Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по теоретической физике содержит задачи по квантовой механике и статистической физике. Он предназначен для студентов педагогических институтов.
При составлении и подборе задач руководящими мотивами были следующие: 1) органическая связь с теоретическим курсом; 2) последовательность; 3) доступность математического аппарата.
В начале Каждого параграфа имеется краткое теоретическое введение, в котором приводятся основные формулы. Многие задачи взяты из опубликованных пособий, часть задачи большинство решений составлены авторами. Изложение ведется в Международной системе единиц (СИ).
Авторы благодарны доктору физико-математических наук Т. Н. Болотниковой и профессору М. С. Свир- скому за их труд по рецензированию пособия и ценные замечания, способствовавшие его улучшению, а также всем читателям, которые пришлют свои замечания и предложения по улучшению данного сборника.
Раздел I
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
§ 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Модель атома Резерфорда. Теория Бора
Классическая физика не могла объяснить устойчивость атома Резерфорда и линейчатый характер атомных спектров.
Бор разработал теорию водородоподобных атомов, приняв следующие постулаты:
Электроны в атомах движутся по устойчивым (стационарным) орбитам, не излучая энергию.
Атом излучает и поглощает энергию при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую, при этом частота излучения (или поглощения) определяется соотношением
(1Л)
где £2 и ^i — значения энергии стационарных состояний атома, h — постоянная Планка.
Дискретный энергетический спектр системы определяется правилами квантования:
(1.2)(1.2)^ptdqt = hnb
(1.2)
(1.2)
где nz = 0, 1, 2 ...—квантовые числа, q£—обобщенная координата, pt—сопряженный с q£ обобщенный импульс, i = l, 2h (k—число степеней свободы системы).
Частоты спектральных линий водородоподобных атомов рассчитываются по формуле Бальмера
v=cRZ2v=cRZ2/ j1_\ (а2 ) >\ 711712 // j1_\ (а2 ) >\ 711712 /(1.3)(1.3)
v=cRZ2
v=cRZ2
/ j1_\ (а2 ) >
\ 711712 /
/ j1_\ (а2 ) >
\ 711712 /
(1.3)
(1.3)
где R— постоянная Ридберга, nt и гц—квантовые числа стационарных состояний, между которыми происходит переход.
Зависимость постоянной Ридберга от массы ядра выражается формулой
R
R =— ,(1.4)
где Мя—масса ядра, R^— предельное значение постоянной Ридберга, соответствующее бесконечно большой массе ядра.
Оценить время, за которое электрон, движущийся вокруг протона в атоме водорода по орбите с радиусом 0,53- 10~х0м, упал бы на ядро, если бы он терял энергию на излучение в соответствии с формулой классической электродинамики
dE _2 е§ Т2
dt “3 4л80с3 г *
где г — вектор ускорения электрона.
Пользуясь правилами квантования (1.2), найти уровни энергии одномерного гармонического осциллятора с частотой со.
Частица массы т0 движется по круговой орбите в центрально-симметричном потенциальном поле. Потенциальная энергия частицы U = ^кг^ (где г — радиус орбиты). Пользуясь правилом квантования, определить уровни энергии частицы.
Показать, что частота излучения водородоподобного атома, соответствующая переходу электрона с лг+1-й орбиты на м-ю, равна частоте обращения электрона на n-й орбите, если n^l (принцип соответствия).
Определить квантовое число п для возбужденного состояния атома водорода, если известно, что при переходе в основное состояние атом излучил два фотона с длинами волн \ = 65630 нм и Х2=12160нм.
Вычислить потенциалы ионизации и первые потенциалы возбуждения для ионов гелия Не+ и лития Li + + .
Учитывая движение ядра водородоподобного атома путем введения приведенной массы, получить выражение
для энергии электрона в п-м состоянии и найти зависимость постоянной Ридберга от массы ядра.
Найти для легкого водорода и дейтерия разность:
энергий связи электронов в основных состояниях;
длин волн головных линий серии Бальмера;
первых потенциалов возбуждения.
Вычислить для связанной системы позитрон + электрон: а) радиусы стационарных орбит позитрона; б) позитронный потенциал ионизации; в) длину волны резонансной линии.
Определить для мезоатома (водородоподобный атом, в котором вокруг ядра вместо электрона обращается р-мезон) радиус первой боровской орбиты, энергию связи в основном состоянии и первый потенциал возбуждения.
Волновые свойства микрочастиц. Соотношениянеопределенности
Все микрочастицы обнаруживают двойственную корпускулярно-волновую природу. Связь между корпускулярными и волновыми свойствами частицы выражается соотношениями
Е = К®,(1.5)
р = й,(1.6)
где Е—энергия, со — циклическая частота, к—волновой вектор, р—импульс.
Свободно движущейся частице по гипотезе де Бройля сопоставляется плоская монохроматическая волна
- <Et-xp)
^(х, t^ = Aeukx-toh = Ae h(1.7)
с длиной волны
Х = 1 = А .(1.8)
р mu'1
Следствием корпускулярно-волновой природы микрочастиц являются соотношения неопределенности Гейзенберга:
(1-9)(1-9)Дх( • ^px. ~ К,
(1-9)
(1-9)
где Axz— неопределенность координаты, kpx.— неопределенность соответствующей проекции импульса.
Какова длина волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 103В?
Каковы дебройлевские длины волны протона и электрона, кинетические энергии которых равны средней кинетической энергии теплового движения одноатомных молекул при комнатной температуре?
Какова длина волны де Бройля электрона с кинетической энергией 24,6 эВ (энергия ионизации атома гелия)? Сравните это значение X с диаметром атома гелия d = 0,22 нм. Нужно ли учитывать волновые свойства вещества при изучении движения электронов в атоме гелия?
Определите длину волны де Бройля для а-частицы с кинетической энергией 7,7 МэВ. В опытах по резер- фордовскому рассеянию существенны расстояния порядка Ю-^м; но при анализе опытов обычно не учитывают волновые свойства а-частицы. Правильно ли это?
В 1929 г. Эстерман и Штерн провели эксперимент по дифракции атомов гелия, падающих на кристалл фтористого лития (LiF). Какова длина волны де Бройля атома гелия (Не) о энергией — кТ при температуре Г = 290 К?
Найти значение кинетической энергии электрона, при которой погрешность в длине волны де Бройля, определяемой по нерелятивистской формуле, не превышает 1% от значения, полученного по релятивистской формуле. Проведите аналогичные вычисления также и для протона.
Используя функцию распределения Максвелла для молекул газа по модулям скоростей, найти распределение молекул в состоянии теплового равновесия по де- бройлевским длинам волн. Вычислите наиболее вероятную длину волны де Бройля для молекулы водорода при температуре 300 К.
Нерелятивистская частица с массой mt и кинетической энергией Ей испытывает упругое лобовое соударение с покоящейся частицей массы т2. Найти дебройлевские длины волн частиц после соударения в системе отсчета, связанной с центром масс этих частиц.
В опытах по дифракции электронов с энергией 200 эВ на поликристаллической фольге оказалось, что
диаметр дифракционного кольца первого порядка равен Зсм. Расстояние от фольги до экрана 15см. Определить межплоскостное расстояние d для кристаллического образца.
Каково расстояние Ах между соседними максимумами густоты электронов, если дифракционная картина является результатом прохождения пучка электронов с кинетической энергией £^ = 24эВ через диафрагму с двумя щелями, расстояние между которыми равно d = ^=30мкм? Экран удален от диафрагмы на /= 100 см.
Показать, что измерение координаты частицы с помощью узкой щели шириной d вносит неопределенность в соответствующую проекцию импульса порядка
(где \х = Ду
Показать, что определение импульса частицы (по частоте рассеянного света) вносит неопределенность в ее координату, которая удовлетворяет неравенству
\х-\рх^ nit.
Убедиться, что измерение координаты микрочастицы с помощью микроскопа вносит такую неопределенность в ее импульс, что kx-Npx^h.
Электрон заключен в области с линейными размерами порядка 0,1 нм. Какова неопределенность импульса электрона? Какой энергии соответствует такой импульс?
Оценить неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая его диаметр d= 10-8 см. Сравнить найденное значение неопределенности скорости со скоростью электрона на первой боровской орбите.
Исходя из соотношения неопределенностей, показать, что электроны не могут находиться внутри атомных ядер.
Полагая для электрона в атоме водорода, что неопределенность его расстояния от ядра сравнима с этим расстоянием, оценить минимально возможную энергию атома водорода и соответствующее расстояние электрона от ядра.
Показать, что длина волны де Бройля укладывается на длине любой боровской орбиты целое число раз.
Микрочастица с массой покоя т0 находится в одномерном потенциальном ящике шириной / с беско-
нечно высокими стенками. Оцените минимально возможную энергию частицы, если Ах-^рх^ пК.
Исходя из соотношения неопределенностей, показать, что минимально возможная энергия линейного гармонического осциллятора по порядку величины равна Асо (где со—собственная циклическая частота осциллятора).
3L Полагая для обоих электронов в атоме гелия неопределенность в положении равной их расстоянию от ядра, оценить грубо минимально возможную энергию атома гелия и соответствующее расстояние электронов от ядра.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Оператор А называется линейным, если
^(СД + С^^сА+сД^, (2.1)
где Cn С2 — постоянные, ^ и ф2—функции некоторых переменных.
Операторы А и В коммутативны, если
[Л, В]_ = ДВ—в! = 0.(2.2)
Оператор А, удовлетворяющий условию
фМф2^т= ^ ф2Л*ф1 dr,(2.3)
называется самосопряженным или эрмитовым. Здесь звездочкой обозначены соответственно комплексно-сопряженные функция и оператор; интегрирование проводится по всей области изменения независимых переменных; dr — элемент объема указанной области.
Собственные функции и собственные значения оператора определяются из уравнения
М =<2-4)
где Ап = const.
Совокупность собственных функций, удовлетворяющих стандартным требованиям (конечности, непрерывности и однозначности), образует полную систему ортонормиро- ванных функций:
для дискретного спектра собственных значений Ап— ^Ф^т-б^Л’ п = т(2.5)
I V у Г L * / fit
в случае непрерывного спектра —
$Мл^ = 6(Л'-Л) = ^- ^, = АД (2.6)
Среднее значение физической величины А в состоянии ф равно
Д = ^ф*Дф^т,(2.7)
где А — соответствующий оператор.
Совокупность коэффициентов Сп и С (Д) разложения функции ф(г) по собственным функциям фл(г) и фл(г) некоторого оператора А
Дг
Ш = ад„+$ С(Л)грл^Л,(2.8)
п л, где
С„=$ф(7)ф;(7)4т, С(Л)=$ф(7Ш(7ж (2-9)
определяет волновую функцию в Л-представлении, причем
Д 2
S|CJ2 +S |С(Л)|ЧЛ = 1.(2.10)
пл,
Произвольный оператор В в Л-представлении задается совокупностью матричных элементов:
Вк„Вк„ф*Вф„ dr.ф*Вф„ dr.(2.Н)(2.Н)
Вк„
Вк„
ф*Вф„ dr.
ф*Вф„ dr.
(2.Н)
(2.Н)
Основные квантовомеханические операторы в координатном представлении:
Px = — i^^rx* p = — i^
— операторы проею ции и вектора импульса;
— оператор полной энергии (гамильтониан);— операторы проекций момента импульса;— оператор квадрата момента импульса.— оператор полной энергии (гамильтониан);— операторы проекций момента импульса;— оператор квадрата момента импульса.переносакхе dx напереносакхе dx на
— оператор полной энергии (гамильтониан);
— операторы проекций момента импульса;
— оператор квадрата момента импульса.
— оператор полной энергии (гамильтониан);
— операторы проекций момента импульса;
— оператор квадрата момента импульса.
переноса
кх
е dx на
переноса
кх
е dx на
H-"s;V+u<x, ц,г)
Sx = ypt—zpu
Sy = zpx—xp2 3z = xpu—ypx
^ = ^ + ^ + Э1 = - Wm
Здесь у? — оператор градиента; U (х, у, z)— потенциальная энергия частицы во внешнем консервативном поле; у/2 — оператор Лапласа, имеющий в сферических координатах вид:
2521251
v ™ дг^ г г^ V6,v,
ve, Ф-sine ае Vm ^07 sin2 е ^ф2 ,
d2 / d \2
Найти результат действия операторов ^х2 и ^х\ на функции: a) sinx, б) е2*.
Определите функцию / от оператора А по аналогии с разложением в ряд Тейлора этой функции; пока- жите, что для оператора А=^ справедливо операторное равенство
еаА^^1
л = 0
где а—некоторое число.
Показать, что для любого оператора о, квадрат которого равен единице (о2 = 1), справедливо соотношение
eieo __ cos у _|„ Z*Q sin 0,
где 0 — некоторое вещественное число.
Выразить оператор параллельного Т,аф(г) = ф(г +а) через оператор импульса.
Найти результат действия оператора функцию ф(х).
Найти оператор бесконечно малого поворота вокруг направления п0 и выразить его через оператор момента импульса 2.
