимость одинаковых частиц приводит к глубоким физическим следствиям. Она играет основную роль при рассмотрении систем, состоящих из тождественных частиц.

Пусть имеется система из N одинаковых частиц. Обозначим совокупность координат и проекции спина i-й частицы символом |/. Тогда пси-функция системы будет иметь вид

Ф(£ь Ь> ■■•Аь , &v, ty

Переставим i-ю и й-ю частицы, т. е. заменим в пси-функции координаты и проекцию спина i-й частицы координатами и проекцией спина й-й частицы и наоборот. В силу принципа неразличимости частиц состояние системы от этого не может измениться

и, следовательно, пси-функция может измениться лишь на несущественный фазовый множитель:

^2, .... Ъ, .... Ь, <) =

Если осуществить перестановку i-й и А-й частиц еще раз, пси- функция снова умножится на е'“ и вместе с тем она должна принять первоначальный вид. Поэтому можно написать, что

= ^(1,. g2, .... ^, .... It, U 0 =

= ^М1- ^2,0.

откуда вытекает, что е2'“=1 и е'“ = ±1.

Итак, при перестановке двух тождественных частиц пси- функция системы может вести себя двумя способами: либо остаться неизменной, либо изменить знак на обратный. Пси- функции первого типа называются симметричными, второго типа — а н т и с и м м е т р и ч н ы м и.■

Введем оператор перестановок или обменный оператор Plh, определяемый соотношением

Pik^^l» £2,£лг, 0 =

— Ф(?1> ^2,^> ...» £лГ, 0-

Вследствие того, что ф (... Дй, ..., ^, ...)= ± ф (.... ^, .... gA, ...), А*Ф = ±Ьф-(45.1)

Отсюда вытекает, что собственные значения оператора перестановок равны ±1. Симметричные функции системы частиц являются собственными функциями оператора Р1к, отвечающими собственному значению + 1, антисимметричные — собственными функциями, отвечающими собственному значению — 1.

Гамильтониан системы частиц имеет вид

N

Н='^\_-^Ни&,1Д + и^1, Ь, ...Л^,(45.2)

i=l

где U (^, /) —потенциал, отвечающий взаимодействию частицы с внешним полем, U (gi, £2> • ■■, Влг)— энергия взаимодействия частиц друг с другом. Очевидно, что этот гамильтониан не изменяется при перестановке двух частиц. Следовательно, Р1к (//ф) = = ЬЦРц^, откуда вытекает, что оператор перестановок коммутирует с гамильтонианом:

HPik-PikH = 0,

В § 21 было показано, что если оператор некоторой величины не зависит явно от времени и, кроме того, коммутирует с гамильтонианом, то эта величина оказывается сохраняющейся. Таким образом, свойства симметрии пси-функции системы данных частиц сохраняются во времени (являются интегралом движения). В связи с этим можно предположить, что характер симметрии пси-функции определяется природой частиц, образующих систему. В релятивистской квантовой механике доказывается, что частицы с целым (в частности, равным нулю) спином описываются симметричными функциями; частицы же с полуце- лым спином описываются антисимметричными функциями.

Частицы с целым (и нулевым) спином называются бозонами, частицы с полуцелым спином — фе р м и о н а м и.

Характер симметрии пси-функции, описывающей совокупность одинаковых сложных частиц (например, ядер или атомов) зависит от величины результирующего спина данной сложной частицы. При целом (и нулевом) результирующем спине пси- функция симметрична, при полуцелом — антисимметрична.

Пси-функции для систем частиц. Принцип Паули

Гамильтониан системы невзаимодействующих (или очень слабо взаимодействующих) друг с другом одинаковых частиц, находящихся в стационарном внешнем поле, определяется выражением

N

AW 1 Г"1

н=^\_-£^ни(ц(46Л)

= 1

(ср. с (45.2); энергией взаимодействия частиц мы пренебрегли ввиду ее малости). Следовательно, собственные функции системы можно найти, решив уравнение

N

^[-^+и ^l^&* ^ ■ ■ ■ - ^=Е^ ^ ^- • • ■ • ^ (46-2) 1=10

Попробуем искать решение этого уравнения в виде

Ф61, ^2, .... Ы^ФхбхИгСЫ ’-ФИ^),(46.3)

где ф/ (&)—функция координат и проекции импульса только t-й частицы. Подстановка в (46.2) дает

N

У, Ф1 61) ф2 (Ы • • ■ Ф»-1 6i-l) Ф*+1 ^i+1) • • • Фл' 6х) X

Разделив обе части уравнения на ip, получим

N

2го[-2^+у<Ф‘<ы-£-

t=l

Левая часть этого соотношения представляет собой сумму выражений, каждое из которых зависит от своей переменной ^. Для того чтобы такая сумма была равна постоянной величине Е при произвольных значениях переменных ^-, необходимо равенство каждого из слагаемых своей константе Et. Отсюда вытекают условия

- ^МЪНЩЪН^ = ЕЫ^ (1-=1, 2, .... ^, (46.4)

N

^Е^Е.(46.5)

В силу тождественности частиц функция U (^) и уравнение (46.4) имеют одинаковый вид для всех частиц. Решив это уравнение, найдем ф,(^), отвечающие Et. Затем, перемножив ф( (gf), получим решение уравнения (46.2). Величина Et представляет собой энергию t-й частицы.

Функции ф; (^) суть различные собственные функции оператора

(46-6)

Следовательно, индекс i при ф( указывает, в каком из стационарных состояний оператора (46.6) находится t-я частица. Каждое стационарное состояние характеризуется набором некоторых квантовых чисел. Обозначив этот набор чисел символом ть будем в дальнейшем писать фт. вместо ф;.

Итак, решения уравнения (46.2) имеют вид

Ф (Е1, Ег> •••> Ew) = фт, (Е1) Фт2 (Еа) • ■ • фт/v (Е^-(46.7)

Решением будет также любая суперпозиция функций вида (46.7), отличающихся значениями mt при каждом из множителей. Поскольку, вообще говоря,

Фт; (ЕД Фт^ (Ei) ^ — Фтг (Ei) Фч^ (ЕД г)>

функция (46.7) в общем случае не будет ни симметричной, ни антисимметричной. Функцию, характер симметрии которой отвечает природе образующих систему частиц, можно получить

■ *) Такая перестановка означает, что A-я частица переходит в состояние с набором квантовых чисел mit а t-я частица — в состояние с набором квантовых чисел т^.

в виде надлежащим образом подобранной суперпозиции решений вида (46.7).

Поясним сказанное на примере системы из двух частиц. Решениями уравнения (46.2), отвечающими энергии Е == Ег-\- Е2, будут две функции:

Ф1 бы У = Ф1 61) Фз ^ и ф2 бы £3) = ф2 ^ ф1 62), (46.8) где ф1 — собственная функция оператора (46.6), отвечающая энергии частицы, равной Ег; ф2 — аналогичная функция, отвечающая энергии Е2. Обе функции (46.8) отвечают одной и той же энергии системы Е.

Из функций (46.8) можно образовать симметричную ф\ и антисимметричную фа функции системы:

Ф$ = Ci №1 61) Фг 62) + Ф2 61) Ф1 62) ],(46.9)

Фа = с2 [фг 61) ф2 62) - Ф2 61) Ф1 62].(46.10)

Легко убедиться в том, что перестановка координат ^ и £2 оставляет функцию (46.9) неизменной, а у функции (46.10) меняет знак. Коэффициенты сг и с2 определяются из условия нормировки, которое в данном случае выглядит так: ^|ф$|МУ1с(У2=1, ^1ФаМК1^К2=1.

Полагая, что функции ф/ ^ нормированы на единицу, получим 1 = $ ф*ф5 dvx dv, = ctC1 $ № 61) ф? б2) +ФГ 61) ф? б2)] х

х [Ф1 61) ф2 62) + Фа 61) Ф1 62)] dVtdV2 =

= dTi{$ фТ 61) Ф1 61) dVi $фа 62) Фа 62) dV2 +

+ $ Ф? 61) Ф2 61) dVT $ ф! 62) ф1 62) ^2 +

+ S Ф? 61) Ф1 61) d Ki ^ фГ 62) ф2 62) d У2 +

+ $ Ф? 61) Ф2 61) dV, ф? 62) ф1 (Ы dV2] =

= сГС1 {1 1+0.04-0■ 0+1-1} = 2 |ci|2(46.11)

(второе и третье слагаемые равны нулю из-за ортогональности функций ф1 и ф2). Таким образом, с точностью до фазового множителя, Ci = 1/1^2. Аналогичные вычисления дают, что с2 в (46.10) имеет такое же значение, как и cv

Подставив -полученные значения коэффициентов в (46.9) и (46.10), получим нормированные функции симметричного и антисимметричного состояний:

Ф« = у^[Ф1 61) Фа 62) + Ф2 61) Ф1 62)].(46 12)

Фа = р^ [Ф1 61) Ф2 62) - Ф2 61) Ф1 62)].(46.13)

Обобщим полученные результаты на систему из N невзаимодействующих частиц. Если частицы являются бозонами, пси- функция системы должна быть симметричной. Таким свойством будет обладать следующая суперпозиция функций (46.3):

Ф$ = О 2. фт, (£1) фт, &) • • • . Ф^лДМ- (46.14)

Vnv m2m^]

Суммирование производится по всем возможным перестановкам индексов тъ т2, ..., т^). Если все эти индексы имеют неодинаковые значения,'число перестановок, а следовательно и число слагаемых в сумме (46.14), будет равно ^!. Однако следует учесть, что некоторые частицы могут находиться в одинаковых одночастичных состояниях.

Пусть в состоянии с набором квантовых чисел тг находятся две частицы — первая и вторая. Тогда индексы т1 и т2 совпадают и все перестановки, в которых тг и т2 обмениваются местами, соответствуют одинаковым слагаемым. Поскольку при суперпозиции каждое состояние берется только один раз, число слагаемых в (46.14) будет в рассматриваемом случае равно NXjT

Если в состоянии т( находятся и, частиц, то пД взаимных перестановок этих частиц отвечают одному слагаемому в (46.14), так что число слагаемых в (46.14) будет равно AflMl. Допустим, что в состоянии т^ находятся пг частиц, в состоянии т2 — п2 частиц и т. д. (сумма этих чисел должна равняться полному числу частиц: П1+/г2 + -•• = N). Тогда число слагаемых в (46.14) будет равно NXln^n^...).

Коэффициент Ci в (46,14) определяется из условия нормировки: 1 = \^s4’sdV1dV2 ... dVjv =

Х[2Ф«1 &) •••Фиат (м] dVtdVN.

Из-за ортогональности функций ф,п отличный от нуля (и равный единице) вклад в нормировочный интеграл дадут лишь квадраты модуля каждого члена суммы (46.14) (ср. с 46.11)). Поэтому нормировочный интеграл будет равен числу слагаемых в этой сумме. Следовательно, 1 =с*с1М//г1!и21 ... и для сх получается значение

_ (п^Х ...У/,

nV") 1

Подстановка этого значения в (46.14) приводит к нормированной симметричной пси-функции системы из N бозонов:

ф^щЬ^у/, 2фт/Ш^.-.ф^Ы. (46.15)

[mr mamAf|

Напомним, что, может быть, например, т1 = т1 = mN. Тогда обмен местами тг и т7, или т2 и mN, или т, и mN не приводит к новой перестановке и, следовательно, к дополнительному слагаемому в (46.15).

Для системы из N фермионов пси-функция должна быть антисимметричной. Такую функцию можно получить, умножив каждое слагаемое в сумме, аналогичной (46.14), на кососимметричный символ Кронекера ет т ...mN-

Фа = С2 ^ етхт8 ... т^фл^ (£1) фтг (£2) • • • Фтуу (bv). (46.16) [mp m2 ... mw]

Действительно, перестановка любых двух индексов при е изменяет его знак, так что выражение (46.16) будет антисимметричным. В данном случае слагаемые с совпадающими значениями хотя бы двух индексов mi и тк отсутствуют, так как соответ-

и (4), (5) и (6). Поэтому симметричная функция имеет вид

Фз = q {Ф1 (11) Ф1 ^ Фз &) + Ф1 (L) Фз (Ы Ф1 (Ез) + Фз &) Ф1 &J Ф1 (Ез)},т. е. содержит не шесть слагаемых, а три (число слагаемых равно Nl/nj — 31/21).

Если все три частицы находятся в одинаковом состоянии (т. е. ф>!=ф^=фз), то функция фх (Ei) ф1! (?а) ф/(Ы сама по себе будет симметричной, так что выражение (46.14) содержит лишь одно слагаемое (число слагаемых равно ^^/n1! = 31/31).

ствующее значение е равно нулю). Поэтому число слагаемых в (46.16) равно N'.. Соответственно из условия нормировки получается для с2 значение \lVN\. Выражение (46.16) можно записать в виде определителя (см. т. 1, формулу (VIII.3)):

(46.17)(46.17)'En, (^1) ^«i (S2) "•• 'P/n, ^n) ^m, (М ^тц ^г^^m2 ^N^

(46.17)

(46.17)

^mw (=1) Фт№ (Sa) ^тд! (iw)

Перестановке двух частиц соответствует перестановка двух столбцов определителя (46.17), в результате чего, как известно, определитель меняет знак.

Квантовые числа т; играют роль номеров строк определителя (46.17). При совпадении значений двух квантовых чисел, скажем пц и тк, в определителе окажутся одинаковыми две строки и определитель обратится тождественно в нуль — состояние сиетемы будет отсутствовать (это вытекает, как мы отмечали, и из выражения (46.16)).

Таким образом, мы пришли к весьма важному результату: в системе одинаковых фермионов не может одновременно находиться в одном и том же одночастичном . состоянии более одной частицы. Это утверждение носит название п р и н ц и п а Паули.

Сложение угловых моментов

Предположим, что рассматриваемую систему можно представить в виде двух, подсистем, взаимодействием между которыми можно пренебречь. Пусть первая подсистема обладает угловым ✓ моментом Mj, характеризуемым квантовым числом 7^ вторая подсистема — моментом М2, характеризуемым квантовым числом J2.

В общем случае подсистемы состоят из нескольких частиц, так что Mj и М2 представляют собой результирующие моменты подсистем, которые, вообще говоря, образованы сложением как орбитальных, так и спиновых моментов отдельных частиц. Квантовое число результирующего «смешанного» момента принято обозначать буквой J. Если результирующий момент образован сложением орбитальных моментов, то пользуются буквой L, если спиновых — буквой S. Наконец, применительно к сумме орбитального и спинового моментов отдельной частицы, квантовое число обозначают буквой /. Мы будем рассматривать самый общий случай и поэтому обозначили квантовые числа буквой J.

Найдем возможные значения углового момента М системы, равного сумме моментов подсистем: М = М1 + М2. Поскольку взаимодействие между подсистемами пренебрежимо мало, операторы Mi и М2 действуют на переменные, относящиеся к разным подсистемам и, следовательно, коммутируют между собой: М1М2 = М2М1. Каждый из операторов Mj и М2 удовлетворяет перестановочным соотношениям

МХМУ — МУМХ = ШМг, MtiMz — MzMy = 1НМХ,

MZMX - MXMZ = iWg (47.1)

(cm. (16.11)). Напишем перестановочные соотношения для результирующего момента М, приняв во внимание, что соотношения между операторами М, Mj и М2 должны быть аналогичными соотношениям между самими величинами, т. е. чтоМ = М1 + М2, Mx = MxvVNU и т. д.:

МхМ.и — МуМх = (МХ1 + Л1л2)(Л4у1 + Муг) — (Мщ + Mu№xi 4-Мх2)== (M^My! — Мд1Мх^ 4~ (Мх2Мд2 — Мд2Мх^) + (Л4л1Л4уз — Мд2Мх1) +

+ (Мх2Мд1 — Му1Л4л2) = th. (Л4г1 + Mz2) = iHMz

(вследствие того, что операторы Mj и М2 коммутируют между собой, последние две скобки равны нулю). Аналогичный результат получается и для двух других коммутаторов. Таким образом, оператор М также подчиняется соотношениям (47,1),

Состояние системы (в части, касающейся ее углового момента) можно охарактеризовать, задав величины и проекции на произвольную ось 2 моментов Mj и М2, т. е. квантовые числа Jlv J2 и т^, т2. Поскольку при заданных J2 и J2 квантовые числа тх и т2 могут принимать независимо друг от друга (2/2 +1) и (2J2 + 1) различных значений, существует (2Jt+ 1) (2/3 + 1) состояний системы, отличающихся друг от друга значением хотя бы одного из чисел тх и т2.

Прежде чем рассмотреть случай произвольных значений Jv и J2, разберем случай, когда Jx = 2, J2 = \. В этом случае получается 15 различных состояний (см. табл. 47.1). Для характеристики этих состояний можно вместо квантовых чисел )г, J2, тг и т2 использовать числа Ju J2, J и т, где / — квантовое число момента системы, а т —квантовое число его проекции на ось 2. Такая замена означает переход от представления U х, J2, mt, т2) к представлению (Jt, J2, J, m). Число различных состояний в новом представлении остается, разумеется, прежним, т. е.

ТАБЛИЦА 47.1

Номер состояния

*/1

Jg

m.

т3

т

J

1

2

3

4

5

6 1 7 1 8

9

1

2

1

4-2

4-1

4-3

3

2

2

1

+2

0

+2

3

3

2

1

+ 1

4-1

4-2

2

4

2

1

+2

-1

+ 1

3

5

2

1

+ 1

0

4-1

2

6

2

1

0

4-1

4-1

1

7

2

1

4-1

-1

0

3

8

2

1

0

0

0

2

9

2

1

-1

4-1

0

Г

10

2

1

0

-1

—1

3

11

2

1

—1

0

—1

2

12

2

1

—2

+1

-1

1

13

2

1

-1

—2

3

14

2

1

-2

0

—2

2

15

2

1

-2

-1

-3

3

равным (27,+ 1) (2J2 + 1), причем состояния будут отличаться друг от друга значением хотя бы одного из чисел J и т.

В силу того, что Mz = Mzl+Mz2, квантовое число т равно сумме чисел тх и т2:

т = mv-ytn->.(47.2)

Получающиеся по этой формуле значения т выписаны в 6-м, 7-м и 8-м стрлбцах табл. 47.1. Из этой таблицы видно, что, скажем, значение т = 4~2 наблюдается в двух различных состояниях: втором и третьем; а т = +1—в трех состояниях: четвертом, пятом и шестом. Очевидно, что эти состояния отличаются значением числа J.

Из табл. 47.1 следует, что все возможные состояния системы можно подразделить на три группы, указанные в 6-м, 7-м и 8-м столбцах таблицы. Наибольшее значение m в этих группах равно соответственно 3, 2 и 1. При заданном J квантовое число m может принимать все значения от +J до — J. Следовательно, J совпадает с максимальным значением квантового числа т, возможным при данном J. Отсюда легко заключить, что в рассматриваемом случае моменты подсистем Mj и М2 могут складываться тремя способами, приводящими к значениям результирующего момента М, характеризуемым J = 3, 2 и 1. Заметим, что значения J изменяются от Ji + J2 до J1 — J2 (А >-(2)-

Теперь обратимся к случаю произвольных ./1 и J2, будем лишь предполагать, что ^^«/а- Рассмотрим возможные значения числа т. Максимальные- значения чисел тг и т2 равны Jt и J2. Поэтому наибольшее значение т равно Jx + Ji- Следующее значение на единицу меньше, т. е. равно Jx + Ja — 1 Это значение получается в двух различных состояниях, в одном из которых тх = Jx, т2 = Ji — I, в другом тг = JT — I, т2 = J2. Число т в этих состояниях одинаково, следовательно, они отличаются значением J. Для одного из состояний т = Jx-\- J2— 1 является значением, следующим за mmax = J1 + A (в этом состоянии 7 = /1 + -/г), Для другого состояния т = J, + J2 — 1 является максимальным значением mmax (в этом состоянии J = Ji +J2— 1).

Следующее значение м, равное Jx 4- J2 — 2, получается в трех различных состояниях: 1) mx = Jx, m2 = J2 — <2; 2) Шх = Jx—\, т2 = J2 — \; 3) m^ Jx — 2, m2 = J2. Для одного из них это значение является следующим за Ji + Л и Jv + J2 — 1 (в этом состоянии ./= А 4~ Л) > для другого —следующим за mmax = Jx + + Л — 1 (в этом состоянии. J = Jt + Ji — 1) и, наконец, для третьего значение m = J1 + J2 —2 является максимальным (в этом состоянии- J = Л + Ji — 2),

Так будет продолжаться до тех пор, пока уменьшение т на единицу приводит к увеличению числа состояний на единицу. Это происходит до тех пор, пока число различных состояний, соответствующих данному т, не станет равным числу возможных значений числа т2, т. е. 2J2+1 '(см. табл. 47.1).

Таким образом, максимальное число различных состояний, которое может соответствовать одному и тому же значению т, равно 2J2 + 1. Это и будет числом различных значений J, т. е. числом способов, которыми могут быть сложены моменты Mj и М2 в результирующий момент М. Поскольку наибольшее значение J равно JY + Ji, а каждое следующее меньше предыдущего на единицу, то наименьшее значение J будет равно (Jх Ну Ji) — 272 — Jx — Ji-

Если Jx < J2, то, проведя те же рассуждения, поменяв местами Jx и J2, мы придем к выводу, что число возможных значений J равно 2^j-|- 1, a Jm\n = Ji — Jx-

Итак, мы пришли к следующему правилу сложения двух моментов, определяемых квантовыми числами Jx и J2. квантовое число J результирующего момента может иметь 2Л4-1 (если Ji<.Jx) или 2А + 1 (если Jx<Ji) различных значений, равных

Л + Л, -714*Ji — 1, Л + Л— 2, ..., |Jj—72|. (47.3)

Каждому J соответствует 2 J 4-1 различных состояний, отвечающих разным значениям квантового числа т. Следовательно, общее число состояний, отличающихся значениями хотя бы

одного из чисел J и т, определяется выражением

А^ (2J + 1) = (2J1+1)(2J2 + 1).

J = IA-Al '

Это число совпадает с найденным ранее числом состояний, рассматривавшихся в уъ J2, mY, /^-представлении.

Пси-функция системы из двух частиц со спином */2

Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых частиц со спином 1/2. Пси-функция такой системы зависит от пространственных координат, т. е. от rt и г2, а также от проекций спина су и о3 обеих частиц. Предположим, что взаимодействие между частицами не зависит от их спинов1), а также что магнитное поле отсутствует. Тогда гамильтониан системы не будет содержать операторов спина частиц, вследствие чего пси-функция распадается на два множителя:

ф(гп оу, Г2, о2)=ф(г1, г2)ф(а1( о2)(48.1)

(см. 41.7)).

Функция (48.1) должна быть антисимметричной (мы рассматриваем частицы со спином 1/2). Следовательно, если множитель ф(о!, су) будет симметричным (или антисимметричным), то координатная функция ф (ty, г2) должна быть антисимметричной (соответственно симметричной).

Результирующий спин системы S может иметь два значения: О (когда спины частиц антипараллельны) и 1 (когда спины частиц параллельны). В первом случае квантовое число о проекции сумм рного спина равно нулю; во втором случае о принимает три значения: 1, 0, —1. Состояние системы из двух частиц с S = 0 называется парасостоянием, состояние с S = 1— ортосостоянием2).

Найдем общий вид функций ф (оу, оу) для состояний с разными S и о. Каждая из этих функций удовлетворяет одновременно двум уравнениям:

(sj + s2)2cp = №S (S + 1) ф,(48.2)

(йа + i-2) Ф = /Юф,(48.3)

где s, и $1г — операторы первой частицы, s2 и з2г — операторы второй частицы, S = 0 или 1, соответственно о = 0 или 1, 0, — 1.

!) Это справедливо в нерелятивистском приближении.

Общие собственные функции операторов s£ и s2k отдельно взятой к-й частицы определяются выражениями

Ф+,у, (&) = (*),ф_.,,№^(°)(48.4)

(см. (43.11)), В дальнейшем для краткости мы будем писать эти функции в виде ф+№ и ф_(Л). Воспользовавшись формулами (42.10), (42.29) и (42.30), найдем результат действия операторов sxk, Syk и szk на функции (48.4):

Ай 0 Ш 1 \Й / 0\ ft/ L\/ИО

я^дср+ №= 21 о л =2" 1 = 7^’(48'5>

\1 и/ \ и /\ 1 /

й /о —Л/1 \/о\ й / о \ й о

8уАф+№ = 2-=у =ty ^^ф-^),(48.6)

А /.х ft /10 V 1 \ ft \\ . ft, - о

s^<p+(£)=y= у + тФ+№>(48.7)

А ,«х Й /О 1 \ / 0 \ Й / 1 \Й ,/^ о О\ 5^ф-№=у= У = У <р+№,(48.8)

sUk4>-№ — 2 о/\ 1 /2 \ о/ 12 \ о/ 12 ф+ ^’

(48.9)

_ ft /10\ / 0 \ _ ft / 0\ _ й / 0 \ _£

8г//ф- № — 2 \^0 _ 1Д 1 ]2 \— 1/2 \ 1 /2 V~ 6 ‘

(48.10)

Рассмотрим четыре функции, образованные из функций (48.4):

Ф1(1,2) = ф+(1)Ф+(2),(48.11)

Ф2(1,2) = Ф_(1)ф_(2),(48.12)

Фз(1,2) = ^[ф+(1)Ф-(2)+ф-(1)ф+(2)],(48.13)

Ф4(1,2) = ^[Ф+(1) ф_(2) —ф_(1) Ф+(2)]. .(48.14)

Первые три из этих функций, очевидно, симметричны, последняя антисимметрична. Функции ф+(1) и ф+ (2) нормированы на единицу, следовательно, и функция (48.11) является нормированной; то же самое можно сказать о функции (48.12). Функции (48.13) и (48.14) представляют собой суперпозицию функций (48.11) и (48.12). Условие нормировки в этом случае имеет вид: £|cm|2 = 1, где ст — коэффициенты разложения (см. (7.5)). Из сказанного выте-

кает, что все четыре функции являются нормированными (ср. с (46.12) и (46.13)).

Подействуем на функцию (48.11) оператором (8я-4-8г3). При этом учтем, что оператор 8Я действует только на <р+ (1), a s23— только на ф+ (2):

(зя + 8г2) Ф+(1) Ф+ (2) = 8яф+ (1) Ф+ (2) +srf<p+ (1) ф+ (2) =

= ф+ (2)зяф+ (1) Ч-ф+ (1)^аф+ (2).

Приняв во внимание соотношение (48.7), получим, что

(зя + s23) ф+ (1) ф+ (2) = ф+ (2) у ф+ (1) + ф+ (1) у ф+. (2) =

= Йф+(1) ф+ (2).

Сравнение с уравнением (48.3) дает, что (48.11) является собственной функцией оператора (вя4-зг2), отвечающей собственному значению а — 1.

Аналогичным способом можно показать, что функции (48.12) — (48.14) также представляют собой собственные функции оператора (% + s23), причем (48.12) отвечает о= — 1, а (48.13) и (48.14) соответствует а = 0.

Покажем, что функции (48.11) — (4^,14) являются одновременно собственными функциями оператора (sj + Sa)2 (см. (48.2)). Для этого выразим этот оператор через операторы проекций спинов отдельных частиц:

( Si + 83)2 = { 5Я + S^)2 + ( syl + sу3)3 + ( 8Я + 8г3)2 = = ( 8x1 4- 23^5^0 + 8x2) + ( Syl + 2sglSyi -f- Sy3) +

+ ( 8Я+2зязг2 +s^J- (48.15)

Напомним, что каждый из операторов вида sxk действует на пси-функции только своей, ^-й, частицы; поэтому, например,, операторы sxl и sx2 коммутируют друг с другом.

Для облегчения дальнейших выкладок приведем Следующие, вытекающие из формул (48.5) — (48.10) соотношения:

(48.16)(48.16)8^ф+ (А) = (А2/4) Ф+(А), 8^ф+(^) = (Й2/4) ф+(А), 8^Ф+ (А) = (Й2/4) ф+ (А}, з^фд (й) = (Й2/4) Ф-(А), з^Ф- (А) = (Й2/4) ф_(А), бИ- (к) = (Й2/4) ф_(^),

(48.16)

(48.16)

Подействуем оператором (48.15) на функцию (48.11):

($1 + $2)2ф+(1)ф+(2) =

= [ф+ (2)sli<p+ (1) 4- 2sxl ф+(1)^2ф+ (2) + ф+ (1)$12ф+ (2)] + + [ф+ (2) s=1 ф+ (1) + 2$яф+ (1)зу2ф+ (2) + ф+ (1) s=2<P+ (2)] + + [ф+ (2).^1ф+ (1) + 2зг1ф+ (1)522ф+ (2) + ф+ (1) ^2ф+ (2)| = = № {[ф+ (1) Ф+ (2) + 2ф_ (1) ф_ (2) + Ф+ (1) Ф+ (2)] + + [ф+.(1) Ф+ (2) - 2ф_ (1) ф_ (2) + ф+ (1) ф+ (2)] + + [Ф+ (!) Ф+ (2) + 2ф+ (I) ф+ (2) + ф+ (1) ф+ (2)]} =

= (Й2/4) 8Ф+(1) ф+(2) = 2^ф+(1) Ф+(2)

(мы использовали соотношения (48.5) — (48.7) и (48,16), Сравнение с уравнением (48.2) дает, что (48.11) является собственной функцией оператора (si + s2)2, отвечающей 5 = 1.

Аналогичные выкладки дают, что функции (48.12) — (48.14) также представляют собой собственные функции оператора (sj + + s2)2, причем (48.12) и (48.13) отвечают 5=1, а (48.14) соответствует 5 = 0.

Подводя итог, можно сказать, что спиновая функция системы двух частиц со спином 2/2 оказывается симметричной,. когда 5=1, причем в зависимости от значения о (1, 0 или — 1) она имеет вид (48.11), (48.13) или (48.12). Когда 5 = 0, спиновая функция оказывается антисимметричной и имеет вид (48.14). Чтобы облегчить последующие ссылки, выпишем эти функции еще раз:

|а=1 ф1Д = ф+1/2(1)ф_,А(2),(48,17)

5=1, , ст = 0 ф110 =^[ф+./3(1)Ф-./3(2)+ф_1/3(1)ф+./3^ (48.18)

о=-1 Ф1,-1 = Ф->/, (1) ф-щ (2),(48.19)

5 = 0, о = 0 Фо,о = ^[Ф+ч2(1)ф-чг(2)-Ф-^^(48.20)

Обменное взаимодействие

Неразличимость одинаковых частиц обусловливает существование особого, специфически квантового взаимодействия между частицами, называемого обменным взаимодействием.

Рассмотрим систему из двух частиц со спином Vz. между которыми имеется взаимодействие, не связанное с взаимодействием между спинами частиц. Допустим, что это взаимодействие является достаточно слабым для того, чтобы его можно было рассматривать как возмущение системы невзаимодействующих частиц. Охарактеризуем возмущение оператором V (чз)> где rw —

расстояние между частицами. Отметим, что оператор V (г12) не действует на спиновые переменные частиц.

Средняя энергия взаимодействия в первом приближении может быть вычислена по формуле, аналогичной формуле

^’=Vnn = (^V<> = V<^Nn dV

(см. (29.22)). .Эта формула написана для одной частицы без спина. В нашем случае имеются две частицы со спином. Поэтому формулу нужно взять в виде

А£ w = 5 $ (ф«»)* W(0) dVi dV2,(49.1)

где суммирование ведется по всем значениям спиновых переменных (мы опустили за ненадобностью индекс п).

Функция ф(0) описывает невозмущенное состояние, т. е. состояние невзаимодействующих частиц. Вид этой функции зависит от суммарного снина системы. В предыдущем параграфе было выяснено, что при 3 = 0 спиновая функция оказывается антисимметричной, соответственно координатная функция должна быть симметричной, т. е. иметь вид

ф Ц, 2) = ^ [фт, (I) фта (2) + фта (1) фт, (2)],(49.2)

где фт, и фта — две произвольные пси-функции одночастичных состояний (см. (46.12)). Цифрами 1 ц 2 в скобках обозначена совокупность пространственных координат соответственно первого и второго электронов. При 3 = 1 спиновая функция симметрична, так что

ф(1, 2) = ^[фт,(1)фта(2)-фта(1)фт1(2)](49.3)

(см. (46.13)).

При 3 = 0 спиновая функция равна 1, при 3 = 1

/ 01 \ф(ст) = а0 ,

где ст — квантовое число проекции суммарного спина | ст,- |а = 1 у

Подставим в (49.1) пси-функцию для случая 3=1. Поскольку оператор V не действует на спиновую функцию, ее можно вынести за знак оператора. В результате получим (см. текст, предшествующий формуле (9.24))

/ ai \ „

A£W=(4ao*a-i)Н[Ф(1, 2)]*Уф(1, 2)^У1^Уг =

-2 И/12 ^Уф^ dy2 = ^*^dyxdya.

i

Таким образом, в формуле (49.1) знак суммы можно опустить, а под ф,0) подразумевать координатную часть пси-функции. Приняв это во внимание, напишем выражение (49.1) в следующем виде:

^' = 1 § [фт, (1)фт2 (2) + фт, (2)фт, (1)]*Р[фт, (1)фтг (2) ±

±фт,(2)фт2(1)]^У^У2 =

= у {$ ^п, (1Ж (2) Уфт, (1) фт2 (2) dVv dV2 +

+ $ ф*. (2) ф* 2 (1) Уфт, (2) фт, (1) dVt d V2 ±

± $ <. (1) Ф^2 (2)1/ф,И1 (2) фт, (1) dVl dV2 ±

± $ ф^, (2) ф*2 (1)Уфт1 (1) ф„,2 (2) dV! dV2\

Знак плюс отвечает случаю 3 = 0, знак минус —случаю 3=1.

Легко сообразить, что первые два интеграла в фигурных скобках тождественны. Действительно, они отличаются лишь тем, что та частица, которая в первом интеграле обозначена номером 1, во втором интеграле обозначена номером 2 и наоборот. Вследствие неразличимости частиц такое изменение обозначений не может повлиять на величину интеграла. То же самое относится к третьему и четвертому интегралам, стоящим в фигурных скобках. Поэтому, объединив попарно интегралы, напишем;

ЬЕ^ = $ ф*, (1) ф* 2 (2) Уфт, (1) ф^2 (2) dV, dV2 ±

± S < (0< (2) V^m, (2) фт, (1) dVx dV2 = Q ± А. (49.4)

Полученный результат показывает, что поправка первого порядка к энергии двух частиц со спином % состоит из двух частей. Первая Q никак не связана с наличием у частиц спина и имеет классический аналог. Знак второй части А зависит от взаимной ориентации спинов частиц (от суммарного спина системы), хотя взаимодействие между спинами оператором V не учитывалось. Эта вторая часть А называется обменной энергией. Название обусловлено тем, что в функциях, стоящих под знаком интеграла перед оператором V, и в функциях, стоящих за оператором V, частицы взаимно обмениваются местами. Отсюда следует, что каждая частица как бы находится одновременно в обоих состояниях. Отметим, что обменная энергия получается и в том случае, когда оператор V (г12) учитывает взаимодействие -между спиновыми магнитными моментами, т. е. воздействует на спиновые части пси-функции.

Подчеркнем, что за обменным «взаимодействием» не стоит никакой «силы», Оно является следствием соотношения неопре-

деленности и принципа Паули. Поясним это следующими соображениями. Пусть между двумя частицами со спином Yk нет вообще никакого взаимодействия. Одна из частиц имеет координаты х, у, 2 с неопределенностями Ах, Ау, Аг порядка а и импульсы рх, Ру, Рг с неопределенностями \рх, АрУ) Ар, порядка Др. Согласно соотношению неопределенности

Ах Ду Аг Арх Ару Apz ~ а3 (Ар)3(2лй)3.

В соответствии' с формулой (39.11) в фазовом объеме такой величины имеется только одно квантовое состояние (без учета спина частицы). Принцип Паули разрешает находиться в таком состоянии двум частицам с антипараллельными спинами и не разрешает находиться двум частицам с параллельными спинами. Следовательно, две частицы с данным импульсом р могут подойти друг к другу на расстояние а в том случае, когда их спины антипараллельны, и не могут сблизиться на такое расстояние, если их спины направлены одинаковым образом. Появляется как бы «отталкивающая сила», которая препятствует сближению частиц на расстояние а.

