Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по электронной теории вещества предназначен для студентов физических специальностей педагогических институтов.
При составлении и подборе задач авторы, используя свой опыт преподавания электронной теории вещества как раздела теоретической физики в Горьковском государственном педагогическом институте, руководствовались следующими принципами: 1) органическая связь с теоретическим курсом; 2) последовательность; 3) доступность математического аппарата.
В задачнике содержится свыше 300 задач по основным разделам этого курса: в начале каждого параграфа имеется краткое теоретическое введение, где приводятся основные формулы; наиболее важные и сложные задачи снабжены решениями, к остальным даны ответы. Многие задачи взяты из опубликованных пособий, часть задач и большинство решений составлены авторами. Изложение ведется в Международной системе единиц (СИ).
Авторы благодарны профессору М. С. Свирскому, доценту Э. Д. Годяеву, к. п. н. В. М. Шитову за их труд по рецензированию пособия и ценные замечания, которые способствовали его улучшению, а также всем читателям, которые пришлют свои замечания и предложения по улучшению данного сборника.
ТИПЫ СВЯЗЕЙ АТОМОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХИ ГЕОМЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Энергия связи кристаллов
Кристаллические твердые тела по характеру межатомных сил делятся на ионные, ковалентные, молекулярные, металлические и кристаллы с водородной связью.
Энергия ионных кристаллов, отнесенная к паре разноименных ионов, выражается формулой
+d-D
где q — заряд иона, а —постоянная Маделунга, г—расстояние между ближайшими ионами, ^, п — постоянные. Первое слагаемое в формуле (1.1) представляет энергию кулоновского межионного взаимодействия, второе-энергию короткодействующих сил отталкивания, обусловленных перекрытием электронных оболочек соседних атомов. Значения постоянной Маделунга а для различных типов кристаллических структур приведены в таблице 3 (см. приложение).
В молекулярных кристаллах в узлах решетки находятся молекулы или нейтральные атомы. Между атомами, находящимися друг от друга на расстоянии г, возникает слабое флуктуационно-дипольное притяжение (силы Ван-дер-Ваальса), при этом потенциальная энергия равна:
1/(г) = _£.) С = const.(1.2)
В металлических кристаллах связь обусловлена взаимодействием положительно заряженных ионов и электронов проводимости. Согласно простейшей модели щелочных металлов ионы рассматриваются как точечные заряды, локализованные в узлах решетки, а электроны проводимости — как постоянный однородный фон отрицательного заряда. В этом случае энергия щелочного металла в расчете на один атом представляется выражением
..2
т т/ \, ЗЙ2\з
^Г^ ”40л£0г$ + Ютог? \ 4 / 5'
где е, m0—заряд и масса электрона соответственно, rs —радиус сферы Вигнера —Зейтца, т. е. радиус сферической области, содержащей один электрон (в центре сферы расположен точечный ион), /2 —постоянная Планка.
Модуль всестороннего сжатия кристалла определяется по формуле
B = (1.3)' х aV
где х —коэффициент сжимаемости, V—объем кристалла, Р—давление.
Вычислить постоянную Маделунга для линейной бесконечной цепочки ионов, чередующихся по знаку электрического заряда (±е).
Найти полную энергию в равновесном состоянии одномерного ионного кристалла, состоящего из 2N чередующихся по знаку заряда (± е) ионов. Считать потенциальную энергию отталкивания для ближайших соседей пропорциональной --, где п>1. Равновесное расстояние между соседними ионами равно а0.
Вычислить постоянную Маделунга для двумерной решетки NaCl. Суммирование провести для последовательности атомных слоев, каждый из которых включает в себя электронейтральную группу атомов (метод Эвьена). При подсчете учесть атомы трех электронейтральных групп.
Вычислить постоянную Маделунга для структуры хлорида натрия NaCl.
Указание. Воспользовавшись методом Эвьена, провести расчет по двум электронейтральным группам ионов.
Используя выражение для энергии ионного кристалла (1.1), показать, что молярная энергия связи, соответствующая равновесному кратчайшему расстоянию между ионами г = г0, выражается в виде
где No — постоянная Авогадро.
Зная постоянную решетки а, константу Маделунга а и молярную энергию связи в равновесном состоянии, оценить значение показателя степени п в формуле (1.1) для энергии ионных кристаллов:
a) NaCl; б) КС1.
Как изменится равновесное расстояние г0 между ближайшими ионами и энергия связи решетки NaCl, если заряд каждого иона возрастет вдвое?
Энергию ионных кристаллов, отнесенную к одной паре разноименных ионов, можно представить выражением
U^ = -^ + Ae" = ,4ле0г’
где Q, A — const. Найти выражение для молярной энергии связи Есв ионного кристалла в равновесном состоянии. Используя табличные данные для постоянной решетки а, константы Маделунга а и молярной энергии связи, вычислить значение*д для кристаллов: а) поваренной соли NaCl; б) хлорида цезия CsCl.
Кристалл поваренной соли NaCl со всех сторон сжали, в результате этого его объем уменьшился на 0,5%. Зная коэффициент сжимаемости хлорида натрия хад = 3,4 • 10"11 м2 • Н"1, определить, насколько увеличились при этом давление Р и объемная плотность энергии кристалла Ди.
Найти коэффициент сжимаемости ионных кристаллов с решетками типа NaCl через постоянные, характеризующие энергию кристалла в равновесном состоянии.
Используя табличные значения постоянной решетки а и константы Маделунга а кристалла NaCl, оценить размеры области, в которой проявляется действие сил отталкивания между ближайшими соседями в решетке, если объемный модуль упругости равен 2,9 • 1010 Н/м2. Вычислить также молярную энергию связи в равновесном состоянии кристалла.
Определить показатель степени п в выражении для энергии ионного кристалла NaCl, если известны коэффициент адиабатической сжимаемости х = 3,4-10-11 м2Н-1, константа Маделунга а =1,75, постоянная решетки а = 5,64 • 10-10 м. Вычислить также молярную энергию связи в равновесном состоянии кристалла.
Энергия одномерного молекулярного кристалла в расчете на один атом представляется выражением
г / \12/ \6 1
и^=А ^ -2 ^,
L \ X /\ X /
где х —расстояние между соседними атомами, А и а —постоянные. Найти выражения для равновесного межатомного расстояния х0, энергии связи в расчете на один атом, коэффициента сжимаемости молекулярного кристалла.
Рассчитать коэффициент теплового расширения одномерного молекулярного кристалла, используя выражение для его энергии из предыдущей задачи.
Вычислить изменения плотности кинетической энергии электронов в области перекрытия электронных оболочек атомов а и Ъ. При расчете ограничиться нулевым приближением, считая, что эффект перекрытия не изменяет плотности электронов па и пъ свободных атомов. Электроны атомов рассматривать как Ферми-газ при абсолютном нуле температуры.
Каков физический смысл полученного результата?
На основе классических представлений получить выражение для энергии ван-дер-ваальсового взаимодействия двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии г друг от друга, в виде
и(г) = -—-, С = const.
Оценить значение этой энергии в кристалле меди, имеющем межатомное расстояние 2,55 • 1О“10 м и постоянную С — 10-58 эрг • см6.
Указание. При расчете учесть взаимодействие мгновенного дипольного момента одного атома с индуцированным дипольным моментом другого.
Используя простейшую квантовомеханическую модель линейных осцилляторов для двух атомов, находящихся на расстоянии г, рассчитать уменьшение энергии нулевых колебаний такой системы за счет диполь-дипольного взаимодействия. Показать, что этим обусловлено ван-дер-ваальсовое притяжение между атомами.
С помощью теории возмущений получить выражение для энергии ван-дер-ваальсового взаимодействия двух атомов водорода, находящихся в s-состояниях на достаточно большом расстоянии друг от друга, когда электронные волновые функции не перекрываются.
Указание. В качестве возмущения системы учесть лишь диполь- дипольное взаимодействие атомов.
Используя простейшую модель одновалентного металла, согласно которой точечные ионы с зарядом I е I погружены в однородную отрицательно заряженную среду электронов проводимости, показать, что его энергия в расчете на один атом определяется формулой (1.3), т. е.2
U(r) ^- + И’
х s/ 40л50г$ 10m0rs \ 4 /
На основе выражения для энергии одновалентных металлов оценить постоянную решетки кристаллического натрия. Вычислить также модуль всестороннего сжатия при температуре абсолютного нуля и скорость звука.
В реальном металле валентные электроны практически не проникают в область, занимаемую ионами. Считая заряд каждого электрона в щелочном металле равномерно распределенным в области между сферами с радиусами тс и rs вокруг каждого иона, показать, что электростатическая энергия, приходящаяся на один электрон, выражается в виде
и (г)®+ ^ М"
K,nW 4Ояеог, блеог, \rj ’
где гс—радиус иона, rs — радиус сферы Вигнера —Зейтца.
Используя результаты предыдущей задачи и учитывая поправку к кинетической энергии электронов за счет обменных эффектов, равную 12 5
и»бм = ——т- эВ/атом (а0 —радиус первой боровской орбиты), вычис-
лить постоянную решетки и энергию связи кристаллического натрия.
Геометрия кристаллической решетки
Структура идеального кристалла описывается пространственной решеткой, в узлах которой расположены атомы. Положение узлов определяется векторами
I = 1г ах + 12 а2 + 13 а3, (1.4)
где li ,12) 13 — целые числа; ах, а2, а3 — векторы основных пространственных периодов.
Векторы аХ) а2, а3 образуют многогранник, называемый элементарной ячейкой кристалла. Элементарная ячейка—это наиболее простая пространственная структура, повторением которой строится кристалл. Величины, определяющие размер элементарной ячейки, называют постоянными решетки.
Если в элементарной ячейке находится несколько атомов, то решетка такого вида называется решеткой с базисом. При этом решетка описывается векторами ах, а2, а3 и базисными—Д, которые определяют смещения дополнительных простых решеток относительно решетки с векторами основных пространственных периодов (аг) а2, а^.
Для кубических структур (аг = а2 = а3 = а) характерны простая, объемноцентрированная (ОЦК) и гранецентрированная (ГЦК) решетки, элементарные ячейки которых указаны на рисунке 1.
Рис. 1. Элементарные ячейки кубических структур.
Расположение атомных центров в: а) простой кубической решетке; б) ОЦК t I а аа\ х1а л 1ал а\.
решетке, А I у, —,— I;в)ГЦК решетке, АгI —,—,0^, А2 —,0,
Рис. 2. Элементарная кубическая ячейка решетки алмаза. Узлы, соответствующие ГЦК решетке, сме- -» / а а а\ щеннои на вектор А I “, “, “1 вдоль пространственной диагонали, оставлены светлыми; связи между ближайшими соседями выделены жирными линиями.Рис. 2. Элементарная кубическая ячейка решетки алмаза. Узлы, соответствующие ГЦК решетке, сме- -» / а а а\ щеннои на вектор А I “, “, “1 вдоль пространственной диагонали, оставлены светлыми; связи между ближайшими соседями выделены жирными линиями.Рис. 3. Относительное расположение атомов в структуре с гексагональной плотной упаковкой; три элементарные ячейки составляют шестигранную призму.Рис. 3. Относительное расположение атомов в структуре с гексагональной плотной упаковкой; три элементарные ячейки составляют шестигранную призму.
Рис. 2. Элементарная кубическая ячейка решетки алмаза. Узлы, соответствующие ГЦК решетке, сме- -» / а а а\ щеннои на вектор А I “, “, “1 вдоль пространственной диагонали, оставлены светлыми; связи между ближайшими соседями выделены жирными линиями.
Рис. 2. Элементарная кубическая ячейка решетки алмаза. Узлы, соответствующие ГЦК решетке, сме- -» / а а а\ щеннои на вектор А I “, “, “1 вдоль пространственной диагонали, оставлены светлыми; связи между ближайшими соседями выделены жирными линиями.
Рис. 3. Относительное расположение атомов в структуре с гексагональной плотной упаковкой; три элементарные ячейки составляют шестигранную призму.
Рис. 3. Относительное расположение атомов в структуре с гексагональной плотной упаковкой; три элементарные ячейки составляют шестигранную призму.
Решетка типа алмаза состоит из двух взаимопроникающих ГЦК решеток, смещенных вдоль пространственной диагонали кубической решетки на V4 длины этой диагонали (рис. 2).
У многих кристаллов структура характеризуется гексагональной плотной упаковкой (ГПУ). Она состоит из двух простых гексагональ- _1 а ар с\
ных решеток с базисом А ~, —, — \ 262/
по отношению к прямоугольным осям xyz (рис. 3). В идеальной ГПУ решетке модуль базисного вектора равен I A I = I ах I = I а21 = а, при этом справедливо соотношение
| = 2Й (1-5)
Часто встречаются соединения со структурой типа хлорида натрия (NaCl). Кристалл NaCl состоит из равного числа ионов Na+ и СГ, размещенных в узлах простой кубической решетки таким образом, что ближайшими соседями каждого иона являются шесть ионов другого вида (рис. 4). Эта структура описывается как ГЦК решетка с базисом А, состоящим из иона Na+ (0, 0, 0) и иона СГ (а а а\
2’ 2 ’ 2 /*
Представляют интерес следующие геометрические свойства кристаллических решеток:
количество ближайших соседей N для каждого атома (иона) — координационное число;
атомный радиус та, определяемый V2 расстояния между ближайшими соседями;
степень упаковки /, равная отношению объема, занятого ато-
Рис. 4. Структура кристалла NaCl: ф —ионы Na+, О-ионы С1~Рис. 4. Структура кристалла NaCl: ф —ионы Na+, О-ионы С1~мами (как твердыми шарами) в элементарной ячейке, к ее объему.
Рис. 4. Структура кристалла NaCl: ф —ионы Na+, О-ионы С1~
Рис. 4. Структура кристалла NaCl: ф —ионы Na+, О-ионы С1~
Для обозначения направлений и плоскостей в кристалле используются индексы Миллера.
Совместим начало системы координат с одним из узлов решетки, направив оси параллельно векторам аъ аъ а3. Тогда индексы направления или узла с радиусом- вектором гг есть наименьшие целые числа \и У w\ пропорциональные соответствующим проекциям вектора гг (яь уь 21) на оси координат, выраженным в единицах длин ребер элементарной ячейки, т. е.
Т"-^'^=u:v.w.(1.6)
«1 а2 а3
Индексы Миллера для плоскости записываются в круглых скобках (Jikt) и представляют собой наименьшие целые числа, которые удовлетворяют соотношению
^•%-^=н'кЛ’(L7)
где А, В, С —длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях, параллельных ребрам элементарной ячейки.
Расстояние между соседними плоскостями с индексами Миллера W вычисляется по формулам
1#1 COS«! _ O^COSO^ азСО8Оз/1 ОХ
й - h - к - I ’
где аь а2, а3 —углы между нормалью к плоскости и осями аь а2, а3 соответственно.
Положение интерференционных максимумов при отражении рентгеновских лучей от атомных параллельных плоскостей кристалла определяется формулой Вульфа—Брэггов:
2d sin 0 —«Я,(1.9)
где 0 —угол скольжения, порядок максимума и = 1, 2, 3, ..., Я —длина волны, d — межплоскостное расстояние.
Рассчитать, сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку в кристаллах: а) с гранецентрированной кубической решеткой; б) с объемноцентрированной кубической решеткой.
Для кристалла с решеткой типа алмаза записать координаты
всех атомов в элементарной ячейке (см. рис. 2). Сколько атомов 2 приходится на одну элементарную ячейку такой структуры?
Рассчитать, сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку в кристаллах с идеальной плогноупакованной гексагональной структурой (см. рис. 3). Доказать, что отношение ^ =
Вычислить степень упаковки атомов (/) в кристаллах, имеющих: а) простую кубическую структуру; б) ОЦК структуру; в) ГЦК структуру; г) ГПУ структуру.
Произведя соответствующие вычисления, заполнить следующую таблицу для кубических структур:
Характеристика решетки
Тип решетки
простая кубическая
ОЦК
ГЦК
решетка алмаза
Атомный радиус
Число атомов в элементарном кубе
Степень упаковки
Координационное число
Плотность меди, имеющей гранецентрированную кубическую решетку, равна 8,96 • 103 кг/м3. Вычислить объем элементарной ячейки и атомный радиус для этой кристаллической структуры. Сколько атомов содержится в объеме, равном 1 м3?
Принимая во внимание ГЦК структуру у золота, вычислить постоянную решетки, атомный радиус и число атомов в объеме, равном 1 м3. Плотность золота равна 1,932 • 104 кг/м3.
По табличным значениям молярной массы и плотности определить постоянную кристаллической решетки молибдена, имеющего ОЦК структуру.
Кристаллы NaCl имеют кубическую структуру (см. рис. 4). Зная молярную массу ц = 5,844 • 10“2 кг/моль и плотность Q = 2,167 • 103 кг/м3 поваренной соли, вычислить постоянную решетки.
У кристаллического сильвина (КС1), имеющего структуру типа хлорида натрия, постоянная решетки равна 6,29 • 1О~10 м. Оценить плотность этого вещества, если молярная масса его равна 7,455 • 10~2 кг/моль.
а-Железо при температуре ниже 910 °C имеет ОЦК структуру (а = 2,86 • 1О“10 м). При нагревании свыше 910 °C a-железо переходит в у-модификацию, приобретая ГЦК структуру (а = 3,56 • 1О“10 м). Как изменится плотность железа в указанном превращении?
Кристалл цинка имеет ГПУ структуру с постоянными а = 2,66 • 1О“10 м и с = 4,95 • 1О“10 м. Вычислить объем элементарной ячейки такой структуры и плотность цинка.
Доказать, что в бесконечной кристаллической решетке возможны оси симметрии лишь второго, третьего, четвертого и шестого порядков.
Определить индексы Миллера для: а) плоскости, отсекающей на осях кубической решетки отрезки А = а, В = 0,5а, С = 1,5а, где а —постоянная решетки; б) диагоналей кубической решетки.
Определить отрезки, отсекаемые на осях кубической решетки плоскостью (12 3). Изобразить для кубической системы эту плоскость и направления [0 0 1]; [1 0 0]; [1 1 0].
Записать с помощью индексов Миллера плоскости, характеризующиеся наибольшей плотностью упаковки атомов, в структурах: а) ГЦК; б) ОЦК. Отметить также в этих плоскостях направления с максимальной линейной плотностью расположения атомов.
Доказать, что направление \hkt\ в кристалле с кубической структурой перпендикулярно плоскости (A/d).
Доказать, что расстояние d между двумя соседними плоскостями типа Qikt) в кубической решетке с ребром а определяется соотношением
jа
° - (Л2 + Л2 + /2)1/2 •
Зная постоянную а кубической решетки, вычислить расстояния между кристаллографическими плоскостями d100, d110, dm для: а) простой кубической структуры; б) ОЦК структуры; в) ГЦК структуры.
Сколько плоскостей типа {111} имеется в кубических структурах? Изобразить эти плоскости на чертеже.
Зная молярную массу кристалла AgBr (тип решетки NaCl) ц = 0,1878 кг/моль и плотность у = 6,5 • 103 кг/м3, рассчитать расстояния между кристаллографическими плоскостями d100, d110, dm.
Для пучка рентгеновских лучей с длиной волны X = 1,537 • 1О~10 м, падающего на кристалл алюминия, наблюдается брэгговское отражение первого порядка от плоскостей (111) под углом скольжения 19°20'. Определить по этим экспериментальным данным постоянную Авогадро, если известно, что алюминий имеет ГЦК структуру, плотность q = 2,7 • 103 кг/м3 и молярную массу ц = 2,698 • 10-2 кг/моль.
Вычислить длину волны рентгеновских лучей, которые отражаются во втором порядке от системы плоскостей (100) кристалла NaCl под углом скольжения 0 = 17°22'.
Найти постоянную решетки кристалла AgBr (структура типа NaCl), если известно, что отражение рентгеновских лучей с длиной волны X = 2,52 • 1О~10 м в первом порядке от системы плоскостей (100) происходит под углом скольжения 0 = 25,9°.
Какие порядки отражения монохроматического рентгеновского
излучения от плоскостей (100) кристалла с кубической структурой пропадут при переходе от простой кубической решетки к гранецентрированной?
§2. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Многоэлектронная задача для кристалла с помощью метода Хартри— Фока сводится к одноэлектронной:
V2 + V(r )1 Ч»Ат^ = еЬЧ»Ат\(2.1)
где mQ — масса, г—энергия электрона с волновым вектором к, V(r) —потенциальная энергия, обладающая свойством периодичности, т. е. V(F+f) = v(r ).
Волновая функция ^(г) электрона является функцией Блоха:
Ч^г^иц^е^, щ(г + 1) = и^г).(2.2)
В кристалле конечных размеров волновая функция удовлетворяет условиям цикличности Борна—Кармана:
Фк^-Фк^^^^(2.3)
где N1-N2-N3 = N—полное число элементарных ячеек; аи а2, я3 — основные векторы решетки. Волновой вектор к можно представить в виде:
k = ^b*^b2 + ^b3,(2.4)
где пъ пъ пъ —целые числа; &i = — [я2я3], 62 = — [«3«J, b3 = — [a^J — УУУ
основные векторы обратной решетки, у = (ат [я2я3]). На один волновой вектор к в ^-пространстве приходится объем
У1 = М.(51[Ь2Ь3]).(2.5)
Все неэквивалентные волновые векторы к лежат в первой зоне Бриллюэна:
— л <kai<n) z = 1, 2, 3.(2.6)
Зависимость энергии электрона в периодическом поле от волнового вектора (в пределах первой зоны Бриллюэна) не является однозначной функцией, а состоит из множества областей еп^к\ где и —номер разрешенной зоны энергии. Таким образом, энергетический спектр электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, имеет зонную 13
Рис. 5.
структуру. Так, у электрона, движущегося в одномерном кристалле (модель Кронита—Пенни) с потенциальной энергией
V\x + nd) — у(2*7)
где d = а + Ь; и = 0, ±1, +2, ..., уравнение для энергетического спектра при 8<Vq имеет вид:
~2~^ sh ^Ъ sin аа + ch pb cos аа = cos к (я + Ъ\(2.8)
здесь о? = -^^- ? £2 = -^1 ^ _ ^ ррафическое решение этого уравнения для предельного случая, когда Ъ -► О, Vo -^ 00 так> что прозрачность потенциальных барьеров не меняется, т. е. Vob = const и р = ^~^ представлено на рисунке 5. Жирными отрезками на оси абсцисс выделены разрешенные значения энергии, образующие энергетические зоны. В приближении слабой связи, когда периодический потенциал V(r) можно считать малым возмущением свободного движения электрона, энергия с точностью до членов второго порядка малости представляется выражением
= гТ + ^ +е(0)_£(р) ’С2*9)
^^) к к1
где У^ = ^Ч^ (г ) VV^ (г ) dr —матричный элемент оператора возму-
Т2 2
щения; ^L0^-—, ^L0^-—е^т — энергия и волновая функция сво- ’ к7 к (2л) '
бодного электрона соответственно.
Вблизи границ зоны Бриллюэна периодический потенциал решетки вызывает расщепление энергетических уровней:
= (4°) + 4°) ) у +±(2.10)
Для электронов на глубоких энергетических уровнях атомов лучшее приближение дает метод сильной связи. В этом случае волновая функция электрона в периодическом поле кристалла выбирается в виде суммы:
W^V^^e^vAT-lY(2.11)
где N—число узлов решетки, уп (г — I) —сильно локализованная волновая функция электрона в п-м состоянии атома, центр которого совпадает с узлом кристаллической решетки и определяется вектором решетки I.
Энергия электрона в приближении сильной связи вычисляется по формуле
гА^^е^гАИА(2.12)
й
где И = I — 1Y и интеграл перекрытия еп (h) определяется выражением eAhV^ (r + h)HVAr)dr.(2.13)
т
В простой энергетической зоне, возникшей из невырожденного атомного s-уровня, имеется N энергетических уровней и соответственно 2N квантовых состояний. Следовательно, такая зона может вместить не более 2N электронов, где N—число узлов в решетке кристалла. /-Кратно вырожденная зона может вместить 2fN электронов, f = 2l + 1, / — орбитальное квантовое число.
Движение электрона в кристалле у дна и потолка энергетических зон под действием внешнего поля, действующего на него с силой f, описывается уравнениями
^ = 7<2.14)
где г^ — проекции вектора групповой скорости на соответствующие оси координат, величины
1 _ 1 д^к)
тц й2 dkidkjV }
образуют тензор второго ранга, называемый тензором обратной эффективной массы.
Показать, что метод самосогласованного поля для валентных электронов кристалла позволяет многоэлектронную задачу свести к одноэлектронной: Ну(г) = су(г), где Н, у(г\ с — соответственно гамильтониан, волновая функция и энергия электрона в кристалле.
Показать, что волновые функции электрона, движущегося в одномерном периодическом потенциальном поле V(#) = V(# + ия), где п = 0, ±1, +2, ..., представляют волновые функции Блоха.
Доказать, что волновая функция электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, удовлетворяет условию Блоха, т. е. при трансляции на вектор решетки I изменяется на фазовый множитель е1к\ где к — волновой вектор.
Доказать, что средняя скорость электрона, движущегося в кристалле, связана с производной от его энергии г по квазиимпульсу hk соотношением
<у> = ~ grades.
Сравнить это выражение со скоростью свободного электрона.
Используя циклические условия Борна—Кармана для волновой функции электрона, движущегося в периодическом поле кристаллической решетки, получить уравнение Шредингера для стационарных состояний в импульсном представлении. Привести это уравнение к безразмерному виду, выбрав в качестве единиц измерения атомные единицы длины и энергии (первый боровский радиус и энергию связи электрона в атоме водорода соответственно).
Потенциальная энергия электрона, движущегося в периодическом поле одномерного кристалла, выражается в виде
v(x) = - —— (1,5 + cos — V
4я£ОЯо \« /
где а = л^о — период кристаллической решетки, я0 — первый боровский радиус. Используя уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона в импульсном представлении, найти вид детерминантного уравнения для определения собственных значений энергии. Обосновать зонную структуру энергетического спектра.
С помощью детерминантного уравнения, полученного в предыдущей задаче, вычислить для квантовых состояний к = 0, к = —^~
2а0 значения энергии электрона, уточняя их методом последовательных приближений, т. е. увеличивая число плоских волн в разложении волновой функции электрона.
Используя условия задачи 2.6, оценить для электрона ширину энергетической щели на границе первой зоны Бриллюэна \к= + —
_\/
Доказать, что вектор обратной решетки g кристалла удовлетворяет уравнению
gl = 2лп
(и —целое число, I — вектор прямой решетки), которое при заданном 16
значении п определяет кристаллическую плоскость, перпендикулярную вектору g и находящуюся на расстоянии 2nn/g от начала координат.
Найти расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, перпендикулярными вектору обратной решетки g.
Показать, что кристаллические плоскости, перпендикулярные вектору обратной решетки g = 2л (Ь^ + Ь2п2 + Ь3п3\ характеризуются индексами Миллера (Jikl\ пропорциональными целым числам пх, п2, п3.
Найти связь между объемами параллелепипедов, построенных на базисных векторах прямой и обратной решеток.
Показать, что решетка, обратная простой кубической решетке с параметром а. есть также простая кубическая решетка. Вычислить постоянную обратной решетки и объем у' первой зоны Бриллюэна.
Доказать, что: а) решетка, обратная ОЦК решетке, является гранецентрированной (ГЦК); б) обратная ГЦК решетке будет ОЦК решеткой.
Построить первую зону Бриллюэна для: а) линейной одномерной решетки с параметром а; б) двумерной косоугольной решетки с основными векторами а = 2г, b = i + 2j, где z, / — орты декартовой системы координат.
Построить первые три зоны Бриллюэна для плоской квадратной решетки с межатомным расстоянием а.
Найти число квантовых состояний для электронов в невырожденной энергетической зоне кристалла, имеющего простую кубическую решетку с параметром а и объем L3.
Вычислить объем первой зоны Бриллюэна и плотность квантовых состояний для электронов в простой энергетической зоне кристалла, имеющего: а) ОЦК решетку; б) ГЦК решетку. Длина ребра элементарного куба равна а.
Оценить среднюю плотность электронных состояний в последней заполненной зоне шириной ЛЕ для 1 моль ионного кристалла: а) КВг, у которого ЛЕ = 0,55 эВ; б) KF, у которого ЛЕ = 1,5 эВ.
Показать, что в случае плоской квадратной решетки кинетическая энергия свободного электрона в 2 раза больше в углу первой зоны Бриллюэна, чем в середине бокового ребра этой зоны.
Сравнить кинетические энергии свободных электронов в состояниях, относящихся к углу е (к) и центру грани ^(^) первой зоны Бриллюэна, для кристалла с простой кубической решеткой.
В единице объема кристалла с простой кубической решеткой содержится и атомов, причем каждый атом имеет 2 валентных электронов. Получить выражение для радиуса сферы Ферми в приближении свободных электронов.
С помощью волнового уравнения Шредингера определить энер-
гетический спектр электрона, движущегося в одномерном кристалле, периодическое поле которого представляется дираковской потенциальной «гребенкой»:
О, х^- О, оо, X = О,О, х^- О, оо, X = О,у(х) =^\ б^х + па\ б(х) =
О, х^- О, оо, X = О,
О, х^- О, оо, X = О,
mQCl И = — оо
где а — расстояние между барьерами, отношениесоответствует пло- TUqCI
щади потенциального барьера.
С помощью уравнения для энергетического спектра, найденного в предыдущей задаче, получить уравнения для минимальных значений энергии электрона в разрешенных зонах.
Получить уравнение для энергетического спектра электрона, движущегося в периодическом поле одномерного кристалла, если потенциальная энергия апроксимируется рядом чередующихся прямоугольных потенциальных ям и барьеров (модель Кронита—Пенни):
V(x + nd) =V(x + nd) =О, ^<х<а,О, ^<х<а,VQ) а<хVQ) а<х<d,<d,
V(x + nd) =
V(x + nd) =
О, ^<х<а,
О, ^<х<а,
VQ) а<х
VQ) а<х
<d,
<d,
где а — ширина ямы, d = а + Ь, Ь — ширина барьера, причем энергия электрона меньше высоты потенциального барьера V^ п = 0, +1, ±2, ....
Преобразовать уравнение для энергетического спектра, полученное в предыдущей задаче, к виду
— sin аа + eqs аа = cos ка аа
для предельного случая, когда высота потенциального барьера VQ—> оо и ширина барьера Ь-^0 таким образом, что величина Р = ^~- bV^ характеризующая прозрачность барьера, остается постоянной. Оценить значения энергии электрона у потолка зон, приняв постоянную решетки
а = 4 • 1010 м.
Из условий предыдущей задачи, полагая Р > 1 (промежуточный случай между очень сильной и очень слабой связью электронов с атомами), получить закон дисперсии для электронов в энергетической зоне номера п.
Для одномерного кристалла, в котором периодическое поле для электрона представляется дираковской потенциальной «гребенкой», получить выражение для ширины и-й энергетической зоны, полагая прозрачность потенциального барьера Р > 1 и постоянную кристаллической решетки равной а.
Используя результаты задачи 2.27, получить выражение для
ширины запрещенной зоны, расположенной между разрешенными энергетическими зонами и и (и + 1).
С помощью выражения для ширины запрещенной зоны, полученного в предыдущей задаче, показать, что с ростом номера п энергетической зоны ширина запрещенной зоны между соседними и и (и + 1) зонами уменьшается (Р принять равной 10).
Используя приближение почти свободных электронов, вычислить энергетическую щель на границе зоны Бриллюэна в одномерном кристалле, если потенциальная энергия электрона в периодическом поле описывается функцией У(х) = V\ cos ^-.
Показать, что изоэнергетические поверхности пересекают границы зоны Бриллюэна под прямым углом.
Показать, что существование разрывов в энергетическом спектре электрона на границах зон Бриллюэна эквивалентно условию брегговского отражения электронных волн.
Показать, что волновая функция электрона в периодическом поле кристаллической решетки, записанная в приближении сильной связи в виде (2.11), удовлетворяет условию Блоха.
На основе метода сильной связи показать, что энергия электрона в периодическом поле кристалла описывается выражением (2.12), удовлетворяющим условию периодичности 8п (&) = е^к — g), где g— вектор обратной решетки. Упростить выражение (2.12) в приближении ближайших соседей.
С помощью метода сильной связи в приближении ближайших соседей найти закон дисперсии 8п = 8п (к) у электронов в кристалле с простой кубической решеткой и выражение для ширины ^Еп разрешенной энергетической зоны.
На основе результатов, полученных в предыдущей задаче, объяснить расщепление атомных энергетических уровней и образование энергетических зон при сближении атомов. Вычислить максимальное число электронов, вмещаемых s-зоной (зоной, получившейся в результате расщепления s-уровня).
В приближении сильной связи найти закон дисперсии 8 = 8 (к) у электронов в s-зоне для кристалла с объемноцентрированной кубической (ОЦК) решеткой. Показать также, что у дна зоны эффективная масса изотропна и положительна.
С помощью метода сильной связи в приближении ближайших соседей найти энергию электронов в зоне, образованной из s-уровня, в кристалле с ГЦК решеткой. Показать, что вблизи центра зоны Бриллюэна изоэнергетические поверхности представляют собой сферы.
Закон дисперсии для электронов в кристалле с простой кубической решеткой имеет вид:
£„(&)=£„ (0) + 2еп (a) {cos кх а+ cos ky а + cos кг а},
где л—параметр решетки, £п (0) — энергия электрона в «-состоянии изолированного атома. Сравнить эффективные массы электронов в центре и вблизи вершин зоны Бриллюэна. Доказать, что групповая скорость электронов на границе зоны Бриллюэна обращается в нуль.
В однородном кристалле с параметром а энергия электрона описывается выражением
8 (к) =| — — cos ка + 4 cos 2ка).
7 т0а2 \ 88/
Найти эффективную массу вблизи дна энергетической зоны: а) разложив е (k) по малому параметру ка до членов второго порядка малости; б) пользуясь соотношениями для средней скорости электрона в кристалле
<У> = -4г кк и <у> =.
т*д (hk)
2.42. Нижняя граница зоны проводимости висмута (Bi) характеризуется тензором обратной эффективной массы вида
1
ТП^
«XX00
0а„,0
00аК.
Определить характер изоэнергетических поверхностей у дна зоны проводимости, если известно, что ахх, а^, агг — положительные величины.
У дна зоны проводимости некоторого кристалла энергию электрона как функцию компонент волнового вектора можно представить в виде 8 = ах кх + ау ку + аг к^.
Найти компоненты тензора обратной эффективной массы и уравнения движения электрона, соответствующие ньютоновским уравнениям
^ = Fb 1 = х, у, 2.
Показать, что направление квазиимпульса р = кк^е всегда совпадает с направлением скорости У движения электрона в кристалле.
. ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ.ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
При распространении упругой волны вдоль одного из направлений [100], [111] и [110] кубического кристалла все атомные плоскости смещаются синфазно. Смещения атомов параллельны направлению распространения, т. е. волновому вектору ?, для продольных волн и перпендикулярны q в случае поперечных волн.
Колебания решетки, состоящей из одинаковых атомов, при смещении в одном направлении описываются следующими уравнениями движения:
(3.1)(3.1)Муп = - '^(п-пЧуй,
(3.1)
(3.1)
где М — масса атома или иона, у—смещение атома с «номером» и (nu и2, и3) из положения равновесия, а (и — и') — упругие коэффициенты, входящие в выражение потенциальной энергии кристалла в гармоническом приближении в виде
и = и0 + у 2 а ^ - ^ У; у»" • (3-2)
Закон дисперсии упругих волн, выражающий зависимость циклической частоты 0 от волнового вектора q. для простой решетки описывается формулой
у2 (9) = Т7 2(1 - cos sag),(3.3)
где а — расстояние между соседними плоскостями.
Если учитывать взаимодействие только между ближайшими соседями, то (3.3) сводится к выражению
(3.4)(3.4)®^=2^ sin^
(3.4)
(3.4)
из которого в длинноволновом пределе, когда aq < 1, следует линейный
закон дисперсиизакон дисперсии(3.5)(3.5)
закон дисперсии
закон дисперсии
(3.5)
(3.5)
В кристаллах, которые содержат г атомов в элементарной ячейке, для каждого значения q имеется Зг нормальных мод (ветвей) колебаний решетки. Три ветви, частоты которых приближаются к нулю в пределе длинных волн (q->0\ называются акустическими. Остальные (Зг —3) ветви называются оптическими. Их частоты в длинноволновом пределе не обращаются в нуль.
Энергия колебаний решетки квантуется. Квант энергии упругой волны называется фононом. Энергия г и квазиимпульс фонона р определяются соотношениями
е = ho, р = hq. (3.6)
Тепловые колебания решетки можно рассматривать как термическое возбуждение фононов. В состоянии теплового равновесия при температуре Т среднее число фононов в квантовом состоянии с частотой 0 определяется формулой Т1ланка
получающейся из функции распределения Бозе — Эйнштейна с учетом
того, что химический потенциал фононного газа вследствие несохране- ния числа фононов равен нулю.
Средняя энергия Ё тепловых колебаний кристаллической решетки в расчете на 1 моль в приближении теории Дебая как функция температуры описывается выражением
Тд/т
E.lRT^l+e^y j ^-],(3.8)
О
9 в котором первое слагаемое Ео = ~ RTn есть энергия нулевых колебаний решетки,
Тд = £^_(3.9)
температура Дебая, где 0тах—максимальная частота колебаний.
Экспериментальным доказательством квантования энергии упругих волн явилось наблюдение того, что вклад решетки в теплоемкость кристаллов приближается к нулю вместе со стремлением температуры к абсолютному нулю.
Используя соотношение Cv= ^W^ ’ для М0ЛЯРн°й теплоемкости Cv решетки получим выражение
Тд/т
о
При экспериментальном изучении фононного спектра кристаллических твердых тел применяют метод неупругого рассеяния нейтронов или рентгеновских лучей на колебаниях решетки. Если при рассеянии нейтрона его импульс р после рассеяния становится равным р’. то для процессов рассеяния с участием фонона с частотой oq и волновым вектором q справедливы соотношения
р2 р'2
(3.11)(3.11)2mn 2mn “ ^9 ’р=р' ^hkq^lY
(3.11)
(3.11)
где g—вектор обратной решетки, тп — масса нейтрона. Знак «+» соответствует процессу рождения фонона, знак «—» —процессу поглощения фонона.
Получить дифференциальное уравнение малых колебаний для неограниченной решетки из одинаковых атомов массой М, используя упрощенную модель, в которой все атомы смещаются лишь вдоль оси у.
Используя модель кристаллической решетки, описанную в предыдущей задаче, получить для нее закон дисперсии, т. е. функ- 22
циональную связь между циклической частотой о и волновым вектором q.
Учитывая взаимодействие ближайших соседей и результат предыдущей задачи, получить закон дисперсии для простой кубической решетки с постоянной а. Рассмотреть случай длинноволновых колебаний, когда qa < 1.
Показать, что в случае простой одномерной решетки при учете взаимодействия ближайших соседей закон дисперсии имеет вид:
о 2«л • 2
у =4FSm 2 ’
где а—постоянная решетки, а0—силовая константа с и = 0.
Найти дифференциальное уравнение малых колебаний и закон дисперсии для плоской квадратной решетки, у которой масса атомов одинакова и они смещаются в направлении, перпендикулярном плоскости решетки. Считать, что основной вклад в энергию взаимодействия вносят ближайшие соседи.
Используя закон дисперсии, приведенный в задаче 3.4, определить групповую скорость упругих волн для одномерной решетки из одинаковых атомов массой М, расстояние между которыми в равновесном состоянии равно а.
Для линейной цепочки, состоящей из чередующихся атомов массами тг и т2, получить и проанализировать закон дисперсии для нормальных мод, учитывая взаимодействие между ближайшими соседями.
Упругую константу считать одинаковой и равной /?. Построить также график зависимости о (q) для оптической и акустической ветвей при тг>т2.
Предполагая, что скорости распространения продольных yz и поперечных yt колебаний не зависят от частоты и направления волнового вектора, найти число акустических фононов в интервале частот (о — w + dw и температуру Дебая для пространственной решетки, состоящей из N одинаковых атомов.
Оценить скорость акустических волн в кристаллическом натрии (Na), если известно, что температура Дебая и плотность массы равны соответственно: Тд = 160 К, @ = 0,97 г/см3.
ЗЛО. Зная температуру Дебая Гд = 365 К и плотность q = 5,32 г/см3 германия (Ge), оценить максимальные значения энергии и квазиимпульса акустического фонона, если известно, что германий имеет решетку типа алмаза.
Оценить максимальные значения энергии и квазиимпульса фонона алюминия (А1), если температура Дебая Гд = 374 К, его плотность @ = 2,7 г/см3, молярная масса ц = 26,98 г/моль. Решетка алюминия кубическая гранецентрированная.
Учитывая результат задачи 3.8, получить через температуру Дебая число акустических фононов для решетки, состоящей из N ато-
мов с частотой в заданном интервале о — 0 + do, и определить наивероятнейшие значения частоты и энергии фонона при температуре, равной уТд, Тд—температура Дебая. При какой температуре наивероятнейшие значения г и о равны их максимальным значениям?
Найти зависимость полного числа фононов в кристалле, состоящем из N атомов, от температуры. Рассмотреть предельные случаи, когда: а) Т>ТД; б) Т < Тд.
Из таблицы, в которой указаны приближенные значения температуры Дебая для щелочных металлов, видно, что Тд убывает с увеличением атомного номера. Показать, что приведенные данные в основном согласуются с теорией Дебая.
Металл
Li
Na
к
Rb
Cs
Тд, К
400
160
100
65
55
Полагая, что скорости распространения поперечных и продольных колебаний не зависят от частоты, одинаковы и равны у, найти для двумерного кристалла—квадратной решетки, содержащей N одинаковых атомов, площадью S число колебаний в интервале частот 0 — 0 + do) и характеристическую температуру Тд.
Оценить температуру Дебая для двумерного кристалла, содержащего 1014 атом/см2, считая скорость тепловых колебаний — 106 см/с.
Определить приближенно скорость звука в алмазе, зная, что температура Дебая Тд = 1860 К, решетка кубическая с постоянной а = 1,54 • 1О~10 м.
Найти выражение внутренней энергии кристаллической решетки в зависимости от температуры с учетом энергии нулевых колебаний. Рассмотреть предельные случаи Т >Тд и Т< Тд.
Используя результат, полученный в предыдущей задаче, вычислить отношение —, где Е —энергия решетки при температуре Дебая,
Ео
Ео —энергия нулевых колебаний. Найти также изменение энергии решетки германия Ge, количество вещества которого равно 1 моль, при нагревании от Т = у Тд до температуры Дебая. Температуру Дебая Ge положить равной 365 К.
Найти температурную зависимость решеточной теплоемкости для твердых тел, имеющих двумерную (слоистую) структуру. Рассмотреть случай Т < Тд.
Вычислить энергию «одномерного» кристалла —линейной цепочки длиной L, состоящей из N одинаковых атомов.
Показать, что теплоемкость одномерной решетки, содержащей
одинаковые атомы, в приближении Дебая в области низких температур (Г < Тд) пропорциональна температуре.
Используя выражение для внутренней энергии кристалла (3.6), получить зависимость молярной теплоемкости твердого тела от темпера
Г x'VdxJ (^-1)2‘ОГ x'VdxJ (^-1)2‘Отуры в виде
Г x'Vdx
J (^-1)2‘
О
Г x'Vdx
J (^-1)2‘
О
I т \3
Смоль = 9д —-\Тд)
На основе законов термодинамики показать, что разность удельных теплоемкостей твердых тел выражается формулой
где ат — температурный коэффициент линейного расширения, Q—плотность вещества, и — изотермическая сжимаемость. Оценить разность (ср — cv) для меди (Си) при комнатной температуре и сравнить ее со значением Сусп = 390 Дж/(кг-К). Для меди ат и к равны соответственно 1,7 • 10"5 К"1 и 10'10 м3/Дж.
Найти температурную зависимость среднего квадратичного уклонения и относительную флуктуацию энергии твердого тела в приближении Дебая в области низких температур.
Для некоторого элемента, находящегося в кристаллическом состоянии, теплоемкость Су при постоянном объеме и температуре Тг = 373 К равна 16 Дж/(моль • К). Считая температуру Дебая постоянной, найти значение Су при температуре Т2 = 173 К.
Указание. Использовать табличные значения функции Дебая.
Определить максимальную частоту тепловых колебаний кристаллической решетки меди (Си), у которой при температуре 125 К теплоемкость Cv отличается от классического значения на 25%.
Используя табличные значения функции Дебая, найти молярную теплоемкость Су алюминия (А1) при температуре 100 К, если при температуре 280 К она равна 22,5 Дж/(моль • К).
Определить температуру Дебая и максимальную энергию фонона для серебра (Ag), если известно, что при температуре 65 К его молярная теплоемкость Су =15 Дж/(моль -К).
Рассматривая процесс рассеяния света прозрачным кристаллическим телом как рассеяние фотонов на фононах, показать, что свет, рассеянный под углом 0, кроме несмещенной компоненты, содержит две
~ у 0 \
1 ± 2— sin у I, где 0 —частота
падающего света, у —скорость звука, с—скорость света в данном веществе.
Указание. Использовать законы сохранения энергии и импульса, полагая вектор обратной решетки равным нулю.
. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Периодическое поле кристаллической решетки существенным образом изменяет характер энергетического спектра электронов металла по сравнению с энергетическим спектром свободных электронов. Однако при рассмотрении электронов проводимости для большинства металлов можно использовать в первом приближении изотропный квадратичный зако'н дисперсии
c^=i^’(4л)
где г (к) — кинетическая энергия электрона с волновым вектором к, т* —его эффективная масса.
В соответствии с принципом Паули числа заполнения электронами состояний, характеризующимися волновым вектором к и проекцией спина sz, равны либо 0, либо 1. Поэтому равновесная функция распределения электронов /0 ^^ с заданной проекцией спина представляет собой функцйю распределения Ферми —Дирака
fM= ,(4.2)
+i
ГДеГ2 /\2 1
Л I kQT \/ л \
П = По 1-7? Н- ~(4.3)
L 12 \ Ло / J
химический потенциал или энергия Ферми. При температуре, равной абсолютному нулю, энергия Ферми г]й равна:
NVNV(4.4)(4.4)
N
V
N
V
(4.4)
(4.4)
Внутренняя энергия вырожденного электронного газа, содержащего N частиц, при температуре Т определяется формулой
У = 7^[1+^-(-^)2]-(4-5)
L 12 \ Ло / J
Во внешнем электрическом поле на тепловое движение электронов накладывается дрейфовое движение со скоростью ^, которая определяет плотность тока согласно соотношению
j = eonyd.(4.6)
Дрейфовая скорость, рассчитанная на единицу напряженности электрического поля, называется дрейфовой подвижностью
Ц4 = %.(4.7)
В соответствии с законом. Ома j = o£ удельная электропроводность о выражается через дрейфовую подвижность равенством
(4.8)(4.8)o = e0nyd.
(4.8)
(4.8)
Чтобы выразить подвижность через время релаксации т, надо рассчитать плотность тока с помощью неравновесной функции распределения f(e\ удовлетворяющей в стационарном случае кинетическому уравнению Больцмана:
(4.9)(4.9)уХ + ЛЯ = _£=Л
(4.9)
(4.9)
dr тп* di)т
Электропроводность металлов вследствие сильного вырождения электронного газа связана со временем релаксации т соотношением
(4.10)(4.10)(4-11)(4-11)_ ^пт to)тп*
(4.10)
(4.10)
(4-11)
(4-11)
Тогда для подвижности справедлива формула
„ еот (ту) ^~ тп*
Вследствие того что в переносе теплоты в металлах определяющую роль играют электроны, электропроводность о и теплопроводность % подчиняются закону Видемана—Франца:
=(4-12)
2 / L \2
где Ц = -у- I -у) = 2,45 • 10"8 Вт • Ом/К2 — число Лоренца.
В проводнике, помещенном в однородное магнитное поле индукцией В, перпендикулярной плотности тока (рис. 6), возникает холловская разность потенциалов Ьф = фх — ф2 ^ 0. В слабом магнитном поле, для которого выполняется неравенство ЦдВ< 1, холловская разность потенциалов пропорциональна плотности тока и магнитной индукции:
где Ь — ширина пластины,где Ь — ширина пластины,Ьф = RHjBb,Ьф = RHjBb,^н = -^н = -1еоп1еоп(4.13)(4.14)(4.13)(4.14)
где Ь — ширина пластины,
где Ь — ширина пластины,
Ьф = RHjBb,
Ьф = RHjBb,
^н = -
^н = -
1еоп
1еоп
(4.13)
(4.14)
(4.13)
(4.14)
Рис. 6.Рис. 6.
Рис. 6.
Рис. 6.
— постоянная Холла.
При наличии в проводнике градиента температуры в нем возникают термоэлектрические эффекты: эффект Зеебека, эффект Пельтье и эффект Томсона.
Эффект Зеебека заключается в том, что в замкнутой цепи, состоящей из двух различных проводников, места соединений которых поддерживаются при разных температу-
pax, возникает термоэлектрический ток. На концах такой разомкнутой цепи появляется разность потенциалов £т или термоэдс. Разность потенциалов, зависящая от проводника и температуры, характеризуется абсолютной дифференциальной термоэдс а*.
“ dT IVTI ’
где ф — потенциал электрического поля, е — заряд носителей тока. В случае металлов е = — е0. Обычно явление Зеебека сопровождают термоэлектрические явления Пельтье и Томсона, характеризующиеся коэффициентами П и тт соответственно. Между термоэлектрическими коэффициентами справедливы соотношения Томсона:
П = аТ, (4.16)
^т = Т^. (4.17)
Предположим, что в зоне проводимости металла с простой кубической решеткой энергетический спектр электронов имеет вид е = ~2^*> где т*эффективная масса. Найти зависимость плотности состояний g(s) от энергии. При какой энергии поверхность Ферми коснется границы зоны Бриллюэна?
Найти интервал (в электрон-вольтах) между соседними энергетическими уровнями электронов проводимости вблизи уровня Ферми при абсолютном нуле температуры для серебра (Ag), если объем металла V = 1 см3, т* = т0 и на каждый атом приходится один свободный электрон.
Считая поверхность Ферми серебра сферой, вычислить: а) радиус сферы Ферми kF в ^-пространстве; б) площадь поперечного сечения сферы Ферми; в) скорость электронов с энергией Ферми.
Плотность и атомный вес серебра (Ag) равны соответственно Q = 10,5 г/см3, А = 107,87. Эффективную массу электрона принять равной массе свободного электрона т0.
Вычислить энергию Ферми электронов проводимости при абсолютном нуле температуры для натрия (Na) и лития (Li), полагая, что эффективная масса электрона т* в обоих случаях равна массе свободного электрона т0.
Получить с помощью распределения Ферми выражение для максимальной кинетической энергии электронов проводимости в металле при абсолютном нуле температуры, если их концентрация равна и. Вычислить ^тах Для золота, считая, что на каждый атом приходится один свободный электрон и т* — 1,2ш0.
Найти суммарную кинетическую энергию электронов проводимости золота объемом 1 см3 при Т = 0 К, считая справедливыми усло- 28
вия предыдущей задачи и плотность состояний g(s) пропорциональной
(5—энергия электрона).
Вычислить температуру идеального газа, у которого средняя кинетическая энергия частиц равна средней кинетической энергии электронов серебра при абсолютном нуле температуры. Считать, что на каждый атом серебра приходится один свободный электрон и т* = т0.
При расчетах часто пренебрегают различием значений энергии Ферми Л при температуре Т и энергии Ферми Ло при То = О К. Оценить в процентах отношение "^д Для серебра при Т = 300 К, предполагая, что m* = т0 и на каждый атом приходится один свободный электрон.
Объяснить, почему теплоемкость газа свободных электронов при низких температурах Т <Те (Те—температура вырождения) много меньше, чем для газа, состоящего из классических частиц.
сУ
Чему приближенно равняется отношение -— для натрия (Na) при
т = зоо к?
Показать, что давление электронного газа в металле выражается через его кинетическую энергию Ь соотношением Р = у у, V —объем металла. Найти давление электронного газа в металлическом натрии при абсолютном нуле температуры, считая, что эффективная масса электрона m* = m0) mQ — масса свободного электрона.
Исходя из модели свободных электронов, показать, что число электронов, вылетающих за секунду с единичной площади поверхности металла со скоростью (у — у + dv\ определяется выражением
v^dv = 2л j е к°т ' ых 2 ' • y3dy, где Авых — работа выхода электрона из металла. Считать, что ^ВЫХ > к0Т.
Используя результат, полученный в предыдущей задаче, найти плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии из металла, имеющего работу выхода Авых и нагретого до температуры Т.
Вычислить силу тока термоэлектронной эмиссии от серебряной проволоки длиной 5 см и диаметром 2 мм, нагретой до температуры 2000 К. Указать также один из способов экспериментального определения работы выхода электронов из металла, основанный на изучении явления термоэлектронной эмиссии.
С помощью формулы Ричардсона — Дэшмана найти работу выхода металлического катода, если известно, что при нагревании его
от температуры Т^ = 1500 К до температуры Т2 = 2000 К термоэмиссионный ток увеличивается в 5 • 103 раз.
Для лития (Li) работа выхода равна 2,36 эВ, а плотность gLi = 0,534 г/см3. Вычислить потенциальную энергию Uo (глубину потенциальной ямы) электронов в литии.
Металл I имеет глубину потенциальной ямы для электронов Uo = 4 эВ и энергию Ферми т/о = 3 эВ для металла II Uo = 3,5 эВ и т/о = 2 эВ. Какова будет контактная разность потенциалов, если эти металлы привести в соприкосновение? Какой из металлов будет иметь более высокий потенциал?
Используя известные значения энергии Ферми для Na 77о = 3,2 эВ и удельной электропроводности вблизи абсолютного нуля а = 2,3 107 Ом-1м-1, оценить время релаксации электронов проводимости, если т* = т0.
Энергия Ферми калия (К) z/0 = 2,1 эВ, а электропроводность при Т = 0К о = 1,6-107 Ом-1м-1. Рассчитать с помощью этих данных среднюю длину свободного пробега Л электронов проводимости, полагая т* = т0.
Концентрация электронов в одновалентном стандартном металле Пиппарда равна 6,0 • 1028 м-3. Покажите, что при средней длине свободного пробега Л электропроводность такого металла равна о= 1,21-1013 Л Ом 'м'1.
По медной проволоке с площадью поперечного сечения S = 0,01 см2 проходит ток / = 20 А. Оценить скорость дрейфа электронов в электрическом поле и сравнить ее со скоростью Ферми при Т = 0 К. Считать, что т* = т0.
В случае натрия (Na) электропроводность при Т = 300 К равна 2,17 • 107 Ом-1м-1 и т* = \,2mQ. Вычислить: а) среднюю длину свободного пробега электрона при Т = 300 К; б) дрейфовую скорость в поле напряженностью 100 В/м; в) расстояние, на которое переместится электрон в нити накала лампы длиной 1 м, если к ней приложено переменное напряжение 110 В с частотой 60 Гц.
Используя кинетическое уравнение Больцмана в приближении времени релаксации и считая т скалярной функцией энергии электрона, е^пт (л)
показать, что электропроводность о = —где и — концентрация электронов проводимости.
Показать, что коэффициент электронной теплопроводности Хе металлов с изотропным квадратичным законом дисперсии е (к) и скалярным временем релаксации т(г) определяется формулой
гдегдеx« =x« =к£\ kJ’к£\ kJ’„ _2(2m*V“ Зя2/Р„ _2(2m*V“ Зя2/Рj ^"^«.^ оj ^"^«.^ о
где
где
x« =
x« =
к£\ kJ’
к£\ kJ’
„ _2(2m*V
“ Зя2/Р
„ _2(2m*V
“ Зя2/Р
j ^"^«.^ о
j ^"^«.^ о
/о(^)-равновесная функция распределения Ферми — Дирака, ^ — эффективная масса.
Показать, что в случае изотропного квадратичного закона дисперсии и изотропного рассеяния, характеризующегося временем релаксации т = т0£2 (т0 не зависит от энергии, а г —постоянное число), спра
ведлив закон Видемана —Франца:
т л2 / ко \2ту
где Ц = у I у I ~ число Лоренца.
Используя экспериментальные значения электропроводности о и теплопроводности х некоторых металлов при комнатной температуре (293 К), приведенные в таблице, и считая справедливым закон Видемана —Франца, вычислить экспериментальное значение чисел Лоренца и сравнить их с теоретическим значением Lo = 2,45 • 10~8 (ВтОм)/К2.
Металл
Ag
Си
Аи
AI
Cd
Ni
Fe
а, 107 Ом-1м-1 х, Дж/(м-с-К)
6,15
459,8
5,82
384,6
4,03
296,8
3,55
209
1,30
100,3
1,28
58,5
1,00
66,9
Удельное сопротивление чистой меди при температуре 273 К еси= 1,55 • КГ8 Ом • м возрастает примерно на 10~8 Ом • м при добавлении 1 % атомов одновалентной примеси в твердом растворе. Предполагая случайное распределение примесей и считая их сферическими рассеивающими центрами, оценить из приведенных данных среднюю длину свободного пробега электронов, обусловленную рассеянием на примесях, найти также сечение рассеяния примесей. На сколько процентов уменьшается электропроводность при введении примесей?
Пластинка из серебра шириной b = 2 см и толщиной d = 0,6 мм помещена в однородное магнитное поле индукцией В = ГГл, перпендикулярной широкой грани. Вдоль пластинки течет ток I = 30 А. Разность потенциалов, обусловленная эффектом Холла, равна 10 мкВ, соответствующая напряженность поля Холла образует правовинтовую систему с векторами / и В. Найти постоянную Холла, знак заряда носителей и их концентрацию. Заряд носителя по модулю считать равным е0 = 1,6 • 10-19Кл.
При комнатной температуре Т = 293 К холловская подвижность электронов и постоянная Холла натрия (Na) соответственно равны 5,3 • 10"3 м2/(В • с) и —2,5 • 10"10 м3/Кл. Согласуются ли эти данные с электропроводностью Na о = 2,17 -107 Ом-1 м-1 при комнатной температуре?
Постоянная Холла алюмийия (А1) равна приблизительно —0,3 • 10-10 м3/Кл. Сколько электронов в расчете на 1 атом участ-
вуют в проводимости? Какие сведения можно отсюда извлечь относительно энергетической зонной структуры кристаллического алюминия?
С помощью кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации, считая т скалярной функцией энергии электрона, получить выражение для дифференциальной термоэдс.
Используя результат предыдущей задачи и считая т(г) = т0£3/2, где т0 = const, показать, что абсолютная дифференциальная термоэдс металлов определяется выражением
а = ^-
где ^ — энергия Ферми.
Закон дисперсии г(&) считать изотропным квадратичным ^ = "^г-
Оценить абсолютную дифференциальную термоэдс натрия (Na) и меди (Си) при комнатной температуре (Т = 293 К), зная, что энергия Ферми ?70 для них равна соответственно 3,2 эВ и 7,04 эВ.
Используя значения энергии Ферми для серебра ?;Ag = 5,5 эВ и золота t/Au = 4,7 эВ, определить для них коэффициенты Пельтье и Томсона при температуре Т = 300 К.
. ПОЛУПРОВОДНИКИ
Электронные свойства однородных полупроводников
В кристалле полупроводника при температуре абсолютного нуля все энергетические уровни валентной зоны заполнены электронами, а уровни зоны проводимости свободны. Эти зоны разделены запрещенной зоной, ширина которой Eg у разных полупроводников может иметь значения от сотых долей до 2 эВ. При температурах, отличных от абсолютного нуля, часть электронов переходит из валентной зоны в зону проводимости.
Концентрации электронов и в зоне проводимости и дырок р в валентной зоне определяются формулами
n=i^Vn^d^’ ^-^
P="^vp^d^ (5-2)
в которых интегрирование по волновому вектору распространяется на зону Бриллюэна, fn (г£ и fp (г$ — l—fn (г^ — функции распределения электронов и дырок соответственно.
Дефекты в кристалле создают локальные энергетические уровни в запрещенной зоне. Примесные энергетические уровни атомов элементов 32
V группы в кристалле германия (Ge) или кремния (Si) располагаются вблизи дна зоны проводимости. Поскольку энергия активации таких уровней значительно меньше ширины запрещенной зоны, то при невысоких температурах проводимость обусловливается электронами, которые переходят с донорных уровней в зону проводимости. Такой полупроводник называется полупроводником и-типа. Примесные локальные уровни атомов элементов III группы в кристалле Ge (или Si) располагаются вблизи потолка валентной зоны. Энергетические уровни примесей в этом случае являются акцепторными, а полупроводник, содержащий такие примеси, называется полупроводником р-типа.
Химический потенциал или уровень Ферми iq полупроводника определяется из уравнения электрической нейтральности
Р + 22Л = п,(5.3)
где N7 — концентрация примесных ионов с зарядовым числом Z7.
Концентрации ионизованных однозарядных атомов акцепторной N7 (Za = —1) и донорной Nd (Zd = +1) примесей выражаются через концентрации нейтральных примесных атомов Na и Nd соотношениями
N; =^-,(5.4)
1+&СХР
N+a=(5.5) 1+&ехр U^zr)
\ к0Т /
где &(&)“ фактор вырождения примесного уровня, Еа (Ed) — энергия акцепторного (или донорного) уровня.
В случае простой параболической зоны, характеризующейся изотропным квадратичным законом дисперсии
«.№=s<5-6>
(т* — эффективная масса электронов), концентрация электронов в зоне проводимости невырожденного полупроводника определяется формулой
и
n = Nce^T)(5.7)
в которой величина
/ ?и*^лТ \3/2
N==2Vw)(5-8)
называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости.
2 Заказ 295
При тех же условиях концентрация дырок в валентной зоне выражается равенством
(5.9)(5.9)Ец + пp = Nce k°T ’
(5.9)
(5.9)
/\3/2
где Eg—ширина запрещенной зоны, Ny = 2 I ) -эффективная плотность состояний в валентной зоне.
Для невырожденного полупроводника справедлив закон действующих масс
]/йр" = 2 ^v^^^= ni>(5.10)
где п^ концентрация равновесных носителей в собственном полупроводнике. Электропроводность о и коэффициент Холла RH полупроводника выражаются через дрейфовые подвижности электронов {гп и дырок цр соотношениями
(5.11)(5.11)(5.12)(5.12)о = е0 (и#/„ + рц^,
(5.11)
(5.11)
(5.12)
(5.12)
Гн РРр - «Ри
Со («Ри + РРр)2 ’
где гн —фактор Холла, зависящий от механизма рассеяния.
Свободные электроны и дырки, не находящиеся в термодинамическом равновесии, называются неравновесными носителями заряда. Возникновение неравновесных носителей приводит к изменению проводимости полупроводника:
(5.13)(5.13)о = от + Да,
(5.13)
(5.13)
где от — темновая проводимость,
До = е0 ^прп + Др//Р) -До = е0 ^прп + Др//Р) -(5.14)(5.14)
До = е0 ^прп + Др//Р) -
До = е0 ^прп + Др//Р) -
(5.14)
(5.14)
фотопроводимость, Ди и Др —концентрации неравновесных электронов и дырок соответственно.
Релаксация неравновесных носителей в простейшем случае описывается уравнениями
(5.15)(5.15)dn _ Диdt Тп ’
(5.15)
(5.15)
dp _ Др dt ~ Т„ ’
где т„, (тр) — время жизни электронов (дырок) по отношению к рекомбинации.
Слиток германия изготовлен из сплава германия массой 100 г и сурьмы массой 6,44 • Ю"6 г. Предполагая, что сурьма распределилась по образцу равномерно, вычислить концентрацию ато- 34
мов сурьмы. Плотность германия 5,46 г/см3, атомная масса сурьмы 121,75 г/моль.
Применяя модель атома Бора для описания состояний примесных атомов, оценить радиус электронной «орбиты» пятивалентных примесных атомов в германии, если относительная диэлектрическая проницаемость германия й = 16 и эффективная масса электронов m* = O,5mo, m0—масса покоя электрона.
Антимонид галлия (GaSb) имеет запрещенную зону шириной Eg = 0,8 эВ и £'= 15,2. Эффективные массы электронов и дырок этого полупроводника равны соответственно m* = O,O47mo и тр = О,47Ло. Найти энергии ионизации доноров и акцепторов для основного состояния примесей в GaSb и сравнить их с энергией генерации пары электрон + дырка.
Определить положение уровня Ферми в собственном невырожденном полупроводнике, если известно, что ширина запрещенной зоны линейно зависит от температуры: Eg = Е^о) — £Т, где £ = const > 0.
Показать, что концентрация электронов в зоне проводимости невырожденного беспримесного полупроводника определяется выражением
ni = ^ = 2 (m*m*)3/4 е 2к°т ,
где Eg—ширина запрещенной зоны, т* и т* — эффективные массы электронов и дырок соответственно.
Концентрация электронов в собственном полупроводнике при температуре 400 К оказалась равной 1,38 • 1021 м-3. Найти произведение эффективных масс электрона и дырки, если известно, что ширина запрещенной зоны в зависимости от температуры меняется по закону Е6 = (0,785-4-10'4Т) эВ.
Считая ширину запрещенной зоны кремния (Si) не зависящей от температуры и равной 1,10 эВ, найти химический потенциал и концентрацию электронов и дырок в области собственной проводимости при температурах 7\ = 300К и Т2 = 400 К, если "^ = 6 и "^■ = 0,8 (т0—масса свободного электрона).
Оценить химический потенциал и концентрацию носителей кристаллического беспримесного германия (Ge) при температуре 300 К, если ширина запрещенной зоны Eg = 0,68 эВ и эффективные массы электронов и дырок принять равными массе свободного электрона т0.
Используя результаты предыдущей задачи и известные значения подвижностей электронов и дырок цп = 0,39 м2/(В • с) и ^р = 0,19м2/(В-с) германия, оценить удельную электропроводность при температуре 300 К. Какова должна быть напряженность электрического поля, чтобы плотность тока в таком образце была равна 10 А/см2?
Исследовать температурную зависимость энергии Ферми невы
рожденного примесного полупроводника, содержащего один тип одновалентной донорной примеси с концентрацией атомов Nd. Энергия донорного уровня Ей.
Найти концентрацию электронов в полупроводнике с одним типом одновалентных доноров в примесной области с концентрацией атомов Nd. Кратность вырождения энергетического примесного уровня Ед равна gd.
Определить концентрацию электронов в кристаллическом германии при температуре 300 К, если образец содержит примесь атомов сурьмы с концентрацией 2 • 1021 м-3, кратность вырождения примесного уровня gd = 2 и глубина его залегания по отношению к дну зоны проводимости характеризуется энергией 0,01 эВ.
Исследовать температурную зависимость химического потенциала в примесной области невырожденного полупроводника, содержащего один тип одновалентных акцепторов с концентрацией атомов Na. Энергия акцепторного уровня Еа, кратность вырождения ga.
Используя кинетическое уравнение в приближении времени релаксации т и считая его (т) функцией скорости, показать, что электропроводность невырожденного полупроводника выражается через концентрации носителей п, р и их подвижности у,п, рр формулой о = ей (прп + рр^.
Найти температурную зависимость подвижности электронов
невырожденного полупроводника, если известно, что основным меха
низмом рассеяния электронов является их рассеяние на акустических колебаниях решетки, для которого время релаксации пропорционально (Ту)-1, где у —скорость электрона.
В кристалле кремния (Si) массой 120 г распределены равномерно по объему фосфор (Р) массой 25,7 • 10-6 г и галлий (Ga) массой 38,2 • 10-6 г. Считая атомы примеси полностью ионизованными и известными подвижности носителей //„ = 0,12 м2/(В-с), //р = 0,05 м2/(В-с), вычислить удельное сопротивление кристалла. Плотность кремния равна 2,33 г/см3.
1 dQ &Q — q dT1 dQ &Q — q dTгермания при комнатнойгермания при комнатнойКрасная граница фотопроводимости чистого беспримесного германия (Ge) при низких температурах соответствует длине волны Яо = 1,7 мкм. Используя эти данные, вычислить температурный коэффи
1 dQ &Q — q dT
1 dQ &Q — q dT
германия при комнатной
германия при комнатной
циент удельного сопротивления
температуре Т = 293 К.
Известно, что удельное сопротивление чистого теллура (Те) при нагревании его от Т\ = 300 К до Т2 = 400 К уменьшается примерно в 5,2 раза. Определить минимальную энергию образования пары электрон —дырка в чистом теллуре при абсолютном нуле тем
пературы.
Подвижность электронов в беспримесном германии при
температуре 300 К равна 3800 см2/(В-с), отношение подвижностей
электронов и дырок Ь = — = 2,1, эффективные массы носителей можно
М-р
считать не зависящими от температуры и равными т* = О,56то, m* = О,37то. Найти удельную проводимость германия при температурах Тг = 300 К и Т2 = 30 К, если подвижности пропорциональны Т~3/2, а ширина запрещенной зоны изменяется в зависимости от температуры по линейному закону Eg = (0,75 — 4 • 10~4 Т) эВ.
Определить дрейфовую подвижность и концентрацию электронов проводимости в германии и-типа, если известно, что его удельное сопротивление и постоянная Холла при выбранных условиях равны соответственно Q = 1,8 • 10~2 Ом • м, Ян = 8,2 • 10-3 м3/Кл. Рассеяние носителей решеточное.
Пластинку из полупроводника p-типа шириной d = 0,5 см и длиной а = 2 см поместили в однородное магнитное поле индукцией В = 0,2 Тл, перпендикулярное ее верхней грани (см. рис. 6). Определить постоянную Холла и дрейфовую подвижность дырок, зная, что удельное сопротивление образца q = 0,03 Ом • м и при продольном напряжении на концах 12 В возникает холловская разность потенциалов Дфн = фг — фъ равная 0,06 В. Рассеяние носителей решеточное.
В некотором образце германия, у которого подвижность электронов в 2,1 раза больше подвижности дырок, эффект Холла не наблюдается. Найти для такого образца отношение концентрации электронов п к концентрации дырок р и долю электропроводности, обусловленную электронами.
В полупроводниковом образце и-типа плотность тока вдоль оси у (см. рис. 6) /у = 0,2 А/см2. Вектор магнитной индукции направлен по оси 2, а его модуль В = 0,1 Тл. Определить напряженность поля Холла, постоянную Холла, если известно, что концентрация электронов и=1015см-3. Рассеяние решеточное.
Определить постоянную Холла в полупроводниковом образце при температуре 300 К, содержащем акцепторную примесь концентрацией Na = 5- 1016см-3, если известно, что — — 80, равновесная кон-
Мр
центрация носителей в собственном полупроводнике тц = 1,6- 1016см~3, магнитное поле слабое; рассеяние решеточное, примеси полностью ионизованы.
Используя закон действующих масс, показать, что удельная электропроводность невырожденного примесного полупроводника
и.
минимальна при концентрации электронов п=-^. где и, — концентра- уо
ция носителей зарядов в собственном полупроводнике, b = — — отноше- Мр
ние подвижностей электронов и дырок. Чему равен в этом случае коэффициент Холла?
Удельное сопротивление чистого беспримесного германия при
комнатной температуре Qo = 0,6 Ом • м. После включения источника света оно стало 61 = 0,5 Ом • м, а через промежуток времени I = 5 • 102 с после выключения источника — 62 = 0,58 Ом -м. Найти среднее время жизни электронов и дырок.
В момент времени tx — 2 • 104 с после выключения равномерной по объему генерации электронно-дырочных пар неравновесная концентрация носителей оказалась в к = 8 раз больше равновесной. Определить среднее время жизни электронов и дырок по отношению к рекомбинации.
Используя выражение для полной плотности электрического тока электронов и дырок с учетом дрейфа и диффузии, получить в общем случае соотношения между подвижностями рп, рр и коэффициентами диффузии Dn, Dp в виде Dn = - ™-, Dp = —^-, где т] — химический
ал ал
потенциал полупроводника.
Показать, что в случае невырожденных полупроводников Спратт Уп^оТУркоТ
ведливы соотношения Dn = —-—, D = ——.
Вычислить коэффициент диффузии при Т = 300 К в невырожденном германии, если известно, что Нп = 3800 см2/(В • с). Получить выражение для коэффициента диффузии вырожденного электронного
газа в полупроводнике, если зависимость энергии от волнового вектора представляется квадратичным изотропным законом дисперсии вида
Предполагая, что время релаксации носителей характеризуется степенной зависимостью от энергии т = toss (т0 и s — постоянные), пока
зать, что абсолютная термоэдс невырожденных примесных полупровод-
где т] — химическийгде т] — химический.- к0 5 П
где т] — химический
где т] — химический
ников определяется формулой а = ”7 I $ + у — "77
потенциал, е — заряд носителей тока.
Показать, что в примесном полупроводнике с носителями двух типов дифференциальная термоэдс выражается соотношением
а = "Р0^™10"; в частности, в области собственной проводимости при р = п величина а = ^ ™^” , где b — ап, оп, рп — дифференциальная термоэдс, удельная электропроводность и подвижность электронов; ар, ор) цр — аналогичные величины для дырок.
Контактные явления
В приконтактной области двух разнородных кристаллических твердых тел возникает ряд новых физических явлений, обусловленных обменом через границу раздела свободных носителей заряда.
При контакте двух металлов различают внешнюю контактную разность потенциалов, выражающуюся через работы выхода электронов из первого Ai и второго металла А формулой
(5.16)(5.16)У.^СЛ-Л),
(5.16)
(5.16)
и внутреннюю контактную разность потенциалов
У,У,во и2во и2(5.17)(5.17)
У,
У,
во и2
во и2
(5.17)
(5.17)
где «1 и «2 — концентрации свободных электронов в металлах.
В месте контакта металла с полупроводником, обладающим меньшей работой выхода по сравнению с металлом, образуется запорный слой с односторонней проводимостью. Контактное поле запорного слоя искривляет энергетические уровни полупроводника. Уравнение вольт- амперной характеристики выпрямляющего контакта имеет вид:
I = IsI = Is. ер I VI. ер I VI-1-1(5.18)(5.18)
I = Is
I = Is
. ер I VI
. ер I VI
-1
-1
(5.18)
(5.18)
VK = -^ln^VK = -^ln^
VK = -^ln^
VK = -^ln^
где знак «+» соответствует прямому направлению внешнего поля, знак «—» —обратному, Is — ток насыщения.
Контакт двух полупроводников с различным типом проводимостей получил название электронно-дырочного перехода или р — «-перехода. Вольт-амперная характеристика идеального р — «-перехода (рис. 7) определяется тем же уравнением (5.18). Ток насыщения р — «-перехода Is равен:
Л = е08 l^ + N^Y(5.19)
где S — площадь перехода; Ln, Lp, Dn, Dp — диффузионные длины и коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно; пр,рп —
равновесные концентрации неосновных носителей.
Вольт-амперная характеристика (5.18) получена для одномерной модели р — п- перехода при установившемся режиме в отсутствие генерации и рекомбинации носителей в нем и в предположении, что все поле сосредоточено внутри перехода (идеальный р — «-переход).
Контактная разность потенциалов Ук р — «-перехода для невырожденных полупроводников определяется равенством
где ип, рр — концентрации основных носителей, «z — концентрация собственных носителей.
В области р — «-перехода находятся неподвижные, нескомпен- сированные положительно заряженные доноры с концентрацией Na и отрицательно заряженные акцепторы, концентрация которых N~, создающие электрическое поле. В результате р — «-переход ведет себя как конденсатор определенной емкости, называемой барьерной емкостью.
Барьерная емкость резкого р — «-перехода, вне которого заряды ионизованных примесей полностью скомпенсированы, определяется зарядами собственных носителей, а внутри него, где нет подвижных зарядов,—формулой емкости плоского конденсатора
C6 = -^, (5.20)
где ^ — абсолютная диэлектрическая проницаемость полупроводника, S —площадь и h — толщина р — «-перехода.
Электронно-дырочный переход может служить источником ЭДС, преобразующим лучистую или тепловую энергию в электрическую (полупроводниковые фото- и термоэлементы), а также может быть использован для усиления и генерирования высокочастотных токов (транзисторы).
Используя известные значения работ выхода электронов из металлов, показать, что при комнатной температуре внешняя контактная разность потенциалов двух металлов Va гораздо больше внутренней V,, если отношение концентраций свободных электронов
равно —L = 3.
Считая толщину двойного электрического слоя, возникающего в месте контакта двух металлов, порядка постоянной решетки d ~ 3 А, контактную разность потенциалов порядка 1 В, а концентрацию свободных электронов равной «« 1023м-3, оценить изменение концентрации электронного газа в контактном слое. Как влияет это изменение на электропроводность контактного слоя?
Оценить толщину двойного электрического слоя, возникающего в месте контакта металл — полупроводник, если концентрация свободных электронов в полупроводнике « « 1021 м-3, его относительная диэлектрическая проницаемость £' ~ 10, контактная разность потенциалов VK« 1 В, постоянная решетки d = 5 А, а из полупроводника в металл (S = 1 м2) перетекает Л« ~ 1017 электронов. Показать, что такой слой должен обладать удельным сопротивлением, значительно превосходящим сопротивление объема полупроводника.
Используя формулу Ричардсона —Дэшмана для термотока, протекающего из металла в полупроводник и из полупроводника в металл, найти уравнение вольт-амперной характеристики выпрямляющего контакта металл —полупроводник.
Вычислить сопротивление запорного слоя металл — полупроводник постоянному току при малых положительных смещениях и комнатной температуре, т. е. когда e0V < к0Т, если обратный ток насыщения при данной температуре Д = 10мкА.
Найти дифференциальное сопротивление выпрямляющего контакта металл —полупроводник в зависимости от температуры при нулевом смещении и указать путь экспериментального определения контактной разности потенциалов.
Найти концентрацию дырок в p-области для германиевого перехода при комнатной температуре, если контактная разность потенциалов VK = 0,32 В, концентрация электронов в «-области ип = 1015 см" 3, а концентрация собственных носителей ^ = 2-1013 см-3.
Найти зависимость контактной разности потенциалов Ук р - - «-перехода от удельных проводимостей оп, ор и подвижностей д„, рр электронов и дырок.
—ро, х<0, No, х > 0.—ро, х<0, No, х > 0.Определить толщину идеального р — «-перехода при ступенчатом изменении концентрации ионизованных примесей:
—ро, х<0, No, х > 0.
—ро, х<0, No, х > 0.
N~(*) = Nd-Na =
Ось х направлена перпендикулярно плоскости перехода, а начало координат выбрано в плоскости контакта. Рассмотреть случай, когда Po>No.
Определить толщину идеального р — «-перехода в случае, когда концентрации ионизованных примесей меняются по линейному закону: N (х) = Nd — Na = ах, где а = const. Ось х и начало координат выбраны, как и в предыдущей задаче.
Найти контактную разность потенциалов р — «-перехода при температуре Т = 300 К с линейным законом изменения концентрации примесей, если градиент концентрации а = 1019см"4, толщина перехода h = 1,7 мкм, а концентрация собственных носителей при данной температуре «^ = 2 • 1013 см"3.
Вычислить силу тока, проходящего через идеальный р — «-переход при комнатной температуре, если площадь перехода S = 1 мм2, коэффициент диффузии дырок £>р = 50см2/с, их среднее время жизни тр = 3,0 • 1022 с, оп < ор = 5 (Ом • см)"1, «, = 1014 см"3. На переход подано напряжение в пропускном направлении V = 0,3 В.
Из полупроводника p-типа с концентрацией дырок рр = 1016 см'3 и полупроводника «-типа, проводимость которого оп = 2 (Ом • см)"1, изготовлен р — «-переход. Рассчитать отношение дырочного тока к электронному, если известны подвижность дырок рр = 1000см2/(В • с), диффузионные длины дырок и электронов Lp = 10"2 см, Ln = 10"1 см. Переход считать идеальным.
Диод с р — «-переходом изготовлен из материала, для которого известны отношение диффузионных длин и проводимостей:
-—- = 10, —^ = 12. Считая р — «-переход идеальным, определить, во сколько раз электронный ток меньше дырочного.
Из температурной зависимости обратного тока насыщения er
плоскостного диода Zs = Се к°т, где С = const, найти ширину запрещенной зоны Е8 материала диода.
Используя вольт-амперную характеристику резкого р — «-перехода, вычислить при Т = 290 К и положительном напряжении V = 0,1 В плотность тока через р —«-переход, если плотность тока насыщения равна 1 А/м2.
Индий вплавляется в кристалл германия, содержащий мышьяк в количестве 1015 атом/см3. После охлаждения сплава индия в нем содержится 1017атом/см3. Вычислить разность потенциалов на таком р-п- переходе при Т = 300 К, предполагая, что все примеси ионизованы и концентрация носителей в собственном полупроводнике равна 2,4 • 1013 см-3.
Найти выражение для барьерной емкости р — «-перехода, характеризующегося ступенчатым распределением примесей (см. задачу 5.41). Рассмотреть случай р0>М0 и указать способ экспериментального определения концентрации примесей в базе, т. е. No.
Определить барьерную емкость р ~ «-перехода с линейным законом распределения примесей в нем (см. задачу 5.42). Указать путь экспериментального определения градиента концентрации примесей.
Найти фотоэдс полупроводникового фотоэлемента в зависимости от тока короткого замыкания /ф и тока насыщения Is. Рассмотреть частный случай, когда 1Ф<1$.
. ПОЛЯРИЗАЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
Электрическое состояние диэлектрика в электрическом поле £ характеризуется вектором поляризации Р, который определяют равенством
p=v2p.. (ел)
где pz — электрический дипольный момент z-й молекулы из объема V. В случае ионного кристалла под pz следует понимать электрический момент элементарной ячейки.
По механизму поляризации различают:
Диэлектрики с квазиупругими диполями. В отсутствие внешнего электрического поля молекулы таких диэлектриков не обладают электрическими моментами. Но во внешнем поле появляются дипольные моменты, пропорциональные напряженности действующего поля £д:
(6.2)(6.2)р = ае0£д.
(6.2)
(6.2)
Коэффициент а называется поляризуемостью молекулы. Поскольку действующее (локальное) поле £д связано с макроскопическим 8 соотношением
(63)(63)6й = £*аР,
(63)
(63)
З^оЗ^огде а = const и в некоторых случаях а = —, то для диэлектриков с
З^о
З^о
квазиупругими диполями справедливо соотношение Клаузиуса — Мос- сотти:
где М — молярная масса, Qm — плотность, No — постоянная Авогадро.
Полярные диэлектрики. Их молекулы обладают дипольными моментами р0 и в отсутствие внешнего электрического поля.
У полярных диэлектриков основную роль играет ориентационный механизм поляризации.
При ро 8Д < kQT (Т — абсолютная температура, к0 — постоянная Больцмана) относительная диэлектрическая проницаемость г/ при постоянном числе молекул в единице объема линейно зависит
от —, т. е. т ’
В очень сильных полях ^р08д>к0Т) дипольные моменты всех молекул ро ориентированы по полю, и поляризация достигает своего максимального значения
(6.6)(6.6)Ртах Рнас ^Ро*
(6.6)
(6.6)
Ионные диэлектрики во внешнем поле поляризуются не только за счет смещения под действием поля разноименных зарядов внутри каждого иона, но и за счет смещения разноименных ионов.
Сегнетоэлектрики (титанат бария, сегнетовая соль и др.) характеризуются нелинейной зависимостью поляризации от напряженности внешнего поля. В малых областях (доменах) у сегнетоэлектриков наблюдается спонтанная поляризация. Относительная диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков велика, иногда достигает нескольких тысяч.
Зависимость показателя преломления и от частоты 0 электромагнитной волны называется дисперсией:
(6.7)(6.7)п = п (0).
(6.7)
(6.7)
Если — > 0, что выполняется для прозрачной части спектра,
то дисперсия называется нормальной. В области аномальной диспер-
dn А
сии — <0. do
Вдали от резонансных частот ок показатель преломления разреженных газов определяется формулой
и2 = 1 + - У ,(6.8)
е0 щк - (У2)
ек и тк—заряд и масса соответствующего осциллятора, N* = Nkfk, Nk — число осцилляторов данного сорта в единице объема, fk—сила осциллятора, указывающая на степень его участия в преломлении света. Значения сил осцилляторов могут быть вычислены лишь на основе квантовой механики.
Согласно формуле (6.8) в прозрачной области спектра дисперсия является нормальной > 0). Аномальная дисперсия наблюдается для частот (У, близких к собственным частотам (ок.
С -помощью соотношения и = V^, справедливого для слабо магнитных сред с р! « 1, из формулы Клаузиуса — Моссотти (6.4) получается формула Лорентц—Лоренца:
— ”2-1 =N°^Гб
Qm и2 + 2 3mo^o (<Уо - (У2) *'
Величина Ro = — У "-1 (молярная рефракция), обладающая свойством Qm и +2
аддитивности, характерна для каждого вещества и почти не зависит от температуры и давления, 0О — резонансная частота.
Вещества, молекулы которых обладают анизотропией поляризуемости, в постоянном электрическом поле £0 приобретают свойства одноосных кристаллов с оптической осью, параллельной вектору So-
Двойное лучепреломление, появляющееся под действием постоянного электрического поля, называется эффектом Керра. Постоянная Керра определяется равенством
K=tf’<6ЛО)
где Яо —длина волны в вакууме, и' и и" —показатели преломления двух линейно поляризованных перпендикулярно к вектору напряженности постоянного электрического поля So и относительно друг друга электромагнитных волн.
Используя модель атома Томсона, найти поляризуемость атома водорода. Согласно модели Томсона атом представляет собой положительно заряженный шар, в центре которого находится точечный 44
электрон зарядом — е0. Положительный заряд атома е0 равномерно распределен по объему шара радиусом а.
Вычислить поляризуемость атома водорода с помощью модели Резерфорда —Бора, предполагая, что электрон обращается вокруг ядра по первой стационарной орбите радиусом 0,529 • 10"10 м.
Используя квантовомеханическую модель атома, показать, что поляризуемость атома водорода в основном состоянии в слабом электрическом поле определяется формулой а = 3лао, где а0 — боровский радиус.
Относительная диэлектрическая проницаемость гелия г/ при нормальных условиях равна 1,000074. Вычислить дипольный момент атома гелия при нормальных условиях: а) в однородном электрическом поле напряженностью Ех = 105 В/м; б) в поле световой волны солнечного излучения, если известно, что средняя напряженность электрического поля световой волны у земной поверхности равна 7 В/см. Сравнить найденные значения с постоянным дипольным моментом полярных молекул рр ~ 1О"зоКл м.
При нормальных условиях относительная диэлектрическая проницаемость газообразного дисульфида углерода CS2 si = 1,0029. Плотность жидкого CS2 при температуре Т = 293 К в 381 раз больше, чем газообразного. Предполагая, что атомная поляризуемость дисульфида углерода не меняется при его конденсации в жидкое состояние, определить диэлектрическую проницаемость жидкого CS2.
Найти относительную диэлектрическую) проницаемость аммиака при нормальных условиях, если постоянный дипольный момент молекулы NH3 р0 = 4,6 • 1О"зоКл • м и ее поляризуемость а = 1,37 • 10"29 м3.
По значениям относительной диэлектрической проницаемости и плотности газов О2, Аг, СС14 при нормальных условиях, приведенным в таблице, определить с помощью формулы Клаузиуса —Моссотти диэлектрическую проницаемость указанных веществ в жидком состоянии и сравнить с экспериментальными значениями, указанными в той же таблице.
Вещество
Газ
Жидкость
е'
р -103, кг/м3
Р-10\ кг/м3
ЕэКСП
Аг
1,00055
0,00178
1,44
1,54
о2
1,00052
0,00143
1,19
1,507
СС14
1,0030
0,0090
1,59
2,24
У газообразного аргона относительная диэлектрическая проницаемость при нормальных условиях составляет 1,000517. Жидкий аргон при температуре 83 К и давлении в 1 атм имеет £'= 1,53. Считая справедливой формулу Клаузиуса — Моссотти, найти плотность жидкого аргона.
Газообразный аммиак NH3, молекулы которого обладают по-
стоянными дипольными моментами р0 = 4,9- 1О~зоКл -м, помещен в однородное электрическое поле напряженностью £ = 500 В/м. У какой части молекул при температуре 273 К дипольные моменты образуют с направлением вектора напряженности угол, не превышающий 45°?
Для газообразного хлористого водорода, находящегося в равновесном состоянии при температуре 300 К, определить, при какой напряженности действующего поля второй член разложения функции Ланже- вена L^ по степеням $ = ^^ дает поправку порядка 1% к приближенному выражению L^ «~ g. Дипольный момент молекулы НС1 равен 3,5 • 10"30 Кл • м.
Предполагая, что на электрон в атоме действует квазиупругая сила, и используя классическое соотношение между поляризуемостью и радиусом атома а. вычислить напряженность действующего поля, если известно, что а = 0,53 • 10"10 м. Какими зарядами создается действующее поле?
Аргон в твердом состоянии содержит примерно 2,5 • 1028 атомов в объеме 1 м3. Его поляризуемость равна 2,03 • КГ29 м3. Вычислить отношение действующего поля к приложенному, считая справедливой формулу £д = £ + -~- Р.
В приведенной таблице представлены опытные данные температурной зависимости относительной диэлектрической проницаемости водяного пара. Считая водяной пар идеальным газом, найти поляризуемость как функцию температуры и дипольный момент молекулы воды.
т, к
393
423
453
483
Р, мм рт. ст.
564,9
609,3
653,4
697,5
(е'-1)-106
400,2
371,7
348,8
328,7
На рисунке 8 приведены графики экспериментальной зависимости диэлектрической проницаемости от абсолютной температуры для разных веществ: I —для СН3С1; II —для СН2С12; III —для СНС13; IV —для СС14. Что можно сказать о дипольных моментах молекул этих веществ? Считая число молекул в единице объема у всех веществ примерно одинаковым, найти отношение дипольных моментов молекул -^- и -^-,
Рои Рош
где р01, роп, рощ —дипольные моменты молекул СН3С1, СН2С12, СНС13 соответственно.
Наблюдаемые значения поляризации насыщения титаната бария BaTiO3 Ps = 16- 10"2Кл/м2. Зная длину ребра элементарного куба а = 4- Ю"10м, найти дипольный момент элементарного куба и оценить смещение центрального иона Ti4+, считая, что поляризация кристалла обусловлена смещением таких ионов.