Показать, что если операторы А и В линейные, то их сумма А+В и произведение АВ тоже представляют собой линейные операторы.
Является ли оператор комплексного сопряжения Л1гр = тр* линейным оператором?
Является ли оператор дифференцирования ^ = ^ эрмитовым оператором?
Является ли оператор комплексного сопряжения эрмитовым оператором? Чему равен оператор, комплексно-сопряженный оператору комплексного сопряжения?
Показать, что сумма произвольного оператора А и его сопряженного оператора есть самосопряженный (эрмитов) оператор.
Доказать, что если операторы А и В эрмитовы, то и операторы А+В и AB-YBA также эрмитовы.
Какое соотношение должно существовать между эрмитовыми операторами А и В для того, чтобы их произведение было эрмитовым оператором?
Доказать эрмитовость следующих операторов:
а) рх; б) Л; в) Й; г) Н.
Доказать эрмитовость оператора j?\ учитывая, что операторы ^х, ^у> ^г эрмитовы.
Показать, что среднее значение квадрата физической величины А является положительным.
Доказать, что в любом состоянии ф среднее значение энергии не меньше энергии основного состояния Ео
Доказать, что если операторы А и В коммутируют, то:
(А + В)2 = Л2 + 2Яв + /^
(А + В)(Л — В)-Л2 — В2;
[И + В), (Л —В)]„=0.
Доказать, что если операторы Л, коммутируют с оператором В, то с ним коммутирует и оператор А = = 2 Я?.
Доказать, что если [Л, В]_ = 1, то:
[Л, В2]_ = 2В;
[Л, В3]_=ЗВ2;
[Л2, В2]_ = 2(ЛВ+ВЛ).
Найти коммутатор оператора х и оператора Лапласа V2-
Проверить следующие правила коммутации для гамильтониана Н в потенциальном поле U (х):
[Й,
[й,
Оператор А коммутирует с операторами В и С. Можно ли отсюда заключить, что операторы В и С коммутируют между собой?
Доказать, что если операторы А и В эрмитовы ц некоммутирующие, то:
а) [Л, В]_ — неэрмитов оператор; б) 1[Й, В]_ — эрмитов оператор.
Проверить следующие правила коммутации:
а) [Л, ^УА- = ^А
в) [Д,
Доказать следующие правила коммутации:
[Эх, pJ_=0;
V^x* PuA- = i^
[Д, PzA- = — i^Py
Используя сферические координаты, найдите связь оператора квадрата момента импульса 2г с оператором Лапласа и с оператором кинетической энергии Т.
Доказать, что оператор 2й коммутирует с оператором кинетической энергии Т.
Найти собственные функции ф и собственные значения следующих операторов:
—/^, если ф(х) = ф(х + а) (где а — постоянная величина);
—~а , если ф = 0 при х = 0 и x — L
Найти нормированные собственные функции опе
ратора р в координатном представлении.
Найти собственные значения и нормированные собственные функции следующих операторов:
2г =^ ^ ;
Аг Л2
Д = — ^"^ + ^зшф, где ср — азимутальный угол.
Найти собственные значения оператора квадрата момента импульса 2?\ соответствующие его собственной функции
Y (0, ф) = A (cos 0+ 2 sin 0 cos ф).
Найти нормированные собственные функции и собственные значения оператора кинетической энергии вращательного движения Т^ плоского ротатора (система из двух жестко связанных друг с другом материальных точек, вращающихся в плоскости относительно центра
/\А
масс). Оператор Тф выражается формулой Тф=-^ (где / — момент инерции системы относительно центра масс).
Возможные значения проекции момента импульса частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, на произвольную ось равны tnK (где т = 0, ±1, ±2,...
..., ±/). Принимая во внимание равноправность осей, а значит, и равновероятность этих проекций, показать, что в состоянии с определенным значением / среднее значение квадрата момента импульса равно 2P — ti4 (/ + 1).
Модель пространственного ротатора — это частица с массой ц, движущаяся на расстоянии r0 = const от центра 0. Найти собственные значения энергии такого ротатора, считая известными собственные значения оператора >2:
^2 = А2/ (/+1),
где / = 0,1,2, ...
Доказать, что в стационарном состоянии дискретного спектра среднее значение проекции импульса частицы равно нулю.
Показать, что в состоянии чр, которому соответствует определенное собственное значение оператора SZ1 средние значения 3? х и 2У равны нулю.
Непосредственными вычислениями убедиться в ортогональности собственных функций оператора 2 г, принадлежащих различным собственным значениям.
Показать, что оператор радиус-вектора частицы в ^-представлении есть г=/Й-4;.
др
Определить собственные функции и спектр собственных значений оператора х в импульсном представлении.
Состояние частицы описывается волновым пакетом
о
гауссовской формы ^(х^Ле п . Найти нормировочный коэффициент А и перейти к импульсному представлению.
Перейти к импульсному представлению для волновой функции
Найти волновые функции в г- и ^-представлениях для частицы, локализованной в точке г0, и для частицы, движущейся с определенным импульсом р0.
По заданной волновой функции ф(х, у, z^ вычислить вероятность нахождения частицы в состоянии с координатой х, лежащей в интервале от хх до х2, и с компонентом импульса рх, лежащем в интервале от рх ДО р2.
Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме (О^х^я) в состоянии ф(х) = A sin — х. Получить для нее распределение по импульсам.
Гармонический осциллятор в основном состоянии характеризуется волновой функцией ф (х) = Ае-а2х2. Получить волновую функцию в р-представлении и найти распределение вероятностей по импульсам.
Частица находится в однородном потенциальном поле U (х) = ах. Найти собственные значения и собственные функции оператора энергии в р-представлении.
В одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (О^х^а) находится частица в состоянии ф(х) = Ах(а—х). Найти волновую функцию в энергетическом представлении и вычислить среднюю энергию частицы.
Плоский ротатор находится в состоянии, описываемом функцией ф(ф) = Дзт2ср. Найти волновую функцию в ^-представлении и вычислить средние значения величин 2г и Sz*
Определить собственные значения операторами их вероятности для системы, находящейся в состоянии
ф(ф) = А (1 +С05ф)2.
Определить матричные элементы дипольного момента ех в Е-представлении для частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (0<х^а).
Определить матричные элементы оператора импульса в Е-представлении для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (0Сх<а).
Вычислить матричные элементы оператора проекции момента импульса 3 г и показать, что в своем собственном представлении он диагоналей.
Вычислить угловую часть матричных элементов оператора проекции дипольного момента Dz = ez для частицы в центрально-симметричном поле, состояние которой описывается волновой функцией \^п1т = =R„i V> р im (cos °) й‘тф (где рш (cos 0) — полиномы Лежандра).
Доказать, что из эрмитовости операторов вытекает следующее свойство матричных элементов: Апт = А^п (его называют эрмитовостью матриц).
§ 3. ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ
Временное уравнение Шредингера
^dt’ (г, 0(3.1)
. (9U п\
в отсутствие переменных полей (-^- = 0) имеет решением функцию
—— Et
Т(г,,(3.2)
где ^(г) описывает стационарное состояние и является собственной функцией гамильтониана Н.
Уравнение непрерывности записывается в следующем виде:
^^^ 0P+div7=0.(3.3)
Здесь вектор / представляет плотность тока вероятности:
1=1;№-^Ч!).(3.4)
Производной по времени от некоторой физической величины соответствует оператор
(3.5)
Величина А = const является интегралом движения,если ^-=0. При 4г=^ признаком этого будет условие
(3.6)(3.6)VH, д]_=о.
(3.6)
(3.6)
Показать, что временное уравнение Шредингера дает стационарные решения, если потенциальная энергия U не зависит явно от времени.
Как изменится полная волновая функция ^ (х, t), описывающая стационарные состояния, если изменить начало отсчета потенциальной энергии на величину А17?
Выяснить, является ли волновая функция Y(х,—представляющая собой суперпо-
к
зицию стационарных состояний, решением временного и стационарного уравнений Шредингера
Используя уравнение Шредингера, получить равенство
^Cwdr = 0,at J
указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени.
Показать, что в стационарных состояниях плотность вероятности и плотность тока вероятности не зависят от времени.
Доказать, что вероятность обнаружения определенного значения любой физической величины в стационарном состоянии не зависит от времени.
Найти общее решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы.
Показать, что свободно движущаяся частица имеет непрерывный энергетический спектр.
Свободная частица имеет в момент времени / = 0 волновую функцию:
Т(х, 0) = !/^4 sinf^;
V лЯ \ Я /t х_Ро
Т (х, 0) = (2лА) 2 е h .
Найти волновые функции в следующие моменты времени.
Плоским ротатором называют систему из двух жестко связанных частиц, вращающуюся в плоскости вокруг своего центра инерции. Оператор энергии такого
А^2 ^2
ротатора имеет вид // = — 57 5^2 (r^e —момент инерции системы). Как изменяется во времени состояние плоского ротатора, если в момент / — О оно описывается волновой функцией Y(ф, 0) = Лз1п2ф?
Волновая функция частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной а с абсолютно непроницаемыми стенками, имела в начальный момент / = О вид Т (х, 0) = Ах (а—%). Найти волновую функцию частицы в произвольный момент времени t.
В момент времени / = 0 свободная частица описывается функцией ¥ (х, 0) = Ле 2а2 ° . Определить коэффициент А и область локализации частицы. Найти плотность тока вероятности /.
Найти коэффициенты Фурье для функции, приведенной в задаче 98, и определить ширину волнового пакета в ^-пространстве. Проверить соотношение неопределенности.
Рассмотреть временную эволюцию пакета волн, если в начальный момент времени он представляется функцией
Т(х, ^ = Ае"^*1кбХ.
Определить ^(х, /), плотность вероятности и плотность тока вероятности.
Доказать, что для частицы, движущейся в потенциальном поле U (х), выполняются операторные равенства:
4i^ = ZT<xPx + PxxY
d / '^ \ р х dLI
-77 (хрА =—=х;
' at v те дх ’
dt (Рх) — [рх дх + дх Рх J •
Выяснить, будут ли сохраняться энергия Е, проекции импульса, проекции и квадрат момента импульса при свободном движении частицы.
Какие из механических величин (энергия Е, проекции импульса, проекции и квадрат момента импульса) сохраняются при движении частицы: а) в однородном потенциальном поле U (z) = az (где а—постоянная); б) в центрально-симметричном потенциальном поле U (г); в) в однородном переменном поле U (z, t) = a(t)z?
Определить, при каких условиях квадрат момента импульса J?2 и его проекция ^ могут быть интегралами движения.
Показать, что для системы частиц при отсутствии внешних сил импульс системы будет интегралом движения.
Доказать справедливость следующих операторных уравнений движения частицы в потенциальном поле U (г):
dx _ рх , dpx dU_ dtт0 ' dtдх *
107» Показать, что для пространственных средних значений физических величин и в квантовой механике имеет место основное уравнение классической динамики
^Р гdt ’
где р— импульс, a F — сила, действующая на частицу в потенциальном поле U (г).
Доказать, что произвольная по времени от оператора j?z проекции момента импульса равна оператору проекции момента внешних потенциальных сил:
dSz dU dU
Показать, что для средних значений классическая связь между моментом количества движения и моментом потенциальной силы = имеет место и в квантовой механике.
НО. Показать, что сохранение момента количества движения замкнутой системы связано с изотропией пространства.
Показать, что закон сохранения импульса замкнутой системы связан с однородностью пространства.
Гамильтониан заряженной частицы, движущейся в магнитном поле, имеет вид
где А —оператор вектора-потенциала магнитного поля, являющийся функцией координат. Найти оператор и скорости частицы в магнитном поле и правила коммутации операторов различных компонентов скорости между собой.
Найти уравнения движения заряженной частицы, если гамильтониан задается выражением
H-^G—eAY^e^G где
A =1G,
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХСОСТОЯНИЙ
Одномерное движение
В случае одномерного движения частицы в потенциальном поле U (х) стационарное уравнение Шредингера записывается в виде
+ ^g [Е— U (х)] Я> (х) = 0.(4.1)
П/
Решение этого уравнения для частицы в яме с абсолютно непроницаемыми стенками приводит к квантованию ее энергии:
где п=1, 2, 3, ... . Волновые функции, соответствую-
щие дискретному спектру (4.2), имеют вид
^W= /?sin^x,(4.3)
где а—ширина потенциальной ямы.
Стационарные состояния линейного гармонического осциллятора с частотой со описываются волновыми функциями
^п® = Спе" » .Нп^,(4.4)
принадлежащими собственным значениям энергии
(4.5)(4.5)g=/^x, аg=/^x, агде n = 0, 1, 2,где n = 0, 1, 2,Н„1£)—полиномыН„1£)—полиномыЕп = й® (п 4-у
(4.5)
(4.5)
g=/^x, а
g=/^x, а
где n = 0, 1, 2,
где n = 0, 1, 2,
Н„1£)—полиномы
Н„1£)—полиномы
Эрмита. Коэффициент прозрачности D потенциального барьера произвольной формы U (х) определяется формулой
х» '
D ~De expD ~De exp(4.6)(4.6)—т С ]/2m[U (х)— Е] dx
D ~De exp
D ~De exp
(4.6)
(4.6)
где хг и х2—координаты точек, для которых (7(х) = £.
