ВВЕДЕНИЕ

В АТОМНУЮ ФИЗИКУ

,，38

ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР 、8 качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Мо СК В А 1974

530.3\

UI 84

УДК 539.1 (075.8)

© Издательство《Наука», 1974, с изменениями

20408 — 043 053(01)-74

98-74

京

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к шестому изданию 7

Из предисловия ко второму изданию 8

Из предисловия к первому изданию 9

Глава I. Электрон, егй заряд и масса 11

3838§ L Открытие электрона (11). § 2. Определение заряда электрона (12). § 3. Практическое осуществление опыта Милликэна (14). § 4. Движение электрона в электрическом и магнитном полях (19).

38

38

Электрон в продольном электростатическом поле (23). § 6. Экспериментальные методы определения удельного заряда (25). § 7. Определение удельного заряда электрона по методу двух конденсаторов (27).

Определение удельного заряда электрона по методу фокусировки продольным магнитным полем (29). § 9. Фокусировка и монохромати- зация пучков заряженных частиц (32). § 10. Зависимость массы электрона от его скорости (35)..

Глава П. Атомы. Изотопы 42

420：:强:420：:强:Введение (42). § 12. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева (42). § 13. Определение истинных масс атомов. Метод парабол (50). § 14. Масс-спектрографы (53). § 15. Масс-спектрометры и масс-спектрографы с двойной фокусировкой (61). § 16. Массы и процентное содержание изотопов (66). §' 17. Разделение изотопов с помощью методов, основанных на диффузии (67). § 18. Разделение изотопов методом термодиффузии (73). § 19. Разделение изотопов с помощью электромагнитных методов (78). § 20. Разделение изотопов с помощью методов фракционированной перегонки и обменных реакций (82). § 21. Разделение изотопов методом центрифугирования (84). § 22. Получение тяжелого изотопа водорода (дейтерия) и тяжелой воды (86).

420：:强:

420：:强:

Глава Ш. Ядерное строение атома 92

Эффективное сечение для рассеяния частиц(92). § 24. Зондирование атомов электронами (95). § 25. Свойства а-частиц (97). § 26. Теория рассеяния а-частиц (101). § 27. Экспериментальная проверка формулы Резерфорда (104). § 28. Определение заряда ядра (1 06).

Глава IV. Рентгеновские лучи и их применение к определению атомных констант108

Рентгеновские лучи (108). § 30. Поглощение рентгеновских лучей (1]2). § 31. Рассеяние рентгеновских лучей (116). § 32. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллической решетке (118). § 33. Экспе-

Риментальное осуществление дифракции рентгеновских лучей (124). § 34. Определение длины волны рентгеновских спектральных линий (129). § 35“ Спектры рентгеновских лучей (130). § 36. Закон Мозелй (133). § 37. Абсолютное определен и е длины волны рентгеновских лучей (137). § 38. Определение постоянной Авогадро и заряда электрона (140). § 39. Удельный заряд электрона (143).

Г Л ав а V. Строение атома н классическая физика « 145

Классическая механика и строение атома 145

§ 40. Атомные модели (145). § 41. Закон сохранения энергии в механике (146), § 42. Потенциальные кривые (149), § 43. Закон сохранения импульса (152). § 44. Соударения (154). § 45. Центр инерция (157), § ,46. Линейный гармонический осциллятор (160). § 47. Комплексное предстанление колебаний (163). § 48. Разложение в спектр (165). § 49. Центральные силы. Кинетическая энергия в полярных координатах (170). § 50. Движение в центральном поле (172). § 51. Кеплерова задача (173). § 52. а-частица в поле ядра (178). § 53. Приведенная масса (180). § 54. Обобщенные координаты. Состояние системы (181). § 55. Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа (182). § 56. Применение уравнений Лагранжа к задаче о центральном движении (185). § 57. Обобщенные импульсы (188). § 58. Гамильтоновы канонические уравнения (190). § 59. Физический смысл функции Гамильтона (192). § 60. Циклические координаты (194). § 61. Скобки Пуассона, Законы сохранения (196). § 62. Движение в электромагнитном поле (200). § 63. Механика быстродвижущихся частиц. Преобразования Лоренца (204). § 64. Основы релятивистской динамики частипы (210). § 65. О связи*между массой и энергией (217).

Классическая теория электромагнитного излучения223

§： 66. Элементарные центры испускания света (223). § 67. Электромагнитное излучение линейного осциллятора (224). § 68. Полное и среднее излучение осциллятора (227). § 69. Электромагнитный спектр негар- ионического осциллятора (229). § 70. * Затухание колебаний (231). § 71. Лучистое треиие (233). § 72. Интеграл Фурье н сплошной спектр (237). § .73. Естестнеиная ширина спектральных. линий (241). § 74. Другие примеры спектрального разложения непериодических ..процессов (243). § 75. Планетарная модель атома (247). § 76. Орбитальный магнитный момент и теорема Лармора (248). § 77. Эффект Зеемана (251). § 78. Эффект Зеемана. Общий случай (2占4). § 79. Излучение Вавилона.— Черенкова (257).

Глава VI. Излучение абсолютно черного тела н гипотеза квантов энергии287

Классическая физика и проблема теплоного излучения (267). § 81. Равновесное излучение в полости (270). § 82. Закон Кирхгофа (272). § 83« Законы излучения абсолютно черного тела (274). § 84. Экспериментальное исследование законов теплового излучения (276). § 85. Теорема о равномерном распределении энергии по сте* пеням свободы (278).§86. Формула Рэлея — Джннса (281).

§ 87. «Ультрафиолетовая катастрофа» (286). § 88. Формула Планка (288). § 89. Гипотеза квантов энергии (290).

294294Глава VIL Уровни энергий атомов

294

294

Планетарная модель атома и квантовые постулаты Бора (294). § 91. Опыты Франка и Герца (295). § 92、Упругие соударения (299).

L § 93. Неупругие соударении. Критические потенциалы (301). § 94. Усо-

шершенствование экспериментальной методики (303). § 95. QAHOBpeMen- ное определений всех ступеней возбуждения (節4)： § 96. Определение ионизационных потенциалов (307). § 97. Излучение возбужденных атомов (311). § 98. Спонтанное испускание (312). § 99. Поглощение и вынужденное испускание (316). § 100. Вывод формулы Планка по Эйнштейну (317). § 101. Свойства индупироваииого испускания (320). 吟 102. Генераторы света (324).

Глава VIII. Спектральные серин н уровни энергий водородного атома •' 329

Серия' Бальмера (329). § 104. Серин Лаймана, Пашена н др. Обобщенная формула Бальмера (332). § 105. Спектральные термы. Комбннациоиный . принцип (334), § 106. Квантование круговых орбит (336). § 107. Теорня Бора (339). § 108. Серия Пикеринга и спектры водородоподобиых ионов (342). § 109. Применение предыдущей теории. Открытие тяжелого изотопа водорода (345). § НО. О спектроскопическом определении отдельного заряда электрона (347). § П1. Диаграммы уровней энергии (349). § 112. Граничный сплошной спектр атомного водорода (350). § 113. Квантование водородоцодобного атома по Бору — Зоммерфельду (352). § 114. Принцип соответствия (361). § 115/ Кризис теории Бора (366).

Глава IX. Световые кванты* • 368

Флуктуации светового поля (368). §,117. Фотоэффект и уравие- яие Эйнштейна (374). § 118. Экспериментальная проверка уравнения Эйнштейна (377). § 119. Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра (380). § 120. Точное определение постоянной Планка (381), § 121. Другие опыты, обнаруживающие корпускулярные ■свойства света (383). § 122. Флуктуации светоного потока (385), § 123. Рассеяние рентгеновских лучей (волновая теория) (388). § 124. Эффект Комптона (393). § 125. Элементарная теория эффекта Комптона (39 5). § 126. Электроны отдачи (400). § 127. Элементарные акты рассеяния и законы сохранения (403). § 128. Экспериментальное подтверждение применимости законов сохранения к элементарным актам рассеянии (旬5). § 129. Эффект Мёссбауэра (408). § 130, Некоторые применения эффекта Мёссбауэра (414).

Глава X. Волны и частицы 42°

Введение (420). § !32. Плоская монохроматическая волна 8 однородной среде (420). § 133. Волновое уравнение (423). § 134. Суперпозиции плоских воли (425). § 135. Волновой пакет(427). § 136. Фа； зовая и групповая скорости (431). § 137. Корпускулирио-нолновой дуа- лизм. Преломление света (433). § 138. Корпускулярно-волиовой дуализм. Эффект Допплера (438). § 139. Корпускулярио-нолновой дуализм. Дифракционная решетка (440). § 140. Гипотеза де-Бройля (4 皎). § 141. Свойства волн де-Бройли (443). § 142. Экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля. Метод Брэгга (445). § 143, Преломле* «не электронных волн и внутренний потенциал металла (450). § 144< Экспериментальное подтнерждеиие гипотезы де-Бройля. Методы Лауэ н Дебая — Шеррера (453). § 145. Интерференционные явления с молекулярными пучками и с нейтронами (459). § 146. Волновой пакет и частица (463). § 147. Статистическое истолкование волн де-Бройля (465). § 148. Соотношения неопределенности (467). § 149. Определение места к импульса микрочастицы (470). § 150. Ошибочные толкования соотношений неопределенности (477). § 151. Соотношения иеопределен- еостн и принцип причинности (482).

78478499479482 54мйм^к535799479482 54мйм^к5357

7

8

4

7

8

4

99479482 54мйм^к5357

99479482 54мйм^к5357

Глава XL Уравнение Шрёдингера

§ 152. Уравнение Шрёдингера и физический смысл его решений (487). § 153. Отражение и прохождение через потенциальный барьер (493). § 154. Потенциальный барьер конечной ширины (502). § 155. Колебания струны (506). § 156. Частица в потенциальном ящике (511). § 157. Электрон в потенциальной яме (515)击 158. ^Линейный гармонический осциллятор (521)岔159. Нормальное и возбужденные состояния линейного осциллятора (527).§160. Связанные осцилляторы. Силы

Ван-дер-Ваальса (535). § 161. Частица в трехмерном потенциальном ящике (544).

Приложения

Вычисление средних значений

П. Вывод распределения Бдльцмана для квантовых систем Ш. К классической теории эффекта Зеемана IV. Формула средней квадратичной флуктуации V. Ортогональность и нормирование собственных функций осциллятора

VI. Теорема вириала Предметный указатель

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ

Шестое издание первого тома, по сравнению с пятым изданием, выходит почти без изменений; материал данного тома образуют в основном вопросы настолько прочно установившиеся, что не было необходимости подвергать этот материал сколько- нибудь существенной переработке. При подготовке к печати исправлены замеченные неточности, произведены небольшие сокращения. Особо следует оговорить два обстоятельства. Во-первых, наряду с постоянной Планка й, там где это было целесообразно, введена постоянная 方=力/2冗；во-вторых, несмотря на то, что в большинстве отделов физики введена международная система единиц СИ, в данной книге, как и в предшествующих изданиях ее, сохранена система СГС (точнее ——гауссова система единиц). Причина этого состоит в том, что для квантовой механики система СИ не только не нужна, но и крайне неудобна. Это обстоятельство специально подчеркивал А. Зоммер- фельд — инициатор введения международной системы в электродинамике.

При подготовке к печати этого тома большую помощь оказала мне Т. Н. Болотникова, которой я выражаю здесь искреннюю благодарность.

Москва — Узкое, июль 1973 г.

5. Шпольский

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Со времени выхода первого издания этой книги прошло уже четыре года. В течение зтого периода я имел возможность проверить доступность изложения н целесообразность построения книги, пользуясь ею в преподавании в двух московских высших учебных заведениях. Ценным материалом для меня были также письма читателей, часть которых самостоятельно изучала атомную физику по этой книге или систематизировала ранее приобретенные разрозненные знания. Итог всех этих наблюдений оказался в пользу выбранного характера изложения и плана книги. В частности, общее одобрение вызвало параллельное рассмотрение экслеримент^льмой л теоретической сторон вопроса, а также* введение вспомогательных глав или параграфов, излагающих некоторые необходимые сведения из других разделов теоретической физики- Все это побудило меня полностью сохранить характер книги также и во втором издахни.

Тем не менее кинга подверглась весьма существенной пере* работке. Без преувеличения можно сказать, что она в значительной степени написана заново. Я старался прежде всего устранить все замеченные неточности, неясности и, по возможности не расширяя содержания, сделать изложение более отчетливым- Добавления, сделанные в первой половине книги, почти исключительно относятся к экспериментальным основаниям атомной физики, так как изложение некоторых экспериментов & первом издании мне теперь кажется чрезмерно элементарным, Кроме того, необходимо было подробнее осветить те вопросы, которые за истекший период выдвинуты самим развитием науки.

Выходящий сейчас первый том в основном посвящен экспериментальны^ основаниям ядерной теорнн атома и квантовой физики. Он заканчивается рассмотрением волновых свойств материи, а в последней главе, по примеру предыдущего издания^ устанавливается уравнение Шрёдингера н рассматриваются его простейшие применения — почти исключительно к одномерным задачам. Таким образом, этот том представляет собой довольно законченное целое и для некоторых категорий читателей может иметь самостоятельный интерес.

Москва, 1948 г_Москва, 1948 г_Э.%ШпоАьеки&-

Москва, 1948 г_

Москва, 1948 г_

ГЛАВА I

ЭЛЕКТРОН, ЕГО ЗАРЯД И МАССА

Открытие электрона

Открытие дискретной структуры электрических зарядов было сделано как вывод из законов 也арамея об электролизе. Напомним ход рассуждений, приведший к этому открытию.

Иа законов Фарадея следует, что если пропускать одно п то »，е количество электричества через различные электролиты, то количества вещества, выделяемые в растворах одновалентпык монов, будут пропорциональны атомным весам ионов. Если это количество электричества как раз таково, что оно выделяет один грамм-атом определенных нонов (т. е. количество граммов вещества, равное его атомному весу, например 107,88 з серебра, 35,45 г хлора и т- д ), то в любом другом электролите, содержащее одновалентные ионы, оно выделит тоже один грамм-атом ионов. Так как электрический ток в электролите обусловлен лвижевием нопов, то мь/ можех фор^улкровать устаноалезтный 中акт, утверждая, что один грамм-атом любых одновалентны к ионов несет с собою всегда одно н то же количество электричества, вне зависимости от природы этих ионон、Эго количество ЭьЧектрпчества, называемое числом Фарадея F, равно 96 491 к\・ □сну, или 2,892・{0必 абсолютных электростатических едяшщ- Если теперь пропускать ток через растворы двухвалент1!ЫХ ионов, то оказывается, что один фаралесв зарнл нереноснтся половиной грамм-атома двухвалентного нона, а в трехвале!1т- иых электролитах — одной третью 「рам.н・ато斯а, нсн, иначе говоря, один грамм-атом явухваленгыых ионов несет с собой удвоенный фарадеев заряд, а один грамм-атом трехвалентпнх “онов — утроен цы iL Так как, с другой стороньь по закону Авен гадро один грамм-атом любого вещества всегда содержит одно и то же количество частиц N и так как с полным основанием можем предположить, что весь зархд, переносимый одним грамм-атомом, равномерно распределяется на все эти .У частиц^ то заряд, переносимый каждым одновалентным ионом, будет иметь совершенно определенную ве/нчнну е, равную

(I」)(I」)е F№

(I」)

(I」)

заряд, переносимый каждым двухвалентным ионом5 булет

2e = 2F/M

и вообще Л-валентным ионом

ke = kF/N.

Итак, мы видин7 что различные ионы могут нести на себе зарадн, равные е, 2с, Зе,・、.,но не встречаются ионы с зарядом, равным i,5e или 2,5е・ Отсюда и следует вывод, с особенной от・ четливостью сформулированный Гельмгольцем в речи, произие- сенной в честь Фарадея: «Если мы принимаем существование атомов элементов, то мы не можем избежать и дальнейшего следствия, — что л электричество, как положительное, так н отрицательное, разделено на определенные элементарные количества, которые ведут себя, как атомы электрнчеётва^.

Особенно существенную роль в познании атомистической природы электричества сыграло изучение прохождения электричества в「азах. В частности, исследование разряда в разрежен。 〃ых газах и изучение свойств возникающих при этом катодных лучей показали, что атомы отрицательного электричества могут быть легко получены в свободном состоянии, ие связанными с обычными атомами вещества. За этими атомами отрицательного электричества исторически утвердилось название з』ек* тронов、

，§ 2. Определение заряда электрона

Прямое доказательство дискретности электрических зарядов и первые точные определения величины заряда электрона путем нахождения зарядов отдельных частиц были выполнены Милликэном в 1911 г. Определение заряда электронов, освобождаемых действием света (фотоэффект), ло методу, аналогичному метолу Милликэна, было выполнено в 1918 г. А. Ф. Иоффе,

Экспериментальный метод, примененный №1лликэном, за- ключ^лся в непосредственном нзмерении за ряда очень маленьких капелек масла. Представим себе такую капельку между обкладками горизонтально расположенного конденсатора. Если на пластнны конденсатора не наложено поле, то капля будет свободно падать- Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно, так как ее вес tng уравновешивается силой сопротивления воздух，равной по закону Стокса

F 6лт)аий,(2Д>

где ve — скорость падения, 1] — коэффициент внутреннего трения воздуха и a — радиус капли. Условие

⑵2)⑵2)mg = 6nifav

⑵2)

⑵2)

дает возможность вычислить радиус капли. В самом деле, обозначим плотность вещества капли через и, плотность воздуха через р, Тогда, принимая во внимание, что на шарик с весом 扬g = $ne8<Tg, падающий в воздухе* действует по закону Архн・

44

меда еще сила, направленная вверх и равная уna^pg, мы можем переписать равенство (2.2) в виде,

4

откудаоткуда②3)②3)§ ла3 (<у _ р) g = 6〃т)а%,а—?Т (吁p}%g% *

откуда

откуда

②3)

②3)

Представим себе теперь, пто на пластины конденсатора на* ложена разность потенциалов, величина и направление которой подобраны так, чтобы капелька под действием электрпческош поля поднималась вверх. Обозначая через vE скорость этого подъема, который, как и падение, будет происходить равномерно, мы можем написать _

/е — mg = блца^Бт/е — mg = блца^Бт(24)(24)

/е — mg = блца^Бт

/е — mg = блца^Бт

(24)

(24)

где & — напряженность поля внутри' конденсатора. Из (2、2) и (2.4) получаем

или, заменив недоступный непосредственному измерению радиус каяли 〃 его внраженлем (2.3) через

Ионизуя воздух между пластинами конденсатора (например, при помощи рентгеновских лучей) t можно изменить заряд кзп・ ли. Если при этом величину напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится и станет равной и£; мы

имеемимеем^=9/2^=9/2п噜П”冒(о — р)% g%п噜П”冒(о — р)% g%(%+哈(%+哈

имеем

имеем

^=9/2

^=9/2

п噜П”

冒(о — р)% g%

п噜П”

冒(о — р)% g%

(%+哈

(%+哈

Комбинируя это выражение с (2-5), найдем

Изменяя несколько раз заряд, можно с одной и то же каплей 力роазвестя большое число измерений-

§ 3, Практическое осуществление опыта Милликэна

Тщательно отшлифованные пластины конденсатора Р] и Ра

раллельно друг другу прираллельно друг другу при(рис. 1) удерживаются на определенном расстоянии точно па”

раллельно друг другу при

раллельно друг другу при

помощи изолирующей прокладки Верхняя пластина имеет в середине отверстие через которое внутрь конденсатора попадают испытуемые капельки масла, пыляемого при помощи пульверизатора в цилиндр С. Известно, что при распылении жидкостей образующиеся капли несут электрический

ряд, так что внутрь конденсатора попадают уже заряженные капли. Через окошко капелька освещается обычно светом дуги;

Рек. 2. Схема установки Милликэпа： а —нсгочннк света： a, d — фильтры для поглощения тепловых лучей; Р〔Р? — конденсатор; AD — пульверизатор для получения капелек масса; G — масляная ванна (термостат)： В — батарея; m — манометр; R — ренггеповская трубка.

наблюдение же ведется при помощи микроскопа через окошко Р^ Так как наблюдение происходит в направлении, перпендикуляр1 ном к освещающему пучку света, то вЬ|бранная капелцка в поле

зрения микроскопа видна, как яркая звездочка на темном фоне (как в ультрамикроскопе). Окно 尸2 служит для выхода пучка света, так как, поглощаясь стенками камеры, свет вызвал бы внутри нее неравномерное нагревание и потоки воздуха, мешаю^ шие наблюдениям. Через то же окошко F? внутрь конденсатора могут быть пропущены рентгеновские лучи, создающие ионизацию воздуха, в результате которой заряд капельки может быть изменен. Полная схема установки Милликэпа приведена па рнс. 2.

Измерение скорости падения или подъема капельки пронз、 водилось путем определения промежутка времени, пеобходк мого для прохождения между двумя нитями, расположенными в фокальной плоскости микроскопа; за меру скорости бралась обратная величина этого промежутка времени. В таблице 1 npi「 ведеио несколько результатов измерений Милликэна. Согласно (2.6) изменение величины заряда при перезарядке должно быть пропорционально разности скоростей fE—и?. Если эта раз、 ность окажется целым кратным одной и той же величине, то можно утверждать, что изменение заряда происходит не непре， рывно, а конечными порциями. Четвертый я пятый столбцы таблицы показывают, что это имеет место на самом деле: с точностью до нескольких единиц в пятом знаке заряд изменяется на 6, 7, единиц, причем сама единица перезарядки (пятый столбец таблицы) имеет постоянное значение (в пределах ошибки опыта),

Таблица 1

Время цо；11^ма в алек-

ТрИЧ- цОЛС

Обратное время подъема

триь nQie

石

Разность сбразых времен подъема

рядки

I 1

”"С』О един перс-

Зарядки и7

Относительная недИЧЕгна единицы перазарчдкч

Сумма обратных

RpCYRN падения и гюдьема

Число едиц|1Ц яйряда

ОтЧ|0с!тель!£ая в ал чип единицы зарина 千Q+古)

80,708

0,01236

0,09655

18

0.003 366

0,03234

6

0,005390

+6

22,375

0,04470

0.12887

24

0,00537 [

0,0375(

7

0,005358

-7

140,565

0,№[9

0,09138

17

0.00537 5

0,005348

I

0,005 348

+ 1

79,600

0,01254

0,09673

0,005374

0,01616

3

0,005387

+ 3

0QQ5376

34,735

0,02870

0,11289

21

*} Среднее

% =11,880, где

% —время падения в

поле силы тяжести.

Формула (2.5) показывает, что абсолютная величина заряда капли должна быть пропорциональна сумме vs + (шестой столбец таблицы), Если эти суммы окажутся кратными одной и же величине, то это означает, что заряд складывается из дискретных единиц. Седьмой и восьмой столбцы показывают, что у это имеет место в действительности. Наконец, нз сравнения пятого и восьмого столбцов видно, что единица перезарядки и единица заряда между собой совпадают, опнть-таки с точностью до нескольких единиц в пятом знаке. Таким образом, анализ таблицы дает полное и непосредственное доказательство дискретной природы электрического заряда — атомистики электрических явлений.

Для точного определения абсолютной величины заряда электрона в числа, полученные при помощи формулы (2.5), необходимо внести существенную поправку. В самом деле, оказалось, что если определять заряд капелек различного радиуса, то при уменьшении последнего вначале получаются постоянные значения е, но для очень маленьких капелек е быстро возрастает с уменьшением радиуса. Таким образом, выходит, что заряд элек- трона не имеет постоянного значения, а может зависеть от размеров капельки.

Милликэн объяснил этот хвно несообразный результат тем, что закон Стокса нельзя применять к движению оиень маленьких капелек. Действительно, закон Стокса выводится в предположении, что движущееся тело имеет форму шара и что среда, в которой происходит движение.непрерывна. Последнее пред- лоложеиие заведомо не оправдывается, когда при движении в газе размеры капельки становятся сравнимыми со средней длиной свободного пути газовых молекул. Таким образом, отношение 入/а средней длины свободного пути к радиусу капли может служить критерием применимости или неприменимости закона Стокса: если это отношение мало (入/а«】). то закон Стокса применять можно, в противоположном случае — закон Стокса неприменим,-

Для того итобЬ] учесть отступления от закона Стокса для очень маленьких капелек, было предложено пользоваться вместо (2Л) следующим исправленным выражением для стоксовой силы:

где Л — некоторая постоянная. Как видно, это выражение построено так, что при Л —0 оно переходит в формулу Стокса 《2.1). При помощи этой исправленной формулы мы получаем

раженне：раженне：для абсолютной величины заряда вместо (2,5) следующее вы・

раженне：

раженне：

(3.2)(3.2)9尸汽柏%3 (%+??)_

(3.2)

(3.2)

(a _ p)/g厶*1+5評，

Чтобы найти абсолютную величину заряда по этой формуле, надо знать постоянную 4 Однако Милликэн показал, каким образом можно найти истинную величину заряда, не прибегая к определению этой постоянной.

Из сопоставления формул (2.5) и (3.2) .легко найти отношение величины % к заряду, вычисленному без поправки:

или

Но длина свободного пробега X обратно пропорциональна давлению газа поэтому

脅(I + В/ра) = еЧ(3.3)

где В — некоторая новая постоянная.Если изменять давление р и для каждого значения давлениягде В — некоторая новая постоянная.Если изменять давление р и для каждого значения давленияметрах.Рис, 3, где на оси абсцисс отложены значения 1/ ра. а на оси ординат с%.]。* показывает, что требуемая формулой (3,3) лн・ нейнан зависимость существует в действительности.метрах.Рис, 3, где на оси абсцисс отложены значения 1/ ра. а на оси ординат с%.]。* показывает, что требуемая формулой (3,3) лн・ нейнан зависимость существует в действительности.

где В — некоторая новая постоянная.

Если изменять давление р и для каждого значения давления

где В — некоторая новая постоянная.

Если изменять давление р и для каждого значения давления

метрах.

Рис, 3, где на оси абсцисс отложены значения 1/ ра. а на оси ординат с%.]。* показывает, что требуемая формулой (3,3) лн・ нейнан зависимость существует в действительности.

метрах.

Рис, 3, где на оси абсцисс отложены значения 1/ ра. а на оси ординат с%.]。* показывает, что требуемая формулой (3,3) лн・ нейнан зависимость существует в действительности.

Полагав в формуле (3,3) 1/尸 = 0 или q = 8，т. з переходя к предельному случаю, когда закон Стокса должен быть справедлив (радиус частицы бесконечно велнк по сравнению со средней длиной свободного п^ти), на由нсме" = е詛，или е —ез Таким образом, для нахождения истинного значения заряда электрона достаточно экстраполировать прямую до пересечения ее с осью ординат.

1рис. 4 приведены четыре прямые, построенные таким же способом для частик различной природы： / капельки масла в зозаухе, 〃一 капельки масла в водороде, — капельки ртути в воздухе, — частицы шеллака в воздухе. Все четыре прямые пересекают ось ординат в одной точке: заряд электрона не зависит ни от природы частиц, ни от природы газа, окружающего частицы.

Опыты 5\илликэна имеют большое принципиальное значение, так как они с полной очевидностью доказывают атомистическую природу

электрического заряда. Что же касается абсолютного значения с, т。，как видно из формулы (3、2), точность его определения существенно зависит от точности определения коэффициента внутреннего трепия воздуха ту Среднее из новь】х наиболее точных измерений дает для т] величину я = 1832-10-7. С этим значением П для заряда электрона получается е = 4,805- 10-J0 СГСЗ. Однако наиболее точное значение заряда электрона получается косвенным путем — при помощи абсолютных измерений длины волны рентгеновских лучей (см. §§ 37—38).

Упражнения： 1. Какую разность потецщгалов нуж^о належись ца пластины конденсатора, расстояние между которыми равно 5 мм, ан того “тобн уравновесить масляную капельку, несущую заряд, равный 5 зарядам электрона? Масса капли равна 3J19HG13 (Ответ： 19 2 &)

2 Вычислить скорость падения капли мас.ча платностью 0,98 с радиусом I。-' см в воздухе при давлении 76 см. Коэффициент внутреннего грения воздуха 0,0001832. (Ответ: 0,0117 см/сек )

3、Разность потенциалов в 31.5 е, приложенная к тизстннам катгленса- тора, отстоящим на 1 см, заставляет заряженпую ка门矶о мзеха двигатьсп вверх со скоростью 10 делений в 10 сек (50 целений = [ мм) Скорость надекия под действием силы тяжести — 10 делений в 100 сек Коэффициент влутрт^сго трения воздуха 0,00018 Плотность ха“刀％ 09 口а»力©斤斤｝ воздуха 76 с«、р工 ст. Сколько электронов песет капля? (OwTr один)、

§ 4, Движение электрона в электрическом и магнитном полях

Наряду с зарядом основной константой, характер】13po山eti электрон, является его масса，Эга масса очень мала, что следует хотя би из того, что при наблюдениях в конденсаторе Милликэна потеря или Приобретение нескольких электронов при перезарядке не оказывает заметного влияния на скорость падения частицы, хотя по формуле (2 2) скорость равномерного падения пропорциональна массе. Наличие инертной массы у электрона сказывается, однако, в тех случаях, когда элсктроьу сообщается ускорение под действием мектрического или магнитного поля. Поэтому вес методы определения массы электрона основаны на изучении его движения в электрических и магнитных полях, и наша ближайшая задача заключается в том, чтобы рассмотреть влияние того и другого полей па движение электрона.

Как известно*), сила, действующая со стороны электромагнитного поля на частицу, несущую зархп е (так называемая сила Лоренца), выражается формулой

F = «& + ^[M(4,1)

Здесь первый член представляет силу, действующую со стороны электрического пола, второй — со стороны магнитного Предполагается, что заряд с выражен в электростатической системе единиц. Дальнейшие рассуждения ми проведем для положительно заряженной частицы, однако опн применимы и к движению отрицательно заряженных частин. только по・ мнить, когда речь идет об электроне, что он несет отрпнатель- ный заряд м направление его отклонения всегда будет противоположно направлению отклонения положительно заряженной частицы.

Согласно второму закону Ньютона, сила F равна произведению массы m на ускорение

Приравнивая правые тастн (4,1) н (4.Г), получаем

=+ 珞丄(4,2)

Рассмотрим теперь отдельно действие электрического и магнитного полей. Полагая в (42) 6=0, получаем

(4.3)

например, Е. Тамм, Основы теории зпектрпкетва, ука», 1966

В дальнейшем мы буаем иногда называть силой Лоренца второй член формулы (4 1), связа【м「к力 с магнитим полем.

Очень часто при рассмотрении движения заряда в магнитном поле пользуются электромагнитной системой единиц. Тогда (4,3) принимает вид

откуда'

圃.(4.4)

Так как сила, действующая со стороны магнитного поля, вира- жается векторным произведением, то три вектора 鑑,v, F образует правовинтовую систему (рис. 5).'

Векторное уравнение (4.4) эквивалентно следующим трем скалярным уравнениям:

警包必芻警包必芻

警包必芻

警包必芻

Рис. 5. Рис- 6、 Положительно заряжсп- лан частица в магнитном поле.Рис. 5. Рис- 6、 Положительно заряжсп- лан частица в магнитном поле.

Рис. 5. Рис- 6、 Положительно заряжсп- лан частица в магнитном поле.

Рис. 5. Рис- 6、 Положительно заряжсп- лан частица в магнитном поле.

Интегрирование этой системы уравнений в болкшинствс спу・

□аев представляет собой трудную математическую задачу. Решение ее для ряда случаев било дано С. А. Богуславским.

Мн рассмотрим простейший случай, условия которого, однако, отвечают обычной постановке лабораторных экспериментов, и ле будем заниматься вычислением траектории, а наймем лишь величину отклонения параллельного пучка заряженных частиц в магнитном поле- Предположим, что в момент / = 0 скорость частицы направлена по оси т- е. что при / = 0 % = =и? = 0. Относительно магнитного поля мы положим, что. оно постоянно во времени, направлено по оси у, но, вообще говоря, неоднородно, т. е. может быть записано как 非=施(％). Таким образом,訟工=船名—0,施у =非⑶一施.Допустим, что no/e действует на протяжении ОА = л (рис. 6) в «то на расстоянии

08 = /, вообще говоря, не равном О А, помещается флуоресдм- рующий экран, на котором производится измерение отклонения. Так как поле на всем протяжении направлено по оси у、то составляющая силы 尸？ = ?(力能工一удЖ) равна нулю (% = ()}, и движение происходит в плоскости Поскольку нас интересует отклонение частицы 2 при х = /, а не ее траектория, мм воспользуемся только третьим из уравнений (4.4j. Если отклонение мало то с точностью до величин второго порядка малости можно- на всем протяжении пути положить v = vx =; действи

тельно,

и= J咗+F = %[1 +(翁疗=% 口 + + (/『+ …]a %

Интересующее нас третье из уравнений (4.4х), очевидно, дает

так как второй член справа равен нулю.Далее, принимая во внимание, что 石=石 *7Г，乂及 можем переписать (4.5) в видетак как второй член справа равен нулю.Далее, принимая во внимание, что 石=石 *7Г，乂及 можем переписать (4.5) в видеd / tfz dx \ dxdx Idx 乙)* dfd / tfz dx \ dxdx Idx 乙)* df6 dx加df6 dx加dfПроизводя сокращение и заменив сноваПроизводя сокращение и заменив снова-Ж万 через 以 получим-Ж万 через 以 получим

так как второй член справа равен нулю.

Далее, принимая во внимание, что 石=石 *7Г，乂及 можем переписать (4.5) в виде

так как второй член справа равен нулю.

Далее, принимая во внимание, что 石=石 *7Г，乂及 можем переписать (4.5) в виде

d / tfz dx \ dxdx Idx 乙)* df

d / tfz dx \ dxdx Idx 乙)* df

6 dx

加df

6 dx

加df

Производя сокращение и заменив снова

Производя сокращение и заменив снова

-Ж

万 через 以 получим

-Ж

万 через 以 получим

Интересующее нас отклонение z мы найдем отсюда двукратным интегрированием. Первое интегрирование в пределах от 0 до х дает /

窮= 5^f非〃♦

Второе интегрирование от нуля до I (расстояние от начала поля до экрана) дает

Выполним интегрирование по частям, полагая 〃 = J 非dx и

du = d#; получим

z --mvz --mv3^(1 —x)dx. (4.6)3^(1 —x)dx. (4.6)/ I 施 d%-J 舔 d〃=^

z --mv

z --mv

3^(1 —x)dx. (4.6)

3^(1 —x)dx. (4.6)

о о J О

' В этой формуле интеграл

4 = J 非(上一х) dxо4 = J 非(上一х) dxо(4.7)(4.7)

4 = J 非(上一х) dxо

4 = J 非(上一х) dxо

(4.7)

(4.7)

есть, очевидно, постоянная прибора, так как его величина зависит только от напряжен[^сти поля 非 и расстояния I от места входа электронов до зкрана, Пользуясь обозначением (4,7), находим

(4.8)(4.8)г = Д——"，0

(4.8)

(4.8)

В частности, если поле однородно (非=const) и простирается от х = 0 до х а з интервале от х — а до % / 非=0, то

Ha копен, если зкран расположен вплотную у конца полюсов магнита, то / = а и

В однородном поле, направленном перпендикулярно к скорости, легко найти и траекторию частицы. В самом деле, так как

F的、7. Полох<нт(?ичыю за-F的、7. Полох<нт(?ичыю за-сила Лоренца всегда перпендикулярна к V, то она меняет только направление скорости, но не ее величину; поэтому электрон бу пет двигаться по окружив сгН, радиус которой р мы найдем, при- равпнвая лоренцову силу evH центробежной силе инерции:

F的、7. Полох<нт(?ичыю за-

F的、7. Полох<нт(?ичыю за-

откуда

= —(£9)

рЯ'кепная частица в элек

тростатическом поле.Вычислим теперь отклонение заря

женной частицы в поперечном электростатическом поле. Пусть по-прежнему скорость частицы в момент входа ее в пространство между пластинами конденсатора будет направлена по оси х, а поле конденсатора направлено по оси Все остальные условия мы сохраняем прежними (рис, 7), Так как 施=0, то (4.2) дает

mv =園.

-Принимая во внимание, что 皆冥=皆沙=о, ^г =发,получаем

В атомной физике энергию очень часто выражают в электронвольтах： 1 36 есть та энергия, которую приобретает электрон, пробегая ускоряющую разность потенциалов в ] е, Из (5.47) получаем '

электрон-вольт — 4180' ~—= 1,60 ■ 10^12 ара.

Знергнн 及【зз, рассчитанная на А/= 6,023* 1(Рз(1 моль) электронов, равна-

электрон-вольт ■ моль^ — 9,64 ■ 1011 ара ■ молъ^ =

,—2,304 ' Ю4—

=23,04 ккал ■

Если известна энергия электронов, выраженная в электронвольтах, то скорость ” в см]сек можно непосредственно вычислить из (5«)；

и = V^"T^ = 5,93 ♦ 107 YV (вольт) см/сек. (5、5>

Экспериментальные методы определения удельного заряда

В основе экспериментальных методов определения лежат результат исследовании движения электрона в электрических и магнитных полях, выполненного нами в предшествующих двух параграфах.

Необходимо, однако, иметь в виду, что как в случае электрического, так н в случае магнитного поля отклонение в поперечном поле зависит не только от e/加，но % от b магнитное отклонение определяется фактором ejmv, а электрическое — фактором e/mf2. Поэтому опыт с отклонением в каком-либо одном поле еще не дает возможности найти е/т.

В первых работах обычно последовательно измеряли отклонение в том и другом полях и из двух уравнений (4.8) и (4.11) сразу вычисляли е/т и и. При этом пучки электронов осуществлялись в виде катодных лучен в трубках с разреженными газами (давление порядка нескольких сотых мм рт. ст,). Развитие техники получения вакуума за последние десятилетия позволяег производить эти измерения в 6о“ее определенных и лучше контролируемых условиях. На рис. 8 представлена схема современного прибора для определения и и. Накаливаемый катод К, помещенный в трубку, откачанную до предела, допускаемого со- временно負 техникой вакуума, является обильным источником электронов. Эти электроны ускоряются батареей положительный нолюс которой присоединен к металлической пластинке (аноду) 4 в центре которой имеется отверстие. Электроны,

прошедшие через это отиерстие, двигаясь прямолинейно, дают на стенке трубки 5, покрытой флуоресцирующим веществом, светлое пятнышко расположенное против отверстия в анода Л. На пути между А и F электроны проходят между пластинами конденсатора CD, к которым может бьпь приложено напряжение от батареи В2. Если включит^ батарею В21 то пучок электронов отклоняется электрическим нолем, возникающим между пластинами, и пятнышко перемещается в положение

Создавая между пластинами конденсатора CD также я однородное магнитное иоле, перпендикулярное к плоскости чертежа (на рисунке показано точками), можно вызвать отклонение

8нс« 8、 Схема метода опра^еленнн у^елыгаго заряда по отклонению в электрическом и магнит!|Ом долях.

пятнышка в том же или в обратном направлении. Если измерить оба отклонения, то nqi помощи уравнений (4.8) и (4.11) можно вычислить с/m и s Практически удобнее просто скомпенсировать магнитным полем первоначальное электростатическое отклонение, В этом случае необходимые измерения сводятся к точному определению напряженностей обоих полей электрического и магнитного.

Как сказано выше, начальные скоростн электронов, освобождаемых из горячего катода, малы. Например, если катодом служит вольфрамовая спираль, нагретая ro 2400° К, то всего л用х】ь 0,1% электронов обладают энергией, превосходящей 1,42 электрон-вольта, и 0,0001 %——энергией, превосходящей 2,85 электрон-вольта. Если поэтому ускоряющее поле не слишком слабо, ^то можно считать с достаточной точностью, что начальная ско. рость освобождаемых электронов равна нулю Пусть разность потенциалов между катодом и анодом (например, между К н 4 на рис. 8) равна V вольт. Тогда окончательную скорость электронов мы находим из уравнения

2 — ЗОУ'(5.4')

§ 71 МЕТОД ДВУХ КОНДЕНСАТОРОВ 27

Поэтому, зная V, мы уже знаем и скорость электронов. Это освобождает нас от необходимости использовать и электрическое, и магнитное-отклонение для нахождения е/т и и. Достаточно воспользоваться либо электрическим, либо магнитным полем; вт°・ рое уравнение всегда дает формула (5.4‘).

В следующих параграфах приведем из большого числа современных методов определения удельного заряда два наиболее характерных. В первом применяется электрическое поле, во втором магнитное,

Определение удельного заряда электронапо методу двух конденсаторов

Одним из самых точных современных методов определении отношения е/m является метод двух конденсаторов. Электроны от нити накала F (рис. 9) ускоряются полем между катодом F и анодом Л. Пройдя через отверстие в аноде 4 и диафрагму ^ь

Рис. 9. Схема метода определения удельного наряда при помощи дв}х конденсаторов.

пучок электронов попадает в первый конденсатор К、, на который накладывается переменная разность потенциалов oi високочас^ тотного генератора 8. Под влиянием этого переменного поля периодически изменяется направление пучка, и, вообще говоря^ пучок задерживается экраном Р2- Только те электроны, которые пролетают через конденсатор & в момент, когда кривая потенциала проходит через нуль (рис- 10), оказываются способными пройти через малое отверстие D? в экране 戶Эти электроны попадают затем в конденсатор К?, присоединенный к тому же

=—匕，Поэтому на=—匕，Поэтому нагенератору, что и 氏卜 вследствие чего поля в обоих конденсаторах всегда находятся в одинаковой фазе- Таким образом, два раза в течение каждого периода в конденсатор К2 попадают электроны и отклоняются в большей или меньшей степени вверх или вниз в зависимости от фазы генератора в момент прохожие- нияьэлектронов через конденсатор К2- Нетрудно убедиться в том, qTO имеется только два симметричный направления, в которых могут отклониться электроны при прохождении через второй конденсатор

=—匕，Поэтому на

=—匕，Поэтому на

пример, промежуток времени, необходимый злектрону, чтобы пролететь от конденсатора К до конденсатора 兄，равен Л = 04 (рис. 10), то во втором конденсаторе Кг одни электроны застанут потенциал = + 匕， а другие — потенциал =

флуоресцирующем экране S появятся два

симметрично расположенных пятна.

л矶 вообще.С другой стороны,л矶 вообще.С другой стороны,и = 2〃т = 2/fv = 2l/nT = 2lf/ntи = 2〃т = 2/fv = 2l/nT = 2lf/nteV =eV =加2加2(7-1)(5.4)(7-1)(5.4)Варьируя скорость электронов изменением ускоряющего потенциала, можно добиться тою, чтобы время /1 сделалось равным полупериолу генератора Т/2 или вообще 研2, При этом условии электроны пролетят и второй конденсатор без отклонения, н два п^тна на флуоресцирующем экране сольются в одно^ Если расстояние между & и ^2 равно /. а частота генератора то скорость таких электронов буает

л矶 вообще.

С другой стороны,

л矶 вообще.

С другой стороны,

и = 2〃т = 2/f

v = 2l/nT = 2lf/nt

и = 2〃т = 2/f

v = 2l/nT = 2lf/nt

eV =

eV =

加2

加2

(7-1)

(5.4)

(7-1)

(5.4)

где V —ускоряющий потенциал, приложенный между F к 4. Из (7-1) и (5,4) получаем

，(7.2)

Большое преимущество метода двух конденсаторов состоит в том, что он является своего рода «нулевыми методом и не требует никаких измерений отклонения, обычно связанных с трудно устранимыми ошибками- Величина удельного за^да, получен-

ная таким способом, после внесения всех поправок равна ) 糸 9(1,7590 士 0,0015)・ 107 СГСМ ■

§ 8- Определение удельного заряда электрона по методуфокусировки продольным магнитным полем

Другой точный метод определения связан с применением продольного магнитного поля.

Рассмотрим прежде всего действие магнитного поля на рас， холящийся пучок электронов, выходящий из одной ТОЧКИ (Отверстия диафрагмы), Сила, действующая на электрон со стороны магнитного поля, равна (предполагается, что е выражено в электромагнитных единицах)

F = e[阈，

Если злектрон летит под углом а. не равным 0 или 90°, к направлению магнитных силовых линий, то его скорость можно разложить на две компоненты： продольную s и поперечную 0M

= v cos = v sin а.(8.1)

Рассмотрим влияние магнитного поля на каждую из этих компонент отдельно^ На злектрон, летящий перпендикулярно к полю со скоростью %, действует сила Fp =纱Так как сила Fp везде перпендикулярна к 卩仇 то электрон опишет окружность, радиус которой мы найдем, приравняв центробежной силе инерции:

откуда

Время f, необходимое для т。】。，чтобы электрон описал полную окружность, будет

(8-2)(8-2)2лр — Эл

(8-2)

(8-2)

Оказывается, следовательно, что f не зависит от радиуса р. Таким образом, если ггредставитъ себе несколько электронов,, одновременно выходящих нз одной точки с различными скоростями %, перпендикулярными к %, *1。все эти электроны, описав окружности различного радиуса, одновременно вернутся в исходную точку. Это показано на рис. 11 справа, где изображен ti проекции путей электронов, обладающих различньЕми со* ставляющими скорости о% на плоскость, перпендикулярную к направлению магнитного ноля.

Рис, 11. Схема метода определения удельного заряда с помощью продольного магнитного ноля.

На продольную компоненту скорости магнитное поле не оказывает влияния. Поэтому за промежуток времени I электроны продвинутся вдоль оси соленоида, создаюшего поле, на расстояние

.(8,3)

Если угол а мал, то cos а ^ 1, и (8.3) принимает вид

т, е. все электроны, вылетающие из отверстия диафрагмы с одной и той же абсолютной величиной скорости 〃 за промежуток времени, в течение которого проекции этих электронов на плоскость, перпендикулярную к оси соленоида, описывают полную окружность, продвигаются вдоль оси соленоида на одно и то же расстояние L Отсюда следует, что расходящийся пучок электронов одинаковой энергии под действием продольного магнитного поля сфокусируется на расстоянии

Это фокусирующее действие соленоида и лежит в основе ме- тоаа продольного магнитного поля. Электроны, BuxaKRm.He-из отверстия диафрагмы S (рнс. 11) и развернутые предварительно в расходящийся пучок иеремецннм электрическим полем 行,по-

палают внутрь соленоида. Подбирая соответствующую ве<пичииу напряженности поля 非，можно добиться того, чтобы пучок электронов фокусировался как раз у противоположного к диафрагме конца соленоида, где помешен флуоресцирующей ^кран, Зная необходимое для этого ноле, можно сейчас же вычислить ejm. Действительно, из (8.4) находим

Подставляя это выражение для скорости в уравнение энергии

(5・4)(8-5)(5・4)(8-5)легко получимлегко получиме8;12Pе8;12P萼5

(5・4)

(8-5)

(5・4)

(8-5)

легко получим

легко получим

е8;12P

е8;12P

Результат последних (1939 г.) измерений, выполненных этим методом, таков:

-— = (1,7586 ± 0,0023) ■ 107 СГСМ-г-1,

Наиболее точное значение удельного заряда злектрона, полуденное в результате критической оценки измерений, выполпед- ных различными методами, есть

*r(1,7592 士 0,0005) ■ 107 СГСМ ■ al (8/6)

Сравним теперь массу электрона с массой водородного атома. Для этого нужно прежде всего найти величину е/шНт т. е. отношение заряда электрона к массе аюма водорода. Легко видеть, что это последнее отношение равно отношению числа Фарадея F к атомному весу водорода HL Действительно, так как F = Ne (N — постоянная Авогадро) и Н1 — А^ш1Ь то F/H1 = с/шн. Из наиболее точных измерений F и Н1 получается

訂==(9573,5 土 1)(8.7)

Комбинируя (8.6) и (8.7), находим

U = 18375

Итак, масса электрона в 1837,5 раза меньше массы водородного атома.

§ 9, Фокусировка н монохроматизация пучковзаряженных частиц

Рассмотрим здесь попутно методы получения пучков частиц постоянной скорости (монохроматнзапия, фильтры скоростей) и методы фокусировки пучков заряженных частиц. Знакомство с этими методами понадобится нам в дальнейшем.

Самый простой фильтр скоростей устроен так: пучок заряженных частиц пропускается одновременно через электрическое и магнитное поля, направлен。 дI ные перпендикулярно Круг к

•就•Другу н притом так, что они • ••♦♦••• .у... I дают отклонения в противопо- 匕—.ложных направлениях.

На рис. 12 магнитное поле направлено перпендикулярно ,к плоскости чертежа и действует .на положительно заряженную частицу с силой

Рнс> 12> Схема фильтра скоростей лежащей в плоскости чертежа. 2ара*еинмх частивВ той 产е плоскосаи лежит и

сила с которой действует на заряд электрическое поле конденсатора АВ. Если выбрать направление полей так, чтобы обе силы были направлены в Противоположные стороны, то результирующая сила будет ev^—e^. Под влиянием этой силы частица движется, вообще говоря, по кривой с радиусом кривизны р. Приравнивая силу, действующую на частицу, центробежной силе инерции, получаем

(9-1)(9-1)也制一播=*

(9-1)

(9-1)

Очевидно, что через конденсатор пройдут только частицы^ скорость которых такова, что обе силы еь% и е& лруг друга ском・ пенсир》ют. В этом случае

0 и и = (9,2)

Частииы со скоростями, не удовлетворяющими соотношению (9>2), будут притянуты пластинами конденсатора и удалены из пучка, или, ио всяком случае, задержаны диафрагмой

Для фокусировки частиц очень часто пользуются действием однороДного поперечного магнитного поля.

Пусть источник частиц находится в S (рис. 13) и пусть эсе частицы характеризуются одной и той же величиной mv/e. Частица, вылетающая вертикально вверх, опишет полуокружность

диаметром S4 = 2 瑞= 2р; какая ни будь другая частица, вы，летающая под углом а к первой, тем же радиусом опишет дугу

Рис. 13. Фокусировка поперечным однородным магнитным полем.Рис. 13. Фокусировка поперечным однородным магнитным полем.

Рис. 13. Фокусировка поперечным однородным магнитным полем.

Рис. 13. Фокусировка поперечным однородным магнитным полем.

Рис. 14> Положительно заряженная частица в радиальном электрическом 口one цилиндрического конденсатора-Рис. 14> Положительно заряженная частица в радиальном электрическом 口one цилиндрического конденсатора-

Рис. 14> Положительно заряженная частица в радиальном электрическом 口one цилиндрического конденсатора-

Рис. 14> Положительно заряженная частица в радиальном электрическом 口one цилиндрического конденсатора-

круга, которая пересечет прямую SA в точке 8. Легко видеть, что

48 = 2р(1 — cos а).

Если угол а достаточно мал, то можно воспользоваться разложением косинуса в степенной ряд cos с = 1 —壮/2 + …н взять только первые два члена; тогда

АВ = ра"

Напркмер, если р = 5 елг, а = 3° — 0,05, то 48 = 1,25- 1б-2 см. Очевидно, что все частицы, направления которых нрн вылете из S лежат в пределах угла а, описав соответствующую дугу, пересекут SA между 4 и В. Поэтому, если источником S служит щель, уерез которую проходят частицы, то 48 будет «изображением» этой щели в виде узкой 门нннн; поперечное однородное магнитное поле действует, таким образом, как цилиндрическая линза,

Другой тип фильтров, получивший в последнее врема широкое распространение, основан на действии радиального электрического поля в цилиндрическом конденсаторе. Рассмотрим частицу с зарядом е, попа

дающую в цилилдрическия конденсатор。

(рис. 14). Очевидно, что частица беспрепятственно пройдет иерез конденсатор в том случае, если действующая на нее с。стороны ноля сила е冒 будет равна центробежной силе инерции;

Р

2 3В Шпатьский, г. I

В цилиндрическом конденсаторе поле обладает радиальной симметряей, и потому

Следовательно, условие беспрепятственного прохождения qa・ стицы яерез конденсатор будет '

dV 恤2

(9-3)(9-3)e ； ■-=

(9-3)

(9-3)

Выражая кинетическую энергию ти2/2 через ускоряющий потен- ина』：ти =2е%, и разделяя переменные в уравнении (9,3)

Рись ]5> Цилиндрическйй конденсатор как фильтр скоростей. (Стрелками обозначены св ков не 力％ амн элЕ-ктрачесйОГС' доля; слрзза на гра巾打 кее— ^яела частиц, и — их скорость)Рись ]5> Цилиндрическйй конденсатор как фильтр скоростей. (Стрелками обозначены св ков не 力％ амн элЕ-ктрачесйОГС' доля; слрзза на гра巾打 кее— ^яела частиц, и — их скорость)VKJ а внутренней — равным О получимVKJ а внутренней — равным О получими интегрируяи интегрируя□ри□риНих условиях,Них условиях,PiоPiо

Рись ]5> Цилиндрическйй конденсатор как фильтр скоростей. (Стрелками обозначены св ков не 力％ амн элЕ-ктрачесйОГС' доля; слрзза на гра巾打 кее— ^яела частиц, и — их скорость)

Рись ]5> Цилиндрическйй конденсатор как фильтр скоростей. (Стрелками обозначены св ков не 力％ амн элЕ-ктрачесйОГС' доля; слрзза на гра巾打 кее— ^яела частиц, и — их скорость)

VKJ а внутренней — равным О получим

VKJ а внутренней — равным О получим

и интегрируя

и интегрируя

□ри

□ри

Них условиях,

Них условиях,

Piо

Piо

(94)(94)

(94)

(94)

откуда

匕=2%1口包.

Pi

Мн видим, таким образом, что каждой разности потенциалов VK на обкладках конденсатора соответствует энергия электронов Vo, при которой oiih могут пройти через конденсатор.

интервале и ± е. В правой части ри・интервале и ± е. В правой части ри・На ряс> 15 изображена схема действия цилиндрического конденсатора как фильтра скоростей. Видно, что если через щель поступает пучок электронов, скорости которых лежат в интервале и ± Ду, то через щель В2 пройдут электроны со скоростями, лежащими в более узком Сунка дано графическое изображение распределения электронов по скоростям до фильтрации и после нее (заштрихованная часть).

интервале и ± е. В правой части ри・

интервале и ± е. В правой части ри・

Рн& 16> Фокусирующее действие радиального электрического поля: 4 — источник зар另*енн^Х шастан; В — фарадеев цилиик^ С〕，С2 — пластины цилиндрического кон-' денсатора； У, Sr — ще』н,Рн& 16> Фокусирующее действие радиального электрического поля: 4 — источник зар另*енн^Х шастан; В — фарадеев цилиик^ С〕，С2 — пластины цилиндрического кон-' денсатора； У, Sr — ще』н,Наиболее замечательная особенность рассматриваемого фильтра состоит в том, что обладает способностью фокусировать расходящиеся пучки. Юз и РсжанскнН показали теоретическим расчетом и подтвердили

Рн& 16> Фокусирующее действие радиального электрического поля: 4 — источник зар另*енн^Х шастан; В — фарадеев цилиик^ С〕，С2 — пластины цилиндрического кон-

' денсатора； У, Sr — ще』н,

Рн& 16> Фокусирующее действие радиального электрического поля: 4 — источник зар另*енн^Х шастан; В — фарадеев цилиик^ С〕，С2 — пластины цилиндрического кон-

' денсатора； У, Sr — ще』н,

экспериментально, что расходящийся пучок, выходящий нз щели S, вновь фокусируется, 。口ясне в цилиндрическом конденсаторе Дугу и/ |/2 = 127° 17/ (рись 16) h

Таким образом, радиальное электрическое поле цилиндрического конденсатора действует на расходящийся поток заряженных частиц совершенно так *е, как поперечное однородное магнитное поле. В некоторых отношениях, однако, применение электрического поля вместо магнитного представляет преимущества. Напримерт прн помощл зкранов гораздо легче ограничить электрическое полет чем магнитное.

Зависимость массы электрона от его скорости

При скоростях а〃ектронов, близких к скорости света, обнаруживается зависимость массы от скорости. Первое экспериментальное доказательство этого важнейшего факта принадлежит Кауфману, работа которого была опубликована в 1901 г., т> е> еще за четыре года до появления теории относительности, согласно которой любая масса, независимо от того, несет ли она электрический заряд или нет, должна зависеть от скорости по формуле

где сскорость света в пустоте. Хот月 работа Кауфмана в настоящее время нмеет то〃卜ко нсторннескн近 интерес, ма позиако- мимся с идеей его метода, так как эта идея получила широкие применения в опытах с заряженными частицами. В дастности, на аналогичном принципе основан «метод парабол》Дж. Дж. Томсона (§ 13), впервые примененный для определения истинных масс атомов.

Сущность метода Кауфмана состоит в том, что электроны пропускаются одновременно через поперечные электрическое и

Рис. 17. Электроны в попб-речных электрическом и магнитном поляк.Рис. 17. Электроны в попб-речных электрическом и магнитном поляк.магнитное подя5 расположенные параллельно или аптипараллсльно, так что отклонения в том и другом полях перпендикулярны друг к другу. Парал- 2 лельньщ пучок электро- обладаюш,их одной и той же скоростью, про 'ходит между пластинками конденсатора, в пространстве МСЖДу КОТОрЫМИ В03- 6у*деи。также и магнитное поле (рис. 17). Направления нолей показа-

Рис. 17. Электроны в попб-речных электрическом и магнитном поляк.

Рис. 17. Электроны в попб-речных электрическом и магнитном поляк.

ны на рисунке стрелками. Отклонение в электрическом поле будет направлено вправо и равно, например, 0% =汇；отклонение в магнитном попе будет направлено вверх и равно, например, 08 == z (следует ломлить, что электроны несут отрицательный заряд; поэтому отклонения положительно заряженных частиц были бы, соответственно, влево и вниз). Формулы § 4 дают

2 = 4上

(4」1)

скорость и. Возведя первое из них рое, получаемскорость и. Возведя первое из них рое, получаемгле 4 и 8 — постоялице лрмбора. Все электроны, имеющие постоянную скорость, будут попадать после прохождения иерез оба поля в Toqxy С фотопластинки. Пусть теперь пучок неоднороден и содержит злектронн всевозможных скоростей. В этом случае следы электронов на фотопластинке расположатся по некоторой кривой, форму которой мн найдем, исключив из (4.8) и (4.11) св квадрат и разделив на Вт。，

скорость и. Возведя первое из них рое, получаем

скорость и. Возведя первое из них рое, получаем

22

Д2

е

В 0 ■

(ЮЛ)

то

Если е/m постоянно я, следовательно, 告靑 к "const,

z^Kxt

(10.2)

и искомая кривая должна быть отрезком параболы. Переключаяэлектрическое поле то в одну, то в другую сторону, прн “вхзмен-ном направлении магнитного поля мы должны были бы получить

два отрезка параболы, расположенных так, что обще盲 касательной их в точке О служит ось z (рис. а), В омггах Кауфмана, выполненных с таким расположением и с препаратом радия в качестве источника электронов5 обнаружилось, что от-

方

Q

Рис. 18.

резки кривых, полученные в

ре-

от-

зультате опыта, не являются резками параболы. Уже это пока-

змваст, что ejm в (10.1) не остается

от

скорости. На рис. 18, 6

постоянным, т. е. что масса зависит

схематически представлен вид фотографии, полученной Кауфма-

ном. Пятно, вызванное неотклопяемыми в магнитном и электри-ческом 口осах у-лучймг? радм, фиксирует почало координат. Вид-но, однако, что отрезки кривых не доходят до начала координат,

несмотря на то, что в пучке присутствовали электроны со скоростями, мало отличающимися от скорости света* Видно также, что касательные, проведенные к продолжениям обоих отрезков в точке О, не совпадают с осью по образуют с ней угол % отличный от нуля. Поэтому 2/х имеет конечное значение при z二0, а следовательно, :u£z = 0. Такие

фотографии позволяют найти е/m для различных скоростей электронов, какова бы ни была форма следов. В самом деле, измерив координаты какой-либо кривой^вычислять ejm и

помощи формул (4.8) и (4. [I). Ввиду того, что следы, получаемые на фото- пластинке, довольно размыты, большой

точки

У При

с, с*1сек

8〃Е c「cm・L

2,36, 1010

2,59*

0,97, 10?

2f83- [0f0

0,63* [У

т а б .ч и п а [[

однако они качествен-

точности такие измерения дать не могут；

но показывают вне всякого сомнения, что масса возрастает со

скоростью. Например, Кауфман получил следующие результаты (см. табл-

Для количественного установления вида зависимости массы от скорости 了оуность осб/та Кауфмана недостаточна.

В Т。время, когда он производил свои опыты, речь могла идти о выборе между двумя формулами: 1) формулой Абра- гама, в основе вывода которой лежало представление об электроне как о жестком и несжимаемом шарике:

m一恤•彳14^-1口m一恤•彳14^-1口【-В【-В? + В? + В1)，1)，

m一恤•彳14^-1口

m一恤•彳14^-1口

【-В

【-В

? + В

? + В

1)，

1)，

н 2) формулой Лоренца

一飞丁 Т^Т一飞丁 Т^Т

一飞

丁 Т^Т

一飞

丁 Т^Т

отвечающей представлению об электроне, сжимающемся по направлению движения； последняя формула вытекает также “з теории относительности, Ввнлу большой принципиальной важности решения вопроса о том, какая из этих двух формул лучше соответствует действительности, за работой Кауфмана последовал длинный ряд других работ и возникла полемика Причина зто「о заключается в исключительной трудности соответствующих экспериментов и малой разнице в численных данных, даваемых обеими формулами-

Не останавливаясь на истории вопроса, мы рассмотрим только результаты последних работ, в которых учтены все возражения, сделанные по поводу предшествующих исследований. В опытах Трикксра была использована схема, предложенная П, Л, Капицей для анализа электронов по скоростям. Схема эта по существу представляет собой ^фокальный монохроматор》для знектроно», аналогичный монохроматорам тою же названия, применяемом для монохроматизации света, рис 19, а поясняет

Рас. 19- а) «Фокальный монохроматор» для света, б) Схема опыта Капицы— ■ Триккера.

действие этого монохроматора в оптическом случае. Расходящийся пучок лучей от истощшка света S проходит через линзу А, перед которой помещена кольцевая диафрагма АВ. Назначение этой диафрагмы состоит в том, чтобы убирать параксиальные лучи и оставляв, лучи, падающие на края пхнзн, т. е. рао годящиеся под достаючно большим углом. Вследствие хроматн，

ческой аберрации линзы лучи с различными длинами волн фокусируются в различных точках оптической оси S', S", коротковолновые лучи фокусируются ближе к линзе, д^ланиовол- новые — дальше от нее. Перемещая диафрагму можно выпускать из ее отверстия лучи любой длины волны,

В методе Капицы — Триккера роль линзы выполняет ткю- дольное магнитное поле с осевой симметрией, т. е. соленоид, Со- леповд в данном случае является длинной магнитной линзой- Как мы видели в § 8, электроны фокусируются такой линзой на расстоянии равном

(8-3)(8-3)2m cos а

(8-3)

(8-3)

При заданных % п а расстояние / зависит от и и е/m. Схема 《фокального монохроматора》для электронов изображена на рис. 19,6. Расходящийся пучок электронов от источника S, которым служил радиоактивный препарат, испускавший элсь троны со скоростями а。в = 0,8, проходил через кольцевую диафрагму АВ и фокусировался продольным магнитным ттохем соленоида. При этом, как и в случае оптической линзе, электроны с различными скоростями фокусировались в разных местах оптической осн.戶свинцовый б-ток для защиты от попадания рентгеновских лучей, возникающих при торможении электронов в диафрагмах, Диафрагму D можно было заряжать до ±5000 8 и тем самым ускорять или замедлять электроны- При скорости 6 — 0,8, которой соответствует ускоряющий потенциал 340,5-105 8, отношение m/m° по формуле Лоренца ——Эйнштейна равно 1,660. Изменение ускоряющего потенциала на 5000 з вызывает изменение массы всего на 0,06%, что лежит за пределами ошибок опыта. Поэтому поле в 5000 8 заметно ускоряет или тормозит электроны, но практически не изменяет нх массы. Из формулы (8,3) следует, что изменение скорости на Аи смещает фокус на

▲.2其cos а

Зная Ду и ^ и измеряя Д/, можно вычислить величину е/m для данной скорости,

Измерения Трнккера показали, что при скоростях электронов вплоть до 0,8 скорости света изменение массы со скоростью следует формуле Лоренна ——Эйнштейна с точностью 1——2%, тогда как разница между результатами, даваемыми формулами Абра- гама и Лорепца — Эйнштейна, составляет при этих условиях около 5%, ♦

Другой метод определения зависимости массы от скорости был применен Цапом и Списсом (1938 г.). Идея этого метода состоит в следующем.

Пусть в 4 (рис. 20) расположен источник электронов. Если имеется однородное магнитное поле 非，перпендикулярное к плоскости рисунка, то щели Si и выделят из пучка те электроны, скорости которых удовлетворяют условию

把懇 (Ю.З) р •

где р — радиус кривизны траектории, определяемой расположен иием щелей 5Г, 5?, 5з. Электроны, прошедшие через щели S? и S2j

ГГРнс. 20. Схема опыта Цана и Синеса.Рнс. 20. Схема опыта Цана и Синеса.

Г

Г

Рнс. 20. Схема опыта Цана и Синеса.

Рнс. 20. Схема опыта Цана и Синеса.

(9-2)(104)(9-2)(104)попадают затем в конденсатор С. Ввиду наличия магнитного поля, перпендикулярного к электрическому, этот конденсатор служит фильтром (см. § 9), который производит более точную монохромат03aliию скоростей электронов. В G расположен воспринимающий прибор, при помощи которого можно считать отдельные электроны, прошедшие через все щели и конденсатор. Опыт состоит в том, что при данной величине магнитного поля подбирают разность потенциалов на пластинах конденсатора так, чтобы число электронов, регистрируемых счетчиком G, было максимальным. Если 行一напряжешгость поля в конденсаторе, т。согласно формуле (9-2) через него Пройдут только те электро- нх, скорости которых удовлетворяют требованию

(9-2)

(104)

(9-2)

(104)

Комбинируя эту формулу с (10.3), получаем

ОпытЬ1 Цана и Списса, так же как и опыты Капицы — Трик- кера, показали, что расхождение между результатами, вычисленными по формуле Лоренца — Эйнштейна, и результатами зкепе、 ромента не превосходят 1,5% для скоростей электронов 6 = 0,745,

В настоящее время вопрос о зависимости массы быстро ⑪氏 жутихся частиц от скорости приобрел огромное техническое значение, так как самый факт зависимости массы от скорости и фопмула^ которой количественно выражается эта зависимость, лежа^ в'основе современных циклических ускорителей %темен・ тарных частищ представляющих собой грандиозные технические сооружения. В них ускоряемые частицы пробегают по кругу ра， лиУсом до 100 метров и приобретают энергии порядка десятков ми*лиа”ов электроп-вольт. При расчете этих машин основную поль играет зависимость массы от скорости, и самое ничтожное отступление от используемой формулы Лоренца — Эйнштейна ПпИвело бы к полной невозможности работы машииьь Таким образом, в данное время ага 00PMy刀а должна считаться подтвержденной во всем интервале доступных скоростей.

ГЛАВА ]I

АТОМЫ. ИЗОТОПЫ

Введение

Предыдущая г^ава была посвящена электрону как одной из важнейших элементарных частиц^ Мы рассмотрели доказательства реальности электрона; а также непосредственные определения величины его заряда и массы В настоящей главе мы переходим к рассмотрению атомов вещества. Доказательства реальности атомов хорошо известны из элементарных курсов физики и химии, поэтому мь【не будем останавливаться на них и сосредоточим внимание прежде всего на важнейшей характеристике атома — его массз

В химии обычно пользуются не абсолютными, а относительными атомными массами или атомными весами, причем за условную единицу берется 1/12 массы атома изотопа углерода С1а. Определение атомных весов производится с макроскопическими количествами вещества при посредстве химических анализов. Получаемые таким путем числа имеют огромное практическое значение и лежат в основе всех химических расчетов. Если предположить, как это и делалось до сравнительно недавнего времени, что все атомы данного элемента имеют одинаковую массу, то, пользуясь законом Авогадро, согласно которому в одном моле любого вещества содержится одно и то же количество молекул, можно при помощи химического атомного веса вычислить и абсолютную массу атома,

В этой главе мы увидим, однак。，что химические атомные веса не дают возможности вычислять абсолютные массы атомов. Тем не менее исторические знания химических атомных весов было важно не только с практической точки зрения, но и потом у? что с их помощью была открыта важнейшая закономерность, связывающая атомы различных элементов между собою, Эта закономерность проявляется в периодической системе элементов Д. Менделеева, с рассмотрения которой мы и начнем эту главу,

§ 】2・ Периодическая система элементов Д. И, Менделеева

К середине XIX в. было открыто большое количество химических элементов, и, естественно, возник вопрос — связаны ли эти элементы как-нибудь между собой или их свойства совер-

шенно случайны и не зависят друг от друга. Различные частные закономерности были открыты сравнительно рано, но только Д. 0, Менделееву удалось впервые найти общий закон, связывающий все элементы в единую систему, которая является наиболее ярким выражением общности в строении атомов, Для того чтобы правильно оценить гениальную интуицию, благодаря которой Менделеев открыл свою систему, необходимо напомнить некоторые факты,

Первая таблица была опубликована Менделеевым в 1869 г. К этому времени было известно около 63 элементов. Однако при расположении их в систему внясннлось, что только 35 элементов можно разместить уверенно в соответствии с их атомными весам。〉 Положение 8 элементов вызывало недоумение. Например, было непонятно, почему Zn, Cd и Hg попадают в одну группу с Mg, Са, Sr, Ва; еще большее недоумение вызывало помещение Мп в одну группу с галогенами (т. е. в VII группу периодической системы). Наконец, для остальных 20 элементов Менделееву пришлось изменить либо их атомные веса, либо порядок следования. Нередко эти изменения были весьма существенными: так, напрнмер, атомный вес церия считался равным 92; Менделеев приписал ему атомный вес 138 (современное значение 140,12); атомные веса тория и урана, по данным того времени, были соответственно 116 и 120. Менделеев же указал, что эти атомные веса должны быть 232 и 240. Наконец, некото рые места в таблице Менделеев оставил пустыми, указав на т。, что эти места должны быть заняты еще не открытыми элементами. В частности, он предсказал существование трех элементов, которые он назвал зкабором, экаалюминием и экасилицием? и описал их свойства. Вскоре после этого, в 1875「，6ь【л открьц элемент, названный галлием. Менделеев тотчас же указал на то, что галлий и есть предсказанный им экаалюминий и что он должен иметь атомный вес около 68, удельный вес 6,0—5,9 и атомный объем 11,5. На самом деле атомный вес галлия оказался равным 69,7, удельный вес 5,96 и атомный объем 11,7.

Основной факт, из которого исходил Д. И. Менделеев при построении системы элементов, состоит в том, что если расположить элементы в порядке возрастания атомных весов, то эле менты с аналогичными свойствами периодически повторяются. Исходя из этого, ему удалось построить《естественную систему злементов», которая оказалась правильной, несмотря на то, что атомный вес, как выяснилось впоследствии, не может считаться константой, однозначно определяющей индивидуальные свойства атома. Действительно, ниже мы увидим, что существуют вещества, которые в химическом отношении ведут себя практически одинаковым образом, несмотря на то? что их атомные веса различ- нн> Такие вещества называются изотопами, так как вследствие

их химической тождественности их необходимо помещать на одно и то же место в периодической системе (слово «сизотопьр в буквальном переводе с греческою означает《занимающие одно и то же мест。》)，Химические элементы на самом доле являются смесями изотопов, а их атомные веса, определяемые обычными химическими методами, — средними из атомных весов всех об- раз}гзощих их изотопов. Наряду с атомами, обладающими очень близкими свойствами при различных атомных весах, существую г также атомы, обладающие различными свойствами при одинаковых атомных весах (изобарн).

Несмотря на эти факты, созданная Д- И. /Менделеевым периодическая система элементов является правильной и ее следует поэтому рассматривать как фундаментальный закон природы.,

Поскольку химический атомн拉»'вес в дейстзительности не есть существенный признак атома, основной характеристикой элемента является его положение в периодической системе, а это положение определяется номером места, занимаемого данным элементом в таблице Менделеева. Глубокая причина важности этого числа, называемого атомным номером, состоит в том, что оно является на самом деле не просто порядковым номером, но одной из основных физических констант атома, как это бу дет показано ниже.

Возможность расположения элементов в правильную систему при помощи атомных весов основана на следующем замечательном факте: если характеризовать дашгьтй элемент атомным весом, определяемым химическими методами и являющимся средним из атомных весов всех изотопов данного элемента, то между этим средним атомным весом н атомным номером существует простая монотонная зависимость (рис. 21). В немногих случаях, когда это соответствие нарушается (К—Аг, Те—I, Со—Ni), Менделеев с гениальной интуицией расположил элементы правильно, вопреки их атомным весам.

На рис. 22 и 23 приведены некоторые примеры периодического повторения свойств атомов. Рис. 22 представляет кривую атомных объемов: по осн абсцисс отложены атомнь/е номера, по

&/ атомный вес \

оси ординат — атомные объемы ); на рис- 23

представлен на одной диаграмме ход нескольких физических свойств 5 завнснмостл от атомного номера, а именно — верхняя кривая дает ход обратных величин температуры плавления, средняя кривая ——ход коэффициентов линейного расширения и нижняясжимаемости. Видно, что все эти свойства не только периодически изменяются при монотонном возрастании атомного номера (среднего атомного веса), но что максимумы и мини- mj мы у всех кривых приходятся на одни и те же значения атом-

ного номера, т. е. что все эти свойства обнаруживают одинаковую периодичность.

Внешние 巾。рмы, которое могут быть лрвданы естественной системе элементов, весьма разнообразны. Наиболее распространенными являются таблицы двух видов с длинными

2奶

2Z〃2Z〃210210ШШ1SG1SG186186178 16U 伽 做 13s178 16U 伽 做 13s"4"41001009Q % 勿 必5G 勿309Q % 勿 必5G 勿30.加.加//~0f£2qf9H~0f£2qf9H-У0-У0УЕ登УЕ登〃а，・・к〃а，・・к5 IQ IS ZQ 25 30然找抬SQ内M心＞5 IQ IS ZQ 25 30然找抬SQ内M心＞広広Р曲uoakEub工 Be以етбиР曲uoakEub工 Be以етбиQondgaQondgaSSSS

2Z〃

2Z〃

210

210

Ш

Ш

1SG

1SG

186

186

178 16U 伽 做 13s

178 16U 伽 做 13s

"4

"4

100

100

9Q % 勿 必

5G 勿

30

9Q % 勿 必

5G 勿

30

.加

.加

/

/

~0f£2qf9H

~0f£2qf9H

-У0

-У0

УЕ登

УЕ登

〃а，・・к

〃а，・・к

5 IQ IS ZQ 25 30然找抬SQ内M心＞

5 IQ IS ZQ 25 30然找抬SQ内M心＞

広

広

Р曲uoakEub工 Be以етби

Р曲uoakEub工 Be以етби

Qondga

Qondga

SS

SS

Рис 21. Атомный вес как функция атомного помора.

и короткими периодами. Теоретически более обоснована таблица с длинными периодами (таблица III на стр. 48).,

Рассмотрим последовательные ряды этой таблицы. Первый ряд состонт всего из двух элементов: он начинается одновалентным элементом водородом и заканчивается благородным газом гелием- Третий элемент литийснова одиовйленген； он является типичным металлом и обладает резко выраженными

АТОМЫ, изотопуАТОМЫ, изотопуРис. 23. Периодичность физических свойств. Верхняя кривая — обратные теилсратурьг плавления (f/力，沁* средняя кривая — коэффяциент ливейяого расширения а • Ю1; нижняя кривая — коэффициент сжимаемости х-103.В местах, обозначенных пунктиром, достоверных сведений нет.Рис. 23. Периодичность физических свойств. Верхняя кривая — обратные теилсратурьг плавления (f/力，沁* средняя кривая — коэффяциент ливейяого расширения а • Ю1; нижняя кривая — коэффициент сжимаемости х-103.В местах, обозначенных пунктиром, достоверных сведений нет.

АТОМЫ, изотопу

АТОМЫ, изотопу

Рис. 23. Периодичность физических свойств. Верхняя кривая — обратные теилсратурьг плавления (f/力，沁* средняя кривая — коэффяциент ливейяого расширения а • Ю1; нижняя кривая — коэффициент сжимаемости х-103.

В местах, обозначенных пунктиром, достоверных сведений нет.

Рис. 23. Периодичность физических свойств. Верхняя кривая — обратные теилсратурьг плавления (f/力，沁* средняя кривая — коэффяциент ливейяого расширения а • Ю1; нижняя кривая — коэффициент сжимаемости х-103.

В местах, обозначенных пунктиром, достоверных сведений нет.

§ ⑵ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ Л И. МЕНДЕЛЕЕВА 什

щелочными свойствами. По мере продвижения вправо оба эти свойства заметно ослабляются и постепенно проявляются свойства противоположные; наконец, девятый элемент — фтор — оказывается антиподом лития: он является типичным металлоидом и обладает резко выраженными кислотными свойствами. Далее следует благородный газ неон, а за ннм щелочной металл натрий

(№ 11), и вся картина предыдущего периода повторяется, так что через восемь элементов (считая и натрий) мы вновь встречаем щелочной металл калий, которому предшествует благородный газ аргон (№ 18),

□ерехол от типичных металлов к типичным металлоидам происходит через «амфотерный» элемент ——кремний {№ 14), которой обладает двумя модификациями: металлической и неметаллической. Следующий, четвертый, период, начинающийся калием, состоит уже не из 8, а из 18 элементов, так как следующий за калием щелочной металл——рубидий ——стоит уже на 37-м месте. За рубидием следует новый большой период, также состоящий из 18 элементов и заканчивающийся па 54-м месте благородным газом ксеноном. Далее снова идет щелочной металл

l.OOTO

4,ад!е

必‘9

瑞务

1才昆

HW7

15隘1

18濾h

JJ.9鶏

矍桀

2蹤L

■задтзз

3'噩

北，招

з抬

脆

5鐫2

si да

55.847

18^9382

«,54

MZn

63.721

74.4^46

78.M

^.406

笈品

苗龈

;:攏

也鴿

；孤：)

126,9041

^зио

閣嘉

:装晶

58^1

1ВД,94Я

7蹈

193*2

喟5:)\

銀2

嬲

踹3

208,SB

3210°

湿；

8需

獄蒜

吗犷

吗6义

Таблица III

2^98У8

13^)3

тДает

2跋:5

88,905

I *58—71I 58 Се I 59Pr| 60 Nd| 61Pmi 62 sm

I Ря,1 лантаннаов | !40」2 | 140,97| 144,24| 150,35| 150,35

92 U 93Np|94Pu 238,03| 237 I (242)

I ** 90—98 I SOTfi

I Ряд актиыидоп |23*038

14/)067

30.97^

50,942

92,905

阈晶8

208,98

1589?94

18曝4

126,9044

68 Er 69Tm 70 Yb 71 Lu 167>26丨168,9%| 173,04 1 174,97

63 Ец|б4 Grfl 65 Tb I 66 Dy I 151,901 157,25| 15 8 9241 162,501

26 Fe 27 Co 28 Ni 55,8471 Б8,9332| 58,71

44 Ru 45 Rh 46 P* 101,07| 102,9 I 106,4

76 0sl 77 1Г 78Pf190,21 192,2 I 195,09

95 Am| 96 cml 97 Bk | 98 Cf I 99 Es 110.1 FmllOl Mdj 102 No| 103 Lw (243) |_(247) I (249) | (251)丨(254) | (257) | (258) | (255)丨(236)

цезий (№ 55), который открывает самый длинный период, содержащий 32 элемента- Среди атнх 32 элементов особую группу образуют следующие за лантаном 14 элементов от 58-го до 7Ьго — редкие земли или «лаптациды^}обладающие столь близкими химическими свойствен, что разделение представляет для химика очень трудную задачу. Именно вследствие этой близости химических свойств лантанидов в таблице им уделена одна клетка, а весь ряд приводится отдельно- Последним период, открывающийся 87-м элементом, состоит из неустойчивых естественно радиоактивных элементов. Самый тяжелый нз встречающихся в природе элементов — уран (№ 92) до недавнего времени был и последним элементом периодической системы В последние годы, однако, удалось искусственно получить ряд более тяжелых —страпсурановых» — элементов вплоть до элемента с номером 104. Исследование их химических свойств и пересмотр химических свойств предшествующих элементов привели к за， хлючеяию, что следующий за актинием (№ 89) элемент торий (№ 90) открывает группу близких по химическим свойствам элементов—«актннндов》，подобную группе редкоземельных металлов «лантанидов^-

Значительно более распространенной является другая форма естественной системы элементов ——таблица с короткими периодами (таблица IV на стр. 49), Ее главным преимуществом является компактность, недостаток — в том, что распределение всех элементов в восемь групп осуществляется довольно искусственным путем введения подгрупп и «трнад» (в VIII【руппе).

§ 13. Определение истинных масс атомов. Метод парабол

Из предыдущего параграфа следует, что определение истин- ннх, а не средних атомных масс является очень важной задэчей- Нанбонее точные современные определения атомных масс, основанные исключительно на различии масс индивидуальных атомов и не зависящие от каких бы то ни было других их свойств] осуществляются при помощи отклонения ионов различных газов в электрических и магнитных полях. Впервые такой метод был предложен Дж, Дж. Томсоном.

Если в катоде разрядной трубки, работающей при пониженном давлении (сотые доли мм рт. ст.)г сделать отверстие, то ионы, направляющиеся к катоду, проходят через это отверстие и образуют за катодом лоток лучей, называемых каналовыми. Эти каналовые лучи состоят в основном из положительных ионов тех газов, остатки которых находятся в разрядной трубке; в их состав входят в меньшем числе также нейтральные частицы и отрицательные монн, возникающие при рекомбинациях положительных ионов и электронов в пространстве за катодом.

Метод Томсона позволяет определять относительные массы отдельных частиц, входящих в состав пучка каналовых лучей, ,следующим образом. Каяаловые лучи получаются путем прохождения ионов, которые возникают и ускоряются в разрядной

Рис_ 24, Схема метода парабол.Рис_ 24, Схема метода парабол.

Рис_ 24, Схема метода парабол.

Рис_ 24, Схема метода парабол.

трубке, через канал К (ри& 24) длиною в 2 см н диаметром в ОД м.к. Благодаря значительной длине канала пучок получается

почти параллельным; он содержит частицы различных энергий вплоть до максимальной, определяемой напряжением на трубке. Пучок кана* ловых частиц подвергается затем действию поперечных полей ——з/ек・ трического и магнитного, направленных параллельно или аитипарал- лельно. этом заряжепиые частицы отклоняются электрическим и магнитным полями во взаимно перпендикулярных направлениях, н, как мы видели в § 】6, если пучок состоит из частиц одинаковой'массы, но различных скоростей, то электрическое и магнитное поля развертываюг его гак, что, падая и

флуоресцирующий экран, поставленный перпендикулярно к пер。 воначальпому направлению пучка или на фотопластинку^ он оставляет след в виде отрезка параболы, более подробно изо。 браженпой на рис, 25.

(ЮЛ)(ЮЛ)Пусть электрическое отклонение направлено по оси 尤,а магнитное—по оси z. Тогда, как было показано в § 10, между z и х должно иметь место соотношение

(ЮЛ)

(ЮЛ)

где Лгде Л% bm

где Л

где Л

22и В — постоянные прибора (см. § 4), Из (10.1) получаем

2

2

(13.1)

Заряд тронаЗаряд тронаиона может быть только целътм кратным заряда злек・ (т. е. может быть равен +% +2% ・・・)Если все ионы за・

Заряд трона

Заряд трона

ряжены однократно, то, как показывает формула (13.1), при постоянном значении абсциссы 尤 массы нонов обратно пропорциональны квадратам ординат (см. рис, 25).

Начало координат фиксируется на фотопластинке незаряженными частицами, которые не отклоняются в электрическом и магнитном полях, но никаких осей координат на пластинке, KOHeqjio, не имеется. Для того чтобы сделать возможным промер ординат, необходимый для определения масс, направление маг- -нитпОго поля в течение опыта меняется (в отличие от опыта по определению зависимости массы электрона от скорости, оть санного в § 10, где переключается электрическое поле)э и таким путем, кроме отрезков парабол MN, PQ} получаются еще симметричные отрезки

Если в пучке наряду с однократно заряжелпыми ионами встречаются и двукратно заряженные (например, О+ и О++), то последние дают параболу, соответствующую половинной массе (например/ парабола О++ соответствует массе 8). Однако существуют внешние признаки, при помощи которых можно отличать парабола многократно заряженных частиц от парабол частиц, заряженных однократно.

На рис, 26 приведены две фотографии парабол, полученные зтим методом, но на современной усовершенствованной установке, На левой фотографии отчетливо видны две параболы, образованное однократно заряженными ионами одного и того же вещества — неона, —с очевидностью указывающие на существование у него изотопов с массами 20 и 22. Эти фотографии показывают, что при соответствующей конструкции деталей и правильном расчете прибора можно получать параболы в виде очень тонкнх Следов, разделенных достаточно большими промежутками при небольшом различии масс. Максимальная разрешающая способность, которая была получена таким образом, равна т- е. две лнн叫 соответствующие массам, различающимся на i/боо своей величины, еще видны раздельно (ири 20-кратном увеличении). Однако существенный недостаток при-.

бора заключается в е「о крайне мапоб «светосиле»: для получения резких линий приходится делать очень узкие щели, а электрическое и магнитное поля растягивают, кроме того, поток частиц. вследствие qcro интенсивность следа оказывается очень малой. Условия Эти несколько напоминают то, что имеет место

Рис. 26, Параболы ионов различных газон, в фотографической камере с малым отверстием без объектива: уменьшая диаметр отверстия, можно получить сколь угодно резкое изображение, н。экспозиция при 9ToM увеличивается до практически неприемлемой длительностиРис. 26, Параболы ионов различных газон, в фотографической камере с малым отверстием без объектива: уменьшая диаметр отверстия, можно получить сколь угодно резкое изображение, н。экспозиция при 9ToM увеличивается до практически неприемлемой длительности

Рис. 26, Параболы ионов различных газон, в фотографической камере с малым отверстием без объектива: уменьшая диаметр отверстия, можно получить сколь угодно резкое изображение, н。экспозиция при 9ToM увеличивается до практически неприемлемой длительности

Рис. 26, Параболы ионов различных газон, в фотографической камере с малым отверстием без объектива: уменьшая диаметр отверстия, можно получить сколь угодно резкое изображение, н。экспозиция при 9ToM увеличивается до практически неприемлемой длительности

§ 14, Масс-спектрографы

Большим преимуществом перед методом парабол обладают те методы, в которых при помощи различных комбинаций электрических и магнитных полей достигается фокусировка заряженных частиц. Устроенные таким образом приборы называются масс-спектрографами; первый из них был осуществлен Астоном.

Этот спектрограф имеет следующее устройство. Положительно заряженные ионы получаются при разряде в трубке с пониженным давлением. Через отверстие в катоде эти ионц попадают в закатодную часть в виде пучка капаловых частиц и подвергаются анализу. С этой цельк? пучок прежде всего делается параллельным при помощи двух коллиматорных щелей В【и В2

шириной 0,02 мм (рис 27). Конденсатор Р^Р? развертывает этот пучок, давая частицам отклонение, пропорциональное e/mv2. qacTb зтого развернутого пучка, выделенная экраном С со щелью попадает затем в магнитное поле, создаваемое электромагнитом с полюсными наконечниками М. В отличие от ме・ теща Томсона, где магнитное поле направлено параллельно или антипараллельно электрическому, в приборе Астона магнитное поле направлено перпендикулярно к электрическому. Ввиду

Рис, 27. Схема масс-спектрографа Асгопа.

этого отклонение частиц под дейстоием магнитного поля здесь происходит в той же плоскости, что и электрическое отклонение, а сторона, в которую направлено магнитное поле, выбирается так, чтобы частицы в нем отклонялись в направлении, противоположном их электрическому отклонению. При таких условиях магнитное поле, в конце концов5 собирает частицы, обладающие одинаковой массой (точнее, одинаковой величиной отношения e/团)，но различными скоростями, в общем фокусе на фотопластинке S. В самом деле, отклонение, испытываемое ионами в конденсаторе, пропорционально e/tnv24 а радиус кривизны траектории в магнитном поле по формуле (4.9) пропорционален 血и/е Поэтому те частицы, которые испытали большее отклонение в электрическом поле, будут описывать в магнитном поле траекторию с меньшим радиусом кривизны (рис. 27). В результате магнитное поле сведет расходящийся пучок ионов в общем фокусе. Показанная на чертеже специальная форма полюсных наконечников улучшает фокусировку.

Следующая оптическая аналогия позволяет лучше понять действие прибора: параллельный пучок лучей белого света (рнс. 28), пройдя через призму Pj, развертываемся в спектр- Вторая призма 戶2, расположенная вершиной в сторону, противо- положную первой, и имеющая большую дисперсию, вновь соби- рает все различно окрашенные лучи в белый 《фокус》. Здесь первая призма отвечает электрическому полю, вторая, — магнит-

ному; лучи различной длины волны ——частицам различных скоростей.

Точная теория прибора Астона довольно сложна. Мы приведем здесь только некоторые простые соображения, разъясняющие условия фокусировки частиц. Пусть от будет угловая ширина пучка, развернутого электрическим полем и пропущенного щелью Если / есть расстояние От середины конденсатора до Нентра магнитного поля, а г——расстояние от центра магнитного поля до фокуса, то в отсутствие магнитного поля пучок, развернутый электрическим полем на расстоянии / + г, приобрел бы

Рис 28, Оптическая эквивалентная схема масс-спектрографа.

ширину (/ -|- r)d^. Для того чтобы осуществилась фокусировка, эта ширина должна быть компенсирована магнитным отклоне- ннем, направленным в противоположную сторону. Если d(p есть угловая ширина, которую приобретает пучок вследствие магнитного отклонения, то будет его линейной шириной на расстоянии 八 Для фокусировки требуется, чтобы отклонение в электрическом поле компенсировалось отклонением в магнитном поле. Это дает условие

Рассмотрим сначала пучок, однородный по массам, т. е. положим, что для всех частиц пучка e/团=const. Отклонение г параллельного пучка частиц в однородном электрическом поле по формулам (4.11) и (4.12) будет

2做2‘

где о длина конденсатора. Отсюда для малых углов отклонения 0 имеем,

и, следовательно, == const.

Дифференцируя, полунаем 卩2do + 2gdu0 ила

匆匆(14,2)(14,2)

匆

匆

(14,2)

(14,2)

Радиус кривизны траектории в од1[ородном магнитном поле по (4.9) равен

Отсюда угол отклонения 屮 в магнитном поле

=3,=3,

=3,

=3,

где £—длина пути в магнитном поле. Так же, как и раньше, получаем q,u = * 厶非=const, q)du + и dy = О,

dodo(14.3)(14.3)dtp

do

do

(14.3)

(14.3)

0

Подставляя d6 и d中 из (14.2) н (丿4.3) в (14.1), находим 号[3—2个"一2步]=0.

Так как do/u #0, т。это условие будет выполнено, если выражение в скобках равно нулю, т.

(①一2个)r= 2/0.(14.4)

Геометрический смысл зто「о соотношения можно пояснить при помощи рис. 29. Пусть Z — середина электрического поля

конденсатора, О ——середина магнитного поля, F——фокус, в котором собираются частицы выбранной нами массы. ZN есть направление полета каналовых частиц до того, как они испытали оеоне&на. Если в треугольнике OZF угол 〃рн Z равен 2仇 как показано на чертеже, то на основании тригонометрической 《тек

ремы снн'сов» получаем, принимая во внимание, что ZO = / и OF = г (см. рис. 27),

sin 2£ — sin (ф — э^)'

Для малых углов соотношение (14.5) сразу дает (14.4).

До сих пор мн имели в виду частицы с определенным значением е/tn. Оказывается, однако, что если расположить фотопластинку FP так, что6bl прямая ZF лежала в ее плоскости, то на пластинке одновременно расположатся фокусы для различных е/т. В самом деле, выберем за полярную ось прямую ОХ, параллельную ZF. Тогда радиус-вектор, Проведенный к F, будет равен а полярный угол как видно из чертежа, равен ср — 20. Расстояние а между ZP и ОХ будет равно rsin(q)—20), или по (14.5)

a = r sin (ф —/ sin 2/仇

Но так как угол 0 фиксирован расположением щели Вз (рис. 27), то а есть постоянная ве人ичина. Пользуясь обозначениями q)—— 2O=2»яз (14.4) получаем

Ввиду того, что а — постоянная величина, (14.6) есть уравнение гиперболической спирали*). Эга спираль делает 廃ско・ нечное число оборотов, приближаясь к началу коораннат, но не попадая в него; она имеет асимптоту, параллельную полярной оси и отстоящую от нее на расстоянии а. Поэтому, если распо- ьЧожить фотопластинку так, чтобы эта асимптота находилась в сс плоскости, то все фокусы, которым соответствуют углы 取 меньшие некоторой определенной величины, будут лежать в плоскости фотопластиыки, чем и обеспечивается резкость линий в масс-спектре.

На рис.花 Приведено несколько масс-спектров, снятых прибором описанного типа. Видно, насколько резки линии этих спектров. Расстояния между ними (дисперсия Прибора) настолько велики, что измерения масс и разделение близких масс можно производить с высокой степенью точности, В самом neg при длине спектра в 16 см на нем укладываются линии атомов, которым соответствуют массы, различающиеся немного более чем в два раза; изменение массы на один процент соответствует расстоянию линий от 1,5 по 3 мм (в разных частях пласгинки).

Для определезтия масс ио этим спектрам поступают следую- щим образом, Во-первых, нужно выбрать какую-нибудь определенную массу в качестве《Стандарта》，так как при помощи масс- спектров могут быть определены только относительные величины масс. В так называемой физической шкале масс за основу берется масса изотопа углерода С12 = 12. Во вторых, пая определения неизвестных масс следует построить градуировочную

66一LX一LXРнс, 30. Несколько типичных масс-спектров,Рнс, 30. Несколько типичных масс-спектров,"心:"心:公:二7.;.食公:二7.;.食声七本j声七本j

6

6

一LX

一LX

Рнс, 30. Несколько типичных масс-спектров,

Рнс, 30. Несколько типичных масс-спектров,

"心:

"心:

公:二7.;.食

公:二7.;.食

声七本j

声七本j

Кривую, откладывая на оси абсцисс расстояние линий от одной определенной точки па фотопластинке, а на оси ординат соответствующие массы. Эта шкапа масс может быть установлена при помощи линий, связанных с массами, отношение которых точно известно. Например, линиям атома и молекулы кислорода. О и О2, следует приписать масс 16 и 32; одно и двухзарядмым ионам 0+ и О++ надо приписать массы 16 и 8 и т,

На рн& 31 приведен пример градуировочной Кривой спектрографа Астона. Как видно, она мал。отличается 0T прямой, что облегчает достижение высокой точности. Для получения максимальной точности применяются более сложные методы, на описании которых мы останавливаться не будем

Бэйнбрвдж использовал в своем гтрпборе совершенно иную комбинацию электрического и магнитного полей. Построенный им масс-спектрограф характеризуется чрезвычайной простотой конструкции, но дает результаты не менее, а в некоторых случаях даже более точные, нежели спектрограф Астона. Схема прибора Бэйнбриджа такова: пучок каналовых лучей делается параЛьПельным При помощи двух коллиматорных щелей Si и S2 (рис. 32), Этот параллельный пучок, содержащий ионы различных масс и различных скоростей, поступает затем в конденсатор

(4.9)(4.9)Р]РЭ, который находится в поперечном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости чертежа. Такая система, как было показано в § 9, представляет собой фильтр скоростей. Присутствие зтого фильтра в огромной степени упрощает дело. Действительно, фильтр пропускает через щель S3 ионы различных масс, но одной и той же скорости о。， Пройдя через щель S3, эти ионы описывают круговые траектории в поперечном однородном ма「・ нитном ноле, Радиусы кривизны этих траекторий по формуле (4.9) пропорциональны количествам движения ионов:

(4.9)

(4.9)

а так как скорость 0。у всех ионов одинакова, то радиусы кривизны ионов различных масс будут пропорциональны, массам;

р = const'

Поэтому расстояние линий or некоторой линии, выбранной ца фотопластинке за начало отсчста, будет также строго пропорционально массе. Линейность шкалы этого прибора, а также особенно симметричная форма линий, позволяющая производить сравнение линий, даже сильно Отличающихся друг от друга по ннтенсшзндсти, дают атому прибору больише преимущества перед спектрографом Астона.

Рнс. 33. Примеры масс-спектров, снятых спектрографом БэЙ1[брй]жа- С』сва даны иютопы цицка, германия и теллура; справа — спектры, под- -гверждающие существование изотопа водорода с -jaccon 2. Нижний спектр подтверждает отсутствие изотопов у бериллия.

На рис. 33 приведено несколько масс-спектров, снятых прибором Бэйнбриджа. Высокая разрешающая способность мого спектрографа видна из того, что линии молекулы водорода и двухзарядного нона гелия Не++ далеко отстоят пруг от ДрУ^.

Простой по идее спектрограф Бэйнбриджа на самом леле представляет собой громоздкое сооружение. Его главная особенностьогромный электромагнит^ дающий однородное магнитное поле в 15 000 эрстед на площади полукруга диаметром 40 см при расстоянии между полюсами в 1,8 см 、

§ 15. Масс-спектрометры я масс-спектрографыс двойной фокусировкой

Описанные в предыдущем параграфе масс-спектрографы по- звОьЧяют производить определения атомных масс индивидуальных типов атомов с огромной степенью точности (с пятью деся・ личными знакам。). Пользуясь методами фотографической фото、 метрии, можно, конечно, по величине почернения фотопластинки в определенных линиях спектра производить также сравнение процентного содержания масс, соответствующих зтн* лтшим. Однако, во-первых, методы фотографической фотометрии крайне кропотливы и не дают точных результатов, а во-вторых, определение процентного содержания изотопов можно производить гораздо быстрее и точнее с помощью приборов, называемых масс-спектрометрами. В этих приборах регистрация ионов опре- деленной массы производится всегда не фотографическим, но электрическим путем — по величине заряда, переносимого иона- мн определенной массы, или по силе ионного тока. Благодаря атому определение процентного содержания ле требует допол^ пнтсльннх измерений: показания электроизмерительного прибора просто пропорциональны числу ионое данного типа.

А\асс-спектрометры позволяют определять также и атомные массы, но с меньшей точностью, нежели масс-спектрографы. Они приобрели за последнее время большое практическое значение в связи с развивающимися Применениями их для химического газового анализа (например, для анализа углеводородов). а также и потому, что установки для электромагнитного разделения изотопов, о которых речь будет ниже (§ 19), представляют собой масс-спектрометры больпюй мощности.

Одной из существенных особенностей масс-спектромстрон является фокусировка расходящихся ионных пучков. При рао смотрении масс-спектрографа Астона мь【видели, что под фокусировкой в этом приборе разумеют собирание в фокусе частиц одинаковой массы, но различных скоростей. С этой целью, однако, пучок ионов прежде всего делают параллельным, лропу。 ская его через две узкие щелн, расположенные на большом расстоянии друг от др\「а (Bi и В? па рис. 27). Но это ведет к Потере большого количества ионов; говоря языком оптики прибор выигрывает в резкости изображения, но Проигрывает в светосиле. Для конструкций масс-спектрометров характерно ис- пользование самых разнообразных методов фокусировки расходящихся ионных пучков, т. е методов фокусировки направлений, а не одних только скоростей, как в масс-Спектрографе Астона,

Решение этой задачи в настоящее время значительно облегчается благодаря развитию так называемой ЭьЧектронной гео, метрической оптики, т. е. использованию замечатсьпьной аналогии

между механикой и заряженных частиц

геометрической оптикой для расчета путей в электрических н ма「ннтнь1х полях. Me- последнее время большого развития бла-геометрической оптикой для расчета путей в электрических н ма「ннтнь1х полях. Me- последнее время большого развития бла-тод этот достиг за

геометрической оптикой для расчета путей в электрических н ма「ннтнь1х полях. Me- последнее время большого развития бла-

геометрической оптикой для расчета путей в электрических н ма「ннтнь1х полях. Me- последнее время большого развития бла-

годаря разнообразным практическим потребностям, в том числе потребностям телевидения, построения электронных микроско

Рис. 34. Схсиа масс-спектрометра с фокусировкой на п радиан.Рис. 34. Схсиа масс-спектрометра с фокусировкой на п радиан.пов и т. и.

Рис. 34. Схсиа масс-спектрометра с фокусировкой на п радиан.

Рис. 34. Схсиа масс-спектрометра с фокусировкой на п радиан.

Наиболее старый и широко применяемый в конструкциях масс-сле驳？рсметров метод фокусировки направлений есть фокусировка поперечным магнитным полем на расстоянии 180° (или л радиан). В § 9 мы видели, что слабо расходящийся пучок ионов с определенным значением e/团 фокусируется, описав полуокружность в однородном поперечном иагнитггом поле, действующем на всем протяжении пути ионов. На этом осиована следующая конструкция масс-спектрометра, впервые построенного Демстером (рис. 34) почтн одновременно с масс- спектрографом Астона (в 1918 Ионы, создаваемые источником 4 (на самом Деле ионы получаются пу-

тем нагревания соли исследуемого металла *)), приобретают все одинаковую энергию под действием разности потенциалов V, приложенной между Л и С. Через щель Si расходящийся пучок ионов попадает в область, где действует поперечное однородное магнитное поле 非. Ионы, обладающие различными е]т、фокусируются, как показано на чертеже, в различных местах. Если, как это имеет место в данном случае, энергия ионов одна и та же, то между радиусом кривизны, определяющим положение фокуса, и массой (точнее, 团/e) легко установить простое соотношение, В самом деле, мы имеем _

mumu噂' (5.4)

mu

mu

») Если на анон нанести соль металла и подогреть ее, то при разряде в разреженном газе ог анода идет поток положительных ионов металла в виде так называемых анодных лучей, причем, и это особенно важно, энергия образующихся ионов。吨нь мала; во всяком случае. Опа значительно меньше той, которую воин приобретают при последующем ускорении, благодаря чему все ионы получаются с одинаковой энергией, так как небольшие р^・ личия в первоначальной энергии оказываются несущественными.

2旦2旦Р2Р2откуда сразу получается

2旦

2旦

Р2

Р2

или

Подбирая величину ускоряющего "отенинапа так, чтобы при данном 团/e радиус кривизны р приобретал определенное значение, например 5 см, как на рис. 34, можно выпустить через выходную щель Sa ионы любой массы. Потенциал, до которого заряжается при этом коллектор Р (или сила тока ионов на этот коллектор), служит мерой количества ионов данной массы.

Усовершенствования, сделанные за последние годы в этом методе, связаны со стремлением получать возможно большие

сильное электрическое фокусируются магнит^сильное электрическое фокусируются магнит^количества ионов. Например, в масс- спектрометре Епзкнн, который послужил прототипом для ряда позднейших конструкций, это достигается следующим образом. Ионы создаются в про・ стралстве между электродом и щелью Рг (рис. 35) потоком электронов, перпендикулярным к плоскости рисунка и пересекающим ее в S. Соленоид / создает поперечное однородное магнитное поле, также перпенди^ кулярноо к плоскости чертежа (т. е. параллельное пучку электронов), не позволяющее пучку электронов расширяться. Образовавшиеся ионы вытягиваются слабым электрическим полем между Р【и Р? в пространство между щелями 尸2 и Рз, где действует более поле. Пройдя через щель А, ионы

сильное электрическое фокусируются магнит^

сильное электрическое фокусируются магнит^

ннм полем на расстоянии л радиан, как это было разъяснено выше. Подбирая соответствующую величину магнитного поля, можно заставить ионы пройти через щель Р4 в цилиндр Фарадея заряд которого служит мерой силы тока ионов данной массы. Все щели имеют большую длину для увеличения числа проходящих через них ионов, '

На рис. 36 приведен в качестве примера анализ изотопного состава кадмия, выполненный усовершенствованным спектрометром 。门HcaNNOFO тн〃а. Цифры на оси абсцисс представляют собой округленные атомные массы изотопов; резкие максимумы соответствуют изотопам кадмия с массами 10б, 108, НО, 111)

Поперечное однородное магнитное поле, действующее на про- тяжени!! всей полукруговой траектории ионов, с точки зрения электронной оптики является цилиндрической линзой, дающей

«изображение» щели 5). В электронной оптике доказывается, однако, что цилиндрической линзой является также и однородное померенное магнитное (；оле, дейсгвующее к ограниченной области, оформленной в виде сектора с углом 仇 при условии, если центральный луч расходящегося пучка ионов входит в поле н выходит из него нормально к границам поля (рис. 37). При этом фокусировка имеет место, каков бы ни был угол сектора, по углы В，у н 杼 должны быть связаны соотношением р + у + ■О' = я. Это соотношение выполняется, когда источник

§ 15] МАСС-СПЕКТРОМЕТРЫ 65 ионов, вершина сектора и фокус лежат на одной прямой. В частности, когда и = л, мы получаем уже рассмотренный случай фокусировки круговых траекторий.

Радиальное электрическое поле цилиндрического конденсатора также может быть использовано для фокусировки расходящихся пучков ионов; в этом случае, как мы видели в § 9,

рис. 37. Фокусировка направлений ограниченным магнитным полем, фокус отстоит от источника на 127°17', или л/ ]/2 радианов. Особенно эффективной является комбинация радиального “чек-

Двойная фокусировка радиальным электрическим и сек- юриым магнитным полями была использована Бэйнбриджсм н Джорданом для построения масс-спектрографа большой светосилы и особенно высокой разрешающей способности. В этом приборе (рис. 39) расходящийся пучок ионов сначала

3 Э. В. Шпольский, т.]

фокусируется радиальным электрическим полем, а затем сектор， ное магнитное поле с углом в 60° дает на фотопластинке плоский спектр масс. «Светосилам зтого прибора такова, что для яркнх линий время экспозиции может быть доведено до 1—5 сек, а для самых слабых увеличивается до 180 сек. Разрешающая способность, т. е・ отношение минимальной разницы масс при которой линия видны раздельно, к самой массе М в зависимости от ширины щели колеблется от До J/f5ooc-

§ 】6・ Массы н процентное содержание изотопов

При изучвЕтии химических свойств радиоактивных элементов у*е в 1906—1910 гг. было обнаружено, уг。существуют элементы, которые не удается разделить химическим путем, хотя атомные веса нх различии. Таковы, например, пары элементов —ионий н торий^ мезоторий и радий. Дж, Дж、Томсон, пользуясь открытым им методом парабол, в 1913 г. показал, что нерадиоактивный газ неон представляет собой также смесь двух химически неразличимых, т. е. изотопных, сортов атомов с мас・ самх 20 л 22 (см. рнс 26,〃)、тогда мх лринятил в ххмнн атомный вес неона есть 20,2. Отсюда следовало заключить, что этот «хммлиески*》 атомный вес 20,2 на самом деле является средним из атомных весов обоих изогоиоз 20 и 22、Астон, применяя построенный им масс-спектрограф, обнаружил впоследствии, что элементы, имеющие два или несколько нзотопоз, вовсе не являются исключением; как раз наоборот — исключениями яв- 〃月月 те немАеве з刀аментн (натрий, фтор и т，工)，у которых не обнаружено изотопов. Но даже и в этих случаях открытие искусственной радиоактивности показало, что на самом деле отсутствуют стабильные (т, е. перадиоактивные), ко всегда имеются изотопы радиоактивные (радиоактивные №吟 Na24 наряду со стабильным изотопом Na?3 л д,).

Точное определение атомных масс изотопов производится 刀ру яояощл 1иэсс-слектрографов< Пользуясь методами фотографической фотометрии, можно определять также и процентное содержание изотопов по интенсивности почернения фотопластинки. Однако точнее и проще производить определения процентного содержания масс-спектрометрами, рассмотренными в предыдущем параграфе. Для всех ннх характерно то, что процентное содержание определяется с их помощью быстро и с высокой точностью.

Уже первые определения истинных атомных масс, произведенные Астоном с точностью до 0,001, показали, что массы атомов всегда вь/ражзются почти целыми числами по отцоше- uhiq к массе кислорода, принятой за 16,000、 Исключением является водород, атомная масса которого в указанных пределах

точности резко отличается от единлцьг к равна 1,008. Химические атомные веса являются средними из масс всех изотопов данного элемента, и этим объясняются значительные отступпе， ния химических атомных весов некоторых (впрочем, немногих) элементов от целых чисел. Так, например, магний имеет следующий изотопный состав:

Изотопы

24

25

26

Процентное содержание

7&60

юл

11>29

Отсюда получается средняя масса 24,33, в то время как химический атомньш вес магния равен 24,31. Аналогкимаа таблица для кадмия была приведена раньше.

Определение атомных масс с четырьмя или пятью десятна- UMMfi знаками произволится с помощью усовершенствованных масс-спектрографов. При такой точности получающиеся цифры обнаруживают небольшие отступления от целых чисел.

§ 17. Разделение изотопов с помощью методов,основанных на диффузии

Химические элементы, существующие в природе, предав- ляют собой смеси устойчивых изотопов. При зтом> за очень немногими исключениями, состав этих смесей строго постоянен. Конечно, существенный интерес представляет получение отдельных изотопов в чистом виде. Этй задача имеет в настоящее время очень важное научное и техническое значение. Ее значение особенно возросло в самые последние годы в связи с развитием ядер нон энергетики.

