Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Физические основы механики 7
Кинематика точки 7
Кинематика твердого тела 10
Динамика 12
Закон сохранения импульса 16
Закон сохранения энергии 19
Закон сохранения момента импульса 24
Задача двух тел. Приведенная масса 29
Поле тяготения 30
Неинерциальные системы отсчета 33
Динамика твердого тела 35
Специальная теория относительности 40
Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика47
Основные положения и определения 47
Первое начало термодинамики 49
Второе начало термодинамики 53
Энтропия. Свободная энергия 56
Кинетическая теория идеального газа 60
Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса 66
Равновесие фаз. Фазовые переходы 68
Поверхностное натяжение 70
Явления переноса в газах 72
Глава 3. Электродинамика 76
Электрический заряд. Закон Кулона 76
Электрическое поле. Напряженность поля 77
Электростатическое поле. Принцип суперпозиции для напряженности и потенциала 78
Теорема Гаусса 82
Электростатика проводников 85
Электростатика диэлектриков 88
Конденсаторы 93
Энергия электростатического поля 95
Постоянный ток 98
Магнитное поле. Сила Лоренца и закон Ампера 103
Вычисление магнитной индукции 105
Циркуляция и поток вектора магнитной индукции 107
Магнитное поле в веществе ПО
Электромагнитная индукция 115
Уравнения Максвелла 120
Глава 4. Колебания и волны 125
Гармонические колебания. Сложение колебаний 125
Свободные незатухающие колебания 128
Затухающие и вынужденные колебания 132
Упругие волны 137
Электромагнитные волны 145
Глава 5. Оптика 152
Геометрическая оптика. Фотометрия 152
Интерференция света 156
Дифракция 163
Поляризация света. Формулы Френеля 170
Дисперсия и поглощение света 176
Тепловое излучение 179
Световые кванты 185
Принцип работы лазеров 189
Глава 6. Квантовая механика. Атомная физика 193
Строение атома. Модель Бора 193
Элементы квантовой механики 197
Структура и спектры сложных атомов 214
Элементы физики молекул 221
Глава 7. Квантовая теория кристаллов 228
Элементы квантовой статистики 228
Электронный газ в металле 233
Теплоемкость кристаллической решетки. Фононы 237
Электроны в периодическом поле. Энергетические зоны . . . 242
Глава 8. Элементы ядерной физики 252
Основные свойства ядер 252
Ядерные силы. Модели ядер 258
Радиоактивность 263
Ядерные реакции 272
Ядерная энергетика 278
Элементарные частицы 286
Список литературы 299
Приложения 301
Предметный указатель 308
Предисловие
Книга содержит сжатое изложение всех основных вопросов курса физики, включенных в программы подготовки бакалавров и специалистов по инженерным и физическим специальностям технических вузов. Она не претендует на роль основного учебника, но является полезным дополнением к известным курсам физики, приведенным в списке литературы. Ее удобно использовать для повторения пройденного материала непосредственно перед зачетом, коллоквиумом или экзаменом, а также для быстрого восстановления в памяти забытого материала.
Несмотря на краткость, изложение материала является цельным и логически связанным, сопровождается выводом многих утверждений и формул и разбором многочисленных примеров, поясняющих положения теории и иллюстрирующих их практическое использование при решении задач. Фактически студент при подготовке к экзамену найдет в книге ответ на любой вопрос, причем в объеме, который можно считать достаточным для получения хорошей или отличной оценки.
В полезности такого краткого курса с примерами убеждает опыт использования аналогичного пособия, написанного автором для школьников (Культура и традиции, 1993-1999, Эксмо Пресс 1999, 2001). Это пособие оказалось эффективным как при подготовке в обычные технические вузы, так и в элитные университеты физического профиля. Данное пособие для студентов выходило ранее (в сокращенном варианте и без последних глав) в составе многопредметного справочника (Международная программа образования, 1995; АСТ-Астрель, 2000, 2002) и было опробовано в нескольких вузах. Автор успешно использовал его при обучении студентов как физических, так и обычных технических специальностей в Российском государственном университете нефти и газа им. И. М. Губкина.
Книга будет полезна не только студентам, но и преподавателям, а также тем инженерам и научным сотрудникам, кому понадобится вспомнить отдельные разделы подзабытого курса физики.
Несколько слов о структуре книги. Материал разбит на 8 глав, а каждая глава — на несколько разделов. Нумерация рисунков в книге сплошная, формулы нумеруются отдельно в каждой главе, а примеры—отдельно в каждом разделе. Примеры набраны мелким шрифтом, кроме того мелким шрифтом набран материал, выходящий за рамки программы для инженерно-технических специальностей. В конце книги помещены несколько приложений и предметный указатель, что
позволит использовать книгу в качестве справочника. Изложение всего материала ведется в единицах СИ.
Автор выражает глубокую благодарность Андрею Полянину, в свое время вдохновившего автора на написание данной книги и сыгравшего роль первого сурового редактора. На идеологию книги и отбор материла большое влияние оказали соратники автора по журналу «Квант» А. Л. Стасенко, А. А. Леонович и др., а также сотрудники кафедры физики РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина и других вузов, сделавшие много полезных замечаний. Автор благодарен редактору данного издания И.Н. Жетвиной, много сделавшей для устранения многочисленных недочетов, сотрудникам издательства О.А. Пениной и В.В. Худякову за их самоотверженную помощь в придании книге окончательного вида. Все оставшиеся недочеты лежат на совести автора, и он просит сообщать о них в издательство или ему лично по электронной почте alexei_chernoutsan@mtu-net.ru.
Глава 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам. Как видно из определения, механическое движение относительно. Для описания движения необходимо определить систему отсчета, которая включает в себя тело отсчета, жестко связанную с ним систему координат и набор синхронизированных между собой часов. Механика изучает движение модельных объектов — материальной точки и твердого тела. Положение этих объектов определяется конечным числом независимых параметров (т. е. они обладают конечным числом степеней свободы). Кинематика занимается описанием движения без выяснения его причин.
Кинематика точки
► Основные определения. Скорость и ускорение. Материаль
ной точкой называется тело, размерами которого при описании его движения можно пренебречь (в сравнении с пройденным расстоянием). Положение точки в момент времени t задается радиусом-векто
Рис. 1Рис. 1ром г, проведенным к этой точке из начала координат (рис. 1). В процессе движения конец радиуса-вектора описывает пространственную кривую — траекторию. В прямоугольной декартовой системе координат положение радиуса-вектора задается тремя его проекциями на оси — координатами х, у, %. Движение точки полностью определяется заданием закона движения — одной векторной функции r(t) или трех скалярных функций x(t), y(t), z(t). Для компактной записи радиуса-вектора (или любого вектора) через его проекции используют единичные орты i, j, k: г = х\ + yyj + zk. Путь — длина участка
Рис. 1
Рис. 1
траектории, пройденного точкой за рассматриваемый интервал времени. Путь — величина скалярная, неотрицательная и не убывающая со временем. Перемещением точки называется вектор Лг = г — го, соединяющий начальное положение точки с конечным и равный разности радиусов-векторов в конечный и начальный моменты времени.
Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени: v = dv/dt. Скорость направлена по касательной к траектории. Средняя (по времени) скорость за конечное время At определяется как отношение перемещения к интервалу времени: vcp = Ar/At. (Средняя скорость пути равна отношению пройденного пути к интервалу времени.) Движение называют равномерным, если v = const. Равномерное движение происходит по прямой. Равномерным движением по заданной криволинейной траектории называют движение с постоянным модулем скорости. (Пример — равномерное движение по окружности.)
Ускорение точки равно первой производной от скорости по времени: а = dv/dt. Ускорение лежит в той же плоскости, что и участок траектории, и направлено «внутрь» траектории (в частном случае, когда траектория является прямой линией, ускорение направлено вдоль этой прямой). Проекцию ускорения на направление скорости называют тан
Рис. 2Рис. 2ним, если аним, если агенциальным ускорением и обозначают аТ, она определяет быстроту изменения модуля скорости и равна производной от модуля скорости: ат = dv/dt. Другую компоненту ускорения, перпендикулярную скорости, называют нормальным ускорением (рис. 2) и обозначают ап; она характеризует быстроту изменения направления скорости и равна ап = v2/R, где R — радиус кривизны траектории (т. е. радиус окружности, наиболее близко примыкающей к траектории в данной точке). Среднее ускорение за время At определяется как аср = Av/At. Движение называют равноускорен- = const. Равноускоренным движением вдоль заданной
Рис. 2
Рис. 2
ним, если а
ним, если а
траектории называют движение с аТ = const.
► Прямая и обратная задачи кинематики. Задачу определения характеристик движения по известному закону движения называют прямой задачей кинематики.
Пример 1. Пусть закон движения имеет вид: х = R cos wt, у = /Zsincjf. Найдите уравнение траектории, скорость и ускорение.
Решение. Исключая время (с помощью тождества sin2 (jf + cos2 wt = 1), находим уравнение траектории: ж2 + у2 = R2 (окружность радиуса R/
Дифференцируя исходные выражения по времени, получим
(/Ж.— = — wR sin wt, dt'dy— = w К cos wt dtd2®2 D +(/Ж.— = — wR sin wt, dt'dy— = w К cos wt dtd2®2 D +V$V$UyUy= —s- = —w Rcoswt, dt2’= —s- = —w Rcoswt, dt2’ауауd2y 2o • t у = —W /18111 wt dt2d2y 2o • t у = —W /18111 wt dt2(компоненты скорости),(компоненты скорости),(компоненты ускорения).(компоненты ускорения).
(/Ж.
— = — wR sin wt, dt'
dy
— = w К cos wt dt
d2®2 D +
(/Ж.
— = — wR sin wt, dt'
dy
— = w К cos wt dt
d2®2 D +
V$
V$
Uy
Uy
= —s- = —w Rcoswt, dt2’
= —s- = —w Rcoswt, dt2’
ау
ау
d2y 2o • t у = —W /18111 wt dt2
d2y 2o • t у = —W /18111 wt dt2
(компоненты скорости),
(компоненты скорости),
(компоненты ускорения).
(компоненты ускорения).
Модуль скорости и = ^/й^А^й^ = wR и модуль ускорения а = ш2R не зависят от времени и связаны соотношением а = и2/R. Ускорение направлено 2 перпендикулярно скорости к центру окружности: а = —ш г.
Задачу определения закона движения по известному ускорению a(t) называют обратной задачей кинематики. Для однозначного решения этой задачи нужно знать началъние условия — положение и скорость точки в начальный момент времени.
Пример 2. Равноускоренное движение. Пусть известны ускорение точки а = const и ее начальные скорость vo и положение го. Найдите траекторию и закон движения точки.
Решение. Последовательно интегрируя, находим сначала скорость точки v = a dt = vo + at, а затем ее положение г = М v dt = го + vot + -at2. j и'2
Точка движется в плоскости векторов vo, а по параболе, что видно в системе координат, где ось у направлена по а, а ось ж — перпендикулярно а (ж = ж0 + u0$t, у = уоЛ- uOyt + ^at2).
Во многих случаях задача кинематики не сводится ни к прямой, ни к обратной. В этом случае для определения закона движения приходится решать дифференциальное уравнение. Иногда это уравнение можно решить разделением переменных.
Пример 3. При решении задач динамики часто возникает уравнение du/dt = — аи2 (торможение тела происходит с ускорением, пропорциональным квадрату его скорости). Найдите зависимость скорости движения тела от времени, если начальная скорость равна ио- Найдите также зависимость скорости тела от его перемещения s.
Решение. Разделяя переменные, получим: du / и2 = — adt. Интегрируя левую часть уравнения от ио до у, а правую — от 0 до t, находим (г?-1 —г?^1) = at,T.e.u = г>о/(1+'Соat). Интегрируя далее, можно определить закон движения s(t) и, исключив t, найти u(s). Однако можно поступить проще: поскольку udt = ds, уравнение с разделенными переменными можно записать в виде do/и = —ads. Интегрируя, получим 1п(г?/г7о) = — as, откуда о = ио ехр( — as).
► Движение по окружности. Движение по окружности можно описывать с помощью угловых переменных: угла поворота р, угловой
скорости щ = dp / dt измерять в радианах, чтоскорости щ = dp / dt измерять в радианах, чтои = и) П_и = и) П_du аТ = — = еК,du аТ = — = еК,R — R"R — R"и углового ускорения е = dwfdt. Если угол то длина дуги равна s = pR. Отсюда следует,
скорости щ = dp / dt измерять в радианах, что
скорости щ = dp / dt измерять в радианах, что
и = и) П_
и = и) П_
du аТ = — = еК,
du аТ = — = еК,
R — R"
R — R"
В случае равномерного движения по окружности нормальное ускорение ап иногда называют уентроетремителъним.
Формулы для нормального и тангенциального ускорений можно вывести, если записать скорость в виде v = ит, где т — единичный вектор, направленный вдоль скорости. Получим а = (du/dt)^ + u(dx/dt) и учтем, что dx/dt = n(dp / dt) = n(u/R), где n — единичный вектор, перпендикулярный
к скорости и направленный вдоль радиуса. Этот вывод справедлив и для произвольной траектории, если принять соотношение Jt = n^ds/R) за определение как направления нормали п, так и радиуса кривизны R.
► Относительность движения. Сложение скоростей. Если движение точки рассматривается из двух систем отсчета К и К* , оси которых остаются все время параллельными друг другу, то между скоростями точки v и v' относительно этих систем отсчета в каждый момент времени выполняется соотношение
V = v'+vK, (1)
где vk — скорость системы К1 относительно системы К. Такое же соотношение выполняется и для ускорений: а = а' + а/<.
Кинематика твердого тела
Основные определения. В механике твердым телом называют идеализированное тело, расстояние между любыми двумя точками которого не меняется (т. е. отсутствуют деформации). Выделяют два простых движения твердого тела — поступательное и вращательное. При поступательном движении отрезок, соединяющий любые две точки тела, перемещается параллельно самому себе. Поскольку все точки тела движутся одинаково, достаточно описать движение одной точки. При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения (при этом скорости всех точек перпендикулярны оси вращения). Угловые скорости всех точек в каждый момент времени одинаковы, поэтому вводят вектор угловой скорости со, направляя его вдоль оси вращения по движению буравчика. Распределение линейных скоростей точек тела можно представить с помощью векторного произведения ')
v = ш х г, (2)
где радиусы-векторы проводятся из любой точки на оси. В случае неподвижной оси вращения вектор углового ускорения £ = dm/dt также направлен вдоль оси.
Плоское движение твердого тела определяют как движение, при котором скорости всех точек тела параллельны некоторой плоскости. Если с любой точкой тела (или его мысленного продолжения)
г) Это уравнение является частным случаем важной математической формулы dXjdt = со х А, выражающей производную по времени от любого вектора А, который вращается с угловой скоростью со.
связать поступательно движущуюся систему координат, то относительное движение будет чистым вращением вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости движения.
Пример 1. Качение колеса без проскальзывания со скоростью о удобно
представить как сумму поступательного движения со скоростью и и вращательного движения с угловой скоростью ш (рис. 3). Скорость любой точки от
носительно земли можно найти по закону сложения скоростей (1). Скорость нижней точки колеса О' должна быть равна нулю, откуда следует связь между о и ш: о = wR. Ускорения всех точек направлены к центру колеса.
► Мгновенная ось вращения. Если какая-то точка тела (или его мысленного продолжения) в данный момент неподвижна, то существует проходящая через нее прямая неподвиж
ных точек, которую называют мгно-Рис. 3
венной осью вращения. Распределение
скоростей в этот момент описывается формулой (2). Мгновенная ось и со
могут менять свое положение как в пространстве, так и относительно тела. В частности, в примере 1 можно получить скорости всех точек колеса как результат чистого вращения относительно мгновенной оси, проходящей через точку касания О'. Угловое ускорение £ может быть непараллельно мгновенной оси.
► Сложение угловых скоростей. Движение относительно вращающейся системы отсчета. Движение твердого тела с неподвижной точкой представляет собой в каждый момент времени чистое вращение вокруг мгновенной оси. Если это движение можно представить как вращение с угловой скоростью ®i относительно системы отсчета, вращающейся с угловой скоростью ©2- то результирующая угловая скорость равна ю = ©i +©2- Для доказательства надо обобщить закон сложения скоростей (1) на непоступательное движение системы отсчета:
v — vOTH + vnep,(3)
где vnep — переносная скорость данной точки системы отсчета. В случае вращающейся системы отсчета
V = VOTH + ю X Г.(4)
Если относительное движение представляет собой чистое вращение, то получим v = ®iXr + ®2Xr = (®i + ©2) х г, т. е. результирующее движение представляет собой вращение с угловой скоростью (®i +©2)-
Пример 2. Круговой конус с углом полу раствора о положили на бок
и покатили без проскальзывания так,и покатили без проскальзывания так,что его ось вращается с угловой скоростью сот (рис. 4). Найдите угловую скорость и угловое ускорение конуса.
и покатили без проскальзывания так,
и покатили без проскальзывания так,
Решение. Во вращающейся системе отсчета, в которой ось конуса неподвижна, происходит вращение вокруг этой оси с угловой скоростью С02• Связь между сщ и ст 2 найдем из условия неподвижности точки А: Ш11 = ш^г^ или Ш1 = ст 2 sin а. Из этого соотношения следует, что вектор со = сот + С02 направлен горизонтально, по линии соприкосновения конуса с плоскостью, которая, конечно же,
является мгновенной осью вращения. Вклад в угловое ускорение дает только вращение вектора со2 с угловой скоростью сот: е = d(a/dt = coi х Ю2,
е = ача^ cos о.
dA dtdA dt+ ® х А,+ ® х А,(5)(5)Формула (4) является частным случаем формулы для производной по времени от любого вектора А:
dA dt
dA dt
+ ® х А,
+ ® х А,
(5)
(5)
где первый член — скорость изменения А относительно вращающейся системы координат (см. также сноску к формуле (2)).
При изучении неинерциальных систем отсчета (см. разд. 1.9) нам понадобится связь между ускорениями точки в неподвижной и вращающейся системах отсчета. Ее можно получить, применив (5) к каждому из двух членов в (4):
dv dtdv dtdvOTHdtdvOTHdt+ co x+ co xdr _ /dvOTH dt \ dtdr _ /dvOTH dt \ dt+ CO X Voth + CO X (vOTH + CO X r) =+ CO X Voth + CO X (vOTH + CO X r) =
dv dt
dv dt
dvOTHdt
dvOTHdt
+ co x
+ co x
dr _ /dvOTH dt \ dt
dr _ /dvOTH dt \ dt
+ CO X Voth + CO X (vOTH + CO X r) =
+ CO X Voth + CO X (vOTH + CO X r) =
= аОтн + 2co X Voth + CO X ((» X r).
Последний член представляет собой переносное ускорение данной точки системы отсчета (нормальное, или центростремительное, ускорение). Видно, что кроме относительного и переносного ускорений, возникает дополнитель
ное слагаемое, которое называют кориолисовым ускорением.
Динамика
Первый закон Ньютона утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых любое тело, не взаимодействующее с другими телами, движется равномерно и прямолинейно. Системы отсчета, существование которых постулирует этот закон, называются инерциальными.
Из закона сложения скоростей видно, что любая система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, также является инерциальной. Практически точно инерциальной можно
считать гелиоцентрическую систему, связанную с Солнцем и удаленными звездами. Земля является инерциальной системой только приближенно, вследствие суточного вращения ускорение точек ее поверхности достигает 0,034 м/с2. Кроме того, Земля движется вокруг Солнца, но соответствующее ускорение на три порядка меньше (проверьте это).
Масса. Импульс. Из первого закона Ньютона следует, что в инерциальных системах отсчета ускорение тела возникает только в результате его взаимодействия с другими телами. Это ускорение зависит от инертности тела, т. е. его способности сопротивляться изменению скорости, а также от интенсивности и направления действия на него других тел.
Масса тела т — это скалярная положительная величина, характеризующая инертность тела. Эксперименты показывают, что при взаимодействии двух тел их ускорения ai и а2 в инерциальной системе отсчета направлены в противоположные стороны, а отношение модулей ускорений a^/az не зависит от характера и интенсивности взаимодействия. Это позволяет определить отношение масс двух произвольных тел как величину, обратную отношению ускорений, возникающих при их взаимодействии друг с другом: mi/m2 = а^/а^. Чтобы определить абсолютную величину массы т, необходимо определить эталон массы. В системе СИ за эталон массы принимают 1 килограмм (1 кг). Масса обладает свойством аддитивности: сумма масс частей, на которые можно разделить тело, равна массе всего тела. Как показывает теория относительности, это свойство является приближенным и нарушается при сильном взаимодействии между частями тела. Например, масса ядра оказывается меньше суммы масс образующих его нуклонов.
Импульсом частицы называют векторную величину, равную произведению массы частицы на ее скорость:
р = mv. (6)
Определение (6) действует только при и <^ с, где с — скорость света; более общее определение, верное при любых и < с, вводится в теории относительности.
Сила. Силой, действующей на тело массой т при его взаимодействии с другим телом, назовем величину F = та, где а — ускорение, сообщенное этой силой телу т в инерциальной системе отсчета. Более общее определение имеет вид: F = dp/dt. В ньютоновской динамике оба определения эквивалентны, но в динамике теории относительности определение импульса изменяется, и оказывается верным только второе определение. В системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н = кг • м/с2).
Изменение импульса точки за время t под действием силы F равно интегралу от силы: Лр = p(t) — р(0) = J^ ¥dt. Эту величину называют импульсом силы. Средняя (по времени) сила равна ^р = Др/At.
Второй закон Ньютона. Если на материальную точку одновременно действуют N тел с силами У, ..., Fv. то ускорение тела а определяется векторной суммой этих сил:
а = Е = 1уг, или 5 = EFr
т т J dt J
J—1 j=i
Силу F называют равнодействующей (или результирующей) сил Fi, ..., Б}у. Второй закон Ньютона называют уравнением движения тела, так как он позволяет (в принципе) рассчитать движение тела или системы тел, но только в том случае, если известна зависимость сил взаимодействия между телами от их взаимного расположения и скоростей. Ниже мы кратко напомним свойства сил, которые возникают при решении механических задач.
Третий закон Ньютона утверждает, что силы ¥дв и Fba, с которыми действуют друг на друга два взаимодействующих тела А и В, направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны и равны между собой по модулю:
Fab = -Fb\.
► Дальнодействие и причинность. Поле. В ньютоновской механике считалось, что третий закон Ньютона выполняется для любых взаимодействующих тел независимо от природы взаимодействия и от того, находятся ли тела в непосредственном контакте или взаимодействуют на расстоянии с помощью гравитационных или электромагнитных сил. Однако выполнение этого закона для дальнодействующих сил означает мгновенную передачу информации об изменении положения тел. Само понятие дальнодействия противоречит постулатам теории относительности, запрещающим передачу информации со скоростью, превышающей скорость света. Современная физика отказалась от дальнодействия, введя нового участника взаимодействия — материальное силовое поле (электрическое, гравитационное и др.), заполняющее все пространство. На тело в данной точке пространства действуют не удаленные тела, а поле в окрестности этой же точки; это поле создается удаленными телами (источниками поля). Изменение поля передается от точки к точке и распространяется с конечной скоростью (скоростью света). Ньютоновская механика оказывается верной только при малых скоростях v <С с, в этом нерелятивистском пределе можно пользоваться как дальнодействующими силами, так и полем. Удобно изучать движение точки (или системы точек) во внешнем стационарном поле, создаваемом неподвижными источниками (пример: поле тяжести Земли). Силовое поле называется центральным, если сила, действующая со стороны поля на помещенную в него материальную точку, направлена в сторону центра поля (силового центра), а модуль
силы зависит только от расстояния г до этого центра:
F(r) = РАД.
Здесь F^r) — проекция силы на радиальное направление; FT > О соответствует отталкиванию, Fr < 0 — притяжению. Поле называется однородным в области пространства, если сила одинакова во всех точках этой области: F = const.
Силы природы. Все разнообразие действующих в природе сил можно свести к нескольким фундаментальным взаимодействиям (гравитационному, слабому, электромагнитному и сильному). Однако для практических целей такой подход непригоден, и кроме фундаментальных дальнодействующих сил (в механике это сила тяготения), надо знать свойства различных сил, возникающих при контакте макроскопических тел. Перечислим кратко силы, возникающие при решении механических задач.
Сила тяжести mg (сила тяготения у поверхности Земли).
Сила упругости при продольной деформации тела пропорциональна деформации: Fynp = — kx, где к — жесткость тела (закон Гука). В пределе бесконечной жесткости возникают сила (нормальной) реакции N или сила натяжения нити Т, которые определяются из самих уравнений движения. (Силы такого типа называют реакциями связей.)
Сила сухого трения. Сила трения скольжения: FTp = y±N, где Ц1 — коэффициент трения скольжения. Сила трения покоя FTp ^ p^N где //2 — коэффициент трения покоя (при решении задач считают, что Л1 = P^Y Сила трения покоя также относится к реакциям связей.
Сила сопротивления движению в жидкости или газе зависит от скорости и поперечных размеров тела. При малых скоростях и малых размерах тела сила пропорциональна скорости (сила вязкого трения), при больших скоростях сила пропорциональна площади поперечного сечения и квадрату скорости (сила лобового сопротивления).
► Принцип относительности Галилея. Принцип относительности Галилея утверждает, что все законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Пусть система К' движется относительно системы К с постоянной скоростью V. Выберем системы координат с параллельными осями, причем оси х и х' направим вдоль V (рис. 5); время будем отсчитывать от момента полного совмещения осей. Тогда координаты и время собы-
тия в системе К’ будут выражаться через координаты и время в К с помощью преобразований Галилея:
х' = х — УГ у' = У^ У — Г — t. (7)
При преобразованиях Галилея остаются неизменными разность скоростей двух точек и расстояние между ними; значит, не меняются силы взаимодействия между материальными точками. Кроме того, преобразования Галилея не меняют ускорения точки. Следовательно, не меняются обе части равенства, выражающего второй закон Ньютона, т. е. уравнение движения имеет одинаковый вид в разных системах отсчета (инвариантно относительно преобразований Галилея).
Преобразования Галилея основаны на утверждениях о независимости хода времени и длины отрезков от системы отсчета, которые считались неотъемлемыми свойствами пространства и времени. Теория относительности пересматривает представления о пространстве и времени и показывает, что преобразования Галилея верны только при У <С с; их заменяют преобразования Лоренца, верные при любых скоростях У < с.
Закон сохранения импульса
Система материальных точек. Центр масс. Пусть система состоит из N материальных точек. Силы, действующие на j-ю точку, подразделяются на внутренние 1^, действующие со стороны остальных точек системы, и внешние равнодействющую которых обозначим х) FyG. В соответствии с третьим законом Ньютона сумма внутренних сил равна нулю, т. е. сумма всех сил, действующих на точки системы, равна сумме внешних сил. Если тела системы не взаимодействуют с внешними телами, то систему называют замкнутой (или изолированной).
Центром масс (центром инерции) системы материальных точек mi, ..., tun называют точку, положение которой определяется радиусом-вектором
miri Н\-mNrN
гц = •(о)
ц mi + • • • + mNv 7
Связанную с центром масс поступательно движущуюся систему отсчета будем называть системой центра масс.
Если масса распределена непрерывно (в пространстве, по плоскости, вдоль линии), то составляющие систему материальные точки получаются при мысленном разделении объема тела на маленькие
) Верхние индексы «i» и «е» у сил происходят от латинских слов internus — внутренний и externus — внешний.
области. Распределение массы по объему задают с помощью плотности: dm = p(r) dV. Например, определение (8) для непрерывно распределенной массы принимает вид
f rp(r) dVГц = 4•
p(r) dV
Тело с постоянной плотностью называют однородным.
Импульс. Импульс системы определяется как сумма импульсов составляющих его частиц:
p = Epj
Продифференцировав уравнение (8) по времени, найдем, что импульс системы выражается через скорость центра масс:
Р = ШУЦ,(9)
где т — масса системы. Значит, в системе центра масс импульс системы точек равен нулю.
Просуммируем уравнение второго закона Ньютона dp/dt = F по всем точкам системы и учтем, что все внутренние силы уничтожаются:
£ = EF/(10)
(скорость изменения импульса системы равна результирующей внешней силе).
Закон сохранения импульса. Из уравнения (10) следует, что импульс замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства (равноправия всех его точек) и поэтому носит универсальный характер. Область действия этого закона выходит за пределы ньютоновской механики, в рамках которой мы его вывели. Даже при учете конечной скорости распространения сигнала (явление запаздывания), которое приводит к нарушению третьего закона Ньютона, закон сохранения импульса выполняется точно, если учесть импульс передатчика сигнала — силового поля.
Импульс незамкнутой системы сохраняется в следующих случаях:
Если сумма внешних сил равна нулю.
Если результирующая внешняя сила перпендикулярна некоторому направлению, то сохраняется не вектор импульса системы, а проекция импульса системы на это направление.
Если взаимодействие продолжается очень короткое время At, а внешние силы Ее ограничены х), то изменением импульса системы ЕеД£ можно пренебречь (считать, что At —> 0).
► Движение центра масс. Продифференцировав по времени уравнение (9), с учетом (10) получим уравнение движения центра масс:
(И)(И)тац = £ ^
(И)
(И)
т. е. центр масс движется так, как двигалась бы воображаемая материальная точка с массой, равной массе системы, если к ней приложить результирующую внешнюю силу.
Пример 1. Тонкий стержень длиной I и массой т вращается в горизонтальной плоскости вокруг одного из своих концов с угловой скоростью W. Найдите силу натяжения в середине стержня.
Решение. Центр масс внешней половины стержня движется по окруж- 3
пости радиусом -I под действием только одной внешней силы — искомой силы натяжения. Из уравнения (11) получим: FH = (|m)o?2(|/) = |ma?2/.
Отметим, что центр масс замкнутой системы движется равномерно, следовательно, система центра масс является инерциальной.
► Реактивное движение. Изменение скорости корабля в глубоком космосе (вдали от гравитирующих тел) возможно только за счет выбрасывания наружу части массы — ракетного топлива. Уравнение движения космолета при наличии внешней силы F и реактивной струи легко получить, записав закон изменения импульса (10) в инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с кораблем:
mAv + ДМи = ЕД^,
где и — скорость струи относительно корабля, а АМ — масса выброшенного за время At топлива. Разделив на At, получим уравнение Мегцерского:
ma = F — уи.,
где у = AM/At = — Ат /At — расход топлива в струе. Второй член в правой части называют реактивной силой.
Запишем уравнение Мещерского для движения по прямой в отсутствие внешней силы: m(du/dt) = — (dm/dt)u. Считая и постоянной и обозначив начальную массу корабля то, найдем зависимость скорости корабля от его массы: v/u = — ln(m/mo) (уравнение Циолковского).
г) При этом импульсы частиц системы могут заметно измениться под дей
ствием очень больших внутренних сил (взрыв, удар).
1.5. Закон сохранения энергии
► Работа — скалярная величина, являющаяся мерой изменения энергии. Работа внешних сил, равна изменению энергии
А = Е2-Е1.(12)
Опираясь на это соотношение как на исходное, мы будем определять различные виды энергии. (Уточнение этого принципа с учетом теплообмена будет дано в гл. 2.) Работа силы на малом участке пути определяется как скалярное произведение силы и перемещения: 5 А = (F • с/г), а работа на всем пути равна:
222
А = J(F • с/г) = | FT \dr\ = | F|c/r| cos а,ill
где FT — проекция силы на направление движения точки ее приложения, а а — угол между силой и этим направлением. Работа и энергия измеряются в джоулях (Дж = Н • м).
Пример 1. Работа постоянной силы F
22
Д = J(F • dr) = (F • pr) = F • (r2 - n)11
равна скалярному произведению силы на полное перемещение и не зависит от траектории точки приложения.
Пример 2. Работа центральной силы (силы со стороны центрального поля, см. разд. 1.3) равна
2г2
А = J(F • dr) = | Fr(r) dr
(проекция dr на радиальное направление равна изменению расстояния г до центра). Работа зависит только от начального ri и конечного Г2 расстояний до силового центра и не зависит от траектории.
► Мощность. Средняя мощность — отношение работы к интервалу времени. Мгновенная механическая мощность равна
dA (F • dr) ( х
р = т = Чг2 = 1¥-',> = ,?'"-
Мощность измеряется в ваттах (Вт = Дж/с).
► Кинетической энергией называется энергия, связанная с движением точки и зависящая от ее скорости. Скорость тела изменяется под
действием результирующей силы F, работа которой равна
(13)
Видно, что в соответствии с общим принципом (12) кинетическую энергию можно определить как Ек = то2/2. Полученное тождество, утверждающее, что изменение кинетической энергии равно работе ре
зультирующей силы, называют теоремой о кинетической энергии.
Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий всех точек системы. Изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на ее точки. Кинетическая энергия системы равна:
2
= ^ + ^отн,(14)
где т — масса системы, иц — скорость ее центра масс, ЕОТН — кинетическая энергия в системе центра масс (теорема Кёнига).
► Консервативные силы. Потенциальное поле. Сила взаимодействия между точками называется консервативной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения точек, но не зависит от траектории их перемещения. Силы, не удовлетворяющие этому условию, называют неконсервативными. Внешнее стационарное поле называется потенциальным, если работа поля при перемещении точки зависит только от ее начального и конечного положения, но не зависит от ее траектории. (Эквивалентное утверждение — работа поля при перемещении точки по замкнутой траектории равна нулю.) Потенциальное поле — это поле консервативных сил взаимодействия, создаваемое неподвижными внешними источниками. Из примера 1 следует, что однородное поле потенциально (пример — поле тяжести). Из примера 2 следует, что любое центральное поле потенциально. Потенциальным будет также поле, являющееся суперпозицией нескольких центральных полей (создаваемое несколькими источниками). Следовательно, электростатическое поле и стационарное поле тяготения являются потенциальными. Из примера 2 также следует, что сила упругости, создаваемая легкой пружиной, является консервативной. Система точек, между которыми действуют только консервативные силы, называется консервативной системой.
► Потенциальная энергия. Потенциальная энергия характеризует взаимодействие между материальными точками и зависит от их взаимного расположения. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем потенциальном поле определяется следующим образом. Разность потенциальных энергий для двух положений точки определим
как работу поля по ее переносу из одного положения в другое:
Еп(п)-Еп(г2) = Л12(15)
(эта работа не зависит от траектории). Следовательно, изменение потенциальной энергии Е^ — Ei равно работе сил поля, взятой с обратным знаком. Если перемещение частицы в поле осуществляется очень медленно с помощью внешней силы, то работа внешней силы будет равна по величине и противоположна по знаку работе поля, т. е. Л^2 = Е^ — Еу в соответствии с общим принципом (12).
Равенство (15) дает определение разности потенциальных энергий, т. е. определяет потенциальную энергию с точностью до константы. Чтобы сделать определение однозначным, надо задать значение потенциальной энергии в какой-то точке пространства (обычно задают точку, в которой потенциальная энергия равна нулю).
Пример 3. Работа силы тяжести mg при перемещении точки массой т с высоты Ai на высоту h^ равна mg hi — mgh^. Отсюда следует, что потенциальная энергия точки в поле тяжести равна Еп = mgh, гДе высота отсчитывается от оговоренного нулевого уровня. Потенциальная энергия системы точек в поле тяжести равна
52 т3 ^3
Еп = ^mjghj = mg = mgh^
где т — масса системы, h^ — высота ее центра масс.
Пример 4. Работа силы упругости равна J^(—kx)dx = ^kx2 — ^kx^ где a?i, ж 2 — начальная и конечная деформации пружины. Следовательно, потенциальная энергия упругой пружины равна Еп = -кх2^ где за нуль принята энергия недеформированной пружины.
Пример 5. Работа сил трения, сопротивления отрицательна как на каждом участке пути, так и вдоль замкнутой траектории. Следовательно, эти силы не удовлетворяют условию консервативности, т. е. являются неконсервативными.
Потенциальную энергию консервативного взаимодействия двух частиц можно определить как потенциальную энергию одной частицы в поле другой частицы. Ответ не зависит от того, какую из частиц выбрать в качестве источника поля.
► Связь силы с потенциальной энергией. Записав равенство (15) для двух близких точек, лежащих на некоторой оси ж, получим Еп(х) — Еп(х + dx) = Fx dx. Следовательно, проекция силы на произвольное направление выражается через производную от потенциальной энергии:
(частная производная означает, что Еп рассматривается как функция одной переменной ж). Получаем, что вектор силы равен градиенту
потенциальной энергии:
(дЕп. 0Еп. ЭЕп \ _
F ( дх 1+ ду J + dz Д(17)
Для центрального поля формула (16) принимает вид
Fг = - ^^ .(18)
ат
► Механическая энергия системы определяется как сумма ее кинетической энергии, потенциальной энергии взаимодействия между ее частицами и потенциальной энергии во внешнем поле:
2
Емех = £ ^ + Е Езп + Е Ej ■(^
jj<nj
Первые две суммы образуют собственную механическую энергию системы.
Кроме того, в соответствии с теоремой Кёнига (14) кинетическая энергия системы равна сумме двух членов — энергии ее движения как целого ти^ и кинетической энергии в системе центра масс ЕОТН. Сумму Еотн и потенциальной энергии взаимодействия частиц иногда называют внутренней энергией системы.
► Изменение механической энергии. Изменение кинетической энергии равно работе всех сил, приложенных к точкам системы (уравнение (13)). Изменение потенциальной энергии равно работе всех консервативных сил (внутренних и внешних, включая работу потенциальных полей), взятой с обратным знаком. Значит, изменение механической энергии равно работе всех неконсервативных сил, как внешних, так и внутренних:
АЕмех = Анеконс. (20)
► Закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной. Это утверждение является частным проявлением общего фундаментального принципа сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется. Полная энергия, кроме механической, включает в себя также различные виды внутренней энергии: тепловую, химическую, ядерную. Общий принцип сохранения энергии выходит далеко за пределы ньютоновской механики, в рамках которой мы получили закон сохранения механической энергии. Этот принцип тесно связан с фундаментальным условием однородности времени (равноправием всех моментов времени), он является основанием всего здания современной физики.
Условие консервативности эквивалентно требованию независимого сохранения двух слагаемых полной энергии: механической и внутренней. Если, например, внутри системы действуют силы трения, работа которых отрицательна, то механическая энергия уменьшается (уравнение (20)), переходя во внутреннюю (в этом случае говорят, что в системе выделяется тепло). Механическая энергия может также изменяться в том случае, если в системе присутствует какой-нибудь механизм, способный производить работу за счет внутренней энергии (топлива): двигатель внутреннего сгорания, человек.
Пример 6. Упругий удар. При центральном ударе упругих шаров сохраняется и импульс системы, и ее механическая энергия:
тцлх + т^и^х = miuix + т2м2ж,miv^ т^х = miu^x т^х
2222
Вместо второго уравнения удобно использовать условие, что относительная скорость шаров не меняется по величине, но изменяет свой знак: гцж — ^2® = и^х — Ш®- Это уравнение можно вывести из первых двух, но оно становится очевидным при переходе в инерциальную систему центра масс (относительная скорость при таком переходе не меняется). В этой системе отсчета полный импульс системы равен нулю, и после удара скорости шаров просто меняются на противоположные (оба закона сохранения при этом выполняются). Решая два линейных уравнения, находим конечные скорости шаров:
(mi - т2)щж + 2т2и2ж(т2 - Ш1)у2ж + 2т1Щж
^1® —;,^2® —■•
т\ + m2mi + т2
При упругом ударе о движущуюся стенку (т2 ^ mi) получим
^2® ~ ^2® 1^1® ~^1® Т 2г72ж.
Пример 7. Неупругий удар. После абсолютно неупругого удара шары движутся поступательно с одинаковой скоростью, т. е. как одно составное тело (вращения не возникнет, если в системе центра масс удар центральный). Скорости сравниваются в результате действия неконсервативных сил, т. е. при неупругом ударе обязательно выделяется тепло. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью закона сохранения импульса конечную скорость шаров: mivi + m2v2 = (mi + m2)u, после чего вычислим уменьшение механической
энергии:энергии:mi^22mi^22т2^22т2^22(mi + m2)w22(mi + m2)w22Ш1Ш2 (vi — v2)2 mi + т2 2Ш1Ш2 (vi — v2)2 mi + т2 2
энергии:
энергии:
mi^2
2
mi^2
2
т2^2
2
т2^2
2
(mi + m2)w2
2
(mi + m2)w2
2
Ш1Ш2 (vi — v2)2 mi + т2 2
Ш1Ш2 (vi — v2)2 mi + т2 2
Еще проще получить этот ответ в системе координат, связанной с центром
масс, где шары после удара покоятся.
► Потенциальные кривые. Устойчивость. Если известна потенциальная энергия одномерного движения в потенциальном поле Еп(г) (рис. 6), то, опираясь на соотношение (16) между силой и энергией, можно выяснить:
Направление силы (F > 0 при 0 < г < rmin и при г > rmax).
Точки равновесия (F = 0 при г = rmin и г = rmax).
Устойчивость равновесия. В окрестности точки rmin сила направлена в сторону этой точки, т. е. равновесие устойчиво. В точке rmax равновесие неустойчиво. Устойчивое равновесие соответствует минимуму
потенциальной энергии.
По значению механической энергии Е можно установить характер движения. Движение может происходить только в области, где Е > Еп (кинетическая энергия неотрицательна). При Е < Еп(оо)
Рис. 6Рис. 6(для рис. 6 Е'п(схз) = 0) движение финитное, т. е. происходит в ограниченной области г. На рис. 6 движение происходит между точками поворота г^, rg. При Е > 0 движение либо инфинитно, т. е. точка после отражения от точки поворота гь уходит на бесконечность с кинетической энергией Е, либо заперто потенциальным барьером и движется между
Рис. 6
Рис. 6
точками поворота ri, Г4. В классической механике потенциальный
барьер непреодолим; в квантовой механике существует вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер (туннельный эффект).
1.6. Закон сохранения момента импульса
► Момент силы. Равнодействующая. Момент силы F относительно точки О определяется равенством
(21)(21)М = г х F,
(21)
(21)
где г — радиус-вектор точки приложения силы. Момент силы не меня
ется при перемещении силы вдоль линии ее действия. Модуль момента
равен М = Fr sin а = Fd, где а — угол между силой и радиусом-вектором, d — расстояние между точкой О и линией действия силы, которое называют плечом силы (рис. 7). Важнейшее свойство момента силы заключается в том, что для любой системы точек сумма моментов внутренних сил равна нулю. Справедливость этого утверждения основана на том, что по третьему закону Ньютона (см. разд. 1.3) силы взаимодействия между точками не
только равны по величине и противоположны по направлению, но и направлены вдоль соединяющей эти точки прямой. Отметимеще одно
свойство момента сил: если сумма сил равна нулю, то они создают одинаковый суммарный момент относительно любой точки пространства.
Равнодействующей системы сил называют силу, равную их векторной сумме и приложенную таким образом, что ее момент относительно любой точки пространства равен суммарному моменту этой системы сил.
Пример 1. Вычислим суммарный момент сил тяжести, действующих на точки системы:
М = £г, х m,g = (^2 mird X g = гц х (mg), где m — масса системы, гц — радиус-вектор центра масс. Видно, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс, т. е. центр масс является таксисе центром тяжести.
Моментом силы относительно оси % называют проекцию М^ на эту ось момента сил относительно любой точки на этой оси. Если разложить как г, так и F в (21) на две составляющих, параллельную оси и перпендикулярную к ней, г = гц + r_L, F = 1ц + Fj_, то составляющие, параллельные оси, не дадут вклада в проекцию момента на ось. Следовательно, Mz = (r_L хГ±)г.вплоскости, перпендикулярной оси, получим такую же картинку, как на рис. 7, только вместо г и F надо написать ri и Fi. Соответственно модуль момента относительно оси также равен произведению силы на плечо, а выбор положительного направления вдоль оси можно заменить более наглядным выбором положительного направления вращения вокруг этой оси.
► Моментом импульса материальной точки относительно точки О называют величину
L = г х р,(22)
где г — радиус-вектор материальной точки, проведенный из точки О, р — ее импульс. При движении с постоянной скоростью момент импульса не меняется. Модуль момента импульса равен произведению импульса на плечо. Моментом импульса относительно оси % называется проекция Ьг на эту ось момента импульса L относительно любой точки на этой оси. Момент импульса относительно оси определяется проекцией импульса точки на плоскость, перпендикулярную к оси: ^- = (г± х Р±)г- Все эти свойства абсолютно аналогичны соответствующим свойствам момента силы.
Производная по времени от момента импульса материальной точки относительно точки О
dLdrdp„, _
— = -xp + rx^=vxp + rxF = M(23)
dtdtdt
равна моменту результирующей силы относительно точки О (член v х р = 0 в силу параллельности векторов v и р.)
► Движение► ДвижениеРис. 8Рис. 8в центральном поле. Так как на частицу в центральном поле действует сила, направленная в сторону центра поля, то момент этой силы относительно центра тождественно равен нулю. Следовательно, вектор L момента импульса относительно центра сохраняется. Из определения (22) следует, что движение происходит в одной плоскости, перпендикулярной L, и что сохраняется величина L = mor sin а. Эта величина пропорциональна скорости «заметания» площади радиусом-вектором г: ds/dt = ^r(vdt) sin a/dt = L/2m (рис. 8), так что утверждение о сохранении момента импульса при
► Движение
► Движение
Рис. 8
Рис. 8
движении в центральном поле оказывается эквивалентным знамени
тому второму закону Кеплера.
вектору, и закон сохранения момента moob =вектору, и закон сохранения момента moob =центру, фис. у; с минимальным расстоянием п, на которое она приблизится к центру в процессе движения. (Прицельным параметром называют расстояние от центра поля до линии движения частицы в отсутствие взаимодействия.) В тот момент, когда расстояние до центра минимально, скорость частицы направлена перпендикулярно радиусу- импульса имеет вид= muiTi^центру, фис. у; с минимальным расстоянием п, на которое она приблизится к центру в процессе движения. (Прицельным параметром называют расстояние от центра поля до линии движения частицы в отсутствие взаимодействия.) В тот момент, когда расстояние до центра минимально, скорость частицы направлена перпендикулярно радиусу- импульса имеет вид= muiTi^Пример 3. Прицельный параметр. Сохранение момента импульса в центральном поле позволяет связать прицельный параметр b частицы, приближающейся издалека к силовому
вектору, и закон сохранения момента moob =
вектору, и закон сохранения момента moob =
центру, фис. у; с минимальным расстоянием п, на которое она приблизится к центру в процессе движения. (Прицельным параметром называют расстояние от центра поля до линии движения частицы в отсутствие взаимодействия.) В тот момент, когда расстояние до центра минимально, скорость частицы направлена перпендикулярно радиусу- импульса имеет вид
= muiTi^
центру, фис. у; с минимальным расстоянием п, на которое она приблизится к центру в процессе движения. (Прицельным параметром называют расстояние от центра поля до линии движения частицы в отсутствие взаимодействия.) В тот момент, когда расстояние до центра минимально, скорость частицы направлена перпендикулярно радиусу- импульса имеет вид
= muiTi^
где го — начальная скорость частицы, г?1 — ее скорость в момент максимального приближения к центру. Отсюда можно выразить г?1 и подставить в закон сохранения энергии -ти^ = -ти^ + En(ri).
Пример 3. Угол рассеяния. Большое значение для астрофизики и атомной физики имеет задача о рассеянии частицы на кулоновском (или гравитационном) центре. Рассмотрим частицу массой т, налетающую на силовой (отталкивательный) центр ЕТ = А/г2 с начальной кинетической энергией Ек = тио/2 и прицельным параметром 6, и найдем угол рассеяния 6.
Решение. Из соображений симметрии ясно, что изменение импульса за все время пролета направлено вдоль оси % (см. рис. 10 ) и равно
|Лр| = Арг = 2mvQ sin(0/2).
За время dt изменение импульса (в проекции на ось г) равно
A dpmA
dpz = г zdt = г cos pdt =— cos ф = cos фdф,
Vp/rТ L Т Т
где Up = r(dp / dt} — азимутальная (перпендикулярная к радиусу-вектору)
компонента скорости (см. рис. 11), через которую выражается момент импульса частицы: L = mv^r. Интегрируя по ф от — (тг — 0)/2 до (тг — 0)/2, получим. 2mA , „Ар г = ^ cos(0/2).компонента скорости (см. рис. 11), через которую выражается момент импульса частицы: L = mv^r. Интегрируя по ф от — (тг — 0)/2 до (тг — 0)/2, получим. 2mA , „Ар г = ^ cos(0/2).Приравнивая два выражения для Арг и учитывая, что L = muob, получаемО А
компонента скорости (см. рис. 11), через которую выражается момент импульса частицы: L = mv^r. Интегрируя по ф от — (тг — 0)/2 до (тг — 0)/2, получим
. 2mA , „
Ар г = ^ cos(0/2).
компонента скорости (см. рис. 11), через которую выражается момент импульса частицы: L = mv^r. Интегрируя по ф от — (тг — 0)/2 до (тг — 0)/2, получим
. 2mA , „
Ар г = ^ cos(0/2).
tg 2 “ 2ЕКЬ"
Эта формула будет нами использована при обсуждении опытов Резерфорда.
ОфОфООРис. 11Рис. 11L22шт2L22шт2Е^ = ЕП^Е^ = ЕП^I?*Zmr2I?*Zmr2(24)(24)► Эффективная потенциальная энергия. Применение законов сохранения энергии и момента импульса позволяет установить, как зависит от времени расстояние до центра г, точнее, свести эту задачу к одномерному движению. Для этого надо разложить скорость частицы на две компоненты (рис. 11): радиальную rr = dr/dt и перпендикулярную к ней азимутальную v^. Момент импульса выражается через азимутальную скорость: L = mrv^. Следовательно, механическую энергию точки можно представить в виде:
Оф
Оф
О
О
Рис. 11
Рис. 11
L22шт2
L22шт2
Е^ = ЕП^
Е^ = ЕП^
I?
*Zmr2
I?
*Zmr2
(24)
(24)
Вид эффективной потенциальной кривой определяется значением L, которое можно вычислить из начальных условий.
На рис. 12 качественно изображена зависимость эффективной потенциальной энергии Е^ от расстояния г для разных значений L
(Lo = 0, Li < L2 < L3) в случае Еп = —b/г. Видно, что при любом L условие финитности движения остается одним и тем же: Е < 0.
' ► Момент импульса системы материальных точек. Моментом импульса системы относительно точки О называется сумма моментов импульса материальных точек, составляющих эту систему. Момент импульса системы равен
(25)(25)Ь — Гц х р -|- LOTH,
(25)
(25)
где LOTH — момент импульса в системе центра масс. Одно из следствий этого равенства: если импульс системы равен нулю, то L не зависит от выбора точки О. Суммируя уравнение (23) по всем точкам системы и учитывая, что суммарный момент внутренних сил равен нулю, получим
5 = (26)
т. е. производная по времени от момента импульса системы равна суммарному моменту внешних сил.
► Закон сохранения момента импульса. Из уравнения (26) следует, что момент импульса замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом, отражающим изотропность пространства, т. е. равноправие всех его направлений. Как и в случае законов сохранения импульса и энергии, действие закона сохранения момента импульса выходит за пределы ньютоновской механики, в рамках которой он был выведен.
Момент импульса незамкнутой системы сохраняется в следующих случаях:
Если суммарный момент внешних сил Ме равен нулю. (Пример: система взаимодействующих частиц в центральном внешнем поле.)
Если момент импульса внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то момент импульса относительно этой оси сохраняется.
Пример 4. Если грузик на конце невесомой нити движется по горизонтальной окружности, то момент импульса относительно любой точки на оси вращения (кроме центра окружности) не сохраняется, а момент импульса
1-7]1-7]Задача двух тел. Приведенная масса
1-7]
1-7]
относительно оси вращения сохраняется, так как моменты сил тяжести и натяжения нити относительно этой оси равны нулю.
Если внешние силы ограничены, то изменением момента импульса ЛЬ = МеЛ£ за время удара At можно пренебречь.
Задача двух тел. Приведенная масса
► Приведенная масса. Рассмотрим замкнутую систему двух взаимодействующих между собой частиц. Решить задачу об их движении (задачу двух тел) — значит определить положение точек во все моменты времени исходя из заданных начальных условий. Положение точек выражается через положение центра масс гц(£) (см. (8)) и их относительное расположение Г12 = ri — Г2:
Ш2Г12Ш2Г12mi + m2 ’mi + m2 ’Г 2 = ГцГ 2 = ГцШ1Г12Ш1Г12mi + m2mi + m2
Ш2Г12
Ш2Г12
mi + m2 ’
mi + m2 ’
Г 2 = Гц
Г 2 = Гц
Ш1Г12
Ш1Г12
mi + m2
mi + m2
Движение центра масс является равномерным, а его начальные положение и скорость определяются из начальных условий (см. уравнения (8), (9)). Получаем, что решение задачи двух тел сводится к определению Г12.
Из условия однородности и изотропности пространства и однородности времени следует, что частицы должны взаимодействовать центральными силами, т. е. F12 = — F21 = F, где F параллельна Г12, а ее модуль F зависит только от |ri2|. Запишем уравнения движения каждой точки:
Разделим первое уравнение на mi, второе на m2, а затем вычтем второе уравнение из первого. В результате получим:
где приведенная масса р определяется равенством
Видно, что поведение вектора Г12 определяется решением задачи о движении частицы массой р в центральном поле.
Отметим еще некоторые полезные свойства приведенной массы. Импульсы частиц pi, р2 в системе центра масс (СЦМ) равны по модулю (полный импульс равен нулю, р>2 = — pi, |pi| = |рз| = р) и выражаются через их относительную скорость (не зависящую от системы отсчета):
Г Pi _ Р2 А = |р| (mi m2 / у
Кинетическая энергия системы в СЦМ также выражается через их относительную скорость ~2~2~22
g = _Рh Р = Р_ =2mi2ш22д2
Эта формула уже возникала раньше — при разборе неупругого удара (раздел 1.5, пример 5).
Поле тяготения
► Закон всемирного тяготения. Две точечные массы mi, m2, находящиеся на расстоянии г друг от друга, притягиваются с силой тяготения (гравитационной силой), равной
(28)(28)Ш1Ш2
(28)
(28)
F = 7—
где 7 to 6,67 • 10-11 Н • м2/кг2 — гравитационная постоянная. Сила тяготения — центральная сила, т. е. она действует вдоль линии, соединяющей частицы.
Силу, действующую на материальную точку массой т в центральном поле тяготения (гравитационном поле), создаваемым неподвижной точечной массой М можно записать в виде (см. разд. 1.3):
F = -7—2-- или Fr(r) = -7^-. (29) Г Г г
Тем самым роль «заряда» для поля тяготения играет инертная масса т. Иногда это свойство формулируют как равенство гравитационной и инертной масс. Потенциальную энергию точки в центральном поле тяготения можно найти, используя соотношение между силой и потенциальной энергией (формула (18)): -^mM/r2 = — dEu/dr, т. е. Еп = —^mMfr-V const. Константу обычно полагают равной нулю, т. е. принимают за нуль потенциальную энергию на бесконечности:
(30)(30)_ тМ
(30)
(30)
Еп = -7.
Г
► Принцип суперпозиции. Если поле тяготения создается несколькими точечными массами Mi, ..., М^^ то сила, действующая на материальную точку массой т, и ее потенциальная энергия вычисляются по формулам:
f = Efj = -Е?f = Efj = -Е?mMj г — rj(г-г,)2 |г-г,ГmMj г — rj(г-г,)2 |г-г,ГЕп = Е Enj = - Е 7Еп = Е Enj = - Е 7mMj Ir-Fjl’mMj Ir-Fjl’(31)(31)
f = Efj = -Е?
f = Efj = -Е?
mMj г — rj(г-г,)2 |г-г,Г
mMj г — rj(г-г,)2 |г-г,Г
Еп = Е Enj = - Е 7
Еп = Е Enj = - Е 7
mMj Ir-Fjl’
mMj Ir-Fjl’
(31)
(31)
где г — радиус-вектор точки массой m, гj — радиус-вектор точки массой Mj. Если источник поля представляет собой непрерывно распределенную массу, то суммирование в (31) надо заменить интегрированием.
► Напряженность и потенциал поля тяготения. Из уравнений (31) видно, что как сила, действующая на материальную точку массой т в поле тяготения, так и ее потенциальная энергия пропорциональны т. Таким образом, удельные значения силы и энергии (отношения F/m и Еп/т) не зависят от величины т, т. е. представляют собой характеристики поля. Их называют, соответственно, напряженностью и потенциалом поля тяготения:
F g = —, 6 тF g = —, 6 тф = — тф = — т
F g = —, 6 т
F g = —, 6 т
ф = — т
ф = — т
Напряженность поля имеет простой физический смысл: она представляет собой ускорение свободного падения любой точечной массы, помещенной в данную точку поля. Напряженность и потенциал поля тяготения, создаваемого точечной массой М, имеют вид:
М гМг ГгМ гМг Гг(32)(32)
М гМ
г Гг
М гМ
г Гг
(32)
(32)
Напряженность и потенциал поля, создаваемого несколькими массами, вычисляются с помощью принципа суперпозиции. Запись уравнения аналогична (31), для разнообразия запишем ответ для случая распределенной массы:
g(r) =g(r) =dV.dV.(33)(33)
g(r) =
g(r) =
dV.
dV.
(33)
(33)
Пример 1. Покажите, что напряженность поля тяготения внутри тон
кого сферического слоя равна нулю.
Решение. Для доказательства рассмотрим вклад в напряженность поля в точке А небольших участков В и С сферы, отсекаемых от нее тонким конусом с вершиной в точке А (рис. 13). Отношение площадей этих участков, а значит, и отношение их масс, равно отношению квадратов расстояний от этих участков до точки А. Следовательно, напряженности, создаваемые этими участками в точке Л, равны по величине.
Напряженность поля, создаваемого тонкой сферой массой М вне ее, оказывается равной напряженности, создаваемой точечной
массой М. помещенной в центр сферы. Доказательство этого результата требует громоздкого интегрирования (первым его проделал Ньютон). В гл. 3
это утверждение будет доказано с помощью теоремы Гаусса. Такой же ответ годится для любой сферически распределенной массы, в частности, для любой сферической планеты.
Пример 2. Пусть масса М распределена по отрезку длиной I. Вычислить напряженность и потенциал на продолжении отрезка, на расстоянии х от его центра.
Решение. Масса dm, заключенная на отрезке длиной dy, равна М dy/I. Интегрируя, получим
®+//2
М7 ж2 - (</2)2 ’М7 ж2 - (</2)2 ’®+//2, хf М dy М®+//2, хf М dy Мх + I/2х — I/2х + I/2х — I/2f М dy gW = -7
М
7 ж2 - (</2)2 ’
М
7 ж2 - (</2)2 ’
®+//2
, хf М dy М
®+//2
, хf М dy М
х + I/2
х — I/2
х + I/2
х — I/2
Видно, что симметричное, но несферическое тело нельзя заменить точечной массой, помещенной в ее центр. Этот пример является также иллюстрацией того, что напряженность и потенциал связаны соотношением gx = — dtp/dx, аналогичным соотношению (16).
► Движение в центральном поле тяготения. Законы Кеплера. Движение в центральном поле тяготения подчиняется общим законам движения в центральном поле. Однако оно обладает некоторыми особенностями, отраженными в первом и третьем законах Кеплера, сформулированных им для планет Солнечной системы.
Первый закон Кеплера утверждает, что финитное движение (Е < 0) материальной точки в центральном поле тяготения происходит по замкнутой траектории — эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр силы притяжения (Солнце).
Второй закон Кеплера фиксирует постоянство секторной скорости, т. е. скорости «заметания» площади радиусом-вектором движущейся точки. Он относится к любому центральному полю и является прямым следствием закона сохранения момента импульса (см. пример 2 из разд. 1.6).
Третий закон Кеплера утверждает, что квадраты периодов движения относятся как кубы больших полуосей эллиптических орбит: ВД =
Дополним первый закон Кеплера утверждением, что инфинитное движение в центральном поле тяготения происходит либо по параболе (Е = 0), либо по гиперболе (Е > 0). В качестве дополнения к третьему закону Кеплера приведем связь между удельной энергией движения и большой полуосью: \Е\/т = ^М/^а). Видно, что период движения однозначно определяется удельной энергией движущегося тела.
► Космические скорости. Первой космической скоростью называют скорость движения по круговой орбите вблизи поверхности планеты. Она определяется из уравнения движения спутника mg = ти^ /R и равна -ri = VgR = V7^/^? гДе М — масса планеты. (Для Земли vi to 7,9 км/с.) Вторая космическая скорость — минимальная скорость, которую надо сообщить телу на поверхности планеты, чтобы оно преодолело силу тяготения и ушло на бесконечность. Как видно из разд. 1.7, условием инфинитности движения является неравенство Е ^ 0, т. е. вторая космическая скорость находится из уравнения mv^/2 — ^тМ/ R = 0 и равна vn = aJ^M (R = y/2gR. (Для Земли vii to 11,2 км/с.)
1.9. Неинерциальные системы отсчета
► Определение сил инерции. Во многих случаях удобно решать задачу динамики непосредственно в неинерциальной системе отсчета (НСО), а не пересчитывать ответ, полученный сначала в инерциальной системе отсчета. Для этого вводят силы инерции, определенные следующим образом. Во втором законе Ньютона выделяют из ускорения точки а в виде отдельного слагаемого ее ускорение относительно НСО аотн, а все остальное переносят в другую часть равенства и называют силой инерции:
^2 Fy = ma ^2 Fy = m(aOTH + a*)
^ ^ Fy "F ( ma ) — шаотн > ^ ^ F) 1ин — ^^-отн*
Приходим к следующему определению сил инерции:
1^н = — та*,(34)
где а* определяется кинематическим соотношением
а = аотн + а*(35)
и зависит от параметров НСО и положения и скорости частицы в НСО. Разберем конкретные случаи.
► Поступательно движущиеся НСО. В этом случае а* равняется ускорению системы отсчета (см. формулу (1)), т.е. для силы инерции получим выражение
Рин = -так.
Видно, что сила инерции полностью эквивалентна силе тяжести. При решении задач их удобно объединять вместе, т. е. введение силы инерции оказывается эквивалентным замене напряженности поля тяготения (т. е. ускорения свободного падения, см. разд. 1.8): g =^ g* = g + a* =g-aK.
2 А. И. Черноуцан
Пример 1. Сосуд с жидкостью движется с постоянным горизонтальным ускорением а. Найдите угол (3 между поверхностью жидкости и горизонталью.
Решение. Перейдем в систему отсчета, связанную с сосудом, где неподвижная поверхность жидкости должна быть «горизонтальна», т. е. перпендикулярна вектору g* = g + а* = g — а. Отсюда следует, что tg /3 = а/g.
Принцип эквивалентности сил инерции и сил тяготения был положен Эйнштейном в основу общей теории относительности, которая является релятивистской теорией гравитации и объясняет возникновение гравитационных сил искривлением пространственно-временного континуума в присутствии внешних масс.
► Равномерно вращающаяся система отсчета. В этом случае кинематическое соотношение для ускорения (35) имеет вид: а = аотн + Тео х [со х г] + 2® х vOTH (см. разд. 1.2). Второй член связан с поворотом вектора переносной скорости со х г вместе с системой отсчета, направлен в сторону оси вращения и равен w2R (R — расстояние до оси), т. е. представляет собой нормальное (центростремительное) ускорение данной точки системы отсчета. Третий член (ускорение Кориолиса) связан, во-первых, с поворотом vOTH вместе с системой отсчета и, во- вторых, с изменением переносной скорости со х г за счет перемещения частицы из одной точки вращающейся НСО в другую. Соответственно сила инерции (34) представляет собой сумму двух членов, первый из которых называют центробежной силой, а второй — силой Кориолиса:
FHH — Гцб Т FKOp — mw R Т 2?nvOTH х со. (^^)
Центробежная сила инерции направлена от оси вращения (R направлен от оси вращения перпендикулярно к ней). Так как она не зависит от скорости частицы, то ее действие неотличимо от (неоднородного) поля тяготения. Например, на поверхности Земли измеряемая сила тяжести представляет собой сумму силы тяготения и центробежной силы инерции. Сила Кориолиса направлена перпендикулярно скорости. В северном полушарии для движения вдоль поверхности горизонтальная составляющая силы Кориолиса направлена вправо, что проявляется в образовании циклонов, размывании правого берега рек и др.
Пример 2. Найдите отклоняющее действие силы Кориолиса на тело, свободно падающее с высоты К на экваторе Земли.
Решение. Так как отклонение маленькое, то в первом приближении можно подставлять в силу Кориолиса (36) скорость «невозмущенного» падения v = gt. Так как вектор со перпендикулярен v, то сила Кориолиса направлена в сторону востока, равна ^тош и сообщает горизонтальное ускорение аВОСт = ‘Iwgt. Интегрируя, находим горизонтальную скорость ^boct = g^t" и горизонтальное перемещение sBOCT = -guat^. Подставив сюда время падения t = VW?, найдем конечное отклонение. Например, для h = 300 м отклонение составляет ~ 10 см.
Динамика твердого тела
► Вращение вокруг неподвижной оси. Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения % (см. разд. 1.6) равен
|LZ| = y^mjVj = w^m^ =(37)
где Rj — расстояние от точки т^ до оси вращения, и мы использовали соотношение щ = wRj. Направление проекции совпадает с направлением со, т. е. определяется по правилу буравчика. Величина
= 52 т, Д2 = j Д2 dm(38)
называется моментом инерции твердого тела относительно оси %. Продифференцировав (37) по времени и учтя, что dLz/dt = MZ1 где Mz — момент внешних сил относительно оси вращения (уравнение (26)), получим
М2 = 1^(39)
где е = dw/dt — угловое ускорение. Это уравнение называют основным -уравнением динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Вычислим еще кинетическую энергию вращающегося твердого тела:
211
Ек = £ № = = 1 (40)
и работу внешней силы при повороте тела:
А = | dr • F = |(®c/t х г) • F = |(®c/t) • (г х F) = |(М • с/ф),
где dtp = adt.
Пример 1. К концу нити, намотанной на блок с моментом инерции / и радиусом R, привязали тело массой т и отпустили. Найдите ускорение тела.
Решение. Запишем второй закон Ньютона для тела: mg — Т = та и уравнение (39) для блока: ТR = Is. Учтем также кинематическое соотношение а = sR (нить по блоку не проскальзывает). Решая эти уравнения, получим а = g ДД + I (mR?\
► Свойства момента инерции. Момент инерции (38) — скалярная аддитивная величина, характеризующая распределение массы тела по отношению к оси. Из уравнений (39), (40) видно, что момент инерции
является мерой инертности твердого тела по отношению к вращательному движению, т. е. играет ту же роль, что масса для поступательного движения.
Пример 2. Вычислите момент инерции однородного диска массой т и радиусом R относительно оси симметрии.
Решение. Разбив диск на тонкие круговые полоски и интегрируя, получим R
Т f 2 . Г 2/ т \mR2
= г ат = г у \2кгаг = .
JJ VirR2/2
о
Такой же ответ верен и для сплошного однородного цилиндра.
Теорема Штейнера связывает момент инерции / относительно произвольной оси с моментом инерции /о относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс твердого тела:
/ = /0 + та2,(41)
где т — масса тела, а — расстояние между осями. Например, момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его край, равен -mR2. Минимальный момент инерции среди всех параллельных осей получается для оси, проходящей через центр масс.
Теорема о взаимно перпендикулярных осях: момент инерции плоского тела относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и у, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью %:
I ~ IX 1у •
Например, момент инерции тонкого диска относительно оси симметрии, лежащей в его плоскости, равен 1Х = /^ = -Iz = -mR2.
Приведем моменты инерции некоторых тел различной формы.
Тонкий обруч (относительно оси симметрии): / = mR2. Такой же момент инерции имеет тонкостенный цилиндр (без торцов).
Тонкий стержень длиной I (относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через его середину): / = -^ml2. Такой же момент инерции имеет плоский прямоугольник относительно оси, проходящей через середины противоположных сторон длиной I. Относительно края стержня момент инерции равен / = -ml2.
Плоский прямоугольник относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр: / = -^т(а2 + Ь2). Такой же момент инерции имеет прямоугольный параллелепипед относительно оси, проходящей через середины противоположных граней.
2
Тонкая сфера относительно оси симметрии: / = -mR2.
2
Однородный шар относительно оси симметрии: / = -mR2.
Цилиндрический слой с внутренним радиусом Ri и внешним R^*.
I = |m(7?2 +
► Плоское движение твердого тела. Плоское движение есть су
перпозиция поступательного движения центра масс и вращательного движения в системе центра масс (см. разд. 1.2). Движение центра масс описывается вторым законом Ньютона и определяется результирующей внешней силой (уравнение (11)). Вращательное движение в системе центра масс подчиняется уравнению (39), в котором надо
учитывать только реальные внешние силы, так как момент сил инерции относительно центра масс равен нулю (аналогично моменту сил тяжести, пример 1 из разд. 1.6). Кинетическая энергия плоского движения равна Ек = ^mv2 + |^о^2 (см. уравнение (14)). Момент импульса относительно неподвижной оси, перпендикулярной плоскости движения, вычисляется по формуле (см. уравнение (25)): Lz = ±т-гцс/ ± Iqw, где d — плечо скорости центра масс относительно оси, а знаки определя
ются выбором положительного направления вращения.
Пример 3. Найдите ускорение круглого тела, которое скатывается без
стержня длиной I и массой М,стержня длиной I и массой М,проскальзывания по наклонной плоскости (рис. 14).
стержня длиной I и массой М,
стержня длиной I и массой М,
Решение. Уравнения движения имеют вид: mg sin а — FTp = та, FTpR = Is. Условие отсутствия проскальзывания (и = wR) приводит к уравнению а = sR (см. пример 1 из разд. 1.2). Решая уравнения, находим ускорение: а = gsino/(l + I(mR2\ Так как сила трения покоя работы не совершает, то механическая энергия сохраняется.
Пример 4. При упругом ударе шарика массой т о край неподвижного
расположенного перпендикулярно его скорости, конечные скорости шарика и, центра стержня V и угловую скорость его вращения ш определяют из трех уравнений:
закона сохранения импульса: mu = mu + MV,
закона сохранения энергии: шг/2 = mu2/2 + MV2/2 + (MZ2/12)cj2/2,
закона сохранения момента импульса (например, относительно точки удара): 0 = MV\4^ — (MZ2/12)lj.
► Движение с неподвижной точкой. Угловая скорость вращения, направленная вдоль оси вращения, меняет свое направление как в пространстве, так и по отношению к самому твердому телу. Уравнение
движениядвижения
движения
движения
^ = ме,
at
которое называют основным 'уравнением движения твердого тела с неподвижной точкой, позволяет узнать, как изменяется момент импульса L. Так как вектор L в общем случае не параллелен вектору со, то для замыкания уравнений движения надо научиться связывать эти
величины друг с другом.
Пример 5. При вращении наклонной гантельки вокруг вертикальной оси (рис. 15) момент импульса L = ri х pi + Г2 х р2 направлен перпендикулярно гантельке, он направлен под углом к оси вращения и сам вращается с угловой скоростью со.
Проблему связи между Гит решает теорема о главных осях инерции, утверждающая, что для любой точки тела существуют три
взаимно перпендикулярные оси, при вращении относительно которых вектор L параллелен оси вращения: L2 L^ = 1^ (г = 1,2,3). Моменты инерции \а относительно этих осей называют главными 'т2 моментами инерции. Если вращение происходит вокруг произвольной оси вращения, то, разложив угловую скорость по главным ОСЯМ CD = ®1 +®2+®з, мы сможем вычислить момент импульса: х
L = /i®i + /2(02 + /з®з-(42)
(Аналогично, разложив вектор L, мы найдем вектор со.) Если главные оси проведены через центр масс (центр инерции) тела, то
их называют свободными осями. При вращении вокруг любой из свободных осей сохраняются как импульс, так и момент импульса тела, т. е. для поддержания вращения к телу не надо прикладывать ни внешнюю силу, ни внешний момент сил. (В примере 5 результирующая сила равна нулю, но в точках крепления оси возникает пара сил, момент которых обеспечивает изменение L со временем.) При свободном вращении устойчивым оказывается только вращение относительно двух свободных осей — с минимальным и максимальным главными момен
тами инерции.
Пример 6. В каком случае выбор свободных осей является однозначным?
Решение. В том случае, когда все три главные моменты инерции различны. Если же два главных момента из трех равны (/i = /2), то любая ось, лежащая в плоскости, проходящей через эти оси, также будет свободной: L = /coi + /со2 = /со. Если же равны все три главные моменты инерции (как, например, у однородного куба), то свободной будет любая ось, проходящая через центр масс.
Пример 7. Известны три главные моменты инерции. Выразите момент инерции относительно оси, составляющей углы 71, 72 и 73 с главными осями.
Решение. Выразим двумя способами кинетическую энергию вращения с угловой скоростью ш относительно указанной оси. С одной стороны, она равна
Е = ,
2 ’ а с другой стороны —
Е __ (Ьш) _ /102^/2^2 | ^2^2
“ 2 “ 2 “ 222 ’
где Ьш = Iw — проекция L на со. Поскольку шДш = cos 7г, получаем
/ = /1 cos2 71 + /2 cos2 72 + /3 cos2 73.
Пример 8. Свободный симметричный волчок. Нутация земной оси. Выясним, как меняется положение оси вращения относительно твердого тела (в системе отсчета, связанной с этим телом). Ограничимся случаем свободного симметричного волчка, т. е. свободно вращающегося твердого тела, у которого Л = /2 = /±, /з = 1\\ / ^±- (Таким волчком является, в частности, Земля.) Для симметричного волчка вектор L = /цсоц + /±со± лежит в одной плоскости с осью симметрии 3 и с вектором со = соц + со±. В инерциальной системе отсчета вектор L сохраняется, из чего следует, что в системе отсчета, связанной с самим вращающимся телом, вектор L совершает в данный момент вращение с угловой скоростью со, т. е. подчиняется уравнению:
dL т
-— = со х L.
dt
Это уравнение называется уравнением Эйлера (обычно записывают систему трех уравнений, получающихся при проектировании этого уравнения на оси 1,2,3 с учетом соотношения (42)). Сложность этого уравнения заключается в том, что сам вектор со не постоянен, но связан с вектором L линейным соотношением (42). Для симметричного волчка сох L перпендикулярно плоскости со, L, следовательно, dL\\/dt = /ц(/соц/ dt = 0 (сиц = const). Для со± получаем уравнение:
1г—^- = (соц + со±) х (/цсоц + /±со±) = (/± — /ц) соц х со± или
(/(0
— = Q х со. dt
где S2 = j—соц. Это уравнение показывает, что в системе отсчета, связанной с волчком, ось вращения совершает круговое движение вокруг оси симметрии 3 с угловой скоростью Q. В случае земного шара относительное отличие между моментами инерции мало, и наблюдается медленное (с периодом в десятки суток) движение оси вращения Земли ^нутацил земной оси).
► Гироскопы. Гироскопом называют твердое тело, быстро вращающееся относительно своей оси симметрии. Задачу о движении оси гироскопа можно решать в гироскопическом приближении: L = I®, оба
вектора направлены вдоль оси симметрии. Уравновешенный гироскоп (закрепленный в центре масс) обладает свойством безынерционности:
его ось перестает двигаться, как
только исчезает внешнее воздействие (М обращается в нуль). Это позволяет использовать гироскоп для сохранения ориентации в пространстве. На тяэюелый гироскоп (рис. 16), у которого центр масс смещен на расстояние d от точки закрепления, действует момент силы тяжести, направленный перпендикулярно L. Так как dL/dt ± L, то L и ось гироскопа совершают регулярное вращение вокруг вертикальной
оси (прецессия гироскопа). Конец вектора L вращается по горизонталь
ной окружности радиусом L sin а с угловой скоростью
^ _ \dL/dt\ _ mgdsina _ mgd
L sin a Iw sin a Iw '
Угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона оси а.
1.11. Специальная теория относительности
Специальная теория относительности Эйнштейна (СТО) расширяет границы классической ньютоновской физики, действующей в области нерелятивистских скоростей, малых по сравнению со скоростью света с, на любые, в том числе релятивистские, т. е. сравнимые с с, скорости. Все результаты релятивистской теории при и ( с —> 0 переходят в результаты классической нерелятивистской физики (принцип соответствия).
► Постулаты СТО. Специальная теория относительности опирается на два постулата:
Первый постулат (принцип относительности Эйнштейна): все физические законы — как механические, так и электромагнитные — имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета (ИСО). Иными словами, никакими опытами нельзя выделить какую-то одну систему отсчета и назвать именно ее покоящейся. Этот постулат является расширением принципа относительности Галилея (см. разд. 1.3) на электромагнитные процессы.
Второй постулат Эйнштейна: скорость света в вакууме одинакова для всех ИСО и равна с « 3-108 м/с. Этот постулат содержит сразу два утверждения:
скорость света не зависит от скорости источника,
скорость света не зависит от того, в какой ИСО находится наблюдатель с приборами, т. е. не зависит от скорости приемника.
Постоянство скорости света и независимость ее от движения источника следуют из уравнений электромагнитного поля Максвелла. Казалось очевидным, что такое утверждение может быть верным только в одной системе отсчета. С точки зрения классических представлений о пространстве — времени, любой другой наблюдатель, двигаясь со скоростью и, должен для встречного луча получить скорость с + и, а для испущенного вперед луча — скорость с — и. Такой результат означал бы, что уравнения Максвелла выполняются только в одной ИСО, заполненной неподвижным «эфиром», относительно которого и распространяются световые волны. Однако попытка обнаружить изменение скорости света, связанное с движением Земли относительно эфира, дала отрицательный результат (опыт Майкельсона — Морли). Эйнштейн предположил, что уравнения Максвелла, как и все законы физики, имеют один и тот же вид во всех ИСО, т. е. что скорость света в любой ИСО равна с (второй постулат). Это предположение привело к пересмотру основных представлений о пространстве — времени.
► Преобразования Лоренца. Преобразования Лоренца связывают между собой координаты и время события, измеренные в двух ИСО, одна из которых (К') движется относительно другой (К) с постоянной скоростью V. При таком же выборе осей координат и отсчета времени, как в преобразованиях Галилея (формула (7)), преобразования Лоренца имеют вид:
_ х — Vt- Vi - ^7 с2 ’_ х — Vt- Vi - ^7 с2 ’у' = У, z'= z, t'у' = У, z'= z, t't — (V / с2)ж Д - V7c2"t — (V / с2)ж Д - V7c2"(43)(43)
_ х — Vt
- Vi - ^7 с2 ’
_ х — Vt
- Vi - ^7 с2 ’
у' = У, z'= z, t'
у' = У, z'= z, t'
t — (V / с2)ж Д - V7c2"
t — (V / с2)ж Д - V7c2"
(43)
(43)
Часто удобно пользоваться преобразованиями для разности координат и времен двух событий:
Ах' = 7(Лж — VAt), At' = 7 \_At — (V / с2)Ах"\.
(44)
Ay* = Ay, Az' = Az,
где для краткости введено обозначение
_17 “ V1 - V7c2 ’_17 “ V1 - V7c2 ’7^1.7^1.(45)(45)
_1
7 “ V1 - V7c2 ’
_1
7 “ V1 - V7c2 ’
7^1.
7^1.
(45)
(45)
Преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея при V <С с. Они выводятся из второго постулата СТО и из требования линейности преобразований, выражающего условие однородности пространства. Обратные преобразования из К' в К можно получить из (43), (44) заменой V на —V:
Ах = ^(Ах* + VAt'), At = 7 \At* + (V / с2)Ах'"\.
Ay = Ay',Az = Az’,
► Сокращение длины. Длина движущегося отрезка определяется как расстояние между точками, где концы отрезка находились одновременно (т. е. At = 0). Рассмотрим твердое тело, которое движется поступательно со скоростью и, и свяжем с ним систему отсчета К’. Из уравнения (44) (в котором надо положить V = v, At = 0) получим, что продольные размеры движущегося тела сокращаются:
I = loh = loV^-^/c2, (47)
где /о — собственный продольный размер, т. е. измеренный в системе отсчета К' в которой тело неподвижно. Поперечные размеры движущегося тела не изменяются.
Пример 1. Квадрат, движущийся со скоростью и = 0,8с вдоль одной из своих сторон, превращается в прямоугольник с углом между диагоналями, равным arcctg уЧ — с2 = arcctg 0,6 ~ 59°.
► Относительность хода времени. Из преобразований Лоренца видно, что время протекает по-разному в разных ИСО. В частности, события, происходящие в системе К одновременно (At = 0), но в разных точках пространства, в К’ могут быть не одновременными: At* = — ^VАх/с2 может быть как положительным, так и отрицательным (относительность одновременности). Часы, движущиеся вместе с системой отсчета (т. е. неподвижные относительно К* или Ах* = 0), показывают собственное время этой ИСО. С точки зрения наблюдателя в системе К, эти часы отстают от его собственных (замедление хода времени). Рассматривая два отсчета движущихся часов как два события, из (46) получим:
At = ^Ат = (48)
где Ат = At1 — собственное время движущихся часов (точнее, связанной с ними ИСО). Равноправие всех ИСО проявляется в том, что с точки зрения наблюдателя К’ часы, неподвижные относительно К будут отставать от его собственных. (Заметим, что для контроля за движущимися часами неподвижный наблюдатель в разные моменты времени использует разные часы.) Парадокс близнецов заключается в том, что СТО предсказывает различие в возрасте двух близнецов, один из которых оставался на Земле, а другой путешествовал в глубоком космосе (космонавт будет моложе); казалось бы, это нарушает равноправие их систем отсчета. На самом деле, только земной близнец все время находился в одной ИСО, космонавт же поменял ИСО для возвращения на Землю (его же собственная система отсчета неинерци- альна).
Пример 2. Среднее собственное время жизни нестабильного мюона т = 2,2 • 10-6 с, т. е. ст 660 м (с — скорость света). Благодаря эффекту замедления времени, с точки зрения земного наблюдателя космический
мюон, летящий со скоростью и, близкой к скорости света (7 ^ 1), живет в среднем 7т, пролетает от места рождения в верхних слоях атмосферы расстояние порядка с^т, что позволяет регистрировать его на поверхности Земли.
► Сложение скоростей в СТО. Если частица движется со скоростью v' относительно ИСО К*, то ее скорость относительно К можно найти, выразив dx, dy, dz, dt из (46) и подставив в vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt:
_ v'x + y _ ^^-yy^ _ ^у-уу^
z 1 + v^V/c2 ’ y 1 + u^.V/c2 ’ ' 1 + u^.V/c2
При vx, V <Cc происходит переход к нерелятивистскому закону сложения скоростей (формула (1)). Важное свойство формулы (49) состоит в том, что если У и и' меньше с, то и и будет меньше с. Например, если мы разгоним частицу до V = 0,9с, а затем, перейдя в ее систему отсчета, снова разгоним ее до С = 0,9с, то результирующая скорость окажется не 1,8с, а (1,8с)/1,81 < с. Видно, что превзойти скорость света не удается. Скорость света является максимально возможной скоростью передачи взаимодействий в природе.
► Интервал. Причинность. Преобразования Лоренца не сохраняют ни величину интервала времени, ни длину пространственного отрезка. Однако можно показать, что при преобразованиях Лоренца сохраняется величина
з^2 = (czAt)2 - (Лж)2 - ^АуУ - (Az)2 = (cAty - (Лг)2, (50) где S12 называется интервалом между событиями 1 и 2 (At = t^ — ti, Ar = г2 — ri). Если s^ > 0, то интервал между событиями называют времениподобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой Аг = 0, т. е. события происходят в одном месте, но в разное время. Такие события могут быть причинно связанными. Если, наоборот, s^2 < 0, то интервал между событиями называют пространственноподобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой At = 0, т. е. события происходят одновременно в разных точках пространства. Между такими событиями не может существовать причинной связи. Условие с|Л£| < |Лг| означает, что луч света, испущенный в момент более раннего события (например, ti) из точки ri, не успевает достигнуть точки г2 к моменту времени t^. События, отделенные от события 1 времениподобным интервалом, представляют по отношению к нему или абсолютное прошлое (t^ — ty < 0), или абсолютное будущее (t^ — ty > 0); порядок следования этих событий одинаковый во всех ИСО. Порядок следования событий, отделенных пространственноподобным интервалом, может быть разным в разных ИСО.
Ат — (У/с)Аж(51)Ат — (У/с)Аж(51)► Лоренцевы 4-векторы. Четверка величин (Аж, А^ А^ Ат) = (А, Ат\ которые при переходе из системы К в систему К' преобразуются так же, как (ж, у, z, ct), т. е. (см. (43)):
Ат — (У/с)Аж
(51)
Ат — (У/с)Аж
(51)
Аж (У/с)Ат а * — А А * — А
называется лоренцевым четырехмерным вектором (или, коротко, лоренцевым 4-вектором). Величины Аж, А^, Аг называются пространственными компонентами 4-вектора, АТ — его временной компонен
той. Сумма двух 4-векторов и произведение 4-вектора на число — тоже 4-векторы. При изменении ИСО сохраняется величина, аналогичная интервалу: А2 = А2 — (А)2, а также скалярное произведение (АТВТ - А • В). Физическое равенство, записанное в виде равенства двух 4-векторов, остается верным во всех ИСО.