Вычислить наименьшее значение энергии нейтрона, заключенного в потенциальный ящик с абсолютно непроницаемыми стенками, расстояние между которыми равно IO”14 м.
Для частицы, находящейся на n-м уровне в одномерной прямоугольной потенциальной яме_с абсолютно непроницаемыми стенками, вычислить х, рх) (Ах)2, (W-
В одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками шириной а находится частица, состояние которой описывается волновой функцией
ф(х) = A sin2^-.
Определить вероятность пребывания частицы в основном состоянии и среднее значение кинетической энергии.
ааXXРис. 1Рис. 1находится внаходится в
а
а
X
X
Рис. 1
Рис. 1
находится в
находится в
Для частицы в одномерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками вычислить вероятность ее нахождения в области
если она обладает наименьшей возможной энергией. Определить также число энергетических уровней в интервале между Е и Е + +dE.
ооЧастица массой т моугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < а, й <у<Ь\ Определить спектр собственных значений энергии и собственные функции частицы.
о
о
Частина находится в двухмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Вычислить вероятность ее нахождения в области -а^х^-^а, -^Ь^.у^-^Ь для основного состояния.
Определить собственные значения энергии и собственные функции для частицы массой т0, находящейся в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < а, 0 <у < Ь, 0 < г < с). Вычислить значения энергии для первых трех уровней, если а = Ь = с.
Записать распределение вероятностей различных значений импульса частицы в одномерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками, если известно, что эта частица находится в п-м энергетическом состоянии.
Частица массой т0 находится в потенциальной яме (рис. 1):
Получить уравнение, определяющее спектр собственных значений энергии частицы в области Е < (70, и привести
Используя результаты предыдущей задачи, найти: а) значение величины a2U01 при котором появляется п-й дискретный уровень; б) число уровней в яме, у кото- рои алий~—^—; в) значение бг2и0, при котором энергия единственного уровня равна Е = ~17о. Какова при этом вероятность нахождения частицы вне ямы?
Частица массой т0 движется в потенциальной яме (рис. 2):
^0^00и.0и.при при припри при прих < 0,х < 0,0 < х < а,0 < х < а,х> а.х> а.
^0
^0
0
и.
0
и.
при при при
при при при
х < 0,
х < 0,
0 < х < а,
0 < х < а,
х> а.
х> а.
Получить уравнение, определяющее спектр собственных значений энергии. В области Е< Uo обосновать дискрет
ность энергетического спектра.
Используя результаты задачи 124, найти: а) значение a?UQ1 при котором энергия основного состояния з
частицы Е^—[70; б) значение a?U0, при котором по
является третий уровень; в)^число энергетических уровней в яме, если а2[/0=125— .
Для частицы в глубокой прямоугольной потенциальной яме (см. рис. 2) найти приближенное аналити-
ческое выражение энергии нижних уровней
ф<и0\ еслиa2U0>—.
Частица массой 1 т0 находится в потенци- альной яме вида
uw =
(
U1 прих<0,
О при 0 < х <а,
U2 прих> а. q£**
Получить уравнение, определяющее спектр соб-Рис 3
ственных значений энер
гии в области энергий Е <Ut (рис. 3).
Для линейного гармонического осциллятора,
находящегося на п-м уровне, вычислить х2 и среднюю потенциальную энергию.
Для линейного гармонического осциллятора, энергия которого равна у Йео, вычислить среднюю кинетиче
скую энергию.
Найти распределение вероятностей различных значений импульса для линейного гармонического осциллятора.
Для линейного гармонического осциллятора массой т0 и зарядом е, помещенного в постоянное электрическое поле <^, найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний.
Найти энергетические уровни частицы массой т0, движущейся в потенциальном поле следующего вида:
U(x) =U(x) =00 при X < 0, у^х2 при х>0.
U(x) =
U(x) =
Найти уровни энергии и собственные функции трехмерного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
и (х, у, г) = у ^х2 4- у к^у1 + у й3г2.
Трехмерный изотропный гармонический осциллятор имеет собственные значения энергии Асо(п+-|), где п = 0, 1, 2... Какова степень вырождения квантового энергетического уровня Еп?
Движущиеся вдоль оси х две частицы ^mY = m2) связаны друг с другом упругой силой. Кроме того, каждая из них связана с началом оси также упругой силой, но с другим коэффициентом упру гости. О п редел ить уровни энергии и собственные функции системы.
Частица массой т0 движется в потенциальном поле вида
/ ^0 при х>0, х ~ ( 0 при х < 0.
Найти волновую функцию в области энергий Е > Ua (рис. 4). Определить коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности D.
Для потенциального поля, приведенного в предыдущей задаче, показать, что коэффициент отражения барьера R=l, если энергия частицы Е < Uo.
Частица массой т0, имеющая энергию Е > О, движется слева направо в потенциальном поле вида
(Цх) =(Цх) =-и»-и»приприО < хО < х< а,< а,ООпри х < 0 и х> а.при х < 0 и х> а.
(Цх) =
(Цх) =
-и»
-и»
при
при
О < х
О < х
< а,
< а,
О
О
при х < 0 и х> а.
при х < 0 и х> а.
Найти коэффициент прозрачности D и коэффициент отражения R (рис. 5).
U(x)U(x)ЕЕUqUqааXXРис. 6Рис. 6
U(x)
U(x)
Е
Е
Uq
Uq
а
а
X
X
Рис. 6
Рис. 6
Используя результат предыдущей задачи, определить энергию Е, при которой частица будет беспрепятственно проходить через яму. Установить для этого случая связь между шириной ямьг а и длиной волны де Бройля X внутри ямы.
Для случая, изображенного на рисунке 5, вычислить при заданных значениях Е и Uo ширину ямы а, при которой коэффициент отражения R максимален.
Частица массой т0 и энергией Е падает на прямоугольный потенциальный барьер, изображенный на рисунке 6:
U$ =
( U0 при 0 < х < а,
" ( 0 при х < 0 и х > а.
Найти для случая Е > Uo коэффициент прозрачности D и коэффициент отражения R. Вычислить также D при Е —> Uo.
Для электрона в потенциальном поле, представленном на рисунке 6, найти первые два значения энергии Е, при которых электрон беспрепятственно проходит через барьер, если (7О=15 эВ и а = 1О~10 м.
Для частицы массой т0, падающей на пря-
моугольный потенциальный барьер высотой Uo и шириной а (рис. 6), найти коэффициент прозрачности D, если полная энергия частицы Е < Uo. Упростить полученное выражение для случая, когда D<^1.
Вычислить коэффициенты прозрачности D барьера прямоугольной формы при Uo = 2O эВ и а=10“10 м для электрона и протона с энергиями 10 эВ.
Вычислить коэффициент прозрачности барьера, изображенного на рисунке 7, для частицы массой т0 при энергии Е < Uo.
Для частицы массой т0 и энергией Е < Uo найти коэффициент прозрачности D барьера, заданного потенциальной кривой (рис. 8):
[/(х)=[70(1-^-).
Движение в центрально-симметричном поле
В центрально-симметричном поле U (г) уравнение Шредингера в сферических координатах
W(r)^т]ф(7) = 0 (4.7)
г дгй 7 1[ v ' 2m0r2J v v 7
допускает разделение переменных:
W) = /?ni(r)yim(9, ф).(4.8)
Шаровая функция У(м (6, ф) является собственной функцией операторов ^2 и ^г; спектр собственных значений операторов S’1 и ^г определяется выражениями
^2 = А2/(/ + 1); 5г = Кт,(4.9)
где орбитальное I и магнитное т квантовые числа принимают значения: / = 0, 1, 2, ..., п—1; т = 0, ±1, ±2, ..., ±/ (п—главное квантовое число).
Состояния системы, соответствующие разным значениям момента импульса, обозначают так: s-состояние (/ = 0); р-состояние (/=1) и т. д. Шаровые функции для S-, /?-, d-, ^-состояний с точностью до нормировочного множителя приведены в таблице 1.
Состояние
1
т
Ylm <е- Ч>1
S
0
0
1
1
0
cos 0
Р
1
±1
± sin 1ф
2
0
3 cos2 0 — 1
d
2
±1
± sin 0 cos Ое^Ф
2
±2
sin20e±Z2<p
3
0
5 cos3 0—3 cos 0
3
±1
± sin 0 (5 cos2 0— 1) е^Ф
Г
3
±2
sin2 0 cos 0е±,2ф
3
±3
± sin3 0е±/зФ
Радиальная часть волновой функции R^r), являющаяся
решением уравнения
2т0г2 _2т0г2 _(4.Ю)(4.Ю)- — rR (r)+^- \Е — и^
2т0г2 _
2т0г2 _
(4.Ю)
(4.Ю)
г dr» V ’ К»Х '
зависит от орбитального квантового числа I и главного
квантового числа п.
Уравнение (4.10) для радиальной части волновой функции электрона в водородоподобных атомах, т. е. при 2^2
и = д (где Ze.— заряд ядра атома или иона), имеет
1З^ер2 п2 ’1З^ер2 п2 ’п=1, 2, 3, ... .п=1, 2, 3, ... .(4.Н)(4.Н)конечные и однозначные решения лишь для квантованных значений энергии, определяемых формулой
1
З^ер2 п2 ’
1
З^ер2 п2 ’
п=1, 2, 3, ... .
п=1, 2, 3, ... .
(4.Н)
(4.Н)
Функции R^^ для водородоподобных атомов приведены с точностью до нормировочного множителя в таблице 2. В таблице Р = у- (где гг— радиус первой боровской орбиты).
Показать, что для частицы массой р, движущейся в центрально-симметричном поле U (г), уравнение Шре-
Состояние
п
/
R (Р)
1s
1
0
е-р
-р
2s
2
0
(2—р)е2
2р
2
1
pe-p/2
3s
3
0
(27-18р + 2р2)е”р/3
Зр
3
1
р(6— р)е-р/3
3d
3
2
р2е-р/3
дингера допускает разделение переменных. Записать уравнения для радиальной и для угловой частей волновой функции ф(г, 9, ф) = /?(г)У (9, ф). Определить зависимость волновой функции от азимутального угла.
Вычислить средние значения компонентов S х, 2у, 3 г момента импульса, если волновая функция частицы, движущейся в центрально-симметричном поле U (г), зависит от углов 9 и ф, как шаровая функция Г (9, Ф).
Вычислить средние значения компонентов <э^х, Sy1 Sz момента импульса для частицы, движущейся в центрально-симметричном поле U (г), если угловая часть волновой функции представляет линейную комбинацию сферических функций Y 1т и ¥и _т, соответствующих заданному значению квантового числа I.
Вычислить среднее значение квадрата момента импульса в состоянии ф(9, ф) = A sin 9 cos ф.
Найти собсувенное значение оператора квадрата момента импульса £2, соответствующее его собственной функции
¥ (9, ф) = A (3cos29—-1 + sin 29 cos ф).
Частица, движущаяся в центрально-симметричном поле U (г), находится в состоянии ф(г, 9, ^ — R^^x X Ylm (9, ф). Каков физический смысл функции | Ylm (9, ф) |2? Воспользовавшись таблицей 1, вычислить нормировочные коэффициенты шаровых функций для р-, d- и /-состояний.
зо
Определить волновые функции и уровни энергии частицы массой тв и нулевым орбитальным моментом, находящейся в сферически-симметричном потенциальном ящике радиусом г0 с бесконечными стенками.
Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, найти средние значения г, г2, (Аг2) для частицы, находящейся на п-м s-уровне (/ = 0).
Вычислить для основного s-состояния частицы, находящейся в сферически-симметричном потенциальном ящике радиусом г0 с бесконечными стенками, наиболее вероятное значение расстояния гвер и вероятность нахождения частицы в области г < гвер. Изобразить примерный вид графика функции |ф(г)|2. Каков физический смысл этой функции?
Найти волновые функции, описывающие р-состоя- ние частицы (Z=l) с массой р, находящейся в сфериче- ски-симметричной потенциальной яме радиусом г0 с бесконечными стенками. Показать, что энергетические уровни в этом состоянии определяются уравнением
tg кг6 = кгй1
где
2ц£
~ А2 '
Найти распределение вероятностей различных значений импульса в основном состоянии частицы массой т0, находящейся в сферически-симметричном потенциальном ящике радиусом г0 с абсолютно непроницаемыми стенками.
Частица массой т0 находится в сферически-симметричном потенциальном поле
о,и6.о,и6.
о,и6.
о,и6.
Показать с помощью подстановки R (г) = — % (г), что уравнение, определяющее собственные значения энергии частицы в s-состоянии (/ = 0) при Е < t/0, имеет вид
/~^,2
sin£r0 = ±l/ ;—krft,
0 Г 2m0^ °*
где
K2/n0£
А в
Каков энергетический спектр частицы в этом случае?