Задача поьчучения чистых изотопов или даже существенного обогащения смесн изотопов одним из них очень трудна. В самом деле, для разделении пзогопов приходится пользоваться теми свойствами пх> которые зависят от массыНо процентная разница в массах имеет заметные значения только для изотопов самнх легких элементов. Например, для водорода разница в массах тяжелого (Н2 или D) и легкого (HJ) изотопа составляет 1Q0%, но уже для изотопов углерода CZ£ и С13 эта разница равна 8,35%, а для изотопов урана — всего' Ь2%.

Прежде чем переходить к рассмотрению различные методов разделения изотонов, условимся о терминах, которьши мы будем пользоваться в дальнейшем. Пусть разделению подвергается смесь двух изотопов различной массы и пусть и будет часть всего числа атомов, которая приходится на долю одного из

изотопов до разделения, а ? = 1 —。——доля другого изотопа также до разделения; соответственно, пусть будет S и Л = 1 —£ те же доли после разделения- Величину д, определяемую равен

ствомством2/Л2/Л(17・1)(17・1)

ством

ством

2/Л

2/Л

(17・1)

(17・1)

мн будем называть коэффициентом разделения. Например, неон, встречающийся в природе, состоит из 90% атомов с массой 20 и 10%с массой 22. Если мы хотим обогатить эту смесь тяжелой компонентой так, чтобы ее доля в смеси стала равной 50%, то коэффициент разделения должен быть равен

0>5/0.50>5/0.5=9・=9・

0>5/0.5

0>5/0.5

=9・

=9・

Из процессов, зависящих от массы, а потому пригодных для разделения изотопов, рассмотрим прежде всего диффузию. Пусть мы имеем газ, представляющие собой смесь частиц двух сортов, различающихся своей массой. Так как газ находите兄 в температурном равновесии, то средние кинетические энергии частиц обоих сортов одинаковы： 〃2у； = ти；, а потому средние скорости обратно пропорциональны корням квадратным из масс

Ввиду этого более легкие частииы при диффузии будут забегать вперед, а более тяжелые — отставать、

возможность разделения смеси двух газов путем диффузии через пОр истую перегородку теоретически рдсслгатривалась Рз・ леем уже в 1896 г. Пусть в начальный момент по одну сторону перегородки находится газ, состоящий из молекул двух сортов, различающихся массой, а по другую сторонувакуум. В результате диффузии газ будет обогащаться легкой компонентой по одну сторону перегородки и тяжелой по другую. Условия, при которых достигается наибольшее разделение, по Рэлею, состоят в том, чтобы, во-первых, величина пор была значительно меньше средней длины свободного пробега молекул,乩 во-вто- рых, чтобы медленнее диффундирующая компонента не скоплялась на поверхности пористой перегородки.

Кроме того, следует иметь в виду, что состав пр одиф фу и даровавшей смеси зависит не только от соотношения скоростей тяжелых и легких молекул, но и От относительной концентрации этих молекул в первоначальной смеси. Это обстоятельство очень существенно, так как в процессе диффузии исходная смесь будет постепенно обедняться легкими молекулами, и потому со-

став газа, проходящего через пористую перегородку, будет все меньше отличаться от исходного.

Пусть теперь диффундирующий газ представляет собой смесь двух изотопов, различающихся по массе незначительно （как это и бывает на самом деле）; тогда, по Рзлею, коэффициент обогащения тяжелой компонентой кепродиффундировавшего газа выражается формулой

=白 объем

” У конечный объем ，丿

,

тде V = ——— g и — массы атомов обоих изотопов）. Применим эту формулу к случаю неона. Массы его изотопов m2 = 20 и т\ = 22; следовательно, v = 21. В ранних опытах по разделению изотопов неона, выполненных Астоном, отношение объемов было, наверное, больше 50 0 и меньше 10 000- По формуле （17」'） для коэффициента разделения получается число ме*2у н，5, г е. в 6—7 раз меньше того, какое необходимо, чтобы смесь обогатилась тяжелой компонентой до 50 %- В случае изотопов хлора с массами 36 и 38 диффузии подвергается НС1; для этого случая показатель v в формуле （17」，） равен уже 37, и при изменении объема в 10* раз коэффипиент обогащения получается равным

Рассмотренные примеры показывают, что путем однократной диффузии можно осуществить лишь небольшое изменение состава смеси изотопов. Совершенно иной результат получается при использовании многоступенчатого или каскадного метода, впервые разработанного Г. Герцем. Аппаратура, примененная им, состоит из ряда последовательно соединенных звеньев, из которых каждое разлагает вло-'

дящий в пего поток газа ца|

△вс части, немного различаю-К

щиесч по составу. Для тогоII

чтобы понять устройство и pa-I^TTZZ^d 士 十一

боту этого каскада, необходи-у^>

Рис-Рис-40. Простейшая схема разде* лительной ячейки.40. Простейшая схема разде* лительной ячейки.мо сначала рассмотреть его отдельное разделительное звено. Простейшее устройство такого звена изображено на

Рис-

Рис-

40. Простейшая схема разде* лительной ячейки.

40. Простейшая схема разде* лительной ячейки.

рис. 40. 0no состоит из внутренней трубки, сделанной из пористого материала и помещенной внутрь более широкой стеклянной трубки. Если справа в А лодтекает газ, состоящий из двух сортов частиц различной массы, то часть его, продиффундировав- шая во внешнюю трубку, будет слегка обогащена легкой ком

понентой; эту часть можно при помощи насоса перекачать через В в соседнее правое звено, а остальная часть, обогащенная

тяжелой компонентой, поступит через О в соседнее левое звено、 Таким образом, отдельное звено действительно будет разлагать поток газа на две части, немного различающиеся по составу: влево будет подаваться газ, обогащенный тяжелой компонентой, а вправо — легкой. Недостаток этого устройства состоит, од- нако, в следующем, Газ, текущий внутри пористой трубки, по мере продвижения вперед обогащается тяжелой компонентой. Поэтому газ, диффундирующий в левом конце звена （вблизи。）， будет по составу уже мало отличаться от газа, поступающего через 4

戶

Рис, 41. Усовершенствованная разделительная ячейка.

Для того чтобы преодолеть этот недостаток, Герц разделил каждое звено на две части, как показано па рнс、41- Только та часть газа, которая диффундирует через R и обогащаемся легкой компонентой, откачивается через 8 в соседнее правое звено. Остальная часть поступает в Т, м так как согласно сказанному диффундирующая здесь часть обладает примерно тем же составом, что и поступающая в звено, то опа откачиваекя насосом Р через С и вновь подается у Л к началу звена с тем, чтобы вновь подвергнуться диффузии и соответствующему обогащению.

Рис, 42、Каскад диффузноннык ячеек.

На рис. 42 изображен небольшой каскад, состоящий из трех разделительных ячеек. Vt и —баллоны, в которых скопляется газ с преобладанием соответственно легкой или тяжелой компоненты. Через эти баллоны газ снова возвращается в разделительные ячейки, благодаря чему в конце концов устанавливается стационарное состояние. Небольшая глиняная трубка слева от баллона Vs действует не как разделительная ячейка, но служит

§ T刀 РАЗДЕЛЕНИЕ ИЗОТОПОВ МЕТОДОМ ДИФФУЗИИ 7] для регулирования скорости газа, циркулирующего через баллон и поступающего обратно в соседнюю разделительную ячейку.

Действие установки поясняется схематическим рис. 43. Здесь каждая ячейка обозначена квадратиком. В начальном состоянии весь каскад заполнен смесью нормального состава, В результате диффузии каждая ячейка будет подавать направо газ, обогащенный легкой компонентой, а налево —газ, обогащенный тяжелой компонентой. На рис, 43 поток смеси, обогащенной

Рис, 43. Схема работы каскада диффузионных ячеек： а) начальное состояние； установиншееся состояние,

легкой компонентой^ обозначен пунктиром, а поток смеси, обогащенной тяжелой компонентой,——сплошной линией. Из рис. 43, а, изображающего начальное состо兄ние, видно, что вследствие работы разделительных ячеек в системе устанавливается два потока: вправо — поток, обогащенный легкой компонентой, влево ——поток, обогащенный тяжелой компонентой. В результате этого движения состав газа в баллонах и Ув соответственным образом изменяется. Изменение состава смеси будет происходить до тех пор, пока не установится стационарное состохиме, при котором состав газа, получаемого каждой ячейкой от соседних^ становится одинаковым с составами смесей, передаваемых этой ячейкой обеим соседним. Но так как при этом оба потока, передаваемых каждой ячейкой вправо и влево, по-прежнему отличаются по содержанию легкой и тяжелой компонент на некоторый коэффициент д, то в стационарном состоянии состав газа, циркулирующего между парами последователь- ныл звеньев, от”н学аетс月 от соседнего именно на этот коэффициент 久 Это показано на рис. 43,6 различной густотой штрихов: справа смесь, циркулирующая между последней ячейкой и баллоном в наибольшей степени обогащена легкой компонентойштриховка самая редкая; относительная концентрация тяжелой компоненты в составе смеси, циркулирующей между последней и предпоследней ячейками справа, в g раз больше

居)乳

—нирнховка более густая; для следующей пары:

и т. & ОдевШП，。，что если каскад содержит 2 звеньев, то состав смеси в левом баллоне Va будет отличаться от состава смеси в правом баллоне уже на коэффициент qz. Таким образом, полный коэффициент разделения всего каскада Q равен

' (17.2)

(17・3)(17・3)Для вычисления g необходимо знать, какая доля f потока, поступающего в разделительную ячейку, диффундирует через пористую трубку R (рис- 41) - Вообще говори, поток, поступающий в разделительное звено, разделился на три части: одна диффундирует через R и откачивается через 8 в соседнее правое звено, другая — диффундирует через Т и откачивается насосом Р для рециркуляции в той же ячейке и третья — через О поступает в соседнюю левую ячейку. Если длины R n Т одинаковы, то все три части потока между собой равны и f = %. Если же R н Т неодинаковы, то f зависит от соотношения их длин и 1т- Именно, в общем случае^ как показывает простой расчет,

(17・3)

(17・3)

'2 + lR/lT

(Арн /т =/r, очевидно, получается по-прежнему f = 7з) - Выведенная Герцем формула для коэффициента разделения отдельного звена такова:

(17-4)

где

(g V №),(g V №),

(g V №),

(g V №),

будетбудета потому полный коэффициент разделения каскада по (17.2)

будет

будет

(17・5)

где z—число звеньев в каскаде.

Для пояснения рассмотрим вновь пример неона. В первой установке Герца длины трубок R и Т были опинаковн, ввиду 期=0,954, то по формуле (17.4) находим g = 1,089・ Если каскад состоит из 24 звеньев, то для Q уже получается

Q = ([,089)24 =7,73,

а для каскада из 48 звеньев

Q =(1,089)48 =59,75.

&

Мм видим, таким образом, что благодаря использованию каскада коэффициент разделения возрастает настолько, что становится возможным далеко идущее разделение изотопов.

Описанный метод был с самого начала применен к разделению изотопов ряда легких элементов. Для разделения изотопов неона был использован каскад из 24 звеньев. Равновесие установилось через 4 часа. При этом вместо нормального со- ства Ne?。: Ne?? = 9 : 1 в резервуаре на «тяжелом конце» установки скопилась смесь состава Ne2°:Ne??= 1,25: 1. Количество этого конечного продукта при атмосферном давлении составляло 4 с^з С каскадом из 48 звеньев был nonyuen чистый Ne??, Были полностью разделены также изотопы водорода и произведено обогащение тяжелыми компонентами \ гл ер од а и азота (изотопами и №$)・

Для работы каскада очень важное значение имеет пористая перегородка, через которую идст диффузия. Как уже указывалось, наиболее благоприятные для разделения условия требуют специального выбора пористой перегородки. Герц пользовался особо приготовленными глиняными трубками. Однако они не вполне удовлетворяли требованиям, ввиду чего он видоизменил мето口 таким образом, что диффузия происходила не через пористую перегородку, но в струю паров ртутн, которые уносили с собой 1аз, обогащенный легкой компонентой- Разделительное звено зт”。второго метода можно охарактеризовать как нн@・ фузионный насос, откачивающий преимущественно одну компоненту смеси. Из подобных звеньев также составляются ка・ скады> содержащие несколько десятков звеньев (до 50). Преимущество этого метода перед первым состоит в более быстром установлении равновесия, При его помощи Герц и ряд других исследователей произвели разделение или обогащение ряда изотопов легких элементов (неон, кхслор。］, аргон и углерод)-

Упражнение, Вычисли>ь полные коэффициенты раздеизеция установки Герца, состоящей из 24 звеньев, полагая f = 0,［； 0г2; 0,3; Q4, 0§, и построить кривую зависимость Q от '

§ 18- Разделение изотопов методом термодиффузии

Один из наиболее эффективных методов разделения изотопов связан со своеобразным явлением, называемым термоднф- фузией. Для того чтобы понять, в чем заключается это явление, необходимо прежде всего уяснить себе его отличие от обычной диффу зии. Классический опыт, демонстрирующий диффузию, состоит, как известно, в следующем. Представим себе замкнутое пространство, в которое в начальиьш момент введены два газа с различными молекулярными весами и притом так, чтобы более тяжелей газ находился внизу, а более легкий ——наверху.

В таком случае вследствие диффузии молекулы более тяжелого газа будут перемещаться вверх (т- е. против действия силы тя・ жести) т а молекулы более легкого ——вниз. Через некоторый про- межуток времени получится совершенно однородная смесь обоих газов. Таким образом, действие обычной диффузии сводится к смешиванию газов, которые в начальный момент были раз

делены.

Явление термодиффузни оказывает обратное действие: вследствие термодиффузии при наличии в смеси газов градиента температуры происходит частичное разделение 弋 смеси. Это можно пояснять примером, пред? ставленным на рис. 44. Представим себе ящик, 勿％в котором находится совершенно однородная —― смесь молекул кислорода и азота: 50%О2 +

矶50% Если теперь поддерживать нижнюю

стенку ящика при температуре 0° С, а верх-

Рис. 44. нюю—при 500° С, то, как показывает опыт, у верхней, т- е. более нагретой, стенкн состав газа будет 50,27% Ns + 49,73% а у иижней, более холодной, стенки 49,73% N? + 50,27% О^ Таким образом, вследствие термо- диффузии у более нагретой стенки оказывается избыток легких молекул, а у холодной — избыток тяжелых: термодиффузия на

рушает однородность смеси и вызывает частичное разделение ее тяжелой и легкой компонент.

Обозначим концентрацию одной из компонент смеси (например, более легкой) через а Тогда избыток этой концентра- ции у более нагретой стенки связан с температурами обеих стенок Г? и Т【следующим соотношением:

(182(182А—乂吟

(182

(182

где коэффициент к называется коэффициентом термодиф- фузии.

Существование термодиффузии было сначала предсказано теоретически, а затем и подтверждено экспериментально. Тео- рия этого явления вскрыла следующее интересное обстоятельство. В кинетической теории газов соударения между молекулами газа иногда рассматриваются просто как удар идеальна упругих шаров, Однако такое представление заведомо страдает чрезмерной упрощенностью. Гораздо правильнее вместо простых «упаров» рассматривать взаимодействия между молекулами, которые проявляются в отталкивании при их сближении на очень малые расстояния. Закон этого взаимодействия можно представить в виде const/广匕 где г——расстояние и v — некоторый показатель степени. Оказывается, что для термодиффузии теоретически получаются существенно различные результаты в за-

冉

внснмостн от величины показателя v. Так, например, при некоторых значениях w термодиффузня может изменить свой знак или даже совсем отсутствовать. В частности, последнее имеет место при V = 5.

Этот результат интересен с исторической точки зрепп儿 так как А<аксве“〃, развкван кинетическую теорию газов, воспользовался гипотезой, согласно которой отталкивание меж- — ду молекулами подчиняется именно закону const/r^5T С и поэтому не обнаружил необходимости термодиф- фузии.

Из сказанного при описании процесса термодиф- фузии уже ясно, что это явление можно использовать g § для разделения изотопов. В случае, когда темпера- | | турное поле устанавливается в кубическом ящике, 、 противоположные стенки которого поддерживаются при температурах и для коэффициента разде， ления получается следующая простая формула:

9 = 1 +9 = 1 +2 g——m22 g——m23 ГП1 + 小23 ГП1 + 小2士Рис- 45.士Рис- 45.

9 = 1 +

9 = 1 +

2 g——m2

2 g——m2

3 ГП1 + 小2

3 ГП1 + 小2

士

Рис- 45.

士

Рис- 45.

Применяя эту формулу к случаю неона (т, = 22$ тй = 20) и полагая =900° н 我=300°, получаем

Q = 1,035.

吿 н吿 нЭта величина того же порядка, что и для одного звена в каскаде Герца, откуда следует, что термодиффузия может быть использована для разделе, ния изотопов. Пользуясь каскадом из 2 звеньев, получаем, как всегда, полный коэффициент разделения Q =

吿 н

吿 н

Для усиления эффекта разделения используется наряду с термодиффузией еще и конвекция. Рассмотрим узкий прямоугольный ящик (рис. 45), стенки которого имеют различную температуру, как показано па рисунке. У более теплой стенки газ будет расширяться и подниматься вверх； у более холодной——опускаться вниз- То же самое можно осуществить, если вместо прямоугольного ящика воспользоваться цилиндром радиуса внутри ко- торого коаксиально помещен другой цилиндр ра- ” f а днуса Ri, нагретый до более высокой температуры Рис. 46. (проволока, нагреваемая электрическим током, рис. 46)・

Итак, в результате конвекции создаются два потока, идущие в противоположных направлениях. Если в Ящике или в трубке имеется смесь двух газов различного молекулярного

веса, то термодиффузий вызывает, кроме тог。, поток, налрав- ленный перпендикулярно к конвекционному так, чтобы концентрация более легких молекул у нагретой стенки была больше» нежели у холодной. Совместное действие обоих эффектов приводит к тому, что между верхом и низом возникает значительная разность концентраций.

Разберем это явление несколько подробнее. Представим себе вновь прямоугольный ящик (рис- 47)， противоположные стенки которого поддерживаются при различных температурах (Т? > П). Расположение осей координат возьмем такое, как показано на рис. 47, и будем рассматривать сначала только поток, обусловленный термодиффу- зней и обыкновенной диффузией. Если в ящике находится смесь двух газов различного молекулярного веса и если как и раньше, будет концентрацией более легкой компоненты, то термодиффузия вызовет перенос вещества, причем количество переносимого вещества будет пропорционально Т [см・ формулу (18.1)]. Сила термодиф- фузионного тока, т. е. количество вещества, переносимого в единицу времени через площадь^ перпендикулярную к потоку, будет равна

pDx(18.2)

где р —плотность「аза и £> —коэффициент диффузии. В результате термодиффузии между нагретой и холодной стенками возникает разность концентраций тяжелой и легкой компонент. Эта разность концентраций вызовет появление направленного в обратную сторону тока обыкновенной диффузии, стремящейся выравнять концентрации во всей массе газа. Сила этого последнего тока, очевидно, равна

(18.3)(18.3)-PDr

(18.3)

(18.3)

Полную силу тока / полуинм, учитывая оба процесса, т. е. пользуясь формулами (18,2) и (18.3):

一黑).(18⑷

дс 0 In Тдс 0 In ТВ установившемся состоянии полная сила тока, обусловленного термодиффузией и диффузией, равна нулю, и мы получаем из (18.4)

дс 0 In Т

дс 0 In Т

(18.5}

Итакт совместное действие термодиффузии и обыкновенной диффузии при наличии градиента температуры между стенками вызывает появление градиента концентрации компонент смеси. Пусть теперь в ящике каким-либо образом вызвана ин]кул兄unw I аза в направлении, показанном на рис. 47 стрелками. При этом количество газа, поднимающегося вверх у пра-

во" стенки, будет равново" стенки, будет равноколичеству газа, опу-количеству газа, опу-.Ввиду этого.Ввиду этогоскающегося вниз у левой стенки

во" стенки, будет равно

во" стенки, будет равно

количеству газа, опу-

количеству газа, опу-

.Ввиду этого

.Ввиду этого

полный поток вещества через любое горизонтальное сечение будет равен нулю.

Однако поток различных компонент смеси газов будет отличен от нуля, так как согласно формуле (18,5) вследствие термодиффузии в стационарном состоянии должен существовать градиент концентрации легкой компоненты, направленный в сторону нагретой стенки. Поэтому циркуляция поднимает вверх большее количество легкой компоненты у нагретой стенки, нежели опускает вниз у холодной стенки. Это ведет к тому, что постепенно устанавливается вертикальный градиент концентрации, причем вверху получается избыток легкой компоненты, а внизу — избыток тяжелой.

Ценность описанного метода состоит в том, что циркуляция газа, значение которой выяснено изложеннь1мн соображениями, устанавливается сама собой под действием силы тяжести, Разумеется, все сказанное до сих пор о смеси газов с различными молекулярными весами целиком относится и к смеси изотопов С различными массами.

На рис, 48 показано устройство трубки, применявшейся для разделения изотопов хлора. Трубка действует по принципу цилиндрической разделительной ячейки, поясняемому рис. 46. Внутренним цилиндром служит нагреваемая током платиновая проволока толщиной

Рис. 48- Терчодиф- фузнонная разделительная трубка: — подвод тока;2 — лодача газа;3 — охлаждение, 4 — ртуть-Рис. 48- Терчодиф- фузнонная разделительная трубка: — подвод тока;2 — лодача газа;3 — охлаждение, 4 — ртуть-5 сое-5 сое-0т4 мм； диаметр внешней трубки равен 8,4 мм.

Рис. 48- Терчодиф- фузнонная разделительная трубка: — подвод тока;

2 — лодача газа;

3 — охлаждение, 4 — ртуть-

Рис. 48- Терчодиф- фузнонная разделительная трубка: — подвод тока;

2 — лодача газа;

3 — охлаждение, 4 — ртуть-

5 сое-

5 сое-

Всего для разделения изотопов хлора бь1ло использовано дипеиных каскадом трубок. Длина их была 78м, 2 трубки по

6 飙〃 одна в 9 ж. Общая длина трубок составляет, таким обра-

зом, 36 -и. Для разделения был использован хлористый водород, представляющий собой смесь молекул НС135 и HCI37- При этом на тяжелом конце получалось ежедневно 8 с初з НС1 с содержанием 99,4% СЕ, а на легком — 25 с川з НС1 с содержанием

96,6% С135- Впоследствии удалось получить НС! с содержанием в 99.6% С135 при общей длине труб в 20 м.

Тот же метод был применен к разделению изотопов неона, причем удалось получить несколько литров чистого Ne?* Было достигнуто также обогащение углерода тяжелой компонентой

до 6,6% (нормальный состав углерода С12: С[3 — 99Д) с выходом в несколько продукта в день.，

Метод термодиффузии оказался также пригодным для разделения жидких смесей изотопов. Так, например, был подвергнут термодиффузии раствор ZnSO% причем раствор помещался между лвумя пластинками длиной в 90 см, расположенными на расстоянии 0,025 см; между пластинками поддерживалась раз， ность температур в 50°- Нормально отношение содержаний изотопов цинка 64 в 68 равно 2,93; после термодиффузии на тяжелом конне оказалось Zn64: Zn68 — 2>7, на легком Zn” ： Znea = =3>2・

Процесс установления равновесия в c/yqac жидких систем вдет медленно, но для разделения требуются колонки меньшей длины, нежели в случае газов. -

Несмотря на крайнюю простоту описанного устройства, оно оказалось чрезвычайно эффективным для разделения изотопов、 Для сравнена兄 этого метода с диффузионным методом были произведены опыты с разделением изотопов тяжелого газа ксенона при помощи разделительной трубки длиной в 2,5 川 н дна， метром в 5 лш с центральной проволокой, нагревавшейся дэ 1200—1750° С, и одновременно при помощи каскада лз 12 д;/ф- фузионных ячеек. Оказалось, что эффективность трубки длиною в 1 м такая же, как у 12 диффузионных ячеек.

§ 19, Разделение изотопов с помощьюэлектромагнитных методов

Весьма эффективным средством для разделения изотопов являются электромагнитные методы. В самом деле, каждый масс- спектрограф или, в особенности, масс-спектрометр в сущности является прибором для полного разделения изотопов. Если представить себе на рис. 34 в местах, соответствующих положениям фокусов для нужных масс, щели, за которыми расположены приемники, то в этих приемниках будут собираться чистые изотопы-

Вследствие малой силы ионного тока количество вещества, которое может быть собрано таким приемником, ничтожно: в 8 обычных масс-спектрометрах скорость накопления вещества — порядка тысячных долей микрограмма (!0^9 г) в час.

Таким образом, метод масс-спектрографа является идеаль^ ным в тех случаях^ когда достаточно получать очень малые ко・

личества разделенных изотопов, но для получения больших количеств при помощи этого метода встречается два главных трузненн冗 Во-первых, поскольку вещество в масс-спектрографе переносится ионным током, для получения больших количеств изотопов токи должны быть очень сильными- Это выдвигает проблему построения мощного источника ионов. Во-вторых, даже в том случае, когда имеется достаточно мощный источник моное, увеличение силы тока выше некоторого предельного значения оказывается нецелесообразным, так как пространственный заряд, возникающий при сильном ионном токе, резко понижает разрешагащуго способность масс-снектрогра巾а, н увеличение силы тока не дает выигрыша в скорости накопления разделен^

ннх изотопов.

Разберем этот вопрос несколько подробнее. Пусть мы имеем поток, состоящий из ионов двух изотопов с массами (а граммах) М} и Мг- Однородное поперечное магнитное поле, как мы знаем (§ 15), будет фокусировать каждый из изотопов в своем фокусе, причем положение этого фокуса определяется радиусом кривизны круговой траектории, описываемой ионом данного сорта. Для вычисления этого радиуса кривизны мы пользовались в § 15 формулой (4-9), вытекающей из условия равенства между лоревцевой силой 施н центробежной силой пнерцин 加。2/р：

哈=施еи・(!9.1)

Ряе_ 4a Пугя яолов звук изотоп&л с надо- Посмотрим теперь, какое различающимися массами в электромас- Влияние на остроту фоку， нитном сепараторе.

са оказывает простран

ственный заряд. На рис. 49 воспроизведены сплошными и пунктирными линиями пути ионов с мало различающимися массами в-поперечном однородном магнитном поле. Для упрощения расчетов мы предположим^ что протяжение ионных nyq・ нов в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, очень велико- Если полная сила ионного тока на единицу длины перпендикулярно к плоскости чертежа равна J, то количество электричества, приходящееся на единицу длины перпендикулярно к плоскости чертежа, будет, очевидно, JJ% где и — ск。， рость нонов、Создаваемый таким путем пространственный заряд в свою очередь действует на ионы.

Рассмотрим теперь два крайних пути ионов в каждом из пучков. Предполагая, что изменение крмЕНз”ь» пути невелико ври

переходе от одного пучка к другому, полуинм, применяя теорему Гаусса — Остроградского, следующее выражение для силы, действующей на ионь] на том и другом пути со стороньг пространственного заряда:

戶(19.2)

где е — заряд иоыа. Эта Сила всегда будет направлена наружу по отношению к пучку, е. на нон, движущийся по верхнему будет действовать силат направленная от центра траектории (окружности), а на ионт движущийся по нижнему пути, к центру. Именно поэтому пространственный заряд будет раз- мквать фокус, получаемый в его отсутствии. Для вычисления ширины пучка в фокусе нужно вместо соотношения (19.1) нависать условие равенства между центробежной силой инерции и силой Лоренца плюс с〃/а, действующая со стороны пространственного заряда. Принимая во внимание сказанное относительно направления этой з【ль* получим следующие уравнения для ионовт движущихся по крайним траекториям:

откуда получаем ——

Обозначая через р радиус нутн в отсутствии пространственного заряда и полагая р,р2 а р2, получим для ширины пучка на расстоянии 180°'

As = 2(p2 —р【) =等告♦(19.4)

Так как разница масс рассматриваемых двух изотопов мала, то соответствующие им фокусы у 6 (рис. 49) лежат очень близко друг к другу, Позтому МОЖНО считать, ЧТО пути ИХ ИОНОВ ПОЧТИ на всем протяжении совпадают, а потому и считать также, что ширина пучков около 8 для обоих сортов ионов будет одинакова и равна Аз.

В отсутствии пространственного заряда расстояние между фокусами ионов с массами М] и Мг будет'

丝丝』产U9.5)

丝

丝

Очов[1днот что эффективность устройства для получения чистых изотопов определяется соотношением между A# и As. Можно

показать, что наиболее благоприятные условия будут в том случае, сСоЧИ Ах = As, В самом делет для увеличения скорости накопления вещества естествен^。 повышать силу тока J. Но “ ширина фокуса As бунет одновременно увеличиваться пропорционально J. Если As станет больше Ах, то скорость накопления

чистых изотопов на единицу ширины пуика в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, будет пропорциональна

/. Так как ширина As, в свою опередь, пропорциональна J,

то, очевидно, мы ничего не выиграем, увеличивая J так, чтобы As стала больше ，尤.Из условия Ах = As при помощи (19.4) и

(19,5) получаем

(19.6)

Воспользовавшись теперь соотношениями ММ/р = %еи/е (е — в электростатических единицах) и 人厶№/2 = ?匕 где К — ускоряющий потенциал хонов, после некоторых преобразований получим для количества накопляемого вещества

U [裁]= 3/9 - 10-屮4工41 К箔, (19.7)

где Y)— отношение концентраций изотопов в веществе, 42 HAi — округленнее до целы^ чисел лх атомные массы; V — в вольтах и Ж в эрстедах. Выбрав для примера случай разделения изотопов кальция Са《4 и Са40, где = 1/20, получим даже при очень высоких значениях К и 箔，например при V = 50 000 % 箔=[5 000 эрстед

К = 0」2К = 0」2мгчасмгчас

К = 0」2

К = 0」2

мг

час

мг

час

а соответствующая понная сила тока оказывается равной всего 156 ма на С"； дальыейшее ее повышение, по сказанному, нецелесообразно, Из этого следует, что метод масс-спектрографа для пол учения чистых мзотопов в бмьших количествам мо*ет стать практически пригодным лить при условнн нейтрализации пространственного заряда, до крайности снижающего эффективность этого метола.

Возможность централизапии пространственного заряда, однако, имеется，Представим себе, что внутрь ионного пучка введено некоторое количество электронов. Легко видеть, что эти электроны будут оставаться внутри пучка и своим отрицательным зарядом нейтрализовать часть положительного заряда ионов. В самом деле, пространственный заря工 как уже указы- внлось, создает поле, паправлегшос наружу по отношению к ионному пучку， Поэтому на отрицательные электроны бу лет

действовать сила, направленная внутрь пучка, которая не позволит электронам покидать пучок в поперечном направлении. Электроны могут двигаться только вдоль оси пучка. Однако потенциалы электродов могут быть выбраны так, чтобы не позволять электронам уходить и в этом направлении. Так как, кроме

Рве. 5U. Пути электронов внутри ионного пучка (F — сила^ действующая 、электрон).

того, имеется еще поперечное магнитное поле, то электроны дут двигаться по замкнутым циклоидообразным траекториям, как показано на рис. 50, и при этом будут весьма эффективно компенсировать пространственный заряд ионов-

§ 20. Разделение изотопов с помощью методовфракционированной перегонки и обменных реакций

Разделение смесей двух жидкостей путем фракционирован- 1гой переговки — процесс, давно известный и широко применяемый в лабораторной и заводской практике. При перегонке в первую очередь дистиллируется та жидкость, у которой температура кипения ниже (упругость пара выше，; поэтому дистиллят будет обогащаться более легко кипящей жидкостью, а остаток—жидкостью с меньшей упругостью пара. Повторяя эту операцию несколько раз, можно разделить обе жидкости.

Упругость пара изотопов зависит от их массы, поэтому метод фракционированной перегонки в принципе применим для разделения изотопов- Однако различие в упругости пара в данном случае настолько мало, что применение этого метода обычным способом совершенно нецелесообразно. На практике лучшие результата дает «метод противотока», который состоит в том, что в разделительной колонке идут навстречу друг другу: снизу вверх — хар, а сверху вниз — жидкость; при этом принимаются меры к тому, чтобы поверхность соприкосновения жидкости и пара была возможно большей- При обмене молекулами между жидкостью и паром молекулы жидкости, имеющей большую упругость пара, обнаруживают большую теыденцию концентрироваться в газовой фазе. Метод этот применим только

к тем изотонам, которые обладают не слишком малой разницей в температурах кипения.

По существу близок к методу фракционирования, но зна・ чипельно эффективнее, метон обменных реакций, который состоит в следующем. Рассмотрим двухфазную систему: жидкость и над пей газ. Пусть, например, это будет газообразный аммиак NH3 и раствор аммиака в воде или в алкоголе или, наконец, раствор азотнокислого аммония NH4NO3 (диссоциированный в растворе на NHI и NO；). В таком случае будет происходить обменная реакция: азот газообразного аммиака будет меняться местами с азотом аммиака в растворе. Эта реакция может идти в ту и другую сторону и дает равновесие. Если меняются местами изотопы одинаковой массы, то реакцию вообще никак обнаружить нельзя. Но может случиться, что N~ будет становиться па место №5 или наоборот, так что реакция будет идти по уравнению

№'Нз (газ)+ №《Нз (раствор) №4Н3 (газ) + №§Нз (раствор).

Теория и опыт показывают, что в этом случае легкий изотоп будет иметь тенденцию концентрироваться в газовой фазе, а тяжелыйв жидкой. Это скажется в том, что константа равновесия реакция, определяемая по закону действующих масс

К —газ 史аствор

八—газ [Ы|4Нз] раствор，

будет отличаться от единицы, тогда как в случае обмена ато・ мами одинаковой массы она должпа быть в точности равна 1. В случае равновесия аммиака К= 1,033. Легко вндеть, что это и будет коэффициентом разделения данного процесса, В самом деле, К может быть записано в виде

КК我也i我也iрастворраствор时叫] [NN%]时叫] [NN%]газгаз

К

К

我也i

我也i

раствор

раствор

时叫] [NN%]

时叫] [NN%]

газ

газ

т. е. по определению К =么 а поскольку К > 1, это и означает, что тяжелый изотоп будет иметь тенденцию концентрироваться в жидкой фазе.

Существуют и другие обменные реакции, пригодные для разделения изотопов, например

SM5'(ra3)+ HS32O3 (раствор) = S^Os (газ) + HS^O^ (раствор)；

для этой реакции q = К = 1Q12.

Как и в случае газовой диффузии^ коэффициент разделения очень мал, однако и тут он может быть значительно повышен путем использования каскада： если каскад состоит из z звеньев.

то полный коэффициент разделения, как и в случае диффузии, будет Q =方 .

В колонке, использовавшейся для концентрирования изотопов кислорода О53 и азота N", было 621 звено. Вся колонка представляла собой стальную трубу с внутренним диаметром в 15(两 и высотой 10,7 м. Был использован метод противотока ——жидкость падала вниз, а пар направлялся вверх.

Оказалось, что этот метод может давать концентраты изотопов N】5, 0'8, $34 в количестве порядка одного грамма в сутки.

§ 21, Разделение изотопов методом центрифугирования

Для разделения изотопов можно воспользоваться тем фактом, что сила тяготения пропорциональна массе. Поэтому в газе, являющемся смесью изотопов, при равновесии концентрация атомов с большей массой будет относительно большей внизу. Правда, иапряжеппость земного поля тяготения слишком мала для того, чтобы можно было как-нибудь практически использовать зт。различие. Однако можно воспользоваться искусственными полями, в которых напряженность в сотпи тысяч раз больше, нежели в земном гравитационном поле. Так как центробежные силы, как и силы тяготения, пропорциональны массе, то искомые искусственные или псевдогравитационные по刀月 осуществляются в центрифуге.

Найдем распределение частиц в центрифуге на различных расстояниях от оси. Пусть р будет плотность газа,『一расстояние от осн, — угловая скорость вращения. Рассчитаем давление на расстоянии г от оси. Центробежное ускорение равно гшг, а масса слоя газа сечением в 1 см2 и толщиной dr будет р dr. Поэтому давление слоя с радиусами г ц г + dr будет

(21.1丿(21.1丿dp = pdr - го)2.

(21.1丿

(21.1丿

С другой стороны, по законам идеальных газов

(21・2)

лучаемлучаемгде М — молекулярный (атомный) вес. Из (21.1) и (21.2) по-

лучаем

лучаем

dp Мт2 ,

ммммили, интегрируя,

мм

мм

2&Г

а так как, с другой стороны, давление пропорционально числу частиц в 1 то для распределения числа частиц на различных расстояниях получаем

(21-3)(21-3)n =门06 2rT.

(21-3)

(21-3)

Предположим теперь, что наш газ является смесью частиц легких 九,〃乙 и тяжелых ns. При равновесии соотношение (21.3) будет иметь место для частиц каждого сорта, а потому на расстоянии г от оси отношение чисел частиц будет

22(ML-MS}^(ML-MS}^(21.4)(21.4)

2

2

(ML-MS}^

(ML-MS}^

(21.4)

(21.4)

где (<1乙)0 и (ns)q — числа частиц того и другого сорта на оси. Коэффициентом разделения будет служить отношение чисел Ле/нг па границе поля (г = г0) и иа оси (г = 0) т т. е.

(%/%)= &/%)о -(%/%)= &/%)о -2&Т2&Т⑵・5)⑵・5)

(%/%)= &/%)о -

(%/%)= &/%)о -

2&Т

2&Т

⑵・5)

⑵・5)

Замечательно, что в отличие от других метопов, где коэффициент разделения зависш 8 той или иной форме от отношения масс (например, в методе диффузии — от j/^^J，в данном случае он определяется разностью масс Мд — Ml- Это является большим преимуществом метода центрифугирования. Во-пер- внх, коэффициент разделения, очевидно, б)дет одинаков вне зависимости от того, в какое соединение входят изучаемые изо- топы, ввиду чего всегда можно подобрать такое соединение, работа с которым всего удобнее. Во-вторых, в случае тяжелых элементов это свойство бьЧагоприятно сказывается и на величине коэффициента разделения. Нанрнмер, при разделении изотопов урана газообразным соединением является шести фтористый уран UFe； квадратный корень из отношения молекулярных весов U^Fe и U235Fg равен J/ = 1,0043, в то время как

для метода центрифугирования в случае, когда разность 帐一 一 Ml = 3 при линейной скорости на периферии центрифуги в 5-104 см/сек и при температуре 300° К, коэффициент разделе- ния равен

Далее, как видно из формулы (21.5), q сильно зависит от температуры и возрастает при понижении температуры.

Например, при р — 5 -104 см/сек и М$ — ML = 3, q имеет следующие значения при разных температурах:'

兀℃

300

200

90

20

Li6

1,25

1,65

9,68

Бимс построил быстроходные центрифуги специально для разделения изотопов. Центрифуга представляет собой цилиндр из хромомолибденовой сталии внешний диаметр цилиндра 10 толщина стенок 12 мм. Цилиндр приводится во вращение сжатым воздухом. Максимальная скорость вращения, допускаемая прочностью материала, соответствует линейной скорости у = =8・及 см!сек.

Эффективность центрифуги для разделения изотопов может быть повышена путем комбинирования ее псевдогравитациопиого пола с диффузией. С этой целью поток пара направляется во внешней части цилиндра вниз, а в аксиальной ——вверх. На границе между двумя потоками происходит непрерывная диффузия молекул из одного потока в другой. Центробежное поле усиливает переход более тяжелых молекул по направлению к периферии. Поэтому концентрация тяжелого изотопа на периферии будет больше, чем в центре. Для легкого изотопа нмеет место обратная картина.

Упражнение. Рассчитать коэффициенты разделения длн центрифуги при следующих условиям： линейнан скорость и = 5」0$ см/сен; разности масс изотопов Мз — Ml = 1, 2, 3, 4. Температуры 300, 200, 90 °C (для разности Л1з —財乙=3 проверить цифры, приведенные в тексте).

Получение тяжелого «ааюта водорода (дейтерия)и тяжелой воды

Тяжелый изотоп водорода дейтерий (D)——играет такую большую роль в современной физике и химии, что на его получении следует остановиться отдельно. Особое значение тяжелого изотопа водорода связано, между прочим, с тем, что он является единственным изотопом, масса которого отличается от массы основного изотопа на 100%, ввиду чего эти две разновидности водорода в различных химических и физических процессах ведут себя существенно неодинаковым образом.

В обычном водороде, встречающемся в Природе, процентное содержание тяжелого водорода составляет всего 0,02%. В концентрированном виде дейтерий получается в виде тя宛ело" воды. Так как не только водород, но и кислород имеет изотопы (О吟 О", OIS), то среди молекул воды встречаются различные комбинации изотопов, например D2Oief HDO叱 H2Od4)aO18 и т.工 Oq・

нако под именем тяжелой воды разумеют вешу, молекулы которой имеют состав D2O'fi. Физические свойства тяжелой воды отличаются от свойств обыкновенной, или легкой, воды, как это видно из таблицы V.

Таблица V

Некоторые физические свойства тяжелой (D2O) в легкой (Н^О) воды

Свойства

DzO

Плотность

1,1059

0,9982

Температура замерзания

'3,82° С

0,00е С

Температура кипения

[01,42° С

100,00е С

Максимум плотлости при

11,60℃

4,00°С

Вязкость 103 СГС

!2,60

10,09

Поверхностное натяжение в дин/см

67,8

72,75

Показатель преломления п^

1,32844

1,33300

Вскоре после открытия тяжелого водорода было обнаружено, что при электролизе водных растворов вода обогащается тернем, тогда как освобождаемый газообразный водород обогащается легким изотопом- На этом был основан метод получения практически чистой тяжелой воды (с содержанием D?。 в 99,9%) путем электролиза.

В настоящее время тяжелая вода изготовляется в больших количествах заводским способом, причем используется комбинированный процесс электролиза и обменной реакции (см. § 20). Если обменная реакция, при которой водород воды обменивается на дейтерий из газообразного водорода^ ведется в присутствии катализатора, то при равновесии концентрация дейтерия в воде примерно в три раза больше, нежели в газовой фазе.

Схема процесса получения тяжелой воды такова: вода подается на верх колонки и стекает вниз навстречу поднимающемуся пару, смешанному с водородом. В присутствии катализатора между водородом и паром происходит обменная реакция, при которой часть дейтерия концентрируется в паре и затем переходит в воду. Внизу колонки вода разлагается электрическим током, причем в неразложившейся воде происходит дальнейшая концентрация дейтерия, а водород вместе с паром поднимается вверх навстречу потоку воды. Подобного рода колонки располагаются каскадом- Получение тяжелой воды связано с потреблением больших количеств электричества, ввиду чего заводы для получения тяжелой воды располагаются в местах, где имеется дешевая электроэнергия (гидроэлектрические установки) ・

В заключение мы приводим таблицу стабильных изотопов с указанием их распространенности (табл. VI),

8 8АТОМЫ. ИЗОТОПЫ

Стабильные изотопы и их распространенность

[гл пгл. П1атомы, изотопы89

лица VIПродолжение

Атомный помер

Массовое

Относительная распространенность, %

Спмао”

Атомный номер

Массовое

Otiiolii- гельцая рагпро-

Сгр!1Нек- НОСГГ. %

Символ

Атомный

Массовое

Относн- гельн аа распр。- сгранен- иосгь, %

Снмнол

Лгомггыр номер

Массовое число

Относи-Символ

тельнаа рагпро-

ность, %As

,35

92

94

95

*02

101

嬲^ 11.56 11.55 56,90

臨 82,74

51.46 11,23 17,11 獨

15.84

9.04

i|bi 3i? 18,2?

Ag

50

51

52

Н1 112 113 114

113 115 112

Ji 7 118 119

130

127

爲喘 13,50 51,92

1>1>

蹴

24,07 12,26

翔

Na

Mg

Al

Ar(A)

К

14

15

16

99,986

98'892

99,635

VI

95,018 0.750 4.215

99,600

93,800

6.9081

51

50

52

53

54

55

54

66

67

68

71

70

72

96 92Se

0：64、

0,129

黎В，

金？2Rb

"0Nb

3：66Mo

1,16

68,94

稿

0,62Ru

60 J6

27：76

35,54

7,76Rh

АТОМЫ ИЗОТОПЫ

АТОМЫ ИЗОТОПЫ

Продолжение

Символ

Атои“ы«

Маееоаое

ОТНОСЯ' тельнан раСпрэ- стрзнен- ность. к

Сныаоп

А.томаыЙ номер

Массовое

Отнэси- тельнак рае.про- стрянеи- НОСТЬ, К

「о

132

1ПП

Er

(89

1 ап

164

1

1.34

167

2 / ,uz

!36

；8[

Tm

]68

Yh

168

La

57

Q餓:;

170

171

［鬻

136

Л 19

1 ЛК

l /Д

14n

аа 4q

174

147

[[П7

176

Рг

59

141

]0О

1 ii

1 7fi

Nd

142

176

J43

174

144

1 76

[77

146

讎

178

[50

5,69

1

Pm

61

141

Ta

1ЯЛ

Q 0123

Се

144

2,УЗ

99.988

148

W

74

ISO

150

拒7

^望

6Q

符驾

Re

75

185

С

Й4

禺

Os

76

184

篇

1/

1 R7

15,64

16 14

1、х

24,95

IQn

22,11

192

Th

65

100

77

Пу

66

ICC

0,0525

[93

0,0905

Pt

10Л

""IN

1

1й9

匏

26,6

164

[98

7 9

Но

67

155

[00

Au

79

197

[00

Продолжение

Символ

Алоикн* номер

Массовое

Относительная распространенность, %

Символ

Атомный номер

Массовое

Относи， техьнаа распре- странен， “ость, %

Hg

80

［落

209

100

A*

NIU

onn

2g 25

Pn

87

223

—

2鹄j

Ra

Th

232

[00

23]

1UU

Ph

ОЛ4

u

92

234

?畤？

206

2^g

99.274

208

53,22

ГЛАВА Ш

ЯДЕРНОЕ СТРОЕНИЕ АТОМА

Эффективное сечение для рассеяния частиц

До сих пор мн рассматривали атом как целое. Теперь мы сопоставим те факты, на которых основаны современные представления об атоме как о системет состоящей из тяжелого ядра и окружающих его электронов.

Один из лучших способов исследования структуры атома заключаемся в《зондлроваакк》его быстрыми частицами — электронами больших скоростей или а-частицами радиоактивных веществ. Процессы, которые происходят при прохождении потоков быстрых частиц через вещество, вообще говоря, разнообразны и сложны. Нас будут интересовать в этом и в ближайших следующих параграфах только явления рассеяния частиц, т. явления, обусловленные отклонением частиц от нх первоначального пути. Рассмотрение этих явлений позволит нам судить о степени заполнения веществом пространства, занятого атомом, и о распределении в нем положительного и отрицательного электричества. Однако прежде всего мы рассмотрим некоторые общие вопросы, связанные с рассеянием частиц.

Рассмотрим частицу, движущуюся среди неподвижных хаотически распределенных шаров, с которыми она может испытывать соударения. Соударение движущейся частицы с каким либо шарам, есть талеаие слуха*нее. Очевддао, однако, что вероятность пройти расстояние не испытав соударения^ есть какая-то функция этого расстояния /(X). С другой стороны, мы можем считать, что вероятность испытать соударение на бесконечно малом отрезке dx пропорциональна dx, т. е. равна a dxr а вероятность пройти без соударения этот отрезок равна 'поэтому l — adx. Вероятность пройти без соударения расстояние 力 + 必 мы можем теперь выразить двумя способами: с одной стороны, это есть функция f(% + d#)； с другой стороны, можно рассматривать прохождение отрезка длины % + d% как событие сложное, состоящее из двух этапов: прохождения расстояния х и дальнейшего расстояния от М до х + dx. Вероятность такого сложного события равна произведению вероятностей обоих событий, т, е. равна f(x) (l — adx). Мы имеем, таким образом,

f(x + dx)=f(x)(\ — adx)t

§ 231§ 231ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ9393

§ 231

§ 231

ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ

ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ

93

93

иле с точностью до бесконечно малых второго порядка

откуда после небольших преобразований

или, интегрируя, f = се~ахг

Постоянную интегрирования найдсм из очевидного условия, что вероятность пройти без соударения путь = 0 есть достоверность, т. е. Это дает с I и окончательно

f(%) = е-ах.(23.1)

Итак, вероятность пройти какой-либо слой вещества без соударения убывает экспоненциально с увеличением толщины слоя.

Выясним теперь физический смысл постоянной а. Заметим прежде всего, что эта величина и?леет размерность обратной длины, так как показатель степени ах должен быть безразмерной величиной. Для установления физического смысла а мы вычислим среднюю длину свободного пробега частицы^ пользуюсь формулой (23.1). Частицы, которые испытывают соударение на отрезке между х и 尤 + d%, прошли без соударения отрезок Вероятность пройти без соударения путь х есть по предыдущее му е~ах, а вероятность испытать соударение между 戈 н % + dx есть Qdx. Поэтому вероятность того, что длина свободного пути есть % равна произведению

ае~ах

Средняя Дьчина свободного пути 九 по формуле для средних значений равна

88

Л = х= J хае~ах dx = a хе~а1С dx.(23.2)

Интегрированием по частям найдемИнтегрированием по частям найдем

Интегрированием по частям найдем

Интегрированием по частям найдем

Таким образом, постоянную а мы можем истолковать как обратную величину средней длины свободного пути

а = 1 爪(23,3)

н формулу (23.1) переписать в виде

f(x) — (23・4>

Мы можем* дать постоянной а еще одно, особенно интересное для нас сейчас, истолкование. Размерность а，как мы знаем，есть см” можно ее представить еще н так:

[а] с"2/сл«з =

Пусть число неподвижных рассеивающих частиц в единице объема будет л. Заменим каждую рассеивающую частицу мишенью в виде кружка радиусом г0 и площадью о, выбранной таким образом, что каждая движущаяся частица, которая пройдет внутри этой мишени, испытает отклонение («соупаренне»). Легко видеть, что размерность по равна

Площадь о называется ^эффективным сечением^ для рассеяния и, соответственно, го — радиусом эффективного сечения. Произведение 几о называется макроскопическим сечением; оно представляет собой сумму эффективных сечений в единице объема. Ввиду того, что размерность а совпадает с размерностью па, мы можем истолковать а так жет как сумму эффективных сечений в единице объема и представить в ваде «о.

Статистический смысл эффективного сечения можно пояснить следующим образом. Пусть плотность потока рассеивающихся частиц М равна 1, т. е. пусть через 1 см1 в 1 сек проходит 1 частица. Число рассеивающих центров в единице объема,八，пусть также равно 1, Тогда вероятность испытать рассеяние можно выразить как отношение площади эффективного сечения о к сечению «потока》，т. е. к 1 см2. Итак, ст есть вероятность испытать рассеяние при прохождении слоя толщиной в 1 с% содержащего одну частицу, а па вероятность испытать расееянне, если плотность частиц в слое равна ,

Рассмотрим теперь ослабление потока частиц при прохождении сквозь слой любой толщины, имея в виду, что каждая частица, испытавшая «соударение》(т. е. прошедшая внутри кружка радиусом, равным эффективному сечению и), выйдет из параллельного потока я не будет зарегистрирована приемным устройством. Разобьем весь слой на бесконечно тонкие слои dx. Число рассеивающих частиц, приходящихся на каждый cM2t будет 几 dx; сумма их эффективных сечений равна on dx.

Если ца переднюю поверхность нашего бесконечно тонкого слоя падает параллельный поток частиц плотностью “，то ослабление потока будет

—dN — Nan dx, (23・5)

откуда, интегрируя, получаем

где Nq—плотность потока qacTHU, входящих в толстый слой.

§ 24. Зондирование атомов электронами

Обратимся теперь к рассмотрению рассеяния электронов. При прохождении пучка электронов через вещество пучок ослабляется, т. е. число электронов в нем убывает, по двум причинам. Во-первых, электроны могут терять свою энергию, расходуя ее на различные процессы, возникающие при прохождении быстрого электрона через атом (ионизация и возбуждение, см. гл. VII); во-вторых, они могут испытывать упругие соударения, в результате которых энергия не теряется, но электрон в некоторый момент резко изменяет свое направление и выбывает из пучка. Ослабление пучков электронов вследствие рассеяния изучалось еще в начале 90-х годов прошлого столетия Ленардом, который показал, что при прохождении через слой вещества толщины х интенсивность потока электронов уменьшается с увеличением х по экспоненциальному закону:

где No — интенсивность падающего пучка, ^ — интенсивность пучка, прошедшего слой а коэффициент а характеризует ослабление пучка вследствие рассеяния на единице длины пути,

:Легко видеть, что коэффициент а имеет тот же смысл, что и

； коэффициент а предыдущего параграфа; его можно истолковать 7 как сумму эффективных сечений атомов вещества для рассея- 'имя электронов.

Изучение свойств этого коэффициента при всевозможном Iварьировании условий опыта обнаружило замечательный факт:

[ оказалось, что при определенной скоростн электронов а не за- I висит ни от индивидуальных свойств рассеивающего вещества, £ ни от его агрегатного состояния^ а зависит только от его плот， Яности р； при этом а с большой точностью пропорционально р,

Ктак что отношение а/p при данной скорости электронов остается

' постоянным^ Однако а/p не остается постоянным при пзмененпи скорости электронов, а быстро уменьшается при увеличении скорости электронов (грубо говоря, обратно пропорционально четвертой степени скорости).

В таблице VII приведено несколько цифр, иллюстрирующих это резкое увеличение прозрачности вещества для электронов при возрастании их скорости.

Таблица

0.90

6

0,40

0,80

13

0,20

360» 10й

0,70

29

0,10

105

0,60

83

0,04

58 ・ 105

0,50

2,2 ・ IO?

Пользуясь таблицей VII, можно подсчитать величину а для различных скоростей электронов. Для ^ = v/c = 0,04, т. е. для и =財=1,2-10° см[сек, из таблицы находим а/р = 58-105. Так как это отношение не зависит от природы поглощающего вещества, то по величине а/p можно вычислить сумму эффективных сечений молекул воздуха при нормальных условиях (0 ℃ и 760 мм рт. ст.) В этом случае р = 0,00129 м, следовательно,

а = мо=58 ・]0'・ 1,29 ■ 10"3 = 7t5 • 103

Эта величина близка к сумме сечений газовых молекул в 1 см3 газа при нормальных условиях, вычисленной из данных кинетической теории газов (диффузия, теплопроводность), В самом деле, число молекул газа в 1 см3 при нормальных условиях равно 2,7 ・ 10吗 при 气=находим

妆= 2,7・]0竺 3,14・ ]()тб=8,5・ 103 сл^с^.

При больших скоростях электронов сс/р резко падает, например, для = 0,9, т, е. и = 2,7・ 10'。乙”/сек, а/р = 6, откуда а = 6・ 1,29・ ]0・з = 7,7・ 10-з. т е приблизительно в 100 раз мень- чем в рассмотренном ранее случае.

Это означает, что истинный объем, занятый веществом, т, е, электронами и положительно заряженными частицами, в сфере радиуса 小=I0~s см (сфера атома по кинетической теорнн газов) совершенно ничтожен.

В начале этого параграфа было указано, что рассмотренные результаты имеют место для не слишком быстрых и не слишком медлеегных электронов. В этих крайних случаях сказывается целый ряд факторов, существенно меняющих картину прохождения электронов через вещество, Именно, в случае очень медленных электронов (энергия порядка долей электрон-вольта) на первый план выступают явления, обусловленные волновой природой электрОЕга, с которой м黑 ознакомимся в главе X (в част-

пости, так называемый эффект Рамз^узра, состоящий в увеличении прозрачности атома для медленных электронов). Напротив, в случае очень быстрых электронов (с энергией порядка Ю7——10й 38) преобладающее значение имеет целый ряд весьма сложных процессов, связанных со структурой элементарных да- стнн, из которых построено вещество.

§ 25, Свойства атастни

Еще более определенные результаты относительно роли положительного электричества в атоме были получены при 《зон- дировае1ии» атомов ct-частицами. Приведем некоторые основные данные, касающиеся их природы.

а-частицы испускаются многими радиоактивными веществами (напрнмер, радием). То, что они представляют собой поток частиц1 непосредственно видно на фотографиях их путей в камере Вильсона, пример которых приведен на рис. 51. ct-частицы

Рис, 51. Пути а，частиц в камере Вильсона.

отклоняются в электрических и магнитных полях, откуда еле- дует, что они несут электрический заряд. Направление, в xdts ром происходит это отклонение, указывает на то, что зар，以 этот положителен. Однако поля, которые вызывают заметное отклонение злектронов, не оказывают влияния на траекторию сь-ча- стпи, откуда саспуст, что они обладают большой массой по сравнению с массой электрона. Действительно, для того чтобы сфотографировать траекторнм а・частни, искривленные магнитным полем, понадобилось поместить камеру Вильсона в очень сильное магнитное поле Впервые это удалось сделать П, Л. Капице; одна из фотографий, полученных им с магнитным полем в 43 000 зретед、приведена на рис, 52.

4 Э, В. HJn<ui ьскнй, т, I

и скорость а-ча-и скорость а-ча-определить массуопределить массуРис- 52 Пути а-частиц в камере Вильсона, помещен， ной в силытое магнитное noie (П. Л- Капица).Рис- 52 Пути а-частиц в камере Вильсона, помещен， ной в силытое магнитное noie (П. Л- Капица).Для скорости а-частиц радия этом получилосьи ■ I09 см/сек,а дляДля скорости а-частиц радия этом получилосьи ■ I09 см/сек,а для"У"УС приС при1,446 ■ 10й СГСЭ ■ 2-11,446 ■ 10й СГСЭ ■ 2-1

и скорость а-ча-

и скорость а-ча-

определить массу

определить массу

Рис- 52 Пути а-частиц в камере Вильсона, помещен， ной в силытое магнитное noie (П. Л- Капица).

Рис- 52 Пути а-частиц в камере Вильсона, помещен， ной в силытое магнитное noie (П. Л- Капица).

Для скорости а-частиц радия этом получилось

и ■ I09 см/сек,

а для

Для скорости а-частиц радия этом получилось

и ■ I09 см/сек,

а для

"У

"У

С при

С при

1,446 ■ 10й СГСЭ ■ 2-1

1,446 ■ 10й СГСЭ ■ 2-1

Количество атастни, испускаемых радиоактивными вещс・ 彳змер/ п>4см непосредственного подсчета числа вспышек на флуоресцирующем экране(^™л™^ вызываемых пучком а-частиц с малым>™ь

Полное число «-частиц, испускаемых 1 ? радия в I『?弋；：；：：；^ оавиым Q = 3,7,2°・ Заряд, переносимым одной «-частицей, §ыл измерен также самым непосредственным °6р：^*爲:跟: пЬ1 препапата оппеделенной попадали п метаплннескпя ；шмЗор (巾археев шьпиннр), заря口 которого。黑實囁*。 помощью электрометра. Число участии можно было опреде лить, зная Q и геометрию расположе ния опыта (расстокн依 ме*ку нет。％ iником и круглой диафрагмой, располо-

жепной перед коллектором, размеры 登奉事整薄娄岁диафрагмы). Эти опыты показали, что 源志去詮蒙^攀憑君'заряд, пере нос bt и а-частацей, равен 器挙券套安茅孥志冠 +2е, т・с, удвоенной абсолютной ве・ 隸裁岁承I 黎應承личине заряда электрона. Наконец, из опытов с магнитным отклонением (прспородональи^мк электри

ческим (пропорциональным пае 2 — заряд a-частицы) можно было

Сравним эту величинуСравним эту величинус отношением 尸/H* т. е. с отношениемс отношением 尸/H* т. е. с отношением

Сравним эту величину

Сравним эту величину

с отношением 尸/H* т. е. с отношением

с отношением 尸/H* т. е. с отношением

、、заряда Фарадея к массе грамм-атома водорода:

、

、

与= 2,88 10“ СГСЭ， Н1

С другой стороны, принимая во внимание, что е = 2е и ум・ нзкаа числитель и Знаменатель отношения на постоянную Авогадро получаем

上=生=# = 1,44・10" с「0

та Ша 21a

где — та-^о — масса ^грамм-атома a-частиц и 广==e，N。一

заряд Фарадея, Поэтому

откуда

н1 — '

т. е, а-частица имеет массу атома гелия.

То, что ауастни" по своей природе тождественны с гелием, было показано также следующим опытом Резерфорда и Ромдса (рис, 53).

Большое количество радиоактивного газа радона было введено в тонкостенную стеклянную трубочку 力.толщина стенок что большинство а-частиц проходило

Рис. 53. ОпытРезер 巾 ор%а и Ройдса,Рис. 53. ОпытРезер 巾 ор%а и Ройдса,Рис・ 54, Частота рассеяния а-частиц на малые углы. Для характерпстикн рассеянна подсчитывалось число частиц, гтопалающих в разные точки флуоресци^ ругощего экрана； J — рассеяние а-частлц в возпухе： Р — рассеяние а-частиц тонким золотым листочком； 3 — рассеяние двумя золотыми листочками.

Рис. 53. Опыт

Резер 巾 ор%а и Ройдса,

Рис. 53. Опыт

Резер 巾 ор%а и Ройдса,

сквозь них. Эта трубочка бь^ла окружена более шнрокой трубкой Г, к которой была припаяна разрядная трубочка V со впа・ янными электродами. Трубка Т была перед началом опыта тщательно откачана, ct-частицы, скоплявшиеся в Т. образовывали газ, который путем поднятия уровня ртутн мог быть ежа г и переведен в капилляр V- Пропуская разряд через V. можно было через два дня после начала опмта обнаружить в испускаемом

свете желтую линию гелия, а через шесть дней — полный спектр гелия.

Параллельный пучок а-частищ пройдя сквозь слой вещества, рассеивается; а^частицы несколько изменяют свое направление. Исследование рассеяния тонкими металлическими листочками показало, что очень часто наблюдается отклонение а-частиц на небольшие углы, в среднем 2—3°, а распределение «-частиц по углам в точности следует статистической кривой случайных явлений (рис. 54). Наряду с таким рассеянием на малые углы ■ сотрудники Резерфорда Гейгер и Марсден обнаружили, что некоторое число а-частиц (приблизительно 1 на 8000) рассеивается на очень большие углы, иногда превышаю-

щие 90° и доходящие в случаях почти до 180°.

некоторыхОбъяснитьнекоторыхОбъяснитьэти большие углы рассеяния накоплением случайных малых отклонений оказалось невозможным, так как из статистической кривой рассеяния следует, что число частиц, которые могли испытать столь зн-ачительное отклонение, должно быть во много раз меньше, чем 1 на 8000.

некоторыхОбъяснить

некоторыхОбъяснить

Большие углы рассеяния наблюдаются как при прохождении а-ча- стиц через металлические листочки, так н в газах, и их можно обнаружить на фотографиях путей сс-ча- стни в камере Вильсона. Одна из таких фотографий приведена на рис, 55, где изображен след а-ча- стицы в кислороде: короткий след принадлежит атому кислорода^ приведенному в быстрое движение^ более длинный — а-частице, отклонен- рнс・ 55. Рассеяние а-частиц ^。京 0T первоначального направле- вния на угол около 90°. Эта фотогра

фия ясно показывает, что большие углы отклонения получаются отнюдь не в результате накопления малых отклонений, но в результате одного -единственного соударения.

Резерфорд указал на то, что это возможно, если внутри атома имеется чрезвычайно сильное электрическое поле, которое создается положительным зарядом, связанным с большой мае-

сои 口 скониентрнрованинм в очень малом объеме (радиус по・ ряпка Ю-,а см). Отсюда и возникла《ядерная》модель атома, согласно которой атом устроен наподобие планетной системы: малое по размерам, положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вс兄 масса атома, и отрицательные злек・ троны, обращающиеся около этого ядра по замкнутым орбитам.

Теория рассеяния а-частиц

На основании зтнх представлений Резерфорд развил количественную теорию рассеяния а-частиц.

Пусть в О (рис, 56) помещается рассеивающее ядро. Очевидно, что заряд его по абсолютной величине должен быть ра- вен иелому кратному заряда электрона, так как в нейтральном

атоме положительный заряд ядра должен в точности компенсироваться суммой отрицательных зарядов электронов.

Обозначим заряд ядра, помещающегося в О, через +Ze, где целое число, и предположим, что масса этого ядра настолько больше массы а・частннн, что при взаимодействии с гюследцей ядро можно считать неподвижным. Предположим, наконец, что -сила взаимодействия между ядром и а-частицей подчиняется закону Кулона, т. в. что эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между обеими частицами. Необходимо дать себе ясный Отчет в том, что это последнее предположение на первых порах является только гипотезой и оправдывается лишь последующим согласием теории с экспериментом- В самом пеле, у нас нет никаких оснований заранее считать, что взаимодействие очень малых частиц, сближающихся на ничтожно малые расстояния, должно управляться законом Кулона, справедливость которого безупречно установлена только для макроскопических тел.

Классическая механика показывает, что при всех этих предположениях а-частица должна описывать относительно ядра О

гиперболу. Обозначим массу а-частицы через М, ее скорость на большом расстоянии от рассеивающего ядра — мерез и. Если бы а-частица нс взаимодействовала с ядром, то она прошла бы на расстоянии р (рис. 56) от ядра (так называемое ^прицельное расстояние). Вычисление, которое мы отложим до § 53, показывает, что 仆—угол отклонения «-частицы, отталкивающейся от ядра по закону Кулона, выражается через указанные пара- метры следующим образом:

Было бы бесполезно пытаться проверить эту формулу неносрсн-

ственно экспериментом, так как в нее входит недоступное измс- рению прицельное расстояние р.

Mbi можем, опиак。，положить формулу (26.1) в основу ста- THCTHqccKoii теории, которая даст кам выражение для эффек

Рис, 57.Рис, 57.тивного есчсния рассеяния в зависимости от параметров, доступных экспериментальному определению.

Рис, 57.

Рис, 57.

Представим себе сферу, в центре которой расЕюло- жен рассеивающий листок 尸(рис. 57), Пусть на зтот

листок в единицу времени падает А'° а-частиц. При наиболее детальном изучении рассеяния определяется среднее число частиц^ №(仆),рассеянных в пределах телесного 〉「ла в направленна, характеризуемом углами 仆 и (р. Величина телесного угла d6⑵ равна отно

шению элемента поверхности сферы к квадрату радиуса

aW =用=

В опытах Резерфорда и его сотрудников чаще изучалось среднее число аастни, рассеивае- мых в пределах области, лежащей между двумя телесными уг

лами, характеризуемыми отвер-Рис. 58,

стиями 仆 仆 + dO (рис, 58). Оче

видно, что соответствующий этому случаю телесный угол dQ⑴ (или просто dQ) получится путем интегрирования (26,2) по ① в пределах от 0 до 2л:

dQ = dQ“)= 2 九 sin 3 dO.dQ = dQ“)= 2 九 sin 3 dO.(26.3}(26.3}

dQ = dQ“)= 2 九 sin 3 dO.

dQ = dQ“)= 2 九 sin 3 dO.

(26.3}

(26.3}

Эффективное сечение для рассеяния в повделах dQ мы и будем вычислять.

Положим, что а частицы до рассеяния летят параллельным потоком. Так как при прочих равных условиях угол отклонения а частицы по формуле (26-1) определяется прицельным рас- стоянием р, то, очевидно, на угол, лежащий в пределах между 0 и 0 + dO, отклонятся ct-частицы, у которых прицельное расстояние лежит между р н р — dp, т, е.匕叫астиим, пролетающие внутри колец между Кругами с ра-―

диусами, заключенными между р и 戸一dp, описанными около каждого口 级

из рассеивающих центров (рис. 59). Площадь каждого такого кольца равна dp, и мы можем утвер- ?кдать, что среднее число сс-частицт отклоненных на угол между О и 仆 + d。, летящих после рассеяния внутри телесного угла dQ, пропорционально 2祁

Итак, эффективное сечение ядра d(j для рассеяния а'частиц равно

匸 dp・ (26-4)Рнз

Если мы теперь найдем р из (26.1) и возведем в кваират, то получим

Р =(м) Ctg2^・

Дифференцируя, находим следующее выражение:

pdp~ ~pdp~ ~1 / 22”Т\~^)1 / 22”Т\~^)S1TTS1TT,ft,ft22

pdp~ ~

pdp~ ~

1 / 22”

Т\~^)

1 / 22”

Т\~^)

S1TT

S1TT

,ft

,ft

2

2

л, подставляя в (26 4) ), получаем

加=2"e5加=2"e5ctg^dOctg^dO20 siM —20 siM —

加=2"e5

加=2"e5

ctg^dO

ctg^dO

20 siM —

20 siM —

Введем еще сюда телесный угол dQ по формуле (26.3):

(26,5)

Это и есть формула Резерфорда для рассеяния а-частиц.

Для сравнения с результатами эксперимента нужно найти макроскопическое сечение Е, т. е, сумму эффективных сечений всех рассеивающих ядер в 1 см3. Если допустить, что все ядра в листке распределены равномерно и не перекрывая друг друга,, то очевидно, что

ZMМи7ZMМи7где пчисло рассеивающих ядер в 1 см3. Пользуясь (26.5), лучаем:

ZMМи7

ZMМи7

合•合•(26.6>

合•

合•

Ес/я теперь обозначить через N число ос-частиц, падающих в 1 сек на поверхность рассеивающего листка, то среднее число а-частиц, рассеянных на угол 3 в пределах телесного угла dQ、 будет, очевидно,

dN = NE = nN (品У-(26・7>

Как видим, число рассеянных а-частиц очень сильно зависит от угла 0 и быстро возрастает с уменьшением 屯

Экспериментальная проверка формулы Резерфорда

Формула Резерфорда была подвергнута тщательной экспериментальной проверке. Из (26.7) следует

dN •= nN (篇У dQ・

Таким образом, еслит сохраняя все остальные условия, изменять только угол 也 то должно быть

dN ・ sin'彳=const.

Этот вывод и был проверен в первую очередь. С этой ие』ьк> применялся следующий прибор (рис. 60). Металлическая коробка В в форме цилиндра укреплялась на круге 力，снабженном делениями. Коробка вместе с кругом могла вращаться па шлифе С, Радиоактивный препарат R и рассеивающий лясток F устанавливались на особой трубке Т независимо от коробки; этим достигалась неизменяемость положения R。尸 при поворотах остальной системы- Экран S (прозрачный) устанавливался перед микроскопом М, неподвижно скрепленным с коробкой В. Поворачивая круг 4, можно было устанавливать микроскоп ДЛ5Р измерения числа рассеянных а-частиц при любом угле рассея-

что, несмотря на то, что ве-что, несмотря на то, что ве-Рис. 60. Прибор для изучения зависимости числа рассеянных а-частиц от угла рассеяния.Рис. 60. Прибор для изучения зависимости числа рассеянных а-частиц от угла рассеяния.яия. Коробка закрывалась сверху стеклянной пластинкой Р и откачивалась через трубку Т для того, чтобы избежать дополнительного рассеяния в воздухе. В течение всей работы было подсчитано свыше 100 000 сцинтилляций.

что, несмотря на то, что ве-

что, несмотря на то, что ве-

Рис. 60. Прибор для изучения зависимости числа рассеянных а-частиц от угла рассеяния.

Рис. 60. Прибор для изучения зависимости числа рассеянных а-частиц от угла рассеяния.

Полученные результаты для рассеяния в золоте приведены в таблице V1I1, из которой видно, личина 】/sin"e/2) и число сцинтилляций изменялись в очень широких пределах, произведение dN sin4(ft/2) оставалось приблизительно постоянным в согласии с требованием теории

Аналогичным образом была изучена зависимость рассеяния от толщины листков и от скорости сс-частиц. Во всех случаях для рассеяния в листочкам из тяжелых металлов установлено хорошее согласие эксперимснталышх результатов с требованиями теории. Это согласие одновременно является доказательством применимости закона Кулона к взан・ модеиствию между а-частвцамк

и рассеивающими ядрами при тех условиях, в которых были произведены опыты, т. е, для тяжелых ядер и не слишком быстрых а^частиц,

WWТ а 6 刀 н u а

W

W

Рассеяние а-частиц золотыми листочками

Угол ОГКЛО'

Число СЦИН-

ненка (R

sin 1#/2)

тнлляцин

150

1.15

33」

1,38

43,0

120

1,79

51,g

2.53

6£5

75

7 25

211

60

16,0

477

45

4&6

1 435

30

223

7 800

15

3445

132 000

Другой способ экспериментальной проверки теории специально для случая рассеяния в газах состоит в том, что

производится большое количество вильсоновских фотографий путей а-частиц в газе, измеряются углы отклонения и подсчитывается, как аасто встречаются определенные углы рассеяния, Тако/7 мет。口 6ь?刀 прммехем 5лзхатсм главным образом с целью изучения границ применимости закона Кулона, Оказалось, что для аргона в пределах расстояний между центрами ядра и ct-ча- спицы от 7，10~】210-9 см и для воздуха в пределах от 3 ■ 10-12

по 5 ■ 10-10 см закон Кулона имеет место.

Из этого, олнако, следует делать внво』а об ун&верса〃ь・ ной применимости закона Кулона для ядерных взаимодействий. Напротив, изучение рассеяния а-частиц легкими ядрами показало, что когда расстояние между взаимодействующими частицами уменьшается до 10^ см, наблюдаются резкие отклонения от закона Кулона, а на расстояниях, меньших,次，обнару

живается действие быстро убывающих с расстоянием сил при- 宛е片〃％ перекрывающих действие кулоновских сил отталкива* ния ме?кд5 одинаково заряженными частицами.

§ 28, Определение заряда ядра

Формула Резерфорда “озвопяет экспериментальным “утем найти число Z, т. е. число элементарных положительных зарядов ядра. В самом деле, подсчитывая па флуоресцирующем экране числа сцинтилляций создаваемых падающими а-частицамиг и число cuHijTM/i/]HUHtr dN, создаваемых а-частицами, рассеянными на угол ， мы будем знать величину dM/N, В правую же часть формулы Резерфорда вводят, кроме искомой величины либо величины известныелибо вели

чины доступные экспериментальному определению 吗 今). Та к0M образом, для отыскания Z нужно произвести подсчет числа сплнти^ляций N и d,V. ГьТавная трудность эксперимента

~обусловлена тем, что эти

числа O4ejib сильно разли・

Угчаются между собой. В иер-

опытам числа N и dN 牙измерялись па разных уста-

повках, т. е. в разных усло- jвиях, что являлось источни-

?ком значительньгх ошибок,

Чадвкк исцолъзовял рас-

Рн& 61, Схема опыта Ча」внка, положение onbjra, при котором оба числа N и aN могут быть измерены на одной и той же установке, вследствие чего ему Ждалось определить Z с большей точностью. Идея опыта Чадвика заключается в следящем. Рассеивающая фольга *з【€・ ет вид кольца AAf (рис. 61); препарат /? и экран S из ZnS

устанавливаются на одинаковом расстоянии г от А4‘. Измеряется число а-частиц, рассеянных на один определенный угол “ выбранный (для упрощения расчета) так, чтобы он был вдвое больше утла между осью RS и направлением л^- чей, идущих от R к фольге (рис. 6i), Располагая внутри кольца между и S акран, непрозрачньш для сс-чястиц, можно было считать одни только рассеянные сс-частицы; наоборот, закрывая экраном кольцо АА\ можно было считать число иастнп М в па- Лающем пучке. Так как это число слишком велико нс只 того, чтобы можно было непосредстветю подсчитывать слинтилля- Нин первичных а-частиц на экране (например, для того, чтобы ухс」о сцинтилляций от рассеянных а-частиц составляло 30 в минуту должно быть равно 20 000 в минуту), то перед S располагался вращающийся диск с узким вмрсзом, при помоеци КОЮрОГО ЧИСЛО СЦИНТИЛЛЯЦИЙ можно было произвольно уменьшать в любое чнел。раз.

Таким путем Чапвнк нашел следующие значения Z для ппа・ тины, серебра и мели: Р1(78)— 77,4; Ag(4 7)— 46,3; Си(29)— 29,3, Числа, стоящие в скобках после хнмпческнх символов элементов, означают номер места соответствующего элемента в периодической системе Менделеева (атомньМ номер), Такнм образом, опыты Чадвика показывают, что число элементарных положительных зарядов ядра равно атомному номеру соответ- ■ств^ющего элемента, Зто правило, подтвержденное другими исследователями для целого ряда элементов, сводит задачу об определении заряда ядра к точной фиксации атомных номеров всех Элементов. Средство для Зто「。дают нам рентгеновские спектрЬ1, с которыми мы и познакомимся в следующей плаве.

ГЛАВА IV

РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕК ОПРЕДЕЛЕНИЮ АТОМНЫХ КОНСТАНТ

Рентгеновские лучи играют важную роль в изучении атома. В § 28 уже указывалось, напрнмер, что спектры рентгеновских лучей позволяют точно фиксировать атомные номера всех эле- ментовт т. е. определять заряды их ядер. Кроме тог。, методы рентгеновской спектроскопии с большим успехом применялись- для получения наиболее точных значений постоянной Авогапр。， заряда электрона е, а также удельного заряда электрона е〕т. В дальнейших главах мы нередко будем обращаться также к. рассмотрению различных явлений, связанных с рентгеновскими лучами. Ввиду этого нам необходимо с самого начала ознакомиться с их природой и свойствами.

§ 29. Рентгеновские лучи

Ренгге/ювскте лучи возникают под действием быстрых электронов. В так называемых рентгеновских трубках против катода располагается металлическая пластинка (в трубках, применяемых в Мединине и для технических просвечиваний, — вольфрамовая), при бомбардировке которой электронами и возникают рентгеновские лучи. Энергия возбуждающих электронов в обычных технических установках порядка 100 000 Существуют также установки, дающие рентгеиовские лучи при энергии электронов в миллион электрон-вольт, а для целей ядерной физики в последнее время построены специальные ускорители §пектро・ нов, позволяющие получать рентгеновские лучи при торможении электронов с энергией до 100 миллионов электрон-вольт.

Рентгеновские лучи, невидимые глаза, обладают способностью вызывать яркую видимую флуоресценцию в некоторых естественных кристаллических веществах (платиносинеродистый барий, цинковая обманка и др.) и в искусственно изготовляемых порошках (люминофорах). Они действуют на фотографическую пластинку и вызывают ионизацию в газах- Всеми этими, явлениями пользуются для обнаружения н исследования рентгеновских лучей.

По своей природе рентгеновские ^учи тождественны со светом и отличаются от него только тем, что имеют меньшие длины воли. Так же как и свет, рентгеновские лучи обладают вол-

новыми свойствами, которые обнаруживаются опытами с интерференцией и дифракцией. Впервые интерференционный опыт, аналогичный опыту с зеркалами Френеля, с рентгеновскими лучами был осуществлен советским физиком В. П. Линником. На рис. 62 приведена фотография дифракционной картина, полученной при прохождении рентгеновских лучей через узкую щель. Эти опыты очень трудны, так как вследствие малой длины волны щель должна быть очень узкой и фотографиют кроме того,

Рис. 62. Дифракция рентгеновских лучей при проховденин через узкую щель (ширина щелк 0,006 мм; увеличение в 26 раз).Рис. 62. Дифракция рентгеновских лучей при проховденин через узкую щель (ширина щелк 0,006 мм; увеличение в 26 раз).приходится подвергать последующему увеличению для того, чтобы выявить светлые и темные полосы, Фотогра- фият приведенная на рис. 62, была получена со щелью шириной в 6 兄к卅 и подвергнута 26-кратному увеличению- Зная геометрические условия опыта (расстояние от щели до фотопластинки) и измеряя расстояние

Рис. 62. Дифракция рентгеновских лучей при проховденин через узкую щель (ширина щелк 0,006 мм; увеличение в 26 раз).

Рис. 62. Дифракция рентгеновских лучей при проховденин через узкую щель (ширина щелк 0,006 мм; увеличение в 26 раз).

между тюследовательными светлыми полосами, можно вычислить длину волны рентгеновских лучей совершенно так же, как это делается в оптике ). Из фотографии, приведенной на ряс. 62, для длины волны получилось 8,33 А с точностью в 0,5% (напоминаем, что длина волны крайних еще видимых глазу фиолетовых лучей ——4000 А). Это ——случай длинпоьолнового рентгеновского лзнученлн. Длины волн рентгеновских лучейт которыми пользуются для медицинских просвечиванийт ——порядка едини

цы ангстрема.

Различают два типа рентгеновских лучей. Если энергия элек- тронов, испытывающих торможение на антикатоде, не тфевы- шает определенной, характерной для вещества антикатода ве- лнчилы, то возникающее хз刀уиенмо называется тормозным. Оно разлагается в сплошной спектр наподобие белого света, ввиду чего тормозное излучение называют иногда «белыми рентгеновским излучением. Сплошной спектр тормозного излучения имеет следующие характерные особенности. Распределение интенсивности в зависимости от длины волны в 9ToM спектре представ- ляется кривой, имеющей максимум при определенной длине волны (см. рис. 178, стр. 380). Спадание интенсивности от этого

максимума в сторон〉длинных п в сторону коротких волн происходит различным образом: в сторону Длинных воли кривая спадает полого, асимптотически приближаясь к нулю по мере увеличения длины волньт, напротив, спадание в сторону коротких волн происходит Крут。, н спектр резко обрывается при некоторой определегпюп длипе волны. Эта критическая длина волны — коротковолновая граница сплошного спектра — зависит от ускоряющего потенциала электронов. Именно, если 9Toт потенциал равен V киловольтам, то длина волны границы, вы- рахсепна只 в единицах ангстрема, равна

入 (29.1)

Таким образом, при V = 100 Кб наиболее короткая длина волны в сплошном спектре есть 0,123.4. Существенно, то что характер сплошного спектра не зависит от природы антикатода, но определяется только ускоряющим лотеннна/ом.

Как уже сказано, сплошной спектр возникает в тех случаях, когда энергия возбуждающих электронов не превосходит некоторой критической величины. Если же энергия электронов равна или больше этой критической величина, то возникает излучс- xg нззхваемое характеристическим, так как оно характеризует вещество антикатода в такой же степени, в какой оптические спектр испускания газа или пара характерен для вещества. Спектр характеристического излучеггия — линейный- Замеча- тельн。 при этом, что каждый элемент дает определенный, присущий ему спектр независимо от то「。，возбуждается пн этот элемент к рентгеновскому излучению в свободном состоянии или ъходит в химическое соединение. Этим рентгеновские спектр bi существенно отличаются от оптических, так как одно и то же вещество дает различнее оптические спектры в атомном и в моь^екулярном состояниях (например, оптические спектрь] атома О, молекулы О2 и молекулы Н2О совершеггно различны и отнюдь не складываготся аддптивно из спектров атомов, входящих в состав молекулы).

На рис. 63 приведен интересный пример изменения рентгеновского спектра прн возникновения характер нс 了 ннеското излучения. Здесь iTo оси абсцисс нанесены длины волн, по оси ординат—интенсивности; различные кривые сняты при разных энергиях возбуждающих электронов. Антикатод во всех случаях — родиевый. Видно, что при 23,2 Кб спектр еще енпотноб, но при 31,8 хе на сплошгюй спектр ггакладывается лнпе[【ный, состоящий из резко вьфаженных спектральных лкнн式；при 40,0 кв характер спектра остается без измененият но нтененвность линий возрастает настолько, что саман яркая нз них не укладывается на чертеже в принятом масштабе.

§咐

Этот линейный спектр и принадлежит характеристическому излучению вещества антикатода, в данном случае — родия (Rh}・

зуютзуютСпектральные линии характеристического излучения o6j>a- закономерные последовательности или серин, расноложея-

зуют

зуют

■с£ts

9

Rbct

м

Rh厂

4旣

L1^

-Ези?2--ишн

63・ Возникновение Х-серии характеристического излучения родие-азтнкатоАа. По осн а 6 сине с отложена 工;во ттгьг рентгеновскогоизлучения и указаны длицы волн коротковолновой границы каждого спектра(Линия а — Йп принадлежит ру/е行ню, тахса女шекуса в сбразме родяа в видепримеси.)

Рис.

PbTO

ные в различных частях рентгеньзекого спектра. Нс историческим причинам эти серии обозначаются буквами К, L、殊 N. Серия ^—самая коротковолновая, следующая в сторОЕгу длинных волн—серия далее идут серин М и наблюдаемые, впрочем, только у т^женнх элементов. Подробнее эти серии будут рассмотрен5 в § 35*

§ 30. Поглощение рентгеновских лучей

К числу наиболее замечательных особенностей рентгеновских лучей относится их своеобразный закон поглощения, Оказы- ваетса, прежде всего, что поглощение рентгеновских лучей ве- ществом совершенно ие зависит от его оптических свойств. Так, например, бесцветное и прозрачное для света свинцовое стекло практически полностью поглощает рентгеновские лучи и потому используется для защиты персонала, обслуживающего рентгеновские установки. Напротив, тонкий листок алюминия, нелро・ зрачный для света, очень мало поглощает рентгеновские лучи и для лучей, испускаемых техническими рентгеновскими труб- ками (при потенциалах порядка 100 ке}, почти совершенно про・ зрачеп.

Применение рентгеновских лучей для медтщинских или технических просвечиваний основано на законах поглощения рентгеновских лучейт с которыми мы сейчас * азвакомимся. Если параллельный пу-

Рнс. 64. Рассеяние rejJOBCKHK лучей прохождении черед щество.

рот при не-

чок рентгеновских лучей проходит через слой вещества, то пучок испытывает ослабление, т. интенсивность его уменьшается. Это ослабление является резуль- татом двух процессов: 1) рассеяния и '2) поглощения. Эти два процесса существенно различны:

1) Ослабление вследствие рассеяния обусловлено тем, что часть лучей отклоняется в сторону (рис. 64) и потому выводится из параллельного пучка. Явле-

пие это совершенно аналогично рассек- Yuto, которое испытывает свет при прохоадении через мут・ ную среду. ■ Разница только в том, что мутность среды для •света обусловлена взвеменнымн в ней достаточно крупными частицами с показателем преломления, отличным от показателя преломления среды. Для рентгеновских же лучей вследствие их мал°й длины волны любая прозрачная для света среда яв・ льется «мутно"》.В этом случае рассеивающими центрами являются сами атомы или молекулы ветества. Аналогичное молекулярное рассеяние наблюдается п для света. Но оно представляет собой в случае света очень слабый эффект. Для сравнения можно привести следучощие цифры. Параллельный пучок света вследствие рассеяния ослабляется в е (々2,7) раз слоем чистой вольт толщиной в 1 км； пучок рентгеновских лучей ослабляется в то же число раз путем одного только рассеяния (т. е. исклю- аая поглощение) слоем воды в 5 см. Для того чтобы молекуляр- ное расссйпие света стало легко заметным, необходимо, чтобы в

со

среде возникали в большом количестве местные уплотненнх и разрежения (флуктуации длотности), как это имеет мест。，на- пример, для всякого вещества вблизи его критической температуры (так цазьтваемая «критическая опалесценция»).

2} Ослабление вследствие поглощения или абсорбции обусловлено тем, что часть энергии рентгеновских лучей испытывает истинное поглощение в веществе, т. е. в конечном счете превращается в тепло.

Если параллельный пучок рентгеновских лучей монохрома。 тниен, т. е. состоит из лучей одной определенной длиньт волны、 то ослабление его бесконечно тонким слоем вещества толщиной d尤 подчиняется простому закону

一 di = dx,

где J — интенсивность пучка, (тадагощего на слойт а 卩一козф， фициент, характеризующий ослаблепяе. Интегрируя это уравнение (см. аналогичное уравнение в § 23), получаем закон ослабления рентгеновских лучей слоем конечно力 то〃тну* d:

/ = (30.1)

где /о — интенсивность параллельного пучка при d = 0. Размерность коэффициента поглощении 卩 есть [с,%-'] так как показа, тель степени 11d должен быть безразмерной величиной.

Поскольку ослабление пучка происходит как за счет истинного поглощения, так и за счет рассеяния, — коэффициент ослабления ц является суммой двух коэффициентов- коэффициента истинного поглощения т и коэффициента рассеяния о:

» = t + d (30.2}

Оба коэффициента т н и, а следовательно и р, пропорциональны массе вещества. В влд у етото удобнее пользоваться так называемыми «массовыми коэфф ициептам и», т. е. отношениям и ц/р. т/р и о/p, где р — плотность вещества. Очевидно, что формула (30J) может быть переписана в виде

Произведение pd есть масса вещества в столбе сечением в 1 см? и толшиной d; р,/р имеет размерность [?т с兄2]

Если pd — 1, то / = М р，откуда следует, что 卩/p характеризует ослабление рентгеновских лучей слоем, содержагцим 1 а вещества на каждый квадратный сантиметр.

Для теоретических расчетов erne удобнее пользоваться тяк называемыми атомными коэффициентами ца, о。， которые получаются из значений 卩/p, т/р и и/р для определенного

элемента п^тем 5 мпожения па абсолютную массу атома, т. е. на отношение грамм-атома данного элемента < к постоянной Авогадро N:

Таким образом, папрнмер, ца характеризует ослабхчение в слое, содержаще\1 1 атом на Стоит отметить также, что размерность атомных коэффициентов 卩电 та и 备，как легко уб” днться, есть [см2]. Поэтому их можно истолковать как эффективные сечения атома соответственно для ослабленнят поглощения нпн рассеяния рентгеновских лучей.

Эмпирически установлено и довольно точно соблюдается следующее соотношение:

% = cZ 以 з, (30,5)

где с—некоторая постоянная^ Z—атомной номер вещества в А — длина волны, Отсюда при помощи определений (30.4) для массового коэффициента поглощения получается

илиили斗2,斗2,(30,6)(зо,бз(30,6)(зо,бз

или

или

斗2,

斗2,

(30,6)

(зо,бз

(30,6)

(зо,бз

Из этих формул видно, что поглощение л^чей определенной длины волны очень быстро возрастает с увеличепием атомного номера (пропорционально четвертой степени

Вторая замечательная особенность поглощения рентгеновских лучей состоит в том, что оно является чисто атомным свойством: поэтому молекулярный коэффициент поглощения аддитивно складывается из атомных коэффициентов элементов, входящих в состав молекулы, бпаго^аря этому для вычисления молекулярных коэффициентов всего бесконечного многообразия химических соединении достаточно знать атомные коэффициенты поглощения элементов-

Форм ул ы (30.6) и (30.и аддитивность поглощения рснт・ геиовских л^чей лежат в основе их применения для иросвечнва. hhr. Сравним, напрнмер, коэффициенты поглощения костеН и тканей человеческого те“а< Вещество костм есть фосфорнокислый кальций Саз(Р(Х)2； поглощение ткани главным образом обуслов；!ено входящей в ее состав водой (Н26), Уунткваа, что атомные номера Са, Р, О и Н соответственно равны 20, 15, 8 и L находим, что отношение атомных коэффициентов поглощения обоих веществ будет равно

3,2h + 2, ]5《+ 8,8"2+1^3,2h + 2, ]5《+ 8,8"2+1^а 3修了+ 2倍/+8,а 3修了+ 2倍/+8,

3,2h + 2, ]5《+ 8,8"2+1^

3,2h + 2, ]5《+ 8,8"2+1^

а 3修了+ 2倍/+8,

а 3修了+ 2倍/+8,

т. e. коэффициент поглощения Саз(РО“2 примерно в 150 раз больше атомного коэффициента поглощения воды (ткани). Для практических целей, однако, важнее отношение массовых коэф- фицентов. Если применить к интересующему нас случаю формулу (30.6}, то отношение получится равным примерно 68, что уже вполне объясняет, почему на рентгенограммах тень От костей так резко выделяется.

Формулы (30.5) и (30.6) показывают также, что поглощение рентгеновских лучей быстро возрастает нрн увеьтичепии длины волны. Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше проникающая способность рентгеновских луае尤 тем больше их жесткость. Если отложить по оси абсцисс длины bojh, а по осп ординат V т/рт то в соответствии с формулами (30 5) и (30.6) для данного элемента ход поглощения в зависимости от 入 изобразится прямой (рис. 65). Однако при определенной длине

О/ %。//О/ %。//Рис. 65, Зависимость nor；iOiiiei[fin ре|[ТгеновиК|ТХ лучей от 貝口кны BQ/RE (/Са-ли1|ия серебра и меди),Рис. 65, Зависимость nor；iOiiiei[fin ре|[ТгеновиК|ТХ лучей от 貝口кны BQ/RE (/Са-ли1|ия серебра и меди),

О/ %。//

О/ %。//

Рис. 65, Зависимость nor；iOiiiei[fin ре|[ТгеновиК|ТХ лучей от 貝口кны BQ/RE (/Са-ли1|ия серебра и меди),

Рис. 65, Зависимость nor；iOiiiei[fin ре|[ТгеновиК|ТХ лучей от 貝口кны BQ/RE (/Са-ли1|ия серебра и меди),

волны поглощение испытывает резкий скачок, а затем снова изменяется линейно. Как видно из рис, 65, для меди такой ска， Уок наблюдается при А = 1,3785%, ллн серебра ——при 入= =0,485A. Эти критические длины волн имеют следующее значение, Если освещать какой-либо элемент (напрнмер, Си или Ag) монохроматическими рентгеновскими лучами убывающей длины волны, то, начиная со строго определенной длине： волны возбуждающих рентгеновских лучей, элемент начинает и при дальнейшем уменьшении длины волны продолжает испускать свое собственное характеристическое изьа\чение в виде излучения флуоресценции, Критические длины воли, прн которых

Ag

Pb

0,16

1,4

3,8

2,0

54

1,0

15

73

наблюдается скачок поглощения, как раз совпадают с критиче- скими длинами волн для возбуждения характеристического излучения флуоресценции данной длины волны. Возникновение CKaqxa поглощения учитывается в формулах (30.5) и(30.6) тем, что коэффициент с имеет разные значения по ту и другую стороны критической длины волны.

Упражнения: L Ослабление рентгеновских лучей при прохождении через вещество часто характеризуют указанием толщины слоя вещества, ослабляющего рентгеновские лучи в два раза (толщина половинного цо- глощення, d%). Доказать, что выражается черед формулой

—Q693

2 Массовые коэффициенты абсорбции в алюминии, серебре и свинце для некоторым длин волн даны в таблице.'

Вычислить эффективные сечепия атомов для поглощения указанных длин волн и толщины с；юев половинного поглощения.

§31. Рассеяние рентгеновских лучей

Рассеяние рентгеновских лучей обнаруживает закономерности, отличные ит закономерностей рассеяния свата в оптической части спектра (т. е. в области видимых или ультрафиолетовых лучей). Как известно, в оптической части спектра, где длина волны порядка 10'5 см, т. е. значительно больше атомных размеров (порядка 1 А= IO— см), рассеяние обратно пропорционально четвертой степени длины волны (закон Рэлея, объясняющий голубой цвет неба)、В области рентгеновских лучей длина волны того же порядка величиныт что н размеры атома.- Ока- ззваетс% что и закон рассеяния здесь иной. Именно, рассеяние решгеновских лучей ме зависит 。「 длины 8О/〃о£. Рассматривая рассеяние как результат вынужденных колебаний электронов под, действием электромагнитного поля падающей рентгенов- саой волны, Д〉к. Джт Томсон еще в ранний период изучения рентгеновских лучей вывел следующую формулу л-тп атомного коэффициента рассеяния:

(31-1)(31-1).8久 е' у

(31-1)

(31-1)

гл с е и m — заряд и масса электрон а т с ——скорость света. Атом- нъ1Й номер элемента Z. входящий в ату ©OpvyHy, равен числу электронов в нейтральном атоме. С другой стороны, о。，как уже указывалось^ имеет размерность площади. Таким образом,

咨，咨，-^■n 等；戸兄ожно рассматривать как эффектааное сечение одного электрона для рассеяния рентгеновских лучей. Подставляя сюда известные значения

咨，

咨，

2 = 4,80-07°,春=1,759T0乙 e = 2,997」0 9

8л 68л 63 m33 m3==6,57 70-25 с儿==6,57 70-25 с儿(31,2》(31,2》получаем эффективное сечение электрона

8л 6

8л 6

3 m3

3 m3

==6,57 70-25 с儿

==6,57 70-25 с儿

(31,2》

(31,2》

Радиус этого эффективного сечения равен

г0^4т57-(3L3)

Эта величина того же порядка, что п так называемый «классический радиус электронаэ.

Формула (31.1) была использована Томсоном для определения числа электронов в атоме (равного заряду ядра Z) следующим интересным способом.

Так как по определению атомных коэффициентов (30.4)

(31,4)’(31,5)(31,4)’(31,5)то для массового коэффициента рассеяния формула (31」)дает

(31,4)’

(31,5)

(31,4)’

(31,5)

пользуясь результатом вычислений (31.2), нмеем = 6,57 Гб,。？ Т 严、* 0,40、,

Экспериментальпая проверка формулы Томсона показала, что для легких элементов она довольно хорошо опрашивается. Найденная из опыта величина а/p оказалась не зависящей от длины волны и равной 0,20. Подставляя это знаиенне в (31.5)， получаем,

0,20 = 0,40 •毋 или

(31.6%

т. е, у легких элементов (за исключением водорода) атомной помер должен быть равен половине атомного веса、Это соотношение на самом деле приближенно оправдывается в начале периодической системы [He(Z = 2, < = 4), Li(Z = 3, Л = 7)t

118118РСНТГЕНОВСКНЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫРСНТГЕНОВСКНЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ[ГЛ [V[ГЛ [V

118

118

РСНТГЕНОВСКНЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ

РСНТГЕНОВСКНЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ

[ГЛ [V

[ГЛ [V

С (Z а 6, /4 = 12), я т, д ]. Физические причины^ ведущие к соотношению (31.6), связаны с природой ядерных сил. К рассмотрению интересных и важных свойств рассеянного рентгеновского излучения мы еще вернемся в §§ 123 и 124.

Упражнение Пользуюсь формулой (311) и экспе；рйментальным значением о/p, вычт!с/1ить число электродов в 1 грамм'ятоме.

При помощи этого числа определить, далее, число электронов в I аюме кислорода^ азота и углерода.

§ 32、Дифракция рентгеновских лучейв кристаллической решетке

В § 31 мы внделн, что с рентгеновскими лучами можно осуществлять те же дифракционные явления^ что и со светом、 Однако наиболее простой и практически наиболее важный СПО' соб получения дифракции рентгеновских лучей основан на при- менетши кристалла в качестве дифракционной решетки, ПрИ'

Рис. 66. Кубическая ре・ тетка.Рис. 66. Кубическая ре・ тетка.чина легкости осуществлена 兄 дифракции рентгеновских лучей с 口。・ мощью кристаллов состоит в том» ЧТО порядок ВЕЛИЧИНЫ между л ТОМНЫХ

Рис. 66. Кубическая ре・ тетка.

Рис. 66. Кубическая ре・ тетка.

расстояний в кристалле — тот же, что и порядок длины волны рентгеновских лучей (1 А). Как известно, именно при прохождении рентгеновских лучей через кристаллы была впервые обнару- жена пнфракпп兄 рентгеновских лучей (Лауэ, 1912 г) окончательно доказавшая тождество их природы со светом、

Кристалл представляет собой совокупность закономерно рас・ нреле欣ннзх в пространстве атомов, групп атомов или ноноз («пространственная решетка», напрямер, рис. 66, где изображена простейшая кристаллическая решетка). Для того чтобы найти условия дифракции на таких правильных трехмерных структурах, мы рассмотрим последовательно одномерную (линей^ ную), пвумериую и трехмерную решетку、

Пусть мы имеем ряд рассеивающих центров 0, 2, 5, 4, 5 (атомов), расположенных на одной прямой (рис. 67), и пусть .на §ту линейную решетку падает плоская волна под углом а。.

Каждый из рассеивающих центров 0,丿，2, 3,является источником повои с@ер〃несхо白 воанн, м эти когерентные сферичесяле волны расходятся во всех направлениях. Рассмотрим какое-нибудь произвольное направление, характеризуемое углом а. Раз- ность хода двух луиеЛ, проходящих терез каждую пару сосед- них атомов (0, 1; 1, 2;…5，как видно из рис. 67, равМ а(соз и — cos ©о)、Для того чтобы в направлении а получился дифраквионнь[й максимум, необходимо выполнение условия

a (cos а —>

где h — целое число. Из (32,1) следует

cos а н % 九 、(32.2)

Это показывает, что линейная решетка действует как спек- тральный прибор, так как для каждой длины волны 入 полу- даст。» свое значение угла} возттхае% твхвм о бра-

зом, спектр первого норя&ка, при 力=2—второго порядка^

и т. д. В симметричных направлениях при h — —2 и т. & возникают также спектры — 1-го, —и порядков. Совокупность их образует, таким образом, одномерное многообразна

Если мы теперь примем во внимание, что каждый рассеивающий центр является источником сферической bojhjx, то на- правденият соответствуещне максимуму интерференции опреде。 ленного (вапрммср, первого) порядка для данной длины во/ньг, в пространстве лежат на поверхности конуса с углом при вершине а. На рис. 68 буквой £ обозначена линейная решетка.

Очевидно, что если расположить флуоресцирующий экран или фотопластинку на некотором расстоянии от решетки, то следы интерференционных конусов дадут на этом IJ I — экране гиперболы, по которым будут распо” I Iл о жены максимумы интерференции для оп-

]]]ределенной длины волны.

[т~「[ J Рассмотрим теперь плоскую, т- е. дву-

Рнс. 69. Плоская ре“щетка.Рнс. 69. Плоская ре“щетка.мерную решетку (рис. 69). Яснот что зту решетку можно рассматривать как двойное многообразие линейных решеток, расположенных параллельно осям хну. Пусть теперь на эту решетку падает плоская вол， на, нормаль к которой образует с осями х и у углы и В。. Рассматривая, как и раньше, каждый центр решетки как источпик ,мы внднм, что направления^ в которых

Рнс. 69. Плоская ре“щетка.

Рнс. 69. Плоская ре“щетка.

сферической золнысферической золныполучатся интерференционные максимумы, будут характеризоваться углами а и 8, удов・ летворяющими двум условиям:

сферической золны

сферической золны

а (cos а — cos а0)=小入， 0 (cos 0 cos =九2九，

(32.3)

где— целые числа.

Первое из этих условий есть, очевидно, условие максимума интерференции для нейпых решеток, параллельных оси х. второе — то же условие для решеток, параллельных оси у. Если расположить на некотором расстоянии От ПЛОСКОЙ решетки Рнс, 70. Спектры^ получаемые от пло- флуореецпрующий зкран, тоской решетки.

каждая из систем линейных

решеток, на которые мы разбиваем плоскую решетку, даст на экране свою систему гипербол м, очевидно, оба условия (32.3) будут удовлетворены для тоиек, лежащих на пересечении этих гипербол (рис. 70). Определяя из (32.3) cos а и cos 0, находим

(32・4)(32・4)cos а = cos 5 + /ц ^,

(32・4)

(32・4)

cos В cos Во + 九2 ~ '

Отсюда следует, что для каждой длины волны 入 получаются свои значения а и Р, т. е, и плоская решетка разлагает нзлу・ чение в спектр- При этомт однако, в отличие от линейной решетки получается не простое, но двойное многообразие спектров. В самом деле, определенный спектр характеризуется парой чисел (也，h2). Таким образом, попутаются, например, спектры порядков (十】，+D, ( + 】，+ 分，а также порядков ( + 】,2) и т- д. Это хорошо видно на рис, 70-

Рассмотримт наконец, пространственную решетку. Ее можно разбить на три системы липейныл решеток, параллельных осям х, g н %, Интерференционные максимумы в этом случае поручаются в направлениях, характеризуемых углами а, 0, 丫, ксто・ рне должны удовлетворять одновременно трем условием'.

(32.5>(32.5>a (cos а ——cos а» =儿厶,a (cos 0 --cos %)=九2A,a (cos 丫 一 cos у。)=后入・

(32.5>

(32.5>

Определим из этих условий направляющие косинусы для интерференционных максимумов

cos а = cos % + d 彳，

(32.6)(32.6)cos 8 =cos 氏 + *,cosy == cos Yo + Лз —-

(32.6)

(32.6)

Здесь, как видно, порядок интерференции определяется уже тремя числами (儿,九2, Вместе с тем обнаруживается и новое обстоятельств。，а именно, что интерференционные максимумы возможны не для любых длцн волн, а только для некоторых, совершенно определенных. В самом лене, наряду с условиями (32.5) для любого направления в пространстве автоматически удовлетворяются еще условия

COS? % + COS2 仇 + CO$2 Ys = h CO$2 a + COS2 6 4- COS? Y = 1. (327}

Поэтому из (32.5) определяются не только направляющие ко・ синусы максимума интерференцилт но и длина волны^ для которой эта интерференция имеет место. Действительно, возводя в квадрат равенства (32,6), складывая их и принимая во внимание формулы (32,7)т найдем

1 = 1 + 不© 十耀 + 磅 + 2 £ (% cos % + % cos Bo + % cos Yo),

откудаоткудаa=一2aa=一2a力1 COS % 十力2 COS Po叶 ％ COS Yuh沁M+襦力1 COS % 十力2 COS Po叶 ％ COS Yuh沁M+襦(32.8)(32.8)

откуда

откуда

a=一2a

a=一2a

力1 COS % 十力2 COS Po叶 ％ COS Yuh沁M+襦

力1 COS % 十力2 COS Po叶 ％ COS Yuh沁M+襦

(32.8)

(32.8)

Это и означает, что при данном направлении падающей плоской волны (заданные «о, В。，Yo) максимум интерференции определегн ног。 порвдка (自，点场з) получается только для длины волны, удовлетворяющей равенству(32.8).

Геометрическая иллюстрация, которой мы пользовались при рассмотрении линеннок и плоской решеток/ позволяет легко по HQTb причину этого ограничения. Предположим для простоты, что нормаль к палающей плоской волне направлена по оси z и что экран расположен также нормально к оси г. Тогда напра

Рис. 7к условияРис. 7к условияГеометрическая иллюстрация интерференции в пространственной решетке.Геометрическая иллюстрация интерференции в пространственной решетке.условияусловиявлсния максимумов интерференции для линейных ре・ 【не?ок, параллельных оси 2、 расположатся по поверхности конусов, которые дадут на зкране систему кругов ) (рис. 7i), причем каждый круг будет соответствовать определенной длине волньи 入 и определенному порядку интерференции 应 3 = const С другой сторопы, каждая из плоских решеток, парал・ лельн^х плоскости xyt даст длн данной цлины волны со вокушгость интерференционных максимумов, лежащих на пересечении двух систем гипербол (см, рнс. 70). Для того чтобы при А == const были удовлетворены все три рис 71 прошли через точки

Рис. 7к условия

Рис. 7к условия

Геометрическая иллюстрация интерференции в пространственной решетке.

Геометрическая иллюстрация интерференции в пространственной решетке.

условия

условия

(32,6), нужно, чтобы круги __пересечения 「нперб。』， что при наличии одной опрёделештой(32,6), нужно, чтобы круги __пересечения 「нперб。』， что при наличии одной опрёделештойдлины волны крайне маловероятно. Таким образом, при осве， щении пространственной решетк^ монохроматическим нзлуие， ннем или излучением с линейным спектром возникновение игр терферетщии крайне маловероятно. Напротив, при освещении решетки излучением со сплошным спектром всегда найдется подходящая длина волны, удовлетворяющая всем условиям ин・ терференции. Таким образом, после прохождения через пространственную решетку волна, обладающая сплошном спектром, разбивается па систему мопохроматическик интерференционных лучей, дающих на экране (фотопластинке) совокупность слм・ метр^чио расположенных интерференционных пятен, и если бы

(32,6), нужно, чтобы круги __

пересечения 「нперб。』， что при наличии одной опрёделештой

(32,6), нужно, чтобы круги __

пересечения 「нперб。』， что при наличии одной опрёделештой

мы могли мх непосредственно воспринимать глазом, то они представились бы нам различно окрашенными.

Заметим в заключение, что предыдущие рассуждения применимы для любой длины волны и для решеток с любым расстоянием между центрами со следующими ограничениями： длина волны 入 должна быть меньше параметра решетки а, так как при X й и условия (32.2), (32.7) и (326) не могут быть удовлетворены ни для какой длины волны (косинус не может быть больше 1!). С другой стороны, если 入/ то условия интерференции могут быть удовлетворены, но углы а, р, 丫 оказываются очень малыми и наблюдение интерференции становится затруднительным, Именно поэтому для интерференции рентгеновских лучей в кристаллах особенно благоприятно то, что длина волны рентгеновских лучей ——того же порядка венииннз, что и междуатомные расстояния в кристалле.

Рис, 72, Дифракция света на пространстненной решетке, образованной в ксилоле трсм^ ультразвуковыми во刀намя, нат1райлеи[1ыми под углом 90 ° (а\ у г 刀ом 120© (6),

Для получения пространственной решетки с периодом а, подходящим для дифракции видимого света； пользуются ультразвуковыми волнами. Ультразвуковые волны в жидкостях и твердых телах могут быть 门служены с длиной волны порядка 10~4— 10-5 см, близкой к длинам воли видимого спектра (7^ 10~5 4' lfr-5 см)、 Поэтому, если образовать стоячие плоские ультразвуковые волны в жидкости или в твердом теле, то возникающая система уплотнений。разрежений создает прекрасную дифракционную решетку для света. Естественно ожидать, что три ультразвуковые волнн, направленные взаимно перпендикулярно или под какими-нибудь другими углами, дадут пространственнук>

решетку с периодом, подходящим для дифракции видимого света. Это ожидание действительно оправдывается. На рис. 72 приведены два примера фотографий, полученных при пропускании света через жидкость (ксилол), в которой возбуждались три ультразвуковые волны одинакового периода； Дифракционные пятна видны здесь очень хорошо. Сравнение с рис. 74 (см. ниже), где приведена так называемая дифракционная картина Лауз, полученная при пропускании рентгеновских лучей через кристалл кварпа, показывает, что дифракция света на ко кусственной пространственной решетке кристалла (а—порядка 16T см, т. е. порядка длины волны рентгеновских лучей) дает совершенно аналогичные картины.