► Импульс и энергия в СТО. Компоненты скорости преобразуются не так, как компоненты 4-вектора (сравните уравнения (49) и (51)), потому что в выражении v = dr/dt преобразуются как числитель, так и знаменатель. Следовательно, величина ^TnjVj^ соответствующая классическому определению импульса, не может сохраняться во всех ИСО. Релятивистский 4-вектор импульса определяют как
drm drd(ct)me
p = m — = .= —, pT == .= ,
drdtdr
где dx = dt 71 — y2/c2 — бесконечно малое изменение собственного времени частицы (см. (48)), т. е. измеренное в ИСО, скорость которой равна скорости частицы в данный момент (dx не зависит от того, из какой ИСО мы наблюдаем за частицей.) Пространственные компоненты 4-вектора образуют релятивистский импульс
mv
Р = /= ,
71 — Ь2/ с2
а временная компонента рТ оказывается равной Е/с, где Е — релятивистская энергия частицы:
Е =Е =2тс71 — ^2/ с212тс71 — ^2/ с21(53)(53)
Е =
Е =
2тс
71 — ^2/ с21
2тс
71 — ^2/ с21
(53)
(53)
поэтому 4-вектор (р, Е/с) называют 4~вектоРом энергии — импульса. Отметим, что релятивистские энергия и импульс связаны простым соотношением:
Ev
Р = ~с
В соответствии с (51), энергия и импульс при переходе в другую ИСО преобразуются по закону
, _ рж - У Е / с2/ _/г/ _ Е - Урх , .
Рж "Ру ”Ру’ Pz ~р^ Е - VT^W (
Релятивистская энергия частицы не равна нулю при и = 0, т. е. она состоит из энергии покоя тс2 и кинетической энергии:
2
Е = Гл5=4 = тс +Е^(56)
причем релятивистская кинетическая энергия при и ( с <С 1 переходит в классическую кинетическую энергию Ек = ти2/?.. Так как величина (Е / с)2 — р2 сохраняется, ее можно вычислить в системе отсчета, где частица в данный момент покоится:
Е2 22 22 22 4
——р =т с или Е — р с = т с .(57)
с
Для частиц с массой, равной нулю (фотоны), связь между энергией и импульсом принимает вид:
Е = рс(58)
(см. также (54)). Подставляя в (57) Е = тс2 + Ек, получим удобное соотношение между импульсом и кинетической энергией:
р2с2 = ЕК(ЕК + ‘Imc2^.
► Неупругий удар. Взаимосвязь энергии и массы. Запишем закон сохранения релятивистской энергии для неупругого удара двух тел массой т каждое, летевших навстречу друг другу с одинаковой скоростью и:
тс2 тс2 , , о, + , = Мс2.
^1 — -с2/ с2 ^1 — -с2/ с2
Видно, что масса М составной частицы больше суммы масс начальных частиц. Увеличение внутренней энергии при неупругом ударе на ДЕ привело к увеличению массы на ДЕ/с2. Этот пример иллюстрирует общее соотношение Эйнштейна между релятивистской энергией покоящегося тела и его массой:
(59)(59)Е = тс2.
(59)
(59)
Релятивистская энергия включает в себя все виды внутренней энергии.
Пример 3. Пусть энергия покоящегося тела равна Е. Найдите импульс этого тела в системе отсчета, движущейся со скоростью — v.
Решение. В соответствии с формулами релятивистского преобразования (55) импульс равен р' = ^Е* jc^v = ^/с )=. Видно, что получилась у 1 — v2/ с2
формула для релятивистского импульса с массой т = Е/ с2.
Пример 4. Ускорители на встречных пучках. Предположим, что для достижения порога какой-нибудь реакции частицы во встречных пучках надо разогнать в ускорителе до кинетической энергии атс2. До какой кинетической энергии потребовалось бы разогнать одну частицу, если бы другая частица находилась на неподвижной мишени?
Решение. В нерелятивистском случае энергия в СО центра масс равна половине энергии налетающей частицы. Именно эта энергия может пойти на реакцию, а другая половина недоступна — она остается в виде кинетической энергии системы. В релятивистском (а особенно ультрарелятивист- ском) пределе ситуация кардинально меняется. Вычислим энергию одной из частиц в СО, где другая частица покоится. Запишем условие инвариантности Е2 — р2с2 для энерги и импульса системы. В СО центра масс Е = 2amc2 + 2тс2, р = 0; в СО, где одна из частиц покоится, Е = Ei + тс2 р = pi, где Ei, pi — энергия и импульс движущейся частицы. После преобразовании, с учетом тождества — ргс = т с , для кинетической энергии налетающей частицы получим: Ei — me2 = 2тс2а(а + 1). Например, при а = 100 получим, что одну частицу надо разогнать до 20200тс2. На реакцию идет примерно 1/100 энергии частицы.
► Основной закон релятивистской динамики. Приложенная к частице сила равна, как и в классической механике, производной от импульса:
F = —dt ’
но релятивистский импульс (52) отличается от классического. Под действием приложенной силы импульс может неограниченно возрастать, но из определения (52) видно, что скорость будет меньше с. Работа силы (60)
V1 — v^/c1V1 — v^/c1Е dE2~ тсЕ dE2~ тсdEdE
V1 — v^/c1
V1 — v^/c1
Е dE
2~ тс
Е dE
2~ тс
dE
dE
равна изменению релятивистской энергии. Здесь были использованы формулы (52) и (53), а также формула р • dp = Е dE/с2 (см. (57)).
Глава 2
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКАИ ТЕРМОДИНАМИКА
Основные положения и определения
► Два подхода к изучению вещества. Термодинамический подход заключается в установлении связей и соотношений между экспериментально определяемыми (феноменологическими) параметрами (их называют термодинамическими параметрами), опираясь на несколько постулатов (начал термодинамики).
Статистический подход опирается на молекулярно-кинетические представления о строении вещества (основние положения молекулярно-кинетической теории):
Все тела состоят из огромного числа мельчайших частичек вещества—атомов и молекул.
Молекулы вещества находятся в непрерывном хаотическом движении.
Молекулы взаимодействуют между собой: на больших расстояниях притягиваются, на малых отталкиваются.
Термодинамические параметры вычисляются в рамках конкретной модели внутреннего строения вещества (т. е. модели движения и взаимодействия атомов и молекул), посредством усреднения по огромному числу состояний системы. Статистическая физика использует методы теории вероятностей и математической статистики. Классическая теория опирается на классические законы движения молекул, квантовая статистика — на законы квантовой механики.
► Количество вещества. Моль. Количество вещества в системе, т. е. число содержащихся в ней структурных единиц — атомов или молекул, измеряется в молях. Моль любого вещества содержит определенное число молекул, называемое числом Авогадро, равное числу атомов в 12 г углерода: Nx « 6,02 • 1023 моль-1. Для числа молей получим:
N ти = — = —1Ж у
где N — число молекул в системе, т = moN — масса системы (то — масса одной молекулы), у = то Ж — молярная масса вещества.
► Равновесные и неравновесные состояния. Уравнение состояния. Термодинамическая система, находящаяся при неизменных внешних условиях, приходит в равновесное состояние, в котором отсутствуют потоки любого типа (например, потоки массы и энергии). Термодинамические параметры равновесного состояния (давление р. температура Т, объем V или плотность р. молярная масса р и др.) связаны уравнением состояния. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона — Менделеева)
pV = vRT, (2)
где R to 8, 31 Дж/(моль • К) —универсальная газовая постоянная, было получено эмпирически и хорошо выполняется для разреженных газов (см. разд. 2.5). Уравнение Ван-дер-Ваальса
(У-Л^р+^) = vRT (3)
является одним из приближенных уравнений состояния реальных плотных газов (см. разд. 2.8). Процесс изменения состояния называют равновесным (квазиравновесным), если он происходит столь медленно, что каждое промежуточное состояние можно считать равновесным. Равновесные процессы являются обратимыми.
Равновесная термодинамика рассматривает равновесные состояния и процессы. Она позволяет сделать ряд выводов о характере и направлении протекания неравновесных процессов, происходящих между начальным и конечным равновесными состояниями, но не дает количественного описания этих процессов. Неравновесные системы — предмет физической кинетики и неравновесной термодинамики. Отметим, что время прихода в равновесие (время релаксации) уменьшается вместе с размерами системы, поэтому можно говорить о локальном равновесии в маленькой части неравновесной системы (например, вводить температуру, меняющуюся от точки к точке).
► Простые термодинамические системы. Однородная и изотропная термодинамическая система, химический состав которой не меняется, называется (термодинамически) простой. К простым системам относятся, в частности, однокомпонентные (чистые) газы и жидкости. Простая система обладает двумя степенями свободы, т. е. только два ее термодинамических параметра можно считать независимыми. Равновесные состояния простой системы можно изображать точками на плоскости (например, в координатах (р, V)), равновесные процес-
сы— линиями на этой плоскости. Работа, совершаемая простой системой против внешних сил, равна
v2
5 А = р dV.5 А = р dV.(4)(4)А = | p(V) dV,
5 А = р dV.
5 А = р dV.
(4)
(4)
Vi
где p(V) называется уравнением процесса. Так как работа не является функцией состояния, то бесконечно малая работа обозначена ЗА, чтобы отличить ее от бесконечно малого изменения функции (дифференциала).
Наличие связи между любыми тремя параметрами простой системы, налагаемой уравнением состояния, приводит также к связи между их производными. Выразив изменение Т через изменения р и V: /дТ\fdT\
dT = —— dV + —-dp и применив это выражение к изотермическому
\ о V / р\ др ) у
процессу (dT = 0), получим
Ж=_L
\ дТ / р \ др ) v \ д V / т
Это соотношение связывает между собой три коэффициента:
Vo V дТ / р
3 = “(^)(температурный коэффициент давления),
(изотермический модуль всестороннего сжатия).
Первое начало термодинамики
► Внутренняя энергия. Теплообмен. Температура. В отличие от механической энергии, которая может изменяться только за счет работы, внутренняя энергия может изменяться как за счет работы, так и при контакте с телами, имеющими другую температуру, т. е. в процессе теплообмена. Энергия, переданная при теплообмене (подведении тепла), называется количеством теплоты или теплотой и обозначается Q. Теплота считается положительной, если система получает энергию, и отрицательной, если отдает.
При теплообмене энергия переходит от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой. Любая температурная шкала должна удовлетворять этому свойству. Эмпирические температурные шкалы основаны на косвенных измерениях, т. е. на измерениях параметров, монотонно зависящих от температуры. Газовая шкала температур опирается на уравнение состояния идеального газа (2). Термодинамическая, или абсолютная шкала температур определяется на основе второго начала термодинамики.
С точки зрения классической молекулярно-кинетической теории, внутренняя энергия термодинамической системы равна сумме кинетической энергии движения ее молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Внутренняя энергия U = U(V, Т, . . .) — функция состояния термодинамической системы х), она является важнейшей характеристикой термодинамической системы.
Термодинамика должна определять любую величину феноменологически, вне зависимости от представлений о внутреннем устройстве вещества. Принципиальную возможность такого определения дает представление о гибкой адиабатической оболочке^ которая позволяет изменять форму системы и совершать над ней работу, но исключает ее теплообмен с внешними телами. В этом случае работа внешних сил Ле при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 не зависит от процесса перехода, а зависит только от начального и конечного состояний системы, что позволяет определить разность внутренних энергий следующим образом: Us — Ui = Де(1 2).
► Первое начало термодинамики. Общий закон сохранения энергии с учетом процесса теплообмена и внутренней энергии имеет вид:
ДЕме$ + AU = Ae + Q, т. е. изменение полной (механической+внутренней) энергии системы равно работе внешних сил и теплоте, полученной при теплообмене с внешними телами. Иногда закон сохранения энергии формулируют как невозможность создания вечного двигателя первого рода (который производил бы работу из ничего). Первым началом термодинамики называют обычно применение этого закона к термодинамической системе, механическая энергия которой не меняется. Кроме того, в термодинамике удобнее использовать работу системы против внешних сил: А = — Ае. Получаем
Q = AU^A(5),
т. е. подведенная к термодинамической системе теплота идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних сил.
► Первое начало для простой системы. Теплоемкость. Используя уравнение (4), запишем первое начало термодинамики для простой системы, получившей бесконечно малое количества теплоты:
SQ = dU^pdV.(6)
Отношение 5Q к изменению температуры dT называют теплоемкостью системы С в данном равновесном процессе (измеряется в Дж/К):
С dT = dUT р dV.(7)
г) Зависимость U = U(V, Т, . . .) называют калорическим уравнением состояния, в отличие от термического уравнения состояния р = p(V, Т).
Считая U в (7) функцией двух переменных (У, Т), запишем
dU=(^ dT+(^ dV = CvdT+(^ d^ (8) \oT/v хоУ/т\oVJt
где Су = I ^7 1 — теплоемкости при постоянном объеме (см. уравнение (7)). Получаем:
CdT = Cv dT + [р+ (^Jdr(9)
Отсюда видно, что теплоемкость для процесса У(Т) зависит от значения производной dV/dT. Так как параметры (V, Т) можно менять независимо, то эта производная, а значит, и теплоемкость в данной точке может иметь любое значение.
Энтальпия. Процесс Джоуля — Томсона. Если равновесный процесс изменения состояния происходит при постоянном давлении, то подведенная теплота
Q = AU + рДУ = Д^и + рУ) = Д1 (р = const) (10) равна разности энтальпий I = U + рУ в конечном и начальном состояниях. Энтальпия используется также для описания процесса Джоуля — Томсона — стационарного просачивания вещества сквозь пористую перегородку (дросселирования). Этот процесс применяется для получения сверхнизких температур. В процессе Джоуля — Томсона сохраняется энтальпия вещества, прошедшего сквозь перегородку: ^i "V Р1У1 = U+ рДД
Внутренняя энергия идеального газа. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Существуют экспериментальные подтверждения этому факту:
При расширении газа в пустоту внутри жесткой адиабатической оболочки равны нулю как работа газа Л, так и полученная теплота Q, а следовательно, и ДЩ было обнаружено, что в этом неравновесном процессе температура идеального газа не меняется (опыты Гей- Люссака и Джоуля).
Температура идеального газа не меняется в процессе Джоуля — Томсона.
Второе начало термодинамики позволяет доказать уравнение (9UX о
\дУ/ = ИСХО,Д’Я из теРмического уравнения состояния (2).
Процессы в идеальном газе. Из уравнений (7), (8) получим изменение внутренней энергии и первое начало термодинамики для идеального газа:
Эксперименты показывают, что в широких пределах изменения температуры Су не зависит от Т, и можно записать U = СуТ + const.
Рассмотрим конкретные процессы.
Изотермический процесс (dT = 0). В этом случае dU = 0, т. е.
5Q = pdV, Q = А= \ p(V)dV = i/RT\n(y\. (12)
Теплоемкость данного процесса можно считать равной бесконечности.
Изобарный процесс (dp = 0). Вводя теплоемкость при постоянном давлении, с учетом уравнения состояния (2) получим
Ср dT = Су dT + pdV = Су dT + vR dT.
Сокращая на dT, получим соотношения между теплоемкостями (уравнение Майера):
Ср = Су + vR, Ср = су А ,Срр = CpV + R, (13)
У
где с = С/т — удельная теплоемкость, а Ср = С/ц — молярная теплоемкость газа (измеряются в Дж/(кг • К) и Дж/(моль • К) соответственно).
Адиабатический процесс. Если равновесный процесс происходит без подвода тепла (5Q = 0), то
CvdT = -pdV =г vC„vdT = -^^dV =^
dT R dV
Интегрируя, получим уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона):
TV4"Y _ cons^ или руч = const,(14)
где безразмерный параметр 7 = Ср/Су = 1 + (R/CpV) называется показателем адиабаты. Через 7, с учетом уравнения Майера (13), можно выразить теплоемкости газа:
РрR
- 7 _ 1 ’- 7 _ 1 *
Политропный процесс. Политропным называется процесс, теплоемкость которого постоянна (С = const):
С dT = Су dT + р dV(Су - С) dT = -р dV.
Проведя такие же вычисления, как для адиабатического процесса, получим уравнение политропного процесса:
pVn = const,
, , R Ср-С
где п = 1 + 7777- = т^77 — показатель политропы.
Сру Ср Gy С
Цикл Карно. Циклом Карно называется замкнутый цикл, состоящий из двух изотерм (при температурах Ту и Т2, Ту > ТЦ и двух адиабат. Коэффициентом полезного действия замкнутого цикла называют величину
= А = Qi -Q2Qi QiQi*= А = Qi -Q2Qi QiQi*(15)(15)
= А = Qi -Q2
Qi QiQi*
= А = Qi -Q2
Qi QiQi*
(15)
(15)
Рис. 17Рис. 17
Рис. 17
Рис. 17
где А — работа за цикл, Qy — теплота, полученная от нагревателя, Q2 ~ теплота, отданная холодильнику. В замкнутом цикле AU = 0, поэтому Ql-Q2= А.
Для цикла Карно (рис. 17) из уравнения (12) имеем:
/\/ Vo \
Qy = ^/^Inf^), Q2 = z/^T2ln(^).
Из уравнения Пуассона (14) находим:
ТуУГ^ВДЛ
Отсюда следует, что V2/V1 = V3/V4. Поэтому для КПД получим:
4 =(16)
т. е. КПД цикла Карно зависит только
от отношения температур холодильника и нагревателя.
2.3. Второе начало термодинамики
► Формулировки второго начала. Приведем две наиболее известные формулировки:
Невозможен процесс, единственным результатом которого было бы совершение работы за счет теплоты, взятой у теплового резервуара при постоянной температуре (формулировка Томсона). Эта же формулировка, но выраженная другими словами, утверждает невозможность создания вечного двигателя второго рода (т. е. производящего работу за счет внутренней энергии теплового резервуара).
Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача энергии от более холодного тела к более горячему (формулировка Клаузиуса).
Формулировки Томсона и Клаузиуса эквивалентны.
Теорема Карно. Циклом Карно называют цикл, в котором рабочее тело получает теплоту только от резервуара при постоянной температуре Ti (нагревателя), а отдает — только резервуару при постоянной температуре Т2 (холодильнику). Теорема Карно утверждает, что КПД произвольного цикла Карно не может превышать КПД обратимого цикла Карно, работающего при тех же Ту и Т^. Из этого немедленно следует, что КПД обратимого цикла Карно зависит только от Ту и Т2 и не зависит от природы рабочего тела.
Покажем в общих чертах, как можно доказать теорему Карно. Предположим, что КПД обратимой машины меньше, чем необратимой. Подберем объем рабочего тела обратимой машины так, чтобы она совершала за цикл такую же работу, как необратимая. С учетом (15) неравенство для КПД приобретает вид A/Q^ < A/QXeo6, откуда следует Q°6 > Qieo6. Пустим обратимую машину в обратную сторону так, чтобы работа необратимой машины потреблялась обратимой. За цикл объединенной машины ее работа будет равна нулю, а нагреватель получит энергию Qy6 — Qieo6 > 0, целиком взятую у холодильника. Мы пришли к противоречию с формулировкой Клаузиуса.
Так как нам известен КПД одной из машин Карно — газовой (16), то теорему Карно можно записать так:
Qi — Q2 . Ту — Т2 Qy Qs п ~ (,7)
причем равенство соответствует обратимому циклу Карно.
Термодинамическая шкала температур. Теорема Карно позволяет определить шкалу температур, не зависящую от свойств конкретных тел. Отношение температур двух тел определяют, присоединив к ним обратимую машину Карно; так как отношение Qy/Qz зависит только от их температур, то его можно принять равным отношению термодинамических температур: #1/02 = Q1/Q2. Как видно из (17), отношение термодинамических температур равно отношению газовых температур (в той области, где газовая шкала определена).
Второе начало: вычисление внутренней энергии. Второе начало термодинамики позволяет вывести важное соотношение для внутренней энергии простой системы, которое не может быть получено в рамках первого начала:
(9и\ =т(^Л — т) Г1^ (av Д т\эт)у р" (18)
Покажем, как можно получить (18) из теоремы Карно. Рассмотрим (бесконечно) малый обратимый цикл Карно и изобразим его в координатах (р, V). Работа системы за цикл, равная
площади маленького параллелограмма (рис. 18), не изменится при замене адиабат вертикальными отрезками, длина которых равна (^;) ДТ. Умножив на высоту ДУ, получим § А = (^f) ^^ ДУ. Теплота, полученная на верхней изотерме, равна 5Qi = AU+pdV = f^) ДУ + рДУ, \ oV / т
5А _ ДТКС ” "т"5А _ ДТКС ” "т"ДТДТгде для приращения AU при постоянной температуре использовано (8). Из теоремы Карно и уравнения (17) имеем
5А _ ДТКС ” "т"
5А _ ДТКС ” "т"
ДТ
ДТ
откуда получим (18).
Приведем несколько примеров применения формулы (18).
Внутренняя энергия идеального газа. Подставим в (18) уравнение состояния р = — vnl . В результате получим I ^7 ) = т- е- внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема.
Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса. Выразив давление из уравнения состояния (3) и подставив в (18), приходим к формуле av2 ~
——= —Следовательно,
\дУ7т V2
2
dU = Су dT + ^ dV.
Кроме того, имеем
6Су\ av )Т6Су\ av )Таavаavаи\ 1 - Аат tU ~ атаи\ 1 - Аат tU ~ атаи\ ' av)Tаи\ ' av)Tо /2 \а / av \дТ\У То /2 \а / av \дТ\У Т= 0,= 0,
6Су\ av )Т
6Су\ av )Т
аav
аav
аи\ 1 - Аат tU ~ ат
аи\ 1 - Аат tU ~ ат
аи\ ' av)T
аи\ ' av)T
о /2 \
а / av \дТ\У Т
о /2 \
а / av \дТ\У Т
= 0,
= 0,
т. е. Су не зависит от объема. В области температур, где Су слабо зависит от Т, можно записать
(19)(19)2и = СуТ-^.
(19)
(19)
Общая формула для Ср — Су. Подставляя (18) в уравнение (9) и фиксируя давление (р = const), получим:
Ср Су — 1 I I \ /уСр Су — 1 I I \ /уav\ ат // рav\ ат // р\8У)Дэт)р\8У)Дэт)р^ о^ о
Ср Су — 1 I I \ /у
Ср Су — 1 I I \ /у
av\ ат /
/ р
av\ ат /
/ р
\8У)Дэт)р
\8У)Дэт)р
^ о
^ о
(здесь использовано соотношение между производными, рассмотренное в конце разд. 2.1). Неотрицательность полученного выражения „..( др\ / гх
следует из условия механической устойчивости:J $ б.
► Неравенство Клаузиуса. Неравенство (17) является частным случаем неравенства Клаузиуса, относящегося к любому замкнутому циклу. Если в замкнутом цикле система получает теплоты Qi, ... ..., Qn от внешних резервуаров, имеющих температуры Т^, . . ., Т^, то удовлетворяется неравенство
N
Е^О или Ш^О.(20)
г=1
Для обратимого процесса неравенство превращается в равенство, а температура резервуара, с которым система в данной точке цикла обменивается теплом, равна температуре системы: Те = Т. В этом случае получим
о^ = 0.(21)
Равенство (21) служит основой для определения еще одной функции состояния — энтропии (см. разд. 2.4).
2.4. Энтропия. Свободная энергия
► Определение энтропии. Уравнение Клаузиуса для обратимого цикла (21) можно переформулировать как условие независимости интеграла
в
. т
А
от пути равновесного перехода из состояния А в состояние В. Это позволяет определить функцию состояния — энтропию, точнее, разность энтропий в двух состояниях:
в
SB-SA=^^-, ds = (^§Л .(22)
J '\ 1 / обр
А
При равновесном процессе без подвода тепла энтропия не меняется (адиабатический процесс можно называть изоэнтропным). Первое начало термодинамики (6) для равновесного процесса в простой системе приобретает вид:
(23)(23)Т dS = dU^ р dV.
(23)
(23)
► Примеры вычисления энтропии.
Процесс с постоянной теплоемкостью. Изменение энтропии при изменении температуры от Ту до Т^ равно
= С1п= С1п(24)(24)т2
= С1п
= С1п
(24)
(24)
S^-SyS^-Sy' С dT
S^-Sy
S^-Sy
Т
Тг
Энтропия идеального газа. Подставляя в (23) выражение для внутренней энергии идеального газа (11), с учетом уравнения состояния pV = i/RT получим
dS=нС^уdS=нС^уdT dVT + vR—’dT dVT + vR—’S^-S^vS^-S^vC^y InC^y In+ R In+ R In(25)(25)
dS=нС^у
dS=нС^у
dT dV
T + vR—’
dT dV
T + vR—’
S^-S^v
S^-S^v
C^y In
C^y In
+ R In
+ R In
(25)
(25)
Иногда условно записывают S = v^C ^y In T + R In V), имея в виду, что в приложениях всегда возникает разность энтропий.
Энтропия газа Ван-дер-Ваальса. Подставляя в (23) зависимость (19), с учетом уравнения состояния (3) имеем
vRdVV -vb'vRdVV -vb'~ dT av dV РdT
vRdV
V -vb'
vRdV
V -vb'
dS —г + — dV — z/C^y — +
S = v [C^y In T ^R ln(V - vb^"\.
Направление неравновесных процессов в теплоизолированной системе. Рассмотрим неравновесный процесс, переводящий систему из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2. Организуем циклический процесс, вернувшись из 2 в 1 при помощи любого равновесного процесса. Запишем для этого цикла неравенство Клаузиуса (20) и для равновесного процесса учтем определение энтропии (22). Получим:
(26)
Если неравновесный процесс происходит в адиабатической оболочке, то левая часть равенства обращается в нуль, что дает
(27)(27)S2 < Sy.
(27)
(27)
т. е. в любом процессе без подвода тепла энтропия не убывает. Равновесное состояние теплоизолированной системы соответствует максимуму энтропии.
Примеры неравновесных процессов.
Теплообмен. Рассмотрим простейший пример: теплообмен между двумя телами с одинаковой теплоемкостью С и начальными температурами Ту и Т^. Из уравнения теплового баланса следует, что в результате теплообмена оба тела достигнут одинаковой температуры Тк = ^(Ту + Т^. При этом согласно (24) изменение энтропии системы будет положительным:
Д8 = С\п(^\ +С1п(^) =С\п(ДА >0,V 1 /\ 1 2 )у 1 1 V 2 )
(аргумент логарифма больше единицы, так как среднее арифметическое больше среднего геометрического).
Расширение идеального газа в пустоту. Внутренняя энергия и, следовательно, температура идеального газа при расширении его в пустоту остаются постоянными. Изменение энтропии находим из формулы (25):
S2 - Sy = i/RXnl .(28)
у VI у
Возрастание энтропии при адиабатическом расширении в пустоту (увеличении V при постоянной U) можно доказать для любой простой системы. Если рассматривать S в (23) как функцию переменных ([/, VY
ТО получим ——= — > 0.
\ЭУJu Т
Смешение газов. Рассмотрим теплоизолированный сосуд, разделенный перегородкой на две равные части, в каждой из которых содержится по одному молю идеального газа при одинаковых температурах и давлениях. При убирании перегородки газы смешиваются; из формулы (28) следует, что энтропия системы увеличивается на 2R In 2 (энтропия смешенияу В случае различных газов начальное состояние отличается от конечного; газы можно снова разделить, совершая работу над специальными поршнями, пропускающими молекулы только одного сорта. Однако для одинаковых газов начальное и конечное состояния системы тождественны, и энтропия не должна меняться. Отсутствие непрерывного перехода от почти одинаковых к полностью тождественным молекулам называют парадоксом Гиббса.
► Статистический смысл энтропии. Формула Больцмана
S = klnQ(29)
(к — постоянная Больцмана) связывает энтропию макроскопического состояния со статистическим весом этого состояния, т. е. числом различных микроскопических состояний, которые его реализуют. Чем больше 42, тем больше вероятность состояния; при неравновесных процессах система переходит от менее вероятных к более вероятным
состояниям. Логарифм обеспечивает аддитивность энтропии: статистический вес системы, состоящей из двух независимых подсистем, равен произведению их статистических весов. (Подробнее статистический смысл энтропии обсуждается в разделе 7.1.)
Чтобы проиллюстрировать формулу (29), вычислим пространственную часть энтропии газа. Разобьем объем на маленькие ячейки объемом о. Каждая молекула может быть помещена в любую из V / v ячеек, т. е. число независимых состояний равно 12 = (V/v)N, где N — число молекул газа. Для энтропии получим S = к In Q = kN ln(V/v) = иНЦУ,и\ Квантовая статистика утверждает, что одинаковые частицы принципиально неразличимы, т. е. 12 надо разделить на число перестановок между ними ^!. В результате для пространственной части энтропии получим выражение S = kN\n(V/Nu). Нетрудно убедиться, что таким образом удается разрешить парадокс Гиббса.
► Третье начало термодинамики. Третье начало термодинамики (теорема Нернста) утверждает, что при приближении температуры к абсолютному нулю энтропия любой системы стремится к определенному конечному значению, не зависящему от значения остальных термодинамических параметров. Энтропию системы при Т = 0 принимают равной нулю. Статистическое объяснение: при Т = 0 система находится в наинизшем энергетическом состоянии, кратность которого (равная статистическому весу системы 12 при Т = 0) невелика, и в соответствии с формулой Больцмана (29) энтропия пренебрежимо мала. Следствия третьего начала: при Т —> 0 теплоемкости Су и Ср системы, а также ее температурные коэффициенты объемного расширения а и давления (3 стремятся к нулю.
► Система в термостате. Свободная энергия. Рассмотрим изменение состояния системы, находящейся в тепловом контакте с термостатом, имеющим постоянную температуру Т. Такую же температуру будет иметь сама система в начальном и конечном равновесных состояниях. Неравенство (26) после «цепочки» преобразований Q/Т ^ < S2-S1 (U2-Ui)^A < TS2-TS1 U1-TS1-(U2-TS2) > А принимает вид:
^1 - ^2 > А, (30)
где ^ = U — ТS — новая функция состояния, называемая свободной энергией. Если объем системы не меняется, то в рассматриваемом неравновесном процессе
^2 < ^1,
т. е. свободная энергия не возрастает. Другими словами, равновесное состояние системы постоянного объема, находящейся в тепловом контакте с термостатом, соответствует минимуму свободной энергии. Для равновесного процесса неравенство в этих уравнениях превращается
в равенство. Из формулы (23) следует, что
d^ = -SdT-pdV.(31)
Поэтому естественными переменными для свободной энергии являются объем и температура: Ф = Ф(У, Т).
Если система в термостате находится в механическом контакте (легкий поршень, гибкая оболочка) с внешней средой, имеющей фиксированное давление р (такое же давление будет у самой системы в равновесном состоянии), то работа против внешних сил равна А = р^У^ — Vi). Из (30) получим
^i + рУу ^ Ф2 Н- рУ^ или Фу ^ Ф21(32)
где Ф = Ф + р У = U — Т S + р У — термодинамический потенциал Гиббса (при обратимом процессе Ф = const). Равновесному состоянию для системы в термостате и гибкой оболочке соответствует минимум Ф(р,Т). Так как dФ = — SdT + У dp, то естественными переменными для термодинамического потенциала являются давление и температура: Ф = Ф(р, Т). При постоянных давлении и температуре термодинамический потенциал пропорционален количеству вещества: Ф(р, Т, т) = тф (ф — удельный термодинамический потенциал) или Ф^р, Т, N) = Nц (ц — термодинамический потенциал в расчете на одну частицу, или химический потенциал).
Канонические уравнения состояния. Естественные переменные. Хотя функции U, I, S, Ф, Ф могут рассматриваться в любых независимых переменных, для каждой из них существуют естественные переменные. Для энтропии это переменные (U, У), для энтальпии — (U, р), для свободной энергии — (V, Т), для потенциала Гиббса — (р, Т). Функция в естественных переменных называется каноническим уравнением состояния. Зная любое каноническое уравнение, можно получить как термическое, так и калориче- / ЭФ \
ское уравнения состояния. Например, — J дает выражение для р^У, Т), / ЭФ \
а выразив S(V, Т) = —1 найдем U(V, Т) = Ф + ТS.
2.5. Кинетическая теория идеального газа
► Основное уравнение кинетической теории идеального газа. С точки зрения молекулярно-кинетической теории, газ считается идеальным, если можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия его молекул (по сравнению с кинетической энергией) и размерами молекул (по сравнению со средним расстоянием между ними). Давление газа на стенку возникает в результате многочисленных упругих соударений молекул между собой и со стенками сосуда. (Удары можно считать в среднем упругими, так как газ находится со стенкой в тепловом равновесии.) Основное уравнение кинетической теории идеального
газа выражает давление через средний квадрат скорости молекул:
(33)(33)Р = ^n(pv) = jnm0(v2) = |п(еПост
(33)
(33)
где п = N(V — концентрация молекул, то — масса одной молекулы, р = mov — ее импульс, (еПост) = (|^о^2) ~ средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
Если связь энергии и импульса отличается от классической, то последнее равенство в (33) приобретает иной вид. Для газа фотонов имеем р = е/с (см. разд. 1.11). В результате получим
(34)(34)Р = |»(е).
(34)
(34)
► Число ударов о стенку. Число молекул AN, попадающих за время At на плоский участок поверхности площадью AS, равно
(35)(35)AN _ п^ASAt - "Т"
(35)
(35)
Формулы для вычислений. Формулы для переноса через площадку
числа частиц, импульса, энергии и т. д. получают разбиением молекул на
удобные группы и расчетом их вклада в вычисляемую величину. Наиболее
общий подход — разбиение на группы, имеющие почти одинаковую скорость V. Выделим группу молекул, имеющих величину скорости от и до и + du и направление в телесном угле df2.Число молекул данной группы в единице объема равно dn(u, г;Н- -Vdu-, dQ) = dn(u, v + du)dQ/4тг. Чтобы найти, сколько молекул данной группы попадает на плоский участок площадью AS за время At, надо построить на этом участке косой цилиндр (рис. 19), направляющая которого имеет длину и At и составляет
угол 6 с осью ж. Все молекулы выделенной группы, находящиеся в этом цилиндре (и только они!), попадут на площадку AS за время At. Производя последовательные интегрирования, можно вывести (35) и многие другие формулы, например, для энергии, проносимой через площадку:
(36)(36)ДЕ _ то?ф3)
(36)
(36)
ASAt ~8
► Определение температуры в кинетической теории газов.
В кинетической теории газов доказывается, что если две подсистемы (из одинаковых или разных молекул) могут обмениваться энергией, то в состоянии равновесия оказываются равными средние кинетические
энергии поступательного движения их молекул. Исходя из этого, кинетическая теория газов определяет температуру как величину, пропорциональную средней кинетической энергии поступательного движения молекулы:
Q
(впост) = ^кт,(37)
где к — постоянная Больцмана, которая выражается через универсальную газовую постоянную и число Авогадро (см. разд. 2.1): к = Н/Ж to 1,38 • 10-23 Дж/К. Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы уравнение состояния идеального газа
р = пкТ = ^кТ(38)
(оно получается из основного уравнения (33) и определения температуры (37)) совпадало с уравнением (2), в котором используется газовая шкала температур.
Средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул с учетом (33) и (37) вычисляется по формулам
где р = т^п — плотность газа.
► Внутренняя энергия идеального газа. Важной характеристикой идеального газа является число степеней свободы его молекулы г. У одноатомной молекулы есть только три степени свободы, соответствующие поступательному движению: г = гп = 3. У жесткой двухатомной молекулы, кроме поступательных, есть еще две вращательные степени свободы (полярные углы, задающие ее направление в пространстве): г = гп + гвр = 3 + 2 = 5. У жесткой многоатомной (нелинейной) молекулы — три вращательные степени свободы, поэтому г = 6. В классической статистической физике доказывается теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы*, на любую степень свободы, которой в выражении для энергии молекулы соответствует член ах2 или Дж2, приходится средняя энергия ^кТ в расчете на одну молекулу. Формула (37) находится в полном соответствии с утверждением этой теоремы. Средняя энергия одной молекулы и внутренняя энергия всего газа принимают вид:
(s) = |гфА;Т, U = N^ = ^vRT. (40) Физическое число степеней свободы гф в случае жестких молекул совпадает с математическим. Однако, когда оказываются возбужденными колебательные степени свободы (при Т ~ 103 К), то на каждую колебательную степень свободы будет приходиться (с учетом потенциальной энергии колебаний) средняя энергия кТ. В результате
получим гф = гп + гвр + 2гкол, гДе ^кол обозначает математическое число колебательных степеней свободы. Для TV-атомной молекулы гКол = 3 /V — (гп + гвр) (например, для мягкой двухатомной молекулы ^ф = 3 + 2 + 2(6 — 5) = 7).
Из (40) получим выражения для теплоемкостей идеального газа и его показателя адиабаты (см. разд. 2.2):
7 = — =(41)7 = — =(41)ХЛ ^Ф РГГ Тф + 2
7 = — =(41)
7 = — =(41)
11 у — 2рр —2’
При комнатных температурах измеряемая теплоемкость соответствует модели жестких молекул — колебательные степени свободы оказываются невозбужденными или, как говорят, «замороженными». Однако при повышении температуры до ~ 103 К теплоемкость начинает возрастать, т. е. колебательные степени свободы «размораживаются». Наоборот, при понижении температуры до нескольких десятков кельвинов происходит «вымораживание» вращательных степеней свободы, сопровождающееся соответствующим уменьшением теплоемкостей. Объяснение явлению вымораживания степеней свободы дает квантовая механика: если средняя энергия теплового движения кТ мала по сравнению с расстоянием до ближайшего дискретного уровня, то данный вид движения не возбуждается.
Смесь идеальных газов. Закон Дальтона', давление смеси (двух) идеальных газов равно сумме их парциальных давлений:
р =+ р2 = (m + n2)kT = (^х + v2)RT.
Внутренняя энергия смеси равна сумме внутренних энергий U = ^ix^RT + ^%2v2RT. Эта формула позволяет ввести:
эффективное число степеней свободы: %(и^ + ^2) = H^i + ^2^2, эффективные молярные теплоемкости: (z/i + z^C^ = нДЗ ^А-иДЗ ^ эффективную молярную массу: (^1 + n2)ia = v^piy + п2^2.
Распределение Максвелла. Распределение молекул по скоростям описывается следующими функциями:
,dn(vх, vх + dvх)dn(v, v + du)
d^ = , JWdb = ,
\ л j j dn(ux, ux + dux’, uy, uy + duy’, uz, uz + duz) T(v) d'Ox d'Uy du^ = —-——-—-
yn
Определение любой функции распределения основано на утверждении, что доля молекул, попадающих (в среднем) в очень маленький интервал данной переменной (скорости, проекции скорости, энергии), пропорциональна ширине этого интервала (du обозначает физически, а не математически, бесконечно малый интервал — он должен содержать большое число молекул.) Среднюю долю молекул, обладающих некоторым признаком (например, попадающих в заданный интервал
скоростей), можно трактовать как вероятности того, что произвольная молекула обладает данным признаком. Поэтому функцию распределения иногда называют плотностью вероятности.
Перечислим свойства функции распределения (на примере /(v)): 1) Доля частиц (вероятность) в конечном интервале (-щ, ^2):
Дп^ ^2)7 pZ Хз
пJ 7 v 7
Нормированность:
J f^W = 1-(43)
о
Вычисление среднего от любой функции скорости х^У-
(%(«)) = j•(44)
О
Между тремя функциями распределения, определенными в (42), существуют следующие связи:
/(у) = Ф(у)4тгу2, Ф(уж, Уу, У2) = ^(уж)^(Уу)<^(у2).
Функция ср является четной функцией, т. е. можно написать: ср = ^р(и2у Функция ^(v) зависит только от и2 = v2 + v2 + и2. Связь между Ф и ср удовлетворяется только функцией ^(ьх) = Лехр(—С и2 У Коэффициенты Л и ( определяются из двух условий: а) нормировки функции ср, б) требования, чтобы (и2') = |(^2) = кТ/то, см. (39). Ответ выглядит так:
/ х / mo V/2/ то^хХ
expV^rrр/ х /то( то,и2
fM = (2^) eXPV^kT )4™ "
Обычно именно последнюю формулу называют распределением
Максвелла (рис. 20). Функция /(v) достигает максимума при
Рис. 20Рис. 20скорости ив = ^^Т/то)1/2, которую называют наиболее вероятной скоростью. Значение функции /(v) в этой точке равно /(^в) = 4е-1(2тг^Т/то)-1/2. Например, при увеличении Т в 4 раза максимальная скорость станет в 2 раза больше, а соответствующее значение функции /(^в) ~
Рис. 20
Рис. 20
в 2 раза меньше; напомним, что площадь под кривой /(v) равна единице.
Средняя (или среднеарифметическая) скорость молекул вычисляется в соответствии с правилом (44):
Приведем также распределение молекул по энергиям поступательного движения:
, / х z dn(e. е + de) 2/ е \ е Л е \
^d£ == —exp^_—^ — d^—y
Интегралы для вычислений. Для вычисления средних величин с распределением Максвелла нужно уметь вычислять интегралы типа In =J^° хп ехр(—)3х2) dx. Приведем два первых результата:
/о = ^а^к Р-1^ 1 ^1 = ^-1ф Дальнейшие интегралы получим дифференцированием по В. Например, /2 = —/З-3/2.
dp 4
► Распределение Больцмана. Если газ находится во внешнем силовом поле, то концентрация молекул зависит от координат. Из условия механического равновесия газа можно получить:
п (г) = п(г0) ехрп (г) = п(г0) ехрМГ) - €п(г0)кТМГ) - €п(г0)кТ(46)(46)
п (г) = п(г0) ехр
п (г) = п(г0) ехр
МГ) - €п(г0)кТ
МГ) - €п(г0)кТ
(46)
(46)
где £п(г) — потенциальная энергия молекулы во внешнем поле (распределение Больцмана). Частным случаем распределения Больцмана является барометрическая формула:
n(h) = по ехрn(h) = по ехрmoghкТmoghкТp(h) = n(h)kT =p(h) = n(h)kT =Ро ехрРо ехрmoghкТmoghкТ
n(h) = по ехр
n(h) = по ехр
moghкТ
moghкТ
p(h) = n(h)kT =
p(h) = n(h)kT =
Ро ехр
Ро ехр
moghкТ
moghкТ
Поясним на примере барометрической формулы, как выводится распределение Больцмана. Условие равновесия в поле тяжести вертикального цилиндра с площадью основания s и высотой dh имеет вид: s dp = —p(s dh)g. rx», mdn mog
Отсюда с учетом уравнении р = пк! и р = топ получим — = — Интегрируя, приходим к барометрической формуле.
► Распределение Максвелла — Больцмана. Оба распределения — Максвелла (45) и Больцмана (46) — содержат выражение ехр(—e/кТ). Распределение Максвелла — Больцмана выражает вероятность того, что произвольная молекула из сосуда, содержащего N молекул, находится в области пространства (ж, x + dx; у, y + dy; z, z+dz) и имеет скорость в интервале (ух, UxB-dUx^ иУ) vyB-dvy; и^ vz + dvz):
dN dn(r) dr п(г)ФМa /£ \
— = ^2= ^2^dsrd3v = Лехр _ \d3rdsv (4?)
INININ\ tv J /
Здесь d3r = dx dy dz, d3v = dux dv^ dv^ e = -той2 + £n(r) — механическая энергия молекулы, A — коэффициент, который можно найти из условия нормировки. Общее распределение Максвелла — Больцмана применимо к любым видам энергии молекулы: энергии вращения, энергии колебаний, потенциальной энергии, зависящей от ориентации молекул, и т. д.
Реальные газы.
Уравнение Ван-дер-Ваальса
► Изотермы реального газа. Если температура газа меньше критической (см. ниже), то при равновесном изотермическом уменьшении его объема наблюдаются следующие процессы (рис. 21):
До точки А давление возрастает. Если температура далека от критической, то вплоть до точки А хорошо выполняется уравнение
состояния идеального газа.
Рис. 21Рис. 21изотерм ALy и L^B соответствуют метастабилъным состояниям, т. е.изотерм ALy и L^B соответствуют метастабилъным состояниям, т. е.На участке АВ давление в системе не меняется. В сосуде появляется жидкость, отделенная от газа четкой границей (поверхностью раздела). Газ, находящийся в равновесии с жидкостью, называют насыпанным паром. Отношение масс жидкости и пара в произвольной точке равно отношению горизонтальных отрезков, на которые эта точка делит отрезок АВ: т^/тн = АС/СВ. Участки
Рис. 21
Рис. 21
изотерм ALy и L^B соответствуют метастабилъным состояниям, т. е.
изотерм ALy и L^B соответствуют метастабилъным состояниям, т. е.
состояниям, в которых система может существовать некоторое время, но потом быстро переходит в устойчивое состояние на линии АВ. (Имея в виду процессы при постоянном давлении или объеме, их называют переохлажденным паром или перегретой жидкостью.) Существование метастабильных состояний объясняется тем, что образование маленьких зародышей новой фазы (жидкости в паре или пара в жидкости) невыгодно из-за поверхностной энергии (см. разд. 2.8).
После точки В давление резко возрастает. В сосуде находится только жидкость.
Чем выше температура, тем короче горизонтальный участок изотермы. Наконец, при критической температуре Тк от горизонтального участка остается только точка перегиба К (рис. 21). Давление в этой критической точке называют критическим давлением рк, а объем одного моля газа в этом состоянии — критическим объемом VK. При Т > Тк изотерма представляет собой плавную монотонную функцию.
Область выше критической изотермы называют (истинным) газом (его нельзя изотермически перевести в состояние «жидкость + пар»), а область под критической изотермой делится на три: жидкость, ненасыщенный пар и жидкость + насыщенный пар. Из области «П» в область «Ж» можно перейти плавно, обойдя область «П + Ж», т. е. газ и жидкость отличаются только количественными показателями.
► Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля идеального газа имеет вид
^-lAp + ^A =RT. (48) X /
(Уравнение (3) из разд. 1.1 для v молей получается подстановкой V^ = Vjv^ Постоянная b учитывает уменьшение свободного объема для движения молекул за счет их собственного объема; считается, что эта константа равна учетверенному объему всех молекул: b = 4Уд • ^7ГС^3- Член a/V^ учитывает уменьшение давления за счет взаимного притяжения молекул; это особенно ясно видно из выражения для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса: U = С^уТ — a/V^.
Среднее взаимодействие между молекулами описывают модельным выражением для потенциальной энергии, содержащим два члена: первый соответствует сильному отталкиванию на малых расстояниях (~ 10-10 м), второй — ван-дер-ваальсовским силам притяжения на больших расстояниях (рис. 22):
12 6 "Г Т
Минимум Еп соответствует среднему расстоянию между молекулами в отсутствие теплового движения. При кТ << Em-m движение молекул сводится к колебаниям возле дна ямы (твердое тело), случай кТ ^ Em-m соответствует жидкому состоянию, а случай кТ ^ Em-m — газообразному. Ввиду крутого наклона левой ветви кривой, соответствующей отталкиванию молекул, положение точки поворота при сближении молекул газа слабо зависит от их средней энергии (см. также разд. 1.5).
► Изотермы газа Ван-дер-Ваальса. Вычисление критиче
ских параметров. На рис. 23 изображены изотермы газа, описы
др \ "ду)тдр \ "ду)тваемого уравнением (48). На участке К\К> не выполняется условие
др \ "ду)т
др \ "ду)т
механической устойчивостимеханической устойчивости^ 0, переход между правой и ле
механической устойчивости
механической устойчивости
вой ветвями происходит по горизонтальному участку АВ. Правило
Максвелла: положение отрезка АВ определяется условием равенства заштрихованных площадей. (В противном случае изотермический цикл АКуК^ВА производил бы работу, что противоречит второму началу термодинамики.) Участки АКу и К^В соответствуют метастабильным
состояниям.
= О= ОВ критической точке выполняются сразу два условия:
= О
= О
д2
и ^^2 = 0. Выразив р из (48) и подставив в эти уравнения, найдем:
о/ 1 d гр 8 а
Vk-ЗЬ, Рк-^р, TK-^bR-
Критические параметры удовлетворяют соотношению: pKVK = -RT^. Если ввести относительные переменные и = У/УК) тг = р/рк и 6 = Т/Т^ то (48) принимает вид:
(«-^(тг + зи-2)^,
единый для всех газов. Следовательно, уравнение Ван-дер-Ваальса удовлетворяет экспериментально установленному принципу соответственних состояний^ который утверждает, что если две относительные переменные двух газов совпадают, то совпадает и третья. Этот закон хорошо выполняется для большинства газов.
Равновесие фаз. Фазовые переходы
► Условия равновесия фаз. Фазой называется часть системы, однородная по физическим и химическим свойствам. Одно и то же по химическому составу вещество может находиться в разных фазах. Примерами двухфазной системи являются: (жидкость+насыщенный пар), (твердое тело+жидкость) и (твердое тело+пар).
Условия равновесия фаз: 1) равенство давлений — механическое равновесие; 2) равенство температур — тепловое равновесие; 3) равенство химических потенциалов (или удельных потенциалов Гиббса) — равновесие по отношению к переходу вещества из одной фазы в другую. Последнее условие соответствует минимуму термодинамического потенциала Гиббса Ф = p>iNi + R2^N — М) (см. разд. 2.4) по отношению к числу частиц в одной из фаз М. Условие pi(p,T) = р^Р^Т) дает (для простой системы) уравнение для кривой сосуществования фаз р(Т); двухфазная простая система имеет только одну степень
свободы. Так, давление насыщенного пара (положение горизонтального участка изотермы, см. разд. 2.6) является однозначной функцией температуры (кривая парообразования); то же самое относится
Рис. 24Рис. 24к зависимости температуры плавления от внешнего давления (кривая плавления) и к зависимости от температуры давления пара над твердой поверхностью (кривая возгонки).
Рис. 24
Рис. 24
На рис. 24 приведены все три кривые — парообразования (I), плавления (II) и возгонки (III) — для воды. Точка пересечения этих кривых называется тройной точкой (для воды t3 = 0,01°С, Рз = 610,5 Па). Для существования трехфазной еи-
етемы должны выполняться сразу два условия: рп(р,Т) = р^р^Т) и Рж(р,Т) = ртв(р,Т), которые однозначно определяют ее давление
и температуру.
► Фазовый переход первого рода. Теплота и энтропия перехода. Чтобы в двухфазной системе перевести часть вещества массой m из одной фазы в другую, не меняя при этом давления и температуры, надо сообщить системе теплоту Q = mq, которую называют (скрытой) теплотой фазового перехода (q — удельная теплота перехода). При переходе вещества в новую фазу ее энтропия изменяется на AS = Q/Т = mq/T, а внутренняя энергия на AU = mq — трАи (и = V/т — удельный объем). Величину As = q/T называют удельной энтропией перехода, a Au = q — рАи — изменением удельной внутренней энергии при переходе. Переход вещества между фазами двухфазной системы, связанный с поглощением (выделением) теплоты перехода и сопровождающийся скачкообразным изменением внутренней энергии, энтропии, плотности (объема) и др., называется фазовым переходом первого рода. (Название связано с тем, что скачок испытывают величины, являющиеся первыми производными термодинамического (( дФ\
потенциала Гиббса: S = — () и V = ( —- ) .)
\дТ J р \др
► Уравнение Клапейрона — Клаузиуса. Если изменить температуру двухфазной системы, то ее давление изменится таким образом, что химические потенциалы (или удельные потенциалы Гиббса) фаз останутся равными: dфl = бф^^ или — si dT + v± dp = — s^ dT + ^2 dp (см. разд. 2.4). Получаем, что наклон кривой фазового равновесия равен
dp = Ла = _q_ , . dT Av TAv ' !
(уравнение Клапейрона — Клаузиуса). Например, для перехода лед — вода при атмосферном давлении температура плавления равна 273 К, q = 3,34 • 105 Дж/кг, vB — ил = —0,91 • 10-4 м3/кг, и мы получим -^ = —1,1 • 107 Па/К. Знак минус объясняется аномальным свойством воды: при плавлении (таянии) ее плотность увеличивается.
Пример 1. Если непрерывно подводить к жидкости теплоту, то в тот момент, когда ее температура достигает значения, при котором давление насыщенного пара равно внешнему давлению, наступает интенсивное парообразование во всем объеме жидкости, которое называют кипением. Уравнение (49) определяет зависимость температуры кипения от внешнего давления. Пренебрегая удельным объемом жидкости и выражая удельный объем RT
пара из уравнения состояния идеального газа: и = , получим прибли-
РР
женное уравнение ^^ = ^^ • Например, для воды (р, = 18 г/моль) при атмосферном давлении р = 105 Па температура кипения равна Т = 373 К, удельная теплота q = 2,26 • 106 Дж/кг, и мы получим -^ = 3,5 • 103 Па/К.
► Фазовый переход второго рода. При фазовом переходе второго рода (точка Кюри перехода из ферромагнитного состояния в парамагнитное, точка перехода жидкого гелия в сверхтекучее состояние и др.) плотность, внутренняя энергия, энтропия (первые производные термодинамического потенциала Гиббса) изменяются непрерывно, а различного вида производные этих термодинамических функций (восприимчивости) — теплоемкость, сжимаемость, диэлектрическая или магнитная проницаемость и т. д. — изменяются скачком или проявляют критическое поведение (стремятся к бесконечности при приближении к точке перехода). (Название «фазовый переход второго рода» связано с тем, что скачок испытывают вторые производные термодинамического потенциала Гиббса.) Фазовый переход второго рода происходит сразу во всем объеме. В результате перехода происходит качественное изменение внутреннего строения — появляется (или исчезает) дополнительная симметрия.
Поверхностное натяжение
► Коэффициент поверхностного натяжения. Молекулы в поверхностном слое жидкости обладают большей потенциальной энергией по сравнению с молекулами в объеме (меньше «соседей», энергия взаимодействия с которыми отрицательна, —см. рис. 22). При постоянной температуре дополнительная энергия пропорциональна площади поверхности М:
(50)(50)Фпов = аЛ^,
(50)
(50)
где удельную свободную энергию поверхности а называют коэффициентом поверхностного натяжения. При равновесном изотермическом изменении площади прямоугольного участка поверхности работа внешней силы равна изменению свободной энергии (30). Поэтому А = Л^пов = ст ДЕ = a Lx, где L — длина прямолинейного отрезка границы, ж — его перемещение. Отсюда следует, что на отрезок границы действует сила поверхностного натяжения, перпендикулярная к этому отрезку и направленная по касательной к поверхности жидкости:
FnOB = oL.(51)
Равновесие соответствует минимуму свободной энергии, следовательно, жидкость или жидкая пленка стремятся уменьшить свою поверхность: в невесомости жидкая капля принимает форму шара.
Термодинамика поверхностного слоя. Так как ^пов является функцией (Т, Е\ то dФ = ст dE + Е-^ dT. Отсюда с учетом (31) получим выражения для энтропии поверхностного слоя, его внутренней энергии и теплоты, поглощаемой поверхностным слоем при изотермическом увеличении площади:
S = -^S, U = » + TS=(a-T^S,5Q = TdS = -T^dS.
При увеличении температуры Т коэффициент поверхностного натяжения а уменьшается и при критической температуре обращается в нуль.
Добавочное давление под искривленной поверхностью. Из условия механического равновесия поверхностного слоя следует, что давление внутри выпуклой поверхности должно быть больше, чем снаружи. Добавочное давление Др в случае сферической поверхности найдем, увеличив (мысленно) радиус шара на dR и приравняв работу внешних сил над поверхностным слоем к изменению его свободной энергии: Др dV = a dE => Apd(-irR3) = a d(4irR2). В результате получим
ДР=^-(52)
Обобщением этой формулы является формула Лапласа:
ар = Д % + лД
где Ry, R^ — главные радиусы кривизны (радиусы кривизны в сечении поверхности взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через нормаль к поверхности в данной точке).
► Краевой угол. Смачивание. Поверхность жидкости образует с твердой поверхностью угол, который называют краевым. Величи-
Рис. 25Рис. 25ния трех сред (рис. 25) имеем ст длины). Отсюда получимния трех сред (рис. 25) имеем ст длины). Отсюда получимна краевого угла зависит от соотношения между коэффициентами поверхностного натяжения на границах жидкость — воздух (сгж_в), жидкость — твердое тело (сгж_т) и твердое тело — воздух (сгт_в). Из условия механического равновесия элемента жидкости на линии пересече- -в = ^ж-т + сгж_всо8 0 (на единицуна краевого угла зависит от соотношения между коэффициентами поверхностного натяжения на границах жидкость — воздух (сгж_в), жидкость — твердое тело (сгж_т) и твердое тело — воздух (сгт_в). Из условия механического равновесия элемента жидкости на линии пересече- -в = ^ж-т + сгж_всо8 0 (на единицу
Рис. 25
Рис. 25
ния трех сред (рис. 25) имеем ст длины). Отсюда получим
ния трех сред (рис. 25) имеем ст длины). Отсюда получим
на краевого угла зависит от соотношения между коэффициентами поверхностного натяжения на границах жидкость — воздух (сгж_в), жидкость — твердое тело (сгж_т) и твердое тело — воздух (сгт_в). Из условия механического равновесия элемента жидкости на линии пересече- -в = ^ж-т + сгж_всо8 0 (на единицу
на краевого угла зависит от соотношения между коэффициентами поверхностного натяжения на границах жидкость — воздух (сгж_в), жидкость — твердое тело (сгж_т) и твердое тело — воздух (сгт_в). Из условия механического равновесия элемента жидкости на линии пересече- -в = ^ж-т + сгж_всо8 0 (на единицу
cos 6 =
Если cos 6 > 0, то говорят, что жидкость смачивает поверхность. Если правая часть последнего равенства больше или равна +1, то на поверхности твердого тела образуется молекулярная пленка жидкости (полное смачивание жидкостью твердого тела); в сосуде жидкость образует со стенкой нулевой угол. Если правая часть равенства меньше или равна — 1, то имеет место полное несмачивание.
Капиллярные явления. Если жидкость смачивает поверхность тонкого капилляра, то она поднимется по нему на высоту к. определяемую условием механического равновесия.
В случае капилляра круглого сечения радиуса г радиус кривизны мениска равен R = г/ cos 6, и давление под мениском (см. (52)) должно быть меньше атмосферного на величину 2сг/R = 2crcos6/r. Прирав- ,,2(7 cos 6
нивая к pgn, находим высоту подъема жидкости: а = —^^—.
Явления переноса в газах
► Средняя длина свободного пробега. Среднее число столкновений в единицу времени выделенной молекулы с другими молекулами газа равно
(53)(53)% = ncr(v)V2,
(53)
(53)
где п — концентрация молекул, (и) — средняя скорость движения молекул, а ст — эффективное сечение для упругих соударений молекул. В модели твердых шариков а = тгс/2, где с/— диаметр шарика. Множитель V5 учитывает движение встречных молекул; в качественной теории явлений переноса его обычно опускают.
Для определения числа столкновений траекторию молекулы, имеющую вид ломаной линии, окружают цилиндрической поверхностью радиуса d.
Движущаяся молекула столкнется с любой неподвижной молекулой, центр которой окажется внутри этого цилиндра. За единицу времени молекула проходит расстояние (о^ объем цилиндра равен 7rJ2(^), число попавших в него молекул равно z = ird^^n.
Средняя длина свободного пробега молекулы равна
х = — = 1
г И<7"\/2
Полное число соударений между молекулами в единице объема в единицу времени равно:
(55)(55)_ zn _ п^ _ n2a{v)V2v ” Т - 2А -2
(55)
(55)
Эффективное сечение некоторого процесса взаимодействия между сталкивающимися частицами (по отношению к выделенному результату этого взаимодействия, например, рассеянию в заданный телесный угол, поглощению и т. д.) определяют следующим образом. Рассмотрим неподвижную молекулу (мишень) и налетающий на нее пучок молекул интенсивности I = по ^интенсивности пучка — число частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости молекул). Эффективным сечением процесса называют отношение числа столкновений в единицу времени, приведших к выделенному результату, к интенсивности пучка:
о- = AN /1.(56)
Ослабление пучка молекул, распространяющихся в газе, на пути dx равно di = — landx = — (I/N)dx,
где а — сечение упругого рассеяния молекул, п dx — число рассеивающих центров на пути dx (на единицу площади), А = \/^па\ Интегрируя, получим зависимость интенсивности пучка от пройденного им расстояния:
/ = /оехр(—пах) = /оехр(—ж/А),(57)
т. е. вероятность того, что молекула испытает соударение на интервале (ж, х + (/ж), равна |J/|//o = ехр(—ж/А) (/(ж/А). Среднее расстояние, пройденное молекулой до столкновения, равно
/ х f / Xxdx (ж) =жехр(--)— = А.
о
► Качественная модель явлений переноса в газах. Явления вязкости, теплопроводности и диффузии объясняются переносом импульса, энергии и концентрации за счет хаотического теплового движения. Вязкостью называют возникновение силы трения между параллельно движущимися слоями, если скорости слоев различны. Если скорость направленного движения и параллельна оси х и меняется только в направлении оси у (рис. 26), то между слоями жидкости
Рис. 26Рис. 261^1 = ^, dy1^1 = ^, dy(58)(58)возникает сила, пропорциональная площади и градиенту скорости и:
Рис. 26
Рис. 26
1^1 = ^, dy
1^1 = ^, dy
(58)
(58)
где у — коэффициент вязкости (или просто вязкость). Возникновение силы объясняется переносом вдоль оси у импульса рж молекулами, пересекающими площадку за счет теплового движения.
Если в направлении у меняется не скорость
направленного движения молекул, а температура газа, то поток теплоты в направлении оси у равен
(59)(59)dT
(59)
(59)
q =dy
где х — коэффициент теплопроводности (или просто теплопроводность).
Если вдоль оси у меняется концентрация меченых молекул газа ni (полная концентрация п должна быть постоянной), то поток меченых молекул в направлении оси у (самодиффузия) определяется законом Фика:
j = -Dd^,(60)
где D — коэффициент диффузии.
(61)(61)Обозначим за g(y) величину, поток которой вдоль оси у нас интересует. В случае вязкости это — импульс направленного движения молекул: g(y) = mou(y), в случае теплопроводности — средняя энергия теплового движения: g(y) = (е) = сут^Т (су — удельная теплоемкость), в случае диффузии: g(y) = ni^/n. Будем считать, что каждая молекула газа переносит через площадку то значение параметра g, которое имеют (в среднем) молекулы газа в том месте, где произошло ее последнее соударение. Тогда для потока величины g в направлении оси у можно получить выражение
(61)
(61)
Для грубой оценки можно считать, что поток частиц через единичную площадку равен п^и^ и что частицы, пересекающие площадку в точке у, испытали последнее соударение в среднем на расстоянии А. Получаем G ~ n^g^y - А) - g(y + А)], т.е. G ~ n^X^dg/dy).
Покажем, как можно учесть, что последние соударения частиц перед пересечением площадки происходят на разных от нее расстояниях. Будем считать, что после соударения молекула летит в одном из шести направлений,
задаваемых осями координат. С расстояния у прилетят молекулы, испытавшие соударение в цилиндре объемом S dy, полетевшие в направлении — у и не испытавшие более соударений на пути у (рис. 26). С учетом (55) и (57) получим g(y)dN = |g(0) + у^ exp(-^(S dy). Интегрируя по у, получим вклад молекул, летящих со стороны положительных у. Вычитая вклад противоположно летящих молекул, приходим к формуле (61).
► Формулы для коэффициентов переноса.
Подставляя g = туих в формулу (61), получим поток импульса, который равен силе трения (58) для единичной площади. Для вязкости имеем:
Ч = |nm0(v)A = ^р^Х.Ч = |nm0(v)A = ^р^Х.(62)(62)
Ч = |nm0(v)A = ^р^Х.
Ч = |nm0(v)A = ^р^Х.
(62)
(62)
Подставляя g = cym^T в формулу (61) и сравнивая с (59), находим коэффициент теплопроводности:
X = ^Пт0^)суХ = ^р^СуХ.(63)
Подставляя g = щ/n в формулу (61) и сравнивая с (60), получим выражение для коэффициента диффузии:
D = \WX.(64)
Из формул (62) — (64) следуют два важных факта:
Длина свободного пробега обратно пропорциональна р, что видно из уравнения (54); поэтому вязкость и теплопроводность газов не зависят от давления (закон Максвелла). Этот вывод остается верным до тех пор, пока длина свободного пробега мала по сравнению с размерами сосуда.
Отношение вязкости и теплопроводности не зависит от температуры.
Если длина пробега становится сравнимой с размерами сосуда (разреженный газ), то вязкость и теплопроводность начинают зависеть от плотности. Например, при вычислении потока теплоты между стенками, расположенными на расстоянии d ^ X (ультраразреженный газ), можно считать, что после удара о стенку, имеющую температуру Ti, каждая молекула приобретает (в среднем) энергию cymoTi, летит без соударений к противоположной стенке и отдает ей энергию сут^Т^ — Ti). Из формулы (35) следует, что число попадающих на стенку молекул равно ^3^)8 At. Отсюда получим: q = ^р^су АТ, т. е. х = ^p^cyd.
Глава 3
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Электрический заряд. Закон Кулона
► Электрический заряд — физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.
Свойства заряда:
Носителями электрического заряда являются заряженные элементарные частицы — протон и электрон (а также их античастицы — антипротон и позитрон — и некоторые нестабильные частицы: тг-мезоны, /z-мезоны и т. д.). Заряженные частицы взаимодействуют между собой с силами, убывающими с расстоянием так же медленно, как гравитационные, но во много раз превышающими их по величине.
Все заряженные элементарные частицы обладают одним и тем же по величине зарядом, который называют элементарным зарядом и обозначают буквой е. Опыт показывает, что заряд элементарных частиц не зависит от их скорости.
Заряд элементарных частиц может быть положительным или отрицательным. Одноименные частицы отталкиваются, разноименные — притягиваются. За положительный заряд принят заряд протона +е. Заряд электрона —отрицательный (—е).
Если в состав макроскопического тела входит различное количество электронов Ne и протонов Np, то оно оказывается заряженным. Заряд тела всегда представляется числом, кратным величине элементарного заряда: q = e(Np — Ne).
Закон сохранения электрического заряда: полный заряд замкнутой системы, т. е. алгебраическая сумма зарядов всех тел, постоянен. Это утверждение очевидно, если в системе не происходит превращений элементарных частиц. Но закон сохранения заряда имеет более фундаментальный характер — он выполняется в любых процессах рождения и уничтожения элементарных частиц.
Закон Кулона описывает взаимодействие покоящихся точечных зарядов, т. е. элементарных частиц или заряженных тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме (кулоновская сила) прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
F = k^,(1)
Г
где к — коэффициент пропорциональности, зависящий от системы единиц. Сила взаимодействия направлена вдоль прямой, соединяющей заряды; одноименные заряды отталкиваются, разноименные — притягиваются.
В СИ единица заряда кулон (Кл) определяется через единицу силы тока ампер, а коэффициент в формуле (1) равен к = 9,0 х 109 Н • м2/Кл2, или к = 1/(4тг£о), где во = 8,85 х 10-12 Ф/м — электрическая постоянная. В гауссовой системе (СГС) к принимается равным единице, и единица заряда определяется законом Кулона.
Сила, действующая на заряд q со стороны нескольких зарядов Qi, Q2, • • • равна суперпозиции сил:
Y = Vk((2)
^ (г-ri)2 |r-ri|v '
Распределение заряда по пространству задается пространственной плотностью заряда р(г), по поверхности — поверхностной плотностью заряда сг(г), по линии — линейной плотностью заряда А (г):
dq = р dV, dq = a dS, dq = A dl.(3)
Система зарядов называется электронейтральной, если ее полный заряд равен нулю. Простейший пример электронейтральной системы — электрический диполь, состоящий из двух точечных зарядов q и — q. Дипольным моментом электрического диполя называется вектор
р = qV(4)
где 1 = г+ — г_ — вектор, проведенный от заряда — q к заряду q.
Обобщением на произвольную электронейтральную систему является определение
Р = ^qtYi = 9(г+ -Г-),
где q = ^ qt — сумма всех положительных зарядов, r+ = ^ qiYi/q — 9г>09г>0
центр положительных зарядов, r_ = ^ qiYi/q — upwvp отрицательных
Qi <0 зарядов.
► О системах единиц в электростатике. Все формулы будут приводиться в СИ. Для перехода к гауссовой системе (СГС) в большинстве случаев достаточно положить k = 1. Если формула записана через во, то надо сначала заменить во на 1/(4тг^).
Электрическое поле. Напряженность поля
► Электромагнитное поле. Взаимодействие заряженных частиц друг с другом осуществляется посредством электромагнитного поля. Это означает, что: а) заряженные частицы создают в окружающем пространстве электромагнитное поле, б) на заряженную частицу действу-
ет электромагнитное поле, существующее в данной точке пространства в данный момент времени. Поле, создаваемое точечным источником, пропорционально его заряду; воздействие поля на заряженную частицу пропорционально заряду этой частицы.
► Электрическое поле. Электромагнитное поле представляет собой совокупность двух взаимосвязанных полей — электрического и магнитного. Действие электрического поля на заряженную частицу не зависит от ее скорости, а действие магнитного поля пропорционально скорости частицы. Источниками электрического поля служат любые заряженные частицы, магнитное поле создается движущимися зарядами. Соотношение между электрическим и магнитным полями меняется при переходе в другую инерциальную систему отсчета. Свойства полей полностью описываются системой четырех уравнений Максвелла (см. разд. 3.15). Уравнения Максвелла релятивистски инвариантны.
► Пробный заряд. Напряженность электрического поля. Для определения характеристик электромагнитного поля используют понятие точечного пробного заряда, внесение которого в исследуемое поле его не искажает (т. е. не приводит к смещению источников поля). Для этого величина пробного заряда должна быть достаточно малой. Сила, действующая на неподвижный пробный заряд q. пропорциональна его величине и определяется только электрическим полем:
F„ = qE.(5)
Эта формула определяет напряженность электрического поля. Она же дает ответ на вопрос, какая сила действует на любой заряд q. движущийся или неподвижный, со стороны электрического поля. В СИ напряженность измеряется в Н/Кл или вВ/м.
Электростатическое поле. Принцип
суперпозиции для напряженности и потенциала
► Электростатическое поле. Стационарное электрическое поле, создаваемое системой неподвижных зарядов, называется электростатическим полем. Напряженность электростатического поля может быть определена с помощью закона Кулона (2).
Поле точечного заряда. Если внести пробный заряд q в поле точечного заряда Q, то из (2) и (5) получим:
Е = к^Д = еД,(6)
г Г г
где ЕГ — проекция Е на радиальное направление.
Поле системи зарядов. Используя принцип суперпозиции полей, имеем:
Е.^+Е^-..^.^^.(7)
г
В случае непрерывного распределения заряда суммирование надо заменить интегрированием, см. (3). (Сравните с формулами для поля тяготения в разд. 1.8.)
Пример 1. Заряд равномерно распределен по дуге окружности радиусом R с линейной плотностью А (рис. 27). Угловой размер дуги равен 2ао. Вычислите напряженность в центре окружности.
Решение. Напряженность направлена по оси у, проходящей через середину дуги и центр окружности. Напряженность поля, создаваемого в точке О элементом дуги с угловым размером da, равна dE = kdq/R1, где dq = XRda. Проектируя на у и интегрируя, находим:
«о
Г , XRda, 2Asinao
Е = Еу = к5— cos а = к.
J Я2R
-то
Пример 2. Поле отрезка. Заряд равномерно распределен по отрезку прямой с линейной плотностью А. Вычислите напряженность поля в точке Л, положение которой по отношению к отрезку задано расстоянием у до прямой и двумя углами ai и as (рис. 28).
Решение. Вклад в напряженность от элемента dx равен dE = kXdx/г2, его проекции на оси х и у равны dE cos а и dE sin а. Интегрировать удобно по углу а после подстановки г = у / sin а и замены переменной: х = — у ctg а, dx = у dot) sin2 а. Для проекций Еж и Еу получим:
Еж = k — (sin а2 — sin ai), Еу = & —(cos ai — cos «2). УУ
Если ai = тг — a2 = а (точка А лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка), то Еж = О, Еу = 2кХ cos а/у. Если в этом равенстве а ^ О (прямая), то Еу = 2кХ/у. Если ai = 0, а2 = тг/2 (полупрямая), то Еж — Еу — к XI у.
► Потенциал электростатического поля. Как и любое стационарное центральное поле, электростатическое поле является потенци-
альным (см. разд. 1.5). Это означает, что работа поля при перемещении пробного заряда из одной точки пространства в другую не зависит от траектории. Сказанное позволяет определить потенциал электростатического поля ср (г):
Л(12) = tVg(ri) - И-ДЩ = ^(п) - ^(г2)],(8)
где Aq (1 —>■ 2) — работа поля при переносе пробного заряда q из точки ri в точку г2, И^(г) = ^^(г) — потенциальная энергия точечного заряда q во внешнем электростатическом поле (в этой главе энергия будет обозначаться буквой W\ Величина у? (гх) — ^(г2) называется разностью потенциалов между точками гх и Г2. Для однозначного определения ГИДг) и у? (г) надо выбрать точку, где они обращаются в нуль. В СИ потенциал измеряется в вольтах (В).
Зная напряженность Е(г), можно вычислить разность потенциалов и потенциал:
г2г0
^(ri) - у?(г2) = j Edr, у(г) = J Edr,(9)
где го — точка, в которой потенциал принят равным нулю. Зная потенциал ср (г), можно найти проекцию напряженности на любое направление I (исходя из (9) для двух близких точек):
Ei = "^(Ю)
и вектор напряженности:
Е =-grady) =-fi^+j^+к^).(11)
у ох оу oz уv 7
► Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов.
Потенциал поля точечного заряда Q можно найти с помощью формулы (10):
АД = — 4^= — k By^(г) = k— + const.
drаг тг
Обычно потенциал принимают равным нулю на бесконечности. В этом случае:
<0 = ^-(12)
Потенциал поля системы зарядов равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов (принцип суперпозиции для потенциала):
y(r) = yi(r)+y2(r) + --- , у (г) =(13)
Если заряд распределен непрерывно, суммирование надо заменить интегрированием.
Пример 3. Поле диска. Источником поля является тонкий диск радиусом R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью сг. Вычислите потенциал в точке А, расположенной на оси диска на расстоянии х от его центра (рис. 29).
Решение. Вклад в потенциал тонкого кольца, заключенного между окружностями радиусов г и г + dr, равен ,, dq.а 2кг dr
= к ,= = к ,=
a/Z2Zl+2л
(все точки кольца расположены почти на одинаковом расстоянии от точки Л). Интегрируя, находим потенциал кольца:
R
J уж2 + г2 о
Е;Е;= 2тг/и(т^1 - ах\= 2тг/и(т^1 - ах\Затем с помощью (10) определим напряженность (она направлена вдоль ж):
Е;
Е;
= 2тг/и(т^1 - ах\
= 2тг/и(т^1 - ах\
Рис. 30Рис. 30на большом от нее расстоянии.на большом от нее расстоянии.
Рис. 30
Рис. 30
на большом от нее расстоянии.
на большом от нее расстоянии.
В пределе R -4 оо получим поле бесконечной плоскости: Еж = Злгксг = .
2so
Пример 4. Поле диполя. Найдите потенциал и напряженность электростатического поля вдали от диполя, изображенного на рис. 30.
Решение. Потенциал в точке, задаваемой радиусом-вектором г, на большом расстоянии от диполя (г = |r| ^> I) равен:
kq kq kq kq (р • г) удг) =^^ ко—,
Г1 Г2 г — 8 Г + 8Т
1 I*
гДе s = (2'7)’ Р = ^ (см- Разд' 31)'
Чтобы найти напряженность, используем тождества: grad(l/r3) = —Зг/г5 и grad (р • г) = р. В результате имеем:
Е =-grad ^ = /=[5^^-Д.
Отсюда для модуля напряженности получим Е = kpr-3V^ cos2 0 + 1. Такие же выражения верны для поля любой элек- тронейтральной системы с отличным от нуля дипольным моментом (см. разд. 3.1)
► Диполь во внешнем поле. Маленький диполь с дипольным моментом р = Д во внешнем поле обладает потенциальной энергией
VVn = ?<Дг+) - ЦфЦ-> = q^l = -pEi = -(р • Е).
Эта энергия изменяется как при повороте диполя — на диполь со стороны поля действует вращательный момент:
М = 1 х (qE) = р х Е.
так и при перемещении диполя в неоднородном поле — на диполь действует сила:
_Xх ^Е. #Е аЕ ,№ ЗЕ
F = 9Е(г+) - 9Е(г_) = q — I = р— = Рх — + Ру — + Pz —.
Равновесная ориентация с минимальной энергией соответствует положению р || Е, ориентированный таким образом диполь втягивается в область более сильного электрического поля.
Теорема Гаусса
Поток вектора напряженности. Потоком вектора напряженности через плоский участок площадью ds называется
dФ = (Е • ds) = Ends = Е cos 9 ds,(14)
где ds = n ds, n — вектор нормали к плоскости, 0 — угол между Е и п, Еп = Е cos 9 — проекция Е на направление нормали. Знак dФ зависит от выбора направления нормали. Поток вектора напряженности через поверхность S конечных размеров определяется как
Ф = ^ Ends.(15)
S
В случае замкнутой поверхности направление нормали выбирается в сторону внешнего пространства.
Аддитивность потока', если электростатическое поле является суперпозицией нескольких полей Е(г) = ^2 Е^, то для любой поверхности ф = Е^.
Поток вектора напряженности поля точечного заряда Q через площадку ds равен
dФ = ЕТ cos 9 ds = ±£-^ ds_t = 4zkQ dQ,г
где dsj_ = \ds cos#| — проекция ds на плоскость, перпендикулярную г; d£2 = ds^/r1 — телесный угол, под которым площадка видна от заряда Q; знак « + » соответствует острому углу между п и г, а знак « —» — тупому углу. Поток через замкнутую поверхность равен 4тг kQ, если заряд Q находится внутри этой поверхности, и нулю —если снаружи.
Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность выражается через полный
заряд внутри этой поверхности дохв (охватываемый поверхностью):
Ф = 4икЧохВ = —. (16)
Теорема Гаусса и силовые линии. Для графического изображения полей используют силовые линии (линии напряженности) поля, которые проводятся по следующим правилам: а) касательная к силовой линии направлена вдоль вектора Е в каждой точке пространства; б) густота силовых линий пропорциональна величине напряженности в данной области пространства. Поток вектора напряженности пропорционален числу силовых линий, пронизывающих поверхность. (По такому же правилу можно ввести линии любого векторного поля.) Теорема Гаусса означает, что силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах, а в пустом пространстве непрерывны. Отметим, что теорема Гаусса и непрерывность силовых линий являются следствием того, что кулоновская сила убывает с расстоянием как 1/г2.
Кроме силовых линий, используются также жвипотенциальние поверхности, которые перпендикулярны силовым линиям (работа поля при переносе пробного заряда вдоль этой поверхности должна быть равна нулю).
► Вычисление напряженности с помощью теоремы Гаусса. Если соображения симметрии позволяют построить замкнутую поверхность (ее называют гауссовой), на части которой вектор Е перпендикулярен поверхности и имеет постоянную величину Е, а на остальной части Е направлен вдоль поверхности (Е ± п), то можно найти Е, применив к этой гауссовой поверхности теорему Гаусса.
Пример 1. Поле заряженной нити. Найдите напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной нитью (рис. 31).
Решение. Напряженность в любой точке пространства направлена
Er lurl = —£0Er lurl = —£0ЕтЕтА _ 2йА2тГ€оГ гА _ 2йА2тГ€оГ гвдоль перпендикуляра к нити, а значение ЕТ зависит только от расстояния г до нити. В качестве гауссовой поверхности можно выбрать цилиндр радиусом г и образующей длиной Z, ось которого находится на нити. Записав теорему Гаусса (15), найдем напряженность:
Er lurl = —
£0
Er lurl = —
£0
Ет
Ет
А _ 2йА
2тГ€оГ г
А _ 2йА
2тГ€оГ г
(сравните с примером 3 из разд. 3.3). Разность
потенциалов двух точек равна
А . г2
^1 - ^2 = 1П —.
2тг€о Щ
Пример 2. Поле заряженной плоскости. Найдите напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью (рис. 32).
Решение. Напряженность всюду перпендикулярна плоскости, а Еж зависит только от расстояния до плоскости. В качестве гауссовой поверхности можно выбрать цилиндр, основания которого площадью S расположены симметрично относительно плоскости. Поток через эту поверхность равен
Ex(x)S — Ex(—x)S = 2EXS. Записав теорему Гаусса, найдем напряженность:2EXS = — ^£0Еж (х) = Еж ( х) = — (см. пример 3 из разд. 3.3). Приняв ф = О при х = 0, получим ф(х) = -^—|ж|.2soПример 3. Поле заряженного шара. Найдите поле равномерно заряженного шара радиусом R.Решение. Поле равномерно заряженного шара является центральным.Ex(x)S — Ex(—x)S = 2EXS. Записав теорему Гаусса, найдем напряженность:2EXS = — ^£0Еж (х) = Еж ( х) = — (см. пример 3 из разд. 3.3). Приняв ф = О при х = 0, получим ф(х) = -^—|ж|.2soПример 3. Поле заряженного шара. Найдите поле равномерно заряженного шара радиусом R.Решение. Поле равномерно заряженного шара является центральным.В качестве гауссовой поверхности можно выбрать сферу радиусом г. Если г > R, то внутрь поверхности попадает весь шар (qOxb = q), и мы имеем: ЕТ • 4тгг2 = q/so- Если г < Я, то дОхв = qr3/ R3, и теорема Гаусса принимает вид: Ет • 4тгг2 = qr3 j ^EoR3\ Окончательно получим:В качестве гауссовой поверхности можно выбрать сферу радиусом г. Если г > R, то внутрь поверхности попадает весь шар (qOxb = q), и мы имеем: ЕТ • 4тгг2 = q/so- Если г < Я, то дОхв = qr3/ R3, и теорема Гаусса принимает вид: Ет • 4тгг2 = qr3 j ^EoR3\ Окончательно получим:Е =Е =kV- т гkV- т гpR3 гЗ^ог2 тpR3 гЗ^ог2 тqy = pv_< R3 3soqy = pv_< R3 3soприприприприт > R, г < Rт > R, г < R(р — плотность заряда). Исходя из формулы для радиальной составляющей напряженности Ет = — dф / dr (см. разд. 3.3), находим(р — плотность заряда). Исходя из формулы для радиальной составляющей напряженности Ет = — dф / dr (см. разд. 3.3), находим
Ex(x)S — Ex(—x)S = 2EXS. Записав теорему Гаусса, найдем напряженность:
2EXS = — ^
£0
Еж (х) = Еж ( х) = — (см. пример 3 из разд. 3.3). Приняв ф = О при х = 0, получим ф(х) = -^—|ж|.
2so
Пример 3. Поле заряженного шара. Найдите поле равномерно заряженного шара радиусом R.
Решение. Поле равномерно заряженного шара является центральным.
Ex(x)S — Ex(—x)S = 2EXS. Записав теорему Гаусса, найдем напряженность:
2EXS = — ^
£0
Еж (х) = Еж ( х) = — (см. пример 3 из разд. 3.3). Приняв ф = О при х = 0, получим ф(х) = -^—|ж|.
2so
Пример 3. Поле заряженного шара. Найдите поле равномерно заряженного шара радиусом R.
Решение. Поле равномерно заряженного шара является центральным.
В качестве гауссовой поверхности можно выбрать сферу радиусом г. Если г > R, то внутрь поверхности попадает весь шар (qOxb = q), и мы имеем: ЕТ • 4тгг2 = q/so- Если г < Я, то дОхв = qr3/ R3, и теорема Гаусса принимает вид: Ет • 4тгг2 = qr3 j ^EoR3\ Окончательно получим:
В качестве гауссовой поверхности можно выбрать сферу радиусом г. Если г > R, то внутрь поверхности попадает весь шар (qOxb = q), и мы имеем: ЕТ • 4тгг2 = q/so- Если г < Я, то дОхв = qr3/ R3, и теорема Гаусса принимает вид: Ет • 4тгг2 = qr3 j ^EoR3\ Окончательно получим:
Е =
Е =
kV- т г
kV- т г
pR3 г
З^ог2 т
pR3 г
З^ог2 т
qy = pv_
< R3 3so
qy = pv_
< R3 3so
при
при
при
при
т > R, г < R
т > R, г < R
(р — плотность заряда). Исходя из формулы для радиальной составляющей напряженности Ет = — dф / dr (см. разд. 3.3), находим
(р — плотность заряда). Исходя из формулы для радиальной составляющей напряженности Ет = — dф / dr (см. разд. 3.3), находим
к-при г > Я,
г
теорема Гаусса (для объемного распределения заряда):
<f Е • d s = — (pdVdivE=—.
JSo JSo
Подставив сюда E = —grad ip, получим 'уравнение Пуассона для потенциала:
div grad у? = — —,или Ду? = — —.
SoSo
Электростатика проводников
► Поле в проводнике. Потенциал проводника. Проводником называется вещество, способное проводить электрический ток. Для этого вещество должно содержать свободные заряды, способные перемещаться по объему проводника. В электростатике рассматривается состояние, в котором заряды пришли в равновесие (т. е. отсутствует направленное движение зарядов — электрический ток). Это значит, что всюду в объеме проводника напряженность поля должна быть равна нулю. Отсюда следует, что:
Потенциал всех точек проводника имеет одинаковое значение, которое называют потенциалом проводника.
Поверхность проводника является эквипотенциальной. Линии напряженности перпендикулярны к поверхности проводника.
