МЕХАНИКА

Глава I ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ

Введение

В зависимости от характера изучаемых объектов механику можно подразделить на механику материальной точки, механику твердого тела) и механику сплошной среды. Последняя в свою очередь подразделяется на гидродинамику, газовую динамику, теорию упругости, теорию пластичности и т. д.

' В механике самым сложным для изучения объектом является сплошная (непрерывная) среда, поскольку она представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Кроме того, при решении ряда задач, рассматриваемых механикой сплошной среды, наряду с методами и уравнениями теоретической механики используются также методы и уравнения термодинамики, электродинамики и т. д. Эти обстоятельства и служат причиной того, что механика сплошной среды является самым сложным разделом механики. В данной книге вопросы механики сплошной среды затрагиваться не будут.

В курсе общей физики задачи механики решаются с помощью уравнений Ньютона. В этой главе мы познакомимся с другим подходом к описанию и изучению движения механических систем. Под механической системой мы будем понимать совокупность материальных точек, движение которых может быть либо свободным, либо ограниченным связями. В частности, совокупность материальных точек, объединенных жесткими связями, образует твердое тело. В дальнейшем мы будем материальные точки для краткости называть частицами.

В соответствии с упомянутым подходом каждой механической системе сопоставляется некая функция обобщенных координат и обобщенных скоростей системы, а также времени:

L — L (координат, скоростей, времени), называемая функцией Лагранжа. Обобщенными координатами qk называются любые величины, с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве. Обобщенными скоростями qte называются производные обобщенных координат по времени ’).

Функция Лагранжа может быть использована для характеристики не только систем с конечным числом степеней свободы, но и систем с бесконечным числом степеней свободы — сплошных сред, электромагнитных и других физических полей. Таким образом, значение функции Лагранжа выходит за рамки классической механики.

Установив для рассматриваемой механической системы вид функции Лагранжа, можно описать движение системы с помощью уравнений, связывающих частные производные функции L по координатам и скоростям. Эти уравнения, называемые уравнениями Лагранжа, заменяют уравнения Ньютона.

Использование уравнений Лагранжа вместо уравнений Ньютона обладает тем преимуществом, что количество уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы системы, которое при наличии связей, ограничивающих движение системы, будет меньше чем утроенное число частиц, входящих в систему. Количество же уравнений Ньютона, необходимых для описания системы из N частиц, равно 3N. Кроме того, в уравнения Лагранжа не входят реакции связей), которые заранее неизвестны. Таким образом, при использовании уравнений Лагранжа реакции связей автоматически исключаются из рассмотрения, что существенно упрощает решение соответствующей задачи.

*) Напомним, что точки над символом величины означают dx _ d2x

производную по времени: х —-^-, х = -^2-

Правда, решение дает в этом случае сведения лишь о движении системы, значения реакций остаются неустановленными. Но в большинстве физических задач значения реакций не представляют интереса, так что данных, получаемых методом уравнений Лагранжа, оказывается вполне достаточно. В качестве примера можно указать на задачу о колебаниях математического маятника (рис. 1.1). Уравнение второго закона Ньютона для частицы m имеет вид

пгт = mg + R,

где R — реакция нити. Проектируя все векторы на оси х, у к г (ось z направлена за чертеж), мы получим три скалярных уравнения:

m2 = R„ my = mg + RB, mz = 0.

Если же характеризовать положение системы обобщенной координа

т!2ф = — mgl sin ф,т!2ф = — mgl sin ф,d-Dd-Dтой ф, то вместо трех уравнений оказывается достаточным только одно:

т!2ф = — mgl sin ф,

т!2ф = — mgl sin ф,

d-D

d-D

которое и есть уравнение Лагранжа для данного случая1). Реакция R в него не входит. Решив уравнение, мы найдем ф как функцию t. Вида функции L для рассматриваемой системы мы пока касаться не будем ,(см. пример 1 в § 6).

Итак, движение механической системы может быть описано либо с помощью уравнений Ньютона, либо с помощью упавнений Лагранжа. Естественно, что к уравнениям Лагранжа можно прийти, исходя из уравнений Ньютона (что и будет сделано в § 4 этой главы). Однако весьма существенным является то обстоятельство, что уравнения Лагранжа можно получить с помощью весьма общего вариационного принципа— принципа наименьшего действия. Этот принцип может быть положен в основу классической

*) Обобщенная скорость ф входит в это уравнение в виде d

-dt^-

механики вместо законов Ньютона. Достоинство принципа наименьшего действия состоит в том, что его можно легко распространить на системы, не являющиеся механическими или чисто механическими, например на упругие среды, электромагнитные поля, поля элементных частиц и т. д.

Резюмируя, можно сказать, что излагаемый в данной главе подход к изучению движения механических систем обладает гораздо большей общностью, чем метод, основанный на законах Ньютона.

Связи

Для системы частиц с массами т(1), ту\ ... уравнения второго закона Ньютона можно записать следующим образом:

m1xi = F1 (г — 1, 2п),(2.1)

где tri] = mi = та - т1^— масса 1-й частицы, т* = = ms = mG = т^ — масса 2-й частицы, ..., xj — координата х 1-й частицы, ха — координата у 1-й частицы, ха—координата z 1-й частицы, х4, х5, х6— декартовы координаты х, у. z 2-й частицы, .... F\ — проекция па ось х результирующей силы F*\ действующей на 1-ю частицу, Fa— проекция силы Р(|> на ось у, F& — проекция той же силы на ось г, F^, Fa, F6 — х-, у-, z-компоненты силы F(2), действующей на 2-ю частицу, и т. д. Число п уравнений, содержащихся в (2.1), равно утроенному числу частиц, входящих в систему.

На положения и скорости частиц системы могут быть наложены ограничения геометрического или кинематического характера. Эти ограничения называются связями.

Примерами систем со связями геометрического характера могут служить:

частица, которая при своем движении не может покинуть заданную поверхность или заданную кривую. Поверхность или кривая могут быть неподвижными (стационарная связь) или перемещаться заданным образом (нестационарная связь);

две частицы Д и В, связанные жестким невесомым стержнем длины /. В этом случае ограничение,

накладываемое связью, может быть записано в виде уравнения

<хА — хвУ + куА — увУ + к^д — zs)2 = Z2;(2.2)

две частицы, связанные невесомой нитью длины /. Аналитическое выражение такой связи имеет вид

(хл — x^f + \ул — увУ + кг а — 2Э)2 s^/2,(2.3)

абсолютно твердое тело, которое можно рассматривать как систему частиц с неизменными взаимными расстояниями, т. е. подчиненных связям вида (2.2).

Примером системы со связью как геометрического, так и кинематического характера может служить шар, катящийся без скольжения по шероховатой поверхности. Ограничение кинематического характера заключается в том, что скорость точки касания должна быть равна нулю.

В общем случае связь геометрического характера можно представить уравнением

fUo х2х„, Z) = 0(2.4)

(п = 3ZV, где N— число частиц в системе).

Когда ограничения наложены не только на координаты частиц, но и на их скорости, уравнение связи имеет вид

<р(хь х2, .. ., х„, х , х2, ..., х^, Z) = 0.(2.5)

Если уравнение (2.5) может быть проинтегрировано по времени, оно, очевидно, эквивалентно уравнению вида (2.4).

Связи вида (2.4) и сводящиеся к ним интегрируемые связи вида (2.5) называются голономными (или интегрируемыми). Голономными называют также системы с подобными связями. Системы, фигурирующие в рассмотренных выше примерах 1, 2 и 4, относятся к числу голономных.

Итак, в случае голономных связей накладываемые ими ограничения выражаются в виде равенств, связывающих координаты частиц и время (см. уравнение .(2.4)).

Неинтегрируемые связи вида (2.5), а также связи, выражаемые в виде неравенств (см. пример 3), называются неголономными.

Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными (или склерономными). Связи, изменяющиеся со временем, носят название нестационарных (или реономных).

Уравнение голономной стационарной связи имеет вид

f (хь х2, . . ., х„) = 0.(2.6)

Оно отличается от уравнения (2.4) голономной нестационарной связи тем, что в него не входит явно время t.

Для задач с неголономными связями общих методов решения не существует. Требуется индивидуальный подход к каждой задаче. Неголономных систем мы рассматривать не будем.

Каждая голономная связь, т. е. связь, выражаемая уравнением (2.4) или (2.6), позволяет представить одну из координат как функцию остальных. Следовательно, каждая такая связь уменьшает число независимых координат на единицу.

Напомним, что число независимых величин, необходимых для определения положения системы в пространстве, называется числом степеней свободы системы. Поэтому можно сказать, что каждая голономная связь уменьшает число степеней свободы системы на единицу.

Если связи отсутствуют, то система из N частиц обладает числом степеней свободы, равным п = ЗУ. При наличии г связей число степеней свободы будет равно s = п — r = 3N — г.

Связи действуют на частицы системы с силами R(a), которые называются реакциями. Связь без трения называется идеальной. Суммарная работа, совершаемая реакциями над частицами системы с идеальными стационарными связями, равна нулю. В качестве примера, подтверждающего это утверждение, можно привести систему, изображенную на рис. 1.1. У этой системы реакция R направлена вдоль нити, а скорость частицы v перпендикулярна к нити; поэтому сила R работы над частицей не совершает. Если связь (даже

идеальная) зависит от времени, совершаемая ее реакцией работа, как правило, отлична от нуля.

Выражение для элементарной работы, совершаемой над частицами системы реакциями связей, имеет вид dA = X Re dx£. Для системы с идеальными стационарными связями эта работа равна нулю. Следовательно, для таких систем

2 Rt dxt — 0,(2.7)

где dxt — проекции на координатные оси перемещений частиц, совместимых со связями, наложенными на частицы ).

Уравнения движения

в декартовых координат ах

Рассмотрим систему, состоящую из взаимодействующих друг с другом частиц. Пусть на частицы действуют также внешние силы. Воспользуемся для координат частиц и компонент сил теми же обозначениями, которые мы применяли в предыдущем параграфе (см. первый абзац § 2).

В некоторых случаях силы, действуют,ие на частицы (или хотя бы часть этих сил), могут быть представлены в виде

Fi = -^-<3J)

где

U = U(xb х21 . ... хп, О(3.2)

— функция координат частиц и времени, назызаемая потенциалом, системы. Если в функцию U не входит явно время t, она представляет собой потенциальную энергию системы.

Сила, определяемая формулой (3.1), называется потенциальной. Следует различать стационарные и нестационарные потенциальные силы. Стационарными называют силы, зависящие только от координат частицы и не зависящие явно от времени. Таким силам отвечает функция U, не содержащая времени явно. Когда t входит в U явно, сила зависит не только от координат, но и от времени и, следовательно, будет нестационарной. Стационарные потенциальные силы называют консервативными. Системы, в которых действуют только консервативные силы, также называют консервативными.

Отметим, что в соответствии с (3.1) силу, действующую на частицу с номером а, можно представить в виде градиента функции (3.2):

Fa=-Va№, tVY(3.3)

Здесь Va — оператор, компоненты которого равны частным производным по координатам a-й частицы. Формулу (3.3) можно записать также следующим образом:

(3-4)

где га — радиус-вектор частицы ).

Пусть часть сил, действующих на частицы системы, потенциальна, а часть — непотенциальна. Тогда уравнению (2.1) можно придать вид

М = ~ ^ + ^ G" = 1. 2nY (3.5)

где F, — компоненты иепотенциальных сил, п — утроенное число частиц.

Уравнение (3.5) можно написать в форме, очень удобной для обобщений. С этой целью вводится в рассмотрение упоминавшаяся в § 1 функция Лагранжа, которая для рассматриваемой нами системы частиц

*) Через */ в символах функций мы будем обозначать совокупность всех координат: xt, Xa, .... х,.

определяется следующим сбразом:

L <хи хь Z) = £ ^- -Щхь tY (3.6)

Продифференцировав по времени частную производную от L по х;, получим левую часть уравнения (3.5):

d dLdt ;ЭУЧd dLdt ;ЭУЧ-^ {т^} = niiXi.-^ {т^} = niiXi.

d dLdt ;ЭУЧ

d dLdt ;ЭУЧ

-^ {т^} = niiXi.

-^ {т^} = niiXi.

Частная производная от L по Xi дает Z-ю компоненту потенциальной силы:

dL _ oU d»t дх1 "

Следовательно, мы приходим к соотношениям

4$;-^=f: 0 = 1,2, .«). (3.7)

которые носят название уравнений Лагранжа.

Для систем, в которых действуют только потенциальные силы, уравнения Лагранжа имеют вид

d dL _ dL _ dt dxf dxtd dL _ dL _ dt dxf dxt(Z = 1, 2n).(Z = 1, 2n).(3.8)(3.8)

d dL _ dL _ dt dxf dxt

d dL _ dL _ dt dxf dxt

(Z = 1, 2n).

(Z = 1, 2n).

(3.8)

(3.8)

В некоторых случаях уравнения Лагранжа можно представить в форме (3.8) даже тогда, когда силы, действующие на частицы, зависят от скоростей (примером таких сил служит сила Лоренца). Это удается сделать при условии, что такие силы можно получить из некоторой функции U^x,, х,, t) с помощью соотношения

(3-9)(3-9)dU" , d dU*dxt "* dt dx.

(3-9)

(3-9)

(проверку этого утверждения предоставляем читателю).

Функцию U*\Xi, Xi, t) называют обобщенным потенциалом. Силы, отвечающие этому потенциалу, мы будем называть обобщенно-потенциальными. При наличии таких сил функция Лагранжа записывается следующим образом:

m х2

L (х„ ^ Z) = £ -У- - U (х„ /) - U* (хь хь tY (3.10)

К числу сил, зависящих от скоростей частиц, относятся и так называемые диссипативные силы. Этим термином обозначают силы, всегда направленные противоположно скоростям частиц и, следовательно, вызывающие их торможение. К числу диссипативных сил относятся, например, силы трения. При наличии диссипативных сил полная механическая энергия системы уменьшается (рассеивается1)), переходя в другие немеханические формы энергии (например, во внутреннюю энергию тел).

Во многих случаях диссипативные силы F(d) бывают пропорциональными скоростям частиц, так что их компоненты по координатным осям определяются равенством

F^ = — htxt (Z = 1, 2п\ (3.11)

В этом случае диссипативные силы могут быть выражены через диссипативную функцию Рэлея1), равную

(312)

i

Действительно, сопоставив выражения (3.11) и (3.12), легко получить, что

Ff==-^-<313)

Подставив это выражение в формулу (3.7) вместо F предполагая, что других непотенциальных сил нет, получим уравнение

Д dLдL , dD

>=(3.14) di дх{вх. дх{

Функция D имеет простой физический смысл. Работа, совершаемая диссипативными силами за время dt, равна

dA = £ F^ dxi = ^ F^xt dt = -^ ^-Xidt= -2D dt /ii ‘

(мы воспользовались теоремой Эйлера об однородных функциях; см. Приложение II). Эта работа совер-

*) Слово диссипация (лат.) означает рассеяние.

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 17 шлется за счет запаса энергии системы. Следовательно, величина —dA/dt = 20 дает скорость рассеяния энергии.

Преимущество уравнений Лагранжа перед уравнениями Ньютона (3.5) заключается в том, что они, как будет показано в следующем параграфе, остаются теми же по форме при переходе от декартовых к любым обобщенным координатам. При переходе же к независимым обобщенным координатам из уравнений выпадают реакции идеальных голономных связей, что сильно облегчает решение задач.

Уравнения Лагранжа

в обобщенных координатах

Обобщенными координатами qk называются любые величины (длины, углы, площади и т. д.), которые определяют положение механической системы в пространстве. В качестве примера можно указать на сферические координаты частицы: г, О, ф. Очевидно, что декартовы координаты представляют собой частный случай обобщенных координат.

Производные по времени от обобщенных координат, т. е. величины q^ называются обобщенными скоростями системы.

Число независимых обобщенных координат, необходимых для задания положения системы, равно числу ее степеней свободы. В дальнейшем мы всегда будем выбирать обобщенные координаты так, чтобы их число совпадало с числом степеней свободы системы (т. е. чтобы все они были независимы друг от друга).

Отметим, что обобщенные координаты часто бывают полезными и в системах без связей (в этом случае их число совпадает с числом декартовых координат). Так, при решении задачи о движении частицы в центральном поле сил сферические координаты г, О, ф более удобны, чем декартовы координаты х, у, z.

Весьма полезным оказывается следующее представление. Введем в рассмотрение систему координат в воображаемом s-мерном пространстве (его называют конфигурационным пространством или ^-про- странством). По осям этой системы будем откладывать значения координат qkW Тогда для каждого момента времени / положению системы в обычном

пространстве будет соответствовать точка в конфигурационном пространстве. Движению системы в реальном трехмерном пространстве будет соответствовать движение точки в воображаемом s-мерном пространстве.

Докажем, что уравнения (3.7) остаются справедливыми при переходе от декартовых координат xi к обобщенным координатам q^, а также что в уравнения Лагранжа, написанные в независимых обобщенных координатах, реакции связей не входят.

Рассмотрим голономную систему с идеальными стационарными связями. Разделим непотенциальные силы, действующие на частицы системы, на две категории: реакции связей Ri и прочие непотенциальные силы F*. Тогда уравнения (3.7) будут выглядеть следующим образом:

4^--^=«<+,;; <'='.2">■ <41>

Пусть на систему наложены г связей, выражаемых условиями

Л(ХЬ Х2хп) = 0(/==1,2г) (4.2)

(поскольку связи стационарны, в функции f, время явно не входит).

Декартовы координаты хи определяющие положение частиц системы, могут быть представлены как функции обобщенных координат qfc. Если время / не входит явно в уравнения связей, всегда можно выбрать qk так, чтобы / не вошло и в функции, выражающие Xi через qfe) т. е. чтобы эти функции имели вид

Xi = Xt (qb q2, .. ., ц5)(/ = 1, 2, . . ., n) (4.3)

(s — число степеней свободы, равное п— г). В дальнейшем для сокращения записей выражения типа xt(qi, qi, .... qs) мы будем записывать в виде Xi^q^.

В соответствии с (4.3) производные функций x^qi^ по времени имеют вид

дх.

=<44>

Суммирование производится по всем qk, т. е. индекс k пробегает все значения от I до s. Выражение (4-4) может быть написано для любого I от 1 до п. В дальнейшем, когда это не сможет привести к недоразумениям, мы не будем указывать значения, пробегаемые индексом, по которому производится суммирование. Этот индекс называется немым. Отметим, что в формулах суммирования немой индекс может обозначаться любой буквой — замена одного индекса другим не изменяет суммы. В частности, выражение (4.4) может быть с таким же успехом записано, например, в виде

t "д^ь <4'5)

Величины dxi/dqk не содержат обобщенных скоростей qk. Поэтому на основании (4.4) можно утверждать, что

(4.6)(4.6)dxt 9xt

(4.6)

(4.6)

Отметим также, что поскольку функции (4.3) не содержат величин qk, частные производные от х, по этим величинам равны нулю:

(4.7)(4.7)dxtдГк

(4.7)

(4.7)

Наконец, получим еще одно соотношение, которое нам понадобится в дальнейшем. Величины dxt/dqk суть функции только координат qk (скоростей qk эти величины, как уже отмечалось, не содержат). Поэтому

d дх.т-ч д / дх, Xт-ч д2х,

dt dqkLj dqt \dqk)4tLj dqtdqk '

Теперь продифференцируем выражение (4.5) no qk. Поскольку производные dt[t/dqk равны нулю, получим

div tri 5 / дх. Xд2х{

6qk "9чк Vd4tдчкa<ii ^l

шениюшениюСопоставив это выражение с (4.8), придем к соотно

шению

шению

(4.9)(4.9)dx( d dx( "dq” — "dt "dq^ '

(4.9)

(4.9)

Получив все необходимые соотношения, приступим к доказательству. Умножив обе части каждого из уравнений (4.1) на dXi/dqk и сложив все уравнения вместе, получим

t-ч / d dL \ dx{dL дх(

2-i \ dt dxt J dqfc 2-i dxt dqk

E

dx.dx,

<4*0>

Первая из сумм в правой части этого выражения равна нулю. Чтобы доказать это, умножим ее на dq^:

(Е R‘ ^)d^=Е ^ (^-d^=Е Ri dXi-

Здесь dxi — приращения декартовых координат, возникающие в том случае, когда qk получает приращение dq^, остальные же обобщенные координаты остаются неизменными. Однако согласно (2.7) сумма У, Rt dxi для любых dxt, совместимых со связями, равна нулю (напомним, что мы предполагаем связи стационарными и идеальными). Таким образом,

И, ПОСКОЛЬКУ ^йт^О, мы приходим к выводу, что

Z^-o.<411>

Величину

дх,

q:=) f —-L(4.12)

z_< i dqkv '

(см. второе слагаемое в правой части уравнения (4.10)) называют обобщенной силой. Основанием для

такого названия служит то обстоятельство, что выражение

^ йЧк = ^ ^/ ( 5^7 dqfe\ ~^Ftйк‘i*' i

дает работу, совершаемую силами F* при перемещениях частиц, обусловленных увеличением обобщенной координаты qk на dqk.

Таким образом, правая часть уравнения (4.10) есть просто Q*k. Рассмотрим теперь левую часть этого уравнения. Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому ZdL дл,

"dF~dq"’ Тогда слева в (4.10) будет стоять разность выражений

ии(4.13)(4-14)(4.13)(4-14)d dL \ dx( dL dx(dt dxt у dqk + А* dx( dqk

и

и

(4.13)

(4-14)

(4.13)

(4-14)

EdL dxtdL dxj

, dxi дЧк ^~ y* dxt a<Ik "

Последнее выражение представляет собой производную фУНК11ии Лагранжа по обобщенной координате qk; dL/dqk.

Выражение (4.13) можно с учетом (4.9) записать в виде

^п ^ d dL 2-i \ dt dx(^п ^ d dL 2-i \ dt dx(\ dxt\ dxtdxtdxt

^п ^ d dL 2-i \ dt dx(

^п ^ d dL 2-i \ dt dx(

\ dxt

\ dxt

dxt

dxt

Наконец, произведя замену dxt/dqk в соответствии с (4.6), придем к выражению

d dZ. dxt

d dLdt dqk 'd dLdt dqk 'dt 2-i dxt dqk ’

d dLdt dqk '

d dLdt dqk '

Действительно,Действительно,которое есть не что иное, как

Действительно,

Действительно,

по правилам дифференцирования сложной функции

dL у4_££ SXi_ у» dL ах{"^"LdXt dqk + 2-4 dxt"d^

но согласно (4.7) все dxjdqk равны нулю, так что первая из сумм дает нуль. Таким образом, мы пока- гали, что выражение (4.13) равно "^-д^-•

Итак, разность выражений (4.13) и (4.14) есть d L»dLг., ,

поосто-тт^г:—. Подставив это значение в (4.10),

1 di д$кdqk»”

придем к уравнениям =(й= 1 2 .. д (4.15)

dt aqk oqkх'

которые отличаются от уравнений (4.1) тем, что вместо декартовых координат х, в них входят обобщенные координаты qfe, а вместо сил F* — обобщенные силы Q*k. Реакции связей R, в уравнения /(4.15) не входят.

Если все силы, действующие на частицы системы (кроме реакций связей), потенциальны, уравнения (4.15) имеют вид

(&=1,2s).(4.16)(&=1,2s).(4.16)d SLdL

(&=1,2s).(4.16)

(&=1,2s).(4.16)

dt д$к"dq"k — 11

Уравнения (4.15) и (4.16) суть уравнения Лагранжа в обобщенных координатах. Фигурирующая в них функция L= L^q\, qi, - - -, q$, qi, q2qs) есть функция, получающаяся из (3.6) путем замены величин xt и xt функциями (4.3) и (4.4).

Можно показать (см. Приложение I), что уравнения (4.15) и (4.16) остаются справедливыми и для го- лономных систем с идеальными нестационарными связями.

Итак, мы доказали, что уравнения Лагранжа имеют одинаковый вид как в декартовых, так и в обобщенных координатах.

Из выражения (3.6) для функции Лагранжа в декартовых координатах вытекает, что производная L по Xi равна р,— проекции импульса соответствующей частицы на одну из координатных осей:

— = mtxl=p1,(4.17)

а производная L по х, равна Ft— проекции потенциальной силы, действующей на частицу:

==(4.18)

dxt дгч ‘*

По аналогии с (4.17) и (4.18| величину

называют обобщенным импульсом, а величину

<4-20>

— обобщенной силой.

С использованием этих величин уравнения (4.16) могут быть представлены в виде

dp.

Sir = Qb(4.21)

аналогичном уравнениям Ньютона

3Uл— • (4.22)d9j6 13Uл— • (4.22)d9j6 1Отметим, что определение (4.20) является более общим, чем определение (4.12), введенное нами для непотенциальных сил. Если бы мы распространили определение (4.12) на потенциальные силы, т. е. силы, которые могут быть представлены в виде F, = = —dU/dxt, то пришли бы к выражению

3U

л— • (4.22)

d9j6 1

3U

л— • (4.22)

d9j6 1

Г у = — У — дх‘

Ltldqk L dxt dqk

Согласно же определению (4.20)

(4-23)(4-23)dL _ д(Т - У) _ дТ _ dU_ dqfe — дЧк — dqfe dqk ‘

(4-23)

(4-23)

Выражение (4.23) отличается от (4.22) слагаемым дТ/dqk, которое, как будет показано в следующем параграфе, вообще говоря, отлично от нуля (см. формулу (5.9)).

Функция Лагранжа и энергия

Функция Лагранжа 1\дк,дк1Ц есть характеристическая функция механической системы. Естественно, что через эту функцию могут быть выражены не только импульсы и силы (см. формулы (4.19) и (4.20)), но также и энергия системы.

Выражение полной энергии системы через функцию Лагранжа имеет вид

Е = £ 4г ^ ~ L ^к’ ^ 0-(5.0

Основания для того, чтобы определить Е именно таким образом, выяснятся ниже. Выражение (5.1) является более общим, чем известное из курса общей физики выражение

Е=-ТА-и.(5.2)

Определение (5.1) остается пригодным и в том случае, когда полная энергия не может быть представлена в виде суммы кинетической и потенциальной энергий.

Вычислим полную производную по времени от величины (5.1):

dE _ уч dL .. уч . d aLaL ■

dt L dq. ' 2.i ^k dt dq. 2^ dq. ^k к вкa к B

Z

aL .. _ dL __/ d dL _ dL X . _ dt^

dqk di — 2-i у dt dqft dqk pk dt ‘

В соответствии с уравнением Лагранжа (4.15) выражение в скобках равно непотенциальной обобщенной силе Q*k. Следовательно,

М«ИМ'~^ <5-3>

к

где W* — мощность всех непотенциальных сил, действующих на частицы системы.

В случае, когда функция Лагранжа не содержит явно времени, дЬ/д1 = й и формула (5.3) переходит всоо. шение

—. = HZ'dt ’

изв, .ое из курса общей физики.

Как следует из (5.3), для того, чтобы имело место сохранение полной энергиг системы, недостаточно отсутствия непотенциальных сил. Кроме того, нужно еще, чтобы время не входило явно в функцию Лагранжа, т. е. чтобы система была консервативной. Итак, мы выяснили, что для замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, величина, определяемая формулой (5.1), остается постоянной. Это и послужило основанием для того, чтобы назвать величину (5.1) полной энергией системы.

В механике функции величин qk и qk, сохраняющие при движении системы постоянное значение, определяемое начальными условиями, называют интегралами движения. Следовательно, можно сказать, что энергия консервативной замкнутой системы является интегралом движения.

Найдем условия, при которых определение (5.1) переходит в (5.2). С этой целью исследуем выражение Т в обобщенных координатах. Связи будем считать голономиыми. Выразим декартовы координаты х< частиц системы через обобщенные координаты qk.

Xi = xt (?ь q2, . . ., qs, 0 (i = 1, 2, ..., n\ (5.4)

Отметим, что время будет входить явно в эти соотношения только в случае нестационарных связей.

Найдем полные производные функций х, по времени. Поскольку величины qk суть функции от t, искомые производные имеют вид

dx, дх,дх

Xi = —+ / -т— <1к0=1,2, .... П).

Подставим эти выражения в формулу для кинетической энергии:

В соответствии с (5.4) выражения dxt/dt и dxi/dqk суть функции от qk и t, величины qn в них не входят. Следовательно, первая из сумм в формуле (5.5) есть также функция от qk и L Обозначив эту функцию буквой а, напишем

«to, О«to, О(5-6)(5-6)

«to, О

«to, О

(5-6)

(5-6)

Изменив во второй из сумм в формуле (5.5) порядок суммирования по I и k, приведем ее к виду

к К. I* ) к

где дх, дх,

Наконец, представив один из множителей в третьейНаконец, представив один из множителей в третьейсумме в формуле (5.5)сумме в формуле (5.5)множитель — в видемножитель — в видеW'W'Zdx.-§57^. к *Zdx.-§57^. к *а другойа другойа затем, изменив поа затем, изменив порядок суммирования по i, к и I, запишем третью суммурядок суммирования по i, к и I, запишем третью суммутак:так:

Наконец, представив один из множителей в третьей

Наконец, представив один из множителей в третьей

сумме в формуле (5.5)

сумме в формуле (5.5)

множитель — в виде

множитель — в виде

W'

W'

Zdx.

-§57^. к *

Zdx.

-§57^. к *

а другой

а другой

а затем, изменив по

а затем, изменив по

рядок суммирования по i, к и I, запишем третью сумму

рядок суммирования по i, к и I, запишем третью сумму

так:

так:

Z

vi т, дх, дх.

^ Ъ—"дГь^; = Ъ^1 ^ °^ к, I i*к, I

где

Z

i т, дх, дх,_ .

tT-dq^-dq]"^58^

Итак, выражение кинетической энергии можно представить в виде

T = a(qh 0 + £ ^Aqj, t)qk + 11 ХкЛЧь ^АкЧь (5-9)

В случае стационарных связей t не входит явно в функции (5.4). Поэтому dxt/dt ™0, так что коэффи-

циенты а(<7/, f) и $k(qb /) превращаются в нуль. В коэффициенты ум в этом случае время не входит явно. В итоге

Т = S Y« кП^кАь(5.10)

k, I

Таким образом, для системы со стационарными связями кинетическая энергия есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей qk.

В § 3 мы выяснили, что для системы частиц функ- цпя Лагранжа в декартозых координатах имеет вид

l \хи Х(, I) = у —.;U {^i, Ч-i

При переходе от декартовых к обобщенным координатам первый член написанного уравнения превратится, вообще говоря, в выражение (5.9). Если же ограничиться рассмотрением стационарных сзязей, первый член нужно заменить выражением (5.10). Второй член примет вид U^q^tY В случае стационарных связей время будет входить явно в U при условии, что потенциальные силы нестационарны.

Итак, в случае стационарных связей функция Лагранжа системы частиц, написанная в обобщенных^ко- ординатах, выглядит так:

Ь <qk, qk, Ч ■= Т (qk, qk) -- U (qk, f),

где T определяется формулой (5.10). Подставив это выражение в формулу (5.1), получим

Е=У-$-Чк-Т(пь q^ + U^, t).(5.11)

В соответствии с (5.10) Т есть однородная квадратичная функция величин q^. Следовательно, для нее согласно теореме Эйлера (см. Приложение И) справедливо соотношение

У "

Произведя такую замену в (5.11), придем к формуле

E = 2T-T + U==T(qk, qk) + U(qk, 0-

Эта формула была получена при одном лишь предположении, что связи стационарны. Если, кроме того, и потенциальные силы будут стационарными, потенциал U^qfe,t^ превратится в потенциальную энергию U^q^ и формула (5.1) перейдет в (5.2).

Итак, определение (5.1) совпадает с (5.2) в случае, когда и связи, и потенциальные силы стационарны.

6. Примеры на составление уравнений «Лагранжа

Выбрав независимые обобщенные координаты, удобные для описания рассматриваемой системы, нужно установить вид функций

xt = Xi {qk, 0 и xt = xt ^к1 qk, О

и подставить их вместо величин х, и х, в выражение для функции Лагранжа

L = T (х^ — U (xz, О *= У* -у- xi — U (xt, f).i

В результате получится функция Лагранжа в обобщенных координатах:

L = L (qk, qk, 0 = Т (qk, qk, t) — U (qk, t\

Если в получившемся выражении для L окажутся слагаемые, не зависящие от qk и qk, эти слагаемые можно отбросить, так как они не внесут вклада в величины dL!dqk и dL/dqk и, следовательно, не окажут влияния на вид уравнений Лагранжа.

Иногда операцию нахождения функции T^qk, qh, t) удается сильно упростить. Это бывает возможно в тех случаях, когда легко устанавливается связь между элементарным перемещением частицы ds и приращениями обобщенных координат qk. Так, например, в полярных координатах на плоскости (рис. 6.1) перемещение ds является диагональю прямоугольника, построенного на сторонах dr и rd<p (нужно помнить о малости </ф). Следовательно, ds2 = dr2 + r2d<p2. Разделив эту величину на dt2, получим квадрат скорости частицы: и2 = г2 + г2ф2. Наконец,

Т = у то2 = — m (г2 + г2ф2).(6.1)

В случае цилиндрических координат к предыдущим двум (г и ф) добавляется третья координата г. Перемещение ds является диагсналью прямоугольного параллелепипеда со сторонами dr, rd<p и dz. Следовательно,

Т = 1т(г2 + г2ф2 + г2). (6.2)

Приращениям полярных координат г, О, ф соответПриращениям полярных координат г, О, ф соответствуют три взаимно перпендикулярных отрезкаствуют три взаимно перпендикулярных отрезка

Приращениям полярных координат г, О, ф соответ

Приращениям полярных координат г, О, ф соответ

ствуют три взаимно перпендикулярных отрезка

ствуют три взаимно перпендикулярных отрезка

зок направлен за чертеж1)). Перемещение ds совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на этих отрезках. В итоге

Т = -^ m (г2 + г282 -(- г2 sin2 Фф2). (6.3)

Рассмотрим несколько примеров.

Математический маятник (см. рис. 1.1). Перемещение частицы m равно ds = ld<p. Поэтому Т = = 1/2ml2^2. Потенциальная энергия U =—mgleos^. Следовательно, функция Лагранжа имеет вид

L = ЧгГпР^? + mgl cos ф.

Предоставляем читателю написать уравнение Лагранжа и убедиться в том, что оно совпадает с уравнением ( 1.1).

*) Отрезки, перпендикулярные к плоскости чертежа, мы будем изображать кружком с тонкой, если отрезок направлен на нас, и кружком с крестиком, если отрезок направлен на чертеж.

Найдем обобщенный импульс и обобщенную силу. Согласно формуле (4.19)

== ml ^

Таким образом, в данном случае обобщенный импульс совпадает с моментом обычного импульса то относительно точки подвеса маятника.

Согласно формуле (4.20)

что есть момент N силы mg относительно точки подвеса. Заметим, что элементарная работа равна

dA = Сф dtp = N dtp.

Последнее выражение совпадает с выражением для работы при вращательном движении, известным из элементарной механики.

Наконец, найдем энергию маятника по формуле (5.1) (в данном случае это можно сделать, так как связь стационарна):

£ = -^- ф — L = тРф2 — у т/2ф2 — mgl cos ф =

= у т (/ф)2 — mgl cos ф.

Маятник с равномерно движущейся точкой подвеса. Пусть точка подвеса математического маятника движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v, лежащей в плоскости качаний маятника (рис. 6.3). Уравнение связи имеет вид

/ (х, у, t} = (х — и/)2 + у2 — Р = 0

(связь не стационарна).

Из выражений для декартовых координат

х = /з1пф+оЛ у = /созф следует, что

х = I cos ф • ф + t1, у = — I sin ф • ф.

Отсюда

Т = 'Ат (/2ф2 + 2и/ cos ф • ф + у2).

Потенциальная энергия (J = —mgy = —mgl cos ф.

При составлении функции Лагранжа постоянно слагаемое Чгтъ1 можно отбросить. Следовательно,

L = -^ (22ф2 + 2у/ cos. ф - ф) + mgl соз ф.

Несмотря на нестационарность связи, время не вошло явно в функцию L.

Нахождение уравнения Лагранжа в этом и следующих примерах предоставляем читателю.

Рис. 6.3Рис. 6.4

Маятник с точкой подвеса, движущейся с постоянным ускорением. Рассмотрим математический маятник, точка подвеса которого движется вдоль прямой, наклоненной к горизонту под углом а, с постоянным ускорением а (рис. 6.4). Координаты точки подвеса равны

хп = у a cos а ■ г, ун = -^ a sin а ■ г,

а координаты точки иг:

х = у а cos а • /2 + I sin ф, у = -~ a sin а • /2 + / cos ф.

Продифференцируем х и у по t:

х = а cos а • £ + 2 cos ф • ф, у — a sin а • t — I sin ф • ф. Подставив эти значения х и у в выражение для кинетической энергии, получим

Т = -^ та2^ + mol (cosacos ф — sin a sin ф) ф£ + у /п22ф2.

Потенциальная энергия равна

U = — mgy = — mg ^Чга sin a ■ Z2 + / cos ф).

При написании выражения для функции Лагранжа можно опустить слагаемые х,2тйЧ2 в 7 и —х kmga sin а-/2 в U, так как эти слагаемые не содержат ф и ф, вследствие чего не могут повлиять на вид уравнений Лагранжа. В результате найдем, что L = mat (cos a cos ф — з!псз1пф)ф/ +Уат/^ + т^/созф. Функция Лагранжа зависит явно от t (это обусловлено нестационарностьюсвязи), причем время вошло

в L через кинетическую энергию 7.

Частица, перемещающаяся по равномерно вращающейся прямой. Пусть на частицу массы т наложена нестационарная связь, заключающаяся в том, что частица может двигаться только вдоль прямой, вращающейся с постоянной угловой скоростью (ф = = ®Z) в вертикальной плоскости (рис. 6.5). Кроме реакции связи, на частицу действует потенциальная сила mg. Декартовы координаты частицы равны

x = rcostoZ, t/ = rsinroZ.

Соответственно

х = f cos toZ — гм sin <oZ, у = г sin tot + rm cos tot.

Кинетическая энергия:

7 = V2m (r2 + r2®2).

Потенциальная энергия:

U = mgy — mgr sin tot

(когда мы перешли от декартовых координат к обобщенной координате г, в выражение для U вошло явно время Z).

Наконец, функция Лагранжа:

L = у т (г2 + г2®2) — mgr sin tot.

Она оказалась зависящей явно от I, причем на этот раз время вошло в L через потенциальную энергию U.

Обобщенный импульс:

3L

Рг = -д7 тг = ™,

где и— скорость перемещения частицы по прямой. Обобщенная сила:

Qr = -^ = иги — mg sin <а/

состоит из двух слагаемых, из которых первое тга? есть центробежная сила инерции, а второе — mg sin to/— проекция силы mg на направление г.

Частица, перемещающаяся по прямой, вращающейся с ускорением. Пусть прямая, обусловливающая связь (см. рис. 6.5), вращается не равномерно, а с ускорением (<р = а/2). Тогда

х = г cos а/2, у = г sin а/2, х — г cos а/2 — гМ sin а/2, у = г sin а/2 -)- г2а/ cos а/2, Т — 'кт (г2 Н- г24а2/2), U = mgy = mgr sin а/2.

Соответственно

L = */2т (г2 + г24и2/2) — mgr sin а/2.

В этом примере время вошло явно в £ и через Т, и через U.

Принцип наименьшего действия *)

В основу механики вместо законов Ньютона может быть положен принцип наименьшего действия или принцип Гамильтона2). Действием S за промежуток времени от к до /2 называется интеграл

8=^ L(q,t> уь t)^,(7-1)

где L(qk, qn, t)— функция Лагранжа рассматриваемой

*) Прежде чем приступить к изучению этого параграфа, следует ознакомиться с Приложением iJL

Этот принцип был установлен ирландским математиком Гамильтоном в 1834 г.

системы. Интегрирование производится от момента времени /ь в который положение системы характеризуется значениями координат ^(/i), до момента /2, в который положение системы определяется значениями координат qk^taV

Согласно принципу наименьшего действия система между положениями qk^ и qk^ движется таким образом (т. е. функции qvAA имеют такой вид), что действие (7.1) имеет наименьшее возможное значение. Воспользовавшись представлением о конфигурационном пространстве, можно сказать, что точка, изображающая положение системы, движется в этом пространстве по той кривой, для которой действие S минимально.

Принцип Гамильтона представляет собой наиболее общую формулировку закона движения механических систем. Достоинство этой формулировки состоит в том, что ее можно легко распространить на системы, не являющиеся чисто механическими, например на упругие среды, электромагнитные поля и т. п.

Как следует из (7.1), размерность действия равна размерности произведения энергии на время (или импульса на перемещение). Такой же размерностью обладает постоянная Планка, которую называют также квантом действия.

Из принципа наименьшего действия легко получить уравнения Лагранжа. Действие S представляет собой функционал (см. Приложение III). Согласно положениям вариационного исчисления функционал достигает экстремального значения при условии, что его вариация равна нулю. Следовательно, принцип наименьшего действия можно выразить условием

SS = dJ L^, qk, 0^=-0. (7.2)

По этой причине принцип наименьшего действия называют вариационным принципом механики.

Из вариационного исчисления известно (см. При- лохсение III), что вариация функционала типа (7.1) ')

*) Ср. с (III. 20). В данной случае роль f (х, ук, у^ играет Ю, qk- Ы Роль независимой переменной х играет t, роль tf»(x) играет </6(0 и роль ук (х) — функция qlt (Д

обращается в нуг^ егт« г к пест;» гулД езяг-ъ функции, уДОВЛеТВОрЯтаИЛЁ.- уЕЙЕП ЕЧМЯИ Эьлеул (Ш. 25). В данном случае уря»нещгл ойлсра имеют вид

т. е. совладают с ; \ -и’ ;акч'А.

Таким образом ’*ы , ' г-ч-, з том, что вринг-лш

Гамкль;."-

ГКЛЗЕЕ -i ’ В Пршви»

-1” ,

аг^аджл.

дующий , j (7.2) к р , '-1

ЧЬ ^

■см. такст, сла-полбаЕленвс в

1 ^au.wviWt-S

по t от лк . л а< 1" VII ио-'’ п.: > к к. Еьсрнат и времени не изменяет чслспли экстремума, т. е. уравнений (7.3). Следовательно, ди „лн.э Лагранжа следует определять с. точность» до адЕигиви^х слагаемых, представляющих собой r,cj. iz^ произпойг^щ по премеки от произвольной фу. : ■. • i обобщенных координат и времени (константа явняется частные случаем такой функцнн). Это обстоя чзлъство нами уже отвечалось в § 4 и бЫгЮ исполь&озано в § 6.

2*

Глава II

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Сохранение энергии

В основе законов сохранения, рассматриваемых в механике, лежат свойства пространства и времени. Сохранение энергии связано с однородностью времени, сохранение импульса — с однородностью пространства и, наконец, сохранение момента импульса находится в связи с изотропией пространства ).

Начнем с закона сохранения энергии. Пусть система частиц находится в неизменных внешних условиях (это имеет место, если система замкнута либо подвержена воздействию постоянного внешнего силового поля); связи (если они есть) идеальны и стационарны. В этом случае время в силу своей однородности не может входить явно в функцию Лагранжа. Действительно, однородность означает равнозначность всех моментов времени. Поэтому замена одного момента времени другим без изменения значений координат и скоростей частиц не должна изменять механические свойства системы. Это, конечно, справедливо лишь в том случае, если замена одного момента времени другим не изменяет условий, в которых находится система, т. е. в случае независимости от времени

внешнего поля (в частности, это поле может отсутствовать).

Итак, для замкнутой системы или системы, находящейся в стационарном силовом поле, dL/dt = ^. Следовательно,

(8-1)(8-1)dL dL , V dL .

(8-1)

(8-1)

dt L dqk 11 к2-i dqb ^к"

Если система консервативна, движение частиц подчиняется уравнениям (4.16). Заменим в соответствии dLd dL ™

с этими уравнениями -^— через -х^—. Тогда выра- tii

жению (8.1) можно придать вид

dt 2—1 dt‘ 2-i dq. dt dt 2-i dq.

^' K. 'A,К

Последнее соотношение можно записать следующим образом:

d V dL ■ dL d /V3 dL .„

dt 4—I dd,, dt dt ! dq.I

A “X к xJ

Согласно формуле (5.1) величина, стоящая в скобках, есть энергия системы Е. Таким образом, мы пришли к утверждению, что dE/dt — 0, откуда

(8.2)(8.2)Е = const.

(8.2)

(8.2)

Итак из однородности времени вытекает закон: энергия замкнутой (или находящейся в стационарном внешнем силовом поле) консервативной системы частиц остается постоянной.

Из определения (5.1) следует, что Е есть функция обобщенных координат qk л обобщенных скоростей qs. Как мы уже отмечали, функции величин q^ и q^, сохраняющие при движении постоянное значение,определяемое начальными условиями, называют интегралами движения. Таким образом, энергия замкнутой системы является интегралом движения.

Сохранение импульса

Рассмотрим замкнутую систему частиц. Замкнутость означает, что воздействие внешних тел на частицы системы пренебрежимо мало. В силу однородно-

сти пространства перемещение всех частиц системы на одинаковый отрезок 6г не должно изменить механические свойства системы — функция Лагранжа должна сохранить свое прежнее значение. Для незамкнутой системы такой перенос вызвал бы изменение расположения частиц ио отношению к взаимодействующим с ними телам, что отразилось бы на механических свойствах системы. Таким образом, только для замкнутой системы частиц можно утверждать, что параллельный перенос системы как целого не сопровождается изменением функции L(6L = 0).

Полагая перемещение 6г очень малым, можно написать

(91) fcned О I ДАе^ U t Д

аа

(а— номер частицы). Мы воспользовались тем обстоятельством, что перемещения частиц бга одинаковы и равны 6г.

По предположению 5г-^0. Поэтому из (9.1) вытекает, что

а

В соответствии с уравнениями Лагранжа (3.8) можно написать

dL_ ddL__ddL

dxadid:cadtdvax’

dL ddL ddL

dya"dtdyadtdvaa*

dLddL=ddL

dzadtdiadtdvaz*

Умножив первое из этих уравнений на орте*, второе на ортеу, третье на орте.,®) и сложив их вместе, получим соотношение

dL d dLzq qx

dr^ — dt dva ‘

. подстрочное примечание на стр. 14. В соответствии со сказанным в этом примечании

дф , дф , , дф , , дф .—- dt = —L- dx + —2- dy 4- —— dz.

dr dx dy dz

2) Вместо символов 1, j, k мы будем обозначать орты координатных осей символом е с соответствующим индексом.

Таким образом, уравнению (9.2) можно придать влд

4У~-=0.(9 Л)

SLdL

Величина — есть зек тол с компонентами ~— = dva-0t)ax

dL SL dL dL dL

= -ТТ- , -3= -r^ , -ч :“ Согласно (4.1 /) эти

"-Га дчон дуа • ди аг'

произведения суть проекции на координатные оси обычного (не обобщенного) импульса q« частицы с номером а. Следовательно,

< = ^(9-5)

С учетом этого обстоятельства уравнение 9.4) запишется следующим образом:

Отсюда вытекает, что

Р = Е Ра -= Const,(9.6)

где р — суммарный импульс системы.

Итак, исходя из однородности пространства, мы пришли к закону: суммарный импульс замкнутой системы частиц остается постоянным. Следовательно, импульс замкнутой системы есть также интеграл движения.

§10. Сохранение момента импульса

Вследствие изотропии пространства механические свойства замкнутой системы частиц не должны изменяться при произвольном повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим не должна изменяться и функция Лагранжа (6L = 0). Найдем приращение функции Лагранжа 6L при произвольном очень малом повороте системы на угол 6ф. Вместе с системой повернутся все векторы, характеризующие систему, вследствие чего эти векторы получат некоторые приращения, которые будут того же порядка, что и бф. Согласно формуле (VI. 46)

бг„=[бф, ra], буа = [8q>, va]. (10.1)

Ввиду малости величин 6га и 6va аа

(напомним, что L = L (га, га) = L (га, vo), время / в £ явно не входит). С учетом (10.1)

bL-’L%;^- r«i + Z£I®*- v-l- <10-2) аа

Из векторной алгебры известно, что в смешанном (векторно-скалярном) произведении трех векторов допустима циклическая перестановка сомножителей (см. формулу (VI. 3)). Произведя такую перестановку в (10.2), получим

д£=£бФ[га, -^] + £бф[уа, ^-]. аа

Вынесем бф за знак суммы, одновременно заменив в соответствии с уравнениями Лагранжа (9.3) —- d at чеРез

По предположению б<р ^- 0, поэтому условие 6/,—0 эквивалентно условию

а

ИЛИ

Пг- ^~hcorsLа

Согласно (9.5) -^- есть обычный импульс ра. Величина М — [гр] есть момент импульса частицы относительно начала координат. Следовательно, мы пришли к утверждению, что

аам = 2(ю.з)

а

а

В этом соотношении Ма — момент импульса частицы с номером а, М — результирующий момент импульса системы.

Итак, исходя из изотропии пространства, мы пришли к закону: результирующий момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным. Значит, момент импульса замкнутой системы, так же как ее энергия и импульс, является интегралом движения.

Пусть система частиц находится во внешнем центральном поле сил, т. е. в таком поле, в котором сила, действующая на любую из частиц, имеет направление, проходящее через одну и ту же неподвижную точку О (центр поля), а модуль сглы зависит только от расстояния г частицы до этой точки. Потенциальная энергия частицы в таком поле имеет вид

и = иИ. (10.4)

Произвольный поворот системы в пространстве вокруг точки О не изменяет механических свойств системы (расположение частиц по отношению к силовому центру О остается при таком повороте неизменным). Следовательно, хотя в данном случае система частиц и не является замкнутой, ее момент импульса будет постоянным. Правда, это справедливо лишь для момента, взятого относительно точки О. В случае же замкнутой системы сохраняется момент импульса, взятый относительно любой точки.

Если внешнее поле обладает осевой симметрией (это значит, что потенциальная энергия частицы зависит лишь от расстояния частицы до заданной оси), то механические свойства системы не будут изменяться при повороте вокруг оси поля. Следовательно, будет постоянным момент импульса системы относительно этой оси (напомним, что моментом относительно оси называется проекция на эту ось момента, взятого относительно любой из точек оси).

Глава HI НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ

§ П. Движение частицы в центральном поле сил

Рассмотрим движение частицы в центральном поле вида

UH^.(11.1)

где а — константа, которая гложет быть либо положительной, либо отрицательной. Положительная константа отвечает случаю отталкивания частицы от силового центра (например, кулоновской силе отталкивания), отрицательная константа — случаю притяжения частицы к центру (кулоновской силе притяжения или силе гравитационного взаимодействия данной частицы с неподвижной частицей, помещающейся в центре поля).

В § 10 мы установили, что в центральном поле остается постоянным момент импульса частицы:

М = [гр] = const.

Векторное произведение перпендикулярно к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы. Отсюда следует, что при неизменном направлении вектора М вектор г всегда лежит в одной плоскости, перпендикулярной к М, и траектория частицы является плоской кривой. Будем определять положение частицы с помощью полярных координат г и <р, совместив начало координат с центром поля. В этих координатах функция Лагранжа имеет вид (см. формулу (6.1))

г2ф2)-^.

В функцию L не вошла явно координата ф. Обобщенные координаты, Ш: входящие ябко в функцию

Лагранжа, называются циклическими. В отсутствие непотенциальных сил уравнения Лагранжа, соответствующие циклическим координатам, выглядят следующим образом:

d dL _ л

dt

Отсюда

Ph = -^-==constО1-2)

Таким образом, обобщенные импульсы, соответствующие циклическим координатам, оказываются постоянными, т. е. являются интегралами движения.

В рассматриваемой нами задаче уравнение (11.2) имеет вид

Рф = -^ = т^ М ^ '’^ 3*-(ИЗ)

Это уравнение можно было написать сразу, учтя, что тг2ф есть момент импульса частицы относительно начала координат, который должен сохраняться в центральном поле сил.

Энергия частицы в центральном поле также является интегралом движения. Поэтому, произведя вычисления по формуле (5.11), можно написать

Е = у т (г2 + г2ф2) + у = const.(114)

Для нахождения траектории частицы лучше исходить из уравнений (11.3) и (11.4), чем из уравнений Лагранжа. Такой путь проще, так как уравнения Лагранжа содержат вторые производные координат, уравнения же (11.3) и (11.4)—первые производные координат по времени.

Исключив из уравнений (11.3) и (11.4) ф, получим

_, I .,Л12л

Е — тг 4- -х—- 4,

21 ^тг- 1 г

откуда

drI/'„ SamМ2

л 2тЕ ™ —-2- .

dttn Vгг*

Из уравнения (11.3)

. dtp 1 _М

Фdttn г2

Исключив dt из последних двух уравнений, найдем, что

dr» = W =

_ 2ат №

(Л4/г2) dr

Введя обозначения

М+(^)г-6- ^ + ^--» (-^^-^).

можно написать

du

л/ь1 -- и2

и .

arccosг Фо,ь

где фо — постоянная интегрирования.

Возвращаясь к прежним обозначениям, мы получим уравнение траектории частицы в полярных коор

динатах

Ф — Фо = arccos

ат/М + Mfr^2тЕ + ^ат!МУ

_1 + WN ОМ

™” uILLUj / —I!II•

AjVV^EM^Ima?

(11-5)

Из уравнения (11.5) следует, что при заданной величине г разность ф — фо может иметь два отличающихся знаком значения (cos(—ос) = cos а). Отсюда легко заключить, что кривая, описываемая уравнением (11.5), симметрична относительно прямой, образующей с осью, от которой отсчитывается ф, угол фо.

Чтобы выяснить характер кривой, описываемой уравнением (11.5), введем обозначения

м2

| а | т ^’

(11.6)

V1+2/;Л12/ща2 ^L.(11.7)

Тогда уравнение траелюэ ir примет вид

Ф — Фо — arccos

1 ± р!ге

или, после несложных преобразований,

(11.8)

(верхний знак соответствует случаю отталкивания, нижний — случаю притяжения частицы к центру сил).

Полученное нами уравнение есть уравнение конического сечения (см. Приложение IV) с фокальным параметром р и эксцентриситетом е.

Рассмотрим сначала случай отталкивания (а > 0). В этом случае U > 0, так что полная энергия Е не может быть отрицательной. Поэтому согласно (11.7) е> 1. Таким образом, в случае отталкивания траекторией частицы может быть только гипербола. Взяв в (11.8) верхний знак (минус), получим уравнение траектории

Т_Р

1 — е cos (ф — фо)

Значение фо определяется выбором начала отсчета ф. Если угол ф отсчитывать от оси симметрии кривой (от прямой, проходящей через фокусы), то г не должно изменяться при изменении знака ф. Это имеет место лишь при фо = 0 или фо = л. Положив фо = 0, получим уравнение

1 — <■ СОЦ ф •

совпадающее с уравнением (IV. 14), которое описывает правую ветвь гиперболы (при условии, что начало координат, т. е. силовой центр, помещено во внешнем (левом) фокусе гиперболы).

Положив фо = л и учтя, ЧТО СОЗ (ф — л) = —COS ф, получим уравнение

1 + < СО? <р ’

совпадающее с уравнением (IV. 13), описывающим левую ветвь гиперболы (при условии, что начало координат помещено во внешнем (правом) фокусе гиперболы; рис. 11.1).

Теперь обратимся к случаю притяжения (« <0). Ему соответствует в формуле (11.8) нижний знак

(плюс). Следовательно, уравнение траектории имеет вид

Г — —

* — 6 COS ф

(11.9)

для <ра = 0 я

г— _!

I J- fcos ф

(11.10)

для <ра — л.

Как показано п Приложении IV, оба уравнения описывают либо эллипс, либо одну из ветвей гиперболы, либо параболу (см. уравнения (IV. II) и (IV. 12)). С какой из этих кривых мы имеем дело, определяется значением <?.

В случае притяжения I) < 0, следовательно полная энергия Е может быть как положительной, так и отрицательной, в частности, она может оказаться равной нулю. Как следует из формулы (11.7), при Е >■ О эксцентриситет оказывается больше единицы и траектория будет гиперболой. Уравнение (11.9) дает правую ветвь гиперболы, уравнение (11.10) — левую. При этом, в отличие от случая отталкивания, начало ко-

ординат, т. е. центр сил, помещается во внутреннем для данной ветви фокусе (рис. Н.2) ').

При £ = О эксцентриситет оказывается равным единице, и траектория будет параболой. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности.

t1I

I l !

//

///

/ /

/ /

/

Рис. 11.2Рис. 11.2Наконец, при E < 0 эксцентриситет меньше единицы, и траектория будет эллипсом. В этом случае кривые, описываемые уравнениями (11.9) и (11.10), отличаются положением силового центра. Кривая (11.9) получается, если центр сил (начало координат) помещается в левом фокусе эллипса. Кривая (11.10) соответствует расположению центра сил в правом фокусе.

Рис. 11.2

Рис. 11.2

*) Сплошные кривые на рис 11.2 изображены для одного и того же значения момента импульса Af, а следовательно, для одинакового значения фокального параметра р. Штриховой эллипс соответствует меньшему значению М. Для меньшего значения М вершина параболы мотет оказаться правее вершины гиперболы, соответствующей большему М.

Если 1 -}-• (2ЕЛЯ/тс2) == О, т. е. Е — —та2/2Л42, то, как следует из формулы (П.7), эксцентриситет обращается в нуль— траектория представляет собой окружность. При заданном Л! такое значение энергии в данном силовом поле является минимально возможным (меньшим Е отвечает мнимое значение с).

Когда частица движется в ограниченной области пространства (частица не уходит в бесконечность), движение называется финитным. Если частица при движении уходит в бесконечность, движение называется инфинитным. Движение по эллипсу является финитным (напомним, что в этом случае Е <' 0), движение по гиперболе и параболе — инфинитным (£>0).

§12. Задача двух тел

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц с массами пг\ и тг- Потенциальная энергия такой системы зависит от расстояния между частицами г, которое можно рассматривать как модуль вектора г, проведенного от одной частицы (скажем, т^ к ^ другой (mi): й=Щг) ^ (рис. 12.1).

Система имеет шесть степеней свободы. В качестве обобщенных координат возьмем три декартовы

координаты центра инерции С системы (которым эквивалентен радиус-вектор R точки С) и три проекции вектора г на координатные оси. Вектор г можно представить в виде

г = г1—г?>(12.1)

(12.2)(12.2)т1г1 4- m2v2 = 0.т1г1 4- m2v2 = 0.где ri и г2— радусы-векторы частиц относительно центра инерции. В соответствии с определением центра инерции

(12.2)

(12.2)

т1г1 4- m2v2 = 0.

т1г1 4- m2v2 = 0.

Решая совместно уравнения (12.1) и (12.2), можно найти, что

г, = —™—-г, г2 =—г. (12.3)

mt + mimi + mi '’

Положение частиц относительно начала координат определяется векторами R + ri и R + г2.

Напишем функцию Ла 'ранжа системы:

L = ^ (Й + г,)2 + -у2- (Й + r2)2 - U (г).

Осуществив возведение в квадрат и приняв во внимание, что согласно (12.2) «irs -f- m2r2 = 0, получим

L = т1-ф^2 Й2 + -^ г2 4- -^г2 - и (г).

Наконец, заменив ri и г2 через г в соответствии с (12.3), придем к выражению для L в принятых нами «координатах» R и г ):

L = -^J-t.^. ц2 -и ^- г2 - U {г),(12.4)

где

(12.5) mt + т2'

— величина, называемая приведенной массой системы. Функция (12.4) распадается на два независимых слагаемых:

L = L (Й) + L (г, г).

Первое из них описывает поведение центра инерции системы, второе — движение частиц относительно центра инерции.

Как вытекает из (12.4), координата R оказывается циклической (она не входит явно в L; см. предыдущий параграф). Следовательно,

рй — (/«j -Ь m2) R = const

(ямпульс системы сохраняется; это можно было предвидеть заранее, ибо система замкнута). Центр инер-

ции системы движется прямолинейно и равномерно (либо покоится).

Движение частиц относительно центра инерции описывается функцией

L — ^r1 -U (г).(12.6)

Ее можно рассматривать как функцию Лагранжа частицы массы fi, движущейся в центральном поле с неподвижным центром. Положение частицы относительно силового центра определяется радиусом-вектором г. Таким образом, задача о движении системы из двух взаимодействующих частиц (задача двух тел) оказалась сведенной к задаче о движении одной частицы в центральном поле сил. Эту задачу мы рассмотрели в предыдущем параграфе. Мы выяснили, что в случае, когда U — а/г, траекторией частицы будет коническое сечение. Следовательно, конец радиуса-вектора г = = Fi—г2 скользит при движении частиц по кривой, представляющей собой коническое сечение. Согласно (12.3) радиусы-векторы ri и г2 пропорциональны радиусу-вектору г1). Таким образом, каждый из этих векторов также описывает коническое сечение. В зависимости от характера взаимодействия (притяжения либо отталкивания) и величины полной энергии системы траекторией каждой из частиц будет либо эллипс, либо парабола, либо гипербола.

Допустим, что вспомогательная воображаемая частица ц движется по эллипсу, описываемому уравнением

1 — <• COS <р "

Согласно (12.3) вектор п в любой момент времени имеет такое же направление, что и г (<pi=<p), а модуль его в тг/^т\ + т2) ряз больше. Следовательно, частица mi движется по эллипсу:

где pi = pmz/{m\ + т2).

Вектор г2 в каждый момент времени направлен противоположно вектору г (см. (12.3)). Поэтому, когда вектор г ориентирован под углом <р, вектор г2 ориентирован под углом <р2" л + ф. Модуль вектора г2 в »Zi/(mi + m2) раз больше. Следовательно, учтя, что

cos (<р2— л) =—созф2, уравнение эллипса, по которому движется частица т^, нужно записать в виде

г ———Е»,(12.8)

1 е cos

где p2 = P"ii/(mi + т2).

В случае, соответствующем уравнению (12.7), начало координат (т. е. центр инерции С) помещается в левом фокусе эллипса [см. формулу (IV. 11)). В случае, отвечающем уравнению (12.8), начало координат (точка С) помещается в правом фокусе эллипса

(см. формулу (IV. 12)). Следовательно, траектории частиц выглядят так, как показано на рис. 12.2').

Предоставляем читателю самому убедиться в том, что в случае движения по гиперболам траектории частиц будут выглядеть так, как показано на рис. 12.3, а (в случае взаимного притяжения частиц), и на рис. 12.3,6 (в случае отталкивания).

Упругие столкновения частиц

Столкновением называется процесс, заключающийся в том, что взаимодействующие друг с другом частицы, придя из бесконечности (т. е. с такого расстояния, при котором их взаимодействием можно пренебречь), сближаются, а затем либо расходятся снова на бесконечность, либо остаются на конечном расстоянии друг от друга. В первом случае столкновение называется рассеянием частиц, а во втором — захватом частиц. Очевидно, что захват может наблюдаться только в том случае, если взаимодействие частиц имеет характер притяжения.

Когда говорят о столкновениях частиц, отнюдь не предполагают, что частицы приходят в соприкосновение, как это бывает, например, при столкновении двух шаров. Имеется в виду лишь то, что вследствие взаимодействия частицы изменяют направление или характер своего движения.

Рассмотрим упругое столкновение двух отталкивающихся частиц. Столкновение называется упругим, если оно не сопровождается изменением внутренней энергии частиц. Следовательно, при упругих столкновениях механическая энергия системы сталкивающихся частиц остается постоянной.

Проще всего процесс столкновения рассматривать в системе отсчета, связанной с центром инерции частиц (ее называют ^-системой). Однако на практике наблюдения за столкновениями производятся в системе отсчета, относительно которой центр инерции частиц движется со скоростью Vc. Эту систему отсчета называют лабораторной системой или, короче, л-систе- мой. Обычно в лабораторной системе одна из частиц до столкновения покоится.

*) Рис. 12.2 и 12.3 выпольены для пц1тг ™ 2/3; е — 0,8 (рис.12.2) и е = 1,5 (рис. 12.3) .

Между скоростью /-й частицы в л-системе (мы будем обозначать ее символом v,) и скоростью той же частицы в ^-системе (эту скорость обозначим у(гС|) имеется очевидное соотношение

v, = v2 + v<c>. (13.1)

Из определения центра инерции следует, что

znjV] + т2у2

Vc+ m2

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая, когда в л-системе вторая частица до столкновения покоится. Тогда, обозначив скорость первой частицы до столкновения символом Ую, получим, что

miVc — тгт^ V|0,miVc — тгт^ V|0,(13.2)(13.2)

mi

Vc — тгт^ V|0,

mi

Vc — тгт^ V|0,

(13.2)

(13.2)

Подставив это значение Vc в формулу (13.1), получим следующие выражения для скоростей частиц в ^-системе до столкновения:

V(C) = —v

(13.3)(13.3)mi + «2,0’

(13.3)

(13.3)

mi У- т2 10‘

Умножив первую из этих скоростей на mt, а вторую — на т2, найдем импульсы частиц до столкновения в ц-системе:

P’lO^l^lO.

РЙ>= -PVI0.

Здесь p=mim2/(mi+m2)—приведенная масса частиц.

Как это и должно быть, суммарный импульс частиц в ^-системе до столкновения равен нулю. Из закона сохранения импульса следует, что и после столкновения импульсы частиц в /{-системе могут отличаться лишь знаком: р^* = — р^с’.

Суммарная кинетическая энергия частиц в результате упругого столкновения не может измениться (мы считаем, что до и после столкновения частицы находятся друг от друга настолько далеко, что их взаимная потенциальная энергия пренебрежимо мала).

Поэтому можно написать соотношение

Р% ■ Рм „ Р? , Р22гН| ' 2/п22m, ‘ 2т2

(мы опустили верхний индекс «(6)^ при символах импульсов). В сочетании с условием, что j Р^11 = [р^11 и । р«с) j -_ । р(С) ^ написанное нами соотношение указывает на то, что импульсы (а следовательно, и скорости) частиц в результате столкновения лишь поворачиваются в ц-системе на некоторый угол %, оставаясь неизменными по величине. Обозначим символом в) единичный вектор скорости первой частицы в /(-системе после столкновения. Тогда в соответствии с формулами (13.3) можно написать для скоростей частиц после столкновения следующие выражения:

у<С)у<С)т$т. । + м2 и1°е*’т$т. । + м2 и1°е*’

у<С)

у<С)

т$

т. । + м2 и1°е*’

т$

т. । + м2 и1°е*’

у(С) -—у е

2m I 4' m2 0

Чтобы получить скорости частиц после столкновения в л-системе, воспользуемся формулой (13.1), подставив в нее выражение (13.2) для vc. В результате получим т.х, т2

vi - vlc + mi + Vice,.

/П1Ml

Va ffli + т2 V1C тх + «2 У|°

Для импульсов частиц в л-системе после столкновения получаются выражения

mt. т2

Р| ~ mt + m2 Р1° mi + т2 ^о®1’

(13Л>

р2 4- т2 Р1° mi + т2 Р*0®1"

Полученные соотношения можно сделать очень наглядными с помощью следующего геометрического построения. Изобразим вектор рю отрезком AD (рис. 13.1) и отметим на нем точку О, которая делит длину вектора в отношении mi: т2. Из точки О, как из центра, проведем окружность, проходящую через

конец вектора рю. Радиус Piom2/(mi + т2). Если пг; < внутрь окружности (рис. ка А оказывается вне окружности (рис. 13.1, б); при mi ~ т-2 точка А лежит на окружности (рис. 13.1, а). Отложим из точки О под углом х по отношению к рю единичный вектор Ci направления, в котором по предположению летит относительно ^-системы первая частица. Тогда отрезок ОВ будет изображать вектор в1Рют2/ (mi + + m2) и в соответствии с формулами (13.4) отрезок АВ даст ' вектор рь а отрезок BD — вектор р2.

Угол 61 между векторами pi и р10 называется углом рассеяния. Он характеризует отклонение первой частицы, наблюдаемое в л-системе. Угол 02 между векторами р2 и рю называется углом отдачи. Сумма 61+02 называется углом разлета частиц после столкновения. Углы 01 и 62 можно выразить через х — Угол отклонения первой частицы в ц-системе. Учтя, что длина отрезка ОВ равна писать

этой окружности равен : т2, точка А попадает 1,а); если mi > m2, точ-этой окружности равен : т2, точка А попадает 1,а); если mi > m2, точ-6Рис. 13.16Рис. 13.1от2/(т1 + т2), можно на-от2/(т1 + т2), можно на-tg9i =tg9i = УрхоГЛуКтл + rrt2H sin у

этой окружности равен : т2, точка А попадает 1,а); если mi > m2, точ-

этой окружности равен : т2, точка А попадает 1,а); если mi > m2, точ-

6

Рис. 13.1

6

Рис. 13.1

от2/(т1 + т2), можно на-

от2/(т1 + т2), можно на-

tg9i =

tg9i =

Рю/т/От + т2) + 1рют2/(т1 + т2)] cos % '

ИЛИ tge, = ——.(13.5)

& 1 mi 4- m2 cos %х '

Из равнобедренного треугольника OBD получается соотношение

(13-6)(13-6)л — Xе2 — —£—

(13-6)

(13-6)

Из рис. 13.1, а видно, что более легкая частица может рассеяться на более тяжелой (mi < m2) в любом направлении (точка В может находиться в любом месте на окружности). Угол разлета частиц в этом случае всегда больше л/2.

В случае, когда т1>т2 (рис. 13.1,6), угол рассеяния не может превысить некоторое предельное зна-. чение 6imax (ему соответствует точка В' на рисунке). Синус этого угла равен отношению отрезков OB' и О А, т. е.

sin 0i masin 0i maМ2М2

sin 0i ma

sin 0i ma

М2

М2

При mi > m2 угол разлета частиц всегда меньше л/2.

Если массы частиц одинаковы (mi = m2), частицы разлетаются после столкновения под прямым углом друг к другу (61 + 02 — л/2; рис. 13.1, в).

При лобовом ударе частицы разлетаются под углом 01 + 62, равном либо л (при mi < m2; рис. 13.1, а), либо нулю (при т\ > т2 рис. 13.1,6). Угол х ПРИ лобовом ударе равен л. Когда массы частиц одинаковы (mi = mo), pi оказывается равным нулю, а Рг = Рю (см. рис. 13.1, а; в рассматриваемом случае точка В совпадает с точкой /1). Следовательно, частицы одинаковой массы при лобовом ударе обмениваются импульсами. Этот результат легко получить также из формул (13.4).

Полученные нами результаты являются следствием законов сохранения энергии и импульса и не зависят от характера взаимодействия частиц. Для того чтобы определить, под каким угг ом х рассеивается частица, нужно знать закон взаимодействия частиц и их взаимное расположение при столкновении. Рассмотрению этого вопроса посвящен следующий параграф.

§ 14. Рассеяние частиц

В § 12 было показано, что задача о движении двух взаимодействующих частиц сводится к задаче о движении частицы с массой ц (ц — приведенная масса) в центральном поле сил, причем расстояние этой частицы от центра сил равно расстоянию между рассматриваемыми частицами. Найдя траекторию воображаемой частицы массы р, легко найти траектории обеих частиц.

Воспользуемся этим приемом для изучения процесса рассеяния частицы тх частицей /па, которая

первоначально неподвижна в л-системе. Перейдем в /{-систему и рассмотрим частицу ц, движущуюся в силовом поле, центр которого совпадает с центром инерции системы С. На больших расстояниях от центра поле будем полагать столь слабым, что движение частицы вдали от центра можно считать прямолинейным.

(14.1)(14.1)Введем в рассмотрение прицельный параметр или прицельное расстояние Ь, равное тому расстоянию, на котором пролетела бы частица мимо силового центра, если бы поле не оказывало на нее воздействия (рис. 14.1). Ясно, что угол отклонения частицы есть функция прицельного расстояния: x = xW> причем чем меньше Ь, тем, вообще говоря, должен быть больше х- Обратив эту функцию, можно написать

(14.1)

(14.1)

b = b (х).

Предположим, что нс силовой центр С падает пучок одинаковых частиц, летящих вдали от центра в одном и том же направлении и с одинаковой скоростью uq Этот пучок можно охарактеризовать плотностью потока частиц /, под которой подразумевается число частиц, пролетающих за секунду через перпендикулярную к пучку единичную площадку. Будем полагать, что пучок частиц однороден, т. е. что вдали от рассеивающего центра плотность потока одинакова во всех точках поперечного сечения пучка.

Частицы пучка отклоняются на разные углы % в зависимости от того, с каким прицельным расстоянием приближается к центру та или иная частица. Частицы, прицельное расстояние которых окажется в пределах от b до b + db, будут рассеяны в пределах углов от % до % + dx- Обозначим поток таких частиц (т. е. число частиц, рассеиваемых под углами от х до x + ^Z в единицу времени) через dN-^. Отношение

da ==—р-(14.2)

называют дифференциальным эффективным сечением (или поперечником1) рассеяния. Одним из оснований для такого названия послужило то обстоятельство, что da, как следует из (14.2), имеет размерность площади. Легко видеть, что do определяет относительное количество (долю) частиц, рассеиваемых в данном интервале углов.

В случае однородного по сечению пучка поток частиц, прицельное расстояние которых попадает в пределы от b до b + db, равен j2nbdb (поток = плотность потокаX площадь). Этот поток рассеивается под углами от х Д° X + ^Х- Следовательно, dNx = j2nb db. Подставив это значение в формулу (14.2), получим

da = М'Д. = -Ы) db

или, перейдя от переменной b к х (см. (14.1)),

da = 2nbto\^\dx(14.3)

(

dbilb , А

МЫ ВЗЯЛИ модуль -^-, поскольку -Д,7< 0J .

Величину dNx в формуле (14.2) можно трактовать как поток частиц, летящих е пределах телесного угла dQ = 2л sin % d^ (такую величину имеет телесный угол, заключенный между конусами с углами раствора % и х + ^х) Заменив в (14.3) 2лс?% через c?Q/sin х, можно привести формулу для дифференциального эффективного сечения рассеяна я к виду

da = -^- (14.4) sin х > dx 1

Формула (14.3), равно как и (14.4), является самой общей — она определяет дифференциальное эффективное сечение рассеяния в случае любого центрального рассеивающего поля. Величины 6(х) и db/d% определяются характером силового поля, т. е. характером взаимодействия частиц. Следовательно, do определяется видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния. Исследовав экспериментально da, можно получить сведения о характере силового поля.

До сих пор шла речь о рассеянии пучка частиц на одном рассеивающем центре. Практически же наблюдают рассеяние на совокупности одинаковых рассеивающих центров. В связи с этим отметим следующее обстоятельство. На заметные углы х отклоняются только те частицы, которые летят достаточно близко от рассеивающего центра (для которых прицельное расстояние мало). Поэтому если на пути частиц окажется п одинаковых не перекрывающих друг друга и достаточно разреженных рассеивающих центров, то эти центры будут осуществлять рассеяние независимо друг от друга и поток частиц, рассеиваемых в пределах углов от х До х + dy_, будет в п раз больше, чем при наличии только одного центра. Таким образом, в случае п центров

dNx = njdo. (14.5)

Перейдем от частицы с массой р, рассеиваемой неподвижным силовым центром, помещающимся в точке С, к реальным частицам mi и mi- Траектории этих частиц геометрически подобны траектории частицы р. Действительно, согласно (.2.3) радиус-вектор первой частицы, проведенный из точки С, в тч/(mi + m2) раз длиннее радиуса-вектора частицы р, проведенного из

той же точки. Аналогичное соотношение справедливо и для второй частицы. Значит, в ц-системе частица mi отклоняется на тот же угол %, что и частица р. В качестве прицельного расстояния нужно брать расстояние, на котором пролетела бы первая частица мимо второй, если бы частицы не взаимодействовали (радиус-вектор г частицы р, проведенный из силового центра С, совпадает с г1 —г2).

Таким образом, формула (14.3) оказывается справедливой (в ц-системе) и для пучка частиц mi, рассеиваемых частицей т2. Для того чтобы перейти от ^-системы к лабораторной системе, в которой наблюдается рассеяние, необходимо в формуле (14.3) перейти от переменной % к переменной 6ь Этот переход осуществляется по формуле (13.5). Формула, которая при этом получается, в общем случае оказывается очень громоздкой.

В частном случае, когда тх <^( т2 (рассеиваемые частицы много легче рассеивающих), 01 » х (см- формулу (13.5)), так что формулы (14.3) и (14.4) можно записать в л-системе:

da = 2л6 (0J | -^- | d8u

Отметим, что в этом случае р. « mi и г « ri (траектория частицы mi практически совпадает с траекторией частицы р.).

Рассмотрим случай кулоновского рассеивающего поля, т. е. поля вида U = а/r, полагая mi ■< т2. Энергию рассеиваемой частицы можно представить выражением Е = v/2mvu^, где о0—начальная (и конечная) скорость частицы т^ Момент импульса частицы mt относительно центра рассеяния (совпадающего с частицей т2) равен Ai"--mivob (см. рис. 14.1). Подставив эти значения Е и М в формулу (11.5), придем к соотношению:

Н-(т,у>7а)(1/г)

<Р ™ Фо = arccos ——=====;===— .(14. 7)

л/ 1 + V^Mof

Из рис. 14.1 видно, что при г — оо имеются два значения ф — нуль и 2фо. Б первом случае левая часть

формулы (14.7) обращается в —фо, во втором в +фо-

Поэтому, положив в (14.7) г = оо, можно написать

откудаоткудаV1 + ('"1«о<>/<‘)2

откуда

откуда

(14.8)(14.8)21

(14.8)

(14.8)

COS2 Фо = — у5-7^2 •

1 + ^т^Ь ау

Далее из рис. 14.1 следует, что х = л — 2фо, т. е. фо = = л/2— х/2 = л/2 — 01/2 (мы воспользовались тем, что в рассматриваемом случае можно положить 01 =х). Подставив это значение ф0 в формулу (14.8), получим

. 2 611

sin2 =5 '..

21 + (т,ф/а)2

Разрешив это соотношение относительно Ь, придем после несложных преобразований к выражению

(14.9)(14.9)(14.10)(14.10)6 = 6(61) = -^^-^-. л^б 2

(14.9)

(14.9)

(14.10)

(14.10)

Дифференцирование по 0] дает

db а 1

d91 m^Q 2 sin2 (в,/2)

Наконец, подставив выражения (14.9)Наконец, подставив выражения (14.9)ии(14.10) в(14.10) в(14.6), получим формулы для дифференциального эффективного сечения рассеяния частиц массы mi(14.6), получим формулы для дифференциального эффективного сечения рассеяния частиц массы miв кулоновском поле, создаваемом частицей m2(m2 » mi):\miOo/ sind(0j/2),/ a x2 dQuG = |7 |;:.sin (6i/2)в кулоновском поле, создаваемом частицей m2(m2 » mi):\miOo/ sind(0j/2),/ a x2 dQuG = |7 |;:.sin (6i/2)массымассы(14.11)(14.11)(14.12)(14.12)

Наконец, подставив выражения (14.9)

Наконец, подставив выражения (14.9)

и

и

(14.10) в

(14.10) в

(14.6), получим формулы для дифференциального эффективного сечения рассеяния частиц массы mi

(14.6), получим формулы для дифференциального эффективного сечения рассеяния частиц массы mi

в кулоновском поле, создаваемом частицей m2(m2 » mi):

\miOo/ sind(0j/2)

,/ a x2 dQ

uG = |7 |;:.

sin (6i/2)

в кулоновском поле, создаваемом частицей m2(m2 » mi):

\miOo/ sind(0j/2)

,/ a x2 dQ

uG = |7 |;:.

sin (6i/2)

массы

массы

(14.11)

(14.11)

(14.12)

(14.12)

Мы получили известную из общего курса физики формулу Резерфорда для эассеяния а-частиц на тяжелых ядрах. В этом можно убедиться, заменив а через IZe^ и умножив формулы (14.11) и (14.12) на плотность потока а-частиц / и число атомов рассеивающего вещества п, приходящееся на единицу

площади поперечного сечения пучка cs-чдст щ, Тогда в левой части формулы получится ^ыргжеяие л/^а, которое дает dN»t— поток «-частиц, рассеиваемый в ч- тервале углов от 0i до Gi 4- c№i, либо dN<i — i i ж а-частиц, рассеиваемых в телесный угол dQ (ci « р- мулу (14.5)).

Заметим, что найденные нами выражения для do не зависят от знака а, так что полученный результат справедлив не только для случая кулоновского отталкивания частиц т; и т^ но в для случая их кулоновского притяжения.

§15. Движение в иеккерцналън1нх системах отсчета

Функция Лагранжа одной частицы имеет вид

L = 7:;mv2 — U (г)

только в инерциальных системах отсчета. Найдемтолько в инерциальных системах отсчета. Найдемнеинерциальной системе отсче-неинерциальной системе отсче-вид L в произвольнойвид L в произвольнойРис. 15.1Рис. 15.1определяющий положение через скорость v' частицьопределяющий положение через скорость v' частицьта. На рис. 15.1 изображена инерциальная система отсчета К п система К', начало которой (точка О') движется в системе К со скоростью vo(/), а сама система К/, кроме того, вращается относительно системы К с угловой скоростью <в(/). Выразим функцию (15.1) через радиус-вектор г', частицы в системе К', и 1, наблюдаемую в той жета. На рис. 15.1 изображена инерциальная система отсчета К п система К', начало которой (точка О') движется в системе К со скоростью vo(/), а сама система К/, кроме того, вращается относительно системы К с угловой скоростью <в(/). Выразим функцию (15.1) через радиус-вектор г', частицы в системе К', и 1, наблюдаемую в той же

только в инерциальных системах отсчета. Найдем

только в инерциальных системах отсчета. Найдем

неинерциальной системе отсче-

неинерциальной системе отсче-

вид L в произвольной

вид L в произвольной

Рис. 15.1

Рис. 15.1

определяющий положение через скорость v' частиць

определяющий положение через скорость v' частиць

та. На рис. 15.1 изображена инерциальная система отсчета К п система К', начало которой (точка О') движется в системе К со скоростью vo(/), а сама система К/, кроме того, вращается относительно системы К с угловой скоростью <в(/). Выразим функцию (15.1) через радиус-вектор г', частицы в системе К', и 1, наблюдаемую в той же

та. На рис. 15.1 изображена инерциальная система отсчета К п система К', начало которой (точка О') движется в системе К со скоростью vo(/), а сама система К/, кроме того, вращается относительно системы К с угловой скоростью <в(/). Выразим функцию (15.1) через радиус-вектор г', частицы в системе К', и 1, наблюдаемую в той же

системе.

Предположим сначала, что vo(/)^O и начала обеих систем отсчета совпадают. Тогда между скоростями частицы в обеих системах имелось бы соот

ношение

(15.2)(15.2)v = V 4- [юг']

(15.2)

(15.2)

(частица, неподвижная в системе К', имела бы в си-

$ 16. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫВ СИ', ГЕМЫ ОТСЧЕТА

стеме А' скорость, равную [ег-; Ц). Елли же vo(O отлична от нуля, соотношение (13.2) примет вид

v = v0(/)-H' + [юг']v = v0(/)-H' + [юг'](15.3)(15.3)

v = v0(/)-H' + [юг']

v = v0(/)-H' + [юг']

(15.3)

(15.3)

Подставим полученное нами выражение для v в формулу (15.1). В результате получим

а=f ко (1)]2 + ^ + f [®r'F -;-

+ mv0 (I) v' + mv0 (7) [or'J + nV [®r'J- (15.4)

Первое слагаемое в этой формуле есть заданная функция времени, которая может быть представлена как полная производная по / от некоторой другой функции. В § 7 мы установили, что функцию Лагранжа следует определять с точностью до аддитивных слагаемых, представляющих собой полную производную по времени от произвольной функции обобщенных координат и времени. Поэтому слагаемое (m/2)[vo(l)]2 следует опустить.

Рассмотрим четвертое и пятое слагаемые в формуле (15.4). Вынеся за скобки общий множитель, эти слагаемые можно представить в виде

тчй ^ (v' 4- [®г'П = mv0 (1) {-^- + [~^, г']) =

= mvc (О-1—^’ ■”• (15-5)

Здесь d'r'— приращение г', наблюдаемое за время dt в системе К' (напомним, что v'— скорость частицы, наблюдаемая в системе А'|, dip — угол, на который поворачивается система К' за время dt.

Если одна из систем отсчета вращается относительно другой, то приращение некоторого вектора а, наблюдаемое в обеих системах, будет неодинаковым. Это легко понять, предположив, что по отношению к вращающейся системе вектор не изменяется, т. е. приращение вектора в этой системе (обозначим ее А') равно нулю: d'a = 0. Тогда приращение вектора

*) Это выражение получается из формулы (VI. 46), если положить в ней а = г' и разделить получившееся соотношение на dt.

в неподвижной системе (системе К^ можно записать в виде

da == [^<р, а]

(см. формулу (VI. 46)). Если же наблюдаемое во вращающейся системе приращение вектора d'a отлично от нуля, то приращение, наблюдаемое в неподвижной системе, будет равно

da = d'a + [^qi, а](15.6)

(положив а = г' и поделив на dl, мы придем к формуле (15.2)).

Сопоставив (15.6) с выражением, стоящим в фигурных скобках в правой части формулы (15.5), приходим к выводу, что это выражение представляет собой приращение вектора г', наблюдаемое в системе К, т. е. dr'. Таким образом, сумме четвертого и пятого слагаемых формулы (15.4) можно придать вид

dr'

Преобразуем это выражение следующим образом: mv0 (0 ^ = -^- {mv0 (0 г'} — тг' ^.

Первое слагаемое как полную производную по t от функции координат и времени можно отбросить. Во втором слагаемом dv^/dt есть Wo(i)— ускорение начала координат системы К', наблюдаемое в системе К.

Таким образом, мы приходим к следующему выражению для функции Лагранжа в переменных г' и V; L' = mv'2/2 + иг [тг'р/З — mr'w0 (0 4- ту' [аг'] — U (г')-

(15.7)

Мы получили общий вид функции Лагранжа частицы в произвольной неинерциальной системе отсчета. Функцию U теперь нужно считать заданной в переменных г' (в формуле (15.1) она была задана в переменных г). Переход от одних переменных к другим осуществляется по формуле

г ^rG (/) + ?',(10.8)

где Го (0 — радиус-вектор начала координат системы/С (см. рис. 15.1).

Отметим, что даже если в функцию (15.1) время не входило яз;ю (оно могло входить в силовую функцию Щ, то в функцию (15 71 время будет входить, так как wg и и суть, вообще говоря, функции /: кроме того, время войдет явно б слагаемое Щг'^ в результате перехода от г к г, осуществляемого по формуле (15.8).