§ 33. Экспериментальное осуществление дифракциирентгеновских лучей

В предыдущем параграфе мы рассмотрели дифракцию рентгеновских лучей при помогци метода Лауэ. Экспериментальная установка для наблюдения дифракции по этому методу очень проста. Узкий пучок рентгеновских лучей, выделяемый круглым

рис- 73. Схома получения дифракции рснтге・horckhx лучей 口。методу Лауз.рис- 73. Схома получения дифракции рснтге・horckhx лучей 口。методу Лауз.отверстием в толстом свинцовом экране В (рис. 73), проходит через кристалл К. Возникающие при этом дифракционные пучки фиксируются в виде пятен на фотопластинке Р, расположенной перпендикулярно к пучку лучей. В качестве примера фотографий, получаемых по этому методу, на рис. 74 приведена картина дифракции в кристалле кварца. На основании сказанного в предыду^

рис- 73. Схома получения дифракции рснтге・horckhx лучей 口。методу Лауз.

рис- 73. Схома получения дифракции рснтге・horckhx лучей 口。методу Лауз.

щем параграфе для получения дифракции по методу Лауз необходимо пользоваться тор

мозным рентгеновским излучением, имеющим сплошной спектр.

У. Г- Брэгг и У- Л. Брэгг (отец и сын), а также, независимо от ннх, русский физик-кристаллограф 10- В- Вульф предложили другой метод рассмотрения и расчета дифракции рентгеновских лучей. Коротко говоря, этот метод состоит в том, что каждое пятно рентгенограммы Лауз рассматривается как результат интерференционного отражения рентгеновских лучей- Обратимся к простейшему случаю кубической кристаллической решетки, ^рарендой на рис. 76.

Представим себе оси координат, проведенные так, чтобы осн z были направлены вдоль ребер куба; тогда расположение атомов в плоскости ху представится рис. 75. Любая плоскость,

пересекающая кристалл перпендикулярно к плоскости ку、 оставит в этой плоскости след в виде прямой (например, / или К 2 или 2'). Очевидно, прежде всего, “то мы можем разбить весь кристалл на ряд плоскостей …нлн 2,2，，，параллельных его естествен。 ным граням. Эти плоскости будут одинаково густо усеяны атомами и будут ОТСТОЯТЬ друг от друга на одинаковое расстояние d равное ребру элементарной кубической ячейки. Однако из того же рисунка видно, что аналогичное разбиение можно осуществить мно・

Рис- 74. Дифракция рентгеновских лучейв кристалле кварца.Рис- 74. Дифракция рентгеновских лучейв кристалле кварца.только густотой заполнениятолько густотой заполненияжеством других способов. Таковы, например, плоскости S,3',.・・；4, 4‘,・..； они отличаются от плоскостей /, Г、.・・ н 2, 2',жеством других способов. Таковы, например, плоскости S,3',.・・；4, 4‘,・..； они отличаются от плоскостей /, Г、.・・ н 2, 2',Рнс. 75. Сетчатые плоскости-Рнс. 75. Сетчатые плоскости-атомами и межплоскостным расстоянием.

Рис- 74. Дифракция рентгеновских лучейв кристалле кварца.

Рис- 74. Дифракция рентгеновских лучейв кристалле кварца.

только густотой заполнения

только густотой заполнения

жеством других способов. Таковы, например, плоскости S,3',.・・；

4, 4‘,・..； они отличаются от плоскостей /, Г、.・・ н 2, 2',

жеством других способов. Таковы, например, плоскости S,3',.・・；

4, 4‘,・..； они отличаются от плоскостей /, Г、.・・ н 2, 2',

Рнс. 75. Сетчатые плоскости-

Рнс. 75. Сетчатые плоскости-

Рассмотрим теперь одну из таких систем плоскостей, например плоскости, параллельные естественной грани (т. е. 1, или 2, 2‘,…).Пусть на них падает параллельный пучок монохроматических лучей с длиной волыы X- Рассматривая атомы как центры новых

когерентных элементарных волн, мы получаем для каждой из плоскостей отражение ну-

порядка под углом,порядка под углом,левоголевогоравным углу падения- При этом отражение для одной единственной плоскости будет ^про- лсходнть совершенно одинаково для любой длины волны, так

порядка под углом,

порядка под углом,

левого

левого

как мины путей для всех лучей между собой равны, а следовательно, и разности хода всегда равны нулях Примем теперь во внимание, что отражение происходит не от одной плоскости, но от системы равноотстоящих плоскостей. В 9ToM случае картина осложняется интерференцией когерентных 力｝рей, отраженных от различных плоскостей, и отражение на самом деле получится не для любой длизты волны, а только для некоторых, вполне определенных. Действительно, лучи / и 2 (рис. 76), отраженные От плоскостей / и 〃，имеют разность хода, равную，

как легко усмотреть из чертежа, 2d sin 也 где 仆一

Ри ■. 76. К выводу уравнена Вульфз—Брэгга-Ри ■. 76. К выводу уравнена Вульфз—Брэгга-угол скольжения, т. е. дополнение до 90° к падения- Поэтому отражение будет иметь место только для тех волн, для

Ри ■. 76. К выводу уравнена Вульфз—Брэгга-

Ри ■. 76. К выводу уравнена Вульфз—Брэгга-

которых эта разность хода равна целому числу длин волн. Итак, для интерферечииошюго отражения рентгеновских лучей должно быть соблюдено условие

Это и есть формула Вульфа — Брэгга, лежащая в основе всей спектроскопии рентгеновских лучей<

В действительности отражение происходит от многих плоскостей, т. е，интерферируют между собой не два пучка, но много пучков. Однако влияние этих многократных отражений не меняет условия максимума интерференции, а совершенно так же, как в оптике), сказывается только в том, что вместо широких интерференционных полос получаются узкие линии, т，е. оказывается очень благоприятным дли применения этого метода в спектроскопии рентгеновских лучей. Условие же (33.1) для отражения остается без изменения.

Мы рассматривали до енх пор отражение от системы плоско- сте% параллельных естественной грани кристалла. Ничто не мешает нам, однако, рассматривать с теми же результатами и отражештя от других систем плоскостей, вроде 3,贷….；4,4：… и т. д, Можно показать совершенно строго), что каждое пят-

но рент1енограммы Лауз является результатом интерференционного отражения от определенной системы сетчатых плоскостей. Таким образом, метод Вульфа — Врагта, как способ рассмотрев ния, эквивалентен методу Лауз. Однако метод Вульфа — Брэгга имеет и большое само-

стоятельное значение ввиду того, что он, как уже указывалось, лежит в основе спектроскопии рентгеновских лучей, а также—одного из наиболее плодотворных методов анализа крксталнОЕ,

Простейшая схема рентгеновского спектрографа изображена на рис. 77. Параллельный пучок рентгеновских 』у~ чей падает па кристалл к, расположенный на вращающемся столике; 尸戶尸'——фотопленка, Вме-

Рнс. 77, Схема рентгеновского спектро-графа.Рнс. 77, Схема рентгеновского спектро-графа.сто фотопленки иногда

Рнс. 77, Схема рентгеновского спектро-графа.

Рнс. 77, Схема рентгеновского спектро-графа.

применяется ионизационная камора, поворачивагоихаяся одновременно с кристаллом на двойной

угол (объяснить почему!).Сила ионизационного то-угол (объяснить почему!).Сила ионизационного то-тучен от кристалла NaCLтучен от кристалла NaCLка, возгшкающего в камере под действием рентгеновских лучей, является мерой интенсивности этих лучей. Если излучение обладает линейным спек г- ром и состоит из нескольких длин ВОЛН 入 1,入2 то каждая длина волны будет отражаться при своем угле определяемом формулой Вульфа — Врзгта, Таким образом, кривая интенсивности рентгеновских лу чей в за-

угол (объяснить почему!).Сила ионизационного то-

угол (объяснить почему!).Сила ионизационного то-

тучен от кристалла NaCL

тучен от кристалла NaCL

висимости от угла поворота кристалла будет иметь ряд максимумов, которые должны повториться в различных порядках отражения. На рис. 78 приведен пример такой кривой, полученной кри отражении от кристалла NaC излучения рентгеновской трубки с платиновым антикатодом.

Рис. 79. Схема получения дифракции рентгеновских лучей по методу кристаллических nOpOHlKOB.Рис. 79. Схема получения дифракции рентгеновских лучей по методу кристаллических nOpOHlKOB.Три резких максимума этой кривой Ль В〕，Сь последсвагельно повторяющихся в трех порядках отражения, соответствуют трем спектральным линиям платины Лат Кв и К* То обстоятельство, что интенсивность отражении вне диний не равнаси

Рис. 79. Схема получения дифракции рентгеновских лучей по методу кристаллических nOpOHlKOB.

Рис. 79. Схема получения дифракции рентгеновских лучей по методу кристаллических nOpOHlKOB.

Примеры фотографий рентгеновских спектров Приведены пиже на рис. 84 и 85-Кроме рассмотренных двух методов рентгеновских лучей, существует еще кристаллических порош-' ков, получивший весьма широкое применение в анализе строения твердых тел при помощи рентге^ новскнх лучей- В этом метоне, предложенном Дебаем и Шеррером. вме- • ■ сто больших кристаллов, необходимых для применения методов Лауэ и Вульфа — Брэгга, используется но возможности мелко растертый кристаллический порошок, спрессованный в цилиндрический столбик (Кнарис.79).Примеры фотографий рентгеновских спектров Приведены пиже на рис. 84 и 85-Кроме рассмотренных двух методов рентгеновских лучей, существует еще кристаллических порош-' ков, получивший весьма широкое применение в анализе строения твердых тел при помощи рентге^ новскнх лучей- В этом метоне, предложенном Дебаем и Шеррером. вме- • ■ сто больших кристаллов, необходимых для применения методов Лауэ и Вульфа — Брэгга, используется но возможности мелко растертый кристаллический порошок, спрессованный в цилиндрический столбик (Кнарис.79).получения дпфракпии третий метод— методполучения дпфракпии третий метод— метод2323Рис. 80.Рис. 80.力力Если пропустить через такой столбик монохроматическое рентгеновское излучение> то вследствие полной хаотичности в ориентировке мнкрокрнсталлов порошка в столбике всегда найдутсяЕсли пропустить через такой столбик монохроматическое рентгеновское излучение> то вследствие полной хаотичности в ориентировке мнкрокрнсталлов порошка в столбике всегда найдутсястематически возрастает при уменьшении угла отражения, имеет следующую простую Причину: при бомбардировке пллгинового антикатода электронами, кроме характеристического излечении, возникает еще и тормозное излучение, которое имеет сплошной спектр- Благодаря 9To- му спектральные линии платины накладывают- ся на сплошной фон.

Примеры фотографий рентгеновских спектров Приведены пиже на рис. 84 и 85-

Кроме рассмотренных двух методов рентгеновских лучей, существует еще кристаллических порош-' ков, получивший весьма широкое применение в анализе строения твердых тел при помощи рентге^ новскнх лучей- В этом метоне, предложенном Дебаем и Шеррером. вме- • ■ сто больших кристаллов, необходимых для применения методов Лауэ и Вульфа — Брэгга, используется но возможности мелко растертый кристаллический порошок, спрессованный в цилиндрический столбик (Кнарис.79).

Примеры фотографий рентгеновских спектров Приведены пиже на рис. 84 и 85-

Кроме рассмотренных двух методов рентгеновских лучей, существует еще кристаллических порош-' ков, получивший весьма широкое применение в анализе строения твердых тел при помощи рентге^ новскнх лучей- В этом метоне, предложенном Дебаем и Шеррером. вме- • ■ сто больших кристаллов, необходимых для применения методов Лауэ и Вульфа — Брэгга, используется но возможности мелко растертый кристаллический порошок, спрессованный в цилиндрический столбик (Кнарис.79).

получения дпфракпии третий метод— метод

получения дпфракпии третий метод— метод

23

23

Рис. 80.

Рис. 80.

力

力

Если пропустить через такой столбик монохроматическое рентгеновское излучение> то вследствие полной хаотичности в ориентировке мнкрокрнсталлов порошка в столбике всегда найдутся

Если пропустить через такой столбик монохроматическое рентгеновское излучение> то вследствие полной хаотичности в ориентировке мнкрокрнсталлов порошка в столбике всегда найдутся

кристаллики, расположенные по отпощению к лучу под углом, удовлетворяющим условию Вульфа — Брэгга для данной длины волны. При 9ToM отраженное лучи идут по поверхности конуса с углом при вершине, равцьш 20 (рис. 80). Если окружить столбик фотопленкой, как показано на рис. 79, то эти конусы оставят на пленке след.ы в вине кривых лшшйт каждая из которых соответствует определенной длине вол цы и определенному порядку отражения. Пример такой фотографии, полученной по методу кристаллических порошков, приведен на рис. 81.

Рн& 81. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллическом порошке N'aCL

Огромное преимущество метода кристаллических порошков состоит именно в том, что он не требует больших кристаллов безукоризненного качества. Лишь немногие вещества в природе встречаются в виде таких кристаллов, а выращивание кристаллов удается далеко не во всех случаях,

У е р а ж и е ц и е. Отражение первого порядка спскгралЬЕЮй линии медз с длиной волны 1>542 А (линия К； меди) от есгественной грани кристалла каменной соли происходит при угле скольжения 15° 15'. Определить величину d для NaCl

§ 34. Определение длины волны рентгеновскихспектральных линий

Уравнение Вульфа — Брэгга (33.1) позволяет определить длину полны рентгеновских лучей по углу отражения 仆，если известна величина d — расстояние между соседпимп атомными плоскостями в Кристалле. Эта велЕЩИна может быть вычислена независимым путем следующим образом. Пусть м&【имеем кристалл правильной системыт т. е. такой, элементарная ячейка которого имеет форму куба. Примером может служить кристалл каменной соли (NaCl). Одна грамм-молекула NaCl имеет массу 応=58,454 2nB ней заключается число молекул NaCl, равное постоянной Авогадро ^; поэтому число ионов Na+ и CL в ней будет равно 2N.

Рассмотрим элементарнутО ячейку кристалла NaCI. Изучение структуры этого кристалла показано, что в вершинах элемен- тарного куба располагаются ле молекулы NaCl, но ноны Na+ н С!- (рис. 82). Таким образом, в 8 вершинах кубической ячейки помещается 8 ионов, но так как каждая из вершин является общей для 8 соседних ячеек (это хорошо видно на рис. 82 для

5 В Шли '1ьскайь т. j

центрального иона О), то на каждую ячопку приходится по одному иону. Если длина ребра ячейки равна d, то объемF ее будет d3, а весь объем одной грамм-молекулы, заключающей 2N ионов, будет 2МЛ С другой стороны, тот же обьем равен отно' шенню массы Л1 к плотности кристалла р, и мы получаем 2Nd3 = ? или

е = УГ斉(34」)

Из этой формулы видно, что правильность определения d, а следовательно, и 九 существенно завнент от достоверности зиа・ ния постоянной Авогадро. Возрос этот имеет большое значение для атомной физики, и мы к нему еще вернемся в § 38. Пока же заметим, что если принять для dNaci стандартное значение

d = 2,81400K

ТО ДЛЯ ДЛИНЫ ВОЛНЫ ЛИНИИ меди получается

Л = (1,5373 02 士 0,0 00 031) - 10-а

Рн& 82, Крчстадаческая решетка хлористого натрия. Светлые _ кружки — ионы хлора (СГ)； черные кружки —ионы натрия (Na*),Рн& 82, Крчстадаческая решетка хлористого натрия. Светлые _ кружки — ионы хлора (СГ)； черные кружки —ионы натрия (Na*),Как видно, точность настолько высока, что 1 А(=оказывается

Рн& 82, Крчстадаческая решетка хлористого натрия. Светлые _ кружки — ионы хлора (СГ)； черные кружки —ионы натрия (Na*),

Рн& 82, Крчстадаческая решетка хлористого натрия. Светлые _ кружки — ионы хлора (СГ)； черные кружки —ионы натрия (Na*),

здесь неудобной единицей,так какчиС' л。достоверных десятичных знаков получается слишком большим*), ПОЭТО' му в спектроскопии рентгеновских

чей в большинстве случаев применяется друган единица, наз"・ васмая Х・едлннней：

1Х-10^А=с卅(34,2)

В этих единицах написанная выше 艮门ина соллы изобразится числом

"(15 3 7,3 02 ± 0,031)

§ 35. Спектры рентгеновских лучей

На рис. 83 дана схема рентгеновских спектров элементов, от кислорода до урана. Уже бсмый взгляд на этот рисунок обнаруживает замечательную особенность рентгеновских спектров —

Следует, однако, заметить, “то лрипеденное число заключает в себе некоторую систематическую погрешность, о которой речь 6}пет в § 37 Здесь длина воаны Ка линии меди приводится лишь для чарактерис, ики числа зна- КОВ> С которыми могут быть указа *履 Длины 50方辽 2 CneKrpi'Caonim pC〃7T8"0G， скпх лучей.

их простоту и единообразие, В то время как оптические спектры нередко очень сложны и иногда состоят из сотен или лаже ты

сяч лйняй (напрпмер, спектр железа), рентгеновские спектры характеризуются малым числом линии. При переходе от эле-

Рнс. 83» Схема рентгеновскйх спектров различных элементов, (По оси орди-нат отложена атомное номера элементоц；)

с периодичностью остальных свойств элементов; напротив, рент’ геновскне спектры построены совершенно однотипно, никакой периодичности нс показывают и единственное изменение, которое наблюдается при переходе От легких элементов к тяжелым, заключается в монотонном смещении линий в сторону коротких волн. Наконец, как уже бьтло указано в § 29, рентгеновские спектры являются чисто атохным свойством и в первом приближении вовсе нс меняются, когда атом вступает в какое-либо соединение,

Как мы увидим далее, зта резкая разница в характере оптических и рентгеновских спектров обусловлена тем, что те и другие спекгрьг возникают в разных частях атома： оптические слек- тры обусловлены движениями периферических электронов, в то

время как рентгеновские спектры возникают во внутренних частях атома.

Рис. 83 показывает также, что линии в рентгеновских спектрах собраны в несколько-

групп или серий. Самая коротковол-

новая из этих серий называется серией К, следующая в сторону длинных волн — серией далее идут серии М и М наблюдаемые, впрочем только у тяжелых элементов. В действительности, оказываете% что все эти серии имеют естественное продолжение в оптической части спектра, однако соответствующие линии

возбуждаются лишь но особых условиях.

приИз

совершен- всех серий

рентгеновских спектров наиболее простой структурой характеризуется серия К. Она состоит из трех линий, которые принято называть К。，Кб и ^Y■ П"нн兄 К& — самая длинноволновая и вместе с тем наиболее яркая. Она является отчетливо разделяющимся дублетом и состоит из двух

Рис, 84 Спектры Клерки неко-торых элементов.

компонент а(

и &第 Лниня К° —

дублетом, но оиснь тесным

следующая по длине волны и по интенсивности; огга также является

и не во всех

случаях разрешенным.

Линия Ку — самая коротковолновая.

Рис. 85. Фотография спектра £^серии вольфрама.

Типичным примером серий К может служить спектр родня, изображенный на рис. 63. Здесь видно, что эта серия состоит из трех линий — Ке, К* Как уже было сказано, линия яв・ льется дублетом, т. е. состоит из двух тесно расположенных

й закономерно связанных между собой линий. Однако на рис. 63 эта «тонкая структура» линий не видна вследствие малой разрешающей способности прибора. На рис. 84 приведено несколько фотографий серив К различных элементов, На рис. 85 в качестве примера приведена фотография серии L вольфрама. Видно, что эта серия имеет значительно более сложную струк， туру, нежели серия К, хотя вес еще состоит из небольшого чис， ла линий.

§ 36. Закон Мозели

При исследовании рептгегювеких спектров элементов Мозоли (19131914 гг.) установил простой закон, связывающий частоту спектральных линий с атомным номером испускающего их элемента.

Эта закономерность бросается в глаза при простом рассмотрении рис. 83，Здесь спектры расположены по шкале длин волн, которые нанесены на горизонтально宓 оси, а по вертикальной оси отмечены атомные номера, Так как все спектрьг совершенно однотипны, то можно проследить смещение какой-ггибудь определенной линии (например, одной из линий серии К) при увеличении атомгюго номера. Прг1 этом легко заметить, что кривая, представляющая зависимость длины волны От атомного номера, имеет вид параболы. Более простая закономерность получается, если вместо длин волн рассматривать частота с/Х или просто обратные длины волн !/兀 Тогда оказывается, Что квадратный корень из обратной длины волны, У1/А, связан с атомным номером линейной зависимостью. Особенно интересный и теоретически важный вид приобретает эта закономерность, если ввести в рассмотрение еще универсальную константу, входящую во все спектральные законы, — так называемую постоянную Ридберга R, равную 109 737厶2 слИ (см、「/, VK1)、Мозели показал, что,

например, для линии дч число Q^a, разом:_Qk” -丿 3где 弘, на единицу меньшеQh = Z —построенное следующим。6・京，(36,1)атомного номера(36.2)например, для линии дч число Q^a, разом:_Qk” -丿 3где 弘, на единицу меньшеQh = Z —построенное следующим。6・京，(36,1)атомного номера(36.2)

например, для линии дч число Q^a, разом:_

Qk” -丿 3

где 弘, на единицу меньше

Qh = Z —

построенное следующим。6・

京，(36,1)

атомного номера

(36.2)

например, для линии дч число Q^a, разом:_

Qk” -丿 3

где 弘, на единицу меньше

Qh = Z —

построенное следующим。6・

京，(36,1)

атомного номера

(36.2)

Это видно из таблицыИз (36.1) и (36.2) представить в видеIX.получаем |/ 守齐=Z—1, что можно =R(Z — 1)2 (+ —击)♦(36.3)Это видно из таблицыИз (36.1) и (36.2) представить в видеIX.получаем |/ 守齐=Z—1, что можно =R(Z — 1)2 (+ —击)♦(36.3)

Это видно из таблицы

Из (36.1) и (36.2) представить в виде

IX.

получаем |/ 守齐=Z—1, что можно =R(Z — 1)2 (+ —击)♦(36.3)

Это видно из таблицы

Из (36.1) и (36.2) представить в виде

IX.

получаем |/ 守齐=Z—1, что можно =R(Z — 1)2 (+ —击)♦(36.3)

Т а б л и ц а IX

Элемегтт

У 嗔及

Элемент

Z

Са

19,00

2c

Fe

24,99

26

Т1

20,99

22

Со

26,00

27

V

21,96

23

Ni

27,04

28

Сг-

22,98

24

Си

28,01

29

Мп

23>99

25

Zn

29,01

30

Аналогичные соотношения имеют место и для линий других серий рентгеновского спектра. Например, для серии А соотношение Мозели имеет вид

,=R (Z — о)2 (击一靑)， (36.4)

где о — некоторое постоянное число.

Формулы (36,3) и (36,4) уже своим симметричным видом показывают, что мы имеем дело с какой-то существенной закономерностью принципиального характера. В дальнейшем мы увннхм, что эти формулы являются частными случаями общих формул спектральных серий, имеющих ясное теоретическое кс・ толкование. Здесь же важно отмстить, что закон Мозели для всех серий рентгеновского спектра устанавливает линейную связь между квадратным корнем нз обратной длины волны спектральных линий и атомным номером (рис. 86). Эта связь позволяет по измеренной длине волны точно установить атомный номер данного элемента, а следовательно^ заряд его лдра.

Значение этого закона сделается особенно ясным, если принять во внимание, что расположение элементов в периодической системе, основанное па атомных весах и химических свойствах элементов, далеко не во всех случаях было сделано с полной уверенностью- В различных частях периодической таблицы были пусть倬 места, отвечающие неоткрытым элементам; далее, участок от Z = 58 no Z = 71 (во время Мозели считалось до Z = =72) занят элементами редких земехь, химические свойства которых различаются настолько мало и атомные веса которых нередко бьгли настолько недостоверны^ что правильность их расположения по порядку возбуждала большие сомнения. Закон А^озеан устранил все Зти затруднения. Он показал с полпон определенностью, что между водородом и ураном должно существовать ровно 92 типа атомов с различными атомными номерами, и тем самым точно указал число еще неоткрытых в то

время элементов. Кроме того, он устранил (акже всякие сомнения в правильности размещения тех Элементов, которые были расположены ^Менделеевым в порядке, противоречившем значениям их атомных весов (Со—Ат—К, Те—1)- Вместе с тем этот закон впервые показал, что не атомной вес, но атомной номер, равный зарВДу ядра, определяет химическую индивадуаль- ность атома. Этот вывод нашел замечательное подтверждение в открытии изотопов.

£^&3三占2鼻找龄区川公^E%3?耘蒞^MMHF^g^n 殁0 0目«忠&^焉^^石扌句纟€*§弯^^玄^鼠^匈^8戈^*徒冷段言^量^^&^

Заметим в заключение, что в этом законе зеиь отчетливо выражена одна существенная особенность, характерная для рентгеновских лучей: резттгеновские спектры изменяются монотонно при изменении атомного номера Z С этим следует со- посгавнть тот факт, что многие свойства атома, как, например, химическая валенihocilt удельный объем и ряд других свойств, указаниях в § 12, изменяются периодически с увеличением

Рис- 87, где па одном чертеже представлены прямые, выражающие закон Мозе研 и кривая атомных объемов, имеющая рях резких максимумов и минимумов, подчеркивает эту особенность рентгеновских лучей особенно ярко.

Объяснение зтосо различия cgctgr少 в том, что рентгеновские спектры, как мы увидим в главе второго тома, возникают во внутренних частях атома и показывают, таким образом, что эти

&N險忘 *0^会总再^冬夫2%0

внутренние, ближайшие к ядру области атома обладают у различных атомов одинаковой структурой, в то время как внешние, периферические части атома характеризуются периодически повторяющейся структурой.

§ 37. Абсолютное определение длины волнырентгеновских лучей

Показатель преломления рентгеновских лучей очень мало от・ лнчается от 1. Долгое время думали даже, что рентгеновские лучи вообще не преломляются. Одна ко было замечено, что для рентгеновских лучей больигой длины волны (2—3 А) наблюдаются систематические отступления от формулы Вульфа — Брэгга, которые были истолкованы как следствие тог。, что рентгеновские лучи испытывают преломление в кристалле (при выводе формула Вульфа—Брэгга показатель преломления принимается равным 1!)> Характер этих отступлений указывал на то, что показатель преломления рентгеновских лучей при переходе из воздуха в кристалл меньше 1- Из этого следовало, что рентгеновские лучи При переходе из воздуха в твердое тело могут испытывать полное отражение совершенно аналогично тому, как свет при переходе из стекла в воздух при углах падения, бблыиих критического^ испытывает полное отражение, называемое обычно внутренним. А> Комптон в 1923 г\ показал, что полное отражение рентгеновских лучей при переходе из воздуха в твердое тело действительно наблюдается, и, определив критический угол, нашел показатель преломления. Для длины волны 1,279 А критический угол в случае кронгласа с плотностью 2,52 оказался равным ]1〔 что соответствует показателю преломле- нля, меньшему 1 на 5「О"е.卩==0,999995),

Это открытие показало^ что возможно получение спектров рентгеновских лучей о.т обыкновенной дифракционной решетки, если ею пользоваться как отражательной решеткой при углах падения, ббльшхх критического^ т. е при очень М2,т以х углах скольжения. Так как максимальный угол полного отражения для различиьтх длин волн н различных веществ меняется в пределах от 10’ по 3°, то дифракционные решетки, которыми надлежит пользоваться в случае рентгеновских лучей, должны быть грубее, нежели решетки, обычно применяемые в оптике. Это может показаться на первый взгляд парадоксальным^ однако, следует иметь в виду, что нрн малых углах скольжения 甘 решетка с периодом d действует как решетка с периодом d sin-ft при нормальном падении лучей *) h Так как синус 10’ равен

*)См., напрнмер, Г, С Ландсберг^ Оптика, Гостехнэдат, 1957, етр.曲，

3'1 о-3, то Эффективный период даже очень грубой решетки при таких углах скольжения становится настолько малым, ито ло-

лучается возможность наблюдать дифракцию рентгеновских лучей. Так, например, при таком угле решетка всего с 50 лициямтг

Рис. 88. Схема опыта ⑪月 получения спектров рентгеновских лучей от дифракционной решетки. (ШирЕИга щелей ei S2 равна 0>01 лм厶 расстояние между ними 42 см)Рис. 88. Схема опыта ⑪月 получения спектров рентгеновских лучей от дифракционной решетки. (ШирЕИга щелей ei S2 равна 0>01 лм厶 расстояние между ними 42 см)на мм действует, как решетка с 17 000 линий на

Рис. 88. Схема опыта ⑪月 получения спектров рентгеновских лучей от дифракционной решетки. (ШирЕИга щелей ei S2 равна 0>01 лм厶 расстояние между ними 42 см)

Рис. 88. Схема опыта ⑪月 получения спектров рентгеновских лучей от дифракционной решетки. (ШирЕИга щелей ei S2 равна 0>01 лм厶 расстояние между ними 42 см)

厶 а лучшие современные решетки имеют 1200 линий па

На рис. 88 изображена схема опыта для получения дифракционных спектров От оптической решетки, а на рис. 89 приведены фотографии спектров сепии К меди (длины волн 1,392 А и 1,542 А) к хрома (длины волн 2,084 А и 2,291 А), полученные с решетками с числом лини%

,/указанных в подписи

(наибольшее число линий — 287 на 川川).Цифры 2> 3, ... означают порядок спектра.'''

Для определения длин волн по этим спектрпользуются уравнением дифракционной решетки при косом падении лучей•

「Re г —угол падения, а г —угол дифракции. Заменяя углы t н г углами скольжения Она, показанными на рис. 88, получаем уравнение решетки в том ваде, в каком им арактид'еехх пользуются в спектроскопии рентгеновских лучей;

(37.1)(37.1)d [cos 仆一cos (仆 + a)] = tt^

(37.1)

(37.1)

2d sin-^±^sin| = ^,2d sin-^±^sin| = ^,(37.Г)(37.Г)или

2d sin-^±^sin| = ^,

2d sin-^±^sin| = ^,

(37.Г)

(37.Г)

Зто уравнение позволяет производить абсолютное определение длины волнея рентгеновских лучей, т- е. определение, не зависящее от знания каких-либо констант, получаемых косвенном образом (ср. § 34). Действительно, посюялцая дифракционной

*) Г. С, Л а л д с б ср г. Оптика. Гос^хлздат, 1957, стр 167.

решетки d может быть либо измерена непосредственно компа- paiopOM, либо опрепелсиа обьппым в оптике способом, т. е. путем гралумроак" ре山по одному из спектроскопических стандартов, а углы Она непосредственно измеряются с высокой степенью точности- Практически для определения d пользовались зеленой линией спектра паров меди 入= 5153,25 А. Точность таких абсолютных измерений длин волн рентгеновских лучей баиа оценена в 0,002—0,004%.

Рис. 89. Типичные рентгеновские спектры от дифракционной решетки (увеличенные примерно в 2 раза): D — прямой луч; 0 — нулевой порядок (луч, испытавший полное отражение). Фотографии /—4 рентгеновские спектры К-серии мелщ полученные с помощью решеток, имеющих 5。： 287; 60 и 143 линии на J мм. Фотография 5 — К-серия хрома; решетка с 387 лилиями на 1 мм.

К изумлению исследователей оказалось, что Для одних и тех же спектральных линий длины волн, измеренные с помощью кристаллов, отличаются от длин волн, измеренных абсолютно, в одну и ту же сторону в среднем на 0,15%, т. е. на величину, Превосходящую ошибку измерения почти в 100 раз!

После длительных безуспешных попыток отыскать источник ошибки в измерениях длин воли по методу Кристаллов, реитгено- спектроскописты пришли к заключению, что источник этот — не в измерениях, а в принятом в т。время (1931—1935 гт,) зна。 неннн постоянной Авогадро, знание которой необходимо для вычисления постоянной кристалла d по фордгуле (34.1). Целесообразно поэтому рассмотреть методы определения постоянной Авогадро, что и будет сделано в следующем параграфе.

§ 38・ Определение постоянной Авогадро и заряда электрона

Прямой метод определения постоянной Авогадро N основан на изучении брауновского движения. При этом обычно либо находится распределение по высоте микроскопических частиц эмульсии, либо измеряется средний квадрат смещения частицы, совершающей брауновское движение в жидкости или 'в газе (в частности, такие определения производились с масляными капельками в конденсаторе Милпнкзна). Однако точность этих

Рис. 90- Наблюдение непостоянства нулевого положения подвешенного зеркальца вследствие брауновского вращательного движения.Рис. 90- Наблюдение непостоянства нулевого положения подвешенного зеркальца вследствие брауновского вращательного движения.определении невелика: значение М полученное в классических работах Перрена, отличается от современного стандартного значения на 25%. Гораздо более точные результаты были получены при изучении вращательного броуновского движения. Если подвесить очень легкое зеркальце на тонкой кварцевой нити и наблюдать на достаточно удаленной шкале за отраженным от зеркальца лучом света (рис. 90), то зайчик не остается на месте,определении невелика: значение М полученное в классических работах Перрена, отличается от современного стандартного значения на 25%. Гораздо более точные результаты были получены при изучении вращательного броуновского движения. Если подвесить очень легкое зеркальце на тонкой кварцевой нити и наблюдать на достаточно удаленной шкале за отраженным от зеркальца лучом света (рис. 90), то зайчик не остается на месте,

Рис. 90- Наблюдение непостоянства нулевого положения подвешенного зеркальца вследствие брауновского вращательного движения.

Рис. 90- Наблюдение непостоянства нулевого положения подвешенного зеркальца вследствие брауновского вращательного движения.

определении невелика: значение М полученное в классических работах Перрена, отличается от современного стандартного значения на 25%. Гораздо более точные результаты были получены при изучении вращательного броуновского движения. Если подвесить очень легкое зеркальце на тонкой кварцевой нити и наблюдать на достаточно удаленной шкале за отраженным от зеркальца лучом света (рис. 90), то зайчик не остается на месте,

определении невелика: значение М полученное в классических работах Перрена, отличается от современного стандартного значения на 25%. Гораздо более точные результаты были получены при изучении вращательного броуновского движения. Если подвесить очень легкое зеркальце на тонкой кварцевой нити и наблюдать на достаточно удаленной шкале за отраженным от зеркальца лучом света (рис. 90), то зайчик не остается на месте,

но совершает нерегулярные колебания около положения равновесия- Это《непостоянство нуля» подвешенной системы есть результат вращательного брауновско- го движения под действием ударов со стороны молекул воздуха. Так, напрнмер, с зеркальцем размером 6,8X1,6 лш, подвешенным на кварцевой нити толщиной в несколько десятых микрона, на 山кале, отстоящей от зеркальца всего на 1,5 м, наблюдались смещения зайчика в несколько саптиметров.

Согласно одной из важнейших теорем классической статистической механики ——так называемой теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы (см. § 85)—средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна '/а 々Т, где 々一постоянная Больцмана, равная универсальной газовой постоянной деленной на постоянную Аво- гадро

А = (38,1)

При этом совершенно безразлично, какова именно эта степень свободы: для одноатомной молекулы 「аза, совершающей поступательное движение, степени свободы суть декартовы координаты центра тяжести молекулы, а для системы, способной совершать вращательные колебания около неподвижной осит единственная степень свободы Характеризуется углом закручи-

§38] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ АВОГАДРО И ЗАРЯДА 9RFKTPOHA 141

вания q При тепловом равновесии при температуре Т средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы воздуха, приходящаяся на одну степень свободы, и средняя энергия брауновскнх вращательных колебаний зеркальца, подвешенного в воздухе, одна и та же и равна % kT. Кинетическая энергия этих вращательных колебаний равна 出/где / момент инерции. При закручивании нити на угол 屮 возникает потенциальная энергия, равная 眩在屮?，где Л — некоторая упругая константа нити. Для малых колебаний средняя ки- летическая энергия равна средней потенциальной (см.

§ 46), так что

碎(38.2)

По теореме о равномерном распределении энергии

^407仃.(38.3)

Таким образом, зная упругую константу Л и среднее значение (р2, можно непосредственно найти 田 а отсюда по (38,1) вычислить

Опыты с вращательным брауновским движением для точного определения N были произведены с большой тщательностью Капп工ером. Отклонения зеркальца реги

勿

в)

Рис- 91- Врауновскне флуктуации под-вешенного зеркальна; а} давление атмо-сферное; 6} давление 4 ・ 10-3 мм; е) да-вление 10-" мм.

стрировались фотографически на движущейся фотопленке. Примеры таких регистрационных кривых, полученных в различных условиях, приведены на рис. 91- Интересно отметить, что при атмосферном давлении (кривая 9!,колебания зеркальца совершенно хаотичны, но по мере понижения давления (кривые 91, б и 91,6)колебания все более приближаются к синусоидальным с периодом, соответствующим собственным колебаниям крутильного маятника, каковым является зеркальце. Существенно, однако, что во всех случаях средняя величина(р2 остается одной в той же.

Регистрируя подобным образом колебания зеркальца в те。 чение 101 часа при температуре 287° К, Капплер и а шел т что 屮？ при этих условиях равен 4」78・10"‘ радиан, Постоянная кручения нити 4 была определена в отдельном опыте с точностью до

±0,2%, В результате было получено для N значение N = = 6,059「О? точностью, которая была оценена в ±1%,

Эта точность, однако, не удовлетворяет тем высоким требованиям, которые предъявляются в настоящее время к значениям основных универсальных констант. Более точное стандартное значение находится, однако, косвенным путем. Заряд электрона может быть вмражен как частное от деления заряда Фарадея F на постоянную Авогадро N (см. § 1):

Так как из опытов Милликэна заряа е считался известкьгм с достаточной точностью, то находилось по данным е я F:

Такнм образом, точность определения Лт зависела от точности, с какой известен заряд электрона. Систематическое расхождение величин А, найденных при помощи дифра^ционнай решетки к при помощи кристалла, дало толчок к проверке результатов Милликэиа, так как в формулу (34-1), при помощи которой вьь числяется постоянная кристалла d, входит N. Оказалось, как уже было указано в § 3, что результаты Милликэпа испорчены недостаточно точным значением вязкости воздуха 几 которое он использовал в своих расчетах.

Единственный внх。口 из затруднения состоял в том, чтобы постоянную кристалла d определить зкспсрнменталь&о по абсолютному значению длины во门нн, подобно тому как в оптике градуируются дифракционные решетки.

В самом пепе, если известна абсолютная длина волнь【入, найденная ирн помощи отражательной решетки1 и если определить при помощи рентгеновского спектрографа с кристаллом угол при котором получается отражение этой длины вокнн в первом порядке, т。по формуле Вульфа — Брэгга

А sinep

можно определить постоянную кристалла d. Подобное опреде^ ление постоянной решетки кальцита (СаСОз), обычно применяемого в рентгеновской спектроскопии, после внесения необхо- димых поправок (в том числе поправки на показатель преломления рентгеновских лучей) дало величину d Для !8°С：

d —3,03560-

Зная эту величину, можно найти постоянную Авогадро следую- щим образом; из формулы (34,1) следует, что для кристалла

правильной системы (NaCl)

м =矗，(38.4)

В случае капьннта, у которого элементарной ячейкой является не куб, а ромбоэдр, формулу (38.4) следует немного изменить. Если в есть тупой угол между ребрами ромбоэдра, 0H !0!°54‘， то объем элементарной ячейки будет d?①(§), где

sinPU + 2со$р)'

и формула (38.4) Примет вид

N =赤^丽・(3&5)

Если подставить сюда точные даннне для всех величин! М = 100,090 (гго химической шкале);= 3,0356JOT ，川；

Р2”= 2,710 2 5 и Ф(0) = 1,00595, то для получается

= (6,022 8 土 0,0 01!)(38.6)

ве』нчн【【а, существенно отличающаяся от принятого ранее стандартного значения (6,06- Ю23).

Зная пост он 山4 Q Авогадро, можно вычислить и заряд электрона но формуле е = F[N, Заряд 力арадея, т, е. количество электричества, переносимое При электролизе одним грамм^кви- ва^ентом любых ионов, по наиболее тоннам определениям равен (по химической шкале)

F = (2,89 247 ± 0,0 0030) ■ 1011 СГСЭ-г-э^-L

Комбинируя это число со значением N (39,6), получаем нос значение заряда электрона

е —(4,8025 ± 0,0010) ■ СГСЭ.

§ 39. Удельный заряд электрона

Изучение рентгеновских спектров открывает новую возмож ность и для точного определения уделыгого заряда электрона t?/m. Электронная теория дисперсии приводит к следующему вы- раженню для показателя преломления в случае слабо связанных электронов и достаточно жестких рентгеновских лучей:

备(39#

где п — 'шело эленгропов в 1 с期з “ v — частота рентгеновских лучегг- Число oneKipOHOB м можно ' выразить следующим

образом: число электронов в одном моле вещества с атомным номером Z равно NZ、а в 1 см3образом: число электронов в одном моле вещества с атомным номером Z равно NZ、а в 1 см3кР，кР，(39.2)(39.2)

образом: число электронов в одном моле вещества с атомным номером Z равно NZ、а в 1 см3

образом: число электронов в одном моле вещества с атомным номером Z равно NZ、а в 1 см3

кР，

кР，

(39.2)

(39.2)

где М — атомный вес Если е выражено в электростатических, a F — в электромагнитных единицах, то Ne=户с； заменяя v дерез получаем нз (39.1) и (39.2)

, 戶Zp九2 &

откупа, обозначая 6 = 1 — & находим

е — 2лЛ1加n戶Z0е — 2лЛ1加n戶Z0•耳 сгсме.•耳 сгсме.(39.3)(39.3)

е — 2лЛ1

加n戶Z0

е — 2лЛ1

加n戶Z0

•耳 сгсме.

•耳 сгсме.

(39.3)

(39.3)

Отсюда следует, что для определения е/加(т. е. удельного заряда в электромагнитных единицах) достаточно определить точ

Рнс. 92. Призматический спектр фее-рии меди.Рнс. 92. Призматический спектр фее-рии меди.но 6 и абсолютную длину волны рентгеновских лучей. Для этой цели был исполь^ зован спектр рентгеновских лучей, полученный с помощью призмы, которой служил большой &衣маа (весом 13 карат). На рис. 92 прнве・ дсн спектр излучения /(-серии меди, полученный с та

Рнс. 92. Призматический спектр фее-рии меди.

Рнс. 92. Призматический спектр фее-рии меди.

кой призмой. Определение длин воли по этим спектрам дало результаты, хорошо согласующиеся с найденными из измерений с дифракционной решеткой. Определив, кроме того, точнейшим образом плотность алмаза [при этом получилось

1 р ■ (3,5154 士 0,0001) г-см-Ц

и воспользовавшись формулой (39.3), Бэрден иашел для ejm

*«=(1/601 士 0,0003) ■ 107 СГСМ・аТ

—число, близкое к полученному из непосредственных определений (см. §§8).

ГЛАВА V

СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

А. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И СТРОЕНИЕ АТОМА

§ 40.§ 40.Атомные моделиАтомные модели

§ 40.

§ 40.

Атомные модели

Атомные модели

В предыдущих главах том представляет собоюВ предыдущих главах том представляет собоюмы привели доказательства того, что сложную спетому, состоящую из по-

В предыдущих главах том представляет собою

В предыдущих главах том представляет собою

[ ложительного электричества н Z электронов. На первых стадиях Г развития теории строения атома предполагалось, что вся эта J система является статической. Дьчя того чтобы можно было Е рассматривать электроны как частицы, находящиеся в равно- В веенн, 'пришлось допустить, что положительное электричество 扌 распределено сплошным образом и занимает сферу с радиусом 『порядка радиуса всего атома, т. е. 10-8 см, а электроны как

Вбы плавают в 长облаке》 положительного электричества. Ис-

£ пускание света атомом рассматривалось как результат малых колебаний электронов около их положений равновесия (модель Дж. Д*. Томсона). Однако опыты с рассеянием а-частиц, для ' объяснения которых потребовалось введение гипотезы о су・ ществованин очень малого положительного - ядра (порядка "12—10тз с加)，где сосредоточена пбчти вся масса атома, за- ； ставили совершенно отказаться от статической модели и перейти ： к модели пдзнстарнои, т. рассматривать электроны как частицы, обращающиеся вокруг ядра по определенным орбитам.

■В этой главе мь! займемся рассмотрением того формального

аппарата, который дает классическая физика, — а именно, классическая механика и электродинамика, —для теоретического изучения проблемы строения атома, н, кроме тог。，рассмотрим ' основные выводы, к которым она приводит. При этом вместо тог。, чтобы рассматривать атомные снстемн во всей их сложности, мы будем пользоваться простейшими механическими моделями. Образцом системы, совершающей колебания, будет для нас служить частица, колеблющаяся по прямой — линейный осциллятор; образцом системы, в которой происходит обращение около неподвижного центра, будет служить электрон, обращающийся вокруг положительного ядра.

§ 4L Закон сохранения энергии в механике

от коли-частицыот коли-частицыВ основе классической механики лежат ньютоновы «аксиомы, или законы движение». Математическая формулировка в виде уравнений движения вытекает, как известно, из второго

от коли-частицы

от коли-частицы

закона, согласно которому производная по времени уества движения равна приложенной силе. Для одной этот закон дает три дифференциальных уравнения

dPy уFT=匕 B = Z,dPy уFT=匕 B = Z,⑷」)⑷」)

dPy у

FT=匕 B = Z,

dPy у

FT=匕 B = Z,

⑷」)

⑷」)

где X, У н 2 — проекции лярпых уравнения можногде X, У н 2 — проекции лярпых уравнения можносилы на оси координат. Эти заменить одним векторнымсилы на оси координат. Эти заменить одним векторнымтри ска-три ска-

где X, У н 2 — проекции лярпых уравнения можно

где X, У н 2 — проекции лярпых уравнения можно

силы на оси координат. Эти заменить одним векторным

силы на оси координат. Эти заменить одним векторным

три ска-

три ска-

Р =Р =⑷.2).

Р =

Р =

(производную по времени мы будем обозначать точкой).

Уравнение движения, написанное в форме (41.2) с производной от количества движения в левой части, пригодно как для случая малых скоростей (по сравнению со скоростью света), так и для больших (d/с 〜1). Но только в том случае, когда d/с《массу можно считать не зависящей от скорости, и производная p=*(mv) в этом случае есть просто mv или mr, где г ——радиус-вектор, определяющий положение частицы. При

скалярных уравненияскалярных уравненияэтом условии для малых скоростей три (4】」)можно написать в обычном виде

скалярных уравнения

скалярных уравнения

加加汽 7萨=z汽 7萨=z⑷」‘)⑷」‘)а векторное уравнение (41.2) — в видеа векторное уравнение (41.2) — в виде⑷2)⑷2)Умножим теперь уравнение (41 2‘)Умножим теперь уравнение (41 2‘)скал^рно на скорость г:(413)скал^рно на скорость г:(413)Левую часть полученного равенства преобразуем так:Левую часть полученного равенства преобразуем так:ВеличинаВеличинаТ —у щд2 = L 加у2 = ^. 〃, (£2 + $2 + *)Т —у щд2 = L 加у2 = ^. 〃, (£2 + $2 + *)(414)(414)называется мы имеемназывается мы имеемкинетической энергией. Итак, в левой частикинетической энергией. Итак, в левой части(4L3)(4L3)производную по времени от кинетической энергиипроизводную по времени от кинетической энергии⑷.5)⑷.5)

加

加

汽 7

萨=z

汽 7

萨=z

⑷」‘)

⑷」‘)

а векторное уравнение (41.2) — в виде

а векторное уравнение (41.2) — в виде

⑷2)

⑷2)

Умножим теперь уравнение (41 2‘)

Умножим теперь уравнение (41 2‘)

скал^рно на скорость г:

(413)

скал^рно на скорость г:

(413)

Левую часть полученного равенства преобразуем так:

Левую часть полученного равенства преобразуем так:

Величина

Величина

Т —у щд2 = L 加у2 = ^. 〃, (£2 + $2 + *)

Т —у щд2 = L 加у2 = ^. 〃, (£2 + $2 + *)

(414)

(414)

называется мы имеем

называется мы имеем

кинетической энергией. Итак, в левой части

кинетической энергией. Итак, в левой части

(4L3)

(4L3)

производную по времени от кинетической энергии

производную по времени от кинетической энергии

⑷.5)

⑷.5)

§ 411§ 411ЗАКОЛ СОХРАПЕНПН ЭНЕРГИЕ] В МЕХАНИКЕЗАКОЛ СОХРАПЕНПН ЭНЕРГИЕ] В МЕХАНИКЕI 17I 17

§ 411

§ 411

ЗАКОЛ СОХРАПЕНПН ЭНЕРГИЕ] В МЕХАНИКЕ

ЗАКОЛ СОХРАПЕНПН ЭНЕРГИЕ] В МЕХАНИКЕ

I 17

I 17

Из (4L3) и (41.5) получаем

dT = Fr df = F dr.(41.6)

Ho Fd「есть работа силы на элементарном перемещении dr, следовательно, работа силы равна приращению кинетической энергии.

(41.7)⑷7)(41.7)⑷7)Во многих случаях составляющие силы мо「》т быть выражены как азятве со знаком минус частные производные по координатам от некоторой функции координат U*):

(41.7)

⑷7)

(41.7)

⑷7)

в векторной форме,

F — — grad

Если U есть функция одних только координат, то сти (41.8) мы имеем полный дифференциалв правой ча-Fr 一⑷.9)Работа силына элементарном перемещении d「будет тогдаFdr==F；df = -票成=-dU,Если U есть функция одних только координат, то сти (41.8) мы имеем полный дифференциалв правой ча-Fr 一⑷.9)Работа силына элементарном перемещении d「будет тогдаFdr==F；df = -票成=-dU,(4阔(4阔В этом случае

Если U есть функция одних только координат, то сти (41.8) мы имеем полный дифференциал

в правой ча-

Fr 一

⑷.9)

Работа силы

на элементарном перемещении d「

будет тогда

Fdr==F；df = -票成=-dU,

Если U есть функция одних только координат, то сти (41.8) мы имеем полный дифференциал

в правой ча-

Fr 一

⑷.9)

Работа силы

на элементарном перемещении d「

будет тогда

Fdr==F；df = -票成=-dU,

(4阔

(4阔

1 \дх di dy di dz dt Г

а работа силы на конечном пути от точки Л до точки В

J Fdr=- J dU = UA — Ue.

Если U есть, кроме того, функция однозначная, т。работа смль* как випн。， не зависит От пути и равна разности значений U в начальной и конечной точках пути. Функция обладающая свойством, выраженным равенствами (41.7), вообще называется потенциальной функцией. Если она не зависит явно от времени и является однозначной функцией координа'1, то она называется потенциальной энергией.

*) Простейшим примером иожет сложить еи^ча тяжести, равная mg. В этом случае U =—力恥 и составляющие будут

XnQXnQ

XnQ

XnQ

Из (41.3),⑷.5) и (41.9) следует

学=-筝’方(T+S = 0,(41-10)

откуда

T = const(41-11)

Это и есть механический закол сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная. Поле сил, имеющих потенциал U, не зависящий явно от времени, называется консервативным.

Бывают, однако, случаи, когда функция U、обладающая свойством (41J), существуеьно она зависит от времени *). Рассмотрим, например, движение заряженной частицы внутри конденсатора, между пластинами которого имеется разность электрических потенциалов V, периодически меняющаяся со временем, например по закону косинуса V = cos cot произведение заряда е на V

U = eV ==e%cos со/

обладает тем свойством, что сила, действующая на частицу со стороны поля в каждый момент, есть градиент

F = — grad

ио функция U、а вместе с ней и сила F явно зависят от времени. Сумма Т + U в этом случае не имеет постоянного значения- В самом деле,

— dt 十[0л： R 十而十 ％ Z，

Следовательно, (41.8) теперь дает.

и вместо (41.10) мы получаем

Это показывает, что система《незамкнута», т. е, что она представляет только часть большей системы, для которой в целом закон сохранения энергии, конечно, нмеет место.

Встречаются случаи, когда силы зависят от скорости. При- мером может служить сопротивление среды движущимся телам：

口0 поводу возможности использования зависящего от времени потенциала. который целесообразно называть «обобщенным оотениналом», см. Г. Голдстейн, Классическая механика,「остехнздат, 1957. стр. 32 и след.

такова стоксова сила сопротивления воздуха 尸=6汽г|а。，с которой мы встретились в § 2 при рассмотрении падения масляных капелек. Обозначив коэффициент при и через А и принимая во внимание, что сила сопротивления R всегда направлена противоположно скорости, можно написать вообще

Уравнение движения частицы под действием силы F в среде с сопротивлением R будет

+ R.

Умножая обе части на г = получаем

шг г = Fr + Rr,

На основании формул (41" н (41^2) и принимая во внимание, что Rr =—论получаем 不(Т + СТ)=—论緑，

Мы видим, что, как и в предыдущем случае, сумма『 +(/ не остается постоянной; так как, далее, 〃 всегда >0, то —&и? V 0 % следовательно, Т + U со временем убывает: силы трення неконсерватнвны.

Важным случаем сил, зависящих от скорости, является сила, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную qacTHiiy, Эта сила, выражающаяся векторным пронз, ведением

F-|[v^L、

перпеядикулярна к скорости и 口。тому не производит никакой работы.

В заключение напомним, что так как потенциал определяется через свои производные [формулы (4】.7)1 — только разность потенциалов имеет определенную величину. Абсолютное же значение потенциала включает некоторую произвольную постоянную, вследствие чего нуль потенциала может быть выбран про- нзвольно.

§ 42. Потенциальные кривые

Закон сохранения энергии дает соотношение между первыми производными координат по времени, которое может быть ос・ пользовано при решении механических задач, Особенно удобно пользоваться им в случае одномерного движения частицы, когда этого одного соотношения и достаточно. Положим, что частица движется по прямой. Если мы выберем эту прямую за ось %»

то потенциальная энергия будет функцией только одной координаты U = U(х). Закон сохранения энергии дает тогда

у тх2 + U откуда

где k — произвольная постоянная.

Зная явное выражение потенциальной энергии, мы можем при помощи формулы (42」) найти закон движения. Положим, например, что и = '/21^} где f — некоторая положительная мо・ стаянная. Тогда формула (42.1) дает

Положительное число 2E/j мы можем обозначить через а2 (легко видеть, что а имеет размерность длины), и тогда

откуда

^=asin(/^ —二力,

или, обозначая постоянную ]/ 肃 fo qepe3 6, x = asin(|/.— B).

Итак, при U == f%2/2 движение представляет собой гармоническое колебание.

学学Знание потенциальной энергии в случае одномерного движения позволяет установить качественный характер движения, совсем не пользуясь аналитическими средствами. Для Этого достаточно настроить кривую, изображающую потенциальную энергию в зависимости от координаты. Такие кривые называются

学

学

потенциальными кривыми.

Пусть, например, потенциальная кривая имеет вид, изображенный па рис. 93. Тогда мы мо氷см, не вычисляя интеграла, стоящего в правой части (42,1) (и даже пс зная точного аналитического выражения потенциальной энергии), установить некоторые важные особенности движения. Возьмем какое-нибудь значение полной энергии, на・ пример и проведем на чертеже прямую, параллельную оси абсцисс, на расстоянии от нее. Эта прямая пересекает пашу потецци- альную кривую в точках С, D с абсцессами Очевидно, что формула (42J) имеет физический смысл (с точки зрения классической механики) только в том случае, когда ради

кал一 °) Дсй^тв^тс.чсз!, т- е. когда £ > Из рис\ нка

мы видим, что зт。осуществляется при успоти叫 ес;川

(1) или при условии

Таким образом, когда чаепща находится в области /,ее движение таково, что она не может выйти за прсдвьПЫ этой области. В самом деле, ес абсцисса не может стать меньше Xi и больше так как в ЗтОМ случае ее потенциальная энергия стала бы больше полной, а скорость £ сделалась бы мнимой. Из этого следует, что движение частицы в области / есть колебание. Крайние положения достигаются при % = х【и х = %2, когда U становится равным Е. Период колебания, очевидно, равен

玄］/篇ЕТ)

В область // частица проникнуть не может, Но если, обладая полной энергией она находится в 「oqxe r =此，то ее абсцисса может возрастать 几。бесконечности, так как при всех значениях 尤》尤з потенциальная энергия меньше полной.

Пусть теперь частица обладает запасом энергии £3 > Прово^к, как раньше, на чертеже прямую ма высою 尸？， мы видим, чю вправо oi /】изеиша может перемещаться л о бесконечности，так iYie гаи ее по^пуч лтергпя всюду 6смьш“

потенциальной. Влево же от Л движению частицы препятствует непреодолимый барьер (область Е V

Качественный характер движения можно установить при помощи потенциальной кривой, пользуясь следующей наглядной иллюстрацией. Представим себе идеально гладкую дорожку, сделанную так, что ее профиль как раз совпадает с потенциальной кривой. В случае кривой рис. 93 это будет спуск, сменяющийся небольшим подъемом и затем снова продолжающийся. Положлм на зту дорожку тяжелый шарик на высоте Е л предоставим его самому себе. Шарик покатится вниз, и его движение будет почти точно представлять движение интересующей нас частицы. Если поднять его на высоту то он будет кататься взад и вперед в углублении / и нс сможет «перескочить^ через бугор если поднять его выше до уровня £2, то он свободно перекатится через бугор и уйдет в бесконечность.

Причина, позволяющая нам пользоваться этой иллюстрацией, состоит в том, что потенциальная энергия тяжелого шарика пропорциональна е「о высоте. Небольшая неточность иллюстрации обусловлена тем, что часть энергии шарика расходуется на создание его вращения.

§ 43. Заком сохранения импульса

До сих пор мы рассматривали движение одной частицу в по^ле каких-либо сил. Рассмотрим теперь простейшую систему, состоящую из двух частиц, и предположим, что эти частицы находятся только под действием сил, действующих между ними. Такне силы называются внутренними в отличие от сил, которые действуют на частицы системы извне и называются поэтому внешними. Будем отмечать пара- мстрьу относящиеся к частицам соответственно индексами / и 2. Положение первой частицы относительно произвольного центра О характеризуется радиусом-вектором гн а положение второй —радиусом вектором94). Уравнения движения обеих частиц будут

(4-31)(43.2)(4-31)(43.2)HlF⑵恤；2 =f23

(4-31)

(43.2)

(4-31)

(43.2)

где вектор Fl3 означает силу, действующую на первую частицу со стороны второй, a Fa] — силу, действующую па вторую частицу со стороны первой. По третьему закону Ньютона эти силы равны по аелнч/ше н противоположЕгы по нагтравпеннго, так что

Fn + FlO. (43.3)

Складывая (43.1) и (43.2) и учитывая (43.3), получаем или

石(的八+ m2r2)00，

Откуда следует, что

= const,(43.4)

или, что то же самое,

mg + m2V2 = const.

Векторная величина m^i — m^t называется импульсам, или количеством движения частицы.

Равенство (43.4) выражает закон сохранения импульса, имегощмй мест。в системе 灭вух час™；, находящихся под действием любых внутренних сил. Легко обобщить этот закон на систему л частиц, находящихся под действием одних только внутренних сил. Уравнение движения 论由 частицы есть

九’(43.5)

где правая часть означает сумму всех сип, действующих на А-ю частицу со стороны остальных частиц системы. Штрих у знака суммы означает, что сумма берется по всем значениям 厶 за исключением / = А. Написав уравнения движения для всех частиц системы и взяв их сумму, получим, представляя левую часть в виде первой производной по времени:

备£恤，尸工F中

Легко видеть, однако, что правая часть равна нулю. В самом Пеле, в правой части для каждого члена Fw найдется соответствующий ему Fm. По третьему закону Ньютона для каждой пары

+ % = О,

а поэтому

-办门=0，

или.

N 依山=const t(43,6)

что и требовалось доказать.

§ 44. Соударения

Применим законы сохранения импульса и знср] к решению задачЕ! о соударениях двух частиц. Пусть скорости частиц с массами 〃“ и е? будут до соударения Vi и 丫2・ а после соударении С1 И С2.

Выше мы Видели, что закон сохранения импульса должен иметь место при любом характере сил взаимодействия. Согласно этому закону, полный импульс системы сохраняется, т.巳 сумма импульсов обеих частиц до соударения должна равняться сумме их импульсов после соударения.

Обозначая импульсы частиц до соударение через pi и р?, а после соударения, соответственно, через р； и р：, имеем

Р1 + Р2 = Р： + Р；・ (44.1)

Что касается закона сохранения механической энергии, то он будет иметь место только в том случае, если при соударении не выделяется и не поглощается энергия, точнее говоря, если в результате соударения не изменяется внутренняя энергия частиц.

Это условие часто не соблюдается. Например, при соударениях атомных ядер, ведущих к ядерным реакциям, обычно выделяются (реже — поглощаются) большие 1 количества энергии; при соударении электронов с атомами при определенных условиях (см. § 91 н следующие) часть или вся кинетическая энергия относительного движения обеих частиц может перейти в энергию возбуждения атома, т- е. будет иметь место поглощение энергии. В настоящем параграфе мы будем рассматривать только упругие соударения, т. е. такие, при которых имеет место сохранение механической энергии. Это дает в добавление к векторному уравнению (44.1) еще скалярное уравнение, которое мн напишем, выражая кинетические энергии через имп)льсьь

2 2 ,2

П}Сть частица 2 до соударения покоилась, т.「пусть р? = 0. Это условие в большинстве случаев с достаточной точностью осуществляется в опытах, выполняющихся в атомной физике. Например, при изучении соударении между электронами и ато・ мами обычно обстреливают атомы пучком электронов, }скорен・ Hbix приложенным напряжением. При 9To工 скорость электронов настолько больше газокинетических скоростей обстреливаемых атомов, что последние скорости можно положить равными нулю. То же самое еще в большей степени имеет место при изучении рассеяния йдерных частиц или при ящерных реакциях.

При Р2 =СТВОПри Р2 =СТВОPi = Р； + Р2-Pi = Р； + Р2-(44.2)(44.2)О уравнение (44.1) переходит в векторное равен，

При Р2 =

СТВО

При Р2 =

СТВО

Pi = Р； + Р2-

Pi = Р； + Р2-

(44.2)

(44.2)

векторавектораР], Р； иР], Р； иggЧтобы это равенств。было удовлетворено, три

вектора

вектора

Р], Р； и

Р], Р； и

g

g

р； должен образовывать замкнутый треугольник ОВА (рнс. 95). Покажем теперь, что, каково бы ни было направление полета частицы 2 после соударения, точка В— конец вектора импульса этой частицы р： после со・

ударения лежит на окруж-卜"& уа.

ностн. Координаты тонки В

относительно системы с началом в О удовлетворяют уравнению

(44.3)(44.3)炉+犷=我【

(44.3)

(44.3)

Далее, из Треугольника ВСА имеем

(历— хУ + / = Р；«4.4)

Закон сохранения энергии трс6}ет, чтобы при 内=О

(44.5)

Подставляя в (44.4) выражение р： из (44.5) и пользуясь (44.3), получаем после простых алгебраических преобразований

炉+犷一2元m7 P/=0.(44.6)

Это уравнение легко может 6ь【ть приведено к виду

卜一謂%Pi) +货=(旧宾]仍)'"6]

Но это — уравнение окружности, проходящей через точку В и имеющей радиус

г —功—— •(44.7)

十S

Рассмотрим теперь некоторые интересные частные случаи. Пусть 加[=加2, такой сл)чай осуществляется гтрн соударении а-частицы с ядром гелия или протона с ядром легкого водорода. Из (44.7) имеем при т, =ш2 г —qp卜

В этом случае диаметр окружности равен импульсу налетающей частицы, т, е. окружность проходит не только через точку 8, но и через точку 4, Из этого следует (рис. 96), что после соударе

ния частицы разлетаются под прямым углом друг к другу. На рис. 97 приведена стереоскопическая фотография соударения а-частицы с ядром гелия. Видно, что после удара обе частицы разлетаются под прямым углом. Исключением является случай, когда = О («лобовой удар》).В этом случае из закона сохранения импульса получаем, выписывая явные выражения для импульсов：

m2c2,

Рнс. 97.Рнс. 97.Рис- 98-Рис- 98-что дает (при т〕=团之)6 = и「Это означает, что при лобовом ударе налетающая частица останавливается и передает свой импульс обстреливаемой частице.

Рнс. 97.

Рнс. 97.

Рис- 98-

Рис- 98-

Из (44-7) получаемИз (44-7) получаемВ качестве второго примера рассмотрим случай, когда 加2/团1 = 4- Этот случай осуществляется при соударении протона с ядром гелия или а-частицы с ядром кислорода.

Из (44-7) получаем

Из (44-7) получаем

Рис- 98 дает построение, позволяющее рассчитать углы полета обеих частиц после соударения при известной величине им- дульса налетающей частицы после соударения.

Интерес представляет также случай обратной величины соотношения масс т^тх = ]/4 (например, соударение а^частицыИнтерес представляет также случай обратной величины соотношения масс т^тх = ]/4 (например, соударение а^частицы

Интерес представляет также случай обратной величины соотношения масс т^тх = ]/4 (например, соударение а^частицы

Интерес представляет также случай обратной величины соотношения масс т^тх = ]/4 (например, соударение а^частицы

с протоном), В этом случае по (44-7)

Г= %0・

Как видно из рис. 99, в этом случае р： всегда значительно меньше

§ 45. Центр инерции

Во всякой системе двух частиц существует замечательная

точка, называемая центром 〃凡叩“〃〃・точка, называемая центром 〃凡叩“〃〃・деляется следующим (рис, 100):деляется следующим (рис, 100):образомобразомrc =rc ="外口 + /n2r2"外口 + /n2r2小+m2小+m2(45.1)(45.1)Легко показать, что вЛегко показать, что всистемесистемедвух частиц центр инерции лежит на прямой, соединяющей обе частицы, и делит эту прямую в от” ношении, обратном отношению масс. В самом деле, из (45.1) следует, чтоmiKc —г【)н加2(&—「с)，(45.2)двух частиц центр инерции лежит на прямой, соединяющей обе частицы, и делит эту прямую в от” ношении, обратном отношению масс. В самом деле, из (45.1) следует, чтоmiKc —г【)н加2(&—「с)，(45.2)радиус-вектор о прерадиус-вектор о пре

точка, называемая центром 〃凡叩“〃〃・

точка, называемая центром 〃凡叩“〃〃・

деляется следующим (рис, 100):

деляется следующим (рис, 100):

образом

образом

rc =

rc =

"外口 + /n2r2

"外口 + /n2r2

小+m2

小+m2

(45.1)

(45.1)

Легко показать, что в

Легко показать, что в

системе

системе

двух частиц центр инерции лежит на прямой, соединяющей обе частицы, и делит эту прямую в от” ношении, обратном отношению масс. В самом деле, из (45.1) следует, что

miKc —г【)н加2(&—「с)，(45.2)

двух частиц центр инерции лежит на прямой, соединяющей обе частицы, и делит эту прямую в от” ношении, обратном отношению масс. В самом деле, из (45.1) следует, что

miKc —г【)н加2(&—「с)，(45.2)

радиус-вектор о пре

радиус-вектор о пре

(45,3)(45,3)но это означает, что векторы S —门 и г, — г2 параллельны, а так как они имеют общую точку С, то три точки 团卜 С и лежат на одной прямой. Таким образом, первая половина нашего утверждения доказана. Вторая часть видня непосредственно из равенства (45.2), которое можно переписать в виде

(45,3)

(45,3)

Обратимся теперь к рассмотрению свойств центра инерции. Закон сохранения импульса в системе двух частиq б векторной форме заражается равенством

= const.(45.4)

Найдем производную по времени радиуса-вектора центра инерции

，_小2r2

「С —/% + 厅‘2'

Сравнивая это выражение с (45.4), видим, что

гс = const.(45・4‘)

Итак, в системе двух частиц, не подверженных действию внешних сил, центр инерции движется прямолинейно и равномерно.

Систему координат, в которой имеет место (45. 4‘)，в атомной физике обычно называют «лабораторной», потому что оси декартовых координат в данном случае определяются, например, пересечением плоскостей двух стен лабораторной комнаты с плоскостью пола. Мы можем, однако, ввести систему координат, поместив ее начало в центре инерции. Такая система коор・ дмнат, называемая системой центра амер«明 обладает, как мы сейчас увидим, рядом преимуществ.、

Скорость центра инерции в лабораторной системе координат равна

где V] и V2 — скорости обеих частиц также в лабораторной системе координат. Чтобы найти скорости частиц в системе центра инерции, нужно из v【и v2 вычесть скорость центра инерции vc- Нтак,

% = %—% = /——甸，(45.5)

v^va-vc = v2-^^ = _^(V2_Vi). (45.6)

Полный импульс в системе центра инерции будет

Р = р； + р； = тН+т2^

и, принимая во внимание (45.5) и (45.6), видим, что

Р = 0.

Итак, в системе координат центра ипсрцип полный импульс системы частиц не только постоянен, но и равен нулю. Переход к системе координат центра инерции во многих случаях целссо- образец, так кзк в этих координатах мы рассматриваем относи- теьтьные движения внутри системы частиц, отвлекаясь от движения системы как цело] о. Однако при энергетических расчетах, как мы сейчас увидим, нельзя забывать о движении самого нентра инерции.

В самом деле, внднелнм полную кинетическую энергию системы двух частиц. Для этого, очевидно, надо скорости частиц отнести к лабораторной системе координат. Итак,

?ла6 =；团毋 + ^ 生呜=^ 团1 (W + Vj + 4^2(V； +、)2 =

=7加毋 + ^m2以+ g (仆+加2)* + (吗" + 吗V!) %

Последний член равен нулю вследствие (45.5) и (45.6); мм по・ лучаем

% (因 + 生)哈(457)

Эта формула очень важна Рассмотрим какой-нибудь процесс, происходящий в результате неупругого соударения двух частищ Это жжет быть、например, ионизаадя атома или диссоциация молекулы под действием соударения с электроном или ядерная реакция под действием быстрой частицы или какой-нибудь другой аналогичный Процесс. Критическая энергия, необходимая для осуществления процесса (энергия ионизации, энергия диссоциации и т- п.), очевидно, равна 乳.Но формула (45-7) показывает, что энергия налетающей частицы (электрона, протона и т. “J должна быть больше £ц. н на величину кинетической энергии центра ннерпни, в котором сосредоточена вся масса системы.

Расчет Е；аб выполняется особенно прост。，когда можно положить равной мулю V2скорость обстреливаемой частицы (мишени) .В этом случае

так как Таким образом,

Отсюда след\ечто только в том cn\qae, косна можно считать 応w

Упрэж пение. Энергия ядер ной реакции NiS 4- Нс4 О11 + Н1 равна 1,13 Мзз (I Mas = 106 аз). Какова должна быть минимальная энергия а частицы для того, чтобы эта реакция осуществилась (Ответ: J,45 》；зь)Упрэж пение. Энергия ядер ной реакции NiS 4- Нс4 О11 + Н1 равна 1,13 Мзз (I Mas = 106 аз). Какова должна быть минимальная энергия а частицы для того, чтобы эта реакция осуществилась (Ответ: J,45 》；зь)§ 46. Линейный гармонический осцилляторПусть частица с массой 加 движется по прямой под действием силы, пропорциональной отклонению частицы от положения равновесия и направленной всегда к положению равновесия. Такая§ 46. Линейный гармонический осцилляторПусть частица с массой 加 движется по прямой под действием силы, пропорциональной отклонению частицы от положения равновесия и направленной всегда к положению равновесия. ТакаяРис. 101. Модель 刀ане/ног。 гармонического осциллятора.Рис. 101. Модель 刀ане/ног。 гармонического осциллятора.колебательная система называется линейным гармоническим осциллятором. Образцом ее может служить тяжелый шарик, подвешенный на упругой пружине (рис. 101). Электрон, совершающий колебания под действием электрического поля, также является линейным гармоническим осциллятором при условии, что сила, действующая на электрон со стороны поля, пропорциональна первой степени его удаления от положения равновесия и направлена к 9ToMу положению. По аналогии с упругой силой все силы, удовлетворяющие указанному выше требованию, называются квазиупругими.Так как движение частицы в линейном осцилляторе происходит по прямой, то мы всегда можем взять эту прямую за ось координат- Пусть это будет ось х, и пусть начало координат сов-колебательная система называется линейным гармоническим осциллятором. Образцом ее может служить тяжелый шарик, подвешенный на упругой пружине (рис. 101). Электрон, совершающий колебания под действием электрического поля, также является линейным гармоническим осциллятором при условии, что сила, действующая на электрон со стороны поля, пропорциональна первой степени его удаления от положения равновесия и направлена к 9ToMу положению. По аналогии с упругой силой все силы, удовлетворяющие указанному выше требованию, называются квазиупругими.Так как движение частицы в линейном осцилляторе происходит по прямой, то мы всегда можем взять эту прямую за ось координат- Пусть это будет ось х, и пусть начало координат сов-падает с положением равновесия частицы (рис- 102)： Уравнение движения в этом случае таково:падает с положением равновесия частицы (рис- 102)： Уравнение движения в этом случае таково:ШХ = — fx,ШХ = — fx,(46.1)(46.1)где f — постоянный коэффициент пропорциональности, равныйсиле, возникающей при отклоне^^ии 才=】；0H называется сло-где f — постоянный коэффициент пропорциональности, равныйсиле, возникающей при отклоне^^ии 才=】；0H называется сло-Стоянной квазиупругой си- лн»・ Перепишем уравнение (46.1) следующие образом： 土+ ±¥ = 0, (46.2)Стоянной квазиупругой си- лн»・ Перепишем уравнение (46.1) следующие образом： 土+ ±¥ = 0, (46.2)mmООили, принимая во внимание,или, принимая во внимание,Рис. 102.Рис. 102.что f/m > 0, и вводячто f/m > 0, и вводяобозначениеобозначение伽二*

Упрэж пение. Энергия ядер ной реакции NiS 4- Нс4 О11 + Н1 равна 1,13 Мзз (I Mas = 106 аз). Какова должна быть минимальная энергия а частицы для того, чтобы эта реакция осуществилась (Ответ: J,45 》；зь)

Упрэж пение. Энергия ядер ной реакции NiS 4- Нс4 О11 + Н1 равна 1,13 Мзз (I Mas = 106 аз). Какова должна быть минимальная энергия а частицы для того, чтобы эта реакция осуществилась (Ответ: J,45 》；зь)

§ 46. Линейный гармонический осциллятор

Пусть частица с массой 加 движется по прямой под действием силы, пропорциональной отклонению частицы от положения равновесия и направленной всегда к положению равновесия. Такая

§ 46. Линейный гармонический осциллятор

Пусть частица с массой 加 движется по прямой под действием силы, пропорциональной отклонению частицы от положения равновесия и направленной всегда к положению равновесия. Такая

Рис. 101. Модель 刀ане/ног。 гармонического осциллятора.

Рис. 101. Модель 刀ане/ног。 гармонического осциллятора.

колебательная система называется линейным гармоническим осциллятором. Образцом ее может служить тяжелый шарик, подвешенный на упругой пружине (рис. 101). Электрон, совершающий колебания под действием электрического поля, также является линейным гармоническим осциллятором при условии, что сила, действующая на электрон со стороны поля, пропорциональна первой степени его удаления от положения равновесия и направлена к 9ToMу положению. По аналогии с упругой силой все силы, удовлетворяющие указанному выше требованию, называются квазиупругими.

Так как движение частицы в линейном осцилляторе происходит по прямой, то мы всегда можем взять эту прямую за ось координат- Пусть это будет ось х, и пусть начало координат сов-

колебательная система называется линейным гармоническим осциллятором. Образцом ее может служить тяжелый шарик, подвешенный на упругой пружине (рис. 101). Электрон, совершающий колебания под действием электрического поля, также является линейным гармоническим осциллятором при условии, что сила, действующая на электрон со стороны поля, пропорциональна первой степени его удаления от положения равновесия и направлена к 9ToMу положению. По аналогии с упругой силой все силы, удовлетворяющие указанному выше требованию, называются квазиупругими.

Так как движение частицы в линейном осцилляторе происходит по прямой, то мы всегда можем взять эту прямую за ось координат- Пусть это будет ось х, и пусть начало координат сов-

падает с положением равновесия частицы (рис- 102)： Уравнение движения в этом случае таково:

падает с положением равновесия частицы (рис- 102)： Уравнение движения в этом случае таково:

ШХ = — fx,

ШХ = — fx,

(46.1)

(46.1)

где f — постоянный коэффициент пропорциональности, равныйсиле, возникающей при отклоне^^ии 才=】；0H называется сло-

где f — постоянный коэффициент пропорциональности, равныйсиле, возникающей при отклоне^^ии 才=】；0H называется сло-

Стоянной квазиупругой си- лн»・ Перепишем уравнение (46.1) следующие образом： 土+ ±¥ = 0, (46.2)

Стоянной квазиупругой си- лн»・ Перепишем уравнение (46.1) следующие образом： 土+ ±¥ = 0, (46.2)

m

m

О

О

или, принимая во внимание,

или, принимая во внимание,

Рис. 102.

Рис. 102.

что f/m > 0, и вводя

что f/m > 0, и вводя

обозначение

обозначение

£ + &2х = °.

3 44 43 44 4Xj = cos①%电=sin①力Xj = cos①%电=sin①力(46.5)(46.5)Частными решениями уравнения (46-4) будут

3 4

4 4

3 4

4 4

Xj = cos①%电=sin①力

Xj = cos①%电=sin①力

(46.5)

(46.5)

§削§削ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОРЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР16j16j

§削

§削

ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

16j

16j

в чем можно убедиться непосредственной подстановкой их в (46,4).

По известному свойству линейных дифференциальных уравнений общее решение будет линейной комбинацией частных решений (46.5);

(46・6)(46・6)% = q cos(of + & sin со/,

(46・6)

(46・6)

с двумя произволышми постоянными Cj н С?. Эти постоянные можно найти из начальных условий: еслит например, при / = О * = 寸то, как легко убедиться, q = r2 = и поэтому (46-6) принимает вид

(46.7)(46.7)%=#о cos <й/ + -^ sin (Of.

(46.7)

(46.7)

Для наших целей общее решение (46-6) удобнее представить в несколько ином виде. Перепишем (46.6), вынеся за скобки с】：

X = cr kosorf + 红 sfn

Полагая q/口 = tg б, получим

к = / (cosS + tg 6 • sin峭=^у cos (砒一6)=

=，^+ 理• cos @f -①,

или, пользуясь обозначением 了円工考…,получим оконча тельно

(46.8)(46.8)х = a cos (о/ — б),

(46.8)

(46.8)

где а и 6 —новые произвольные постоянные.

Движение, описываемое формулой (46,8), будет, очевидно, периодическим, так как время входит в (46-8) через периодическую функцию. Это значит, что существует такой промежуток времени Т, что

cos @f — d)= cos [со (f + T)— б].

Из этого следует, что

зТ = 2л,①=2л/Т；

з называется угловой частотой, а обратная величина Т — линейной частотой v:

Согласно (46-31Согласно (46-31卩=1/?=財2九卩=1/?=財2九

Согласно (46-31

Согласно (46-31

卩=1/?=財2九

卩=1/?=財2九

6 Э. В. Шпольский. т, I

Вычислим теперь зкергир осциллятора. Кинетическая анер・ гия равна J=g*2, или, так как £ = — аз sin — 6), то

Если за нулевое значение потенциальной энергии Припять ее величину в тот момент, когда частица находится в положении равновесна, то потенциальная энергия в некотором положении с координатой % будет

£р = —J 尸厶=f J(46.12)

Подставив сюда х из (46.8) и приняв во внимание, что по (46.9) f = гиоД найдем、

Ер = }沁2 cos2— 6),(46.13)

При помощи (46.11) и (46,13) находим подлую энергию:

Е = Е^ + Ер = у [sin2 (w/ — б) + cos? — б)]

(46,14)

Формулы (46,11) и (46.13) показывают, что кинетическая и потенциальная энергии меняются во времени как квадраты синуса и косинуса. Поэтому для отыскания средних значений энергии за полный период достаточно вычислить средние квадратов косинуса и синуса. При этом наличие фазовой постоянной б, не зависящей от времени, очевидно, не играет никакой роли. По определению среднего значения за период Т м& имеем

"/2

+ 772

COS2 ①/ R

у J COS2 o)Z dz

―Fdt =万，(46」5)

+772

Se2出/R

；J sin2 mfdt^-L

J 2必=万.(46J6)

-7/2-Г/2

Заметим еще, тто средние значения со'з/ и sin3(о( за промежуток времени, очень большой по сравнению с периодом, также равны 口оковмне. Пусть Л будет таклм промежуткоти времени: /1 2 7\ Мы имеем

8s2做—a—山=万+砌sm2w.

Но 3厶=2冗今，и если 厶》Т, то ①厶 есть очень большое число, а потому второй член очень мал и им можно пренебречь. Итак, для достаточно большого промежутка времени

cos2 3f = 1/2,

Точно так же

sin2(i>Z = 1/2.

Таким образом, для средней кинетической энергии за период или за промежуток времени, достаточно большой по сравнению с периодом, из (46,11) и (46.15) получаем

反a2少①2(46J7)

и для средней потенциальной энергии

Ер = ； a(46.18)

Рн& !03. Потенциз-17ьиая кривая гармо・ничсского осциллятора.Рн& !03. Потенциз-17ьиая кривая гармо・ничсского осциллятора.Сравнение (46,17), (46,18) и (46.14) дает

Рн& !03. Потенциз-17ьиая кривая гармо・ничсского осциллятора.

Рн& !03. Потенциз-17ьиая кривая гармо・ничсского осциллятора.

瓦= & = ^Е,(46,19)

т. & для линейного гармонического осциллятора средняя За большой промежуток времени кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии, и обе равны поьчовине полной энергии.

Так как потенциальная энергия U пропорциональна квадрату смещения U = f%?/2, то потенциальная кривая гармонического осциллятора есть парабола (рнс. 103),

§ 47. Комплексное представление колебаний

Общее решение уравнения колебаний гармонического осциллятора

х = а cos — б)(46,8)

мх можем написать в несколько ином виде, представляющем большие преимущества с формальной точки зрения. Для Этого мы Прежде всего вспомним, что п。известной теореме анализа всякое комплексное число

и — q + 加=г (cos 平 + i sin 平)(47.1)

можно представить в виде экспоненциальной функции с мнимым показателем

и=ге%(47,2)

где г называется модулем комплексного числа и обозначается также через ср ——аргумент или фаза. Если мы заменим в (47.1) и @7.2)，на — то получим комплексное число

= r (cos 中一i sin 叫==/(47.3)

которое называется комплексно сопряженным с и. Произведение двух комплексно сопряженных чисел равно квадрату их общего модуля, так как

Легко видеть, что комплексное выражение

х~а (cos + ! sin(47.4)

и с пим комплексно сопряженное

х = a (cos —isin w/) =(47,5)

удовлетворяют дифференциальному уравнению гармонического осциллятора (46.4), так как они содержат лилейные комбинации его частных решений. Поэтому формальна мы имеем право писать формулу колебаний не только в тригонометрическом, но и в экспоненциальном виде (47.4) или (47.5). Такая замена целесообразна потому, что во многих случаях математические операции с экспоненциальными функциями выполняются значительно проще, чем с тригоиометрнческими. Однако с физической точки зрения формула х = ае^ содержит противоречие, потому что ' в левой части ее стоит действительная величина (координата), а в правой — комплексная. Для того чтобы, несмотря на это, сохранить возможность оперирования с экспоненциальными функциями, ставится условие—пользоваться этими функциями, но в окончательном результате брать только действительную часть полученного комплексного числа. Эта действительная „часть в тех случаях, когда может возникнуть сомнение, обозначается символом Re, поставленным перед комплексным числом:

Ree* = cos(p.

Очевидно,

Re = Re =cos

вследствие чего с одинаковым правом можно пользоваться любым из двух комплексно сопряженных чисел.

Общий интеграл уравнения линейного осциллятора

4 = 4—0)

напишется при этом условии в виде

Re0外出上一拆

Еще большее упрощение достигается введением комплексной амплитуды. Заметив, что aelfiat^ = а^^-е^, введем комплексную амплитуду Л = ае~^. Комплексно сопряженная амплитуда будет = а квадрат действительной амплитуды 。 найдется как произведение

Пользуясь комплексными амплитудами, формулу гармонических колебаний можно всегда писать в виде

% = Re

или просто

помня, что начальная фаза 6 включается в комплексную амплитуду.

Указанный в этом параграфе способ комплексного представления колебаний дает правильные результаты лишь до тех пор, пока мы имеем дело с линейными выражениями. Если же периодически меняющаяся величина входит в квадрате или в более высокой степени, или, наконец, если мы имеем дело с произведениями таких величин, то необходимо вновь переходить к тригонометрическим функциям. Это следует из того, что действительная часть квадрата комплексного числа не равна квадрату его действительной части:

+ 瓦)2=+ bi] = (а2 —匕戚

так что

^(4 +砌2*金

Точно так же действительная часть произведения комплексных чисел не равна произведению их действительных частей. Если, однако, желательно я в этом случае пользоваться экспоненциальными функциями, то необходимо заменять косинусы полу^ суммой комплексно согтряженных фуяхц/;й по известной формуле Эйлера

cos 中=(е 阿 +

§ 48. Разложение в спектр

Колебания линейного гармонического осцилляюра представляют собою простейший случай периодического процесса. Очень часто встречаются процессы, которые являются периодическими, но не гармоническими. Так, например* процесс, изображаемой

неограниченным повторением влево и вправо сплошной кривой рис. 104, есть, несомненно, процесс периодический, но он не является гармоническим. На рис. 104, однако, показан。， qTO сплошная кривая может быть получена путем суммирования двух синусоид с частотами 八八зи а именнот

//\、、/% = a sin* sin 2з厶

\ \\Можно также сказать,

'\ \\/ \/\ 7 что колебание, изображен-

i X_卄、/ v ? g ное на рис. 104, разлагается

\ 丿 \丿 в Еектр, в котором имеется

\rbc спектральные линии с

\ \/частотами з и 2з (или v и

/2v, если предпочтительно

пользоваться линейными, а не угловыми частотами).

Риз 104. пример негармонического не- В математическом ана- риодического процесса.лизс доказывается, что лю

бая крнвая*), изображающая периодический процесс частоты со, может быть представлена как результат наложения бесконечного числа синусоид и косинусоид с частотами ыт 2з, Зз, Подобное разложение периодическихт но не гармонических процессов на чисто гармонические есть известное разложение в ряд Фурье. Условия сходимости этих рядов исследуются в математических руководствах . Мы здесь заметим только, что для функций, интересующих пас в этой книге, ряды Фурье сходятся повсюду равномерно, так что их можно почленно перемножать, дифференцировать л интегрировать. Для определенности будем предполагать, что нашей функцией является смещение 力(£). Тогда

X ⑴=% 瓦 + 仇 COS + 岳 COS 2з# + .. ♦

Коэффициент % в первом члене введен из соображений удобства и симметрии формул, как это будет видно из дальнейшего.

*) Условия, которым должна удовлетворять функция, изображающая пе* риолический процесс, для гого чтобы ее можно было подвергнуть разложению в ряд Фурье, настолько широки^ что им практически удоглетворяет любая функция, изображающая реальпыи физический процесс

См. И. И. Привалов, Ряды Фурьст Госиздат, 1930, или любой учебник математнческого анализа, например： В, И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 11, «Наука》，1967, стр. 435.

Напомним простой способ вычисления коэффициентов ряда Фурье. Он основан на следующих формулах, легко оправдываемых непосредственным вычислением:

0

при

外娱化

cos ms# ■ cos "%£ dt =

打

при

m ="；

(48.2)

+Г/Э

sin■ sin nsj 或=

[0

при

1扛

При

m

(48.3)

+ 772

J sin ms# ■ cos 〃％£ dt = 0.(48.4)

Для отыскания коэффициента 6m умножим обе части (48.1) на cos m^t и проинтегрируем от — Т/2 до + Т/2. Тогда все интегралы правой части на основании формул (48.2) и (48.4) будут равны нулю, за исключением интеграла, умножающегося па коэффициент 6m, который равен Т/2. Таким образом, получаем

6Ш = — I % (f) cos ms# d厶 (48.5)

Точно так же для отыскания коэффициента умножаем обе части (48.1) на sin и интегрируем от — Т/2 до + Т/2. В результате получаем

+772

% = J x(f) sinm3c力(48.6)

Наконец, для отыскания 60 интегрируем (48」) от —— Т/2 до 斗 Т/2 н получаем

О_чевиднот что постоянный член разложения

+Г/2孑瓦J x(f)必

есть среднее значение функции 尤⑴ за период, и если кривая %(£) симметрична относительно оси / (как, например, крнван рис. 104), то ｝坛==0,

Отметим здесь еще две другие формы ряда Фурье. Объединяя попарно члены с синусами и косинусами Mcos^(oof + .+ Ck sin k^t в члены вида а^ cos(Ao)o^ +、机)(см. § 46) и обозначая свободный член через получим

х 优)=力的 + 5 COS (eV + 6[) + “2 cos (2伙£ + &) +

+ «3 cos + 63) + ..・(48.7)

Особенно удобна для наших целей комплексная форма рада Фурье. Заменим в (48.7) косинусы полусуммами комплексно сопряженных экспоненциальных функций

cos (s^ + 伍)= %[/($%/$)+ 口-9户6，)]、

=% (e ° ・ e $ + e ° ■ e s)

и введем комплексные амплитуды, обозначая их, соответственно, через 4 и 4 и

4 =力的^厶，4-2 =%出e"‘气4 =力的^厶，4-2 =%出e"‘气(48.8)(48.8)

4 =力的^厶，4-2 =%出e"‘气

4 =力的^厶，4-2 =%出e"‘气

(48.8)

(48.8)

Тогда ряд (48-7) примет вид

(48・9)

или, если с помощью соотношения 做=2nvo заменить угловые частоты линейными:-

工 0)= 4 +，

…+ 儿^优川病 + {pe-imv" +(48.10)

Для отыскания коэффициентов поступаем следующим образом: умножим обе иастн (48.10) на 小2g/ и проинтегрируем от — Т/2 до + 7/2:

+ T#+Т；2 +м+ T#+Т；2 +м482〃(А「}^ df・482〃(А「}^ df・

+ T#+Т；2 +м

+ T#+Т；2 +м

482〃(А「}^ df・

482〃(А「}^ df・

Легко убедиться в том, что в правой части все члены обращаются в нуль за исключением члена номер г. Действительно,

б) ПрИ S = Гб) ПрИ S = Г(e/2n($T)wf)(e/2n($T)wf)"倖 -"倖 -4i2n (s — г) v04i2n (s — г) v0[giaS-r) — e-fk(e・r) j == 0,[giaS-r) — e-fk(e・r) j == 0,

б) ПрИ S = Г

б) ПрИ S = Г

(e/2n($T)wf)

(e/2n($T)wf)

"倖 -

"倖 -

4i2n (s — г) v0

4i2n (s — г) v0

[giaS-r) — e-fk(e・r) j == 0,

[giaS-r) — e-fk(e・r) j == 0,

а) при S * Г

+172

J……由=市自压

Г/2

Лг dt = ArT.

Из этого следует, что

Аналогично этому отыскания коэффиц^енга умно* жаем обе части (48.10) на е^^ и интегрируем от — Т/2 до + Т/2. В результате получаем

При г = 0 получаем-

4 = 3 J 成.(48.13)

Заметим еще, что если x(f)функция действительная, то коэффициенты Фурье Лт н А^ обязательно комплексно сопряжены:'

4w大

[см. формулы (48.10〃，так как только в атом случае н правая часть (48-10) будет действительна. 、

Мы видим, таким образом, что если функция 尤(£) представляет периодический процесс, то ее всегда можно разложить на гармонические составляющие. На языке физики это означает, что периодический процесс можно разложить е спектр. Этот спектр будет дЕскретнымт т. е, ок будет состоять из отдельных идеально тонких линий, частоты которых образуют арифметиче- ский ряд V。, 2v°, 3vo, - - - Оаснь часто пользуются терминологией акустнкн и называют Vo основной частотой, a 2”q> 3v。, ее обертонами.

Очевидно, что коэффициенты Фурье представляют амплитуды соответствующих обертонов. В то время как амплитуда может быть положительной или отрицательной, интенсивность есть величина существенно положительная; она измеряется квадратам амплитуды. Таккм образом, квадраты коэффициентов Фурье представляют интенсивности гармонических составляющих периодического процесса или, что то же самое, интенсивности спектральных линия*

В заключение заметим, что разложение Фурье может быть применено также и к непериодическому процессу, заданному, однако, в ограниченном интервале (например, в ограниченном интервале времени от 力区。力}. В этом случае мы можем кривую, изображающую процесс, рассматривать как один период периодической функции. Так как, однако, разложение Фурье будет представлять функцию периодическую, то оно будет правильно изображать ход процесса только в пределах заданного интервала .

Центральные силы. Кинетическая анергия в полярных координатах ‘

Изучив свойства линейного осциллятора, мы переходим к рассмотрению модели, состоящей из электрона, обращающегося около неподвижного центра. Такое движение является частным случаем движения в поле центральных сил, т. сн』，направление которых все время проходит через одну точку, а величина является функцией только расстояния от этой точки.

При решении всякой механической задачи очень большое значение имеет рациональный выбор системы координат. Обычно задача легче всего решается в такой системе координат, которая отвечает симметрии самой задачи. Поэтому следует ожидать, что для движения в центральном поле наиболее подходящей будет полярная система координат.

При рассмотрении планетарной модели атома (§51) мы воспользуемся законами сохранения знершн и момента количества движения. В качестве подготовки к этому рассмотрению мы выведем выражение для энергии в 口。订兄рных координатах.

Положение точки на плоскости определяется лв}мя поляр， ннмн координатами г и ср, связанными с декартовыми соотношениями

х cosep, у = rsinep, (49」}

Кинетическая энергия в декартовых координатах выражается в виде

Т=£•伴 + 方 (49.2}

См., одпакот § 72.

§ 49]§ 49]ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ171171

§ 49]

§ 49]

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

171

171

Но из (49.1} следует, что

北=户 cos 屮一r sin 屮，ф, » =户 sin ① + г cos ①，以 (49,3) Подставляя это в (49.2), найдем после Простых вычислений 7 = ?(产 +戶鹤，(494)

Это и есть выражение кинетической энергии в полярных координатах на плоскости.

Комбинируя формулы (49」} и (49.3), легко получим

(49,5)(49,5)%? -g文=产0,

(49,5)

(49,5)

Это соотношение нам понадобится впоследствии.

Сферическими полярными координатами точки Р в пространстве служат (рис. 105): радиус-вектор г, полюсное расстояние 3 (дополнение к широте до 90°} и долгота отсчитываемая от какого-нибудь первого меридиана. Соотношение между декартовыми и полярными координатами видно непосредственно из чертежа: x = r sin^cosу = r sinOsi 口

z г cos

Отсюда получаем 戈=户 sin й coscp +

+ cos 9 cos ①一sin 9 sin ф, ^=rsin^sinq)cosBsin? +

+①，Рие. 105.

Подставляя это в выражение кинетической энергии через декартовы координаты в Пространстве

7 二号期+货+2力(49.6}

найдем после упрощений

T = ■(产+r结2 +户5限2e,2(497)

—выражение для кинетической энергии в сферической полярной системе координат.

Движенце в центральном поле

Для описания центрального движения большое значение имеет динамическая величина, называемая моментом количества движения. Возьмем ньютонов。уравнение движения в век торной форме..

р == F

и умножим его векторно слева на радиус-вектор г:

= [rFt(50.1)

Замечая, что

А [гр]=告[rmv] = т [rv] + m [rv] = m [vv] + [rmi] = [rm句

(廿打=0 Как произведение коллинеарных векторов!), можем переписать (50.1) в виде

ВекторВектор“p] = TF].(50.2)

Вектор

Вектор

L = [rp](50.3)

называется моментом относительно точки Оназывается моментом относительно точки Околичества движения материальной точки (рис. 106). Его составляющие по декартовым осям координат таковы:

называется моментом относительно точки О

называется моментом относительно точки О

以=匂厶一 zpG =m(呢一 3),

九—_ m ，一陶， (50.4)

Ln = ^py — Урх} = m

Уравнение (5112} теперь принимает вид

L = [rF].(50.5)

Если, однако, движение — центральное, то г и F направлены одинаково или пря

мо противоположно, так что в этом случае [гF] = 0, и уравнение (50.5) дает

L = const,(50-6)

т е при центральном движении момент количества движения как вектор сохраняется. Из этого следует, в частности, что тра- ектория частицы при центр я льр ом движении лежит в одной плоскости, так как только в этом случае вектор L будет сохранять одно и то же направление во все время движения.

Если плоскость орбиты выбрать за плоскость ху, то очевидно, что вектор L будет направлен по оси z, и тогда

厶=4 厶=L, так что

Z G m 的一ух).(50.7)

Во многих случаях при рассмотрении центральных движений удобнее пользоваться полярными координатами. Принимая во внимание,(49,5)]

=产 0,

можем представить выражение момента количества движения (50.7) в виде

L(50.8)

Момент количества движения может быть выражен через кинематическую величину с, называемую секториалыюй скоростью. По определению

с—у [rv]

и следовательно,

L = 2 тс.

Из закона сохранения момента количества движения непосредственно следует второй закон Кеплера. В самом деле, если L— const, то, очевидно, нс— const, а это и есть второй закон Кеплера.

§ 5L Кеплерова задача

Рассмотрим движение электрона, обращающегося около ядра с зарядом + Ze н массой, настолько большой по сравнению с массой электрона, что само ядро можно считать неподвижным центром. Так как опыш Резерфорда с рассеянием а-частиц показали, что вплоть до расстояний порядка 1072。儿 закон Кулона имеет место, то сила взаимодействия между ядром и электроном будет Z8W а потенциальная энергия

U 争.(51Л)

Очевидно, что при таких условиях наша задача тождественна с задачей о движении планеты вокруг солнца, почему ее и называют кеплеровой задачей. Для решения этой задачи мы воспользуемся законами сохранения энергии и момента количества движения. В полярных координатах [см. формулы (49.4) и (50.8)] эти законы дают

晋俨+「喲一争=£,(51.2)

= Р»(51.3)

где Е и ^ — постоянные; из (51.3) имеем

(51-4)

Далее мы перейдем от производных по времени к производным по углу с этол целью воспользуемся соотношспоем

「dt — щгг rf^ ,

Подставляя (51.4) и (51.5) в (51.2) т найдем

£［击留+負卜E+号

(51.6)(517)(51.6)(517)млв, после небольших преобразований,

(51.6)

(517)

(51.6)

(517)

Введем новую переменную, положив р = —. Так

—十署，то (51.6) примет вид

Для интегрирования уравнения (51-7) удобно его еще раз продифференцировать:

Это уравнение мы перепишем в виде

Так как dp/dcp, вообще аовор兄,，I), то должно быть равно нулю выражение в скобках)、Мы получаем, таким образом, для р

следующее линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

嘉+ Pf・(5L8)

Общий интеграл его, как известно, равен частному решению неоднородного уравнения плюс общий интеграл соответствующего однородного. Сраз〉видно, что частным решением неодно родного уравнения будет

Р1 = —

общий же интеграл одгюродного уравнения

4^ + т = 0

естьестьР2 = /Icoscp + 3 sinep,Р2 = /Icoscp + 3 sinep,

есть

есть

Р2 = /Icoscp + 3 sinep,

Р2 = /Icoscp + 3 sinep,

где А и В — Ппоизвоь1ьные постоянные, определяемые из начальных условий. Итак,

р = ——И Лсозф+ В sin ф.(51.9)

Если мы условимся отсчитывать угол ср от того положения ради^'са-нектора, “рм котором г нмеет маннма力ьное значение: г = 7mlm а следовательно, р = 1/г = раах, то мы получим '

、 для ср = 0 奇(5ь 10) и так как по <31.9)

署 н/ з比平 + 3cos(p,

то условие (51.10) дает 8 = 0. Решение (51.9) при этом принимает вид

р = 二+ 4зр(51.11)

Это и есть уравнение орбиты электрона. Сравним его с уравнением конических сечений в полярных коорл玄иатах относительно 也0心са:

COS фCOS ф(51.12)

COS ф

COS ф

где й — большая полуось и еэксцентриситет, А1ы находнм отсюда для р = выражение

J 8 СОЗ 屮Р= а(1-£2)

Очевидно, что (51.11) и (51ЛЗ) совпадают, если положить

_ 1/一一 8

Это означает, что траекторией электрона является коническое сечение (первый закон Кеплера).

Для того чтобы найти условие, при котором это коническое сечение будет эллипсом, отыщем условие максимума и минимума р. Необходимое условие экстремума р есть

Полагая в (517) dp/d(p = O, получим квадратное уравнение

р2—2р2—2tnZe2tnZe22т£2т£(51.14)(51.14)

р2—2

р2—2

tnZe2

tnZe2

2т£

2т£

(51.14)

(51.14)

По свойству корней квадратного уравнения из (51.14) паходим

—2tnZe^Ртах 十 Pmin н ~—2tnZe^Ртах 十 Pmin н ~2в£2в£(5L15)(5L15)

—2tnZe^

Ртах 十 Pmin н ~

—2tnZe^

Ртах 十 Pmin н ~

2в£

2в£

(5L15)

(5L15)

Если энергия Е отрицательна (Е V 0). то pmaxPmm > 0, ит следовательно, существуют два положительных значений р (а значит, и г), при которых d^jd^ обращается в нуль; из них одно соответствует максимуму р (минимуму 々 перигелий), а Другое ——минимуму р (максимуму 厶 афелий), Итак, 口ри Е < 0 орбитой будет эллипс.

Напротив, при Е > 0 ртахртш < 0. Это значит, что двух положительных значений р, соответствующих максимуму и минимуму г, не существует, но одно из них положительно, а другое отрицательно. Положительные и Отрицательные значения радиуса-вектора соответствуют двум различным ветвям гиперболы. Птак, при Е > 0 орбитой>будет гипербола.

Найдем еще полезное соотношение, связывающее энергию с большой полуосью. Из (51.13), Принимая во внимание, что при $ = 0 р = рвах, а при ф = л р = pmin> получаем

1 + в11 - 8J

Ртах —口I - е) 1 Ртт 一-叽丁z，

Подставляя это в левую часть (51.15), находим

22必2

(5L16)

нз (51.18) и (5*7) следует:

£ = —_(51J8)

l Разделив (51.16) на (51.17), найдем:

IЕ —— *⑸.19)

fСоотношение (51.19) показывает, что энергия электрона при

支данном заряде зависит только от большой полуоси ого орбиты,

以но не зависит от эксцентриситета: всем орбитам с одинаковой

< большой полуосью соответствует и одинаковая энергия,

彳Выведем, наконец, при помощи найденных соотношений тре-

тий закон Кеплера. Если секториальная скорость электрона f равна т。за полный период обращения Т радиус-вектор оли- I шет площадь

УS =

Но так как секториальная скорость может быть выражена через момент количества движения с = L/2m (см. § 50), т。，полагая L = получаем

S = $2 兀б*。)

С другой стороны,_5 как площадь эллипса с полуосями а и 6 выразится в виде

S =/1 —(51.21)

так как 6 —a J1—Е， Сравнивая (5L20) и (51.21) т получаем

РТ = 2л та2 /1 — е2,(5122}

Соотношение (51.16) дает возможность выразить

产=加2/4(1 -合).(51.23)

Возводя в квадрат (51.22} и подставляя (51.23), получим после простых сокращений и преобразований

или, так как 1/Т равно числу обращенийили, так как 1/Т равно числу обращений.2Z&24气/ h 丁” .4行2团.2Z&24气/ h 丁” .4行2团=

или, так как 1/Т равно числу обращений

или, так как 1/Т равно числу обращений

.2Z&2

4气/ h 丁” .

4行2团

.2Z&2

4气/ h 丁” .

4行2团

v в единицу времени, '(5L25)

Поскольку в правой части (51.24) стоит величина^ постоянная при данное заряде ядра Ze, мы находим

亍у = const.

Это и есть третий закон Кеплера,

§ 52. а-частица в поле ядра

Рассмотрим теперь движение а-частицы в поле неподвижного ядра в случае, когда отталкивающая сила подчиняется закону Кулона. Пусть заряд ядра будет по-прежнему +Ze; заряд а・иас・ тиць1? как мы знаем, равен + 2% и потенциальная энергия будет поэтому

(52.1)

Законы сохранения энергии и момента количества движения дают

М 小，, 2Ze‘ rМ 小，, 2Ze‘ r(52.2}(52.3)(52.2}(52.3)

М 小，, 2Ze‘ r

М 小，, 2Ze‘ r

(52.2}

(52.3)

(52.2}

(52.3)

где M ——масса се-частицы. Схема дальнейшего решения задачи полностью совпадает со схемой, испоьчьяованной в предыдущем параграфе, так как исходные уравнения с точностью до знака потенциальной энергии в том и другом случаях одинаковы [см формулы (51.1)—(51.3)1 Поэтому mli не будем повторять деталей вычислений и сразу напишем результат, к которому приводят уравнения (52.2} и (52.3) после преобразований и введения новой переменной р=；:

2М£о 2Mze2°

—pi2 户 Р ~ Р工

различныеразличные(52.4)(52.5)(52.4)(52.5)Дифференцируя это уравнение еще раз, производя сокращения и перестановки, получаем

различные

различные

(52.4)

(52.5)

(52.4)

(52.5)

гдегде不+ Р = С,

где

где

2Alz仪

Общее решение уравнения (52 4} таково:

р = С + 4 cos 屮 + В sin ф.(52.6)

Используем теперь иачальные условия. Очевидно (рнс. Ю7)т что при 屮=л h ос 也 следовательно, р = 0. Это даст при подстановке в (52.6}

(52。

Второе условие мы получим следующим образом. Ордината любой точки траектории связана с г н 年 очевидным соотношением g н г sin 年 или

у г ① sin ф

Воспользовавшись (52.6) и (52.7) т найдем

В J sin ф

При ср = л ордината у равна «прицельному расстоянию^ р, а первый член в правой части обращается в нуль. Мы получаем,

Рис. ]07. Путь а-частицы в пело ядрат находящегося в точке О.

таким образом, В = 1/р, и решение (52.6} принимает окончательный вид

р = С(1 cosф) + 戸口 卩(52.8)

Отклонение агастнпн,屮，очевидно, равно углу 个 между асимптотами гиперболь], а для направления полета после отклонения р = 0, Поэтому из (52.8) мы получаем

(52.9)

или, принимая во внимание значение С из (52 5),

_(52-10)

Наконец, момент количества движения р можно выразить через прицельное расстояние Р и скорость и：

р =

Подставив 9то в (52.10), получим

dg^=4&*・(52.11)

Это и есть формула для угла отклонения а частицы, которой мы /е воспользоваллсь в § 26.

§ 53・ Приведенная масса

Выше мы видели (§ 45), что в системе двух частиц, находящихся только под действием сил взаимодействия^ обе частицы движутся относительно их центра инерции. Покажем теперь, что изучение движения такой системы двух частиц можно заменить рассмотрением движения одной фиктивной частицы^ расположенной на расстоянии от неподвижного центра, равном расстоя- нию между частицами и обладающей массой

m I +

Из уравнений движения обеих частиц имеем

»=靑f|??(53.1)

г2 H 靑(53.2)

Вычтем (53.2) из (53.1)

Но так как по третьему закону Ньютона

旦『一F⑵ то

Полагая

高+<7=高(53.3)

m=F⑵m=F⑵и принимая во внимание, что разность векторов — г2 = г (см. рис- 100) есть вектор гт направленный от т? к т“ получим

m=F⑵

m=F⑵

(53.4)(53.5)(53.4)(53.5)или

(53.4)

(53.5)

(53.4)

(53.5)

m=F⑵ причем по (53.3)

Мы видим, что задача о движении системы двух частиц эквивалентна задаче о движении одной частицы, находящейся на расстоянии г от неподвижного центра и обладающей массой; выраженной через массы обеих частиц формулой (53.5). Масса М называется гу)ибеденной массой.

§ 54}§ 54}ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ⑻⑻Теперь ясно, что результаты, которые мы получали до сих пор, рассматривая наирнмер, движение электрона с массой т относительно ядра с массой считая последнее неподвижным, не точны, так ках на самом деле надо было рассматривать движение и электрона, и ядра относительно их общего центра инерции. Однако, согласно уравнению (53.4), результаты будут вполне точными, если рассматривать движение относительно неподвижного ядра фиктивной частицы с массой, равной приведенной массе ц ядра н злектропа.

§ 54}

§ 54}

ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ

ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ

⑻

⑻

Оценим ошибку, которую мы вносим, пренебрегая собственным движением ядра. Приведенная масса ядра М и электрона т выразится так:

4m 加一-m ,

Так как М[т = 1836,1, то в формулы, в которые входит масса электрона, следует вместо m подставить ц, причем в результате появится поправочный фактор

/ + 1836」

Как мм увидим впоследствии (§ 107), в вопросах спектроскопии, где точность измерений очень высока, такой поправочный фак- тор, несмотря на свою малую величину, вносит в результат вычислений изменение, лежащее вне пределов ошибки эксперимента.