Объемная плотность заряда в проводнике равна нулю (из теоремы Гаусса следует, что заряд в любом объеме внутри проводника равен нулю). Нескомпенсированные заряды распределены по поверхности проводника.
Напряженность поля вблизи поверхности проводника связана с поверхностной плотностью заряда на этом участке поверхности:
Е = у-(17)
Эту формулу можно получить из теоремы Гаусса (16), если в качестве гауссовой поверхности взять маленький цилиндр, одно основание которого проходит вне проводника вблизи его поверхности, а другое — внутри проводника: ES = aS/eq.
► Уединенный проводник. Потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду:
где С — электроемкость проводника, зависящая от его формы и размеров и от диэлектрической проницаемости среды вокруг проводника. Электроемкость измеряется в СИ в фарадах (Ф), а в СГС — в см. Например, потенциал и электроемкость уединенного шара радиусом R равны
► Соединение проводников. При соединении проводников с различными потенциалами проводящей проволокой их потенциалы выравниваются. Если проводники расположены далеко друг от друга, то потенциал каждого из них можно рассчитывать как потенциал уединенного проводника, и закон сохранения заряда позволяет найти потенциал ср' проводника после соединения:
С1ф1 + 02^2 — С^ + С2ф* =^ ф*
Cipi + С2Ф2Ci + CsCipi + С2Ф2Ci + Cs(электроемкость проволоки можно считать пренебрежимо малой и ее заряд не учитывать). Если электроемкость одного из проводников очень велика, то его потенциал почти не меняется. Например, при соединении проводника с землей (заземлении) его потенциал становится равным постоянному потенциалу Земли, который принимают равным
Cipi + С2Ф2Ci + Cs
Cipi + С2Ф2Ci + Cs
> = 0Рис. 33> = 0Рис. 33нулю.
> = 0
Рис. 33
> = 0
Рис. 33
► Проводники во внешнем электрическом поле. При внесении любого проводника во внешнее поле свободные заряды перераспределяются таким образом, чтобы напряженность результирующего поля (суперпозиции внешнего поля и поля зарядов проводника) равнялась нулю внутри проводника. Например, если к незаряженному проводнику поднести положительный точечный заряд, то на ближней поверхности проводника соберутся отрицательные заряды, а на дальней — положительные, и заряд с проводником будут притягиваться. (Это явление называется электростатической индукцией.) Так как распределение зарядов на проводнике обычно не известно, то расчет по принципу суперпозиции применить невозможно. В некоторых случаях задачу удается решить косвенным путем.
Пример 1. Поднесем точечный заряд q > 0 к поверхности заземленного проводника на расстояние а, малое по сравнению с его размерами. В этом случае конечный проводник можно заменить бесконечным полупространством из проводника (рис. 33). На плоской поверхности проводника находятся отрицательные наведенные заряды. Требуется найти Епл, создаваемую этими зарядами в любой точке свободного
пространства (при этом распределение этих зарядов неизвестно!) Начнем с того, что найдем Епл внутри проводника, в точке, симметричной по отношению к рассматриваемой точке пустого пространства. В этой точке Епл
компенсирует напряженность, создаваемую в этой же точке зарядом q. Следовательно, Епл внутри проводника точно совпадает с полем воображаемого заряда ( — qY помещенного в ту же точку, что и заряд q. Последний шаг: поле зарядов проводника Епл симметрично относительно плоскости (все заряды расположены на поверхности!). Значит, вне проводника Епл точно совпадает с полем воображаемого заряда ( —q), но расположенного симметрично заряду q. Этот воображаемый заряд называют «изображением» заряда q. а сам метод — методом электростатических изображений. Теперь можно найти: а) силу притяжения заряда и проводника F = kq2/(2а)2; б) напряженность поля во всем пространстве вне проводника (она равна напряженности двух зарядов -Vq и —q); в) распределение зарядов на поверхности проводника — зная напряженность поля возле поверхности, по формуле (17) можно определить а.
► Принцип единственности. При решении задач с неизвестным распределением заряда помогает принцип единственности^ который можно сформулировать следующим образом: существует единственное распределение зарядов по поверхности проводников и единственное поле Е(г) в пространстве между ними, при котором напряженность поля внутри проводников равна нулю, а потенциалы или заряды проводников имеют заданные значения. Если удастся угадать такое распределение зарядов или такую конфигурацию поля, при котором эти условия выполняются, то это решение и будет правильным. Например, заметив, что эквипотенциальная поверхность ^ = 0 для поля двух зарядов q и — q совпадает с их плоскостью симметрии (см. рис. 33), можно сделать вывод, что их поле с той стороны от этой плоскости, где находится заряд q, совпадает с полем заряда q и проводящей плоскости (см. предыдущий пример).
Пример 2. Проводящий шар в однородном поле. Рассмотрим проводящий незаряженный шар в одно-
родном поле Eq. Заряды на шаре рас
пределятся так, чтобы создать внут-х^~^°\У\
ри шара поле (—Ео). Чтобы подобрать//
такое распределение зарядов, рассмот-| |
рим два воображаемых шара такого 0II ।II
же радиуса, но равномерно заряжен-у уу у
ных по объему, один — зарядом плотностью р, другой — плотностью — р.
(Поле такого шара было рассмотрено
в примере 3 из разд. 3.4.) Если центрРис- 34
положительного шара смещен на малое расстояние 1 по отношению к центру отрицательного (рис. 34), то в области их пересечения поле равно
Е = Рг += Рх
3sq 3sq3sq
т. е. является однородным. Плотность заряда внутри пересечения шаров равна нулю. Устремим теперь 1 к нулю, а р к бесконечности, так чтобы р1/(3во) = Eq. В итоге получим правильное распределение зарядов: а = do cos ^, где ст о = pl = ЗвоЕо, а также найдем поле, создаваемое
зарядами проводящего шара вне шара: оно совпадает с полем точечного диполя с дипольным моментом р = (pV)l = 4тг€о^3Ео (см. пример 4 из разд. 3.3).
Электростатика диэлектриков
► Поляризация диэлектрика. Поляризованность. Диэлектриком называют вещество, которое не проводит электрический ток, следовательно, в этом веществе отсутствуют свободные заряды (или их ничтожно мало). Тем не менее, в присутствии диэлектрика происходит ослабление электрического поля. Это свидетельствует о том, что при помещении диэлектрика в электрическое поле в объеме и на поверхности появляются макроскопические заряды. Указанные заряды возникают в результате поляризации диэлектрика — смещении связанных зарядов отдельных молекул или кристаллической решетки друг относительно друга. При поляризации средний дипольный момент молекул становится отличным от нуля, и возникает дипольный момент объема диэлектрика. Степень поляризации в данной точке диэлектрика характеризуют поляризованностъю Р, определяемой как суммарный дипольный момент молекул в расчете на единицу объема:
Р =Р =ЕрдуЕрду= п(р),= п(р),
Р =
Р =
Ер
ду
Ер
ду
= п(р),
= п(р),
Рис. 35Рис. 35
Рис. 35
Рис. 35
где п — концентрация молекул. Для построения макроскопических уравнений поля в диэлектрике можно упрощенно считать, что все молекулы в объеме AV имеют одинаковый дипольный момент (р) = Р/п = 90 (1)-
► Поляризованность и связанные заряды. Механизм образова
ния макроскопических связанных зарядов проще всего представить в случае однородной поляризации (Р = const). В этом случае объем
диэлектрика остается электронейтральным, а на его поверхности появляются заряды — на передней (по отношению к Р) положительные, на задней — отрицательные. Создаваемая ими напряженность будет направлена против поляризованности Р.
При поляризации через произвольную площадку As в объеме диэлектрика (включая его границу) в направлении нормали к поверхности проходит заряд
Aq = n(As(l?) cos 0)qo = PnAs = (P • Лз),
(18)
где As (Iх) cos 6 — объем тонкого цилиндриче
ского слоя, молекулы которого при поляризации пересекают площадку (рис. 35). Проинтегрировав по любой замкнутой поверхности, найдем
полный связанный заряд, вышедший из охватываемого ею объема, что означает появление внутри объема связанного заряда
Йхв = —^P*^s или divP = —рсв,(19)
где ds = n ds направлен, как обычно, в сторону внешнего пространства. Для поверхностной плотности связанного заряда из (18) получим:
асв = Рп.(20)
► Электрическое смещение. Макроскопическая напряженность электрического поля в диэлектрике определяется как результат усреднения микроскопической напряженности Е (сильно меняющейся на межатомных расстояниях) по малому объему, содержащему достаточно много молекул: Е(г) = (Емикро). Напряженность поля определяется как связанными, так и сторонними, нанесенными на диэлектрик извне, зарядами:
Ie-C!s = A((?ct с(21)
Так как распределение связанных зарядов заранее не известно, удобно ввести новую величину, которую называют электрическим смещением*.
D = £0E + P.(22)
Из уравнений (19), (21) следует, что электрическое смещение определяется только сторонними зарядами:
f D • ds = q^B(23)
(теорема Гаусса для электрического смещения). В дифференциальной форме это уравнение имеет вид
divD = рСТ.
► Изотропный диэлектрик. Поляризованность Р в данной точке диэлектрика возникает под воздействием электрического поля и определяется его напряженностью Е. Для не очень сильных полей Р зависит от Е линейно, а в изотропном диэлектрике, кроме того, Р || Е:
Р = бОхЕ,(24)
где х — диэлектрическая восприимчивость вещества. Для электрического смещения в однородном диэлектрике получим:
D = еоеЕ,(25)
где е = 1 + х — диэлектрическая проницаемость вещества.
Условия на границе раздела диэлектриков. На границе раздела двух диэлектриков выполняются следующие условия для тангенциальных (касательных) и нормальных компонент:
Eit = E2t, D2n- Dln=dtT, Р2п - Pin =-<7СВ (26)
(нормаль п проведена из первой среды во вторую). Если стороннего заряда на границе нет, то нормальные компоненты смещения равны друг другу. Первое условие получается из условия потенциальности поля Е (работа по замкнутому контуру равна нулю), второе и третье — из формул (23) и (19). В случае изотропного диэлектрика имеем:
Ет = Е2т, ^Ещ = е2Е2п- Dm = D2n, ^ = (27) €1 €2
Видно, что на границе диэлектрических сред происходит преломление линий напряженности. (Отметим, что линии электрического смещения проходят через границу непрерывно, в отличие от линий напряженности, которые частично заканчиваются на отрицательном поляризационном заряде или начинаются на положительном.)
Вычисление полей в присутствии диэлектриков. Уравнения для Е и D вместе с условием связи между ними в данном веществе (25) и граничными условиями (27) однозначно определяют поле во всем пространстве по известному расположению сторонних зарядов. Отметим некоторые свойства решения:
Из уравнений (19) и (23) и формулы Р = — -—-D, которая является следствием (24) и (25), для однородного диэлектрика получим
/в =(28)
Следовательно, в отсутствие стороннего объемного заряда в результате поляризации будет возникать только поверхностный связанный заряд. (Если диэлектрик неоднородный, т. е. е зависит от координат, то объемный связанный заряд возникает и в отсутствие объемного стороннего заряда.)
Если границы однородного диэлектрика совпадают с эквипотенциальными поверхностями того поля Eq, которое создают сторонние заряды в отсутствие диэлектрика, то всем граничным условиям удовлетворяет решение
Е(г) = ^1. (29)
Пример 1. Если точечный заряд q окружить сферическим слоем из диэлектрика (внутренний радиус /й, внешний — ^2), то вне диэлектрика
напряженность поля не изменится, а внутри
£ = -^—4, Р = е0(е-1)£ = —-Ц,4тг€о£ г£ 4кг
ст? = Р(Я2) =ст? = Р(Я2) =е — 1 q£ 4тг/^2 ’е — 1 q£ 4тг/^2 ’отот£ — 1 q£ 4kR^£ — 1 q£ 4kR^
ст? = Р(Я2) =
ст? = Р(Я2) =
е — 1 q
£ 4тг/^2 ’
е — 1 q
£ 4тг/^2 ’
от
от
£ — 1 q
£ 4kR^
£ — 1 q
£ 4kR^
£ — 1 рГ£ Т’£ — 1 рГ£ Т’асв = P(R) =асв = P(R) =£ — 1 рГ£ У’£ — 1 рГ£ У’р™р™£ — 1£ — 1
£ — 1 рГ
£ Т’
£ — 1 рГ
£ Т’
асв = P(R) =
асв = P(R) =
£ — 1 рГ
£ У’
£ — 1 рГ
£ У’
р™
р™
£ — 1
£ — 1
Связанные заряды на поверхностях равны друг другу: q^ = —qT = q.
Пример 2. Рассмотрим шар из однородного диэлектрика, равномерно заряженный сторонним зарядом с объемной плотностью р. Напряженность поля в отсутствие диэлектрика определена в примере 3 из разд. 3.4. В присутствии диэлектрика напряженность при г < R уменьшится в в раз:
Е = ^, Р = ео^-^Е =uSq £
"/в"/в-kR\ т. е. полный связанный-kR\ т. е. полный связанныйНетрудно проверить, что асв4тгR2 = заряд, как и должно быть, равен нулю.
"/в
"/в
-kR\ т. е. полный связанный
-kR\ т. е. полный связанный
Пример 3. Если в однородное поле Ео перпендикулярно напряженности
поместить пластину диэлектрика, у которого е меняется от 61 на одном конце
dPD d£dxs2 dx ‘dPD d£dxs2 dx ‘до Е2 на другом, то получим
dPD d£
dxs2 dx ‘
dPD d£
dxs2 dx ‘
D = е0Е0 = const, Е=-^, P = D^1, р™£\Х)£
ст? = P2 = D ——-, ст? = -Pi = — D ——-.
£2£1
Легко проверить, что полный связанный заряд равен нулю.
Пример 4. Если в однородное поле Ео внести шар из однородного диэлектрика, то он поляризуется однородно (Р = const). Действительно, равномерная поляризация соответствует сдвигу на малый вектор 1 двух равномерно заряженных шаров; как было показано в примере 2 из разд. 3.5, при этом внутри шаров возникает однородное поле с напряженностью Ei = —pl/Зво = — (gl/V)/3eo = —Р/З^о- Полное поле в диэлектрике при этом равно Е = Ео + Ei = Ео — Р/З^о- Из этого уравнения и условия Р = (б — 1)боЕ находим
Е = ЗЕо Р = 5££11^12ее + 2’е + 2°'
При этом выполняются все граничные условия.
► Механизмы поляризации. Различают три механизма поляризации диэлектриков.
Ориентационний механизм поляризации полярних диэлектриков. Молекулы полярного диэлектрика (полярные молекулы) обладают постоянным дипольным моментом ро в отсутствие поля (Н2О, НС1 и др.). Вследствие теплового движения, в отсутствие поля все направления дипольного момента равноправны, и средний дипольный момент равен нулю. Внешнее поле стремится установить дипольные
моменты молекул вдоль Е (см. разд. 3.3). В результате конкуренции ориентирующего действия поля и теплового движения возникает средний дипольный момент (р), который в слабом поле (р^Е <( кТ) пропорционален Е и убывает с ростом температуры.
В газообразных диэлектриках, в соответствии с распределением
Больцмана (см. разд. 2.5), вероятность ориентации р пропорциональна
, где Wn = — (р • Е). Видно, что во внешнем поле средний
дипольный момент должен быть направлен вдоль Е и пропорционален
Ро/^^^У где /(ж) — некоторая функция, равная нулю при х = О и единице при ж —> оо ( что соответствует сильному полю, когда все диполи почти параллельны Е). При малых х (слабое поле) /(ж) to ^х, 2
(р) to 7-^Е— средний дипольный момент пропорционален Е и обрат- 1 п 2
но пропорционален Т. Расчет дает для 7 значение 1 /3, т. е. Р = - -^Е, следовательно, для диэлектрической проницаемости получим
12
ЗвокТ
(формула Дебая — Ланжевена).
Электронный (деформационный) механизм поляризации неполярных диэлектриков. В отсутствие внешнего поля дипольный момент неполярной молекулы равен нулю (Н2, О2, N2 и т. д.), т. е. наименьшей потенциальной энергией обладает такое состояние молекулы, при котором центр отрицательного заряда (электронного облака) совпадает с центром положительного. При включении внешнего поля центры положительного и отрицательного зарядов смещаются, и возникает сила, стремящаяся вернуть их в положение равновесия; при малом смещении I эта сила пропорциональна / : F = —/31 (квазиупругая сила). В положении равновесия qE = /31, т. е. возникающий под действием поля (индуцированный) дипольный момент р = qq! оказывается пропорциональным напряженности поля: р = авдЕ. Определенный таким образом коэффициент а называют поляризуемостью молекулы. Поляризуемость диэлектрика равна Р = пр = п^о^Е, где Е — поле, действующее на одну молекулу. В газах это поле можно считать равным среднему полю в диэлектрике, и для диэлектрической проницаемости получим:
£ = 14-х=1 + ап.
В плотных газах, жидких и твердых диэлектриках надо учитывать отличие поля, действующего на молекулу, от среднего поля в диэлектрике (второе включает в себя поле самой молекулы, а первое — нет).
Рассмотрим однородный кристаллический диэлектрик с неполярными молекулами. Чтобы найти локальное поле, действующее на данную молекулу,
рассмотрим сферу, центр которой совпадает с этой молекулой. Если молекулы расположены правильным образом (например, в вершинах кубического кристалла), то поле молекул, находящихся внутри сферы, в ее центре равно нулю. Следовательно, локальное поле в данной точке равно Елок = E+Ei, где Е — макроскопическое среднее поле в диэлектрике (равное сумме внешнего поля и поля зарядов на внешней поверхности диэлектрика), a Ei — поле зарядов на внутренней поверхности полости. Из примера 4 следует, что Ei = Р/Зво, и тогда Р = пвоо(Е + Р/Збо), откуда
_ ерпаЕпа ‘13
Учитывая, что Р = €о(е — 1)Е, получим
па€ — 1 па
€ — 1 = , ИЛИ = .
_ па ’£ + 23
Этот результат известен как формула Клаузиуса — Масотти.
Ионная поляризация в твердых диэлектриках, обладающих кристаллической решеткой. Под действием поля подрешетка положительных ионов смещается целиком в одну сторону, подрешетка отрицательных ионов — в другую.
► Сегнетоэлектриками называют вещества (например, сегнетову соль), в которых ниже температуры Тс, называемой температурой Кюри, небольшие области — домены — спонтанно поляризованы до насыщения (все диполи ориентированы параллельно). Сегнетоэлектрики по своим свойствам являются электрическими аналогами ферромагнетиков: они имеют аномально большую диэлектрическую проницаемость, зависящую от Е и Т, проявляют при поляризации гистерезисные свойства, превращаются в обычные диэлектрики при нагревании выше температуры Кюри (подробнее см. разд. 3.13).
3.7. Конденсаторы
Электроемкость конденсатора. Конденсатором называется система из двух изолированных друг от друга проводников, один из которых заряжен зарядом -Vq, другой — зарядом — q. Проводники называют обкладками конденсатора, заряд q — зарядом конденсатора, разность потенциалов между положительной и отрицательной обкладками U — напряжением на конденсаторе. Напряжение на конденсаторе пропорционально его заряду:
и = у,(30)
где С — электроемкость (или просто емкость) конденсатора.
Простые конденсаторы. Конденсатор называют простым, если: а) электрическое поле сосредоточено в ограниченной области пространства между его обкладками (т. е. можно считать, что все силовые
линии начинаются на положительной обкладке и заканчиваются на отрицательной); б) все пространство, в котором сосредоточено поле, заполнено однородным диэлектриком.
Пример 1. Плоский конденсатор. Конденсатор называется плоским, если его обкладками служат две параллельные пластины площадью S, расстояние между которыми мало по сравнению с их размерами (d <С VS\ Поле между пластинами можно считать однородным всюду, кроме самых краев. Напряженность поля найдем с помощью формулы (17): Е = q/(eqeS). Напряжение на конденсаторе U = Ed, а его емкость равна
С = ^-.(31)
d
Пример 2. Сферический конденсатор. Конденсатор называется сферическим, если его обкладками служат две концентрические сферы с радиусами Ri и R^. Напряженность поля между обкладками: Е = —у,
4тг€о£^ где г — расстояние до центра. Напряжение вычисляется по формуле
= Тд2 ^(r) dr, а емкость равна
_ 4ireoeRiR2
R2 — Ri
При R^ -4 оо это выражение переходит в емкость уединенной сферы (см. разд. 3.5).
Пример 3. Цилиндрический конденсатор. Конденсатор называется цилиндрическим, если его обкладками служат два концентрических цилиндра радиусов Ri и R% и длиной I ^ R2 — Ri. Напряженность между обкладками равна Е = . Напряжение вычисляется по формуле
^ЛГЕОЕГ!
U = J^2 E(r) dr, а емкость равна
_ 2тг£о^
“ 1п(я2/Я1)‘
Составные конденсаторы. Соединяя обкладки простых конденсаторов, получим составной конденсатор. Емкость составного конденсатора определяется формулой (30) и выражается через емкости его компонентов.
^^21. Параллельное соединение. Все
—1111— обкладки соединены между собой
Q -q q q и образуют обкладки составного конденсатора (рис. 36, а). В этом
5случае имеем
Рис. 36U = Ui, q = ^qi, с = ^С1-
Последовательное соединение. Обкладками составного конденсатора служат обкладки крайних конденсаторов (рис. 36, б), полный заряд на каждой паре внутренних обкладок равен нулю. Имеем
q = qi, и = ^и^ ^ = 52^7-
Во многих случаях можно рассчитать емкость составного конденсатора, шаг за шагом заменяя последовательно и параллельно соединенные конденсаторы на эквивалентную емкость. Если же схему нельзя свести к параллельным — последовательным элементам, то можно воспользоваться методом узловых потенциалов.
Пример 4. Рассмотрим схему на рис. 37. Примем фА = 0, тогда фв = U. Потенциалы ф1 и ф^ найдем из системы уравнений, выражающих условие электронейтральности
в узлах 1 и 2 (полный заряд трех обкладок, подходящих к каждому узлу, должен быть равен нулю):
(уч — и^Сз + (уч — ф^Сз + уч(71 = О,
(уч — U)C± + (уч — фх^Сз + Ф2С2 = 0.
Решив уравнения, найдем заряд составного конденсатора q = С1Ф1 + С^ф^ и емкость С = q/U.
3.8. Энергия электростатического поля
► Энергия системы зарядов. Энергия взаимодействия системы зарядов определяется как работа внешних сил, необходимая для создания этой системы, или как работа, совершаемая силами поля при ее уничтожении. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна энергии одного заряда в поле, создаваемом другим зарядом:
VT12 = 91^2^1) = 92^1^2) = к^-.
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна
w = ewu = ^e wtJ Це ^м-(32)
z>jv/13г
Здесь ф(г^) — потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами в той точке, где находится г-й заряд. Если переписать эту формулу для заряда, непрерывно распределенного по поверхности или объему в ограниченной области пространства, то получим:
w = i j ^(r)jo(r) dV + I J р(г)<т(г) ds.(33)
Vs
Хотя формула (33) получена формальным обобщением (32), между ними есть принципиальные различия. В формуле (32) ф(тЦ — потенциал, создаваемый остальными зарядами, а в (33) Ф^Ц — потенциал всех зарядов в точке г (вклад элемента объема или поверхности при уменьшении размеров стремится к нулю). Но самое главное — (32) учитывает только энергию взаимодействия^ после разнесения точечных зарядов далеко друг от друга
остается собственное поле каждого заряда; формула (33) позволяет вычислить полную энергию системы непрерывно распределенных зарядов (при разделении системы на всё более мелкие части энергия стремится к нулю).
Пример 1. Вычислите энергию равномерно заряженного шара радиусом R.
Решение. Подставляя в (33) потенциал поля шара (см. пример 3 из разд. 3.4), получим н
W = - [ рр dV = - [+ -k —^\4irr2dr = -k — .
2 J2 J V 2Я32^75 R
о
► Энергия уединенного проводника. Все заряды на проводнике находятся при одинаковом потенциале, равном потенциалу проводника. Из формулы (33) имеем
22
и-'- Т = ^ =w
где С — электроемкость проводника (см. разд. 3.5). Это выражение получается и прямым расчетом работы электрического поля при постепенном удалении всего заряда на бесконечность: W = J p(q) dq = С ^ р dp = l^^2. Например, энергия уединенной проводящей сферы равна 2
W = —, StteoeR где е — диэлектрическая проницаемость среды вокруг сферы.
► Энергия конденсатора. Из формулы (33) получим
ы/ - ЗЕ! _- 2^1 - q2
W 22222С"
Поле в конденсаторе можно уничтожить, перенося заряд малыми порциями с одной обкладки на другую: W = J U(q) dq = С ^ U dU = = ^CU2. Например, энергия плоского конденсатора равна
W = ^^(Ed)2 = ^^Sd.(36)
► Плотность энергии электрического поля. При полевом подходе надо говорить не об энергии взаимодействующих зарядов, а об энергии окружающего их электрического поля. Объемная плотность энергии электрического поля w = dW / dV в пустом пространстве зависит только от напряженности поля:
w = |e0£2-(37)
Это выражение верно для любого распределения зарядов (его можно получить, рассмотрев однородное поле плоского конденсатора).
Исходя из уравнений поля (см. разд. 3.4), формулу (33) можно преобразовать к виду
W = lje0E2dV,(38)
где интегрирование ведется по всему пространству.
Например, при вычислении энергии заряженного шара (пример 1) по формуле (33) интегрирование производилось по объему шара, однако (38) показывает, что только часть энергии поля заключена внутри шара, а часть — в окружающем шар пустом пространстве. Формулы (33) и (38) позволяют вычислить полную энергию поля во всем пространстве только если: а) отсутствуют точечные заряды и заряды, распределенные по линии; б) заряды распределены по конечной области пространства. Однако (38) позволяет вычислять энергию, сосредоточенную в конечной области пространства, даже если полная энергия бесконечна.
В случае диэлектрика плотность энергии оказывается в е раз больше:
w = ^е0еЕ2 = ^ED = ^е0Е2 + ^s0(s - 1)Е2.(39)
Первый член в последнем выражении представляет собой непосредственно энергию электрического поля в диэлектрике, а второй (равный |е • Р) — работу, совершаемую полем над молекулами при его включении. Это выражение можно обобщить на случай, когда Р (и D) не пропорциональны Е (сегнетоэлектрики, сильные поля). Для этого надо рассмотреть зарядку плоского конденсатора, заполненного таким диэлектриком:
D
^ = ^Udq = ^(Ed)d(DS) = jE-dD.
О
► Закон сохранения энергии и вычисление сил. Для вычисления сил, действующих на заряженное или поляризованное тело
в электрическом поле, надо рассмотреть медленное изотермическое изменение его положения. При этом работа внешних сил плюс работа источников равна изменению энергии поля. Так как тело находится в механическом равновесии, то работа внешних сил равна работе силы, действующей со стороны поля, с обратным знаком.
Пример 2. Рассмотрим плоский конденсатор (отключенный от источника), который заполнен жидким или газообразным диэлектриком. Найдите силу, действующую на обкладку конденсатора.
Решение. При увеличении расстояния между обкладками на dx энергия увеличится на ^ЕDS dx, а работа равна F dx. Следовательно, сила притяжения равна F = -ED S = -Eq, где -Е — напряженность в диэлектрике, создаваемая одной обкладкой. Если диэлектрик представляет собой твердую пластину, то между диэлектриком и обкладкой существует
воздушный промежуток, изменение энергии равно ^E^E^Sdx, а сила F = |€о^25 = ^qEo, где ^Ео — напряженность, создаваемая одной пластиной в воздушном промежутке.
Пример 3. Вычислите силу, которая втягивает пластину из диэлектрика в пространство между обкладками плоского конденсатора.
Решение. Будем считать, что размеры пластины совпадают с размерами обкладок, а толщина пластины чуть меньше, чем расстояние b между ними. Будем также считать, что конденсатор подключен к источнику,
Рис. 38 который поддерживает на нем постоянное напряжение U.
Уменьшим на dx расстояние, на которое пластина вдвинута в конденсатор (рис. 38). Энергия поля в объеме dV = ab dx изменится на dW = ^so^2 — ^Soe^2^ ab dx (a — ширина пластины, E = U/b — напряженность поля), заряд на пластинах изменится на dq = Aaadx = (eqE — ЕоеЕ)а dx, работа источника 5ЛИСТ = U dq в два раза больше изменения энергии поля. Записав закон сохранения энергии F dx + б Лист = dW, получим F = -£о(е — 1)аЬЕ2. Заметим, что нам удалось вычислить силу, возникающую вследствие искривления поля у краев конденсатора, хотя расчет энергии производился без учета краевых эффектов.
3.9. Постоянный ток
► Сила тока. Плотность тока. Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Конвекционным током называют движение зарядов, связанное с перемещением в пространстве заряженного тела. Ток проводимости в веществе осуществляется свободными зарядами (носителями тока) — электронами в металлах, электронами и дырками в полупроводниках, ионами в электролитах. За направление тока принимается направление движения положительных зарядов. Заряд, проходящий за время dt через площадку ds = n ds внутри проводника в направлении нормали п, определяется средней скоростью свободных зарядов (v):
dq = qon(y) • dsdt = j • sdt, (40) где qo — заряд носителей тока, n — их концентрация, a j = qonty) — плотность тока. Силой тока I называется заряд, проходящий через сечение проводника в единицу времени:
dq = I dt = dt j • ds,dq = I dt = dt j • ds,(41)(41)
dq = I dt = dt j • ds,
dq = I dt = dt j • ds,
(41)
(41)
где интегрирование производится по поперечному сечению. Для линейного (S = const) проводника j = const, и (41) приобретает вид: / = jS. Ток называется постоянным, если / = const.
Уменьшение заряда внутри замкнутой поверхности равно dqo^ = — dt j> j • ds. В дифференциальной форме закон сохранения заряда принимает вид: ^ = —divj. В случае постоянного тока j>j • ds = 0 (divj = 0), т. е. линии тока непрерывны и направлены вдоль проводника.
► Закон Ома в дифференциальной форме. Для поддержания тока в веществе на свободные заряды должна действовать постоянная сила F электромагнитной природы, которую можно характеризовать напряженностью Е = F/qo- Как только эта сила исчезает, за ничтожно малое время средняя скорость свободных зарядов обращается в нуль. При не очень больших значениях Е плотность тока в изотропном проводнике должна быть пропорциональна Е:
j = <тЕ = ^Е, (42)
где сг — удельная проводимость вещества, р — удельное сопротивление. Из закона сохранения заряда следует, что если р = const, то §"E-ds = р§з • ds = 0 (divE = 0), т. е. в однородном проводнике линии напряженности непрерывны, а в проводе постоянного сечения они параллельны поверхности провода.
► Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме. При протекании тока по проводнику работа, совершенная полем Е над свободными зарядами, полностью переходит в энергию теплового движения при их соударениях с ионами. Объемная плотность тепловой мощности тока равна работе поля над зарядами в единице объема за единицу времени:
Штепл = и(у) • Г = QOn(v) Е = j Е = ст Е = pj2. (43)
► Однородный участок цепи. Сопротивление. Если на участки цепи протекание тока обеспечивается только электростатическим (кулоновским) полем (т. е. рз = Екул), то участок цепи называется однородным. В однородном (р = const) проводнике ^ Е • ds = р ^ j • ds = 0, и в соответствии с теоремой Гаусса (см. разд. 3.4) заряд, создающий поле, расположен только на поверхности. В проводе постоянного сечения эквипотенциальные поверхности совпадают с поперечными сечениями провода. Сила тока, протекающего в направлении от сечения 1 к сечению 2, пропорциональна разности потенциалов ipi — ср 2 (закон Ома для однородного участка цепи):
от температуры; в широких пределах можно пользоваться линейной зависимостью р = ро(1 + ^^), где Ро — удельное сопротивление при 0°С, а — температурный коэффициент сопротивления. Для металлов а to 1/273 (т. е. р Т\ для полупроводников а < 0.
► Сторонние силы. ЭДС. Хотя на отдельном участке цепи ток может поддерживаться электростатическими силами, полная работа этих сил в замкнутой цепи равна нулю. Следовательно, для компен
сации тепловых потерь в цепи должны действовать сторонние силы неэлектростатической природы, 11 рq ^р Ltо полная работа которых отлична от ''нуля, т. е. должны присутствовать
8'12 = -ё812 = 8источники тока (рис. 39). Эти
Риг
силы имеют электромагнитную
природу: FCTOp = QqEctop? и их работа по переносу пробного заряда q
пропорциональна q:
2
(45)(45)Aq(l -^ 2) = q|ectop • (/1 = (/£12 = ^q£,
(45)
(45)
1
где £ называют электродвижущей силой источника (ЭДС), знак « + » соответствует случаю, когда при движении от 1 к 2 источник проходится в направлении действия сторонних сил (от отрицательной обкладки к положительной), знак « —» — противоположному случаю. Мощность сторонних сил (мощность источника) равна
Рстор = = 1£12 (46)
(работа сторонних сил над всеми зарядами проводника за время dt равна работе по переносу заряда I dt с одного конца проводника на другой).
► Закон Ома для неоднородного участка цепи. На неоднородном участке цепи действуют как электростатические, так и сторонние силы. Дифференциальный закон Ома (42) принимает вид
J — ^ (ЕКул 4" Естор),(47)
а закон Ома для участка цепи записывается так:
:2
4 р^ = |(Екул + Естор) • dA. => IR = (epi — ср 2) + 512-(48)
11
Если / < 0, то ток протекает от 2 к 1. Величину Uis = (^1 — ^2) + £12, равную работе полной силы по переносу единичного заряда между сечениями 1 и 2, называют напряжением на участке цепи; для однородного участка напряжение равно разности потенциалов. Закон Ома утверждает, что на любом участке цепи IR = [/12.
2p^ = i2r.12p^ = i2r.1(49)(49)► Закон Джоуля — Ленца для участка цепи. Тепловую мощность тока на участке цепи можно найти с помощью формулы (43):
2
p^ = i2r.
1
2
p^ = i2r.
1
(49)
(49)
22
тепл = | ^S ^ = | PJ2^ ^ = I2
11
► Закон Ома для неразветвленной цепи. В неразветвленной замкнутой цепи / = const; сложив уравнения (48) для всех участков цепи, получим:
52 = 52 ^п • (^о)
В случае источника с внутренним сопротивлением г, замкнутого на внешнее сопротивление R, имеем: / = 8 (^R-VtY разность потенциалов на клеммах источника равна ф^ — ф_ = IR = 8 — /г, ток короткого замыкания источника (R = 0) равен /кз. = 8/г. Закон Ома (50) выражает закон сохранения энергии для неразветвленной цепи: мощность сторонних сил равна мощности тепловых потерь на сопротивлениях цепи.
Полезная мощность источника тока. Если источник служит для передачи энергии во внешнюю цепь, то полная (затраченная) мощность равна мощности сторонних сил: РПолн = 8R потерянная мощность — тепловым потерям на внутреннем сопротивлении: Рпотер = 12т. Для полезной мощности получим: Рполезн = 81 — /2г = IАфгде Аф — разность потенциалов на клеммах источника, Рполезн максимальна при / = 8/(2г).
Если на участок цепи подается разность потенциалов ф\ — фр и на участке включено устройство, совершающее работу против внешних сил (мотор), то полная мощность: РПОлн = (у>1 — ^2)/, потерянная мощность: Рпотер = I2 R (R — сопротивление обмотки мотора), полезная мощность: Рполезн = (уч — ф^)1 — I2R = —8x^1 = 81. Величины 8 и I зависят от скорости вращения ротора мотора; максимальная Рполезн достигается при / = (^!-^)/(2Р).
► Расчет разветвленной цепи. Правила Кирхгофа. Для нахождения токов в различных участках разветвленной цепи надо произвольным образом обозначить неизвестные токи и придать им произвольные направления, после чего воспользоваться одним из следующих методов:
Метод узловых потенциалов. В качестве неизвестных принимают потенциалы узлов цепи (один из потенциалов принимают равным нулю). С помощью (48) выражают токи через потенциалы, затем для N — 1 узла записывают закон сохранения заряда: ^2 /^ = 0 (алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю). Найдя ф^ из (48) находим токи.
Правила Кирхгофа. В этом методе неизвестными являются сами токи. Сначала записывают для N — 1 узла уравнения ^2 h = 0 (первое правило Кирхгофа). Затем выбирают произвольный замкнутый контур, обходят его в произвольном направлении и, суммируя (48) для
каждого участка, получают уравнение 52 Л^г = 52 ^ij (второе правило Кирхгофа). Повторяя эту процедуру необходимое число раз, получают систему уравнений для токов.
► Эквивалентные сопротивления и источники. Несколько соединенных между собой сопротивлений R^ можно заменить одним эквивалентным сопротивлением R.
Последовательно соединенные сопротивления: R = 52 Ri-
Параллельно соединенные сопротивления: R-1 = 52 ^7 •
В общем случае для вычисления эквивалентного сопротивления надо использовать методы расчета разветвленных цепей.
Несколько соединенных источников с параметрами ^, г^ можно заменить одним эквивалентным источником с параметрами £, г.
Последовательное соединение: 8 = 52 ^> Т = 52 ri’
Параллельное соединение: 8 = ^8iT~Y( ^т~у г-1 = 52 Т7У •
В общем случае для вычисления эквивалентных 8 и г надо использовать методы расчета разветвленных цепей.
2\в ПЛ „2те(у)2\в ПЛ „2те(у)► Классическая электронная теория металлов. Проводимость металлов осуществляется обобществленными валентными электронами. В классической электронной теории Друде — Лоренца газ электронов считается классическим газом, концентрация которого равна концентрации атомов металла, а температура — температуре металла. Ток проводимости рассчитывается в предположении, что электроны приобретают скорость упорядоченного движения при свободном движении и полностью теряют ее при каждом столкновении с ионами кристаллической решетки. Кроме того, предполагается, что |(v)| <С (v) ~ VкТ. Средняя скорость упорядоченного движения равна (v) ~ ат/2 = еЕт/(2ше), где среднее время между столкновениями т выражается через среднюю длину свободного пробега и среднюю скорость теплового движения: т = А/ (v). С учетом (40) получим:
2\
в ПЛ „
2те(у)
2\
в ПЛ „
2те(у)
2те(у) т.е. р =
е пл
(при более тщательном анализе получается такой же ответ, но без двойки в числителе; однако для оценочной модели это несущественно).
Обсуждение результатов классической электронной теории.
Теория объясняет рост р при повышении температуры, но предсказывает зависимость р ~ VT\ а наблюдается р Т.
Теория успешно объясняет закон Видемана — Франца; для всех металлов произведение коэффициента теплопроводности х (см. разд. 2.9) и удельного сопротивления пропорционально Т (произведение хр содержит только (f)2).
Длина свободного пробега электронов, вычисленная из формул классической электронной теории, оказывается на несколько порядков больше
межатомного расстояния, что противоречит основным представлениям тео
рии.
Классическая электронная теория предсказывает электронный вклад 3
в молярную теплоемкость -R (см. разд. 2.5). Экспериментально вклад элек
тронов в теплоемкость оказывается ничтожно малым.
Магнитное поле. Сила Лоренца и закон Ампера
► Магнитная индукция. Сила Лоренца. Магнитное поле — одна из двух составляющих электромагнитного поля (см. разд. 3.2). Магнитное поле действует на движущиеся заряженные частицы, токи и магнитные моменты. Источниками магнитного поля являются движущиеся заряженные частицы, токи, магнитные моменты и переменные электрические поля. Характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции В. Для определения В можно использовать выражение для силы, действующей на заряженную частицу в электромагнитном поле:
F = qE + q v хВ,(51)
Силу Б^ = qv хВ, действующую на заряженную частицу со стороны магнитного поля, называют силой Лоренца. (Иногда силой Лоренца, или обобщенной силой Лоренца, называют полную электромагнитную силу (51).) Сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, т. е. работу не совершает.
Для определения магнитной индукции В с помощью формулы (51) надо:
измерить силу, действующую на неподвижную частицу, чтобы отделить действие электрического поля;
найти направление скорости v, для которого при постоянной о величина магнитной силы максимальна;
по величине силы найти модуль магнитной индукции: В = Атах/(qu);
по направлению Елах и v найти направление В с помощью правила буравчика.
Магнитную индукцию удобно также определять по вращательному моменту, с которым магнитное поле действует на маленький виток с током. На виток с током действует только магнитное поле.
В СИ магнитная индукция измеряется в тесла (Тл).
Пример 1. Рассмотрим движение нерелятивистской частицы массой т с зарядом q в однородном магнитном поле с индукцией В. Пусть в некоторый момент времени скорость частицы v направлена под углом а к В. Сила Лоренца перпендикулярна как к v (т. е. и = const), так и к В (т. е. сохраняются проекции скорости г?ц и v± на направление вектора индукции и на перпендикулярную к нему плоскость). В проекции на перпендикулярную плоскость частица движется по окружности, радиус которой можно найти из второго закона Ньютона: qu^E = mv2^/R. Период вращения
Т = 2tvR/v±_ = У/кт/qB не зависит от скорости. Результирующее движение происходит по спирали радиусом R с шагом h = v^T = ^тгти cos a](qB).
► Закон Ампера. Сила, действующая на элемент тока в магнитном поле, равна сумме сил Лоренца, действующих на движущиеся свободные заряды:
dV = qoVMx B]dN = nq0VMx В] dV = j xB dV = I dl xB. (52)
При выводе сиди Ампера, действующей на элемент объема dV с плотностью тока j и на линейный элемент dl с током /, использовалась связь плотности тока со средней скоростью свободных зарядов (40). Для вычисления полной силы, действующей на объем с распределенным током j(r) или на протяженный участок провода с током, надо произвести интегрирование. Например, на прямой участок провода длиной 1 с током / в однородном магнитном поле с индукцией В действует сила /1 хВ. Сила, действующая в однородном поле на любой замкнутый контур с током, равна нулю: F = I dl х В = I (^ с/1) х В = 0.
► Магнитный момент контура с током. Магнитным моментом контура с током называется векторная величина рт, равная
V mgРис. 40 на больших расстояниях вдали отV mgРис. 40 на больших расстояниях вдали отPm = I j n ^S, (53) где интегрирование ведется по любой поверхности, натянутой на контур, а направление нормали определяется направлением движения буравчика при вращении его по току. В случае плоского контура
V mg
Рис. 40 на больших расстояниях вдали от
V mg
Рис. 40 на больших расстояниях вдали от
Pm = /Sn = /S.
Магнитный момент контура, так же как и дипольный момент электрического диполя (см. разд. 3.1 и 3.3), определяет магнитное поле контура него и описывает поведение малень
кого витка с током в магнитном поле.
Пример 2. Рассмотрим прямоугольный контур, длины сторон которого равны а и Ь, подвешенный за сторону а в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В (рис. 40). При включении тока силой / контур отклонится на угол /3, при котором момент силы тяжести уравновешивается моментом сил Ампера mg^bsin 0 = IBabcos0, или tg/3 = 21 Ва/(mg). Обратите внимание, что вращательный момент, действующий на контур со стороны магнитного поля, равен М = /S х в = Pm х В. Аналогичное выражение было получено для вращательного момента, действующего на электрический диполь в электрическом поле (см. разд. 3.3).
Вычисление магнитной индукции
► Закон Био — Савара — Лапласа. Магнитная индукция, создаваемая в точке А элементом тока / dl, равна
dB =dB =цо I Л х г4тг г3цо I Л х г4тг г3(54)(54)
dB =
dB =
цо I Л х г
4тг г3
цо I Л х г
4тг г3
(54)
(54)
где г — радиус-вектор, проведенный от элемента тока к точке А, цо = 4тг • 10-7 Гн/м — магнитная постоянная. Это выражение можно переписать для магнитной индукции элемента объемного тока jc/V, элемента поверхностного тока ids или, разделив на число свободных частиц в элементе тока, для нерелятивистской частицы qv:
(55)(55)dB = ^2^dV, dB = ^-^ds, dB = ^4тг г4тг г4тг г
(55)
(55)
(Поверхностной плотностью тока называют силу тока, приходящуюся на единицу длины перпендикулярного току отрезка: di = г dl.) Для вычисления магнитной индукции, создаваемой конечным объемом, поверхностью или проводом, надо произвести интегрирование (принцип суперпозиции для магнитной индукции).
► О системах единиц в электромагнетизме. Формулы будут приводиться в СИ. Для перехода к гауссовой системе (СГС) в большинстве случаев достаточно заменить одновременно В на В/с (и поток Ф на Ф/с) и цо на 4тг/с2. Если в формуле присутствует кулоновская константа к, ее надо заменить на единицу, а электрическую постоянную во на 1/(4тг). Отметим, что произведение Цо£о равно 1/с2.
Пример 1. Вычислите силу магнитного взаимодействия двух частиц с зарядами Qi и Q2, скорости которых в некоторый момент равны vi = V2 = v (о ^ с) и направлены перпендикулярно соединяющей их линии.
Решение. Магнитная индукция, создаваемая первой частицей в точке,
где находится вторая частица, равна В =где находится вторая частица, равна В =Цо giv 4тг г2Цо giv 4тг г2(г — расстояние между(г — расстояние междучастицами) и направлена перпендикулярно v и г. Сила Лоренца в случае одчастицами) и направлена перпендикулярно v и г. Сила Лоренца в случае одноименных зарядов направлена в сторону частицы 1 и равна F =„2Отношение магнитной силы к электрической равно цо£ои = —.ноименных зарядов направлена в сторону частицы 1 и равна F =„2Отношение магнитной силы к электрической равно цо£ои = —.цо gig^4тг г2цо gig^4тг г2
где находится вторая частица, равна В =
где находится вторая частица, равна В =
Цо giv 4тг г2
Цо giv 4тг г2
(г — расстояние между
(г — расстояние между
частицами) и направлена перпендикулярно v и г. Сила Лоренца в случае од
частицами) и направлена перпендикулярно v и г. Сила Лоренца в случае од
ноименных зарядов направлена в сторону частицы 1 и равна F =
„2
Отношение магнитной силы к электрической равно цо£ои = —.
ноименных зарядов направлена в сторону частицы 1 и равна F =
„2
Отношение магнитной силы к электрической равно цо£ои = —.
цо gig^
4тг г2
цо gig^
4тг г2
Пример 2. Магнитное поле в центре кругового тока. Найдите
магнитную индукцию, создаваемую круговым контуром радиусом R с током / в центре контура.
Решение. Магнитная индукция, создаваемая элементом дуги с угловым размером dp^ равна
цо IRdp цо! dpа В =— =
4тг R2 4kR
и направлена вдоль оси (в сторону движения буравчика при его вращении по току). Магнитная индукция, создаваемая в центре окружности всем кру- D Pol
говым током, равна В = .
Пример 3. Найдите магнитную индукцию кругового тока в точке А на его оси, находящейся на расстоянии у от центра витка (рис. 41).
Решение. Вектор В направлен вдоль оси у, а вклад элемента дуги
с угловым размером dp равен
dBy = dB sin а =dBy = dB sin а =до IRdp R
dBy = dB sin а =
dBy = dB sin а =
4тг Я2 + у2 УдгТрр"
После интегрирования по р получим
yoIR2^R^y^/*2'yoIR2^R^y^/*2'На большом расстоянии от контура (у ^ R) магнитная индукция
yoIR2
^R^y^/*2'
yoIR2
^R^y^/*2'
g ~ PqIR _ до 2/(тгД^2~ 2д3 ~ 4тг д3
выражается через магнитный момент pm = /S аналогично тому, как напряженность
электрического поля выражается через электрический момент диполя (см. пример 4 из разд. 3.3, случай г || р). Можно показать, что и в произвольной
В =В =Мо /4тгг3 \Мо /4тгг3 \Pm • ГPm • Г(56)(56)точке г магнитная индукция плоского маленького витка с током равна
В =
В =
Мо /
4тгг3 \
Мо /
4тгг3 \
Pm • Г
Pm • Г
(56)
(56)
расстоянием у до прямой и углами а\ Решение. Вклад в В элемента правлен перпендикулярно плоскостирасстоянием у до прямой и углами а\ Решение. Вклад в В элемента правлен перпендикулярно плоскостиРис. 42Рис. 42(58)(58)
расстоянием у до прямой и углами а\ Решение. Вклад в В элемента правлен перпендикулярно плоскости
расстоянием у до прямой и углами а\ Решение. Вклад в В элемента правлен перпендикулярно плоскости
Рис. 42
Рис. 42
(58)
(58)
Пример 4. Найдите магнитную индукцию, создаваемую прямым отрезком провода в точке А. положение которой относительно отрезка задается
и «2 (рис. 42).
До I dx .
dx равен dB =s- sin а и на- 4тг г2
, проходящей через отрезок и точку А. Интегрировать удобно по углу а после подстановки г = у / sin а и замены переменной: х = — ^ctga, dx = yda/ sin2 а. В результате получаем
В =(cos од — cos «2).(57)
4тгд
Полагая од = 0, «2 = тг, находим магнитную индукцию бесконечного провода с током:
2тгд
Если с помощью (57) рассчитать магнитную индукцию в центре прямоугольного контура с током, то получим
До 8/Vа2 + ь2D =4тг ab
где а и b — длины сторон контура.
Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
Теорема о циркуляции. Из закона Био — Савара — Лапласа можно вывести утверждение, что циркуляция магнитной индукции вдоль любого замкнутого контура определяется алгебраической суммой токов, охватываемых этим контуром (т. е. током, проходящим через натянутую на контур поверхность):
В (/1 = у01Охв = W) jAВ (/1 = у01Охв = W) jA(59)(59)
В (/1 = у01Охв = W) jA
В (/1 = у01Охв = W) jA
(59)
(59)
где положительное направление нормали определяется движением буравчика при его вращении в направлении обхода контура.
Теорема Гаусса для магнитного поля. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через любую замкнутую поверхность равен нулю:
^ В • ds = 0.(60)
Это означает, что линии магнитной индукции всюду непрерывны, т. е. не существует магнитних зарядов, на которых бы начинались или оканчивались линии поля. Магнитный поток в СИ измеряется в веберах (Вб).
Полезно отметить, что магнитный поток через поверхность, натянутую на заданный контур, не зависит от формы этой поверхности. Поэтому можно говорить о потоке через контур, не указывая поверхность.
Пример 1. Поле соленоида. Соленоидом называется длинная цилиндрическая катушка из тонкого плотно намотанного провода. Соленоид характеризуют количеством витков п, намотанных на единицу длины. Идеальной моделью соленоида называют тонкую бесконечно длинную цилиндрическую поверхность с поверхностным током плотностью г = nl, текущим перпендикулярно образующей. Нетрудно убедиться, что магнитная индукция в идеальном соленоиде всюду направлена параллельно образующей (для этого
надо рассмотреть вклад любых двух симметричных элементов тока). Вне соленоида поле отсутствует. Из теоремы о циркуляции и теоремы Гаусса следует, что внутри соленоида В = const. Чтобы найти величину В, надо применить теорему о циркуляции к прямоугольному контуру, одна сторона которого проходит вдоль образующей внутри цилиндра, а другая — вне (рис. 43): В1 = yoil. Получим, что магнитная индукция внутри соленоида равна
(61)(61)В = yoi = Цоп1.
(61)
(61)
Рис. 44
Рис. 45
Пример 2. Поле толстого провода. Найдем магнитное поле бесконечного прямого провода радиусом R, по которому протекает ток / (рис. 44). Линии индукции имеют вид окружностей. Выбирая окружность радиусом г в качестве контура для теоремы о циркуляции (59), при г > R получим В(2тгг) = Цо1. Аналогично при г < R имеем В(2тгг) = /1о/(тгг2/тгВ2). Из этих равенств находим магнитную индукцию
В =
до£ 2тгг Ро! г
при г > В,
2тгК2
при г < R.
Пример 3. Поле плоскости с током. Рассмотрим ток, текущий по бесконечной плоскости (ж, у) в направлении оси у с постоянной плотностью г. Магнитная индукция над плоскостью при г > 0 направлена вдоль ж, а при г < 0 — противоположно ж (в этом можно убедиться, рассмотрев вклад двух линий тока, расположенных симметрично по отношению к данной точке). Выберем прямоугольный контур, одна сторона которого проходит над плоскостью в направлении ж, а другая — симметрично ей под плоскостью (рис. 45). Из теоремы о циркуляции получим: 2BZ = rqU, т. е. В = ^Roi-
► Перемещение контура с током в магнитном поле. При перемещении или деформации контура с постоянным током / в постоянном магнитном поле работа силы Ампера, действующей на участок контура, равна
5 А = d¥ • dr = /[(/1 х В] -dr = /В [dr х dY\ = /В • ds,где dr — перемещение участка контура d\, ds — элемент площади,
Рис. 46
заметенный этим участком при его перемещении (рис. 46). Суммируя вдоль всего контура, получим, что механическая работа магнитного поля выражается через изменение магнитного потока Ф через контур:
^^мех — I dФ.
(62)
Это значит, что контуру с током / в постоянном магнитном поле можно сопоставить потенциальную функцию
Wn = — 1Ф, изменение которой (с обратным знаком) равно работе силы Ампера:
Лмех = -ZWn, Wn = -/Ф.(63)
Для случаев однородного поля или маленького плоского витка формула (63) принимает вид:
И/п = -рш В,(64)
где рт — магнитный момент контура с током (см. разд. 3.10). Поскольку это выражение совпадает с потенциальной энергией электрического диполя (см. разд. 3.3), то такой же вид должны иметь выражения для вращательного момента, действующего на магнитный момент, и для силы, действующей на него в неоднородном поле:
м — рт X В, F — рт ^ — ртх ^ + Рту ^ + Pmz ^^ 1(65)
где вектор п параллелен вектору рт. Равновесная ориентация с минимальной энергией соответствует положению pm 11 В; ориентированный таким образом виток втягивается в область более сильного магнитного поля.
► Уравнения Максвелла для постоянного магнитного поля.
В дифференциальной форме это уравнения
rot В = /zoj, div В = 0,
а в интегральной — уравнения (59) и (60).
► Векторный потенциал. Второе из уравнений Максвелла удовлетворяется, если индукцию магнитного поля искать в виде В = rotA. Векторный потенциал А определен неоднозначно: А' = А + grad%, где х — произвольное скалярное поле, порождает такое же поле В, что и поле А (калибровочное преобразование для векторного потенциала). Это обстоятельство позволяет упростить уравнение для векторного потенциала, которое получается после подстановки В = rotA в первое уравнение Максвелла: grad div А — ДА = /zoj- Выбором подходящего скалярного поля % можно добиться выполнения условия divA = 0. Для векторного потенциала получаем уравнение
А А = —/zoj-
Уравнение для каждой из проекций А математически тождественно уравнению для скалярного потенциала в электростатике (см. разд. 3.4), следовательно, решение этих уравнений имеет вид
дм =
4тг t |r — r'|
Используя это выражение, можно, например, вычислить поле маленького витка с током (см.(56)), а также доказать закон Био — Савара.
Магнитное поле в веществе
► Намагниченность вещества. Вещество считается намагниченным, если оно создает внутри себя и в окружающем пространстве магнитное поле в отсутствие токов проводимости. Источником магнитного поля намагниченного вещества (магнетика) являются магнитные моменты его атомов и молекул (молекулярные токи). В отсутствие внешнего магнитного поля микроскопические магнитные моменты либо отсутствуют (в диамагнетиках), либо ориентированы хаотически (в парамагнетиках), и создаваемое ими магнитное поле равно нулю (кроме случая постоянных магнитов, см. ниже ферромагнетики). При помещении во внешнее магнитное поле вещество намагничивается, т. е. возникает магнитный момент объема вещества. Степень намагниченности в данной точке вещества характеризуют намагниченностью J, равной полному магнитному моменту в расчете на единицу объема:
J = ду = W,J = ду = W,(66)(66)
J = ду = W,
J = ду = W,
(66)
(66)
где п — концентрация молекул. Для построения макроскопических уравнений поля в магнетике можно упрощенно считать, что все молекулы в объеме AV имеют одинаковый магнитный момент (Pm) = J/n = /os, т. е. могут быть представлены одинаковыми микроскопическими витками с током.
Намагниченность и макроскопические молекулярные токи. При описании собственного магнитного поля огромное число ориентированных микроскопических витков (магнитных моментов) можно заменить распределенными по поверхности и объему макроскопическими молекулярными токами. Проще всего представить себе такую
замену в случае однородно намагниченного цилиндра, когда молекулярные витки с током ориентированы вдоль его оси. Внутри цилиндра токи различных витков будут скомпенсированы, а по поверхности будет течь нескомпенсированный поверхностный ток. Магнитная индукция этого тока Всоб будет внутри цилиндра направлена в ту же сторону, что и намагниченность J.
Если рассмотреть произвольный
замкнутый контур, то его участок d\, расположенный внутри магнетика, пронизывает те витки, центры которых попали в объем dV = s • d\ (рис. 47). На этом участке вклад в охватываемый контуром молекулярный ток (пересекающий натянутую на контур поверхность)
равен /оп dV = n/gs • d\ = J • dL Производя интегрирование, получим
=(67)
В дифференциальной форме имеем: rot J = jмoл• Из этих уравнений можно получить выражение для плотности тока на поверхности магнетика:
1мол — J X П,(68)
где п — внешняя нормаль к поверхности магнетика.
Напряженность магнитного поля. Макроскопическая индукция магнитного поля в магнетике определяется как результат усреднения микроскопической В, сильно меняющейся на межатомных расстояниях, по малому объему, содержащему достаточно много молекул: В (г) = (Вмикро). Индукция поля определяется как молекулярными, так и сторонними токами (т. е. немолекулярными — токами проводимости, конвекционными токами):
§B.di=MioiB + a-(69)
Так как распределение молекулярных токов обычно не известно, удобно ввести новую величину, называемую напряженностью магнитного поля.
H = ^-J,(70)
р-о
которая определяется только сторонними токами:
f н ■ d\ = 1^в(71)
(теорема о циркуляции для напряженности). В дифференциальной форме имеем: rotH = jCT. В СИ напряженность измеряется вА/м.
Условия на границе раздела магнетиков. На границе раздела двух магнетиков выполняются следующие условия для тангенциальных (касательных) и нормальных компонент:
В^п = Bin, Hl х n - Н2 х n = iCT, Ji x n - J2 x n = 1МОЛ (72) (нормаль n проведена из первой среды во вторую, |Нх п| = Нт\ Если стороннего тока на границе нет, то второе условие можно записать в виде HiT = Н>т. Первое условие получается из теоремы Гаусса (60) для вектора В, второе — из (71), третье — из (68). Для граничных условий наблюдается формальная аналогия между Н и Е, а также между В и D (см. разд. 3.6).
Изотропный магнетик. Намагниченность J в данной точке магнетика возникает под воздействием магнитного поля и определяется его индукцией В. Для не очень сильных полей J зависит от В линейно,
а в изотропном магнетике, кроме того, J || В. В этом случае векторы J и Н пропорциональны В и друг другу, и по историческим причинам (в силу аналогии между граничными условиями для Е и Н) магнитная восприимчивость определяется соотношением
J = %H,J = %H,XgМо(1 + х)XgМо(1 + х)(73)(73)
J = %H,
J = %H,
Xg
Мо(1 + х)
Xg
Мо(1 + х)
(73)
(73)
Из формулы (70) получим:
В = //о (1 + х)Н = ^Н,В = //о (1 + х)Н = ^Н,(74)(74)
В = //о (1 + х)Н = ^Н,
В = //о (1 + х)Н = ^Н,
(74)
(74)
где // — магнитная проницаемость вещества. В парамагнетиках X > 0, в диамагнетиках х < 0, в обоих случаях |х| ^ 1 (слабые магнитные свойства). В ферромагнетиках х ^ 1-
Объемная плотность молекулярного тока пропорциональна объемной плотности стороннего тока: jMOJ1 = XJCT5 если объемных сторонних токов нет, то при намагничивании возникают только поверхностные молекулярные токи.
Граничные условия на границе двух изотропных магнетиков имеют вид
В1„ = В2„, _^ = ^ ^Н1п = ц2Н2п, Н1Т = Н2Т.
Если границы однородного магнетика всюду касаются линий индукции поля Bq, которое было до внесения магнетика, то всюду в магнетике В = ^Во.
Пример 1. Длинный цилиндр из парамагнетика помещен в однородное магнитное поле, индукция которого Во параллельна его оси. Найдите магнитную индукцию, напряженность магнитного поля и намагниченность внутри цилиндра.
Решение. Всюду внутри цилиндра (кроме его краев) имеем: магнитная индукция В = //Во, напряженность магнитного поля Н = Но = Во//щ, намагниченность: J = (р — 1)Во//щ.
Пример 2. По бесконечному цилиндрическому проводу круглого сечения из материала с магнитной проницаемостью р > 1 течет постоянный ток с плотностью j. Найдите напряженность поля, магнитную индукцию и намагниченность и рассчитайте поверхностную и объемную плотности молекулярного тока.
Решение. Молекулярный ток в объеме цилиндра имеет плотность jмoл = (^ — l)j. Напряженность Н можно найти с помощью теоремы о циркуляции (71); она равна Н = I/(2тгг) при т > R и Н = Ir/^KR1) при т < R (см. пример 2 из разд. 3.12). Магнитная индукция равна В = роН при т > R и В = Цо р-Н при г < R; она испытывает скачок на поверхностном молекулярном токе. Намагниченность равна J = (р — 1)/г/(2тгЯ2) (вне цилиндра J = 0). Линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности, а Н и J параллельны В. Поверхностный молекулярный ток
равен i = J х п; он равен по модулю гМОл = (g — 1)// (2тгЯ) и направлен противоположно j. Полный молекулярный ток равен нулю: ЭмолкН2 = гМол^кН.
Пример 3. На сердечник из ферромагнетика (р *> 1) в виде тора со средним радиусом R намотана обмотка с большим числом N витков с током силой I. В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной Ь. Найдите
магнитную индукцию в прорези.
Решение. Магнитная индукция непрерывна на границах прорези, поэтому В имеет одинаковое значение всюду на оси сердечника. Чтобы найти В, запишем теорему о циркуляции для напряженности: NI = —b Ч2тгВ.
до дод popNI Получим: В = .
2тгВ + pb
► Механизмы намагничивания. Магнитные моменты атомов и молекул создаются: а) движением электронов по замкнутым орбитам (орбитальные магнитные моменты); б) собственными магнитными
моментами электронов, связанными с внутренним механическим моментом — спином (спиновые магнитные моменты). Магнитный
момент каждого типа пропорционален своему механическому моменту: pm = —g(e/2m)L, где безразмерный множитель g называют гиромагнитным отношением. Для орбитального момента g = 1, для спинового момента g = 2.
В диамагнетике магнитные моменты всех электронов атома (молекулы) в отсутствие магнитного поля компенсируют друг друга. При включении магнитного поля на каждый магнитный момент начинает действовать вращательный момент, под действием которого происходит
вращение магнитного момента вокруг направления магнитного поля (ларморовская прецессия):
d/L е т / е „ \ у
— =pmxB = -g—L х В = g—В х L. at 2т \ 2т J
Вектор L (и рт) совершает вращение с угловой скоростью ®л = geB/2m (рис. 48). Такое вращение приводит к появлению у каждого электрона дополнительного магнитного момента Лрш, направленного против В (независимо от направления исходного рт).
В парамагнетике магнитные моменты электронов в атоме не компенсируют друг друга даже в отсутствие магнитного поля. На слабый диамагнитный механизм намагничивания накладывается более сильный ориентационный механизм: в присутствии поля ориентация магнитного момента по полю оказывается энергетически более выгодной. В слабых полях (ртВ <^ кТ) средний магнитный момент пропорционален магнитной индукции, в сильных полях происходит насыщение, все
магнитные моменты повернуты вдоль поля, и намагниченность практически не меняется. (Ориентационный механизм намагничивания парамагнетиков аналогичен ориентационному механизму поляризации полярных диэлектриков, см. разд. 3.6. В частности, остается верным вывод об обратно пропорциональной зависимости восприимчивости от температуры.)
► Ферромагнетиками называются вещества, в которых существует спонтанная намагниченность в макроскопических (больших по сравнению с межатомными расстояниями) областях — доменах. Размеры доменов (~ 10-5 4- 10-4 м) малы по сравнению с размером образца. В пределах каждого домена спиновые магнитные моменты ориентиро
ваны параллельно друг другу, что является результатом специального квантового (обменного) взаимодействия между ними. В отсутствие магнитного поля домены ориентированы таким образом, что средняя намагниченность вещества равна нулю. При включении магнитного поля размеры доменов, направленных вдоль поля, увеличиваются, направленных против поля — уменьшаются. При увеличении поля начинается поворот доменов как целого в направлении поля. В сильных
полях домены ориентированы вдоль поля, т. е. наступает насыщение (намагниченность достигает максимального значения JH, называемого намагниченностью насыщения).
Зависимость J от Н носит нелинейный характер (рис. 49), т. е. маг
нитная проницаемость, определяемая формулой 3 = (у — 1)Н, зависит от Н и достигает громадных значений у ~ ~ 105 4-106. При снятии внешнего поля в веществе наблюдается остаточная намагниченность JOCt Напряженность Нк магнитного поля, полностью размагничивающего ферромагнитный образец, называется коэрцитивной силой. Ферромагнетики, обладающие большой Нк. используются для изготовления постоянных магнитов.
Зависимость J(H) при прямом и обратном намагничивании до насыщения называется петлей гистерезиса.
При нагревании выше температуры Кюри вещество теряет ферромагнитные свойства (спонтанная намагниченность доменов исчезает) и становится парамагнетиком. В точке Кюри происходит фазовый
переход второго рода.
► Эффект Холла. При помещении проводника с током в поперечное (перпендикулярное току) магнитное поле в проводнике возникает поперечное электростатическое поле, направленное перпендикулярно магнитной индукции (рис. 50). Это поле возникает в результате смещения упорядоченно движущихся свободных зарядов под действием силы
Лоренца, которое продолжается до тех пор, пока сила Лоренца не будет уравновешена электрической силой: ^o(v) х В = —QqE. Домножив на концентрацию свободных зарядов п, выразим Е через плотность тока. В результате получим Е =—j х В. Вид
но, что измерение величины и направления напряженности в эффекте Холла позволяет
определить как концентрацию свободных зарядов (в случае свободных зарядов одного типа), так и их знак.
Электромагнитная индукция
► Закон электромагнитной индукции. При перемещении или деформации контура с током в постоянном магнитном поле силы Ампера, направленные на каждом участке перпендикулярно току, согласно (62) совершают механическую работу JA_l = I АФ. Так как полная работа силы Лоренца над любой движущейся частицей равна нулю, то такая же по величине, но обратная по знаку работа совершается магнитным полем (тангенциальной компонентой силы Лоренца) над движущимися по контуру свободными зарядами, что приводит к возникновению в контуре дополнительной ЭДС индукции:
АФАФ
Оц = —1АФ = ~^dt)^ = £Aq, £ =(75)
Из принципа относительности Эйнштейна следует, что ЭДС индукции должна возникать и при помещении неподвижного контура в изменяющееся со временем магнитное поле. Рассмотрим, например, сближение с постоянной скоростью замкнутого контура и постоянного магнита. В инерциальной системе отсчета (ИСО), связанной с магнитом, создаваемое им поле не зависит от времени, и возникновение ЭДС в контуре объясняется действием силы Лоренца. В другой ИСО, связанной с контуром, наблюдается такая же ЭДС, но в неподвижном проводнике она не может быть вызвана магнитными силами. Следовательно, в изменяющемся со временем магнитном поле должно возникать электрическое поле. Так как работа этого поля при обходе контура должна быть отлична от нуля, то это поле не является электростатическим: его называют вихревим электрическим полем. Итак, независимо от причины, по которой меняется магнитный поток через контур, в нем возникает ЭДС индукции, равная
Рис. 51
(закон Фарадея). Средняя ЭД С индукции за конечное время At равна £ср = — АФ/At. Прошедший по контуру за это время заряд равен q = J I dt = J(8 /R) dt = — (АФ/R), где R — сопротивление контура.
Правило Ленца. Направление ЭДС определяется ее знаком; напомним (см. разд. 3.12), что контур должен быть ориентированным; положительное направление нормали к поверхности при вычислении Ф и положительное направление обхода контура для определения знака ЭДС должны быть связаны правилом буравчика. Знак « —» в формуле (76) соответствует правилу Ленца^ которое утверждает, что ЭДС индукции должна иметь такое направление, чтобы магнитное поле текущего в этом направлении тока создавало магнитный поток противоположного знака по сравнению с тем изменением потока, которое является причиной возникновения ЭДС. Правило Ленца тесно связано с законом сохранения энергии.
Движение участка контура. При движении элемента контура d\ со скоростью v работа силы Лоренца по переносу пробного заряда q вдоль d\ равна б А = q\y х В] • dl = qd8. ЭДС, наводимые при произвольном движении участка и при поступательном движении в однородном поле, равны соответственно:
£ = |[vxB]-dl, £ = [v х В] • 1, (77) где 1 — вектор, соединяющий начало и конец участка. Если концы движущегося проводника разомкнуты, то между ними возникает разность потенциалов, равная ЭДС (в каждой точке проводника электростатическая сила уравновешивается силой Лоренца).
Пример 1. Перемычка длиной I с сопротивлением г движется со скоростью и по двум горизонтальным рельсам, помещенным в вертикальное магнитное поле (рис. 51). Найдите силу тока через перемычку.
Решение. Предположим, что рельсы замкнуты с одной стороны от перемычки сопротивлением /й, а с другой — сопротивлением Rs. Чтобы найти ток через перемычку при ее движении со скоростью и^ используя (77), вычислим ЭДС в перемычке: 8 = Bvl. Тот факт, что ЭДС локализована в движущейся перемычке, позволяет изобразить эквивалентную схему и найти силу тока: I = 8/(г + R), где R = R\Rs((Ri + Rs).
Уравнения для вихревого электрического поля. Уравнение для вихревого поля в интегральной форме получается при записи закона Фарадея (76) для неподвижного контура в переменном магнитном поле:
<£е-Л= -4т [в-ds. (78)
J dt J х 7
Так как циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю, то такому же уравнению удовлетворяет полное электрическое поле. Дифференциальная форма этого уравнения имеет вид
rotE = -^.(79)
Уравнения (78), (79) представляют собой одно из уравнений Максвелла (в интегральной и дифференциальной формах).
► Квазистационарное приближение. Если токи и поля меняются не очень быстро, то можно пренебречь запаздыванием процессов по времени. Сказанное означает, что переменное магнитное поле в любой точке системы определяется (по формулам Био — Савара — Лапласа) токами в этот же момент времени; электростатическое поле определяется распределением зарядов в этот же момент времени, а вихревое электрическое поле вычисляется по изменяющемуся магнитному полю с помощью (78), (79). Именно в этом приближении рассчитываются цепи переменного тока. Для выполнения этого приближения надо, чтобы характерное время изменения токов т было велико по сравнению, во-первых, с временами локальных релаксационных процессов (например, временем установления равновесного распределения заряда на проводнике Е^р\ и, во-вторых, со временем запаздывания т3 = 1/с (/ — характерный размер системы). Последнее условие означает, что мы пренебрегаем током смещения в уравнениях Максвелла (т. е. считаем, что rotB = z^oj)•
Пример 2. Оценим время т перераспределения заряда на проводнике. Будем считать, что где-то в проводнике образовался объемный заряд. Убывание заряда внутри произвольного объема подчиняется уравнению dqX• л 1 КлqГ 1 \
— = -Фдпаз = --®Ends = =, откуда q = q0 exp, т. е.
atJр Jeop\еор/
T = Eop.
► Самоиндукция и взаимная индукция. Рассмотрим неподвижный контур с током. Предположим, что ток / в этом контуре изменяется со временем. Создаваемая этим током магнитная индукция будет меняться со скоростью, пропорциональной di/dt. Следовательно, возникающее в каждой точке пространства вихревое поле тоже пропорционально di/dt. Это поле создает в контуре ЭДС самоиндукции:
E = -L^,(80)
где L называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура. Индуктивность измеряется в СИ в генри (Гн). Величину Фс = LI называют собственным магнитным потоком контура. С учетом (80) получим:
£е = -^-(81)
Эта формула оказывается верной и в том случае, когда изменяется не только /, но и L.
Заметим, что определение L как коэффициента пропорциональности между потоком и током встречается с трудностями: в случае линейного провода собственный поток бесконечен, а для провода конечной толщины обычное определение потока не годится, так как неясно, как выбрать контур.
Пример 3. Индуктивность соленоида. Рассмотрим соленоид длиной I и площадью S (/ ^ VS), по которому течет ток с поверхностной плотностью г = (N/l)I, где N — число витков, / — ток в обмотке. Магнитное поле в соленоиде однородно, его индукция (в приближении идеального соленоида) согласно формуле (61) равна В = pL^pbi. При изменении тока л dBdi
циркуляция вихревого поля вычисляется так: (pb • di = —о = — piopto—, Тdtdt
N^uop-S di „N^uop-S di „di
N^uop-S di „
N^uop-S di „
а ЭД С на всей длине обмотки равна 8С = — NpiopiS — = индуктивности и собственного потока получим:
(82)(82)L =Фс = Ы = NBS.
(82)
(82)
Пример 4. Так как ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока, то наличие в контуре индуктивности препятствует слишком быстрым изменениям тока. Предположим, что последовательно соединенные сопротивление R и катушку индуктивностью L замкнули на источник с постоянной ЭДС, равной 8. Нарастание тока от нуля до /о = 8/R происходит за конечное время и подчиняется уравнению 8 — L(dl/dt) = IR. решение которого имеет вид / = /о[1 — ехр(—tR/L)Y Характерное время нарастания тока равно т = L/R.
Если имеется два неподвижных контура, то изменение тока одного контура вызовет в другом пропорциональную di/dt ЭДС взаимной индукции:
dli с _ т dl%
где L12 и L21 называются коэффициентами взаимной индукции; для них оказывается верна теорема взаимности: L^ = L21 (в неферромагнитной среде). Магнитный поток через контур 1, создаваемый током контура 2, определяется как Ф12 = Ly^H- Эта величина оказывается определенной и для двух линейных токов.
В квазистационарном приближении можно использовать для векторного потенциала такую же калибровку, как и в магнитостатике (см. раздел 3.12). Магнитный поток можно записать в виде:
Ф = | В ds = | rot A ds = ^ A dl.
Для Ф12 получаем
512 = I Adil = Ы —
JJ J 4тг П2
откуда видно, что выражение для L12 симметрично по индексам 1,2.
► Энергия контура. Энергией контура с током называется работа внешних сил и источников при создании тока (или работа вихревого поля при его уничтожении). Работа источника против ЭД С самоиндукции контура вычисляется так:
W = А =W = А =LTdld^ = kr-LTdld^ = kr-(84)(84)
W = А =
W = А =
LTdld^ = kr-
LTdld^ = kr-
(84)
(84)
При последовательно полевом подходе энергия должна быть связана не с током в контуре, а с магнитным полем. Зависимость плотности энергии от магнитной индукции проще всего установить в случае длинного соленоида, в котором поле однородно:
(85)(85)W _ 1 p0pN2S I2 _ [пор.IN V 1 _ В2 _ ВН
(85)
(85)
VSI I2 у / у 2рор 2рор 2
В случае нелинейной зависимости В от Н для плотности энергии получается выражение:
Используя теорему взаимности (L12 = £21), можно получить обобщение выражения (84) для нескольких контуров:
W = l(L1^ + L12^rYJldt) +J у atat J0W = l(L1^ + L12^rYJldt) +J у atat J0dh . T dhdt 21 dtdh . T dhdt 21 dt(/2 dt) =(/2 dt) =00
W = l(L1^ + L12^rYJldt) +
J у atat J
0
W = l(L1^ + L12^rYJldt) +
J у atat J
0
dh . T dhdt 21 dt
dh . T dhdt 21 dt
(/2 dt) =
(/2 dt) =
0
0
1/1 UI^2 + 21/1 UI^2 + 2W =W =A-dV =J "РоЦA-dV =J "РоЦ(87)(87)
1/1 UI^
2 + 2
1/1 UI^
2 + 2
W =
W =
A-dV =
J "РоЦ
A-dV =
J "РоЦ
(87)
(87)
Ь12 + Ln , ,11Ф1 . Ii$i /o„x
2 У^2 = —+ ^' (86>
Здесь Фг — полный поток для г-го контура. Видно, что энергия токов включает в себя энергию каждого тока и энергию их взаимодействия. С помощью уравнений магнитного поля можно показать, что это выражение всегда преобразуется к виду:
► Закон сохранения энергии и вычисление сил. При медленном изотермическом изменении расположения тел и контуров с током суммарная работа внешних сил и источников тока идет на изменение энергии магнитного поля и на выделение джоулевой теплоты. При этом работа внешних сил над каждым телом равна работе сил, действующих на тело со стороны магнитного поля. Если токи поддерживаются постоянными, то надо учитывать только дополнительную работу источников против ЭДС индукции, а работа исходной ЭДС равна выделяющейся теплоте, и в законе сохранения энергии они сокращаются.
Пример 5. Рассмотрим два контура с токами /1 и /2, которые поддерживаются постоянными. Запишем закон сохранения энергии при медленном смещении первого контура. Согласно (86) изменяется только энергия взаимодействия токов, равная ГГ12 = Т12/1/2 = /1^12 = /1^12, где Ф12 — поток в первом контуре, создаваемый вторым током. В то же время потенциальная функция контура с током во внешнем поле равна Wn = — 1Ф, см. (63). Кажущееся противоречие объясняется, если учесть дополнительную работу источников против ЭДС индукции в каждом контуре. Эта работа равна 11дФ12 + /2^21 = /1 dLi2 /2 + /2 dL^i /1, что в два раза больше, чем изменение энергии поля JW12 = /1/2 dLi^.
3.15. Уравнения Максвелла
Ток смещения. Для обобщения уравнений электромагнитного поля в вакууме на переменные поля необходимо изменить только одно из написанных ранее уравнений (см. разд. 3.4, 3.12); три уравнения оказываются верными в общем случае. Однако теорема о циркуляции для магнитного поля в случае переменных полей и токов оказывается неверным. В соответствии с этим законом ток Jj • ds должен быть одинаковым для любых двух натянутых на контур поверхностей; если заряд в объеме между выбранными поверхностями меняется, то это утверждение вступает в противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке конденсатора С (рис. 52) ток через одну из указанных ^ поверхностей равен / = dq/dt, а через другую (проходящую между пластинами) — нулю. Чтобы снять указанное противоречие, Максвелл ввел в это уравнение ток смешения, плотность которого пропорциональна скорости изменения электрического поля:
Гм = ^-(88)
В диэлектрической среде плотность тока смещения равна:
JcM-^Q^+gp(89)
Первый член представляет собой плотность тока смещения в вакууме, второй — плотность реального тока, обусловленного движением связанных зарядв при изменении поляризованности. Ток смещения через поверхность равен dФD|dt^ где Фо ~ поток вектора D через поверхность. Введение тока смещения снимает противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке плоского конденсатора ток смещения через поверхность, проходящую между пластинами, /см = S(dD/dt) = S{d(y/dt) = dq/dt, равен току, текущему по подводящим проводам.
Система уравнений Максвелла в вакууме. После введения тока смещения система уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид:
1) rotE=-^,2) rotB = ^oj +/zoeo^y,
divE = p/s0)4) divB = 0.
Система уравнений Максвелла в интегральной форме:
Е-с/1 = — — [B-ds,2) (t В-с/1 =//о [j*ds +/zo^o^-[E-c/s,
JjJJdt j
<fE-ds = — \pdV, 4)J>B-ds = 0.
Плотности заряда и тока связаны соотношением
^"^8 = --^\pdV ^divj = -^),JU V J\L/ V /
выражающим закон сохранения заряда (это уравнение является следствием уравнений Максвелла).
► Решение уравнений Максвелла в виде запаздывающих потенциалов. Первому и четвертому уравнениям Максвелла можно удовлетво
рить, если искать поля в виде
В = rot А,Е = —gradp—.
Скалярный и векторный потенциалы определены с точностью до калибровочного преобразования:
// дх
А = А + gradx, у = ^ _ ^ •
С помощью калибровочного преобразования можно упростить уравнения для потенциалов, порождаемые вторым и третьим уравнениями Максвелла. Для этого на потенциалы накладывают требование, чтобы они удовлетворяли калибровке Лоренца:
divA += 0.
с2 dt
В этом случае уравнения для потенциалов удовлетворяют 'уравнению Даламбера:
Л .1 Э2А..1 Э^р р
2 о ,2 = —MOJ,2 о ,2 = — ~ •
с atс at so
В отсутствие правой части уравнение Даламбера превращается в волновое уравнение (см. гл. 4). В присутствии источников (токов и зарядов), зависящих от времени, уравнения Даламбера имеют решения в виде запаздывающих
потенциалов:
A(r,t) = gA(r,t) = g
A(r,t) = g
A(r,t) = g
Потенциалы в данной точке определяются значениями зарядов и токов в остальных точках пространства, но в предшествующие моменты времени, с учетом «запаздывания», т. е. времени, которое необходимо световому сигналу, чтобы доставить в данную точку информацию о значении тока и заряда в удаленной точке пространства.
► Уравнения Максвелла в среде имеют вид:
дифференциальная форма интегральная форма
rotE = -^,<£е-л = -4- [в-ds,
otJdt J
rotH=j + ^,|H-dl= fj • ds + ^ [d • ds,
UuJJUh J
divD = p,^D • ds = JpdV,
divB = 0,^B • ds = 0
и служат для определения четырех величин Е, D, В, Н. К уравнениям Максвелла в среде надо добавить материальные уравнения связи между D, Е и Н, В, характеризующие электрические и магнитные свойства среды. Для изотропных линейных сред эти уравнения имеют вид:
D = во^Е, В = момН-
Из уравнений Максвелла можно получить граничные условия для Е, D, В, Н (см. разд. 3.6, 3.13).
Закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Из уравнений Максвелла можно вывести следующее уравнение для любого объема V, ограниченного поверхностью 8:
4 1/^4^ + ^)^+ [(jE)dV + — |[ЕхВ] • ds = 0.
dt J у 2 2мо / J v 7 Mo J J
Первый член описывает скорость изменения энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. В общем случае для плотности энергии электромагнитного поля оказываются верными формулы, полученные ранее для постоянного электрического и магнитного полей. Второй член представляет собой мощность работы поля над частицами в рассматриваемом объеме; он равен скорости изменения кинетической энергии частиц. Из закона сохранения энергии следует, что третий член имеет смысл потока электромагнитной энергии (наружу) через ограничивающую объем замкнутую поверхность. Плотность потока энергии в данной точке пространства (вектор Пойнтинга) определяется векторами Е и В в этой же точке:
S = — Е х В = Е х Н.МоS = — Е х В = Е х Н.Мо(90)(90)
S = — Е х В = Е х Н.
Мо
S = — Е х В = Е х Н.
Мо
(90)
(90)
Последнее выражение справедливо и для плотности потока электромагнитной энергии в веществе. Плотность энергии в среде имеет вид:
w = iE-D + ^в н.w = iE-D + ^в н.(91)(91)
w = iE-D + ^в н.
w = iE-D + ^в н.
(91)
(91)
Пример 1. Рассмотрим зарядку плоского конденсатора с круглыми
пластинами, расположенными на расстоянии Ь. Скорость изменения
энергии в цилиндре радиусом г (меньше размеров пластин) равна
^-£o£E2^ivr2b^ = тгг2ЬЕ. Напряженность магнитного поля найдем dt 2dt
из второго уравнения Максвелла: H^irr) = "^(7гг2) (справа стоит ток смещения). Получаем, что скорость притока энергии через боковую поверхность цилиндра: 5(2тгг6) = Н Е^тггЬ) = Етгг2Ь^- равна скорости изменения энергии в объеме.
Релятивистские свойства полей. При переходе из одной инерциальной системы отсчета (ИСО) в другую изменяются как источники электромагнитного поля (плотности заряда и тока), так и сами поля, но уравнения Максвелла сохраняют свой вид. Проще всего выглядят формулы преобразования для источников р и j = pv (р — плотность движущегося заряда). Если обозначить за ро плотность заряда в ИСО, в которой j = v = 0, то с учетом сокращения продольных размеров (см. разд. 1.11) получим
.1
Р = ЧРо, 3 = ^Pov; 4 == .
у 1 — е
Сравнивая с 4-вектором энергии-импульса, видим, что (j, ре) образуют 4-вектор, т. е. преобразуются друг через друга так же, как (r,ct), по формулам преобразования Лоренца. Зная, как преобразуются источники поля, можно найти формулы для преобразования Е, В. Они выглядят так:
Е[|=Ец,Е'± = 7(E±+V хВ),
/1 х<92>
В'=Вц, B1 = 7(B±--VxE ,
где V — скорость системы отсчета К’ относительно системы К преобразования записаны для компонент полей, параллельных и перпендикулярных V. Инвариантами этих преобразований являются скалярные величины Е • В и Е2 — с2В2\
При V <С с формулы преобразования полей принимают следующий упрощенный вид:
E' = E + VxB, B' = B-^VxE.(94)
Пример 2. Магнитное поле нерелятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной нерелятивистской скоростью V. В ИСО К'. связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Е7 = kq-E/r’3. Для перехода в ИСО К надо записать формулы преобразования (94) с V = —v. Учитывая, что в нерелятивистском пределе длины отрезков не меняются, получим (для момента, когда частица проходит в К через начало координат):
_1 qrv х Е' _ yoq v х г
q 9 о .4тг€о гс 4тг т
При выводе этих формул было использовано равенство 1 / с2 = р-о Ео-
Пример 3. Поляризация диэлектрика при движении в магнитном поле. При движении диэлектрика с нерелятивистской скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля происходит его поляризация. В ИСО, связанной с диэлектриком, существует поперечное электрическое поле Е7 = v х В. Характер поляризации диэлектрика зависит от его формы.