Водород при температуре О °C и давлении 760 мм рт. ст. имеет плотность 61 = 8,96 • 10-5 г/см3, его показатель преломления пг равен 1,000138. Плотность жидкого водорода q2 = 0,068 г/см3. Считая, что формула Лорентц —Лоренца применима к этому случаю, найти показатель преломления жидкого водорода.
Определить поляризуемость молекулы СО2, если известно, что при нормальных условиях показатель преломления равен 1,000449.
Найти максимальную скорость свободного электрона при вынужденных колебаниях его в поле солнечного излучения вблизи земной поверхности. Показать, что максимальная сила со стороны магнитного поля Fm много меньше максимальной силы Fe) действующей на электрон со стороны электрического поля световой волны. Поле солнечного излучения в данной точке заменить монохроматическим излучением Е = Е0 cos cat с частотой о = 3,42• 1015с-1 и 5о«1О3В/м.
У хлористого натрия показатель преломления п = 1,5, статическая диэлектрическая проницаемость £'ст = 5,62. Различие между и и /^ст в случае ионных кристаллов обусловлено ионной поляризуемостью.
Определить долю относительной диэлектрической проницаемости монокристалла NaCl, которая связана с ионной поляризуемостью. При оценке А^ использовать следующие экспериментальные данные: собственная частота молекулы NaCl равна 5,6 • 106с-1; объем, приходящийся на одну молекулу в кристалле, V = 2я3 = 4,48 • 10"29 м3. При расчетах пренебречь различием между действующим и макроскопическим полем.
На основе представлений классической электронной теории с учетом действующего поля показать, что в прозрачной части спектра для показателя преломления справедливо выражение
И2 = 1 +
jvy З^о ]jvy З^о ]So ^о(«о-«2) -
jvy З^о ]
jvy З^о ]
Используя результат предыдущей задачи, определить, при каких давлениях газа и частотах падающего света для атомарного водорода при температуре 5000 К для показателя преломления в прозрачной области спектра справедливо соотношение
И ~ 1 + ~7~557 .
2£О7Ио W - у )
Найти на основе классических представлений резонансную частоту электрона в атоме водорода диаметром d«10-10M.
Найти приближенно число оптических электронов в единице объема вещества, если для рентгеновского излучения с длиной волны Я = 3 10"10м показатель преломления п = 0,99999.
Пренебрегая столкновениями между ионами и электронами и действием магнитного поля на заряженные частицы, получить выражение для относительной диэлектрической проницаемости е’ (0) и показателя преломления п разреженной плазмы в поле монохроматической волны £=£oe^tot"kz\
Показатель преломления ионосферы для радиоволн с частотой 100 мкс-1 равен п = 0,90. Определить концентрацию электронов ионосферы.
Предполагая, что на электрон в атоме действует квазиупругая сила, найти поляризуемость атома a (0) в поле электромагнитной монохроматической волны с частотой т. учитывая силу лучистого трения Др = — 2m0yr, где у = -^^-, 0О — собственная частота электрона.
Электрическое поле £ световой волны, проходящей через среду
-►_ Мд UI
с показателем преломления и, равно £ = £ое у с '
Показать, что если п = п0 — иц то*
хюг . / „ «о2 \
Используя выражение и — 1 = ;—5—:—, наити, по какому
2£о?Ио «0 - ^ + W
закону ослабляется интенсивность световой волны с частотой 0, равной собственной частоте 0О электрона.
Найти показатель преломления алюминия и графита для рентгеновских лучей о длиной волны X = 1,56 • 10"10м, предполагая, что собственная частота электронов много меньше частоты рентгеновского излучения.
Вычислить разность показателей преломления пг и иу газа, состоящего из полностью анизотропных молекул, для электромагнитных волн, электрические векторы которых колеблются соответственно вдоль осей у и 2 в зависимости от распределения осей молекул по углам 0 (угол между Oz и осью молекулы). Считать, что разность (и2 — п^<п0 и и0 (показатель преломления при изотропном распределении молекул) близок к единице.
Найти постоянную Керра для газа, состоящего из полностью анизотропных молекул без постоянного дипольного момента. Напряжен- 48
ность постоянного электрического поля £0 параллельна оси г. Безразмерная величина В =< 1.
М 2к0Т
Определить постоянную Керра для газа из полностью анизотропных молекул с постоянным дипольным моментом р0, направление которого совпадает с направлением поляризуемости молекулы. Безразмерная величина /?т= /^"^1 и РинД<Ро-
. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Диа- и парамагнетизм
Диамагнетизм присущ всем телам, но в чистом виде встречается у тех веществ, собственный магнитный момент атомов которых равен нулю. Индуцированный магнитный момент атома, обусловленный прецессией электронов вокруг направления внешнего магнитного поля
22В, равен:
2
2
(7.1)
где г — число электронов в атоме, г? — среднее значение квадрата расстояния z-ro электрона от ядра.
Диамагнитная восприимчивость идеального газа определяется формулойz
^=-^=-^2^’<7-2)
I — намагниченность или магнитный момент единицы объема вещества, N —концентрация атомов, р0 — магнитная постоянная.
Вещества, атомы которых обладают собственным магнитным моментом ц. будут парамагнитными, если взаимодействие между ними (магнитными моментами атомов) пренебрежимо мало. Намагниченность парамагнетика в магнитном поле В без учета явления пространственного квантования определяется выражением
I = N/i (cthg - j j = МцЦ$,(7.3)
где В =, ЦВ) — функция Ланжевена.
кот
С учетом пространственного квантования намагниченность равна:
I = NgHbJ (-2^1 cth -^ х - ^- cth ^-U Ng^B, (х),(7.4)
, B7 (x) — функция Бриллюэна, g—фактор Ланде, J — кван-
товое число полного механического момента. При х < 1 (слабые магнитные поля и не слишком низкие температуры) разложение функции В, (х) дает
I^^/^б/(/ + 1)/^о j^(7 5)
Зк0Т**
Отсюда следует закон Кюри для парамагнитной восприимчивости:
Z = J,(7.6)
где постоянная Кюри
С = NgM/(/ + 1)/Л> = ^о(Рб^б)2(7 7)
З&оЗ&о
рБ —эффективное число магнетонов Бора, приходящееся на атом.
(7.8)(7.8)Магнитная восприимчивость / твердого тела складывается из диамагнитной восприимчивости кристаллической решетки /^ и восприимчивости Хе носителей заряда:
(7.8)
(7.8)
Z=ZZ+Ze-
Восприимчивость электронов проводимости металла равна:
Хе = Znapa +ZХе = Znapa +Zдиа 27/0диа 27/0ж* _ т0mo т*ж* _ т0mo т*(7.9)(7.9)
Хе = Znapa +Z
Хе = Znapa +Z
диа 27/0
диа 27/0
ж* _ т0
mo т*
ж* _ т0
mo т*
(7.9)
(7.9)
где и —концентрация, ^ — эффективная масса электронов, т;0 —энергия Ферми при Т = 0К, р0 —магнитная постоянная, рБ —магнетон Бора.
Атом водорода в основном состоянии находится в однородном магнитном поле В. Вычислить напряженность магнитного поля Но» обусловленную прецессией электронного облака, в центре атома.
Определить диамагнитную восприимчивость атомарного водорода при нормальных условиях (О °C и нормальное атмосферное давление), если распределение плотности заряда электрического облака в
атомеатомеравно 6е^ = -^е 2г1а0’равно 6е^ = -^е 2г1а0’где я0—радиус первой боровскойгде я0—радиус первой боровской
атоме
атоме
равно 6е^ = -^е 2г1а0’
равно 6е^ = -^е 2г1а0’
где я0—радиус первой боровской
где я0—радиус первой боровской
орбиты.
Рассчитать молярную диамагнитную восприимчивость газообразного гелия, принимая во внимание амплитуду вероятности атома 2Не4 в основном состоянии:
2^ (И + Г2)
где z' = —, а0 = 0,528 10 10 м.
Используя результат предыдущей задачи, вычислить магнитный момент атома гелия 2Не4, находящегося в основном состоянии в магнитном поле В = 1 Тл.
Диамагнитная молярная восприимчивость ионизованного лития Li+ равна /мол = — 8,8 • 10~12м3/моль. Найти среднее расстояние электронов от ядра, считая разброс значений расстояний незначительным.
Учитывая, что основной вклад в диамагнетизм вносят внешние электроны атома, оценить радиусы внешних оболочек ионов Na+ и СГ, если их молярные диамагнитные восприимчивости равны соответственно —7,6-КГ11 и — 3,04 • 1Оно м3/моль.
Разреженный парамагнитный газ, содержащий N = 109 молекул, находится в магнитном поле индукцией В = 10Тл при Т=100К. Магнитный момент каждой молекулы равен магнетону Бора. Найти число молекул ^, магнитные моменты которых образуют с направлением поля угол, не превышающий 30°.
Пространственное квантование не учитывать. Как влияют на число Д^ -повышение температуры и уменьшение магнитной индукции?
Определить намагниченность разреженного газа, молекулы которого обладают магнитным моментом ^ = 2,5^Б, помещенного при температуре Т = 300 К во внешнее магнитное поле с индукцией 2 Тл. Концентрация газа N = 102°m-3.
Молярная намагниченность некоторого разреженного парамагнитного газа, находящегося при температуре ЗООК в слабом магнитном поле В = 10"2 Тл, равна 1,5 • Ю-4 Дж/(Тл • моль). Определить постоянную Кюри, отнесенную к 1 моль газа, и магнитный момент молекулы.
Вычислить парамагнитную восприимчивость (единицы объема) кислорода при нормальных условиях в слабом магнитном поле. Магнитный момент молекулы О2 равен 2,8 ^Б.
Показать, что намагниченность парамагнетика с учетом явления пространственного квантования описывается формулой (7.4). Упростить полученное выражение для: а) классического предела /-*оо, когда магнитный момент атома имеет бесконечное множество разрешенных ориентаций в магнитном поле В; б) слабых магнитных полей и высоких температур; в) квантового предела / — —.
Парамагнитный газ, содержащий атомы в состоянии ХР, находится при температуре 300 К в магнитном поле индукцией В = 1 Тл. Вычислить отношение где AN —разность чисел атомов с положительной и отрицательной проекциями магнитных моментов на направление поля, N — полное число атомов. Вычисление провести: а) с учетом пространственного квантования; б) классически —без учета пространственного квантования.
Парамагнитный одноатомный газ помещен в магнитное поле индукцией В = 2Тл при температуре 300К. Рассчитать магнитный момент газа объемом 1 м\ содержащего N=1025 атомов в 2S1/2 состоянии.
Вычислить постоянную Кюри парамагнитного газа (у = 1 моль), состоящего из атомов Na в основном состоянии. Определить также удельную намагниченность этого газа при температуре Т = 300 К в магнитном поле индукцией В = 0,1 Тл.
Вычислить удельную парамагнитную восприимчивость атомарного кислорода в слабом магнитном поле при температуре Т = 1500 К, если атомы газа находятся в основном состоянии.
Найти значение намагниченности I и магнитной индукции В в куске металлического ниобия, помещенного в поле напряженностью 106А/м, если магнитная восприимчивость ниобия равна 2,4 • 10-4. Как изменяется В в ниобии по сравнению с Во в вакууме?
Германий обладает диамагнитной восприимчивостью / = — 0,8 • 10-5. Вычислить магнитную индукцию В для Ge в поле Н=106А/м.
Оценить парамагнитную восприимчивость свободных электронов при Т = 0 К, учитывая, что уменьшение энергии электрона, обусловленное переориентацией магнитного момента по полю В, больше увеличения энергии при переходе на более высокий энергетический уровень.
Определить температурную зависимость спиновой парамагнитной восприимчивости электронов в зоне проводимости металла, помещенного в слабое магнитное поле.
Получить выражение для парамагнитной восприимчивости невырожденных электронов проводимости в полупроводнике в слабом магнитном поле.
Показать, что в квазиклассическом приближении диамагнитная восприимчивость свободных электронов равна нулю.
Оценить спиновую парамагнитную восприимчивость металлического натрия (Na), полагая концентрацию электронов проводимости равной п = 2,5 • 1028м-3 и рассматривая их свободными частицами.
Рассчитать магнитную восприимчивость металлического натрия (Na), если известны концентрация и = 2,55- 1028м-3 и эффективная масса m*=l,5mQ электронов в зоне проводимости. Молярная диамагнитная восприимчивость ионов кристаллической решетки практически совпадает с соответствующей величиной для неона (Zmm = — 9,04 • 10"11 м3/ моль).
Определить эффективную массу электронов проводимости металлического калия (К), если известны экспериментальные значения магнитной восприимчивости/эКСП = 6,03 • 10-6 и диамагнитной восприимчивости решетки /X = —3,64 • 10"6.
Магнитная восприимчивость меди (Си) в твердом состоя-
нии равна /Си = — 0,95 • 10-5. Определить среднее расстояние 3d электронов от ядра в атоме Си, считая, что они вносят основной вклад в диамагнитную восприимчивость решетки. Концентрация атомов меди в кристалле N = 6-1028m“3, эффективная масса электронов проводимости т* = т0.
Ферромагнетизм
Тела, атомы которых обладают собственным магнитным моментом //, являются ферромагнитными, если моменты //соседних атомов при взаимодействии между собой ориентируются параллельно друг другу. Самопроизвольная параллельная ориентация формально может быть объяснена введением внутреннего или молекулярного поля Вм (поле Вейсса):
ВМ = Д/,(7.10)
где А, — постоянная молекулярного поля. Тогда, учитывая действующее поле на ион решетки в виде Вд = В + AJ, намагниченность I вещества определяется формулой
I = Ngpbs ^^- cth"^~" х- ^- cth-^| =NgnbsBAx), (7.11) где s — спин узла решетки, х = Вд , g—фактор Ланде, Bs (я) — функция Бриллюэна, N—число атомов в единице объема.
Температура перехода вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное (температура Кюри) равна:
Тс=Ал^з^ + ^(712)
Зко
При Т>ТС магнитная восприимчивость подчиняется закону Кюри — Вейсса:
/=737;, с = const.(7.13)
Согласно модели Изинга каждый узел решетки ферромагнетика обладает спином s, который может ориентироваться либо в одном направлении (а = + 1), либо в противоположном (а = — 1); при этом учитывается только парное обменное взаимодействие электронов соседних узлов решетки. Энергия электронов, связанная с взаимной ориентацией их спинов в узлах кубической решетки, может быть записана в виде
Еоб„ = -Л2 о, о,,(7.14)
Hi
где А—обменный интеграл, соответствующий паре соседних узлов. Если А > 0, то в неравновесном состоянии кристалла спины соседних узлов располагаются параллельно, т. е. тело будет ферромагнитным. Если же А < 0, то соседние спины стремятся выстроиться антипараллельно друг другу, вещество в этом случае будет антиферромагнетиком или ферритом (нескомпенсированный антиферромагнетизм).
Исходя из модели молекулярного поля Вейсса для ферро
магнитного кристалла и пользуясь выражением намагниченности через функцию Ланжевена, оценить постоянную Ат молекулярного поля, считая известными для железа температуру Кюри Тс = 1043 К, магнитный момент атома ц = 2,8ць и число атомов в единице объема N= 1029m"3.
В приближении молекулярного поля вычислить температуру Кюри для ферромагнетика, спин атомов которого равен s.
Используя результат предыдущей задачи, оценить внутреннее поле Вейсса в железе, для которого температура Кюри Тс = 1043 К, фактор Ланде g = 2 и спин атомов s = 1.
При каких значениях индукции внешнего магнитного поля в железе действующее поле Вд совпадает с молекулярным полем Вейсса Вм с относительной погрешностью д, не превышающей 1%, если температура Кюри равна 1043 К, намагничение насыщения /0 = 2 • 106 А/м, концентрация атомов N ~ 1029м-3?
Показать, что при температурах Т > Тс для магнитной восприимчивости ферромагнетика справедлив закон Кюри—
Вейсса:
z Т-Тс*
В области температур, указанных на рисунке 9, восприимчивость никеля (Ni) всюду следует закону Кюри —Вейсса, за исключением области температур, непосредственно примыкающей к Тс сверху. Из прямолинейного участка кривой найти постоянную в уравнении Кюри—Вейсса, а по этой константе — эффективное число магнетонов Бора, приходящихся на атом Ni, если концентрация атомов N = 5 1028м-3.
Предполагая никель (Ni) при любой температуре парамагнетиком, восприимчивость которого подчиняется закону Кюри с постоянной С = 6 • 10"2 К, вычислить внешнее магнитное поле И,
необходимое для того, чтобы создать в этом парамагнитном металле при комнатной температуре (Т = 300 К) намагничение I = 0,44 • 106 А/м, спонтанно существующее при этой температуре в ферромагнитном никеле.
Значения обратной величины удельной магнитной восприимчивости для железа с объемноцентрированной кубической (ОЦК) решеткой выше ферромагнитной точки Кюри даны в таблице:
Температура, °C
(-!—) 4л- IO"6,
Ху» / 3 кг/м3
Температура, °C
(—)4л.1(Г6,
Ху» / 3 кг/м3
824
1,125
884
3,39
838
1,650
894
3,680
846
2,430
904
3,970
872
2,860
909
4,260
875
3,030
Показать, что восприимчивость подчиняется закону Кюри —Вейсса во всей указанной области температур. Найти значение температуры Кюри и эффективное число магнетонов Бора на атом.
Зная постоянную Кюри для железа С =1,2676 К, оценить в магнетонах Бора среднее значение магнитного момента атома Fe. Концентрацию атомов в кристалле считать равной 1029м-3.
Принимая во внимание обменную природу сил, ориентирующих спиновые моменты атомов (s = 1), и используя модель Изинга для ферромагнетика, найти приближенно связь между постоянной молекулярного поля Вейсса Av и обменным интегралом А для пары соседних узлов решетки. Выразить температуру Кюри через обменный интеграл и число 2 соседних спинов для данного узла.
Зная температуру Кюри для железа Тс = 1043 К и магнитный момент атома ц = 2,22//Б, оценить значение энергии обменного взаимодействия, приходящееся на один атом. Показать также, что обменное взаимодействие не является магнитным взаимодействием.
Получить температурную зависимость спонтанного намагничения ферромагнетика вблизи точки Кюри.
В приближении молекулярного поля показать, что теплоемкость ферромагнетика, для атомов которого / = s = у и g = 2, в точке Кюри имеет скачок.
Для кубического магнитоодноосного кристалла с ребром L рассчитать толщину доменов.
Поверхностная плотность энергии междоменных стенок в железе составляет о = 10"3 Дж/м2. Полагая, что в образце размагниченного поликристаллического железа домены имеют форму параллелепипедов размером 0,1 х 0,01 х 0,01 см, вычислить общую
Рис. 10. Кристаллическая структура МпО:ф — марганец, О—кислород.Рис. 10. Кристаллическая структура МпО:ф — марганец, О—кислород.
Рис. 10. Кристаллическая структура МпО:
ф — марганец, О—кислород.
Рис. 10. Кристаллическая структура МпО:
ф — марганец, О—кислород.
площадь доменных стенок и полную энергию их в куске железа массой 0,5 кг.
В рамках приближения молекулярного поля определить температурную зависимость парамагнитной восприимчивости / для компенсированного антиферромагнетика при Т>ТС) учитывая лишь отрицательное обменное взаимодействие между спинами, принадлежащими разным подрешеткам а и Ъ.
1А1. Кристаллическая структура МпО представляет совокупность двух гранецентрированных кубических (ГЦК) подрешеток, образованных ионами Мп++ и О" (рис. 10). Магнитная структура металлических ионов такова, что спины ионов, расположенных в плоскостях (III), парал
лельны, а спины ионов смежных слоев антипараллельны. Показать, что спонтанное намагничение такой структуры равно нулю (компенсированный антиферромагнетизм).
Вычислить намагничение насыщения магнетита Fe3O4 (Fe2+Fe2+О4"), элементарная кубическая ячейка которого с ребром 8,37 А содержит 32 иона О2-, 8 ионов Fe2+ и 16 ионов Fe3+, причем спиновые моменты ионов Fe3+ упорядочены антиферромагнитно, а ионы Fe2+ занимают в элементарной ячейке позицию одного и того же
типа.
Ион Мп2+ замещает ион Fe2+ в кристалле Fe3O4 почти без изменения параметра решетки (я = 8,37 А), в результате чего образуется феррит MnFe2O4. Вычислить намагничение насыщения марганцевого феррита.
Намагничение насыщения феррита NiFe2O4 составляет 0,25 • 106 А/м. Вычислить размеры ребра элементарной кубической ячейки феррита.
Вывести закон дисперсии to = со^ для спиновых волн в одномерном ферромагнетике, используя модель, в которой учитывается взаимодействие лишь ближайших соседей. Рассмотреть случай длинных волн (ка<1, где к — волновой вектор спиновой волны, а — постоянная решетки).
Известно, что для магнонов в ферромагнетиках с простой кубической решеткой имеет место приближенный закон дисперсии: со = Ьк2, где to и к — частота и волновой вектор магнона соответственно, & —по- 56
стоянная величина. Определить, какой вклад вносят магноны в теплоемкость кристаллов при низких температурах.
Используя приближенный закон дисперсии для магнонов в ферромагнетиках с кубической решеткой, указанный в задаче 7.47, найти температурную зависимость намагниченности I = /(Т) ферромагнитного кристалла в области низких температур.
Показать, что дисперсионный закон для магнонов в одномерном антиферромагнетике с двумя подрешетками в приближении ближайших соседей имеет вид:
2 I A I s ■ • т I0 = —-— I sin кап’
где А —обменный интеграл, соответствующий паре соседних узлов, s — спин узла решетки с параметром а, о и к — частота и волновой вектор магнона. Рассмотреть закон дисперсии в случае ка < 1.
. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Явление сверхпроводимости состоит в исчезновении у некоторых металлов и сплавов электрического сопротивления при некоторой характерной для каждого вещества температуре Тс, называемой критической температурой. Для чистых металлов значения температур Тс определяются интервалом от 0,35 К (Hf) до 9,22 К (Mb), у сплавов —от 0,155 К (BiPt) до 23,2 К (Nb3Ge).
Сверхпроводящие свойства проводников исчезают при пропускании через них достаточно сильного тока. Это связано с действием на проводник магнитного поля, вызывающего при данной температуре переход вещества из сверхпроводящего состояния в нормальное. Такое поле называется критическим. С понижением температуры напряженность критического поля Нс увеличивается согласно соотношению
(8.1)(8.1)НС = Н^
(8.1)
(8.1)
где //^ — напряженность критического поля при абсолютном нуле тем
пературы.
Рис. 11.Рис. 11.Магнитные поля слабее критического не проникают в толщу сверхпроводника: магнитная индукция В внутри сверхпроводника равна нулю (рис. 11). Сверхпроводник является идеальным магнетиком с магнитной восприимчивостью х = — 1.
Рис. 11.
Рис. 11.
Это свойство сверхпроводника известно как эффект Мейснера,
объяснение которому было дано на основе уравнения Лондонов:
(8.2)
в котором ns — концентрация, /$ —плотность тока сверхпроводящих электронов.
Убывание индукции магнитного поля вдоль нормали в плоском массивном сверхпроводнике происходит по закону
г
(8.3)(8.3)B(z)=B(0)e Kl,
(8.3)
(8.3)
где В(0) — индукция поля на поверхности образца, Z —расстояние от поверхности, XL—глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник, определяемая формулой
XL —XL —€^Ш(?nse2 *€^Ш(?nse2 *(8.4)(8.4)
XL —
XL —
€^Ш(?
nse2 *
€^Ш(?
nse2 *
(8.4)
(8.4)
Глубина проникновения зависит от температуры:
4(т)=4(0) [1-^-1 4
Согласно термодинамической теории сверхпроводимости нормальное и сверхпроводящее состояния являются двумя фазами вещества. Переход сверхпроводника в нормальное состояние под действием магнитного поля, т. е. при Т <ТС, является фазовым переходом первого рода: изотермический переход связан с поглощением (или выделением при обратном процессе) теплоты и скачкообразным изменением теплоемкости и теплопроводности. Переход проводника в нормальное состояние в отсутствие магнитного поля является фазовым переходом второго рода.
Важную роль для понимания природы сверхпроводимости сыграло открытие изотопического эффекта, согласно которому критическая температура Тс зависит от массового числа М изотопа:
Т =^ с —Т =^ с —constмаconstма(8.5)(8.5)
Т =
^ с —
Т =
^ с —
constма
constма
(8.5)
(8.5)
причем а ~ 0,5.
Согласно современной теории явление сверхпроводимости возникает благодаря межэлектронному взаимодействию, обусловленному обменом виртуальными фононами, т. е. происходящему через кристаллическую решетку.
Если импульсы электронов расположены вблизи поверхности Ферми, то вследствие сколь угодно слабого притяжения между электронами образуются связанные, или куперовские, пары.
Согласно теории Бардина — Купера — Шриффера (БКШ) в нулевом
магнитном поле критическая температура Тс определяется соотношением
(8.6)(8.6)j* _ ^Л^^ g go М v0c ^0
(8.6)
(8.6)
где gofe) — плотность электронных уровней вблизи поверхности Ферми, отвечающих одному из направлений спина, в нормальном состоянии; о и Vo — параметры модельного гамильтониана.
Для энергетической щели при нулевой температуре из теории БКШ следует формула
1
(8.7)(8.7)А(О) = 2Й0в g°v° .
(8.7)
(8.7)
Следовательно, Tc и А(0) связаны фундаментальным соотношением, не зависящим от феноменологических параметров 0 и Vo:
(8.8)(8.8)А(0) = l,76fe0Tc.
(8.8)
(8.8)
Элементарная теория также предсказывает, что вблизи критической температуры в отсутствие магнитного поля энергетическая щель зависит от
температуры:
А(Т) = А(0)А(Т) = А(0)т "I1/21-^ ■т "I1/21-^ ■(8.9)(8.9)
А(Т) = А(0)
А(Т) = А(0)
т "I1/2
1-^ ■
т "I1/2
1-^ ■
(8.9)
(8.9)
Электронная теплоемкость при низких температурах в сверхпроводящем состоянии связана с шириной щели А(0) соотношением
(8.10)(8.10)Ces = j 34 / -A®l\ * е ^оТуТс ’\ к^Т /’
(8.10)
(8.10)
где у — коэффициент при линейном члене в температурной зависимости теплоемкости металла в нормальном состоянии.
Наиболее убедительным свидетельством существования куперовских пар является квантование магнитного потока в сверхпроводящем кольце:
I Ф I = ijBds I =иФ0.(8.11)
Величина Фо = ^ = 2,0679 • 10'7 Гс • см2 = —— = 1,863 • 10”5 Тл • м2 называется флюксоидом или квантом потока.
Квантование магнитного потока возможно также в односвязных сверхпроводниках II рода в смешанном состоянии, когда магнитное поле проникает внутрь сверхпроводника в виде отдельных нитей. При этом центры нитей, находящихся в нормальном состоянии, играют роль полости кольца, квантуется магнитный поток, связанный с каждой нитью.
Явление сверхпроводимости обнаружено также у некоторых полу-
проводников (например, GeTe и титанат стронция SrTiO3). У титаната стронция при низких температурах относительная диэлектрическая проницаемость велика, что способствует возникновению связанных куперовских пар электронов.
Электрический ток индуцируется так, что обтекает стенки тонкой свинцовой трубки, имеющей указанные на рисунке 12 размеры и
поддерживаемой при температуре
4,2 К. Измерения показали, что за время t = 2,5 • 104с затухание тока со
ставило менее 2%.
Предполагая, что магнитное поле проникает в сверхпроводник на глубину 5 • 1(Г6 см, определить предельное значение удельного сопротивления образца.
Найти критическое термодинамическое магнитное поле олова (Sn) при температуре Т = 3 К.
Используя известную зависимость напряженности критического магнитного поля от температуры (8.1), определить максимальную силу тока в оловянной проволоке диаметром d = 2 мм при температуре 7\ = 2 К, если критическая напряженность поля при абсолютном нуле Нс(0) = 2,44 • 104 А/м и критическая температура перехода Тс из нормального состояния в сверхпроводящее составляет 3,7 К. При каком диаметре проволоки по ней может протекать ток 200 А без перехода в нормальное состояние?
Свинцовый цилиндр находится при температуре Т = 4,2 К в однородном магнитном поле, параллельном его оси. Поле на поверхности цилиндра равно Но = 2,5 • 104 А/м. Найти плотность магнитной энергии в РЬ на расстоянии 3 • 10-8 м от поверхности цилиндра. Учесть зависимость длины проникновения от температуры. Диаметр цилиндра много больше глубины проникновения слабого магнитного поля в сверх
проводник.
Принимая во внимание зависимость глубины проникнове
ния магнитного поля в сверхпроводник от температуры в виде ^l = ^l(0) (1 — —) , оценить концентрацию сверхпроводящих электронов в свинце (РЬ) при температуре Т = 4,2 К.
Бесконечная сверхпроводящая пластина, ограниченная плоскостями у = ± d, помещена в однородное магнитное поле Но, направленное вдоль оси z . Используя граничные условия для тангенциальной составляющей вектора магнитной индукции, получить из уравнения Лондонов и уравнения Максвелла rot В = д0/ зависимость индукции магнитного поля от координаты у.
Используя результат предыдущей задачи, найти плотность сверхпроводящего тока в пластине.
Сверхпроводящее кольцо, которое может двигаться только в вертикальном направлении, лежит на столе над витком проводника. Определить высоту, на которую поднимется сверхпроводящее кольцо массой т, когда через виток начинает идти ток I. Коэффициент самоиндукции сверхпроводящего кольца —Ln, его взаимная индуктивность с витком проводника на высоте 2 равна Ь12^\ Ускорение свободного падения считать постоянным и равным g.
В массивном сверхпроводнике имеется отверстие диаметром 0,1 мм, в котором захвачено 10 квантов магнитного потока. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в отверстии.
В массивном сверхпроводнике имеется цилиндрическое отверстие диаметром 2 см. В нем захвачено магнитное поле напряженностью Н = 24 • 103 А/м. Найти модуль векторного потенциала I А I на расстоянии К = 2см от центра отверстия.
Сверхпроводящая сфера радиусом а помещена в однородное магнитное поле индукцией Во. Магнитное поле в свободном пространстве является безвихревым. Его силовые линии не замкнуты. В сверхпроводнике поле равно нулю. Показать, что максимальное значение индукции поля на поверхности сферы равно — Во.
На сколько изменится свободная энергия свинца объемом 1 см3 при переходе в сверхпроводящее состояние при температуре Т = 4,2К?
Равновесное состояние сверхпроводника в однородном магнитном поле при фиксированном давлении определяется температурой Т и напряженностью магнитного поля Н. Используя характеристические свойства термодинамического потенциала Ф (Т, И), получить формулу
dHc _ Sn — SsdT нокм8~мпГ
где Sn, Mn — удельная энтропия и намагниченность в нормальном состоянии; Ss, Ms — соответствующие величины сверхпроводника; ^0 — магнитная постоянная.
Получить выражение для скачка удельной энтропии при фазовом переходе из нормального состояния в сверхпроводящее в присутствии магнитного поля. Найти также теплоту фазового перехода.
Используя выражение для скачка удельной энтропии Sn — Ss = ц0Нс -^г, показать, что в отсутствие магнитного поля при переходе из нормального состояния в сверхпроводящее существует скачок удельной теплоемкости, определяемый соотношением
СР СР — I I •
Какое количество теплоты выделится при переходе ниобия объемом 1 см3 при температуре Т = 5,3 К из нормального состояния в сверхпроводящее в присутствии магнитного поля?
Вычислить скачок теплоемкости свинца объемом 1 см3 при переходе из сверхпроводящего состояния в нормальное при критической температуре в отсутствие магнитного поля.
Найти температуру, при которой оказываются равными теплоемкости нормальной и сверхпроводящей фаз а-ртути в магнитном поле. Необходимые данные взять из таблиц.
Получить значения для скачка удельных теплоемкостей олова (Sn) и таллия (Т1) при переходе в сверхпроводящее состояние при критической температуре в отсутствие магнитного поля, сравнить вычисленные значения ЛС = С$ — Сп с экспериментальными, указанными в таблице.
Таблица 8.1
Металл
р, кг/м3
ц, кг/молъ
Тс, к
Нс, Э
(ACrcn = Cs-C„, Дж/(кмоль - К)
Олово
Таллий
7,3-103
11,9-103
118,7
204,4
3,72
2,38
305 + 2
178 + 5
12,2
6,2
Экспериментальные исследования показывают, что критическая температура Тс для сверхпроводников зависит от атомной массы М, В таблице приведены опытные данные для олова (Sn) и ртути (Hg).
Таблица 8.2
Олово
Ртуть
М, кг/моль
113,6
118,7
123,8
119,5
200,7
202,0
209,3
Те, К
3,806
3,731
3,659
4,185
4,173
4,159
4,146
Предполагая, что зависимость Тс от М является степенной: Тс — Ма, определить показатель степени для олова и ртути. Показать также, что для изотопов определенного элемента отношение ^-, где Тд—температура Дебая, постоянно. Какие выводы отсюда следуют относительно природы сверхпроводимости?
Критическая температура смеси изотопов ртути со средней атомной массой 199,7 равна 4,161 К. На сколько и в какую сторону изменится критическая температура для смеси изотопов со средней атомной массой 200,7?
В таблице приведены молярные теплоемкости олова (Sn) в сверхпроводящем С$ и нормальном С„ состояниях:
Таблица 8.3
т, к
С5, мДж/(моль -К)
Сп, мДж/(моль-К)
1,08
0,65
2,18
1,24
1,14
2,62
1,46
2,10
3,31
1,62
3,03
3,89
1,91
5,01
5,10
2,48
10,33
8,29
Используя эти данные, определить вклад электронов Ces в теплоемкость в сверхпроводящем состоянии. Построить график зависимости In Ces от обратной температуры. Проанализировать полученный результат.
Используя результат предыдущей задачи, оценить ширину энергетической щели для олова (Sn).
Туннельный эксперимент с использованием слабо связанных сверхпроводников для энергетической щели индия (In) дает До = 5,3. Ю-4 эВ. Какая должна быть по теории БКП1 критическая температура In? Сравнить вычисленное значение с экспериментальным, равным 3,4 К.
Определить константу связи g(0) V для олова (Sn) и индия (In) по известным значениям их критических Тс и дебаевских Тд температур: Тс (Sn) = 3,74K,
Тс (In) = 3,4 К,
Тд (Sn) = 195K, Тд (In) = 120 К.
Зная критическую температуру алюминия А1 и цинка Zn, оценить для них ширину энергетической щели для абсолютного нуля температуры.
Вычислить критический импульс рс куперовской пары электронов для сверхпроводящего олова (Sn) и сравнить его с импульсом Ферми, если известно, что критическая температура Sn Тс = 3,72 К и yF = 0,65 • 106 м/с. Критический импульс связан с шириной щели До соот- 2Д0 ношением рс =—-.
Рассматривая пару электронов в синглетном состоянии, описываемую пространственной волновой функцией
V (R - Гг) = jХ$ ем,х -Гз), в присутствии вырожденного электронного газа показать, что при наличии сколь угодно слабого взаимодействия между электронами с потенциалом
v^2=v^2=-V, еР<^<£РЛ-Й0, Z = 1,2,
v^2=
v^2=
0, в остальных случаях,
существует связанное состояние с энергией Е, определяемой из условия
J
+ hto , x .
g(s) d£ _£F 2e-E ’
где 8F — энергия Ферми, g(i) — плотность электронных уровней, отвечающих данной проекции спина.
Предполагая, что плотность электронных уровней g(s) в области Cp<e<8p-v hto практически не отличается от gfe), и используя результат предыдущей задачи, определить энергию связи купе- ровской пары ^^ = 28р — Е\ Рассмотреть предельный случай слабой связи.
Считая выполненными условия задачи 8.28, вычислить средний квадратичный радиус куперовской пары.
Указание. Использовать соотношение
_ jl ^(ri-r2) 12R2dR £--
е2=-7—т——’ к = тх-т2.
JI ^ (ri - r2) I 2 dR
На примере стандартного металла, т. е. одновалентного металла с концентрацией электронов 6 • 1028 частиц на 1 м3, положив дебаевскую температуру Тд = 300К, а температуру перехода в сверхпроводящее состояние Тс = 0,5 К, оценить следующие параметры: а) энергию куперовской пары; б) длину волны фотона, способного ее разорвать; в) средний квадратичный радиус куперовской пары; г) константу связи.
. ПЛАЗМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
Условие электрической нейтральности плазмы выражается равенством
ne = '£nizi,(9.1)
i
где пе—концентрация электронов, я; —концентрация ионов с зарядом e02i.
Электронная температура Те определяется средней энергией теплового движения электронной компоненты:
(9.2)
Аналогичным соотношением определяется ионная температура Tz.
Квазинейтральность плазмы соблюдается в области, линейные размеры которой удовлетворяют неравенству
Г^/Д,(9.3)
где 1Д — дебаевский радиус экранирования, определяемый по формуле 64
(9.4)(9.4)i if еркрТ
(9.4)
(9.4)
Д eg ne (1 + ^) '
Эта формула справедлива для равновесной плазмы, в которой
Te = Tt = т.
При разделении зарядов в плазме возникают колебания электронов относительно ионов с плазменной частотой
0О — ^00О — ^0£0Ше '£0Ше '(9.5)(9.5)
0О — ^0
0О — ^0
£0Ше '
£0Ше '
(9.5)
(9.5)
В равновесной плазме, состоящей из электронов и однородных ионов с зарядом Ze0, средняя продолжительность т свободного пробега описывается приближенной формулой
где а « 105 м" с К"3/2.
Определить относительную диэлектрическую проницаемость холодной плазмы в монохроматическом электрическом поле £ = 5ocos0t Различием между действующим и макроскопическим полем пренебречь.
Относительная диэлектрическая проницаемость холодной ЧУ2
плазмы, определяемая выражением d = 1 — ~~ , при 0 < 0О отрицательна. Поэтому показатель преломления и = ^ оказывается мнимым. Выяснить физический смысл мнимого показателя преломления.
Принимая ионосферу за холодную плазму, получить выражения для фазовой и групповой скоростей радиоволн в зависимости от их длины волны X в ионосфере.
Радиосигнал частоты у, посылаемый наземным передатчиком в атмосферу вертикально вверх, на некоторой высоте полностью отражается. Определить концентрацию свободных электронов в точке отражения.
Определить концентрацию электронов в плазме, для которой наблюдается запирание радиоизлучения с длиной волны, большей Ло = 2,5 см.
С помощью уравнения Пуассона показать, что потенциал электрического поля ф точечного заряда в изотермической плазме убывает с расстоянием г пропорционально — е-хг (где — = L—дебаев- тх А
ский радиус экранирования). Считать, что пространственное распределение частиц описывается формулой Больцмана и I е0 ф I < к0Т (где Т = 7\ = Те — температура плазмы). Получить выражение для дебаевского радиуса экранирования.
Дейтериевая изотермическая плазма с концентрацией дейтронов пй = 1022 м-3 имеет температуру Г = 107 К. Вычислить дебаевский радиус экранирования и число ионов внутри сферы Дебая.
Показать, что квадрат дебаевского радиуса экранирования неизотермической плазмы, в которой температуры электронного и ионного компонентов различны (Ге 4 Т^ пропорционален приведенной температуре Т* = -^7;-
Считая заданной константу равновесия К по отношению к ионизации нейтрального атома, вычислить равновесную степень ионизации — малой примеси и основного компонента плазмы. Ио
Определить внутреннюю энергию разреженной изотермической плазмы, занимающей объем V и состоящей из N однозарядных ионов и такого же числа электронов.
Используя результат предыдущей задачи, получить условие того, что изотермическая плазма в термодинамическом отношении является идеальным газом.
Найти выражения для свободной энергии, энтропии и давления разреженной изотермической плазмы температурой Т. Считать, что концентрации ионов nt и электронов пе одинаковы.
Определить зависимость эффективного сечения соударений электронов с ионами в изотермической плазме от температуры Г, учитывая только такие соударения, которые сопровождаются отклонениями электронов на большие углы.
Используя выражение для сечения рассеяния электронов
I ze2 V
на ионах в виде oei = A -——- (где Те — электронная температура, \ е I
А = const = 14), получить приближенную формулу для удельной проводимости плазмы и объяснить, почему она не зависит от концентрации электронов.
Оценить электронную температуру водородной плазмы, при которой ее удельная электропроводность по порядку величины такова же, что и удельная проводимость меди при температуре Т = 300 К, т. е. <7 = 5* 107 Ом-1 • м-1.
Получить приближенное выражение для теплопроводности высокотемпературной плазмы, считая справедливым для нее закон Видемана—Франца. Какова зависимость теплопроводности плазмы от электронной температуры?
Внутри малого объема, выделенного в высокотемпературной изотермической дейтериевой плазме и имеющего форму шара радиусом г0 = 2 см, поддерживается температура Т = 107 К. Вне этого объема температура убывает в соответствии с законом теплопроводности. Какой должна быть мощность подвода энергии к этому объему, чтобы компенсировать потери энергии за 66
счет теплопроводности? К остальным частям плазмы энергия не подводится.
Используя выражение для диэлектрической проницаемости ,1 бУп /2 Пе \
плазмы £ = 1 — —т где ой =, рассмотреть возможность распро-
6Г \^о^е /
странения в плазме продольных колебаний. Найти частоту, фазовую и групповую скорости таких волн.
Ток протекает вдоль тонкого скин-слоя цилиндрического плазменного шнура радиусом г0. Показать, что магнитное давление рт (сила Ампера в расчете на единицу поверхности шнура) определяется формулой рт = ~ цоНо (где Но — напряженность магнитного поля на поверхности шнура).
Ток I протекает вдоль водородного плазменного шнура цилиндрической формы с равновесным радиусом R. Считая плотность тока в шнуре не зависящей от координат, определить среднее электродинамическое давление по поперечному сечению шнура. Вычислить температуру плазмы, если I = 106 А и число ядер на единицу длины шнура равно N = 61019 м"1.
Рассчитать распределение концентрации электронов ^(г) по цилиндрическому сечению радиусом R равновесного водородного плазменного шнура, предполагая температуру и плотность тока постоянными. Число электронов на единицу длины шнура равно N.
Найти ЭДС и максимальную полезную мощность магнитогидродинамического (МГД) генератора с площадью пластин 5 = 0,5 м2 и расстоянием между ними I = 0,5 м, если считать магнитную индукцию В = 4 Тл, скорость плазменного потока у = 5 • 102 м/с и удельную проводимость плазмы о = 100 Ом-1 • м“\
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.1. Потенциальная находящегося в начале выразится: Un = (—1)”1.1. Потенциальная находящегося в начале выразится: Un = (—1)”энергия кулоновского взаимодействия иона, системы координат (рис. 13), с ионом номера п
1.1. Потенциальная находящегося в начале выразится: Un = (—1)”
1.1. Потенциальная находящегося в начале выразится: Un = (—1)”
~. Полная энергия взаимодействия кон-
4ле0пт
кретного иона со всеми другими ионами цепочки представится суммой:
U(r) = 2 V(-1)” т^ = ~2 Т^ (i-T + T-T+•••) =-Т2^’
Z , 4пеопт4ле0т \234/ 4ле0т
и = 1
множитель 2 обусловлен наличием ионов (Те), расположенных слева от выбранного. Тогда кулоновская энергия в линейном кристалле, содержащем 2N ионов (N->oo), запишется в виде
С^л(г) = -С^л(г) = -^гы 2N4ле0т 2 ’^гы 2N4ле0т 2 ’
С^л(г) = -
С^л(г) = -
^гы 2N4ле0т 2 ’
^гы 2N4ле0т 2 ’
е^а4mQr *е^а4mQr *Следовательно, а = 21п2.Следовательно, а = 21п2.-е 4-е-е"з 45-е 4-е-е"з 45Рис. 13.Рис. 13.
е^а
4mQr *
е^а
4mQr *
Следовательно, а = 21п2.
Следовательно, а = 21п2.
-е 4-е-е
"з 45
-е 4-е-е
"з 45
Рис. 13.
Рис. 13.
что в расчете на одну пару разноименных ионов дает:
[у«ул(г) = _ ^2ta24ЛЕ0Т
С другой стороны, эту же энергию можно записать через постоянную Маделунга а:
и^л^ = -
Рис. 14.Рис. 14.
Рис. 14.
Рис. 14.
Г \ ЛD ^а И—1—= 0 находим постоянную р = - а^ .дг а04л£0иГ \ ЛD ^а И—1—= 0 находим постоянную р = - а^ .дг а04л£0иДля нахождения энергии ионного кристалла воспользуемся формулой
Г \ ЛD ^а И—1
—= 0 находим постоянную р = - а^ .
дг а04л£0и
Г \ ЛD ^а И—1
—= 0 находим постоянную р = - а^ .