Отметим, в заключение, что при учете движения ядра выражение третьего закона Кеплера

亲=為(5L24)

должно быть уточнено путем замены массы электрона m на приведенную массу

户c十附丿‘

§ 54・ Обобщенные координаты. Состояние системы

До сих пор мы имели дело с двумя системами координат: декартовой н полярной. В механике, однако, большую пользу приносит пользование так называемыми обобщенными кобрди- нагами^ под которыми разумеются любые параметры, полностью определяющие сконфигурацию» системы. Так, например, система из двух взаимодействующих частиц может быть охарактерн- зована тремя декартовыми координатами их общего центра

инерции, расстоянием частиц и двумя углами, определяющими положение прямой, соединяющей частицы.

Выбранные обобщенные координаты обыкновенно обозначаются одной и той же буквой q с различными индексами: 9【,да, 9з, ♦ ♦ ♦ Преимущество такого способа заключается, между прочимт в том, что число обобщенных координат в некоторых случаях может быть и меньше полного числа декартовых или полярных коордниат，Например, если мы имеем систему из двух точ&чбых масс, находящихся на неизменном расстоянии d друг от Другат то между шестью декартовыми координатами этих частиц имеется одно соотношение (условие связи)

(看一尤2产+小一必)2 +(4 - N第=史

из которого может быть определена одна координата в функции пяти остальных. Таким образом, в этом случае конфигурация системы полностью определяет ся пятью независимыми параметрами, а потому и достаточно пяти обобщенных координат. Вообще, если система из я частиц подштпепа k условиям связи между координатами частицт то из 3% координат независимыми будут

f = 3〃 一 k

координат; остальные k координат определятся из условий связи. Это число f независимых параметров, необходимое для полного определения мгновенной конфигурации системы, называется числом степеней свободы. Если заданы все обобщенные координаты 《2, .. •,分 н все обобщенные скоростн, т. е. Производные от обобщенных координат но времени 九 办 办，то тем самым полностью определено состояние системы. В классической механике, таким образом, мгновенное состояние системы определяется 2/ независимыми параметрами.

Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа

Поскольку мы вводим обобщенные координаты, целесообразно отыскать уравнения дпиженият которые имеют место в любых системах координат. Таким свойством обладают уравнения, открытые Лаграпжем и называемые лагранжевыми уравнениями движения; qacTO их называют также уравнениями Лагранжа второго рода. С ними мы и ознакомимся теперь.

Пусть мы имеем свободную частицу. Положение ее характеризуется вообще тремя координатами. Это могут быть декартовы координаты х, у, z, но могут быть и любые другие координаты «2> «з・ Допустим, что нам известны формулы, выражающие % g, 2 нерез 九 м，俏：

% = %(%, «2, У = г/(«1，«2,2 = 2(а，仅，9з) (55.1}

(ср., например, формулы (§ 49) для перехода от декартовых координат к полярным). Напишем уравнения движения в декартовых координатах

тх = ту = 力乏=Z.

Умножим теперь первое из зтнх уравнении на , второе на

третье на —— и сложим их:

空+++ y 寻+ Z*. (55,2)

Правую qacTb полученного уравнения обозначим для краткости через QuПравую qacTb полученного уравнения обозначим для краткости через Qux*+ 唸+ zx*+ 唸+ z6262=Q：=Q：(55.3}(55.3}

Правую qacTb полученного уравнения обозначим для краткости через Qu

Правую qacTb полученного уравнения обозначим для краткости через Qu

x*+ 唸+ z

x*+ 唸+ z

62

62

=Q：

=Q：

(55.3}

(55.3}

Заметив, чтот напрнмер,

мы можем переписать уравнение (35.2} в виде

畸+，"崙+畸)]-

_ m卜 4(^-) + 步 4(盡)+ ^4 (器)]=Q「(55.4}

Дифференцируя формулы (55.1), мы получим выражения для полных производных z по времени, рассматривая 匕 у, 2 как сложные функции времени. Например,

0:+

6x -.

0.

(55.5)

Отсюда сразу находим

Аналогично получаем

(55.6)

Далее, принимая в。внимание, что результат дифференцирования не зависит от порядка, в котором производятся два последовательных дифференцирования, имеем

ddИмея в виду соотношения (55-6) и (557), мы можем переансать уравнение (55-4) в виде

d

d

小卜資+g務+之器）］

一加值岩+步务+2器） = Q"俗5,8）

Вспомним теперь, что кинетическая энергия Т нашей частицы выражается через составляющие скоростей х, у, 2 следующим образом:

тП登，+货+/.

Мы нмеем поэтому

=пг х=пг х=т\х=т\хдх . . ду l .丽丽+ zдх . . ду l .丽丽+ z

=пг х

=пг х

=т\х

=т\х

дх . . ду l .

丽丽+ z

дх . . ду l .

丽丽+ z

Уравнение (55.8) принимает теперь вид

дГd外дГd外(55.9)(55.9)Если сила, под действием имеет потенциал U(尤,y,z), такЕсли сила, под действием имеет потенциал U(尤,y,z), таккоторой происходит движение,которой происходит движение,что須 Vчто須 V0。77,0。77,то выражение (55.3) для Q】можно написать так:S 一 1 十dy十师丿一dq{Теперь уравнение (55.9) примет видто выражение (55.3) для Q】можно написать так:S 一 1 十dy十师丿一dq{Теперь уравнение (55.9) примет виддТдТМ 一 飞q；，М 一 飞q；，(55,10)(55,10)Введем, наконец, новую функцию L, равную разности между кинетической и потенциальной энергиями (не смешивать с пол-Введем, наконец, новую функцию L, равную разности между кинетической и потенциальной энергиями (не смешивать с пол-НОЙ нойНОЙ нойэнергией, которая равна сумме кинетической и потенциаль- энергий!):энергией, которая равна сумме кинетической и потенциаль- энергий!):L = T —sL = T —s(55」1)(55」1)ЭтаЭтафункция называется функцией Лагранжа или кинетическимфункция называется функцией Лагранжа или кинетическимпотенциалом. Так как потенциальная энергия не зависит от ско-потенциалом. Так как потенциальная энергия не зависит от ско-ростей 仇，@2, 4з, то тает простой видростей 仇，@2, 4з, то тает простой вид^― = -^—, и уравнение (2 10) приобре-^― = -^—, и уравнение (2 10) приобре-(55.12)(55.12)

дГd外

дГd外

(55.9)

(55.9)

Если сила, под действием имеет потенциал U(尤,y,z), так

Если сила, под действием имеет потенциал U(尤,y,z), так

которой происходит движение,

которой происходит движение,

что

須 V

что

須 V

0。

77,

0。

77,

то выражение (55.3) для Q】можно написать так:

S 一 1 十dy十师丿一dq{

Теперь уравнение (55.9) примет вид

то выражение (55.3) для Q】можно написать так:

S 一 1 十dy十师丿一dq{

Теперь уравнение (55.9) примет вид

дТ

дТ

М 一 飞q；，

М 一 飞q；，

(55,10)

(55,10)

Введем, наконец, новую функцию L, равную разности между кинетической и потенциальной энергиями (не смешивать с пол-

Введем, наконец, новую функцию L, равную разности между кинетической и потенциальной энергиями (не смешивать с пол-

НОЙ ной

НОЙ ной

энергией, которая равна сумме кинетической и потенциаль- энергий!):

энергией, которая равна сумме кинетической и потенциаль- энергий!):

L = T —s

L = T —s

(55」1)

(55」1)

Эта

Эта

функция называется функцией Лагранжа или кинетическим

функция называется функцией Лагранжа или кинетическим

потенциалом. Так как потенциальная энергия не зависит от ско-

потенциалом. Так как потенциальная энергия не зависит от ско-

ростей 仇，@2, 4з, то тает простой вид

ростей 仇，@2, 4з, то тает простой вид

^― = -^—, и уравнение (2 10) приобре-

^― = -^—, и уравнение (2 10) приобре-

(55.12)

(55.12)

Это и есть первое из уравнений Лагранжа. Два других получаются совершенно аналогичными преобразованиями:

品器）一器易置）-器=。・（55.12，）

Преимущество уравнений Лагранжа перед ньютоновыми с особенной ясностью выступает в том случае, когда движение частиц подчинено связям. В этом случае число независимых параметров, характеризующих конфигурацию системы, будет уже не но меньше этого числа, а именно, их будет столько, сколько степеней свободы у системы （см. § 54）:外,仇,--■ > 9夕， f = 3八—£ Столько же будет н уравнений Лагранжа. Если, на- примерт речь идет о движении одной частицы по заданной поверхности （одно уравнение связи）, то достаточно двух уравнений Лагранжа; для отыскания движения частицы по заданной кривой достаточно одного уравнения Лагранжа-

§ 56- Применение уравнений Лагранжа к задачео центральном движении

В качестве примера применения уравнений Лагранжа рассмотрим вновь задачу о движении электрона в поле положительно заряженного ядра- Симметрия задачи указывает на то, что наиболее удобными будут здесь полярные координаты /* н 屮, связанные с декартовыми соотношениями

% Г COS у

Уравнеиия Лагранжа будут （⑺=厂，夕2 = ф）

4（4）-#=°- 4（»-<=°-（56」）

Для отыскания функции Лагранжа для этого случая вспомним выражения кинетической и потенциальной энергий в полярных координатах

?=子（八+户衿；u 一

Функция Лагранжа будет поэтому

L=T-U = £（产 + 产+ 聲，（56.2）

*） Если мы хотим учесть собственное движение ялра, то в формулу для кинетической энергии нужно ввести вместо массы электрона приведенную массу электрона и ядра （§ 53）. ，

186186строение атома и классическая физика 、строение атома и классическая физика 、[ГЛ, V[ГЛ, V

186

186

строение атома и классическая физика 、

строение атома и классическая физика 、

[ГЛ, V

[ГЛ, V

Напишем ее частные производные:

drd屮dr + 严'西 ‘

подставляя это в (56.1), получим

自(研一(56.3)

告(团%)(56.4)

Второе уравнение сразу дает

@ =(56.5)

где Р — постоянная интегрирования. Этоне что иное, как закон сохранения момента количества движения. Первое же уравнение можно переписать в виде

тг 戸-+ mr©2.(56,6)

Это уравнение описывает составляющую движения по радиусу- вектору, Справа написана сила, действующая на электрон вдоль радиуса-вектора. Ее вьЕражение состоит из двух членов: первый представляет собой кулоновскую силу; появление же второго на первый взгляд кажется неожиданным. Однако при ближайшем рассмотрении этот член znrj? оказывается просто центробежной силой инерции.

Теперь мы можем перейти к интегрированию уравнения (56-6), Для этого подставим в пего выражение ф из (56.5)

и разделим обе части на т:

ZW Р2

Это уравнение можно представить в виде

(56.7)(56.7)

(56.7)

(56.7)

Умножив обе части этого уравнения на 2г, получим

易产■（等鳥Г卜

откуда после интегрирования имеем

(56・8)(56・8)2Z?2 户

(56・8)

(56・8)

тг т2戸,

мы заме-мы заме-где с — постоянная интегрирования. В этом уравнении ним г через、

мы заме-

мы заме-

• dr . Р ”

d(p * -.

что после небольших преобразований дает

貝*)2 =貝*)2 =2 mze2—户2 mze2—户+ с,+ с,

貝*)2 =

貝*)2 =

2 mze2

—户

2 mze2

—户

+ с,

+ с,

где С = ст^/Р2', или, вводя новую переменную р = 1 /г,

(署『=^р-р2 + С.(56.9)

Но уравнение (56.9), очевидно, совпадает с (45.7) и интегрируется одинаковым с ним образом. Поэтому мы здесь не будем повторять вычислений, выполненных в § 51 и приводящих в конечном результате к уравнению конических сечений.

В заключение мы дадим полезную качественную иллюстрацию уравнения (56.6)・ Для этого мн приведем его к виду (56,7) и перепишем так:

肅= — ^( 一子+1S)・(56.Г)

Это уравнение, очевидно, соответствует одномерному движению в поле с потенциалом

u 一子+辟(56g

Здесь первый член представляет собой потенциал кулоновской снятья, второй ——некоторый фиктивный потенциал, обусловленный наличием центробежной силы инерции.

Построим теперь потенциальную кривую, откладывая г по оси абсцисс и U — по оси ординат. Эта крнвая должна иметь вид кривой изображенной на рис, 108.

Действительно, для больших значений г вторым членом в (56-10) можно пренебречь по сравнению с первым, и U отрицательно, Наоборот, для малых г второй член преобладает над первым, и потенциальная энергия становится положительной. Поэтому при определенной величине г кривая проходит через минимум, быстро поднимаясь вверх при дальнейшем уменьшении г.

Эта кривая наглядно показывает, почему при положительной полной энергии орбита гиперболическая, а при отрицательной эллиптическая. Для этого удобнее всего воспользоваться иллюстрацией с тяжелым шариком (см. стр. 152). Очевидно, что шарик, поднятый на высоту 3 0, скатится в 《яму》 АВС и уйдет в бесконечность. Наоборот, при отриЕ[ательной энергии (瓦 V 0) шарик будет кататься туда и сюда в углублении DBF,

188 СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [Г力 V и соответствующая ему частица все время будет оставаться на конечном расстоянии от притягивающего центра, совершая относительно него периодическое движение.

Если имеет место не притяжение, но отталкивание, то первый член в (56.10) положителен и потенциальная энергия при любом

Рис, 108. Потенциальная кривая для радиальной сосгавляющси кеплерова движения: / — случай притяжения; // — случай отталкивания.

г положительна. Потенциальная кривая теперь имеет иид кривой 〃 рис, 108. В этом случае шарик, поднятый на любую высоту, укатится в бесконечность.

Обобщенные импульсы

Уравнения Лагранжа всегда приводят решение задачи к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Во многих случаях, однако, удобно пользоваться вместо уравнений второго порядка удвоенным числом уравнений первого порядка. Для того чтобы паписать такие уравнения, мы должны прежде всего ввести новое понятие ——обобщенный импульс. Каждой нз обобщенных координат мы будем сопоставлять отвечающий ей обобщенный импульс, который мы определим формально (в духе механики Лагранжа) как частную производную от функции Лагранжа по соответствующей обобщенной скорости：

^=<-(57.1)

Для случая сил» имеющих потенциал U, который является @унк・

цией координат, но не скоростей, L = T—U (д【，д&, ,,.) и

(57,.2)(57,.2)дБ дТ

(57,.2)

(57,.2)

PL丽 f，

Для того чтобы уяснить себе физический смысл обобщенных импульсов, полезно вычислить их явные выражения в различных координатах. Для точки, отнесенной к декартовым коорди натам, поэтому

Рх =苏=加左，ру=^ = шу, pz = — ^ mz, (57.3)

т. е. в этом случае обобщенные импульсы просто являются проекциями количества движения mv на декартовы оси координат,

В других координатах обобщенные импульсы могут нметъ другой смусл и иную размерность. На白дем, например, нмпульсн отвечающие полярным координатам г и Кинетическая энергия в полярных координатах

7 = £(产 + 喲2)；

соответствующие обобщенные импульсы будут

(57.4)(57.4)(57.5)(57.5)дТ ,

(57.4)

(57.4)

(57.5)

(57.5)

Рг = -^г = mr，

% =丽=叫.

Как видно, радиальный импульс р^ имеет размерность количества движения, тогда как азимутальный — размерность момента количества движения.

Воспользовавшись понятием обобщенного импульса, можно придать уравнениям Лагранжа новую форму. Напишем эти уравнения

訊詣卜許=。(昨一，…，力

н, заменив в пих по определениюн, заменив в пих по определению(57.1) -^- через 仆，имеем(57.1) -^- через 仆，имеем

н, заменив в пих по определению

н, заменив в пих по определению

(57.1) -^- через 仆，имеем

(57.1) -^- через 仆，имеем

等二許2,/)■(57.6)

Присоединяя сюда определение обобщенного импульса

内=許 (々一1, 2,…，f),(57.7)

получим систему 2f уравнений первого порядка.

§ 58・ Гамильтоновы канонические уравнения

Уравнения (57.6) и (577), полученные в конце предыдущего параграфа, отвечают нашему желанию заменить уравнение второго порядка уравнениями первого порядка. Однако они очень несимметричны. На практике обычно пользуются другой формой уравнений первого порядка, именно, так называемыми гамилъ- тоновыма каноническими уразнекиями, которые отличаются особой простотой и изяществом-

Рассмотрим сначала самый простой случай. Пусть мы имеем дело с одной частицей, движущейся прямолинейно. Траекторию этой частицы мы можем выбрать за ось и тогда положение ' частицы определится одной координатой g = х, а соответствую* щнм ей обобщенным импульсом будет р = m戈[см- (57,3)]. Введем теперь новую функцию которую мы определим как сум- му кинетической 〃 потенциальной энергий^ при чем кинетическую энергию мы выразим не через скорость、а через импульс р:

〃 = 7 + и =舞+ U.(58,1)

Эту функцию Н мы можем связать с функцией Лаграижа L. Для зтого заметим прежде всего, что кинетическая энергия может быть Арепставлспа в виде

Теперь легко проверить, что

рх — L = рх—Т ^px — ^px-^U^^px-{-U=T + — (58.2)

Возьмем полный дифференциал от обеих частей (58.2):

dH = pdx^xdp-^dx-^- dx.(58.3)

Но согласно (57.2) OL/O£ = p. Поэтому первый член в правой части (58.3) сокращается с четвертым, и мы получаем

dH = %dp —崇(58・4)

Напашем теперь полный дифференциалнме月 в заду, что 厅

есть функция х н р (но не 戈)：

§陇§陇ГАМИЛЬТОНОВЫ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯГАМИЛЬТОНОВЫ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ191191Сравнивая это выражение с (58.4) и вспоминая, d£/dx = находимСравнивая это выражение с (58.4) и вспоминая, d£/dx = находим・ дН方=万，・ дН方=万，77дНдНчто по (57-6)(58.5)что по (57-6)(58.5)

§陇

§陇

ГАМИЛЬТОНОВЫ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ГАМИЛЬТОНОВЫ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

191

191

Сравнивая это выражение с (58.4) и вспоминая, d£/dx = находим

Сравнивая это выражение с (58.4) и вспоминая, d£/dx = находим

・ дН

方=万，

・ дН

方=万，

7

7

дН

дН

что по (57-6)

(58.5)

что по (57-6)

(58.5)

Эти два уравнения первого порядка и являются гамильтоновыми каноническими уравнениями 期я рассматриваемого простейшего случая. Легко видеть, что'в этом случае канонические уравнения (58.5) ведут к хорошо знакомым результатам. Так как Н = р2/2е 4 U, то дН/дх = OU]。％ dHjdp = р/m, п уравнения (58,5) дают

. р dp dU

Первое из этих соотношений дает р = mi, т・ & определение количества движения, второе представляет собой ньютоновское уравнение движения для частицы, движущейся по оси %

Мы сейчас покажем, что и в общем случае системы с f степенями свободы канонические уравнения имеют такой же вид, как и (585)、только число уравнений соответственно больше. Пусть конфигурация системы определяется f обобщенными коор- динатами д】,д?，Функция Лагранжа 厶 зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей а также вообще говоря, и от времени:

причем через 伙 обозначена совокупность всех обобщенных ко ордипат, а через — совокупность всех обобщенных скоростей. От функции Лагранжа мн теперь передаем к функции Гамильтона Н, воспользовавшись преобразованием (5*.2), распространенным на f степеней свободы:

Н =(58.6)

月=[

Возьмем полный дифференциал правой и левой частей (58,6):dH -еp^ d柒+e柒dp々一工崙"d供一2崙d柒一箒"

Так как по (57.7) dL/dqk —「鰭 то первая и четвертая суммы со-кращаются, и мы получаем

"/ =工也 dp2 - £ dqk -*山. (58.7)

С другой стороны, полный дифференциал // — функции ph (но не 7k) и / — должен иметь вид

2豔恥+工許d伙+

Сравнивая с (58-7) и принимая во внимание, что по (57.6)

dqk dH dph dHdqk dH dph dH伊=1, 2,・・・，f)・(58.8)伊=1, 2,・・・，f)・(58.8)

dqk dH dph dH

dqk dH dph dH

伊=1, 2,・・・，f)・(58.8)

伊=1, 2,・・・，f)・(58.8)

Эти дифференциальные уравнения первого порядка и являются каноническими уравнениями для систем с f степенями свободы. Их общее число равно 2力 т.е. в два раза больше числа уравнений второго порядка. Обобщенная координата 伙 н соответствующий ей обобщенный импульс называются канонически сопряженными.

Для системы с тремя степенями свободы (например, для одной частицы, движение которой не ограничено связями) канонических уравнений будет всего шесть. Так как мы имеем дело здесь с шестью уравнениями первого порядка, то в окончательный результат войдут еще шесть лронзвольпых постоянных. Зная начальное состояние системы (§ 54), т- е. совокупность значений и р也 для / — 0, н проинтегрировав уравнения (58.8), мы можем предсказать ее состояние для любого будущего момента времени. Таким образом, гамильтоновы канонические уравнения по своей форме являются наиболее Отчетливым внра*е・. ннем классического принципа причинности.

§ 59. Физический смысл функции Гамильтона

В начале предыдущего параграфа мы определили фуикцию Гамильтона для случая одномерного движение, отнесенного к декартовым коордадатам, как сумму кинетической и потенциальной энергий, выраженных через координаты и импульсы. За・ тем мы показали, что это определение тождественно с определением через функцию Лагранжа

и это последнее определение мы обобщили на случай f любых обобщенных координат, полагая в этом случае

h eL混(58.6)

Внесшим теперь, каков смысл функции Гамильтона в этом более общем случае.

Оказывается, что в тех случаях, когда функция Лагранжа, а также функция Гамильтона Н зависят явно от времени^ Н есть так же, как и в простейшем случае, сумма кинетической я

§ 59]§ 59]ФИЗИЧЕСКИП СМЫСЛ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНАФИЗИЧЕСКИП СМЫСЛ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА193193

§ 59]

§ 59]

ФИЗИЧЕСКИП СМЫСЛ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА

ФИЗИЧЕСКИП СМЫСЛ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА

193

193

потенциальной энергий. Докажем прежде всего, что, когда Н от времени явно зависит, ома равна постоянной:

Н = Н р&) = const.

Для доказательства найдем полную лроязводную Н по времена:

h =丽丽妆+丽伙+…+

Подставляя сюда 外 и 力目 из (58.8), получим

瓦瓦片0，(59⑴

откуда const.(59,2)

_Теперьмыобратимся к выяснениюфизического смысла Н

По определению'

Н = р向 + р2g2 + р・0з +L 2「九仇一L・(59.3) Для консервативной системы

L = U,(59.4)

и так как U зависит только от координат, то

Таккм образом, получаем

2加港П工(59.6) н, следовательно,

"и£誑(59.7)

Теперь необходимо принять во внимание, что в любых обобщенных координатах кинетическая энергия есть однородная функция скоростей второго измерения. Для декартовьгх и полярных координат мы в этом убедились непосредствепгто 〈см. §§ 41 я 49); io же можно показать н в случае обобщенных коорлинаг По теореме Эйлера об однородных функциях, если

См г иапричер Л. Д. Ландау н Е. М Д н ф ш п кг Механикаг кНа. ука», 1965, стр 9； 「Г о л д с т е й п, Классическая механика, Гостехиздзт, 1957 с гр 36

7 3 В. Щцо^ьскиП, т.[

f (%, 9一 ・・，а, и)—однородная функция л-го измерении, то

，亲+д亲+…备+"黑(阻8)

Применяя эту теорему к сумме (59・6), получаем

и (59.7) дает

H = ¥〃^-2 = 2T—T + U = T + S (59.10)

Итак, для консервативных систем Н есть просто сумма кинетической н потенциальной энергии, выраженная через коср艮н・ паты и импульсы.

Прязедем несколько примеров функции Гамильтона.

Частица в попе с потенциалом

Т J犷 U

Согласно § 55 рн = т*, рц = my, рЕ = mz. Следовательно, ^^^Ру + Р^+и^У>^(59.11)

Линейный осциллятор： ТU = ^"2,

"=击^ + 3悌。(59.12)

Электрон в кулоновском поле: 丁=：皆-俨 +「2峭， и —

рг=тг,m 戸 ф,

，= *(Е+"^Р^ —勺，网.⑶

§ 60・ Циклические координаты

Функция Гамильтона Н в общем случае зависит от всех ко, ординат и обобщенных импульсов. Одпако в некоторых частных случаях оказывается, что одна или несколько координат могут и ве входить в выражение Н. Такие координаты называются циклическими. Возьмем, напрнмер, гамильтонову функцию электрона, движущегося в кулоновском поле ядра:

〃 = *&+%闯-胃•(59」3)

Мы вадим, что из двух координат г и 屮 только г входит в вьтра- женне Н； следовательно,中 есть координата циклическая.

В качестве второго примера рассмотрим функцию Гамильтона для движения частицьг в поле тяготения Земли. Здесь потенциальная энергия зависит только от расстояния частицы от Земли: U = mgz. Следовательно [см. (59.11)],,

Н Q Е(60.1)

Как мы видим, в вьтражепие Н не входят координаты хну- они также являются циклическими координатами.

Если какая-нибудь из координат является циклической, то соответствующий ей обобщенный импульс должен быть постоян- НЬ[М. Пусть, например, координата 小 не входит в Н:

Н==Н(д2，93，%； Р1，02，…—Pf)，

Тогда из канонических уравнений (58 8) следует=

=0, откуда pi = const. Таким образом, поскольку в гамильтонову функцию (59.13) не входит координата

= const.(60.2)

В функцию Я Гамильтона (60」) не входят координаты у и х, вследствие чего

рх = тх = const, ру^ту = const. (60.3)

Особенно важен тот случай, когда все координаты — циклические. В этом случае, как мы сейчас покажем, все импульсы являются постоянными, а все координаты — линейными функциями времени. Наиболее простым примером подобного случая может служить ротатор, т.е. частица, обращающаяся по кругу около неподвижного центра. Кинетическая энергия такой ча> ты, как известно, равна

Т 力•(60.4)

где Л = m广2； ©с потенциальная энергия равна нулю. Обобщен, ный импульс, соответствующий ф, будет

дt “

(60.5)(60.5)% =痴i屮

(60.5)

(60.5)

н, следовательно, ин, следовательно, и=方幺92 = F-=好=方幺92 = F-=好н = т + и =н = т + и =2А •2А •(60.6)(60.6)

н, следовательно, и

н, следовательно, и

=方幺92 = F-=好

=方幺92 = F-=好

н = т + и =

н = т + и =

2А •

2А •

(60.6)

(60.6)

Так как единственная координата ф — циклическая, то 月@ = =const 也 согласно каноническим уравнениям,

Обозначив const через з, получим после мнтегрнрованни

9+ а,

где а — постоянная интегрирования.

Если система нмеет / степеней свободы и все координаты циклические, то Н = Н （р【,Р2…，，рЗ и для любого импульса р*

имеем

дНдН=0.=0.dpfe

дН

дН

=0.

=0.

Канонн^ескнс уравнения тогда дают

歯1

дН z= ■■■…

加

=const = ®,

對2 di

=也

==const = g,

откуда

Мн видим, что, действительно, в случае, когда все координаты циклические! все импульсы являются постоянными, а координаты—линейными функциями времени.

§ 61・ Скобки Пуассона. Законы сохранения

Положим, что мы имеем какую-нибудь функцию координат» импульсов и времени:尸（仇，矶 где 孙 и 仆一совокупности всех координат и импульсов; найдем полную производную F по времени

dF " 3FdF dg? ।d尸 dp、, dF ,

7F = "dT + ■十丽 FT 十十石…

."丄『（ "叫、

Замени兄 в правой части производные по времени от координат н импульсов через производные гамильтониана 〃 из канониче-

склх уравнений 夕启склх уравнений 夕启GH . ОНGH . ОН空一也上、（8h "df df十以丽玩空一也上、（8h "df df十以丽玩получаем^7近丿，получаем^7近丿，

склх уравнений 夕启

склх уравнений 夕启

GH . ОН

GH . ОН

空一也上、（8h "df df十以丽玩

空一也上、（8h "df df十以丽玩

получаем

^7近丿，

получаем

^7近丿，

Второй член в правой части называется скобками Пуассона н обозначается через 岡

(斤"尸头鼠許-際向.12

Итак, полную производную по Времени всякой функции 尸(9脑戸力，f) мы можем написать в виде

d尸石d尸石黑+ (忆F).黑+ (忆F).(61.2)(61.2)

d尸石

d尸石

黑+ (忆F).

黑+ (忆F).

(61.2)

(61.2)

Если F явно не зависит от времени, то -~ ^ О и

(6L3)

дНдНМожно сказать, таким образом, что для всякой функции коор~ дипат и импульсов Г(^йт рй) скобки Пуассона дают выражение ее полной производной по времени. Пользуясь этим замечанием, мы прадставкм канонические уравнен ня

дН

дН

警

при помощи скобок Пуассона вСогласно (61,3) мы имеемСтитем теперь скобки (从 佻)ипри помощи скобок Пуассона вСогласно (61,3) мы имеемСтитем теперь скобки (从 佻)и内 овом виде.内 овом виде.芻TRW芻TRW(61.4)(61.4)(h,/)=(h,/)=(Hg):(Hg):дН丽，дН丽，Мм вадмм, что уравнения (61.4} действительно совпадают с ка・ ионическими уравнениями.Если для 戸(伙,pQ скобки Пуассона (方,尸)равны нулю,Мм вадмм, что уравнения (61.4} действительно совпадают с ка・ ионическими уравнениями.Если для 戸(伙,pQ скобки Пуассона (方,尸)равны нулю,тото") = 0,") = 0,(61,4‘)(61,4‘)诉pa) = const.诉pa) = const.

при помощи скобок Пуассона вСогласно (61,3) мы имеем

Ститем теперь скобки (从 佻)и

при помощи скобок Пуассона вСогласно (61,3) мы имеем

Ститем теперь скобки (从 佻)и

内 овом виде.

内 овом виде.

芻TRW

芻TRW

(61.4)

(61.4)

(h,/)=

(h,/)=

(Hg):

(Hg):

дН

丽，

дН

丽，

Мм вадмм, что уравнения (61.4} действительно совпадают с ка・ ионическими уравнениями.

Если для 戸(伙,pQ скобки Пуассона (方,尸)равны нулю,

Мм вадмм, что уравнения (61.4} действительно совпадают с ка・ ионическими уравнениями.

Если для 戸(伙,pQ скобки Пуассона (方,尸)равны нулю,

то

то

") = 0,

") = 0,

(61,4‘)

(61,4‘)

诉pa) = const.

诉pa) = const.

Этим можно воспользоваться для отыскания законов сохранения или первых интегралов уравнений движения, под которыми разумеют такие соотношения между координатами и их первыми производными по временн, которые сохраняют свое значение во все время движения при любых начальных условных. Найдем, напрнмер, скобки (Я, Н)：

网联头能券-器器=。'

откуда

Н= const,

или, в раскрытом виде в декартовых координатах

Н =嘉(俄 + U ⑷R L (61.5)

Это соотношение, выражающее закон сохранения энергии, и есть одни из первых интегралов движения — именно интеграл энергии- Заметим здесь, что, отыскивая производную в § 59. мы уже воспользовались частном случаем скобок Пуассона [см. (59.1)]-

В качестве второго примера рассмотрим движение частицы в поле центральной силы. Найдем скобки Пуассона (H，LR, где 丄z— момент количества движения относительно оси z:

Искомые скобки Пуассона по (6L1) будут

Принимая во внимание (6L5) н (6L6), получаем

Для вычисления правой части перейдем к полярным координатам, воспользовавшись формулами

Заметив, что б(р дх 3@ тЗаметив, что б(р дх 3@ т% = г cosip, у = г sin(p-

Заметив, что б(р дх 3@ т

Заметив, что б(р дх 3@ т

dU_dy_ +也空 q

ду 0ф 十 02 0ф

・ dU , ди

=一Cm勺 + 5年冇П工而一勺＞

получаемполучаем（从厶）=（从厶）=dUdU

получаем

получаем

（从厶）=

（从厶）=

dU

dU

Но так как в случае центральной си』ы потенциальная энергия не зависит от 屮，а зависит только от г, то

= O и 匚=const.

В качестве упраж[тения предлагается доказать с помощью скобок Пуассона, что = const и = const Мы получаем три закона сохранения, а именно, закоггы сохраиення составляющих момента количества 口внженнк.

Законы сохранения полного хюмепта количества движения Ийтеют место также и для “золированНоП системы частиц. В этом случае

" =£ 太(以+眩 + 呢)+ u (/, %, 4)，

где суммирование распространяется на все частицы. Вычисление, аналопгпЕое продел а изюму в (61.7) " ля одной частицы, дает

При переходе к полярным коордигтатам х/( = гй cos ①脑 ук = =получаем

11о так как для изолированно負 консервативной системы при повороте всМ системы на один и тот же угол потенциальная энергия нс меняетсят т。

к const.

Применяя аналогичный прием, можно доказать, что для изолированной системы А частиц тшеют место законы сохранения слагающих полного количества движения РХч Р* Р% причем

=Pz=£pzb

Действительно,

{суммирование распространяется на все частицы) - Но так как потенциальная энергия системы частиц зависит только от их взаимных расстояний и не меняется, если все они сместятся

на одинаковое расстояние по оси 爲 то = 0 и const， Аналогично доказывается, что

= const, 2 ~ const.

Если мы присоединим сюда еще закон сохранения энергии （61.5）, то получим семь законов сохранения или первых интегралов уравнений движения.

Скобки Пуассона можно определить пе только для пары функций /7 и fT но и для любой пары функций координат и импульсов f м В этом случае определение таково:

（f，g）=?訝深卜 ⑻用

Пусть f = р n g = q； тогдат очеввдно,

屮，号丿 dp6q зp ‘'/

при f 0，

夕丿 dp dg Gq Op、 丿

Точно так же и （р, р） = 0. Тот факт, что дл^ пары канонически сопряженных координат и импульсов скобки Пуассона равны L можно рассматривать как определение канонически соир£〉кен・ нвх величин: две величины 。左 и мн будем называть канонически сопряжен[Шмит если

.（依，/）=0,（弘，Ра = 0,（外，伙）一1♦

§ 62・ Движение в электромагнитном поле

В предшествующих параграфах этой главы мы интересовались исключительно случаями, когда движение происходит в потенциальном поле, т. е. в ноле, в котором енла, действующая на частицу, может быть представлена как градиент некоторой скалярной функции Примером такого поля является постоянное электростатическое поле. Работа при перемещенье заряженной частицы в таком поле не зависит от формы пути, а зависит только от положения начальной и конечной тохек，

Ba*Hbjz случаем движения является движение поп действием электромагнитного ноля， Сила, действующая на заря・ женную частицу в таком поле, как известно, выражается формулой Лоренца

'F = e^ + /[y 羽.

Второй член этой формулы выражает силу, действующую со стороны магнитного поля. Как уже было указано (стр. 149), сила

работы не совершает, так как она направлена перпендикулярно х скорости. Важным свойством магнитного поля является то, что это поле не имеет источников. Это обстоятельство внра・ жается условием

div 非=0.

Вследствие этого условия напряженность магнитного поля 非 может быть представлена как вяхрь некоторого вектора А, называемого векторным потенциалом

非=rot А

[как известно из векторного анализа, для любого вектора а имеет мест。тождество: div not а 曰 0; поэтому 施=div rot A = 0, т. e. указанное условие выполняется].

Наиболее общим является случай переменного во времени электромагнитного поля. Для вычисления такого поля в электродинамике вводятся так называемые электродинамическне потенциалы скалярный ф к векторный А^), и напряженности полей — электрического $ и магнитного 比一вычисляются по формулам

^_ёгааф_7_.(621)

% = А,

Ньютоновы уравнения движения частицы с массой m и положительным зарядом е в электромагнитном поле таковы:

忌[V非h三С/х + ^⑨非。 - 2居)，

и еще два аналогичных уравнения для осей g н 2. Покажем те- перь, что уравнен" могут быть получены из функции Ла- гранжа. выбранной следующим образом：

丄=Т+ /(vA),(62.2)

или в раскрытом виде в декартовых координатах

丄=：m(/+货+22)一叫+£(北4十/儿+2儿).(62.3)

*) См., например, И Е Там м. Основы теории электричества, «Наука》, 1966. стр 218; Я. И. Френкель, Kvpc теоретической механики, Гостехиздат, 】940, 口)212.

Для доказательства мы пре/кде всего найдем обобщенные пм・ пульсы, соответствующие координатам г. По определению 「％=些 и что паст, если воспользоваться функций L (62.3), еее

Р* = тх + - 4, Pg = ту + -儿，小=加纟 + 工儿(62.4)

илп в векторной форме

(62,5>(62,5>Р="^ + ^ А・

(62,5>

(62,5>

Напашем теперь лагранжевы уравнения движения

(G2.6)(G2.6)Д；В1 =!尸匸厂」С：：РД；В1 =!尸匸厂」С：：Р二 £а gi = * ：i wwa:wti:8, “то 傣* = рх, получим

(G2.6)

(G2.6)

Д；В1 =!尸匸厂」С：：Р

Д；В1 =!尸匸厂」С：：Р

fip.-<',V.'--■■■■. ；' rs门 с\：С1 первой НЗ фир・

"尸=冷工+工"尸=冷工+工认4 '认4 '

"尸=冷工+工

"尸=冷工+工

认

4 '

认

4 '

Важно иметь в виду, что при вы-шслепып производной следует брать полную производную или производную вдоль траектории движущейся частицы :

d? - df 十x 十4 办十z，

Принимая это во внимание, имеем

醬=成+貝分+譬尢+若若斗(62.7>

Далее, продифференцировав (62.3) по 兑 находим

R =* + "才 + *才)，(62.8)

Подставляя (62.7) и (62.8) в (62,6), подучаем

成一号7学十汴(岩安一吃.

Полная (или субстаггциальная) производная по / характеризует изме- ненис А для данной частям тогда как частная (si im локальная) произзод- нал характеризует из工и〃е」」е Л в данном месте,

Но, принимая во вниманиеНо, принимая во внимание(62.1), очевидно, имеем(62.1), очевидно, имеем

Но, принимая во внимание

Но, принимая во внимание

(62.1), очевидно, имеем

(62.1), очевидно, имеем

е 64*

丁) 一一 石-丿=

Итак, мы получаем

Функция Гамильтона согласно общему определению есть

"=£рх + 步Pg + 之 pz — L."=£рх + 步Pg + 之 pz — L.(62.9)(62.9)

"=£рх + 步Pg + 之 pz — L.

"=£рх + 步Pg + 之 pz — L.

(62.9)

(62.9)

Еслн мы сюда подставим вместо рХч р^ рг выра^кения кинетических импульсов (62.4) и функцию Лагранжа (62.2), то получим

出=北(加Н4)+步0万+ y+之(欣+ 4)一

一扌+步2 + Z) +绅一^ (尤4 +步(+分儿)■

Выполнив простые алгебраические преобразования и приведения, мы увидим, что члены, содержащие составляющие вектор- потеникала, сокращаются и результат таков: _

"б(产+加+ /) +绅=击(区+ +疋)+纯，

е. Н по-прежпему является суммой кинетической и потенциальной з【】ер门他，а какие-либо члены, соответствующие магнитному полю, отсутствуют. Этого и следовало ожидать, так как сила Лоренца никакой работы не совершает (см. § 41).

Найдем теперь явное выражение функции Гамильтона через координаты и соответствующие им обобщенные импульсы. Для этого в (62.9), а также в выражении функции Лагранжа (62.3) следует заменить 尤 g, z их выражениями через р?, pz.

Преобразуем сначала фунхпию Лагранжа

L + 4 (vA)=

二击(Р—/А『一е屮 +±^ А(р —卷 А),

где под р разумеется кинетический импульс (62,5). Функцию Га・ милы опа напишехт 二"兄 краткости также в векторной форме 〃 = ±Р(р_^А)_*(р—ЕА『 + е(р_^^А(р —£а}.

Легко убедиться в том, что первый и последний члены вместе дают g(p — А)・ В самом деле, напрнмер,

& 3 -^А^~-^АХ 3-уЛл) =

=g -2卷р/х十今再=伍-

Поэтому мы получаем после приведения

工击[(网一卷 А, +®_"^4)+(pz—/4)] +绅(62 JO)

Это и есть искомая функция Гамильтона.

Сравнивая (62.10} с выражением функции Гамильтона для случая электростатического поля

"=击收+月+p》+纯 (62.1!)

где через Р±,尸故 Р? обозначены составляющие количества движения (Р = тх и т. д.)т мы видим, что переход к случаю эарк- трамагнитного поля осуществляется при помощи весьма просто^ го приема: надо в (62.11) заменить составляющие обыкновен' пого импульса Р备 Ру, Pz соответствующими составляющими кинетического импульса

Рх = Рх —三 4 н

§ 63. Механика быстродвижущихся частиц-Преобразования Лоренца

В тех случаях, когда скорость частицы сравнима со скорость© света, следует пользоваться законами теории относительности. Мы не можем здесь систематически излагать теорию относатеАЬностх, а прнведеи в этом н следующих параграфах только необходимые сведения, которыми нам придется воспользоваться в дальнейшем

В основе теории относительности лежат два постулата:

Постулат относительности. Никакими механическими или электромагнитными (в частности — оптическими) экспериментами, производимыми внутри системы, невозможно обнаружить равномерное прямолинейное движение этой системы.

Этот постулат является обобщением открытого еше Галилеем принципа относительности классической механики， согласно которому все механические явления протекают совершенно одинаково, независимо от того, находится лп система в покое или в равномерном прямолинейном, т, е, инерциальном, дви- женирь

Здесь, однако, нужна небольшая оговорка' если имеются две системы, находящиеся в прямолинейном равномерном движении относительно друг друга, то принцип относительности не утверждает, что какое-либо данное явление протекает одинаково в обеих системах- Например, если тело покоится в одной системе, то в другой оно движется. Но принцип относительности утверждает, что если начальные условия в обеих системах будут одинаковы, то и сами движения будут одинаковыми.

Постулат относительности Эйнштейна распространяет это утверждение также и на электромагнитные явления. Этот постулат может быть формулирован несколько иначе, если воспользоваться понятием об инерциальных системах, т. е. о таких системах, в которых имеет место закон инерции. При этом пршг цип относительности формулируется так: все законы механика и опт〃к〃 одинаковы во всех инерциальных системах.

Постулат постоянства скорости света、Скорость света в пустоте одинакова во всех системах, независимо от относительного дви- гкения источника и наблюдателя.

В классической механике для перехода от одной систем bi координат к другой, движущейся равномерно относительно первой5 используются так нззыз^емые /гре- образования Галилея. Рассмотрим две декартовы прямоугольные системы ко

ординат, S(z.g,N} и S，(#1g',z'} (рис. 109), Пусть дня простоты их оси х совпадают и положим, что система S' равномерно движется со cuopocTbJO V относите^ьно S вдоль оси причем в момент / = 0 начала координат обеих систем совпадают, В таком случае в свою очередь система S движется относительно S' со скоростью — V. Поэтому между координатами точки в системах

(63.1)(63.1)S' м S имеют место соотношения:

(63.1)

(63.1)

У' = У.

К этим трем соотношениям для пространственных координат сдует добавить еще соотношение д<пя времени: время в обеих системах с точки зрения классической механики одинаково,

* = Z・(63.1а)

Формулы (63.1) и (63,1а) представляют собой имеющие место в ньютоновой механике преобразования Галилея. Легко убедиться в том, что уравнения ньютоновой механики не изменяют своего вила “рм замене координат к времени согласно этим формулам преобразованиях Иначе говоря, уравнения механики Ньютона ипвариантньт относительно преобразований Галилея_

В самом деле, напишем ньютоново уравнение движения для

координаты 尤

(63,2)(63,2)d打 口

(63,2)

(63,2)

Очевидно, что поСоЧедующие рассуждения будут спрааедливы также и для уравнений, написанных для любой координаты у z. Формулы преобразований Галилея дают для координаты X：

Дифференцируя по Л получаем:

由-十八

или

% =畋 + 匕(63,3)

Это — цзвест!Еая теорема сложения скоростей механнкн Галилея —Ньютона: скорость частицы в системе S равна скорости этой частицы в системе S' плюс скорость относительного движения обеих координатных систем-

Дифферепцируя по 无 второй раз, получаем:

(63.2а)(63.2а)d?x — d2x'di — di"

(63.2а)

(63.2а)

Итак, левые части ньютоновых уравнений движения не меняются при преобразованиях Галилея. В правых частях этих уравнений находятся компоненты силы. Но в механике силы

расстояния а не от сане меняютрасстояния а не от сане меняютвзаимодействия между двумя телами являются силами притяжения или отталкивания- Такие силы зависят от

расстояния а не от сане меняют

расстояния а не от сане меняют

между двумя геламп, т е, от разностей координат, м“х координат- Позтоху, преобразования Галилея

207(63.26)207(63.26)§ 631МЕХАНИКА БЫСТРОДВИЖУЩИХСЯ НАСТИН

207

(63.26)

207

(63.26)

компонентов силы, % =

Подставляя (63,2а) 0 (63.26) в (63.2), получаем;

Это н показывает, что преобразования Галилея не меняют вида ньютоновых уравнений движения: ньютоновы уравнения движения инвариантны относительно преобразований Галилея.

Инвариантность уравнений движения относительно нреобра- зованнн Галилея представляет собой математическую формулировку принципа относительности классической механики: законы движения одинаковы во всех системах координат, равномерно дви^к^ щихся относительно друг друга. Первый постулат теории относительности согласуется с этим принципом и обобщает его на законы распространения света, Однако одновременное при- менепас обоих постулатов находится в противоречии с преоб- разованиямР! Галилея. В самом деле, из преобразований Га- /н」ся автоматически вытекает теорема сложения скоростей (63.3). Но если применить эту теорему к скорости распространения света, то получается, что если скорость света в системе S' равна & то в системе S она должна быть равна

ито противоречит второму постулату теории относительности.

Так как, однако, оба эти постулата подтверждаются всеми известными экспериментальными фактами, то противоречие имеется нс между самими постулатами, а между постулатам и и преобразованиями Галилея: преобразования Галилея неприменимы к распрострапешпо света 0 к движениям со скоростями, близкими к скорости света，

Эйнштейн нз самых o6wux соображений о свойствах пространства и времени нашел такие преобразования, которые согласуются с обоими постулатами теории относительности и частным-случаем которых (при V/c《l} являются преобразования Галилея- Эти преобразования ранее были найдены формально Лорениом, ввиду чего они называются преобразованиями Лоренца, Они имеют слелующян вид:

(63・4)(63・4)

(63・4)

(63・4)

208 строение атом人 и классическая физика [гл. v

Важной чертой Этих преобразований является то, что при переходе от одной инерциальной системы к другой преобразуются не только пространственные координаты, но и время: время течет в различных инерциальных системах, равномерно движущихся относительно друг друга, по-разному.

Легко видеть, что при V/c « i, т. е. в условиях, когда верна мехаккка Ньютона, преобразоваиия Лоренца автоматически но рсходят в преобразования Галилея (63」)・

Выразим теперь из (63.4}看 у, Z через Получаем:

Это ——те же формулы преобразований Лоренца для системы 5, движущейся относительно S' со скоростью — V.

Мы пе будем выводить преобразования Лоренца, по для оправдания их покажем, ито именно они обеспечивают отсут。 ствие противоречия между обоими основными постулатами те。。 рпи относительности- Рассмотрим для этого снова две ннер・ инальные системы 5 и S'； пусть их начала совпадают в момент / = 0. Предположим, что в этот момент из начала координат выходит короткий световой сигнал. Через промежуток времени dt световой сигнал распространится в системе S на расстояние cdt и достигает сферической поверхности с радиусом А = cdf. Уравнение этой сферической поверхности с центром в точке О есть

= с3 Л3.(63.6)

Произведем теперь переход от системы S к системе S', воспользовавшись преобразованиями Лоренца. Подставляя в (63.6} вьь для dy, dz, dt из (63.5}. заходим;

После простых алгебраических преобразований получим:

(63.7) т. e. снова уравнен0c сферической поверхности, по с центром в О',

Мы видимчто благодаря преобразованиям Лоренца и постоянству скорости света с (второй постулат) удовлетворяется также и постулат относительности: волна, выходящая из общего начала координат в момент f = 0, остается сферической как в первой системе относительно начала О, так и во второй системе относительно своего начала СИ С точки зрения преобразований Галилея это было бы невозможно

Таким образом, преобразования Лоренца устраняют кажущееся противоречие между обоими основными постулатами теории относительности.

В соответствии с преобразованиями Лоренца находится и теорема сложения скоростей теории относительности. Рассмотрим простейший случай, когда частица движется по оси х. Из (63.4) находим:

_ dt_ dt

_ dt

_ dt

Комбинируя оба выражения, получаем：

(63.8)

外-外-Отсюпа, выражая нештрихованные величины нерез штрихованные, находим:

外-

外-

(63.9)

Равенство (63.9) представляет теорему сложения скоростей в теории относительности. При V/c《I автоматически получаем: '

—теорему сложения скоростей механики Галилея ——Ньютока. Вместе с тем формула (63 9} даст результаты, согласующиеся с。 вторым постулатом теории относительности. Рассмотрим крайний случай. Пусть надо вычислить скорость света

*) На первый взгляд кажется непонятные, какнм образом геометрическое место точек, которых достигает волна в движущейся системе, остается сферой относительно О', раз оно является сферой п неподвижной системе. Это г кажущийся парадокс разрешаете只 тем, что события, одновременные в одной системе координат, не б^д^т одновременными б другой системе.

относительно система если' и； = с х система S' движется относительно S также со скоростью V = с Тогда, по (63.9).

NN% =一 как и с〃епова刀。ex;円〃2

N

N

Основы релятивистской динамики частицы

Зависимость массы от скорости

Нам необходимо теперь ознакомиться с теми важными изменениями, которые теория относительности внесла в динамику Ныотоп^. С этой пе.пъю удобно начать с рассмотрения простого механического процесса: соударения двух тождественных упругих шаров, движущихся навстречу друг другу по оси х, В основу рассмотрения мн по〃о*мм в качестве посту .патов два весьма общих положения; принцип сохранения массы

二 = const(64.1/

“ принцип сохранения импульса

У 中尸 const(64.2)

йли. в каардл^атах.

£ 加卩八=const, £ zn£f^ — const, 2 mt% — const. (64,2a) j/i

В дальнейшем процесс упругого соударения будет рассматриваться с ЮЧКТ1 зрения двух систем коорлянат, равномерно движущихся относительно друг друга. Разница между рассмотрением этого процесса в механике Ньютона и в теории отпо- сительностгг будет состоять в том, в первом случае будут использованы преобразования Галилея, а во втором — преобразования Лорен叫 точнее — вытекающие из этих преобразований законы сложения скоростей,、

Итак, рассмотрим два шара, двнжушихся в системе S' по оси х со скоростями —Поскольку [1ре」пс/агаетс口，что соударение идеально упругое, оба шара при соупареп。；] сначала останавливаются, а затем под влиянием развивающихся уир^- 「мх сил обмениваются скоростями: цервьш движется обратно со скоростью а второй со скоростью +〃，

Введем теперь еще одну инерциальную crctbmv координат которая движется отнасителъио со скоростью —К Учлтьш^я заранее возможность изменения масс 山аров в зависимости от

скорости. о6озна“км их массы в этой системе _ _ Пусть М будет сумма их масс в момент остановки, т, когда аба .

снстсме S. Законы сохранения массы и импульса, так〉ке и в новой системе координат> дают тогда:

через %

ту же скорость V

и т2.тогда.

относительно справедливые

"，一一；!,'',*吋茎屮亲一三",!>л、;""'!宀•,氾葉f莘,冬.'5'-=赤笑一^

+ m^ = Mt(64.3)

(64,4) Мы убедимся сейчас, qto теорема сложения скоростей механики Галилея — Ньютона ведет к тривиальному результату 〃М =加礬 Действительна, согласно зто% теореме скорость первого шара относительно 5 бунет

а второю

Ui 一u+匕

g= — и'+ 匕

Подставляя 9To в (б4・4). получаем:

откуда

или

mu+ ^-办出，+ ту =i

加1 0т2,

что и требовалось доказать,

В динамике теории относительности мы должны пользоваться теоремой сложения скоростей Эйнштейна, вытекающей из преобразований Лоренца. Согласно этой теореме

办=

(64.5)

Подставляя (64,5) массы 向 + 加2 = М,

в (64.4)получаем:

н пользуясь законом сохранения

:丄沙齿+恤牙=竹? +m2匕

откупа, после простых алгебраических преобразован哂 нахо^нм： -(64⑹

Чтобь[ полункть окончательный результат, нам остается только выполнить некоторые чисто алгебраические вьмнслснна,

использовав теорему сложения скоростей (64.5). Вспоминая значение скорости вычисляем:

Аналогичными вычищениями найдем：

IIПри помощи полученных соотношений легко приведем (64.6} к виду При помощи полученных соотношений легко приведем (64.6} к виду 1-41-4亨【 叱亨【 叱ww(64⑸(64⑸Мы видим таким образом, что массы тел при различных скоростях не одинаковы, но обратно пропорциональныМы видим таким образом, что массы тел при различных скоростях не одинаковы, но обратно пропорциональны/1 — ± , вообще/1 — ± , вообщеттconstconstГ?♦券Г?♦券

I

I

При помощи полученных соотношений легко приведем (64.6} к виду

При помощи полученных соотношений легко приведем (64.6} к виду

1-4

1-4

亨【 叱

亨【 叱

w

w

(64⑸

(64⑸

Мы видим таким образом, что массы тел при различных скоростях не одинаковы, но обратно пропорциональны

Мы видим таким образом, что массы тел при различных скоростях не одинаковы, но обратно пропорциональны

/1 — ± , вообще

/1 — ± , вообще

т

т

const

const

Г?

♦券

Г?

♦券

При。= 0, zn = /л。н мм приходим к уме известной нам формуле Лоренца Эйнштейна

В приведенном выводе рассматривался простейший случай «лобового» соударения двух масс, Однако можно показать, что этот выбор частного случая не ограничивает общности полученного результата и что та же самая формула получается при рассмотрении любых косых с。｝ дарений. При этом законы сохранения импульса и массы удовлетворяются, если в качестве 卩 в формулу входит полная скорость.

Выше (§ 10) мы виделит чю экспериментальные работы, вне связи с какоИ-лаб。теорией, с высокой степенью точности подтверждают формулу Лоренца ——Эйнштейна для зависимости массы от скорости в случае заряженных частиц — электронов, протонов, ядер тяжелого водорода (дейтронов), ядер гелия. Приведенный в этом параграфе вывод показывает, что та же формула должна быть справедлива, независимо от того, имеет ли тело электрический заряд или 0Ho нейтрально.

Сила и энергия

Продолжим теперь рассмотрение основных положений релятивистской динамики частицы. Мы будем при этом исходить из найденного выше результата, а именно, что экспериментально с высокой степенью точности оправданный факт зависимости массы от скорости по формуле Лоренца ——Эйнштейна в релятивистской динамике получается как следствие при рассмотрении простейшего механического процесса ——соударения упругих шаров, — если исходить из закона сохранения импульса. Эго показывает, что в динамике теории относительности закон сохранения импульса имеет место. Принимая это в。вниманье, рассмотрим теперь, как должны быть определены осповиые 口м・ намические величины, чтобы получилась система согласованных между собой опрсдслсний-

Сипа. В классической механике мы определяем силу либо как произведение массы на ускорение, либо как производную от импульса по времени (ср. §

4i (i = F. (64-9)

В механике теории относительности эти определения не равнозначны, так как масса зависит от скорости ит следовательно,

Нетрудно видетьт что в релятивистской механике из указанных двух возможных определений целесообразно выбрать второе, т. е. определение, выражаемое формулой (64.9). В самом деле» ио закону равенства действия и противодействия (см. § 43}

•^ (znvj = Fg 层(加丫2)= — F?[,

откуда

= const.

Это и показывает, что при опрелелении силы по формуле (64.9) удовлетворяется и закон сохраненна нмпульса, т- е. получаются внутренне согласованные определения.

Однако из определения силы (64.9} следует, Что в релятивистской механике, в отличие от механики Ньютон а т сила и ускорение, вообще говоря, не будут направлены одинаково, Дей' ствнтс/ьи。，так как масса т в формуле (64.9} уже не является постоянной, то в результате дифференцирования в правой части (64,9) получаем:

Mbi видим, что сила представляется суммой двух векторов, из которьтх один параллелен ускорению, а другой — параллелен уже существующей скорости. Это и показывает, что сила и уско- ренне, вообще говор只.не будут направлена одинаково.

- Сила будет направлена одинаково с ускорением в двух част- itbix случаях: а) когда сила F направлена перпендикулярно к уже сугцествующей скорости v и б) когда сила F направлена “арз订〃е〃ьн。ух<е сущестяующея скорости v. В случае 〃) скорость остается постоянной по ве.внипие (罂』0)н второй ^член

(64.11)(64.11)в правой части (64J0) равен нулю, так что

(64.11)

(64.11)

^ dt *

В случае б) оба члена в правой Mx получаем после выполнения члене:В случае б) оба члена в правой Mx получаем после выполнения члене:части (64,9) не равны нулю, и дифференцирования во второмчасти (64,9) не равны нулю, и дифференцирования во втором

В случае б) оба члена в правой Mx получаем после выполнения члене:

В случае б) оба члена в правой Mx получаем после выполнения члене:

части (64,9) не равны нулю, и дифференцирования во втором

части (64,9) не равны нулю, и дифференцирования во втором

(64」3)(64」3)Принимая во внимание, что в этом случае ov黑= и2^«, находим, после простых алгебраически^ прсобразсвакийт

(64」3)

(64」3)

(64Л4)(54」5)(64Л4)(54」5)Скалярные коэффицие![ТЫт стоящие перед ускорением о фор' мулах (64.J1) и (64.13) т как видно, неодинаковы- В случае а) отношение срлы к ускорению равно а в случае б) оно равно

(64Л4)

(54」5)

(64Л4)

(54」5)

та

Очевидно, что только формула (64.14} представляет выражение релятивистской массы, так как именно это вы ри жен не внутренне согласовано с предыдущими определениями и удовлетворяет закону сохранения импульса. Что же касается выражения (64,15), т。он。показывает, чтот когда сила совпадает по иапра- вленню с уже существующей скоростью, изменение нмпульез зависит не только от изменения скорости, но и от изменения массы со скоростью-

Работа и кинетическая энергия. Элементарная работа с и лье F мо*ет быть определена в релятивистской динамике так же, как в динамике Ньютона как скалярное пронзвепе^ое силы и перемещения

(64.16)(64.16)dltz^Fdr,

(64.16)

(64.16)

В том случае, когда работа совершается над свободна'， ча- Стикни, затраченная работа, по закону сохранения знерпа【, равна [^мепениго кинетической энергии. Отсюда:

dE — Fdr =+= zn dv 窑 + dmv 窑—

—f"vdv + nndm = mvdv v2dm. (64.17)

Пользуясь выражением релятивистской зависимости массы от скорости и принимая во впнманне, что

ТУ

зайдем из (64 ⑺：

仅о。db и7^仅о。db и7^(64,18)(64,18)Проверкой убеждаемся, что имеет место тождественноПроверкой убеждаемся, что имеет место тождественно咻胃八+ 0—咛”0咻胃八+ 0—咛”0-m时2.-m时2.(64」9)(64」9)Это и есть релятивистское выражение для кинетической энер- гии. Разлагая 11в声=Это и есть релятивистское выражение для кинетической энер- гии. Разлагая 11в声=степенной рядт получаем:степенной рядт получаем:I 一I 一1 +1 +1 ”2FT71 ”2FT7

仅о。db и7^

仅о。db и7^

(64,18)

(64,18)

Проверкой убеждаемся, что имеет место тождественно

Проверкой убеждаемся, что имеет место тождественно

咻胃

八+ 0—咛”0

咻胃

八+ 0—咛”0

-m时2.

-m时2.

(64」9)

(64」9)

Это и есть релятивистское выражение для кинетической энер- гии. Разлагая 11в

声=

Это и есть релятивистское выражение для кинетической энер- гии. Разлагая 11в

声=

степенной рядт получаем:

степенной рядт получаем:

I 一

I 一

1 +

1 +

1 ”2FT7

1 ”2FT7

с с, т. е. При этомс с, т. е. При этом(64.20)(64.20)В случае, когда скорость и мала по сравнению достаточно взять перзые два члена ряда, условии (64.19) дает

с с, т. е. При этом

с с, т. е. При этом

(64.20)

(64.20)

Екна = 恤絞(^Й)-加炉 =Т力尹2.

Мы получили, как и следовало ожидать, выражение ньюто

новой механики для кинетическом энергии.

Комбинируя (64.17} и (64 18)т получаем:

(64.21)(64.21)ВыражениеВыражениеdE —川

(64.21)

(64.21)

Выражение

Выражение

называют релятивистской полной энергнейт а выражение т^ —— энергией покоя. Формула (64.21) показывает, "то изменение кинетической энергии тела, выраженное в зр「ах, равно выраженному в граммах изменению релятивистской массьг, умножен' ному на

АЕ = с2 Лт или = АЕ/(Л

Полу^илое важное соотношение меаду релятивистскими ве・ личинами—массой и энергиейотносится не только 族 кинети-

нескор энергии. В самом деле, вернемся к выводу формулы релятивистской массы, данному в подпараграфе а}, где рассматривался процесс центрального соударения двух тождественных шаров, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми по абсолютной величине скоростями. В момент соударения оба шара покоятся относительно пруг друга, но двигаются с одной и той же скоростью V, относительно второй введенной в выводе системы координат. Полная масса шаров при скорости V равна

Нетрудно показать, что полная масса обоих шаров перед со

ударением равна：ударением равна：2 巾/к。где 加一 ；2 巾/к。где 加一 ；

ударением равна

：

ударением равна

：

2 巾/к。

где 加一 ；

2 巾/к。

где 加一 ；

Но очевиднот что т > zn01 ввиду чего

Этот на первый взгляд противоречивый результат нмеет простое объяснение Так как шарыт по предположению, упругие, то в момент остановки в системе возникает потенциальная энергия упругой деформации ДЕ. Этой потенциальной энергии соответствует масса, равная AE/絞，которая как раз и компенсирует ка・ ищущуюся потерю ре』兄тнвмстско* массы.

§ 65. О связи между массой и энергией *)

Соотношение между массой и энергией; выведенное в § 64, является очень важным результатом теории относительности. В настоящее время это соотношение имеет огромное практическое значение, ввиду того, что oi；o лежит в основе вссН ядерной энергетики как в ес мирное использовании (ядерпые реакторы, атомные электростанции и т, так и в использовании для военных целей. Поэтому нам необходимо возможно отчетливее 口 глубже разобраться в смысле формулы Эйнштейна (65,1) и в вытекающих из нее следствиях. Это тем более необходимо, что

Для л^ииего ознакомления с важнейшими вопросами, рассматриваемыми в этом параграфе настоятельно рекомендуется изучение превосходной стать» М, Лауз, Инерция и эпергяя； русск “力 и ер ев од этой статьи помещен в журнале ^Успехи ф|1зи1тескпх на\о, том 67. стр. 72[ {апрель 1959 г.). См. также сборник: Макс Л а у ?, С1атьи и речи, «Наука». 1969 г, стр 163—197.

в литературе, особенно популярной, нередко встречается нута- пина в терминологии и в формулировках.

Начнем с того, что приведем принадлежащий Эйнштейну простой вывод этой формулы, В этом выводе существенную роль булет играть световое давление, предсказанное Максвег лом и блестяще подтвержденное экспериментально П. Н, Лебедевым, Величина светового давления при полном поглощение света равна Е/с, где Е — поток знергнн электромагнитного излучения Напомним еще, что в силу обобщенного закона сохра- нения импульса при испускании света излучающее тело полу, чает импульс отдачи, направленный в противоположную сторону и равный также Е(с.

Обратимся теперь к выводу формулы Эйиштейна.

Рис. но.Рис. но.Вообразим однородную трубу длины находящуюся в равновесии в пустоте (рис, 110). Пусть на противоположных концах этой трубы находятся два тела 4 H массы которых J малы по сравнению с массой трубы М так что в тех случаях, когда учитывается полная масса системы, она может быть положена равной М. Пусть, кроме тогот тело 4 по сравне

Рис. но.

Рис. но.

нию с телом В имеет избыток энергии Д£, который оно может излучить в виде электромагнитной волны по направлению к телу В.

Рассмотрим следующий круговой процесс. В некоторый мо- мент тело Л излучит свой избыток энергии АЕ в виде ^вспышки света》， вследствие чего в трубе начнет распространяться слева направо короткий поток электромагнитных волн. По истечении времени Z = Цс этот поток дойдет до тела В и будет ну погло- uieiL Во время испускания тело 4, а вместе с ним и вся система, вследствие отдачи, получит импульс, направленный влево и рав： нн負 g = АЕ/с, Под влиянием этого импульса труба придет в движение, которое будет продолжаться до тех пор, пока излуче- нне не дойдет до тела Вив нем полностью поглотится. Тоща те』。В, а вместе с ним вся труба испытают давление света направленное вправо и также равное g = АЕ/с, которое и остановит движение трубы,

Скоростькоторую приобретет наша система под действием отдачи g будет (массы тел Л и В пренебрежимо ма』н1):

За Время / центр масс системы переместится на расстояние

Ал*Ал*厶лГ厶лГ(65,2)(65,2)

Ал*

Ал*

厶

лГ

厶

лГ

(65,2)

(65,2)

О СВЯЗИ МЕЖДУ МАССОЙ И ЭНЕРГИЕЙО СВЯЗИ МЕЖДУ МАССОЙ И ЭНЕРГИЕЙ219219§ 651 при этом мы предполагаем, что длина трубы достаточно велика, так нт。времена испускания и поглощения света ничтожно малы по сравнению с £

О СВЯЗИ МЕЖДУ МАССОЙ И ЭНЕРГИЕЙ

О СВЯЗИ МЕЖДУ МАССОЙ И ЭНЕРГИЕЙ

219

219

После тогот как тело В поглотит свет, переместим его при помощи некоторого механизма, действующего внутри системы, т- е. при помощи одних только внутренних сгы, до соприкосновения с телом Л- При этом тело В отдаст свой избыток эыергим обратно телу после чего мы снова вернем тело В на его прежнее место на правом конце трубы, опнть-такн при помощи одних внутренних сп刀.В результате вен система придет в wc・ ходное состояние, по ее центр масс испытает смещение. Предполагая возможность связи между энергией и массой, мы должны считать, что массы тела 8, имеющего избыток энергии ДЕ и отдающего его, будут различны; обозначим их соответственно через mi о 加2・ В таком случае смещение центра масс системы при переносе избытка энергии от Л к Вт т, е. на расстояние L, будет

а при обратном переносе будет

Полное смещение центра масс, принимая во внимание смещение вследствие отдачи, будет

方一' (65・3)

Но это смещение обязательно должно быть равно нулю, так как иначе получилось 6н, что система, полностью сохранившая свою конфигурацию» переместила сама себя без действия впещ- них снл. Очевидно, что равенство нулю (65,3) есть следствие закона сохранения полного импульса (механического + электрО' магнитного). Итак:

что й требовалось доказать.

В рассмотренном круговом процессе избыток энергии АЕ возвращался телу Л путем переноса тела 8 поступательно на расстояние L. Можно показать, однако, что это предположение не единственное, и что поэтому на него не следует смотреть как на ограничение общности вывода.

Обратимся теперь к анализу соотношения Эйнштейна. В §64 мы доказали, что если рассмотреть простейший процесс соударения двух упругих шаров, положив в основу законы сохране-、 ния массы и импульса, то в теории относительности обоим этим

законам можно удовлетворить только при условии, что масса ЗЯВЕ1СПТ от скорости по формуле Лоренца ——Эйнштейна

тт出0出0

т

т

出0

出0

Из того факта, что в основе выэода формулы Лоренца — Эйн- штейна лежит закон сохранения массы следует, чю релятивистская масса удовлетворяет закону сохранения- Легко видеть, однако, что изменение релятивистской массы со скоростью уже включает закон эквивалентности массы и энергии (65Л). В этом мы проще всего убедимся, рассматривая случай, когда скорость и не слишком велика. В самом 口разлагая выражение (1——綻/，2)■力 в степенной ряд, мы можем в случае, когда о/с 《1, взять только первые два члена и получаем

Здесь первый член справа представляет инвариантную (т. е не зависящую от скорости) массу покоя т^ а второй член ™ как раз и выражает изменение массы со скоростью. Мм видимт что этот второй член в точности соответствует закону Эйнштейна

Рассмотрим теперь систему из нескольких тел, так или иначе между собой взаимодействующих. Поскольку релятивистская масса подчиняется закону сохранения, имеем:

const = £ 办=£ ■

Me приходим таким образом к важному выводу： в результате процесса сохраняется сумма массы покоя £ т^ и массы со- ответствующей кинетической энергии системы — после завершения процесса,凡。не масса покоя ± Примем теперь во вннманне, что кинетическая энергия до и после процесса, во- обще говоря, неодинакова; если, например, происходит расщеп^ пенне атомного ядра, то в системе координат, где исходное ядро покоится, его кинетическая энергия равна нулю, но возникающие в процессе деления осколки приобретают кинетическую

г 2 £кнн

энергию. Поэтому —возрастает, а следовательно, 2 恤 должна уменьшиться. Это происходит вследствие закона сохранения релятивистской массы. Итак, масса покоя не подчиняется

закону сохранения; напротив в результате процесса, сопровождающегося выделением энергии ДЕ происходит потеря массы нок。％ равная АЕ/* Можно сказать и наоборот: изменению массы покоя на величину Azn。соответствует освобождение энери

Соотношение между массой и энергией получило исчерпывающее экспериментальное подтверждение. Так как, олнах。, в формуле Ат = ДЕ/са в знаменателе стоит & ——величина, близ。 кая к 1021, то при химических процессах, где величина АЕ порядка 100 ккал -моль-1 = 4J8 -1012 эрг-моль-1, изменение массы покоя равно

厶加= 9. IO?。=4,6 * Ю г

—величина ничтожно малая.

На рубеже Х1Х и XX столетийт т. е. еще до возникновения теории относительности германский физико-химик р. Ландольт выполнил длинную серию экспериментов, которые представляли собой повторение опытов Ломоносова и Лавуазье, на новом, значительно более высоком уровне экспериментальной техники. Опыты состояли в проведении ряда химических реакций в пол・ ностью изолированном пространстве с целью предупреждения малейшей утечки вещества й при точном контроле массы системы до и после реакции. Никакого изменения массы при этом обнаружено не было. С нашей нынешней точки зрения, поскольку система не была изолирована энергетически, тепло, выделявшееся при реакции, рассеивалось, и масса покоя системы должна была уменьшиться. Однако в опытах Ландольта эта потеря массы не была установлена, так как чувствительность применявшихся весов была недостаточна для обнаружения столь малой величины.

Таким образом обычные химические реакции не могут жить подходящим объектом для проверки соотношения между массой и энергией. При ядерных реакциях, напротив, освобождаются огромные количества энергии и изменение массы покоя становится вполне доступным для измерений. Ярким примером может служить реакция, лежащая в основе всей современной ядерпой энергетики: так называемое деление ядра. В результате этой реакции тяжелое ядро урана делится приблизительно 口。• полам, причем осаобождаетсн энергия, равная приблизительно 200 миллионам электрон-вольт. При расчете на моль, т. е. на， пример ~240 а урана, получаем:

АЕ= 200 . 1。6.. 6,02 ■ Ю23= 19,3 эрг.

Потеря массы при этом будет

9. ［串。9. ［串。= 0,21 а,= 0,21 а,Azn =Azn =19,3.

9. ［串。

9. ［串。

= 0,21 а,

= 0,21 а,

Azn =

Azn =

И] следовательно, при делении одного килограмма урана потерн массы составит уже около грамма!

Для проверки соотношения Эйнштейна были использованы ядерные реакции, в которых энергия реакции могла быть 0i】pe・ делена с одной стороны непосредственными измерениями и с д угОй — по величине потери массы- Во всех случаях получалось совпадение тем более точное, чем точнее были непосредственные измерения энергии, В качестве примера можно привести следующий результат: для серин ядерных реакций путем сопоставления непосредственно измеренных А£ и Ат из соотношения Эйнштейна вычислялась скорость света. Таким путем было получено с = 2,98-1010 с/〃се£； тогда как точное значение с = 2,99,10'° см[С2К. Разница составляет 0,4%, Эти данные приводятся только в качестве примера. В настоящее время на основании всей совокупности результатов ядерной физики не может быть никакого сомнения в абсолютной точности соотношения Эйнштейна-

В литературе нередко можно встретить утверждение, что при процессах, сопровождающихся освобождением энергии (например, при ядерпых реакциях) происходит «превращение массы в энергию», Такан формулировка по существу не верна и вызывает только путаницу. Масса и энергия неразрывно связаны между собой, они представляют как бы две стороны одного и того же универсального свойства материи и поэтому не могут «превращаться» пруг в друга, Верн。，конечно, что при процес- сах, сопровождающихся увеличением кинетической энергии, масса покоя 2 %, испытывает соответствующее уменьшение. Но избытку кинетической энергии АЕннл, возникшему в резуль- тате реакции, соответствует масса —т в точности компенсирующая уменьшение W 加°, так же как последней величине соответствует энергия S^o^j которая в сумме с ДЕНИн в точности равна до реакции.

Открытие эквивалентности массы и энергии повлекло за собой необходимость существенного изменения самого понятия о массе. В механике Ньютона масса определялась, как количество вещества, и рассматривалась, как выражение материальности тела, Это представление пришлось оставить еще до появления теории относительности. Когда Кауфман и другие исследователи показали прямым экспериментом, что масса электрона зависит от его скоростит этот ф^кт нельзя было со- вместить с представлением о массе, как о количестве вещества. Первоначально пытались выйти из затруднения, рассматривая увеличение массы с。скоростью, как следствие появления добавочной ннерннн, обусловленной электромагнитным полем дви-

жущегося электрона (Дж. Томсон) и эта добавочная инерция была названа «кажущейся массой». Однако, впоследствии оказалось, чю если стать на эту точку зрения, то всю массу заряженного тела следует рассматривать как 《кажущуюся» (элек^ тромагнитную) массу. Наконец, теория относительное! и показала, что любая масса, независимо от наличия или Отсутствия электрического заряда, должна зависеть от скорости iiq тому же закону, которь由 был установлен экспериментально для заряженных частиц. Это повлекло за собой рассмотренные выше следствия, которые с особенной ясное 1ью показали, что определение массы, как количества вещества лишено физического смысла.

Это, однакот нс мешает нам рассматривать релятивистскую (зависящую от скорости) массу, как меру инертности тела, так как отношение силы к релятивистской массе остается равным ускорению тела.

£ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Элементарные центры испускания света

Проблема излучения света занимает центральное место в теории строения атома, так как свет доставляет нам наибольшее каднчестаа сведений q внутреннем устройстве атома, рас смотрению этой проблемы, которая будет занимать нас почти во всей книге, мь【предпошлем краткий обзор некоторых вопросов классической теории электромагнитного излучения, знакомство с которой необходимо для понимания современных представлений.

После открытия электронов стало ясно, что именно их движениям и обусловлено испускание света. С особенной убедительностью это вытекало из открытого в 1896 「. Зееманом влияния магнитного ноля на испускание света (эффект Зеемана}, Теория этого явления, разработанная Лоренцом, позволила вычислить величину е"" для элементарных центров излучения, и оказа- /ос瓦 что она удовлетворительно совпадает с величиной удельного заряда для свободных электронов,

Мы должны рассмотреть, таким образом, механизм испускания света согласно классической физике. Оказалось, что, несмотря па общую несостоятельность статической модели атома, большой круг оптических явлений можно удовлетворительно объяснитьт рассматривая электроны как микроскопические виб- раторыч посылающие электромагнитные волны. Простейшей модель】。 элементарного центра, пригодной в некоторой степени для объяснения ряда фактов испускания света, может служитьт таким образом, линейный осциллятор, с механическими свойствами которого мы познакомились в § 46.

Электромагнитное излучение линейного осциллятора

Представим себе, что положительный заряд связан с настолько большой массой, что его можно считать неподвижным, а отрицательный заряд, по абсолютной величине равный положительному,—совершает колебания относительно этого неподвижного положительного заряда; такая система и будет линейным осциллятором. С электрической точки зрения эта система является диполем. Электрические свойства диполя характеризуются величиной, называемой дипольным люментом. Дипольный момент это — вектор, равный，

р = ег, (67.1)

где г радиус-вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному. Так как дипольный момент не зависит от выбора начала координат то удобнее всего поместить положительный зарап в начало координат; тогда составляющими р будут

' рх — (67.2)

Вычисление элехтромагнятног。поля диполя, совершающего колебация5 можно выполнить при помощи уравнений Мако велла.

Не повторяя здесь довольно длинных и несколько утомительных вычислений, приведем их результат**). Электрическое и Магнитное поля колеблющегося диполя на достаточно больших расстояниях от пего (так называемая волновая зона) характеризуются напряженностями 歌 н 非,равными по абсолютной величине и взаимно перпендикулярными по направлению. Для случая скоростей, малых по сравнению со скоростью света (и《с), абсолютные значения напряженностей 丨著]и в точке М (рис. 111), отстоящей от диполя на расстоянии выражаются формулой

I 疗 | = | 松 | = (67.3)

Здесь с — скорость света в пустоте, 9 — угол между прям ой т вдоль которой совершаются колебания, и направлением в точку М: символ р(/ — R/с)имеет следующий смысл: это вторая

拿)См. И Е, Т а м м. Основы теории электричества, «Наука», 1967, стр. 96.'

См, например, 14, Е. Т а м м, Основы теории электричества, § 99, ука», 1967, или Я- И. Френкель, Электродинамика, т. 1, стр. 154, ОНТЯ 1934

***) Скобки в формуле (67.3) применяются только для удобства набора, олн указывают на то, что р есть функция / —

производная дипольного момента, взнта+j, однако, не для вре- мснм 厶 а для предшествующего момента t — Rjc. Очевидно, что 火/с есть время, которое требуется для того, чтобы проиесс/рас- пространяющийся со скоростью с, дошел от 0 до точки наблю- 口eHHg М. Таким образом, появление в формуле (67,3) запаздывающего значения р(/ — /?/с) указывает на конечную скорость распространения электромагнитного поля: колеблющийся элек- т]эический диполь посылает электромагнитные волны которые перемешаются со скоростью с. ' г

Принимая во внимание, что р = ег, мы видим, что при про- q〃x равных условиях ё и Ж на больших расстояниях от О зависит от ускорения электрона

Направления 彩 н 箔 определяются следующим образом^ пре^стаыш себе сферу, описанную нз О радиусом R, Примем за полярную ось направление прямой, вдоль которой сове^ шаются колебания диполя, и наметим на сфере меридианы н параллели. Тогда вектор 卷 будет направлен по касательной к меридиану проходящему через а вектор Ж-по касательной к параллели, проходящей через ту же точку и Притом так, как это показано на “ рис. 11 L

Плотность энергии электромагнитного поля равна

Р = *他В硏

нл% если принять во вимманме, что в данном случае 工=松，

I И. Излучение диполя, нормали R энергии S^I И. Излучение диполя, нормали R энергии S^l亲/2謂. (67.4)

I И. Излучение диполя, нормали R энергии S^

I И. Излучение диполя, нормали R энергии S^

Так как поле колеблющегося диполя рас- ** пространяется со скоростью с, то через каждый квадратный сантиметр в направлении (Рис- " I) ежесекундно проходит количество равное

(67.5)(67.5)S-pc — c 左 I?

(67.5)

(67.5)

4兀 см2. се&

Величина S есть, очевидно, не что иное, как численное денне потока энергии, проходящего через данную точку. Она конечно может быть вычислена так же, как численное значение вектора Умова — Поинтинга S в данной точке

S = 21 = *|©松]1=限/能s咕◎松).

8 3 В. Ш польский, т, I

в волновой зоне / =非 и 零丄％, нт。дает сразу

sf窮

т. е- формулу (67.5).

Подставляя сюда значение 罟 из (67・3), находим

(67.6)(67.6)S 丁sin-3 J 今

(67.6)

(67.6)

Рис. 112. Полярная дпа| рамза распределения интенсивности излучения диполя.Рис. 112. Полярная дпа| рамза распределения интенсивности излучения диполя.(значения 力 или г относятся к моменту £ ——R/c!)、

Рис. 112. Полярная дпа| рамза распределения интенсивности излучения диполя.

Рис. 112. Полярная дпа| рамза распределения интенсивности излучения диполя.

Из этой формулы видно, что интенсивность излучения прямо пропорциональна квадрату ускорения и обратно пропорциональна квадрату расстояния, как и следовало ожидать, потому что полный поток энергии через сферу вокруг 。 остается постоянным, а поверхность сферы растет пропорционально квадрату ра* рнуса. Далее, присутствие в фор， муле(67.6) sin?分 влечет за собой неравномерность в распределении интенсивности по различным направлениям: в направлении

прямой, вдоль которой происходят колебания " = 0 н л), она равна нулю, а максимальной величины достигает в направ*

лении, перпендикулярном к Этой прямой (今=л/2). На рис. 112 приведена полярная диаграмма распределе' ния мнтенснв〃остн мз* лучения по углам. Опыт подтверждает такое распределение ин- тенсивности. Одним из наиболее наглядных относящихся сюда примеров является возник- новенне рентге11ОБСКих лучей при торможении (отрицательном уско< рении) электронов на антикатоде. На рис. 113

Рнс, "3. Угловое раелрелеление интенсивности тормозного рентгеновского излучения.Рнс, "3. Угловое раелрелеление интенсивности тормозного рентгеновского излучения.приведены результаты

Рнс, "3. Угловое раелрелеление интенсивности тормозного рентгеновского излучения.

Рнс, "3. Угловое раелрелеление интенсивности тормозного рентгеновского излучения.

эксперимеитального исследования зависимости интенсивности тормозного рентгеновского излучения от угла ® прн разьтичных скоростях электропов. Как видна, во всех случаях при ® = О

и 3 =兀 интенсивность равна пулю; для электронов малых скоростей (В о/с == 1/20) максимум интенсивности получается вблизи 3 л/2; для больших скоростей (В = !/3, 1/4) наппявле' ние максимума смещено в сторону движения электронов. Это несоответствие с формулой (67.6) объясняется тем, dtq формула эта выведена для случая малых скоростей без учета релятивистских эффектов. Для больших скоростей Зоммерфельд получил формулу

=产- В cos —

хорошо согласующуюся с опытом при любых значениях р.

§ 68. Полное и среднее излучение осциллятора

Формула (67.6) даст выражение для потока энергии, проходящего в данный момент через выбранную точку в направлении, характеризуемом углом 3, или, иначе, мгновенную интенсивность электромагнитной волны в спределснном направлении.

Если нужно вычислить полное количество энергии, излучаемой осциллятором в единицу времени, то достаточно иа^тн величину инте« рала

j Sd(y,(68.1)

распространив интегрирование на поверхность сфер% описанной нз О (рис, 111).

Принимая во внимание, что элемент поверхности в сферических полярных координатах равен

напишем интеграл (68.1) в явном виде, подставив вместо потока S его величину из (67Л):

JJ『3R2 si"今 R2 sin G d® dq =『dg J sirP 今 W =

sirP 今 d今J — cos2 sin 仇 (68.2)

Для вычисления последнего интеграла введем новую переменную 自=cos 分 и примем во внимание, что предела иягегри- рования по этой переменной будут 十！ и

J — cos2^) sin 今J —廿)叁=彳.

Возвращаясь к (68.2), получаем окончательно

(68.3)(68.3)2力 2 — 282r2

(68.3)

(68.3)

Полученная формула дает, очевидно, величину полной энергии 6 данный момент. Так как р периодически меняется со временем. то изменяется и полная энергия С практической точки зрения основной интерес представляет знание средней, а не М1НОБСнной энергии, потому нто вследствие высокой частоту колебаний света (для видимой части спектра v порядка 1015 сек^[) все приборы, в том числе и глаз, не успевают следовать за колебаниями и реагируют па среднюю энергию. Вычислим теперь эту среднюю энергию за достаточно большой промежуток времени, [!апример за I сек. Опа равна среднему за

один период—

(68.4)

Если дипольный момент изменяется по закону гармонических колебаний: р = cos=例 cos 厶 то

力=—炉仰 cos— 4n2炉饱 cos(68,4*)

Подставляя это значение р в (68.3), получаем

褰•话8s2 3f褰•话8s2 3f32心43(?32心43(?^cos^2лvt^cos^2лvt

褰•话8s2 3f

褰•话8s2 3f

32心43(?

32心43(?

^cos^2лvt

^cos^2лvt

Среднее значение / будет

7 =篇届五版=7 =篇届五版=32 歩 ”432 歩 ”4就 cos2 2"就 cos2 2"

7 =篇届五版=

7 =篇届五版=

32 歩 ”4

32 歩 ”4

就 cos2 2"

就 cos2 2"

弘门乩 так как cos2 w/ cos2 2nvt — %,

/ =而•凡=F"/ =而•凡=F"(68.5)(68.5)

/ =而•凡=F"

/ =而•凡=F"

(68.5)

(68.5)

Пусть теперь положительный заряд диполя покоится в начале координат, а отрицательный совершает колебания по оси х. Тогда р = ех; среднее излучение за один период на основании (68.4) выразится в виде

Т =(686)

Если колебания гармонические, то х = a cos &t — a cos 2л¥^ и вместо (68.5) мы получаем

64拉0264拉0216»382a216»382a2丸3丸33(?3(?(68.6)(68.6)

64拉02

64拉02

16»382a2

16»382a2

丸3

丸3

3(?

3(?

(68.6)

(68.6)

§ 69. Электромагнитный спектр негармонического осциллятора

Строго гармонические синусоидальные колебания являются математической абстракцией н в природе никогда не осуществляются. В случае механических колебаний квазиупругий закон силы имеет место только для малых отклонений При больших стклоиениях в выражении сил и появляются- ч.зены с высшими степенями смещения, а в механическом спектре нарядх с основной частотой се обертоны. Рассмотрим теперь, каков спектр электромагнитной волны, возникающей при колебаниях, которые не являются гармоническими, но происходят по какому- нибудь более сложному закону. Эти колебания мы пока еще будем считать строго периодическими в математическом смысле.

Среднюю энергию осинлпшора, колеблющегося по негармс。 иическому закону, мы будем вычислять по формуле (68 6'):

备炉・(69-1)

Поскольку смещение х представляет собою периодическую ■функцию времени, мн можем разложить ее в ряд Фурье

e4魔55乙.(69,2)

Вычислим теперь вторую производную от 尤，произведем усреднение по времени и подставим затем результат в (69.1). Вторая производная по / будет'

工%+ 4(2%)2外2如+ …

…(69.3) пычнеления среднего за большой промежуток времени достаточно найти _среднее за один период 7="、，q = 2笃仅® Среднее квадрата 尤？ будет поэтому

(69.4)

Подставим сюда х2, которое найдем путем возведения в квад- рат (69.3), и будем интегрировать почленно. При Этом нам придется находить интегралы вида

230230строение атома и классическая физикастроение атома и классическая физика|ГЛ. V|ГЛ. V

230

230

строение атома и классическая физика

строение атома и классическая физика

|ГЛ. V

|ГЛ. V

Легко у бедиться непосредственным вычислением, что все эти интегралы равны нупю, за исключением тех случаев, когда '= =Окончательно найдем

予=2 {4)4_闽 + 乙4-0%)'+ …+ &4-%(*8。)4 + …」(69.5)

или, так как (по § 48)= а；/2,

Подставляя это в формулу (69.1) для среднего излучения, будем иметь

2 22 22 2

7 = 绰 +(2%У +(3%)4(69・6)

или, переходя от угловых частот к линейным ①=2е»,

了二噜网+鼻也2门史賢工储+…傑6)

Сравнивая этот результат с (68.6), мы видим, что среднее излучение осциллятора, совершающего периодическое, но негармоническое движе]1йе, состоит из суммн членов, каждый из которых представляет собою среднее излучение гармонического осциллятора^ причем частоты этих осцилляторов образуют ряд

Это означает, что электромагнитный спектр негармонического осциллятора содержит те же частоты, что 〃 его механический спектр.

Характерная особенность этого спектра состоит в том, что в него входят основная частота v0 и се гармонические обертоны, т. если изобразить спектр в шкале частот, получится ряд равноатстоящах 〃〃&“". Оказывается, что именно такоА сяехтр дают электромагнитные волны, излучаемые антенной радиотелеграфа; инфракрасные колебания конов в молекулах дают спектр, составленный из линий, приблизительно подчиняющихся этому закону, но немного сближающихся по мере увеличения первдка обертона. Наконец, спектры, обусловленные движениями электронов (видимые и ультрафиолетовые), уже совершенно не след^гют зтому закону: в них линии довольно быстро сближаются по мере перехода ко все более высоким частотам вплоть до полного слияния (см、гл, VIII). Как мы увидим в дальнейшем, линии в видимых и ультрафиолетовых спектрах подчиняются совершенно другим законам, объяснение которых могло быть дано только на основе теории квантов.

§ 70- Затухание колебаний

До сих иор мн молчаливо предполагали, что энергия осцил- 刀只тор，остается лостояллой, т,巳 что осциллятор яеограничевно долгое время испускает незатухающие электромагнитные волна. Такое пред пол ожение] строго говоря, не отвечает действительности, так как при свободных колебаниях осциллятора электромагнитная волна уносит энергию. Ввиду этого запас энергии осциллятора постепенно убывает, и колебания затухают.

Найдем прежде всего закон убывания энергии со временем. Различные экспериментальные данные указывают на то, что затухание излучающих атомов мало, Нанрнмер, изучение интерференции света при больших разностях хона привело к выводу, что длина ряда волн, испускаемых атомом без затухания, соответствует более чем 100 миллионам Дычип волн. Принимая во внимание Это обстоятельство, мы можем считать, что колебания электрона мало отличаются от гармонических. Но для случая гармонических колебаний, как мы знаем, средняя знергля, уносимая электромагнитной волной в единицу времени, равна

Убыль энергии самого осциллятора за единицу времени будет равна как раз этой величине т. е, или

Полная энергия гармонического осциллятора равпа

Разделив (70Л) на (46,14), получаем

Введем обозначение

2(02成

(46,14)(762)(70.3)(46,14)(762)(70.3)тогда (70,2) перепишется в ввлс

(46,14)

(762)

(70.3)

(46,14)

(762)

(70.3)

Отсюда интегрированием находим

(70.4>

Мы влднм, что энергия осциллятора должна убывать со временем по экспоненциальному закону.

Постоянная у. введенная нами соотношением (70,3), имеет определенный физический смысл. Заметим прежде всего, что размерность этой постоянно* есть [селг) В этом легко убедиться, замечая, что произведение yf, стоящее в показателе (70.4), должно быть безразмерной величиной. Величина, обратная % должна поэтому представлять собой некоторый промежуток времени. Обозначим его через т; тогда

3те3 3厅小20)2?2一= 8产3外.3те3 3厅小20)2?2一= 8产3外.(70»(70»

3те3 3厅小

20)2?2一= 8产3外.

3те3 3厅小

20)2?2一= 8产3外.

(70»

(70»

Соотношение (70.4) можно теперь написать в виде

£ -£泸一冰. (70.47

Отсюда видно, что при 才=т, Е = т. е. — что т есть промежуток времени, в течение которого энергия осциллятора убывает в 6 = 2,718 раза. Так как по (70,4‘)с возрастанием t энергия приближается к нулю асимптотически, то никакой определенной величины времени, в течение которого еще продолжаются колебания, указать нельзя, В качестве условной меры этого времени удобно пользоваться величиной т. которая называется б〃е%е%е儿 релаксации. Итак, постоянная затухания у есть обратная величина времени релаксации-

Для того чтобы составить Представление о порядке величилы этого времени, вычислим его численное значение для испускания голубой линии водородного спектра (так называемая линия //в), которой соответствует длина волны А = 4861,33 X X 10"в см. В этом случае

сек~\сек~\

сек~\

сек~\

Подставляя нереальныхПодставляя нереальныхн (70.5) это значение з, а также значения》нн~констант т = 9-10^ 2, е/тс = ],76*107, найдемн (70.5) это значение з, а также значения》нн~констант т = 9-10^ 2, е/тс = ],76*107, найдем

Подставляя нереальных

Подставляя нереальных

н (70.5) это значение з, а также значения》нн~констант т = 9-10^ 2, е/тс = ],76*107, найдем

н (70.5) это значение з, а также значения》нн~констант т = 9-10^ 2, е/тс = ],76*107, найдем

2^行2^行Зс (тс f 2(й2^ \ ё~ 丿Зс (тс f 2(й2^ \ ё~ 丿

2^行

2^行

Зс (тс f 2(й2^ \ ё~ 丿

Зс (тс f 2(й2^ \ ё~ 丿

仪 10"'仪 10"'3*3,

仪 10"'

仪 10"'

2・(3,87 ♦ 10乃)2 *9 ♦ ICT?» (1：76，IO’)？

Это показывает, что абсолютная величина времени свечения очень мала. Однако относительная величина его, а именно, отношение т к периоду колебаний, приблизительно равна 6JO*

т. е. очень большой величине: электрон должен совершить 6 миллионов колебаний, прежде чем его энергия уменьшится в е раз.

Непосредствешюе экспериментальное определение величины времени релаксации было впервые осуществлено при помощи каналовых лучей. Пучок светящихся водородных каналовнх лучей через отверстие в ка юде выпускался в пространство, где поддерживался столь вел со кип вакуум, что атомм могли《вх・ свечиваться^ практически без соударений. По убыванию интенсивности вдоль светящегося пучка при известной скорости каналовых частиц можно было определить Оказалось, что порядок величины этого времени совпадает с указанным выше (10-8 сек для 九 а 5*10~8 см).

§ 7L Лучистое трение

Мы установили, таким образом, что энергии диполя, совср- тпающего колебания, убывает со временем по закону (704) или {70 4‘)，Если скла, под действием которой происходят колебания,квазнупругая, то можно вычислить сумму потенциальной и кинетической энергий осциллятора. Эта сумма, однако, не будет постоянной ввиду наличия затухания. В механике мы ветре- чаемся с аналогичным случаем: когда колебания механического осциллятора происходят в вязкой среде, т。 запас его механической энергии (кинетическая 4- потенциальная) с течением вре・ мени убывает. Поэтому в балансе энергии появляется дефицит: энергия расходуется необратимым образом и в конечном счете превращается в тепло. Мы видели, однако, в § 41, что этот дефицит можно учесть, введя некоторую диссипативную силу R (т. е. силу, ведущую к рассеянию энергии) —силу трения. Соответственно, в правой части уравнения колебаний наряду с ква- зиупругой силой fx появляется еще сила трения,

.Аналогичным образом можно восстановить баланс энергии также и в случае затухающих электрамагннтпых колебании ■осциллятора: мы можем себе представить, что эти колебания тормозятся дисснлативной силой, которую целесообразно назвать «силой лучистою трения». Очевидно, что эта сила появляется в результате обратного воздействия поля излучения осц]кчлятора па самый осциллятор.

Займемся теперь установлением явного выражения для этой силы* В механике обычно принимается, что сила трения зависит от скорости, т. е. от первой производной 戈(при не слишком больших скоростях сила трения R просто пропорциональна %). Копечио, у нас нет никаких оснований без предварительного исследования переносить эту зависимость и па силу лучистого тренн兄 Для отыскания выражения этой силы проще всего лостуин 1'Ь следующим образом. Вычислим среднее значение

работы силы лучистого трения за промежуток Времени, достаточно большой по сравнению с периодом колебаний- Работа силы R за промежуток времени dt равна Rdx = Ricdt; среднее значение работы за промежуток времени от 0 до ； будет поэтому

Поскольку мы ввели силу лучистого трения для описания убыли энергии, очевидно, что среднее значение работы этой силы должно быть равно Среднему значению энергии, испущенной осциллятором за тот же промежуток времени. Последнее по формуле (6§.6‘)будет

Итак, мы имеем

R£d£ = —磊］泞亦

0D

Простыми преобразованиями и интегрированием по частям находим

J %2 由=}J xx 由=十 J xdx =

ООО

=；(£文)J 尢d£ =(*以7(加)。J 戒 dh

Так как скорость 北 и ускорение х меняются в конечных пределах, то, выбрав достаточно большой промежуток времен% мы можем первый Член сделать сколь угодно малым. Поэтому уравнение (71.1) дает

爲Jbm0爲Jbm0

爲Jbm0

爲Jbm0

Для того чтобы это равенство было удовлетворено, достаточно положить

RR空空

R

R

空

空

Это к есть интересующее нас выражение силы лучистого тре、 ния Заметим, что мы здесь впервые встречаемся с силой, зависящей от третьей производной смещения по времени. В ме、 ханнке такие силы не известны-

□оскольку мы теперь знаем выражение для силы лучистого трення» мь【должны учесть эту силу при составлении уравнения колебаний электромагнитного осциллятора. Это уравнение в общем виде пишется так;

一卜+ R;

подставляя длн R выражение (67.2), получаем х равнение колебании с учетом лучистого трения

nix = —尤.(71-3)

Мн получим линейное дифференциальное уравнение третьего порядка. Отыскивая его решение в виде % = е心придем к характеристическому уравнению третьей степени. Однако мы можем воспользоваться методом последовательных приближений и рассуждать следующим образом, В нулевом приближении можно в уравнении (71-3) отбросить малый второй член б правой части. Мы вернемся тогда к уравнению колебаний осин』ля- тора без удета трения

加土 + 卜=(71.4)

решение которого есть 尤= где % = V〃m. Это решение мы подставим в (71-3) и} замечая, что х = — ^е1,йЛ = — ^х} поручим

262coz

fx-x.(71.5)

Полагая, как и раньше,

号='(70.3)

перепишем уравнение (7J-5) в виде

歌=0,(71.6)

где 囲=〃也 причем s。— частота незатухающих колебаний осциллятора.

*) Очевидно, что это заключение имеет только достаточный, но не необходимый характер. Однако более строгий вывод, основанный па рассютренян реакции поля, приводит к тому же выражению. Интересующихся этим вопросом и связанными с принципиальными проблемами ^ектродинамики м& отсылаем к книге В, Г айтлера. Квантовая теория излучен 1ш, ИЛ, 1956, стр. 39.

Решение уравнения (7L6) ищем в виде

сокращс-сокращс-Подставляя это решение в (71.6), получаем после ния на

сокращс-

сокращс-

一出十/y〃 +诚н0.

Отсюда получаем для 枕

ОбозначимОбозначим(717)(717)

Обозначим

Обозначим

(717)

(717)

Так как у — малое число, а о。一 большое, тоТак как у — малое число, а о。一 большое, то

Так как у — малое число, а о。一 большое, то

Так как у — малое число, а о。一 большое, то

(71.8》(71.8》

(71.8》

(71.8》

и потому с достаточной точностью

(71.9>

з/ есть частота затухающих колебаний, Очевидно, что о/ тем меньше отличается от 伙，чем меньше постоянная затухания * В случае оптических частот затухание настолько мало, что- можно даже положить з? a g)q. Поэтому в данном случае с достаточным приближением можно положить ■

п —/^ ±(оо

и решение % = 22n' принимает вид

х= g 2 6±®.

Общее решение уравнения (71.3) поэтому таково.

(71.10>

Здесь в левой части стоит действительная величина (смещение для того чтобы н правая часть была действителъвкоэффициенты Л и В, вообще говоря, комплексные, должна бить

комплексно сопряженными:

ВЧ = А.

Если обозначить общий модуль Л и В через а/2, а фазу через 6, то

{=扌碇沁，8 = J а^тб

и (71.10) дает.

%==^ае 2 g@"6)十ё"出"6}]=女 2 侬(0)/+6)=

=ag a cosQnvJ 十“ (7L11)

Эта формула описывает колебательное движение, при котором амплитуда убывает со временем по экспоненциальному закону Очевидно, что этот закон соответствует закону убывания энергии

Е = £>г 厶

так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

§ 72. Интеграл Фурье я сплошной спектр

Затухающие колебания осциллятора представляют собой процесс, который мн уже не можем назвать периодическим, так как он не удовлетворяет основному условию периодичности неограниченному повторению одних и тех же амплитуд через одинаковые промежутки времени. В самом деле, при затухающих колебаниях одинаковые амплитуду вообще не встречаются, и кроме того, весь процесс начинается в определенны力 момент, а следовательно, простирается не от —8 口。十8, а только от 0 до 十8. Таким образом, затухающие колебания являются примером непериодического пронесса.

Рассмотрим теперь важный вопрос о спектральном разло- женни непериодических процессов. Выше мы видели, что любу то функцию, лредставляюи1ую периодический процесс, можно разложить в ряд Фурье, т, с, представить как результат суперпозиции строго гармонических колебаний с частотами vo = 1/Л 2%> 3v°, где Т ——основной период разложения. То5 чго математически выполняется при помощи ряда Фурье, на опыте может бить осуществлено при помощи соответствующего aiia- лизатора, например дифракционной решетки, если речь идет о световых колебаниях* Итак, спектральное разложение перио- днческот о процесса, каким бы путем оно ни было выполнено, дает линейчатый спектр,

Пусть теперь мы имеем некоторую функцию f (М, которая на интервале (рис- 114) изображается кривой АВС, а па границах интервала, т- е, в точках А и С, обращается в нуль. Эта функция, очевидно, представляет непериодический процесс. Мы можем разложить ее в ин- 义тервалс АС вряд

/\Фурье, считая Г = 4С；взяв

/достаточноечисло членов

/этого рядатполучимпра-

qfdkJ、7 вильный ход функции, одна-

£ 4〃 力 к。только 8 пределах интер-

рис, ц4.so/а АС; влево от /4 H впра

во от С наш ряд даст периодическое повторение кривой АВС. Теперь мн можем расширить интервал, например влево до Е it вправо до D, приписав нашей функции значение нуль на участках ДЕ и CD. В этом расширенном интервале можно вновь выполнить разложение Фурье, причем Основным периодом разложения будет уже Т = ED. Очевидно, что интервал разложения Е D можно расширять безгранично, отодвигая точки Е п D в бесконечность. При этом основной перноз разложения 7 будет безгранично возрастать, а соответствующая основная частота v0 = 1叮 безгранично убывать. Вследствие этого аргумент ь【последовательных членов ряда 力уиье *±*”б" при уве/нуен“и s будут становиться все ближе друг к другу, и можно показать, что при таком безграничном расширении осиовного интервала разложения ряд в конпс концов перейдет в интеграл, взятый от —8 до +8,

Эти соображения станут еще яснее, если мн их повторим на формулах. Итак, пусть дана непериодическая функция f"); разложим ее в конечном интервале от —Т/2 до +Т/2 в ряд Фулье

f(D=工“о-}'(72.1)

По известной формуле для коэффициентов разложении

f*(72.2)

Заменив здесь временно обозначение ^ на а и приняв во внимание, что основная частота v0 = 1/7, перепишем формулу (72.2) 'в вида )

= y / f(a)「2"，Za・ (72,3)

Это выражение для As мы можем подставить в ряд (72,!)( который при этом прнмст вид'

。f(a)e 7 da e(72.4)

Обозначим теперь s/T через v- Так как s — целое число, то частоты s/T = входящие в разложение (72.4), изменяются при последовательном изменелии s конечными ступенями

Av =—fAv =—f2121

Av =—f

Av =—f

21

21

Принимая это во внимание, ряд (72.4) можно представить в виде

『⑴=£ J f(a)eT2ida Av> (72.5)

Тенерь мы произведем указанный переход к пределу, а именно, мы предположим, что интервал —‘772, +77‘2 расширяется от —8 до +8. Тогда, как это строго доказывается в матема

(72,5) обра-(72,5) обра-тических руководствах *), сумма в Правой части щается в интеграл

(72,5) обра-

(72,5) обра-

+ 8 г +8]

—8 L—8J

Это можно записать в виде

十8f(f)= J。⑵夕2zdv,十8f(f)= J。⑵夕2zdv,(72.6)(72.6)

十8

f(f)= J。⑵夕2zdv,

十8

f(f)= J。⑵夕2zdv,

(72.6)

(72.6)

где

0⑺=0⑺=ег»ег»

0⑺=

0⑺=

ег»

ег»

или, возвращаясь к прежним обозначениям, т, е, вновь заменяя а через t,

+ 8

dt.(72.7)

Это и есть формула, выражающая зависимость коэффициента разложения непериодической функции от частоты.

См., в. Я Смирнов, Курс высшей йтатематтгки, т Н, «Наука力.[967

стр, 501.>

Формулы (72.6) и (72-7) позволяют производить спектральное разложение непериодических процессов, в частности затухающих колебаний-

С физической точки зрения между разложением периодической функции в ряд Фурье и разложением непериодической функции в интеграл Фурье имеется существенное различие. Ряд Фурье состоит из членов, содержащих простые периодические

&•ahHQHQUHEO&•ahHQHQUHEO

&•ahHQHQUHEO

&•ahHQHQUHEO

линейчатый спектр.линейчатый спектр.Рис- 115. Периодический процесс разлагается в

линейчатый спектр.

линейчатый спектр.

функции с дискретно изменяющимися частотами vo, 2vo, 3v0,...； в интеграле Фурье интегрирооапие производится по частотам, т- е. предполагается^ что частоты изменяются непрерывно. В первом случае мы имеем дело с разложением в линейчатый спектр, во втором — в сплошной- Это различие очень хорошо

кстати 8 секкстати 8 сек

кстати 8 сек

кстати 8 сек

Рис- 116. Непериодический процесс разлагается в сплоши。建 спектр.

иллюстрируется рис. 115 и 116, где слева представлены две крн~ вне колебаний, а справа ——их спектры (по оси абсцисс отложены частоты в се/С, а по оси ординат—амплитуды, т. е・ коэффициенты Фурье). Верхняя кривая изображает процесс не синусоидальный, но периодический; ее спектр линейчатый. Нижняя кривая представляет одно звено предыдущей кривой; это звело не является периодической кривой, так как мы здесь не имеем

неограниченного понторсния равных амплитуд через одинаковые промежутки времени. Справа показано, что при этом отдельные линии настолько сближаются, что разложение дает сплошную полосу, охватываюп^ую целый интервал частот — участок сплошного спектре

Естественная ширина спектральных линий

Затухающие колебания осциллятора

х =2 cos(2kvo/ + B)

представляют собой на основании сказанного в предыдущих параграфах процесс не только негармонический, но и непериодический.

Поэтому для математического разложения его в спектр следует воспользоваться не рядом, а интегралом Фурье. Отсюда следует, что спектр будет сплошной. Точнее говоря, вычисление показывает, что вследствие затухания колебаний спектральная линия расширяется; она охватывает участок сплошного спектра, ширина которого Av определяется затихание乂 у. Дна того чтобы показать зто, следует прежде всего задать функцию в интервале от —8 до + оо. Мы можем это сделать следующим образом:

I 0 при

НО = 丄(73.1)

(ае 2 *小f при

Согласно сказанному в предыдущем параграфе, спектральное раз/южепие функции дается формулой

f(f)= J(73.2)

где амплитуда a (v) определяется формулой

(73.3)(73.3)

(73.3)

(73.3)

В ИН'(73.4)В ИН'(73.4)

В ИН'

(73.4)

В ИН'

(73.4)

Подставляя сюда 『(/) из (73,1) и замечая, что f«) = О терване от —8 до 0, получаем

；一£2口/ 一 v)；一£2口/ 一 v)q(v) = J ае 2 «"а/%-叫 f d/ =

；一£2口/ 一 v)

；一£2口/ 一 v)

Дна отыскания распределения интенсивности & спектре в

зависимости от частоты слепнет вычислить квадрат молу”

2

2(73.5)

Если теперь воспользоваться формулой (68.4) и произвестиЕсли теперь воспользоваться формулой (68.4) и произвестиусреднение для большого проме，ьутка вракгенн, го в 1)езу.1ътате получится /v =—帝一усреднение для большого проме，ьутка вракгенн, го в 1)езу.1ътате получится /v =—帝一J a(V)р [см, формулу (68<6)]; подставляя вместо |@{п)|2 выражение (73.5)> получаемJ a(V)р [см, формулу (68<6)]; подставляя вместо |@{п)|2 выражение (73.5)> получаем4 =4 =16：?@2«216：?@2«2眦佃2“。一可+兰眦佃2“。一可+兰Вводя обозначения t/v。= % y/v0 = Г, перепишем формулу (73.6) в видеВводя обозначения t/v。= % y/v0 = Г, перепишем формулу (73.6) в виде^3?^3?4几"1 一亦+%「2 ■ (737)4几"1 一亦+%「2 ■ (737)Формулы (73.6) и (73.7) дают распределение интенсивности в зависимо-Формулы (73.6) и (73.7) дают распределение интенсивности в зависимо-сти от частоты, т. е. картину спектра затухающего осциллятора. На рнс. 117 представлен ход множителясти от частоты, т. е. картину спектра затухающего осциллятора. На рнс. 117 представлен ход множителя

Если теперь воспользоваться формулой (68.4) и произвести

Если теперь воспользоваться формулой (68.4) и произвести

усреднение для большого проме，ьутка вракгенн, го в 1)езу.1ътате получится /v =—帝一

усреднение для большого проме，ьутка вракгенн, го в 1)езу.1ътате получится /v =—帝一

J a(V)р [см, формулу (68<6)]; подставляя вместо |@{п)|2 выражение (73.5)> получаем

J a(V)р [см, формулу (68<6)]; подставляя вместо |@{п)|2 выражение (73.5)> получаем

4 =

4 =

16：?@2«2

16：?@2«2

眦佃2“。一可+兰

眦佃2“。一可+兰

Вводя обозначения t/v。= % y/v0 = Г, перепишем формулу (73.6) в виде

Вводя обозначения t/v。= % y/v0 = Г, перепишем формулу (73.6) в виде

^3?