Пример 4. Электрическое поле релятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной релятивистской скоростью v. В ИСО К7, связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Е7 = kq^jr'3. Для перехода в ИСО К следует использовать формулы преобразования (92) с V = —v. Запишем ответ для момента времени, когда частица в ИСО К проходит через начало координат, для точки, лежащей в плоскости (ж, у). При переходе от координат (ж7, у') к координатам (ж, у) надо учесть, что ж7 = 7Ж, у* = у (координаты точки измеряются в К одновременно с прохождением частицы через начало координат). В результате получим
тут тр! I тр! 1
Е$ — Еж — к —-у— 2 3/2 , Еу — Еу — к —-у— 2 3/2 •
[(7ж)2 + yzVz[(7®r +
Уо ^qv х г4тг [(7Ж)2 + ?/2]3/2 'Уо ^qv х г4тг [(7Ж)2 + ?/2]3/2 'B = ^vxti = 4vxE =СсB = ^vxti = 4vxE =СсВидно, что вектор Е коллинеарен вектору г. Однако на одном и том же расстоянии от заряда поле в точке, расположенной на линии его движения, меньше, чем в точке, расположенной на перпендикуляре к скорости. Магнитное поле в той же точке определяется выражением:
Уо ^qv х г
4тг [(7Ж)2 + ?/2]3/2 '
Уо ^qv х г
4тг [(7Ж)2 + ?/2]3/2 '
B = ^vxti = 4vxE =Сс
B = ^vxti = 4vxE =Сс
Отметим, что рассмотренное электрическое поле не является потенциаль
ным.
Глава 4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания. Сложение колебаний
► Общие определения. Колебаниями называют такое изменение состояния системы, при котором параметры состояния меняются со временем по периодическому или почти периодическому закону. Если колебания происходят без внешних воздействий, за счет отклонения системы от устойчивого положения равновесия, то их называют свободными или собственными. Если колебания происходят под воздействием внешнего периодического воздействия, то их называют вынужденными. Колебания характеризуются периодом Т и частотой v — 1/Т (измеряется в герцах’. Гц).
► Гармонические колебания. Колебания величины х называют гармоническими, если она меняется со временем t по закону:
х = A сой(ш! + фо),(1)
где А — амплитуда колебаний, ф = (ш! + у?о) ~ фаза колебаний, фо — начальная фаза, ш = 2тг/Т — циклическая, или круговая, частота колебаний. Первая и вторая производные величины х по времени
х = — Аш sin(cjt + (/?о) = Аш сой^ш! + фо + тг/2),
(2)
х = — Ла;2 cos(cjt + (/?о) = Ла;2 cos(cjt + фо + тг)
совершают гармонические колебания с такой же частотой, но с амплитудами шА и ш2 А и со сдвигом по фазе на тг/2 и тг соответственно.
Пример 1. Если известны начальные (при t = 0) значения величины х: ж(0) = ж о и ее производной: ж(0) = vo, то можно определить амплитуду и начальную фазу колебаний. Из уравнений жо = Л cos фо и vo = —шА sin фо находим А = ^/ж^+Т^оТ^Р и tg фо = —Dol^xo).
► Уравнение гармонических колебаний. Как видно из (2), если величина х изменяется по закону гармонических колебаний (1), то она удовлетворяет уравнению гармонических колебаний:
х += 0.(3)
Верно и обратное утверждение: если уравнение движения физической системы, состояние которой определяется одной величиной х, удалось
при некоторых условиях (обычно — при малых значениях ж) привести к дифференциальному уравнению ж + 7Ж = 0, где 7 — положительная постоянная, то ж изменяется по закону (1) с со = ^/7 (параметры А и ро определяются начальными условиями, см. пример 1).
Если при изменении состояния физической системы квадратичная функция
Е = ^//ж2 + ^ж2 (th х— положительные константы) (4)
остается постоянной: Е = const, то ж изменяется по закону (1) при со = ^хТрь. Действительно, продифференцировав (4) по времени, получим уравнение //ж + хх = 0, которое является уравнением гармонических колебаний. Обычно величина Е пропорциональна энергии колебательной системы при малых ж, поэтому такой подход называют энергетическим методом определения частоты колебаний.
► Комплексная экспонента и векторная диаграмма. Формула Эйлера ехр(гу?) = cosy? + г sin у? позволяет рассматривать закон гармонических колебаний (1) как действительную часть комплексной экспоненты ж(^) = Re ж, где
ж = Л ехр(гс^), (5)
а А = Лехр(гу?о) называется комплексной амплитудой колебаний. Такой подход особенно удобен при рассмотрении систем, которые описываются линейными уравнениями, так как в этом случае действительная и мнимая части преобразуются независимо друг от друга.
Закон гармонических колебаний (1) может быть получен как проекция на ось ж радиуса-вектора величиной Л, который равномерно вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью со от начального углового положения у?о (в этом случае угол с осью ж меняется по закону у? = у?0 + cot). Такой подход называется методом векторных диаграмм; он особенно удобен при сложении гармонических колебаний, так как позволяет сложение функций заменить наглядным сложением векторов (проекция суммы векторов равна сумме проекций).
► Сложение гармонических колебаний одного направления. Сумма двух гармонических колебаний одинаковой частоты, амплитуды которых равны Ai и Л2, а начальные фазы — y?i и у?2, представляет собой гармоническое колебание такой же частоты, амплитуда и начальная фаза которого могут быть найдены методом векторных диаграмм (рис. 53):
Л2 = Л2 + А^ + 2Л1Л2 cos(y?2 — y?i),
_ Ai sin y?i + Л2 sin у?2g ^° Al COS pi + Л2 COS y?2
(параллелограмм на векторной диаграмме вращается с угловой скоростью ш как одно целое). Разность фаз колебаний одинаковой частоты не меняется со временем; такие колебания называются когерентными. При ф2 — ф\ = ±2ш7г амплитуда максимальна: А = Ai + Л2, а при ^2 — ^1 = ±(2т + 1)тг — минимальна: А = |Л1 — Л2|.
При сложении некогерентных колебаний с различными частотами параллелограмм на векторной диаграмме деформируется со временем, модуль результирующего вектора и угловая скорость его вращения меняются, т. е. движение не является гармоническим колебанием. Однако при сложении колебаний с близкими частотами (Дш = |cji — CJ2I ^ <С ^1,^2) на промежутке времени,
малом по сравнению с временем когерентности тког = 2тг/Дш, колебания можно считать приблизительно когерентными. Колебания происходят с циклической частотой ш = (o>i + с^2)/2, а их амплитуда периодически (с периодом 2тг(Дш^ изменяется от Ai + Л2 до |Л1 — Л2|. Такие колебания называются биениями, ш^ = Дш — циклической частотой биений, а период изменения амплитуды Т^ = 2ъ / ш§ — периодом биений. Если Лх = Л2 = А, то
= 2 A cost11 cos It +
Биения представляют собой один из примеров модулированных колебаний, т. е. колебаний, происходящих по закону гармонических колебаний (1), в котором один из параметров периодически изменяется со временем с периодом, значительно превышающим период основных колебаний. Различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции.
Произвольное периодическое колебание с периодом Т может быть разложено в ряд Фурье по гармоническим колебаниям с частотами шп = п(2тг/Т). Такое разложение называется гармоническим анализом периодического колебания, а члены разложения — первой (основной), второй, третьей и т. д. гармониками периодического колебания. Непериодические колебания имеют, как правило, непрерывный спектр частот и могут быть представлены в виде интеграла Фурье по гармоническим колебаниям всех частот от нуля до бесконечности. Периодические колебания имеют линейчатый спектр частот, однако не любые колебания с линейчатым спектром являются периодическими.
► Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Если точка движется по плоскости таким образом, что ее проекции на оси ж, у совершают гармонические колебания, то говорят о сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.
При сложении колебаний одинаковой частоты х = Ai cos(cjt + ^1) и у = А2 cos(W + Р2) траекторией точки является наклонный эллипс:
72 + 72 * Т-7- COS(^2 - ^1) = S1H (^2 - ^1).
Ai А2 ^11^12
Такое движение называют эллиптически поляризованными колебаниями. При ф2 — рч = (2m + 1)тг/2 оси эллипса совпадают с осями координат. При р^ — фу = ^тг эллипс вырождается в прямую; такое движение называется линейно поляризованными колебаниями. Движение точки может происходить по часовой стрелке (при 2ттг < ^2 — ^1 < 2ттг + тг) или против часовой стрелки; в этих случаях говорят о правой или левой эллиптической поляризации.
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными, но кратными частотами результирующее движение происходит по траекториям, называемым фигурами Лиссажу. По виду фигуры Лиссажу можно установить отношение частот.
Свободные незатухающие колебания
► Свободные механические колебания. Если смещение консервативной механической системы из положения устойчивого равновесия описывается одним параметром ж, то при малых ж потенциальная энергия имеет вид
Еп№ = -х —— + -ж —— + • • • « —-, (6)2 \ d® /ж=о 6 \ d® /ж=0 2
т. е. при малых отклонениях от устойчивого равновесия система совершает гармонические колебания. Потенциальную энергию колебательной системы принято отсчитывать от положения устойчивого равновесия (Еп = 0 при ж = 0). Обобщенная сила Еж = —бЕп(бх при малых ж пропорциональна смещению: Еж = -хх. (Если ж — линейная координата, то обобщенная сила — проекция силы на направление смещения; если ж — угол отклонения р^ то Еж — вращательный момент М.)
Если механическая система представляет собой материальную точку или поступательно движущееся тело, то кинетическая энергия имеет вид Ек = ^тж2. Уравнение движения
тх = -их (7)
имеет такой же вид, как для груза на пружине. Действующую на тело возвращающую (т. е. направленную в сторону положения равновесия) силу называют при малых ж квазиупругой силой: Fx = -хж. а коэффициент х эффективной жесткостью. Циклическая частота и период
колебаний имеют вид:
Точка совершает гармонические колебания: ж = Acos(W + фо\ а ее кинетическая и потенциальная энергии — гармонические колебания с частотой 2щ:
Ек = Е sm2(wt + фо) = |^[1 — cos(2cjt + 2(/?0)],
Еп = Е cos2(wf + фо) = |#[1 + cos(2cjt + 2(/?0)],
где Е = ^тщ2А2 = ^хА2 — полная механическая энергия, которая пропорциональна квадрату амплитуды. Средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии.
Пример 1. Потенциальная энергия жидкости в U-образной трубке (рис. 54) при смещении жидкости на х увеличивается на Amgx = = (pSx)gx = (2pgS)x2 /2 (р — плотность жидкости, S — сечение трубки), а кинетическая энергия равна тх2/2. Следовательно, циклическая частота колебаний равна w = ^2pgS j т.
Пример 2. В одной из ранних моделей атома водорода (модель Томсона) положительный заряд предполагался равномерно распределенным по шару радиусом R. равным радиусу атома, а электрон располагался в центре шара. Найдем частоту колебаний электрона при смещении его из положения равновесия. Сила притяжения при смещении на г равна FT = — ke2r/R3 (см. разд. 3.4), поэтому при смещении на г < R будут происходить гармонические колебания с частотой w = y/ke2/(mR3).
Пример 3. Физический маятник. Физическим маятником называется твердое тело с горизонтальной неподвижной осью вращения, не проходящей через его центр масс. При отклонении маятника от положения равновесия на малый угол а (рис. 55) возникает момент силы тяжести, 5 А. И. Черноуцан
равный М = — mgdsma ((/ — расстояние от центра масс до оси вращения), стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид: lot = — mgdsm оц где / — момент инерции тела относительно оси вращения. При малых углах отклонения a <С 1 это уравнение превращается в уравнение гармонических колебаний относительно угла a: ot + (mgd/I)a = 0. Циклическая частота и период колебаний маятника равны
ш = V mgd/1, Т = 2tv y/TJ(mgd).
Например, для однородного стержня длиной Z, подвешенного за один из своих концов, получим / = m/2/3, d = I/2, Т = 2тг^/2//(3g). Приведенной длиной L физического маятника называется длина такого математического маятника, период которого Т = 2тг^/Ljg равен периоду данного физического маятника: L = I /(md). (Для однородного стержня, подвешенного за конец, L = 2Z/3.) Точка, находящаяся на расстоянии L от оси подвеса и лежащая на прямой, проходящей через центр масс перпендикулярно оси подвеса, называется центром качаний. Если подвесить тело на оси, проходящей через центр качаний параллельно прежней оси, то период колебаний, а значит,
и приведенная длина маятника не изменятся.
Обобщенной силой в данном примере является момент силы тяжести.
Частоту можно определить и энергетическим методом, найдя зависимость потенциальной энергии от угла отклонения: Еп = mgd(l —cos а) « mgdo?j2.
Для полной энергии получим: Е = ^dt2 + ^mgda2, откуда находим частоту
колебаний.
Гармонические колебания являются изохронными, т. е. их период не зависит от амплитуды. Дело в том, что в уравнении гармонических колебаний х + 7 ж = 0 коэффициент 7 имеет размерность с-2, и по соображениям размерности период не может зависеть ни от чего, кроме 7. Колебания большой амплитуды перестают быть гармоническими, а значит, и изохронными — возникает зависимость периода от амплитуды. Однако в некоторых специальных случаях даже малые колебания могут не быть изохронными. Это происходит тогда, когда в формуле (6) для разложения ^ по х вторая производная обращается в нуль. Такая ситуация возникает, например, при отклонении груза, прикрепленного к середине недеформированной пружины с закрепленными концами, в перпендикулярном пружине направлении. Потенциальная энергия при малых х пропорциональна ж4, и уравнение движения имеет вид: х + 7Ж3 = 0. Размерность 7 в этом случае м-2с-2, и период колебаний Т ~ 7-1/2Л-1 обратно пропорционален амплитуде.
► Колебательные системы с несколькими степенями свободы. Если смещение системы из устойчивого положения равновесия характеризуется N независимыми параметрами жх, ..., $n, то при произвольном малом начальном отклонении зависимость жД^) не будет гармоническим колебанием. Однако любое движение может быть представлено в виде суммы N специальных движений, называемых
нормальными колебательными модами, в каждом из которых все х^ совершают гармонические колебания с некоторой циклической частотой, характеризующей данную моду. В общем случае все N частот могут быть различными.
Пример 4. Связанные маятники. Рассмотрим два одинаковых
математических маятника длиной I, грузы которых соединены недефор-
IIкт чЖМЖ^ тРис. 56IIкт чЖМЖ^ тРис. 56мированной пружиной жесткостью к (рис. 56). Нормальные моды данной системы позволяет угадать симметрия системы. Гармонические колебания возникают при: а) одинаковом отклонении маятников в одну сторону (ж1 = Ж2) и б) при одинаковом отклонении маятников в разные стороны (ж1 = — х2\ В первом случае: Ш1 = ^ g/I, во втором: си 2 = у^(#ЛУ+7^Л™1- Если отклонить в сторону только первый маятник, что соответствует начальным условиям (а?ю,Ж2о) = (Л,0), то такое
II
кт чЖМЖ^ т
Рис. 56
II
кт чЖМЖ^ т
Рис. 56
отклонение можно представить в виде суммы двух нормальных отклонений:
(Л,0) = (-Л,-Л ) + (-Л,--Л ' ’ v \ 2 ’ 2 /\ 2 ’ 2(Л,0) = (-Л,-Л ) + (-Л,--Л ' ’ v \ 2 ’ 2 /\ 2 ’ 2Это значит, что движение первогоЭто значит, что движение первого
(Л,0) = (-Л,-Л ) + (-Л,--Л ' ’ v \ 2 ’ 2 /\ 2 ’ 2
(Л,0) = (-Л,-Л ) + (-Л,--Л ' ’ v \ 2 ’ 2 /\ 2 ’ 2
Это значит, что движение первого
Это значит, что движение первого
q (верного при выq (верного при вы
q (верного при вы
q (верного при вы
маятника будет совершаться по закону: xi = ^Acos(o>i£) + ^А cos(cl>2£), а второго маятника — по закону: х2 = -Acos(o>i£) — -A cos(cl>2£). Если , /гглк/т
к/т g/l, то частоты и будут близки: Aw «——, и при
наложении двух колебаний с близкими частотами будут наблюдаться биения (см. разд. 4.1): через время Тб/2 = к/Аш второй маятник раскачается,
а первый остановится, еще через такое же время энергия снова перейдет
к первому маятнику, и т. д.
► Свободные колебания в электрическом контуре. Колебательным контуром называется замкнутая цепь, состоящая из конденса
тора емкостью С и катушки индуктивностью L (рис. 57). Процессы в колебательном контуре, как и в цепях переменного тока, исследуются в области частот, где выполняется условие квазистационарности (см. разд. 3.14), т. е. ш <^ <С с//, где I — характерные размеры системы (в этом приближении, в частности, можно не учитывать излучение контура). Закон Ома для участка цепи, содержащего индуктивность, при выбранном правиле знаков для обхода контура и для заряда конденсатора имеет вид: IR = (у?1 — Ф2) + £, где R — сопротивление проводов и катушки. С учетом соотношений: /
бранных знаках), q = (^2 — ^1)/R и £ = —LI имеем IR = — (q/C) — LI.
Отсюда получимОтсюда получим
Отсюда получим
Отсюда получим
(9)(9)R .1 п
(9)
(9)
q+Lq+LCq = °-
Если сопротивление контура пренебрежимо мало (что соответствует R <С у/ L/C), то заряд на конденсаторе изменяется по гармоническому закону q = qm cos(wt + ^о) с циклической частотой и периодом, равными
w = l/VZC, T = 2ttVZC. (10)
Ток в контуре изменяется по гармоническому закону с амплитудой Im = wqm с опережением по фазе на тг/2. Энергия контура
W = — + —
2 2С
переходит из электрической в магнитную и обратно: в момент максимальной зарядки конденсатора она равна W = q^/^C), а когда заряд конденсатора равен нулю, то W = L/^/2. Для зависимости магнитной и электрической энергии от времени верны такие же соотношения, как для кинетической и потенциальной энергий при механических колебаниях.
Затухающие и вынужденные колебания
► Затухающие колебания. Если в колебательной системе происходят потери энергии, то амплитуда колебаний уменьшается со временем. Если потери энергии механических колебаний определяются силой вязкого трения, которая при малых скоростях пропорциональна скорости, то уравнение движения тх = —хх — Ьх приводится к линейному дифференциальному уравнению
х + 2Дж + ш^х = 0,(11)
которое называется уравнением затухающих колебаний. Здесь Д = = Ъ/(2т) — коэффициент затухания, wq ~ циклическая частота собственных колебаний в отсутствие затухания (при Д —> —> 0). Решение этого уравнения удобно искать в виде экспоненты: х = Лехр(—7^). Подставляя в (11), получим для 7 квадратное уравнение: 72 — 2Д7 + с^ = 0. Если Д < с^о, то уравнение имеет два комплексно сопряженных решения: 71,2 = Д ± глУш^ — Д2, которые приводят к одинаковым ответам, поэтому можно взять любое. Применяя формулу Эйлера (см. разд. 4.1), получим:
x(t) = Аое-^1 cos(cot + tpo), ш = ш^ — {L1,(12)
где постоянные До и ^о определяются начальными условиями.
Функция (12) принимает нулевое значение через равные промежутки времени Т = 2тг/ал (рис. 58), поэтому из и Т условно называют частотой и периодом затухающих колебаний. Если (3 <С 17. то па каждом временном интервале Т Ст < 6"1 колебания можно считать
гармоническими, a A(t) = Лдехр(—/3t) имеет смысл амплитуды колебаний на этом интервале. Поэтому A(t) называют (при любом (3 < из^ зависящей от времени амплитудой затухающих колебаний. За время т = Р-1 амплитуда убывает в е раз. Убывание амплитуды за период,
равное A(t)/A(t + Т) = ехр(ДТ), называют декрементом затухания, а логарифм декремента
Л =1,1 ЖГУ) = 9Т <13> называют логарифмическим декрементом затухания. Величина 1/А показывает, за сколько полных колебаний
амплитуда уменьшается в е раз.
Если 3 > шо (сильное затухание), то квадратное уравнение для 7 имеет два действительных положительных корня: 71,2 = и общее решение
x(t) = Ai exp(-7it) + А2 exp(-72t)(14)
имеет неколебательный (ангармонический) характер (параметры Ai, Л2 определяются начальными условиями).
Затухающие электрические колебания. Сравнивая уравнение колебаний в электрическом контуре (9) с уравнением затухающих колебаний (11), находим выражения для коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания:
3 =А = ВТ = 7Г^=.(15)
Условие слабого затухания А <С 1 имеет вид: R <С у/L/С (величину у/L/C называют волновым сопротивлением контура).
Вынужденные механические колебания. Движение системы под воздействием внешней периодической силы называют вынужденными колебаниями, саму внешнюю силу называют вынуждающей силой. Из уравнения движения тх = -хх — Ьх-\-Рж^1) получим уравнение вынужденных колебаний:
х + 2Дж + ш^х = f(t),(16)
где принято обозначение f(t) = ^(^/m.
Общее решение такого неоднородного (с отличной от нуля правой частью) уравнения может быть представлено в виде суммы частного
(т. е. любого) решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. (Общее решение должно содержать свободные параметры, позволяющие удовлетворить любым начальным условиям.) Однородное уравнение представляет собой уравнение затухающих колебаний, его общее решение (формулы (12) и (14)) экспоненциально затухает за время т ~ 1/(3. Затухание собственных колебаний означает окончание переходного режима установления колебаний и наступление
режима установившихся вынужденных колебаний, характеристики которого определяются функцией /(t) и параметрами /3, шо? но не
зависят от начальных условий.
Частное решение уравнения (16) будем искать в виде установившихся колебаний. Так как любая периодическая сила F^t) может быть разложена в ряд Фурье, то естественно исследовать установившиеся
вынужденные колебания под действием гармонической вынуждающей
силы /(t) = Fx^/m = (F0/m) cos 12t. Будем искать их в виде гармонических колебаний такой же частоты, но со сдвигом по фазе:
х = A cos(12t + ср). (17)
FoFoПодставляя (17) в уравнение (16), находим
Fo
Fo
(18)
При 12=0 получим ср = О
и А = Р0/(тш^) = F^jx, что соответ
ствует статическому смещению тела вслед за медленно меняющейся силой. При 12 —> оо имеем А —> 0 и (р —> —тг. Графики Л(12) и ^(12)
приведены на рис. 59.
► Резонанс. Максимальное значение амплитуды установившихся колебаний достигается при резонансной частоте 12р = y4J^^52 = = у^2 - /З2 и равно Атах = А(/2Р) = ^о/(2т/3ш),гдеш = У^ - /З2 — циклическая частота затухающих колебаний. При ^ <С с^о зависимость Л(12) содержит резкий и узкий максимум при резонансной частоте, которая в этом пределе близка к собственной частоте колебаний системы. Это явление называется резонансом, а кривые зависимости Л(12) — резонансными кривыми. Характеристики максимумов (при (3 <С с^о): отношение Лтах к статическому отклонению Л(0) равно u),^^ = тг/А (А — логарифмический декремент затухания); величину
Q = тг/А называют добротностью колебательной системы. Ширина максимума на уровне Amax/V2 равна коэффициенту затухания: AQ^ р.
Амплитуда установившихся колебаний скорости достигает максимального значения Fo/(2mP) при £2 = coq. При резонансе колебания скорости происходят в фазе с колебаниями возмущающей силы.
Рассмотрим процесс установления колебаний при частоте вынуждающей силы, равной резонансной частоте (предполагается, что (3 <С о>о). Если в начальный момент смещение и скорость точки равнялись нулю, то в рассматриваемом пределе начальным условиям удовлетворяет решение:
х to Amax sin cot + Amaxe ^ sin cot = Amax (1 — e ^4 sin cot.
Полученная зависимость изображена на рис. 60. При t <^ 1/(3
амплитуда растет пропорционально времени: A(t) to Amax(3t =
выраженные биения (амплитудавыраженные биения (амплитуда= Fqt/(2mco)^ затухание на этом этапе влияния не оказывает. Отметим, что время установления колебаний велико по сравнению с периодом: 1/(3 ^ 2ъ/со. Если частота 12 близка к и, но отличается от нее, то движение на начальном этапе t <С 1/(3 представляет собой сумму колебаний с близкими частотами. Если выполнено условие со )^> 112 — а; | ^ ^ 1/Д то в процессе установ
выраженные биения (амплитуда
выраженные биения (амплитуда
ления колебаний происходят явно
колебаний возрастает почти до 2Атах и уменьшается почти до нуля
с периодом Тб = 2тг/112 — сД).
Резонанс при произвольном периодическом воздействии. Если период внешнего воздействия F^t) кратен периоду собственных колебаний системы Т = 2tt/w, то в разложении F^t) в ряд Фурье может присутствовать гармоника с частотой со. Если добротность колебательной системы велика, то под действием этой гармоники могут возникнуть гармонические колебания заметной амплитуды. Например, для раскачивания качелей можно подталкивать их на каждом размахе (тогда резонансную частоту будет иметь первая гармоника), можно — через раз (будет работать вторая гармоника), и т. д.
► Вынужденные электрические колебания. Если в колебательный контур (см. разд. 4.2) включить переменную ЭД С £(t), то вынужденные колебания будут описываться таким же дифференциальным уравнением, как и для механической системы:
(19)(19)q + 2(3q + co^q = £(t)/ L,
(19)
(19)
где q — заряд на конденсаторе, (3 = R/(2L) — коэффициент затухания, ^о = LVlc — циклическая частота собственных колебаний контура. Рассмотрим установившиеся колебания под действием гармонического воздействия 8^ = 8^ cos 82t. Колебания заряда происходят по закону q(t) = Чо cos(82t + уД, где для амплитуды qo и сдвига по фазе ср верны выражения (18). Однако в электрической цепи интерес представляют не колебания заряда, а колебания тока I = ф которые происходят по закону / = /о cos(12t — ^1) с амплитудой и сдвигом по фазе, равными
/о — ^0/о — ^0R1^R1^21-V221-V2tg^ = UoL -ДУ (20)\ IZU Jtg^ = UoL -ДУ (20)\ IZU J
/о — ^0
/о — ^0
R1^
R1^
21-V2
21-V2
tg^ = UoL -ДУ (20)\ IZU J
tg^ = UoL -ДУ (20)\ IZU J
Максимум амплитуды колебаний тока (резонанс) достигается при значении J?p = ш^ = l/VLC и равен /о(12р) = 8$/R. При резонансе колебания тока происходят в фазе с колебаниями ЭД С.
Колебания напряжения на сопротивлении, конденсаторе и катушке индуктивности описываются следующими формулами:
Ur = IR = RRcosUr = IR = RRcosfit — фхfit — фх
Ur = IR = RRcos
Ur = IR = RRcos
fit — фх
fit — фх
Uc = 4 = lo-^costm-ip-i-^UJ z и\z
Ul = L^ = /0(^L)cos(^t-^i + y.
Коэффициенты пропорциональности между амплитудами тока и напряжения называют: хс = ХДПС^ — емкостным сопротивлением, хь = fIL — индуктивным сопротивлением. Величину х = хь — хс
I\Ul = RxlI\Ul = Rxl= Rz= RzUr = RR ^ Uc = RxcUr = RR ^ Uc = RxcIoIoназывают реактивным сопротивлением цепи, сопротивление R — активным сопротивлением (в том смысле, что только на нем рассеивается энергия), величину % = V^2 + ж2 — полным сопротивлением. Формулу (20) можно переписать в виде: /о = 8Дг, tg^i = х/R. Все эти соотношения
I\Ul = Rxl
I\Ul = Rxl
= Rz
= Rz
Ur = RR ^ Uc = Rxc
Ur = RR ^ Uc = Rxc
Io
Io
Рис. 61становятся очень наглядными при
использовании векторных диаграмм (рис. 61). При резонансе х = 0, т. е. колебания напряжений на емкости
и на индуктивности компенсируют друг друга и сопротивление цепи превращается в активное сопротивление R.
► Мощность на участке цепи. Действующим, или эффективным, значением переменного тока (напряжения, ЭДС) называется такое значение постоянного тока, при котором на активном сопротивлении
выделяется за период такое же количество теплоты, как при переменном токе (т. е. среднеквадратичное за период значение):
т
j PRdt = pRT.
О
Для синусоидального тока /д = 1^/у/2, Пд = Uq/V2. Если сдвиг фазы между током и напряжением равен ср, то средняя за период мощность равна
т
Р = — | Uq cos(J?t)/o cos(J?t — ср) dt = -UqIq cos ср = 1дид cos ф. о
Для реактивного сопротивления средняя мощность равна нулю.
Упругие волны
► Основные определения. Если непрерывная среда обладает упругими свойствами, то движение точек в одном месте среды (в источнике) приводит к распространению этого движения с определенной скоростью в виде упругой волны. Волновое движение среды описывают функцией ^(r, t), задающей смещение частицы среды от равновесного положения г в момент времени t. (Частицей среды называют достаточно маленький макроскопический, т. е. содержащий большое число атомов и молекул, элемент среды.) Упругая волна может распространяться в трехмерной среде, двухмерной среде (упругая мембрана) и одномерной среде (упругий стержень, натянутая жесткая нить, столб воздуха). Простейший вид волны — плоская волна, в которой функция £ = Цх, t) меняется только в одном направлении и зависит от координаты х. Если при этом вектор £ перпендикулярен направлению распространения волны, то волна называется поперечной, а если параллелен — продольной.
Среда называется однородной, если все ее точки эквивалентны, изотропной, если в ней равноправны все направления, упругой, если возникающие силы зависят только от смещения (деформации), линейной, если силы пропорциональны деформациям. В абсолютно упругой среде механическая энергия волны не рассеивается (не превращается во внутреннюю). Если среда обладает только объемной упругостью, то в ней могут распространяться только продольные волны (жидкость, газ), если она обладает также упругостью формы, то возможны и поперечные (сдвиговые) волны. В линейной среде распространение волн описывается линейными дифференциальными уравнениями, и осуществляется принцип суперпозиции: если два независимых источника вызывают две разных волны ^(r,t) и ^2(г^), т0 совместное действие источников вызовет волну ^(r, t) = ^(r, t) + £2(г, ^)- Такое же утверждение верно
и для одного источника, движение которого можно разложить на два движения. Поскольку любую функцию времени можно представить в виде интеграла Фурье по гармоническим функциям, то волновое движение линейной среды можно разложить на гармонические волны. Через произвольную точку гармонической волны можно провести единственную поверхность постоянной фазы, которая называется волновой поверхностью. Волновая поверхность, совпадающая с передним краем волнового возмущения, называется фронтом волны.
Уравнение плоской гармонической волны. Если в источнике смещение происходит по закону ^(0, t) = £ш coscjt, то в точках с координатой х смещение происходит по такому же закону, но с запаздыванием на х/и, где и — скорость распространения волны:
Цж,#) = ^mcos[w^ - ^)] = ^mcos^^ - уж) =
= £,mcos(wt — кх), (21)
где А = I'Kvjoj = иТ — длина волны, к = ш/и = 2тг/А — волновое число. Длина волны представляет собой кратчайшее расстояние между точками, совершающими синхронные колебания (разность фаз Аср = 2тг); длина волны представляет собой пространственный период профиля гармонической волны в любой момент времени. Разность фаз между произвольными точками волны равна Аф = 2тг(ж2 — x^JX. В уравнении (21) предполагается, что потери энергии на расстоянии х пренебрежимо малы; небольшое рассеивание энергии можно учесть эмпирически, введя в (21) множитель ехр(—^х\ где 7 — коэффициент затухания волны. Если ввести волновой вектор к, направленный перпендикулярно фронту волны в сторону ее распространения, то (21) принимает вид, инвариантный по отношению к выбору системы координат:
£(r, £) =£mcos(w£-k-r), = (те1^^- (22)
Последняя форма записи уравнения бегущей волны использует формулу Эйлера; физический смысл имеет только действительная часть Не £. Если скорость волны не зависит от частоты (отсутствует дисперсия), то плоское волновое возмущение любой формы распространяется без искажения формы.
Сферические и цилиндрические расходящиеся волны. Если волна распространяется от точечного (сферического) или линейного (цилиндрического) источника изотропно по всем направлениям, то волновые поверхности будут иметь соответственно форму сфер или круговых цилиндров. В этих случаях уравнения расходящихся волн
в отсутствие потерь энергии имеют следующий вид:
^(r, t) = — cos(cjt — кг)^(r, t) = — cos(cjt — кг)(сферическая волна),(сферическая волна),
^(r, t) = — cos(cjt — кг)
^(r, t) = — cos(cjt — кг)
(сферическая волна),
(сферическая волна),
Ц?г,<) = -^cos(wi - кК)Ц?г,<) = -^cos(wi - кК)(цилиндрическая волна),(цилиндрическая волна),
Ц?г,<) = -^cos(wi - кК)
Ц?г,<) = -^cos(wi - кК)
(цилиндрическая волна),
(цилиндрическая волна),
где г = ^х- ^ip i z2. Е = i/ж2 + у2. Убывание амплитуды происходит вследствие возрастания площади волновой поверхности; закон сохранения энергии требует, чтобы поток энергии оставался постоянным (напомним, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды; также см. ниже).
1 а2^ ИЛИ А^ = —2 ,и dt1 а2^ ИЛИ А^ = —2 ,и dt(23)(23)► Волновое уравнение. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что смещение гармонической волны £(r,t) удовлетворяет уравнению
1 а2^ ИЛИ А^ = —2 ,
и dt
1 а2^ ИЛИ А^ = —2 ,
и dt
(23)
(23)
дЧ , дЧ аЧ _ 1 дЧ дх2 + ду2 + dz2 и2 dt2 ’
которое называется волновым уравнением. Если скорость гармонической волны не зависит от частоты (зависимость ш от к является линейной, т. е. отсутствует дисперсия), то такому же уравнению удовлетворяет любая суперпозиция плоских волн. Верно также и обратное утверждение: если уравнение движения частицы среды удалось привести к (23), то волновые возмущения данной среды распространяются со скоростью и.
В одномерном случае общее решение уравнения (23) имеет вид
= /1(ж - vt) + /2(ж + vt),(24)
где fi и/2 произвольные (дифференцируемые) функции. Первое слагаемое описывает распространение плоского сигнала fi(x) со скоростью и без изменения формы в направлении положительных ж, а второе слагаемое — распространение сигнала /2 (х) со скоростью и в направлении отрицательных х.
Пример 1. Упругий стержень. Силы, возникающие при продольных упругих деформациях стержня, подчиняются закону Гука: ст = Ее, где ст = F/S — напряжение в данной точке стержня (среды), е — (относительная) деформация А1Щ Е — модуль Юнга. Деформация в точке с координа- „^(ж + dx) - ^(ж) эе,
той х выражается через частную производную: е = ~.
Сила, действующая на частицу среды размером Ах и массой Am = р Ах S, равна а^х + Ах) — а^х). Уравнение движения частицы среды имеет вид:
аН = Р аН
Эх2 Е at2'
Следовательно, скорость распространения волн в упругом стержне равна и = ^Е ) р. С такой же скоростью распространяется продольная волна в упругой среде.
Рис. 62Рис. 62Пример 2. Натянутая струна. По струне, сила натяжения которой равна Т, может распространяться поперечная волна. Пусть профиль струны в данный момент задается функцией ^(x^t) (рис. 62). Получим уравнение движения частицы среды размером Ах в предположении «плавной» волны: д^/дх <С 1. Вертикальная проекция силы натяжения равна F^_(x) = Т since « Т(д£/дх) (се —угол наклона струны); вертикальная сила, действующая на частицу среды размером Ах и массой Am = piAxS, равна F.l(x + Ах) — F.l(x) (pi — линейная плотность струны). Уравнение движения частицы среды имеет вид 94 = Р1Э4 дх2 Т dt2 '
Рис. 62
Рис. 62
следовательно, скорость распространения волн в струне равна и = ^/Т/pi.
Пример 3. Воздушный столб в цилиндре. Объемная упругость газа (или любой термодинамически простой среды) характеризуется объемным модулем упругости К = — V (др / дУ) = р(др/др). Значение К зависит от условий, при которых происходит объемная деформация газа. Для звуковых колебаний (v > 16 Гц) можно пренебречь теплообменом между разными частицами среды и считать К адиабатическим модулем упругости: Кад = — V (др / dV} . Изменение давления в данной точке цилиндра равно (при малых деформациях) Ар(х) = — K(dV/V) = — К(д^/дх)\ сила, действующая на частицу воздушной среды размером Ах и массой Am = р Ах 8^ равна AF = [Др(ж) — Ар(х + Дж)] 5. Уравнение движения частицы среды имеет вид
д4 _ Р д4
дх2 К dt2 1 следовательно, скорость распространения волн в воздушном цилиндре равна и = у/К/р = д/др / др. (Эти выражения верны для любой термодинамически простой среды: для реального газа, для жидкости.) Для звуковых волн в идеальном газе получим: К = 7р, и = у/^р / р = y/^RT/р, где 7 — показатель адиабаты (см. разд. 2.2).
Объемная плотность энергии. Плотность потока энергии. Плотности кинетической и потенциальной энергии в данной точке плоской упругой продольной волны равны
WKWK£ ( ^Л2 \dt j£ ( ^Л2 \dt jWnWn2 у дх J '2 у дх J '
WK
WK
£ ( ^Л2 \dt j
£ ( ^Л2 \dt j
Wn
Wn
2 у дх J '
2 у дх J '
Для бегущей волны произвольной формы £ = f(x ± ut) выполняется соотношение (d^/dt)2 = ^(dEJ8х)2. Учитывая, что для упругой продольной волны v2 = Е/р, получим, что плотности кинетической и потенциальной энергии в каждой точке бегущей волны равны друг другу. Это утверждение верно для бегущей волны любой природы. В случае гармонической плоской волны (21) объемная энергия волны
и ее среднее по времени значение имеют вид:
w = wK + wn = pw2^ sin2(w£ - kxY (w) = ^рш2^.
Плотность потока энергии (вектор Умова) в данной точке бегущей волны равна
U = wu,(25)
где и — скорость переноса энергии. Для бездисперсионной среды u = v, где v — скорость распространения волны, входящая в волновое уравнение (24). Для гармонической бегущей волны (21) и = щ где и — фазовая скорость волны: v = и)/к. Энергия, переносимая бегущей волной через площадку ds за единицу времени (поток энергии), равна dФ = U • ds. Модуль среднего по времени значения модуля вектора Умова (его иногда называют интенсивностью волны) для гармонической плоской волны равен / = |(U)| = o(w) = ^риш2^. В случае произвольной (в том числе стоячей) продольной упругой волны можно использовать выражение для U через мощность упругих сил (на единицу площади):
где er = Е д^/дх — напряжение в данной точке среды (см. пример 1). Для поперечной волны в струне (пример 2) поток энергии имеет аналогичный вид:
Р = Т =at Эх at*
Дисперсия. Групповая скорость. Зависимость скорости гармонической волны от частоты или длины волны называется дисперсией, а среда, в которой наблюдается это явление, называется диспергирующей. В диспергирующей среде несинусоидальный бегущий импульс меняет свою форму в процессе движения, поскольку гармонические волны, входящие в его разложение Фурье, перемещаются с разной скоростью. Скорость переноса энергии, входящая в выражение (25) для вектора Умова, определяется в этом случае как скорость движения центра импульса (или как скорость точки, в которой деформация максимальна) и называется групповой скоростью волнового пакета (в отличие от фазовой скорости синусоидальной волны и = wfk). Конечный импульс размером Ах называют волновым пакетом по той причине, что в его разложение в интеграл Фурье по гармоническим волнам входит конечная группа волн, спектральная ширина которой определяется соотношением: Ах • Ak ~ 1. Групповая скорость такого импульса равна
U^=dk=V-XdX’ (26)
где v = и)/к — фазовая скорость волны. Точки максимумов («горбы») внутри волнового пакета перемещаются с фазовой скоростью г, а огибающая этих максимумов — со скоростью пгр (рис. 63).
Понятием групповой скорости волнового пакета можно пользоваться только в том случае, если его спектральная ширина столь мала, что зависимость ш(к) можно считать линейной.
Для иллюстрации рассмотрим волну, являющуюся суперпозицией всего двух бегущих волн близких частот и одинаковой амплитуды:
^ = ^m cos[(cu + Дш)1 — (к + Дк)х^ + ^т cos[(cu — Дш)1 — (к — Дк)х^ =
= ^т сой(Дш t — Дк х) cos(wt — кх).
Отсюда видно, что огибающая волн имеет пространственный период Дх =
= 2тг/Дк и перемещается со скоростью и = Дш /Дк.
Пример 4. Групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой. Фазовая скорость волн на поверхности жидкости для длинных (гравитационных) волн зависит от длины волны по закону и = ^/gA/2?r, а для коротких (капиллярных) волн — по закону и = ^2тг ст/рХ. Подставляя в форму
лу (26), находим, что групповая скорость в первом случае равна мгр = v/2,
а во втором — мгр = Зг>/2. Видно, что групповая скорость может сильно
отличаться от фазовой.
► Интерференция волн. Две волны называются когерентными, если в любой точке пространства они создают когерентные колебания, разность фаз которых не меняется со временем (см. разд. 4.1). Источники когерентных волн называются когерентными источниками. При сложении некогерентных волн средняя по времени энергия результирующего колебания равна сумме их средних энергий. При сложении когерентных волн, колебания частиц в которых происходят в одном или близких направлениях, может наблюдаться явление интерференции, т. е. устойчивое во времени ослабление колебаний в одних точках пространства и усиление — в других. Если точка находится на расстоянии Гу от одного из когерентных источников и на расстоянии т^ — от другого, то разность фаз между колебаниями в этой точке равна
Аф = (у^ю - кгу) - ((^2о - ^2) = 2тгГ2 Л П - (</?20 - ^ю) = 2тг — - Аф0.
Здесь Л^о ~ разность фаз между колебаниями источников, А = (г2 — ri) — разность хода волн. Условие максимума результирующих колебаний: Аф = ±2тгт, условие минимума —
АфАф±2тг (т — | j, где т — порядок интерференционного
Аф
Аф
максимума (минимума). В случае синфазных источников (Афо = 0) эти условия принимают особенно простой вид:
А = ±тА (максимум),А = ±тА (максимум),т — |) А (минимум).т — |) А (минимум).
А = ±тА (максимум),
А = ±тА (максимум),
т — |) А (минимум).
т — |) А (минимум).
Пример 5. Рассмотрим два линейных когерентных источника цилиндри-
ческих волн, которые находятся на расстоянии А/2 друг от друга. В точках, расположенных вдали от источников, разность хода волн определяется только направлением излучения и равна А = -Acos# (рис. 64). В случае синфазных источников излучение ослаблено в направлении # = 0 и усилено в направлении 9 = тг/2, а в случае источников, совершающих колебания в противофазе (Афо = тг), — наоборот.
► Стоячие волны. Собственные колеба-
ния. Важным примером интерференции является стоячая волна, возникающая при сложении двух одинаковых плоских бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу:
^ = ^m cos(cjt — кх) + /ш cos(cjt + кх) = 2/ш cos кх coswt. (27)
Амплитуда колебаний точек волны А(х) = 2£,т cos кх периодически меняется от нуля (в узлах волны) до 2/ш (в пучностях волны). Расстояние между соседними узлами равно А/2. Колебания точек между двумя узлами происходят в фазе, но по разные стороны узла — в противофазе. В узлах равна нулю амплитуда колебаний скорости, но максимальное значение имеет амплитуда колебаний деформации д^/дх. В пучностях, наоборот, отсутствуют деформации, но с максимальной амплитудой происходят колебания скорости. Средняя по времени энергия имеет одинаковое значение во всех точках стоячей волны. Вектор Умова равен нулю как в узлах, так и в пучностях, а в промежуточных точках периодически меняет свое направление.
Если конец стержня, совершающего колебательное движение, жестко закреплен, то смещение точек конца стержня равно нулю; если конец стержня свободен, то равна нулю деформация. В первом случае граничное условие имеет вид £|ж=о = 0, а во втором — Э£,(Эх\х^ = 0, где значение х = 0 соответствует концу стержня. (Такие же условия возникают для колебаний воздуха в цилиндрической трубке в случае закрытого или открытого конца трубки. Для поперечных колебаний натянутой струны из примера 2 возможен только первый вариант, когда
конец струны закреплен.) Если все точки конечного стержня совершают гармонические колебания с одной частотой, то такое движение называют собственными колебаниями стержня. Если сделать мысленный разрез бесконечно длинного стержня в том месте, где находится узел стоячей волны, то будет удовлетворяться граничное условие для закрепленного конца, а если в том месте, где пучность, — то для свободного. Следовательно, свободные колебания стержня длиной I в случае двух свободных или двух закрепленных концов должны удовлетворять условию I = |шА, или шт = ^mv/l (спектр собственных колебаний, т = 1, 2, . . .), а в случае одного закрепленного конца — условию / = | ^т — ^ А, или шт = тг ^т — ^ и/I. Собственное колебание с наинизшей частотой называется основным колебанием, все остальные собственные колебания — обертонами или гармониками.
► Отражение бегущей волны. Рассмотрим отражение бегущего импульса от конца стержня. Если конец стержня закреплен, то граничному условию £|ж=о = 0 и начальным условиям (один набегающий импульс) удовлетворяет суперпозиция набегающего импульса и точно такого же по форме бегущего ему навстречу импульса, в котором смещения точек имеют противоположное направление (рис. 65, а). Если же конец стержня свободен, то граничному условию Э^( Эх\ж^ = О удовлетворяет бегущий навстречу импульс смещений такого же знака (рис. 65, 6). В случае бегущей волны отражение от свободного конца происходит без изменения фазы, при этом образуется стоячая волна с пучностью на конце стержня. Отражение от закрепленного конца происходит с изменением фазы на тг, при этом образуется стоячая волна с узлом на конце стержня.
► Эффект Доплера в акустике. При движении источника и (или) приемника волн относительно среды, в которой распространяется волна, регистрируемая частота отличается от излучаемой (если изменяется расстояние между источником и приемником). Направим ось х от приемника к источнику. Если источник излучает звук с частотой v^
и движется вдоль оси ж со скоростью ж^ (рис. 66), то расстояние между соседними максимумами волны, распространяющейся вдоль ж со скоростью ж в направлении приемника, будет равно А = ж То + ж^То, а ее частота равна ж/А:
^ = ^о^ = ^ожж + ж “жж + ж “(28)(28)
^ = ^о
^ = ^о
жж + ж “
жж + ж “
(28)
(28)
Если приемник неподвижен, то он зарегистрирует именно эту частоту. Если приемник движется со скоростью ж", то интервал времени между приходом соседних максимумов равен Т* = А/(ж + ж"), а частота принимаемого сигнала равна \1Т'\
ж + ж"жж + ж"ж^0^0ж + ж" ж + ж“ж + ж" ж + ж“(29)(29)
ж + ж"ж
ж + ж"ж
^0
^0
ж + ж" ж + ж“
ж + ж" ж + ж“
(29)
(29)
Эффект Доплера наблюдается в том случае, когда изменяется расстояние между источником и приемником.
4.5. Электромагнитные волны
► Свойства электромагнитных волн. Электромагнитной волной называется распространение возмущений электромагнитного поля в пустом пространстве или в среде в отсутствие источников. Существование электромагнитных волн следует из теории Максвелла (см. разд. 3.15), в которой утверждается, что переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле, а переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле. В случае однородной изотропной среды уравнения Максвелла имеют вид
1) rot Е =1) rot Е =авat1авat12) rotH=^,2) rotH=^,(30)(30)
1) rot Е =
1) rot Е =
ав
at1
ав
at1
2) rotH=^,
2) rotH=^,
(30)
(30)
3) divD = О,3) divD = О,4) divB = 0,4) divB = 0,
3) divD = О,
3) divD = О,
4) divB = 0,
4) divB = 0,
где D = ssqE, В = /z/zqH. Для электромагнитного поля, зависящего только от координаты ж, получаем уравнения:
ОН. _ ЭЕУ ^^ dt ~ дх ’ОН. _ ЭЕУ ^^ dt ~ дх ’ану ав.ану ав.дЕуЭН,еео^Г = —Б—, atЭхдЕуЭН,еео^Г = —Б—, atЭхэе2 днуее0^Г = "^"'at ахэе2 днуее0^Г = "^"'at ах(31)(31)
ОН. _ ЭЕУ ^^ dt ~ дх ’
ОН. _ ЭЕУ ^^ dt ~ дх ’
ану ав.
ану ав.
дЕуЭН,
еео^Г = —Б—, atЭх
дЕуЭН,
еео^Г = —Б—, atЭх
эе2 днуее0^Г = "^"'at ах
эе2 днуее0^Г = "^"'at ах
(31)
(31)
В этом случае уравнения для продольных компонент имеют вид дЕх/дх = dEx/dt = 0, дНх/дх = dHx/dt = 0, т. е. все продольные компоненты поля являются постоянными величинами.
Нетрудно убедиться, что поперечные компоненты электромагнитного поля подчиняются волновому уравнению:
^ЕУ = ЕЕ^рр^^-^ЕУ = ЕЕ^рр^^-^Hz = ££Орро^Hz = ££Орроа^н.at2а^н.at2
^ЕУ = ЕЕ^рр^^-
^ЕУ = ЕЕ^рр^^-
^Hz = ££Орро
^Hz = ££Орро
а^н.at2
а^н.at2
(таким же уравнениям подчиняются Ez и Ну). Из этих уравнений следует, что электромагнитные возмущения в среде распространяются со скоростью
1у/ееоРРо1у/ееоРРос _ су/ёр п *с _ су/ёр п *(32)(32)
1у/ееоРРо
1у/ееоРРо
с _ су/ёр п *
с _ су/ёр п *
(32)
(32)
где с = 1/уёо/щ ^ 3 • 108 м/с — скорость электромагнитных волн в вакууме, ап = у/Ёр — показатель преломления среды.
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну определенной частоты (монохроматическую плоскую волну), распространяющуюся вдоль оси х: Еу = E0ycos(u)t — kx), Ez = EQZcos(wt — kx + ф). Из (31) получаем: Ну = — у/ЕЕо/рр^ Еz, Hz = у/ ss^ ( рр^ Еу. Из этих формул можно получить свойства плоской бегущей электромагнитной волны:
Электромагнитная волна поперечна.
Так как Е • Н = 0, то Е ± Н. Векторы (Е, Н, к) образуют правую тройку векторов (т. е. направление вектора Е х Н совпадает с направлением распространения волны).
Величины векторов Е и Н в каждый момент времени связаны соотношением y/sso Е = у/рро Н (Е = vB).
От разности фаз ф зависит характер поляризации волны. При Ф = ±Ш7Г волна оказывается плоскополяризованной, т. е. вектор Е совершает колебания в одной плоскости (эту плоскость называют плоскостью поляризации волны), а при иной разности фаз — эллиптически поляризованной или (при ф = ± ^т + |^ тг и при Е^х = Еоу) — поляризованной по кругу (см. разд. 4.1).
► Энергия электромагнитных волн. Объемная плотность энергии электромагнитной волны вычисляется по формуле
W = I^qE'2 + |/1/10Я2 = EEqE2 = ЦЦоН2 = ^ЕН.
В случае монохроматической плоскополяризованной волны имеем
w = eeoEq cos2(tot — кх\ (w) = ^eeqEq.
Для эллиптически поляризованной волны:
w = его [E^cos2^/; — кх) + Eozcos2(wt — кх -V </Д],
(w) = ^ее0(Е^ + Е^).
Для волны, поляризованной ПО кругу (Eq^ = Eq^ = Eq, ср = |тг±7гт), плотность энергии не меняется со временем: w = eeoEq.
Плотность потока энергии в электромагнитной волне определяется вектором Пойнтинга (см. разд. 3.15):
S = wv = Е х Н,
который направлен в сторону распространения волны. Интенеивно- стью электромагнитной водны называется модуль среднего по времени вектора Пойнтинга:
/ = I (S) | = v(w).
Давление волны. В соответствии с теорией относительности, поток энергии электромагнитного поля в вакууме означает существование импульса электромагнитного поля. Объемная плотность импульса электромагнитного поля равна (по модулю) w/с, поток импульса равен S/c, его модуль равен w. При отражении или поглощении волны происходит изменение импульса волны, что должно проявляться в давлении волны на препятствие. При нормальном отражении плоской волны давление равно р = (w)(l + R\ где R — доля отраженной энергии (коэффициент отражения). В рамках электродинамики давление волны объясняется действием магнитного поля волны на ток, возбуждаемый на отражающей поверхности электрическим полем волны.
Излучение плоского тока. Простейшим примером системы, создающей переменные поля и излучающей плоскую электромагнитную волну, является переменный по времени плоский ток. Рассмотрим ток в плоскости (ж, z), направленный вдоль z и изменяющийся по закону
^ = щсозсд^ (рис. 67). Из закона плоского тока для узкого контура, охватывающего ток, получим Вж(0,£) = ±|//0Щ cos wf, где знак « — » соответствует полю справа от плоскости (для малых у > 0), знак « + » — слева от плоскости. Используя связь между Е и В в плоской волне, получим Ez(0, t) = — Ае coscot, где Ае = |лосго = го/(2^ос). Электрическое поле направлено против тока, его работа над током отрицательна, т. е. ток отдает волне энергию. Поле вдали от плоскости имеет вид Е(у, t) = — AECOs(cot — ку) при у > 0
и Е(у, t) = — Ае cos(cot + ку) при у < 0.и Е(у, t) = — Ае cos(cot + ку) при у < 0.► Излучение волн движущимися зарядами. Излучение элек
и Е(у, t) = — Ае cos(cot + ку) при у < 0.
и Е(у, t) = — Ае cos(cot + ку) при у < 0.
тромагнитных волн происходит при движении зарядов с ускорением.
Простейшая излучающая система — электрический диполь, диполь
ный момент которого быстро меняется со временем (осциллятор, или
Рис. 68Рис. 68вибратор Герца). Так как электромагнитные возмущения распространяются со скоростью с, то поле излучения на расстоянии г в момент времени t определяется движением зарядов в диполе в момент t’ = t — г)с. Поле излучения выглядит достаточно просто только в волновой зоне, т. е. на расстояниях, больших как по сравнению с размерами диполя, так и по сравнению с А = ст, где т — характерное время изменения дипольного момента (в случае гармонических колебаний А — длина волны). Электрическое и магнитное поле
Рис. 68
Рис. 68
Е =Е =14тг£ос2г314тг£ос2г3[(рхг) хг](_г/[(рхг) хг](_г/В =В =Цо4тгсг2Цо4тгсг2Гр X rl , J t — г /,Гр X rl , J t — г /,в волновой зоне перпендикулярны радиусу-вектору г, проведенному от диполя к точке наблюдения:
Е =
Е =
1
4тг£ос2г3
1
4тг£ос2г3
[(рхг) хг](_г/
[(рхг) хг](_г/
В =
В =
Цо4тгсг2
Цо4тгсг2
Гр X rl , J t — г /,
Гр X rl , J t — г /,
Взаимное расположение векторов Е, Н и г изображено на рис. 68.
Решение уравнений Максвелла в виде запаздывающих потенциалов (см. разд. 3.15) позволяет написать выражения для потенциалов в точке г в момент времени t. Например, векторный потенциал имеет вид:
A r, ОA r, ОДо qv(t - г/с) _ до р(* - г/с 4тг г4тг г
A r, О
A r, О
При вычислении В = rotA главную роль в волновой зоне играет член, возникающий при дифференцировании аргумента р, что приводит к приведенному
выше выражению для В. Аналогичные, но более громоздкие вычисления можно провести и для электрического поля.
Убывание полей с расстоянием происходит по закону 1/г. Вектор Пойнтинга в волновой зоне направлен вдоль г; в направлении, составляющем угол 6 с вектором р, он равен:
Q _1 sin2 6 / ..I\ 2
— 4тге0 4тгс3 Д '
Поток энергии через замкнутую поверхность есть не что иное, как мощность излучения диполя:
[ 5(У)2тгг2 sin 6* dd = , 1 2р".
J v 74тге0 Зс3
О
Считая, что движется только один из зарядов диполя, получим формулу для мощности излучения ускоренно движущейся частицы:
(33)(33)1 2g2r24тг£0 Зс3
(33)
(33)
которая оказывается пропорциональной квадрату ее ускорения.
Линейным гармоническим осциллятором называется электрический диполь, момент которого изменяется по гармоническому закону: р = Ро coscjt. Зависимость интенсивности излученной волны от угла 6 имеет вид
12 4.2л
/ = ks)| =
4тг€о 8тгс3г2
Зависимость Ц6) при г = const (диаграмма направленности) изображена на рисунке 69). Средняя по време
(34)(34)ни мощность излучения такого осциллято
(34)
(34)
ра
142
1 Ро
4тг£0 Зс3
пропорциональна четвертой степени его частоты.
Пример 1. Свободный электрон в поле плоской электромагнитной волны с амплитудой Ео совершает вынужденные колебания с амплитудой А = еЕо/(тш2) (уравнение движения электрона имеет вид: mic = — еЕо cos wt). Видно, что мощность излучения свободного электрона в поле электромагнитной волны не зависит от частоты, а сечение рассеяния (отношение мощности излучения к интенсивности падающей волны)
Р8 (fee2)2зо 2 п
равно ст = — =л-т- ~ 10 м . Другая ситуация возникает, когда /3 m с
в поле электромагнитной волны попадает атомный электрон, собственная частота шо колебаний которого велика по сравнению с частотой падающей (световой) волны. Амплитуда колебаний в этом случае (см. разд. 4.3) равна
А = еЕо/(тш^ т. е. почти не зависит от ш. В этом случае мощность излучения и сечение рассеяния света пропорциональны ш\ что дает качественное объяснение голубому цвету неба (голубой свет рассеивается сильнее).
Пример 2. Если представить, что электрон в атоме совершает собственные колебания с частотой шо^ то энергия колебаний равна
2 л2Оке^ш^А2
W = тш0А , а мощность излучения равна Р = ——- = ^.
dWке^ш^
Получаем =о-И/, следовательно, энергия атома изменяется по
diЗтс
закону W = Wo exp(—t/r), где т = Зтс?/(ке2Шо) ~ 10-9 -У10-10 с называют временем высвечивания атома.
► Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме. Главное отличие от акустического эффекта Доплера (см. разд. 4.4) состоит в том, что отсутствует система отсчета, связанная со средой, в которой распространяется волна. Поэтому соотношение между частотой излучения /щ (измеренной в системе отсчета источника К^ и зарегистрированной частотой v (измеренной в системе отсчета приемника Кп) может зависеть только от их относительной скорости. Пусть в Кп источник движется со скоростью v, направленной под углом 6 к радиусу-вектору, проведенному от приемника к источнику. Повторяя рассуждения, приведенные в разд. 4.4, получим
1 + (о/с) cos 6 '
где vq — частота источника, измеренная часами системы Кп. Переходя к собственному времени (То = 7Т0, или v^ = ^0/7, см. разд. 1.11), получим
и =1/0=
7 [1 + (у/с) cos 9\1 + (о/с) cos 6 ')
Видно, что вследствие преобразования времени наблюдается не только продольный, но и поперечный эффект Доплера (при движении источника перпендикулярно направлению на приемник).
Полезно посмотреть на эффект Доплера с иной точки зрения. Поскольку фаза колебания в данной точке волны (cut — kr) должна быть инвариантна по отношению к переходу в другую систему отсчета, то (к, си/с) представляет собой 4-вектор нулевой длины (к2 — ш2(с2 = 0). Если в системе Тп ось ж направить параллельно скорости источника Vй (рис. 70), то в этой
системе отсчета кж = — к cos в = — (w/c) cos 6. Применяя для перехода к системе Ки преобразования Лоренца, имеем: ш^с = 7 [(а;/с) — кж^и ( c^Y или шо = 7^ + ш^и/с) cos 6Y Выражая ш^ приходим к (35). Этот метод позволяет, записав преобразования Лоренца для волнового вектора к, получить формулы для явления аберрации света, имеющего важное значение в астрономии.
► Шкала электромагнитных волн. В зависимости от способов излучения и регистрации электромагнитных волн, в шкале частот v или длин волн в вакууме А = с/и выделяют несколько диапазонов с условными (перекрывающимися) границами:
Радиоволны (А > 0,05 мм).
Оптическое (световое) излучение (10 нм < А < 1 мм):
инфракрасное (ИК) излучение (770 нм < А < 1 мм),
видимый свет (380 нм < А < 770 нм),
ультрафиолетовое (УФ) излучение (10 нм < А < 380 нм).
Рентгеновское излучение (0,01 им < А < 100 нм).
Гамма-излучение (гамма-лучи) (А < 0,1 нм).
Глава 5
ОПТИКА
Геометрическая оптика. Фотометрия
► Основные законы геометрической оптики. Оптика занимается изучением электромагнитного излучения оптического (светового) диапазона (см. разд. 4.5) явлений, возникающих при его распространении в пространстве и взаимодействии с веществом. Геометрическая оптика отвлекается от волнового характера и от поляризации светового излучения, оперируя понятиями световых лучей, указывающих направление распространения света, и узких световых пучков, образованных световыми лучами.
Основные законы геометрической оптики перечислены ниже.
Закон прямолинейного распространения света.
Закон независимости световых пучков. Энергия в каждом пучке распространяется независимо от других пучков; освещенность поверхности, на которую падает несколько пучков, равна сумме освещенностей, создаваемых каждым пучком в отдельности.
Закон отражения света. Отраженный луч лежит в плоскости падения, образуемой падающим лучом и нормалью к поверхности в точке падения; угол падения равен углу отражения. Все углы отсчитываются от нормали.
Закон преломления света. Преломленный луч лежит в плоскости падения; отношение синуса угла падения од к синусу угла преломления а2 зависит от длины волны, но не зависит от угла падения (закон Снеллиуса):
sinoiП2
= n2i = —.Sin «2П1
Постоянная величина П21 называется относительным показателем преломления второй среды относительно первой, который равен отношению (абсолютных) показателей преломления каждой из сред (показателей преломления среды относительно вакуума). С точки зрения волновой оптики абсолютный показатель преломления указывает, во сколько раз фазовая скорость световой волны данной частоты меньше, чем скорость этой волны в вакууме:
v = c/n, п = л/рЁ to Ve(2)
(см. разд. 4.5). Если п2 < п\, то при ад > апред, где sin апред = ^21 < 1, наблюдается полное отражение света, т. е. отсутствует преломленный
луч. При распространении луча света в среде с постепенно меняющимся вдоль некоторой оси показателем преломления (в слоистой среде) удобно использовать формулу (1) в виде nsina = const, где а — угол с указанной осью. Видно, что а постепенно меняется, т. е. происходит искривление луча.
К перечисленным законам геометрической оптики следует добавить принцип обратимости световых пучков.
Законы геометрической оптики действуют тогда, когда оказываются несущественными явления интерференции, дифракции и поляризации. Это происходит в тех случаях, когда амплитуда волны и ее первые пространственные производные мало меняются на длине волны. Эти условия нарушаются на границе тени, вблизи геометрической точки схождения лучей (фокуса), при прохождении света через узкие диафрагмы, при распространении света в средах с резко меняющимся показателем преломления или с большим поглощением. Например, при прохождении света через круглую диафрагму с диаметром d (для отверстия неправильной формы под d надо понимать минимальный поперечный размер) пучок света расплывается за счет дифракции на расстоянии I ~ с//А; на расстояниях, малых по сравнению с /, можно пользоваться законами геометрической оптики.
С законами геометрической оптики тесно связаны принцип Гюйгенса (волновое построение Гюйгенса) и принцип Ферма. Принцип Гюйгенса опирается на абстрактно-волновые представления и позволяет построить в каждой точке вспомогательную волновую поверхность, нормаль к которой указывает направление луча света. Для построения волновой поверхности в момент времени t + At все точки волновой поверхности в момент времени t рассматриваются как источники вторичных световых волн. Огибающая сферических волновых поверхностей вторичных волн образует новую волновую поверхность основной волны.
Принцип Ферма является одним из примеров вариационных принципов, играющих в физике большую роль. Он утверждает, что время распространения света по истинной траектории является экстремальным (обычно — минимальным или максимальным) по сравнению со всеми воображаемыми близлежащими траекториями. Более точно — это время не меняется (в первом порядке малости) при малом искажении траектории. Время прохождения света через среду с переменным (или кусочно-переменным) показателем преломления удобно выражать через оптическую длину пути L:
[ Гл. 5
Это понятие оказывается полезным и при изучении интерференции. Принципы Гюйгенса и Ферма позволяют получить основные законы геометрической оптики, но не позволяют выйти за ее пределы.
Одной из важных задач геометрической оптики является построение изображений, формируемых оптическими системами, и изучение их свойств. Изображением называется точка схождения лучей, прошедших оптическую систему. Система отражающих и преломляющих сферических (и плоских) поверхностей, перпендикулярных к некоторой оси, формирует изображение точечного источника лучами, падающими под малым углом к оси (параксиальное приближение). Ось системы называют оптической осью; точку схождения параллельного оси пучка лучей — фокусом системы; перпендикулярную оси плоскость, проведенную в фокусе, — фокальной плоскостью. Теоретический предел размеров изображения и разрешающей способности оптических систем определяется дифракцией света. Важное для дальнейшего свойство изображений: оптические длины всех лучей от источника до изображения одинаковы, т. е. оптическая система не изменяет разности хода лучей.
► Фотометрия. Излучение в данной точке пространства в данном направлении характеризуется интенсивностью лучистого потока /:
6Ф = I cos 6 ds dQ,(4)
где dФ — лучистый поток (энергия, переносимая в единицу времени через площадку ds лучами, заключенными в телесном угле d£2); 6 — угол между выделенным направлением и нормалью к площадке. Произведение cos 9 ds называется видимой величиной площадки в данном направлении. Объемная плотность лучистой энергии и = dW/dV равна
u = -\ldfl.(5)
С J
В случае изотропного излучения и = 4тг//с. Интенсивность / и плотность и можно подвергнуть спектральному разложению по частотам или длинам волн:
осОСОС
и = | ир dv = | иш duo = | u\ dX.
000
Приравнивая энергию, заключенную в соответствующих друг другу спектральных интервалах, можно найти связь между различными спектральными представлениями. Например, приравняв Updv = и\ 6Х. с учетом А = с/v получим
/ с \=) пх-
Аналогично можно произвести разложение по двум взаимно перпендикулярным поляризациям.
Определенные выше энергетические характеристики используют при объективном описании излучения. Фотометрические, или световые, характеристики учитывают восприимчивость глаза к световому излучению. Лучистый поток измеряют в ваттах, а соответствующую ему фотометрическую единицу называют световым потоком и измеряют в люменах (лм). Чтобы перейти к световому потоку, надо лучистый поток умножить на световую эффективность у (измеряется в лм/Вт), которая для длины волны Ао = 555 нм равна у о = 625 лм/Вт, а для других длин волн равна т/оИх, где Ух — кривая видности, или относительной спектральной чувствительности глаза (Ух = 1 при А = 555 нм и падает до нуля при приближении к границам видимого диапазона). Для пересчета от произвольного лучистого потока к световому потоку можно использовать формулу Фсв = уо | Фх Ух dX. Аналогичным образом происходит пересчет от остальных энергетических характеристик к световым и наоборот (например, от интенсивности излучения к интенсивности света).
Для характеристики точечного источника используют энергетическую силу источника, определяемую как лучистый поток в данном направлении в расчете на единичный телесный угол: dФ = J dfL Световая характеристика — сила света источника — определяется через световой поток. Единица силы света кандела является основной единицей СИ (лм = кандела х ср, где ср — стерадиан). Если не происходит поглощения или рассеяния излучения, то на расстоянии г от источника в том же направлении интенсивность излучения равна
Поток лучистой энергии, приходящийся на единицу площади освещаемой поверхности, называется энергетической освещенностью. Соответствующая световая величина называется просто освещенностью Е и измеряется в люксах (лк). Если излучение точечного источника падает под углом 9 к нормали, то
Е = ^ cos 9.г
Для протяженных источников, т. е. для излучающей поверхности, вводят энергетическую яркость в данном направлении Be (световая характеристика— яркость). Энергетическая сила источника, соответствующего площадке ds, равна
dJ = Be cos 9 ds, или dФ = Be cos 9 ds dd, (6)
где 9 — угол между нормалью к излучающей поверхности и направлением излучения. Источник, у которого Be не зависит от направления,
Рис. 71Рис. 71
Рис. 71
Рис. 71
называется ламбертовским источником. Ламбертовский источник любой формы кажется равномерно ярким (например, диск Солнца). Энергетическая светимость R (световая характеристика — светимость) определяется как полный лучистый поток в телесном угле 2тг в расчете на единицу площади излучающей поверхности:
R = ^Becos9c№. (7)
Для ламбертовского источника R = тгВ.
Пример. Освещенность, создаваемая светящейся поверхностью S на некотором участке освещаемой поверхности ds\ равна сумме вкладов от всех участков ds. Телесный угол, под которым ds' видна от ds. равен cos О’ ds’/г2 (рис. 71). Для светового потока, посылаемого в этот телесный угол, имеем Be cos в ds (cos 9' ds1 / г2). Так как cos 9 ds / г2 равен телесному углу dO. под которым излучающий участок виден от точки освещения, то dE = Be cos 9' df2.
Например, при освещении ламбертовским диском маленькой площадки, расположенной на оси диска и ориентированной перпендикулярно оси (рис. 72), dQ = 2тг sin 9' d9' и после интегрирования получим Е = к В sin2 0о, где 9о — угол полураствора конуса, под которым диск виден от освещаемой площадки.
Интерференция света
► Когерентность световых волн. При наложении световых волн, обладающих очень высокой частотой колебаний, можно наблюдать только усредненную по времени энергию колебаний, которую характеризуют интенсивностью колебаний I = (Е2). При сложении двух колебаний Е = Ei + Е2 получим / = /1 + /2 + /12, где /12 = 2(Ei • Е2) называют интерференционным членом. Если /12 = 0, то пучки света называют некогерентными. Волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях, всегда некогерентны. Монохроматические волны являются когерентными только в том случае, если остается постоянной их разность фаз (т. е. их частоты совпадают) и если они параллельно (или почти параллельно) поляризованы. При наложении
таких волнтаких волн
таких волн
таких волн
/1 /2 cos Аф,
где Аф — разность фаз колебаний в данной точке. В частном случае при /х = /2 = /0 имеем / = 2/q(1 + cos Аф). Для синфазных колебаний: I = (л/Л + Vh)2, для колебаний в противофазе: / = (VK ~ VK)2-
► Интерференция двух волн. При наложении двух плоских волн Ei = Ею cos(a)t — ki • г) и Е) = Ею cos(a)t — k2 • г) получим Аф = (ki — k2) г. Поверхности постоянной разности фаз представляют собой плоскости, перпендикулярные вектору (ki — k2). Расстояние между соседними плоскостями с максимальной интенсивностью равно
(8)(8)л2тгтгА
(8)
(8)
|ki — k2|A?sin(o/2)2sin(o/2)’
где а — угол между векторами кд и к2. При малых а получим Ах ~ ~ Х/а. Если в области перекрытия волн поставить плоский экран, параллельный (ki — k2), то на нем будут наблюдаться параллельные чередующиеся темные и светлые полосы.
При наложении сферических волн от двух синфазных точечных источников условие максимума интенсивности m-го порядка имеет вид Г2 — ri = тХ (это уравнение гиперболоида вращения с осью, проходящей через источники). При размещении экрана параллельно этой оси получим светлые и темные полосы в виде гипербол. Если расстояние до экрана D велико по сравнению с расстоянием d между источниками, то в центре экрана получим равноотстоящие почти параллельные полосы. Расстояние между полосами будет такое же, как в опите Юнга, где интерференция создается двумя параллельными линейными источниками когерентного света. Если х — расстояние от некоторой точки экрана до его центра (рис. 73), то г2 = D2 + (х + d/2)2, г2 = D2-\-(x — d/2)2, и при d,x <С D получим
для разности хода А = г у — r^ ~ xd/D « ах, где а ^ d/D — угол, под которым источник виден из центра экрана. Интенсивность меняется от 4/ при А = ах = тХ до нуля при А = (т + |)А. Расстояние между полосами равно Ах = Х/а = XD/d.
На большом расстоянии от двух синфазных линейных источников (т1,Г2 d) можно написать Г2 — ri « dsinO, где 9 — угол между нормалью к плоскости источников и направлением наблюдения интерференции (приближение Фраунгофера). Амплитуды колебаний в интерферирующих волнах можно считать одинаковыми, т. е. / = 2/q[1 + cos(kd sin У)]. Максимумы интерференции наблюдаются под углами, удовлетворяющими соотношению sin 9 = mX/d.
Уточним, на каком расстоянии от источников можно пользоваться приближением Фраунгофера. Выразим г^ по теореме косинусов:
т^ = (г2 + d2 — 2Jn sin 0)1/2
(угол в треугольнике равен 90° — 0) и, разложив до второго порядка по djr-^ получим
, . л d? d? . 2 л
Г2 — Г1 ^ d sin и Нsin и.
2ri ri
Поправкой можно пренебречь, если d? (тх << А. Получаем, что приближение Фраунгофера работает в том случае, если расстояние т от точки наблюдения до источников подчиняется соотношению
(9)
Отметим, что это неравенство более сильное, чем просто условие г ^ d.
RizЛоРис. 74RizЛоРис. 74► Интерференция большого числа волн. Рассмотрим интерференцию от N одинаковых синфазных источников, расположенных на одной прямой на расстоянии d друг от друга. На большом расстоянии от источников (г ^ (ЛМ)2/Л) в направлении 9 происходит сложение N колебаний одинаковой амплитуды Ло, причем разность фаз между соседними колебаниями равна ф = (2тг/А)с/ sin 9. Результирующую амплитуду А найдем из уравнений (см. векторную диаграмму на рис. 74): Ло = /Zsin(^>/2),
R
iz
Ло
Рис. 74
R
iz
Ло
Рис. 74
А = R sin(^(/>/2). Исключая радиус описанной окружности R, получим:
д _ д _sin(AW2)_sin%/V0/2)
° sin(0/2) ’0 sin2(0/2) ’
► Интерференция от естественных источников света. Излучение естественных (тепловых) источников света состоит из множества цугов волн, спонтанно испущенных возбужденными атомами при их высвечивании, т. е. при возвращении в нормальное состояние. Длительность цуга ~ 10-10 4- 10-8 с, он содержит 106 4- 108 колебаний. Следовательно, два разных естественных источника некогерентны даже при выделении в их излучении узкой спектральной полосы, поскольку разность фаз колебаний очень быстро и хаотически меняется в каждой точке наблюдения. Для наблюдения интерференции надо излучение от одного источника расщепить на два или несколько пучков и заставить их попадать в точку наблюдения различными путями. При этом будет происходить интерференция каждого из цугов с самим собой, и условие максимума или минимума будет одновременно выполняться для всех цугов одной частоты, испущенных из одной и той же точки источника. Удобно ввести оптическую разность хода пучков
А = П2 dl — П1 dl,
где интегрирование ведется вдоль линии, которую данный пучок проходит от точки излучения до точки интерференции. Условие максимума: А = mA; условие минимума: А = ^ш + |^ А, где т называется порядком интерференции.
Приведем классические примеры получения двух когерентных источников.
Опит Юнга (упоминался выше). Солнечный свет падает на очень узкую щель в первом экране, вследствие дифракции расходится и падает на две узкие щели во втором экране. Опять же из-за дифракции после этих щелей свет расходится и образует перекрывающиеся когерентные пучки.
Зеркала Френеля. Свет от ярко светящейся щели падает на два зеркала, скрещенных под углом почти 180°. Близко расположенные мнимые изображения щели образуют два когерентных источника.
Бипризма Френеля. Свет от ярко освещенной щели преломляется в двух стеклянных призмах с малыми преломляющими углами, сложенных своими основаниями. В результате преломления образуются два близко расположенных мнимых изображения щели.
Билинза Бийе. Собирающая линза разрезается пополам и половинки слегка раздвигаются. Билинза освещается узкой щелью, параллельной линии разреза. Каждая половинка линзы формирует свое действительное изображение щели.
Зеркало Ллойда. Свет от узкой щели отражается от зеркальной плоскости, образуя мнимое изображение щели. Интерферируют свет от самой щели и от ее изображения.
Влияние размеров источника. Пространственная когерентность. Разность хода лучей в данной точке экрана имеет определенное значение только в случае точечного источника. При переходе от одной точки протяженного источника к другой разность хода меняется. Если разность хода изменится на А/2, то условие максимума превратится в условие минимума, т. е. наложение интерференционных картин от
разных участков протяженного источника приводит к смазыванию общей интерференционной картины.
Предположим, что от источника подПредположим, что от источника подРассмотрим, например, плоский источник, первый из интерферирующих лучей исходит углом од к его нормали, а второй — под углом а^. Пусть эти лучи лежат в одной плоскости с нормалью, а углы излучения почти одинаковы для всех точек источника (рис. 75). При переходе от одного конца источника к другому длина пути первого луча изменится на I sin од, второго — на I sin а^ (/ — размеры источника в плоскости лучей),а разность хода изменится
Предположим, что от источника под
Предположим, что от источника под
на /(sin «2 — sinai). Условие сохранения интерференционной картины (условие пространственной когерентности) принимает вид
/| sin «2 — sin «11 < А/2.
Пример 1. В опыте Юнга I — ширина щели в первом экране, от = —02 = bj^L), где b — расстояние между щелями во втором экране, L ^ 6 — расстояние между экранами; получим: 2/(6/2L) < А/2, т. е. I < XLj^b). Перепишем эту формулу в виде: b < А/(2-0), где ф = I/L — угловые размеры источника, или угол расхождения падающих на две щели лучей. Например, при прямом освещении щелей Солнцем ф ~ 0,009 рад, А ~ 500 нм, т. е. расстояние между щелями должно быть меньше 0,06 мм. Именно поэтому надо сначала солнечный свет пропускать через узкую щель.
► Влияние немонохроматичности света. Временная когерентность. Нарушение монохроматичности складывающихся волн может привести к смазыванию картины интерференции. Предположим, что частоты излучаемых волн лежат в узком спектральном интервале Аш. Сильное искажение картины интерференции происходит в том случае, если разность хода А превышает некоторое критическое значение LK, которое называют длиной когерентности; LK имеет смысл длины цуга волн, испускаемого атомом в одном акте излучения (напомним, что устойчивая интерференция происходит при сложении цугов в одном из разделенных пучков с соответствующими им цугами в другом пучке).
Время тк = L^/c, которое называют временем когерентности, имеет смысл длительности цуга волн. В соответствии с общими свойствами преобразования Фурье, спектральная ширина волнового пакета связана с его длительностью соотношением Аш At ~ 2тг.
Пример 2. «Оборванная» синусоида A(t) sin сто Г где А = const в интервале —т/2 < t < т/2 и А = 0 вне этого интервала, имеет разложение Фурье sin[|(w - wo)t]2?г
а(ш) ~ ;, ширина которого равна Аш ~ —.
- шо)тт
Получаем, что спектральная ширина интерференции связана с длительностью когерентности соотношением Аш ~ 2тг/тк. Максимальный порядок спектра, в котором можно наблюдать интерференцию, можно оценить как N ~ тк/Т = ш/Аш = Х/АХ. Полезно отметить, что именно в этом порядке сольются полосы соседних порядков:
(TV + 1)А = N(X^5X)
(задний край полосы порядка 7V + 1 совпадает с передним краем полосы порядка N). Длину когерентности часто выражают через 5А:
А2
U = NX = ^-.
► Интерференция в тонких пленках. Рассмотрим интерференцию лучей, отраженных от передней и задней поверхностей тонкой пленки (рис. 76). Будем считать фронт волны плоским, т. е. источник достаточно удаленными. Так как фронт преломленной волны перпендикулярен лучу, то луч 1 в точке D и луч 2 в точке D’ имеют одинаковые фазы. Значит, оптическая разность хода лучей в точке D равна n(D'C + СD\ Кроме того, к разности хода надо добавить А/2, что позволит учесть изменение фазы на тг при отражении от среды с большим показателем преломления (на границе воздух — пленка в точке D\ После преобразований получим:
А = 2dn cos ф + ^ = mVп2 — sin2 9,
где d — толщина пленки, п — ее показатель преломления, 9 и ф — углы
падения и преломления. Условие максимума для наблюдения в отраженном свете А = тХ выполняется для определенных длин волн. Для очень тонких пленок условию максимума удовлетворяют одна или две длины волны из видимого диапазона, и пленка оказывается окрашенной. Условию максимума для наблюдения в отраженном свете соответствует для той же длины волны условие минимума для наблюдения в проходящем свете (отражений
на границе воздух — пленка не происходит). Как всегда при интерфе
ренции, энергия не увеличивается, а перераспределяется.
Рассмотрим теперь два важных случая.
Полосы равной толщины. Если лучи падают под почти постоянным углом, например нормально, а толщина пленки меняется, то линии постоянной толщины есть линии постоянной разности хода. При освещении монохроматическим светом эти линии будут видны в виде темных или светлых полос. При наблюдении в белом свете (при условии малой толщины пленки) линии будут цветными. Интерференция происходит вблизи поверхности пленки (интерференционная картина локализована на поверхности).
Полосы равного наклона. Толщина пленки постоянна, освещение ведется рассеянным светом от удаленного источника. Меняя угол наблюдения, мы будем получать то условие максимума, то минимума. Интерференционная картина локализована на бесконечности (или в фокальной плоскости линзы). Для очень тонких пленок свет может быть не монохроматичным, наблюдение под данным углом выделяет ту длину волны, для которой выполнено условие максимума.
6 А. И. Черноуцан
Пример 3. Кольца Ньютона. Если плосковыпуклую линзу положить на поверхность стеклянной пластинки (рис. 77) и освещать монохроматическим светом, падающим нормально, то на воздушном промежутке будут
Рис. 77Рис. 77наблюдаться полосы равной толщины, имеющие
Рис. 77
Рис. 77
пятно.пятно.форму окружностей. Толщина промежутка равна d « V^2 + г2 — R « г2/(2Я), где г — радиус окружности. Условие минимума имеет вид 2J + (А/2) = ^т + ^ А, или rm = VmXR. В центре картины будет темное
пятно.
пятно.
► Принципы голографии. Голография используется для записи объемного изобра
жения предмета. Предмет освещается светом лазера, обладающим очень высокой степенью когерентности, и попадает на фотопластинку. Информацию о форме предмета несет зависимость фазы предметной
волны от положения на пластинке. Если на пластинку одновременно
со светом, отраженным от предмета, послать отраженный от зеркала опорный лазерный луч, которым освещается предмет, то в результате интерференции образуется волна, амплитуда и интенсивность которой будут зависеть от фазы предметной волны. Так как почернение фотопластинки пропорционально интенсивности, то на ней сохранится информация о фазе волны. Освещая проявленную пластинку светом того же лазера, можно восстановить исходный сигнал.
При записи интерференционного сигнала в объеме толстой прозрачной фотопластинки возникает объемная голограмма, которая несет информацию как о форме предмета, так и о длине волны лазерного сигнала. При освещении голограммы белым светом волны других частот гасят друг друга за счет интерференции, и возникает изображение предмета, освещенного монохроматическим лазерным светом. Если в одной пластинке записать три голограммы от лазеров с различными длинами волн, то при освещении белым светом возникает объемное цветное изображение.
► Излучение Вавилова — Черенкова. При движении частицы в среде со скоростью V, превышающей фазовую скорость г) = с/п света в этой среде, возникает излучение электромагнитных волн под определенным углом к направлению движения частицы. Элементарное объяснение этого явления совершенно аналогично объяснению возникновения ударной волны при движении со сверхзвуковой скоростью. При прохождении частицы возникает излучение возбужденных ею атомов среды. Разность хода волн, излученных возбужденными атомами
в направлении 9 из положений А и В (рис. 78), равна
А = v — — L cos 9 = l( — cos 9
Если V < v, то для любого угла 9 можно подобрать такое L, что излучение точек А и В гасит друг друга (А = А/2). При V > v то же самое относится к любому углу, не равному 9q = arccos(-r/V) (можно
добиться А = ±А/2). Однако в направлении 9q все точки излучают
волны с одной и той же фазой, т. е. происходит взаимное усиление
излучения.
Дифракция
► Принцип Гюйгенса — Френеля. Дифракцией называются отклонения от закона прямолинейного распространения света. Приближенный расчет интенсивности света после препятствий или отверстий в экране опирается на принцип Гюйгенса — Френеля, который дополняет геометрическое построение Гюйгенса (см. разд. 5.1) условием интерференции вторичных лучей. Согласно этому принципу, все точки произвольной поверхности, окружающей источники волн, являются источниками когерентных вторичных волн, а амплитуда колебаний волны в произвольной точке вне этой поверхности может быть получена как результат интерференции вторичных волн. Обычно в качестве такой поверхности выбирают фронт волны, тогда источники вторичных волн синфазны. Амплитуда вторичной волны пропорциональна амплитуде первичной волны и площади участка поверхности:
dE = Eq ^^ ехр[г(и£ — kr) ] ds, (11)
где Eq — (комплексная) амплитуда первичной волны в точках фронта, а — угол между направлением излучения и нормалью к поверхности, т — расстояние от фронта вторичных источников до точки наблюдения, К (а) — медленно убывающая функция (К(тг) = 0).