Используя результаты задачи 158, вычислить интервал значений для глубины Uo сферически-симмет- ричной потенциальной ямы радиусом г0, при которых имеется лишь один энергетический s-уровень. Определить также положение этого уровня в момент его появления и по мере дальнейшего увеличения глубины ямы.
Полагая в условии предыдущей задачи характеристический параметр равным
2пу^и0 16л2
А2 ’
вычислить наиболее вероятное расстояние гвер для частицы в основном s-состоянии, а также определить вероятность нахождения частицы в области г > г0.
Показать, что энергетический спектр частицы с нулевым орбитальным моментом (/ = 0), находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме радиусом г0 и конечной глубиной UO1 непрерывен, если полная энергия частицы Е > Uo.
Привести уравнение, определяющее радиальную часть волновой функции электрона в водородоподобном атоме, к безразмерному виду
^R \ 2 dR \\г \2Z 1^ + X4r О
dp2 ‘ р dp * [ ‘ р р2 ] ’
выбрав в качестве единиц измерений атомную единицу длины rt (первый боровский радиус) и атомную единицу энергии Еион = — Е1 (энергия ионизации атома водорода для основного состояния) и введя обозначения:
Используя таблицы 1 и 2, вычислить нормировочные коэффициенты волновых функций в Is-, 2s-, Зр- состояниях электрона в атоме водорода.
Электрон в атоме водорода находится в стационарном состоянии, описываемом сферически-симметричной волновой функцией ф(г) = Л (1+«г) баг(где Л, а, а — некоторые постоянные). С помощью уравнения Шредингера найти значения постоянных а, а и энергию электрона. Определить, в каком состоянии находится электрон.
Вычислить для электрона, находящегося в ls- состоянии в атоме водорода, наиболее вероятное расстояние от ядра гвер и вероятность пребывания электрона в области г < гвер.
Вычислить вероятность нахождения Is-электрона в атоме водорода вне классических границ поля.
Вычислить для Is-электрона в атоме водорода средние значения расстояния г от ядра, а также величины г2 и (Аг)2.
Вычислить среднее значение кинетической энергии и среднеквадратичную скорость для 1 s-электрона в атоме водорода.
Вычислить наиболее вероятное расстояние 2р- и Sd-электронов от ядра в водородоподобном атоме.
Пронормировать волновые функции для 2р- и 3d- электронов в атоме водорода и вычислить средние расстояния г электронов от ядра и среднеквадратичный разброс (Аг)2.
Вычислить средние значения силы взаимодействия с ядром и потенциальной энергии для 2р-электрона в атоме водорода и для ионов с одним электроном.
Найти средний электростатический потенциал, создаваемый 1 s-электроном в центре водородоподобного атома.
Определить средний электростатический потенциал поля, создаваемого ядром и электроном в основном состоянии атома водорода.
Подсчитать кратность вырождения энергетического уровня ^ = "]^Т^7 в атоме водорода. Записать волновые функций ф^ (г, 6, ср) различных состояний электрона с указанной энергией.
Подсчитать энергию ионизации атома водорода. Показать, что с возрастанием главного квантового числа п интервал между соседними энергетическими уровнями
уменьшается. Начертить схему уровней энергии атома водорода.
Получить импульсное представление волновой функции 25-электрона в атоме водорода и записать распределение вероятностей по импульсам.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Одним из приближенных методов квантовой механики является метод теории возмущений. При его использовании гамильтониан Н представляется в виде суммы невозмущенного гамильтониана Н01 для которого предполагаются известными собственные функции ф^ и собственные значения Е^, и оператора возмущения V:
H = H0 + V.(5.1)
В стационарной теории возмущений оператор возмущения V не зависит от времени.
Поправки первого порядка Ещ и второго порядка Е^ к энергии n-го уровня равны соответственно:
(5.2)(5.3)(5.2)(5.3)£™ = $^>*М0)^т^У„„,/7(2) I ^Аи |2
(5.2)
(5.3)
(5.2)
(5.3)
Волновая функция в первом приближении имеет вид
^ = < + £ ^>^-(5-4)
В случае вырождения правильные функции нулевого приближения представляют собой суперпозицию вырожденных собственных функций ф$, т. е.
f
Фл” 2 ^ФЖ»(5.5)
v= 1
где /—кратность вырождения.
Коэффициенты Cv удовлетворяют системе / однородных линейных уравнений
(yvv-£<i>)Cv + S KvA = 0,(5.6)
гдегдеv, ^=1,2, ...J, ^=$СГЖИ*-(5.7)
где
где
Поправка первого приближения к энергии п-го /-кратно вырожденного уровня Е^^=Е—Е(^ определяется секулярным уравнением
IV^-f^i^o.(5.8)
Приведенные формулы легко обобщаются на случай наличия у оператора Но также непрерывного спектра собственных значений. Тогда в формулах (5.3) и (5.4) к суммам по дискретному спектру добавляются соответствующие интегралы по непрерывному спектру.
К приближенным методам квантовой механики относится и вариационный метод, при использовании которого собственные функции и собственные значения оператора энергии Н в основном состоянии находятся из условия экстремума функционала / (ф) = $ ^*Н^(к при дополнительном условии ^ф*ф^т—1 (в случае дискретного спектра).
^pdq = 2nh ^ + ^^pdq = 2nh ^ + ^(5.9)(5.9)Третий приближенный метод, известный под названием квазиклассического приближения, позволяет определить возможные значения энергии из правил квантования:
^pdq = 2nh ^ + ^
^pdq = 2nh ^ + ^
(5.9)
(5.9)
где п = 0, 1,2, ..., р — импульс, соответствующий обобщенной координате q.
Волновая функция в квазиклассическом приближении имеет вид
Е > U (х), где U (х)~ потенциальная энергия частицы.Е > U (х), где U (х)~ потенциальная энергия частицы.
Е > U (х), где U (х)~ потенциальная энергия частицы.
Е > U (х), где U (х)~ потенциальная энергия частицы.
На частицу массой т0, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной ямс шириной а, наложено ма-
~2л
лос возмущение V (х) = Vo cos — х (где а и Vo— постоян
ные). Определить поправки к энергии стационарных состояний с точностью до второго порядка включи
тельно.
Получить приближенное выражение для энерге
тического сдвига основного состояния атома водорода, обусловленного конечными размерами протона, предполагая, что протон представляет собой равномерно заряженный по объему шар радиусом /?=10"Х5м.
Найти поправку к энергии основного состояния линейного гармонического осциллятора за счет ангармонических членов в потенциальной энергии V (х) =ах§ +P^4 (где а и р — постоянные).
Трехмерный гармонический осциллятор с зарядом е, у которого й)1 = со2 = (о3, находится в слабом магнитном поле. Найти расщепление низшего вырожденного энергетического уровня с квантовым числом п=1.
На одномерный гармонический осциллятор с зарядом е действует электрическое поле с напряженностью
8, направленной вдоль оси х. Найти изменение энергии стационарных состояний во втором приближении теории возмущений. Сравнить точное значение энергии с приближенным.
Определить поправку к энергии основного водородоподобного состояния донорного электрона, обусловленную экранированием потенциала взаимодействия свободными носителями заряда. Потенциальная энергия донорного электрона определяется формулой U (г) = =—55^7; б-хг (где ——дебаевский радиус экранирования, е' — относительная диэлектрическая проницаемость).
Найти поправку к уровням энергии атома водорода за счет релятивистской зависимости массы от скорости. Учесть, что член порядка и2/с2 в релятивистской формуле зависимости т^ приводит к оператору возму
щения Урелщения Урел1З/тг^с21З/тг^с2р^ (где р—оператор импульса).р^ (где р—оператор импульса).
щения Урел
щения Урел
1З/тг^с2
1З/тг^с2
р^ (где р—оператор импульса).
р^ (где р—оператор импульса).
В плоскости хОу вращается жесткий ротатор с моментом инерции / и электрическим дипольным моментом D. Исследовать влияние однородного электрического поля с напряженностью ^, направленной вдоль оси х, на уровни энергии ротатора.
Определить возмущенные электрическим полем волновые функции плоского ротатора из предыдущей задачи, учитывая первую поправку теории возмущений. Найти также вероятности различных ориентаций диполя по отношению к электрическому полю.
Пространственный ротатор с моментом инерцииI и электрическим дипольным моментом D помещен в однородное электрическое поле ^. Рассматривая электрическое поле как возмущение, найти первую неисчезаемую поправку к энергии основного состояния ротатора.
Атом водорода находится в однородном электрическом поле с напряженностью S, направленной вдоль оси Ог. Найти расщепление уровня энергии, характеризующегося главным квантовым числом п = 2 (эффект Штарка).
Для двухкратно вырожденного энергетического уровня определить поправки первого порядка к энергии и правильные функции нулевого приближения, если оператор энергии возмущения V нс зависит от времени.
Плоский заряженный ротатор помещен в однородное магнитное поле, индукция которого В перпендикулярна плоскости вращения. Применяя теорию возмущений, найти в первом приближении энергию и волновые функции стационарных состояний. Заряд ротатора е, масса т0.
Частица без спина, движущаяся в сферически- симметричном поле, находится в однородном магнитном поле с индукцией В, параллельной оси г. Найти собственные значения энергии и волновые функции в первом приближении теории возмущений. Оператор энергии возмущения считать равным i^- А V (где А — векторный потенциал, тй—масса частицы).
е Получить формулу для собственных значений
энергии f-кратно вырожденного уровня во втором приближении теории возмущений для случая, когда матричные элементы по вырожденным состояниям равны нулю.
Невозмущенная система имеет два близких энергетических уровня, интервал между которыми сравним с матричным элементом оператора возмущения между этими состояниями. Найти поправку к энергии в первом приближении.
Определить приближенно с помощью вариационного метода энергию основного состояния частицы в потенциальном поле U (х) = Uox4 (где 170 = const). В качестве допустимых функций использовать функции вида ф (х) = х2
^Ае"^.
Смещение энергетического уровня основного состояния атома водорода в эффекте Штарка в слабом поле S определяется выражением А£ =—^-ае^2 (где ос—поляризуемость атома). Используя теорию возмущений, оцените пределы изменения поляризуемости атома водорода в основном состоянии.
Пользуясь прямым вариационным методом, найти энергию основного состояния частицы в поле с потен- 2
циальной энергией Щх) = ^трх2 (одномерный гармонический осциллятор).
В качестве допустимых функций выбрать следующие:
X2
ф(х) = Л^2Р2;
ф(х) = А (1 +a|x|)e"ai^L
Применяя прямой вариационный метод, найти минимальную энергию трехмерного гармонического осциллятора, имеющего потенциальную энергию U (г) = ^~т0со2/2 (где г — расстояние частицы от положения равновесия). В качестве пробных выбрать функции вида ф(г) = А (1 + ar)e“ar (где a—параметр).
Определить энергию основного состояния дейтона, если взаимодействие протона с нейтроном в зависимости от расстояния г между ними характеризуется потенциаль-
ной энергией L7 (г) ——U6e ° (С^0«25МэВ,а^2-10~15м). В качестве пробных волновых функций взять функции аг
чр (г) = Л^ 2а, зависящие от одного параметра а (А— постоянная нормировки).
Сравнить энергию основного состояния водородо- подобного атома, вычисленную вариационным методом с использованием пробных функций вида ф (г) = А (1+аг)х Хе~аг, со значением, определяемым формулой Еп^ 72
= —^ • 13,6 эВ при п = 1.
Вариационным методом определить энергию основного состояния двухэлектронной системы, находящейся в поле ядра с зарядом Ze0. В качестве допустимых волновых функций взять произведение водородоподобных функций ^эффективным зарядом Z'e0.
ф(г) = Сехр(-^).
Используя результат предыдущей задачи, найти потенциалы ионизации нейтрального атома гелия и иона лития Li+.
Применить квазиклассический метод к нахождению энергетического спектра частицы массой т0, движущейся в поле с потенциальной энергией U (х) =— Uox X (1——при Е < 0.
\ а /
Определить квазиклассические уровнй энергии в поле с потенциальной энергией U (я) = l70ctg2-^.
Рассчитать энергетический спектр водородоподобного атома, используя квазиклассическое приближение.
Для частицы в потенциальном поле U (х) = =—(/och2~ определить в квазиклассическом приближении энергетический спектр и полное число дискретных уровней.
Определить в квазиклассическом приближении число дискретных энергетических уровней частицы, движущейся в центрально-симметричном поле с потенциальной энергией U (г).
Используя метод квазиклассического приближения, показать, что правила квантования для частицы,
находящейся в произвольной одномерной потенциальной яме, с точностью до членов порядка К представляются соотношениями ^pdq~2n1t ^-V^ > (гдеп = 0, 1,2,...).