^3?

4几"1 一亦+%「2 ■ (737)

4几"1 一亦+%「2 ■ (737)

Формулы (73.6) и (73.7) дают распределение интенсивности в зависимо-

Формулы (73.6) и (73.7) дают распределение интенсивности в зависимо-

сти от частоты, т. е. картину спектра затухающего осциллятора. На рнс. 117 представлен ход множителя

сти от частоты, т. е. картину спектра затухающего осциллятора. На рнс. 117 представлен ход множителя

Как видно, кривая имеет резкий максимум при %= 1 или v = =т. е. Для частоты собственных колебаний незатухающего осциллятора. Максимальное значение f сеть

Получаемая в результате вычисления (73.4) ампРтитула a(v)—комплексная. Для получении вещественгзого выражении амплитуды снедовало бы подвергнуть разложению Фурье полусумму комплексно сопряженных функций, заменяющих cO5(2jTVf>f 十 й) в формуле затухающих колебаний, Но так как нас интересует только численное значение амплитуды, то достаточно ограничиться вьгчисленисм квадрата модуля комплексного выражения что и сделано в формуле (73 5). Подробнее об зтом см. Л1 а к с Бори, Оптика, Харьков 1937, стр. 5占6 it след} ющпе и」н Р, Беккер, Теория электричества т. 11, §§ 14 и 15.

Очевидно, что значение 〃х), равное половине максимального, получается при условии

2 兀(1—x) = i/2「

и,чи5 принимая во внимание, что х = v/vo и 「= у/、，。，и обозначая V — в Этом случае через

= у/4л.(73,8)

Aw“ называется полушириной спектральной линии; как видно, сна целиком определяется за гуканием у.

Полуширина в оптическом спектре очень мала. На рис. 117 представлен контур спектральной линии для Г = 1/5; ысжду тем для узких спектральных линий Г — порядка I0-3—

Ю"4. так что ширина линии, изображенная на рисунке, чрезмерно преувелич&на<

Принимая во внимание связь между у и временем релаксации T(Y=l/t), мм можем гтерепИ' сать (73.8) в виде

t(73,9)

Дру/ж примеры спектрального разложения непериодических процессов

Рассмотрим еще два примера спектрального разложения непериодических процессов,

Пусть колебание происходит в течение ограниченного промежутка времени “ но на этом ограниченном интервале подчиняется гармонинескому закону (рнс, 118,〃). Такие колебания мн будем назьтвать квазилюнохрома- тическими. Очевидно, что все реальные колебания, которые me

Рмс, 118k а) Квачи^онокромэтиче'Рмс, 118k а) Квачи^онокромэтиче'скос колебание, б) Спектр этогоколебания.скос колебание, б) Спектр этогоколебания.практически считаем монохрома

Рмс, 118k а) Квачи^онокромэтиче'

Рмс, 118k а) Квачи^онокромэтиче'

скос колебание, б) Спектр этогоколебания.

скос колебание, б) Спектр этогоколебания.

тическими и незатухающими, в действительности являются ква- зимонохроматическими, так как они длятся ограниченное время. Пусть Г будет период, ачастота этого колебания.

Отыщем ее。спектральное разложение.

Поскольку колебание qe Длится от —8 до 十8, оно Представляет собою процесс непериодический и для спектрального

разложения его следует воспользоваться интегралом, а не рядом Фурье. Функция, которая подлежит разложению, такова:

Iотдо+А"2,

'=I0 от— 8 до—* Д//2 иот + Af/2口о 十8.'

Искомое разложение есть

+ 8

где амплитуда ov выражается

+ 8

в npe-в npe-(74.2)(74.2)Принимая во внимание (74.1) и то, что f{f) *0 только пенах —получаем

в npe-

в npe-

(74.2)

(74.2)

= f f (f) 由=4 j削伍7 f dt =

—R — =*。~n(vo-v)'

Этот результат можно также представить в влде

%'— <о А/%'— <о А/s【n n(V0- V)д/д (v0 — V)Afs【n n(V0- V)д/д (v0 — V)Af(74.3)(74.3)

%'— <о А/

%'— <о А/

s【n n(V0- V)д/д (v0 — V)Af

s【n n(V0- V)д/д (v0 — V)Af

(74.3)

(74.3)

илл, обозначая 240A/ = < и 冗{、“ 一 -)А/ — &

…粤1

Функция ^^ имеет следующий ход: ее главный максимум расположен при & = 0, где * * = 1； далее, она обращается в нуль при & = 士冗，士2兀，.-.,士тл. В промежутках она имеет второстепенные максимумы при значениях удовлетворяющих условию tg J = Е; они таковы; J = 1,430兀=4,49; 2,459л = 7,73; 3,47几=10,90 и т. д. Значения ■ ^3 в максимумах таковы:

0

4,49

7,73

10,90

1

0,047

0.016

о.ооз

Из этого следует, что с ошибкой, не превосходящей 5%, можно считать, что весь ход функции—сосредоточен на интервале Е = ±л. За пределами этого интервала функцию (в указаыгых пределах точности) можно считать обращающейся в нуль. Так. как

sin л “° — %) \/ 冥 Св — V).V .

т。 |п“|2 имеет главный максимум при * = *° (рис. 118,6), т е. при частоте квазимонохроматических колебаний, и обращается в нуль при

I =儿 (74.4)

Мы видим, таким образом, что, хотя частота Vo — 1/Т0 пред- Ставлена с наибольшей интенсивностью, спектр охватывает сплошной интервал частот v — Vo = Av. Из (74.4) непосредственно следует соотношение между Av и длительностью Д/ незатухающих колебаний

AvAf — 1.(74.5)

ш\ш\Рис. 119. Единичный импульс* и его спектр.Рис. 119. Единичный импульс* и его спектр.Если принять во внимание не только главный максимум, по и второстепенные, то вместо условия (74-4) мы получим

ш\

ш\

Рис. 119. Единичный импульс* и его спектр.

Рис. 119. Единичный импульс* и его спектр.

что дает AvAf = 2, 3.так

что вместо (74.5) мы можем написать неравенство

(74.6)

Это неравенство показывает, что чем больше длительность А/ ква-

зимонохромачических колебаний, тем уже спектральный интср* вал и наоборот.

В качестве второго примера рассмотрим единичное возмущение, описываемое функцией

f(/)= i

(см. верхнюю кривую на рис. 119).

Параметр 0, имеющий размерность [сек-叮， характеризует остроту возмущения. Именно, мерой этой остроты служит промежуток времени 厶/=齐，в течение которого амплитуда возмущения изменяется в е раз. Амплитуда спектрального

разложения вычисляется по известной формуле

% =% =4-М+8—8—84-М+8—8—8

% =

% =

4-М+8

—8—8

4-М+8

—8—8

Показатель степени под интегралом можно Преобразовать так-

-(渺 + £2nvf) -卜平 + j2nvf + (胃Н + (胃『= 一例+詈f一暇

так чтотак что炉mt8炉mt8e 俨e 俨

так что

так что

炉mt8

炉mt8

e 俨

e 俨

— ОО

Полагая

М +，胃М +，胃N,N,

М +，胃

М +，胃

N,

N,

一业 +8一业 +8получим

一业 +8

一业 +8

откудаоткудаU L4^ fl C,

откуда

откуда

=合厂丁

Распределение энергии в спектре зависит, очевидно, от 9ксп°・ ненциал'ыЕого множителя. Ширина кривой определяется условием

или, так как В = l/厶力 то 丨 А、А/1 = L т. е.

Av А/=】/儿

Как и в рассмотренных ранее случаях, ширина сплошного спектра находится в обратном отношении к длительности импульса

“ Для всех примеров, рассмотренных в последних двух параграфах, характерен следующий общий вывод: между длительностью возмущения f{f) и протяжением спектра частот имеется обратное соотношение: чем короче длится возмущение，тем шире спектр, и наоборот.

Л. И, ААанделыитам в своих лекциях пояснял зт。следующей яркой иллюстрацией. Пусть луч свега падает на пластинку,

быстро движущуюся в своей плоскости перпендикулярно к лу；у Длина следа, оставленного лучом на пластинке, и есть мера длительности возмущения fffj. Поставим теперь пластинку в спектрограф, состоящий из призмы и линзы. Если есть нус (безграничное возмущение) т то в фокальной плоскости мы получим точку, соответствующую одной определенной частоте и. Но если，⑴ нс есть синус, то вместо одной частоты па пластинке появляется растянутый спектр. Чем короче черта на движущейся пластинке, тем шире растянут спектр, и наоборот.

Планетарная модель атома

До сих пор мы пользовались в качестве модели источника света только лилейным осциллятором, т. е. диполем, совершающим колебания по гармоническому или негармоническому закону, Однако согласно планетарной модели Резерфорда атом следует рассматривать как ротатор, т. е. отрицательно заря~ жепную частицу, обращающуюся по замкнутой орбнте около положительного ядра. Нетрудно убедиться в том, что электро- магнишые свойства такой модели ис содержат ничего существенно нового по Сравнению с уже найденным для излучения линейного осциллятора.

Представим себе сначала в качестве простейшего случая электрон, равномерно обращающийся около ядра по круговой орбите. Такое обращение будет движением ускоренным; поэтому оно должно сопровождаться излучением электромагнитных воли.

Для того чтобы вычислить интенсивность этого излучения, разложим равномерное круговое движение на два гармонических колебания по осям

х = а cos ④у « sin .

Очевидно, что вместо электрона, равномерно обращающегося по круговой орбите, мо^ио рассматривать излучение двух диполей, совершающих колебания с одинаковой частотой н одинаковой амплитудой о по взаимно перпендикулярным ita- правлениям.

Согласно формулам § 68 мы имеем для интенсивности лучения обоих диполей

厶=…зе3厶=…зе3cos2 3f,cos2 3f,.222/5J 尸3,9.222/5J 尸3,9sin2 3f.sin2 3f.

厶=…зе3

厶=…зе3

cos2 3f,

cos2 3f,

.222/5

J 尸3,9

.222/5

J 尸3,9

sin2 3f.

sin2 3f.

/ = /* + /у/ = /* + /у

/ = /* + /у

/ = /* + /у

Полное излучение круговой орбиты будет, так*м образом,

2е2Мо)432出 у% 2a2

Зсг-~5?

Сравнивая полученный результат с формулой для среднего излучения диполя за период (68.6), мы видим, что полное излучение круговой орбиты не зависит от времени и в два раза больше среднего излучения диполя, что вполне понятно, так как излучение обоих диполей и /у поляризовано во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Несколько сложнее обстоит дело в том enyuae, когда рассматривается общее движение 〃。кеплерову эллипсу электрона, связанного с ядром кулоновской силой В этом случае составляющие движения по осям координат 尤 и у уже не являются простыми гармоническими колебаниями. Однако они всегда могут быть разложены в ряды Фурье, т. е. представлена как результат суперпозиции простых гармонических колебаний. Выбирая за оси координат [равные оск эллипса, имеем

х — a COS&，+ cos cos , у b “ sin sin

Если вычислить, как в § 69, Средние интенсивности, соответствующие колебаниям по оси * н по оси у, и сложить зтн интенсивности (колебания во взанмн。 перпендикулярных направ- .леннях не интерферируют!)т т。окажется, что излучение соответствует набору осцилляторов с частотами 2s, 3(о,

Таким образом, электрон, обращающийся по кеплерову эллипсу, излучает целий спектр частот, состоящий из основной частоты и ее гармонических обертонов.

Орбитальный магнитный момент и теорема Лармора

Электрон, обращающийся по орбите, представляет собою круговой ток. По законам электродинамики такой Круговой ток должен обладать определенным магнитным моментом, т. е. вести себя в магнитном поле как магннтнмй диполь. С другой стороны, с механической точки зрения, электронный круговой ток вследствие быстрого вращения электрона дол жен обладать свойствами волчка. Имеется определенное соотношение между магнитными свойствами электронной орбиты, которые характеризуются ее магнитным моментом и ее механическими свойствами, мерой которых является момент количества движения. Выведем зто соотношение.

Как известно из электродинамики магнитный момент замкнутого тока равен

(76.1)

«) См, И. Е. Тамм, Оснойы теории электричества. 《Наука», 1967, утр 253、

249249§ 76] ОРБИТАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ MOMFHT И ТЕОРЕМА ЛАРМОРА

249

249

где / — сила тока (в электростатических единицах), S —пло・ щздь, обтекаемая током, и с—скорость света. Если число оборотов электрона по круговой Орбите будет v =】/，где Т — период обращения, то, очевидно,

/ = ev = e/T.(76.2)

Поэтому

М

ялит заменяя v угловой частотой v =(о/2л,

"=卷"=脸加产8(76.3)

Но 加产①=加戶①,очевидно5 представляет собой момент количества движения / электронной орбиты. Итак,，

Это и есть искомое соотношение.

Представим себе теперь, что наш атом, содержащий орбитальный электроц5 помещен в магнитное поле. Так как, по сказанному, атом обладает определенным магнитным моментом, то он должен веет себя во внешнем поле как магнит, е. должен устанавливаться своим магнитным моментом параллельно пли антипараллельно полю. Но этому препятствует то, что атом одновременно является и волчком. Отсюда следует, чго в магнитном поле атом должен вести себя совершенно так же, как обыкновенный волчок ведет себя в поле земного тяготения, т. е. атом должен совершать прецессионное движение около направления поля. Если теперь рассматривать орбиту электроца с точки зрения [1снодвижной системы координат, то она перестает быть плоской и Становится вообще очень сложной. Рассмотрение значительно упрощается, если ввести подвижную систему ко- орпопат, прецессирующую вместе с орбитой. В такой системе координат орбита сохраняет свою форму, и остается только определить угловую скорость прецессии.

Введем две системы координат： одну из них свяжем с ла- правлением магнитного поля 施 Эту систему мы будем называть «неподвижной». Вторая система ——подвижная ——прочно связана с орбитой электрона и прецессирует относительно ^неподвижной» системы; ось прецессии совпадает с направлением поля. Пусть угловая скорость прецессии будет и； скорость электрона, движущегося по орбнге, пусть будет в неподвижной системе ко・ ординат о, в подвижной ——〃‘.В подвижно" системе на электрон действуют добавочные силы инерции центробежная тро{ где р — расстояние электрона От осп прецессии, н кориолисова

С = 2m[vfo]. Полагая,

что линейная скорость, сообщаемая элек-

трону прецессионным движением, мала по сравнению с тальной скоростью электрона в отсутствии преиесснн, т.

ро《

орби-е. что

■мы можем пренебречь центробежной силой ииерци]? по пению с кориолисовой силой. Оценка степени приближения {см.

срав-

ниже), связанного с этим до[]ущсииемт вполне оправдывает его.

Дэлоет в пределах того *о приближения, можно в выражении.кориолисовой силы скорость 力 заменить скоростью。по отноше-

цию нат.

к неподвижном системе коорди-

Итак,

С = 2m

(76.5)

咒

Мы

знаем, однако, что на электрон,

движущийся в магнитном ноле с。скоростью V, действует сила

一£[v把].

(76.6)

за・

Знак минус обусловлен тем, что ряд электрона отрицателен. Если на

Рис- 120.

правление поля 非 параллельно оси прецессии, тот как нетрудно убедиться, огтределйя (то извесгиому правилу для векторного произведения направления сил С и Ft Эти силь] действуют прямо

противоположно друг другу. Поэтому для то「о, чтобы орбита сохранила свои размеры и формут оци должны быть численно друг другу равны, С = —F. В таком

случае (76.5) и (76.6) дают

2/Two sin (vo)=工 и施 sin (y把).

Так как ось прецессии параллельна направлению поля( то sin (vo) = s；n {у筹)

(76.7)

л (76.7) дает

肃非

(76.8)

Полученный результат можно формулировать следующим образом: электрон описывает в слабом магнитном поле ту же Ор- бнту, что и в отсутствии поля, но но отношению к системе координат, которая Процессирует относительно магнитного поля с угловой частотой

0 =阚施，

значительно более мощных полей и тонких спектральных приборов удалось обнаружить, что при помещении источника света между полюсами электромагнита спек， тральные линии испытывают рас， щецлсиие.Явление это было количественно объяснено Лоренцом па основе электронной теории. Согласно теории Лоренца при наблюдении перпендикулярно к на-значительно более мощных полей и тонких спектральных приборов удалось обнаружить, что при помещении источника света между полюсами электромагнита спек， тральные линии испытывают рас， щецлсиие.Явление это было количественно объяснено Лоренцом па основе электронной теории. Согласно теории Лоренца при наблюдении перпендикулярно к на-равноравноa'=谕施。'广‘.a'=谕施。'广‘.(77.1>(77.1>

значительно более мощных полей и тонких спектральных приборов удалось обнаружить, что при помещении источника света между полюсами электромагнита спек， тральные линии испытывают рас， щецлсиие.

Явление это было количественно объяснено Лоренцом па основе электронной теории. Согласно теории Лоренца при наблюдении перпендикулярно к на-

значительно более мощных полей и тонких спектральных приборов удалось обнаружить, что при помещении источника света между полюсами электромагнита спек， тральные линии испытывают рас， щецлсиие.

Явление это было количественно объяснено Лоренцом па основе электронной теории. Согласно теории Лоренца при наблюдении перпендикулярно к на-

равно

равно

a'=谕施。'广‘.

a'=谕施。'广‘.

(77.1>

(77.1>

Действие магнитного % см 兄 на электронною орбиту можно свести, таким образом, к сообщению этой орбите прецессии со скоростью о (рис. 120). В этом и состоит теорема Лармора.

Упражнение Исючлик света помещен б магнитное иоле с напряженностью 40 000 эрстед Вычислить ларморовскую частоту прецессии электронной орбиты н определить длину волны, соответству1ощ\ю уп巾 частоте. (Ответ 九=05【см ) '

§ 77. Эффект Зеемана

Известно, что в конце своей жмзнн Фараде；! усиленно искал явления, которые указывали бы на связь между электромагнитным полем и светом. Ои стремился, по его собственному выражению, «осветись силовые линки и намагнитить свет》. Из-

всст]^о также, что ему удалось обнаружИ1ь «намагничение света» в виде открытого им вращения плоскости поляризации в магнитном поле (эффект Фарадея). Идя дальше в этом направле・ ниит он пытался (в 1862 г.)т но безуспешно, открыть влияние Mai нитного поля на спектральные линии. Лишь 34 года снуст兄” в 1896 г.т Зееману при помощи

0口2喻

勿侬?勿^^ а

Рис. [21. Схема расщепления спек-

тральлол линии в простом зффск~ie Зеемана.

правлению поля спектральная

линия должна расщепляться на три компоненты^ давая симметричную картину (р“с. 121,6), причем расстояние между среп- неХ линией л хажа。力 из кра力只ях в шкале частот должно бить

Расщепленные линии должны обнаруживать линейную поляризацию： крайние перпендикулярную к полю; средняя по лолПри наблюдении же вдоль поля средняя лилия должна отсутствовать, а крайние — обнаруживать круговую поляризацию с противоположным направлением вращения (рис. 121,а).

Все эти предсказания теории во многих слуиа兄х подтвердились с поразительной точностью. Вместе с тем оказалось, что

имеется большое число случаев, когда картона расщепления знаннтеАЬМо сложнее: число компонент больше трех，и велнннка смещения не совпадает с вычисленной по формуле (77」)，хотя h связана с ней простым отношением.

Расщепление, следующее теории J]opemiaT называется пор- 川а/ьнЕМ или простым эффектом Зеемана. Во всех остальных сл} чаях наблюдаемая картина называется аномальным или сложным эффектом Зеемана.

Посмотрим теперь, в чем заключается объяснение простого эффекта с точки зрения классической электронной теории. Рас- смсирмм злектрон, обращающийся по круговой орбнте. Пусть это будетт нанрьмор, водоро^н^А атом с ядром, имеющим заряд около которого обращается один электрон. .Магнитное поле пусть будет направлено

、■笈пендикулярно к плоскости орби

ты (рис. 122).

Сила, удерживающая электрон на орбите> по абсолютной величине равна

—尸(77-2)

Эта сила F равна центробежной 4刀е инерции

_(77.3)

!где —частота обращения элек-

трона в отсутствии магнитного

Рис. 122.поля. При включении магнитного

поля на электрон кроме кулоновской силы (77-2) действует еще сила Лоренцат равная 三[v箔]. Если - теЗ[ерь воспользоваться известным правилом правого винта для определения направления силы Лоренпа, то из рис, 122 легко усмотреть, что эта сила направлена по радиусу. Тем не менее влияние магнитного ноля сказывае1С兄 &е 8 т。川， 4To радиус орбита увеличивается или уменьшается, а в том, что изменяется угловая скорость обращения электрона при неизменном радиусе орбиты.

■ Это утверждение кажется неожндаинь^м, од]<акот оно может быть доказано строгим расчетом . Мы здесь этот расчет приводить не будемт но ограничимся следующими разъяснениями. При включении магнитного поля оно не сразу достигает своей конечной величины^ но устанавливается в течение известного

*) См. приложен ne Ill в конце к^мгн.

промежутка времени. Этот промежуток настолько велик по сравнению с периодом обращения электрона, что весь процесс можно рассматривать как бесконечно медленный, наподобие адиабатическим процессам в термодинамике. Поэтому в каждый мо- Rie【【T должно соблюдаться равенство между суммой кулоновской сн/ш и силы Лоренца, с одной стороны, и центробежной силой инерции ——с Другой, Эта пос.чсдняят однакот будет меняться по- тсму, что возрастание магнитною поля по закону электромагнитной индукции Фарадея (точнее говор兄，вследствие второго Чрэвнения электродинамики Макене л л а) влечет за собой появление вихревого электрического поля с осью симметрии, совпадающей с направлением магнитного поля. Именно зто вихревое электрическое поле воздействует на звектрои, ускоряя н工" замедляя его. То, что процесс должен протекать описанным об разом, видно уже из того, что сама сила Лорениа не может изменить частоту обращения; так как она направлена перпендикулярно к скорости ит следовательно, никакой работы кс совершает.

Равновесие между силами, действующими на электрон, и центробежной силой кнсрикн, как сказано, должно иметь место в ка;кдий момент времени, в том числе, конечно, и в установившемся состояыии, когда магнитное поле достигает своей стайно, [^рной величины 施.Обозначая угловую скорость электрона в зтом состоянии через 叫 имеем, во-первых, для численной величины сипы Лоренца grs箔,так как v = rm sin(v^ = последнее вследствие того, что поле перпендикулярно к плоскости орбить[. Во-вторыхт указанное условие равновесия будет

или вспетствне (77,3)

FS；十-『(О翁e=加г®2,X-

откуда

炉一彥施3一呜=0.(77.4)

Коэффициент при со во втором члене слева, очевидце^ равен V/Ч^оенной ларморовой частоте о, так как

о =施(763)

к, следовательно>

・ о)2 _—吗=о.(77.5)

Решая это квадратное уравнение относительно з, получаем

sro 土+ М(77.6)

Величина о мала по сравнению с со。. В самом 口е.ас, наиболее интенсивные магнитные пол另，которые удавалось до сих пор осуществить (известные омытье П. Л. Капицы), достигали прн- близительно 500 000 эрстед. В таких полях

Между тем «о для спектральных линий, лежащих в видимой или )лътрафиолетовой части спектра, имеет порядок величины Ю15 се/сС Следовательно^ (о/з。)？一порядка 10弋 и мм имеем полное право пренебречь под радикалом в (77.6) величиной о2 по срашгению с н нацистгь

9 = 0 土 询 ИДИ 3]=5 + о, —铀+o. (77.7)

Таким образом, частота электрона, обращающегося против часовой стрелки (если смотреть нз конца вектора ноля) в ма「~ нитном поле, увеличивается на о, а частота электрона, движущегося в обратную сторону, уменьшается на ту же величину. Если теперь перейти от игловой частоты к линейной, то мы

Это и есть формула Лореина (77.1).

§ 78. Эффект Зеемана. Общий случай

В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай влияния магнитного no/я па электронную орбиту, плоскость которой перпендикулярна к направлению поля. При этом МЬ[ убедились, что и в этом случае изменение угловой частоты обращения электрона как раз равно ларморовской частоте о [см. (77.7)]. Рассмотрим теперь более общий сличай и покажем, что теория точно описывает все стороны явления, включая состояние поляризации линий-

Пусть мы имеем диполь, причем положительный зарнн пусть будет закреплен в начале координат, а электрон с зарядом е связан с ^олрадтельным зарядом квазнулругой силон. Уравнение свободных колебаний электрода есть

В присутствии магнитного поля появляется сила Лоренпа ——[уЖ]т и уравнение колебаний после деления на m и замены f/m через 血 принимает вид

§用§用Эффект ЗСС|\\АНА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙЭффект ЗСС|\\АНА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ255255Положим так чтоПоложим так чтотеперь, “то магнитное поле Направлено по оси 召теперь, “то магнитное поле Направлено по оси 召Заметив, чтоЗаметив, что施工二施，=0, 非z 一羌.•^•施 есть удвоенная ларморовская施工二施，=0, 非z 一羌.•^•施 есть удвоенная ларморовская川нпем три скалярпых уравнения, соответствх ющих уравневкю (78.1):丿川нпем три скалярпых уравнения, соответствх ющих уравневкю (78.1):丿частота, на-нскторнсмучастота, на-нскторнсму直+%Z直+%Z=0.=0.(78.2)(78.2)Решения первых искать в видеРешения первых искать в видеавух дифференциальных уравнений б\демавух дифференциальных уравнений б\дем尤=亚吗 y =儿吗尤=亚吗 y =儿吗где амплитуды а )лян (783) в (78.2)где амплитуды а )лян (783) в (78.2)(7&3)(7&3)ии2 вообще говоря, — комплексное. Подстав-2 вообще говоря, — комплексное. Подстав-,получаем4 (峙一峭 + 2/o(d& = 0,Ь— 2to(oa = О.,получаем4 (峙一峭 + 2/o(d& = 0,Ь— 2to(oa = О.(78.4)(78.4)Мы получили систему линейных однородных уравнений неизвестных g и Ь. Как известно, такаяМы получили систему линейных однородных уравнений неизвестных g и Ь. Как известно, такаядлядляотличные От нуля, только При условиикоэффициентов, е.отличные От нуля, только При условиикоэффициентов, е.лителя излителя изз； — *2 沁о—2,00),呜一q)2з； — *2 沁о—2,00),呜一q)2система имеет рс山еиля.система имеет рс山еиля.равенстваравенстванулю 0прсае・•нулю 0прсае・•=0,=0,(78.5)(78.5)

§用

§用

Эффект ЗСС|\\АНА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Эффект ЗСС|\\АНА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

255

255

Положим так что

Положим так что

теперь, “то магнитное поле Направлено по оси 召

теперь, “то магнитное поле Направлено по оси 召

Заметив, что

Заметив, что

施工二施，=0, 非z 一羌.

•^•施 есть удвоенная ларморовская

施工二施，=0, 非z 一羌.

•^•施 есть удвоенная ларморовская

川нпем три скалярпых уравнения, соответствх ющих уравневкю (78.1):丿

川нпем три скалярпых уравнения, соответствх ющих уравневкю (78.1):丿

частота, на-нскторнсму

частота, на-нскторнсму

直+%Z

直+%Z

=0.

=0.

(78.2)

(78.2)

Решения первых искать в виде

Решения первых искать в виде

авух дифференциальных уравнений б\дем

авух дифференциальных уравнений б\дем

尤=亚吗 y =儿吗

尤=亚吗 y =儿吗

где амплитуды а )лян (783) в (78.2)

где амплитуды а )лян (783) в (78.2)

(7&3)

(7&3)

и

и

2 вообще говоря, — комплексное. Подстав-

2 вообще говоря, — комплексное. Подстав-

,получаем

4 (峙一峭 + 2/o(d& = 0,

Ь— 2to(oa = О.

,получаем

4 (峙一峭 + 2/o(d& = 0,

Ь— 2to(oa = О.

(78.4)

(78.4)

Мы получили систему линейных однородных уравнений неизвестных g и Ь. Как известно, такая

Мы получили систему линейных однородных уравнений неизвестных g и Ь. Как известно, такая

для

для

отличные От нуля, только При условиикоэффициентов, е.

отличные От нуля, только При условиикоэффициентов, е.

лителя из

лителя из

з； — *2 沁о

—2,00),呜一q)2

з； — *2 沁о

—2,00),呜一q)2

система имеет рс山еиля.

система имеет рс山еиля.

равенства

равенства

нулю 0прсае・•

нулю 0прсае・•

=0,

=0,

(78.5)

(78.5)

(7&6)(7&6)откуда, раскрывая。口ре艮елнтель, находим

(7&6)

(7&6)

(78.7)(78.7)Мн получаем, таким образом, два квадратных уравнения %一з：= 2叫，端一①；=-2叫.

(78.7)

(78.7)

*) Ус」/。月使《78 5) fiveer весьма простой смысл-

(78 4) получаем 2

2iocoa

誌丁 ИЗ второго L

из первого時一со?

уравнения

Для того

Р^С^ДОЛ^з鴉醤幾篇工：*戋丁”吗 правде части написанных

2io(o w-

2iOCO2iOCO3彳—(О

2iOCO

2iOCO

Огеюда сразу получаем (7&6).

Из четырех решений этих уравнений только два положительны

J = — о + У% + К 电=о + U 稣 + os. (78.8)

Отсюда, принимая во внимание, что о《(о° (см. стр. 254),О)1==90—0,g)2=5 + o, 0)2—9 = 2о==-^-箔，

а смещение линейной частоты относительно v0, как и раньше, будет

券詰(78.9)

Таким образом, частоть] колебаний, происходящих по осям к и т. е. перпендикулярных к полю 施，смещаются как раз на величину, даваемую формулой Лоренца.

20①20①Мы можем теперь установить также состояние поляризации обеих смещенных компонент. Из (78.4) имеем

20①

20①

{78.10)

Подставляя сюда ⑴一®, т. е. частоту компоненты, смещенной 6 красную стерону、и замечая, q?。согласно серному из Сравнений (78-7) 2。3|—吗二岬，получаемили а = —,3 =

=唄 Это означает, что колебание по оси х отстает ио фазе от колебания ио оси у на Оба колебанн兄 дают круговое вращение и притом, принимая во внимание указанное соотпов/е- пне фаз, вращение по часовой стрелке, т- е. правокруговую ляризацию.

Аналогично, подставляя в (78-10) (о = т、е、частоту ком- поленты3 смещенной в фиолетовую сторону, и принимая во вни- манне второе лз ураанелий (78.7), поручаем

0/ь=/ или 4 =be叫

откуда следует, что компонента s? поляризована цо левому кругу. Наконец, третье уравнение системы (78.2)

+ з歌=О

показывает, что колебание по оси z происходит без изменения частоты； оно имеет линейную поляризацию. Однако наблюдатель, смО7рЯ1г(ий навстречу CJ.tobhm лилиям магннтцого поля (продольное направление), не увидит этой третьей компоненты, так как излечение диполя в направлении колебаний равно нулю.

Итак, в Продольном направлении картина эффекта Зеемана состоит из двух смещенных линий; обе поляризованы по круги, причем линия, смещенная в красную сторону, поляризована по

фиолетовую сторону,—фиолетовую сторону,—правому кругу» а линия, смещенная в

фиолетовую сторону,—

фиолетовую сторону,—

по левому. _

Наблюдатель, смотрящий перпендикулярно к направлению мапштного поля, напрнмср по оси %, увидит несмещенную линию, так как колебания по оси z кают максимальное излучение в перпендикулярном направлении. Он увидит также обе смещенные компоненты по следующей причине: диполь, колеблющийся по оси 尤，］ie дает излуче)^ия в налравденяи этой оси- Но оба колебания в плоскости ху дают компонента, поляризованные по кругу. Поэтому наблюдатель, который смотрит навстречу оси х3 увидит проекции Круговых колебаний на ось у, а наблюдатель, смотрящий по оси увидит проекции круговых колебаний на ось 尤 Такам образом, картина поперечного эффекта Зеемана состоит из трех линий: несмещенной и двух смещенных. Все линии линейно поляризовань］： несмещенная имеет колеба-

ння электрического вектора по направлению попа, смещенные — перпендикулярно к полю.

Как уже было указано в начале этого параграфа, для спу・ чая простого эффекта Зеемана все изложенные результаты теории подтверждаются совершенно точно. Зато сложный эффект мог быть объяснен только в рамках квантовой теории.

§ 79, Излучение Вавилова—Черенкова

В § 67 мн видели, что согласно классической электродинамике излучение электромагнитных волн возникает нри ускоренном, т. е. неравномерном движении электронов или вообще заряженных частиц. При этом, однако, молчаливо предполагалось, что скорость излучающих частиц меньше скорости света* С другой стороны, уже давно было известно, что в случае механических систем при равномерном движении тела 6 среЗе с。 скоростью, превышающей скорость распространения упругих волн 8 этой cpedet возникает особого рода волна. На рис. 123 приведена фотография летящей пулн, сделанная методом, позволяющим выявить изменение показателя преломления воздуха (так называемый метод Теллера). Видно, что летящая пуля сопровождается волной сгущения; именно зта волна и обусловливает Характерный свист илн вой, сопровождающий летящий снаряд. Всем, конечно, также хорошо известна «носо・ вая волна» на поверхности воды, возникающая при быстром движении глиссера. Во всех этих случаях механизм возникновения волны, т. е. механизм излучения равномерно движущегося тела — один и тот

Оказывается, что и равномерно движущийся в среде электрический заряд (в частности —электрон) может нз〃у，агь электромагнитную волну, при условии, что скорость движения

9 9・ В. Шпольскмй, т, I

заряда больше скорости света в данной среде. Следует подчеркнуть, что речь идет именно о скорости света в среде, но 8 пустоте. Значение этой оговорки состоит в том, что скорость света в пустоте с = 3-1010 см/сек^ согласно теории Относительности, есть предельная скорость: никакое те门。нс может двигаться со скоростью, равной или большей этой скорости. Но скорость света в среде равна с/п, где 几一показатель преломления — ве- личина, большая единицы в области нормальной дисперсии 乩

Рис. 123、Фотография летящей пули.Рис. 123、Фотография летящей пули.поскольку с/п V с, ограничение, налагаемое теорией относительности, в случае движения в среде не имеет места. При атом, говоря о скорости света, мы имеем в виду фазовую скорость, т. е. скорость перемещения поверхности равной фазы (см, § 136).

Рис. 123、Фотография летящей пули.

Рис. 123、Фотография летящей пули.

Электромагнитное излучение, сопровождающее электро- и]Ыт движущиеся в среде со сверхсветовой скоростью, было открыто в 1934 г. П. А. Черенковым, работавшим под руководством С. И Вавилова. По этой причине мы называем тто излучение излучением Вавилова—Черенкова *). Первона

чальная задача Черенкова состояла в исследовании свечения растворов под действием у-лучей радия. Видимое свечение жидкостей поп действием радиоактивных излучений наблюдалось еще Марией Кюри Приблизителыго за 25 лет до работы Черенкова. Однако Кюри Приписывала это свечение обычной люминесценции. Также и в работах французского физика Ма^ле {1926— 1929 гг.), которые5 впрочем, не были известны Черенкову, Это свечение не получило правильной интерпретации.

Выполняя исследование свечения растворов под действием у・луче" радия, Черенков показал, что наряду с люминесценцией раствора наблюдается слабое свечение самих растворителей. Оказалось, что такое свечение обнаруживают вообще все чистые жидкости — вода, бензол и другие. Но наиболее важней результат этих первых исследований состоял в доказательстве того, что Зт® слабое свечение является люминесценцией. Это 6н』о важно потому, что многие весьма чистые жидкости, на-

*) В .чн【сратуре это излучепп^ часю называете” просто излучением Че- ренкОва.

пример вода, 口。几 действием }гльтрафиолетового освещения дают слабое синее свечение, которое по всем своим свойствам несомненно должно быть отнесено к люминесценции. Между тем некоторое свойства свечения под действием 丫•刀)ре力 радия, изучавшегося Черенковым, резко отличали его от люминесценции. Эти особые свойства Черепков установил путам количественных экспериментовт очень трудных вследствие слабости свечения. Они состоят в следующем: люминесценция растворов «гаснтс月》 некоторыми прнмесямм, присутствующими в растворе в малых концентрациях (йодистый калийт анилин и др.)свечение чистых жидкостей под действием у-луие8 такого гашения не испытывает; далее, свет люминесценции обнаруживает определенную поляризацию, которая также может быть ослаблена теми же ^тушителями^ или просто нагреванием — свеиенне Черенкова такого влияния на поляризацию не испытывает. Все Это указывало, что в отличие от люминесценции, которая характеризуется конечной длительностью (IO-7—10~8 сок), свечение Вавилова — Черенкова является ^мгновенными. Наконеи, вскоре было показано также, что излучение вызывается не самими『лучами, имеющими электромагнитную природу5 по создаваемыми ими в веществе электронами: излучение с теми же особыми свойствами вызывалось также потоком быстрых электронов в виде р-л)гче11 радиоактивных веществ. Особенно важно было тот что, как 11олазали дальнейшие опыты, излучение Вавилова — Черенкова обладает определенной направленностью: оно испускается только вперед под определенным углом к направлению распространения Y“iyueii, тогда как свет люминесценции излучается равномерно по всем направлениям.

Это свойство и легло в основу Правильного объяснения свечения Вавилова—Черенкова, как свечения, вызываемого з“ек・ Тронами, движущимися со сверхсветовой скоростью. Такое объяснение было дано И. М. Франком и И. Е. Таммом в 1937 г.

Чтобы понять, каким образом может возникнуть электромаг- HHTJjoe излучение при быстром движении электрона в срсдст рассмотрим сначала вопрос качественно. Пусть электрон движется в среде, которую мы предположим жесткой, чтобы не осложнять >сз]овня рассмотрения, т е. пусть это будет, например, стекло. На_ рис. 124, а 48 — траектория электрона, Мопеку〃н среды мы можем считать сферическими. Но вокруг движущегося заряда, например в точке Рт среда поляризуется1 молекулы деформируются так, что положительные заряды смещаются по направлению к движущемуся злектрону, а отрицательнее — в противоположном направлении; при Этом молекулы приобретаю?

*) В 1959 1. работа П А Черепкова. И М Франка и И. Е. Тамма была отмечена НобелевскоА премией.

свойства элементарных диполей, определенным образом ориентированных относительно Р. При переходе из точки Р в другую точку траектории, например поляризация в Р исчезает, что ведет к возникновению короткого электромагнитного импульса. Однако' вследствие полной симметрии поляризации как относительно оси РР[ так и по азимуту относительно точки Р, поле на больших расстоянияхт а следовательно и излученйет будут отсутствовать. ■

Оооо ОООо ОО ° О Оо о с о о ооУгУо。。оОооо ОООо ОО ° О Оо о с о о ооУгУо。。оооооQ © ОQ © О4 b4 bа%°§а%°§оо〉^）夕Q。〉^）夕Q。夕中0夕中0°。О Я 。。总 о ° оО ОО°。О Я 。。总 о ° оО ОО承0%0рт 0承0%0рт 0ооо о 8 0。 。裁 О 00ооо о 8 0。 。裁 О 00ВВгвгв欷0欷0

Оооо ОООо ОО ° О Оо о с о о ооУгУо。。о

Оооо ОООо ОО ° О Оо о с о о ооУгУо。。о

о

о

о

о

Q © О

Q © О

4 b

4 b

а%°§

а%°§

о

о

〉^）夕Q。

〉^）夕Q。

夕中0

夕中0

°。О Я 。。总 о ° о

О ОО

°。О Я 。。总 о ° о

О ОО

承

0%0

рт 0

承

0%0

рт 0

ооо о 8 0。 。裁 О 00

ооо о 8 0。 。裁 О 00

В

В

г

в

г

в

欷

0

欷

0

Рис. 124. К механизму возникновения излучения Вавилова — Черенкона. Поляризация диэлектрика под действием пролетающей заряженной частицы: а) при малой скорости; 6) при большой скорости (по Джелли)

Теперь следует принять во внимание, что исчезновение поляризации происходит не мгновенно, но требует некоторого времени (время релаксации). Если же электрон движется со ско- ростьют близкой к скорости света в средет то это мржет повести к нарушению симметрии поляризации Срепн> как 3丁。показано на рис. 124,6. Поляризация в об/астя, где электрон находился раньше, еще не успеет исчезнутьт тогда как в области Р поляризация уже установится. Это нарушение симметрии поведет к тому, что в каждой точке пути электрона будет возникать мгновенный электромагнитный импульс, создающий поле также и на больших расстояниях. Однако для того, чтобы из этих мгновенных некомпенсированных импульсов сложилась распространяющаяся в пространстве волна, между импульсами, возникающими в различных точках траектории злектрона, должно выполняться определенное условие когерентности, которое мы и найдем, пользуясь элементарным построением Гюйгенса.

Рассмотрим электрон, движущийся в направлении АВ (см. рис. 125) в среде с показателем преломления е со скоростью и > с/儿 Очевидно, что гюйгснсовы волны (электромагнитные импульсы), исходящие из точек Р1т P2t траектории элек- трона, Придут к некоторой плоскости ВС в одинаковой фазе,

распространяясь под таким углом 0 к направлению полета электрона, при котором волнат исходящая из пройдет путь АСГ равный (с/п)А/, за время, в течение которого электрон пройдет путь АВ, равный иА/. Во всех других направлениях элементарные волны погасятсн вследствие интерференции. Но, как непосредственно видно из рисунка, при

этом условии Отсюда

cos^= 1例，

Из ЭТОГО

представляет

(c/〃)Af = oAfcos 也(c/〃)Af = oAfcos 也где 0=и/с・(79・1)где 0=и/с・(79・1)равенства, которое основной результатравенства, которое основной результаттеории, следует, что излучение возможно лишь при условии рп > е. V > с/儿 Условие p/i = 1 определяет пороговую энергию^ при которой становится возможном излучение. Эта знер・ Г0я, очевидно, зависит от показателя преломления 孔.

(c/〃)Af = oAfcos 也

(c/〃)Af = oAfcos 也

где 0=и/с・(79・1)

где 0=и/с・(79・1)

равенства, которое основной результат

равенства, которое основной результат

Направленность излучения была доказана Черенковым еле-

РисДЛЯРисДЛЯ125. Построение Гюйгенса объяснения когерентности излучения.125. Построение Гюйгенса объяснения когерентности излучения.дующим опытом (рис. 126). Узкий пучок у-лучей проходит в сосуд с жидкостью А. Возникающее в сосуде излучение после отражения в коническом зеркале попадает в объектив фотоаппарата. На рис, 127 представлены полученные таким образом фотографии. Рис. 127, а дает картину, которая получается, когда в сосуде находится люминесдирующий раствор： равномерно освещенное кольцо показывает, что интенсивность люминесценции нс зависит от направления. Рис. 127,6 и s представляют распределение “о направлениям интенсивности излучения Ва・ вилова — Черепкова для двух жидкостей с различными показателями преломления. Ясно видно, что в зтом случае вместо

Рис

ДЛЯ

Рис

ДЛЯ

125. Построение Гюйгенса объяснения когерентности излучения.

125. Построение Гюйгенса объяснения когерентности излучения.

равномерного кольца получается два пятна.

В том случае, когда излучение Вавилова — Черенкова возбуждается улудамн, геометрия опыта недостаточно определенна,

так как излучение вызывают не сами у-лучи, но создаваемое ими вдоль всего пути электроны. Поэтому, хотя описанный только что опыт Черенкова имел очень большое принципиальное значение, так как он «оказал наличие направленности в излуче-так как излучение вызывают не сами у-лучи, но создаваемое ими вдоль всего пути электроны. Поэтому, хотя описанный только что опыт Черенкова имел очень большое принципиальное значение, так как он «оказал наличие направленности в излуче-Рнс. 126. Схема опыта Черенкова для доказательства направленности ичлучетшя.Рнс. 126. Схема опыта Черенкова для доказательства направленности ичлучетшя.нии, но, ввиду неопределенности геометрии, он допускал только качественную проверку соотношения (79-1), Количественная проверка зтого соотношения н, в частности, зависимости угла О от показателя преломления среды, была осуществлена в 1938 г. Ко〃・ линсом и Рейлингом, с пучком р-электроновт доступным строгой коллимации. Схема этого опыта показана на рис- 128. Пучок электронов со строго определенной энергией в 2 Мзе, полученный на электростатическом гене-нии, но, ввиду неопределенности геометрии, он допускал только качественную проверку соотношения (79-1), Количественная проверка зтого соотношения н, в частности, зависимости угла О от показателя преломления среды, была осуществлена в 1938 г. Ко〃・ линсом и Рейлингом, с пучком р-электроновт доступным строгой коллимации. Схема этого опыта показана на рис- 128. Пучок электронов со строго определенной энергией в 2 Мзе, полученный на электростатическом гене-раторс, проходил через систему щелей (коллиматор). Полученный таким образом строго параллельный пучок падал на тонкую ппенку, подвешенную между зеркалами, расположеыыыми под углом 45° друг к другу,раторс, проходил через систему щелей (коллиматор). Полученный таким образом строго параллельный пучок падал на тонкую ппенку, подвешенную между зеркалами, расположеыыыми под углом 45° друг к другу,Рис. 127. Фотография углового распределения иптспсивтлзсти: а) флуоресцирующего раствора; 6) н 8) чистых жидкостей при q= 1,5804 (этилнинна- мат) и п — 1,337 1 (во几а).Рис. 127. Фотография углового распределения иптспсивтлзсти: а) флуоресцирующего раствора; 6) н 8) чистых жидкостей при q= 1,5804 (этилнинна- мат) и п — 1,337 1 (во几а).

так как излучение вызывают не сами у-лучи, но создаваемое ими вдоль всего пути электроны. Поэтому, хотя описанный только что опыт Черенкова имел очень большое принципиальное значение, так как он «оказал наличие направленности в излуче-

так как излучение вызывают не сами у-лучи, но создаваемое ими вдоль всего пути электроны. Поэтому, хотя описанный только что опыт Черенкова имел очень большое принципиальное значение, так как он «оказал наличие направленности в излуче-

Рнс. 126. Схема опыта Черенкова для доказательства направленности ичлучетшя.

Рнс. 126. Схема опыта Черенкова для доказательства направленности ичлучетшя.

нии, но, ввиду неопределенности геометрии, он допускал только качественную проверку соотношения (79-1), Количественная проверка зтого соотношения н, в частности, зависимости угла О от показателя преломления среды, была осуществлена в 1938 г. Ко〃・ линсом и Рейлингом, с пучком р-электроновт доступным строгой коллимации. Схема этого опыта показана на рис- 128. Пучок электронов со строго определенной энергией в 2 Мзе, полученный на электростатическом гене-

нии, но, ввиду неопределенности геометрии, он допускал только качественную проверку соотношения (79-1), Количественная проверка зтого соотношения н, в частности, зависимости угла О от показателя преломления среды, была осуществлена в 1938 г. Ко〃・ линсом и Рейлингом, с пучком р-электроновт доступным строгой коллимации. Схема этого опыта показана на рис- 128. Пучок электронов со строго определенной энергией в 2 Мзе, полученный на электростатическом гене-

раторс, проходил через систему щелей (коллиматор). Полученный таким образом строго параллельный пучок падал на тонкую ппенку, подвешенную между зеркалами, расположеыыыми под углом 45° друг к другу,

раторс, проходил через систему щелей (коллиматор). Полученный таким образом строго параллельный пучок падал на тонкую ппенку, подвешенную между зеркалами, расположеыыыми под углом 45° друг к другу,

Рис. 127. Фотография углового распределения иптспсивтлзсти: а) флуоресцирующего раствора; 6) н 8) чистых жидкостей при q= 1,5804 (этилнинна- мат) и п — 1,337 1 (во几а).

Рис. 127. Фотография углового распределения иптспсивтлзсти: а) флуоресцирующего раствора; 6) н 8) чистых жидкостей при q= 1,5804 (этилнинна- мат) и п — 1,337 1 (во几а).

как показано на рис. 128, а. Вследствие малой толщины пленки, протяженностью области, где возникало излучение Вавилова — Чсрснкова5 можно было пренебречь в масштабе размеров прибора и рассматривать излучение как бы выходящим из одной точкит что и показано схематически на рисунке. Рис, 128,6 показывает расположение пятен, получающееся на фотопластинке.

С этой установкой были получены для листочков слюды, стекла и целлофана с п = 1,59; 1,47 н 1,53 соответственно следующие значения 0： 53°30'; 4 5°1У; 50°0\ тогда как формула (79.1) дает 52°10'; 4 6°30‘； 4 9°2 2〔 Принимая во внимание неизбежные ошиб- кит связанные с упрощающими допущениями при расчете, и обьшные ошибки измерений, следует считать совпадение прекрасным.

Трудность первых опытов Черенкова была связана прежде всего с малой интенсивностью использованных ну чков у・ и р-лу- чей естественно-радиоактивных веществ, и, во-вторых, с отсутствием достаточно чувствительных детекторов видимого излучения. В настоящее время опыты с излучением Вавилова — Черенкова воспроизводятся легко. В самом деле, в качестве источников излучения могут служить строго параллеьЧьцые пучки

Рис. 128. Схема и результат опытов Коллинса н РеилитЕга. q) Прибор： / — пучок электронов с энергией 2 Мэе. 2 — листок; 3 —/низа. 6) Нзобра、 жепне на фотопластинке-Рис. 128. Схема и результат опытов Коллинса н РеилитЕга. q) Прибор： / — пучок электронов с энергией 2 Мэе. 2 — листок; 3 —/низа. 6) Нзобра、 жепне на фотопластинке-

Рис. 128. Схема и результат опытов Коллинса н РеилитЕга. q) Прибор： / — пучок электронов с энергией 2 Мэе. 2 — листок; 3 —/низа. 6) Нзобра、 жепне на фотопластинке-

Рис. 128. Схема и результат опытов Коллинса н РеилитЕга. q) Прибор： / — пучок электронов с энергией 2 Мэе. 2 — листок; 3 —/низа. 6) Нзобра、 жепне на фотопластинке-

заряженных частиц относительно очень большой интенсивности, получаемые па ускорителях, как в описанноы опыте Коллинса и Рейлинга, а в качестве детекторов могут применяться как фо- топластинкит так и электронные умножители, обладающие огромной чувствительностью. К тому же умножители могут бь|ть использованы в разнообразных радиотехнических схемах усилепия.

Рис- 129 и 130 иллюстрируют наглядный демонстрационный опытт выполненный в Объединенном институте ядер пых исследований для Нобелевской лекции П. А. Черенкова. Простая схема опыта изображена на рис. 129: пучок ироюнов от ускорителя (синхроциклотрона) с энергией 660 М^в направлялся на объект R, в котором возникало излучение Вавилова — Черепкова. Это излучение падало на фотопластинку 尸，расположенную перцендикуляртю к направлению пучка протонов. Так как излучение Вавилова — Черенкова в пространстве идет по поверхности конуса с углом при вершине, равным 2也 т。на

пластинке должно получиться кольцо — сечение конуса плоскостью пластинки. Рис. 130 показывает, что это имеет место на са мом деле; видное на фотографии, наряду с кольцом, интенсивное центральное пятно образовано пучком протонов, прошедших через объектив. Целесообразно отметить, что конечная ширина кольца обусловлена тем, что показатель преломления.几 для лучей различной длины волны имеет различную величину, ввиду чего пучок, идущий по поверхности конуса, испытывает в самой среде спектральное разложение, причем внутренняя часть кольца должна иметь красный цвет, а наружная фиолетовый. Выполненные цветные фотографии подтверждают и это.

Рис. 129. Схема опыта для обнаружения пространстненпого распределения 'излучеиия Вааилова — Черенкова.

Излучение Вавилова ——Черенкова помимо своей принципиальной важности приобрело большое практическое значение. Упомянем здесь прежде всего счетчики быстрых частиц, работающие на основе эффекта Вавилова — Черенкова. Каждая быстрая частица, проходя через среду, вызывает вспышку. Правда, интенсивность этой вспышки очень мала (на 1 см пути в среде с rg 1,5 излучается примерно 200—300 фотонов). Однако число электронов, возникающих на фотокатоде, уже в самом умножителе увеличивается в миллионы раз, а кроме того умножитель включается в радиотехническую схему, в которой импульс испытывает дополнительное усиление, и благодаря этому частица может быть зарегистрирована. Подобные, так называемые «черенковскио, счетчики получили широкое распространение. В ряде отношений они обладают преимуществами перед другими счетчиками заряженных частии

В последнее время указаны и обсуждаются разнообразные

-Другие виды применений эффекта Вавилова ——Черенкова — от получения миллиметровых электромагнитных волн до конструирования ускорителей частищ

В заключение отметим интересное и поучительное обстоятельство истории открытия излучения заряженных частиц, движущихся со сверхсветовой скоростью. В 1904「.，т. е. за год

Рис. 130. Фотография, полученная, в опыте с пространственным распрет,еле- нмсм интенсивности излучения. Центральное яятло образовано пучкам яро- тонов-

до появления теории относительности, А. Зоммерфельд опубликовал работу, в которой вычислялось излучение заряда, движущегося в вакууме со скоростью, большей скорости света в пустоте. Однако через год была опубликована теория относительности, согласно которой такое движение невозможно, и работа Зоммсрфельпа была забыта. Она стала известной Франку и Тамму только после завершения их работы. В этой связи представляют большой интерес следующие замечания И. Е. Тамма, сделанные в его Нобелевской лекции: '

«Вы видите, что механизм этого излучения чрезвычайно прост. Само это явление могло быть л^гко предсказано на основе классической электродинамики за много десятилетий до того, как оно было фактически обнаружено. Почему же это открытие столь запоздало? Мне кажется, что мы имеем здесь дело с поучительным примером отнюдь не редкой в развитии науки

снтуаинн, когда научный прогресс тормозится некритическим применением правильных физических принципов к явлениям, выходящим за пределы применимости этих принципов.

В течение многих десятков лет всех молодых физиков учили, что свет (и Элек громагнитные волны вообще) могут излучаться только при, неравномерном движении электрических зарядов. При доказательстве этой теоремы, явно или не явно, используется тот факт, что теорна относительности нс допускает движений со сверхсветовой скоростью; согласно этой теории никакое материальное тело не в состоянии даже достичь скорости 、 света. Тем не менее в течение долгого времени эта теорема считалась справедливой без всяких оговорок.

Более того, когда И. М. Франк и я уже разработали математически правильную теорию излучения Вавилова Черенкова, мы все еще пытались разными способами, которые для нас самих сегодня уже непостижимы, примирить наитн резуль- тать^ с утверждением, что для излучения необходимо ускорение. И лишь на следующий день после первого нашего доклада об этой теории на коллоквиуме Физического института мы внезапно узрели простую истину： предельной скоростью для материальных тел является скорое 1ь света в вакууме (обозначаемая нами через с), тогда как заряд, движущийся в среде с постоянной скоростью v, начинает излучать при усло・ внн v>c(^). причем значение с'©) определяется свойствами среды. Еслито условие вполне может бить

выполнено без нарушения требований теории относительности С < и <

ГЛАВА VI

ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛАИ ГИПОТЕЗА КВАНТОВ ЭНЕРГИИ

§ 80. Классическая физика и проблема теплового излучения

В предыдущей i лаве мы показали, каким образом классическая физика объясняет электромагнитное излучение атомов、Мы вязели, Что ряд следствий из электромагнитной теории света и электронной теории хорошо совпадает с результатами эксперимента. Сюда относятся, например, распределение излучения по различным направлениям, ширина спектральных линий, простой эффект Зеемана и ряд других явлений, не затронутых в нашем изложенгш. Нараду с этпм мы обращали вннманне на то, что некоторые следствия либо противоречат опыту, либо имеют ограниченную применимость. Так. иапример5 характер линейного электромагнитного спектра лишь в области длинных волн (длинноволновая инфракрасная область и радиоволны) отвечает требованиям классической теории, а в оптической области спектра резко ей противоречит-

Однако особенно серьезное поражение потерпела классическая физика, когда она была применена к проблеме теплового излучения. Именно при изучении этой проблемы впервые обнаружились слабые места классической механики и электродинамики, и потребовалось введение гипотезы квантов, решительным образом противоречащей всему духу классической физики.

Для того чтобы сразу ввести читателя в существо “ела, прежде всего покажем, к каким непримиримым противоречиям привела классическая физика в этом вопросе.

Каждодневный опыт учмт нас, что твердые тела, будучи нагреты до достаточно высокой температуры, накаляются, т. е. начинают испускать видимый свет, бннако н при более низкой температуре они излучают энергию в виде так называемых тепловых воли, т. е. инфракрасных лучей.

Поэтому в дальнейшем Mbi будем говорить с тепловом излучении, не имея в виду специально длинные инфракрасные волны, и будем пользоваться этим термином — «тепловое излучение» — ТОЛЬКО для того, чтобы подчеркнуть способ его возникновения.

Представим себе теперь несколько тел, нагретых до различной температуры, н для полной определенности поместим эти тела в полость, окруженную оболочкой с идеально отражающими стенками. Если даже внутри этой полости будет абсолютный

268 ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА К ГИПОТЕЗА КВАНТОВ ЭНЕРГИИ [ГЛ VI вакуум, тела будут обмениваться энергией между собой через посредство излучения. При этом, хотя излучение каждого тела зависит только от его собственной температуры, а не от температуры окружающих тел (закон Прево), более теплые тела будут охлаждаться, так как они испускают большее количество энергии, чем получают от окружающих теп, а менее нагретые тела нагреваться^ потому что они получают больше, чем отдают. Так как, кроме того, электромагнитные волна, излучае^ мые всеми Этими телами, распространяются с конечной скоростью, то пространство внутри полости будет всегда заполнено лучистой энергией. Опыт показывает^ что в конце концов обязательно устанавливается стационарное состояние, при котором все тела приобретают одинаковую температуру, т. е. поглощают в единицу времени ровно столько энергии, сколько отдают ее, з плотность излучения в пространстве между ними достигает некоторой определенной величины^ соответствующей данной температуре.

Этот факт настолько известен, что он представляется даже вполне естественным выводом из законов классической физики, а между тем, если вдуматься глубже, то он оказывается совершенно непонятным именно с точки зрения классической физики.

Поясним это простым примером. Представим себе, что в нашей полости помещен кусок железа, и положим, что поверхность его зачерчена так, что 31a поглощает полностью всю падающую па нее энергию. Известно с полной определенностью, что такой кусок железа при температуре в 0℃ будет излучать с каждого квадратного сантиметра своей поверхности 3-зре в секунду, а при тепловом равновесии — одновременно и поглощать из окружающего пространства ровно такое же количество энергий в секунду. Столь же достоверно известно, что в пространстве между стенками полости и поверхностью нашего куска железа, вообще 8 той части пространства внутри полости, которая занята частицами вещества, равновесная плотность энергии при 0℃ будет равна 4-Ю-5 зре%附4 С друг•。頁 стороны, плотность тепловой энергии внутри самого куска железа при той же тем пературе равна приблизительно 8- 10q 9Pzicм", т. е. в 2■ 1014 раз больше плотности энергии излучения. Эта тепловая энергия, как известно, заключается в колебаниях атомов железа около положений равновесия、Мы приходим, таким образом, к поразительному выводу: при термодинамическом равновесии межпу колеблющимися атамами вещества и электромагнитным излучением почти вся энергия сосредоточена в колеблющихся атомах, и лишь ничтожная часть ее приходится на долю излучения^ находящегося с ними в равновесии.

Именно этот факт является совершенно непонятным с точки зрения кдассическан механики、Представим себе следующую

простую модель рассмотренного выше опыта: на поверхности воды, налитой в какой-нибудь резервуар, плавают пробки, соединенные пружинами, так что они могут колебаться относительно друг друга. Приведем эти пробки в колебания; тогда они будут отдавать свою энергию («излучать^) воде, на гладкой поверхности которой появятся волны. Эти волны будут бороздить поверхность в различных направлениях, отражаться от стенок резервуара, раздробляясь на все более мелкие волнн, и вследствие вязкости их энергия будет постепенно превращаться в тепло. Совершенно очевидно, что окончательный результат опыта должен состоять в том, что пробки прекратят свои колебания, а вся их энергия будет передана окружающей среде.

Невозможно представить себе, чтобы в конечном состоянии пробки находились в интенсивном колебании, а вода не получила бы никакой знергнн. Но именно это имеет место в случае равновесия между нагретым материальным телом и излучением. Там, как мы ваделн, почти вез энергия сосредоточена в колебаниях атомов, а на излучение приходится лишь ничтожная доля энергии.

Рассмотрим теперь другой модельный опыт. Пусть механической моделью излучающего тела будут служить вместо пробковых шариков дробинки, также соединенные легкими пружинками и подвешенные в замкнутой камере, содержащей воздух： Еслн теперь привести зтН дробинки в сильные колебания и предоставить самим себе, то они возбудят в воздухе акустические волны, которые будут постепенно раздробляться и замирать вследствие вязкости воздуха, совершенно так же, как волны на поверхности жидкости. Окончательным состоянием системы будет такое, в котором дробинки покоятся в их положениях равно。 весня, а весь их первоначальный запас энергии перейдет к молекулам воздуха. Точнее говоря, дробинки будут совершать бесконечно малые брауновские колебания со скоростями, соответствующими их массе. Однако и при этом уточнении практически вся энергия^ которой обладает система, будет принадлежать молекулам газа.

Кинетическая теория газов дает полное объяснение причины такого хода явления. В самом деле, кинетическая энергия двухатомных молекул воздуха в равновесном состоянии при температуре Т равна, как известно, КпкТ, где п — число молекул; кинетическая энергия к" дробинок, совершающих брауновское движение, равна '/2北‘々7\ Полная энергия всей системы при равновесии должна быть поэтому &卜吟hT. Так как число молекул и неизмеримо больше числа дробинок 拉:то ясно, что вся энергия практически равна %пкТ. Другими словами, при равновесии энергия должна целиком перейти от дробинок к молекулам воздуха.

Мы видим, таким образом, что описанная картина явления для «нзлунающей» системы частиц и среды, в которой распространяется излучение, прямо противоположна то臥 которая имеет место согласно опыту в случае равновесия материального тела н электромаг(!итного поля (тепловое излучение), Затруд- нение, которое возникло в связи с проблемой теплового излучс- ння, состоит именно в том, что, как оказывается, согласно классической физике так彼е 以 g случае равновесия электромагнитного излучения материальных тел в замкнутой полости практически вся энергия должна перейти к электромагнитному полю.

§ 81. Равновесное излучение в полости

Займемся теперь рассмотрением проблемь〕нзп/еноя, чтобы убедиться в правильности вывода, сделанного в конце предыдущего параграфа. Представим себе, как и раньше, полость，°кру・ женную теплонепроницаемыми стенками, нагретыми до некоторой определенной температуры 7. Стенки полости будут излучать электромагнитные волны и логлощать полны, падающие на них изнутри полости; при равновесии в 1 будет излучаться столько же, сколько и поглощаться, и так как излучение распространяется с КОНСЧНО11 скоростью, ТО внутри полости будет существовать электромагнитное ноле с постоянной плотностью энергии

U N (赞 + 持、、 (81,1)

Вместо объемной плотности излучения и удобно, особенно для практических целей, пользоваться Другой величиной — удельной интенсивностью или поверхностной яркостью излучения, Эта величина определяется следующим образом: рассмотрим в поле излучения площадку do, ориентированную любым образом. Через эту площадку во всевозможных направлениях проходит излучение. Мы можем себе представить двойное мно・ гообразме элементарных конусов, опирающиеся на площадку da, и представить себе, далее, что излучение распространяется внутри этих конусов. Количество энергии, проходящей в единицу времени через площадку do внутрь конуса dQ, 0cb которого составляет с нормалью к площадке угол 合，равно

d ①==/ ducosOdQ. (81.2)

Беличика / называется удельной интенсивностью излучения. Это естьт следовательно, энергетический поток, проходящий в единицу времеин через площадку da = 1 см2 и распространяющийся внутри единичного телесного угла в направлении нормали к площадке. Для того чтобы получить величину полного

§ 8口§ 8口РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧРНИГ В ПОЛОСТИРАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧРНИГ В ПОЛОСТИ271271

§ 8口

§ 8口

РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧРНИГ В ПОЛОСТИ

РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧРНИГ В ПОЛОСТИ

271

271

потока, проходящего через do в единицу времени в одну сторону, нужно проинтегрировать выражение (81.2) по всем азимутам 屮 от 0 no 2nH по всем углам 合 от 0 до л/2. Принимая во внимание, что

dQ = sin。dOdcp, имеем

2n兀/2

Ф —i/cF J d(p j /зЕ 仆 cos

Если излучение изотропно, т. е. если / не зависит от угла, то

①da

Очевидно, что величина / играет для излучения такую же роль, как величина поверхностной (энергетической) яркости для источника, ввиду пего / часто называют поверхностной яркостью излучения.*

Между яркостью / и объемной плотностью излучения 〃 имеется простое соотношение. Рассмотрим какую^нибудь точку О внутри поля излучения и вообразим сферу, описанную из как из центра. Очевидно, что все лучи, проходящие через точку О, должны пройти через эту сферу, и каждый из них вно・ сит свою долю в объемную плотностью излучение около О. Путем пнтегриразання и на основан^" простых геометрических соображений нетрудно “оказать, что для случая линейно по・ лярнзоваиного излучения

以=岑.(81.3)

Далее, нужно принять во внимание, что тепловое излучение в полости имеет сплошной спектр. Д/兄 рассмотрения его спектр ального состава необходимо наряду с интегральными величи* нами 以 н в которых учитываются излучения всех имеющихся частот, ввести спектральные величины. Для бесконечно малого интервала частот dv мм можем Считать спектральную объемную плотность d〃w пропорциональной интервалу dv:

壮人=pi*.

Козффнииент pv называется спектральной (объемной) плотно^ стью излучения. Для сплошного спекгра, охватывающего все частоты от 0 до 8, имеем

со8

duv = j dv.

Наряду с Pv можно ввести спектральною поверхностную яркость излучения 厶，определив ее по аналогии с тем, как 9To

272 ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА И ГИПОТЕЗА КВАНТОВ ЭНЕРГИИ ［「/. VI

было сделано для интегральных величин. Между pv и /v имеется в таком случае то же соотношение, что и между и и 1；

(81-4)

Наконец, нужно принять во внимание, что излучение определенной частоты п определенного направления характеризуется еще своим состоянием поляризации. Излучение внутри полости вполне неполяризовано, Но неполяризованный луч в отношении переносимой энергии эквивалентен двум лучам, поляризованным во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющим опннако” вую среднюю интенсивность. Поэтому для неполяризованного излучения

/=2pvdv

и для неполяризованного однородного изотропного излучения мы имеем

(81-5)

§ 82, Закон Кирхгофа

Первый крупный шаг в теоретическом исследовании свойств равновесного излучения был сделан Кирхгофом, который термодинамическим путем показал, что при постоянной температуре спектральная плотность излучения pv совершенно не зависит от природы и свойств тел, находящихся внутри полости (в том числе и стенок самой полости), например, от характера их по- верхноста, наличия или отсутствия у них полос селективной оптической абсорбции и т. д. Эта особенность равновесного излучения вытекает непосредственно из второго начала термодинамики, В самом деле, допустим обратное, г е, что плотность излучения при равновесии каким-то образом за&ист от природы тел; находящихся внутри полости. Тогда, взяв две равновесные системы, находящиеся при одинаковой температуре, по заключающие разные тела, н установив между ними сообщенье, мн бы нарушили равновесие. Это повело бы к установлению между обеими системами разности температур, которую можно было бы использовать для построения perpetuum mobile второго рода,

Кирхгоф, далее, нашел важное соотношение между испуска* тельной и поглощательной способностями тела для данной частоты, с одной стороны, и спектральной яркостью /у (а значит, и р-у) — с другой. Во избежание недоразумений необходимо, о* нако, прежде всего условиться о терминах, '

Если на тело надает излучение, то часть аго неизбежно отражается на поверхности раздела между телом и средой, а остальная часть проникает внутрь тела，Эта проникшая внутрь лучистая энергия частью поглощается^ превращаясь е теггл。, частью же после одного или нескольких отражений внутри тела вновь выходит наружу. Доля всей падающей энергии данного интервала частоты v. у + dv, которая остается внутри тела и превращается в тепло, называется поглощательной способностью тела для данной частоты и обозначается иерез 4V (безразмерное число). Ее не следует смешивать с коэффициентом поглощения Ду, измеряющим относительное ослабление параллельного пучка лучей на единице длины. Тело может иметь малый коэффициент поглощения^ но при значительном протяжении — большую поглощательную способность， Энергия, излучаемая 1 см2 в 1 сек, называется испускателъной способностью и oбo^ значается через 以.Установленное Кирхгофом соотношение гласит:

先一尸含品 (82J

[последнее — по (81.5)], т. е, отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности равно поверхностной яркости находящегося с ним в равновесии излучения. Так как спектральная плотность pv (а также не зависит от природы тела, то соотношение (82,1) означает, что отношение испускательной способности те%。к его поглощательной способности для всех тел одно и то же. Это отношение, пропорциональное спектральной плотности равновесного излучения, является, таким образом, универсальной функцией, зависящей только от температура и частоты.

Среди всех тел максимальное значение должно иметь такое тело, у которого поглощательная способность равна единице; так как это тело поглощает всю падающую на него энергию, то Кирхгоф назвал его абсолютно черным. Положим, что нам удалось построить такое тело; из соотношения (82,1) при Av 1 получаем

以=4 n (82,2)

Это значит, что испускательная способность абсолютно черного тела также является универсальной функцией частоты и температуры Если поэтому теоретически найдена формула, дающая явное выражение p(v, Т), и если экспериментальная проверка, выполненг^я тольно для одного абсолютно черного тела, подтверждает эту формулу, то мы можем вычислить распределение энергии в спектре для любого тела, зная его поглощательную способность, которую можно найти при помощи спектра

абсорбции я геометрических соображений. Отсюда понятно то большое внимание, которое привлекла к себе проблема теоретического отьЕскапия функции 7).

В действительности ни одно тело в природе не может считаться абсолютно черным, и не существует такой краски, которая, будучи нанесена на поверхность тела, свела бы к нулю его коэффипиепт отражения. Однако закон Кирхгофа открывает возможность искусственного построения абсолютно черного тела. Для этого достаточно взять по/ость, окруженную равномерно нагретыми стенками (например, муфельную электрическую печь); тогда равновесное излучение, устанавливающееся внутри полости, будет характеризоваться распределением энергии в спектре, тождественным с абсолютно черным телом. Позтому, если сделать в стенке полости малое отверстие, то из этого отверстия будет выходить излучение, тождественное с излуче* нием абсолютно черного тела. Относительно практического осуществления подобпого искусственного абсолютно черного тела см. § 84,

§ 83, Законы излучения абсолютно черного тела

Основной вывод, к которому приводит закон Кирхгофа, МО жет быть записан следующим образом:

Pvdv = F{¥,(83,1)

где F(v, Г)— некоторая универсальная функция, Следующая задача заключается в раскрытии вида этой функции. Наиболее значительный шаг в этом направлении после ряда важных работ русских физиков В, А. Михельсона и Б. Б, Голицына был сделан Вином, который воспользовался, кроме термодинамики, еще и электромагнитной теорией света,

В результате он установил следующую формулу :

pv dv —(83.2)

Здесь 户(v/T) — функция, раскрыть вид которой при помощи термодинамических соображений^ т, е. без всяких гипотез о молекулярном механизме испускания и поглощения, оказалось невозможным.

Несмотря на этот недостаток, формула Вина сыграла очень важную роль. Во-первыхт она свела отыскание функции двух

*) Вывод закона Вина можно найти в большом числе руководств по теоретической физике, в том числе в книгах At Планка. Теория теплового 门з. лучения, ОНТИ, 1935, и Введение в теоретическою физику, ч. V, ОНТИ, 1935 Краткое изложение теории излучения, отличающееся исключительной яс， цостью, дано в книге Г. А Л о р е н т ц а, Теория излучения. Гостехиз дат, ]94]

переменных у н 7 к функции одной переменной *7, а зт。открывало возможность по заданной кривой распределения энергии в спектре для какой-нибудь одной температуры вычислять кривую для любой другой. Положим, например, что нам дана кривая для температуры 7, н мы хотим вычислить кривую для тсмиерат}2PH 丁入 Дли частоты vi, удовлетворяюще^ ус/овню V/Т] = v/f т. е 山=TZT, формула Вина даст

Р (%，7J =卡偿)-卡(т)=书”于(；)一 ％ P(% 7).

Таким образом, достаточно ординату каждой точки кривой p(v, 7) умножить на отношение 7；/戸，чтобы получить кривую

Во-вторых, поскольку формула Вина выведена при помощи термодинамики, она безусловно верна, вследствие чего любая другая формула, полученная при помощи каких-либо специальных предположений о механизме излучения, обязательно должна удовлетворять требованиям, выраженным в этой формуле, т. е. содержать (кроме постоянных) куб частоты и функцию от・ ношения

Наконец, несмотря на присутствие неявной функции F(y!T), формула Вина ведет к некоторьм совершенно определенным количественным соотношениям,

В этом можно убедиться, прежде всего вычислив прн помощи этой формулы интегральную плотность излучения и:

88

Вводя новую переменную v/Т 匸 £ мы имеем

Если мн обозначим величину, получающуюся при вычислении интеграла, через ct, то получим

〃 =(83,3)

т, е. 口звестнь市 закоь Стефана — Больцмана,

дли дальнейшего целесообразно перейти от распределения по частотам к распределению по длинам волн，С этой целью не- i обходимо принять во внимание прежде всего, что энергия^ заключенная в интервале частот от v до y + dv, равна pvdv (но не pv!); та же энергия, выраженная через длины волн, равна, очевидно* pW入.Поэтому для перехода от распределения 1ю

276 ИЗЛУЧЕНИЕ черного ТЕЛА И ГППОТЕЗА КВАНТОВ ЭНЕРГИИ [ГЛ. VI

частотам к распределению по длинам волн следует пользоваться соотношением

. 氏(83.4)

далее, надо заменить v и dv через 入 и йл:

?=为 \dv\ = ~d^(83.5)

Принимая все это во внимание, получим

р% d九=pv dv — v3F=(83,6)

Воспользуемся теперь условием максимума-^ = 0, Дифференцируя (83.6), получаем

или, наконец, вводя обозначение 弄=л и сокращая,

俨⑺+ 5戶色)=0.(83.7)

Решая это уравнение, мы получим для 期 какое-то определенное численное значение n = const, а это дает ° 亍=const, где через Хтах обозначена длина волны, отвечающая РА^ах，^"広，так как с есть величина постоянна另,

入max Т ~ const = 6,(83,8)

Но это ——хорошо известный закон смещения В〃汽а: длина волны, отвечающая максимальной энергии в спектре, обратно пропорциональна абсолютной температуре.

§ 84, Экспериментальное исследование законовтеплового излучения

В § 82 мы видели, что искусственное построение модели^ абсолютно черного тела позволяет изучать экспериментальным путем свойства равновесного излучения и, в частности,исследовать распределение энергии в спектре этого излучения. Для практического осуществления модели черного тела необходимо обеспечить возможность равномерного нагревания стенок полости и выход излучения наружу через малое отверстие. На рис. 131,。изображено верное тело, впервые построенное Лум- 'мерОм и Прингсгеймом. Оно представляет собою металлический сосуд с двойными стенками. Пространство между стенками используется в качестве «температурной баня》для поддержания

dulf。'AHH-口 2''жв'вн JQmKOXHd.HJdBHG qJUOHIOyH внз 戈。1Mo iBHHDdo so Ou QJOHd? о=^2р-ои^щ Qd』。HHJ ,dQHG EMHBgdHOEdeNHHdy Nel ・d

■X1'

■Bd--s9=w-'XHXOU'Im=du=HH3h ,AH ЕИЩЩ§Э5О«KrBOsHMdu ・oy30Hdsh (g ・B9 EOHdxd ,£^5<ой ErnHBJoduyaOJOHduh 工。。HUml ds^

台

определенной и равномерной температуру. Это достигается пу・ тем пропускания пара кипящей воды или—для низких температурпутем наполнения льдом, твердой углекислотой, жидким воздухом н т. 口，

Для исследования излучения при вьтсоких температурах применяется черное тело иной конструкции (рис. 131,6). Цилиндр из платиновой жести, через который пропускается электрический ток, служит для равномерного нагревания внутреннего фарфорового цилиндра Р. Температура внутри цилиндра измеряется термопарой 良 диафрагмы /, 5, 3,,… предохраняют от охлаждения проникающим снаружи воздухом.

При помощи подобных моделей черного тела были экспериментально исследоваЕ1Ы законы излучения, точно определены его константы и изучено спектральное распределение яркости излучения. Ряд кривых распределения энергии в спектре абсолютно черного тела для различных температур приведен на рис. 132. Все кривые имеют резко выраженный максимум и обнаруживают при повышении температура смещение этого максимума в сторону коротких волн, Тре&емое законом Вина.

§ 85, Теорема о равномерном распределении энергиипо степеням свободы

В теоретическом исследовании проблемы' излучения абсолютно черного тела важную роль сыграла одна весьма общая теорема классической статистической механики — так назь|вае- мая теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Напомним содержание этой теоремы. Для этого мы рассмотрим сначала в качестве простейшего примера системы, состоящей из большого числа частиц, одноатомный газ. Полная энер! ня этого газа есть сумма кинетических энергий поступательного движения его молекул. Если бы мы могли измерять кинетическую энергию Отдельных молекул, — мы бы получили для разных молекул весьма различные значения. Однако при постоянной температуре средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну молекулу, есть вполне определенная величина. Если мь[ выделим какую-нибудь часть объема газа, состоящую из достаточно большого числа молекул, го средняя кинетическая энергия молекулы, вычисленная для этой части объема, будет равна Средней кинетической анергии, вычисленная для другой части объема при условии^ что температура газа везде одинакова. То же будет верно и в том случае, если газ является смесью двух газов, молекулы которых имеют различную массу： средняя кинетическая энергия тех и других молекул будет одна и та же; это будет верно и тогда, когда оба газа не смешаны и находятся в температурном равновесии-

Кьгнстическая энергия молекул одного моля одноатомного газа равна Ек = 炉 и так как, с другой ст吨онк, согласно кинетической теории газов ри = RT = 1l^Nmv2 то md =

Если молекулы одноатомного газа рассматривать как точечные массы, то конфигурация системы X такнх масс тел я остью определяется их 3N декартовыми координатами. Мм говорим, что система имеет 3N степеней свободы. Пусть координаты центра тяжести 1-й массы будут 尤力 §岂 2?; соответствующие им составляющие скорости будут 也，.贝，Кинетическую энергию всей системы мы можем написать в виде суммы 3N квадратичных членов:

J =%加力m.诉+ %力丸% +%加第+ %加机

Согласно теореме о равномерном распределении энергии, средняя энергия, приходящаяся на каждый член этой суммы, т. е. нз каждую степень свободы поступательного движения, — одна и та же и равна 【/2^7. В самом деле, если каждому квадратичному члену этой суммы приписать одну и ту же среднюю кинетическую энергию, равную ‘拉启丁，то полная энергия газа будет равна в согласии с предыдущим.

Рассмотренный пример одноатомного газа отличается особенной простотой потому, что молекулы одноатомного газа vo*・ но рассматривать как точечные массь【，каждая из которых находится только в поступательном движении. Классическая ста- щстическая механика, основанная на механике Ньютона, показывает, однако, что тот же результат имеет место и в самом общем случае. Пусть например, наш газ состоит из двухатомных молекул. Каждая из них имеет пять степеней свободы: три степени свободы поступательного перемещения центра тяжести и две степени свободы вращения около двух осей, перпендикулярных к линии, соединяющей атомы (вращение вокруг оси, проходящей через оба атома, не должно учитываться, если атомы рассматривать как точечные массы). И в этом случае для вь【・、 числения полной энергии газа следует каждой степени свободы (т. с. как степеням свободы поступательных перемещений, так и степеням свободы вращения), приписать одну и ту же среднюю энергию, равную %々丁・

Пусть, наконец, мы имеем любую систему, конфигурация которой полностью определяется『иагран*евь【мн обобщенными координатами,分,так что система имеет 『степеней

свободы Кинетическая энергия такой системы представятся однородной квадратичной формой, содержащей члены с

квадратами обобщенных скоростей в, вообще говоря, также члены с их попарными произведениями Можно выбрать,。口нако, координаты 91,^2, д/ таким образом, чтобы кинетическая энергия представилась суммой 『членов, содержащих только одни квадраты обобщенных скоростей^ т. е. имеющих вид 談; при этом коэффициенты а?, вообще говоря, уже не будут просто равны массам т,. Например, в полярных координатах для ьй частицы

=у加外+ у色彳死+ 4加Нsin?% %

так чтоа% =加，：,а% — m/j sin2 Каковы быт

однако, пи были выбранные координаты, если кинетическая энергия содержит только квадратичные члены, на каждый из этих f членов, т. е. на каждую степень свободы^ приходится согласно упомянутой теореме статистической механики одна и та же средняя кинетическая энергия, равная [/^Т.

До сих пор речь шла только о кинетической энергии. Имеются, однако, случаи, когда и потенциальную энергию можно вычислить столь же простым способом. Ес』п, напрнмер, система состоит нз линейных гармонических осцилляторов, то ввиду того, что средняя потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора равна его средней кинетической, на каждую степень свободы придется энергия, равная 1/2々7+1/2打="

В общем случае системы, способной совершать малые коле- бания, всегда можно найти такие координаты, в которых не только кинетическая энергия представится в виде суммы квадратичных членов вида【/2%^, но и потенциальная энергия бу-- дет суммой квадратичных членов 【/2〃^; число последних также равно числу степеней свободы системы . Выбранные таким образом нормальные координаты характеризуются тем, что для каждой из них зависимость от времени представляется простой синусоидальной функцией, а средняя кинетическая энергия со- ответствующих собственных колебаний равна средней потенциальной (см、упражнение к зтому параграфу). Движение системы будет в этом случае суперпозицией f лилейных гармонических осцилляторов; полная энергия будет суммой 2f квадратичных членов. На каждый член приходится средняя энергия, равная 【/2々丁, следовательно, полная энергия будет fkT. В этом и состоит теорема о равномерном распределении энергии.

*) См, “апрммер, Л. Д. Ландау. Е. М. Лифшиц, Механика «Наука»、 1965b стр. 85 и след.

Упражнение. Кинетическая и потенциальная энергии системы, способной совершать манне колебания в нормальных координатах, представляются в виде

Т = 1/2а^ Ч- VaMa + …瓦《+ "2b2g 扌 + …+'/2b 祢

Написать уравнения Лагранжа в этих координатах и убедиться в том, что решения их будут

«1 cosf + б)， ^2 = Д2 cos ~ f + 仇)，…

Пользуясь этим, написать выражения для потенпиальттой и кинетической энергий для каждого из собственных колебаний и убедиться в том, что их средние значения между собой равны.

§ 86, Формула Рэлея — Джинса

Рэлей впервые воспользовался теоремой о равномерном распределении энергии для вычисления плотности электромагнитной энергии в замкнутой полости. Основанием для применения этой теоремы в данном случае могут служить следующие соображения. Представим себе полость объема 匕 не содержащую материи (т- е. вакуум) и окруженную идеально отражающими стенками, нагретыми до температуры 7.

Так как стенки этой полости при любой температуре излучают электромагнитные волны в виде света (в частности, при низкой температуре — инфракрасного света), то внутри полости будет существовать электромагнитное ноле. Это электромагнитное поле можно разложить на системы стоячих волн различной частоты и разного направления; каждая така? стоячая волна и представляет собою элементарное состояние электромагнитного поля. Теорема о равномерном распределении утверждает, что и в атом случае при равновесии между стенками полости и электромагнитным полем на каждую стоячую волну должна приходиться средняя энергия^ равная kT. При этом подобно тому как средняя энергия гармонического осциллятора складывается из средней кинетической энергии, равной к средней потенциальной энергии, также равной 【拉左丁，в случае электромагнитного поля стоячих волн полная средняя энергия 々力 складывается из средних энергий электрического и магнитного полей, в отдельности равных [/^kT каждая.

Таким образом, подсчет энергии поля для данного интервала частот V, V + dv сводится к отысканию числа элементарных стоячих волн, т- & числа свободных собственных колебаний объема заполненного сплошной средой, принадлежащих к указанному интервалу частот. Зная полную энергию поля в объеме V, равную Ypydv, мо*н。 найти и плотность энергии ovdv.

Вычисление плотности энергии поля p、dt при помощи тео・ ремы о равномерном распределении было сделано Джинсом по методу, указанному Рэлеем. Полученная им формула носит п。- этому название формулы Рэлея — Джинса. Хотя эта формула в применении ко всему спектру оказалась неверной, опа сыграла большую роль в развитии теории излучения и всей современной физики, так как она отчетливо вскрыла принципиальные затруднения классической физики.

Рассмотрим вывод формулу Рэлея — Джинса и начнем с подсчета числа собственных колебаний поля. Допустим для простоты, что полость, в которой устанавливается стационарное (т. е、не завнеащее От времени) волновое поле, имеет форму куба с ребром а. Как уже бьгло сказано, стационарное волновое поле можно рассматривать как совокупность стоячих волн. Рассмотрим сначала волны, нормаль к которым перпендикулярна к двум параллельным граням куба. Падающие и отраженные волны, идущие параллельно этому направлению в ту и другую сторону, образуют стоячие волны. При этом на стенках полости^ в зависимости от природа волн, будут располагаться либо узлы либо пучности, например, в случае электромагнитных волн электрическое ноле на стенках образует узлы, а магнитное — пучности. Однако в том и другом случае условием существования стоячей волны является требование, чтобы на протяжении длины а уложилось целое число полуволн.

Для определенности мы будем сначала рассматривать только такие стоячие волны, которые имеют на стенках узлы. Итак, условие существования стоячих волн, параллельных плоскости yzt состоят в том, что

入—целое число).

Акалогичпые условия 6〉дут иметь место для стоячих волн с плоскостями равной фазы, параллельными плоскостям ху и ха：

Рассмотренные системы стоячих волн с нормалями, парал・ лельными осам координат, являются частными случаями, В полости могут существовать стоячие волны с нормалями, направленными любым образом. •

Рассмотрим этот общий случай подробнее. Пусть мы' имеем стоячую волну, нормаль к которой образует с осями fug углы аир соответственно, а плоскости равной фазы (например, узловые плоскости)—параллельны вертикальному ребру куба, совпадающему с осью z На рис. 133 квадрат изображает одно из оснований нашего куба, т. е. грань, параллельную коорди' натно負 плоскости ху, а система параллельных прямых следы узловых плоскостей. Условие существования таких Стоянах волн

заключается в том. Чтобы расстояния между их узловыми пло- сксстАМл, измеренные по нормалям к граням куба, укладывались целое f из ело раз в ребре а, т. е.

2a cos а2a cos а2а cos 0Л~2а cos 0Л~Эти условия получаются из рассмотрения рис.Эти условия получаются из рассмотрения рис.133. Очевид133. Очевидно, что в самом общем случае, когда скостям образует с осями координат любые углыдолжныбыть одновременно удовлетворены три условия.но, что в самом общем случае, когда скостям образует с осями координат любые углыдолжныбыть одновременно удовлетворены три условия.2a cos 0 s(86,1)2a cos 0 s(86,1)Возводя в квадрат и складывая эти три равенства, получаем啰+啰=得了=(警L (86.2)Возводя в квадрат и складывая эти три равенства, получаем啰+啰=得了=(警L (86.2)нормаль к узловым пло-нормаль к узловым пло-Рис. 133.Рис. 133.r.ic сг — скорость перемещения плоскости равной фазы (фазовая скорость) в данной среде Но это — уравнение сферы с ра・ ДИАСОМr.ic сг — скорость перемещения плоскости равной фазы (фазовая скорость) в данной среде Но это — уравнение сферы с ра・ ДИАСОМR一孕R一孕(86.3)(86.3)Отсюда видно, что каждой тройке цалых чисел %, п2 и п3 соответствует определенная частотаОтсюда видно, что каждой тройке цалых чисел %, п2 и п3 соответствует определенная частота■]/“ + % +吟(86.4)Введем теперь декартову систему координат, на осях которой отложим, выбрав за единицу с'/2а, целые числа 小，и п3. В силу (86.4) каждому набору значений этих чисел соответ' Ствует определенная частота、В нашей системе координат, ко・ торую мы будем называть «пространством частот», зта частота представится точкой с координатами 小，几2,厶з (изображающая точка). Очевидно, однак。，что всем целым числам сумма квадратов которых имеет постоянное значение, соответствуют численно равные частоты Тем нс менее эти равные частоты представляют собой различные собственные колебания■]/“ + % +吟(86.4)Введем теперь декартову систему координат, на осях которой отложим, выбрав за единицу с'/2а, целые числа 小，и п3. В силу (86.4) каждому набору значений этих чисел соответ' Ствует определенная частота、В нашей системе координат, ко・ торую мы будем называть «пространством частот», зта частота представится точкой с координатами 小，几2,厶з (изображающая точка). Очевидно, однак。，что всем целым числам сумма квадратов которых имеет постоянное значение, соответствуют численно равные частоты Тем нс менее эти равные частоты представляют собой различные собственные колебания

2a cos а

2a cos а

2а cos 0

Л~

2а cos 0

Л~

Эти условия получаются из рассмотрения рис.

Эти условия получаются из рассмотрения рис.

133. Очевид

133. Очевид

но, что в самом общем случае, когда скостям образует с осями координат любые углыдолжны

быть одновременно удовлетворены три условия.

но, что в самом общем случае, когда скостям образует с осями координат любые углыдолжны

быть одновременно удовлетворены три условия.

2a cos 0 s

(86,1)

2a cos 0 s

(86,1)

Возводя в квадрат и складывая эти три равенства, получаем

啰+啰=得了=(警L (86.2)

Возводя в квадрат и складывая эти три равенства, получаем

啰+啰=得了=(警L (86.2)

нормаль к узловым пло-

нормаль к узловым пло-

Рис. 133.

Рис. 133.

r.ic сг — скорость перемещения плоскости равной фазы (фазовая скорость) в данной среде Но это — уравнение сферы с ра・ ДИАСОМ

r.ic сг — скорость перемещения плоскости равной фазы (фазовая скорость) в данной среде Но это — уравнение сферы с ра・ ДИАСОМ

R一孕

R一孕

(86.3)

(86.3)

Отсюда видно, что каждой тройке цалых чисел %, п2 и п3 соответствует определенная частота

Отсюда видно, что каждой тройке цалых чисел %, п2 и п3 соответствует определенная частота

■]/“ + % +吟(86.4)

Введем теперь декартову систему координат, на осях которой отложим, выбрав за единицу с'/2а, целые числа 小，и п3. В силу (86.4) каждому набору значений этих чисел соответ' Ствует определенная частота、В нашей системе координат, ко・ торую мы будем называть «пространством частот», зта частота представится точкой с координатами 小，几2,厶з (изображающая точка). Очевидно, однак。，что всем целым числам сумма квадратов которых имеет постоянное значение, соответствуют численно равные частоты Тем нс менее эти равные частоты представляют собой различные собственные колебания

■]/“ + % +吟(86.4)

Введем теперь декартову систему координат, на осях которой отложим, выбрав за единицу с'/2а, целые числа 小，и п3. В силу (86.4) каждому набору значений этих чисел соответ' Ствует определенная частота、В нашей системе координат, ко・ торую мы будем называть «пространством частот», зта частота представится точкой с координатами 小，几2,厶з (изображающая точка). Очевидно, однак。，что всем целым числам сумма квадратов которых имеет постоянное значение, соответствуют численно равные частоты Тем нс менее эти равные частоты представляют собой различные собственные колебания

нашего хонтмнуума, так как каждой из них соответствует св°* система стоячих волн, различающихся по направлению .

Для наших целей существенно, что все такие равные между собой частоты представляются различными точками пространства частот.

Теперь мы можем подсчитать полное число собственных частот от 0 до V. Построим для этого снсТему точек, соответствующую всевозможным целым положительным значениям гц, м2, п3. Очевидно, что эта система точек образует кубическую решетку, причем ребро элементарного кубика будет равно 1, а объем— также 1- Если длина волны достаточно мала по сравнению с линейными размерами полости а, то сумма объемов всех элементарных ячеек (кубиков) будет с достаточной точностью равна объему одной восьмой сферы радиуса R, определяемого условиями (86.3) и (86.4). Поскольку объем каждой ячейки равен 1, мы можем утверждать и обратное, — что объем октанта (с указанной степенью точности) равен числу элементарных ячеек.

Если теперь мы будем знать, сколько изображающих точек приходится на одну ячейку, то мы вместе с тем найдем и полное число собственных частот нашей полости, лежащих в пределах от 0 до V. Но совершенно так же, как в случае кубической ионной решетки (см. § 34) на каждую ячейку приходится по одному иону, мы можем утверждать, что н в данном случае на каждый элементарный кубик приходится по одной изображающей точке. Итак, искомое число частот свободных колебаний численно равно объему октанта, т. е.

Это и есть число собственных колебаний в пределах от 0 до v. Число колебаний в пределах от v по 夕 + dv равно числу изображающих точек, которые расположены внутри одной восьмой ./(V +

сферического слоя с радиусами и ^, а это число

изображающих точек, по предыдущему, равно объему указан

ного слоя, т. е.ного слоя, т. е.

ного слоя, т. е.

ного слоя, т. е.

*) Это совпадение частот, соответствующих различным наборам чисел 厶1, “2 н при условии, что сумма 厶;+ + п； равна определенному числу, есть частный случай, называемы" случаем вырождения. Совпадение получается потому, что мы рассматриваем объем в форме куба. Оно имело бы место также и в том случае, если бы ми выбрали объем в форме параллелепипеда с ребрами, длины которые выражаются соизмеримыми отрезками. Однако, когда длины ребер параллелепипеда несоизмеримы, совпадение устраняется и каждому набору чисел 〃公 厶2 и Пз соответствует только одна частота. Смысл этих особенностей станет ясным читателю после ознакомления с § 161.

Если речь идет об тлектромагпнтн&х волнах, которые только н интересуют нас в данном случае, то мы должны еще принять в。внимание, что каждой частоте v соответствуют две волны со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. Поэтому найденное число следует удвоить, и мы получаем, обозначая объем куба й3 иерез 匕

dN^^Vd^

Это и есть число свободных собственных колебаний нашего объема К По теореме о равномерном распределении энергии каждому из них следует приписать с-реднюю энергию kT. Следовательно, полная энергия в объеме Й будет

8л№8л№VkTdv,VkTdv,

8л№

8л№

VkTdv,

VkTdv,

а плотность энергии получим отсюда простым делением на объем

pv dv =卓｝ kT dv.(86.5)

Это и есть формула Рэлея — Джинса.

Дяя практических применений удобнее перейти от распре^ деления по частотам к распределению по длинам волн. Для интервала длин волн 九，X + 之九 имеем, по предыдущему^

Pvd 九(83.4)

(83.5)

При помощи атнх соотношений получаем из формулы (86-5):

d 九=8威 Т 广d 兀(86.6)

Для поверхностной яркости излучения находим из (86.6) пои помощи соотношения

4 d九厂 4 d兀(86.7)

Заметим в заклЕочепие, что формулу Рэлея — Джинса в виде распределения по длинам волн (86.6) можно легко получить из соображений размерности. В самом деле, очевидно, что число свободных собственных колебаний 〃Qd九 объема ' V, относящихся к интервалу длин волн 儿九должно быть пропорционально V и интервалу d九.

где С — постоянное число- Но так как f(入)d九 должно быть

безразмерным числом, a VdA нмеет размерность см* то р (入) должна иметь размерность сЕ, Итак,(р(%) = L и

гии объема Vгии объема VCkT^V d儿CkT^V d儿Эта формула имеет место для любой сплошной среды % соответственно, для любой природы волн. Приписывая каждому собственному колебанию, по теореме о равномерном распределении энергии, среднюю энергию йГ, получаш для псанс« знер.

гии объема V

гии объема V

CkT^V d儿

CkT^V d儿

а для плотности энергии ，

т. e. выражение, совпадающее с точностью до численного мно жителя С с формулой Рэлея — Джинса. Этот множитель может быть получен чисто вычислительным путем. :Интересно отметить, что в случае, когда объем / заполнен「азом, в котором возможны тОьЧько продольные волны, для С получается 4л; для электромагнитного поля, в котором существуют только поперечные волны, но имеется два независимых нша волн со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации, С =8几 н, наконец. для твердого тела, где возможна оба вида поперечных волн, а также и продольные — С = 12m

Упражнение. Произвести подсчет чис.1а вбСТвениНх колебаний обь- ема, имеющего форму параллелепипеда с ребрамн 厶，厶，厶，пыражаемыми несокзм叩nt&EH числами (см. привечаяие из стр. 284). Покз^^гь что и в этом случае для плотности энергии получается формула Рэлея — Джинса

§ 87. «Улырафиолетовая катастрофа»

Проанализируем теперь формулу Рэлея — Джинса и посмотрим, в какой степени она дает результаты, согласные с экспериментом. Заметим прежде всего, что формула Рэлея — Джинса 号 kTd”(87,1)

удовлетворяет термодинамическому закону Вина p^dv = =v^F{v/T)dv, так как ее можно переписать в виде

Несмотря на зт。，формула Рэлея — Джинса ведет к очевидному абсурду. Действительно, вычислим при помощи (87.1) интегральную плотность излучения

〃 = =吗 Т V2 dv —

Это означает, что равновесие между материальны?*!и телами и излучением могло бы наступить только При бесконечной плотности излучения (см. конец § 80). Другими словами, осцилляторы излучающего тела должны были бы из*!учать энергию до тех нор, пока их температура не упала бы до абсолютного нуля.

В § 80 мы уже разъяснили, что именно такой результат и должен получаться, если допустить применимость КьТассическон механики к микроскопическим излучаюнхим системам. С другой стороньь од!гако, этот результат самым резким образом противоречит опыту, который показывает, что равновесие между излучением и его материальными центрами возможно при любой температуре и что при этом равновесии, как раз наоборот, плотность знергнн излучения очень мала по сравнению с плотностью знерг%% заключающейся в матернальнмх телах,

‘‘есмотря на явную ошибочность формулы Рэлея — Джинса,

интересно сравнить ее с резул нее всего воспользоваться этс (86.7), где дается распределение по длинам волн. Обратившись к рис. 132, на котором !1риведены экспериментальные кривые распределения энергии в спектре абсолютно черного тела при различных темпера- тура к, мы видим, что все эти кривые имеют максимум и круто спадают в сторону коротких длин волн. Напротив, формула Рэлея ——Джинса дает монотонное и притом быстрое (『!)возрастание в сторону коротких волн. Однако для длинных волн или для высоких температур она хорош。согласуется с экспериментом. Это схематически показано на

1тами опыта. Для этого удо& формулой в виде (86‘6) или1тами опыта. Для этого удо& формулой в виде (86‘6) илиРис. j34. CpaBTieuiie эксперименталь-ной криноЛ распределения энергиив спектра (пунктУр&а汽 кр“ва>) с кри-вой, рассчитанной по формулеРэ лен — Джинса.Рис. j34. CpaBTieuiie эксперименталь-ной криноЛ распределения энергиив спектра (пунктУр&а汽 кр“ва>) с кри-вой, рассчитанной по формулеРэ лен — Джинса.рис. 134. Так как формула Рэлея — Джинса, опирающаяся на классическую физику> в резком противоречии с опытом, приводит к заключению, что в спектре теплового излучения большая часть энергии приходится на коротковолновую часть спектра, то 9To положение 6&RO названо одним из основоу5оложников квантовой теории П. С. ЗренфсстОм «ультрафиолетовой ката・ строфой》.

1тами опыта. Для этого удо& формулой в виде (86‘6) или

1тами опыта. Для этого удо& формулой в виде (86‘6) или

Рис. j34. CpaBTieuiie эксперименталь-ной криноЛ распределения энергиив спектра (пунктУр&а汽 кр“ва>) с кри-вой, рассчитанной по формулеРэ лен — Джинса.

Рис. j34. CpaBTieuiie эксперименталь-ной криноЛ распределения энергиив спектра (пунктУр&а汽 кр“ва>) с кри-вой, рассчитанной по формулеРэ лен — Джинса.

Подводя итог сказанному, мы видим, что в теории теплового излучения классическая физика потерпела решительное

поражение. По образному выражению Лоренца, «уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасшая лечь не испускает желтых лучей наряду с излу> ченяем больших длин волн»,

§ 88. Формула Планка

Формула Рэлея — Джинса, как мы видели, основана на самых общих законах классической физики и не требует для своего вывода никаких специальных гипотез, В 1896 г. Вин предложил другую формулу, хорошо согласующуюся с результатами эксперимента как раз в той области спектра, где формула Рэлея — Джинса неприменима , Эта формула Вина, будучи написана для такова:

. 九(SS.l)

где Ci и с? — постоянные. Для вывода своей формулы Вин должен был сделать некоторые гипотезы о механизме испускания излучения, в соответствии с которыми распределение излучения по частотам должно быть аналогично максвелловскому распре， делению скоростей между молекулами газа. В отличие от формулы Рэлея ——Джннса, формула Вина давала максимум для кривой распределения энергии в спектре.

Однако формула Вина оказалась применимой только для коротковолновой ветвн кривой распределения энергии в спектре абсолютно черного тела. Таким образом, к концу XIX столетия существовали две формулы, каждая нз которых соответствовала экспериментальном данным в ограниченном участке спектра, но ни одна из них не описывала всю экспериментальную кривую. Около 1900 г. Планку удалось найти сначала чисто эмпирически формулу, которая хорошо согласовывалась с данными опыта и в двух предельных случаях (для длинных н для коротких волн) переходила соответственно в формулу Рэлея — Джинса либо в формулу Вина. Формула Планка для 厶 такова:

厶= с【&丄°灰“仃—I • (88.2)

Легко убедиться в том, что эта формула на самом деле представляет собою результат интерполяции между формулами Рэ- лея —Джинса и Вина. Действительно, для ЛГ 1 (длинные волны или высокие температуры) можно разложить в ряд экспоненциальный член в знаменателе формулы Планка,

*) Вин получил свою формулу на основании гипотезы о том, что распределение энергии по частотам аналогично максвелловскому распределению молекул газа по скоростям, Эта идея ранее Вина была высказана русским физикам В, А Михельсоном,

ограничившись первыми двумя членами разложения*

сс/Атсс/Ат十九T十十九T十

сс/Ат

сс/Ат

十九T十

十九T十

В этом случае формула Планка дает

что' очевидно, совпадает с формулой Рэлея —Джинсачто' очевидно, совпадает с формулой Рэлея —Джинса厶=成厂九厶=成厂九Напротив, для случая 入Т《1 (короткие температуры)⑶/九丁 ％ 1 и в знаменателеНапротив, для случая 入Т《1 (короткие температуры)⑶/九丁 ％ 1 и в знаменателе(86.7) волны или низкие формулы Планка(86.7) волны или низкие формулы Планка1И^ и#^-1И^ и#^-J U」什臥НЬН 卄「ГГГРШТПТП二 6 ±二二二一0二二二/川I 口川」匚二" .算做力uanpinpM длины волнз(з兩冷 т&кмротд必i(0 渺Рнс，135, Экспериментальная проверка формулы Планка,Можно пренебречь 1 по сравнению с экспоненциальным членом. При этом фор мула Планка непосредственно дает"一年一叫厂5,переходит в формулу Вина (88，1)・О степени соответствия между формулой Планка и зксие・ римстиальными данными можно судить по рис, 135, где по оси10 Шпольский, т, IJ U」什臥НЬН 卄「ГГГРШТПТП二 6 ±二二二一0二二二/川I 口川」匚二" .算做力uanpinpM длины волнз(з兩冷 т&кмротд必i(0 渺Рнс，135, Экспериментальная проверка формулы Планка,Можно пренебречь 1 по сравнению с экспоненциальным членом. При этом фор мула Планка непосредственно дает"一年一叫厂5,переходит в формулу Вина (88，1)・О степени соответствия между формулой Планка и зксие・ римстиальными данными можно судить по рис, 135, где по оси10 Шпольский, т, I

что' очевидно, совпадает с формулой Рэлея —Джинса

что' очевидно, совпадает с формулой Рэлея —Джинса

厶=成厂九

厶=成厂九

Напротив, для случая 入Т《1 (короткие температуры)⑶/九丁 ％ 1 и в знаменателе

Напротив, для случая 入Т《1 (короткие температуры)⑶/九丁 ％ 1 и в знаменателе

(86.7) волны или низкие формулы Планка

(86.7) волны или низкие формулы Планка

1И^ и#^-

1И^ и#^-

J U」什臥НЬН 卄「ГГГРШТПТП二 6 ±二二二一0二二二

/川I 口川」匚二

" .算做

力uanpinpM длины волнз(з兩冷 т&кмротд必i(0 渺

Рнс，135, Экспериментальная проверка формулы Планка,

Можно пренебречь 1 по сравнению с экспоненциальным членом. При этом фор мула Планка непосредственно дает

"一年一叫厂5,

переходит в формулу Вина (88，1)・

О степени соответствия между формулой Планка и зксие・ римстиальными данными можно судить по рис, 135, где по оси

10 Шпольский, т, I

J U」什臥НЬН 卄「ГГГРШТПТП二 6 ±二二二一0二二二

/川I 口川」匚二

" .算做

力uanpinpM длины волнз(з兩冷 т&кмротд必i(0 渺

Рнс，135, Экспериментальная проверка формулы Планка,

Можно пренебречь 1 по сравнению с экспоненциальным членом. При этом фор мула Планка непосредственно дает

"一年一叫厂5,

переходит в формулу Вина (88，1)・

О степени соответствия между формулой Планка и зксие・ римстиальными данными можно судить по рис, 135, где по оси

10 Шпольский, т, I

ординат отложены процентные отклонения. Кружками и крестиками нанесены экспериментальные результаты. Приведенные на том же рисунке кривые, построенные по формулам Вина и Рз・ лея —Джинса, хорошо иллюстрируют асимптотический характер этих формул.

§ 89. Гипотеза квантов энергии

формула Планка, как было показано в предыдущем параграфе, решила задачу об отыскании математического выражения закона распределения энергии в спектре абсолютно черного тела. Оказалось, однако, что для вывода этой формулы необходимо сделать гипотезу, коренным образом противоречащую всей системе представлений классической физики, а именно ——гипотезу о том, что энергия микроскопических систем (атомы, молекулы) может принимать только определенные, дискретные значения.

При выводе своей формулы Планк схематизировал излучаю， щле материальные центры, рассматривая их как линейные гармонические осцилляторы, несущие электрический заря口， при посредстве которого они могут обмениваться энергией с окружающим электромагнитным полем. Гипотеза， которую Планк положил в основу своего вывода в современной, более точной формулировке, такова: осцилляторы, могут находиться только е некоторых избранных состояниях, в которых 〃х энергия является целым кратным наименьшего количества энергии

при излучении или поглощении осцилляторы переходят из одного 〃з этих состояний & другое скачком, минуя промежуточные состояния.

На основании этой гипотезы Планк вывел формулу для объемной спектральной плотности излучения р^ в следующем виде:

(89.1)(89.1)8л »2®з

(89.1)

(89.1)

?卢/仃一 1 •

Но любая правильная формула излучения должна удовлетворять термодинамическому закону Вина pv = vzF(ylT]. Легко видеть, что для того, чтобы формула (84Л) удовлетворяла этому закону, необходимо положить

♦ 玩=力鸣 (S9.2) где V — частота колебаний осциллятора^ = — }/"~ )• а Л — универсальная постоянная, имеющая размерность [энергия X X время]. Механическая величина, имеющая такую размерность, называется действием.

Подставляя (89.2) в (89.1), имеем

8汽28汽2(89.3)(89.3)

8汽2

8汽2

(89.3)

(89.3)

Это и есть формула Планка в том виде, в каком ею обычно пользуются в теоретической физике.

Из (S9.3) следует выражение для спектральной яркости излученияа аменно,

I产下 Е"♦(89・4>

Для того чтобы от формулы (89.4) перейти к формуле для /厶 которой, как сказано, пользуются в практических применениях,, следует воспользоваться обычными соотношениями

g = W |厶1 二号.

Формула (894) при этом дает

人"九=-_1 d 九(89.5)

Полагая

приведем формулу (89.4) к виду

厶以(89.6)

совпадающему с формулой (88.2) предыдущего параграфа.

Универсальная постоянная й ——постоянная Планка, — как известно, играет в современной физике выдающуюся роль. Ее значение люжет быть определено экспериментально самыми разнообразными методами. В частности, законы излучения- абсолютно qepHO「。тела дают

й = 6,53 ■ эрг ■ сек.