В случае, когда взаимодействие между частицами является кулоновским, V7 (г12) = е2/г12. Соответственно (см. (49.4))

Q = § I Ф«, (1) Ф«2 (2) |2 £ dV, dV2,(49.5)

Л = и^(1)Ф^(2)^фт1(2)фт2(1)йУ1й(У2.(49.6)

Первый интеграл, называемый кулоновским, имеет простой физический смысл, который становится особенно ясным, если представить интеграл в виде

п _ с (JJMBJ^MT^ _ С л ^ • рзdV»

J^12J Г12

где р! и р2 — средние плотности заряда, создаваемые соответственно первой и второй заряженными частицами. Отсюда вытекает, что кулоновский интеграл определяет «классическую» часть энергии электростатического взаимодействия частиц.

Интеграл (49.6) называется обменным. Он, как уже отмечалось, не имеет классического аналога. В том случае, когда оператор V7 учитывает только электростатическое взаимодействие между частицами, обменная энергия является той частью кулоновской энергии взаимодействия частиц, которая обязана своим возникновением корреляции движения обеих частиц, обусловленной симметрией пси-функций.

В заключение укажем, что у всех систем, для которых были выполнены соответствующие расчеты, Q и А оказались положи-

тельными. Отсюда следует, что энергия парасостояний (S = О, см. предыдущий параграф) больше, чем энергия ор.тосостояний (5=1).

Заметим, что полученные в этом параграфе результаты относятся к случаю, когда одночастичные состояния ф,„, и фт, не тождественны. Если же эти состояния совпадают (фт,= фт2 = Ф), то вместо функции (49,2) нужно взять ф (1,2) = ф (1) ф (2), а функция (49.3) тождественно равна нулю (см. подстрочное примечание на стр. 213). В этом случае

ДЕ™ = $(!) ^ (2)Еф (1) ф (2) dVv dV2, (49.7)

что совпадает с Q в формуле (49.4). Обменный интеграл А в этом случае отсутствует.

Вторичное квантование

Вторичным квантованием называется метод расчета, применяемый в квантовой механике систем, состоящих из большого числа одинаковых произвольно взаимодействующих частиц. Чтобы понять суть этого метода, рассмотрим сначала способ, каким можно описать такую систему в обычном, координатном представлении.

Возьмем вспомогательную систему из N невзаимодействующих частиц, находящихся в некотором внешнем потенциальном поле Ua. Собственные функции стационарных состояний такой системы можно использовать для разложения пси-функции системы из N взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем произвольном поле U.

Обозначим посредством

Ф,®. ф2(ЮФИ^), ...(50.1)

пси-функции стационарных состояний одной частицы, находящейся в поле Ua (одночастичные функции). Буква | означает совокупность координат и проекций спина частицы. Систему (50.1) будем предполагать ортонормированной и полной.

Сконструируем из одночастичных функций (50.1) все возможные функции, описывающие стационарные состояния системы из N невзаимодействующих частиц, находящихся в поле Uo. Обозначим эти функции:

ФН£1Л2, .... U) (/=1,2,...),(50.2)

где ^ — совокупность координат и проекций спина i-й частицы. Систему (50.2) также будем считать ортонормированной и полной. Способ построения функций (50.2) из одночастичных функций зависит от вида частиц: для бозонов это построение осуществляется одним способом, для фермионов —другим.

Теперь рассмотрим систему из N произвольно взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле U, не совпадающем с Uo. Пси-функцию такой системы

1>Ы2,...,Ы(50.3)

можно разложить по функциям (50.2), т. е. представить в виде

Ф = Ц^Ю<.(50.4)

Функции (50.3) и (50.4) являются пси-функциями системы частиц в координатном представлении.

В отличие от рассмотренной схемы, в методе вторичного квантования используется иной подход. Каждая из частиц вспомогательной системы (см. выше) находится в одном из состояний (50.1). Назовем числами заполнения

Пь п2, ..., пц, ...(50.5)

числа, указывающие, какое количество частиц находится в данный момент в соответствующих одночастичных -состояниях. Очевидно, что сумма чисел заполнения равна полному числу частиц:

^nfe = N.(50.6)

Легко видеть, что задание совокупности (50.5) чисел заполнения полностью определяет состояние вспомогательной системы, т. е. эквивалентно заданию функции (50.2). Таким образом, можно перейти от координатного представления к представлению чисел заполнения и вместо функций (50.2) рассматривать функции

ф(0) (Hl п2, •••. «а. •••)•(50.7)

Мы не написали индекс I при ф<0), поскольку сам набор чисел /гп /г2. •... Пк1 • •• определяет однозначно стационарное состояние системы, т. е. играет роль индекса состояния.

Подстановка в (50.4) функций (50.7) вместо (50.2) приводит к следующему выражению:

ф= У, £(«!, п2, ••• > 0Ф(0) («1. газ> .••)•(50.8)

In,, П2, . . .]

Суммирование производится по всем возможным наборам чисел гц, п2, ..., совместимым с требованием (50.6) и свойствами частиц.

В соответствии с общими положениями квантовой механики величина

|c(th, «2, •.., 0 |2(50.9)

дает вероятность того, что в момент времени / в первом состоянии находятся пг частиц, во втором —п2 частиц и т. д.

8 И. В. Савельев, т. 2

Переход к представлению чисел заполнения приводит к необходимости введения операторов, которые способны воздействовать на эти числа. Такие операторы принято обозначать буквой а, причем под ак понимают оператор, который, действуя на пси- функцию, уменьшает число пк на единицу, а под а* —оператор, который увеличивает пк на единицу. В соответствии с этим ак называют оператором уничтожения частиц (в Л-м состоянии), а оператор ак — оператором рождения частиц (ср. с § 27). Поскольку операторы ак и ак действуют только на переменную пк, их матричные элементы нужно записать следующим образом:

<«!, «2, ..., пк — 1, ... | ак | гц, п4,.... пк,...),(50.10)

<пь пг, ..., п*-ф1, ...|^|и1( «2, .... nk, ...).(50.11)

Через операторы ак и ак можно выразить оператор любой физической величины и, таким образом, осуществить переход к представлению чисел заполнения.

Отметим, что метод вторичного квантования применим также к системам с переменным полным числом частиц N, например к совокупности фотонов. В этом случае термины «оператор уничтожения» и «оператор рождения» приобретают буквальный смысл.

В настоящем параграфе изложены общие идеи вторичного квантования. В двух следующих параграфах мы разовьем их применительно к бозонам и фермионам.

Вторичное квантование в случае бозонов

В соответствии с (46.15) в случае бозонов функция (50.2) имеет вид

4'^ «2=А 5 ^"Ч (У ^т2 (У • • • ^"w (^)>(51 •

где

А = pt! n2r..t ns! ул ,(5 J 2)

тк — номер состояния, в котором находится частица с номером k, пк — число частиц, находящихся в состоянии с номером тк. Сумма берется по всем несовпадающим перестановкам чисел. тъ m2, ..■ ..., mN. Следовательно, число слагаемых равно ^!/(n1! п2! ... 1 nsl). Значение s, вообще говоря, меньше N, оно определяется соотношением

пг -ф /12 + ... -ф ns = IV.(51.3)

Из N функций фщ., входящих множителями в (51.1), только s являются несовпадающими.

Введем некоторый оператор Q^\ действующий только на функции от координат ^-й частицы. Из N одинаковых (т. е относящихся к одной и той же физической величине) операторов Q^ можно построить симметричный по всем частицам оператор

Q^SQ^.(51.4)

*=i

Аналогично из операторов 9$*, действующих на координаты ^ и gz двух частиц, можно построить оператор

& = £ 9^(51.5)

4, i = 1 и т. д.

Выясним вид матричных элементов оператора (51.4), вычисленных с помощью функций (51.1). Поскольку

А/N

Ш№ = ^а' 5 №)= £ <фа!&’М(51.6)

4=14=1

найдем сначала матричный элемент оператора QV’. Этот элемент выглядит в дираковских обозначениях следующим образом:

to, п^, ...\Qk’ \пъ rt2, ...) =

= А* А (£' ф^; ^ ... фт, ^ ... ф^^ (^) 12 ф^ ^) ... х х[ЙХ^)|-К«. (51.7) где

(^4-Пэ+ ... +np= М), коэффициент А определяется формулой (51.2). Сумма со штрихом (^') берется по всем несовпадающим перестановкам чисел mJ, т'г, ..., т^, сумма без штриха (2) — по всем несовпадающим перестановкам чисел Шц m2, •.., mN. Обе эти перестановки осуществляются независимо одна от другой.

Прежде чем продолжить рассмотрение, выясним свойства скалярного произведения от произведения функций. Пусть ф to, х2) = <Pi to) Фа to). a ipto, х2) =ф! to) ф2 to). Тогда, согласно (7.7),

<Ф1 to) фа to) IФ1 to) Фа to)) =

= $ ср* to) ф^ to) фх to) ф2 to) dxt dx2 =

= $ ф* to) Ф1 to) to 5 Фа м фа to) dx2 =

= <Фх (х^ I Ф1 (%х)> (ф2 (х2) I ф2 (х2)>.(51.9)

Тот же результат, очевидно, получится при любом числе сомножителей.

С учетом свойства (51.9) выражению (51.7) можно придать вид

(п'ъ п^ .... n'p\Qfe'\nu п2п5) =

= Л'ЛГ^^т, (Ul^. О X

X <^G*) I W^ О ... <1^ (^) I 44 М =

^Л'ЛГ26Ш1>1(51.ю>

где

Q'^.^^G^I^KO-(5U1)

Мы воспользовались ортонормированностью функций фт G). При вычислении скалярных произведений по пространственным координатам производится интегрирование, а по спиновой переменной— суммирование.

Выражение (51.11) представляет собой число, величина которого определяется не номером оператора и переменной ;, а значениями индексов т'к и тк. Действительно, структура всех Qk*, по предположению, одинакова, так что, например, функции ^J^aGi) и ^n ^m4 Ga) отличаются только обозначением независимой переменной. Скалярное произведение функций есть интеграл

<14 G*) I W-4^ = s ^ G*) wm6 G*) d4 •

величина которого от обозначения переменной интегрирования не зависит. Следовательно, каким бы ни был номер оператора и координаты, величина числа (51.11) определяется только значениями индексов состояний тк и тк (xpT (g), ф2 ® и т. д., вообще говоря, разные функции. Таким образом, формулу (51.11) можно писать в виде

Q^H^)IQ'‘V(51.12)

Если к тому же ввести обозначения: m'k = i, mk = j, то мы придем к формуле

Q"/= <Ф((^) IQ'1^/^))-(51.13)

Подчеркнем, что к — номер частицы и оператора, i и / — номера состояний.

Из выражения (51.10) следует, что отличными от нуля будут только те слагаемые двойной суммы, в которых т^Шх, ... ... ,т'к_х = тк_х, тк+х = тк*Х1..., т’^ = тм. Что касается к-то множителя, то он может быть отличен от нуля как при т'к = тк, так и при т'кфтк. Сказанное означает, что матричный элемент (51.10) будет отличен от нуля лишь в том случае, когда 1-я, 2-я, ..,, (к — 1)-я,

(й+1)-я, ..., N-я частицы не претерпевают перехода в другие состояния, Д-я же частица либо остается в своем первоначальном состоянии (,тк = mA), либо переходит из состояния тк в состояние т'к = т[=^= тк. В первом случае все числа пг, пг, ..., пк, ... ... , пь ..., ns остаются неизменными, во втором случае число пк уменьшается на единицу, число п, увеличивается на единицу, а остальные числа остаются неизменными.

Таким образом, отличными от нуля могут быть только матричные элементы для переходов без изменения чисел «!, п2, ... (диагональные элементы) и для переходов, при которых одно из этих чисел уменьшается, а другое увеличивается на единицу, (при этом изменяет свое состояние только одна частица).

В соответствии со сказанным выше для диагональных элементов отличными от нуля будут лишь те слагаемые двойной суммы (51.10), у которых все штрихованные индексы совпадают с нештрихованными. Если сохранить только такие слагаемые, двойная сумма превратится в одинарную, и мы придем к выражению для диагонального матричного элемента '

Д. М. Э. = (пи п2, ..., ns | QV11 «1, п2, ... ,ns) = х

( = Л2 5 5m1,m1 • • • Q'mk,mk • • • ^т^.т^ (51.14) (легко сообразить, что в этом случае Л' = Л). Сумма берется по всем несовпадающим перестановкам пар индексов.

Заметим, что в выражении (51.1) при осуществлении перестановок каждая частица остается на своем месте, меняются местами только индексы mz. То же самое относится и к выражению (51.14). Оператор Qk’ «привязан» к частице с номером к, поэтому во всех слагаемых множитель Qmft,m& находится на 1г-м месте. Среди слагаемых функции (51.1), стоящей в (51.10) справа от Qk ’, имеются такие, в которые входит множитель фт4 ^ со всеми возможными значениями индекса тк. Соответственно и в сумме (51.14) имеются слагаемые со всевозможными значениями индексов тк, тк, Зто означает, что индексы, стоящие в (51.14) при Q(1) участвуют в перестановках.

Пусть среди N значений индексов т^ т2, ..., mN имеется п^ таких, которые равны 1, п2, равных 2, и т. д. Тогда в более развернутом виде выражение (51.14) можно записать следующим образом: .

Д. М. Э. = {Л2 2 6m„mi .. . Q1V ... 6mN1mN +

+ Д2 2 Smpmj • • • Q-M • • • ^rnN,mN + • • • + -

1 +^5^ ...Q^.6mw} (51.15) (напомним, что значение s определяется соотношением (51.3)). В каждой из сумм множитель Qj1/, Q22 и т. д. стоит на к-м месте,

Найдем число слагаемых в каждой из s сумм. Начнем с первой суммы, в которой все слагаемые равны QJV. Одна из пг пар индексов 11 «привязана» к Q”/ (она может меняться местами только с другой такой парой, стоящей при одном из 6и, но такой обмен не приводит к новой перестановке). Остальные п1 — 1 пар таких индексов участвуют в перестановках (скажем, один из множителей 6и меняется местами с 622 или 6ЗЭ и т. д.). Всего в перестановках участвуют N— 1 пар индексов. Отсюда заключаем, что число слагаемых в первой сумме равно (N — !)!/[(«!— 1)! п2! ...«$!]. Все слагаемые одинаковы и равны Qn . Следовательно, первый член в (51.15) с учетом значения А2 равен

щ! п21 ... ns\ (N 1)1

W! (Щ-1)! «2!~

Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что второй член равен

щ! п21 ... п$!(^ — 1)!п2 /-)<п

Nl nj^-l)! ... nJN

И т. д.

Таким образом, определяемый выражением (51.14) диагональный матричный элемент равен

S

<«i, и2, .МФа’К- п2, ...» ns) = -^- ^ tiiQ^. (51.16) i=l

Этот элемент не зависит от индекса к. Следовательно, все N слагаемых в (51.6) одинаковы, так что для получения диагонального матричного элемента оператора (51.4) нужно просто умножить (51.16) на N*.

(»i, п2, ..., ns\Q1\nu и2, ...,2 тО$. (51.17)

i = 1

Теперь перейдем к вычислению матричных элементов, отвечающих переходам одной частицы. При таком переходе пк уменьшается на единицу, а и; увеличивается на единицу. Поэтому матричный элемент имеет вид (см. (51.10))

М. Э. = <«!, ..., пк-\, ..., nz+ 1, ..., ns \Qk’ | «1, ..., nk, ...

...,nH...ns) = A'A• ■ Qm, mk ' • ' 6 m'N m (51.18)

где, согласно (51,13),

Q^,m, = <^z(i)|Qm^O = Q^ (m^m^.(51.19)

Выясним, какие из слагаемых в двойной сумме (51.18) отличны ОТ нуля. Пусть в функции, стоящей в матричном элементе справа

от оператора, мг множителей имеют индекс 1, пг — индекс 2, ... ...,пк — индекс А,..., nz — индекс I,..., ns — индекс s. Тогда в функции, стоящей слева от оператора, имеется пг множителей с индексом 1, п2 —с индексом 2, ..., пк — 1 с индексом k «i+l с индексом /,..., ns с индексом s. Рассмотрим такие слагаемые, у которых в результате перестановок индексы mz и mh оказались имеющими одинаковые значения, например получился множитель Qn или Q^’ и т. д. (напомним, что mt эквивалентно т'^. Тогда среди других множителей окажутся

^кк ■ ■ • ^кк • • • ^Ц •• •^П ^lj,(51.20)

где 1^#к и / ФI. Это вызвано тем обстоятельством, что среди стоящих в бу на первом месте значение к имеют только пк — 1 индексов, а среди стоящих на втором месте — пк индексов. Аналогично среди стоящих на первом месте значение / имеют nz 4-1 индексов, а среди стоящих на втором месте —п/ индексов. Символы б^ и бу равны нулю, так что соответствующие слагаемые двойной суммы нужно отбросить.

Рассмотрим слагаемые, в которых, например, содержится множитель Q(j. В такие слагаемые, кроме множителей (51.20), будут входить также множители вида б(1 и б2; (t ^ 1 и / ^ 2). Эти слагаемые также будут нулями. Из сказанного заключаем, что отличными от нуля могут быть лишь те слагаемые двойной суммы, в которых первый индекс при Q(1) равен /, а второй равен к. Только в этом случае слагаемое будет, например, иметь вид

бп- .. . . 6ftft ... &кк ...Qik • • • 6^.. ■б// • • • б55 . . . б$5.пк-'"zns

Итак, если сохранить только слагаемые, не равные нулю, выражение (51.18) примет вид

М, Э. = А А 2 6mr . . .Qm^ mfe • • - ^mN, mw (51.21)

Сумма берется по всем несовпадающим перестановкам стоящих при множителях б пар индексов. Всего таких пар А—1, среди них пх пар индексов 11, п2 пар индексов 22, пк — 1 пар индексов кк, ..., Mt пар индексов И и ns пар индексов ss. Следовательно, число слагаемых в сумме (51.21) равно (А — l)!/^!... ... (пк — 1)!... nt\.../г$1]. Все слагаемые одинаковы и равны Qm т =Q\k. Приняв во внимание, что А" = [/rj ... (пк — 1)1 ... ... (пг4-1J ... п^/М!"^, А = [nJ ... пк!... nzl... nJ/A!],/j, получим для матричного элемента (51 18) следующее значение (мы для краткости укажем только те числа заполнения, которые

претерпевают изменение):

<Пд—1, н,+1 IQV | Пд, nz> =

_ [nJ ...(пд—1)1 ... (nz+1)1 ...п51Т/, rnj ...п^Х ...nt\ ...ns\

“ LNXJ L N' J x

XЖ K«A (nZ + l)QzA.

nJ (пд — 1)1 ...niX nsl N ' z i

Напомним, что значение Q/V от номера оператора Qui не зависит, оно определяется индексами состояний / и к (см. (51.13)). Последние в свою очередь определяются номерами чисел заполнения, которые претерпевают изменения при переходе. Поэтому, как и в случае диагональных элементов, все слагаемые в (51.6) одинаковы и для матричного элемента оператора (51.4) получается выражение

(пд — 1, ^ + 1 I Qi I п*, ni) = V >4 (nz + 1) QuL

Этой формуле можно придать симметричный вид, заменив nt на nz — 1 (это означает, что число частиц, находившихся до перехода в состоянии ть мы обозначаем nz —1):

(Ид-1, И/Шпд, nt- 1) ="|/п^У)Р(51.22)

Нашей следующей задачей будет вычисление матричных элементов (51.17) и (51.22) для операторов уничтожения и рождения, действующих не на функции координат (как Q^ hQJ, а на числа заполнения пх, пг, ... (см. предыдущий параграф). Определим эти операторы с помощью следующих соотношений:

^аФ^, ..., п^, . • • = р^Ид фпг ...., пк— 1, • • • ।(51.23)

а^фП1пА, ••• = '/«а+1фп,пк+1,(51.24)

(ср. с (27.5) и (27.6)). Оператор ай, действуя на функцию, заменяет индекс Ид на Ид—1, т. е. уменьшает число частиц в состоянии к. (раньше мы говорили в состоянии т6) на единицу (кроме того, он умножает функцию на К^д)- Поэтому его называют оператором уничтожения частиц в к-м состоянии. Оператор а& заменяет индекс Ид на Ид+1, т. е. увеличивает число частиц в состоянии к на единицу (кроме того, он умножает функцию на ргПд + 1). По этой причине его называют оператором рождения частиц в к-м состоянии.

Последовательное применение этих операторов дает аНМп....) = УМЖл.-1, ... = Кй7/идфл Таким образом,

Wkл»,... = Мп, (51.25)

Это означает, что последовательное применение операторов ак и йк не изменяет числа частиц в А-м состоянии, функция же при этом умножается на пк. На основании (51.25) получаем для произведения операторов следующее значение:

дкак = пк. (51.26)

В соответствии с этим оператор акйк называется оператором числа частиц, Находящихся в й-м состоянии.

Аналогично можно показать, что

ак&к = пкА-\.(51.27)

Из (51.26) и (51.27) вытекает, что коммутатор операторов ак и ак равен единице:

afedk — акак = 1(51.28)

(ср. с (27.8)).

Легко убедиться в справедливости следующих соотношений:

dka[ — dtdk = O, (k^l)dka[ — dtdk = O, (k^l)(51.29)(51.29)

dka[ — dtdk = O, (k^l)

dka[ — dtdk = O, (k^l)

(51.29)

(51.29)

(51.30)(51.31)(51.30)(51.31)^A^Z ^Z^A 0, 1_,

(51.30)

(51.31)

(51.30)

(51.31)

Z ДЛЯ любых к И I.. akat — az ак = 0 J

Соотношения (51.28) и (51.29) можно объединить в одно выражение

dkdt — dtdk = 6ki.(51.32)

Из определения (51.23) получается следующая формула для матричных элементов оператора ак (в обозначении матричного элемента мы указываем только те числа, которые претерпевают изменение):

(пк-1\йк\ пк) = (ф... „^!... |dk^„. Пк .„> =

= <Ф... nft-l... I У^к Ф... Лд-1...) = У^к ^пк-1, пк~1 = 1^0*.

Применив другое обозначение матричных элементов, можно написать:_

^nk-i, пк = (ftk - 1 I йь I п.к) = Vnfc.(51.33)

Аналогично

№)nfe*i, пк = (Пк + 11 I пк) = Упк-Н- (51.34)

Легко проверить, что матричные элементы оператора (51.26)

равныравны(акак) = пк^' „ .' К К пк' К пк* ^к(акак) = пк^' „ .' К К пк' К пк* ^к(51.35)(51.35)

равны

равны

(акак) = пк^' „ .

' К К пк' К пк* ^к

(акак) = пк^' „ .

' К К пк' К пк* ^к

(51.35)

(51.35)

Из (51.33) и (51.34) следует, что операторы dk и ^ эрмитово сопряжены друг с другом. Действительно, согласно (51.33),

ka^nh. nb+i = K^k+ 1. Сравнение с (51.34) дает, что №)/i6+i, 'ik = (ak)nk, nk+i.

Поскольку обе матрицы вещественны, они удовлетворяют условию (9.21) для эрмитовых матриц.

Последовательное применение операторов at и ak к функции ф„^пк, ....п^х,... дает, "согласно (51.23) и (51.24), выражение У nkntфЛр .... пк—1 nlt .... Следовательно,

<п*-1, nt\dtdk\nk,

.... n.-l, .... n,, ... |фп.м. — 1n,, У = У П^.

(51.36)(51.36)IKVI

(51.36)

(51.36)

Последовательное применение операторов dtdp и dtdk к функции фПр .... пкИ;-1« .... пг-1, ... дает выражение Уп^ПрПг х

Хф^пк-\nLп -\пг, .... Таким образом, (пк— 1, пь пр—1, nr\atdpdtdk\nk, п( — 1, пр, пг — 1) =

= У пкП(Прпг.(51.37)

Заметим, что в силу (51.29)—(51.31) операторы в (51.37) можно писать в любой последовательности.

Мы выяснили свойства операторов ак и at, которые понадобятся нам в дальнейшем. Чтобы завершить переход к представлению чисел заполнения, нужно научиться выражать операторы любых физических величин через операторы уничтожения и рождения.

Начнем с оператора (51.4), Покажем, что его можно представить в виде

(51.38)(51.38)Q^^QiYdtd,;

(51.38)

(51.38)

где Q;/—число, определяемое формулой (51.13). Суммирование ведется по индексам / и / в пределах от 1 до У, так что сумма состоит из № слагаемых.

Найдем матричный элемент оператора, стоящего в (51.38) под знаком суммы. Учтя, что Qi)' суть просто числа, получим

М. Э. = (пк — 1, nt ^Qtjdtdj nk, ni—\y =

= ^Qn Уь— h пь ni—\,nl\dt6.j\nk,n1—\,nl—\,ni\ (51.39)

Поскольку операторы at и а, действуют на n-t и п,, мы указали эти числа в индексах состояний, причем в соответствии с тем, что мы вычисляем матричный элемент для переходов с измене-

нием лишь чисел пк и пи числа заполнения с индексами i и / справа и слева взяты одинаковыми. Для удобства число частиц в состоянии i принято равным «/ —1. Преобразуем полученное выражение с учетом (51.36):

М. Э. = ^QnV'nyrj(nk- 1, nb nt — 1, П;\пк, П1—\,пь П/-1> = i, j

=Пр «z-l, "/). (^. «/-1. «/. «/-1)1

/

Из № слагаемых последней суммы отлично от нуля только одно, у которого i = l, j = k1). Следовательно,

М. Э. = V^Qu.(51.40)

Этот результат совпадает с (51.22).

Теперь вычислим диагональный матричный элемент:

Д. М. Э. =

Пъ ..., П—\, .... П/, ...) =

= У^иУ^П; {п^ ..., tit - 1,..., пь... I пг,..., nb ..., п}- 1, . . .) = i

i, /

В последней сумме отличны от нуля лишь те слагаемые, у которых j = L Следовательно,

Д. М.Э. = 2п,®',

что совпадает с (51.17).

Легко сообразить, что матричные элементы, соответствующие переходам двух и более частиц, равны нулю.

Итак, мы убедились, что матричные элементы оператора (51.38) совпадают с матричными элементами оператора (51.4). Следовательно, представление оператора QL в виде (51.38) является правомерным.

Приведем без доказательства выражение для оператора (51.5) в представлении чисел заполнения:

(51.41)(51.41)У = У, Qwk (jr)dia^ajdr,t, Р, л г

(51.41)

(51.41)

На первый взгляд величина , „ „ . „ х „ ..

у 1 С*1^- nV nl-X’ п^- (nfe- nl~X- "/- "&-1) должна быть равна нулю, так как формально «индексы» отличаются последовательностью, в которой расположены числа, образующие индекс при 6. Однако изменение порядка этих чисел означает лишь изменение порядка расположения множителей в формуле (51.1), что, очевидно, не изменяет самой функции ip.

где

Ой), (,» = <1ц (^ ^тр (И IQ12’^ (Г) Ф^ О (51.42) (£' и £" —две независимые переменные, Q(2) действует на обе эти переменные).

Теперь мы можем выразить через операторы at и а, гамильтониан системы из N одинаковых частиц. Если частицы не взаимодействуют друг с другом, гамильтониан определяется выражением

NN

Н = 2^ ^k + и &)] = 2 ^’(51.43)

6=106=1

(см. (46.1)). Здесь U (^) — потенциальная энергия А-й частицы во внешнем стационарном поле. Этот оператор принадлежит к типу (51.4), причем

^' = Щ'^-^1 + и(.Ы.(51.44)

В соответствии с формулами (51.38) и (51.13) имеем

Н = ^Н^^йь(51.45)

где

Н1« = ^т.^\Н^т^.

Выражение (51.45) и есть гамильтониан системы невзаимодействующих частиц в представлении чисел заполнения.

Если взять в качестве функций фт#. ^ собственные функции оператора (51.44), т. е. функции, удовлетворяющие уравнениям

Hfe 1pmft (?б) = £тйФтй (£*)> ТО

Н'а = Етд (фт; I Фту) = Ет^т^ тр

Подставив это значение в формулу (51.45), получим

Н = 2 ^т^т^ m&lfy = 5 Emflfftf.t, ii

Напомним, что Emj есть энергия состояния, в котором находится /-я частица, операторы <5/ и а, действуют на координаты ^ этой частицы. Приняв во внимание (51.26), можно написать, что

H='£1Emjni = E,

/

где Е — полная энергия системы. Мы получили тривиальный результат: действие оператора Н на свою собственную функцию

сводится к умножению этой функции на Е. Если бы функции ф„А мы выбрали иначе, такой результат не получился бы. Так, например, взяв в качестве ф^^ собственные функции оператора — (Й2/2т0) V|, т. е. функции, удовлетворяющие уравнению

- 2«; v^4 = Е'т^тк>

мы придем, как легко проверить, к следующему выражению для гамильтониана:

я = £ е-^ + 2 <Фт, © I и ® ^, ®) ata,, ii. /

В случае системы частиц, между которыми существует попарное взаимодействие, гамильтониан имеет вид

н=2^ +12 ий ^ ^ = ^+^ (51-46) kкф!

(см. (51.43)). Первое слагаемое принадлежит к виду (51.4), второе—к виду (51.5). Для первого слагаемого мы уже получили выражение (51.45). Для второго слагаемого, согласно формулам (51.41) и (51.42), будем иметь

Нз=4 2 О^кигЖМг, (51.47) i. р, /,' где

U^, (,Н = <фт. (Г) Фтр (Г) I и^т, (Г) Фт, (Г))(51.48)

(написанное в (51.46) под знаком суммы условие к^1 учтено тем, что интегрирование при вычислении (51.48) производится по двум независимым переменным V и |").

Таким образом, в случае попарных взаимодействий гамильтониан представляет собой сумму выражений (51.45) и (51 47). Если мы захотим учесть энергию тройных взаимодействий, нужно добавить оператор ^8, который будет представлен суммой произведений шести операторов d, и т. д.

Полученные нами формулы можно представить в бблее компактном виде с помощью следующего формального приема. Введем операторы

Ф® = 2Ж,£М/ и <Г(Ы = 2№М(51.49)

/i

где переменные £ рассматриваются как параметры. Подействуем оператором ф(Е) на некоторую функцию фЛг п2п (напомним, что сумма индексов: ^4- n2 + --. + «s = ^). В результате получим

новую функцию, определяемую выражением

У| Фт.. (У й/фп П,, ... . п — ^ I фт. (1) V’l-i фп , п, — 1л •

Сумма индексов при 4’ в каждом из слагаемых будет на единицу меньше, чем сумма индексов у исходной функции. Следовательно, новая функция описывает систему из N — 1 частиц. Таким образом, оператор ф (£) уменьшает полное число частиц в системе на единицу. Аналогично можно убедиться в том, что оператор ф+ (^) увеличивает число частиц в системе на единицу.

Образуем выражение

&ЧФ+(^(1)Ф(^(51.50)

(подразумевается, что оператор Q(1) действует на параметр g). Подставив в него выражение (51.49), получим

& = $ {S Ф^ ® ^ Qw {S Ф», (6) ^ di=

= £ &Uj Ф*т; (У 3(1)фт/ (У di = v а^ <фт. । q^^ = ^ Q^dtdj.

ii, ii, i

Сравнение c (51.38) показывает, что выражение (51.50) эквивалентно оператору Qj в представлении чисел заполнения.

Операторы Q2, Q3 и т. д. также можно выразить через операторы (51.49). Например,

<& = 4 ^Ф^ПФ^Н^Ф^Ф^Х^".(51.51)

С помощью формул (51.50) и (51.51) можно написать выражение гамильтониана (51.46) в представлении вторичного квантования:

H = ^*^H^®di-V

+ | $ $ Ф+ (V) Ф+ Г) UW ф (V') ф £') di' di". (51.52)

Чтобы понять происхождение термина «вторичное квантование», рассмотрим следующий пример. Пусть система из N попарно взаимодействующих бозонов находится в состоянии, при котором все частицы находятся в одинаковом одночастичном состоянии фт (Е) (это значит, что в функции (51.1) все mi одинаковы и равны т). Будем считать, что функции фт нормированы следующим образом:

(фт1фт) = М(51.53)

(в (51.1) предполагалось, что фт нормированы на единицу!). Для определения коэффициента А приравняем единице скалярный

квадрат пси-функции:

1 = А2 <фт (^) фт (g2).. .фт (Ы | фт (61) фт (62) ■ ■ • Фт (6м)) =

= А2 <фт (^) I фт О <Фт (62) I Фт О ... (Фт (U) I Фт Ы) = A2NN (согласно (51.53) каждый из N множителей равен N). Отсюда А = 1/К№Л

Гамильтониан системы определяется выражением (51.46). Найдем среднее значение энергии системы

<£> = <ф( £ф> = ^2 ^m (^ •'1• •> +

+ |2^т (У.-.фт (б/Ь-Фт

...\Uij (61, ^ Фт (61) • • • Фт (61) • • -Фт (67)=

=|2 <^ 1 (^> • ■ ■1 ^"^ ^ • • •+

+ у 2 ^ ^ 1 ^ (У> ' ' ' ^ (^ ^т (^ 1 Uij ^’ ^ ^т (^ ^ ^ •' ] =

+4- 2। и« ^и ^т ^>1-

iJ

Все слагаемые суммы по i одинаковы, их всего N, аналогично все слагаемые двойной суммы по t и j также одинаковы, их всего №. Следовательно, мы приходим к выражению

<£) = <фт(У|№)фт(^)) +

+ 4 (Фт (61) Фт (6У) I Uм ^, ^ фт (^ фт (^ = ^ ^* ® Й'^ ® ^+ +УSФ* (6') Ф* (6") и (г, 6") Ф (6") Ф (6') ^6' ^(51.54)

(mi опустили за ненадобностью индекс т при ф).

Выражения (51.52) и (51.54) по форме очень похожи друг на друга. Если в (51.54) заменить энергию ее оператором, функцию ф — оператором ф, а функцию ф* — оператором ф+, то это выражение перейдет в (51.52). Отсюда вытекает полезное правило отыскания гамильтониана в представлении вторичного квантования: надо написать выражение для средней энергии через пси- функцию отдельной частицы ф (нормированную в соответствии с (51.53)), после чего осуществить замены:

Ф(6)^Ф(6), Ф*(6)->Ф+(6),

где ф (g) и ф+(У определяются формулами (51.49).

Замена функции ф оператором ф лежит в- основе термина «вторичное квантование». При обычном («первичном») квантовании операторами заменяются физические величины, при«вторичном» квантовании операторами заменяются пси-функции.

§ 52. Вторичное квантование в случае фермионов

В соответствии с (46.16) в случае фермионов функция (50,2) имеет вид

фп,. п,, ... = А 5 £mv m2 т^фт1 (?1)Фта (£2) • • • Фтдг (?л), (52.1) где

A = MV N\.'(52.2)

Сумма берется по всем перестановкам чисел ти тй, ..., mN. Среди этих чисел нет одинаковых, так как при равенстве хотя бы двух индексов символ empm2mN обращается в нуль (это означает, что в состоянии с данным т не может быть больше одной частицы). Знак е зависит от числа беспорядков в перестановке индексов. При четном числе беспорядков е = +1, при нечетном е = —1. Напомним, что беспорядки отсутствуют в том случае, когда выполняются неравенства: тх <_ т2 <...-< mN. Беспорядком называется тот факт, что большее число стоит впереди меньшего.

Числа заполнения могут иметь теперь только два значения: 0 и 1. Значения, большие 1, запрещены принципом Паули.

Найдем с помощью функций (52.1) вид матричных элементов оператора

N

Qi = S(52.3)

t=i

(см. (51.4)). Как и в случае бозонов,

№i)«P = S(52.4)

6=i

(см. (51.6)). Поэтому вычислим сначала матричные элементы оператора Q*1. Они равны

(ni, Па, ... №'|«1, п2, ...>= 6

= A2 J] ^ %', mjm'N8mv тг^N ^m; (£1) I ^mi (£1)) 1 1

• • - <Фт' (Ы 1<2б'^6 О • • • CL,;, (Ы I 4% Ы) =

^ S S ®mj, т^тд|®т1"т2тУт[’ mx ' '' ^тд, тд 1"' ты, mN» (52.5)

где Qm^,тА определяется формулой (51.12).- В данном случае коэффициент Л' всегда равен коэффициенту Л (см. (52.2)).