Прежде чем приступить к составлению уравнения Лагранжа, заменим второе слагаемое выражения (15.7) в соответствии с формулой (VI. 6). В результате получим

L' = mv'72 4- /п®2г'2/2 — /п(ит'/72 —

— тт'wa (/) 4* mV [®r'J — 17 (г')- (15.9)

Воспользовавшись циклической перестановкой сомножителей (см. формулу (VI. 3)), предпоследнее слагаемое, равное mV [юг'], можно было бы записать в виде

m [v'<i»| г'.(15.10)

Уравнение Лагранжа в системе К' выглядит следующим образом:

(15п) dt dv drх ’

(см. формулу (9.3) и подстрочное примечание на стр. 14). Из выражения (15.9) следует, что

^г = mV 4- т [юг'], откуда

"4г ^v = mv' + т t®rl + т t®r'l-

Напомним, что с тех пор, как мы выразили L в переменных г' и V, мы «живгм» в системе отсчета К'. Следовательно, под V нужно понимать ускорение частицы w', наблюдаемое н системе К', а под г'— скорость частицы V в той же системе. Таким образом,

-^- ^г = mw' 4- т [юг'] + т [ev'].(15.12)

Что касается ю, то это есть производная по времени функции ю(0> которая задана нам в системе К.

3 И. В. Савельев, т. 1

При вычислении dU [сУ будем предполагать, что предпоследнее слагаемое в формуле (15.9) представлено в виде (15.10). Тогда получим

^г = /?м»2г7 — m (аг7) а — №?;й (/) + га [v's] — ™г.

(15.13)

Первые два слагаемые в этом выражении представляют собой написанное по формуле «бац минус цаб» (см. (VI.5)) двойное векторное произведение т[ш, [г7®]]. Следовательно, выражение (15.13) можно записать в виде

^г = tn [©, [г7®]] — mw0 (0 4■ tn [v7®^ — -^- (15.14)

Подставив выражения (15.12) и (15.14) в формулу (15.11) и произведя преобразования, придем к уравнению движения частицы в системе К':

mV = —dUldV — mw0 (/) 4- т [г'ю] 4" [® [г'®]] 4-

4-2m[v7®j. (15.15)

Мы видим, что ускорение частицы в системе К' определяется, кроме обусловленной силовым полем силы — dU/dt', рядом дополнительных сил, называемых, как известно, силами инерции. Слагаемое т[® [г7<й] ] дает центробежную силу инерции, а слагаемое 2m [v7®] —кориолисову силу. Сила т[“7®] связана с неравномерностью вращения; она специального названия не имеет.

Если система К' движется относительно системы К поступательно (в этом случае ® = 0, а значит, и ® = С), в уравнение движения входит только одна сила инерции, равная

fin = -mWo(/)_ (15.16)

Замечательно то, что эта сила, как и сила тяжести rag, пропорциональна массе частитды. Это обстоятельство лежит в основе общей теории относительности.

В случае равномерно вращающейся системы координат, не имеющей поступательного ускорения (w0(/) —0, ® —0), функция Лагранжа имеет вид (см. „(15.7))

L' = mV2^ 4- m [ar7p/2 -4- mV [ar7] — U. (15.17)

Найдем импульс, момент импульса и энергию частицы для этого случая. В соответствии с формулой (9.5)

Взяв производную от функцпд (15.17), получим р' — ту' 4" tn [<sr'J — гл, (v' 4* [®г']}.(15.18)

Если система К' не имеет не только поступательного ускорения, но и поступательной скорости (vo==O), то, как видно из (15.3), выражение, стоящее в (15.13) в фигурных скобках, есть скорость частицы v относительно инерциальной системы К. Таким образом, р' оказывается равным mv, т. е. совпадает с импульсом р частицы в инерциальной системе:

р^р.(15.19)

Далее, если начала систем К и К' совпадают (см. рис. 15.1), то совпадают л радиусы-векторы г и г'. Отсюда с учетом (15.19) вытекает, что момент импульса М'— [г'р'] в системе К' совпадает с моментом импульса М = [гр] в системе К:

М'==М.(15.20)

В соответствии с формулой (5.1) энергия частицы в системе К' определяется выражением

г дх\ 1

где х' — координаты (декартозы) частицы в системе К'. Согласно (4.17) dL'[сх^ есть п'— проекция импульса частицы :/ на Лю координатную ось; х, — проекция на ту же ось скорости частицы V. Следовательно, выражение для энергии можно записать в виде

Е' = р'ч‘L'.(15.21)

Подставив сюда значение (15.18) для р' и выражение (15.17) для L', получим следующую формулу:

Л2

Е' = -^ + U - ™ [ол 'р.(15.22)

Вращение системы отсчета проявилось в появлении в выражении для энергии дополнительного, не зави-

3е

сящего от скорости частицы и', слагаемого

17цб=--^-1®И2.(15-23)

Эту дополнительную «потенциальную» энергию называют центробежной.

Заменим в формуле (i5.22) v' через v — [<ог'] (см. (15.3); полагаем vQ(/) = 0). В результате получим

Е' = mv2/2 -г U — mv [юг'].(15.24)

Первые два слагаемые дают энергию частицы Е в системе К. Если начала систем К и К' совпадают, г' можно заменить через г. Тогда последний член в (15.24) с помощью циклической перестановки можно привести к виду

mv [or] = б> [г, mv] = «»M.

Таким образом, между энергиями частицы Е (в системе К) и Е' (в системе К') имеется соотношение

E' — E—eNL(15.25)

Напомним, что эта формула получена в предположении, что начала обеих систем отсчета совпадают. Следовательно, вместо М в формуле (15.25) можно писать М' (см. (15.20)).

Итак, если система отсчета К' равномерно вращается относительно инерциальной системы К и начала обеих систем совмещены, то импульс и момент импульса частицы в обеих системах совпадают, а энергия частицы в системе К' меньше энергии в системе К на величину скалярного произведения векторов ш и М.

Г лава IV МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Свободные колебания системы без трения

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, в которой отсутствуют силы трения. Потенциальная энергия такой системы имеет вид U = U(q^, где q— обобщенная координата. Известно, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет минимум. Будем отсчитывать q от этого положения. Разложим функцию (/(</) в ряд по степеням q в малой окрестности точки ^==0. Ввиду малости q ограничимся первыми членами разложения:

U^ = U (0) + U (0) q + '№" (0) q\

Из условия равновесия L/'(0) = 0. Условимся отсчитывать потенциальную энергию от положения равновесия, т. е. положим С/(0) = 0. Наконец, введем обозначение: £7"(0) = х (напомним, что в точке минимума вторая производная положительна; следовательно, х > 0). В итоге придем к выражению

U^q)-^-(16.1)

Будем считать связи стационарными. Тогда согласно (5.7)

t = n^ q2-

При прохождении через положение равновесия Т не обращается в нуль. Следовательно, у(0) отлична от нуля. Разложив у(^) в ряд и сохранив ввиду малости q только нулевой член разложения, можно написать

Т==-^,(16.2)

где р = 2у(0) (не путать с приведенной массой!).

Составим функцию Лагранжа:

<16-3)

Уравнение Лагранжа:

р^ + xq — 0 или q + ш^ = 0(16.4)

(g^ = (х/р) > 0) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (см. Приложение V). Применив подстановку ^==ехр(Х/), придем к характеристическому уравнению')

X2 4- оо = 0.

Корни этого уравнения равны Xi = 4**©o, Х2 = —йоо- Следовательно, общее решение имеет вид

q = С; exp (но,/) 4-С2 exp (—/ю^),(16.5)

где Ci и С2— комплексные постоянные величины.

Значения q должны быть вещественными; это значит, что должно выполняться условие q* = q (q* — величина, комплексно-сопряженная с q). Подставив в это условие выражение (16.5) для q, получим

С] ехр ( — zm0<) 4- С2 exp (z<boO ==

-— - Cj exp (zo^) 4- C2 exp (—itoj).

Полученное соотношение выполняется, если С, = С* (соответственно С^ = С2). Учтя это, представим коэффициенты Ci и С2 в виде

С j — (а/2) ex р (zo), С2 =— (а/2) ex р (—za) (16.6) (а и а— произвольные вещественные постоянные). Подстановка этих значений в формулу (16.5) дает

q ^- у {exp v (<о0? 4- «)) + exp (—z (<V 4- a))} =

= a cos (eV 4~ a)- (16.7)

Итак, свободное движение системы вблизи положения устойчивого равновесия носит характер гармонического колебания (разумеется, при условии, что в процессе движения q остается малой).

4 См. формулы (V. 7) и (V. 9j.

Из общего курса физики известно, что а называется амплитудой, a— начальной фазой колебания; «о — собственная частота системы).

Преобразуем выражение (16.7) по формуле для косинуса суммы:

q = a (cos a cos <cQ^ — sin a sin to^)

и введем обозначения

Ci — a cos a, c2 — —a sin a.

Тогда решение уравнения (16.4) можно представить в виде

q = ct cos to;t + c2 sin oV,(16.8)

где Ci и c2— вещественные постоянные, значения которых определяются из начальных условий (из qo и (q)о).

Наконец, приведем еще одну форму записи гармонического колебания):

q — Re {^} — Re {Л exp (for/)},(16.9)

где

A = aex^(Ja)(16.10)

— так называемая комплексная амплитуда; ее модуль равен обычной амплитуде, а аргумент — начальной фазе колебания. Подставив и (16.9) значение (16.10) и взяв вещественную часть получившегося выражения, придем к формуле (16.7).

Итак, гармоническое колебание может быть представлено в виде любой из трех формул: (16.7), (16.8), (16.9).

Затухающие колебания

Во всякой реальной колебательной системе действуют силы, тормозящие движение системы и приводящие к постепенному уменьшению размахов (затуханию) колебаний. Механическая энергия системы при

этом переходит во внутреннюю энергию системы и окружающей среды (обычно кратко, но не вполне строго говорят, что энергия переходит в тепло). Такой процесс называют диссипацией энергии.

Мы ограничимся рассмотрением случаев, когда тормозящая движение системы обобщенная сила трения пропорциональна обобщенной скорости системы:

Q* = —rq.

Эта сила непотенциальна, поэтому уравнение Лагранжа будет иметь вид (4.15), причем в качестве L нужно взять функцию (16.3). Итак, затухающие колебания описываются уравнением

М + uq = — rq

(смысл величин р и х тот же, что и в предыдущем параграфе). Представим это уравнение в виде

^ + 2^ + ^ = 0»(170

где

со2 = — > о 26 = —.0 ии

Подстановка q = exp (AZ) приводит к характеристическому уравнению

X2 4-2pA -I-«2 = о.(17.2)

При условии, что р2 < го2, корни характеристического уравнения оказываются комплексными:

= -р+1V^F7^. ч=-^-14^=^.

Общее решение уравнения (17.1) имеет вид

q =СХ exp (А^) + С2ехр (А^) —

— ехр(—PZ) {С^ехр (iroZ) + С2ехр(—imZ)}, где о = 4<й^ — р2. Найденное нами решение отличается от функции (16.5) множителем ехр(—pZ) и заменой <оо на со. Требование вещественности q приводит к условию СХ = С^- Введя обозначения (16.6) и произведя элементарные преобразования, придем к известному из общего курса физики выражению для

затухающих колебаний:

(17.3)(17.3)q = a exp (—РО ссз («й + а).

(17.3)

(17.3)

В случае, когда р2 > о2, корни характеристического уравнения (17.2) оказываются вещественными:

\ = —Р + V^2 ~ ®о = ~аР

^2 = Р V^ °6 ” °2

(поскольку д/р2 — и2 < р, величина «1 положительна; величина а2 также положительна, причем a2>ai).(поскольку д/р2 — и2 < р, величина «1 положительна; величина а2 также положительна, причем a2>ai).

(поскольку д/р2 — и2 < р, величина «1 положительна; величина а2 также положительна, причем a2>ai).

(поскольку д/р2 — и2 < р, величина «1 положительна; величина а2 также положительна, причем a2>ai).

Решение в этом случае имеет вид q = Ciexp(—a^) 4- С2ехр(—оД-(17.4)

где Ci и С2 — вещественные постоянные.

Итак, при сильном трении (при р2 > го2) колебания не возникают — выведенная из положения равновесия система возвращается в это положение асимптотически. Оказывается, что движение системы может иметь характер, описываемый либо кривой /, либо кривой 2 (рис. 17.1). В последнем случае система вна чале проходит через положение равновесия, отклоняется в другую сторону и только потом приближается асимптотически к положению равновесия.

Такое движение системы называется апериодическим’1^ затуханием (млн апериодическим процессом).

Как будет происходить возвращенке системы в положение равновесия (в соответствии с кривей / или с кривей 2), зависит от соотношения коэффициентов Ci и С2, которое в свою очередь определяется начальными условиями (т. е. значениями обобщенной координаты ^о и обобщенной скорости Уо = (^)о в начальный момент времени).

Выясним условия, при которых апериодическое движение имеет тот либо иной характер. Выразим коэффициенты Ci и С2 через <70 и у0- Положив в (17.4) / = О, получим

^^СН-С,. (17.5)

Продифференцировав (17.4) по времени и положив в получившемся выражении t = 0, найдем, что

у0 = (4)о ='$|С1 — «2^-2-(17.6)

Из уравнений (17.5) и (17.6) следует, что

£ Д2<7о + t>o£ Д|7о + ОоН7 7)

а2 — С] 2а2 — ■ а,\ 1 • I

Приравняем выражение (17.4) нулю:

С[ ехр (—Я10 -|- С2 ехр (—а/) ~ 0.(17.8)

В случае, когда апериодическое ззтухзние происходит в соответствии е кривой 2 (см. ьнг. 17.!), уравнение (17.8) должно- нхя»т‘!» колочное яошкителыюе репение. Решив зто урааткдда.г отчощ . сп t, по <’-у’яч.

л ' з„/ С., е «;»о а2 — с., ‘' ‘ \ С: ) и2 — С; " -У ер

(мы подставили значения \Х^^ для Сх и CV). Разность «г—К| больше куля (ем. выше). Поэтому / будет положительным, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, больше +1. Последнее условие соблюдается, если выражения (а^оЧ-Уо) и (озд+уо) имеют одинаковые знак>: и, кроме того, модуль первого выражения больше чем модуль второго2)

sign VL.qa 4- Do)sign ^2qu + По)2),

1,(17.У)

I Gi<7o + yo i a2?o" h yo i-

>) To есть непериодическим.

Коэффициенты ai и а2 положительны, причем аг > а(. Поэтому для выполнения второго из условий (17.9) необходимо, чтобы у< и ц0 имели разные знаки. Это имеет место, если начальная скорость направлена к положению равновесия (когда система отклонена вправо (<7о>О), скорость направлена влево (ио < 0) и наоборот). На рис. 17.2 показаны графики функций у = aiqo + ио 15 у —G2<7o+Коэффициенты ai и а2 положительны, причем аг > а(. Поэтому для выполнения второго из условий (17.9) необходимо, чтобы у< и ц0 имели разные знаки. Это имеет место, если начальная скорость направлена к положению равновесия (когда система отклонена вправо (<7о>О), скорость направлена влево (ио < 0) и наоборот). На рис. 17.2 показаны графики функций у = aiqo + ио 15 у —G2<7o+4-Оу. Графики построены для qQ > 0, поэтому и0 < < 0. Значения, пробегаемые до, подразделены на три области. Легко видеть, что оба условия (17.9) выполняются лишь в области /, т. е. при д0, не превышающих —ио/а2. В области // не соблюдается первое из условий, в области /// не соблюдается второе условие.Таким образом, апериодическое затухание происходит в соответствии4-Оу. Графики построены для qQ > 0, поэтому и0 < < 0. Значения, пробегаемые до, подразделены на три области. Легко видеть, что оба условия (17.9) выполняются лишь в области /, т. е. при д0, не превышающих —ио/а2. В области // не соблюдается первое из условий, в области /// не соблюдается второе условие.Таким образом, апериодическое затухание происходит в соответствиис кривой 2 (рис. 17.1) вс кривой 2 (рис. 17.1) втех случаях, когда иотех случаях, когда иокроме того,кроме того,и до имеют разные знаки и.и до имеют разные знаки и.1<7о11<7о1|0р Iа2|0р Iа2или ; УОI > а21 ди |или ; УОI > а21 ди |(17.10)(17.10)

Коэффициенты ai и а2 положительны, причем аг > а(. Поэтому для выполнения второго из условий (17.9) необходимо, чтобы у< и ц0 имели разные знаки. Это имеет место, если начальная скорость направлена к положению равновесия (когда система отклонена вправо (<7о>О), скорость направлена влево (ио < 0) и наоборот). На рис. 17.2 показаны графики функций у = aiqo + ио 15 у —G2<7o+

Коэффициенты ai и а2 положительны, причем аг > а(. Поэтому для выполнения второго из условий (17.9) необходимо, чтобы у< и ц0 имели разные знаки. Это имеет место, если начальная скорость направлена к положению равновесия (когда система отклонена вправо (<7о>О), скорость направлена влево (ио < 0) и наоборот). На рис. 17.2 показаны графики функций у = aiqo + ио 15 у —G2<7o+

4-Оу. Графики построены для qQ > 0, поэтому и0 < < 0. Значения, пробегаемые до, подразделены на три области. Легко видеть, что оба условия (17.9) выполняются лишь в области /, т. е. при д0, не превышающих —ио/а2. В области // не соблюдается первое из условий, в области /// не соблюдается второе условие.

Таким образом, апериодическое затухание происходит в соответствии

4-Оу. Графики построены для qQ > 0, поэтому и0 < < 0. Значения, пробегаемые до, подразделены на три области. Легко видеть, что оба условия (17.9) выполняются лишь в области /, т. е. при д0, не превышающих —ио/а2. В области // не соблюдается первое из условий, в области /// не соблюдается второе условие.

Таким образом, апериодическое затухание происходит в соответствии

с кривой 2 (рис. 17.1) в

с кривой 2 (рис. 17.1) в

тех случаях, когда ио

тех случаях, когда ио

кроме того,

кроме того,

и до имеют разные знаки и.

и до имеют разные знаки и.

1<7о1

1<7о1

|0р Iа2

|0р Iа2

или ; УОI > а21 ди |

или ; УОI > а21 ди |

(17.10)

(17.10)

(напомним, что а2 = 0 4- ^^ — ш®).

Следует особо рассмотреть случай, когда характеристическое уравнение (17.2) имеет кратные корни. Это происходит при условии, что рг = аф Тогда Xi = = Х2 ——[5. Согласно формуле (V. И) общее решение уравнения (17.1) имеет в этом случае вид

q = Cx exp ( -Pi; 4- Cjexp (—^) = (<-i + CaO exp (—0/)-

Проделав соответствующие выкладки, найдем, что С1 = Уо. С.2-= fqQ 4- v0.

Из условия q — О получается (кроме I = оо) значение

I б । дз

С2 Р^о -Г »о

Это значение будет положительным, если

——< 0 или —-—— < О

Ио + "о" Ио + «о

(умножение на ₽ не изменяет знака величины, так как р>0). Последнее условие выполняется, когда знак Уо противоположен знаку ^о и, кроме того,

|п0| > РЫ-(17.11)

Таким образом, и в случае кратных корней апериодическое затухание может происходить как монотонно (кривая 1 на рис. 17.1), так и с прохождением через положение равновесия (кривая 2 на рис. 17.1). Последний случай имеет место, если выведенная из положения равновесия на q» система получает толчок к положению равновесия, сообщающий ей достаточно большую начальную скорость (скорость, удовлетворяющую условию (17.II)1)).

§18. Вынужденные колебания

Пусть на систему, рассмотренную в предыдущем параграфе, действует периодически изменяющаяся внешняя обобщенная сила

Q = Qo cos (со/+ а),(18.1)

которую мы будем для краткости называть вынуждающей силой. Тогда уравнение Лагранжа (4.15) выглядит следующим образом:

р^ + х^ = — rq + Qo cos (<о/ -j- а).

Преобразуем его к виду

q + 2£q + «>о-7 = f0 cos И + “)><18-2)

где /о = Qo/p, смысл остальных величин известен из предыдущих параграфов.

Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Согласно теореме (V. 6) его общее решение можно получить, прибавив к общему решению соответствующего однородного уравнения, т. е. к функции

какое-либо частное решение уравнения (18.2). Для нахождения частного решения поступим в соответствии со сказанным в конце Приложения V, а именно: прибавим к правой части (18.2) мнимую функцию ifosin(<o/ + а) и будем искать комплексное решение получившегося уравнения; найдя 4, возьмем от него вещественную часть; она и будет представлять собой решение уравнения (18.2). Итак, будем решать уравнение

q + ^q + <0о<7 = f0 [cos №t 4- а) 4- i sin (и/ 4~ а)]-

Его правую часть можно представить в виде

/о exp {i (<о/ 4- а)} = f0 exp (Zea/), где

/о = fo exp (ia),(18.3)

— комплексная амплитуда ) вынуждающей силы (точнее, силы, деленной на ц, но мы для краткости будем называть Q*/p просто силой). Напишем дифференциальное уравнение в новых обозначениях:

q 4- 2Р4 4- «во-/ = f о exp (ZaZ)(18.4)

виде(18.5)Диффе-виде(18.5)Диффе-(чтобы не усложнять обозначений, мы опустили крышечку над qY

виде

(18.5)

Диффе-

виде

(18.5)

Диффе-

(18.6)(18.6)Будем искать решение уравнения (18.4) в q — d exp (Z<aZ), где d— комплексная амплитуда колебания, ренцируя по I, найдем q = istfl exp (г®/), q = (to))2 d exp (Zmi) = —ca2d exp (Zea/).

(18.6)

(18.6)

Мы видим, что при комплексной записи гармонически изменяющихся величин дифференцирование по времени сводится к умножению величины на im (при интегрировании — к делению на Zea).

Подставив в уравнение (18.4) выражения (18.5) и (18.6) и сократив на общий множитель exp(Z<o/), придем к уравнению

—co d 4~ 2Z^-o^ 4- (Оо<$ ~ /о»

из которого находим

а — _—. .

— ы i + 2грз

Представим комплексное число, стоящее в знаменателе, в виде

(to2 — а2) + 2Ц»й — р ехр (/ф),(18.7)

где р — модуль, а ф— аргумент этого числа. Тогда

d =ехР (™“Р) Го-(18.8)

р ехр Оф)р г \1 и'/

Из соотношения (18.7) вытекает'), что

p = V^P^7TW; tg<P = -^. (18.9) ’ 4'tog — to

Подставив в (18.8) значения р и /0 (см. (18.3)), получим для комплексной амплитуды колебания следующее выражение:

d =■- -^ --—- ехр {z (а — ф)} = аехр {z (а — ф)}.

V (toj — to2)2 + 4^to2

Наконец, подставив значение а в формулу (18.5), найдем комплексное выражение для «у:

4 — аехр {»(to/ 4- а — ф)}.

Его вещественная часть совпадает с известным из общего курса физики выражением установившихся вынужденных колебаний:

<7 =COS (®; + ° - V) (18.10)

(tog — to2)2 + 4рй?

(в учебниках общей физики обычно полагают а = 0).

Общее решение уравнения (18.2) получим, сложив функции (17.3) и (18.10). Анализом этого решения и

рассмотрением явления резонанса мы заниматься не станем, поскольку это делается достаточно подробно в курсах общей физики.

§ 19. Колебания системы со многими степенями свободы ')

Рассмотрим консервативную систему с s степенями свободы, обладающую положением устойчивого равновесия. В этом положении потенциальная энергия системы U = U(q1,q2, qs) имеет минимум. Обобщенные координаты q, будем отсчитывать от положения равновесия. Имея в виду, что мы ограничимся рассмотрением малых колебаний, разложим потенциальную энергию в ряд по степеням q,, причем пренебрежем членами более высоких порядков малости:

^.+S(^).»-^Z(^U™-

<i,k

В положении равновесия все обобщенные силы

Qt =— равны нулю. Энергию и0 также положим равной нулю. С учетом сказанного выражение для потенциальной энергии можно представить в виде

У = 4^ У х^^,(19. L)

i, /г

где

/ d2U \

‘^V dqt dqh

суть положительные величины (в минимуме вторые производные больше нуля). Поскольку U отсчитывается от минимального значения, принятого за нуль, квадратичная форма (19.1) положительно- -определенная.

В случае стационарные связей кинетическая энергия определяется положительно определенной квадратичной формой переменных ф (см. (5.10)):

Т = -^ 2_Л ^1^(19-2)

*) Прежде чем приступить к стенаю этого параграфа, следует ознакомиться с Приложениями VII, VIII и IX.

где

!Ч* == УЛ (0)

суть кулевые члены разложения коэфф». иежоу ^(в). Согласно формуле (5.8) у1й —- у»,, следовательно, |О» — РйЬ

Вычтя из (19.2) выражение (19.1), получим функцию Лагранжа:

L = Т £ ^кЧйк ” 4" X 'л^1йк-(19.3)

кС к

Чтобы найти производные L по q, и q,, напишем выражение полного дифференциала функции (19.3):

^ = 42 f1^ dqk + Т У ^'^ dqi —

/, &/, it

—4- У v'ikqi dqk—VlL ^^Чк dq‘- i, кi, к

Индексы i и k являются немыми, поэтому каждый из них можно обозначить любой буквой. Воспользовавшись этим, поменяем местами индексы i и к в первой и третьей суммах:

dL = 4 y^fclqk dq, + 4 £ ^к dqi~^T, ^k dqt —

к1. кI, к

™ 4" У ^ikqk dqi = У ^ikAk dqt — У Klfcqfe dq, i, кi, кt.k

(напомним, что (Ui = уцк, ит = И(к). Полученное нами выражение можно представить в виде

dL = X dqt (2 liikqk^ "Ldqi^ Хц^. (19.4)

В выражении полного дифференциала функции нескольких переменных множитель при дифференциале какой-либо переменной равен частной производной функции по этой переменной. Следовательно, из (19.4) вытекает, что

"д^7 —^1к<гк‘ dqt ~ Xlk4k"

Поскольку величины щь суть константы, производная 4-4?- — V ц-й*. Поэтому уравнения Лагранжа

выглядят так:

52 V-ik^k + 52 ^иЯк — 9 О" L 2, . . . , S} (19.5) йк

(ср. с уравнением (16.4) для одной переменной).

Мы пришли к системе линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Попробуем искать неизвестные функции q^D в виде (ср. с (16.5))

qk = Ск exp (i&t),(19.6)

где Ск— комплексные постоянные, которые требуется определить. Функции (19.6) комплексные, обобщенные же координаты являются вещественными. Поэтому, завершив вычисления, нужно будет взять вещественные части функций (19.6) (см. Приложение V).

Подстановка выражений (19.6) в уравнения (19.5) дает

2 Рчк (—“2) Cfc еХР (^i + ^ «1кСк ехР (М = 0

(£ = 1, 2, . . ., s).

Сократив все уравнения на exp(t(of), получим

52(^-™2P<ft)Cfc = O.(19.7)

к

Мы пришли к системе $ линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными Ci, С2, ..., С$. Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно равенство нулю ее определителя:

ХИ— <02ЦцХ!2 — Ш2Ц12 . . . Xis -- (й2Цц

= 0 (19.8)= 0 (19.8)Х2| — <02р21 Х22 — СО2Ц22 . . • *2s — <В3р2$

= 0 (19.8)

= 0 (19.8)

XS| — И2Рл Xs2 — Ш^лг - • • Kss — e^Uss

(см. Приложение VIII, текст, следующий за формулой (VIII. 26)).

Уравнение (19.8) называется характеристическим. Оно представляет собой уравнение s-й степени отно-

сительно <й2. В общем случае это уравнение имеет s различных1) вещественных положительных корней: <о2, <о2, ..., со2. Найденные таким способом величины юа (а= 1,2, .... $) называются собственными частотами системы.

Докажем вещественность и положительность корней уравнения (19.8). С этой целью умножим каждое из уравнений (19.7) на С (т. е. на величину, комплексно-сопряженную коэффициенту CJ, а затем сложим вместе все уравнения. В результате получим, что

52 (Ki* — ^V/s) CtCfc = О

или

£ ^Рк 52 Уч^С^ - О, откуда

У ^ikCiCk

В числителе и знаменателе найденного нами выражения стоят квадратичные формы вида (IX. 21). Как показано в Приложении IX, такая форма равна сумме квадратичных форм У, xZfta,aft + У х;й6;Ь6 соответ-

к i.k

ственно У ц^а^ + У ailtb;bk Ла‘— вещественная i.k i.k

часть Ci, bi — мнимая часть Ci). Последние же формы, во-первых, очевидно, вещественны и, во-вторых, положительно определенные (см. (19.1) и (19.2)). Таким образом, мы доказали, что числитель и знаменатель выражения (19.9), а следовательно, и о2 вещественны и положительны.

Итак, решив характеристическое уравнение (19.8), мы найдем s собственных частот системы: иц, ®2, ... ..., tos. Подставляя поочередно значения и2 в систему уравнений (19.7) и решая эту систему, найдем Ск, отвечающие различным ш~ Если ранг матрицы системы (19.7) будет равен s—1 (что обычно имеет ме-

сто), то согласно (VIII. 28) решения системы имеют вид

С ft — CjAmA,

где са—произвольная комплексная постоянная, Д<“>— алгебраическое дополнение элемента xTii — «ф1т4 в определителе системы (т выбирается произвольно, но так, чтобы хотя бы одно /^ было отлично от нуля). Поскольку все элементы этого определителя вещественны, величины Л^ также будут вещественными.

Таким образом, для кгждой обобщенной координаты qk получается з различных решений вида

Чк = саДтА exp (zcoj) (а = 1, 2, . .., з), (19.10) где Д^ — вещественные постоянные, определяемые значениями коэффициентоз и,к и рц&, а также частот й)а.

Общее решение получки, сложив все выражения (19.10):

Чк = 2 Са^т! СХр (/®а0-а

Перейдя к вещественной части этого выражения, получим

Чк = Re ( 2 саДт1 exp (zW.i) ^ 2 Д™* Re (сс exp (ша0).

Наконец, представив са в виде 6Zaexp(i6(X) («а— модуль са, т. е. вещественная положительная величина), придем к выражению

4k = 2^k<-osW + 6a).(19.11)

а= 1

Следовательно, изменение каждой обобщенной координаты Чь со временем представляет собой наложение s гармонических колебаний, частоты которых равны собственным частотам системы. Величины аа и 5а определяются из начальных условий.

При специальном выборе обобщенных координат выражения (19.11) могут быть сильно упрощены. В Приложении IX показано, что в случае, когда имеются две квадратичные формы — одна от переменных qk, а вторая от переменных qk, причем первая из

них положительно определенная, то существует такое линейное преобразование переменных qk, которое приводит обе формы к диагональному виду (см. схему (IX. 37)). Перейдем с помощью такого преобразования от переменных qk к переменным g*. Тогда квадратичные формы (19.1) и (19.2) станут диагональными:

Г-4-2& "-tZ^x <1э.12>

кк

В новых переменных функция Лагранжа имеет вид

L = Т S ^ ~ Т 2 Х^’кк

а уравнения Лагранжа запишутся следующим образом:

ik + Xklk = 0(^1, 2, ...,s\(19.13)

Таким образом, в координатах |* уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений, каждое из которых тождественно уравнению (16.4). Отметим, что в силу положительной определенности квадратичной формы, выражающей потенциальную энергию U, все коэффициенты Хк положительны. Поэтому их можно представить в виде

Ч:=-' Ч-

где шк— вещественные величины.

Напишем решения уравнений (19.13):

It = ак cos (tokt + 6ft) (fe=l, 2s) (19.14)

(см. формулу (16.7)).

Мы нашли, что обобщенные координаты ^ совершают независимо друг от друга простое гармоническое колебание, каждая со своей частотой ме. Определенные так обобщенные координаты называются нормальными (или главными), а совершаемые ими простые гармонические колебания — нормальными колебаниями системы.

Отметим, что нормальные координаты ^ связаны с произвольными обобщенными координатами qk с по-

мощью линейных преобразований, т. е. преобразований вида

(19.15)(19.15)I* — A bklqt.

(19.15)

(19.15)

Следовательно, g* можно получить как линейную комбинацию координат qi.

§ 20. Связанные маятники

Рассмотрим малые колебания системы из двух оди

наковых математических маятников, связанных неве

сомой пружиной (рис. 20.:). Предположим, что маятники могут совершать колебания только в плоскости чертежа, так что система имеет две степени свободы.

Рис. 20.1Рис. 20.1В качестве обобщенных координат выберем ф1 и ф2— углы отклонения маятников от вертикального направления. Длина каждого из маятников равна /, масса т. Концы пружины закреплены на стержнях маятников на расстоянии b от точки подвеса. Пружина подобрана так, что при ф1 = фз ее натя-

Рис. 20.1

Рис. 20.1

жение равно нулю.

Напишем выражение для потенциальной энергии системы U, полагая U в положении равновесия равной нулю:

U = ^gl (1 — cos Ф1) + ^gl (I — cos Ф2) +

+ */2^ (b sin Ф2 — b sin ф^2.

При малых колебаниях можно положить sin ф = ф, cos ф = V1 — sin2 Ф = V1 — ф2 = 1 — 7гф2- Поэтому выражение для U примет вид

U = xhmglq?x + xkmgl^ + хккЬ2^2 — ф,)2 —

= 7г \Wl -1- ^Ь2) Фу — &62Ф,Ф2 — А^ф^ +

+ (mg/ + ^)T2|. (20.1)

Кинетическая энергия в том же приближении равна

Т = 41 рпГф2 + тРф^.(20.2)

Сравнение выражений (20.1) и (20.2) с выражениями (19.1) и (19.2) дает для коэффициентов х,д

и piZi следующие значения:

(20.3)(20.3)хи = Х22 = mgl + lib1, к12 = x2i — —&^2,Ни = P22 = m/2Р12 = Р21 = °-

(20.3)

(20.3)

Подстановка этих значений коэффициентов в уравнения (19.5) приводит к дифференциальным уравнениям тРфх + (mg/ + АЬ2) ф( — &&2ф2 = 0, т/2^ — Ай2ф! + (m.g/+ А62)ф2 — 0.

Будем искать решения этих уравнений в виде ф! = С, ехр(/<о/), фз = С2ехр(«о/).(20.5)

Подставим эти выражения в уравнения (20.4). После сокращения на eimt и приведения подобных членов, получим систему уравнений для определения постоянных Ci и С2:

(mgZ + kb2 — m/2<o2) С1 — kb2C2 = 0,

—kb2Cx + (mg/ + kb2 — m/2o>2) C2 = 0.(20.6)

Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо равенство нулю ее определителя:

I mg/ + hb1 — itil2«?—kb1 I„

т. о. должно выполняться условие

(mg/ -}- kb2 — mlWp — (- -hb^f = 0..

Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду

(а2)2 — 2 [g// + (fe/m) (fe2//2)] о5 +

+ br7Z4-2(g//)(fe/m)(m^

Мы пришли к квадратному уравнению относительно (й2. Корни этого уравнения равны

to2 = g//, со2 = g/Z -р 2 (й/m) kb-p2V

Следовательно, собственными частотами системы будут

со, = VgH И ®2 — ЧgM + 2 (klm) Ц?[1^. (20.7)

Подставим в уравнения (20.6) вместо и2 квадрат первой собственной частоты, т. е. го2. После упрощений система (20.6) принимает вид

к№Сх - кЬгС2 = О,

-kb2Cx + №С2 =- 0.

Решения этой системы очевидны:

С, = С2 = с1 —ах exp(Z5l),(20.8)

где С] — произвольная комплексная постоянная, aj — ее модуль, 51 — аргумент.

Подстановка значения (20.8) в (20.5) дает комплексные решения дифференциальных уравнений (20.4), соответствующие частоте юд

Ф® = С] еХр (/toj/) —- «j exp р (го^ + 6,)},

4*21 ” ci exP (£®-/) = ai exP {z (®/ + 6,)}.

Взяв вещественную часть от найденных нами функций, получим

Ф® = ^ cos (с»^ + 6,), q^° = Я] cos («>]/ +Oj). (20.9)

Теперь подставим в уравнение (20.6) вместо ю2 квадрат второй собственной частоты, т. е. ©’. В результате получим

— kb"Cx — kb^C2 = 0,

— kb^Ci — kb^C2 = 0.

Система удовлетворяется значениями

С, = — С2 = с>а2ехр (i§2).

Соответственно функции (20.5) будут равны

^ = ^2^^Р (z40 = а2 esP V (<*V + бг)}>

Ф<2> = — с2 exp (Z<o2Z) = —а2 exp {t (®2Z + 62)),

а их вещественные части

Ф^* = а2 соз (го^ -1- 62), ф® = — а^ cos (©22 -{- б2). (20.10)

Общее решение системы (20.4) получим, сложив решения (20.9) и (20.10). Следовательно,

<Р, = <Pi')4-<> = a1 cos^^-bd^ + ^cos^H-S,,),

Ф2 = ф£° + ф® = cos (со^ + д() — а2 cos (ш^ + 6Я).

Перейдем от обобщенных координат ф[ и ф2 к новым переменным ^ и 62, которые определим так:

51 = Чг (Ф1 + фг), £2 = 41 (ф! — ф2).

С учетом (20.11) получаем

61 = <Z1 ccs(cV + 6^, '.(20.12

g2 = 02 CCS + 62).

Таким образом, переменные 61 и 5а суть нормальные координаты системы связанных маятников. Обобщенные координаты ф1 и ф2 выражаются через gi и 6г с помощью линейных соотношений

Ф1 = £1+£2, Ф2" £i £2-(20.13)

Предположим, что в системе совершается только первое нормальное колебание. Это значит, что |2 ^ 0. Из (20.13) вытекает, что в этом случае

а6Рис. 20.2а6Рис. 20.2Ф1 = ф2 = £1 == «1 COS (ы^ + б,), т. е. оба маятника колеблются как одно целое с частотой сов будучи в каждый момент времени отклонены в одну и ту же сторону на одинаковый угол (рис. 20.2, а). Пружина при этом не деформирована, так что каждый маятник колеблется так, как если бы второго маятника не было

а6

Рис. 20.2

а6

Рис. 20.2

(го. = Vg/0-

ко второе нормальное (20.13), в этом случаеко второе нормальное (20.13), в этом случаеТеперь предположим, что в системе совершается толь- колебание. Как следует из

ко второе нормальное (20.13), в этом случае

ко второе нормальное (20.13), в этом случае

Ф1 = — ф2 = 62 = ^2 COS (ш2/ -)- б2).

В каждый момент времени маятники отклонены на одинаковый по величине угол, но в противоположные стороны (рис. 20.2,6).

(20.14)(20.14)Связь между маятниками можно охарактеризовать с помощью коэффициента жесткости пружины й. Назовем его коэффициентом связи. Рассмотрим случай слабой связи, т. е. малого к. Если him С 5//, разность собственных частот будет много меньше самих частот

(20.14)

(20.14)

ti2 to; << to;.

Отведем первый маятник на угол фю = а, второй маятник при этом удержим в нулевом положении. Затем предоставим системе совершать колебания. Очевидно, что начальные условия в этом случае имеют вид

Фю —°, Фго = О, (ф/Ь^О, (ф2)о = О.

Найдем значения постоянных аь а2, 61 и 62. Для этого положим в (20.11) / —0; в результате получим

(20.15)(20.15)ф;0 — Ct — СЦ COS б; "I"' сц cos б2,ф20 ^-^ 0 == U\ COS б; — п2 cos б2.

(20.15)

(20.15)

Теперь продифференцируем выражения (20.11) по времени и положим в получившихся формулах / = 0. Это приводит к соотношениям

(Ti)o = 0 = — aito] sin б; — а2<й2 sin б2,(Фз)о = 0 = — «1(0; sin б; + а,ю2 sin d2.

а1==а2=. а/2, 6. = б2 = 0.а1==а2=. а/2, 6. = б2 = 0.Решив совместно уравнения (20.15) и (20.16), найдем, что

а1==а2=. а/2, 6. = б2 = 0.

а1==а2=. а/2, 6. = б2 = 0.

Таким образом, в рассматриваемом случае колебания имеют вид

а /. .,,<о2 — <0| ,<о2 + <flt .

Ф! = у (COS (01Г + COS (О/) = о. cos^г • cos^— г.

<1 /.— <0] .. <02 4” <01 j

ф2 = — (cos шр — cos co2i) = а sin —g— ‘ " sin —2— 1"

В случае слабой связи (<о2— <01) ■< (<о2 + ®i) (см. (20.14)). Следовательно, можно считать, что каждый из маятников совершает гармоническое колебание час-

тоты (<о2-|-®i)/2 ~ ©1 с медленно меняющейся амплитудой. Значит, движение каждого из маятников носит характер биений. Амзлктуды изменяются со сдвигом по фазе на л/2. Когда амплитуда одного из маятников достигает наибольшей величины, амплитуда второго обращается в нуль и наоборот. В процессе колебаний происходит как бы перекачка энергии от одного маятника к другому.

В тех случаях, когда возбуждено только одно нормальное колебание ^ или £2, перехода энергии от одного маятника к другому не происходит.

Глава V

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинематика твердого тела

Разбив сплошное твердое тело на элементарные объемы массы pdV (р — плотность тела), его можно представить как систему частиц с жесткими связями.

Твердое тело, как известно, обладает шестью степенями свободы — тремя поступательными и тремя вращательными. Для описания движения твердого тела выберем инерциальную систему отсчета К (с осями Хь Х2, Х3), которую будем считать неподвижной. С телом свяжем жестко другую систему К' (с осями Х\, х2, х3), поместив ее начало в точку А тела. В качестве обобщенных координат, определяющих положение тела, удобно взять три координаты начала системы К' (им отвечает радиус-вектор рл) и три угла, характеризующих ориентацию осей хь х2, хз по отношению к осям Xi, Х2, Х3. Названные оси образуют друг с другом девять углов, однако независимыми оказываются только три из них, остальные шесть могут быть выражены через значения первых трех1). Обычно в качестве трех углов, определяющих взаимную ориентацию осей систем К и К\ используются так называемые эйлеровы углы <р, ■&, ф (см. следующий параграф).

Любое элементарное перемещение твердого тела можно представить как сумму поступательного перемещения, при котором все точки тела смещаются на одинаковый отрезок dR^, г поворот на угол 4Ф вокруг оси, проходят,ей через точку А.

Поскольку скорости точек тела v в системе К' равны нулю, формула (15.3) для скорости точки, положение которой в системе К' определяется радиусом- вектором Г(Д)1), принимает вид

V^HWiL (21.1)

где Уд — поступательная скорость тела (скорость точки Л, наблюдаемая в системе К), <D^) = d<b/^ — угловая скорость вращения тела вокруг оси, проходящей через точку Л. Первое слагаемое в этой формуле одинаково для всех точек тела, второе есть функция точки.

Если бы мы поместили начало системы К' в другую точку тела, скажем, в точку В, формула (21.1) выглядела бы следующим образом:

V = Уз + [б>(В)Г(3)], (21.2)

где VB — скорость точки В, наблюдаемая в системе К, e»(s) — угловая скорость вращения тела вокруг оси, проходящей через точку В.

•) Условимся об обозначениях. В этой главе мы будем пользоваться индексами двух видов: 1) индексами без скобок и 2) индексами, взятыми в скобки. Индексы без скобок будут служить для указания частицы или точки, к которой относится данная величина. Например, т,г — масса частицы с номером а, га — радиус-вектор той же частицы, Rx — радиус-вектор точки А.

Индексы в скобках будут указывать точку, из которой проведен радиус-вектор, либо точку, относительно которой берется момент, и т. п. В зависимости от обстоятельств эти индексы мы будем располагать то внизу, то вверху соответствующего символа. Так, например, г(л) или г^1 будет обозначать радиус-вектор, проведенный из точки А; М<л> или М(|4)— момент импульса относительно точки А. Отсутствие при символе г или М индекса в скобках будет означать, что соответствующая величина берется относительно центра инерции тела С. Таким образом, радиус- вектор, проведенный из точки С, мы будем обозначать либо символом г(с), либо просто г, момент относительно точки С — символами М(с) и М и т. д.

Символом R мы будем пользоваться только в одном вполне определенном случае — для обозначения радиуса-вектора, проведенного из начала неподвижной системы координат К (с осями X, У, Z). Поэтому в данном случае нет надобности в индексе в скобках и мы его писать не будем.

Малыми буквами (г, х, у, г и т. д.) мы будем обозначать радиусы-векторы, проведенные из начала системы координат К', жестко связанной с телом, координаты в системе К' и т. д.

Положение произвольно!! точки тела в системе К определяется в обоих случаях одним и тем же радиусом-вектором:

R — Ra “Ь г (А) ~ Rb 4- Г(в>.

Отсюда следует, что радиус-вектор г(В) можно представить в виде

Г(в> = а 4-Г(Д),(21.3)

где а = Rл — Rb есть радиус-вектор, проведенный из точки В в точку А, т. е. величина, не зависящая от того, для какой из точек гела мы пишем формулу (21.3).

Подставив значение (21 3) в формулу (21.2), получим

V = N в + [®(в>а] + 1й»(В)Г(А)].(21.4)

В этом выражении первые два слагаемые одинаковы для всех точек тела, третье есть функция точки.

Формулы (21.1) и (21.4) определяют одну и ту же величину — скорость рассматриваемой точки тела в системе К. Следовательно, три любом Г(Л) правые части этих формул должны совпадать. Это возможно при условии, что

. Ул = ¥Н-[«(В)а],(21-5)

[«(AjHAll^n^B)^)](21.6)

(знак тождества подчеркивает, что равенство должно иметь место при любых г(д)].

Из тождества (21.6) вытекает, что

®'А) = ®(3),

т. е. что угловая скорость вращения вокруг любой оси одна и та же и можно говорить просто об угловой скорости тела <о, безотносительно к выбору системы отсчета К'. Поступательная же скорость, как видно из соотношения (21.5), не имеет абсолютного характера— она зависит от положения начала системы K'^a^VbV

Опустив ненужный индекс при <о, запишем соотношение (21.5) следующим образом:

¥в = V/ — [еа].¥в = V/ — [еа].(21.7)(21.7)

¥в = V/ — [еа].

¥в = V/ — [еа].

(21.7)

(21.7)

Возможны два случая: ;) векторы ¥д и о взаимно перпендикулярны, 2) векторы ¥л и ш образуют угол, отличный от л/2. Легко заметить, что в первом случае векторы \'д и [оа] компланарны. Следовательно, будут компланарными также векторы ¥в и Мд, Значит, вектор ¥8, как и вектор ¥д, перпендикулярен к вектору (в. Отсюда можно заключить следующее: если векторы Уд и о взаимно перпендикулярны при каком-то выборе начала системы К', то эти векторы будут взаимно перпендикулярными и при любом другом выборе начала системы К' (при любом другом выборе точки Л).

Теперь обратимся к формуле (21.1), записав ее в виде

¥ = ¥Л + [№(Л)]. (21.8)

Из нее следует, что при взаимной перпендикулярности векторов ¥л и о (которая, если имеет место, то наблюдается при любом выборе точки Л) векторы V и ¥л будут компланарными, причем скорости V всех точек тела лежат в плоскостях, перпендикулярных к вектору (а. Варьируя выбор точки А, можно добиться того, чтобы

¥^ = V-[®r(Z)] (21.9)

стала равной нулю1) (при этом точка А может оказаться вне тела). В итоге движение твердого тела окажется представленным как одно лишь еращение вокруг оси, которую называют мгновенной осью вращения тела (см. (21.8)).

Когда векторы ¥л и ы не перпендикулярны друг к другу, точку А можно выбрать так, чтобы эти векторы были коллинеарными. В итоге движение тела в каждый момент времени будет наложением двух движений: вращения вокруг некоторой оси с угловой скоростью «а и поступательного движения со скоростью ¥д вдоль той же оси. На доказательстве этого утверждения мы останавливаться не будем.

Отметим, что формулы динамики твердого тела принимают особенно простой вид, если начало систе-

*) Оба члена в правой части выражения (21.9) являются функциями точки тела (V—скорость точки тела в системе К, T(ai — радиус-вектор этой точки в системе Л"). Разность же этих членов для всех точек тела одна н та же и равна Уд.

мы К' совместить с центром инерции тела С. В дальнейшем мы обычно будем поступать именно так. Поэтому формулу (21.8) будем писать в виде

V = Vc-H'»r]. (21.10)

§ 22. Эйлеровы углы

Эйлеровы углы определяются следующим образом. Пусть первоначально оси связанной с телом системы К' совпадали с осями системы К. Затем тело совершило некоторый поворот, в результате чего ориентация осей К' в пространстве изменилась. Любой такой поворот можно осуществить с помощью трех поворотов, показанных на рис. 22.1.

Рис. 22.1

Поворота вокруг оси Z га угол ср (рис. 22.1,а). Направление и, которое примет при этом ось х, называется линией узлов.

Повооота вокруг линии узлов на угол А (рис. 22.1,6).

Поворота вокруг осн г тд угол ф (рис. 2'2.1,в).

Направление каждого из поворотов связано с направлением оси, вокруг которой он осуществляется, правилом правого винта.

Из рис. 22.2 видно, что ягния узлов есть не что иное, как линия пересечения координатных плоскостей ХУ и ху. Угол ф образован осью X и линией узлов, угол ф— линией узлс.в н осью х и, наконец, угол ■д есть угол между осями Z и г. Углы Ф и <р суть полярные координаты точки пересечения оси 2 со сферой единичного радиуса. Эту точку называют апексом.

Для того чтобы набор углов ф, О, ф, определяющий каждый реальный поворот, был однозначным.

принимают, что углы го и ф могут иметь значения отпринимают, что углы го и ф могут иметь значения отнуля до 2л, значения же угла Ф ограничивают интервалом от нуля до л. Если бы углу Д также было разрешено иметь значения от 0 до 2л, то, например, изображенный на рис. 22.3 поворот можно было бы охарактеризовать либо набором углов: ф = л/2, О = л/2, ф = 0 (верхняя последовательность поворотов; оси X, У, Z на рисунке не

принимают, что углы го и ф могут иметь значения от

принимают, что углы го и ф могут иметь значения от

даны, их ориентация сов-

Рис. 22.2падает с исходной ориен

Рис. 22.3Рис. 22.3тацией осей х, у, z), либо набором: ф = Зл/2, •& = Зл/2, ф = л (нижняя последовательность поворотов).

Рис. 22.3

Рис. 22.3

Допустим, что ось Z направлена по вертикали, а система К' связана жестко с волчком (гироскопом), причем ось z совпадает с осью собственного вращения волчка. Тогда легко видеть, что изменение угла ф соответствует собственному вращению волчка, измене-

ние угла ф— повороту вертикальной плоскости, в которой лежит ось г, т. е. прецессии волчка и, наконец, изменение угла О — движению оси волчка, называемому нутацией). В соответствии с этим угол ф называют углом прецессии, угол О — углом нутации, а угол ф— углом собственного вращения (или углом чистого вращения) ).

Скорость изменения угла ф можно охарактеризовать вектором угловой скорости Юф, направленным по оси Z (см. рис. 22.2); модуль этого вектора есть ф. Разложим вектор <»ф на две составляющие, одна из которых направлена по оси г (ее модуль равен фсоэ#), а вторая перпендикулярна к оси z, т. е. лежит в плоскости ху (ее модуль равен фзшО). Очевидно, что эта вторая составляющая перпендикулярна к линии узлов п и, следовательно, образует с осями х и у углы л/2— ф и ф. Из сказанного можно заключить, что проекции вектора <»ф на оси системы К' равны

(соф)1 = ф sin A cos (л/2 — ф) = ф sin О sin ф,

(<»ф)2 = Ф sin О cos ф,(22.1)

(®Ф)з = Ф cos А.

Скорость изменения угла О характеризуется вектором <ад, направленным по линии узлов; его модуль есть О. Линия узлов перпендикулярна к оси z, а с осями х и у образует углы ф и ф4-л/2. Следовательно, проекции вектора «а» на оси системы К' имеют значения

(<»>o)i = A cos ф,

(юо)г = ^ cos (ф 4- л/2) = — 4 sin ф, (22.2) (®о)з = 0.

Наконец, скорость изменения угла ф характеризуется вектором ®ф, направленным по оси z

ние угла ф —повороту вертикальной плоскости, в которой лежит ось z, т. е. прецессии волчка и, наконец, изменение угла А — движению оси волчка, называемому нутацией). В соответствии с этим угол ф называют углом прецессии, угол # — углом нутации, а угол ф— углом собственного вращения (или углом чистого вращения)).

Скорость изменения угла ф можно охарактеризовать вектором угловой скорости <оФ, направленным по оси Z (см. рис. 22.2); модуль этого вектора есть ф. Разложим вектор юФ на две составляющие, одна из которых направлена по оси z (ее модуль равен фсозО), а вторая перпендикулярна к оси z, т. е. лежит в плоскости ху (ее модуль равен фзтО). Очевидно, что эта вторая составляющая перпендикулярна к линии узлов и и, следовательно, образует с осями х и у углы л/2— ф и ф. Из сказанного можно заключить, что проекции вектора <оФ на оси системы К' равны

(<оф)1 = ф sin A cos (л/2 — ф) = ф sin О sin ф,

(®Ф)2 = Ф sin О cos ф,(22.1)

(%)з = Ф cos О.

Скорость изменения угла О характеризуется вектором о», направленным по линии узлов; его модуль есть А. Линия узлов перпендикулярна к оси z, а с осями х и у образует углы ф и ф+л/2. Следовательно, проекции вектора ю» на оси системы К' имеют значения

(шв)1 = d cos ф,

(соА)2 = ft cos (ф -|- л/2) = — # sin ф, (22.2) (юоЬ = 0.

Наконец, скорость изменения угла ф характеризуется вектором ®ф, направленным по оси z

В первом слагаемом можно вынести за знак суммы множитель V^.. В итоге эго слагаемое примет вид */2mVc, где т = 2 tna — масса тела. Во втором слагаемом произведем циклическую перестановку сомножителей (см. (VI. 3)), после чего вынесем постоянный множитель за знак суммы. В результате получим выражение [Ус, ®] У, тага-—- [Vc, <o]mrc, где гс — радиус-вектор центра инерции С. Если поместить, как мы условились, начало системы К' в точку С, то второе слагаемое обращается з нуль.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела распадается на два слагаемых. Первое слагаемое

Т„ост=72ш¥с(23.2)

представляет собой кинетическую энергию поступательного движения. Второе слагаемое

Гвращ-'Л Е^И2(23.3)

есть кинетическая энергия вращательного движения.

Подчеркнем, что обе эти энергии совершенно независимы— одна зависит только от Vc, вторая — только от 6». Благодаря совмещению начала системы К' с точкой С слагаемое, в которое входили и Vc, и и, обратилось в нуль.

Преобразуем выражение (23.3) к другому виду. Прежде всего заменим квадрат векторного произведения в соответствии с (VI. 6):

TBpauv = 'А 2 т. {w=^ - (®rj}.(23.4)

Теперь запишем это выражение, используя проекции векторов ш и га на оси системы К'. Проекции га на оси системы К' равны просто координатам частицы: Хщ, Хга, х3а. Обозначим проекции вектора ш на оси системы К' символами <oi, <о2, <в3. Тогда выражение (23.4) в компонентах векторов примет вид

Т =

вращ

='/2 2 ^К 2 “I) (2 хЦ-( 2 ®Ла) (X ю^)}=

— Va 2(( 2 «,) £ 2 г/а} — ZL WiAa)

(23.7)(23.7)

(23.7)

(23.7)

(напомним, что немой индекс можно обозначать любой буквой).

В полученном нами выражении величины ©, и ©* не зависят от индекса а и их можно было бы вынести за знак суммы по а. Однако этому препятствует то обстоятельство, что в первый член выражения входит сумма квадратов ©, а во второй член — сумма произведений <о,<йй. Это препятствие можно устранить, заменив сумму величин и2 выражением £©£©ДЙ, которое, очевидно, эквивалентно 2 Тогда формула для вращательной энергии примет вид

Твращ=Ч1 Е m«{(E ^i^ik) (Е 4а) — X to.tok^iaXka}

(23.5)

(заметим, что У*. х,аесть просто некоторый скаляр *), зависящий от индекса а; каждое из слагаемых ©дойб.» умножается на этот скаляр ).

В выражении (23.5) сначала производится суммирование по индексам i и А, а затем уже по индексу а. Изменим порядок суммирования так, чтобы суммирование по индексам i и к осуществлялось в последнюю очередь, т. е. перепишем (23.5) следующим образом:

7'вращ== V2 Е^ ^^k Е ^а (б^й (Е ^Га) — -^ia^-ka^-

Если ввести обозначение 2)

Нк =^ma р^ ( Е 4а) — х<вхЦ .(23.6)

выражение для кинетической энергии вращательного движения можно записать в виде

Лращ = Уз Е hk^i^k-(23.8)

I, к

Величина, определяемая формулой (23.6), есть некоторое число (но не инвариант!), зависящее от индексов I и 1г. Всего имеется девять таких чисел. Видно, что совокупность величин Л» образует тензор второго ранга). Действительно, произведение скаляра У*, х^а на единичный тензор д^ будет тензором (см.

формулы (X. 17) и (X. 19)), произведения х,ахка суть произведения компонент вектора го, т. е. тоже тензор (см. (X. 16)). Наконец, разность соответствующих компонент двух тензоров также дает компоненты некоторого тензора (см. X. 18)).

Итак, величины (23.6) суть компоненты тензора. Этот тензор называют тензором инерции. При перестановке индексов г и к величины (23.6) не изменяются. Следовательно, тензор инерции является симметричным (lik = Iki).

Напишем компоненты тензора инерции, применив обычные обозначения декартовых координат:

Ут(у + г2)

— У тху

-Цтхг

и^=

— У тух

Ущ(х2 + гг)

-^myz

-'LmzK

- у тгу

Ут^ + у2)

(23.9)

(чтобы не усложнять формул, мы опустили индекс а при m и координатах х, у, z; все суммы берутся по этому индексу).

Диагональные компоненты тензора называют осевыми моментами инерции. Они совпадают с известными из курса общей физики моментами инерции тела относительно соответствующих координатных осей.

') К этому выводу можно также прийти путем следующих рассуждений. Представим выражение (23.8) в виде

^"вращ Va У toi У 1ik^k-

Недиагональные компоненты называют центробежными моментами инерции.

Геометрическим образом симметричного тензора является эллипсоид. В рассматриваемом нами случае это есть эллипсоид инерции. Направления в теле, совпадающие с полуосями эллипсоида инерции, называются главными осями инерции тела. Эти оси пересекаются в центре инерции тела. Если направить оси системы К' (т. е. оси х, у, z; напомним, что эти оси жестко связаны с телом) по главным осям инерции тела, то тензор инерции окажется приведенным к диагональному виду

/ЛО о \

(7i6) = | о /2 о . (23.10) X о о /3 /

Значения /ь /2, 73 диагональных компонент тензора (в том случае, когда он приведен к диагональному виду) называют главными моментами инерции тела (их можно было бы обозначить символами /х,

Если в качестве связанных с телом осей х, у, z выбраны главные оси инерции, выражение (23.8) для кинетической энергии вращательного движения упрощается следующим образом:

Г.,о?+« + /,««) (23.11) либо

Г.,™ - v, VA + 'Я + 'X) (23.12) (напомним, что оц, <02, <оз суть проекции на оси х, у, z вектора ю — угловой скорости вращения тела, наблюдаемого в системе с осями X, У, Z).

В случае, когда вектор о» совпадает с одной из главных осей инерции, вдоль которой мы направим, скажем, ось г, выражение для энергии становится еше проще:

ЛфаЩ = (23.13)

Выражение, аналогичное (23.13), получается также в том случае, когда тело вращается вокруг проходящей через центр инерции фиксированной относительно тела оси1). Направив вдоль этой оси, скажем, ось z,

*) Если эта ось не совпадает ни с одной из главных осей инерции, то ее нужно удерживать с помощью подшипников.

мы получим, что 0ц = «у-= О, а ш2 =<о. Тогда из девяти слагаемых формулы (23.8) отличным от нуля будет только одно, в котором i = k = z, так что

Т^=хк1г^-----^1гА (23.14)

где Izz, вообще говоря, не является одним из главных моментов инерции.

Отметим, что, например, у такого тела, как однородный шар, эллипсоид инерции вырождается в сферу. Следовательно, главные оси инерции оказываются не фиксированными относительно тела. Это значит, что в качестве главных осей могут быть взяты любые три взаимно перпендикулярные осн, проходящие через центр шара. В этом случае все главные моменты инерции оказываются одинаковыми: /1 = /г = /з = / и тензор инерции можно записать так:

11^ = 1^, (23.15)

где (6,»)—единичный тензор (см. X. 17)), а I—■ скаляр.

Все то, что мы сказали в отношении шара, оказывается справедливым и применительно к однородному кубу. Действительно, для него, очевидно, справедливо соотношение (23.15). Следовательно, эллипсоид инерции у куба вырождается в сферу. Поэтому любая ось (а не только ось симметрии), проходящая через центр куба, может рассматриваться как главная ось инерции. По этой причине куб наряду с шаром и другими телами, у которых I\=U = U, называют шаровым волчком ).

Тело, у которого равны друг другу два главных момента инерции (например, Л = /з^^з), называют симметричным волчком. Наконец, тело, у которого все три главные моменты инерции различны, называют асимметричным волчком.

До сих пор, рассматривая тензор инерции, мы предполагали, что начало связанной с телом системы К' помещается в центре инерции тела С. Однако тензор инерции можно определить по формуле (23.6) также и по отношению к связанной с телом

системе К<Л) с началом, помещающимся в произвольной точке А. Компоненты тензора в этом случае будут равны

»- Е >».{»«[?ИУ]-4М}- <23.16)

Значения /<^ оказываются связанными простыми соотношениями с значениями 1^ компонент тензора, определяемых по отношению к системе К'^ с нача

Подставим значенияПодставим значениялом в точке С и осями, параллельными осям системы К^ (рис. 23.1).

Подставим значения

Подставим значения

Для того чтобы найти эти соотношения, обозначим символом а радиус-вектор точки А в системе К(С). Тогда для любой точки тела Г(Д) = г — а и, следовательно,

х<л> = х(.-ар (23.17) где а, есть i-я координата точки А в системе К'^.

в формулу (23.16):

1$= X ma{a£ft [£ (^а-^)2]-^,»-^)^»-^^ а I \ t /)

+ Х^а {б.й ( X «Л - адХ -а k X I /)

а/аа

Первая из пяти сумм есть А*. Во второй сумме ни одна из величин в фигурных скобках не содержит индекса а. Кроме того, У. о, есть квадрат вектора а, т. е. а2. Поэтому вторую сумму можно представить в виде т(а2б,й — ащ*). Третью сумму можно написать В виде X 2й;6а/ X "М^ Но X тах1а = тХ[С=0, I -аа

так что третья сумма равна нулю. Аналогично, вынеся в четвертой и пятой суммах не зависящий от а

множитель за скобки и приняв во внимание, что Xic = Xhc = ^. установим, что обе эти суммы также равны нулю. Итак, мы приходим к соотношению

аА). (23.18)

которое представляет собой тензорную запись теоремы Штейнера. Чтобы убедиться в этом, найдем компоненту /m^^m - Согласно (23.18)

^ = ^2 + m (°2 - °1) = Z22 + m (°2 + <^ = кг + "^1.

(23.19)

где ах—расстояние между осями г и ^-А\

Вычислим кинетическую энергию тела, вращающегося с угловой скоростью ю вокруг неподвижной (в системе К) фиксированной относительно тела оси, не проходящей через его центр инерции. Если центр инерции находится от оси вращения на расстоянии ах, его скорость Vc = <aax. Следовательно,

где т— масса тела. Вращательную энергию найдем по формуле (23.14), направив ось z параллельно неподвижной оси вращения. Сложив обе энергии, получим

Г = 4 тм?а\ + у 1ие? = у (та® + /„) «о2 = у /£>2

(23.20)

(см. формулу (23.19)). Мы пришли опять к формуле (23.14).

Таким образом, формула (23.14) для кинетической энергии вращающегося тела справедлива не всегда* а только в двух случаях: 1) когда тело вращается вокруг одной из своих главных осей инерции (см. формулу (23.13)); 2) когда тело вращается вокруг неподвижной, фиксированной в нем оси (см. формулы (23.14) и (23.20)).

В заключение найдем вид тензора инерции в случае, когда только одна из координатных осей, скажем, ось z совпадает с одной из главных осей инерции тела. Переход от системы, все оси которой совпадают с главными осями, к интересующей нас системе осу-

ществляется поворотом вокруг оси z на угол ф. Легко убедиться в том, что таблица коэффициентов преобразования выглядит в этом случае следующим образом:

|

ап Он 0II Ц созф sin ф 0II О2| ®22 061=]— sin ф COS ф 0 I 0 0 1 | || о 0 1

Компоненты тензора инерции в интересующей нас системе координат получим из компонент тензора, приведенного к главным осям, по формуле преобразования (X. 10). Представим компоненты тензора (23.10) в виде hm = 6imlm. Тогда, обозначив компоненты тензора в новой «штрихованной» системе просто /,* (без штриха), можно написать

ik ~ X ^U^km^tm^ т = 2 aimakm^ т- I, т т

Согласно этой формуле

/и = Е ^Jm = «нА + ^ = соз2ф/, + з!п2ф/2.

Аналогичные выкладки дают, что /22 = 81п2ф/1 + 4-со52ф/2, 733 =/3, /i2=/2i=sin ф cos ф(/2 — /,). /,з= = /31—0, /2з = /з2 = 0. Таким образом, тензор инерции в новой системе имеет вид

/ 111 112 0 \

(/,»)- ^ /22 0 . (23.21) X О С /з /

Отметим, что в случае, когда Л = /2 = 7, из полученных нами формул вытекает, что 7ц = 122 = I, /12= = /21 = 0, т. е. что новый тензор не отличается от исходного. Так и должно быть, поскольку при равенстве моментов /] и /2 главные оси х и у оказываются не фиксированными.

§ 24. Момент импульса твердого тела

Как и в предыдущих параграфах, будем рассматривать движение твердого тела в системе координат К с осями Хл, Х2, Ха. С телом свяжем жестко систему К', начало которой сначала поместим в произвольную точку А. Оси этой системы обозначим xi, Х2, х3 (или х,у, г). Тело разобьем мысленно на частицы массы та.

Согласно формуле (21.3) скорость частицы с номером а в системе К равна

Va = Vx-b[tor^,(24.1)

где V^—скорость начала системы К', <» — угловая скорость вращения тела в системе К, г^> — радиус- вектор частицы, проведенный из точки А.

Найдем момент импульса тела М(д> относительно начала системы К' (относительно точки Л). Радиус- вектор, проведенный из точки А к частице с номером а, есть г^*1. Следовательно,

*<.«-£ (г«. «.VJ-

Подстановка в это выражение значения (24.1) для Va дает

М„ - 2 К”. "Л| + S (4”. ". [®4”1 ]■ <242)

Второе слагаемое в (24.2) представляет собой значение М'Л), которое имел бы момент при условии, что точка Л была бы неподвижна. Следовательно, М(Л) есть момент, обусловленный только вращением тела.

Преобразуем первое слагаемое в (24.2), воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения:

2 [г^, щаУл| = £ [marW Ул] = [£ таг<ал>, Ул] =

Н^Л Vx] = [r^), mVJ.

Здесь т — масса тела, г*^ — радиус-вектор центра инерции в системе К' (радиус-вектор, проведенный из Л в С).

Таким образом, выражению (24.2) можно придать вид

+14”. "VJ. (24.3)

Слагаемое М'Л), как мы уже отмечали, обусловлено вращением тела. Его можно назвать собственным моментом тела. Второе слагаемое обусловлено поступательным движением тела.

Если начало системы К' (т. е. точку Л) поместить в центр инерции тела, г^> будет равен нулю, вследствие чего из (24.3) получается М(С) = М'С). Отсюда следует, что наблюдаемый в неподвижной системе К момент импульса тела относительно его центра инерции совпадает с собственным моментом, т. е. определяется только вращением и не зависит от того, движется центр инерции тела или покоится.

Найдем выражение для момента импульса1) тела относительно центра инерции. Если точка А совпадает с С, первое слагаемое в (24.2) обращается в нуль. Следовательно,

М(С)=Ета[ГаМ1(24.4)

а

(напомним, что га — радиус-вектор частицы, проведенный из точки С). Преобразуем это выражение по формуле «бац минус цаб» (см. (VI. 5)):

М<О = Е та {мг= - га (<ога)} =

= Е mtt [со ( Е хЦ - го ( Е ™Ла)}

(мы выразили скалярные произведения через проекции соответствующих векторов на оси связанной с телом системы К').

Вычислим компоненты вектора М(с> по осям системы К' (в дальнейших формулах индекс «С в скобках» мы опустим). Для компоненты по z-й оси получаем

Mt = Е ma {“( ( £ ХЦ - ^а ( 5 ®Ла)} •

Представим со,- в виде

®г = Е ^1к®к-

Тогда

Mi = Е та |Е 6iktok ( Е са) — Xitt ^ Ы*хЦ-

Наконец, изменим порядок суммирования по индексам а и А:

Mi=T.tok^ll та ^61к ^Х?а j — Xfo№a)j •

Выражение в квадратных скобках есть компонента тензора инерции Иь (см. формулу (23.6)). Таким образом, для проекции вектора М на i-ю ось связанной с телом координатной системы получается следующее выражение:

Mt=Lli^ (' = 1,2,3)(24.5)

(напомним, что «>к— проекция вектора « на А-ю ось системы К'У

Из формулы (24.5) вытекает, что векторы Миу, вообще говоря, не коллинеарны друг другу. Если оси системы К' (т. е. оси х, у, г) направить по главным осям инерции тела, формула (24.5) упрощается следующим образом:

Mt = I^i (z — х, у, z).(24.6)

Здесь h — i-й главный момент инерции.

Пусть тело вращается вокруг, например, третьей главной оси инерции. Тогда Шх = соу = 0, ®2 = о, так что

М = Mz —• I2(»z = 1гт.

Последнее соотношение можно записать в векторной форме:

М == I2to.(24.7)

Из формулы (24.6) видно, что в случае шарового волчка (т. е. тела, для которого I\ = U = U = I) векторы Мио также будут коллинеарными, причем М = Iq.

Если тело вращается вокруг фиксированной в нем оси г, не совпадающей ни с одной из главных осей инерции, то шх = Оу = 0, oz = о. Тогда формула (24.5) дает

Mt == 1хг®> Му I y2®i Mz ^zz®*

Подчеркнем, что сам вектор М в этом случае не коллинеарен с вектором ® и поворачивается вокруг направления б> вместе с осями х и у.

Проекция вектора М ;яа ось, проходящую через точку, относительно которой определен М, называется моментом импульса относительно этой оси. Следовательно, момент импульса относительно, например, оси z равен

Mz — Jzz.®- (24.8)

В заключение рассмотрим случай, когда тело вращается вокруг неподвижной (в системе К), фиксиро

ванной в нем оси, неванной в нем оси, непроходящей через его центр инерции С (рис. 24.1). Возьмем на оси вращения произвольную точку А. Проведем из этой точки в точку С вектор, который обозначим символом а. Тогда для каждой из частиц тела

ванной в нем оси, не

ванной в нем оси, не

г^ = а + га, (24.9) где г<аЛ) — радиус-вектор частицы с номером а, проведенный из точки А, га — радиус-вектор той же час- тицы, проведенный из точки С.

По предположению ось вращения неподвижна. Поэтому скорость Уд равна нулю. Найдем момент импульса тела относительно точки А, т. е. М(д>. В соответствии с формулой (24.2)

«Я=?['{,.«.М1-

Подставим сюда значение (24.9) для г^:

(24.10)(24.10)М<Л) = Е [а + Г„ /по [ю, а -4- г„] ].

(24.10)

(24.10)

Воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения, можно после несложных преобразований привести выражение (24.10) к виду

М(А) = [а [®а] ] (Е '^ + |а [ю, £ maraj j +

+ [Е "№, [®a]j + Е [ra. ma [6ira] L (24.11)

Поскольку ^mara = mrc —О, второе и третье слагаемые в полученном нами выражении равны нулю. Применение формулы «бац минус цаб» и замена £ та массой тела т превращает первое слагаемое в т [ем2 —- а (®а)] = m [(а2 + а^) о — а^а],

где ац — составляющая вектора а, параллельная и, aj.—составляющая а, перпендикулярная к ю (а^ есть расстояние между осью вращения и параллельной ей осью z, проведенной через точку С).

Наконец, сравнение с формулой (24.4) показывает, что последнее слагаемое в (24.11) есть М(С) — момент импульса тела относительно точки С. Таким образом, в изображенном на рис. 24.1 случае

М(Л) = т^ + a^j <» — maa©a + Af(C). (24.12)

Найдем момент импульса тела относительно оси вращения (которую мы будем обозначать буквой и). Для этого нужно спроектировать вектор (24.12) на ось о). Проекция первого слагаемого равна т (а2 + е^) м. Проекция второго слагаемого равна —/пацмац = — та2ш. Согласно формуле (24.8) проекция третьего слагаемого есть 1^'ю, где 7^* — момент инерции тела относительно оси z, проходящей через точку С. Следовательно,

Мм = т (aj + ay) to — та2® + /*,C)to =

= (7<zc> + ma?^ to = 7^’to.(24.13)

Здесь 1^ — определенный по теореме Штейнера момент инерции тела относительно оси ы, проходящей через точку Д.

Таким образом как бы ни была выбрана неподвижная ось вращения, жестко связанная с телом, момент импульса тела относительно выбранной оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на модуль угловой скорости (см. формулы (24.8) и (24.13)). Отметим, что, если ось, на которую проектируется момент, и вектор ® направлены в противоположные стороны, то в формуле (24.13) появится знак минус.

§ 25. Свободные оси вращения

Свободными осями вращения тела называются, как

известно, оси, которые сохраняют свое положение в пространстве без воздействия на них внешних сил. В этом параграфе мы докажем, что свободными осями вращения могут быть только глав

ные оси инерции тела.

Допустим, что тело вращается с угловой скоростью to вокруг некоторой связанной с ним неподвижной оси (рис. 25.1). При этом каждой частице тела должно быть сообщено ускорение

W„ = — topa, где pa — перпендикулярная к оси вращения составляющая радиуса- вектора га данной частицы (га проведен из точки О, лежащей на оси вращения *)).

Для того чтобы сообщить частице такое ускорение, необходимо приложить к ней силу

Fa = mawa = — /иам2Ра.(25.1)

момент которой относительно точки 0 равен

Na — [ra. Fa] =" — Ша<а? [ra, pa], (25.2)

Сложив все силы (25.1), получим результирующую внешнюю силу, которая должна быть приложена к телу, чтобы обеспечить вращение его вокруг рассматриваемой оси2):

F—2Fa=—и2 £mapa. (25.3) a a

’) В соответствии с принятыми нами обозначениями этот вектор следовало бы обозначить символом г^. Однако, поскольку в этом параграфе нам не встретятся радиусы-векторы, проведенные из точки С, мы, чтобы не усложнять обозначений, опустим индекс «О в скобках* при символах векторов и координат.

Результирующий момент внешних сил должен быть равен сумме моментов (25.2):

N = Z Na = — <о2 £ та [ra, pj. (25.4) aa

Свяжем с телом систему координат, поместив ее начало в точку 0, а ось г направив вдоль вектора о. Компоненты вектора ра по осям такой системы равны ха, Уа, 0. Следовательно,

[^a, Ра][^a, Ра]ч*Са<ач*Са<аСу е2Уа ZaУа 0Су е2Уа ZaУа 0

[^a, Ра]

[^a, Ра]

ч*

Са

<а

ч*

Са

<а

Су е2

Уа Za

Уа 0

Су е2

Уа Za

Уа 0

так что компоненты вектора [ra, pa) равны:

[fa> Palnp. * == Уа " ^ ^аУа == Уа^а,

[*"а> Palnp. у == ^аХа Ха • 0 = XQZa,(25.5)

l^a, Palnp. z := %аУа Уа^а == 0.

Теперь напишем компоненты результирующей силы F и результирующего момента N. Согласно формуле (25.3)

Fx = — со2 2 rWa = — *Хс,

Fu = -ti?^ т«Уа = — а>2тус, ^ = о.

где хс и ус — координаты центра инерции тела. Если ось вращения проходит через центр инерции, эти координаты будут нулями, так что все компоненты силы, а значит и сама F будут равны нулю.

Согласно формулам (25.4) и (25.5)

Nx = —<о2 £ та (— уага) = — ®Чу2,

Ny = —(в2 £ tna (хо2а) = <йЧх2,

Nz = -to2 Цта 0 == 0,а

где lyz и Ixz — центробежные моменты инерции тела (см. формулу (23.9)). Если ось 2, вокруг которой происходит вращение, является одной из главных осей инерции, центробежные моменты Ixz и Iyz равны нулю

(см. (23.21)), так что все компоненты результирующего момента сил, а значит, и сам момент N будут равными нулю.

Итак, мы доказали, что в случае, когда тело вращается вокруг одной из своих главных осей инерции, результирующая внешних сил и результирующий момент этих сил равны нулю. Значит, для того чтобы такая ось вращения сохраняла свое положение в пространстве, необходимости во внешних силах нет.

26. Уравнение движения твердого тела

Возьмем в качестве обобщенных координат, определяющих положение тела в неподвижной системе К, декартовы координаты центра инерции Xtc, Х2С, Х3с (им соответствует радиус-зектор Rc) и эйлеровы углы Ф, б, ф, причем оси связанной с телом системы К' направим по главным осям инерции тела.

В § 23 мы установили, что кинетическая энергия твердого тела слагается из энергии поступательного движения (23.2) и энергии вращательного движения, которая при сделанном нами выборе осей К' определяется формулой (23.11). Таким образом, для функции Лагранжа твердого тела можно написать следующее выражение:

L = -A mV2. + 'А (Ао2 + /2о)2 + /3®2) - U, (26.1)

Чтобы получить выражение L в принятых нами обобщенных координатах, заменим Vc через Rc, а проекции вектора ш на оси системы К' выразим через эйлеровы углы (см. (22.4)). В результате получим

L = 'AmRc + 'А {/i (Ф sin 6 sin ф + 6 cos ф)2 +

- /2 (ф sin 0 cos ф — ■б si л ф)2 + 1Л (ф cos # + ф)2} —

-^(Rc, Ф, #, ф) (26.2)

(напомним, что Л, la, /з — главные моменты инерции тела).

Зная вид функции (7(Rc, ф, О, ф), можно составить уравнения Лагранжа и решить соответствующую задачу о движении твердого тела. Уравнение Лагранжа,

соответствующее координатам центра инерции, имеет вид

откуда получается уравнение движения центра инерции тела:

mite = F,(26.3)

где F — результирующая внешних сил, действующих на тело.

Чтобы получить уравнение, определяющее поведение со временем момента импульса тела М, вспомним, что для отдельной частицы

Ма = [raFJ = Ма,

т. е. производная по времени от момента импульса равна моменту силы, действующей на частицу. Просуммировав по всем частицам тела, получим

M=^£Mo:=£[raFa] = N, <264>

где N — сумма моментов всех действующих на тело внешних сил относительно точки С (моменты внутренних сил в сумме дают нуль).

Запишем уравнение (26.4) в проекциях на оси системы К' (на главные оси инерции тела):

~Mi = Nl (/=1,2,3).(26.5)

Проекцию Ni можно представить в виде ьи OU dL

где 6Ф,— угол поворота тела вокруг i-й главной оси (<о< = d<Dt/dt). Действительно, при повороте тела на угол 6Ф, силы, приложенные к телу, совершают работу

дЛ = ЕРдЯ = £Р[дФ<е,. г].

Здесь суммирование производится не по индексу I, а по всем внешним силам, действующим на тело, 6R — перемещение точки приложения соответствующей

силы, е,— орт /-й главной оси, г — радиус-вектор точки приложения силы, проведенный из точки С (R проводится из начала системы К). Осуществив циклическую перестановку сомножителей и вынеся общий множитель бФ/е, за знак суммы, придем к выражению

ЙЛ = йФ^е, £ [гF] = ЙФ,е^ = Nt йФ,,

где Ni — проекция результирующего момента сил на ось, вокруг которой произведен поворот на угол 6Ф/. Вычисленная нами работа 6Л совершается за счет убыли потенциальной энергии U, т. е.

йЛ = Nj йФ, = - bU,

откуда и следует формула (26.6).

Мы получили формулу (26.6), рассматривая поворот вокруг одной из главных осей инерции тела. Однако эта формула справедлива в самом общем случае— для поворота вокруг произвольной оси (конечно, при условии, что сила, момент которой рассматривается, является потенциальной).

Из формулы (26.6) следует, что величины Ni суть обобщенные силы, отвечающие обобщенной координате Ф, (см. (4.20)).

Теперь продифференцируем функцию (26.1) по с»,. В результате получим

= /,(о, = Mtд<й{ ‘‘

(см. формулу (24.6)). Проекцию угловой скорости ац можно представить как Ф, (см. текст, следующий за формулой (26.6)). Следовательно, можно написать, что

Mi = --- = —(26.7)

д.о, дФ,

(ср. с формулой (11.3)). Из формулы (26.7) вытекает, что величины М, суть обобщенные импульсы, отвечающие обобщенным координатам Ф, (см. (4.19)).

Воспользовавшись соотношениями (26.6) и (26.7), формулу (26.5) можно представить в виде

=(26.8)

dt дФг дФ,

т. е. как уравнение Лагранжа, отвечающее обобщенной координате Ф,.

Следует иметь в виду, что при сделанном нами выборе осей системы К' только эйлеров угол ф соответствует повороту вокруг главной оси. Остальные же углы соответствуют поворотам вокруг неподвижной оси Х3 и вокруг линии узлов.

Продифференцировав функцию (26.2) по ip, найдем выражение для проекции момента импульса на ось х3 (на ось г) через эйлеровы углы

Мф = М3 = Л (Ф cos А + ф).(26.9)

Допустим, что эйлеров угол О равен нулю. Это означает, что оси Z и z все время совпадают — тело вращается вокруг связанной с телом оси, которая неподвижна в системе К. В этом случае сумма углов Ф + ф определяет полный угол поворота тела вокруг оси г. Положение линии узлов в этом случае оказывается неопределенным — эта линия может быть расположена в любом месте между осями X и х. В частности, можно совместить линию узлов с осью X, тогда Ф = 0 и поворот тела вокруг оси z будет характеризоваться углом собственного вращения ф. Если совместить линию узлов с осью х, будет равен нулю угол ф и поворот вокруг оси z будет описываться углом прецессии ф.

При 0 = 0 формула (26.9) принимает вид

М3 = /3(ф -Ь ф) = /3<о3,

где <о3— угловая скорость вращения тела вокруг осиг.

При О = л/2 формула (26.9) упрощается следующим образом:

М^ = М3 — /Зф = /3(0ф, где (Оф — угловая скорость собственного вращения тела.

В заключение составим уравнение Лагранжа для тела, вращающегося вокруг жестко связанной с ним оси, неподвижной в системе К. Для большей общности будем считать, что ось вращения не проходит через центр инерции тела С и не параллельна ни одной из главных осей инерции тела.

Направим оси Z и z по оси вращения тела. Тогда эйлеров угол О будет равен нулю. Поскольку линия

узлов в этом случае не фиксирована, совместим ее с осью х, тогда угол ф также обращается в нуль. При сделанном нами выборе оси z (по направлению вектора to) tox = toy = 0, to2 = to = ф.

Кинетическую энергию для подобного случая мы вычислили раньше. Она оказалась равной значению (23.20). Следовательно, функция Лагранжа имеет вид

L = ЧЛАУ - U Ср) = '/2/^Ф2 - U (ф) (26.10)

(Д— не совпадающая с С точка, в которой находится начало системы К').

Составим уравнение Лагранжа. d dL _ dL_ dt дф dq>

Из (26.10) следует, что леван часть равна /^’ю. Согласно (26.6) правая часть, равная — dU/dq, есть проекция результирующего момента сил на ось вращения, т. е. Nz. Таким образом, мы приходим к уравнению

& Nz.

Уравнения Эйлера

Уравнения Лагранжа, соответствующие эйлеровым углам (т. е. описывающие вращение тела), оказываются, как легко заключить из вида функции (26.2), весьма сложными. Иногда бывает удобнее пользоваться другими уравнениями, полученными Эйлером и носящими его имя. Чтобы прийти к этим уравнениям, будем исходить из соотношения (26.4):

■^=N.(27.1)

Уравнение (27.1) справедливо в инерциальной системе отсчета (т. е. в неподвижной системе К). Мы попытаемся найти уравнение, справедливое во вращающейся вместе с телом системе К', оси которой совпадают с главными осями инерции тела.

В уравнении (27.1) d№. есть приращение вектора М за время dt, наблюдаемое в системе К. Согласно (15.6) это приращение можно представить в виде

d№ = d'M + [йф, М],

где d'M — приращение вектора М за время dt, наблюдаемое в системе К', dtp— угол, на который поворачивается система К' за время dt. Разделив последнее уравнение на dt, получим

— = — +М].(27.2)

где d^/dt — скорость изменения вектора М, наблюдаемая в системе К, d'NV/dt— скорость изменения того же вектора, наблюдаемая в системе К', <о — — dtp/dt— угловая скорость вращения системы К' (т. е. угловая скорость вращения тела).

Формула (27.2) справедлива для любого вектора, в частности она справедлива и для вектора <в. В последнем случае имеем

dtприходим к соотношению d'mdtприходим к соотношению d'mdm d'<» , , _ , dt "

dt

приходим к соотношению d'm

dt

приходим к соотношению d'm

Поскольку [cjo] = 0, мы

dm

-dt=-dr-

из которого следует, что скорости изменения вектора to, наблюдаемые в системах К и К', одинаковы.

Заменим левую часть формулы (27.1) выражением (27.2). В результате получим уравнение

4г +^ = N-

Спроектируем все векторы на i-ю ось системы К', учтя, что проекция вектора М на эту ось М, = 1до1 (см. (24.6)):

d’ (I.

—[aM]пpXi = ^i.

Приняв во внимание, что h = const, a d'&/dt = d&/dt (см. (27.3)), можно записать полученное нами уравнение следующим образом:

dm,

AV+WpV'-'' 0 = 1,2, 3). (27.4)

Представим проекцию векторного произведения на ось х< по формуле (VI. 33):

[®М]прх = 2 e.^toi.M, = 2 £ikitokli«i

I к. Iк. I

и подставим это выражение в (27.4). В итоге придем к уравнениям

11 -др + У etfcJi&kQi — Ni(Z = 1, 2, 3), (27.5)

A, Z

которые и представляют собой уравнения Эйлера. Положив последовательно i == 1, i = 2, i = 3 и произведя суммирование по к и I, получим три уравнения:

/1^- + (/з-/2)<о2<»з = ^1.

/2 -^- + (/1 - /з) ®з«1 = N2,(27.6)

Отметим, что каждое следующее уравнение получается из предыдущего с помощью циклической перестановки индексов 1, 2, 3.

Легко видеть, что в случае шарового волчка уравнения (27.6) превращаются в уравнение /« = N.

Свободный симметричный волчок

Применим уравнения Эйлера для исследования движения симметричного волчка (т. е. тела, у которого Л = /2=^/3). не подверженного действию внешних сил. В этом случае центр инерции тела движется с постоянной скоростью или покоится (см. формулу (26.3)). Поэтому можно из всех инерциальных систем выбрать ту систему К, начало которой совмещено с центром инерции тела С. В этой системе поступательное движение тела отсутствует и остается выяснить только характер вращательного движения.