Рассмотрим дифракцию на отверстиях различной формы в плоском экране для случая нормального падения плоской монохроматической волны.
Круглое отверстие радиусом ROTB, точка наблюдения В лежит на оси отверстия на расстоянии I от его центра (рис. 79). В качестве поверхности вторичных волн выберем участок фронта в плоскости отверстия. Разобьем фронт на тонкие круговые сегменты, засекая на нем из точки В окружности отрезками, длины которых составляют
I + Sr, I + 2Sr, . . . (Sr <C ROt?bY Поскольку оптическая длина пути при переходе от сегмента к сегменту испытывает постоянное приращение Sr, то одинаковым будет и приращение фазы колебаний; кроме того, амплитуды колебаний от отдельных круговых сегментов, вычисленные по формуле (П), также равны. Действительно, из г2 = Я2 + /2 получаем RSR = rSr и SS/r = 2тг5г = const (6S = 2tvRSR). Следовательно, векторная диаграмма складывающихся колебаний (рис. 80) имеет вид медленно закручивающейся спирали (с учетом медленного уменьшения К (а)). Из соображений симметрии можно сделать вывод, что спираль сходится к центру окружности. Сумма всей спирали соответствует свободному распространению света в отсутствие экрана.
Часть поверхности от центра до точек, где гi = / + А/2, называется первой зоной Френеля, от края первой зоны до г^ = / + А — второй зоной Френеля, и т. д. Видно, что если открыть только первую зону Френеля, а все остальное закрыть экраном, то амплитуда колебаний будет в 2 раза больше, чем в отсутствие экрана, а интенсивность — в 4 раза больше. Если открыть две первые зоны, то амплитуда и интенсивность в точке В будут близки к нулю, и т. д. Наоборот, если закрыть экраном небольшое число центральных зон Френеля, то это почти не скажется на интенсивности колебаний в точке В — она будет почти такой же, как и в отсутствие экрана (этот парадоксальный факт известен под названием «пятно Пуассона»).
Если изготовить препятствие сложной формы, закрывающее зоны Френеля через одну (все четные зоны или все нечетные), то в точке наблюдения будет происходить многократное увеличение интенсивности. Такое устройство, фокусирующее свет подобно линзе, называется зонной пластинкой и находит многочисленные применения.
Радиус т-й зоны Френеля найдем из теоремы Пифагора г2 = R2 + /2, подставляя г = I + А (А <С I — разность хода между
Если подставить А = тХ/2, найдем радиус m-й зоны Френеля: Rm = VmlX.
Приведем также формулу для случая падения на отверстие сферической волны, испускаемой точечным источником, лежащим на оси отверстия на расстоянии а от его центра:
2а1Д malX
Rm = \ ~ = \ ~г •у а Н- I у а Н- I
При а -4- оо это выражение переходит в (12).
Число открытых отверстием зон Френеля равно т = R^TB/IX. Следовательно, при I <^ R^TB/X открыто много зон Френеля и интенсивность света в точке наблюдения мало отличается от интенсивности падающей волны, т. е. дифракционные эффекты на оси отверстия выражены слабо (работает приближение геометрической оптики). В обратном пределе I )^> R^TB/ X открыта только малая часть первой зоны Френеля, т. е. все колебания в точке наблюдения складываются в одной фазе (приближение Фраунгофера).
Для круглого отверстия расчет дифракции для точек наблюдения, лежащих в стороне от оси, оказывается сложным. Ниже мы вернемся к этой задаче, но уже для дифракции Фраунгофера. Однако решение задачи дифракции для всех точек наблюдения оказывается возможным для отверстия в форме длинной щели.
Отверстие в виде щели шириной 6, точка наблюдения В лежит в плоскости, отстоящей от экрана на расстояние I. В этом случае фронт надо разбивать не на круговые, а на прямолинейные тонкие сегменты (рис. 81) одинаковой ширины бх. Главное отличие состоит в том, что площади сегментов пропорциональны не R6R, а просто бх. При этом, как и раньше,
выполняются тождества г2 = ж2 + /2, х5х = г8г^ следовательно, 8S/r ^ 8г/х, и амплитуды колебаний при удалении от точки О убывают. Это
приводит к тому, что радиус кривизны векторной диаграммы становится
все меньше, и она приобретает форму спирали, которая носит название
«спирали Корню» (рис. 82). На этой спирали откладывают значения параметра и = ж^2//А, пропорционального (при х ^ Г) длине дуги спирали, отсчитанной от центра. Поскольку разность хода равна Д = г — I ~ ж2/2/,
2 лV —42 лV —4то Дто ДРасстояние между конечными точками спирали Fi и Fs
2 л
V —
4
2 л
V —
4
то Д
то Д
равно амплитуде До колебаний в отсутствие преграды, т. е. амплитуде па
дающей волны. Если края щели находятся на расстояниях Ж1 и xs от точки О, то вычисляем соответствующие значения г>1 и п^ затем находим
на спирали соответствующие точки и,на спирали соответствующие точки и,Рис. 83Рис. 83соединяя их, определяем амплитуду. Таким образом можно получить дифракционную картину от щели не только в центре экрана, но и в стороне от центра. Случай b <С VTX соответствует дифракции Фраунгофера (открыта малая часть спирали); случай b ^ л/ТХ соответствует приближению геометрической оптики. При этом вблизи краев щели наблюдается дифракционная картина, соответствующая дифракции на полуплоскости (рис. 83); точно напротив края щели (точка Р) амплитуда OFs рав
на спирали соответствующие точки и,
на спирали соответствующие точки и,
Рис. 83
Рис. 83
на половине амплитуды падающей волны До (интенсивность — в четыре раза меньше /о), ширина дифракционного размытия ~ у/ТА.
Методом зон Френеля удается исследовать дифракционную картину от щели графически, с помощью спирали Корню, полученной численным расчетом. Простое аналитическое описание дифракции от щели удается получить в приближении Фраунгофера.
► Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракцией Фраунгофера называют дифракцию в параллельных лучах, когда разность фаз вторичных волн, исходящих от различных точек рассматриваемого участка волнового фронта, можно найти в предположении их параллельности. В этом приближении дифракционная картина упрощается и можно рассчитывать интенсивность света в разных точках экрана. Приближение Фраунгофера действует в двух случаях: во-первых, если лучи света после дифракции собираются линзой в ее фокальной плоскости, и, во-вторых, если экран удален от дифракционного отверстия на достаточно большое расстояние г ^ R^JX^ где R — размер источника (см. обсуждение условия Фраунгофера в разд. 5.2, формула (9)).
Рассчитаем в приближении Фраунгофера дифракцию плоской монохроматической волны на щели шириной Ь. Ограничимся изучением нормального падения волны на экран с щелью; в этом случае
все точки щели являются источниками вторичных синфазных волн.
Разобьем плоскость щели на большое число N одинаковых узких полосок (рис. 84). Амплитуда света от каждой полоски равна Eq/N, где Eq — ам-II
плитуда света, посылаемого щелью в на-’’
правлении 9 = 0 (в этом случае все полоски излучают свет синфазно). При / х/ ' ' излучении в направлении, составляющемХх Ь
угол 9 с нормалью, разность фаз меж-Хх
ду излучением соседних полосок равна 6ip = (27r/A)(6/W) sin У, разность
фаз между крайними полосками равнаРис. 84
ср = (2?r/A)6sin# = N6ip. Используя вы
ражение (10) для интерференции N источников, получим амплитуду излучения щели в направлении 9 (sin 3(р надо заменить на 5 ср):
Е^ = EosXn^, где ^ = 2Tr|sin0.(13)
Интенсивность излучения, равная /i = /о sin2 (99/2) / (99/2)2, а также характерные векторные диаграммы изображены на рис. 85. Условие минимумов излучения имеет вид:
(14)(14)6sin# = mA (m = l,2,...).
(14)
(14)
Условие максимумов: 6 sin# « (т + -)А (т = 1, 2, . . .). Максимумы интенсивности относятся как /о : Л : /2 . . . ^ 1 : (1,5тг)2 : (2,5тг)2 . . . Максимальный порядок спектра определяется условием т ^ Ь/(2А).
► Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии. Разрешающая способность оптических приборов. В случае дифракции на круглом отверстии распределение интенсивности имеет вид концентрических темных и светлых кругов вокруг центрального светлого пятна. Распределение интенсивности при малых углах 9 с осью отверстия выражается через функцию Бесселя первого порядка: / = IqJ^(ttD9/А),
где D — диаметр отверстия. Внешне угловое распределение интенсивности мало отличается от случая дифракции на щели; первый минимум соответствует углу 01 = 1,22 X/D.
Угол ^i можно считать углом дифракционного расширения пучка света. Расплывание пучка будет слабым на расстояниях /, удовлетворяющих условию: /^i <С Р, или I <С D^(X. Это неравенство является условием применимости геометрической оптики (см. разд. 5.1).
При наблюдении в оптический прибор (линза, телескоп) двух близких точек они будут изображаться на экране в виде маленьких дифракционных кружков. Условно считается, что изображения точек неразличимы, если они сблизились настолько, что центральный максимум одного кружка совпал с первым минимумом другого (критерий Рэлея). Следовательно, угловое разрешение таких приборов выражается формулой
0min = 1,22-^.
Этот предел возможного разрешения прибора накладывается волновой природой света и не может быть превзойден никакими техническими усовершенствованиями.
► Дифракционная решетка. Дифракционной решеткой называет
ся последовательность из большого числа N одинаковых параллельных щелей (рис. 86). Ширину каждой щели обозначим Ь. а расстояние между соответствующими точками (например, центрами) соседних щелей, которое называют периодом решетки, обозначим d (d = l/N, где I — ширина решетки). Каждая щель излучает в направлении 6 свет, амплитуда которого Ei определяется выражением (13). Разность фаз между соседними щелями равна 5 = (2тг/А)с/sin 0,
и для вычисления итоговой амплитуды можно опять воспользоваться формулой (10) для суммы колебаний N независимых источников:
„„ sin W5/2.. sin2^5/2х О d • Л
Е = Ег .,,,'/, I = Ii,' Л , где б = 2тгТ81п0.
1 sin 5/2 ’1 sin2 5/2 ’А
Главные максимумы дифракционной решетки определяются условием
rising = mA.(15)
В направлении главных максимумов интенсивность излученной волны / = N2Ii полностью определяется интенсивностью излучения отдельной щели в этом направлении. Если главный максимум окажется вблизи минимума /Д#), определяемого условием 6 sin# = mA, то этот максимум окажется подавленным. Максимальный порядок спектра определяется условием т ^ d/А.
Между каждыми двумя главными максимумами дифракционная картина содержит N — 1 минимум и N — 2 добавочных максимума. Минимумы определяются условиями d sin# = (m + n/N)X (n = 1, 2, . . ., N — 1). Интенсивность добавочных максимумов гораздо меньше, чем главных, и при большом числе штрихов их можно не учитывать.
При падении света на решетку под углом #0 ^ 0 условие главных максимумов приобретает вид:
(/(sin # — sin #0) = mA. (16)
Для грубых решеток (d ^ А) эффективным оказывается использование скользящих лучей (#о « тг/2), для которых условие главных максимумов приобретает вид: c/cos#o(# — #о) = шА. Видно, что роль эффективного периода в этом случае играет малая величина (/cos#q.
► Дифракционная решетка как спектральный прибор. Свойства любого спектрального прибора определяются его угловой дисперсией, дисперсионной областью и разрешающей способностью.
Угловой дисперсией называется производная Dm = d9m/dX, где 9т — положение главного максимума m-го порядка. Из условия главного максимума получим
т d cos # '
Дисперсионной областью называется максимальная ширина АХ спектрального интервала, при которой еще нет перекрытия спектров соседних порядков. Из уравнений с/sin# = m(A + ЛА) и с/sin# = (m + 1)А имеем АХ = А/m. Видно, что для исследования широких участков спектра надо применять низкие порядки.
Разрешающей способностью называется отношение R = Х/8Х, где 5А — наименьшая разность длин волн, которые может разрешить спектральный прибор. Две линии считаются разрешенными, если максимум одной линии попал на минимум другой (критерий Рэлея). Из уравнений d sin 9 = (т + 1/7V) А и d sin 9 = m(A + 5Х) получим 5Х = X/(mN), т.е.
R=3_ = mN.
[ Гл. 5
► Дифракция рентгеновских лучей на кристалле. Длина волны рентгеновских лучей сравнима с расстоянием между атомами кристаллической решетки, которая для падающих лучей представляет собой пространственную дифракционную решетку. Условие дифракционных максимумов состоит в одновременном выполнении трех уравнений (16) для трех взаимно перпендикулярных кристаллических осей (условия Лауэ):
(Д (cos а — cos «о) = ^iA,^(cos 3 — cos До) = ^2^,
(/з(со8 7 — cos 70) = пзА,
где оц 3, 7 —углы с осями, связанные условием cos2а+cos2 Д+cos27 = 1. Эти три уравнения нельзя одновременно удовлетворить при произвольно выбранном направлении падающего луча и заданной длине волны. Это значит, что при облучении кристалла монохроматическими, но рассеянными рентгеновскими лучами (т. е. имеющими всевозможные направления) возникают дифракционные максимумы во вполне определенных направлениях. Анализ получающихся лауэограмм позволяет получать информацию о строении кристалла. Дифракционные максимумы отсутствуют, если А/2 превышает все периоды решетки; для видимого света кристалл можно считать однородной средой.
Отражение рентгеновских лучей от поверхности кристалла можно также рассматривать как интерференцию лучей, отраженных от системы последовательных атомных плоскостей в кристалле. По аналогии с интерференцией в тонких пленках (см. разд. 5.2), разность хода между лучами, отраженными от соседних плоскостей, равна dsmO, где 6 — угол между падающим лучом и атомной плоскостью (не с нормалью!), a d— межплоскостное расстояние. (Отметим, что показатель преломления рентгеновских лучей мало отличается от единицы, см. разд. 5.5.) Отражение наблюдается только в направлениях дифракционных максимумов, удовлетворяющих условию Вульфа — Брегга:
‘Id sin 9 = mA,
где т = 1, 2, . . . — порядок дифракционного максимума.
Поляризация света. Формулы Френеля
► Поляризованный и естественный свет. Плоская волна называется линейнополяризованной или плоскополяризованной, если колебания вектора Е происходят в одной плоскости, перпендикулярной фронту волны (ее называют плоскостью поляризации волны). Монохроматическая плоская волна либо линейно поляризована, либо поляризована по эллипсу или по кругу (см. разд. 4.5). Эллиптически
поляризованная волна представляет собой сумму двух взаимно перпендикулярных плоских волн, между колебаниями которых имеется разность фаз. Естественный свет, испущенный нагретыми телами, является неполяризованным, поскольку направление колебаний вектора Е в каждой точке быстро и хаотически меняется. Смесь естественного и поляризованного света называется частично поляризованным светом.
Поляризатором называется устройство, на выходе из которого свет линейно поляризован в определенной плоскости, называемой плоскостью пропускания поляризатора. Причина в том, что поляризатор полностью поглощает свет, поляризованный перпендикулярно плоскости пропускания. Если естественный свет пропустить через поляризатор, то он станет линейно поляризованным, а его интенсивность уменьшится в два раза (если нет поглощения в плоскости пропускания поляризатора). Если линейно поляризованный свет интенсивностью /о пропустить через поляризатор, плоскость пропускания которого составляет угол а с плоскостью колебаний световой волны, то интенсивность прошедшей волны будет составлять
/ = /о cos2 а
(закон Малюса). Объясняется это тем, что линейно поляризованный свет с амплитудой Eq представляет собой сумму двух линейно поляризованных волн: волна, поляризованная в плоскости пропускания (ее амплитуда равна Е^ cos а), пройдет через поляризатор без изменений, а вторая волна будет поглощена.
► Отражение и преломление волн. Формулы Френеля. Интенсивность и поляризация отраженной и преломленной волн зависят от того, как поляризована падающая волна. Запишем граничные условия на поверхности раздела двух сред:
е; + е; = е? nKE^ + EJ^E^
я; + я; = я?, Н\^НТп = Н».
Здесь нижние индексы т, п обозначают тангенциальную и нормальную компоненты, а верхние индексы г, г, d соответствуют падающей, отраженной и преломленной волнам. Кроме того, необходимо учитывать соотношения между электрическим и магнитным полями в плоской электромагнитной волне (см. раздел 4.5). Для плоской монохроматической волны
Е1 = Eq exp [г (cot — k1- г)],
Er = Eq exp [г (cot — kr- r)],
Ed = Eq exp [г (cot — kd- r)]
соотношения для волновых векторов (рис. 87) имеют вид:
Рис. 87Рис. 87большим предельного угла опрбольшим предельного угла оприлиилику sin а = ку sin (3 = к^ sin ф,
Рис. 87
Рис. 87
большим предельного угла опр
большим предельного угла опр
или
или
где ку = шну^с, к^ = шп^/с. Получаем закон отражения (3 = а и закон преломления ну sin а = п^ sin ф.
Особого внимания заслуживает случай, когда свет падает из оптически более плотной среды (пу > п^ под углом о,
полного отраэюения (sin опр = п^/пу). В этом
случае ку sin а > к^^ и к^_ оказывается мнимым: к^_ = Jк^ — (А^)2 = ^±|,
где |&1| = — ^/n2 sin2 о — п^. Это означает, что амплитуда прошедшей волны экспоненциально затухает на расстоянии § ^ 1/|А^ |, а амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей.
£|| -£|| -Е1 ^а-ф)II tg(a + ^>) ’Е1 ^а-ф)II tg(a + ^>) ’El = -ElEl = -Elsin(o — -0) sin(o + -0)sin(o — -0) sin(o + -0)Амплитуды прошедшей и отраженной волн зависят от поляризации падающей волны. Приведем результат для отраженных волн:
£|| -
£|| -
Е1 ^а-ф)
II tg(a + ^>) ’
Е1 ^а-ф)
II tg(a + ^>) ’
El = -El
El = -El
sin(o — -0) sin(o + -0)
sin(o — -0) sin(o + -0)
(формулы Френеля). Здесь первая формула относится к волне, поляризованной в плоскости падения (ее удобно выводить из граничных условий для Е), а вторая — к волне, поляризованной в перпендикулярной плоскости (ее удобнее выводить из граничных условий для Н). Видно, что при угле падения, удовлетворяющем условию а + ф = тг/2, волна, поляризованная в плоскости падения, отражаться не будет. Так как в этом случае sin ф = cos а, то угол падения, при котором отраженная волна будет линейно поляризованной перпендикулярно плоскости падения (угол Брюстера), удовлетворяет соотношению:
tg а = п.
Качественное объяснение состоит в том, что в этом случае направление колебаний диполей (указаны на рисунке), возбужденных во второй среде волной, поляризованной в плоскости падения, оказывается параллельным направлению отраженной волны (отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны). Но осциллятор не излучает волну в направлении своих колебаний (см. разд. 4.5).
В случае нормального падения различие между поляризациями пропадает:
Ег = Е1Ег = Е1П1 — П2Н1 + П2П1 — П2Н1 + П2
Ег = Е1
Ег = Е1
П1 — П2
Н1 + П2
П1 — П2
Н1 + П2
Видно, что при отражении от оптически более плотной среды (712 > ni) фаза колебаний сменяется на противоположную (точнее, к фазе добавляется тг). Впрочем, это свойство видно и непосредственно из формул Френеля: при а > ф происходит изменение знака колебаний.
Отношение потока отраженной энергии к потоку энергии падающей называется коэффициентом отражения. При нормальном падении он равен
Р _ (wi - п2у(ш + п2)
Отметим, что если коэффициент отражения равен отношению объемныхОтметим, что если коэффициент отражения равен отношению объемныхКоэффициент пропускания равен D = 1 — R (закон сохранения энергии).
Отметим, что если коэффициент отражения равен отношению объемных
Отметим, что если коэффициент отражения равен отношению объемных
плотностей энергии отраженной и падающей волн: R = (Ег/Е1)2то при расчете коэффициента пропускания надо учесть как различие в скоростях волн в разных средах, так и (для падения под углом) изменение поперечной площади за счет преломления: Sd / S1 = cos-0/ cos о (рис. 88). В итоге
D _ v2(£d)2cos^z?i(E1)2 cos a
(Поток энергии равен произведению объемной плотности энергии на скорость волны и на площадь поперечного сечения.)
Коэффициенты R и D зависят только от относительного показателя преломления n^i = n^/ni двух сред. Коэффициент отражения обычно невелик; например, при П21 = 1,5 получим R = 0, 04.
Пример. Просветление оптики. Коэффициент отражения стекол в оптических приборах невелик (несколько процентов). Тем не менее важной задачей является уменьшение отражения для определенных длин волн. Для этого на поверхность наносят прозрачную пленку с показателем преломления п' = л/п (п — показатель преломления стекла) и толщиной А/(4п/). Оптическая разность хода между лучами, отраженными от поверхностей пленки, равна А/2 (изменение фазы при отражении учитывать не надо, так как оно происходит у каждого из лучей), а коэффициенты отражения на этих поверхностях будут близки друг к другу (см. формулу (17)). В результате произойдет почти полное гашение отраженного света.
► Оптически анизотропные среды. В случае сред, обладающих анизотропией, векторы Е и D в общем случае уже не параллельны друг другу. Линейная связь между ними носит тензорный характер,
т. е. каждая из компонент вектора D выражается в виде линейной комбинации всех трех компонент вектора Е. Существуют три взаимно перпендикулярные оси, называемые диэлектрическими осями кристалла, для которых D || Е: D; = EoEiEi (г = 1,2,3). Значения Ег называются главными диэлектрическими проницаемостями кристалла. Мы рассмотрим только случай одноосных кристаллов, у которых две из трех^г равны друг другу (е = sj_). Выделенная ось (е = £ц) называется оптической осью кристалла.
При распространении в одноосном кристалле плоской волны вво
дят главное сечение кристалла — плоскость, проходящую через оптическую ось и вектор нормали п к фронту волны. Оказывается, что распространение линейно поляризованной световой волны зависит от направления ее поляризации. Волна, поляризованная перпендикулярно главному сечению, называется обыкновенной. Скорость распространения такой волны v_l = с/^/^Т не зависит от направления; колебания векторов Е и D направлены одинаково; направление распространения энергии (т. е. вектора Пойнтинга S = Е х Н) перпендикулярно фронту волны. Волна, поляризованная параллельно главному сечению, называется необыкновенной. Скорость ее распространения зависит от угла между п и оптической осью (при угле тг / 2 между ними она равна -гц = с/^ё^ ). Колебания векторов Е и D происходят в разных направлениях, вектор Пойнтинга S = Е х Н не перпендикулярен к фронту волны (нормаль к фронту волны параллельна D х Н). Разница между обыкновенным и необыкновенным лучами исчезает только при распространении света параллельно оптической оси.
При падении света на поверхность кристалла он разделяется на обыкновенный и необыкновенный лучи, линейно поляризованные пер
пендикулярно друг другу и имеющие разные показатели преломления (явление двулучепреломления). Закону преломления (см. разд. 5.1) подчиняется направление распространения фронта необыкновенной
волны, сам же луч может выйти из плоскости падения. Даже при
нормальном падении луча на кристалл, вырезанный под углом к опти
ческой оси, происходит пространственное разделение лучей (рис. 89). Положения фронтов указаны черточками, положение оптической оси — стрелкой. Необыкновенный луч поляризован в плоскости чертежа, обыкновенный — перпендикулярно ей.
Для получения и анализа поляризованного света используют поляризационные призмы (николи), разрезанные под углом к распространению лучей таким
образом, что обыкновенный луч испытывает на плоскости разреза
полное отражение и уходит в сторону, а необыкновенный луч проходит прямо. Другой способ получения поляризованного света основан на различии в поглощении обыкновенного и необыкновенного лучей в некоторых веществах. При пропускании света через дихроичную пластину (пластинку турмалина, поляроид) обыкновенный луч поглощается, и наружу выходит линейно поляризованный необыкновенный луч.
Для анализа характера поляризации света изучают зависимость интенсивности от ориентации николя. Если интенсивность не меняется, то свет либо естественный, либо поляризован по кругу. Чтобы различить эти случаи, используют пластинку в четверть волны, или компенсатор. Толщина пластинки d подобрана так, чтобы разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами А = And равнялась А/4. Сдвиг фаз между взаимно перпендикулярными колебаниями станет равным либо нулю, либо тг, и круговая поляризация превратится в линейную.
► Вращение плоскости поляризации. При распространении в некоторых веществах (их называют оптически активными) линейно поляризованного света происходит вращение плоскости поляризации. Угол поворота пропорционален толщине пластины: % = al, где а — вращение на единицу длины. В зависимости от направления поворота различают право- и левовращающие вещества. Пример — пластинка кварца, вырезанная перпендикулярно оптической оси (кварц бывает как лево-, так и правовращающим). В растворах оптически активного вещества в неактивном растворителе а пропорционально концентрации. Молекулы активных веществ обладают асимметрией по отношению к правому и левому вращению по типу спирали. Явление вращения плоскости поляризации можно охарактеризовать как круговое двойное лучепреломление. Волны, поляризованные по кругу в разные стороны, распространяются с разными скоростями, т. е. разность фаз между ними меняется. Сумма двух таких колебаний представляет собой линейное колебание, направление которого зависит от разности фаз.
► Искусственная анизотропия. При помещении многих изотропных тел в однородное электрическое поле у них возникает одноосная анизотропия с оптической осью, ориентированной параллельно напряженности поля (электрооптический эффект Керра). Разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами при распространении света перпендикулярно Е пропорциональна квадрату напряженности:
Аф = 2тгВ1Е2,
где I — толщина слоя вещества, а В называется постоянной Керра. Искусственная анизотропия возникает в тех случаях, когда поляризуемость молекул вещества зависит от их ориентации по отношению
[ Гл. 5
к полю. Аналогичный эффект возникает при помещении некоторых веществ в магнитное поле (эффект Коттона — Мутона). Он описывается соотношением Аф = 2tiCIB2 .
При помещении неактивных веществ в сильное магнитное поле может возникнуть оптическая активность для света, распространяющегося параллельно вектору В (магнитное вращение плоскости поляризации). Угол поворота на единицу длины в этом случае (для диа- и парамагнетиков) пропорционально величине магнитной индукции: а = RB, где R называется постоянной Верде.
Дисперсия и поглощение света
► Классическая модель диспергирующей среды. При распространении в веществе электромагнитной волны заряженные частицы среды приходят в вынужденное колебательное движение. Амплитуда этих колебаний и их сдвиг по фазе по отношению к колебаниям напряженности поля волны зависят от соотношения частоты волны ш и частоты собственных колебаний частиц шо (см. разд. 4.3). Результирующее волновое возмущение можно рассматривать как результат интерференции исходной волны и волн, излученных частицами среды (такой подход называют молекулярной оптикой). Однако в случае однородной среды можно получить частотные характеристики волны полуфеноменологически, учитывая возникающую при смещении частиц поляризованность, вводя зависящие от частоты диэлектрическую восприимчивость и проницаемость и вычисляя показатель преломления. Затухание волны, т. е. преобразование энергии колебаний в тепловую энергию, учитывается введением полуэмпирических коэффициентов затухания осцилляторов; диэлектрическая проницаемость и показатель преломления становятся при этом комплексными числами.
Рассмотрим сначала среду из одинаковых осцилляторов. Уравнение движения заряженной частицы имеет вид
^+Ж+ш^=^Е,
где Е — поле, действующее на частицу (в оптическом диапазоне играют роль только электроны). В неплотных газах можно не учитывать отличие локального поля от среднего, т. е. считать, что на электроны действует непосредственно поле волны Е = Eoexp[z(cjt — к • г)]. Решение уравнения движения ищем в виде £ = ^oexp(iwt), и после подстановки получим
т(шо — ш2 + 2гЗш)
(в комплексной записи автоматически учитывается сдвиг фаз). Смещение частиц приводит к появлению у молекул дипольных моментов
р = е^, т. е. к появлению поляризованности Р = TVp (N — концентрация). Из соотношения Р = £q(£ — 1)Е находим комплексную диэлектрическую проницаемость
Еот(ш2 — ж2 + 2г/3ж)
Показатель преломления тоже будет мнимый: л/ё — п — гх, причем через действительную часть выражается фазовая скорость волны, а через х — коэффициент затухания:
Е = Ео ехр(— exp[z(W — &ж)].(19)
Чтобы найти п(ш) и х(ш), надо в равенстве е = (п — %х^ приравнять действительные и мнимые части. Вдали от собственной частоты (при |оЛ — CJq| ^ 3) получим
2 1Ne2
е = п =1 +—2а-.
Зависимости п(ш) и х(ш) качественно изображены на рис. 90 (по — значение п при и) —> 0, которое называют статическим). Там, где поглощение невелико, показатель преломления возрастает с частотой (нормальная дисперсия). В узкой области сильного поглощения наблюдается аномальная дисперсия.
Аналогичная ситуация возникает возле каждой собственной частоты (cjoi и ^02 на рис. 90). Например, в инфракрасной области спектра наблюдаются полосы поглощения и аномальной дисперсии, связанные с колебаниями ионов. Полосы поглощения в ультрафиолетовой (иногда — в видимой) областях спектра объясняются колебаниями электронов на внешних оболочках атомов (оптических электронов). В рентгеновской области спектра частота волны ш велика по сравнению со всеми собственными частотами и зависимость п(ш) определяется
[ Гл. 5
колебаниями электронов, которые можно считать свободными:
п2 = 1 -2.(20)
meow2
Коэффициент преломления рентгеновских лучей мало отличается от единицы. Такая же формула верна для волны, распространяющейся в разреженной плазме, содержащей свободные электроны.
Фазовая скорость волны в плазме (а также справа от полосы поглощения в диэлектрике) оказывается больше скорости света в вакууме (n < 1). Однако здесь не содержится противоречия с теорией относительности, так как групповая скорость волны и = dw j dk (см. разд. 4.4) будет при этом меньше с. Убедимся в этом для волны в плазме. Используя соотношение к2 = w2n2(w)/c2 и уравнение (20), получим:
2iiiД . W dw 2
с к dk = w dw— -— = с .
к dk
Значит, в этом случае и = пс < с.
У полярных молекул (например, воды) широкая полоса аномальной дисперсии находится в области сантиметровых радиоволн, где амплитуда вращательных колебаний диполей, стремящихся повернуться вслед за напряженностью поля, сильно зависит от частоты. Именно в этой области происходит уменьшение п = л/ё от большого статического значения (для воды по ~ 9) к высокочастотному значению (для воды п и 1,3).
Формула (18) верна только при п, близких к единице, когда можно пренебречь отличием поля, действующего на молекулу, от среднего поля в веществе. Обобщением на случай плотных газов и жидкостей является формула Лорентц — Лоренца’.
п2 - 1 _ Ne2
п2 + 2 3som(wo—w2)’
которая следует из формулы Клаузиуса — Масотти (раздел 3.6). При изменении плотности вещества величина
12!
1 П — 1
Г =2,
р п +2
которая называется удельной рефракцией, должна оставаться постоянной.
► Рассеяние света. Ослабление волны. Интенсивность волны в среде уменьшается не только из-за поглощения света, но и вследствие его рассеяния. Рассеяние объясняется излучением света атомными осцилляторами, которое происходит по всем направлениям (см. разд. 4.5). Однако в идеально однородной среде свет, рассеянный молекулами, находящимися на расстоянии А/2 друг от друга, испытывал бы полное интерференционное гашение, и ослабление за счет рассеяния в этом случае отсутствовало бы. Рассеяние наблюдается на малых инородных
частицах (тиндалевское рассеяние в мутных средах) и на неоднородностях, возникающих вследствие флуктуаций плотности (рэлеевское рассеяние).
Интенсивность света, рассеянного на неоднородностях, размеры которых малы по сравнению с длиной волны, пропорциональна А-4 (закон Рэлея, см. также разд. 4.5). Этим объясняется голубой цвет неба (рассеянный солнечный свет) и желто-красный цвет солнца (проходящий свет). Степень поляризации рассеянного естественного света зависит от угла рассеяния; свет, рассеянный под углом тг/2, оказывается полностью поляризованным. Качественное объяснение состоит в том, что в этом направлении излучают только осцилляторы, направление колебаний которых перпендикулярно направлению рассеяния. Рассеяние на неоднородностях, больших по сравнению с длиной волны, слабо зависит от частоты; этим объясняется белый цвет облаков.
Рэлеевское рассеяние на флуктуациях плотности или концентрации зависит от температуры. При приближении к критической точке средние размеры флуктуаций резко возрастают и наблюдается белое помутнение жидкости, называемое критической опалесценцией.
Ослабление пучка света при не очень большой интенсивности происходит по экспоненциальному закону (закон Бугера):
I = 10е"а\
где коэффициент ослабления а равен сумме коэффициента поглощения, который выражается через мнимую часть показателя преломления (см. формулу (19)), и коэффициента рассеяния, который описывает ослабление волны из-за рассеяния.
Тепловое излучение
► Равновесное тепловое излучение. Излучение электромагнитной (лучистой) энергии телом за счет энергии хаотического (теплового) движения его молекул называется тепловым излучением. Свойства теплового излучения определяются материалом тела и его температурой. Если из любого материала сделать замкнутую полость и поддерживать температуру ее стенок постоянной, то система (стенка + излучение) придет в состояние термодинамического равновесия, и в объеме полости установится равновесное тепловое излучение. Важнейшая особенность равновесного излучения состоит в том, что его свойства полностью определяются температурой стенок и не зависят от их материала. Это утверждение является следствием второго начала термодинамики. Кроме того, равновесное излучение однородно и изотропно.
[ Гл. 5
Основные характеристики как излучения с поверхности тела, так и излучения в объеме были введены в разд. 5.1. Излучение с поверхности характеризуется энергетической яркостью В и энергетической светимостью R, равной количеству лучистой энергии, излученной с единицы поверхности за единицу времени по всем направлениям (т. е. в телесный угол 2тг). Вводятся также спектральные разложения энергетической светимости га, т^ rVl например, R = J^° г a dX; величины г называются излучательными способностями тела. Излучение в объеме характеризуется интенсивностью лучистого потока / и объемной плотностью лучистой энергии и, а также их спектральными разложениями. В случае изотропного излучения они связаны соотношением и = 4тг//с. Освещенность Е определяется как полный лучистый поток через единичную площадку со всех направлений (из телесного угла 2тг); в случае изотропного излучения выполняются соотношения
Т 1h = тг 7 = -си.
4
Спектральные плотности освещенности Е обозначим са, е^ и еш. Пересчет от одной спектральной характеристики к другой обсуждается в разд. 5.1.
Поглощательная способность. Закон Кирхгофа. Поглощательной способностью тела называется доля падающей лучистой энергии, поглощенная телом (для узкого интервала длин волн или частот):
dФ поглах
Тело, для которого а а = 1 во всем спектральном интервале, называется абсолютно черным телом. Моделью черного тела может служить замкнутая полость с небольшим отверстием; почти все лучи, попадающие в полость через отверстие, в результате многократных отражений от внутренних стенок оказываются поглощенными. Тело, у которого а а = const < 1, называют серым.
Так как равновесное излучение находится в равновесии с поверхностью, то для любого спектрального интервала количество поглощенной лучистой энергии, равное е\а\ dX, должно быть равно количеству излученной энергии, равному г\ dX. Поскольку характеристики равновесного объемного излучения не зависят от свойств конкретного тела, то отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности оказывается универсальной функцией длины волны и температуры (закон Кирхгофа):
^ = еА(Г) = 1СЫл(Т).(21)
Поскольку для абсолютно черного тела поглощательная способность равна единице, то стоящая справа функция есть не что иное, как
излучательная способность абсолютно черного тела, которую обозначим r^:
Видно, что излучательная способность абсолютно черного тела и его энергетическая светимость не зависят от способа его изготовления; они связаны с объемной плотностью энергии соотношениями
г*хт = ^in R*m = ^лп (22)
При одной и той же температуре абсолютно черное тело обладает самой большой излучательной способностью и энергетической светимостью. Например, для серого тела R = aR*. Отметим, что поскольку равновесное излучение изотропно, черное тело является ламбертовским источником (см. разд. 5.1).
Законы Стефана — Больцмана и Вина. Излучательная способность абсолютно черного тела при данной температуре стремится к нулю при малых и больших А и достигает максимального значения при некоторой длине волны Хт, которая зависит от температуры. Площадь под кривой г^ равна энергетической светимости R*(T). Применение к равновесному излучению в полости общих соотношений термодинамики позволило получить для него ряд общих соотношений. (Температура равновесного теплового излучения считается равной температуре стенок.) Закон Стефана — Больцмана утверждает, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени температуры:
(23)(23)R* = стТ4,
(23)
(23)
где <т = 5,67 -10 8 Вт • м 2К 4 — постоянная Стефана — Больцмана.
Для вывода (23) надо воспользоваться выражением для давле
ния изотропного излучения рния изотропного излучения ри/3 (см. разд. 2.5) и формулой
ния изотропного излучения р
ния изотропного излучения р
удУу = уУТу — котоРая является следствием второго начала термодинамики (разд. 2.3). Подставляя U = u(T)V, придем к уравнению 4и = du/dT, откуда получим и Т4. Кроме того, из формулы для давления и из первого начала термодинамики (0 = d^uV) + "^udV^ можно для равновесного излучения вывести уравнение адиабатического процесса: mV4/3 = const. Отсюда с учетом и Т4 получим VT3 = const.
Если рассмотреть медленное адиабатическое изменение объема излучения, заключенного в сосуд с зеркальными стенками, и применить к отражению света от движущегося зеркала формулу эффекта Доплера
(см. разд. 4.4, 4.5), то удается доказать формулу Вина:
(24)(24)r*x = X"5h№ или г*х = Т5ЫХТ),
(24)
(24)
где /Дж) — неизвестные функции, вид которых не может быть установлен в рамках термодинамики. Аналогичные выражения для г* имеют вид
r:=w3^(w/T) или ^ =Т3^2(Ш/Т).(25)
Из формулы Вина (24) (или (25)) можно вывести закон Стефана — Больцмана (23). Кроме того, из этих формул следует закон смещения Вина, выражающий зависимость положения максимума функции г^ (или г* ) от температуры:
XmT = b ^т/Т = Ь^,XmT = b ^т/Т = Ь^,(26)(26)
XmT = b ^т/Т = Ь^,
XmT = b ^т/Т = Ь^,
(26)
(26)
Рис. 91Рис. 91
Рис. 91
Рис. 91
где b = 2,9 • 10-3 м • К — постоянная Вина. Например, при уменьшении температуры в два раза положение максимума функции г* (или и^ становится в два раза ближе к началу координат, а сам максимум стано-
вится в восемь раз ниже (рис. 91); площадь под графиком уменьшается при этом в 16 раз.
► Формула Рэлея — Джинса. Рэлей и Джинс предприняли попытку получить вид функции иш в рамках классической статистической физики. Они рассмотрели излучение в полости как ансамбль стоячих электромагнитных волн, случайным образом обменивающихся энергией со стенками и между собой. С точки зрения ста
тистики, каждая независимая стоячая волна, имеющая некоторую частоту колебаний, эквивалентна осциллятору с такой же частотой. Вычисление энергии сводится к двум независимым вопросам:
Какое число dg осцилляторов (стоячих волн) приходится на интервал частот dw^ Ответ должен выражаться в виде функции G^w\ которую называют плотностью состояний: dg = VG(u)) dw, где V — объем сосуда.
Для вычисления G(w) можно рассмотреть сосуд в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами £ж, Ly, Lz. Граничные условия (например, требование, чтобы на границах находились узлы стоячих волн) приводят к условиям k^L^ = т^к (£ = х,у, г). Следовательно, в пространстве волновых векторов допустимые состояния соответствуют узлам решетки со сторонами к/L^ и объемом ячейки 8 = к3/ {LxLyLz) = k3/V. Объем /^-пространства, соответствующий изменению величины волнового вектора
от к до к + dk, равен ^ (4тгк2 dk) (объем сферического слоя, отсекаемый первым квадрантом). Разделив на объем ячейки, получим число простран- dk
ственно различных колебаний в интервале dk: dg = V^. Необходимо также учесть дополнительные степени свободы (в случае электромагнитных волн — два возможных состояния поляризации), которые для общности учтем дополнительным множителем 7.
Найдем число состояний на единицу объема:
^ = 7^_(27)
V 1 2тг2V 7
Эта формула получена из граничных условий и имеет очень общий характер и многочисленные применения. Для перехода к w надо учесть соотношение к = w/с. Окончательно получим
2
=(28)
7Г С
Чему равна средняя энергия одного осциллятора?
Классическая физика дает следующий ответ (см. разд. 2.2): каждому осциллятору, независимо от его частоты, надо приписать две степени свободы, и в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии, средняя энергия каждого осциллятора должна быть равна кТ, где к — постоянная Больцмана.
В результате таких рассуждений классическая физика приводит к формуле Рэлея — Джинса:
иш = СИкТ =(29)
7Г С
Опыт показывает, что формула Рэлея — Джинса хорошо выполняется на малых частотах (при w <С шт\ но абсолютно неверна на больших (рис. 91). Действительно, хотя (29) удовлетворяет требованиям, налагаемым на любую возможную функцию иш формулой Вина (25), но сразу видно, что полученная функция не имеет максимума; она монотонно возрастает, и интеграл J^ u^dw, т. е. полная энергия излучения, равен бесконечности! Эта ситуация стала одним из признаков глубокого кризиса классической физики и была названа современниками ультрафиолетовой катастрофой.
► Формула Планка. Теорема о равнораспределении энергии является следствием того, что классическая энергия осциллятора, пропорциональная квадрату его амплитуды, может принимать любые, в том числе очень маленькие значения. Согласно квантовой гипотезе Планка энергия осциллятора (отсчитываемая от минимального значения) может принимать только дискретные значения, кратные некоторой величине, зависящей от частоты осциллятора:
(30)(30)£п(ш) = пеДоД п = 0, 1, . . .
(30)
(30)
Для вычисления средней энергии можно использовать формулу Максвелла-Больцмана (см. разд. 2.5), согласно которой вероятность состояния с энергией е пропорциональна ехр [—£/(&Т)]. Получаем
У^ псу ехр[—nEi/(kT)^
^exp[-nei/(fcT)]
п=0
Ряд в знаменателе есть просто сумма геометрической прогрессии, а числитель получается из знаменателя дифференцированием по 1/(кТ). Проведя вычисления, имеем
ОФ)) = £1ОФ)) = £1ехрехр€1 \ кТ)€1 \ кТ)(31)7Г С(31)7Г С
ОФ)) = £1
ОФ)) = £1
ехр
ехр
€1 \ кТ)
€1 \ кТ)
(31)
7Г С
(31)
7Г С
Сравнение с формулой Вина (25) показывает, что Si = еДсД должна быть пропорциональна ш:
Е1(ш)=Нш,(32)
где h = hf^iv^ = 1,05 • 10-34 Дж • с — универсальная постоянная. Постоянную h называют постоянной Планка, h также называют постоянной Планка или иногда просто «аш с чертой»; первую удобно использовать с частотой, а вторую — с циклической частотой: £Х = hv = Нш. Так как энергия кванта пропорциональна частоте осциллятора, то при данной температуре колебания высоких частот возбуждаются с очень малой вероятностью и их вклад в энергию излучения оказывается ничтожно малым. Это разрешает проблему ультрафиолетовой катастрофы.
После подстановки (32) в формулу для средней энергии получим формулу Планка для спектральной плотности энергии:
йш3йш32 37Г С2 37Г Сехрехр(33)(33)
йш3
йш3
2 3
7Г С
2 3
7Г С
ехр
ехр
(33)
(33)
График этой функции приведен на рис. 91. Запишем формулу Планка также в переменных v и А:
uvuv%ivhv^%ivhv^ехрехрН\ = 5Н\ = 5%кКс%кКсехрехрНс \ХкТ )Нс \ХкТ )(34)(34)
uv
uv
%ivhv^
%ivhv^
ехр
ехр
Н\ = 5
Н\ = 5
%кКс
%кКс
ехр
ехр
Нс \
ХкТ )
Нс \
ХкТ )
(34)
(34)
При hw <С кТ формула Планка переходит в формулу Рэлея — Джинса (29). Из формулы Планка можно получить выражения для постоянных Стефана— Больцмана и Вина через универсальные постоянные:
к^к4к^к460 ФК60 ФКb to 0,345^-кb to 0,345^-к
к^к4
к^к4
60 ФК
60 ФК
b to 0,345^-к
b to 0,345^-к
Формула Планка очень хорошо согласуется с экспериментом во всем диапазоне частот.
Световые кванты
► Фотоэффект. Внешним фотоэффектом называют вырывание электронов из вещества под действием света. Для изучения фотоэффекта используют вакуумную лампу с холодным катодом (в этом
Рис. 92Рис. 92случае термоэлектронную эмиссию можно не учитывать). Облучая катод светом фиксированной частоты и интенсивности, снимают вольтамперную характеристику лампы (зависимость тока от анодного напряжения). По вольтамперной характеристике (рис. 92) узнают: а) число электронов, вырываемых из катода в единицу времени (оно выражается через ток насыщения: N = /нас/е) и б) максималь-
Рис. 92
Рис. 92
ную кинетическую энергию вырываемых электронов; она выражается через задерживающее напряжение, т. е. анодное напряжение, при котором ток обращается в нуль:
12 тт
-mv = et/зад.
При этом напряжении даже самые быстрые электроны не могут долететь до анода.
Первый закон фотоэффекта: количество электронов, вырываемых
светом из металла в единицу времени, прямо пропорционально интенсивности световой волны. Д
Второй закон фотоэффекта: максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с частотой света и не зависит от интенсивности света. Если частота света меньше определенной для данного вещества минимальной частоты ит, то фотоэффект не наблюдается (красная граница фотоэффекта). Экспериментально было обнаружено, что зависимость eU3aA от v для данного металла имеет вид наклонной прямой,
причем наклон прямых, построенных для разных металлов, оказался одинаковым (рис. 93).
Классическая волновая теория света не смогла объяснить второй
г) Законы фотоэффекта были открыты Столетовым.
закон фотоэффекта. Кроме того, в рамках этой теории выглядела необъяснимой безинерционностъ фотоэффекта — полное отсутствие задержки между началом облучения и возникновением тока.
► Кванты света. Объяснение законов фотоэффекта было дано Эйнштейном. Он опирался на квантовую гипотезу Планка (разд. 5.6), но пошел гораздо дальше, предположив, что кванты световой энергии поглощаются целиком отдельными электронами. Это означает, что в процессе поглощения свет ведет себя как локализованная частица (ее назвали фотоном) с энергией
Е^ = hv = hw = hc/X. (35)
Как любая безмассовая частица, движущаяся со скоростью света, квант света — фотон — обладает импульсом
pv = Ер/с = hv/c = h/X. (36)
Связь между энергией и импульсом безмассовой частицы дается теорией относительности (см. разд. 1.11).
Квантовые свойства света проявляются при испускании, поглощении и рассеянии света. В явлениях, связанных с распространением света, проявляются его волновые свойства. Свет обладает двойственной природой (корпускулярно-волновой дуализм). Такие же свойства проявляют все элементарные частицы.
Фотоэффектом (актом фотоэффекта) называется поглощение фотона какой-нибудь частицей, например электроном. В результате фотоэффекта квант света исчезает, а электрон приобретает дополнительную энергию. Если фотоэлектрон вылетает из вещества, то наблюдается внешний фотоэффект; если остается внутри, то имеет место внутренний фотоэффект. При внутреннем фотоэффекте электроны могут переходить из связанного состояния в свободное, в результате чего увеличивается число носителей тока и, следовательно, уменьшается сопротивление. Фотоэффект используется при создании фотоэлементов, фотореле и т. д.
Пример 1. Может ли происходить фотоэффект на свободном электроне?
Решение. Нет, не может, так как при этом не могут одновременно выполняться законы сохранения энергия и импульса. Это становится очевидным, если перейти в инерциальную систему отсчета, в которой электрон после фотоэффекта покоится. До фотоэффекта в системе были квант света и движущийся электрон, а после фотоэффекта — только неподвижный электрон, т. е. энергия не сохраняется.
Поглощая квант света, электрон приобретает энергию hv. При вылете из металла энергия каждого электрона уменьшается на определенную величину, которую называют работой выхода Лвых (работа, которую необходимо затратить, чтобы удалить электрон из металла; работа выхода зависит от рода вещества). Максимальная энергия электронов
после вылета (если нет других потерь) имеет вид
|mv2 = hv - Авых (37)
(уравнение Эйнштейна). Если hv < Лвых, то внешний фотоэффект не происходит. Следовательно, красная граница фотоэффекта равна
— ^вых/^*
Из (37) видно, что наклон прямых на графике eU3aA от v (рис. 93) равен h. а отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат, равен работе выхода.
Энергию фотонов и работу выхода принято выражать во внесистемных единицах — электронвольтах (эВ). Один эВ равен энергии, приобретенной электроном при прохождении им разности потенциалов — 1 В: 1 эВ = 1,6022 • 10-19 Дж. Если, например, задерживающее напряжение равно —3,5 В, то максимальная кинетическая энергия электронов равна 3,5 эВ.
Пример 2. Существование работы выхода означает, что на границе металла возникают силы, удерживающие электрон внутри металла. Как объяснить притяжение электрона к электронейтральному металлу?
Решение. Заряженная частица притягивается наведенными на поверхности проводника зарядами противоположного знака. Сила притяжения вычисляется с помощью метода электростатических изображений (разд. 3.5). Вылетающие и возвращающиеся электроны образуют возле поверхности отрицательно заряженное облако, а заряды на поверхности металла — положительно заряженный слой. Между заряженными слоями существует ненулевая средняя напряженность поля, направленная наружу.
Граница рентгеновского спектра. Если электроны разогнать в вакуумной трубке, к электродам которой приложено напряжение в несколько киловольт, то при ударе электронов об анод возникает тормозное рентгеновское излучение. Исследование спектра этого излучения показывает, что в нем отсутствуют длины волн, меньшие некоторого значения Ак, которое обратно пропорционально приложенному к трубке напряжению. Этот факт находит естественное объяснение в квантовой оптике. Энергия излученного фотона не может превысить кинетическую энергию электрона: hc/\ ^ е[/, откуда получим
Теоретическое значение коэффициента пропорциональности между Ак и 1/(7 хорошо согласуется с экспериментом.
Давление света. Давление света было предсказано Максвеллом на основе электромагнитной теории и измерено Лебедевым. Установка Лебедева состояла из легкого стержня, подвешенного в вакууме на
[ Гл. 5
тонкой нити. По краям стержня были закреплены две тонких пластинки—одна отражающая, другая поглощающая. Освещая пластинки и измеряя закручивание нити, он вычислял световое давление.
Электромагнитная теория давала следующее объяснение световому давлению: электрическое поле электромагнитной волны вызывает в металле ток, на который действует сила Ампера со стороны магнитного поля волны; эта сила направлена в сторону распространения волны и является причиной светового давления. Гораздо проще выглядит объяснение давления на языке световых квантов: фотоны, каждый из которых обладает импульсом (36), поглощаются или отражаются, передавая свой импульс веществу. При отражении фотона переданный импульс в два раза больше, чем при поглощении (см. также разд. 4.5).
► Эффект Комптона. При взаимодействии фотона со свободным электроном процесс поглощения фотона запрещен законами сохранения, но может происходить рассеяние фотона. Если первоначально электрон покоился, то в результате взаимодействия он приобретет некоторую скорость. Закон сохранения энергии требует, чтобы энергия фотона уменьшилась на величину кинетической энергии электрона, что означает, что должна уменьшиться его частота. В то же время с точки зрения волновой теории частота рассеянного света должна совпадать с частотой падающего. Это явление называется эффектом Комптона, оно было обнаружено при рассеянии рентгеновских лучей и сыграло важную роль в утверждении квантовых представлений.
Рассеяние фотона на электроне можно рассматривать как упругое соударение двух частиц, подчиняющееся законам сохранения энергии и импульса:
рс + тс2 = р' с + Е'е,Р = р' + Ре,
Рис. 94Рис. 94где р и р' — начальный и конечный импульсы фотона, Ре и Г' — импульс и энергия электрона отдачи (рис.94). Выразим энергию и импульс электрона отдачи и подставим в соотношение Е^2 — р^2с2 = т2с4 (см. разд. 1.11). После преобразований имеем
Рис. 94
Рис. 94
тс(р — р') = рр'(Д — cos 9),
где 9 — угол рассеяния фотона (угол между векторами р и р'). Выразив из уравнения (36) им
пульсы падающего и рассеянного фотона: р = Н) X, р* = Н) X*, получим формулу для зависимости приращения длины волны от угла рассеяния:
А' - А = Ас(1 — cos#).
Вынужденное поглощениеВынужденное поглощениеСпонтанное излучениеСпонтанное излучениеВынужденное излучениеВынужденное излучение
Вынужденное поглощение
Вынужденное поглощение
Спонтанное излучение
Спонтанное излучение
Вынужденное излучение
Вынужденное излучение
Рис. 95
Величина Ас = h/mc = 2,43 • 10-12 м называется комптоновской длиной волны электрона. Энергия фотона с длиной волны Ас равна энергии покоя электрона тс2. Максимальный эффект соответствует рассеянию фотона на угол 6 = тг.
► Число фотонов в равновесном излучении. Формулу Планка (33) для плотности энергии равновесного теплового излучения можно записать на языке световых квантов следующим образом:
иш = ЕоС(со)Мш,
где hw — энергия одного кванта, С(ш) = и2/тг2с3 — плотность состояний, а
(38)
имеет смысл числа фотонов в состоянии с определенной частотой ш.
5.8. Принцип работы лазеров
Спонтанные и вынужденные переходы. Коэффициенты Эйнштейна. Рассмотрим атом, находящийся в поле равновесного излучения. Если атом находится в состоянии с энергией Е^ то под воздействием излучения он может перейти в состояние с большей энергией Ej, поглотив при этом световой квант с частотой из = (Ej — Е^/й (рис.95). Такой процесс называют вынуэюденным (индуцированным) поглощением. Вероятность такого перехода в единицу времени пропорциональна плотности энергии излучения на частоте w.
= BijU^.
Обратный переход, из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, связан с рождением и излучением кванта частоты из. Он может происходить двумя способами. Первый тип переходов называется спонтанным излучением, он происходит и в отсутствие внешнего излучения (при иш = 0), и его вероятность от иш не зависит
реп _ Д
[ Гл. 5
Второй тип переходов называется вынуэюденным излучением, он происходит под воздействием кванта частоты ш. Вероятность перехода в единицу времени, как и для вынужденного поглощения, пропорциональна иш:
Р™ = Взгиш.
Введенные таким образом коэффициенты Bij, Bji и Aji называются коэффициентами Эйнштейна, они не зависят от температуры излучения.
Равновесие между атомами и излучением. Пусть в объеме, заполненном равновесным излучением при температуре Т, находятся одинаковые атомы. Будем считать, что установилось тепловое равновесие между атомами и излучением, при этом среднее число атомов в состоянии г равно Ni, а в состоянии j равно Nj. Эти числа при температуре Т связаны между собой соотношением Больцмана:
Nj = Н4еЧЕ>-Е^кт.
В состоянии равновесия число переходов из г в j должно быть равно числу обратных переходов:
NiBijU^ = Nj^Aji + Bj^u^.(39)
Из соотношения Больцмана следует, что при Т —> оо Ni/Nj —> 1. Учитывая, что при этом иш —> оо, получаем, что Bij = Bj^.
Выразим из (39) иш:
(мы учли, что Ni/Nj = ехр(Нш/кТ)). Видно, что мы фактически вывели формулу Планка для равновесного излучения. Отношение Aji/Bji может быть получено из условия, что при высоких температурах должна быть верна классическая формула Рэлея — Джинса:
Aji _ hw3о2 3'
DjiС
Посмотрим на это соотношение с иной точки зрения. Учитывая (38) для числа квантов с определенной частотой, запишем (40) в виде
BjiU^ _
Следовательно, отношение вероятности вынужденного излучения к вероятности спонтанного излучения равно числу квантов частоты ш. Можно сказать иначе: вероятность вынужденного излучения в расчете на один квант равна вероятности спонтанного излучения. Видно, что спонтанное и вынужденное излучение должны быть одной природы.
Объяснение (качественное) состоит в том, что даже в отсутствие в системе световых квантов в полости существуют так называемые нулевые колебания электромагнитного поля данной частоты (энергия осциллятора в квантовой механике равна Нш ^N + ^). Именно эти колебания и являются причиной спонтанных переходов.
► Инверсная заселенность уровней. В каждом акте вынужденного излучения происходит образование нового кванта, причем рожденный квант имеет такую же фазу, как квант, вызвавший это излучение. Иначе говоря, вместо одного кванта в системе появляются два когерентных кванта. Каждый из этих квантов может в свою очередь вызвать появление нового когерентного кванта и т. д. Таким образом может происходить усиление когерентного излучения. Однако вновь рожденные кванты поглощаются атомами, находящимися в более низком из двух энергетических состояний. В равновесном состоянии число атомов в нижнем состоянии (населенность нижнего уровня) выше, чем в верхнем. Следовательно, поглощение будет превалировать над вынужденным излучением, и усиление оказывается невозможным.
Для того, чтобы усиление когерентного луча стало возможным, надо создать метастабильное состояние, обладающее инверсной населенностью уровней. Тогда усиление потока J квантов будет происходить по формуле
dJ = a(rij — Hi) J dx. или J(x) = J(0)e7a7 (41)
где n^ Hi — концентрации атомов, a — сечение вынужденного поглощения или излучения, 7 = a(nj — п^ — коэффициент квантового
усиления среды.
накачки. Самыминакачки. Самымиметодыметодыраспространеннымираспространеннымиявляются трехуровявляются трехуровДля создания инверсной населенности используются различные
накачки. Самыми
накачки. Самыми
методы
методы
распространенными
распространенными
являются трехуров
являются трехуров
невые и четырехуровневые схемы (рис.96). В трехуровневой схеме (рубиновый лазер) происходит интенсивная накачка с нижнего уровня 1 на широкий короткоживущий уровень 3, с которого происходит заполнение долгоживущего (метастабильного) уровня 2. Необходимо
добиться, чтобы населенность верхнего рабочего уровня 2 превысила
населенность нижнего рабочего уровня 1. Трудность состоит в том, что изначально населенность уровня 2 много меньше населенности
[ Гл. 5
уровня 1, и требуется интенсивная накачка. Этого недостатка лишена четырехуровневая схема, в которой нижний рабочий уровень 2 содержит вначале так же мало атомов, как уровень 3. Заполнение уровня 3 происходит с уровня 4, на который происходит накачка с основного уровня 1. По этой схеме работает неодимовый лазер.
► Элементы устройства лазеров. Чтобы использовать явление квантового усиления когерентного света для создания квантового генератора, надо обеспечить создание положительной обратной связи — луч должен усиливать сам себя. Для этого на торцах образца помещают зеркала (или наносят зеркальные покрытия). Одно из зеркал делают полупрозрачным, что обеспечивает выход лазерного луча из системы. Чтобы происходило усиление начального луча лучом, отраженным от двух зеркал, должно выполняться условие
2Ln = mA/2,
где п — показатель преломления, L — расстояние между образцами (длина образца), т — целое число. Чтобы могла происходить генерация, полный коэффициент усиления луча на всем замкнутом пути должен быть больше единицы:
RYR^L > 1,
где 7 — коэфициент квантового усиления (см. (41)), a Ri, R^ — коэффициенты отражения зеркал.
Глава 6
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. АТОМНАЯФИЗИКА
К началу XX века в классической физике накопились противоречия, для полного разрешения которых потребовалось изменить основные представления о пространстве и времени (теория относительности Эйнштейна, гл. 1) и о законах движения частиц на атомных масштабах (квантовая механика). Первые квантовые представления появились в самом начале века (формула Планка для теплового излучения и Эйнштейна для фотоэффекта, гл. 5), однако квантовая механика как замкнутая наука сложилась только к концу 20-х годов.
Строение атома. Модель Бора
Теория атома должна была в первую очередь объяснить накопленные экспериментальные факты по спектрам излучения разреженных газов (т. е. отдельных атомов).
Атомные спектры представляют собой отдельные очень узкие линии (линейчатые спектры), расположение которых характерно для каждого элемента. Было замечено, что любая частота представляет собой разность каких-нибудь двух термов: vmn = Тт — Тп, так что элемент можно характеризовать не набором частот, а набором термов. Для водорода Тп = Rv /п2, где Rv — постоянная Ридберга (для частоты). Спектральные линии, для которых один из термов фиксирован, называют спектральной серией. Например, в спектре атома водорода выделяют серию Пашена (п = 1), серию Бальмера (п = 2) и т. д.
Однако в начале XX века отсутствовали даже ясные представления о структуре атома, т. е. о массивном ядре и электронных орбитах. Более привлекательной казалась модель Томсона, в которой масса и положительный заряд равномерно распределены по объему атома, а электроны заключены внутри этого положительного облака, как изюм в пудинге.
► Ядерная модель атома была установлена в опытах Резерфорда по рассеянию а-частиц на атомах тонкой золотой фольги (проведенных его сотрудниками Гейгером и Марсденом в 1911 г.). Было обнаружено, что часть частиц отклоняется на большие углы и даже летит в обратном направлении. Таких частиц было немного (примерно одна из 8000 частиц рассеивалась на угол больше 90°), но само наличие таких частиц вступало в противоречие с моделью Томсона.
7 А. И. Черноуцан
Для оценки можно считать, что в модели Томсона максимальное отклонение испытывают частицы, пролетающие вблизи края атома (шара радиусом R ^ 10-10 м), где напряженность электрического поля максимальна (см. раздел 3.4, пример 3). Формула для угла отклонения частицы кулоновским полем была выведена в разделе 1.6 (пример 4):
О A tg 2 “ 2EKb’ где А = 2Хе2/4тгво (Z = 79), Ек 54-7 МэВ — кинетическая энергия о-частиц, b — прицельный параметр. Взяв для модели Томсона b ~ R 10-10 м, получим, что максимальное отклонение о-частиц ~ 0, 01°. Учет многократного рассеяния увеличивает угол отклонения, но при толщине пленки d 10-74-10-6 м вероятность рассеяния даже на несколько градусов оказывается ничтожно малой.
Резерфорд показал, что результаты экспериментов прекрасно описываются формулой для углового распределения а-частиц, рассеянных на точечном кулоновском центре с зарядом Ze.
Пример 1. Формула Резерфорда. Рассмотрим тонкую мишень, на единицу площади которой приходится No = nd ядер (п — объемная концентрация ядер, (/ — толщина мишени). Считая, что каждая частица взаимодействует только с одним ядром, получим, что в интервал углов (0, 9-\-d9) рассеются те частицы, у которых прицельный параметр по отношению к какому- нибудь ядру лежит в интервале [6(0), 6(0 + J0)]. Доля частиц, рассеянных в этот угол, равна полной площади таких колец вокруг всех ядер, приходящихся на единицу площади мишени:
dN1 а н1 db
= No^ivbdb = No^ivb — dO.
Учитывая, что телесный угол равен dQ = 2тг sin 6d6, получим dN db df2 N ° de sin 0 '
Выражая 6 из формулы (1) для рассеяния о-частиц на кулоновском центре Ze, получаем формулу Резерфорда:
dN _ / Ze2 V Nodfi “ Утгео^к ) sin4(0/2) ' Многочисленные опыты подтвердили прекрасное согласие этой формулы с экспериментальными данными. (Отметим, что коэффициент при NodQ называют дифференциалъним сечением рассеяния^ подробнее см. раздел 8.4.) Атом с порядковым номером Z состоит из тяжелого ядра с зарядом +Ze, в поле которого находятся электроны. Атом, у которого число электронов не равно Z, называется ионом. Минимальная энергия, необходимая для удаления электрона и образования иона, называется энергией ионизации.
Ядерная модель находится в неразрешимом противоречии с основными представлениями классической физики. Электроны притягиваются к ядру, значит, они не могут покоиться, а должны двигаться вокруг ядра (поэтому ядерную модель иногда называют планетарной\ Но при движении с ускорением электрон излучает электромагнитные
волны и за время порядка 10-10 с должен излучить всю энергию и упасть на ядро (см. раздел 4.5). В рамках классической физики атом не может быть устойчивым.
► Модель Бора. Полуклассическая модель Бора описывает свойства атома водорода и водородоподобных ионов (один электрон в поле ядра Ze). В основе модели лежат постулаты Бора:
Электроны могут двигаться только по определенным стационарным орбитам, в соответствии с классическими уравнениями движения, но без излучения энергии.
Момент импульса может при этом принимать только дискретные значения Ln = п/г. Для круговых орбит правило квантования принимает вид
типгп = пН. (3)
Число п называют главным квантовым числом.
Излучение или поглощение квантов электромагнитного излучения происходит только при переходе с одной стационарной орбиты на Другую:
^^ — Еп Ет. (4)
► Атом водорода. Для движения электрона по круговой орбите из правила квантования (3) и уравнения движения
находим скорость электрона на n-й орбите и ее радиус:
ken ri
nhmke2
а также энергию электрона
_ mu2 ke2 _ ke2 _ R = “2==
nП
где
= m(ke )gB(7j
2Й2'
— постоянная Ридберга (для энергии электрона). Состояние с номером n = 1 и энергией Ei = — R = —13,6 эВ называется основным состоянием атома, остальные значения соответствуют возбужденным состояниям. Время жизни возбужденных состояний порядка 10-8 с. Радиус орбиты электрона в основном состоянии атома водорода называют боровским радиусом и обозначают а^:
а0 = тч =2 ~ 0, 53 А.
mke
Энергия ионизации атома водорода равна |Ei| = R. Спектр излучения атома водорода:
th (k е 2 Г
где R\ = —^— = 1,097 • 107 м-1 — постоянная Ридберга (для
4irch
обратной длины волны), ni — номер начального состояния, п^ —
номер конечного состояния электрона (рис. 97). Линии водорода
Е, эВ
UI :
Серия Пашена
4"
6“
Серия Бальмера
п
(X)
4
3
2
с П2 = 1 и Hi = 2,3,. . . образуют серию Лаймана (ультрафиолетовая область), линии с П2 = 2 и Hi = 3,4,. . . — серию Бальмера (видимая область), с т^2 = 3 — серию Пашена (инфракрасная область), далее следуют серии Брэкета, Пфунда и т. д.
8"
10"
12"
Серия Лаймана
Рис. 97
► Водородоподобные ионы. Учет движения ядра. Формулы, полученные для атома водорода, легко обобщаются на случай водородоподобного иона — одного электрона в поле заряда Ze. Надо просто во всех формулах заменить е2 на Ze2. Постоянная Ридберга при этом умножается на Z2. Например, в случае одноэлектронного иона гелия Не+ энергия электрона 1 принимает значения Еп = —4R/n2.
Видно, что энергия с номером 2п совпадает с энергией электрона
в атоме водорода с номером п. Это означает, что переход, например,
с четвертого уровня на второй должен соответствовать такой же частоте, как переход со второго уровня атома водорода на первый. Анализ спектров показывает, что все соответствующие уровни иона гелия лежат ниже уровней атома водорода примерно на 0,04%. Это отличие объясняется конечностью массы ядра: происходит движение как электрона, так и ядра вокруг их общего центра масс. Учесть движение ядра проще всего заменой массы электрона т на приведенную массу ц (см. раздел 1.7). Это приводит к умножению всех значений энергии и частот на множитель М / (т + М\ где М — масса ядра. Для атома водорода повышение энергии самое большое.
По этой же причине уровни энергии электронов в более тяжелых изотопах лежат ниже (изотопический эффект). Например, уровни
дейтерия лежат немного ниже уровней водорода, а уровни трития — немного ниже уровней дейтерия.
► Условие квантования Бора — Зоммерфельда. Обобщением правила квантования орбит является условие квантования Бора — Зоммерфельда:
р dq = 2тгп/ц(9)
где q, р — обобщенные координата и импульс. Если в качестве обобщенных координат для движения в центральном поле взять угол ф и момент импульса L, то получим правило квантования Бора. В случае одномерного движения условие квантования (9) принимает вид
2 | л/^т^Еп — U(ж)) dx = ZirnH.
где a?i, ж2 —точки поворота, в которых импульс обращается в ноль. Например, в случае осциллятора [/(ж) = тш^х^/Z^ и после вычисления интеграла получаем
Еп = nhw,
что с точностью до слагаемого hw[Z (нулевые колебания) совпадает с точным ответом, даваемым квантовой механикой.
Теория Бора не является последовательно квантовой теорией. Она не описывает тонкую структуру водородоподобных атомов и свойства многоэлектронных атомов, начиная с атома гелия.
6.2. Элементы квантовой механики
► Корпускулярно-волновой дуализм. Волны де Бройля. Движущаяся частица вещества может проявлять волновые свойства. Соответствующие длина волны, волновой вектор и циклическая частота определяются формулами де Бройля:
А = —, к=Р ш =(10)
рпп
где р — импульс частицы, Е — ее релятивистская энергия.
Важным аргументом в пользу волн де Бройля было то обстоятельство, что с учетом определения (10) правило квантования Бора (формула (3)) принимает вид условия существования замкнутой стоячей волны: Zirrn = пХ (на длине орбиты укладывается целое число волн де Бройля).
Фазовая скорость волны де Бройля свободной частицы, имеющей скорость -г, равна с2(и^ ее групповая скорость равна и. (Фазовая скорость не является наблюдаемой величиной.)
С частицей связывается комплексная волновая функция ^(г)> имеющая статистический смысл. Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства:
(11)(11)dP = |V>(r)|2dV.
(11)
(11)
Явления интерференции и дифракции при распространении частиц и их детектировании возникают благодаря принципу суперпозиции: если реализуются состояния фу и ф^, то реализуется и их суперпозиция ф = суфу + С2ф2- Волновые свойства частиц были впервые обнаружены в опытах по дифракции электронов на кристаллах в 1927 г. (опиши Дэвиссона — Джермераф
► Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Измерение координат частицы и проекций ее импульса носит статистический характер. Неопределенности в измерениях этих величин связаны соотношениями
ДрхДх ^ ф, ДруДу^ф ApzAz ^ ф. (12)
Импульс и координата не могут одновременно принимать точные значения, понятие классической траектории теряет свой смысл.
Например, состояние электрона с определенным импульсом рж задается волновой функцией в виде плоской волны:
Ф^ =Ф^ =1V^ivh,1V^ivh,ехр(^ржхфехр(^ржхф
Ф^ =
Ф^ =
1
V^ivh,
1
V^ivh,
ехр(^ржхф
ехр(^ржхф
При этом электрон оказывается полностью делокализованным в пространстве. Чтобы узнать, какова неопределенность в измерении импульса для электрона с локализованной волновой функцией ф(хф надо разложить эту функцию в интеграл Фурье по волновым функциям с определенным импуль
сом:сом:Ф^ =Ф^ =12тг^12тг^|ехр^рж хД(рж) dpx.|ехр^рж хД(рж) dpx.
сом:
сом:
Ф^ =
Ф^ =
1
2тг^
1
2тг^
|ехр^рж хД(рж) dpx.
|ехр^рж хД(рж) dpx.
Вероятность того, что при измерении рж результат будет лежать в интервале (рх^Рх + йрхф определяется квадратом фурье-образа \^р(рх)\2 dpx. В соот
ветствии с общими свойствами преобразования Фурье, ширины функции и ее фурье-образа связаны соотношением Ах- А(рДТф | (см. также раздел 5.2, обсуждение временной когерентности).
Соотношение неопределенностей для времени и энергии имеет вид:
(13)(13)AEAt ^ К,
(13)
(13)
где АЕ — неопределенность энергии состояния, At — время жизни частицы в этом состоянии.
Пример 1. Невозможность локализации электрона в ядре. Если предположить, что электрон заключен внутри ядра размером г ~ 10-15м, то неопределенность его координаты будет порядка размеров ядра, а неопределенность импульса Ар ^ КД. Принимая, что среднее значение импульса порядка его неопределенности, для энергии получаем оценку: Е = р2/2т ~ 10-8Дж « 105МэВ, что на много порядков превосходит энергию связи электрона в атоме.
Пример 2. Оценка энергии основного состояния атома водорода. Считая, что неопределенность координаты порядка среднего размера атома, а неопределенность импульса порядка среднего импульса, получим связь
между импульсом и радиусом:
р.
Т
Подставляя р(г) в выражение (6) для энергии электрона, получим энергию как функцию одного параметра — радиуса орбиты:
П2е2
Е~- к —.
2тгг
Это выражение принимает минимальное значение, равное (с точностью до безразмерного множителя) энергии основного состояния, при значении г, равном боровскому радиусу.
Критерий применимости классического описания. Понятием траектории можно пользоваться в том случае, если неопределенность координаты Ах мала по сравнению с характерными размерами области движения R, а неопределенность импульса Др мала по сравнению с импульсом р. Другими словами, должно выполняться неравенство pR ^> Н. Кроме этого критерия, можно сравнивать с h другие комбинации параметров системы, имеющие размерность момента импульса: (импульс х длина) или (энергия х время).
► Уравнение Шредингера. Зависимость от времени волновой функции частицы в силовом поле U(г) описывается временным уравнением Шредингера:
(14) at 2m
В состоянии с определенной энергией Е (стационарном состоянии) волновая функция имеет вид
-^(г Д) =-^(r) ехр(—z^f).(15)
Пространственная часть волновой функции стационарного состояния подчиняется стационарному уравнению Шредингера:
Н + ^(Е -U^ = 0.(16)
Волновая функция свободной частицы (U = 0) в состоянии с определенным импульсом р записывается так:
^(r^) =L/2 exp[-^(St-pr)].
(2тгД) '
Плотность потока вероятности определяется выражением
S = -^T^-^w"\(17)
и в случае свободной частицы с импульсом р = mv равна S = v|-^(r)|2. Изменение вероятности обнаружить частицу в некоторой области определяется потоком вероятности через границу этой области.
Решения стационарного уравнения Шредингера (16), описывающие связанные состояния частицы в потенциальном поле, должно удовлетворять следующим условиям:
Функция и ее первые производные должны быть непрерывны.
Функция должна быть нормированной: J W\2 dV = 1. Эти два условия могут быть удовлетворены только при определенных значениях энергии Ei, Е^, . . . (дискретность энергетических уровней).
В одномерном случае решения действительны и невырождены, т. е. каждому значению энергии Еп соответствует одна функция ^(xY Функция ^n обращается в ноль в п — 1 точках (узлах волновой функции). Если потенциальная энергия является четной функцией (U(—x) = U(x)Y т0 волновые функции с нечетными номерами (в том числе волновая функция основного состояния) будут четными (^2п+1(—ж) = ^2п+1(ж)), а с четными номерами — нечетными (^2п(-ж) = -^«(Д)-
Среднее значение физической величины g(r), являющейся функцией координат, вычисляется по формуле:
где ^(г) — нормированная волновая функция.
Пример З.Яма с бесконечными стенками. Если потенциальная энергия имеет вид
U =U =0, при 0 ^ х ^ L;0, при 0 ^ х ^ L;
U =
U =
0, при 0 ^ х ^ L;
0, при 0 ^ х ^ L;
оо, при х < 0 или х > L,
то волновая функция обращается в ноль на краях ямы, при х = 0 и х = L. Уравнение Шредингера (16) принимает вид
и имеет решенияи имеет решенияd2ib2т^ = 0d2ib2т^ = 0dxКdxК. ПК. ПКНа ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. ЭнергияНа ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Энергияn-го уровня равна Енn-го уровня равна Ен2т2тп2^^22mL2п2^^22mL2. Видно, что волновые функции. Видно, что волновые функциис нечетными номерами симметричны относительно центра ямы, а с четныс нечетными номерами симметричны относительно центра ямы, а с четны
и имеет решения
и имеет решения
d2ib2т
^ = 0
d2ib2т
^ = 0
dxК
dxК
. ПК
. ПК
На ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Энергия
На ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Энергия
n-го уровня равна Ен
n-го уровня равна Ен
2т
2т
п2^^22mL2
п2^^22mL2
. Видно, что волновые функции
. Видно, что волновые функции
с нечетными номерами симметричны относительно центра ямы, а с четны
с нечетными номерами симметричны относительно центра ямы, а с четны
ми — антисимметричны.
Пример 4. Яма с конечными стенками. Если потенциальная энергия имеет вид (рис. 98)
0, при 0 ^ х ^ L*,
U = Uo > 0,U = Uo > 0,при х > L',при х > L',
U = Uo > 0,
U = Uo > 0,
при х > L',
при х > L',
при х < 0,
то уравнение Шредингера внутри ямы записывается так же, как
в предыдущем примере, а вне ямы,
d2Tb 2m ,х
d^ + l?^E ~и°^ = 0-
Локализованные (связанные) состояния должны иметь энергии в интервале 0< Е < Uo. Волновая функция
обращается в ноль при х = 0, равна 01(ж)=Л8т(&1ж) внутри ямы
и *ф^х^ = В ехр(—к^х) + С ехр(к^х) вне ямы, где ку = V^mE ^Тц
01(b) = 02(b) и ее гладкости01(b) = 02(b) и ее гладкостиd-фуdxd-фуdxd^2dxd^2dxпосле исключенияпосле исключенияks = ^/2m((/o — E^/h. Из условия конечности и интегрируемости волновой функции получаем (7 = 0. Условия непрерывности волновой функции
01(b) = 02(b) и ее гладкости
01(b) = 02(b) и ее гладкости
d-фуdx
d-фуdx
d^2dx
d^2dx
после исключения
после исключения
энергии: к^ = —kyct^kyL.энергии: к^ = —kyct^kyL.Пример 5. Гармонический осциллятор. Потенциальная энергия гармонического осциллятора: U(x) = тш2х2 j6!. Энергии стационарных соПример 5. Гармонический осциллятор. Потенциальная энергия гармонического осциллятора: U(x) = тш2х2 j6!. Энергии стационарных со
энергии: к^ = —kyct^kyL.
энергии: к^ = —kyct^kyL.
Пример 5. Гармонический осциллятор. Потенциальная энергия гармонического осциллятора: U(x) = тш2х2 j6!. Энергии стационарных со
Пример 5. Гармонический осциллятор. Потенциальная энергия гармонического осциллятора: U(x) = тш2х2 j6!. Энергии стационарных со
коэффициентов Л и В приводят к уравнению для допустимых значений
Корни можно искать графически, как точки пересечения графика k^L = — kyL ctg kyL с окружностью (kyL)2 + (k^L)2 = ^mUoL2/к2 в области kyL ^ 0, k^L ^ 0 (рис. 99). Новые связанные состояния возникают при условии E = Uo^ kyL = ir(n + 1/2); при UoL2 < тг2Ь2/8т (очень «узкая» или очень «мелкая» яма) связанные состояния отсутствуют.
Отметим, что волновая функция связанного состояния отлична от нуля при х > L (рис. 98). По классическим представлениям проникновение частицы под потенциальный барьер невозможно, так как при Е < Uo кинетическая энергия в этой области отрицательна. В квантовой механике вероятность обнаружить частицу под барьером отлична от нуля, хотя и экспоненциально быстро спадает при удалении от границы барьера.
стояний равны Еп = (п + 1/2) кш, волновые функции стационарных состояний выражаются через специальные функции — полиномы Эрмита. Энергия основного состояния равна bw/2 (энергия нулевых колебаний).
После перехода к безразмерным переменным с помощью замены
Е = —б, х = \ 8 уравнение Шредингера для осциллятора принимает
2у тш
вид
^ + (е - £2N = 0.
При £ —> оо членом в в скобках можно пренебречь, и мы получаем асимптотическое при больших £ поведение волновой функции: ф ехр(—£2/2). Будем искать волновую функцию в виде ^ = ехр(—£2/2) </>(£), для 99 получаем уравнение
Ф* - ^ф' + (е - 1)99 = 0.
Представляя ф(^) в виде ряда: 99 = ао + ai£ + . . ., после подстановки в уравнение получим серию рекурентных соотношений: 2^2 + (б — 1)ао = 0, баз + (е — 3)ai = 0, . . ., (п + 1)(п + 2)ап+2 + (в — 2п — 1)ап = 0, . . . Волновая функция ^(С) удовлетворяет условию конечности только в том случае, если ряд для ф(^) содержит конечное число членов (в противном случае ф(^) при £ —> оо растет как ехр(£2)). Ряд можно оборвать при условии, что он содержит либо только нечетные степени (для этого надо положить ао = 0), либо только четные (ai = 0). Условие обрыва ряда позволяет получить допустимые значения энергии: еп = 2п + 1, или Еп = hw (п + 1/2) (п = 0,1,. . .).
Как и в предыдущем примере, волновые функции стационарных состояний осциллятора отличны от нуля в той области, где энергия осциллятора меньше его потенциальной энергии. Вероятность обнаружить частицу в запрещенной области экспоненциально быстро спадает при углублении в эту область.
Отметим, что в основном состоянии энергия осциллятора равна не нулю, а Ьш/2; эту энергию называют энергией нулевых колебаний. Наличие такой энергии является неизбежным с точки зрения соотношения неопределенностей: частица не может находиться в нижней точке ямы и иметь нулевой
импульс.
Как и любая квантовая система, осциллятор может излучать или поглощать фотоны, переходя с одного уровня на другой. Анализ вероятностей
таких переходов показывает, что они могут происходить только между сосед
ними уровнями; иначе говоря, для переходов между уровнями осциллятора действует правило отбора: Ан = ±1. Это значит, что осциллятор излучает фотоны только одной частоты ш.
U ДUo -U ДUo -Uo,Uo,при х > 0.при х > 0.Пример 6. Отражение от барьера. Покажем, как вычисляется вероятность отражения падающих частиц от препятствия (барьера). Рассмотрим барьер простейшей формы, имеющей вид ступеньки высотой Uo (рис. 100):
U Д
Uo -
U Д
Uo -
Uo,
Uo,
при х > 0.
при х > 0.
при х ^ 0;при х ^ 0;
при х ^ 0;
при х ^ 0;
Уравнение Шредингера запишем в виде (см. пример 4)
-0" + ку-ф = 0, при х < 0;
-0" + к^ф = 0, при х > 0.
Рис. 100, .
где ку = V^mE)К^ ks =— Uo)/h.
Решение этого уравнения должно описывать падающую и отраженную вол
ны при х < 0 и прошедшую волну при х > 0:
ф(х) = <ф(х) = <при х < 0;при х > 0.при х < 0;при х > 0.А ехр(гкух) + В ехр(—ikyx\
ф(х) = <
ф(х) = <
при х < 0;
при х > 0.
при х < 0;
при х > 0.
С expQiksx),
(Временную часть ехр(—iEt/К) волновой функции мы опустили.) Плотности потока вероятности (формула (17)) падающей, отраженной и прошедшей волн равны Si = \A\2(hki/m), Ss = \B\2(Hki/m) и S3 = \С\2(Нк2/т\ Следовательно, коэффициенты отражения и прохождения равны R = S2ISi = \В/Л|2, D = S3/Si = (к2/ кф\С /А\2. Условия непрерывности волновой функции и ее производных при х = 0 дают(Временную часть ехр(—iEt/К) волновой функции мы опустили.) Плотности потока вероятности (формула (17)) падающей, отраженной и прошедшей волн равны Si = \A\2(hki/m), Ss = \B\2(Hki/m) и S3 = \С\2(Нк2/т\ Следовательно, коэффициенты отражения и прохождения равны R = S2ISi = \В/Л|2, D = S3/Si = (к2/ кф\С /А\2. Условия непрерывности волновой функции и ее производных при х = 0 даютВАВАСф д’Сф д’откуда получаемоткуда получаемR =R =ki — к 2 ki + к^ki — к 2 ki + к^1в\СA?i1 +—=к^ —,\^ /_4А?1 Л?2(Ац+М2 '1в\СA?i1 +—=к^ —,\^ /_4А?1 Л?2(Ац+М2 '(18)(18)
(Временную часть ехр(—iEt/К) волновой функции мы опустили.) Плотности потока вероятности (формула (17)) падающей, отраженной и прошедшей волн равны Si = \A\2(hki/m), Ss = \B\2(Hki/m) и S3 = \С\2(Нк2/т\ Следовательно, коэффициенты отражения и прохождения равны R = S2ISi = \В/Л|2, D = S3/Si = (к2/ кф\С /А\2. Условия непрерывности волновой функции и ее производных при х = 0 дают
(Временную часть ехр(—iEt/К) волновой функции мы опустили.) Плотности потока вероятности (формула (17)) падающей, отраженной и прошедшей волн равны Si = \A\2(hki/m), Ss = \B\2(Hki/m) и S3 = \С\2(Нк2/т\ Следовательно, коэффициенты отражения и прохождения равны R = S2ISi = \В/Л|2, D = S3/Si = (к2/ кф\С /А\2. Условия непрерывности волновой функции и ее производных при х = 0 дают
В
А
В
А
Сф д’
Сф д’
откуда получаем
откуда получаем
R =
R =
ki — к 2 ki + к^
ki — к 2 ki + к^
1в\С
A?i1 +—=к^ —,
\^ /
_4А?1 Л?2
(Ац+М2 '
1в\С
A?i1 +—=к^ —,
\^ /
_4А?1 Л?2
(Ац+М2 '
(18)
(18)
При Е > Uo числа ki и к^ действительны, и коэффициенты R и D отличны от нуля, причем Я + D = 1. Отметим, что в классической физике отражения частиц при Е > Uo не происходит, т. е. R = 0. В квантовой физике R не только отличен от нуля, но при Е — Uo «С Uo получаем к2 ^ ki, т. е. D —^ -Э 0, Д Д 1. Еще более удивительный чисто квантовый эффект получим при Uo < 0 (формально (18) остается верным, но к^ > кф: в пределе Е <С \Uo\ получаем к\ << к^^ т. е. R -4 1 (!).