Полученное нами выражение отличается от (51.10) только наличием множителей е. По тем же причинам, какие были выяснены в предыдущем параграфе при обсуждении формулы (51.10), матричные элементы (52.5) могут быть отличными от нуля только для переходов без изменения чисел заполнения (диагональные элементы) и для переходов, при которых изменяет свое состояние только одна частица. При этом одно из чисел заполнения, скажем пк, уменьшается от 1 до 0, а другое, скажем гц, увеличивается от 0 до 1.

Для диагональных элементов выражение (52.5) имеет вид

Д. М. Э. = Л2 ^ (emp mv .^ mNy 6mj, mj . .. Qmk,mk ■ • • 6mN .m^ . (52 .6)

Поскольку (e .. .)2 при любой перестановке индексов равен +1, выражение (52.6) совпадает с (51.14). Следовательно, и окончательный результат будет таким же, т. е. диагональные матричные элементы определяются формулой (см. (51.17))

(«!, «2, ■■•|4|«1. «2, ...) = '2iniQiY(52.7)

(поскольку числа гц теперь равны 1 либо 0, сумму можно распространить на все возможные одночастичные состояния).

Рассмотрим матричный элемент, отвечающий переходу одной из частиц из состояния тк в состояние mz. Для определенности будем считать, что m.i>tnk. При таком переходе пк изменяет свое значение с 1 на 0, a гц — с 0 на 1. Следовательно, матричный элемент имеет вид

(nfe = 0, nz=l IQV In^l, nz = 0> =

= Л2 Л ет< mft+i тр ... x

X ^m6-V mh' mh*V - • "Ч-Г mi*v -^r mi111 x '

(52.8)

В функции, стоящей в (52,8) справа от оператора, есть множитель фтА (I*), НО отсутствует множитель фт£(ь*), в функции, стоящей слева от оператора, нет множителя фтй(Е*), но зато есть множитель фт/ (£*) (A-я частица переходит из состояния фт^ в состояние фт;, в котором до того не было частицы).

Допустим, что в исходной перестановке индексов функции, стоящей справа от оператора, беспорядков нет, т. е.

m1<m2<... <тк_1<тк<тк+1< ... <mt _1<tnt+1<... (52.9)

Тогда в исходной перестановке индексов функции, стоящей слева от оператора,

mn m2> .... ть-г, тг, т^, .... т^, m[+1, ... (52.10)

появятся беспорядки, вызванные тем, что mt>-mb. Число mt больше, чем mb+1, mk+i, ..., mz_2, пц-^. Следовательно, количество появившихся беспорядков равно числу индексов в перестановках, имеющих значения, большие тк и меньшие mz. Легко сообразить, что это число равно сумме чисел заполнения всех состояний от (&4~1)-го до (/—1)-го включительно:

Z —1

V= 2 ns(52.11)

s=fe+l

(если какой-либо промежуточный индекс отсутствует, соответствующее число заполнения равно нулю).

Таким образом, если второй множитель е. в (52.8) равен + 1, то первый множитель е... имеет значение (—l)v, где v определяется формулой (52.11). Отсюда следует, что произведение символов е в (52.8) при любой перестановке аналогичных пар индексов имеет одинаковое значение, равное

[-1

(-1)V=(_])S=6-H .(52.12)

Число (52.12) можно записать в более удобном виде

(-1)' = П (1-2п,).(52.13)

5=*+1

Действительно, те множители, для которых щ. = 0, равны +1, а те, для которых л5 = 1, равны —1, и следовательно, в выражении (52.13) будет столько же множителей, равных —1, сколько и в выражении (52.12).

Итак, произведение е..е... в (52.8) для каждого из слагаемых имеет значение, равное (52.13). Вынеся этот множитель за знак суммы, получим

(пк = 0, nz = 1 №' I «& = 1. И/ = 0) =

Z —1

= ^2 171 ^^s) У, бпг^т^т^т^ . . . Q^’ . . . 6ты, тм (52.14)

(ср. с (51.18)). Сумма берется по всем перестановкам пар индексов, среди которых теперь нет совпадающих. В перестановках не участвуют лишь индексы при Q(1). Поэтому число переставляемых индексов равно N—1. Следовательно, сумма в (52.14) состоит из (А/— 1)! одинаковых слагаемых, равных Q&. Отсюда,

приняв во внимание значение (52.2) для А, заключаем, что /—i

<пк = 0, nt = 1 1 ЭД I nk = 1, nt = 0) = -1 П (1 - 2л.) (М - 1Ж s = *+ I

(52.15)

Напомним, что число Qu не зависит от номера оператора QQ и определяется лишь индексами начального и конечного состояний (см. (51.13)). Поэтому мы получим матричный элемент оператора (52.3), просто умножив (52.15) на N;

(пк = 0, nt = 1 |ЭД\пк = 1, /г; = 0) = fj (1-2«S)QZV, (52.16) .Ч = *+)

Мы предполагали, что mi^mk. Если mz<m*, то коэффи- к—Х

циент в (52.16) нужно взять в виде ]Д (1 — 2ns).

s = l + \

Выясним, как следует определить операторы уничтожения и рождения в случае фермионов для того, чтобы оператор (52.3), будучи выражен через эти операторы, имел такой же вид, как и в случае бозонов, т. е. чтобы выполнялось равенство

& = 11QW4(52.17)

(см. (51.38)),

Поскольку Q^' суть просто числа, матричный элемент оператора (52.17) выглядит следующим образом:

(_nfe = 0, nz = 1 | 5 QxWdj | »& = 1, «/ = 0) =

= ^jQi'iЧпк = 0, nt = 1 \dtaf | nk = 1, щ = 0>.(52.18)

Полученное выражение совпадет с (52,14), если положить

(и* = 0, nz = 1 \dtdf\nk=\, nl = G') =

при i = l, i = k ^>k)(52.19)

при i^=l или j Q= k.

Итак, операторы должны удовлетворять условию

I— 1

(пк = 0, nt = 1 I а}ак | пк = 1, лг = 0) = Ц (1—2/?s). (52,20)

Это условие будет выполнено,' если определить операторы с помощью следующих соотношений:

6-1

йь^Пр л ,..., лй,... = J3 (1 — 2п4) ф^, л лА— 1, ...,(52.21)

5 = 1

к— 1

^бфл л , ..., п., ... = J J (12«$) фп nЛ-+1,...,(52.22)

5 = 1

где под ns подразумеваются числа заполнения функции, на которую действует оператор/ Действительно, применяя последовательно определяемые этими соотношениями операторы к функции ф, у которой «fe= 1, п; = 0, получим цепочку преобразований *-i

aiafe^nk=v,nl=o = at П (1 — 2«s) фЯй=0, Л/=о =

5=1 4-1г-i

= П (1 -2яДП (1-2пл)фЛб=0,Я/=1. (52.23) S= I5 = 1

Входящий во второе произведение ]Д множитель с номером А

равен +1, так как пси-функция, на которую действует оператор at, отвечает состоянию с «6 = 0. Поэтому правую часть соотношения (52.23) можно преобразовать следующим образом:

П (1-2/г,)П (i-2^) = s= Is= 1

= П(1-2п,)2 П (l-2«,)= fl d-2ns) 5=1s=^/?+l8=4+1

(равный единице множитель (1 — 2nk) мы опустили). Подставив этот результат в (52.23), получим, что

1

№бК=1, nt=0 = П (!-2га$)Флй = о, л; = 1.(52.24)

5=4+1

Наконец, умножив обе части (52,24) скалярно на флй = о, nt=\, придем к выражению (52.20) (скалярное произведение нормированной функции на саму себя равно единице).

Найдем правила коммутации для операторов, определяемых соотношениями (52.21) и (52.22). Применим к функции флй=1 последовательно операторы afe и <%:

,6-1)

ЙйМла=1=4нП (1 — 2п5)фл^=о} =

I S= 1J

6-16-1

= П (!-2«s) П (!-2^)4’лй=1=фл6=1. (52.25)

S=1s= 1

Заметим, что действие оператора dk на функцию фий=о дает нуль. Действительно, напишем в соответствии с (52.21) чисто формально следующее равенство:

А—1

Mnt=o = П 0-^Ф^-1-(52.26)

S= 1

Но состояние с пк =—1 быть не может. Нереализуемое состояние имеет фгО (равенство пси-функции нулю означает отсутствие какого-либо состояния, см. стр. 12). Значит, выражение, стоящее в (52.26) справа, равно нулю. Аналогично приходим к выводу, что qa4 = i также есть нуль (состояния с пк = 2 не существует). Из сказанного вытекает, что

^фпй=1 =0.(52.27)

Соотношения (52.25) и (52.27) означают, что применительно к функции 4 = 1

dtdk = l, dkak = 0.(52.28)

Аналогичные выкладки дают, что применительно к функции 4=°

dkdk = 0, dkdk = 1.(52.29)

Первые из равенств в (52.28) и (52.29) дают право написать, что оператор

dtdk = nk.(52.30)

В самом деле, действие этого оператора на пси-функцию эквивалентно умножению на единицу в том случае, когда функция описывает состояние с пк=1, и дает нуль в том случае, когда функция описывает состояние с пк = 0.

Равенства (52.28) и (52.29) удовлетворяют общему соотношению dndk + dkdk = 1.(52.31)

Сравнение полученного соотношения с (51.28) показывает, что правила коммутации операторов ак и ак в случае бозонов и в случае фермионов оказываются различными. Это различие объясняется следующими причинами. В случае бозонов операторы, действующие на различные числа заполнения nt, являются совершенно независимыми: каждый из них действует только на свое число заполнения, причем результат этого действия не зависит от значений остальных чисел заполнения. В случае же фермионов результат воздействия оператора at зависит не только от числа пь но и от чисел заполнения всех предыдущих состояний (от чисел ns с s<Ci, см. (52.21)). Поэтому действие произ-

вольно взятых операторов а; и а/ нельзя рассматривать как независимое.

Легко убедиться в справедливости следующих соотношений:

ака{ + atak = 0 (к^=Ц,ака{ + atak = 0 (к^=Ц,(52.32)(52.32)

ака{ + atak = 0 (к^=Ц,

ака{ + atak = 0 (к^=Ц,

(52.32)

(52.32)

для любых к и Iдля любых к и I(52.33)(52.34)(52.33)(52.34)аД Ч- aiak — О,akat + at at = О

для любых к и I

для любых к и I

(52.33)

(52.34)

(52.33)

(52.34)

(ср. с (51.29) — (51.31)). Таким образом, операторы ак и at (равно как и ак и а^ при k=tl оказываются антикоммутирующими (см. (10.21)), в то время как в случае бозонов они коммутируют между собой.

Соотношения (52.31) и (52.32) можно объединить вместе, написав, что

akat Л" dtak = ^ki(52.35)

(ср. с (51.32)).

Убедимся в том, что при определении операторов ак и ак с помощью соотношений (52.21) и (52.22) диагональные матричные элементы оператора Qx также оказываются правильными. Изменив в (52.24) обозначения индексов, получим

1

dta^n.= 1, п. = о = ][ (1 — 2ns)i|)n о, n. = i.(52.36)

s=/+I

Очевидно, что

аТй^пг=о,п.=о = 0, а^й/ф„/=i, „. = i = 0, ata^n^o, п. = 1 = 0.

(52.37)

Напишем выражение диагонального матричного элемента оператора (52.17):

Д. М. Э. = (пъ п2, ... ^Q^'ataj пи п2, ...) =

= 5Qz/(/ii, п2, ... \ata;\n1, п2, ...). (52.38)

В полученной сумме все слагаемые с i ^ j равны нулю. Действительно, в тех случаях, когда имеет место одна из ситуаций (52.37), слагаемое обращается в нуль из-за равенства нулю второго сомножителя в скалярном произведении функций. В случае, когда имеет место (52.36), слагаемое будет пропорционально скалярному произведению функций с несовпадающими значениями tij, которое вследствие ортогональности перемножаемых функций равно нулю. Итак, нужно сохранить только те слагаемые, у которых j = i. В результате (52.38) примет вид

Д. М. Э. = ^Qn (пк П2, . ..\atai\tix, п2,...).

Наконец, приняв во внимание формулу (52.30), придем к выражению

Д. М. Э. = ^lQu'ni н2, ... | л.,., п2, ...)--= 2^iQ»,ii

совпадающему с (52.17).

Итак, мы показали, что если в случае фермионов определить операторы ак и ак с помощью соотношений (52.21) и (52.22), то для оператора' Qx получается в представлении чисел заполнения такое же выражение, как и в случае бозонов (см. (52.17) и (51.38)). Соответственно и все остальные формулы получаются такими же. Мы имеем в виду формулы (51.41), (51.44), (51.46) — (51.48). Остаются справедливыми также и формулы (51.50) — (51.52), выражающие операторы физических величин через операторы ф(У и ф+(£), определяемые равенствами (51.49).

Глава х. АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ

Методы расчета атомных систем

Если релятивистские эффекты относительно малы (как это обычно имеет место), гамильтониан атомной системы можно записать в виде

A = 2(-^v'-^-) + i27?-+('“ (SU> i=l 1^:6

(N — число электронов в атоме). Каждое слагаемое первой суммы представляет собой гамильтониан отдельно взятого электрона, движущегося в кулоновском поле неподвижного ядра; вторая сумма учитывает кулоновское взаимодействие между электронами; оператор Vls. который можно рассматривать как малое возмущение, учитывает взаимодействие между спинами электронов, а также взаимодействие между орбитальными и спиновыми магнитными моментами (спин-орбитальное взаимодействие).

Система входящих в состав атома электронов характеризуется орбитальным квантовым числом L (определяющим суммарный орбитальный момент атома) и спиновым квантовым . числом S (определяющим результирующий спин атома). Сложение моментов (орбитальных и спиновых) отдельных электронов в результирующие моменты осуществляется по правилам, установленным в § 47. Без учета спин-орбитального взаимодействия энергия атома не зависит от ориентации в пространстве и взаимной ориентации суммарного орбитального и суммарного спинового моментов. Поэтому энергетические уровни атома оказываются (2L + 1) (2S + 1)-кратно вырожденными.

Учет спин-орбитального взаимодействия приводит к зависимости энергии от взаимной ориентации орбитального и спинового моментов. Следовательно, под влиянием возмущения V ls каждый из вырожденных уровней расщепляется на ряд тесно расположенных уровней, отличающихся значениями полного момента J. Всего таких значений будет 2$ 4-1 (при S L), либо 2/. + 1 (при L-^S). Такое расщепление уровней называется мульти-

п летным, а совокупность получившихся уровней называется тонкой структурой.

Нерелятивистская теория простейшего, одноэлектронного, атома была рассмотрена в § 24. Спин-орбитальное взаимодействие приводит к тому, что каждый из найденных там уровней (кроме S-уровней) расщепляется на два близких подуровня, отвечающих / = /±V2. В дальнейших параграфах будет кратко рассмотрена теория многоэлектронных атомов, а также молекулы водорода. При этом мы не будем касаться ряда вопросов, достаточно подробно рассматриваемых в курсах общей физики (обозначения и систематика термов, электронные конфигурации периодическая система Д. И. Менделеева).

Даже если отбросить в гамильтониане (53.1) слагаемое Vis, соответствующая задача не поддается точному решению. Поэтому в теории атома используется ряд приближенных методов: теория возмущений, вариационный метод, метод самосогласованного поля (метод Хартри — Фока), статистический метод Томаса — Ферми и др. Эти методы рассматриваются в последующих параграфах.

§ 54, Атом гелия

В простейшей теории двухэлектронного атома спин-орбиталь- ным взаимодействием пренебрегают, а энергию кулоновского взаимодействия электронов рассматривают как возмущение. В этом случае гамильтониан можно представить в виде

H=Ho + Ve,

(54.1)

(см. формулу (53.1)).

В нулевом приближении решается уравнение

^оф(°> = £(<»ф'0’,(54.2)

аналогичное уравнению (46.1). Согласно полученным в § 46 результатам (см. (46.7))

ф(0) =ф1(г1)ф2(г2), £t°> = £1 + £2,

где ф< (п) и Et определяются уравнением

Решение такого уравнения было найдено в § 24. В соответствии с формулами (24.23) и (24.27) (2 мы полагаем равным 2)

£(о.) = _(54.3)

l,a. = <2.tnee4l№ = t2.e^lr()-, r0 — боровский радиус),

f^A-JOK^, (2).(54.4)

Наименьшее значение энергии (т. е. энергия основного состояния) получается при ^ = п2 = 1. Оно равно

So” = — 2а = — 4тее4/№ = — 4е2/г0.(54.5)

Оба электрона при этом находятся в состоянии 1s (/г = 1, / = 0). Согласно принципу Паули спины электронов должны в этом случае иметь противоположные знаки, так что суммарный спин равен нулю. Следовательно, основное состояние атома гелия является парасостоянием (см. начало § 48). Суммарный орбитальный момент также равен нулю. Таким образом, терм основного состояния нужно записать в виде ^0).

Поправка первого приближения к энергии (54.5) вычисляется по формуле

Д£^= t Ho.oaHi.o.o^-^dV^(54.6)

J'12

(ср. с (49.1), функция ф1,о,о вещественна). Выражение (54.6) есть не что иное, как средняя энергия электростатического взаимодействия электронов, которая в § 49 была обозначена буквой Q (см. (49:5)).

Выражение для ф1|0, о получим, положив в первой из формул (24.33) 2 = 2. Подстановка этого выражения в (54.6) дает

A£y' = Q = (—Y-L С e-4(r1 + ,2)/,0_£ld|/ dV \ г0 / л2 Jг121

Вычисления, которых мы не приводим, дают значение

Q = 5е2/4г0

(заметим, что Q>0). Таким образом, для энергии основного состояния атома гелия получается в первом приближении теории возмущений выражение

fo^f^ + Q^ (4е2/га-Н5е^(54.7)

Энергия ионизации атома гелия равна разности энергии основного состояния однозарядного иона гелия (—2е2/г0) и энергии (54.7):

г2е2 .Не2 3 е2 п

^иониз ■ г + 4' 4 г 0,75 ат. ед.

Го 4 Го 4 Го

Экспериментальное значение энергии ионизации равно 0,90 ат. ед. Столь большое расхождение указывает на то, что возмущение

не является достаточно малым для строгой применимости теории возмущений.

Перейдем к рассмотрению первого возбужденного состояния атома гелия. Этому состоянию соответствует электронная конфигурация Is 2s («1 = 1, /1 = 0, «2 = 2, /2==0). Принцип Паули теперь не запрещает спинам электронов быть параллельными, так что возможны как парасостояние (5 = 0, терм TSo), так и ортосостояние (5 = 1, терм 35!).

Невозмущенное уравнение (54.2) имеет два решения:

Ф1 = Ф1, о, о (1) Фг, о, о;(2) и ф2 = Фг, о, о (1) Ф1, о, о (2),(54.8)

отличающиеся перестановкой электронов (цифрами 1 и 2 обозначены совокупности пространственных координат первого и второго электронов). Оба решения отвечают одной и той же энергии £ = £1 + £2. Следовательно, имеет место так называемое обменное вырождение, которое удваивает число состояний. В результате парасостояние (5 = 0, ст = 0) и каждое из трех ортосостояний (5 = 1, <т=1, 0, — 1) оказываются двукратно вырожденными. Поэтому для вычисления энергии возбужденных состояний атома гелия надо воспользоваться теорией, изложенной в § 31.

В случае двукратного вырождения секулярное уравнение (31.10) имеет вид

I ^21V22-A£'i'|’

где

Vn = \ ф*оо (1) Ф*оо (2) —— фио (1) фаоо (2) dV 1 dV2,

Bi2 = \ фГоо (1) фгоо (2) —— ф2оо (1) фюо (2) d Vy dV2,

Jr12

B2i = ( ф*оо (1) фюо (2) —— фюо (1) фгоо (2) dVx dV2, J'12

^22 = Ф*оо (1) Ф100 (2) ~ф200 ( 1) Ф1ОО (2) d Vx dV2.

Выражения для l/n и I/22 отличаются лишь обозначениями переменных интегрирования. То же самое относится к И12 и Vai.

Следовательно, VU = V22 и К12=И21. Кроме того, сравнение с формулами (49.5) и (49.6) дает, что VU=I/22 = Q, Ki2 = V2i = A.

Таким образом, секулярное уравнение принимает вид

IQ-AE*1' А

I AQ — AE'i'V^"

Раскрыв определитель, получим: [Q —Д£(1)]2 = Л2, откуда Q — — AEW = ± А. Соответственно для AEW получаются значения

AEV’-Q-VA, bE'^Q-A,

где Q — кулоновский интеграл (49.5), Л —обменный интеграл (49.6). Знак плюс относится к парасостоянию (3 = 0), знак минус —к ортосостоянию (3=1).

Согласно (24.33) для 7 = 2

Фь о, о = -ег ф2, о, 0 = -е-гк (2 - г]^.

\ г0 / у л\ г0 /4 и 2л

Подставив эти функции в формулы (49.5) и (49.6) вместо фт, и ф„2, можно вычислить величины Q и А. Обе они оказываются положительными. Следовательно, в первом приближении теории возмущений энергия парасостояния

Е'пара = — у — + Q + А

оказывается на 2Л больше, чем энергия ортосостояния

E&o = -~+Q-A.

* '0

Аналогичный результат получается и для других возбужденных состояний.

Напишем полные пси-функции возбужденных пара- и ортосостояний:

Фпара" 2) ф0, 0(1, 2),

где первый множитель определяется формулой (49.2), а второй — формулой (48.20),

Форто1 = Фа(1, 2) фХ|1 (1, 2),

Форто2 = Фа(1, 2)ф1.0(1, 2),

ФортоЗ = Фа(1, 2) Ф1,-т(1, 2),

где первый множитель определяется формулой (49.3), a <pL1, Ф1,о и <р21 _х— формулами (48.17) — (48.19).

Из сказанного следует, что энергетические уровни атома гелия подразделяются на две системы: уровни парасостояний, которые являются синглетными, и уровни ортосостояний, которые являются триплетными. В приближении, не учитывающем спин-орбитального взаимодействия, переходы с испусканием и по-

глощением света между синглетными и триплетными состояниями оказываются запрещенными. Следовательно, в этом приближении синглетные и триплетные состояния атома гелия являются независимыми. Поэтому самое низкое триплетное состояние метастабильно. Оказавшийся в таком состоянии атом гелия будет находиться в нем очень долгое время (порядка месяцев). Таким образом, атомы гелия, находящиеся в синглетных и триплетных состояниях, можно рассматривать как два разных типа атомов, называемых парагелием и ортогелием.

Атомы парагелия не имеют магнитного момента и образуют диамагнитный газ. Атомы ортогелия обладают магнитным моментом и образуют парамагнитный газ. Спектральные линии атомов парагелия одиночные. Линии ортогелия состоят из трех близких линий (триплетов). Это обусловлено тем, что в состояниях, отвечающих электронной конфигурации ls2p и в других состояниях cL^O вследствие спин-орбитального взаимодействия снимается вырождение уровней, отвечающих ортосостояниям.

Вариационный метод

Вариационный метод позволяет, не прибегая к теории возмущений, получить приближенные значения энергии и пси-функций основного и первых возбужденных состояний квантовых систем. Метод основывается на ряде неравенств, первое из которых имеет вид

£о^(ф|Дф),(55.1)

где £0 — энергия основного состояния, Н — гамильтониан системы, ф — произвольная функция, удовлетворяющая условию нормировки

<Ш) = 1-(55.2)

Для доказательства соотношения (55.1) разложим ф по собственным функциям фт оператора Н".

Ф = 2 атфт, где 5 |ат|2 = 1.(55.3)

т = 0т = О

Подстановка этого разложения в сомножитель, стоящий справа в (55.1), дает

сооз

(ф I Дф) = 5 атап ^« ' Н^п) = У, а^апЕп <фт | ф„) =

т, п = 0т,п = О

сососо

= 5 ^апЕа8тп= У |йт|2£т^£0 У |ат|2 = £0, tn,n=Qт = 0m = Q

что совпадает с (55.1), Знак равенства может получиться в том случае, когда из всех слагаемых суммы ^ | ат | Ет отличным от нуля окажется только слагаемое, отвечающее т = 0. Это будет иметь место, если в качестве ip в (55.1) взять ф0.

Таким образом, вычисление энергии Ео основного состояния системы сводится к вычислению минимума выражения s70 = = (ф|Яф) путем варьирования нормированной функции ф:

Ео = min й = min (ip | //ф) ((Ф1Ф) = 1)- (55.4) Практически вычисление Ео сводится к выбору на основании физических соображений или опытных данных пробной функции фопр^- У, 2, а> Р. •••)- содержащей некоторое число неизвестных параметров а, р, .., и удовлетворяющей условию (55.2). Вычисление произведения

^о = <ФопР(*. У* 2, а, р, ...) I ЕГфОпр(х, У, 2, а, Р, ...)) (55.5) приводит к функции s70 (а, р, ...), зависящей от параметров а, р, ... Затем находится минимум этой функции путем решения системы уравнений

да др — ••• и’

в результате чего получаются значения сс0, р0, ... При удачном выборе пробной функции значение ^(«о, Ро, •••) оказывается близким к истинному значению Ео даже при малом числе использованных параметров (один, два). Приближенным выражением пси-функции основного состояния будет

фопР(х, у, z, а0, Ро, ...)■ (55.6)

Чтобы получить приближенное значение энергии и пси-функции первого возбужденного уровня, будем исходить из соотношения

Е^^М (55.7)

где Ei — энергия первого возбужденного состояния, ф —произвольная функция, удовлетворяющая условиям

(ф|ф) = 1, (фо|ф> = О (55.8)

(фо — пси-функция основного состояния). Для доказательства соотношения (55.7) разложим функцию ф по собственным функциям фт оператора Н".

В отличие от (55.3), слагаемое с пг = О в этих суммах отсутствует. Это вызвано тем, что в силу условия (фо|ф) = О коэффициент bQ = 0, Подстановка разложения (55.9) в сомножитель, стоящий справа в (55.7), дает

ООсосо

<Ф|Яф) = 2 b*mbn^m\H^n) = 2 \ЬЛЕт^Еу 2 |Ma = £i, тп, п = 1m — Itn — 1

что совпадает с (55.7),

Основываясь на (55.7), берут пробную функцию фщр^, У,2, у, 6,...), удовлетворяющую условиям (55.8) (при этом в качестве фо используют функцию (55.6). Вычислив ^ (у, 6,...), находят минимум этого выражения (получающийся при значениях параметров у0, 60, ...). Далее полагают ^^^(уо, 60, ...), ф!?=« ^Ф1пРД, У, 2, у0, 60, ...).

Второй возбужденный уровень определяется как минимум выражения (фг пр I Дфа пр)> гДе на ф2пр накладываются условия

(Фг пр I Фа пр) = 1 > (Фо | Фа пр) = 0, (ф1 | фа пр) = О

И т. д.

К числу недостатков вариационнного метода относится то обстоятельство, что погрешность даваемых им результатов остается неопределенной.

Изложенный выше способ расчета называется прямым вариационным методом или методом Ритца. Проиллюстрируем этот метод, применив его для вычисления энергии основного состояния гармонического осциллятора. В этом случае

Н = —(55.10)

2m0 dx27

В качестве пробной возьмем простейшую функцию, обращающуюся в нуль при х—>-±оо. Такая функция имеет вид ф (х, а) = Ае~ах11г(55.11)

(1/2 в показателе экспоненты введена для удобства). Ее скалярный квадрат равен

(ф|ф) = Л2 J e~ax2dx = Л2 ]/л/а

(пуассоновский интеграл). Следовательно, условие (55.2) будет удовлетворено, если положить А = (а/л)1/*.

Вычислим выражение (55.5):

67 («) = (Фпр I Дфпр) =

= (а/л)0 — СО

4//г0 1 4а ''

Продифференцируем это выражение по а и приравняем производную нулю:

Й2/ИрШ2 _ л

4то 4а2

Отсюда ao = moto/tl. Подстановка этого значения в (55.11) и (55.12) дает

Ей = S (а0) = Й®/2, фо (X) = (тою/лй)'^ - т^хч-щ.

Сравнение с (25.9) и (25.15) показывает, что пробная функция была выбрана настолько удачно, что вариационный метод дал точные значения энергии и пси-функции основного состояния.

Кроме изложенного выше прямого вариационного метода, при котором варьируются параметры пробной функции, существует более общий вариационный метод, при котором варьируется сам вид пси-функции. Такой более общий метод эквивалентен решению уравнения Шредингера. Действительно, условие минимума величины (ф | Аф) сводится к равенству

(бф | Аф) + (ф | Абф) = 0.(55.13)

Представим функцию ф в виде ф = ф1 + гф2. Тогда ф*=фт —1ф2, 6ф = бф! + 1"6ф2, 6ф* = 6ф1 —1бф2 и, следовательно, (бф)* = бф*.

Воспользовавшись эрмитовостью оператора Н, преобразуем второе слагаемое формулы (55.13) следующим образом:

(ф | Нбф) = (Аф | бф) = (бф | Аф)* = (бф* j А*ф*).

В результате (55.13) переходит в

, (бф | Аф) -ф (бф* j А*ф*) = 0.(55.14)

Из дополнительного условия (ф|ф) = 1 вытекает, что

(бф | ф) + (ф | бф) = (бф | ф) + (бф* | ф*) = 0.(55.15)

По правилам нахождения условного экстремума нужно сложить соотношения (55.14) и (55.15), умножив последнее на неопределенный множитель Лагранжа, который мы обозначим — Е. Таким образом, условием минимума выражения (ф|Аф) при дополнительном условии, что (ф|ф) = 1, является равенство

(бф | Аф) + (бф* | Н*^ - Е «бф | ф) + (бф* | ф*)) = 0.

Воспользовавшись дистрибутивностью скалярного произведения функций, перепишем полученное равенство так:

(бф | (Аф — Е^ + (бф* | (А*ф* — Аф*)) = 0.

Подставив 6ф = 6ф1 + /6ф2, бхр* = бхр! — 1"бгр2, после несложных преобразований получим-

<6^ | [(//ф - Еф) + (Н*^* - Еф*)]) +"

+ i (6ф21 [(Яф — Е^) — (Я*ф* — Еф*)]) = 0. (55.16)

Вещественную и мнимую части функции ф можно варьировать независимо друг от друга. Поэтому равенство (55.16) должно выполняться при произвольных и независимых вариациях 6фг и 6ф2. Это возможно лишь при выполнении двух равенств:

(Яф - Еф) + (Я*ф* - Еф*) = 0,(Яф - Еф) - (Я*ф* - Еф*) = 0.

Складывая эти два равенства, мы приходим к- уравнению Шредингера: Яф = Еф. Вычитая их друг из друга, получаем уравнение, комплексно сопряженное с уравнением Шредингера.

Итак, вариационный метод, при котором варьируются не параметры, а сам вид функции ф, действительно эквивалентен решению уравнения Шредингера.

Описанным способом получаются Е = Е0 и ф = ф0 основного состояния рассматриваемой системы. Чтобы получить следующие стационарные состояния, нужно осуществить варьирование, наложив на ф дополнительное условие: (фо|ф) = О, где ф0 — найденная выше функция, затем — дополнительное условие: (ф11 ф) = 0 и т. д.

В заключение отметим, что уравнение Шредингера получается из равенства нулю вариации выражения а/ = (ф | Н^) и в том случае, если считать функции фиф* формально независимыми и варьировать только одну из них, скажем, ф*. Чтобы показать это, напишем в виде

ф*#ф dV ^ф*фбП/=1).

Проварьировав ф*, напишем условие экстремума

бф*Яф dV — Е\ 6ф*ф dV = ^ 6ф* (Яф — Еф) dV = 0 (55.17) (—Е —множитель Лагранжа). Ввиду произвольности 6ф* должно иметь место равенство Яф —Еф = 0.■

Метод самосогласованного поля

Идея разработанного Хартри и Фоком метода расчета атомных систем заключается в том, что каждый электрон атома рассматривается как движущийся в «самосогласованном» поле, создаваемом ядром и всеми остальными электронами. Электроны

.9 И. В. Савельев, т. 2

считаются движущимися независимо друг от друга в том смысле, что каждый из них описывается своей пси-функцией ф»^), удовлетворяющей уравнению

[” S? Vi - ^ + f $ № (Г,) 1= ^ ^,] Ф. (Г.) -

= Дйфй(гй) (й=1, 2, ... , ZY (56.1)

Сумма, входящая в гамильтониан, представляет собой среднюю энергию взаимодействия й-го электрона со всеми остальными электронами, находящимися в состояниях фу (г,). Взаимодействие спинов и спин-орбитальное взаимодействие уравнением (56.1) не учитывается.

Уравнение (56.1) может быть получено с помощью вариационного метода. Для этого возьмем пробную функцию в виде

фпр (п, г2, ... , rz) =ф! (rj ф2 (г2) ... фz (rz). (56.2) В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием гамильтониан имеет вид

й-2(-^v,--^+12^=2^+ №■

кi, к к/, к

Подстановка (56.2) и (56.3) в (55.5) приводит к выражению

= 25 ^ ^ dVl"A ^^^А dVk • • Л ^ Ф^^ +

+ 4 2 S1^1 "Л ^^jkMkdV jdVh .. Л ^zdVz =

I.е

= 2 5 №Wb + 4 2' 5 WHikWdVjdVh. (56.4) A/, A

Найдем вариацию выражения (56.4) при условии, что варьируется только фр (см. (55.17)):

6^ = 2 5 S^* Hb^bdVb + у 2 [5 ^HkH^p^dV f dV b +

■V^^T^'kHj^j^hdVjdVkY

Поменяв местами в первом интеграле в квадратных скобках немые индексы / и к и учтя, что Hbj = Hjb (см. (56.3)), получим

выражение, совпадающее со вторым слагаемым. Следовательно, dVh-V^' $ 6^jHjfe^iiVk dV fdVk =

/, h

-^WtHh + ^'^IH^idVAtM^^ (56.5)

Каждая из фй удовлетворяет условию: J ф^фд dVk —,1. Про- варьировав ф*, получим

$6ф^фй^Уй = 0(£ = 1, 2,, Z). '(56.6)

Чтобы найти экстремум, умножим каждое из выражений (56.6) на свой неопределенный множитель Лагранжа — Ек и сложив все произведения с вариацией (56.5), приравняем получившееся выражение нулю. В результате получим

S 6г^ + S' 5 ^H^j dV, - Екj^bdVk = 0. (56.7) Вариации 6ф* независимы друг от друга. Поэтому равенство (56,7) будет выполняться только при условии, что

"нк + 2' $ ^H,fe^dVAф, = Ек^к (k = 1, 2, ... , Z). (56.8)

Подставив сюда Н fk = ё^г^, придем к системе уравнений (56,1).

Выражение (56.8) представляет собой систему Z нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, с помощью которых в принципе можно найти Z функций ф*(г^). Непосредственное решение этих уравнений невозможно, в связи с чем приходится применять метод последовательных приближений.

В нулевом приближении в качестве функций фу ^ принимаются пси-функции водородоподобного атома ф™1. С их помощью вычисляется выражение

/

Подставив его в (56,8), получают систему независимых друг от друга уравнений для определения функций фй и энергий Ек в первом приближении:

1Й* + ^П^< = £Ж’.(56.9)

Решив эту систему и найдя функции ф*1', вычисляют

№(rfe) = X $К

i

Затем решают систему

\Нк^^ tk)\< = E^'(56.10)

и т. д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока новое приближение не приведет практически к тем же функциям ф6, какие дало предыдущее приближение. Вычисленное с помощью таких функций поле

фИга)=2'$ 1ФП2^^

называется самосогласованным (буква ф обозначает потенциал электрического поля).

При выполнении расчетов выражения Uk (г6) превращают путем усреднения по направлениям радиуса-вектора тк в сферически симметричные функции U k^r^. Это дает возможность искать решения уравнений (56.9), (56.10) и т. д. в виде произведений сферических функций на функции, зависящие только от гк.

Одночастичные функции нулевого приближения выбираются с учетом электронной конфигурации рассматриваемого состояния атома. Для основного и возбужденных состояний атома электронная конфигурация неодинакова, соответственно оказываются различными и самосогласованное поле и энергия атома.