В отсутствие внешних сил момент импульса тела М остается по отношению к неподвижной системе К неизменным по величине и направлению. Выберем направление вектора М в качестве оси Z. Относительно связанной с телом системы К' вектор М, как мы увидим, вообще говоря, все время изменяет свое направление.

Поскольку Ji =/2 и момент внешних сил равен нулю, уравнения (27.6) выглядят следующим об-

разом '):

Л^- + (/3-Л)^ = о,

Л ^--<U- 7,)^ = О,(28.1)

^. = 0dt

Из третьего уравнения сразу получается, что шз = = соц = const. Это означает, что проекция вектора угловой скорости на связанную с телом ось г остается постоянной.

Введя обозначение

Й = Ь_Т_Ь_ ш(28.2)

• 1

запишем первые два уравнения (28.1) в виде

Ш| • — йсй2, со3 — ЙСО[.

Легко убедиться в том, что полученная нами система удовлетворяется функциями

<О| = coj. cos (й/ + а), ©2 = «1 sin (Й/ + а), (28.3) где coj. и а — константы, причем о L = ^Ц + со есть величина проекции вектора о на плоскость ху, перпендикулярную к оси собственного вращения тела z. Из (28.3) следует, что перпендикулярная к оси г составляющая ш±, оставаясь постоянной по величине, вращается равномерно в плоскости ху с угловой скоростью Й, определяемой формулой (28.2). Параллельная оси 2 составляющая юц тоже остается, как мы видели, постоянной по величине. Отсюда заключаем, что вектор <о вращается относительно тела с угловой скоростью Й, описывая конус вокруг оси z, причем модуль вектора <о не изменяется (рис. 28.1 2)).

Согласно (24.6) проекции вектора М на оси х, у, 2 равны

Ajx = Z1<Oi, Мц — Ь/йо, Мл = /3<о3.

Следовательно,

М = /1(0^^ + /х<й2ед + /3<о3е2 = /! (и^ + <о2еу) + /3®эег,

где йх, еу, ег— орты соответствующих осей (эти оси вращаются вместе с телом). Сумма «цСх + мгву дает перпендикулярную к оси г составляющую «xi ®3ez есть параллельная оси z составляющая <йц. Таким образом,

М = /^«х + ^з®Ь (28.4)

Направления векторов Мии проходят через общее для систем К и К' начало — точку С. Значит, эти

векторы определяют некоторую плоскость (пло

скость Zz). Для того чтобы могло выполняться равенство (28.4), вектор их должен лежать в этой же плоскости. Следовательно, и вектор и—<ох + ®ц лежит в плоскости Zz. Отсюда заключаем, что векторы М, и и ось собственного вращения тела z в каждый момент времени лежат в одной плоскости (на рис. 28.1 эта плоскость заштрихована). Эта плоскость вращается вокруг направления М. Вместе с ней поворачивается ось г, описывая вокруг оси Z круговой конус. Такое вращение оси тела z называется регулярной прецессией. Для регулярной прецессии характерно постоянство угла нутации <\

Вектор и, как мы установили, вращается относительно тела вокруг оси z с угловой скоростью £2. Вме-

сте с тем этот вектор остается в плоскости 2г- Отсюда следует, что относительно плоскости 2г тело вращается вокруг оси г в противоположную сторону с той же скоростью Й.

На рис. 28.2 изображены составляющие Л©± и /з©«, которые в сумме дают момент импульса М (см. (28.4)). Из рисунка видно, кто

=(28.5)

Ранее мы установили, что ©д. и ©ц— константы. Следовательно, tg О, а значит, и сам угол нутации О остается неизменным. Угол между вектором © и осью г также постоянен (его тангенс равен ©д./юц).

Величины ©± и <оц определяются энергией тела Т и моментом импульса М. Действительно,

г - л (/,«,=+/,^2+1,«^ - 4 (/.о^+/3rf), (М б) М? = (/,«,)= + (/,»,)’ + (7лу = пд + iy.

Решив эту систему уравнений относительно ©L и (оц, найдем выражения этих величин через Т и М

Ю« — V /з (7з -/1) ’ OJ- ~ V /1 (Л -/з) ' <28'7)

Допустим, что тело сплюснуто вдоль оси г, тогда 7з > Л и знаменатель под корнем в ©и будет положительным, а в ©д.—отрицательным. Значит, для того чтобы <йц и Юд были вещественными, необходимо выполнение условий ЛР — 2T(i^0, М2-2Г73^0, которые можно объединить в одну формулу

-^К^.(28.8)

2'32/1

Значений, выходящих за указанные пределы, энергия свободного симметричного волчка иметь не может (при данном Л7). Если энергия имеет наименьшее возможное значение, т. е. при (И2 = 27/3, ©д обращается в нуль (см. (28.7)). Из формулы (28.5) следует, что в этом случае 0 = 0— оси Z и г совпадают, направления векторов Ми© также совпадают, вектор © не перемещается ни относительно тела, ни относительно

системы К. Отметим, что в этом случае имеет место соотношение

Т --=.(28.9)

3

Теперь допустим, что энергия имеет наибольшее возможное значение, т. е. М2 = 27/ь Тогда обращается в нуль соц (см. (28.7)). Согласно формуле (28.5) в этом случае О = л/2 — оси Z и г взаимно перпендикулярны, вращения вокруг оси г нет, вектор й) = ®£ совпадает по направлению с вектором М, энергия связана с моментом соотношением

Т —(28.10)

Полученным нами соотношениям можно дать красивую геометрическую интерпретацию. Перепишем формулы (28.6) следующим образом:

,_2

2ТЦХ + "27/7? + 2Т//3 = 1 (28‘11

(В?<0?!

+м=^+м77|=1-(28Д2)

Каждое из этих уравнений есть уравнение эллипсоида вращения. Если, как мы предположили, /3 > 1\, оба эллипсоида сплющены вдоль оси со3, которая совпадает с осью z (эллипсоид инерции в этом случае, наоборот, вытянут вдоль оси а). Легко сообразить1), что первый эллипсоид (назовем его эллипсоидом энергии) сплющен меньше чем второй (который мы назовем эллипсоидом момента). На рис. 28.3 изображены оба эллипсоида. Значения d>i, <о2, <о3, удовлетворяющие уравнениям (28.11) и (28.12), определяются линиями пересечения обоих эллипсоидов. Отсюда вытекает, что конец вектора <о должен скользить по этой линии пересечения. Следовательно, вектор <о вращается относительно осей сщ, <o2, ю3, описывая конус вокруг оси <о3. Напомним, что ш, есть проекция ю на i-ю главную ось инерции тела. Значит, оси ш, совпадают с осями х, у, г. Таким образом, вращение относительно осей ш/ означает вращение относительно самого тела.

Увеличивая М при неизменном Т, можно добиться того, чтобы эллипсоиды энергии и момента имели только две общие точки. Это осуществляется при условии, что д/2Т113 = М113 (ср. с (28.9)). В этом случае вектор ш совпадает по направлению с осью г. Если еще увеличить М, т. е. положить М2/213 > Т, эллипсоиды перестанут соприкасаться и система уравнений

Рис. 28 3

и (28.12) не будет иметь общих решений. Такой случай не может реализоваться. Следовательно, мы получили нижнюю границу для Т (см. (28.8)).

Уменьшая М при неизменном Т, придем к такому положению, когда обе линии пересечения эллипсоидов сольются в одну линию касания, лежащую в экваториальной плоскости. Это осуществляется при условии, что V27’//l = МЩ (ср. с (28.10)). В этом случае вектор ю вращается вокруг оси 2, оставаясь все время к ней перпендикулярным. Если еще уменьшить М, т. е. положить Т > М2/21ь эллипсоиды перестанут соприкасаться и система уравнений (28.11) и (28.12) не будет иметь общих решений. Таким образом, мы приходим к верхней границе для Т (см. (28.8)).

§ 29. Симметричный волчок в однородном поле тяжести

Рассмотрим поведение симметричного волчка с одной неподвижной точкой, находящегося в однородном поле тяжести. Отметим, что общее решение1) задачи

9 То есть решение, получаемое с помощью квадратур при произвольных начальных условиях.

о движении тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести может быть получено только в трех случаях:

для асимметричного уравновешенного волчка (волчок называется уравновешенным, если неподвижная точка совпадает с центром инерции тела). Этот случай называется задачей Эйлера;

для симметричного неуравновешенного волчка (неподвижная точка не совпадает с центром инерции), у которого центр инерции лежит на оси 2— задача Лагранжа;

для симметричного неуравновешенного волчка, у которого 1Х = 12 = 2/3, а центр инерции лежит в плоскости ху — задача С. В. Ковалевской.

Мы рассмотрим задачу Лагранжа. Уравнения движения в этом случае интегрируются очень сложно. Поэтому мы ограничимся написанием исходных уравнений и обсуждением их решений.

Начала обеих координатных систем К и К' поместим в неподвижную точку А волчка (в точку опоры). Ось Z неподвижной системы К направим по вертикали, ось z связанной с волчком системы К' направим вдоль третьей главной оси инерции тела (А = Л =/= А) ■ При таком выборе координатных осей потенциальная энергия волчка имеет вид U = mgl cos ■О, где / — расстояние от точки опоры до центра инерции С (предполагаем, что координата г центра инерции, т. е. 2с больше нуля).

Найдем выражение кинетической энергии для данного случая. Учтя, что точка А неподвижна, напишем

Т = 'A £ т« Г*01"^1]2

и проделаем те же преобразования, какие мы выпол- нили для выражения (23 3). В итоге мы придем к формуле, которая будет отличаться от (23.5) лишь тем, что вместо координат хци хЬа и т. д. в ней будут стоять координаты х<^, х^ и т. д. Следовательно, для кинетической энергии получится выражение, аналогичное (23.8):

г = '/,£/№А.

L к

где /^ — компоненты тензора, определяемые по формуле (23.16). Согласно (23.18) эти компоненты равны

В нашем случае ai = a2==0, а3 =—а=—/ (а,— есть t-я координата точки А в системе К'№; см. (23.17)). Кроме того, поскольку ось z совпадает с третьей главной осью инерции, а оси х и у параллельны двум другим главным осям), Iik = /,б/б. Отсюда можно заключить, что тензор 1^ будет диагональным, причем отличные от нуля компоненты его равны

IW = 7] + ml, 1^ =: Ц + ml2, 1^ = /3.

Таким образом, учтя, что Л=/2, получим для кинетической энергии следующее выражение:

т = -/2{(/. + ^2) (<»t + ^) + W

Подставив в это выражение значения (22.4) для компонент (|), получим

Т = ‘/2 {(/1 + т/2) (ф2 sin2 Ф +■ <>2) + /а (ф cos ■в 4- ф)2}.

Напишем функцию Лагранжа2):

L = '/2 (/1 + mZ2) (ф2 sin2 А + О2) +

+ V2/3 (Ф cost? + ф)2 — mgl cos ft. (29.1)

Координаты ф и ф являются циклическими (см. § 11, текст, связанный с формулой (11.2)). Поэтому обобщенные импульсы рф и p* оказываются интегралами движения. Третьим интегралом движения является энергия Е. Итак, мы имеем три уравнения:

р9 = дЬ/дф = [(/j + mZ2) sin2 it + /3 cos2 ft] ф + Z3cosfhj)=

— Mz — const,

Рф = дЦд^ — /3 (ф cos ft + ф) — Л/2 = const),

Е = Т + U = const.

Анализ решений этих уравнений приводит к следующим результатам. Угол А изменяется периодически в пределах от th до О2, определяемых начальными условиями (в частности, соотношением между энергией и моментом импульса волчка). Колебания оси волчка, отвечающие изменениям угла А. называются нутацией. Одновременно ось волчка прецессирует, т. е. поворачивается вокруг оси Z. В итоге апекс, т. е. точка пересечения оси z (оси волчка) со сферой единичного

Рис. 29.1

радиуса, вычерчивает одну из кривых, изображенных на рис. 29.1. Знак произзодной ф либо остается неизменным (рис. 29.1,а и б), либо меняется (рис. 29.1, в). Случай б) имеет место, когда <р и О одновременно обращаются в нуль.

Характер поведения ф, как и значения Oi и ^2, зависит от начальных условий. Такое движение оси волчка, как в случае б), соответствует естественным начальным условиям, при которых волчок сначала приводится во вращение вокруг своей оси, после чего ось освобождается и начинает свое движение. В момент освобождения оси и <р, и 4 равны нулю. При этих начальных условиях волчок сначала наклоняется, а по достижении граничного угла Фз начинает подниматься (см. рис. 29.1,6).

При совершенно специфических начальных усло- иях оба граничные значения <h и Оз совпадают, так что ось волчка прецессирует без нутации. Такая прецессия называется, как мы уже отмечали, регулярной. Чтобы получить регулярную прецессию, нужно сообщить волчку начальный толчок вполне определенной величины и направления.

В случае «быстрого» волчка (т. е. в случае, когда кинетическая энергия собственного вращения волчка велика по сравнению с его энергией в поле тяжести) действием сил тяжести можно в первом приближении пренебречь. Следовательно, движение волчка можно представить как рассмотренную в предыдущем параграфе свободную прецессию оси волчка вокруг направления момента М (эта прецессия соответствует нутации тяжелого волчка), на которую накладываются малые возмущения, обусловленные действием силы тяжести. Эти возмущения вызывают медленную прецессию момента М вокруг вертикали.

Расчет показывает, что чем быстрее вращается волчок, тем меньше амплитуда нутации. Кроме того, у реального быстрого волчка нутация погашается трением в опоре. Поэтому практически нутация достаточно быстрого волчка бывает незаметной и волчок представляется равномерно прецессирующим вокруг вертикальной оси. Так как подобная прецессия является регулярной только приближенно, то она получила название псевдорегулярной прецессии.

5 И. В. Савельев, т. I

Глава VI

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 30. Уравнения Гамильтона

При решении задач о движении системы с s степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа приходится решать систему s дифференциальных уравнений второго порядка. Независимыми переменными в этих уравнениях являются обобщенные координаты ^й и обобщенные скорости

Гамильтон получил уравнения движения, в которых независимыми переменными являются обобщенные координаты </й и обобщенные импульсы Рй- Уравнения Гамильтона или, как их еще называют, канонические1) уравнения (соответственно ^й и р^ называются каноническими переменными), в отличие от уравнений Лагранжа, являются дифференциальными уравнениями первого порядка. Но зато число их, необходимое для описания системы с s степенями свободы, оказывается равным 2s.

Уравнения Гамильтона можно вывести либо из уравнений Лагранжа, либо непосредственно из принципа наименьшего действия (ниже мы приведем оба вывода). Естественно, что они не дают ничего нового по существу. Однако канонические уравнения симметричнее уравнений Лагранжа и, кроме того, будучи инвариантными по отношению к каноническим преобразованиям, они открыгают большие возможности

для обобщений, играющих важную роль в электродинамике, статистической физике и квантовой механике.

В качестве функции, характеризующей механическую систему, Гамильтон взял энергию (5.1), выраженную через переменные q^ и рк. Учтя, что

^=-<(ЗО-О

(см. (4.19)), запишем эту функцию следующим образом:

Н Vk. рк, ^=^ РьЯк ~ L Vik. Як. 0(30.2)

(Дь предполагаются выраженными через qk и р*). Характеристическую функцию Н называют функцией Гамильтона или гамильтонианом.

В качестве примера приведем гамильтониан частицы, движущейся в потенциальном поле U = = Щх, у, z, ty

Н = ^М^ Я + ^ + и Vе- У- г' ^- (3°-3)

Для частицы, движущейся в стационарном поле, Н имеет тот же вид, но U не зависит явно от t.

Выведем уравнения Гамильтона, исходя из уравнений Лагранжа. С этой целью найдем полные дифференциалы левой и правой частей формулы (30.2) и приравняем эти дифференциалы друг другу. Полный дифференциал левой части равен

"/=24^+£^^+а4л- да-4)

к “к к

Дифференциал же правой части имеет вид

dH = X PkdPk + 2 dpk 2 4^" dqk — ккк к

- У ~ dqk — dt. (30.5) oqh ™ at х '

В силу соотношения (30.1) первая и четвертая суммы взаимно уничтожаются. Из уравнения Лагранжа

(4.16) •) следует, что

dqk di dqfe Pk‘( ■ )

Заменим в третьей сумме формулы (30.5) dL/dqk через рк. В итоге выражение (30.5) примет вид

dH = ^qkdpk — ^ pkdqk —Д^-di. (30.7) кк

Для того чтобы выражения (30.4) и (30.7) были равны при произвольных dqk, dpk и dt, необходимо выполнение условий:

Ь-(6=1.2«>. (30.8)

Уравнения (30.8) суть искомые уравнения Гамильтона или канонические уравнения. Они, как уже отмечалось, являются дифференциальными уравнениями первого порядка. Общее число их равно 2s.

Для частицы, описываемой гамильтонианом (30.3), уравнения Гамильтона имеют вид

dUрх

Рх =. х = и т. д.

дхт

Теперь получим уравнения Гамильтона из принципа наименьшего действия. Напомним, что согласно этому принципу система движется так, что действие S (см. (7.1)) имеет наименьшее возможное значение. Это утверждение записывается в виде

63 = 6 J L(qk, qk, f)dt = O.

Подставим сюда значение L, получающееся нз соотношения (30.2):

а$(зо.ю)

А X к/

*) Мы предполагаем, что все силы, действующие в системе, потенциальны, поэтому используем уравнение (4.16), а не (4.15).

Вариацию, стоящую в лезой части (30.10), можно представить в виде

6S = J Е (₽ б^» + ^ б^4 - "^ б?» - -^ 6Ра) dt-

Проинтегрируем по частям первое слагаемое: <1t,t,

$ Рк Мк dt = рк 6qk | — ^pk6qkdt t.t,t,

(мы воспользовались тем, что 6qk = -^- (6qk); см. формулу (III. 4)У Вариации 6qk при подстановке пределов интегрирования обращаются в нуль1). Поэтому первый член полученного выражения нужно отбросить. Следовательно, условие (30.10) запишется так:

S £{(^_©др*~(^ + ^)Мл==0

В силу произвольности вариаций 6qk и 6рк это условие может выполняться только в случае, если выражения в круглых скобках будут нулями. Отсюда сразу получаются уравнения (30.8).

Исследуем функцию Гамильтона Н. Найдем полную производную от этой функции по времени

ан ан. эя..y1 эн .

dt ~dtdq.“к+ др. Рк'

к вк в

Приняв во внимание значения (30.8) для qk и рк, по

лучим, чтолучим, чтоdH __ дЯdt dt 'dH __ дЯdt dt '(30.11)(30.11)

лучим, что

лучим, что

dH __ дЯ

dt dt '

dH __ дЯ

dt dt '

(30.11)

(30.11)

Таким образом, если функция Н не зависит явно от времени, она сохраняет свое значение. Этого следовало ожидать, поскольку И есть полная энергия системы, которая сохраняется при условии, что dL/dt = O (см. (30.9)).

Заменим во втором из уравнений (30.8) рк в соответствий с (30.6). В результате найдем, что

дН _ _ dL dqfe " dqk 'дН _ _ dL dqfe " dqk '(30.12)(30.12)

дН _ _ dL dqfe " dqk '

дН _ _ dL dqfe " dqk '

(30.12)

(30.12)

Отсюда следует, что те обобщенные координаты, которые являются циклическими, т. е. не входят явно в функцию £, не войдут явно и в функцию Н. Выше (см. (11.2)) мы установили, что обобщенные импульсы, соответствующие циклическим координатам, являются интегралами движения. Из сказанного можно заключить, что обобщенные импульсы, соответствующие координатам q^, не входящим явно в гамильтониан (т. е. циклическим относительно функции Я), остаются постоянными

pk — const при условии, что dH/dqk = 0. (30.13)

Скобки Пуассона

Возьмем некоторую функцию канонических переменных qk и рк) а также времени t, т. е. f(qk,pn,t) и выясним, при каких условиях эта функция будет интегралом движения). Для этого вычислим полную производную от этой функции по времени:

dt dt ' dqk дрк J "

Заменим производные qt и рк их значениями (30.8):

—af 9Н А /41 В

dt dt L>ydqk дрк дрк dqj"

Если есть две функции <р {qk,Pn, t) и ф(^с, рк, i), то выражение

{Ф, ф) = у(31.2)

dt,k дркдрк dqJ

называют скобками Пуассона для функций <р и ф). В случае необходимости при символе скобок Пуассона

указывают в виде индексов независимые переменные, по которым берутся частные производные, т. е. записывают, например, скобки (31.2) так: (ф, ф}»,р. Легко видеть, что

(ф. Ф)», р = — {ф. Ф)р, q = {Ф, ф}р, q- (31.3)

Применив скобки Пуассона, выражение (31.1) можно представить в виде

+ (Г. "}„ ,(31.4)

или в виде

(31.5)

Из (31.4) следует, что условие, при котором функция j будет интегралом движения, выглядит так:

4г + {Л^} = 0-(31.6)

Отсюда заключаем, что в случае, когда интеграл движения f не зависит от времени явно, его скобки Пуассона с функцией Гамильтона равны нулю.

Приведем некоторые очевидные свойства скобок Пуассона:

(31.8)(31.8){ф. Ф) = — (Ф. ф).(31.7)

(31.8)

(31.8)

{ф. ф} = о,

{(ф1 + Фг). Ф) = {фь Ф} + (фг. Ф),(31.9)

1(Ф1 Фг). Ф) = Ф1 (фг. Ф) -I- Фг {фь Ф).(31.10)

-^(ф. ф} ={^Г. Ф} + {ф. аг}- (31.11)

В частности, в качестве <р или ф, либо их обеих можно взять канонические переменные. Тогда получаются следующие соотношения:

(31.12)

to.*)-

(31.13)

^ь <7а) = 0.

(31.14)

Go Pfej =о.

(31.15)

Go p*l=6u.

(31.16)

Рекомендуем получить формулы (31.12) — (31.16) в порядке упражнения. При кх выводе следует учесть, что dpt/dqk—Q\ dqi/dpk = 0 (так как qk и рк— независимые переменные).

Очень важным свойством скобок Пуассона является их инвариантность относительно канонических преобразований. Это означает, что

<Ф. Ф),. р := <Ф. Ф>о, р. (31.17) где Q, Р— переменные, полученные из q, р с помощью канонических преобразований.

В квантовой механике мы познакомимся с квантовыми скобками Пуассона, которые являются квантовомеханическим аналогом рассмотренных в этом параграфе классических скобок Пуассона.

Уравнение Гамильтона — Якоби

Варьирование действия

S== Ldt (32.1) л

при нахождении истинной траектории движения системы (имеется в виду траектория в конфигурационном пространстве, т. е. в пространстве s измерений; s — число степеней свободы системы) заключается в сравнении значений S для близких траекторий с закрепленными концами, т. е. с одинаковыми значениями <ht^t^ = q^ и qk (/2) — q^. Наглядно это можно представить с помощью рис. 32.1. Лишь та траектория, для которой S минимально, отвечает действительному движению (на рисунке она изображена сплошной линией).

В этом параграфе мы будем рассматривать действие S как величину, характеризующую движение по истинным траекториям, и исследуем, как эта величина ведет себя при изменениях точки ^z> (при ^ = = const), а также при изменениях 4 (символ q® означает совокупность всех ^у Таким образом, мы будем обращаться с действием как с функцией:

S=--S(qk,ty (32.2)

где qk— координаты конечного положения системы, а /—момент времени, когда это положение достигается.

Возьмем вблизи точки qW точку с координатой qm + 6q, в которую система попадает в тот же момент времени /2, в который она приходит в точку qW (рис. 32.2). Действие для траектории, приводящей систему в точку ^(2) + б7, отличается от действия для

траектории, по которой система приходит в точку у<2>, на величину

“ = 5 П^- + 4г “'‘И' <32-3>

Здесь 6qk есть разность значений qkl взятых для обеих траекторий в один и тот же момент времени /; аналогично 6qk — разность qk в момент t.

Проинтегрируем по частям второе слагаемое в

(32.3):

S <»4.л=^«„ I - (^-^у,^. (32.4) <iЛ <i

Для истинной траектории dLJdqk представляет собой обобщенный импульс рк. Начала обеих траекторий совпадают, поэтому бул(^) = О. Величину б^(/2) можно обозначить просто 6qk. Следовательно, первый член в правой части (32.4) можно представить в виде РмбЯм.

Подставим (32.4) в выражение (32.3):

кti к

Истинные траектории удовлетворяют уравнениям Лагранжа. Поэтому подынтегральная функция, а значит, и сам интеграл будет нулем. Таким образом, мы получаем для приращения действия S, обусловленного изменением координат конечного положения системы иа 6qk (при неизменном времени движения), значение

6S = 2_ Pk 6qt.6S = 2_ Pk 6qt.(32.5)(32.5)

6S = 2_ Pk 6qt.

6S = 2_ Pk 6qt.

(32.5)

(32.5)

Здесь pfc — величина импульса в момент /2.

Из выражения (32.5) вытекает, что

(32.6)

Следовательно, частные производные от действия по обобщенным координатам равны соответствующим обобщенным импульсам.

Теперь допустим, что верхний предел интегрирования в (32.1) не фиксирован. Чтобы подчеркнуть это, запишем действие в виде

t

(32.7)(32.7)S= Ldt.

(32.7)

(32.7)

Представленное так действие является функцией верхнего предела интегрирования, т. е. S — S(/). Из (32.7) следует, что

^- = 1. (32.8)

Вместе с тем, в соответствии с (32.2) можно написать, что

dS dS 3S . dS™

ЧГ = -дГ^ЬТЧк = -5Г-,Г^Р^к(32.9)

к 1к

(мы учли соотношение (32.6)). Приравняв правые часта выражений (32.8) и (32.9), получим для частной

производной от S по / значение

dt ~ \LPkCik LJ*

Выражение в скобках есть гамильтониан Н. Следовательно,

^. = -Hkqfe,pbt\(32.10)

В соответствии с формулами (32.6) и (32.10) дифференциал функции (32.2) можно представить в виде

dS^'Lpkdq.-Hdt.(32.11)

к

Заменим в уравнении (32.10) р^ их значениями из (32.6) и запишем это уравнение следующим образом: as ./as as as л „

+ H I q., q^q- -т—, ————; /1=0.

(32.12)

Мы получили дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция SVh.q», q^.t). Его называют уравнением Гамильтона — Якоби. Оно является уравнением в частных производных первого порядка.

Уравнение (32.12) лежит в основе некоторого общего метода интегрирования уравнений движения. Однако рассмотрение этого метода выходит за рамки нашего курса.

В случае консервативной системы со стационарными связями время не входит явно в функцию Н и Н = Е = const (см. (30.9)). Поэтому согласно (32.10) зависимость S от / выражается слагаемым —Et. Следовательно, действие распадается на два члена, один из которых зависит только от обобщенных координат, а другой — только от времени

S Vik. 0 ” ‘*с Vr-^ — Et.(32.13)

Функцию So (<?<.) называют укороченным действием. Подставив S в виде (32.13) в уравнение (32.12), придем к уравнению Гамильтона — Якоби для укороченного действия

Ч^ ^.^.....^)-Е, (32.14)

Уравнение Гамильтона — Якоби играет важную роль в оптике и квантовой механике. Оно лежит в основе оптико-механической аналогии, которая привела Шредингера к формулированию волновой механики.

Напишем уравнение Гамильтона — Якоби для частицы, движущейся в нестационарном потенциальном поле. Приняв во внимание формулы (30.3) и (32.12), получим

^{(№(£У+(£У}+

+ U(x, у, г, 0=-^-. (32.15)

Если поле, в котором движется частица, стационарно, вместо (32.15) рассматривается уравнение для укороченного действия So

^{(^У+(^У+(^У}+у<^>-^

(32.16)

Глава VII

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Принцип относительности

Основу специальной теории относительности образуют два постулата, сформулированные Эйнштейном:

Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Иначе можно сказать, что уравнения, выражающие законы природы, инвариантны 1) по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Свет в пустоте всегда распространяется с определенной постоянной скоростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела.

Первый постулат носит название принципа относительности Эйнштейна, второй постулат называют принципом постоянства скорости света.

Ньютоновская механика исходит из предположения о мгновенной передаче взаимодействий от одних тел к другим. Это, в частности, проявляется в том, что взаимодействие частиц описывается с помощью потенциальной энергии Щгч.Гз, ...), которая зависит только от координат частиц. Тем самым предполагается, что изменение положения одной из частиц отражается на остальных частицах в тот же момент.

В действительности, как показывает опыт, мгновенных взаимодействий в природе не существует. Если изменяется положение одной из частиц, то на другой взаимодействующей с ней частице это изменение начнет сказываться спустя конечный промежуток времени, необходимый для того, чтобы распространяющееся с конечной скоростью взаимодействие прошло

*) Инвариантность уравнения означает неизменность вида уравнения при замене в нем координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой системы.

путь, равный расстоянию между частицами. Таким образом нужно признать существование предельной скорости распространения взаимодействий. Из опыта следует, что эта скорость равна с — скорости света в пустоте.

Из второго постулата вытекает также, что скорость распространения взаимодействий одинакова во всех инерциальных системах отсчета, т. е. является универсальной постоянной.

Согласно механическому принципу относительности Галилея законы механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея:

х — х' + Uq/', у-= у', z = z', t — t' (33.1)

(«о — скорость движения системы К' по отношению к системе К). Из этих преобразований вытекает классический закон сложения скоростей:

¥ = У+ v0. (33.2)

Последнее соотношение, а следовательно, и уравнения (33.1), из которых оно вытекает, не согласуется со вторым постулатом Эйнштейна, согласно которому для светового сигнала с == с'.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К'. Координатные оси этих систем выберем так, чтобы оси х и х' были направлены вдоль скорости v« системы К', а оси у и г были параллельны осям у* и z7 (рис. 33.1). Отсчет времени в обеих системах начнем с того момента, когда начала систем совпадали. Пусть в момент / = /' = О из совпадающих начал координат был послан световой сигнал, распространяющийся по всем направлениям. К моменту времени t

сигнал в системе К достигнет точек, отстоящих от О на расстояние / = ct. Координаты этих точек удовлетворяют уравнению

сЧ2 — х2 — z,'2 — 22 = 0.(33.3)

Аналогично, к моменту времени ? сигнал в системе К' достигнет точек сферы радиуса ct'. Координаты этих точек удовлетворяют уравнению

сУ2 - V2 - /2 - /2 = 0.(33.4)

Уравнения (33.3) и (33.4) имеют одинаковый вид, что является проявлением инвариантности закона распространения света по отношению к преобразованию координат и времени ст одной системы к другой. Если подставить в (33.3) значения нештрихованных координат и времени, определяемые формулами (33.1), получается соотношение

сЧ — X — у — 2 — 2у0х t — Уо/ = 0,не совпадающее с (33.4). Следовательно, мы сновапришли к выводу, что преобразовании Галилея не со-вместимы с принципом постоянства скорости света.

Согласно принципу относительности Эйнштейна все законы природы, в том числе законы механики и электродинамики, должны быть инвариантными по отношению к одним и тем же преобразованиям координат и времени, осуществляемым при переходе от одной системы отсчета к другой. Однако уравнения Ньютона и уравнения Максвелла этому требованию не удовлетворяют. В то время как уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея, уравнения Максвелла, как легко убедиться непосредственной проверкой, по отношению к этим преобразованиям оказываются не инвариантными. Это обстоятельство привело Эйнштейна к выводу о том, что уравнения Ньютона нуждаются в уточнении, в результате которого законы механики и электродинамики оказались бы инвариантными до отношению к одним и тем же преобразованиям. Необходимое видоизменение законов механики было осуществлено Эйнштейном. В результате возникла механика, согласующаяся с принципом относительности Эйнштейна,

которая получила название релятивистской механики. Изложению основ этой механики и посвящена эта глава.

Интервал

Событие, происходящее с некоторой частицей, характеризуется местом, где оно произошло (т. е. совокупностью значений х, у, г), и временем t, когда оно произошло. Если ввести воображаемое четырехмерное пространство (4-пространство), по осям которого откладываются пространственные координаты х, у, г и время / (или пропорциональная t величина), то собы тие изобразится в этом пространстве точкой. Точка, изображающая событие в 4-пространстве, называется мировой точкой, С течением времени мировая точка, соответствующая данной частице, перемещается в 4-пространстве, описывая некоторую линию, которую называют мировой линией.

Рассмотрим два события, первое из которых заключается в испускании светового сигнала из точки с координатами Xi, yt, 21 в момент времени t\, а второе— в приходе этого сигнала в точку с координатами х2, уз, г2 в момент времени /2. Между координатами и временем этих двух событий имеется следующее соотношение:

с2 (t2 - *,)* - (х2 - X,)2 - (1/2 - У,)2 - («2 - 2,)»=0. (34.1)

Величина

^2 “ (^ - *>)2 + (У2 - у.)2 + (^ - г,)2 (34.2) представляет собой квадрат расстояния (интервала) между двумя точками в обычном пространстве. Аналогично можно говорить о расстоянии (интервале) между двумя точками в 4-лространстве. Интервалом между двумя событиями называют величину sl2, квадрат которой определяется формулой

«12 = ^ {Ч - ЧТ - (^2 - *1У - (У2 - У1)2 - (г2 - 21)2 =

= ^('2-М2-^- (34.3)

Для двух бесконечно близких событий квадрат интервала имеет вид

d«2 = ^d/2-df.

(34.4)

Для двух событий, заключающихся в испускании светового сигнала в одной точке и приходе его в другую точку, интервал равен нулю:

Аз2 = с2 А/2 —А/2 = О(34.5)

(см. формулу (34.1)). Вследствие постоянства скорости света равенство (34.1) должно быть справедливо в любой инерциальной системе отсчета. Следовательно, если интервал равен нулю в системе К, то он бу дет равен нулю и в любой другой системе К'.

Итак, интервал должен обращаться в нуль одновременно во всех системах отсчета. Отсюда вытекает, что интервал Аз между некоторыми событиями, выраженный в системе К, должен быть связан с интервалом Аз' между теми же событиями, выраженным в системе К', соотношением

^s==a^s'.(34.6)

Но в силу полной равноправности систем К и К' можно с тем же основанием написать, что

Аз'==аАз,(34.7)

где а имеет то же значение, что и в формуле (34.6).

Перемножив соотношения (34.6) и (34.7), найдем, что

а2 = 1,

откуда а = ±1. Естественно предположить, что знак интервала во всех системах отсчета должен быть одинаков. Поэтому значение а, равное —1, нужно отбросить. Таким образом, мы приходим к выводу, что интервал между двумя событиями есть инвариант:

Аз = Аз'.(34.8)

Полученный нами результат свидетельствует о целесообразности принятого нами определения интервала между двумя точками 4-пространства. Интервал, определяемый формулой (34.3), оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям координат и времени от одной системы отсчета к другой, т. е. ведет себя подобно расстоянию (34.2) между двумя точками в обычном пространстве.

Подчеркнем, что вывод об инвариантности величины (34.3) является логическим следствием из постулатов Эйнштейна.

Основываясь на инвариантности интервала, можно написать

As2 = с2 AZ2 — AZ: = с2 А/'2 — А/'2.(34.9)

Допустим, что As2 > 0, т. е. интервал вещественный. Тогда можно найти такую систему отсчета К', в которой А/' будет равен нулю. В этой системе события, разделенные интервалом As, произойдут в одной точке. Промежуток времени между событиями в системе К' равен

Ас

AZ .(34.10)

Вещественные интервалы называются времениподобными.

Теперь допустим, что As2 < 0, т. е. интервал мнимый. Тогда можно найти такую систему отсчета К.', в которой М' = 0, т. е. события происходят одновременно. Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К', равно

AZ'^ZAs.(34.11)

Мнимые интервалы называются пространственноподобными.

События, происходящие с одной и той же частицей, могут быть разделены лишь времениподобным интервалом. Действительно, поскольку частица не может двигаться со скоростью, большей с, пройденное ею за время А/ расстояние А/ не может превзойти c&t, т. е. А/ ^3 cAZ. Отсюда As2 ^ 0.

Пространственноподобвым интервалом могут быть разделены лишь причинно не связанные события. Действительно, если As2 < 0, "о AZ > сМ. Следовательно, никакое воздействие, вышедшее из одной точки пространства, не может достигнуть за время AZ другой точки и оказать влияние на событие, происходящее в этой точке.

Рассмотрим некоторую частицу, движущуюся равномерно со скоростью и относительно системы К (лабораторной системы). Пусть с этой частицей происходят два события, разделенные промежутком времени, который в системе К равен dt. Введем систему К', относительно которой частица покоится. В этой системе промежуток времени между рассмат-

риваемымн событиями будет равен

(см. (34.10)).

Легко видеть, что промежуток времени df измерен часами, движущимися относительно К вместе с частицей. Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела. Обозначив собственное время буквой т, можно написать

dx — -^-.(34.12)

Поскольку ds есть инвариант, а с — константа, собственное время dx оказывается инвариантом.

Найдем связь между собственным временем dx и временем dt, измеренным по часам системы К, относительно которой частица и связанные с ней (собственные) часы движутся со скоростью и. Для этого подставим в (34.12) выражение ds через координаты и время системы К:

, ds Vс2 dt2 — dl2dx == —

сс

(см. формулу (34.4)). Преобразуем полученное выражение следующим образом:

Но dl/dt есть скорость частицы и. Таким образом, dx = dt л! 1 — u^lc1.(34.13)

Из (34.13) заключаем, что собственное время частицы всегда меньше соответствующего промежутка времени в неподвижной (лабораторной) системе.

Формула (34.13) получена нами для случая равномерного движения частицы. Однако она оказывается справедливой и в случае неравномерного движения. Следовательно, для конечных промежутков времени it

Ат = J Vl - ^jc^dt,(34.14)

где и = и^— скорость тела, для которого вычисляется собственное время.

Преобразования Лоренца

В предыдущем параграфе мы установили, что интервал As между двумя точками в 4-пространстве является инвариантом, т. е." ведет себя подобно модулю вектора в евклидовом пространстве. Это дает основание рассматривать As как модуль («длину») 4-вектора, проведенного из одной мировой точки в другую.

Если ввести обозначения

х° = с/, х* = х, х2 = у, х3 = 2,(35.1)

то квадрат интервала примет вид

As2 = (Ах0)2 - (Ах1)2 - (Ах2)2 - (Ах3)2.

Для расстояния А/ между двумя точками в евклидовом пространстве имеет место соотношение

АР = | г2 — г, |2 == Ах2 + Ах2 4- Ах2,

т. е. А/ равно модулю разности радиусов-векторов точек. Аналогично интервал As можно представить как модуль разности 4-радиусов-векторов соответствующих мировых точек. Следовательно, координаты х°, х1, х2, х3 суть компоненты 4-радиуса-вектора мировой точки. Квадрат модуля этого радиуса-вектора равен

(х0)2 - (х1)2 - (х2)2 - (х3)2.

Сравнение последнего выражения с формулой (XII. 5) показывает, что пространство, в котором событие изображается мировой точкой с координатами (35.1), обладает псевдоевклидовой метрикой, определяемой тензором (XII. 4).

Следовательно, квадрат 4-радиуса-вектора может быть представлен в виде

х°х0 + х'х! + х2х2 + х3х3 = У х^Хц (35.2)

(см. формулу (XII. 31)).

Преобразование компонент 4-радиуса-вектора осуществляется по формуле

(35.3) N-0

причемпричемВозьмем в качестве координатных систем К и К' в псевдоевклидовом пространстве две инерциальные системы отсчета. Оси этих систем направим в соответствии с рис. 33.1. Тогда, как показано в Приложении XII, матрица коэффициентов преобразования выглядит следующим образом (см. (XI1.21)):

причем

причем

а0 01 0 0

КН

01 о0 0 0

00 10

(35.4)

_0001.

«2 - а2 = 1(35.5)

(см. формулу (XII. 22)).

Коэффициенты а0 и ai могут зависеть только от относительной скорости систем и0. Чтобы найти вид этой зависимости, напишем формулу (35.3) для х'х. Приняв во внимание (35.4), получим

х'1 =ар:° + Одх'.

Заменим х'1 через х', х° — через ct и х1 — через х (см. (35.1)):

х* = а^?! + OqX.(35.6)

Напишем полученное выражение для точки О’—■ начала координат системы К' (см. рис. 33.1). Для этой точки Xх = 0, а х = oot Подстановка в (35.6) дает

О = сцс! + ОоУ(/.

(35.7)(35.7)откуда

(35.7)

(35.7)

О] — Оц — .

Подставив это значение at в соотношение (35.5), найдем, что

a2(l-^) = I

или

(35.8)(35.8)1

(35.8)

(35.8)

V1 - t’o/c2

150 гл. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Из (35.7) получим, что

— Оо/с

(35.9)

Таким образом, матрица (35.4) в интересующем нас случае будет иметь вид

Мы ввели обозначение

(35.11)

Таблица обратного преобразования [аЩ отличается от (35.10) лишь тем, что перед 0 в числителе стоит знак плюс (см. матрицу (XII. 23)).

Подстановка найденных нами значений а* в {35.3) приводит к формулам преобразования компонент 4-ра- диуса-вектора:

,о х° — рх1 ,| — рх° 4- х1

— V1 - р2 ’ х ~ ~'

= X2, х'3 = X3.

(35.12)

Формулы обратного преобразования имеют вид

Перейдя в формулах (35.12) и обозначениям t, х, у, 2, получим

., t — (Ор/с2) X , X — Opt

t' + W х' _ х' + t>or

(35.13) к обычным

у' — у; z' = z.

(35.14)

У = Ц\ 2 = 2*.

(35.15)

Формулы (35.14) и (35.15) называются преобразованиями Лоренца. Предоставляем читателю убедиться

в том, что эти преобразования оставляют инвариантным интервал s]2 между двумя событиями.

Формулы обратного преобразования (35.15) отличаются от формул прямого преобразования (35.14) только знаком при и0. Этого следовало ожидать, приняв во внимание полную равноправность обеих систем отсчета, а также то обстоятельство, что для данных К и К' проекции скорости относительного движения на оси х и х' отличаются знаком. Действительно, если скорость системы К относительно системы /( направлена вправо (и ее проекция на ось х положительна), то скорость системы К, относительно К' направлена влево (и ее проекция на ось х* отрицательна).

При скоростях ио настолько малых, что отношением оо/с можно пренебречь по сравнению с единицей, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Из преобразований Лоренца можно получить формулы преобразования длин и промежутков времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (это делается в любом курсе общей физики). Мы ограничимся тем, что напомним формулу для лоренцева сокращения длины тела (в направлении его движения):

/ = /0УТ-у7с2.(35.16)

Здесь Zo— собственная длина тела, например стержня (т. е. длина тела в той системе отсчета, в которой оно покоится), Z— длина тела в системе отсчета, относительно которой оно движется со скоростью и.

Поскольку поперечные размеры тела при его движении не изменяются, объем тела уменьшается в соответствии с формулой

V = Vo V1 — v2/c2.(35.17)

где Vo — собственный объем тела, V — объем тела в системе, относительно которой оно движется со скоростью и.

Найдем формулы преобразования компонент скорости частицы. Из формул (35.14) получаем

At- dt-McMx av,_dx-0odt

V1-02Vf^

dy' = dy, dz' = dz.

Следовательно,

I dx' dx — «о di dx]dt — о0ох — о0 dt' dt — (vo/c2) dx 1 — (u0/c2) (dx/dt) 1 — vDox/c2"

Таким образом, = —?Л~°°(35.18)

Аналогичные выкладки приводят к формулам преобразования для двух других компонент скорости:

< = - »у' =.(35J 9)

У 1 — v0Ox/c =1 — v6Vxlc2 ''

Формулы обратного преобразования имеют вид

D^ + ffl_ »у V1 — Р~о' V1 — Р2

1 + ио<А2' ^1 + VxP * Uz i + ^А2'

(35.20)

Пусть скорость частицы v образует с осью х угол 6, а с осью х* — угол О' (оси х и х? всегда можно путем параллельного переноса привести в такое положение, чтобы они оказались лежащими в одной плоскости с v). Найдем связь между углами 6 и 0'. Расположим оси у и у' в плоскости, определяемой осью х и направлением вектора v. Тогда вектор v будет лежать в плоскости ху и можно написать

Vx = V СОЗ 0, П„ = П31П0, и' = и' cos ЕЛ v' = o' sin 0',

где о — модуль скорости в системе К, v' — модуль скорости в системе К'.

С помощью формул (35.18), (35.19) получаем, что

tge-_4—(35.21)

о, о, — tr0о cos в — v0

Эта формула позволяет по известным и и 0 найти угол 6', который образует вектор V с осью V. Аналогично можно найти формулу, позволяющую по известным и' и 0' найти угол 0 между вектором v и

1531535 36. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ С КОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ

153

153

осью х. Воспользовавшись формулами (35.20), по

лучим

(35.22)

vx ох + v0О COS 6 + о0

§ 36. Четырехмерные скорость и ускорение

В Приложении XII мы определили 4-вектор как совокупность величин а0, а\ а2, а3, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по тем же правилам, что и компоненты 4-радиуса-вектор а. Следовательно, формулы преобразования величин а*1 аналогичны формулам (35.12):

,о а° — 0а',1— Рб^ + а1 ,2 о /3»

а = .■ ■ , а = —, а = а2, а = а4.

Vi - р2V1 - р2

(36.1)

Формулы обратного преобразования отличаются от (36.1) знаком при р:

=, ai=P^L±£L, а2 — ^, ^ = а'\

Vi-p2V> — Р2

(36.2)

Рассмотрим четырехмерные векторы скорости и ускорения. В нерелятивистской механике предполагаются инвариантными как пространственные интервалы dl, так и промежутки времени dt. Поэтому совокупность величин, получающихся после деления компонент трехмерного вектора dr на инвариант dt, образует трехмерный вектор v — вектор скорости частицы. Аналогично совокупность величин, получающихся после деления компонент вектора dv на инвариант dt, представляет собой вектор ускорения w.

В действительности как мы видели, ни dl, ни dt не являются инвариантными. Инвариантом оказывается интервал ds, связанный с dl и dt соотношением ds2 = <?dr — dP. Инвариантность интервала дала возможность ввести в рассмотрение 4-радиус-вектор с компонентами х°, х’, ха, х3, который является аналогом трехмерного радиуса-вектора с компонентами Х|, Xj, хз. Попытаемся найти четырехмерные аналоги 3-векторов v и w.

Очевидно, что совокупность четырех величия dx/dt не будет обладать свойствами 4-вектора, так как dt не является инвариантом и У, (dx^/dt){dxjdt} не будет сохранять свое значение при преобразованиях Лоренца. Однако нам известен «родственный» dt инвариант. Им является собственное время dx = ds/c (см. (34.12)). Поскольку dx — инвариант (т. е. скаляр), величины

и* =(36.3)

ат ds'*

обладают свойствами компонент 4-вектора. Его называют четырехмерной скоростью частицы *).

Аналогично 4-вектор с компонентами

udu* , du*

w* = -7-2- = -Г- = С —(36.4)

dV d%ds\#

называют четырехмерным ускорением частицы.

Приняв во внимание значения dx*, а также то обстоятельство, что

dx = dt V1 - W(36.5)

(см. (34.13)), легко получить для компонент 4-скорости следующие значения:

ifi — —. -..-у 1 — и2/с2ifi — —. -..-у 1 — и2/с2ик = -^=^= (6=1,2, 3), (36.6)

ifi — —. -..

-у 1 — и2/с2

ifi — —. -..

-у 1 — и2/с2

что можно записать в виде

сс<36-7)V1 — О2/<^ /<36-7)V1 — О2/<^ /

с

с

<36-7)

V1 — О2/<^ /

<36-7)

V1 — О2/<^ /

(см. формулы (XII. 34) и (XII. 35)). Здесь v — обычная трехмерная скорость частицы, Ок— ее проекции на оси х, у, г. Существенным для дальнейшего изложения является тот факт, что при и С с пространственная часть 4-скорости переходит в обычную скорость V.

Из формул (36.6) легко получить, что

з

(36.8)(36.8)2 и*и№ = с2 ц-О

(36.8)

(36.8)

(если определить им так, как это сделал Эйнштейн, Z и^= 1).

Продифференцировав формулу (36.8) по т, придем к выражению

Z^ + 2-^-Z^ + Z^-o.

ВВРи

Согласно (XII.33) обе суммы эквивалентны, так что

2 w^-u^ — 0.(36.9)

Из последнего соотношения следует, что векторы 4-скорости и 4-ускорения взаимно перпендикулярны.

Релятивистская динамика

Уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея, но не инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца. Поэтому для того чтобы удовлетворить принципу относительности Эйнштейна, второй закон Ньютона нужно заменить более общим законом. Приняв во внимание, что при р-*0 (т. е. при оо/с-^0) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, нужно потребовать, чтобы релятивистски-инвариантные уравнения движения при и С с переходили в ньютоновские уравнения:

4<ту-) = ^ (/=1,2,3).(37.1)

Естественным четырех мерным обобщением этих уравнений являются соотношения

. 4^пш^ = ^ 01= 0, 1,2,3),(37.2)

где т — собственное время, m— инвариантная величина, характеризующая инертные свойства частицы (масса частицы), и>к— компонента 4-скорости частицы и, наконец, К^— некоторый 4-сектор, называемый силой Минковского. Величины № должны быть определены таким образом, чтобы при и «С с пространственные компоненты уравнений (37.2) переходили в уравнения (37.1), подобно тому как в этом случае

пространственные компоненты 4-скорости переходят в обычную скорость V.

Приняв во внимание выражения (36.5) и (36.6) для т и uu, представим уравнения (37.2) в виде

1 d / тс

V1 — о2/с2 dt \ V1 — ул1 с1

(i= 1, 2, 3).(i= 1, 2, 3).1 d / та(л/\ — 02/с2 dt V V1 — о2/?

(i= 1, 2, 3).

(i= 1, 2, 3).

Умножив эти уравнения на V1 — и2/с2, получим

А ( ■ тс ) = № V1 - и2/с2.(37.3)

at \1/

^r(vT=^) = ^ V1(/=U-3)' (374)

Если определить пространственные компоненты силы Минковского Ki так, чтобы они были связаны с компонентами обычной трехмерной силы Ft соотношениями

Fi=Ki'VT^r‘T^ (i=l,2, 3),(37.5)

то уравнения (37.4) примут вид d / ту. X

— ( -7=-^—г I == Ft(1=1, 2, 3).(37.6)

Видно, что при у ^ с уравнения (37.6), как и требуется, переходят в уравнения Ньютона (37.1).

Чтобы определить временную компоненту силы Минковского К0, умножим уравнение (37.2) на 4-скорость «•*. В результате получим, что

„lldll'1

К и,. = т —.— и., = тш^и..

(мы учли, что т— инвариант и, следовательно, ее можно вынести за знак производной). Просуммировав полученные уравнения по р, придем к формуле

зз

52 к^и„ = ш 52 tn^uii. = о U=0ц=0

(см. (36.9)). Подстановка значений (36.6) для и№ и получающихся из (37.5) значений для Ki приводит

к соотношению

3-

K°—i= - У -7==^= -==4= = о.

V1 — о2/с24-1 V1 — о2/с2 V1 — о2/с2

откуда

з

№ = 7=^=- У FiVi = —• (37.7)С V "~ V2/c2С V* - V2lc2

Теперь мы можем написать все компоненты силы Минковского. Приняв во внимание формулы (37.5) и (37.7), получим

К°=—т^—:—.=0=1, 2, 3). (37.8)

eV* - у^с2л/\-у21с2 Хv 1

Таким образом,

г =(37.9)

\ С V 1 — V2/c2 V 1 — «Ie /

Скалярное произведение трехмерных векторов F и v дает работу силы F, совершаемую над частицей в единицу времени. Эта работа равна скорости изменения энергии частицы, т. е. dE/dt. Следовательно, выражению (37.7) для К? можно придать вид

(37.10)

где Е — энергия частицы.

Итак, мы установили, что релятивистски-инвари- антное •) уравнение динамики частицы имеет вид (37.2), где и^ — 4-скорость с компонентами (36.6), К* — 4-сила (сила Минковского) с компонентами (37.8). Пространственные компоненты уравнения (37.2) можно представить в виде (37.4) либо (37.6). В пределе при и <^ с эти уравнения переходят в уравнения Ньютона (см. (37.1)).

Временная компонента уравнения (37.2) (см. (37.3)) после подстановки значения (37.10) для К?

1_ dE_ с dt1_ dE_ с dt(37.11)(37.11)приобретает вид d / тс > dt \ V1 ~ о2! с2

1_ dE_ с dt

1_ dE_ с dt

(37.11)

(37.11)

Отсюда заключаем, что релятивистское выражение для энергии частицы выглядит следующим образом:

Е =+ const.(37.12)

V1 - о2!с2

Импульс и энергия частицы

В ньютоновской механике импульсом частицы называется трехмерный вектор с компонентами

pl = myt (z —1, 2, 3).(38.1)

Четырехмерным аналогом этого импульса является 4-вектор с компонентами

ри = ти^ (ц==0, 1, 2, 3).(38.2)

где и*1— компоненты 4-скорости1). Подставив значения (36.6) для и», получим

„ тс, то,

VI — 02/с2у! “ сг/с

что можно представить в виде

р» _ (^^,^L\.(38.4)

v V1 — у к2 ^ \ — о2!с2)

При и<с формула для пространственных компонент релятивистского импульса переходит в ньютоновскую формулу (38.1). Это дает основание принять в качестве релятивистского выражения для обычного трехмерного импульса формулу

Теперь обратимся к временной компоненте 4-импульса. В конце предыдущего параграфа мы получили формулу (37.12) для энергии частицы Е, причем оста-

вили открытым вопрос о значении постоянной интегрирования. Сравнив выражение (38.3) для р° с формулой (37.12), легко обнаружить, что, положив const равной нулю, можно получили соотношение

р° = — .<386)

В этом случае выражение 4-пмпульса приобретает вид р^Ст-р)-(3-8-7)

где р — величина, определяемая формулой (38.5).

Таким образом, энергия и импульс (обычный) оказываются компонентами одного 4-вектора1)—4-импульса частицы. Это обстоятельство дает возможность применить формулы (36.1) для нахождения правил преобразования £ и р при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подставив соответствующие значения р^ в (36.1), легко получить

_— Рх + у0(£7с2)

Vi"'^2 ’ Рх л/1 — б2

Рд = Ру- Рг = Рг"<38"8)

Обратные преобразования отличаются знаком при и0. Найдем квадрат 4-импульса. Из (38.7) получим

з

Н-0

(см. формулу (XII.38)). Вместе с тем ззз

р^р^ = 2 <ти^ (ти^ == т? £ u^u^, = т2с2 (38.9) ц^О|1=оц-=о

(см. (36.8)). Таким образом, мы приходим к соотношению

IL.p2^m2c2(38 JQ)

Отметим, что квадрат 4-импульса, как и квадрат любого 4-вектора, представляет собой инвариант.

*) Этот 4-вектор называют иногда вектором энергии-импульса.

Положив в формуле (37.12) const = 0, получим для энергии частицы выражение

Е = --=^=.(38.11)

Величину Е, определяемую выражением (38.11), называют полной энергией частицы. Следует иметь в виду, что Е не включает в себя потенциальную энергию частицы во внешнем поле сил ).

Для покоящейся частицы (т. е. при и = 0) выражение (38.11) переходит в

Е0 = тс2,(38.12)

где через Ео мы обозначили значение Е при о = 0. Это значение называют энергией покоя частицы. Напомним, что частицей для краткости мы назвали материальную точку, т. е. тело, размерами которого можно пренебречь. Энергия покоя такого тела слагается из энергий покоя входящих в состав тела частиц2), из кинетических энергий этих частиц и энергии их взаимодействия друг с другом. Отсюда следует, что

тс2 > У тас2,а

где т— масса тела, та— массы покоя образующих тело частиц. Таким образом, масса тела не равна сумме масс его частей.

В свое время Эйнштейн затратил много усилий для того, чтобы обосновать правомерность предположения о равенстве нулю const в (37.12) или, другими словами, чтобы обосновать утверждение, что в массе т запасена энергия тс2 (см. (38.12)). С этой целью он рассмотрел несколько конкретных явлений и показал, что в каждом из них изменение энергии тела на ДЕ приводит к изменению его массы на Д/и = ДЕ/с2. В наше время дело обстоит гораздо проще. Чтобы обосновать соотношение ДЕ = с2Дт, достаточно, например, рассмотреть процесс превращения покоя

щихся электрона и позитрона в два у-квапта. Соответствующие измерения показывают, что су?^мариая энергия этих 7-квантов в точности равна сумме энергий покоя электрона и позитрона.

Разность между полной зиертмА (58 11) и энергией покоя (38.12) даст кинетижстг^ю ач^ргию частицы

Тпг^(38j3)

V I — U2jC2

При малых у эта формула переходит в ньютоновское выражение для кинетической энергии

Т кз <пс2 ^ 1 + —• у2/с2) —■ тс2 — ~ /пу2.(38.14)

В заключение отметим, что из формулы (38.10) вытекает соотношение

Е2 = р2с2 4- т.2с\(38.15)

Энергия, выраженная через импульс, называется функцией Гамильтона (см. § 30). Следовательно, релятивистское выражение функции Гамильтона частицы имеет вид

Я — с VpF+-^.(38.16)

если частица свободна, и

Н = с V^^SS + V,(38.17)

если частица находится во внешнем силовом поле (U— потенциальная энергия частицы в этом поле; см. абзац, следующий за формулой (38.11)).

Действие для релятивистской частицы

Найдем выражение действия для свободной (т. е. не подверженной воздействию каких-либо сил) частицы. Интеграл, выражающий действие, должен быть инвариантным относительно преобразований Лоренца. Следовательно, его нужно брать от скаляра, причем скаляр должен иметь вид дифференциала в первой степени. Единственный скаляр такого вида, который можно сопоставить свободней частице, есть величина, пропорциональная интервалу ds. Обозначив коэффи-

6 И. В. Савельев, т. I

162 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ циент пропорциональности через а, получим для действия следующее выражение:

21'а

S = ^ a ds — ^ ас у2/у2 &(39.1)

1 i

(мы воспользовались формулой (34.4) для ds" и учли, что dl/dt равно скорости частицы о).

Сопоставив (39.1) с выражением (7.1), приходим к выводу, что функция Лагранжа для свободной релятивистской частицы должна иметь вид

L - ас >VT—o2/c2.(39.2)

В пределе при у С с эта функция должна переходить в ньютоновское выражение

L=4>o2.(39.3)

Разложим функцию (39’2) в ряд по степеням и/с. Пренебрегая членами высшчх порядков, получим

L = ас V1 — г>2/с2 ^ «у — оу2/2с.

Постоянное слагаемое ас можно отбросить (см. §7). Следовательно, в ньютоновском приближении L = = —ау2/2с. Сравнение с (39.3) показывает, что а нужно положить равной — тс. Таким образом, мы установили вид функции Лагранжа для свободной частицы ’):

L = — тс2 л/1 — и21с?.(39.4)

Зная вид функции Лагранжа, легко найти импульс и энергию частицы. Воспользовавшись формулами (9.5) и (5.1), получим

р = —-7==™,(39.5)

dv V1 — с2[с

E = pv — L = inti2 ,9 9-9me2

“ vr^S? + "^ V1 - ^ ™ yf^W ■ (39.6)

Итак, мы пришли к тем же формулам для импульса и энергии частицы, которые были получены в предыдущем параграфе. Однако следует иметь в виду, что формулы (39.5) и (39.6) мы получили для свободной частицы, в то время как в § 38 аналогичные формулы были получены в предположении, что на частицу действуют силы.

Обратимся снова к выражению (39.1). Учтя найденное нами значение я, напишем действие в виде

2

S = — fK ^ ds.(39.7)

Истинная траектория частику определяется условием dS==0.(39.8)

Для вариации действия имеем выражений 22

65 = — шсб ^ ds - ■ — тс j 6. (-Zv).ii

Интервал равен

ds = ^/ У, dx^ dx^.

Согласно (XII. 40) вариация подкоренного выражения может быть представлена в виде

б У dx* dxy.2 У dxyb (d.x^)

в. в

Следовательно,

65 — — тс ^6 д /^ dx* dx^ —-।* в

2 У dx^ (dx11)= ““ fYLC \ — ■ k^- - - - -——2 У dx^ (dx11)= ““ fYLC \ — ■ k^- - - - -——(39.9)(39.9)У dx^^dx^ — me \з

2 У dx^ (dx11)

= ““ fYLC \ — ■ k^- - - - -——

2 У dx^ (dx11)

= ““ fYLC \ — ■ k^- - - - -——

(39.9)

(39.9)

Jds

Производная dx^/ds есть u^/c (cm. (36.3)). Кроме того, 6(dxn) = с/(6хв) (см. (Ш. 4)). Поэтому мы приходим к выражению

6S = — tn ^ ^ u^d (d.r*1).

Проинтегрируем это выражение по частям:

68 = — т2 ии бх* |, + тS Z бх“ "ИГ dx (391°)

111 U.

(мы представили dup. в виде (г/иц/йт)^, где т —собственное время частицы). На концах траектории 6x^ = 0. Поэтому условие (39.8) принимает вид

2

6S — m \ 2 бх11 -^у— dx = 0.(39.11)

1 >1

Для того чтобы это условие выполнялось при произвольных бх^, необходимо равенство нулю величин du^/dx, т. е. постоянство 4-скорости частит ы, что, очевидно, справедливо для свободной частицы.

Найдем действие как функцию координат частицы (т. е. как функцию верхнего предела интегрирования; см. § 32). Для реального движения duxJdx = Q, следовательно, второй член в (39.10) обращается в нуль. Нижний предел интегрирования мы считаем фиксированным, поэтому (6x^)1 — 0. Таким образом, действие как функция координат частицы удовлетворяет соотношению

з

6S = — m 2 “ц бх11

(мы опустили индекс «2» при бх*1). Величины тир. дают ковариантные компоненты 4-импульса частицы

(см. (38.2)), так что приращение действия можно представить в виде

з

68=-Ц р„6х».(39.12)

В § 32 мы получили для приращения действия, обусловленного изменением конечного положения частицы в обычном (трехмерном) пространстве, выражение

з

6S^Ep.6xi(39.13)

t = i

(см. формулу (32.5)). Легко заметить, что слагаемые формулы (39.12), соответствующие пространственным

координатам, после опускания индекса у бх<* дают сумму (39.13).

Из (39.12) вытекает, что ковариантные компоненты 4-импульса можно определить следующим образом:

Р» =(39.14)

(ср. с (32.6)).

В предыдущем параграфе было установлено, что £ P!lPn = т2с2. Опустив индекс у первого сомножителя, т. е. заменив контравариантные сомножители соответствующими ковариантными, найдем, что

Подставив сюда вместо pv. чх значения (39.14), придем к релятивистскому уравнению Гамильтона — Якоби:

/ as у z asy / м х* / as у , ,....

— I -57-1 —I -т-- ! —! -— ) —1-^1 = т2с2 (39.15) с2 \ dt \ дх у х c'g ) X да )х '

(мы заменили х° через ct, х* через хит. д.).

Фигурирующее в (39.15) действие S отличается от нерелятивистского действия S'. Это легко понять, если учесть, что действие связано с энергией выражением Е ——(<3S/dZ) (см. формулу '(32.10)). Нерелятивистская же энергия Е' отличается от релятивистской энергии Е членом :пс2^Е = Е' у тс2). Отсюда

as as- , или

S -= S' - тсЧ.

Подставив это соотношение в (39.15), получим уравнение для S':

1 / as'

Итс2 x tii J di

U dS ‘dS' V L ( F,S' Л

которое в пределе при с -> оо переходит в нерелятивистское уравнение Гамипьтона — Якоби для свободной частицы (см. формулу (32.15), в которой нужно положить U = 0).

§ 40. Тензор энергии-импульса

В этом параграфе мы осуществим очень важное обобщение выражения для действия. В таком обобщенном виде выражение для действия оказывается применимым не только к чисто механическим системам, но также к электромагнитному полю и другим физическим системам.

До сих пор мы писали выражение для действия в виде

2

З-^Идь qb t)dt,(40.1)

i

где L— функция Лагранжа, ^ = ^*(0 — обобщенные координаты, определяющие положение частиц, входящих в систему, фг — обобщенные скорости, равные dq^/dt. Величины qk и qk предполагались зависящими только от времени.

Когда мы записываем уравнения в четырехмерной форме, мы имеем дело с четырьмя формально равноправными переменными Xе, х’, х2, х3, которые должны входить в уравнения сходным образом. Чтобы отразить это обстоятельство, представим выражение для действия в виде

5 = -|- ^ L* (qa, qav, х°, х1, х2, х?) dx°dx'dx2dx3, (40.2)

где под qa подразумевается совокупность величин ^1,^2, •- определяющих состояние системы (параметров системы). Число этих параметров может быть любым, в частности бесконечно большим. Под qaN подразумевается совокупность частных производных параметров qa по координатам Xх-.

лVavлVav_ дда дхх_ дда дхх/с — I, 2, ..., X \v = 0, 1, 2, 37/с — I, 2, ..., X \v = 0, 1, 2, 37(40.3)(40.3)

л

Vav

л

Vav

_ дда дхх

_ дда дхх

/с — I, 2, ..., X \v = 0, 1, 2, 37

/с — I, 2, ..., X \v = 0, 1, 2, 37

(40.3)

(40.3)

Множитель 1/с введен для удобства.

Величины qQ и q№ рассматриваются как функции координат х°, х1, х2, х3. В частности, может оказаться, что параметры q« зависят только от ^. Тогда мы придем к уже известному Н£‘М случаю, когда ^ = 9а(0-

Отметим, что поскольку d2qa/dx',dxii = d2qa/dxvdxr, имеет место соотношение

Чтобы установить соответствие между выражениями (40.2) и (40.1), примем во внимание, что элемент 4-объема dV* связан с элементом объема в обычном пространстве dV и интервалом времени dt следующим соотношением:

dV* — dx°dx'dx2dx3 = с dt dV.(40.5)

Подставив это значение dV* в (40.2), получим выражение

2

S = Udt dV == at L*dV. (40.6)

Интегрирование по dt ведется в заданном промежутке времени, по dV—по всему трехмерному объему.

Сопоставление выражений (40.1) и (40.6) дает, что

L=^L'dV.(40.7)

Таким образом, функция L* есть «плотность» функции Лагранжа рассматриваемой системы.

Для замкнутой механической системы функция Лагранжа не зависит явно от t (см. § 8). Аналогично математическим выражением замкнутости системы должно быть отсутствие явной зависимости L” от координат х?, х1, х2, х3. Таким образом, для замкнутой системы действие имеет вид

S = ^L*(qa, qa^dV*.(40.8)

Найдем уравнения движения замкнутой системы. Для этого вычислим вариацию действия (40.8) и приравняем ее нулю.

Вариация выражения (40.8) равна

Хаа. v/

По аналогии с. соотношением 6у' = (8у)'

^ач = О дх^ач = О дхадхадхС,-.,С,-.,

^ач = О дх

^ач = О дх

а

дх

а

дх

С,-.,

С,-.,

Осуществив такую замену, получим

^4^^ + ! с к а а»а Ь^4^^ + ! с к а а»а Ь•1 dL*•1 dL*(40.9)(40.9)

^4^^ + ! с к а а»а Ь

^4^^ + ! с к а а»а Ь

•1 dL*

•1 dL*

(40.9)

(40.9)

По правилам дифференцирования произведения

У 3 / 3L* . Xу dL* дхч \dqMZ-i dqa. va, v 'У 3 / 3L* . Xу dL* дхч \dqMZ-i dqa. va, v '-^ 6-i- + Z6»--^ 6-i- + Z6»-адхчадхчdL*d^aydL*d^ay

У 3 / 3L* . Xу dL* дхч \dqMZ-i dq

a. va, v '

У 3 / 3L* . Xу dL* дхч \dqMZ-i dq

a. va, v '

-^ 6-i- + Z6»-

-^ 6-i- + Z6»-

адхч

адхч

dL*

d^ay

dL*

d^ay

Первая сумма в правой части тождественна со вторым членом подынтегрального выражения в формуле (40.9). Поэтому можно написать

(40J0) ^ OX d^avj

Вторая из сумм:

£X^4-?^(?^S

есть 4-дивергенция вектора, v-я компонента которого равна

" дЧач

Поэтому, воспользовавшись четырехмерным аналогом теоремы Остроградского — Гаусса (см. (XII.72)),второй из трех интегралов в формуле (40.10) можно заменить интегралом по замкнутой гиперповерхности, ограничивающей 4-объем, по которому осуществляется интегрирование в (40.10):

S Z ^ (^Ч dV‘ - $ 2 (£ т^ Ч df-

3a4°X ''d4av)

(40.11)

Однако на границе рассматриваемого 4-объема вариации 6qa = 0. (Подобно этому в механике вариа-

ции 6qt в граничных точках равны нулю). Поэтому интеграл (40.11) равен нулю, так что в формуле (40.10) остаются только первая и третья суммы. Мы объединим их, вынеся за скобки общий ыножи-

В силу произвольности вариаций 8ди полученное нами выражение может равняться нулю только з том случае, если равны нулю все выражения в квадратных скобках. Таким образом, мы приходим к следующим уравнениям движения:

(a=l,2, ...).(40.12)(a=l,2, ...).(40.12)ас*у a dL*

(a=l,2, ...).(40.12)

(a=l,2, ...).(40.12)

dqa“ dx4 Sq^

Эти уравнения являются обобщением уравнений Лаг

ранжа:

(40.13)(40.13)6L d. 6Ldq;it dqt

(40.13)

(40.13)

(см. формулу (7.3)). В правой части (40.12) стоит сумма четырех производных в соответствии с тем, что роль, которую исполняла одна переменная t, теперь играют четыре переменные xv. Легко убедиться в том, что при условии, что qa зависят только от х°, т. е. от t, уравнение (40.12) переходит в уравнение (40.13).

Умножим уравнение (40.12) на qav. и произведем суммирование по а:

у 8L* . _ у .9 di?

dqa ^~2Л^ dxv а^-

Правую часть можно преобразовать по формуле

So д («I') дии= —-—— — и.

дх4 dxv дхч

В результате получим

SL* ддац dqQj дх'SL* ддац dqQj дх'

SL* ддац dqQj дх'

SL* ддац dqQj дх'

Осуществим замену qay.™ dqa/dx* в сумме слева и dqavJdxy — dqa.Jdxu- (см. (40.4)) во второй сумме справа, а также сгруппируем иначе члены выражения (40.14). В итоге придем к соотношению

V ^£1 dga ; у dl? 3qav _ V’ 3 / .31? \

дао дхц dqav дх^ дхх V dtl d^avz ао. v 4 va. v4 v

Левая часть полученного выражения есть <iL*/dx*. Следовательно, мы пришли к формуле

31?Эх»31?Эх»

31?

Эх»

31?

Эх»

Левую часть этой формулы можно записать в виде1)

в результате чего получим соотношение vX a/

Это соотношение можно преобразовать следующим образом:

£ ГЕ Чаи ~™ - <^Г1 = 0.(40.15)

v L сJ

Уравнение (40.15) представляет собой совокупность четырех уравнений, отвечающих разным значениям индекса р (р = 0, 1,2,3). Выражения в квадратных скобках обладают свойствами смешанных компонент 4-тензора второго ранга. Обозначив этот тензор символом T^, получим

Ти=Учаи4г--6иЬ*. (40.16)

Использовав это обозначение, можно записать уравнение (40.15) в виде

У^- = 0 (д = 0, 1,2, 3).(40.17)

ь-1 дх

’) Напомним, что S^/dx4 есть ковариантна:.' компонента 4-вектора.

Напомним, что уравнение (40.15) мы получили, приравняв нулю вариацию действия (40.8).

Тензор IV, удовлетворяющий уравнению (40.17), определяется не однозначно. Всякий тензор вида

V = ^V+X^’(40Л8>

р

где QuP — тензор, антисимметричный по индексам v и р (Q£P=—QjT), также удовлетворяет уравнению (40.17). Действительно, в силу антисимметрии тензора Q^p

й2С?^

d^djc11 ex^dx*

и, следовательно,

у д у ^р ..у ^р 0дх4 дх®dxvdtp

VРV, р

Поэтому из (40.17) будет вытекать условие

z5=o- wi9)

V

Надлежащим выбором тензора Q^1 всегда можно добиться того, чтобы тензор (40.18) оказался симметричным. В дальнейшем мы будем предполагать, что это условие выполнено и

7-^^^(40.20)

Отметим, что поскольку Q^v==0.

Т* = Т^,(40.21)

т. е. Т^ определяется по формуле (40.16).

Перемещение в (40.19) индекса р вверх либо оставит все J’i/ без изменений (если ц —0), либо изменит у всех Т^ знак на обратный (если ц = 1,2,3). Следовательно, из (40J9) вытекает, что

^^ = 0(ti-0, 1,2, 3).(40.22)

Тензор 7^ называется тензором энергии-импульса системы. Основания для этого выяснятся ниже.

В Приложении XII показано, что в случае, когда гензор Т^ удовлетворяет условию (40.22) и все Т^ обращаются на бесконечности л нуль, остается постоянным во времени (сохраняется) вектор с компонентами:

p^-c.^T^dh,(40.23)

-v

(см. формулу (XII. 86)), где а— произвольная константа, dfv — компонента 4-вектора элемента гиперповерхности. Интеграл (40.23) берется по произвольной гиперповерхности, включающей в себя все трехмерное пространство. Если в качестве гиперповерхности, по которой осуществляется интегрирование, взять гиперплоскость а-0 = const, то все dfv, кроме dfQ = dV, будут равны нулю и выражение (40.23) упростится следующим образом:

р^ = а ТЛ^, = а J ЛУ. (40.24)

Мы знаем, что для замкнутой системы сохраняется полная (т. е. взятая по всему объему) энергия и полный (т. е. взятый по всему объему) импульс. Энергия и импульс представляют собой компоненты 4-импульса. Следовательно, 4-импульс замкнутой системы также должен сохраняться. Это обстоятельство дает нам основание отождествить вектор, определяемый формулами (40.23) и (40.24), с 4-импульсом системы. Константу а нужно выбрать так, чтобы формулы (40.23) и (40.24) согласовывались с прежним определением 4-импульса (см. (38.7)), в соответствии с которым, например, р° = Е/с. Положив в формуле (40.24) J1 = 0, получим

р° = а TMdV = Е/с.(40.25)

Воспользовавшись формулами (40.21) и (40.16), можно написать

Т =Т0 =Т0 = > q^-^-OOL = ) q„ L ,аа

где qa = dqQldt (мы учли, что qao~dqa/d^ = = dqa/d(ct) = (\/c^\dqn/dt^ == (1/с) qa).

Интеграл ^ L* dV дает функцию Лагранжа L. Поэтому мы приходим к соотношению

Согласно формуле (5.1) выражение, стоящее в правой части, определяет энергию системы Е. Следовательно,

J T^dV = Е,(40.26)

а Г00 есть плотность энергии w:

T№=--w.(40.27)

Подстановка значения (40.26) в формулу (40.25) приводит к заключению, что а=-1/с. Итак,

p^tVL1^- <40-28>

V

если интегрирование производить по произвольной гиперповерхности, включающей в себя все трехмерное пространство, и

р*1 = 1 j^dh = у J T^dV, (40.29)

если интегрирование производить по гиперплоскости х? = const.

Чтобы выяснить смысл компонент 7°*, напишем соотношение (40.22) для р == 0:

V йТ^' дТт . v дТ°к а

У дх' ~ дх° У зхк ~

V«Ок—1

ИЛИ

1 дГ00 дГ^с dtдхк

™ \ т^С ——■.zVF^k= \ У С iiV. (40.30)J ь—* дхV А-1™ \ т^С ——■.zVF^k= \ У С iiV. (40.30)J ь—* дхV А-1Умножение полученного соотношения на с и интегрирование по некоторому объему V даетУмножение полученного соотношения на с и интегрирование по некоторому объему V дает

™ \ т^

С ——■.zVF^k

= \ У С iiV. (40.30)

J ь—* дх

V А-1

™ \ т^

С ——■.zVF^k

= \ У С iiV. (40.30)

J ь—* дх

V А-1

Умножение полученного соотношения на с и интегрирование по некоторому объему V дает

Умножение полученного соотношения на с и интегрирование по некоторому объему V дает

Интеграл в левой части равен энергии, заключенной в объеме V. Справа под знаком интеграла стоит обычная (трехмерная) дивергенция некоторого вектора S с компонентами

Sx = cTQ1, SH==cT2, S^-cT®.(40.31)

Таким образом, формулу (40.30) можно представить в виде

V

Применив к правой части теорему Остроградского — Гаусса, получим

где интеграл берется по замкнутой поверхности, ограничивающей объем V.

Убыль энергии в объеме V за единицу здемени должна быть равна потоку энергии через поверхность. Следовательно, S есть вектор плотности потока энергии. Согласно (40.31)

T°' = ^SX, Т02^~Зи, Тю = -^32.(40.32)

В силу симметрии тензора Т^' выполняется соотношение Тю = Рк, так что

r'o=ls -pa^ls T30 = -S,.(40.33)

с хС ”с z

Таким образом, компоненты Тск и Т60 с точностью до множителя 1/с равны соответствующим компонентам вектора плотности потока энергии.

Пространственные компоненты вектора (40.28) равны

Отсюда заключаем, что вектор g с компонентами Тю/с определяет плотность импульса системы:

gx = ^r\ g^-^T20. gz=TT30- <40-34>

Сопоставление (40.34) с (40.33) дает, что

8ь = -Ик(40.35)

или, в векторном виде, e = #=i-s-(4О.зб)

Итак, мы пришли к выводу, что между потоком энергии и импульсом имеется связь — плотность импульса равна плотности потока энергии, деленной на с2.

Чтобы установить смысл компонент Т‘к, напишем соотношение (40.22) для р = i:

Z

3 ^ _ дГ‘й с. V дт1к — п дх4 ~ дх°дхк ~

V-0fe=l

Отсюда, приняв во внимание, что x° = ct, Tl0 = cgi, находим, что

з ..

_ Ml — V dr&at 2^ "дхь '

Проинтегрируем полученное выражение по некоторому объему V. Приняв во внимание, что ^gdV = p (р —импульс части системы, заключенной в объеме V), получим

з_( Y^dV.at Pl J / i вхк

V fe-l

Преобразуем правую часть по теореме Остроградского — Гаусса:

з

- 4?Pi == ф Xт1к - f °- df> <4°-37)

f Ыf

где at — вектор с компонентами

Bik == Tfk.(40.38)

В левой части форму;;» (40.37) стоит скорость убывания i-й компоненты импульса системы, заклю-

ценного в объеме V. Следовательно, правая часть имеет смысл потока компоненты р, через ограничивающую V поверхность f, а <т, — плотности потока р,. Величина (40.38) есть й-я компонента вектора плотности потока компоненты р,-. Гадим образом, трехмерный тензор (40.38) определяет плотность потока импульса. Отметим, что плотность потока скалярной величины (например, энергин) есгь вектогу плотность же потока векторной велччвгы (напрчмер , импульса) является тензором.

Импульс, переносимый через единичную площадку в единицу времени, равен силе, действующей на эту площадку, т. е. напряжению в том месте, где расположена площадка. По этой причине тензор о;Л называется тензором напряжений.

(40.39)(40.39)Итак, мы установили смысл всех компонент тензора Т*4. Объединив (40.27), (40.32), (40.33) и (40.38), получим

(40.39)

(40.39)

Компоненты тензора Т^’ характеризуют плотность энергии и импульса, а также плотности потоков этих величин, чем и обусловлено название Т"^’-— тензор энергии-импульса.

Часть вторая

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Глава VIII

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

. Электростатическое поле в пустоте

Вообще говоря, электрическое и магнитное поля тесно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле. Однако в случае стационарных (т. е. не изменяющихся со временем) полей электрическое поле и магнитное поле можно рассматривать раздельно. Мы начнем с рассмотрения электростатического поля в пустоте.

Основной (силовой) характеристикой электрического поля является напряженность поля Е, связанная с силой, действующей на точечный заряд е в данной точке поля, соотношением

Е==еЕ.(41.1)

Это соотношение можно рассматривать как определение величины Е.

Из курса общей физики известно, что электростатическое поле потенциально. Это означает, что работа, совершаемая силами этого поля над зарядом на любом замкнутом пути, равна нулю:

фРа’1 = £ ф Ed! = 0.(41.2)

Из формулы (41.2) следует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому контуру Г равна нулю. Воспользовавшись теоремой Стокса (см. (XI. 23)), можно написать

Е di = ^VEI df0,(41.3)

г f

где f— произвольная поверхность, ограниченная контуром Г, dt— вектор элементарной площадки, взятый на этой поверхности.

Условие (41.3) должно выполняться для любой произвольно выбранной поверхности f. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке равна нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора напряженности электростатического поля равен нулю в каждой точке поля:

[VE] —0. (41.4)

Равенство нулю ротора напряженности является отличительной особенностью электростатического поля, выражающей его потенциальность.

Из векторного анализа известно, что ротор градиента скалярной функции всегда равен нулю (см. (XI. 43)). Поэтому напряженность электростатического поля можно представить как градиент некоторой скалярной функции ф:

Е==—Vq> (415)

.(знак «—» не меняет дела, он взят из физических соображений). Функцию ср называют потенциалом электростатического поля. Очевидно, что ф определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Следовательно, потенциал может отсчитываться от любой точки поля, для которой его значение принимают равным нулю. В электродинамике обычно полагают потенциал равным пулю на бесконечности.

Потенциал поля точечного заряда е равен, как известно,

Ф(г) = -^, (416)

где г — радиус-вектор, проведенный из точки, в которой помещается е, в точку, для которой определяется ф.

Взяв градиент от выражения (41.6) и изменив у него знак на обратный, найдем напряженность поля точечного заряда:

E--v(^)=~^---^er, (41.7)

где ег — орт радиуса-вектора г (см. (XI. 51)).

Пусть поле создается: системой точечных зарядов еа, помещающихся в точках, определяемых радиусами-векторами г', (рис. 41.1). Тогда согласно прин-

ципу суперпозиции потенциал поля, создаваемый этой системой, в точке, определяемой радиусом-вектором г,

равенравен(41.8)(41.8)

равен

равен

(41.8)

(41.8)

осуществить поосуществить позарядов еа к за-зарядов еа к за-помещающихся помощью плот-помещающихся помощью плот-(41.12)(41.12)

осуществить по

осуществить по

зарядов еа к за-

зарядов еа к за-

помещающихся помощью плот-

помещающихся помощью плот-

(41.12)

(41.12)

а напряженность поля

(41.9)

Если создающий поле заряд распределен в пространстве с плотностью р==р(г/), вычисление потен

циала и напряженности поля можно формулам, аналогичным (41.8) и (41.9):

, . fo (г') dV' .. . ,ф (г) J | г —г'' '(41.10)

с ( Р <И (г - И dV'

где dV' = dz'dy'dz' есть элемент объема в точке г'(х', у', г' — компоненты переменного вектора г').

Переход от системы точечных

ряду, распределенному в пространстве с плотностью р(г), осуществляется с помощью 6-функции Дирака (см. Приложение XIII). Эта функция позволяет пред-

ставить систему точечных зарядов е0, в точках с радиусами-векторами г', с

ности заряда:

р(г)= £ е,6(г — г').

(41.12) в выра-(41.12) в выра-Очевидно, что, подставив функцию

(41.12) в выра-

(41.12) в выра-

жения (41.10) и (41.11) и произведя интегрирование, мы придем к формулам (41.8) и (41.9).

42. Уравнение Пуассона

Из курса общей физики известна теорема Гаусса, которая в случае поля в пустоте может быть сформулирована следующим образом: поток вектора Е через

замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри поверхности. Коэффициент пропорциональности зависит от выбора системы единиц. В гауссовой системе, используемой обычно в теоретической физике, он равен 4л. Следовательно,

^)£„г//==4л^е.(42.1)

f

Если распределение зарядов внутри поверхности f охарактеризовать с помощью плотности заряда р = р(г), теореме Гаусса можно придать вид

$ Endf=- 4л J pdV,(42.2)

где V— объем, ограниченный поверхностью f.

Применив к левой части формулы (42.2) теорему Остроградского — Гаусса (см. (XI. 13)), придем к соотношению

VE dV == 4л р dV. vv

Последнее соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно только в том случае, если в каждой точке поля

VE — 4лр.(42.3)

Выразив в формуле (42.3) напряженность поля через потенциал согласно (41.5), получим

V (Уф) — —4лр.

В Приложении XI показано (см. (XI. 38)), что У(Уф) = Дф, где Д— оператор Лапласа. Таким образом, мы приходим к соотношению

Аф = —4лр,(42.4)

которое называют уравнением Пуассона. В развернутом виде это уравнение выглядит следующим образом:

^+^4 -^„_(лр.(42.5)

дх1 1 ду1 ' <52rv 7

Уравнение Пуассона позволяет по заданному распределению зарядов в пространстве (по заданной

функции р) найти потенциал в каждой точке поля.

Зная ф, можно по формуле (41.5) определить Е.

Для точек поля, в которых р = О, уравнение (42.4) имеет вид

Aq> = 0.(42.6)

Соотношение (42.6) называется уравнением Лапласа.

В соответствии с формулой (41.10) решение уравнения (42.4) имеет вид

Ф =Ф =1 (С) dV' jr-TT”1 (С) dV' jr-TT”(42.7)(42.7)

Ф =

Ф =

1 (С) dV' jr-TT”

1 (С) dV' jr-TT”

(42.7)

(42.7)

где интегрирование распространяется на всю область, в которой распределены заряды, создающие поле. Это утверждение может быть доказано строго математически путем применения оператора Лапласа к интегралу (42.7).

Заметим, что выражение (42.7) будет удовлетворять уравнению Пуассона и в том случае, если к нему добавить произвольную постоянную (A const = 0). Так что, вообще говоря, для того чтобы решение уравнения Пуассона было вполне определенным, необходимо задать граничные условия. Решение (42.7) (с const = 0) получается в том случае, если принять потенциал на бесконечности равным нулю.

Можно показать, что решение уравнения Пуассона при заданных граничных условиях является единственным. Однако это доказательство выходит за рамки данной книги.

Покажем, что функция ф(г)~ 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа (уравнению (42.6)) во всех точ- ках, кроме г = 0. Согласно (XI.51) Vy =—^гу — =^-. Применим к этому выражению еще раз

оператор V:

д -L=v f v —) = — v Г т4 (vr) — rv YГ X г )* X • / Г3 х е \v)д -L=v f v —) = — v Г т4 (vr) — rv YГ X г )* X • / Г3 х е \v)Согласно (XI. 49) Vr = 3. Следовательно,Согласно (XI. 49) Vr = 3. Следовательно,0,0,

д -L=v f v —) = — v Г т4 (vr) — rv Y

Г X г )* X • / Г3 х е \v)

д -L=v f v —) = — v Г т4 (vr) — rv Y

Г X г )* X • / Г3 х е \v)

Согласно (XI. 49) Vr = 3. Следовательно,

Согласно (XI. 49) Vr = 3. Следовательно,

0,

0,

что и требовалось доказать.