дг а04л£0и
Из условия
Тогда
UM = -N -^- (1--V
4я£оДо \ И /
Схема двумерной решетки, иллюстрирующая метод Эвьена, изображена на рисунке 14. Группы ионов в решетке выделяются так, чтобы сумма зарядов их была электрически нейтральной. При этом заряды ионов в вершинах элементарной плоской ячейки рассматри-
ваются распределенными между четырьмя ячейками, заряды на сторонах—между двумя ячейками. Поэтому при подсчете суммарного электрического заряда группы (ячейки Эвьена) следует учитывать V4 заряда каждого иона, находящегося в вершине внешнего квадрата, и 3/4 заряда иона —в вершине внутреннего квадрата. Соответственно каждый ион, расположенный на одной из сторон квадратов, ограничивающих группу, вносит 72 заряда в суммарный заряд ячейки Эвьена. На рисунке 14 около узлов решетки указаны доли, на которые условно разделяется заряд данного иона. Суммарный заряд любой, например второй, группы равен
440. Тогда постоян0. Тогда постоян/3 \ л 1 \ А 1 \ О 1 \ А 1 \
4
4
0. Тогда постоян
0. Тогда постоян
"Т +4 +7+4 *7 +8 +7 +4 "7 = \ 4 / \ 2 / \ 4 / \ 2\ 2 /
ную Маделунга можно представить в виде быстро сходящегося ряда
где ^ —вклад в константу от /-й группы (ячейки Эвьена), причем
X ' 2/Tt.
а«= 7 ——; г,,доля заряда и относительное расстояние z-ro ^ipOjr0j
i
иона от центрального соответственно. Для первых трех групп получим:
(1/2)-4(—1/4)-4(1/2)-4(-3/4). 4(-1/4)-4
1+^~МУ^^2-!+ V2+21^
(1/2)_8Ь1/2М(-3/4). 4(1/2)-8(-1/2). 4
^ +2 ~Upl4, а3_+ ^ +2
(-1/4) 4(1/2).8Ь1Д:.8 + У/21-4 ~
3/2/11/103’
Отсюда постоянная Маделунга с указанной степенью точности (три ячейки Эвьена) равна а «1,71.
# = ^ а,, а; = / вклад в константу Маделунга от /rilr0j
/-й группы (ячейки Эвьена); здесь 2,, rz/r0/ —доля заряда и относительное расстояние z-ro иона от центрального соответственно. Первая ячейка Эвьена, в центре которой находится отрицательный ион, имеет 8 положительных ионов в вершинах куба, 6 положительных на гранях и 12 отрицательных на ребрах (см. рис. 4), поэтому суммарный заряд группы с учетом вносимой доли каждым ионом равен (—1) + — • 8 + — • 6 + ^ — — j • 12 = 0. Вклад этой группы в постоянную Маделунга составляет:
1/8-81/2-6(-1/4)-121
ат = -Чг- + -Ч— + -—4=— ~ 1,456.1/31/2’
Для второй группы аналогичный расчет:
(7/8).8 . (1/2).6(-1/8).8(-1/2).6(-1/2).24 , (1/2).24 ,
2/3 +2+,'6+
+ b^ + ti«L12 + <1/^2* „0.296./22/23’
Отсюда в этом приближении а ~ ах + а2 « 1,752.
Энергия кристалла в равновесном состоянии описывается выра
жением = — N ( 1 — —) (см. 1.2), где г0—равновесное зна- 4я^рГр \/
чение расстояния между ближайшими ионами. Учитывая соотношение
Есв = — LL, (г0), получаем Есв = No —^ (1 — —постоянная Авогадро 4я£рГр \ И /
No равна числу пар ионов в одном моле.
Согласно формуле (1.1) получено выражение Есв =
, г1 \а ~1
= No - 1, где г0 = —. Отсюда и =—. Подставляя
4л£0г0 \ и I21 _ 2я£0аЕсв
N^ae2
табличные значения а, а, Есв, находим:
для NaCl и « 9,04;
для КС1 и « 9,61.
Из условия —= 0 для равновесного расстояния следует от
1
/ пр4ле0 \" ~ 1
выражение r0 = I -^2 I > с помощью которого для случая qx = 2q
i
находим r^ = г0 41" и, т. е. равновесное расстояние между ближайшими
ионами уменьшается в 4""1 раз. Энергия связи при этом возра
стает: -^- = 4\
Используя условие (^п) =0 для равновесного состояния \ от I Го
«е2 11\
кристалла, находим Есв = No 1 — — .
4я£оГо \ то I
Отсюда
Л4я5рГр£св \e-r»p- Noa^ /■
Подставляя табличные данные для а) для NaCl g«3,12 10"n м;Подставляя табличные данные для а) для NaCl g«3,12 10"n м;а, а, Есв, получаем: при этом учтено, что равновес-а, а, Есв, получаем: при этом учтено, что равновес-
Подставляя табличные данные для а) для NaCl g«3,12 10"n м;
Подставляя табличные данные для а) для NaCl g«3,12 10"n м;
а, а, Есв, получаем: при этом учтено, что равновес-
а, а, Есв, получаем: при этом учтено, что равновес-
ное расстояние между ближайшими разноименными ионами равно а
г»=т;
для CsCl q ~ 3,13 • 10"11 м, так как для этого кристалла характерна
ОЦК структура и =
По определению х = — ~-, откуда dP = — -7— dV, т. е.
VoVqX
P — Pq = -^^ ^ — « 1,5 • 108 H/м2; Po , Vo—равновесные значения давле
ния и объема. Из основного уравнения термодинамики TdS = dE + PdV
выражаем Р = —выражаем Р = —— . Полагая dv s— . Полагая dv sэнергию кристалла E — U, что возэнергию кристалла E — U, что воз
выражаем Р = —
выражаем Р = —
— . Полагая dv s
— . Полагая dv s
энергию кристалла E — U, что воз
энергию кристалла E — U, что воз
можно при низких температурах (Т » О К), получаем соотношение
11 v (#и\
х xs хт 0 \ dV2 /Vo *
Используя затем разложение L/(V) возле равновесного значения Uо (Vo) с точностью до членов второго порядка малости, нахо-
U-UQ 1 /av\2^А AL7 10й^„6
дим ——~ = — — . Следовательно, Дм = -— =• 25 • 10 «
Vo 2х \ Vo /Vo 2 • 3,4
~ 3,7 • 105 Дж/м3.
Модуль всестороннего сжатия равен В = — = Vo
/ #и\I а2^ / ^ V1 ldU_\ I^l\
\dV2/v0 I dr2 \dV/ |v0 + \ dr /V0 \dV2/V0*
DA1#U
Вравновесном состоянии—=0,поэтому~=V0—гх
\ orхor
(
dr \21
—- И .В ионном кристалле с решеткой типа NaCl одна молекула «V / JV0
занимает объем 2г3, где г —расстояние между ближайшими разноименными ионами (см. рис. 4). Отсюда объем кристалла из N молекул равен
V = N2r3. Следовательно,-, г0—равновесное значение рас-
\ dv po oNro
СТОЯНИЯ г.
хтг / \I «в2 В \\
Если UTO (г) = — N 7- , то из условия —= 0 нахо-
р\ 4я50г тп J\ дг /г0
дим р и, подставляя в выражение ^^) получаем:
/ ^^ \ _ jy а^" w ~1
\ дг2 р0 4л£0 Го *
Тогда - =\ С учетом соотношения г0 = т коэффициент
х 4я£о 18г$2
сжимаемости ионных кристаллов типа NaCl оказывается равным
гае2^-!) •
Если UKp (г) = — N (-^-— Ае е V то из условия (■^‘-^ = О У 4^o^/\ от ро
л ae^Qredo гр I #U \ае2I rQ
находим А = -—^ е 0,6. Тогда —т = N -г • — — 2 , т. е. 4лг^оУ ^ Ло4л£О?о \ 6 I
~=а^ ^- 2₽), Учитывая для ионных кристаллов типа NaCl соот- х 4x^0-18^0
а
ношение г0 = у, получаем
ае2(а-4е) *
Воспользуемся выражением для объемного модуля упругости
В = А = ^^-, полученным в предыдущей задаче. Тогда х 4л£о • 18gro
6 = а” 2,8 • КГ11 м,
9л50«4В +
Е„ = No -т^— (1 - —» 7,75 • 105 Дж/моль.
4Л£ОГо У
п = -т^- + 1» 9,3, Есв = No -^- (1 -« 7,68 • 105 Дж/моль,
2aA> > св и 2я5оа у п I >,
No—постоянная Авогадро.
Энергия молекулярного кристалла, содержащего No атомов, запишется в виде U(x) =Nou(x\ В равновесном состоянии кристалла
— =0. Из этого условия находим х0 = о. Энергия связи равна \ ох /«о
Ес„ = — UM =AN0, что в расчете на один атом дает Е'СВ = ^- = А.
No
Модуль упругости В = — =У0(-^-| , где V = NoX. Отсюда — = X \ oV [Voх
(
#и \А.о
дх2 )хо-72А*Хо’ Т- е- Х- 72А •
По определению коэффициент теплового расширения равен 1 1дУ\
а = ТГ ^7 L , гДе Vo—равновесный объем. В одномерном кристалле у 0 у О1 )Vq
V = Nx, значит, a = — —. Для расчета х воспользуемся распре-
#о \/Х0
делением Больцмана:
л с (х — 3 I1 +— г, что соот-крТ Iл с (х — 3 I1 +— г, что соот-крТ I^^L е-уу2^у==J y*e-^dy =^^L е-уу2^у==J y*e-^dy == ~ л112 у 5/2, найдем х = х0= ~ л112 у 5/2, найдем х = х0Зс 4Л]_Х0Зс 4Л]_Х076,748А76,748А. Отсюда — =. Отсюда — =
л с (х — 3 I
1 +— г, что соот-
крТ I
л с (х — 3 I
1 +— г, что соот-
крТ I
^^L е-уу2^у==J y*e-^dy =
^^L е-уу2^у==J y*e-^dy =
= ~ л112 у 5/2, найдем х = х0
= ~ л112 у 5/2, найдем х = х0
Зс 4Л]_Х0
Зс 4Л]_Х0
76,748А
76,748А
. Отсюда — =
. Отсюда — =
при этом считаем к0Т < А, но в то же время температура такова, что можно пользоваться классическим распределением. Чтобы получить а 4 0, нужно сохранить в разложении U^ вблизи равновесного значения члены до третьего порядка малости включительно:
Ш « Uo +Ш « Uo +/эуД(*-яр)2 , /^у\ (х-хр)3 _
Ш « Uo +
Ш « Uo +
\ дх /хр 0\ Эх2 /хр 2\ дх3 /хр 3!
= — А + Ъ (х — я0)2 — с (х — х0)3,,136А1 l#U\ 252А„
где ь=т\1^и=~’ с=-г(^о=—1 о=х°- пРедставляя
1/М А _ Ь(х-хр)2 экспоненту в виде е к°т « е к°т е к°т
ветствует точному учету гармонического члена & (х — х0)2 и приближенному учету ангармонического члена с(х — я0)3, после замены переменной х — Хр = у получим:
^ exp (—/? by2) (1 + Дсу3) (хо + у) dy
J^ exp (- j8 by2) (1 + ^cy3) dy
где В =. Используя затем значения интегралов
крТ
= л1/2 у"1/2, /2 —J7^ yndy = O при нечетных и, /3
= ^0= ^07 kp7 кр
= ^0
= ^0
—— и а = ——. 48А48А
Кинетическую энергию электронов в расчете на единицу объема найдем по формуле
ЕК= j etg^d-e,о
где 77О—энергия Ферми. Из выражения концентрации электронов
(°,м./ Зи \2^3 й2л2 - Р 35^Я4/3Й2п5/3
п=\ fg(£)d£ определим %= ——. Тогда Ек =—.
0у Tt I ZTTIq±\J1TIq
Изменение плотности кинетической энергии электронов в области перекрытия электронных оболочек (рис. 15) оказывается равным АЕ* = 11a12L [ ^Па + Пъ у 1з _ п5р _ п5/з ] > о это означает, что в силу Ютид
принципа Паули электроны перекрывающихся оболочек у атомов а и Ь,
имеющие параллельную ориентацию спинов, переходят на уровни с
более высокой энергией. Возрастание энергии системы ДЕК > 0 приводит
к возникновению сил отталкивания между атомами а и Ъ.
1.16. Пусть первый атом с мгновенным дипольным моментом рх
создает электрическое поле напряженностью £12 =
2pi4Л£0 г3
в месте рас
положения второго атома, радиус-вектор которого относительно первого г 11 р!. Тогда индуцированный электрический момент второго атома р2 = аСХ2) где а —его поляризуемость. Энергия взаимодействия атомов запишется в виде
Для меди
t7(i;i) = _(^ 5 ) = _-Д.=—?_
\12/4л2С§Г6 Г6
| П ~ —58 ’ —• — « 3 • 10-20 Дж
к)т = а (2,55)610"48 d U Д ‘
1.17. Совокупность двух атомов, находящихся на расстоянии г, заменим системой идентичных линейных осцилляторов 7 и 2 (рис. 16), совершающих колебания вдоль оси х.
Гамильтониан невозмущенной системы представляется выражением
^гаж^
Рис. 16.
H = ^- + ^-pxl + ^ + y Axi,2m 2 м 2m 2
где g — коэффициент квазиупругой силы; m, p1? p2 — масса и импульсы осцилляторов. Собственные частоты невзаимодействующих осцилляторов одинаковы и равны о^ = о^ = о0 = ^-^-. Принимая во внимание энергию диполь-дипольного взаимодействия W = — ^^з > запишем полный гамильтониан системы в нормальных координатах xs = = -^ (*i + *2) и ха = -^ fo-^):
Н =Н =\ Х22ле0т3 J а\ Х22ле0т3 J а
Н =
Н =
\ Х2
2ле0т3 J а
\ Х2
2ле0т3 J а
где е—заряд электрического диполя, ps и ра—импульсы, соответствующие симметричной и антисимметричной моделям. С помощью этого выражения можно найти две собственные частоты связанных осцилляторов:
^1,2 — ^0^1,2 — ^01±1±^ Т/2^ Т/22ле0£г32ле0£г3= (У0= (У0
^1,2 — ^0
^1,2 — ^0
1±
1±
^ Т/2
^ Т/2
2ле0£г3
2ле0£г3
= (У0
= (У0
Изменение энергии нулевых колебаний системы, приводящее к изменению полной энергии из-за диполь-дипольного взаимодействия, оказывается равным:
AU(г) = ДЕ» = у й^ + у ЙУ2 - 2 • у Йй)0 = - й®о • Zt Zt L uZiTl v-Q р Т
Знак «—» указывает, что диполь-дипольное взаимодействие проявляется в притяжении, сила которого обратно пропорциональна седьмой степени расстояния между двумя осцилляторами (атомами).
Гамильтониан Н системы двух атомов а и Ъ водорода, находящихся в s-состояниях на расстоянии г друг от друга (рис. 17), имеет
вид:
Рис. 17.
H = Ha(r1) + Hb(f^ + V = H0 + V,
1 p!p2 3(р1г)(р2г)1 e2
где V = -—5= чг у — операторвозмущения
4Л£0 L тт J 4яе0г
за счет диполь-дипольного взаимодействия атомов; pi = er1) р2 = ег2— дипольные моменты; у = хгх2 + угу2 — 22^2; хг, ут, 2г, х2, у2, г2 — координаты электронов по отношению к одному и тому же началу отсчета.
Следовательно, потенциальная энергия ван-дер-ваальсового взаимодействия во втором приближении оказывается равной
U^=Eai-E^ = E® = -^, где С>0.
Энергию электростатического взаимодействия точечного иона I е I с отрицательным зарядом е электрона, равномерно распределенного с плотностью q = ~~^ по объему, ограниченному сферой радиуса т„ вычислим по формуле
tA =$ №oHdv— -^-,
I el где Рион-^.I el где Рион-^.4 8ле^
I el где Рион-^.
I el где Рион-^.
Электростатическую энергию электрона рассчитаем
согласно выражению
— потенциал поля электрона на расстоянии г— потенциал поля электрона на расстоянии ги2 = ^ g<p,-4rcr2dr,
— потенциал поля электрона на расстоянии г
— потенциал поля электрона на расстоянии г
где ^э=8^77“ o^fg^s \ ^s
от центра указанной сферы.
В результате получим:
и2=—^—.
2ОЯ£о Ts
Среднюю кинетическую энергию электрона оценим для абсолютного - з/ зи \2/3
нуля температур с помощью соотношения г = — /70, где т/о = — х 5'\ л j
^2я2
х энергия Ферми при Г = О К, концентрация электронов и свя- 2т0
зана с радиусом сферы rs равенством п ~ лт^ = 1. В итоге находим
Юш0 г^Юш0 г^/9я\2/3\ 4 //9я\2/3\ 4 /
Юш0 г^
Юш0 г^
/9я\2/3
\ 4 /
/9я\2/3
\ 4 /
Энергия металла в расчете на один атом представится выражением
UW = U1 + U2+"e = -
Эе2
ЗЙ2
40л£0г$10m0r^
Эд)2'3
4 /
1.20. Воспользуемся выражением (1.3):
иИ = -
Эе2
Зй2
40 л s0 rs10m0 г2
Равновесное расстояние, найденное из условия
I = 0, равно
ТО
8л£0 h2
0 Ът^е2
I 10 м. Учитывая связь г0 с постоянной а
объемноцентрированной решетки
, получим a = 2r0 |^
«2,64 10 10 м. Модуль всестороннего сжатия при Т = 0К определим
по формуле В =
V ". Для этого энергию U (г$) удобно предста- ’dV Jr0
вить с помощью условия
в другом виде:
. Тогда
В = ..л3?4 » 1,93 • 1010 Н/м2.
160л250 Го
Скорость звука в металле определим из соотношения щ = ~, плотность вещества—о =———, М — масса атома натрия.
Следовательно,
1.21. Энергию электростатического притяжения между ионом и валентным электроном, заряд которого равномерно распределен по объему между сферами с радиусами тс и rs (рис. 18), вычислим по
Со
^1=( Фион (г) Q3 dV =
—Зе2 (г, + гс) 8л€0(,г^ + rsrc + r^) ‘
Так как ~ < 1, то с точностью до членов второго порядка малости включительно получим:
U « —+ 5g2 / V
8л^о rs 8л£0 rs \ rs /
Электростатическая энергия электрона выражается интегралом
^2=7 j & фз (г) ^dr,
Тс
где
3^0 \ r I 2£0
Интегрируя, находим:
у 2^£оу 2^£о^ ^-^-f (»f-^+f w-^-2^^ ^-^-f (»f-^+f w-^-2^
у 2^
£о
у 2^
£о
^ ^-^-f (»f-^+f w-^-2^
^ ^-^-f (»f-^+f w-^-2^
С точностью до членов второго порядка малости включительно
Зе2и «—.220Л£о Ts *
Отсюда
^кул O's) ~^кул O's) ~Эе2 Зе2 / 2с.у40л£0 rs8л£0 ts \rs j
^кул O's) ~
^кул O's) ~
Энергия металла при абсолютном нуле температур (без учета энергии нулевых колебаний решетки) складывается из энергии электростатического взаимодействия, кинетической энергии валентных электронов и энергии за счет обменных эффектов. В расчете на атом энергия металла представится выражением
uw = -uw = -9^40ле0 ts9^40ле0 tsЗе?8лс0 г,Зе?8лс0 г,llA2 а- Зй2 / 9я V'3 ± . г/ \ г$ / Юто \ 4 / rsllA2 а- Зй2 / 9я V'3 ± . г/ \ г$ / Юто \ 4 / rs
uw = -
uw = -
9^
40ле0 ts
9^
40ле0 ts
Зе?
8лс0 г,
Зе?
8лс0 г,
llA2 а- Зй2 / 9я V'3 ± . г/ \ г$ / Юто \ 4 / rs
llA2 а- Зй2 / 9я V'3 ± . г/ \ г$ / Юто \ 4 / rs
-где тс — радиус иона,атомными единицами-где тс — радиус иона,атомными единицами(г \Q— = ]- —«о / I 5(г \Q— = ]- —«о / I 5
-где тс — радиус иона,атомными единицами
-где тс — радиус иона,атомными единицами
(г \Q
— = ]- —«о / I 5
(г \Q
— = ]- —«о / I 5
rs — радиус сферы Вигнера —Зейтца. Пользуясь длины и энергии, запишем:
з /l£_V 1+ А /9я У/3 1_ 1^1 1 I Ry
\ «о / Vsl<io)3 5 \ 4 / (rsla0)2 13,6 rs/a0 ] ат ’
Учитывая табличное значение радиуса иона Na+ (гс = 0,95 • 1О~10 м) и значение атомной единицы энергии IRy=-13,6 эВ, находим:
Г,/,Х24,48131,3830,0912,5] эВ
UvO=7— +’ +—5—--7- ,
I 5£^<^ ) атом
где 5= — , я0—радиус первой боровской орбиты. Яо
Из условия ^7 = О получаем равновесное значение £*«4,17. Следе
довательно, равновесное значение г* = г0« 2,20 • 10"10 м. Постоянную 43 я3
решетки вычислим с помощью соотношения у Л1о = —, откуда
/ 8л \1/3_
а = 1 — 1 г0 « 4,47 • 10"10 м. Экспериментальное значение для постоян
ной решетки равно яэксп « 4,28 • 10-10 м. Подставляя найденное значение £* в выражение для энергии металла и учитывая, что Е'в = — I/ (го) , находим:
36,9830,09131,38 эВ „ эВ
С с £ атоматом
Порядок величины Е'в для кристаллического натрия согласуется с экспериментальными данными.
Каждый атом, находящийся в вершине кубической ячейки, принадлежит 8 элементарным ячейкам, каждый атом на грани —2 ячейкам, каждый атом на ребре —4 кубам. Тогда число атомов 2, приходящихся на кубическую элементарную ячейку, можно представить формулой
= 1 Nc + ± Nf + ± Ne + Ni,
где Nc, Nf, Ne, Nj — числа атомов в вершинах, на гранях, ребрах, внутри элементарной ячейки соответственно. Следовательно,
а) £гцк —8 • 8 + 2 -6 — 4; б) 20цк — 8 -8 + 1—2.
Координаты атомов, находящихся в вершинах кубической элементарной ячейки, для решетки алмаза (начало декартовой системы координат совмещено с одним из таких атомов, см. рис. 2): (0, 0, 0); (я, 0, 0); (я, а, 0); (0, а, 0); (0, 0, а); (а, 0, я); (я, а, а); (0, а, а). Коорди-
w 1а а (а ~ а \ наты атомов, расположенных в центрах граней: I у, у, 01; I у, 0, у I;
(
ая \/яя \Iя।/яа\
а, т,“ ;“,я,“5 0,—,— ;—,—,а .Координатыатомов,
’ 2 ’2 / ’\ 2 ’’2 / ’\’2 ’2 / ’\ 2 ’2 ’/’
(
ааа\/3а•3
—,— ; — а, а
444 /\ 444
3 3 а\ ( а 3 3 \ атоатл- — а. — а. — ; —, — а, — а . Для решетки типа алмаза Nc = 8, Nf = 6, 4 4 4 / \ 4 4 4 / '
N, = 4, Ne = 0, поэтому
z=^-8 +i6+4=8.
Элементарная ячейка ГПУ решетки представляет собой прямую призму, в основании которой лежит ромб с углами 60° и 120° (см. рис. 3). Каждый атом в вершине призмы принадлежит 8 элементарным ячейкам. Тогда для числа атомов z, приходящихся на одну элементарную ячейку, с учетом одного атома внутри призмы получим:
Zniy = ”-8 + 1=2.
Степень упаковки атомов в кристалле определяется по формуле
'3V0
где га —атомный радиус, Vo — объем элементарной ячейки, на который приходится z атомов.
Направления максимальной упаковки атомов в простой кубической структуре совладают с ребрами элементарной ячейки, поэтому
а ,1 4яа3 л А
Т. = - и / = 1 • ——т = -«0,52.25 • о • а о
В ОЦК решетке z = 2, направления максимальной упаковки совпадают с диагоналями куба (см. рис. I), т. е. га = —, отсюда
/ = 2 ±^LUX = "il „ 0,68.
'3 • 64 • а3 8’
В ГЦК решетке г = 4 и г, = ^^-, следовательно, / = -^^- = 0,74. 4б
В идеальной ГПУ решетке расстояние между центрами соседних атомов равно а, т. е. тж = ^. Объем элементарной ячейки как объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб со стороной а и углами 60° и 120°, вычисляется по формуле
Учитывая значение z = 2, получаем:
/ = 2 —^т-т- =« 0,74.
'3 • 8 • а36’
Зная число атомов в элементарной ячейке для ГЦК решетки (z = 4), найдем объем, приходящийся на один атом, Уат = — и мо- 2
лярный объем VMO„ = N0—, где No — постоянная Авогадро. Тогда плотность q кристалла выразится через молярную массу ц:
е^е^N0a3 *N0a3 *
е^
е^
N0a3 *
N0a3 *
Отсюда
а3 = -^- = —™6^5t’.10 .-— «471-10-29 м3
* NqQ 6,023 • 1023 • 8,96 • 103
ra = ~~* = 1,28 • 10 10 м. Число атомов меди в объеме 1 м3 равно 4
« = 4 = 8,49-1028 м”3. а
а = 4,О8 1О~10 м, га~ 1,44 • НГ10 м, и~5,911028 м"3.
а«3,15 1О"10 м.
Элементарная ячейка структуры NaCl содержит 8 кубов объемом (у! , в вершинах которых расположены ионы Na+ и СГ,
причем каждый куб содержит г = ~ • 8 = 1 ион или ~ молекулы. Зная
объем, приходящийся на одну молекулу, V,объем, приходящийся на одну молекулу, V,/а\3 1\ 2 / z/2 ’/а\3 1\ 2 / z/2 ’находимнаходиммолярный объем:молярный объем:у = Nn Vi = -^~ " мол 2'0 v 1^•у = Nn Vi = -^~ " мол 2'0 v 1^•
объем, приходящийся на одну молекулу, V,
объем, приходящийся на одну молекулу, V,
/а\3 1
\ 2 / z/2 ’
/а\3 1
\ 2 / z/2 ’
находим
находим
молярный объем:
молярный объем:
у = Nn Vi = -^~ " мол 2'0 v 1^•
у = Nn Vi = -^~ " мол 2'0 v 1^•
откудаоткудаа =а =I 4^11,3 NoelI 4^11,3 Noelе. а =е. а =4 • 5,844 • 10~211,36,023-1023 -2,167 103 J4 • 5,844 • 10~211,36,023-1023 -2,167 103 J• 5,64 • 10-'°• 5,64 • 10-'°м.м.
откуда
откуда
а =
а =
I 4^11,3 Noel
I 4^11,3 Noel
е. а =
е. а =
4 • 5,844 • 10~211,3
6,023-1023 -2,167 103 J
4 • 5,844 • 10~211,3
6,023-1023 -2,167 103 J
• 5,64 • 10-'°
• 5,64 • 10-'°
м.
м.
Тогда плотность вещества оказывается равной о = -Д— = .^ ,
V„onNo а1
li-л4д4• 7,455- ГО 2. лл i пз, з
Q - Noa$ , Q - 6 о23 1()23 (6 29)3 1О_зо « 1,99 • 10 КГ/М .
Плотность вещества с кубической структурой выражается формулой
6 N0a3 ’
где ц — молярная масса, No — постоянная Авогадро. Число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку, для ОЦК решетки (с постоянной aj 2Х = 2, для ГЦК решетки (с постоянной я2) Z2 = 4. Тогда относительное изменение плотности железа в указанном превращении оказывается равным:
6 = -^- = ^- (^-^\ 100% = (1,037-1) 100% = 3,7%. еоцк 21аЦ
Объем элементарной ячейки ГПУ структуры равен
Vo = ^^ - ~ 3,03 • 1029 м3. Учитывая объем, приходящийся на 1 атом,
Vba2c.
yaT = j_—, запишем формулу для плотности вещества: 2z
а2 с Nq "
Отсюда
2 2- 1 с 1 Аз , з
5 “ 1,732 • (2,6б)2 • 1О“20 • 4,95 • 10"10 • 6,023 • 1023 ~ ’* кг м •
а) (3 6 2); б) [111]; [Г Г1]; [111]; [1 Г1].
Ах = а, Bt = 0,5a, Сх = ~а. Кристаллографическая плоскость
отсекает на осях кубической решетки отрезки А = ба, В = За, С — 2а (рис. 19).
а) Плоскости {1 1 1} в ГЦК структуре характеризуются наибольшей плотностью упаковки атомов. Действительно, коэффициенты упаковки атомов в плоскостях (100), (110) и (111) (рис. 20) равны
— +14 —+ 2—R1.3+1.3
44.2442,624/6
/(100)- а2 */(НО)*а2^- а2.Л1И)-* Ъа2
а 4
соответственно, т. е. hxxx^>t^>h\Xov
Рис. 19.
d =d =(А2 + ^2 + ,2)1/2 •(А2 + ^2 + ,2)1/2 •
d =
d =
(А2 + ^2 + ,2)1/2 •
(А2 + ^2 + ,2)1/2 •
Линейная плотность упаковки атомов в плоскостях {111} максимальна в направлениях (1 10).
б) Плоскости {1 1 0} и направления (1 1 1) в этих плоскостях ОЦК структуры характеризуются наибольшей плотностью упаковки атомов.
Из формулы (1.8) для кубической решетки с ребром а
. acosa, a cosa2 acosaxa = —R— = —"R— = —1—
находим выражения для направляющих косинусов углов, образованных нормалью к плоскости QikV) с осями декартовой системы координат хуг, совпадающими с ребрами кубической ячейки:
AdAdId
cosa,=—; cosa2 =—; cosa3 =—a, aa
Учитывая, что cos2 а! + cos2 а2 + cos2 аъ = 1, получим:
1.41. a) dXoo — я, dxxo —1.41. a) dXoo — я, dxxo —б) dxoo — 2 , d в) d100 = ~, dxб) dxoo — 2 , d в) d100 = ~, dxаааа, d, dno~?2no~?2, d, dno = ^,dno = ^,dа ,а , 2/3 '_ а-7vа ,а , 2/3 '_ а-7vВосемь октаэдрических плоскостей (ill), (ill), (111), (ill), (ill), (111), (ill), (111) обозначаются (1 1 1}.Восемь октаэдрических плоскостей (ill), (ill), (111), (ill), (ill), (111), (ill), (111) обозначаются (1 1 1}.а =а =Вычисляя постоянную кубической решетки 4z„ р/з■ ——}(см. решение задачи 1.31), получим:Noe IВычисляя постоянную кубической решетки 4z„ р/з■ ——}(см. решение задачи 1.31), получим:Noe IAgBr по формулеAgBr по формулеа = /4...°,1878 У'310\ 6,023 1023 • 6,5 103 /’ Uа = /4...°,1878 У'310\ 6,023 1023 • 6,5 103 /’ Uм.м.Длина ребра куба, в вершинах которого находятсяДлина ребра куба, в вершинах которого находятсяионы Ag+ и Вг ,ионы Ag+ и Вг ,равна j« 2,28 10 10 «2,04-10-10 м, d1H =равна j« 2,28 10 10 «2,04-10-10 м, d1H =m. Тогда d!00 = y «2,88-10"'° m, ^no = "^’ ^-« 1,67 1010 m.m. Тогда d!00 = y «2,88-10"'° m, ^no = "^’ ^-« 1,67 1010 m.Из формулы для плотности кубических кристаллическихструктур о = -тт"Т найдем постоянную Авогадро Мо = —^ где z — число NoaQa3атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку. Для ГЦК решетки г = 4. Постоянную решетки а найдем по межплоскостному расстоянию 84Из формулы для плотности кубических кристаллическихструктур о = -тт"Т найдем постоянную Авогадро Мо = —^ где z — число NoaQa3атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку. Для ГЦК решетки г = 4. Постоянную решетки а найдем по межплоскостному расстоянию 84а
1.41. a) dXoo — я, dxxo —
1.41. a) dXoo — я, dxxo —
б) dxoo — 2 , d в) d100 = ~, dx
б) dxoo — 2 , d в) d100 = ~, dx
а
а
а
а
, d
, d
no~?2
no~?2
, d
, d
no = ^,d
no = ^,d
а ,
а , 2/3 '
_ а
-7v
а ,
а , 2/3 '
_ а
-7v
Восемь октаэдрических плоскостей (ill), (ill), (111), (ill), (ill), (111), (ill), (111) обозначаются (1 1 1}.
Восемь октаэдрических плоскостей (ill), (ill), (111), (ill), (ill), (111), (ill), (111) обозначаются (1 1 1}.
а =
а =
Вычисляя постоянную кубической решетки 4z„ р/з
■ ——}(см. решение задачи 1.31), получим:
Noe I
Вычисляя постоянную кубической решетки 4z„ р/з
■ ——}(см. решение задачи 1.31), получим:
Noe I
AgBr по формуле
AgBr по формуле
а = /4...°,1878 У'310
\ 6,023 1023 • 6,5 103 /’ U
а = /4...°,1878 У'310
\ 6,023 1023 • 6,5 103 /’ U
м.
м.
Длина ребра куба, в вершинах которого находятся
Длина ребра куба, в вершинах которого находятся
ионы Ag+ и Вг ,
ионы Ag+ и Вг ,
равна j« 2,28 10 10 «2,04-10-10 м, d1H =
равна j« 2,28 10 10 «2,04-10-10 м, d1H =
m. Тогда d!00 = y «2,88-10"'° m, ^no = "^’ ^-« 1,67 1010 m.
m. Тогда d!00 = y «2,88-10"'° m, ^no = "^’ ^-« 1,67 1010 m.
Из формулы для плотности кубических кристаллических
структур о = -тт"Т найдем постоянную Авогадро Мо = —^ где z — число NoaQa3
атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку. Для ГЦК решетки г = 4. Постоянную решетки а найдем по межплоскостному расстоянию 84
Из формулы для плотности кубических кристаллических
структур о = -тт"Т найдем постоянную Авогадро Мо = —^ где z — число NoaQa3
атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку. Для ГЦК решетки г = 4. Постоянную решетки а найдем по межплоскостному расстоянию 84
_ CL
dxxx = -^», которое в свою очередь определяется из соотношения 2dm sin 6 = иЛ; п — порядок максимума. Следовательно,
М 82 Дет3 6
зЛеЛ3п3 *
Подставляя числовые данные, получим No^ 6,1-1023 моль-1.
Л = Qsm —, а — постоянная решетки NaCl, п — порядок интерфе- п
ренционного максимума при отражении.
Л=5’М1°-,°^^м
2
а = ^-«5,77 Ю-10 м. sin У
Порядок отражения от кристаллографических плоскостей (hkl) определяется формулой п = 24ш^1®- для простой кубической
,2а sin У гт т^тттлj а
решетки ахоо = а, поэтому икуб =—j—. Для ГЦК решетки d100 = y и игцк = ^у^, т. е. игцк = -^=1, 2, 3, .... Отсюда следует, что при переходе к ГЦК структуре останутся только четные порядки отражения икуб = 2, 4, 6, .... Нечетные порядки пропадут.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний системы частиц в кристалле имеет вид:
НФ(гх, rn ; Rx, К^ = ЕФ(гу, r„; Rx, RN), где Е — энергия кристалла, Ф —собственная функция гамильтониана
+ Uo (Rx, ..., RN) + U (у*!, ..., rn, Rx, ..., Rn) ,
в правой части которого два первых слагаемых — операторы кинетических энергий электронов и ядер соответственно, третье — потенциальная энергия попарного взаимодействия электронов, четвертое — потенциальная энергия взаимодействия ядер, последнее слагаемое учитывает энергию взаимодействия электронов с ядрами; т0, Ма, y^ Ra — массы и радиусы-векторы электронов и ядер.
В приближении покоящихся ядер (Ra = R«o = const, так как Ма > т^ , используя валентную апроксимацию, при которой все электроны атома, кроме валентных, вместе с ядром образуют неподвижный ион, получим:
' ^ ^ъГ^АчУ ^У ^Г+и^” ^: ^0&Vo)Ue =
= ЕеУе,
где ^ — волновая функция, а Ее — энергия валентных электронов. Заменяя энергию попарного взаимодействия валентных электронов энергией электрона в усредненном поле всех остальных, т. е. энергией в самосогласованном поле
2 Z-й Z-й 4ле0гм f- ix '
и представляя U (i\ „..., т„, R10,..., Rn0) = 2 U, (г,), преобразуем уравнение Шредингера к виду1
-т— V? + QА^ + <Л(?',)|УС =2 Н^е = Ее^е.
Это уравнение допускает разделение переменных. Действительно, если представить уе = П Щ, (г) иЕе = ^гн где ^z (rz), £, — волновая функция и энергия z-ro электрона, то находим:
Н^(rz) = 8<уг(r^ ; z = 1, 2, ..., и.
Таким образом, задача многих частиц сводится к одноэлектронной задаче:
Hv^r^ev^-
В периодическом поле V(x) = V(x + иа) решения уравнения Шредингера обладают тем свойством, что ^ (х + па) = С„щ (х). Из условия нормировки I С„ 12 = 1 следует, что можно положить С„ = е*кпа, где к имеет вещественное значение и играет роль волнового числа, характеризующего квантовое состояние электрона. Тогда у* (х + па) = ёкпа ук (х), откуда получаем решения уравнения Шредингера в виде функций Блоха у* (х) = e~ikne ук (х + па) = е?1" ик (х), где uk (х) = e-ikx ijfk (х) = е”‘к^+ "а) уt (х + па) = ик(х + па).
Волновая функция электрона в периодическом поле кристалла Vk^t) = ^iruk(r), причем ug(r + I) = Mg (г). Тогда
yg(r + l) = ^Ku + nuk(r + 1) = ^к1\1»^т).
Волновая функция электрона, движущегося в периодическом
поле решетки, есть функция Блоха ^(r) = e'kTUk{r). С помощью выражения рх ^ (г) = еikT (hkx + р^ и^ (г) можно проверить справедливость соотношения
й ^ (Г ) = ^ <М« + РхУ U^tY
Тогда из уравнения Шредингера
^5^+ V(r)Kg(r) = *^g(r)
после сокращения наОбозначая через Н =после сокращения наОбозначая через Н =eikT получимeikT получим^7^~ + V( Г ) lug ( Г ) = SUg (г).
после сокращения на
Обозначая через Н =
после сокращения на
Обозначая через Н =
eikT получим
eikT получим
2Шо
^^—+V(r), находим = — (^fe + p).
2m0дк тох г
Действуя этим оператором на функцию w^ (г), после умножения
слева на ez*r^*(r) и интегрирования по объему получим -^ =
= h |^|(r) ~ Vk^di. т. е. (у) = — Эта формула аналогична Jт^п ок
выражению у = $ для свободного электрона.
Волновую функцию электрона в кристалле, удовлетворяющую циклическим граничным условиям Борна — Кармана
y<(r + N^ = у/(г), 1=1, 2, 3,
где az~ основные векторы решетки, Nj — целые числа, причем Ni N2 N3 = N — полное число элементарных ячеек в кристалле, можно представить в виде ряда Фурье:
№(r) = IC(hi)ei(b!,ri
(g—вектор обратной решетки). Поскольку потенциальная энергия электрона V есть периодическая функция с периодом решетки, то справедливо разложение по векторам обратной решетки: V(r) = ^ V£ieIgir.
Подставляя выражения ^(г) и V(r) в уравнение Шредингера для стационарных состояний, получим:
V ei№+8>r Г^~ (^ + g)2—si с (5 + g) +
6
+ 22 Vil С(к + g)е‘Iя + 8"+ 81)г‘ = 0.
Умножая последнее соотношение на е tkxT и интегрируя по г, находим:
-£-^"с CW + I^C^-g^O.
'gi
Заменяя kx -* к + g и переходя к атомным единицам, запишем:
~ «^(^ + iy = aUk + iy = <K + Gy, S = ^^£,
где К и £- безразмерный волновой вектор и энергия электрона соответственно, G = aog, ti0 —первый боровский радиус. С учетом последних выражений уравнение Шредингера в импульсном представлении приводится к безразмерному виду:
[(K + G)2-^ C(K + G) + £ Vg,C(K + G-G,) = 0.
Gi
Выбирая в качестве единиц измерения атомную единицу длины
е28^o аде28^o ад(первый боровский радиус а0) и атомную единицу энергии (энергию
е2
8^o ад
е2
8^o ад
~ 13,59 эВ), преобразуем~ 13,59 эВ), преобразуемсвязи электрона в атоме водорода 1 Ry =
~ 13,59 эВ), преобразуем
~ 13,59 эВ), преобразуем
выражение потенциальной энергии к безразмерному виду:
V (£) = — 3 — 2cos 25,
где 5 = — —безразмерная координата. Разложим У(£) в ряд Фурье: «о
V(5) = 2 VGeiG^, где С = а^ g—вектор обратной решетки. Из усло- G
вия периодичности У(5) = У(5 + я) следует ^ VGelGi = ^ VGetG^*^, Gg
откуда ezG”=l, т. е. G = 0,±2,±4,.... Преобразуя
У(5) = — 3 — 2 cos 2£ = — 3 — е2z* — е -2^, найдем коэффициенты разложения У(5) в ряд Фурье: Vo= — 3, V2 —— 1, V_2 = — 1.
Воспользуемся уравнением Шредингера в импульсном представлении в безразмерной форме:
[(K + G)2-£] C(K + G) + 2 Vgx C(K + G-Gx) = 0,Gi
где К = ka0 — безразмерное волновое число, £ = -5^22- г. Учитывая значения коэффициентов разложения Vgx , которые отличны от нуля лишь при G, = 0, +2, получим уравнение
[ (К + G)2 — £ — 3] С (К + G) — С (К -ь G — 2) — С (К + G + 2) = 0,
в котором совокупность коэффициентов С (К + G) есть волновая функция электрона в К-представлении. Эти коэффициенты связаны системой линейных однородных алгебраических уравнений. Система же имеет нетривиальное решение лишь в случае, если ее определитель равен нулю (А = 0). Это детерминантное уравнение имеет вид:
(К —4)2 —5 —3-10
-1(К-2)2-£-3-1
О -1К2-£-3-1
О-1 (К + 2)2-£-3-1 . .
. - О-1 (К + 4)2 —£ —3
Отсюда следует, что каждому значению К отвечает множество корней детерминантного уравнения, т. е. собственных значений энергии £и, относящихся к различным зонам (для перечисления корней используют цомер зоны и). Таким образом, энергетический спектр электрона состоит из областей разрешенных значений £„ (ft), называемых энергетическими зонами.
В нулевом приближении в разложении ук (£) = = 2 С (К + G) е1^0^ следует учесть лишь член с G = 0. Тогда для G
квантового состояния электрона К = 0 в этом приближении получим уравнение (—£ — 3) = 0, откуда £} = — 3. В следующем приближении, когда в разложении учитываются три волны с G = О, +2, детерминантное уравнение для энергии принимает вид:
1-5
-1
0
-1
~(3+£)
-1
= 0.
0
-1
(1-5)
Корни этого уравнения £, = -3,4495, £2=1,00, £3= 1,4495 есть значения энергии электрона с волновым числом К = 0 в первой, второй и третьей зонах соответственно, причем корень £, = —3,4495 представляет уточненное значение энергии электрона в первой зоне по отношению к £! = —3.
Собственные значения энергии электрона с К = 0,5 I к — -^—) в пер- \ 2ао I
вом приближении (G = 0, +2) являются корнями детерминантного уравнения
и оказываются равными £х = —3,2956, £2 = —0,3731, £3 = 3,4187. Учет пяти волн в разложении приводит к уравнению пятой степени относительно энергии, что позволяет уточнить значения уже вычисленных величин £х, £2, £3 и найти значения энергии электрона в четвертой и пятой зонах.
Результаты расчета энергии электрона на основе решения детерми- нантных уравнений представлены в таблице:
к
Число волн в разложении
Номер зоны
1
1 2 1
1. 3 1
14|
1 5
£, эВ
0
1
3
5
-40,77
-46,88
-46,95
13,59
12,46
19,70
18,64
177,76
177,76
1
2 а о
3
5
-44,79
-44,95
-5,07
-6,28
46,46
45,51
127,07
235,38
На границе первой зоны Бриллюэна безразмерное волновое число К = 1. Тогда в разложение волновой функции электрона входит четное число плоских волн с нечетными значениями суммы I К + G I коэффициентов С (К + G). Поэтому детерминантное уравнение, полученное при определении коэффициентов Сх и С_х,
-(£ + 2)-1-1-(£ + 2)-(£ + 2)-1-1-(£ + 2)= 0= 0
-(£ + 2)-1
-1-(£ + 2)
-(£ + 2)-1
-1-(£ + 2)
= 0
= 0
приводит к безразмерным собственным значениям энергии £х = —3 и £2 —— 1. Ширина энергетической щели на границе первой зоны Бриллюэна в этом приближении оказывается равной
Аг: = [-1 - (-3) ] • 13,59 эВ = 27,18 эВ.
Потенциальная энергия электрона в кристалле V(r) = V(r + /), где I = lx ax + l2 a2 + l3 a3 — вектор кристаллической решетки. Используя разложение потенциальной энергии в ряд Фурье У(т) =2VgC^T i
и свойство периодичности, получаем e^z=l, т. е. §1 = 2лп, где и —целое число.
Если и = const, то проекция , 2лп
L =определяет плоскость, пер-
8 g
пендикулярную вектору g и находя- 2лп
щуюся на расстоянии —— от начала
координат (рис. 21). Это кристаллографическая плоскость, так как на ней лежит бесконечное число узлов кристаллической решетки. Действительно, если Z —вектор решетки, определяющий один из ее узлов, причем конец этого вектора лежит решетки, определяемые векторами
на указанной плоскости, то узлына указанной плоскости, то узлыГ' = 1 + N [и3 & + а2) - («1 + и2) л3],
на указанной плоскости, то узлы
на указанной плоскости, то узлы
где N—любое целое число, также расположены на этой плоскости, поскольку gZ'= gZ.