При Е < Uo (Uo > 0) решение остается формально верным, если положить к^ = гх, где х = ^/2т([/о — Е^/Е В этом случае R = 1, а решение при х > 0 представляет собой действительную экспоненту l^l2 = |(7|2 ехр(—2хж); глубина проникновения частиц в классически запрещенную область равна 1/2>г.
Пример 7. Туннельный эффект. При падении на потенциальный
барьер волны де Бройля, соответствующей свободной частице с энергией,
меньшей высоты барьера, существует отличная от нуля вероятность обна
ружить частицу по другую сторону барьера. Прозрачностью барьера на
зывается отношение интенсивности (плотности потока вероятности) прошедшей волны и волны падающей. Прозрачность потенциального барьера (рис. 101) дается формулой
®2
D = Doexp^—| | ^m^U(ж) — Е"\ dx^.
Частица может быть обнаружена под барьером,
в области, запрещенной для движения в классической механике.
► Операторы физических величин. Любой наблюдаемой физической величине в квантовой механике сопоставляется эрмитов (самосопряженный) оператор, действующий на волновые функции. Физическая величина G имеет определенное значение Ag только в состояниях, являющихся собственными функциями оператора G:
Сф = Хаф,
причем измеряемое значение физической величины в любом из этих состояний совпадает с собственным значением оператора G. Система
собственных функций эрмитова оператора является полной — любая функция может быть представлена в виде линейной суперпозиции этих функций. Если состояние является суперпозицией собственных функций с разными А: ф = ^С^фг^ то вероятность получить при измерении значение А^ равна |СД2, а среднее значение величины G в этом состоянии равно
(G) = £А^|^|2 = ф*бфаУ. (19)
Оператор координаты имеет вид хф = хф, оператор проекции импульса — рх = —гп—, оператор энергии ^гамильтониан) определяется выражением:
Н = ^- + и = -^-^ + и. (20) 2m 2m
Уравнения Шредингера (14) и (16) принимают вид
гП^ = Нф и Нф = Еф, (21)
т. е. стационарные состояния являются собственными функциями гамильтониана, а энергии этих состояний — соответствующими собственными значениями.
Физические величины А и В соизмеримы (могут одновременно иметь определенные значения), если они коммутируют: АВ — В А = 0. В случае координаты и проекции импульса
(22)(22)ХРх ~ Рх$ = ^-
(22)
(22)
Пример 8. Принцип неопределенности. Операторный подход. На
языке квантовых операторов принцип неопределенности становится точным математическим утверждением. Неопределенностью физической величины в состоянии ф называют AG = ^^G — (<7))2) (в собственном состоянии оператора G неопределенность равна нулю). Степень несоизмеримости двух физических величин А и В определяется их коммутатором С = АВ — В А, что выражается неравенством
АААВ^1-^.
Важное утверждение квантовой механики состоит в том, что физическая величина сохраняется со временем, если ее оператор коммутирует с гамильтонианом. Действительно,
^Ф*[но]фау = ^[нс]},^Ф*[но]фау = ^[нс]},4(d) = [ ^вфИУ + [ ф*С^У =
^Ф*[но]фау = ^[нс]},
^Ф*[но]фау = ^[нс]},
где Эф / dt выражена с помощью уравнения Шредингера (21) (а Эф*/dt— с помощью сопряженного уравнения).
Пример 9. Квантовый осциллятор. Операторный подход. Коммутационные соотношения позволяют получить важные результаты чисто алгебраическим способом. Найдем собственные значения и собственные функции гамильтониана, описывающего квантовый осциллятор:
Я = fl + тш^2m 2’
исходя только из коммутационного соотношения (22) между координатой и импульсом. Перейдем к безразмерным операторам с помощью замен:
причем р = — г—. Безразмерный гамильтониан имеет вид
dq
h = р + q , а безразмерные операторы координаты и импульса подчиняются соотношению
qp — pq = %.
Введем операторы «повышения» и «понижения»:
а+ = q — гр. а~ = q + гр,
для которых верны тождества
а^аГ = h — 1, аГа^ = h + 1,[а+а-] = —2.
Собственные значения А и собственные функции фх оператора А = й^а- обладают следующими свойствами:
Собственные значения неотрицательны (А ^ 0). Собственное значение обращается в ноль в том и только в том случае, если а-фо = 0.
Если фх — нормированная собственная функция с А > 0, то ^д ^~ ^а — нормированная собственная функция с А7 = А — 2, а -/JLz^a+^A — нормированная собственная функция с А7 = А + 2.
Из этого следует, что собственными значениями оператора А являются целые четные числа, оператора h — нечетные числа, оператора энергии — значения Еп = Нш^п + |). Основное состояние (п = 0) подчиняется уравнению а~фо = 0, или ^f^ = —qфo. Получаем фо(д) = \ — ехр(—q2 / 2).
dqу тг
Все остальные функции могут быть получены последовательным действием оператора повышения: ф1 = —p(q — d/dq^o, фъ = —т=(^ - d/dq^i и т. д.
v2V3
Перейдем к рассмотрению трехмерного уравнения Шредингера. Это уравнение гораздо сложнее, чем одномерное, но в некоторых случаях может быть сведено к трем одномерным уравнениям методом разделения переменных. Проиллюстрируем этот метод на трехмерном осцилляторе.
Пример 10. Трехмерный квантовый осциллятор. Разделение переменных. Уравнение Шредингера для трехмерного осциллятора имеет
вид
Д^ + ^(я-^!)^ = 0.(23)
Потенциальная энергия осциллятора уникальна: будучи сферически симметричной, она в то же время является суммой трех членов, каждый из которых зависит только от одной координаты и совпадает с потенциальной энергией одномерного осциллятора (Ux = тш2х2/2 и т. д.). Это позволяет искать решение в виде
Подставив ф в уравнение (23) и разделив его на ^, получим
( 1 d2V>i2m fr , ( 1 d2V>22m„ \ , ( 1 d2V>s2m rr ^ ,
Ui Эх2h2 Ux) + U2 Vh2 ^/ + Us Эг2n2 :) +
Поскольку от x зависит только первый член, он должен быть константой, которую мы обозначим 2т Ei /7г2. Получившееся уравнение совпадает с уравнением для одномерного осциллятора, следовательно, Е± может принимать только значения бшфпу + -). То же самое относится и к двум остальным членам. Поскольку Е = Ei + Es + Ез, для энергии трехмерного осциллятора получаем
3
S'ni ,П2 ,пз = бш^П + — ),
где п = Hi + п^ + пз, a ni, п2, пз принимают значения 0,1,2,.. .. Видно, что основное состояние (п = 0) не вырождено, уровень с n = 1 вырожден трехкратно, с п = 2 — шестикратно, с п = 3 — десятикратно и т. д.
Операторная запись позволяет придать методу разделения переменных более компактную форму. Уравнение Шредингера (23) принимает вид
(Hi + Н2 + Нз)^!^?/^ = Ефхф^фз-
Разделив на ^i^s^s, получим
Н1ф1 । Н^ф^ । Нзфз _Ф1 Ф2 Фз '
От х зависит только первый член, он равен Е-^ и т. д.
Однако общий подход к решению уравнения Шредингера в сферически симметричном поле состоит в использовании закона сохранения момента импульса (углового момента). Такой подход позволяет произвести разделение переменных (по сферическим координатам) для любого сферически симетричного потенциала.
► Оператор углового момента. Оператор орбитального углового момента (момента импульса) электрона L относительно т. О определяется соотношениями
Lx = ypz -zpy, Ly=Wx-$Pz, Lz = хру -урх, (24)
а оператор квадрата момента — соотношением L2 = L2 + L2 + L|. Проекции момента не коммутируют друг с другом:
\LxLy\ — ihLz, ^LyLz^ — ihLx, [LZLX] — ihLy, (25)
т. e. не могут одновременно принимать определенные значения. Однако каждая из проекций коммутирует с квадратом импульса, поэтому можно говорить об общих собственных функциях операторов Lz и L2.
Собственные значения могут быть найдены чисто алгебраическим путем, из коммутационных соотношений (25). Общие собственные функции операторов L2 и Lz могут отвечать только следующим собственным значениям:
L фц-т — Ц^ “Ь 1)^ 'Фцтч ^z^Pm — ^^^Pmi (26)
причем I — целое или полуцелое неотрицательное число, а при заданном I число т может принимать 2/ +1 значений: т = —/,—/ +1, ...,/ — 1, /.
Перейдем к безразмерным операторам: Lx = ЫЖ1 Ly = Ыу^ Lz = hlZl удовлетворяющим коммутационным соотношениям [Wy] = Их и т. д. Введем операторы «повышения» и «понижения»:
^ — 7т ~Н Иу ^ — ^т Иу удовлетворяющие соотношениям:
уд^=Т^, [цг] = -г, ТЧ”=?-?2^и, гТ^ = ?-?Z-TZ. Если ф является собственной функцией операторов ? и /z с собственными значениями А и /1, то Г^ф будет собственной функцией этих операторов с собственными значениями А, р + 1, а 1~ ф — собственной функцией с собственными значениями А, р — 1. Минимальное значение pi и максимальное Р2 удовлетворяют уравнениям:
А — pi + pi = 0, А — р^ — р^ = 0.
Отсюда следует, что pi = —р^ причем р% — pi = 2р2 = I — целое число. Для собственного значения оператора Р получаем А = 1(1 + 1).
Видно, что максимальное значение проекции углового момента
Ы меньше его модуля h^l(l + 1). В векторной модели угловой мо
Рис. 102Рис. 102мент изображают в виде вектора, образующего фиксированный угол с осью % и вращающегося вокруг этой оси. При этом проекции Lx и Ly не имеют фиксированных значений, что отражает несоизмеримость Lz с Lx и Ly. На рис. 102 изображен случай I = 1.
Рис. 102
Рис. 102
Чтобы увидеть, какие собственные значения может иметь орбитальный угловой момент, определяемый формулами (24), удобно произвести переход к сферическим координатам. Орбитальный момент является функци-
ей только угловых переменных, причем коммутирующие операторы Lz
и L2 принимают вид
2(27)
72 fc2 7719 / . п д \1 Э2
L = —пЛ, где А = -—-— sin#— Н~ ’sin#a#\ эе) sin2 е д^
Для дальнейшего важно, что оператор А совпадает с угловой частью оператора Лапласа, записанного в сферических координатах:
(28)(28)
(28)
(28)
Собственные функции могут быть представлены в виде произведения функций отдельных угловых переменных: фцт = 0/)т(#)Фт(</?). Уравнение для Ф
= тНФтар
имеет решение Фт = А ехр(гтр), которое является однозначной функцией угла р только при целых значениях т. Следовательно, в случае орбитального момента реализуются только целые значения чисел I ит. Число I называют орбитальным квантовым числом, а число т — магнитным квантовым числом (используют обозначение т^. Полуцелые значения реализуются в случае собственного углового момента — спина (используют обозначения s и т8).
Уравнение для собственных функций оператора А имеет решение в виде известных в математической физике шаровых функций ¥[т(0, р) = Фтк^®т1^ с собственными значениями —/(/ + 1). (Функции 0(#) имеют вид специальных функций — присоединенных функций
cos #,cos #,Лежандра). Например, Фт(ф) = ^= * е
cos #,
cos #,
©1,±1 = Т©1,±1 = Т2,02,0cos2# — 1). Каждая из функцийcos2# — 1). Каждая из функций
©1,±1 = Т
©1,±1 = Т
2,0
2,0
cos2# — 1). Каждая из функций
cos2# — 1). Каждая из функций
нормируется на единицу: /Г ф2 ^ = г Jo02sin#d# = 1. Шаровые функции образуют полную систему функций угловых переменных — любая функция переменных #, р может быть разложена по шаровым функциям.
► Сложение угловых моментов. Оператор суммы двух моментов L = Li + L2, значения которых характеризуются квантовыми числами /1 и /2 (т. е. L2 и L2 имеют собственные значения h^li (/1 + 1) и hV^V^ + 1)) характеризуется квантовым числом I, которое может принимать следующие значения: |/i — /2I ^ ^ ^ ^1 + ^2- Максимальное
значение соответствует параллельному расположению моментов, минимальное — антипараллельному. Оператор L2 не коммутирует с операторами Li^ и £2^7 поэтому собственные функции операторов L2 и L;, не являются собственными функциями Liz и L^z (но являются собственными функциями L2 и L^)-
► Движение в центральном поле. В этом случае потенциальная энергия U(г) зависит только от модуля г. Поскольку операторы орбитального момента L^ и L2 коммутируют с г2 и р2, то они коммутируют и с гамильтонианом. Следовательно, как и в классической механике, при движении частицы в центральном поле сохраняются величина углового момента и его проекция на ось %. Волновая функция любого состояния ^(r^O^ip) может быть разложена по общим собственным функциям ^E^mt трех коммутирующих операторов Н, Lz и L2, соответствующих трем одновременно измеримым физическим величи- нам:энергии, проекции орбитального момента и его величине. Будем использовать разделение переменных, т. е. искать собственные функции в виде: ^e^tth = RE.iWm^^Oi,mi (6). Записывая гамильтониан в сферических координатах и учитывая (27) и (28), получим
н = -7^^-(г2^-}+-^ + U(r\ (29) 2mr^r\ dr) W v 7
Уравнение Шредингера в форме (23) после действия гамильтониана (29) на функцию ^e^tth превращается в уравнение для радиальной части волновой функции Нед^У-
W ^W^Re^-ERe^. (30)
Как и в классической механике (см. раздел 1.6), к потенциальной энергии добавляется центробежная энергия /г2/(/ + 1)/2шг2. Видно, что магнитное квантовое число не входит в уравнение для допустимых значений энергии. Каждому уровню энергии соответствует два квантовых числа: орбитальное число I и радиальное число пг = 0,1, 2, . . ., нумерующее допустимые дискретные значения энергии. Уровень ЕПг^ оказывается (2/ + 1)-кратно вырожденным по значениям магнитного квантового числа mt.
► Магнитный момент. В классической физике движущаяся по замкнутой траектории заряженная частица обладает магнитным моментом. Величина и направление магнитного момента полностью определяют как собственное магнитное поле движущегося заряда, так и его взаимодействие с внешним магнитным полем (см. раздел 3.3). Для орбитального движения отношение магнитного момента электрона к механическому равно —е/2т. Следовательно, проекция орбитального магнитного момента на ось % принимает значения
gz = — (c/2m)hmi = —gB^i, а величина орбитального магнитного момента равна gB^/W + 1), гДе Ьв = eh/2т « 9,274 • 10-24 Дж/Тл называется магнетоном Бора. В общем случае соотношение между магнитным и механическим моментами записывается в виде: hz = g{e/^m)Lz (или (pz/рв) = gU^z/Wh где безразмерный множитель g называют гиромагнитным отношением. Для орбитального момента gi = 1, для спинового gs = 2.
При помещении атома в магнитное поле с индукцией В, направленное вдоль оси z, у электрона возникает добавочная энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем: ДЕ = —gzB = gsTHiB. Видно, что в магнитном поле должно сниматься вырождение по магнитному квантовому числу mi — вместо одного уровня возникает 2/ + 1 эквидистантных уровней, расстояние между которыми пропорционально магнитному полю. При этом каждая спектральная линия должна расщепляться на три равноудаленных линии (с учетом правил отбора, обсуждаемых ниже, изменение mi при переходе между уровнями может быть только Ami = 0,±1). Этот эффект носит название простого (нормального) эффекта Зеемана. Наличие у электрона собственного (спинового) магнитного момента приводит к сильному усложнению картины расщепления линий в магнитном поле.
► Атом водорода в квантовой механике. Для потенциальной энергии U(г) = — ке2/г уравнение (30) имеет следующие решения:
Возможные значения энергии определяются формулой
р -R
(Пг + I + 1)
где R — постоянная Ридберга (см. (7)). Величину п = nr + I + 1 называют главним квантовым числом. Видно, что энергия электрона определяется только главным квантовым числом. Одному и тому же главному квантовому числу п соответствуют состояния с различными значениями I: I = 0,1, . . ., п — 1. Полное вырождение каждого уровня п —1
энергии составляет ^2 (^ + 1) = 71,2 • Дополнительное вырождение /=о
является специальным свойством кулоновского потенциала. Отметим, что энергетические уровни совпадают с теми, которые получались в полуклассической теории Бора (раздел 6.1), однако бросаются в глаза важные отличия: в теории Бора в основном состоянии (п = 1) орбитальный момент равен L = h. а в квантовой теории момент основного состояния равен нулю.
Радиальные функции имеют вид Нпд = г1е"Г/паоРпДг/ где РПт^ — многочлен степени nr = п — I — 1, а а^ = №/тке2 —
радиус первой электронной орбиты в теории Бора (боровский радиус). Например, Ri о =^e~r/Q°, R2 о =J—е~г/2ао (2—
у аоуо°о
Г
R2^ = —;=—ехр(—г/2ао). Радиальные функции нормированы ’2^6^ °0
на единицу: Jo R2r2 dr = 1. Вероятность обнаружить электрон на расстоянии от ядра, лежащем в интервале (г, г + dr), равна dP = J |-0|2 dV = R2^r)r2 dr. В основном состоянии наиболее (r,r+dr)
вероятное расстояние от электрона до ядра равно боровскому радиусу
Щь
Электронное состояние обозначают латинской буквой, указывающей на значение орбитального квантового числа («а» для I = 0, «р» для I = 1, «d» для I = 2, «/» для / = 3, далее по алфавиту), перед которой указывают значение главного квантового числа. Например,
3d соответствует электрону с п = 3 и I = 2.
► Спектры щелочных металлов. В случае щелочных металлов
(Li, Na,...) состояние атома определяется состоянием электрона
на внешней оболочке. Этот электрон находится в центрально-симметричном поле ядра и Z — 1 электронов на внутренних оболочках. Радиус внешней оболочки заметно больше радиусов внутренних оболочек (гп ~ п2), поэтому в основной области существования внешнего электрона электрическое поле совпадает с полем заряда +е. Искажение поля внутренними электронами оказывает большее влияние на состояния с меньшим орбитальным числом I, так как при малых г ф (г) ~ г1. Для уровней энергии Епд, где п = nr + I + 1 — главное квантовое число, используют выражение
ЕЕR(п + щ)2 ’R(п + щ)2 ’где оц < 0 — ридберговская поправка. Например, для Li «о = —0,41 и «1 = —0,04, а для Na «1 = -0,88.
Е
Е
R
(п + щ)2 ’
R
(п + щ)2 ’
Отличие поля, в котором движется электрон, от кулоновского может быть в первом приближении учтено добавлением к потенциальной энергии члена А/г2. Эта добавка учитывает сразу два эффекта: во-первых, экранирующее поле электронного «остова», и, во-вторых, поляризацию остова самим внешним электроном, которая приводит к появлению у остова небольшого дипольного момента, направленного в каждый момент времени в сторону этого электрона. Член А/г2 можно присоединить к центробежной энергии (см. формулу (30)) и записать оба члена вместе как центробежную энергию с переопределенным V = I + оц.
Для построения спектра надо принять во внимание, что главное квантовое число п наинизшего состояния внешнего электрона равно номеру оболочки, в которой находится этот электрон (для лития п = 2, для калия п = 3 и т. д.). Кроме того, необходимо учитывать правило отбора для орбитального числа I: А1 = ±1. На рис. 103 приведена схема спектральных линий атома Li и указаны названия первых основных серий.
► Спин электрона. Ряд экпериментальных фактов указывает на то, что для описания состояния электронов в атоме недостаточно трех квантовых чисел, связанных с его пространственным движением. К этим фактам относятся:
Мультиплетная (тонкая) структура спектральных линий щелочных металлов. Например, самая интенсивная из линий главной серии — резонансная линия, соответствующая переходу в основное s-состояние из первого возбужденного ^-состояния, имеет вид ярко выраженного дублета.
Сложный (аномальный) эффект Зеемана. Расщепление атомных линий в магнитном поле не описывается простым эффектом Зеемана, связанным с магнитным моментом орбитального движения.
Результаты опытов Штерна— Герлаха по измерению магнитных моментов атомов водорода (1921). Пучок атомов водорода направлялся в область сильно неоднородного магнитного поля, где на них действовала сила p,z (dB/ dz). Проекция орбитального момента /^ = т^в может иметь 2/ + 1 различных значений. Атомы с электронами в s-состоянии не должны испытывать отклонения; если имеется доля атомов с электронами в ^-состоянии, то они должны разделиться на три пучка. Было обнаружено, что пучок атомов разделяется на два, отклоняемых магнитным полем в разные стороны на одинаковые расстояния.
Вывод: электроны обладают внутренним угловым моментом (спином), не связанным с движением электрона по орбите. Проекция спина на ось z может иметь два значения, из чего следует, что спиновое квантовое число s должно быть равно 1/2 (поскольку 2s + 1 = 2).
/1 1 а/з
Величина спинового момента равна ^(^ + ^) = Проекция
, । 1
спинового момента на ось z равна nms, где т8 = ±- — магнитное
спиновое число. Напомним, что полуцелое значение углового момента не противоречит перестановочным соотношениям.
Так как проекция спина может принимать два значения, то теперь набору квантовых чисел n, I соответствует 2(2/ + 1) различных состояний, а квантовому числу п соответствует 2п2 состояний.
Измерение величины отклонения атомов в магнитном поле позволяет установить значение собственного магнитного момента. Оказалось, что собственный момент электрона обладает аномальным гиромагнитным отношением gs = 2: отношение спинового магнитного момента к механическому равно не е^т, ^е/т. Проекция магнитного момента на ось % принимает значения (e/m)/lms = 1цв- Аномальное значение гиромагнитного отношения подтверждается результатами опытов Эйнштейна —де Гааза (1914), в которых исследовались магнитомеханические эффекты (образование механического момента при намагничивании железного образца).
Внутренним магнитным моментом — спином — обладают все элементарные частицы. Спин протона, нейтрона и /z-мезонов равен 1/2, спин фотона равен 1, спин тг-мезонов равен 0.
► Тонкая структура спектральных линий. Тонкая структура линий водородоподобных атомов и щелочных металлов объясняется взаимодействием спинового магнитного момента с орбитальным. Появление такого взаимодействия проще всего понять в системе отсчета, связанной с электроном. В этой системе отсчета движущееся ядро создает магнитное поле, с которым взаимодействует спиновый магнитный момент. С учетом спин-орбитального взаимодействия сохраняются (коммутируют с гамильтонианом) следующие операторы: полный угловой момент J2, его проекция ,Е и величина орбитального момента L2. Положение уровней En^j определяется тремя квантовыми числами: п, /, j. (В многоэлектронных атомах для квантовых чисел углового момента используют прописные буквы L, S, J. Для спектроскопических обозначений орбитального момента используют буквы S, Р, D. F, . . . В щелочных металлах состояние атома определяется одним электроном, и можно использовать как прописные, так и строчные буквы.) Вырождение каждого уровня составляет 2j + 1 состояний с различными значениями проекции полного момента. При заданном I полный момент может принимать два значения: j = (/ ± |), при I = 0
• 1 гл
получается только одно значение ] = -. Следовательно, s-уровни не расщепляются (синглетные уровни), а уровни с / > 0 расщепляются на два близких уровня (дублетные уровни). При построении спектров надо учитывать правила отбора: А1 = ±1, Aj = 0, ±1. Например, при переходе с дублетного p-состояния в нижнее синглетное s-состояние возникает две линии (дублеты главной серии), расстояние между которыми уменьшается с ростом п, а при переходе с синглетных s-уровней
на нижний р-уровень возникают дублеты резкой серии, имеющие одинаковое расщепление. При переходе с дублетного (/-состояния в нижнее дублетное p-состояние возникают три линии (сложные дублеты диффузной серии). Величина расщепления уменьшается с ростом как орбитального, так и главного квантовых чисел, но быстро возрастает при переходе к атомам с большим порядковым номером.
В атоме водорода и водородоподобных ионах спин-орбитальное взаимодействие частично компенсируется релятивистскими поправками, и окончательный ответ для уровней энергии не содержит зависимости от орбитального квантового числа:
AEnj = о? кАкт" п \4пAEnj = о? кАкт" п \4п1J + 1/21J + 1/2
AEnj = о? кАкт" п \4п
AEnj = о? кАкт" п \4п
1
J + 1/2
1
J + 1/2
где а = ke1 /he « 1/137 называется постоянной тонкой структуры. Дополнительное вырождение по орбитальному квантовому числу является специфической особенностью кулоновского потенциала.
Структура и спектры сложных атомов
► Самосогласованное поле. При переходе к многоэлектронным атомам задача описания атомных состояний существенно усложняется. В общем случае необходимо рассматривать волновую функцию, зависящую от координат и спиновых переменных всех электронов, и учитывать взаимодействие электронов не только с ядром, но и друг с другом. Однако хорошее описание дает приближение самосогласованного поля, в котором каждый электрон движется в усредненном поле ядра и остальных электронов. Потенциал самосогласованного поля ср (г) описывается уравнением Томаса-Ферми, позволяющим получить энергетически наиболее выгодное распределение электронов в пространстве вокруг атома.
Решение уравнения Шредингера для электрона в самосогласованном поле позволяет получить стационарные состояния, энергия которых Епд зависит от главного квантового числа и орбитального квантового числа. Первым делом необходимо выяснить структуру основного (обладающего наименьшей энергией) состояния атома. Какие одноэлектронные состояния занимают электроны в основном состоянии? На первый взгляд может показаться, что наиболее выгодно поместить все электроны в наинизшее состояние 1s. Однако такое распределение электронов оказывается невозможным вследствие принципа запрета Паули, связанного со свойством тождественности частиц.
► Тождественность частиц. Принцип Паули. Принцип тождественности частиц в квантовой механике приобретает значительно более сильный смысл, чем в классической. В классической физике частицы одинаковы, но отличимы друг от друга: при перестановке
двух электронов возникает состояние, которое надо учитывать как новое, не зависящее от начального. В квантовой механике частицы тождественны, т. е. абсолютно неотличимы: состояние, возникающее при перестановке частиц, тождественно совпадает с начальным состоянием. Это значит, что |^(1, 2)|2 = |'0(2,1)|2. Возникают две возможности: либо волновая функция симметрична относительно состояний частиц, т. е. -0(1, 2) = -0(2,1), либо антисимметрична, т. е. -0(1, 2) = —^(2,1). Частицы первого типа называются бозонами, частицы второго типа — фермионами. В теории элементарных частиц доказывается, что к бозонам относятся частицы с целым спином, а к фермионам — частицы с по- луцелым спином. Если волновая функция строится из одночастичных волновых функций, то в случае бозонов она должна быть симметризо- вана, а в случае фермионов — антисимметризована. Например, в случае двух бозонов с одночастичными состояниями ^х и ^2 волновая функция имеет вид ^(rx, r2) = ^[^i(ri)^2(r2) + ф^т^фу (г2)], а в случае двух фермионов ^(rx,r2) = ^=[^i(rx)^2(r2) - Ф^аФФу(г2)]-
V 2
Электроны являются фермионами, т. е. система нескольких электронов описывается антисимметричной (по состояниям частиц) волновой функцией. В такой системе (как и в системе любых тождественных фермионов) действует принцип запрета Паули: два электрона не могут находиться в абсолютно одинаковых квантовых состояниях; действительно, волновая функция такого состояния должна быть тождественно равна нулю.
► Таблица Менделеева. Для описания электронной структуры основного состояния атома с порядковым номером Z надо расположить Z электронов по различным квантовым состояниям с наименьшей энергией. Для подсчета электронных состояний можно выбрать любой набор независимых квантовых чисел одного электрона, например, как в случае щелочных металлов, п, I, j и mj. Однако удобнее не учитывать спин-орбитальное взаимодействие и использовать числа п, I, mi и т8 для электрона в центрально-симметричном самосогласованном поле. (Для полного описания термов основного и возбужденного состояний придется выбрать набор квантовых чисел, описывающих состояние всего атома и относящихся к сохраняющимся величинам.)
Все электроны, имеющие одинаковое главное квантовое число п, относятся к одному электронному слою. Максимальное число электронов в п-м слое равно 2п2. Слой с п = 1 называется К-слоем, с п = 2 — L-слоем и далее по алфавиту. Все электроны в данном слое с фиксированным числом I образуют электронную оболочку с 2(2/+ 1) электронами. Электроны данного слоя с большим значением I имеют большую энергию, благодаря возрастающему вкладу центробежной
энергии. Состояние электрона обозначается номером главного квантового числа, за которым следует буква, соответствующая его орбитальному числу. Если атом содержит несколько электронов из одной оболочки, то справа вверху указывается число электронов. Приведем электронные конфигурации ряда атомов: К-слой:
1Н —Is, 2Не—1s2;
L-слой:3Li—ls22s,6C-ls22s22p2,9F-b22s22p5, две оболочки M-слоя: nNa-[K, L]3s, 13A1 — [К, L]3s23p, 16S-[K, L]3s23p4,L-слой:3Li—ls22s,6C-ls22s22p2,9F-b22s22p5, две оболочки M-слоя: nNa-[K, L]3s, 13A1 — [К, L]3s23p, 16S-[K, L]3s23p4,4Be-ls22s2, 7N —ls22s22p3, 10Ne — ls22s22p6;12Mg-[K, L]3s2, 14Si — [K, ЦШр\17C1-[K, L]3s23p5,4Be-ls22s2, 7N —ls22s22p3, 10Ne — ls22s22p6;12Mg-[K, L]3s2, 14Si — [K, ЦШр\17C1-[K, L]3s23p5,5B-b22s22p,8O-ls22s22p4,5B-b22s22p,8O-ls22s22p4,15P-[K, L]3s23p3,18Ar-[K, L]3s23p615P-[K, L]3s23p3,18Ar-[K, L]3s23p6
L-слой:
3Li—ls22s,
6C-ls22s22p2,
9F-b22s22p5, две оболочки M-слоя: nNa-[K, L]3s, 13A1 — [К, L]3s23p, 16S-[K, L]3s23p4,
L-слой:
3Li—ls22s,
6C-ls22s22p2,
9F-b22s22p5, две оболочки M-слоя: nNa-[K, L]3s, 13A1 — [К, L]3s23p, 16S-[K, L]3s23p4,
4Be-ls22s2, 7N —ls22s22p3, 10Ne — ls22s22p6;
12Mg-[K, L]3s2, 14Si — [K, ЦШр\
17C1-[K, L]3s23p5,
4Be-ls22s2, 7N —ls22s22p3, 10Ne — ls22s22p6;
12Mg-[K, L]3s2, 14Si — [K, ЦШр\
17C1-[K, L]3s23p5,
5B-b22s22p,
8O-ls22s22p4,
5B-b22s22p,
8O-ls22s22p4,
15P-[K, L]3s23p3,
18Ar-[K, L]3s23p6
15P-[K, L]3s23p3,
18Ar-[K, L]3s23p6
s-оболочка TV-слоя:
19K - \K, L]3s23p64s, 20Ca — [K, L]3s23p64s2;
(/-оболочка М-слоя:
21Sc - \K, L]3s23p63(/4s2, 22Ti - \K, L]3s23p63(/24s2;
И Т. Д.
Видно, что начиная с номера 19 нарушается последовательное заполнение слоев — энергия s-электронов А^-слоя оказывается меньше, чем энергия (/-электронов М-слоя. Химические свойства элементов определяются числом электронов во внешнем слое, поэтому возникает периодичность химических свойств. Например, благородные газы гелий 4Не, неон 10Ne, аргон 18Аг, криптон 36Кг, ксенон 54Хе и радон 86 Rn отличаются тем, что на них заканчивается заполнение р-оболочек и они обладают большой энергией ионизации. У следующих по номеру атомов (литий, натрий, калий, рубидий, цезий и франций) имеется заполненная р-оболочка и один электрон в s-оболочке следующего слоя. Эти атомы образуют группу щелочных металлов и обладают малой энергией ионизации.
Отметим, что полные угловой и магнитный моменты любой заполненной оболочки равны нулю.
► Термы сложных атомов. В легких и средних атомах спин-орби- тальное взаимодействие для отдельных электронов невелико, и сложение моментов происходит по следующей схеме. Орбитальные моменты электронов складываются в полный орбитальный момент L, который характеризуется квантовым числом L, а спины электронов складываются в полный спиновый момент S (квантовое число S). В свою очередь орбитальный и спиновый моменты складываются в полный момент атома J. Такая схема носит название нормальной LS-связи, или связи Рассела-Саундерса. Число L всегда целое, а число S целое, если в оболочке четное число электронов, и полуцелое, если нечетное. Отметим, что складывать нужно только моменты электронов в незаполненной оболочке.
В тяжелых атомах сложение моментов происходит по схеме, называемой j j-связью. Сначала складываются угловой и магнитный моменты каждого отдельного электрона (j = 1 + s), а потом уже происходит сложение электронных угловых моментов (J = J2 ф).
В случае нормальной связи сохраняются полный момент (величина и проекция), величины орбитального и спинового моментов. Каждый терм характеризуется квантовыми числами L, S и J и в отсутствие магнитного поля (2 J + 1)-кратно вырожден. При заданных L, S квантовое число J может принимать 2S + 1 значений от L — S до L + S, поэтому число 2S + 1 называют мулътиплетностъю терма. Отличие между энергиями термов из одного мультиплета определяется сравнительно слабым спин-орбитальным взаимодействием. Спектральные обозначения термов: орбитальное квантовое число атома изображается с помощью прописной буквы S, Р, D, F.G и далее по алфавиту (в отличие от одноэлектронных состояний, где используются строчные буквы). Справа внизу указывается число J, которое выделяет данный терм из мультиплета, а слева вверху указывается мультиплетность терма 2S+1. (Следует иметь в виду, что при L < S реальная мультиплетность терма равна 2L + 1, но принято указывать 2S + 1.) Например, терм 2Рз/2 соответствует квантовым числам L = 1,S = 1/2hJ = 3/2. Кроме того, на схеме спектральных переходов, где надо изображать возбужденные состояния, указывают главное квантовое число возбужденного электрона (наименьшее число равно номеру слоя, к которому принадлежит незаполненная оболочка).
При сложении спиновых и орбитальных моментов электронов можно получить различные квантовые числа. Чтобы узнать, какие квантовые числа соответствуют основному состоянию атома, используют эмпирические правила Хунда. Первое правило: у терма с наименьшей энергией значение S максимально, и при этом значении S максимально значение L. (Сначала определяют максимально возможные mg и гп^. а потом по ним определяют S и L.) Второе правило: J = \L — S|,
если оболочка заполнена менее чем наполовину, и J = L + S в обратном случае. Смысл первого правила Хунда заключается в том, что если у электронов одинаковые спиновые состояния, то у них разные пространственные состояния, что соответствует меньшей энергии взаимодействия между электронами. Например, у углерода для оболочки 2р2 полный спин равен S = 1, а орбитальное число не может иметь максимальное значение L = 2, так как в этом случае у двух электронов были бы одинаковые квантовые числа т/ = 1; следовательно, L = 1, а так как два электрона заполняют меньше половины р-оболочки, в которой 6 мест, то J = |L — S| = 0. Основной терм атома углерода 3Р0. Проверьте, что основной терм атома азота 4S3/2.
► Правила отбора. При построении схемы спектральных линий и выяснении мультиплетности линии излучения необходимо использовать как мультиплетность термов, так и правила отбора для переходов между термами. Правила отбора для излучательных переходов могут быть получены путем вычисления вероятности перехода между состояниями. Однако смысл правил отбора можно понять исходя из закона сохранения момента, с учетом того, что спин излученного фотона равен 1.
Правило отбора для числа J: AJ = 0, ±1, но запрещен переход между двумя состояниями с J = 0. Правило отбора для числа тj: Amj = 0, ±1. Правило отбора для квантового числа S: AS = 0. Правило отбора для квантового числа L\ AL = 0, ±1, но запрещен переход между двумя состояниями с L = 0. В атомах с одним электроном в незаполненной оболочке переходы с AL = 0 запрещены.
Правило отбора для спинового числа связано с тем, что магнитное поле электромагнитной волны слабо взаимодействует с магнитным моментом электрона (воздействие на орбитальный момент определяется электрическими силами). Например, в атомах с двумя электронами наблюдаются независимые серии для состояний с S = 0 (синглетные термы) и для состояний с S = 1 (триплетные термы). В случае гелия при описании данных используют исторически возникшее представление о двух видах гелия: парагелий (S = 0) и ортогелий (S = 1).
► Характеристические рентгеновские спектры. При бомбардировке анода электронной лампы энергичными электронами (с энергиями ~ 102 4- 104 эВ) наблюдается рентгеновское излучение двух видов. Тормозное излучение связано с излучением рентгеновских квантов непосредственно электронами. Характерной особенностью этого излучения является коротковолновая граница спектра (см. раздел 5.7) и плавное распределение интенсивности излучения по спектру. На этом фоне выделяется ряд интенсивных узких линий характеристического излучения. Такое излучение возникает при выбивании электрона, принадлежащего одному из внутренних электронных слоев, после чего на
освободившееся место переходит электрон с более высокого слоя и излучается рентгеновский квант. Если выбивается один из двух электронов К-слоя, то для рентгеновских линий используются обозначения: Ка для перехода электрона из L-слоя, Кр для перехода электрона из М- слоя и т. д. Если выбивается электрон из L-слоя, то спектральные линии обозначаются L^ Lp и т. д.
Для электронов внутренних слоев поле ядра почти не экранировано. Поэтому, в отличие от электронов внешних слоев, энергия внутренних электронов должна сильно зависеть от порядкового номера ядра. Можно ожидать, что энергия этих электронных уровней должна описываться формулой для водородоподобных атомов, с поправкой на экранирование: Еп = R(Z — 5У/п2. Однако такой подход не дает хорошего описания экспериментальных фактов, и эмпирическую поправку на экранирование вносят прямо в формулу для спектральных линий. Например, для линии Ка получим
| = |r,(Z-,)=.
где экранировочная поправка а для легких атомов примерно равна единице. Этот закон был открыт в 1913 г. Мозли, который сформулировал его как закон линейной зависимости v^ Для частоты характеристической линии от порядкового номера Z. Закон Мозли позволил уточнить порядковые номера многих элементов в таблице Менделеева.
Поскольку рентгеновский спектр определяется внутренними оболочками атома, то он не зависит от того, является атом изолиованным или входит в состав молекулы или кристалла. Поэтому анализ состава вещества с помощью характеристических рентгеновских спектров обладает высокой универсальностью.
Аналогично оптическим рентгеновские спектры обладают тонкой структурой, вызванной расщеплением уровней энергии внутренних электронов. Однако в этом случае работает не нормальная LS-связь, a j j-связь. Например, электрон на L-слое может иметь I = 0, и тогда j = 1/2, или I = 1, и в этом случае возможны два варианта: j = 1/2 или j = 3/2. Следовательно, L-оболочка распадается на три линии, различие в энергиях которых определяется спин-орбитальным взаимодействием. /С-слой содержит только один уровень, М-слой — пять уровней и т. д. При анализе спектров надо учитывать правила отбора: А1 = ±1, Aj = 0, ±1. Например, Ка линия распадается на две линии: Kai и Ка^ переход с уровня с / = О отсутствует.
Изучение поглощения рентгеновского излучения позволяет непосредственно увидеть положение уровней энергии электронов на внутренних оболочках. При увеличении частоты коэффициент поглощения плавно убывает, но при частоте, равной ш^ = Е^Тц где Е; — энергия ионизации электрона с одного из внутренних уровней, наблюдается
резкое его возрастание, связанное с тем, что открывается дополнительный канал поглощения. В соответствии с вышесказанным наблюдаются один пик на энергии /С-слоя, три пика на энергии L-слоя, пять пиков на энергии М-слоя и т. д.
► Атом во внешнем магнитном поле. В достаточно слабых магнитных полях (В < 1 Тл) энергия взаимодействия электрона с магнитным полем мала по сравнением со спин-орбитальным взаимодействием, и магнитное расщепление термов мало по сравнением с расстоянием между термами мультиплета. В этом случае наблюдается елюзюний (аномалъний) эффект Зеемана, т. е. уровень энергии расщепляется на 2J + 1 подуровней с разными квантовыми числами тj, причем расстояние между подуровнями пропорционально величине магнитного поля и зависит от квантовых чисел L, S и J. Величина смещения подуровня выражается формулой АЕ = gjmjgBB, где gB ~ магнетон Бора, а
J(J + 1) + S(S + 1)-L(L + 1)
2J(J + 1)
называют фактором Ланде.
Сложный характер эффекта Зеемана в слабых полях объясняется ано
мальным значением спинового магнитного момента, для которого гиромагнитное отношение равно 2. В результате полный магнитный момент
р = — -—(L + 2S) оказывается не пропорционален полному моменту J. В векторной модели магнитный момент можно представить быстро вращающимся
вокруг сохраняющегося вектора полного момента, и в результате усреднения должна остаться только проекция магнитного момента на полный момент: _ т(^) _ е (L + 2S)(L + S) J2 _ 2mJ2 '
Выражая (LS) = |(J2 —L2 —S2) и заменяя J2 на J(J + 1), L2 на L(L + 1) и S2 на 8^8 + 1), получаем p,j = — ^—gjJ, где gj — фактор Ланде, выражение для которого приведено выше.
можетможетРис. 104Рис. 104251/2251/22Рз/22Рз/2Отметим, что даже при отличных от нуля S, L и J фактор Ланде в ноль (S = 3/2, L = 2, J = 1/2) и даже быть отрицательным (S = 5/2, L = 3, J = 1/2). mJ Эти эффекты являются чисто квантовыми 3/2 и не имеют классических аналогов.
может
может
Рис. 104
Рис. 104
251/2
251/2
2Рз/2
2Рз/2
1/2 Чтобы получить расщепление спек- -1/2 тральных линий в магнитном поле, надо -3/2 учесть правила отбора. Например, уровень 2 Р3/2 расщепится на 4 уровня с фактором 1/2 Ланде |, а синглетный уровень 2Si/2 — на -1/2 два уровня с фактором Ланде 2 (рис. 104), но будет наблюдаться не 8 линий, а 6, так
как переходы с mj = 3/2 на mj = —1/2 и с mj = —3/2 на mj = 1/2 запрещены правилом отбора Am j = 0, ±1.
Простой эффект Зеемана (расщепление одной линии на три) наблюдается при переходе между уровнями, у которых gi = g2 = g- В этом случае Aw = gAmjB/h^ где Amj = 0, ±1. Такая ситуация возникает не только при переходе между двумя синглетными уровнями (S = О, g = 1), но и в некоторых других случаях.
При помещении атома в сильное магнитное поле (когда магнитное расщепление термов гораздо больше расстояния между термами мультиплета) тонкую структуру уровней можно не учитывать, т. е. можно пренебречь спин-орбитальным взаимодействием. Уровень с квантовыми числами ть, ms смещается в магнитном поле на АЕ = р,вВ(ть + 2ms). Изменение частоты излучения составляет НАш = р,вВ(Ать + Атд\ С учетом правил отбора Атд = О, Ать = 0, ±1 получаем, что происходит расщепление каждой линии на три — две смещенных и одну несмещенную; следовательно, в сильном магнитном поле эффект Зеемана становится простым. Это явление носит название эффекта Пашена-Бака.
Элементы физики молекул
Молекулой называется связанное состояние электронейтральной системы, состоящей из ядер нескольких атомов и окружающих их электронов. Молекулы из двух атомов называются двухатомными, из трех и более атомов — многоатомными. Молекулу с недостаточным или избыточным числом электронов называют молекулярным ионом.
Мы ограничимся рассмотрением простейших двухатомных систем — молекулы водорода Н2 и молекулярного иона водорода HJ.
► Классификация движений и уровней энергии молекулы. Молекула, подобно атому, является микроскопической системой и обладает дискретными уровнями энергии, соответствующими ее основному и связанным возбужденным состояниям. Однако, в отличие от атома, кроме электронной энергии, отвечающей возможным состояниям электронов в поле неподвижных ядер, в молекуле существуют еще два вида движения: колебательное движение, связанное с изменением расстояния между ядрами, и вращение молекулы как целого относительно некоторой оси. Энергию молекулы (отсчитанную от основного состояния) можно считать равной сумме энергий, отвечающих указанным движениям:
Е = Еэл + Екол + Евр. (31)
Существует ярко выраженная иерархия этих энергий: Еэл )^> Екол )^> Евр. Еэл для внешних электронов порядка нескольких эВ, Екол порядка 10-2 эВ, Евр порядка 10-4 эВ. Отношение Е^ол/Еэл^ также как
и отношение Евр/Екол, по порядку величины равно у/m/М, где т — масса электрона, а М — масса ядер, т. е. для тяжелых молекул иерархия энергий усиливается.
В первом приближении все три энергии квантуются независимо, каждому из них соответствует своя система дискретных уровней. Энергетический спектр молекулы представляет собой совокупность далеко отстоящих электронных уровней, более близко расположенных колебательных уровней и еще более близких вращательных уровней. Система уровней схематически изображена на рисунке 105 для двух соседних электронных уровней, где буквами v и J обозначены колебательные и вращательные квантовые числа.
Волновая функция молекулы может быть представлена в виде произведения волновых функций трех видов движений. Каждая из этих функций, так же как соответствующие значения энергий, получаются решением соответствующих уравнений Шредингера. Сначала решают уравнение Шредингера для электронов при заданном расстоянии R между ядрами; эта энергия зависит от R как от параметра. Энергия взаимодействия между ядрами равна сумме электронной энергии и энергии кулоновского отталкивания ядер. Для одних электронных уровней эта энергия имеет вид потенциальной ямы (кривая а на рис. 106), для других (кривая Ь) — вид монотонной зависимости. Для первого случая связанное состояние существует, для второго отсутствует. Для основного электронного состояния энергия взаимодействия имеет вид потенциальной ямы, а глубина этой ямы имеет смысл энергии диссоциации молекулы. (Более точно, энергия диссоциации D меньше
глубины ямы на энергию нулевого колебательного уровня, отсчитанную от глубины ямы, которая равна Нш/2.)
После того, как рассчитана зависимость энергии взаимодействия между ядрами от расстояния R, решают задачу о колебаниях вблизи дна получившейся потенциальной ямы и о вращении молекулы с расстоянием между ядрами, равным среднему равновесному расстоянию Rq.
► Электронная энергия. Теория химической связи. Начнем со случая молекулярного иона Н^. Потенциал двух протонов для движения единственного электрона обладает в этом случае цилиндрической симметрией по отношению к оси молекулы, но не обладает сферической симметрией, свойственной атому водорода. В этом случае сохраняется проекция углового момента на ось молекулы, но модуль углового момента не сохраняется. Уровни энергии характеризуются значением модуля магнитного квантового числа т/, которое обозначают буквой А: А = \mi\ = 0,1,. . .. Состояния электрона с А = 0,1, 2,. . . обозначают буквами ст, тг, 5, ... и называют молекулярными орбиталями. С учетом спина сг-состояние дважды вырождено, а состояния с А > 0 вырождены четырехкратно. В сг-состоянии электронная плотность сосредоточена в области между ядрами, ядра притягиваются к электронному облаку и таким образом реализуется притяжение между ядрами, описываемое потенциальной ямой а на рис. 106 (при малых R преобладает отталкивание между ядрами). Энергия диссоциации HJ равна 2,65 эВ. Для тг-электронов электронная плотность имеет вид двух облаков, расположенных между ядрами симметрично относительно некоторой плоскости, проходящей через ось молекулы, причем в самой плоскости электронная плотность равна нулю.
В молекуле водорода химическая связь осуществляется не одним, а двумя электронами, которые притягиваются к ядрам, но отталкиваются друг от друга. Как для любых фермионов, волновая функция двух электронов должна менять знак при их перестановке. Если спиновая волновая функция симметрична по отношению к перестановке частиц (спины параллельны, т. е. S = 1), то координатная — антисимметрична, и наоборот. Меньшей энергией обладает состояние с антипараллельны- ми спинами (S = 0) и симметричной координатной волновой функцией. В этом состоянии достаточно велика вероятность пребывания электронов в пространстве между ядрами и ядра притягиваются к расположенному между ними электронному облаку.
Таким образом, химическая связь осуществляется двумя электронами с антипараллельными спинами. Зависимость потенциальной электростатической энергии от расстояния между ядрами имеет вид кривой а на рис. 106. Энергия диссоциации молекулы водорода равна 4,5 эВ; это меньше удвоенной энергии диссоциации молекулярного иона Н J вследствие электростатического отталкивания между электронами.
Для электронов с параллельными спинами зависимость энергии от расстояния между ядрами имеет вид кривой b на рис. 106, т. е. связанное состояние не образуется.
Такой механизм носит название ковалентной (гомеополярной) химической связи. Он осуществляется не только в молекуле водорода, но и любой парой внешних электронов сложных атомов, соединяющихся в молекулу. Для двухатомных молекул, состоящих из различных атомов, возможен другой механизм, который носит название ионной (гетерополярной) химической связи, когда один из атомов отдает часть внешних электронов другому атому, имеющему свободные места во внешней оболочке. В результате образуются два иона, которые на больших расстояниях притягиваются по закону Кулона, а при сближении на малые расстояния начинают отталкиваться. Возможны также промежуточные случаи между ковалентной и ионной связями.
Обменная энергия. Различие в энергиях симметричного и антисимметричного состояний имеет общий характер и является следствием так называемого обменного взаимодействия — чисто квантового явления, смысл которого сводится к следующему. Будем конструировать координатную волновую функцию двух электронов в поле двух ядер из одноэлектронных волновых функций 'фа^Гг) и фз^г^У Эта функция может быть как симметричной, так и антисимметричной (в зависимости от вида спиновой функции):
99(Г1,Г2) = -^= (фсЛ^'ФзМ ± VM^NHn)) •
Средняя потециальная энергия в этих состояниях равна
([/) = | ^UtpdPryd^ = |\фДг^2и\фз(г^2^^ ±
где U — потенциальная энергия взаимодействия электронов между собой и с ядрами. Первый член соответствует обычному классическому взаимодействию электронных облаков и ядер. Второй член называется обменной энергией, он отличен от нуля только в том случае, если волновые функции электронов перекрываются. В случае молекулы водорода обменная энергия отрицательна, и поэтому состояние с симметричной координатной волновой функцией имеет меньшую энергию.
Обменная энергия проявляется во многих квантовых системах, в частности, она отвечает за различие энергий синглетного и триплетного состояний электронов в атоме гелия.
Для приближенных расчетов химической связи обычно используют один из двух методов. В методе электронных пар в качестве исходных одночастичных волновых функций ^(г1) и ^(г2) используют атомные волновые функции электронов, локализованные возле первого и второго ядер. При сближении ядер волновые функции начинают перекрываться, обменная энергия возрастает и образуется связанное состояние. В методе молекулярных орбиталей электроны последовательно
заполняют свободные а, тг, 5 молекулярные состояния с различными спинами, образуя замкнутые электронные оболочки.
► Колебательные и вращательные спектры. Энергия взаимодействия между ядрами, приведенная на рис. 106, имеет минимум при R = Rq . Возле этой точки энергия может быть разложена в ряд и представлена в виде
U(R) = U(R0) + ^k(R-R0)2 + ...,
где k = d2U/dR2 |д_д — квазиупругая постоянная. Циклическая частота малых колебаний молекулы возле положения равновесия равна с^кол = V^//1’ гДе к1 = ^1^-2/(^И + ^2) ~ приведенная масса двухатомной молекулы. Квантовая механика дает для разрешенных значений энергии осциллятора значения
Е - U(R0) = 7гшКол(у + |), « = 0,1,2,....
При учете отброшенных членов в U(R), существенных при больших и, расстояние между уровнями начинает уменьшаться.
Вращательные уровни энергии молекулы получаются как собственные значениия оператора
Н = ^,(32)
где L — оператор углового момента, / — момент инерции молекулы относительно центра масс. Вращающуюся систему с постоянным моментом инерции, описываемую гамильтонианом (32), называют ротатором. Разрешенные значения энергии ротатора
7 2
Е =J = 0,l,2,....
Частоту излучения или поглощения получаем из соотношения
Нш = ДЕЭЛ + ДЕКОЛ + ДЕвр1(33)
где первый член соответствует переходу между различными электронными уровнями, второй — изменению колебательного состояния, а третий — изменению состояния вращения.
Если электронное состояние при переходе не меняется (ДЕЭЛ = 0), то наблюдается либо чисто вращательный спектр (если ДЕКОЛ = 0), либо колебательно-вращательный спектр. Для чисто вращательных и колебательно-вращательных переходов действуют правила отбора 5и = ±1, ДЛ = ±1.
8 А. И. Черноуцан
-^\
О
, .^кол.
^^кол ^вр^кол Т ^вр
Рис. 107Рис. 108
При чисто вращательных переходах (АЕЭЛ = 0 и АЕКОЛ = 0) изменение вращательной энергии равно
П2
АЕ^ = ЕУ + 1) - Е^ = у (J + 1).
Видно, что вращательные переходы образуют систему близких равноотстоящих спектральных линий cjBp, 2о;вр,. . ., где cjbp = №(1 (рис. 107). Вращательные линии могут быть разрешены только прибором с очень высокой разрешающей способностью, но обычно воспринимаются как сплошная полоса. Чисто вращательные переходы соответствуют поглощению в далекой инфракрасной области (сотни и тысячи мкм).
Колебательные переходы (при АЕЭЛ = 0) наблюдаются при поглощении в близкой инфракрасной области (несколько мкм). Так как при этом обычно АЕвр ^ 0, то наблюдается не линия, а колебательновращательная полоса. С учетом правил отбора получим
АЕКОЛ Т АЕвр — ^(^кол ± ^^вр), где и — 1,2,...,
т. е. расстояние между соседними линиями в центре полосы равно 2cjBp (рис. 108).
Учет ангармоничности колебаний приводит к усложнению характера колебательно-вращательных спектров. Кривая потенциальной энергии (рис. 106) при увеличении R — Ro становится несимметричной. Это приводит в первую очередь к смещению колебательных уровней — с увеличением и колебательные уровни сближаются. Кроме того, в состоянии с большим и
среднее расстояние между атомами оказывается больше, следовательно, момент инерции с увеличением и возрастает, а сивр уменьшается. Это приводит к тому, что линии в колебательно-вращательной полосе перестают быть равноотстоящими.
Если же ДЕЭЛ ^ 0, то наблюдаются электронные спектры испускания и поглощения в видимой и ультрафиолетовой областях. Каждому электронному переходу соответствует система колебательно-вращательных полос. В отличие от колебательно-вращательных переходов, при переходах с изменением электронного состояния правило отбора Ди = ±1 не выполняется, т. е. возможны переходы между уровнями с любыми значениями колебательных квантовых чисел. Следовательно, будет наблюдаться не одна колебательно-вращательная полоса, а серия полос, отстоящих друг от друга на щКол-
Отметим, что двухатомные молекулы с нулевым дипольным моментом (например, N2, О2) не обладают колебательно-вращательными спектрами. Именно поэтому такие молекулы не поглощают в инфракрасной (ИК) области спектра, и поглощение воздухом ИК излучения определяется наличием в нем молекул Н2О и СО2.
Глава 7
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ КРИСТАЛЛОВ
Несмотря на то, что законы квантовой механики действуют на атомных масштабах, они оказывают влияние и на макроскопические свойства газов, жидкостей и твердых тел. Квантовая механика и квантовая статистика — статистика тождественных частиц — позволили правильно и непротиворечиво описать тепловые, магнитные и многие другие свойства больших ансамблей частиц. Особое место здесь принадлежит квантовой теории кристаллов, позволившей снять ряд неразрешимых противоречий классической теории, количественно описать электромагнитные свойства разных классов веществ, дать объяснение сверхпроводимости и сверхтекучести и т. д.
Элементы квантовой статистики
Квантовая статистика изучает статистические свойства больших ансамблей тождественных частиц — фермионов и бозонов. Статистика классических частиц, т. е. частиц, отличимых друг от друга, называется статистикой Максвелла — Больцмана (см. раздел 2.5). Статистика фермионов, т. е. тождественных частиц, которые не могут занимать одинаковые состояния, называется статистикой Ферми — Дирака. Статистика бозонов, т. е. тождественных частиц, число которых в любом состоянии не ограничено, называется статистикой Бозе — Эйнштейна.
► Статистические распределения. Статистика каждого типа описывается своим статистическим распределением частиц по состояниям. Статистическое распределение показывает, какое среднее число частиц находится в данном состоянии при условии, что система пребывает в состоянии теплового равновесия. Важнейшее свойство всех распределений состоит в том, что они представляют собой функцию одного параметра —энергии частицы х): (N) = f(e).
В квантовой механике понятие состояния отдельной частицы можно считать вполне определенным, правда, при некоторых условиях. Чтобы уровни энергии были дискретными, система должна быть локализована в конечной области пространства. Обычно считают, что система заперта в ящике
г) Далее энергия одной частицы будет обозначаться е, а энергия системы Е.
достаточно большого объема V. Кроме того, понятие одночастичного состояния с определенной энергией предполагает отсутствие межчастичного взаимодействия. Можно обойти последнюю трудность с помощью введения самосогласованного внешнего поля, в которое включено усредненное поле остальных частиц.
Для ансамбля классических частиц вводят понятие элементарной ячейки фазового пространства. Фазовое пространство — это пространство трех координат и трех импульсов. В классической физике каждому состоянию соответствует одна точка фазового пространства. В этом случае элементарную ячейку, соответствующую одному состоянию, вводят для удобства статистического описания, и она может иметь произвольный (достаточно маленький) объем. В квантовой механике состояние частицы нельзя изображать точкой в фазовом пространстве, так как имеются неопределенности в ее положении и импульсе, связанные между собой соотношениями Гейзенберга АхАрж ^ Н и т. д. Видно, что отдельному состоянию должен соответствовать объем Ах Ay Az АржАру Ар z . Более точный анализ показывает, что объем элементарной ячейки равен (2тг/г)3. Чтобы узнать, сколько состояний содержится в конечной области фазового пространства, надо ее объем разделить на объем элементарной ячейки. Такой подход, в котором элементарный объем одного состояния для классической частицы выбирается из квантовых соображений, называется квазиклассическим.
► Микроскопические и макроскопические состояния. Статистический вес. Задать микроскопическое состояние (микросостояние) системы — значит определить в данный момент состояние всех ее частиц. В классической физике надо определить координаты и импульсы всех частиц, т. е. положение всех частиц в фазовом пространстве, в квазиклассическом рассмотрении — распределение частиц по элементарным ячейкам фазового пространства объемом (2тг/г)3, в квантовой механике — распределение частиц по состояниям с определенной энергией (для движения в самосогласованном поле). Для удобства изложения объединим два последних случая и будем называть состояния частиц с определенной энергией также ячейками. За счет взаимодействия между частицами и внешних воздействий микросостояние системы все время изменяется, и наблюдаемыми являются только усредненные характеристики, через которые определяется макросостояние.
Чтобы определить макросостояние количественно, разобъем всё множество ячеек на ящики. Каждый ящик содержит большое количество ячеек с очень близкими значениями энергии, лежащими в узком энергетическом интервале (е,е + Ае\ Обозначим число частиц в г-м ящике через ^. Будем считать, что макросостояние задается набором чисел N^ т. е. все микросостояния, обладающие одинаковым набором этих чисел, принадлежат к одному макросостоянию.
Без ограничения общности будем рассматривать систему частиц, заключенную в ящик с жесткими теплонепроницаемыми стенками, т. е. с фиксированной полной энергией. Почему без ограничения общности?
Нас будут интересовать в первую очередь свойства равновесного макросостояния, а в этом случае энергия большого ансамбля частиц определена с очень высокой степенью точности при любых внешних условиях. Например, для системы N частиц в термостате относительное отклонение от средней энергии составляет 1 / VN. Поясним это на примере идеального газа. Если средняя энергия одной частицы равна (в), а среднеквадратичное отклонение от средней энергии Se = ^((е — (е))2), то средняя энергия системы равна (Е^ = N^, а среднеквадратичное отклонение равно
Vo^W5 = = VE<(^-M)2> = Vnse
(мы учли, что отклонения энергий разных частиц от среднего независимы друг от друга).
► Основной постулат статистической физики для системы с фиксированной энергией гласит, что все доступные ей микросостояния (т. е. имеющие данное значение полной энергии) реализуются с одинаковой вероятностью. Этот постулат тесно связан с так называемой эргодической гипотезой, утверждающей, что в процессе своей эволюции во времени система проходит через все допустимые микросостояния.
Главный вывод из основного постулата следующий: большую часть времени система находится в тех макросостояниях, которым соответствует наибольшее число микросостояний. Число микросостояний, соответствующее данному макросостоянию, называется его статистическим весом и обозначается fL Макросостояние с максимальным Q называется равновесным. В соответствии с постулатом Больцмана (см. раздел 2.5) энтропия системы в данном макросостоянии связана с ее статистическим весом:
S = kXnf2.
Отклонения от равновесного состояния называются флуктуациями. Отметим, что в связи с огромным числом частиц в системе большие отклонения чрезвычайно маловероятны, т. е. практически наблюдаемыми являются лишь небольшие флуктуации. Если изначально система находилась в сильно неравновесном состоянии, то в процессе эволюции она должна переходить от макросостояний с меньшим статистическим весом (меньшей энтропией) к макросостоянием с большей энтропией, приближаясь к равновесному состоянию (второе начало термодинамики).
► Равновесное макросостояние. Чтобы определить, какое распределение частиц по ящикам {TVi, N^ . . .} является равновесным, надо вычислить £2(Ni, N2 . . .) или S/k = In 12 и найти максимум этого выражения (при условии ^ei^i = Е n^Ni = N\ Выражения для статистического веса и энтропии существенно различны для частиц с разным типом статистического поведения. Приведем выражения для статистического веса (gi обозначает число ячеек в г-м ящике):
для статистики Максвелла — Больцмана
для статистики Бозе — Эйнштейна
и для статистики Ферми — Дирака
л = п^
Равновесное состояние { А^}, соответствующее максимуму статистического веса при условии, что Е и N фиксированы, находится с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. (Надо найти максимум выражения (S/k) — а^2 N^ — P^eiNi, считая все N^ независимыми. Множители Лагранжа затем определяются из уравнений 52 А^ = N, ^ SiNi = Е.) Получаются следующие выражения: для статистики Максвелла — Больцмана
Ni = gie"ae-,3ei-
для статистики Бозе — Эйнштейна
и для статистики Ферми — Дирака
Среднее число частиц в одной ячейке получается делением этих выражений на gi.
Физический смысл множителей а и 3 можно выяснить из термодинамических соображений. Условие максимума выражения (8/к) — aN — ЗЕ запишем в виде TdS/kT — ^dE — adN = О и сравним с термодинамическим тождеством ТdS — dU — pdN = О, верным для изменений состояния при постоянном объеме. Получим 3 = 1/kT, а = р/кТ, где р, — химический потенциал.
Окончательно квантовые распределения принимают вид: Распределение Бозе — Эйнштейна;
w = Me) = ^кт_^(1)
Распределение Ферми — Дирака*.
Химический потенциал р, для системы с фиксированным числом частиц N вычисляется из уравнения
N = ^gif^iY
где f(£i) — соответствующее распределение (Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака). Если же число частиц в системе не фиксировано, то химический потенциал надо положить равным нулю.
При е — р, ^ кТ оба квантовых распределения переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана
(W) = Ае~е/кТ.(3)
Это связано с тем, что среднее число частиц в ячейке мало, и правила запрета и тождественность частиц становятся несущественными.
Обычно наименьшее возможное значение энергии (энергия низшего уровня) принимается равным нулю.
► Свойства распределения Бозе — Эйнштейна.
Химический потенциал бозонов не может быть положительным: р < 0.
При Т —> 0 химический потенциал стремится к нулю, и при Т = 0 равен нулю.
При Т = 0 все частицы находятся в низшем энергетическом состоянии при е = 0. При температурах конечных, но достаточно маленьких в низшем энергетическом состоянии находится конечная доля всех частиц. Это явление называется бозе — эйнштейновской конденсацией, а ансамбль макроскопического числа частиц в низшем состоянии — бозе — эйнштейновским конденсатом. Конденсация бозонов начинается при некоторой критической температуре (температуре конденсации). Это явление играет важную роль для объяснения таких явлений как сверхтекучесть и сверхпроводимость.
Примером распределения Бозе — Эйнштейна является формула Планка для распределения фотонов по энергиям (раздел 5.6). Число фотонов не фиксировано, поэтому р = 0.
► Свойства распределения Ферми — Дирака.
Химический потенциал ферми-газа может быть как положительным, так и отрицательным. При низких температурах химический потенциал положителен. Химический потенциал газа фермионов при Т = 0 называют энергией Ферми и обозначают Ер.
При Т = О зависимость среднего числа частиц в ячейке (N) от энергии имеет вид резкой ступеньки: для е < Ер ячейки заполнены частицами ((7V) = /г(^) = 1)? а для е > Ер ячейки свободны (Jf(e) = 0).
При низких температурах (кТ ^ Ер) зависимость fp(s) имеет вид сглаженной ступеньки (рис. 109). Ширина размытия по порядку величины равна кТ. При е = р, среднее число частиц равно 1/2. Распределение частиц по энергиям при кТ ^ Ер радикально отличается от классического, в этом случае газ называют вырожденным. При кТ ^ Ер газ фермионов почти не отличается от классического.
Более конкретные свойства зависят от физических свойств рассматриваемой системы, в первую очередь от вида функции G(e), характеризующей количество состояний Ag^ приходящихся на узкий интервал энергий Де в расчете на единицу объема:
= С^Де. (4)
Эту функцию называют энергетической плотностью состол-
ансамбля бозонов или фермионовансамбля бозонов или фермионовn = ^ = J f^G^deОn = ^ = J f^G^deО(5)(5)ний или просто плотностью состояний (сравните с разделом 5.6). Через плотность состояний выражаются, например, число частиц в единице объема:
ансамбля бозонов или фермионов
ансамбля бозонов или фермионов
n = ^ = J f^G^de
О
n = ^ = J f^G^de
О
(5)
(5)
и энергия частиц в единице объема:
(6)(6)/ = | f^eG^de.
(6)
(6)
О
7.2. Электронный газ в металле
Классическая электронная теория проводимости металлов исходила из представления, что электроны в металле можно рассматривать как классический идеальный газ (раздел 3.9). Одна из главных трудностей, с которыми столкнулась эта теория, состояла в том, что она предсказывала электронный вклад в теплоемкость равным теп- 3
лоемкости одноатомного идеального газа Сэл = ^N, где N — число свободных электронов. Именно на такую величину должны были
бы отличаться теплоемкости металла и диэлектрика с аналогичными кристаллическими решетками. Однако эксперимент показал, что электронная теплоемкость при комнатных температурах много меньше kN (примерно в 100 раз) и изменяется пропорционально температуре. Эти и некоторые другие факты находят свое естественное объяснение в теории Зоммерфельда, которая рассматривает электроны в металле как квантовый газ фермионов.
► Плотность состояний электронного газа. Будем считать, что внутри металла электроны свободны и что работа выхода электронов из металла равна бесконечности, т. е. рассматривать их как частицы в потенциальной яме с бесконечными стенками. Граничные условия для волновых функций фх = Л8ш&жж имеют вид kxLx = тгп, где Lx — размер потенциальной ямы (т. е. размер образца металла) вдоль оси ж, кх — проекция волнового вектора, связанного с импульсом электрона соотношением к = р//1, п — целое положительное число (см. раздел 6.2). Граничные условия для волнового вектора тождественно совпадают с теми, которые возникают при рассмотрении электромагнитных колебаний в замкнутой полости (раздел 5.6). Поэтому плотность состояний в этом случае имеет такой же вид:
dg к2dkV = 7 2тг2 ’
где V — объем сосуда, а 7 — множитель, учитывающий внутренние степени свободы. В случае электронов 7 = 2 учитывает две возможные проекции спина. Для перехода к импульсу электронов надо заменить к2 dk на р2 dp / кт? \
dg _ р2 dpV ” PF’
Перепишем эту формулу в виде
Видно, что для определения числа состояний надо объем фазового пространства разделить на объем элементарной ячейки (2тг/г)3.
Для перехода к энергии е = р2/2т надо заменить р = V^ms, р dp = т de:
dg _ mV2my/s dsx _ mV2mp
ТГ —2Т31—2Т3*
V7Г Л7Г Л
► Энергия Ферми электронов. При Т = 0 заполнены все уровни энергии от нуля до е = Ер - Чтобы связать энергию Ферми с концентрацией электронов п, надо выразить полное число электронов в единице
объема и приравнять к концентрации
G(s) dE =G(s) dE =(2m)3/24/237Г2Л3(2m)3/24/237Г2Л3= п.= п.
G(s) dE =
G(s) dE =
(2m)3/24/2
37Г2Л3
(2m)3/24/2
37Г2Л3
= п.
= п.
Выразим отсюда энергию Ферми:
Й2(Зтг2п)2/3Ер = Й2(Зтг2п)2/3Ер = 2m2m(7)(7)
Й2(Зтг2п)2/3
Ер =
Й2(Зтг2п)2/3
Ер =
2m
2m
(7)
(7)
Импульс электронов с энергией Ферми определяется соотношением Ef = p^pf^m и равен
Рр = ^(Зтг2/!)1/3.(8)
Поверхность в импульсном пространстве, образуемая состояниями с е = Ер, называется поверхностью Ферми. В случае свободных электронов поверхность Ферми представляет собой сферу радиусом рр.
Плотность уровней на поверхности Ферми равна
х dn 3 nG^f) = — = x — •def2 ef
Средняя энергия электронов при Т = 0 равна
3-Ер.3-Ер.
3
-Ер.
3
-Ер.
При Т > 0 химический потенциал р надо находить из уравнения
П = | Jp(e)G(e) dE.
о
При повышении температуры р постепенно уменьшается, но при кТ ^ Ер отличается от Ер весьма незначительно (\р — £р\/ер ~ ~ \_kTfEpYY При некоторой температуре То (кТо « Ер химический потенциал обращается в ноль, а при больших температурах р < О (см. рис. 109 , химический потенциал находится по графику, при е = р
Для удобства определения температурной области, в которой газ электронов является вырожденным, вводят температуру Ферми, определяя ее соотношением кТр = Ер. При Т <С Тр газ электронов является вырожденным. Для большинства металлов Тр составляет несколько десятков тысяч градусов, т. е. при комнатных температурах газ электронов в металлах является сильно вырожденным.
► Электронная теплоемкость металлов. В случае сильно вырожденного газа в тепловом движении участвуют только электроны, энергия которых отличается от энергии Ферми на величину порядка кТ. Только такие электроны могут перейти в свободное состояние с энергией, большей Ер. Доля таких электронов ~ кТ/Ер = Т/Тр, изменение их энергии ~ кТ. Следовательно, при повышении температуры от нуля до Т энергия вырожденного электронного газа возрастает на ~ к NT2/Тр, а вклад электронов в теплоемкость Cei ~ kN(T/Тр) изменяется пропорционально температуре. (Точный расчет дает выражение Се1 = (тг2/2)£ЛДТ/Т/Д.) Число свободных электронов, приходящихся на один моль металла, зависит от валентности; например, в случае одновалентного металла N ~ Nx.
Электропроводность и теплопроводность металлов. Теория переноса дает следующие выражения для коэффициентов электропроводности (раздел 3.9) и электронной теплопроводности (раздел 2.9):
Tie А
О- = Х=-Се1^)Л.
m3
Здесь А — длина свободного пробега, Cei — теплоемкость электронов в единице объема металла. В столкновениях с ионами принимают участие только электроны, находящиеся вблизи поверхности Ферми, поэтому (и) to up = рр(m^ т.е. средняя скорость почти не зависит от температуры. Тем не менее закон Видемана — Франца остается верным: отношение х)а ~ ^и^ Сei(ть для металлов оказывается линейной функцией температуры. Однако в отличие от классического электронного газа, где Cei/n от температуры не зависит, a (и)2 ~ ^ 7 . в теории Зоммерфельда линейная зависимость от температуры определяется электронной теплоемкостью.
Теория Зоммерфельда не может объяснить зависимость электропроводности чистых металлов от температуры, так как в этой теории, как и в теории Друде классического электронного газа, длина свободного пробега является чисто эмпирическим параметром. Зависимость длины свободного пробега от температуры объясняется в теории, учитывающей периодичность поля кристаллической решетки и взаимодействие электронов с тепловыми колебаниями решетки (с фононами).
Формула Ричардсона — Дэшмана. Теория Зоммерфельда позволяет объяснить температурную зависимость тока термоэлектронной эмиссии с поверхности металла. Поверхность металла могут покинуть только те электроны, для которых p^J^m > Ер + А, где А — работа выхода электрона из металла (ось z перпендикулярна к поверхности). Опуская вычисления, приведем ответ
3 = ст2 ^-А/кТ\
7 2
) — постоянная, одинаковая для всех) — постоянная, одинаковая для всехтек . „„ л о гДе с == 120 А/(м "к
) — постоянная, одинаковая для всех
) — постоянная, одинаковая для всех
металлов.
Теплоемкость кристаллической решетки.
Фононы
► Закон Дюлонга и Пти. Классическая статистическая физика предсказывает, что вклад колебаний кристаллической решетки в молярную теплоемкость должен быть равен ЗЯ. Действительно, каждый атом решетки может совершать три независимых колебания около положения равновесия, а каждой колебательной степени свободы соответствует средняя энергия кТ. Энергия колебаний всех атомов равна 3NkT = 3vRT, и молярная теплоемкость решетки должна не зависеть от температуры и равняться 3R. Действительно, молярная теплоемкость многих диэлектриков при комнатной температуре оказывается близкой к 3R (закон Дюлонга и Пти). Однако при уменьшении температуры во всех случаях наблюдается существенное уменьшение теплоемкости, и при низких температурах она стремится к нулю как Т3. Объяснение такому поведению решеточной теплоемкости дает квантовая теория.
Теория Эйнштейна. Эйнштейн рассматривал колебания атомов в узлах кристаллической решетки как 3N независимых друг от друга одинаковых квантовых осцилляторов. Средняя энергия такого осциллятора равна (см. раздел 5.6)
(9)
При кТ ^ hw молярная теплоемкость системы квантовых осцилляторов равна 3R, а при Т —> 0 экспоненциально стремится к нулю. Теория Эйнштейна объяснила уменьшение теплоемкости при понижении температуры, но не по закону Т3.
Упругие волны. Трудности теории Эйнштейна связаны с тем, что в качестве элементарных возбуждений (нормальных колебательных мод) рассматривались упругие колебания невзаимодействующих осцилляторов одинаковой частоты. На самом деле благодаря взаимодействию между соседними атомами в кристалле распространяются упругие волны различных частот и длин волн. Элементарные возбуждения представляют собой волны с определенными значениями частоты ш и волнового вектора к. Для подсчета числа колебаний с различными энергиями удобно перейти к рассмотрению стоячих волн, для которых атомы на границе кристалла считаются неподвижными. Средняя энергия, приходящаяся на одну волну с частотой ш^ дается формулой (9).
Чтобы рассчитать число различных волн в интервале d со, надо решить две задачи:
Найти число независимых колебаний, приходящихся на элемент объема d3k в пространстве волновых векторов. Эта задача решается исходя из граничных условий. Общее число независимых колебаний должно быть равно числу степеней свободы 3N.
Найти закон дисперсии, т. е. зависимость си (к). Для решения этой задачи надо записать уравнения движения отдельных атомов с учетом их взаимодействия с соседними атомами. Теоретический расчет возможен только в рамках достаточно простых моделей, однако для общего случая удается установить некоторые важные закономерности.
Для длин волн, больших по сравнению с межатомными расстояниями (ka <( 1), хорошо работает континуальное приближение, в котором среду можно считать сплошной. В этом случае уравнения движения частиц сводятся к волновому уравнению, и закон дисперсии для звуковых волн имеет вид:
со = ик, (10)
где и — скорость распространения звуковой волны (для простоты мы пренебрегаем различием между продольными и поперечными волнами). Плотность состояний для звуковых волн в /^-пространстве рассчитывается так же, как и для электромагнитных волн (раздел 5.6):
dg k^dk
V 2тг2 " U
Множитель 7 в случае звуковых волн равен трем, он учитывает наличие двух продольных волн и одной поперечной. Основной вклад в энергию дают волны с био ~ квТ, где кв — постоянная Больцмана (вероятность образования волны с huo ^ квТ экспоненциально мала); следовательно, вклад звуковых волн (для которых ка <С 1 или ио <^i и/а) будет основным при условии квТ <^ hv/a, т. е. при достаточно низких температурах. Наоборот, при высоких температурах вклад в энергию от каждой элементарной волны равен квТ, и энергия определяется только общим числом степеней свободы.
► Теория Дебая. Чтобы получить правильное значение теплоемкости как при высоких, так и при низких температурах в рамках простой модели, Дебай предположил, что закон дисперсии (10) и плотность состояний (11) верны для всех к вплоть до некоторого максимального значения ко и соответствующей частоты со о. выше которых плотность состояний обращается в ноль. Дебаевская частота ио о выбирается таким образом, чтобы полное число состояний равнялось 3N, что обеспечивает выполнение закона Дюлонга и Пти при высоких температурах.
Плотность числа состояний в модели Дебая имеет вид:
G(w) dw = <G(w) dw = <3 w2dw-,2“з“ 12тг и3 w2dw-,2“з“ 12тг ипри Ш < LODiпри Ш < LODi
G(w) dw = <
G(w) dw = <
3 w2dw-,
2“з“ 1
2тг и
3 w2dw-,
2“з“ 1
2тг и
при Ш < LODi
при Ш < LODi
при Ш > Шр-
Чтобы учесть различие между поперечными и продольными волнами, 3/ 12 \
можно определить среднюю скорость соотношением — = ( — Н—д- ).
Дебаевскую частоту найдем из уравнения
Получаем
(12)
Энергия колебаний решетки в модели Дебая дается выражением
СЭ D
^кр^крhwG(w) dw
^кр
^кр
^Нш/к^Т _ ।
О
Чтобы разделить области высоких и низких температур, удобно ввести температуру Дебая с помощью соотношения
к^Тп = Hwd-(13)
ж dx еж - Гж dx еж - ГВводя безразмерную переменную ж = Нш(кДД получим То/Т ~ EKp = 9NkBTD(^V
ж dx еж - Г
ж dx еж - Г
При Т ^ Тр, раскладывая экспоненту, получим EKp = 3kbNT = ЗпЯТ^ т. е. закон Дюлонга и Пти. При Т <^ То интегрирование можно распространить до бесконечности, и он становится равным тг4/15. Получаем, что энергия колебаний кристаллической решетки пропорциональна Т4, а для теплоемкости получаем закон Т3:
л / т \ 3Cv = ^Ч^^ДЛ .
5 \TD/
Пример 1. Вычислите энергию нулевых колебаний кристаллической решетки в модели Дебая.
Решение. Эта энергия равна шпTD/T
Ео= -hwG(w)dw = -NkBTD = NkBTD( — )-—.
J 28\TD / J еж - 1
оо
Пример 2. Вычислите энергию колебаний одномерной кристаллической решетки в модели Дебая (только для продольных колебаний).
Решение. Для плотности состояний получим
G(co) dw = <
' dw т
—при w < wd;
7VV
0,при Ш > WD,
где L — длина цепочки. Поскольку полное число состояний равно N, то
= —
Для энергии кристалла получаем
си D
[ HwG(w) dw
= J еПШ/квТ _ х •
о
При Т <^Td энергия колебаний пропорциональна Т2.
► Одномерная цепочка. Закон дисперсии. Чтобы понять, к ка
ким последствиям приводит дискретность в распределении массы, рассмотрим бесконечно длинную цепочку атомов. Пусть масса атома
т, расстояние между соседними атомами в состоянии равновесия а, между соседними атомами действует упругая сила с жесткостью х.
Первая зона БриллюэнаПервая зона БриллюэнаРис. ПОРис. ПОУравнение движения s-ro атома имеет вид
Первая зона Бриллюэна
Первая зона Бриллюэна
Рис. ПО
Рис. ПО
W = Wo(6+1 -2^+^-х),
w = 2w0|sin^|.(15)w = 2w0|sin^|.(15)где ^8 — смещение s-ro атома из положения равновесия, с^о = Vx/m. Будем искать решение в виде ^8 = Дехр[г(^5а — си^)]. Для связи между ш и к получим соотношение:
w = 2w0|sin^|.(15)
w = 2w0|sin^|.(15)
Скорость звуковой волны (ка <^ 1)
равна и = cJo^5 а соответствующая этой скорости дебаевская частота равна тгс^о = тг/2сцтах (с^тах = 2ц7о)- Отметим, что мы получили периодическую функцию с периодом 2тг/а (рис. ПО).
► Первая зона Бриллюэна. Выясним, какие значения к соответствуют физически различным состояниям. Если рассмотреть значения волнового вектора, отличающиеся на ^п/а: к' = к + 2тгт7/а, то мы получим не только одинаковые значения ш, нои тождественные функции: ^(к') = £8(к) • exp(27rzns) = £s(k). Следовательно, все физически различимые состояния описываются волновыми векторами, лежащими в интервале {—тт/а < к ^ тг/а). Этот интервал носит название первой зоны Бриллюэна.
На границе зоны бегущая волна превращается в стоячую:
Лехр[г( — as — wf)] = А ехр(—itot)(—l)s. Соседние атомы колеблются в противофазе, узлы волны находятся между атомами. Отметим, что на границе зоны обращается в ноль групповая скорость волны:
dwк а а / ?м
Vg = ~dk == 2 V ^тах *>U6)
где с^тах = ^шд — значение частоты на границе зоны Бриллюэна.
► Число состояний в зоне Бриллюэна. Введем дискретность значений к с помощью периодических граничных условий: £s = ^s+yv, re N — число атомов в цепочке. Получаем следующие значения к: О, 2тг 4тг N тг
* * * ’ —/Д' где = ^а — длина образца. В зоне Бриллюэна помещается ровно N различных значений к, т. е. в рамках зоны Бриллюэна исчерпываются все степени свободы (мы рассматривали только продольные волны).
Число состояний в расчете на единичный интервал к (плотность состояний) равно G(k) = L/2?r. В одномерной модели Дебая плотность состояний О(ш) также постоянна: О(ш) = 2G(k)/u, где и = шда — скорость волны при ш —> 0. (Дебаевская частота в этом случае равна Шо = (1г/а)и = ТГ^о = (7r/2)cJmax, см. рис.110 ). Однако если исходить из закона дисперсии (15), то получим
хL dk , L dw
G\w\ dw = 2-—— dw =.
2тг dw тг Ug
С помощью (15) и (16) получим
= Д(штах ~ W2) 1/2‘
На границе зоны Бриллюэна плотность состояний G(w) обращается в бесконечность.
► Двухатомная цепочка. Оптические ветви. Если элементарная
кроме звуковых вет-кроме звуковых вет-Рис. 111Рис. 111р различных атомов,р различных атомов,ячейка содержит несколько разных атомов, то вей, для которых w ~ к при к —> 0, появляются оптические ветви, на которых w остается конечной для всех к в зоне Бриллюэна. Например, для продольных колебаний в цепочке из чередующихся атомов массами mi и m2 получаются две ветви, изображенные на рис. 111. При малых к (вблизи центра зоны) звуковая ветвь соответствует отклонениям разных атомов в одном направлении, а оптическая ветвь — отклонениям в противоположные стороны. В общем случае, когда ячейка содержит имеется 3 звуковых ветви и Зр — 3 оптических.
кроме звуковых вет-
кроме звуковых вет-
Рис. 111
Рис. 111
р различных атомов,
р различных атомов,
► Фононы. Подобно тому, как колебаниям электромагнитного поля и электромагнитным волнам соответствуют квантовые частицы — фотоны, так и элементарным колебаниям решетки в виде бегущих волн ставят в соответствие частицы, импульс и энергия которых связаны с волновым вектором и частотой соотношениями р = hk и е = Нш. Эти частицы называют фононами. Поскольку энергия фононов является периодической функцией их импульса, что не характерно для обычных частиц, то их принято называть квазичастицами, а вместо импульса используют термин квазиимпульс. Фононы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна с ц = 0, поскольку число фононов в системе не является фиксированным. Фононы могут рассеиваться на примесях и дефектах кристалла, а также взаимодействовать с другими частицами, например, с электронами и фотонами. Фонон может также распасться на два фонона (за счет нелинейных эффектов, которые надо учитывать только для достаточно энергичных фононов).
Во всех этих процессах выполняются законы сохранения энергии и импульса. Нетривиальной особенностью фононов является то, что в конечном состоянии в законе сохранения импульса может присутствовать фонон не в первой зоне Бриллюэна. Если перейти к соответствующему фонону из первой зоны, то в законе сохранения импульса возникает дополнительный импульс //G. описывающий сдвиг этой зоны Бриллюэна по отношению к первой. Этот импульс соответствует движению кристалла как целого (которое невозможно обнаружить экспериментально, так как масса кристалла очень велика). Например, в одномерном случае G = ^п/а, что соответствует одинаковому смещению всех узлов решетки.
Процессы рассеяния фононов определяют их длину свободного пробега, через которую выражается фононная теплопроводность:
^ph = ^GcpXp^V,
где ССТ ~ Т3 — объемная теплоемкость решетки, и — скорость звука. С ростом температуры длина свободного пробега быстро уменьшается.