Можно найти значения Д(1/г) во всех точках, включая и г = 0. Для этого воспользуемся тем обстоятельством, что в случае точечного заряда е, помещающегося в начале координат, р = еб(г), а потенциал ф = е/г. Подставив эти значения в уравнение (42.4) и сократив на е, придем к следующему математическому соотношению:

Д-i-= —4лб (г). (42.8)

Разложение поля по мультиполям

Рассмотрим систему зарядов, размещенную в ограниченном объеме, и исследуем поле, создаваемое такой системой на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы. Поместив начало координат внутри объема, занимаемого системой, получим для потенциала выражение

где по предположению г ^ rQ (см. (41.8); мы опустили штрих при Га).

Разложим выражение (43.1) в ряд по степеням величин Гд/л Для этого выразим ф(г) через компоненты векторов г и га:

ф(х„ х2, х3) = У-^=-(43.2)

a

(индекс I пробегает значения 1, 2, 3, индекс а — значения 1,2, .... п, где п—число зарядов в системе). Рассматривая величины (—хД1) как малые приращения координат Xi, можно представить функцию (43.2) в виде

ф(хь х2, х3) —

+ 2 X Т/дхкд"хтХа'^' ^-И

(раскладывается в ряд каждое из слагаемых суммы (43.2)).

Выражение (43.3) называется разложением потенциала по мультиполям. Первый член разложения

(мы заменили V2 ^< через г) имеет вид потенциала точечного заряда. Суммарный заряд У, еа представляет собой мультиполь нулевого порядка (его называют также монополем). В случае, когда этот мультиполь отличен от нуля, член <р0 вносит основной вклад в потенциал (43.2).

Чтобы выяснить вид мультиполя первого порядка, преобразуем второй член разложения (43.3) следующим образом:

Ф1 = L 2 Л^Г ("Г)~ 2 ~д^ (т) Z еаХ“к'

Сумма У еахак представляет собой проекцию на А-ю координатную ось вектора

Р = L еата.'(43.5)

Этот вектор есть не что иное, как дипольный момент системы зарядов1). Он и является мультиполем первого порядка.

Выражение

йхк \ г )

') Если заряд распределен по объему системы с плотностью р, то дипольный момент определяется интегралом:

(43.6)(43.6)р= \ р (г) г d.V.

(43.6)

(43.6)

Напомним, что для системы, суммарный заряд которой /, еа равен нулю, дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Действительно, перенеся начало координат в точку с г = Ь, мы получим для радиусов-векторов отложенных из нового начала координат, значения га — та — Ь. Дипольный момент в новой системе равен р' == У еог' = У еага — У еаЬ = = р — Ь У eQ. Так как У еа =- 0, получаем, что р' = р.

дает /г-ю компоненту градиента 1/г. Таким образом,

Ф. - - У (V • ^ = -PV 4" •(43.7)

Формулу для ф] можно получить сразу в векторной форме, воспользовавшись тем обстоятельством, что согласно (XI.5) с точностью до членов первого порядка

f (г + бг) = / (г) + Vf (г) ст.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в (43.1), рассматривая —г(| как 8 г. В результате получим

fM-Zv-Ev.’r <438>

аа

Первое слагаемое совпадает с (43.4), второе — с (43.7).

Отметим, что V(l/r) гропорционален 1/г2. Следовательно, слагаемые второй суммы в (43.8) будут по сравнению со слагаемыми первой суммы величинами порядка га/г.

Вычислив V(l/r) и подставив его в (43.7), придем к выражению для потенциала поля диполя:

Ф1 = —PVt- =-р(—4г7-)=тг-(43.9)

Теперь найдем напряженность поля диполя:

Е = — ?Ф1 = —V (4г) = -- (рг) V -4 — 4г V (рг)

(см. (XI. 25)). Воспользовавшись формулами (XI. 51) и (XI. 37), получим

Е = -^ т- - 4" «Р №11 + [г [VP11 + (rv) Р + (PV) г}.

Рассмотрим выражение в фигурных скобках: [Vr] =0 (см. (XI. 50)), |Vp] = 0, так как р не зависит от г; (rV)p = 0 по той же причине. Таким образом, из четырех слагаемых отлично от нуля только последнее, которое согласно (XI. 34) равно р. Итак,

E=3(prlz.__p3eJp^-P(43.10)

г г3г34'

где ег — орт радиуса-вектора г.

Отметим, что поле диполя обладает осевой симметрией относительно направления р.

АЛожет случиться, что не только суммарный заряд 2 еа, но и дипольный момент р = X еата будет равен нулю. Это имеет место, например, для изображенной на рис. 43.1 системы зарядов, называемой квадруполем. В этом случае поле определяется следующим членом разложения функции (43.1), квадратичным относительно величин та,г.

Запишем ф8 следующим образом (см. (43.3)):

a k, tn

2.7П2.7Пдх& дхт V г

2.7П

2.7П

Величина, стоящая в фигурных скобках, есть к, т-я компонента симметричного тензора второго ранга (см. Приложение X). Этот тензор+еа_е

можно было бы принять в качествеf?

соответствующего мультиполя. Од-i[

нако, как мы покажем ниже, из де

вяти компонент этого тензора неза- j[

висимыми являются не шесть ком- I।

понент (как это бывает у снимет- А

ричного тензора), а только пять.

Чтобы подчеркнуть это обстоятель- Рис- 43-!

ство, тензор, характеризующий свой

ство системы, определяющее <р2, записывают в ином виде. В предыдущем параграфе мы видели, что функция 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. что

кт дхьдхт гкт дхьдхт г= 0.= 0.(по предположению г ^ га, так что г—О исключается из рассмотрения). Легко убедиться в том, что эту формулу можно написать в виде

кт дхьдхт г

кт дхьдхт г

= 0.

= 0.

Умножим полученное нами соотношение на ear^j6 и просуммируем затем по а. В результате

получим

6 2—1 а а 2—1 кт дхьдхт г ’

что можно записать следующим образом:

1 у* d2 j2 2-1 дхк дхт г1 у* d2 j2 2-1 дхк дхт ге г26. 1=0. a a km >е г26. 1=0. a a km >

1 у* d2 j

2 2-1 дхк дхт г

1 у* d2 j

2 2-1 дхк дхт г

е г26. 1=0. a a km >

е г26. 1=0. a a km >

Вычтя полученное выражение из (43.11), придадим формуле для ф2 вид

~ "Г 52 дхк дхт т ( 52 fa ^а^ат з* ^a6fcm k, тх £

(43.12)

Совокупность величин

Q^ = 2 еа 1?>ХаЛт ” ГаЬкт} (43.1 3)

называется тензором квадрупольного момента системы. Вычислим след этого тензора, т. е. сумму его диагональных компонент:

= Z^(3lx^-3rQ = 0. (43.14) а V кJ

Равенство нулю Sp(Q*m) означает, что из трех диагональных компонент тензора Qkm независимыми являются только две, а следовательно, всего независимых компонент — пять.

Если привести тензор Qkm к главным осям, то в силу условия (43.14) независимыми будут только два из трех главных значений. Если система зарядов обладает осью симметрии порядка выше второго, то эта ось (обозначим ее буквой г) будет одной из главных осей тензора Qkm, положение двух других главных осей будет произвольным. В этом случае, очевидно Qxx = Qyg и в силу (43.14)

Главное значение Qzz называют в этом случае просто квадрупольным моментом системы. Можно показать, что, когда суммарный заряд и дипольный момент системы равны нулю, квадрупольный момент не зависит от выбора начала координат.

Применив обозначение (43.13), потенциал поля, обусловленного квадруполем, можно записать следующим образом:

k, m

Вычислим вторые производные, входящие в это выражение:

<Э21_ д/дIXд/1drX _

йхк дхтг дхкКдхтг )дх^\г2йхт)

9/ХтX&htn।ЭХтХ^ —дхк Гг3/г3"Т"г5

(дхщ/дхь = б»т). Подставим эти значения производных в (43.16):

^=т2^(^-М- <4317>

Из (43.17) следует, что потенциал квадруполя убывает с расстоянием как 1/г3. Напомним, что потенциал монополя убывает по закону 1/г (см. (43.4)), а потенциал диполя — по закону 1/г2 (см. (43.9)). Вообще потенциал мультиполя п-го порядка убывает с расстоянием по закону l/rn+1.

Итак, поле системы зарядов можно представить как наложение полей, создаваемых мультиполями разных порядков:

Ф (г) — Фо + Ф1 + Фа + • ■ ■ =

У еа 1 1 „ <Э2 1 pV 7 + ё LQ*-•

Мультиполи более высоких порядков мы не будем рассматривать. Отметим лишь, что мультиполь третьего порядка называется октуполем. В качестве примера октуполя можно укгзать систему из восьми одинаковых по величине разноименных зарядов, размещенных в вершинах куба таким образом, что ближайшими соседями оказываются заряды разного знака.

Поле в диэлектриках

До сих пор мы рассматривали электростатическое поле, создаваемое заданной системой зарядов в пустоте. При этом предполагалось, что заряды, создающие поле, могут перемешаться на макроскопические расстояния (например, в пределах всего проводящего тела). Такие заряды мы будем называть свободными.

В случае поля, возбуждаемого под воздействием свободных зарядов в диэлектриках, положение сильно усложняется, тан как на поле свободных зарядов накладывается поле, создаваемое зарядами, входящими в состав атомов и молекул диэлектрика. Поскольку эти заряды не могут покидать пределы атомов и молекул, в состав которых они входят, их называют связанными.

Если обозначить пслг свободных зарядов символом Есзов, а поле связанных зарядов — символом ЕСЕс3, то напряженность результирующего поля Ерез можно представить в виде

Ерез-Ес^ + ЕСВяа. (44.1)

Даже если свободные заряды неподвижны, поле (44.1) не будет стационарным (т. е. не зависящим от времени), так как связанные заряды совершают движение внутри молекул и, кроме того, участвуют вместе с молекулами в тепловом движении. Таким образом, очевидно, что поле Есвяз есть быстропеременная функция времени. Кроме того, Еселз сильно меняется в пространстве между двумя соседними молекулами. Оба вида зависимости (от времени и от точки в промежутке между молекулами) исчезают, если рассматривать значение Е<ВЯз, усредненное, во-первых, по промежутку времени, много большему, чем период внутримолекулярного движения и тепловых колебаний, и, во-вторых, по объему, значительно превосхо- дящему объем одной молекулы. Следовательно, поле <ЕСвяз> будет стационарным. Кроме того, оно плавно меняется в пределах объема, включающего много молекул. Поле <ЕСвяз> называют макроскопическим, в отличие от микроскопического поля Есм

Мы будем называть напряженностью поля в диэлектрике макроскопическую величину

Е = Е сзод + (Есмз). (44.2)

В отсутствие внешнего поля (т. е. поля свободных зарядов) поле <ЕСВЯз> обычно равно нулю. Под воздействием внешнего поля средние положения связанных зарядов смещаются тем сильнее, чем больше действующее на них поле. В результате поле <ЕСВЯз> становится отличным от нуля. При вычислении поля (44.2) положение усложняется тем, что среднее смещение связанных зарядов определяется не полем Есвоб, а результирующим полем Е, которое включает в себя <Есвяз).

Электрическое состояние диэлектрика принято характеризовать дипольным моментом единицы объема диэлектрика, который называют поляризованностью и обозначают символом Р. Очевидно, что Р можно определить как

(44-3)

где AV— физически бесконечно малый объем1), р,— дипольный момент отдельной молекулы, суммирование осуществляется по всем молекулам, заключенным в объеме AV.

Определив Р таким образом, мы по существу произвели то усреднение, о котором шла речь выше в связи с обсуждением Есвяз (Р — макроскопическая величина, р,—микроскопическая).

При воздействии на диэлектрик электрического поля связанные заряды смещаются (оставаясь каждый в пределах «своей» молекулы)—положительные по полю, отрицательные в противоположную сторону. В результате на поверхности диэлектрика образуются связанные заряды. Кроме того, могут возникать также и объемные связанные заряды.

Найдем выражение для рсвяз— объемной плотности связанных зарядов. Выделим мысленно в диэлектрике физически бесконечно малый объем A V. Пусть в отсутствие поля связанные заряды еа (а = 1, 2, ...), заключенные в этом объеме, помещаются в точках.

*) Физически бесконечно малым называют объем AV', заключающий в себе достаточно большое число молекул для того, чтобы можно было пренебречь дискретностью вещества, и вместе с тем достаточно малый для того, чтобы макроскопические величины, например Е или Р, можно было считать в пределах ДУ постоянными.

определяемых радиусами-векторами гао. Поскольку в отсутствие поля диэлектрик не поляризован, выражение 2 еагао равно нулю (сумма бсоется по ДУ). Действительно, с точностью до 1/ДУ эта сумма совпадает с поляризованностью Р, которая у неполяризованного диэлектрика равна нулю.

Предположим, что при включении поля связанные заряды смещаются на отрезки Дга (отметим, что эти отрезки много меньше линейных размеров объема ДУ). В результате возникнет поляризация, характеризуемая вектором

р = -^г У еа (га0 -ь ArJ = -^- У еа Аго. (44.4)

Связанные заряды, входящие в состав диэлектрика, можно разбить на насколько групп, в каждой из которых величина заряда еи и смещение Дга одинаковы. Пронумеруем такие группы индексом р. Количество зарядов группы 3, приходящееся на единицу объема диэлектрика, обозначим п^. Тогда поляризо- вангостъ можно написать сле-

Iдующим образом:

ldfр == 1 у Д Ду

/£At,Ai у 3 р 3

J=: У, «рер Дгр С44-5)

1^1 /Р

° /(прАУ — число зарядов группы

„,В, заключенных в объеме ДУ).

Е>ычислим алгебраическую сумму связанных зарядов, пересекающих при включении поля границу объема ДУ. На рис. 44.1 показан элемент df поверхности, ограничивающей ДУ. Элемент df пересекут (и выйдут наружу или войдут внутрь) те заряды группы с номером р, которые заключены в элементарном объеме величины Аг pdf. Они унесут с собой заряд

fi0e3 Afp^f.(44.6)

Это выражение является алгебраическим. Его знак зависит от знака ер и от знака скалярного произведения Дгр</1, т. е. от направления Дгр по отношению

к внешней нормали к df (на рис. 44.1 она обозначена буквой п).

Просуммировав выражение (44.6) по 0, получим полный заряд, пересекающий df:

У, п^ Дгр if — Р dt(44.7)

(см. (44.5)).

Проинтегрировав выражение (44.7) по поверхности f, найдем суммарный связанный заряд, выходящий из объема АV при включении поля. Таким образом, при включении поля объем АУ, который был прежде нейтральным, приобретает связанный заряд

(приобретаемый заряд равен взятому с обратным зна(приобретаемый заряд равен взятому с обратным знаMtBB = Pdf

(приобретаемый заряд равен взятому с обратным зна

(приобретаемый заряд равен взятому с обратным зна

ком вышедшему наружу заряду). Применив теорему

Остроградского — Гаусса, получим

А^связ = - $ VP dV = -VP АУ. ди

Отсюда для плотности связанных зарядов получается выражение

РсвЯЗ== VP. (44.8)

С помощью формулы (44.8) можно найти и поверхностную плотность связанных зарядов аСвяз- Для этого рассмотрим цилиндриче

ский объем, заключенный между

двумя бесконечно близкими поверхностями величины А/, расположенными по разные стороны от поверхности диэлектрика (рис. 44.2). Связанный заряд ^связ, заключенный в этом объеме, можно представить либо в виде рСВЕ: dV, либо в виде ОсвязА^. Использовав формулу (44 8) и теорему Остроградского— Гаусса, можно написать

Ясвяз^cansAf \ VP dV \ Pnrdft

где п' — внешняя нормаль к поверхности цилиндра. Интеграл по поверхности можно разбить на три

части: интеграл по внешнему основанию цилиндра, который равен нулю, поскольку вне диэлектрика Р = 0; интеграл по боковой поверхности цилиндра, которым можно пренебречь в силу бесконечной малости этой поверхности; и, наконец, интеграл по внутреннему основанию цилиндра. Последний равен — Р^Д/, где п'— нормаль к поверхности, направленная внутрь диэлектрика. Если вместо г/ взять внешнюю нормаль п, то — Рп- нужно заменить ня 4-Рп. Таким образом, мы приходим к соотношению асвязД/= РЯД/, откуда

«$сга = Рп.(44.9)

Здесь Р„ — проекция поляризовзнности Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика.

Заметим, что заряды плотности, определяемой формулами (44.8) и (4-1.9), являются не воображаемыми, а вполне реальными зарядами.

Итак, при наличии диэлектриков на поле, создаваемое свободными зарядами (их плотность мы обозначим р), накладывается ноле связанных поверхностных (см. (44.9)) и обт>емных (см. (44.8)) зарядов. Следовательно, потенциал в точке, определяемой радиусом-вектором г, будет равен

( p(r)dE' , f Pn<t'Wf 7'P,V)dV'

4~ J S V " RJ R " ’

(44.10)

где для краткости применено обозначение /?=|г—г'|; dV'— элементарный объем, взятый в окрестности точки г', df— элемент поверхности диэлектрика, взятый в окрестности точки г'; дивергенция от Р(г') берется по штрихованным координатам, поэтому оператор V снабжен штрихом (см. (XI. 52)). Первый интеграл берется по всему объему, где р отлична от нуля, второй интеграл берется по всем поверхностям, ограничивающим диэлектрик, и, наконец, третин интеграл берегся по всему объему диэлектрика.

§ 45. Описание поля 11 диэлектриках

Если VP отлична от нуля, каждый элементарный объем диэлектрика эквивалентен точечному заряду величины —WdV и вносит соответствующий вклад

в макроскопическое поле Е. Поэтому при наличии диэлектриков уравнение (42.3) нужно писать в виде

VE = 4л (рсвоб -{- pcnJ = 4л (р — VP) (45.1)

(под р подразумевается плотность свободных зарядов). В таком виде уравнение малопригодно для нахождения Е, так как определяет Е не только через плотность свободных зарядов, но и через характер полиризации диэлектрика. Поляризация же есть в свою очередь функция Е.

Легко заметить, что если ввести вспомогательную величину

D = Е Ч 4лР,(45.2)

то для нее будет справедливо уравнение

(45.3)(45.3)VD = 4лр,

(45.3)

(45.3)

т. с. VD определяется только 'лдотэдстью свободных зарядов.

Величину О называют з/иктрической индукцией.

Сопоставление уравнения (45.1) и (45.3) показывает, что операция нахождения D гораздо проще, чем операция нахождения Е. Одиако от величины D было бы мало проку, если бы не ю обстоятельство, что в большинстве практически важных случаев D оказывается пропорциональной Е. Поэтому удается осуществить «обходный маневр»: вместо основной характеристики поля Е вычисляют сначала вспомогательную величину D, а затем совершают переход от D к Е.

Введение величины D целесообразно также по той причине, что многие формулы, написанные с использованием D, оказываются много проще, чем они выглядели бы, будучи выраженными через Е и Р.

Опыт дает, что во многих имеющих практический интерес случаях поляризованкость пропорциональна напряженности поля

Р = хЕ (45.4)

(мы пока ограничимся рассмотрением изотропных диэлектриков). Величина х называется диэлектрической восприимчивостью вещества Она всегда положительна.

7 И. В. Савельев, т. I

Подставив (45.4) в (455.), на^ил.,что

=(45.5)

где

e^L-l-^(45.6)

есть дазлест?ическа^ г’рч^рлюсть, рекддтаз,-...

Таким образом, Ви Е. чл ккыг^сеутадх п’<.чор- циональкы дууг д^уву КЬ'км и обчд"пк<ш1ж,''л.,!ж.о,гб- разяость введения D.

Основываясь на у^г/жщгц; '<‘5.5* , ь-о^но ^ качалось бы, заключить , ЧТО D ОПГ;СДеД1'еТ-« только плотностью СВОбОДКЫХ 3£ЭЯД№. ОДКЖО ЭТО нч. так .Одного ууад^ед"^. (45 л5 к.;, ч^'д^зчич., D редрста- ЧСЧЗП . '-KrKe-L ЖДЧеТЧИЕеЖЖЖО Ш^ДО?».. p-'^fvViT'.M. K2K осуществляется нахождение Е в отсутствие диэлектрик ков. Кроме уравнения VE..—4ль , мы , вогьоль5овав- шись тед, что [ЧК(у=0 .положили Р_г==—?ф .Подставив это вырд-уд-ние в уравнение для диСергеичии, мы пришли к уравнению Пуассона-. V2^ — —4лр .Решение этого уравнения позволяет сайта ®, а затем и Е .

Если идта тем же путем пои нахождении D, нужно в дополнение к (45.3) рассмотреть уравнение

[VD] = [V, гЕ] = [7=, Е] + г [VE] = [Vs , Е]

(мы применяли формулу (XI. 27) и приняли во внимание, что [VE] = 0). Это уравнение переходит в [VD] = O только в том случае, когда Vs = О, т. е. диэлектрик однороден. В обшем случае lyDl ,зависит ст Е, т. е. в конечном счетюот гвчзанкыж загргдо«...

Однако, хотя D, вообще говоря, зависит от связанных зарядов, совокупность уравпений

[VE] = 0, VD^4e9, D = cE позволяет по известному распределению в пространстве свободных зарядов вычислить Е и D

Воспользовавшись соотношением (45.4), можно выяснить, при каких условиях ргаяэ отлична от нуля. Подставим, значение (45.4) в фо^улу (44.8) -.

рс8аа ^ -VP -= -V v/S;-^—XVE - F7"^ (^5 7)

(см. (XL 26)). Согласно (45.1) VE = 4л(рСвоб + рсзяз). Заменив этим значением VE в формуле (45.7), получим

Рсвяз х4л (рсзсб Ч~ Рсеяз) Е VK.

Теперь разрешим получшиш лея уравнение относительно рсвяз:

Рсвгэ ~ g™ НлЯфсгоб 4“ iC^StJ.

Из найденного нами соотношения следует, что рСвяз отлична от нуля, во-первых, з тех точках, где отлична от нуля рсвоб, и, во-вторых. !з тех точках, где Vx^O, т. е. в местах неоднородности диэлектрика. Отметим, что в однородно-поляризованном диэлектрике (Р = = const) объемные связанные заряды не возникают.

Рассмотрим поле в однородном диэлектрике. Допустим, что в отсутствие диэлектрика при данном распределении свободных зарядов возникает поле, характеризуемое напряженностью Ео и потенциалом фо- Мы знаем, что Ео и ф0 являются решениями уравнений

VEu = 4rp,(45.8)

Лфо = —4лр(45.9)

(см. (42.3) и (42.4)).

Теперь, не изменяя расположения свободных зарядов (т. е. р), заполним все пространство, в котором поле отлично от нуля, однородным (в = const) изотропным диэлектриком. Тогда напряженность поля станет равной Е, а потенциал примет значение ф. Напишем уравнения для Е и ф. Согласно (45.3)

VD — V (еЕ) ™ 4 лр.(45.10)

Заменив в этом уравнении Е через —7ф и приняв во внимание, что е = const, можно написать

—V (еУф) = — V2 (еф) = 4лр, или

А (еф) — — lap.(45.11)

Сравнение (45.10) с (45.8) и (45.11) с (45.9) показывает, что уравнение для еЕ совпадает с уравнением для Ео, а уравнение для аф — с уравнением для Фо. Отсюда следует, что запал пение пространства, в котором имеется поле, однородным изотропным диэлектриком приводит к уменьшению как напряженности поля, так и потенциала г е раз. В частности, для поля точечного заряда, помещающегося в однородном

7е

диэлектрике,

е = 5'- ф^-(4512>

Отметим, что согласно (45.11) уравнение Пуассона (42.4) для поля в однородном изотропном диэлектрике выглядит следующим образом:

АФ==-^р.(45.13)

Приведем без вывода ) условия, которым должны удовлетворять Е и D на границе двух диэлектриков:

^"и =6\ЕпХ=е2Еа2,

D„v = Оп2, DJ»X = D^

(индекс т применен для обозначения тангенциальной составляющей вектора, индекс п — для обозначения нормальной составляющей).

Нахождение поля путем решения уравнений (42.4), (45.3) и т. п. в общем случае представляет очень трудную задачу. В случаях, обладающих симметрией, удается установить вид поля, не решая уравнений. Покажем это на следующем примере. Пусть имеется плоская граница двух полубесконечных однородных и изотропных диэлектриков с проницаемостями ci и е2. В первом диэлектрике на расстоянии а от границы имеется точечный заряд q. Требуется найти поле в обоих диэлектриках.

Поле в первом диэлектрике составим из полей точечного заряда q и его зеркального изображения — воображаемого заряда q'. Это допущение удовлетворяет основному условию, что в первом диэлектрике имеется только один источник D — заряд q (q' лежит вне первого диэлектрика). Итак, будем искать потенциал в первом диэлектрике в виде

= +<4515)

(значения гиг* ясны из рис. 45.1).

Поле во втором диэлектрике представим как поле воображаемого заряда q", помещенного там же, где#.

Рис. 45ЛРис. 45Л

Рис. 45Л

Рис. 45Л

Это допущение согласуется с тем фактом, что во втором диэлектрике нет источников D (у" лежит вне второго диэлектрика). Таким образом, будем искать потенциал во втором диэлектрике в виде

ФзФз(45.16)

Фз

Фз

Попробуем подобрать значения q' и q" так, чтобы удовлетворялись граничные условия (45.14) для D. По сделанным нами предположениям Ю имеет в нер

вом и втором диэлектриках значения:

D9 = ^™(45.17)

На границе диэлектриков jr| = jr'|. Следовательно,

Э.^уг. (45.18)

Найдем нормальные составляющие векторов в (45.18). Вектор п направим от первого диэлектрика ко второму. Приняв во внимание, что проекция г на п равна ц, а проекция г' ранка —а, получим

С учетом того, что тангенциальные составляющие векторов гиг' одинаковы: г =г', можно написать

Л^-^'т. О2т = ^-гт.(45.19)

Из равенства DIn = D2n вытекает, что q-t/^q".(45.20)

Из соотношения D\x/ax — D2x/e2 (см. (45.14)) после подстановки в него значений (45.19) получается, что

ч + ч' = ^-д".

(45.21)

Решив совместно уравнения (45.20) и (45.21), найдем значения q' и q", удовлетворяющие граничным

условиям:

=(45.22)

Ci 4- tsCi 4 £;

Нам удалось «сконструировать» функции Di и D2 (см. (45.17)), каждая из которых в своей области удовлетворяет уравнению VO = 4лр. Кроме того, эти функции удовлетворяют граничным условиям. Значит функции (45.17) и соответственно (45.15) и (45.16) будут (после подстановки в них значений (45.22) для q' и q") решениями задачи. В силу теоремы о единственности (см. § 42) никаких других решений не существует.

Поле в анизотропных диэлектриках

В анизотропных диэлектриках направления векторов Р и Е, вообще говоря, не совпадают (см. Приложение X). Связь между компонентами этих векторов дается соотношениями

з

Л=2^/: (/=1,2,3),(46.1)

6-1

где х^— симметричный тензор второго ранга, называемый тензором диэлектрической восприимчивости.

Согласно (45.2) D = E4~4nP или, в компонентах,

Dt = Et + 4ЛРР

Подставив Pi из (46.1), получим

Dt = Ei 4- 4л 2 и1кЕк.к

Если представить Ei в виде У, &ikEk, можно написать к

D= — X ^ik^k 4- 4л X v4kEk = X k^ik + 4ns<it) Ек. ккк

Величины

^к = бц -г ^«Чк.(46.2)

очевидно, суть компоненты симметричного тензора второго ранга. Его называют тензором диэлектрине-

ской прош-щаемости (или, кратко, диэлектрическим тензором). С его помощью связь между векторами D и Е может быть написана в езде

Г-h = 2 »ikEk (z=^ 1,2,3). (46.3)

Симметричный тензор имеет шесть независимых компонент. Если его привести к главным осям, он выглядит следующим образом;

(

ei о ох

О б2 о .

О 0 е3 Z

Отметим, что поскольку главные значения тензора х^ положительны, главные значения тензора йц, всегда больше единицы.

В кристаллах триклинной, моноклинной и ромбической систем все три главные значения тензора elft, а следовательно, и полуоси тензорного эллипсоида различны. Такие кристаллы называются двухосными.

В кристаллах тетрагональной, ромбоэдрической и гексагональной систем два главных значения совпадают: Ei = е2 ¥= £з. Тензорный эллипсоид в этом случае является эллипсоидом вращения. Такие кристаллы называются одноосными.

В кристаллах кубической системы все три главные значения тензора г1к одинаковы, так что тензор имеет вид еб^. Тензорный эллипсоид в этом случае вырождается в сферу. По своим диэлектрическим (и оптическим) свойствам такие кристаллы не отличаются от изотропных тел.

Глава IX

МАГНИТОСТАТИКА

Стационарное магнитное поле в пустоте

На точечный заряд е, движущийся со скоростью v, действует в магнитном поле сила *)

F — '~"[vB](47.1)

(с — скорость света в вакууме). Векторная величина В, называемая магнитной индукцией, является основной (силовой) характеристикой магнитного поля. Соотношение (47.1) можно рассматривать как определение величины В.

Вследствие отсутствия в природе магнитных зарядов, аналогичных электрическим зарядам е), линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора В через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю:

§B„df = O.(47.2)

f

Формула (47.2) является аналитическим выражением теоремы Гаусса для вектора магнитной индукции.

Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, выражению (47.2) можно придать вид

JvBdV=O.(47.3)

v

Условие (47.3) должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке равна нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что дивергенция вектора магнитной индукции равна нулю в каждой точке поля:

VB = 0.(47.4)

В векторном анализе доказывается (см. (XI. 44)), что дивергенция ротора векторной функции всегда равна нулю. Поэтому магнитную индукцию можно представить как ротор некоторой векторной функции А:

В = [УА].(47.5)

Функцию А называют векторным потенциалом магнитного поля.

Векторный потенциал, так же как и скалярный потенциал <р, определяется неоднозначно. Действительно, поскольку ротор градиента любой функции есть нуль (см. (XI. 43)), добавление к векторному потенциалу величины Уф (ф — произвольная функция) не изменяет значения [УА], т. е. В. Таким образом, если А есть векторный потенциал, отвечающий данному магнитному полю, то и функция

А' А + Уф(47.6)

также будет векторным потенциалом данного поля.

Свойство (47.6) позволяет выбирать потенциал наиболее удобным образом, например, накладывать определенные условия на дивергенцию А. Действительно, из (47.6) следует, что

VA' = VA + V (Уф) = VA + Аф,

так что подбором ф можно придать УА' любое наперед заданное значение. В рамках магнитостатики мы будем выбирать ф так, чтобы

УА = 0.(47.7)

В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим векторный потенциал однородного магнитного поля: В = const = Во. Направим ось 2 вдоль Во. Тогда Вх = Вя = 0, Вг — Ва и уравнение (47.5), написанное

в компонентах, будет вметз вид

дАг ОАЧвх=-.5—^°х ду02дАг ОАЧвх=-.5—^°х ду02дА, » дадА, » дадАг= 0 дхдАг= 0 дхдА„ дАхВ^-- — -— = В0.z дх ду °дА„ дАхВ^-- — -— = В0.z дх ду °(47.8)(47.8)

дАг ОАЧвх=-.5—^°

х ду02

дАг ОАЧвх=-.5—^°

х ду02

дА, » да

дА, » да

дАг

= 0 дх

дАг

= 0 дх

дА„ дАх

В^-- — -— = В0.z дх ду °

дА„ дАх

В^-- — -— = В0.z дх ду °

(47.8)

(47.8)

Видно, что этим уравнениям удовлетворяет, скажем, такое значение потенциала:

Ак = — Воу, Ау==0, Аг = 0.(47.9)

На рис. 47.1, а изображены линии вектора А, имеющего компоненты (47.9).

Решение (47.9) не является единственным. Уравнениям (47.8) удовлетворяет также следующий потенциал:

Л = 0, Ад==Вйх, Аг = 0,(47.10)

Линии А в этом случае показаны на рис. 47.1,6. Очевидно, что решением будет также

Лк = — аВоу, Аи — (1 — а) Вйх, Аг = 0, где а — любое число. В частности, уравнениям (47.8) удовлетворяют

Ах = -™Вйу, А^^В^х, .4^0. (47.11)

Последнее решение можно представить в виде

А^-^Вуг-Вд), А^-^В^-В^ь

Аг = у- (Вяу — В ,х)

(напомним, что Вх = Ву — 0), откуда

A-^-iM-lw <4712)

где R—составляющая радиуса-вектоца г, перпендикулярная к оси г. Линин вектора А, отвечающие (47.12), да ял на рис. 47.1, а .

Все приведенные нами значения потенциала удовлетворяют условию (47.7). Отсюда заключаем, что уравнения (47.5) и (47.7) не полностью определяют А. Для того чтобы определение векторного потенциала было однозначным, необходимо задать граничные условия для А.

Уравнение Пуассона

для векторного потенциала

Из курса общей физики известно, что циркуляция вектора В по любому замкнутому контуру Г, взятому в стационарном магнитном поле (в поле постоянных токов), пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром:

§^^ = “^'-(48.1)

г

Формулу (48.1) мы будем рассматривать как соотношение, установленное опытным путем.

Введя плотность тока ], сумму токов можно представить как поток вектора j через поверхность, ограниченную контуром Г. Тогда формула (48.1) примет вид

$ Bt dl =j j di.

гf

Преобразуем легую часть поэучечц-зго нами соотношения по теореме Сток.са. В результате получим

^[vEW^-^ j^i.1^8 2)

Предположим, что интцгрнцованче слева и справа ведется по одной и той же поверхности (хотя равенство (48.2) выполняется и для различных поверхностей, лишь бы они опирались на один и тот 2-щ кон-

тур Г). Соотношение (48.2) должно выполняться для любой произвольно взятой поверхности f. Это возможно только в том случае, если в каждой точке поля

[VB]-^j(48.3)

(напомним, что рассматривается ноле постоянных токов).

Уравнение (48.3) играет в магнитостатике такую же основополагающую роль, как уравнение (42.3) в электростатике. Совместно с уравнением (47.4) оно позволяет вычислить голе заданных стационарных токов.

Подставим в формулу (48.3) вместо В ротор А (см. (47.5)):

Согласно (XI. 45) [V [ V А] ] — V (VA) — ДА. Положив, как было условлено (см. (47.7)), VA — 0, получим для А дифференциальное уравнение

АА== —-™).(48.4)

Это векторное уравнента эквивалентно трем скалярным уравнениям:

&Afc^-^.lb x^-x.^b(48.5)

каждое из которых аналогично уравнению Пуассона для ф (см. (42.4)). С математической точки зрения уравнения (42.4) и (48.5) тождественны. Следовательно, заменив в решении уравнения (42.4) ф на Ак, а р на jk/c, мы получим решение уравнения (48.5). Приняв во внимание формулу (42.7), получим

^=-^Л^=х’ У’ г)' (48‘6)

С J | Г Г |

где интегрирование распространяется на всю область в которой текут токи, создающие поле.

Три выражения (48.6) можно объединить в од векторное:

А=^^Ит-<«-7)

Формула (48.7) позволяет по известному распределению токов в пространстве вычислить векторный потенциал поля, создаваемого этими токами. В качестве примера рассмотрим поле прямого тока. Известно, что потенциал электрического поля, создаваемого тонкой бесконечно длинной равномерно заряженной нитью, имеет вид ) (рассматривается поле вне нити)

Ф (Я) = —2Л In MW - -2ра In (/?//?0), (48.8) где R— расстояние от нити, Ro— расстояние до точек, потенциал которых принят за нуль (в данном случае нельзя положить qp = 0 на бесконечности, так как при такой нормировке потенциал при конечных R получается бесконечно большим), к— линейная плотность заряда, которую, предположив, что заряд распределен равномерно по всему поперечному сечению нити, можно представить в виде ро (о — площадь поперечного сечения нити).

Теперь допустим, что имеется тонкий бесконечно длинный прямой провод, по которому течет равномерно распределенный по сечению а ток плотности /'. Направив ось z вдоль провода, будем иметь j, =ж — jy = 0, j2 = j. Основываясь на идентичности уравнений (42.4) и (48.5), можно получить выражение для А2, заменив в (48.8) р через }г1с = Цс-.

Аг W = -^7- In UTO = - V In (/?//?о). (48.9) где i — ja— сила тока, текущего по проводу. Подстановка в (48.8) jx = 0 и jy = 0 вместо р дает для компонент Ах и Аи нулевые значения. Следовательно, вектор А можно записать в виде

А = — — In (/?//?0) ez, (48.10) где ez — орт оси г.

Взяв ротор от выражения (48.10), найдем В: B-[VA] = -^(V. InA.,]-

(мы воспользовались формулой (XI. 27)). Поскольку

ez = const, второй член равен нулю. Так как Vin (/?//?□) =R/^2.

В = — 4[Jr, eJ«-^-le2, Rj- (48.11)

В соответствии с полученным нами результатом вектор В в каждой точке лежит в плоскости, перпендикулярной к проводу, и направлен по касательной к окружности, охватывающей провод. Модуль В равен

2-

■R "

§ 49. Поле соленоида

Вычислим поле бесконечного соленоида, представив этот соленоид как бесконечный цилиндр радиуса а, в поверхностном слое которого толщины b (6 « а) течет ток плотности j V°i эквивалентно nt, где i — сила тока в соле

ноиде, п — число витков на единицу длины).

Выберем прямоугольные координатные оси, совместив ось г с геометрической осью соленоида (рис. 49.1). Проекции вектора j на координатные оси равны

Л = ~/ sin O=-J-^-,j» = 7 cos a = / v- U = °-

(49.1)

f тf тИз jz = 0 сразу следует, что /lz = 0. В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе составляющая Ах совпадает с потенциалом <р, создаваемым зарядом, который распределен в поверхностном слое цилиндра с плотностью р* = ^х(с = — (//с) (у/а) — — —Ро(у/й)- Мы ввели обозначение

f т

f т

(19Л)

Аналогично, составляющая Ая совпадает с потенциалом заряда, распределенного в поверхностном слое с плотностью рй = /у/с — ри (х/а).

Плотность, изменяющуюся по закону —у/a, можно получить следующим образом. Вставим один в другой два цилиндра, один из ксторых заряжен равномерно с объемной плотностью +ро, а другой — с плотностью —Ро- В целом система двух цилиндров будет в каждой точке нейтральной. Теперь сместим отрицательно заряженный цилиндр на отрезок Z?/2 в направлении

A" pAM-jyjy-j^-jfA" pAM-jyjy-j^-jfРис 49.2Рис 49.2

A" pAM-jyjy-j^-jf

A" pAM-jyjy-j^-jf

Рис 49.2

Рис 49.2

оси у, а положительно заряженный цилиндр на такое же расстояние в противоположную сторону (рис. 49.2, а). Поскольку b ^ а (а радиус цилиндров), образовавшуюся систему можно рассматривать как цилиндр, в поверхностном слое которого толщины b распределен заряд с переменной плотностью рх. В действительности плотность заряда в поверхностном слое постоянна и равна ро (или —р0), изменяется же толщина некомпенсированного слоя. Как видно из рис. 49.2,0, эта толщина меняется по закону & sin ее, так что заряд, приходящийся на единицу поверхности цилиндра, равен —po&sina ——р06у/а. Одяако гн не сделаем заметней ошибки, если будем считать

толщину заряженного слоя всюду одинаковой и равной Ь, а плотность заряда в этом слое изменяющейся по закону

рх—~9tifla. (49.3)

Чтобы получить плотность, изменяющуюся по закону х/а, сдвинем цилиндры, как показано на рис. 49.2, б. В этом случае плотность заряда в воображаемом поверхностном слое толщины b изменяется по закону

РУ = Ро^- (49.4)

13 рассматриваемых случаях поля представляют собой суперпозицию двух одинаковых по величине, но противоположных по знаку полей Н-ф0 и —фо, сдвинутых друг относительно друга на очень малый отрезок Ь (в случае р, вектор b напраалел протт -тю ложно оси у, в случае р„—-по осн х). Пул» нерь ., - чально поля точно накладывались друг на друга, вследствие чего вотеидиал в точке, определяемо!? ра- диусом-вектсром г, был равен (--|~<ро*У))-?--(--<ро(г)), т. е. чулю. Теперь сдвинем поле 4-фо на Ь/?'.. г по" —с;-о/2. Тогда в точке с радиусом вектор..' /

будет ДОТ ЖОГДЩЧТЛ 4-<х, гопюдщ был. в тс- ,д (г », и потенциал —-^о, который был в точке (д 4- Ь/2). Таким образом.

Ф (г) -- фд (г1у л; — Ду (Г д- й/2).

Ввиду малости Ъ оба члена получеиногу ками выражения можно преобрааовать го Аормулг: (XI. Б), т. е. написать

ф (г) = (ф0 (г) — 7фо • Ь/2) — (фд (г) + Уфэ - Ь/2) = „v%.b™-^»l + ^5, + ^»,).

В случае рх вектор b имеет компоненты: Ьх = = bz = О, Ьу = —Ь, так что

Ф^ = ^'Ь для ^*<49'5)

в случае ри: bv = bz = О, b* = Ь, так что

ф(г) = ~4г6 для А„.(49.6)

Теперь осталось найтк ф0 и подставить в (49.5) и (49.6) его производные. Напомним, что ф0— это потенциал поля, создаваемого цилиндром радиуса а, заряженным с постоянной объемной плотностью +ро- Потенциал внутри и вне такого цилиндра определяется разными формулами.

Поле внутри соленоида. С помощью теоремы Гаусса легко найти, что поле внутри заряженного цилиндра равно £ = 2лр0/?, где R— расстояние от оси цилиндра (R < а). Этому полю отвечает потенциал Фо " —лро/?2 + const = —;ipa(.Y2 + ^2)Н* const. Его производные:

йф0 ,.Дфо п

-, ™----- = —2яр0«.

Подставим найденные значения производных в (49.5) и (49.6):

ф(г) = — 2лрй.?с для Ах,

Ф (г) = 2л,р0^для Ад.

Заменив в этих выраженьях рс через ni/bc (см. (49.2)), получим выражения для Ах и Ад (выше было установлено, что Az —= 0):

А, = 0.

В § 47 было показано (см. (47.11)), что потенциал (49.7) определяет однородное магнитное поле с магнитной индукцией

В = (4л/с) ш,(49.8)

параллельной оси 2, т. е. оси соленоида.

Поле вне соленоида. Потенциал вне цилиндра, заряженного с плотностью ро. равен

Фо = —2р0ла21п (/?/^0).

где R— расстояние от оси цилиндра (R > а)\ Ro —константа (ср. с (48.8)). Производные ф0 имеют вид"57" = - 2р0ла2 -^, -^- = —2р0шг -^-.

Подстановка этих значений в (49.5) и (49.6) дает

<р (г) = — 2р0лс:2^ -^- для Ах,

ф (г) = 2р0ла26 ~ для Аа.

Заменив р0 через mjbc, получим Ах и Аи. Напишем значения всех трех компонент:

л2лл/а2 уу у

c R2 ™ А R2 ’

д — ^£21 JL — -5-(49.9)

Л2 = 0.

Величина R2 = х2 4- у‘л не содержит z. Следовательно, dAx/dz = dAy/dz — 0. Из Аг = 0 вытекает, что дА2/дх = дАг/ду = 0. Таким образом, Вх и Вч равны нулю. Найдем В2:

_ дАддАх

дхду "

= м Г2*_ (L 2У JCA1 —

A Ik R2 R3 R J I R2 R3 R

_ Г 22 х2 4- Уа '

' Х [ R2 R2 R2 .

Итак, мы получили, что поле вне бесконечно длинного соленоида равно нулю. Векторный же потенциал вис соленоида отличен от пуля. Совокупность формул (49.9) может быть представл<'на в виде одной векторной формулы-.

А = ^^[еЛ1. (49.10)

Сравнение с формулой (48. U) показывает, что поле вектора А вне соленоида имеет такой же характер, как поле вектора В вокруг прямого длинного провода с током.

§ 50. Закон Био—Сакава

ВыражениеА (г)ВыражениеА (г)1 f ifi-TcV'7 У 'г-сГ1 f ifi-TcV'7 У 'г-сГ(50.1)(50.1)

Выражение

А (г)

Выражение

А (г)

1 f ifi-TcV'

7 У 'г-сГ

1 f ifi-TcV'

7 У 'г-сГ

(50.1)

(50.1)

позволяет, зная распрддел-т чд. тогав в п^рстранстве , определять векторный готшплал ^асиаткого поля

(см. (48.7)). Попытаемся найти формулу, которая позволяла бы по заданным токам найти сразу В. Для этого вычислим ротор функции (50.1). Необходимо иметь в виду, что интегрирование в (50.1) осуществляется по штрихованным координатам х', у', s', дифференцирование же при взятии ротора производится по нештрихованным координатам х, у, z. Поэтому операции интегрирования и взятия ротора можно менять местами. Приняв это во внимание, получим

В(г) —[V, A(r)] = j-В(г) —[V, A(r)] = j-V,V,

В(г) —[V, A(r)] = j-

В(г) —[V, A(r)] = j-

V,

V,

Рассматривая j(r')/|r— г'| как произведение векторной функции j(r') и скалярной функции 1/|г—г'|, воспользуемся формулой (XI. 27):

h |F=?t]-[v |ДтТ' Иг')]+-jT^TT^ ilr'Il.

Второе слагаемое равно нулю, так как j(r') не содержит нештрихованных координат. Градиент, фигурирующий в первом слагаемом, равен

vi'--'' =vvz (-,--;)2 “~|г-г|Э'

Таким образом, мы приходим к формуле

В<Г>”Т^[-Т7^Т’ ИИ]«Г-

(50.2)(50.2)1 С П (г'), г — г'] dV'с J I г — г' |3

(50.2)

(50.2)

(мы вынесли скалярный множитель за знак векторного произведения и, кроме того, поменяли местами сомножители, вследствие чего исчез знак минус).

Полученная формула решает поставленную нами задачу — позволяет по заданным токам вычислить В. Формула (50.2) упрощается, если токи текут только по тонким проводам. Па рис. 50.1 изображен участок такого провода. Из рисунка видно, что выражение jdV' можно представить в виде

j dV' = jo dl — jad\ = i JI, (50.3) где ст — поперечное сечение провода, г — сила тока, d\ — вектор, совпадающий с. элементом провода dl и

направленный в ту сторону, куда течет ток. Заменив в (50.2) jdV' через id\, получим

В = — ((50.4)

(интегрирование производится по длине всех проводов).

Рис. 50.1Рис. 50.2

Формула (50.4) является аналитическим выражением закона Био — Савара. Рис. 50.2 поясняет, что г — г' представляет собой вектор, проведенный из точки, в которой расположен элемент тока d\, в точку, для которой вычисляется В.

Магнитный момент

Прежде чем обратиться к теме данного параграфа, получим так называемое уравнение непрерывности, которое является следствием закона сохранения заряда.

Пусть в некоторой области текут токи, характеризуемые плотностью j = j(r). Выделим в этой области воображаемый объем V, ограниченный поверхностью/. Заряд, вытекающий через эту поверхность наружу в единицу времени, можно представить в виде ^indf=^vwv.

fV

Написанное выражение равно скорости убывания заряда, заключенного в объеме V, которая определяется выражением

-.-^р^-^ИVV

(мы написали частную производную по t, поскольку р есть функция не только времени, но и координат).

Приравняв оба выражения, получим ^vidV==-^dV. УУ

Написанное нами соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема. Это возможно лишь при равенстве подынтегральных выражений в каждой точке пространства. Таким образом, мы приходим к соотношению

(51.1)

которое называется уравнением непрерывности, в дифференциальной форме. В интегральной форме уравнение непрерывности имеет вид

— -^Р^'(51-2)

Теперь рассмотрим систему стационарных токов, циркулирующих в пределах ограниченного объема V, и вычислим магнитное голе, создаваемое этой системой на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы. Эта задача аналогична задаче, рассмотренной в § 43.

Прежде всего отметим, что в силу стационарности токов ни в одной из точек системы не может происходить накапливания или рассасывания зарядов, т. е. должно быть всюду Jp/dt — 0. Отсюда согласно (51.1) вытекает, что в пределах системы

Vj = O.(51.3)

Далее, за пределами системы токов нет. Отсюда следует, что всюду на поверхности, ограничивающей систему,

/„ = 0(51.4)

(токи не пересекают поверхность).

Наконец, докажем, что

ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА

где интеграл берется по всему объему системы. Вейлу стационарности и ограниченности системы все трубки токов1), которые можно выделить внутри системы, будут замкнутыми. Значит, весь объем системы можно разбить на замкнутые трубки токов. Для каждой из трубок интеграл по ее объему можно прообразовать следующим образом:

J ^dV = yiodl^®idl=--i^d^O (51.6) по трубке

(д — поперечное сечение трубки., i — сила тока, d\ — элемент длины трубки; см. формулу (50.3)). Просуммировав выражение (51.6) яс всем трубкам тока, получим формулу (51.5).

Выберем начало коордзнат внутри системы и напишем выражение для векторного потенциала:

А (Г) = — 'i l^^r-. (51.7)

Здесь г — радиус-вектор точки, для которой вычисляется А, г'— радиус-вектор точки, в окрестности которой расположен элементарный объем dV'; интегрирование производится по штрихованным координатам в пределах объема системы.

Воспользовавшись тем, что го предположению г* <^ г, разложим выражение (51.7) в ряд по степеням отношения г'/г2). С точностью до членов первого порядка

А (г) = --- ( ( j (V) Ь (1) гЧ dV'. (51 S) С J Г с 3 3 К х г / > '

V

Первый член этого выражения а силу (51.6) равен нулю. Следовательно, подгз а зьаъегие V(l/r), поЛ у Ч И М

’) Под трубкой электрического тока понимается то же, что и под трубкой тока в жидкости, те. объем, ограниченный линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора ).

®) Рассматривая —г' как малое приращение радиуса-вектора г, мы представляем фуякцлю ((г) = Мг для значения аргумента г — г' в виде

/ (г - г') = t (О + V/ (г) (-г').

Напишем /г-ю компоненту потенциала:

А - "Г $ Д (г') ( 2 Х/П dV' = 2 4 5 /V'dV'

(51.9)

(мы выразили скалярное произведение гг' через компоненты радиусов-векторов). Произведения j^x' суть компоненты тензора второго ранга ). Представим этот тензор в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

ДЯ, =2*2= $Ы +(51*0)

(см. (Х.27)).

Докажем, что интеграл от симметричной составляющей тензора (51.10) ргвен нулю. Для этого воспользуемся тождеством

V (-«!) = jv'(«) + -«V'j(51.11)

(см. (XI. 26)). В силу (51.3) второй член правой части есть нуль. Запишем выражение V (^^^), используя формулу для градиента произведения скалярных функций (см. (XI. 25)):

V' («) = x\Vx'k + х'к V< ==

(мы учли, что dx'fe[dx'm = 6im). Выражение в скобках есть т-я компонента градиента функции х'^.

Теперь вычислим второй член выражения (51.11): jv' «-^) = £ /т (V' («)}„ = I и (x'fikm + <6,m)=

— S !mXi\m "Ь S !mXk^im-

В первой сумме отлично от нуля лишь слагаемое с т = к, а во второй — слагаемое с т — L Следовательно,

jv' (*Х) i/i + /,<•

Итак, согласно (51.11)

^. == 4 №П-

Возьмем интеграл от этого выражения

$ ski = 4 $v (xXJ) ^' = 4 ^ x'ixhin df VКf

(мы применили теорему Остроградского — Гаусса). В силу (51.4) последний интеграл равен нулю. Таким образом, мы доказали, что интеграл от симметричной составляющей подынтегральной функции в (51.9) есть нуль. С учетом этого обстоятельства выражение (51.9) можно записать так:

^ — сга 12 dV —

i v

“аМ<51 12>

Покажем, что подынтегральная функция равна А-й компоненте двойного векторного произведения [гЦг'П. Введя вспомогательное обозначение b=[jr'J и использовав формулу (VI. 33), можно написать

[г [Jr'JJfe = [rb]fe = Е i^bi =

~ ^- RkilXi^ KlmnimXn= . ек116тп1Х11тХп I, l т.пi, I, m, a

(напомним, что при циклической перестановке индексов значение eimn не изменяется). Произведем суммирование по индексу /, причем воспользуемся соотношением (VI. 16)

[Г UH]» = Е ^km^inXdmX'n ~ , S t>k^lmXdmXV I. т, пI, т, п

Теперь произведем суммирование по индексам т и п. В первой сумме отличными от нуля будут ела-

гаемые с т = k и п = i, вс второй сумме — слагаемые cn — kwm-—L Следовательно,

[г ПгЦ» = 2 xjkx't - X xj^ = S х, (j/, - 1,х'ку

Сравнение с (51.12) позволяет написать

V

или, в векторной форме,

А-^ПИк^Г-^Г^Н]^', г] (51.13)

(мы поменяли местами сомножители в обоих векторных произведениях).

Величину

т = ^$1И]^(51-14)

v

называют магнитным моментом системы ).

Для системы дискретных зарядов выражение магнитного момента имеет вид

m = i? еЛгХ].(51.15)

Это выражение получается из (51.14), если положить j (r') = Р (г') v (г') == X eav (г') д (г' — <)

(см. (41.12)) и учесть, что ^ eav(r')d(r' — r'a)dV', взятый в малой окрестности точки г', превращается в eava.

Магнитный момент зависит только от свойств системы и, как легко убедиться, не зависит от выбора системы координат. Действительно, сместим начало

системы координат на отрезок Ь. Тогда радиусы-векторы в новой системе будут равны r,v = г' — Ь. Магнитный момент в новой системе имеет вид

т' = i $ ^1 dV = ^\ [г' - b, j] dV - vv

=[bjjd-/.

vv

Первый член равен т, второй член можно представить в виде

Но согласно (51.5) j dV равен нулю. Следовательно, мы пришли к равенству моментов т' и т, что и требовалось доказать.

С учетом (51.14) выражение (51.13) можно записать следующим образом:

А (г) =-^-== — [m, V^](51.16)

(ср. с формулой (43.7)).

Чтобы найти В, нужно вычислить ротор выражения (51.16). Положив в фор?муле (IX. 29) а = т, а Ь = г/л3, получим

B = [vAJ = [v[m^]] =

= ^ v) т - (mV) 73 + т (v ^) - 7, (Vm).

Вектор т не зависит от г. поэтому первый и последний члены равны нулю. Согласно (XI. 26)

V-^ = rV^ + ^Vr = r(-A.L) + ^3_0.

Поэтому и третий член равен нулю. Таким образом,

В = — (mV) 7г.В = — (mV) 7г.(51.17)(51.17)

В = — (mV) 7г.

В = — (mV) 7г.

(51.17)

(51.17)

В соответствии с формулой (XI. 33)

(mV) ~ = г (т ■ V р-) + 1- <п^) г =

т — Эег (тег)т — Эег (тег)/3 г > , 1

т — Эег (тег)

т — Эег (тег)

—--;+7Гт

(см. (XI. 31), ег — орт векторе г). Следовательно,

(51.18)(51.18)3er (ni^r) — mТУ

(51.18)

(51.18)

магнитное поле выражается через магнитный моментмагнитное поле выражается через магнитный моментСравнение с формулой (43.10) показывает, что

магнитное поле выражается через магнитный момент

магнитное поле выражается через магнитный момент

такой же формулой, какой электрическое поле выра

жается через электрический дипольный момент.

В заключение вычислим магнитный момент тока, текущего по тонкому проводу, образующему плоскую петлю. Начало координат выберем в плоскости петли (рис. 51.1). Согласно определению (51.14)

m — ~ ( [rj] dV.

2г J 1

В рассматриваемом случае можно произвести омену: }<С~мЛ (см. формулы (50.3) и (51.6)). Следовательно, выражению для m можно придать вид.

т=""^"^1г’ ЛЬ

Обозначив орт нормали к плоскости петли буквой п (на рис. 51.1 этот орт направлен за чертеж), подынтегральное выражение можно записать как nr sin ad/, так что

in Д г ST- a dl

Из рис. 51.1 видно, что подынтегрзьздоа нл.ражс- ние равно площади заштрихованного треугс;-.;ика. Поэтому интеграл равен площади петли /. Таким

образом, мы пришли к выражению для магнитного момента:

m •— — фи.

Поле в магнетиках

При наличии магнетиков на поле токов проводимости В, накладывается иоле, создаваемое молекулами, Вмол, так что результирующее микроскопическое поле можно представить в ;:иде

В^Ву + В^.(52.1)

Поле Врез, подобно определяемому формулой (44.1) полю Ерез, является быстропеременной функцией времени. Кроме того, оно сильно меняется в пространстве между двумя соседними молекулами. Поэтому в качестве характеристики магнитного поля в магнетиках берут макроскопическую величину

(52.2) которую называют магнитной индукцией в магнетике. Усреднение микроскопического поля Емо» производится таким же способом, хак и усреднение поля Ес8яз (см. § 44).

Состояние магнетика принято характеризовать магнитным моментом. едчимда объема магнетика., который называют намагниченностью. ?Лы будем обозначать ее символом М. Очевидно, что М можно определить как

У пн

,(62.3)

где dV— физически бесконечно малый объем, т,— магнитный момент отдельной молекулы; суммирование осуществляется по леем молекулам, заключенным в объеме dV.

Вклад, вносимый магнетиком в макроскопическое магнитное поле, можно вычислить по формуле (51.16). Согласно (52.3) элемент объема магнетика dV' обладает магнитным моментом dm = MJl". Следовательно, в точке, определяемой радиусом-вектором г, этот элемент объема создает магнитный потенциал

dA (г) = -’^грГ"1 dV' <52Л)

(г'—радиус-вектор точки, в которой расположен элемент объема dV', М (г') — намагниченность в этой точке).

Интеграл от выражения (52.4), взятый по всему объему магнетика, даст вклад, вносимый магнетиком в макроскопический магнитный потенциал. Его нужно прибавить к магнитному потенциалу, обусловленному токами проводимости (см. формулу (48.7)). Следовательно, поле при наличии магнетика, будет характеризоваться потенциалом

А(Г) = -Ц^^4Лс J — Г | J | Г — Г

(52.5)

Второй интеграл в этом выражении можно преобразовать следующим образом:

'= - S '"^и/1 AV - J [м (И. т^р ] № - =-НМ,г'’'

(штрих при V означает, что при взятии градиента дифференцирование осуществляется по штрихованным координатам).

Положив в формуле (Х1.27)ф = 1/|г — г'| и а = = М(г'), получим, что

[v. TT^iJ-tv'i^. mwJ + t^Iv-.mHI,

откуда

[««и. г^]-!^-^.[««и. г^]-!^-^.М(И 1|г-г'| гМ(И 1|г-г'| г

[««и. г^]-!^-^.

[««и. г^]-!^-^.

М(И 1|г-г'| г

М(И 1|г-г'| г

Следовательно, второе слагаемое в формуле (52.5) можно представить в виде

Преобразуем интеграл /" по формуле (XI. 60):

Если магнетик занимает конечный объем или М(г') достаточно быстро убывает при удалении от начала

координат, последний интеграл равен нулю (в случае локализации магнетика в конечном объеме поверхность интегрирования можно выбрать вно магнетика и тогда всюду на поверхности М(г') = 0).

Таким образом, при наличии магнетиков векторный потенциал определяется выражением

j (И dV' , ( [V'. м (r')J dV'

АД(5Ш

С J1Г — Г

Полученный нами результат можно истолковать так, что намагниченность вносит в векторный потенциал такой же вклад, как и ток плотности

(52.7)(52.7)jM = с !?М]

(52.7)

(52.7)

(мы опустили штрих при V, соответственно М рассматривается как функция не г', а г). Отсюда вытекает, что при наличии магнетиков уравнение (48.3) нужно писать в виде

[VB]=-^j + 4n[VM].(52.8)

Объединив члены, содержащие ротор, получим

[V, В-4гЛ1]-^].

Величина

Н = В — 4лМ(52.9)

называется напряженностью магнитного поля. Она представляет собой вспомогательную макроскопическую характеристику магнитного поля, аналогичную электрической индукции D (см. (45.2)). Для Н имеет место уравнение

[VHJ^-^-j.(52 ЛО)

Опыт дает, что для та? называемых дна- и парамагнетиков .намагниченность пропорциональна напряженности поля:

М=%Н.(52.11)

(Предполагается, что магкетик изотропный. Кроме того, имеются в виду поля, при которых намагничение далеко от насыщения.)

Величина % называется магнитной восприимчивостью вещества. Для парамагнетиков % положительна, для диамагнетиков — отрицательна. Подстановка выражения (52.11) в формулу (52.0) дает, что

В = Н + 4л:%Н --= рИ,(52.12)

11=1+4^(52.13)

есть магнитная проницаемость вещества.

Соотношения (52.11) — (52 13) распространяют и на ферромагнетики, рассматривая % и ц как функции напряженности поля Н.

Целесообразность введения Н обусловлена теми же соображениями, какие были изложены в § 45 для обоснования целесообразности введения D.

Рассмотрим поле в однородном изотропном магнетике. Предположим, что в отсутствие магнетика данные токи проводимости возбуждают поле, характеризуемое индукцией Вс и потенциалом До- Известно, что ЕС и Д3 являются решениями уравнений

Г7В0]==-^Ч (52.14)

AAo_„...^Lj (52.15) (си. цаа) -л ( '£^х.

Геперь, не изгдщця юзов ' '< * ^глщдшм псе пространство, в котомок: поде отлшщ.-х v$. чм^, однородным (р, = const) H2C4?.o-iy'.v.c. надчегд/озл. .Тогда индукция поля станет равней В, ?. юхющ! а д примет значение А. Напишем урстдюдл. дди В и А. Согласно равенству (52.10)

[VHl--[v-^-^4. (52-16)

За^еитз в этом уравнении Е ^;^ {ЧА} \см. (47 5)) в принял: ЕС внимание, что д•--сопьч нджхэ написать

РаЗГСЮД-Д ""'"О ЧИСТЬ ГОф’’Д"'!31'3 В1ДЭУЯДЯ по оерь-уле (XL 45). И дэюлс дг-э дд-'уч;д;

Однако мы условились выбирать А так, чтобы VA равнялась нулю (см. (47.7)). Следовательно, первый член в фигурных скобках равен нулю и мы приходим к уравнению

AA__.^j,(52.17)

Сравнение (52.16) с (52.14) и (52.17) с (52.15) показывает, что уравнение для В/р совпадает с уравнением для Во, а уравнение для А/р— с уравнением для Ап. Отсюда следует, что заполнение пространства, в котором имеется поле, однородным магнетиком приводит к увеличению как магнитной индукции, так и магнитного потенциала в ц раз.

Согласно равенству (52 17) уравнение Пуассона* (48.4) для поля в однородном изотропном магнетике будет иметь следующий вид:

ДА — -'^-].(52.18)

В случае, когда одкосюдаый изотропный магнетик с р. ----- сено-". (т. е. с у, не зависящей от Ю заполняет все прочтуаястио , в. катед-аи поло отлично от нуля, сира ведл и во соот яощен ие

(52.19)(52.19)

(52.19)

(52.19)

где /V == K/v„

Подчеркнем, что напряженность поля 18 можно представить в виде ротора функции А/p только в том случае, когда магнетик однороден и р = const. Магнитную же индукцию В можно представить в виде В = [ VA] всегда, поскольку при любых условиях VB =0.

Напомним, что на границе двух магнетиков векторы В и Н должны удовлетворять следующим условиям:

5rti = Вп2, ST1/p! = В12/ц2,

HTX = Hti, ^нпХ = ^2нп2. v°

Вывод этих граничных условий можно найти в учебниках общей физики.

В анизотропных магнетиках связь между М и Н дается соотношениями

3

М^^ъЛь (/=1,2,3),(52.21)

ь -1

где Xife — симметричный тензор второго ранга, называемый тензором магнитной восприимчивости.

Соответственно уравнения, связывающие векторы В и И, выглядят следующим образом:

S< = 2 ЧиЛь (z= 1, 2, 3),(52.22)

к = 1

где величины

14k = $™ + 4лх,6(52.23)

суть компоненты тензора магнитной проницаемости (ср. с формулами § 46).

8 И. В. Савельев, т. I

Глава X НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Закон электромагнитной индукции

При изменении потока магнитной индукции через замкнутый контур Г в этом контуре возникает ЭДС индукции, равная

©I ===\ В dt

с dt с It 1

Г

(Ф— магнитный поток, пронизывающий контур). Если поверхность, по которой берется интеграл, не изменяется со временем, операции дифференцирования но / и интегрирования по координатам можно поменять местами. Поэтому вкражению для ^, можно придать вид

^^-'П^Г^<531>

(мы написали частную производную по t, потому что В, вообще говоря, есть функция и времени, и координат) .

ЭДС по определению есть циркуляция по данному контуру вектора напряженности поля сторонних сил Ест- В данном случае напряженностью Ест является напряженность Е вихревого электрического поля, возбуждаемого изменяющимся магнитным полем В. Следовательно,

^ = 6 Е, dl = t [VE] df(53.2)

гf

(мы применили теорему Стокса).

Приравняв правые части выражений (53.1) и (53.2), придем к соотношению

^VEjdf^-^^F^-<533>

Допустим, что оба интеграла берутся по одной и той же поверхности (равенство (53.3) выполняется и для разных поверхностей, лишь Си эти поверхности опирались на один и тот же контур Г). Соотношение (53.3) должно выполняться для любой поверхности f. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют одинаковое значение в каждой точке пространства: Таким образом, кы приходим к уравнению

= (53.4)

В полученное нами уравнение не входят параметры контура, с рассмотрения которого мы начали этот параграф. Естественно предположить, что это уравнение должно выполняться для любой точки поля, независимо от присутствия в ж-ш поле физически выделенного (в частности, проьодящчго) контура. Как известно, это предположение оправдывается к<. опыте.

Из уравнения (53.4) следу зт, что нзв;.еняюп:.\хгя во. времени магнитное поле Е должно порождать электрическое поле Е. Действительно, для того чтобы [VE] был отличен от нуля, необходимо наличие неоднородного (т. е. меняющегося от точки к точке) поля Е.

Ток смещения

Анализируя уравнения, описывающие электромагнитные явления, Максвела обратил внимание на то, что в нестационарном случае уравнение

[VH]==~j (54.1)

(см. (52.10)) несовместимо при dp/5/y=0 с уравнением непрерывности

Vj= -5- (54.2)

(см. (51.1)). Чтобы убедиться в этом, возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения (54.1). Поскольку дивергенция ротора всегда равна нулю (см. (XI.44)), мы придем к выводу, что дивергенция j, а следовательно, и др/dl не могут быть отличными от нуля. Однако закяючея.и.е о том, что d^idt всегда равно нулю.

не согласуется с опытом: при нестационарных процессах плотность зарядов сплошь и рядом изменяется с течением времени.

Уравнения (54.1) и (54.2) можно согласовать, добавив в (54.1) к j некоторую величину (обозначим ее jcwem), имеющую размерность плотности тока. Эту величину нужно определить так, чтобы всегда соблюдалось условие

VG+je^) = O

Из него с учетом (54.2) следует, что слагаемое jCMem должно удовлетворять соотношению

Vj=„em=-Vi = ^.(54.3)

Продифференцировав по времени уравнение (45.3), получим уравнение

или, переставив порядок дифференцирования D по времени и координатам,

„ / 5D X . др

Подставив получающееся из этого соотношения выражение для dp/dt в формулу (54.3), придем к равенству

У)смещ— -4n д( J.

Из этого равенства следует, что в качестве jCMem должно быть взято выражение

1смещ 4n dt(54.4)

(в общем случае нужно добавить к правой части произвольную функцию времени /(/), но мы положим ее равной нулю).

Таким образом, Максвелл пришел к выводу, что в случае нестационарного поля уравнение (54.1) следует писать в виде

J с т 4я dt )

илиили

или

или

(54.5)(54.5)fVH] = —j + I™.

(54.5)

(54.5)

J c J 1 c al

Величину jcMem Максвелл назвал током смешения, а Сумму j + |смеул — полным током.

Из уравнения (54.5) следует, что магнитное поле может порождаться не только токами проводимости, но также и меняющимся ее временем электрическим полем. Таким образом, введение тока смещения сделало поля Е и В равноправными в отношении способности порождать друг друга

Уравнения Максвелла

Совокупность уравнений (45.3), (47.4), (53.4) и (54.5) образует систему уравнений Максвелла. Эти уравнения принято группировать попарно, причем уравнения

№ = -4^-(55.1)

и

VB == 0(55.2)

называют первой парой уравнений Максвелла, а уравнения

IVH] = 4-j + l^-(55.3)

и

VD = 4лр(55.4)

носят название второй пары уравнений. Заметим, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля: Е и В. Во второй же паре фигурируют вспомогательные величины D и Н.

Уравнения Максвелла составляют основу всей электродинамики. Они играют в классической электродинамике такую же роль, какую в классической механике играют законы Ньютона.

Система уравнений Максвелла включает в себя 8 скалярных уравнений (каждое из векторных уравнений (55.1) и (55.3) эквивалентно 3 скалярным), в которых содержится 12 неизвестных скалярных функций (компонент векторов Е, В, I) и Н). Поэтому сами по себе уравнения (55.1) — (55.4) недостаточны для

определения электромагнитных полей в веществе. В этом смысле система уравнений Максвелла является неполной. Для того чтобы можно было произвести вычисление полей, уравнения Максвелла нужно дополнить уравнениями, связывающими друг с другом величины D, j и Е, а также Н и В. Эти уравнения')) имеют вид (см. (45.5) и (52.12))

D == еЕ,(55.5)

В=рН,(55.6)

j == оЕ(55.7)

(а — электропроводность среды). Для решения задачи должны быть известны характеристики среды: е, р и а, которые в простейшем случае являются константами.

Отметим, что уравнения Максвелла можно написать так, чтобы в них не входили вспомогательные величины D и Н. Для этого нужно во второй паре уравнений заменить эти величины их значениями (45.2) и (52.9). Предоставляем читателю убедиться в том, что после такой замены уравнения Максвелла приобретают вид

[VE] = - - ™, V В = 0;(55.8)

IVB| = ^-(j + nvM] + ^) + l>.

VE = 4n(p — VP). (55.9)

Для того чтобы решить систему уравнений (55.8), (55.9), нужно знать вид функций Р = Р(Е), М = — М(В) и j = j(E).

В дальнейшем нам придется рассматривать электромагнитные поля в однородных и изотропных средах, проницаемости которых е и р постоянны. В этом случае проницаемости можно выносить из-под знаков производных либо, наоборот, вносить их под знак производных. Поэтому уравнениям (55.1) — (55.4) можно придать вид

[VE]--^, VB = O; (55.10)

[VB] = ^-j + ^^, VE = ^P. (55.11)

*) Их называют иногда уравнениями состояния.

В отсутствие поляризующихся и намагничивающихся сред е и р равны единице, так что уравнения Максвелла для поля в вакууме выглядят следующим образом:

[VE] = -1^,V3 = O;(55.12)

[VB] = ^ j + 1 ^ , VE = 4лр.(55.13)

Поскольку в гауссовой системе для поля в вакууме Н совпадает с В, в уравнениях (55.12) и (55.13) можно в этом случае писать И вместо В.

Потенциалы электромагнитного поля

В § 47, воспользовавшись тем, что VB ™ 0, мы представили магнитную индукцию в виде

B=--[VA),(56.1)

где А — вспомогательная функция, называемая векторным потенциалом. Выражение (56.1) остается в силе и для нестационарного поля. Однако в этом случае А следует считать функцией не только координат, но и времени: А = А (г, t).

Подставим (56.1) в уравнение (55.1). В результате получим

Это соотношение можно записать так:

[v.B + l^=o-

Поскольку ротор вектора Е + (1/с)дА/д/ оказывается равным нулю, этот вектор можно представить в виде градиента некоторой функции ф:

E + t# = -v<P-<562>

Функция ф называется скалярным, потенциалом электромагнитного поля. В нестационарном случае она зависит от г и от t. Из (56.2) следует, что потенциалы Ф и А имеют одинаковую размерность.

Согласно (56.2)

(56.3)

Таким образом, напряженность электрического поля в общем случае определяется не только скалярным потенциалом ф, но и векторным потенциалом А. Второе слагаемое в (56.3), очевидно, обусловлено явлением электромагнитнойсвиндукции. В случае стационарного поля dX/dt = 0 и формула (56.3) переходит в (41.5).

Соотношения (56.1) и (56 3) выражают магнитное и электрическое поля через векторный и скалярный потенциалы.

Найдем уравнения, с помощью которых можно вычислить потенциалы А и ф для поля в однородной и изотропной среде с постоянными е и р. С этой целью заменим в уравнениях (<55.11) Е выражением (56.3), а В ротором А:

V(W)+ ^(^г)”-^''

Приняв во внимание, что [V[VA]] = V(VA)— ДА (см. (XI. 45)), а У(Уф) = Дф, запишем полученные нами уравнения в следующем виде:

aA-^S---^l + v(vA + ^). (56.4)

<565>

(в некоторых членах уравнений мы поменяли порядок дифференцирования по координатам и времени).

Уравнения (56.4) и (56.5) и суть искомые уравнения для нахождения А и ф. Эти уравнения довольно сложны. Особенно неприятно то, что они взаимосвязаны— в каждое из них входит и А, и ф. Однако, как мы увидим ниже, потенциалы можно выбрать так, чтобы эти уравнения сильно упростились.

Потенциалы А и ф определяются неоднозначно. Поэтому имеется некоторая свобода в их выборе. В частности, например, к А можно прибавить произвольный постоянный вектор, а к ф — произвольную

постоянную без того, чтобы изменились значения В и Е. Разумеется, выбор потенциалов следует осуществлять наиболее удобным для данного случая образом. Такой наиболее целесообразный подбор потенциалов называется их калибровкой. Заметим, что мы уже пользовались возможностью калибровки потенциалов в магнитостатике: з § 47 мы выбирали А так, чтобы его дивергенция была равна нулю (см. формулу (47.7)).

Определим самый общий вид калибровочных преобразований, т. е. таких преобразований потенциалов А и ф, при которых поля Е и В остаются неизменными. Поле B=[VAj не изменится, если к А добавить градиент произвольной скалярной функции f (ротор градиента равен нулю), т. е перейти от А к А', равному А + Vf:

A->A'==A + Vf (56.6)

Для того чтобы при этом не изменилось электрическое поле Е =—\7ф— (\/c)dK/dtt одновременно с переходом (56.6) нужно совершить переход

^^.p-l^Z (56-7)

где f — та же функция, что и в (56.6). Действительно, поле Е', определяемое потенциалами А' и ф', будет в этом случае равно

Е =-7ф =

„ . 1„ df МА I 5 _, „ 1 дА

— 7ф + с v dt с at ' с at v<p с at Е (напомним, что V(df/dty= d(Vf)/dt)). Таким образом, преобразование потенциалов по формулам (56.6) и (56.7) не изменяет значений В и Е.

Преобразования (56.6) и (56.7) представляют собой калибровочные преобразования наиболее общего вида. Поскольку при осуществлении этих преобразований поля В и Е остаются неизменными, все уравнения, описывающие эти поля, должны быть инвариантными по отношению к калибровочным преобразованиям. Эта инвариантность называется калибровочной (или градиентной) инвариантностью.

На практике, как уже отмечалось, применяется калибровка, наиболее целесообразная в каждом конкретном случае. В частности, можно выбрать потенциалы так, чтобы выполнялось условие

¥А + ^Ц£._о,(56.8)

называемое условием Лорекц!.

Для поля в вакууме условие Лоренца имеет вид

VA + 7-I7-O.VA + 7-I7-O.(56.9)(56.9)

VA + 7-I7-O.

VA + 7-I7-O.

(56.9)

(56.9)

Покажем, что условие (56 А) может быть удовлетворено надлежащим выбором функции f в формулах (56.0) и (56.7). Для этого подставим в уравнение (56.8) значения А' и <р', с г ределяемые этими формулами:

VA ф- Аг + -- .■^= 0

1' 1 с dt с2 дг

ЧФ^П — &f). Отсюда получается уравнение для нахождения функции f:

F(r, /),(56.10)

где Г(г,/) — —VA — (.m/c^dqi/dt есть заданная функция г и t. Подставив функхию f, получающуюся из решения этого уравнения, в формулы (56.6) и (56.7), мы найдем значения потенциалов А' и <р', удовлетворяющие условию (56.8).

Калибровка потенциалов, удовлетворяющая условию (56.8), называется лоренцевой калибровкой. Этот вид калибровки является наиболее употребительным.

Условие Лоренца сильно ограничивает набор значений потенциалов, пригодных для описания данного поля, но все же не делает выбор потенциалов вполне однозначным. Действительно, не нарушая условия (56.8), можно осуществлять преобразования

А -> Д' == А + уф,

, 1 <3ф (56.11)

(оба набора потенциалов — А, ф и А', ф'—предполагаются удовлетворяющими условию Лоренца), где функция ф является решением уравнения

ДФ-5^ = °-(56.12)

Действительно, подставив в левую часть (56.8) вместо А и ф штрихованные потенциалы из (56.11), получим выражение

7А + 4* + »^-^-

которое в силу (56.8) и (56.12) равно нулю. Таким образом, если потенциалы А и ф принадлежат к ло- ренцевой калибровке, то и определяемые преобразованиями (56.11) (с ф, подчиняющейся (56.12)) потенциалы А' и ф' принадлежат к той же калибровке. Это обстоятельство позволяет наложить на потенциалы, кроме условия (56.8), еще одно дополнительное условие. Ь1апример, можно потребовать, чтобы потенциал ф был равен нулю. Для этого согласно второму из уравнений (56.11) достаточно выбрать функцию ф так, чтобы ее производная по времени была равна сф.

В качестве дополнительного условия может быть также принято требование

VA = 0.(56.13)

Из (56.11) следует, что VA' = VA + Аф. Поэтому для того чтобы выполнялось требование VA' = 0, необходимо соблюдение равенства

Дф =: — VA.

Вместе с тем из (56.12)

Поэтому, если взять в качестве ф решение уравнения

С2 d(2 —

и подставить это решение в (56.11), мы получим значения А' и ф', удовлетворяющие и условию Лоренца, и требованию (56.13).

Лоренцева калибровка, удовлетворяющая дополнительному условию (56.13), называется кулоновской (или поперечной) калибровкой. В гл. IX мы пользовались именно этой калибровкой (см. (47.7)). Из (56.5) следует, что при кулоновской калибровке скалярный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

(см. уравнение (45.13)), т. е. является кулоновским потенциалом. Отсюда и происходит название «кулоновская калибровка».

Уравнение Даламбера

При соблюдении условия (56.8) последний член в уравнении (56.4) обращается в нуль. Кроме того, производная по времени от VA имеет значение — (ер/с^ф/д/2. Следовательно, уравнения (56.4) и (56.5) приобретают вид

ЛА-^^—(57.1)

дф_^^.__±£..(57.2)

с2 dt2е.v '

Таким образом, вместо двух взаимосвязанных уравнений мы получили два раздельных уравнения, причем уравнения для А и ф приобрели сходную форму.

Дифференциальное уравнение вида

^f--^^ = F(r,n(57.3)

называется уравнением Даламбера (ср. с (56.10)). Его можно записать в очень компактной форме, если ввести так называемый оператор Даламбера;

U а С2 5/2 — dx2 ду2 d22 с2 5/2 -

Тогда уравнение (57.3) выглядит следующим образом:

af = F(r, 0-(57.5)

В стационарном случае производные по времени обращаются в нуль и уравнение Даламбера перехо-

дит в уравнение Пуассона (см. уравнения (45.13) и

(52.18))."

С использованием символа (57.4) уравнения (57.1) и (57.2) приобретают вид

□ ф = —□ ф = —4л р_ в '4л р_ в '

□ ф = —

□ ф = —

4л р_ в '

4л р_ в '

С математической точки зрения уравнения (57.6) и (57.7) проще, чем уравнения Максвелла. Поэтому легче бывает вычислить потенциалы А и ф, чем непосредственно поля В и Е. Если же потенциалы известны, нахождение полей по формулам (56.1) и (56.3) не составляет большого труда. Это обстоятельство служит оправданием введения вспомогательных величин А и ф. Кроме того, как мы увидим в следующей главе, введение потенциалов позволяет придать уравнениям электродинамики очень компактную и изящную форму.

Плотность и поток энергии электромагнитного поля

Из опыта следует, что электромагнитное поле обладает энергией, которая распределяется в пространстве с некоторой плотностью w и может перетекать из одного места в другое. Кроме того, эта энергия может превращаться в другие виды энергии, например, затрачиваться на совершение работы над частицами вещества.

Выделим в веществе, в котором имеется макроскопическое электромагнитное поле, объем V, ограниченный поверхностью f. В этом объеме сосредоточена энергия поля, равная

W= J wdV. (58.1)

Энергия может вытекать наружу из объема V через ограничивающую его поверхность f. Если ввести вектор плотности потока энергии S, то поток энергии, вытекающий наружу через {, можно представить

следующим образом:

ф ^ J 5я 6/ == $ vS dV(58.2)

t v

(мы воспользовались теоремой Остроградского — Гаусса).

Найдем работу, совершаемую в единицу времени силами поля над частицами вещества. Над частицей, имеющей заряд еа и движущейся со скоростью ve, силы поля совершают в единицу времени работу:

Na = е„ { Е Ч- ^ |v„B] ] va = <?луаЕ

(смешанное произведение ус|уоВ] равно нулю). Просуммировав это выражение по всем частицам, заключенным в единице объема, получим плотность мощности, развиваемой силами электромагнитного поля при совершении работы над частицами вещества. Обозначив плотность мощности буквой N, можно написать

N = У А\ Е У, ейу„.

Взятая по единице объема сумма У, euva есть плотность электрического тока j (если все частицы одинаковы, движутся с одинаковой скоростью и число их в единице объема равно п, то У еауа превращается в известное выражение. j = env). Таким образом,

N = Ej.(58.3)

Заключенная в объеме V энергия 117 может уменьшаться за счет вытекания энергии наружу через поверхность f и за счет совершения работы над частицами вещества. Следовательно, должно выполняться соотношение

= — ф -- \ N dVatJ

V

(напомним, что N есть плотность мощности, т. е. мощность, развиваемая в единице объема). Подставив выражения (58.1) — (58.3) для 117, <L и N, получим

j w dV = - \ VS dV - j Ej dV.

vVV

Поменяем местами в первом интеграле дифференцирование по времени и интегрирование по координатам, а также объединим все три интеграла в один. В результате получим

S^ + VS-bEjjdl'-O (58.4) v

(мы применили символ частной производной, потому что да в общем случае является функцией не только времени, но и координат).

Условие (58.4) должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Отсюда заключаем, что подынтегральная функция должна быть равна нулю в каждой точке. Следовательно, мы приходим к дифференциальному уравнению, которое можно написать в виде

Плотность энергии да и плотность потока энергии S являются функциями величин, характеризующих поле. Чтобы найти вид этих функций, попытаемся преобразовать выражение Ej так, чтобы оно стало суммой двух слагаемых, одно из которых было бы производной по времени от некоторой скалярной величины, которую мы сможем отождествить с да, а второе — дивергенцией от некоторой зекторной величины, которую мы отождествим с S.

Воспользовавшись уравнением Максвелла (55.3), выразим j через характеристики поля Н и D:

J 4л J 4л at

Теперь умножим скалярно это выражение на Е:

е>=Те№Н1-^е^..(58.6)

Согласно формуле (XI. 28) V[EH] = H[VE]— — E[VH], откуда E[VH]==H[VE] — V[EH], Подставив это значение в (58.6), получим

Е1 = -^(ЕН1+{^Н|РЕ|-^Е^}. (58.6') Воспользовавшись уравнением Максвелла (55.1), заменим [VE] на—(1/с)дВ/Э/. В результате выражение

в фигурных скобках примет вид

Наконец, используем соотношения (55.5) и (55.6):

г х _L f ч F 1 =

J 4л t * St dt )

д / еЕ2 . цН2 X

—" "5Г \~8л + 8л )

(мы предположили, что е и ц не зависят от времени).

Итак, формулу (58.7) можно записать следующим образом:

Ej = - -Ir- v { ~ (ЕН] 1.

J di V 8л / I 4л 11 )

Сопоставление полученного соотношения с формулой (58.5) дает для w и S выражения

(58.8)(58.8)(58.9)(58.9)еЕ2 + ^Н2

(58.8)

(58.8)

(58.9)

(58.9)

ХИ =——

8.Л

8 =--[ЕН].

4л 1

Определяемый формулой (58.9) вектор S называется вектором Пойнтинга.

Отметим, что выражение (58.8) включает в себя как собственно энергию поля, равную

Шо =Шо =8л8лЕ2-\-Н2

Шо =

Шо =

8л

8л

так и энергию, затраченную на поляризацию и намагничивание среды.

Импульс электромагнитного поля

Из существования давления света вытекает, что электромагнитное поле обладает не только энергией, но и импульсом. Импульс, как и энергия, может «перетекать» из одного места в другое. Этот процесс можно охарактеризовать, введя понятия потока и плотности потока) импульса.

Поток импульса, в отличие от потока энергии, является не скаляром, а вектором. Следовательно, плотность потока импульса должна быть величиной такой природы, чтобы при умножении на вектор df

(df — элемент поверхности) давать вектор. В приложении X показано, что скалярное произведение тензора второго ранга на вектор представляет собой вектор. Отсюда заключаем, что плотность потока импульса есть тензор. Обозначим компоненты этого тензора символом о,-б. Тогда поток z-й компоненты импульса через площадку df будет определяться выражением

Z Olfc ^fk,к

а поток вектора импульса — формулой

2 о<к dfk.i »

В системе, состоящей из свободных заряженных частиц и электромагнитного поля, должен сохраняться суммарный импульс, слагающийся из импульса частиц и импульса поля. Следовательно, обозначив суммарный импульс частиц символом Р, а плотность импульса (т. е. импульс единицы объема) электромагнитного поля символом g, можно написать

4 V у i f к

Левая часть дает скорость возрастания суммарного импульса, содержащегося в объеме V, правая часть — поток импульса поля, втекающий в объем V через ограничивающую его поверхность f. Предполагаем, что частицы не пересекают эту поверхность, так что переноса через нее импульса частицами не происходит.

Представим написанное нами соотношение в следующем виде:

тр=-5-эт--,1,+2е^1<’-‘^- <ил> VI f к

Скорость изменения импульса частицы определяется силой, действующей на частицу:

=+ --[vB].

dt 1 с 1 J

Просуммировав это выражение по частицам, заключенным в единице объема, получим, что

^=РЕ + 1[|В1.

4P = $pE^ + 4j[jB]dK4P = $pE^ + 4j[jB]dK(59.2)(59.2)где ро — плотность импульса частиц. Наконец, проинтегрировав это соотношение по всему объему системы, найдем скорость изменения суммарного импульса частиц:

4P = $pE^ + 4j[jB]dK

4P = $pE^ + 4j[jB]dK

(59.2)

(59.2)

Исключим из этого выражения р и j с помощью уравнений Максвелла. Среду, в которой находятся частицы и поле, будем предполагать однородной и изотропной с постоянными е и р. Из уравнений (55.11) следует, что

Подстановка этих значений в (59.2) дает

Р =( EVE dV + -4- ( ([VB] В] dV —

dt 4л J1 4лр J

(59.3)

4лс J L dt 1'

Преобразуем полученную формулу, воспользовавшись соотношением

откуда

Заменим здесь dtt/dt через — c[VE] согласно первому из уравнений (55.10). В итоге получим

[# В] = ^ ПЕВ] + с [Е [VE]].