. Согласно вариационному принципу энергия атома равна минимальному значению выражения (56.4). Минимальное значение получается при подстановке в (56.4) функций, определяемых из уравнений (56.8). Представим (56.4) в виде

Ф/ФШ/аФА dVj dVk.

Если подставить функции, удовлетворяющие уравнениям (56.8), первая сумма превращается в 2 $ Ф^»Ф» dVk = 2 Би (^ при этом превращается в Е атома). Таким образом,

Е = ^ Ек - Д X S WHfkW ^ dVh =

к),к

(56.12)(56.12)кi.k

(56.12)

(56.12)

Полученный результат означает, что энергия атома меньше суммы энергий одночастичных состояний на величину энергии электростатического взаимодействия электронов. Это объясняется тем, что в 2 Еh энергия взаимодействия учитывается дважды. Например, в Ех входит энергия взаимодействия первого электрона со всеми остальными, в том числе и со вторым, в Е^ входит энергия взаимодействия второго электрона со всеми остальными, в том числе и с первым, и т. д.

Изложенный выше метод был разработан Хартри. Вывод уравнения (56.1) из вариационного принципа был осуществлен Фоком. Метод Хартри не учитывает свойств симметрии пси-функций. Фок усовершенствовал метод, использовав пробную функцию, правильно учитывающую симметрию относительно перестановки электронов.-■

Проведем расчет самосогласованного поля по Фоку для простейшего случая- атома гелия. В этом случае (см. (56.3))

H = Hx^H%^Hti.(56.13)

Одночастичные состояния будем считать несовпадающими. При этом условии пробная функция должна иметь вид

Фпр = ^ [Фт, (1) Фт, (2) ± фт, (1) фт, (2)],

где плюс относится к парасостояниям, а минус —к ортосостояниям (см. (49.2) и (49.3)). Соответственно

^^фпрЯфпр^!^-

= 4 ^ ^'(1) ^ (2) ± ^ (1) ^” (2)] ^ ^т'(1) ^ (2) 212

±фт2(1)фт, (2)]dV1dVa +

+ 12 5 [Ф™’ (^ Ф™2 ^ ~ Ф*12 (1) Ф”' ^)] Н2 [фт, (1) фт2 (2) it±Фт2(1)Фт, ^dV^V^-V

+ 4 5 [ф^. (1) Ф*ь (2) ± Ф^, (1) Фт, (2)] ^12 [фт, (1) фт2 (2) ±

— фт2 (1) фт, (2)] dV 1 dV2 = SJ 4" 2 4* ^12' (56.1 4)

Вычислим первое из трех слагаемых:

=4 {$ ^‘ (1) ^=(2) ^^т' (1) (2) ЙУ1 ^2 +

Фт2 (1)Фт, (2) W^m2 (1)фт, (2) dV г dV2 ±

± $Фт, (1)Фт2 (2) Н^т, (1)фт, (2) dV г dV2 ±

. ± $Ф^(1)Фт,(2)Й1фт, (l)^m2(2)dV1dV2} =

- 4 (5 ^-(1) h^(1) dVi+ $ ^(1) ^та (1) dVi}(56J5)

(остальные два интеграла равны нулю из-за ортогональности функций фт, и фт2). Аналогичные вычисления дают

^2 = 4{5 ^ ^Н^т, (2) dV2 + ^ ф^, (2)^2фт, (2) dV^. (56.16)

Сравнение (56.15) и (56.16) показывает, что соответствующие интегралы в них отличаются только обозначением переменной интегрирования. Например,

$ф*, (1) Н^т, (1) ^1 = $Ф™. (2) ^фт, (2) ^Г2.

Следовательно, сумму выражений (56.15) и (56.16) можно запи-

^1 + ^2 = $ Ф^, (1) Н^т, (1) dV. + $ ф*2 (2) Н*, (2) dV2. (56.17) Теперь вычислим третье слагаемое в (56.14):

^12 = 4 {5 ^ ^ ^ ^ ^^ ^^ (2) ^ ^^ +

+ $ Фт2 (1) фт, (2) //13фт2 (1) фт, (2) dV г dV 2 ±

5 Ф«И W Ф™2 (2) ^1гфт2 (1) фт, (2) dV! dV2 тЬ±$фт2 (Офт, (2) ^12фт, (1) фт2 (2) dVydV^.

Поскольку Н12 = Н21, первый и второй, а также третий и четвертый интегралы отличаются только перестановкой переменных интегрирования 1 и 2. Поэтому интегралы можно попарно объединить. Сложив получившееся выражение с (56.17), найдем,

= J ф*, (1) H^mi (1) dV х + $ ф*2 (2) ^фт2 (2) dV2 +

+ 5 Д (1) Ф4, (2) Я12фт, (1) фт2 (2) dV, dV2 ±

± $ Фт, (1) фт2 (2) ^12фт, (1) фт, (2) dV. dV2.

Варьирование функций фт, и ф™2 дает

6^=$ 6ф£, (1) ^Фт, (1) dVi +J 6фт2 (2) Н2^тг (2) dV3 +

4~ § бфт, (1) фт2 (2) ^афт, (1) Фт2 (2) dV} dV2 -|-

+ $ 6ф*2 (2) ф^, (1) //12фт, (1) фт2 (2) dV. dV2 ±

± 5 6ф*. (1) ф„*12 (2) /^фт, (2) фт2 (1) dVt dV2 ±

± 5 6фт2 (2) фт, (1) ^12фт2 (1) фт, (2) dVг dV2 =

= ^ 6ф^2 (1) {^фт, (1) + Ц ф^2 (2) ^12фт2 (2) dV2] Фт, (1) ±

± [$ ф* 2 (2) Н12^т1 (2) dV2] фт2 (1)} dVT + 5 6ф*2 (2) ^т2 (2) +

+ Уф^1)Я12Фт, (1W] Фт2 (2)±

— 5 Ф™1 ^) H^j^m! (1) dVг | фт, (2)} dV2 =

= 5бФ'»- ^) {[^1+ ^т2,т2]фт, (1) ± [/„„ т,фт2 (1)}^^1 +

4 )) ^Фт2 (2) ^^2 4" Unit, т,] фт2 (2) i Uтъ т2фт, (2) j dV2,

где

Umbmv= V Ф"Н 0) ^12фт, (1) dV^ = t | фп!, (1) |2 —— dV^ (56. 18) — интеграл, учитывающий энергию второго электрона в усредненном поле первого,

\^m2(2)\^dV2 (56.19) аа/12

— интеграл, учитывающий энергию первого электрона в усредненном поле второго,

иmt, m2 = $ фт, (1) Нi2^m2 (1) dVj,^m2, m, = ^ Фт2 (2) ^з^Уп, (2) dV 2

(56.20)

— обменные интегралы, учитывающие корреляцию в движении электронов, обусловленную симметрией координатных функций. Переменную интегрирования во всех четырех интегралах можно, разумеется, взять любую.

Из условий ^Фт, (Офт, (1) dV1 = 1 и 5Фт2 (2) ф«2 (2) dV2 = 1 следует, что $ бф,^, (1) фШ) (1) dVt = 0,$ 6ф*2 (2)ф,Л! (2) dl/2 = 0.

Умножив каждую из этих вариаций на свой неопределенный множитель Лагранжа (эти множители мы обозначим — Ev — Е^ и сложив произведения с бе^, получим условие экстремума

J бфт, (1) {[^1 + Uтг, т2 fj фт, (1) ± Uт2, т,фт2 (1)} ^Vг

+ $ 6фт2 (2) {[Я2 4- ить т, - £2] фт2 (2) ± Umi- „12фт, (2)} dV2 = 0.

При произвольных вариациях бфт, и бфт2 написанное условие будет выполняться лишь в том случае, если оба выражения в фигурных скобках будут равны нулю. Таким образом, получается система двух уравнений

[^1 + U т2, mJ фт, (1) — U т2, т,фт2 (1) = £1Фт1 (1), г а ,.(56.21)

[^2 + ^ть mJ фт2 (2) =Ь U т1] т2фт, (2) = Е2^т1 (2).

Уравнения Фока (56.21) отличаются от уравнений Хартри (56.8) наличием обменных членов. Метод Фока приводит к различным результатам для пара- и ортосостояний. Метод Хартри дает для пара- и ортосостояний одинаковое значение энергии.

Систему интегро-дифференциальных уравнений Хартри — Фока можно решить лишь численными методами (с использованием счетных машин). Трудоемкость вычислений быстро возрастает с увеличением числа электронов. Поэтому в случае тяжелых атомов широкое применение получил рассматриваемый в следующем параграфе метод Томаса — Ферми.

Метод Томаса — Ферми

В основе метода Томаса —Ферми лежит то обстоятельство, что в тяжелых атомах большинство электронов обладает большими квантовыми числами, вследствие чего оказывается применимым квазиклассическое приближение.

В квазиклассическом приближении можно приближенно считать импульс функцией координат. Каждую ячейку фазового пространства объемом (2лй)3 могут занимать не более двух электронов с противоположными спинами (см. (39.10)),

В стационарном состоянии атома в каждом элементе объема dV находится не изменяющееся со временем число электронов dN. Их суммарная кинетическая энергия будет минимальной, если эти электроны заполнят попарно все ячейки фазового пространства, отвечающие объему dV и значениям импульса от нуля до некоторого ртах, которое определяется соотношением

№3d^- = ^p1maxdV.(57.1)

Частное dN]dV представляет собой плотность электронов п в том месте, где был взят объем dV. Считая распределение электронов в атоме центрально-симметричным, напишем, основываясь на (57.1):

■<57-2»

где г — расстояние от центра атома (от ядра).

Максимальная полная энергия электрона на расстоянии г от ядра равна

£тах(г)=^^-еф(г) = -^(57.3)

где —еф (г) — потенциальная энергия электрона, ф0 — некоторая величина, имеющая размерность потенциала. В стационарном состоянии максимальная полная энергия электрона должна быть одинакова на всех расстояниях от ядра, иначе электроны перераспределялись бы, переходя из мест, где максимальная полная энергия больше, в места, где она меньше. Следовательно, ф0 в (57.3) есть константа.

Исключив Ртах (г) из уравнений (57.2) и (57.3), получим соотношение, связывающее плотность электронов и потенциал в каждой точке атома:

п (г) = -^г (2т,е)3/= [ф (г) - Фор.(57.4)

Из характера распределения заряда в атоме следует, что потенциал ф(г), будучи положительным, должен с ростом г

убывать и обращаться в нуль на границе атома. Таким образом, ф(Р)=0, где R — расстояние, отвечающее границе атома. Плотность электронов также обращается в нуль на границе атома. Из этих соображений следует, что константа ф0 в (57.4) может быть только равной нулю. С учетом этого запишем (57.4) следующим образом:

/1^== щЖ^)72^^]72-(57-5)

Умножив /г (г) на — е, получим среднюю плотность заряда внутри атома. Потенциал ф (г) связан с плотностью заряда уравнением Пуассона: У2ф =— 4лр (см. т. 1, формулу (42.4)). В случае, когда ср зависит только от г, ^2Ф = у2 ^ (г3 ^У Следовательно, положив р = — еп^, где и (г) определяется формулой (57.5), придем к уравнению

которое называют уравнением Томаса —Ферми. Решение этого уравнения характеризует потенциал внутри атомов с большим Z.

Решение должно удовлетворять следующим граничным условиям: при г->0 поле должно переходить в кулоновское поле ядра

Ф (г) -*• 4” пРи г—>0,(57.7)

на границе атома производная dqldr должна обращаться в нуль:

Ф'№ = 0(57.8)

(напомним, что ф (Р) также равен нулю).

Представим уравнение (57.6) в виде

(57.9) dr2 1 г dr г2

При г — R потенциал ф и его производная ф' обращаются в нуль. В соответствии с (57.9) ф" (7?) также равна нулю. Продифференцировав (57.9) по г, получим

сРф , 2 42ф _ 2 d<pг 3 гп-Л^Ф

dr» г dr2 г2 dr 2 v dr ’

Приняв во внимание, что ф (Р) = ф' (R) = ф" (R) = 0, получим, что ф"'(7?) = 0 и т. д. Таким образом, мы приходим к выводу, что и ф, и все его производные при r = R равны нулю.

, Равенство нулю функции и всех ее производных в некоторой, не бесконечно удаленной точке возможно лишь в том случае,

если функция тождественно равна нулю. Таким образом, уравнение (57.6) в сочетании с граничным условием (57.8) имеет ненулевое решение только в том случае, если R = co. Следовательно, согласно уравнению Томаса — Ферми, радиус нейтрального атома бесконечно велик.

В силу сферически симметричного- распределения среднего электронного заряда потенциал на расстоянии г от ядра имеет величину

. . Ze — q(r)ч>И = —

где — q (г) — суммарный электронный заряд, заключенный в сфере радиуса г. При г->со заряд — q(r) стремится к — Ze. Следовательно, ср (г) стремится к нулю быстрее, чем 1/г, т. е.

гср(г)->-0 при г-^-оо.(57.10)

Таким образом, решение уравнения (57.6) должно удовлетворять граничным условиям (57.7)-и (57.10).

Уравнение (57.6) принято записывать в безразмерной форме, введя вместо ср новую функцию х и вместо г —переменную х, причем полагают

r = ^Z-‘/3,(р = ^ = ’^1>(57.11)

где

fe = l^y/a го^0,8853го(57.12)

(г0 —боровский радиус). В результате получается уравнение

(57J3>

В соответствии с (57.11) -^ = ^rlZe. Переменная х стремится к нулю вместе с г. Поэтому граничное условие (57.7) в новых обозначениях имеет вид

Х->1 при х->0.(57.14)

Из (57.11) получаем, что

Х->0 при х->оо.(57.15)

Решение уравнения (57.13) с учетом граничных условий (57.14) и (57.15) было осуществлено численными методами. Были также найдены асимптотические выражения решения для малых и больших х. Метод Томаса —Ферми является более приближенным, чем метод Хартри —Фока. Он не учитывает индивидуальных свойств атомов и не передает строения электронных оболочек и распределение плотности сравнительно слабо связанных

валентных электронов. Преимущество метода Томаса —Ферми заключается в его сравнительной математической простоте. Кроме того, этот метод с успехом применяется и к другим системам, состоящим из большого числа частиц — атомным ядрам, молекулам и кристаллам.

Эффект Зеемана

Рассмотрим атом, находящийся в слабом однородном магнитном поле с магнитной индукцией В. В случае рессель-саундер- совской связих) гамильтониан атома имеет вид

W =+ - айУ + и -\-wls-v — bs

к

(ср. с (32.3)), [/ — энергия взаимодействия электронов с ядром и друг с другом, IF/5 — оператор спин-орбитального взаимодействия, S = 5 зй — оператор полного спина атома. Суммирование производится по всем электронам. Полагая векторный потенциал откалиброванным так, что VA = 0), преобразуем выражение гамильтониана следующим образом:

А =++ — УАйрй + ^ЦУА1 + — BS. (58.1)

? пгесК 1 тес х 1

( к)кк

Выражение в фигурных скобках представляет собой гамильтониан атома в отсутствие магнитного поля, т. е. невозмущенный гамильтониан Нй. Векторный потенциал однородного поля можно представить в виде: А = т/а[Вг] (ср. с (32.8)). Подстановка этого выражения в (58.1) дает

й=»-+^в21г- w+^St». r«i2+^BB <58-2» кк

(мы осуществили циклическую перестановку: [В, гй] рй = В [г*, рй].

Выражение [гй, р6] представляет собой оператор орбитального углового момента А-го электрона (см. (15.10)), а сумма таких выражений — оператор полного орбитального момента атома, который мы обозначим символом ЙЬ. Объединив второй и чет-

!) Связь называется рессель-саундерсовской, если орбитальные моменты электронов складываются в суммарный орбитальный момент атома, характеризуемый квантовым числом L, спиновые моменты складываются в суммарный спиновый момент, характеризуемый квантовым числом S, а затем уже суммарные орбитальный и спиновый моменты объединяются в полный момент атома, характеризуемый квантовым числом J.

вертый члены выражения (58.2) и приняв во внимание, что ehlltn^c равно магнетону Бора рв, получим

^ = Н0 + рБВ (L + 2S)+g^-2[B, гАр. (58.3)

Заметим, что оператор

р = — рв(Ь + 28) =— pb(J4"S) ■(58.4)

можно рассматривать как оператор магнитного момента атома (которым атом обладает в отсутствие поля).

В случае слабого поля членом, квадратичным по В в (58.3), можно пренебречь по сравнению с членом, линейным по В. Тогда

Н = Н0-^,(58.5)

причем второе слагаемое можно рассматривать как возмущение.

В отсутствие поля уровни энергии атома вырождены по квантовому числу m.j, определяющему проекцию полного момента атома на ось 2. Магнитное поле снимает вырождение по tn,, вследствие чего уровень с данным J расщепляется на2УЦ-1 подуровней. Величина расщепления определяется матричными элементами оператора возмущения У =— B/z = — В^1), вычисленными с помощью невозмущенных функций ф£ s л , т. е. выражениями

^L', S', J', mj | — ^ИгФь, S, J, my) 1(58.6)

Представим соотношение между операторами магнитного момента и и механического момента My = ^J с помощью вспомогательного оператора G:

== - ^ (58-7>

Соответственно

^ = -2ЬМ‘(58‘8)

Из сопоставления выражений (58.4) и (58.7) следует, что

GJ = J + S.

Умножим это равенство скалярно на J:

GJ2= J2 +JS.

!) В—постоянный вектор, направленный по оси г.

Отсюда

0=1+^-(58.9)

Возведя в квадрат соотношение L = J — S, получим, что L2 = = j2 — 2JS + S2, откуда 2JS = J2 — L2 + S3. Подстановка этого значения в (58.9) дает

G = 1 + 2^!±$_.(58.10)

Оператор G коммутирует с М2 и, следовательно, имеет общие с ним собственные функции. Мы рассматриваем невозмущенные состояния атома с определенными значениями J2, L2 и S2. В этих состояниях величина, описываемая оператором О, имеет значение ,

, J (J^-ULA- 1) + S(S + 1),,я.п

Это выражение называется множителем (или фактором) Ланде. Из сказанного выше ясно, что g является собственным значением оператора G.

Подставив в (58.6) выражение (58.8) для рг, получим' матричные элементы оператора возмущения V:

^L', S', J', mj I И I Фь, S, J, mj) = ^Фь', S', J', т'^^^^^г | ^L' S' J' wj/ ~ = 2^7<^'. S', J', mj I Фь, S, J, mj) =

= ЦбBgmj&(L, s,, J# т^, s, j m^1).(58.12)

(Собственные значения произведения коммутирующих операторов равны произведениям собственных значений сомножителей, см. (10.27). Собственные значения операторов G и М2 равны соответственно g и Йт,.)

Матрица оператора V, вычисленная с помощью функций, описывающих невозмущенные состояния атома, оказалась диагональной. Это означает (см. текст, предшествующий формуле (31.12)), что, несмотря на то, что невозмущенные функции являются вырожденными, поправки к энергии в первом приближении равны диагональным матричным элементам (58.12). Таким образом,

^E = y.bBgm.j (mj — Q, ±1±J).(58.13)

9 Ср. с формулой (32.14).

Полученный результат означает, что (2/+ 1)-кратно вырожденный уровень под действием слабого магнитного поля расщепляется на 2J + 1 равноотстоящих уровней, расположенных симметрично относительно невозмущенного уровня El,s,j. Таким образом, магнитное поле снимает вырождение по квантовому числу Hlj.

Расщепление уровней, определяемое формулой (58.13) (с ^^ У= 1), носит название аномального (или сложного) эффекта Зеемана. При 8 = 0 (в частности, для единиц без спина) множитель Ланде становится равным единице (см. (58.11)) и формула (58.13) принимает вид

ДЕ = цБ8т7,(58.14)

совпадающий с (32,15). Расщепление, описываемое формулой (58.14), носит название нормального (или простого) эффекта Зеемана.

Теория молекул в адиабатическом приближении

Массы ядер на 3 — 4 порядка больше массы электрона. Поэтому ядра в молекуле движутся значительно медленнее, чем электроны. Это обстоятельство дает основание считать ядра в нулевом приближении покоящимися, а в последующих приближениях рассматривать движение ядер как возмущение. Такой метод расчета носит название адиабатического приближения.

В нерелятивистском приближении гамильтониан системы, состоящей из ядер и электронов, имеет вид

+(59.1)

Здесь М[ и Rz — массы и радиусы-векторы ядер, гй — радиусы- векторы электронов, U (rk, Rz) — потенциальная энергия взаимодействия между всеми частицами, Т„ —оператор кинетической энергии ядер, Ts — оператор кинетической энергии электронов. Адиабатическое приближение исходит из допущения, что оператор кинетической энергии ядер можно рассматривать как малое возмущение:

С-Г,2*7 V5>--(59.2)

Тогда невозмущенный гамильтониан будет состоять из второго и третьего членов выражения (59.1)

flo(Ra = h>+w=-^72XWrA'R<)-(59-3)

Радиусы-векторы R; играют в этом выражении роль параметров.

В нулевом приближении энергии и пси-функции стационарных состояний определяются из решения уравнения

^o(R/X(r6, RXE^R.-WX R/).(59.4)

Индексом п обозначена совокупность квантовых чисел, характеризующих стационарное состояние системы. Значения энергии и пси-функции зависят от радиусов-векторов ядер как от параметров. Функции ф„’(rfe, R,) характеризуют состояние движения электронов при фиксированных положениях ядер, определяемых значениями R/.

Попытаемся искать решение уравнения /7ф = Еф (Н = Но + + Т, — оператор (59.1)) в виде разложения1) по функциям < (rk, Ri), причем коэффициенты разложения обозначим ^„(R,):

Ф(г„ RiHS^R,^-^, Rz).(59.5)

Подстановка в уравнение дает

(H6^t^Wn< = E^X.

Раскрыв скобки и приняв во внимание (59.4), получим

2 ч^е^1 ^т^ w = е ^ ч1#. ппп

Умножим это соотношение слева скалярно на ф„ (при вычислении скалярного произведения интегрирование осуществляется по координатам электронов, поэтому функции от R; можно выносить за знак ( | )):

2 ^„Е™- <ф^’ | ФП + 2 « I Т, СЭД) = Е 2 ^ <ф£’ | ФП-

В силу ортогональности функций ф)0' первая сумма слева равна vVmEm, а сумма справа ЕЧгт. Таким образом, мы приходим к равенству

Фт (R,) Em +S « (r„ R,) | Тя (Rz)^ (Ri) ф™1 (rk, Ri)]> = E^m (Rz).

(59.6)

х) Если спектр оператора Нй имеет непрерывные области, то в правой части формулы (59.5), кроме суммы по дискретным состояниям, будет стоять интеграл по непрерывным состояниям.

Вычислим выражение, стоящее под знаком суммы *):

А/ VI ^^\

Ж I т„ (Tn<)> = « I - 2 Ж v4^^’» =

= -^2л(7 Wl^") (W)) +

=-^2^ «I w>v^„+

+ Ж I Ш”) 4^ + W^n. (59.7)

Если ввести действующий на функции от R, оператор

лт„=№ 2 к w । v'<>v< - <^’ । w>,(59-8)

выражению (59.7) можно придать вид

-Л^ + ^Д») 6mn.

Подстановка этого значения в (59.6) дает

ч^ (на Em - s кт^п (Ra+s [t,T„ (Rai sm„ = Е^т (Ra,

откуда вытекает соотношение

[Л+e^ w - е\ ч^ (Ra=s х„лп (Ra. (59.9) п

Придавая в (59.9) индексу т значения 1, 2, ..., получим систему уравнений для нахождения значений Е и функций Ул (Ra. Эта система является точной, однако точное решение ее невозможно. Если оператор Тя можно рассматривать как малое возмущение, система допускает решение методом последовательных приближений. В нулевом (адиабатическом) приближении правую часть в (59.9) полагают равной нулю. Тогда система (59.9) распадается на совокупность независимых уравнений

[Tfl + £^,(RJ14r^(R/)=№(R/).(59.10)

Уравнение с номером т определяет функцию Ч^’, описывающую движение ядер в том случае, когда состояние движения электронов определяется совокупностью квантовых чисел /и. Поскольку состояний движения ядер в этом случае может быть несколько,

снабдим функцию Ч^1 дополнительным индексом v, обозначающим совокупность квантовых чисел, характеризующих состояние движения ядер. Чтобы подчеркнуть, что Е в (59.10) есть энергия состояния, в котором движение электронов характеризуется набором квантовых чисел т, а движение ядер —набором квантовых чисел v, поставим при Е оба эти индекса. В результате уравнение (59.10) примет вид

[Тя + Em (Rjl V™ (R,) = Emv^ (RJ.(59.11)

Сравнение с уравнением (TA-U) ф = Еф показывает, что энергия электронов Е'т (R;) играет в уравнении (59.11) роль потенциальной энергии ядер.

■ Итак, в адиабатическом приближении пси-функция молекулы имеет вид

Фмол'т^Ч'™ №)ф« (rfc, Rz),(59.12)

т. е. распадается на два множителя, один из которых описывает движение электронов, другой — движение ядер. Функция ф„ находится путем решения уравнения (59.4), функция Ч^ — из решения уравнения (59.11).

Получаемая из уравнения (59.4) энергия Е’п представляет собой (с точностью до постоянного множителя) электронный терм молекулы. Получаемая из уравнения (59.11) энергия Етх включает в себя, кроме электронной энергии Еп\ также и энергию движения ядер (колебательную и вращательную энергию молекулы).

Молекула водорода

В случае молекулы водорода оператор (59.3) имеет вид

Но = -^+(60.1)

,к ГА1 ГВ1r АзrB3 J

Индексы 4 и S относятся к ядрам, индексы 1 и 2 —к электронам, R — расстояние между ядрами.

Уравнение

Доф(1, 2, Е) = Е‘°>(^)ф(1, 2, R) (60.2)

(см. (59.4)) впервые было решено Гайтлером и Лондоном методом последовательных приближений. В качестве пси-функции нулевого приближения была взята пси-функция двух изолированных атомов.'

Рассмотрим предельное (при R->ca) выражение для гамильтониана (60.1). Допустим, что при удалении одного из атомов на бесконечность вблизи ядра А окажется электрон 1, а вблизи

ядра В —электрон 2. Тогда предельное значение гамильтониана имеет вид

Н’ю = НАХА-НВй,(60.3)

где

2те гДх

Решением уравнения /У'оТр = ВГтр будет функция

Ф1 = ;Фа1 (^1)^52^52),(60.4)

сомножители которой удовлетворяют уравнениям

Haikai (/"Ai) = ^ai^ai (rai), Hr^bi (гва) = Ebi^bi Vва).

Действительно, функция (60.4) удовлетворяет уравнению

Нд^ + ДЯ2ф = £ф(60.5)

при условии, что E = Ea\-VEb1 (оператор НД1 не действует на фД2(гД2), оператор Нга не действует на фЛ1(гЛ1).

В силу неразличимости электронов в удаленных друг от друга на бесконечность атомах первый электрон можёт оказаться вблизи ядра В, а второй — вблизи ядра А. Тогда предельное значение гамильтониана (60.1) будет иметь вид

Н« = Нв1А-На^(60.6)

где

Решением уравнения Детф = Дф будет функция ф2 —Фвт (гВ1)Фа2 (гЛ2),(60.7)

сомножители которой удовлетворяют уравнениям

ИВ1фв1 (Пи) = ^Фвг VbiBИЛ2фЛ2 (гла) — ЕЛ2фЛ2 (гЛ2).

Энергия, отвечающая состоянию (60.7), равна Е = ЕВ1+Ед2.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением основного состояния молекулы водорода. Соответственно в пределе получатся изолированные атомы, находящиеся в основном состоянии с энергией Ей. Поэтому

Ед1 = ЕВ2~ Ebi = Еда = Ео,(60.8)

так что энергия состояний, описываемых функциями (60.4) и (60.7), одинакова и равна 2Е0-

Таким образом, в использованном нами нулевом приближении основное состояние молекулы водорода оказывается двукратно вырожденным (обменное "вырождение). Особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что функции ф1 и ф2, описывающие вырожденные состояния, являются собственными функциями различных операторов (функция (60.7) не удовлетворяет уравнению (60.5), равно как функция (60.4) не удовлетворяет уравнению Яфф = 5ф). Поэтому нельзя утверждать, что зрг и ф2 взаимно ортогональны.

Возьмем в качестве пси-функций нулевого приближения линейные комбинации функций г^ и ф2, учитывающие требования симметрии, предъявляемые к системе из двух частиц со спином Фг- Двум возможным спиновым состояниям (5 = 0 и 5=1) соответствуют два типа координатных функций:

^s°’ = G [фд (1) фд (2) + фд (2) фй (1)],(60.9)

С = С2[фд(1)фв(2)-фд(2)фв(1)].(60.10)

Для упрощения записей мы применили обозначения

Фа1 Да]) =Фа (1), Фаз (М =фв (2),

Фаз ^а^ = Фа (2), Фв1 Д/и) = Фв (1).

Функции Фд и фв являются пси-функциями основного состояния атома водорода. Согласно первой из формул (24.33)

фд(1)=Се"'^"о, фд(2)=Се-^и,(6ОН)

фд (2) =Се"^2"«, фдН^Се-'"1^,

где С = (l/ro)1'8/!^ л. Все эти функции вещественны.

Найдем из условия нормировки значения коэффициентов Cv и С2 в (60.9) и (60.10). Напишем условие нормировки для фя0': 1 = $ №T dVY d\\ = q {$ [фд (i)p avx $ [фв (Ж dv, +

+ 2 J фд (1) фв (1) dVг § фд (2) фв (2) dV^ +

+ ^Фа (2)12 ^^^(l)]2^^}.

Первое и третье слагаемые равны единице. Во втором слагаемом сомножители отличаются лишь обозначением переменной интегрирования. Поэтому мы приходим к соотношению

1=2CH1+S2},(60.12)

где

s= t Фа(1)Фв(1)^^ = -^ t е-(^1+^1)/<0 dV1 (60.13)

— величина, называемая интегралом перекрывания пси-фу н к ц и й. Эта величина характеризует степень неортого-

нальности функций (60.4) и (60.7). Если бы эти функции были ортогональными, коэффициент Ct в (60.9) был равен 1/^2, что получается при 5 = 0 (см. (60.12)). Из (60.12) следует, что

Сх = 1/К 2(1 +S2).(60.14)

Аналогичные выкладки дают для коэффициента С2 в (60.10) значение

C2=l//2(1-S2),(60.15)

Согласно формуле (7.14)

(E^^H^dV.

Если в состоянии ф энергия имеет определенное значение Е, то (£) равно этому значению, так что для стационарных состояний

E=^*H^dV.(60.16)

Гайтлер и Лондон использовали для вычисления Энергии основного состояния молекулы водорода формулу (60.16), причем в качестве ф взяли функции (60.9) и (60.10), а в качестве Н — определяемый формулой (60.1) оператор Но.

Для парасостояния имеем

Es— \ фзДдф^Е! dV2 =

= 27(4^7 $ 1Фл (1) фя (2)+ Фа (2) фд (1)] X

X Но [фл (1) Фв (2) + фл (2) фв (1)] d ^ d У2 =

= 2(1^52) {§ 'Ра 0)Фв (2) Н0^д (1)фв (2) dVx dV2 +

+ $ Фа (1) № (2) Н($А (2) фв (1) d\\ dV2 +4-^Фд (2) ф5(1) #оФа(1)Фв (2) dVxdV2-V

+ $Фа(2) Фв(1) £оФа(2)Фв(1) dV^V^.

Первый и четвертый интегралы отличаются лишь обозначениями переменных интегрирования, следовательно, они равны друг другу. То же относится к третьему и четвертому интегралам. Поэтому можно написать:

=пЬ5 (S (1) (2) Й°^А (1) 4,5 (2) dVi dv^+

+ $ Фа (1) Фв (2) Но^А (2) фв (1) dVj dV2}.

§ 601МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА

При вычислении интегралов примем во внимание, что

(

^2^2 \

Я^О^оФаО),

r А1/

(-^1- 1-На(2) = Е^а(2),

\т Аг!

(-£г^-г--Ь1’в(2) = Еофв(2) '

(см. (60.8)). С учетом этих соотношений

Еs ={2 $ фл (1) фв (2) Еофл (1) Фв (2) dVv dV2 +

+ t Фа (1)Фв (2) Ге2 Я + Я Л - ЯР <Я <2> dyi dV» +

JL V12Я 2ГВ1/]

+ 2 Фа (1) Фв (2) £оФа (2) фв (1) dVT dV2 +

ЯР (2^(1)^^. fB2/JJЯР (2^(1)^^. fB2/JJ+ ^А (ПМ’в (2) р Я Я Я aL \ 12ГА1

ЯР (2^(1)^^. fB2/JJ

ЯР (2^(1)^^. fB2/JJ

Вследствие того, что функции фл (1) ифд(2) нормированы на единицу, первый интеграл равен £0. В соответствии с (60.13) третий интеграл равен S2E0. Поэтому можно написать, что

^=иМ1)ФЬ(2)р2Я + Яг— -г-JV12ГЛ2 ГВ;^=иМ1)ФЬ(2)р2Я + Яг— -г-JV12ГЛ2 ГВ;dVTdV^dVTdV^Es= гЯ{2£о + 252£о + 9 + Л} = 2Ео + ^, (60.17) где . '

^=иМ1)ФЬ(2)р2Я + Яг— -г-

JV12ГЛ2 ГВ;

^=иМ1)ФЬ(2)р2Я + Яг— -г-

JV12ГЛ2 ГВ;

dVTdV^

dVTdV^

= J + Wm-^M’w^v, - Uw^-dVi-

Л =

фЬ (2)^-dV2,ГА2

(60.18)

t Фа (1) фв (2) [е2 Я + -^ - -*- - -L)l фл (2) ф5 (1) d^ dV2 =

JL \г12ГЛ1 ГВ2/.

= ^ S2 + 5 Фл (1) Фв (2)г^ Фл (2) Фв (1) dVT dV2 -

-S (фл(1)^-фв(1)^1-5 (фв(2)^--фл(2)^2.(60.19)

JТ AlJ ГВ2

Аналогичные выкладки дают для энергии ортосостояния следующее выражение:

£а = 2£0+-^.

(60.20)

Определяемую выражением (60.18) величину Q называют интегралом кулоновского взаимодействия. Первый член этого выражения дает энергию кулоновского взаимодействия

ядер, второй член определяет среднее значение энергии куло

новского взаимодействия электронов (без учета корреляции,

обусловленной симметрией пси-функций), третий член — среднюю энергию кулоновского взаимодействия находящегося в атоме А электрона 1 с ядром атома В (также без учета корреляции), четвертый член — аналогичную энергию для электрона 2 и ядра А. Численно третий и четвертый члены совпадают.

Определяемую выражением (60.19) величину А называют обменной энергией, так как она соответствует части куло

новского взаимодействия между электронами и ядрами, связанной с корреляцией в движении электронов, возникающей из-за симметризации пси-функций в соответствии с принципом Паули (ср. с (49.5) и (49.6)).

Величины Q и А являются функциями расстояния R между ядрами. На рис. 60.1 изображена зависимость энергий Es и Еа от расстояния между ядрами/?. Вычисления Q и А осуществлены с помощью функций (60.10). Штриховой линией показана экспериментальная кривая для парасостояния. Как следует из рисунка, согласие результатов Гайтлера и Лондона с эксперименталь

ными данными является не очень хорошим, однако качественно особенности взаимодействия между атомами водорода в пара- и ортосостоянии описываются теоретическими кривыми правильно.

Эти особенности заключаются в следующем. При сближении

атомов водорода с антипараллельными спинами электронов энергия системы убывает вплоть до расстояния Ro, равного примерно 0,80 А (экспериментальное значение равно 0,74 А). При дальнейшем сближении ядер происходит резкое возрастание энергии. Наличие минимума на кривой энергии делает возможным образование молекулы; На кривой Еп нет минимума, вследствие чего два атома водорода с параллельными спинами электронов не могут образовать связанных состояний (при любом R атомы отталкиваются друг от друга). Таким образом, образование молекулы водорода возможно лишь в синглетном спиновом состоянии.

Мы уже отмечали, что теория Гайтлера и Лондона приводит к неудовлетворительному количественному согласию с опытом. Более точные результаты удалось получить с использованием

вариационных методов.