J 2л /, \ 2л2л
d = — kn-v 1) - — и = —. ggg
Z g = 2л (и^ + n2l2 + Из^ = 2лп, где и — целое число.
Если кристаллографическая плоскость, перпендикулярная g, пересекает ось Ох, то координата точки пересечения равна — аг. Аналогично координаты точек пересечения указанной плоскости с осями Оу и 02 пи---
оказываются равными — а2 и — а3 соответственно, где ах, а2, а3 — П2Из
периоды прямой решетки. Следовательно, эта плоскость имеет индексы (их п2 п3), которые после сокращения на общий множитель дают индексы Миллера (hkl).
Вектор обратной, решетки g = 2л (пг Ьг -vn2b2-v п3 Ь^ , где 2лЪх = ^- [а2 а^, 2лb2 = ^- \а3 ^J , 2лЬъ = ^- [яг «J “~ периоды или векторы примитивных трансляций обратной решетки, У = (a^a^]). Объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах обратной решетки, равен xi = (2л)3 $х \Ь2 Ь3]) = (2л)3 А^зА^зЦ _ ^) так как
[Ь2 Ь3] = -^ {[а3 aj [аг а2]} = —■ {^ (а2 [а3 aj) - а2 {ах [а3 aj)} =
= -^- а1(а2[а3а1])=-^-; & [62 53]) = ^ (я, [я2 я3]) = ^.
Базисные векторы простой кубической решетки можно выбрать: ах = аг, а2 = а], а3 = ак0, причем объем элементарной ячейки у = (ai [а2 а3]) = а3. Векторы примитивных трансляций обратной решетки определяют по формулам
А = 2лЬ1 = 2л В = 2лЬ2 = 2л С = 2лЬ3 = 2л 12^. 1У ’2У ’3У
~; 2л г 2л г2л Гс ~
Отсюда А =—г, В =—г, С =—ко, т. е. постоянная обратной аа 'а
2лw w ,(2я)3(2я)3
решетки равна — и объем элементарной ячейки v = ^ = v (рис. 22). Первая зона Бриллюэна есть ячейка Вигнера—Зейтца в обратной решетке. В данном случае это параллелепипед, ограниченный плоскостями, перпендикулярными к следующим 6 векторам:
±ТЛ = ±71; ±Тв = ±7/; ±1с = ±1к°-
Объем зоны Бриллюэна равен — .
\ а I
а) Запишем векторы примитивных трансляций ОЦК решетки (рис. 23):
а = -^ (Т+)-^, 6 = 7 (-г+j+ko), c = ^Q-l-vk^.
Они определяют объем примитивной ячейки у = (а [6 с]) = 7-, т. е. объем, приходящийся на один атом в ОЦК решетке. Тогда векторы
примитивных трансляций обратной решетки
А = 2лЬ1 = 2л^ = ^-(1+}\ B = ^(j^\ С = ^(г*^ совпадут с векторами примитивных трансляций ГЦК решетки. Следовательно, обратная решетка является ГЦК решеткой.
Учитывая векторы примитивных трансляций ГЦК решетки
а = 3 (^+/)> Ь = ^ (j + k^, с = ^ (&0 + Г) и объем примитивной ячейки
у = (а[6с])=у <М) [(Z+^o) (^o + i)] = "7, определим базисные векторы обратной решетки:
А = ^М = 2л £+J_^ § = 2«М = 2я_у а ’у а'
Следовательно, обратной ГЦК решетке будет объемноцентрированная кубическая (ОЦК решетка).
б) Двумерная кристаллическая решетка с базисными векторами a1 = ai) a2 = -^i + aj, где z, j — орты декартовой системы координат, а = 2, изображена на рисунке 24._*
Для определения векторов решетки направим аъ по оси 2, причем I a31 = 1. Тогда А = 2л ^^ и В — 2л ^^ располагаются в плоскости векторов ах, а2. Учитывая объем у = (аг [я2 ^з]) = я2, находим
О О О О ООО
Рис. 24.
ч 2л ч л г 2л г
А =—г— — к В =—1. Обратная двумерная решетка на плоскости а аа
кх, 1ц изображена на рисунке 25.
Для построения первой зоны Бриллюэна точку О, совпадающую с одним из узлов обратной решетки, соединяем векторами g с ближайшими узлами. Через середины этих векторов перпендикулярно к ним проводим прямые (плоскости). Получаемый при этом многоугольник с наименьшей площадью и есть первая зона Бриллюэна.
Плоская квадратная решетка с параметром а имеет векторы примитивных трансляций аг = ai, а2 = а]. Объем примитивной ячейки у = («i [«2 ^з]) = я2, где аъ = кй; /, /, ft0 — орты осей декартовой системы координат. Векторами примитивных трансляций обратной решетки будут
А = 2л= — г, В = —j.
v аа
Плоская обратная решетка в пространстве ft-вектора изображена на рисунке 26.
Первая зона Бриллюэна построена с помощью наименьших по абсолютному значению векторов gx, проведенных из точки О к ближайшим узлам обратной решетки. Эта зона есть квадрат, выделенный на рисунке 26 косой штриховкой.
На один волновой вектор в ft-пространстве приходится объем .(2л)3 тт- к-
Луг = -~ • Число разрешенных значении для к в любой зоне равно их
-ГСV Г)
числу в первой зоне Бриллюэна, объем которой равен — . Значит, \ а /
число квантовых состояний в простой энергетической зоне, возникшей 94
Рис. 26.
из невырожденного атомногоиз невырожденного атомногоуровня, равноуровня, равноу (2л)3 L3?2L3а3 (2л)3 а3 ’у (2л)3 L3?2L3а3 (2л)3 а3 ’
из невырожденного атомного
из невырожденного атомного
уровня, равно
уровня, равно
у (2л)3 L3?2L3
а3 (2л)3 а3 ’
у (2л)3 L3?2L3
а3 (2л)3 а3 ’
где множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина.
а) Векторы примитивных трансляций обратной решетки есть
А=^- (i+f), В = ^- G+k»), C = ^L (?+£,),
где /, /, к0 — орты осей, направленных вдоль ребер элементарного куба. Поэтому объем первой зоны Бриллюэна равен:
г/=(Л[вс]) = ^ <М [(j + k0) (Г+^)] = (^)3' 2-
В кристалле единичного объема на один волновой вектор в ^-пространстве приходится объем уг = (2л)3. Плотность квантовых состояний электронов в простой энергетической зоне равна удвоенной плотности волновых векторов в первой зоне Бриллюэна:
У (2л)5. 2я3(2л)5 * а3
б) у' = 4(—V, Z=4
\ а )а5
а) В любой кубической структуре каждый атом дает 2 квантовых состояния в простую зону и 2g состояний в g-кратно вырожденную зону. Последняя заполненная зона в кристалле КВг образована из уровней 4р ионов Вг , поэтому число электронных состояний в ней для 1 моль кристалла равно 2N0 (2Z + 1), где орбитальное квантовое число 1—1. Следовательно, плотность электронных состояний выразится отношением 2^(2/+ 1)6 6,022 1023 л 1 1п43-!-!
—sДж моль ■
б) 1,5 • 1043 Дж-1 • моль-1.
Волновой вектор электрона в углу первой зоны Бриллюэна равен |^| = ^ |g| , где g—вектор обратной решетки с минимальным модулем. Для середины боковых ребер первой зоны кг = ^ , поэтому с помощью формулы £к = -— находим -777 = 2.
2т0^1)
2.21.
2.22.энергии2.22.энергииВ приближении свободных электронов собственные значения электрона определяются по формуле
2.22.
энергии
2.22.
энергии
где kx = ^ Hi, ку = -~- „2, &г = ~ и3; L—длина ребра кристалла, взятого в форме куба; пг> п2, п3 —целые числа. Представляя в ^-пространстве разрешенные энергетические состояния системой ячеек объема (2я \3-
— 1 , получим их число в единице объема ^-пространства
о 1 L3-.
2 • тттлт = тт; множитель 2 в левой части появляется за счет двух (2 л/L)34л3 ’J
ориентаций спина электрона. Сферическая поверхность Ферми радиусом кР охватывает в ^-пространстве ячейки, содержащие Nz электронов, 4Т3
т. е. у лкр • —7 = Nz? где jV—число атомов в кристалле. Отсюда
\1/3
гл21 =(Зигл2)1/3,
где nz — концентрация свободных электронов в кристалле.
Решение уравнения Шредингера в области 0 < х < а имеет вид ^i = Aeixx + Be-ixx, где х2 = ^^. В соседнем интервале а < х < 2а, учитывая периодичность поля одномерного кристалла, для волновой функции будем иметь:
\l/2 = eika [Aeix^x~a) + Be"ix'vx"a^ ,причем при х = а волновая функция должна быть непрерывна, т. е.
\у2 (я + 0) = ^! (а - 0).
С помощью уравнения Шредингера
-Mr + x2 — — d (яс + a) I у = 0
можно получить граничные условия для первой производной:
у/2 (а + 0) = V1 ^ - 0) + ^ V (а).
Поэтому коэффициенты А и В удовлетворяют системе двух линейных однородных уравнений
е^ЧА + В^Ае1” + Be-1”,
ikeiko (A — В) = ix (Aeixa - Be "'“) + 2 ^ (Aeim + Be ""“'),
детерминант которой Д = 0, т. е.
cos ка = cos на + — sin ха.
ха
Разрешенные значения х, а следовательно, и зоны разрешенных значений энергии электрона определяются неравенством
р
I cos ха + -— sin ха I < 1,
ха
или
Это неравенство решается графически (рис. 27). Точки пересечения кри-
4 Заказ 295
вых, аналитическое выражение которых суть левая и правая части неравенства, изображены кружочками, а интервалы значений ха. для которых выполняется неравенство, т. е. разрешенные энергетические зоны, отмечены на оси абсцисс жирными отрезками.
- -. х ха ха
12А. ctg — = ——для энергетических зон с нечетными номерами;
tg " — — -""Для четных зон.
Оба уравнения решаются графически. Так, например, на рисунке 28 абсциссы точек пересечения графиков ctg ^ и прямой ~~ (при заданном значении Р) определяют ^2nn+i> гДе и2 = ~^- и и = 0, 1, 2, ....
Волновая функция электрона ук (я) = ик (я) еikx, где ик = (я + d) = ик (я). Подставляя ^к (я) в уравнение Шредингера для стационарных состояний
^+2а[с_уМ]У,И-0,
получим:
dx2dx h2 \2m0 /
Решение этого уравнения имеет вид:
ик^ = Ае1^"1^ + Ве"^а^^х при 0<х<а, а2 = ^^;
ик(х) = Ce^~ik}x + De~{p + ik)x при a<x<a-vb. g2 = -2^-^-^-.
Постоянные А, В, С, D выбираются так, чтобы функция ик (я) и ее производная были непрерывны при я = О и я = а. Тогда для по- ах
стоянных А, В, С, D получим систему четырех линейных однородных алгебраических уравнений
A + B-C-D = 0,
Aei(a-k)a + gg-ila + ^a _Ce^-ik)b _ ^-(В + .^Ь = Q,
- i(«-k)A-i(a + k)B — (p — ik) С + (Д + ik)D = 0, г (a — k) Aeil-C‘"k),: — i(a + $Be-lVa+^a — (Ji — ik) Ce^'^h +
, ■v(^ + ik)De-U!*^b = 0.
При записи 2-го и 4-го уравнений принято во внимание условие периодичности ик (а) = ик (—6) и (-"• I = (-^) . Эта система уравне- \ ах /а \ ах j—b
ний имеет нетривиальные решения лишь в том случае, когда А = 0, т. е.
1
1
-1
-1
g i {а - к) а
g-i(«A tie
_e№-tK)b
_ e-V + iR)b
i(a — k)
— i (a + k)
-(Ji- ik)
^ + ik)
i (a-k) ei<iCI-k)a
—i (а+к) е~‘{а+к',а
-(Ji-ik)^-^1’
(^+(й)е~^+1к}ь
g2 — a22а($g2 — a22а($Отсюда находим уравнение для энергетического спектра электрона (£<Vo):
g2 — a22а($
g2 — a22а($
sh Jib sin aa + ch Jib cos aa = cos k (a + b).
2.26. Если Vo-"00 и b->0, но Vob = const, to a + b-*a,
0^2^^pb_^2moVob.Q
Поэтому
p-a22a£p-a22a£mp Vpbh2amp Vpbh2ash^b« (-^--^ 2(8 -+
p-a22a£
p-a22a£
mp Vpbh2a
mp Vpbh2a
\2P2^ I p
mQaVnb
Вводя постоянную величину P = —> характеризующую прозрачность потенциальных барьеров, преобразуем уравнение
j82 - а2
2^ §h № ын аа + °h Р^ cos аа = cos ^ (^ + 6) к виду
— sin аа + cos аа = cos ка. аа
На рисунке 5 приведено графическое решение этого уравнения для р = 5~. Отсюда видно, что значения энергии у потолка зон определяются соотношением а2я2 = (ял)2, где п = 1, 2, ...— номер зоны. Учи- 7 2ТПа£ тывая выражение а =—у—, получим: h
_2 ь2 гп = “2 и2 = 2,35л2 эВ.
" 2га0 а2 ’
Разрешенные значения аа в энергетических зонах (см. рис. 5) представим суммой аа = ял + <5, где I d I <1, л = + 1, ±2, .... Тогда sinaa = sin (ял+ d) = sin ял cos б + sin б cos ял = (—l)”sind ~ (—1)”б, cos аа « cos ял = (—1)”. Уравнение — sin аа + cos аа = cos ка пре- аа
образуется к виду (—1)”д — + (—l)” = cosfca. Отсюда находим
6 = ^- [(— 1Y cos ка — 1]. Значит, разрешенные значения аа представятся выражением аа = ял 1 + (—1)" -~ coska — -— . Принимая во 1/ 2ш0£
_ я2 ^2 п2 2т0 а2л2 h2 п2 2т0 а2_ я2 ^2 п2 2т0 а2л2 h2 п2 2т0 а222внимание а = ^> получим закон дисперсии:
_ я2 ^2 п2 2т0 а2
л2 h2 п2 2т0 а2
_ я2 ^2 п2 2т0 а2
л2 h2 п2 2т0 а2
2
2
1 + у [ (—1)" c°s ка — 1]
АЕ„ = гГ - ё? = ^А •
Рт^ а
Eg = -^2 (и + I)2 (1 -4)-«2 •
Е^ + 11П = А ■ (n + I)2 (l-jj-п2
Е" + 2-п + 1 = А (п + 2)2 (1-4)-(» + I)2 ,
где А = --—-т• Тогда разность ДЕ8 = Ег(" + 1,п) —Ег<п + 2 " + 1) = А{0,6 х 2т0я .s
х (—2л — 3) + 2л + 1} = А • 0,8 (л — 1) > 0 при л > 1.
Для почти свободных электронов периодическое поле кристалла можно рассматривать как возмущение. Представим оператор возмущения в виде
. . 2лх . 2яй: .
V (#) = Vx cos -у- = I1.
Согласно теории возмущений энергия электрона во втором приближении равна:
с -pW . V . V
Ок — Ok V V кЬ ~Г /i_
* кк'
kx+h к
где ^ — энергия электрона при V = 0; Vkk, Vklk — матричные элементы оператора возмущения. Из выражения V/tlfe= j ^*V^0)d^, где 40) = (2л)-1/2 еikx, ^* = (2я)"1/2 е ~гк1Х — волновые функции свободного электрона, следует, что V^^ 0 лишь для кх = к± —. Значит, на границе зоны Бриллюэна ^при к — +~) волновое число кх — ±~ и 8^ = е^ = "^~2" > т- е- имеет место двукратное вырождение невозмущенных уровней; одному и тому же значению энергии принадлежат волновые функции ^ и i/0) 2_ (или ^(0) 2я на другой границе зоны к + к
аа
Бриллюэна). В этом случае волновую функцию в нулевом приближении следует взять в виде
где S = ~ — вектор обратной решетки. Подставляя ^fe в уравнение Шредингера (Но + V) y<ft = 8к yk, находим:
«к s® V® + Ok+, 4°+ g V1^ g + Ok V («) W® + ak+gV(x) ^ g == akeN^ a- ak^gekVk\t.
Умножая это выражение слева сначала на ^*, а затем на i//^*g и интегрируя по х, получим:
^k ^V ~Г ^k + g ^k + g, k = ^k^k ,^k ^k, k + g + ^k + g ^k + g = ^k ^k + g ?
где Vk> k+g = Vk+g> k = ^-) ^k5 = ^k\-g* Эта система уравнений имеет нетривиальные решения, если определитель равен нулю:
40)-^ VJ2
= 0.
Vx]2£^g-8k
Отсюда
е» = ^ (=£>+ ^,) ± ^Л^ЛЛЛЛЛ^ ■
Следовательно, ширина энергетической щели на границе зоны Бриллюэна равна:
а а
Разложим волновой вектор на две состевля^зчще k = kg + kn, где kg перпендикулярна границе зоны, ки параллельна границе, т. е. перпендикулярна вектору обратной решетки g. Тогда
*2т0*2т0Л22ш0Л22ш0
*2т0
*2т0
Л22ш0
Л22ш0
4" - = ^" * + ^ = ^" < *■ + iV + । ■
Вычисляя
а£дк6а£дк6TUqOKg MqTUqOKg Mq
а£
дк6
а£
дк6
TUqOKg Mq
TUqOKg Mq
Рис. 29.Рис. 29.
Рис. 29.
Рис. 29.
находим:
Учитывая выражение для энергии электрона вблизи границы зоны Бриллюэна (2.10), получим:
^№+g)±^ №«
14' * k+g'к, k + g
На границе зоны t^ = e®+i и kg = — у, тогда deg
— = 0. Следовательно, изоэнергетические поверхности ортогональны границам зоны Бриллюэна.
Вектор g определяет семейство перпендикулярных к нему кристаллографических плоскостей, расстояние между которыми d = — (риСе 29). Условие Вульфа —Бреггов для отражения электронных волн 2d sin 0 = иЯ,
где и = +1, +2, ..., запишется в виде 2— sin0 = n—, откуда gк
к sin 0 = ^, т. е. I kg I = у п. Значит, концы векторов к электронных
волн лежат на границах зон Бриллюэна, где и существуют энергетические щели для электронов кристалла.
При трансляции на вектор решетки 1Х волновая функция при
мет видмет видеz** У^ О' + Zi — Z). Обозначив l — lx = h,
мет вид
мет вид
запишем:
а
Сравнивая последнее выражение с
т
получим:
Энергия электрона в состоянии с
определяется по формуле
г
где Н (г, р) = — -^- V2 + V(r), V(r) — потенциальная энергия электрона.
Подставляя ^„О*) в эту формулу, получим:
^(й^ТтУ^'УeiRV-h) (^(r-fjH^, iAwAr-tldr.
Полагая Z + ^ = r, I — Ц = h, запишем:
£"^)="j7^2 el^ ( <У*(Г1 + й)Н(р, T^vAT^d.rl = y.elUen(Ji^,
при этом преобразовании учтено равенство 2 1 = N. Проверим условие периодичности:
^(^-f) = Е^^Й e-^^Cn ^ = ^eikk8n (h) = 8n ^к\
так как с -1&к = е ~1^ е1^1 = 1.
В связи с малым радиусом локализации функций хуп (г) интегралы перекрытия еп (ft) резко уменьшаются с ростом расстояния I h I между центрами волновых функций iyn (г) и v„ (г + й). Поэтому в приближении ближайших соседей, имея в виду лишь члены с h = 0 и h = р, запишем Mft) = еп (0) + ^ е ikkv 8п (ht), где Л1~ векторы, соединяющие данный hi
узел решетки с ближайшими соседними узлами.
Воспользуемся выражением 8п (ft) = £п (0) + 2 е1к$ч enVkY hi
полученным в предыдущей задаче. В простой кубической решетке векторы Нх от любого узла до ближайших шести соседей имеют проекции (я, 0, 0), (—я, 0, 0), (0, а^ 0), (0, —а, 0), (0, 0, а), (0, 0, — а). Поэтому для закона дисперсии получим:
8п (k) = еп (0) + 8п (я) ^eikxa + e-ikxa 4- eikva 4- e-ikva 4- eik^a 4- e-ikza3 == 8n (0) 4- 2en (a) {cos kx a 4- cos ky a 4- cos kz a}.
Учитывая соотношение — 1 < cos pa< 1, находим ширину энергетической зоны ЛЕ„ = ^ах — 8™ = 12 I 8п (а) I .
Если я -* оо, то 8п рр -► 0, так как 8п(а) =$;<У*(г + а)Нщ„(г) dr и перекрытие волновых функций ^ (г 4- ^) и уп (т) отсутствует. При этом 8п (ft) -+ 8п (0) и ширина энергетической зоны ДЕ„-> 0, т. е. каждый энергетический уровень оказывается N-кратно вырожденным, где N — число атомов, равное числу элементарных ячеек в кристалле. При уменьшении расстояния между атомами они возмущают друг друга, что приводит к снятию вырождения и расщеплению атомного уровня в энергетическую зону. s-Зона, получившаяся в результате расщепления s-уровня, может вместить 2N электронов.
В ОЦК решетке векторы hY от любого узла до восьми ближай-
I Cl Cl Cl \ I\ I (I (1 й \
шихсоседей имеют проекции —, ™, ~,™, Т > —т , — “,“>“Ь
н\222/\222 /\222 /
(ааа \/ ааа \[ а_ _ а а \/а_аа \
’2 ’~ 2 /'\2’~2 ’2 /’ \2’2 ? ~ 2 /’\2’~2 ’2 /'
а а а2 ’ ~ 2 ’ ~ 2а а а2 ’ ~ 2 ’ ~ 2— z (Ах + ку + kz)+ е 2Для s-зоны интеграл— z (Ах + ку + kz)+ е 2Для s-зоны интегралkja2kja2* А2^ ="72—дк2* А2^ ="72—дк2А22^2 а2А22^2 а2> 0 и одинакова по всем направлениям.> 0 и одинакова по всем направлениям.
а а а
2 ’ ~ 2 ’ ~ 2
а а а
2 ’ ~ 2 ’ ~ 2
— z (Ах + ку + kz)
+ е 2
Для s-зоны интеграл
— z (Ах + ку + kz)
+ е 2
Для s-зоны интеграл
kja
2
kja
2
* А2
^ ="72—
дк2
* А2
^ ="72—
дк2
А22^2 а2
А22^2 а2
> 0 и одинакова по всем направлениям.
> 0 и одинакова по всем направлениям.
. Поэтому в приближении ближайших соседей за
пишем:
\ I i ■«-№х + ^У + ^z)* "S" (А* + Ay — AZ)
sAk^e^^nр 2+ е 2+
i(— Ах + ку + кг^ i ~ (— кх + ку — kz} i ikx — ку + kz) i -т- \кх — ку — kz} + е 2+ е 2+ е 2+ е 2+
о I cV5\кхаkvakza
= 8п (0) 4- &8п ~“~ COS ~~” COS COS ~~~ •
\ 2 /222
/ а /3 \ Л I аУз\ перекрытия 8„ (“^”1 < 0 или 8п —) = — р .
Вблизи центра зоныВблизи центра зоныБриллюэна, т. е. у дна энергетической зоны
Вблизи центра зоны
Вблизи центра зоны
..ki а 11 / ki а V
где г = х, у, z. Тогда, представляя cos 1 — ~ 1“У") ’
находим 8S (£) = 8S (О) — 8/?2 + (?а2 к2. Отсюда эффективная масса
239. еА^) = 2 е^еАМ = Cso — 4j82 hi
I kxa\I kza\I kv a \I kza\ ]/ a ^2 \
+ cos -~- cos + cos cos , где £s = -P -
\ ^ /\ Z ]\ Z Iу Z j jу z у
интеграл перекрытия, а—длина ребра элементарного куба кристаллической решетки, 8 $0— энергия электрона в s-состоянии в изолированном атоме.
Вблизи точки к = 0 закон дисперсии имеет вид:
es {к.) = sSg - 12j82 + pa2 (^ + /г^ + к2\
откуда следует сферическая симметрия для изоэнергетических поверхностей.
Вблизи центра зоны Бриллюэна к^< 1, где г = х, у, г, поэтому cos ki а « 1 — у (kt аУ. Значит, 8п {k) = 8п (0) + б8п (а) — 8п (а) а2 (к2 -\-к2А- -vk2) =8п (0) + 6еп (а) — 8п (а) а2 к2. Отсюда находим эффективную массу у дна энергетической зоны (центр зоны Бриллюэна): ^*H0 = ^2/*^" = = — h2/2а2 8п (а\ Знак эффективной массы зависит от знака интеграла
А2
перекрытия 8п^У Для s-зоны 8п^<^ и /п*но = ———ту->0. Вбли-
зи вершин зоны Бриллюэна (потолок энергетической зоны) кха = ± л + k'i а, где к\ а < 1. Учитывая разложение в ряд по малому параметру с точностью до членов второго порядка малости, запишем cos ki а ~ — 1 + у (к, а)2. Тогда
£„(£) = сп (0) - б£„ (а) + £п (а) а2к'2, т. е. т03 = --/ тг-
У потолка s-зоны 7И*От™ —Следовательно, т*= — m*ov 2dz I ss (а) Iд
Значения, полученные из выражений ^^" = — 2ёп(а) аып^а на границах зоны Бриллюэна (/^ £ - ± л), равны нулю. Это означает, что групповая скорость электронов на границе зоны обращается в нуль, так как
yrp--=^-gradi;£„(^) = 0.
m* = 2m0.
Отсчитывая энергию от дна зоны проводимости и используя разложение s (А) в ряд Тейлора, получим с точностью до членов второго порядка малости:
S 2 А ^Дхх ^Х "Ь ^уу ^у "Ь ^22 ^2 ) •
Значит, поверхности постоянной энергии имеют форму эллипсоидов.
2.43. а)2.43. а)11 д дет^ h2 dht dkj11 д дет^ h2 dht dkj-^ 2аj д;/, где i, / пробегают значения-^ 2аj д;/, где i, / пробегают значения
2.43. а)
2.43. а)
11 д де
т^ h2 dht dkj
11 д де
т^ h2 dht dkj
-^ 2аj д;/, где i, / пробегают значения
-^ 2аj д;/, где i, / пробегают значения
х, у, 2. Тензор обратной эффективной массы будет диагональным:
^о о
-Т =0^0.
оо^
Уравнения движения имеют вид: —= F;, где г = х, у, 2 и F (Fx,
Fy, Fz) — внешняя сила, действующая на электрон в кристалле. Электрон й2Й2
характеризуется различной эффективной массой: т* = -^-, т* =,
по
(Р-Ро):
s(p) = е(Ро) +s(p) = е(Ро) +(рх-РохУ ] (Ру-Роу)2 ! (Pz-Poz)22mT2т22т3
s(p) = е(Ро) +
s(p) = е(Ро) +
Отсюда получаем уравнение для энергетических поверхностей
^Рх-РохУ«1^Рх-РохУ«1(Ру-Роу)2 + (pz-P0z)2 _ |
^Рх-РохУ
«1
^Рх-РохУ
«1
«2^3’
полуоси эллипсоида, направленные по осям х, у, Z, ■ гр оделяются из соотношений а2 = 2тГ[£(р)-£(р0)]> z" = 1, 2, 3. Скс;.с ль движения де
электрона у = — направлена по нормали к изоэнергегическои поверх- др
ности, значит, совпадает с направлением квазиимпульса р лишь при движении вдоль осей эллипсоида.
Потенциальную энергию решетки вблизи положения равновесия, где =0 и можно принять Uo = O, представим разложением \ дп /0
(1)(1)^ = 7 2 0 (и, и') у (п) у (ri),п, п'
(1)
(1)
и = ^ ^a(n-ri) у(п) y(ri) и, п'и = ^ ^a(n-ri) у(п) y(ri) и, п'где у (и) —смещение частицы, положение которой определяется вектором и^, и2, п3\ иг —целые числа. Для неограниченного кристалла функция Р (и, п'^ зависит только от разности (п — п’\ г. е.
и = ^ ^a(n-ri) у(п) y(ri) и, п'
и = ^ ^a(n-ri) у(п) y(ri) и, п'
, причем ^ (и, и') = а (и — п’\ Тогда урав
нения малых колебаний решетки, состоящей из частиц с одинаковой массой М, примут вид:
М '^2И)~ = -Х a(n-ri) y(ri). (2)
Если все атомы сместились бы как целое: у (и) = у0 = const, то потенциальная энергия не изменится по сравнению с равновесным значением, т. е.
^ а (и-и') =2^(0 = 0-
п'I
Учитывая последнее соотношение, преобразуем уравнение движения (2) к виду
Му (п) = - ^ a(ii - п') у (ri) + y(n)^a(n-ri),п'п'
т. е.
Му (и) = -2 а(п-п') [у(п)— у(«')].
и'
Рассмотрим случай стационарных колебаний, когда все динамические переменные зависят от времени по гармоническому закону. В данном случае можно искать решение в виде
y^=AeiVi"rto"tot\
где А = const, q — волновой вектор.
Подставляя предполагаемое решение в дифференциальное уравнение движения, получим:
п*
Так как для вектора решетки т справедливо тождество т^ -r^n') = г(п-п'), то
о2 = - 7- V а (и) [ 1 — е1 = 2- V а (и) е"^ ,ип
При получении последнего соотношения учтено, что ^а(п) = 0.
В простой решетке каждый атом является центром инверсии, поэтому а (и) = а (— п). Тогда
п—пп—п
п—п
п—п
откуда следует, что
ю2 = — > а (и) [ cos q г (и) — 1 ].
И
В простой кубической решетке основные векторы трансляции aAi = V 2, 3) можно направить вдоль осей 4-го порядка, и тогда
I ах I = I я21 = । ^ъ । = ^. Целочисленный вектор и, соединяющий ближайших соседей, пробегает значения (+1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, +1). Для всех этих векторов коэффициенты а (и) одинаковы, пусть это ах. При и = 0 а (0) обозначим через а0. Раскрывая равенство ^а^ = О,
п
получим ах = — -у. Так как
(02 = ^-^ a(n) [cosgr(R)-l],
то при суммировании по вышеуказанным векторам имеем:
<у2 = ^ {2ai [ cos qx а + cos qy а + cos qz a ] + a0},
a0
или, заменяя ax на — -^ получим:
2«0(У = — м2«0(У = — м2 a0з м2 a0з м1 — — (cos qx а + cos qy a + cos qz a)
2«0
(У = — м
2«0
(У = — м
2 a0з м
2 a0з м
sin2 (“yj + sin2 ^^-^ + sin2
Частота б) принимает максимальное значение tymax = у —- в вершинах элементарной ячейки обратной решетки при qx = + qy = ± qz = + у.
В случае длинноволновых колебаний разложим sin ^- в ряд по степе- ням aqt <i 1 и, ограничиваясь главным членом, т. е. sin у-~-у-, будем иметь линейный закон дисперсии:
22 «0 а2( 222\Ло Л22
су — —~ —(а;+а;+ q;)= ~—q,
3 М 4Х4х4у4z'6М4’
или су = sq, где s = а \ —• .
у 6М
Закон дисперсии для одномерной простой решетки можно записать в виде
(У2 = ^ ^ ап (cos nqa - 1).(1)
п
В случае учета ближайших соседей п пробегает значения 0, ±1.
Очевидно, a_i = ах. Из тождества ^ ап = 0 следует, что ах = — —. Тогда п2
из (1) получим:
^2 — "^ (2а! cos qa + а0), т. е. (у2 = -^- sin2 -у-.
Принимая во внимание, что в разложение потенциальной энер-
гии в гармоническом приближении войдут только квадратичные по смещению члены, дифференциальное уравнение малых колебаний плоской неограниченной решетки можно представить в виде
М f^h^21 = _^ а{п-п') у(п'),(1)
где и = пх i + п2^ М —масса атома.
Поскольку все ближайшие соседи расположены на одном и том же расстоянии, то упругие коэффициенты а (и — и') при пг ^ и одинаковы. Выполняя в правой части уравнения (1) суммирование по ri, получим М ^t-1^?^и2)-«1[у(И1-1, П2) +у(П1 + 1, П2) + у(и1,
п2 — 1) + у (пх, п2 + 1) ]. Выразим далее а0 через ах. Пользуясь соотношением ^ а (и — и') = О, раскрывая которое получим а0 + 4а i = О, п'
т. е. ах — —^. Тогда уравнение движения примет вид:
М ^-^-^1 = -^- {[y(nt + 1, и2) ч-у^ - 1, и2)-2у(П1, п2)] +
+ [y(«i, и2 + 1)+у(п1; п2 — !) — 2у (тц , и2)]}.(2)
Полагая у (пх, п2) = Аеl^qn tiA, после подстановки в уравнение (2) имеем:
- Мо)2 = ~- {2 [cos qx а - 1] + 2 [cos q2 а - 1]}
или
0=-7 sin2 “— + Sin2М \2
где а —постоянная решетки, qx и q2 — проекции вектора q на единичные
орты z и /. В длинноволновом пределе о =
Групповая скорость определяется соотношением =
6 dq
Используя выражения для о (д) в виде
0
получим:
cos -т- = 1/ —т a cos -т*.2 У 2М2
Т1Т1 Т.2
nr^TWi^im's ®' 'бтт-^—гт^
2п-1 2п 2п+12 п+2
Рис. 30.
В случае, когда qa < 1 (длинноволновой предел), yg« у -^- а; на границе зоны Бриллюэна при q = + ~ групповая скорость yg = 0.
Уравнения движения линейной цепочки из чередующихся частиц массами тх и т2, находящихся в равновесном состоянии на расстоянии а друг от друга, при учете взаимодействия между ближайшими соседями (рис. 30) имеют вид:
I т1У2« + 1 = <8(У2« + 2 + У2п-2у2й + 1),П)
1 «гУг» = Р (y2n + i + Узи-1 - 2у2й).
Решение уравнений будем искать в виде
I y2» = Aei(2^-“*)>
1-м— Al)qa-6>t]W
I У2п + 1 —,
где Аг и А2—постоянные.
Подставляя (2) в (1) и производя деление на один и тот же множитель, получим для Аг и А2 систему двух линейных однородных уравнений:
+ 2^8 Аг - т2о2Аг - 2/? A2cosqa = 0
— 2/? А! cosqa + 2/?А2 — тхо2А2 = 0 .
Система уравнений (3) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, если ее детерминант равен нулю. Частоты (О поэтому должны удовлетворять «секулярному» уравнению
2^8 - т2 (У2—2/8 cos qa2^8 - т2 (У2—2/8 cos qa—2/8 cos qa 2/8 — тг су2—2/8 cos qa 2/8 — тг су2= 0,= 0,
2^8 - т2 (У2
—2/8 cos qa
2^8 - т2 (У2
—2/8 cos qa
—2/8 cos qa 2/8 — тг су2
—2/8 cos qa 2/8 — тг су2
= 0,
= 0,
решения которого суть
У2 = -^ 1 1 ±т* IУ2 = -^ 1 1 ±т* I1 _ ^т* sin2 (да) V2mi-vm2 J
У2 = -^ 1 1 ±т* I
У2 = -^ 1 1 ±т* I
масса.масса.где т* =—приведенная
масса.
масса.
Ш1 + ТП2
В длинноволновом пределеВ длинноволновом пределе/ 2^ ^тх + т^0! = V г mi т2/ 2^ ^тх + т^0! = V г mi т2оптическая ветвь,оптическая ветвь,2/?с— qa_\тг + nuj *2/?с— qa_\тг + nuj *акустическая ветвь./На границе зоны Бриллюэна 5 при^ = ±7акустическая ветвь./На границе зоны Бриллюэна 5 при^ = ±73.8. Число различных3.8. Число различныхГрафики дисперсионных кривых представлены на рисунке 31 (для случая т2>т1).значений q. попадающих в интервалГрафики дисперсионных кривых представлены на рисунке 31 (для случая т2>т1).значений q. попадающих в интервалq — q + dq, равно Р% (V —объем кристалла). Мы учли, что на одно (2л)q — q + dq, равно Р% (V —объем кристалла). Мы учли, что на одно (2л)квантовое состояние в пространстве волновых векторов приходится элемент объемом (2л)3. Следовательно, число продольных колебаний с законом дисперсии to = Z)tq, имеющих частоту в интервале to— to + dto, равно:квантовое состояние в пространстве волновых векторов приходится элемент объемом (2л)3. Следовательно, число продольных колебаний с законом дисперсии to = Z)tq, имеющих частоту в интервале to— to + dto, равно:Z; (су) dto = 7^3- 4л#2 dto =4 '^ъ 4 dtoZ; (су) dto = 7^3- 4л#2 dto =4 '^ъ 4 dtoVto2 dto2л2 у? ’Vto2 dto2л2 у? ’Учитывая, что поперечные колебания имеют две независимые поляризации, для Zt (<у) do имеем:Учитывая, что поперечные колебания имеют две независимые поляризации, для Zt (<у) do имеем:Zt (су) dto =Zt (су) dto =Vto2 dtoл2 UtVto2 dtoл2 Ut
В длинноволновом пределе
В длинноволновом пределе
/ 2^ ^тх + т^
0! = V
г mi т2
/ 2^ ^тх + т^
0! = V
г mi т2
оптическая ветвь,
оптическая ветвь,
2/?
с— qa_
\тг + nuj *
2/?
с— qa_
\тг + nuj *
акустическая ветвь./
На границе зоны Бриллюэна 5 при
^ = ±7
акустическая ветвь./
На границе зоны Бриллюэна 5 при
^ = ±7
3.8. Число различных
3.8. Число различных
Графики дисперсионных кривых представлены на рисунке 31 (для случая т2>т1).
значений q. попадающих в интервал
Графики дисперсионных кривых представлены на рисунке 31 (для случая т2>т1).
значений q. попадающих в интервал
q — q + dq, равно Р% (V —объем кристалла). Мы учли, что на одно (2л)
q — q + dq, равно Р% (V —объем кристалла). Мы учли, что на одно (2л)
квантовое состояние в пространстве волновых векторов приходится элемент объемом (2л)3. Следовательно, число продольных колебаний с законом дисперсии to = Z)tq, имеющих частоту в интервале to— to + dto, равно:
квантовое состояние в пространстве волновых векторов приходится элемент объемом (2л)3. Следовательно, число продольных колебаний с законом дисперсии to = Z)tq, имеющих частоту в интервале to— to + dto, равно:
Z; (су) dto = 7^3- 4л#2 dto =
4 '^ъ 4 dto
Z; (су) dto = 7^3- 4л#2 dto =
4 '^ъ 4 dto
Vto2 dto2л2 у? ’
Vto2 dto2л2 у? ’
Учитывая, что поперечные колебания имеют две независимые поляризации, для Zt (<у) do имеем:
Учитывая, что поперечные колебания имеют две независимые поляризации, для Zt (<у) do имеем:
Zt (су) dto =
Zt (су) dto =
Vto2 dtoл2 Ut
Vto2 dtoл2 Ut
Полное число колебаний представится формулой
Z(у) dto = Zt(to)dto + Zt(to) dto = -~™ (^ + ^ •
Максимальную частоту колебаний, определяющую температуру
найдем из условия, что полноенайдем из условия, что полноеДебая согласно соотношению Тд = h°^
найдем из условия, что полное
найдем из условия, что полное
число колебаний решетки, состоящей из N атомов, равно числу степеней ^тах
свободы, т. е. 3N или j z (ty) dto = 3N. Отсюдао
При оценке скорости акустических волн предположим, что vt = Vi = У. Тогда формула для температуры Дебая примет вид:
Т1 = Т" E6^2 71dT У'3 У,(1)
«о
где иат —число атомов в единице объема.
Из (1) находим скорость акустических волн:
у=Ыд.(6я2)-1/з
h
Число атомов в единице объема иат выражаем через плотность Q, молярную массу у, и постоянную Авогадро No:
пэт = Ма V
Тогда
Подставляя числовые значения (pNa~23 г/см3), получим у = 1,7103 м/с.
Максимальная энергия фонона выражается через максимальную частоту:
£тах = ^тах = &0 ^Д = 1,38 • 10“23 • 365 Дж « 3 • 10"2 эВ.
Максимальное значение волнового числа ^тах = —, а —постоянная решетки. Поэтому pmax = hqmax = —. Величину а выразим через / м V У'5„
плотность: я = — —, v = 8 — число атомов на элементарную ячейку,
\ Q No /
р —молярная масса. Следовательно,
Ртах =~* Ю 9’ СМ)/С‘
Задача решается аналогично предыдущей:
5тах = 3,25 • 10'2 эВ, ртах = 10"19 (г ■ см)/с.
Число акустических фононов с частотой в интервале со — о + do найдем из произведения числа колебаний dz (0) на среднее число фоно- нов иф (<у) в одном состоянии:
Тогда
R» (у) =
1
е ^^ — 1
, / X Vto2 IdnV»)=-^ ^
1_2_\ do)
у? + ^ /
Так как
V / 12 \9ЛГ
2л2 \ 0?0? /(Отах ’
то
dn (у) = 9N
3
йоГд
о2 do
Для нахождения о наивероятнейшей (<ов) используем необходимое условие максимума
d drod dro11— О,— О,
d dro
d dro
1
1
— О,
— О,
т. е. 2 — х = 2е"х, где х = ktolk0T.
Уравнение решаем графически: корень уравнения х0« 1,6 определяет наивероятнейшее значение <ив«1,6 • к0Т/к. Соответственно энергия е, = йув = 1,6^7. При Г = j Тд
(Ув = 0,4-^q Тд /к, 8В — O,4feo Тд.
Наивероятнейшие значения г и о совпадут с их максимальными значениями, начиная с температуры, определяемой равенством б)в = <Утах, Т
или 1,6 • ^Т/к = к0Тд /к. Отсюда искомая температура Т = -^ = 0,625Тд.
Полное число фононов получим интегрированием dn^ по частоте от 0 да 0тах:
^тах
dn vo) = 9N —— I —г "^—г • \ коТд / J exp (hti>lk0T) — 1 00
„Ьй)
Производя замену переменных интеграла вида —7 = х, получим:
Тд1Т
ПАТ / Г VС *2^*
и, = 9N —-t—-.
1 \Тд)Jе*-1
о
При высоких температурах (Т>ТД) отношение — < 1, поэтому е* — 1« х и
Uir
(
Т VQ Т
j xd.x = ,:N™-T.
При Т <Та отношение -^- > 1. г?. .-ому
и, = 9N (V Г «21.6 *5N ~ ~ Т3.
' \тд/ J е*-1Тд
о
Согласно теории Дебая Тд = "™. Частота колебаний «о
» гДе /?~ упругая постоянная, М —масса атома. Масса атомов
щелочных металлов растет с увеличением их атомного номера, о ^ можно судить по энергии связи: у щелочных металлов она одного порядка. Из этого следует, что у щелочных металлов Na, К, Rb, Cs экспериментальные значения Тд должны уменьшаться с увеличением атомного номера. Только Тд Li не совсем укладывается в закономерность.
В двумерном случае элемент фазового объема dQ равен произведению S на «объем» кольца в пространстве волновых чисел q между двумя близкими окружностями радиусами q и q + dq (рис. 32), т. е. dQ = S 2nqdq\ на каждое колебание в фазовом пространстве V — q в двумерном случае приходится элементарная ячейка объемом (2л)2. Поэтому
ry da S^d^Q
Для нахождения dZto надо учесть связь между & и q;
o^Dq,
где у — скорость распространения колебании и два возможных типа волн: продольные и поперечные. Тогда
Рис. 32.Рис. 32.dZ(y)=^-.
Рис. 32.
Рис. 32.
ЯУ2
Характеристическую температуру Тд найдем из условия, что ®max
j dZ^ = 2N,(2)
О
так как каждый атом имеет две степени свободы. Подставляя (1) в (2) и интегрируя при у = const, получим:
sc^ax nxrn / nV12 „2/» / nV'2
—^- = 2Л^ут1Х = 2р л— и Тд = — я —.
2ЛУ\ о /Kq \ о J
Согласно результату, полученному в задаче 3.15, температура Дебая двумерного кристалла определяется выражением
Тд =(л у Г, f = 1018 ат/м2.
Ко \
Подставляя числовые данные, получим:
Тд = ^^^з194 (я • io'8)1'2 К ~ 3 -102 К.
Для трехмерной решетки формула, определяющая температуру Дебая при yt«yt« и, имеет вид:
(1) Ко
где иат —число атомов в единице объема.
Из формулы (1) определяем у: ^о^дv
У ~ п(бл2пмуР ’ Иат~"^"’где v = 8 —число атомов в расчете на одну элементарную ячейку. Тогда^о^д Л
У “ ^(бЛ^)1/3 *
Подставляя числовые значения, получим у = 1,2 • 104 м/с.
Внутренняя энергия кристалла выразится формулой ^тах
Е = j «(w, T^dZ^,(1)
О
- / т \ ho ho
где eVo, Т) = — + —^средняя энергия гармонического осцил- е *оТ _ ।
лятора с частотой 0, dZ (0) = 9N ^3™ число нормальных колебаний с частотами 0 — 0 + do.