Методы более точного определения Л будут рассмотрены в 171a. ве IX. Здесь мы отметим только, что именно крайне малая величина Л (порядка 10'27 зр?・сек) является причиной того, что прерывность, требуемая законами атомной физики, совершенно не сказывается при изучении макроскопических явлений,

Длн случая /zv《也Т, т. е. для малых частот (длинных волн) или высоких температур, имеем приближенно

…=1+*,

и формула Планка (89.3) даети формула Планка (89.3) дает8лМ8лМkTkT(87 Л)(87 Л)

и формула Планка (89.3) дает

и формула Планка (89.3) дает

8лМ

8лМ

kT

kT

(87 Л)

(87 Л)

— формулу Рэлея — Джинса для pv. Для случая же h、》hT, т、е、ппя высоких частот или ннзкнх температур, формула Плах ка (89.3) приводит к формуле, совпадающей с формулой Вина

(897)(897)4"只 р〃

(897)

(897)

Pl 戸 e

Отмстим, наконец, что интегральная плотность излучения

полх чается конечной, если для р” взять формулу Планка (89,3). А иметтно, вычисление показывает (см/упражнепие к этому параграфу) ,что

8

8лЛ8лЛV3V3“ J Z匸 1“ J Z匸 1"=1，08"=1，0848冗/48冗/с?厶зс?厶зММ

8лЛ

8лЛ

V3

V3

“ J Z匸 1

“ J Z匸 1

"=1，08

"=1，08

48冗/

48冗/

с?厶з

с?厶з

М

М

Следовательно, формула Планка устраняет «ультрафиолетовую катастрофу» (см. § 87)、Причину этого понять нетрудно. Как мы видели в § 87, расходимость интеграла J p/v в случае, если для ру берется формула Рэлея — Джинса, обусловлена тем, что эта формула основана на теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Согласно же этой теореме на каждую степень свободы приходится одна и та же средняя энергия ё= ^Т. Сопоставив теперь формулы Рэлея — Джинса и Планка ру：

8九У ат

Так как, согласна § 86, 8^v2/^3 есть число степеней свободы излучения с частотами между v и v + dv, то из правильности формулы Планка следует, что средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, не одинакова для стоячих волн с различными частотами. А именно, из формулы Планка следует, что

ёёAvAve^IkT _ !e^IkT _ !(896)(896)

ё

ё

Av

Av

e^IkT _ !

e^IkT _ !

(896)

(896)

Мы видим, таким образом, что ё в этом случае быстро убывает при возрастании чем н объясняется сходимость интеграла J d义 Отметим еще, что принятие формулы (89.8) для средтгей о

знер「0н, приходящейся на одну степень свободы, устраняет также серьезные затруднения в классической теории теплоемкостей, как это показал Эйнштейн,

Из указанных фактов видно, что установление формулы Ипанка знаменовало глубокий разрыв с классической физикой в силу того, что формула Планка находится в противоречии с теоремой о равномерном распределении энергии. Но Эта теорема является неизбежным следствием статистической механики, основанной на классической механике в ее гамильтоновой форме Таким образом, 1900когда впервые была формулирована гипотеза квантов энергии, был не только первым годом нового столетия в календарном летосчислении, но и началом новой эры в развитии теоретической физики?

Упражнение Пользуясь формулой Плалка для вычислить ин- тегральпую плотность излучения

u = Ру dv

и показать, что

Быстро сходящейся ряд, стоящий в скобках, равен 1,08, так что

(вывод закона Стефана — Больцмана из формулы Плапка). [Указание. Сначала надо убедиться в что

После такого преобразования интегрирование выполняется легко.]

ГЛАВА V"

УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ

-Планетарная модель атома н квантовые постулаты Вора

В главе Ш мы видели, что атом построен из тяжелого положительно заряженного ядра и окружающих его электронов- По классической механике такая система может находиться в равновесии лишь при условии, если электроны будут обращаться вокруг ядра по каким-то орбитам. Однако, с точки зрения клас- сической электродинамтакой атом был 6坟 асе же иеустой- днв, так как при 'движении с ускорением электроны должны были бы излучать Э]терги]О в виде электромагнитных волн (§ 75)乩 следовательно, постепенно падать к ядру- Вместе с тем и частота обращения при зтнх условиях должна была бы непрерывно меняться, и мы получили 6н сплошной спектр вместо резких спектральных линий. Тот факт, что этого на самом деле нс наблюдается и атомы испускают резкие спектральные линии, указывает на их замечательную устойчивость^ противоречащую классической электродинамике.

В предыдущей главе мы видели, что постулат о существовании устойчивых стационарных состояний осцилляторов является необходимой предпосылкой для вывода правильной формулы излучения абсолютно черного тела. Нильсу Бору (1913 г.) принадлежит заслуга отчетливой формулировки Этого положения н обобщения его на любые атомные системы^ Тем самым впервые с полной ясностью была показана неприменимость классической физики к внутриатомным движениям^ Идея о квантах, выска- занная Планком в применении к обмену энергии между полем излучения и линейными осцилляторами, приобрела универсаль- ное значение как выражение наиболее характерной особенности процессов внутриатомного мира. '

В основу развитой им квантовой теории строения атома Бор положил следу]Ощие два постулата:

Атомы и атомные системы могут длительно пребывать только в определенных состояниях — стационарных состояниях,—в которых, несмотря на происходящие в них движения заряженных частиц, они не излучают и не поглощают энергию^ В этих состояниях атомные системы обладают энергиями, обра-

зующнми дискретный ряд: £,,邑,Еп・ Состояния эти характеризуются своей устойчивостью； всякое изменение энергии в результате поглощения или испускания электромагнитного излучения или в результате соударения может происходить толь- к。при полном переходе (скачком) из одного из этих состояний в другое.

li、При переходе из одного стационарного состояния в другое атомн испускают или поглощают излучение только строго определенной частоты. Излучение, испускаемое или поглощаемое при переходе из состояния Ет в состояние Еп, монохроматично^ и его частота v определяется из условия '

hN = Em~ (90.1)

(условие частот Бора).

Оба ^эти постулата резко противоречат требованиям классической электродинамики, так как по первому постулату Мтомн не излучают, несмотря ва то, что образующие нх з〃ек・ 丁ронн совершают ускоренное движение (например, обращение ио замкнутым орбитам), а по второму — испускаемые частоты не нмемт ничего общего с частотами периодических движений электронов.

§ 9L Опыты Франка и Герца

Формулированные в предыдущем параграфе квантовые по- «тулаты Бора нашли наиболее непосредственное экспериментальное подтверждение в опытах Дж. Франка и Густава Герца, к описаиию этих опытов мн и переходим.

Ииея этих опытов заключается в следующем: атомы или молекулы более или менее разреженного газа о бстр ел ив а ются медленными электронами; при этом исследуется распределение скоростей электронов до и после соударений. Если соударения происходят упруго, то распределение скоростей в результате <оударений не нзменхетс^, и наоборот, при непругих соударениях часть электронов теряет свою энергию^ отдавая ее атомам, с которыми они испытали соударения, и распределение скоростей меняется.

В результате опытов Франка и Герца оказалось, что:

1- При скоростях электронов, меньших некоторой критической скорост% соударение .происходит вполне упруго, т. е. электрон не передает атому своей энергии, но отскакивает от него> изменяя лишь направление своей скорости.

При скоростях, достигающих критической скорости, удар происходит неупруго, т- е. электрон теряет свою энергию и передает ее атому, который при этом переходит в другое стационарное состояние, характеризуемое большей энергией-

296296Уровни энергии атомовУровни энергии атомовГГЛ V]!ГГЛ V]!

296

296

Уровни энергии атомов

Уровни энергии атомов

ГГЛ V]!

ГГЛ V]!

Таким образом, атом или вообще не воспринимает энергию (упругий удар), а если воспринимает ее, то только в количествах, равных разности энергий в двух стационарньгх состояниях.

Прежде чем переходить к 6с〃ее детальному описанию этих опытов и их результатов, рассмотрим некоторые вопросы, связанные с осуществлением этих опытов. Основные требования, которым должна удовлетворять экспернментальная установка* предназначенная для изучения соударений медленных электронов с атомами, заключаются в следующем:

Источник электронов должен давать достаточно большое число медленных электронов с определенном начальным распределением скоростей.

Этим электронам можно сообщить любую, заранее известную скорость путем воздействия приложенного извне ускоряющего потенциала.

Ускоренные электроны должны испытывать соударения с исследуемыми атомами или молекулами в определенном месте аппарата.

Для получения пучков медленных электронов, удовлетворяющих указанным требованиям, пользуются горячими катодами. Электроны, в изобилии получаемые от этих катодов, ускоря^отсз приложенным к катоду потенциалом V, который может меняться по произволу- Скорость и (в с川/сек), которую приобретает неподвижный электрон под действием ускоряющего потсыииала V вольт, находится из соотношения

万丽，

откупа, полагая

糸=1,76 ■ 107СГСМ ■ L = 5^27- 10|7СГСЭ -

получаем '

Таким образом, при ускоряющем потенция ле в 1 8 скорость электронов составляет около 6-107 см/с&к. Отсюда видно, Что термин ^медленные электроны» имеет весьма относительное значение.

Если исследовать зависимость силы тока от ускоряющего напряжения и затем построить график, откладывая по оси абсцисс ускоряющий потенциал, а по оси ординат — соответствующею силу тока, то получается кривая (так называемая вольт- амиерная характеристика)т типичный вид которой изображен

ня рис- 136, У этой кривой обращают на себя вннмаиме следующие характерные черты:

При некотором потенциале сила тока становится независимой от напряжения; Это 《ток насыщения», возникновение которого объясняется тем, что все электроны, освобождаемые в ■единицу времени при данной температуре какала из катода.

переносятся к аноду,

При ускоряющем потенциале, равном нулю, ток не только

продолжает оставаться независимтям отпродолжает оставаться независимтям отне падает до куля, но

продолжает оставаться независимтям от

продолжает оставаться независимтям от

напряжения также и при потенциалах обратного знака, т- е- при тормозящих потенциалах, вплоть до некоторого потенциала При дальнейшем увеличении тормозяще го потенциала ток убывает, постепенно спадая к нулю.

Для объяснения Этих особенностей следует прежде всего принять во внимание, что

катод и анод в трубке

с горячим катодам всегда бывают сделаны из различных металлов. Поэтому между катодом и анодом в отсутствии внешнего напряжения обязательно имеется контактная разность потенциалов, Если теперь внешний ускоряющий потенциал становится равным нулю, 1。электроны еще подгоняются этой контактной разностью потенциалов- Для компенсации ее необходимо приложить некоторый тормозящий потенциал К.

Когда этот потенциал приложен, то сила тока все еще

остается отличной от нуля потому, что электроны выводят из катода не с кулевой скоростью, но обладают конечными скоростями, распределенными по закону Максвелла. Только тогда, когда задерживающий потенциал достигает такой величины, что его не могут преодолеть самые быстрые электроны, сила тока становится равной нулю，

Идея опытов, излагаемых в следующих параграфах, как уже было указан。, состоит в том, что электронам, получившим опре・

деленное ускорение, предоставляется возможность испытывать соударения с атомами газов, вводимых при небольших давлениям в трубку. Для того итобм установить, каков характер этих соударений,упругие они или неупругне, очень часто бывает необходимо исследовать после соударений распределение

скоростей между электронами. Это осуществляется при помощи метода задерживающего потенциала.

Пусть D ——горячий катод (рис. 137), к которому приложен

ускоряющий потенциал К Ускоренные электроны направляются к пластинке А, перед которой расположена сетка N. Если заря-

дить эту сетку до потенциаладить эту сетку до потенциала土九 то в пространстве между N

дить эту сетку до потенциала

дить эту сетку до потенциала

и А электроны будут дви-и А электроны будут дви-N IN IРис. 137. Схема метода задерживающего потенциала.Рис. 137. Схема метода задерживающего потенциала.гаться в тормозящем поле. Только те из них, которые

и А электроны будут дви-

и А электроны будут дви-

N I

N I

Рис. 137. Схема метода задерживающего потенциала.

Рис. 137. Схема метода задерживающего потенциала.

кинетическойкинетическойобладаютобладаютэнергией, достаточной для преодоления тормозящего поля, достигнут пластинки А. Последняя через гальванометр G соединена с землей- Таким образом^ з门ектрон% достигающие 力，дают ток, отмечаемый гальваномет-

кинетической

кинетической

обладают

обладают

ром. Следует иметь в виду, что тормозящий потенциал Р, препятствующий попаданию электрона на пластинку А, определяется не полной скоростью и электрона, но ее составляющей нормальной к А (рис、137) г достигнуть А могут только те электроны.

для которых имеет мест。 соотношение

力叫》金汜（97）力叫》金汜（97）Если постепенно увеличивать Р и одновременно измерять ток гальванометра G, то в результате получается некоторая вольтамперная характеристика / (рис. 138), Эта волътамперяая характе- ристика позволяет вычислить распределение скоростей между электронами следующим образом. Если тормозящий по-

力叫》金汜（97）

力叫》金汜（97）

Рис. 13& Вольтампернал характеристик日* снятая по методу задерживающего потей* циала.Рис. 13& Вольтампернал характеристик日* снятая по методу задерживающего потей* циала.тенниал равен Р, то соответствующая сипа тока 7Р пропорциональна числу электронов, обладающих энергией, равной или большей Р электрон-вольт. При тормозящем потенциале Р + ДА сила тока 厶一6〃 пропорциональна числу электронов с Энер* гией, большей или равной 戶 + АР электронвольт. Таким обра* з。％ величина (А/p7AP)AQ есть мера кисла электронов, npffxd*

Рис. 13& Вольтампернал характеристик日* снятая по методу задерживающего потей* циала.

Рис. 13& Вольтампернал характеристик日* снятая по методу задерживающего потей* циала.

дящихся на интервал энергии между Р и Р -рАР. Поэтому, если представить количество электронов, обладающих энергиями между р 以 P + dP, в виде f(P)dP, где f(A) есть функция распределения электроыов по энергиям, то очевидно, что

f (Р) r ”/dP・

Из этого следует, что для нахождения кривой распределения энергии (скоростей) между электронами необходимо произвести графическое дифференцирование вольтамперной характеристики 『(рис. 138).

Кривая, полученная в результате дифференцирования вольт- амцерной характеристики /, показана пунктиром (кривая 〃, рис, ]38),

§ 92. Упругие соударения

франк и Герц показали прежде всего, что если энергия электронов не превосходит некоторой критической величины, то соударения между электронами и атомами происходят^ вполне упруго. Это значит, что электрон в результате соударения изменяет только направление скорости, не теряя своей энергии. Для доказательства этого было поставлено несколько опытов, из которых мм опишем только один.

Б центре металлического диска Л

(рис. 139)(рис. 139)имеется отверстие, в котором по

(рис. 139)

(рис. 139)

D. Диск подвешенD. Диск подвешенмещается нить накаламещается нить накалана нитях в пространстве, где может создаваться любое давление газа、При помощи специального приспособления, действующего через шлиф, диск может быть поднят или опущен без нарушения вакуума. В пространстве между вторым диском В и сеткой С может быть создано задерживающее поле, при помощи которого измеряется рас

D. Диск подвешен

D. Диск подвешен

мещается нить накала

мещается нить накала

Рис. 139.Рис. 139.2 z в с2 z в спределение скоростей между электронами. Давление газа выбирается таким, чтобы в пространстве между сеткой С и воспринимающей пластинкой В электроны по возможности не испыты-

Рис. 139.

Рис. 139.

2 z в с

2 z в с

валн соударений. На рис. 140 представлено распределение энергии электронов в гелии при давлении 1,3 мм и при ускоряющем потенциале 18 6. Кривая / измерена при расстоянии 4С, равном 4 лм», кривая // — при расстоянии 18 мм. Несмотря на то,

что электроны во втор шее число соударений.что электроны во втор шее число соударений.юм случае испытывают неизмеримо боль- ,чем в первом, обе кривые почти точно

что электроны во втор шее число соударений.

что электроны во втор шее число соударений.

совпадают. Отсюда следует, что удары между электронами с энергией в 18 36H атомами гелия происходят еще вполне упруго. Пунктирная кривая /// на рис. 140 есть теоретическая кривая, рассчиташтая в" предположении, что вследствие соударений скорости электронов меняют свое направление так, что электроны, проходящие сквозь Отверстия сетки С, имеют всевозможные направления в пределах полусферы. Как виднот эта кривая близко подходит к экспе- рнментатгьным кривым.

■ Характер кривых требует дополнительного раэъяснения.

J 6 忆 田J 6 忆 田Рис. 141.Рис. 141.Обращает на себя внимание тот факт, что функция распределения электронов по энергиям принимает наибольшее значение

J 6 忆 田

J 6 忆 田

Рис. 141.

Рис. 141.

Рис. 140.

при энергии, равной нулю. Причина этого — чисто геометрическая. Теоретическая кривая 〃/, как уже сказано, построена в предположении^ что электроны в результате соударений^ не менян своей скорости величине, имеют в пространстве между сетной С и анодом всевозможные направления. Далее, необходимо принять во внимание, что в методе задерживающего потенциала при плоских электродах имеет значение только нормальная составляющая скорости (см- § 91). При совершенно равно, мерном распределении скоростей по направлению число элек- Тронов, попадающих внутрь телесного угла dQ = 2л sin a dec (рис- 141), будет

dN = М dQ = 2冗М sin а da.

Из этого следует, что наибольшее число электронов приходится на угол а, равный 冗/2. Но для таких электронов нормальная составляющая скорости равна нулю. Это и объясняет пoдъe^f кривой при переходе к нулевой энергии. Небольшой максимум, имеющийся на экспериментальных кривых лом энергии, не-

сколько меньше 18 эв, несомненно, обусловлен тем, что распределение по тiaпpaвлcIтия^7 электронов, проходящих через сетку, не вполне хаотическое: заметная доля электронов сохраняет направление скорости, близкое к нормали.

§ 93, Неупругие соударения. Критические потенциалы

Для доказательства существования неупругих соударений Фр а г/ком “ Герцем была использована следующая установка. Электроны от нити накала D (рис. 137) ускорялись отрицательным потенциалом, наложенным на нить. Б пространстве между D и А1 эти электроны испытывали миогочислениьге соударения и попадали в конце концов на воспринимающую пластинку Гальванометр G, соединенный с 4, измерял ток Ппастиикх. Сетка заряженная слабо положительно относительно 4 (в большинстве случаев до потенциала +0,5 8), помещалась непосредственно перед пластинкой 4. Назначение сетки заключалось в том, чтобы вылавливать электроны, почти полностью потерявшие свою энергию вследствие неупругих соударений, Опьп про-

изводился в I(около I 加м)

парах ртути при I и состоял в в

относительно высоком давлении

мерении тока пластинки

4 в

зависимости от ускоряющего потеннна/а, наложенного на нить D.

При увеличении ускоряющего потенциала от нуля ток

первоначально

возрастал

(рис. 142), причем кривая тока имела обычяый вид вольтам- перцых характеристик термоэлектронных приборов. Но при потенциале около 4,1 е ток внезапно резко палал, а затем вновь начинал возрастать до потенциала 9,0 冃 при котором вновь обнаруживалось резкое падение тока и новое его возрастание до потенциала 13,9 伉 Таким образом, вся кривая

N况

20Q

750

100

勿

15

Р". J 42

представляла собою ряд острых от друга на расстоянии 4,9 6. Тот факт, что

максимумов, отстоящих

叩冏

расстояние между

двумя соседними максимумами всегда составляло (с точностью до 0,1 8) 4,9 〃 а первый максимум обнаруживался у 4,1 е, легко объясняется тем, что к наложенному извне ускоряющему потенциалу прибавляется контактная разность

потенциалов, которая как бы смещает всю кривую влево, не изменяя расстояния между максимумами.

Истолкование максимумов кривой на основании сказанного в § 91 не представляет затруднений. До тех пор, пока энергия электрона не достигнет 4,9 8, он испытывает с атомами ртути упругие соударения, и ток возрастает с увеличением потенциала по обычному закону. При потенциале 4,9 8 удар становится неупругим, электрон отдает при соударении атому ртути всю свою энергию- Эти электроны не попадут на пластинку 4, так как они будут выловлены обратно сеткой N, заряженной до % и ток пластинки резко упадет.

Если энергия электронов заметно превосходит 4,9 з, то такие электроны, потеряв часть своей энергии при неупругом с。， ударении, сохраняют достаточный избыток энергии и потому, несмотря на наличие положительно заряженной сетки, достигают Пластинки 4, — ток вновь начинает возрастать.

Заметим, что, какова бы была энергия электронов, испытывающих первое неупругое соударение, опи все придут к пластинке 4 с одной и той же энергией- Представим себе для большей ясности, что потенциал катода равен нулю, потенциал пластинки А равен ：+Р», критический потенциал равен Vа (в данном случае Va = 4,9 8), и положим, что сетка М удалена. Падение потенциала /Р происходит на всем протяжении от D до 4 Пусть электрон испытывает иеупругое соударенне в месте, где потенциал равен Vx- Дойдя до этого места, он накопит энергию eVx, а при неупругом соударении отдаст энергию eV а- Таким образом, после соударения он будет обладать энергией e(Vx— Разность потенциалов на остающемся пути до пластинки А будетна этом пути электрон накопит еще

энергию e(Vp—Vx) к, следовательно, придя к пластинке Л, будет обладать энергией

Как мы видим, эта энергия совершенно не зависит от того места, где произошло первое неупругое соударение. Если ускоряющий потенциал % достаточно веанк, так что Vp — Va> 4,9 仇 то на остающемся пути электрон может испытать еще одно или два (в зависимости от величины 厶一Va) неупругих соударе- ният и в этом заключается причина периодического повторения максимумов.

Мы видим, таким образом, что энергия в 4,9 зе имеет особое значение для атомов ртути. Меньшую энергию они воспринять не могут, так как при меньшей энергии бомбардирующих их электронов удар происходит вполне упруго; энергию же в 4,9 38 они воспринимают полностью. Но это и означает в согласии с первым постулатом бора, что атом ртути может обладать не

любыми запасами энергии, а только избранными. Если R будет запас энергии «невозбужденного^ атома ртутит то следующее возможное значение энергии атома будет 耳 + 4,9 з仇 Ускоряющий потенциал 4,9 е называется «первым критическим по. теннналсм» или «резонансным потенциалом» атома ртуте. Такие же резонансные потенциалы найдены и для других атомов. Например, для калия резонансный потенциал равен 1,63 в, для натрия 2Д2 для гелия21 6 н т. д.

Само собою разумеется, что, кроме энергии, соответствующей первому критическому потенциалу, атомы могут обладать к другими, более высокими ступенями энергии возбуждения. Эти более высокие ступени возбуждения могут быть также найдены при помощи метода электронных соударений. Однако экспериментальная методика для этой цели должна быть видоизменена, К этому вопросу мы вернемся в следующих параграфах.

§ 94. Усовершенствование экспериментальной методики

Описанный метод при многих преимуществах обладает су， щественными недостатками, В частности, он не дает возможно

сти разделить тесно лежащие г когда имеются близко расположенные ступени возбуждения, встречаются нередко. Расчет показывает, что форма кривых существенно зависит от величины падения потенциала на протяжении одного свободного пробега 九.т. е. от вели-чины 1 . Чем меньше эта величина, чем острее максимумы, тем точнее определяются критические потенциалы и тем лежащие ступенн возбуждения, в которых л-^- достаточно м；сти разделить тесно лежащие г когда имеются близко расположенные ступени возбуждения, встречаются нередко. Расчет показывает, что форма кривых существенно зависит от величины падения потенциала на протяжении одного свободного пробега 九.т. е. от вели-чины 1 . Чем меньше эта величина, чем острее максимумы, тем точнее определяются критические потенциалы и тем лежащие ступенн возбуждения, в которых л-^- достаточно м；а между тем случаи.а между тем случаи.отчетливее разрешаются близко Если, однако, выбрать условия, ло, то становится невозможнымотчетливее разрешаются близко Если, однако, выбрать условия, ло, то становится невозможным

сти разделить тесно лежащие г когда имеются близко расположенные ступени возбуждения, встречаются нередко. Расчет показывает, что форма кривых существенно зависит от величины падения потенциала на протяжении одного свободного пробега 九.т. е. от вели-

чины 1 . Чем меньше эта величина, чем острее максимумы, тем точнее определяются критические потенциалы и тем лежащие ступенн возбуждения, в которых л-^- достаточно м；

сти разделить тесно лежащие г когда имеются близко расположенные ступени возбуждения, встречаются нередко. Расчет показывает, что форма кривых существенно зависит от величины падения потенциала на протяжении одного свободного пробега 九.т. е. от вели-

чины 1 . Чем меньше эта величина, чем острее максимумы, тем точнее определяются критические потенциалы и тем лежащие ступенн возбуждения, в которых л-^- достаточно м；

а между тем случаи.

а между тем случаи.

отчетливее разрешаются близко Если, однако, выбрать условия, ло, то становится невозможным

отчетливее разрешаются близко Если, однако, выбрать условия, ло, то становится невозможным

определение более высоких ступеней возбужленн兄.Для избежания этого недостатка Франк и Герц видоизменили методику так, что накопление энергии электроном происходило в одной части прибора, а столкновение — в другой. С этой целью оказалось достаточным ввести вторую «сетку» N[ (рис. 143), расположенную от нити накала D на расстоянии, малом по сравнению со средней длиной свободного пути электрона. В таком случае электроны^ получившие всю свою энергию на протяжен и и D — попадают в свободное от поля пространство R между двумя

металлическими сетками и там испытывают многочисленные соударения с атомами газа. При выходе электронов нз этого пространства через отверстия сетки N те из них, которые потеряли свою энергию, вновь вылавливаются этой сеткой, заряженной до потенциала +0,5 6, и повторяется картина, описанная в предыдущем параграфе.

Наиболее изящное видоизменение этого метода было предложено Герцем, осуществившим следующую схему (рис- 144).

РиСь 144. Схемаметода Герна.РиСь 144. Схемаметода Герна.Н 眩Н 眩М 历М 历Электроны от нити накала D ускорялись в пространство и сквозь отверстия сетки М попадали в свободное от поля пространство окруженное цилиндрической сеткой После многочисленных соударений эти электроны диффундировали через отверстия сетки в пространство между М и сплошным металлическим цилиндром Р. При помощи гальванометра ток цилиндра измерялся дважды: в отсутствие поля между N2 н Р в при задерживающем потенциале в +0,2 В первом слу-- чае на Р попадали все электроны, дн巾巾ундгь

РиСь 144. Схемаметода Герна.

РиСь 144. Схемаметода Герна.

Н 眩

Н 眩

М 历

М 历

ровавшие в пространство N^P, во втором — «отсеивались^ электроны. потерявшие энергию вследствие пеупругих соударений- Разность обоих значений тока, деленная на величину первичного тока, очевидно, должна давать максимум при критическом значении ускоряющего потенциала, так как в этом случае значительное количество электронов теряет свою энергию и ток при наличии задерживающего потенциала становится весьма малым. При помощи этого метода оказалось возможным разделять максимумы, отстоящие на доли вольта, и обнаруживать слабо вь卜 ражеппые максимумы.

Одновременное определение всех ступеней возбуждения

Мы уже упоминал% что описанные метопы можно применить и для определенья высших ступеней энергии. С этой целью необходимо выбрать такие условия опыта, чтобы давление газа было возможно меньше- Это существенно потому, что при высоком давлении число соударений электрона с атомами газа настолько велико, что электрону достаточно набрать энергию, равную или немного превосходящую первый критический потенциал, чтобы вероятность ее передачи атому сделалась весьма значительной. При достаточно низком давлении и достаточно высоком ускоряющем потенциале открывается возможность возбуждения и до более высоких стационарных состояний-

Однак。непосредственно получаемые из опыта значения кр小 inqecKHX потенциалов еще не дают истинных значений ступеней

Рис. 145. Схема метода определения всех ступеней возбуждения-Рис. 145. Схема метода определения всех ступеней возбуждения-% 切 35 紡夕 550 вЭнергия % 切 35 紡夕 550 вЭнергия ^15 Ю 5Потери з 厅母％ 〃〃 v^15 Ю 5Потери з 厅母％ 〃〃 vС夕С夕QEUOHanQHBEH1QEUOHanQHBEH1勿—勿—

Рис. 145. Схема метода определения всех ступеней возбуждения-

Рис. 145. Схема метода определения всех ступеней возбуждения-

% 切 35 紡夕 550 в

Энергия

% 切 35 紡夕 550 в

Энергия

^15 Ю 5

Потери з 厅母％ 〃〃 v

^15 Ю 5

Потери з 厅母％ 〃〃 v

С夕

С夕

QEUOHanQHBEH1

QEUOHanQHBEH1

勿—

勿—

Рнс. 146- Спектр Спороегей электронов с перпопзчалыюй энер] пей50 ее после соударений с атомами гелин^

Z5匕Z5匕二猾=二猾=衣-K0RU&衣-K0RU&夕夕步步йй步步ООРас 】47.Рас 】47.СхемаСхемауровней гелия-уровней гелия-нов, испытавшихнов, испытавших

Z5匕

Z5匕

二猾=

二猾=

衣-K0RU&

衣-K0RU&

夕

夕

步

步

й

й

步

步

О

О

Рас 】47.

Рас 】47.

Схема

Схема

уровней гелия-

уровней гелия-

нов, испытавших

нов, испытавших

энергии, так как возможность двукратной или вообще многократной отдачи Энергии все еще не исключается. Это ясно видно из следующего примера- Непосредственными наблюдениями в парах ртути получаются следующие значения критических потенциалов 4,9; 9,8; 11,2; 13,5; 14,7; 16; 17,6; 19,3; 20,2; 21,2 е. В действительности же все эти потенциалы являются комбина-

циями двухциями двухосновных: а = 4,9 s н 力=6,7 е, причем в то рой от-

циями двух

циями двух

дельно вовсе не наблюдается. В самом деле, легко видеть, что 9,8 = 2а； 11,2 а + 匕; 13,5 = 2匕；17,6 о + 2匕；21,2 = За + 匕 н т•反. Таким образом, интерпретация получающихся максимумов далеко не проста.

Значительно нагляднее те же высшие уровни энергии могут быть определены при помощи метода, предложенного Юзомт Рожанским и Мак-Милланом. Идея опыта состоит в следующем: строго однородный пучок электронов с энергией, превосходящей наиболее высокую ступень возбуждения изучаемых атомов, пускается в весьма разреженный газ. При не- упругих соударениях различные электроны теряют части своей знер「нн, отвечающие возможным ступеням возбуждения атомов. Так как- газ сильно разрежен, то вероятность повторных соударений весьма мала. Если теперь разложить в спектр скоростей пучок электросоударения, то этот спектр сразу даст все про

исходящие потери анергии, а вместе с тем и все возможные ступени энергии. Самый опыт осуществлялся следующим образом. Пучок электронов с энергией в 50 эв получался при помощи «электронной пушки》G (рис. 145). Этот пучок направлялся по диаметру металлического цилиндра, заключавшего гелий при очень высоком разрежении. Через щели Sj и S2 могли проникать только те электроны, которые испытали соударение в центре М цилиндра и были при этом отклонены в направлении 6. Две цилиндрически изогнутые пластипки Р\ и в пространство между которыми попадали далее электроны, представляли собой 《фильтр» скоп остей (см. § 9); пройдя через хце』ь S3, электроны попадали в фарадеев цилиндр лт заряд которого можно было измерять при помощи электрометра. Так как при опредалсшюй разности потенциалов на фильтре PR сквозь него могли проходить электроны только строго определенной скорости, то, изменяя напряженность поля в пространстве Р^Р?, можно было непосредственно найти распределение по энергиям электронов, рассеянных под углом 6. Изменение угла 0 производилось с помощью

перемещения электронной пушки G в направлениях, указанных стрелками на рис. 145.

Полученный таким путем энергетический спектр электронов с начальной энергией в 50 38 после соударений с атомами гелия представлен на рнс. 146. Как виднот в этом спектре, помимо максимума, соответствующего начальной энергии электронов 50 36, имеются максиму мы у 28,8; 27,2; 26,38 36. Из зтого следует, что при неупругих соударениях электронов с атомами гелия электроны могут терять только строго определенные порции энергии, а именно: 50 — 2 8,2 = 21,2; 50 — 27,2 = 22,8; 50 — —26,4 = 23,6 эв.

Если условно принять за нуль энергию атомов гелия до соударения (нормальное состояние) и изображать возможные энергетические состояния горизонтальными прямыми, расположенными на с о ответствующей высоте, то получится схема «уровней энергии» атома гелня, приведенная на рис. 147- Энергии различных уровней, показанные на этой схеме, вычислены из спектроскопических данных- Как видно, совпадения с цифрами, полученными из опытов с соударениями^ вполне удовлетворительны. Таким образом, эти опыты можно рассматривать как исключительно ясное экспериментальное подтверждение правильности первого постулата Вора.

Определение ионизационных потенциалов

Все описанные методы, как уже было указан。, позволяют находить разности значений энергии в различных стационарных состояниях. Например, ми можем сказать, что для атома ртути разность £*2 Ei равна 4,9 as. Однако самые значения энергий Eh 石2・ Ез, .. -, Е力 этими методами найдены быть не могут. Для того чтобы найти эти значения, очевидно, достаточно опреде- литьт какую энергию надо затратить, чтобы от атома, находящегося в определенном энергетическом состоянии, полностью отделить электрон. Другими сковами, задача о нахождении абсолютных значений энергии 一， Er совпадает с задачей об определении потенциалов ионизации в различных энергетиче* скнх состояниях.

Для определения потенциалов ионизации было предложено множество методов. Мы опишем лишь метод Герца, отличающийся особенной простотой и точностью. Небольшое добавление к описанной в § 94 схеме Герца позволяет находить при помощи того же прибора и потенциалы ионизации- Добавление это заключается во второй нити накала G (рис. 148)т располо^^егпоп внутри пространства R. Если соединить сетку 汇2 с цилиндром Р и задать разность потенциалов между G и М, то гальванометр

покажет термоэлектронный тик между G и N* При увеличении тока нахала нити G термоэлектронный ток будет возрастать, однако, лишь до определенного предела, после которого возрастание прекратится. Это объясняется тем, что при сильных токах накала в пространстве вокруг нити G образуется пространственный заряд, препятствующий дальнейшему выходу электронов из нити,

? Представим себе теперь, чю в пространство R у попадают электроны от катода 心,ускоряемые 3 соответствующими потенциалами. Если энергия % зтнх электронов достаточна для того, чтобы / ионизовать атомы газа в то при каждом акте 。ионизации появляются тяжелые (по сравнению с электронами), медьЧеппо движущиеся пОьЮжи-

Рис. 148. тельные иопыт которые компенсируют часть цро・ странственного заряда. Вследствие этого при появлении таких ионив термоэлектронный ток между G м № резко возрастает.

Наблюдая, при каком ускоряющем потенциале между D r М начинается это возрастание тока, можно определить потенциал ионизации. На рис. 149 приведена для примера кривая, снятая в неоне; резкое возрастание тока около 218 сразу бросается в глаза. Таким путем найдены ионизационные потеп- циальт для большего числа атомов периодической системы (см. таблицу .

Ионизационной потенциал является типичным периферическим свойством атома, поскольку речь идет об отрыве внешних электронов- Как и все остальньте периферические

свойства, ионизационные потенциалы обнаруживают периодическую зависимость от атомного номера (рис. 150). Из рис. 150 видно, что в максимумах кривой располагаются благородные газы, которые характеризуются инертностью и в химическом отношении. Наоборот, щелочные металлы (Li, Na, К, Rb, Cs), одновалентные и в высшей степени способные к химическим реакциям, обладают минимальными ионизационными потенциал лами.

До сих пор мы имели в виду только первые ионизационные потенциалы, т. е. энергии освобождения одного электрона из нейтрального атома. Интерес представляют также работы осво-

Ионизационные потенциалы элементов

Таблица X

Атомный

Элемент

Первый иониэац. |

Первый иолиэяц.

помер

потенциал|

[[Livep

Элемент

потенциал

в 9 qe мт卩。я-в иаьта < |

н $“екг卩окт，。‘卜一ах

1

н

13,539

14

7,39

Не

24,45

15

3

Li

5,371

】6

10,3]

4

9,50

17

12,96

5

8,34

18

15,70

11,217

19

4,32

7

14,474

20

6,09

8

13,565

21

6,57

18,6

22

10

Ne

21,482

23

6,76

Na

5,116

24

6,74

12

Mg

7,61

25

7,40

13

AI

5,96

26

7,83

бождения второго, третьего и т.几 электронов. Установки описанного типа позволяют заключить о появлении положительных

Рис. 150 ПервыйРис. 150 Первыйионизационный 口отенина口 как функции атомного номера.ионизационный 口отенина口 как функции атомного номера.ионов (начало ионизации), но о природе ионовт в частности о ним или несколькими зарядами.ионов (начало ионизации), но о природе ионовт в частности о ним или несколькими зарядами.Не дают возможности судить ТОМ, ПОЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ИОНЫ С ОД'Не дают возможности судить ТОМ, ПОЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ИОНЫ С ОД'

Рис. 150 Первый

Рис. 150 Первый

ионизационный 口отенина口 как функции атомного номера.

ионизационный 口отенина口 как функции атомного номера.

ионов (начало ионизации), но о природе ионовт в частности о ним или несколькими зарядами.

ионов (начало ионизации), но о природе ионовт в частности о ним или несколькими зарядами.

Не дают возможности судить ТОМ, ПОЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ИОНЫ С ОД'

Не дают возможности судить ТОМ, ПОЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ИОНЫ С ОД'

Для изучения последовательных стадии ионизации и определения природы положительных ионов пользуются масс-спектрометрическими методами (см. § 15). Так как масс-спектрометр определяет отношения заряда к массе £/М, то ион с 〃 зарядами

Рн& 151 Арш л из паров цезия, нонизироиан-ных электронами с энергией 700 зе.

£ = пе соответствует массе ?(贵=•就)Кривая, приведенная на рис. 151, представляет собой масс-спектр ионов, возникающих в парах цезия при бомбардировке их электронами с энергией в 700 Семь максимумов, видных на рисунке, соответствуют семи последовательным стадиям ионизации атома цезия. Значения соответствующих потенциалов ионизации таковы:

Ион

С声

Cs§・

Css+

Css*

Cs7*

Потеициал ионизации, ае

3.9

27,4

62

113

171

275

410

Излучение возбужденных атомов

Атом, получивший избыток энергии при соударении с ааек・ троном, сохраняет его в течение некоторого времени, а затем под влиянием возмущений отдает обратно, вновь переходя в нормальное состояние. Если давление газа достаточно мало, то наиболее вероятный способ этого обратного перехода заключается в испускании энергии в виде света. Отсюда открывается новый путь для экспериментальной проверки постулатов Бора. Рассмотрим, например, атом ртути. Его первый критический потенциал равен 4,9 эе, т. е.

— == 4,9

По второму постулату Бора вся эта энергия при переходе в нормальное состояние должна испускаться в виде одного кванта монохроматического света:

Е2 — Е、д = hdk.

Отсюда получим для А

九=_=» 2520 Т0-8 см = 2 520К

Мтак, если теория верна, то пары ртути, подвергаемые бомбардировке электронами с энергией 4,9 9d должны давать спектр, состоящий лишь из одной ультрафиолетовой линии 九 м 2520 А, Опыт обнаруживает действительно одну ультрафиолетовую линию 九 м 2537 А.

В том, что эта линия возникает при переходе из первого возбужденного состояния в нормальное, можно убедиться из опытов с ее оптическим возбуждением. Если освещать разреженные пары ртути монохроматическим светом с длиной волны 入 * 2537 А, то, по предыдущему, пеглегцаюгцпе атомы должньь переходить в состояние с энергией в 4,9 38 и при обратном пере- ходе в нормальное состояние — излучать только одну линию с той же самой длиной волныч если между Et и £*2 нет никаких промежуточных уровней. Опыт подтверждает и этот вывод. Такие спектральные линии называются резонансньши^ так как их длина волны в точности равна поглощаемой длине волны прн оптическом возбуждении. Очевидно, уто, определяя длину волнь! резонансных лнни% можно вычислить и первый критический потенциял.

Аналогичная картина имеет место и в других одноатомных газах или парах. На рис. 152 в качестве примера приведен

Рис. 152. Спектр паров магнн% возбуждаемый электронами с энергией3,2Рис. 152. Спектр паров магнн% возбуждаемый электронами с энергией3,2слектр ларов магният возбуждаемых ударами электронов при ускоряющем потенциале 3,2 6. Как вндно, при потенциале в Зт2 е

Рис. 152. Спектр паров магнн% возбуждаемый электронами с энергией

3,2

Рис. 152. Спектр паров магнн% возбуждаемый электронами с энергией

3,2

№7№7спектр состоит из одной линии 4571 А (резонансный потенциал 2,65 s). Из рхс. 153 видно, что при возбуждающем потенциале в 6,5 8 возникают уже две линии: прежняя линия 4571 А и новая

№7

№7

Рис- 153. Спектр паров магния, возбуждаемый электронами с энергией

6,5 86.

с длиной волныт равной 2852 А. При еще более высоком потенциале (10 8) может быть получен полный спектр паров магния.

Спонтанное испускание

В предыдущем параграфе мы >же перешли от доказательств существования уровней энергии и способов их непосредственного определения к рассмотрению переходов между различными уровнями. Ввиду важности этих процессов перехода нам необходимо теперь глубже проанализировать их с теоретической точки зрения. Этот анализ позволит выяснить некоторые своеобразные особенности квантовых явленийт а в качестве непосредственного применения результатов н методов рассмотрения мы дадрм простой и вместе с тем безупречный вывод формулы Планка, принадлежащий Эйнштейну.

Итакт рассмотрим атом, находящийся в свободном пространстве и не подверженный влияниям извне. Атом может нах。， диться в различных квантовых состояниях, которым соответствует дискретный ряд уровней энергии. Для простоты мы рас- смотрим только два иа аткх состояний с энергиями и Ез (рис. 154). Эти состояния мы будем коротко называть: состояние 1 и состояние 2.

Если атом в некоторый момент f находится в возбужденном состоянии 2, то в следующий за этим интервал времени dt он может либо остаться в том же состоянии, либо перейти в ниж-

нее состояние 1, отдавая избыток энергии &—Ei в виде излучения.

В этом и следующих параграфах мы убедимся, что переходы с испусканием могут происходить либо независимо от действия внешнего поля, в котором находится возбужденный атом, либо под действием этого пон，. В первом случае переходы называются спонтанными, т. е. «самойронзвольнымиэт во втором — вынужденными.

Мы начнем с рассмотрения спонтанных переходов и будем рассматривать их статистически. Это означает, что мы не можем с достоверностью предсказать, произойдет или не произойдет 6 данном атоме переход в течение 1 сек., следующей за моментом но можем только указать его вероятность. Назовем эту вероятность спонтанного перехода 2f 1 в единицу времени Поскольку спонтанный переход есть Процесс—,

случайный, предполагаетсят что не зави- sI 3

сит от времени.j1

Пусть теперь мы имеем совокупность очень большого числа атомов, которые, 。口・ накот образуют настолько сильно разрежен- ный гаэт что взаимодействием между ато- 16

мами можно пренебречь. Пусть N2 из числа Ри& 154. этих атомов в момент f находятся в состоя- '

ним 2. В промежуток времени между / н 叶小 уасть нз нпх спонтанно перейдет в состояние 1. Поскольку такие переходы явление случайное, то мы не можем указать, какие именно Атомы совершат переход, но, зная вероятность 片23 можем предсказать, сколько атомов в среднем совершит переход. Именно, число переходов dZ^{ за промежуток времени dt будет, очевидно, ппопорциопально числу атомов находящихся в соет оя- нии以

d 九(98.1)

Так как при каждом из этих переходов согласно условшо частот Бора излучается энергия £*2^i =力招 то за тот же промежуток времени будет испущена энермт, равная

hvdZ2} = A2iN2 hvdt.(98.2)

Теперь мы можем найти закон убывания числа возбужден- анх атомов со временем и среднее《врем* жизни^ атома в возбужденном состоянии.

Очевидно, что число переходов 必【за промежуток времени dt равно уменьшению числа атомов, находившихся к моменту / в возбужденном состоянии, %之21 = —d/V?. Поэтому формула (98.1) дает

一 dN 2 = 2 由. (98.3)

Интегрируя, находим

№ =(98.4)

где N20 ——число атомов, находившихся в состоянии 2 в момент

Принимая во внимание формулу (98.2), мы найдем энергию, испускаемую в единицу времени, т. е. интенсивность свечения

J = A21N2^-A^ hv =,(98.5)

где Л = A^N^hv. Таким образом свечение возбужденного газа должно убывать со временем по экспоненциальному закону.

Среднюю продолжительность жизни в возбужденном состоянии мы теперь вычислим следующим образом. Число атомов, совершающих переходв промежуток времени между /

и / + rf/ равно %2iN2 dL Это вместе с тем есть число атомов, 《проживших» в возбужденном состоянии / сек. Сумма их продолжительностей жизни равна поэтому tA^sN^dt, а сумма продолжительностей жизни всех атомов, испытавших переход за время от 0 до 8, будет j M2IW2d/. Отсюда средняя продолжи- ft

тельность жизни т будет

J M2Jy2 di

или, принимая во внимание (98.4),

т = 421 / 紀(98,6)

Интегрируя по частям и подставляя пределы (см. стр. 93), найдем

Т =亡.(98Z

Формулу (98-5) для интенсивности, принимая во внимание (98.7) н обозначая "^?^” через 几 можно переписать в вида

J =(98.8)

В § 70 мы уже рассматривали затухание излучения линейного оспиллйтора с точки зрения классической электродинамики и пришли к формуле (70.4), формально тождественной с формулой (98.8). В формулу (70.4) входит также в качестве коп- станты, характеризующей затухание, время и, которое мн иа- звалн там временем релаксации. Однако физический смысл, ко-

торый мы вкладываем в понятие «средне京 продолжительности жизни》в возбужденном состоянии, резко отличается от смысла «времени релаксации^. Согласно классической электродинамике все излучающие диполи одновременно совершают вынужденные колебания, и время q равное времени уменьшения квадрата амплитуды в с раз, одинаково для всех диполей данного рода*

Здесь же мы рассматриваем процесс излучения как совокупность независимых квантовых переходов, происходящих в различных возбужденных атомах в самые разнообразные моменты времени. Произойдет ли в данный момент времени переход или не превзойдет, определяется законами случая: один из возбуж- денных атомов может вернуться в нормальное состояние через очень короткий промежуток временн, а другой ——может «пробить》 в этом состояний очень долго. Но, как всегда бывает при массовых процессах, среднее время жизни для атомов данного рода имеет определенную величину.

Экспериментальная проверка закона затухания свечения и определения средней продолжительности жизни в возбужденном Состоянии наиболее непосредственно были произведены Вином в опытах си свечением кан а левых лучей- Пучок водорода Ъ1Х ка・ валовых лучей через щель шириною в 0」——0,25 лш выпускался в пространство, где поддерживался столь вькокий вакуум, что возбужденные атомы могли «высвечиваться^ практически без соударений. При этом получался светящийся и затухающий вдоль своей длины пучок каналовых лучей, который помещался на месте щели кварцевого спектрографа. Кварцевая призма раз” лагала зтот пучок в спектр, так что затухание свечения можно было проследить для каждой спектральной линии отдельно. Если с есть скорость каналовых лучей и у — расстояние какой- либо точки от начала луика, то / = g/о и е」с = И Таким образом, время т можно было определить, прослеживая убывание интенсивности вдоль пучка каналовых лучей.

Этим методом для красной линии водорода = 6562 А） было получено т = 1,5-10-8 сек; для резонансной линии ртути （九=2537 А） получено т = 9,8 ■ 10-s сек в хорошем согласии с результатом вычислений т косвенным путем-

Статистический характер спонтанного испускания влечет за собой следующее важное следствие: спонтанное излучение не- когерентно. Поскольку акты спонтанного излучения происходят в различных пространственно разделенных атомах в разные моменты времени, между фазами волн, испускаемых различными атомами, нет никакой закономерной связи. Таким образом, интерферировать между собой могут только волны, испускаемые одним определенным атомом, после разделения этих волн на два потока тем или иным устройством. Интерференционные же картины, создаваемые волнамит испускаемыми различными

атомами, просто складываются между собой. Это обстоятельство накладывает определенные ограничения па возможность осуществления интерференции даже от одного источника. Таковы, на・ пример, роль протяженности источника, необходимость использования щели между источником и интерференционным устройством и т. п.

Поглощение и вынужденное испускание

Рассмотренные в предыдущем параграфе спонтанные переводы нс зависят от электромагнитного поля, окружающего воз- бужденные атомы. Обратимся теперь к процессам, происходящим пОН действием этого поля.

Невозбужденные атомыт находящиеся на нижнем уровне энергии будут под влиянием поля переходить в возбужденное состояние Е2т поглощая энергию Е2——Е1 = из окружающего поля. Эти процессы, также как и спонтанные переходыт me будем рассматривать статистически. Очевидно, что вероятность перехода с поглощением в интервале частот R v + dv будет про* порпиональна плотности энергии поля pvdv в этом интервале п некоторому коэффициенту В1зт характеризующему вероятность возбуждения данной атомной системы. Итак, вероятность поглощения (на единичный интервал) будет pv^is-

Оказывается, однако, что поглощением не ограничиваются пронесСЕ, происходящие под действием пол兄.Эйнштейн впервые обратил внимание на то, что если учет влияния поля ограничить процессами поглощения, то при выводе формулы излучения получается формула Вина, а пе Планка. Поэтому он ввел в рассмотрение еще ОД11Н вид процессов под влиянием поля: вынужденные или индуцированные переходы с излучением (в радиофизической литературе эти процессы часто называются также стимулированными переходами). Н^возбужденные атомы могут под действием поля совершать только переходы с поглощением, но атомн, находащиеся в возбужденном состоянии (например — на уровне Ез) могут, по Эйнштейну, либо поглощать энергию из поля, переходя на более высокий уровень, либо, наоборот,——отдавать энергию поля (например энергию Еа= hv)j возвращаясь на более низкий уровень энергии. Эти последние переходы и являтОтся индуцвдованными; они и обусловливают индуцированное излучение. Вероятность зтнх переходов в единицу времени есть

Допущение вынужденного испускания оправдывалось между прочим ссылкой на классическую аналогию: классический осцил-

*) Детальный анализ понятия когерентности и условий ее осуществления см. в книге Г. С. Ландсберга, Оптика, Гостехяздатт !957, стр. 161.

лятор в волновом поле в неустановившемся состоянии вблизи резонанса между частотой поля и собственной частотой осциллятора может либо поглощать энергию из поля, либо отдавать ее полю. Какой из этих двух процессов должен произойти — зависит от соотношения фаз поля и осциллятора.

В настоящее время имеются прямые экспериментальное до, казательства реальности индуцированных переходов. К этому вопросу мы еще вернемся в § 101，где будут рассмотрены также некоторые важные свойства индуцированного излучения.

Вывод формулы Планка по Эйнштейну

Обратимся теперь к выводу формулы Плапка. В основе этого вывода лежит так называемый принцип детального равновесия (иногда называемый также принципом микроскопической обратимости). Согласно этому принципу, при термодинамическом равновесии каждому процессу можно сопоставить в точности об- ратный ему процесс, и число тех и других процессов в единицу времени должно быть одинаково.

Рассмотрим систему из атомов и излучения, находящуюся в равновесии и пусть по-прежнему, число атомов в нижнем состоянии (энергия Е,) будет а в верхнем состоянии (энергия &) — Атомы испускают и поглощают электромагнитное из- лучениет совершая в первом случае переходы 21 (испуска

ние), а во втором 1->2 (поглощение). В силу принципа детального равновесия статистическое равновесие между процессами испускания и поглощения наступит тогдат когда число переходов 2I в единицу времени будет равно числу переходов I ~ 2. Переходы с испусканием происходят либо спонтанно, либо индуцированно. Полная вероятность тех н других переходов есть Л21 + В2[рУт а среднее число переходов в единицу времени равно

Вероятность переходов с поглощением есть 8叩卄，н, соответ。ственн。，среднее число переходов 1 — 2 в единицу времени равнаdZ^ = B^vNlr

При равновесии dZ?, = dZl2 и мы получаем:

(ЮОЛ)(100.2)(ЮОЛ)(100.2)№= В[2Р%гМ. Отсюда

(ЮОЛ)

(100.2)

(ЮОЛ)

(100.2)

“ 1An + &2pv '

Но так как равновесие имеет статистический характер, то отношение №М чисел атомов в верхнем и нижнем состояниях

может быть выражено также при помощи распределения Больцмана. А именно, если система может находиться в состояниях с дискретным рядом энергий Ej, Е2,・・・，…・ то вероятность системе находиться в состоянии с энергией Ет есть (см. приложение стр. 555)

犷т =吃(100-3)

где С' — постоянная, которая нормируется таким образом, чтобы вероятность атому иметь какое-либо из возможных значений энергии (достоверное событие) равнялась единице.

Д〃я дальнейшего формулу Больцмана целесообразно написать в более общем виде. В атомной физике нередко ветре- чаются случаи (см. например § 113), когда имеется несколько различных состояний, в которых атом имеет одну и ту же энергию (так называемые случаи вырождения). Очевидно, что в таких случаях различным значениям энергии соответствует разный статистический вес^ который в квантовой физике характеризуется числом совпадающих уровней энергии.

Поэтому в общем случае формула Больцмана напишется в виде

犷='(Ю0.4)

где gm и есть статистический вес, равный 1 в случае простых (невырожденных) уровней энергии.

Таким образом, нз общих ■ статистических соображен廿冗 имеем

(100.5)(100.6)(ЮО.б)(100.5)(100.6)(ЮО.б)Сравнивая (100-2) и (100.5), получаем: откуда

(100.5)

(100.6)

(ЮО.б)

(100.5)

(100.6)

(ЮО.б)

Нот по условию частот Бора Ее ——Е, = hv и, следовательно^

Это и есть формула распределения энергии в спектре равновесного излучения. Для он ределения коэффициентов Л и В мы используем следующие предельные условия:

При Т — 8, т- е. при 《kT плотность p-v должна стремиться к бесконечности, т. е. знаменатель в (100.7)—к нулю,

Это дает сразу

12ng или

% = 卜(100.8}

При том 水с условии hv « kT должна быть справедлива формула Рэлея—Джинса

Принимая во внимание (100.8), перепишем (100.7) в следующем виде：

人，(1。。9

При hv/kT « I имеем в первом приближении

и (100.9) принимает вид

(100/0)(100/0)Сравнивая с формулой Рэлея — Джинса, получаем

(100/0)

(100/0)

и (100.9) принимает вид

А это и есть формула Планка.

Для последующих соображений мы можем без ущерба для общности положить g2 = gi = 1, т. е. рассматривать переходы между простыми, невырожденными уровнями. Формулы (100-8) и (100.10)( устанавливающие связь между коэффициентами Эйнштейна, напишутся при этом в виде

& =彳；员[,^12 — ^2р(100.11)

или, переходя от частот к длинам волн,

^21 =^Х ^2р В?1 = В[2・(100.12)

Выше мы указывали, что в том случае^ когда в условии равновесия в качестве переходов с испусканием учитываются только спонтанные переходы, характеризуемые коэффициентами 4团叫 вместо формулы Планка получается формула Вина.

Деистйительпот полагая в (100.7) равным нулю коэффициент индуцированных переходов В2! и принимая во внимание (100」1),

получаемполучаемPLPL翫厶"3 е^/kт翫厶"3 е^/kт

получаем

получаем

PL

PL

翫厶"3 е^/kт

翫厶"3 е^/kт

а это и есть формула Вила [ср. (897)]. Но мы уже знаем, что формула Вина хорошо описывает набна^аннме результаты в области высоких частот, т，е. в коротковолновом конце видимого света и в ультрафиолете. Из этого следует, что в этой области переходы с вынужденныгд испусканием играют лншь малую роль, а исе испускание ярактическв лроясходит главным образом за счет спонтанных переходов, С другой стороны, в радиочастотном (микроволновом) диапазоне спектра вследствие сильного возрастания (~??)коэффициента индуцированных переходов З21 я увеличения плотности излучения р^，роль спонтанных переходов ничтожно мала.

§ 101. Свойства индуцированного испускания

Рассмотрим теперь несколько детальней свойства квантовых переходов, характеризуемых коэффициентами Эйнштейна 8仅 и 方2，, т. е. переходов, сопровождаемых поглощением света (элек- тромагн且т〃нх волв) а, соответственно, индуцированным (стимулированным) испусканием. Особое внимание мы уделим нн・ дуцировацному испусканию, так как в самое последнее время оно приобрело исключительную теоретическую и практическую важность. Достаточно сказать, что индуцированное испускание лежит в основе новой быстро развивающейся области радиофизики и радиотехники квантовой радиотехники.

Сначала мы рассмотрим микроскопическую картину тех видов взаимодействия электромагнитного излучения н атомов вещества, которые характеризуются коэффициентами Bmnt а затем установим связь между этими коэффициентами и макроскопической характеристикой поглощения.

Чтобы перейти к выполнению первой половины этой про- граммн, напомним, что, как это хорошо известно из элементарных изложений атомной теории и как будет подробно обосновано ниже (см. гл. IX), квантовые свойства проявляются не только в существовании дискретных уровнен энергии атомных систем, но само излучение имеет двойств ейпую природу: сохраняя волновые свойства, сне ведет себя так же, как поток 《ча・ Стин》， фотонов, обладающих энергией и импульсом Рассмотрим с этой точки зрения взаимодействие излучения с невозбужденпым к с возбужденкЬЕМ атомами. Рис. 155—156 наглядно представляют схему взаимодействия при поглощении, на

рис. 155, а представлены невозбужденньш атом и три фотона до взаимодействия; на рнс. 155,6 показано, что в результате взаимодействия атом поглотил один фотон (коэффициент 8竝)，пе- РеВД^ в возбужденное состояние Е\ а два фотона продолжают свое движение, не изменяя ни своих свойств, ни своего направления, 11а рнс. 156 изображена схема Индуцированного излучения: слева (рис. 156, а) возбужденный 打。乂 с энергией возбуждения 汇2方I =厶岁 И два фотона с то近 энергией Av

до взаимодействия; справа (рис. 155,— картина после взаимодействия, атом перешел в нормальное состояние, испустив фотон с той же энергией и тем же импульсом hv/c4 что и дающий фотон и все три то

ждественных фотона про

Рис 156.Рис 156.должают свое движение в параллельных направпе* ниях.

Рис 156.

Рис 156.

Мы видимч что случай / соответствует ослаблению, т. е, поглощению излучения; в случае же 〃 интенсив-

ность излучения возрастает -

8a счет вынужденных переходов я, поскольку при этом фотон излучается в том же направлении, что и падающий, можно говорить об отрицательном поглощении. Более детальный анализ

процесса показывает^ что электромагнитное излучение, испускаемое при индуцированных переходах, тождественно с падающим, не только па частоте, но н сохраняет с ним непрерывность по фазе: оно когерентно с падающим.

Это свойство настолько важно, что па нем следует остановиться. Очевидно, что поглО1ценр1е и вынужденное испускание — два в точности взаимно обратных процесса. Этот в частности, ясно из рис. 155 и 1561 начальное состояние первого процесса совпадает с конечным состоянием второго и наоборот, Далеет

хорошо известно, что при поглощении уменьшается интенсивность света, но полностью сохраняются свойства когерентности. Это видно из тогот что при любых интерференционных опытах прохождение падйюшега пунка света через поглощающую среду (например, светофильтр) не разрушает интерференционную картину. Другой пример: помещение светофильтра перед линзой не вносит никаких искажении в изображение. Из этого следует, qT。в результате поглощения (пможителы/ого) состояние коге- рентпости не изменяется.

Ц Э. В Шподьсквй, т. I

Ес』н теперь принять во внимание, что поглощение и вынужденное испускание, или иначе — положительное и отрицательное поглощение — два полностью взаимнообратных процесса, то, в си』у законов симметрии явлений, мы должны ожидать, что ин- дуцированное излучение должно быть когерентно с падающим. Таким образом, при прохождении света через среду,' содержащую возбужденные атомы и способную к вынужденному испусканию, световой поток по мере прохо?кдсция непрерывно увеличивает свою интенсивность, сохраняя когерентность, т. е. явление должно протекать в точности симметрично с картиной, ямеющей место при положительном поглощении, при котором： однако, интенсивность потока уменьшается, Как мы увнднм, это свойство вынужденного испускания имеет решающее значение 口口兄 его непосредственного экспериментального обнаружения.

(101.1)(101.1)Обратимся теперь ко второй части нашей программу —к установлению связи между обычной «макроскопической» характеристикой поглощения и коэффициентами Эйнштейпа В|2 и^2[. Пусть мы имеем параллельный монохроматический поток элек- тромагнитного излучения частоты v. После прохождения слоя вещестза толщины Аг пнгенсйвпасть излучения убывает. Соглас- но основному закону фотометрии (закон Бугера) ослабление интенсивности пропорционально падающей иптенсивпости и элементу толщины слоя Дх：

(101.1)

(101.1)

в интегральной форме,

где d ——полная толщина слоя. Множитель 2V (размерность ,“■[} я есть коэффициент поглощения.'

Вычислим теперь изменение интенсивности через коэффици- енты Эйнштейна Втп. Число атомов, находящихся на нижнем уровне и заключенных в объеме сечением в 1 см2 и толщиной Дх равно МА爲 Принимая во внимание, что каждый акт истинного (положительного) поглощения удаляет из потока излучения один квант hv, найдем, что уменьшение интенсивности вслед- ствие переходов Е〔 ->£2 равно

На основании аналогичных соображений найдем что вследствие индуцированных переходов EzfEj в поток поступает анергмя

Энергетический баланс обоих видов поглощения (положитель* ного и отрглхательного) равен

(101.2}(101.2}—A/у к (М&2 — №&[) Pv 〃У 厶尤.

(101.2}

(101.2}

Плотность излучения pv в параллельном пучке излучения сечением 1 см2, распространяющегося со скоростью с, очевидно, равна

Подставляя это выражение в (101.2), получаем

Сравнивая с (101.1) т видим, что коэффициент поглощения выра- жается через эйнштейновские коэффициенты так:

(МВ[2—

Принимая во внимание, что при gt = g2； Bai =⑶貶 получаем也产^М&20 一黑).

При равновесии^ в силу распределения Больцмана,

и мы получаем '

Второй член в скобках меньше единицы; например для 1 = =4000 Ат V = 7,5* 102 и при Т = 300 *

生=乌6"。77 了"。？=3

kT10-16-300'

er・2io$_ нпитожно малая величина. Легко видеть, что это всегда будет иметь место в видимой части спектра и при не слишком высоких температурах. Поэтому при равновесии всегда

瓦＞ 0,

е. суммарный коэффициент поглощения всегда положителен, или иначе — акты положительной абсорбции превалируют над актами абсорбции отрицательной. Причина этого в конечном счете состоит в 丁。斯,что число атомов на нормальном уровне при равновесии (распределение Больцмана!) всегда больше числа возбужденных атомов.

Чтобы создать среду с отрицательным поглощением и таким образом экспериментально выявить индуцированные переходы необходимо осуществить неравновесное состояние, при котором число возбужденных атомов было бы больше числа атомов, находящихся в нормальном состоянии. Такое неравновесное состояние часто условно называют состоянием с отрицательной

температурой по следующей причине. Из распределения Больцмана, полагая по-прежнему g? = gi (что не меняет общности вывода), находим

'—k In '

так как, по условию,邑 > Ei, а №/М < h т。Т > 0, как и следовало ожидать (равновесное состояние), но при Nd№ > 1, Т V 0 — температура отрицательна. Термин ^отрицательная температура» из-за практического удобства широко применяется, хотя понятие температуры к неравновесным состояниям непрп меьтимо. На этот термин слепует смотреть просто как на синоним состояния с обращенным распределением атомов по уровням энергии.

Имеется ьцельтй ряд способов создания среды с отрицательной температурой. С этой целью либо стремятся косвенным путем создать избыток атомов на более высоком уровне анерглк по отношению к некоторому более низкому (не обязательно самому низкому) уровню, либо, наоборот, — искусственно понизить населенность более низкого уровня по отношению к более высокому- Очевидно, что в том и другом случае осуществляется обращенное распределение атомов по уровням и, следовательно, «отрицательная температура》для выбранной пары уровней-

Простейшее проявление индуцированного испускания в условиях отрицательной температуры состоит в осуществлении отрицательного поглощения, т. е. в обнаружении коэффициента прозрачности большего единицы. Таким путем советским физиком В. А- Фабрикантом еще в 1939 г, были обнаружены индуцированные переходы в видимой части спектра а парах ртути, возбужденных при электрическом разряде в некоторых специальных условиях. Им же был впервые сформулирован принцип молекулярного усиления.

§ 102. Генераторы света

Вынужденные переходы получили важные практические применения, На их основе созданы молекулярные генераторы и усилители в сантиметровом диапазоне радиоволн (мазеры), а также оптические квантовые Генератора (лазеры *))т — источники света в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной областях, обладающие уникальными свойствами.

*) Эти своеобразные названия являются сокращениями полных названий maser — mi его wave amplification by stimufated emission of radintion (усиление микроволн индуцированным испусканием излучения) laser — light amplilication by stimulated emission o[ radiation (усиление света лвдуцировзниым испусканием излучения).

Выбор рабочего вещества для оптических квантовых генераторов определяется главным образом возможностью достижения инверсной населенности для некоторой пары уровней энергии. Режим генерации наступает в том случае, когда эффект усиления света компенсирует потери энергии за счет процессов рассеяния, перепоглощения и т. п- Для генерации света используются как кристаллы, так и жидкости и газы. Несмотря на существенные различия в системах энергетических уровней, во временах жизни возбужденных состояний различных соединений, используемых в различных лазерах, основные принципы действия квантовых генераторов света одинаковы. Кратко рассмотрим эти принципы, а также свойства излучения генераторов света на примере рубинового лазера.

Кристалл рубина представляет собой окись алюминия, в кристаллической решетке которого некоторое число атомов А1 заменено трехвалептными ионами хрома Сг3+- При поглощении

света ионы хрома переходят с нормального уровне 金卜 на возбужденный (рнс. 157). Последний представляет, соб- ственно, не уровень, а достаточно широкую полосу. Возбужденные в пределах этой полосы ионы хрома затем частью переходят на некоторый уровень М, на котором они задерживаются в течение несколь

ких миллисекунд, т. е- в тече

ние времени на 4—5 порядков величины большего нормального времени жизни возбужденного состояния (10-7—10^8 сек). Благодаря этому на уровне М (который называется метастабиль- ным) накапливается значительное число возбужденных ионов-

Пока концентрация возбужденных ионов не достигает 50% всего числа ионов, возвращение на нормальный уровень 4】сопровождается обычной красной флуоресценцией рубина с указанной средней продолжительностью в несколько миллисекунд. Но как только число возбужденных ионов превзойдет число ионов на нормальном уровне, создается среда с отрицательной температурой и вследствие этого возникает возможность высвечивания за счет вынужденных переходов.

Для наблюдения этого явления кристалл рубина берется в виде стерженька или призмы длиной в несколько сантиметров с оптически отполированными строго параллельными посеребренными торцовыми гранами, одна из которых делается полупрозрачной- Достаточно нескольких фотонов, освобожденных путем спонтанных переходов, чтобы начался процесс вынужденных

переходов, причем освобождаемое фотоны в свою очередь вызывают новые вынужденные переходы, и таким образом процесс лавинообразно нарастает. Этому способствуют многократные отражения нарастающей лавины на противоположных торцовых гранях- При этом лавина растет, распространяясь туда и сюда внутри кристалла параллельно его оси, так как фотоны, случайно испущенные в Других направлениях, уходят из кристалла через его боковую поверхность- Когда интенсивность ла- внин фотонов достигает некоторой критической величины, часть ее, пройдя через полупрозрачную грань, выходит из кристалла и распространяется в виде узкого почти строго параллельного пучка

Это излучение обладает рядом совершенно замечательных свойств, Вопервых, телесный угол раствора пучка настолько мал, что без каких бы то ни было оптических средств в виде зеркал или линз пучок сохраняет параллельность настолько, что расхождение его на расстоянии километра — порядка всего одного метра *)- Если же использовать небольшое сжатие пучка, пропустив его в обратном направлении через астрономическую трубу, т。，как показывает подсчет, можно спроектировать на Луну пятио диаметром всего в 3 километра. Так как поток энергии в направленном пучке пропорционален (dQ—телесный угол расхождения пучка), то, ввиду ничтожной величины dQ, яркость пучка имеет грандиозную величину.

Благодаря этому с помощью специальных отражателей, установленных на луноходе, удалось осуществить оптическую локацию Луны.

Далее, в рубиновом генераторе непосредственно нз кристалла выходит вспышка мощностью 104 8T при сечении, меньшем 1 с№- Если сконцентрировать ее с помощью короткофокусной линзы, то в получающемся пятне развивается мощность, в ты- сячи раз превосходящая то, что может быть получено путем концентрации солнечного света.

Важным свойством излучения подобного генератора света является недостижимая никакими другими способами монохро, мэтичность. Вынужденное испускание есть резонансный процесс, ввиду чего оно возбуждается с наибольшей интенсивностью у максимума кривой частоты. Поэтому одновремешю с лавинообразным возрастанием интенсивности идет процесс сжатия интервала частот- В результате возникает монохроматическое нз・ лучение со спектральной шириной, значительно меньше/ естественной ширины спектральной линии (см. стр, 241). Особенно

*) Для сравнения заметим, что пучок, образуемый прожекторным зеркалом диаметром около двух метров, дает расхождение dp = Гт что 3。力 ве1ствует на расстоянии i км пучку диаметром 17

выгоден в этом отношении газовый генератор (гелий^-рнеон)* который дает инфракрасное нзлучспне со спектральной шириной, меньшей одного килогерца при несущей частоте 105 Мгц.

Другим важным свойством иидуцироваквого излучения является его когерентность. Как уже указывалось, спонтанное Испускание в протяженном источнике возникает в различных случайно распределенных в пространстве точках и в случайные, не связанные между собой моменты времени. Поэтому оно неко- герентно: не только лучи света от различных источников, но и лучи света от разных точек одного и того же источника между

собой не интерферируют- Чтобы осуществить с таким излучением интерференцию, необходимо пользоваться источником 'малого размера, разделять один исходный пучок на два или несколько, которые затем между собой интерферируют. При этом интерферируют в сущности потоки волн, исходящие от одного атома, и различные интерференционные картины просто складываются между собой-

Наиболее наглядным интерференционным опытом является опыт Юнга с двумя щелями: свет от удаленного источника малого размера (или от щелм, освещаемой удаленным источником), пройля через две параллельные щели, дает на удаленном экране типичную интерференционную картину, состоящую из последовательности чередующихся светлых н темных полос. Одаако этот опыт не удается, если источник света слишком велик или расположен слишком близко к экрану.

Излучение лазера является полностью пространственно- когерептным- Поэт ому интерференция беспрепятственно возникает, если спекать две щели прямо на лолупосеребренной

поверхности, через которую выходит наружу индуцированное излучение. Это показывает, что выходящая из кристалла волна имеет действительно плоский фронт и различные пространственно-разделенные точки этой волны когерентны. Рис. 158 иллюстрирует схему опыта Юнга с рубиновым излучателем. Справа на рисунке приведена фотография интерференционной картины.

Замечательные свойства шгдуцированного излучения широко используются в научных и практических целях. Создание квантовых генераторов по существу означало возникновение новых разделов физики — квантовой радиофизики и квантовой оптики ,

*) См т например, А. Л. Микаэлян, М. Л. Тер -Микаэлян, Ю： Г, Турков, Оптические генераторы на твердом теле, «Сов. радио», 1967, Дж. Бирнбаум, Оптические квантовые генераторы, «Сов, радиол 1967.

ГЛАВА VIII

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙВОДОРОДНОГО АТОМА

§ 103. Серия Бальмера

Спектральные линии атомного водорода в своей последовательности обнаруживают простые закономерности. На рис、159 приведена фотография спектра испускания атомного водорода,

Рис. 159.Рис. 159.Серия Бальмера в спектре испускания атомарного водорода: Яд,?6，»Y，斤6 一 виднмне линии;厅8 — предел серий.

Рис. 159.

Рис. 159.

полученная в лабораторных условиях, а на рис. 160 — фотография того же спектра (в абсорбции) в звезде g Tauri. Существование закономерной связи между спектральными линиями на

Рис. 160. Серия Бальмера в спектре поглощения (звезда 巴 Tauri), начиная с до предела серии.Рис. 160. Серия Бальмера в спектре поглощения (звезда 巴 Tauri), начиная с до предела серии.

Рис. 160. Серия Бальмера в спектре поглощения (звезда 巴 Tauri), начиная с до предела серии.

Рис. 160. Серия Бальмера в спектре поглощения (звезда 巴 Tauri), начиная с до предела серии.

той н другой фотографиях прямо бросается в глаза, И действительно, уже в 1885 г, Бальмер показал, что длины волн четырех линий, лежащих в видимой части и обозначаемых символами &, Не, Hv, Н6 (рис. 159), могут быть очень точно представлены эмпирической формулой

где вместо 几 следует подставить целые числа 3, 4, 5, 6 п В — эмпирическая константа, равная 3645,6- 10-s см = 364 5,6 А. Насколько точно совпадают вычисленные по этой формуле длины волн с данными непосредственных измерена比 которые были известны Бальмеру, видно из таблицы XI.

Т а б л и ц а XI

Линия

Вычислено по формуле Бальмера,

По нэчеренияч Ангс гречй.

Разность, А

6562,08

6562.10

+0,02

4860,80

4860,74

—0,06

4340т00

4340.10

+0,10

Н：

4101,30

4101,20

-0,10

Помимо четырех видимых линий в то время было известно пять ультрафиолетовых в земных источниках и 10 — в спектрах белых звезд. Подставляя в формулу Бальмера дальнейшие целые числа 及=8, , можно было получить также и длины волн этих ультрафиолетовых линий. Однако совпадение вычисленных и наблюденных длин воли для этих лилий оказалось несколько худшим, что, впрочем, объясняется исключительно неточностью, с какой в то время были измерены эти лин^и.

Закономерность, выражаемая формулой Бальмера, становится особенно нагляднойт если представить эту формулу з том видет в каком ею обычно пользуются в настоящее время. С этой целью следует преобразовать эту формулу такт чтобы она позволяла вычислять не длины воли, ио частоты или волновые числа. По известной формуле частота (число колебаний в 1 сек) выражается в виде

где с — скорость света в пустоте и 一 длина волны' также в пустоте、Волновое число есть обратная длина волны или число волн, укладывающихся на I см\

В спектроскопии пользуются лрсдпочтителыю волновыми числами (в са「|), так как длины волн определяются в настоящее время с огромной точностью ит следовательно, с тою же точностью известны и волновые числа, тогда как скорость света, а

значит, и частит а определены со значительно меньшей точностью.

Из (103.1) получаем

V却 (103.2)

Обозначая постоянную 4/В через R (первая буква фамилии выдающегося шведского спектроскописта Ридберга, именем которого названа эта постоянная), перепишем (103.2) так:

* =r(击一5) (" = 3, 4, 5,003.3)

Это и есть обычный вид формулы Бальмера,

Из формулы (103.3) видно, что по мере увеличения п разность между волновыми числами соседних лйнйн уменьшается, и при 八=8 мн получаем постоянное значение v = R/2?. Таким образом, линии должны постепенно сближаться, стремясь к предельному положению v = (/?/4) ск. Это хорошо видно на фотографиях рис. 159 и 160; теоретическое положение предела серии указано на рнс. 159 символом Нм. Наблюдение по- казмвает, кроме того, что с увеличением номера линии п закономерно уменьшается ее интенсивность. Таким образом, если схематически представить расположение спектральных линий, охватываемых формулой (163.3), и условно изображать длиной линий их интенсивность, то получится картина, показанная на рис, 16L

I I 111 …，a，》

Рис. 161. Общая схема спектральной серии.

Совокупность спектральных линий, обнаруживающих в своей последовательности и в распределении интенсивности закономерность, которая схематически представлена ца рис. 161, называется вообще спектральной серией. Предельное волновое число, около которого сгущаются линии при п оо, называется границей серии.

Получение большого количества линий атомного водорода прн помощи земных источников связано с различными экспериментальными трудностями. Поэтому только в 1920 г. Вуду удалось сфотографировать 22 и промерить 20 членов серии Бальмера. Наибольшее количество линий этой серит! можно было промерить в спектре солнечной хромосферы и протуберанцев (до 37 членов).

332 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ VII[

§ 104. Серии Лаймана, Пашена и др.

Обобщенная формула Бальмера

Наряду с сер ней Бальмера в спектре атомного водорода был обнаружен ряд Других серий, представляемых совершенно аналогичными формулами. Так, в крайней ультрафиолетовой части

СЕРИИ ЛАЙ,ЧАНА. ПАШЕНА И ДР.

Продолжение табл. XII

спектра Лайман открыл серию

v = R(%-±)(儿= 2,3,…).(Ю4.1)

В инфракрасной части (гзйдено трн сернн: серия Пашена

R 玲—营)(п - 4, 5, ., .),(104.2)

серия Брэкета

v =3) (п = 5, 6,…)，(104.3)

серия Пфунда

v=R 悖一％) (« = 6, 7, .,.).(104.4)

Отсюда видно, что все известные серии атомного водорода можно представить обшей формулой

、=R 倩一 ±)，(m.5)

где 加 имеет в каждой данной серии постоянное значение

(т == 1, 2, 3, 4, 5}, а п — ряд целых значений, начинающихся с числа, на единицу большего 加.Формула (104.5) называется обобщенной формулой Бальмера.

В таблице XII приведены длины волн в различных сериях атомного водорода, вычисленные и измеренные непосредственно (для серии Бальмера приведено 10 членов из промеренных 36). Эта таблица дает возможность судить о точности, с какой позволяют вычислять длины волн формулы спектральных серий-

Та бл ица XI(

Обзор серий атомного водорода

%вак Заб"」

%к (знанзз)

V (ВЫЧЯСЛ.)

2

I 9|5 R»

82258,31

з

]Q26 0

1025,73

97491,36

4

972,7

972.54

102822 94

л

(”а6;ь)

%к(вычисл-1

V (Вычисл.)

6562,8473 6562,7110

4861,3578

4861,2800

4340,497

4340.429

4101 7346 3970,0740 3889,0575 3835,397

3797,9] 0

6562,798

4861,327

4340,466

4101,738 3970,075 3889,052 3835,387 3797,900

15233,216

20564,793

23032,543

25J8J,055~ 24373,343 25705,957 20065,61 26322,90

Серия п а

енад&击一士）

“

^ВОМ("э6л'1

“BOSJl (BHSJ

V (вычисл.)

10

1,09 10 049,8

10938 1

10049,4

8^62,9

533〔,58 7799,33 9139 84 9948,13

10472,74 10832,40 11089,69 11280,03

Серия Б р _

ета v-R(±-f)

е

”8/1 ga6i)

1

3031 Миел “

V (вычисл.)

5

4,05 мкм140510,4

2,63，,£*26251,6

3808,26

Серия П ф

нда -小善一,

A 3a6j)

А 1вычисл.}

V (вычисл.)

6

7,40，”км

74578,0

1340,512

Серия Бальцера v = /? ^-Х-L-J

§ 105. Спектральные термы. Комбинационный принцип

Сравнивая между собой формулы (104.1) — (104.4)，легко за” метатьт что постоянный первый член каждой из этих формул является одним из переменных членов в другой. Напримерт постоянный член формулы серии Пашена R/3? является первым из возможных переменных членов,формулы серн% Бальмера и вторым —для формулы серии Лаймана^ постоянный член серии бальмера, в свою очередь, является одним из переменных членов в формуле серии Лаймана и т. д. Этот факт особенно ясно виден в написании обобщенной формулы Б_|Льмера (104.5)，которая показывает, что волновое число любой спектральной линии водородного спектра можно представить как разность двух членов типа Щт2 при каких-нибудь двух целых значениях т. В зтом заключается современная формулировка так называемого комбинационного принципа.

Вводя обозначения

мн можем записать (104.5) в виде разности двух функций целых чисел

V = Г(т) — Г (п).

Числа Т(м), Т(т) называются спектральяьшЕГ теряои или просто термами. Для водородного атома вся система термов получается из одной общей формулы

-(拉2,(105.3)

Из (105,3) следует, чтот зная систему термов для данного атома, мы можем получить волновое число любой спектральной линии как разность двух членов этой системы.

Мы можем дать комбинационному принципу несколько иную формулировку： если мзвестнн волновые числа двух спектральных линий одной и той же сериит то их разность будет также волновым числом некоторой третьей спектральной /пннн, принадлежащей тому же атому. Пустьт например, даны волновые числа двух линий серии Лаймана:

— и —

Тогда разность va ——vt будет волновым числом первой линии серии Бальмера

% и т.

В самом деле, из последнего столбца таблицы XII находим

骂=82 258,31, v2 = 97 491,36.

Разность этих чисел равна V2 — v, — 15233,05. В той же таблице для первого члена серии Бальмера (〃 = 3) находим v = =15233,216 —число, совпадающее с va~vL в Пределах ошибок наблюдения.

Комбинационный принцип был открыт чисто эмпирическим путем и, подобно многим другим закономерностям в спектрах, он казался вначале каким то числовым курьезом. Глубокий смысл этого принципа Открылся только после того, как были формулированы квантовые постулаты Бора.

Нетрудно убедиться в том, что закономерность в частотах, выражаемая этим принципом^ резко противоречит классической физике. В самом деле, если приписать электрону одну степень свобоан, то спектр должен был бы состоять из одной частоты и ее обертонов; если же связь электрона такова, что ему следовало бы приписать три степени свободы, то мы имели бы три основные частоты и их обертоны. Однако на самом деле в атомных спектрах вообще не наблюдается никаких обертонов, т. е. уастот, образующих гармонический ряд.

Впервые Бор с полной отчетливостью указал на то, что комбинационный принцип является ярким выражением своеобразных кцантовых законов, управляющих внутриатомными движе- ннямн；О6о6щан и формулируя точнее гипотезу Планка, высказанную для qacTHor。случая линейных осцилляторовт 'зэн увидел в комбинзционлом принципе указание на tq, что атамы могут находиться только в определенных состояниях, энергии которых образуют дискретный ряд. Такие образом, каждому терму отвечает определенное стационарное энергетическое состояние,! и условие частот Борат( формулированное в § 90, представляет собою не что иное, как комбинационный Прннинп, выраженный иным способом, а именно так, что каждая из испускаемых частот связывается с двумя стационарными состояниями. Если мы булем обозначать через v волновое числот выраженное в елг* то частотат выраженная в сек，будет равна с, и условие частот (90-1) иаиишется в виде

hcy = Еп — Ет, откуда

v^E^hc—Ejhc. (105.4) Если положить .

Т {] 05.5)

то (105.4) представится в виде

т. мн получаем уже известную формулировку комбинационного принципа. Знак минус в (105.5) имеет условное значение: как мы знаемт энергия (нерелятивистская) злектрона, связанного

в кулоновском полет всегда отрицательна {§ 51), в то время как термам удобнее приписывать положительный знак.

Введя в (1054) выражение терма через постоянную Ридберга по определению (105,1 )т мы можем выразить и энергию атомов через эту постоянную：

Еп = - Rhe(105.6)

В этой формуле h и с — универсальные постоянные, п ——целое число и только R — эмпирическая константа， Наша формула приобрела бы исчерпывающе ясное физическое значение, если бы мн сумели выразить также н постоянную Ридберга R через универсальные константы. Это удалось сделать Бору уже в первом наброске его теории строения атома.

§ 106・ Квантование круговых орбит

В основе теории Бора лежат квантовые постулаты^ формулированные в § 90, а_именпот постулат о существовании стационарных состояний и условие частот. Эти постулаты, как уже неоднокр.атпо указывалось, находятся в резком противоречии с законами классической физики. В самом neg в то время как постулаты Бора требуют существования дискретной последовательности уровней энергии, которым соответствует в атоме избранный ряд квантованных орбнт, — классическая механика приводит к непрерывному множеству орбит. Это противоречие имеет весьма обший характер. Совокупность фактов однозначно указывает на то, что в явлениях атомного мира проявляется прерывность, характеризуемая конечной величиной (неравенством нулю) постоянной Планка. Наоборот, для явлений макро скопическогот т. е、большого, масштаба характерна именно непрерывность.

Мы приходим, таким образом, к выводу, что классическая механика с ее непрерывно изменяющимися величЕ1нами неприменима к атомным явлениям. В дальнейшем, в главе X, мы уви- днм, что на самом деле этот разрыв очень глубок, так как ока- зываетсят что очень маленькие частицы — электроны, протоны и т. п. — при своих движениях подчиняются совершенно своеобразным квантовым законам, резко отличающимся от законов классической механики. Это обстоятельство, однакот было открыто лишь через двенадцагь лет после установления постулатов Бора. На первых же стадиях развития- атомной механики пришлось воспользоваться следующим логически противоречивым методом: сначала задача решалась при помощи классической механики (заведомо неприменимой полностью к внутриатомным движениям), а затем из всего непрерывного множества состояний двнжецн% к которым приводит классическая

механика, отбирались на основании специального постулата из- бранныет квантовые состояния, Несмотря на все несовершенство этого методат он привел к очень большим успехам. Достаточно было подметить некоторые своеобразные черты атомных процессов и сделать из этого необходимые выводыт чтобы получить возможность распутать сложные закономерности в атомных и молекулярных спектрах, зпачитеьчъно ближе подойти к пониманию химических процессов и т.瓜

Формулируем прежде всего тот специальный постулат, на основе которого в теории Бора производился выбор квантованных орбит- Мы будем при этом исходить из самой простои модели атома: центральное положительно заряженное ядро, около которого обращается электрон по круговой орбите. Несколько более сложный случай эллиптических орбит мы коротко рассмотрим ниже, в § ИЗ.

Постулат для выбора квантованных орбит, который нам необходимо формулировать, представляет собою целесообразное обобщение постулата Планка для выбора квантовых состояний линейного осциллятора. Согласно этому последнему постулату нз всех возможных состояний линейного осциллятора осуществляются только такие, энергия которых равна '

En = nhv. (106.1)

Формулируем сначала это условиет применимое только к ли- верному осциллятору, несколько иным образом. Для этого мы прежде всего перепишем его в виде

= (106,2)

эпергия частотаэпергия частотаНаписанное в таком виде условие мн будем рассматривать как общее требование, заключающееся в том, что в атомных систе-

эпергия частота

эпергия частота

мах механическая величина, имеющая размерность

или, что то жет [энергия X время] и называемая действием, должна быть кратной постоянной Планка h. Вопрос теперь сводится к целесообразному внбору этой величины для каждого частного случая.

Чтобы указать обшее правило, автоматически приводящее к правильному выбору состояний, мы снова рассмотрим линейным осциллятор. Его состояние в классической механике характеризуется декартовой координатой 尤 и соответствующим ей количеством движения тх. Обозначим эти параметры- состояния через g н р и бупем изображать состояние осциллятора точкой в фазовом пространстве,*как это принято в статистической механике, Поскольку в данном случае состояние системы полностью характеризуется авумн параметрами р н д, фазовое 《□ростр анство» является плоскостью, и каждое состояние

338 СПЕКТТАЛЬЙЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VHT

системы, характеризуемое данными значениями р н д, представится точкой на этой плоскости. При движении в системе эта точка будет непрерывно менять свое положение, описывая неко- / торую фазовую траекторию (рис. 162). Посмотрим, какова будет эта траектория для осцилляторат обладающего данной энер* гией Е、 Напишем выражение для полной энергии (7+炉) осциллятора (см, § 46)

E=T + U=粤+萼=爰+粤*(106.3)

Разделим обе части (106.3) па

вводя обозначения

a=]/2mE и b = y^.(106.4)

получим

多+ L(106.5)

Но (106.5) есть уравнение эллипса, так что фазовая траектория линейного осциллятора есть эллипс, оси которого согласно (106-4) для данного осциллятора (заданные т и 力 определяются энергией Е、Вычислим теперь площадь нашего эллип

са. Площадь, ограничиваемая кривой g =『(х), равна j g dx ; с другой стороны, площадь эллипса равна 冗畋 Поэтому §pdg= nab, где кружок у интеграла указывает, что вычисление его следует вести по замкнутому контуру. Но по (106.4)

= л ]/2тЕ ]/2E/f

Так как для гармонического осциллятора с =圭"|/ 丄,то

§ pdq 0= 2乳Е= E/v(I0C,5!

или, принимая во внимание (106.2)т

(106,7)(106,7)§ pdq = nh.

(106,7)

(106,7)

Теперь нам осталось сделать цоследг^ий шаг: формулу (106.7) мы будем рассматривать как общее условие квантования для любых систем с одной степенью свободы, если только под g п р разуметь обобщенную координату и соответствующий ей обобщенный импульс,

Применим это общее условие к нашей модели электрона, обращающегося по круговой орбите. 3qecb в качестве координаты целесообразно выбрать полярный угол 屮，характеризующий положение электрона на орбите. Соответствующим ей обобщенным импульсом будет [см. (57.5)] момент количества движения 加戶小 Если Mb】 теперь подставим в (1067) ф и вместе g я р л примем во внимание, что согласно закону сохранения момента количества движения 卩①=const, то получим,

nh = ^ pdq= р中 °屮=pg J d(p = 2冤р(р, откуда сразу имеем

Это и есть искомое оправило квантованиям круговых орбит： из всех возможных согласно классической механике орбит в действительности осуществляются такие, у которых момент количества движения есть Кратное 力/2冗、Последняя величина h/2n является, таким образом, квантовой единицей момента количества движения. Ее принято обозначать через 方、

В таком случае формула (106.8*) принимает вид:

(106.8)

§ 107. Теория Бора

Обратимся теперь к теории Бора. Будем рассматривать так называемый «водородоподобпый атом》，е. систему, состоящую из ядра с зарядом +Ze {Z一 целое число) и одного электрона. При z = 1 такая система представляет собою собственно водородный атомт при Z = 2 ——однократно ионизованный атом гелия Не+, при Z = 3 двукратно ионизованный атом лития Li^T при Z = 4 — Be*卄 и т. &

Из кинетической теории газов известно, что «размеры» атомов порядка 10-8 см. С другой стороны, из опытов Резерфорда с рассеянием ct-частиц (§ 27) следует^ что закон бпона нмеет место вплоть до расстояний порядка 10・即。此；поэтому мы можем быть уверены в том, что вз а и моде йст s ие электрона с ядром в нашей модели подчиняется закону Кулона, т. е. силат с которой ядро удерживает электрон, должна быть равна Ze2"z. Если мы допустим, что движение электрона в атоме подчиняется

законам классической механики, то мн сможем перенести на нашу модель все результаты, полученные при решении кеплеровой задачи в классической механике (§ 51); в частности, полная энергия (кинетическая + потенциальная) такой системы должна быть равна

где а ——большая полуось эллипса или в данном случае ——радиус круговой орбиты. По третьему закону Кеплера (§ 51) радиус а связан с периодом обращения Т соотношением

(5L24)

Второе соотношение даст нам правило квантованнн, установленное в предыдущем параграфе:

(106,8)(107 ⑴(107.2)(106,8)(107 ⑴(107.2)1рф ==力九

(106,8)

(107 ⑴

(107.2)

(106,8)

(107 ⑴

(107.2)

Далее, по определению,

Pе = ma?© = zntAo = 2(加q2v, откуда, принимая во внимание (106,8)

2冗m

2方2Й =出一.2方2Й =出一.Комбинируя (107,2) и (51.24), легко найдем

2方2Й =出一.

2方2Й =出一.

(107,3) *

При Z = 1 п 〃 = 1 (первая орбита водородного атома) мы получаем

%п£ = 0,528，10Тс/.(107.4)

Эта комбинация универсальных постоянных будет встречаться при вьЕЧислениях и в дальнейшем; мы ее всегда будем обозначать через Подставляя значение (107,3) в (51.19), по лучим

давая п последовательный ряд целых значений 1, 2, 3,・・，, мы и получим квантованные значения энергии Е,, …，

воспользовавшись условием частот hex = 2nft cv = — Е丸 И подставляя сюда выражения для Еп и £а из (107.5), получим обобщенную формулу Бальмера для водородоподобных атомов в виде

(107.6)

Полагая здесь Z = 1, получим формулу Бальмера специально для водородного атома, а множитель перед скобками и будет искомым выражением постоянной Ридберга через универсальные постоянные:

(107.7}(107.7}2门2侬4 _尸B

(107.7}

(107.7}

№с4n方兀’

Для вычисления R воспользуемся современными наиболее тои、 ными значениями универсальных констант с, е/т,方，с:

ср 2,99793 - Ю1 см/сек,力=1,0544，10 7 эрг ♦ сек, m(107.8)

е = 4,8030 ♦ 10 0 СГСЭ,嗦=! /589 107СГСМ ♦ L;

R= 109 737,303 слГ*R= 109 737,303 слГ*(107.9)(107.9)формула (107,7) даст тогда следующее теоретическое значение для R\

R= 109 737,303 слГ*

R= 109 737,303 слГ*

(107.9)

(107.9)

Rh = 109 677,581 ■.Rh = 109 677,581 ■.(107Л0)(107Л0)тогда как величина Rh, эмпирически найденная из точнейших спектроскопических измерений, есть

Rh = 109 677,581 ■.

Rh = 109 677,581 ■.

(107Л0)

(107Л0)

Совпадение теоретически вычисленного и экспериментального значений R настолько близко, что оно пе оставляет сомнений в правильности найденной бором формулы (107,5) для уровней энергии водородоподобпых атомов. В действительности это совпадение лучше, чем может показаться терн непосред- ствепном сравнении (107,9) и (107」0)，Дело в том, что эти два значения в сущности между собою несравнимн, так как при выводе формулы (107.7) сделано одно допущение, не оправдываемое точностью современных спектроскопических измерений. А именно, мы предполагали, что ядро водородоподобного атома неподвижно, тогда как по законам механики следует рассматривать движение электрона и ядра около их общего центра инерции. Допущение неподвижного ядра было бы оправдало (см, § 50) лишь в том случае, если бы массу ядра можно было считать бесконечно большой по сравнению с массой электронах В действительности же отношение массы водородного ядра к 、массе электрона равно

Мн/т = 1836,1,

и при огромной точности современных спектроскопических измерений пренебрежение конечной величиной массы ядра недопустимо.

Нетрудно, опнако, внести поправку, учитывающую это обстоятельство. Как мы видели в § 53, для точного решения задачи о двух телах в формуле (107.5) вместо массы электрона необходимо ввести приведенную массу электрона и ядра:

где М — масса ядра с атомным номером Z. Формула (107.7) ■ при этом примет вид

& 一 4几方左 一 4+一 4兀成/0 +句材2广‘

Для водорода Mz = Мн и

а 亠：一 (107,12) 4n 力 ％ 0 + 財 н)、

При Mz = 8 формула (107-11) переходит в (107-7) ■ Поэтом у t если обозначить величину даваемую (1077), через Rg, то (107.12) примет вид

а общая формула (107-11) представится так:

&=й^7・(皿 4)

При помощи формулы (107-13) мы можем произвести окон， нательную проверку теории следующим образом: подставим в (107,13) наиболее точное экспериментальное значение Rh = =109 677,581 и из (10 7.13) вычислим принимая = =1/1836,5, получим

R8 = Rhj(1 + 肃)=109 677,581(1 +7^5-)=! 09 736.8 07

Сравнивая это со значением 109 737,3 03, вычисленным непосредственно по формуле (Ю7.7)т мы впднм, что совпадение не оставляет желать лучшего.

§ 108, Серия Пикеринга и спектры водородоподобных ионов

В 1897 г, астроном Пикеринг открыл в спектре звезды J Puppis спектральную серию, которая очень напоминала серию Бальмера, С историей этой серии связана одна из блестящих побед квантовой теории строения атома、Рис. [63, на котором схематически изображены обе серии, показывает, что линии серии

Пикеринга можно разбить на две группы: линии одной грулпы, расположенные через одну, почти совпадают с линиями серии Бальмера, а промежуточные линии не имеют аналогов в серии Бальмера. Ридберг показал, что эта серия может быть представлена формулой бальмера, в которой, однако, п имеет как целые, так и половинные значения:

”他= 2,5; 3; 3,5;…)；(108.1}

целым значениям соответствуют линии, совпадающие с бальме- ровыми, а половинным ——промежуточные.

Как питались получить эту серию с земным водородом, это не удавалось. Поэтому серия Пикеринга была приписана

Рис. 163. Серии Бальмера и Пикеринга, Линии серин Бальмера изображены более длинными черточками.

водороду, находящемуся в звездах в каком-то особом состоянии. Наконец, удалось получить эту серию в лаборатории, но оказалось, что для успеха опь]та к водороду обязательно дол жен бьтть Примешан гелий. Эту противоречивую совокупность фактов распутал бор, предположив, что серия Пикеринга принадлежит вовсе не водороду, но ионизованному гелию. В самом «деле, так как на основании (107.6) v пропорционально Z2 и для гелия Z = 2, то спектральные сернн ионизованного гелия Не+ должны укладываться в формулу

” = 4/Ц+Т)・ '(108.2)

Если положить здесь zn g 4, то формула принимает вид

% = 4/?не (% — *) (九=5, 6,...),

но ее можно также представить и в виде

(〃2)2(〃2)2

(〃2)2

(〃2)2

или, если обозначить п/2 через 田

V = Кне (^^) 优=2,5; 3; 3,5; 4; . •.).

Но это и есть формула серии Пикеринга. Вследствие различия масс водорода и гелия константа Ридберга Rm должна немного отличаться от Rh. Поэтому и для целых значений й линии серии' Пикеринга должны быть немного смещены относительно баль- меровшх линий водорода.

Эти предсказания Бора были подтвер?кдены Пашеном, который показал, что серия Пикеринга легко может быть получена в чистом гелии без всяких следов водорода, но не может быть получена в чистом эодородс, и что линии этой серим для целых

значений й смещены относительно бальмеровых линий в фиолетовую сторону, как и следовало ожидать по формуле (108.2), Иллюстрации этого смещения можно найти в таблице XIII, где приведены измеренные Пашеном точные длины волн в спектре ионизованного гелия, а рядом——длины волн бальмеровой серии водорода, соответствующие целым значениям

Следующими за Не* водородоподобными ионами являются двукратно ионизованный литий Li++ (Z = 3) и трехкратно ионизованный бериллий Be44* (Z = 4). Их спектральные серии должны подчиняться формулам

Первые члены серим Лаймана (т == 1) для этих ионов на czmom деле удалось найти в далекой ультрафиолетовой части спектра.

На рис, 164 графически представлено изменение постоян- ной Ридберга в зависимости от массы ядра.

Упражнении： 1 Длина волны перво百 линии серии Лаймана для ионизованного гелия равна 入=303,797 А Вычислить; а) постоянную Ридберга для бесконечно большой массы； 6) энергию ионизации иона Не*, выразив ее в Зм1ектро|рвольтах.

меренные длины воли в спектрах ионов и Ве+* имеют следующие значения (в единицах А):

Be"

«1 = 1

仆=1

”2 = 2

礼2 = 3

135,01' 113,92

/ = 1

〃2 = 2

75,94

Вычисли I ь первые три терма иона Li" и первые два терма Be***.

§ 109. Применение предыдущей теории.

Открытие тяжелого изотопа водорода

Зависимость постоянной Ридберга от массы ядра была использована при открытии тяжелого изотопа водорода. Этапы этого открытия очень напоминают историю открытия благородных газов, начиная с аргона, в атмосфере, толчком к которому послужило^ как известно, небольшое расхождение между величинами атомного веса атмосферного азота и атомного веса азота, полученного в лабораторных условиях из различных химических соединений. Эта история является превосходной демонстрацией смысла точнейшего определения констант и очень хорошо подтверждает остроумное замечание одного из естествоиспытателей конца XIX столетия:《сколько еще открытий таится вокруг шестого десятичного знака!»

История открытия тяжелого водорода вкратце такова. Определение атомного веса водорода, выполненное Астоном при помощи масс-спектрографа, дало 1,00778 ± 0,000015 по отношению к атомному весу кислорода, условно принятому за 16,00000. Эта величина очень хорошо совпадала с атомннм весом водорода, найденным из химических определений: 1,00777 ± 0,00002,

В то время, когда производились эти измерения^ предполагалось, что кислород не имеет изотопов. Однако вскоре было обнаружено, что атмосферный кислород представляет собой смесь двух изотопов: О'б и О|8Т количества которых находятся в постоянном отношен™ 630 : L Учитывая зт。обстоятельство^ Бердж и Менцель обратили внимание на то, что совпадение

346 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРНИ Я УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОЧА ВОДОРОДА [ГЛ. VI]]

величин атомного веса водорода из масс-спектрографических и химических определений на самом деле иллюзорно и основано на принципиальной ошибке. В самом деле, каждая ^иния в масс-спектрографе отвечает одному определенному изотопу. ният которой приписывается масса 16,00000, на самом Пеле при。 надлежит изотопу кислорода О叱 в т0 время как в химических определениях масса 16 неправильно приписывается смеси О^ + ^зоОе Если условно приписать линии кислорода в масс-спектре ту среднюю массу, которую имеет кислород в химических опытах, т. е. О^ + VesoO1^ то ДЗ атомного веса в> дородат приведенного т^ким образом к химическом шкале, получается заметно меньшее число: 1,00756. Тот факт, что атомный вес водорода, определенный химическим способом иа ]00777—1,00756 = 0,00021, т. е, приблизительно на UQ2% больше, побудил Берджа и Менцеля высказать гипотезу, что и обычный водород, с которым имеют дело химики в своих опытах, в действительности представляет смесь по крайней мере двух изотопов: легкого с массой пр и бл из ительно 1 и тяжелого с массой (в круглых цифрах)，2. Из разности масс-спектрографического и химического атомных весов они определили отношение количеств изотопов в обычном водороде и получили Hi：H2 = 4500:

、 Возможности открыта тяжелого изотона способствовало необычайно благоприятное соотношение масс обоих изотопов.

Рис. 165. Фотография первых четырех членов серии Ла 自маиз у легкого и тяжелого водорода^Рис. 165. Фотография первых четырех членов серии Ла 自маиз у легкого и тяжелого водорода^искусственного увеличенияискусственного увеличенияВ то время как обычно разница в массах изото- нов относительно очень маха, вследствие чего их свойства настолько близ- кит что накопление како・ нибудь изотопа крайне затруднительно, здесь масса одного изотопа в .два раза больше массы другого. Вследствие этого их свойства весьма заметным образом различаются. Воспользовавшись

Рис. 165. Фотография первых четырех членов серии Ла 自маиз у легкого и тяжелого водорода^

Рис. 165. Фотография первых четырех членов серии Ла 自маиз у легкого и тяжелого водорода^

искусственного увеличения

искусственного увеличения

этим, Юри с сотрудниками добился процента т兄*е』0「0 водорода следующим образом: они подвергли 3 л жидкого водорода осторожному испарению при давлении в несколько мм рт. ст. Так как скорость испарения легкого водо-

рода должна быть больше, чем тяжелогот то по мере испарения последний должен был накопляться в смеси. Доводя количество жидкого водорода от 3 4 go долей кубического сантиметра, они ввели остаток в разрядную трубку и сфотографировали спектр,

рассчитывая ла то, что вследствие различия в величине постоянной Ридберга линии тяжелого водорода должны быть смещены относительно легкого. Это и подтвердилось на самом деле. На рис. 165 приведены фотографии первых четырех членов серии Лаймана для смеси легкого (Н〔) и тяжелого (Н£) водорода. Смещение линий видно вполне отчетливо- Соответствующие длины волн приведены в та б ли це XIV, где линии тяжелого водорода обозначены через 入》(тяжелый водород получил особое название — дейтерий, и ему присвоен химический символ D). В двух последних столбцах таблицы приведены разности 厶儿 измеренные и вычисленные при помощи значений постоянной Ридберга д'лз Н н D. Совпадение вычисленных и наблюденных значений △入 и здесь превосходно.

Рис. 166 представляет фотографию первой

Ряс. 166. Сравнение длин волн ^a (пижняя линия) и Da (верхняя линия).Ряс. 166. Сравнение длин волн ^a (пижняя линия) и Da (верхняя линия).линии (Н&) серии Бальмера легкого и тяжелого водорода.

Ряс. 166. Сравнение длин волн ^a (пижняя линия) и Da (верхняя линия).

Ряс. 166. Сравнение длин волн ^a (пижняя линия) и Da (верхняя линия).

Тяжелый водород дейтерий ——не только интересен как заместитель легкого водорода в различных соединениях, но весьма важен по своим применениям в ядер ной физике^ где

ядро дейтерия——дейтерон — является одним из наиболее удо6・ ных «снарядов》, применяемых для расщепления ядер.

Таблица

入口 (b

2 (в А)

厶久 вычисл.

АХ наМ.

【215,664

1025,718

972,533

1215,334

1025,439

972,269

0,330 0,279 0,264

0,279

0,266

§ 110. О спектроскопическом олределенинудельного заряда электрона

В § 39 уже упоминалось о том, что из спектроскопических данных можно определить удельный заряд электрона. Покажем теперь, как это делается.

Напишем выражения постоянной Ридберга для каких-нибудь двух атомов, например для водорода (Н):

丽， ’(1g)

348 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VHI и дейтерия348 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VHI и дейтерия(110.2)(110.2)где Мн и Л4л — массы атомных ядер. Из (НОЛ) и (110‘2) получаем„Rd 1 + m/Мн Rd -% 一^где Мн и Л4л — массы атомных ядер. Из (НОЛ) и (110‘2) получаем„Rd 1 + m/Мн Rd -% 一^откудаоткудат — (Rd — R") (Md + 加) 用 Rh ("d — 〃н)т — (Rd — R") (Md + 加) 用 Rh ("d — 〃н)(ПОЛ)(ПОЛ)Массы ядер Alp и 財凤 входящие в зту формулу, выражаются через агамные массы Н 我 D 〃 массу электрона след^^ощвм образом:Мн =犷一гп, Md r 戸一加(N — постоянная Авогадро) ‘Заряд Фарадея 尸 есть проязведеяие заряда электрона на постоянную Авога 反 роМассы ядер Alp и 財凤 входящие в зту формулу, выражаются через агамные массы Н 我 D 〃 массу электрона след^^ощвм образом:Мн =犷一гп, Md r 戸一加(N — постоянная Авогадро) ‘Заряд Фарадея 尸 есть проязведеяие заряда электрона на постоянную Авога 反 ро尸=Ne,尸=Ne,(ПОЛ)(ПОЛ)Из (103-3) и (103,4) получаемtn Nm N (电—Rh)(財D + 加)M【]Из (103-3) и (103,4) получаемtn Nm N (电—Rh)(財D + 加)M【]Принимая во внимание, что произведение Nm («атомный вес» электрона) — величина малая по сравнению с Н hD,Nm = 6,O22T(P‘9」o8 10~2a = 5T48，мы можем с достаточной точность^ воспользоваться для вычисления е/m вместо (110.5) следующей формулой:Принимая во внимание, что произведение Nm («атомный вес» электрона) — величина малая по сравнению с Н hD,Nm = 6,O22T(P‘9」o8 10~2a = 5T48，мы можем с достаточной точность^ воспользоваться для вычисления е/m вместо (110.5) следующей формулой:Rh D-hRh D-hh=尸（丽一&）h Fh=尸（丽一&）h F

348 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VHI и дейтерия

348 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VHI и дейтерия

(110.2)

(110.2)

где Мн и Л4л — массы атомных ядер. Из (НОЛ) и (110‘2) получаем„

Rd 1 + m/Мн Rd -% 一^

где Мн и Л4л — массы атомных ядер. Из (НОЛ) и (110‘2) получаем„

Rd 1 + m/Мн Rd -% 一^

откуда

откуда

т — (Rd — R") (Md + 加) 用 Rh ("d — 〃н)

т — (Rd — R") (Md + 加) 用 Rh ("d — 〃н)

(ПОЛ)

(ПОЛ)

Массы ядер Alp и 財凤 входящие в зту формулу, выражаются через агамные массы Н 我 D 〃 массу электрона след^^ощвм образом:

Мн =犷一гп, Md r 戸一加

(N — постоянная Авогадро) ‘

Заряд Фарадея 尸 есть проязведеяие заряда электрона на постоянную Авога 反 ро

Массы ядер Alp и 財凤 входящие в зту формулу, выражаются через агамные массы Н 我 D 〃 массу электрона след^^ощвм образом:

Мн =犷一гп, Md r 戸一加

(N — постоянная Авогадро) ‘

Заряд Фарадея 尸 есть проязведеяие заряда электрона на постоянную Авога 反 ро

尸=Ne,

尸=Ne,

(ПОЛ)

(ПОЛ)

Из (103-3) и (103,4) получаем

tn Nm N (电—Rh)(財D + 加)M【]

Из (103-3) и (103,4) получаем

tn Nm N (电—Rh)(財D + 加)M【]

Принимая во внимание, что произведение Nm («атомный вес» электрона) — величина малая по сравнению с Н hD,

Nm = 6,O22T(P‘9」o8 10~2a = 5T48，

мы можем с достаточной точность^ воспользоваться для вычисления е/m вместо (110.5) следующей формулой:

Принимая во внимание, что произведение Nm («атомный вес» электрона) — величина малая по сравнению с Н hD,

Nm = 6,O22T(P‘9」o8 10~2a = 5T48，

мы можем с достаточной точность^ воспользоваться для вычисления е/m вместо (110.5) следующей формулой:

Rh D-h

Rh D-h

h=尸（丽一&）h F

h=尸（丽一&）h F

Если подставить сюда точные значения констант, то на основании последних измерений спектров Н и D получается

^•= 1,7589 7 07 CFCMvi

Как внпно, наиболее точные значения е/m, полученные из опытов с JK门снен鼓ем з^емтроноз з з〃ект”,ма「нмтн&/ пмя^, близки к этому спектроскопическому значению e/加.