Определить в квазиклассическом приближении среднее значение кинетической энергии частицы, движущейся в одномерной потенциальной яме (а^.х^.Ь\
§ 6. СПИН. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ
Составляющие спина электрона sx, s , s2 могут при-* нимать лишь два значения: + уи—у. Собственное значение s2 оператора s2 равно
s2=|^.(6.1)
А /X Л
Операторы sx, sy1 s2 проекций спина удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы J^x, S^, 2х проекций орбитального момента.
/X /\/\
Если ввести операторы о*, оу, о2 так, что sx = -^ox,
Sy = ~(5y1 s2=—q2S то их можно представить в виде матриц Паули, имеющих в ^-представлении вид
а/ 0 1\/0 — А /10\
^ = ^—1 0/ : °v = \i оу ■' °» = <0 — 1/• (6-2)
Полный механический и магнитный моменты атома, содержащего N электронов, в случае LS-связи выражаются соответственно так:
|7|=д/у (J + i),(б.з)
1^1=5]// (7+1)Иб,(6.4)
где J, L, S—квантовые числа полного, орбитального и спинового механических моментов атома; J = L + S, L-V + S—1,...,|L—S |; фактор Ланде g вычисляется по формуле
,J(J+1) + S(S+1)-L(L+1)
-1 +2777+1)1
Величина 2S + 1, называемая мультиплетностью, ставится в виде индекса вверху слева от спектроскопического обозначения терма, нижний индекс которого равен квантовому числу J.
В случае нормального эффекта Зеемана, наблюдающегося в слабом магнитном поле, расщепление спектральных линий определяется формулой
Av = (mx—т^ vL,(6.6)
где vl= 4^ларморова частота, т1 и т2—магнитные квантовые числа, разность которых в соответствии с правилом отбора равна тх—т2 = Ат = 0, ±1.
Расщепления спектральных линий при аномальном эффекте Зеемана определяется выражением
Av = кт^—т^ vL.(6.7)
Диамагнитная восприимчивость %д идеального газа равна
(6.8)
где т0—масса электрона, Z—число электронов в атоме, N—число атомов в единице объема, р0—магнитная постоянная, г^—среднее значение квадрата расстояния i-ro электрона от ядра.
В слабых магнитных полях для парамагнитной восприимчивости справедлив закон Кюри:
ь.,. = Т>С = т^.(6.9)
где Т—абсолютная температура, р—магнитный момент атома или молекулы.
Найти собственные функции и собственные значения операторов, определяемых матрицами Паули.
Показать, что матрицы Паули можно рассматривать как компоненты векторного оператора а, для которого справедливы соотношения [о-о] == 2ш, (о)- = 3( о 1 ). Наити также произведение ох оуо2.
Вычислить квадрат проекции спина электрона на
произвольное направление.
Найти скалярное произведение спинов двух частиц в триплетном и синглетном состояниях. Спин частицы равен —.
Вычислить оператор ^, используя гамильтониан
для частицы со спином, находящейся в магнитном поле с индукцией В.
Выписать спектральные обозначения терма, у ко
торого
5 = 3/2, 1 = 2, g^O;
5=1/2; J=3/2, g — 4/З.
Вычислить множитель Ланде для атомов с одним валентным электроном в состояних ^, S) и (F.
Вычислить магнитный момент атома водорода
в основном состоянии.
Определить возможные значения магнитного момента атома в состоянии 3S).
Найти магнитный момент р и возможные значения проекции рн атома в состояниях: a) ^S); б) 25*3/2.
Магнитный момент атома в состояниях 4® и 6F
равен нулю. Найти механический момент его в этих состояниях.
Атом находится, на оси кругового контура с током / = 20А. Расстояние между атомом и центром контура с током 2= 10 см, радиус контура г = 10 см. Вычислить максимальное значение силы взаимодействия между током и атомом в состояниях:а) 2^3/2;
б) 4S)i/2
Какова скорость атомов серебра (в нормальном состоянии) в опыте Штерна и Герлаха (рис. 9), с которой они вступают в резко неоднородное магнитное поле, если градиент напряженности -^- = 6,0-107 А/м2,
расщепление пучка на экране 6 = 3 мм, а~ 15 см, 6=? = 25 см?
221» В опыте Штерна и Герлаха по расщеплению узкого атомарного пучка использовали атомы в состоянии 4F3/2- Найти расстояние между крайними компонентами пучка на экране, если ^— = 6* 107 А/м2, а^ 15 см, 6 = 25 см и начальная кинетическая энергия атомов £к = 0,04 эВ.
Узкий пучок атомов пропускают по методу Штерна и Герлаха через резко неоднородное магнитное поле. На сколько компонентов расщепится пучок атомов, находящихся в состояниях: a) 6S; б)
Определить максимальные значения проекций магнитных моментов атомов в состояниях 4F и 6S), если известно, что при пропускании через неоднородное магнитное поле (по методу Штерна и Герлаха) атомарный пучок расщепляется соответственно на 4 и 9 компонентов.
Найти величину расщепления терма XS> в магнитном поле с индукцией 1,5 Тл.
Атом находится в магнитном доле В = 0,6Тл. Определить спектральный символ синглетного терма, полная ширина расщепления которого составляет 1,68 см“х.
Какой эффект Зеемана обнаруживают в слабом магнцтном поле спектральные линии, обусловленные переходами:
а)б) з^-*3^; в) 2S)JL—>2^1/2?
2
Показать, что частота перехода между соседними подуровнями зеемановского расщепления терма совпадает с ларморовской частотой прецессии механического момента атома в магнитном поле.
Построить схему возможных переходов между термами ^ 3 и 2S i в слабом магнитном поле и вычис- Т Т
лить смещения частоты зеемановских компонентов в еди- Мъ^ ницах •
Определить минимальную разрешающую способность спектрального прибора, который позволяет разрешить зеемановскую структуру спектральной линии
670,78 нм p^ з—^ 2Si/2\ лития в слабом магнитном поле с индукцией В = ЗкГс.
Атом водорода в основном состоянии помещен в однородное магнитное поле В. Вычислить напряженность магнитного поля Но, обусловленную прецессией электронного облака в центре атома.
Диамагнитная молярная восприимчивость ионизированного лития (Li+) равна % =—8,5* 10"12 м3/моль. Найти среднее расстояние электронов от ядра, считая разброс значений расстояния незначительным.
Учитывая, что основной вклад в диамагнетизм вносят внешние электроны атома, оценить радиусы внешних оболочек ионов Na+ и С1", если их молярная диамагнитная восприимчивость равна соответственно —7,6-10-и и — 3,04-10”10 м3/моль. ‘
Определить диамагнитную восприимчивость атомарного водорода при нормальных условиях (0°С и нормальное атмосферное давление), если распределение плотности заряда электронного облака в атоме дается
-2Г
выражением р(г)=-^е а» (где а0—радиус первой бо- ля0
ровской орбиты).
Рассчитать молярную диамагнитную восприимчивость газообразного гелия, принимая во внимание волновую функцию атома Не в основном состоянии
7'3/97\
ф^, г2) =—зеа° ( где2' = -^, яо = О,529- 10~10м).
Л До\/
Вычислить энергию, приобретаемую атомом ксенона (Хе) при включении магнитного поля В = 1 Тл, если молярная диамагнитная восприимчивость ксенона равна
С какой силой круговой контур с током / = 5 А и радиусом 7? =10 см действует на атом криптона (Кг), находящийся на оси контура на расстоянии 2 =10 см от его центра? Диамагнитная восприимчивость криптона
Определить магнитный момент моля газа, помещенного при температуре Т = 300 К во внешнее магнитное
поле с индукцией В = 5 Тл. Магнитный момент молекулы равен 2,5 р,Б.
Магнитный момент моля некоторого разреженного парамагнитного газа при температуре 300 К в слабом магнитном поле с магнитной индукцией В= 10~2 Тл равен 1,5-10~4 f^^- • Определить постоянную Кюри, отнесенную к молю газа, и магнитный момент молекулы.
Парамагнитный газ из атомов в состоянии гУ находится при температуре 300 К в магнитном поле В =1 Тл. Вычислить отношение ^ (разности Д^ чисел атомов с положительной и отрицательной проекциями магнитных моментов на направление поля к полному числу N атомов). Вычисление провести: 1) с учетом пространственного квантования; 2) классически—без учета пространственного квантования.
Парамагнитный одноатомный газ помещен в магнитное поле В =2,5 Тл при температуре 300 К. Рассчитать намагничение, если в 1 м3 содержится Д^ == 1026 атомов в 251/2-состоянии.
Вычислить постоянную Кюри одного моля парамагнитного газа, состоящего из атомов натрия (Na) в основном состоянии. Определить также удельное намагничение этого газа при температуре Т = 300 К в магнитном поле с индукцией 6 = 0,1 Тл.
Вычислить парамагнитную восприимчивость 1 кг атомарного кислорода в слабом магнитном поле при температуре 1500 К, если атомы газа находятся в основном состоянии.
§ 7. СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ.МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
Система из N одинаковых частиц с целым спином (такие частицы называются бозонами) может находиться только в состояниях, описываемых симметричной по всем переменным £ волновой функцией:
(^. и • • •, и)=л„£ pv(P1 &) ф2 (в2)... <р„(^), (7.1) V
где Р^— оператор перестановки v пар частиц, фл—одночастичная волновая функция, Л^—нормировочный множитель.
Для системы из N одинаковых фермионов (фермионы — частицы с полуцелым спином) реализуются состояния, описываемые антисимметричной волновой функцией:
Ф1 (61) Ф1 (6») • • • Ф1 (U)
^(61,62, ...,^)^(61,62, ...,^)(7.2)(7.2)= !_ Фа (61) Фа (6*) • • • Фа (6л)
^(61,62, ...,^)
^(61,62, ...,^)
(7.2)
(7.2)
Vn\
Ф^(61) Ф^(6a) • • • Фл^(бл^)
Фермионы подчиняются принципу Паули: в системе из одинаковых частиц с полуцелым спином в каждом одночастичном состояйии может находиться не более одной частицы.
Электронные конфигурации основных состояний многоэлектронных атомов определяются последовательностью энергетических уровней, заполнение которых идет в соответствии с принципом Паули в порядке возрастания энергии, т. с. в такой последовательности:
Is, 2s, 2р, 3s, Зр, [4s, 3d], 4р, [5s, 4d], 5р, [6s, 4/, 5d],
6p, [7s, 5/, 6d], ... (7.3)
Основной терм атома с LS-связью находят по правилу Хунда: наименьшей энергией обладает терм с наибольшим возможным при данной электронной конфигурации спином S и наибольшим возможным при этом спине орбитальным моментом L; квантовое число полного момента принимает значение J = \L—S|, если электронная подоболочка заполнена менее чем наполовину, или значение J = L-VS, если электронная подоболочка заполнена более чем наполовину.
В зависимости от значения результирующего спина энергетические уровни атомов с двумя валентными электронами подразделяют на синглетные, для которых суммарный спин равен нулю, и триплетные, соответствующие результирующему спину S=l.
В парасостоянии (S = 0) координатная часть волновой функции симметрична:
Ф5(Г1. ^) = -р=г[фа(Г1)фр(7а) —фа^фр^)]. (7.4)
Ортосостояние (S=l) описывается антисимметричной по отношению к пространственным координатам волновой
функцией:
фл(Гр Г2) = у=[фа(71)фр(Г2) —фаМфрЙ]. (7.5)
Энергия пара- и ортосостояний в первом приближении представится формулой
Es.A^Ea + E^ + K ± Лбм»(7-6)
где: знак плюс относится к парасостоянию (£s), а знак минус—к ортосостоянию (£л); Еа, Е^— энергия электронов в водородоподобном атоме; К—среднее значение энергии кулоновского взаимодействия электронов. Обменная энергия /обм определяется формулой
/обм = -4^ j Фа £) Фр (rj ^ фа £) фр (Г2) Лх Л2) (7.7)
где г12—расстояние между электронами.
Электронные термы двухатомных молекул классифицируют по значению квантового числа Л, определяющего величину проекции орбитального момента на ось молекулы. В зависимости от значения Л электронные термы молекул обозначают прописными греческими буквами:
Значение А
0
1
2
3
Символ терма
S
П
А
Ф
Состояния отдельных электронов в молекулах обозначаются строчными греческими буквами: о, л, 6 и т. д.
Мультиплетность молекулярного терма, равная (2S + 1) (S — полный спин), пишется в виде индекса у символа терма в левом верхнем углу (например, 1S); в правом нижнем углу пишут результирующий полный момент 3^, а в правом верхнем углу — четность.
Система состоит из двух частиц, спины которых характеризуются квантовыми числами 1/2 и 0. Показать, что при любом законе взаимодействия этих частиц орбитальный момент количества движения 2 является сохраняющейся величиной.
Показать, что если между одночастичными функциями фп ф2, ..., фдг существует линейная зависимость, то антисимметричная волновая функция, определяемая формулой (7.2), обращается в нуль.
Две тождественные частицы находятся во внешнем поле U (г) и слабо взаимодействуют друг с другом с оператором У12. Предполагая решение уравнения Шредингера для одной частицы во внешнем поле известным, найти орбитальную волновую функцию для системы из двух частиц.