Подставив полученное значение в (59.3), придем к соотношению

4 р = iH EVE + ^- ] ^В1 ®1dV -

Произведем во втором и третьем интегралах замену: В = pH, кроме того, во втором интеграле поменяем

местами сомножители (при этом знак изменится на обратный):

4l>”TjEvE‘'r-^.(|H|vHndi'-

- S (EivEllrfV

Чтобы сделать это выражение симметричным по Е и Н, добавим к его правой части слагаемое (р/4л) ^ HvH dV. От этогс выражение не изменится, так как это слагаемое равно нулю (pVH = V(pH) — = VB всюду есть нуль). Наконец, сгруппировав надлежащим образом члены, получим

Р = -[ЕН] dV -f-

dt4лс JJ

+ 4^ J {eEVE + pHVH - e [E [VE]] - ц [H [VH]]} dV.

(59.4)

Второй интеграл, как мы убедимся ниже, можно преобразовать в интеграл по поверхности f, ограничивающей объем V. Таким образом,

Р = -Л-^Л-^-[ЕН] W +

dtJ 5t 4лс 11 I

V

+ интеграл по поверхности f. (59.5)

Из сравнения найденного соотношения с (59.1) следует вывод, что плотность импульса электромагнитного поля определяется выражением

е = ^[ЕН].(59.6)

Приняв во внимание (58.9), можно написать, что

g = -^-S,(59.7)

где S — вектор Пойнтинга. В вакууме это соотношение имеет вид

g-pS.(59.8)

Отметим, что выражение (59.7) кроме собственно импульса поля включает в себя импульс связанных зарядов, входящих в состав среды, в которой создано поле. Чтобы получить импульс одного только поля, следует в формуле (59.1) под Р подразумевать механический импульс не только свободных, но также и связанных зарядов. Тогда в качестве Е и В нужно было бы взять не усредненное макроскопическое поле, а микроскопическое поле и соответственно пользоваться при преобразованиях уравнениями Максвелла для поля в вакууме1). Это равнозначно тому, чтобы положить во всех формулах данного параграфа е = = р=1. В результате мы пришли бы к формуле (59.8). Таким образом, плотность импульса одного только поля во всех случаях (и в вакууме, и в веществе) определяется формулой (59.8). Сопоставление этой формулы с формулой (40.36) показывает, что между плотностями потоков энергии и импульса электромагнитного поля существует точно такая же связь, какая была получена в § 40 для произвольной системы.

Теперь рассмотрим второй интеграл в формуле (59.4), т. е. интеграл

-^$ {eEVE + pHvH -e[E[vE]] -p[H[vH]]}dV. (59.9) Попытаемся преобразовать его в поверхностный интеграл.

Подынтегральная функция содержит два аналогичных выражения вида

aVa — [a [va]].

В одном из них вместо а стоит Е, в другом — Н. Положив в формуле

V (ab) = [a [Vb]] + [b [va]] + (aV) b + (bv) a

(см. (XI. 37)) b = а, получим

V«2 = 2 [a [Va]] + 2 (aV) a.(59.10)

Найдем значение выражения (Va)b, в котором предполагается, что V действует на оба стоящие после

*) Мы не сделали этого с самого качала, чтобы получить более общее выражение для мгксвелловского тензора натяжений (см. ниже), пригодное также и для поля в среде.

него сомножителя. По общему правилу вычисления таких выражений имеем

(Va) b = (Vaa) Ь 4- (V&a) b = bVa + (aV) b

или, положив b — а,

(Va) а — aVa + (aV) а.

Выразив из последнего соотношения (aV)a, подставим его в формулу (59.10):

Va2 = 2 [a (Va]] + 2 (va) а — 2aVa.

Отсюда

aVa — [а [ Va]] = (Va) а — у V<z2.

Применив такое преобразование к интегралу (59.9), приведем его к виду

-^ J { е (VE) Е + Р (VH) Н + у V (е£2 + р№) } dV.

В написанном нами интеграле оператор V действует на все стоящие за ним функции. Поэтому мы можем с помощью преобразования

dV -V->dt

(см. (XI.65)) превратить этот интеграл в поверхностный

-^ ф | еЕ (Е df) 4- pH (Н df) - у (е£2 + р//2) df }

(59.11)

(поскольку df не обладает свойствами дифференциального оператора, сомножители в выражениях вида (dfa)a можно менять местами).

Раскроем выражение (59.11) через компоненты входящих в него векторов. В результате получим 1Г £ е' ^ { еЕ‘ X Ек df* + 2 Я* dfk - IItк

Представим в последнем члене df, как У, ^tk^fk и вынесем dfk за скобки. Кроме того, заменим выражения

246 гл. х. нестационарное: электромагнитное поле

вида eEt через D„ а вида ^Hi через Bt. В итоге придем к выражению

4г £ et ф £ { EtDk + HtBk - A (ED + НВ) &lk } dU, lк

которое совпадет с последним членом формулы (59.1), если положить

Си = -^ { £'^ + ^ - у (ED + НВ) 61к } (59.12)

Как было выяснено в начале этого параграфа, тензор Си характеризует плотность потока импульса (см. также § 40). Тензор ви, компоненты которого определяются формулой (59.12), называют максвелловским тензором натяжений (или напряжений).

Чтобы подчеркнуть симметричность тензора аи, его компоненты пишут иьогда в виде

<rift = -A- ^EtDk 4- EkDi + HiBk + HkBt -(ED+ HB)6i&).

Для поля в вакууме формула (59.12) упрощается следующим образом:

Си = -^ { EiEk + Bt3k - 4 (Е2 + в2) &и }. (59.13)

Тензор Си позволяет свести задачу о нахождении силы, действующей в электромагнитном поле на некоторый объем вещества, к: вычислению поверхностного интеграла

^t^alkd(k.

Глава XI

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ

§ 60. Четырехмерный потенциал')

Согласно принципу относительности уравнения электродинамики, равно как и все другие уравнения, выражающие законы природы, должны быть реляти- вистски-инвариантными, т. е. сохранять свою форму при преобразованиях Лоренца (при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой). Путем непосредственной проверки можно убедиться в том, что уравнения Максвелла удовлетворяют этому требованию. Однако мы выберем другой путь — покажем, что уравнения электродинамики могут быть написаны в четырехмерной форме, в виде соотношений между 4-векторами и 4-тензорами, откуда и будет следовать их релятивистская инвариантность.

Отправным пунктом для нас послужит принимаемое в электродинамике (в соответствии с опытом) положение о том, что электрический заряд представляет собой инвариант, т. е. что величина заряда частицы одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что величта pdV также будет инвариантом:

р dV = р dxx dx1 dy? — inv. (60.1)

Трехмерный объем dV ье является, как мы знаем, инвариантом (см. формулу (35.17)). Следовательно, из (60.1) заключаем, что плотность заряда р также не является инвариантной, а преобразуется при переходе от одной системы отс1ета к другой по какому-то

*) В этой главе рассматриваются поля в вакууме, т. е. предполагается, что е = 1, ц = 1.

Советуем перед тем, как приступить к чтению этой главы, просмотреть Приложение XII и гл. VII.

закону. Чтобы установить этот закон, примем во внимание, что четырехмерный объем есть инвариант

dV* = dxa dx1 dx2 dx3 = cdt dV = inv. (60.2)

Действительно, при переходе к другой системе отсчета dt и dV преобразуются по формулам

dt' = , ■—, dV' = dV ^ 1 — о2/с2,

Vi - о2/с2

так что dt' dV' — dtdV.

Из сопоставления (60.1) с (60.2) следует, что р преобразуется по такому же закону, что и dx°, т. е. как временная компонента некоторого 4-вектора.

В Приложении XII показано, что контравариант- ные компоненты 4-оператора Гамильтона равны

-V)

(см. формулу (XII. 45)).

Согласно (XII. 38) символический квадрат вектора V* равен

_.21 52_„1 д2.

v — с2 a/2 'v — с2 at2д> (60.3)

где А — трехмерный оператор Лапласа.

Сравнение (60.3) с (57.4) показывает, что оператор Даламбера для поля в вакууме (е = 1, р=1) отличается от V*2 только знаком:

V*2==—□•(60.4)

Из всего сказанного вытекает, что уравнение (57.7) можно записать в виде

V^c = 4лр.(60.5)

Выше мы выяснили, что р обладает свойствами временной компоненты 4-вектора, V*2, как и квадрат любого 4-вектора, ведет себя при преобразованиях Лоренца как инвариант. С учетом этого на основании (60.5) заключаем, что потенциал ср должен преобразовываться по такому же закону, как р, т. е. как временная компонента 4-векгора.

Рассмотрим вектор плотности тока j = pv. Его компоненты равны:

Л = ра* = Р^-(&= 1,2,3).(60.6)

При преобразованиях р ведет себя подобно ct либо с dt. Следовательно, /е будут вести себя подобно dxk (А =1,2,3), т. е. как пространственные компоненты 4-вектора.

Итак, при преобразованиях координат р ведет себя как временная компонента 4-вектора, а величины jk — как пространственные компоненты 4-вектора. Поэтому, умножив р на скаляр с (чтобы получить величину такой же размерности, какую имеют j^, можно объединить р и j в один 4 вектор, называемый 4-вей- тором заряда — тока или просто 4-вектором тока. Его компоненты имеют значения:

j° = cp, p = j„ p = jg, ja = b, что можно записать кратко следующим образом:

^ = (ср, j).(60.7)

Заметим, что компоненту /° = ср можно представить подобно компонентам (60.6) как

(х° = с0- Поэтому компоненты 4-вектора тока можно определить следующим образом:

/^Р-^ (Р = 0, 1,2, 3).(60.8)

Вытекающее из сохранения заряда уравнение непрерывности имеет вид (см. (51.1))

VJ+-^ = O.

С учетом (60.7) это уравнение можно записать в четырехмерной форме:

з

Е^-о-<60-9)

И =0

Левая часть последнего соотношения представляет собой четырехмерную дивергенцию 4-вектора тока.

Действительно, по аналогии с трехмерной дивергенцией 4-дивергенцию вектора «е нужно определить как скалярное произведение векторов V* и а», т. е. как

ззз

|А=0ц »0ц - 0

(см. выражение (XII. 42) для ковариантных компонент вектора V*).

Равенство нулю 4-дивергенции вектора /р является аналитическим выражением закона сохранения заряда. То обстоятельство, что введенный нами вектор (60.7) удовлетворяет столь простому условию, является еще одним доводом в пользу объединения р и j в один 4-вектор.

Учтя, что □ = —V"2, лгпишем уравнения (57.6) и (57.7) следующим образом

V'2A =-“-],(60.10)

V*%^^(cp).(60.11)

Из уравнения (G0.10) вытекает, чго величины А* ведут себя так же, как величины jk т. е. подобно пространственным компонентам 4-вектора. Это обстоятельство дает возможность объединить <р и А в один 4-вектор:

А“ = (ф, А),(60.12)

называемый 4-потенциалсм электромагнитного поля. Тогда уравнения (60.10) и (60.11) можно представить в виде одного уравнения

V^A*1 :== — /**(60.13)

либо

□ Ац = -^/'* (ц = 0, 1,2, 3).(60.14)

Ковариантные компоненты 4-потенциала выглядят следующим образом:

Atl = (<p, - А).(60.15)

Напомним, что 4-поте! риал определяется неоднозначно. Согласно (47.6) значения пространственных

2512515 61. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

251

251

компонент А» могут быть заменены величинами

Л6 = Л* + ^^^,(60.16)

ох

а значение компоненты Ло— величиной

Ло=^ + С(60.17)

(С— константа; см. текст, следующий за формулой (41.5)) без того, чтобы изменились характеристики поля В и Е.

Лоренцево условие калибровки (см. (56.8)) в четырехмерной форме имеет вид

3

Ё^-0-(60.18)

11-0

Это означает, что 4-потенциал выбирается так, чтобы его 4-дивергенция равнялась нулю (ср. с (47.7)).

§ 61. Тензор электромагнитного поля

Перейдем от потенциалов к силовым характеристикам поля Е и В. Этот переход осуществляется по формулам (56.1) и (56.3\ Для удобства выпишем эти формулы еще раз:

B = [VA],(61.1)

E = ~Vq.-™.(61.2)

Напишем выражения для компонент вектора Е:

Р _ _ ^Ф _ J_ дАхх дх с dt 'dqi 1 дАус ~дГ'

Р dqi1 dAz

— дгс dt '

В четырехмерных обозначениях эти формулы можно представить в виде

^х = —д^д-Д^^о^! ~ ^i^o>

£«=-э^-^=^-^Л.(в'-3)

e.—^-^-VA-VA

(см. формулы (XII. 42) для ковариантных компонент 4-оператора градиента и формулы (60.15) для ковариантных компонент 4-погенциала. Согласно последним формулам, например, Лс = —Л| и т. д.).

Теперь напишем выражения для компонент вектора В. Согласно (61.1)

Вх =

дА2 Зу

ЗАд

3z

за2

Зх2

ЗА3

Зх2

= v3M2~v24,

Ви =

ЗА* 3z

ЗАг Зх

_ ЗА3

Зх'

_ ЗАХ

Зх2

= ^л3

-V^„

(61.4)

вг =

ЗАд

ЗАХ

ЗАХ

0/12

"v;a,.

Зх

Зу

Зх*

ах1

Из тензорной алгебры известно, что выражения вида а^Ьч — а^Ьд. суть ковариантные компоненты антисимметричного тензора второго ранга (ац и bv— ковариантные компоненты произвольных векторов). Из формул (61.3), (61.4) следует, что компоненты векторов Е и В можно трактовать как ковариантные компоненты антисимметричного 4-тензора

= = (61.5)

Этот тензор называется тензором, электромагнитного поля.

Переместив в обеих частях равенства индексы р, и V, получим выражение для контравариантных компонент тензора электромагнитного поля

ЗА"* ЗА*,

F(6L6>

Сопоставление формул (61.3) и (61.4) с выражением (61.5) дает, что

Ex = Eot =F |0, Eg — F02 —Ею, Е2 = F^ —F№

Вх = F32 =FВд = F13 —F3t, В2 = F 2l =F12.

(61.7)

Таким образом, тензор F^ выглядит следующим образом:

/ 0 ЕхЕдЕ2 \

' Ez — ByВх0

Приняв во внимание формулы (XII.58), напишем значения контравариантных компонент тензора электромагнитного поля

(

О — Е). — Еи — Ег \

е’, в. F -Й (6L9)

Ez — By Вх О

Итак, в четырехмерном пространстве электромагнитное поле описывается не посредством двух векторов (Е и В), а с помощью одного антисимметричного тензора второго ранга.

Отметим, что в то время, как 4-потенциал Дм определяется неоднозначно, компоненты тензора F^ оказываются однозначными. Действительно, произведем в (61.5) замену компонент Д^ величинами Д^ согласно формулам (60.16) и (60.17). Если р. и v равны 1, 2, 3, получим

дДv дА^ дАч ( ^ф (х1, х2, х3)

= 1^" " 3F = dF "* дхм дх'

дЛц^ф (х*. л2, х3)dAvдА^

дхч dxv дх*1dxMdxv 1

Если один из индексов (например, р) равен нулю, получим соотношение

дА^ <М0 дА„ ( д дф (х1, х2, х3) F04- у, °ах' ~ дх° дх° Эх4

9AqдСдАчдД0

dxvdxvdx°dxv

Таким образом, мы доказали, что величины F^

определяются однозначно.

§ 62. Формулы преобразования полей

Формулы преобразования компонент антисимметричного 4-тензора выведены в Приложении XII (см. формулы (XII.62)). Подстановка значений (35.8) и

для «о и он приводит эти формулы к виду

,01.01-,02_ /.№-М1" л,оз_ Д^-М'3

д 12 д л02л,ы Л -JL4 л„зд 12 д л02л,ы Л -JL4 л„зл13 - рл03л13 - рл03(Р = Оо/с).(Р = Оо/с).V1 -Р2V1 -Р2.и (62.1), А —А.и (62.1), А —А

д 12 д л02

л,ы Л -JL4 л„з

д 12 д л02

л,ы Л -JL4 л„з

л13 - рл03

л13 - рл03

(Р = Оо/с).

(Р = Оо/с).

V1 -Р2

V1 -Р2

.и (62.1)

, А —А

.и (62.1)

, А —А

Написав формулы (62.1) для тензора (61.9), получим

F'q1=F0V,т. о. Ех = Ех,

F02-^2Еу-^г

F =;==-, Г. 2. tu = -—--,

и т. д. Выписав соотношения (62.1) для всех компонент тензора F»x и заменив F^ соответствующими значениями Ек и Вк, придем к формулам преобразования компонент векторов £ и В при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

^ = Ех-в'х = вх,^ = Ех-в'х = вх,,Еи -^В,,в.,+ р?,в' = -А —,Еи -^В,,в.,+ р?,в' = -А —УГ-р5УГ-р5(62.2)(62.2)

^ = Ех-

в'х = вх,

^ = Ех-

в'х = вх,

,Еи -^В,

,в.,+ р?,

в' = -А —

,Еи -^В,

,в.,+ р?,

в' = -А —

УГ-р5

УГ-р5

(62.2)

(62.2)

можно записать формулы (62.2), , Ел + (1/С) [v0B^]t ==т== ,V^~ Do/^сР 1(62.3)= В1 -(1/с> [voE l1v*-^можно записать формулы (62.2), , Ел + (1/С) [v0B^]t ==т== ,V^~ Do/^сР 1(62.3)= В1 -(1/с> [voE l1v*-^

можно записать формулы (62.2)

, , Ел + (1/С) [v0B^]

t ==т== ,

V^~ Do/^

сР 1(62.3)

= В1 -(1/с> [voE l1v*-^

можно записать формулы (62.2)

, , Ел + (1/С) [v0B^]

t ==т== ,

V^~ Do/^

сР 1(62.3)

= В1 -(1/с> [voE l1v*-^

Формулы обратного преобразования отличаются от этих формул лишь знаком при членах, содержащих множитель р (т. е. знаком при о0)-

Разложив векторы Е и В на составляющие параллельные оси х (а значит, и вектору v0) и перпендикулярные к этой оси (т. е. представив, например, Е в виде Ej + Ej^), в векторном виде’)

ЕН = Е11’

в; = в6,

') Заметим, что поскольку Вр и v0 коллинеарны, [Vp®] = = [v0B|j] + [VOB11 = [VOB1]. ^ налогично [v0E] = [v0E J. Поэтому в векторных произведениях формул (6Й.З) можно опустить индекс <сД_» при В L и Ej_.

(напомним, что и, = Уо, ид =- у2 = 0). Из этих формул видно, что продольные) составляющие полей при переходе от одной системы отсчета к другой не изменяются, а преобразуются только поперечные составляющие.

Если р <§: 1 (т. е. Уд^с), выражение 1/V1— Р приближенно равно 1 +(1/2)р2. Следовательно, с точностью до членов порядка р — у0/с формулы (62.2) выглядят следующим образом:

Е'^Е, Е'я = Еа-(^с^Вг, E' = E2 + (y0/c)Bu, в; = вх> B'u = Ba-V^Ez) В'2 = В2-(Уо^Ед.

Легко убедиться в том, что эти формулы могут быть записаны в векторном виде

Е'— Е + у [v0 В],B'=B-4[v0E](62.5)

(ср. с формулами (62.3)).

Если в системе К имеется только электрическое поле (т. е. Е У= 0, В = 0), то в системе К' будут существовать оба поля. Согласно формулам (62.5) эти поля равны

Е'— Е, В'=---1[у0Е].

Учтя, что Е = Е', можно написать, что

В' = —^- [vDE'J.(62.6)

Последнее соотношение 2) указывает на то, что поля В' и Е' взаимно перпендикулярны. Из этого соотношения вытекает также, что поле В' перпендикулярно к вектору Vo, т. е. к оси х.

Аналогичным способом можно показать, что в случае, когда в системе К имеется только магнитное поле, векторы В' и Е' связаны соотношением

E' = y[voB'].(62.7)

Следовательно, и в этом случае поля В' и Е' взаимно перпендикулярны. Кроме того, Е' перпендикулярно к Vo, т. е. к оси х.

Таким образом, если з системе К существует лишь одно из полей (Е или В), то в любой другой системе К' поля В' и Е' взаимно перпендикулярны. Справедливо и обратное заключение: если в некоторой системе отсчета К поля В и Е взаимно перпендикулярны (и величины полей удовлетворяют условиям, указанным ниже), то существуют такие системы К', в которых поле будет чисто электрическим, а также такие системы, в которых поле будет чисто магнитным. Найдем скорости соответствующих систем, начав с рассмотрения случая, когда ио -С с.

Пусть векторы В и Е взаимно перпендикулярны. Из формул (62.5) следует, что для того, чтобы в системе К' поле было чисто электрическим (т. е. В' было равно нулю), вектор Vo должен удовлетворять условию

В=4[у0Е].

Это условие будет соблюдено, если вектор Vo перпен- адкулярен к В (Е перпендикулярно к В по предположению) и, кроме того, VqE sin а = сВ, где а — угол между векторами vq и Е. Таким образом, поле будет чисто электрическим во всех системах, движущихся в направлениях, перпендикулярных к В, при условии, что скорость ио данной системы равна сВ/E sin а. По- сколь*ку скорость системы у0 не может превзойти с, рассматриваемые системы отсчета существуют лишь при условии, что сВ < Е sin а. Если Е ^ сВ, указанное условие не выполняется ни при каком угле а. Следовательно, в этом случае, несмотря на взаимную перпендикулярность В и Е, систем, в которых поле является чисто электрическим, не существует.

Легло убедиться в том, что полученный нами результат справедлив без оговорки, что Уо -С с. Для этого обратимся к формулам (62.3). Пусть В и Е взаимно перпендикулярны. Возьмем систему К', скорость vo которой перпендикулярна к В и равна по величине сВ/E sin а (а — угол между векторами Vo и Е). Вследствие взаимной перпендикулярности векторов Vo и В составляющая В# равна нулю. Согласно формулам

BJ также, будет нулем. Рассмотрим числитель формулы. (62Л) для. Ч' ,. Пти. чыбраниом нами на- правлекаи регтс'^, ^ _рачеу..В .Векторное „произведение вектсуя Vo и £ можно пце-'иладмь в виде

(перадь ^агаго.. , ^':ю /га^ ..как итеры v0 и косз^не^лд) Талала ^А^лзсед.., формулу .для Bj жно в пассматкула?..лол случае написай сле- дуюЕкг. обозом-..

По условию вектор В зурпсн^кулярея как. к Е, так и к Vo- Поэтому векгср [voEj коллинеарен вектору В. Выбрав надлежащим образом направление вектора Vo (вправо или влево), можно сделать так, чтобы векторы [voE] и В имели одинаковое направление. Тогда в числителе формулы (62.8) будет стоять разность двух одинаково направленных векторов, модули которых равны 5 и (l/c)o0i?sina. Если о0 = = сВ/Е sin ос, модули этих векторов окажутся одинаковыми и числитель в формуле для В^ обратится в нуль. Таким образом, и Е>', и В^ в этом случае будут отсутствовать. Аналогично можно показать, что в случае взаимной перпендикулярности полей В и Е в системах К', движущихся в направлениях, перпендикулярных к вектору Е, со скоростью и0, равной сЕ/В sin a (а — угол между векторами Vo и В), поле будет чисто магнитным. Это утверждение справедливо при условии, что сЕ <. В sin а. Если В^.сЕ, систем, в которых поле является чисто магнитным, не существует.

§ 63. Инварианты поля

Образуем выражение

- Е" - £ в;* - L Et - 2 (в;2 - в;2).

Заменим в нем величины В'к и Е'к их выражениями

9 И. В. Савельев, т. I

через нештрихованные компоненты (см. (62.2)):

в'2 - е'2 = У (в;2 - Е'^ - IP - I” +

, («у + ^гУ - (Вц -^ + (вг - РЕу)2 _ ^ + р5у)2

-г- ут./^

Легко убедиться в том, что правая часть приводится к виду

(В2 _ £2) + (£2 _ £23 + (Д2 _ £2).

Таким образом, мы приходим к заключению, что разность квадратов векторов В и Е имеет одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчета, т. е. является инвариантом

В2 —I?—inv.(63.1)

Теперь образуем скалярное произведение векторов Е' и В', т. е. сумму У ЕьВь. Подставим в эту сумму вместо Еь и B'k их значения (62.2). В результате получим соотношение

У е'в; =

PR JL Iе и ~ ^ VBy + S^) + (Ez + tJBJ (в2 - РЕУ)

==^ЕкВк.

Следовательно, скалярное произведение векторов Е и В также является инвариантом

ЕЕ = inv.(63.2)

Из (63.2) следует, что в случае, когда в какой- либо системе отсчета поля 3 и Е взаимно перпендикулярны (т. е. ЕВ —0), то они будут взаимно перпендикулярными и во всякой другой инерциальной системе отсчета.

Из (63.1) вытекает, что в случае, когда в какой- либо системе отсчета модули векторов В и Е одинаковы (т. е. В2 — Е2 = 0), то они будут одинаковыми в любой другой системе отсчета.

Кроме того, из инвариантности выражений (63.1) и (63.2) можно сделать следующие выводы. Если в

какой-либо системе отсчета векторы В и Е образуют острый (или тупой) угол (ЕВ больше либо меньше нуля), то они будут образовывать острый (или тупой) угол во всякой другой системе. Если в какой-либо системе В > Е (или В < £) (т. е. В2— Е2 больше либо меньше нуля), то и в любой другой системе будет сохраняться такое же соотношение между модулями векторов В и Е.

В случае, когда оба инварианта равны нулю, векторы В и Е во всех инерциальных системах отсчета взаимно перпендикулярны и равны по величине.

Если равен нулю только инвариант (63.2), т. е. ЕВ = О, то можно найти такую систему отсчета, в которой равно нулю одно из полей, В или Е, какое именно, определяется знаком выражения В2 — Е2. Справедливо и обратное соотношение: если в какой- либо системе равно нулю одно из полей, В или Е, то во всякой другой системе поля будут взаимно перпендикулярными (к этому заключению мы уже пришли ранее, анализируя формулы преобразования полей).

Надо иметь в виду, что геля В и Е, вообще говоря, меняются от точки к точке. Поэтому инварианты (63.1) и (63.2) могут иметь в разных точках поля разные значения. Высказанные выше утверждения и свойствах полей относятся к тем точкам поля, для которых выполняются принимаемые предположен!1 л (например, равенство нулю дачного инварианта, и т. д.). Если эти предположения выполняются во всех точках поля, то, разумеется, и утверждения о свойствах полей также будут относиться кс всем точкам.

Приняв во внимание сделанные замечания, допустим, что в системе К в некоторой точке поля произведение ЕВ отлично от нуля, т. е. что гол я в г^атй точке не перпендикулярны друг другу. Тогда ложно найти такую систему отсчета К/, в которой поля в данной точке параллельны друг другу. В этой системе Е'В' = Е'В', так что получается два уравнения:

В'2 — Е'2 = В2 — Е2, Е'В- ЕВ.

Решив совместно эти уравнения, найдем значения величин Е' и В' в той системе отсчета, в которой поля Е' и В' параллельны (векторы Е и В заданы).

Инварианты поля можно найти, исходя из общих свойств тензоров. В Приложении X показано, что при

перемножении тензоров wi-го и л-го рангов получается тензор (т + п)-го ранга, а также что свертывание тензора по любой паре индексов понижает ранг тензора на две единицы. В частности, свертка тензора второго ранга, равная сумме его диагональных компонент, называется следом (шпуром) тензора и представляет собой инвариант Гем. Формулы (X. 21) и (XII. 63)).

Б случае антисимметричного тензора, каковым является тензор электромагнитного поля, след равен нулю, так что этот инвариант интереса не представляет.

Образуем произведение тензоров (61.8) и (61.9), т. е. тензор с компонентами F^Ft**5. Он представляет собой тензор четвертого ранга. Произведем двойную свертку этого тензора, положив равными индексы ц и р, а также v и а и произведя суммирование по этим индексам. В результате ранг тензора понизится на четыре единицы (каждая из двух сверток понижает ранг на два) и мы получим тензор нулевого ранга, т. е. инвариант:

S F^F^ = inv.

и- v

ззззззПодстановка сюда значений F^ и F^ из (61.8) и (61.9) приводит к соотношению

зз

зз

з

з

X£14-2 У 51 = 2 (В2 - Е2) = inv,

ц, V-04 = 1А = 1

(63.3)

что согласуется с формулой (63.1).

(63.4)(63.4)Теперь образуем 4-тензор восьмого ранга

(63.4)

(63.4)

где е1*’^ — абсолютно антисимметричный единичный 4-псевдотензор четвертого ранга (см. Приложение XII, текст, следующий за формулой (XII. 68)). Отличные от нуля компоненты этого тензора равны +1 или—1 в зависимости от того, каким числом перестановок — четным или нечетным — может быть получена данная последовательность индексов р, v, р, а, из последовательности 0, 1, 2, 3. В табл. 63.1 приведены все перестановки индексов с указанием знака при единице, который им соответствует.

Т а б л и ц a S3.1

Последователь-

Знак |

Знак

?Чс<ле- ?

дователь- ! Зиак ногзь !

З^гк j[

кость

0

1 2 а

1 +

1 3 2 9

4

2. 0 ( 3

il

3 2 If '

0

i з 2

i 3 0 2

i > 0 a '

3 2 0 ! i —

0

2 з i

i 4-

12 8 3

1 ■> 3

+ j

3 5 0 2 : •: •

0

2 1 з

1i

i 2 3 S

—

i 2 1 !i 3

0

3 1 2

8 0 3 2.

2 3 I

3 0 2 1 ! ■'

0

3 2 i

10 2 3

i

2 3 ; 0

3 С 1 2 ! —

Четырехкратная caspaxa тензора (64.4) представляет собой иниархант:

р. -V. ». ч

Написав 24 отличных от нуля слагаемых суммы (63.5) (знак слагаемых нужно взять из табл. 63.1), легко убедиться в том, что их можно подразделить на шесть групп, включающих в себя по четыре совпадающих выражения:

2 " ^Е01^23 — 4F01F32 + 46 О2631

-4F02Fl3-I- 4^12 - 4^1- (53.6) Вследствие антисимметричности тензора F^ произведения FoiF32 ——F01F23 и т. д. Поэтому выражение (63,6) упрощается следующим образом:

2 — 8 (F 0lF23 4- F 02F si + F C3F |2) = inv.

Инвариантным будет, очевидно, и выражение в скобках. Подстановка значений (61.8) для F^ дает

Ех(- Вх) + Ен(- В^ ^ЕД- S2) = inv, что совпадает с (63.2).

§ 64. Уравнения Максвелла в четырехмерной форме

Первая пара уравнений Максвелла (т. е. уравнения (55.12)) может быть записана в виде одного уравнения для компонент тензора (61.8)

(64.1)(64.1)dF»v I 3FvpdF№

(64.1)

(64.1)

——— •+- —— —j- ————— — (J дх»Wa<v

Заметим, что индексы г каждом из слагаемых образуют циклическую перестановку последовательности: И, V, р.

Выражение (64.1) представляет собой совокупность четырех уравнений, первое из которых получается при р, V, р, равных соответственно 0, 1, 2, второе— при р, V, р, равньх I, 2, 3, третье — при р, v, р, равных -2, 3, 0, и, наконец, четвертое — при р, v, р, равных 3, 0, 1. В силу антисимметрии тензора F^ уравнение, получающееся при любой другой комбинации трех несовпадающих индексов, сводится к одному из указанных четырех.

Напишем уравнение (64.1), положив р =0, v=l, Р = 2, pi . дР\2дРop „

дх2 d ох05л 1

Подставив значения Fy, и координат х*, получим

дЕх1 <ШгЙЕ и

дус dtдх

откуда

ЗЕЦ дЕх _ £ авгдхйус dt

Найденное соотношение представляет собой z-ю компоненту векторного уравнения (55.12). Аналогично, уравнения для р — 2, v = 3 р — 0 и р — 3, v = 0, р = 1 дают х-ю и у-ю компоненты того же уравнения. (Получается уравнение для той компоненты, индекс которой отсутствует в наборе значений р, v, р.)

Положив р = 1, v = 2, р = 3 придем к формуле

ЭЕ и ■dF 2s । ЗЕ з| ~дх1 ‘ дх1 * дх2 ’

которая после подстановки значений FyV и х^ переходит в соотношение

дг йх ду ’

эквивалентное второму из уравнений (55.10).

Таким образом, мы убедились в том, что уравнение (64.1) эквивалентно первой паре уравнений Максвелла.

Вторая пара уравнений Максзелла, т. е. уравнения (55.13), может быть записана в виде

У- — Г (Р = 0,1,2, 3).(64.2)

' дхс

v=o

Действительно, положим, например, р=1. Тогда уравнение (64.2) запишется следующим образом:

^21 д_ 3/7,2 _l —— — _ 4я •!дх® * дх2 ' дх3с /

(F11—0). Подставив значения F^ и х*1, а также сгруппировав надлежащим образом члены, получим уравнение

а вав„4л1 дБ,

дудасс dt ’

представляющее собой х-ю компоненту векторного уравнения (55.13). Аналогично, уравнения для р = 2 и р = 3 дают у-ю и г-ю компоненты того же уравнения.

При р. = 0 уравнение (64.2) имеет вид

ар®1 . аг02 . вр63 .

~^—; т”Т— Ч*~ — — 4лр.

dx1 OXZ 7XU•

Подстановка значений Т7^ и х*1 дает

дБ 6Е„ЗЕ

- = — 4лр, дх дуда

что совпадаетсо вторымизуравнений(55.13).

Таким образом, мы показалг, что уравнение (64.2) эквивалентно второй паре уравнений Максвелла.

§ @5. Уравнение движении частицы в поле

Согласно (38.16) уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид

-^/Ц=^=Л==еЕ + -[уВ].(65.1)

dt k V1 - ^lc4 ) c 1 4

Разделив обе части равенства на V1 —о2/с2 и приняв во внимание, что dt^\ —у1^ есть d% (см. формулу

(34.13)), получим

d z mv X еd z mv X е

d z mv X е

d z mv X е

или, в компонентах,

d's К V1 — »2/с2 /с 1 — о2/с2

(65.2)(65.2)d / myl? \сЕу -р э^Вг — у кВ ,

(65.2)

(65.2)

dx k Vi — Fk* )(V* — »2/^

d / nw? ^ с cE,-V 0„Вй — иявt

Iio yte/ V I — у"]г/ ™ u!\ C;F i -■ y2/c2 = и? (см. (36.6)). Далее, Ex = Fto, Ee = F®/Ez = F®, Bx^ F&-=- F^, Bu — F13— — F3V, B2 = Fn — FV2. Поэтому уравнения (65.2) можно написать следующим образом:

т -^г = т ^'^ + р1^ + р13и^

m-^-^^kF^A-F^UxA-F^u.Y (65.3) m -^- = у (^«о + F3'ux + F3^.

Справа мы использовали ковариантные компоненты 4-скорости для того, чтобы все слагаемые были со знаком «+».

Теперь воспользуемся тем, что быстрота изменения энергии частицы равна работе, совершаемой в единицу времени силами, действующими на частицу,

^(v^-)"(eE + 7lvBl)v-eEv- (65-4) Разделив обе части этого уравнения на с л] 1 — г?1с\ получим

т ^- = 7 кРйХих + F62^ + F®^. (65.5)

Совокупность уравнений (65.3) и (65.5) можно записать в виде одного уравнения

з

т^-”^р*'‘и^ <1* = 0- !' 2- 3)1 t656)

V-0

Это и есть уравнение движения частицы в поле, записанное в четырехмерной форме. Его пространственные компоненты эквивалентны уравнению (65.1), а временная компонента эквивалентна уравнению (65.4).

Уравнению (65.6) можно придать несколько иной вид. Опустим в обеих частя:, формулы (65.6) свободный индекс ц вниз. Кроме того, переместим одновременно немой индекс v при Я1* вниз, а при и< вверх. В результате получим

d- е -3

/п ~-~ ~ ~ ^ -рцт < v' ([Ч — 0, 1, 2, ал (65.7)

Последнее уравнение можно получить непосредственно из уравнений (65.1) и (65.4), если заменить в них левую часть ковариантными компонентами 4-скорости, а величины Еь и Вк представить как компоненты тензора (61.8).

Глава XII ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЕ,НО В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

§ 66. Действие для заряженной частицы в электромагнитном поле

Согласие с опытом получается в том случае, если в качестве действия для частицы в поле принять выражение

3\

— trie ds ^^ Д^, dx* L (66.1)

где m—масса частицы, e —- ее заряд, Лц 4-потенциал ноля. Обращаем ангмавие на то, что год знаком интеграла стоит, как это и должно быть, инва- риаит. При А,™я выражение (66.1) переходит в дей- стьие идя свободной частицы (см. формулу ,'39.7)).

Ответам, что неоднозтчихть готсациала ке оказывает влияния на. илаж<«ц. Действительна, заменив Д у. (!ч- .кеч.наг-.ч Л^. д-.м... тпр-

мулы (6^Jzb^ ч (pej,',4 !ч.м под знаков, ците- гр а я а до пол я и? ельзАле с. яг-u ы. е

При интегрировании ели?: саагаегдАт. пол^чае.тея постоянная величина

2

-у $(^ + CJx°) =

= --|-[^(Н + с.41| + а^(1) + с^)1.

которая при варьировании действия дает нуль.

Выражение (66.1) сос/оит из двух членов. Первый зависит только от свойеш частицы (от т). Второй описывает взаимодействие частицы с полем, в соответствии с чем содержит как величину, характеризующую частицу (заряд е), так и величину, характеризующую поле (потенциал Лц). Вообще говоря, нужно было бы включить еще член, описывающий само поле. Но, рассматривая движение частицы в заданном поле, этот член можно не принимать во внимание, так как он в силу определенности поля не должен варьироваться. Правда, это утверждение оказывается справедливым лишь при усковни, что заряд частицы настолько мал, что его влиянием на поле можно пренебречь. При рассмотрении движения частицы в заданном поле мы будем предполагать, что это условие выполнено.

Получим уравнения движения частицы, исходя из принципа наименьшего действия. Согласно этому принципу для истинной траектории частицы выполняется условие

2

6S = 6 ^— тс x\J У dxllL dx^ — у У Ар dx'1^ = О 1

(мы произвели замену: d Р == 52 dxtl dx^). Осуществив варьирование, получим

- ~ у 6 Ар. dx^J = 0(66.2)

(см. формулу (39.9); напомним, что 6(dxn) = d(6xn)).

Проинтегрируем первые два члена в подынтегральном выражении по частям. В результате первый член примет вид

\5 dr,

i

где т — собственное вреья частицы, и^— 4-скорость частицы (см. формулу (39.11)). Интегрирование UQ

частям второго члена дает

Первое выражение справа есть нуль, так как кэ концах траектории вд?«х-----0. Следэвательно, после интегрирования по частям первых двух членов выражс/'ие (66.2) приводится к ваду

(как сейчас выяснится, в третьем члене целесообразно обозначить немой индекс буквой v).

Теперь произведем замены:

т—1 ^AiV* дА.

dA..— ) —r<fxv = > —- и4 dx— во втором члене, и dxv^ dxvР

6Лу — У* ~^п" ^^ и dxv==txvdx — в третьем члене.

В итоге получим

2

Х ЦиV

х-1Z-/ ах* )

Vц

что можно записать следующим образом:

Для того чтобы написанное условие выполнялось при произвольных бх**, необходимо равенство нулю всех

выражений, стоящих в круглых скобках. Отсюда вытекают соотношения

или

т S? 7 X V ^ °’ 1• 2, 3) <68-3) V

(см. формулу (61.5)), что совпадает с (65.7).

Таким образом, мы получили уравнение движения частицы в поле, исходя из принципа наименьшего действия.

Действие для электромагнитного поля

В предыдущем параграфе мы считали поле, в котором движется частица, заданным, в связи с чем слагаемое в действии, описывающее свойства самого поля, мы не учитывали. Теперь рассмотрим систему, состоящую из частиц, находящихся в электромагнитном поле, и попытаемся, исходя из принципа наименьшего действия, найти уравнения, определяющие поле. При этом мы можем отказаться от предположения о малости зарядов частиц и получить уравнения для истинного поля, т. е. поля, получающегося при сложении внешнего поля с полем, созданным самими зарядами. Следовательно, величины А^ должны будут зависеть от положений и скоростей частиц.

Действие для системы поле + частицы должно состоять из трех частей:

S==Sf4-Sm + Smf.(67.1)

Здесь Sf есть та часть действия, которая зависит только от свойств самого поля, т. е. действие для поля в отсутствие зарядов; Sm — та часть действия, которая зависит только от свойств частиц, т. е. действие для свободных зарядов. И, наконец, Smf есть та часть действия, которая обусловлена взаимодействием между частицами и полем.

Что касается последних двух членов, то их значения можно получить, сложив выражения (66.1) для

всех частиц. Следовательно,

(67.2)(67.3)(67.2)(67.3)

(67.2)

(67.3)

(67.2)

(67.3)

Здесь а — номер частицы, N — число рассматриваемых частиц, Ауд — потенциал поля в той точке 4-пространства, где находится частица с номером а. Индекс а следует отличать от применяемых для обозначения компонент 4-векторов и 4-тензоров индексов ц, V, р, ... Для последних индексов нужно различать верхнее и нижнее положение. Для индекса я такое различие не имеет смысла.

Выражению (67.3) можно придать другой вид. С этой целью заменим в нем dx^ через ^dx^dt^ dt, т. е. напишем

е _ _ V ^ Г О ч ^ at '■'mt 2-1 с j Zx'"1110 dt

а Р

Далее представим совокупность точечных зарядов еа как заряд, распределенный в пространстве с плотностью

?^(’?^(’QQ

?^(’

?^(’

Q

Q

(см. (41.12)). Тогда заруд, заключенный в элементе объема dV, можно заиметь как de = pdV и сумму вида £ ej(x6, у„ г^ замена гь интегралом

V р(л\ у, 2>;^х, у, z)av.

В результате получим

Теперь учтем, что p^dx^/df) = р, где />*— компонента 4-тока (см. формулу (60.8)). Значит, можно

написать

=- И SА^dV dt - 4- $ XvdV** <67-4> ЦU

где dV* — dx°dx'dx2dx* = cdVdt.

Чтобы получить выражение для слагаемого Sf, примем во внимание, что, как показывает опыт, электромагнитное поле подчиняется принципу суперпозиции. Поэтому уравнения для поля должны быть линейными дифференциальными уравнениями. Уравнения поля получаются варьированием действия, при варьировании же степень подынтегрального выражения понижается на единицу. Следовательно, уравнения окажутся линейными в том случае, если в действии под знаком интеграла будет стоять выражение, квадратичное по полю. Кроме того, это выражение должно быть инвариантным Простейшими квадратичными инвариантами, которые можно образовать из характеристик поля, являются два: 2 ЛЦДИ и ^1РцмР'к'1- Первый инвариант для нашей цели непригоден, так как 4-потенциал определен неоднозначно. Таким образом, мы приходим к выводу, что под знаком интеграла в действии должен стоять инвариант У, F^F^. Чтобы получить действие для всего поля, нужно произвести интегрирование по всему 4-пространству, где поле отлично от нуля. Итак, мы приходим к выражению

S^a^F^dV,

где а — некоторая константа, dV* == с dV dt Интегрирование по координатам осуществляется по всему трехмерному пространству, а по времени между двумя заданными моментами ^ и ti.

Из найденного нами выражения получаются правильные уравнения поля, если положить (в гауссовой системе) сс — —1/16лс. Тогда

Сложив выражения (67 3), ф7 А) и (f'J 5\, полечим действие. для системы mys-v чамк'ЦГ •

> тае \— -5 г ) А.)—

Сотяасно формуле (63.3) 2J ■'~~ ^' /• Подставив это значение в (67,5), а такие заменяв rfV* через с dV th, можно пргяеетч. нь-ja'x?3i-L°- для$-гкаи^

==: dt J(67.7)

Из этой формулы вытекает, что функчр». -U-агранжа для поля определяется вира-кением

Ц —^-^ (Е2 - В2) d,V.Ц —^-^ (Е2 - В2) d,V.(67.3)(67.3)

Ц —^-^ (Е2 - В2) d,V.

Ц —^-^ (Е2 - В2) d,V.

(67.3)

(67.3)

Итак, мы установили вид действия для электромагнитного поля. Как найти уравнения поля, исходя из принципа наименьшего действия, будет объяснено в следующем параграфе.

§ 68. Вывод уравнений Максвелла из принципа наименьшего действия

Найдем уравнения поля, считая движение зарядов заданным. В этом случае член S,n в действии можно не принимать во внимание, поскольку он в силу определенности движения зарядов не должен варьироваться. Итак, будем исходить из выражения

s-s, + s., = —i^SXV-dr-

и. V

-^-^LA^dV* <№Л^

(см. (67.5) и (67.4)).

Вычислим вариацию выражения (68.1) и приравняем ее нулю. При этом учтем, что в связи с опреде- лениостью движения зарядов ток р' не должен варьироваться. Следовательно,

( У 7бА„ AV*.

а ..< ■

(68. У

Определим вариацию, сп ящую ю;д знаке и первого интеграла,Определим вариацию, сп ящую ю;д знаке и первого интеграла,

Определим вариацию, сп ящую ю;д знаке и первого интеграла,

Определим вариацию, сп ящую ю;д знаке и первого интеграла,

Поднимем ИН ла.ДИ Ч He?№VO СОМНОЖИТеЛЯ HCqRnS ИЗ сумм И ОДПОЗрсиеННО опустим ИХ у второго СОМ НОЖИ- тела. В результате получим

9 7 F^v of

Zr Z- 1 -l uv •

Приняв во внимание формулу (61.5) для F^, напишем это выражение следующим образом:

б У F^F*4 = 2 У Р^б f—~б У F^F*4 = 2 У Р^б f—~о —™ д?1о —™ д?1

б У F^F*4 = 2 У Р^б f—~

б У F^F*4 = 2 У Р^б f—~

о —™ д?1

о —™ д?1

Воспользовавшись антисимметричностью тензора F^, заменим в первой сумме F^v через—Fv^, а затем поменяем в этой сумме индексы р и v. В итоге первая сумма станет тождественной со второй и мы получим, что б У F^F1" = - 4 У F^b ^У.(68.3)

Изменив последовательность дифференцирования и варьирования величин Лц, приведем (68.3) к виду

по фор-по фор-b^V^-A^F^^-bA».

по фор-

по фор-

Теперь преобразуем полученное выражение муле ии' = (ииУ — и'у:

6^^=-4£^г(Г|‘''6Л,) +

+ «2А-^.

Подставив это выражение' в (68.2), придем к следующей формуле для вариации действия:

65 = X (F^ 6Л р) dW - 4лс J дх

Ц, v

-l^SZ^^r-dK - -L^M.iV. (68.4) Г. vи

Первый из трех интегралов можно преобразовать по формуле Остроградского — Гаусса в поверхностный интеграл:

И. *И. *бЛ^ df.

И. *

И. *

На границе рассматриваемого 4-объема 6Дц —0. Поэтому написанный нами интеграл исчезает. Таким образом, в формуле (68.4) нужно сохранить только второй и третий члены. Объединив их вместе и вынеся за скобки общий множитель Мц, получим

ziTM-V1\дхс)ziTM-V1\дхс)

ziTM-V1\

дхс)

ziTM-V1\

дхс)

В силу произвольности вариаций бЛу, найденное нами значение 6S может оказаться равным нулю только в том случае, если все выражения в круглых скобках будут нулями. Следовательно, мы приходим к уравнениям

X— Z1 (Н = 0, 1, 2, 3),(68.5)

4—1 д.хс

которые представляют собой вторую пару уравнений Максвелла (см. уравнения (64.2)) .

Отметим, что связь между полями В и Е, с одной стороны, и зарядами и токами, с другой стороны, определяется именно второй парой уравнений Максвелла (см. уравнения (55 13)). Первая же пара уравнений Максвелла выражает свойства полей В и Е и их связь друг с другом (см. уравнени!! (55.12)).

§ 69. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля }

В § 67 мы установили, чтс действие для электромагнитного поля определяется выражением

(69.1)

(см. формулу (67.5)).

Сопоставление формул |69.1) и (40.2) показывает, что в качестве плотности функции Лагранжа для поля нужно взять выражение

(69.2)

В качестве обобщенных координат qa для поля следует принять компоненты потенциала Дц, а в качестве обобщенных скоростей — производные этих компонент по координатам /-Л Чтобы упростить запись формул, введем обозначение

(69.3)

Приравняв вариацию действия нулю и проделав такие же выкладки, какие в § 40 привели нас к уравнениям движения (40.12), тандем к соотношениям

dL" _ у д dL* ЗА,. " c^v Ла,.„,dL" _ у д dL* ЗА,. " c^v Ла,.„,(ц —0,1,2, 3).(69.4)(ц —0,1,2, 3).(69.4)

dL" _ у д dL* ЗА,. " c^v Ла,.„,

dL" _ у д dL* ЗА,. " c^v Ла,.„,

(ц —0,1,2, 3).(69.4)

(ц —0,1,2, 3).(69.4)

Уравнения (69.4) суть уравнения поля. Чтобы определить значения входящих в них производных, напишем вариацию функции L“. По общим правилам вычисления вариации

С другой стороны, вариация функции (69.2) равна

6Г = - б У == у 16л Ди ^ 4лдх^

Ц, VЦ, V

(см. формулу (68.3)). Сравнение полученного выражения с формулой

позволяет заключить, что

df _ dL*- _ L ААу ’ da,^ -ex

Заменив во втором выражении F!VV уа —F";il и затем поменяв местами индексы ц н v, найдем, чго

F-v.(6С.7)

y&v^Тл

Подстановка значений (69.6) в формулу (69.4) приводит к следующим «уравнениям движения» для

электромагнитного поля:

^- = о (р = 0, 1,2, 3)(69.8)

dx

(мы опустили множитель 1/4л). Полученное уравнение есть уравнение Максвелла (64.2), написанное для случая /> = 0. Такого результата и следовало ожидать, поскольку мы исходили из действия для одного лишь поля без зарядов.

Теперь установим вид тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Подставив в формулу (40.16) вместо qQU величины аР(1 (см. (40.3) и (69.3)), получим для компонент этого тензора следующее выражение:

Т» ” L рр dapV b*L ■ Р

Заменим в соответствии с (69.7) <5£*/dapv через — (l/4n)Fvp. Кроме того, подставим вместо apu ее значение (69.3), а вместо L*— выражение (69.2). В результате получим

^—^Т.^^+^Т,^'' «ад

-Р Р. V

(во второй сумме нельзя обозначить немые индексы буквами р, v, как это сделано в формуле (69.2), поскольку в формуле (69.9) р и v были уже выбраны в качестве свободных индексов#

Тензор (69.9) иесимметгичеи. Для его симметризации прибавим к нему тензор

=(6дл0)

4 л <™j dx;'

как мы сейчас покажек, можно представитькак мы сейчас покажек, можно представитькоторый, в виде

как мы сейчас покажек, можно представить

как мы сейчас покажек, можно представить

(см. формулу (40.18)). Действительно, применим к выражению (69.10) преобразизагие нс'=(«и)'— и'о:

11 4Я zJ ах0

0

Вторая сумма в силу (69.8) равна нулю (Дц можно вынести за знак суммы). Следовательно, мы привели тензор (69.10) к виду

Поскольку выражение в скобках антисимметрично по индексам v и р, прибавление к тензору (69.9) выражения (69.10) допустимо (см. формулу (40.18) и связанный с нею текст).

Сложив выражения (69.9) и (69.10), получим тензор

т ч У ^£. ₽'р д- -- У ^Sl /7vp

N 4л ^ дхц4л " дх^

РР

+1&гйд ]L ^^^ ~

Р. V

- —L у (±Ь. _ "t) f-+—dj У

4л 1 X дж1* дхр }16л" ®v

рР. v

Выражение в круглых скобках есть Р№ (см. (61.5)). Следовательно, формула для смешанных компонент тензора энергии-импульса приобретает вид

V = - т 2 V + 1ST « 2 V" (69-1 о рр. v

Чтобы перейти к коктравариантным компонентам, поднимем во всех членах формулы (69.11) индекс ц вверх. При этом 6ц превратится в g^ (см. (XII. 66) и (XII. 67)). Таким образом,

Т" = ~ Т 22 F»^"- (69 12)

РР. V

Поднятие какого-либо индекса у одного из сомножителей при одновременном спускании этого же индекса у второго сомножителя не изменяет произведения. Поэтому с равным основанием можно написать, что

^^ = - ^Г Z ^^^ + it ^ X F^- (69-13) РР. Y

Сопоставление выражений (62.12) и (62.13) позволяет заключить, что тензор Т^ действительно симметричен.

Вычислим след тензора Т*'. Согласно формуле (69.11)

У г* — V /L у* р ^рЧ _1_ у /_L др V’ р

и и \ p/ г X P. v /

Во втором члене все множители, кроме 6ц, можно вынести за знак суммы по ц. Сумма же £ 6ц равна четырем. Таким образом,

Е

т^L У г- /'ГР । .* 1 У р р^ — 4л Zj '1 ■ 16л L 1 р^ •

ци, Рр. V

Последнее выражение разно нулю. Следовательно,мы установили, что след тензора Т^' равен нулю:

(69.14)(69.14)£^-о.

(69.14)

(69.14)

в

Найдем выражения компонент тензора 7’pv через компоненты векторов Е; и В. Для этого подставим

в (69.13) значения компонент Е^. Эти значения мы возьмем из (61.9), причем будем учитывать, что опускание временного индекса не изменяет компоненты тензора, а опускание пространственного индекса изменяет знак компоненты на обратный. Примем также во внимание, что сумма 2 Г^Е'1'1 есть инвариант, который мы вычислили в § 63. Он равен

£ F^F^ ^(Б2-0^.15)

(см. формулу (63.3)).

Начнем с вычисления Г00. Согласно (69.13), 161.9) и (69.15)

уоо = J V* ^0 _|_ 1^ ^2 _

4лv 16л 6у

Р

= -(— -J) +2 (В:: - В2) =(Е2 + В2) = аа

^^<ю=.- ]. СМ- (ХП. С7)). Мы ас-лучиля уже известный результат: компонента Тю разга плотности энергии w (см. формулу (40.27)).

Теперь найдем компоненту Г01. Поскольку g" = 0, 701=-^Z^ =

= - ™ [0 - Ех + (- Ех). 0 + (- Е,) Вг -г (- Е2Н~ Ву)]=

- ™ (Ейв2 - Егв„) = {1L (ЕВ] }, = A-Sx, 69 16)

где Sx — х-я компонента вектора Пойнтинга в вакууме Н == В). Аналогичные выкладки дают, что Т№ ™ S.Jс, Т’й — Ег/с (ср. с формулой (40.32)).

Наконец, вычислим, например, Т12. Согласно (XII. 67) gVI — 0. Поэтому

= - ^ \ЕХЕН + 0 • (- Вг} + (- В./^ - 0 + ВУВХ\ =

~"4^" (ЕхЕ^ + ВхВу) = ct*y»

где ахд — компонента максвелловского тензора натяжений (см. формулу (59.12)). Легко проверить, что

все остальные компоненты вида Т‘к совпадают с соответствующими компонеттами тензора (59.1'2):

Tlli = «и = ~ {|(£2 + Я2) &ik - № - В^Ц (69.17)

(при проверке надо учесть, что g“ =—1 ——&н; см. (XII. 67)).

Рассмотрим вопрос о приведении тензора Т*'1 к диагональному виду. В ев^лидозом просто -истве такое преобразование сим actричисто тензора зозможно всегда. В ясевдоеаклидовом же лроспщте'гт.т., как мы сейчас увидим, дело обстоит иначе. Согласно (69.16) компоненты вида Т01 —• Ти' будут равны кулю при условии, что

[Ebi -=0.(69.18)

Согласно (69.17) компоненты вида Tife (i. -^ к) будут равны нулю при условии, что

EtEk = Q и В{Вк = С V^^Y (69.19)

Таким образом, для того чтобы привести тензор Т^ к диагональному виду, нужно перейти к системе отсчета, в которой векторы В и Е коллинеарны либо один из них равен нулю (тогда будет выполнено условие (69.18)). В § 62 мы выяснили, что такая система существует всегда, за исключением случая, когда В и Е взаимно перпендикулярны и одинаковы по модулю. В указанной системе отсчета одну из координатных осей нужно направить вдоль поля. Тогда окажется выполненным условие (69.19). В итоге тензор примет диагональный вид. Найдем компоненты Ти, предположив, что ось х выбрана в направлении полей и, следовательно,

ЕК = Е, Еу = Ez = 0, Вх = ± В, By — Вг = 0.

Тогда согласно (69.17)

ТН = J- |1(£2 + fl2) _ £2 _ уз| =

Компонента Vй, как мы знаем, тоже равна w. Итак, будучи приведен к диагональному виду, тензор энер-

гии-импульса электромагнитного поля выглядит следующим образом:

(ш000\

(69.20)(69.20)0 — иООI

(69.20)

(69.20)

О0wОI

О00и»/

Если векторы В и Е взаимно перпендикулярны и одинаковы по модулю, тензор 7'ilv не может быть приведен к диагональному виду (взаимная перпендикулярность не дает возможности преобразовать В и Е так, чтобы они стали коллинеарными, а равенство модулей— так, чтобы одно из полей обратилось в нуль).

Отметим, что в смешанных компонентах тензор (69.20) имеет вид

(

w С 00 \

о -(69.21)

0 00 — w '

Из (69.21) сразу следует, что след тензора Т^ равен нулю. Этот результат мы получили ранее в общем случае (см. (69.14)).

§ 70. Заряженная частица в электромагнитном поле

Действие для заряженной частицы в электромагнитном поле определяется, как мы знаем, выражением

з

(70.1)(70.1)me ds — у У* А^ dxuu-o

(70.1)

(70.1)

(см. формулу (66.1)).

Ковариантные компоненты 4-потенциала можно представить в виде

»и = (<₽. — А)

(см. (60.15)). Компоненты 4-радиуса-вектора равны хи= (с^ г).

Следовательно,

з

У A^dx^^ificdt — Adr = (c(p — Kv^dt.

ц-0

Подставим это значение суммы в формулу (70.1). Кроме того, заменим ds в соответствии с (34.4) через с Vi " ^[^dt. В результате получим

2

S = j ( — тс2 л/1 — v2,c2 4- -2- Av — eq, j dL i

Отсюда заключаем, что функция Лагранжа для заряженной частицы в поле имеет вид

L = — tnc2 ^V^Td^c2 + ^ Av — eq). (70.2)

Первый член представляет собой функцию Лагранжа для свободной частицы (см. (39.4)). Остальные два члена описывают взаимодействие частицы с полем.

Зная функцию Лагранжа, можно вычислить энергию и импульс частицы. Согласно формулам (4.19) и (5.1) обобщенный импульс определяется поражением

а энергия — выражением

Г = ^ v - L.(70.3)

Следовательно, продифференцировег функцию (70.2) по v, получим обобщенный им тулье частицы:

р _- L А р + £ д. (70.4)

Здесь р — обычный импульс частицы (см. формулу (38.5}). Из полученной «яме формулы следуе'г, что обобщенный импульс отличается от обычного слагаемым (е/с)А. В отсутствие пол? обобщенный импульс совпадает с обычным.

Теперь определим энергию частицы. В соответствии с (70.3) и (70.2)

— ( — me2 V1 — у^с2 + -- Av — вф)--= — у тс. „—-- + еф . уt/ VI — v /с

Первый член полученного выражения представляет собой энергию свободней частицы (см. формулу (38.11)), второй член — дополнительную энергию, которой обладает частица, находясь в поле.

Заменив в выражении для энергии скорость v через обобщенный импульс Р, найдем, функцию Гамильтона частицы. Чтобы исключить v из формул (70.5) и (70.4), представим эти уравнения в виде

1Г — еф _ тсс V* — «'/с2

С V1 — «Me2

Если возвести эти уравнения в квадрат и вычесть из верхнего нижнее, то справа получится т?сг. Следовательно, заменив W на получим

(^~-)2 _ (р _ L д'J2 = ^^^(70.6)

откуда

= с(р-у А)2 + е<р. (70.7)

Это и есть функция Гамильтона для частицы в поле.

В § 32 было установлено, что компоненты обобщенного импульса равны производным действия по соответствующим обобщенным координатам (см. формулу (32.6)). В нашем случае роль обобщенных координат играют декартовы координаты х,. Следовательно,

Pt -= или ? — VS.

Далее, согласно (32.10) производная действия по времени дает функцию Гамильтона, взятую с обратным знаком:

Заменив в формуле (70.6) 38 на —dS/dt, а Р на VS, придем к уравнению Гамильтона — Якоби для частицы в электромагнитном поле:

~V ^S. + ^ __ ^ 5е__ ду _ ^ (} (7() 8)

В ньютоновском приближении, т. е. при у С с, функция (70.2) переходит в

L = -77- + -- «.V — 1?ф(/0.9)

(мы разложили (702) ио степеням о2 (с2 и отбросила константу —тс2).

Продиффецднцк^ви’! Ф;0£) по v., найдем обоб- щеикми wry^ivyc

й — •№! -^ —,"р4~ — А ,(7/\J 0V.

где р — обычный импульс..

Для энерго в этом по <б тяжи-ши пэлучаемя значение

W — Р V - L =

XС )L <х 2.■

(70.11)

Из (70.10)

(Р - - А) .

Подставив это значение v в (70.11), придем к выражению для функции Гамильтона:

^ = j^(p~T а)2 + сф- <70-12)

Уравнение Гамильтона — Якоби в ньютоновском приближении имеет вид

^-+2Ф(^-7А)! + ^ = 0-<7013)

Глава ХШ

ЭЛ Е КТР ОМА Г И И Т Я Ы Е в о г 5; ы

§ 71. Волновое уравнение

В § 57 было показано, что при наложении на потенциалы А и <р условия Лоренца

¥А-Ь^^^0(71.1)

(см. формулу (56.8)) они удовлетворяют уравнению Даламбера ’):

□ A = -^j,(71.2)

□ <р =□ <р =4лре4лре(71.3)(71.3)

□ <р =

□ <р =

4лре

4лре

(71.3)

(71.3)

(см. уравнения (57.6) и (57.7)). Здесь □—оператор Даламбера, равный

ri а ер д2 д2 . д2 . д2 ер д2 ,_. ..

+(7L4)

(см. (57.4)).

В отсутствие зарядов и токов (т. е. при р = 0 и j = 0) уравнения для потенциалов приобретают вид:

□ А = 0, □ Ф = 0

(71.5)

(71.6)

или, с учетом (71.4),

АА

ер д2А _

с2 dt1 —и*

(71.7)

Аф

ер З^ф п с1 dt1 = и'

(7L8)

*) Напомним, что уравнения (57.6) и (57.7) были получены в предположении, что среда, в которой рассматривается поле, однородна и изотропна и, кроме того, е и р не зависят от Е и Н.

Аналогичные уравнения получаются также для векторов Е и В:

(71-9)

АВ--^--^^0(71.10)

(см. § 74).

Уравнения (71.7) — (71.10) имеют ненулевые решения. Следовательно, электромагнитные, поля могут существовать и в отсутствие зарядов. Электромагнитные поля, существующие в отсутствие зарядов, называются электромагнтныла1. волнами.

Уравнение вида

' v dt*'’

где и — константа, называется волновым. Из курса общей физики известно, что о представляет собой фазовую скорость волны. Стусвательно, скорость электромагнитных вфли равна

(71.13)

есть показатель преломлена:! среды, в котл.юй распространяется волна.

‘Волновое уравнение лелш ггзлучтгть. б челырщ.мощном виде. Сделаем это дал ноля в вакууме. Согласно (64.2) уравнения Максзе/ла в отсутствие зёрядов и токов имеют вид

Подстановка вместо F^ tt значений (61.6) дает

илиилиZVZVd24vдх^ дх4d24vдх^ дх4Г^Д-о.—1 dxvdx vГ^Д-о.—1 dxvdx v(71.15)(71.15)

или

или

ZV

ZV

d24vдх^ дх4

d24vдх^ дх4

Г^Д-о.

—1 dxvdx v

Г^Д-о.

—1 dxvdx v

(71.15)

(71.15)

ZZd^vдхи dxvd^vдхи dxvПервую сумму можно записать следующим образом:

Z

Z

d^vдхи dxv

d^vдхи dxv

5 у* d/4vaAIL axv

1 V

Если 4-потенциал удовле"воряет условию Лоренца (60.18), то У (dA*ldxv) = 0 и в уравнении (71.15) первый член будет отсутствовать. Таким образом, мы приходим к уравнениям

(м—0,1, 2,3).(71.16)

дх^ дх

дать виддать видПоднятие индекса при дх\ равнозначно умножению каждого из слагаемых в (71.16) на gvv (см. (XII. 30)). Поэтому уравнениям (71.16) можно при

дать вид

дать вид

wQ

дх^дх'

Наконец, приняв во внимание, что недиагональные компоненты тензора g^— нули, можно написать

(и = 0, 1,2, 3).(71.17)

«—'дх дху

ч, р

Уравнения (71.16) и (71.17) представляют собой волновое уравнение в четырехмерной форме. Подстановка в них значений gvs и Xх приводит, как легко убедиться, к уравнениям (71.7) и (71.8).

Плоская электромагнитная волна в однородной и изотропной среде

Решение волнового уравнения значительно облегчается, если поле зависит только от одной координаты, скажем, х. Волна в этом случае называется плоской. Вместе с тем, на примере плоской волны можно выяснить все характерные особенности электромагнитных волн. По этим причинам мы ограничимся в этой главе рассмотрением только плоских волн.

Будем подразумевать лод ) любую из компонент векторного потенциала A ;i бо скалярный потенциал ср

(с равным основанием вожно подразумевать под f любую ктпочевт-х век-тра. Е илл вектор В)- В случае ПЛОСКОЙ ВЧГЛЫ Функ У! Ч / ЗЯЛКИТ Т^ЛЬК 1 .ОТ г-й t и, следоаатальчо, явяя^щс. ^ччиенаем ураакеихя.

7^-1)

Предста&ям этот оператор ьмдо

где л—Vs^ (см. (71.13',) Введем новые першая чмегде л—Vs^ (см. (71.13',) Введем новые першая чме

где л—Vs^ (см. (71.13',) Введем новые першая чме

где л—Vs^ (см. (71.13',) Введем новые першая чме

6 = /х ., =,(72.4)

=с/п ’1 С/П\/

т. е. заменим х и t по формулам

Согласно (72.5)д д дхд dt<5£дх d§dt <)|Согласно (72.5)д д дхд dt<5£дх d§dt <)|х = 21=1t== 2L+1.(72.5)

Согласно (72.5)д д дхд dt

<5£дх d§dt <)|

Согласно (72.5)д д дхд dt

<5£дх d§dt <)|

- д । 1 д

2п дх 2 dt ”

_ с / д п д X2n \ дх с dt ) "

Следовательно, при переходе к переменным £ и т] первый множитель в (72.3) нужно заменить на -(2«/с)д/^.

Аналогично

dt] дх dt] ' dt dt] *2п дх ' 2 dt

с / д , п д2п \ дх с dt )

так что второй множитель в '(72.3) нужно заменить на (2n/c^d/ch\. В итоге получим, что

„4я2 d J4,?5 я

с2 ит,с2 де. о^

Подставим найденное нами значение D в уравнение (72.2), опустив му.сжстггь -nti2;^. 9. пезудьттле получим диффереи’д^тьиэъу^цтге’.г

Очевидным решением этого уравнения является функция, зависящая только от одной переменной £ или ц, т. е. функция /нВ) либо f2(T]). Сложив функции fi и 12, получим общее решение уравнения (72.6):

Ж ^-Ш + М.(72.7)

Мы не стали умножать /] на С(, а /2 на С2, поскольку fi и f2 суть произвольные оункции соответствующих переменных.

Подставив в "(72.7) выражения (72.4) для | и тр придем к решению уравнения (72.1):

Щ.О’М.р-фф+Лр+фД (72.8)

Первый член в этом выражении представляет собой волну, бегущую со скоростью с/п в направлении оси х. Действительно, значения fi одинаковы для всех значений t и х, связанных соотношением

£= const ИЛИ X— — t —const,

cjnпn

откуда и следует, что любое заданное значение функции /] перемещается вдоль оси х со скоростью с/п.

Аналогично второй член в выражении (72.8) представляет собой волну, бегущую со скоростью с/п в направлении, противоположном оси х.

Форма волны (72.8), т. е. вид функций f\ и f2, является совершенно произвольной.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси х. Выберем потенциалы так, чтобы

<р = О, VA == 0.(72.9)

[0 И. В. Савельев, т. 1

УхйУхйтл. ят. лл«"",кл-л ;лпти;’л тл-ух

Ухй

Ухй

Такая калибровка кяхчхл- seen удг^аетЕОраат условию Лоренца (71.1} и, се ед а-ательиц, не сказывается на зизчазлзл вектороя S л г (гм § У>ч. Пу?; «алже- нш; пл шугскциа.с <р ус зош«п (72,7)

лгу (хулу'-.

так что

Q п ■ Д^ 2)

В пастжкдч, -хХухмУ WpeSc. йа^уе^Е^/рлЛ/спОб-

разом, B’VGpoe кз усиодий (72.9} иркпдмает в рэс-лмат- pt< ^ ие впд

«С с

Подстановка гхязяхяу;хяхгпыжики у уравнение

‘(72.1), капдсдкчое дл'л . , лл.ет, кто

(■• 2 А с

Согласно последнему ургзаению

С72Л2)С72Л2)о^ .

С72Л2)

С72Л2)

--;— - -■■ COilSt.til

Производная dAxJdl определяет кемпоиенту поля Ех (см. (72.10)). Поэтому соог'соиеекие (72.12) означает, что £?* —const. Таким образом, мы пришли к заключению, что отл?зчная ст нуля компонента Ех может быть обусловлена только постоянным и однородным электрическим поле?.?. Тлхоо пол? не имеет отно;яения к электромагнитной золке. Значит, можно считать, что Ах, ‘& следовательно, и Ех равно нулю.

Из (72.11) вытекает, что

5А _ _ дА"di "5Г ’5А _ _ дА"di "5Г ’2SX EL 2^1 ox XX, dr.2SX EL 2^1 ox XX, dr.Т-1- (72.13)Т-1- (72.13)

5А _ _ дА"di "5Г ’

5А _ _ дА"di "5Г ’

2SX EL 2^1 ox XX, dr.

2SX EL 2^1 ox XX, dr.

Т-1- (72.13)

Т-1- (72.13)

< 71 1?.К)С-7'7 :'^'-7 К Ge .:.77 <7 7v'; Гч77'> ^j

С^ОГлсЯлСИО Цяр'оС’то кЗ ^G*'-4 C-G j ".i --ii

Поскольку А зависит -хо>ько ст одной координаты х, в выражении B~{vAl нужно сохранить только компоненту у, казн);) о,-(б/'^Л Спе.-зовзтель- но, можно каинсать, что

■, Г " а !^^L^TG1 Ai■, Г " а !^^L^TG1 AidA ”|дх jdA ”|дх j

■, Г " а !

^^L^TG1 Ai

■, Г " а !

^^L^TG1 Ai

dA ”|

дх j

dA ”|

дх j

или, согласно второй из формул (72.13),

Наконец, приняв во пиишаине (72.14), получаем

В = п[ех, Е] = 7^Г[г„ Е],(72.15)

откуда вытекает, что нс, г" 1Ч’^з/реч как

к вектору Е, так икон* i *е 6 i юказалн, что у рассматриваемой нами ['д-лу, £.™f\ и, сх-рдова- тельно, вектор Е рр^пеиди^у/.-'^лен к оси ,х лзт'в образе", v?x wcTOkcm к атт..кКк‘Ч';ччЪ,’ч,э д ’’тдетоб волке хахаори Е я В пеопензукадгриы к изт'рр.е расарострэнедия волйы Сл»^ зкз.т&тстт. ^«р.т.ге^ччг- нитвые волны лвляютез поп.\'а'-ххх;./Л.

В формула (7245) с i о । < збоЕ с»р‘ в;:- правления, в изтоезм г7 ззоляз. Обо-

зиачип этот ерт символе *, ' ч зом”дз.

КОТОрЗЯ ЗЙВ^Ст.гТ .ОТ ЕЯЛе/.^ ?Я/7Ц^\]ХИ"

натны.ч осей.

Заменив В через уИ, налу'Чх'.з?

чЛГй].(72.17)

Из (72.17) В1з;су.&зз , что чн/к^ « я Е^рдзимро и£аг пендикуля^ны., причем чх х'одуэ" еззчанч соотношением

—-Де. (72.18)

Кроме того, 133 ('12.171 дсгтс оззт'чзтетъ., "тс. соктопрх Е, ffl И iCq обрЯЗГЗЗЗ1 ’33 3 Тл’/ЗЗ. 3 3.‘.ЗВ VcT Н’ЗччедСч1,.зтель- кость.

10*

Электромагнитная волна несет с собой энергию, поток которой определяется вектором Пойнтинга

8 = ^[ЕН].

4л 1 J

Выразим Н через Е согласно (72.17) и применим формулу «бац минус цаб» (см. (VI. 5)). Тогда

Поскольку векторы Е и к0 взаимно перпендикулярны, Ек0 = 0, так что

S = — А^к0 :=е£2к0.

4л V р4л V ер

Воспользовавшись соотношением (72.18), можно написать

S =е£2ко =-,-=г- рН% =

4луер4л

с ^А-^,.

Vep8 л

Наконец, приняв во внимание, что (е£2 + р№)/8л есть плотность энергии волны w, получим

S = —nuke = uzako-(72.19)

Vep

В вакууме

S == с*.(72.20)

Таким образом, плотность потока энергии, переносимой волной, равна плотности энергии, умноженной на скорость распространения волны. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением распространения волны.

Поток импульса определяется максвелловским тензором натяжений, компоненты которого вычисляются по формуле

Си = -^ { Е{ок + НА - f (ED + НВ) bife }

(см. (59.12)). Направим ось х вдоль к0, ось у вдоль Е и ось z вдоль Н (при этом векторы Е, И и ко будут образовывать правовинтсвую последовательность). Тогда Еу = -‘,-Е, Ех — Е, == б, D# ~ ^D, D* = D^ ~ О, н2 = ±H, Hx = Пи = О, В, = ±3, Зх == Вй = 9. Видно, что при таком выборе осей асе нсдиагонсльные компоненты тензора cik будут кулями. Нссхэльку E-Dx и НхВа равны нулю, ло^учлеу что

ED А НВ

Так как EyD# = ED, а ПУЕУ = 0, то

сяу ^7 { ED " Т V70 + f^) } = О

(согласно (72.18) ED = НВ). Аналогично

".г =™ { НВ - ,г ^ED + НВ)} = 0.

Таким образом, при сделанном нами выборе координатных осей отлична от нуля лишь одна компонента максвелловского тензора натяжений — компонента ахх—.причем она равна плотности энергии волны w, взятой с обратным знаком. Напомним, что в соответствии с тем, как это принято в подавляющем большинстве руководств по электродинамике, мы определили тензор щ* так, чтобы он характеризовал поток импульса, не вытекающий из данного объема, а втекающий в этот объем (см. § 59). Это равнозначно изменению направления нормали к площадке на противоположное. Таким образом, поток импульса, переносимого в направлении оси х через перпендикулярную к этой оси площадку df, определяется положительной величиной: одД—df) = wdj.

§ 73. Монохроматическая плоская волна

Волна, у которой поле в каждой точке изменяется со временем по гармоническому закону (т. е. по закону косинуса), называется монохроматической.

Для монохроматической волны решение уравнения (71.11) имеет вид

f — a cos (со/ + ifi),

(73.1)

294 ГЛ- XHl. ^OTK^W^Uiirn’^r. „ПОЛНЫ.

где а — иемчи.ча, не. 'циц-лачсая. от f ..d^—фучедия от г. В этпи. спутат-гРсО! — —-о2!. Пл-етачп-ка угго зычыи з (7! J И, сркч^-л: у т чгууто

Решением этого уравнен?я будет функция

f — a cos (± hx + ф2),(73.6)

где а — величина, не зависящая от х, фа— функция от L

Выражения (73.1) и (73.6) можно согласовать, положив

f — a cos Ш dr kx + а),(73.7)

где а и а—величины, не зависящие ни от т, пи от х. Разные знауя перед кк отвечают разным направлениям распространения волны. Мы будем рассматривать волны, бегущие в направлении возрастания х, в С8%зи с чем будем писать перед kx знак минус.

При произвольном вь боре координатных осей формула (73.7) П^гдгодвт в

f — в. cos ;tit — kr + aY(73.8)

По такому закону измеичется л’оба” ьелкчина, характеризующая монохроматическую плоскзчо волну, в

частности, и векторный ложд козя А. Таким образом, имеем

одесь z^o ям : - л нт */дя, to че-к-кт., ц— ^х> слежки ’нмг»- тор, с£ начальная (раза сом..

Выражение (<о/—kr+«), которое и азыг-зк-т фюоА волны, есть инвариант. Действительно, тот фи кт, что поле в данной точке пространства в данный момент времени приняло, например, нулевое значение (cos(<o/— кг + «) = 0), не может зависеть от выбора системы отсчета. Отсюда следует, что для двух произвольно выбранных систем отсчета должно выполняться условие

tot — kr + а = tVf — k'r' + а'.

Если положить t = 0 и г=-0, то, как вытекает из преобразований Лоренца, будут равны нулю также t' и гй Следовательно, долито быть а-~с/— inv, из чего заключаем, что и величина

Ф = «; —- кг, (73. tC) которую также называют фс?ой, является лнварн- антом.

В случае, элевдромагнитной еолны, ряси^ост^ыгоа-- щейся в вакууме, фаза. (73.(СЛ может быть n^ejteraa- леиа в виде

Ф -® (cii — hr - = -- xfi kr. ЕГЗ.V.)

Поскольку Ф есть инвариакт, аз (73ЛЦ ол'ед;^-^ что to/e и к образуют четырех»п;рвый волновой вектор

A'l = (Jr,k). (73.12)

Это обстоятельство поз юлкет найти закон преобразования частоты волны о при переходе, от одной инерциальной системы, отсчета к другой. Согласно первой из формул (36.1)

откуда после подстановки значений А13 = ®Jc, ft1—-. = кх = (to/c)cos v (О — угол между направлением

распространения волны и осью х), р = и/с (у— скорость системы К' относительно системы К) находим, ч^о

, и [1 — (и/с) cos О]

-V 1 — 02/с2

Из этой формулы при 6=0 получается формула для продольного эффекта Доплера

,<о(1— о/с)

<0 = —, -=- = <0 А / .

V1 - о2/с2 V 1 + о/с

При 0 = л/2 приходим к формуле для поперечного эффекта Доплера

V1 — V2!c2

Отметим, что, поскольку модуль волнового вектора есть т/с, квадрат 4-вектора А^ равен нулю:

з

Е ax=U°)2-&2 = o. и-0.

Обратимся снова к выражению (73.9). Его можно представить в виде

А = Re (Адexp [/ (W - kr)}} = Re {А},(73.13)

где Ад — постоянный комплексный вектор

Ао = Ао ехр (га)’(73.14)

а А — комплексный вектср, стоящий в фигурных скобках (ср. с (16.9) и (16.10)).

Изменение знака при показателе степени выражения вида ехр(хф) не изменяет вещественной части этого выражения. Поэтому формулу (73.13) можно написать следующим образом:

А = Re {Аоехр[г (kr — Q<)j} = Re (A).(73.15)

В этом случае под фазой волны нужно понимать выражение, отличающееся от (73.10) знаком. Кроме того, следовало бы изменить знак в аргументе экспоненты (73.14). Однако ввиду произвольности а этого можно не делать.

Выражение (73.15) оказывается в некоторых отношениях удобнее выражения (73.13) и, кроме того,

§ 73. МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ПЛОСКАЯ ВОЛНА 297 имеет больше сходства с волновой функцией, описывающей движение свободной частицы в квантовой Механике.

Легко убедиться в том, что производя над определяемой формулой (73.15) величиной А линейные операции, например дифференцирование, можно осуществлять эти операции над комплексным вектором А и затем брать вещественную часть получившейся величины. Так, например,

-^ = Re{^r} = Re{-ztoA}. (73.16)

Вычислим ротор вектора А. Взятие ротора есть линейная операция. Поэтому

[VA] = Re { [vA]} = Re { [V. Aa exp (z (kr — ®/))[} =

= Re (V exp (z (kr — m/)), Ao}. (73.17)

Поскольку kr = X hjXb

exp (z (kr — <oi)) = ik> exp (i (kr — ®/)).

Следовательно,

V exp (z (kr — u>/)) = i exp (z (kr — ®/)) X e/^/ =

= zk exp (z (kr — ю/)).

Подставив это значение градиента в (73.17), получим

[VA] = Re {[zk exp (z (kr — a/)), Ao] } =

= Re([z'k, Aoexp(z(kr — ®/))j} = Re {z" [kA]}. (73.18)

Теперь мы можем написать выражения для полей Е и В:

E = -l-^-=Re{z —(73.19)

с atI с'

в == [VA] = Re {z [kA]}(73.20)

(если бы мы исходили из выражения (73.13), в последних двух формулах появился бы знак минус). Из сравнения этих двух выражений заключаем, что векторы В и Е колеблются в одинаковой фазе.

Приняв яг снимание.., что к- -(о-чулЯ) к;„ формулу (73.20) можт предел а «л ть ч зидс

B-ReJifV^v^' ^-кЦ^^А]^.

Второй множитель в векторном произведении есть Е (см. (73.19)). Таким образом, для вектора В, вещественная честь которого дзет В, получается соотношение

B = V^l^E].(73.21)

Введя обозначение I (с/с) Ао — Ёо, выражение (73.19) можно представить в виде

Е^е{Ёоеж>!/(кг — w/))V(73.22)

Если ось х направить вдоль вектора к, то вектор Е, а значит, и Ео будут лежать в плоскости yz. Поэтому Ео можно куед.гтазят.ь чм. дячейжуо комбинацию ос- ТОЗ И Cg^

Т№1 л я^-жжи^е чжж

Почажсж, что прк ждумжуж кьсжуе ж последнее ежкикий можно нжожроеосже мгжжж'трл» <жб- разом:

где Едй и Е.1О-- всиу?жч.ежтжг а£л«уяяз4.. Для отого на-

Представим веществе: лг.г. w-.> в "е квадрата.

некоторой зскторпой вгл^’г;то1. Этой оеличит^тп можгт быть ие точ!жа веществЩг-.уй чаж'оч, или

комплексный вектор а. + Е цр$ , ., чт-э а п Ъ

взаимно псрпе.чдикуляруы. С.с.йотй^тсжж.о , слуусс, КСГ^с и tf/Ly —\з$

(а - I- i¥f -4h2 = .

уежестжжясм число.

А " ЛJМ (ЗЛдЛv ДоаСЛИс

я^О1^*^3

иТТк Уду

Е, == (а Фу ыр{Ък

Е„ == 7Д соя (tot -™ кх -ф оф Еь= Е..д ш; фФ -- k г 4; сД.

(73.24)

Из этих формул следует, чо

(73.25)

Все рассуждения и формулы, начиная с (73.22), справедливы и для вектора В

Полученный нами результат означает, что вектор Е вращается в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, описывая своим концом эллипс (аналогично ведет себя и вектор В). Направление вращения зависит от того, какие (одинаковые или разные) знаки имеют Е#6 и £z0 в формулах (78.24). Такая волна называется эллиптически-поля- ригованной. При £Уо =—гФ До эллипс (73.25) превращается в окружность. В этом случае волна поляризована по кругу. Наконец, может случиться, что одна из величии Еу3 и Ег0 разиа нулю. Тогда вектор Е (а также и В) направлен псе время вдоль одной н той же прямой. Волна в тгом случае называется линейно-поляризованной илк плоско-поляризованной.

Итак, монохроматическая волна обязательно поля^ ризована (эллиптически, по кругу или линейно). Это означает, что колебания в волне упорядочены тем или иным способом.

§ 74. Плеская монохроматическая волна

в проводящей среде

Уравнения (71.7) и '(71.8) были получены в предположении, что в среде отсутствуют избыточные свободные заряды (р = 0) и токи проводимости (j = 0). В предыдущем параграфе мы установили, что в случае плоской монохроматической волны решением уравнения (71.7) является функция (73.9) с постоянной амплитудой. Независимость амплитуды от координат означает, что распространение плоской волны в диэлектрике не сопровождается изменением се интенсивности.

Теперь допустим, что среда обладает электропроводностью а, так что в ней могут возникать токи проводимости j, равные оЕ. Избыточные свободные заряды будем по-прежнему считать отсутствующими (р = 0). При сделанных нами предположениях уравнения Максвелла (55.10) н (55.11) запишутся следующим образом:

^ = -т4г-vB==0;<741)

[VB] = -^- оЕ ч- ^~, VE — О(74.2)

(мы заменили ] через аЕ).

Возьмем ротор от первого из уравнений (74.1):

[V[VE]]==-^[VBJ.(74.3)

Согласно (XI.45) [V{VEJ] =V(VE) —ДЕ. Но VE — 0, так что остается только второй член, равный —АЕ. Заменим им левую часть уравнения (74.3). Кроме того, подставим в правую часть этого уравнения значение [VBJ из (74.2). В результате получим

.р 4лца дЕ , ец д2Е

с2 dt * с2 dt2

Напишем это уравнение следующим образом:

® „о.(74.4)

Уравнение (74.4) называется обобщенным волновым уравнением. Оно отличается от уравнения (71.9) дополнительным слагаемым, содержащим первую

производную искомой функции по времени. При о=0 это слагаемое исчезает и уравнение (74.4) переходит в (71.9).

Считая волну монохроматической, будем искать решение уравнения в виде

Е = Re {Ё (г) exp (- zW)} = Re {Ё},(74.5)

где Ё(г)—комплексная векторная функция от г, Е — функция, стоящая в фигурных скобках. Дифференцирование функции (74.5) по / дает

4^- = Re {— Z<aE(r)exp( — zW)} = Re { — zoE}, ^Е<74‘6>

-др = Re ( — ю2Е (r)exp(— zW)} = Re {— w2E}.

Подстановка в уравнение (74.4) значений (74.5) и (74.6) приводит после сокращения на общий множитель ехр(—zW) к следующему дифференциальному уравнению для Е(г):

АЁ (г) + ^- Ё (г) + z ^- Ё (г) = 0.(74.7)

Умножим числитель и знаменатель в третьем слагаемом на е<а и заменим еца>2/с2 через А2 (см. (73.3)). В результате, объединив второе и третье слагаемые, получим уравнение

АЁ(г) + А2(1-Ь/^-)Ё(г) = 0.(74.8)

При ст = 0 это уравнение переходит в уравнение вида (73.5).~

Представим коэффициент при Е (г) в уравнении (74.8) в виде квадрата комплексного волнового числа А = Ai -|- ifea"

^ (1 + I ~) = (А, 4- *Л)2 = А2 - А2 + 2zA,Ar

Приравняв вещественные и мнимые части, придем к системе двух уравнений для к\ и А2:

А2 —А2 = А2, 2А,А2 = 4лоА2/еш. (74.9)

, _ t, А г J. + 4' 1 1- V^r^v

ч _ ь ~* + (4яа/е<о)2

Г-2 — Я ук —' .