§ ]П]ДИАГРАММЫ УРОВНЕН ЭНЕРГИИ349

§ 111. Диаграммы уровней энергии

Подводя итоги сказанному в предыдущих rrzparpa巾ах, мы ввдим, что наиболее существенным результат。、] анализа спектра

И, 53И, 53/5/57272WJ5WJ5А启幫匸 soy—专土一 Aww *вп— / 7j a 二;706+ fА启幫匸 soy—专土一 Aww *вп— / 7j a 二;706+ fgg""!zls ^§ ^tf- 1 I- OUBfl-f §^!zls ^§ ^tf- 1 I- OUBfl-f §^

И, 53

И, 53

/5

/5

72

72

WJ5

WJ5

А启幫匸 soy

—专土一 Aww *вп

— / 7j a 二;7

06+ f

А启幫匸 soy

—专土一 Aww *вп

— / 7j a 二;7

06+ f

g

g

"

"

!zls ^§ ^tf- 1 I- OUBfl-f §^

!zls ^§ ^tf- 1 I- OUBfl-f §^

mo\

00

0

0

Рл& 167, Диаграмма уровней энергии аюма водо-рода.

является установление системы термов. Действительно, комбинируя термы попарно, мы прямо получаем волновые числа спектральных линий; умножая чисдат выражающие ^ермы в на Ас, мы получаем положительные значения энергии атома

в различных квантованных состояниях, Эти величины энергии, будучи выражены в электрон-вольтзх^ дают ионизационные п。* тенциалы атома в различных состояниях, а разности их — потенциалы возбуждения.

Для того чтобы быстро обозреть всю совокупность сведений об атоме, которые мы, таким образом, получаем, удобнее всего пользоваться диаграммами у ровней энергии. Простейшая из таких диаграмм для атома водорода приведена на ркс, 167. Здесь горизонтальными прямыми отмечены различные энергетические состояния. Для построения пх, согласно сказанному, достаточно отложить по оси ординат значемя R/fe2. По мере узеличеиия А расстояние между последовательными уровнями уменьшается и в пределе обращается в нуль. Выше места слияния расположена сплошная область неквантованных положительных энергий. Справа и слева помещены шкалы энергий и термов. Отсчет по той и другой шкале делается от места слияния уровне瓦 но так как для квантованных состояний энергии отрицательны, а термы положительны, 丁о энергия убывает снизу вверх, а термы (равнее работе ионизации) возрастают в том же направлении. На той же диаграмме стрелками показаны возможные перехода между уровнями и отмечены образующиеся при этом серии. Каждая серия возникает при переходе на нижний уровень со всех вышележащих уровней. Волновые числа спектральных линий можно отсчитывать при помощи правой шкаль! как разности термов, соответствующях конечному 刃 начальному состояниям.

Граничный сплошной спектр атомного водорода

Во всяком сериальном спектре к границе серии, т. е. к месту слияния линий, всегда примыкает сплошной спектр、простирающийся в сторону коротких волн. Этот сплошной спектр можно наблюдать как в 9М"сс“н, так и в абсорбции. Возникновение его связано с переходами электронов из состояний с положительной энергией в состояния с отрицательной энергией или наоборот. Как мы уже знаем, во всех квантованных состояниях электрон обладает -отрицательной энергиейь Отрицательный знак здесь обусловлен произвольностью выбора состояния с нулевой потенциальной энергией. Обычно потенциальная 9нер「ня, равная ну』ю, приписывается электрону, который покоится на бесконечно большом расстоянии от ядра. Поэтому отрицательный знак полной энергии указывает просто на то, что энергия электрона в таких состояниях меньше его энергии в том случае, когда он отделен от атома и покоится на бесконечно большом расстоянии, т. е. на то, что мы имеем цело со связанным Элек-

троном ). Отсюда следует, что положительной энергией должен об^адачь анектрсн, отдаленный от атома и имеющий избыток кинетической энергии над потенциальной. По классической механике такой электрон должен обращаться около ядра по гиперболической орбите (рис. 168), Однако первый постулат Бора требует, чтобы при сбрэщении пс этен орбьте электрон не излучал; излучение же может происходить только тогда, когда он перескакивает с этой гиперболической србптн на замкнутую (напримерт круговую). С другой стороны, согласно общим принципам теорвд квантов (см. следующий параграф) квантованию подлежат юлъко периодические или условно- периодические движеният вследствие чет зпектрон通 обращающиеся по гиперболическим орбитам, могут обладать любыми, непрерывно распределенными запасами энергии. §тнм и объясняется сплошной характер спектра.

Действительно, волновое иисл。， отвечающее переходу из квантованного состояния в состояние с энергией, равной нуле, будет 於(гра

ница серии), а волновое число, соответствующее переходу из квантованного состояния в состояние с положительной энергией будет

Так как АЕ > 0 п изменяется непрерывно, то v будет больше волнового посла Гранины серия и будет измеинться непрерывно, т. е. мы полуднх сплошной спектр, примыкающий к Граннис 'серии со стороны коротких волн, Очевидно, далеет что сплошной спектр поглощения указывает на процесса 07долепив электрона от атома с конечной кинетической энергией, т. е. на ионизацию, а 'сплошной спектр испускание на обратный процесс, т. е、на рексмбкванко положительного мона и электрона. Наконец, энергият соответствующая волновому числу начала сплошного спектра со стороны длинных воли, или, нт。 то же, волновому числу трапицы сер叫 должна быть равна энергии ионизации, т. е. энергии, необходимой для отделения электрона от атома

и перевода его в состояние с нулевой кинетической энергией. Таким образом, волновое число границы серий Лаймана 区门9 водорода

■V = —= Кн = 109 678 1

Сразу дает энергию ионизации водородного атома в основном, наиболее устойчивом состоянии* Если перевестн указанное волновое число в электрон-вольты, то получается 13,527 98 в согласии с непосредственно измеренной при помощи методов, раз。、 бранных в главе VII, работой ионизации водородного атома из нормального состояния 13,54 зз.

Квантование водородоподобного атомапо Бору ~ Зоммерфельду

В предыдущих параграфах мы рассмотрели большое число следствий теории Бора, обеспечивших последней исключительный успех. Зоммерфельд сделал дальнейший шаг в развитии теории, В то время как в первоиа^альной теории Вора рассматривались только круговые орбиты, Зоммсрфсльд использовал общее решение кеплеровой задачи в классической механике, т.е. учел тзкже и эллиптические орбиты Для этого понадобилось прежде всего расширение правила квантования, формулированного в § 106. Действительно, пока мы .рассматриваем только круговое движение электрона, нам достаточно правила квантования для одной степени свободы. Если же мы хотим учесть также и эллиптические орбиты, нам нужны правила квантования для системы с двумя степенями свободы, так как положение зпектрона на орбите в этом случае определяется двумя параметрами: радиусам-вектором^ и полярным углом (азимутом)屮. Наконец, если мы хотим принять во внимание пространственную орислтацшо орбиты, электрону следует приписать все три степени свободы.

Таким образом, первая задача, которую необходимо было решить, состояла в отыскании правил квантования для систем со многими степенями свободы. Эту задачу Зоммерфельд % независимо от него, Г* А、Вильсон решили для довольно общего случая систем—так называемых условно-периодических систем.

Простым примером подобной системы может служить так называемый анизотропный осниллятор. Представим себе частицу с массой которая движется на плоскости так、что ее проекции на две взаимно перпендикулярные оси координат со- BepuiaiOT простые гармонические колебания с различными частотами vs и Тогда уравнения движения частицы будут

加北=一力m砌=—®

откуда

хcos (2叫f +，)，У=^а2 cos (2叫f 十

и частоты будут

Если бы обе константы квазиупругой силы " и fz были равны между собой, то и частоты и vy были бы одинаковы, и мы имели бы обыкновенный изотропный осциллятор. Мы предполагаем, однако, что 九 *『2： в этом случае осциллятор называется анизотропным. Наиболее общее движение такого ос-

иисложную кривую (фигурасложную кривую (фигурациллятора получается тогда, когда ”^ и v? несоизмеримы. Пр 9ToM условии частица опнсывает

и

и

сложную кривую (фигура

сложную кривую (фигура

Наоборот,Наоборот,угольника.угольника.Лиссажу) т состоящую из многих петель (рнс. 169) и обладающую интересным свойством: кривая эта нигде не замыкается; она заполняет прямо、 угольник о® с равномерной плотностью, так что движущаяся точка может подойти бесконечно блнз・ ко к любой точке, лежащей внутри этого прнмо、

Наоборот,

Наоборот,

угольника.

угольника.

если vx и уу соизмеримы, то получается чисто пе、

риодическое движение; напрнмер, при v^ = vy частица либо совершает колебания по прямой, либо описывает круг или эллипс, При каком-нибудь другом рациональном отношении частот получается, вообще говори, сложная, одна ко обязательно замкнутая кривая; выйдя из определенной точки и описав более иди менее сложную траекторию, частица вновь вернется в эту тоику, и движение начнет повторяться. Во всех таких случаях мы имеем дело в сущности не с двумя основными частотами у* и 也，а только с одной, так как вследствие рациональности отношения Че/、？ вторую частоту можно выразить через первою. Отсюда ясно, что чисто периодическое движение есть частный случай условно-периодического и притом особенный случай： вместо двух собственных частот, которыми доьажна характеризоваться система с двумя степенями свободы, мы имеем здесь дело с одной частотой, и траектория не заполняет с равномерной плотностью весь прямоугольник. Обычно 【оворят, что чиста

12 9 В. ШпааьскиЙ, т, I

периодическое движение является случаем вырождения услов・ но-периодического.

В рассмотренном простейшем случае условно-периодическое движение сводится к двум простом гармоническим колебаниям, Поэтому правило квантования (1067) можно теперь применить к каждому из этих колебаний и потребовать, чтобы

$=外瓦 $ & dy =人瓦

где — целые числа 2, 3,.. ‘

Оказывается, что в。многих случаях систем с несколькими степенями свободы можно найти такие обобщенные координаты q^ 仇，…，q$, в которых, как и в рассмотренном примере анизотропного осциллятора, движение «разделлегся» на f гармонических колебаний; в этих случаях найденное нами в § 106 правило квантования можно применить к каждой степени свободы. Мы получим при этом / квантовых условий:

квантовыми «шс・квантовыми «шс・§ p、dq产單h, § р2 dq2 = trji,.pf dqf = nfh. (113.1)

квантовыми «шс・

квантовыми «шс・

Целые числа «ь пзт ♦ ♦ •,九г называются

лама.

рамках классичерамках классичеОбратимся теперь к в од op од олсдобному атому. По схеме теории Бора необходимо сначала решить в

рамках классиче

рамках классиче

ской механики задачу о движении электрона в кулоновском поле ядра‘ Это решение полностью выполнено нами в § 51, где были найдены следующие соотношения:

(51Л9)(51Л9)e =一e =一mZ2eYI — 吟mZ2eYI — 吟2尸22尸2(51.18)(51.18)匚Ze?

(51Л9)

(51Л9)

e =一

e =一

mZ2eYI — 吟

mZ2eYI — 吟

2尸2

2尸2

(51.18)

(51.18)

Из этого непрерывного многообразия значений энергии следует отобрать при помощи квантовых условий дискретный ряд.

Так как при рассмотрении орбитального движения электрона мы должны приписать ему две степени свободы, соответ， ствующие двум независимым координатам 产 н у, то необходимо применить два квантовых условия: .

^ pf dr =七"；g 砌 mр =恤".^ pf dr =七"；g 砌 mр =恤".(113.2)(113.2)

^ pf dr =七"；g 砌 mр =恤".

^ pf dr =七"；g 砌 mр =恤".

(113.2)

(113.2)

Обобщеш/ые импульсы р$ и рФ на основании § 57 таковы:

Принимая во внимание, что по закону сохранения момента количества движения р® = /пг2ф = const, мы получаем из

второго условия (113.2)

飞也=$ Pg d屮RJ d屮

откуда'

Применение первого квантового условия (113,2) требует по・ вольно сложных вычислений, которые мы здесь опустим‘ В результате этих вычислений получается следующее выражение для эхиентрисигета орбиты е через квантовые числа

Сумма обоих квантовых чисел пг и пф называется главным квантовым числом. Обозначив его через имеем

亏+ % = &

=(113.4)

Подставляя это в (5L18) и заменяя Р = рФ через 几@方,получим Е—喘♦(U3.5)

Мы видим, что, несмотря на применение двух квантовых условий, окончательный результат ничем не отличается от иолу- ченного в § 107 для случая круговых орбит： энергия зависит от одного квантового числа п, называемого главным квантовым числом при этом п является суммой квантовых чисел пг и пФ. Этот результат связан с тем, что эллиптическое движение электрона является вырожденным случаем условно-периодического движения. В самом деле, Е1евырожденное условно*периодическое движение на плоскости должно происходить ни неаамиквю- щейся фигуре Лиссажу, тогда как обращение по эллипсу есть движение чисто периодическое, Мы сейчас увидим, что результат, выражаемый формулой (113.5), означает, что для каждого значения главного квантового числа п имеется 九 совпадающих но величине уровней энергии.

Для того чтобы убедиться в этом, покажем, что каждому значению 门 соответствует м различных орбит с одной и той же большой полуосью. Действительно, выражение для большой 口о луоси орбиты мы получим из формулы (5L19), Вставляя в нее квантованные значения энергии (113‘5), имеем

。=一宓=必(113.6)

или, воспользовавшись введенным в § 107 сокращенным обозначением для《боровского радиуса» а【[формула (107Л)],

« = 少 伊=1, 2, 3,…).(113.7)

Итак, величина большой полуоси в различных квантовых состояниях пропорциональна квадрату главного квантового числа.

Для вычисления малой полуоси b возьмем известную формулу аналитической геометрии 6 = о ]/ ] — d и вставим в нее уже найденные квантовые значения а и у 1—е2 из (113.4) и (113.7)：

.(113.8)

Сравнение (113.7} и (113.8) показывает, что большая полуось зависит только от главного квантового числа, тогда как малая нопуось зависит как от главного, так и от азимутальною квап- тоео「о числа.

Расскотрпм теперь, какие значения может принимать азимутальное квантовое число. При 几①=к (113.8) переходит в (113.7}, и орбита — круговая; при пф = 0 и 6 = 0 эллиптическая орбита вырождается в прямолинейную траекторию, по которой электрон должен был бы совершать маятникообразпые движения. Такая орбита в теории Бора исключается по тем соображениям, что при движении по ней электрон должен 6мл бы сталкиваться с ядром、Мтак, наименьшее значение 八年 есть 1, наибольшее —

几中―1, 2, 3,…，儿 (113.9)

Отсюда следует, что каждому значению % т‘ с‘ каждой большой полуоси отвечает п различных орбит с разной величиной эксцентриситета: от вытянутого эллипса до круга. Нацрнмср,

%一1,%一1,м — 2м — 2а =а =2-~эллипс,4^ ~ круг,2-~эллипс,4^ ~ круг,

%一1,

%一1,

м — 2

м — 2

а =

а =

2-~эллипс,

4^ ~ круг,

2-~эллипс,

4^ ~ круг,

几=3,几=3,4 = 9号4 = 9号"中=1, 6=3-^эллипс, % — 2т 力=6 岩一эллипс. 几(₽ = 3,力=9号круг.

几=3,

几=3,

4 = 9号

4 = 9号

На рис. 170 вычерчены орбиты для “ = 1, 2, 3. Заметим, что эллиптические орбиты в перигелии подходят к фокусу (ядру) тем -ближе, rcm меньше 〃屮‘

Мы видим, таким образом, что для каждого значения главного квантового числа действительно существует п различных орбит с одинаковой большой полуосью. Всем этим п орбитам по формуле (113.5) соответствует одно и то же значение энергии нлн, точнее, п равных значений энергии. В 9ToM и заключается вмрожденне. Если, однако, появляется какое-либо воз・ мущение, то орбиты деформируются различным обра- зом, и 门 уровней энергии, которое раньше совпадали,

разделяются. Принято говорить, что возмущение снимает вырождение.

До сих пор мы мнтерео ваансь только движением электрона в плоскости его орбиты м в соответствии с этим приписывали электрону две степени свободы. Однако положение электрона в пространстве характеризуется тремя координатами. Учитывая все три степени свободы, мы приобретаем

Рис. [70. Орбиты электронов по ВоруРис. [70. Орбиты электронов по Ворувозможность описывать не только движение электрона по его орбите, но и пространственную ориентацию самой орбиты.

Рис. [70. Орбиты электронов по Вору

Рис. [70. Орбиты электронов по Вору

Положенхе электрона в пространстве характеризуется тремя полярными координатами 厶 О н 屮(рис. 171). Поэтому квантовые условия в этом случае принимают вид

р「dr = %儿р「dr = %儿$PedO = %/z; $入外一仆瓦(113Л0)

р「dr = %儿

р「dr = %儿

Обобщенные импульсы 卩门 卩小 卩屮 вычисляются по общему правилу (§ 57): нуж1Ю написать выражение кинетической энергии в полярных координатах 尸,О,屮：

品0 7 = m (产+ Г好+Am26哂(13-111)

и найти производные по обобщенным скоростям:

dr0中

(113Л2)

Обратим теперь внимание на обобщенный импульс Из рнс. !71 видно, что координата 屮 характеризует движение про* екции электрона по экватору, а соответствующий ей обобщенный импульс p^ есть проекция полного момента количества движения Р на ось г. Направление Этой оси физически может быть задано, например, бесконечно малым магнитным полем, совпадающим по направлению с осью 乙 Мы сейчас увидим,. что "屮 сохраняет свое значение, = const С этой делью запишем функцию Гамильтона, принимая во внимание выражение кинетической энергии (113.11) и выражения обобщенных импульсов (113.12):

H=T + U = 0 + Ep==

匸击(区+ 土P"露成)一季3、⑶

Так как координата Ф в это выражение не входит, то она есть циклическая координата. Поэтому соответствующий импульс постоянен (§ 60), consl. Ввиду этого квантовое усло

вие §鹏22 =mдает:вие §鹏22 =mдает:2力=2 明—2力=2 明—Рнс, 171,Рнс, 171,/=人泰=%氏(113.14)

вие §鹏22 =mдает:

вие §鹏22 =mдает:

2力

=2 明—

2力

=2 明—

Рнс, 171,

Рнс, 171,

Мы видим, таким образом, что проекции момента количб' ства движения на направление поля имеют квантованиые значения. Это показывает, что ориентация орбит АВ в пространстве не может быть произвольвой, но существует

дискретный ряд возможных ориентаций. Действительно, вводя вместо существенно положительного числа 〃屮 равное ему по аб

солютной величине число 加，которое, однако, может иметь как

положительные, так и отрицательные значения, мы получим

p0。力 倂c。sa = 丁e麻=际

Пусть, например, Р =力/2#； тогда 汽今—1 н соза=т/пф=+

Итак, при = 1 возможны только три различные ориентации орбиты; при лгф = 2 таких ориентаций будет пять (т = =+ 幺0,2), при % — 3 — семь и вообще при лю

бом %число возможных ориентаций равно 2/ц + 1.

Легко, однако, убедиться в том, что введенные нами два новых квантовых числа — «экваториальное®' 人 и «широтное^ — весьма просто связаны с азимутальным квантовым числом Имеяно

%% +几5

Действительно, в § 59 мы видели, что кинетическая энергия Г может быть выражена следующим образом：

27一工厶量.(59.9)

Обозначая кинетическую энергию через Екии и принимая во внимание, что == получаем

Интегрируя это равенство по / в пределах периода, т- е. от 0 до т, находим

2 JJ рк dqk — ^^pkdqk. (113.15)

Если мы выберем в качестве координат q^ полярные координаты на плоскости (г и ①)，то согласно (113.15)

2 Jprdr^d屮.(113,16)

В случае сферических полярных координат имеем

2 J EK^dt=^prdr^gр巾6+gР屮同.

Приравнивая друг другу правые части, находим после сокращения

или, принимая во внимание квантовые условия (113.2),

仆=013.17)

Это показывает, что выражение для полной энергии электрона ⑴3,5) может быть переписано в виде

上 =_% X %产力2 =_(传+/+ %产方2 ♦

Следовательно, полная энергия при учете пространственной ориентации орбиты так как и в случае плоской задачи, зависит только от суммьг всех квантовых чисел, но пе от самих квантовых чисел* Другими словами, вырождение на самом деле более значительно, нежели это следовало из рассмотрения плоо кой задачи: не только все эллипсы с одинаковой большой полуосью, но и все такие эллипсы, различным образом ориентированные в пространстве, в отсутствии внешнего магнитного поля имеют одинаковую энергию.

Ввиду того, что при введении всех рассмотренных уточнений (эллиптические орбиты, пространственная ориентация) ре- зультат получается тот же самый, что и в простейшем случае круговых орбит, }чет этих усложнений может показаться излишним, В действительности эго не так. При появлении внеп[- нсго магнитного поля устраняется вырождение в отношении экваториального % (или магнитного т) квантового числа: раз- 刀"‘ж国м образом ориентированные орбиты приобретают различную энергию. Последовательно проведенный расчет дает объяснение простого эффекта Зеемана. Лакее, в сложных атомах,『ле имеется несколько электронов, возмущение движения перифе- рического электрона остальными приводит к тоз【у, что в выражении энергии атома появляется наряду с ГьПавным квантовцм числам, равным с〉мме %「+ %『, также и азимутальное квантовое число. Вследствие этого уровни энергии с одним и гем же главном квантовым числом и различными азм*]\та/ьнь1мм, совпадающие в случае одиоэлектронпнх атомов, разделяются. Это дает возможность объяснить особенности спектров Сложных атомов, имеющих 。五н〃 ва』внтнз京 электрон (элементы первой группы периодической системы Li, Na, К н П }. Мн, опнако, не будем здесь останавливаться ца этом дальнейшем развитии теории бора, так как она, несмотря на ряд больших частных успехов, сохранила теперь лишь историческое значение. Угтомя・ н〉тЬ12 же явления (спектрьт сложных атомов, эффект Зеемана) получили иное объяснение в рамках значительно более широкого круга явле]：И]к С объяснением познакомимся в дальнейшем.

§ 114. Принцип соответствия

Вернемся теперь к вопросу, уже затронутому в § 106, ммен・ но, — к вопросу о взаимоотношении законов классической и квантовой физики. Как мы видели, неравенство нулю постоянной Планка h ведет к тому, что механические величины, харак・ тернзуютцне системы атомных размеров (энергия, момент количества движения), вообще говоря, не могут изменяться не・ прерывнот ио принимают дискретный ряд значений, отбираемых при помощи квантовых условий.

Равным образом и закона классической элект родин afA икя оказываются непрнменнмымн к атомным системам. В самом деле, согласно законам классической электродинамики электрон» обращающийся по орбите, должен излучать электромагнитные волнь!. Это излучение влечет за собой потерю энергии, вследствие чего электрон должен был бы постепенно приближаться к ядру. Напротив, квантовые постулаты требуют, чтобы излучение происходило только при переходе с одной стационарной орбиты на другую, Таким образом, в классической картине злектрон непрерывно падает к ядру по спиральной орбите, все время излучаят тогда как в квантовой картине он спускается по ступеням конечной величины, излучая только при «переско- ках».

Существуют, однако, условия, при которых обе картины должны дать совпадающие результаты. Представим себе, что расстояния между последовательными уровнями малы по сравнению с высотой самнх уровней. Тогда «ступеньки», по которым пронскспнт спуск, бу пут очень мелкими, и спуск по ним мало отличается от непрерывного скольжения вниз. Такой именно случай имеет мест。 при больших квантовых числах, В самом деле, рассмотрим, например бальмеровские уровни энергии:

Er =一喘^ 2, 3,

Так как энергия отрицательна, то с увеличением 几 опа воз- растает. Далее из (100.5), для случая m》1, находим

mZ2^ а-р/-А儿mZ2^ а-р/-А儿

mZ2^ а

-р/-А儿

mZ2^ а

-р/-А儿

Из этого следует, что, при достаточно больших значениях 几,со・ Седине уровни (А〃 = 1) расположены тесно я притом тем теснее, чем больше Если 几 очень велико, то мы будем иметь дело с практически непрерывной последовательностью уровней, и характерная особенность квантовых процессов — дискрет* ность — должна совершенно сгладиться.

Мы сейчас увидим, что результаты, полученные намн в пре- двдущйА параграфах, вполне удовлетворяют §тому требованию. Начнем с водородоподобного атома и покажем, что для больших квантовнх чисел частоты излучения, вычисленные по классическим и по квантовым законам, между собой совпа- дзют. Для этого мы воспользуемся формулами § 107. Комби

нируя формулы *)нируя формулы *)инайдеминайдемм方2 每二不去丁м方2 每二不去丁(107.3)(107.3)* mZb'匕r= 2打淤* mZb'匕r= 2打淤ckLckL(107.2)

нируя формулы *)

нируя формулы *)

и

найдем

и

найдем

м方2 每二不去丁

м方2 每二不去丁

(107.3)

(107.3)

* mZb'

匕r= 2打淤

* mZb'

匕r= 2打淤

ckL

ckL

Эта формула дает частоту обращения электрона по м-й ста・ пионарной орбите. Согласно классической злектродвн^мнке такой же должна быть и частота испускаемого электромагнитного

сек~{сек~{(П4.1)(П4.1)'кл = % = 2而点'кл = % = 2而点излучения. Мы имеем поэтому

сек~{

сек~{

(П4.1)

(П4.1)

'кл = % = 2而点

'кл = % = 2而点

Эту формулу мы запишем в более компактном виде, воспользовавшись выражением постоянной Ридберга-

R =(107.7)

Формулу (114」)можно теперь легко привести к виду

<л = ^ …(114.2)

Квантовая частота при переходе n ft, как известно, вычисляется по формуле Бальмера и равна

yZ《％-3)2(”4・3)

(множитель с появился потому, что мы вычисляем истиннро частоту в сек” тогда как R обычно выражается в слг').

Для сравнения со (114-1) удобнее привести (114*3) к еле- дующему в””

= RcZ2 = RCZ2 5弋* 处 .(114.4>

*) Напоминаем, qz v* означает частоту, выраженную в сек* в отлична от V (аолновое число), выражаемого в елг*

”(U4.3) для £/ и v^ что ft — большое число:”(U4.3) для £/ и v^ что ft — большое число:и пусть, кроме того, n~k = 1; тогда вследствие (114.5) А = =п + 1 п. При этом условии (114-4) принимает видСравнивая ⑴4.6) со числа велики, то для состояниямии пусть, кроме того, n~k = 1; тогда вследствие (114.5) А = =п + 1 п. При этом условии (114-4) принимает видСравнивая ⑴4.6) со числа велики, то для состояниямил3(114.2),л3(114.2),炉 .(114.0)мы видим, что если квантовые炉 .(114.0)мы видим, что если квантовыепереходов между соседними квантовымипереходов между соседними квантовымиКак мы видим, выражения (II4.2) резко различаются. Положим, однако,

”(U4.3) для £/ и v^ что ft — большое число:

”(U4.3) для £/ и v^ что ft — большое число:

и пусть, кроме того, n~k = 1; тогда вследствие (114.5) А = =п + 1 п. При этом условии (114-4) принимает вид

Сравнивая ⑴4.6) со числа велики, то для состояниями

и пусть, кроме того, n~k = 1; тогда вследствие (114.5) А = =п + 1 п. При этом условии (114-4) принимает вид

Сравнивая ⑴4.6) со числа велики, то для состояниями

л3

(114.2),

л3

(114.2),

炉 .(114.0)

мы видим, что если квантовые

炉 .(114.0)

мы видим, что если квантовые

переходов между соседними квантовыми

переходов между соседними квантовыми

V

Если при переходе главное квантовое число изменяется не на а на 2, 3, к вообще на △门，при условии, что Дп《冷，

=-^-A几=九"a厶=-^-A几=九"a厶(△八=2, 3, ♦. ‘),(△八=2, 3, ♦. ‘),

=-^-A几=九"a厶

=-^-A几=九"a厶

(△八=2, 3, ♦. ‘),

(△八=2, 3, ♦. ‘),

н‘ е. испускаемые при таких переходах частоты 2夕:几,3V入, будут совпадать с первым, вторым или более высокими обертонами классической частоты. Для малых квантовых чисел такого совпадения не имеется,九。существует соответствие, так что каждому классическому обертону лчожно привести в соответствие определенную квантовую частоту.

Соотношение между классическими и квантовыми законами в очень отчетливой форме можно выяснить еще следующим образом. Пусть мы имеем систему с одной степенью свободы. Частота излучения, испускаемого этой системой, по квантовым законам вычисляется при помощи условия частот — 鼻 у Д£ = Av

、кв =(114.8)

Стационарные же состояния с энергиями Е и Еп находятся при помощи квантового условия pdq = nh. Обозначив через 1 интеграл § р dg, имеющий размерность действия^ имеем / =门".Для двух стационарных состояний мы получим

Ik = kht In = nh

Если 〃一々=1, т. е. если рассматриваются соседние состояния, то А/ = Л. Подставляя это в (114.8)т получим

Для вычисления соответствующего выражения классической частоты мы возьмем случай линейного гармонического осцил- лятора. Энергия осциллятора равна 七—h и t откуда р== V2m (Е — Интеграл действия в таком случае будет

=$ р dx = $ У2m (£—U) dx.

Рассматривая энергию £ как непрерывно изменяющийся параметр, найдем производную

於用（£一市於用（£一市厶=号厶刁竽=g厶=号厶刁竽=g-S 成 а т, dx/dt 〕-S 成 а т, dx/dt 〕

於用（£一市

於用（£一市

厶=号厶刁竽=g

厶=号厶刁竽=g

-S 成 а т, dx/dt 〕

-S 成 а т, dx/dt 〕

где T—период колебания. Отсюда получается следующее замечательное выражение для классической частоты:

Можно показать, что соотношение (114.10) должно иметь место для любых перpjодических систем с одной степенью свободы. Но так как это общее доказательство требует.использо* вания аппарата, знакомство с которым не предполагается у читателя, то мы ограничимся подтверждением его на частных примерах, приведенных в упражнениях к этому параграфу,

Сравнивая (114.9) и (П4.10), мы приходим к следующему результату. И по классической, и по квантовой теории частота может быть вычислена как

—j1二「丄 отношение приращения

优энергии к приращению

j /— ствия( но, в то время как

':в первом случае мы берем

Iбесконечно малые прирате-

}7ния, в。втором мы должны

убрать конечные разности.

/Рнс. 172 хорошо иллю-

/стрирует это. Сплошная кри

вая на этом рисунке пре*

Рнс. 172・ставляет энергию как функ

цию интеграла действия

Квантовые состояния изображают только те точки этой кривой, которые отвечают целочисленным значениям действия /=1儿 2% 3瓦 Очевидно, что квантовая частота А£/А/ будет равна тангенсу угла наклона секущей, соединяющей^ две точки, соответствующие квантовым состоянием, классическая же

厅#

частота равна тангенсу угла наклона касательной, так как

При этом в области болыпнх квантовых чиселт где разница между наклоном касательных и секущих исчезает, vis vkb-

То же самое хорошо иллюстрируется приводимой ниже таблицей XV, где указана классические частоты обращения для

Т а б л и ц а XV

Начальное состояние

Комовое

состояние

Частота обращении в нахальном состоянии, сек—

Кпантаввя частота.

Частота обращения в канечцсм состоянкп, се兄Т

= 2

п = f

2,47

6,58 ТО心

6

3,04 ・

4,02 ・

5,26 ・

10

6,58.吸

7,71 ・[(Я

9,02 •咿

25

24

4,21 ■ 10IJ

4,48 7 g

4,76，10打

6,33・1戸

6,48，1炉

6,58 • /炉

501

500

5,23 ・ Ю7

5,25 ・ КГ

5,26.17?

двух соседних целых значений 〃, вычисленные с помощью формулы {114,2), и соответствующие квантовые частоты, вычисленные но формуле (114.3). Вв^но, что квантовые частоты для малых п не совпадают с классическими, но лежат между ними. Однако разница между классическими н квантовыми частотами уменьшается по мере возрастания и для достаточно больших п становится ничтожно малой.

Полученный результат можно суммировать еще иначе. Из той общей формулировки, которую мы дали квантовым условиям в § 106, следует, что основная причина прерывности механических величин для очень малых систем заключается в 《атомизме» действия: существует наименьшая величина действия, равная постоянной Пканка ft — 2л方=6,62 ■ iO^27 ape ・ сек; она-то и является как бы «атомом》действия. Если размеры системы и массы частиц таковы, что действие для такой системы сравнимо с 储 то квантовый характер явлений сказывается в полной мере; если же действие настолько велико, что можно положить h = 0, то прерывность становится незаметной, и должны удовлетворяться законы классической механики.

Этот результат является частным случаем общего принципа» играющего важную роль в современной теоретической фи・ зике — принципа соответствия. Так, например, формулы меха- ники специальной теории qt носите л ьности автоматически переходят в формулы ньютоновой механики при и 《е, т. е. если скорости настолько малы, что можно положить с>8.

Принцип соответствия требует, вообще, чтобы всякая неклассическая теория в соответствующем предельном случае переходила в классическую.

Упражнения: 1. Доказать, что формула (114.10) имеет место для ротатора, т. е. для частицы, обращающейся по кругу около неподаижпого центра (Указание. Интеграл действия в случае ротатора есть / = $ р@ dp, причем = /2^, где А — момент инерции).

Польэувсь формулой (100.5) для энергии водородоподобного атома £務匸— 九 ％ ，= — р , где I = nh — интеграл действ ня, и пре." полагая, что / меняется непрерывно, вычислить при помощи (1 (4.10) классическую частоту обращения электрона для n-й орбиты и показать, что полу・ иаемн京 таким образом результат совпадает со (114.2).

§ 115. Кризис теории Вора

Теория Вора, с которой мн ознакомились в этой главе, была весьма крупным шагом в развитии，теории строение атома. Она с полной отчетливостью показала неприменимость классиче- ской физики к внутриатомным явлениям, с одной стороны, и первенствующее значение квантовых законов в микроскопиче- ских системах ——с другой. Она послужила толчком к большому числу экспериментальных работ, принесших ряд важных результатов； но особенно иелико было ее эвристическое значение: даже в тех случаях, когда теория не могла дать количественного объяснения той или другой группе явлений, она давала руководящую нить для отчетливой их классификации и качественной интерпретации. Таким путем, например, огромный эмпирический материал спектроскопии — атомной н молекулярной 一 трудами ряда исследователей, среди которых большое значение имеют работы русского ученого, академика Д. С. Ро* деетвенского п учеников его школь^, был впервые приведен в стройную и ясную систему.

Наряду с этими и многими другими положительными сторонами теория обладала существенными недостатками, которые были ясны с самого начала. К числу их относится прежде всего внутренняя логическая противоречивость теорйи. В самом деле, теория Бора не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой теорией. По шутливому выражению У. Г. Брэгга, в этой теории мы как бы должны были по понедельникам, средам и пятницам пользоваться классическими законами, а по вторникам, четвергам и субботам — квантовыми!

Не удивительно, что после первых успехов теории все яснее и яснее давали себя знать ее недочеты. Прежде всего, даже в простейшем случае водородоподобпых атомов теория Бора по-

зноляла вычислять только частоты спектральных ливий, но не их интенсивности^ Для вычисления ннтенснвносте負 приходилось пользоваться принципом соответствия, распространяя его также и на малые квантовые числа н, в конечном счете, производя вычисления по классической электродинамике.

Особенно тягостной была неудача всех попыток построения теории нейтрального атома гелия — одного из простейших атомов периодической системы, непосредственно следующего за атомом водорода и состоящего из трех частнц—ядра и двух элехтро）】ов. Хотя задала о трех те“ах в рамках классической механики не может быть решена точно, — в небесной механике были уже давно разработаны превосходные приближенные методы, которые могли бы дать результаты с точностью, вполне достаточной для сравнения с экспериментом. Несмотря на это, многочисленные попытки построения теории атома гелия потерпела полное крушение.

В настоящее время, после открыт*兄 своеобразиях волновых свойств вещества, о которых речь будет в главе X, совершенно ясно, что теория Бора, опирающаяся на классическую механику, могла бы-ть только переходным этапом к созданию последовательной теории атомных явлений.

ГЛАВА IX

СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ

Флуктуации светового поля

До сих пор мы интересовались проявлениями своеобразных квантовых законов в движениях микроскопических частиц. Мы установили, в частности, что процесс испускания света атомом происходит прерывным образом при переходах между различными Стационарными состояниями, но вопрос о природе самой лучистой энергии мы пока оставляли в стороне, Однако уже в 1905 г, Эйнштейн указал на то, что существует большое количество экспериментальных фактов и серьезных теоретических соображений, которые неизбежно приводят к представлению1 о прерывной природе самого излучения. Мы начнем с изложения теоретических соображений Эйнштейна, Эти соображения основаны на рассмотрении случайных колебаний (флуктуаций) плотности излучения.

Рассмотрим сначала материальный газ, помещенный в замкнутый резервуар объема И- Выделим теперь какую-нибудь часть объема -у < И и будем мысленно следить в различные моменты за числом молекул газа, находящихся внутри и. С молекулярно- статистической точки зрения эта число отнюдь не будет строго постоянным, на будет испытывать колебания. Пусть среднее число частиц в объеме。будет 亢，Если этот объем достаточно велик и газ находится при нормальном давлении, то мгновенные отклонения от этого среднего числа п будут относительно настолько малы, что ими, вообще говоря, можно пренебречь. Станей теперь уменьшать объем и，Если мы в конце кеппов представим себе, что этот объем настолько мал, что в нем помещается лишь небольшое число частиц (скажем, в среднем 10), то случайные отклонения от среднего сделаются уже вполне заметными. Такие случайные отклонения и называются флуктуациями. Изучение их является одной из интереснейших и важнейших глав современной статистической физики.

Смолуховский, который много занимался изучением флук- туацийт рассматривал, например, следующую задачу: какова вероятность того, что все молекулы газа, находящиеся в объеме 匕 соберутся в части и этою объема? Ответ на Этот вопрос дать

нетрудно )- Если бы в объеме V находилась только одна молекула, то вероятность найти ее в части у будет, очевидно, пропорциональна и и равна

饱(П6.1)

Действительно, если。= Р, то ©】=1, что м должно быть, так как нахождение молекулы во всем объеме И есть событие достоверное. Пусть, однако, в объеме И находится 几 независимых молекул. Вероятность найти одну молекулу- в части объема и вь[ра*аетс咒 формулой (116-1); вероятность найти л независимых молекул в одной и той же части объема, по теореме умножения вероятностей, будет

耽= (+『・(И6.2)

Из этой формулы видно, что если, например, и =Р, то при сколько-нибудь больших значениях п вероятность равная

будет ничтожно мала.

Эйнштейн рассмотрел аналогичную задачу для случая излучения. Пусть мы имеем замкнутый объем Р, наполненный черным излучением при температуре Т. Энергия излучения с частотами между у и V + dv, заключенная внутри этого объема, равна

где pt ——спектральная плотность излучения. Запаса заклю-

иаетС兄 в вычислении вероятности того, что вся эта энергия сконцентрируется в части объема и. Пользуясь статистической термодинамикой и формулой Вина для плотности излучения (справедливой для высоких частот)

pY dv —pY dv —8几也V38几也V3e~h^kT dvte~h^kT dvt

pY dv —

pY dv —

8几也V3

8几也V3

e~h^kT dvt

e~h^kT dvt

Эйнштейн нашел, что искомая вероятность равна

Сравнивая этот результат с формулой (116,2), мы водим, что излучение с достаточно короткими длинами волн ведет себя так, как если бы оно состояло из « — E/hv независимых корпускул!

Эйнштейн рассмотрел, палее, и вопрос о флуктуациях плотности излучения- Предположим сначала, что излучение действительно состоит из отдельных «атомов» величины 用％ которые мы будем называть фотонами. В таком случае плотность излучения будет равна числу фотонов в единице объема,

умноженному на hv. Но число фотонов в некотором выбранном объеме, как и число молекул, должно испытывать случайные колебания, флуктуации. Установим сначала меру этих флуктуаций. Если п есть среднее число иастии в объеме у, то число частиц па, находящихся в данный момент в этом объеме, б>дет, вообще говоря, отлично от 亢：в одних случаях оно будет больше 冗,в других — меньше. Отклонение от среднего

也n

будет поэтому то положительным, то отрицательным и будет, кроме того, иметь различные абсолютные значения. Однако среднее значение Ап не может служить мерой флуктуаций, так как оно, очевидно, равно нулю

— —=0.

Поэтому в качестве меры отклонения удобнее пользоваться квадратом （九也——й）3, который всегда положителен. Среднее значение квадрата отклонения

является мерой «разброса» отдельных значений 几储 их Отступления от среднего; е2 поэтому называется квадратичной флуктуацией или дисперсией. Отклонения от среднего можно характеризовать также квадратным корнем из * взятнм со знаком плюс: —

который физики называют средней квадратичной ошибкой, а математики — стандартом. Все эти определения применимы, конечно, не только к случаю отклонений числа частиц, но и к любым случайным флуктуациям.

В математической статистике доказывается простой закон, имеющий место для любых случайных отклонений и состоящий в следующем: если среднее значение случайно изменяющейся величины есть 亢，то и квадратичная флуктуация е2 также равна 龙 а потому среднее квадратичное отклонение а — = =Смысл этого знакона станет ясным из численных примеров. Пусть Е есть по-прежнему среднее число частиц. Если 亢=100, тогда ё3 также равно 100, a — 10 или, иначе, колебания числа частиц в среднем составляют 10% их числа; если же 亢=J0i0, го а = = 105 или 10-3 %冗 а при it — 10^ V^= 10, или @8%“.

*） См. приложение [V в конце иниги.

Если нас интересуют колебания энергии, то, допуская, что энср1ия состоит из независимых атомов величины 尿 имеем Е = rihvt а потому

圆=不炉=肝(加)2 =(亢・机)机=耳机. (116.3)

Флуктуации энергии возможны, однако, и в том случае, если излучение имеет чисто волновую природу. В самом деле, в этом случае мы считаем, что полость V бороздят во всех направлениях электромагнитные волны. Среди них имеются волны, близкие по направлению и по частоте, которые между собою интерферируют. Так как, однако, направления в фазы этих волн случайным образом меняются, т。беспорядочно меняется и результат этих интерференций: распределение максимумов и минимумов в пространстве н во времени не остается постоян* ным. Именно поэтому мы и называем такие водны некогерентными. Макроскопические приборы, которыми мы пользуемся, усредняют эту непрерывно меняющуюся интерференционную картину к обнаруживают кажущееся отсутствие интерференции. Однако с микроскопической точки зрения мы имеем в этом случае типичные флуктуации энергии.

Амплитуда в данном месте, возникающая в результате интерференции волн с амплитудами а〕иколеблется от максимального значения «1 + ^2 до минимального 一 «聲 Соответственно, энергия меняется от (句 + 饱)2 Ho —的М， проводя через промежуточные значения, в зависимости от разности фаз; в среднем же она равна 。；+ 畛 Поскольку среднее значение энергии пропорционально квадрату амплитуды, квадратичная флуктуация энергии будет пропорциональна четвертой степени амплитуды, т. е. квадрату энергии. Точное вычисление *) дает для следующую формулу:

(U6・4)

Статистическая термодинамика позволяет найти выражения 1 для квадратичной флуктуации энергии без помощи наглядных картин, которыми мы пользовались до снх пор. Именно, на основании самых общих положений физической статистики ; (распределение Гиббса), для квадратичной флуктуации энергии ± получается следующая формула **):

W圆 =々t2 第.(116,5)

；*) Это вычисление довольно сложно, ввиду чего мы не приводим его

здесь Интересующиеся могут найти его в книге:「. А. Л ор е н т ц. Статнстиче-

% скне теории в термодинамике, ОНТИ, 1935, стр. 119.

:**)Вывод см. в приложении【V в конце книги.-

Но так как £ = KpSw, то в формул для плотности энергииНо так как £ = KpSw, то в формул для плотности энергиизависимости от того, воспользоваться призависимости от того, воспользоваться принии5 — получаются и разные результаты.Мы знаем, что в области высоких частот хорошо вается формула Вина:нии5 — получаются и разные результаты.Мы знаем, что в области высоких частот хорошо вается формула Вина:какой из вычисле-оправды-какой из вычисле-оправды-pv dv =号工 e-hv/kT 厶；pv dv =号工 e-hv/kT 厶；

Но так как £ = KpSw, то в формул для плотности энергии

Но так как £ = KpSw, то в формул для плотности энергии

зависимости от того, воспользоваться при

зависимости от того, воспользоваться при

нии5 — получаются и разные результаты.

Мы знаем, что в области высоких частот хорошо вается формула Вина:

нии5 — получаются и разные результаты.

Мы знаем, что в области высоких частот хорошо вается формула Вина:

какой из вычисле-

оправды-

какой из вычисле-

оправды-

pv dv =号工 e-hv/kT 厶；

pv dv =号工 e-hv/kT 厶；

наоборот, в области низких частот применима формула Рз・ лея— Джинса:

которая для достаточно длинных волн дает результаты, хорошо совпадающие с экспериментальными; наконец, формула Планка

,8Л46 dv 1

Р^ = ・，з 户吟

дает правильные результаты во всем спектре.

Вычислим теперь е2 с помощью формуль] (116.5), пользуясь последовательно всеми тремя написанными выше законами распределения энергии pyrfv.

Начнем с формулы Вина- В этом случае имеем

"e3々片°°"々?2 "V丽一少7： t.

Подставляя в (116.5), получаем

(116.6)(116.6)g2 =力丫 . е.

(116.6)

(116.6)

т. е. формулу (116.3). Это показывает, что излучение, подчиняющееся формуле Вина, действительно ведет себя как собрание «атомов излучения».

Рассмотрим теперь другой крайний случай: возьмем для плотности излучения формулу Рэлея — Джинса. Имеем

E^V^kTd^

и

评V右炉学_ =炉戶卜用人评V右炉学_ =炉戶卜用人(116.7)(116.7)

评V右炉学_ =炉戶卜用人

评V右炉学_ =炉戶卜用人

(116.7)

(116.7)

Принимая во внимание, что в этом случае

(116.8)(116.8)Е == Кр* dv=V 卓；• kT dv, легко привести (116.6) к виду

(116.8)

(116.8)

L

—результат, совпадающий с формулой (116.4), получештой на основании представления о волновой природе излучения.

Мы видим, таким образом, что статистика приводит к следующему своеобразному выводу: в области коротких волн (。6・ ласть применимости закона Вина) излучение должно вести себя как собрание частиц, фотонов; в области длинных волн, где имеет место формула Рэлея — Джинса, оно должно вести себя как волны. Однако оба использованных нами закона излучения являются предельными законами. Возьмем, наконец, формулу Планка, справедливую для любых длин волн^ и вычислим при ее помощи, пользуясь той же статистической формулой (116.5), квадратичную флуктуацию. В этом случае

Для вычисления е2 нужно найти производную dE[dT. Обозначив для краткости имеем

Легко убедиться прямым вычислением, что

+ 汽

Руководствуясь этими замечаниями, читатель без труда получит для 评 следующую формулу, состоящую из двух членов-.

圆=加e+后烏小必・圆=加e+后烏小必・(116.9)(116.9)

圆=加e+后烏小必・

圆=加e+后烏小必・

(116.9)

(116.9)

Первый член совпадает с формулой (116.6), т. е. соответствует чисто корпускулярному представлению о природе света. Второй член совпадает с формулой (116.8) я, следовательно, соответствует чисто волновому представлению- Мы приходим, таким образом, к поразительному выводу, что свет должен обладать как бы двумя аспектами: корпускулярным и волновым. Первый

проявляется с особенной отчетливостью и в коротковолновой части спектра, второй ——в длинноволновой. Ни один из этих аспектов сам по себе не дает полной картины природы света; только их сочетание позволяет полностью объяснить все его проявления.

В настоящей главе нас будут интересовать исключительно корпускулярные свойства света. Нам необходимо убедиться в том, что существует большой круг явлений, которые наиболее непосредственно объясняются, если рассматривать свет как поток фотонов, Явления же, в которых проявляется волновой аспект природы света (интерференция, дифракция)^ достаточно хорошо известны нз классической оптики,

Фотоэффект и уравнение Эйнштейна

К числу явлений, в которых обнаруживаются корпускулярные свойства света, принадлежит прежде всего освобождение электронов под действием света — фотоэффект.

В 1888 г. Генрих Герц заметил, что проскакивание искры между цинковыми шариками разрядника значительно облег^ наетс只,если одян из них осветить ультрафиолетовым светом. Это явление было подробно нзу^ено в классических работах русского физика А, Г- Столетова, который разработал методику исследования фотоэффекта (конденсатор Столетова) и установил ряд важных закономерностей. Оказалось, что явление это основано на удалении отрицательного электричества с поверхности металла под действием ультрафчолетового света. Дальнейшие исследованйя выяснили,叮丁。сущность фотоэффекта заключается в освобождении электронов. Особенно ясно это было показано изящными опытами советского физика А, Ф. Иоффе с фотоэффектом на металлических пылинках. Микроскопи1теские частицы металла, получавшиеся вследствие распыления электродов при горении дуги между ними, вводились в конденсатор, Разность потенциалов между пластинами конденсатора подбл- ралась так, чтобы одна из этих пылинок оставалась уравновешенной в поле зрения микроскопа. При освещении ультрафиолетовым светом пылинка время от времени изменяла свой заряд, и равновесие нарушалось; вновь подбирая соответствующую разность потенциалов, можно было вернуть пылинку в центр поля зрения. Зная уравновешивающие потенциалы, можно было вычислить величину заряда, каждый раз теряемого пылинкой (см. § 3), Оказалось, что этот заряд всегда представляет собою целое кратное заряда электрона.

Качественное объяснение фотоэффекта с волновой точки зре・ нхя на первый взгляд не представляет трудности. В самом деле, зт。объяснение могло бы выглядеть так: падающая электромаг-

§ 117] ФОТОЭФФЕКТ И УРАВНЕНИЕ ЭИНШТЕПНА 375 нотная волна вызывает вынужденные колебания электронов в металле; при резонансе между собственным периодом колебания электрона и периодом падающей волны амплитуда колебаний электрона становится настолько большой, что он может вырваться за пределы поверхности металла. Очевидно, что если эта картина верна, то кинетическая энергия, с какой электрон покидает металл, должна заимствоваться у падающей волны, и поэтому естественно ожидать, что энергия фотоэлектрона должна находиться в прямой связи с интенсивностью падающего света. На самом же деле многочисленные опыты 口оказали, что энергия фотоэлектронов абсолютно не зависит от интенсивности света： повышение интенсивности увеличивает лишь число фотоэлектронов и притом в количестве, строго пропорциональном интенсивности, 一 но не их скорость. Последняя зависит только от qacTQTM падающего света, а именно, с увеличением частоты линейно возрастает и энергия фотоэлектронов.

Все эти законы фотоэффекта представляются пепопятными с точки зрения волновой природы света. Независимость энергии фотоэлектронов от интенсивности света пытались объяснить тем, □тс свету приписывалась роль «спускного механизма》，т. е, предполагалось, что электрон набирает свою энергию не за счет ца・ дающей волны, но за счет тепловых движений в металле, так что роль света сводится только к освобождению электрона. Однако при этом остается совершенно непонятным влияние частоты света н, кроме тосо, если бы это было верно, фотоэффект должен был бы сильно зависеть от температуры металла, чего на самом деле нет.

Эйнштейн указал на то, что все эти трудности исчезают, если рассматривать свет как поток фотонов величины ftv, т, е. стать на чисто корпускулярную точку зрения. Качественная картина механизма фотоэффекта с этой точки зрения такова: фотон, m глоща只сь, отдает свою энергию электрону, и если эта энергия достаточна для того, чтобы освободить электрон от удерживаю- ‘щнх его связей, то он выходит за пределы поверхности металла. Так как вероятность одновременного поглощения двух фотонов одним электроном ничтожно мала, то каждый освобожденный электрон заимствует свою энергию у одного фотона (обратное, вообще говор% не имеет места, т. е. ле каждый поглощенный фотон освобождает электрон).

〔小，w〔小，wПоэтому число освобожденных фотоэлектронов должно быть пропорционально числу поглощенных фотонов, т. е. пропорционально иитенеивпосги света (закон Столетова). Н。энергия фотоэлектрона зависит только от энергии поглощенного фотона; последняя же равна /rv, откуда следует, что энергия фотоэлектрона должна линейно зависеть От частоты и вовсе не зависеть от интенсивности (числа фотонов).

〔小，

w

〔小，

w

Энергетический баланс при поглощении фотона может быть в самом общем случае выражен следующим простым уравне- нием5 которое обычно называется уравнением Эйнштейна:

九у + Р2 + е 匕(117.

Здесь P〔一 энергия отрыва электрона от атома (энергия ионизации) ；Р2 — работа выхода электрона за пределы поверхности тела и еУ — кинетическая энергия освобожденного фотоэлектрона.

Металлы характеризуются тем, что у ннх имеется большое количество свободных электронов; поэтому для металлов можно считать равным нулю. Зато для выхода за пределы поверхности металла электрон должен преодолеть поле, благодаря 抖алнии® которого электроны оказываются запертыми внутри металла как бы в ящике. Работа, которую нужно затратить на преодоление этого поля, и есть работа выхода Р% Таким образом, для металлов уравнение Эйнштейна имеет вид

=+ Р?・(117.2)

Очевидно, что если hv V то электрон не сможет выйти за пределы поверхности металла. Это значит, что существует некоторая минимальная частота hv(^= Рг, которая еще способна вызвать фотоэффект; при меньших частотах он не наблюдается (красная граница фотоэффекта).

Необходимость затраты работы для освобождения электрона из металла проявляется не только в случае фотоэффекта, но также и в случае испускания электронов накаленными телами (термоионная эмиссия), Работа выхода может быть определена экспериментально, независимо от фотоэффекта^ именно путем исследований термоионной эмиссии. Она имеет порядок величины нескольких электрон-вольт.

В таблице XVI дается несколько примеров величины работы выхода.-

ТXVI

Металл

Работа выхода (в злектр*н・ вольтах}

Металл

Работа

выхода

(в электро и- вольтах}

Lt

2,4

W

4,5

Na

Pd

К Cs

2,0 0,7

Pt

6,3

Следует заметить, что на величину работы выхо&а существенное влияние оказывает состояние поверхности металла и в

особенности наличие пленки адсорбированного газа. Цифры, приведенные в таблице, относятся к металлам с обезгаженной поверхностью.

Зная работу выхода, можно вычислить длину волны красной границы фотоэффекта,脑： 《

Такме вычисления показывают, что для щелочных металлов лежит в видимой части спектра (например, для калия 入° = =0>б мкм), а для вольфрама, платины и других металлов с ра・ Сото力 выхода порядка 5—6 争6 в ультрафиолете (например, для вольфрама 入q — 0,27 мкм).

Упражнение. Вычислить длины волн красной границы для всех металлов, приведенных в таблице XVI.

Экспериментальная проверка уравнения Эйнштейна

Уравнение Эйнштейна допускает экспериментальную проверку. Согласно (117.2) между частотой падающего света и энергией вырванных им фотоэлектронов еу должна существовать линейная евнзь. Таким образом, возбуждая фотоэффект различными длинами волн и измеряя энергию освобождаемых фотоэлектронов, можно убедиться в правильности уравнения Эйнштейна и, кроме того, определить численное значение h как тангенс угла наклона получающейся прямой.

Для измерения энергии фотоэлектронов в большинстве случаев пользуются методом《задерживающего потенциалам^ описанным в § 91. _

Рис. 173.Рис. 174.

Если 6н все освобожпамне электроны имели одинаковую скорость, то зависимость силы фототока от тормозящего потенциала имела бы ввд5 изображепньи； на рис. 173: до тех пор, пока тормозящий потенциал не достигнет определенной величины V = Vg. сила тока не зависит от потенциала. При К = Kg ток сразу становится равным нулю. Это именно тот потенциал Kg,

котором кинетическая энергия электрона равна работе, которую электрон должен совершить для преодоления тормозящего ПОЛЯ -

j тМ = е匕

Таким образом, этот предельный потенциал Kg служит мерон энепгии фотоэлектронов: она равна eKg электрон-вольт.

В действительности такого резкого спадания тока никогда не йаблюдае^н. Кривая зависимости тока от тормозящего потенциала обычно имеет вид, изображенный на рис. 174.

Постепенное спадание тока объясняется тем, что электроны освобождаются с одной определенной скоростью, имеется нетедавНый набор скоростей. При этом кривая рмс. 174, пред ста£т?ющая собою вольтамперную характеристику, позволяет отыскать и распределение электронов по энергиям. Для этого нужно произвести графическое дифференцирование вольтампер ной характеристики, как эта уже было разъяснено в § 91. Од нако при экспериментальной проверке уравнения Эинштеина нас интересует не распределение электронов по энергии, но м*：； мальная энергия, так как это есть именно та энергия, с которой освобождаются фотоэлектрона с поверхности металла.

Два обстоятельства сильно затрудняют получение точных результатов. Во-первых, экспериментальная кривая 〃厶 *§丫*木 пии Vc не пересекает ось абсцисс, как показано на рис ] но подходит к ней асимптотически, ввиду иетс максималъньди депживающий потенциал оказывается в известной степени не- оппаделенным. Во-вторых, как и в。всех подобных опытах, к°н・ тактная разность потенциалов, трудно доступная для точного определения, смещает всю кривую.‘

Неизбежное присутствие этой контактной разности потенциалов и трудность ее учета, а также ряд других экспериментальных затруднений и источников ошибок-все это привело к тому, что безупречное подтверждение уравнения Эйнштейна было по・ луЧено не сразу. После некоторых предварительных работ, звавших серьезные возражения, Милликэну удалось при помоши остроумной, но очень сложной установки, дать искомое экспериментальное доказательство и точно определить 九.

В настоящее время, благодаря усовершенствованию техники , высокого вакуума и применению удобного метода сферического конденсатора, измерения чрезвычайно упростились. Преимущество метода сферического конденсатора, впервые разработан- ног。П И. Лукирскнм и использованного для зксперименталь。 НОЙ проверки уравнения Эйнштейна П. И. Лукирским и С С. Прилежаевым, заключается в т°м, что благодаря особенностям движения электронов в поле такого конденсатора кривая

тока в зависимости от задерживающего потенциала спадает к нулю круто, вследствие чего максимальный задерживающий потенциал может быть определен очень точно.

На рис. 175 приведена схема расположения опыта. Здесь £— источник света (кварцевая ртутная лампа), FM ——кварцевый

Рис. 175. Схема исследования фотоэффекта при помощи сферического конденсатора.Рис. 175. Схема исследования фотоэффекта при помощи сферического конденсатора.

Рис. 175. Схема исследования фотоэффекта при помощи сферического конденсатора.

Рис. 175. Схема исследования фотоэффекта при помощи сферического конденсатора.

Рис. 176. Фотоэффект на цинке.Рис. 176. Фотоэффект на цинке.

Рис. 176. Фотоэффект на цинке.

Рис. 176. Фотоэффект на цинке.

монохроматор, позволяющий выделять из спектра одну линию. Через кварцевое окошко Л свет попадает внутрь стеклянного посеребренного изнутри шара S, который служит наружной обкладкой конденсатора. Металлический шарик сделанный из исследуемого металла, служит внутренней обкладкой / и освещается монохроматическим светом. Потенцио- 的 метр R позволяет наклады。 вать на обкладку конденсатора S определенный потен- ниал, измеряемый вольтмет- Q ром Для измерения силы фототока был применен «метод зарядкн»: по мере

освобождения электронов из шарика положительный потенциал шарика возрастает. Скорость увеличения потенциала рикат измерявшаяся при помощи квадрантного электрометра £\ служила мерой силы фототока. Практически для характеристики скорости зарядки измерялось отклонение электрометра за определенный промежуток времени (1,5——2 минуты). На рис. 176 приведены три кривые, полученные при освещении цинкового шарика длинами волн: / — 2302 А, 2 — 2537 А и 5 — 3130 А.

Спадание кривых начинается при одном и том же потенциале незавксиио от длины волны. Зтот потенциал как раз равен кон・ потенциалов, которая, таким образом, опре-

тактной разноститактной разностиделяется без специальных измерений. Если найти прн помощи таких кривых мак、 симальную энергию фотоэлектронов и построить график зависимости этой энергии от частоты, то получаются прямые〉 приведенные на рис. 177，Тем самым подтверждается линейная связь между hv и eV\ там

тактной разности

тактной разности

гене угла наклона этих прямых равен h【e、так что, определив угол наклона, можно веунолнть Л прн помощи известной величины е.

Коротковолновая граница сплошногорентгеновского спектра

Если энергия связи внутренних электронов значительно меньше энергии фотана 〃”，вызывающего фотоэффект, то в ураэне- ннн Эйнштейна можно пренебречь и величиной 戶2, и величиной Pi по сравнению с В 9ToM случае уравнение Эйнштейна принимает самый про-

СТОЙ ВИДСТОЙ ВИД(119,1)(119,1)Если это уравнение прочитать с订ева направо, то оно указывает, какова энергия злек・ трона, освобождаемого фотоном /tv. Если же его прочитать справа налево, то оно требует, чтобы за счет электрона с энергией еК получался фотон Av. Такой процесс превращения энергии быстро движущегося

СТОЙ ВИД

СТОЙ ВИД

(119,1)

(119,1)

Рис. |78. Коротковолновая граница еплошног^ спектра ре^пгеновскик лучей при различных потенциалах.Рис. |78. Коротковолновая граница еплошног^ спектра ре^пгеновскик лучей при различных потенциалах.электрона в анергию фотона представляет собою возникновение рентгеновских лучей при торможении электронов. На самом деле механизм явления не так прост, и при торможении электрона возникает целый сплошной спектр рентгеновских лучей. Однако уравнение Эйн-

Рис. |78. Коротковолновая граница еплошног^ спектра ре^пгеновскик лучей при различных потенциалах.

Рис. |78. Коротковолновая граница еплошног^ спектра ре^пгеновскик лучей при различных потенциалах.

штейна безусловно требует, чтобы максимальная энергия по〃у・ чающихся при этом $otghgb удовлетворяла условию (Н9.1).

Опыт показывает, что распределение энергии в сплошном спектре рентгеновских, лучей имеет вид, изображенный на рнс, 178, где приведен，我口 счлошних спектров, полученных при различньтх- потенциалах на электродах ретгеновсхой трубкн с вольфрамовом антикатодом. Каждый из этих спектров резко ограничен со стороны коротких длин волн (высоких частот), Эмпирически было наЛлено, что длина волны 厶皿①，соответствующая коротковолновой Границе, связана с приложенным потен- риалом соотношением

入mmK = coDst,(119.2)

очевидно, тождественным с уравнением Эйнштейна (119.1). Действительно, заменяя в (119.1) v иерез с/入.получаем

入— const.(119.3)

Соотношение (119,3) можно пркменнть для опредолеиия получающееся прн этом значение является наиболее достоверным.

§ [20. Точное определение постоянной Планка

Так как квантовые законы обмена энергией имеют место в большом числе явлений, то существует множество возможностей вычисления h из экспериментальных данных- Укажем прежде всего, что уже закона излучения абеолзотно верного тела дают такую возможность. Нанрнмер, в форм улье Планка н Вина, выраженные через Длину волныт входит постоянная ◎ —hejk. Экспериментальное определение этой постоянной дает

1,4384

откуда] пользуясь значениями с я 々：

с = 2,99793

々=1,3806 ♦ 10-’6 зрг •叩 получаем

h = 6,558 ■ 10-27 эрг •

Более непосредственно определяется h из фотоэффекта, В самом деле, наклон прямых рис. 177 дает h/e, так что точность определения h этим путем, помимо точности самого эксперт мента, зависит от достоверности еще одной константы е, тогда как в рассмотренном выше методе требуется знание еше двух констант с н 々.Мз фотоэффекта получено

力= 6,547 ・ 1 (Г27力= 6,547 ・ 1 (Г27эрг • сек.эрг • сек.

力= 6,547 ・ 1 (Г27

力= 6,547 ・ 1 (Г27

эрг • сек.

эрг • сек.

Наиболее точным методом определения Л считается метод, основанный на определении коротковолновой границы рентгеновского спектра. Самое определение призводитея или из кривых, подобных изображен，

Рис 179. а) Кривая распределения Энер-гия в cn-ToinBOAj реягейовском спектраб)Изохромата,Рис 179. а) Кривая распределения Энер-гия в cn-ToinBOAj реягейовском спектраб)Изохромата,ным нз рис. 173, т. е. из распределения энергии в спектре нря посгояпнои потенциале (рис. 179,4)или 只 помощи метода «нзохромат». Метод «сизохромат» заклю- □аетез в следу(ощем> Спектрометр для рентгеновских лучей устанавливается так. Чтобы в ионизационную кя-

Рис 179. а) Кривая распределения Энер-гия в cn-ToinBOAj реягейовском спектраб)Изохромата,

Рис 179. а) Кривая распределения Энер-гия в cn-ToinBOAj реягейовском спектраб)Изохромата,

меру попадали лучи одной и той же определенной длины волкы, и измеряется интенсивность в зависимости от наложенного на трубку потенциала. На основании уравнения Эйнштейна

еУ = ~ hcjK

выбраннаяпотенциалевыбраннаяпотенциаледлина волны появляется при строго определенном Кз=&с/Ае； при дальнейшем увеличении потенциала

выбраннаяпотенциале

выбраннаяпотенциале

интенсивность растет по некоторой кривой, называемой «изо^рома- гой» (рас. 179,6). Разница между методом определения 入皿 из спектральной кривой и7 методом изохромат иллюстрируется рис, 179, Несколько примеров кзохромн т приведено на рис. 180. Экстраполируя каждую из кривых до пересечения с

осью абсцисс, находим

Кв, а затем при помощи уравнения Эйнштейна и /з Наиболее точные измерения, выполненные в последнее врем另,пали

Л = (1,37920 ± 0,00009) ■ Ю^и эрг * сек СГС9〕

Отсюда, полагая е = 4,8030 • 10* CFC9, находим ，

■Л =6,626 •■ сек.

Соответственно для 方=九/2к получается значение» приведенное на стр- 341:

方=2Q1=1,054・io・27 8• сек.

§ 121. Другие опыты, обнаруживающиекорпускулярные свойства света

В § 116 мы видели, что корпускулярные свойства света должны наиболее отчетливо проявляться в опытах с коротковолновым излучением. Не случайно волновые свойства рентгеновских лучей" были окончательно установлены лишь через сет после открытий самих лучей.

Из многочисленных опытов с рентгеновскими и у•力учамн, обнаруживающих с большой ясностью корпускулярные свойства зтнх луне% мы рассмотрим только два; первый принадлежит А, Ф, Иоффе и Н, И, Добронравову, второй— Боте.

Ркс, {8L Скема опыта Иоффе к Добронравова,Ркс, {8L Скема опыта Иоффе к Добронравова,На рис, 181 дана схема миниатюрной рентгеновской трубки, применявшейся в опытах Иоффе и До- бронравова. В толстой эбонитовой пластинке просверлены отверстия R я L Через А из образовавшейся полости удаляется воздух; через отверстие закрытое кварцевым окош- ком, освещается ультрафиолетовым светом конен алюминиевой праволо- кн К толщиной 0,2 мм, Освобождае-

Ркс, {8L Скема опыта Иоффе к Добронравова,

Ркс, {8L Скема опыта Иоффе к Добронравова,

мне при этом фотоэлектроны уско・

ряются потенциалом в 12 000 в, наложенным на проволочку К, и тормозятся тонким алюминиевым листочком 4 закрывающим сверху отверстие в полости. Толщина этого листочка столь мала (5- 10-3 мм), что он практически не поглощает рентгеновских 力уне弘 образующихся при торможении электронов. Освещение проволочки подбиралось настолько слабым, чтобы она давала около 1000 фотоэлектронов в секунду, а следовательно, и число рентгеновских импульсов было около 1000 в секунду.

Алюминиевая фольга Л служила вместе с тем нижней пластиной конденсатора Милликэна АВ. в котором уравновешива* лась микроскоаическая висмутовая пылинка W радиусом около 3 -10"5 см на расстоянии от антикатода Л примерно в 0,02 см.

Опыт показал, что время от времени пылинка выходит из равновесия, т, е, что рентгеновские лучи освобождают из нее фотоэлектрон, приобретающий энергию, согласно уравнению Эйнштейна, около 12 000 з, Это происходит в среднем через каждые 30 минут. В течение этих 30 минут через пылинку^ проходит около 1,8- 10е рентгеновских импульсов, Если бы энергия этих импульсов распространялась в виде сферических волн, то каждый из них отдавал 6н пылинке очень малую часть своей

энергии вследствие малой величины телесного утла, под Н8о・ рЬ1М видна пылинка из антикатода. Эта энергия, кроме того, рас* пределялась бы между очень большим числом электронов, образующих пылинку, и совершенно невероятно, чтобы раз в 30 минут в& эти электроны отдавали свою энергию каким*то загадочным механизмом одному электрону, который должен при зтом приобрести ровно столько энергии, сколько ее имел фотоэлектрон, вырванный из Проволочки и ускоренный потенциалом в 12 000 & 'Таким образом, с волновой точки зрения результаты опыта Иоффе и Добронравова непонятны- Напротив, с корпускулярнойэнергии вследствие малой величины телесного утла, под Н8о・ рЬ1М видна пылинка из антикатода. Эта энергия, кроме того, рас* пределялась бы между очень большим числом электронов, образующих пылинку, и совершенно невероятно, чтобы раз в 30 минут в& эти электроны отдавали свою энергию каким*то загадочным механизмом одному электрону, который должен при зтом приобрести ровно столько энергии, сколько ее имел фотоэлектрон, вырванный из Проволочки и ускоренный потенциалом в 12 000 & 'Таким образом, с волновой точки зрения результаты опыта Иоффе и Добронравова непонятны- Напротив, с корпускулярнойточки зрения они пред*точки зрения они пред*ставляются вполне есте- ственннмн.Действительно, с этой точки зрения, энергия распространяется в виде локализованных в про* странстве 巾。тонов， и электрон выбивается изставляются вполне есте- ственннмн.Действительно, с этой точки зрения, энергия распространяется в виде локализованных в про* странстве 巾。тонов， и электрон выбивается изпылинкипылинкитолько тогда,только тогда,Рис. [82, Схема опыта боте.Рис. [82, Схема опыта боте.когда в нее попадает *5 тон. Подсчитаем вероятность того, что фотон попадает в пылинку. В опы-когда в нее попадает *5 тон. Подсчитаем вероятность того, что фотон попадает в пылинку. В опы-тах Иоффе и Добронравова расстояние от пылинки до антикатода было d = 0,02 см, а радиус пылинки г = 3 -10^5 см. Сфера радиуса d имеет поверхность And2 = 4л(0t02)2 = 16лJO-4 Плошадь, занимаемая пьглшгкой на этой сфере, т- е. эффективное сечецие пылинки бупеттах Иоффе и Добронравова расстояние от пылинки до антикатода было d = 0,02 см, а радиус пылинки г = 3 -10^5 см. Сфера радиуса d имеет поверхность And2 = 4л(0t02)2 = 16лJO-4 Плошадь, занимаемая пьглшгкой на этой сфере, т- е. эффективное сечецие пылинки бупет

энергии вследствие малой величины телесного утла, под Н8о・ рЬ1М видна пылинка из антикатода. Эта энергия, кроме того, рас* пределялась бы между очень большим числом электронов, образующих пылинку, и совершенно невероятно, чтобы раз в 30 минут в& эти электроны отдавали свою энергию каким*то загадочным механизмом одному электрону, который должен при зтом приобрести ровно столько энергии, сколько ее имел фотоэлектрон, вырванный из Проволочки и ускоренный потенциалом в 12 000 & 'Таким образом, с волновой точки зрения результаты опыта Иоффе и Добронравова непонятны- Напротив, с корпускулярной

энергии вследствие малой величины телесного утла, под Н8о・ рЬ1М видна пылинка из антикатода. Эта энергия, кроме того, рас* пределялась бы между очень большим числом электронов, образующих пылинку, и совершенно невероятно, чтобы раз в 30 минут в& эти электроны отдавали свою энергию каким*то загадочным механизмом одному электрону, который должен при зтом приобрести ровно столько энергии, сколько ее имел фотоэлектрон, вырванный из Проволочки и ускоренный потенциалом в 12 000 & 'Таким образом, с волновой точки зрения результаты опыта Иоффе и Добронравова непонятны- Напротив, с корпускулярной

точки зрения они пред*

точки зрения они пред*

ставляются вполне есте- ственннмн.

Действительно, с этой точки зрения, энергия распространяется в виде локализованных в про* странстве 巾。тонов， и электрон выбивается из

ставляются вполне есте- ственннмн.

Действительно, с этой точки зрения, энергия распространяется в виде локализованных в про* странстве 巾。тонов， и электрон выбивается из

пылинки

пылинки

только тогда,

только тогда,

Рис. [82, Схема опыта боте.

Рис. [82, Схема опыта боте.

когда в нее попадает *5 тон. Подсчитаем вероятность того, что фотон попадает в пылинку. В опы-

когда в нее попадает *5 тон. Подсчитаем вероятность того, что фотон попадает в пылинку. В опы-

тах Иоффе и Добронравова расстояние от пылинки до антикатода было d = 0,02 см, а радиус пылинки г = 3 -10^5 см. Сфера радиуса d имеет поверхность And2 = 4л(0t02)2 = 16лJO-4 Плошадь, занимаемая пьглшгкой на этой сфере, т- е. эффективное сечецие пылинки бупет

тах Иоффе и Добронравова расстояние от пылинки до антикатода было d = 0,02 см, а радиус пылинки г = 3 -10^5 см. Сфера радиуса d имеет поверхность And2 = 4л(0t02)2 = 16лJO-4 Плошадь, занимаемая пьглшгкой на этой сфере, т- е. эффективное сечецие пылинки бупет

Еслн считать, что для движения отдельного рентгеновского фотона все направления равновероятны, то очевидно, что вероятность попадания фотона в тлпнку будет рзваа отношению эффективного сечения пылинки к поверхности сферы( т. с. будет

равна г=. Следователызо, в среднем один нз Ю"41800 000У

1 800 000 фотонов попадает в пылинку. Так как в i сек вылетает 1000 фотонов, то в среднем в пылинку буиет попадать 1 фотон в 30 лшн, что внешне согласуется с результатами рассматриваем мог。опыта.

Опыт Боте показывает, что при возбуждении рентгеновских лучей флуоресценции энергия распространяется не в виде сферических воли, по в виде направленных фотонов. Тонкая железная или медная фольга 尸(рис. 182) подвешивалась между дв〉ма

счетчиками Гейгера Z] и Z2. Первичные рентгеновские лучи достаточной жесткости освещали фольгу сверху (в направлении стрелки Р) и возбуждали ее к испусканию характеристического излучения флуоресценции. Если бы энергия этого излучения распространялась в виде сферических волн, то оба счетчика должны были бы реагировать одновременно.

Опыт показывает, однако, что этого нет: счетчики реагируют совершенно независимо один от другого, и число совпадений не превышает ожидаемого числа случайных совпадений. Все происходит так, как если бы возникаюгцее излучение флуоресценции распространялось в виде направленных фотонов, которые могут попадать либо в один, либо в другой счетчик,

§〔22. Флуктуации светового потока

Корпускудярньге свойства света влекут за собой еще окно важное следствие: необходимость сутествованха флуктуации в слабых световых потоках. В самом деле, если свет можно рассматривать как поток фотонов, то каждый фотон, попадая в приемное устройство (фотоэлемент, ионизационную камеру и т- 口、), вьтывает то или иное действие независимо от других фотонов. Прп обычных интенсивностях число этих элементарных актов поглощения настолько велико, что ми не замечаем пика* кой дискретности в излучении. Представим себе, однако, что поток настолько слаб, что число фотонов, попадающих в приемник в единицу времени, измеряется единицами или десятками; если, кроме того, приемник настолько чувствителен, что он реагирует на попадание малого числа фотонов, то неизбежно должны ска・ заться флуктуации этого числа.

Такне флуктуации былн обнаружены прежде всего с оиснь коротковолновым излучением» именно с рентгеновскими н у-лу・ чами радиоактивных веществ. В 9ToM случае, как уже неоднократно указывалось, вследствие высокой частоты излучения, фотоны очень велики. При поглощении их атомами или молекулами происходит ионизация и освобождаются быстрые электроны, которые в свою очередь вызывают ионизацию в большом числе других молекул ионизационной камеры или счетчика. Таким путем первичный эффект элементарного акта поглощения значительно усиливайся, н наблюдение слабого потока обпет“ чается. Рассмотренный в § 121 опыт Воте с двумя счетчиками, регистрирующими наиравленннс в противоположные стороны фотоны слабого рент! сновского излучений железной фольпк в сущности относится к числу флуктуационных ОПЫТОВ,

Особенный интерес представляет обнаружение флуктуаций слабых потоков видимого света Такке флуктуации па самом зслс наблюдались С- И- Вавиловым и его сотрудниками в

13 3 В、Шпольский, т、I

обширной серии работ, а после него также и рядом других исследователей- Воспринимающим устройством во всех этих опытах является глаз человека, который обладает чувствительностью, пока еще не достигнутой *) фотоэлектрическими приборами. Именно, согласно опытам Вавилова, для глаза, достаточно долго пробывшего в темноте, максимальная чувствительность определенного периферического участка сетчатки составляет около 200 фотонов и довольно значительно колеблется у различных наблюдателей. При этом указанная чувствительность относится к энергии, падающей на глаз. Так как свет, прежде чем достигнуть сетчатки, проходит через ряд сред, в которых он отражается и частично поглощается, то минимальное число фотонов, вызывающих зрительное ощущение, значительно меньше указанного числа и составляет, по оценке бавмлова, немного десятков, а может быть, и несколько фотонов.

Для того чтобы постановка опытов Вавилова была понятна, необходимо напомнить некоторые факты, относящиеся к устройству и физиологическим функциям глаза，

Как известно, в сетчатой оболочке глаза распределены два типа воспринимающих свет элементов: колбочки и палочки. Колбочки преобладают в частях сетчатки, расположенных вблизи оптической оси глаза, а на периферии их нет совсем; наоборот, палочки преобладают в периферических частях сетчатки. Эти два рода элементов выполняют различные функции： с колбочками связан аппарат цветного зрения, тогда как палочки обусловливают серое, так называемое сумеречное или периферическое зрение. Чувствительность палочек во много раз выше чувствительности колбочек. Поэтому в опытах по определению предела воспринимающей способное™ глаза, каковыми и являются опыты с флуктуациями, используется именно бесцветное периферическое зрение- Все эти опыты основаны на сущсствовавди резкого порога зрительного ощущения: если энергия излучения, падающего на сетчатку, меньше некоторой определенной величины, то глаз совсем не ощущает света. Именно этим свойством зрительного ощущения и воспользовался Вавилов для наблюдения квантовых флуктуаций видимого света. Представим себе, что наблюдается кратковременная вспышка света; пусть порогу соответствует 价 фотонов, поглощенных за время вспышки, и пусть z ——действительное число фотонов, поглощенных за то же время, В таком случае глаз увидит вспышку лишь при условии 2 если же 2 < то зрительное ощущение будет равно нулю, глаз не обнаружит такой вспышки. Очевидно, что если периодически, через определенные промежутки времени посылать

*) Характеристикой необычайной чувствительности глаза служит следующая цифра- при совершенно прозрачной атмосфере человек может видеть эталонную свечу на расстоянии около 25 5・

в глаз вспышки столь малой интенсивности, что, вследствие флуктуаций числа фотонов, z будет то больше, то меньше п01 — глаз наблюдателя то будет, то не будет ощущать вспышку.

Таким образом, существование “орога зрительного ощущения дает острый критерий наличия флуктуаций: при колебаниях г около величины л。свет или не наблюдают совсем, или видна вспышка. Что же касается колебаний интенсивности в зависимости от различного числа поглощаемых фотонов в условиях, когда 2 Мо, то их, по свидетельству Вавилова, в этих опытах на пределе способности глаз к восприятию обнаружить не удается-

Опыты были поставлены следующим образом (рис. 183). Дл8 того чтобы свет вспышки попадал на один и тот же периферический участок сетчатки, глаз наблюдателя фиксировался

Рнс. 183. Схема устанснкн для тперенвя зрительных квантовых флуктуаций.

слабой лампочкой S, свет которой пропускался через красный фильтр; на получающееся красное пятно и был все время направлен глаз наблюдателя. Свет другой лампочки отразившись от зеркала падал на диск D с отверстием, вращавшийся синхронным мотором М (1 оборот в секунду). Отверстие имело такие размеры, что диск пропускал свет в течение 0,1 сек и задерживал его в течение 0,9 сек. Тем самым создавалась вспышка длительностью в 0,1 сек, а в течение 0,9 сек глаз отдыхал. Подобное устройство необходимо для того, чтобы исключить влияние способности глаза длительно сохранять зрительное впечатление- Зеленый фильтр F был необходим для получения потока определенной дл^ны волны- '

В момент, когда наблюдатель видел вспышку он нажимал кнопку хронографа, на Движущейся ленте которого получалась отметка. Особое устройство связывало вращаюшийся диск с другим пером хронографа таким образом, что на той же ленте отмечался каждый оборот диска. Благодаря этому можно было

установить, наблюдается или не наблюдается вспышка, когда отверстие диска пропускает свет.

Рис. 184. Результаты флуктуационных наблюдений.Рис. 184. Результаты флуктуационных наблюдений.Яркость зеленого пятна можно было непрерывно уменьшать. При этом оказывается, что вначале наблюдатель отмечает каждую вспышку. При дальнейшем понижении яркости вспышки перестают соответствовать каждому прохождению отверстия диска; наблюдаются флуктуации： при одних прохождениях вспышки видны, при других — их нет. Изучая ленту хронографа после опыта, можно было подвергнуть наблюдения статистическому контролю- С одной стороны, отношение числа наблюденных вспышек к полному числу оборотов диска равно вероятности 戶 появления вспышки; с другой стороны, некоторые допол* нительные измерения, на которых мы не останавливаемся, позволяли определить отношение числа фотонов п, поглощаемых сетчаткой за одну вспышку, к числу фотонов поглощаемых сетчаткой в условиях порога зрительного ощущения. Если обозначить это отношение через х

Рис. 184. Результаты флуктуационных наблюдений.

Рис. 184. Результаты флуктуационных наблюдений.

то расчет, основанный на теории вероятностей, дает такое соотношение между Р и

2 2

Большой экспериментальный материал, полученный С- И. Вавиловым, показывает во всех без исключения случаях линейную связь между вероятностьюР и величиной (1 —х)/)/х. На рис- 184 лриведен один пример: сплошная прямая проведена по формуле, а кружками нанесены наблюденные значения. Ввднот что зкс・ периментальные точки хорошо ложатся на прямую, тем самым подтверждая статистический характер наблюдаемых флукт)гаций.

§ 123. Рассеяние рентгеновских лучей (волновая теория)

Рассеяние рентгеновских лучей принадлежит к числу явлений, в которых с особенной ясностью сказывается двойственная природа излучения (см. § 116)-

В самом деле, в настоящем н в следующих параграфах мы увидим, что некоторые свойства рассеянного рентгеновского нз・ лучения (поляризация, интенсивность) могут 6ь【ть легко объяснены с волновой точки зрения, тогда как другие свойства (изменение частоты при рассеянии) без труда объясняются, если приписать рентгеновским лучам корпускулярную природу.

Один из важных выводов волновой теории рассеяния рентгеновских лучей состоит в том, что даже тогда, когда падающее

вообще говоря,вообще говоря,излучение не поляризовано, рассеянное излучение должно быть,

вообще говоря,

вообще говоря,

частично поляризовано,частично поляризовано,условиях—поляризовано полностью. Рассмотрим возникновение этой поляризации. Пусть плоская монохроматическая электромагнитная вол* на, распространяющаяся в направлении, параллельном оси z (ряс. 185), падает в точке О на электрон. Электрический вектор этой волныт действуя на электрон, заставляет его совершать гармонические колебания, вследствие чего электрон становится центром сфери* ческой золиыт которая и представляет собою рассеянную волну. Рассмотрим состояние поляризации этой волны в точке Р, лежащей на

частично поляризовано,

частично поляризовано,

аапри определенныхпри определенныхпродолжении оси д, т. е. впродолжении оси д, т. е. внаправлении, перпендикулярном к направлению падающей волны. Так как падающая волна не поляризована, то ее электриче-

а

а

при определенных

при определенных

продолжении оси д, т. е. в

продолжении оси д, т. е. в

может иметьможет иметьский вектор 鋁ский вектор 鋁Рис. [86. Схема олыта Баркла для об-наружения поляризации рентгеновскихлучей.Рис. [86. Схема олыта Баркла для об-наружения поляризации рентгеновскихлучей.любые направления, но он всегда остается в плоскости ху. Разложим его на составляющие 後工 и

может иметь

может иметь

ский вектор 鋁

ский вектор 鋁

Рис. [86. Схема олыта Баркла для об-наружения поляризации рентгеновскихлучей.

Рис. [86. Схема олыта Баркла для об-наружения поляризации рентгеновскихлучей.

В § 67 [см., например, формулу (67.6)] мы виделит что интенсивность дипольного

излучения электрона

порциональна sin2 О, где

угол между направлением колебаний электрона и направлением в точку наблюдения. Поэтому колебания электрона под действием составляющей 後④ в направлении ОР не дают излучения

(0=0). Из этого спепует, что в TOqKy Р приходит рассеянное нзлуденне, обусловленное колебаниями под действием одной только составляющей 後外 т. с. излучение, линейно поляризованное с направлением колебаний электрического вектора, перпендикулярным к плоскости, проходящей через направление падающей волны и точку наблюдения Р.

Этот вывод^под-гверждается следующим опытом Варк/а, аналогичным известному оптическому опыту с зеркалами Норрен~ берга. Рентгеновские лучи падают в направлении Si (рис. 186) на пластинку (уголь или парафин), которая играет роль по・ ляризатора. Согласно сказанному выше лучит рассеянные в направлении S2, должны быть полностью поляризованы. Эта по・ ляризация обнаруживается при помощи второй пластинки R2, играющей роль анализатора. С этой целью пластинка &2 вместе с ионизационной камерой Е может вращаться около осит параллельной S2 (как показано пунктиром). Опыт показывает, что

минимальную, роте на 90° поминимальную, роте на 90° покамера Е обнаруживает максимальную интенсивность рассеянного излученият когда параллельно S, (как на чертеже), н когда S3 перпендикулярно к Si (т. е. при пово-

минимальную, роте на 90° по

минимальную, роте на 90° по

отношению к положению, показанному на чертеже) -Но именно зтог。и следовало ожидать, так как на основании сказанного выше, электрический вектор падающей волны возбуждает в R2 колебания элек- тронов, перпендикулярные к Si и S2，

Вычислим теперь интенсивность рассеянных лучей. Рассмотрим для этого вынужденные колебания электрона, происходящие под действием плоской волныг распространяющейся в направлении оси 2 (рис. 187) - Положим сначала, что вол-

па линейно поляризована и ее электрический вектор 後 колеблется в направлении оси х с частотой s

(1?3.1)(1?3.1)後=後旅出"

(1?3.1)

(1?3.1)

Интенсивность падающей волны будет тогда согласно § 67 [формула (67.5)]

(123.2)(123.2)/。=金赞，

(123.2)

(123.2)

Электрическое поле S вызывает вынужденные колебания электрона, совершающиеся по оси % с той же частотой е. Эти колебания дают начало новой сферической волне, мгновенная интенсивность которой в некоторой точке Р на расстоянии & от злек・ Трона согласно формуле (67-6) равна

(123.3)

где 6 ——угол между направлением к точке наблюдения Р и направлением колебаний электрона. Ускорение электрона 戈，дви* жущегося под действием силы поля е宕，очевидно, равно еМ/加, Подставляя это в (123.3), находим / = -^^^ sin2#. Заменяя

§ 123} РАССПЯНИГ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ) 3gl здесь 後2 через интенсивность падающей волны по (123.2), получаем

/ == s®2 色 (123.4)

Это и есть выражение для интенсивности рассеянного излучения в точке Р. Мы видим, что распределение интенсивности по направлениям в случае, когда падающая волна линейно поляризована, содержит sin2О, т, е. в направлении колебаний интенсивность равна нулю и достигает максимума при О — л/2 (см- § 67).

В случае, когда падающая волна не поляризована, зависимость интенсивности рассеяния от направления несколько иная. Рассмотрим этот случай.

Пусть падающая волна по-прежнему распространяется параллельно оси z (рис- 185); электрический вектор поэтому будет лежать в плоскости ”，Разложим его на составляющие 电 и Му и вычислим интенсивность рассеянного излучения в точке Рь лежащей в плоскости хг- Так как первичное излучение не попн・ ризованот то электрический вектор 甘 может занимать любые положения н плоскости ху. Средние значения квадратов составляющих и ^у будут между собой равны

так что интенсивности, соответствующие этим составляющим, будут также равны

Каждая из составляющих 後工 и ^у создает рассеянную волну； интенсивности этих рассеянных воли в точке Р, по формуле (123.4) будут (см. рис. 185)

Г(123.5)

"=mJo 加2c，R2(123.6)

(sins^ = I, так как 色一угол между плоскостью xz и осью g). Так как колебания 後七 и некогерентныт то для получения полной интенсивности в нужно сложить интенсивности и J"：

j =『 + J〃 = /°鼎:戸(123.7)

Экспериментальная проверка показала, что для рентгеновских лучей не слишком короткой длины волны формула 023,7) дает результаты, вполне удовлетворительно совпадающие с опытом. На рис，188 сплошная кривая представляет распределение интенсивности, вычисленное по формуле (123.7)； пунктирные кривые представляют экспериментальные результаты для двух резко различных длин волн. Видно, что для более длинных волн

6 4

JO0 勿 0 ?2口。 ?500 18開Уам рассенникJO0 勿 0 ?2口。 ?500 18開Уам рассенникQEJ0H9n0H3EHsQEJ0H9n0H3EHsРис, 188. Сопоставление волновой тсорш1 рассеяния с экспериментальнымиданными,

JO0 勿 0 ?2口。 ?500 18開

Уам рассенник

JO0 勿 0 ?2口。 ?500 18開

Уам рассенник

QEJ0H9n0H3EHs

QEJ0H9n0H3EHs

= 0,71 А) и для нс слишком малых углов рассеяния экспериментальные результаты хорошо согласуются с теоретической кривой. Сильное расхождение между экспериментальными и теоретическими результатам^ для углов, меньших 30°, обьяс匸兄етск тем, что в приведенном простом выводе не учитывается иг1тер- ференцмя вслнт р2ссе%ннб1Х соседаими злектронами ^тома.

Напротив, для маль【х длин волн (々 = 0,017 А) экспериментальная кривая на всем протяжении расходится с теоретической. Она не обнаруживает около 90° никакого минимума, требуемого теорией, и, кроме того, экспериментально найденная иптенсивность рассеяния для всех углов значительно меньше теоретической.

Это расхождение показывает, что для очень малых длин волн классическая волновая теория рассеяния рентгеновских лучей становится совершенно неудовлетворительной.

Упражнения- 1. Пользуясь формулой (1234), доказать, что вах анергня, рассеиваемая электроном по всем направлениям, выражается формулой

3

2. Процент поляризации рассеянного излучения характеризуется дробью

100%・

Доказать, что для точек набоЧюдСпия, лежащих в плоскости ху (рис, 185). поляризация по-чиая (100%). а для точекь лежащих на ос打乙 процент гк)〃я： ритацпи равен нулю.

§ 124. Эффект Комптона

Недостаточность волновой теории рассеяния рентгеновских лучейт обнаруживающаяся при изучении итенсивпости рассеянии очень коротких длпн волп, особенно резко сказывается, если обратиться к рассмотрению частоты рассеянных лучей, Согласно волновой теории механизм рассеяния состоит《в рас・ качивании» электронов электромагнитным полем падающей волны. Естественно ожидать коатому, что частота рассеянно го излучения должна совпадать с частотой падающего излучения.

Между тем уже старьте наблюдения показывали, что при рассеянии рентге-

Комптона на графите.

новскнх и особенно у-лучей длина волны изменяется, а именно, в составе рассеянною излучения появляются бопсе длинные волныт обладающие меньшей проницающей способностью. Так как до открытия спектроскопии рентгеновских лучей для

определения длины волны приходилось пользоваться грубыми методами, основанными на различии абсорбции лучей разных длин волн, то в деталях явления разобраться было трудно и его, обычно приписывали влиянию вторичных факторов.

В 1922—1923 гг- А. Комптон, воспользовавшись рентгеновским спектрографом, тщательно изучил это явление и показал, что оно отнюдь не может быть сведено к влиянию побочных факторов, но не ггоср едегвеи по связано с самим механизмом р£с・ сеяния, Схема опыта Комптона проведена на рис. 189, Излучение рентгеновской трубки с молибденовым антикатодом Т рассеивается куском графита К; рассеянное излучение, пройдя через ряд {Целей, падает па кристалл рентгеновского спектрографа. Смещая и поворачивая около вертикальной оси трубку

вместе с радиатором R, можно было изменять угол рассеяния ср, не трогая остальной части прибора. Спектральное распределение интенсивности измерялось при помоши ионизационной камеры.

На рн& 190 сопоставлены полученные результаты. Д представляет распределение интенсивности в первичной линии (ля* ния Ка молибдена 入=0,712605 А)； В, С, D дают спектральный состав излучения при различных углах рассеяния. Можно сразу установить следующие особенности явления： t) в рассеянном излучении присутстзуют как первоначальная длина волны воз・ бужд^юшего излучения, так и длина волны, смешенная в сторону длинных волн; 2) величина смешения зависит от угла рас・ сеяния, а нменио, она возрастает при увеличении этого угла; 3) при увеличении угла рассеяния интенсивность несмещенной линии падает, а интенсивность смешенной линии возрастает.

На рис. 191 приведены спектры линии серебряного антикатода (入=0,56267 А), рассеянной под одним и тем же углом различными веществами. Можно установить следующие особенности процесса: 1) величина смешения не зависит от природы радиатора; 2) при возрастании атомного номера радиатора интенсивность несмещенной линии возрастает, а интенсивность смещенной линии падает. Так, у лития рассеянное излучение практически полностью состоит из смещенной длины волны, а у моди интенсивность смещенной лнннн невелика по Сравнению с ИЕтенсивно^тыо линии несмещенной.

Элементарная теория эффекта Комптона

Описанные в предыдущем параграфе особенности эффекта Комптона очень легко объяснить, если считать, что излучение имеет чисто корпускулярную природу, т. е. представляет собою поток фотонов, и что в рассеяния Принимают участий не все электроны, а только незначительная часть их, но каждый электрон рассеивает целый фотон. Для того чтобы провести это объяснение до конца, нужно допустить, что фотон обладает не только определенным запасом энергии (否v), но и определенным количеством движения, т- е. ведет себя, грубо говоря, как движущийся щарик. В таком случае рассеяние фотонов электронами связано с обменом энергии и количества движения при соударениях и, по образному выражению Комптона, происходит наподобие игры на биллиарде фотонами и электронами.

Для того чтобы на основе этого представления произвести расчет смешения длины волны, мы должны прежде рассмотреть некоторые свойства фотона. Фотон как частица обладает во вся- ком случае особыми свойствами, так как он движется со скоростью света. Поэтому формулы классической механики к

движению фотона неприменимы и нужно пользоваться внстскммн соотношениями (см. § 64).

Согласно теории относительности масса частицы, щейся со скоростью 内 равна

реляти-реляти-двп*у・двп*у・Но так как фотон движется со скоростью с, то В = 1, н знаменатель предыдущей формула обращается в нуль. Если бы поэтому масса покоя фотона имела конечную величину (т. е. была отлична от нуля), то мы бы получили т =加°/0 == 8. Отсюда следует, что масса покоя фотона обязательно должна быть равной нулю. Этим фотон самым существенным образом отличается от таких частиц, как, например, электроны, которые имеют конечную массу покоя.

реляти-

реляти-

двп*у・

двп*у・

Вычислим теперь количество движения фотона. Очевидно, что для этой цели мы уже не можем воспользоваться обычной формулой p=mv = 尸叫. по указанной выше причине. Од- нако теория относительности дает другую формулу для импульса р, которая применима и к случаю частиц。，движущейся со скоростью с. Эта формула такова:

Р = ^Е'

(64.16)(64.16)恤и恤и"sM и"sM иfT^p VT^^ 絞fT^p VT^^ 絞,2,2В самом деле

(64.16)

(64.16)

恤и

恤и

"sM и

"sM и

fT^p VT^^ 絞

fT^p VT^^ 絞

,2

,2

света (и = с), полу-света (и = с), полу-Для частицы, Движущейся со скоростью чаем

света (и = с), полу-

света (и = с), полу-

(125,1)

Наконец, для фотона Е = hv

(125.Г)

Это и есть искомое выражение для импульса фотона.

Из того факта, что фотон обладает определенным импульсом, следует, что( встречая какое-нибудь препятствие, поток фотонов должен оказывать давление на это препятствие подобно тому, как бомбардировка стенки сосуда молекулами газа в среднем складывается в давление газа. Давление, создаваемое потоком фотонов, и есть световое давление, экспериментально установленное s количественном согласии с формулой 乜25,1) знаменитыми работами выдающегося русского физика П. Н, Лебедева,

При этом, как известно, Лебедев доказал не только существование давления света на макроскопические твердые тела, но и с полной несомненностью установил тончайший эффект давления света на газы. Заметим, однако, что, предпринимая свои опыты, Лебедев руководствовался не корпускулярной теорией света, но электромагнитной теорией Максвелла, которая также приводит к выводу о необходимости светового давления и даст для давления формулу, совпадающую с (125.1). Сам Максвелл, исходя из наглядных представлений Фарадея о силовых линиях электрического полят рассматривал световое давление как следствие поперечного давления силовых трубок. То, что существование светового давления и его количественное выражение могут быть выведены и из корпускулярной и из волновой картин природы света, является одним из проявлений уже неоднократно отмечавшейся двойственности природы света.

Положим теперь, что электрон до соударения покоился, т. импульс его до соударения с фотоном был равен нулю； начальный импульс фотона равен hv^c./

После соударения электрон при-力

обретет импульс mv, где 加=

=也/门一吼а импульс фотона ^''^^>戢

станет равным hv/c.

Применяя законы сохранены энергии и количества движения,*

т. о. рассчитывая это соударе-Рис 192.

*о+ 加 о<?2 =力▽ +*о+ 加 о<?2 =力▽ +m的2m的2(125.2)(125.2)ние как удар упругих шаров, получим два уравнения. Из закона сохранения энергии имеем

*о+ 加 о<?2 =力▽ +

*о+ 加 о<?2 =力▽ +

m的2

m的2

(125.2)

(125.2)

/г^о + яг«;2 =力夕+加乩/г^о + яг«;2 =力夕+加乩(125.3)(125.3)

/г^о + яг«;2 =力夕+加乩

/г^о + яг«;2 =力夕+加乩

(125.3)

(125.3)

где 恤с?— «энергия покоят электрона. Обозначив для краткости массу движущегося электрона через т, перепишем (125.2) так:

(125,4}(125,4}

(125,4}

(125,4}

Закон сохранения количества движения дает

Av0 Av ] fb mv

Из уравнений (125.3) и (125,4) первое — скалярное, а второе — векторное. Для расчета следовало бы векторное уравнение (125.4) заменить двумя скалярными уравнениями в проекциях на оси координат. Но мы поступим следующим образом. Векторное уравнение (]25,4) фиксирует треугольник О АВ (рис. 192). По формуле элементарной тригонометрии из этого треугольника

определяем квадрат стороны АВ, равной по величине mv

или

^2D2e2 =九2% + 九2v2 — 2九%T COS ф.({25.5)

Уравнение (125.3) перепишем в виде

тс2 = A(v0 —+ тос2

и возведем в квадрат:

加 2c4 п 九2 陪 + 厶2 V 2 _ 2 九2夕0, + 喝 c《+(vQ —V). (125・6)

Вычитая (125.5) из (125.6), получим

znV(l —标储=加jd — 2/i%v (1—costp) + 2%c2GM —v).(125.7)

Заметив, что тэ(1 — v^lc2) = m2 (1—俨)=加；и произведя пр。， стые преобразования в (125,7), найдем

(125.8)(125.9)-(125.8)(125.9)-с (Н —廿=稔找口 1 — cos⑺, пли

(125.8)

(125.9)-

(125.8)

(125.9)-

(1 —COSQ).

Вычисляя отсюда vT найдем

vv%%VoVo磊…9) *制口喝磊…9) *制口喝(125.10)(125.10)

v

v

%

%

Vo

Vo

磊…9) *制口喝

磊…9) *制口喝

(125.10)

(125.10)

Это и есть формула для измененной частоты.

Из (125J0) легко получим для изменения длины волны формулу, которой чаще всего пользуются на практике. Принимая во внимание, что c/v = % и c/v0 =協，найдем

%— cos ср)

или

Величина h/m^c, имеющая размерность длины, есть комбинация трех универсальных постоянных; она называется комптоновской длиной волны и обозначается через А:

"沁C"沁C6,626*[0一"9.]0二".2：99】w6,626*[0一"9.]0二".2：99】w= 0,0242 А.= 0,0242 А.

"沁C

"沁C

6,626*[0一"

9.]0二".2：99】w

6,626*[0一"

9.]0二".2：99】w

= 0,0242 А.

= 0,0242 А.

Окончательная формула для изменения длины волны при рассеянии имеет вид

=sin2-J^0T048 -(125.12)

Из этой формулы видно, что для 屮=О А% = 0, для ср = 90° ДХ — Л и, наконец, 口ля 屮=180е А九=2A.

На рис. 190 и 191 вычисленные положения смещенных линий отмечены вертикальнылш прямыми. Как видно, максимумы экспериментально измеренных линий очень хорошо совпадают с предсказанными по формуле (125.12). Из наиболее точных измерений величина h/mGc получается равной

= @0 2424 土 0,000 04) А

в хорошем совпадении с теоретической величиной, вычислегпюй по наиболее точным значениям 无，巾。и с:

={0,02 426 5i4 ± 0,00000 57) \ /теор

Формула (125.11) показывает, что комптоновское смещение не зависит от длины волны первичного излучения. Поэтому, если бы можно было наблюдать эффект Комптона в видимом спектре, то для крайней фиолетовой части (Z = 4000 А) он составлял бы тысячные доли процента основной длины волны; для рентгеновских лучей средней жесткости (入〜0,5.4) он составляет уже около 10%, а для у^лучей величина его порядка самой длины волны.*

Нам осталось еще объяснить, почему в рассеянном излучении наряду со смещенной линией наблюдается и несмещенная: из теории, изложенной выше, это не вытекает. Однако при рассмотрении механизма рассеяния мы предполагали, что фотон «соударяется» со свободным электроном. Для легких атомов и для периферических, слабо связанных электронов такое предположение вполне оправдано, так как энергия связи электрона (несколько электрон-вольт) ничтожно мала по сравнению с энергией фотона рентгеновских лучей. Но внутренние электроны, особенно в тяжелых атомах, связаны настолько прочнот что их уже нельзя рассматривать как свободные. Поэтому при «соударении^ фотон обменивается энергией и количеством движения с атомом в целом. Так как масса последнего очень великат то, по закону сохранения количества движения, фотон не передает ему своей энергии и количества движения; следовательно,九” при рассеянии не изменяется.

На основании этих соображений можно качественно оценить соотношение интенсивностей смещенной и несмещенной липий в зависимости от массы атома. В легких атомах все электроны

связаны слабо; наоборот, в тяжелых атомах только периферические электроны свнзань【слабо. Поэтому можно ожидать, что при увеличении атомного номера при одинаковых условиях наблюдения интенсивность смещенной ^чинии будет падать, а интенсивность несмещенной возрастать. Это и наблюдается на самом пеле, как показывает рис.

Из аналогичных соображений следует, что в видимой части спектра эффект Комптона вовсе не может наблюдаться,

С оптической (велнозой) тачки зрения различие между сме・ щенной и несмещенной линиями спектра рассеянного рентгенов^ ского излучения состоит в том, что в первом случае мы имеем дело с некогерептныМт а во втором —с когерентным рассеянием. В самом доле, уже тот факт, что при комптоновском рассеянии происходит смещение длины волны, т- с. изменение частоты, указывает на то, что между падающим и рассеянным излучением в sgm случае когерентность отсутствует. Напротив, рассеянное излучение, дающее несмещенную линию, когерентно с падающим, и ряды волн, рассеянных различными атомами, когерентны между собой. Это видно также из картины интерференции рентгеновых лучей в кристаллах (см, § 33), особенк, на- глядно — цз рассмотрения рассеяния в кристаллах монохроматических рентгеновых лучей гю Брэггу (§ 34), В этом случае волны, рассеянные различными слоями атомов кристаллической решетки, интерферируют между собой, давая в конечном результате иНтерференцЕюняое отражение, подчиняющееся формуле Вульфа — Брэгга:几入由 2d sin 也 “

Электроны отдачи

До енх пор мы сосредоточивали внимание па изменении спектра при рассеянии рентгеновских лучей Простой расчет смещения, приведенный в § 125, показывает, что каждый ментарнн它 акт рассеянна должен сопровождаться появлением быстрого электрона, получившего толчок со стороны фотоиа. Подсчитаем изменение кинетической энергии электрона при рассеянии

По закону сохранения энергии это изменелие должно быть равно разности энергии фотона до рассеяния и после рассеяния

Ek =0 h Av.

Отношение E* к первоначальной энергии фотона равно

Но

as г с с 入

откудаоткуда

откуда

откуда

V 九 + ЛЛ

Принимая во внимание (125,10), получим

空=岂Av V空=岂Av V2A sin2 42A sin2 4X + 2h sir?争X + 2h sir?争(126.2)(126.2)

空=岂

Av V

空=岂

Av V

2A sin2 4

2A sin2 4

X + 2h sir?争

X + 2h sir?争

(126.2)

(126.2)

Рис. 193， Полярная диаграмма рас” сеяцных фотонов и з.тектронов от-ч дачи.Рис. 193， Полярная диаграмма рас” сеяцных фотонов и з.тектронов от-ч дачи.

Рис. 193， Полярная диаграмма рас” сеяцных фотонов и з.тектронов от-ч дачи.

Рис. 193， Полярная диаграмма рас” сеяцных фотонов и з.тектронов от-ч дачи.

Подсчитаем по этой формуле, какую часть энергии первичного фотона получает электрон отдачи. При & = 10Л = 0,24 А (жесткие рентгеновские лучи) и = 90° E^/hv составляет всего 1/“ и только для 入=А = 0,024 А (область у-лучей) при $ = 90° отношение E〃/zv = 1/2. Таким образом, для не слишком жест・ кмх рентгеновских лучей электрон отдачи получает сравЕ1Итель- но малую часть всей энергии фотопа. Это позволяет отличать электроны отдачи от《фотоэлектронов», возникающих при полном поглощении фотона st ом ом, так как согласно уравнению Эйнштейна в последнем случае электрон приобретает энергию порядка величины самого фотона,

11а рис，193 приведена полярная диаграмма, показывающая соотношение направлений и энергий рассеянных фотонов (力卄)и электронов отдачи Диа-'

грамма вьЕчерчена для случая 入о =для жестких лу-

qe自；поэтому энергия электронов отдачи здесь составляет заметную долю энергии пер・ винного фотона (ftv0)- Как видно иэ диаграммы, электроны отдачи должны выбрасываться по преимуществу вперед, по направлению первичного фо- тона.

Предсказание теории Комптона относительно необходимости появления электронов отдачи при рассеянии рентгеновских и у-лучей было немедленно подтверждено опытами с камерой Вильсона. На фотографиях (рис. 194), снятых при прохождении рентгеновских лучей в воздухе, Можно заметить наряду с длинными траекториями фотоэлектронов большое число коротких трасктори玄，расположенных по пути лучей н направленных преимущественно вперед, в со- ответствня с полярной диаграммой рис. 193 Это и есть пути электронов отдачи-

Заметим, что так как на сообщение скорости электронам отдачи затрачивается энергия, то с возникновением их связана абсорбция падающих рентгеновских или у-лучей. Обозначим коэффициент этой абсорбции через о, а коэффициент обычной или «фотоэлектрической^ абсорбции через т. Тогда мы можем ожидать, что между числом коротких траекторий электронов

Рис. 194. Следы электронов отдачи в камере Вильсона.

отдачи 必 и числом длинных траекторий фотоэлектронов Np должно иметь место соотношение

N/Np =。几

Опыт показывает, что коэффициент абсорбции т убывает с уменьшением длины волны пропорционально а и медленно изменяется с длиной волны. Поэтому при уменьшении 入 отношение NJNp должно быстро возрастать. Таблица XV1I показы- вает, что это имеет место На самом деле. Отсюда следует, между прочим, что абсорбция Жестких у-лучей почти исключительно связана с растратой энергии на создание электронов отдачи, а не с фотоэффектом.

Обширные исследования электронов отдачи были выполнены советским физиком Д. В. Скобельцыным. Для определения начальных энергий этих электронов Скобельцын использовал особый метод наблюдения, сыгравший впоследствии важную роль при изучении быстрых частиц космических лучей. Этот метод〉 впервые примененной П. Л. Капицей при исследовании лрмроды

Таблица XVII

Длина волны (в

0,71

0,27

0,44

0.9

L2

0,29

2.7

0,20

10

.0,17

17

L7

0/3

72

32

сс-частиц (см. стр. 97), состоит в том, что камера Вильсона помещается в сильное магнитное поле и по радиусам кривизна вильсоновских траекторий определяется энергия электронов. Одна из таких фотографий Скобельцына приведена на рн& 195

Рнс. [95- Пути электронов Отдачи в магнитном поле.