Определить обменное расщепление уровней энергии системы двух электронов, рассматривая взаимодействие У12 как малое возмущение.
Вычислить обменную энергию атома гелия при условии, что электроны находятся в состояниях 1s и 2s. Сравнить полученное значение с энергией магнитного взаимодействия спиновых моментов, рассматривая их как магнитные диполи, находящиеся на расстоянии 10”10 м.
Зная экспериментальные значения энергии парасостояния (Es =—58,3712 эВ) и ортосостояния (Ед =—59,1600 эВ) атома гелия с электронной конфигурацией ls12s1, найти обменную и кулоновскую энергию взаимодействия электронов.
Записать полные волновые функции орто- и парасостояний для атомов (или ионов) с электронной конфигурацией Is^s1.
Какой вид имела бы волновая функция основного состояния атома гелия, если бы вокруг ядра вместо электронов обращались частицы со спином, равным Й?
Найти число электронов в атомах, у которых в нормальном состоянии заполнены: а) К-, L-оболочки, 3s- и Зр-подоболочки; б) К-, L-, /И-оболочки и подоболочки 4s, 4р, 4d, 5s.
Записать электронные конфигурации атомов аргона (7=18), криптона (7 = 36), палладия (7 = 46) и цезия (7 = 55).
Найти максимальное число электронов в атоме, имеющих следующие одинаковые квантовые числа: а) п. /, mz; б) п, I; в) п.
Определить число электронов в заполненной л-оболочке (/г = 4), у которых одинаковые значения квантовых чисел: a) mz = —1; б) mz = +l; m^ = —1/2.
Доказать, что все механические моменты (орбитальный, спиновый и полный) у целиком заполненных электронных оболочек равны нулю.
Найти возможные термы системы из двух р-элект- ронов: а) с разными главными квантовыми числами; б) с одинаковыми главными квантовыми числами (эквивалентные электроны).
Найти возможные состояния системы из трех эквивалентных р-электронов.
Показать, что в системе из четырех эквивалентных р-электронов состояния те же, что и в системе из двух эквивалентных р-электронов, т. с. две «дырки» имеют тс же состояния, что и два электрона. Привести примеры систем с аналогичными свойствами.
Пользуясь правилом Хунда, определить основной терм*для атомов, имеющих на незаполненной подоболочке три р-электрона.
С помощью правила Хунда определить основной терм атома с электронной конфигурацией незаполненной подоболочки:
a) nd3; б) ndb; в) nd1.
Найти орбитальную волновую функцию для системы из трех эквивалентных р-электронов: а) в основном состоянии 4S; б) для состояния 2S).
Записать невозмущенную волновую функцию основного состояния нейтрального атома лития.
Определить максимальное число о-, л- и 6-электронов в двухатомной молекуле.
Какова четность мультиплстностсй электронных термов следующих двухатомных молекул: СО, NO, О2, ОН?
Определить возможные типы электронных термов двухатомных молекул, электронная оболочка которых состоит: а) из двух электронов л и о; б) из трех электронов о, л и 6.
§ 8. КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ Вынужденные и спонтанные переходы. Правила отбора
Вероятность перехода системы из начального состояния i в конечное состояние k(i —>k) под действием воз-
мущения V (/) равна:мущения V (/) равна:t2
мущения V (/) равна:
мущения V (/) равна:
(8.1)(8.1)Г=^- f V^^ldt
(8.1)
(8.1)
0
Матричный элемент Vki оператора возмущения определяется по формуле
Ке/ (0 = $ WVT}°’ dx = V^t*,(8.2)
«к.«к.е^-еТ6е^-еТ6(8.3)(8.3)а частота перехода — по формуле
«к.
«к.
е^-еТ
6
е^-еТ
6
(8.3)
(8.3)
Вероятность вынужденного радиационного перехода системы в электрическом дипольном приближении из состояния I в состояние к (Е^ > Е^) в единицу времени, т. е. вероятность Bik поглощения кванта излучения с энергией К^к1 в единицу времени, определяется формулой
Bik = -4-Y\Dtk\S(8.4)
lk ЗбосА2^1 1кХ4'
где D — диэлектрический дипольный момент системы, Bik — коэффициент Эйнштейна для вынужденного поглощения фотона частоты юк(. Суммирование производится по всем состояниям вырожденных уровней с энергией Е^ и Е^.
Коэффициент Эйнштейна Aki для обратного спонтанного перехода к—>1, сопровождающегося испусканием фотона той же частоты, определяется формулой
3
Коэффициенты Эйнштейна для вынужденного (Вм) и спонтанного (Л^-) переходов связаны соотношением
Bki = ^-Btb=^-Akb(8.6)
где Ви и St—статистические веса (кратность вырождения) достояний к и i соответственно.
В начальный момент времени (/ = 0) система находится в состоянии Т[0), относящемся к двухкратно вырожденному уровню. Найти вероятность перехода системы в другое состояние ^^ с той же энергией под действием включенного в начальный момент времени постоянного возмущения.
267» На заряженный линейный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, внезапно накладывается однородное электрическое поле. Определить вероятность перехода осциллятора в возбужденные состояния под влиянием этого возмущения.
Система атомов находится в равновесии с излучением температуры Т. Учитывая, что при равновесии числа прямых (г—>&) и обратных (k^i) переходов одинаковы, а атомы распределяются по энергетическим уровням по закону Больцмана, найти выражения для объемной спектральной плотности энергии равновесного излучения: а) с учетом вынужденного испускания фотона, б) пренебрегая вынужденным излучением.
Предполагая, что вынужденное излучение обусловлено действием изотропного электромагнитного поля такой интенсивности, что в данном объеме вблизи частоты перехода имеется по одному кванту на каждое состояние поля, показать равенство-вероятностей вынужденного и спонтанного переходов.
Атом водорода, находящийся в состоянии 2р, помещен в полость с равновесным излучением. При какой температуре вероятности спонтанного и вынужденного излучения будут одинаковыми?
Получить правила отбора для пространственного ротатора в электрическом дипольном приближении, если невозмущенные волновые функции суть сферические гармоники Yem^s ф).
Найти пределы применимости простейших правил отбора для линейного гармонического осциллятора (Ап = ±1), учитывая, что пропорциональность между вероятностью перехода и квадратом матричного элемента электрического дипольного момента основывается на предположении, что фаза электромагнитной волны внутри системы постоянна.
Показать, что правило отбора для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме (О^х^я) состоит в том, что квантовое число для разрешенных
переходов должно меняться с четного на нечетное (или наоборот).
Непосредственным расчетом вероятности радиационного дипольного перехода линейного гармонического осциллятора показать, что переход из состояний с п = 2 в состояние с и = 0 является запрещенным.
Вычислить отнесенную к единице времени вероятность спонтанного перехода 2р —* 1s и время жизни в состоянии 2р для атома водорода.
Каково физическое обоснование правила отбора, согласно которому переход с излучением одного фотона между двумя состояниями с нулевыми моментами количества движения (0—►0-переход) запрещен? Имеется ли какая-либо другая возможность такого перехода с излучением света?
Найти вероятность перехода за время / системы под влиянием не зависящего от времени возмущения V из состояния с энергией Е в состояние с энергией Е’. Путем анализа полученного результата обосновать соотношение неопределенности M^E^h между энергией ^E и временем Л/. Какой смысл имеет в этом соотношении АЕ?
Оптические спектры. Интенсивность и ширинаспектральных линий
Правила отбора для спинового S, азимутального L и внутреннего J квантовых чисел в электрическом дипольном приближении следующие:
AS = 0; AL = ±1; AJ = 0, ±1,(8.7)
причем переход /1 = 0—^J^ = 0 является запрещенным.
Термы атома (иона) с одним валентным электроном определяются формулой
(88>
где Я— постоянная Ридберга, 2эфф— зарядовое число атомного остова, п— главное квантовое число, Az—кван-
товый дефект. Формула тонкой структуры для термов водородоподобных атомов имеет вид
(8.9)(8.9)т _ RZ2 .a?RZ4 /13'
(8.9)
(8.9)
V"/ n2 + n3 . , 1 4nv+т .
где Z—зарядовое число ядра, а^-^— постоянная тонкой структуры, п и j— квантовые числа (главного и полного момента).
Энергия вращательного Ег и колебательного Е^ движений двухатомной молекулы соответственно определяются формулами:
(8.10)
—Йш(«+4-) [1—р("+4)]><8Н>
..— вра- колеба- р— при..— вра- колеба- р— пригде / — момент инерции молекулы, Z = 0, 1, 2, .
..— вра- колеба- р— при
..— вра- колеба- р— при
— частотасвязи,— частотасвязи,щательное квантовое число, со = у — ний, х—коэффициент квазиупругой
— частотасвязи,
— частотасвязи,
веденная масса молекулы, у— колебательное квантовое
число (v = 0, 1,2, ...), р — коэффициент ангармоничности. Правила отбора для у и Z записываются так:
AZ = ±1;
Ду =Ду =±Lпри р = 0,
Ду =
Ду =
±1, ±2, ... при (3#=0.
Ширина энергетического уровня Г и среднее время жизни т системы в данном состоянии связаны соотношением
тГ~&. (8.12)
1Aki1AkiВремя жизни т по отношению к радиационному переходу к—*1 определяется коэффициентом Эйнштейна Ahi:
1Aki
1Aki
(8.13)
Интенсивность излучения на частоте wki равна произведению полной вероятности радиационного перехода в единицу времени на энергию фотона titoki.
Распределение интенсивности излучения по частоте в пределах спектральной линии с естественным уширением описывается формулой
f-Y
3^=3»k 2 \ -гт ,(8.14)
(<o-<oo)4(fj
где 50—спектральная интенсивность при со = соо, у = —, т—среднее время жизни возбужденного состояния.
Определить потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома натрия (Na), у которого квантовые дефекты основного терма 3s и терма Зр равны соответственно 1,37 и 0,88.
Найти энергию связи валентного электрона в основном состоянии атома лития (Li), если известно^ что длины волн головной линии резкой серии и ее коротковолновой границы соответственно равны 0,813 и 0,349 мкм.
Вычислить для иона бериллия (Ве+) квантовые дефекты s- и р-термов, а также длину волны границы и головной линии резкой серии, если известно, что длины волн головной линии главной серии и ее коротковолновой границы равны соответственно 321 и 68,3 нм.
Термы атомов и ионов с одним валентным элект- .о R (Z—о)2 ,
роном можно представить формулой Т = —-^2*— (где Z—зарядовое число ядра, о—поправка на экранирование, п— главное квантовое число валентного электрона). Вычислить о для натрия (Na) в основном состоянии, если известно, что ионизационный потенциал атома натрия равен 5,14 В.
Найти расщепление уровня Зр атома натрия, если длины волн компонентов дублета резонансной линии равны 588,996 и 589,593 нм. Сравнить полученное значение с энергией перехода Зр—*3s1/2.
Используя формулу тонкой структуры (8.9), вычислить для двухкратно ионизированного лития разность длин волн компонентов дублета линии, обусловленной переходом 2р —► 1s.
284» При какой- разрешающей способности спектрального прибора можно обнаружить тонкую структуру головной линии серии Бальмера атомарного водорода?
Сравните относительную «населенность» вращательных уровней с / = 1 и / = 0 молекулами парообразного хлористого водорода, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при температурах Тг = = 288 К и Т2 = 2,88 К.
Найти отношение энергий, которые нужны для возбуждения молекулы йодистого водорода (HI) на первый колебательный и первый вращательный уровни. Собственная частота колебаний молекулы HI равна 6,93-Ю^с”1, а расстояние между ядрами составляет 1,604-10"10 м.
Зная частоту собственных колебаний молекулы хлора (Cl2) v0^ 1,695-10 X3c~J и расстояние между ядрами d= 1,988-10“10 м, рассчитать, до какова ротационного уровня должна быть возбуждена молекула, чтобы ее вращательная энергия оказалась равной колебательной энергии на первом возбужденном уровне.
Найти относительный изотопический сдвиг линий чисто ротационной полосы спектра смеси молекул НО36 и НС137 хлористого водорода, если расстояния между ядрами в обеих молекулах можно считать одинаковыми.
Определить коэффициент (3 ангармоничности молекулы хлора (С12), если для нее собственная частота колебаний v0= 1,695-Ю^с”1, а энергия ее диссоциации составляет 2,48 эВ.
Газообразный натрий, содержащий N=5-1016 атомов, находится в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т = 1600 К- При этом мощность излучения на частоте резонансной линии со = 3,2- Ю^с^1 составляет 0,52 Вт. Пользуясь приведенными данными, найти среднее время жизни атома натрия в состоянии Зр.
Используя формулу (8.14), найти естественную ширину спектральной линии с длиной волны X, считая известной величину у. Вычислить естественную ширину спектральной линии ртути с длиной волны Х= 185 нм, соответствующей переходу из возбужденного состояния с временем жизни т=1,2-10“9с в основное состояние.