Глава XI. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Квантование электромагнитного поля

В § 67 тома 1 было показано, что электромагнитное поле в вакууме (такое поле мы будем называть свободным) можно охарактеризовать с помощью функции Лагранжа, плотность которой равна

L0 = ^(E^-B^)(61.1)

(см. т. 1, формулу (67.8)). Перейдем от Е и В к потенциалам поля А и <р. В случае свободного поля эти потенциалы всегда можно выбрать так, чтобы скалярный потенциал <р равнялся нулю, а векторный потенциал удовлетворял условию: VA = 0. В дальнейшем мы будем предполагать, что оба эти условия выполнены.

Согласно формулам (56.1) и (56.3) тома 1

B = [VA1, Е = —

Lс dt

(ф = 0). Подставив эти значения в формулу (61.1), придем к следующему выражению для плотности функции Лагранжа электромагнитного поля:

( 1 /\2)

Функцией Лагранжа в механике называется функция обобщенных координат qb обобщенных скоростей ф и времени V. L = L(qb qb /). Сопоставление с (61.2) дает, что электромагнитное поле можно рассматривать как «механическую систему», обобщенными координатами которой являются значения потенциала А в разных точках пространства:

ф (/)-> А (х, у, г, /).(61.3)

Таким образом, координаты точек пространства как бы нумеруют степени свободы поля. Отсюда следует, что электромагнитное

поле представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы.

В механике обобщенный импульс определяется как

энергия — как

(см. т. 1, формулы (4.19) и (5.1)). Соответственно для обобщенного импульса и энергии поля получаются выражения

Р = ——— = - 1 - —161

г д(дК/дО 4лс= dt -101

№1.5)

(в соответствии с-(61.3) суммирование по i заменяется интегрированием по координатам).

Функцию Гамильтона для электромагнитного поля мы получим, выразив Е через определяемые формулой (61.4) обобщенные импульсы Р (х, у, 2, /) и обобщенные координаты А (х, у, 2, /). Заменив в (61.5) dK/dt через Р, получим

Д(Р, А) = § {2nc3P2 + -^-[VA]2pV.(61.6)

Переход от классического описания к квантовому осуществляется, как и для обычных механических систем, путем замены Р и А операторами, причем особенно удобным оказывается выражение этих операторов через рассмотренные в §§ 27 и 51 операторы рождения а+ и уничтожения а. Однако прежде, чем произвести такую замену, наложим на поле некоторые условия периодичности и представим его как суперпозицию плоских волн, т. е. осуществим преобразование Фурье для А и Р.

Допустим, что поле заключено в большой кубический ящик с зеркальными стенками и ребром длины а. Поле в этом ящике будет обладать такими же свойствами как и поле во всем пространстве, подчиняющееся следующим условиям:

А (х, у, г) = А(х + п, у, 2) = А (х, t/ + a, г) = А(х, у, г + а). (61.7)

При этих условиях потенциал можно разложить в ряд Фурье вместо интеграла Фурье. Тем самым мы добьемся того, что число степеней свободы будет хотя и бесконечно большим, но счетным.

Напишем преобразование Фурье для векторного потенциала:

A(r-z)=y^2Ck(Z)eikr- (6L8>

Введя обозначение: Ск (/) = сУ4л Ак (/) (с — скорость света), запишем (61.8) в виде

А (г, 0 = cl/$2Ak(0^(61.9)

к

(множитель с У4л введен для упрощения последующих формул). Суммирование осуществляется по всему ^-пространству. Каждое из слагаемых должно удовлетворять условию периодичности (61.7):

е«кг = е<к (г + жл) = ^к (г + аеу) = gik (г + ае^

Отсюда

■ Аа = Аа = ^°=1.

Следовательно, компоненты волнового вектора могут принимать лишь дискретные значения:

кх = (2л/а) пъ ky = (2n/a)n2, кг = ^2л[а^п21(61.10)

где nx, п2, и3 —целые числа. Каждому слагаемому в (61.8) отвечают три числа nn и2, и3. Поскольку суммирование производится по всему ^-пространству, каждое из этих чисел пробегает значения: 0, ± 1, ±2, ...

Для выполнения условия VA = 0 нужно, чтобы этому условию удовлетворяло каждое слагаемое суммы (61.9) в отдельности. Следовательно,

V (Akelkr) = AkVi‘kr = Akike‘kr = i (Akk) etkr = 0.

Отсюда вытекает, что Akk = 0, т. e. вектор Ak перпендикулярен к вектору к (волны поперечны). Выбрав два фиксированных, перпендикулярных к вектору к направления поляризации, можно представить Ак в виде суммы двух составляющих вдоль этих направлений: Ак = ек1Ак, + ек2Лк2 (ек] и ек2 —орты направлений, образующих с к правовинтовую систему).

Таким образом, выражение (61.9) можно записать в виде

А (г, t)=cy ^^екаАка^е‘кг(61.11)

к, а

(а принимает значения 1 и 2). Для вещественности векторного потенциала выражение (61.11) должно быть равно своему комплексно сопряженному. Воспользовавшись этим, запишем выражение для А (г, /) в виде полусуммы выражения (61.11) и его

комплексно сопряженного:

А(г, /) = c|/^-2<MAU0elkr + ^^^^(61.12)

к, а

При такой записи вещественность потенциала обеспечивается автоматически, без оговорок о свойствах величин Яка(/).

Для поля в вакууме векторный потенциал удовлетворяет уравнению

Подставив в это уравнение функцию екаЛка (О eikr, получим после сокращения на ekae'kr

^4-k2cMka = 0,

откуда

Ака (i) = Акае"™к<(61.13)

(из двух возможных знаков в показателе экспоненты мы взяли знак минус). Здесь Лка— постоянная, вообще говоря, комплексная величина, а частота определяется формулой

cok = k2c2.(61.14)

Соответственно

Л^ (0 = Л^‘“к'.(61.15)

Таким образом, произведя преобразование Фурье, мы по существу разложили потенциал по плоским волнам вида Ф^!®^—kr).

Согласно формуле (61.4) разложение по плоским волнам обобщенного импульса можно получить, продифференцировав выражение (61.12) по Л С учетом (61.13) и (61.15) получим

р t- ^=iс Vs 2eka t-itokAka ^e,kr+^ e"ikr ь

k, a

Введя обозначение

/W)-<Mka(0,(61.16)

приведем полученное выражение к виду

р (г, /)=2 ek«[Pka ^ e‘kr ~PL ^ е"кг ] • (61 ■17) к, a

Легко убедиться в том, что выражение (61.17) совпадает со своим комплексно сопряженным и, следовательно, является вещественным.

Подставив (61.12) и (61.17) в выражение (61.6), получим классическую функцию Гамильтона для электромагнитного поля

Н(Р, А)=^^2 ekaek.a-{PkaPk-a-e£<™^

-PkaPU'^k-^r-P^

+ РШ-а^^+к'^} dV +

+ я з С2 2 {AkaAk'a' [Т, Cka6lkr] X

X [V, ekwelk'r] +Aka^k'a'[v> eka^kr][V,ek^^-lk'r] +

+ ALA^[V, ekae-lkr][V, ek'a-e‘k'r] +

+ Ли*'«'[’.^аг][’-«к'<«<‘к'г']}^ = ^1+^. (61.18)

Величины Pka и Лка являются функциями t, это не указано явно, чтобы не усложнять записи. ,

Вычислим сначала интеграл ^i. После изменения последовательности операций интегрирования и суммирования <SY превратится в сумму слагаемых, которые содержат интегралы вида

с7= ^е+нк + кэг^у,(61.19)

С учетом (61.10)

^ = $ ехр[± I ^2л1а^пх ± и[) х] dx j ехр[± I (^п/а)^ ± п^ у] dy х оо

xS ехр[± i (2л/а)(п3± пз) z] dz. о

Это выражение отлично от нуля (причем равно а3) лишь в случае, если пх ± пх = н2 ± п4 = п3 zt п3 = 0, т. е. к±к'= 0. Соответственно в тех суммах, в которых в показателе экспоненты стоит к -)- к', будут отличны от нуля лишь слагаемые с к'= — к, а в тех суммах, в которых стоит к — к', — слагаемые с к' = к. Поэтому

^1— g ^^ {ekae_ka'PkaP-ka' Сказка/Рка.Р ко/

бкуйкаРкаРку,' “Ь бкаб—ka'PkaP -ка'} (а3 сократился).

Теперь воспользуемся тем, что вкаСка- = 6«а-, а ёкае_ка' =—6aa-. В результате выражение для ^ упростится следующим образом (мы возвращаемся к полной записи функций - Рка (/) и Лка(/)): ^i = I2 ^ka ^ ^ ^ + 2Pka (/) Гка ^ + Рк» w ^ ^> • <61 -20) к, a

Прежде чем приступить к вычислению интеграла а72, найдем значения содержащихся в подынтегральном выражении векторных .произведений. По формуле (XI. 28) тома 1 находим, что

[V, ekae±ikr] = [Ve±lkr, eka] = ± z'e±ikr [k, eka]. Соответственно

[V, ekae±‘kr][V, ek^e±‘k'r] = -e±‘<k + ^^ eka][k', ек^], (61.21) , [V, ekae±lkr][V, ек^^г] = е±'<к-к'>г[к, eka][k', ek^]. (61.22)

После подстановки этих значений в (61.18) и изменения последовательности операций интегрирования и суммирования в выражении для е^а появятся интегралы вида (61.19). Эти интегралы будут отличны от нуля (причем равны а3) для произведений типа (61.21) при к' = — к, а для произведений типа (61.22) — при к' = к. Следовательно, для ^2 получается следующее выражение:

^2= g 2 ( АкаА-ка' [к, Ска] [ к, е_ка-]-|-

+ АкаАка/ [к, ека] [к, Ска'] 4" ^ка^ка' [к, Ска][к, Ска'] —

— Л£аЛ^[к, ека][—к, e_kaj}. (61.23)

При а' #= а векторные произведения взаимно перпендикулярны, так что их скалярное произведение равно нулю. Поэтому в (61.23) нужно оставить только слагаемые, в которых а' = а. Приняв во внимание, что е_ка = — ека, получим

[к, ека][±к, е±ка] = [к, ека]2 = к2ека — (кека)2 = к2

(см. т. 1, формулу (VI.6), ека перпендикулярен к к).

Итак, все отличные от нуля произведения векторных произведений в (61.23) имеют одинаковое значение, равное к2. Учтя, что сак2 = <ок (см. .(61.14)), представим ^2 в виде

^2 = 42 “к {” Лка (/) Л'ка W + 2Лка ^ ^ка (О - 4ga (О Л2ка (/)}. к, a

(61.24)

Чтобы получить функцию (61.18), нужно сложить выражения (61.20) и (61.24). При этом первые и третьи члены в этих суммах взаимно уничтожатся (это следует из (61 16)). Следовательно, tf(P, A)=1J {Pka(/)PL(/) + wkAkaM^ (61.25) к, a

Сопоставим комплексным величинам 4ka (/) и Рка (0 вещественные переменные

?к« № = I Mka (t) + AL (/)],(61.26)

PkaW=^VPkaW-PtaM.(61.27)

Очевидно, что qka (t) представляет собой вещественную часть Ака (0, а рка (О — мнимую часть РкаМ. Такое определение рка (f) обусловлено тем, что в выражение (61.17) величины Pka(t) входят, будучи умноженными на —i. Поэтому мнимая часть Рка (О играет по отношению к обобщенному импульсу поля Р(г, /) такую же роль, какую вещественная часть Aka (t) играет по отношению к обобщенной координате поля А (г, /).

Поскольку Рка М = «kAka (/) (см. (61.16)), выражение (61.27) можно представить в виде

Рка (О = — itok [Aka (t) - AL (/)].(61.28)

Из (61.26) и (61.28) следует, что

Aka^=qka + i-^, A$a(t) = qka-i^. (61.29)

Умножив эти выражения на Wk, найдем, что

Рка (О = ®k<?ka 4~ ^Рка< Рка^=®кЦка tpka- (61.30)

Выразив в (61.25) Р, Р*, А и А* через q и р в соответствии с (61.29) и (61.30), придем после несложных преобразований к формуле

Н (Рка, <?ka) = ту ^ (Pka 4" ®k<7ka).(61.31)

k, а

Из (61.31) вытекает, что классическая функция Гамильтона для электромагнитного поля представляет собой сумму независимых слагаемых вида

Hka = ^(pk + tokqU.(61.32)

совпадающих с функцией Гамильтона для гармонического осциллятора с массой., равной единице. Таким образом, мы приходим к выводу, что электромагнитное поле может быть представлено как совокупность бесконечно большого числа гармонических осцилляторов.

Переход от классического описания к квантовому осуществляется путем замены величин Pka(t) и <?ka W операторами Pkatt) и qka^P которые подчиняются тем же перестановочным соотношениям, что и операторы обычных координат и импульсов:

[<7ka, <?k'a'] — 0, [pka> Pk'a'l^O, | qka, Pk'a'] = ^6kk'6aa' (61.33) (ср. с (16.3)). В соответствии с (61.29) и (61.30) величины А и Р превратятся при этом в операторы

AkaUWkaVHi^—-,(61.34)

^ka (0 = <Мка (t) + фка (0-(61 .35)

Комплексному сопряжению величин соответствует эрмитово сопряжение операторов. Поэтому величины Д£а (О и (О должны быть заменены операторами:

Л^ № = qia (О - i ^- , (61.36)

На (О = Шк^ка (О - iPka (О (61.37)

(см. (10.13)). Заметим, что формулы (61.36) и (61.37) получаются путем замены в выражении (61.29) для Лка (^) и в выражении (61.30) для Рка.^ переменных q и р операторами (с последующим учетом того, что q = q+ и р = р*у

В дальнейшем для упрощения записей мы не всегда убудем указывать явную зависимость от времени операторов Лка (/), АсА), 9ка(0 и Pka(t). Однако следует помнить, что эта зависимость существует.

Как мы уже отмечали, гамильтониан (61.31) целесообразно преобразовать к представлению чисел заполнения (см. § 50), т/е. выразить через операторы уничтожения и рождения частиц (см. §§ 27 и 51). Эти операторы определяются выражениями, аналогичными (27.1):

Очевидно, что все соотношения коммутации, полученные в § 27 для операторов (27.1), справедливы и для операторов (61.38). В частности,

[^ка» Аа] = ^ка^ка । ^каЛка "К(61.39)

у А<Аа + Сказка) = d^Aa + у -(61.40)

Сравнение выражений (61.34) и (61.36) с формулами (61.38) дает, что

Лка (/) = V2^/®к dka (0,(61 41)

Л ка ^ = V2ЙМ Ока (/).

Подставив эти значения в (61.12), получим оператор векторного потенциала поля в представлении чисел заполнения

А (г, О=с\/—У'Аа^е1^ + <ОКА (61.42)

Решив систему уравнений (61.38) относительно ука и рка, получим выражения этих операторов в представлении чисел заполнения

Ука = /№^к (d£a + dka). ^ j ^ Рка = I V^«к/2 (dka - dka).

Произведя в (61.31) замену величин р и q операторами, получим следующее выражение для гамильтониана свободного электромагнитного поля:

= 4 Z^^*)-к, а

Подставив сюда выражения (61.43) для р и q, получим гамильтониан поля в представлении чисел заполнения

Н^^ —^— [(tZka 4“ ^ka) (tita 4* Oka) — (oka — Oka) (o£a — Oka)] =

к, a

= ^^ 2~ (okaOka 4" OkaOka)- k, a

Воспользовавшись соотношением (61,40), представим гамильтониан в виде

^ = 2 ^юк (oLOka 4- Va)-(61.44)

к, a

Напомним, что суммирование ведется по всем значениям волнового вектора к и двум значениям поляризации.

Оператор (61.44) отличается от полученного в § 51 гамильтониана (51.45) для системы бозонов лишь постоянным слагаемым, равным йык/2. Отсюда заключаем, что свободное электромагнитное поле представляет собой систему бозонов. Эти бозоны называются фотонами.

Подставив в уравнение Н^ = Е^ выражение (61.44) для Н, получим

2 Й“к ЯкаЯкаф 4" 4 ^ ^“^ = ^-(61.45)

к, ак, а

Согласно (51.26) й^а^каФ = «каф, где Цка — число фотонов с данными значениями к и a. С учетом этого из (61.45) получается следующее выражение для энергии электромагнитного поля:

£ = 2 «каЙWk 4- 2 ЙМк/2(61 ■ 46)

к, ак,а

Из (61.46) заключаем, что энергия фотона равна Й<ок. Кроме того, из (61.46) вытекает, что даже при отсутствии фотонов (т, е. если

все Ика равны нулю) энергия поля имеет отличное от нуля значение, равное

Ео^^Пйк/2.(61.47)

к, а

Величина (61.47) носит название эн е р г и и нулевых колебаний электромагнитного поля, а состояние поля, при котором все пи» равны нулю, называется вакуумом. Так как число слагаемых в (61.47) бесконечно велико, Ео оказывается бесконечно большой. Для большинства процессов взаимодействия поля с веществом существенна лишь разность энергий двух состояний системы вещество — поле. Поэтому наличие в энергии бесконечно большого постоянного слагаемого в этих процессах не проявляется Однако существование нулевых колебаний сказывается на некоторых процессах и приводит хотя и к очень малым, но наблюдаемым эффектам.

Найдем оператор импульса электромагнитного поля. Из классической электродинамики известно, что импульс плоской волны eikr с поляризацией а равен

где Ека — энергии волны. Следовательно, полный импульс поля определяется выражением

Р = У (k/tok) Ека.

к, а

Перейдя к операторам, получим

Р = 2 (k/^k) Нка= 5 Йк (^ка^ка + Х/2)-(61 .48)

к, ак, а

Из уравнения рф = рф получаем (ср. с (61.45)) для импульса поля выражение

р = 2 «ка^к +2 йк/2>к, ак, а

из которого следует, что импульс фотона равен Йк.

Бозоны, к числу которых относятся фотоны, имеют целочисленный (или нулевой) спин. Спин фотона равен единице. Понятие спина как углового момента покоящейся частицы к фотону, очевидно, неприменимо. Поэтому под спином фотона понимается наименьшее из возможных значений его углового момента. Как раз это наименьшее значение и равно единице.

Пси-функция электромагнитного поля (или, как обычно говорят, амплитуда состояния поля) в представлении чисел заполнения имеет вид

= Ф («лх1» пк1Х1 п^, ...).(61.49)

§ 62. Взаимодействие электромагнитного поля с заряженной частицей

Будем считать, что скорость частицы мала по сравнению с с. В этом случае частица описывается нерелятивистским гамильтонианом (32.6). Если откалибровать поле так, чтобы выполнялись условия

Ф = 0, VA = 0,

то выражение (32.6) примет вид

^=тД-р2-—рА + ^-А2.(62.1)

Напомним, что при указанной калибровке операторы р и А коммутируют друг с другом:

[рА] = 0(62,2)

(см. (32.5)). Поэтому порядок сомножителей во втором члене выражения (62.1) безразличен.

Гамильтониан системы «поле + частица» запишется следующим образом:

^ = ^-р2-—рА + ^А2 + ^пом.(62.3)

2т0 и т(1с v 1 2тас 1v '

Первое слагаемое в этом выражении содержит только величины, характеризующие частицу, поэтому его можно обозначить Нчастты. Последнее слагаемое содержит только величины, характеризующие поле. Второе и третье слагаемые содержат как величины, характеризующие частицу, (е, т0, р), так и величину, характеризующую поле (А). Следовательно, эти два слагаемых представляют собой оператор взаимодействия частицы с полем

АA AААА

<62-4>

Оператор V определяет процессы взаимодействия частицы с полем, которые могут заключаться либо в рождении фотонов (т. е. в испускании фотонов частицей), либо в уничтожении фотонов (т. е. в поглощении фотонов частицей).

Рассматривая V как слабое возмущение, воспользуемся для исследования процессов испускания и поглощения фотонов теорией возмущений. Соответственно вычисление вероятностей этих процессов будет сведено к вычислению матричных элементов оператора (62.4).

Невозмущенный гамильтониан распадается на два независимых слагаемых:

Н0 = Нчастицы ^поля-

10 И. В. Савельев, т. 2

Поэтому пси-функции невозмущенной задачи можно представить как произведение двух функций, первая из которых описывает частицу, вторая —поле:

Ф(о) = фчаствцы ' фполя(62.5)

(ср. с (46.2) и (46.3)).

Согласно (61.42) оператор А (г, /) в представлении чисел заполнения определяется выражением

^l/™!S(c,,x+a«<a

•к ос и шкк, ос

(62.6)

где

Г 2лй

Ска = с1/ —(62.7)

V а3 V “к

Для системы бозонов отличны от нуля только матричные элементы:

(.. • , Пка 1 • • • • | Ока | • • • , Ока, • • •/ = "VОка >(62.8)

<..., Ща+Ь ...|йка|..., Ока, ...) = VПка + 1(62.9)

(см. формулы (51.33) и (51.34)). Соответствующие матрицы выгля-

дят следующим образом:

,0 100...\

Ока —

0°0...\(62.10)

(оо оуз...

/0000,.Д

/1000

а£а =

0 К2 00 ... •(62.11)

(00/3 0 ...

В этих матрицах номер строки совпадает с числом частиц в конечном состоянии, номер столбца —с числом частиц в начальном состоянии. Следовательно, отличные от нуля элементы

матрицы йка отвечают переходам:

частица и т. д.,частица и т. д.,1 частица-> 0 частиц, 2 частицы -> 1 а элементы матрицы ака —переходам:

частица и т. д.,

частица и т. д.,

0 частиц-* 1 частица, 1 частица-*2 частицы и т, д.

Таким образом, оператор 1Д (см. (62.4)) в первом приближении

описывает однофотонные переходы, т. е. процессы испускания или поглощения одного фотона Оператор А2 имеет вид (см. (62.6))

к, ак, ак', а'Ц(СкаС^а^ка^к'к' *Ь СкаС^а^ксх^сс 4“к, а, к', а*+ CkgCk-а' Ц^ак'а' 4" СкаСк-а- ^Zkr(Яk'«')•(62.12)к', а'Ц(СкаС^а^ка^к'к' *Ь СкаС^а^ксх^сс 4“к, а, к', а*+ CkgCk-а' Ц^ак'а' 4" СкаСк-а- ^Zkr(Яk'«')•(62.12)А2 = (Скдйкп 4" Сказка) 2 (^к'а'^к'а' 4* Ск,аЩ^,а') =

к, а

к, а

к', а'

Ц(СкаС^а^ка^к'к' *Ь СкаС^а^ксх^сс 4“

к, а, к', а*

+ CkgCk-а' Ц^ак'а' 4" СкаСк-а- ^Zkr(Яk'«')•(62.12)

к', а'

Ц(СкаС^а^ка^к'к' *Ь СкаС^а^ксх^сс 4“

к, а, к', а*

+ CkgCk-а' Ц^ак'а' 4" СкаСк-а- ^Zkr(Яk'«')•(62.12)

Матрицы операторов akw и а^- имеют такой же вид, как и матрицы операторов Яка и о£а, Перемножив матрицы (62.10) и (62.11), получим

аа =

/10 0 ,.д/0 0 0 0 ,.д

/О 2 0 ...\/0100

ш+= о о 3 ... Iа+а= о 0 2 0 ... .(62.14)

I /\ 0 0 0 3/

Заметим, что из (62.14) следует, что разность аа* — а*а равна единичной матрице (см. (61.39)).

Напомним, что номер строки равен числу частиц в конечном состоянии, а номер столбца — числу частиц в начальном состоянии. Следовательно, отличные от нуля элементы матрицы аа отвечают переходам:

2 частицы >0 частиц, 3 частицы * 1 частица и т. д., элементы матрицы а*а* — переходам:

0 частиц-^2 частицы, 1 частица->3 частицы и т. д., элементы матрицы а а* — переходам:

0 частиц-> 0 частиц, 1 частица->-1 частица и т. д., и, наконец, элементы матрицы а+а — переходам:

1 частица-> 1 частица, 2 частицы-*2 частицы и т. д.

Таким образом, матрица А2, а следовательно и оператор Р2, (см. (62,4)) описывает двухфотонные переходы: одновременное испускание или поглощение двух фотонов (слагаемые в (62.12), 10»

отвечающие матрицам (62.13)), а также процессы, при которых одновременно испускается один фотон и поглощается другой, в результате чего число фотонов остается неизменным (слагаемые, отвечающие матрицам (62.14)).

Выше мы видели, что оператор Vj в первом приближении описывает однофотонные процессы. Только во втором приближении теории возмущений, когда начинают играть роль квадраты матричных элементов, оператор (\ дает вклад в двухфотонные переходы. Оператор же V2 дает отличную от нуля вероятность двухфотонных переходов уже в первом приближении.

Оператор (62.4) можно рассматривать как слабое возмущение лишь при малом А. Следовательно, |А2|<^|А|. Отсюда заключаем, что вероятность двухфотонных переходов мала по сравнению с вероятностью однофотонных переходов.

Однофотонные процессы

Исследуем однофотонные процессы, происходящие в системе «электрон — поле». Заряд электрона равен —е, поэтому оператор, ответственный за однофотонные переходы (см. V\ в (62.4)), имеет вид

V=^pA. (63.1)

Согласно (62.5) пси-функция невозмущенной системы распадается на два множителя:

Ф<0) = ф^’ектрона • ф^ля. (63.2)

Функцию фэлектрона мы возьмем в координатном представлении, функцию фполя — в представлении чисел заполнения. Соответственно надо взять оператор р в координатном представлении, а оператор А —в представлении чисел заполнения.

При вычислении матричного элемента (ф^1 | Рф^’) придется выполнять как интегрирование по координатам, так и операции над числами заполнения. Мы будем сначала производить операции над числами заполнения, а затем осуществлять интегрирование по координатам.

Рассмотрим процесс, сопровождающийся испусканием фотона частоты сок и поляризации а, а также переходом электрона из состояния 2 в состояние 1. Этому процессу отвечает матричный элемент:

(1 > П-ка 4" 1 I V | 2, Пка) =

— ^фэл^поля (rtka4~ 1) | т с Р^ |фэл2фполя (^ка)>. (63.3)

Выполнив операции над числами заполнения, получим множитель, который, согласно (62.6) и (62.11), равен

С - -, Пка + 1, .. -1С V2пП!а^ екае- Лга£а)..., «ка, ...) =

= С V2лЙ (/Ika + l)/ti36)k СкаС-Zkr.

Подставив это выражение в (63.3) и записав скалярное произведение функций в виде интеграла, получим

<1, Mka+ 1 ! V I 2, «ка> =

= (ем) у2лй (/Zka+ 1)/а3(0к $ №л1]* ekape-^Tp^dV. (63.4)

Для процесса, сопровождающегося поглощением фотона и переходом электрона из состояния 1 в состояние 2, аналогичные выкладки дают

<2, «ка— 1 I V I 1, Пка) =

= (еМ) V2пНпка/а3(лк $ [фэлз]* екаре‘кгфэл 1 dV.(63.5)

Вероятности процессов пропорциональны квадратам модулей соответствующих матричных элементов (см. текст, следующий за формулой (9.18)). Из формулы (63.4) следует, что вероятность испускания фотона пропорциональна «ka+L где nka —число фотонов, имевшихся до процесса излучения:

Ризлуч ~ «ka + 1 ■(63.6)

Таким образом, вероятность излучения можно разделить на две части:

^излуч = Дипд+депонт,(63.7)

где Ринд Ика, ДспонТ~1, т. е. не зависит от nk«.

Часть излучения, соответствующая Ринд, обусловлена имеющимся электромагнитным полем. Это поле, воздействуя на электрон, вызывает его переход в новое состояние с испусканием дополнительного фотона той же частоты и поляризации. Возникающее таким образом излучение называется вынужденным или индуцированным.

Часть излучения, соответствующая Рспонт, не зависит от имеющегося уже поля. В этом случае испускание электроном фотона происходит не под воздействием внешних факторов, а самопроизвольно. Такое излучение называется спонтанным1).

Из формулы (63.5) следует, что вероятность поглощения фотона пропорциональна /гк«:

/’ногл ~ «ка.(63.8)

!) Спонтанное излучение обусловлено взаимодействием атома с нулевыми колебаниями электромагнитного поля.

Приняв во внимание эрмитовость матричных элементов (63.4) и (63.5), можно утверждать, что

РИНд = Рпотл.(63.9)

Таким образом, вероятности поглощения и вынужденного излучения одинаковы.

Допустим, что электрон, взаимодействующий с электромагнитным полем, не подвергается никаким другим воздействиям, т. е. является свободным. Тогда фэлектрона в (63.2) имеют вид

ф^ = Ce(‘7ft) р*г, ФА = Сеу№ Р2Г.

В этом случае интеграл, входящий, например, в (63.4), выглядит следующим образом:

$ фГ (— Cka^V) <?£кгф2 d V =

= — iH | С |2 J expt — U№ Pifjeka V exp [(i/Й) (p2 — Йк) r] dV =

= | c I2 Cka (p2 - ^k) $ exp [— (г/Й) (Pl - P2 + Йк) r] dV =

= | C |2 екар2Й (2л)3 6 (pi — p2 + Йк)

(мы учли, что ekak = 0 и воспользовались формулами (VIII. 13) и (VIII.7)). Заметим, что если бы мы поставили в подынтегральном выражении множитель е‘кг перед оператором V, результат был бы тем же самым.

Таким образом, вероятность испускания фотона свободным электроном могла бы быть отличной от нуля лишь при условии, что

P2 = Pi + ^k(63.10)

(сохранение импульса). Однако одновременно должно выполняться условие

£2 = £i + ^(0k(63.11)

(сохранение энергии). Для свободного нерелятивистского электрона £ = р2/2те, так что (63.11) можно представить в виде

(63.12)(63.12)p2 = pi + 2m^tok.

(63.12)

(63.12)

Уравнения (63.10) и (63.12) несовместимы. Отсюда заключаем, что свободный электрон не может испускать фотоны. Аналогичный результат получается и для поглощения.

Для того чтобы оба закона сохранения (энергии и импульса) могли выполняться одновременно, необходимо участие третьего деда, которому передается избыток импульса.

Дипольное излучение

Рассмотрим излучение фотона валентным электроном атома (наличием у электрона спина пренебрегаем). Энергия внешнего (валентного) электрона по порядку величины равна Z*eMa, где Z* — величина порядка единицы, а — эффективный радиус атома. Того же порядка будет и изменение энергии атома при переходе, т. е. энергия Йи излучаемого фотона примерно равна

Йы е2/а.

Соответственно длина излучаемой волны XRdCjtoRdhcaje2. Отсюда

аег _ 1

XИс " 137'

Взяв й^10-8см и Х^10~бсм (ультрафиолетовое излучение), получим тот же результат. Для видимого света отношение аД будет еще меньше (^ 10'4).

Пси-функции дискретных состояний атома заметно отличны от нуля только в области порядка эффективных размеров атома. В пределах этой области показатель экспоненты в множителе e-ikr, входящем в (63.4), не превосходит по модулю величины

(2лД) a Rd а/Х,

т. е. много меньше единицы (а<^Х). Поэтому указанный множитель можно разложить в ряд

5-‘kr= 1 -/кг-ф...(64.1)

Ограничившись только первым членом разложения (т. е. заменив экспоненту единицей), получают так называемое длинноволновое приближение. Если окажется, что вычисленный в этом приближении матричный элемент равен нулю, учитывают следующий член в разложении (64.1).

Заменив в (63.4) экспоненту единицей, получим для матричного элемента перехода выражение

М. Э. =<1, пка+1 | t> 12, пка) =

= (е/тг) V2лЙ (ик« + 1)Мок (екар)12, (64.2) где (екар)12— матричный элемент оператора проекции импульса электрона на направление поляризации испущенного фотона.

Обобщив формулы (21.13) и (22.9), получим

р = тег, (г)12 = 1ик (г)12.

Приняв во внимание эти соотношения, можно написать

(ekap)i2 = ^Ze (^k«r)x2 = itnetok (екаг)12 =

= i (— mje) (ок {ека (— ег)}12 = — i (me/e) шк (ekad)12.(64.3)

Здесь d =—er —оператор дипольного момента электрона (заряд электрона равен —е). В случае многоэлектронного атома под d нужно понимать оператор дипольного момента всех электронов (т. е. дипольный момент атома в целом).

Таким образом, в случае длинноволнового приближения матричный элемент (64.2) может быть представлен в виде

М. Э. = — iV"2лйо)к (пи»4- 1)/а3 (ёк <z.d)12.(64.4)

Начальное состояние системы является дискретным. Поскольку частота фотона изменяется непрерывно, конечное состояние принадлежит сплошному спектру. В § 34 было установлено, что вероятность перехода системы в единицу времени из состояния, принадлежащего дискретному спектру, в состояние, принадлежащее сплошному спектру, под воздействием возмущения, изменяющегося со временем по гармоническому закону, определяется формулой

P = ^\VE,.E1\2g^(64.5)

(см. (34.19)), где энергия конечного состояния E' = Ev-Vhtok удовлетворяет условию

Е'= Ev-VHtok = Ег(64.6)

(вместо 6 (Ev — Еп — Йео) в формулу (34.14) нужно подставить 6 (Ej-фйсок — Е2)). Мы заменили в формуле (34.19) индекс п индексом Е2. Напомним, что Е2 —энергия начального состояния атома.

Функция g(E'^ в (64.5) определяет плотность числа состояний на единичный интервал конечной энергии

g(E')—dN/dE'.

Чтобы найти g(E'), вычислим количество состояний электромагнитного поля dN, приходящееся на интервал dk значений модуля волнового вектора и на интервал направлений вектора к, отвечающий телесному углу d£L В ^-пространстве этим интервалам соответствует объем k2dkdQ. Согласно (61.10) каждому состоянию (одной поляризации) отвечает объем, равный (2л/й)3. Следовательно, интересующее нас количество состояний равно

dN = -.(64.7)

(2л)3''

Интервал значений конечной энергии

dE' = d (Е2 ф- Лсок) = d (Йсок) = d pick) = Ис dk,

со.) 1)-Idi2 |2sin^dQ.со.) 1)-Idi2 |2sin^dQ.(64.10)(64.10)

со.) 1)

-Idi2 |2sin^dQ.

со.) 1)

-Idi2 |2sin^dQ.

(64.10)

(64.10)

откуда dk = dE'(Ис. Квадрат волнового вектора k2 = соь/са. С учетом этого выражению (64.7) можно придать вид

Отсюда

(64.8)

Подставив в формулу (64.5) выражение (64.4) для матричного элемента и выражение (64.8) для g(E'), получим вероятность испускания фотона в единицу времени в те-,

лесном угле dQ с поляризацией Ск« и часто-а/

ТОЙ (0к."/.

^^X^l ^<2 l2dQ <64-9)

(мы написали dP вместо Р, поскольку спра- екк \ /

ва стоит дифференциал dQ).

Векторы ек, и е,., выбираются произволь

но, нужно лишь, чтобы они были перпен-Рис. 64 1.

дикулярными к вектору к и друг к другу.

Выберем направление орта ei<a так, чтобы он лежал в плоскости d, к (рис. 64.1). Тогда .

(ekad)i2 = d12 sin ft,

где О — угол между направлением дипольного электрического момента и вектором к. Следовательно, выражение (64.9) можно записать в виде

^ = —^^|d13|2sin2ftdQ.^ = —^^|d13|2sin2ftdQ.(64.11)(64.11)

^ = —^^|d13|2sin2ftdQ.

^ = —^^|d13|2sin2ftdQ.

(64.11)

(64.11)

Умножив это выражение на Йсок, получим энергию, излучаемую за секунду в элемент телесного угла dQ:

(64.12)(64.12)

(64.12)

(64.12)

Из этой энергии на долю спонтанного излучения приходится часть, равная

ds7cn = (сок/2лс3) | d12 2 sin2 ft dQ.

Заметим, что это выражение определяет полное излучение диполя, поскольку при выбранных нами направлениях поляризации (см. рис. 64.1) проекция вектора d на второй орт равна нулю.

Проинтегрировав выражение (64.12) по dQ, получим полную энергию, излучаемую в единицу времени, т, е. интенсивность

излучения диполя,

^сп = (<Пк/2лс3) | d1212 5 sin2 $2л sin ft d^ = (4юк/3с3) | d1212. (64.13) о

Квантовое выражение для интенсивности дипольного излучения отличается от классического лишь тем, что вместо усредненного квадрата дипольного момента (d2) стоит удвоенное значение матричного элемента дипольного момента.