(рассеяние у лучей RaC). При помощи этого метода Скобельцыну удалось решить ряд важных вопросов, связанных с погло-' щением у-лучей.

Элементарные акты рассеяния и законы сохранения

В § 121 мы видели, что опыт с элементарным фотоэффектом на висмутовой пылинке естественнее всего объясняется, если представить себе, ито энергия рентгеновских лучей распространяется не в виде сферических волн, а в виде фотонов. Средний промежуток времени между двумя элементарными актами фотоэффекта как раз соответствует вероятности того, что один из фотонов, наудачу《выстреливаемых》из антикатода, попадает в «мишень», представляемую висмутовой пылинкой. Эффект Комптона, рассмотренный в предыдущих параграфах, свидетельствует об этом с еще большей ясностью.

В самом деле, весьма грубая модель соударяющихся биллиардных шаров позволяет легко объяснить все существенные черты явления. Мы даже можем наблюдать один из этих «биллиардных шаров» — электрон отдачи, который движется после рассеяния точь в точь так, как если бы перед этим его, по выражению Комптона, 《стукнул фотона.

Если бы мы попытались объяснить это явление с чисто классической точки зрения, т. е рассматривая рентгеновские лучи как сферические волны, а электроны — как обычные частицы (грубо говоря, шарики), то для этого пришлось бы принести слишком тяжелую жертву: отказаться от применимости законов сохранения энергии и количества движения к элементарным актам рассеяния. Это вытекает из следующих соображений, Сфе* рическая волна равномерно действует на все электроны, заставляя их совершать вынужденные колебания; вследствие ничтожной величины сечения электрона доля энергии и импульса, приходящаяся на каждый электрон, чрезвычайно мака. Между тем при комптоновском рассеянии появляются электроны отдачи, каждый из которых несет заметную долю энергии и импульса первичной волньь Для того чтобы понять, откуда они берут эту энергию и этот импульс, пришлось бы допустить, что происходит постепенное накопление энергии в течение длительных промежутков времени. Но это нельзя согласовать с тем фактом, что эффект Комптона возникает как на слабо связанных электронах (которые могут накоплять энергию), так и на свободных электронах (например, в металлах).

Желая спасти волновые представления, Вор, Крамере и Слэ- тер в 1923 г. сделали даже попытку построить теорию, согласно которой законы сохранения энергии и нмпульса при рассеянии выполняются лишь статистически^ в среднем за большие промежутки времени, но к элементарным актам неприменимы. По этой теории рассеяние должно происходить непрерывно, но электроны отдачи испускаются совершенно случайно. Оба процесса рассеяние волн и испускание электронов отдачи — между собою не координированы. Теория эта, в основе которой лежит отрицание таких твердо установленных основных законов природы, как законы сохранения энергии и количества движения, неприемлема уже с методологической точки зрения. Как и следовало ожидать, несостоятельность ее вскоре была показана экспериментально.

Опыты, установившие выполнение законов сохранения энергии и количества движения в элементарных актах рассеяния рентгеновских лучей, основаны на следующих соображениях. Согласно 《теернн игры на биллиарде», требующей применения законов сохранения к элементарным актам рассеяния, оба процесса должны быть связаны между собой и во всяком случае

§【28] ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ 405 должны происходить одновременно. По статистической же теории Бора, Крамерса и Слэтера оба процесса совершенно независимы друг от друга.

Для проверки той и другой теорий оказалось возможным поставить соответствующие опыты. Если законы сохранения энергии и импульса применимы к элементарным актам рассеяния, то неизбежно должен выполняться ряд следствий. Например, в противоположность требованию статистической теории каждому электрону отдачи должен соответствовать одновременно с ним рассеянный фотоп (фотоэлектрон в нашей модели). Кроме того, между углами полета электрона отдачи и фотона после рассеяния должно существовать определенное соотношение. Это соотношение иллюстрируется полярной диаграммой рис. 193; он。может быть получено непосредственным вычислением, если воспользоваться законами сохранения [формулы (125.2) и (125.4)] и заменить векторное уравнение (125.4) двумя скалярными в проекциях па оси координат. Получающееся соотношение имеет вид

027.1)

где а = А/九；обозначения углов см. на рис. 192.

Опыты были поставлены в 1925 Боте и Гейгером, с одной стороны, и Комптоном и Саймоном ——с другой. Опыты эти с полной определенностью показали неправильность основной предпосылки статистической теории о неприменимости законов сохранения к элементарным актам рассеяния. Вместе с тем они послужили цаилучшей иллюстрацией целесообразности корпускулярных представлений для объяснения некоторых свойств света. Впоследствии (1936—1937 rr.) аналогичные опыты были повторены вновь с улучшенной техникой и в разнообразных формах, И в этих новых опытах так же, как и в прежних, только с большей точностью и убедительностью, была подтверждена применимость законов сохранения к Эьпементарпым актам рассеяния рентгеновских и у・луче自.Из этих опытов ми опишем наиболее характерные, а именно, первый опыт Боте и Гейгера и опыт Комптона н Саймона.

Экспериментальное подтверждение применимостизаконов сохранения к элементарным актам рассеяния

Опыт Боте и Гейгера был поставлен для того, чтобы убедиться в одновременности появления электрона отдачи н рассеянного фотона. Узкий пучок рентгеновских луче宓(рис. 196) проходил в атмосфере водорода между двумя счетчиками Гейгера. Водород был избран потому, что он слабо поглощает рентгеновские лучи, но достаточно сильно их рассеивает’ Один

из счетчиков (левый на рис. 196} был закрыт платиновой фольгой н наполнен воздухом, другой был открыт н, следовательно, наполнен водородом. При этих условиях левый счетчик не реагировал на электроны отдачи, так как они поглощались платиновой фольгой, но реагировал на фотоны, которые, пройдя через , ,фольгу» могли вырвать фо・

IIA^74«次力"A^74«次力":Рнс・〔96. Схема опыта Боте и Гейгера.:Рнс・〔96. Схема опыта Боте и Гейгера.тоэлектрон из воздуха, стенок счетчика или самой фольги. Правый же счетчик почти не реагировал на фотоны, так как они весьма слабо поглощаются водородом, но зато сильно реагировал на электроны отдачи. Так как далеко не каждый фотон, попадавший в левый счетчик, заставлял его работать, то не каждому от

I

I

A^74«次力"

A^74«次力"

:Рнс・〔96. Схема опыта Боте и Гейгера.

:Рнс・〔96. Схема опыта Боте и Гейгера.

бросу электрометра, связанного с правым счетчиком, можно было сопостаашь отброс электрометра левого счетчика. Наобо-

рот, если совпадение действительно имеет место, то каждому отбросу счетчика квантов должен соответствовать отброс счетчика электронов. В действительности это соблюдалось не совсем точно, но число совпадений было настолько велико, что по статистическому подсчету Боте и Гейгера можно поставить 150000 против 1 за то, что совпадения не случайны, но обусловлены одновременностью факта рассеяния и появления электронов отдачи.

Опыт Комптона и Саймона и его усовершенствованная модификация, осуществленная Крэйном, Гертнером и Турином, были поставлены с камерой Вильсона для того, чтобы проверить, осуществляется ли соотношение между углами полета электрона отдачи и рассеянного фотона, требуемое законами сохранения [см. диаграмму рис. 193 и формулу (127.1)]. Чтобы понять ид^ю этого опыта, обратимся к диаграмме рис. 193.

Пусть, например, при рассеянии электрон отдачи полетел в направлении нижней стрелки 5; тогда, по законам сохранения, .рассеянный фотон должен полететь в направлении верхней стрелки 5. Углы между нижней и верхней стрелками 5 и стрел- ко〃 / удовлетворяют соотношению (127.1). Направление нижней стрелки в действительном опыте установить легко, так как ка*・ дь!« электрон отдачи вызывает в камере Вильсона заметный след. Но фотон сам не ионизует воздуха; поэтому направление соответствующей верхней стрелки в камере Вильсона непосредственно установить нельзя. Косвенным образом это можно сде- •лать так: если рассеянный фотон будет поглощен где-нибудь

внутри камеры, то он даст длинный след фотоэлектрона. Соединяя начало этого длинного следа с началом короткого следа электрона отдачи, можно получить обе стрелки. Известная.неопредел енность, которая при этом остается, связана с тем, что нельзя с достоверностью утверждать относительно найденпого фотона, что это именно тот, который при рассеянии вызвал фиксированный нами электрон отдачи. Поэтому выводы нз опыта можно делать только на основании достаточно большого стати^ стического материала.

Схема опыта дана на рис. 197. *

Рл& 197. Схема опыта Комптона и Саймона (в постановке Крейна и др.).Рл& 197. Схема опыта Комптона и Саймона (в постановке Крейна и др.).

Рл& 197. Схема опыта Комптона и Саймона (в постановке Крейна и др.).

Рл& 197. Схема опыта Комптона и Саймона (в постановке Крейна и др.).

Опыт был выполнен не с рентгеновскими лучами, но с жесткими у・луиамн, чтобы увеличить энергию электронов отдачи и этим повысить точность опыта. Источник у'лучей помещался в конце узкого канала в толстом свинцовом блоке; параллельный пучок фильтрованных у・』уче«, выйдя из канала, попадал в камеру Вильсона. Рассеивающим телом служил кусок целлулойдат помешенный в центре камеры. Чтобы увеличить вероятность поглощения рассеянного фотона внутри камеры, с той и другой сторон от рассеивающего тела располагалось по две свинцовые' пластинки. Камера помещалась в магнитное попе, перпендикулярное к плоскости чертежа. Это давало возможность не только найти направление полёта электрона отдачи, но и определить по кривизне следа энергию этого электрона (метод Скобель- цыпа, см. § 126). Такая постановка опыта имела следующее преимущество: по углу полета электрона отдачи и его энергии можно при помощи теории Комптона найти соответствующий угол полета рассеянного фотона без каких 6bl то ни было предположений относительно энергии падающего фотона. Это преимущество существенно потому, что нельзя быть уверенным в чистоте фильтрами первичных yjiyqefi, а следовательно, и нельзя с полной уверенностью приписать падающему фотону

определенную энергию. На рнс. 198 в качестве примера приведены три снимка, на которых виден электрон отдачи (в середине камеры) и место поглощения рассеянного фотона (у крайней верхней свинцовой пластинки)- При обработке фотографий по углу полета электрона отдачи и его энергии вычислялся угол полета рассеянного фотона, и результат вычислений сравнивался с углом, найденным на фотографии, Всего было сделано около 10 000 фотографий, на которых было найдено 300 комбинаций

Ряс 19&

электрон — фотон. В результате обработки оказалось, что в числе случаев, далеко превосходящем возможность случайного совпадения, наблюденный угол полета рассеяного фотона совпадает с вычисленным.

Таким образом, в настоящее время не может быть никакого сомнения в том, что законы сохранения энергии и количества движения при элементарных актах рассеяния рентгеновских и у-лучей выполняются,

§ 129- Эффект Мёссбауэра

В предыдущих параграфах мы видели, что рассеяние рент- геиовских и у-лучей свободными электронами можно рассматри- вать как упругое《соударение》фотона с электроном. При этом оказалось, что все расчеты, основанные на применении к подобного рола «соударениям^ законов сохранения энергии и им- пульса, вед^т к результатам, безупречно подтверждающимся па опыте.

Однако закон сохранения импульса должен иметь место не только при рассеянии, но и при любых взаимодействиях фотонов с атомными объектами, в частности он должен иметь место также при поглощении и испускании фотонов атомами,

В оптмке известно ^вленне, называемое резонансным излучением. Оно заключается в том, что атомы нередко с особенно большой вероятностью поглощают свет такой частота, которая соответствует разности энергий между нормальным уровнем и ближайшим к нему возбужденным. Поглотив свет этой частоты, атом переходит в возбужденное состояние и через промежуток времен 乩 равный времени жизни возбужденного состояния (т ~ 10-7——10-8 се&), вновь испускает фотон той же самой частоты. Практически это явление наблюдается, когда излучающими и поглощающими являются атомы одного н того же вещества. Например, если освещать пары натрия светом желтой линии 入=« 5889,6 А, излучаемой воз б ужденным и атомами нат- рия же, то этот свет будет интенсивно поглощаться атомами натрия, которые будут в свою очередь излучать свет той же длины волны. Отсюда и название — резонансное излучение. Аналогичное явление наблюдается в парах ртути и во многих других случаях.

При обсуждении условий возникновения Этого резонансного излучения принимается во внимание только одно, а именно, что частота поглощаемого фотона должна быть такой, чтобы энергия фотона hv была как раз достаточна для перевода атома с нормального на ближайший к нему возбужденный уровень, т. е. чтобы имело место равенство 用” =Е2 ——Другими словам小 учитывается закон сохранения знергин, но условие сохранения импульса не принимается во внхманне.

Ядра атомов также имеют квантовое уровнм энергиинормальный и возбужденные ——и Ггереходьг между этими уровнями ведут к возникновению коротковолнового электромагнитного излучения в виде у-ьчучей. Однако попытки осуществить с у-л\чами резонансное поглощение долгое времн не приводила к положительному результату. Причина этого состояла именно в том, что прн таких попытках руководствовались одним только законом сохранения энергии, т, е. автоматически перепосилй на ядра атомов и на у〃}чн то, что известно было для электронно；! обо дочки и для оптической части спектра. Между тем тот факт, Что частота, а следовательно также знергня и импульс у-фстонов на много порядков величины больше соответствующих значений для фотонов оптической части спектра, влечет за co6oii необходимость принимать во внимание как закон сохранения энергии, так л закон сохранения импульса пе только при обсуждении условий рассеянна, но и поглощения у-лучей-

Разберем этот вопрос более детально， Если фотон действительно, подобно материальной частице, обладает импульсом, то процесс излучения его атомом или ядром должен сопровож- даться отдачей, совершенно так же как выстрел из орудия со-- здает отдачу, следствием которой является движение орудия в сторону, обратную вылету снаряда. Если при этом в случае атома импульс отдачи достаточно велнк, чтобы сообщить «вы・ стрел ива ©тем у» атому отличную от нуля скорость, то, хотя в системе координат самого атома освобождается энергия, равная разности уровней Е?——々i, в лабораторной системе координат (см. § 45) энергия освобождаемого фотона будет несколько меньше этой величины, так как часть энергии пойдет на сообщение скорости самому атому вследствие отдачи. Аналогично, при цоглощенимэнергия, необходимая для осуществления квантового перехода Ё1 в системе координат атома равна Е,—£备 но в лабораторной системе координат для осуществления этого перехода должна быть затрачена несколько большая энергия, так как вследствие импульса фотона (световое давление) часть ее должна пойти на сообщение некоторой скорости всему атому.

Этим качественным соображениям легко придать количественную форму- Импульс отдачи р, получаемый ядром при испускании фотона, равен hvQ/ct а кинетическая энергия, приобретаемая атомом вследствие отдачи, равна

R=昜=給， (129.1)

где М — масса ядра. Но, в силу закона сохранения энергии, эта энергия берется за счет разности энергий уровней ——£\, переход между которыми, при отсутствии затраты на отдачу, повел бы к испусканию фотона с энергией “。二邑一百，Итак, освобожденный фотон должен иметь энергию

^vHcn = ftv0— R. (129.2)

Обратно, чтобы возбудить ядро, сообщив ему энергию 瓦一А нужно затратить энергию, большую Лу0 на величину R: избыток энергии передается атому (или ядру), что необходимо для соблюдении закона сохранения импульса. Итак,

Лvnm-д^Лv04- 2 (129,3}

Таким образом, частоты линий испускания и поглощения смещены относительно друг друга на величину vaom — vHcn = =удоалетворяющую условию Л ДV = 2R.

Подсчитаем теперь величину R в двух случаях: а) для середины видимого спектра; 6} для у・нз』уаенм儿 Пусть, для примера, в случае а) Л = 5000 А = 5-10-5 см и массовое число

атома М ЮО атомных единиц. Подсчитаем в электрон-воль- тах величины ftvo и Me2- (1 зе = 1,6・ 1СГ"з):

ОтсюдаОтсюдаhe = 6,6,【0一"，3г01°he = 6,6,【0一"，3г01°a 2,5 38,a 2,5 38,…吧嚟含*⑶38…吧嚟含*⑶38R中宀emR中宀em

Отсюда

Отсюда

he = 6,6,【0一"，3г01°

he = 6,6,【0一"，3г01°

a 2,5 38,

a 2,5 38,

…吧嚟含*⑶38

…吧嚟含*⑶38

R中宀em

R中宀em

В случае 6} положим для величины фотона у・〃уче〃 hv0 = =500 кзб = 5-105 эв и Л1 — по-прежнему 100 атомных единиц- Здесь

— 1，23 3&

Итак, в случае a) AAv = 6- 10-и эв, т- е. линии поглощения и испускания практически полностью перекрывакутся, благодаря чему резонансное поглощение может осуществляться- Напротив, в случае 6} максимумы поглощения и испускания, смещенные на величину, равную 2R. разделены большим расстоянием.

Рис, 199. Положение и форма линий нспусхания л поглощения у-лучен [г〔9『 С энергией перехода 12§ «зе при Г == 300° К-

(2,5 36)・ На рн& 199 представлено относительное расположе- ние кривых испускания и поглощения умуче玄 с энергией фотона Av0 — 129 кэв, испускаемых радиоактивным изотопом иридия 1尸例.Ясн。，что лишь ничтожная доля невозбужденных ядер 】г‘例 способна испытать резонансный захват излучения hvG = =129 кэв.

Чтобы улучшить перекрытие обеих кривых и тем самым сделать доступным наблюдению резонансное поглощение, было предложено и с успехом использовано смещение частоты линии испускания за счет эффекта Допплера- В случае линии ]г【"

九vo = 129 К38, как показывает подсчет, для компенсации смещения 2R скорость источника должна быть равна 1J ■ 105 см/сек. Схема опыта изображена на рис. 200- Здесь 〃 — источник у・нз・ лучения, укрепленный на роторе ультрацентрифуги, приводившейся в быстрое вращение; скорость вращения можно было по произволу менять. На протяжении отрезка пути, изображенного ЖИрНОЙ дугой М, Y・nyqH ИСТОЧНИ- ка могли выходить наружу из за-

Рис_ 200. Схема опыта для на-блюдения резонансного поглоще-ния у-лучей-Рис_ 200. Схема опыта для на-блюдения резонансного поглоще-ния у-лучей-ЩИТНОГО Ящика РЬ; число фотонов, после прохождения через поглотитель П, подсчитывалось счетчиком фотонсж Д. Если менять скорость вращения центри- фугн, то вследствие эффекта Допплера будет меняться и частота у-лучей- Очевидно, что, чем пол- 唸е будет при этом компенсация

Рис_ 200. Схема опыта для на-блюдения резонансного поглоще-ния у-лучей-

Рис_ 200. Схема опыта для на-блюдения резонансного поглоще-ния у-лучей-

относительного сдвига кривых поглощения и испускания, тем сильнее будет поглощение в поглотителе П и тем меньшее число фотонов зарегистрирует счетчик. Таким путем удалось обнаружить слабо выраженное резонансное поглощение.

Исследование резонансного излучения у-лучей вступило в новую фазу, когда в 1958 г- германский физйк Р. Мёссбауэр открыл повое в высшей степени замечательное явление. На теории этого явления (эффект Мёссбауэра) мы здесь останавливаться не можем и ограничимся намеком. Суть в том, что возбужденное ядро, которое мы до сих пор рассматривали как свободное, на самом деле входит в состав кристаллической решетки, атомы которой совершают колебания около положения равновесия, т. а являются осцилляторами, Ясн。，что в том случае, когда средняя энергия отдачи, обусловленной излучением или поглощением, значительно меньше знергнн осциллятора решетки, большинство переходов в ядре не сопровождается передачей энергии осцилляторам, т. е. происходит без отдачи. При этом в области у・〃у・ чей, так же как в оптической области, становится возможным полный резонанс. Линии поглощения н излучения при этих условиях характеризуются естественной шириной (см. § 72), которая в области у-лучей очень узка, как это видно нз приводимых ниже цифр.

Чтобы показать это и вместе с тем промерить ход кривой поглощения, Мёссбауэр воспользовался тем же расположением опыта, которое изображено на рис. 200. Вращая источник с

*) См. Г. Вертхейм, Эффект Мёссбауэра. «Мир»_ 1966.

различной скоростью, он менял за счет эффекта Допплера частоту у・излуденмя, проходящего через поглотитель /7. Интенсив。 ность излучения за поглотителем, регистрируемая счетчиком, характеризовала интенсивность поглощения в П. Оказалось, что в условиях, когда поглощение Происходит «без отдачи», ре* зонанс обладает исключительной остротой. Об этом можно судить по следующим данным: в случае у・нзлученне с фото・ ном 129 кэв обнаруживало слабый резонанс при скорости ро・ тора порядка нескольких десятков тысяч см/сек. Напротив, в условиях резонанса без отдачи достаточно было скорости в несколько см]сек, чтобы полностью подавить ядер ное поглощение; например, поглощение падает наполовину при скорости 1,5 см/сех! Кривая рис. 201 демонстрирует это (обратить внн・ мание на шкалу и CMjesK). Полуширина линии поглощения, «азанно卤 на этом рисунке, составляет всего 4,5-10-6 зе.

Рис, 20L Кринан резонансного поглощения без отдачи а ГгеЭе- Короткие вертикальные отрезки характеризуют пределы ощибки для каждой наблюденной точки-

Описанная картина резонансного поглощения страдает некоторой упрощенностью. В действительности линия, характеризуемая одной только естественной шириной, не является единственным результатом поглощения, но накладывается на значительно более широкий фон. Высота (или ——точнее ——глубина; см- рис. 201) максимума этой линии определяется вероятностью поглощения без отдзчи, которая значительно меньше 100%/ Квантовая теория этого процесса была развита Мёссбауэ^ ром и привела к формулам, которые позволяют заранее оценить условия, благоприятствующие возможности наблюдения резонансного поглощения без отдачи.

Свойства приведенного в качестве примера изотопа М" (ftvo = 129 таковы, что для наблюдения резонансного поглощения необходимо охлаждать образец до температуры жидкого гелия (Т = 4,2°К). О том, насколько узкая линия при этом излучается, можно судить по отношению полуширины линии Г (выраженной в энергетических единицах) к энергии фотона для этой линии оно равно Г/£ = 2 и в 104 раз меньше, нежели соответствующая величина для видимой части спектра.

Еще более благоприятными свойствами обладает изотоп железа Fe$7. Он позволяет наблюдать резонансное поглощение уже при комнатной температуре. Отношение 「/£ в этом случае равно 3, [От* т. е. еще на два порядка меньше, нежели в случае 1г191, Известен также и ряд других изотопов, у которых наблюдается эффект Мёссбауэра,

Некоторые применения эффекта Мёссбауэра

Необычайно малая ширина линии резонансного испускания в эффекте Мёссбауэра, особенно в случае линии 14,4 кэв F* позволяет наблюдать некоторые очень тонкие и важные эффекты. Мы рассмотрим здесь два из возможных применений эффекта Мёссбауэра: допплер-эффект второго порядка и смещение спектральных линий в Гравитационном поле (так назьь ваемое «красное смещение» в гравитационном поле).

А, Д о п п л е р - ? ф ф е к т второго порядка, Из тики известно, что смещение спектральной линии вследствие эффекта Допплера равно

—cos а,

зрения. Наблю-зрения. Наблю-где а — скорость источника света и а — угол между направле-

зрения. Наблю-

зрения. Наблю-

ннем скорости источника и направлением луча даемая частота равна

(130.1)

что в специаль- другой системечто в специаль- другой системеПри выводе этой формулы не учитывается, ной теории относительности при переходе к

что в специаль- другой системе

что в специаль- другой системе

координат, равномерно движущейся относительно первой, преобразуются не только пространственные координаты (см. § 67), но и время. Если принять во внимание преобразование времени, то вместо (130.1) получается ，

(130.2)(130.2)vq 11 cos а

(130.2)

(130.2)

/1

Таким образом теория относительности требует, чтобы, на- РЯДУ 8 смещением, зависящим от первой степени отношения ”& существовал эффект, зависящий от квадрата этого отноше- в не зависящий от направления. скорости. Для случая когда о/с《1, имеем

V = vjl Ycosa+ }(£『+,

Очевидно, что релятивистский эффект, зависящий от (и/с)?, существенно перекрывается значительно большим эффектом пер- вого порядка. Поэтому обнаружение и измерение эффекта вто・ pOFO порядка есть деликатная экспериментальная задача.

Айвс, который впервые проверил формулу (130.2) па 叩 мере линии Щ водорода, испускаемой быстро движущимися атомами в каналовых лучах, исключал эффект первого порядка, фотографируя спектр па одну и ту же пластинку дважды: в направлении полета каналових лучей (а = 0) и в противоположном направлении (а = [80"). Это дает

迎="。[1 +T+4(7)T

Отсюда не зависящее от знака и релятивистское смещение получается путем усреднения

Интерес и важность этого эффекта обусловлены тем, что в нем проявлйетсн релятивистский эффект «замедления времени» в движущихся системах. В самом деле, поскольку излучаемая частота характеризует строго периодический процесс, излучающий атом можно рассматривать как «часы», Но, согласно формулам преобразований Лоренца для времени (§ 61), промежуток времени АУ в движущейси системе координат связан с промежутком времени в лабораторной системе координат Af соотношением

m=汇：也2工Аy (1 +叫2吟.

Поэтому

N =—叫2吟，(130.3)

т. е. в движущейся системе происходит ^замедление времени» в соответствии с формулами для допплер эффекта второго порядка.

Допплер-эффект второго порядка отчетливо наблюдается в процессе резонансного поглощения и испускания без отдачи.

Ядра кристаллической решетки благодаря тепловым колебаниям находятся в непрерывном движении около положения равновесия. Вследствие этого Средняя скорость у, а с нею и допплер-эффект первого порядка равны нулю. Однако средняя квадратичная скорость за время жизни радиоактивного ядра (в случае Fe6710— сек) приобретает устойчивое значение (периоды колебаний решетки порядка 10_]2 се&т). Так как ширина линии Мёссбауэра в Fe” очень мала (Г/£ = 3- 10_1й)т то уже при «расстройке» частот излучателя и поглотителя на па 10-1г V резонацс практически полностью снимается. Но частота в движущейся системе (излучающее ядро) связана с частотой в лабораторной системе (поглощающее ядро) соотношением

式 = " I 二;;f =*(1+叩一标/2叱 а усреднение скорости дает

У =戶/2%,

т. е. как раз частоту, соответствующую релятивистском} «замедлению времени» по формуле (130.3), Так как в эту формулу входит средняя квадратичная скорость, то самый эффект должен зависеть от температурь】，Поэтому, еспн излучающее и п。- глощающее ядра находятся при одинаковой температуре, то смещение в. обоих ядрах 6)дет одинаково и эффект не проявится. Напротив, при различии температур излучателя и поглотителя должно наблюдаться относителыюс смещение частот перехода, расстраивающее резонанс. Американские физики Паунд и Ребка произвели соответствующие эксперименты и показали, что в зависимости от разности температур наблюдается смещение, вполне удовлетворительно согласующееся с вычисленным теоретически для слух а с Fe57,

В скязл с этим сделаем дополнительно два замечания:

Как мы видели, допплер-эффект второго порядка есть просто следствие релятивистского замедления времени в движущихся системах. Однако проявление этого замедления в эффекте Мёссбауэра и его экспериментальное подтверждение оправдывают не только эффект замедления времени, но и вытекающий из него так называемый парадокс 【【асов. Последний состоит в том, что если имеется двое тождественные часов в одном и том же месте, то их показания мог\т обнаружить различия в зависимости от разницы их предысторий, 《“асам”》 данном случае являются излучающее и поглощающее ядра. При этом ядро поглотителя Сравнивает (наличие полного резонанса или его расстройка) частоту (показание) своих часов с показаниями часов излуватс』只，а чувствительность к обнаружению расстройки (в случае Fe^ 1 : 10t2) недостижима ни для

§ 130] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЭФФЕКТА МЕССБАУЭРА 4|7 каких других методов- Тот факт, что при различных температур рах излучателя и поглотителя обнаруживается смещение резонанса, как раз и указывает на зависимость показаний обоих aqaeos》от их предыстории, т, е. подтверждает ^парадокс иасов».

Влияние температуры на резонансное поглощение и испускание может быть также интерпретировано энергетически. ИнтерПретация состоит в следующем. Хотя при любой температуре излучение и поглощение происходят без отдачи, т・ импульс у-фотона не меняется вследствие отдачи, величина hy немного изменяется по другой причине. Эта причина состоит в следующем: так как прй излучении ядро переходит из воз- бужденного состояния в нормальное, то его энергия изменяется, а вследствие этого меняется и масса по релятивистскому соотношению = £/，2, где £ —энергия перехода. Поэтому нзме・ нится также и средняя кинетическая энергия. Действительно,, так как R = p2/2Mt причем р = hv/c = const (излучение без от- дачи), то

Далее, ваиду того, что энергия перехода с возбужденного на нормальный уровень распределяется между энергией излучаемого фотона и затратой на увеличение кинетической энергии решетки, то излучаемая энергия будет равна

еТе =(1Т)£‘

т- е. частота фотона, излучаемого без отдачи, должна изменяться на фактор (1 — ^/2с2)т точно такой же, какого требует допплер-эффект второго порядка.

Гравитационное кр а сцое смещение спектральных л и к и й. Одним из следствий общей теории относительности, доступ пых для экспериментальной проверки, является воздействие гравитационного поля на частоту спектральных линий Однако эффект этот очень мал, так, например, свет, исходящий от поверхности Солнца, должен испытывать смещение в красную сторону, относительная величина которого равна ,

Астрономические измерения, выполнявшиеся начиная с 1919 г,. При всех солнечных затмениях, качественно подтверждали существование этого эффекта с гравитационного красного смещения спектральных линий» путем наблюдения смещения положения звезды, расположенной вблизи солнечного диска, однако из-за малой величины смещения количественные результаты были не Bcei да убедитеьтьны.

]4 э В Шпольский, т I

Очень малая ширина линии Мёссбауэра и свизанная с ней возможность обнаружения смещения частоты в случае Fe", меньшего 1°т2, давала надежду на возможность наблюдения и измерения эффекта в легко доступных земных условиях. Эта надежда на самом деле оправдалась.

Предварительно заметим, что в общем случае эффект состоит в [вменении частоты электромагнитного излучения при прохождении разности гравитационных потенциалов. Это смещение может рассматриваться как следствие принципа эквивалентности общей теории относительности. Последний состоит в том, что в ограниченной области пространства поле тяготения может быть заменено постоянным ускорением системы. Вообразим лабораторию, расположенную в области, где поле тяготения отсутствует, и пусть в ней точно над поглотителем на расстоянии / находится тождественный с ним источник. Пусть теперь маша лаборатория испытывает ускорение, направленное вверх (1. е. от поглотителя к источнику) и равное g. Допустим^ что источник испускает монохроматический сигнал в виде электромагнитной волны частоты v. Время, которое требуется сиг、 налу, чтобы пройти от источника к поглотителю, равно

за это время источник приобретет скорость

и вследствие эффекта Допплера первого порядка частота, воспринимаемая поглотителем, испьпает относительное изменение

Av/v ==•= gljc2r

Наблюдаемая частота будет, таким образом, равна

У = ”(1 + g 〃喲

Для явлений, происходящих внутри пашей 《лабораторно», равномерно-ускоренное движение с ускорением g. направленным нверх, эквивалентно полю тяготения, направленному вниз с тем же ускорением g («лнфт» Эйнштейна) .

Па основе лршшипа эквивалентности величина gl может i什 терпретировазься как разность гравитационных иотенцналов, соответствующая разности высот Обозначив ее через напишем

唄=+ Д(р/сг)_

*) Доступное изложение см. А. Эйнштейн. О специальной и общей теории относительности. Собрание научных трупов, т. ], «Наука». 1965, стр- 530—600 (п особенное ей !8—23) - См. также А, Эйнштейн и И и- 巾 еньп Эволюция физики, Гостехиздат, 1948. Глаза 111 (в Собрании научных трудов, гом IV. стр. 435—513).

В таком виде формула верна также и для неоднородных гравитационных полей. Ввиду присутствия величины d порядка W21 в знаменателе второго члена гравитационное смещение нич- тожпо мало.

Для изучеыия гравитационного смещения частоты Паунд и Ребка в Гарвардском университете воспользовались резонансным поглощением излучения 14,4 кзз Fe". Так как Av/v пропор. ционально величине 瓦 то важную роль играет расстояние по высоте между источником и поглотителем. Но вследствие необычайной чувствительности эффекта Л^ёссбауэра в Fe57 оказалось возможным наблюдать гравитационное смещение, поместив источник в башне физической лаборатории Гарвардского универ- ситета па высоте всего в 21 м над поглотителем избежать ослабления пучка из-за поглощения в воздухе, источник и поглотитель были помещены в пластмассовый цилиндр, наполненный гелием. В первмх опытах встретилось затруднение, так как обнаружились нерегулярные смещения частоты источника относительно частоты поглотителя. Однако вскоре было выяснено, что эти смещения обусловлены колебаниями разности температур между источником и поглотителем, которые в свою очередь вели к расстройству резонанса вследствие квадратичного эффекта Допплера- Расчет показал, что фьчуктуация температуры в 1° должна вызвать смещение почти равное гравитационному эффекту. После того, как причина незакономерных колебаний была установлена, начали контролировать температуры источника и поглотителя и вносить соответствующие поправки. При этом результаты стали устойчивыми. Отношение среднего из всех измерений к теоретической величине g〃c? оказалось равным 0,99 土 "047, т. е. в пределах ошибки — совпадающим с пред^ сказанной величиной- Так в течение нескольких недель была решена Проблема, ранее потребовавшая больших усилий астрофизиков и спектроскопистов на протяжении 45 лет!

*) Подробное описание етлх экспериментов дано в статье Паунда в журнале «Успехи физических наук», т. 72, № 4, 1960, стр. 674.

ГЛАВА X

ВОЛНЫ Н ЧАСТИЦЫ

§ 131. Введение

В предыдущей главе было показано, что в оптических явлениях (включая область рентгеновских лучей) обнаруживается своеобразный дуализм. Наряду с такими свойствами света, которые как бьг самым непосредственным образам свидетельствуют о его волновой природе (интерференция, дифракция), имеются и другие свойства, столь же непосредственно обнаруживающие его корпускулярную природу (фотоэффект, эффект Комптона). Хотя мы никак не можем себе представить, чтобы един и тот же объект был одновременно и частицей и воьпной, мы вьшуждены для объяснения всего круга оптических явлений пользоваться и той н другой картиной'

В настоящей главе мы увидим, что этот в высшей степени поразительный дуализм имеет место и для объектов, которые мы обычно называем счастицами^—для электронов, протонов, атомов. Существует большое число общеизвестных опытов, которые с полной очевидностью показывают, что эти элементарные составные части вещества ведут себя, как локализованные в пространстве иастнин. Когда мы рассматриваем туманнее слепи на вильсоновских фотографиях, у нас не возникает никакого сомнения в том, что это ——следы пролетевших частиц. И опнако в ?той главе мы увидим, что существуют другие опыты, в которых те же самые «частицы» ведут себя как волны, способные к интерфе- ренции. '

В предыдущей главе мы особенно подчеркивали явления, в которых обнаруживается корпускулярная природа света. Настоящую главу мы начнем с более подробного рассмотрения двойственности в природе света,——того замечательного вывода, к которому привело нас в конце концов рассмотрение флуктуаций светового по】〃 (§ 116). Так как, однако, для дальнейшего нам понадобится целый ряд сведений из теории волнового движения, то мы сначала коротко напомним эти необходимые сведения,

§ 132. Плоская монохроматическая волна в однородной среде

Когда мы говорим о волнах, то представляем себе прежде всего волны на поверхности воды или поперечные волны, бегу- П1.ие в упругом щнуре при периодическом сотрясении его конца. Какова оы, однако, нн была природа волн, распространение их следует одинаковым законам.

Рассмотрим сначала простейший вид волн — плоские моно хроматические или гармонические волны — и выберем направление распространения волн за 0cb # системы координат. Такие волны представляются формулой

w = д cos + 6 ・ (132.1)

Здесь а, о, с' н 6 — постоянные, смысл которых будет сейчас установлен, ан — величина волнообразно распространяющегося возмущения, напрнмер, отклонение частицы от положения равновесия в упругой волне, какая-нибудь составляющая напряженности электрического или магнитного поля в электромагнитной волне и т. д. Постоянная а есть амплитуда волны, [з (f工/c，)+ 6] мы называем фазой волны, а постоянную 6, входящую в фазу,——начальной фазой. Поверхность, во всех точках которой фаза имеет одно и то же значение, есть поверхность равной фазы. Очевидно, что в рассматриваемом случае, когда фаза зависит линейно от координать! х, такой поверхностью будет плоскость х = const, нормаль к которой совпадает с осью

Постоянная с', входящая в фазу, имеет следующий смысл. Выберем какое-либо определенное значение фазы и посмотрим, при каких условиях оно будет сохранять одну и Ту же величину при изменении # и f. Очевидно, что для постоянства фазы необходимо и достаточно, чтобы f 尤/с，— const, откуда

+ const-

Отсюда видно, что с' есть скорость перемещения плоскости равной фазы, или фазовая скорость волны.

Так как х и £ входят в аргумент периодической функин% то волна должна обнаруживать периодичность во времени и в Пространстве. Вследствие периодичности во времени должен существовать постоянный промежуток времени Т, удовлетворяющий условию

COS 9 (f ——^-) + 6 = cos [о (f + Т —~j + 6 .

Это может быть только в том случае, если соГ = 2л или ю = 2л/Т. Время Т называется периодом волны,①——угловой или циклической частотой; 1/Т есть линейная частота v, так что со — 2九v.

Вследствие периодичности в пространстве при данном f одни и те же значения и должны повторяться при изменении х на яекоюрый отрезок X (длину волны), т. е. должно быть

—+б] =cos ①,

Это значит, что 2.С = 2K или X = 2兀с'/з = c7v или наконец

с，= ^ = ；л(132‘2)

■— соотношение, связывающее фазовую скорость с длиной ВОЛНЫ.

П\сть теперь плоская волна распространяется в любом направлении, образующем с осями координат углы а, р, у. По。 вернем оси координат так, чтобы ось как и раньше, совпадала с нормалью к плоскости равной фазы- Тогда в этой новой системе координат формула плоской волны будет

- и —a cos з —+ 6 •

Но согласно формулам преобразования координат при повороте осей

х cos ау cos р 2 cos

и мы получаем

" =*司3卜_ зa +彳sB + z『.) + 6 =

=沢。5[9f-2丸"3a+ ^。邛 + 2，。7)) + 吋(⑶3)

Уравнение плоскости равной фазы в этом случае будет 尤 cos а + g cos В z cos 丫 一 const.

Введем теперь вектор к, по направлению совпадающий с положительной нормалью к плоскости равной фазы, а по абсолютной величине равный

筝.(132.4}

Компоненты этого вектора, который мы будем называть волновым лектором, или вектором распространения волны, таковы:

论*cos a, 々g = *y-cosR,cos у‘

В таком случае

2九(％ 磔£ + 9*s В + % cos Y) = x晨 + g询 + 涕“ =^, (132.5} где г радиус-вектор, проведенный в произвольную тючку плоскости равной фазы. При помощи (132.5) формула плоской волны приводится к следующему компактному виду:

〃 =a cos [(3f — kr) + dL〃 =a cos [(3f — kr) + dL(132.6)(132.6)

〃 =a cos [(3f — kr) + dL

〃 =a cos [(3f — kr) + dL

(132.6)

(132.6)

Заметим, наконец, что так же, как и формулы колебаний (§ 47), формулу плоской волны можно писать в комплексном виде

u = aei(132.7)

млн, вводя комплексную амплитуду 4

(132.8)

При этом берется только действительная часть комплексного числа (132.7) или (132‘8)‘

§ 133, Волновое уравнение

Рассмотренная в предшествующем параграфе формула плоской волны является частным решением некоторого дифференциального уравнеиня, называемого волновым уравнением‘ Напрнмер, из основных уравнений электромагнитного поля в пустоте ——уравнений Максвелла — для любой компонент” напряженности электрического^ли магнитного поля может быть получено следующее уравнение второго порядка в частных производных：

(133」)(133」)@2“ $ 尹〃 $ а 包1 02〃

(133」)

(133」)

TP"•十营十而=

где и — любая компонента напряженности электрического или магнитного поля. Уравнение (1§3‘1), как доказывается в руководствах по электродинамике ), описывает электромагнитное волны, распространяющиеся в пустоте со скоростью с.

Легко убедиться в том, что формула плоской волны

以-4J*「一*=叫+吃一明([33②

удовлетворяет уравнению (133」)，Действительно, дифференцируя (133,2) дважды по всем координатам и ио времени, находим

Подставляя эти производные в щен ийПодставляя эти производные в щен ий*〃戸*〃戸一①缉%一①缉%——0)2*2〃——0)2*2〃(133」)，получаем(133」)，получаемпосле сокра-после сокра-寿=此+号+%寿=此+号+%(J33.3)(J33.3)

Подставляя эти производные в щен ий

Подставляя эти производные в щен ий

*〃

戸

*〃

戸

一①缉%

一①缉%

——0)2*2〃

——0)2*2〃

(133」)，получаем

(133」)，получаем

после сокра-

после сокра-

寿=此+号+%

寿=此+号+%

(J33.3)

(J33.3)

Это важное соотношение, связывающее частоту з с компонентами волнового вектора, характерно для природы волны; его называют иногда законом дисперсии.

Вместо того, чтобы писать в правой части (133」)сумму вторых частных производных по координатам, мы можем представить ее так:

’ = A以，

где A — так называемый оператор Лапласа. Написав волновое уравнение в виде

备崇= А〃， (133.4}

мы не только пользуемся сжатым способом записи, ио и получаем существенное обобщение, так как оператор Лапласа может быть выражен в любой системе координат. В частном случае прямоугольных декартовых координат он имеет вид

a=爲 + 名+(133.5>

В других системах координат оператор А выражается иначе. Пз этих выражений для нас очень важно выражение оператора А. в сферических полярных координатах. Оно таково:

Д + 2 (133,6>

Переход от декартовых координат к полярным можно, конечно, выполнить путем обычной замены переменных по правилам дифференциального исчисления. Однако вычисления в случае перехода к пространственным координатам 八 6 и ① ока。 знваютс兄 настолько громоздкими и утомительными] что идти таким путем не рекомендуется. В руководствах по векторному анализу обычно излагаетсн очень простой и изящный метод для перехода к любым криволинейным ортогональным координатам,, которым и пользуются для получения формулы (133.6). Излагать этот метод здесь нс мест。*), и мы ограничимся приведением готовой формулы (133.6)、

Волновое уравнение является линейным однородным днффе。 ренциальным уравнением в частных производных. Как всякое линейное однородное уравнение, оно обладает следующим важным свойством. Положим, что мы нашли частное решение (133.1) 〃1； тогда и C[U[, где & произвольная постоянная, будет также решением (!ЗЗЛ)- Если нам известны частные решения

*) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. И. «На- ука»,1966, стр 381.

“1 и 卫2, то 〃 = С[Щ + с^, где С[ и с? — произвольные постоянные, также будет решением волнового уравнения (133.1). В этом заключается математическое обоснование известного принципа на- лощения или суперпозиции волновых движений, который позволяет при помощи наложения плоских волн строить любые волновые поля, Мы воспользуемся этим принципом в ближайших параграфах.

§ 134- Суперпозиция плоских волн

Рассмотренные в предшествующем параграфе плоские моно。 хроматические волны в природе никогда не о существляются. В самом деле, по условию, эти волны представляют собой строго периодический процесс, а для этого они должны иметь бесконеч- ное протяжение в пространстве и во времени. Реальные же световые «сигналы» всегда ограничены в пространстве, испускаются в течение ограниченных промежутков времени, а потому и не являются строго гармоническими (см. § 72)・ Поэтому мы можем их рассматривать как результат суперпозиции строго гармонических, плоских волн, которые в одной части пространства вследствие интерференции усиливают друг друга, а в остальном пространстве друг друга погашают. Такие сложные волны имеют некоторые важные особенности, которые мы выясним сначала на примере суперпозиции только двух плоских гармонических волн.

Положим, что обе эти волны распространяются вдоль оси х и что их частоты н з, а так*е абсолютные значения волнового вектора ^о и fe (屈=2几/А。，々—2л/А) очень мало различаются друг от друга: 々о —々=А/гт 0, зо —(о = А(о. Итак, мы имеем:

U[~a cos (о)М —= a cos (<of — kx).

Складывая u{ и 〃2, получаем сложную волну и:

〃 =〃]+ “2 = a cos (of —@ cos (W —=

=2a cos (色严小os (出抖

(134.1)(134.1)или, вследствие близости v° н v,々° м 々，приближенно и = 2а cos (粤f — •^ 工)cos (@#— k^x).

(134.1)

(134.1)

Полученный результат можно истолковать следующим образом. Второй множитель формулы (134」)，cqs(2hvc/ 々°х), представляет фазу волны с частотой v0 и волновым числом 々卜 а первый

2a cos ^― t ■" —^―工

—медленно (Аь> —* 0, Afe 0) н притом периодически меняю， щуюся амплитуду. Другими словам% волну 〃 (134.1) мы рас， сматрпваем как волну с частотой о)о и волновым числом 々°, но с модулированной амплитудой- Не следует забывать, однако, что волна, изображаемая формулой (134-1), строго говори, у》ке не будет гармонической: гармоническая волна на всем протяжение от —8 до должна иметь Одну и ту же амшитуду и одну определенную частоту. Между тем волна (134.1) имеет периодически меняющуюся амплитуду, и соответствующий спектральный прибор обнаружит в ней не одну частоту, а две: ⑴О И (О.

Этот результат илдюсгрируегся р〃с. 202, где изобра^елы для некоторого момента времени два участка гармонических

волн, с мало различающимися 九° и X, и волна, возникающая в результате их суперпозиции- Как видно, эта сложная волна распадается [ia ряд групп с амплитудами, меняющимися по коси-

сон二альному закону.

Скорость перемещения определенной фазы мы булем называть фазовой скоростью волн. Для того чтобы ее отыскать, па- пишем условие постоянства фззы волн^

——const.(134.2)

О [1 редел ив отсюда производную координаты к по времени, т. е. величину х, мы и найдем скорость перемещения плоскостей рав

ной фазы, т. е, фазовую скорость. Из (134.2) находим

откуда, обозначая фазовую скорость через

eе令Н絹или С』登A。=叫 (134.3)

■— известное из элементарного курса физики соотношение, имеющее место, как видим, для фазовой скорости.

Найдем теперь отдельно скорость перемещения определенной амплитуды волны. Очевидно, что эта последняя скорость совпа，

дает со скоростью перемещения группы в целом; она называется поэтому групповой скоростью. Для отыскания ее пишем, по аналогии с предыдущим, условие постоянства амплитуды:

粤f-^% = const.'（134.2，）

Найдя отсюда х, получаем dx

Предел этого выражения при М -* 0 мы и будем называть ардп， повой скоростью

Мы видим таким образом, что обе скорости — фазовая и групповая, выражаются различными формулами. Чтобы раз。， браться в соотношении между этими скоростями, 1гужно рассмотреть условия распространения волн в различных сре工ах. Но для этого мы прежде всего должны обобщить полученные результаты на случай сложения многих волн, что и будет сделано в следуюы1ем параграфе,

§ 135. Волновой пакет

Покажем теперь, что п\тем суперпозпимн плоских воли можно осуществить волновой процесс, в котором амплитуда。「 лична от нуля только в небольшой части пространства, а в остальном пространстве равна нулю. Будем по-прежнему для простоты рассматривать линейные процессы илит точнее, плоские волны, зависящее только от одной пространственно肖 координаты и от времени.

Для того чюбы образовать волновой процесс, имеющий ограниченное протяжение в пространстве, наложения двух плоских волн уже недостаточно. Оказывается, олпако, что такой происсс можно образовать путем наложения волн с непрерывно меняющимися k в пределах некоторого интервала 2A电 размеры которого мы установим впоследствии- Выберем на интервале 2厶々 некоторую среднюю точку fe0 и покажем, что при определенных условиях, в результате суперпозиции, которая теперь уже вследствие непрерывного изменения 々 должна представиться не сумм。％ по интегралом

〃 = J a （k） cos （（о/— kx）dk,（135.1）

можно получить ограниченный плоский волновой процесс нлм, как его назнвают，волновой пакет.

Что касается амплитуды a{k) складываемых гармонических волн, то мы условимся считать ее постоянной во всем интервале 士 А% м равной & (辰)・ Зависимость частоты з от 々 дается, вообще, законом дисперсии волн интересующей нас природы (см, § 133). Но каков бы ни был этот закон, для малого интервала Дй мы можем представить他)в виде степенного ряда о)饮)=® (备)+ (々—饲(翁)+ } 3 -瓦产(需l +…

-(135.2)

Вычислим теперь интеграл (135-1) приближенно, полагая, что интервал k —版 настолько мал, что в (135.2) можно отбросить все члены, начиная с третьего, т. е. взять для з(爲)линейное выражение.

Подставляя это выражение со (fe) в (135.1), получаем

*е+Дйи = а (й0) J cos*е+Дйи = а (й0) J cos

*е+Дй

и = а (й0) J cos

*е+Дй

и = а (й0) J cos

Интеграл этот легко вычисляется, и мы находим после подстановки пределов и умножения числителя и знаменателя на Afe

u = 2a (备)Дйu = 2a (备)Дй5 М [(需)。 f - "]""醫。 -5 М [(需)。 f - "]""醫。 -cos((o“ 一 Йох)-cos((o“ 一 Йох)-(135.3)(135.3)

u = 2a (备)Дй

u = 2a (备)Дй

5 М [(需)。 f - "]""醫。 -

5 М [(需)。 f - "]""醫。 -

cos((o“ 一 Йох)-

cos((o“ 一 Йох)-

(135.3)

(135.3)

множителем встречали вмножителем встречали вход:ход:при .0 Кт 屮при .0 Кт 屮口рн g = ± л口рн g = ± л^ = 0.^ = 0.

множителем встречали в

множителем встречали в

ход:

ход:

при .0 Кт 屮

при .0 Кт 屮

口рн g = ± л

口рн g = ± л

^ = 0.

^ = 0.

Этот результат можно истолковать совершенно аналогично томут как мы толковали формулу (134.1) в предыдущем параграфе: множитель cos(3of —爲0尤)в (135.3) связан с фазой нашего сложного процесса, а стоящий перед ним множитель представляет переменную (модулггроэаиную) амплитуду. Обозначав

а"(需

мы видим, что характер изменения амплитуды определяется

А； *, Этот модулирующий множитель Mbi 5 же § 74; при изменении аргумента он имеет следующий

l】pu дальнейшем увеличении абсолютной величины g функция

—— проходит через ряд максимумов и минимумов. Опнако их

величина мала по сравнению с главным максимумом при g = О м быстро убывает с увеличением аргумента. Таким образом， м°н<но сказать, что в результате суперпозиции получается практически одна группа, амплитуда которой отличается от нуля в ограниченной области и в этой области изменяется как

■^^■- На рис. 203 изображена «моментальная фотографиям та、

кой группы, т. е. ее форма в определенный момент времени.

Формула (135.3) показывает, что в случае волнового пакета, как м в случае сложения двух плоских волн, рассмотренном в предыдущем параграфе, можно ГОВОрИТЬ О двух СКОрО- СТЯХ —фазовой и групповой- Фаза, как уже было сказано, входит

в множитель cos(”o/ ——k(,x); приравнивая фазу (з“ 一 kg постоянной и дифференцируя, находим фазовую скорость, как и в предыдущем параграфе, равной

f _ a

Множитель, модулирующий амплитуду, s； & при g О, имеет постоянное значение, равное 1. При g = 0 имеем

Это показывает, что поверхность равных амплитуд есть плоскость, перемещающаяся со скоростью

dxdx=制=з=制=з(135.4)(135.4)

dx

dx

=制=з

=制=з

(135.4)

(135.4)

Мы видим, что выражение для скорости перемещения плоскости равных амплитуд совпадает с найденной в предыдущем параграфе формулой для групповой скорости (134.3). Это есть вместе с тем скорость перемещения пакета как целого.

Необходимо теперь напомнить, что все полученные ао сих пор результаты связаны с приближением, которое мы сделали

в формуле (135.3), отбросив в разложении 口)(々)члены порядка выше первого, н надо еще исследовать, как влияет это приближение на результат. Если вторая производная (d2«/^2)u равна нулю (что имеет место при Отсутствии дисперсии среды), tq результаты сохраняются. Если же d?①/d/г?方 О, то обнаруживается следуюшее своеобразное свойство пакета: пакет не сохраняет своей формы и с течением времени деформируется, постепенно расплываясь, Если> однако, дисперсия мала, так что 心珍世? близка к нулю, то можно говорить об определенной форме пакета и о перемещении его как целого с групповой скоростью g.

Мы получили таким образом полное описание нашего волнового процесса. Подчеркнем теперь следующую его особенность: хотя в формулу пакета (135.3) входит фазовый множитель с определенными и в действительности ，犯旧 имеем дело со сложным процессом, с которым нельзя связывать какой-либо одной определенной длины волны. Напротив, поскольку для образования пакета необходима суперпозиция многих гармонических волн с непрерывно меняющимися спектральный анализ пакета развернет его в целый участок сплошного спектра. Более того, оказывается^ что для образования волнового пакета заданного протяжения Ах интервал сплошного спектра 厶々 не может 6еть меньше некоторой определенной величины.

Найдем теперь это очень важное для последующего соотношение между № н А%. Для этого мы рассмотрим пакет в какой- нибудь определенный момент времени £ = 0.①Орма пакета определится тогда множителем

sin м，％ sin А

где 瓦=х. Этот множитель обращается в пуль при 自。=土л. Если мы выберем начало координат в то「ке осн, соответствующей главному максимуму (т. е. в точке, соответствующей &о = О), то координаты Первых минимумов слева и справа от атого максимума будут 士А%/2. Принимая во внимание, что следующие максимумы быстро убывают по величине (см. § 74> где более детально рассмотрен ход функции 金；昌)，МЬ1 можем за протяжение пакета приближенно принять отрезок Ак между скмметрк?(нымь первыми минимумами. Для н^х имеем условие

откуда попуиаем 厶

Если бы мы захотели определить протяжение пакета точнее и приняли за его длину расстояние между следующими минимумами, симметричными относительно начала координат, то мы

бы получили 卜乂 = 4% н вообше

厶々• Ах》2冗.《135.5)

До сих пор мы рассматривали образование групп в одном 口змереннн, или слинейных групп», для получении которых мы складывали мопохрематические волны с одинаково направленными векторами к. Так как все предыдущие рассуждения справедливы для любой из трех осей координат, то для образования пространственного пакета с протяжением по осям координат Дх,

и Дг до^пкны быть пополнены три условия:

厶尤厶々х》Ду厶々у》2a.(1356)

Мы впдим> что между простраистве1Еным протяжением пакета в определенный момент 什=0) и сплошным спектром гармонических воли, необходимых пля образования этого пакета, имеет место то же соотношение взаимности, какое мы нашли в § 74 функции времени и распределения амплитуд по частотам. Безгранично протяженной синусоидальной волне е优廩 соответствует определенное 々 (определенная длина волны 九). По если волна ограничена в пространстве, то определенное 々 отсутствует и неизбежно появляется спектр длин волн, имеющий ширину Д/г такую, что Дх № 〜2n.

Фазовая к групповая скорости

Обратимся теперь к рассмотрению обеих скоростей — фазовой и групповой — и сравним их между собой в двух случаях:

Случай, когда фазовая скорость образующих пакет гармонических волн не зависит от Относительна сред, обладающих таким свойством, говорят, что у них отсутствует дисперсия.

Случай, когда среда обладает дисперсией, т. е. когда фа- - зовая скорость есть функция

Обратимся к случаю (1). Из формулы для фазовой скорости с' = 〈о/々 находим з = c't Вычислим теперь групповую скорость

L 需= ^(с®"'・

Итак, в отсутствии дисперсии групповая скорость и фазовая скорость одинаковы,

В случае (2) с' есть функция 々 и потому

鼻gu而(优々)=以+々毋(136,1)

；；； Второй член справа преобразуем так:

Подставляя в (136」)，получаем

g = cg = cА，7ГИА，7ГИ(136.2)(136.2)

g = c

g = c

А，

7ГИ

А，

7ГИ

(136.2)

(136.2)

Мы видим, что При наличии дисперсии групповая скорость

не совпадаетне совпадаетизводнойизводнойrfcrfcс фазовой, а именно, в зависимости от знака про-

не совпадает

не совпадает

изводной

изводной

rfc

rfc

групповая скорость может быть как меньше фа，

зовой (^■А 0)，так и больше фазовой (^-V 0)・ В оптике осуществляются оба эти случая: 1) при нормальной дисперсии с увеличением 大 показатель преломления 从(т, е, отношение cjc\ где с — скорость света в вакууме) убывает, т. е. с' возрастает и > 0; 2) при аномальной дисперсии, которая наблюдается внутри полос поглощения, зависимость 卩 от 入 обратная н, сле- довательно, V 0. Таким образом, в случае световых волн в вакууме обе скорости одинаковы; в среде же при нормальной дисперсии g V cl при аномальной g > а

Возникает вопрос: какая же из двух скоростей измеряется на опыте при определении скорости света. Анализ различных методов измерения скорости света показывает, что ни один из хнх не дает возможности определять фазовую скорость, но все они дают групповую скорость. Это внпно из того, что в различных методах определения скорости света либо находится скорость определенного сигнала (метод Ремера — затмения спутников Юпитера) t либо скорость ограниченного ряда волн, пропускаемого вращающимся зубчатым колесом (метод ①изо). Но всякий ограниченный ряд волн может быть подвергнут анализу при помощи интеграла Фурье и представлен как результат су- перпоз[щии плоских монохроматических волн. Это значит, что всякий ограниченный ряд волн представляет собою волновой пакет, и мы измеряем скорость пакета, т, е, групповую скорость. Менее очевидно то же утверждение в случае метода аберраций света; однако анализ, выполненный Г1. С, Эрекфестом, показал, что и в этом случае определяется групповая, а не 巾азован скорость、

Из сказанного следует, что фазовая скорость есть величина^ недоступная для непосредственного измерения, Но при распро- страненин пространственно ограниченных волн (т. е. волновых пакетов) в диспергирующей среде и самое понятие фазовой скорости теряет свой непосредственный смысл, так как в этом сну， хае мы имеем дело не с одной фазо氏 а с фазами бесчисленного

*) См 「. С、Ландсберг, Оптика, Гостехнзпат, 1957, стр, 351,

§ 137} КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОЙОП ДУАЛИЗМ ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА 433 множества гармонических волн, каждая из которых распространяется со своей скоростью.

Более подробный анализ показывает, что изменение скорости перемещения плоскости равной фазы, наблюдаемое при распространении волны в среде, наполненной резонаторами, обусловлено сдвигом фазы, возникающим при вынужденных колебаниях резонаторов под действием проходящей волны. Из этого следует, что фазовая скорость в точном соответствии со своим названием дает лишь скорость перемещения определенной фазы и, как показывает более подробный анализ, совершенно не связана, например, со скоростью движения фронта ограниченного в пространстве ряда волн или со скоростью движения энергии. Именно поэтому возникновение фазовой скорости, большей скорости света в пустоте, ни в какой степени не противоречит утверждению теории относительности о том, что скорость света в пустоте есть предельная скорость.

В частности, в оптике доказывается, что скорость фронта волны при любых условиях равна с, т、е. скорости света в пустоте

Корпускулярно-волновой дуализм.Преломление света

Рассмотрение флуктуаций светового поля (§ 116) привело нас к выводу, что волновые и корпускулярные свойства представляют две равноправные стороны одного и того же явления—светового ноля. В этом и в двух следующих параграфах мы покажем на Других примерах^ что целый ряд оптических явлений можно рассматривать как с волновой, так и с корпускулярной точек зрения.

Мы начнем с рассмотрения явления, возможность интерпретации которого с обеих точек зрения была известна давно, а именно, с преломления света.

Хотя объяснение преломления с волновой точки зрения излагается в элементарных курсах физики, — мы воспроизведем его здесь для того, чтобы подчеркнуть некоторые характерные черты этого объяснения. Волновое объяснение сводит преломление при переходе из одной Среды в другую к изменению фазовой скорости волны. Представим себе две среды с различными показателями преломления, разделенные плоской границей (рис, 204). Для определенности положим, что верхняя среда есть вакуум, где скорость света равна 'с; в нижней Среде

*) Вопрос 。распространении волновые групп в диспергирующей среде принадлежит к числу самых трудных и тонких вопросов волновой оптики. См. по этому поводу: Гг С. Ландсберг, Оптика, Гостсхиздат, [957, стр, 351,

скорость света пусть будет с〈 Плоская волна падает на поверхность раздела под углом В момент / = 0 положение плоскости равно力 фазы в верхней среде изображается прямой АА\ Пусть в момент，一 〃 волна из точки пройдя расстояние 47? = сУ, достигнет границы раздела в точке D. За это время волна от точек, лежащих между А будет распространяться в пижпеп срезе ，

Для отыскания положения плоскости равной фазы в нужней срезе строим гюйгснсовы сферические волны па точек поверхности раздела между Л и D к находим их огибающею. Очевидно, что в момент £ = ¥ радн)с вторичной волны, исходящей

из 4 будет АВ = Отсюда, как легко видеть из чертежа,

磊W=wst(⑻⑴

—закон Снеллнуса.

Принимая во внимание полученное выше соотношение для фазовых скоростей с н

мы можем представить закон

爵令•(1371)

Так как показатель преломления среды относительно вакуу’ ма больше единицы, то при переходе из пустоты в среду фазовая скорость света уменьшается; в той же мере уменьшается и длина волны в среде по сравнению с длиной волны в вакууме.

Для того чтобы объяснить преломление с корпускулярной точки зрения, достаточно допустить, что световые частицы нзме’ !；я/от свое количество движения лрк переходе через поверхность раздела обеих сред. Пусть, в самом деле, количество движения «световой частицы^ в верхней среде будет в нижней причем " (рнс. 205). Вследствие симметрии тангенциальная составляющая количества движения при лерсхопе через поверх, ность раздела не меняется:

а меняется только нормальная составляющая (рА > "п)， Из чертежа имеем

sin О — 〃/", sm О' = 〃/"',

что дает, принимая во внимание {137.2),

sin 6sin /sin 6sin /L- = const.L- = const.(137.3)(137.3)

sin 6

sin /

sin 6

sin /

L- = const.

L- = const.

(137.3)

(137.3)

т. е. опять закон Спеллила.

Посмотрим теперь, какие следствия относительно скорости света в пустоте и в среде вытекают из корпускулярного вывода закона Снеллнуса. Если рассматривать «световое частицы» как ньюгоновы корпускула, то импульс р выразится через скорость частппы и известно；! формулой

(137.4)(137.4)В этом случае из (137.3) следует

(137.4)

(137.4)

sin

т. e. показатель преломления равен отношению скорости в среде

к скорости в вакууме.

Сравнегше со {137.1') показывает, что в корпускулярной интерпретации отношение скоростей обратное тому, какое имеет

Рис, 205. Преломление.Корпускуляркая картина.Рис, 205. Преломление.Корпускуляркая картина.мест。 в случае волновой интерпрета* инн, т. е. в случае показателя пре」ом・ лецият большего 1, скорость свет。， вой частицы 8 среде больше чем пустоте.

Рис, 205. Преломление.Корпускуляркая картина.

Рис, 205. Преломление.Корпускуляркая картина.

Однако, не следует забывать, что при волювой и 1[ри корпускулярной интерпретации закона преломления у нас фигурировали по существу разные скорости. При волновой ннтсрпре， таинк скорости с и с'—фазовые скорости, тогда как ин/ — скорости иа・ ^тицы, вовсе не тождественные с ф2зо・ В1ямн скоростями. Чюбы это увидеть

с особенной ясностью, заметим, что, рассматривая «световую “а・ стииу» как фотон, а не как ньютонову частицу, мы можем привести соотношение (137 3) к виду, тождественному со {137,Y)、Действительно, в § 125 мы вплели, что импульс фотона

равен

p = Av/c,

я, следовательно (vX = с),

Подставляя это в {137.3), получаем

sin 6?,

т е., как и в (137.1'), показатель преломления равен отношению длины волны в вакууме к длине волны в среде или, что то же самое, — прямому отношению фазовых скоростей. Очевидно, что такой результат получился “отому, что в выражении для импульса фотона р = hvjc фазовая скорость стоит не в числителе, а в знаменателе.

Во второй половине XIX столетня, когда еще не было ясного понимания различия фазовой и групповой скоростей, была еде* лама попытка поставить решающий эксперимент, который должен был, как тогда казалось, лать окончательный ответ на вопрос о том, имеет ли свет волновую или корпускулярную природу, Хотя мы теперь понимаем, что этот и последующие экспе- рименть! того же типа на самом деле никакого ответа на поста- вленний вопрос не дали и не могли дать, очень полезно ознакомиться с этими экспериментами и разобраться в том, почему они не являются «решающими».

Огшт, предложенный и поставленный Фуко (1850) был основан на сравнении формул (137Л) и (137.4) для выражения закона Снеллиуса. Не учитывая принципиальной разницы между скоростями с и с', с одной стороны, и у и и'——с другой, Фуко полагал, что для решения вопроса о природе света, нужно непосредственно измерить скорость света в какой-нибудь Среде, а не судить о ней на основе показателя преломления. Если эта скорость окажется меньше скорости света в пустоте — верна волновая теория, в противном случае — верна корпускулярная (в ньютоновом смысле) теория.

Опыт был поставлен с определением скорости света в воде. Она оказалась меньше скорости света в пустоте, откуда Фуко (преждевременно) заключил, что окончательно доказана волновая природа света. Впоследствии Майкельсон проделал анало- гичный опыт с большей точностью, сравнивая скорости света в воде н в сероуглероде со скоростью света в воздухе (практически равной скорости света в вакууме). И этот опыт также показал, что соотношение скоростей в воздухе и в воде равно 1,330, что практически равно показателю преломления водь! нла жел' того света, которым пользовался Майкельсон (па самом деле [Юказатель преломления воды этой части спектра равен 1,333, но разница в 0,003 лежит в пределах ошибок опыта). С серо углеродом, обладающим высоким показателем преломления и большой дисперсией^ результат получился несколько иной. Именно, оказалось, что отношение скоростей равно 1,76土0,02, тогда как показатель преломления CS2 равен ±63, Таким обра、 зом, опыт обнаружил, что скорость света в сероуглероде мень， ше> чем в воздухе, как это требуется волновой творпе% но отношение скоростей не равно показателю преломления. Раз, гадка этого кажущегося противоречия лежит в том, что нзме・

рения Майкельсона, как и всякие измерения скорости светового сигнала (см. § 136), дают групповые, но не фазовые скорость, отношению которых равен показатель преломления. В воздухе и в воде, где дисперсия очень мала, оое скорости одинаковы. Но в сероуглероде дисперсия настолько велика, что разница между фазовой и групповой скоростями должна быть заметна. Пользуясь формулой

g = (136*2)

можно показать, что отношение скорости света в пустоте с к групповой скорости света в среде связано с показателем преломления 卩 соотношением *)

gg=从一A而・=从一A而・(137.5)(137.5)

g

g

=从一A而・

=从一A而・

(137.5)

(137.5)

Для сероуглерода c/g оказалось равным 1,76; далее из кривой зависимости показателя преломления CS2 от длины волны для

*) В самом деле, нз (136 2) получаем

откудаЛегко видеть, чтооткудаЛегко видеть, чтос' т , X de' g g dAс' т , X de' g g dA(136.2'卜(136.2'卜

откуда

Легко видеть, что

откуда

Легко видеть, что

с' т , X de' g g dA

с' т , X de' g g dA

(136.2'卜

(136.2'卜

Определяя отсюдаОпределяя отсюдаde'de'卩4九c dA卩4九c dAI %I %и подставляя в (136 2'), находими подставляя в (136 2'), находим

Определяя отсюда

Определяя отсюда

de'

de'

卩4九c dA

卩4九c dA

I %

I %

и подставляя в (136 2'), находим

и подставляя в (136 2'), находим

или, пользуясь вновь (136 2'),

Принимая лые величиныПринимая лые величиныво внимание, что — -^малая Ееличина> и отбрасывая ма- второго порядка, находим в первом приближенииво внимание, что — -^малая Ееличина> и отбрасывая ма- второго порядка, находим в первом приближениис' 九 d»с' 九 d»откуда, наконец, имея в виду, что 卩с' — &откуда, наконец, имея в виду, что 卩с' — &

Принимая лые величины

Принимая лые величины

во внимание, что — -^малая Ееличина> и отбрасывая ма- второго порядка, находим в первом приближении

во внимание, что — -^малая Ееличина> и отбрасывая ма- второго порядка, находим в первом приближении

с' 九 d»

с' 九 d»

откуда, наконец, имея в виду, что 卩с' — &

откуда, наконец, имея в виду, что 卩с' — &

d卩 d九'd卩 d九'

d卩 d九'

d卩 d九'

что н требовалось доказать.

#=-0.126 (по- и Л#=-0.126 (по- и Лии2几ь 丁2几ь 丁(1377)(1377)

#=-0.126 (по- и Л

#=-0.126 (по- и Л

и

и

2几ь 丁

2几ь 丁

(1377)

(1377)

кспользовамиой Майкельсоном длины волны А

казатель преломления убывает с увеличением длины волны). Таким образом, из (1374) получается

卩=^ + 入黑=1,76 — 0,126 % 1,63

в согласии с экспериментальными данными.

Таким образом, и в корпускулярной картине, поскольку «свс・ товымн частицами» являются фотоны, фазовая скорость света в среде должна быть меньше фазовой скорости в пустоте, а это означает, что опыты, аналогичные опыту ①ук。，принципиально не могут дать ответа на вопрос о том, какую именно природу — волновую или корпускулярную — имеет свет.

Из этого следует, что описанные опыт% вопреки мнению, сложившемуся в XIX столетии, не решают вопроса о природе света: они не противоречат ни волновод, ни корпускулярной картине.

Отметим в заключение еще следующее важное обстоятельство. Волну мы характеризуем частотой ⑴ я длиной волны X; для частицы характерны ее энергия Е и импульс р、Мы можем описывать преломление либо с корпускулярной^ либо с вол повой тоиек зрения. В первом случае мы пользуемся величинами Е и во втором — w Если, однако, ми хотим перейти от Корпускулярной картины к волновой, то мз должны воспользоваться следующими иявестпыми нам соотношениями между обеими группами величии:

£ =毎 (1376)

Мы видим] таким образом, что в этих соотношениях постоянная Планка играет роль переводного множителя или ключа, позпо- ляющего переходить от одной картины к другой.

§ 138. Корпускулярно-вол новой дуализм.Эффект Допплера

Покажем теперь на других примерах возможность истолкования оптических явлений с двух точек Зрениякорпускулярной и волновой. Для этого обратимся сначала к эффекту Допплера,

Эффект Допплеру имеющий место как в акустике, так н в оптике, состоит, как известно, в изменении частоты при относительном движении источника и наблюдателя. Пусть источник света находится в Л, а наблюдатель — в В. Если источник дви-

жстся под углом 3 к прямой, соединяющей А н 8, со скоростью V, то частота, регистрируемая наблюдателем при движении источника, отличается от частоты, воспринимаемой при покоящемся источнике, на величину Av, определяемую формулой

仇 (138d

где с — скорость света. Волновая теория этого явления основана на рассмотрении изменения длины волны вследствие движения источника при сохранении скорости распространения света).

Оказывается, однако, что это явление может быть объяснено м с корпускулярной точки зрения. При этом испускание света рассматривается как «выстреливанием фотона, и к этому процессу применяются законы сохранения энергии и количества

Рис.Рис.206 К корпускулярной206 К корпускулярнойтеории эффекта Допплера.теории эффекта Допплера.движения совершенно так же как в корпускулярной теории эффекта Комптона.

Рис.

Рис.

206 К корпускулярной

206 К корпускулярной

теории эффекта Допплера.

теории эффекта Допплера.

Пусть атом с массой движущийся со скоростью 力，т. с, обладающий количеством движения Ми^ находясь в точке О, испускает фотон Av (рис. 206). Количество дви жения этого фотона равно Av/c.

В силу закона сохранения количе

ства движения атом приобретает в момент испускания добавочный импульс ——力v/c, направленный в противоположную сторону (отдача). Его импульс и беле испускания становится равным М°2 Из qepTe*a, построенного на основании импульса, видно, что

Mv} — Mv2 = M \v cos仇Mv} — Mv2 = M \v cos仇(138.2)(138.2)

Mv} — Mv2 = M \v cos仇

Mv} — Mv2 = M \v cos仇

(138.2)

(138.2)

Для того чтобы теперь применить закон сохранения знсргцп, будем рассуждать следующим образом. Если энергии покоящегося атома в стационарных состояниях, ведущих к испусканию фотона hvt равны соответственното

— =(138.3)

Энергия движущегося атома в возбужденном состоянии (перед испусканием) равна

в норма刀ином состоянии (после испускания) •

Ez+^M吟

Энергия испущенного фотона равна

力(V + Av)・

На основании закона сохранения энергии

$ Mo； +} Mv} + Е? + 力"+(138.4)

откуда, принимая во внимание (138.3),

$ М (и；唠=Л Av

или

Пользуясь (138.2), вводя среднюю скорость и =打玉力 и принимая во внимание, что МАи =(力v/c)cost> (рис- 206), получаем cosO — Л Av,

т, е. соотношение (138.1), выводимое в волновой оптике,

§ Корпускулярно-волновой дуализм.

Дифракционная решетка

Рассмотрим отражательную плоскую дифракционную решет- ку. Из bojhobo店 теории нзаестно, что если период решетки равен а и если на решетку падает плоская монохроматическая волна под углом О относительно плоскости решетки, то при отражении в направлении, характеризуемом углом О', мы получим свет при условии

a (cos О cos О') =(139.1)

Рассмотрим теперь это явление с корпускулярной точки зрения. Пусть на решетку падает поток фотонов под углом О. По- скольку из опыта хорошо известно, что характер дифракционной картины не зависит от интенсивности света, но определяется только самой решеткой в целом, нам не следует детализировать картину,——например, рассматривать отражение каждого фотона 0T определенного отражающего штриха решетки (этот вопрос мы рассмотрим ниже). Мы можем, однако, утверждать, что при .падении фотона на решетку последняя получает добавочный им- пульс, а при отражении — испытывает отдачу. В результате со-

ставляющая импульса решетки в направлении оси #, лежащей в плоскости решетки, изменится на

Рх — % — А%

Представим себе теперь, что решетка подвижни пусть она может перемещать。％ оставаясь в своей плоскости; тогда импульс Арх сообщит ей движение. Очевидно, что при перемещении решетки в направлении оси % на расстояние, равное ее периоду а, решетка вновь совместится с。своим исходным положением, Поэтому движение решетки мы можем рассматривать как периодическое с периодом а. В таком случае его можно «лроквантоватъ》，пользуясь квантовом" условиями Бора—Зом- мерфельда (§ 113)

J dx — nh, о

откуда

a^px — nh.(139.2)

Так как масса решетки очень велика по сравнению с массой фотона, то изменением абсолютной величины его импульса р при отражении можно пренебречь. Поэтому

Рх = р cos О, р： = р cos 仅，Ар* = р (cos О — cos 仅},

и (139② принимает вид

a (cosО — cos。') = /1搭・(139.3)

Принимая во внимание, что р есть импульс фотона, связанный с длиной волны соотношением

р =—2n 用 А(137.8)

и подставляя это выражение в (139.3), получим о (cos仆一cos?')

т. е, формулу дифракционной решетки в обычном виде.

Обратим внимание ва то, что в формулу (139.3} входит импульс ве』минна, ларактермзующая частицу, а в соотношение (139.1) — длина волны. Можно сказать, таким образом, что соотношения (139.3) и (139.1) представляют одну и ту же формулу, написанную, однако, в первом случае в терминах корпускулярной картины, а во втором — в терминах волновой картины, Как и в остальных случаях, переход от одной картины к другой производится при помощи соотношения

入=-=、

связывающего оба аспекта оптических явлений.

§ 140, Гипотеза де-Бройля

Дуализм «волны-частицы» был установлен, как мы видели, ппежде всею при изучении природа света. В 1924 г- 〃ун Бройль, пытаясь выйти из затруднений, связанных с этим пуа・ лнзмом' выдвинул смелую гипотезу, что дуализм не является особенностью одних только оптических явлен叫，но имеет унн・ нереальное знаненмс. «В оптике, — говорит он,— В течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения п。Сравнению с волновым; не делалась ли в теории материи обратная ошибка? Нс думали ли мы слишком много о картине «иастии》и не пренебрегали ли чрезмерно картиной волн》？ Таков был вопрос, поставленный де-Бройлем.

К допущению волновых свойств у материальных частиц его привели также следующие соображения. В двадцатых「одах XIX столетия Гамильтоп обратил внимание на замечательную аналогию между геометрической оптикой и механикой (само собой разумеется, что в то время речь могла идти только о меха・ «нке Ньютона). Оказывается, что основные законы этих двух различных областей можно представить в математически тождественной форме. Это значит, ито вместо т”。，чтобы рассма- тривагь движение материальной частицы в поле с потенциалом можно рассмагривать движение световых лучей в он- неоднородной среде с соответственно выбранным показателем преломления 卩(尤，у, z) и наоборот, Эга аналогия рас” простпанялась только на геометрическую оптику н классическую механику Но хорошо известно, что геометрическая оптика не может объяснить всех свойств света. Для объяснения такнх свойств как интерференция и дафракотя, куишс пользоваться волновой оптикой, которая имеет более общее значение; геометрическая же оптика является предельным случаем оптики вол・ новой (имеющим место для очень коротких длин воли). С Другой стороны, известно также, что и ньютонова механика нмсст ограниченною примепимо^ъ; она. нацрнмер, не мшкет °6力分 нить существования дискретных уровней энергии в атомных системах. Идея де-Бройля состояла в том. что необходимо расти。 ркть аналогию между механикой и оптикой и волновой оптике сопоставить волновую механику, более общую, нежели механика классическая, и применимую к внутриатомным движениям.

Допуская： таким образом, что материальные ^частицы» наряду с корпускулярпмм и свойствами имеют также и вол новме, дс-Бпойль перенес иа случай материальных «частиц» правила перехода от одной картины к другой, с которыми мы уже неоднократно встречались, рассматривая дуализм «вонин частник в оптике. Пусть мы имеем материальную «частицу^ (папрпмер, электрон) с массой 你，движущуюся в отсутствии поля, т. е. рав・

номерно со скоростью и. В корпускулярной картине мы прш】н・ снвзем частице энергию Е и импульс р; в волновой картине мн имеем дело с частотой со и длиной волны 兀 Если обе эти картины являются различными аспектами одного и того же объекта, то связь между характеризующими их величинами устанавливается соотношениями (см, § 137)

р = 2пМ儿(140.2)

где 力постоянная Планка, деленная па 2л.

В случае оптических явлений мы использовали соотношение (140.2) для определения импульса фотона, который представляет собою частипу с массой покоя, равной нуле, движущуюся со скоростью света с. Для материальных частиц то же соотношение по де-Бройлю дает длину волны тех плоских монохроматических волн, которые сопоставляются этим частицам:

(140,3>значением(140.4> свободных вид(140,3>значением(140.4> свободных видВ случае частиц с массой покой, не равной нулю, р = т% причем для малых скоростей 加 есть постоянна 兄，а для скоростей, сравнимых со скоростью света, релятивистская масса m — у】 俨 зависит от скорости. Итак, для «частиц» с массой покоя не равной кулю, по де-Бройлк>

(140,3>

значением

(140.4> свободных вид

(140,3>

значением

(140.4> свободных вид

Если ввести волновой вектор к с абсолютным [к| = 2к/А. то на основании (140.2)

p =铢，pХ = &々工，е一&瓶，〃 =&統

Формула плоской волны, описывающей движение материальных «частица, имеет поэтому следующий

=Ае^х^ук^к^(14«.5)

Свойства волн де-Бройля

Вычислим скорость распространения волн де-Бройля, различая, как и во всех случаях, фазовую и групповую скорости. Фазовая скорость будет

*) То, что в (140.5) показатель имеет обратный знак по сравнению со (】32 8), не имеет значения, так как физический смысл имеет 〔олько квадрат модуля 2% т・ е. *** —

Так как с > и, то фазовая скорость волн де*Бройля больше скорость света в пустоте. Но это не должно нас смущать, так как мы уже знаем, что фазовая скорость не характеризует ни скорости «сигнала», ни скорости перемещения энергии, а потому 弘 может быть как меньше, так и больше

Групповую скорость вычисляем при помощи формулы (134.3)

g=7T = 7WF*Q4L2)

Нетрудно доказать, что dE/dp =。，В самом деле, изменение энергии частицы, движущейся под действием силы F на пути ds, равно d£ = Fd$, но F=^-, а потому

dE =需 d§ = dp 霁=v dp

млн, так как v и р направлены одинаково

dEdEоткуда

dE

dE

Итак, мы получаем из (141.2)

g=u，

т. а групповая скорость волн де-Бройля равна скоростн ча- стииы* К этому замечательному соотношению мы еще вернемся.

Найдем теперь связь между частотой волн де-Бройля и составляющими волнового вектора (закон дисперсии). С этой целью мы сначала установим соотношение между v и к для общего случая релятивистских qNCT*u, воспользовавшись релятивистским соотношением между импульсом и энергией *):

3 =啖2 + р2 =畤2 + ⑷ + р卄吩 (141-3)

Подставляя сюда

e 叫(S40.I)

% =恢工, % =也%，p? =球?，(140,4)

и Еи Е*) Это соотношение можно легко получить из формул р*) Это соотношение можно легко получить из формул р(1-做)(1-做)-(етр. 2/6). Имеем炉1 дСС-(етр. 2/6). Имеем炉1 дСС■后 £(стр, 396)§[j一昨■后 £(стр, 396)§[j一昨£23£23唸2, откуда и получается (141.3).唸2, откуда и получается (141.3).

и Е

и Е

*) Это соотношение можно легко получить из формул р

*) Это соотношение можно легко получить из формул р

(1-做)

(1-做)

-(етр. 2/6). Имеем炉

1 дСС

-(етр. 2/6). Имеем炉

1 дСС

■后 £(стр, 396)§[j一昨

■后 £(стр, 396)§[j一昨

£2

3

£2

3

唸2, откуда и получается (141.3).

唸2, откуда и получается (141.3).

получаем

三=4+收+僧+嗡(L4 L.4)

Вводя обозначение

приводим (141,3) к виду

—=+ 好)♦(141.6)

Это л есть искомое релятивистское соотношение. Заметим, что для частиц с массой покоя, равной нулю, формула (141.5) дает к (141.6) принимаем

曽==冏+僞+吟

—уже известное нам соотношение, вытекающее из волнового уравнения для электромагнитных волн, т・ е. для волн, которым сопоставляются фотоны.

Рассмотрим, наконец, еще одно замечательное свойство волн де-Б роил я. В элементарной теории водородоподобного атома по Бору мы пользовались следующим условием для отбора стационарных круговых орбит

Это условие можно переписать в виде

Принимая во внимание, что 2冗方Лтш есть длина волны де-Брой- лят имеем:

2na = nXt(1417)

т. е. длина окружности стационарной орбиты должна быть равна целому числу волн де-Бройля.

Экспериментальное подтверждениегипотезы де-Бройля, Метод Брэгга

Гипотеза де-Бройля очень быстро была блестяще оправдана экспериментально. А именно, было показано, что пучки злектро, нов, протонов и даже целых атомов обнаруживают явления нн・ терференции совершенно так же, как свет или рентгеновские лучи.

Рассмотрим прежде всего, каков порядок величины длины волны дс-Бройля для материальных частиц. Это даст нам

указание на то, какие именно экспериментальные методы пол〉к・ ны быть применены в данном случае для обнаружения интерференции. Пусть мы имеем пучок электронов, ускоряемых потенциалом V вольт; если атот потенциал невелик, так что можно еще пользоваться формулами классической (ньютоновой) механики, то скорость электронов определяется кз соотношения

(142.1)(142.1)тМ —f Р

(142.1)

(142.1)

а длина волны де-Бройля — из соотношения

2九力mv2九力mv.(142.2).(142.2)Исключая и из (142,1) и {140.3), получаемИсключая и из (142,1) и {140.3), получаем(140.3)

2九力mv

2九力mv

.(142.2)

.(142.2)

Исключая и из (142,1) и {140.3), получаем

Исключая и из (142,1) и {140.3), получаем

Итак мы видим, что для злектронов, ускоряемых потенциал лом J50 в, длина волны де-Бройля равна 1 А; это — порядок величины длины вол {ты мягких рентгеновских лучей.

Если скорость электронов велика, то формулы ньютоновой механики становятся неприменимыми, и нужно учитывать реля- тивистскуто поправку на зависимость массы от скорости. В та・ хих случаям для определения 力 можно пользоваться следующей

Таблица XV】

Ускоряющий ноге ыииа л в вольтах

Длина полны (в А)

электроныпрогоны

® IO®

Ю7 10s ю5 1(р 103 400 200

50 10

1,2.『753 - 10-е

2,7.『

；,2」0-30,9-Ю-4

0,87-Ю"32,9.

V-ю-2ад-ю-4

0」229.1СГ：

0,611,4Т0~&

Q86

1,74.0-10-2

3：9

【2,25【2,25(1 —0,489 ■ 10-rV)A,(1 —0,489 ■ 10-rV)A,(142.3)(142.3)

【2,25

【2,25

(1 —0,489 ■ 10-rV)A,

(1 —0,489 ■ 10-rV)A,

(142.3)

(142.3)

лриближешюй формулой:

Для протонов длины волны де-Бройля при той же скорости в )/1836 раз меньше. В таблице XV111 приведены вычисленные значения К для электронов и прогонов. 、

Из сказанного ясно, что для обнаружения интерференции материальных частиц сьдедуст пользоваться теми же методами,

которые применяются в случае рентгеновских лучсйт т е, интер- ференнией в кристаллической решетке’ На самом «деле, интерференция электронных пуиков в кристаллах была обнаружена еще до появления теории де-Бройля. В 1921 ——1923 гг, &зв貝сон и Кзнсман нашли, что при рассеянии электронов тонкими ме- таллическими листочками наблюдасгся определенно выражен' зависимость интенсивности от угла рассеяния (рис. 207), При этом положение и вели чипа получающихся максимумов существенно зависят от скорости электронов, Случайное обстоятельство показало, чю в этом явлении решающую рони игрзет кристаллическая структура: во премя опытов с о『раже・ V且ем от ннкелевмх пластинок стекляп^ый аппарат лопнул и никелевая пластинка окислилась. Для восстановления ? гой пластинки со пришлось затем долго прокаливать в вакууме и в атмосфере водорода. После этой обработки пластинка

и1и17也7也х卩心?疝'、"UK已用Jх卩心?疝'、"UK已用Jиспытала рекристаллизацию： в ней образовалось некоторое ко・ личество крупных кристаллов. При повторных опытах с рассеянием электронов оказалось, чю картина вследствие этой рекристаллизации резко изменилась: количество максимумов сильно возросло, а сами макси' мумы сделались значительно определеннее (см, рис. 207,6).

и1

и1

7也

7也

х卩心?疝'、

"UK已用J

х卩心?疝'、

"UK已用J

в отражении элек-в отражении элек-селективностиселективностиОбъяснение этой своеобразной

в отражении элек-

в отражении элек-

селективности

селективности

тронов было крайне затрудни*

тельно до тех ли, что здесьтельно до тех ли, что здесьпор, пока не поля' мы имеем пример

тельно до тех ли, что здесь

тельно до тех ли, что здесь

интерференционного отражения. Следующие опыты Дэвисона и Гермера подтвердили правильность этого объяснения.

Параллельный пучок электронов (рис. 208) определенной ско-

Рлс. 20& Схема опытов Дэвисо-на и Гермера,Рлс. 20& Схема опытов Дэвисо-на и Гермера,рости, получаемый при помощи олектронной пушкн»

Рлс. 20& Схема опытов Дэвисо-на и Гермера,

Рлс. 20& Схема опытов Дэвисо-на и Гермера,

правля/ся на кристалл отраженные электроны улавливались коллектором С, соединенным с гальванометром, Коллектор мог устанавливаться под любым углом относительно падающего лудка, оставаясь все время в одной плоскости、Измеряя силу тока коллектора при разных 口。・

стить в 8 монокристалл никеля, то при отражении наблюдается резко выраженный селективный максимум, показывающий, что электроны Отражаются, следуя оптическомустить в 8 монокристалл никеля, то при отражении наблюдается резко выраженный селективный максимум, показывающий, что электроны Отражаются, следуя оптическомуложениях его, можно было судить об ин- генснвност" отражения в различные направлениях. Результат представлялся в виде полярной диаграммы, образец которой приведен на рис. 209. На рапнусах-вехторах, проведенных под различными углами, Откладывались отрезки, пропорциоцальньте интенсивности отражения под соответствующими углами. Оказалось, что если поме-

стить в 8 монокристалл никеля, то при отражении наблюдается резко выраженный селективный максимум, показывающий, что электроны Отражаются, следуя оптическому

стить в 8 монокристалл никеля, то при отражении наблюдается резко выраженный селективный максимум, показывающий, что электроны Отражаются, следуя оптическому

ностн отражения

Э-5&Хтронов от “Оно- крлстап^а нике^гя.

закону: «угол падения равен углу отраженна». Тот же опыт, повторенный скд кета 口андеско* rzncth 少 коХ кн%&7& состоя- щей из множества хаотически расположенных кристалликов, не

обнаружил никакой селективности.

Опыт с правильным Отражением электронов от монокристалла на самом деле представляет точиулэ аналогию интерференционного отражения рентгеновских чей от кристалла цо метолу Брэгга (или интерференционного отражения монохроматиче-

ского света от тонкой пластинки), Как известно, рентгеновские лучи испытыватот отражение от кристалла только в том случае, если их длина волны и угол скольжения удовлетворяют формуле Вульфа — Брэгга (см. гл, IV, § 33)

(142.4)(142.4)nk = 2d sin(p.

(142.4)

(142.4)

Эту формулу можно использовать для обнаружения интерференции двояким образом. Во-иервнх, можно нзлравхть на кристалл лучи определенной длины волны 九 и, поворачивая кристалл, убедиться, что отражения происходят только при определенных углах ф], фа, ，一，соответствующих значениям 〃 = =1, 2,…в формуле Вульфа — Брэгга. Таким образом, получаются спектры первого, второго и т，Д- порядков. Во-вторых, можно сохранять один и тот же угол скольжения 屮 и непрерывно менять длину волны. При этом отражения должны получаться только в тех случаях, когда

(142.5)(142.5)М = ^2d sintp.

(142.5)

(142.5)

т. е. для длин волн 储，入2 =大【/2,爲=储/3 и т.

В случае рентгеновских лучей пользуются первым способом, в случае электронов — вторым, так как потоки электронов обычно имеют определенную скорость (т. е. нм соответствует определенная длина волны 尢 = 力/勿о) а менять згу скорость неизмеримо проще (изменяя ускоряющий потенциал) т нсхели поворачивать кристалл в вакууме.

Комбинируя формулы (142,2) н (142.5), получаем

2dsm

или

(142,6)

Таким образом, если при расположении, изображенном на рис. 208, постепенно менять ускоряющий потенциал V и каждый раз измерять силу тока коллектора {т, е, интенсивность отражения) т то, откладывая затем п。оси абсцисс а по оси ординат—интенсивность отражения, мы должны получить кривую с рядом равноотстоящих резких максимумов с расстоянием между максимумами, равным I2525/2rfsin ф.

На рис. 210 приведена кривая, полученная с монокристаллом никеле при определенных условиях {р = 80°, d = 2,03 А).

Как внпно, периодическое гтовтореыие максимумов выражено очень отчетливо. На том же чертеже стрелками показано положение максимумов, вычисленное по формуле Вульфа — Брэгга (142,6). Сравнение с положением максимумов на

15 3. В Шпольский, т I

экспериментальной кривой показывает, что для высоких значений 胃(％ = 7. 8) имеется точное совпадение; 口/я более низких “ обнаруживается расхождение к притом тем большее, чем

меньше п.

Поскольку это расхождениеПоскольку это расхождениеимеет систематический и закоимеет систематический и закономерней характер, оно учтен при расисте. Этотномерней характер, оно учтен при расисте. Этотпоказывает, фактор естьпоказывает, фактор естьРис. 210. Проверка формулы Вульфа — Брэгга для интерференционного отражения электронов от монокристалла никеля.Рис. 210. Проверка формулы Вульфа — Брэгга для интерференционного отражения электронов от монокристалла никеля.что какой-то фактор не показатель преломления "волтт дс-Бройля. В са、 мом деле т1ри выводе формулы Вульфа — Брэг^ (см. § 33) показатель преломления считается равным 1, а длина волнз вне кристалла и внутри него — одинаковой* Это вполнечто какой-то фактор не показатель преломления "волтт дс-Бройля. В са、 мом деле т1ри выводе формулы Вульфа — Брэг^ (см. § 33) показатель преломления считается равным 1, а длина волнз вне кристалла и внутри него — одинаковой* Это вполнедопустимо для очень коротких длин волн. Для боссе длинных волн в области рептге-допустимо для очень коротких длин волн. Для боссе длинных волн в области рептге-

Поскольку это расхождение

Поскольку это расхождение

имеет систематический и зако

имеет систематический и зако

номерней характер, оно учтен при расисте. Этот

номерней характер, оно учтен при расисте. Этот

показывает, фактор есть

показывает, фактор есть

Рис. 210. Проверка формулы Вульфа — Брэгга для интерференционного отражения электронов от монокристалла никеля.

Рис. 210. Проверка формулы Вульфа — Брэгга для интерференционного отражения электронов от монокристалла никеля.

что какой-то фактор не показатель преломления "волтт дс-Бройля. В са、 мом деле т1ри выводе формулы Вульфа — Брэг^ (см. § 33) показатель преломления считается равным 1, а длина волнз вне кристалла и внутри него — одинаковой* Это вполне

что какой-то фактор не показатель преломления "волтт дс-Бройля. В са、 мом деле т1ри выводе формулы Вульфа — Брэг^ (см. § 33) показатель преломления считается равным 1, а длина волнз вне кристалла и внутри него — одинаковой* Это вполне

допустимо для очень коротких длин волн. Для боссе длинных волн в области рептге-

допустимо для очень коротких длин волн. Для боссе длинных волн в области рептге-

новскях лучей при точном определении длины волнз приходится учитывать показатель преломления и пользоваться исправленной формулой Вульфа — Брэгга, которая будет выведена ниже. То же самое должно иметь место и для волн де-Бройля^ Каис、 ствепно это подтверждается уже характером расхождения вьь численных и экст1еримснтальных максимумов Отражения. В са、 мом Деле, расхождение, как мы видели, уменьшается при увеличении 〃； но при фиксированном угле ср отражения для возрастающих п согласно формуле (1425) суть отражения соот、 ветствснн。убывающих длин волн 入，"2, './3 и т. д.

Упражнения I. Вычислить длину волны, соответствующую a・qa・ cthiK RaC' (энергия а-частицы равна 1,2210“ ар。)

Вычислить ускоряющий потенциал, соотиетствующий максимуму пер・

воГо порядка для интерференционного отражения от монокристалла никеля при >гле между падающим и отраженным uyqKON в

§ 143. Преломление электронных волни внутренний потенциал металла

Объяснение смещения максимумов, приведенное в конце предыдущего параграфа, количественно подтверждается вычислением внутреннего потенциала металла из наблюдений над электронной интерференцией. Вычисление это производится следующим образом. Фазовая скорость волн де-Бройля, как мм знаем, равна Кота электроны попадают внутрь металла, то их импульс меняется, к это именно есть причина крепомт

ния электронньтх потоков с корпускулярной точки зрения (см. § 137}. Изменение импульса при попадании внутрь металла объясняется тем, qi。 внутри металла имеется электрическое ионе, обусловленное положительными нонами, из которых состоит кристаллическая решетка металла. Потенциал этого поля, таким образом, положителен. Если мы теперь представим себе прямую, проходящую через ряд положительных ионов ме- тал/а, то при перемещении вдоль этой прямой потенциал, otTe- внпно, должен меняться периодически^ так как ионы расположены на равных расстояниях. Мы можем, однако, приближенно заменить этот периодически меттятощийся потенциал некоторым средним потенциалом, который и называется внутренним иотен・ циалом металла.

Фазовая скорость электронных волн вне металла равна

° Ра mva UM* У '

где E ——полная энергия электронов. Если потенциальная энергия электрона внутри металла есть U, то импульс внутри металла будет £2m (Е — U), а фазовая скорость электронных волы

Показатель преломления 卩,по определению, равен

где ф и углы скольжения, т- е. дополнения до л/2 к углам падения и преломления.

Теперь нужно принять во внимание, что внутренний потенциал металла 弘)положителен, а заряд электрона отрицателен； поэтому потенциальная энергия U отрицательна:

полная энергия Е выражается, как 06Hqно, через внешний ускоряющий потенциал Е — е/ Принимая все это во внимание, получаем из (143.1)

宀^^^=/ 1+手(143.2)

Мы получили, таким образом, выражение показателя преломления ，ерез внутренний потенциал

Выведем теперь формулу Вульфа — Брэгга для случая, когда u * 1. Рассмотрим два интерферирующих луча / н 2

(рис. 211) Вследствие преломления внутренний угол скольжения 屮，не равен внешнему ф- Разность хода лучей J х 2, очевидно, равна

2d sin У = 2d— cos2

или, принимая во внимание, что

СОЗ ф L

2d sin (Р’ — 2d / 1 — £0；22■

Условие максимума при интерференции теперь дает

[см. (143.1)] или

2d — cos? ф =(143.3)

Это и есть формула ВульфаПри помощи этой формулы потенциал металла следующимЭто и есть формула ВульфаПри помощи этой формулы потенциал металла следующим—Брэгга для 卩* 1.

Это и есть формула Вульфа

При помощи этой формулы потенциал металла следующим

Это и есть формула Вульфа

При помощи этой формулы потенциал металла следующим

можно вычислить внутренний образом. Подставляя в (143.3)

Рис. 211. К выводу формулы Вульфа- Брэгга с учетом показателя пре;isl ления.Рис. 211. К выводу формулы Вульфа- Брэгга с учетом показателя пре;isl ления.ha=y , получаем

Рис. 211. К выводу формулы Вульфа- Брэгга с учетом показателя пре;isl ления.

Рис. 211. К выводу формулы Вульфа- Брэгга с учетом показателя пре;isl ления.

4d2 М 一 со$2 ф)=忆2,

и заменяя здесь через 1 + Vo/V, по формуле (143.2) находим

=出揺—У $也2P (U3.4)

Итак, зная ускоряющий потенциал V и измерив угол скольжения можно вычислить Vo для кристалла с известной ве- опичиной d.

Таким путем получаются, например, значения Ио, приведенные в таблице XIX. Как видно, эти значения достаточно постоянны. Они согласуются со значениями, вычисленньции из теории металлов.

Важную роль в истолковании связи между внутренним потенциалом металла и преломлением электронных волн сыграли работы советского физика В. Е. Лашкарева.

Упражнения: I. Вычислить показатель преломления плат|зны для пучка электронов с энергией 240 зб。падающего на поверхность платины под углом 30° Внутренний потенциал платины равен 12 8. постоянная решетки —3,9 А.

При 口анннх предыдущей задачи вычислить угол преломления пучка электронов.

Таблица XIX

Металл

Ускоряющий потенциал (в нОльтах}

Л н А

п

达

(ВОЛЬТ)

№

67

1,12

17

142

16

0,83

1,03

14

РЬ

65

1,52

125

1,09.

1,06

15

208

0,84

1,03

13

Ag

48

1,77

1,15

96

1,25

IQ8

15

166

0,95

1,04

13

§ 144, Экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля-Методы Лаут и Дебая—Шеррера

Интерференция рентгеновских лучей в криста刀力ах осуществляется не только по методу Брэгга, но также и двумя другими главными методами: методом Лауз и методом Дебая — Wep- рера. Оба эти метода могут быть применены и для осуществления интерференции с волнами де-Бройля. Метод 力ауз, при помощи которого исторически впервые была осуществлена интерференция рентгеновских лучей в кристаллах, как известно, заключается в том, что узкий пучок рентгеновских jyqcN, имею' щих сплошной спектр, пропускается через кристалл. Получающиеся при этом интерференционные п;чки фиксируются на фотопластинке в виде системы симметричных пятен (см. § 32),

Причина, вследствие которой для осуществления опыта Лауэ необходимо, «ito6bl рентгеновские лучи имели сплошной спектр, подробно разъяснена в § 32. Однако в слу чае электронов получение пучка с набором скоростей, распределенных нб' прерывным образом, экспериментально невозможно: электроны, выходящие из электронной пушки, имеют одн\ н ту же скорость, или, точнее говоря, обладают распределением скоростей в узких пределах. Поэтому, направляя электронный пучок на кристалл, мв, вообще говора, не удовлетворим условиям, необходимым для осуществления интерференции Лауэ В этом случае приходится шаг за шагом отыскивать условия, при котО' рых возникает максимум, соответствующий определенному интерференционному пуику, непрерывно меняя скорость электронов (т, е ускоряющий потенциал, наь1О>кснный на пушк;) и одновременно менян положение коллектора, принимающего отраженные от кристалла электроны，

Практически опыт с электронами, аналогичный опыту Лауз, был поставлен Дэвисоном и Гермером следующим образом. Монокристалл никеля, принадлежащий к кубической системе, сошлифовывался, как показано на рис. 212 [параллельно плоскостям с кристаллографическими индексами (111)]* На рис. 212

Зпег^тронтяЗпег^тронтяЭлектроанпиЭлектроанпиЗпектуеннааЗпектуеннаа

Зпег^тронтя

Зпег^тронтя

Электроанпи

Электроанпи

Зпектуеннаа

Зпектуеннаа

Рис. 2.12. Схема экспериментального исследования дифракции электронов по методу Лауэ.

показаны три характерных тюложения сошлифованного таким образом кристалла. В одном из них (азимут Л) плоскость, проходящая через пучок и ось коллектора, проходит через одну из вершин треугольника; при другом (азимут 8)она делит сторону треурольника пополам и при третьем (азимут С)—она параллельна стороне треугольника.

Рязличие между условиями опыта в этих трех азимутах видно из рис. 213. Сошлифованная поверхность кристалла покрыта правильными рядами атомов. Ее можно рассматривать как совокупность линейных решеток; при этом постоянная решетки в различных азимутах неодинакова: например, в азимуте Л она равна 2,15 А, а в азимуте С—1,24 А. Экспериментальная установка позволяла вращать кристалл около вертикальной оси и, кроме того, перемещать коллектор в любое положение около вертикальной оси*

В опыте Дэвисона и Гермера пучок электронов направлялся перпендикулярно к сошлифованной плоскости н с помощью коллектора измерялась интенсивность отражения электронов под различными углами при фиксированном положении кристалла (в одном из трех указанных азимутов). Результаты такого, рода измерений иллюстрируются на рнс. 214 серией по・

лярных диаграмм интенсивности отражения в азнмуте Л при различных скоростях электронов (т. е. при разной длине волн де-Бройля). Здесь вппно, что при скорости электронов, соответствующей 44 as, максимум под углом 50° едва намечается

Ал%т 8 /胱Ал%т 8 /胱%0++今今产卜tXi + ・%0++今今产卜tXi + ・b .V hr ьb .V hr ьа зим屮* / 〃少а зим屮* / 〃少Азимут /Азимут /Рис. 213. Расположение атомов в кристалле никеля в различных проекцияхРис. 213. Расположение атомов в кристалле никеля в различных проекциях

Ал%т 8 /胱

Ал%т 8 /胱

%0++今今产

卜tXi + ・

%0++今今产

卜tXi + ・

b .V hr ь

b .V hr ь

а зим屮* / 〃少

а зим屮* / 〃少

Азимут /

Азимут /

Рис. 213. Расположение атомов в кристалле никеля в различных проекциях

Рис. 213. Расположение атомов в кристалле никеля в различных проекциях

(рис- 214, о)； при 54 38 он достигает полного развития и при дальнейшем увеличении скорости вновь ослабляется^ почти исчезая при 68 зе. Далее опыт видоизменялся следующим образом: положение коллектора и скорость электронов сохранялись

Рис. 214. Нарастание и исчезновение нптерфсреьщиониого пика 日 азимуте 4Рис. 214. Нарастание и исчезновение нптерфсреьщиониого пика 日 азимуте 4

Рис. 214. Нарастание и исчезновение нптерфсреьщиониого пика 日 азимуте 4

Рис. 214. Нарастание и исчезновение нптерфсреьщиониого пика 日 азимуте 4

неизменными (например, соответствующимн данным рйс. 214, в), но кристалл постепенно поворачивался около вертикальнейшей н каждый раз измерялся со от ветству ющий ток на коллектор. Из рис. 212 видно, что вследствие симметрии при повороте кристалла он трижды должен совместиться с исходным положением.

Поэтому резкий максимум должен повторяться через каждые 120°. Рнс. 215 показывает, что это наблюдается на самом деле. Небольшие горбы, видные на этом рисупке между каждыми двумя резкими максимумами, представляют собою едва намечающиеся максимумы для электронов в 54 аз в азимутах В и С '

"60° 勿° 12炉 150° ?8不 2)0° 油0°270*300° 330°360°"60° 勿° 12炉 150° ?8不 2)0° 油0°270*300° 330°360°Рис. 215, Азимутальное распределение интеьснвиости при повороте кристалла.Рис. 215, Азимутальное распределение интеьснвиости при повороте кристалла.%Е%Е

"60° 勿° 12炉 150° ?8不 2)0° 油0°270*300° 330°360°

"60° 勿° 12炉 150° ?8不 2)0° 油0°270*300° 330°360°

Рис. 215, Азимутальное распределение интеьснвиости при повороте кристалла.

Рис. 215, Азимутальное распределение интеьснвиости при повороте кристалла.

%Е

%Е

Наконец, и третий метод изучения интерференции рентгенов' ских луией — метод Дебая Шеррера также был применен для доказательства существования интерференции электронных пучков. Если тонкий пучок рентгеновских лучей проходит сквозь мелкокристаллический порошок или через тонкую металлическую пластинку, представляющую собой агрегат микрокри- сталлнков, то среди тшх всегда найдутся такие, которые расположены к падающему пучку под углом, удовлетворяющим соотношению Вульфа — Брэгга, От таких кристалликов рентгеновские лучи испьттывяют спраження, причем все отраженные лучи для данного значения ф в формуле Вульфа Брэгга пойдут по поверхности конуса. Поставив на пути рассеянных лучей фотографическугю пластинку, расположенную Зтерпевдикулярно к направлению первичного пучка, мы получим на ней ряд ко

лец. Совершенно такая же картина nojjyqaeTC兄，если через тонкую металлическую пленку пропускать пучок электронов: рас- сеяпньте электроны дают на фотографической пластинке систему ит1терферетттшонных колец*

Опыты с получением электроиограмм дебаевского типа были впервые удачно поставлены Г. П. Томсоном с быстрыми электронами (17 500—56 500 38)и П, С, Тартаковским — с относительно медленными электронами (до 1700 36).

Рис. 216. Э.чектроиограмма толких листков золота-Рис. 216. Э.чектроиограмма толких листков золота-На рис, 216—217 приведены два еннмка, полученных с лиcтoчкa^EИ золота и меди. Как видно, в том и другом случаях

Рис. 216. Э.чектроиограмма толких листков золота-

Рис. 216. Э.чектроиограмма толких листков золота-

Рис. 217. Электроцограмматопких листков меди.

получаются типичные интерференционные кольца. Очень простым способом можно показать, что эти кольца образуются самими рассеянными электронами, а не вторичными рентгеновскими лучами: при включении магнитного поля вся интерферен- циоилая картипа смещается и искажаете兄,в то время как ин- терференпионная картина, получаемая с рентгеновскими лу' чами, КОЕ1СЧНО, остается неизменной.

Количественная проверка может быть произведена следующим образом. Из геометрических соображений легко показать, что для данного металлического листка и при неизменном расстоянии от листка до фотопластинки между радиусом дифракционного кольца г и длиной волтты X должно иметь место соотношение

= const. (144.1)

Так как в Этих опытах приходится пользоваться электронам^ энергии которых измеряются килоэлектрон-вольтами (вследствие сильного поглощения медленных электронов металличе* скими листочками), то простое выражение для длины волны

九=12,25 ，-% становится неточным и нужно пользоваться формулой с поправкой на релятивистские эффекты 療)

(142.3)(142.3)

(142.3)

(142.3)

Подставляя это выражение в (1441)，получаем

т— 12,25(1 -0,489- IO-GV)т— 12,25(1 -0,489- IO-GV)кк业(1 +0,489 T(rW) = const.12,25(144.2)业(1 +0,489 T(rW) = const.12,25(144.2)

т— 12,25(1 -0,489- IO-GV)