Распределение интенсивности излучения в линии с доплеровским уширением имеет вид
тсЧ^-юрУ
3Ю = 3^ 2к«т<й» ,
где 50 — интенсивность в центре линии, Т—абсолютная температура, пг— масса атома. Получить эту формулу из распределения Максвелла по скоростям и найти доплеровское уширение линии.
Оценить доплеровское уширение линии для аргоновой газосветной трубки на длине волны Х = 5-102нм при температуре 300 К. При каком давлении уширение, обусловленное столкновениями атомов, в рассматриваемом случае станет одинаковым с доплеровским уширением? При расчетах атомы аргона считать твердыми шариками с диаметром d порядка 0,2 нм.
§ 9. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Дифференциальное эффективное сечение рассеяния do равно отношению числа частиц, рассеянных внутри элементарного телесного угла dQ, к плотности потока задающих частиц.
Полную волновую функцию, описывающую движение падающей и рассеянной частиц на больших расстояниях от рассеивающего центра, можно представить выражением
^ = ^+/(9)^-, (9.1)
в котором первый член описывает движение падающей частицы, а второй — рассеянной; к — волновой вектор. Функция / (6) угла рассеяния называется амплитудой рассеяния.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется амплитудой рассеяния:
do^\f (0)|2dQ. (9.2)
В том случае, когда потенциальную энергию U (г) рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра можно рассматривать как возмущение, амплитуда рассеяния в первом приближении теории возмущений определяется формулой
f^=-^VUr)ei17dT* (9,3)
где m—приведенная масса рассеянной частицы, q = = 2^sin-|-.
Формула (9.3) даст для амплитуды рассеяния так называемое борновскос приближение, условием применимости которого является выполнение неравенства
(9.4)
где а—эффективный радиус действия поля, и—скорость частицы, | U | — порядок величины потенциальной энергии в основной области действия поля.
При рассеянии частиц с зарядом ех кулоновским центром с зарядом Ze для дифференциального сечения рассеяния из (9.3) получается формула Резерфорда:
da=da=Zeex4ле0ту2Zeex4ле0ту2У dQ sm ТУ dQ sm Т(9-5)(9-5)
da=
da=
Zeex4ле0ту2
Zeex4ле0ту2
У dQ sm Т
У dQ sm Т
(9-5)
(9-5)
Если представить функцию (9.1) рядом из полиномов Лежандра Pz(cos9), то асимптотическое выражение волновой функции при движении частоты в сфери- чески-симметричном потенциальном поле можно записать так:
W)» V |4£^z(cos9)sin^r-^ + 6zj , (9.6)
где Az = const. Величина 6Z называется фазой или фазовым сдвигом /-й парциальной волны.
Амплитуда рассеяния выражается через фазовые сдвиги парциальных волн по формуле
K0) = iE(2Z+ l)(^-l)Pz(cos0).(9.7)
/ = 0
Слагаемые в этой сумме называются парциальными амплитудами рассеяния.
Используя ортогональность полиномов Лежандра P,(cos0), показать, что полное сечение рассеяния может
быть представлено в виде суммы парциальных сечений аг, т. е.
где
^ = >(2/+l)sin26P
Зная выражение
для парциальной амплитуды рассеяния, выразить парциальное сечение упругого рассеяния через мнимую часть амплитуды рассеяния на нулевой угол.
296# Вычислить эффективное сечение рассеяния медленных частиц массой т непроницаемой сферой радиусом а, учитывая, что при ак<^Л преобладающую роль играет s-рассеяние.
Пользуясь методом парциальных волн, найти полное сечение рассеяния медленных частиц прямоугольной потенциальной ямой шириной а и глубиной Uo
Проанализировать выражение для эффективного сечения рассеяния медленных частиц сферической потенциальной ямой
и установить характер зависимости эффективного сечения от глубины потенциальной ямы Uo.
Примечание. Приведенная формула не является строгой в случае резонансного рассеяния.
Определить амплитуду рассеяния медленных частиц на силовом центре с потенциальной энергией
[ Uo при г < а,
х 7(0 при г >а
Рассмотреть предельный случай:
Найти фазы и сечение рассеяния частиц на малые углы рассеивающим центром с потенциалом [/(г) = ~. Учесть, что при рассеянии на малые углы основной вклад дают парциальные волны с большими I.
Найти в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния сферической потенциальной ямой шириной а и глубиной U0.
Используя результат предыдущей задачи для дифференциального сечения рассеяния, определить полное сечение рассеяния потенциальной ямой. Рассмотреть два предельных случая:
рассеяние медленных частиц (afe<^l);
рассеяние быстрых частиц (а&^>1).
Определить в борновском приближении дифференциальное и полное сечение рассеяния в поле с гаус- совским потенциалом U = UQe аг. Указать пределы применимости полученных выражений.
Используя борновское приближение и пользуясь правилами размерностей физических величин, оценить эффективное сечение в поле с потенциальной энергией U (г) = ^. Проанализировать полученное выражение для следующих частных случаев: а) /г = 1; б) п — ^ в) н = 3.
Вычислить амплитуду рассеяния и полное сечение рассеяния в поле с потенциалом Юкавы U (г) = г
~^е а в борновском приближении.
Определить дифференциальное сечение рассеяния частиц кулоновским полем в борновском приближении.
Найти интегральное сечение рассеяния а-частиц кулоновским центром с зарядом Ze для углов 9^~ (рассеяние назад).
Вычислить сечение ядра золота (Ап) при рассеянии протонов с кинетической энергией 2,4 МэВ в интервале углов от у до л.
Кулоновским полем ядер атомов серебра (Ag) рассеиваются а-частицы с кинетической энергией Ек = = 1,8 МэВ. Определить дифференциальное сечение ^ при рассеянии на угол 0 = -j.
310» Определить в борновском приближении дифференциальное сечение упругого рассеяния атомом частиц с зарядом ev рассматривая атом как неподвижный центр с зарядом Ze, окруженный отрицательно заряженным непрерывным облаком с плотностью заряда—ер (г).
31L Вычислить дифференциальное и полное сечение рассеяния быстрых электронов на атоме водорода в основном состоянии (1s), не учитывая обмена электронов.
312< Используя результат задачи 310, вычислить полное сечение рассеяния быстрых электронов атомом гелия в основном состоянии (1s2).
Раздел II
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
§ 10. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО.КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
Фазовое пространство, или Г-пространство, есть абстрактное 28-мерное пространство всех обобщенных координат q^ и обобщенных импульсов pj системы с s степенями свободы. С течением времени фазовая точка, изображающая микросостояние системы, движется в Г-про- странстве по фазовой траектории.
Элемент фазового объема определяется произведением dr = Д d^dp,.(10.1)
При квазиклассическом описании каждому квантовому состоянию системы сопоставляется фазовый объем h\ Число квантовых состояний, приходящихся на интервалы (^у 4-^у+ ^у), (Ду4- pj + dpj) обобщенных координат и импульсов, выражается так:
РЙ = ^.(Ю.2)
Согласно теореме Лиувилля для канонического ансамбля Гиббса плотность числа фазовых точек остается постоянной при их движении вдоль фазовых траекторий. Значит, элементарный объем в фазовом пространстве, перемещаясь с течением времени, может меняться только по форме, сохраняя свое значение неизменным:
(10.3)
Функция распределения по микросостояниям определяется энергией или гамильтонианом Н системы:
H^P/WW-(10.4)
В замкнутой системе с энергией Н осуществляется микроканоническое распределение:
Kqj, Р^ = ^ At£ ^о Р/) — н1-(Ю-5)
Здесь
д ( 1 при Е^}, р,) = Н,~ I 0 при £ <qp р^Н.
Величина g(£)—статистический вес состояния системы, равный числу ячеек объема hs, прилегающих к гиперповерхности энергии £ (<7Z, ру) = const в Г-пространстве,— определяется формулой
Для системы, находящейся в тепловом контакте с термостатом, справедливо каноническое распределение Гиббса:
Ф-Н^у. Ру)
Р^ = е§.(10.7)
Величина 0, называемая модулем канонического распределения, является статистическим аналогом абсолютной температуры: 9 = к0Т, где ^ — постоянная Больцмана. Параметр ф, определяемый из условия нормировки функции распределения, выражает свободную энергию системы.
Энтропия системы с очень большим числом степеней свободы может быть представлена в виде
_S = Ао In Г (£) = к. In g (£),(10.8)
где Е— средняя энергия системы. В формуле (10.8) опущены аддитивные константы, не зависящие от энергии.
Определить фазовую траекторию для частицы массой т, движущейся по инерции со скоростью v0.
Определить фазовые траектории: 1) для свободной частицы при наличии силы трения пропорциональной скорости; 2) для линейного осциллятора с малым трением.
Указание. Во втором случае воспользоваться уравнением движения линейного осциллятора:
7 + ^7 + ®о7 = О,
где р—коэффициент сопротивления среды, т—масса, соо—собственная частота осциллятора.
Определить и изобразить фазовую траекторию для частицы массой т с электрическим зарядом —е. движущейся под действием кулоновской силы притяжения к неподвижному заряду + ^. Начальное расстояние между зарядами г0 и начальная скорость частицы ио = О.
Начертить фазовые траектории одномерного движения материальных точек в поле силы тяжести с ускорением g = const и проиллюстрировать справедливость теоремы Лиувилля.
Проверить справедливость теоремы Лиувилля для материальных точек массой т, движущихся по инерции вдоль некоторого направления.
Проверить теорему Лиувилля для следующих трех линейных гармонических осцилляторов:
/
2е ,1 / 2 (е+Де),
—acosto/; х2= у -L^_LC0Stot,^з= V ^cos^ + 6>;
рх = — V2ms sin со/, р2 = — V2m (е + Де) sin со/,^3 — — V*2ms sin (со/ + б),
где т, е, со—масса, энергия и собственная частота соответственно, а Де и б — некоторые постоянные величины.
Проверить справедливость теоремы Лиувилля для случая упругого центрального соударения двух частиц массами тх и т^ движущихся вдоль одной прямой.
Проверить теорему Лиувилля для абсолютно неупругого удара двух шаров.
Для линейного гармонического осциллятора с энергией 8 вычислить фазовый объем Г, ограниченный гиперповерхностью энергии. Оценить объем элементарной фазовой ячейки, используя формулу энергетического спектра
8n = /iv(n + |),
где n = 0, 1, 2, ... .
Вычислить фазовый объем Г для релятивистской частицы массой покоя т6, движущейся в объеме V и обладающей энергией е.
Найти число микросостояний dQ(e) с энергией е в интервале e-Fe + de для частицы газа, энергия которой связана с импульсом соотношением г —ср (где с—- скорость света в вакууме).
В объеме V заключены N частиц идеального газа, которые подчиняются микроканоническому распределению с энергией Е. Вычислить для этой системы фазовый объем Г, энтропию S и температуру Т. Найти уравнение состояния.
Для N невзаимодействующих линейных осцилляторов с энергией Е справедливо микроканоническое распределение. Вычислить для этой системы фазовый объем Г, энтропию S и температуру.
Вывести каноническое распределение Гиббса из общей формулы микроканонического распределения, считая, что в качестве термостата выступает: 1) совокупность N линейных осцилляторов; 2) совокупность N частиц идеального газа. При выводе считать, что -у-^
Ef г
^-^- = const при N —*оо (где Ео и Е —энергия замкнутой системы и энергия термостата соответственно). Показать, что окончательный результат не зависит от выбора термостата.
Записать в классическом приближении распределение Гиббса по энергиям для линейного гармонического осциллятора и вычислить среднее значение его энергии.
Идеальный газ, состоящий из N частиц, находится в термостате с температурой Т. Найти вероятность того, что газ имеет заданное значение энергии Е из интервала E-^-E-VdE.
Найти положение Евер, ширину ДЕ, отношение ЛЕ
-— и высоту &утах максимума плотности вероятности ^вер
w^E) канонического распределения Гиббса для системы с большим числом невзаимодействующих частиц N.
Указание. Воспользоваться выражением до(Е) = е sn t
*= Be кйТЕ 2 для плотности вероятности. Для получения окончательного результата применить формулу Стирлинга: ЛИ « I — J .
Показать, что каноническое распределение Гиббса
для систем с очень большим числом частиц (АГ—>оо) переходит в микроканоническое.
Показать, что для системы с большим числом невзаимодействующих частиц N наивероятнейшая энергия Евер совпадает со средней энергией системы.
Показать"что для системы с большим числом частиц справедливо соотношение Е^^^Е^ при любом целом т.
Пользуясь каноническим распределением Гиббса, получить максвелловское распределение молекул идеального газа по энергиям. Сравнить графики плотностей вероятностей (в распределении Гиббса и максвелловском распределении).
Найти вероятность того, что молекула имеет угловые скорости cot, со2, со3 вращения вокруг главных осей инерции из интервалов (Oj+^<0/, со2 4-<а>2 + ^(о2; со3 4- 4-co3 + dco3, если главные моменты инерции равны соответственно /ь /2, /3. Внутримолекулярными колебаниями атомов пренебречь.
Найти средние квадратичные значения угловой скорости у^ со2 и кинетического момента вращения молекулы уЛ ^2.