Может случиться, что матричный элемент d12 = (фС” j dipi0') окажется равным нулю. Переходы, для которых это имеет место, называются запрещенными. Это название не следует понимать буквально, так как вероятность излучения при d12 = 0 хотя и очень мала, но все же отлична от нуля. В этом случае нужно учесть второй член разложения (64.1). Тогда в (64.10) вместо матричного элемента d12 войдет выражение <ф'1°'|екар(—1кг)ф2"), которое можно рассматривать как матричный элемент произведения операторов (екар) и (—ikr). Матрица произведения двух величин равна произведению матриц перемножаемых величин (см. последний абзац § 10). Поэтому матричный элемент можно представить в виде — i {(екар) (кг)}12. Заменив в соответствии с (64.3) (вкар) через imetok (ек«г), получим элемент те<0к {(скаг) (кг)}12. Этот элемент нужно подставить в (64.9) вместо — i (те/е) oik (ekad)12 (см. (64.3)). В результате формула (64.12) примет вид

d^cn = (еМ/2лс3) | {(ekar) (kr)}1212 sin2 d dQ. (64.14)

Излучение, характеризуемое формулой (64.14), представляет собой совокупность магнитного дипольного и квадрупольного излучений.

Сопоставим интенсивности (64.12) и (64.14). Для этого учтем, что e2r2~d2, а (кг)2 (Аа)2 ~ (о/Х)2 (а — эффективный радиус атома). Таким образом, получается, что, например, для видимого света интенсивность магнитного дипольного и квадрупольного излучений в 108 раз меньше интенсивности дипольного излучения. Это и дает основание называть соответствующие переходы запрещенными.

Правила отбора

В предыдущем параграфе мы установили, что вероятность дипольного излучения определяется матричным элементом проекции дипольного момента атома на направление поляризации фотона:

(ekad)]2 —■8 (екаГ)|2.(ekad)]2 —■8 (екаГ)|2.(65.1)(65.1)

(ekad)]2 —■8 (екаГ)|2.

(ekad)]2 —■8 (екаГ)|2.

(65.1)

(65.1)

Численное значение этого элемента зависит от вида пси-функций xp'i0’ и ф.)01 электрона, совершающего переход. Для того чтобы матричный элемент был отличен от нуля, пси-функции должны удовлетворять определенным требованиям, которые называются правилами отбора для дипольного излучения. Имеются также правила отбора для магнитного дипольного и квадрупольного излучений, однако мы ограничимся рассмотрением лишь правил отбора для дипольного излучения. ,

Будем считать, что излучающий электрон движется в центральном поле сил. Спин-орбитальным взаимодействием пренебрежем. При этих условиях пси-функция электрона имеет вид

^Шт. (г, б1, ф) = Y [т (», q>) Rnl (г).

Рассмотрим сначала случай, когда излучаемый фотон поляризован вдоль оси z. В этом случае ekar = z = г cos fl. Поэтому матричный элемент (65.1) распадается на произведение двух множителей:

М. Э. = (YUmi | cos А | Y^ (R,^ \-er\ РП1О. (65.2)

Второй множитель ни при каких условиях не может равняться нулю. Следовательно, все определяется множителем

л 2л

<Yt,mi I cos fl I Y^ = $ $ Y^m. Yi2„12 cos fl sin fl db d^.о 0

В соответствии с (11.33) этот множитель пропорционален выражению

1Х. /2 = р™' (cos fl) РТ2 (cos fl) sin fl d® 5 еЧ'^-тОф^ф. (65.3) о0

Интеграл /2 отличен от нуля лишь при m2 = m1. В интеграле 1Х перейдем к переменной х = cos fl:

л= $ p^^PTaxvdx.

В соответствии с формулой (II.30)

хРТ;^ = АР^х^хНВРи2-х^,

где А и В — постоянные, отличные от нуля коэффициенты. Следовательно,

+1+ *

Sx = А $ Pz? М ^7+1 to dx + в $ Р7 (х) Р^_ 1 (х) dx. -1-1

В силу ортогональности присоединенных полиномом Лежандра (см. (11.29)) это выражение при тх = та отлично от нуля в двух

случаях: при Zi = /2+l и при /1 = /2—1- Таким образом, для излучения, поляризованного вдоль оси 2, получаются правила отбора:

А/ = ±1, А/и = 0.(65.4)

Фотон, испущенный в направлении оси г, поляризован в плоскости ху. Вместо излучения, поляризованного вдоль оси х или оси у, удобнее рассмотреть излучение, поляризованное по кругу. Движение по окружности, лежащей в плоскости ху, можно представить как наложение двух взаимно перпендикулярных колебаний, сдвинутых по фазе на л/2, т. е. как c.os<p±isiny (<р = (,)/). Соответственно вероятность перехода с испусканием фотона круговой поляризации определяется матричным элементом величины x±iy. Эту величину можно представить в виде

х ± iy = г sin О cos <р ± Ir sin О’sin ср = г sin йе-»».

Таким образом, определяющий вероятность перехода множитель, аналогичный (65.3), выглядит следующим образом:

Ir- I2=^ р^ (cos fl1) Рц1 (cos ft) sin 0 sin A dZ} ^ еЦпч — т ±.1)<P ^ф. 00

Интеграл /2 отличен от нуля при m2 = m1±l. Рассмотрим оба случая отдельно. Положив т2 = т1-(-1 и перейдя к переменной x = cos$, получим

+ 1

кк — $ Pt (x)P% + l toVV-xMx. (65.5)

Согласно формуле (11.31)

Pt+1 (X) ут^ = АР^ 1+ ВР^_ ] ^,

где А и В —отличные от нуля коэффициенты. Подстановка в (65.5) дает

+1+1

к • и - А $ Pt (х) Pt- vlWB $ Pt к) Pt-1 к) dx.

-i-i -

Это выражение отлично от нуля при Z1 = Z2±1.

Положив m3 = mi — 1, получим

кк- $ Ptk)Pt~" W/l-x^dx. (65.6)

-1

Согласно формуле (11.31)

Pt к) VT^=cpt+ix to topt-? к),

где С и D —константы. Подстановка в (65.6) приводит к выражению

к-Р^СЦ W Р^ -1 (х) dx + D Y Р*^ (х) РТГ' (х) dx.-1-1

Это выражение отлично от нуля при /2 = /1±1.

Таким образом, для излучения, поляризованного перпендикулярно к оси 2, получаются правила отбора:

Д/ = ±1, Дл2 = ±1.(65.7)

Объединив формулы (65.4) и (65.7), получим для дипольного излучения следующие правила отбора:

Д/ = ±1, Д/п = 0, itl.(65.8)

Переходы с Дт = 0 приводят к испусканию излучения, поляризованного вдоль оси г; переходы с Дт = ±1—-к испусканию излучения, поляризованного в плоскости ху.

Отметим, что правила отбора (65.8) согласуются с требованиями законов сохранения момента и четности.

Глава XII. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ

§ 66« Сечение рассеяния

Под рассеянием понимают отклонение частицы от первоначального направления движения, обусловленное взаимодействием с другой частицей (рассеивателем). В связи с тем, что рассеяние вызывается взаимодействием (столкновением) двух частиц, теорию рассеяния называют также теорией столкновений.

Протекание процесса рассеяния во времени заключается в том, что две первоначально бесконечно удаленные частицы движутся навстречу друг другу, затем, сблизившись, взаимодействуют между собой и, наконец, разлетаются в разные стороны. Часто бывает удобно вместо протекания процесса рассеяния во времени рассматривать эквивалентную стационарную картину. Переход от временного описания к стационарному осуществляется с помощью предположения, что имеется непрерывный поток летящих из бесконечности частиц, который из-за взаимодействия с рассеивающим центром г) превращается в поток рассеянных частиц, разлетающихся от этого центра. Плотность частиц в потоке должна быть достаточно малой для того, чтобы взаимодействие между падающими частицами было пренебрежимо мало. При стационарном рассмотрении задача рассеяния состоит в том, чтобы, зная рассеивающее силовое поле, вычислить поток рассеянных частиц (на бесконечно большом расстоянии от рассеивающего центра) как функцию потока падающих частиц.

Рассеяние характеризуется дифференциальным сечением рассеяния

^'Vnacc (ft, ср) da^, ф) =р -(66.1)

/пал

где dAIpacc (ft, ф) — число частиц, рассеиваемых в единицу вре-

ли совокупностью рассеивающих центров, расстояние между которыми столь велико, что взаимодействие каждой из падающих частиц происходит только с одним из центров.

мени в телесный угол dQ, взятый в направлении (О', <р); /пад— плотность потока падающих частиц (см. т. 1, формулу (14.2)).

Введем плотность потока рассеянных частиц на больших расстояниях г от рассеивающего центра, которую обозначим /расе (г, $, ф). Тогда можно написать, что

^расс(^, ф)=/расс(О T)r2dQ.

Подстановка этого выражения в (66.1) дает

da (ft, =(66.2)

/пад

В квантовой механике под /расс и /пад подразумеваются соответствующие плотности потоков вероятности (см. (6.5)).

Проинтегрировав выражение (66.2) по всем углам, получим величину

О =4 /расс (Г. О, Ф) dSr =,(66.3)

/пад J/пад

которую называют полным эффективным сечением рассеяния. В формуле (66,3) dSr = г2 dQ — величина элементарной площадки, отстоящей от рассеивающего центра на расстояние г и соответствующей телесному углу d£l, Фрасс —поток рассеянных частиц через замкнутую поверхность, охватывающую рассеивающий центр. Поверхность, по которой осуществляется интегрирование, предполагается расположенной на большом расстоянии от центра; поэтому можно считать, что в каждой точке этой поверхности рассеянные частицы летят в радиальном направлении.

Согласно (66.3) полное сечение рассеяния представляет собой отношение полной вероятности рассеяния частицы (в единицу времени) к плотности потока вероятности в падающем пучке.

Различают упругое и неупругое рассеяние. Упругим называют такое рассеяние, при котором не изменяются внутренние состояния и состав сталкивающихся частиц. При неупругом рассеянии изменяется внутреннее состояние одной или обеих частиц.

В конце § 24 было показано, что в том случае, когда взаимодействие между частицами зависит только от расстояния между ними, задача о движении двух частиц может быть сведена к двум одночастичным задачам. Одна рассматривает движение частицы с массой /ипрпв = т^/^ + т2) относительно центра инерции, вторая — свободное движение центра инерции. Решение первой задачи дает угол рассеяния $ в ц-системе (системе центра инерции). Переход от ^-системы к д-системе (лабораторной системе) осуществляется с помощью формул

tg 01 = г5-, 62 = —х .(66.4)

° 1 тг + тг cos У ’ 22 •' 7

где Qj — угол рассеяния первой частицы, 62 — угол отдачи второй частицы, определяемые в л-системе, О' — угол отклонения первой частицы в ц-системе (см. т. 1, формулы (13.5) и (13.6); в этих формулах угол 0 обозначен буквой %).

В дальнейшем мы будем вести рассмотрение только в системе центра инерции сталкивающихся частиц.

Амплитуда рассеяния

Рассмотрим стационарную задачу рассеяния. Движение рассеиваемой частицы является инфинитным. Следовательно, энергия системы, состоящей из рассеиваемой и рассеивающей частиц, всегда положительна и, значит, не квантована. Таким образом, в теории рассеяния мы имеем дело с непрерывным спектром энергии.

Совместим начало координат с неподвижным рассеивающим центром. Тогда взаимодействие частицы с этим центром можно описывать с помощью потенциальной функции U (г). Предположим, что эта функция отлична от нуля только в ограниченной части пространства с г^а, которую мы будем называть областью действия сил.

Внутри области действия сил движение рассматриваемой частицы подчиняется уравнению Шредингера

- ^73Ф(О + ^(ФНП = £Ф(Г)(67.1)

(/и0 —масса рассеиваемой частицы). Введя обозначение

к2=Ф£_Р^(67.2)

напишем уравнение (67.1) в виде

^ + ^)ф(г)=^П(г)ф(г).(67.3)

Вне области действия сил частица движется свободно и ее состояние описывается плоской волной. Приняв направление движения падающей частицы за ось г, получим для пси-функции, описывающей состояние частицы до ее взаимодействия с рассеивающим центром, выражение

Ф,т=-’Ф2-(67.4)

Легко видеть, что эта функция является одним из возможных решений уравнения (67.3) без правой части.

После прохождения через область действия сил рассеянные частицы снова движутся как свободные. На больших расстояниях от указанной области рассеянные частицы движутся по радиальным направлениям от рассеивающего центра. Следова-

тельно, движение рассеянных частиц будет описываться расходящейся сферической волной:

%асс = Л^, ф)-^-,(67.5)

где г, А, ф —сферические координаты.

Отметим, что при упругом рассеянии в формулах (67.4) и (67.5) k одинаково и определяется соотношением (67.2).

Функция А ('О', ф) называется амплитудой рассеяния. Она, вообще говоря, зависит от обоих углов: # и ф. В случае, когда U (г) = U (г), амплитуда рассеяния будет, очевидно, зависеть только от угла О'.

Можно показать (см. Приложение VII), что решение уравнения (67.3) на больших расстояниях от рассеивающего центра (при г^а") равно сумме функций (67.4) и (67.5)

ф = е-^+Л(О, ф)-^-.(67.6)

Отметим, что первый член в этом выражении написан в декартовых координатах, а второй — в сферических.

Найдем плотности падающего и рассеянного потоков частиц (т. е. плотности потоков вероятности, отвечающие функциям (67.5) и (67.6)). Согласно формуле (6.5)

1пад 2m0l ^паД^Фпад Фпад^Фпад) ■

Приняв во внимание, что фпад зависит только от г (см. (67.4)), получим для модуля )пад следующее выражение:

./ Ч пад . тпад '

— "2т^ ^пад—Зг^пад dz / —-”У’ ^6717^

где и —скорость падающей частицы. Таким образом, функция (67.4) нормирована так, что плотность потока падающих частиц численно равна скорости рассеиваемой частицы на бесконечности.

Градиент в сферических координатах определяется выражением

(67.8) т or 1 г он u 1 г sin п dtp *'’

(см. т. 1, формулу (XI.78)). Нас интересует радиальная составляющая jr потока рассеянных частиц. Ее можно найти, взяв в формуле (6.5) вместо градиента ф его радиальную составляющую, которая, согласно (67.8), равна дх^дг. Следовательно,

!r 2m0i \Vt»cc дг

Фрасс

^Фрарс )

дг

Подстановка выражения (67.5) для хррасс приводит к формуле

Ь = 1^А^' Ф) i2.(67.9)

Подставив (67.7) и (67.9) в формулу (66.2), получим для дифференциального сечения рассеяния выражение

da^, (р) = )Д(», <p)|2dQ.(67.10)

Таким образом, определение дифференциального сечения рассеяния сводится к нахождению амплитуды рассеяния.

Борновское приближение

Одним из методов приближенного вычисления амплитуды рассеяния является разработанный Борном способ, основывающийся на представлении о рассеивающем поле как возмущении (см. § 36). В этом случае пси-функцию, описывающую состояние рассеянной частицы, можно представить в виде

ф = ф(0)+Дф<1’,(68.1)

где ф(0) есть пси-функция невозмущенной задачи, описывающая поведение частицы до взаимодействия ее с рассеивающим центром; она представляет собой плоскую волну:

1|)(О)=фког(68.2)

(вектор к0 = р0/Й имеет направление падающего пучка, в § 36 этот вектор был обозначен просто к).

Добавка Аф(1), обусловленная рассеивающим полем U (г), согласно формуле (36.15) равна

Дф<1)(г)= —А 1-U (r^e^^’+^dV',(68.3)

где R — модуль вектора R = r — г'. Нас будет интересовать асимптотическое выражение для Аф(1) (г), т. е. вид функции на больших расстояниях г от рассеивающего центра. Интеграл же вычисляется по области действия сил, т. е. для г's^a. Следовательно, г^г*. Заметим также, что на больших расстояниях частица летит в радиальном направлении от рассеивающего центра, так что ее волновой вектор к совпадает по направлению с г.

Приняв во внимание неравенство: г^>г', получим

R2 = (r_r')2 = /.2_2rr' + r'^r2 (1 -2-^)

(мы пренебрегли г*” по сравнению с остальными членами). Ввиду малости г'/г можно написать, что

R^r^—^-r-^-(68.4)

(мы воспользовались тем, что r/r = k/A).

Заменим в показателе экспоненты выражения (68.3) R его приближенным значением (68.4), а в знаменателе возьмем вместо R просто г. В результате (учтя, что £ = &0) получим

ДгЬ<1) (г) = —{ U (г') е^к«-к^' dV*.

Сравнение с (67.6) приводит к заключению, что амплитуда рассеяния в борновском приближении определяется формулой

Л ^’ ^ = -Т $ ^ ^ ^dW-<68‘5)

Вектор

q = k0 —к,(68.6)

называемый иногда вектором столкновений, имеет модуль, равный

л

<7 = 26 sin-g-,(68.7)

где ft —угол между векторами к0 и к, т. е. угол рассеяния. Напомним, что вектор к0 направлен вдоль падающего пучка, а вектор к — вдоль радиуса-вектора, проведенного из рассеивающего центра в точку наблюдения рассеянных частиц.

Если функция U (г') сферически симметрична, т. е. U (г') = = (7(г'), т0 в выражении (68,5) можно осуществить интегрирование по углам 6 и ср (в то время как угол ft отсчитывается от направления вектора к0, угол О отсчитывается от направления вектора q). В этом случае, как уже отмечалось, амплитуда рассеяния не будет зависеть от ср. Произведя интегрирование, получим

A (ft) =^^ ^ U (г') r'2dr' ^ eisr'cos62n, sin 6 dO =

оо

2mfi С , , , f \ SIM Jr ,2 , f/г* о о x

=\ и (г) —dr . (68.8)

J ' ЦТх '

Импульс рассеиваемых частиц и угол рассеяния ft входят в эту формулу через q (см. (68.7)).

Подставив выражение (68.8) в формулу (67.9), получим следующее значение дифференциального сечения рассеяния:

4m®4m®С ,, , ,. sin qr , , \ и (г ) —V- г drJ qr оС ,, , ,. sin qr , , \ и (г ) —V- г drJ qr о2dQ.2dQ.(68.9)(68.9)

4m®

4m®

С ,, , ,. sin qr , , \ и (г ) —V- г dr

J qr о

С ,, , ,. sin qr , , \ и (г ) —V- г dr

J qr о

2

dQ.

2

dQ.

(68.9)

(68.9)

Выражение (68.9) носит название формулы Борна. Напомним, что борновское приближение справедливо при выполнении условий (36.20) либо (36.22).

Метод парциальных волн

В предыдущем параграфе рассматривалась приближенная теория рассеяния для произвольного поля U (г). Для случая, когда рассеивающее поле центрально-симметрично, т. е. U (г) = = U (г), разработана теория, использующая так называемый метод парциальных волн. Отправным пунктом этой теории служит тот факт, что на больших расстояниях от рассеивающего центра пси-функция рассеянной частицы имеет вид

(69.1)(69.1)pi hr

(69.1)

(69.1)

ф = etkZ + Л (А) ——

(ср. с (67.6)). Поскольку рассеивающее поле центрально-симметрично, амплитуда рассеяния не может зависеть от угла <р. Соответственно и функция (69.1) не зависит от <р.

Так как <7(r) = t/(r), рассматриваемая теория связана с решением задачи о движении частицы в центральном поле сил. Однако подход к решению должен быть иным, чем в § 24. Там нас интересовало финитное движение с отрицательными значениями энергии. Теперь же мы рассматриваем инфинитное движение, причем нам нужны решения, удовлетворяющие определенным граничным условиям. Эти условия заключаются в том, что асимптотический вид решения (для г->оо) должен определяться формулой (69.1).

В § 23 было показано, что самым общим решением уравнения Шредингера для центрально-симметричного поля является выражение (см. (23.14))

ф(г, », <р)-= ^blmRt{r) Ylm^, ф), (69.2) где ^ — постоянные коэффициенты, которые определяются граничными условиями и условиями нормировки. Нас интересуют решения, не зависящие от угла <р (см. (69.1)). Поэтому в сумме (69.2) нужно оставить только члены, не содержащие ф, т. е. слагаемые, отвечающие ш = 0. Согласно формуле (11.35)

сферическая функция для /и = 0 имеет вид

И,, оЛ (cos й),(69.3)

где Р[ — полином Лежандра, определяемый формулой

P=W = w4r^~WA(69.4)

(см. (11.12)). Поэтому в интересующем нас случае сумма (69.2) переходит в

ф (г, ■0) = У, btRt (г) Pi (cos ft)(69.5)

Z = 0

(фигурирующий в (69.3) коэффициент при Р; мы включили в Ь^.

Асимптотический вид (при г->оо) функции (69.5) можно получить, подставив в (69.5) асимптотическое выражение (23.25) для Rf.

ф(_ю)2 btPi (cos ft) ai sin (^+6,^л/2)_

/ = 0

(по соображениям, которые выяснятся в дальнейшем, мы взяли фазу р; в виде 6Z —/л/2). Введя обозначение: Ь^ — с^г, полученной формуле можно придать вид

ОО

Фц_ ю) = 2 CtPi (cos ft) MLz^L.(69.6)

z=o

В такой форме может быть представлено асимптотическое решение любой задачи о движении частицы в центрально-симметричном поле, в том числе и функция (69.1). Для того чтобы найти выражение амплитуды рассеяния A (ft) через коэффициенты С; и фазы 6Z, нужно преобразовать (69.1) к виду (69.6). Для этого надо разложить выражение (69.1) в ряд по полиномам Лежандра (69.4) (полиномы Лежандра образуют полную систему). Заметим, что в окончательное выражение для амплитуды войдут значения коэффициентов cz, удовлетворяющие граничным условиям.

Найдем, как выглядит разложение первого слагаемого в (69.1), т. е. функции eikz по полиномам Лежандра. Для этого представим ее в виде

е№ = glkr cos » _ 2 ^1 (г) Pt (cos ft),(69.7)

Z = 0

где коэффициенты разложения /) (г) суть функции г, вид которых нам нужно установить. Чтобы упростить формулы, перей-

дем от переменной 9 к переменной х = cos'd. Тогда соотношение (69.7) примет вид

(69.8)

/ = о

Для нахождения коэффициентов ft (г) воспользуемся обычным приемом, а именно, умножим уравнение (69.8) на Рр ^ и произведем интегрирование по х в интервале от —1 до +1 (при этом d будет изменяться от л до 0):

+ 1ОО+1

$ eikrxPi- ^ dx = 2 fl (r) § pi (x) pi‘ № dx.

— ii = o —i

Согласно формулам (11.19) и (11.20)

+ i

5 Pt (x) Pv (x) dx = [2/(2/ + 1)] dz, v.(69.9)

— i

Следовательно, в сумме по / отлично от нуля только одно слагаемое, которое равно /Ф (г) 2/(2/'+ 1). Таким образом, для коэффициентов разложения получается следующая формула (мы опускаем штрих при /):

ft W^1^ § eikrxPt(x) dx.(69.10)

— i

Для нахождения вида fz (г) при больших г произведем в правой части формулы (69.10) интегрирование по частям:

(+1 •1

9/-L1 \ pikrxЫ = + 1 С Plkrx

fi^ = — Wpi^\x=_x - ^-^Pl^dx =

I—1J

9/-L 1 pikr / 1

TiP51^ J<69.11) (— 1J

Мы учли, что, согласно (11.22) и (11.23), Pz(l) = l, РЕ(—1) = =(—1/. Получившийся интеграл отличается от интеграла в (69.10) лишь тем, что в нем вместо Pt (х) стоит РЦх). Напомним, что Pt (х) есть полином степени /; следовательно, P't (х) будет полиномом степени / — 1.

Произведя в (69.11) снова интегрирование по частям, получим член, аналогичный первому слагаемому в (69.11), в знаменателе которого будет стоять (t/гл)2, и аналогичный (69.10) интеграл, в котором вместо Pz(x) будет стоять Р'[ (х), т. е. полином степени / — 2. Таким образом, произведя интегрирование по частям I раз, мы получим ряд слагаемых, в котором каждое

следующее слагаемое содержит в знаменателе г в степени, на единицу большей, чем предыдущее слагаемое. Нас интересует вид ^ (г) при больших г. Поэтому можно ограничиться первым членом в (69.11), т. е. положить

=(69.i2)

Чтобы упростить это выражение, представим (—l)z в виде

(1у _ ^gilty = giZn/2 . giln^

Тогда (69.12) будет выглядеть следующим образом:

2Z4-1Z(6r —Zn/2) _ —Z (й<—<л/2)

Г- (г) = —.

Множитель е1Ы1- можно представить как (е™г2У = I1. Разность экспонент, деленная на 2t, дает синус. Поэтому получаем окончательно

f1(r) = ii (21-V- i)Ji!H^=2^.(69.13)

Теперь стало понятным, почему в формуле (69.6) мы написали фазу р; в виде 6Z — /л/2.

Подстановка (69.13) в (69.7) дает следующее асимптотическое выражение для первого слагаемого функции (69.1):

= ^ iz (2/ + 1) Pt (cos fl) -sin (kr~1^ .(69.14)

1 = 0

(69.15)(69.15)Во втором слагаемом функции (69.1) разложим в ряд по полиномам Лежандра коэффициент Л (fl). Это разложение имеет вид

(69.15)

(69.15)

A W= 2 Sipi (cos а),z = o

где gt — числа.

Подстановка выражений (69.14) и (69,15) в (69.1) дает следующую асимптотическую формулу для пси-функции рассеянной частицы:

ф = 2 il (2/ + 1) Pi (cos ^^llfc^ + J giPi (cos fl)^. 1 = 01 = 0

(69.16)

Вместе с тем, как мы выяснили выше, эта функция может быть представлена в виде (69.6). Поэтому приравняем друг другу выражения (69.6) и (69.16). При этом синусы выразим через

разности экспонент, а I1 представим в виде eilml1. В результате получим

2 jLCz [<-(*' + 6,-^2)Р[ (cos е) _

1 = 0

[g< (6г — /л/2) _ g- i (.кг — ыт ] _j_ g^ihrl ^(cos d).

Для выполнения полученного равенства при любых значениях А нужно, чтобы коэффициенты при каждом Р: справа и слева были одинаковы. Приравняем коэффициенты, выделив при этом множители е1кг и е-1кг и сократив г в знаменателе:

4ikCl\4ikCl\PkrPkr. el ^i—,л/2) — e“ ikr •1 (6z—,л/2). el ^i—,л/2) — e“ ikr •1 (6z—,л/2)

4ikCl\

4ikCl\

Pkr

Pkr

. el ^i—,л/2) — e“ ikr •1 (6z—,л/2)

. el ^i—,л/2) — e“ ikr •1 (6z—,л/2)

— 2/+*2ik— 2/+*2ikДля нужно,Для нужно,йа W=1Fйа W=1F2 (2/+l)(eMi-l)Pz (cos^) z=o2 (2/+l)(eMi-l)Pz (cos^) z=o2dQ.2dQ.(69.19)(69.19)

— 2/+*2ik

— 2/+*2ik

Для нужно,

Для нужно,

йа W=1F

йа W=1F

2 (2/+l)(eMi-l)Pz (cos^) z=o

2 (2/+l)(eMi-l)Pz (cos^) z=o

2

dQ.

2

dQ.

(69.19)

(69.19)

^gikrg ihr . gfZrtj _|_ a gihr

выполнения этого равенства при любых значениях г чтобы коэффициенты при ёкг и е ikr слева и справа были

одинаковы. Приравняв эти коэффициенты, получим два соотношения:

^с,е'№-™) = Ща+а,

IlkSik 1

Из второго соотношения находим, что

с, = (2/4-1)е‘'№+'л/2).(69.17)

Подстановка этого значения в первое соотношение приводит к следующему выражению для gf.

Наконец, подставив это выражение в (69.15), получим формулу для амплитуды рассеяния

Л W = 4k 2(69.18)

/ = 0

В соответствии с (67.10)

Из этой формулы следует, что дифференциальное сечение рассеяния определяется совокупностью фаз 6Z.

Полное сечение рассеяния получим, проинтегрировав (69.19) ио полному телесному углу 4л. Квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на его комплексно сопряженное. Элемент телесного угла в данном случае можно взять в виде: dQ = 2л sin A с(А = — 2nd (cos А). С учетом этого можно написать:

0=4^)=^ ^2 (2Z+1) (e2i6< — 1)PZ (cos А)1х

* Ь = оj

X / § 12Г + 1)(е—2‘б/' - V^Pv (cos A) l2л [— d (cos A)] = =0j

= 4^2 (2^+l)(2/' + l)(^-l)x

x(e-2‘-5/' _1)(_2л) $ Pt (x) Pp (x) dx

(интегрированию от 0 до л по А соответствует интегрирование от +1 до —1 по x = cosA). Приняв во внимание (69.9), получим °=^^ (2Z+l)(e2,'8'-l)(e-2i6'-0^

= 0

= ^^2 (2Z+1)-^-^-^W”^^- <69-20)

Перейдя к синусам, придем к формуле

а = ^ 2 (2/ + l)sin2 6;.(69.2J)

z=o

Из этой формулы следует, что полное сечение ст можно представить в виде суммы парциальных сечений oz

<T=2<Tz,(69.22)

z = o где

(iz = ^(2/ + l)sin26z.(69.23)

Каждое из парциальных сечений соответствует рассеянию частицы с определенным угловым моментом (определяемым квантовым числом Ц.

Максимальное значение сечения рассеяния частицы с моментом /, очевидно, равно

(П/)тах = ~(2/+ 1).(69.24)

Вычисление фаз 6Z является, как правило, очень трудной задачей. Практическая ценность формул (69.19) и (69.21) тем больше, чем меньшее число членов ряда играет существенную роль, т. е. чем быстрее сходятся соответствующие ряды.

Заметим, что, подставив значение (69.17) для ct в формулу (69.6), получим следующее асимптотическое (при г-^-оо) выражение для иси-функции:

ф = 2 (2/Ц-1)^'^ (cos^) ^!L(Wz^L. i =o

Выразив синус через экспоненты и опустив фазовый множитель, равный I, можно привести это выражение к виду

Ф = ^ 2 (2Z + l)Pz(coS^)[(-iy^-Sz^], (69.25) /=о

где

St = eM6i.(69.26)

Формула (69.25) понадобится нам в дальнейшем.

Первое слагаемое в квадратных скобках в формуле (69.25) представляет собой сходящуюся сферическую волну с амплитудой (—l)z, второе слагаемое — расходящуюся сферическую волну с амплитудой Sz. Модуль обеих амплитуд равен единице. Следовательно, пси-функция, описывающая упругое рассеяние, имеет вид стоячей волны, образованной наложением сходящейся и расходящейся сферических волн.

Согласно формуле (6.5) плотность потока вероятности, соответствующая сходящейся волне, равна

где ег —орт радиуса-вектора г.

Аналогичные вычисления дают для плотности потока вероятности, соответствующей расходящейся волне, значение

jpocx = |Sz[2-^e,.(69.28)

Поскольку |SZ|2 = 1, векторы (69.27) и (69.28) отличаются лишь направлением. Следовательно, соответствующий функции (69.25)

поток вероятности через любую поверхность, в том числе и через сферу радиуса R, равен нулю. Это соответствует тому факту, что при упругом рассеянии число частиц, летящих от рассеивающего центра, равно числу частиц, летящих по направлению к этому центру.

§ 70. Неупругое рассеяние

Неупругими называются процессы, при которых изменяется внутреннее состояние участвующих в них частиц (в частности, может изменяться вид частиц). Примерами таких процессов могут служить возбуждение атомов или ядер, ионизация атомов, распад ядер, распад или образование частиц и т. д.

Каждый из процессов, которые могут происходить при столкновениях частиц, называется каналом реакции. Частицы, внутренние состояния которых в результате столкновения не изменяются, считаются оставшимися во входном канале. Этот канал, очевидно, соответствует упругому рассеянию. Если процесс совместим с законами сохранения, соответствующий канал называется открытым.

Если имеется несколько различных каналов реакции, асимптотическое выражение пси-функции сталкивающихся частиц представляет собой сумму членов, каждый из которых соответствует одному из каналов реакции. В числе этих каналов имеется и входной канал, соответствующий упругому рассеянию. Мы начнем с рассмотрения слагаемого, отвечающего входному каналу.

Как и при упругом рассеянии, пси-функцию, отвечающую входному каналу, можно представить в виде суммы сходящейся и расходящейся сферических волн (см. (69.25))

Гp-ikrpit г 1

=(70.1)

/ = о

Однако теперь Sz уже не определяются формулой (69.26), а представляют собой некоторые, вообще говоря, комплексные величины с модулями, меньшими единицы. Соответственно поток находящихся во входном канале частиц, летящих от рассеивающего центра, оказывается меньше потока падающих на центр частиц (см. формулы (69.27) и (69.28)).

Выкладки, аналогичные тем, которые привели нас к формуле (69.18), дают для амплитуды рассеяния выражение

Л W = -i2 (2/+1) (S/-l)P/(cosd),(70.2)

= 0

отличающееся от (69.18) тем, что вместо е216; стоит величина Sz С модулем, меньшим единицы (ср. с (69.26)). Подставив это выра-

жение в формулу (67.10), получим дифференциальное сечение упругого рассеяния

do№ = М W Р ^П =

= —^ J(2/+ 1) (2/4 1) (St- 1) (Sr - 1) P^v d^. i, i'

Интегрирование этого выражения по углам приводит с учетом

к следующему значению полного сечения упругого рассеяния (ср. с (69.20)):

°упР = - 4^2 (2/ + !) (2/' + (St - о (S'- - !) 2л та 8l’ v =

= ^з У (2/+ 1) jSz — ! |2 = ^- 2 (2^+1)! 1-S, I2.(70.3)

Парциальное сечение упругого рассеяния равно

^ynp=^(2/+l)|l-Sz|2.(70.4)

Для того чтобы найти сечение неупругого рассеяния, окружим рассеивающий центр воображаемой сферической поверхностью большого радиуса R и вычислим определяемый функцией (70.1) поток частиц Ф через эту поверхность. Согласно формуле (6.5)

Ф =R2 dQ(70.5)

2m0i 5 V dr dr Jrх ’

(берется радиальная компонента градиента на расстоянии R от центра). Пренебрегая членами порядка 1/г2 по сравнению с членами порядка 1/г (R велико), получим для производной функции (70.1) по г выражение

52 Р‘ <coseihr- ikS^].

1=0

Производная д^Чдг отличается лишь знаками перед I. Подстановка в (70.5) этих выражений для производных и выражения (70.1) для ф дает

Ф =2 ^W (-^^-[S^^&PldQ^

k = 0

--4г2'2,+1>,'1-^-!,>2л»тт-

1 = 0

“^"l^+^-lSzl2). (70.6)

1 = 0

Поскольку |SZ|<1, поток оказывается отрицательным. Вследствие того, что некоторое количество частиц претерпевает неупругое рассеяние или поглощение, поток упруго рассеянных частиц меньше, чем поток падающих на рассеивающий центр частиц.

Очевидно, что поток частиц, претерпевших неупругое рассеяние, равен потоку (70.6), взятому с обратным знаком:

ФНеупР = ^2(2/+1)(1-|5/12)..(70.7)

Разделив этот поток на плотность потока падающих частиц (которая равна и = plmg = 1lklmtt, см. (67.7)), получим, согласно (66.3), полное сечение неупругого рассеяния (суммарное по всем неупругим каналам). Таким образом,

анеуПр==->2 (^W-W)-(70-8^

Z = 0

Каждый из членоу этой суммы представляет собой парциальное сечение неупругого рассеяния:

oZHeynp = ^r(2/+l)(l-|S/|2).(70.9)

При Sz = 1 выражение (70.9) обращается в нуль — неупругое рассеяние частиц с данным / отсутствует. Случай Sz = 0 соответствует полному «поглощению» частиц с данным /. В соответствии с формулами (70.4) и (70.8) в этом случае

^упр = ^неупр = >(2/+1).(70.10)

При отличном от нуля сечении (70.9) будет отлично от нуля и сечение (70.4). Таким образом, существование неупругих каналов реакции обязательно влечет за собой наличие упругого рассеяния.