Таким образом, ^тах^тах
Е = 9N —,— — 1 о da + I —йтпьГг—г ,(2)
яз2 JJ eMR<H -1’' '
тах L ооJ
или
Тд/Т
E = Eo + 9N№M-(3)
о
Ео- & Мк01д, 1д- fto , X-коТ •
При Т > Тд вследствие малости верхнего предела в (3) разложим ^:
ех~ 1 + х иех~ 1 + х иТд/Т5х3 dx^-1 оТд/Т5х3 dx^-1 о1/тд У3 \ Т / *1/тд У3 \ Т / *
ех~ 1 + х и
ех~ 1 + х и
Тд/Т
5х3 dx
^-1 о
Тд/Т
5х3 dx
^-1 о
1/тд У
3 \ Т / *
1/тд У
3 \ Т / *
При этом Е = Ео + 3Nk0T, Е<х>Т.
В области низких температур ^->1 и
Тд/ТОО
S
x3 dx _ Г х3 dx _ я4 ех-1 - J ех-1 “ 15 *
Оо
Для внутренней энергии в этом случае справедливо выражение
E = ^Nk0T У + Ео, Ес^Т4.
Используя результат, полученный в предыдущей задаче, для
Е^Тд) отношения —г—L запишем:
Eq
1
Е _ । ^ g I х3 dx
EqJ ex - 1 *
0
Так как интеграл, входящий в последнее выражение, имеет определен-
1
ное значение, а именно 1 ™™ = о 225 то
J - 1 О
-^ = 1 + 8 • 0,225 = 2,8. Eq
При нагревании германия, количество вещества которого равно 1 моль, от 7\ =~ Тд до температуры Дебая внутренняя энергия изменяется на
Подставляя в это равенство известные значения интегралов
1з
j e*™i = 0>225 и [ ^"" = 2,56 для ДЕ, найдем: оо
(ДЕ)М0Л = 9КГД (0,225 - ^-) = 1,74 • КТД.
Конкретно для германия с температурой Дебая 365 К изменение внутрен-
ней энергии при нагревании от Т1=-=- до Т2 = ТД составит: (ДЕ)о°л = 1,74 • 8,31 • 365 Дж/моль = 5,3 ■ 103 Дж/моль.
В случае двумерного кристалла площадью L2 число нормальных колебаний выразится:
Г Г £2£2
] ] 75^2 ^ dqy = 2 nqdq,q'^-t-q^^q + dq.
Считая скорость продольных и поперечных колебании одинаковой и учитывая связь частоты и волнового числа у = -^- у, получим, что число нормальных колебаний с частотами v—v + dp равно:
dN(y) = ^ vdv = 6N -^,
где Ртах” предельная частота, определяемая из соотношения
j dN^ = 2N. о '
Тогда, используя формулу для средней энергии гармонического осциллятора с частотой v
„ / „а hvhv
е О', Т) = — + -^ТТГ’получим для внутренней энергии кристалла выражение
ушах
£=) ё(у, T)dN(v).
о
Теплоемкость Cv при постоянном объеме равна:
^тах
г* _ 15Е_\_ ^мъ f exp(hvlk0T) / hv \2 vdv
0
Тд/Т
= 6jv4tJ ) (T^F^
0 где
hv T hvmaxx=wF’ T« = ~-
При температурах T < Тд теплоемкость Cv можно представить в виде 118
о
т. е. Cv пропорциональна квадрату температуры.
Число колебаний линейной цепочки длиной L в интервале частот to — о) 4- dto равно:
dZ^ = ^dq = ^-,(1)
х 7 2л 4 2яУ ’
где v — скорость распространения колебаний, to = yq. Энергия представится выражением
«max
Uto _ _ й© ^hto2лу ’2 ехр (йу/^Т) -1Uto _ _ й© ^hto2лу ’2 ехр (йу/^Т) -1f/ л© й©
Uto _ _ й© ^hto
2лу ’2 ехр (йу/^Т) -1
Uto _ _ й© ^hto
2лу ’2 ехр (йу/^Т) -1
Jу 2 + ^1^Т _ !
О
причем 0тах определяется из условия, что полное число нормальных колебаний равно N, т. е.
«max
$
Uto2nvN
-T*- = N ИЛИ 6>m« = —Г™ •2ЛУL
О
nLN
Следовательно, -— и
«тах«тах«тах«тах2ЛУ ©щах
«тах
«тах
«тах
«тах
„ Nh Г 1 f, Г todto 1
©max I 2 JJ exp (й©/£0 Т) - 1 J
ОО
ИЛИИЛИТд/ТЕ^^НкоТд + Нк»^- (4ГД JоТд/ТЕ^^НкоТд + Нк»^- (4ГД Jохйх .^-1 *хйх .^-1 *(2)(2)
ИЛИ
ИЛИ
Тд/Т
Е^^НкоТд + Нк»^- (4ГД J
о
Тд/Т
Е^^НкоТд + Нк»^- (4ГД J
о
хйх .
^-1 *
хйх .
^-1 *
(2)
(2)
При записи формулы (2) введена характеристическая температура Тд = ^— и вместо (о введена новая переменная х = -^-. При Т > Тд, KQR.Q Т
когда ж < 1, заменяя е* выражением (1 + ж), получим:
Е = ^- Nk0Ta + Nk0T, т. е. Е^Т.
Используя выражение для энергии одномерного кристалла ®шах
4° Д «шах J exp ^htolko Т) -1 ’
О
для теплоемкости Су получим:
«max
„ I 8Е\ Nh f d /1\ ,
Cv-Ur)v-«тах J “ ЭТ ^W-] ) d® =
0
ymax
_ Nh h f to2 ehtolk°T do
~^ k0T2 J "^M-lV ‘
0
Далее преобразуем интеграл, вводя переменную х = —— и характеристическую температуру Гд = -^та-. Тогда имеем:
«о
Тд/ТТд/Т
С — Nh3/^tV f j^j^l__я^оТ. f J^l^L
v ~ коТдТ2 \ h / J(ex—1)2~ Тд J (еж — l)2 *
00
При T <^ Гд отношение ~~ >1 и
Nk0T f x2exdx n2Nk0
Cv~ —-- \ ——-r^ = - ■4 T, следовательно, CV^T;
1ДJ ~д
0
или
T2 [ xdxЛ2T2
E = E04-Nk0—~— = E0 + — Nk0 —,
Тд ] e6Тд
0
C = t= л2 T
v \ дт /у зтд 0 ’
Согласно формуле (3.6) внутренняя энергия кристалла суть
о3 dti?Еexp (hcolk0 Т) — 10 ’о3 dti?Еexp (hcolk0 Т) — 10 ’^тах
о3 dti?Е
exp (hcolk0 Т) — 10 ’
о3 dti?Е
exp (hcolk0 Т) — 10 ’
E = 9N -4-
^тах
О
Отсюда
=^N ат /у=^N ат /уй2^тах ку Тй2^тах ку Тутах
=^N ат /у
=^N ат /у
й2
^тах ку Т
й2
^тах ку Т
| о4 ehtolko Т ^to
J 1^КоТ~^ *
Преобразуем полученное выражение путем введения переменных
Т1 ^^тах 1д = ”кГ «0Т1 ^^тах 1д = ”кГ «0ho
Т1 ^^тах 1д = ”кГ «0
Т1 ^^тах 1д = ”кГ «0
Х = -г^7 ко Т
В результате этого получим:
СТ = 9RСТ = 9RТд/ТТ \3 Гx^e^dx
СТ = 9R
СТ = 9R
Тд) J(^-1)2*
О
На основе первого начала термодинамики имеем:
СР - Cv =СР - Cv =(1)(1)^^ + РИат) (Р-давление).\ dv 1т j у dl /р
СР - Cv =
СР - Cv =
(1)
(1)
Рассматривая энтропию как функцию переменных Р и V, можно полу! дВ\ „™ i дР\
чить тождество — + Р = Т I — , с помощью которого выраже- \ oV 1т\
ние (1) перепишем в виде
\дТ]у\дТ]р
Исключая 1 — 1 с помощью соотношения
i ЭР \ / ЭТ \ ldV\ _ _
\дТ)у \dV )р\дР’
для разности теплоемкостей найдем:
(2)(2)
(2)
(2)
1 / 9V \
Согласно определению — 1—1 = j8r —коэффициент объемного рас
ширения, причем ^т = 3ат; ат — коэффициент линейного расширения. Следовательно,
ЭУ\ЭТ )рЭУ\ЭТ )р= 3VaT.= 3VaT.(3)(3)
ЭУ\
ЭТ )р
ЭУ\
ЭТ )р
= 3VaT.
= 3VaT.
(3)
(3)
~~v\dPi = х“К0ЭФФициент изотермической сжимаемости,
(4)(4)(5)(5)I dv \— = - Vx.
(4)
(4)
(5)
(5)
\ дР /т
Подставляя (3) и (4) в (2), получим:
С -с = 21X^1
Р V х
В этом равенстве имеются в виду теплоемкости для вещества объемом V. При переходе к удельным теплоемкостям правую часть (5) разделим на массу m = qV, q — плотность, в результате найдем:
м3/Дж, q = 8,9 г/см3м3/Дж, q = 8,9 г/см3о 9ТаТСр Су —.
м3/Дж, q = 8,9 г/см3
м3/Дж, q = 8,9 г/см3
В случае Си ат = 1,7 • 10 5 К""1, х = 10-10 и сР — Су = 0,95 Дж/(кг • К) < (су)экс.
Квадратичная флуктуация энергии определяется формулой
UEY = Cvk0T2.
Для твердого тела в дебаевском приближении при Т<$Т х
E^^-NkoT4, Cv = ^^^.
5Тд 0’ v 5Тд
Тогда Й = ^^1 дТогда Й = ^^1 ди относительная флуктуацияи относительная флуктуация
Тогда Й = ^^
1 д
Тогда Й = ^^
1 д
и относительная флуктуация
и относительная флуктуация
£ ==
Tji 75 я т
Согласно теории Дебая
Тд/Т
Cv - / T V Гк^е^йх .
3Nko~^\Tnl J(^-1)2"Z
о
протабулирована (см. приложение). Цри Т — 1\
/д (■^’j= ^r ” 0,645. С помощью таблицы для /д определяем Т3- = 3,1. Следовательно, Гд = 3,11563 К. Тогда -^ =-^^1 = 6,87. По 12173
табличным значениям находим -^-=0,21. Отсюда
С£> = 3R • 0,21 = 5,2 Дж/(моль • К).
= 4,1 • 1013 рад/с.
Cv = 12,5 Дж/(моль • К).
Тд ~ 220 К, £юах~ 1,9 • 10~2 эВ.
330. Согласно закону сохранения энергии частота рассеянного фотона оУ определяется соотношением
(1)(1)to = Fl® ± Йу^ ,
(1)
(1)
где у —частота падающего света, ®q — частота фонона. Из закона сохра- цения импульса следует равенство
^у —+1h® у 2У I \ C I \ C I^у —+1h® у 2У I \ C I \ C Iс2с2cos 8,cos 8,(2)(2)
^у —+1h® у 2
У I \ C I \ C I
^у —+1h® у 2
У I \ C I \ C I
с2
с2
cos 8,
cos 8,
(2)
(2)
8 —угол рассеяния, v — скорость звука, с—скорость света. Из (1) и (2) получим:
/ , ч2 / 11
XTW— л 6)\2 . 2 ®
Учитывая, что и с и 0а < ш, имеем -—^ 4 — sur —. Отсюда
4у2\ с I 2
(О= 0 1 + 2 — sin — .
[ “\ с )2
Число состояний с волновым вектором в интервале к — к-v dk в расчете на единицу объема равно:
g№b-^4.«(1)
Из закона дисперсии г = —™ выражаем ^dk и Подставляем в равенство (1). Тогда имеем:
т. е.
g^de = А^ de, где A = ™ (2m*)3/2.
Поскольку границы зоны Бриллюэна кристалла с простой кубической решеткой определяются формулой kt^ + ^ (I - 1, 2, 3; а — ребро элементарного куба), то поверхноезь Ферми коснется границ первой зоны Бриллюэна при энергии
П2 л2 h2£° 2т* и28т* а2 *
При а = 3- 1О“10 м для £0 получим примерно 3,7 эВ.
Плотность состояний в расчете на единицу объема (V = 1см3) вблизи уровня Ферми при Т = О К определяется выражением g (л/о) =
=^2т*У2 ^Ло»"Энергия Ферми. Поэтому интер-
h2т \оя/
вал между соседними энергетическими уровнями вблизи уровня Ферми определится формулой
д = 1 = й3 g<i)^ 4я (2m*)3/2 V }-^ '
Отсюда
h2 I ” \1/34ят* V \3п I
В случае серебра п — 6,02 • 1023 • -^^у см-3»6-1022 см-3 и Де » 1,3 • 10"22 эВ.
а) Выразим радиус сферы Ферми к, через концентрацию элеетро-
нов проводимости п\
2^-V = N,(1)
где V—объем, N— число электронов в этом объеме. Множитель 2 в формуле (1) учитывает две ориентации спина. pF=hkF — импульс Ферми.
Из (1) получим ~-=Зи, или кр = (Зл2 пУ!3. Так как
п = No ^ = 6,02■ 1023-^7 = 5,5-1022 см-5, ТО
кр = (Зя2 • 5,5.1028)1/3 м-1 = 1,2.1010 м"1.
Площадь поперечного сечения поверхности Ферми в fe-npo- странстве есть площадь круга радиусом kF. Поэтому
Sf = лк2 = 3,14 • 1,22 • 1020 м"2 = 4,5 • 1016 см"2.
Скорость Ферми выразится через kF соотношением
- PF hkpvp —* —* •
т* т*
Тогда
,.1,05 10-34-1,2 1010.. Лп ш» ,
=0,91 • 1О~30 М/С = 1,49 ‘ 10 СМ/С'
Энергия Ферми Т]о при абсолютном нуле выражается через концентрацию и электронов проводимости соотношением
^0 = -^" ^ЛгпУ15.
Учитывая, что т* = т0 и п = иат = No ^, где No — постоянная Авогадро, Q — плотность, р — молярная масса, получим:
~ 2т0 \ 3 V° J '
Используя табличные значения дир, имеем gLi = 0,534 г/см3, Ни = 6,94 г/моль, HLi = 4,63 • 1028 м-3; @Na = 0,97 г/см3 = 0,97 • 103 кг/м3, ^Na«23 г/моль = 23 • 10"3 кг/моль, иКа = 6,02 • 1023 моль-1 • ^^о-з х х « 2,5.1028 м-3. Г1Т = ^’^ ■ -:0 (Зя2.2,5 • 1028)2'3 Дж » 3,2 эВ. ^ = 7,55 • 10"19 Дж = 4,7 эВ.
При Г = 0 К все состояния с энергией y]q = smax заняты двумя
электронами, имеющими противоположные спины. Поэтому число всех частиц связано с максимальным импульсом р0 соотношением
2У4яр§
V - Зй3 '
Отсюда
Po = /lPo = /l/ 3N \1/3\ 8лУ // 3N \1/3\ 8лУ /= h= h/ Зп V'5\ 8я // Зп V'5\ 8я /
Po = /l
Po = /l
/ 3N \1/3
\ 8лУ /
/ 3N \1/3
\ 8лУ /
= h
= h
/ Зп V'5
\ 8я /
/ Зп V'5
\ 8я /
Используя выражение энергии Е =, получим:
£тах = Ло = ЧГТ ((ЗЯ2И)2/3 .(1)
max /О 2w* 8Л у 2т*
Учитывая, что на каждый атом приходится один свободный электрон, выразим и через плотность Q и молярную массу р:
Так как ^Аи = 19,3 г/см3, а р = 197 г/моль, то и = 5,9 1028 м-3. Тогда с помощью формулы (1) находим £тах~4,73 эВ. Средняя энергия электронов с учетом того, что плотность состояний g(s) = A /F, где А = const, определяется соотношением
j £g^d£
-_о3
8 “ ^тах~ 5‘
j g^d£ О
Значит, 5 2,8 эВ.
Кинетическая энергия электронов проводимости в единице объема золота равна:
„- з
Ек = еп = — ЛоП.
Согласно результату, полученному в предыдущей задаче, п = 5,9 • 1028 м”3, Ло - 4,73 эВ.
Следовательно,
Efe— 25,8 Дж/см3.
Согласно решению предыдущей задачи средняя энергия электронов проводимости в металле при Т = О К равна:
В случае серебра Q = 10,5 г/см3, ц = 107,87 г/моль и е « 3,3 эВ « = 5,28 ■ 10"19 Дж.
Средняя энергия классических частиц при температуре Т определяется равенством £ю = ^кдТ, где кд—постоянная Больцмана. Тогда согласно условию задачи для Т получим:
__ 2 ■ 5,25-10-19 Дж _
“ 5 k0 ~ 3 • 1,38 • 10“и Дж/К
Энер! ия Ферми при Г ^ 0 К определяется формулой
?; = ги?; = гия2 lkgT\2 12 \ 7/0 /я2 lkgT\2 12 \ 7/0 /
?; = ги
?; = ги
я2 lkgT\2 12 \ 7/0 /
я2 lkgT\2 12 \ 7/0 /
Отсюда
77о - У _ л2 / kgT VПо ^ \ Ио / ’
В случае серебра при условии, что иг* — тй, т)д« 5,5 эВ, а кдТ = 1,38 • КГ25 - 300 Дж = 4,14 • 10"21 Дж,
/ По \ 1\коТ // По \ 1\коТ /I 5,5 • 1,6 • IO"19 V1 \ 4,14-10"21 /I 5,5 • 1,6 • IO"19 V1 \ 4,14-10"21 /= ^--10"2~5-КГ3.= ^--10"2~5-КГ3.
/ По \ 1
\коТ /
/ По \ 1
\коТ /
I 5,5 • 1,6 • IO"19 V1 \ 4,14-10"21 /
I 5,5 • 1,6 • IO"19 V1 \ 4,14-10"21 /
= ^--10"2~5-КГ3.
= ^--10"2~5-КГ3.
Следовательно,
До_1 „ 9^.. 25. Ю"6 « 0,2 • 10~4 = 0,2 • КГ2 %.
Ло 12’
В тепловом движении из-за принципа Паули принимают участие только те электроны, которые находятся в состояниях с энергией, отличающейся от энергии Ферми на — кйТ. Доля таких электронов для
металлов равна примерноЧтобы найти теплоемкость элек
тронного газа, воспользуемся термодинамическим соотношением
где £ = |/ГО1 + -^где £ = |/ГО1 + -^/ к°т VIГО 1/ к°т VIГО 1средняя энергия N частиц, заклюсредняя энергия N частиц, заклю
где £ = |/ГО1 + -^
где £ = |/ГО1 + -^
/ к°т VIГО 1
/ к°т VIГО 1
средняя энергия N частиц, заклю
средняя энергия N частиц, заклю
ченных в объеме V.
Вычислив производную от энергии по температуре, получим:
C^-^kgNC^-^kgNIkoT \ ПоIkoT \ По
C^-^kgN
C^-^kgN
IkoT \ По
IkoT \ По
Теплоемкость идеального газа классических частиц
(CvL = |fe0N.
ПоэтомуПоэтому
Поэтому
Поэтому
(£\7кл3 \ 7?О
Для Na zjo * 3,2 эВ. Поэтому при T = 300 КД ~ 0,03.
Давление Р выражается че^ез производную по объему V от свободной энергии F формулой
причем F = U — TS, где S=j ” dT—энтропия. Используя выражение о
для энергии вырожденного электронного газа
3u^~-Nt;03u^~-Nt;015л2 lkQT\2'
3u^~-Nt;0
3u^~-Nt;0
.12 \ ^о / J
получим:
Су-Су-
Су-
Су-
а затем и энтропию
S = ~Nk0 —•
ТогдаТогда2 и 7?о
Тогда
Тогда
с 3 жТ я2 / йоТ V
и
/^_\ /М _ 3 ту Ь ■ 5д2 ( ^оГ VI (^Л \dnolT\aV )т5[12 \ по / J \ 3V )т ‘
Поскольку
й2й2^° 2мо^° 2мо/^V'3 \ 8л //^V'3 \ 8л /й22w0й22w0/ 3N \2/3а^ 8лУ /V2/3 ’/ 3N \2/3а^ 8лУ /V2/3 ’
й2
й2
^° 2мо
^° 2мо
/^V'3 \ 8л /
/^V'3 \ 8л /
й22w0
й22w0
/ 3N \2/3а
^ 8лУ /V2/3 ’
/ 3N \2/3а
^ 8лУ /V2/3 ’
ТО
^о\ = _ Л '/оdV 1т 3 V ’
Значит,
Гч 5л^ / АоТ\2] ,2 _Ё
3 V [ + 12 \ Ио / ЗУ’
При абсолютном нуле
Рй = ^ -^По^^тПоП.3 ЭО
В случае натрия п = 2,5 • 1028 м 3, 7/0 = 3'2 эВ, поэтому
Ро « 5 • 109 Н/м2.
Выбрав ось Ох по нормали к поверхности металла, запишем условие, которое выполняется для электронов, вылетающих из металла:
=+^^(1)
где V = т; + Авых — потенциальный барьер на границе металла, Авых — работа выхода электронов из металла в вакуум, а штрихами обозначены величины, относящиеся к электронам внутри металла. Число электронов, вылетающих в 1 с с единичной поверхности металла со скоростями (у, v +- dv\ равно:
Т"(2)
Из (1) следует, что
ifxdy' = vxdv и £'-?? = £ + Авых,
поэтому
При Авых>к0Т выражение (3) примет вид:
dv(vx, у,, yj = ^- е ^^ 2в“'y,dy,dyydyz.
Вводя в пространстве скоростей сферические координаты vx = v cos d, dvx dvy dvz~ У2 sin ddvdd d(p и интегрируя по углу (р в пределах от 0 до 2л и по углу д’ в пределах от 0 до л/2, получим:
dv (у) = 2л y^j е коТ \ 2 вых/ ^з ^
Согласно определению для плотности тока насыщения имеем:
js = во j v(y) dv.
о
Так как
у(у)</у = 2я ^ е ^тХ 2 вых^уМу,
то
з Лвых Г МрУ2/, = 2л ^^ е v J е 2к°т у dy.
Учитывая, что
2/глТ з д 2к^Т2е it du = —,о^0
получим формулу Ричардсона —Дэшмана:
/, = В0Т2 е , где Во = ^E^tet = 12q а/cm2 К2.
Из формулы Ричардсона —Дэшмана следует, что 1=]$2л ~1,
где d — диаметр проволоки, Z —ее длина, js = BQT2e ^ . Таким образом,
I = ndl BqT2 е« 1,58 • 10’2 А.
Одним из методов определения АВЬ1Х может быть следующий: измеряется ток насыщения /$ при разных температурах и строится график зависимости In -^ от -— (рис. 33). Согласно формуле Ричардсона — Дэшмана это
должна быть прямая с угловым коэффициентом ——s*. Поэтому
Лвых ^0 ^§ ОС)где а —угол наклона прямой с обратным направлением оси х, причем
Рис. 33.Рис. 33.Плотность тока термоэмиссии равна:
Рис. 33.
Рис. 33.
ОтсюдаОтсюдаА — ^0^2^1 1/2^вых т т 1П — ^2 — ^1/1А — ^0^2^1 1/2^вых т т 1П — ^2 — ^1/1]=вйтг е-^".
Отсюда
Отсюда
А — ^0^2^1 1/2
^вых т т 1П — ^2 — ^1/1
А — ^0^2^1 1/2
^вых т т 1П — ^2 — ^1/1
1,38 IO"23 -20 15 IO4 . /- ln3x „= 555In (5 • 103) Дж,
лвых* 6,56 • 10-19 Дж • 4,1 эВ.
Работа выхода Авых определяется формулой Авых = U0 — T), где Uо — глубина потенциальной ямы, если считать потенциальную энергию электрона в металле постоянной величиной. Тогда
U0 = Abux-vti.
Энергию Ферми выражаем через концентрацию:
п * и»=(3nW\
причем п = No ~. Значит,
^ = ЛлСЛ^ • <зл2 •4’63 •1о28) дж~7’55 •10-19 дж=4’70 эВ-
• и,У1 •
Тогда Uo = (2,36 + 4,70) эВ = 7,06 эВ.
Определяем работы выхода для I и II металлов:
Л®. = Ul0-^= (4 - 3) эВ = 1 эВ,Л™ = U” - ^ = (3,5 - 2) эВ = 1,5 эВ.
При соприкосновении металлов возникнет контактная разность потенциалов:
лП -Л1
Рконт = —:= о,5 в.
во
Металл I будет иметь более высокий потенциал, так как электроны из металла I перейдут в металл II (рис. 34).
Время релаксации определяется из соотношения
т*о
Т~ п^ ’
Рис. 34.Рис. 34.ТогдаТогда,0=^(3„.„)»,„=S^p,0=^(3„.„)»,„=S^pгде концентрацию и можно выразить через энергию Ферми Т]о формулой
Рис. 34.
Рис. 34.
Тогда
Тогда
,0=^(3„.„)»,„=S^p
,0=^(3„.„)»,„=S^p
_ Зя2 h3o
Подставляя числовые данные, получим:
Аналогично предыдущей задаче определяем сначала время релаксации:
_ Зя2 й3о
Длина свободного пробега связана с временем релаксации т формулой A = pft, где yF = ^"^г “ скорость электрона с энергией Ферми. Тогда
А Ъп2 нъоЛ = тчг,или
д 3 - 9,86 1,0563-10"102-1,6-1071П_8
Л - 0,91 - IO"30 - 2 -1,62 • IO"38 - 2,1 -1,6 - IO"19М-
Удельная электропроводность выражается через среднюю длину свободного пробега Л:
m* m^Vp ’
где Dp = ^^ скорость Ферми.
Используя формулу для энергии Ферми, найдем m*DF:
m*Dp = V2m*T}0 =h — ^~^ ’ •
Тогда
2ep ( пп2 V*3 Aa = l T" Л-h \ 3 I
Подставляя значения e0, h и n = 6,0 • 1028 м-3, получим:
о = 1,2 • 1013Л Ом-1 м"1.
С одной стороны, плотность тока / равна отношению
7=у,(1)
с другой—7 можно выразить через дрейфовую скорость равенством
/ = е0 nDd)(2)
где vd — дрейфовая скорость. Поэтому
e^nS '
Для меди (Си)
Пе = пат = 77^- • 6,02.1025 см-3 = 8,5 • 10м м’3 ээ
и
20 • 106.. _ п„_3.
м/с "1)5'10 м/с-
Скорость Ферми dp. выраженная через концентрацию электронов, равна:
У, = ^ (—У/3, у, == 1,6 • 106 м/с.
2т \ л )7
Значит,
^«ю9.
Vd
Найдем сначала время релаксации:
Концентрация электронов в кристаллическом натрии
n = KN ^L. 6 02. ю23 см-3 = 2,5 • 1028 м-3. ц23
Для времени релаксации получим:
0,91 • 1О~30-1,2-2,17 • 107, 1П_14
Т“ l,62 10-38 2,5 1028~'51U С-
Из решения предыдущей задачи
у, =(—у/3« 0,9 • 106 м/с.
2т \ л )7
Тогда
Л = Тор « 2,7 • 10~8 м.
Дрейфовая скорость пропорциональна напряженности электрического поля £:
о еот U
Уа = Ца£ = -^Г—>
где U—приложенное напряжение. Значит,
i,6io-19.3.io-14ioo,
yd = "^—" " зо* 0,44 м/с.
1,2 0,9 10 30’
о. Т 11
За полпериода tT = -- = — = -тгтг с электрон переместится на расстояние
lx = tx^»^ м» 0,4 IO-2 м.
Неравновесная функция распределения электронов, обусловленная действием постоянного электрического поля напряженностью 132
£(£, 0, 0), согласно уравнению Больцмана равна:
'-'о+ й ^ Эк/
Тогда в случае изотропного квадратичного закона дисперсии плотность электрического тока преобразуется в выражение
= ^WiU-^ ^re^-g^de,Оо
✓ х 4я(2т*)3/2/^w „
где g(s) = ———!плотность состоянии. Поскольку при сильном
I #о\
вырождении электронного газа производную —“ можно заменить \ де I
d-функцией Дирака, то плотность тока
Принимая во внимание, что концентрация электронов u = ^^^ri, Для электропроводности о найдем:
о_ е2ш^тп* ‘
Вычисляя плотность тока /, и потока теплоты в проводнике, находящемся в электрическом поле напряженностью 8Х и градиентом ат
(1)(1)температуры —, по формулам
(1)
(1)
Q* = ^r \ev/^dk
и используя для /(г) выражение
Г ер 5* df0dfo е — т] ЭТ1,_
/(f) = /о (е) + Г [ й Эк, ’ де Г Эх J ’1 '
получим:
l«-e0Ki\e0L, тт дх К2,(3)
\Т дх; 2 Т дх 2v 7
при этом
введено обозначение
. _ _ 2 (2m*)1/2 ГЗ^й5 J. _ _ 2 (2m*)1/2 ГЗ^й5 Jт(с)г" + 2т(с)г" + 2деде(5)(5)
. _ _ 2 (2m*)1/2 Г
З^й5 J
. _ _ 2 (2m*)1/2 Г
З^й5 J
т(с)г" + 2
т(с)г" + 2
де
де
(5)
(5)
Поскольку теплопроводность измеряется в отсутствие электрического тока, то, полагая /х = 0, найдем:
р 1 1к2 Лат
Выразим затем (Л только через градиент температуры —: дх
г\ L ^г ^3 ~ ^ ^Lн\
Т Ki дх *°
Согласно закону Фурье для изотропного проводника
(8)
где х —удельная теплопроводность.
Из (7) и (8) имеем:
хе = -~ К3 —— .е Т \ 3 Кг I
Теплопроводность металлов в случае изотропного квадратичного закона дисперсии и изотропного рассеяния имеет вид:
где
_2 (2m*)1/2 f~ Зя2 Й3 J_2 (2m*)1/2 f~ Зя2 Й3 Jт (г) г"+1/2 -^ de.т (г) г"+1/2 -^ de.
_2 (2m*)1/2 f
~ Зя2 Й3 J
_2 (2m*)1/2 f
~ Зя2 Й3 J
т (г) г"+1/2 -^ de.
т (г) г"+1/2 -^ de.
При т = тогг 1/2 интегралы Кп примут вид:
к 2 (2m*)1/2Зя2й3к 2 (2m*)1/2Зя2й3^-de. де^-de. де
к 2 (2m*)1/2
Зя2й3
к 2 (2m*)1/2
Зя2й3
^-de. де
^-de. де
Принимая во внимание сильное вырождение электронного газа в металлах, интегралы вычислим по формуле
Jvcоуjе_ц
°Г я2
Тогда для Кп получим К„ = К0 b;r+" + — (kQT)2(r + и) (г + п— 1) х x?7r + " 2| = К0^[1+Т (г+и)(г+и-1) J, где ^о = ~з^з-^*
Для коэффициента теплопроводности получим:
x = K6if*3 ^ ^^ [ (г + 3) (г + 2) — 2 (г + 2) (г + 1) + (г + 1) г] =
Аналогичным путем для коэффициента электропроводности в нулевом приближении относительно имеем:
у = -^ (^^К^е^КоТ)’*1.
О
Поэтому
X 7Г &Q гр у гр
о З^о
Число Лоренца для металлов, указанных в условии задачи, вычисляем по формуле
Результаты сведем в таблицу.
Металлы
Ag
Си
Аи
А1
Cd
Fe
тВТ-Ом
L, 10- RZ
2,55
2,26
2,51
2,01
1,6
2,3
Длину пробега, обусловленную рассеянием на примесях, выражаем через удельное сопротивление Qf.
л т^рр
где п = 8,5 • 1028 м"3 — концентрация электронов проводимости в кристаллической меди. Концентрация атомов примеси согласно условию задачи равна:
и, = ^ = S,5-W26 м-3.
Скорость электронов Up с энергией Ферми выражается через концентрацию отношением
„ h / Зи \1/311А ,
yF = -— —= 1,6 • 10 м/с.
2ш0 \ я /
Значит, Д « 6,7 • 10"8 м.
Эффективное сечение рассеяния примесей
Относительное уменьшение электропроводности будет
^-2- = 122— « 0,40, или -^21« 40%.
°оGo + Qiао
Вектор напряженности электрического поля Холла согласно условию задачи образует правовинтовую систему с векторами / и В (см. рис. 6). Поэтому Ду имеет отрицательный знак, что приводит к тому, что постоянная Холла RH тоже имеет отрицательный знак:
RH = ^-« - 2 • 10"10 м3/Кл.
Знак «—» означает, что носителями тока в металлическом серебре являются электроны. Их концентрацию определяем из соотношения
RH = —, отсюда п = -~~. Значит, л«3 1028 м-3.
епeRH
Из выражения для постоянной Холла определяем концентрацию электронов проводимости натрия:
п = — =——15- = 2,5 • 1028 м-3.
eRH 2,50 1,6-КГ19’
Так как для металлов холловская подвижность равна дрейфовой, то электропроводность
о = е0унп = 2Д2-107 Ом-1м-1,
что практически совпадает со значением о, данным в условии задачи.
Концентрация электронов проводимости
п 2,08 • 1029 м"3.
e0RH
Для концентрации атомов имеем:
где No — постоянная Авогадро, Q и у — плотность и молярная масса соответственно. Значит, («ат)А1« 6,02 • 1028 м-3. На 1 атом в А1 приходится v = ~- = 3 электрона проводимости. Этот факт говорит о том, что зона
проводимости 3s алюминия перекрывается с вышележащей зоной Зр.
Пусть в однородном проводнике в направлении оси х действует электрическое поле напряженностью £(£, 0, 0) и поддерживается постоянный градиент температуры VT I ^, 0, 0 j. В проводнике появится
ток, плотность которого ;х определяется выражением
/, = -е0 J/^y, ^.(1)
Неравновесную функцию распределения / (г) найдем из уравнения Больцмана, взяв его в приближении времени релаксации. Тогда
+(2)
Подставляя (2) в равенство (1) и учитывая, что равновесная функция распределения ^^ тока не дает, получим:
/х=еокц£. + -—j + T —к2,(3)
где
К„Ко jr^"*1'2 ^de,(4)
О причем
„2 (2m*)1/2,
к°—5^—const
Приравнивая выражение (3) для плотности тока jx к нулю и используя определение дифференциальной термоэдс
получим:
1 I к2 \a=-^vt-4
Дифференциальная термоэдс выражается формулой
1 / к2 \a=-^rvt-4
где tj — химический потенциал,
" Зя2й3 ) TWf де 06'
Если т = т0 £3/2, то отношение
оо
о
о
Тогда
л2к^Та =—.
Используя результат предыдущей задачи, имеем:
aNi = -ю-6 В/К,
So^Na
аСц« -3,0 • IO’6 В/К.
При расчете учтено, что —^—<1, поэтому
П = П^ =
Дифференциальная термоэдс а металлов
связана с коэффициентами Пельтье 77 и Томсона тт соотношениями Томсона:
П = Та, тт = Т^.
1 dT
Следовательно,
u = _^^L т = a = _Z*oLеоЛ ’ Т*о7 ’
Подставляя в эти выражения значения Т = 300 К и энергии Ферми для Ag и Au, получим:
ПА& = — 1,2 мВ, aAg = (rT)Ag = — 4,02 мкВ/K;
ПАи = - 1,4 мВ, (rT)Au = aAu = - 4,7 мкВ/K.
Объем слитка выразим через массу и плотность германия:
MGe юо з
V = —— =см .
QGe 5,46
Так как сурьма занимает тот же объем, то ее плотность &ь = ^ = 5,46 • ^q^ г/см3 = 3,61.10-7 г/см3.
Концентрацию атомов сурьмы выразим через плотность QSb, ее атомный вес и постоянную Авогадро No:
Мзь = No -^ = 6,022 • 1025 ™™~ « 1,8 • 1015 см”3.
Согласно теории Бора радиус орбиты и энергия и-го состояния водородоподобного атома при 2 = 1 определяются выражениями
—ТПрво
Гп тпоео ’ ^п*
Для основного состояния отсюда имеем:
^=^=°’528 ■ 10"“ “■Е- - з5^ -13’6 эВ-
При использовании модели Бора для описания примесных атомов в кристалле массу свободного электрона следует заменить на эффективную массу т*, а диэлектрическую проницаемость вакуума е0 — на диэлектрическую проницаемость кристалла 8а = £0^. Тогда
= 42^1 =, о 528.10-ю м « 17 А,
0,5’’
Едон = тт^йгтг ~-ТЭ- • 13,6 эВ ~ 0,026 эВ.дон згя2^^2^2162’
Значение Е™* ~ 0,026 эВ для Ge удовлетворительно согласуется с определением этой величины по инфракрасному поглощению и низкотемпературной проводимости.
Е^ «0,003 эВ, -^-«0,004, Е™н» 0,0236 эВ, -^«0,03. цип77 р77'7 р7
Из условия электронейтральности п=р для невырожденного полупроводника имеем:
Ъ т \ 3/2 Л~ЕС I ™ Ъ Т \3/2 ЕУ-Л
■^ ) е Ю =2 I '"р^7 ) е кот(п
2яй2 /\ 2яй2 /’
где Ес—нижний уровень (дно) зоны проводимости, Е» — верхний уровень (потолок) валентной зоны, тпп и тпр — эффективные массы электронов и дырок соответственно.
Преобразуя (1), получим:
2?; — (Еу + Ес)4/\з/2
е к0т =.
Отсчитывая энергию от потолка валентной зоны, находим:
Согласно результату предыдущей задачи концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне при п — р удовлетворяет соотношению
илиили/ кот V/2\ 2яй2 // кот V/2\ 2яй2 /Еу — ЕсVnnTn^ е 2коТЕу — ЕсVnnTn^ е 2коТI\ 3/2Е8п, = 2(-^) ктптрР е 2^т,I\ 3/2Е8п, = 2(-^) ктптрР е 2^т,(1)(2)(1)(2)
или
или
/ кот V/2
\ 2яй2 /
/ кот V/2
\ 2яй2 /
Еу — Ес
VnnTn^ е 2коТ
Еу — Ес
VnnTn^ е 2коТ
I\ 3/2Е8
п, = 2(-^) ктптрР е 2^т,
I\ 3/2Е8
п, = 2(-^) ктптрР е 2^т,
(1)
(2)
(1)
(2)
где
Eg — Ес — Ev.
С учетом зависимости ширины запрещенной зоны от темпера
туры из формулы (2) следует:
и, = 2 ( ^ \ (тптрУ14 е2к° е 2к°т , где £ = 4-10"4.
Отсюда получим:
(тптРУ4 = U^pTe 2к°(тптРУ4 = U^pTe 2к°р2коТ Ц 2р2коТ Ц 2
(тптРУ4 = U^pTe 2к°
(тптРУ4 = U^pTe 2к°
р2коТ Ц 2
р2коТ Ц 2
ИЛИ
2£2Е№
ТПпТПрh4 nF "3^
mg “ 4-24/3я2(/г0Г)2mV
т. е.
тп^ ~ 0,21, или тп Шр ~ 0,21 ml,
m0 — масса свободного электрона.
Положение уровня Ферми собственного полупроводника, если за начало отсчета энергии берется потолок валентной зоны, определяется формулой
где Е8—ширина запрещенной зоны.
Учитывая, что при 7\ = 300 К k0TY = ^- эВ, имеем для /;:
у?! = 9 (TJ = (о,550 + 0,75 ■ -^ In 6) эВ « 0,589 эВ,
Т]2 = Т] (Т^ = (0,550 + 0,078) эВ = 0,628 эВ.
Концентрация равновесных носителей в зависимости от температуры 140
выражается соотношением
и — р = 2 (У'2 е к°т
n-P-z 2яй2 ) е 1
При т* = 4,8 т0 это соотношение примет вид:
и = р = 3,4 • 1021 Т3'2 е ь»1 м"3.
При Т^ЗООК для п1=р1 получим пх = рг ® 1,2 • 1014 м-3 и при Тг = 400 К и2 = р2 » 0,8 • 1020 м-3.
Химический потенциал при отсчете энергии от потолка валентной зоны определяется выражением
r/^ + y/ZoTln^.
24шп
При mp = mn получим:
и = -^ = 0,34 эВ.'2
Концентрацию носителей вычислим по формуле
п = р = 2 ( ^”А>г-\ е 2к°т
Подставляя числовые данные, получим:
и = р « ЗД . ю19 м"3.
Удельную электропроводность найдем с помощью уравнения
Ог = пеЛЦи + ^ = 3,1 • 1019 • 1,6 • 10"19.0,58 (Ом • м)"1 = 2,9 (Ом • м)"1.
Используя затем закон Ома в дифференциальной форме, определим требуемое значение напряженности £ электрического поля для получения заданной плотности тока /:
g = -L = ^L в/м»3,5104 В/м.
Oi 2,9’
Используем условие электронейтральности
n = N^ + р,(1)
где
I w ъ т \3/2 Ч-ЕсП-Ес
и = 2" ° е кот =NC е кот ,(2)
Г) — энергия Ферми, Nc = 2 (^^^~] —эффективная плотность со-
стояний в зоне проводимости, NJ — концентрация ионов примеси. Концентрацию дырок в валентной зоне считаем малой (р<и), а для NJ п-Еаимеем Nd = Na + Na, причем N^o) = Nd gd e кот , где gd —кратность вырождения донорного уровня. Значит,стояний в зоне проводимости, NJ — концентрация ионов примеси. Концентрацию дырок в валентной зоне считаем малой (р<и), а для NJ п-Еаимеем Nd = Na + Na, причем N^o) = Nd gd e кот , где gd —кратность вырождения донорного уровня. Значит,С учетом сказанногоС учетом сказанногоn; =—г-п-Еа1 + gd е к^травенство (1) запишем в видеn; =—г-п-Еа1 + gd е к^травенство (1) запишем в виде(3)(3)П-Е(П-Е(Nc е №Nc е №Naп-Еа 1 + gd е коТNaп-Еа 1 + gd е коТилиили(4)(4)При записи (4) введено обозначение и* = ^^^ . ПреобразуемПри записи (4) введено обозначение и* = ^^^ . Преобразуем(4)(4)к видук виду.1 Еа Ес^ АтЕа — Есe^ + J-e кот ^*—L-^i е~£^ = о.gdgd Nc.1 Еа Ес^ АтЕа — Есe^ + J-e кот ^*—L-^i е~£^ = о.gdgd Nc(5)(5)Положительный корень (е^*>0) уравнения (5) равен:Положительный корень (е^*>0) уравнения (5) равен:еп =4- е кот V1 + 4-^2gdL Г N<еп =4- е кот V1 + 4-^2gdL Г N<Ес— ЕаЕс— Еа& е кот _ 1 .& е кот _ 1 .(6)(6)
стояний в зоне проводимости, NJ — концентрация ионов примеси. Концентрацию дырок в валентной зоне считаем малой (р<и), а для NJ п-Еа
имеем Nd = Na + Na, причем N^o) = Nd gd e кот , где gd —кратность вырождения донорного уровня. Значит,
стояний в зоне проводимости, NJ — концентрация ионов примеси. Концентрацию дырок в валентной зоне считаем малой (р<и), а для NJ п-Еа
имеем Nd = Na + Na, причем N^o) = Nd gd e кот , где gd —кратность вырождения донорного уровня. Значит,
С учетом сказанного
С учетом сказанного
n; =—г-
п-Еа
1 + gd е к^т
равенство (1) запишем в виде
n; =—г-
п-Еа
1 + gd е к^т
равенство (1) запишем в виде
(3)
(3)
П-Е(
П-Е(
Nc е №
Nc е №
Na
п-Еа 1 + gd е коТ
Na
п-Еа 1 + gd е коТ
или
или
(4)
(4)
При записи (4) введено обозначение и* = ^^^ . Преобразуем
При записи (4) введено обозначение и* = ^^^ . Преобразуем
(4)
(4)
к виду
к виду
.1 Еа Ес^ АтЕа — Ес
e^ + J-e кот ^*—L-^i е~£^ = о.
gdgd Nc
.1 Еа Ес^ АтЕа — Ес
e^ + J-e кот ^*—L-^i е~£^ = о.
gdgd Nc
(5)
(5)
Положительный корень (е^*>0) уравнения (5) равен:
Положительный корень (е^*>0) уравнения (5) равен:
еп =4- е кот V1 + 4-^
2gdL Г N<
еп =4- е кот V1 + 4-^
2gdL Г N<
Ес— Еа
Ес— Еа
& е кот _ 1 .
& е кот _ 1 .
(6)
(6)
Ес —Еа
а) При низких температурах (Т -► 0), когда Nc<Nd е кот ? сомно-
житель из (6)житель из (6)Ес ~ ЕаЕс ~ Еа1+4^-&е к0т -11+4^-&е к0т -11/2 Ес-Еа| е 2к0Т и1/2 Ес-Еа| е 2к0Т и6”* =6”* =1/2 Еа-Ес| е 2к0Т ИЛИ1/2 Еа-Ес| е 2к0Т ИЛИ* Еа — Ес 1 .ч -iwi+7ta* Еа — Ес 1 .ч -iwi+7taNdNcgd ’NdNcgd ’
житель из (6)
житель из (6)
Ес ~ Еа
Ес ~ Еа
1+4^-&е к0т -1
1+4^-&е к0т -1
1/2 Ес-Еа
| е 2к0Т и
1/2 Ес-Еа
| е 2к0Т и
6”* =
6”* =
1/2 Еа-Ес
| е 2к0Т ИЛИ
1/2 Еа-Ес
| е 2к0Т ИЛИ
* Еа — Ес 1 .