7.4. Электроны в периодическом поле.
Энергетические зоны
В рамках теории Зоммерфельда, в которой электроны в металле рассматриваются как свободный газ фермионов, удается объяснить некоторые факты, в первую очередь поведение электронной теплоемкости. Однако многие явления не находят в этой теории объяснения. Это в первую очередь вопрос о происхождении металлов, полупроводников
Рис. 112
и диэлектриков и описание их свойств. Для выяснения этих вопросов необходимо учесть взаимодействие электронов с кристаллической решеткой, образующей для электронов периодическое внешнее поле. Взаимодействие электронов с периодическим полем решетки приводит к появлению в их спектре разрешенных энергетических зон, разделенных между собой запрещенными зонами, т. е. интервалами энергии, в которых нет электронных уровней. Существование кристаллов различного типа соответствует различному характеру заполнения энергетических зон электронами.
► Происхождение зон из атомных уровней. Проследим за поведением электронных уровней энергии при постепенном образовании кристалла из изолированных атомов. Пусть вначале N атомов находятся на таком расстоянии друг от друга, что волновые функции электронов не перекрываются. В этом случае каждый невырожденный уровень отдельного атома можно в системе N атомов считать TV-кратно вырожденным, если же атомный уровень имеет вырождение р, то в системе N атомов его вырождение будет равно pN. Начнем сближать атомы до расстояния, соответствующего равновесному кристаллу. В результате взаимодействия между перекрывающимися электронными облаками, относящимися к отдельным атомам, из одного уровня возникнет N очень близко расположенных уровней, заключенных в полосе шириной ДЕ (рис. 112). Ширина полосы определяется энергией взаимодействия между соответствующими электронами соседних атомов, она не зависит от числа атомов. Для внешних оболочек взаимодействие сильное (волновые функции существенно перекрываются), и ширина полосы большая, для внутренних оболочек ширина маленькая. Число уровней в каждой полосе столь велико, что спектр можно считать непрерывным. Такие энергетические полосы называют разрешенными зонами, а имеющиеся между полосами интервалы энергии, в которых отсутствуют электронные уровни — запрещенными зонами.
Рис. 113
► Классификация кристаллов. Определяющую роль для типа проводимости кристалла имеет характер заполнения электронами (при Т = 0) верхней разрешенной зоны (выше которой все разрешенные зоны пустые). Зоны, лежащие ниже верхней, полностью заполнены электронами. Электроны в этих зонах при Т = 0 не могут принимать участия в проводимости, поскольку отсутствуют свободные состояния, куда они могли бы перемещаться при включении внешнего поля. Верхняя зона, происходящая из внешней атомной оболочки, может быть заполнена электронами либо частично, либо полностью. Если эта зона заполнена частично, то кристалл является металлом (или полуметаллом, если число электронов в этой зоне очень мало). Эту зону называют зоной проводимости. Энергия Ферми металла находится внутри зоны проводимости, электроны, находящиеся в этой зоне, образуют множество свободных носителей, принимающих участие в проводимости при любой, сколь угодно низкой температуре. Свойства этих электронов имеют много общего с электронным газом в модели Зоммерфельда (если энергию отсчитывать от нижней границы зоны), но есть и важные различия, которые мы обсудим ниже.
Атомы щелочных металлов содержат во внешней s-оболочке два электронных состояния (соответствующих разным проекциям спина), только одно из которых занято электроном. Поэтому зона проводимости содержит 2/V свободных мест, только половина из которых заполнена (см. рис. 112 для лития). У редкоземельных металлов оба s-состояния внешней оболочки заняты электронами, но проявляется другой механизм образования незаполненной зоны: полоса энергий, происходящая из s-оболочки и содержащая 2N мест, перекрывается с полосой, происходящей из р-оболочки, которая содержит 6N мест. Образованная таким образом разрешенная зона содержит 8N мест, из которых только 2N заполнены электронами (см. рис. 113 для бериллия).
Если верхняя зона при Т = 0 полностью заполнена электронами, то при Т = 0 кристалл является диэлектриком. При Т > 0 прово-
димость такого кристалла определяется шириной ДЕ запрещенной зоны, лежащей между заполненной зоной (ее называют валентной зоной) и ближайшей свободной зоной (которую в этом случае называют зоной проводимости). За счет теплового движения электроны могут переходить из валентной зоны в зону проводимости. При к^Т <С <С ДЕ концентрация электронов в зоне проводимости экспоненциально мала (~ ехр(—ДЕ / к^Т)). При к^Т ~ ДЕ концентрация электронов в зоне проводимости становится заметной и быстро возрастает с ростом температуры (проводимость становится заметной уже при к^Т ~ ~ ОДДЕ). В этой области температур кристалл ведет себя как чистый полупроводник. Обычно полупроводниками называют кристаллы, проводимость которых становится заметной при комнатной температуре.
Одновременно с появлением отрицательных носителей заряда — электронов в зоне проводимости, в чистом полупроводнике возникает такое же количество положительных носителей — вакантных мест в валентной зоне, которые называют дырками.
Проводимость чистых полупроводников, связанную с появлением одинакового количества электронов и дырок, называют собственной. Добавление примесей приводит к нарушению симметрии между положительными и отрицательными зарядами. При добавлении примеси, валентность атомов которой выше, чем валентность атомов кристалла, возникают избыточные электроны, которые слабо связаны с атомами примеси и становятся свободными при температурах, при которых переходы между зонами еще отсутствуют. Этим избыточным электронам соответствуют донорные уровни, расположенные в запрещенной зоне вблизи нижней границы зоны проводимости. Электроны с этих уровней переходят в зону проводимости, а поскольку в валентной зоне при этом не образуются вакансии, проводимость в этой области температур осуществляется преимущественно электронами. Такие примесные полупроводники называют полупроводниками п-типа. В полупроводниках p-типа валентность примеси меньше, чем валентность атомов кристалла, что приводит к появлению вакантных позиций, переход электронов на которые начинается при достаточно низких температурах. Этим вакансиям соответствуют пустые уровни энергии (акцепторные уровни), расположенные вблизи верхней границы валентной зоны. Переход на эти уровни электронов валентной зоны приводит к образованию дырок без появления электронов в зоне проводимости.
Хотя для обозначения зон уместно использовать квантовые числа отдельного атома, состояние электрона внутри разрешенной зоны описывается совсем другим квантовым числом — квазиимпульсом, которое изменяется квазинепрерывно и отражает трансляционные свойства уравнения Шредингера и волновой функции.
► Волны Блоха. Квазиимпульс электрона. Волновая функция стационарного состояния электрона в бесконечно протяженном периодическом потенциале может быть записана в виде
= (17)
где у?(г) — периодическая функция координат (с такими же периодическими свойствами, что и потенциальная энергия электрона). Это утверждение носит название теоремы Блоха, а вектор hk называют квазиимпульсом электрона. Векторы к и р для электрона в кристалле в некотором смысле аналогичны волновому вектору и импульсу свободного электрона в модели Зоммерфельда. Поясним теорему Блоха и смысл этих понятий в одномерном случае.
Пусть период одномерной решетки равен а, такой же периодичностью будет обладать потенциальная энергия электрона: U^x + а) = U(x). Легко убедиться в том, что если ^(x) — решение стационарного уравнения Шредингера, то ^(х + а) также является решением этого уравнения. Следовательно, ^{х + па) = Т^па^^х), причем дискретная функция Т(х) (определяемая при х = па) обладает следующими свойствами: |T(na)| = 1, Т(па) = [Т(а)]п. Получаем Т(х) = егкж, а функция ф^х) = е-гкас,ф(х) является периодической функцией х: ф^х + а) = ф(х).
Для каждого заданного значения к из уравнения Шредингера для ф(х) получается дифференциальное уравнение второго порядка для Ф^х) с граничным условием ф^а) = ^(0). Это уравнение имеет решение только при дискретных значениях Еп(к). Если перейти от к к к’ = к + 2тг/а, то получим такое же уравнение для ф^х) и такие же значения энергии Е^ как для числа к. Вывод: энергия является периодической функцией к с периодом G = 2тг/а, и волновые функции для значений к, отличающихся на G. идентичны. Следовательно, можно привести все электронные состояния к первой зоне Бриллюэна. На краях зоны находятся экстремумы (минимумы или максимумы) Е(к), что обеспечивает непрерывность и гладкость этой функции при переходе из зоны в зону (рис. 114). В центре зоны (при к = 0) также обычно находится экстремум Е(к).
Обсуждавшееся выше деление кристаллов на металлы и диэлектрики (при Т = 0) хорошо поясняется зависимостью Е(к) в рамках зоны Бриллюэна (рис. 114). Левый рисунок соответствует диэлектрику, средний — металлу (или полуметаллу) в случае перекрытия зон, правый — металлу в случае частично заполненной зоны.
► Число состояний в зоне Бриллюэна. При изменении к в пределах первой зоны Бриллюэна энергия n-го уровня Еп(к) изменяется в пределах п-й разрешенной зоны. Если учесть конечность кристалла (с помощью, например, периодических граничных условий), то в рамках первой зоны Бриллюэна к принимает N значений:
О, zE2?r/L, zE4?r/L . . ., тг/а, где L = Na. Следовательно, n-я зона содержит N уровней En(ki). С учетом спина получим 2N электронных состояний.
► Динамика электрона в кристалле. Энергетический спектр электронов в верхних зонах (валентной зоне и зоне проводимости) несет в себе информацию о взаимодействии электронов с кристаллической решеткой. Если использовать этот спектр при вычислении групповой скорости электрона
dw1 dede
Vg = -ТГ =
ё dkЬ dkdp
то можно записать уравнения движения в форме, учитывающей действие на электроны только внешних сил. Это уравнение имеет вид обычного закона Ньютона
^ = Г,(19)
где F — внешняя сила (не учитывающая взаимодействие с решеткой), ар — квазиимпульс электрона.
Для пояснения приведем выражение для скорости изменения энергии электрона
dede dp dp
dtdp dt6 dt
которая должна быть равна мощности внешней силы Fug.
В качестве примера применения уравнений движения (18) и (19) рассмотрим поведение электрона, который находится в пустой энергетической зоне (где нет других электронов), при действии на него постоянной силы. Будем считать, что этот электрон не испытывает столкновений с другими электронами, фононами и дефектами решетки, и что в начальный момент электрон покоился. В модели Зоммерфельда свободный электрон двигался бы с постоянным ускорением, удаляясь от точки начала движения. В зонной теории электрон вначале находится в центре зоны (при р = 0), затем его импульс линейно возрастает, но
скорость при этом изменяется иначе. Сначала она возрастает, затем при приближении к краю зоны Бриллюэна уменьшается, и на краю зоны обращается в ноль. В этот момент происходит «переброс» на левый край зоны (если мы хотим оставаться в рамках первой зоны Бриллюэна), и скорость электрона меняет знак. К тому моменту, как импульс электрона окажется снова в центре зоны, его скорость опять обратится в ноль, и электрон окажется в прежнем месте. Движение электрона имеет характер колебаний. Во избежание недоразумений отметим, что электроны в металле не могут проделать такой цикл, так как между соударениями они не успевают отойти далеко от поверхности Ферми и приблизиться к краю зоны.
Эффективная масса. В центре и на краях зоны de/dp = О, значит, энергию вблизи этих точек можно приближенно записать в виде
РоРо(р - Ро)2.(р - Ро)2.1 d^Es - So + х~ар
Ро
Ро
(р - Ро)2.
(р - Ро)2.
где So, Ро — энергия и квазиимпульс центра (или края) зоны. Если во всех случаях отсчитывать импульс и энергию от вершины параболы, то это соотношение можно записать единым образом:
=
2m
где
(20)(20)1 d^c
(20)
(20)
а определенная таким образом величина т* называется эффективной массой электрона. Для скорости электрона получим привычное соотношение
Отметим, что определенная уравнением (20) эффективная масса электрона у дна энергетической зоны положительна, а у верхнего края зоны — отрицательна. Как мы видели, у верхнего края зоны под действием внешней силы скорость электрона не увеличивается, а уменьшается.
Определение (20) для т* действует не только у краев зоны. Действительно, в любой точке можно записать dpgd ded?£ dp
dtdt dtdp2 dt ’
или
F = ^=m*^(21)
dt dt
Эффективная масса является важной динамической характеристикой электрона в кристалле. Эффективная масса электрона может быть
как больше его настоящей массы, так и меньше ее (иногда в несколько десятков раз). Эффективная масса стоит на месте обычной массы в выражении для электропроводности: а = е^пт/т* и во многих других физических формулах. Особенно удобна эффективная масса для описания свойств полупроводников, где концентрация электронов в зоне проводимости (и дырок в валентой зоне) невелика. В анизотропных кристаллах эффективная масса зависит от направления движения электрона в кристалле.
Несмотря на то, что отдельному электрону вблизи верхней границы зоны надо приписать отрицательную эффективную массу, отсутствие такого электрона в полностью заполненной валентной зоне оказывается эквивалентным присутствию одиночной частицы с положительной массой и положительным зарядом. Как уже отмечалось выше, такие носители заряда называются дырками.
► Поверхность Ферми электронов в металле. В зонной теории поверхность Ферми электронов не является простой сферой с радиусом рр. Эта поверхность может иметь сложную форму, определение которой является важнейшей проблемой физики металлов. Напомним, что при комнатных температурах электроны металла находятся в сильно вырожденном состоянии (киТ <^ £р^ и особую роль играют электроны вблизи поверхности Ферми. Поверхность Ферми обычно изображают в пределах первой зоны Бриллюэна, но более наглядным является изображение периодической связной поверхности,рис ц^
захватывающей несколько зон Бриллюэна.
На рис. 115 изображены поверхность Ферми и границы зоны Бриллюэна для меди; аналогично выглядит поверхность Ферми для серебра, золота и других элементов этой группы. На рисунке хорошо видны переходы в соседние зоны Бриллюэна. (Объемные изображения поверхностей Ферми для большинства элементов таблицы Менделеева можно найти на сайте http: //www. phys.uf 1. edu/f ermisurf ace.)
Свойства полупроводников. Различие между диэлектриками и собственными полупроводниками определяется шириной запрещенной зоны А между заполненной (при Т = 0) валентной зоной и пустой зоной проводимости. К полупроводникам принято относить кристаллы, у которых А < 3 эВ. Например, у германия А = 0,67 эВ, у кремния А = 1,11 эВ. Концентрация носителей тока у полупроводников на много порядков меньше, чем у металлов, и сильно меняется при добавлении примесей даже в ничтожных концентрациях.
Положение энергии Ферми в собственных полупроводниках определяется условием равенства концентрации электронов в зоне проводимости и концентрации дырок в валентной зоне. При к^Т <С А энергия Ферми находится очень близко к середине запрещенной зоны. (Отклонение от середины зоны возникает вследствие того, что эффективная масса электронов у дна зоны проводимиости отличается от эффективной массы дырок у потолка валентной зоны). Концентрация носителей заряда вычисляется из распределения Ферми, зависимость концентрации от температуры определяется в первую очередь множителем ехр(—А/2квТ\ где А (2 — расстояние от уровня Ферми до границы зоны.
Концентрация электронов в зоне проводимости вычисляется по формуле J fp^G^de = J e“(£“£F)/feBTG(e)de = еое0
о
где €о ~ энергия дна зоны проводимости, У = е — Ео энергия, отсчитанная от дна зоны (учтено, что квТ <^ ео — ер).
Таким же образом зависит от температуры собственная проводимость полупроводников:
У примесного полупроводника энергия Ферми смещена к границе той зоны, где находятся основные носители заряда. У полупроводников n-типа с донорной про;:;:::водимостью уровень Ферми распо-
111ложен вблизи дна зоны проводимости, у полупроводников р-типа £f ^ ^^^^= с акцепторной проводимостью — ==^==^==^ вблизи верхней границы валентной
чистый п-типа p-типа зоны (рис. 116). При низких темпер с И6ратурах число примесных носите*лей в зоне сильно зависит от тем
пературы, и проводимость быстро растет с увеличением температуры. Затем примесные уровни «истощаются», т. е. на донорных урвнях не остается электронов (или на акцепторных уровнях — свободных мест), и проводимость медленно уменьшается. (Так же как и у металлов, уменьшается длина свободного пробега за счет роста числа фононов в системе.) При более высоких температурах число носителей заряда начинает снова возрастать, так как вступает в силу механизм собственной проводимости. Энергия Ферми при этом приближается к середине запрещенной зоны.
При приведении полупроводника n-типа в контакт с полупроводником p-типа возникает р-п переход. В результате диффузии основных носителей в соседний полупроводник в области перехода появляется контактная разность потенциалов, причем потенциал полупроводника n-типа оказывается выше. Контактная разность потенциала препятствует движению основных носителей заряда. Разность потенциалов между полупроводниками возникает такой величины (рис. 117), что энергии Ферми полупроводников стаПри приведении полупроводника n-типа в контакт с полупроводником p-типа возникает р-п переход. В результате диффузии основных носителей в соседний полупроводник в области перехода появляется контактная разность потенциалов, причем потенциал полупроводника n-типа оказывается выше. Контактная разность потенциала препятствует движению основных носителей заряда. Разность потенциалов между полупроводниками возникает такой величины (рис. 117), что энергии Ферми полупроводников стаеАср Зона проводимостиеАср Зона проводимостиЭнергияЭнергияАА.Ферми.ФермиВалентная зонаВалентная зонап-типап-типар-типаРис. 117р-типаРис. 117
При приведении полупроводника n-типа в контакт с полупроводником p-типа возникает р-п переход. В результате диффузии основных носителей в соседний полупроводник в области перехода появляется контактная разность потенциалов, причем потенциал полупроводника n-типа оказывается выше. Контактная разность потенциала препятствует движению основных носителей заряда. Разность потенциалов между полупроводниками возникает такой величины (рис. 117), что энергии Ферми полупроводников ста
При приведении полупроводника n-типа в контакт с полупроводником p-типа возникает р-п переход. В результате диффузии основных носителей в соседний полупроводник в области перехода появляется контактная разность потенциалов, причем потенциал полупроводника n-типа оказывается выше. Контактная разность потенциала препятствует движению основных носителей заряда. Разность потенциалов между полупроводниками возникает такой величины (рис. 117), что энергии Ферми полупроводников ста
еАср Зона проводимости
еАср Зона проводимости
Энергия
Энергия
А
А
.Ферми
.Ферми
Валентная зона
Валентная зона
п-типа
п-типа
р-типа
Рис. 117
р-типа
Рис. 117
новятся одинаковыми (условие равенства химических потенциалов). В состоянии равновесия диффузионный ток основных носителей через потенциальный барьер равен дрейфовому току неосновных носителей, которому контактная разность потенциалов не препятствует.
При наложении внешнего поля в прямом направлении (положительный полюс к полупроводнику p-типа ток основных носителей увеличивается в ехр(е[//киТ) раз, так как барьер уменьшается на eU (U — приложенное напряжение). При включении обратного поля ток прямых носителей уменьшается (барьер возрастает). На ток неосновных носителей приложенное напряжение влияния не оказывает. Вольт-амперная характеристика р — п-перехода определяется выражением
I = 10(ееи/квТ - 1),
где /0 — ток основных носителей в отсутствие поля (равный встречному току неосновных носителей).
Глава 8
ЭЛЕМЕНТЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
Представление о том, что практически вся масса атома сосредоточена в положительно заряженном ядре ничтожно малых размеров, возникло в результате опытов Резерфорда (см. гл. 6). Поскольку размеры ядер оказались на пять порядков меньше размеров атомов, то в рамках атомной физики ядро можно считать точечным кулоновским центром. В действительности ядро представляет собой сложное образование сильно взаимодействующих частиц (от нескольких единиц до нескольких сотен), подчиняющееся законам квантовой механики и квантовой статистики. Ядра могут испытывать радиоактивные превращения, вступать в ядерные реакции, распадаться на части и объединяться с другими ядрами. Характерные энергии в этом ядерном мире — миллионы электронвольт, и именно поэтому в атомных процессах с энергиями в десятки (максимум — сотни) электронвольт ядра выступают как стабильные объекты.
Основные свойства ядер
Состав ядра. Атомное ядро состоит из частиц, которые называют нуклонами — протонов и нейтронов.
Протон — положительно заряженная частица с зарядом в и массой тр = 1836,15те, где те — масса электрона. Нейтрон — электрически нейтральная частица с массой, немного большей массы протона: тп = 1838,68те. В свободном состоянии нейтрон нестабилен — за время, равное в среднем 15,5 минут он превращается в протон с испусканием электрона и антинейтрино: п —> p-Ve-Vv. Спин обеих частиц равен 1/2, т. е. они являются фермионами. Не только протон, но и нейтрон обладают отличными от нуля магнитными моментами: ур = 2, 793//я, уп = — 1, 91//я, где уя = eh/2mp — так называемый ядерный магнетон (уя = у в/1836,15). Наличие у нейтрона магнитного момента является косвенным свидетельством того, что нуклоны должны обладать внутренней структурой, включающей более элементарные заряженные частицы.
Состав ядра задается двумя целыми числами: зарядовым числом Z. равным числу протонов в ядре, и массовым числом А, равным полному числу нуклонов в ядре. Число нейтронов может быть найдено как N = А — Z. Зарядовое число совпадает с номером элемента в таблице Менделеева и определяет его физико-химические свойства, поскольку
они зависят от заряда ядра и почти не зависят от его массы. Зарядовое и массовое числа указывают слева от символа элемента: ^Х, например, 2Не, g3C. Поскольку указание символа элемента однозначно определяет его порядковый номер, т. е. зарядовое число Z, то нижний индекс иногда не указывают (3Не, 13С).
Конкретные атомы с числом нуклонов в ядре А и числом протонов Z, вместе с электронной оболочкой, содержащей Z электронов, называют нуклидами. Все нуклиды с одинаковым Z называют изотопами данного элемента. Изотопам водорода ’Н. 2Н и 3Н, ядра которых наиболее существенно отличаются друг от друга, присвоили названия обычный водород (иногда используют название протий), дейтерий и тритий, а ядрам дейтерия и трития — названия дейтрон (d) и тритон (t).
Изотопы могут быть как стабильные, так и радиоактивные. Радиоактивные изотопы характеризуют типом радиоактивности (а-распад и ^-распад) и временем жизни. (Подробнее о радиоактивных превращениях будет рассказано ниже.) Многие радиоактивные изотопы встречаются в природе — если они обладают очень большим временем жизни (235U, 232Th и другие) или постоянно образуются в результате распада таких долгоживущих ядер (например, 223Fr). Не существует стабильных изотопов для Z = 43 (технеций), Z = 61 (прометий) и для всех элементов с Z > 83 (начиная с полония). У остальных элементов есть от одного до девяти (у олова Sn) стабильных изотопов, в среднем примерно по три. Разные стабильные (или долгоживущие) изотопы имеют различную распространенность, наблюдаемая атомная масса возникает как усреднение по нескольким изотопам. Например, атомная масса природного хлора 35, 5, в нем содержится 76 % 35С1 и 24% 37С1.
Нуклиды, имеющие одно и то же массовое число А, называют изобарами (пример: i§Ar — 20Са). При /5-распадах происходят переходы между изобарами. Отметим, что если какой-то нуклид стабилен, то обе его ближайшие изобары /5-активны.
Среди стабильных и долгоживущих ядер чаще всего встречаются четно-четные (с четным числом протонов и четным числом нейтронов), а реже всего — нечетно-нечетные (всего четыре устойчивых: 2Н, f Li, 5°В и 74N).
На рис. 118 изображена зависимость N от Z для устойчивых нуклидов. Видно, что у первых 15-20 элементов наблюдается примерное равенство между числом протонов и числом нейтронов (Z ~ А/2). С дальнейшим увеличением порядкового номера намечается явная тенденция к превышению числа нейтронов над числом протонов (например, единственный стабильный изотоп висмута 28°39Bi).
Спин и магнитный момент ядра. Спином ядра / называют полный угловой момент ядра, который является результатом сложения как спинов, так и орбитальных моментов отдельных нуклонов. У ядер
с четным числом нуклонов спин целый, с нечетным — полуцелый. У ядер с четным числом как протонов, так и нейтронов спин основного состояния равен нулю. Это означает, что угловые моменты отдельных нуклонов компенсируют друг друга. Отметим однако, что в основном состоянии дейтрона / = 1.
У ядер с отличным от нуля спином имеется обычно и магнитный момент. Магнитные моменты ядер очень малы (порядка ядерного магнетона), но их взаимодействие с орбитальным движением электронов приводит к сверхтонкой структуре электронных уровней, которая поддается наблюдению.
► Размеры и форма ядер. Распределение нуклонов по объему ядра было установлено в многочисленных экспериментах по рассеянию быстрых электронов и нуклонов. (Дебройлевская длина волны рассеиваемых частиц должна быть мала по сравнению с размерами ядра.) В опытах по рассеянию электронов, испытывающих только электромагнитное взаимодействие, устанавливается пространственное распределение заряда ядра (т. е. распределение протонов), а в опытах по рассеянию нейтронов — пространственное распределение всех нуклонов. Выяснилось, что эти распределения отличаются мало, и далее мы будем говорить только о распределении нуклонов.
Оказалось, что большинство ядер имеют форму, близкую к сферической. Для ядер с достаточно большим числом нуклонов (Л > 12) можно выделить внутреннюю область, в которой концентрация нуклонов постоянна, и небольшой переходный слой, в котором концентрация падает до нуля. Если принять за радиус ядра то расстояние от его центра, на котором концентрация уменьшается в два раза, то получится следующая зависимость от массового числа:
(1)(1)R ~ Ro • Л1/3 фм,
(1)
(1)
где Ro = 1,2 4-1,4 фм; использована принятая в ядерной физике внесистемная единица ферми: 1 фм = 10-15 м. Видно, что концентрация нуклонов внутри ядра остается примерно одинаковой для всех ядер.
Пример 1. Оцените среднюю концентрацию нуклонов в ядре и среднюю
плотность ядерного вещества.
Решение. Средняя концентрация нуклонов равна п = Л/(-7гЯ3) ~ ~ 1,0 4- 1,5 • 1044 м-3. Этой концентрации соответствует плотность р = М • и 2 • 1017 кг/м3, где М — масса нуклона.
Отметим, однако, что у многих ядер наблюдается заметное отклонение в распределении частиц от сферической симметрии (это отклонение особенно существенно у возбужденных состояний, но есть и в основном состоянии). Например, у простейшего составного ядра — дейтрона — распределение заряда в основном состоянии отличается от сферического. (Этот факт свидетельствует о нецентральном характере ядерных сил).
► Энергия связи ядра. Измеренные с достаточной точностью массы ядер оказались меньше, чем суммы масс составляющих их нуклонов. Проявляющаяся здесь неаддитивность массы является прямым следствием формулы Эйнштейна для связи массы и энергии покоя (см. раздел 1.11). Между нуклонами действуют силы притяжения, удерживающие их в ядре несмотря на сильное (на столь малом расстоянии) кулоновское отталкивание, и для разделения ядра на нуклоны необходимо совершить положительную работу. Величину этой работы называют энергией связи ядра:
(2)(2)Есв = (Zmp + Nmn — тя)с2,
(2)
(2)
где N = А — Z — число нейтронов в ядре. Именно благодаря огромной величине ядерных взаимодействий (по сравнению, например, с атомными и химическими, имеющими чисто электромагнитную природу) это уменьшение массы оказалось доступно прямому измерению.
Сделаем несколько замечаний по поводу записи формулы (2).
В ядерной физике массы ядер и частиц выражают либо в энергетических единицах, либо в атомных единицах массы. В первом случае указывают значение энергии покоя тс2, выраженное в электронвольтах. Например, массы электрона, протона и нейтрона в этих единицах
равны те = 0,511 МэВ, тр = 938,28 МэВ, тп = 939,55 МэВ. При использовании энергетических единиц многие формулы записываются короче. Например, формула (2) принимает вид:
Есв = Zmp + Nmn — тя.(3)
Отметим, что 1 кг = 5, 61 • 1029 МэВ, 1 МэВ = 1, 78 • 10-30 кг.
Атомная единица массы (а.е.м.) определяется как 1/12 массы нуклида (не ядра!) углерода 12С. Именно в а.е.м. обычно приводятся в справочных таблицах массы нуклидов. Например, те = 5,486 • 10-4 а.е.м., тр = 1,007276 а.е.м., тп = 1,00898 а.е.м.. Отметим, что 1 а.е.м. = 931,50 МэВ = 1,660 • 10-27 кг.
В связи с тем, что в таблицах обычно приводят не массы ядер, а массы нуклидов, формулу (3) удобно переписать в следующем виде:
Есв = ZMH + Nmn - Ма,(4)
где Мн — масса атома водорода, а Ма — масса атома (нуклида), соответствующего данному ядру. Первый член в этой формуле отличается от первого члена в (3) на Zm^ на столько же отличается масса нуклида Ма от массы ядра тя, если пренебречь энергией электрического взаимодействия электронов и ядра.
В таблицах часто указывают не массу нуклида, а так называемый дефект массы Ла = Ма — А (где Ма выражена в а.е.м.). Например, дефект массы нуклида 12 С равен нулю, дефект массы атома водорода 0,007825 а.е.м., дефект массы нуклида 3Не 0,016030 а.е.м. Энергия связи может быть выражена через дефекты масс:
Есв = ZAh + NAn - А^.(5)
► Зависимость энергии связи от состава ядра. Оказывается, в первом, грубом, приближении энергия связи возрастает прямо пропорционально числу нуклонов в ядре, т. е. его массовому числу А. Для проведения как качественного анализа, так и численных расчетов удобно пользоваться удельной энергией связи, определяемой как е = Есв/А. На рис. 119 изображена примерная зависимость е от массового числа А. Оставаясь примерно равной 8 Мэв/нуклон, удельная энергия связи сначала (при А < 16) быстро возрастает, потом продолжает плавно расти и при А ~ 60 (в области железа) проходит через максимум 8,8 МэВ/нуклон, после чего плавно убывает до 7,6 МэВ/нуклон для последнего природного нуклида 238U. Отметим, что благодаря возрастанию £ при малых А оказывается энергетически выгодным слияние легких ядер, а благодаря убыванию £ при больших А энергетически выгодным оказывается деление тяжелых ядер. Энергию, выделяющуюся при делении тяжелых ядер, называют атомной, а при слиянии легких ядер — термоядерной. Термоядерная энергия в расчете на один нуклон в несколько раз превышает атомную.
Хотя ядерным силам и ядерным моделям посвящен следующий раздел, коротко отметим следующее.
То, что удельная энергия связи оказывается для большинства ядер примерно постоянной и равной своему среднему значению, свидетельствует о том, что ядерные силы короткодействующие и обладают свойством насыщения (каждый нуклон взаимодействует только с несколькими ближайшими соседями).
Уменьшение е при малых А объясняется возрастанием поверхностных эффектов, которые зависят от относительной доли поверхностных частиц.
Уменьшение удельной энергии связи при больших А объясняется возрастанием относительного вклада кулоновской энергии.
Для легких элементов максимальная энергия связи для нуклидов с фиксированным А (изобар) соответствует Z ~ А/2. (Именно поэтому такие нуклиды обычно оказываются Д-стабильными.) Это явление называется эффектом симметрии. Сдвиг в сторону большего процентного содержания нейтронов, наблюдающийся при увеличении А, объясняется возрастанием роли кулоновского отталкивания протонов.
Удельная энергия связи четно-четных ядер оказывается в среднем больше, чем у четно-нечетных ядер, а у последних — больше, чем у нечетно-нечетных ядер. Это объясняется эффектом спаривания одинаковых нуклонов в ядрах. Объединение двух одинаковых нуклонов в пару с нулевым спином дает выигрыш примерно в 1 МэВ.
Самыми устойчивыми (т. е. обладающими наибольшей е) среди всех четно-четных ядер оказываются так называемые магические ядра, у которых число протонов или число нейтронов оказывается равным одному из магических чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. (Особенно стабильны дважды магические ядра, у которых магическими являются
9 А. И. Черноуцан
и число протонов, и число нейтронов.) Существование магических ядер свидетельствует об оболочечной структуре ядер, подобной структуре атомов.
Ядерные силы. Модели ядер
► Свойства ядерных сил. Между нуклонами в ядре действуют ядерные силы притяжения, которые в сотни раз превышают электромагнитные силы отталкивания между протонами. Именно эти силы обеспечивают устойчивость ядер. Перечислим некоторые (наиболее важные) особенности ядерных сил.
Ядерные силы являются короткодействующими с радиусом действия го ~ 2,0 4- 2,5 фм. При удалении нуклонов на расстояние, превышающее радиус действия, ядерное взаимодействие быстро исчезает. При сближении нуклонов на расстояние, в несколько раз меньшее радиуса действия, притяжение сменяется сильным отталкиванием.
Пример 1. Зная массу дейтерия, можно вычислить энергию связи простейшего ядра — дейтрона. Она равна 2,22 МэВ. По этой энергии связи оцените глубину потенциальной ямы, соответствующей ядерному взаимодействию между двумя нуклонами.
Решение. Во-первых, систему из двух взаимодействующих частиц массой М заменим одной частицей с приведенной массой т = М/2. Будем для простоты считать, что потенциальная энергия представляет собой яму радиусом R = 2,3фм глубиной Uo. Величину Uo найдем из условия, что энергия основного состояния в этой потенциальной яме должна быть равна ^1 = —2,2 МэВ. Для сферически симметричной волновой функции основного состояния уравнение Шредингера имеет вид:
1 d / о \ 2m z
-2 3-(Г ^) + Т2" S - UW = 0, г2 dr dr h2
где U = —Uo при г < R и U = 0 при г > R. После замены Ф(г) = г^(г) придем к уравнению
d2^ М , т _
dr П
решение которого было получено в разделе 6.2. Опуская дальнейшие вычисления, приведем ответ: для получения правильной энергии основного состояния глубина ямы должна быть около 29 МэВ. (Если радиус ямы принять равным 2 фм, то ее глубина получится около 35 МэВ.)
Отметим, что такая величина притяжения соответствует только состоянию системы двух нуклонов, в котором их полный спин равен единице. В состоянии с нулевым спином притяжение примерно вдвое слабее, и связанное состояние отсутствует. Именно поэтому не существует стабильного образования из двух нейтронов или двух протонов (по принципу Паули две тождественные частицы не могут обладать параллельными спинами).
Зависимость ядерных сил от расстояния между нуклонами окончательно не установлена. Для обработки экспериментальных данных
с одинаковым успехом используют различные модельные зависимости. Наибольшее теоретическое обоснование имеет формула Юкавы:
[/(г) = (6)
С короткодействием ядерных сил тесно связано присущее им свойство насыгцения. Каждый нуклон внутри ядерного вещества взаимодействует с определенным числом ближайших соседей. (Нуклоны у поверхности ядра имеют меньшее число соседей.) Именно поэтому энергия связи ядра растет пропорционально числу нуклонов, а средняя плотность ядра остается постоянной. Если бы ядерные силы были дальнодействующими (как, например, кулоновская сила), то каждый нуклон взаимодействовал бы со всеми остальными, и энергия связи росла бы быстрее. Например, электрическая энергия шара с зарядом Ze и радиусом R пропорциональна Z2 /R (смотри раздел 3.8).
Ядерные силы обладают свойством зарядовой независимости: они не зависят от того, какие нуклоны вступают во взаимодействие (р — р, р — п или п — п).
Ядерные силы не являются центральными. Об этом свидетельствует, в частности, несферичность распределения заряда в основном состоянии дейтрона. Если бы взаимодействие было строго центральным, орбитальный момент импульса сохранялся бы и в основном состоянии был бы точно равен нулю, что соответствует сферически симметричной волновой функции.
Ядерные силы зависят от направления спинов. (Смотри выше о взаимодействии нуклонов в дейтроне.)
► О природе ядерных сил. Современная физика рассматривает любое фундаментальное взаимодействие как результат обмена частицами — носителями взаимодействия. Ядерное взаимодействие между нуклонами осуществляется за счет обмена тг-мезонами (пионами) — частицами со спином, равным нулю и массой т^ примерно в 200 раз большей, чем у электрона.
Вокруг одиночного нуклона непрерывно рождаются и умирают так называемые виртуальные пионы. Их называют виртуальными, потому что они существуют столь короткое время, что благодаря соотношению неопределенностей время-энергия (At • ДЕ ~ К) возможно изменение энергии системы на величину ~ т^с2. Для виртуальных частиц не выполняется обычное соотношение между энергией и импульсом — они обладают различными (и различно направленными) импульсами со средним значением т^с и за время жизни пролетают в среднем расстояние с At ~ h/m^c, равное комптоновской длине тг-мезона. Иногда образно говорят, что одиночный нуклон окружен «шубой» из 9*
тг-мезонов, радиус которой равен их комптоновской длине. При сближении двух нуклонов на расстояние Но их мезонные шубы начинают перекрываться, и часть виртуальных пионов, рожденных одним нуклоном, поглощается другим. Как показал Юкава (1935 г.), после усреднения по импульсам виртуальных пионов возникает притяжение с потенциальной энергией, описываемой формулой (6) с го = Н/т^с. В то время тг-мезоны еще не были открыты, и Юкава предсказал их существование и оценил их массу по радиусу ядерного взаимодействия, (тг-мезоны были открыты в космических лучах только в 1947 г.)
Отметим здесь же, что переносчиками электромагнитного взаимодействия являются виртуальные фотоны. Масса фотонов равна нулю, и поэтому электромагнитное взаимодействие является дальнодействующим (Яо = ос, и формула Юкавы (6) приводит к кулоновскому взаимодействию). Слабое взаимодействие осуществляется обменом очень массивными W-бозонами и поэтому его радиус гораздо меньше, чем у ядерного. Отметим также, что современная теория считает, что фундаментальными переносчиками сильного взаимодействия являются глюоны, осуществляющие взаимодействие между кварками, из которых состоят все сильно взаимодействующие частицы (см. раздел 8.6).
► Ядерные модели. Отметим сразу, что к настоящему моменту не создано универсальной модели ядер, которая позволила бы в рамках единого теоретического подхода рассчитывать различные ядерные характеристики. Каждая модель наиболее успешно объясняет отдельные свойства ядер, а другие свойства либо вообще не объясняет, либо делает это слишком сложно и неубедительно. В ряду этих моделей особое место занимает микроскопическая модель ядра, которую ее создатель академик А.Б.Мигдал назвал теорией конечных ферми-систем. Эта модель опирается на теорию квантовой ферми-жидкости, успешно применившей методы квантовой теории поля к статистическому ансамблю взаимодействующих фермионов. Главные достижения микроскопической модели состоят в сравнении и едином обосновании внешне совершенно различных теоретических моделей (ее иногда называют «моделью ядерных моделей»).
Остальные модели можно условно разделить на две группы — коллективные и одночастичные. В первую группу входят, например, теория бесконечной ядерной материи и капельная модель ядра. Во вторую группу входят теории, рассматривающие движение отдельных нуклонов либо в плоской потенциальной яме конечной глубины (ядерный ферми-газ), либо в некотором эффективном потенциале (оболочечные модели). В развитых вариантах оболочечных моделей учитывается спаривание одинаковых нуклонов.
Отметим также появление моделей, объединяющих черты двух указанных групп. Внутренняя часть ядра, соответствующая полностью заполненным внутренним оболочкам, рассматривается как капля ядерной жидкости, в поле которой движутся внешние нуклоны.
Капельная (гидродинамическая) модель рассматривает ядро как заряженную каплю ядерной жидкости, обладающую поверхностным натяжением. Эта модель описывает основные черты зависимости энергии связи от А и Z, поверхностные колебания ядер, особенности деления тяжелых ядер.
Модель ядерного ферми-газа позволяет объяснить эффект симметрии (примерное равенство Z и N в легких ядрах) и отклонение от него в тяжелых ядрах, а также вычислить глубину эффективной потенциальной ямы.
Как протоны, так и нейтроны рассматриваются в этой модели как две подсистемы тождественных фермионов, свободно движущихся в потенциальной яме. На каждом уровне могут находиться две тождественных частицы с разными спинами. Чем больше нуклонов данного вида находится в ядре, тем больше их энергия ферми. Если энергии ферми нейтронов и протонов заметно отличаются друг от друга, то будет происходить превращение одного нуклона в другой с понижением общей энергии (либо п р + е- + у, либо р -4 п + е+ + у). Следовательно, в стабильном ядре энергии ферми должны быть примерно равны друг другу. Если пренебречь кулоновским взаимодействием, то минимум общей энергии будет соответствовать примерно одинаковому числу нейтронов и протонов. Эта ситуация соответствует легким ядрам. В тяжелых ядрах кулоновское взаимодействие протонов играет все большую роль, и выравнивание энергий ферми наступает при числе нейтронов большем, чем число протонов.
Пример 2. Исходя из рассчитанной в Примере 1 средней концентрации нуклонов в ядре, оцените глубину потенциальной ямы, в которой они находятся.
Решение. Для оценки пренебрежем кулоновским взаимодействием. Средняя кинетическая энергия нуклонов одного вида равна (см. разд. 7.2)
Кер = ^Ер = |^-^^— ~ 20 МэВ/нуклон,
где Hi ~ 0,6 • 1044 м-3 — концентрация нуклонов одного вида, равная половине концентрации нуклонов. Средняя удельная энергия связи равна примерно 8 МэВ/нуклон; она может быть рассчитана как разность между глубиной ямы и средней кинетической энергией. Получаем, что глубина ямы должна составлять примерно 30 МэВ. Как мы увидим ниже, эта оценка, видимо, сильно занижена.
Эмпирическая формула для энергии связи. На основе капельной и газовой моделей можно записать достаточно простую эмпирическую формулу для энергии связи ядра, которую называют формулой Вейцзеккера (1935 г.):
Есв — Е • А — «1 А — «2^— 0^3 ^1/3 — ЩД0^5 ^3/4 , (7)
где 8(Z, N) равна —1 для четно-четных ядер, 0 для четно-нечетных ядер и 1 для нечетно-нечетных ядер. Коэффициенты а^ подбираются из экспериментальных данных, в настоящее время приняты следующие значения: од = 15,75 МэВ, а^ = 17,8 МэВ, аз = 0,71 МэВ, щ = 23,7 МэВ, а5 = 34 МэВ.
Первые три члена соответствуют представлениям капельной модели. Первый член отражает примерную пропорциональность энергии связи числу нуклонов; коэффициент «1 можно понимать как энергию связи, приходящуюся на один нуклон в воображаемой ядерной материи с «выключенным» электрическим взаимодействием. Второй член описывает «поверхностное натяжение» ядерной капли (нуклоны на поверхности ядра находятся в особых условиях), а третий член — ее электростатическую энергию.
Четвертый член обусловлен эффектом симметрии, который находит свое объяснение в модели ядерного ферми-газа. Он имеет минимум при N = Z, поскольку наблюдаемое отклонение от полной симметрии при увеличении А связано с кулоновской энергией, а она уже учтена третьим членом. Пятый член отражает скачкообразное изменение энергии связи при переходе от данного ядра к ядрам с соседними значениями А или Z.
Интересно отметить заметное отличие коэффициента од от среднего значения удельной энергии связи £ ~ 8 МэВ. Дело в том, что £ уже включает в себя кулоновскую и поверхностную энергии. Если при оценке глубины ямы в Примере 2 вместо £ подставить од, она окажется равной ~ 40 МэВ.
Формула Вейцзеккера позволяет с неплохой точностью (~ 10-4) рассчитывать энергии связи многих, особенно тяжелых, нуклидов, энергию а-распада, энергии деления и синтеза и многое другое. Однако объяснить существование магических ядер, вычислить спины и магнитные моменты удается только в рамках оболочечной модели.
Оболочечная модель ядра (Гипперт-Майер и Йенсен, 1949 г). В этой модели считается, что каждый нуклон движется в самосогласованном поле, созданном остальными нуклонами. Потенциальную энергию этого поля подбирают так, чтобы получить наилучшее согласие с опытными данными для широкого диапазона ядер.
Главное отличие от электронов в атоме заключается в том, что для нуклонов гораздо большую роль играет спин-орбитальное взаимодействие, вклад которого может достигать 10 — 15%. Кроме того, обычная для электронов нормальная связь Рассела-Саундерса (LS-связь, при которой сначала складываются отдельно спины и орбитальные моменты всех частиц, а потом полный спин складывается с полным орбитальным моментом) оказывается пригодной только для самых легких ядер, а для большинства ядер действует jj-связь, в которой
складываются спин и орбитальный момент каждого нуклона. Уровни нуклонов характеризуются квантовыми числами I (обозначаются буквами s, р, d. /, gv . .), j (равный I — | или I + |, указывается правым нижним индексом), т^ и числом п, которое нумерует уровни с заданным I и может принимать значения 1, 2, 3,. . .. Каждому уровню соответствует 2j + 1 состояний. Уровни энергии нуклонов оказываются разбитыми на группы (оболочки), расстояние между которыми заметно превышает интервал между уровнями внутри группы. Магические числа соответствуют полному заполнению очередной оболочки:
1^1/2 (2 нуклона);
2р3/2, 2рх/2 (6 нуклонов, всего 8);
lc/5/2, 2SX/2, 1^з/2 (12 нуклонов, всего 20);
I/7/2 (8 нуклонов, всего 28);
2р3/2, I/5/2, 2pi/2, lgg/2 (22 нуклона, всего 50);
VI: lg7/2, 2(/5/2, 2(/3/2, 3si/2, 1Лц/2 (32 нуклона, всего 82);
VII: 1Лэ/2, 2/7/2, 2/5/2, Зрз/2, Зр1/2, U13/2 (44 нуклона, всего 126). Нуклонные состояния заполняются в указанном в данной схеме порядке. С ее помощью удается также получить правильные значения спинов почти всех ядер.
8.3. Радиоактивность
Радиоактивностью называют самопроизвольное (спонтанное) испускание ядром одной или нескольких частиц, сопровождающееся его превращением в другое ядро (или переходом в другое состояние). Изначальное радиоактивное ядро (нуклид) называют материнским, а образовавшиеся ядра— дочерними.
Основные виды радиоактивности — а-, (3- и 7-распады. Несмотря на различие физических процессов, связанных с этими распадами, протекание их во времени описывается одним и тем же законом.
► Закон радиоактивного распада. Поскольку акт радиоактивного распада является случайным, то можно считать, что за малое время dt распадется доля ядер, пропорциональная dt. Если за N(t) обозначить число нераспавшихся ядер к моменту времени t, придем к уравнению
^ = -Xdt,(8)
где коэффициент пропорциональности А называют постоянной распада. Решение уравнения (8) имеет вид:
N = Noe~xt,(9)
где Nq — число ядер при t = 0. Это соотношение носит название закон радиоактивного распада.
Число ядер, распадающихся в единицу времени, называют активностью радиоактивного образца:
л= |^| = XN = Aoe"xt,(10)
где Ло — начальная активность образца. Активность в расчете на единицу массы называют удельной активностью. Активность измеряют в бекерелях (1 Бк соответствует одному распаду в секунду) или в кюри (1 Ки = 3,7 • 1010 Бк).
Кроме постоянной А, распад характеризуют периодом полураспада Тг/2^ равному времени, за которое распадается половина ядер (А = No /2). Из (9) находим
гр In 20,693
Естественно также ввести среднее время эюизни ядра т. Вероятность того, что ядро распадется в интервал времени (t,t + dt) равна dN/No = XNdt/No = Xe-xtdt^ откуда
T = Jr Xe"xtdt = 1 = ^ = 1,44ТШ.(12)
0
Пример 1. Разберем пример на вычисление активности образца. Период полураспада изотопа |§8г около 28 лет. Чему равна активность m = 1 г образца?
Решение. Активность равна произведению постоянной распада А = ln2/T!/2 на число ядер N = N^^m/у)^ где у = 90 г/моль. Получаем А = 5, 2 • 1012 с”1 = 140 кюри.
► Альфа-распад. При а-распаде образуются ядро 4Не (в этом случае его называют а-частицей) и дочернее ядро с порядковым номером Z — 2 и массовым числом А — 4:
^^Y+^He,(13)
где X — символ материнского ядра, Y — дочернего. Альфа-распад наблюдается только у тяжелых ядер (в основном с А > 209).
Энергия, выделяющаяся при а-распаде, равна
Q = шх —— ^у,(14)
где массы ядер выражены в энергетических единицах. Отметим, что вместо масс ядер можно подставлять массы нуклидов (массы электронов сокращаются) или их дефекты масс.
Энергию распада можно также выразить через энергии связи ядер: Q — Есву Ч- ЕСВх и через удельные энергии связи:
Q = (А - 4)еу + 4sc< - Asx = 4(еа - Ex) - A(ex - Ex).
Поскольку у дочернего и материнского ядер четности как Z, так и N одинаковы, то их удельные энергии связи мало отличаются (см. формулу Вейцзек- кера (7)), и энергия распада становится положительной при е < е^ ~ 7 МэВ. Как мы видели, в области наибольшей устойчивости ядер е ~ 8 МэВ и уменьшается до 7 МэВ при А ~ 140. В этой области есть несколько а- активных редкоземельных элементов с N ^ 84 (на 2 больше магического числа 82, т. е. у дочернего ядра большая энергия связи) и энергией «-частиц 2 4- 4, 5 МэВ. Однако главная область «-активности лежит при А ^ 210 и Z 84, с энергией «-частиц 4 4- 9 МэВ.
То, что наблюдается распад с вылетом ядра 4Не, а не с вылетом других легких ядер или отдельных нуклонов, объясняется аномально большой энергией связи ядра 4Не. Например, «-распад ядра 232U сопровождается выделением 5,4 МэВ энергии, а для испускания этим ядром протона ему надо сообщить 6,1 МэВ энергии.
Вследствие закона сохранения импульса ядро испытывает отдачу и уносит часть энергии, поэтому регистрируемая энергия «-частиц меньше энергии реакции Q. Предполагая, что материнское ядро покоилось, запишем закон сохранения импульса ра = рх через кинетические энергии дочернего ядра и «-частицы:
таКа = туКу
Выразив Кх и подставив в закон сохранения энергии
Ka^Kx = Q.
получим
Ка = т7 Q = ^Aq,тх + та А
где А — массовое число материнского ядра. Поскольку обычно А > 210, то кинетическая энергия «-частицы составляет более 98 % энергии распада.
Поскольку среднее время жизни большинства «-активных ядер велико, то они распадаются из основного состояния. Кроме того, вследствие очень резкой зависимости постоянной распада от энергии вылетающих частиц наиболее интенсивным оказывается переход на основной уровень материнского ядра. Поэтому в большинстве случаев все а- частицы данного распада имеют одинаковые энергии. В ряде случаев наблюдаются «-частицы, соответствующие переходам на низколежа- щие (вращательные) уровни, что приводит к небольшому размытию «-спектра. Кроме того, для некоторых самых короткоживущих ядер возможен распад из возбужденных состояний материнского ядра и наблюдаются «-частицы с энергиями, заметно превышающими основное значение (например, у изотопов полония ^Ро и 2844Ро наряду с «обычными» вылетают «-частицы с энергиями до 10,5 МэВ).
► Теория «-распада. Некоторые особенности «-распада долгое время выглядели весьма загадочно. Это в первую очередь необык
новенно сильная зависимость периодов полураспада от энергии а- частиц. В основной области «-активности (Л ^ 210) «-частицы с энергией заметно меньшей 4 МэВ вообще не наблюдаются (их
Рис. 120Рис. 120_ 2(Z — 2)е2^кул “4^0г_ 2(Z — 2)е2^кул “4^0гпериоды полураспада слишком велики), для 28°24РЬ Ка to 4 МэВ и Т1/2 = 1)4 • 1017 лет, а для 2842Ро Ка to 9 МэВ и Т1/2 = 3 • 10"7 с. Кроме того, было непонятно, как «частица вообще может вылететь из ядра. Вне ядра ее кулоновская потенциальная энергия
Рис. 120
Рис. 120
_ 2(Z — 2)е2
^кул “4^0г
_ 2(Z — 2)е2
^кул “4^0г
достигает максимума на границе ядра при г = R = гдЛ1/3 (см. формулу (1)), а внутри ядра она попадает
в отрицательную потенциальную яму ядерных сил. Следовательно, она оказывается запертой потенциальным барьером (рис. 120), высота
которого Uo ~ 25 4- 30 МэВ заметно превышает энергию «-частиц
4 4- 9 МэВ. Альфа-частица может преодолеть этот барьер только благодаря квантовому туннельному эффекту (см. раздел 6.2). Теория «распада как туннельного перехода была разработана в 1928 г. Гамовым, Кондоном и Герни и объяснила все его основные особенности.
Чтобы вычислить постоянную распада А, надо умножить вероятность р образования «-частицы внутри ядра (принимается р ~ 1) на число ее соударений с барьером v ^ v/2R(v — скорость «-частицы) и на коэффициент прохождения барьера
D ~ ехр{-| | ^2ma(U(r) - KnpzJ.
R
Именно коэффициент прохождения дает резкую (экспоненциальную) зависимость постоянной распада (и периода полураспада) от энергии вылетающей частицы Ка.
► Бета-распад. Бета-распадами называют такие радиоактивные превращения ядер, в которых протон переходит в нейтрон (или наоборот) и участвуют электроны (или позитроны) и нейтрино (или антинейтрино). К основным типам /3-распада относятся:
Электронный ^“-распад:
(15)(15)-4 z+xY + е + v
(15)
(15)
(пример — распад трития 3Н -л 2Не + е~ + /7).
Позитронный Д+-распад:
+ У + >7(16)
(пример — распад искусственного радиоактивного изотопа азота T73N —> ^С + е+ + и\
Электронный захват
е +^ X z-i^ + v(17)
(пример — реакция е" +4 В —> gLi + v\ При электронном захвате ядро поглощает электрон из атомной оболочки, причем обычно из /С-оболочки, поэтому этот процесс часто называют /С-захватом (но наблюдается и L-захват). Электронный захват сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.
Важным отличием /3-распадов от других видов радиоактивности является то, что они являются не внутриядерными (затрагивающими сразу всё ядро), а внутринуклонными процессами. Это значит, что элементарный акт такого процесса состоит в превращении одного нуклона в другой. Схемы таких превращений для перечисленных процессов таковы:
п -4 р + е“ + v\
р -4 п + е+ + и\
е~ + р -4 п + v.
В свободном пространстве может самопроизвольно идти только первый процесс (распад нейтрона). Однако в ядре новый нуклон попадает в окружение других нуклонов, в процессе его рождения происходит перестройка всего ядра, и энергетическая возможность распада определяется массами не нуклонов, а ядер (начального и конечного).
Самопроизвольный распад является разрешенным энергетически, если сумма масс начальных частиц больше суммы масс конечных частиц. Для /3-распадов это условие имеет вид:
шх > шу + те (Р- и Д+-распады);
шх + те > шу (электронный захват).
Удобно переписать эти формулы через массы нуклидов. Например, для Р~-распада надо подставить тх = Мх — Zme, ту = Му — (Z + 1)ше и условие распада примет вид:
Мх > Му (Д “-распад).
Для других распадов получаем
Мх > Му + 2ше (Д+-распад);
Мх > Му (электронный захват).
Отметим, что последние два распада приводят к одинаковым дочерним ядрам, т. е. являются конкурирующими. Однако электронный захват энергетически выгоднее.
Формула Вейцзеккера (7) позволяет найти параметры (Z, А) ядер, наиболее устойчивых к /3-распадам. Поскольку в этих распадах массовое число А не меняется, надо сравнить массы (энергии связи) всех изобар. Рассмотрим, к примеру, нечетное А (четно-нечетные ядра,
ZZZZ
ZZ
ZZ
аб
Рис. 121
Д(А, Z) = 0). Минимизируя энергию ядра Е = Zmp-\-(A — Z)mn — Есв по Z, найдем Z^ соответствующее наибольшей Д-устойчивости (рис. 121,а). Изобары с Z < Zp надо исследовать на Д“-распад, а с Z > Z^ — на Д+-распад и электронный захват. Для нечетных А получится две ветви E(Z) (рис. 121,6), верхняя — для нечетнонечетных, а нижняя — для четно-четных ядер. Ядра на верхней ветви обычно неустойчивы для переходов на нижнюю ветвь, но существуют четыре Д-устойчивых ядра, которым соответствует ситуация, изображенная на рис. 121,в.
Бета-активных нуклидов гораздо больше, чем «-активных (у каждого элемента есть Д-активный изотоп). Период полураспада зависит от энергии (чем больше выигрыш в энергии, тем меньше Т^У хотя не так сильно, как у «-распада. Кроме того, чем больше структура конечного ядра отличается от начального (например, чем больше разность их спинов), тем медленнее происходит распад. Иногда переход в основное состояние дочернего ядра оказывается маловероятным, и в результате Д-распада образуется ядро в возбужденном состоянии.
Нейтрино (точнее, одна из трех модификаций — электронное нейтрино) представляет собой очень легкую (возможно безмассовую) нейтральную частицу со спином 1/2, которая участвует только в слабых взаимодействиях. Именно поэтому она чрезвычайно слабо взаимодействует с веществом и ее очень трудно зарегистрировать. Например, для нейтрино с энергией 100 МэВ длина свободного пробега в воде порядка 1016 км (т. е. около 100 световых лет). Прямое экспериментальное доказательство существования нейтрино было получено только в 1956 г., когда появилась возможность использовать мощный поток нейтрино, возникающих при делении урана в ядерном реакторе. (Регистрировались реакции захвата антинейтрино v + р —> п + е+.) Теоретическое же утверждение о существовании нейтрино было сделано В. Паул и еще в 1930 г., причем в довольно драматической ситуации, возникшей вследствие именно «невидимости» нейтрино.
Считалось достоверно установленным, что в (З--распаде рождаются только две частицы — дочернее ядро и электрон. В этом случае, как при любом двухчастичном распаде (например, о-распаде) неподвижного ядра, продукты распада должны иметь определенные энергии. В пренебре
жении кинетической энергией дочернего ядра энергия электрона должна быть равна А = тх — тх — те = Мх — Му. Однако в 1914 г. Дж.Чедвик установил, что /3- спектры непрерывны. Оказалось, что распределение электронов по энергиям имеет вид, приведенный на рис. 122, причем усредненная по этому распределению энергия электронов равна всего А)^. Ситуация выглядела столь парадоксально, что в 1924 г. Н.Бор
предположил, что в микропроцессах может нарушаться закон сохранения энергии! В 1929 г. было замечено, что в некоторых /3-распадах нарушается закон сохранения момента импульса. Например, в распаде 83°Bi -4 ||°Ро + е- спины ядер равны 1 и 0, а электрон уносит полуцелый спин. Выходом из тупика явилось предположение Паули о существовании нейтрино. В 1934 г. Э.Ферми, основываясь на этом предположении, создал теорию слабого взаимодействия и рассчитал активности /З--распадов и спектры вылетающих электронов. В 1936 г. Н.Бор признал теорию Ферми и отказался от предположения о несохранении энергии.
► Радиоактивные семейства. Большинство природных радиоактивных элементов принадлежат к четырем радиоактивным семействам, все элементы которых получаются последовательными распадами из одного родительского нуклида и заканчиваются на каком-нибудь стабильном элементе. Семейство распада тория имеет массовые числа 4п, начинается с 29302Th и заканчивается на 28°28РЬ. Семейство распада нептуния (А = 4n + 1) начинается с 29337Ne и заканчивается на 28°39Bi. Семейство распада урана (А = 4п + 2) начинается с 29328U и заканчивается на 28°26РЬ. Наконец, семейство актиния (А = 4п + 3) начинается с 29325U и заканчивается на 28°27РЬ. (Первые три члена последнего семейства были открыты позже.) Приведем для примера последовательность элементов в семействе тория:
29302Th^282|RaA28^
^^PbA^Bi^^TiA^Pb (^А^ро^^рь).
Элемент 2832Bi может распадаться путем а- и /3-излучения, поэтому на этом элементе последовательность распадов разветвляется.
► Гамма-распад. Гамма излучение наблюдается при переходах возбужденного ядра на более низкие энергетические уровни без изменения А и Z, но с испусканием 7-квантов. После испускания одного или
нескольких фотонов ядро оказывается в основном состоянии. Поскольку значения энергии ядра дискретны, то спектр 7-излучения также дискретен. Возбужденные ядра образуются в /3-распадах, если распад в основное состояние оказывается запрещенным. Например, ^“-распад liNa, имеющего спин / = 4, происходит не в основное состояние ^Mg, спин которого / = 0, и не на первый возбужденный уровень (/ = 2), а на второй уровень с / = 4, после чего ядро последовательно испускает два 7-кванта с энергиями 2,7 МэВ и 1,4 МэВ и оказывается в основном состоянии.
Свободный нуклон не может испускать 7-квант, поскольку это противоречило бы законам сохранения энергии и импульса. Однако внутри ядра импульс перераспределяется между всеми нуклонами, и излучение становится возможным. Следовательно, в отличие от /3-распада излучение 7-квантов является не внутринуклонным, а внутриядерным процессом.
Кулоновский барьер не препятствует 7-излучению, и поэтому время жизни 7-активных ядер обычно мало (10-7 4- 10-15 с). Однако в тех случаях, когда переход в основное состояние сильно затруднен, наблюдаются долгоживущие возбужденные состояния, называемые изомерами. Время жизни изомеров может достигать нескольких часов и даже больше. Некоторые свойства изомеров (например, вероятности /8-распадов) могут заметно отличаться от основных состояний.
Конкурентным 7-распаду является процесс, называемый внутренней конверсией, при котором возбужденное ядро передает избыток энергии одному из электронов атомной оболочки. Спектр вылетающих электронов, в отличие от спектра /8-электронов, является дискретным. Кроме того, внутренняя конверсия сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.
► Измерение дозы излучения. Поглогценная доза излучения определяется как энергия, поглощенная единицей массы, и выражается в греях (1 Гр = Дж/кг). Для характеристики рентгеновского и гамма-излучения по производимой ими ионизации сухого воздуха вводится экспозиционная доза излучения, равная сумме зарядов всех ионов одного знака, образующихся под действием электронов, возникших в облучаемом воздухе массой 1 кг (выражается в Кл/кг или в рентгенах*. 1 рентген = 2, 58 • 10-4 Кл/кг ).
Чтобы оценить биологическое воздействие излучения на живой организм, вводят коэффициент качества излучения Q, который показывает, во сколько раз данное излучение опаснее, чем рентгеновское, при одинаковых поглощенных дозах. Для бета-излучения Q = 1, для протонов с энергией меньше 10 МэВ Q = 10, для тепловых нейтронов с энергией меньше 20 кэВ Q = 3, а для нейтронов с энергией 0,5-10 МэВ Q = 10, для альфа излучения с энергией меньше 10 МэВ Q = 20, для тяжелых ядер Q = 20. Эквивалентная доза излучения равна произведению поглощенной дозы на коэффициент качества. Она выражается в зивертах (1 Зв равен одному грею при Q = 1). Используется также бэр (биологический эквивалент рентгена): 1 бэр = 0, 01 Зв.
► Эффект Мессбауэра. Если энергия налетающего фотона совпадает с энергией перехода системы из основного состояния в возбужденное, то вероятность поглощения такого фотона резко возрастает. Это явление называют резонансным поглощением. Зависимость вероятности поглощения от энергии имеет вид острого пика с шириной, равной ширине возбужденного уровня ДЕ (ДЕ ~ К/Дt, где Д1 — время жизни возбужденного состояния). Естественная схема резонансного поглощения использует в качестве излучателя и поглотителя одинаковые атомы. Такая схема используется в оптике, где излучение и поглощение определяются электронными переходами. Однако наблюдение резонансного поглощения ядерных 7-квантов встречается с серьезными затруднениями. Дело в том, что при излучении 7-кванта атом испытывает значительно большую отдачу и уносит больше энергии, чем при излучении оптического фотона. Это приводит к более существенному 'уменьшению частоты излученного фотона, и его поглощение оказывается маловероятным (тем более, что при поглощении часть энергии фотона теряется на кинетическую энергию отдачи атома, и энергия поглощаемого фотона должна быть не меньше, а больше энергии возбужденного уровня).
Импульс отдачи ядра равен импульсу фотона: р = бш/с, а энергия ядра
равнаравнаЕяЕяр22тяр22тя(Тгш)22тяс2(Тгш)22тяс2= (ЕЕ)= (ЕЕ)2тяс2 '2тяс2 '(18)(18)
равна
равна
Ея
Ея
р22тя
р22тя
(Тгш)22тяс2
(Тгш)22тяс2
= (ЕЕ)
= (ЕЕ)
2тяс2 '
2тяс2 '
(18)
(18)
Для резонансного поглощения сдвиг энергии фотона (равный энергии ядра Ея) должна быть не больше ширины уровня ДЕ. Однако Ел > 104 эВ, а тяс2 < 2 • 1011 эВ, поэтому Ея > 10-3 эВ. В то же время обычное значение для ширины возбужденного уровня ДЕ ^ 10-8 4- 10-7 эВ. Видно, что отдача ядра приводит к уменьшению энергии 7-кванта, на много порядков превышающему ширину возбужденных ядерных уровней.
В 1958 г. Р.Мессбауэр обнаружил, что при низких температурах на изотопе ^Ir наблюдается резонансное поглощение. Суть явления, называемого эффектом Мессбауэра, состоит в том, что как при излучении, так и при поглощении 7-квантов ядрами атомов, образующих кристаллическую решетку, импульс отдачи может восприниматься всем кристаллом как целым (точнее — группой атомов в количестве N ~ 108). Это значит, что энергия отдачи становится ничтожно малой (тя в (18) надо заменить на массу кристалла), и выполняются условия для резонансного поглощения. Появляется возможность фиксировать изменения энергии 7-квантов порядка ширины уровня, т. е. ДЕ ~ 10-8 эВ. Здесь важна не величина ДЕ (у электронных уровней она того же порядка), а ее отношение к энергии фотонов, характеризующее относительную погрешность измерений. Поскольку энергия ядерных 7-квантов составляет 104 4- 108 эВ, то точность измерений с помощью эффекта Мессбауэра достигает 10-12 4- 10-16.
Одним из первых применений эффекта Мессбауэра было измерение гравитационного красного смещения в поле тяжести Земли (Паунд и Ребка, 1960 г.). Суть явления состоит в том, что при движении фотона в поле тяготения его энергия должна изменяться. Относительное изменение частоты и энергии должно быть равно
ДЕ _ т^Дф _ Дф
Е т
ПЬ -у С С
где т7 — масса кванта, Дф — изменение гравитационного потенциала. Если разместить мессбауэровские излучатель и приемник на одной вертикали на расстоянии h друг от друга, то Дф = gh. При h = 30 м относительное изменение частоты Aw jw = ДЕ/Е = 3 • 10-15 находится в пределах точности метода.
Для измерения сдвига частоты используют эффект Доплера. При неподвижных излучателе и приемнике резонансное поглощение отсутствует из- за гравитационного смещения. Перемещая приемник по вертикали, подбирают скорость и так, чтобы снова возникло резонансное поглощение. Тогда Аш (ш = v / с.
8.4. Ядерные реакции
Ядерной реакцией называется процесс вида
a + ^X^^Y + 6, (19) где а — начальная (налетающая) частица, ^Х — начальное ядро (ядро мишени), ^,Y — конечное ядро, b — конечная (вылетающая) частица. Часто используют символическую запись
АХ(а,Ь)АХ (20)
а для обозначения типа процесса — совсем краткую запись (а, Ь). Если b = а (и X = У), то такой процесс называют рассеянием. Если конечное ядро У оказывается при этом в таком же состоянии (основном), как и начальное X. то рассеяние называют упругим.
Для того, чтобы реакция (19) могла происходить, необходимо, чтобы выполнялись законы сохранения электрического заряда и ряда других зарядов (лептонного, барионного и др.), о которых пойдет речь в следующей главе. Кроме того, состояния частиц на выходе реакции связаны с состояниями начальных частиц законами сохранения энергии, импульса и момента импульса.
Ядерные реакции сопровождаются перестройкой ядра, т. е. могут происходить только при сближении вступающих в реакцию частиц до расстояния, меньшего радиуса ядерного взаимодействия го ~ 10-15 м.
► Выход и сечение реакции. Рассмотрим поток падающих частиц (а) определенной энергии, падающий на неподвижную мишень ядер X. Для начала рассмотрим тонкую мишень толщиной Ах с числом ядер на единицу площади No = поДх (по — объемная плотность ядер
мишени). Выходом ядерной реакции называют долю падающих частиц (а), вступивших в данную реакцию (т. е. вероятность данной реакции):
(21)(21)AN
(21)
(21)
W - "лГ'
Ясно, что выход реакции w пропорционален No- Коэффициент пропорциональности имеет размерность площади и называется сечением реакции:
w = а Now = а NoANNN0*ANNN0*(22)(22)
w = а No
w = а No
AN
NN0*
AN
NN0*
(22)
(22)
Сделаем несколько замечаний относительно определения сечения реакции.
В разд. 2.9 для обсуждения явлений переноса было введено эффективное сечение упругого рассеяния молекул, по смыслу аналогичное сечению реакции. Кроме того, понятие дифференциального сечения упругого рассеяния понадобилось нам при анализе опытов Резерфорда (разд. 6.2).
В формуле (22) вместо N можно поставить поток частиц (число частиц за единицу времени) или плотность потока J (поток на единицу площади), вид формулы не изменится, поскольку в ней стоит относительное число частиц.
В случае тонкой мишени можно считать, что каждая налетающая частица взаимодействует только с одним ядром мишени, поэтому можно рассмотреть взаимодействие падающих частиц с одним ядром. Поскольку число упавших на мишень частиц равно N = J St (J — плотность потока, S — площадь мишени), a NoS — полное число ядер мишени, получаем, что сечение можно определить, как отношение числа частиц, вступивших за единицу времени в реакцию с одним ядром, к плотности потока частиц.
Выход и сечение реакции вводятся для любого выделенного результата взаимодействия. При заданном входном канале (а+Х) обычно есть несколько выходных каналов (У + 6). Например, результатом бомбардировки ядер gLi протонами могут быть gLi + p (упругое и неупругое рассеяние), q + q, 466 + 7 и т. д. Некоторые каналы закрыты при низких энергиях. Вообще надо заметить, что одно из общих утверждений квантовой механики состоит в том, что всякий процесс, не запрещенный ни одним законом сохранения, обязательно реализуется (может быть, с малой вероятностью). В частности, среди возможных каналов всегда есть упругое рассеяние.
Чтобы описать зависимость конечного результата рассеяния от каких- либо непрерывных параметров (обычно от угла вылета и энергии частицы), вводят различные дифференциальные сечения. Их определяют как отношение числа реакций, в результате которых заданный параметр (например, угол 6) лежит в определенном узком интервале (например, 9. 6 + d9\ к числу падающих частиц N, числу частиц мишени на единицу площади No и ширине
интервала:
do- _ dN
dO NNodO или
do- _ dN
dQN Nodfl
(42 — телесный угол, dQ = sin 6d6d(py Интегрируя дифференциальное сечение по всем возможным значениям параметра (параметров), получим полное сечение реакции.
Сечение приобретает более наглядный смысл, если частицы считать классическими, а взаимодействие между ними столь короткодействующим, что их можно заменить шариками радиусов Ri и R^ при соприкосновении которых происходит реакция. Тогда а = 7r(/Zi + R2)2 (такая модель используется в теории явлений переноса). Эта модель имеет некоторое отношение к действительности в случае большой энергии падающих частиц, когда дебройлевская длина волны А мала по сравнению с радиусом ядра R (и отсутствует кулоновское взаимодействие). В этом случае
(7 ~ ivR2 ~ IO"3010"28 м2.(23)
Для медленных частиц (А ^ R) сечение резко возрастает, так как оно определяется не радиусом ядра, а дебройлевской длиной волны:
а ~ тг А2.
Однако эта оценка относится только к нейтронам, так как медленная заряженная частица не сможет преодолеть кулоновское отталкивание и приблизиться к ядру.
Оценка (23) показывает, почему ядерные сечения выражают в барнах (1 барн = 10-28 м2).
Если мишень не тонкая, то по мере проникновения вглубь мишени интенсивность пучка уменьшается, и сечение реакции выражается через ее выход более сложно, чем в (22). Это можно сделать при условии, что известно полное сечение процессов, приводящих к ослаблению пучка. Самая простая ситуация возникает в случае, если рассматриваемая реакция — единственно возможная. Тогда для каждого тонкого слоя можно записать
-^- = —andx,(24)
где N — число частиц в пучке, дошедших до слоя с координатой ж, ndx — число атомов мишени в слое толщиной dx (на единицу площади), п — объемная концентрация атомов, знак (—) отражает тот факт, что прореагировавшие частицы выбывают из пучка. Решение уравнения (24) имеет вид
(25)(25)N = No •
(25)
(25)
где Nq — начальное число частиц в пучке. Величина а = ап называется коэффициентом поглощения. Легко убедиться в том, что средняя длина свободного пробега равна
(см. разд. 2.9).
Пример 1. Вычислить длину свободного пробега нейтрино в железе, если сечение взаимодействия нейтрино а^ ~ 10-19 барн = 10-47 м2.
Решение. Концентрация атомов железа равна п = р • Nxl^ где Nx — число Авогадро, р = 7,8 • 103 кг/м3 — плотность железа, а ц = 58 • 10-3 кг/моль — молярная (атомная) масса железа. Получаем I = 1/(па) = 1, 2 • 1018 м2, что составляет примерно 130 световых лет.
► Механизмы ядерных реакций. Так же как нет пока универсальной ядерной модели, объясняющей все свойства ядер, так не существует единой теории ядерных реакций. Особенности различных типов реакций в разных энергетических интервалах описываются в рамках различных моделей (или, как их называют, механизмов) ядерных реакций. Коротко остановимся на некоторых из них.
Механизм прямых реакций (С.Батлер, 1953 г.) призван объяснить некоторые особенности реакций, протекющих при высоких энергиях, например, резкую анизотропию (максимальная вероятность вылета вперед), почти полную передачу энергии вылетающему фрагменту и т. д. К таким процессам относятся, например, реакции срыва (d,p), (d, п) и реакции подхвата (р, d)^ (n^d). В прямых реакциях налетающая частица взаимодействует не с ядром в целом, а с отдельным его фрагментом, нуклоном или небольшой группой нуклонов, передавая ему энергию в течение малого (ядерного) времени 10-21 4- 10-22 с. (Такое время характерно для реакций, протекание которых определяется только ядерными силами. Ядерное время оценивают как тяд = 2R/v ~ 10-23 ~ 10-21 с, где и ~ 107 4- 108 м/с —скорость нуклона.)
Механизм составного ядра (Н.Бор, 1936 г.) объясняет многие особенности реакций, протекающих при низких энергиях. Это, во-первых, большая (по ядерным масштабам) продолжительность многих реакций (т ~ 10-16 4- 10-12 с, что на много порядков больше ядерного времени тяд ~ 10-22 с). Во-вторых, симметричность (в системе центра масс) вылета частиц вперед-назад (а иногда даже полная изотропность). В-третьих, резонансный характер реакций — их сечения имеют резкие максимумы при некоторых значениях энергии. Суть механизма составного ядра состоит в том, что реакция протекает в два этапа:
а + Х^С* ^Y + 6. (27)
На первом этапе материнское ядро X захватывает падающую частицу и образуется составное ядро (компаунд-ядро) С в возбужденном
состоянии (на что указывает звездочка). Энергия возбуждения вычисляется как сумма энергии связи частицы (а) в ядре С (равной Еа,с = шх + шп—тс) и начальной кинетической энергии К (в системе центра масс):
ЕВозб = Еа,с + К.(28)
Процесс захвата частицы и распределения избыточной энергии между нуклонами составного ядра продолжается короткое время ~ тяд. После этого составное ядро распадается одним из возможных способов (с разной вероятностью): либо избыточная энергия случайным образом концентрируется на одной частице (нуклоне или группе нуклонов) и она вылетает из ядра, либо излучается 7-квант, либо ядро делится. Все эти процессы гораздо медленнее ядерных, что и объясняет медленность реакций, протекающих с образованием составного ядра.
Симметрия вылета продуктов распада объясняется тем, что составное ядро успевает «забыть», с какой стороны прилетела падающая частица. Резонансный характер сечения реакции связан с тем, что вероятность захвата частицы (а значит, и сечение всего процесса) резко возрастает, если Евоз^ в (28) совпадает с одним из дискретных уровней энергии составного ядра. Этим значениям соответствуют дискретные значения кинетической энергии К, через которую, как мы увидим ниже, выражается энергия падающей частицы.
Механизм составного ядра успешно объяснил тот факт, что реакции с разными начальными частицами могут приводить к сходным конечным результатам. Например, реакции пЛЧ IH+^C, ^н+^с, fH+VC, зНе + ^В и ^Не + 5°В идут с образованием одного и того же составного ядра VN*. и если у них окажутся одинаковые энергии возбуждения, то они будут иметь одинаковые выходные каналы.
При больших энергиях возбуждения спектр составного ядра становится практически непрерывным, и успешно работает статистическая модель распада, или модель испарения. В этой модели составное ядро рассматривается как капля горячей жидкости с температурой Т = Евоз^/к (к — постоянная Больцмана), а вылет частицы — как испарение с ее поверхности. В рамках этой модели становится понятным, почему в этой области энергий угловое распределение вылета частиц становится изотропным (в системе центра масс).
► Энергия реакции. Закон сохранения энергии для произвольной ядерной реакции можно записать в виде
Е т4 + 52 К4 = 52 тп\ + £ Ki(29)
(массы — в энергетических единицах). Энергией реакции Q называют приращение кинетической энергии (или убыль массы):
Q = 52 ^?: ~ 52 ^^= 52т^ 52 тг= 52 ^^ ~ 52 ^?: ^ (зо)
где А — дефект массы (см. разд. 8.1). Отметим также, что энергию реакции можно выразить через энергии связи ядер (Q = 52 ^св,— 52 ^cbJ, но только в том случае, если число протонов сохраняется (если заряды несут только протоны ядер). Реакции с выделением энергии (Q > 0) называют экзоэнергетическими^ а реакции с Q < 0 — эндоэнергетиче- скими. Иногда энергию реакции указывают прямо в ее записи, например, п+В 7Ы + 4Не + 2,79 МэВ или^Не + ^М ^О + ^Н -1, 2 МэВ.
Поскольку последнее выражение в (30) не зависит от системы отсчета, то энергия реакции равна приращению кинетической энергии в любой СО, в том числе в системе центра масс (СЦМ):
О = Е^'-Е^- (31)
Если в реакцию вступают падающая (нерелятивистская) частица массой т и неподвижная частица мишени массой М, то кинетическую энергию системы в СЦМ можно связать с кинетической энергией падающей частицы Кт:
Кинетическая энергия в СЦМ выражается через приведенную массу ц = тМ/(т + М) и относительную скорость частиц vOTH = vi — V2:
£ = MVqth = М тУт
2 тп Н- М 2
(см. разд. 1.7). Мы учли, что относительная скорость не зависит от системы отсчета, а в лабораторной системе отсчета частица мишени покоится.
► Порог реакции. Эндотермическая реакция может идти только в том случае, если кинетическая энергия налетающей частицы превышает некоторое минимальное значение, которое называют порогом реакции. Порог реакции Кпор не совпадает с |Q|, поскольку вследствие закона сохранения импульса конечная кинетическая энергия в лабораторной системе не равна нулю, и Кпор = |0| + К' (см. (30)). Однако в СЦМ на пороге реакции частицы в конечном состоянии покоятся ^К' = 0), и начальная кинетическая энергия равна |Q| (см. (31)). Из (32) получаем
_ та + Мх _ та + Мх
лп°р- Мх к - Мх
р = 0):
[А'пор + (m + М)с2]2 — р2с2 = (mi + m2 + . . .)2с4.
Учитывая, что импульс мишени М равен нулю, для частицы т запишем р2с2 = (КПОр + тс2)2 - т2с4 = КПор(КПор + 2тс2).
После преобразований получим
(т + М^с^ + 2МКпор = (ш1 + m2 + . . .)2с2, откуда
= (т1+т2 + ...)2_(т + М)2=/
р2Мт V МV }
Эту формулу можно применять и в случае, когда падающая частица представляет собой 7-квант, надо только положить т = 0. Пороговая энергия фотона равна
_ (^^^ + ^2^2/ IQI А,35х
еп°р -2Мс - 1У1 ^1 + 2Мс2 ) ■
8.5. Ядерная энергетика
Поскольку максимальной удельной энергией связи обладают средние ядра (с А ~ 50 4- 60), то как деление тяжелых ядер, так и слияние (синтез) легких ядер должно сопровождаться выделением энергии. Энергию, выделяющуюся при делении, принято называть атомной, а при синтезе — термоядерной. Появление в середине прошлого века атомных и термоядерных (водородных) бомб, в которых названные реакции протекают в неуправляемом режиме, поставило под угрозу само существование человечества. В то же время управляемое получение энергии на атомных электростанциях играет большую роль в энергетике многих стран (хотя и сопряжено с серьезными экологическими рисками). Решение проблемы управляемого термоядерного синтеза дало бы людям практически неисчерпаемый и экологически безопасный источник энергии. Кроме того, реакции синтеза являются главным источником энергии Солнца и других звезд.
► Деление ядер. Как для качественного понимания многих особенностей деления, так и для получения количественных оценок можно использовать капельную модель ядра и связанную с ней формулу Вейцзеккера (7). Для качественного понимания можно рассматривать деление на два одинаковых осколка. При делении происходит уменьшение кулоновской энергии, но зато увеличивается поверхностная энергия. Отношение соответствующих членов в (7) зависит от параметра х = Z2/А, от него же зависит вероятность деления. Несложно проверить, что деление становится энергетически выгодным при
у 2
-д > Xi - 18.(36)
Подстановка реальных значений Z и А показывает, что деление выгодно уже для ядер из области ниобия — палладия, т. е. начиная с А ~ 100. Однако самопроизвольное (спонтанное) деление наблюдается только у очень тяжелых ядер (с А ~ 250).
Причина заключается в том, что хотя состояние из двух осколков обладает меньшей энергией, для перехода в это состояние ядро должно преодолеть значительный потенциальный барьер. При постепенной деформации ядро проходит через промежуточные состояния, обладающие большей энергией, чем начальное состояние. На рисунке 123 схематически изображена зависимость энергии деформированного ядра от условного параметра 7, выражающего степень деформации. Высоту барьера, равную превышению максимальной промежуточной энергии над начальной энергией ядра, называют энергией активации Еакч?. При сообщении ядру энергии возбуждения, превышающей Е'акт, оно быстро делится на два осколка. Энергия активации уменьшается с ростом Z2 / А и обращается в ноль при
У 2
-д> х^ 50. (37)
В отсутствие барьера ядро мгновенно делится на два осколка без сообщения дополнительной энергии.
За счет квантового туннельного эффекта спонтанное деление из основного состояния может происходить и при Z2/А < х^ но барьер должен быть невысоким, иначе вероятность деления будет очень мала. Например, для 29328U Z2/Л = 35,5, что заметно меньше х2, и период полураспада 29328U по отношению к спонтанному делению Ту^ ~ 1016 лет на 6 порядков превышает Ту^ этого элемента по отношению к а- распаду. Напротив, для искусственно синтезированного ядра с Z = 107
и Л = 261 Z2/А = 43,9, и период его полураспада по отношению к спонтанному делению Ту^ ~ 10-3 с, что сопоставимо с Ту^ по отношению к а-распаду.
Удельная энергия связи ядер с Л ~ 240 примерно на 0,9 МэВ меньше, чем у осколков деления. Это значит, что при каждом акте деления высвобождается примерно 200 МэВ. Более 80% этой энергии уносится в виде кинетической энергии осколков. Остальная энергия приходится на излучение осколками нейтронов и 7- и /3-частиц.
При делении чаще всего образуются осколки неравных масс. Легкие осколки группируются вокруг Кг, а тяжелые — вокруг Хе. Это объясняется тем, что числа нейтронов в этих ядрах близки к магическим числам 50 и 82.
Поскольку в тяжелых ядрах доля нейтронов значительно выше, чем в средних, дочерние ядра обладают избыточным числом нейтронов. Сразу же после деления дочерние ядра испускают 2 — 3 нейтрона с кинетической энергией ~ 2 МэВ, после чего происходит несколько ^-распадов, которые доводят осколки до стабильного состояния. Испускание нейтронов продуктами распада играет решающую роль для возникновения цепной реакции деления.
Важное значение для управляемой цепной реакции имеют так называемые запаздывающие нейтроны. Они возникают в том случае, когда в результате достаточно медленного /3-распада осколка деления образуется возбужденное состояние ядра с малой энергией отделения нейтрона, после чего происходит почти мгновенное его испускание. Запаздывание определяется временем /3-распада и может достигать десятков секунд.
При сообщении ядру достаточно большой энергии возбуждения (в несколько МэВ) оно начинает совершать колебания, при которых его форма периодически переходит от сжатой формы к вытянутой. Даже если энергия возбуждения меньше энергии активации, вероятность деления возбужденного ядра значительно выше, чем в основном состоянии. Конкурентным процессом является излучение энергии возбуждения в виде 7-квантов. Получить ядро в возбужденном состоянии, имеющем заметную вероятность деления, можно путем облучения его различными частицами. Наиболее эффективным является облучение нейтронами, для которых отсутствует кулоновский барьер и которые могут приблизиться к ядру, обладая любой, в том числе очень малой (порядка 1 кэВ) кинетической энергией.