ПРИЛОЖЕНИЯ

сферическим осущест-сферическим осущест-Операторы углового момента в сферических координатах

сферическим осущест-

сферическим осущест-

Переход от декартовых координат к вляется по формулам

r2 = x2 + y2 + z2, cos 0 = г/г, tgф = y/x.

Обратные преобразования имеют вид

х = г sin ft cos ip, у = г sin ^ sin ср, z — rcos^.

С помощью этих формул можно найти, что

д ддг,д дй . ддф

дхдгдх*дй дх ~*~ дердх

sin ф дг sin О дф *sin ф дг sin О дф *cos ф дг sin О дер*cos ф дг sin О дер*. . д . cos О cos ср д

sin ф дг sin О дф *

sin ф дг sin О дф *

cos ф дг sin О дер*

cos ф дг sin О дер*

= 51П^СО8ф^ +

д д дг .ддй.д дф _

дудг ду *дОду'дф ду

. п ■ д , cos О sin ф 5 = sm^sincp ^ +

д д дг , д дй . д дф „ д sin О d

дг дг дг дО дг дф дг C0S дг г ЗУ '

Подставив эти выражения в формулу

Мг = — in х у г\ ду J дх /

(см. (15.11)), получим

1 Г • а • d . cos 0 sin ф д ,

Мг = — Л ^Г sin V cos ф) I sin & sin ф н—г4-

,cosф 5 1, . п •.Г •д,

4-5— — (/■ Sin V Sin ф) Sin о COS ф -аh

z sin О дф J' Lдг 1

. cos О cos ф д sin ф д 11 .. д

"•" г дО ~ г sin 0 дф— дф*

Таким образом,

Мл = — 1йА(1.1)

Оф' 1

Аналогичные выкладки приводят к формулам Мх= № (sin ср+ctg fl cos ср ^, М, = ('cos Ф - ctg Ф sin ср ^.

Подстановка полученных выражений в формулу М2=/Их + + M^ + Mz (см. (15.10)) после упрощений1) дает

Оказываются полезными вспомогательные операторы

Mx + fMy = ^[^- + ictg^-y,

(L3)

Мх - 1Ми = Йе^ [- -^ + i ctg ^ ^-].

И. Сферические функции

Найдем функцию ф($, <р), удовлетворяющую дифференциальному уравнению

sin fl df) \ дд / 1 sin2 fl дф2 1'

где а — вещественный параметр, причем отберем из всех решений только те, которые являются конечными и однозначными. Последнее означает, что они удовлетворяют условию

ф (ft, ф + 2л)=ф(», ф).'(П.2)

Попытаемся разделить переменные fl и ф, для чего попробуем искать решение в виде

ф(^, ф) = 0 (fl) • Ф (ф).(И.3)

д ' COS ф-^— чф,д ' COS ф-^— чф,Мх = ей (sin ф -^—р ctg fl cos фМх = ей (sin ф -^—р ctg fl cos фНадо иметь в виду, что, например, д \. д

д ' COS ф-^— чф,

д ' COS ф-^— чф,

Мх = ей (sin ф -^—р ctg fl cos ф

Мх = ей (sin ф -^—р ctg fl cos ф

sin -тд-дф /\ у 43

f d2d / д \

Ч-ctg fl cosЧ-ctg fl cosSin фSin ф= - й2 (sin2 v-g-sin ср cos ф (ctg +д

Ч-ctg fl cos

Ч-ctg fl cos

Sin ф

Sin ф

Аналогично вычисляется и Му.

л+1 W — п_|_1 -ч п VA) n~pi J л-1 С^/1Г**.**/

С помощью этой формулы легко найти, что

Ps = l(5x3-3x), Р4 = 1(35х4-30х24-3) и т. д. (11.15)

Найдем дифференциальное уравнение, решениями которого являются полиномы Лежандра. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию

W = (х2 — 1)”.

Продифференцировав эту функцию по х, получим тождество

w' sn (х2 — I)"-12х = ^^ ,

11 И, В. Савельев, т, 2

Подстановка функции (II.3) в уравнение (II. 1) дает

1 d I dQ\ .1A

Ф —Г -^n- Sinti -Tn" 46 -г^ + СХ0Ф = 0.

sin О dd \ d® / sin2 O' d(p2

Разделив получившееся уравнение на 6Ф и умножив на sin2ti, получим

0ф Ж + а51п А = °’

или

. „ d / . „ dQ \ .. , „1 d2O

"6 «'nti^fsinO^Hasin2ti = -(П.4)

Левая часть уравнения зависит только от ti, правая— только от <р, Для соблюдения равенства при произвольных ti и у необходимо, чтобы обе части соотношения (II.4) были равны одной и той же постоянной величине1), которую мы обозначим р2. Таким образом, мы приходим к двум дифференциальным уравнениям:

—= илн -7т + Р2Ф=0>(П-5)

Ф dtp2 мdtp2 1'

sin О (sinti4?-^ + « sin2 ft • 0 — р20 = О.(11-6)

Решением уравнения (II.5) является функция ф = Се^,

причем для выполнения условия (II.2) р должна быть вещественной величиной, имеющей целочисленное положительное или отрицательное значение (в частности, р может равняться нулю) Обозначив эту целочисленную величину буквой т, получим

ФН1 =<г,т’1 (m = 0, ± 1, ±2, ...) (II.7)

У 2л

Мы положили С = 1/]/2л для того, чтобы система функций была ортонормированной, т. е. чтобы выполнялось условие

2л

5Ф*,фт^Ф = 6^ш-(II.8)

о

(см. (19.6)).

Подставив в уравнение (II.6) т? вместо Р2, запишем его следующим образом:

sin ■&\ sin2 д j'

!) Эту величину называют постоянной разделения.

Перейдем к новой переменной:

Г] = С08гО’.(11.10)

Замена в (II.9) d/d^ через (d/di)) (dri/d^) = — sin О' (d/di\) дает

—к- —sin V -г- sin v — sin v -г— + а“ = 0. sin V \dr) / [\dr] /J \ sin2 У /

Наконец, заменив sin2 О через 1 — cos2 0 = 1 — rj2, придем к уравнению

(1 -п2)А + («—0 = о. (II.11)

Заметим, что фигурирующая в уравнении (II.И) функция 0 (г)) имеет иной аналитический вид, чем функция 0 (О) в уравнении (II.9). Поэтому, строго говоря, функцию 0 (г)) следовало бы обозначить другой буквой.

Оставим на время уравнение (П.11) и займемся многочленами степени п, которые определяются формулой

Р"^ = ^^^-\П(11.12)

Такие многочлены называются полиномами Лежандра. Положив в формуле (11.12) последовательно п = 0, п = 1, п = 2, можно получить выражения первых трех полиномов:

Ро=1, Pi = x, Ра = 1(Зха-1).(11.13)

Положив п = 4, 5 и т. д., можно вычислить и последующие полиномы. Однако нахождение этих полиномов можно осуществить проще, воспользовавшись рекуррентной формулой, которую мы приведем без доказательства. Эта формула связывает три последовательных полинома и выглядит следующим образом:

^i W =-т$г^п to - ^т р^ to- to-14)

С помощью этой формулы легко найти, что

р3 = 1(5х3-Зх), Р4 = 1(35х4-30х2 + 3) и т> Д1 <IL15)

Найдем дифференциальное уравнение, решениями которого являются полиномы Лежандра. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию

W = (х2 — 1)".

Продифференцировав эту функцию по х, получим тождество

ш' = п (х2 — 1)и"х 2х = ^^* >

11 И, В. Савельев, т. 2

откуда

щ' (х2 — 1) — 2паух = 0.

Продифференцируем это тождество /г+1 раз по х, приняв во внимание, что

(ииУ"1'1 = ы("+1)о + (п + 1) и^и' + ^^11и<п-^у" +...

В результате получим соотношение ш(«+г) ^2 _ ]) + („ + 1) ^(«+1)2% + ("+2^-”- щ<^2 -

— 2ищ(п+1) х — 2/г (/г + 1) го(п) = О, которое упрощается следующим образом:

цу(л+2) ^2 — 1) + Щ|(л+1)2х — п. (П + 1) ш(п) = 0.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение для функции w^ (х2 — 1) (щ(п))" + 2х (т(,1))' — л (/г+ 1) щ(га) = 0.(11.16)

Функция uvU) = ^[(х2 — 1)"] отличается от Рп(х) только множителем 1/2"п! (см. (11.12)). Следовательно, /\(х) также удовлетворяет соотношению (11.16). Отсюда заключаем, что полиномы Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

(x2-l)z/" + 2x//'-W = 0,(11.17)

отвечающими значениям параметра у, равным п(п+1).

Уравнение (11.17) можно записать в виде

^[(1 — ^3)^'] + Y^ = 0.(11.18)

Уравнение (11.17), равно как и (11.18), называется уравнением Лежандра.

Можно доказать, что полиномы Лежандра ортогональны на промежутке [—1, + 1]. Это означает, что1)

+1+1

5 Рп (х) Pl (х) dx = $ Prt (х) Pl (х) dx = 0 при n^l. (11.19) — 1—1

Так называемый квадрат нормы полинома имеет следующее значение:

+ 1+1

P*^P,AxW= \ Pn(x)Pn^dx = ^rr. (11.20)

Установим еще два важных свойства полиномов Лежандра. Во-первых, докажем, что Рп(х) является четной функцией при четном п и нечетной —при нечетном п. Для этого заменим в формуле (11.12) х на — хи соответственно dx на — dx = (—1) dx, в результате чего получим

Р^ X) =2ЗД (—ГуПД” {[(—*)2— 1]”} —

- яг «^ - ‘1*1 =74? р- to - <—Ц"р- to- Таким образом,

Р„(-х) = (-1рР„И.(П.21)

что и требовалось доказать.

Теперь вычислим значение Рп(х) при х=1. С этой целью перейдем в формуле (11.12) от х к новой переменной е, связанной с х соотношением х=1-{-8, и затем найдем предел получившегося выражения при е->0. При переходе от х к е учтем, что dx = db и, следовательно, djdx = d/de. Таким образом, подстановка в (11.12) х=1+е дает

Р- О + - ЯГ »<2 + '>1 - ЯГ {(£ <2 + »" +

+ п Ц (2 + е)”] + • - - + (8")(2 + 8)”]} =

= 2^ {"' (2 + ®)” +« («!е) [п (2 +е)”-1] + ... +е"н!}.

Все члены, стоящие в фигурных скобках, кроме первого, содержат множитель е в степени от 1 до п. Поэтому при 8^*0 получим, что

Р„(1) = 1.(П.22)

Из формул (11.21) и (11.22) вытекает, что

Ря(-1) = (-1)"Дп (!) = (-!)”.(П.23)

Теперь обратимся к дифференциальному уравнению (11.11). Напишем его, заменив р буквой х и в —буквой у:

TxV^-x^y’A-Y^-^^y = O.(11,24)

Попробуем искать решение этого уравнения в виде

у = ^\-хгР ukxY(11.25)

Напомним, что число т может принимать как положительные, так и отрицательные значения (см. (II,7)). В выражении (11.25) взят модуль т.

11*

Подстановка функции (11.25) в уравнениями.24) приводит после несложных преобразований к следующему дифференциальному уравнению для и (х):

(х2 — 1) и"+ 2 (| т |+ 1) хи' + [| т | (| т | + 1) — а] и = 0. (11.26)

Докажем, что при а = п(п+1) этому уравнению удовлетворяет функция т

где Р„ (х) — полином Лежандра. С этой целью напишем уравнение (11.17), положив в нем у = п(я+1) и у = Рп(х):

(x2-l)^ + 2x^-«(n+l)/)n = 0.

Продифференцировав это уравнение | m | раз по х, получим

или после преобразований:

/а т |р \

+ [|™ I (И + 1) -Ц (п+ 1)] (^-^ = 0.(11.27)

Из сравнения уравнений (11.26) и (II.27) следует, что функ- д1 m !Р

ция и (х) =■ -■ m " удовлетворяет уравнению (11.26) при условии,

что « = «(«+!). Приняв во внимание (11.25), можно утверждать, что в случае, когда а = п (» +1), решением уравнения (11.24) является функция

Р^(х) = (1-х2) 2 ^РДх).(11.28)

Функции Р„ (х) называются присоединенными полиномами Лежандра. Поскольку («+1)-я производная от многочлена /2-й степени равна нулю, функции (11.28) отличны от нуля только при | m | ==;п.

Отметим, что единственными конечными на промежутке [—1, + 1] решениями уравнения (11.24) являются присоединенные полиномы Лежандра. Следовательно, эти полиномы представляют собой собственные функции дифференциального урав-

нения (11.24), а числа /г (/г 4-1) — собственные значения этого уравнения (n = 0, 1, 2, ...).

Для функций (11.28) выполняется соотношение

+$(11.29)

-1

Таким образом, полиномы Р" взаимно ортогональны.

Для присоединенных полиномов Лежандра имеются рекуррентные формулы

хР^ (х) = ” ~^^ Рп^ 1 (х) + "4^ Р"~* М-<П-30)

VT^P^+V(X) =

i m !)(" — 1 + 0(« +I,и l)(”+ 1 m l +0 pmqii 2^+11 W2n+ 1W- (11.01)

Итак, уравнение (II. 11) имеет конечные решения только при « = /(/+1), где Z = 0, 1, 2, ...), причем этими решениями являются функции РТ (л). Чтобы сделать систему этих решений ортонормированной, запишем их в соответствии с (11,29) следующим образом:

у 2(/-Цт|)1 п

= /-(2/+i)(/-M)i:пр,)

V 2(Л-|т|)1

Осуществив замену т] = cos fl1 (см. (II. 10)), получим ортонормиро- ванную систему решений уравнения (II.9):

е- № - V^Щ^ р",cos 9) ~

= /^Ч^^^l"l"l97^^(Ч-32>

I т I 1

(мы воспользовались тем, что (1 — cos2^) 2 =siп, ш|^).

Наконец, перемножив функции (II.7) и (11.32), мы придем

к решению уравнения (Ц.1)

v„ (». ф) - -Л,- /ё+ВЕВ)! ^ (cos е) _

- )^У(гЛс+ГЛ^,"',5|п'“19 Л^^р‘,cos9)' <п'33)

Определяемые формулой (11,29) функции Yim^, ср) называются сферическими. Поскольку системы функций (И.7) и (11.32) ортонормированы, то и сферические функции (11.33) являются ортонормированными. Это означает, что +1 2л

$ $ Y*m- (в, ф) Yi-m" (6, ф) d (cos 6) dtp = -10

= 5 $ Yt-m-^, ф) Yrm"(^, ф) sin 6 d6 t/ф = б^Лп'пг. (II.34) о о

Обращение интеграла в нуль при Г ^ Г происходит за счет множителя 0(6) (см. (11.29)), а обращение в нуль при т'^т” — за счет множителя Ф (ф) (cm. (II.8)).

Мы знаем, что пси-функции определены с точностью до фазового множителя вида е1а. Поэтому функции (11.33) допускают умножение на любое комплексное (в частности, вещественное) число с модулем, равным единице. При этом они по-прежнему будут удовлетворять уравнению (II. 1) и сохранят свойство (11.34). В квантовой механике удобнее писать решение уравнения (II.1) в виде

y„ (6, Т) - (-1^ //™=^E w (cos о, =

U /2л К2(/ + |«])1 6

Х8Ьз1т'А7^Г^Л(с08^'(IL35)

Практически это означает, что для m^O решения берутся в виде (11.33), а для т"> 1 функции (11.33) умножаются на (—1)т.

Иногда в функцию (11.35) добавляют множитель I1. Функция (11.35), как и (11.33), называется сферической. Заметим, что в курсах математики рассматриваются, как правило, только сферические функции для m 0.

Легко убедиться в том, что для функции (11.35) имеет место соотношение

/,-т(^, ф) = (-1)тИт (6, ф),(11.36)

где под т подразумевается положительное число.

Резюме. Уравнение (II. 1) имеет однозначные и конечные решения при значениях параметра а, равных

« = /(/+!), где / = 0, 1, 2, ...(11.37)

Решениями являются сферические функции Y[m, ортонормирован- цые выражения которых определяются формулой (11.35). Каж-

дому собственному значению параметра а принадлежит 2/ +1 собственных функций Y 1т, отличающихся значениями числа т, которое при данном / может быть равно

m = — l, -/+1—1, 0, 1, .... /—1, /.(11.38)

Полиномы Чебышева — Эрмита

Рассмотрим дифференциальное уравнение

r(x)-2xf'(x) + W) = 0.(Ш.1)

Попытаемся найти решения этого уравнения, остающиеся конечными при любых значениях х. Попробуем искать такое решение в виде ряда

Д<х)=^акхк.(Ш.2)

к = 0

Число членов ряда оставим пока неопределенным. Производные функции (Ш.2) равны

Г^-^ка^Д(Ш,3)

А = О

й(А-1)а^-= J] к(к-\)акхк =

6=06=2

= 2 (^+2)(А+1)^+2х.(Ш.4)

6=0

Мы отбросили в сумме (Ш.4) равные нулю члены, соответствую

щие к = 0 и А=1, а затем заменили в этой сумме к на й + 2.

Подставим функцию (III.2) и ее производные (III.3) и (III.4) в уравнение (III. 1):

У (-% + 2) (&+ 1) ак^хк — 2х 2 kflfcX^1-Vk ^ акхк = 0.

6=06=06=0

Внеся х под знак второй суммы и объединив затем все три суммы в одну, получим соотношение

Поскольку рекуррентная формула определяет коэффициент а^ через коэффициент аь, в сумме (III.2) присутствуют члены только с четными или только с нечетными степенями х.

Покажем, что бесконечный ряд (III.2) с коэффициентами, удовлетворяющими соотношению (III.5), ведет себя при х-*оо, как е*2. При больших k рекуррентная формула (III.5) может быть упрощена следующим образом:

^б+г^^з^.(III.6)

Распространив эту формулу на любые к, получим

21_ 1

^2o_(Z2 ао — Т fl° — 1Т а°’

2111

04^24-2^^2 1 ti°— 2! й°’

2111_ 1

fl6to4 - 2^^ 3 2 1 Q° — 31 й°’

= ^а«'

(II1.7)(II1.7)Подстановка этих значений в (III.2) дает/W = 2 О2^26^с0 2 ^•6 = 06 = 0

(II1.7)

(II1.7)

То обстоятельство, что мы вычислили начальные коэффициенты ряда по формуле (II 1.6), справедливой лишь при больших &, не играет заметной роли, так как вклад первых членов ряда при больших х не является существенным.

Легко проверить, что разложение функции е*2 в ряд Маклорена имеет вид

«'-Гт-6 = 0

Сравнение этой формулы с (III.7) показывает, что бесконечный ряд (III.2) с коэффициентами, удовлетворяющими формуле (III.5), ведет себя при х-*оо, как е*2, т. е. неограниченно растет. Мы провели доказательство в предположении, что отличны от нуля коэффициенты afc с четными номерами к. Аналогично можно провести доказательство в предположении, что отличны от нуля коэффициенты с нечетными к.

Таким образом, сумма (III.2) ' может представлять собой конечное при всех значениях х решение уравнения (III. 1)

только в том случае, если число слагаемых в ней будет конечным. Для этого коэффициенты аь, начиная с некоторого значения к, должны быть нулями.

Пусть ап=И=0, а ап+2 = 0. Тогда в соответствии с (III.5) и все последующие коэффициенты будут равны нулю. Согласно (III.5) коэффициент дл+2 будет равен нулю при ал^0 в том случае, если 2л — X = 0. Отсюда получаются значения параметра X, при которых решения уравнения (III.1), выражаемые суммой (III.5), конечны:

Х = 2л (л = 0, 1, 2, ...).(III.8)

Числа (II 1.8) являются собственными значениями уравнения (III.1). При этих значениях параметра X уравнение (III.1) принимает вид

Г(х)-2х/'(х)4-2л/(х) = 0.(III.9)

Собственные функции этого уравнения представляют собой многочлены степени п:

Нп W = У6=0

коэффициенты которых удовлетворяют условию

ti6+2 = (А+ 2) (Л +1) ак(Ш. 10)

(мы подставили значение (III.8) в формулу (III.5)). Такие многочлены называются полиномами Чебышева — Эрмита.

Последним отличным от нуля коэффициентом полинома Нп (х) будет ап. Следовательно, при п четном в полиноме содержатся только четные степени х, а при п нечетном — только нечетные степени х. Действительно, возьмем четное п, равное, например, 4. Допустим, что коэффициенты аг и а3 отличны от нуля. Тогда, согласно (III. 10), отличными от нуля будут и все последующие ак с нечетными к и ряд получится бесконечным. Аналогично в случае нечетного п все ак с четными к должны быть нулями.

Формула (III. 10) позволяет выразить коэффициенты ак через д0 (при четном л) либо через аг (при нечетном л). Значения а0 или av для каждого Нп (х) определяются из условия нормировки.

Полиномы Чебышева — Эрмита можно представить в виде

Нл(х) = (-1)"^£-(е-*) (л = 0, 1, 2, ...). (111.11)

Чтобы доказать это, покажем, что функции (III.11) удовлетворяют дифференциальному уравнению (II 1.9). Для этого введем вспомогательную функцию

W = r^(III.12)

Приняв во внимание выражение (III.11), можно написать, чтоНп (х) = (—1)" e^w^,

откуда следует, что п-я производная функции (III.12) равна W^ = (— Тре-^Нп^х).(III.13)

Вычислим первую и вторую производные функции (III. 13):

[><">]' = (—1)" е^2 (Н'п - 2хЯ„),(III. 14)

[ф(«)]" = (—1)" е^2 Щ"п - 4хН'п + ^Нп — 2Нп). (111.15)

Теперь продифференцируем функцию (III. 12) по х: w' = —2хе~х1 = —2xw.

Мы пришли к тождеству

ay' + 2xw е= 0.

Продифференцируем это тождество «4-1 раз по х:

(w')^ + ^ХШ^"^ = 0.(III. 16)

Производная га-го порядка от произведения двух функций и и и вычисляется по формуле

Согласно этой формуле 1 (2х- ау)(та+1) = У -г.(2х)(я+1-А) ay(fc).

''^1 (n +1 —A?)t ' '

4 = 0

В этом выражении отличны от нуля только последние два члена, равные (ц + 1) 2оу(л) + 2хау(га+1). Подстановка их в (III.16) дает ^^(n+i) _|_ 2 (л ф-1) w^ 4* 2хау(га+1) = 0.■

Перепишем это тождество следующим образом

[®w]" 4- 2х [ayt"’]' 4- 2 (л 4- 1) ау(и) s 0.

Наконец, подставив вместо щ(л), [ay1™1]' и [щ(л)]" их значения (III.13), (III.14) и (III.15) и разделив получившееся соотношение на (—l)"^*2, придем к уравнению

H’n-2xH'n-^2nHn = Q.(III.18)

Сравнение с (III.9) дает, что определяемые формулой (III. 11) многочлены удовлетворяют уравнению (III.9) и, следовательно, тождественны с полиномами Чебышева— Эрмита.

Можно доказать, что определяемые формулой (III.11) полиномы Н„кх) ортогональны с весом е"х\ Это означает, что

4-00

J Нп (х) Нт (х) гdx = 0(п^т). (III. 19)

При п = т интеграл (III. 19) отличен от нуля и имеет следующее значение

$ [H„(x)Pe-x2dx = n!2”V^- (II 1.20)

Продифференцируем функцию (III. 11) по х:

nn-dx V е dx" Ч

,ЯЛЯЛ4-1

= (-1)"ке-^

(вместо (—1)" мы написали —(—1)"+1). Полученное нами выражение можно записать следующим образом:

Н'п = 2хНп —Н^.(III.21)

Продифференцируем это соотношение еще раз по х:

H"n = 2HnA-^xH;-H'w.

Заменим Н'п и H'Wi в соответствии с (II 1.21). В результате получим

Н-п = ^Н» + 2х \2хНп - Дл+1] - 12хНпИ - Нп^ =

= (2-ф 4х2) Д„ — 4хДп+1 + Дп+2. (II 1.22)

Подстановка выражений (III.21) и (III.22) в уравнение (III.18) приводит к следующему рекуррентному соотношению между функциями Н„, Нп^ и Дп+2:

Нп+гкх)-2хНп+1кх)-р2кп-\-^ Нпкх^О. (III.23)

С помощью этого соотношения, зная Но (х) и Нгкх), можно вычислить все полиномы высших порядков. Первые два полинома легко вычислить непосредственно по формуле (III. 11):

Д0(х) = (-1)0^^(^) = ^2е-2 = 1, (III.24)

Нг (х) = (—l)1^2-^ (е-*2) = —е^2 к—2хе-х2) = 2х. (III.25)

Далее пользуемся соотношением (II 1.23):

Д2 (х) = 2хНг (х) — 2 (0 + 1) //0 (х) = 2х• 2х — 2 • 1 = 4х2 — 2, (III.26)

Д3 (х) = 2хД2 (х) - 2 (1 + 1) Нх (х) =

^2х(4х2-2)-4-2х = 8х3-12х (III.27)

и т. д.

Некоторые сведения из теории функций комплексной переменной

Функцией комплексной переменной z = x-Viy называется выражение

/(z) = u(x, y) + ia(x, у),(IV. 1)

где и (х, у) и и (х, у) — вещественные функции вещественных переменных х и у.

Функция (IV.1) бывает определена в некоторой области изме

нений переменной z (т. е, внений переменной z (т. е, вРис. IV.1.Рис. IV.1.некоторой области на плоскости х, у). Эта область может быть односвязной либо много- связной. Область называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий внутри области, содержит внутри себя только точки, принадлежащие этой области. Область, не удовлетворяющая этому условию, называется многосвязной. Односвязность

нений переменной z (т. е, в

нений переменной z (т. е, в

Рис. IV.1.

Рис. IV.1.

области означает отсутствие в ней «дырок». На рис. IV. 1 область Rx является односвязной, область R 2 — многосвязной.

= Hm LM^zMДг->0 Дг '= Hm LM^zMДг->0 Дг '1 • д/ (z) нт -ДДДДг-0 Дг1 • д/ (z) нт -ДДДДг-0 Дг(IV.2)(IV.2)Функция / (г) называется дифференцируемой в некоторой области, если в каждой точке области существует предел

= Hm LM^zMДг->0 Дг '

= Hm LM^zMДг->0 Дг '

1 • д/ (z) нт -ДДД

Дг-0 Дг

1 • д/ (z) нт -ДДД

Дг-0 Дг

(IV.2)

(IV.2)

величина которого не зависит от характера стремления Az к нулю.

Функция однозначная, конечная и дифференцируемая в некоторой области называется аналитической в этой области. Точка z = zoc, в которой функция f (г) не имеет производной, называется особой.

Если / (z) аналитическая в односвязной области R, то интеграл от этой функции по любому контуру Г, лежащему в R, равен нулю:

^(z)dz = 0. (IV.3) г

Это утверждение называется теоремой Коши.

Из теоремы Коши вытекает, что величина линейного интеграла от аналитической функции, взятого по замкнутому контуру, охватывающему дырку в многосвязной области, для всех таких контуров одинакова:

§f (z) dz = §f (z) dz.

г,'г.

При изменении направления обхода по контуру знак интеграла изменяется на обратный. Поэтому надо условиться о том, какое

Рис. IV.2.Рис. IV.2.направление обхода мы будем считать положительным и какое— отрицательным. В теории функций комплексной переменной принято считать положительным направление обхода против часовой стрелки. Это сделано для того, чтобы при обходе в положительном направлении контура, заключающего в себе начало координат, азимутальный угол <р возрастал. В соответствии с таким

Рис. IV.2.

Рис. IV.2.

выбором в дальнейшем символ ф всегда будет означать интеграл, вычисленный при положительном направлении обхода.

Пусть в области R, в которой определена функция f (г), имеется s дыр: /?ь R2, ..., Rs (рис. IV.2). С помощью теоремы Коши можно доказать, что в этом случае справедливо соотношение

ф / (2) ^2 = 2 ф / (2) dz,(IV.4)

г^ = 1Г/г

где Г —контур, охватывающий все дыры, Г„ —контур, охватывающий только й-ю дыру.

Функцию комплексной переменной можно разложить в ряд Тейлора

/(г)=2М(2-20)".(IV.5)

О

Здесь 20 — фиксированная точка, в окрестности которой осуществляется разложение. Представление функции в виде (IV.5) правомерно для всех г, удовлетворяющих условию |2 — 20|<|2ОС — 20|, ГДС 2ОС — ближайшая к г0 особая точка.

Аналитическое продолжение. Можно доказать следующее утверждение: пусть на отрезке [а, Ь] вещественной оси х задана непрерывная функция f(х) вещественной переменной; тогда в некоторой области R комплексной плоскости

(рис. IV.3), содержащей отрезок [а, Ь] вещественной оси, может существовать только одна аналитическая функция / (z) комплексной переменной 2, принимающая данные значения f (х) на отрез-

ке [а, 6]. Эта единственная функция / (z) называется аналитическим продолжением функции / (х) вещественной переменной х в комплексную область R.Ряд Лорана. Допустим, что функция / (г) аналитическая во всей области |z — z0\-<R, кроме точки z0, которая является особой. В этом случае для z, удовлетворяющих условию 0< <|z — zQ\<<R, функцию можно представить в видеке [а, 6]. Эта единственная функция / (z) называется аналитическим продолжением функции / (х) вещественной переменной х в комплексную область R.Ряд Лорана. Допустим, что функция / (г) аналитическая во всей области |z — z0\-<R, кроме точки z0, которая является особой. В этом случае для z, удовлетворяющих условию 0< <|z — zQ\<<R, функцию можно представить в виде/(г)= ^ аДг-ХоУ,/(г)= ^ аДг-ХоУ,(IV.6)(IV.6)гдегде,1 £ f^dz’п 2л/ J (г'—z0)n+1 ‘,1 £ f^dz’п 2л/ J (г'—z0)n+1 ‘(IV.7)(IV.7)Интегрирование в (IV.7) производится по произвольному контуру, охватывающему точку 20 и не выходящему за пределы области |z — 26\<cR.Выражение (IV.6) называется рядом Лорана. Этот ряд отличается от ряда Тейлора наличием членов с отрицательными степенями z — z0.С помощью ряда Лорана можно осуществить классификацию изолированных особых точек. Эта классификация устанавливается в зависимости от числа членов с отрицательными значениями п в разложении Лорана (IV.6). Возможны три случая.Члены с отрицательными п отсутствуют, так что разложение начинается с члена, равного а9. Если первоначально заданное значение f (z0) не совпадает с а0 или f (г) не была определена в точке z0, то z0 называется устранимой особой точкой. Положив f(z0) = a0, мы устраним разрыв функции в точке z0 и сделаем функцию аналитической во всей окрестности z0, включая и саму точку z0.Число членов в (IV.6) с отрицательными значениями п не равно нулю, но конечно, причем все а_„ с n">NN=Q равны нулю, а коэффициент «-№#0, т. е.Интегрирование в (IV.7) производится по произвольному контуру, охватывающему точку 20 и не выходящему за пределы области |z — 26\<cR.Выражение (IV.6) называется рядом Лорана. Этот ряд отличается от ряда Тейлора наличием членов с отрицательными степенями z — z0.С помощью ряда Лорана можно осуществить классификацию изолированных особых точек. Эта классификация устанавливается в зависимости от числа членов с отрицательными значениями п в разложении Лорана (IV.6). Возможны три случая.Члены с отрицательными п отсутствуют, так что разложение начинается с члена, равного а9. Если первоначально заданное значение f (z0) не совпадает с а0 или f (г) не была определена в точке z0, то z0 называется устранимой особой точкой. Положив f(z0) = a0, мы устраним разрыв функции в точке z0 и сделаем функцию аналитической во всей окрестности z0, включая и саму точку z0.Число членов в (IV.6) с отрицательными значениями п не равно нулю, но конечно, причем все а_„ с n">NN=Q равны нулю, а коэффициент «-№#0, т. е.-f-со-f-соf(X) = У ^(Z-Zo)».f(X) = У ^(Z-Zo)».(IV.8)(IV.8)п = — Nп = — N

ке [а, 6]. Эта единственная функция / (z) называется аналитическим продолжением функции / (х) вещественной переменной х в комплексную область R.

Ряд Лорана. Допустим, что функция / (г) аналитическая во всей области |z — z0\-<R, кроме точки z0, которая является особой. В этом случае для z, удовлетворяющих условию 0< <|z — zQ\<<R, функцию можно представить в виде

ке [а, 6]. Эта единственная функция / (z) называется аналитическим продолжением функции / (х) вещественной переменной х в комплексную область R.

Ряд Лорана. Допустим, что функция / (г) аналитическая во всей области |z — z0\-<R, кроме точки z0, которая является особой. В этом случае для z, удовлетворяющих условию 0< <|z — zQ\<<R, функцию можно представить в виде

/(г)= ^ аДг-ХоУ,

/(г)= ^ аДг-ХоУ,

(IV.6)

(IV.6)

где

где

,1 £ f^dz’

п 2л/ J (г'—z0)n+1 ‘

,1 £ f^dz’

п 2л/ J (г'—z0)n+1 ‘

(IV.7)

(IV.7)

Интегрирование в (IV.7) производится по произвольному контуру, охватывающему точку 20 и не выходящему за пределы области |z — 26\<cR.

Выражение (IV.6) называется рядом Лорана. Этот ряд отличается от ряда Тейлора наличием членов с отрицательными степенями z — z0.

С помощью ряда Лорана можно осуществить классификацию изолированных особых точек. Эта классификация устанавливается в зависимости от числа членов с отрицательными значениями п в разложении Лорана (IV.6). Возможны три случая.

Члены с отрицательными п отсутствуют, так что разложение начинается с члена, равного а9. Если первоначально заданное значение f (z0) не совпадает с а0 или f (г) не была определена в точке z0, то z0 называется устранимой особой точкой. Положив f(z0) = a0, мы устраним разрыв функции в точке z0 и сделаем функцию аналитической во всей окрестности z0, включая и саму точку z0.

Число членов в (IV.6) с отрицательными значениями п не равно нулю, но конечно, причем все а_„ с n">NN=Q равны нулю, а коэффициент «-№#0, т. е.

Интегрирование в (IV.7) производится по произвольному контуру, охватывающему точку 20 и не выходящему за пределы области |z — 26\<cR.

Выражение (IV.6) называется рядом Лорана. Этот ряд отличается от ряда Тейлора наличием членов с отрицательными степенями z — z0.

С помощью ряда Лорана можно осуществить классификацию изолированных особых точек. Эта классификация устанавливается в зависимости от числа членов с отрицательными значениями п в разложении Лорана (IV.6). Возможны три случая.

Члены с отрицательными п отсутствуют, так что разложение начинается с члена, равного а9. Если первоначально заданное значение f (z0) не совпадает с а0 или f (г) не была определена в точке z0, то z0 называется устранимой особой точкой. Положив f(z0) = a0, мы устраним разрыв функции в точке z0 и сделаем функцию аналитической во всей окрестности z0, включая и саму точку z0.

Число членов в (IV.6) с отрицательными значениями п не равно нулю, но конечно, причем все а_„ с n">NN=Q равны нулю, а коэффициент «-№#0, т. е.

-f-со

-f-со

f(X) = У ^(Z-Zo)».

f(X) = У ^(Z-Zo)».

(IV.8)

(IV.8)

п = — N

п = — N

В этом, случае точка z0 называется полюсом порядка N функции /(z). Разложение функции в окрестности полюса М-го порядка начинается с члена

Полюс первого порядка называют простым полюсом.

Можно доказать, что при z->z0 (z0 — полюс) модуль функции (IV.8) неограниченно возрастает независимо от способа стремле-

ния 2 к полюсу 20. Функция ф (г), обратная функции /(а), имеющей в z0 полюс порядка N, имеет в г0 нуль порядка АР).

Число членов с отрицательными значениями п в разложении Лорана бесконечно велико. В этом случае точка г0 назы

вается существенно особой точкой.

Между полюсом порядка N и существенной особой точкой имеются следующие главные различия. Полюс порядка N можно устранить, умножив функцию / (г) на (г — z0)N. Существенно особую точку подобным образом устранить невозможно. При стремлении г к полюсу любого порядка N функция имеет определенный предел, равный бесконечности. При

стремлении г к существенно особой точке функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предельного значения. В зависимости

от способа стремления z к z0 получаются последовательности значений f (г), сходящиеся к различным пределам.