В случае, если (4ло/ет)2-С 1 (т. е. при малой о и большой со), формулы (74.10) сильно упрощаются: величину ki можно принять равной i, а в выражении для й2 положить V1 + (4ло/гю)2 » 1 + (1/2)(4ло7ео)2, в результате чего для &2 получится значение 2ло6/е<о. Таким образом, при малой проводимости и большой частоте

^ = й 4" /2ла&/ей>.(74.11)

Итак, уравнение (74.7) можно представить в виде

АЁ (г)С,(74.12)

где А — Jki-|-(&2 — комщдкга: и ^етячона, Еепндгтвдн- ная и мнимая части которая определяются '.(тжч- ламз (74.(0).** '

-.’•X/:, л оыбеэхщ о ка-

правлении раснрссггансял.ч волны. Тогда Е(г) будет зависеть только от х и упишете (74.12) упростится следующим образом:

^1 + РЁ(г) = о.

Решением этого уравнения буддт фунгдия

(74 .13)(74 .13)ЁТТ—;/):)

(74 .13)

(74 .13)

3L* , я Jr — х № 3"^ V . I -Г t, _« 44 «^«^ э

где Ео—постоянный уомялрдоьый. Е.ектср.. Знака плюс и минус соответствуют разным направлениям распространения волны. Нас буды' интергсомп. вог.пь'., бегущие в наиравленаи оси х. Поэтому мы вогьмш н экспоненте знак <•-[-» (зависядуш от / множитель мы написали в виде ехр(—/<об)).

Подставив найденное гамм решение (74.13) в (74.5), получим следующее, выражеаде для Е:

Е — Re (Еоexp (j^х) скр (— i^)j ■

Таким образом, веществен ая ч-дсть комплексного толкового числа к определяет фазовую скорость волны, а мнимая часть — затухание волны.

Согласно (74.10) при малом затухании кх « «к — (@/с) V£^. а коэффициент затухания

(74.17)(74.17), 2лай 2 ла / ик, « —— =а / —

(74.17)

(74.17)

ем eye

Получим решение уравнения (74.7) еще одним способом. Представим это уравнение в виде

Л Ё (г) + -<1±^^ Ё (г) = 0.

Если ввести комплексную диэлектрическую проницае

мость

(74.18)(74.18)А , - 4Л<Га = в -4 z

(74.18)

(74.18)

1 ш

можно написать

АЁ(г) + ^^2Ё(г) = 0.

Умножим это уравнение на ехр(—zm/) и примем во внимание, что м2Ё (г) exp (— zgiZ) = — ^Ё/д/2, где

Е —Е(г)ехр(—м»2) (см. (74.6)). В итоге придем к уравнению

АЁ --^-Jf-== О,(74.19)

отличающемуся от уравненья (71.9) лишь тея, что напряженность электрическое о. поля и диэлектрическая пренииаеиость язляилег не вещественными, а комплексными. ПолеЕ предстщйнЕТ. «.жЛг^и'^зхв\я - ную часть решения, удчвнщн и /74.11?) .

Решение уравнения (71 .9) мы нашли в предыдущем параграфе, око имеет вид.

Е = Re {Еоехр (— i {mi — кх 4- а))} = Re (Ё)..

где к = ^гр.т]с (волна предполагается бегущей в направлении оси х). Следовательно, при вещественной в решением уравнения (74.19) является функция

Ё = Еаехр (— i (и/ — кх 4- а)).(74.20)

Замена вещественной е комплексной не изменяет вида решения. Однако вещественное волновое число к должно быть заменено в ней комплексным числом, определяемым по формуле

к = &1 4" ik2 = V&P 6VC, (74.21)

где 6—величина из (74.18). Подстановка в формулу (74.20) вместо к комплексного числа Й = &i + ik2 приводит к выражению, совпадающему с (74.15).

С учетом (74.18) квадрат комплексного числа (74.21) равен

£2 = ерш2/с2 = ^в 4- i ) \х«?]с2 =

С2 1 8to Сл\‘8(0 /

Это значение совпадает с к2, стоящим в формуле (74.8).

Таким образом, в случае проводящей среды и волновое число, и диэлектрическая проницаемость становятся комплексными. Комплексным будет также показатель преломления /i = VEll- Запишем его в виде

fl = п 4- ix = V®!1 := V(Е + х4ло/®) р. (74.22)

Возведем это соотношение в квадрат:

(п -}- /х)2 = п2 — х2 + 2тх = (в + Илст/м) р —

~ ер + Млоер/сйе.

Приравняем вещественные и мнимые части: л2 — х2 = ец, 2г к = = 4лт;ц/ею.

Получившаяся система уравнений тождественна с системой (74.9). Поэтому ее решения можно найти, заменив в формулах (74.10) А2 через ер. В результате

получимполучимх = Vep \(х = Vep \(— 1 + V(* + (4ла/е<о)2 2— 1 + V(* + (4ла/е<о)2 2(74.23)(74.23)

получим

получим

х = Vep \(

х = Vep \(

— 1 + V(* + (4ла/е<о)2 2

— 1 + V(* + (4ла/е<о)2 2

(74.23)

(74.23)

Сопоставление формул (74.10) и (74.23) дает, что

hx = - . -п =—п,=—— х (74.24)

Ven сс

(k мы определили как toVcp/^). Подставив значение (74.24) для к, в формулу (74.16), придем к соотношению

из которого следует, что вещественная часть комплексного показателя преломления п есть обычный показатель преломления среды п. Вторая из формул (74.24) показывает, что мнимая часть п пропорциональна коэффициенту затухания волны (х^^).

До сих пор мы говорили об электрическом поле волны. Магнитное поле можно получить из соотношения (73.21), подставив в него комплексное значение диэлектрической проницаемости и комплексную функцию Ё. Согласно (74.14)

Е = Еоехр( — /г2х)ехр (— z (со/ — кхх + а)).

Следовательно,

В = V^P [ко, Ео ехР (— ^2-0 ехР (— i (^ — кхх + а))].

которая после мл.сг^юг\А(74.23> зля n ч и

50 " ^о ^«V V Г^ГС^Й^ (7-1.26 )

(ср. с (73.21)).

§ 75. Немокохромдтичгские волны *)

Всякую немонохроматическую волну можно представить как суперпозицию монохроматических волн различных частот. Эта операция называется спектральным разложением волны.

Если поле волны описывается строго периодической функцией, оно может быть разложено в ряд Фурье. В этом случае спектральное разложение содержит частоты, образующие дискретный ряд значений: йл,(й2, аз, Частоты о»п (п^О) являются целыми кратными основной частоты шо, т. е. ®п = п<йо. Основная частота определяется периодом Т функции, описывающей поле: too —: 2л/Т.

Рассмотрим плоскую немонохроматическую волну, распространяющуюся в вакууме в положительном на-

(?5 .1)(?5 .1)пра;'.зенги.оси л. Любая величина, характеризующая, тттс'дтд’.ст^ ‘^, Е и т . !д) , опя: ыващся фущщиеч

(?5 .1)

(?5 .1)

(см. (728)). Зафиксировав х, мы получим функцию от t, описывающую колебания поля в данной точке. По предположению эта функция является строго периодической. Пусть период ее равен Т:

Согласно (XIV. 11) ^t^ можно представить в виде

НА = У, Спехр(—Ьш^,НА = У, Спехр(—Ьш^,(75.2)(75.2)

НА = У, Спехр(—Ьш^,

НА = У, Спехр(—Ьш^,

(75.2)

(75.2)

где Сп — константа, вычисляемая по формуле

+ 7/2

С- = -у- ( f «1 exp (intiif/) dt

(см. (XIV. ’ ,

Сод-щсм» формуле (VjV 15- эаалождние. функции f(fi яокю лдедсдавитл тайке,ч виде.

? m; V)? m; V)21 ^ г,ех!? 'Димф'и21 ^ г,ех!? 'Димф'и/75.3)/75.3)

? m

; V)

? m

; V)

21 ^ г,ех!? 'Димф'и

21 ^ г,ех!? 'Димф'и

/75.3)

/75.3)

Саедпля иитеиейздоеть во^ны пропорциокалг. эна среднему зкач'лелю- кв^ищяза. 'Сили В , т . е . норцор- цпочдача вьщА'КЩ’ию

Подлнтегпхт гее тигражеяис првно [/(/)]". Одип из мне/ду'тг?/’^ мы взяли р,вихе. 1/75.2), второй—з вз$щ (75.3), тпйД'/й во второй сумме, немой индекс оГсзна- чили 6} 1 и вместо п .

Преобразуем выражение (75.4) следующим образом:

<[f(012) = + оо+ 7/2

= £ СпСтТ $ ехр^т-я)^)^ —

п. т= -оо— 7/2

4-оо4- оо4-оо

- £ С„с-„6Л„- £ с„с„= £ |с„р =

/71 =—оод™-ооП” — оо

= ^ + 2£|С„р (75.5)

71= 1

(мы воспользовались ортогональностью системы функций exp(in<ooO; см- (XIV. 13)).

Полученный нами результат означает, что средняя интенсивность немонохроматической волны слагается из интенсивностей монохроматических компонент.

Теперь рассмотрим случай, когда волна, а следовательно, и колебание /(/) существуют в течение ограниченного промежутка времени (а не от 1 =—оо до / = -|-оо). В этом случае f(0 не является периодической и может быть разложена не в ряд, а в интеграл Фурье, содержащий непрерывный ряд различных частот. Согласно (XIV. 22)

f(0 = - t Сшехр(— iat)da, (75.6) V 2л

где См — функция частоты <о, определяемая выражением ’)

Сы( f^exp^dE, (75.7)

(см. (XIV. 21)). Очевидно, что

С_В==С;.(75.8)

*) Обычно в формуле (75.7) переменную интегрирования обозначают буквой t. Мы обозначили ее другой буквой, чтобы подчернуть, что Сш есть величина, не зависящая от t.

Полная интенсивность волны за время от —оо до

4-оо определяется выражением

Замена одного из сомножителей выражением (75.6)

С№ схр (-- iat^ da f dLС№ схр (-- iat^ da f dL

С№ схр (-- iat^ da f dL

С№ схр (-- iat^ da f dL

В полученной нами формуле предполагается интегрирование сначала по и, затем по t. Изменим порядок интегрирования, т. е. напишем

со ,4- сю

II /(Л ехр(—йоНс?/ г da.

2 l l V2n J,J

Сравнение с (75.7) показывает, что интеграл, стоящий внутри фигурных скобок, представляет собой С_ш, т. е. С*. Следователь то,

4-оо+°о°°

I = ( CC*da = \ |С Р^<о = 2^ IC l2^. (75.9) — оо—ооО

Из полученной нами формулы вытекает, что величина |СШ|2 характеризует долю полной интенсивности, приходящуюся на единичный интервал частот.

В качестве примера поля, которое может быть разложено в интеграл Фурье, можно привести излучение заряда, испытывающего торможение.

В предыдущей глазе лы предаола^алч... ые загылы. и токи OTcyTirrsvaeT, s (■•лап с чем пмную часть в уравнениях НдпйУ-^-.п/и m'Lту и (713) . печали..пав- нод пуща .Taima за^мгез ч, пщутчеи‘.наат-. .по

лей при наличии произвольно движуща - 1 зарядов. В этом случае потенциалы коля удовлеттоггот уравнениям

Аф~•(7б -1)

дА _^jg = -^j-(76.2)

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общие решения однородных уравнений были исследованы в предыдущей главе. Поэтому, чтобы получить общее решение уравнений (71.1) и (71.2), достаточно найти их частные решения.

Разделим все пространство, в котором имеются заряды и токи, на элементарные объемы dV' и определим поле, создаваемое каждым из зарядов de, заключенных в данном dV. Вследствие линейности уравнений искомое поле будет суперпозицией полей создаваемых всеми зарядами de.

Заряд de, заключенный в данном элементарном объеме dV', есть, вообще говоря, функция времени: de=--de^ty Если отвлечься от наличия других зарядов de, то плотность заряда, обусловленную рассматриваемым точечным зарядом, можно представить

в виде

р' (г, /) == de (0 б (г — г),(76.3)

где г'— радиус-вектор, определяющий положение заряда de^ty Мы обозначили эту плотность символом р', чтобы отличить ее от плотности р(г, /), определяющей de^ по формуле de^ — р(г, t)dV'.

Подстановка выражения (76.3) в уравнение (71.3) дает

A»--^-^- = -4«de(06(R),(76.4)

где R = г — г'.

Во всех точках, кроме той, для которой R = О, плотность р' = 0 и уравнение (76.4) имеет вид

А<Р- 4-^-0.(76.5)

Очевидно, что в этом случае пэле обладает центральной симметрией относительно точки R = 0 и, следовательно, является функцией л-ппь R. Поэтому напишем уравнение (76.5) в сферической системе координат. Воспользовавшись зыртдзтпем (XL §8) для оператора Лапласа, получив

“n? I 5 —0.(/6.6)

Зль^ 'кила рещезще з зидз

^^^(ДЛ;^.(76.7)

При этом условии

Зф _ _ хр ,’ dip

"эк'г 77 ~57Г ’

6R И дк ) дк I R

R

д2^>д7 < У \; €#2iJ)

dl2ci* V Д )R Л12

Подстановка этих значений в уравнение (76.6) приводит после сокращения на \/R к уравнению1)

д2ф 1 д2ф „М2" “ с2 at2 — U"

Как было установлено в § 72, общее решение такого уравнения имеет вид

*=а 0 - т) + ^ (^ + 4)<76-8>

(см. формулу (72.8); в рассматриваемом нами сейчас случае и = 1).

Первое слагаемое в (76.8) описывает расходящуюся сферическую волну, второе слагаемое описывает сферическую волну, сходящуюся к точке R = 0. Нас интересует частное решение. Возьмем в качестве такого решения первый член формулы (76.8). Подставив его в (76.7), найдем выражение для ф:

<р(г, t)=..fJL^l,(76.9)

Решение (76.9) удовлетворяет уравнению (76.5) при произвольном выборе функции f(t — R/c). Попытаемся выбрать эту функцию так, чтобы выражение (76.9) удовлетворяло уравнению (76.4) и в точке R = 0. Заметим, что при R-^-О функция (76.9) стремится к бесконечности. Следовательно, ее производная по координатам становится для малых R очень большой, так что членом (1/с2) (d^/dt2) можно пренебречь по сравнению с Аф и написать уравнение ,(76.4) в виде .

Аф = — 4 л de (/) 6 (R).

Мы пришли к уравнению Пуассона (42.4) для потенциала точечного заряда. Таким образом, вблизи точки R = 0 функция (76.9) должна переходить в выражение вида ф — e/R. Это будет иметь место, если положить /(/ — R/c) — de{t— R/cY Итак, искомое решение имеет вид

*) Напомним, что точка, для которой R = 0, пока исключена из рассмотрения.

Очевидно, что в непосредственной близости к точке R = 0 это выражение переходит в

Ф ~Ф ~de WRde WR

Ф ~

Ф ~

de WR

de WR

Чтобы найти потенциал для произвольного распределения зарядов, описываемого функцией p(r, t), просуммируем решение (76.10) по всем de = pdV'. Тогда получим

р (r'.t - LL^LLA av'

ф(г, /) = } —)—.(76.11)

Уравнение (76.2) отличается от (76.1) лишь тем, что в правой части вместо функции р стоит j/c. Поэтому можно сразу по аналогии с (76.11) написать выражение для А:

с Чг; t~A4r1)dV'

АМ=7)-Гг^Г"- (7612>

Выражения (76.11) и (76.12) называются запаздывающими потенциалами. Название обусловлено тем, что значения потенциалов в момент времени / определяются значениями р и j в более ранние моменты времени, опережающие t на время запаздывания т=]г — г'\/с, необходимое для того, чтобы электромагнитное возмущение дошло от точки г' в точку г.

Чтобы получить общее решение уравнений (76.1) и (76.2), нужно к запаздывающим потенциалам прибавить общие решения однородных уравнений, которые были найдены в предыдущей главе. Эти решения не связаны с полем, возбуждаемым системой. Они описывают внешнее поле, действующее на систему и накладывающееся на поле, создаваемое системой.

В стационарном случае (т. е. в случае, когда р и j не изменяются со временем) формулы (76.11) и (76.12) переходят соответственно в выражения (41.10) и (48.7).

Отметим, что, выбрав в качестве частного решения функцию fz (см. (76.8)), мы получили бы вместо запаздывающих опережающие потенциалы. Подробнее на этом мы останавливаться не будем.

314 гл. XIV. ИЗЛУЧИШЬ .ыЧТДТчДШНДД^

§ 77. Поле разномерно дгшуглегося зарар.,а

Пусть заряд е движется с постаипд дддчтудч. относительно системы отечна * ' ъ -< ^вясдм

систему отсчета К'. Эта система, как и зааяд, пам- жется относительно системы К со скоростью v.

Относительно системы К' заряд покоится. Следовательно, потенциалы пол:; в этой системе равны

ф^, П = ™, А(г',/') = 0.(77.1)

Самым общим решением было бы А = const, но в силу калибровочной инвариантности эту константу можно положить равной нулю.

Чтобы найти потенциал в системе А', осуществим преобразование 4-вектора

4й==(о, А)

к системе К. Для этого нужно взять формулы обратного преобразования (36.2), согласно которым

Ф (Г,

Ах ^ 5

Подставив лучим

в эти формулы г^-гтемие. (77.Ц дгя ф, го-

*(77.2)

Ах(г,0

Хх ’'г' л!х£2

Поскольку отлична от чул я лишь компонента Ах, а вектор v направлен по оси х, выражение для векторного потенциала можно записать так:

(77.3)(77.3)

(77.3)

(77.3)

Теперь нужно ncpalrv и Формулах (77.73 и (7Z3) ст штрихованных коо^дапиг :^..е Эф • вдвинуло-

Формулы (77.5) и (77.6) можно упростить, зуу аш их через длину вектора ?., проведенного от заряда в точку наблюдения, н угол (г между направлением это' о вектора и осью х. Если от

счет времени начать с м< слитья, тогда задяд был в нйтале координат, то, кан видно из рис. 77.1,

^ = (д — у^;2 4. у2 -I- 22.

Позтому согласно (77.4)

г' =V^W^^) -

Отношение (у2 + г2)//?2 равно sin2^ (см. рис. 77.1). Следовательно,

г' = —\ 1 — £2 sin2"®.

Vl-P!

Подставив это значение в (77.2 ‘ и (77,3), получим:

ф *,/77.8)

а? V i ~ 3' sin- 6

А =.(77.9)

cj"? V 1 - ^ Sin2 »■

Зная потенциалы, можно на формулам:

£=-^...1^(77.10)

B = [VA](77 И)

(см. (56.3) и (56.1)) вычислить поля Е и В. Записав (77.10) в компонентах, получим

'*• дх^ с at "

Следовательно, р dtp 1дАх dtp1d/ tup А

хдхсdtдхсdZу с /

dtpи dtp .о,

дхс2 dt ’

Eti==~^, Ez = - 4s- •(77.13)

у dy 12 dzv '

Согласно (77.5) и (77.6) <р и А имеют одинаковый вид

ф (г, А ~

л/(х — ьГ;2 + (1 — р2) (у2 + z2) ’

где а—константа (скалярная или векторная). Обозначив х — vt = g, можно написать, что

d-ф dij> dg dф оф ®ф dg dip ,.

dx" "dT дх ” "dT ’"d/~ — "dF ~’

откуда заключаем, что

dtp я dtp dt13 дх ‘

(77.14)

Заменив в (77.12) дф/д/ согласно (77.14), придем к формуле

Р Эфо Эф Э<Р_ . о2 Эф Эф ..

хдхс2 dtЭх ‘ с2 дхдх ” ■'*

(77.15)

Подстановка производных по координатам от выражения (77.5) в формулы (77.15) и (77.13) дает

£, = (1 -р2)£, = (1 -р2),з(х-и^,з(х-и^[d-^ + O-p^ + ^p.[d-^ + O-p^ + ^p.

£, = (1 -р2)

£, = (1 -р2)

,з(х-и^

,з(х-и^

[d-^ + O-p^ + ^p.

[d-^ + O-p^ + ^p.

Еу (’P^^-^+d^p^^ + ^p/z-<77J6>

^ = (1 - Р2) [(x_t,/)2+(| eJp2)G2+22)p/2 •

Эти формулы можно записать в векторном виде

Е = (1-Р2)Е = (1-Р2)Я3 О -р2 sin2»)372 *Я3 О -р2 sin2»)372 *(77.17)(77.17)

Е = (1-Р2)

Е = (1-Р2)

Я3 О -р2 sin2»)372 *

Я3 О -р2 sin2»)372 *

(77.17)

(77.17)

где R — радиус-вектор, проведенный из точки, где находится заряд, в точку наблюдения (см. рис. 77.1).

Для модуля Е имеем

Е =•(77-18)

Я2(1 - р2 sin2^2

е(1-Р2)R2е(1-Р2)R2Из этой формулы вытекает, что на оси, вдоль которой движется заряд (т. е. при <1 — 0 ил),

е(1-Р2)

R2

е(1-Р2)

R2

(77.19)

а в направлениях, перпендикулярных к скорости заряда (т. е. при Ф = л/2),

Поле как бы сплющивается в направлении движения заряда, причем тем сильнее, чем больше и.

Найдем магнитное поле. Согласно (77.11) и (77.7)

В = [VA] = [v, ^] = “^, ^ = -7-^ VV1 (77.21)

(напомним, что v — константа).

В соатвешат». -т w.Mi

-v«p-E + ±^.^a.-v«p-E + ±^.^a.

-v«p-E + ±^.^a.

-v«p-E + ±^.^a.

(мы приняли во внимании соотношение ’(77.7),, а таг- же то обстоятельство, что скорость не зависит от Г;.

Подставим выражение (77.22) для — V<p в (77.2;):

B-ilvEl + afv. ->4].

Второй член является векторным произведением коллинеарных векторов и, следовательно, равен нулю. Таким образом,

В = 1- [vE], (77.23)

Мы видим, что вектор В з каждой Точке, перпендикулярен как к вектору v, тчк и к вектору Е. На о^и х векторы *г н Е кадаинеа^гч..С5езоч.ат‘и1ьзд.,иа »зой оси В = 0.

Если в фсг^тулу (77.23'. п<^с.тгл.ч1ъ.г wvk^^ (77.17) для В, тыучаетг'Д

/77 С ■;>1\ 1 -

При и << с (77.27) vjsyvyyti’y?. ч 7уцр.е;ду,

b=4j->.

Заметим., что голпажения '7717) и ^7? 25<( чол-го. получить с помощью формул, по^обпи'юада?'?. .nof’-i.H.. (62.2), исходя из того, чтс л .системе ?к'- ЕВ---£,'7/'-25 , В'—О. Резпмея чуем, с s?;i yv^ эго в ^очудс viiDzyx-. нения.

§ 78. R<eire заряда, д;p<жтy,."гo<,^^^

Найдем поле заряда., цвет кугдегося с yes зрением.. Пусть движение провелоду.т по тря^кзоочч г >,^=. гг ( Д (рис. 78.1). Вычислим геле, в точке, наблюгеыич. Р , определяемой. lyTe.vcov'^' fx'ODQAi г . Всчгдс^вие паздывання потенциала в точке Р в момент / будут определяться положенчек к сй^гоеддеэ запода .че я тот же моищт.брйуянч л у • жбече^раччий-М^мевт./- .и.

(это выражение есть по су^.тхьу кл.гдрат интервала между событиями ногникзогения сигнала в одной точке и прихода его в другую точку).

Свяжем с зарядов систем/ отсчета д'. В этой си- стеме заряд покоится и, слелоозтельно, потенциалы о и ре дел я ются б ы у аж ел и я м а

(-/(к, /')==^-А'(г', /') = 0, ^сА) где г' и г—место и время наблюдения, определенные в системе К'., R’—расстоя^и^ между точкой, в которой находится заряд, и точкой наблюдения. Таким об- р«?.ом, 4-потек.пиал поля е. системе Д'' имеет вид

, о) . (78.5)

Попытаемся найти такзе ьыражение для 4-пстен- циала, которое при v = 0 обращалось бы в выражение (78.5). Очевидно, что в произвольно взятой системе отсчета потенциалы должны зависеть от

скорости заряда v. Поскольку мы ищем четырехмерное выражение потенциала, скорость нужно взять в виде 4-скорости

\ V'i - оЧ<? ’ 71 -- у2/!") '

Если положить 4-потенциал пропорциональным 4-скорости, то при v -= 0 векторный потенциал А также будет равен нулю, Далее, в знаменателе временной компоненты ^п.отонцвала (73.5) стоит временная компонента 4-вектора (78.2). Следовательно, в знаменатель искомого выражения для Д^ следует ввести 4-вектор Ri1, причем для того чтобы получилась правильная размерность, его нужно умножить на 4-скорость (в числитель мы уже ввели 4-скорость).

Таким образом, 4-погенциал нужно определить следующим образом:

<78'6>

Подстановка значений R" v щ. дает, что ) R4ич =(7с — Rv).

Следовательно, выражение (78.6) можно записать в виде

откуда

Нетрудно заметить, что при v~ 0 выражение (78.7) действительно переходит в (78.5).

Приняв во внимание, что ст = R, запишем выражения потенциалов следующим образом:

<78.8)

^(г, О = Т^^--ФР(78.9)

(мы применили обозначение p = v/c).

Выражения (78.8) и (78.9) называются потенциалами Лиенари — Вихерта. Чтобы получить значения потенциалов в момент времени t, значения v и R в правых частях (78.8) и (78.9) нужно брать в момент t6, определяемый условном

/0=/-Т=/_ ВИА.

ис

Запишем это условие в виде

F^x, у, z, t, tQ) = t — ta~

(78.10)

Правые части выражений (78.8) и (78.9) суть функции от t0, которое в свою очередь есть функция от х, у, г и t (х, у, г — координаты точки наблюдения)

1о = Цх, У, z, t).(78.11)

Соотношение (78.10) представляет собой неявное выражение функциональной зависимости (78.11).

При нахождении полей по формулам

надо вычислять выражения вида dq/dx,, dk/dt и dAk,dxi, где х<— координата точки наблюдения. Поскольку функции ф и А зависят от х, у, z, t сложным образом — через to = f (я, у, z, I), вычисления придется производить по следующей схеме:

д<?

di?

_Эф_ dtp Нр dxi *

(78.12)

РА di ”

ЭД dtp 'dtp di '

(78.13)

ал6 _ dxt

ЭАк dtp dt0 dxi ‘

(78.14)

Из соотношения (78.12) вытекает, что

7Ф = -^0.(78-15)

[ 1 И. В. Савельев, т. I

Таким образом, нам понадобятся значения производных dto/dxi и dlQ/dt, которые можно найти с помощью соотношения (78.10). Запишем это соотношение в виде

F (хь хъ х3, t, t^ = t —10 -

Jp21'/2

=(78 16)

По правилам дифферентушагания неявной функции digcFIdXl

"дкГачд!^ ■

Продифференцировав (78.16) по 1%, получим

SF , У (Xi xci) (дх8>fdtg) dig•eR

Приняв во внимание, чиг х<-- Ri, а дх^/&1ц есть i-я компонента скорости заряда в момент i0, придем к выражению

™ = -1 + —ъ~- — ~-(78.17)

dig1 tRR'’

Аналогичные вычисления дасг

Разделив (78.18) на (78.17) и изменив знак на обратный, получим

<?/е Ri

дх! ” с (R — Rp) '

откуда следует, что

(78.19)(78.19)Vf0== —

(78.19)

(78.19)

Теперь найдем dt0/dt. По правилу дифференцирования неявной функции

dig =dFjai

dtdF/dtg

Производная функции F (см. (78.16)) по / равна единице: dF/dt=L Производная dF/dt0 определяется

ВЬфсЛКСНЛкДй s J О А (\ . к А>ДД V ЛУ. Л^гм,

<78S0>

Пр^СТугИт 'х Bhl^LiCji^Si 1£гС- '‘Г ЙЧУКИИ G^Jc)t(j И Э^/ot-Q.

Согласно (73.8)

Из соотношений R = c^t — io), $-~r — г0(£0) вытекает, что

dio " С* dta "= " diQ ~ V<^*

Кроме того, dp/d/fl — Р = v/f, где v— ускоренно заряда в момент /о- Следоватгжио,

Согласно (73.9)Согласно (73.9)Ияконся, ыы нолучйлн \-&"'Ач:ж.г.;:га-. .яптлч./'г?, аь^ ■ ражен^щ. гЬ.яа ЕСя 1Ияконся, ыы нолучйлн \-&"'Ач:ж.г.;:га-. .яптлч./'г?, аь^ ■ ражен^щ. гЬ.яа ЕСя 1dtp _ е Ц-с ч- ур _ е^(1 - ^ + Rp/C) ..

Согласно (73.9)

Согласно (73.9)

Ияконся, ыы нолучйлн \-&"'Ач:ж.г.;:га-. .яптлч./'г?, аь^ ■ ражен^щ. гЬ.яа ЕС

я 1

Ияконся, ыы нолучйлн \-&"'Ач:ж.г.;:га-. .яптлч./'г?, аь^ ■ ражен^щ. гЬ.яа ЕС

я 1

В К

6t0

г с dta'z u с дЦ аг

(см. формудьх. (7Я.15) н (78J.3)\. ПоЕ^таповка сювд выражена (7821), ^ТЗ-йб) , рЛ.^) я (78 2С) аает

р _ гс л - S2 + ЭДУс) г у 1

„ р (1 - ^ + Rp/й) + ^е\ xR-Ж R „

R (1 - В3 + Же) ™ (i - У 4- R^/c) - vW) Ui - Ж esg .

11е

Сгруппировав вместе члены, содержащие ускорение заряда v (т. е. р), можно привести выражение для Е к виду

F . ^zl^MLlPI j_ р ^^ ^ - R^ - IW а - RP)

E (/? —RP)3 1 6— RP)3

Числитель второго слагаемого можно представить в виде двойного векторного произведения [R((R— — ^&)>Р/С11. в этом можно убедиться, раскрыв это произведение по формуле «бац минус цаб» (см. (VI. 5)). В результате получим окончательное выражение

('3 Zl)('3 Zl)JR^Hd _^) . iR [(R „ ^ й/^(.R — рй)3 ' 1(Д Z jtpp

('3 Zl)

('3 Zl)

Ишшж, что значения R, ) (a. a v) и p (t. e. v) в это формуле должны быть взяты в момент вре-

Ноле, oiu^c ЫЕБёдоч Ezp.оъ.а.лч.чм. (/^аА?,. сосдалт. кз двух частей. Неулдя .уд/л'днэ’ только от скорости заряда и на больших расстояниях убываем ? .ак 1/Д2 (т. е. как кглоночгкое п.эле). Вторая часть зяеччнт, кроме скорости заряда, также и от его усксрения и на больших расстояниях убывает как 1//? (т. е. как напряженность поля в сферической электромагнитной волне).

Если заряд движется равномерно, второе слагаемое в формуле (78.24) обращается в нуль и поле определяется следующим выражением:

(Ro-/?oP)d-р2)

Е - е^Y^pp(78.25)

Здесь индекс «О» при R подчеркивает то обстоятельство, что значение R берется в момент времени /о, при р индекс «О» мы не поставили, поскольку при равномерном движении р не зависит от Л

В § 77 мы получили для поля равномерно движущегося заряда формулу (77.17), которую можно за

писать в виде

(78.26)(78.26)Е_с Rd-»3)/^(l-p^in2»)3/2'

(78.26)

(78.26)

Внешне формулы (78.25) и (78.26) сильно отличаются друг от друга. Однако легко показать, что на самом

деле они тождественны. Дело в том, что в формуле (78.25) поле выражено через расстояние от заряда до точки наблюдения, взятое а момент времени Д=7 — т. В формуле же (78.26) поле выражено через расстояние от заряда до точки -наблюдения, взятое в момент наблюдения t.

Чтобы доказать тождественность формул (78.25) и (78.26), обратимся к рнс. 78.2. Расстояние ОР есть

Ro, еР равно R, отрезок Ое есть путь, проходимый зарядом за время запаздывания т. Приняв во внимание, что х = Ro/c, этот путь можно представить в виде ^ор.

Векторы Ro, R и 7?о₽ связаны соотношением R = = Ro — ^о^, из которого следует тождественность числителей формул (78.25) и (78.26).

Длина отрезка OQ рента прсегнни вектора R<$ на направление вектора Ro

OQ — /^’.ам -- R.^ .

Следовательно, QP ~ Ro — Ki(78.27)

(ср. co знаменателем формулы (78.2.5)).

Выразим, отрезок QP через R. Из рис. 78.2 видно, что

(QP)2 = R2„ ^ == га __ ^ sin g)2

Далее, опять-таки из рисунка следует, что Pasina = = R sin А, так что

(QP)2 = p--(р^ sin О)2, откуда

QP = R л/Т- р2 sin2 6.(78.28)

Наконец, приравняв правые части выражений (78.27) и (78.28), придем к соотношению

Яо - R^ =^ ^/ Г-Г^^,

из которого следует тождественность знаменателей формул (78.25) и (78.26). Таким образом, мы показали тождественность выражений (78.25) и (78.26).

Перейдем к нахождению поля В. Согласно фор- иуле (XL 56)

В = [v^ == [vr0, ^]

(А зависвт от координат пд^оз 10, подобно тому как в формуле (XL 56) а зависят от координат через g).

Пэлдтамв выражения. (7ЯД9) я (7822), получим

Р X Йр О - Р2 Т RP/C) + (Р/с) (R - ПР) 1 _

_ г к_ -КМ‘ И -Г <у)^- (Rule's (R - RP)1L R ’CR RP)31'

Добавим в числителе второго сомножителя слагаемое RH—p2 + R^/c). От этого выражение не изменится, так как !RRj = O. Однако второй сомножитель при этом превратится в Е (см. (78.23)). Таким образом, мы приходим к соотношению

В = [у, е] .(78.29)

Здесь R —R(/g). Из (78.29) вытекает, что вектор В в каждой точке перпендикулярен к вектору Е и к вектору, проведенному из точки, в которой находился заряд в момент ta, в точку нг блк чтень я.

§ 79, Поле, создаваемое системой зарядов

на больших расстояния):

Пусть имеется система движущихся зарядов, не выходящих при своем движении за пределы некоторого объема. Систему будем предполагать в целом нейтральной. Рассмотрим поле, создаваемое такой системой на расстояниях, больших по сравнению с ее размерами. Поместим начало координат внутри системы. Распределение заряда охарактеризуем с по-

мощью функции р =—р(г',;). Тогда заряд, заключенный внутри объема dV', рд.сложенного в точке с радиусом-вектором г, будет равен de <(f) = p(r', t^dV*. Радиус-вектор точки наблюдения Р обозначим через г. Кроме того, введем обозначение R = r— г'. Очевидно, что R есть вектор, проведенный из de в точку Р.

Напишем выражения (76.11) и (76.12) для запаздывающих потенциалов поля, создаваемого системой,

ф(г, ^) = ^ф(г, ^) = ^р (Г, i — Rp^ dV'~Rр (Г, i — Rp^ dV'~R(79.1)(79.1)Л (г, 0 = — £Л (г, 0 = — £j « / — R/c^ dV'" Rj « / — R/c^ dV'" R(79.2)(79.2)

ф(г, ^) = ^

ф(г, ^) = ^

р (Г, i — Rp^ dV'~R

р (Г, i — Rp^ dV'~R

(79.1)

(79.1)

Л (г, 0 = — £

Л (г, 0 = — £

j « / — R/c^ dV'

" R

j « / — R/c^ dV'

" R

(79.2)

(79.2)

По предположению с> г. Поэтому величину R — = |г — г'| можно рассматривать хак значение функции /(r) = jr| = r в точке г-{-6г, где 6г ——г'. Воспользовавшись формулой f (г + 6г) = f(r)+ V/ (г)6г, можно написать

R =! г — г' | -= г -(■- уг (—/)R =! г — г' | -= г -(■- уг (—/)-t- г' =- г — п/, (79.3)-t- г' =- г — п/, (79.3)где я есть орт радиуса-вектора г.Подстановка значения (79.3) в формулы для потенциалов даетгде я есть орт радиуса-вектора г.Подстановка значения (79.3) в формулы для потенциалов даетА (г, /) = т J —4.(79.5)А (г, /) = т J —4.(79.5)

R =! г — г' | -= г -(■- уг (—/)

R =! г — г' | -= г -(■- уг (—/)

-t- г' =- г — п/, (79.3)

-t- г' =- г — п/, (79.3)

где я есть орт радиуса-вектора г.

Подстановка значения (79.3) в формулы для потенциалов дает

где я есть орт радиуса-вектора г.

Подстановка значения (79.3) в формулы для потенциалов дает

А (г, /) = т J —4.(79.5)

А (г, /) = т J —4.(79.5)

Мы видим, что время га пидывания т слагается из двух частей. Одна из них, равная то = г/с, не зависит от rf и называется временем запаздывания системы. Она определяет время, которое требуется для того, чтобы электромагнитное возмущение прошло путь от начала координат до точки наблюдения. Вторая часть, равная V = —пг'/с, называется собственным запаздыванием. Она характеризует время, необходимое для распространения возмущения в пределах системы.

Разложим подынтегральное выражение в (79.4) в ряд по степеням отношения г'/r. Рассматривая

величину —пг' как малое приращение 6г аргумента г, получим

г — пг'г — пг'дг L 'дг L '(-пИ + . . .(79.6)(-пИ + . . .(79.6)

г — пг'

г — пг'

дг L '

дг L '

(-пИ + . . .(79.6)

(-пИ + . . .(79.6)

Для выяснения вопроса о том, можно ли ограничь « с. и разложении написанными членами, нужно гъ,- • I сизяку поеледуюлшх членов .В эти члены Gvityx ехсщ^гь стзрщи^р пс г. Легко га-

метить, что лроизьо(икс р ж. с 'луьпорцкоаа^нт! про- изводным д no L Дедтвитех:. ж, лпяотулв t— г/с -— |, ьжю нщщсать

- ар / i \ г-р <Ф ар

(79.7)(79.7)откуда

(79.7)

(79.7)

дг Аналогично

<Э2р ^1 ^2 52рjmp1 ^"« y"ip

"йД" = ( Г J *dF‘ ‘ “ "дй^ =VT) "дй**""

Последовательное дифференцирование функции р/г по г с последующей заменой производных по г производными по / дает

d 7 р р a-VC1 А аР дг \ г )7^'г\ с / dt ’

а2 /_ 2р2^ Г1_\ йр , 1 /1_\ 2 Д2р дг3 \ г 7 г3 г2 \ с / dt ' г X с ) dt1 *

дт (р_\1 ( IX” д”р

drmVr) =+т1~Т7"а?®"

i(b последней строке мы выписали только последнее слагаемое).

При больших г первые члены в написанных нами производных много меньше последних. Поэтому наша

задача сводится к оценке относительной величины выражений вида

(79-8)

(в разложении (79.6) т-я производная умножается на (6r)m).

Допустим, что р изменяется со временем по гармоническому закону р со cos м/. Тогда /д-я производная р по ( будет порядка й^р. Подстановка в (79.8) дает

где / — линейные размерь! рлсематрнвасмой снстелмы зарядов.

Следующий члеи разаи^елля С*ч№!г порядка

г X с /

Таким образом, етиои-енке №киидасазлпьрлл члехув разложения (79.6) по порядку велзтены рхххо й//с. Заменив части.у периодом изменений р (во ^ори^я® to = 2к/7), получим

<аЦс = 2п11сГ -^ Цс!.

Из сказанного вытекает, что последующими членами в разложении (79.6) можно пренебречь, если выполняется условие

ЦсТ < I.(79.9)

Отношение Цс определяет собственное запаздывание т'. Следовательно, условию (79.9) можно придать вид

т' <Т.(79.10)

Из (79.10) следует, что ограничиться первыми членами разложения (79.6) можно в том случае, когда время, необходимое для распространения электромагнитного-возмущения в пределах системы, много меньше времени, за которое распределение зарядов в системе меняется заметным образом.

Условие (79.9) можно написать еще двумя способами. Произведение сТ дает длину волны X

излучения, возбуждаемого системой. Поэтому соотно- шс&чю (79£'j гюжта н'зчгхгу вид

I С XI С X(79.11)

I С X

I С X

(размеры системы должны быть много меньше длины волны).

Наконец, приняв во внимание, что 1/Т по порядку величины равно скорости и движения зарядов в системе, можно вместо выражения (79.9) написать

о С с.(79.12)

Из последнего соотношения видно, что, оборвав разложение (79.6) на втором члене, мы ограничиваемся рассмотрением излучения нерелятивистской системы зарядов.

Обратимся снова к вычислению потенциалов, полагая условия (79.1G) — (79.12) выполненными. Подстановка (79.6) ч (79.4) дает

А - V с Ч 4 r 6 Д\тг

- - ■ V- ( rv (г' . I - —1 nr' dV’V (79 13)

.ПО

, j'.'■’'. '-а-

рЯДЗ В :,.;G чеСТ TT-GGGAУХ ЗУОТ

/ 3, а ( 1 t 1У. * Г, К * Ы

рт'-'ч. ЧУ)а . , з 1,ч 1 V - Х*У -ЙО

сохранить только вте^.’ i;.i4j4. ^у-лкаг-а и сям и за знак интагдала и вроизнодаоч, npww к. в’.лрлжепню.

3 • 1 or Ki x ■ xc J Ъ

Интеграл в этом выражения есть нс что иное, как дипольный электрический момент, которым обладала система в момент / — г/с,

(ср. с (43.6)). Поэтому можно написать

<p(r,/) = -nA^L_Z/£l.(79.14)

Наконец, осуществив дифференцирование и приняв во внимание, что др/дг —— (1/с)др/с7 =—(1/с)р (ср. с (79.7)), получим

, л RoW-rh} , пр ('- Н^ г~•

:ервый член уоывает с pac- г. _;-тк*<1, чем второй член. По- поле ня больших расстояниях,:ервый член уоывает с pac- г. _;-тк*<1, чем второй член. По- поле ня больших расстояниях,Первый член в этой формуле совпадает с потенциалом (43.9) статического диполя (п-~г/г). Отметим, что отвечающее эт<.му члену поле на расстоянии г в момент i отц <,. мо етса значением дипольного момента в момент / - стоянием г гораздо этому, расематривая можко положить

:ервый член уоывает с pac- г. _;-тк*<1, чем второй член. По- поле ня больших расстояниях,

:ервый член уоывает с pac- г. _;-тк*<1, чем второй член. По- поле ня больших расстояниях,

Ф (г,

Перейдем к определению векторного потенциала. Формула (79.2) отличается от (79.1) лишь тем, что вместо р (г', /— R/c) под знаком интеграла стоит j(r, / — R/c). Поэтому, ргздцкив подынтегральную функцию в ряд, получим выражение, аналогичное (79.13),

А (г, t) = ~ j (г'’ ^-т) ^ ”

-М^№' ’ -t)<"W'}. (79.16)

Если бы токи были стационарными, т. е. не зависели от I, то первый интеграл был бы равен нулю (см. (51.5)). Однако для гестационарных токов этот интеграл отличен от нуля. Поэтому в разложении (79.16) можно сохранить ллш> первый член1). Таким образом, можно положить

А (г, /) = ^5 j( r\ ^--L)^^.

') В формуле (79.13) мы не могли пренебречь вторым членом, поскольку первый был равен нулю.

Докажем, что j j (г', t — r/c)dV' равен производной по времени от дипольного момента системы, взятой в момент t— г/с. Доказательство проще всего осуществить, перейдя от непрерывного распределения зарядов к прерывному. Произведем замену

$ j dV* = pv dV -> У eaNa

(скорости зарядов, как и функцию pv, нужно взять в момент / — r/с). Однако

X eaNa = У еаг' ^-^-Х еа< = р (/ - г/с).

Таким образом,

Д (г, /)= Р^--^.(79.17)

Сравнение с (79.15) позволяет написать

9 =Ап.(79.18)

Потенциалы (79.15) и (79.17) определяются значением производной по времени от дипольного момента системы. Поэтому они называются потенциалами, вычисленными в дипольном приближении. Дипольное приближение допустимо при соблюдении условий (79.10)— (79.12).

§ 80. Дипольное излучение

Область поля, отстоящая от излучающей системы на расстояние г, много большее не только размеров системы /, но и длины волны излучения ('>1^>Z), называется волновой зоной.

В волновой зоне выполняются условия, при которых справедливо дипольное приближение, рассмотренное в предыдущем параграфе. В этом приближении

(см. (79.15) и (79.17)).

Чтобы вычислить Е, нужно найти Vy и dk/dt. Применив формулу (XI. 51), получим

„dm „дф

v6гйг

(напомним, что п —е, —г/г). Следовательно,

„ д /ПрЦ—Г/с)\пр пр

(мы воспользовались тем обстоятельством, что др/дг = — (1 /с) dp/dt).

Первый член в полученном нами выражении убывает с расстоянием гораздо быстрее, чем второй. Поэтому на больших расстояниях ни можно пренебречь и считать, что

уф :~ П.уф :~ П.

уф :~ П.

уф :~ П.

Чгдглгсль этого зырадэгэт мэ/О^о прсдотоки?:.- о годе Д^[ор1^ В УГСЭ ОО^КЗ Г.;.'; и :К/ уЗлкфГЭЗ T'^fooe оскгорноо проиоо.о/\Сооо ко кКлэиус ДХкб>

ь • * * .ь г t „ t л чз ?jq L Итак, олсктр^че- 0 и_гЛ.,та_>_ ^Arp.r^v ГПК

Е ^ ~У [^ [*зрН ~: В И?й10-

Перейдем к вычислении магнитного поля. Векторный потенциал является ^'З'икп.ией от г. Поэтому согласно (XI. 56)

в = [VА] = [vr, -^ ] = [п, ^]. (80.3)

Дифференцирование выражения (80.1) для А дает

дАд_ / дг “" dr кдАд_ / дг “" dr кр (Е — г/с)сгр (Е — г/с)сгрLCt®сЧрLCt®сЧ

дАд_ / дг “" dr к

дАд_ / дг “" dr к

р (Е — г/с)сг

р (Е — г/с)сг

рL

Ct®сЧ

рL

Ct®сЧ

(ср. с (80.2)). Отбросив член, пропорциональный 1//*, получим, что дА/дг = —$/с2г. Таким образом,

В = - ^ [пр] =-^ [рп].

Напишем окончательные выражения для Е и В.

Е = -ДгИрп]п|, В = -^[рп1(80.4)

(напомним, что значения р должны быть взяты в момент t— г/с). Сопоставление этих выражений приводит к заключению, что

(80.5)(80.5)Е ---.-- [ВгД

(80.5)

(80.5)

откуда вытекает, что вектор Е перпендикулярен к вектору В. Из выражений (80.4) следует, что векторы Е и В перпендикулярны к вектору п (перпендикулярность Е к п следует также и из (80.5)). Таким образом, как и в плоской волне, векторы В, Е и п взаимно перпендикулярны (см. формулу (72.16) )). Кроме того, векторы В и Е, как и в плоской волне, одинаковы по величине, причем

f,^^,.^!^,(80.6)

где О — угол между направлениями векторов р и п.

В том, что для изучаемого наги поля оказались справедливыми соотношения , нэо'па^демые гач плоской волны, нет ничего уджпчзьпого .На орсстоя- ниях, больших по сразкгзию с размерами излучающей системы, волгл щуггяа Суть сфециаесдоЗ .Вместе с тем при услозии, что / S> ?ц небольшие участки сферической волны подичее та -«и^лдапг с 'ыкзсд^й. волной.

Как следует ча. i?&vi1 ;»y:L Е.и В определяются, второй производной от дипольного момег 1та системы. Поэтому расам argv-wy^a^vye^ ядзыеястся. о«-.

ПЭЛ'ЛШ..

Дыполчь'г с-’зд.сг'г^.дйе'^е’’чдяж^-----

= 2 er'-. С". г а тг.гы^.л' v X ет’’ ™ ‘ ■ 64 -Отсюда вытекает, что заряды излучают электромагнитные волны только и тек. еayч.1е., когда они дздяштря с ускорением.

Чтобы уяснить себе ка-рп-ну ноля на больших расстояниях, введем сферическую систему координат, причем полярный угол О будем отсчитывать от направления ректора р(/ — г/'Д (рис. 80.1). Согласно

вектор В перпендикулярен к плоскости, определяемой векторами р и п. Следовательно, В направлен по касательной к «параллели», причем векторы р, п и В образуют правовинтовую систему.

Из (80.5) следует, что векторы В, п и Е образуют правовинтовую систему. Отсюда вытекает, что Е на

правлен по касательной к «меридиану», причем на «экваторе» направления р и Е противоположны. Еще раз подчеркнем, что изображенные на рис. 80.1 векторы относятся к разным моментам времени: р к моменту /—г/с, а В и Е - к моменту I. Модуль векторов В и Е пропорционален sin О (см. (80.4)). Следовательно, поля имеют наибольшую величину на

«экзаторе» и обращаются в«экзаторе» и обращаются внуль на «полюсах*.

«экзаторе» и обращаются в

«экзаторе» и обращаются в

Чтобы определить интенгш кость излучения в разных направлениях и общую мощность излучения, вычислим вектор Пойнтингг. Приняв зо внимание (80.6), получим

^№-^^ = 4^»- (80.7)

Таким образом, интенсивность излучения диполя пропорциональна sin2 А. Соответствующая диаграмма направленности излучения имеет вид лепестка.

Для определения мощности излучения J найдем поток энергии через всю сферическую поверхность. Площадь сферического пояска угловой ширины dO равна 2кг2 sin ^d#. Следовательно,

/ _ ^ S df=^ 45^-w sin $d^ - S • (80J) 0

Пусть из всех зарядоз системы ускорением обладает только один. Тогда р ~ Л euvs — еи и мощность излучения равна

Эта формула справедлива и в том случае, когда имеется только один заряд, двкжущийся с ускорением v.

§ 81. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения

Если свойства системы зарядов таковы, что р — О, дипольное излучение не возникает. Однако это не означает, что излучения нет вообще. В этом случае нужно учесть те члены разложения потенциалов, которыми мы пренебрегли а дипольном приближении.

В предыдущем параграфе было выяснено, что в волновой зоне волна в небольших областях близка к плоской волне, для которой справедливо соотношение (80.5). С помощью этого соотношения зная В, легко найти Е. Для нахождения же В достаточно знать только А. Поэтому мы ограничимся нахождением векторного потенциале.

Рассмотрим второй член фороны (79Л6), которым мы пренебрегли в дппэльвом иглближечни. Поскольку в интересующем нас случае первый член в (79.15) равен нулю, векторный чот^шуал имеет вид

А(г, 0 — —( г', / —— ) (пУ) бV'1.' ’ ' ar I er J \ ’ с 7 ' J

Осуществив дифференцирование яо г, мы получим два слагаемых. Одно из них будет пропорционально 1/г2, второе пропорционально 1/г. Первое слагаемое убывает с расстоянием гораздо быстрее, чем второе. Поэтому мы пренебрежем им, как это делали уже неоднократно. Кроме того, мы учтем, что дудг = =— (l/c)dj/d£ В результате получим

А (г, 0 - 4f It $ i ^ 1 ~r^ ^ dV'-

Чтобы упростить дальнейшие выкладки, перейдем от непрерывного распределения зарядов к дискрет-

ному. Тогда выражение для А примет вид

А(г, 0 = ^^ E«evu«). (81.1)

Значения va и г; берутся в момент / — г/с.

Выражение, стоящее в (81.1) под знаком суммы, можно представить следующим образом:

va «) = -^ « «)) * < (™о).(81.2)

Разобьем *а(пг')на две равные части и заменим одну из них половиной выражения (81.2):

Va «) = ^ va (nr;) + ~4 {< «)} - Т ra ("О'

Первый и третий члены можно представить в виде двойного векторного произведения: '/2 [п [va, Гд] ] (в этом можно убедиться с помощью формулы «бац минус цаб»). Таким образом,

^а И,) = Т 1° I Va]] ’Г Т IF К «)}•

Подстановка этого выражения в формулу (81.1) дает

А Ь =h ^га 11 +

(пг') — А Ао. (81.5)

Смысл индексов т и Q выясвится в дальнейшем.

Вынесем в персом члене л за знак суммы и поменяем местами vo и г'. В результате этот член примет вид

Первый множитель есть магнитный момент m системы (см. формулу (51.15)). Поэтому можно написать, что

(8L4)(8L4)Am = 4r[mnl,

(8L4)

(8L4)

где m = dm/dt берется в момент времени t — r/с. Таким образом, потенциал Ат определяется изменениями магнитного дипольного момента. Поэтому соответствующее излучение называется магнитно-дипольным.

В случае магнитно-дипольного излучения магнитное поле равно

Bm = [VAJ = [vr, ^] = [п, ^]

(ср. с (80.3)). Если пренебречь в дКт/дг членом, пропорциональным 1/г2, и заменить д/дг на (— \/c)d/dt *), получим

Вт = ~ 757 [n [т а]] == -^ Цтп] »].

Воспользовавшись эквивалентным (80.5) соотношением (72.16), получим, что

Ет = — -^г [n п] — ~ [пт).

Итак, поля при магнитно-дипольном излучении равны

^ = 757 |nm],

,(81.5)

В)П = 727 Цтп] п].

Сравнение полученных результатов с формулами (80.4) для дипольного излучения показывает, что Вт выражается через m точно такой формулой, какой Е выражается через р. Формулы для Ет и В отличаются, кроме замены р на т, еще и знаком. Отсюда следует, что картину поля при магнитно-дипольном излучении в волновой зоне можно получить, заменив на рис. 80.1 р на m, Е на В,„ и В на — Ет.

Обратимся ко второму члену формулы (81.3), т. е. к выражению

Aq^W^^^UO- (81.6)

') Напоминаем, что m — mp-r/c).

§ 81. МАГНИТНО-ДИПОЛЬНЫЕ И КВАДРУПОЛЬНЫЕ ПОЛЯ 339

Добавление к Aq выражения f(/)n (f(r)— любая функция от г) не изменит Вс, так как [V, f(r)n] = O (см. (XI. 54)). Возьмем в качестве /(г) функцию

f (г) = — -g^^ 7^ ^е/а

^r'Q есть функция аргумента (/—г/с), которая при воздействии на нее оператора V ведет себя как функция от г). Умножив эту функцию на п и прибавив ее к (81.6), получим

aq = еХ -5- IX <3< «) - <Х •

Напишем выражение для t-й компоненты вектора Aq:Напишем выражение для t-й компоненты вектора Aq:Последний член в фигурны. скобках можно представить в виде 22 г'2^;кпк. Тогда Лу- будет выглядеть следующим образом:Последний член в фигурны. скобках можно представить в виде 22 г'2^;кпк. Тогда Лу- будет выглядеть следующим образом:Но сумма по а «жъ Qu — :’.оппонента тензора, квадрупольного момента системы (см. формулу (43.13)). Следовательно,Но сумма по а «жъ Qu — :’.оппонента тензора, квадрупольного момента системы (см. формулу (43.13)). Следовательно,

Напишем выражение для t-й компоненты вектора Aq:

Напишем выражение для t-й компоненты вектора Aq:

Последний член в фигурны. скобках можно представить в виде 22 г'2^;кпк. Тогда Лу- будет выглядеть следующим образом:

Последний член в фигурны. скобках можно представить в виде 22 г'2^;кпк. Тогда Лу- будет выглядеть следующим образом:

Но сумма по а «жъ Qu — :’.оппонента тензора, квадрупольного момента системы (см. формулу (43.13)). Следовательно,

Но сумма по а «жъ Qu — :’.оппонента тензора, квадрупольного момента системы (см. формулу (43.13)). Следовательно,

' Qi gc2r д/З^^^* Qc2r др Qi,к

где Qi — компонента вектора, получающегося при умножении вектора п на тензор Qu. Обозначив этот вектор символом Q, можно написать

AqAq57 Q.57 Q.(81.7)(81.7)

Aq

Aq

57 Q.

57 Q.

(81.7)

(81.7)

Потенциал Aq определяется изменениями квадрупольного момента системы Поэтому соответствующее излучение называется квадрупольным.

Магнитное поле квадрупольного излучения равно

[б A z^ Т Г[б A z^ Т Г£^о_1dr J '£^о_1dr J '

[б A z^ Т Г

[б A z^ Т Г

£^о_1dr J '

£^о_1dr J '

При вычислении дХ^/дг пренебрежем членом пропорциональным i/r2, и заменим производную по г производной по t. В результате получим

В^ ;= L - [QO]

(мы переставили сомножители, чтобы не питать минус, вносимый множителей — J/c).

воспользовавшись ^^л й/йпепк'^ь! (аал.а';, чд zi, что

По сравнению с форчхлечи (§0.4) нкиаж.йпач (31.8) и (81.9) имсаст /•АНлодич^'ечоГклй лдд'дд;’д.ль л/од Кроме того,, вместо в в н?, стоит Q. Е осгалвном формулы дли полей щи s гадрупольнсм излучении тлж, дтв vhaa анллегчччык. .дсзмулал для дипольного из лучелий.

Сеч •• пстствующяе вышхл длил дают, что суммарная мощность всех трех видов излучения (включая дипольное) определяется вара:кением

I —^ ? + ^ - <81 10)

Z, h

Произведем оценку относительной интенсивности излучения различных видов. Для простоты предположим, что заряды системы движутся по гармоническому закону. Тогда

г' = 1 cos cat, v = 1ш sin «4,

где /—величина порядка размеров системы. Средние значения модулей cos tot и sin ш/1 — величины порядка единицы. Поэтому в окончательных выражениях, характеризующих порядок величины рассматриваемых выражений, множители cosm/ и sinwf мы будем отбрасывать. Например, если не иметь в виду необходимость дифференцирования по t, можно написать, что

г' ^l, v ~ I®.

(81.11)

Из определения (43.5) следует, что р есть величина порядка ег', т. е.

р ~ el cos ®/, р ~ eta sin а/, р ~ е/й2 cos й/.

Отсюда получаем, что по порядку величины мощность дипольного излучения определяется выражением

/ ~~~ _еЛ“_(81.12)

(см. (81.11)).

Из определения (51.15) следует, что магнитный момент имеет величину порядка efejc, т. е.

m ~ — е^й cos и/ sin tot ~ — ePto sin 2и/, Сс

иг'v -L еРа2 cos 2т/, т ~ — ePu? sin 2ы/. сс

Отсюда

, т2 е:!/4а6 е2о4ш2/о. .

' т ~~ ' ^/'"' ^s ■(81.13)

Сопоставление выражений (81.12) и (81.13) дает, что

/т:/р==(У/с)2:1.

Напомним, что вычисления полей излучаемых волн мы осуществили для нерелятивистского случая (т. е. для u<CcV Следовательно, в исследованном нами случае интенсивность магнитно-дипольного излучения много меньше интенсивности электрического дипольного излучения.

Согласно определению (43.13) квадрупольный момент (а значит, и вектор Q) есть величина порядка ег'\ т. е.

Q ~ еР cos2 mt, Q ~ el2to cos и/ sin tot ~ ePto sin 2m/,Q ~ ери? cos 2(о/, О ~ e2Pto3 sin 2<o/.

Следовательно,

.Q2e2o4to25(;S$5c5.Q2e2o4to25(;S$5c5(81.14)(81.14)

.Q2e2o4to2

5(;S$5c5

.Q2e2o4to2

5(;S$5c5

(81.14)

(81.14)

Таким образом, квадрупольное излучение обладает интенсивностью того же порядка величины, что и магнитно-дипольное излучение.

ПРИЛОЖЕНИЯ

L Уравнения Лагранжа для голономной системы с идеальными нестационарными связями

В случае нестационарных связей условия (4.2) имеют вид

ft (*1. -Ч, - • • . хп» О ~У~1> 2,Г?. (I. 1)

В соответствии с этим время <аодат и в функции (4.3):

х, ~- х< хЧь <72- ■ ■ ■. Яs- 0 О" *= L 2, .. ., к). (I. 2)

В формулах (4.4) н (4.5) появляется еще одно слагаемое дх,дх,

<L3>

Из (1.3) следует соотношение дх. ох.

±-^ L^(14)

dqt dq,'

дх(дх(совпадающее с (4.6). Формулы (4.7) также остаются без изменений:

дх(

дх(

(1-5)

Поскольку величины -~- будут содержать не

только qk, но и i, выражение (4 8) немного усложнится:

д2х.v-i д2х.

О-6) dtdqkL-i dqtdqh

Продифференцировав выражение (1.3) по qk, получим dxi д / дх. XV ®xi А

dq^ " "дЧк \ St )1 dqk \ dqt pl-

" dqK di Z-i dqfc dqt 41-

Сопоставив это выражение с (1.6), приходим к соотношению

dx, d дх(

"dq^ ” dt dqfe *^‘ '^

совпадающему с (4.9).

Умножим уравнения

40 = 1,2и)

at dxt дх{ i t'

дх,

(cm. (4.1)) на -^- и просуммируем их по i;

у £L\ !zl у

2-1 \dt dxj dqk - £j dx. 91it

Поскольку использованные, в § 4 при преобразовании левой чах::№ -лого сравнен ля соотношения Z9), (4.6) и (4.?) йсть;^сь 6^, измлче.а'йй |’см. (1.7), (L4) и (1.5)), не изменится и результат. Следовательно, левая часть (1.8) может биг.э предсгазлена в виде

rf dL _ d£dt d«.s 3qk

(см. абзац, предшествующей формуле (4.15)).

Прежде чем перейти к рассмотрению правой части формулы (1.8), обсудим следующий вопрос. В случае стационарных связей Xi — ;Ci(qk') и приращение координаты х; за время dt будет равно

где dqk— приращения обобщенных координат за время dt. В случае нестационарных связей х^ = x^qk, О и приращение х, за время dt равно

дх,дх.

+(1.10)

где опять-таки dqk— приращения координат qk за время dt.

GX,

Если бы связи вдруг перестали изменяться , обратилась бы в нуль и формула (1.10) сон--а л а бы с (1.9). Следовательно, ото сое слагаемое l (1 10) представляет собой одюбрллне^ое пер^лспгнм'х. системы, которой полу ч». эст-. См язи «кзамс^сдогн^д» сплзях.. Елг нагч’^аю^ч^т/.-у.’б^^ воздожгым) перемеил&жеу. и о6озиэвпаС' Sк». .Таким, овп^зои..,истинное лерс»1еще.ния. <Ux н'ькет быть подстрелено в виде суммы виртуального перемещения бх- и спа- dx, ГЗМЛОТО, раЕЧОГО dC,

dxt = бх; ф -™ dt.(1-П)

При стационарных связях виртуальное перемещение совпадает с истинным.

Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части формулы (1.8). Умножив его на dq&, получим

(Z R- т^у-к -Ул (^ ^ = I Ri ^- |2>

где бх/ — виртуальное приращение координаты х/, возникающее в том случае, когда изменяется только одна обобщенная координата qn.

Работа реакций Ri при фиксированных нестационарных связях (так же как и при стационарных связях) равна нулю. Поэтому £ Rt бх, = 0 и так .как

dq^^^, то из (1.12) вытекает, что

Z«^=0-<1 13)

Заметим, что истинная работа реакций нестационарных связей согласно (I. П) и (I. 13) равна

V—Xбх.ч—| Эх.

Ъ dXi = £ ^ &х* + Z Ri"dTd‘ = L Ri-dTdt

IIII

и, вообще говоря, отлична or нуля.

Итак, согласно (1. 13) первое слагаемое в правой части формулы (1.8) равно нулю— реакции связей опять выпали из уравнений. Что же касается второго слагаемого, то оно по определению представляет собой обобщенную силур’ .(ем. Формулу (4.12)). Таким образом, и для нестациоиар.щ*х слизей мы пришли к уравнениям .Пагразжа

[«. Тсадама Зажга. удя оаижщд^д^х жетщ

ФуШЩИД аюб<КХ> ДИД1Ж 1ГЩ<ЛЖЩ1ГЧ. НЖЬ№1.РТ'"Д,ОД; ЕЮр^ДНОя Ц# V V'T'-ToV^ 3T:HV. HCJ ^’^i1 >С t‘ <4 '^ь-,. СТС HiCb' Ч1: .ССЛИ при y?/hC..6HiH н^ ке^еме rUiCL на nj^jP3^i.'rJiVvo в?7 личину а функция умножается на ат, т. е.

f(axb о.х2, .ах^с"1?^, х2, .х^).

Продифференцируем это тождество по а:

Положив а = 1, получим

^,-5Г xi = mf^t. х2, х„У

Мы доказали теорему Эйлера, которая гласит: сумма произведений частных производных однородной функции на соответствующие переменные равна произведению самой функции на степень ее однородности.

Некоторые сведения

из вариационного исчисления

Функционал. Если каждому числу х из чисел некоторого класса сопоставлено другое число у, то, как известно, мы имеем дело с функцией у = у(х).

Если каждой функции у(х) из некоторого класса функций сопоставлено некоторое число Ф, то говорят, что задан функционал Ф |z/(x) ].

Для наглядности мы будем иногда говорить вместо функции о кривой.

Итак, функция устанавливает соответствие: число —> число,

функционал же устанавливает соответствие: функция (или кривая)—> число.

Таким образом, в случае функционала роль аргумента играет функция (или кривая).

Поясним сказанное следующим примером. Пусть даны на плоскости х, у две фиксированные точки /

^и 2 (рис. Ш.1). Расстояние i‘i2

между точками, отсчитанное /^>>2 вдоль соединяющей их кри- '"вой, есть функционал. Чтобы найти аналитическое выраже-

Xвие, связывающее величину /|2

с функцией у = у^, описывающей кривую, учтем, что _;—_„—.»элемент кривой dl связан cdx

" г dy соотношением d/2 = Рис. ;IL1о? 4; dy2. Представив dy

г. взде y'Mdx, получим, что

dl — ^dif A- (i/ (x\f dr1j I Jr у/ (x^Aax. Наконец, проинтегрировав и обозца- пв /и через <1>J/(л:) ], придем к выражению

^IdO^b^- л/i -V<y4xW dx. (Ш.1)

Беря разные кривые, т. е. разные функции у^, мы будем получать разные числа Ф.

Подобно тому как бывают функции не одной, а нескольких переменных, существуют функционалы, зависящие от нескольких функций: Ух^х^уг^х^ .... ysWY

Если функционал удовлетворяет условиям

Ф \су (х)] = сФ \у (х)] (с — константа),ф [у. (х) + уг (х)1 = Ф [yt (х)] + Ф [у2 «(Ш‘ 2)

он называется линейным. Линейные функционалы мы будем обозначать символом ФЛ1,Н или ЕДКИ и т. п

Функционалы, зависящие от нескольких функций, могут оказаться линейными по отношению к одним функциям и нелинейными по отношению к другим. В этом случае, например, символ

Флйя. 1.0 цч [<Л (ХЦ г/5 'Xj, . . ]

будет означать фунющонал, линейный относительно функции у2(хУ

Задачей вариационного н<числения является разработка методов нахождения экстремальных (т. е. максимальных, минимальных и.ы стационарныхi значений функционалов. Эта задача во многом сходна с задачей нахождения экстремумов обычных функций.

Варэацкя функционала. Е.ыбереы нз рассматриваемого класса функций произгольную функцию у^х^ (чтобы отличить выбранную функцию от остальных функций данного класса, мы воспользовались значком тильда). Затем выберем из того х:е класса другую функцию у(х). Разность этих двух функций называется вариацией функции ^(х). Вариацию обозначают символом 6у(х) или, короче, бу. Таким образом, вариация функции определяется следующим выражением

бу = у (х) — у (х).(Ш.З)

Вариация функции аналогична приращению Ах (или dx) аргумента обычной функции: Ах = х — х.

Вариация бу функции у(х') есть, очевидно, функция от х. Продифференцировав эту функцию по х, найдем согласно (Ш.З), что

ФуУ = у' (х) — у' (х).

Правая часть этого выражения представляет собой вариацию функции у'(х). Следовательно, мы приходим к соотношению

<буУ = бу‘(Ш.4)

(производная вариации равна вариации производной).

Выясним, какая величина в вариационном исчислении соответствует дифференциалу обычной функции. Напомним, что если функция непрерывна1), то се приращение Ау, ратное у(х)— у(х), можно представить в виде суммы линейного относительно Ах слагаемого и бесконечно малой величины порядка выше первого по отношению к Ах:

Ду == у" (х) Ах + е Ах,

где е — величина, обращающаяся в нуль вместе с Ах (иначе можно сказать, что Пт е = 0). Первое сла-

Дх-»0

гаемое в этом выражении называется дифференциалом функции. Таким образом, дифференциалом функции называется та часть приращения функции, которая линейна относительно Ах.

Для функции у ~ х дифференциал совпадает с приращением. Следовательно, Ах = dx, так что выражение для дифференциала функции можно написать в виде

dy = y'^Ax либо dy = у'(х^ dx. (Ш. 5)

Если малому изменению функции (малой бу) соответствует малое изменение функционала, то функционал называется аелрерывным. Для непрерывных функционалов можно ввести величину, аналогичную дифференциалу обычной функции.

Приращение функционала АФ — Ф [у (х) + бу] — — Ф[у(^)] есть величина, зависящая от двух функций: у(х) и бу. Следовательно, АФ — также функционал. Этот функционал, вообще говоря, будет нелинейным. Если ЛФ[у(х)] можно представить в виде суммы линейного относительно бу функционала FЛИН. ПО ДУYyW,6y\ и бесконечно малой величины порядка выше первого по отношению к |6у|тах (максимальному значению модуля функции бу), то главную, линейную относительно бу, часть приращения функционала называют вариацией функционала. Таким

*) Более строго, нужно было бы потребовать, чтобы функция была не только непрерывной, но также и дифференцируемой. Однако функции, рассматриваемые в физике, как правило, если непрерывны, то и дифференцируемы. Хотя, вообще говоря, в математике известны непрерывные функции, которые недифференцируемы.

образом,

АФ \у (х)] = 6Ф [у (х)] + е| бу |тах,(Ш. 6)

6Ф [у (х)] = ^лин ::о Ьу [у (х), бу](111. 7)

есть вариация функционала, а е — величина, обращающаяся в нуль вместе с !бу|,Р?х.

Вариация функционала ягляется аналогом дифференциала функции, оп,;- ■' .гзмого выражением (Ш.5)."'■

Определение (Ш. 7) ле?ж вбобшнх1;-. пг случай функияоцохж, язекг-ящи?. ст р^судпьких ф^што^*.

6Ф [у t (xj, уо(х), .. ., у, (х)]--.

—jm«. по бу,. бу„tv . | V; (х), УгМ, • • •

■ • Уз ДД 6ц,,, . . <ДД U1L8)

у,ДУДV 1 i С 'Ф Ду.(Ш. 9)

Это приращение раано

АФ - Ф [у (х) + бу] - Ф iy (хН —

= 5 1у (х) + бу]2 dx — t [у (х)]2 dx

= ^ [2у (х) бу + (бу)2] dx == ^ 2у (х) бу dx + ^ (бу)2 dx. ааа

b

Интеграл ^(6y)2dx не превосходит величину

I бУ ^., (6 - а) = {I 6у lmax (Ь - а)} | бу |тах. где | бу |тах - максимальное значение модуля функции бу в интервале а ^ х ^ Ь. Выражение в фигурных скобках обращается в нуль вместе с |бу [max. Следовательно, \ (dy)2dx можно представить в виде е|6у|тах, где

Е->0 при I б^| max--0. ТСГДЗ

Ь

АФ = ^ 2г/ (х) Зу dx + е j бу ]та1 а

(ср. с (Ш.6)). Первое слагаемое в этом выражении представляет собой функционал, зависящий от функций у(х) и бу,

ь

^лин. по 6ti [у (х), бу] == 2у (х) бу dx. (III. 10)

Легко проверить, что этот функционал линеен *) по отношению к бу (см. условия (Ш.2)). Таким образом, выражение (Ш. 10) д: ст вариацию функционала (III.9).

Необходимое условие экстремума функционала. Начнем опять с аналогичных понятий из анализа. О функции f(x!fx2 с.) говорят, что сна имеет в точке xi, х2, ..., х„ экстремум, еслч. приращение зтояГ функции

Af = / ($у, х2, . . ., гу) — / (Aj, лъ . . ., У

имеет одаа и тот :®е лнах для всех то чех (хьх2, ..., хп), принадлежащих окрестности точки .(й, х«, хД. При ^ г».Д\ в данной точке дмеел vjb- сто максимум, при А/О — минимум.

В анализе доказывается, что необходимым условием для существования экстремума в некоторой* точке является равенств-) нулю дифференциала функции в этой точке:

df = 2 (Ш.П)

Аналогично говорят, что функционал Ф[у(х)] достигает экстремума при y~ykxY если приращение функционала

АФ = Ф[у(х)]-Ф[у(х)]

имеет один и тот же знак для всех кривых у(х), достаточно близких к кривой Щх^- При АФ ^ 0 наблюдается максимум функционала, при АФ ^ О— минимум.

Найдем условие, необходимое для достижения функционалом Ф[</(^)] экстремума при у = у^. Рассмотрим для определенности случай максимума. Если Ф[у(д)1 достигает максимума г ри у = у(х), это значит. что

Ф = у (д) -U бу] - Ф[§ (>:К0 (Ш . 12)

для всех бу-~бу(х) , для тотсфых l.fi^ln^x достаточно мал. С1гд'»:«1 ^ЛЛ) ч. (ШЯ)

АФ -~ Ф J у (ф + SiH — <53 [§ (X.)]

— F ж к; Ьз (у (х), O/J 4- ej 6// 1яах (Hi. 13)

Выделим из всех возможных вариаций бу те, которые могут быть представ пены в виде, бу — «б/у., где буо — не^очоу.а% Фихсированв.тя iocT?TO>»m м-гтая ва- рщщия, а а—^£;.^ем€нная а/эчбраичоская величина. Подстазщо .эту дар нацию в (ill. 13) и учтя, что б силу линейнооп; A'iy {Ф , абис] — сФ (й( п. ,^ можно написать

АФ — aF Ijj, ^\, 6^14 spy .бч^ ах.

В последнем выражении г|§(х) ,&/о1, есть просто какое-то число. Если это число отлично от нуля, то при достаточно малых а знак ДФ будет определяться знаком выражения aF{5Ax'). ^Уо) (слагаемое еа|буо| max убывает гораздо быстрее, чем первое слагаемое1)), а это выражение будет изменять знак вместе с а (которая может быть и положительной, и отрицательной). Таким образом, для выполнения условия (III. 12) необходимо равенство нули» величины flyC), 6t/oL Условие (Ш. 12) должно вычслпяться для всех без исключения достаточно мал^х вариаций бу. Мы же обнаружили, что при 6Ф =# D хотя бы для части вариаций, имеющих вид абус, указанное условие не соблюдается. Поэтому можно высказать следующее утверждение: для достижения функционалом Ф[у(*)] максимума при у^у^х) необходимо, чтобы его

вариация (если она существует) обращалась в нуль при у — у (х):

6Ф:-Г„О >Лук^У\^^^(Ш.14)

Видно, что, повторив рассуждения для случая минимума функционала, мы придем к тому же заключению. Следовательно, формула (III. 14) выражает условие не только максимума, но и минимума, т. е. экстремума вообще. Эта формула является аналогом формулы (III. 11).

Простейшая задача вариационного исчисления. Найдем экстремум функционала вида

Ф 11/(х)] = $ Дх, у (х), у' (х)] dx. (III. 15)

Граничные точки допустимых кривых предполагаются закрепленными — для всех допустимых кривых

y(Xi) = z/1, y(x2) = z/2.(III. 16)

Приращение функционала равно

АФ = ^ f [х, у + бу, У' + б/] dx—^f [х, у, z/J dx.

Разложим подынтегральную функцию в первом интеграле по степеням малых величин бу и бу'. В результате получим

Х1

АФ = ^Дх, у, ‘/W^ N +-^б/+е(б1/. by'^dx —

— ^ Дх, у- y'W, где &{бу, бу') объединяет члены порядка выше первого относительно величин бу и бу'. Это выражение упрощается следующим образом:

X,X,

АФ=${^-бу + ^гд/}^х + 5е(ду, 6y')dx. (III. 17)

Проинтегрируем по частям второе слагаемое в первом интеграле. Для этого представим его в виде

7 == (^у' dx == ( -^-r<6uY dx

J dy J J dy' '

(напомним, что бу' ~^уУ; см формулу (Ш 4)). Обо- значив через и, a (byYdx через dv и воспользовавшись формулой ^ ud« — ud — ^ v du, получим

XiX, X,

I Гj Sf I С d / df T , .

7=1 -5—7 (oy) dx =o</ — \ I -y-r I dy dx.

J dy '3y - ’ J dx \ dy /

x,x, x.

Вследствие того, что граничные точки допустимых кривых закреплены, вариация бу в этих точках должна обращаться в нуль: йу(Л1) == 0, бу(х2) = 0. Поэтому первый член правой части равен нулю. Следовательно,

I = — ( ~- ( ™71 бу dx.

J dx \ dy / 3

Подставим найденное значение / в формулу (Ш. 17), вынеся бу за скобки,

*2JC2

АФ —4-1 бу dx + ( е (бу, бу') dx.

J ( dy dx dy J s J ' XiCl

Главную часть АФ образует первый интеграл, который представляет собой функционал, линейный относительно бу. По определению этот интеграл есть вариация функционала Ф. Итак, вариация функционала (111. 15) имеет вид

(Ш. 181

J I dy dx dy' \ }х

а условие экстремума (III. 14) запишется следующим образом:

ydx^Q

J I dy dx ду j 3

12 И. В. Саодльея. т. I

Полученное тождество должно выполняться для любых достаточно малых функций бу = б«/(х). Это возможно только при условии, что функция, стоящая под знаком интеграла в фигу э них скобках, будет равна нулю:

ди de су ' '

Это уравнение называется уравнением Эйлера. Оно представляет собой услотие экстремума функционалов вида (Ш. 15). Кривые у — у(х. Ci, С2), являющиеся решениями этого уравнения, называются экс- тремалями (С} и С2— посгонные интегрирования).

Заметим, что прибавление в (III. 15) к подынтегральной функции полной производной по х от любой функции ф(у, х) ио. изменяет условий экстремума (III. 19). Действительно, это слагаемое после интегрирования дает величину

вэраготя ктороа ргчаа гу w (го. условию (Ш. 15) кривые на г,«анц',«х не в^ t и эуются). Таким обратом, добавление mV)/dx изменяет ; tuwb значение экстремума функционала, но не влияет на вид функции i'(x), пои которой этот экстремум достигается.

Воспользуемся формуле >й (Ш. 19) для нахождения экстремума функционала (Ш. 1). В этом случае f (я, У, /) = V1 4- (/ WP ■ Следовательно,

df _ 0 st ==д' (х)

dg ’ dt/ V* + [g' Ml2

и урасзение (III. 19) примет види урасзение (III. 19) примет вид

и урасзение (III. 19) примет вид

и урасзение (III. 19) примет вид

Решением этого дифференциального уравнения будет функция, для которой Г" — 0, а д' ™ а. Следовательно, сама функция е^ть линейна-я Функция: у = ™йх4-Ь, л^зффицйентъ; которой, нужно подобрать так, чтобы выполнялись условия (Ш. 16) Значит, функционал (Ш.1) достигает экстремума (в данном

1П. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 365 случае, очевидно, аы^дсу^а!, если в качестве у^х) взять прямую линию, сседин-сощу-з точки ! и 2 (см. рис. Ш. 1).

Экстремум функционалов, зависящих от нескольких функций. Рассмотрим функционал вида

Ф[Уь У 2Уз1 =

= J f [к, Ур У2, - - •. У5, y'vl Уу • • • У$1 dx* (ш- 2°)

где Ук = Уккх^ (6—1,2, .... з)—кривые, закрепленные в граничных точках, т. с. удовлетворяющие граничным условиям

Ук(х^=ды. Ук^У-^ум ^ = 1, 2, . .., s). {III. 21)

В соответствии со сказанным в п. 4 вариация функционала (III. 20) определяется выражением

6Ф = ( У (А- Д- йу'Д Ш1. 22)

где бу к— достаточно малые функции от х, обращающиеся в нуль в граничных точках

6yfe^Xt) = 0, бук (х2) — 0.(III. 23)

Требуется найти такую совокупность функций Ук^х), удовлетворяющих условиям (III. 21), при которых функционал (III.20) достигает экстремума. Необходимым условием экстремума является равенство нулю вариации функционала (III. 22).

Интегрируя по частям каждое из s слагаемых вида ( -Д- бу', dx,

входящих в формулу (ПА 2 2$, можно привести его к виду

Произведя такую замену в (Ш.22) и црираннтв нулш получившееся выражеине для 6Ф, придем к необхо-

димому условию экстремума:

* 5(у (SL i£v»** 5(у (SL i£v»*dxdx—-’—'i 6ук dx ~ 0. "ду^ J—-’—'i 6ук dx ~ 0. "ду^ J(Ш. 24)(Ш. 24)

* 5

(у (SL i£v»*

* 5

(у (SL i£v»*

dx

dx

—-’—'i 6ук dx ~ 0. "ду^ J

—-’—'i 6ук dx ~ 0. "ду^ J

(Ш. 24)

(Ш. 24)

Это тождество должно выполняться для любых выбранных независимо друг от друга достаточно малых функций 6^й = 6^(а), что возможно лишь при условии, что все s выражений, стоящих под знаком суммы в круглых скобка?:, будут равны нулю. Таким образом, мы пришли к системе уравнений Эйлера:

JLJ__^. = o (/:=!, 2s). (Ш. 25)

dy6 dx дук

Совокупность функций у и — Уь (*), удовлетворяющих этим уравнениям и граничным условиям (Ш. 21), при подстановке в функционал (Ш.20) даст его экстремум.

IV. Конические сечении

Коническими сечениями называются линии пересечения кругового конуса с плоскостью. В зависимо

сти от ориентации плоскости по отношению к оси ко

нуса эти линии представляют собой эллипс (круг), гиперболу или параболу.

Эллипсом (рис. IV. 1) называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек Fx и Fi называемых фокусами, есть величина постоянная:

^ + ^ = 2^. (IV. 1)

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

(IV. 2)(IV. 2)х1 । д2

(IV. 2)

(IV. 2)

а2 62

где а и 6 — большая и малая полуоси эллипса. Величина

в ■— — ав ■— — а(IV. 3)

в ■— — а

в ■— — а

где с — половина расстояния между фокусами, называется эксцентриситетом зллипса. При =-0 эллипс вырождается в окружность. Величины а, b н с сзя- заны соотношением

(IV. 4)(IV. 4)Ь^а2 -с2.

(IV. 4)

(IV. 4)

Гиперболой (рис. IV. 2) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых до

двух фиксированных точек -^ и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная:

IИ — Г 21 = 2а.IИ — Г 21 = 2а.(IV. 5)(IV. 5)

IИ — Г 21 = 2а.

IИ — Г 21 = 2а.

(IV. 5)

(IV. 5)

Гипербола имеет две симметричные ветви. Каноническое уравнение гиперболы выглядит следующим образом:

dv-6)

где а и b— действительная и мнимая полуоси гиперболы. Величины а и b связаны с с (половиной расстояния между фокусами) соотношением

(IV. 7)(IV. 7)Ьг = сг- а2.

(IV. 7)

(IV. 7)

Эксцентриситет гиперболы определяется той же формулой (IV. 3), что и эксцентриситет эллипса. Видно, что для эллипса о < 1, а для гиперболы е > 1.

Параболой (рис. IV.3) называется геометрическое место точек, расстояние которых г до фиксированной точки F (фокуса) равно ргсстоянию d до фиксировав • ной прямой D, называемой директрисой параболы:

г — d. Каноническое уравнение параболы имеет вид

У2==2ог,У2==2ог,(IV. 8)

У2==2ог,

У2==2ог,

где р— параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы (ось направлена по оси симметрии параболы, а начало координат совпадает с вершиной параболы). Эксцентриситет параболы следует, как мы увидим ниже, принять равным 1.

Рис. IV. 3Рис. IV. 3Рис. IV. 4Рис. IV. 4Любое коническое сесек ле можно определить как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния г (рис. IV. 4) до точки F (называемой фокусом) к расстоянию d дэ прямой D (называемой диТав лица IV.1ректрисой) есть постоян-пая величина е (называемая эксцентриситетомЛюбое коническое сесек ле можно определить как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния г (рис. IV. 4) до точки F (называемой фокусом) к расстоянию d дэ прямой D (называемой диТав лица IV.1ректрисой) есть постоян-пая величина е (называемая эксцентриситетомЗначение еЗначение еВид кривойВид кривойкривой):кривой):эллипс парабола гиперболаэллипс парабола гиперболаIr = е. (IV. 9)Ir = е. (IV. 9)В зависимости от значения эксцентриситета еВ зависимости от значения эксцентриситета еполучается то либо иное коническое сечение (табл. IV. 1).У эллипса и гиперболы имеются по два фокуса и по две директрисы. Условие (IV. 9) выполняется для каждого из фокусов и соответствующей ему директрисы. На рис. IV. 5 показаны фокусы и директрисы эллипса а) и гиперболы б) (ср с емс. IV. 3 для параболы).получается то либо иное коническое сечение (табл. IV. 1).У эллипса и гиперболы имеются по два фокуса и по две директрисы. Условие (IV. 9) выполняется для каждого из фокусов и соответствующей ему директрисы. На рис. IV. 5 показаны фокусы и директрисы эллипса а) и гиперболы б) (ср с емс. IV. 3 для параболы).

Рис. IV. 3

Рис. IV. 3

Рис. IV. 4

Рис. IV. 4

Любое коническое сесек ле можно определить как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния г (рис. IV. 4) до точки F (называемой фокусом) к расстоянию d дэ прямой D (называемой ди

Тав лица IV.1ректрисой) есть постоян-

пая величина е (называемая эксцентриситетом

Любое коническое сесек ле можно определить как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния г (рис. IV. 4) до точки F (называемой фокусом) к расстоянию d дэ прямой D (называемой ди

Тав лица IV.1ректрисой) есть постоян-

пая величина е (называемая эксцентриситетом

Значение е

Значение е

Вид кривой

Вид кривой

кривой):

кривой):

эллипс парабола гипербола

эллипс парабола гипербола

Ir = е. (IV. 9)

Ir = е. (IV. 9)

В зависимости от значения эксцентриситета е

В зависимости от значения эксцентриситета е

получается то либо иное коническое сечение (табл. IV. 1).

У эллипса и гиперболы имеются по два фокуса и по две директрисы. Условие (IV. 9) выполняется для каждого из фокусов и соответствующей ему директрисы. На рис. IV. 5 показаны фокусы и директрисы эллипса а) и гиперболы б) (ср с емс. IV. 3 для параболы).

получается то либо иное коническое сечение (табл. IV. 1).