ч -iwi+7ta
* Еа — Ес 1 .
ч -iwi+7ta
NdNcgd ’
NdNcgd ’
т. е.
^ = ^!±^ + ±^г1п ^.(?)
22Nc^a
Ер ЕаГ ~ Ес — Ed
При Nc > Nd е кот выражение у 1 + 4 ^- ga е кот «
Nc
е"‘ = ^ и i] = Ec + k,Th^ == Ec-^Tln^.
Таким образом, при повышении температуры уровень Ферми сначала возрастает от ™ ^" , а затем, пройдя через максимальное значение, начинает убывать.
Примерный ход уровня Ферми в примесной области полупроводника и-типа показан на рисунке 35.
Концентрация электронов
Рис. 35.Рис. 35.в зоне проводимости невырожденного полупроводника определяется формулой
Рис. 35.
Рис. 35.
n = 2/^y'2e^=jV ,•
гдегдеNc = 2Nc = 2тЛтУР . 2яй2 /тЛтУР . 2яй2 /— эффективная плотность состояний в— эффективная плотность состояний взонезоне\ 2л 1г Iс ’
где
где
Nc = 2
Nc = 2
тЛтУР . 2яй2 /
тЛтУР . 2яй2 /
— эффективная плотность состояний в
— эффективная плотность состояний в
зоне
зоне
проводимости,
1 к0Т *
Согласно результатам предыдущей задачи в случае примесного полупроводника и-типа целесообразно различать два случая:
Ес — Ец
Низкие температуры, когда Nc<Nd е кот . в этом случае
Ndgd« c(T)Ndgd« c(T)* Ed — Ес 1 .
Ndgd« c(T)
Ndgd« c(T)
Т)* = *-■■-£ + — In
1 2kQT 2
и
i Ед — Ecг" Ед — Ег
Г &NCУ gd
Ес ~ Ед *
При более высоких температурах, когда Nc^>Nd е нт , еЛ = -^ и n = Nd. Таким образом, в примесной области невырожденного полупроводника n-типа с повышением температуры концентрация электро-
I NdN Е^-_Ес^
нов возрастает от 1/ е ^т до Nd, которая соответствует полной
ионизации всех примесных атомов.
Из условия электронейтральности (при p<ti) n = Nd с исполь-
зованием выражения
№ =^=——(1)
Nc \]пд
получим равенство
n =———,(2)
1 +gd —
где
П - Ec 'n = Nc e aot ,Ed-Ec *n4 = Nc e № .
Уравнение (2) по отношению к и является квадратным:
И2 + ”5d _ N»nd. = Qyf)
gd gd
Положительный корень (и > 0) будет равен:
и =(У»Г+4&пГ^ -п^.(зз
При низких температурах, когда nd<^4gdNd,
„ Jn4N4J N4Nc
У gdF gd
Если же пд > 4gd №, то n = Nd. При Т = 300 К в германии (gd = 2) 4gd Nd = 1,6 • 1022 м-3. С учетом того, что Ed — Ес = — 0,01 эВ, ^d~0,7-1025 м"3. В рассматриваемом случае nd>4gdNd- Поэтому
n = Nd = 2-1021 м-3.
Из условия нейтральности р = Nd + и с использованием выра-
w\О / трк0Т \3/2
жении для концентрации дырок р = Nyexp I ) 1^» = 2 I ■ ^2' ) “ эффективная плотность состояний валентной зоны) и концентрации ионизованных атомов акцепторной примеси N; —~— (Еа—
акцепторный уровень кратности ga) получим (при п<р) уравнение
Nve^*Nve^*Na
Nve^*
Nve^*
1-п* I Еа-Е0
^ga^ exp vT -.
где Y}* = ^ ^ . Отсюдако!
1 Ер— Еа*т Ер — Еа
в-2ч+—е koT е^-^-е к»т =0
&gaNy
и
,1Е^-Е.,е"1= —е кот2&,1Е^-Е.,е"1= —е кот2&л кгЕд — Еу-1
,1Е^-Е.,
е"1= —е кот2&
,1Е^-Е.,
е"1= —е кот2&
а)а)е-"е-"ПриipvTУ gaNvПриipvTУ gaNvнизких температурах, когданизких температурах, когдаЕу — Еа е 2к0Т ИЛИЕу — Еа е 2к0Т ИЛИЕу ~ Л ^у ^а ■ 1 1-_к0Т - 2к0Т 2Еу ~ Л ^у ^а ■ 1 1-_к0Т - 2к0Т 2(F — F \KQ1 /Na гх—^-. Отсюдаg.N„(F — F \KQ1 /Na гх—^-. Отсюдаg.N„1+^gaE к^г -1].
а)
а)
е-"
е-"
ПриipvTУ gaNv
ПриipvTУ gaNv
низких температурах, когда
низких температурах, когда
Еу — Еа е 2к0Т ИЛИ
Еу — Еа е 2к0Т ИЛИ
Еу ~ Л ^у ^а ■ 1 1-_к0Т - 2к0Т 2
Еу ~ Л ^у ^а ■ 1 1-_к0Т - 2к0Т 2
(F — F \
KQ1 /
Na гх
—^-. Отсюда
g.N„
(F — F \
KQ1 /
Na гх
—^-. Отсюда
g.N„
б) Если же Ny > Na expб) Если же Ny > Na exp/-/о тиМ ’/-/о тиМ ’(1)(1)Рис. 36.Рис. 36.
б) Если же Ny > Na exp
б) Если же Ny > Na exp
/-/о тиМ ’
/-/о тиМ ’
(1)
(1)
Рис. 36.
Рис. 36.
122 &iVy
что справедливо при более высоких
температурах, то
в ^ И Y] — Еу 4* R,q1 in ^
Таким образом, при повышении температуры уровень Ферми полупро-
Е» + Еаw
водника p-типа сначала уменьшается от ' , а затем, пройдя минимум, начинает почти линейно возрастать (рис. 36).
Стационарное уравнение Больцмана при наличии однородного электрического поля напряженностью S(£, 0, 0) имеет вид:
т„—время релаксации электронов.
Если электрическое поле достаточно слабое, то
При получении (2) использовано соотношение
^L=dfo_ J_= _ Лх_ дрх dvx mn kQT '°*
С помощью (2) определяем плотность тока, обусловленную упорядо-
ченным движением электронов:
№ = - е» j fy, ^ = -^£, = е0пр„Ех,(3)
гдесо
тп тпЗк0Ттп тпЗк0Тм g0 ^п g0 0 (4)
тп тп
Зк0Т
тп тп
Зк0Т
у2/о (у) du
о подвижность электронов.
Аналогичное выражение получается для дырочной плотности тока:
№ = еорррЕх.(5)
Полная плотность тока равна сумме электронной и дырочной плотностей тока:
к = )^ + jx'* = ей^пп->г рцр)Ех.
Сравнивая это равенство с дифференциальной формулой закона Ома, получим:
о = eokip„*PUpk
Используя результат решения предыдущей задачи, запишем:
е0( T^e~av v* dv О
=—;—>где a=wmn3k0T^ е av v2dvО
Полагая согласно условию задачи т (у) = т0 у-3 , где т0 = у- (т* не зависит от температуры и энергии), получим:
.. _ 2т$ ер 1/ 2mw 71-3/2 _Зтп I лк0У ’
где у не зависит от Т.
е = 4,3 • Ю"3 Ом • м.
Температурный коэффициент а удельного сопротивления характеризует его относительное изменение в расчете на изменение температуры на 1 К, т. е.
Egа=кД' но е=7 = е»е2^,
где Eg—ширина запрещенной зоны, ^0 = const. Поэтому
Е„ = hv0 = —, где Яо—длина волны красной границы фотопроводимости, Яо
А —постоянная Планка. Значит,
а~ ” 2МоТ2 ‘
При Т = 293 К искомая величина а = — 0,045 К"1.
Принимая во внимание зависимость удельного сопротивления g от температуры
Eg
Q~Q0e2k^ ,
имеем:
Eg(T2-T^
62
Отсюда
£г =£г =2fe0TiT2ктг-т^\А^2fe0TiT2ктг-т^\А^£2-1,38; 12. 1,65 ^ эВ = 034 эВ
£г =
£г =
2fe0TiT2ктг-т^\А^
2fe0TiT2ктг-т^\А^
6
Удельная проводимость собственного полупроводника определяется выражением
о = ейп^пл- цр^ = ейпцп ±~,
где Ъ = — = 2,1 — отношение подвижностей, Ир
/ / \
п = 2 \?2лй2 / е ° —концентрация электронов.
Значит, Eg п — еи 1±ко l^nti^A1 р-гкЭг o-e0pn ь w j е
При температуре Тi = 300 К ширина запрещенной зоны
Е* = (0,785 - 0,120) эВ = 0,665 эВ и о,~ 1,75 Ом'1 • м"1.
При температуре Т2 = 30 К Е® = 0,773 эВ,
(2)(1) / Ti \3,zI Е^EL*) |
Pn=Pn' V" , О2 = Ox exp --^- + -^- .
\ 2 /I 12И j
Тогда o2« 10"59 Ом-1 • m"1 .
Из выражения для постоянной Холла при решеточном рассеянии
I Кн I
1,18ие0
определяем концентрацию электронов:
п = , У® = 0,9 • 1021 м"3.
I RH । в0 ’
Затем находим подвижность через удельное сопротивление q и концентрацию:
р„ = -^—«0,39 -^-.еопеВс
Напряженность поля Холла
8H = ^ = RHjB,
где / — плотность тока, В —индукция магнитного поля. Для плотности тока согласно закону Ома справедливо соотношение
. о 1 U
] = ос0 = -—, где е — удельное сопротивление.
Тогда
кн=е^^^ = ъло-3 м3/кл.
М81
Используя выражения для кн и о кн = —— и о =, для подвиж-
еореоррр ’
ности дырок получим:
рр=-^«°,°85 м2/<вс)-
С учетом двух видов носителей заряда постоянная Холла определяется выражением
Вн =—где А = const,
во \РРр + ПрпГ
зависящая от механизма рассеяния.
По условию задачи эффект Холла в рассматриваемом образце не наблюдается, следовательно, Вн = 0, а поэтому
РИр = «Ип.
Отсюда
- = (^2.V=1« о,226.
р \р„ I 2,12’
Удельная электропроводность образца равна:
О = во ^п + ррр) = еопр,О = во ^п + ррр) = еопр,ПРпПРп
О = во ^п + ррр) = еопр,
О = во ^п + ррр) = еопр,
ПРп
ПРп
Ое — Sq^^H .
Следовательно,
ое 1ое 1оо11 4-2,111 4-2,1~ 0,32.~ 0,32.
ое 1
ое 1
о
о
1
1 4-2,1
1
1 4-2,1
~ 0,32.
~ 0,32.
Постоянная Холла при решеточном рассеянии определяется выражением
RH = - — = - ■—ПГТГТ^Г м3/Кл » - 7,4 • 10"3 м7Кл.н еоп 1,6 -IO"19 -1021’
Тогда напряженность Холла будет:
£н = । Кн । 7УВ = 7,4 • 10"3 • 2 • 103 • 0,2 В/м,
т. е. £н = 2,96 В/м.
Постоянная Холла определяется формулой
R« = — —18 (и^п-РДр) 1,18 p — nb2н ” е0 kWn + РДр)2 ” е0 (р 4- пЬУ ’
где
6 = — = 80.
Определим концентрацию р и п из уравнения электронейтральности p = n + Na и соотношения рп^п], где и,—концентрация носителей в собственном полупроводнике. Тогда для концентрации дырок имеем уравнение
p^-Nap-n^O.
Значит,
р = -у + ^^- + п? = 5,47 • 1016 см"3,
и = ^ = 0,47-1016 см”3.
Р
Для постоянной Холла получим значение
Rн = — ^-^ = - 1,2 • 10"3 м5/Кл.
во (ррр 4- прпу
Электропроводность примесного полупроводника
о = еЛпцп*риУ(1)
„2
Выражая концентрацию дырок р через концентрацию электронов р = -у, преобразуем (1):
о = е0 pD \Ьп + — |, где Ъ = —.
\ и /рр
Из необходимого условия экстремума о(п) следует, что
°r = ^min при п = ^-
Коэффициент Холла RH в этом случае равен Ян = ——7=-, гн —фактор 4е0и, У о
Холла, зависящий от механизма рассеяния. Поскольку b > 1, то RH< 0.
Согласно закону релаксации фотопроводимости имеем:
о2 — о0 = (°, ~ °0) е т,(1)
где т —среднее время жизни электронов.
Используя связь между о и е, запишем (1) в виде
t (60-62)61 _с г too - 61) 62
Отсюда
ы - 61) б2
(бо - 62) 61
Подставляя числовые данные, получим:
Т5_10^5110±в123.10-2с
, 0,1 0,58In 5,8’
In 0,02 • 0,5
5.27. Релаксация неравновесной концентрации подчиняется уравне-
НИЮ
d^n _ dtт ’
где Ди = п — п0, и0—равновесная концентрация. Разделяя переменные в уравнении (1) и интегрируя, получим:
Дп(<) = Ди(0) е ~|,т.
Тогда
AhQi)г
Ди (ti*
Отсюда
/2 — ^18 • 10е о 1 з
т- —. /Л -^ «5,8 10 с.
Ди 01)2 In 2
Ди (^
5.28. Полные плотности электронного и дырочного токов при не-
однородном распределении носителей заряда в полупроводнике определяются уравнениями
(1)(1)j„ = е0 D„ grad n + е0 прп 8,
(1)
(1)
Jp = - e0Dpgradp + ейррр8,
где Dn> Dp—коэффициенты диффузии; цп, цр— подвижности носителей заряда.
Г ^ de° 1 + еГ ^ de° 1 + еПервые слагаемые в равенстве (1) учитывают диффузионный ток, а вторые — дрейфовый ток. В случае простой параболической зоны концентрация электронов может быть представлена выражением
Г ^ de
° 1 + е
Г ^ de
° 1 + е
«=2 (-т^Г^ ^’ Fi ^=*^
\ 2л/Г I —— Зул
22
где
1 кот •
Учтя в этих выражениях сдвиг дна зоны проводимости на — ейф (г), где ф (г) — электростатический потенциал, преобразуем диффузионный ток с помощью соотношения
D„gradn = D„ -^-е0 grad <р = — D„ ^-ей8.
ОТ)ОТ)
В состоянии равновесия ток в униполярном, например, электронном полупроводнике отсутствует:
)п = e»Dn ^- gratis + еопрп8 = 0.
«И
Отсюда
” ди
Аналогично получим:
В случае невырожденных полупроводников
ТП* knT \ ъ т
■ ^2") е Rq1 —концентрация электронов, отсюда
— — 1дп ~" к0Т
и для коэффициента диффузии на основе формулы
£) =^2-
" диео^
имеем:
D М-п крТ
п ^о
В случае германия, у которого подвижность электронов !in = 3800 см2/(В • с), получим:
~0,38 • 1,38 • 10~23 • 300 лллпо 2/
D„ = —1610-19= °’0098 м/С'
Согласно формуле
jT) ^идпjT) ^идп
jT) ^идп
jT) ^идп
в случае сильно вырожденного электронного газа справедливо соотношение
h2 I Зп\2'5и = "Z— т~ или п2тп \8я /h2 I Зп\2'5и = "Z— т~ или п2тп \8я /ЙЕЬ^И 8” из/2й3 з 7 '
h2 I Зп\2'5и = "Z— т~ или п2тп \8я /
h2 I Зп\2'5и = "Z— т~ или п2тп \8я /
Тогда -^ = ~~ и для коэффициента диффузии имеем:
2^ 2 Цп Л ^2 / Зи \цп
”3 воЗ^о \ 8ео /тпп
Дифференциальная термоэдс невырожденных полупроводников с одним типом носителей заряда е, характеризующихся изотропным квадратичным законом дисперсии, определяется формулой
1/ /^2\
а =<»
ГДесо
эЛ nJОС
to = e к°т —функция распределения Максвелла —Больцмана. Если т = т0е5, где т0 и s — постоянные, то
KiKiсо 5 с j/+2 е~^т de_0003_еj/+2 е~^Т de осо 5 с j/+2 е~^т de_0003_еj/+2 е~^Т de о
Ki
Ki
со 5 с j/+2 е~^т de
_0
003_е
j/+2 е~^Т de о
со 5 с j/+2 е~^т de
_0
003_е
j/+2 е~^Т de о
где Г (п) = J хпе Xdx — гамма-функция. Учитывая одно из свойств о
Г-функций
получим:
^ = koT^s+^.(2)
При подстановке полученного выражения в формулу (1) найдем:
kQ /5 Л \
а = — S + —•
е \2 к0Т I
При наличии в проводнике градиента температуры -~- и элеках
трического поля £ (5, 0, 0) суммарная плотность тока jx электронов и дырок представится выражением
h = ^ор + оД£+(^-^\^-(орар + о„а„) ^,
где ор, оп — дырочная и электронная электропроводности, ар, ап_™ дифференциальные термоэдс.
В разомкнутой цепи /х = 0, поэтому
Ор _ Оп
£ _ °»ат> + °Н «п dT + е0 е0 digОр + оп dxОр + оп dx *
Интегрируя это выражение по х и предполагая, что начальная и конечная точки находятся в одном и том же полупроводнике, для полной тер
моэдс получим:
2
Г Ор «р + Оп «п ^Т
J Ор + Оп
Отсюда следует, что
°р аР + °п ап
Ор + оп
и для собственного полупроводника при п = р имеем:
Ор
а^-уапЬ1 + &•а^-уапЬ1 + &•«р + «п —а «>6 =т"2-
а^-уапЬ
1 + &•
а^-уапЬ
1 + &•
+ „ °р
где Ъ = — — отношений подвижностей.
Принимая двойной электрический слой за плоский конденсатор, для заряда, перетекающего с каждого квадратного мегра первого металла на второй, найдем q = v , что соответствует поверхностной
плотности частиц Ли = — « 2 • 1017 м-2. Так как поверх* ная плотно
ность электронного газа металлов ns~nd~ 1019 м-2, то изменение концентрации электронов в слое ^-~ 0,02. Это незначительное изменение концентрации электронного газа в контактном слое и малая толщина слоя по сравнению с длиной свободного пробега электронов не могут привести к сколько-нибудь заметному изменению электропроводности слоя по сравнению с объемной электропроводностью.
Принимая, как и в предыдущей задаче, двойной электрический слой за плоский конденсатор емкостью С = ^™", где h —толщина двойного электрического слоя, S —площадь контакта, и учитывая, что С = -~-, причем q = e0^nSh, находим:
Vk
h =7,5. ю-5 М.
у во Ам
Поверхностная плотность электронов в полупроводнике ns«nd«
~ 5 * 1011 м"2, что связано с «оголением» к = — « 2 • 105 атомных слоев ns
полупроводника. Толщина граничного слоя, практически лишенного свободных электронов, достигает значения, значительно превосходящего длину свободного пробега электронов. Поэтому этот слой обладает большим сопротивлением, т. е. в месте контакта возникает запорный слой.
При приложении к контакту внешнего поля V потенциальный барьер со стороны полупроводника станет равным е0 (у k + V), а сила тока, обусловленная эмиссией электронов из полупроводника в металл, будет Ц = Ae-eo^Vk + v^k°T. Ток 1г направлен от металла к полупроводнику. Так как величина барьера со стороны металла при этом не изменяется, то сила тока, обусловленного эмиссией электронов из металла в полупроводник, равна I2 = Is = Ae-e°Vklk°T. Поэтому результирующая сила тока равна:
_ еоУк /. е0У .. е0У
/ = /1-/2 = Де коТ \е ^-1\ = 1Де *°т-1),
где Is = Aexpгде Is = Aexp(eoVA \ ^оТ /(eoVA \ ^оТ /обратный ток насыщения.обратный ток насыщения.
где Is = Aexp
где Is = Aexp
(eoVA \ ^оТ /
(eoVA \ ^оТ /
обратный ток насыщения.
обратный ток насыщения.
VVъ т
R = — = —^~^^7—* • Разлагая е 0 в ряд и ограничиваясь
линейными членами относительно V, получим R == 2,6 • 103 Ом,
ер!$
т. е. при малых напряжениях сопротивление перехода не зависит от смещения.
ерУ к
jRo = — | у _ 0 = ^~ е к°т • Зависимость сопротивления от температуры определяется практически экспоненциальным множителем, поэтому с достаточным приближением можно записать:
Ro = Ce ^ , 1пЛо = 1пС + ^-.
крТ
Отсюда следует, что
кр In
где JRo]где JRo]R02— дифференциальные сопротивления контакта при темпера-R02— дифференциальные сопротивления контакта при темпера-турах Тг и Т2 соответственно.2 ®°VkРр = — е1^ « 1017 см”3турах Тг и Т2 соответственно.2 ®°VkРр = — е1^ « 1017 см”3Vk = ^ In V^^-r •Распределение потенциала в идеальном р—и-переходе описывается уравнением ПуассонаVk = ^ In V^^-r •Распределение потенциала в идеальном р—и-переходе описывается уравнением Пуассонаd2<p _ _ е(х)d2<p _ _ е(х)dx2dx2ВИЯМИВИЯМИ^^0dx I^^0dx Iс граничными усло-с граничными усло-= 42' I = О, гдеХ = Хрdx \ х = хп= 42' I = О, гдеХ = Хрdx \ х = хпхр, хп—границы р—и-перехода в областях р и и (рис. 37). Плотность объемного заряда выражается через разность концентраций доноров Nd и акцепторов Na:хр, хп—границы р—и-перехода в областях р и и (рис. 37). Плотность объемного заряда выражается через разность концентраций доноров Nd и акцепторов Na:9 = е» (Nd - Na) = e0N (х).9 = е» (Nd - Na) = e0N (х).
где JRo]
где JRo]
R02— дифференциальные сопротивления контакта при темпера-
R02— дифференциальные сопротивления контакта при темпера-
турах Тг и Т2 соответственно.
2 ®°Vk
Рр = — е1^ « 1017 см”3
турах Тг и Т2 соответственно.
2 ®°Vk
Рр = — е1^ « 1017 см”3
Vk = ^ In V^^-r •
Распределение потенциала в идеальном р—и-переходе описывается уравнением Пуассона
Vk = ^ In V^^-r •
Распределение потенциала в идеальном р—и-переходе описывается уравнением Пуассона
d2<p _ _ е(х)
d2<p _ _ е(х)
dx2
dx2
ВИЯМИ
ВИЯМИ
^^0
dx I
^^0
dx I
с граничными усло-
с граничными усло-
= 42' I = О, где
Х = Хрdx \ х = хп
= 42' I = О, где
Х = Хрdx \ х = хп
хр, хп—границы р—и-перехода в областях р и и (рис. 37). Плотность объемного заряда выражается через разность концентраций доноров Nd и акцепторов Na:
хр, хп—границы р—и-перехода в областях р и и (рис. 37). Плотность объемного заряда выражается через разность концентраций доноров Nd и акцепторов Na:
9 = е» (Nd - Na) = e0N (х).
9 = е» (Nd - Na) = e0N (х).
Модули положительных и отрицательных зарядов в р — и-переходе равны между собой, т. е.
оХп
q = е0 S j I N(^ I dx = е0 S j I N(x) I dx.
xp0
Подставляя сюда N(x^ из условия задачи и интегрируя, получим:
-poxp = Noxn,
откуда следует, что глубина проникновения электрического поля соответственно в область и и область р обратно пропорциональна концентрации примесей в этих областях. Интегрирование уравнения Пуассона с учетом граничных условий и выражения для модуля заряда дает:
_ eoPoNoh2
2ео ^ (ро + ^о)
Значит,
h=гeopoNo
В случае p0>N0, что имеет место в сплавных диодах с однородной базой из полупроводника и-типа, для толщины р —и-перехода имеем:
, i/2^o(Vfe-V)
во Nq *
Уравнение Пуассона для потенциала при заданном распределении примесей примет вид:
d2ф _ е0 ах dx2 sfe0 *
Из условия симметрии очевидно, что — хр = хп = 0,5й. Интегрируя уравнение Пуассона с учетом условий, аналогичных предыдущей задаче, найдем:
Jt _3J 1260^ (Ук-У')* е0 а
Vk = ^- In ^- = 0,61 В. во 2щ ’
При ор>оп через переход будет идти в основном дырочный ток:
, gpv к
\/
Так как рп~ Hi и Lp = ^Dptp , то 156
I ~6qSI ~6qSDpUj1/Dp TpDpUj1/Dp Tpf goy5 koT _ |f goy5 koT _ |0,65 A.0,65 A.
I ~6qS
I ~6qS
DpUj1/Dp Tp
DpUj1/Dp Tp
f goy
5 koT _ |
f goy
5 koT _ |
0,65 A.
0,65 A.
Из вольт-амперной характеристики p—и-перехода следует:
In On np LpIp Dp Pn Ln
Принимая во внимание выражения для проводимостей az = е0 nt р^ и соотношение Эйнштейна, получим:
Ьи =...= 12. ю-2.
1р^о Рр Рр Ln
^-=120.
ft°ln7^
Eg = ——, где Isl) Is2— обратные токи насыщения при тем
пературах Тг и Т2 соответственно.
Дифференциальное сопротивление гЕ р—^-перехода определяем путем дифференцирования уравнения
Тогда при V > 0 имеем: 1dlr Cg/ CgV \
Т = "^7 = /« ТТехР TV •Те dV rqT\ RqT J
Согласно (1)
1$ ехр (^r) = J +
поэтомуdv котTe~ di ~ eoU+Isy
Для I из равенства (1) получим I = 53,6 А/м2. Значит, ге^-7V = 4,6 •10"4 Ом ■ м2. е0(/ + Л)
Контактная разность потенциалов на р—и-переходе определяется формулой
где N; и N^ — концентрации ионов акцепторной и донорной примесей соответственно. При полной ионизации примесей они равны концентрациям соответствующих нейтральных атомов Na и Nd. Поэтому
к0Т . NaNdш = In .
Подставляя в это равенство числовые значения величин из условия задачи, получим:
^ = 0,32 В.
Принимая во внимание, что C6 = -°^S , и учитывая выражение для толщины р—тт-перехода (см. задачу 5.41), находим:
/^ 1 /gp ^ gp р0 Л7о
6 Г 2(po + No)(V^V) •
Если Pq>N0, то
C6 = S V^7e^j2(y^vy.
Отсюда
НН = b^Vk-V\ bт^г- \ С б /е0^ во Nq
Значения параметра Ь, а следовательно, и No (при постоянной г/) определяются по наклону экспериментальной прямой, описывающей зависи
мость —) от (yk — V).
Из выражения Сб = S V следует, что
где ^ = —.
\ Сб /v^p ^ воа
Значение коэффициента /8, содержащего градиент концентрации примеси а, можно определить по наклону прямой, описывающей зависи-
I \ з
мость —) от (Ук — V).
\Сб I
Когда к освещенному р — и-переходу приложено внешнее напряжение, то полный ток I через переход складывается из темнового тока /т и фототока короткого замыкания /ф, т. е.
/ = /т-/Ф.
При этом темновой ток /т = /s I е ^т — 11. Фотоэдс Уф определяется из 158
условия / = 0. Следовательно,
V» = -^-ln(^-+lVф е» \ I, I
При Ц^Ц фотоэдс оказывается равной
где R— сопротивление р—и-перехода постоянному току при малых смещениях.
Во внешнем однородном электрическом поле напряженностью Е электрон сместится из центра шара в новое положение равновесия, определяемое радиусом-вектором г. Со стороны положительно заряженной части атома на электрон действует сила
л 3 >
4л£0 а
где а —радиус атома.
Учитывая силу, действующую на электрон со стороны внешнего поля, F2 = — e0Cg) Cg—напряженность действующего поля, из условия равновесия Ег + Р2 = 0 получим:
2_ Але^а^ Л
Т — — во 8
Следовательно, электрический дипольный момент атома р равен:
р = — е0 г = 4л£0 я3 5g •
Отсюда а = 4ла3.
Предположим, что напряженность действующего поля Ед направлена перпендикулярно плоскости орбиты электрона. Оно сместит центр орбиты относительно ядра на расстояние Z (рис. 38). Сила кулоновского притяжения электрона к ядру совместно с силой
Е2 = — е0 £д дает равнодействую- ЩУЮ Р, лежащую в плоскости орбиты. Отсюда следует, что
I _ F2 _ 4яе0 т Ед г" Р1~ е0
Тогда при наличии внешнего поля дипольный момент атома
p = eQl = 4л£0 г3 £д ,
где г = (Z2 + Я2)1/2~ R, так как Z < R. Для поляризуемости атома водорода в основном состоянии получим a = 4nR3 = 4nao, а0 — радиус первой боровской орбиты. Подставляя сюда а0 = 0,529 • 10"10 м, окончательно найдем а 1,57 • 10"30 м3.
Под действием внешнего поля в атоме возникает дипольный момент
p = eod,(1)
где d — расстояние между центром симметрии электронного облака и ядром. Расстояние d определяется из условия равновесия ядра, которое с учетом действующего поля £д и кулоновского поля со стороны электронного облака £2 запишется в виде
£ =(2)
Напряженность £2 определяем с помощью теоремы Русса —Остроградского:
^S£ln<is = ^- qe.(3)
Выбрав в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом d с центром в точке О, преобразуем (3) к виду
d
4л^2 £2 = — ( е0 I ^is 12 4лг2 dr,(4)
о
_ г
где ф1$ = -/=- е а° — волновая функция основного состояния атома Клаб
водорода.
Из (4) определяем £2:
р
О2 — _ з •ЗЛ£0 «о
С помощью (2) и (1) найдем затем дипольный момент:
р = Злг0 а^Сд.
Отсюда
а = Зл^о.
Дипольный момент атома в поле напряженностью £ равен:
Р N N ’
где Р—вектор поляризации, N—число атомов в единице объема. При нормальных условиях N = 2,69 • 1025 м"3.
Если £ = £1 = 105 В/м, то р1 = 2,4 10-36 Кл-м, ^«2,4-Ю'6.
Ро
В поле солнечного излучения р2 = 1,68 • 10"38 Кл-м, ^ = Ро
= 1,68 • НГ8.
Согласно формуле Клаузиуса — Моссотти
^Ж 1 +^Ж 1 +N2a
^Ж 1 +
^Ж 1 +
х N2a ’
3
где а — поляризуемость молекулы, N2 — число молекул в единице объема жидкого сульфида углерода.
Поскольку для газообразного состояния справедливо равенство
(N^ число молекул в единице объема газа при нормальных условиях), то
<=1+^.жNi<=1+^.жNi«1-1г 1У2 «1-1 "Ni "3«1-1г 1У2 «1-1 "Ni "3
<=1+^.
жNi
<=1+^.
жNi
«1-1
г 1У2 «1-1 "
Ni "3
«1-1
г 1У2 «1-1 "
Ni "3
По условию задачи -^- = 381, ^ — 1 = 2,9 • 10 3, поэтому
*4 = 1 +*4 = 1 +381 ■ 2,9 • 10'3381 ■ 2,9 • 10'31-381-1-381-2,9 ■ 10'332,9 ■ 10'33= 2,74,= 2,74,
*4 = 1 +
*4 = 1 +
381 ■ 2,9 • 10'3
381 ■ 2,9 • 10'3
1-381-
1-381-
2,9 ■ 10'33
2,9 ■ 10'33
= 2,74,
= 2,74,
что близко к экспериментальному значению
<ксп = 2,64.
Согласно формуле Ланжевена—Дебая
^ = 1 + N а +^ = 1 + N а +Ро \Зе0к0Т /Ро \Зе0к0Т /
^ = 1 + N а +
^ = 1 + N а +
Ро \
Зе0к0Т /
Ро \
Зе0к0Т /
При нормальных условиях, которые характеризуются температурой Т = 273 К и концентрацией молекул N = 2,69 • 1025 м~3, имеем:
^ = 1 + 2,69 • 1025^ = 1 + 2,69 • 10251,37 • 10'29 +1,37 • 10'29 +4,621О'60
^ = 1 + 2,69 • 1025
^ = 1 + 2,69 • 1025
1,37 • 10'29 +
1,37 • 10'29 +
3 • 8,85 • 10'12 • 1,38 • 10'23 • 273
т. е. ^ = 1 + 2,69.2,24 • 10"5 = 1,0060.
В жидком состоянии относительная диэлектрическая проницаемость Аг, О2 и СС14 имеет значения:
6 Заказ 295
«еор)Аг=1,52, (^„^ = 1,54;
«е0р)О2= 1,509, (^КСП)О2= 1,507;
(^еоР )ссц = 2,45, (^ксп)са4 = 2,24.
У всех веществ вычисленные значения ^ достаточно хорошо согласуются с экспериментальными. Это говорит о том, что рассматриваемые вещества имеют электронный механизм поляризации.
е=15-4-. см
Используя распределение Больцмана, запишем:
я
4
( ехР 008 sin ®d©
J \к0Т /
AN _ о
N - ”. р х*
I exp ("^7 cos ®\ sin 0d&
о
В рассматриваемом случае
0 = -&£~О,7 1О-6<1.
Тогда
AN_ 0,41 „ 14.50/л
N 202-1,41
£д = 1,46 • ю9 В/м.
Следовательно, при £д< 109 В/м можно использовать приближенное выражение для функции Ланжевена L (/?) ~ ~ р.
Из условия равновесия электрона
е0£д= — кт
выразим напряженность действующего поля £д = —— т. Коэффициент упругой связи к выражается через поляризуемость атома а. Действительно,
С другой стороны, согласно классической теории а = 4ла3. Отсюда
4Я£0 Я
ТогдаТогда
Тогда
Тогда
В/м.В/м.5„ = —а = —^-«5,1-Ю11е04я£0 а
В/м.
В/м.
Действующее поле создается зарядами, расположенными вне атома, а не точечным зарядом е0, как это кажется на первый взгляд.
-^--1«10-29.
Практически действующее поле равно напряженности макроскопического поля.
Из табличных данных с помощью уравнения состояния определяем число молекул в единице объема Nx. Замечаем, что Nx во всех состояниях одинаково:
N, —^= -^~ 1,4 • 1025 м~3
1k01\ k0T2 коТз k0T4
При фиксированном Nx температурная зависимость поляризуемости имеет вид:
Ала = "^> где А =Ала = "^> где А =Ро 3£0&0 *Ро 3£0&0 *
Ал
а = "^> где А =
Ал
а = "^> где А =
Ро 3£0&0 *
Ро 3£0&0 *
а-Ю28, м3
^ • 10*. К-1
2,9
25,4
2,69
23,6
2,5
22,0
2,38
20,7
Для а =——
получаем следующую таблицу значений:
Построив зависимость a = f ^yj, убеждаемся в том, что экспериментальные точки ложатся на прямую. По тангенсу угла наклона находим А=1Д2.10-25 м3К. Тогда
Ро = /1*4 = 6,42.КГ30 Кл • м.
Согласно формуле Ланжевена — Дебая
^ -1 = Na +^ -1 = Na +Npl 13/^0 ТNpl 13/^0 Т
^ -1 = Na +
^ -1 = Na +
Npl 1
3/^0 Т
Npl 1
3/^0 Т
Следовательно, зависимость (^ — 1) от у линейная, причемtgy = ^-
где у—угол наклона прямой с осью абсцисс.
Из рисунка 8 видно, что молекулы СС14 не обладают дипольным моментом. Наибольший дипольный момент у молекул СН3С1
(po)i _ J tg yi ^ 2 (ро)п ^ । 2
(po)ll Г ^У2’ (ро)ш ’
Объем элементарной ячейки BaTiO3 равен
р0 = а3 = 43. 10"30 м3.
Поэтому дипольный момент р0 элементарного куба равен
р = ps у0« Ю"29 Кл - м.
Значит, смещение 6 центрального иона Ti4+ с зарядом 4е0 представится отношением б = -^-^ 0.16 • 10"10 м и от длины ребра элементарной 4е0
ячейки составит
А= ,юо% = 4%. а 4
Согласно формуле Лорентц—Лоренца справедливо равенство
1«1~1 = 1«2~1
61 Их 4-202 «2 + 2 *
Поскольку показатель преломления газообразного водорода пх мало отличается от единицы, то путем несложных преобразований из (1) получим:
^2 -1«1 + 2^2 -1«1 + 2=7f ^-^з 51=7f ^-^з 51
^2 -1
«1 + 2
^2 -1
«1 + 2
=7f ^-^з 51
=7f ^-^з 51
Подставляя сюда значения qx , g2 > И1 > имеем:
4-4=°>071-
Отсюда и2= 1,107.
а « ^^ ^ « 3,34 • 10"29 м3.
Утах = -^» 5,14 СМ/С, тах то® ’у Fe с
Во внешнем однородном электрическом поле £ положительно заряженные ионы натрия Na+ смещаются в направлении £д — £ на
е^8м1й>Г
а ионы хлора Cl —в противоположном направлении на
ххер 8М2сЙ ’ер 8М2сЙ ’
х
х
ер 8
М2сЙ ’
ер 8
М2сЙ ’
Мг и М2—массы ионов Na+ и С1 соответственно. Относительное смещение ионов Na+ и СГ (по отношению друг к другу) равно:
&Х — X-i Х2 —2&Х — X-i Х2 —2/ 11 \\ Мх + М2 I ‘/ 11 \\ Мх + М2 I ‘
&Х — X-i Х2 —2
&Х — X-i Х2 —2
/ 11 \
\ Мх + М2 I ‘
/ 11 \
\ Мх + М2 I ‘
Тогда вектор поляризации представится выражением
АР =АР =ер Ах _ ^8 / 11 \
АР =
АР =
V - V \m^ м2)е
Отсюда с помощью соотношения
р=ер^-^е
найдем относительную диэлектрическую проницаемость за счет ионной поляризации:
Д^ = -^1 = _ион е.8^Д^ = -^1 = _ион е.8^
Д^ = -^1 = _
ион е.8^
Д^ = -^1 = _
ион е.8^
Найденное значение Д^он достаточно близко к экспериментальному (Д^ион)эксп = 5,62 -2,25 = 3,37.
Под действием электрического поля монохроматической волны с частотой 0 оптические электроны с собственной частотой 0О приобретают дипольный электрический момент
Щр Vtop - й?)
Следовательно, вектор поляризации
p = Nn= - ™^aNmpVtop-to2^ ’
N—число электронов в единице объема.
Полагая 8Д = 8 + ~~, выразим Р через напряженность макроскопического поля с:
р е2 N 8,
m0 (®о - ®2) -3So
Тогда относительная диэлектрическая проницаемость г/ равняется:
^ = 1 +^ = 1 +Ne2
^ = 1 +
^ = 1 +
еь {mo(®o-®2)I3e0
Следовательно,
So I m0 (too - to2) -l3e0
Поляризуемость атома а согласно классической электронной теории выражается через радиус R соотношением
а = ^nR?.
Поэтому
—— = —г^— = 4,5.1016 с-1. eQmoa . яе0mod
а уГ 2
С учетом отличия действующего поля от макроскопического выражение для показателя преломления в прозрачной части спектра при и, близких к единице, определяется равенством
и « 1 + — 2е0и « 1 + — 2е0Ne2
и « 1 + — 2е0
и « 1 + — 2е0
/ 2 Ne2 mQ (to6-to2)- — З^о
Отсюда получим приближенное выражение, приведенное в условии задачи, если выполняется неравенство
Ne2 .2 2i
— < т^ I 05 — or1.
Заменяя N на -у— (р~ давление), находим:
р«2- IO"23 I 2• 1033 - у2 I Н/м2.
N~2-1029 м-3.
г/ (у) = 1Ц- l — Ne + \' -^-^ । где т0 и Мк—массы элек' ' Со® \ m0Мк I’u
ктрона и иона, Ne и Nk—их концентрации. Так как Мк%>тпо, тои2 = 1-4,
2 e?Ne
(Уо =частота плазмы.
еото
Ne = ^ ^Ч??» „ 5. ю11 M~3.
а(й). 2 ^ _ . .
moeo («о - to2 + 2itoy)
6) J = /Oexp2.
I ейтйус |
иА1« 1 - 6,5 • IO"7, игр«1 - 7,1 • IO"10.
Компонента вектора поляризации в направлении действующего поля £д выражается равенством
РЕ = еоа Nr £д cos2 0, где а—поляризуемость молекулы, ^ —число молекул в единице объема. В случае беспорядочного распределения осей молекул среднее значение cos 0= у и
«0=1^ =«0=1^ =1+—N1a «1+^ Nta.361+—N1a «1+^ Nta.36
«0=1^ =
«0=1^ =
1+—N1a «1+^ Nta.
36
1+—N1a «1+^ Nta.
36
При наличии однородного электрического поля вдоль оси 2 распределение осей молекул зависит от угла 0 между «направлением поляризации» и осью 2, и для электромагнитной волны, поляризованной вдоль оси 2, имеем:
е’г = 1 + Nx a cos2 0,
а для волны, поляризованной в направлении Оу,
^ = 1 + Ni a sin2 0 cos2 ф = 1 + у ^ a sin2 0.
Отсюда
й — £ = и2 — и2 = — Ni а (cos2 0— —.у у 2\ з /
Учитывая, что (hz — п) < и0, получим:
9- 1 /1 \
— nv =- cos2 0— — .
у 2 и0 \ з /
Согласно распределению Больцмана вероятность ориентации
оси молекулы по отношению £0 под углом 0 в интервале 0 — 0 + d0 и
равна dW(0)=Ae к°Т sin0d0, и —потенциальная энергия молекулы.
В рассматриваемом случае
у2
и = ~— р£0 cos 0.
2а г
Первое слагаемое есть энергия, необходимая для возникновения диполя с моментом р = а£0 cos 0, второй член —это энергия диполя во внешнем поле. Тогда
яfa^oCOS20\ .
$ cos2 edw^ J cos в (I + —^—) sin ede
О—^ .£—
M ((1 + .^^^
оJ \ 2k0T /
Выполняя интегрирование, получим:
cos2 0 = — +cos2 0 = — +2 a£p45 k0T *2 a£p45 k0T *
cos2 0 = — +
cos2 0 = — +
2 a£p45 k0T *
2 a£p45 k0T *
Используя результат решения предыдущей задачи, для постоянной Керра имеем:
2^^о 1 / & \5Ярир \ коТ )
Потенциальная энергия молекулы в постоянном поле £0 выражается соотношением
и = —р0£0 cos 0.
Подставляя это выражение в распределение Больцмана, для cos20 запишем:
cos@
cos2 0=cos2 0=cos2 0 в R° sin 0d0
cos2 0=
cos2 0=
[ exP (008 ®1 sin ®^®
J \ W I о
Тогда
иипгпг1515и0- 1ири0- 1ирllo^O-V\ kQT /llo^O-V\ kQT /2^ = ио— 15и0Яр2^ = ио— 15и0ЯрРо \к0Т) *Ро \к0Т) *
и
и
пг
пг
1
5
1
5
и0- 1ир
и0- 1ир
llo^O-V
\ kQT /
llo^O-V
\ kQT /
2^ = ио— 1
5и0Яр
2^ = ио— 1
5и0Яр
Ро \к0Т) *
Ро \к0Т) *
В основном состоянии атома водорода имеет место сферически симметричное распределение электрического заряда, так как
wls = е °0 , где а0 =— радиус первой боровской орбиты.
Взяв в качестве элементарного заряда 2it
dq(r, 0) = j (е ^^Vsin©d0dr) dф = 2n^(r)r2sin0d0dr, о
запишем выражение для тока прецессии вокруг BHOz:
di (г, 0) = ^L^l-^- = ^_ q (г)^ sin0d0dr.
В центре атома этот ток создает магнитное поле
dH0 = —(г) г dr sin30 d0.
4m0
в^ Г4/иояв? Jв^ Г4/иояв? Jе “° rdr ——12ятоаое “° rdr ——12ятоаоИнтегрируя это выражение по г и 0, получим:
в^ Г
4/иояв? J
в^ Г
4/иояв? J
е “° rdr ——
12ятоао
е “° rdr ——
12ятоао
sin30d0
оо
Воспользуемся формулой /диа = —г2, где 2 = 1,
б?Мо2г
Nq 6,022 • 10231 о 2 5 —31 12^°0
N = *~ = 1 - —■ у = 2,687 • 10 м 3. Учитывая о = е Ф =—^е,
Vo 2,24 10"2’*11 л4
заключаем, что атом водорода находится в основном состоянии, где Wm = у=- е “° • Поэтому г2 = j г2112dV = ЗДо, тогда /диа«-1,314-10-9.
Используя формулу для среднего значения г^ + ^ =( (rt + T^ |^(г1; r^\2dV1dV1 =
_^1б_^1бе °0е °0ООП rtdr, jоП rtdr, jо- — ге "° 2 тXdтг +- — ге "° 2 тXdтг +je e°nr2dr1(ооje e°nr2dr1(оо_ 2£ге “° 2 T^dr2_ 2£ге “° 2 T^dr2= 6-22- 0^2.= 6-22- 0^2.находим:Хмол 2тп^гнаходим:Хмол 2тп^г2 • (1,б)2 • 10~ 38 • 6,02 • 1023 ■ 4я • 10” 7 • 0,5292 • 10” 202 • (1,б)2 • 10~ 38 • 6,02 • 1023 ■ 4я • 10” 7 • 0,5292 • 10” 20«-2,0810”п-^.МОЛЬ7.4. (и = 3 10”6дБ.«-2,0810”п-^.МОЛЬ7.4. (и = 3 10”6дБ.2-9 1- Ю"31.-^-^- 2 у^ 1и 16 -162-9 1- Ю"31.-^-^- 2 у^ 1и 16 -16
_^1б
_^1б
е °0
е °0
О
О
П rtdr, j
о
П rtdr, j
о
- — г
е "° 2 тXdтг +
- — г
е "° 2 тXdтг +
je e°nr2dr1(оо
je e°nr2dr1(оо
_ 2£г
е “° 2 T^dr2
_ 2£г
е “° 2 T^dr2
= 6-22- 0^2.