Теория вычетов. Вычетом аналитической функции / (г) в изолированной особой точке z0 называется 2)

(IV. 10)(IV. 10)Выч[/(г), z0] = ~^/:(z')dz',

(IV. 10)

(IV. 10)

Г

где Г — произвольный контур, охватывающий только данную особую точку z0. Интегрирование осуществляется в положительном направлении обхода. Заметим, что для контура, не охватывающего особых точек, выражение (IV.10), согласно (IV.3), равно нулю.

Сравнение (IV. 10) с (IV.7) дает, что вычет совпадает с коэффициентом ряда Лорана для п = —1:

Выч[/(г), г^а-р(IV. 11)

Рассмотрим контур Г, охватывающий несколько изолированных особых точек: zn г2, ..., zs (рис. IV.4). Окружим эти точки

*) Функция ф (г) имеет в точке г0 нуль порядка N, если в этой точке первые N коэффициентов разложения ф (г) в ряд Тейлора равны нулю. В этом случае разложение начинается с члена

^ fw (ZoHz — zo)N

(/W (zo)¥=O).

Вычет обозначается также символом: res [((г), г(ф

контурами Гь Г2, ..., Г$. Согласно формуле (IV.4)

^f(z)dz = 5 ^t^dz-lni 5 Выч[/(г), zbY (IV. 12) Гk=!rftк = \

Мы пришли к основной в теории вычетов теореме, которая гласит: интеграл от аналитической функции, взятой по контуру, охватывающему несколько особых точек, равен произведению 2ш на сумму вычетов функции во всех точках.

Иногда изолированные особые точки располагаются на самом контуре интегрирования (рис. IV.5) В этом случае нужно деформировать контур так, чтобы он обходил данную точку по полуокружности бесконечно ма- лого радиуса. При этом можно /'Ай \ либо исключить точку (см. Л на

х<~^ ) рис. IV.5), либо включить ее (см.

*В на рис. IV.5) в область, охва

тываемую контуром.

Рис. IV.5.в бесконечно малой окрест

ности точки функцию можно считать практически постоянной. Поэтому интеграл по полуокружности можно положить равным половине вычета функции в данной точке, взятого со знаком минус в точке А (интегрирование по часовой стрелке) и со знаком плюс в точке В (интегрирование против часовой стрелки). Эту половину с ее знаком нужно добавить к левой части или, что то же самое, вычесть из правой части формулы (IV. 12). Далее, в случае А вычет в данной точке не входит в сумму вычетов, стоящую в правой части формулы, так что в конечном счете справа появится добавка, равная половине вычета в рассматриваемой точке. В случае В точка вносит в правую часть вклад, равный вычету в этой точке, но зато вычитается половина того же вычета, так что в конечном счете результат будет тот же —справа появится добавка, равная половине вычета. Таким образом, конечный результат не зависит от способа обхода (А или В). Во всех случаях особая точка, расположенная на контуре, вносит в правую часть формулы (IV. 12) половину того вклада, который она внесла бы, находясь внутри контура.

В случае, когда изолированная особая точка лежит на контуре интегрирования, используется также другой прием. Он заключается в том, что особую точку смещают с контура на расстояние е, а по завершении вычислений делают предельный переход е->0.

Согласно формуле (IV. 10) для определения вычетов нужно вычислять контурные интегралы от функции f (г). Если особая точка г0 является простым полюсом (т. е. полюсом первого по-

рядка), вычисление вычета можно осуществить более простым способом. В этом случае разложение функции в окрестности z0 имеет вид

/ (z) = a_t (г — го)'1 + а0 + <Д (z — z0) +...

Умножим обе части на (z — z0) и совершим предельный переходУмножим обе части на (z — z0) и совершим предельный переходz ->- г0. В результате получим, что

Умножим обе части на (z — z0) и совершим предельный переход

Умножим обе части на (z — z0) и совершим предельный переход

Выч[/(г), z0] = a-i =

= Пт (z-гоШг). (IV. 13) 2-*Z0

Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Теория вычетов оказывается очень полезной при вычислении многих интегралов от функций вещественной переменной.

Вычислим интеграл

Для этого рассмотрим интеграл

(IV. 14)(IV. 15)(IV. 14)(IV. 15)где Г имеет вид, показанный на рис. IV.6 (/?>!). Представив подынтегральную функцию в виде

(IV. 14)

(IV. 15)

(IV. 14)

(IV. 15)

Нг) Z2+i (z+i)(z_0.

легко установить, что она имеет два простых полюса в точках z1 = + i и z2 =— L Воспользовавшись формулой (IV.13), найдем, что

Выч[/(г), г] = Пт (z-i)/(г) = Пт(IV. 16)

Вычет в точке —i равен —l/2t.

Представим интеграл (IV. 15) в виде двух интегралов, один из которых берется по отрезку оси х, а другой —по полуокружности. Во втором интеграле перейдем к полярным координатам в соответствии с формулой: z = Rei(t*. Кроме того, воспользуемся формулой (IV. 12). В результате получим

+ /?л

^= $ ^+ $5^ = 2л1Выч[/^ П = 2ш1 = л.

—RО

Теперь устремим R к бесконечности. При этом второй интеграл обратится в нуль, так как он имеет величину порядка 1/R, и мы получим интересующий нас результат:

+ °о

$=(IV. 17)

Рекомендуем убедиться в том, что, взяв в качестве контура отрезок оси х и нижнюю полуокружность, мы получили бы тот же самый результат.

При вычислении интеграла (IV. 15) мы получили возможность применить теорию вычетов, замкнув вещественную ось полуокружностью бесконечно большого радиуса, причем вклад, вносимый в интеграл этой полуокружностью, оказался равным нулю. В случае интеграла (IV.14) последнее обстоятельство было видно, так сказать, невооруженным глазом. Вопрос о применимости аналогичного приема в более сложных случаях позволяет решить лемма Жордана.

Лемма Жордана. Пусть функция ф (z) является аналитической в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек, а при |z| >-оо стремится к нулю равномерно по всем направлениям ф (О^ф^л). Тогда при а>0

Нт \ е'“гф (z) dz = О,(IV. 18)

где Гд —дуга полуокружности радиуса R, лежащая в верхней полуплоскости.

При а<0 утверждение леммы остается в силе, если в ее формулировке верхнюю полуплоскость заменить нижней. Если а = ±/р (0>О), аналогичные утверждения справедливы при интегрировании соответственно в правой и левой полуплоскости.

Воспользуемся леммой Жордана для вычисления интеграла

^= \(IV. 19)

— ОО Рассмотрим интеграл

(IV.20)

г

Подынтегральная функция имеет простые полюсы в точках г = = ± А. Функция ф (г) = г/(Л2 — z2) стремится к нулю при| г| -> со. Следовательно, требования леммы Жордана удовлетворяются.

Возьмем в качестве контура интегрирования Г вещественную ось и полуокружность радиуса R в верхней полуплоскости. При R-^-oo интеграл по полуокружности, согласно (IV. 18), обращается в нуль, так что интеграл (IV.20) перейдет в (IV. 19).

Полюсы лежат на контуре интегрирования. Поэтому можно утверждать, что интеграл (IV. 19) будет равен полусумме вычетов функции в полюсах, умноженной на 2ni (см. формулу (IV. 12) и следующий за ней текст). Полюсы простые, поэтому для вычисления вычетов можно воспользоваться формулой (IV. 13). Для точки 2 = й имеем

Выч [/ (г), 6] = lim (г — k) f (г) = lim eiaz = г-*кz-*k R 2

= —lime'"2(IV.21)

Аналогичные вычисления дают для 2 = — к:

Выч [/ (2), -^=-1 e~iak.(IV.22)

Следовательно, для @7 получается значение

@7 = 2ni ^—^ е‘“й — ^ е-'"й^ = — ш cos а^. (IV.23)

Попробуем вычислить интеграл (IV. 19) другим способом — сместим полюсы, заменив к значением &-Не. где е — малая

Рис IV.7.

положительная величина (рис. IV.7, а). Соответственно — к превратится в — (/z-{-ie). В результате полюс х = к попадет внутрь контура интегрирования, а полюс 2 = — к выйдет наружу.

Выч =— lim eiaz г к + 1еТаким образом,Выч =— lim eiaz г к + 1еТаким образом,Теперь интеграл ^ окажется равным пределу (при е -> 0) значения вычета в точке к-Via. Этот вычет определяется выражением

Выч =— lim eiaz г к + 1е

Таким образом,

Выч =— lim eiaz г к + 1е

Таким образом,

(z-Vk-bteHz—fe—ie)z + ^+ie

pia (Ач/е)6 + ie —1_ :a (a+1-e) 2(6 + 18)2

^ = lim {2л1 Выч} =— lim {nie'at,w'e)} = — к1е‘ак. (IV.24) e-*0e-*0

Tot же результат, очевидно, получится, если, не смещая полюса, деформировать контур так, как показано на рис. IV.7, в.

Полученное нами значение ^ отличается от (IV.23). Прежде чем обсудить это различие, осуществим вычисление интеграла еще раз, сместив полюсы подстановкой: k-+k — ia (рис. lV.7, б). Проделав выкладки, аналогичные тем, которые привели нас к формуле (IV.24), получим, что

^ = — me-iak. (IV.25)

Тот же результат получается, если вместо смещения полюсов деформировать контур так, как показано на рис. IV.7, г.

Итак, в зависимости от способа выбора контура для интеграла (IV. 19) получаются различные значения. Это обусловлено тем, что данный интеграл является несобственным1). Он не может быть однозначно определен до тех пор, пока не будут введены дополнительные ограничивающие условия.

Отметим, что выражение (IV.23) является средним арифметическим выражений (IV.24) и (IV^25). Оно представляет собой главное значение интеграла (IV. 19).

Функция Эйри

Рассмотрим дифференциальное уравнение

у” — ху = 0.

Одно из решений этого уравнения может быть представлено в виде

ФМ=^ jj соз^+Щ^.(V.2)

Функция, определяемая выражением (V.2), называется функцией Эйри.

!) Несобственным называется интеграл, у которого либо промежуток интегрирования, либо подынтегральная функция не ограничены.

Для приложений важно знать асимптотическое выражение функции Ф (х) при больших значениях |х|. При больших положительных значениях х асимптотическое выражение функции имеет вид

ф^-^е з(V.3)

т. е. Ф (х) затухает экспоненциально. При больших отрицательных значениях х

т. е, Ф (х) имеет осциллирующий характер. Первым (наибольшим) максимумом является Ф(—1,02) = 0,95.

Заметим, что при изменении знака х на обратный уравнение (V.1) принимает вид

z/" + x// = 0.(V.5)

Очевидно, что решением этого уравнения также будет функция Эйри. Асимптотическими решениями уравнения (V.5) будут функции

Ф (х) sin ^у ха/= + ^ при х>0, "1~ W

Метод функций Грина

Метод функций Грина представляет собой один из методов решения дифференциальных уравнений в частных производных. Чтобы понять суть этого метода, рассмотрим следующий пример. Пусть дифференциальное уравнение имеет вид

Зф(г) = /(г),(VI.1)

где Q — линейный дифференциальный оператор, / (г) — некоторая заданная функция, ф (г) — искомая функция.

Каждой функции /(г) соответствует свое решение ф (г), Такое соответствие можно представить в виде операторного соотношения

Ф(г) = £/(г), '(VI. 2)

в котором L есть некоторый оператор, определяемый видом оператора Q. При таком представлении функцию /(г) можно рассматривать как воздействие, влияние, а ф (г) — как результат этого воздействия, как отклик на воздействие.

Введем функцию G(r, г'), являющуюся решением уравнения

QG(r, r') = S(r —г')(VI.3)

(ср. с (VI.1)). Функцию G(r, г') называют функцией Грина (или функцией влияния), отвечающей рассматриваемой задаче1) (т. е. задаче, характеризуемой уравнением (VI.!)). Она представляет собой отклик на воздействие, описываемое дельта-функцией с особенностью в точке г':

G(r, г') = £б(г —г')(VI.4)

(ср. с (VI.2)).

С помощью функции Грина решение уравнения (VI. 1) может быть представлено в виде

Ф(г)=$б(г, r'H(r')dV'.(VI.5)

Действительно, подействуем на соотношение (VI.5) оператором Q, приняв во внимание, что этот оператор действует на переменную г и не действует на переменную интегрирования г'. Учтя (VI.3), получим

Q<P (г) = ^ [^G (г, г')] / (г') dV = $ 6 (г - г') / (г') dV

Мы пришли к исходному уравнению (VI. 1), тем самым мы доказали, что функция (VI.5) удовлетворяет этому уравнению.

Теперь рассмотрим уравнение, отличающееся от (VI. 1) тем, что вместо / (г) в правой части стоит нуль:

Q Ф(г) = 0.(VI.6)

Это уравнение можно назвать однородным, отвечающим неоднородному уравнению (VI. 1). Пусть общим решением уравнения (VI.6) является функция ф0 (г), т. е.

<2фо(г) = О.(VI.7)

Тогда общее решение уравнения (VI.1) можно представить в виде

Ф (г) = <р0 (г) + S G(r, ^f^W-(VI.8)

Действительно, в силу линейности оператора Q

0ф = 0(фо+$) = 5фо+6$ = О + /(г) = /(г).

Введение функции Грина позволяет свести решение уравнения (VI. 1) к решению двух более простых уравнений: (VI.3) и (VI.6).

!) Каждая задача имеет свою функцию Грина. Единого выражения для функции Грина не существует.

Поясним сказанное примером из электростатики. Потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Пуассона

V2<p (г) = — 4лр (г)(VI.9)

(см. т. 1, формулу (42.4)). Это уравнение соответствует уравнению (VI. 1) (в данном случае Q = v2)- Уравнению (VI.5) соответствует уравнение

V2G(r, г') = 6 (г-г').(VI. 10)

Представим его в виде

V2G(r, г) = -4л[-^6(г-г')].(VI. 11)

Из (VI.9) вытекает, что G(r, г') есть (с точностью до размерного множителя, численно равного единице) -потенциал поля точечного заряда величины — (1/4л), помещенного в точку г'. Следовательно,

=(VI.12)

Теперь воспользуемся формулой (VI.4), учтя, что в данном случае /(г) = — 4лр(г):

ф (г) = J G (г, г') / (г') dV' =

= §f^^[-4np(rD]dV'=§^^ (VI. 13)

Мы получили известное выражение для потенциала, создаваемого зарядом, распределенным с плотностью р (г) (см. т. 1, формулу (42.7)).

Итак, в рассмотренном примере физический смысл функции Грина заключается в том, что она численно совпадает с потенциалом, создаваемым точечным зарядом величины — (1/4л). Можно также сказать, что функция Грина описывает влияние заряда р (г') dV', ощущаемое в точке г.

Заметим, что в данном случае решение однородного уравнения V2Фo (г) = 0

(см. (VI.7) и (VI.9)) представляет собой однородное постоянное поле напряженности Ео = — \/фо = const, накладываемое на поле, описываемое функцией (VI. 13).

Решение основного уравнения теории рассеяния методом функций Грина

В теории рассеяния возникает необходимость решить уравнение

(у2 + к2)ф(г) = ^(/(г)ф(г),(VII. 1)

где

к2 = 2тйЕ/И2 = const,

(VII.2)

(/(г)— функция, отличная от нуля только в ограниченной части пространства с г^а (см. уравнение (67.3)).

Положив (v24-k2) = Q и (^mJtl^U ly^iy^f (тУ), мы приведем уравнение (VI 1.1) к виду (VI. 1). Следовательно, для ф (г) можно написать выражение, аналогичное (VI.8):

Ф (Г) = Фо (г) + ^ (Г, Г') [(2т0/Й2) и (г') ф (г')] dV', . (VII .3)

где фо (г) есть решение уравнения (VII.1) без правой части:

(V2 + к2) ф0 (г) = 0.

Чтобы учесть граничные условия, возьмем в качестве ф0 (г) функцию

фо (г) = е‘кпадг = elkz.(VII.4)

где кпад — вектор, определяющий направление движения падающих частиц. В § 67 это направление было принято за ось 2 (модули векторов различного направления одинаковы и равны /г).

Функция Грина G(r, г'), входящая в выражение (VII,3), является решением уравнения

(V2 + k2)G(r, г') = 6 (г —г')(VI 1.5)

(см. (VI.3)). Преобразуем это уравнение, подействовав на обе его части оператором (v2 + k2)-1, обратным оператору (ф24-к2). В результате получим

G (г, r,) = (v2 + k2)'6(r —г').(VII.6)

Согласно формуле (VIII.13)

^'■-^ = w S e‘^-HdVQ,(VII.7)

где dVq — элемент объема в ^-пространстве. Переменную интегрирования мы обозначили q вместо к, поскольку к нами уже использовано для обозначения волнового вектора с модулем, определяемым соотношением (VI 1.2). В формуле же (VI 1.7) модуль вектора q принимает при интегрировании все значения от 0 до оо.

Подставив выражение (VII.7) в уравнение (VII,6), получим

G(r, r')=^^(V2 + k2)-i^(r-r')^.(VII.8)

Чтобы вычислить подынтегральное выражение, будем исходить из соотношения

(V2 + к2) ^(г-и = ^2e'q(r-r')_|_ k2e‘q(г-п _

= —q2g£q(r—и -|-k2<?“i(r—г'> = (к2 — q2) еыЦ —и

Подействовав на это соотношение оператором (v2 + k2)'1, придем к равенству

eiq(r—г') = (к2 — q2) (у?24*к2)-1 e‘q(r~г'\

Отсюда

(V2 + к2)-1 е'ч <г - г'> =е^ С - г'>.

Подстановка этого выражения в (VI 1.8) дает

G (г г') = —-— ( —-— eiq <r — r,) d V-

1 1(2л)2 J к2 —q2 6q>

Перейдем к сферическим координатам q, 6, <р в ^-пространстве, причем угол 6 будем отсчитывать от направления вектора г —г', модуль которого мы обозначим буквой а:

G (г, г') =-т2 1 gfqacos 6 ^2 do sin 9 dB d<p =

x '(2л)3 Jt

ООл

=dQ1^ e^"0086 sin 6 dB =

(2л)3 JJ

00

„1 Г q^ e^^ — g-^^ ,

(2л)2 J A2— q2iaq

0

I (C inn 4q dq ]

4л2(‘а | JA2 — q2J k2 — q2 ।

kOоJ

Заменим во втором интеграле переменную интегрирования q на — q. В результате получим

G (г, г') =йц 2 =

v 1'4л21« I J h? — q2 J fe2 — q2

о

=\(VII.9)

4л2га J А2 — q2 v $

Из вида функции (VII.9) заключаем, что G (г, r') = G (a) = = G(|r-r'|).

Интеграл (VI1.9) вычислен в Приложении IV с помощью теории вычетов (при этом подынтегральная функция аналитически продолжается на комплексную плоскость). Результат

вычисления зависит от выбора правил обхода полюсов q = ±k. Эти правила определяются из граничных условий, накладываемых на функцию 6(a) при а->оо. Чтобы получить решение, соответствующее расходящимся от рассеивающего центра волнам, нужно выбрать путь интегрирования, изображенный на рис. IV.7, в. Тогда, согласно (IV.24), интеграл равен — л/е!'“*. Подставив это значение в (VII.9), получим

6(г, Г')=-4л|г-гЧе‘'А|Г~Г''(VIL10)

(a = |r —г'|).

Приняв в качестве ф0 (г) функцию (VI 1.4) и подставив в (VI 1.3) выражение (VII.10) для G (г, г'), получим для ф(г) следующую формулу:

Ф W = е‘к' * Т $ J737PT е"'Г “Г'1 ^ (г'> ^ (И dV* • (VI1 ■1

Функция U (г') отлична от нуля лишь в небольшой области, для которой г'^а. Поэтому для г^а в (VII.11) можно в знаменателе положить |г — г'|^s г, а в показателе экспоненты осуществить разложение

| г — г' | = ]/(г — г')2 ^)/г2 —2гг' ^г — ед*,

где ег — орт вектора г. В результате получим

Ф ^ = eikz * Ж elkr $ ^‘^^ U (г') ^ <г') dV' =

= е-^ + Л (^, <р) ^-, (VII. 12) где

Л(0, <p) = X(er) = -5^-^-i6V' [/(r')^(r')z/V' (VII.13)

(д и ср —углы, определяющие направление вектора г, т. е. направление на удаленную от рассеивающего центра точку, в которой вычисляется ф(г)).

Формула (VII.12) совпадает с формулой (67.6). Выражение (VII.13) определяет амплитуду рассеяния. Приняв во внимание, что функция

есть пси-функция частицы, движущейся свободно в направлении радиуса-вектора г (чтобы указать это, мы поставили при р индекс г), выражению для амплитуды рассеяния можно придать вид

(ср. с (68.5)).

^ ф)=-2^<^1^>

(VII.14)

Дельта-функция Дирака

Для нормировки пси-функций, принадлежащих непрерывному спектру, Дирак изобрел дельта-функцию, которая определяется следующим образом:

функция 6(х — а) равна нулю при всех х Ф а и обращается в бесконечность при х = а\

дельта-функция обращается при х = а в бесконечность таким образом, что

\Цх-сС^х=\(VIII.1)

при условии, что промежуток интегрирования включает в себя точку х = а, т. е. хг<;а-<Х2 (если точка х = а находится вне промежутка интегрирования, интеграл (VII 1.1), очевидно, равен нулю).

Важнейшее свойство дельта-функции состоит в том, что

$ f (x)8(x — a)dx = f (а)(VII 1.2)

(доказательство этого соотношения см. в Приложении XIII 1-го тома).

Аналогично определяется трехмерная дельта-функция

6 (г) = 6 (х)- 6 (у). 6(2),* (VIII.3)

которая обладает свойством

Sf (г) 6 (г-Го) dV=f(r0).(VIII.4)

Приведем некоторые свойства дельта-функции:

6(— х) = 6(х),(VIII.5)

х6(х)=0,(VIII.6)

б^Н^б^).(VIII.7)

Смысл этих соотношений заключается в том, что если в подын- тегральнбе выражение входит в качестве множителя одна из сторон равенства, то ее можно заменить другой стороной без того, чтобы интеграл изменился.

Свойство (VIII.5) является очевидным. Оно означает, что 6 (х) есть функция четная.

Для доказательства свойства (VIII.6) возьмем некоторую непрерывную функцию <р(х) и образуем выражение

— со— со+ 00 Ф (х) хб (х) dx.

— со

— со

Введя обозначение f (х) = ф (х) х и воспользовавшись свойством (VIII.2), получим

§ Ф (х) хб (х) dx= § f (х) 6 (х) dx = f (0) = ф (0) -0 = 0,

откуда вытекает (VIII.6).

Аналогично доказывается соотношение (VIII.7). Образуем выражение

$ Ф (х) 6 (ах) dx =ф(х)6(|й|х)а!х(VIII.8)

(мы воспользовались свойством (VIII.5)). Перейдем от переменной х к переменной у, связанной с х соотношением

у = | а | х, dy = \a\dx

(мы взяли [й| для того, чтобы dy и dx были одного знака). Тогда интеграл (VIII.8) примет вид

Ч>и^\&(у)^т = -Дт\(VIII.9)

— СО—ОО

Введем функцию Цу), определяемую соотношением

Г(г/) = ф(-Д),

которое при у = 0 переходит в равенство: /(0) = ф(0). В результате выражение (VIII.9) преобразуется следующим образом:

ф 6 (у) dy = -r~r ( f (у) 6 (у) dy = -Дт- / (0) = ф (0).

К такому же результату мы пришли бы, взяв в качестве исходного выражения не (VIII.8), а интеграл

+ со

$ ф (х) {-ууб (х)}^х.

— ОО

Отсюда и вытекает свойство (VIII.7).

Напишем для дельта-функции преобразование Фурье

6 (х) = ^- e~ikx dk ^ 6 (£) е17^ d^— О)— со

(см. т. 1, формулу (XIV.20)). В соответствии с (VIII.2) интеграл по dg равен е°=1. Следовательно,

+ <»

6(х) = ^ \ е-"^^.(VIII.10)

— ОО

Приняв во внимание соотношение (VIII.5), можно написать, что

+ <»

б(х) = 6(— x) = j; J ^dk. (VIII. 11)

— ОО

Из последнего соотношения вытекает формула

е'^^ = 2лб (х).(VIII.12)

— ОО

В соответствии с (VIII.3) и (VIII. 11)'

+ ОО+ ОО+ 00

6^=Т2^eV^ е№^г = -^\е^аУк,

— со—со—оо

(VIII.13)

где dVk — элемент объема в ^-пространстве. Из (VIII.13) следует, что

Je'krdVft = (2n)3S(r).(VIII. 14)

Интегрирование производится по всему ^-пространству. Формула (VIII,14) является трехмерным аналогом формулы (VIII.12).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адиабатическое возмущение 150

Амплитуда вероятности 11

— состояния поля 288

Атомные единицы 93

Бозоны 208

Боровский радиус 93, 99

Вакуум 288

Вектор «бра» 50

— «кет» 50

— состояния 11, 50

ВКБ-метод 165

Волновая функция И, 12

Волновой пакет 18

Вырождение 23, 90, 97 — обменное 251, 275

Матрица квадрата величины 44

— комплексно сопряженная 34

— самосопряженная 35

— транспонированная 34, 39

— унитарная 54, 57

— эрмитова 35

— эрмитово сопряженная 34, 40

Матрицы Паули 193

Матричный элемент перехода 34

Метод вариации постоянных 120

— Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна 165

— Ритца 255

— Хартри и Фока 257, 261, 263

Механика волновая 8, 12

— матричная 8

Множитель Ланде 269

Мультиплетное расщепление уровней

248 — 249

Гамильтониан 62Группа волн 18Гамильтониан 62Группа волн 18

Гамильтониан 62

Группа волн 18

Гамильтониан 62

Группа волн 18

Нормировка на дельта-функцию 48, 71

— собственных функций 47

Динамические переменные 8

Длинноволновое приближение 295

Излучение вынужденное 293

— спонтанное 293

Индекс представления 52

— состояния 50, 52, 225

Интеграл кулоновский 223

— обменный 223

перекрывания пси-функций 275

Канал реакции 315

Квадрат оператора 39

Квантовая скобка Пуассона 83

Квантовое число азимутальное 78, 97 — — главное 97

— L 213, 248

— магнитное 77, 141

— радиальное 97

S 213, 248

Коммутатор операторов 42

Коэффициент отражения частиц 184

прохождения через барьер 184

Кратность вырождения 23

Оператор бесконечно малого поворота 64

— в матричной форме 32

— — собственном представлении 33

— возмущения 121

— единичный 42

— импульса 63

— квадрата углового момента 64

— кинетической энергии 62

— комплексно сопряженный 28

— координаты 62

— линейный И, 22

— момента импульса 63

— — количества движения 63

— поворота 65

— поглощения 115

— полной энергии 62

— потенциальной энергии 62

рождения 115, 226, 232, 280

самосопряженный 29

транспонированный 27, 39

углового момента 63, 66

унитарный 54, 57

— уничтожения 1 15, 226, 232, 280

— числа частиц 233

— эрмитов 29

— эрмитово сопряженный 27, 40, 41

Операторы антикоммутирующие 42, 193

— коммутирующие 42, 44

— некоммутирующие 42

Ортогелий 253

Ортосостояние 217, 224, 251, 278

Парагелий 253

Парасостояние 217, 224, 250, 251, 278

Плотность вероятности 13

— потока вероятности 19, 20

— состояний 155

Полный набор 10

Полувектор 199

Представление координатное 12

— чисел заполнения 225

Принцип неразличимости частиц 206

- Паули 213, 223

— соответствия 10, 63

— суперпозиции состояний 11

— тождественности частиц 206

Произведение операторов 38, 41

Пси-функция И

— антисимметричная 207, 210

— нормированная 13

— свободной частицы 17

— симметричная 207, 210

— стационарного состояния 16

Стоячая волна 17

Сумма операторов 38

Теория возмущений нестационарная 120

— — стационарная 120

Топкая структура уровней 249

Точки поворота 168

Траектория 9

Туннельный эффект 183

Унитарное преобразование 54, 58

Уравнение вековое 135

— Гамильтона — Якоби 166, 167

— непрерывности 20

— секулярное 135

— Шредингера 14

— — для стационарных состояний 16

Условие нормировки 13

Условия стандартные 21, 23

Ридберг 93

Система функций ортонормированная 25» 48

— — полная 24

Скалярное произведение функций 25

Собственные значения оператора 23

— функции оператора 23

— — — импульса 72

— — — координаты 70

Соотношение неопределенности 8, 46, 67,

162, 222 — 223

Состояние 8

— нечетное 80

— смешанное 11

— стационарное 16

— четное 80

— чистое 11

Спектр дискретный 10, 23

— непрерывный 10, 23

— оператора 23

— сплошной 10, 23

— физической величины 23

Спин 66, 186

Спинор 197

Среднее значение 26

— — координаты 14

Фазовая траектория 181

Фазовый множитель 13

Фермионы 208

Формула Борна 308

Фотоны 287, 288

Функции ортогональные 25

Четность 79

— внутренняя частиц 80

Числа заполнения 225

Ширина уровня 67

Энергия нулевая 105

— нулевых колебаний 228

— обменная 222', 278

Эффект Зеемана 138, 267

— Штарка 138, 141

Ячейка в фазовом пространстве 182

Игорь Владимирович Савельев

ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

т о м 21

Квантовая механика

М., 1977 г., 352 стр. с нлл.

Редактор Г. М. Карасева

Техн, редактор К. Ф. Брудно

Корректор Е. Я. Строева

Сдано в набор 15.06. 1976 г. Подписано к печати 22.11. 1976 г. Бумага 60x90'/ie. Физ. печ. л. 22. Условн. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 20,64. Тираж 40 000 экз. Цена книги 80 к. Заказ № 692.

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71,*Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполнграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, ЛениЙград, П-136, Гатчинская ул., 26,

зависит только от координат, а другой —только от времени.

В суммах, содержащих 6тк, отлично от нуля только слагаемое с k = m. Следовательно,

X ^Е™ + Wmn) + X2 (с^Е™1 + ^ с1^ Wm^ + ... =

1) Иногда первые приближения теории возмущений дают хорошие результаты и в тех случаях, когда ряд расходится.

"\1 2 /\ 2а 8а2 1 16а3/

Сравнение с (29.33) показывает, что значение энергии, получен

ное методом теории возмущений, представляет собой разложение

точного выражения для энергии по степеням b/а, взятое с точностью

до членов второго порядка малости.

§ 30. Случай двух близких уровней

В случае, когда среди собственных значений оператора Н^ имеется хотя бы одно значение Ет, близкое к Е™, условие (29.31) не выполняется, поправки к ф„'" и Е™, вычисленные по формулам (29.28) и (29.2.9), оказываются большими и пользоваться этими формулами нельзя. Однако если число уровней Ет, близких к Еп’, невелико, оказывается возможным так изменить способ вычислений, чтобы предотвратить появление больших поправок. Покажем это на примере двух близких уровней.

Итак, допустим, что уровни Е™1 и Е™’ расположены близко друг к другу, а все остальные уровни лежат далеко от них. В этом случае вклад функции фг" в поправку первого приближения к функции ф'Г будет велик (см. (29.28)). Равно будет

Соотношение должно выполняться при любых значениях х. Это возможно, если коэффициенты при всех степенях х будут равны нулю. Таким образом, должно выполняться условие

(A: + 2)(^4-l)aft+2-(2^-X)aft = 0 (к = 0, 1, 2, ...).

Отсюда вытекает рекуррентная формула для коэффициентов ак

И.В. САВЕЛЬЕВ

ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ

Том 2

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1977

530.1

С 12

УДК 530.1

«Основы теоретической физики», том. 2. Квантовая механика. Савельев И. В. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1977 г.

Настоящее руководство представляет собой второй том «Основ теоретической физики» (первый том вышел в 1975 г.). В нем изложены основы нерелятивистской квантовой механики. Чтобы облегчить овладение математическим аппаратом квантовой механики, промежуточные выкладки сделаны более подробно, чем обычно. Кроме того, вы-* кладкам придана возможно большая простота и наглядность. Книга снабжена математическими приложениями.

20402-005С 053(02)-7720402-005С 053(02)-7795-7795-77Пособие предназначено для студентов нетеоретических специальностей вузов. Оно может быть также полезно для преподавателей физики вузов. Ознакомление с ним облегчит более основательное изучение предмета по фундаментальным руководствам, таким, как «Квантовая механика» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, «Квантовая механика» А. С. Давыдова, и др.

20402-005

С 053(02)-77

20402-005

С 053(02)-77

95-77

95-77

© Главная редакция

физико-математической литературы издательства «Наука», 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие. . .6

Глава I. Основные положения квантовой механики 7

Введение 7

Состояние 8

Принцип суперпозиции . . . .7 И

Физический смысл пси-функции . .12

Уравнение Шредингера 14

Плотность потока вероятности. . . .19

Глава II. Математический аппарат квантовой механики. , . ; 22

Основные постулаты 22

Линейные операторы 27

Представление операторов в матричной форме 30

Алгебра операторов .. 38

Соотношение неопределенности 44

Непрерывный спектр 47

Дираковские обозначения 50

Преобразование функций и операторов от одного представления к другому 54

Глава III. Собственные значения и собственные функции физических величин 62

Операторы физических величин 62

Правила коммутации операторов физических величин . . . .66

Собственные функции операторов координаты и импульса70

Импульсное и энергетическое представления 72

Собственные значения и собственные функции оператора углового момента 76

Четность . 79

Глава IV. Зависимость физических величин от времени 81

Производная оператораповремени 81

Зависимость от времениматричных элементов 84

Глава V. Движение частицы в различных силовых полях 87

Частица в центральном поле сил 87

Электрон в кулоновском поле. Атом водорода 92

Гармонический осциллятор 104

Решение задачи о гармоническом осцилляторе в матричной форме 107

Операторы уничтоженияи рождения 114

Глава VI. Теория возмущений 120

Введение 120

Возмущения,не зависящие от времени 120

Случай двухблизких уровней 128

Стационарнаятеория возмущений приналичиивырождения132

Примеры наприменение стационарнойтеориивозмущений138

Возмущения,зависящие от времени 144

Возмущения, изменяющиеся со временем по гармоническому закону 152

Переходы в непрерывном спектре .,..'. 159

Потенциальная энергия как возмущение 160

Глава VII. Квазиклассическое приближение 165

Предельный переход к классической механике ........165

Граничные условия в точке поворота 170

Правила квантования Бора — Зоммерфельда 178

Прохождение через потенциальный барьер 183

Глава VIII. Полуэмпирическая теория частиц со спином 186

Пси-функция частицы со спином 186

Операторыспина 188

Собственные значения и собственные функции операторов спина 195

Спиноры 197

Глава IX. Системы,состоящие из одинаковых частиц 206

Принцип неразличимости одинаковых частиц 206

Пси-функции для систем частиц. Принцип Паули 208

Сложение угловых моментов ..213

Пси-функция системы из двух частиц со спином % 217

Обменное взаимодействие .. . .220

Вторичное квантование • 224

Вторичное квантование в случае бозонов 226

Вторичное квантование в случае фермионов 240

Глава X. Атомы и молекулы 248

Методы расчета атомных систем 248

Атом гелия 249

Вариационный метод 253

Метод самосогласованного поля 257

Метод Томаса — Ферми 2641

Эффект Зеемана 267

Теория молекул в адиабатическом приближении 270

Молекула водорода 273

Глава XI. Теория излучения; 279

Квантование электромагнитного поля 279

Взаимодействие электромагнитного поля с заряженной частицей 289

Однофотонные процессы .292

Дипольное излучение . . . , 295

Правила отбора 298

Глава XII. Теория рассеяния 302

Сечение рассеяния 302

Амплитуда рассеяния 304

Борновское приближение 306

Метод парциальных волн 308

Неупругое рассеяние 315

Приложения 318

Операторы углового момента в сферических координатах . . . .318

И. Сферические функции . . .319

Полиномы Чебышева—Эрмита 327

Некоторые сведения из теории функций комплексной переменной 332

Функция Эйри 340

Метод функций Грина 341

Решение основного уравнения теории рассеяния методом функций Грина 343

Дельта-функция Дирака 347

Предметный указатель . 350