У эллипса и гиперболы имеются по два фокуса и по две директрисы. Условие (IV. 9) выполняется для каждого из фокусов и соответствующей ему директрисы. На рис. IV. 5 показаны фокусы и директрисы эллипса а) и гиперболы б) (ср с емс. IV. 3 для параболы).

Расстояние р' от фокуса дэ директрисы называется параметром кривой. Величина

(IV. 10)(IV. 10)р = р'о

(IV. 10)

(IV. 10)

называется фокальным параметром.. Легко сообразить, что он равен половике хорды, проходящей через фокус и параллельной директрисе (рис. IV. 4). Для параболы р р'.

Расстояние между директрисами эллипса (гиперболы) равно 2(а/е), где а — большая (действительная) полуось кривой.

Напишем уравнение конического сечения в полярных координатах, поместив начало координат в одном из фокусов кривой (рис IV. 4). В соответствии с (IV. 9)

гг

— = -г-= е,

а р + / cos <р

откуда

(р = р'е; см. (IV. 10)).

Уравнение (IV. 11) описывает гллипс (с началом координат в точке F-; рис. IV.5,а), правую ветвь гиперболы (с началом координат в точке Г^; рис. IV. 5,6) и параболу. Отметим., что фокус F2 является для правой ветви гиперболы внутреннем.

Если поместить начало координат в правом фокусе эллипса (точка Fi. па рис. IV. 5, а), то, как следует из рис. IV. 6, уравнение эллипса имеет вид

~ g

р — Г CCS ф

илиили(IV. 12)(IV. 12)г

или

или

(IV. 12)

(IV. 12)

I К г cos <р

(р — ре). Это же уравнение описывает левую ветвь гиперболы (см. рис. IV. 5, б) при условии, что начало

координат помещено в точку Ft (во внутренний по отношению к этой ветви фокус), а также параболу, являющуюся зеркальным

Рис. IV. 7Рис. IV. 7относительно D) отражением параболы, изображенной на рис. IV. 3. Фокус г такой параболы лежит слева от директрисы D.

Рис. IV. 7

Рис. IV. 7

Найдем уравнение одной из ветвей гиперболы (скажем, левой) при условии, что начало координат помещено во внешний по отношению к этой ветви фокус (в точку F2 для левой ветви; рис. IV. 5,б). В этом случае (рис. IV. 7)

d =г cos (л — ф) — 2 -- — р = — г cos Ф — 2 -— р .

Согласно определению гиперболы (IV. 5) г — г' — 2а, откуда

г' — г — 2а.

г — 2аг — 2аПодставив найденные нами значения д' и г' в соотношение (IV. 9), придем к формуле

г — 2а

г — 2а

= е.

— г" cos <р — 2 р'

После несложных преобразований получим искомое уравнение

г^—(IV. 13) 1 -- е cos ф '

(р = р'еУ Следует иметь в виду, что для левой ветви Ф > 4р- (см. рис. IV. 7), т е cos ф < 0. Кроме того, для всех точек |есо8ф|> 1, так что значения г, получаемые по формуле (IV. КЗ), будут положительными.

Предоставляем читателю убедиться в том, что аналогичное уравнение для правой ветви (начало координат в точке Fv^ имеет вид

В этом случае ф <4р, так что созф > 0; кроме того, есозф> 1, так что значения г положительны.

V. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением л-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

//(,1’ + а„_1У(п-!)+ ... + аху' + а^у = f (х), (V. 1)

т. е. уравнение, линейное относительно неизвестной функции у(х) и ее производных (аг— постоянные величины, которые могут быть ts нулями).

Если правая часть уравнения тождественно равна нулю (f(x) = 0), то линейное уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным. Однородное уравнение имеет гид

yw + ап.лу^-^ + ... К- аху' + а$ = 0.(V. 2)

Общим решением дифференциального уравнения называется множество решений, включающее все без

исключения частные рыгения. Общее решение всякого дифференциального уравнения я-го порядка содержит п произвольных постоянных (постоянных интегрирования), т. е. имеет вид

у-у^С^С,, .... Сп\(V. 3)

Придав постоянным Сь С2, .... Сп определенные значения, получим частное решение. Частное решение не содержит произвольных постоянных величин.

В теории линейных дифференциальных уравнений доказывается, что если уь у2, . . . , уп суть линейно независимые') решения однородного уравнения (V. 2), то общее решение этого уравнения можно представить в виде

у (х, С„ С2О — £ Ctyt (к\(V. 4)

f = i

где С., С2, ..., Сп — произвольные постоянные.

. Пусть у(х) есть одно из частных решений неоднородного уравнения (V. 1), а у^х)— общее решение того же уравнения. Если ввести обозначение и(х) = = у(х)— у(х), то общее решение можно записать следующим образом:

у (х, Сх, С,., Сп) =-1= (х, Сь Съ ...,Сп) 4- у (х).

(V. 5)

Подставим эту функцию в уравнение (V. 1) и сгруппируем отдельно слагаемые вида uw и слагаемые вида yw:

uw 4- aR_xu^n ° + . .. + a v' 4- OqU 4-

[y<'l) 4- an_x^n ” 4- - - - 4- Q\y' 4- ад] = / W- Функция y^ есть частное решение уравнения. Следовательно, выражение, заключенное в квадратные скобки, равно правой части уравнения. Отсюда вытекает, что функция ч(х, СЬС2, ..., Сп) удовлетворяет условию

uw 4- ад1ц(л’ 1! -J- ... 4“ tiiM' V йгм = О-

*) Совокупность функций ft, f>, ... fn чаэывает-"я линейно независимой, если соотношении вг^а

ttlfl 4" Сй’2 Т • • • + ttnfn =3 О

выполняется только при условии, что все а< равны нулю.

Тйе^им образом, и является oqIaTm решением однородного уравнения (V.2), соответствующего неоднородному уравнению (V. 1), т. е. имеющего такие не коэффициенты а^, что и уравнение (V. 1).

Полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения: у (общ., неодиор.) =

= у(общ., однор.) -f- у (части., неоднор.). (V. 6)

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами решают с помощью подстановки

у (х) = exp (l x), (V.7)

где X — постоянная величина. Продифференцировав эту функцию m раз (т — 1,2, ьз), получим

у^-^х^е-Ц'Хх). (V.8)

Подставив значения функции (V. 7) и ее производных (V. 8) в уравнение (V. 2) и сскратив на отличный от нуля множитель ехр(Хх), придем к так называемому характеристическому уравнению

А'Ч-ап_1Г-,+ ... -аЛЛ-Щ — 0. (V.9)

Корни этого уравнения представляют собой те значения X, при которых функция (V. 7), удовлетворяет уравнению (V.2).

Если все п корней характеристического уравнения будут различными (будут отсутствовать кратные, т. е. совпадающие корни), п частных решений вида ехр(Х,х) окажутся линейно независимыми. Следовательно, при отсутствии кратных корней общее решение уравнения (V. 2) выглядит следующим образом:

y = £C,ex3(Xzx) (V. 10)

(Сь С2, ..., Сп — произвольные постоянные).

Можно показать, что в случае, когда характеристическое уравнение (V. 9) имеет кратные корни, то р№ линейно независимых частные решений, отвечающих

корню Хц кратности р11л должны быть взяты в виде ехр(Ацх), хехр(АцХ), х2ехр(Ацх), .х"*1-1 ехр (А^х), гак что соответствующий им вклад в общее решение равен сумме

Рц

^(Сцкхк ’expt^x).

Следовательно, если корень Ai будет кратности pi, Аз—кратности р2, ..., А„— кратности pm(pi+p2+ • ■• ... +рт = п), то общее решение можно представить в виде

т Рц

У = Е £ С^'ехр^х). (V. 11)

Ц-1 6-1

Допустим, что коэффициенты ак в уравнении (V. 1) действительные, а функция f(x) комплексная. Представив ее в виде

f(*) = fi (х)-Н7з(Д

получим уравнение

yw + ап-1У(п-п + - . ■ -ь ад' + ад = А (*) + ЦАхУ

(V. 12)

Будем искать решение этого уравнения в виде

У (*) = Ух (х) + iy2 (х).

Подстановка в (V. 12) дает

W + а« - -У? ' ° + ■ ■ ■ + а1Ух +аоУх) +

f ^ -^ап_^ ” + ... + а^г + ад2) =

=ЬМ + Ш (V.13)

У равных друг другу комплексных чисел равны порознь действительные и мнимые части. Следовательно, уравнение (V. 13) распадается на два независимых уравнения вида (V. 1). В одном из них справа стоит функция fx(x), его решением является функция Ух(х). В другом справа стоит функция falx), его решением является функция уа(х). Это свойство уравнения (V. 13) обусловлено его линейностью. Оно позволяет воспользоваться следующим приемом, иногда

значительно облегчающим вычисления. Пусть в решаемом нами уравнении (V. 1) правая часть действительная. Прибавим к ней произвольную мнимую функцию. Найдя затем комплексное решение получившегося уравнения, возьмем его действительную часть. Она будет представлять сабой решение исходного дифференциального уравнения.

Очевидно следующее утверждение: если линейное однородное уравнение (V. 2) с действительными коэффициентами имеет комплексное решение у (х) =yi () + -Н’УгС-х), то каждая из функций у^х) и у3(х) в отдельности является решением этого уравнения.

VI. Векторы

Основные определения. Векторами называются величины, которые характеризуются численным значением (модулем) и направлением и, кроме того, складываются геометрически (т. е. по правилу параллелограмма). Ниже мы дадим более общее определение, позволяющее распространить понятие вектора на пространство п измерений.

Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется скалярная величина

ab = a6cos(a, b).(VI. 1)

Скалярное произведение коммутативно: ab = ba и дистрибутивно: a (bi + b2 + ■ ■ •) = abj -f- ab2 + ■ • . н<> не ассоциативно: a(bc)^(ab)c

Векторным произведением называется вектор *)

[ab] = ab sir (а, Ь) • n,(VI. 2)

где п — орт (единичный вектор) нормали к плоскости, в которой лежат векторы а и Ь, причем последовательность a, b, п образует правовинтовую систему.

Векторное произведение не коммутативно:

5& [Ьа], дистрибутивно: [a(bi + Ь2 + ...)] = [abj+ -НаЬгЦ- ... и не ассоциативно: [ [ab] с] ф {а [Ьс] ].

Рассмотрим смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов: а[Ьс]. Применив формулы

(VI. 1) и (VI 2), получим

a [be] = a \bc sin (b, с)} cos (а, п).

Из рис. VI. 1 легко видеть, что полученное нами выражение равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах1). Действительно,

be sin (b, с) дает площадь основания параллелепипеда, a a cos (а, п) — его высоту.

В качестве основания параллелепипеда можно взять также грань, стороны которой образуют векторы с и а либо векторы а и Ь. Тогда объем будет определяться смешанными произведениями Ь[са] и с[аЬ]. Поскольку объем во всех трех случаях один и тот же, можно написать

а [Ьс] = h [cal = с [аЬ].(VI. 3)

Таким образом, смешанное произведение допускает циклическую перестановку сомножителей, т. е. замену каждого из сомножителей следующим за ним или предшествующим ему сомножителем. Следующим за с следует считать вектор а, а предшествующим а — вектор с, что нагляднее всего вытекает из следующей схемы:

а Ь

(VI. 4) с

Отметим, что во всех трех выражениях формулы (VI. 3) векторы идут в той же последовательности, что и на схеме (VI. 4). Если взять векторы в последовательности, противоположной изображенной на схеме (VI.4), то смешанное произведение изменит знак.

*) Предполагается, что угол (а, г.) острый. Если этот угол тупой, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, взятому со знаком минус.

Двойным векторным пуу?,введение?', называется вектор [afbc]]. Можно поганть (мы сделаем это низке), что

[а [йс]] = Ь(ас) —• с (ah)(VI..5)

(эта формула читается «баи минус ваб»).

В соответствии с определениями (VL 2) и (VI. 1) квадрат векторного произведения векторов а в Ь может быть преобразован следующим образом: [ab] = a2b2 sin2 (а, Ь) =

= a2b2 — d't2 cos2(а, Ь) ~- а2Ь2 — (ab)2.

Мы пришли к формуле

(abp = a2b2--(ab)2.(VI. 6)

Формулы векторной г.лггбры, выраженные через проекции векторов на координатные оси. Все приведенные выше определения и формулы не зависят от выбора системы координат, i которой ведется рассмотрение. Если установить систему координат (мы будем рассматривать только прямоугольные, т. е. декартовы системы), то каждый лектор может быть задан тремя числами — его проекциями на координатные оси1). Следовательно, вектор а эквивалентен тройке чисел ах, а-, az, вектор Ь —трейке чисел &ж,. 6У, 6г и т. д.

Зная проекции вектора на координатные оси, можно найти сам вектор. Обозначив орты координатных осей2) символами йх, еЙ, е2, можно гредставить вектор в виде

а = ехах + е^ + ед.(VI. 7)

Чтобы получить возможность записывать формулы в компактной форме с помощью знака суммы 52, будем в дальнейшем пользоваться следующими обозначениями. Вместо координаты к будем писать хь вместо у — х2 и вместо z — х3. Аналогично для ортов осей введем обозначения: ei, е-:, е$. Соответствие между

*) Мы рассматриваем так называемые свободные векторы, для которых не фиксированы точка приложения и прямая, вдоль которой направлен вектор.

Прежними и новыми обозначениями дано на приводимых ниже схемах:

(VI. 8)

(VI. 9)(VI. 9)3 = ».->«,,

(VI. 9)

(VI. 9)

j = еа е2,

к — е, --> е3.

В новых обозначениях формула (VI. 7) может быть записана в виде

а = /_, ел<ка = /_, ел<к(VI. 10)

а = /_, ел<к

а = /_, ел<к

(во всех случаях, когда не будет оговорено противное.

мы будем предполагать, что индекс, по которому производится суммирование,— немой индекс — пробегает значения 1, 2, 3).

Рис. VI. 2Рис. VI. 2Тройка векторов еь е2, е3 образует базис координатной си- стемы. Задание этих векторов полностью определяет систему. Постольку еь е2 и е3 взаимно перпендикулярны, а модули их

Рис. VI. 2

Рис. VI. 2

равны единице, из формулы (Vl. 1) вытекает, что

®£®,г — 6,4,®£®,г — 6,4,(VI. 11)

®£®,г — 6,4,

®£®,г — 6,4,

где dik — так называемый символ Кронекера, который определяется следующим образом:

{

1, если i —

Л(VI. 12)

О, если i ^ k.

Отметим '), что 6ц, = 6щ.

Из формулы (VI. 2) следует, что (рис. VI. 2)

Ieie2] = e3,

(VI. 13)(VI. 13)[е2е3] =-- е,,

(VI. 13)

(VI. 13)

Гез®! I е2.

Ч В Приложении X будет показано, что совокупность величин 3/6 образует симметричны! тензор второго ранга.

Отметим, что каждое из соотношений (VI. 13) может быть получено из предыдущего (или последующего) с помощью циклической перестановки индексов по схеме

— 2

W(VI. 14)

Введем символ )

еиь(VI.15)

обозначающий набор из 27 чисел, которые определяются следующими правилами:

если значения хотя бы двух индексов совпадают, то 6,^ = 0 (например, еш = 6262=6,33=6222=0);

если все индексы разные и образуют циклическую перестановку последовательности 12 3, то 6ifei = = 1 (б123 = 6231 = 6312 = 1 ) 1

если все индексы разные и образуют циклическую перестановку последовательности 3 2 1, то е.ш= =1 (бз21 = 6213 = 6132 =1).

Таким образом, из 27 значений ын 21 равно нулю, 3 равны +1 и 3 равны — 1

Заметим, что любая циклическая перестановка чисел 123 может быть получена из 123 посредством четного числа перестановок (транспозиций) двух индексов, а любая циклическая перестановка чисел 3 2 1 может быть получена из 12 3 посредством нечетного числа перестановок двух индексов. Действительно, поменяв, например, в последовательности 123 местами 1 и 2 (что даст 2 13, т. е. циклическую перестановку чисел 3 2 1), а затем поменяв местами 1 и 3, получим перестановку 2 3 1.

Следовательно, значения символа e,6z можно определить так: 1) они равны нулю при совпадении значений хотя бы двух индексов, 2) они равны 4-1 или — 1 в зависимости от того, каким — четным или нечетным— числом перестановок может быть получена последовательность i к I из последовательности 1 2 3.

Для определения знака г,ы можно пользоваться также следующим правилок. Назовем беспорядком в перестановке тот факт, что большее число стоит впереди меньшего. Так, например, в перестановке 2 1 3 содержится один беспорядок 2 стоит впереди 1, а в перестановке 32 1 три беспорядка: 3 стоит перед I, 3 стоит перед 2 и 2 стоит перед 1. Припишем «мы значение + L если число беспорядков в перестановке I к I является четным, и —1, если число беспорядков нечетное. Легко убедиться в том, что все три рассмотренные нами правила определения знака g^z дают одинаковый результат.

Докажем следующее очень полезное соотношение между символами е и б:

X ®1Ы®тп1 — ЪпДгп — ^In^fem- (VI. 16)

Раскроем сумму, стоящую в левой части:

^IM^mnX 4“ ^ik'.^m,i2 ~Ь ®Zft3°rnn3 (VI. 17) и выясним, при каких знгчениях индексов t, .%, m, п эта сумма отлична от нуля. Очевидно, что для отличия хотя бы одного слагаемого от нуля должны выполняться одновременно условия

I =£ k и гч ч^ п.(VI. 18)

Кроме того, должно быть

i = m, к = п или i = n, k = m. (VI. 19) Действительно, если при соблюдении условия (VI. 18) не будет соблюдаться условие (VI. 19), то в каждом из слагаемых в (VI. 17) в числе значений первых двух индексов обоих сомножителей будут фигурировать и 1, и 2, и 3. Поэтому немой индекс Z в каждом из слагаемых совпадет со значением одного из индексов I, к, т, п, так что все слагаемые будут нулями.

Объединим условия (VI. 18) и (VI. 19) в одно, выражаемое формулами

I = т ч- к ~ п,(VI. 20)

i = n#:k==m.(VI. 21)

В случае, соответствующем соотношениям (VI. 20), сумма (VI. 17) имеет вид

®mnl^mnl 1' ^'тп'Л^ти" ~Ь ^тпЗртпЗ*

Очевидно, что отличным от нуля будет только одно слагаемое (для которого п, ли/ различны), причем оно равно 4-1.

В случае, соответствующем соотношениям (VI. 21), сумма (VI. 17) имеет вид

^'nml^mnl 4~ ®пт:^тп2 4~ ®мтЗ®тпЗ-

В этой сумме также отлично от нуля только одно слагаемое, причем оно равно произведению +1 на —1, т. е. —1 (при перестановке двух индексов елт/ меняет знак).

Теперь обратимся к правой части формулы (VI. 16), т. е. к выражению

^,А„ - 6<Ат-(VI. 22)

Если / = й (или ш = п), это выражение принимает ВИД 6fem6fe/i бд^бйт (либо б/пб^л — б/лбйп) • Оба ЭТИ выражения равны нулю. Отсюда следует, что для отличия выражения (VI. 22) от нуля должны одновременно выполняться условия

i^k и и#!!(VI. 23)

(ср. с (VI. 18)). Кроме того, должно соблюдаться одно из двух следующих условий:

i = tn, к==п,(VI. 24)

i — r., к==т.(VI. 25)

При соблюдении условия (VI. 24) первый член выражения (VI. 22) равен 4-1. Поскольку / = tn, a т N= п (см. (VI. 23)), то i^=n и второй член выражения (VI. 22) равен нулю. Следовательно, при соблюдении условия (VI. 24) выражение (VI. 22) равно 4-1. Совокупность условий (VI. 23) и (VI. 24) эквивалентна условию (VI. 20), при котором, как мы установили, левая часть формулы (VI. 16) также обращается в 4-1

При соблюдении условия (VI. 25), которое в сочетании с (VI. 23) эквивалентно условию (VI. 21), выражение ( VI. 22) обращается в —1.

Таким образом, соотношение (VI. 16) нами доказано.

С помощью символа а.ы совокупность соотношений (VI. К) может быть представлена в виде одного

выражения

[e<ej = 2 Чь^ь(VI. 26)

i

Действительно, при != 1, % —2 отличным от нуля будет только слагаемое еизвз, разное Сз, при i = 2, k = 3 отлично от нуля слагаемое 223:61 — 61 и, наконец, при 1 = 3, к = 1 отлично от нуля слагаемое ез!яе2 = е».

Выражение (VI. 26) дает даже больше чем совокупность трех соотношений (VI. 13). Оно содержит 9 соотношений. Из него следует, что векторное произведение любого орта на самого себя равно нулю — при i = к все слагаемые в правой части формулы (VI. 26) обращаются в нуль. Кроме того, в (VI. 26) содержатся выражения, получающиеся из (VI. 13) перестановкой сомножителей. Так, например, при i = 2, к=\ справа в (VI. 26) отлично от нуля слагаемое 821363 = —Сз и т. д.

Образуем скалярное произведение векторов а = = X eiai и Ь = 2 ekbfc"

ab = ^ е<“<)(Е«а)

Воспользовавшись свойством дистрибутивности, можно написать

ab = X ^i^Abk = ^иД^кI, кI, к

(см. формулу (VI. 11)). В соответствии с определением 6ut в последней сумме отличны от нуля лишь слагаемые с одинаковыми значениями индексов I и к. Следовательно,

аЬ=£аг6г(VI. 27)

или, переходя к обычным обозначениям, аЬ = аКЬК -(- aKbM + агЬ2.(VI. 28)

Для заданных векторов а и Ь их проекции на координатные оси зависят от выбора системы координат, но само произведение ah от этого выбора не зависит. Отсюда заключаем, что выражение ахЬх + + ауЬу + а2Ьг есть инвариант, т. е. величина, одинаковая во всех системах координат.

Пусть нам дана совокупность трех чисел и, о, w, о которых известно, что в комбинации с проекциями некоторого вектора а они дают скаляр, т. е. инвариант:Пусть нам дана совокупность трех чисел и, о, w, о которых известно, что в комбинации с проекциями некоторого вектора а они дают скаляр, т. е. инвариант:иах + иау 4- wi, = inv.иах + иау 4- wi, = inv.Тогда на основании сказанного выше можно утверждать, что и, и, w суть компоненты *) некоторого вектора.Образуем векторное произведение векторов а — = У, ега< и Ь —йкЬк:Тогда на основании сказанного выше можно утверждать, что и, и, w суть компоненты *) некоторого вектора.Образуем векторное произведение векторов а — = У, ега< и Ь —йкЬк:[ab] — [52 C(«z, 52[ab] — [52 C(«z, 52В силу дистрибутивности можно написатьВ силу дистрибутивности можно написать[аЬ] = 52 [e<ej atbk.[аЬ] = 52 [e<ej atbk.Заменим [е,е*] в соответствии с формулой (VI. 26):[abh= £ «А £ eLlZe, = 52 Чы^Ь^!.Заменим [е,е*] в соответствии с формулой (VI. 26):[abh= £ «А £ eLlZe, = 52 Чы^Ь^!./. it. t/. it. tИтак, векторное произведение может быть представлено в видеИтак, векторное произведение может быть представлено в виде[ab] = 52 еиАЬ^ь[ab] = 52 еиАЬ^ьI, к. !I, к. !(VI. 29)(VI. 29)Из 27 слагаемых этой суммы отличны от нуля только шесть. Выписав эти слагаемые, получим[ab] = tZt&g^ + а2^з®1 “Ь ^з^^г — “з^в! я^вз я^зе^.Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми ортами, придем к выражению[аЬ] = в] (&63 — a36J + е2 ('hb, — atb3) + е3 (atb2 — a2bxVИз 27 слагаемых этой суммы отличны от нуля только шесть. Выписав эти слагаемые, получим[ab] = tZt&g^ + а2^з®1 “Ь ^з^^г — “з^в! я^вз я^зе^.Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми ортами, придем к выражению[аЬ] = в] (&63 — a36J + е2 ('hb, — atb3) + е3 (atb2 — a2bxV(VI. 30)(VI. 30)которое может быть записано в виде определителя (см. Приложение VIII)которое может быть записано в виде определителя (см. Приложение VIII)1 е>[ab] = ; <’■1 е>[ab] = ; <’■е2<12е2<12ез<1з6зез<1з6з(VI. 31)(VI. 31)

Пусть нам дана совокупность трех чисел и, о, w, о которых известно, что в комбинации с проекциями некоторого вектора а они дают скаляр, т. е. инвариант:

Пусть нам дана совокупность трех чисел и, о, w, о которых известно, что в комбинации с проекциями некоторого вектора а они дают скаляр, т. е. инвариант:

иах + иау 4- wi, = inv.

иах + иау 4- wi, = inv.

Тогда на основании сказанного выше можно утверждать, что и, и, w суть компоненты *) некоторого вектора.

Образуем векторное произведение векторов а — = У, ега< и Ь —йкЬк:

Тогда на основании сказанного выше можно утверждать, что и, и, w суть компоненты *) некоторого вектора.

Образуем векторное произведение векторов а — = У, ега< и Ь —йкЬк:

[ab] — [52 C(«z, 52

[ab] — [52 C(«z, 52

В силу дистрибутивности можно написать

В силу дистрибутивности можно написать

[аЬ] = 52 [e<ej atbk.

[аЬ] = 52 [e<ej atbk.

Заменим [е,е*] в соответствии с формулой (VI. 26):[abh= £ «А £ eLlZe, = 52 Чы^Ь^!.

Заменим [е,е*] в соответствии с формулой (VI. 26):[abh= £ «А £ eLlZe, = 52 Чы^Ь^!.

/. it. t

/. it. t

Итак, векторное произведение может быть представлено в виде

Итак, векторное произведение может быть представлено в виде

[ab] = 52 еиАЬ^ь

[ab] = 52 еиАЬ^ь

I, к. !

I, к. !

(VI. 29)

(VI. 29)

Из 27 слагаемых этой суммы отличны от нуля только шесть. Выписав эти слагаемые, получим

[ab] = tZt&g^ + а2^з®1 “Ь ^з^^г — “з^в! я^вз я^зе^.

Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми ортами, придем к выражению

[аЬ] = в] (&63 — a36J + е2 ('hb, — atb3) + е3 (atb2 — a2bxV

Из 27 слагаемых этой суммы отличны от нуля только шесть. Выписав эти слагаемые, получим

[ab] = tZt&g^ + а2^з®1 “Ь ^з^^г — “з^в! я^вз я^зе^.

Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми ортами, придем к выражению

[аЬ] = в] (&63 — a36J + е2 ('hb, — atb3) + е3 (atb2 — a2bxV

(VI. 30)

(VI. 30)

которое может быть записано в виде определителя (см. Приложение VIII)

которое может быть записано в виде определителя (см. Приложение VIII)

1 е>

[ab] = ; <’■

1 е>

[ab] = ; <’■

е2

<12

е2

<12

ез

<1з

6з

ез

<1з

6з

(VI. 31)

(VI. 31)

Ч Так для краткости мы Зудем называть проекции вектора на координатные осн.

или, в обычных обозначении?:,

[ab] —[ab] —1«с6,1«с6,(VI. 32)(VI. 32)

[ab] —

[ab] —

1

«с

6,

1

«с

6,

(VI. 32)

(VI. 32)

Отметим, что согласно (VI. 29) /-я компонента векторного произведения определяется формулой

[ab]z = Е ^kv1.^ ■= Е аикочЬкi, кI, к

(мы осуществили циклическую перестановку индексов при е, которая, как известно не изменяет числового значения этого символа). Чтобы иметь дело с более привычной последовательностью буквенных индексов, напишем выражение для i-й компоненты векторного произведения

[ab]z =---Е 8ш^.(VI. 33)

Докажем с помощью соотношения (VI. 16) формулу (VI. 5) («бац минус цаб»). Для этого запишем векторное произведение з соответствии с формулой (VI. 29) :

d — [а [Ьс]] -= Е t.bUah [bclnp. zez.

Теперь заменим [Ьс] Пр. < его выражением, получающимся из формулы (VI. 33):

d ~52 ^kli^k^i Е ^hnn^m^n’

I, Iт, п

Осуществим циклическую перестановку индексов при символах е, чтобы общий для них индекс / оказался на последнем месте. Кроме того, сгруппируем сомножители таким образом, чтобы суммирование по / осуществлялось в первую очередь:

d = Е ^акЬтсп Е ^к^, i =

к. т. пI

=== ^j ^i^k^rn^n i^im^kn ^in^km^

k. m, tv

(мы применили соотношение (VI. 16)). Дальнейшие пресбразования дают

^£_* ^i&k 5j ^im^m *^ ^kn^n

i, km,a

= E e^i E a^ - E e,6 E «^t = b (ас) - c (ab),

что и требовалось доказать.

Истинные векторы и тсевдовекторы. Различают

два вида векторов, полярные (или истинные) и аксиальные (или осевые), иначе называемые псгвдовекто-

рами'). При инверсии координатных осей, т. е. при

изменении направлений координатных осей на обратные (рис. VI. 3) компоненты полярного вектора меняют знак. Это означает, что такой

вектор при инверсии остается

без изменений. Компонент?;:

псевдовектора при инверсии знака не изменяют. Это о: га <б/

1(2)1(2)Рит. VI. 3Рит. VI. 3чает, что псевдовектор при ия версии изменяет свое направление на обратное (т. е. меняет знак).

1(2)

1(2)

Рит. VI. 3

Рит. VI. 3

Из рис. VI. 3 видно, что

при инверсии ксордияатны’

осей правая система координат переходит в левую. Поэтому различие между полярным вектором и псездовектором можно определить следующим образом: полярный вектор не изменяется при переходе от правой системы координат к левой, псевдовектор же при таком переходе изменяет направление на обратное. В Приложении X будет показано, что псевдовектор представляет собой антисимметричный тензор

второго ранга.

Если оба вектора а и b полярные, компоненты векторного произведения (VI.30) при инверсии знака не изменяют (а, и Ьк в отдельности меняют злак, из их произведение остается без изменений),. Следова-

') «Псевдо*-—первая ежтг л;: i часть- сдескх и < чз, чающая: ложччЯ, ннимчй. (ссогвехтвует русскому «дне»).

тельно, векторное произведение полярных векторов является псевдовектором.

Скаляры также нужно делить на два вида; истинные скаляры и псевдоскаляры. Истинные скаляры не изменяются при переходе от правой системы координат к левой (или при инверсии координатных осей). К их числу относятся, например, масса, электрический заряд, температура. Псездсскаляры при переходе от правой системы координгт к левой меняют знак. К их числу принадлежат скалярные выражения, получающиеся в результате математических операций над векторами. Так, например, скалярное произведение (см. (VI.27)) полярного и аксиального векторов при инверсии меняет знак и, следовательно, является не истинным скаляром, а псевдоскаляром.

Если векторы а, Ь, с полярные, то выражение (VI. 3) будет псевдоскаляром — при инверсии оно меняет знак. Таким образом, смешанное произведение полярных векторов есть псевдоскаляр.

Преобразования компонент векторов. Найдем формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой. Возьмем две системы прямоугольных координат К и К', задав их базисами ем е„ е3 и е', е^, е'. Произвольный вектор а можно представить в виде а=^ец,а6, где afe — проекции а на оси системы К, либо в виде а=52е^, где а'к— проекции а на оси системы К'. Таким образом,

ZeX = IeA-(VI. 34)

АА

Умножим (VI. 34) на орт ер

'L<e,ka,fc='2,e,iefeafe.(VI. 35)

Согласно (VI. 11) е'ей = б/й. Следовательно, из трех слагаемых в левой части будет отлично от нуля только слагаемое с 6 = t, которое равно б,,а' = а'г

Скалярное произведение е,ей равно косинусу угла между осью х' системы К' и осью х* системы К. Обозначив этот косинус символом а.,», можно написать

а,й = е'ей = cos (х', xfc) (t, &=1, 2, 3). (VI. 36)

Воспользовавшись этими обозначениями, соотношение (VI. 35) можно представить в виде

< = Е«,А 1,2,3). (VI. 37)

Формула (VI. 37) позволяет по известным проекциям вектора а на оси системы К вычислить проекции а на оси системы К'. Чтобы получить формулы обратного преобразования (от К' к К), умножим (VI.34) на орт е„ Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (VI.37), получим, что

^ = Е««< 0 = 1, 2,3). (VI. 38)

Формулы (VI. 37) и (VI. 38) различаются лишь тем, что в одном случае суммирование производится по второму индексу при «,ь в другом случае — по первому.

Девять величин aife не являются независимыми.

Образуем сумму 52 a<mafem. Учтя (VI.36), получим т

Е aitnahm ~ Е (eiCm) (efeem)‘

Величину е,ет можно рассматривать как проекцию вектора с' на ось хт системы К, аналогично е'Ает есть проекция вектора е' на ось Хт Таким образом, сумму, стоящую справа, можно представить в виде

Е )(е')= е'е'=6

” \ Vnp. xm \ ^/пр. хгг * к IR

(см. формулу (VI. 27)). Отсюда следует, что

Е almakm == Ьи.(VI. 39)

Аналогично можно доказать (рекомендуем это сделать читателю), что

Е «т^пЦ == 6iA-(VI. 40)

Преобразования (VI. З7) и (VI. 38) могут быть приняты в качестве определения вектора: вектором называется совокупность величин ai, аг, а^, которые при переходе от одной системы координат к другой

преобразуются по формулсм (VI. 37) и (VI. 38), г^у а.»— величины, определяемые формулой (VL36).

Последнее определение вектора легко распространить на пространство любого числа измерений. Пусть имеется пространство п измерений. Возьмем в этом пространстве систему координат, оси которой взаимно перпендикулярны. Е)тэ означает, что орты осей ei,e2еп удовлетворяют условию (VI. 11). Тогда вектором в и-мерном пространстве (n-вектором) называется совокупность п величин щ,а2, ..., ап, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (VI. 37) и (VI. 38). Немой индекс пробегает при суммировании в этом случае не 3, а п значений, ‘[пело уравнений в (VI. 37) и (VI.38) также будет не 3, а п.

Скалярное произведение векторов также легко обобщается на пространство п измерений. Аналогично (VI. 27) назовем скаляриы'л произведением двух векторов с компонентами а , й2, . . . , ап и 6Ь Ь2, .... bn выражение

ateафи(VI. 41)

-1

которое представляет собой инвариант. Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются взаимно ортогональными (или взаимно перпендикулярными) .

Понятие векторного произведения на пространства иного, чем три, числа измерений не распространяется.

Инверсию координатных осей (см. рис. VI. 3) можно рассматривать как преобразование от системы К к системе К', коэффициенты которого имеют значения

С — 1 при z = й,Qu t О при i ^ k

или

^.(VI. 42)

Согласно формуле (VI. 37) домпопекты вектора преобразуются при инверсии по закону

г. изменяют з.чак на об^зт.н'л! 1'1и этъх Йялз уже речь выше).

Н аи^м ад ши прсабразоегмш компонент влутор- wiro пдаузгедешля при инверсии координатных осей. Напашем выражение (VI. 33) в системе координат К' (пооучтощейгя. в прзудьта"’'?.. ччв-рг-ин осей, системы ку.

W^T^fl'^(VI. 43)

I ’ Ч i

Мы воспользовались тем, что величины ей» определяются одинаково для всех систем координат, вследствие чего при любых преобраз-жанпях координат

е' = V, ,(VI. 44)

Выразим в формуле (VL 13) И . и 6, чергс нештрихованные компоненты соответствующих векторов, воспользовавшись соотясисияе& (VI. 371.

И = Е Ч» Е (- \„) <V Г. ; - ^ b == к. I mу

г= X ^м.УЛ'ДтЬ^ к. I fn, р

Произведя суммирование ПС' чндекс^м m и р, получим[ab];= 2 ^пУкЬ^

В соответствии с (VI. 33) последнее выражение сеть [ab],. Таким образом, мы уста довил и, что

[abj' = {abjp

т. е. что компоненты векторного произведения при инверсии не изменяются. Отсюда следует, что векторное произведение истинных векторов является псевдовектором.

Напишем смешанное произведение трех векторов. Согласно формулам (VI. 27) и (VI. 33)

а [Ьс] = Е [bc]t = 2 я! Е suibfcCt —

= Е ^ыа.Ь^сь (VI. 45)

Выясним, как ведет себя эта величина при инверсии. В системе К' будем иметь

Ж^е^Ь^ ==

2 ®iiil ^ ( ^im) ^,4 2^ ( ^йр) Ьр 2 (^/s) С3 =

k, I трs

== — X etkittibhCt = — (а [Ьс]).

Мы получили уже известный нам результат, смешанное произведение истинных векторов при инверсии ме

няет знак, т. е. является псевдоскаляром.

5. Приращение вектора при повороте. Найдем приращение, которое получает вектор а при повороте на бесконечно малый угол dф. Введем две система координат К и К', которые выберем так, чтобы их оси г и г' совпадали с вектором dф (рис. VI. 4). Пусть система К' поверяется вместе с вектором а на угол dф относительно системы К. При этом относительно системы К' вектор а остается неизменным, относительно же системы К вектор а получает приращение da.

Будем сначала предполагать, что начало вектора а помещается на оси 2 (рис. VI. 4). Если а лежит пер

воначально в плоскости yz. то приращение da коллинеарно с осью х. Модуль этого приращения, как видно из рисунка, равен asiпadф. Из сказанного следует,

что приращение вектора а может быть представлено

в виде

(VI. 46)(VI. 46)da -- [^'ф, а].

(VI. 46)

(VI. 46)

Докажем, что найденная нами формула остается справедливой при произвольном расположении вектора а относительно систем координат К и К'. Введем в рассмотрение орты е*, еу, е2 системы К и орты е', е^> с' системы К'. Тогда вектор а можно задать

выражением

Д :™ ехах Ч" ^^у Ч" ®гЦг(VI. 47)

либо выражением

а ="- « Ч- еХ + еХ.(V1. 48)

где ах, ау, аг— проекции вектора а на оси системы К, ах, °8* °г" проекции вектора а на оси системы К'.

При повороте вектора вместе с системой К' на угол г/ф вектор получает относительно К приращение, которое можно записать в вице приращения выражения (VI. 47):

da = ех dax Ч- е6 day 4- et daz

либо в виде приращения выражения (VI. 48):

da = а'х de's Ч- o', de’y 4- a' de'z, (VI. 49) где dex, de'y, de'z — приращения ортов осей системы К', наблюдаемые в системе Л' (напомним, что проекции а', а'у, а'г при повороте остаются неизменными).

При выбранном нами направлении оси г' приращение орта е' равно нулю (de' = 0). На рис. VI. 5 показаны приращения de'x и de.'H, которые получают орты е' и е' при повороте системы координат К' на угол dtp. Из рисунка видно, что направление dVx совпадает с направлением орта равен dtp [модуль (т. е. длина) единице]. Следовательно, прира!

el

dp

^9

Рис. VI. 5

Модуль же de'x

любого орта равен щние орта el, на-

блюдаемое в системе К, может быть представлено в виде

de'x = е', • Жр.

Аналогичные рассуждения приводят к формулеd^dtp

(знак «—» вызван тс?л, что векторы de'u и е' направлены в противоположные стороны).

Подставив найденнье нами значения приращений ортов в формулу (VI. 49), получим, что

Покажем, что найденное нами выражен не эквивалентно векторному произведению [Ар, а]. Для этого выразим последнее произведение через проекции перемножаемых векторов на оси системы К', учтя, что d<p направлен по оси г'. В соответствии с формулой (VI. 32)

а' а' а' I

Таким образом, мы пришли к формуле (VI. 46).

VII. Матрицы

Определение матрицы. 3 Приложении VI были получены формулы преобразования компонент вектора при переходе от системы координат К к системе К'".

4 = X <4^4°/ = X «4?1*4 = X <4^4°/ = X «4?1*(/= 1, 2, 3),(/= 1, 2, 3),V =1,2, 3)V =1,2, 3)(VII. 1)(VII. 1)(VII. 2)(VII. 2)

4 = X <4^4°/ = X «4?1*

4 = X <4^4°/ = X «4?1*

(/= 1, 2, 3),

(/= 1, 2, 3),

V =1,2, 3)

V =1,2, 3)

(VII. 1)

(VII. 1)

(VII. 2)

(VII. 2)

(см. формулы (VI. 37) и (VI. 38)).

Коэффициенты перехода можно записать в виде квадратной таблицы

«иА = «21«31«иА = «21«310 22 023О32 О*з0 22 023О32 О*з(VII. 3)(VII. 3)

«и

А = «21

«31

«и

А = «21

«31

0 22 023

О32 О*з

0 22 023

О32 О*з

(VII. 3)

(VII. 3)

которая называется матрицей преобразования. Величины ai* именуются элементами матрицы. Первый индекс указывает номер строки, в которой стоит данный элемент, второй индекс — номер столбца.

Условимся об обозначениях. Элементы матрицы мы будем обозначать строчными буквами с двумя индексами, а матрицу — соответствующей прописной буквой (например, элемент a.ikl матрица А1)). Компоненты вектора будем обозначать строчными буквами

’) Так пашется пропиши я i рямая греческая бу?<ва «альфа».

с одним индексом, а вектор — т а кой же строчной буквой, но прямого полужирного шрифта (например, о,— компонента вектора, а — вектор).

Операцию (VIL I) преобразования компонент вектора можно записать символически э виде умножения вектора на матрицу:

а' —Л?..(VIL4)

Коэффициенты обратного преобразования (VII,2) образуют матрицу

|

«П «21С31 II

«12 «21: «32 | ,(VII. 5)

013 О 2'* С зз ||

называемую обратной матрицей. Обозначив элементы обратной матрицы символом са'^., можно написать соотношение

a'lk~" °(VII. 6)

Матрица, получаемая из А заменой строк столбца иазыЕаогся тра^еа^иееиснной и обозначается А. Если обозначить элемент •< транспонированной матрицы символом а«, можно 4 апйсгть

бц, =<1^,(All. 7)

Из формул (VII. 6) и (VIL 7) следует, чтс матрица обратного преобразования (VII. 5) совпадает с транспонированной матрицей прямого преобразования (VII. 3):

А^Л.(VII. 8)

Соотношение (VII. 8) спэаьедливо не для любых матриц1). Матрицы, удовлетворяющие условию (VII. 8), называются ортогональными.

Обратное преобразование (VII. 2) запишется символически в виде

а = А 'а .(VII. 9)

Не меняя формальной математической стороны дела, соотношения (VII. 4) и (VII. 9) (иными слова-

:) Вообще говоря, не всякая матрица имеет обратную. Матрица, для которой обратной не существует, называется особенной или вырожденной. Но даже если матрица не вырождена, ее об- ратвая и траиолонированная матрицы могут не совпадать.

ми, соотношения (VII. 1) и (VII. 2) можно рассматривать не как операции перехода от одной системы координат к другой, а как операции, преобразующие один вектор в другой, причем оба вектора рассматриваются в одной и той же системе координат. Имея в виду такую трактовку, запишем формулы преобразования следующим образом:

b = Аа, а == A~'b.b = Аа, а == A~'b.(VII. 10)

b = Аа, а == A~'b.

b = Аа, а == A~'b.

(VII. 11)

Таким образом, матрицу А можно рассматривать как линейный оператор, который, воздействуя на вектор а, превращает его в вектор Ь.

Напишем в явном виде преобразования (VII. 10) и (VII. 11), причем для большей общности будем считать, что векторы а и b определены не в трехмерном пространстве, а в пространстве п измерений. По аналогии с (VII. 1) и (VII. 2) получим

bi = Haikafe (/ = 1,2п\ (VII. 12)

6 = 1

(VII. 13)(VII. 13)а, = X altjbk (Z = 1,2,. ., л),

(VII. 13)

(VII. 13)

где а'; — элементы матрицы обратного преобразования (матрицы А-1). Для ортогональной матрицы aife ~ аы-

Матрицы А и А-1 теперь будут иметь п строк и п столбцов, например,

А =А =di 1Зц . . . «щ^21^'22 • • • ^2Мdi 1Зц . . . «щ^21^'22 • • • ^2М(VII. 14)(VII. 14)

А =

А =

di 1Зц . . . «щ

^21^'22 • • • ^2М

di 1Зц . . . «щ

^21^'22 • • • ^2М

(VII. 14)

(VII. 14)

«П1 е1П2 • ’ • ^ПП

Матрица (VII. 14) является квадратной — число строк в ней равно числу столбцов. Кроме квадратных рассматриваются также прямоугольные матрицы, число строк которых m не равно числу столбцов п:

«1| [ а(2 ... а^

А — А(т, п)А — А(т, п)<z21а22- - • ^‘ЛП

А — А(т, п)

А — А(т, п)

^/Ш^М2 - • • ^ГПП

Первый индекс при символе матрицы указывает число строк, второй — число столбцов. В случаях, когда это не сможет привести к недоразумениям, мы эти индексы будем опускать.

Итак, в общем случае под матрицей понимается совокупность тп элементов, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Элементами матрицы могут быть функции, числа либо иные величины, над которыми можно производить алгебраические операции. Матрица с т строками и п столбцами называется (/n X и)-матрицей, или матрицей порядка тХп. или, наконец, матрицей размера тХ л. Матрицу порядка m X 1, т. е. матрицу с одним столбцом, иногда называют просто столбцом. Матрицу порядка 1 X л, т. е. матрицу с одной строкой, иногда называют просто строкой.

Две матрицы А и В называются равными (А=В), если соответствующие элементы этих матриц равны друг другу (aifc = 0lfc).

Матрицы А и В считаются отличающимися только знаком, (А = — В), если соответствующие элементы этих матриц связаны соотношением а/* = —0м.

Квадратная матрица (VII. 14) (т. е. матрица порядка пХл) есть частный случай матрицы (VII. 15). Матрица, преобразующая вектор в пространстве п измерений в другой вектор в том же пространстве, очевидно, будет квадратной.

Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию

ath = akl> (VII. 16)

матрица называется симметричной. Симметричная матрица, очевидно, совпадает со своей транспонированной

АСИИИ = АСИММ. (VII. 17)

Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию

aik = — Щ/, (VII. 18) называется антисимметричной или кососимметричной. Антисимметричная матрица отличается от своей транспонированной только знаком:

Аантисими “ Аантисимм- (VII. 19)

13 И. В. Савельев, т. I

Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы а^ с одинаковыми значениями индексов i и к, называется диагональной. Диагональная матрица имеет вид

I

X, 0 ... О 9

° Х ■ ° I. (VII. 20) о о ... А„ |

Элементы этой матрицы можно представить следующим образом:

^ = М,ь(VII. 21)

где 6^— символ Кронекера (см. (VI. 12)).

Если изменить систему координат (т. е. базис еьег, .... еп), то компоненты векторов а и Ь (см. формулу (VII. 10)) станут другими. Изменятся также и элементы матрицы-оператора. Оказывается, что в некоторых случаях (в частности, в том случае, когда матрица А симметрична) можно так выбрать базис, что матрица А делается диагональной.

При переходе от одной системы координат к другой элементы матрицы меняются, однако остается неизменной сумма диагональных элементов, называемая следом матрицы (обозначается SpA; немецкое Spur означает след). Таким образом, след матрицы одинаков во всех системах координат, т. е. является инвариантом:

Sp А = £ ац = inv.(VII. 22)

Остается неизменным также определитель матрицы (см. (VIII. 3)):

det||ait || = inv.(VII. 23)

Назовем единичной матрицей Е такую матрицу1), которая при умножении на вектор по правилу (VH. 10) дает тот же вектор

ж = Еа.

Легко сообразить, что элементы единичной матрицы должны быть равны titk (подстановка в (VII. 12)

а.1и = 8и8 приводит к соотношению 81 = 0^. Таким образом,

I

10 0 I

. .V.'0 - (VII. 24) о о i |

Отметим, что эта матрица является диагональной.

Алгебра матриц. Матрицы суть алгебраические объекты, над которыми можно совершать операции сложения, вычитания и умножения (операции деления матриц не существует).

Суммой двух матриц А и В называется матрица Г = А4-В'), элементы которой определяются формулой

Ym = oik + Р/д-(VII. 25)

Разностью матриц называется матрица Г = А— В с элементами

Y<t —а<— Pit-(VII. 26)

Очевидно, что складывать и вычитать можно только матрицы одинакового порядка, т. е. матрицы с одинаковым числом строк и одинаковым числом столбцов.

Произведением матрицы А на скаляр ц называется матрица В = нА с элементами

6/^ = ^.(VII. 27)

Перейдем к рассмотрению перемножения матриц. Предположим, что действие матрицы А на вектор а превращает его в вектор Ь, а действие матрицы В на вектор Ь превращает его в вектор с. Естественно назвать произведением матриц А и В такую матрицу Г, которая, действуя на вектор а, превращает его в вектор с. Таким образом,

Ь = Аа, т. е. 6m=^amtafc,

с = ВЬ = ВАа, т. е. ct = ^ ptmbm = Z Pim 2 «Wb = тт *

— 22 ^к 22 Р1т®тАв

* т

С другой стороны,

с = Га, т. е. С/ = 12 ХиДк-к

Сравнение обеих формул для с и с, приводит к правилу умножения матриц:

Г = ВА означает, что ylt = У. ^1татк. (VII. 28)

Согласно этому правилу для получения элемента матрицы Г, стоящего на пересечении i-й строки и А-го столбца, нужно умножить каждый элемент t-й строки матрицы В на соответствующий элемент Jfe-го столбца матрицы А и все произведения сложить. Это можно пояснить следующей схемой:

Заметим, что произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т. е.

ВА =/= АВ.

Матрицы, для которых выполняется условие

ВА = АВ,(VII. 30)

называются коммутирующими.

Легко показать, что произведение матриц ассоциативно:

(ГВ)А —Г(ВА).(VII. 31)

Это означает, что умножив сначала В на Г, а затем А на (ГВ), мы получим тот же результат, какой получился бы при перемножении сначала матриц А и В и последующем умножен ан матрицы (ВА) на Г. Действительно, по правилу перемножения мдт^ид

{(ГВ) Mitt — 52 0 В)1таю» -- f 2j «тах” mm/

52 Y(? f 5a р!.м«и6 ) " 52 Хи (^А)« — (ВА))ц

(в ходе преобразований мы изменили порядок суммирования по индексам т и /). Таким образом, свойство (VII. 31) доказано.

Можно умножать друг на друга и неквадратные (прямоугольные) матрицы. Как следует из схемы (VII. 29), перемножение таких матриц возможно только в том случае, когда число столбцов матрицы В (второй матрицы1)) совпадает с числом строк матрицы А (первой матрицы). Матрица-произведение будет иметь столько строк, сколько их имеет вторая матрица (матрица В) и столько столбцов, сколько их имеет первая матрица (матрица А). Поясним это следующим примером:

I Pll Р12 • ■ ■ Pin IIII Psi Р22 • • • Psn 11I Pll Р12 • ■ ■ Pin IIII Psi Р22 • • • Psn 11Оц ®»2113

I Pll Р12 • ■ ■ Pin II

II Psi Р22 • • • Psn 11

I Pll Р12 • ■ ■ Pin II

II Psi Р22 • • • Psn 11

®21^22‘123

®щ ®п2 ааЗ

52 PltaJto52 ₽2*аМ52 PltaJto52 ₽2*аМ52 Р1Аай152 Р|йаЛ2

52 PltaJto

52 ₽2*аМ

52 PltaJto

52 ₽2*аМ

52 02»°*!52 Ргйа62

52 Р1лаА52 р2ла* ....'« 52 Ряд®»52 Р1лаА52 р2ла* ....'« 52 Ряд®»(VII. 32)(VII. 32)Если вторая матрица квадратная, т. е. имеет порядок п X п, а первая матрица содержит только один столбец с п элементами, то матрица-произведение также состоит из одного столбца с п элементами:

52 Р1лаА

52 р2ла* ....'« 52 Ряд®»

52 Р1лаА

52 р2ла* ....'« 52 Ряд®»

(VII. 32)

(VII. 32)

РиР12...Pm18«I

Р21Р22- • •р2И8®1

pntpn2• ■ •PnnЯл

При умножении матрицы с одним столбцом на матрицу с одной строкой получается просто число (или функция, если элементами матрицы являются функции):

(VI. 33)(VI. 33)

(VI. 33)

(VI. 33)

IIP1 Р2 Р„И

О1 I

"’. -Гол-

Сц 86

В частности, если в качестве матрицы Н^П взять транспонированную матрицу |[а||, то (VII. 33) переходит в

|а1а2...а„|=^

Следовательно, для матрицы А<п. р, имеющей только один столбец, справедливо соотношение

(VII. 34)(VII. 34)А(П11)А(П, 1) = ^ а*.6-i

(VII. 34)

(VII. 34)

Если в качестве элементов матрицы с одним столбцом взять составляющие вектора а, а в качестве квадратной матрицы — матрицу-оператор А, то соотноше- лие (VII.32) примет вид

<*11 <*12 — <*ш <*21 <*22 • • • <*2/1<*11 <*12 — <*ш <*21 <*22 • • • <*2/1«I<*2«I<*26.6,6.6,(VII. 35)(VII. 35)

<*11 <*12 — <*ш <*21 <*22 • • • <*2/1

<*11 <*12 — <*ш <*21 <*22 • • • <*2/1

«I

<*2

«I

<*2

6.

6,

6.

6,

(VII. 35)

(VII. 35)

®Л1®Л2 • • • ®пп

где6,= £ада* (ср. с (VII. 12)). Легко заметить, что соотношение (VII. 35) эквивалентно соотношению (VII. 10). Следовательно, вектор можно представить как матрицу с одним столбцом.

Рассмотрим произведение единичной матрицы Е на произвольную матрицу А. Согласно правилу (VII. 28)

(АЕ)д ^ А<т6тд

(6т»— элементы матрицы Е). В этой сумме отличным от нуля будет только одно слагаемое, у которого т = к. Следовательно, (АЕ)д = Ад. Аналогично

(ЕА)д — 2 б/тАтд — Ад.

Из сказанного следует, что умножение на единичную матрицу (при любом порядке сомножителей) не изменяет матрицы А:

ЕА = АЕ = А.ЕА = АЕ = А.(VII. 36)(VII. 36)

ЕА = АЕ = А.

ЕА = АЕ = А.

(VII. 36)

(VII. 36)

Последнее соотношение означает, что единичная матрица коммутирует с любой матрицей А.

Очевидно, что, применив к какому-либо вектору сначала преобразование А, а затем обратное ему преобразование А-1, мы должны вернуться к исходному вектору

а = А 'Аа.(VII. 37)

Отсюда вытекает, что произведение прямой и обратной матриц должно быть равно единичной матрице: А~1А = Е|). Произведение прямой и обратной матриц, очевидно, коммутативно, следовательно,

А’,А = АА , = Е.(VII. 38)

Записав элементы произведения матриц А и А-1 по формуле (VII. 28), можно найти соотношение между элементами прямой и обратной матриц:

2= У, = б^. (VII. 39)

тт

Для ортогональной матрицы, т. е. матрицы, удовлетворяющей условию (VII.8), «,6 = «6< (см. (VII.6)). Произведя в (VII. 39) такую замену, получим

S a.mi»mk = б<.(VII. 40)

S aimakn = 6tfc.(VII. 41)

Таким образом, элементы ортогональной матрицы удовлетворяют соотношениям (VII. 39) и (VII. 40) (ср. с формулами (VI. 39) и (VI. 40)).

Определители

Пусть нам дана квадратная матрица

|

^и а,з • •. вщ I

alt ам ... ^^ц ^

^П1 Ян2 - • • <Ь& 1

Образуем из элементов этой матрицы выражение

(VIII. 2)

lb т 11пт*' z

где i, k, ..., т — перестановка из чисел 1,2, ..., п, а вие -.т— величина, равная 4-1, если число беспорядков ) в перестановке i, к, ..., т является четным, и —1, если число беспорядков нечетное (ср. с (VI. 15)). Число перестановок из и чисел, как известно, равно п!. Следовательно, можно составить п! различных выражений вида (VIII. 2).

Сумма всех выражений вида (VIII. 2) обозначается символами

вл012...alfl<12|022•• •О2П0/110/12•• .snnвл012...alfl<12|022•• •О2П0/110/12•• .snnD„ = DM) = det|Mift|| =

вл012...alfl

<12|022•• •О2П

0/110/12•• .snn

вл012...alfl

<12|022•• •О2П

0/110/12•• .snn

Tk ... mQua-2k • ■ ■ апт Uh ... m)

(VIII. 3)

и называется определителем (или детерминантом^, соответствующим матрице (VIII. 1). Сумма (VIII.3) берется по всем перестановкам чисел I, k, ..., m. Следовательно, она содержит п! слагаемых.

Если дополнить определение е<й...т условием, чтобы этот символ обращался в нуль при совпадении значений хотя бы двух из п индексов, детерминант D0) можно определить как сумму

2(VIII. 4)

L .... т = 1

в которой все индексы i, к, .... т пробегают значения от 1 до п.

Из (VIII. 3) следует, что определитель можно записать в виде таблицы, аналогичной (VIII. I), с тем отличием, что по бокам вместо двойных вертикальных линий ставятся одинарные.

Число строк (или столбцов) определителя называется его порядком.

Отметим, что определитель диагональной матрицы (VII. 20) равен произведению ее диагональных элементов:

detU^dl-^ ... X,,., (VIII. 5)

а определитель единичной матрицы равен единице:

примерепримереопределителяопределителяD(EY=L(VIII. 6)

примере

примере

определителя

определителя

Поясним сказанное на третьего порядка:

Из вторых индексов элементов этого определителя

можно сделать 3! —

6

перестановок:

123

0

беспорядков

+

231

2

безпорядка

+

312

2

беспорядка

+

321

3

беспорядка

—

213

1

беспорядок

—

132

1

беспорядок

—

ан

<121

<13|

ll2

<122

132

&13

«23

«33

^3 =

Согласно формуле (VIII. 4) определителем третьего порядка будет выражение

^3 — а11^23^33 4" ^12^23^31 4“ a13<z21°3:>

ci3a22a3i ^г^л^зз ^и^зз^з-

Если в определителе л-ro порядка вычеркнуть i-ю строку и й-й столбец, получится определитель (л—1)-го порядка, который называется минором исходного определителя, соответствующим элементу а^. Этот минор принято обозначать символом &*. Величину

^ = (-1)'"^ (VIIL7)

называют алгебраическим джслнениы. адеиента а^.

Свойства определителей. Приведем. Дл доказательства основные свойства определителей

При замене строк столбцами величина определителя не изменяется:

a,t U\2 ... Gi л ^21й22 • • • а2П

) ЯД1 О-ПЗ • • tinn

Чи а^ ... tint

‘Из ^22 ■ - Gf22

U|n а^ч •'• Яд;;

или, в более компактной записи,

det || alt || = det|| afti ||.(VIII. 8)

Замена строк столбцами называется транспонированием. Определитель, в котором призведена такая замена, называют транспонированным. Таким образом, можно сказать, что транспонированный определитель равен исходному.

Из свойства 1 вытекает, что определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:

О(Л) = О(Д).(VIII. 9)

Действительно, эти определители отличаются только заменой строк на столбцы, что не изменяет величины определителя.

При перестановке двух строк или двух столбцов изменяется лишь знак определителя.

Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю (это следует из свойства 2).

Определитель является линейной формой *) элементов какой-нибудь строки или какого-либо столбца:

det||a,ft|| =

= £ Alfealk (линейная форма элементов i-й строки)

*"*(VIII. 10)

либо

detll^H”

= 52 AtkQik (линейная форма элементов Л-го столбца),

(VIII. 11)

причем коэффициентами А1к линейных форм (VIII. 10) и (VIII. 11) являются алгебраические дополнения (VIII. 6) соответствующих элементов.

') Линейной формулой переменных хь х» ...,*, называется линейная однородная функция этих переменных, т. е. выражение

/ — «1*1 + «1*1 + -•■ + <Ц*л.

Если элементы одной строки (или столбца) умножить на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) и полученные произведения сложить, то сумма будет равна нулю (эта сумма представляет собой определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами; см. свойство 3).

Свойства 4 и 5 можно объединить в виде соотношений:

(VIII. 12)(VIII. 12)Г Ллат4 = det || alfc ||- 6im,£ АцД1т = det||a16|| • 6кт.

(VIII. 12)

(VIII. 12)

Из свойства 4 непосредственно вытекают еще два свойства (6 и 7):

Если все элементы некоторой строки (или столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя:

“|1 • • • Р“|* • • • в1т“|1 • • • Р“|* • • • в1тaH ... au ... aJnaH ... au ... aJn

“|1 • • • Р“|* • • • в1т

“|1 • • • Р“|* • • • в1т

aH ... au ... aJn

aH ... au ... aJn

““л ... apa,t ... aal№““л ... apa,t ... aal№“n •■• aik ••• ain -“n •■• aik ••• ain -

““л ... apa,t ... aal№

““л ... apa,t ... aal№

“n •■• aik ••• ain -

“n •■• aik ••• ain -

ад1 ... 0a„6 aад1 ... 0a„6 a1“л •• “21 ..а2* • •“in°2п+“пк •■•апп“и“и••• а!п°21• • а2*••■ “а»•(VIII. 14)1“л •• “21 ..а2* • •“in°2п+“пк •■•апп“и“и••• а!п°21• • а2*••■ “а»•(VIII. 14)агЛ ' • °nk •"' °nnагЛ ' • °nk •"' °nn

ад1 ... 0a„6 a

ад1 ... 0a„6 a

1

“л •• “21 ..

а2* • •

“in

°2п

+

“пк •■•

апп

“и

“и

••• а!п

°21

• • а2*

••■ “а»

•

(VIII. 14)

1

“л •• “21 ..

а2* • •

“in

°2п

+

“пк •■•

апп

“и

“и

••• а!п

°21

• • а2*

••■ “а»

•

(VIII. 14)

агЛ ' • °nk •"' °nn

агЛ ' • °nk •"' °nn

“nl • • • “n* •' • °nn

(VIII. 13)

Если элементы некоторой строки (или столбца) являются суммой двух (или большего числа) слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами данной строки (данного столбца) служат соответствующие слагаемые, например.

au• • •ait+ eit• • •ah.

“21■ - •«26+ °2*• • •^n

“nl• ■Qnk4" ank• •“nn

+

Значение определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить

соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

Это свойство вытекает из свойств 7, 6 и 3.

Произведением двух определителей одинакового порядка det||a»|[ и det||6^|| является определитель того же порядка det||c,6||, элементы которого выражаются формулами

clk=-Y-almbmk.(VIII. 15)

т

Сравнение этой формулы с формулой (VII. 28) показывает, что определители перемножаются так же, как и соответствующие матрицы. Следовательно, определитель матрицы-произведения совпадает с произведением определителей матриц-сомножителей.

Из свойства 9 вытекает, что определитель ортогональной матрицы равен ±1. Действительно, для ортогональной матрицы А = А-1 (см. (VII. 8)), вследствие чего АД = Е. Согласно сказанному выше

D(A)D(A) = D(E) = 1

(см. (VIII.6)). Но в соответствии с (VIII.9) О(Л) — = D(А), так что можно написать

(О(Л)Р=1, откуда

D(.4) = ±l.(VIII. 16)

Системы линейных неоднородных уравнений. Рассмотрим систему п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными хь л2, ..., хп:

а11*1 + а12х2 "Р ••• 4"°1пхп—Ь1,

а2|Х! 4- 022^2 + ... ч- айпх„ = Ь2,

0,1*1 "Р ^п2^2 Р" • ■ • ~Р ^пп^п ^п*

Эту систему можно записать в виде одного выражения

1^ = 6, 0 = 1,2п\ (VIII. 17) fc-i

Видно, что коэффициенты при неизвестных образуют квадратную матрицу, аналогичную матрице

(VIII. I). Допустим, что определитель этой матрицы (мы будем его называть определителем системы) отличен от нуля

Д| 1д12 • • • ^(Л

D =D ==^= 0. (VIII. 18)=^= 0. (VIII. 18)<^21 аМ • • • аЗП

D =

D =

=^= 0. (VIII. 18)

=^= 0. (VIII. 18)

<2 711 апз • • • ллл

Умножим первое из уравнений (VIII. 17) на Aim— алгебраическое дополнение элемента aim, второе уравнение — на А2т, .... п-е уравнение — на А„т и сложим вместе получившиеся выражения. В результате получим

52 ^1т 52 ^Ik^k ^ A^m^i-

Поменяем порядок суммирования в левой части равенства:

^А 52 Afm^tfe 52 Aimb{.^А 52 Afm^tfe 52 Aimb{.-I 1=11=1-I 1=11=1

^А 52 Afm^tfe 52 Aimb{.

^А 52 Afm^tfe 52 Aimb{.

-I 1=11=1

-I 1=11=1

Согласно второй из формул (VIII. 12) 52 А1та1к =

= det [J aift || 6mfe = Dfimt, где D— определитель системы. Следовательно, полученное соотношение можно представить в виде

52 ^к ^Ьтк = 52 ^im^l-

Просуммировав слева ио к, получим произведение xmD. Сравнение суммы, стоящей справа, с формулой (VIII. 11) позволяет сделать вывод, что эта сумма представляет собой определите ль который получается из определителя (VL11.13» заменой элементов т-го столбца свободными членами системы (VIII .17) .Оба- здачив этот определитель символом О<а\ можно написать, что

Х^ == ^(я°

Утлдущ -р. ^х. &twmv!№..VM т'^о чт€ё?н йадекс л,>- п ч. ' j '■■ ,iy 1 ,1 17 обознз- .

Мы пришли к теореме Крамера, которая гласит: если определитель системы отличен от нуля, то она имеет одно определенное решение, причем значение неизвестного хк равно дроби, знаменателем которой является определитель системы D, а числителем — определитель Dw, получающийся из D заменой элементов h-го столбца свободными членами системы-.

D ~ D ~

Яц ti[-. ... b\ ... olnoZi ак ... bi ... йщ

— Oni am ■ - • bn . ■. tinn _ . (УШ 19) till °12 ••• °16 ••• °1» V/

°21a22 "" " °2A """ °2n

n! /12 nk nn

Решение системы уравнений (VIII. 17) можно сделать очень наглядным, воспользовавшись следующим представлением. Неизвестные Xi, х2, ..., хп можно рассматривать как компоненты некоторого вектора х в пространстве п измерений, а свободные члены 61, 62, ..., 6„ — как компоненты заданного вектора Ь. Тогда систему (VIII. 17) можно символически представить в виде соотношения

Лх = Ь,(VIII. 20)

где А — матрица, составленная из коэффициентов уравнений (VIII. 17):

I Оц 012 • . . вщ I « 8 0*1 «И • •• O2n I

I °П1 Чщ • • • Опп I

Действительно, раскрыв соотношение (VIII. 20) по формуле (VII. 12), получим п уравнений:

И aikXk = bt (:=1,2л),

совпадающих с системой (VIII. 17).

Следовательно, задачу нахождения неизвестных х< можно сформулировать следующим образом: даны матрица Л и вектор b в пространстве п измерений; требуется найти такой вектор х, который, будучи умножен на матрицу Л, преобразуется в заданный вектор Ь.

Умножим уравнение (VIII. 20) на матрицу Л-1. Тогда слева получится искомый вектор х (см. формулу (VII. 37)) и мы придем к соотношению

х = Л'Ь.(VIII. 21)

Таким образом, для нахождения решений системы уравнений (VIII. 17) нужно поступить следующим образом: найти матрицу, обратную матрице системы, и подставить элементы этой матрицы в формулы

** = ?<А(VIII. 22)

(см. формулы (VII. II) и (VII. 13)).

Сопоставив формулы (VIII. 19) и (VIII.22), мы приходим к выводу, что элементы обратной матрицы определяются выражениями

(VIII. 23)

Укажем еще одну форму записи рассмотренных нами соотношений. Представив векторы х и Ь в виде матриц с п строками и только одним столбцом, систему уравнений (VIII. 17) можно записать в виде

|

«Н«12«1П II*1j|^*I

«21«22•«2п *2|Д61|(VIII. 24)

«П1«Л2• • •«лп й Ц »пIl^ПВ

или, кратко,

Л(П, п) • Х^, 1) = В^. п (VIII. 25)

(ср. с (VII. 35)).

Системы линейных однородных уравнений. Система уравнений (VIII. 17), у которой все свободные члены 6< равны нулю, называется однородной. Таким образом, однородная система имеет вид

Яц*1 4" а12*2 4" • • • 4" 0\пхп ^ 0,

021*1 4- «22*2 4-4-О2Л*п = 0, (VIII. 26)

Од1*1 4“ Опг*2 4* • • • 4" 0дп*п == ®

(мы рассматриваем только системы, у которых число уравнений равно числу неизвестных).

Если определитель этой системы отличен от нуля, то согласно теореме Крамера система имеет одно определенное решение, которое в данном случае будет нулевым:

22 ^«t^i

^ = -^-0= 0(&=1, 2п)

(см. (VIII. 19)).

Следовательно, для того чтобы однородная система уравнений имела ненулевое решение, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю. Можно доказать, что это условие является не только необходимым, но и достаточным.

Чтобы иметь возможность рассказать о характере решений системы (VIII.26), нужно познакомиться с понятием ранга матрицы. Если число строк т не равно числу столбцов п матрицы, для нее нельзя составить определитель (VIII. 4). Однако, вычеркивая из матрицы некоторые строки и столбцы, можно из оставшихся строк и столбцов составить определитель. Полученные таким способом определители называются входящими в состав матрицы. Наивысший возможный порядок этих определителей равен минимальному из чисел тип, определяющих размер матрицы, а наименьший порядок этих определителей равен единице, причем определители первого порядка суть элементы матрицы.

Предположим, что все определители порядка /, входящие в состав матрицы, равны нулю. Легко сообразить, что тогда и все определители порядка (/+ 1) также равны нулю (это вытекает из свойства 4 определителей). Следовательно, если все определители некоторого порядка /, входящие в состав матрицы, равны нулю, то и все определители более высокого порядка также равны нулю.

Наивысший порядок отличного от нуля определителя, входящего в состав матрицы, называется ее рангом. Таким образом, тот факт, что ранг матрицы равен г, означает, что среди определителей порядка г, входящих в состав матрицы, имеется хотя бы один от-

личный от нуля; определители же более высокого порядка все равны нулю.

Понятие ранга применимо, разумеется, и к квадратной матрице. Так, например, при соблюдении условия (VIII. 18) ранг матрицы, составленной из коэффициентов неоднородной системы уравнений (VIII. 17), равен п.

Для того чтобы однородная система (VIII. 26) имела ненулевое решение, требуется равенство нулю ее определителя. Иными словами, необходимо, чтобы ранг матрицы, составленной из коэффициентов системы, был меньше п. Пусть ранг матрицы системы равен г (1 ^ г < и). В этом случае существует п — г линейно независимых решений

х<а), х<а>, . .., х^ (а = 1, 2п — г).

Наиболее общим решением будут значения неизвестных, определяемые выражениями

^ = Z 0 = 1,2,... п), (VIII. 27) а

где са — произвольные постоянные.

В частном случае, когда ранг матрицы системы г = п—1, имеется только одно линейно-независимое решение. Можно доказать, что этим решением будут значения неизвестных

хх = сАкъ х1 = сАкг, . .., хп = сАкп, (VIII. 28) где Ам— алгебраическое дополнение элемента ам в определителе системы D, с — произвольная постоянная; А выбирается так, чтобы хотя бы одно из Ам (/=1,2, ..., п) было отлично от нуля. Значения Ак1, получающиеся при разном выборе А, отвечающем указанному условию, отличаются друг от друга на общий множитель, который может быть включен в постоянную с. Таким образом, от выбора к вид решения (VIII.28) не зависит.

Пусть некоторая совокупность значений хх = qi удовлетворяет системе (VIII.26). Легко заметить, что значения х, = Xq, (X — произвольная постоянная) также удовлетворяют системе. Этим объясняется наличие множителя с в формулах (VIII.28). Из сказанного следует, что системой (VIII. 26) однозначно определяются только отношения хх/хк, сами же значе-

ния Xi определяются с точностью до произвольного множителя.

Задаче о решении системы однородных уравнений можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Совокупность величин (xi,x2, .... хя) будем рассматривать как n-вектор х, аналогично совокупность величин (ал, а12, ..., а^ будем рассматривать как n-вектор а< (таких векторов будет и). Тогда систему (VIII. 26) можно представить в виде

а,х = 0 (/ = 1, 2, ..., п)

(см. формулу (VI.41)), а саму задачу сформулировать так: в пространстве п измерений заданы п векторов а,. Требуется найти такой вектор х, который был бы перпендикулярен ко всем векторам ал

Очевидно, что умножение вектора х на скаляр с не нарушает его ортогональности к векторам ал Поэтому неизвестные Х\, хз, ..., х„ определяются системой (VIII. 26) с точностью до произвольного множителя с, так что значение одного из неизвестных можно выбрать произвольно (например, принять xt = 1); тогда значения остальных неизвестных определятся однозначно (они будут выражены через х1).

Квадратичные формы

Квадратичной формой f от переменных Хь х2, ... ..., хп называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Такой многочлен можно записать в виде

f= £ alkxtxb (IX. 1)

к -\ где

aik = akl (IX. 2)

суть постоянные величины, которые могут быть как вещественными, так и комплексными. Если все коэффициенты а,к вещественны, то квадратичная форма называется вещественной. Если же хотя бы один из коэффициентов является комплексным, то квадратичная форма называется комплексной.

Вещественная квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых вещественных значений пере-

менных Х1,*2, ..., хя, не равных одновременно нулю, эта форма имеет положительные (отрицательные) значения.

В дальнейшем мы будем рассматривать только вещественные квадратичные формы.

Симметричная матрица

А =А =(IX. 3)(IX. 3)«И «12 ... «1П<121«22 • • ■ «2Л

А =

А =

(IX. 3)

(IX. 3)

«П1«Л2 • • ■ аПП

составленная из коэффициентов многочлена (IX. 1), называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, что квадратичная форма вполне определяется своей матрицей.

Определитель

D (Л) = det|| а№ И,(IX. 4)

составленный из коэффициентов квадратичной формы, называется ее дискриминантом.

Квадратичную форму можно представить в виде произведения трех матриц:

|

«11 «12 • • - «1П II *1 6

«2! «2,«2„ X, I ^^

^П1 Дп2 • • • ^ЛП I I Xr I

(IX. 5)

где X— матрица с одним столбцом, X— транспонированная с ней матрица. Действительно, произведение матрицы с одним столбцом на квадратную матрицу представляет собой матрицу с одним столбцом (см. (VII. 32)), элементы которой в рассматриваемом нами случае равны

^<alkxk(<;== 1, 2, ..., пУ

Произведение же матрицы с одним столбцом на матрицу с одной строкой есть просто функция (см. (VII. 33)). В данном случае это — функция

52 52

Видно, что последнее выражение тождественно с выражением (IN. IV

Квадратичная форма вида

/кан = 52 Х1АПац"/кан = 52 Х1АПац"(IX. 6)(IX. 6)

/кан = 52 Х1АПац"

/кан = 52 Х1АПац"

(IX. 6)

(IX. 6)

не содержащая членов с произведениями различных переменных, называется канонической. Такая форма имеет диагональную матрицу и поэтому называется также диагональной квадратичной формой. Очевидно, что если все X* больше (меньше) нуля, форма (IX. 6) будет положительно определенной (отрицательно определенной).

Всякая квадратичная форма при помощи неособенного линейного преобразования •) переменных может быть приведена к диагональному виду. Перейдем от переменных Хь х2, ..., хп к новым переменным УьУг, - ., У«, связанным с прежними переменными, с помощью линейных соотношений

Xi^Lb^.(IX. 7)

it

Рассматривая совокупность величин х< и совокупность величин ук как матрицы с одним столбцом, формулу (IX. 7) можно записать в виде

Х — ВУ,(IX. 8)

где В — матрица линейного преобразования, элементами которой являются коэффициенты 6<А.

Подставив значения хи определяемые соотношениями (IX. 7), в формулу (IX. 1), найдем выражение квадратичной формы в новых переменных:

f 5.' ^ik 52 ЬцУ1 52 ббшУм = 52 У1Ут 52 ^ik^ll^km == i, к Iгаt, tn l. к

- X с1ту1Ут. (IX. 9)

ГДС

Cim 2^ ^ik^ilbkm-(IX. 10)

/. k

Легко убедиться в том, что из условия а,-» = -- ан бы- 1ОхЗС1 VA;^ = СщЬ

s) Hназывается такое ляв<Л«>е преобразование В (3натрина), определили-!» кстпэегоот нуля:

Запишем выражение (IX. 10) следующим образом:

*-1т^ ^<1 ^ik^km 5L ^И 2 ^Чк^кт

thi к

(мы заменили элементы матрицы В соответствующими элементами транспонированной матрицы В; см. формулу (VII. 7)). Согласно (VII. 28) У. aikbkm представ-

ft

ляет собой (ЛВ),т —элемент матрицы, получающейся в результате перемножения матриц В и Л. Аналогично У Ьи (АВ^т представляет собой (ВАВ)1т — эле- мент матрицы, получающейся в результате перемножения матриц (ЛВ) и В. Следовательно, матрица С, элементы которой определяются формулой (IX. 10), может быть представлена в виде

С=ВАВ.(IX. 11)

В соответствии с (VIII. 15) определитель D(C) матрицы С равен

D (С) = D (В) D (Л) D (В).

Поскольку матрицы В и В отличаются заменой -столбцов строками, а определитель при такой замене не изменяется (см. (VIII.8)), то D(B) = D(B) и можно написать

D (С) = D (Л) [О (В)]2.(IX. 12)

Таким образом, при линейном преобразовании переменных дискриминант квадратичной формы умножается на квадрат определителя преобразования от новых переменных к первоначальным.

Если преобразование В ортогонально (это означает, что коэффициенты Ьц, удовлетворяют условиям (VII.40) и (VII.41)), то транспонированная матрица совпадает с обратной: В=В~' (см. (VII. 8)). Поэтому в случае ортогонального преобразования формула (IX. 11) выглядит следующим образом:

С = В VAB.(IX. 13)

Матрица С, определяемая соотношением (IX. 13), представляет собой матрицу квадратичной формы в новых переменных уь Попытаемся найти такое

ортогональное преобразование В, чтобы матрица С была диагональной, т. е. имела вид

С = Л =С = Л =X; 0 ... 00 X, ... оX; 0 ... 00 X, ... о(IX. 14)(IX. 14)

С = Л =

С = Л =

X; 0 ... 0

0 X, ... о

X; 0 ... 0

0 X, ... о

(IX. 14)

(IX. 14)

о о ... хп

Тогда квадратичная форма в новых переменных у* будет иметь канонический вид (см. формулу (IX.6)).

Умножим обе части формулы (IX. 13) на В. Поскольку ВВ-1 — Е, а умножение на единичную матрицу не изменяет второго сомножителя (см. (VII. 36)), мы придем к соотношению

ВС=АВ или

Z ь1тстк = £ atmbmk (i, k = 1, 2п\ (IX. 15) тт

В соответствии с (IX. 14I элементы ст* могут быть представлены в виде стк -= Xm6m»- Подставив это значение стк в формулу (IX. 15), получим

Z ^Im^'m^mk == Z ^Цт^тЬ V, k == 1 • 2л).

тт

В сумме, стоящей слева, будет отлично от нуля лишь слагаемое с m = k, которое равно bik\k. Таким образом, мы приходим к уравнению

blk4=Hatmbmk (/, 6 = 1,2, .... л). (IX. 16) т

Последнее выражение можно рассматривать как совокупность л2 уравнений с л2 неизвестными bik. Эти уравнения можно подразделить на л групп (отличающихся значениями индекса 6). Каждая из этих групп состоит из л уравнений, отличающихся значениями индекса и Перенеся в (IX. 16) все члены в одну сторону, 6-ю группу уравнений можно представить в виде fall — ^Ь\к + «12^ +••• + Q\nbnh =0«

ОщЬщ + (<^2 — >-б) Ь,к 4* . . . +<кп.Ьпк= 0,

ап\Ь\к + йц1Ьгк + ... + (л„„ — Xft) bak — 0.

(IX. 17)

Для того чтобы система уравнений (IX. 17) имела отличные от нуля решения, ее определитель должен быть равен нулю (см. Приложение VIII):

ап — А

Он

О|П

d21

022 "* A •

^2n

= 0

(IX. 18)

^nl

ал2

• и tin — A

(мы опустили индекс при X, поскольку аналогичные условия получаются при любом Л). Последнее выражение представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени относительно неизвестной X. Его называют характеристическим уравнением матрицы А.

Уравнение (IX. 18) имеет п корней: Хь Хг, .... Х„, которые представляют собой элементы искомой диагональной матрицы (IX. 14). Подставляя поочередно значения X* в систему (IX. 17) и решая эту систему относительно неизвестных Ьц,, найдем элементы мат рицы перехода от переменных ук, в которых квадратичная форма имеет диагональный вид, к прежним переменным Xi (см. (IX. 7)). Переход от переменных х, к переменным ук может быть осуществлен с помощью обратной матрицы В-1. Так как по условию О (В)#; 0 (преобразование В неособенное), то обратная матрица существует; ее элементы можно вычислить по формуле (VIII. 23).

Корни уравнения (IX. 18) (т. е. величины X*) будут вещественными. Это сразу следует из соотношений (IX. 16), если учесть вещественность величин ад и bik. Таким образом, матрица (IX. 14) будет вещественной.

Рассмотрим диагональную квадратичную форму вида

f=X^- (IX. 19)

Эта форма положительно определенная. Ее матрицей будет единичная матрица

Д = Е = ||бд||. (IX. 20)

Применим к переменным xi произвольное ортогональное преобразование В и посмотрим, какой вид будет иметь в новых переменных квадратичная форма (IX. 19). Согласно (IX. 13) матрица С квадратичной

формы в новых переменных определяется выражением С=В 'ЕВ = В 'В — Е

(см. формулы (VII. 36) и (VII. 38)). Следовательно, квадратичная форма (IX. 19) в новых переменных имеет вид

Таким образом, всякое ортогональное преобразование переменных оставляет без изменений квадратичную форму вида (IX. 19).

Рассмотрим вещественную квадратичную форму вида

(IX. 21)

где zb z2zn — комплексные величины1). Представим 2т в виде хт + iy™, соответственно zk — в виде хк — ‘У к- ТогДа

f Z ^Am^fe ^Ук^к^т Ч~ ^Ут) ^^ 52 ^кт к^к^т Т~ УкУт)А" к, тк, т

+ i 52 Окт (хкУт — ХтУк^ = А + if2- (IX. 22) к, т

Произведем в сумме, определяющей мнимую часть /2 полученного нами выражения, взаимную замену немых индексов кит:

fl 52 ^кт ^кУт ^тУк) 52 ^тк ^тУк ^кУт) == A. тmt к

*" ^j ^кт (^кУт %тУк) fl

(мы воспользовались тем, что атк ™ ант; см. (IX. 2)). Соотношение f2 =—fi во; можно только в том случае, если f2 — 0. Таким образом, мы доказали, что квадратичная <уорма (IX. 21) при любых комплексных г

*) Напомним, что вещественной называется квадратичная форма с вещественными коэффициентами а».». Форма (IX. 21) является частным случаем так называемой формы Эринта, у ко- тспой коэффнииекты, вообисе геверя, котпле<сн!\с и удовлетво- рсют условию й;., ~i2ftJ.

имеет вещественные значения. Согласно (IX. 22) запишем ее в виде

f = 52 ^кт^к^т 4* 52 ^ктУкУгл ~ fo(%k) 4“ !о^Ук)« (IX. 23) к. тк, т

где

А>(&б)== 52 ®кт^>к^>тк, п

(напомним, что квадратичная форма полностью определяется своей матрицей, от обозначения переменных она не зависит).

Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду. Пусть имеются две квадратичные формы:

А = 52 «ikXiX6,(IX. 24)

L к

Ь = 52 bihXlxk.(ix. 25)

i, к

Покажем, что если одна из них, скажем, ft положительно определенная, то можно найти такое линейное преобразование переменных, которое приводит обе формы к диагональному виду. Осуществим искомое преобразование в несколько этапов. Сначала с помощью ортогонального преобразования F перейдем к переменным щ, в которых форма (IX. 24) примет диагональный вид

h = 52 U^

(такое преобразование подробно рассмотрено выше). Теперь перейдем от переменных Ui к переменным

и, = ц V Рч

(легко убедиться в том, что при хотя бы одном щ =# 1 это преобразование неортогонально). Поскольку форма ft положительно определенная, все коэффициенты р, положительны, так что переменные и, будут вещественными. В этих переменных

А = 52 кА

значит, матрицей ft будет Е.

Наконец, перейдем с помощью ортогонального пре- обр?'-аванйя G от переменных и, к таким перемен-

ным yt, чтобы форма f2 стала диагональной. Форма ft при этом останется диагональной, ибо, как было показано выше, квадратичная форма с матрицей Е (см. (IX. 20)) не изменяется при любом ортогональном преобразовании. Следовательно, в переменных yi квадратичные формы (IX. 24) и (IX. 25) будут диагональными:

fx-^yV f, = LWi- (IX. 26)

Вся последовательность преобразований может быть представлена схемой:

(преобразование F) (х VpT) (преобразование G)

х, У<>L austxk ■* 2 ^v<-*i. AiЕ buxi4 -* E b'l№ -*I. кi. кх, У<>L austxk ■* 2 ^v<-*i. AiЕ buxi4 -* E b'l№ -*I. кi. кLu2i-*L«2t (ix. 27) iIE b"kuiuk -* E M2-i. кiLu2i-*L«2t (ix. 27) iIE b"kuiuk -* E M2-i. кi

х, У<>

L austxk ■* 2 ^v<-*

i. Ai

Е buxi4 -* E b'l№ -*

I. кi. к

х, У<>

L austxk ■* 2 ^v<-*

i. Ai

Е buxi4 -* E b'l№ -*

I. кi. к

Lu2i-*L«2t (ix. 27) iI

E b"kuiuk -* E M2-

i. кi

Lu2i-*L«2t (ix. 27) iI

E b"kuiuk -* E M2-

i. кi

Чтобы установить способ нахождения коэффициентов кь образуем вспомогательную квадратичную форму

f = ^2 ~ ^ 1 = ^ (Ьи "~ ^а(к) -*<*» = Z (^4^) У».

(IX. 28)

коэффициенты которой содержат параметр X. Дискриминант этой формы в переменных х, имеет вид

det П 6ifc — Х«,» П,(IX. 29)

а в переменных yi

det || (X» - X) bik || = (X, - X) (Х2 - X) ... (Х„ - X). (IX. 30)

Обозначив преобразование непосредственного перехода от переменных х, к переменным yt буквой В (это преобразование, вообще говоря, не будет ортогональным), напишем для матрицы квадратичной формы (IX. 28) в переменных yi выражение

С — ВАВ,

где через Я обозначена матрица формы (IX. 28) в переменных xt (см. формулу (IX. II)). Согласно (IX. 12)

Д(С) = ЩЯ)|О(5)П

где D(C) есть определитель (IX.30), О(Л)—определитель (IX.29), D(B) — отличный от нуля определитель матрицы преобразования В, который не содержит параметра к (D(B)#:0, так как преобразование В неособенное).

Итак,

(Л, - Л) (Л2 - Л)... (Л„ — Л) = det II blk - Ха1к || [О (В)]2.