= 6-22- 0^2.
находим:
Хмол 2тп^г
находим:
Хмол 2тп^г
2 • (1,б)2 • 10~ 38 • 6,02 • 1023 ■ 4я • 10” 7 • 0,5292 • 10” 20
2 • (1,б)2 • 10~ 38 • 6,02 • 1023 ■ 4я • 10” 7 • 0,5292 • 10” 20
«-2,0810”п-^.
МОЛЬ
7.4. (и = 3 10”6дБ.
«-2,0810”п-^.
МОЛЬ
7.4. (и = 3 10”6дБ.
2-9 1- Ю"31.-^-^- 2 у^ 1и 16 -16
2-9 1- Ю"31.-^-^- 2 у^ 1и 16 -16
г = 3,52 • 10"11 м.
5,2 IO”11 м, 1,04 • 10-10 м.
N^N-^g™ g- «7Д107, где <8 = ^== 6,72-10"2.
к0Т
Повышение температуры и уменьшение магнитной индукции приводит к уменьшению Nt.
^-«0,0112^1, поэтому / = -^^-«8,65 10-6А/м.
коТ’Зк0Т ’
Смол » 5,65 • 10"6 (К • м3)/моль, ц = 1,9//Б.
х = 2,01 IQ-6.
a) I = Nji ^cth^; — ^-^ = N(il[^-\, ц — магнитный момент \ к^Т цВ /\ коТ /
атома;
I = N ^^^ +Н •
7ЗкйТ’
I = Nnbth^.
7.12. 1) Атом в состоянии гР характеризуется квантовыми числами S = 0, L = 1, J — 1 и g= 1. Магнитный момент атома
И = ^Wh 1) Ц^^Цъ, Цг = №ШУ, значит, цг = ць^ 0, — ^Б. Число атомов с положительной проекцией магнитных моментов равно Nx = NAe^, где постоянная А определяется из условия нормировки
1 = А(еа + е"а + 1) = А(1 + 2cha), где а =.
коТ Отсюда
+ 2cha
Число атомов с отрицательной проекцией цг
N2 = NAe"a.
nAN Ni-N2 2sha^БВ л
Значит, — ==где а = — « 0,00224 < 1, поэтому
-у-«0,0015.
Без учета пространственного квантования
N1 = NA\e?CM9SHiQdQ = ^^-^ где ^ = ^ = ^5..
JRqI RqI
0
Аналогично
л
N2 = NA^e#cose sin0d0 = у- (1 - e^), Л
2
причем А определяется из условия л
= А ( e^^sined©, откуда А =.
J2sh^
О
Значит,
N N Р v р * sh/?р sh£
Величина
» = ^ = Д • 9,27 • 10~24 • 1р 0052 х
А ЗД:1,38-10"23 • 300 ~U’UU3Z<1,
поэтому
»™=1 + А_(Л_£)_4_0,0016.
N р 3 \р 6/2’
Для атомов в ^^-состоянии L = О, J = ^ $ = ~ g = 2, поэтому цг = 2рБ^У = ± Рб и / = NpBth-^-. Так как « 0,0045 < 1, то
RqTRqT
/ = ^^. = 0,42 А/м.
к»Т
Смол « 4,7 • 10-6 (К • м’)/моль, /уд « 5,5 • 10” А/(м • кг).
Согласно правилу Хунда основное состояние атома кислорода 8О с электронной конфигурацией ls22s22p4 характеризуется квантовыми числами S = 1, L = 1, J = L + S = 2. Фактор Ланде
„=1/0 + 1)4-8(54-1)-L(L+1) _ з
s2/0 + 1)2*
Удельное намагничение выражается формулой
/,д = Nyttg(ibJBy(a), где а = ^^].
В слабом магнитном поле а = ^Б® ] <1 и функция Бриллюэна
Ву{а)=^-а, поэтому Лд” ^уд^^ь т^В • Отс1°Да
111,66.10-27 • 15,995 Х1,66.10-27 • 15,995 ХXX4-3 • 1,38-Ю"23 -15004-3 • 1,38-Ю"23 -1500«8,83 10-7«8,83 10-7м’/кг.м’/кг.JKQl
1
1
1,66.10-27 • 15,995 Х
1,66.10-27 • 15,995 Х
X
X
4-3 • 1,38-Ю"23 -1500
4-3 • 1,38-Ю"23 -1500
«8,83 10-7
«8,83 10-7
м’/кг.
м’/кг.
1 = 200 А/м, В = 1,25694 Тл, ДВ = В - Во = 0,0003 Тл.
В « 1,25664 Тл.
Вблизи уровня £ = ги в энергетическом слое толщиной 2цъВ магнитные моменты электронов ориентированы по полю. Значит, намагничение I представляется выражением
где в зависимости от ориентации спинового магнитного момента плотность квантовых состояний на уровне Ферми с одной ориентацией спина g^o) = 2я^2^— т}112. Следовательно,
Хе = "^«“в^Г2" (-у) = UolA ^ ^тЩ12.
Приращение энергии электрона в магнитном поле В в зависимости от ориентации спинового магнитного момента равно ±ЦЬВ. Намагничение системы электронов запишется в виде
I = Нб j {/№ - НбВ) - f0(e + ^\dg^,где dg^) — интервал квантовых состояний с одной ориентацией спина,/о—равновесная функция распределения. В слабом магнитном поле± ИбВ) ~ fo(e) ± ^НбВ,
dfo_ = _dfo_де дп *dfo_ = _dfo_де дп *причем
dfo_ = _dfo_де дп *
dfo_ = _dfo_де дп *
Поэтому
i = 2^b\^ а^ = ^в £ [ 2? /о dg^ ] = &В ^, J от;от) о
О
где п — концентрация электронов.
При наличии сильного вырождения
п = -^ tVW [1+4 (^Г
З/г3L 8 \ 7 I
поэтому с точностью до членов второго порядка малости по —— получим:
где г)*— энергия Ферми при абсолютном нуле температур для электронов с эффективной массой тп*. Отсюда видно, что /" очень слабо зависит от Т. Значит, окончательно
п 32 « иг*
Хе = ^№Т —
992 Ио \ тп0
9
9
Для невырожденных электронов в полупроводнике п = Аек°т, поэтому — = -—. Используя выражение /” = Ро^бТ" (см- предыдущую ди к0Тоц
задачу), получим Хе = "^р •
Интеграл состояний системы и электронов запишется:
Н1exp I — -——2mokoTН1exp I — -——2mokoT(р + М)2 dp dr | ,(р + М)2 dp dr | ,
Н1
exp I — -——
2mokoT
Н1
exp I — -——
2mokoT
(р + М)2 dp dr | ,
(р + М)2 dp dr | ,
где р—импульс электрона, а компоненты векторного потенциала А магнитного поля В(0, 0, В) можно выбрать равными Ах = 0, А^ = Вх, Аг = ^.
Переходя к новым переменным х! = х, У = у и 2' = 2 и р'i = р,t + e0At,
/х 2
где г = х, у, z, получим Z = V" к2лтокоТ) . Значит, х®1 = 0, так как
1 = к»Т1 = к»Т7.22.7.23.7.24.7.25.7.26.7.22.7.23.7.24.7.25.7.26.dlnZ „ ЭВ ~ '. z:=8,iio-6.. Zn. = 7,610-6.. m* = l,6»io.. г = 0,73-КГ10м.. Относительная <dlnZ „ ЭВ ~ '. z:=8,iio-6.. Zn. = 7,610-6.. m* = l,6»io.. г = 0,73-КГ10м.. Относительная <спонтанная намагниченность ферромагнетикаспонтанная намагниченность ферромагнетика
1 = к»Т
1 = к»Т
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
dlnZ „ ЭВ ~ '
. z:=8,iio-6.
. Zn. = 7,610-6.
. m* = l,6»io.
. г = 0,73-КГ10м.
. Относительная <
dlnZ „ ЭВ ~ '
. z:=8,iio-6.
. Zn. = 7,610-6.
. m* = l,6»io.
. г = 0,73-КГ10м.
. Относительная <
спонтанная намагниченность ферромагнетика
спонтанная намагниченность ферромагнетика
запишется в виде
^-ОД,(!)
где y=i^‘
С другой стороны,
/(Г) _ Вм _ крТz х
/(0) AX}1N NA^2 У 'k '
Аг — постояннаямолекулярного
поля.
Уравнение
можно решить графически (рис. 39). При достаточно низкой температуре Т < Тс уравнение (3) имеет два корня: у0 = 0, У14= 0. В приближении
молекулярного поля (BM=f= 0) при Т <ТС следует иметь в виду второе значение корня уг ^= 0. Температуру Кюри Тс определим из условия
кот _ рь(у)NA^2 ] дукот _ рь(у)NA^2 ] дуу = 0у = 0
кот _ рь(у)
NA^2 ] ду
кот _ рь(у)
NA^2 ] ду
у = 0
у = 0
Отсюда для постоянной молекулярного поля получим:
Подставляя численные значения величин, находим А^бх х 10"4(Тлм)/А.
Спонтанная намагниченность /, обусловленная молекулярным полем BM = AJ, определяется функцией Бриллюэна
I = NsgUbBXx),(1)
где х = TV , откуда к0Т
(2)(2)1= ^ х$№бЛ1
(2)
(2)
Уравнение
полученное с помощью (1) и (2), решается графически (см. задачу 7.26). Температура Кюри определяется из условия
^О^С AT ЭВ5(х) 1
—2-7- = Nsg(Zb ■ —.
sgHbAiЭх Jx=0
При х<1 функция В^х) ~ ^ ^1- х, поэтому
т A^jg^S 4- 1)с 3fco *
ВМ-1,6Ю3 Тл._
Магнитная индукция действующего поля ВД с высокой степенью точности равна индукции молекулярного поля Вейсса AJ, если В < AJ. Принимая во внимание выражение постоянной Аг через температуру Кюри и намагниченность насыщения /0, получим:
В^ «2 103 Тл.
Равенство ВД = AJ по условию справедливо с погрешностью не более 1%, т. е. при В < 0,01 AJ = 20 Тл.
/ = №§дБВМ где х = ^(В„ + В') = 2-^-^ + ^.^ 1
Кф!1 S 4- 1 Кф!
при Т > Тс и слабом магнитном поле. Поэтому
7 = 7 Тс (s + l)g№B
Zo Io Т 3k0T ’
откуда
Z = ^Б$^£+1^М/г^Z H 3k0(T — Tc) ‘
С = 1,9 л10-2К, Рь = — 1/^ «0,67.
№NЦо
И = 2,2 • 109А/м.
Тс= 1068К.
рБ = 2,205.
Пусть z—число соседних спинов, расположенных вокруг данного спина; z+, 2 .—среднее число спинов, направленных по полю Вм и против поля соответственно. Тогда 2+ —2_ = 2—, где /0 = ^б- Величина цъВм представляет среднее значение энергии взаимодействия узла с ближайшими соседями, поэтому
pBB„ = A(z+-z_) = zA7-.
Отсюда
A
1 hIn •
Температура Кюри для случая s —у> 8 = 2 равна
гр _ AjNiib _ zA_с “ ко “ ко*
Учитывая, что при температуре Кюри разрушается спонтанное упорядочение спинов атомов ферромагнетика, энергию обменного взаимодействия £обм, приходящуюся на один атом, по порядку величины можно считать равной к0Тс. Тогда для железа £обм ~ к0Тс~ 0,1 эВ. Энергию магнитного взаимодействия оценим с помощью формулы U = — (^Ui В), где ^ — магнитный момент атома, В —индукция магнитного поля, созданная соседним атомом с магнитным моментом ^. В расчете на один атом энергию магнитного взаимодействия можно предста- вить выражением £магн = —^—, где расстояние между атомами т равно постоянной решетки а = 2,86 А. Значит, гмагн« 0,003 эВ < гобм. Следовательно, взаимодействие, упорядочивающее магнитные моменты атомов, не может быть магнитным взаимодействием.
Раскладывая выражение относительной спонтанной намагниченности
Is 4.U / ^А Is\ I Тс Is\
Т = th = th W
/о \/\ Т /о /
Т I
в ряд по малому периметру х = -— 7s- < 1 и ограничиваясь двумя членами разложения, получим:
L1й 1/1-^.
1 с I1сf1с
Спонтанная намагниченность определяется уравнением
(
т \I
-т-х =х, где х = —, /0 = ^б- Энергия единицы объема ферро- т I1о
магнетика равна:
U = U0-^-Nk0Tcx2.
Тогда
Cv = C®-Nk»Tcx-^-,al
где С^ — теплоемкость кристалла в отсутствие намагничения. Еслигде С^ — теплоемкость кристалла в отсутствие намагничения. Если
где С^ — теплоемкость кристалла в отсутствие намагничения. Если
где С^ — теплоемкость кристалла в отсутствие намагничения. Если
т. е.
Cv <Т-^Тс-^ = С^ VT^ + у koN,су = (т-»тс + о') = сУ№ЧтУ
Таким образом,
^С)т-тс = ^М.
139.139., о — поверхностная плотность энергии междоменных
139.
139.
границ, К —константа анизотропии.
2,7 • 104 м2; 27 Дж.
При наличии внешнего магнитного поля В действующие поля на атомы подрешеток а и Ъ задаются выражениями
Ba = B — yabIb, Bb = B — yabIa,
где yab—постоянная молекулярного поля для взаимодействия типа ab; 1а, 1Ъ—намагниченность подрешеток а и Ъ. При тепловом равновесии для компенсированного антиферромагнетика
^Na = Nb = ^N; ца = ць; № = 1^;
I« = ^ Ng ць $BS (ха), где ха = ^^ ;h = 7 Ng цъ sBs (хь), где xb = ^^^.
При достаточно высоких температурах (Т > Т^ х мало, поэтому
Z‘"B<’ 1Ь~ — ВЬ) С -—
Учитывая, что при Т > Тс векторы намагниченности 1а и 1Ь направлены вдоль поля В, получим:
Ва — В — yabIb, Вь — В — уаЬ1а, т. е. I — Ia + Ib —(2В — уаЬГ),
откуда - СВ ■ Т + 0 ’
где 0 = у yab С—температура Кюри.
Парамагнитная восприимчивость равна
I су = — =.
л Н Т + &
С учетом электронной конфигурации ионов легко подсчитать их магнитные моменты, а следовательно, и магнитный момент элементарной ячейки:
Нг (О2-) = 0, цг (Fe3+) = 5дБ, дг (Fe2+) = 4дБ, jt/„ = 8 • 5дБ + 8 • 4^б - 8 • 5дб = 32дБ. Число элементарных кубов объемом 1 м3 равно (8,37 • 10~1а)~3, поэтому намагниченность насыщения
7о = 1«яч(8,37 ■ 10-10)-3 « 0,5 • 106 А/м.
1й = 0,625 • 106 А/м.
«8,4 А.
б) = (2 Asfh) (1 — cos ka\ где А—обменный интеграл, соответствующий паре соседних узлов, s —спин узла решетки.
В случае длинных спиновых волн ^ка < 1) можно положить cos&7~ 1—у к2 а2. Тогда закон дисперсии примет вид:
Asa2 io
(о = —— к2,h
Плотность квантовых состояний для магнонов с учетом закона
дисперсии равна:
\1 А г.2 dk to1/2
С^-(2л)з4Я^ ^"^Ь3/2-
Тогда для внутренней энергии магнонной системы в расчете на единицу объема кристалла запишем:
wmax
рЙ Г<У3/2 dty
4л2 Ь3!2 J ехр (й<у//?оТ) - 1 *
О
При низких температурах верхний предел интегрирования можно считать равным бесконечности, поэтому
У^Т)5!2[ х3!2 dxhto
Учитывая табличное значение определенного интеграла
x3l2dx 13 г
-г—= 1,341- — ул,еж - 14
для вклада магнонов в теплоемкость получим известное выражение, подтверждаемое экспериментом:
Го,из.^/2Т3/2 тз/2
Отклонение намагниченности I ферромагнетика от намагниченности насыщения /0 определяется плотностью пм магнонов:
10-1 = 2цБпм,(1)
где 2^б — изменение проекции магнитного момента ферромагнетика при появлении одного магнона. С учетом закона дисперсии (0 = Ьк2) для плотности магнонов при низких температурах запишем выражение:
_1 Г о1!2 do1 / коГ\312 Г x^2dx
^м 4л2 b3!2 J exp yttojkoT) — 14л2 \ bh ) J е* — 1
ОО
Принимая во внимание значение интеграла
xll2 dx e*-l
= 4л2 0,0587,
находим:
им = 0,0587 ^) .(2)
При Т = ТС намагниченность / = 0, поэтому из (1) и (2) легко определить /0:
/ \3^2
70 = 2дБ. 0,0587.(3)
На основе соотношений (1) —(3) получаем:
откуда следует известный «закон трех вторых» Блоха:
При ка < 1 дисперсионный закон для магнонов можно считать линейным:
2IAIs ,,
о = —-— ак ~ к.h
Из приведенных данных следует, что время затухания т электрического тока
2,5 • 10411 л6
т>-т——г с, т. е. т>1,25*10ь с,
2 10"2 ’’’
равно отношению индуктивности L к сопротивлению R:
L R’
индуктивность определяется формулой
т ^obdI ’
в которой I—длина трубки, d и Ъ—эффективные глубина и ширина изолятора соответственно, ^0”магнитная постоянная. Поскольку ширина трубки больше, чем ее глубина, то
R = ^QT’la
где а —толщина свинцовой стенки верхней или нижней части трубки, д —удельное сопротивление образца. Тогда
т Ио da
2Q ’
отсюда
_ //о da2т ’
следовательно,
Hoda2,5 • 106 '
Эффективная глубина изоляции d не больше, чем сумма действительной глубины dQ = 5 • 10"7 м и удвоенной глубины проникновения поля, т. е. d = 6-10 м. Значит, q<2 '1Q_6 (Ом-м), или
q < 3,6 • 10"25 Ом • м.
Нс (3 К) « 108 э « 8,6 • 103 А/м.
Критическое поле для олова при температуре Т = 2 К может быть найдено из соотношения
Нс (2 К) ~ 2,44 • 104 (1 - ^j А/м » 1,73 • 104 А/м.
Напряженность магнитного поля на поверхности проволоки радиусом г определяется формулой
Н =Н =I2лт 'I2лт '
Н =
Н =
I2лт '
I2лт '
Значит, /тах = ndHc = 108,6 А. Критический ток пропорционален диаметру проволоки. Чтобы по проволоке протекал ток 200 А без перехода олова в сверхпроводящее состояние, при температуре Т = 2 К диаметр может быть увеличен до
м.м.Д _ ^тах ^ 200 • 10 м « X 7.1 О-3 лНс(2К) 3,14 1,73’
м.
м.
WM«90 Дж/м3.
ns=l,6-1028 м-3.
В(у) = Цо Но , где Я£—глубина проникновения магнитен \d]AL)
ного ПОЛЯ.
alсп а/ al
В ~ 2,63 • 10"5 Тл, Н = 20,9 А/м.
А = 7,5 10"4 Тл м.
Вектор индукции В магнитного поля (рис. 40) вне сверхпроводника определяется соотношениями 180
div В = О,
Br = Во cos 0при т = оо, (1)
Вг = Опри т = а,
где Вт—радиальная по отношению к сфере компонента вектора В.
Решение (1) можно искать в виде
В = — grad ф.(2)
Из (1) и (2) для ф следует уравнение Лапласа: Дф = О,(3) в°
решение которого имеет вид:
Ф (г, 0) = (ci т" + с2 г~(” +11) Рп (cos 0), (4) и = 0, 1, 2, ....
Р„ (cos 0)—полином Лежандра степени и.
Вг = — ^- = (—С! иг”-1 + с2(и + 1) г _<"+2))P„(cos 0). or
Из граничного условия на бесконечности следует, что п = 1 и сх = — Во. Тогда
Ф (г, 0) = ^— Во г + -^cos 0.
Значит,
В, = (в0 + cos 0.
Из граничного условия при г = а находим с2 = — ^£- • Следовательно,
Ф {г, 0) = - Во (г + cos 0;
не обращающаяся в нуль на поверхности сферы компонента Ве равна:
Ве = -~7^,=7^0 510 0.
т ОУ I г=а 2
Поэтому максимальное значение индукции В на поверхности сферы достигается при 0 = ~ и равно:
гз Дж,с\ггз Дж,с\гВтах=|во.
гз Дж,с\г
гз Дж,с\г
ДР = -т- Н?=1,110
2 с >
Для сверхпроводника в поле напряженностью Н дифференциал химического потенциала представится выражением
drjs = - SdT - ц0 MdH,(1)
где S —удельная энтропия, М — намагниченность. Подставляя в (1) М = — Н и интегрируя при фиксированной температуре по Н, имеем:
Th (н) = Г), (0) + ^- ^Я2.
В точках кривой критического поля Нс (Т), где нормальное и сверхпроводящее состояния находятся в равновесии,
Пп = ^, поэтому
Пп = т1А^ + ^0Н2с.(2)
Дифференцируя (2) по температуре и учитывая, что S = — I -^ I , найдем \ ОТ ]н
S„-Ss = -iz0Hc^.
Следовательно, удельная теплота фазового перехода из нормального состояния в сверхпроводящее в присутствии магнитного поля равна:
Q = (Ss-S„)T = ^0HcT-^<0,al
т. е.х переход в сверхпроводящее состояние сопровождается выделением тепла.
Q * 2,25 • Ю”2 Дж.
ДС = С, — С„ = 2,85 • 10"3 Дж/(см5 • К).
Т = ^ = 2,4К.
(AC)Sn = 796 Дж/(м3 К), (ДС)Т| = 424 Дж/(м3-К);
(ДС)^ = 750 Дж/(м3 • К), (ДС# = 340 Дж/(м3 • К),
(a)Sn = —0,46, (a)Hg = —0,50.
Поскольку температура Дебая Тд пропорциональна у= (М — среднее
Тл
значение атомной массы), то для каждого элемента = const. Это говорит о том, что сверхпроводимость может быть следствием взаимодействия между электронами и решеткой.
Согласно теории сверхпроводимости БКШ критическая температура определяется формулой
1
т = 1,14 ^д е ^6)v ,с ко’
где g(0) и V— параметры модельного гамильтониана, Од - -^-—дебаев
ская частота колебаний решетки, М — средняя масса атомов.
Поскольку для изотопов одного и того же элемента g(0) и V одинаковы, то квадраты их критических температур обратно пропорциональны атомным массам:
Значит.
дт _ т®-т*1) _ .Гм?
^^ у м2
отсюда
ДТС = Т® — Т™ = 0,01 К.
8.22.
г, к
Cg1 мДж-
• моль-1 К-1
Се$1 мДж-
• моль-'К-1
1,08
0,33
0,32
1,24
0,51
0,63
1,46
0,82
1,28
1,62
1,13
1,90
1,91
1,85
3,16
2,48
4,04
6,35
С 1
Зависимость In ^- от — изображается прямой линией с отрицательным угловым коэффициентом I к I «5,6 (К). Это свидетельствует о существовании энергетической щели в энергетическом спектре сверхпроводника.
До«НГ3 эВ.
Тс = 3,49 К, Гскс = 3,4 К.
(g(0)V)Sn« 0,245, (g(0)V)In = 0,271.
(7^ = 1,196 К, (7c)Zn«0,87 К.
Критический импульс рс куперовской пары выражается через критическую температуру Тс с помощью соотношений
Рс = ^, ^=1,76к»Тс,
где До—ширина энергетической щели, vP—скорость электрона с энергией Ферми. Поэтому
„3,52 ко Тс
Подставляя числовые значения величин в последнее равенство, получим рс~ 2,8 • 10"28 (кг • м)/с. Так как импульс Ферми pF определяется формулой pF = mQvF, то
pc 5,52kqTc
Преобразуя равенство
5/ + Ий)У Г g (g) de _ -) 2е-Е
к новой переменной £ = £ — £,, получим:
hto
V ( ^ТтН1-(2)
J 2q + Дев
где ACB = 2^ — E —энергия связи куперовской пары.
Учитывая, что hoxet) положим g(s) « g(£/) = g(0). В результате таких упрощений получим:
1 . Дев + 2hto
g(0)v”2m Дсв
или
2е Ж
Д“ =1 — exp {—2/g(0) V) '
В пределе слабого взаимодействия (g (0) V < 1)
2
Дсв = 2йые
о”2 IWF~
У Q ="^з”^7"’ где скорость электронов с энергией Ферми.
Дсв = 2,4 • 10-23 Дж,
Я ~ 0,83 • IO”2 м,
е » 6 • io-6 м,
g(0) V«0,15.
Предположим, что в плазме распространяется плоская монохроматическая волна
■* i (cut - кг)
е = £ое •
Если wo>0, то волновое число к становится мнимой величиной:
к = ± i —- 1 = ± ia, где а > 0.
С 1 йГ
Тогда экспоненциальный множитель в уравнении волны представляет колебания с затухающей или нарастающей вдоль оси 2 амплитудой:
е i(at- kz) = e±az ^tmt
где и21 =где и21 =Если в системе нет источников энергии колебаний, то множитель еаг смысла не имеет. Второе решение £ = £йе-аг elMt соответствует затухающему полю. С приближением о к плазменной частоте о0 показатель преломления стремится к нулю, и электромагнитная волна при падении на плазму полностью отражается. Действительно, коэффициент отражения
где и21 =
где и21 =
I И21 - 1 । 2
I W21 + 1 । 2
стремится к единице при o-*o0-
0О —частота плазмы.
пе = —^™я у2 = 1,24 • 10"2 V2 м-3, где у выражено в герцах.
ие>1,8-1018 м'3.
9.6. lD =9.6. lD =еркрТ£ пе (1 + 2Х)еркрТ£ пе (1 + 2Х), где пе—концентрация электронов, 2Z —зарядо, где пе—концентрация электронов, 2Z —зарядо
9.6. lD =
9.6. lD =
еркрТ
£ пе (1 + 2Х)
еркрТ
£ пе (1 + 2Х)
, где пе—концентрация электронов, 2Z —зарядо
, где пе—концентрация электронов, 2Z —зарядо
вое число ионов.
lD » 1,5 • IO"6 м, Nd ~ 1,6 • 104.
При равновесной ионизации справедливо соотношение
пе Hiпе HiИаИа= К,= К,
пе Hi
пе Hi
Иа
Иа
= К,
= К,
где nz — концентрация ионов, и0 —начальная концентрация для атомов, причем па = и0 — «х. Поскольку концентрация электронов определяется
ионизациеи основного компонента, то при нахождении -77г для малой
примеси пе можно считать заданной величиной. Тогда
п^ Kj
п^ пе + Кх
Концентрация ионов основного компонента п^ с большой степенью точности равна Ие, поэтому
_ jl #2 I , , i/n , 442) I
»S=> " 2 „8=> Г ' к2 Г
При n^<n^ отношение
Внутренняя энергия плазмы равна и = иИД + Ег, где мид = = CVT = — 2Nk0T— средняя кинетическая энергия частиц плазмы, Ei=-~ Ne0 [ ф+ (0) — ф_ (0) ] — средняя энергия электростатического взаимодействия частиц плазмы, ф^ (0), ф_ (0) — потенциалы электростатиче-
ского поля в месте нахождения Согласно задаче 9.6ского поля в месте нахождения Согласно задаче 9.6иона и электрона соответственно.иона и электрона соответственно.
ского поля в месте нахождения Согласно задаче 9.6
ского поля в месте нахождения Согласно задаче 9.6
иона и электрона соответственно.
иона и электрона соответственно.
^^=^7’^^=^7’1Х~ Zd1Х~ Zd2ври£()&0^2ври£()&0^
^^=^7’
^^=^7’
1
Х~ Zd
1
Х~ Zd
2ври£()&0^
2ври£()&0^
(ZD—дебаевский радиус), п = —. Тогда
Nepx _ _ Ne^ 1/ 2e§N4л£о 4л£0 ' eokoTV
И
и = 3NKJ —7^-4л£ои = 3NKJ —7^-4л£о2NeokoTV '2NeokoTV '
и = 3NKJ —7^-
4л£о
и = 3NKJ —7^-
4л£о
2NeokoTV '
2NeokoTV '
Nd > 1, где Nd—число частиц внутри шара с радиусом, равным дебаевскому радиусу экранирования.
ид 6м» ' eokoTV ’
с _ с _ N^ 1/ 2N
ид 12л£о ' eokoT3V ’
р = р1/.- N = п V
Г12яСо Г eokoTV3 ’
Отклонения электрона на большие углы в результате его взаимодействия с ионом могут происходить в тех случаях, когда кинетиче- у2.
ская энергия электрона —— сравнима с потенциальной энергией взаи- модействия '^^ при их максимальном сближении (2е0 — заряд иона).
ТОГДа/\2/\2
Ое^ЛТ2 «*Л 2* * П>(1)
\ 4л£о tuqV I \ 4ле0к0Т /v 7
так как среднее значение кинетической энергии равно у к^Т. Хотя взаимодействия на больших расстояниях и вносят существенный вклад в эффективное сечение, но их учет не сказывается на виде формулы (1), а только приводит к появлению числового множителя. Поэтому при качественном рассмотрении некоторых кинетических явлений для oei можно использовать формулу (1).
о= 0^т«12- Где й = 0,5-105 м~3с-К~3/2.
mez
Те- 107 К.
(
ъ \2
оТ~Т512.
во /
q * 1013 кВт.
Будем искать решение уравнений Максвелла в виде плоских монохроматических волн: £ = £ое1^1-^ и В = Вое1^-^ . Амплитуды £0 и Во удовлетворяют системе уравнений
(к £0) = wB0 , (к Во) = - (о^е (0) £0.
В случае продольного электрического поля (й£о) = О, поэтому Во = О и 8 (су) £0 = 0. Из последнего равенства следует, что продольное электрическое поле в холодной плазме может существовать, если
^(^ = 1-^ = 0,
т. е.
(У2 = 0Q =(У2 = 0Q =^ИеСоШе '^ИеСоШе '(1)(1)
(У2 = 0Q =
(У2 = 0Q =
^Ие
СоШе '
^Ие
СоШе '
(1)
(1)
Согласно формуле (1) 0 не зависит от волнового вектора, поэтому групповая скорость продольных плазменных волн равна нулю. Длина волнового вектора, а следовательно, в рассматриваемом приближении и фазовая скорость могут быть любыми. Полученный результат верен только в том случае, когда не учитывается пространственная неоднородность электрического поля. Продольные плазменные волны представляют собой колебания электронов плазмы относительно ионов.
Т = -^-~3-108 К, P^-N^. SnkoN’38л2 Я2
д(г)=-^ (1--^.
v 7 яВ? \ R2 I
5 = уВ/=103 В, qma = ^^- = 2,5-107 Вт.
Приложения
ЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ
Элементарный заряд Масса покоя электрона Постоянная ПланкаПостоянная ПланкаПервый боровский радиусСкорость света в вакуумеЧисло Авогадро Постоянная Больцмана Газовая постоянная Магнетон БораЭлектрическая постояннаяМагнитная постояннаяЭлементарный заряд Масса покоя электрона Постоянная ПланкаПостоянная ПланкаПервый боровский радиусСкорость света в вакуумеЧисло Авогадро Постоянная Больцмана Газовая постоянная Магнетон БораЭлектрическая постояннаяМагнитная постояннаяво = 1,602-10-19 Кл т0 = 9,11 • 10“31 кг h = 6,626-10~34 Дж-сК = -^- = 1,054-10—34 Дж-с 2ла0 = 4"^ = 0,529-10*10 м товос = 2,998-10е — СNo = 6,022-1023 моль-1 ho = 1,380-10-23 Дж-К-1 R = 8,314 Дж-моль ‘-К 1 р,Б = 9,273-10-24 Дж-Т-1 во = 8,854.10"12 ^2-Д-мЦо = 1,257-10-® — мво = 1,602-10-19 Кл т0 = 9,11 • 10“31 кг h = 6,626-10~34 Дж-сК = -^- = 1,054-10—34 Дж-с 2ла0 = 4"^ = 0,529-10*10 м товос = 2,998-10е — СNo = 6,022-1023 моль-1 ho = 1,380-10-23 Дж-К-1 R = 8,314 Дж-моль ‘-К 1 р,Б = 9,273-10-24 Дж-Т-1 во = 8,854.10"12 ^2-Д-мЦо = 1,257-10-® — м
Элементарный заряд Масса покоя электрона Постоянная Планка
Постоянная Планка
Первый боровский радиус
Скорость света в вакууме
Число Авогадро Постоянная Больцмана Газовая постоянная Магнетон Бора
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
Элементарный заряд Масса покоя электрона Постоянная Планка
Постоянная Планка
Первый боровский радиус
Скорость света в вакууме
Число Авогадро Постоянная Больцмана Газовая постоянная Магнетон Бора
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
во = 1,602-10-19 Кл т0 = 9,11 • 10“31 кг h = 6,626-10~34 Дж-с
К = -^- = 1,054-10—34 Дж-с 2л
а0 = 4"^ = 0,529-10*10 м тово
с = 2,998-10е — С
No = 6,022-1023 моль-1 ho = 1,380-10-23 Дж-К-1 R = 8,314 Дж-моль ‘-К 1 р,Б = 9,273-10-24 Дж-Т-1 во = 8,854.10"12 ^2-
Д-м
Цо = 1,257-10-® — м
во = 1,602-10-19 Кл т0 = 9,11 • 10“31 кг h = 6,626-10~34 Дж-с
К = -^- = 1,054-10—34 Дж-с 2л
а0 = 4"^ = 0,529-10*10 м тово
с = 2,998-10е — С
No = 6,022-1023 моль-1 ho = 1,380-10-23 Дж-К-1 R = 8,314 Дж-моль ‘-К 1 р,Б = 9,273-10-24 Дж-Т-1 во = 8,854.10"12 ^2-
Д-м
Цо = 1,257-10-® — м
2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КУБИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
Структура
Координационное число N
Атомный радиус (о — ребро куба)
Количество атомов в элементарном
Плотность упаковки
Простая кубическая
6
а
4
1
Л л-Тз
оцк
8
2
“8"
гцк
12
^2 а 4
4
лд/2 “6“
Решетка алмаза
4
V3 а 8
8
л^з 16
3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАИОННЫХ КРИСТАЛЛОВ
Кристалл
Постоянная решетки а, IO"10 м
Постоянная Маделунга а
Энергия связи, кДж/моль
NaCl
5,64
1,748
765
КС1
6,29
1,748
691
CsCl
4,12
1,763
627
4. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
Металл
Работа выхода, эВ
Плотность, ю3^
Кристаллическая структура
Температура
Тип
пар ячейки
Дебая тд, К
Плавле-
b Ю"10 м
а
с
Алюминий
3,74
2,7
гцк
4,04
374
658,7
Барий
2,29
3,75
ОЦК
5,02
116
704
Бериллий
3,92
1,85
ГПУ
2,28
3,58
1100
1278
Ванадий
3,78
5,87
ОЦК
3,03
413
1715
Висмут
4,62
9,8
ГЕКС
4,54
11,84
80
271
Вольфрам
4,50
19,1
а-ОЦК
3,16
315
3370
Железо
4,36
7,8
а-ОЦК
2,86
467
1535
Золото
4,58
19,3
ГЦК
4,07
164
1063
Калий
2,15
0,86
ОЦК
5,25
132
62,3
Кобальт
4,25
8,9
а-ГПУ
2,51
4,07
397
1480
Литий
2,39
0,53
ОЦК
3,50
404
186
Магний
3,69
1,74
ГПУ
3,20
5,20
350
650
Медь
4,47
8,9
гцк
3,61
329
1083
Молибден
4,27
10,2
ОЦК
3,14
357
2620
Натрий
2,27
0,97
ОЦК
4,24
226
97,5
Никель
4,84
8,9
гцк
3,52
425
1452
Олово
4,51
7,4
ТОЦ
5,82
3,18
111
231,9
Платина
5,29
21,5
гцк
3,92
212
1775
Свинец
4,15
11,3
гцк
4,94
89
327,5
Серебро
4,28
10,5
гцк
4,08
210
960
Титан
3,92
4,5
ГПУ
2,95
4,69
300
1720
Цезий
1,89
1,87
ОЦК
6,05
60
28,5
Цинк
3,74
7,0
ГПУ
2,66
4,94
213
419,4
Обозначения: ГЦК — гранецентрированная кубическая решетка; ОЦК — объемноцентрированная кубическая; ГЕКС.— гексагональная; ГПУ — гексагональная плотноупакованная; ТОЦ — тетрагональная объемноцентрированная.
КРИТИЧЕСКИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
Элемент
тк, к
н А
Нк’ 1Г
Элемент
тк, к
ик, А
А1 (алюминий)
1,19
7,92-103
Та (тантал)
4,46
6,64-104
Ti (титан)
0,40
8,00-103
Re (рений)
1,70
1,61-Ю4
V (ванадий)
5,30
1,05-105
Os (осмий)
0,8
5,20-103—
Zn (цинк)
0,91
4,24 • 103
6^56-103
Ga (галлий)
1,09
4,08-103
1г (иридий)
0,14
1,60-103
Zr (цирконий)
0,56
3,76-103
Hg —а (ртуть)
4,153
3,29-104
Nb (ниобий)
9,22
1,56-10®
Hg —0 (ртуть)
3,95
2,72-104
Мо (молибден)
0,95
—
Т1 (таллий)
3,39
1,30-104
Тс (технеций)
8,2
—
РЬ (свинец)
7,19
6,42-104
Ru (рутений)
0,49
5,28-103
La—а (лантан)
4,8
—
Cd (кадмий)
0,56
2,40-103
La—а (лантан)
5,95
1,28-10®
In (индий)
3,407
22,64-103
U—а (уран)
0,6
1,60-105
Sn (олово)
3,722
24,48-103
U —у (уран)
1,8
—
6. ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Свойства
Германий Ge
Кремний Si
Теллур Те
Атомный вес
72,60
28,08
127,6
Плотность при 298 К, — см
5,33
2,33
6,25
Температура плавления, К Диэлектрическая проницаемость
1313
1693
725
б' = Еа/Е0
Ширина запрещенной зоны
16
12
23
при 0 К, эВ Дрейфовая подвижность
-0,758
-1,2
-0,34
дырок, см2/(В-с) Дрейфовая подвижность
3800
1300
1890
дырок, см2/(В* с) Собственное сопротивление
1800
500
790 Pi Р±
при 300 К, Ом*см
47
3*105
0,307; 0,525
Теплопроводность, Дж/(м*с*К)
62,85
83,8
TL= 1>5^2
Температура Дебая, К
Удельная теплоемкость
362
652
±129
при 298 К, ^- г*К
Удельная теплота
0,074
0,181
0,03—0,05
кал плавления, г
8300
12095+100
930
МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ АТОМОВ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВИ ИОНОВ В ЩЕЛОЧНО-ГАЛОИДНЫХ СОЕДИНЕНИЯХ
Элемент
Хмол (СИ}, 10-1° _М_ моль
х!м (СГС), 10-*^. моль
X (СИ)
Не
—0,239
— 1,9
—1,067-10-’
Li +
-0,088
— 0,7
— 3.928-10"10
Ne
-0,905
- 7,2
—4,039-10-’
Na +
-0,766
- 6,1
-3,42 -10-’
Cl-
— 3,041
-24,2
-1,358-10~8
Аг
— 2,438
-19,4
—1,088-10“8
к+
— 1,835
-14,6
-8,192-10-’
Вг"
-4,335
-34,5
—1,935-10“’
Кг
— 3,518
— 28,0
— 1,57 -Ю"8
J"
-6,358
-50,6
-2,838-10“8
Хе
-5,403
— 43,0
—2,41 -10-8
Cs +
—4,461
-35,1
— 1,99 -Ю"8
exx4dx(^ - \?exx4dx(^ - \?ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ДЕБАЯ
exx4dx(^ - \?
exx4dx(^ - \?
т^
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
О
1,0000
0,9995
0,9980
0,9955
0,9920
0,9876
0,9822
0,9759
0,9687
0,9609
1
0,9517
0,9420
0,9315
0,9203
0,9085
0,8960
0,8828
0,8692
0,8550
0,8404
2
0,8254
0,8100
0,7943
0,7784
0,7622
0,7459
0,7294
0,7128
0,6961
0,6794
3
0,6628
0,6461
0,6296
0,6132
0,5968
0,5807
0,5647
0,5490
0,5334
0,5181
4
0,5031
0,4883
0,4738
0,4595
0,4456
0,4320
0,4187
0,4057
0,3930
0,3807
5
0,3686
0,3569
0,3455
0,3345
0,3237
0,3133
0,3031
0,2933
0,2838
0,2745
6
0,2656
0,2569
0,2486
0,2405
0,2326
0,2251
0,2177
0,2107
0,2038
0,1972
7
0,1909
0,1847
0,1788
0,1730
0,1675
0,1622
0,1570
0,1521
0,1473
0,1426
8
0,1382
0,1339
0,1297
0,1257
0,1219
0,1182
0,1146
0,1111
0,1078
0,1046
9
0,1015
0,0985
0,0956
0,0958
0,0901
0,0875
0,0850
0,0826
0,0803
0,0780
10
0,0758
0,0737
0,0717
0,0697
0,0678
0,0660
0,0642
0,0625
0,0609
0,0593
11
0,0577
0,0562
0,0548
0,0534
0,0520
0,0507
0,0495
0,0482
.0,0470
0,0459
12
0,0448
0,0437
0,0427
0,0416
0,0407
0,0397
0,0388
0,0379
0,0370
0,0362
13
0,0353
0,0346
0,0338
0,0330
0,0323
0,0316
0,0309
0,0302
0,0296
0,0290
14
0,0284
0,0278
0,0272
0,0266
0,0261
0,0255
0,0250
0,0245
0,0240
0,0235
15
0,0231
0,0226
0,0222
0,0217
0,0213
0,0209
0,0205
0,0201
0,0197
0,0194
16
0,0190
0,0187
0,0183
0,0180
0,0177
0,0173
0,0170
0,0167
0,0164
0,0161
17
0,0159
18
0,0134
19
0,0114
20
21
0,0097
0,0084
-^М = 77,93 (^-J при / /X / п /
-у-> 24
22
0,0073
23
0,0064
24
0,0056
о
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Типы связей атомов в твердых телах и геометрия
кристаллической решетки 4
Зонная теория твердых тел 13
Динамика кристаллической решетки 20
Электронная теория металлов 26
Полупроводники 32
Поляризация и дисперсия 42
Магнитные свойства вещества 49
Сверхпроводимость 57
Плазменное состояние вещества 64
Ответы и решения 68
Учебное издание
Серова Феоктиста ГригорьевнаЯнкина Анастасия Александровна
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕЭлектронная теория вещества
Зав. редакцией Н. В. ХрустальРедактор Т. П. КатковаМладший редактор О. В. АгаповаХудожественный редактор В. М. ПрокофьевТехнический редактор С. С. ЯкушкинаКорректор Л. С. Вайтман
ИБ № 9163
Сдано в набор 23.01.86. Подписано к печати 18.12.87. Формат 60х901/1б. Бум. офс. № 2. Гарнитура тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,0. Усл. кр.-отт. 12,19. Уч.-изд. л. 9,98. Тираж 15 000 экз. Заказ № 295.
Цена 50 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с диапозитивов ордена Трудового Красного Знамени ПО «Детская книга» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 127018, Москва, Сущевский вал, 49 на Саратовском ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинате Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
5 Заказ 295
V = ;уд _ м+ 1^.
Ф. Г. Серова А.А.Янкина
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов
ББК 22.31
С32
Рецензенты:
кафедра теоретической физики Челябинского государственного педагогического института, зав. кафедрой профессор М. С. Свирский; Э. Д. Годяев, кандидат физ.-мат. наук, ст. преподаватель кафедры теоретической физики Арзамасского пединститута
Серова Ф. Г., Янкина А. А.
С32 Сборник задач по теоретической физике: Электронная теория вещества: Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1988.—192 с.: ил.
ISBN 5-09-000891-4
В книге содержатся задачи по электронной теории вещества, подобранные в соответствии с программой курса теоретической физики для физико-математических факультетов педагогических институтов.
с 4309000000-298 103(03)-88с 4309000000-298 103(03)-88КБ-28-71-1987КБ-28-71-1987ISBN 5-09-000891-4ISBN 5-09-000891-4ББК 22.31© Издательство «Просвещение», 1988ББК 22.31© Издательство «Просвещение», 1988
с 4309000000-298 103(03)-88
с 4309000000-298 103(03)-88
КБ-28-71-1987
КБ-28-71-1987
ISBN 5-09-000891-4
ISBN 5-09-000891-4
ББК 22.31
© Издательство «Просвещение», 1988
ББК 22.31
© Издательство «Просвещение», 1988