Главным механизмом деления природных изотопов урана 235U и 238U является захват нейтронов с образованием составных ядер 236U и 239U в возбужденном состоянии. Важное значение имеет тот факт, что 235U делится любыми, в том числе тепловыми, нейтронами (с энергией меньше 0,5 кэВ), a 238U — только быстрыми нейтронами (с энергией порядка 2 МэВ). Причина состоит в том, что составное ядро 236U
является четно-четным, и при одной и той же энергии нейтронов его энергия возбуждения оказывается больше, чем у четно-нечетного 239U.
Энергию возбуждения составного ядра можно найти из уравнения
+ Кп + Ma = М А-\Л “1“ Евозб,
где Кп — кинетическая энергия нейтрона (мы пренебрегли кинетической энергией составного ядра). Получаем
Евозб = Н- Ма Ma+i} Ч- Кп = €а+1 Ч- Кп,
где €д+1 — энергия связи нейтрона в составном ядре. Составное ядро будет делиться в том случае, если Евозб окажется больше энергии активации. Для 239U Еакт = 7,1 МэВ, a €a+i = 5,5 МэВ, и требуется Кп не меньше 1,6 МэВ. Для 236U €a+i =6,8 МэВ больше Е'акт = 6,5 МэВ, и это ядро будет делиться любыми нейтронами.
Сечение захвата медленных нейтронов определяется их дебройлев- ской длиной волны, которая может быть гораздо больше радиуса ядра. Сечение захвата тепловых нейтронов с энергией 0,025 кэВ в сотни раз больше, чем сечение захвата быстрых нейтронов с энергией 1 МэВ, поэтому возможность деления тепловыми нейтронами имеет столь большое значение.
► Цепная реакция. Возможность осуществления самоподдержива- ющейся реакции деления (цепной реакции) возникает вследствие того, что при делении ядра одним нейтроном осколки деления испускают два-три нейтрона, которые могут в свою очередь вызвать деление других ядер. Проблема состоит в том, что некоторые из образовавшихся нейтронов выбывают из цепной реакции — либо поглощаются, не вызывая деления, либо уходят из системы через ее границу.
Определим коэффициент размножения нейтронов как отношение числа нейтронов в следующем поколении к числу нейтронов в предыдущем:
k = Ni+1/Ni.
Для возникновения цепной реакции необходимо, чтобы к был больше единицы. Для работы реактора в стационарном режиме надо поддерживать к равным единице.
С увеличением размеров системы доля нейтронов, уходящих через ее границу, стремится к нулю. Поэтому, если в бесконечной ядерной среде кое > 1, то для конечной системы определенной формы условие к > 1 будет выполняться, если масса этой системы превышает некоторую критическую массу. Критическую массу можно уменьшить, если окружить активную область оболочкой, отражающей нейтроны. Например, для чистого 235U критическая масса 47 кг (шар диаметром 17 см), но если прослоить 235U полиэтиленовыми пленками и окружить
оболочкой из бериллия, то критическая масса снизится до 250 г (диаметр 3 см). Далее мы сосредоточимся на цепной реакции в ядерной среде бесконечных размеров.
Любое ядерное топливо, затраты на получение которого не превышают разумных пределов, содержит высокий процент 238U. Например, природный уран содержит 99,3 % 238U и всего 0,7 % 235U. Хотя 238U тоже может делиться нейтронами, но вероятность этого мала (а для нейтронов с энергией меньше 1,6 МэВ равна нулю), а остальные нейтроны поглощаются 238U без деления, с испусканием 7-квантов (радиационний захват (п, 7)). В то же время вероятность деления ядер 235U (а также 233U и 29349Рн) достаточно высока — 85-90 %, причем они могут делиться как быстрыми, так и медленными нейтронами.
Процесс сильного обогащения урана (т. е. заметного увеличения содержания 235U) является дорогостоящим и используется для создания зарядов атомных бомб (где экономический фактор не является существенным) и производства горючего для бридеров — реакторов на быстрых нейтронах (о них будет сказано ниже).
Главный способ получения цепной реакции состоит в использовании медленных (тепловых) нейтронов. Нейтроны, рожденные при делении ядер, имеют среднюю энергию ~ 2 МэВ. При этой энергии сечения захвата нейтронов ядрами 235U и 238U одного порядка. Однако для тепловых нейтронов ситуация кардинально меняется. Для 238U сечение захвата остается небольшим («2,8 барн), а для 235U резко возрастает и составляет « 650 барн (что гораздо больше геометрического сечения), причем большая часть (84%) поглощенных нейтронов вызывает деление (сечение деления 550 барн).
Легко сосчитать, что для тепловых нейтронов сечение деления «среднего» ядра природного урана составляет 550 х 0, 007 = 3,9 барн, а сечение радиационного захвата — 2, 8 + 100 х 0, 007 = 3, 5 барн. Видно, что запас нейтронов не очень большой (при каждом делении рождается в среднем 2,5 нейтронов, но почти половина из них теряется), поэтому для осуществления цепной реакции приобретает большое значение уменьшение потерь нейтронов в процессе их замедления. Наилучшим замедлителем с точки зрения механики должен был быть водород (входящий в молекулы обычной воды), так как при упругом ударе наибольшая передача энергии происходит при одинаковых массах сталкивающихся частиц (см. раздел 1.5). Однако атом водорода легко поглощает нейтроны (xH + n —> 2Н + 7), и поэтому используют дейтерий (входящий в состав тяжелой воды), углерод или бериллий. Чтобы уменьшить поглощение замедляемых нейтронов ядрами 238U, ядерное горючее не перемешивают с замедлителем (гомогенная структура), а чередуют пласты горючего с пластами замедлителя (гетерогенная структура). Попав в пласт замедлителя, нейтрон успевает полностью замедлиться, не рискуя быть поглощенным, и затем возвращается в область реакции.
Если бы в цепной реакции участвовали только нейтроны деления, то такой реакцией было бы очень сложно управлять. Действительно, время жизни одного поколения нейтронов деления составляет ~ 10-3 с. Если коэффициент размножения случайно возрастет до, скажем, к = 1,005, то за 1 с число нейтронов будет возрастать в 150 раз, т. е. реакция приобретает взрывной характер. Устойчивость управляемой реакции придают запаздывающие нейтроны о которых шла речь выше. Хотя их доля невелика (~ ~ 0,75%), среднее время жизни поколения нейтронов оказывается равным ~ 0,1 с, и в приведенном примере число нейтронов возрастает за 1 с не в 150, а только в 1,5 раза.
Трансурановые элементы. Единственным природным делящимся элементом является 235U, но его запасы невелики. Хотя реакторы на быстрых нейтронах требуют значительного обогащения урана (до 15 %) и обладают сравнительно небольшой мощностью, их особая роль состоит в том, что их можно использовать для производства нового ядерного горючего (поэтому их называют бридерами — «размножителями»). Например, радиационный захват нейтронов 238U, столь пагубный для цепной реакции, приводит к образованию искусственного трансуранового элемента 29349Рп:
238и + n 239V +
2g329U -4 29339Ne + е~ + /7; Ту^ = 2,3 мин
29339Ne -> 29349Рп + + и\ Ту^ = 2,3 дня.
Плутоний практически устойчив (период полураспада 24000 лет) и хорошо делится нейтронами любых энергий. Его легче отделять от 238U, поскольку у них разные химические свойства.
► Реакции синтеза. Термоядерная энергия Солнца и звезд. Как уже отмечалось, в области легких ядер удельная энергия связи г с ростом А увеличивается (см. рис. 119). Это значит, что реакции слияния двух легких ядер с образованием более тяжелого ядра (реакции синтеза) должны идти с выделением энергии. Поскольку рост е(А) при малых А круче, чем спад при больших Л, в реакциях синтеза может выделяться гораздо больше энергии (в расчете на один нуклон), чем в реакциях деления.
Два ядра могут слиться только в том случае, если они сблизятся до расстояния, на котором начинают действовать ядерные силы, чему препятствует кулоновское отталкивание. Для преодоления кулоновского барьера ядра должны обладать большими кинетическими энергиями. Если разогреть вещество до высокой температуры, то могут возникнуть условия для возникновения самоподдерживающейся реакции — выделение энергии будет компенсировать ее потери (например, в виде излучения). Именно поэтому реакции синтеза называют термоядерными.
Термоядерные реакции являются источником энергии Солнца и других звезд.
Отметим, что температуры, при которых возможно протекание термоядерных реакций, столь велики, что вещество оказывается в состоянии полностью ионизованной плазмы.
Пример 1. Требуется оценить температуру, при которой будет происходить слияние двух протонов в дейтрон.
Решение. Для возникновения реакции протоны должны сблизиться до расстояния, равного двум радиусам действия ядерных сил го ~ 2 • 10-15 м (см. раздел 8.2). Из закона сохранения энергии
4тг€о 2го находим кинетическую энергию Ек ~ 0,1 МэВ, после чего по классической формуле Ек = |^Т оцениваем температуру Т ~ 109 К.
Температура в центре Солнца примерно на два порядка меньше полученной величины. Это значит, что средней энергии ядер недостаточно для реакции синтеза. И все же реакция идет, причем излучаемая Солнцем мощность колоссальна, ~ 4-1026 Вт. Дело в том, что в соответствии с распределением Максвелла некоторая (весьма малая) часть частиц обладает энергией, заметно превышающей среднее значение. Кроме того, благодаря квантовому туннельному эффекту в реакцию могут вступать ядра, энергия которых меньше кулоновского барьера. Все это означает, что в реакцию вступает ничтожная часть сталкивающихся ядер. Именно поэтому удельное энерговыделение Солнца в единицу времени столь мало, ~ 10-4 Вт/кг, однако благодаря колоссальной его массе полная излучаемая мощность столь велика.
Термоядерная энергия Солнца выделяется в двух циклах реакций — углеродном и водородном. В результате каждого из этих циклов происходит превращение четырех протонов в ядро гелия (с испусканием позитронов, фотонов и нейтрино), с общим энерговыделением ~ ~ 25 МэВ. Для протекания углеродного цикла необходимо присутствие ядер углерода, которые играют роль катализатора, так как в результате цикла опять восстанавливаются. Приведем реакции этого цикла:
1Н + ^с VN + 7;
73N -> ^С + е+ + Z/;
1Н + ^С 14N + 7;
in + 14N ^О + 7;
^О ^N + е+ + У' ^Н + ^N ^С + ^Не.
Водородный цикл содержит три разных реакции, но первая и вторая реакции за цикл происходят дважды (всего — пять реакций):
^ + 1Н 2Н + е+ + 7;
}Н + ^Н |Не + 7;
JH + ?Н ®Не + 7;
зНе + зНе -> ^Не + 2Д.
При температурах до 1,5 • 107 К больший вклад в энерговыделение дает водородный цикл, при более высоких температурах —углеродный цикл. Для Солнца оба цикла играют одинаково важную роль, в менее ярких звездах преобладает водородный, в более ярких — углеродный. В звездах-гигантах важную роль играют другие циклы (гелиевый и неоновый).
► Управляемый термоядерный синтез. Если бы человечество научилось управлять термоядерными реакциями, оно получило бы в свое распоряжение практически неисчерпаемые источники энергии. В отличие от реакций, протекающих в недрах звезд, энергию надо извлекать из небольшого количества термоядерного горючего с максимальной эффективностью. Для этого надо нагреть вещество до температуры, при которой вероятность слияния ядер при столкновениях будет достаточно высока. Кроме того, надо научиться удерживать полученную раскаленную плазму достаточно долгое время и извлекать выделившуюся энергию, преобразовывая ее, например, в электрическую.
Главная техническая трудность состоит именно в удержании плазмы. Наиболее перспективный способ — помещение плазмы в магнитное поле определенной конфигурации (магнитную ловушку). В установках токомак плазму пытаются удерживать магнитным полем, которое создается током, протекающем через саму плазму (этот же ток сначала участвует в разогреве плазмы). Удержанию плазмы в течение достаточно долгого времени препятствуют различного вида неустойчивости, которые возникают и быстро развиваются в горячей плазме, находящейся в магнитном поле.
Для каждой реакции существует характерная температура То, до которой надо нагреть плазму для наиболее эффективного извлечения энергии. Второй характерный параметр — минимальное время т удержания этой плазмы, требуемое для получения выигрыша в энергии (точнее, произведение пт концентрации плазмы на время).
К сожалению, реакция слияния двух протонов, наиболее привлекательная с точки зрения запасов топлива (водород входит в состав воды), обладает столь малым сечением, что не может рассматриваться как основа для управляемого синтеза (хотя и протекает в недрах Солнца).
Столь же привлекательно выглядят дейтерий-дейтериевые реакции
2Н + 2Н|Не + п + 3,25 МэВ,
2Н + ?Н3Н + 1Н + 4, 03 МэВ,
так как дейтерий составляет 0,015 % от общих запасов водорода. Характеристики этой реакции: То « 109 К, пт > 1022 с/м3. Однако наиболее перспективным ближайшим кандидатом является дейтерий- тритиевая реакция
2Н + 3Н 4Не + п + 17) 6 МэВ,
которая обладает заметно большим энергетическим выходом и лучшими критическими параметрами: То « 2 • 108 К, пт > 1020 с/м3, что компенсирует трудности, связанные с производством трития.
Элементарные частицы
В этом разделе мы приведем краткие сведения справочного характера о классах элементарных частиц, квантовых числах, законах сохранения и кварковой структуре адронов.
► Фундаментальные взаимодействия. Превращениями и распадами элементарных частиц управляют три фундаментальных взаимодействия — сильное, электромагнитное и слабое (гравитационное взаимодействие в этих процессах несущественно). Чем слабее взаимодействие, тем медленнее протекают определяемые им процессы. Сильное взаимодействие имеет радиус действия 10-15 м, характерное время определяемых им процессов 10-23 с. Сильное взаимодействие скрепляет нуклоны в атомные ядра. Электромагнитное взаимодействие — дальнодействующее (радиус действия — бесконечность), характерное время определяемых им процессов не менее 10-20 с. Один из полигонов этого наиболее нам знакомого взаимодействия — управление атомными электронами, т. е. всем разнообразием веществ и химических реакций. Слабое взаимодействие имеет радиус действия 10-18 м, характерное время определяемых им процессов (в которых обычно участвуют нейтрино) не менее 10-10 с. Именно слабое взаимодействие управляет реакцией слияния двух протонов, столь важной в энергетике Солнца, и разнообразными /3-распадами. Слабое взаимодействие — самое универсальное из трех, оно присутствует всегда, но является определяющим только при отсутствии других взаимодействий.
Фундаментальные взаимодействия осуществляются путем обмена специальными частицами, которые относятся к классу фундаментальных векторных бозонов (спин всех этих частиц равен единице). Переносчики взаимодействия рождаются одной из взаимодействующих
частиц и поглощаются другой. Рождаемые частицы являются виртуальными, для них не выполняется соотношение Е2 — р2 с2 = т2с\ что допускается принципом неопределенности ДЕ At ~ Н, если время их жизни мало. Если масса переносчиков отлична от нуля, то радиус взаимодействия равен их комптоновской длине волны б/тс (подробнее см. раздел 8.2). Переносчиком электромагнитного взаимодействия является безмассовая частица фотон — хорошо знакомый нам квант электромагнитного поля. Переносчиками слабого взаимодействия являются тяжелые промежуточные бозоны W+, W- и Z, массы которых почти 100 ГэВ. Переносчиками сильного взаимодействия являются глюоны — кванты восьми глюонных полей, осуществляющие взаимодействие между кварками. (В ранней тг-мезонной теории ядерных сил, описанной в 8.2, переносчиками сильного взаимодействия считались тг-мезоны). Масса глюонов равна нулю, но в отличие от фотонов они взаимодействуют друг с другом и с кварками и не могут удалиться дальше чем на 10-15 м.
Теперь мы приступим к описанию различных классов элементарных частиц. Отметим несколько общих свойств.
Частицы могут быть как стабильными (электрон, протон, нейтрино), так и нестабильными. В последнем случае указывают время жизни частицы (или ширину энергетического интервала ДЕ = Н) At\ а также каналы распада. Частицы, время жизни которых ~ 10-23 с, называют резонансами. Частицы, время жизни которых много больше этой величины, называют квазистабильными.
Частицы могут быть либо составными (состоять из других частиц, как нуклоны из кварков), либо быть (на доступных сегодня энергиях) безструктурными (фотон, электрон, нейтрино, кварки). В последнем случае их называют истинно элементарными (или фундаментальными) частицами.
Частица может быть либо бозоном (целый спин), либо фермионом (полуцелый спин).
Почти каждой частице соответствует античастица, у которой все заряды (не только электрический) имеют противоположный знак. Античастица электрона — позитрон, античастица протона — антипротон, античастица нейтрона — антинейтрон. Если частица совпадает со своей античастицей, ее называют истинно нейтральной (например, фотон или тг°-мезон).
Все частицы делятся на сильно взаимодействующие адроны (барионы и барионные резонансы, мезоны и мезонные резонансы), лептоны (фермионы, не участвующие в сильном взаимодействии) и фундаментальные бозоны (переносчики взаимодействий).
► Адроны, кварки и глюоны. Адронами называют все частицы, участвующие в сильном взаимодействии. Адроны делятся на два больших класса— барионы (адроны с полуцелым спином, т. е. фермионы) и
мезоны (адроны с целым спином, т. е. бозоны). К барионам относятся, например, нуклоны, к мезонам — тг-мезоны.
Адроны — весьма многочисленный класс (открыто более 400 адронов). Стройная классификация адронов и понимание многих их свойств пришло только после появления в 60-х годах гипотезы о кварковой структуре адронов, в соответствии с которой все адроны состоят из фундаментальных частиц, называемых кварками. Спин всех кварков равен 1/2, т. е. они являются фермионами. Всего существует шесть разновидностей (или ароматов) кварков: и, d, s, с, b и t (от английских слов up, down, strange, charm, bottom, top). Массы кварков равны mu to 5 МэВ, тд to 7 МэВ, ms to 150 МэВ, mc to 1, 3 ГэВ, ть to 4, 3 ГэВ, mt ~ 175 ГэВ. Самое необычное свойство кварков состоит в том, что они имеют дробные электрические заряды. Кварки и, с и t называют верхними, их заряд равен +2/3, кварки d, s и b называют нижними, их заряд равен —1/3 (в единицах элементарного заряда).
Все барионы состоят из трех кварков, а все мезоны — из кварка и антикварка. Нуклоны состоят из легких кварков и и d: протон содержит два u-кварка и один (Z-кварк (р = uud), нейтрон — два (/-кварка и один u-кварк (n = ddu). Из этих же кварков состоят тг-мезоны: тг+ = ud, tv- = du, тг° представляет собой квантовую суперпозицию двух состояний: тг° = (ий + dd)/\pl. Видно, что тг+ и тг- являются античастицами друг друга, а тг° совпадает со своей античастицей. Частицы, содержащие s-кварк, называют странными, содержащие с- кварк — очарованными.
Отметим сразу же, что на первый взгляд массы адронов заметно больше суммы масс образующих их кварков. Но масса любой связанной системы должна быть меньше суммы масс образующих ее частей на величину энергии связи. Дело в том, что кварки внутри адронов окружены облаком виртуальных глюонов («одеты» в глюонную «шубу»). Массы «одетых» кварков примерно на 350 МэВ больше массы «голых» кварков.
Барионы, в состав которых входят более тяжелые кварки, чем и и d, называются «гиперонами». Из кварков и, d, s можно составить шесть гиперонов со спином 1/2: Л° (uds, т to 1120 МэВ), Х+, А70, X- (uus, uds, dds, т to 1200 МэВ), Е°, Е- (uss, dss, т to 1320 МэВ). Распад всех этих гиперонов определяется слабым взаимодействием, поэтому время их жизни т ~ 10-10 с (кроме Х°-гиперона, распад которого определяется электромагнитным взаимодействием, т ~ 10-20 с). Вместе с протоном и нейтроном эти гипероны образуют октет (восьмерку) барионов со спином 1/2. (Ниже мы поясним, чем отличаются Л° и Х°).
Далее идет декуплет (десятка) барионов со спином 3/2, причем среди них присутствуют барионы, состоящие из трех одинаковых кварков, например, А-, А0, А+, Л++ (ddd, udd, uud, иии, m to 1230 МэВ). Самым тяжелым из декуплета является 42_-гиперон (sss, m to 1670 МэВ).
Отметим, что элементарные частицы, имеющие одинаковый кварковый состав и отличающиеся только значением спина (или других квантовых чисел), очень часто носят разные названия, как, например, нейтрон и Л°-гиперон.
Перейдем к описанию мезонов. Кроме трех тг-мезонов, существуют еще шесть мезонов со спином и орбитальным моментом, равными нулю, которые содержат s-кварк: четверка К^, К0, К0, К- (ns, ds, sd, su, m to 500 МэВ) и два истинно нейтральных мезона р и р' (разные квантовые суперпозиции состояний nn, dd и ss). Далее идет девятка мезонов со спином S = 1, среди которых три р, четыре К*, ш° и ср0. Все эти мезоны (а также rf) относятся к резонансам (т ~ 10-23 с).
Большим событием было открытие в 1974 г. первой очарованной частицы J/^-мезона (т = 3,1 ГэВ), представляющей собой одно из состояний чармония се (чармоний обладает «скрытым очарованием»). Затем были открыты другие очарованные мезоны (например, D+ = cd, D° = ей, D+ = cs) и очарованные барионы (например, Л+ = udc), а также более тяжелые «красивые» адроны, содержащие 6-кварк.
Цвет. Существование барионов, состоящих из трех одинаковых кварков, противоречит принципу Паули, поскольку два из них должны иметь одинаковые направления спинов. Более того, ^“-гиперон имеет спин 3/2, т. е. все три его s-кварка могут находиться в одинаковых состояниях (когда проекция спина гиперона максимальна). В чем же дело? Оказалось, что существует не один, а три кварка с одним и тем же ароматом. Различие между ними описывается дополнительным квантовым числом, которое может принимать три значения. Было предложено называть это число цветом (цветовым зарядом), и приписать ему значения R (красный), G (зеленый) и В (синий). Соответственно, антикварки обладают цветами R, G, В (антикрасный, антизеленый, антисиний). Следовательно, всего существует 18 кварков и 18 антикварков. Смесь всех трех цветов считается бесцветной (белой). Пара кварк-антикварк обладает «скрытым» цветом.
Цветовые заряды кварков являются источниками глюонных полей (подобно тому как электрический заряд является источником электромагнитного поля). Кванты этих полей глюоны (от слова glue — клей) осуществляют сильное взаимодействие. (Электромагнитное взаимодействие осуществляется путем обмена фотонами — квантами электромагнитного поля.) И глюоны, и фотоны являются безмассовыми частицами, обладают спином 1 и отрицательной четностью (см. ниже). Однако фотоны электрически нейтральны, а глюоны «окрашены», т. е. сами участвуют в сильных взаимодействиях. Каждый глюон несет два цветовых заряда: один цвет и один антицвет. Всего существует восемь разных глюонов, шесть явно окрашенных (gRQ, £яю §gr^ ^gb^ §вю gв^ и два глюона со скрытым цветом.
В соответствии с законом сохранения цветового заряда при испускании и поглощении глюона кварк должен изменять свой цвет. Например, при испускании красным R кварком глюона RG он становится зеленым G. но аромат его при этом не меняется:
UR -4- UG + gRG'
(Аромат кварков может меняться только в слабых взаимодействиях, т. е. при испускании W- или Z-бозонов.)
Поскольку глюоны обладают цветовым зарядом, они могут сами испускать и поглощать глюоны и испытывать сильное взаимодействие друг с другом. Изучением сильного взаимодействия как результата излучения и поглощения глюонов кварками и глюонами занимается квантовая хромодинамика (названная так по аналогии с квантовой электродинамикой, изучающей электромагнитное взаимодействие как результат обмена фотонами). Одно из главных утверждений квантовой хромодинамики — невозможность существования свободных окрашенных объектов. В свободном виде могут существовать только такие комбинации цветовых зарядов, которые в целом цветового заряда не несут. Например, свободные адроны могут быть только в «белом» состоянии, три его кварка в каждый момент времени имеют разные цвета. (Правда, каждый кварк непрерывно меняет свой цвет, испуская и поглощая виртуальные глюоны, как испущенные другим кварком, так и рожденные в окружающей его «глюонной шубе» — облаке виртуальных глюонов. Но полный цветовой заряд адрона остается белым.) То же относится и к мезонам. Например, тг+-мезон является квантовой суперпозицией трех цветовых состояниях uRd^, ucd^ uRd^. Каждое из этих состояний обладает скрытым цветом, но их суперпозиция является «белой».
Почему же нельзя разделить белый объект на два цветных (например, удалить один из кварков из мезона или адрона)? Во-первых, обмен цветными глюонами приводит к взаимодействию, потенциал которого растет с расстоянием не медленнее, чем линейно (сила взаимодействия не убывает). Возможное объяснение состоит в том, что глюонное поле не рассеяно по всем направлениям (что соответствовало бы кулоновскому потенциалу), а сосредоточено в узкой «трубке» (струне), соединяющей кварки. Следовательно, для разделения кварков надо было бы затратить бесконечно большую энергию. На самом деле, при удалении их на расстояние, превышающее 10-15 м, глюонная струна «рвется», рождается пара кварк-антикварк и удаляемый кварк превращается в белый мезон. При попытке получить два цветных объекта мы снова получаем два белых. (Отметим, что при больших энергиях разлетающихся кварков каждый из них превращается не в один мезон, а в несколько адронов — возникает так называемая «адронная струя». Наблюдение адронных струй стало важным аргументом в пользу существования
кварков.) Таким образом квантовая хромодинамика объясняет неудачу всех попыток обнаружить свободные кварки или выбить их адронов, хотя само существование кварков внутри адронов было подтверждено экспериментами по рассеянию на адронах электронов высоких энергий. Такое поведение кварков было названо «конфайнментом» (от английского confinement — заточение).
► Лептоны. Фундаментальные фермионы. Лептонами называются фермионы, не участвующие в сильных взаимодействиях. Существует три пары лептонов: электрон е- и электронное нейтрино ие, мюон р- и мюонное нейтрино и^ тау-лептон т- и тау-нейтрино ит. Спин всех лептонов равен 1/2. У каждого заряженного лептона есть античастица: е+, /z+ и т+. Окончательно не установлено, являются ли нейтрино истинно нейтральными частицами или у них есть античастицы— антинейтрино ve , и^ и vT. Лептоны являются фундаментальными частицами — у них не обнаружено никакой структуры. Экспериментально установлено, что каждый заряженный лептон участвует в слабых взаимодействиях в паре со своим нейтрино, например:
п —> pe~ve, тг+ —> p^v^, т+ —> z7Te+z/e.
Массы мюона и тау-лептона равны 106 МэВ и 1784 МэВ. Эти частицы нестабильны: мюон распадается по каналу р- —> е-^//^, время жизни 2 • 10-6 с, более тяжелый тау-лептон распадается по многим каналам, время жизни 5 • 10-13 с. Для нейтрино можно указать только верхние границы масс: mVe < 30 эВ, mVti <0,5 МэВ, mVT < 150 МэВ.
Шесть лептонов и шесть кварков образуют класс фундаментальных фермионов, из которых «сделаны» все остальные элементарные частицы. Особую роль играют фундаментальные фермионы «первого поколения» и, d. ve, е~, из которых составлены нуклоны и атомы и которые определяют ход почти всех наблюдаемых в природе процессов. Фундаментальные фермионы второго (с, 8,1/^, р~) и третьего (t, d. vT, т") поколений получают искусственно в мощных ускорителях. Однако только изучение всей совокупности фундаментальных частиц дает возможность понять устройство и эволюцию нашего мира.
Все процессы в мире элементарных частиц сводятся к взаимодействиям между фундаментальными фермионами, осуществляемыми путем обмена несколькими фундаментальными векторными бозонами (фотоном, глюонами, тремя промежуточными бозонами). Всеми этими процессами управляют законы сохранения.
Напомним, что переносчик электромагнитного взаимодействия — фотон — может испускаться или поглощаться только заряженными частицами, при этом ни заряд, ни цвет, ни аромат частицы не меняются. Переносчики сильного взаимодействия — глюоны — могут испускаться или поглощаться кварками и глюонами, при этом может меняться цвет кварка, но его заряд и аромат не меняются.
Слабые взаимодействия осуществляются за счет испускания и поглощения промежуточных векторных бозонов W+, W~ и Z°. При поглощении или испускании заряженного бозона заряженным лептоном он превращается в соответствующее нейтрино (и наоборот, нейтрино превращается в соответствующий ему заряженный лептон). Универсальность слабых взаимодействий проявляется в том, что векторные бозоны испускаются и поглощаются не только лептонами, но и кварками. (Отметим, что в отличие от глюонов промежуточные бозоны не обладают цветом, т. е. не участвуют в сильных взаимодействиях.) При испускании или поглощении заряженного бозона верхний кварк превращается в нижний или наоборот. Существенно, что любой верхний кварк (и, с, t) может превращаться в любой из нижних кварков (d. s, bY ~
Например, распад нейтрона п —> ре z/e сводится к распаду (/-кварка d —> ue~vei который описывается как превращение (/-кварка в u-кварк с испусканием И/+-бозона, который затем превращается в пару е~ие.
Открытие в 1974 г. промежуточных бозонов, существование и свойства которых были предсказаны так называемой «стандартной теорией электро- слабого взаимодействия» Вайнберга-Глэшоу-Салама (см. ниже), было важным событием физики элементарных частиц. Открытие было сделано на специально созданных протон-антипротонных коллайдерах (ускорителях на встречных пучках). При столкновении один кварк и один антикварк превращались в промежуточный бозон, а оставшиеся два кварка каждой частицы превращались в мощные адронные струи. За время ~ 10-25 с рожденный бозон распадался либо на кварк+антикварк, либо на два лептона (например, электрон+антинейтрино). Удалось обнаружить именно электроны, рожденные в распаде W-бозона (при этом отбирались только те процессы, где закон сохранения импульса нарушался на величину импульса, унесенного нейтрино, который равен импульсу электрона). Чтобы оценить сложность событий, отметим, что в первой серии опытов из миллиарда событий были отобраны только шесть надежных.
► Характеристики частиц и законы сохранения. Все характеристики частиц можно разбить на две группы: геометрические характеристики, связанные со свойствами пространства-времени (масса, спин, пространственная четность), и внутренние квантовые числа, отражающие симметрию фундаментальных взаимодействий (заряд, барионный заряд, лептонный заряд, изоспин, странность, очарование и некоторые другие).
С каждой из этих характеристик связан какой-нибудь закон сохранения, и имеет смысл их обсуждать совместно. Некоторые законы сохранения считаются абсолютно точными, другие — приближенными, верными для определеного класса реакций. Некоторые из приближенных законов сохранения нарушаются только слабыми взаимодействия-
ми (в процессах, определяемых слабыми взаимодействиями), другие — и слабыми, и электромагнитными взаимодействиями. Законы сохранения позволяют предсказать возможность или невозможность распадов и реакций, понять, какие времена им соответствуют, предсказать существование новых частиц и указать условия их рождения. Отметим, что в квантовой теории действует принцип «возможно все, что не запрещено законами сохранения», что делает применение этих законов особенно эффективным.
Масса частицы и сохранение энергии-импульса. Масса частицы т является ее важнейшей характеристикой. Все элементарные частицы имеют различные массы. Соотношение Эйнштейна связывает массу частицы с ее энергией покоя.
Законы сохранения энергии и импульса является следствием однородности времени и пространства. Они играют важную роль при анализе реакций. Из закона сохранения энергии, например, следует, что распад нестабильной частицы может идти только по таким каналам, где сумма масс рожденных частиц меньше массы исходной частицы. Другой пример: закон сохранения импульса запрещает аннигиляцию электрон-позитронной пары с образованием одного 7-кванта (в системе центра масс импульс пары равен нулю). Законы сохранения энергии и импульса позволяют вычислить порог произвольной реакции (не запрещенной другими законами сохранения). Такой расчет был выполнен в разделе 8.4 (см. формулу (34)).
Пример 1. Вычислить пороговую энергию 7-кванта для рождения электрон-позитронной пары на покоящемся протоне.
Решение. Отметим, что рождение фотоном электрон-позитронной пары невозможно в пустом пространстве (см. выше), но может происходить в поле третьей частицы. В данном примере речь идет о реакции 7+р -4 е- + е++р. Положив в формуле (34) т = О, М = тр. mi+m2 + . . . = 2me + mp, получим (2те +99\
£ = 1е_р^ = 2Шес2 1 + — ^ 1,02 МэВ2тру тр у
(см. также (35), где |Q| = 2mec2).
Спин частицы I и закон сохранения момента импульса. Спин частицы определяет, какой статистике она подчиняется — Ферми-Дирака (полуцелый спин) или Бозе-Эйнштейна (целый спин). Спин адрона складывается из спинов и орбитальных моментов составляющих его кварков. Спин частицы задает единственное выделенное направление в системе отсчета, где она покоится.
Закон сохранения момента импульса является следствием изотропности пространства. Применение этого закона для анализа реакции затрудняется тем, что спины складываются по правилу сложения моментов. Например, полный угловой момент системы двух частиц со спином 1 может быть равен нулю. Однако легко установить, является
полный момент целым или полуцелым. Этого часто достаточно, чтобы закрыть возможность какой-либо реакции. Пример: безнейтринный распад нейтрона на две частицы — протон и электрон — запрещен законом сохранения момента импульса.
Четность. Четность (точнее, пространственная четность) частицы Р является чисто квантовым понятием. Она показывает, как ведет себя волновая функция частицы при пространственной инверсии — замене ж —> —ж, у —> — у, % —> —%. Возможны два результата: волновая функция не меняется (положительная четность, Р = +1) или изменяет знак (отрицательная четность, Р = — 1). Четность — внутренняя характеристика частицы (как заряд, спин и др.). Электрон, протон, нейтрон имеют четность Р = 1, а фотон и тг-мезоны — четность Р = — 1. Четность любого кварка равна +1, четность антикварка — 1. Четность составной частицы (в состоянии с нулевым орбитальным моментом) равна произведению четностей составляющих ее частиц.
Долгое время предполагалось, что пространственная четность должна сохраняться во всех реакциях. Дело в том, что закон сохранения четности является следствием утверждения об инвариантности процессов относительно пространственной инверсии, или, что то же самое, относительно зеркального отражения, так как инверсия сводится к отражению и повороту (например, отражению относительно плоскости XY и повороту на 180° относительно оси Z). Считалось очевидным, что все процессы в обычном и «зазеркальном» мирах должны подчиняться одним и тем же физическим законам. Однако впоследствии было установлено, что это утверждение неверно для процессов, определяемых слабыми взаимодействиями. Нарушение четности было предсказано Ц. Ли и Ч. Янгом в 1956 г. и чуть позже подтверждено в опытах By Цзянь-суп. В этих опытах было показано, что при Д-распаде электроны испускаются преимущественно в направлении, противоположном спину ядра. Поскольку при отражении спин ядра изменяет свое направление, то в зазеркальном мире электроны испускаются преимущественно в направлении спина.
В этом же опыте наблюдается нарушение еще одной симметрии (ее называют зарядовой, или (7-симметрией) — относительно замены всех частиц на античастицы. Получалось, что в «антимире» позитроны будут вылетать преимущественно в направлении спина. Однако если произвести оба преобразования — пространственное отражение и замену частиц античастицами — то процесс опять перейдет сам в себя. Некоторое время считалось, что такая «комбинированная» (7Р-симметрия является абсолютно точной. Однако затем были обнаружены слабые процессы, протекающие с нарушением С Р- симметрии. В настоящее время абсолютно точной считается только СРТ- симметрия, где вместе с описанными преобразованиями одновременно производится отражение времени. Эта симметрия следует из основных свойств пространства и времени и строго доказывается в квантовой теории поля (так
называемая СРТ-теорема). Этой симметрии достаточно для доказательства равенства масс и времен жизни частицы и античастицы.
Лептонные заряды Le, L^, LT. Экспериментально установлено, что в любых процессах разность между числом лептонов и числом антилептонов данного вида сохраняется. В соответствии с этим были введены три лептонных заряда— Le, L^ и LT. Для е и ve считается Le = 1, соответственно для их античастиц Le = — 1, а для всех остальных частиц Le = 0. Точно так же поступают с двумя другими зарядами.
Лептонные заряды сохраняются во всех процессах (при доступных в настоящее время энергиях).
Оставшиеся законы сохранения относятся к миру адронов. Введенные эмпирически, они находят естественное объяснение в рамках кварковой модели.
Барионный заряд В. Экспериментально установлено, что в любых процессах сохраняется разница между числом барионов и числом антибарионов. Соответственно каждому бариону стали приписывать барионный заряд В = 1, антибарионам В = — 1, всем мезонам В = 0.
Барионный заряд сохраняется во всех процессах (при доступных в настоящее время энергиях).
Если приписать всем кваркам заряд В = 1/3 (а антикваркам В = — 1 /3), то закон сохранения барионного заряда сводится к сохранению числа кварков (точнее, разности между числом кварков и числом антикварков).
Странность. Когда были открыты первые гипероны, выяснились некоторые странные особенности их поведения. Во-первых, хотя рождение гиперонов происходило при столкновениях нуклонов высоких энергий, т. е. с участием сильных взаимодействий, они распадались за времена ~ 1О“10 с, соответствующие слабым взаимодействиям. Во-вторых, гипероны никогда не рождались поодиночке. Например, при столкновении протонов Л°-гиперон рождался только совместно с /С+-мезоном или Х+-гипероном, но никогда с /С“-мезоном или Х“- гипероном.
Для объяснения этих особенностей этим частицам было приписано новое квантовое число странность S, которое сохраняется в сильных и электромагнитных взаимодействиях, а в слабых взаимодействиях может изменяться на ±1. Для объяснения экспериментов частицам Л°, Х°, Х“ и К- была присвоена странность S = — 1, Х’-гиперонам — странность S = —2, 12“-гиперону— странность S = — 3.
В кварковой модели адронов носителем странности считается кварк аромата s (ему приписывается S = — 1, для всех остальных кварков S = 0). Медленность распадов, связанных с изменением странности, объясняется тем, что изменение аромата кварка з —> и может происходить только в слабых взаимодействиях, при испускании И/“-бозона или поглощении И/+-бозона.
Очарование С, красота Ь. Совершенно аналогично странности вводятся квантовые числа очарование (charm) (с-кварку приписывается С = 1), красота (beuty) (6-кварку присваивается b = 1). Последнему, самому тяжелому, t-кварку соответствует квантовое число t (truth — истинность). Аналогично странности, квантовые числа С. b и t сохраняются в сильных реакциях, но могут изменяться в слабых реакциях.
Изотопический спин Т . Изотопический спин был введен в ядерной физике и сыграл важную роль в классификации основных и возбужденных состояний ядер. Введение этого необычного квантового числа (которому нет аналога в классической физике) отражает предположение о зарядовой независимости ядерных сил, т. е. о тождественном совпадении этих сил в парах п — п, п — р, р — р в одинаковых пространственных и спиновых состояниях. Для описания зарядовой независимости вводят вектор изотопического спина Т, который имеет для обоих нуклонов значение Т = 1/2, но разную проекцию: Тг = 1/2 для протона и Тг = —1/2 для нейтрона. Таким образом, два нуклона образуют изотопический дублет. Ядерное взаимодействие считается независимым от «направления» вектора Т, т. е. с точностью до электромагнитного взаимодействия пространство изотопического спина изотропно (свойства системы не меняются при вращении вектора Т).
Сложение изотопических спинов в системе из нескольких нуклонов производится по тем же правилам, что и сложение угловых моментов. Ядра с одинаковым числом нуклонов (изобары) и с одинаковыми значениями Т образуют ядерный мультиплет из 2Т + 1 ядер (с разными Т2, т. е. разными зарядами), все члены которого обладают близкими свойствами. Например, ядра 6°С, 5°В (в возбужденном состоянии) и 4°Ве образуют изотопический триплет с Т = 1, а 2Не является изотопическим синглетом (Т = 0). В основном состоянии ядро имеет минимально возможное значение Т при заданной проекции Тг (которая вычисляется по его составу); например, основное состояние ^В имеет Т = 0.
Изотопический спин играет важную роль в мире элементарных частиц, в частности, для классификации адронов. Барионы и мезоны разбиваются на мультиплеты с близкими свойствами, причем число частиц в мультиплете связано с изотопическим спином соотношением N = 2Т + 1. Так, три тг- мезона образуют триплет с Т = 1, К0- и К+-мезоны — дублет с Т = 1/2, три 27-гиперона — триплет с Т = 1, четыре А-гиперона имеют Т = 3/2, Л°-гиперон — единственный член синглета с Т = 0. Члены мультиплета различаются между собой проекцией изотопического спина Тг.
В модели кварков наличие мультиплетов объясняется тем, что и- и d- кварки обладают близкими массами и различаются только зарядами. Этим кваркам приписывается значение Т = 1/2, причем для u-кварка Тг = 1/2, а для (/-кварка Тг = —1/2. Для остальных кварков принимается Т = 0. Изотопический спин адронов вычисляется по правилам сложения угловых моментов. Так, например, дублет /С-мезонов имеет кварковый состав us
и d^. При сложении двух изотопических спинов 1/2 может получиться или изотопический спин Т = О (Т2 = 0), или изотопический спин Т = 1 (Т2 = — 1, Tz = 0, Tz = 1). Первому состоянию соответствует гиперон Л° = uds (изотопический синглет), а изотопический триплет образуется гиперонами X- = dds, Х° = uds, У+ = uus.
В реакциях, определяемых сильными взаимодействиями, действует закон сохранения изотопического спина — сохраняются и Т, и Tz. Электромагнитные и слабые взаимодействия нарушают закон сохранения Т, но Tz в электромагнитных взаимодействиях сохраняется, а нарушается только слабыми взаимодействиями. Дело в том, что для изменения Tz должно произойти превращение и- или (Z-кварка в другой кварк, что возможно только при слабых взаимодействиях (при поглощении или испускании заряженного W- бозона).
► Электрослабое взаимодействие. В стандартной теории элек- трослабого взаимодействия оба взаимодействия — слабое и электромагнитное, вместе со своими векторными бозонами, возникают в рамках единого подхода. Изначальными (или, как их называют, затравочными) частицами, осуществляющими единое электрослабое взаимодействие, считаются четыре векторные безмассовые частицы, две нейтральные и две заряженные. В реальном мире симметрия между этими частицами оказывается спонтанно нарушенной, и три из этих частиц приобретают массу (промежуточные бозоны), а одна остается безмассовой (фотон). Многие выводы теории (в частности, значения масс промежуточных бозонов) получили экспериментальное подтверждение. Значение константы слабого взаимодействия оказалось больше, чем электромагнитного, а причиной медленности слабых процессов по сравнению с электромагнитными является большая масса W- и Z- бозонов (~ 100 ГэВ). При энергиях, гораздо больших, чем эти массы, симметрия восстанавливается (массами можно пренебречь), и работает единое симметричное электрослабое взаимодействие.
► Великое объединение. После блестящего успеха теории элек- трослабого взаимодействия были созданы теории, позволяющие объединить все три фундаментальных взаимодействия — сильное, слабое и электромагнитное (эти теории были названы «великое объединение»). Граничной энергией для этого объединения является немыслимая величина Е ~ 1015 ГэВ. При этой энергии константы трех взаимодействий становятся равны друг другу. При больших энергиях все три взаимодействия выступают вместе — как универсальное симметричное взаимодействие. Носителями этого взаимодействия являются 24 векторных бозона — восемь глюонов, три промежуточных бозона, фотон и сверхтяжелые X- и У-бозоны с массами ~ 1015 ГэВ. Эти бозоны несут как электрический заряд (4/3 у X и 1/3 у У), так и цветовой (с учетом трех цветов и античастиц получаем 12 частиц). При поглощении или
испускании X- или У-бозона кварк может превратиться в лептон или наоборот. Следовательно, участие этих бозонов во взаимодействиях приводит к нарушению законов сохранения барионного и лептонного зарядов (но закон сохранения электрического заряда остается незыб- лимым!). В результате с очень малой вероятностью (из-за больших масс X, У) может происходить распад протона с превращением его в позитрон (и несколько тг-мезонов). Предсказанное теорией время жизни протона лежит в пределах т ~ 1030 4- 1035 лет. В настоящее время поиски распадов протона (в больших массах воды, помещенных в глубокие шахты для исключения фона) дает границу т > 1032 лет.
Список литературы
Бейзер А. Основные представления современной физики. — М.: Атомиз- дат, 1973. — 548 с.
Белонучкин В. Е., Заикин Д. А., Кингсеп А. С. и др. Задачи по общей физике. — М.: Физматлит, 2002.
Дубровский И. М., Егоров Б. В., Рябошапка К. П. Справочник по физике. — Киев: Наукова думка, 1986. — 558 с.
Енохович А. С. Справочник по физике. — М.: Просвещение, 1978. — 512 с.
Иродов И. Е. Задачи по общей физике. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 432 с.
Иродов И. Е. Задачи по квантовой физикее. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 216 с.
Иродов И. Е. Волновые процессы. Основные законы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999. — 256 с.
Иродов И. Е. Физика макросистем. Основные законы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 200 с.
Иродов И. Е. Квантовая физика. Основные законы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 272 с.
Иродов И. Е. Основные законы механики. — М.: Высшая школа, 1985. — 248 с.
Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма. — М.: Высшая школа, 1991. - 288 с.
Калашников С. Г. Электричество. — М.: Наука, 1985. — 576 с.
Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1976. — 480 с.
Киттелъ Ч., Найт В., Рудерман М. Механика. — М.: Наука, 1975. — 480 с.
Киттелъ Ч. Элементарная физика твердого тела. — М: Наука, 1965. — 368 с.
Кошкин И. И., Ширкевич М. Г. Справочник по элементарной физике. — М.: Наука, 1988. — 256 с.
Курс физики / Под ред. Папалекси Н. Д., т. 1, 2. — М.: Гостехиздат, 1948.
Кухлинг X. Справочник по физике. — М.: Наука, 1982. — 520 с.
Лансберг Г. С. Оптика. — М.: Наука, 1976. — 926 с.
Матвеев А. И. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1986. — 320 с.
Матвеев А. И. Молекулярная физика. — М.: Высшая школа, 1981. — 400 с.
Матвеев А. И. Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.
Наумов А. И. Физика атомного ядра и элементарных частиц. — М.: Просвещение, 1984 — 384 с.
Окунь Л.Б. о^ рС^ . . . ^ Z. Элементарное введение в физику элементарных частиц. — (Библиотечка «Квант», выпуск 45). М.: Наука, 1985. — 112 с.
Орир Дэю. Физика, т. 1, 2. — М.: Мир, 1981.
Парселл Э. Электричество и магнетизм. — М.: Наука, 1971. — 448 с.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1989. — 350 с.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. — М.: Наука, 1989. — 496 с.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 3. Квантовая физика. — М.: Наука, 1989. - 301 с.
Сивухин Д. В. Механика. — М.: Физматлит, 2002. — 576 с.
Сивухин Д. В. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: Физматлит, 2002. - 592 с.
Сивухин Д. В. Электричество. — М.: Физматлит, 2002. — 688 с.
Сивухин Д. В. Оптика. — М.: Физматлит, 2002. — 752 с.
Сивухин Д. В. Атомная физика. — М.: Физматлит, 2002.
Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975. — 560 с.
Таблицы физических величин, справочник / Под ред. И. К. Кикоина. — М.: Атомиздат, 1976. — 1008 с.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс. М. Фейнмановские лекции по физике, т. 1-9. - М.: Мир, 1965-1967.
Физика микромира. Маленькая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 528 с.
Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова, Т. 1-4. — М.: Сов. энциклопедия, 1988-1995.
Физический энциклопедический словарь / Под ред. А. М. Прохорова. — М.: Сов. энциклопедия, 1983. — 928 с.
Хайкин С. Э. Физические основы механики. — М.: Наука, 1971. — 752 с.
Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. — М.: Наука, 1985. - 512 с.
Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: Наука, 1974. — 942 с.
Приложения
Основные физические постоянные
Название
Обозначение
Значение
Боровский радиус
Й2
do —2
теке
5,2918 • 10"11 м
Гравитационная постоянная
6,6720-IO"11 Н • м2/кг2
Комптоновская длина волны протона
трс
1,3214 - 10"15 м
Комптоновская длина волны электрона
/г
е =
тес
2,4263 ■ 10“12 м
Коэффициент в законе Био- Савара
р-0
4тг
10-7 Гн/м
Коэффициент в законе Кулона
к =
4тгбо
9,00 • 109 м/Ф
Магнетон Бора
eh
Рв =
2 ТП е
0,9274 • 10“23 Дж/Тл
Магнитная постоянная
1
ЦО —2
£оС
1,2566 • 10“8 Гн/м
Магнитный момент протона
Pmpf Рр
1,4106 • 10“26 Дж/Тл
Магнитный момент электрона
Рте •) Ре
9,2848 ■ 10“24 Дж/Тл
Масса нейтрона
тп
1,6750 • 10"27 кг
Масса протона
тр
1,6726 • 10"27 кг
Масса электрона
те
9,1095 • 10"31 кг
Отношение масс протона и электрона
тр
те
1836,15
Постоянная Авогадро
Na
6,0220 • 1023 моль"1
Постоянная Больцмана
к = R/Na
1,3807 • 10“23 Дж/К
Постоянная Вина
ь
2,8978 • 10"3 м • К
Постоянная Планка
К
6,6262 • 10“34 Дж • с
Постоянная Планка
к h п=^
1,0546 -IO-34 Дж-с
Постоянная Ридберга для энергии
7 2 4 _ тек е
2Й2
13,605 эВ
Постоянная Ридберга для v
Rv = Rj^ivh
3,2898 • 1015 c"1
Постоянная Ридберга для ш
R^ = R/h
2,0671 • 1016 c"1
Постоянная Ридберга для А-1
Rx = R/^irch,
1,0974 ■ 107 m"1
Постоянная Стефана — Больцмана
тг^к4 60c2fi3
5,6703 ■ IO"8 Bt/(m2 ■ K4)
Скорость света в вакууме
c
2,9979 ■ 108 м/с
Удельный заряд электрона
— e/me
-1,7588 • 1011 Кл/кг
Удельный заряд протона
e/mp
0,9579 • 108 Кл/кг
Универсальная газовая постоянная
R
8,3144 Дж/(моль • К)
Электрическая постоянная
so
8,8542 ■ 10"12 Ф/м
Элементарный заряд
e
1,6022 • 10"19 Кл
Энергия покоя нейтрона
mn(?
939,57 МэВ
Энергия покоя протона
mpc^
938,28 МэВ
Энергия покоя электрона
mec2
0,51100 МэВ
Греческий алфавит
А, ос — альфа
I,i — йота
Р, р — ро
В, р — бета
К, к — каппа
Е, о — сигма
Г, у — гамма
А, А — ламбда
Т, т — тау
Д, 6 — дельта
М, ц — мю
Т, и — ипсилон
Е, Е — эпсилон
N, v — ню
Ф, ф — фи
Z, 5 — дзета
2,5 — кси
Х,х — хи
Н, т| — эта
О,о — омикрон
Ф. ф — пси
0,0 — тета
П, л — пи
Q, со — омега
Десятичные приставки
Множи
тель
Приставка
Множи
тель
Приставка
наименование
обозначение
наименование
обозначение
ю18
экса
Э
КГ1
деци
Д
ю16
пета
п
10-2
санти
с
ю12
тера
т
10"3
милли
м
ю9
гига
г
1(Г6
микро
мк
10е
мега
м
10-9
нано
н
103
кило
к
10"12
ПИКО
п
ю2
гекто
г
10"1в
фемто
ф
ю1
дека
да
10-18
атто
а
Массы легких нуклидов
Z
Нуклид
M — А, а.е.м
Z
Нуклид
M — А, а.е.м
0
п
0,00867
6
nc
0,01143
1
4Н
0,00783
12C
0
2Н
0,01410
13C
0,00335
Зн
0,01605
7
13N
0,00574
2
3Не
0,01603
14N
0,0037
4Не
0,00260
16N
0,00011
3
6 Li
0,01513
8
1BO
0,00307
7 Li
0,01601
16O
-0,00509
4
7Ве
0,01693
170
-0,00087
8 Be
0,00531
9
19p
-0,00160
9 Be
0,01219
10
20Ne
-0,00756
10Ве
0,01354
11
23Na
-0,01023
5
ioB
0,01294
24Na
-0,00903
nB
0,00930
12
24Mg
-0,01496
Элементарные частицы
Q — электрический заряд, L — лептонный заряд, / — спин, Р — четность, В — барионный заряд, S — странность, С — очарование, Т — изотопический спин, Тz — проекция изотопического спина
1. Лептоны (/ = 1/2, В = 0)
Частица
Масса, МэВ
Q
Lv
LT
Время жизни, с
Основные каналы распада
<8 эВ
0
±1
0
0
V Уц
<0,27
0
0
±1
0
уТ1 vT
<31
0
0
0
±1
е-е+
0,51100
т1
±1
0
0
105,66
+1
0
±1
0
2,19710-®
е- УеУц
т-, т+
1784
т1
0
0
±1
2,9510"13
е- ve vT^
Уц Ут', TV- Ут
2. Кварки
Кварк
Q
/
т
Tz
в
S
с
ь
t
m, ГэВ
и
+2/3
1/2
1/2
+1/2
1/3
0
0
0
0
0,005
d
-1/3
1/2
1/2
-1/2
1/3
0
0
0
0
0,075
8
-1/3
1/2
0
0
1/3
-1
0
0
0
0,150
С
+2/3
1/2
0
0
1/3
0
1
0
0
1,5
Ъ
-1/3
1/2
0
0
1/3
0
0
-1
0
5
t
+2/3
1/2
0
0
1/3
0
0
0
1
175
3. Фундаментальные бозоны
Частица
Масса, ГэВ
1р
Ширина, ГэВ
Фотон, 7
0
1"
Стабилен
z°
91,19
1
2,49
W+, W"
80,15
1
2,25
4. Некоторые барионы и барионные резонансы (L = О, В = 1)
Частица
Кварковый состав
Масса, МэВ
Ip
s
C
b
T
Tz
Время жизни, с (ширина, МэВ)
Р
uud
938,27
l/2+
0
0
0
1/2
1/2
>5 1032 лет
н
udd
939,57
l/2+
0
0
0
1/2
-1/2
889
Л
uds
1115,6
l/2+
-1
0
0
0
0
2,63-Ю-10
s+
uus
1189,4
l/2+
-1
0
0
1
1
О,799 1О-10
uds
1192,5
l/2+
-1
0
0
1
0
7,4-Ю"20
Е"
dds
1197,4
l/2+
-1
0
0
1
-1
1,48-Ю-10
^0
USS
1314,9
l/2+
-2
0
0
1/2
1/2
2,9О1О-10
dss
1321,3
l/2+
-2
0
0
1/2
-1/2
1,64-1О-10
д-
ddd
1232
3/2+
0
0
0
3/2
-3/2
(П5)
д°
udd
0
0
0
3/2
-1/2
д+
uud
0
0
0
3/2
1/2
л++
uuu
0
0
0
3/2
3/2
Q-
sss
1672,4
3/2+
-3
0
0
0
0
О,82-1О“10
At
udc
2285
l/2+
0
1
0
0
0
1,910-13
Sc
dde
2453
l/2+
0
1
0
1
-1
?
dsc
2469
l/2+
-1
1
0
1/2
-1/2
10“13
fi®
ssc
2706
l/2+
-2
1
0
0
0
?
Аь
udb
5620
l/2+
0
0
-1
0
0
1,010“12
5. Некоторые мезоны и мезонные резонансы (L = О, В = 0)
Частица
Кварко вый состав
Масса, МэВ
Q
Ip
s
c
b
T
Время жизни, с (ширина, МэВ)
7Г+, 7Г~
ud, du
139,57
±1
0“
0
0
0
1
±1
2,603-Ю"8
7Г°
ий, dd
134,97
0
0“
0
0
0
1
0
8,4-10“17
Т)
ии, dd, si
548,8
0
0”
0
0
0
0
0
(0,0012)
ий, dd, si
957,2
0
0”
0
0
0
0
0
(0,208)
К+, К"
ul, US
493,65
±1
0”
±1
0
0
1/2
±1/2
1,237 10“8
к0, к0
di, ds
497,67
0
0“
±1
0
0
1/2
±1/2
0,892-Ю-10 5,17-Ю"8
р+,р~
ud, du
768,3
±1
1"
0
0
0
1
±1
(149,1)
р°
uu, dd
0
1"
0
0
0
1
0
ш
uu, dd, si
781,95
0
1“
0
0
0
0
0
(8,43)
uu, dd, si
1019,4
0
1“
0
0
0
0
0
(4,41)
К*+, К*-
ul, US
891,8
±1
1“
±1
0
0
1/2
±1/2
(49,8)
к*^ к*^
di, ds
0
1“
±1
0
0
1/2
±1/2
D+, D"
de, de
1869,3
±1
0“
0
±1
0
1/2
±1/2
10,610"13
D0, Ь°
uc, uc
1864,5
0
0”
0
±1
0
1/2
±1/2
4,2-10“13
d+,d;
cl, cs
1968,8
±1
0“
±1
±1
0
0
0
4,410“13
В+, В"
ub, ub
5278,8
±1
0”
0
0
±1
1/2
±1/2
1,6-10“12
в0, в0
db,db
0
0”
0
0
±1
1/2
±1/2
1,5-10"12
Лс
cc (чармоний)
2980
0
0“
0
0
0
0
0
(Ю)
JH
3096,9
0
1“
0
0
0
0
0
(0,068)
Y
bb
9460,3
0
1“
0
0
0
0
0
(0,052)
Некоторые астрономические постоянные
Название
Обозначение
Значение
Стандартное ускорение свободного падения
g
9,8067 м/с2
Масса Земли
М3
5,976 • 1024 кг
Плотность Земли (средняя)
Рз
5,52 • 103 кг/м3
Радиус Земли (средний)
Дз
6378 км
Расстояние от Земли до Луны (среднее)
—
3,844 • 108 м
Расстояние от Земли до Солнца (среднее)
—
1,496 • 1011 м
Масса Солнца
Мс
1,99- Ю30 кг
Радиус Солнца (средний)
Нс
6, 96 ■ 108 м
Масса Луны
Мд
7, 35 • 1022 кг
Радиус Луны
Нл
1,74- 10е м
Предметный указатель
Абсолютно черное тело 180
Абсолютное будущее 43
Абсолютное прошлое 43
Адиабатическая оболочка 50
Адроны 287
Активность радиоактивного образца
264
Альфа-распад 264
Амплитуда колебаний 125
Ароматы кварков 288
Атом
— во внешнем магнитном поле 220
— водорода 195
в квантовой механике 210
Атомная единица массы 256
Барионный заряд 295
Барионы 287
Бета-распад 266
Биения 127
Билинза Бийе 159
Бипризма Френеля 159
Бозе-эйнштейновская конденсация
232
Бозон 215, 228
Боровский радиус 195
Вектор
— Пойнтинга 122
— Умова 141
Векторная диаграмма 126
Векторные бозоны 286
Великое объединение 297
Взаимная индукция 118
Взаимосвязь энергии и массы 44
Вибратор Герца 148
Виртуальные частицы 259, 287
Водородный цикл термоядерных реакций 284
Водородоподобные ионы 196
Волна
в воздушном столбе 140
в натянутой струне 140
— в упругом стержне 139
— гармоническая 138
— плоская 137
— плоскополяризованная 146
— поляризованная по кругу 147
— поперечная 137
— продольная 137
— стоячая 143
— эллиптически поляризованная 147 Волновая
— зона 148
— поверхность 138
— функция 197
Волновое
— сопротивление контура 133
— уравнение 139
— число 138
Волны
— Блоха 246
де Бройля 197
сферические и цилиндрические 139
Восприимчивость
— диэлектрическая 89
— магнитная 112
Вращение
— вокруг неподвижной оси 10
— плоскости поляризации 175
магнитное 176
Время
— высвечивания атома 150
— когерентности 127, 160
— релаксации 48
Вымораживание степеней свободы 63
Вынужденное (индуцированное) поглощение 189
Вырожденный ферми-газ 233
Высвечивание атома 150, 158
Выход ядерной реакции 273
Вязкость 73, 74
Газ
— разреженный 75
— ультраразреженный 75
Гамильтониан 204
Гамма-распад 269
Гармоники 135, 144
Гауссова поверхность 83
Геометрическая оптика 152
Гипероны 288
Гиромагнитное отношение 210
Гироскоп 39
— тяжелый 40
Гироскопическое приближение 39
Главное квантовое число 210 Главные
— диэлектрические проницаемости 174
максимумы дифракционной решетки 168
Глюоны 260, 287, 289
Голография 162
Гравитационная и инертная массы 30
Граница рентгеновского спектра 218
Давление — волны 147 — света 187
Дальнодействие и причинность 14
Движение
в центральном поле 22, 26, 209
вращательное 10
инфинитное 24
по окружности 8, 9
поступательное 10
реактивное 18
твердого тела
с неподвижной точкой 37
плоское 10, 37
финитное 24
Двулучепреломление 174
Двухфазная система 68
Дебаевская частота 238
Действующее напряжение 136
Дейтерий 253
Дейтрон 253
Декремент затухания 133
Деление ядер 278
Дефект массы 256
Диаграмма направленности излучения 149
Диамагнетики 110, 112
Динамика электрона в кристалле 247
Диполь
во внешнем поле 81
электрический 77
Дипольный момент 77
Дискретность уровней энергии 200
Диспергирующая среда 141, 176
Дисперсионная область 169
Дисперсия 138, 141
— света
аномальная 177
нормальная 177
Дифракционная решетка 168
как спектральный прибор 169 Дифракция
рентгеновских лучей на кристалле 170
Фраунгофера на круглом отверстии 167
Фраунгофера от щели 166
Дифференциальные сечения реакций 273
Дихроичная пластина 175
Диэлектрик
— изотропный 89
— неполярный 92
— полярный 91
Длина
— волны 138
— когерентности 160
Добавочное давление под искривленной поверхностью 71
Добротность (колебательной системы) 135
Домены 93, 114
Дырки 245, 249
Емкость
(электроемкость) проводника 85
конденсатора 93
Естественные переменные 60
Жесткость эффективная 128
Жидкость перегретая 66
Закон
Ампера 104
Био-Савара-Лапласа 105
Бугера 179
Видемана- Франца 102
Видемана-Франца 236
всемирного тяготения 30
Дальтона 63
Джоуля-Ленца 99
Дюлонга и Пти 237
движения 7
— Кеплера второй 26, 32 первый 32 третий 32
— Кирхгофа 180
— Кулона 76
— Малюса 171
— Мозли 219
— Ньютона
второй 14
первый 12
третий 14
— независимости световых пучков 152
— Ома 99
для неоднородного участка цепи 100
для неразветвленной цепи 101
для однородного участка цепи 99
— отражения света 152
— прямолинейного распространения света 152
— Релея 179
радиоактивного распада 263
Снеллиуса 152, 172
Стефана-Больцмана 181
смещения Вина 182
— сохранения
импульса 17
механической энергии 22
момента импульса 28, 293
электрического заряда 76
энергии 293
энергии для электромагнитного поля 122
Фарадея 116
— Фика 74
фотоэффекта
второй 185
первый 185
электромагнитной индукции 115 Законы
геометрической оптики 152
Кеплера 32
Запаздывающие нейтроны 280
Запаздывающие потенциалы 121 Заряд
пробный 78
точечный 76
— электрический 76
— элементарный 76
Заряды
— свободные 85, 98
— связанные 88
Звуковые ветви 241
Зеркала Френеля 159
Зеркало Ллойда 159
Зона
— валентная 245
— проводимости 244
Зоны Френеля 164
Излучательная способность абсолютно черного тела 180
Излучение
— Вавилова-Черенкова 162
— вынужденное 190
— движущегося заряда 148
— плоского тока 147
— спонтанное 189
Изменение механической энергии 22
Изобары 253
Изотермический модуль всестороннего сжатия 49
Изотермы
реального газа 66
Изотермы газа Ван-дер-Ваальса 67
Изотопический эффект 196
Изотропный магнетик 111
Импульс 13, 16
и энергия в СТО 44
релятивистский 44
— силы 13
Инвариантность 16
Инверсная заселенность уровней 191
Индуктивность (коэффициент самоиндукции) 117
Индуктивность соленоида 118
Интеграл Фурье 127
Интенсивность
— волны 141
лучистого потока 154
пучка 73
— электромагнитной волны 147
Интервал 43
— времениподобный 43
— пространственноподобный 43
Интерференция 142
— большого числа волн 158
— в тонких пленках 161
— двух волн 157
Искусственная — анизотропия 175
Истинно нейтральная частица 287
Источники — поля 14
Калибровка — Лоренца 121
Калибровочное
— преобразование 109, 121
Капельная (гидродинамическая) мо
дель ядра 261
Капиллярные — явления 72 Квазиимпульс 242 — электрона 246
Квазиклассическое приближение
229
Квазистационарное — приближение 117 Квазичастицы 242 Квант света 186
Квантовая хромодинамика 290
Квантовое число
— главное 210
— магнитное 208, 209
спиновое 212
— орбитальное 208
— радиальное 209
— спиновое 212
Квантовый
— генератор (лазер) 192
— осциллятор 201, 205
Кварки 260, 288
Кварковая структура адронов 288
Кипение 70
Классификация кристаллов 244
Классическая электронная теория
металлов 102
Когерентность
— временная 160
— пространственная 159, 160
— световых волн 156
Когерентные
— волны 142
— источники 142
— кванты 191
Колебания
— вынужденные 133
механические 133
электрические 135
— гармонические 125
— затухающие 132
электрические 133
— изохронные 130
— когерентные 127
— линейно поляризованные 128
— модулированные 127
— свободные 125
в электрическом контуре 131
— систем с несколькими степенями свободы 130
— собственные 125
в упругом стержне 139
— эллиптически поляризованные 128 Количество
— вещества 47
— теплоты 49
Кольца Ньютона 162
Компенсатор 175
Комплексная
— амплитуда 126
— экспонента 126
Комптоновская длина волны 189
Конденсатор 93
— плоский 94
— сферический 94
— цилиндрический 94
Конденсаторы составные 94
Континуальное приближение 238
Конфайнмент кварков 291
Корпускулярно-волновой дуализм
197
Коэрцитивная сила 114
Коэффициент
— вязкости 74
диффузии 74
затухания 132
волны 138
качества излучения 270
квантового усиления 191
ослабления волны 179
отражения 173
поверхностного натяжения 70
поглощения 275
полезного действия замкнутого цикла 53
— размножения нейтронов 281
— теплопроводности 74
Коэффициенты
— взаимной индукции 118
— Эйнштейна 190
Краевой угол 72
Красная граница фотоэффекта 185
Кривая
— видности 155
— возгонки 69
— парообразования 69
— плавления 69
— сосуществования фаз 68
Критерий Рэлея 168
Критическая
— масса 281
— опалесценция 179
Критический объем 66
Критическое давление 66
Лазер 191
Ламбертовский
— источник 156
Ларморовская прецессия 113
Лауэограммы 170
Лептоны 291
Линейчатые спектры 193
Локальное равновесие 48
Лоренцов 4-вектор 44
Лоренцов четырехмерный вектор 44
Лучистый поток 154
Магические ядра 257
Магнетон Бора 210
Магнитная индукция 103
Магнитный момент 209
— ядра 253
Масса 13
Материальная точка 7
Мезоны 288
Метастабильные состояния 66
Метод
векторных диаграмм 126
узловых потенциалов 101
электростатических изображений
87
Механизм
прямых ядерных реакций 275
составного ядра 275
Механизмы
— намагничивания 113
поляризации 91
Микроскопическая модель ядра 260 Модель — атома
планетарная 194
Томсона 193
ядерная 194
Бора 195
испарения (ядра) 276
ядерного ферми-газа 261
Момент
— импульса 25
— инерции 35
— магнитный 103, 110
— силы 24
Мощность
— механическая 19
— на участке цепи 101
Мультиплетность уровней 217
Мюон 291
Намагниченность НО
Направление неравновесных процессов 48
Напряжение 93
— задерживающее 185
Напряженность
— магнитного поля 111
— поля тяготения 31
— электрического поля 78
Начало термодинамики
— второе 53
— первое 50
— третье 59
Начальные условия 9
Нейтрино 268, 291
Необыкновенная волна 174
Неравенство Клаузиуса 56
Николь 174
Нормальные колебательные моды 131
Носители тока 98
Нуклиды 253
Нуклоны 252
Нулевые колебания 197, 202
Нутация земной оси 39
Обертоны 144
Оболочечная модель ядра 262
Объемная плотность энергии волны 140
Обыкновенная волна 174
Одноосный кристалл 174
Оператор орбитального углового мо
мента 206
Операторный подход 204
Операторы физических величин 203
Оптическая длина пути 153
Оптически
— активные среды 175
— анизотропные среды 173
Оптические ветви 241
Опыт Юнга 157
Опыты
— Дэвиссона-Джермера 198
— Резерфорда 193
Освещенность 155
— энергетическая 155
Основное
уравнение кинетической теории идеального газа 60
Основное состояние атома 195
Основной
закон релятивистской динамики 46
постулат статистической физики 230
Основные положения молекуляр- но=кинетической теории 47
Остаточная намагниченность 114
Ось
вращения 10
мгновенная 11
— оптическая 154
Относительность движения 10
Отражение
бегущей волны 144
и преломление света 171
Пар
насыщенный 66
— переохлажденный 66
Парадокс
— близнецов 42
— Гиббса 58
Параксиальное приближение 154
Парамагнетики ПО, 112
Параметры
— термодинамические 47
Первая зона Бриллюэна 240
Перемещение 7
— контура с током в магнитном поле 108
Период
— дифракционной решетки 168
— колебаний 125
Период полураспада 264
Петля гистерезиса 114
Пластинка в четверть волны 175
Плечо силы 24
Плоскость
— падения 152
— поляризации 146
— поляризации волны 170
— пропускания поляризатора 171
Плотность 17
— вероятности 64, 197
— заряда
линейная 77
поверхностная 77
пространственная 77
— потока
вероятности 199
энергии волны 147
— состояний 182, 233
электронного газа 234
энергетическая 233
— тока 98
Плотность энергии электрического поля 96
Поверхность Ферми 235
— электронов в металле 249
Поглощательная способность 180
Поглощенная доза излучения 270
Подход
— статистический 47
— термодинамический 47
Показатель
— адиабаты 52
— преломления
абсолютный 152
относительный 152
Поле 14
внешнее стационарное 14
диполя 81
заряженного шара 84
заряженной нити 83
заряженной плоскости 83
— однородное 15
— отрезка 79
— плоскости с током 108
— потенциальное 20
— силовое 14
системы зарядов 79
соленоида 107
толстого провода 108
точечного заряда 78
центральное 14
электрическое 78
электромагнитное 77
электростатическое 78
Полезная мощность источника тока 101
Полное отражение света 152
Полосы
равного наклона 161
— равной толщины 161
Полуметалл 244
Полупроводник
— п-типа 245
— р-типа 245
— чистый 245
Поляризатор 171
Поляризационная призма 174
Поляризация диэлектрика 88
Поляризованность 88
Поляризуемость молекулы 92
Порог ядерной реакции 277
Порядок интерференции 159
Постоянная
— Больцмана 58, 62
— Верде 176
— Керра 175
— Планка 184
— Ридберга 193, 195, 196
распада 263
тонкой структуры 214
электрическая 77
Постулаты
Бора 195
СТО 40
Потенциал
векторный 109
— поля
системы зарядов 80
точечного заряда 80
тяготения 31
проводника 85
электростатического поля 79
Потенциальная функция контура с током в магнитном поле 108
Потенциальная энергия 20
заряда в электростатическом поле 80
Потенциальные кривые 23
Поток вектора напряженности 82
Правила
— Кирхгофа 101
— отбора 210, 218
— Хунда 217
Правило
— Ленца 116
— Максвелла 67
Преломление линий напряженности
90
Преобразования
— Галилея 16
— Лоренца 41
Прецессия гироскопа 40
Приближение Фраунгофера 157
Приведенная
— длина(физического маятника) 130
— масса 29
Принцип
— Гюйгенса 153
— Гюйгенса-Френеля 163
Принцип единственности 87
— запрета Паули 215
— относительности
Галилея 15
Эйнштейна 40
— соответственных состояний 68
— соответствия 40
— суперпозиции
полей 30
— Ферма 153
Принцип суперпозици
— полей 79
Принцип суперпозиции
(для волн) 137
(для волновых функций) 198
Проводимость собственная 245
Проводник
во внешнем электрическом поле 86
Проводящий шар в однородном поле
87
Промежуточные бозоны 287
Проницаемость
— диэлектрическая 89
— магнитная 112
Просветление оптики 173
Простые термодинамические системы 48
Протий 253
Протон 252
Процесс
— Джоуля-Томсона 51
— изобарный 52
— изотермический 52
— обратимый 48
— политропный 52
Путь 7
Пучности (стоячей волны) 143
Работа
— выхода 236
— механическая 19
Равновесное макросостояние 230
Равнодействующая 14
Радиационный захват 282
Радиоактивность 263
Радиоактивные семейства 269
Радиус-вектор 7
Разность хода
— волн 142
— оптическая 158
Разрешающая
— способность 169
оптических приборов 167
Распределение
— Бозе-Эйнштейна 231
— Больцмана 65
— Максвелла 63
— Максвелла-Больцмана 65, 232
— Ферми-Дирака 232
Рассеяние 272
— света 178
рэлеевское 179
— тиндалевское в мутных средах 179
Реакции
— экзоэнергетические 277
— эндоэнергетические 277
Реакции связей 15
Реакции синтеза 283
Резонанс 134
Резонансами 287
Резонансное поглощение 271
Релятивистские свойства полей 123
Ридберговская поправка 211
Ряд Фурье 127
Самодиффузия 74
Самоиндукция 117
Самосогласованное поле 214, 229
Сверхтонкая структура 254
Свет
— естественный 170
— поляризованный 171
— частично поляризованный 171
Светимость 156
— энергетическая 156
Световой поток 155
Световые
— лучи 152
— пучки 152
Свободная энергия 59
Свободные оси 38
Свободный симметричный волчок 39
Связанные маятники 131
Связанные состояния 200
Связь
Рассела-Саундерса 217
силы с потенциальной энергией 21
Сегнетоэлектрики 93
Серое тело 180
Сечение реакции 273
Сила 13
— Ампера 104
— возвращающая 128
— Кориолиса 34
— квазиупругая 128
— Лоренца 103
— обобщенная 128
— поверхностного натяжения 71
— равнодействующая 14
— реактивная 18
— результирующая 14
— света источника 155
— сухого трения 15
— тока 98
— тяжести 15
— упругости 15, 20
— центробежная 34
Силовые линии 83
Силы
— инерции 33
— консервативные 20
— неконсервативные 20
— природы 15
— сторонние 100
Сильное взаимодействие 286
Система
— консервативная 20
— материальных точек 16
замкнутая 16
— отсчета 7
— центра масс 16
Системы отсчета инерциальные 12
Скорости
— космические 33
— релятивистские 40
Скорость 8
— вторая космическая 33
— групповая 141
— первая космическая 33
— переносная 11
— средняя (среднеарифметическая)
65
— средняя квадратичная 62
— угловая 9
— фазовая 141
Слабое взаимодействие 286
Сложение
— гармонических колебаний 126
взаимно перпендикулярных 127
одного направления 126
— скоростей 10
в СТО 43
— угловых моментов 208
— угловых скоростей 11
Смачивание 72
Смесь идеальных газов 63
Собственное время 42
Соединение проводников 86
Соизмеримость физических величин
204
Сокращение длины 42
Соотношение Больцмана 190
Соотношения неопределенностей
Гейзенберга 198
Сопротивление
— активное 136
— емкостное 136
— индуктивное 136
— проводника 99
— реактивное 136
Состав ядра 252
Состояние
— квазиравновесное 48
— равновесное 48
Спектральное разложение света 154
Спектральные серии 196
Спектры щелочных металлов 211
Специальная теория относительности Эйнштейна (СТО) 40
Спин 212
Спин ядра 253
Спонтанные и вынужденные переходы 189
Среднее время жизни ядра 264
Статистика
— Бозе-Эйнштейна 228
— Максвелла-Больцмана 228
— Ферми-Дирака 228
Статистические распределения 228
Статистический вес 58, 230
Статистический смысл энтропии 58
Стационарное состояние 199
Степени свободы 7
Странность 295
Таблица Менделеева 215
Твердое тело 10
Тело однородное 17
Температура 49, 54
— в кинетической теории газов 61
— Дебая 239
— Кюри 93, 114
— кипения 70
— Ферми 235
Температурный коэффициент
— давления 49
— объемного расширения 49
— сопротивления 100
Теорема
— Блоха 246
— взаимности 118
— Гаусса 82
для магнитного поля 107
для электрического смещения 89
— Ирншоу 84
— Кёнига 20
— Карно 54
— Нернста 59
— о циркуляции 107
— о взаимно перпендикулярных осях 36
— о главных осях инерции 38
— о кинетической энергии 20
— о равнораспределении энергии по степеням свободы 62
— Штейнера 36
Теория
— Дебая 238
— Зоммерфельда 234
— конечных ферми-систем 260
— Эйнштейна 237
Тепловое излучение 179
— равновесное 179
Теплоемкость 50
— молярная 52
— при постоянном давлении 52
— при постоянном объеме 51
— удельная 52
Теплообмен 49
Теплопроводность 74
Теплопроводность металлов 236
Теплота фазового перехода 69
Термодинамика поверхностного слоя
71
Термодинамическая шкала температур 54
Термодинамический потенциал
Гиббса 60
Термы 193
— сложных атомов 217
Тождественность частиц 214
Ток
— проводимости 98
— смещения 120
Токомак 285
Тонкая структура спектральных линий 212, 213
Тормозное рентгеновское излучение
187
Точки поворота 24
Траектория 7
Трехфазная система 69
Тритий 253
Тритон 253
Тройная точка 69
Туннельный эффект 203
Углеродный цикл термоядерных реакций 284
Угловая дисперсия 169
Угол Брюстера 172
Удар
— неупругий 23
— упругий 23
Удельная
— активность 264
— рефракция 178
— теплота перехода 69
Удельная проводимость 99
Удельная энергия связи 256
Удельное сопротивление 99
Удельный
— объем 69
— термодинамический потенциал 60
Узлы (стоячей волны) 143
Ультрафиолетовая катастрофа 183
Уравнение
— Ван-дер-Ваальса 48, 67
— гармонических колебаний 125
— Даламбера 121
— движения 14
— Клапейрона-Клаузиуса 69
— Клапейрона-Менделеева 48
Уравнение Майера 52
— Мещерского 18
Пуассона 52
Пуассона (для потенциала) 85
плоской гармонической волны 138
— процесса 49
— состояния 48
калорическое 50
термическое 50
— Циолковского 18
— Шредингера 199
временное 199
стационарное 199
— Эйнштейна для фотоэффекта 187
Уравнения
— Максвелла
в вакууме 121
в магнитостатике 109
в среде 122
в электростатике 84
— состояния канонические 60
— Эйлера 39
Уровни
— акцепторные 245
— донорные 245
Ускорение 8
— кориолисово 12
нормальное 8
свободного падения 31
тангенциальное 8
центростремительное 9
Условие
Вульфа-Брегга 170
— квантования Бора-Зоммерфельда
197
Условия
— Лауэ 170
— на границе раздела диэлектриков 90
— на границе раздела магнетиков 111
— равновесия фаз 68
Устойчивость 24
Учет движения ядра 196
Фаза 68
— начальная 125
Фазовый переход
второго рода 70
первого рода 69
Фактор Ланде 220
Фермион 215, 228
Ферромагнетики 110
Фигуры Лиссажу 128
Физический маятник 129
Флуктуации 230
Фокальная плоскость 154
Фокус оптической системы 153
Фононы 242
Форма ядер 254
Формула
Больцмана 58
— барометрическая 65
— Вейцзеккера 261
— Вина 182
— Дебая-Ланжевена 92
— Клаузиуса-Масотти 93
— Лапласа 71
— Лорентц-Лоренца 178
— Планка 183
Ричардсона-Дэшмана 236
Рэлея-Джинса 182
Формулы
де Бройля 197
— Френеля 172
Фотометрические характеристики световой волны 155
Фотометрия 154
Фотон 186
Фотоэффект 185
— внешний 185
— внутренний 186
Фотоэффектом 186
Фронт волны 138
Фундаментальные взаимодействия 286
Характеристические рентгеновские спектры 218
Химический потенциал 60, 231
Цвет (квантовое число) 289
Центр
— масс 16
Центр качаний (физического маятника) 130
Центр тяжести 25
Центробежная энергия 209
Цепная реакция 281
Цикл Карно 53
Циркуляция магнитной индукции
107
Цуг волн 158
Чармоний 289
Частота колебаний 125
— круговая 125
— циклическая 125
Четность 294
Четырехмерный вектор энергии- импульса 44
Числа
— магические 257
Число
— Авогадро 47
— зарядовое 252
— массовое 252
— степеней свободы молекулы 62
— ударов о стенку 61
Шкала электромагнитных волн 151
эдс
— самоиндукции 117
ЭДС взаимной индукции 118
Эквивалентные сопротивления и источники 102
Эквипотенциальные поверхности 83
Электрическое
— смещение 89
Электрическое поле
— вихревое 115
— релятивистской частицы 124
Электродвижущая сила источника (ЭДС) 100
Электромагнитное взаимодействие 286
Электронная
— оболочка 215
— теплоемкость металлов 236
Электронный захват 267
Электропроводность металлов 236
Электрослабое взаимодействие 292,
297
Электростатическая индукция (явление) 86
Элементарная ячейка фазового пространства 229
Энергетическая сила источника 155
Энергетические зоны
— запрещенные 243
— разрешенные 243
Энергетический метод (определения частоты) 126
Энергия
— внутренняя 22, 45, 49
газа Ван-дер-Ваальса 55
идеального газа 51, 55, 62
— ионизации 194
— кинетическая 19
— конденсатора 96
— контура с током 119
— механическая 22
— покоя 45
— потенциальная 20
— релятивистская 45
— связи ядра 255
— системы зарядов 95
— точки во внешнем потенциальном поле 20
— уединенного проводника 96
— Ферми 232
электронов 234
— электромагнитных волн 147
— эффективная потенциальная 27
— ядерной реакции 276
Энтальпия 51
Энтропия 56
— газа Ван-дер-Ваальса 57
— идеального газа 57
— перехода 69
— смешения 58
Эргодическая гипотеза 230
Эффект
— Доплера
для электромагнитных волн 150
— Доплера в акустике 144
— Зеемана
аномальный 212
нормальный 210
— Керра 175
— Комптона 188
— Коттона-Мутона 176
— Мессбауэра 271
— Пашена-Бака 221
Эффект симметрии 257
— спаривания 257
— Холла 114
Эффективная масса 248
Эффективное сечение 72
Ядро
— дочернее 263
— материнское 263
Яма
— с бесконечными стенками 200
— с конечными стенками 200
Яркость 155
— энергетическая 155
Учебное издание
ЧЕРНОУЦАН Алексей Игоревич
КРАТКИЙ курс физики
Редактор И.Н. Жетвина
Оригинал-макет: В. В. ДядичевОформление переплета: А. А. Логунов
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 25.07.02. Формат 60x90/16Бумага офсетная. Печать офсетная
Усл. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 21. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0292-3
Е~ 2 + E^>-^V"dt)
Видно, что зависимость г^ такая же, как при одномерном движении с эффективной потенциальной энергией, определяемой равенством
1 q^21 q^*2 i Qn
— к—о + const = —к—о Ч—к— при г < R2R32R32 R v
(константа определяется из условия непрерывности потенциала на поверхности шара).
► Теорема Ирншоу. С помощью теоремы Гаусса можно убедиться в справедливости теоремы Ирншоу, которая утверждает, что точечный заряд в пустой области пространства не может находиться в состоянии устойчивого равновесия под действием электрических сил. Действительно, в этом случае напряженность поля остальных зарядов на маленькой сфере, окружающей заряд, должна быть всюду направлена внутрь сферы (если рассматриваемый заряд положительный), но это противоречит теореме Гаусса (все остальные заряды находятся вне сферы).
Уравнения Максвелла в электростатике. Условие потенциальности электростатического поля
Е • dr = 0=> rot Е = О
представляет собой одно из уравнений Максвелла (в интегральной и дифференциальной форме) для случая электростатики. Второе уравнение —
В случае, когда падающая частица и продукты распада нельзя считать
нерелятивистскими, порог эндотермической реакции т + Л7 ^- mi + m2 +. . .
УДК 530.1
449 ББК 22.3
Черноуцан А. И. Краткий курс физики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с. - ISBN 5-9221-0292-3.
Книга содержит сжатое изложение всех основных вопросов курса физики, включенных в программы подготовки бакалавров и специалистов по инженерным и физическим специальностям технических вузов. Она не претендует на роль основного учебника, но является полезным дополнением к известным курсам физики, приведенным в списке литературы. Ее удобно использовать для повторения пройденного материала непосредственно перед зачетом, коллоквиумом или экзаменом, а также для быстрого восстановления в памяти забытого материала.
Книга будет полезна не только студентам, но и преподавателям, а также тем инженерам и научным сотрудникам, кому понадобится вспомнить отдельные разделы подзабытого курса физики.
ISBN 5-9221-0292-3ISBN 5-9221-0292-3© ФИЗМАТЛИТ, 2002
ISBN 5-9221-0292-3
ISBN 5-9221-0292-3