Подстановка вместо к любого из значений Хк обращает в нуль левую часть уравнения, а следовательно, и множитель det||6^ — Xa^ll- Таким образом, величины кк суть корни уравнения

611 — ^в||Ьц—Л.О12. ..6щ— kttvn

621 — Xoai622 — Л022• • •бзп к<12п Q(1X31)

6д1 — ХдП1Ьщ — Хвпг.. .Ьпп — капп

Итак, задача приведенияквадратичныхформ(IX.24)

и (IX. 25) к диагональному виду сводится к нахождению корней уравнения (IX.31).

Рассмотрим наряду с квадратичной формой от переменных Xi

t=L^xtxk>(IX. 32)

аналогичную квадратичную форму от переменных Xj

f' = £ ЫЛ,(IX. 33)

к

где Xi — производная переменной xt по какому-либо параметру L Назовем х, i-й скоростью.

При линейном преобразовании

Xi = L с.тУт(IX. 34)

от переменных xt к новым переменным yt скорости испытывают такое же преобразование

xt = Lctmym.(IX. 35)

Выразим формы (IX. 32) и (IX. 33) в новых переменных. Для этого подставим в формулы (IX. 32) и

(IX. 33) выражения (IX 34) и (IX. 35): f == 2 ^ik^i^k = ^ Uik 2j ^imym 22 Cklyt

1. к

1. кт1

22 УтУ1 22 ^Ik^lm^kl 22 ^т1УтУи т, 11, кtn. 1

где

bmt = 22 atkCtmCkl-(IX. 36)

Аналогично

/ == 22 ^Ik^i^k ” 22 ^ik 2j ^1тУт 21 ^к1У1 i, кI. к mI

== 2 УтУI 22 ^Ik^imCk! 22 ^mlV тУ It m. I i, кtn. t

где bmt имеет те же значения (IX. 36), что и в предыдущем случае.

Таким образом, при всяком линейном преобразовании от переменных y-t к новым переменным yt коэффициенты квадратичной формы от скоростей xt преобразуются точно таким образом, как коэффициенты аналогичной квадратичной формы от х,. На этом основании схему (IX. 27) можно видоизменить следующим образом:

(преобразование Г) (xVp-<): (преобразование G)

->

22 ^t^k у 22 м? I. кI

-*

^й^^у! (IX.37) ii

22 bikxtx.k^ 22 ь'1к°1°к i, кi, к

->

22 bik“iak 22 ^чУ1' i. кI

Предполагается, что квадратичная форма У*, atkxtxk положительно определенная.

X. Тензоры

Определение тензора. Чтобы прийти к понятию тензора, рассмотрим поляризацию анизотропного диэлектрика.

В изотропном диэлектрике поляризованиость Р пропорциональна напряженности электрического поля Е:

(Х.1)(Х.1)Р = хЕ,

(Х.1)

(Х.1)

где х— диэлектрическая восприимчивость. Согласно (X. 1) векторы Р и Е коллинеарны.

В анизотропном диэлектрике поляризуемость по разным направлениям различна. Вследствие этого направление вектора Р, вообще говоря, не совпадает с направлением вектора Е. Как показывает опыт, в любом анизотропном диэлектрике имеются три взаимно перпендикулярных направления таких, что при совпадении направления Е с одним из них вектор Р

ляющая Ех создаст коллинеарную с ней поляризован-ляющая Ех создаст коллинеарную с ней поляризован-оказывается коллинеарным с Е. Эти направления называются главными. Направим оси координат вдоль главных направлений диэлектрика (рис. X. 1). Произвольно направленный вектор Е можно разложить на составляющие Ех, Еу и Ег (последняя составляющая перпендикулярна к плоскости рисунка). Состав

ляющая Ех создаст коллинеарную с ней поляризован-

ляющая Ех создаст коллинеарную с ней поляризован-

ность Рх = ххЕх, где Хх — восприимчивость в направлении оси х. Аналогично две другие составляющие создадут Р„ = хйЕу и Рг = xzEz. Нетрудно заметить, что при различных по величине х*. «у и х2 результирующий вектор Р = Рх + Рй + Рг будет неколлинеарен с Е.

Рассмотрим анизотропный диэлектрик, который мы будем считать однородной неограниченной средой. Свяжем с ним декартову систему координат, оси которой ориентированы совершенно произвольно и не совпадают ни с одним из главных направлений диэлектрика. Тогда при поле Ех, направленном по оси х, отличными от нуля будут не только Рх, но также Рв и Pz, причем

Ру. = *ххЕх. Ру —Ру= ^ix^x* (X. 2)

где *хх, Ху;: и uzx— коэффициенты пропорциональности между Ех и соответствующими компонентами Р.

Аналогично поля Ев и Е» вызовут поляризован- ности:

1-— НхаЕу, Рм ™-Рг™'^1-^,.

В случае поля Е, не совпадающего ни с одной из координатных осей, одновременно будут существовать Ех, Еу и Ех, так что возникнут все Pt, определяемые формулами (X. 2) и (X. 3). Объединив соответствующие составляющие вектора Р, получим

Рх = кхх^х "Ь ^хдЕд 4“ *XzEzl

Рд = К-дхЕ, + XgvEe 4- HgZEz,(X. 4)

PZ = ^гхЕх + «.хдЕд + %ZZEZ.

Перейдя от буквенных индексов к цифровым, запишем уравнения (X. 4) в компактном виде

Pi = Lx,& (£=1, 2,3).(Х.5)

к

Из сказанного выше вытекает, что для характеристики анизотропного диэлектрика необходимо задать девять величин Щк (в случае изотропного диэлектрика достаточно было одной величины х).

Перейдем от прежней системы координат хь Хз, х3 (системы К) к новой системе х', х', х' (системе К')» оси которой также не совпадают с главными направлениями диэлектрика. Выясним, как преобразуются величины х/* при таком переходе. В новой системе координат уравнения, связывающие Р'( и E'fe, аналогичны уравнениям (X. 5):

Здесь х'й — девять величин, характеризующих диэлектрик в новой системе координат.

Согласно формулам (VI. 37) и (VI. 38) компоненты вектора Р при переходе от системы К к системе К' преобразуются по формуле

(Х.7)

а компоненты вектора Е при переходе от системы К' к системе К преобразуются по формуле

(Х.8)

(Напомним, что а4к = е'е4 есть жосинус угла между i-й штрихованной и А-й нештрихованной осями координат.)

Заменим в (X. 7) Р/ через Ет согласно соотношению (X. 5). В результате получим

^i “ S аи^1 = ^ац^1 и1т^т = 2 ацк1т^т-

Теперь подставим сюда Ет из формулы (X. 8):

^1 ” ^l^lm акт^к "^ 'Ч^кт'Чт- 1,ткк I, т

Сопоставив полученное выражение с выражением (X. 6), получим

*\к = £ »U»km*lm-(X- 9)

I, т

Совокупность девяти величин Tin, преобразующихся при переходе от системы координат К к системе К' по формуле

и кт 1т* L ти кт 1т* L т(X. 10)(X. 10)

и кт 1т* L т

и кт 1т* L т

(X. 10)

(X. 10)

называется тензором второго ранга (или тензором второго порядка, или, наконец, тензором второй валентности).

Обратное преобразование (от системы К' к системе К) осуществляется по формуле

Ttk=L «„«mj^'<Х. 11)

Тензор собов:Тензор собов:записывают одним из следующих трех спо-

Тензор собов:

Тензор собов:

/ Гц Т1 z Т।а \

(X. 12)(X. 12)Т = (Т1д.)=| Гц Т32 Т2з ).V Гз! Тза Тзз /

(X. 12)

(X. 12)

Величины Ttk называют компонентами тензора. Компоненты Тн, Т22 и Тзз называются диагональными.

Таким образом, свойства анизотропного диэлектрика описываются тензором диэлектрической восприимчивости

(

хи *и х|ах

«21 Км К23 I.(X. 13)

Хз1 Хз2 Хзз /

Особый интерес представляет случай, когда оси

координат совпадают с главными направлениями

диэлектрика. При этом условии составляющая поля Et порождает только i-ю составляющую поляризован-

ности, причем

Pz = xzzfz 0 = 1, 2, 3).

Сопоставление с (X. 5) приводит к выводу, что в рассматриваемом случае отличны от нуля только диагональные компоненты тензора, так что тензор диэлектрической восприимчивости имеет вид

(X. 14)(X. 14)/ Xi 00\

(X. 14)

(X. 14)

(«^) = 1 0 х2 0\ 0 0 х3 /

(мы оставили при отличных от нуля компонентах тензора только один индекс, так как у диагональных компонент оба индекса одинаковы).

Тензор, у которого отличны от нуля только диагональные компоненты1), называется приведенным к главным осям. Значения диагональных компонент, которые получаются в этом случае, называются главными значениями тензора.

Отметим, что у изотропного диэлектрика все три главные значения тензора диэлектрической восприимчивости одинаковы: xz == «2 = «з = х. Это значение диагональных составляющих тензора и представляет собой диэлектрическую восприимчивость, рассматриваемую в курсе общей физики. В качестве главных направлений изотропного диэлектрика могут быть взяты любые три взаимно перпендикулярные направления.

Рассматриваются тензоры не только второго, но и других рангов. Так, например, тензором третьего ранга называется совокупность 27 величин Т^м, преобразующихся при переходе от одной системы координат к другой по формуле

Tiki “ m^ $ atmahpaiJmps" (X. 15)

Аналогично определяются тензоры других рангов. Тензор r-го ранга имеет Зг компонент. Легко видеть, что вектор есть тензор первого ранга (он имеет 3'=3ком-

*) Заметим, что это возможно лишь при специально выбранных координатных осях.

поненты), а скаляр — тензор нулевого ранга (он имеет 3° = 1 компоненту).

Понятие тензора легко распространить на пространство п измерений. Тензором r-го ранга в таком пространстве (n-тензором r-го ранга) называется совокупность пг величин Ttk.„p (всего г индексов), преобразующихся по формуле, отличающейся от формулы (X. 15) лишь тем, что немые индексы пробегают при суммировании не три, а п значений.

Приведем еще несколько примеров тензоров второго ранга. Возьмем два вектора а и b и образуем из их компонент произведения зида

nifc = *(X. 16)

Легко убедиться в том, что эти произведения преобразуются по формуле (X. 10), т. е. обладают свойствами компонент тензора второго ранга.

Тензор

(

1 о ох

0 10(X. 17)

0 0 1/

называется единичным тензором. Согласно формуле преобразования (VI. 39) его составляющие в новой системе координат равны

^i4 = £ °iZa4m^Zm = 2 aiiakl ~ ^1к

I, mI

(мы воспользовались свойством коэффициентов а/4. выражаемым формулой (X. 39)). Таким образом, компоненты единичного тензора одинаковы во всех системах координат. Тензоры, обладающие таким свойством, называются инвариантными.

Тензорная алгебра. Рассмотрим основные операции с тензорами.

Суммой тензоров Tik я Glk называется тензор с компонентами

^ik^u-VGik.(X. 18)

В соответствии с (X. 18) любой тензор можно представить в виде суммы двух (или более) тензоров.

Произведением тензора Т1к на скаляр а называется тензор Glk с компонентами

Gtk = aTib.(X. 19)

14 И. В. Савельев, т. 1

Произведением тензоров Тц, и Gtm называется тензор четвертого ранга Пш,п с компонентами

П^<т "Tl^Gtr.. (X. 20)

Аналогично определяется произведение тензоров иных рангов, в частности, выше (см. (X. 16)) было рассмотрено произведение тензоров первого ранга, т. е. векторов. Из определения (X. 20) следует, что ранг тензора-произведения равен сумме рангов тензоров-сомножителей (могут перемножаться и тензоры неодинаковых рангов).

Свертыванием тензора называется следующая операция: два индекса при компонентах тензора полагаются одинаковыми и по кнм осуществляется суммирование. Получившаяся в результате такой операции величина называется сверткой тензора. Очевидно, что свертывание понижает ранг тензора на две единицы. Операция свертывания может применяться к тензорам ранга не ниже второго1). В случае тензора второго ранга свертка представляет собой тензор путевого ранга, т. е. скаляр. Этот скаляр называется следом (или шпуром) тензора (ср. со следом матрицы; стр. 386). Он равен сумме диагональных компонент:

SpW = Z^ (X. 21)

Скаляр не изменяется при преобразовании координат. Следовательно, след тензора представляет собой инвариант. Например, след тензора (X. 16) есть не что иное, как скалярное произведение векторов а и Ь, которое, как мы знаем, инвариантно относительно преобразования координат (см. текст, следующий за формулой (VI. 28)).

В физических приложениях обычно применяется умножение тензоров в сочетании с последующим свертыванием получившегося выражения. Результат этих операций называется скалярным произведением тензоров2). Типичным примером может служить только

*) В случае тензора, ранг которого г выше второго, свертывание можно производить несколькими способами (по разным парам индексов). В результате будут получаться различные тензоры ранга г — 2.

z) Иногда последнее произведение называют внутренним, в то время как выражение (X. 20) называют внешнзы произведением тензоров.

что упоминавшееся скалярное произведение векторов (тензоров первого ранга): тензор а,Ьк свертывается по паре индексов i и к, в итоге получается выражение 2 dfebk.

В соответствии со сказанным, скалярным произведением тензора Т и на вектор а* называется вектор bi с компонентами

bt = L Т^-(X. 22)

Убедимся в том, что определенная таким способом совокупность величин о, действительно образует вектор. Для этого найдем закон преобразования величин bi. Очевидно, что

Ь', 7 2 Т'.ьа'

Подставим в последнее соотношение выражения Т,6 и а'к через нештрихованные компоненты:

Ь{ — 2 ТцРк "22 aitakm^lm 2 «Vs " кя l, ms

2 aO' 2 Timas 2 O-km^ks- I m, sй

Согласно свойству (VI. 40) 2 akmaks = 6ms. Следова- к

тельно,

bl — 2 ail 2 T^m$ " 2 °‘U 2 Tlmam = 2 ailbi-I m, sI tnI

Полученный нами результат означает, что величины bi преобразуются по закону преобразования компонент вектора. Таким образом, определяемые выражением (X. 22) величины Ь, действительно образуют вектор.

Аналогично можно убедиться в справедливости следующего утверждения: если выражение 2 Х1как, к образованное совокупностью 9-ти величин Хи и компонентами некоторого вектора ак представляет собой компоненты другого вектора Ь,, то величины Хи суть компоненты некоторого тензора. С подобной ситуацией мы столкнулись в начале этого Приложения. Совокупность девяти величин х^, взятая с компонентами

вектора Ек в сочетании (X. 5), дала компоненты вектора Р,. На этом основании мы показали, что величины xik преобразуются по закону преобразования компонент тензора, т. е. что диэлектрическая восприимчивость является тензором.

В результате скалярного умножения вектора а на тензор Т мы получили вогни вектор Ь:

b-^Ta.(X. 23)

Поэтому тензор Т можно рассматривать как линейный оператор, осуществляющий преобразование одного вектора в другой.

Найдем произведение единичного тензора на вектор е*. Согласно формуле (X. 22)

bl = X ^ii^k = ^1-к

Таким образом, при умножении на единичный тензор вектор не изменяется.

Симметричные и антисимметричные тензоры. Тензор Su, компоненты которого удовлетворяют условию

Sik = Sfci,(Х.24)

называется симметричным. Отметим, что рассмотренный выше тензор диэлектрической восприимчивости является симметричным.

Тензор А:к, компоненты которого удовлетворяют условию

Аи--АкЬ(Х.25)

называется антисимметричным.

Свойство симметрии или антисимметрии является свойством самого тензора. Это следует из того факта, что оно сохраняется при любых преобразованиях координат. Для доказательства приведем следующие выкладки:

^ik = X ^tl^km^tm ” 52 “zrAz^mZ = 52 ^kl^im^Im = ^ki I, mm. II, m

(сначала мы произвели взаимную замену немых индексов / и т, а затем заменили Smi равным ему Sim). Мы доказали, что тензор. симметричный в некоторой системе К, будет симметричным з любой другой системе Кг.

Аналогично

Aft ~ Д ааакт^1т " S ®1гпСыАгЛ "

" Д ‘Whin^lm ~ ^ki

(посла взаимной перестановки немых индексов мы заменили Arat равным ему —А^Д. Мы доказали, что тензор, антисшжегричэ-нй в К, бу.^ет антисимметричным и в К'.

Любой тензор Tik можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Дей- СГЕ’аТЕДУЬНО , ПГхСЦ^ТЙВИМ Т-у £■ В^Дй

ik 2 "Г 2

Правомерность такой записи очевидна. Вместе с тем, первое слагаемое не изменяется при перестановке индексов I и к, т. е. обладает свойствами компонент симметричного тензора; второе же слагаемое при перестановке индексов меняет знак, т. е. обладает свойствами компонент антисимметричного тензора.

Таким образом, всегда можно считать, что

Tth = Sit + Aik.(Х.26)

где

S16 - ItilSL, Лб = 22^2^, (X 2?)

Понятия симметрии и антисимметрии применимы и к тензорам более высокого ранга. Так, например, Тц,1 называется симметричным (антисимметричным) относительно индексов i и к (или i и /, или к и /), если при перестановке этих индексов компоненты тензора не изменяются (соответственно изменяют знак на обратный). Если компоненты тензора не изменяются (или изменяют знак на обратный) при перестановке любой пары индексов, то тензор называется абсолютно симметричным (соответственно абсолютно антисимметричным).

Введенная в Приложении VI совокупность 27 величин &,ы образует абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга. Напомним, что величины еш: 1) равны нулю, если любые два индекса имеют одинаковые значения; 2) равны -}-1» если все индексы

различны и образуют циклическую перестановку последовательности 1, 2, 3, 3) равны —1, если все индексы различны и образуют циклическую перестановку последовательности 3, 2, 1. Из 27 компонент этого теазора 21 равна нулю, три равны -|-1 и три равны —L Путем несложных, но громоздких вычислений можно показать, чго

ek-= S а е , = е,.,,(X. 28)

а к;кр is mps Ik I'''

т. e. что тензор еш инвариантен.

Истинные тензоры и псевдотензоры. Выясним, как преобразуются компоненты тензора при инверсии координатных осей. Коэффициенты преобразования имеют в этой, случае значения

aZ6 ==$/й

(см. (VI. 42)). Поэтому формула преобразования компонент тензора г-го ранга Tih...t (всего г индексов) при инверсии имеет вид

^ife. i "2( ^im) (^к^( ^Is^mp s"

т, р, s

=(-D' X 6lAe- -V„ .. = t-'YTlt l.

Таким образом, компоненты тензора r-го ранга1) при инверсии преобразуются по формуле

^..., = (-1ГЛй

Согласно (X. 28) величины е1А< при любом преобразовании координат (а следовательно, и при инверсии) остаются инвариантными, т. е. знака не изменяют. Компоненты же истинного тензора третьего ранга должны при инверсии изменить знак на обратный. Поэтому совокупность величин eiki образует не истинный тензор, а псевдотензор.

Превдотензором r-го ранга называется совокупность Зг компонент Pik...i, которые при поворотах системы координат ведут себя как компоненты обычного тензора, а при инверсии преобразуются по формуле

*) Имеются в виду тензоры в пространстве трех измерений.

Приведем примеры псевдотензоров разных рангов. С псевдоскалярами и псевдовекторами мы познакомились в Приложении VI. Выше был рассмотрен псевдотензор третьего ранга е^;. Совокупность величин Р14. образованных из произведений компонент истинного вектора а, и псевдовектора р*: Р^ — а.-рр, представляет собой псодотензор второго ранга. Действительно, при инверсии величины щ меняют знак, а величины Рк остаются неизменными. Следовательно, Ри при инверсии будет менять знак. В то же время, мы знаем, что компоненты истинного тензора второго ранга при инверсии знака пе изменяют. Значит, Ри есть псевдотензор.

Легко сообразить, что результатом свертывания псевдотензора будет также псевдотензор (четность или нечетность ранга тензора при свертывании не изменяется, а формулы преобразования компонент исходного тензора и свертки отличаются на множитель (—I)2). Например, при свертывании псевдотензора Рц, мы получим скалярное произведение истинного вектора и псевдовектора, т. е. псевдоскаляр.

Произведение псевдотензора любого ранга Ри. t на истинный тензор любого ранга Ттр...$ представляет собой псевдотензор

п _ р т

Lik Imp ... s г Ik ... I мр s*

Для проверки этого утверждения составим таблицу:

Ранг

Знак при инверсии

четный четный нечетный нечетный

изменяется изменяется ц-2 изменяется не изменяется

Т mp s

четный нечетлый четный нечетзый

не изменяется изменяется

не изменяется изменяется

^ ik...imp...s

четный нечетный нечетный четный

изменяется не изменяется не изменяется изменяется

Аналогично можно убедиться в том, что произведение двух псевдотензоров любых рангов представляет собой истинный тензор.

Свойства симметричного тензора второго ранга. У симметричного тензора второго ранга из девяти

компонент независимым',! являются только шесть (Si2™S2i, S,3 — - S31, S23 = S32).

Симметричный тензор второго ранга допускает важную гео- метрмческую интерпретацию. Прежде чем перейти к ее рассмотрению, отметим, что вектор а можно представить не только направленным отрезком, но и плоскостью, уравнение которой имеет вид

аг=1, (X. 29)

где г — радиус-вектор точки плоскости (рис. X. 2). Поскольку

аг = аг» = 1, то то=\]а.

Следовательно, уравнение (X.29) определяет плоскость, перпендикулярную к вектору а и отстоящую от начала координат на расстояние 1/а. Выражение (X. 29) можно также представить в виде а,т = 1, откуда г = 1/аг. Таким образом, на прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление п (см. рис. X.2), плоскость (X.29) отсекает отрезок длины

p„-L.(х.зо)

Теперь обратимся к симметричному тензору S. Сопоставим ему поверхность, определяемую уравнением

г (Sr) = 1.г (Sr) = 1.(Х.31)

г (Sr) = 1.

г (Sr) = 1.

Очевидно, что эта поверхность не зависит от выбора системы координат, в которой определяются компоненты тензора S и радиуса-вектора г. Характер поверхности зависит только от свойств тензора S.

Выберем произвольную систему координат хь х2, х3 и выразим левую часть уравнения (Х.31) через ком-

поненты г и S в этой системе. Согласно (X. 22) (St), = S/jX*.

Умножив скалярно г на вектор Sr, получим

52 ^l (Sr),^ X; ^ *^ik^k " 52 ^ik^l^k*

ii кI, к

Следовательно, уравнение (X. 31) имеет вид

(Х.32) I, к

В развернутом виде это уравнение выглядит следующим образом (напомним, что S<t = 8ыУ

8пх^ + S22x| + S^xl 4- 2Sl2x1x2 + 2S2Sx2x3 + 2S31x3x,=I.

(X. 33)

Уравнение (X.33) есть уравнение поверхности второго порядка, центр которой помещается в начале координат. В приложениях тензорного исчисления к физическим задачам диагональные компоненты 8ц бывают больше нуля (это например, имеет место для

величин х„) • В этом случае поверхность (X. 33) представляет собой эллипсоид. Этот эллипсоид и является геометрическим образом симметричного тензора второго ранга (разумеется в пространстве трех измерений), подобно тому как направленный отрезок или плоскость (X.29) дают геометрический образ тензора первого ранга, т. е. вектора.

Найдем расстояние от центра эллипсоида до точек, лежащих на его поверхности. Для этого проведем из центра эллипсоида произвольную прямую (рис. X. 3), которую примем за ось хь Тогда расстоя-

нис р от центра эллипсоида до точки Р будет равно значению хх при х2 = х3 = 0. Положив в уравнении (X. 33) хг = х$, = 0, получим, что S,^ = 1, откуда

(ср. с (X. 30)). Таким образом, расстояние р есть величина, обратная корню квадратному из компоненты тензора Su, вычисленной при условии, что направление, вдоль которого отсчитывается р, принято за ось Хь

При преобразованиях координат изменяются коэффициенты Sih в уравнении (X. 33), однако сам эллипсоид от выбора системы координат не зависит. Если направить оси координат вдоль полуосей эллипсоида, уравнение эллипсоида, т. е. уравнение (X. 33), как известно, упрощается и принимает вид

S.^ + S^ + ^-l.

Это означает, что при указанном выборе координатных осей недиагональные компоненты тензора обращаются в нуль. Следовательно, главные оси тензора совпадают с полуосями тензорного эллипсоида.

Если координатные оси направить вдоль главных осей тензора (т. е. вдоль полуосей тензорного эллипсоида), тензор принимает диагональный вид

X, О О XX, О О X№й) = 6 о ^ о .№й) = 6 о ^ о .к О 0 Хз /к О 0 Хз /(Х.34)(Х.34)

X, О О X

X, О О X

№й) = 6 о ^ о .

№й) = 6 о ^ о .

к О 0 Хз /

к О 0 Хз /

(Х.34)

(Х.34)

Мы ввели обозначения: Sl; = Xb S22 = Х2, 5зз = Х3. Величины X], Х2, Х3 суть главные значения тензора.

В случае, когда Xi = Х2 — Хз = X, тензорный эллипсоид превращается в сферу. В частности, единичному тензору б/* соответствует сфера единичного радиуса.

Умножим некоторый вектор а на тензор (Х.34). В результате получится вектор Ь, составляющие которого определяются по формуле (X. 22). Компоненты тензора (X. 34) можно представить в виде S-й = Х<6,й. Следовательно,

6Z — 51 ХДйа& — XiQi. к6Z — 51 ХДйа& — XiQi. к(X. 35)(X. 35)

6Z — 51 ХДйа& — XiQi. к

6Z — 51 ХДйа& — XiQi. к

(X. 35)

(X. 35)

Пусть вектор а направлен вдоль первой главной оси тензора. Тогда at = а, а;! = а3 = 0 (взяв тензор в виде (X. 34), мы предположили, что оси координат направлены по главным осям тензора). Согласно формуле (X. 35) компоненты вектора b будут равны f>i—Х1йь ь2 = 63 = 0. Это означает, что направление вектора b совпадает с направлением вектора а, модуль же вектора b в Xi раз больше чем модуль вектора а. То же справедливо и для двух других главных осей. Таким образом, если вектор а. направлен по одной из главных осей тензора, то справедливо следующее равенство:

Sa==Xa,(Х.36)

где X — соответствующее главное значение тензора.

Мы пришли к следующему результату: при умножении вектора, имеющего направление одной из главных осей, на тензор направление вектора не изменяется, величина же вектора увеличивается в число раз, равное соответствующему главному значению тензора.

Равенство (Х.36) справедливо в любой системе координат, лишь бы вектор а был направлен по одной из главных осей тензора. Этим обстоятельством можно воспользоваться для нахождения главных значений и главных осей тензора. Для этого нужно варьировать направление вектора а, пока вектор Sa не совпадет по направлению с а. Соответствующее направление даст главную ось тензора, а отношение Sa к а — соответствующее главное значение. Аналитически это выглядит следующим образом. Запишем равенство (Х.36) в компонентах (мы пока еще не привели тензор к главным осям, так что, вообще говоря, все Sih отличны от нуля):

Зцй| + SiA -b Si3a3 = А,«],

^itz, 4~ •Згг^г ~h S23U3 — Ха^,5з1а1 4~ S32&2 *Ь ^ззйз = Ха3.

Приведя подобные члены, получим

(SH — X) Я] -|-3|2Й24-513^3— О,

•521^14* (^22— Х)я2-!-023^3—О, (X. О/)

$31^14~ SaA 4~ (^*зз X) я3 = 0.

Мы пришли к однородной системе трех уравнений с неизвестными Оь а2, аз— компонентами искомого вектора а. Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, требуется равенство нулю ее определителя (см. Приложение УШ; текст, следующий за формулой (VIII. 26)). Таким образом, должно выполняться условие

Sn — А$31Sn — А$31Si2 га — '$32Si2 га — '$32$13■$23$13■$23(X. 38)(X. 38)

Sn — А

$31

Sn — А

$31

Si2 га — '$32

Si2 га — '$32

$13

■$23

$13

■$23

(X. 38)

(X. 38)

Кории этого кубического относительно 1 уравнения представляют собой главные значения тензора: Аь А& Аз. Подставив один из этих корней в систему (Х.37), мы сможем найти отношения a2/ai и a^/ax, которые определят направление вектора а, удовлетворяющего уравнению (X. 36), т. е. соответствующую главную ось тензора. Проделав эту операцию для всех трех А/, найдем направления всех главных осей.

Мы предполагали, что все корни Аь Аг и Аз разные. В случае, когда уравнение (Х.38) имеет кратные корни, необходимо некоторое уточнение. При двух кратных корнях (А2 = Аз = A, Ai ^ А) тензорный эллипсоид будет эллипсоидом вращения. Однозначно будет определена только одна главная ось тензора, совпадающая с осью симметрии эллипсоида. В качестве двух других главных осей можно взять две любые взаимно перпендикулярные оси, перпендикулярные к оси симметрии эллипсоида. Если все три корня уравнения (X. 38) одинаковы (Ai = А2 = А3 — А), тензорный эллипсоид вырождается в сферу и в качестве главных осей можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси.

Рассмотрим свойства симметричного тензора как оператора. Согласно (X. 36) воздействие S на вектор а, направленный вдоль одной из главных осей тензора, вызывает лишь изменение длины вектора в А раз. Воздействие S на произвольно ориентированный вектор вызывает, вообще говоря, изменение как длины, так и направления этого вектора (см., например, рис. X. 1).

Свойства антисимметричного тензора второго ранга. Обратимся теперь к антисимметричному тензору второго ранга. Условие (X. 25) для диагональ-

ных компонент имеет вид Ац = —Ац. Это возможно лишь при Л1е=0. Следовательно, диагональные компоненты антисимметричного тензора равны нулю. Из остальных шести компонент независимыми являются только три. Таким образом, антисимметричный тензор второго ранга определяется, как и вектор, тремя величинами:

Л12 — — Л 2! — й3,

(X. 39)(X. 39)Л2з ~ — Л32 = й|,

(X. 39)

(X. 39)

Л3| — — А к.Л3| — — А к.а<,а<,

Л3| — — А к.

Л3| — — А к.

а<,

а<,

Воспользовавшись этими обозначениями, можно записать антисимметричный тензор следующим образом:

(

О t?.j — С-2 \

-«з о(X. 40)

Компоненты тензора (X.40) можно представить в виде

Aih = 2 г1Ыа1 == ег*1<:г1 "Г ^ikA + б^а^, (X. 41) где е;ы — абсолютно антисимметричный псевдотензор (см. текст, предшествующий формуле (X. 28)). Действительно, определяемые этой формулой компоненты Ац равны нулю, так как ещ при любом / равно нулю. Далее

Л12 — 8121^1 Н" е-ш^ 4~ е12зйз = 0 - й, -|- 0 ■ ti2 4- 1 ■ ^3 = а3, Л|3 = £131<21 + е]32Й2 + е|33а3 = 0 • й| + (—1) • а2 -|- 0 • а3 =

= —02 и т. д.

Выше было показано, что при перемножении истинного тензора и псевдотензора получается псевдотензор. Произведение же двух псевдотензоров представляет собой истинный тензор. Тот факт, что величины а,, будучи умноженными на псевдотензор еш (см. формулу (X.41)), дают компоненты истинного тензора второго ранга, указывает на то, что эти величины обладают свойствами псевдотензора первого ранга, т. е. псевдовектора.

Итак, всякому антисимметричному тензору второго ранга может быть сопоставлен псевдовектор с компо-

нентами а„ определяемыми формулами (X.39). И наоборот, всякому псевдовектору а, может быть поставлен в соответствие истинный антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого выражаются через компоненты псевдовектора по формуле (X. 41).

Применим оператор А (А — антисимметричный тензор) к некоторому вектору Ь. Согласно (X. 22) и (Х.41) мы получим вектор с с компонентами:

с, = £ Au,bk = £ atkib^i.кк, I

Сопоставив полученное выражение с формулой (VI. 33), приходим к выводу, что с можно представить в виде векторного произведения ■) векторов Ь и а:

с = АЬ = [Ьа].

Вектор с перпендикулярен как к исходному вектору Ь, так и к псевдовектору а, соответствующему тензору А. Таким образом, воздействие тензора А вызывает поворот вектора на угол л/2. Кроме того, вообще говоря, изменяется длина вектора.

XI. Некоторые сведения из векторного анализа

Градиент. Рассмотрим скалярное поле, т. е. область пространства, каждой точке которой соответствует определенное значение скаляра ф:

Ф = ф (Р) = ф (г) = ф (хь х2, х3),.

где г — радиус-вектор, а х(, х2, ^з — декартовы координаты точки Р.

Всем точкам поверхности, определяемой уравнением

ф(хь х2, х3) = const,(XI. 1)

соответствует одинаковое значение ф. Поверхность вида (XI. 1) называется поверхностью уровня скаляра ф. Поверхность уровня можно провести через любую точку поля.

*) Напомним, что векторное произведение представляет собой полярный вектор только в том случае, если один из сомножителей является псевдовектором. Отсюда также можно было заключить, что а есть не истинный зектор, а псевдовектор.

При смещении из точки Р на отрезок dr функция ф получает приращение

Последнее выражение не зависит от выбора координат х;, т. е. представляет собой инвариант. Совокупность величин dxi образует вектор dr. Поэтому (см. текст, следующий за формулой (VI. 28)) можно утверждать, что величины d^/dxi суть проекции некоторого вектора на оси xt. Этот вектор называют градиентом скаляра ф и обозначают символом gradv. Итак,

<XL2>

или, в обычных обозначениях,

, дф . . дф , . дф .grad ф =1 Н- 1 + к-

6 v дх ' ду 3 ' dz

Определение (XI.2) легко распространить на пространство п измерений. В последнем случае число слагаемых в формуле (XI. 2) будет равно не трем, а п.

Докажем, что компоненты градиента преобразуются по формулам (VI. 37). Взяв две системы координат К и К’, можно написать

(ХМ)

Выразим dx, через dx'feno формуле (VI.38) и подставим эти выражения в (XI. 3):

^ ax, kl л дх', '

Изменим в левой части порядок суммирования по индексам i и й:

к i1 I 1

Индексы i и к являются немыми. Как уже отмечалось, немой индекс можно обозначить любой буквой.

Поэтому сумма слева не изменится, если переставить индексы i и k. В итоге получим

Из полученного нами соотношения следует д®

дх1 Т о*к

что совпадает с (VI. 37). Таким образом, мы показали, что величины д^дх, при преобразованиях координат ведут себя как компоненты вектора.

Гамильтон ввел векторный дифференциальный оператор V (оператор набла) или оператор Гамильтона, который представляет собой вектор с составляющими д/дх, д/ду, djdz-,

V ++= y ez . (XI.4)

дх 1 1 ду 1 dzZ—। dxt х '

Сам по себе вектор V смысла не имеет. Он приобретает смысл, будучи применен к скалярной или векторной функции. Так, при символическом умножении V на <р получается градиент ф:

Следовательно, V<p^grad<p. Согласно (XI. 3) приращение <р может быть представлено в виде скалярного произведения векторов gradtp и dr;

dtp = grad <р • dr = (V<p) dr.(XI. 5)

При перемещении по поверхности уровня (р остается неизменной (d<p = O). Отсюда в соответствии с (XI. 5) вытекает, что вектор V<p в каждой точке поля направлен по нормали к поверхности уровня. Найдем скорость изменения ip вдоль некоторого направления /, т. е. d<p/dl. Согласно (XI. 5) приращение <р на отрезке dl равно (V(p)dl = (V<p)z-i/, где (V<p)z — проекция гра- , „^Ф (Рф),^

диента на направление I. Поэтому —др ——^— = = (V<p)z. Таким образом, проекция градиента на неко-

торое направление дает скорость изменения функции в данном направлении.

Отметим, что вектор V<p существует в каждой точке скалярного поля <р. Следовательно, градиент образует векторное поле, т. е. область пространства, каждой точке которой соответствует определенное значение вектора V<p.

Дивергенция. Пусть нам дано поле вектора а. Потоком вектора а через поверхность f называется выражение

Фа= andj — ^ a df, (XI. 6) f f

где ап — проекция вектора а на положительную нормаль к площадке df, di — вектор элементарной площадки, его модуль равен величине площадки df, а направление совпадает с направлением положительной нормали к площадке. Направление положительной нормали определяется в зависимости от обстоятельств. Так, например, при вычислении потока через замкнутую поверхность положительной считается внешняя нормаль.

Название «поток» обусловлено тем, что в случае поля вектора скорости жидкости интеграл (XI. 6) дает поток жидкости через поверхность f, т. е. объем жидкости, протекающей через f в единицу времени.

Окружим точку Р поля замкнутой поверхностью/. Вычислим поток Фа через эту поверхность. Отношение Фа к V будет характеризовать свойства поля в окрестности точки Р, усредненные по объему V, заключенному внутри f. Чем меньше линейные размеры объема, тем ближе будет средняя характеристика к истинной характеристике поля в точке Р. Скалярную величину

div а = lim — 1>т 4' ап df (XI. 7) v-»o v v-*o v J

называют дивергенцией (или расхождением) векторного поля в точке Р.

Определение (XI. 7) является самым общим, не зависящим от выбора координатной системы. Найдем выражение для дивергенции через проекции а на оси декартовой системы координат. Возьмем в окрестности точки Р объем в виде прямоугольного параллеле-

15 И. В. Савельев, т. 1

пипеда с гранями, перпендикулярными к координатным осям (рис. XL 1). Найдем поток вектора а через грани 1 и 2, перпендикулярные к оси х. Внешняя нор

маль к грани / совпадаетмаль к грани / совпадаетРис. XI. 1Рис. XI. 1грани 2). Суммарный поток через грани 1 и 2 равенграни 2). Суммарный поток через грани 1 и 2 равенпо направлению с осью х. Поэтому для этой грани ап — axi (индекс 1 указывает, что значение ах берется в точке, лежащей на грани 7). Внешняя нормаль к грани 2 противоположна по направ- ► лению оси х. Поэтому для нее ап = —ах2 (индекс 2 указывает, что значение ах берется в точке, лежащей на

маль к грани / совпадает

маль к грани / совпадает

Рис. XI. 1

Рис. XI. 1

грани 2). Суммарный поток через грани 1 и 2 равен

грани 2). Суммарный поток через грани 1 и 2 равен

Ф,=? ^axXdfY — \ax2df2=^\(axi — ax2)df, (XI. 8) (1)(2)f

где df = dfi = df2 (см. рис. XI. 1), ах1 и ах2 берутся для точек граней 1 и 2 с одинаковыми у и z. Интеграл, стоящий справа, берется по поверхности f любой из граней 1 и 2.

Разложим ах в ряд в окрестности точки Р:

»х = ахР + (-^)р (х - х,^ + (-^-)р (у - уР) +

+ (^)р(~-^ + е- <XL9>

Здесь Хр, ур, Zp — координаты точки Р, ахР — значение ах в точке Р, ^дах/дх^Р и т. д. — значения производных в точке Р, ех — величина более высокого порядка малости, чем разности (х— хр), (у— ур), (г— zp), т. е. величина, убывающая быстрее, чем линейные размеры параллелепипеда.

Положив в выражении (XI. 9) x = xi, найдем значения ах в точках грани 1, т. е. a*i; положив х — х2, получим значения ах2. Вычтя эти значения друг из друга, получим для противолежащих площадок dft и df2 (значения у и z для них одинаковы)

°л1 “ axi" (~d*")p (х» — хг) 8*‘

где опять-таки в'— величина, убывающая быстрее, чем линейные размеры объема.

Подставиз найденное нами значение в формулу (XI. 8), получим

Из рис. XI. 1 видно, что произведение (xi—x2)f дает объем параллелепипеда V. Поэтому

и+ 8';

где е" — величина более высокого порядка малости, чем V. Аналогичные выражения получаются и для потоков через пары граней, перпендикулярных к осям У и 2:

ф.-(тИ/+»;. ф.-№Хг+«'-

Сложив вместе Фх, Ф^ и Фг, получим полный поток вектора а через поверхность параллелепипеда. Разделив согласно определению (XI.7) этот поток на V и сделав предельный переход1) V->0, придем к формуле да,да„ да,

diva =-3— + -3F — (XI. 10) дхду 1 dz'’

(за ненадобностью мы опустили индекс Р при производных).

Найденное нами выражение (XI. 10) для дивергенции можно записать в виде

В такой форме понятие дивергенции может быть распространено на векторные поля в пространстве п измерений. Определение (XI. 7) также можно распро-

’) При предельном переходе величины в"/ V обращаются в нуль.

странить на пространство п измерений. В этом случае под элементом объема следует понимать dV* = ~ dx\dx2dxa ... dxn. Интеграл нужно брать по гиперповерхности размерности п— 1. Элемент гиперповерхности, перпендикулярный к оси х^, будет равен df* — dxidx2 ... dxk-idxfe^i ... dx,t. В пространстве четырех измерений гиперповерхностью будет обычный трехмерный объем.

Выражение (XI. 11) можно рассматривать как сумму произведений величин V, = d/dxt и а^ т. е. как скалярное произведение векторов V и а. Поэтому дивергенцию можно представить в виде

div а ^ Va.div а ^ Va.(XI. 12)

div а ^ Va.

div а ^ Va.

Величина Va существует в каждой точке векторного поля а. Следовательно, дивергенция образует скаляр-

Рис. XI. 2 но написать ДФаРис. XI. 2 но написать ДФаное поле, определенное в той же части пространства, что и поле вектора а.

Рис. XI. 2 но написать ДФа

Рис. XI. 2 но написать ДФа

Возьмем в поле вектора а конечный объем V, ограниченный поверхностью f (рис. XI. 2). Разобьем этот объем на элементарные объемы ДР. Согласно (XI. 7) для потока ДФЯ через поверхность такого объема мож- т div a-AV— Va-ДР. Сложим эти

выражения для всех элементарных объемов. При суммировании ДФа потоки через грани, разделяющие два соседних объема, взаимно уничтожатся (для

смежных объемов потоки отличаются знаками, так

как внешние нормали п к п' имеют противоположные направления). Некомпенсированными останутся только потоки через участки внешней поверхности /, так что в сумме получите:-'! поток вектора а через эту поверхность. Сумма справа в пределе (при ДУ->0) превратится в интеграл по всему общему. Прхб/И!- женное равенство в предел-г дерендет и стертое рэгеч- ство. В итоге получим

^eadf^\4&dV.ш. 13)

Полученное, наыу. одеоне щян“г. илю ч^ < .ео- ремы Остроградскоге—Гаусса: потоь et 5 , ч‘лез

замкнутую поверхность ранен интегралу от дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью.

Ротор. Циркуляцией вектора а по контуру Г на

зывается выражение

(XL 14)(XL 14)Са = ф a dt ™ ф at dl.г г

(XL 14)

(XL 14)

Например, в поле консервативных сил циркуляция вектора F равна работе сил на замкнутом пути Г.

Возьмем в окрестности точки Р контур Г, лежащий в плоскости, проходящей через Р. Найдем циркуляцию Со по этому контуру. Отношение Со к поверхности f, охватываемой контуром, будет характеризовать свойства поля в окрестности точки Р, усредненные по поверхности f. Чем меньше линейные размеры поверхности, тем ближе будет средняя характеристика к истинной характеристике поля в точке Р. В пределе, при стягивании контура к точке Р, средняя характеристика превратится в истинную. Таким образом, свойства векторного поля в некоторой точке Р можно охарактеризовать величиной

lim £2-=(XI. 15)

Г->0 /Г->0 <

Величина (XI. 15) зависит не только от свойств поля в точке Р, но и от ориентации плоскости, в которой лежит контур. Ориентацию этой плоскости в пространстве можно за-\Хп

дать нормалью к плоскости, связан- / ной с направлением обхода по конту- \ ру Г при интегрировании правилом / правого винта (рис. XI.3) Для раз- S ных направлений п величина (XI.15)/

будет иметь в одной и той же точке Р разное значение, причем, как легко рас %j 3 сообразить, противоположным направлениям п соответстзуют значения величины (XI. 15), отличающиеся только знаком. Следовательно, величина, определяемая формулой (XI. 15), ведет себя как проекция некотооого вектора на направление нормали к контуру Г. Этот вектор называют ротором (или вихрем) векторного поля в точке Р и

обозначают символом rota. Таким образом.

(XL 16)(XL 16)с1 X

(XL 16)

(XL 16)

Формула (XL 16) ротора, не зависящееФормула (XL 16) ротора, не зависящееРис. XL 4Рис. XL 4(rot а)га = lim —г- = lim ~ ф оу dl.г-^о ' г-»о / J

Формула (XL 16) ротора, не зависящее

Формула (XL 16) ротора, не зависящее

Рис. XL 4

Рис. XL 4

дает самое общее определение от выбора координатной системы Найдем выражение для ротора через проекции вектора а на оси декартовой системы координат. Начнем с определения проекции вектора rot а на ось х. Для этого возьмем а окрестности точки Р контур Г, лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси х (рис. XI. 4). Направление об.хода по контуру выберем так, чтобы оно образовывало

с направлением оси х пргвовинтовую систему. Тогда направления п и оси х совпадут и выражение (XI. 16)

даст (rota)z. Для выбранного нами контура

ф at dl = ф a dl == ф (ан dy -р я2 d^ ггг

(для всех элементов контура dx — 0).

Значения а„ для точек контура можно представить в виде )

/ дау А/ дау А

Gy = а„Р + jp ку - ур) +(2 - 2р) + Су =

f

dlXy AZ дЯу А

где const включает в себя три слагаемых, не зависящих от у и z, ву — величина более высокого порядка малости, чем линейные размеры контура. Следовательно,

ф ай dy =

= const <^у+(^)р §У-1уЦ^-\ $ 2dy-V^etidy.

Легко сообразить, что ф dy = 0. Точно так же равен нулю интеграл ф уdy = xk^d^. Из рис. XI. 4 нетрудно заключить, что ^zdy ——f, где f— площадь контура. Таким образом

С / да» X ^а^у^Ц-^^ + г;, (XI. 17)

где в — величина более высокого порядка малости, чем площадь контура f.

Проделав аналогичные выкладки для а2, придем к выражению

az dz = const ф dz +

+ (^),Ф»^ + Ф (4г) Лг "г+Ф

Интегралы ^dz и ф zdz = 72 ф d(г2) равны нулю, ^ydz = f. Поэтому

§°«dz=(1^-'),f+<- (Х1|8>

Выражения (XI. 17) и (XI. 18) в сумме дают ^atdl. Разделив в соответствии с определением (XI. 16) эту сумму на f и осуществив предельный переход ■), получим да, да,, (rot а), = - д. 'ду dz

Рассмотрев циркуляцию для контуров, ориентированных нормалью п по осям у и г, можно получить выражения для проекций ротора на эти осн: да,да,да„да,

(rot а)у = -^^Г,(rot а)2 = -^^.

Формулы для проекций ротора на координатные оси легко запомнить, приняв во внимание, что в

*) При предельном переходе величины е'// обращаются в нуль.

каждой из них индекс при rota и буквы, стоящие справа в знаменателях, образуют циклическую перестановку, осуществляемую по схеме: х-*-у

к zz

да,,\ (да. дг ) ' ч \ дгда,,\ (да. дг ) ' ч \ дгЗная проекции, легко найти сам вектор:

да,,\ (да. дг ) ' ч \ дг

да,,\ (да. дг ) ' ч \ дг

./дй2

rot а = е Д --— х\ ду

/ да,, да.\

^^-^У (XL19>

С учетом того, что, например, даг/ду можно представить в виде ^наг и т. д. (Ч; = д/ду— проекция вектора V на ось у), запишем формулу (XI. 19) следуюС учетом того, что, например, даг/ду можно представить в виде ^наг и т. д. (Ч; = д/ду— проекция вектора V на ось у), запишем формулу (XI. 19) следующим образом:rota =щим образом:rota =«х а дх«х а дхеу сгд дду дгеу сгд дду дг(XI. 20)(XI. 20)

С учетом того, что, например, даг/ду можно представить в виде ^наг и т. д. (Ч; = д/ду— проекция вектора V на ось у), запишем формулу (XI. 19) следую

С учетом того, что, например, даг/ду можно представить в виде ^наг и т. д. (Ч; = д/ду— проекция вектора V на ось у), запишем формулу (XI. 19) следую

щим образом:

rota =

щим образом:

rota =

«х а дх

«х а дх

еу сгд дду дг

еу сгд дду дг

(XI. 20)

(XI. 20)

Од Gy Gg

Наконец, сравнение с формулой (VI. 31) дает нам право написать, что

rot а = fVa].(XI. 21)

Воспользовавшись формулами (VI. 29) и (VI. 33)

для векторного произведения, можно написать для ро

Pac. XL 5Pac. XL 5sr'ssr's(XL 22)(XL 22)тора и его Л-й компоненты следующие выражения:

Pac. XL 5

Pac. XL 5

sr's

sr's

(XL 22)

(XL 22)

Величина [Va] существует в каждой точке векторного поля а. Сле-

довательно, ротор образует векторное поле, определенное в той же части лростраиства, в которой за-

■/.пл поле вектора а.

’ эмем в поае т.Ул':;<Ул::. а. ?грс»лзвольнук> поверхность f, ограямченную контуром Г (контур мотет быть любым, не обязате/тлю плоским). Разобьем "ту поверхность на малые элементы Д( ор^с. XL 5). Со- : г- сно (Х’ Лб) гугц щ:уц а-/ыди »/?, со грачял.^ ыт»;

мента А/ можно написать выражение АСа як [Va] „А/, где [Va] я — проекция [Va] на нормаль к данной А/, связанную с направлением обхода правилом правого винта.

Сложим эти выражения для всех АД При суммировании АСд интегралы ^a;dl, взятые вдоль границы раздела соседних площадок, взаимно уничтожатся (для смежных площадок эти интегралы отличаются знаком, так как берутся в разных направлениях). Некомпенсированными останутся только интегралы ^a<dZ для участков, совпадающих с контуром Г, ограничивающим /. Эти интегралы дадут в совокупности циркуляцию а по контуру Г. Сумма справа в пределе (при Af->0) превратится в интеграл по поверхности. Приближенное равенство в пределе перейдет в строгое равенство. В итоге получим

^) а2 dl == J [Va]„ dr. (XL 23) г f

Найденное нами соотношение носит название теоремы Стокса: циркуляция вектора а по замкнутому контуру Г равна потоку вектора [Va] через поверхность, натянутую на контур Г.

Поверхность, по которой берется интеграл в правой часта формулы (XL 23), может быть любой, важно лишь, чтобы она опиралась своей границей на контур Г. Направление нормали и должно быть согласовано с направлением обхода контура Г при интегрировании.

Применение оператора V к произведению функций. При составлении формул, в которые входит V, нужно руководствоваться как правилами, векторной алгебры, так и правилами дифференциального исчкслгяия. Пусть, например, © и ф — сдаляряыг функция точки.

" V^MtH + W) (XL 24)

(индекс при V указывает, на какую из функций она действует). Сомножитель, на который в дач1_ч '•иг* гаснем V не дейстедет, моиго р.ыкасти нз-пог 'wa V (оператор V действует толъхо иа вглщшвы, ' ’--н^че га ним). Тжкь '4i$V)MTyta (XI 24) прг.де”. - 1- <_>>"«^

вид: V (фф) = фУцгф + ф V/p. В написанном нами выражении, очевидно, нет необходимости в индексах при V, так что окончательно

V (фф) = фУф + ф¥ф(XI. 25)

(читается: «фи градиент пси плюс пси градиент фи»). Применим V к произведению фа. В этом случае имеется две возможности — векторы V и фа можно перемножить как скалярно, так и векторно. Соответственно получим

7(фа) = Фф(фа) + Va^a) = а7ф + ф?а (XI. 26) («а градиент фи плюс фи дивергенция а»), [V, (фа)] = [?Ф, (фа)] + [Va, (фа)] =

= [W, а] + ф[7а]. (XI. 27)

Теперь применим V к произведению [ab], перемножив векторы сначала скалярно: V [ab] = Vo [ab] + + Vfr[ab]. Осуществим в каждом из слагаемых циклическую перестановку (VI.3):

V [ab] = b [Vea] + a [hV6] = b [Vaa] - a [V6b]

(во втором слагаемом мы поменяли местами b и V», чтобы вектор b оказался за оператором V», который на него действует; при этом у векторного произведения изменился знак). Опустив ненужные уже индексы, придем к формуле

V [ab] = b [ Va] - а [Vb](X1. 28)

(«бэ ротор а минус а ротор бэ»).

Умножим [ab] на V векторно: [V [ab] ]= = [Va [ab] ] + [V* [ab] ]. Развернем каждое из слагаемых по формуле «бац минус цаб» (см. (VI. 5)): [V [ab] ] = а (Vab)—b (Vaa) + а (V»b) — b (V6a). Расставив множители так, чтобы можно было опустить индексы при V, получим

[V [ab]] = (bV) а - (aV) b + a (Vb) - b (Va). (XI. 29)

Выражения (aV) и (bV) суть скалярные дифференциальные операторы. Например,

W-a.-^ + a.^ + a^-^a.-^-.(XI.30)

Эти операторы могут применяться как к скалярным, так и к векторным функциям. В применении к скаляру <р оператор (XI. 30) дает

(aV)v = ^flj^ = a(Vv). (XI. 31)

При действии оператора (aV) на вектор b получается выражение

(aV) Ь - 2~ I =< "567 (Z «•»*) -

==1=‘К^- <XL32>

h I'

Применим оператор (XI.30) к произведению скалярной функции ф и векторной функции Ь:

(а?) (фЬ) = (aV^,) (фЬ) + (aV6} (фи) =

= Ь(аФ)ф 4- ф(а?) Ь = Ь(а ■ 7ф) 4- ф(а^) b. (XI. 33)

Полезно знать значение выражения (aV)r, где г — радиус-вектор, а — некоторый произвольный вектор. Подставив в (XI. 32) г вместо b и приняв во снимание, что dx^/Oxi = Sts, получим

(aV)r= I е6 I = I еА = a. (XI. 34) к Ik

Формулы (XI. 25) — (XL 29) мы получили легко. Сложнее обстоит дело с нахождением градиента скалярного произведения двух векторов: V(ab), так как неясно, что надо понимать под, например, выражением^ (ab). Его нельзя трактовать как (Vaa)b, ибо операции перемножения а с Ь и применения Va не пе- реставимы. Это затруднение можно обойти, воспользовавшись вспомогательными соотношениями, вытекающими из формулы «бац минус цаб»: (a(Vb]] = = V» (ab) — b (V»a) = V» (ab) — (aV) b, откуда

Vd(ab) = [a[Vb]| + (aV)b. (XL 35)

Записав таким же способом lb (Va]J, придем к соотношению

Vu(ab) = [b[^an + (bV)a. (XI. 36)

Подстановка соотношений (XL 35) и (XI. 36) в формулу

V (ab) = Va (ah) + 7Й (ab)

приводит к следующему выражению для градиента скалярного произведения векторов а и Ь:

V (ab) = [a [Vb]] + [b [Va]l + (aV) b + (bV) a. (XL 37)

Повторное применение оператора V. В результате воздействия оператора V на скалярные или векторные функции получаются новые векторные либо скалярные функции, к которым в свою очередь может быть применен оператор V.

Градиент функции <р есть вектор. Следовательно, к нему могут быть применены операции и дивергенции, и ротора. Вычислим дивергенцию градиента. Согласно формулам (XI. 2) и (XI. 11)

< ‘•

Таким образом,

V(V<p) = A<p,(XI. 38)

где А— оператор Лапласа:

(XI. 39)

дх2 ду2 1 az2'*

Из проделанных нами выкладок вытекает, что

VW(XI. 40)

Однако нужно иметь в виду, что такое соотношение между операторами V и А имеет место только в декартовых координатах. В других системах координат, например в цилиндрической или сферической, соотношение (XI. 40) не выполняется. Самым общим определением оператора А, справедливым в любой системе координат, является определение, вытекающее из соотношения (XI. 38), которое можно записать в виде

Аф-—div grad ф.(XL 4!)

Найдем rot grad ф. Согласно (XI. 22)

|v. v»|-£,„-'?-(-^je,.|v. v»|-£,„-'?-(-^je,.(XL 42)(XL 42)

|v. v»|-£,„-'?-(-^je,.

|v. v»|-£,„-'?-(-^je,.

(XL 42)

(XL 42)

Поскольку d2<p/dxidxk = d^/дхцдхи последнее выражение равно нулю, так что

rot grad ф == 0.(XI. 43)

Этого и следовало ожидать, так как [V, ¥ф] = [W] Ф, а векторное произведение вектора на самого себя равно нулю.

Вычислим дивергенцию ротора. Согласно формулам (XI. И) и (XI. 22)

V [7а] = £/ £ ейям -^-А = £ ^я g qx -

к\ т, п/R, т, п

Так как д2ап/дхкдхт = а2ап/дхтдхк, последнее выражение равно нулю. Следовательно,

div rot а = 0.(XI. 44)

К этому результату можно было прийти сразу, приняв во внимание, что смешанное произведение векторов (каковым является V[Va]) равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах. Поэтому при совпадении двух сомножителей из трех такое произведение равно нулю.

Для вычисления rot rot г будем исходить из формул (XI. 22):

iv №п= £ ««-^(Ев».,.^)^

к, I1 Хт.пт )

Произведем циклическук п^естаповку индексов при в так, чтобы индекс к в обоих е оказался нс последнем месте и коспользусмал соотношением (VI. 16V Н итого получимПроизведем циклическук п^естаповку индексов при в так, чтобы индекс к в обоих е оказался нс последнем месте и коспользусмал соотношением (VI. 16V Н итого получим

Произведем циклическук п^естаповку индексов при в так, чтобы индекс к в обоих е оказался нс последнем месте и коспользусмал соотношением (VI. 16V Н итого получим

Произведем циклическук п^естаповку индексов при в так, чтобы индекс к в обоих е оказался нс последнем месте и коспользусмал соотношением (VI. 16V Н итого получим

Осуществим суммирование по индексам т и п. В результате полученное нами выражение примет вид

2-i, I2-i, Iд2а(дх{ дх,д2а(дх{ дх,

2-

i, I

2-

i, I

д2а(

дх{ дх,

д2а(

дх{ дх,

что можно представить следующим образом:

2 «< (2 У - 2 4 (2 --)

Итак, мы пришли к формуле

[V [Va] ] = V(Va) — Aa(XL 45)

или

rot rota = grad div a — Aa. (XL 46)

Легко убедиться в том, что соотношение (XI. 45) можно получить, если развернуть [V[VaJ] по формуле «бац минус цаб», обращаясь при этом с V как с обычным вектором.

Из (XI. 46) вытекает, что

grad div а == rot rota + Aa. (XL 47)

Дивергенция является скаляром. Поэтому никакой операции, кроме операции нахождения градиента, к ней применить нельзя.

Некоторые формулы векторного анализа. Найдем дивергенцию и ротор радиуса-вектора г, а также градиент модуля г. Приняв во внимание, что г = (£ х?)7', получим согласно (XI.2)

^-2‘^-2^-7-е- (XI.48)

где ег — орт радиуса-вектора г. В соответствии с (XL 11)

(XI. 49)(XI. 49)

(XI. 49)

(XI. 49)

(мы использовали тот факт, что rl = xi). В п-про- странстве Vr = п.

Легко убедиться в том, чго ротор радиуса-вектора равен нулю:

[Vrj~O.(XI.50)

Для этого можно воспользоваться формулой (XL 22), заменив в ней ак через х^. Тогда получим

[Vr] ~ У йш -" С/ — У bv^lk^l-

.k. I 1 I. ft. I

Это выражение равно нулю, так как при одинаковых значениях индексов i и к обращается в нуль множитель в1ы, а при различных значениях — обращается в нуль множитель б^.

Соотношение (XI. 50) вытекает также из того, что циркуляция вектора г по любому контуру равна нулю. Действительно, согласно (XI 14)

Сг = ф г Л = (^) ( dx + у dy -^ 2 dz) —

=у^^'2 + у2 + 22)-

Под знаком интеграла стоит полный дифференциал, поэтому интеграл равен нулю.

Теперь найдем градиент функции от г, т. е. V<p(r). Частная производная от ф(г) по Хь имеет вид1), д^[дхк = d^fldr-drjdxk = dnldr-xi»Jr. Следовательно,

Е

дф хь dip 1<3ф г

кк

Приняв во внимание формулу (XI. 48), можно написать

^^.а^^^Г.^^,. (XI. 51)

Пусть имеется функция расстояния между двумя точками:

Ф(|г —г' |) = ф^^Е (^~ <)2) = Ф(^).

где

Операцию нахождения градиента можно применить к этой функции двумя способами — можно производить дифференцирование либо по координатам xt, либо до координатам х'г Чтобы различать эти два градиента, в первом случае мы будем пользоваться обозначением V, а во втором случае — обозначением V'. Компоненты градиента в обоих случаях имеют вид

(^ф)£ = дф/д/? • dRldxp (Т'ф), = d^dR • dRldx'v

Очевидно, что производные dR/dxi и dR/dx\ отличаются только знаком. Отсюда заключаем, что

Гф=-Гф.(XI. 52)

Вычислим ротор орта е, = г/г. Представив г/г как произведение ф = 1/г на а = г, применим формулу (XI. 27). В результате получим: [V.r/л] = [V( 1/г), г]+ + (l/r) [Vr], Согласно (XL 51) V(l/r) = —(l/r2)r/r. Поэтому первое слагаемое равно нулю. Второе слагаемое равно нулю в соответствии с (XI. 50). Таким образом,

[V, г/г] = [VeJ = 0.(XI. 53)

Теперь найдем ротор функции ф(г)е,, где ф(г) — произвольная функция от г Применим снова формулы (XI. 27) и (XI. 51):

{V, ф(г)е,] = [Рф(г), ег) + ф(г)(Уег] =

= К-)ф/дг) е,, ег] + ф (г) [VeJ = 0

(см. (XI. 53)). Итак,

[V. ф(г)е,] = 0.(XI. 54)

Пусть нам дана векторная функция а(£) = = ^a*(£)et скалярной величины g, которая в свою очередь является функцией координат хи £ = £(х>). Найдем ротор и дивергенцию этой функции. По правилам дифференцирования сложной функции

да.да.дЕ

.(XI. 55)

дх,д£dxt'’

Согласно (XI. 22)

<, к, I ‘ i.k. I1

Величина да^/дТ, есть 6-я компонента вектора да/д^, a d^/dxi есть t-я компонента градиента функции £. Следовательно,

|Va]= £ ««„(vttCO.e^h, >]

I

(мы воспользовались формулой (VI. 29)). Итак, если а = а(£), где g = £(хь х2, х3), то

[Va] ^=[vE -^].(XI.56)

Для нахождения дивергенции функции а(£) будем исходить из формулы (XI. 11). Учтя (XI. 55), получим t-Z£-Z^£-Ztia.№-£^ й ® й* й

(XI. 57)

Положив в формулах (XI. 56) и (XI. 57) £ = г (г — модуль радиуса-вектора), получим, что

|V«Wl-[Vr. ^-]-[=„ ^-]. (XL 58)

Vajrf-Avr-^-L(XI.59)

(см. (XI. 48)).

Докажем формулу

$ [Va] dV = § [па] df = $ [df, а], (XI. 60) vff

где a — некоторая векторная функция, V— произвольный объем, f— ограничивающая его поверхность, п — внешняя нормаль к элементу поверхности df. Для этого умножим скалярно вектор [Va] на произвольный постоянный вектор Ь. Из формулы V[ab] = = b[Va] — a[Vb] (см. (XL 23)) следует, что b [Va] = = V [ab[+а [ Vb] = V [ab] ([VbJ^O, так как Ь = =const). Теперь проинтегрируем полученное соотношение по некоторому объему V и применим к правой части теорему Остроградского— Гаусса:

J b [Va] dV = J V [ab] dV = ф [ab] n df.

YУt

Выполнив в последнем интеграле циклическую перестановку перемножае мых векторов (см. (VI. 3)), получим b [Va] dV = dj) b [па] df. Вынесем постоян- ный вектор b за знак интеграла:

b $ [Va]d/ = b^[na]df.V f

Полученное соотношение должно выполняться при произвольном выборе вектора Ь. Поэтому на b мо?кно сократить. В результате мы придем к формуле (XI. 60).

dp ф dtdp ф dtИнтегральное определение оператора V. Рассмотрим интеграл по замкнутой поверхности f:

dp ф dt

dp ф dt

(XL 61)

где ф — произвольная скалярная функция, df = ndf— элементарный вектор площадки df. Возьмем в качестве поверхности, по которой вычисляется интеграл, поверхность бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Тогда интеграл (XI. 61) можно представить как сумму шести интегралов, каждый из которых вычисляется по одной из граней параллелепипеда. Ввиду малости граней значение ф в пределах каждой грани можно считать постоянным. Следовательно,

^)ф df — ех [ф (х + dx, у, 2) — ф (х, у, z)] dy dz +

+ еу [ф (х, у + dy, г) — ф (х, у, г)] dx dz +

+ ег [ф ^х, У. z + dz) — ф (х, у, г)] dx dy =

= (е* S' + е» ^ + ®2 ~jt) dx dy dz = dV-

Отсюда получаем, что

Тф = 11т ^-^pdf.(XI. 62)

^0 и J

В соответствии с формулой (XI. 62) оператор V можно определить следующим образом:

V = lim -т,-($) df.(XL 63)

»0 v j

Возьмем некоторый объем V и разобьем его на элементарные объемы ДУ. Согласно формуле (XI. 62) для каждого объема выполняется приближенное равенство Рф - АУ « ф ф df.

Теперь просуммируем это равенство по всем элементарным объемам. При суммировании правые части, соответствующие поверхностям раздела соседних объемов, взаимно уничтожатся. Останутся некомпенсированными только члены, отвечающие внешней поверхности. Поэтому, перейдя к пределу, при котором все АУ—►О, мы придем к соотношению

JVфdУ = ффdf. (XI. 64) v

Согласно (XI. 64) интеграл от скалярной функции ф по замкнутой поверхности / можно преобразовать в интеграл по заключенному в ней объему, заменив элемент поверхности df оператором ^dV. При этом компоненты df претерпевают преобразование

df^dy^-. (XI. 65)

Разумеется, возможно и обратное преобразование.

Аналогично обстоит дело и с интегралом от векторной функции. Действительно, согласно теореме Остроградского — Гаусса (см. (XI. 13)) ^VadV =

= фа df, что также согласуется с (XI. 65).

f

Вообще преобразование (XI. 65) допустимо всегда, независимо от конкретного вида выражений, стоящих под знаком интегралов. Примером такого преобразования может служить соотношение (XI. 60).

Криволинейные координаты. Иногда бывает удобно определять положение точки не декартовыми координатами хь х2, -<з, а тремя другими числами ^|, 92, ?з> более соответствующими характеру рассматриваемой задачи. Эти числа называются криволинейными координатами точки.

Наложив (если в тэм возникает необходимость) ограничения на область изменения криволинейных координат, можно добиться взаимно однозначного соответствия переменных Xi и q,. Тогда qt = qi(xi, x2l х3), Xi = Xi(quq2,q3) (i = 1,2,3).

Поверхности, которые описываются уравнением q,(Xi, x2, x3) = const, называются координатными поверхностями. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями. Вдоль координатной линии изменяется только одна координата, остальные две остаются неизменными.

Примером криволинейных координат может служить сферическая система: г, О, ф. В этом случае координатными поверхностями являются: i) сферы, г = = const, 2) полуконусы, ■& = const, 3) полуплоскости, Ф = const. Координатные линии представляют собой: 1) радиусы — линии г, 2) меридианы — линии -в-, 3) параллели— линии ф.

Если координатные линии в каждой точке взаимно перпендикулярны, криволинейные координаты называются ортогональными. Мы ограничимся рассмотрением только ортогональных координат. Сферические и цилиндрические координаты принадлежат к их числу.

Введем для каждой точки Р орты е^, е’, е*. направленные по касательным к координатным линиям в данной точке в сторону возрастания соответствующих переменных qt. В силу ортогональности для ортов е' выполняются соотношения

eX==d„. (XI. 66)

Определим производную радиуса-вектора t — = r(qt, q2, q^ по координате qt. Остальные две координаты при дифференцчревании не изменяются. Следовательно, при сообщении координате а, приращения bqt конец вектора г перемещается вдоль координатной линии qi. Поэтому вектор dr/dqi направлен по касательной к координатной линии qt, т. е. коллинеарен с е,. Обозначив модель вектора df/dqi символом Hi, можно написатк, что

1, 2, е), (Xi. 67)

Представив г в виде У, хкек (ек — орты декартовых координатных осей), можно написать, что

дгдх.

-чтгек = Н,< z = l,2, 3).dq,dq, в ‘ •'• » /

Возведя это соотношение в квадрат, получим т-з / дх. \2

(XI. 68)(XI. 68)^ = Zfe) U= 1.2.3),

(XI. 68)

(XI. 68)

Величины Hi называются коэффициентами Ламе. Их значения можно найти по формуле (XI. 68), если известен вид функций xk = xk (<?/). Например, в случае сферической системы координат Х\ = г sin ■6 cos ф, Xa = r sin О sin ф, x3 = r cos О. Отсюда

dx, dqvdx, dqvdxt . „-5— = sin vcosm, drv’dxt . „-5— = sin vcosm, drv’дхг _ dx, dqx drдхг _ dx, dqx drsin -O' sin ф.sin -O' sin ф.dxa dxs dqxdrdxa dxs dqxdr= cos A,= cos A,

dx, dqv

dx, dqv

dxt . „

-5— = sin vcosm, drv’

dxt . „

-5— = sin vcosm, drv’

дхг _ dx, dqx dr

дхг _ dx, dqx dr

sin -O' sin ф.

sin -O' sin ф.

dxa dxs dqxdr

dxa dxs dqxdr

= cos A,

= cos A,

так что согласно (XI. 88)

H2 = (sin О cos <р)2 + (sin О sin ф)2 + (cos О)2 = 1.

Проделав аналогичные выкладки для Н2 и Н3, получим

Н1 = \, Н2 = г, /73 = rsinO. (XI. 69)

Найдем квадрат расстояния ds между двумя точками. Согласно (XI. 67)

dr = X ~~ dq, = 2 Н^ dq,. (XI. 70)

111

Следовательно,

ds2 = |drp= Е H^dq2. (XI. 71)

Для сферической системы координат эта формула дает

ds1 = dr2 + г2 d^s -+- г2 sin'2■& dq?. (XI. 72)

Проведем через начало и конец вектора dr координатные поверхности. В результате получится беско-

согласно(XL 73) площадь(XL 74)(XI. 75) коэФФисогласно(XL 73) площадь(XL 74)(XI. 75) коэФФивечно малый параллелепипед, ребра которого (XL 70) равны

согласно

(XL 73) площадь

(XL 74)

(XI. 75) коэФФи

согласно

(XL 73) площадь

(XL 74)

(XI. 75) коэФФи

di4 = Htdq, (z =- ’, 2, 3).

Грани этого параллелепипеда будут иметь dl\ — H^Нз dq^dq3,df2 — Н3Н \ dq3 dq^

dfз === И । H2 dq। dq^.

Объем же параллелепипеда равен dV = HxK3H3dqx dq^dq3.

Вместо вычисления по формулам (XL 68)

Рис. XI. 6Рис. XI. 6циенты Ламе можно находить с помощью выражений (XI. 73). Так, например, в случае сферических координат (рис. XI. 6) элементарный параллелепипед имеет ребра dlx — dr, dl2 — rM, di3 — r sin Мф, оуку^ длк коэффициентов Ламе сразу получаются значения (XL 69).

Рис. XI. 6

Рис. XI. 6

В случае цилиндрической системы координат (рис. XI.7) ребра элементарного параллелепипеда равны dlx = dp, dl2 = pdq>, dl3 = dz, откуда

Hx=\, H^ = p, H3=\. (XL 76

Найдем выражение градиента в криволинейных координатах. Согласно формуле (XI. 5) проекция градиента функции ф на направление орта е* равна д^/дк. Приняв во внимание (XI. 73), получим, что

дф _ 1 dip

Сам же градиент определяется формулой

”Ч’-Е^-<"Т.4г<<- <XL77>

Следовательно, в сферической системе координат

Рф=^-ег + -4$-еНЦ-4^еф, (XI. 78)

Y dr т 1 г dv 3 1 г sin # ф> у 7 а в цилиндрической системе

=>'« + ?И=. + 4г«- <XL79>

Для определения дивергенции в криволинейных координатах будем исходить из определения (XI.7), согласно которому

Va = lim 4- a di — lim . (XI. 80) v-*o у J v-»o v

В качестве V возьмем объем бесконечно малого параллелепипеда, заключающего в себе точку Р, для которой вычисляется дивергенция. Рассуждая так же, как при получении формулы (XI. 11), напишем выражение для потока через грани, перпендикулярные к орту е*: Ф] = a'Af'— а" А/" =

= (а\Н2НзУ М2 М3 - ^.^з)" М2 Мз

(см. (XI. 74)). Здесь di — проекция вектора а на направление ej. Одним штрихом помечены значения величин, относящиеся к одной из противолежащих друг Другу граней, двумя штрихами — значения, относящиеся к другой грани.

Разложив а\Н1Нз в ряд в окрестности точки Р, получим

Ф| ~ "д^ Л<7' &£h ^3 + е' =

~ Wt dqx V ь

где V— объем параллелепипеда (см. (XI. 75)), ei — величина более высокого порядка малости, чем V. Аналогично вычисляются потоки через две другие

пары граней:пары граней:ФФ_19(а2Я3//,) у рHvH^H; dq2 т Ч»_19(а2Я3//,) у рHvH^H; dq2 т Ч»ф =*(аз^ 1^2)3“ HVH2H4 dqaф =*(аз^ 1^2)3“ HVH2H4 dqaV -{- е3.V -{- е3.Подставив Ф = Ф1 + Ф3 + Фз в (XI. 80) и осуществив предельный переход, придем к формулеПодставив Ф = Ф1 + Ф3 + Фз в (XI. 80) и осуществив предельный переход, придем к формулеVaVa1НхН2Нг1НхН2Нгд(ахН2НДdqiд(ахН2НДdqiд^аЛЛЛdq2д^аЛЛЛdq2a^Wdqaa^Wdqa

пары граней:

пары граней:

Ф

Ф

_19(а2Я3//,) у р

HvH^H; dq2 т Ч»

_19(а2Я3//,) у р

HvH^H; dq2 т Ч»

ф =*(аз^ 1^2)

3“ HVH2H4 dqa

ф =*(аз^ 1^2)

3“ HVH2H4 dqa

V -{- е3.

V -{- е3.

Подставив Ф = Ф1 + Ф3 + Фз в (XI. 80) и осуществив предельный переход, придем к формуле

Подставив Ф = Ф1 + Ф3 + Фз в (XI. 80) и осуществив предельный переход, придем к формуле

Va

Va

1

НхН2Нг

1

НхН2Нг

д(ахН2НДdqi

д(ахН2НДdqi

д^аЛЛЛdq2

д^аЛЛЛdq2

a^Wdqa

a^Wdqa

(XI. 81)

Приняв во внимание (XI. 69), получим выражение для дивергенции в сферических координатах:

Va — 1_|' д^»а^1 даф

г2 дг "'" г sin О дй "’" г sin A dtp

(XI. 82)

В цилиндрических координатах

1 д(рй.)1 да_да

Va =Ч-—XI. 83) р дрр дфдг ''

Согласно (XI.16) проекция ротора на направление орта е* определяется выражением

[Va], = lim™(bad!==(XI. 84)

f;->o I i Jfj >0 Ч

где fi — площадка, перпендикулярная к е*, С,— цир-

/'Рис. XL 8/'Рис. XL 8куляция вектора а по контуру, ограничивающему эту площадку.

/'

Рис. XL 8

/'

Рис. XL 8

Чтобы вычислить проекцию [Va] на орт е“, возьмем Д в виде бесконечно малого криволинейного прямоугольника со сторонами Д12 = Н2Д^2 и Л/з ™ — НяДда. Цпг,, 1 ция а по контуру ЭТОГО пр; 1/с/голпника мо

жет (:п;ть пр валена в ди де четырех интегралов ви^с1- ) аШ , Дра. кд н«х бдрутся

ио противоположным сторонам MV и А/" два — по

протквеколожным сторонам М^ и ДА' (рдс. XI.8).

В итоге, учтя (XI. 73), получим

С. = а' М' + а" М" - а" М" - а' М' =

= « А/" - ^ А/') - (а" А/" - а'2 А/') -

= (а"Н" - а'эН'3) М3 - «^ ~ <^) MY (XL 85)

Разложив ааНз и а2Н2 в ряд в окрестности точки Р, для которой вычисляется ротор, можно написать, что

W-4»;=’»L4(!+lb

W -а'Д-

Следовательно, выражение (XI. 85) можно представить в виде

„д(«3Р3) « А 3(02^) А А !

С1 —у-— А^2А?з-МзА<72 + е —

1( д (а^Н^ д (02^2) 1 г ■ " H2Ha I dq2dqa j И Т ®,

где fi — площадь прямоугольника (см. (XI. 74)), е — величина более высокого порядка малости, чем fi.

Подставив найденное нами значение Ct в (XI.84) и осуществив предельный переход, придем к формуле

г<7,1 _1 I а t“*/r^ д '^^ 1

' н2на { вц2 ~ eq4 Г

Аналогичные формулы получаются для двух других проекций вектора |Va], Все три формулы можно объединить в од ну

I (6(а,НД^(а^Д}

ГУз^ ^= J } / = 1, 2, 3) (XI. 86)

tisAi Id£$i);

(индексы г, й, I образуют циклическую перестановку последовательности: 1, 2, 3). Наконец, найдем выра- женнс для оператора Лапласа в криволинейных коор- дипатау.. Согласно (XI. 41) Д^ь — У(7ф) -— div grad ф.

Воспользо,вившись формуп';хи (ЗИ. 8П и (XJ. 77), получим

Подставив значения (XI. 69), получим выражение для оператора Лапласа в сферических координатах

т г2 дг \ дг ) г2 sm2 6 дб \ дд /

1 д2фг2 sin2 О д<р21 д2фг2 sin2 О д<р2(XI. 88)(XI. 88)

1 д2ф

г2 sin2 О д<р2

1 д2ф

г2 sin2 О д<р2

(XI. 88)

(XI. 88)

В цилиндрических координатах

XII. Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве

В Приложениях VI и X рассматривались векторы и тензоры в евклидовом пространстве, в котором квадрат радиуса-вектора определяется выражением

(XII. 1)(XII. 2)(XII. 1)(XII. 2)(XII. 3)(XII. 3)^ + х2 + . . +^ = L ^-

(XII. 1)

(XII. 2)

(XII. 1)

(XII. 2)

(XII. 3)

(XII. 3)

Если ввести тензор

/1 0 ... Охм=(м=р 1 ••• °).

\0 0 ... 1/

выражение (XII. 1) можно представить в виде

п

S gikXtXk-

к-1

Тензор gik называется метрическим тензором.

Уравнения специальной теории относительности и электродинамики приобретают особенно простой и наглядный характер, если их представить в виде соотношений между векторами и тензорами в четырехмерном пространстве, метрика которого определяется тензором

(

1о о0\

о Л -?jl <X,L4>

ООО -1/

По соображениям, которые выяснятся в дальнейшем, мы будем пользоваться следующими обозначе-

киями. Индексы при компонентах 4-радиуса-вектора будем писать не внизу, а вверху. Символ Крон экера будем записывать в виде б^, т. е. один индекс ставить вверху, а другой внизу. Индексы при компонентах метрического тензора писать в зависимости от обстоятельств либо внизу, либо вверху.

При написании формул мы будем руководствоваться следующими правилами:

В каждой паре немых индексов (т. е. индексов, по которым осуществляется суммирование) один индекс ставить вверху, а другой внизу.

Свободные индексы (т. е. индексы, по которым суммирование не произволлтся) располагать так, чтобы в обеих частях равенства они занимали одинаковое положение — вверху лиэо внизу.

У коэффициентов линейного преобразования компонент векторов и тензоров мы также будем ставить один индекс вверху, а другой внизу1). Следовательно, в отличие от формул преобразования а'к = ^а,^ с которыми ни. масли дело в Приложеиадх VI и X, мы будем писать а%алогичнь\е. Аорм-Улы в вндетз"‘=^

Напомним, что согласно принятому нами условию во всех случаях, когда знак X, отсутствует, сум-щро- вапие даже по парным индексам не производится.

Пространстве, свойства которого определяются тензором (XII. 4), называется псевдоевклидовым. Координаты, а также компоненты векторов и тензоров в этом 4-пространстве мы будем различать с помощью греческих индексов р v и т. д., которые могут принимать четыре значения: 0, 1, 2, 3. Латинскими индексами I, к, ... (пробегающими значения 1, 2, 3) мы будем снабжать координаты и компоненты векторов в обычном трехмерном пространстве (в пространстве с евклидовой метрикой). Иногда мы будем использовать латинские индексы при компокентах 4-векторов и 4-тензоров, чтобы подчеркнуть, что имеются в виду ненулевые значения индексов.

’) В дальнейшем мы увидим, что один индекс вверху, я другой внизу пишутся при смешанных компонентах тензоров. Однако следует помнить, что коэффициенты линейного преобразования свойствами компонент теньора не обладают.

Определив квадрат радиуса-вектора в рассматриваемом 4-пространстве выражением, аналогичным (XII. 3), и приняв во внимание (XII. 4), получим

3

Е g^x^W-^-^-^y. (XII.5) н, v=0

В качестве координаты х° в теории относительности принимается произведение времени / на скорость света в пустоте, а в качестве остальных координат х* — координаты в обычном трехмерном пространстве. Таким образом,

х° = с(, хх = х, х2 = у, X3 = 2. (XII. 6)

Приняв это во внимание, выражению (XII. 5) можно придать вид

зз

Е gpv-^x* = (х0)2 - 2 (х')2 = А2 - г2. (XII. 7) р, v-О/-1

Формулы преобразования координат. При переходе к другой системе координат компоненты 4-радиуса- вектора преобразуются по линейному закону

з

(хп. 8)

V-0

Обратное преобразование осуществляется по формуле

3

х^Е^'’.(XII. 9)

v-o

где а£ — коэффициенты обратного преобразования.

Ввиду инвариантности квадрата 4-радиуса-век-

з

тора должно выполняться условие £ g^x^x11 =

Ц. V-0

3

= 2 guv^^^^- Подставим сюда значения (XII. 8) ц. V-0

для х'*1 и x'v:

3i33

Е guv^ = ЕЕ2 а^х’.

v-Ор. т-0 и р-0 р с-0

Поменяем местами справа немые индексы р и р, а также v и а. В результате получим У, g„Jc^',= и. V-0 1 зз

ц, v = 0р, с— Ои

Отсюда вытекают условия, которым должны удовлетворять коэффициенты линейного преобразования (XII. 8), з

, у а^'а’ = а . р,н

Приняв во внимание, что gp, отличны от нуля только при р — о (см. (XII. 4)), это соотношение можно упростить следующим образом:

з

£v^ = ^v (р. ^-0, 1, 2, 3). (XII. 10) р=ок

Например, для р = v = 0 по этой формуле получается, что

«-«-« -« = >. (ХИ-11)

а для ц — 1, v -~ 2

аХ - а’а* - а^; - а’а| = 0. (XII. 12)

Отметим, что, взяв в качестве gpa тензор (ХП.2), мы смогли бы привести формулу (XIL 10) к виду У «Ра» = 6 , что совпадает с формулой (VI. 40). р—

Очевидно, что для коэффициентов, а^ такте имеют место соотношения, аяалсгичше (ХП. 10).

Теперь найдем связь между коэффициентами прямого и сблатчето опеобуязонаний. Напомним, что в евклидовом. пространстве эта связь имеет вид аг% = а« (ср. формулы (VI. 37) и (VI. 38)).

Примеру. щиуда.ючаге ич о гре обр-ц^азия iXH. 9)

п (ХИ.8). В результате жт/щн

3333

2£ «у I. J£v Tj-

Компоненту х11 можно представить как У, fl!Jxv. От- V

сюда следует, что

У =(р, v = 0, 1, 2, 3). (XII. 13)

р=0

Легко убедиться в том, что система уравнений (XII. 13) будет удовлетворена, если положить

°о = ао» «»=-«', 6' = —а”, «'=«*- (XII. 14) (1, к = 1, 2, 3).

Действительно, пусть р — v = 0. Тогда уравнение (XII. 13) выглядит так:

з

Г a°ag = 1 р-0

или, с учетом (XII. 14),

«оао - S «оао = 1,

что согласуется с (XII. 11).

Положим ц=1, v = 2. Тогда уравнение (XII. 13) имеет вид

5

У a^P = 0

или, с учетом (XII. 14),

з

— а“а“ Н- £ ®1^з = °*

что согласуется с (XII. 12). Аналогично можно убедиться в том, что и остальные 14 уравнений, содержащихся в (XII. 13), удовлетворяются решением (XII. 14).

Заметим, что совокупность соотношений (XII. 14) можно записать в виде одного соотношения

^-«^(ХИ. 15)

Действительно, при p==v = 0 имеем £цц — gw, поэтому ag = ag; при р = 0, v = i=/=0, равно как и при ц = i #= 0, v = 0, будет £р.ц = —gw, вследствие чего

а°= — а' и а' = —а°; наконец, при p = t^=O, v = = k ^ 0 оба множителя (£цц и gVv) равны —1, так что а£ = а*. В итоге мы пришли к соотношениям (XII. 14).

В теории относительности рассматриваются обычно такие преобразования, при которых координаты х2—у и х8 = 2 остаются неизменными (х'2 = х2 и х,3=-ха). Очевидно, что матрица коэффициентов преобразования в этом случае выглядит следующим образом:

(XII. 16)(XII. 16)а^ о® 0 0"ац ci] О О09 10

(XII. 16)

(XII. 16)

О 9 0 1.

Матрица коэффициентов обратного преобразования имеет аналогичный вид.

-1 о о-о-1 о о-оОбозначим буквой р параметр, которым можно охарактеризовать различие между системами К и К'. Этим параметром может быть, например, угол поворота одной системы относительно другой. В теории относительности роль параметра р выполняет относительная скорость систем К и К'. Очевидно, что в результате предельного перехода, при котором р стремится к нулю, обе системы совпадут, так что матрица (XII. 16) примет вид

-1 о о

-о

-1 о о

-о

0 0 0 "

1 о о

0 10'

0 0 1-

Таким образом,

11mа2 = lima! = 1, lim a° = Jim a'= 0. (ХП. 17) p-»0p-»0p->0p-*0

Четыре отличных от нуля и единицы коэффициента ajj не являются независимыми. Написав соотношение (XII. 10) для p = v = 0, получим, что

№-«=1-(XII. 18)

Аналогичное соотношение имеет место и для коэффициентов обратного преобразования: (а°)2 — (сЦ)2 = = 1, откуда с учетом (XII. 14) получается уравнение

(а°)2-(з»)2=1.(ХП. 19)

Теперь напишем условие (XII. 10) для ц = 0, v = 1

а°а® — а,* а* = 0.а°а® — а,* а* = 0.(XII. 20)(XII. 20)

а°а® — а,* а* = 0.

а°а® — а,* а* = 0.

(XII. 20)