Показать, что энтропия квазизамкнутой системы, содержащей весьма большое число частиц, пропорциональна логарифму числа состояний с энергией, близкой к среднему значению S —
Используя каноническое распределение Гиббса и связь между энтропией и свободной энергией, показать, что энтропия S выражается через фазовую плотность вероятности распределения по микросостояниям формулой 5 = — &0 Inf.
Пусть W {— вероятность того, что система находится в i-м состоянии с энергией Е{. Показать, что если энтропия выражается формулой S = — ktt 2 Wt In Wb то i
те значения Wb при которых энтропия максимальна, подчиняются каноническому распределению.
Получить формулу Больцмана S = feolnU7r, предполагая, что энтропия S и термодинамическая вероятность WT функционально связаны друг с другом.
3 № 23
§11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Число молекул равновесной системы, скорости которых лежат в интервале от и до u + du, определяется распределением Максвелла:
з
dN (v) = 4nN (^у e~aviv2dv, (11.1)
где N — число всех молекул, Т— абсолютная температу-
m pa, m— масса молекулы,•
Среднее значение скорости выражается так:
v = V\vdN^=V—- (Н-2)
TV J v ' т ктх 1
о
Средняя квадратичная скорость ]/~и2 и наивероят- 1
нейшая скорость ув тоже пропорциональны Т 2:
(1L3>
(114)
Распределение по компонентам скорости можно записать в виде произведения:
mcyX e 1к«т dvumcyX e 1к«т dvud®tyx, VB, иг)— ^2лйот) 6° ЙУх\2л1гат) X
mcy
X e 1к«т dvu
mcy
X e 1к«т dvu
(H.5)(H.5)(———i 2 e ^oT dx)\2кк0Т J e UU1
(H.5)
(H.5)
Отсюда следует, что компоненты скорости vx) vyi vz являются статистически независимыми.
Используя каноническое распределение Гиббса, доказать, что распределение Максвелла по компонентам импульса (а следовательно, и по скоростям) справедливо для любых систем.
Подсчитать число частиц N идеального газа, скорости которых заключены в интервале 0^u^vB.
Какая часть молекул газа имеет кинетическую энергию поступательного движения выше средней кине
—.з
тической энергии г— — к0Т?
Изучение свойств пленок нерастворимых поверхностно-активных веществ, нанесенных на поверхность воды, показало, что при малых плотностях пленки молекулы этих веществ могут совершенно свободно двигаться по поверхности жидкой подложка. Они ведут себя подобно своеобразному «двумерному» идеальному газу, частицы которого двигаются только в двух измерениях. Записать распределение скоростей в идеальном двумерном газе и найти характерные скорости молекул: v, vB,
Показать, что число ударов молекул газа о единичную площадку поверхности сосуда за 1 с может быть записано в виде ч — ~пи (где п— число молекул в единице объема).
Молекулярный пучок выходит из узкой щели в откаченный сосуд. Найти среднюю и среднеквадратичную скорости частиц в пучке.
Найти среднее значение величины, обратной скорости молекул газа в состоянии равновесия, т. е. (4“)*
Подсчитать число ^1 частиц в газе, у которых х-й компонент скорости лежит в интервале O^v^^v^.
Найти число молекул, имеющих заданное значение и2 компонента скорости вдоль некоторой оси г, и число молекул, имеющих заданное значение и^ компонента скорости в направлении, перпендикулярном оси г.
Вычислить наиболее вероятную ев энергию молекул в идеальном газе. Показать, что £вт^~ти1.
Какая часть молекул газа имеет скорость, боль- шудо средней тепловой скорости у —— ?
Какая часть молекул газа имеет скорость, заключенную между половинным и удвоенным значениями наивероятнейшей скорости, т. е. между уУв и 2vB?
Показать, что отношение числа молекул, имею-
3*
щих скорости, превосходящие наивероятнейшую, к числу всех молекул газа не зависит от температуры.
Считая, что молекулы газа, ударяющиеся о стенки сосуда, передают им некоторую известную часть своей энергии, выражаемую правильной дробью р, найти энергию; передаваемую 1 см2 поверхности за 1 с.
Найти вероятность того, что кинетическая энергия частицы идеального одноатомного газа не превышает заданного значения е0.
Высокотемпературная плазма из дейтерия находится при температуре 107К. Определить, какая доля ядер обладает кинетической энергией, достаточной для преодоления кулоновского потенциального барьера (без учета туннельного эффекта). Радиус ядра дейтерия принять рявным 2- 10“Х5 м.
В большом сосуде объема V находится N частиц идеального газа при температуре Т. Найти угловое распределение частиц, вылетающих в единицу времени в вакуум из небольшого отверстия площадью S в стенке сосуда.
Металл находится в равновесии со свойм паром. Давление пара считается настолько низким, что наличие пара не влияет на скорость испарения частиц. Найти массу металла М, испаряющегося с 1 см2 поверхности в 1 с, как функцию давления и температуры.
Газ состоит из атомов, излучающих свет с длиной волны %0. Найти закон распределения по длинам волн X измеряемой в спектроскопе интенсивности излучения газа, состоящего из N атомов, находящихся в тепловом движении.
Получить выражение молярной теплоемкости при постоянном объеме су для идеальных одноатомных газов.
Найти относительную флуктуацию 68 энергии молекулы идеального газа и относительную флуктуацию 6^ энергии газа, состоящего из N молекул.
Пользуясь распределением Максвелла, вычислить среднюю скорость относительного движения молекул газа.
§ 12. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ВО ВНЕШНЕМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
Вероятность того, что радиус-вектор г(х, у, г) молекулы идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле в состоянии равновесия при температуре Т> попа-
дает в интервал r-~rA-dr, определяется распределением Больцмана:
dW^ = Ae"k»T dV,(12.1)
где и (г)— потенциальная энергия частицы, dV—элемент объема, А— постоянная нормировки.
В однородном поле тяготения, для которого и (г) = mgz (g—ускорение свободного падения, против которого направлена ось г), зависимость числа частиц в единице объема от координаты г описывается барометрической формулой:
mgz
п^ = пое(12.2)
где м0—концентрация частиц при г = 0.
С помощью распределения Больцмана рассчитывается поляризация полярных диэлектриков и намагничение парамагнетиков.
Проекция вектора поляризации 51 в направлении напряженности действующего поля ^g определяется равенством
5»,=p0N cos9 = peNL$).(12.3)
Здесь р0—дипольный момент молекулы, N — число молекул в единице объема, 9 = р0^а, а функция Ланже- вена L(P) определяется формулой L(P) = cthp—^ , где
Р = ^^- При р<^1 имеем:
(12.4)(12.4)9 - NP" оJ 8 ~ Зк0Т ®е-
(12.4)
(12.4)
Считая справедливой для атмосферы (в первом приближении) барометрическую формулу, найти, на какой высоте при температуре 273 К давление воздуха уменьшается втрое. Относительную молекулярную массу воздуха считать равной 28,97. Ускорение свободного падения ^ = 9,81 м/с2.
Для измерения числа Авогадро Перрен исследовал распределение по высоте взвешенных в жидкости
зерен гуммигута в однородном поле силы тяжести. Он нашел, что при температуре 293 К при поднятии вверх на высоту в 100 мкм число взвешенных частиц уменьшается в два раза. Частицы гуммигута диаметром 0,3-10“4 см были взвешены в жидкости, плотность которой на 0,2 г/см3 меньше плотности частиц. Определить по этим данным значение числа Авогадро.
364» Определить среднее значение потенциальной энергии одной молекулы в равновесном столбе газа высотой Н. Газ находится при температуре Т в однородном поле силы тяжести с‘ускорением g.
В вертикальном цилиндрическом сосуде высоты Н находится 1 моль одноатомного идеального газа при температуре Т. Найти энергию и теплоемкость газа, учитывая наличие однородного поля силы тяжести. Рассмотреть два предельных случая:
1) ^H<RT, 2) iigH>RT1
где р—молекулярная масса, R— универсальная газовая постоянная.
Какая доля молекул кислорода (О2) земной атмосферы может преодолеть гравитационное поле Земли при температуре 300 К?
В центрифуге находится эмульсия из воды и некоего синтетического вещества, плотность которого р = 0,999 г/см3. Взвешенные частицы этого вещества можно считать шариками радиусом 10~2 мкм. Радиус центрифуги R =12 см, частота вращения / = 200 Гц. Вычислить отношение чисел взвешенных частиц в центре и на периферии, если температура равна 4°С.
Молекулярную массу коллоидальных частиц можно определить на основе исследования распределения их концентрации во вращающейся центрифуге. Найти молекулярную массу коллоидальных частиц, если известно, что отношение их концентраций в точках, находящихся на расстояниях г2 и гг от оси центрифуги, равно а. Плотность частичек р, плотность растворителя р0. Угловая скорость вращения центрифуги со.
Найти среднюю потенциальную энергию молекулы идеального газа, находящегося в центрифуге радиуса R, вращающейся с постоянной угловой скоростью со.
В газовой центрифуге радиуса R» вращающейся с постоянной угловой скоростью со, производится разделение смеси газов, молекулы которых имеют массы тх 70
и m2. Найти коэффициент разделения
4 Uk/n^o ’
где nt и п2 — концентрация молекул обоих сортов. Объяснить, почему q растет с понижением температуры.
Найти среднее квадратичное расстояние молекул массы т от оси центрифуги радиуса R, вращающейся с постоянной угловой скоростью со. Показать, что не существует наивероятнейшего расстояния до оси. Температура газа в центрифуге Т.
Равновесный одноатомный газ, состоящий из N молекул массой т, находится в равномерно вращающейся с угловой скоростью со центрифуге радиусом R при температуре Т. Найти энергию и теплоемкость газа.
Получить распределение молекул газа в вертикальном цилиндре радиусом R и высотой Н, находящемся в однородном поле тяжести с ускорением g и вращающемся вокруг своей оси с угловой скоростью со.
Газ находится в поле с потенциальной, энергией 17 =— acoscp (где a = const, ср—угол между осью молекулы и некоторым выделенным направлением, например напряженностью внешнего однородного электрического поля). Получить распределение молекул по направлениям и вычислить среднее значение потенциальной энергии молекулы, считая, что ср меняется непрерывно в интервале от 0 до л.
Газообразный аммиак (NH3), молекулы которого обладают дипольными моментами ро = 4,9-1О~30 Кл-м, помещен в однородное электрическое поле с напряженностью ^ = 500-^-. У какой части молекул аммиака при температуре 273 К дипольные моменты образуют с направлением <^ угол, не превышающий 45°?
Для газообразного хлористого водорода (НС1), находящегося в равновесном состоянии при температуре 300 К, определить, при какой напряженности действующего поля второй член разложения функции Ланжевена L(P) по степеням р = ^^ дает поправку порядка 1% к приближенному выражению £(Р)~-^р. Дипольной момент молекулы хлористого водорода равен 3,5-10"?0 Кл-м.
С учетом пространственного квантования получить выражение для среднего значения проекции на направление магнитной индукции В магнитного момента атомов парамагнитного газа в состоянии с квантовыми числами L, S, J, считая внешнее магнитное поле слабым.
Определить магнитный момент моля газа, состоящего из молекул с магнитным моментом р = 2,5рв (где Рб — магнетон Бора) при температуре 60 К и напряженности магнитного поля 50 кэ.
Найти разность показателей преломления п2 и пу газа из анизотропных молекул для электромагнитных волн, электрические векторы которых колеблются соответственно вдоль осей г и у, в зависимости от распределения молекул по углам 0 между осями молекул и осью г. Считать, что (nz—п^<^пй и и0 близко к единице (м0— показатель преломления при изотропном распределении осей молекул). Принять также, что распределение молекул зависит лишь от угла 9 их осей с осью г.
Вычислить постоянную Керра К =(где ^0©0
Хо—длина волны падающего света, в—напряженность постоянного электрического поля) для газа, состоящего из полностью анизотропных молекул с постоянным дипольным моментом р0, направление которого совпадает с направлением поляризуемости молекулы. Считать, что ^-<Х И Ринд<Ро-
§ 13. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯКЛАССИЧЕСКОГО ГАЗА
Интеграл состояний 2 классического газа из N частиц с s степенями свободы равен
Н kqp Р^
8 dT* <13J) г
где 6 = ^0Т. Свободная энергия F и энтропия S системы определяются выражениями:
Г = —91п£;(13.2)
8-ке^(Г\п^.(13.3)
Термическое и калорическое уравнения состояния рассчитываются по формулам:
U = kJ2U = kJ2д In g\'дТ' /V*д In g\'дТ' /V*(13.4)(13.5)(13.4)(13.5)
U = kJ2
U = kJ2
д In g\
'дТ' /V*
д In g\
'дТ' /V*
(13.4)
(13.5)
(13.4)
(13.5)
где ^—давление, U— внутренняя энергия.
Интеграл состояний одноатомного идеального газа из N частиц в отсутствие внешнего силового поля равен
где пг—масса частицы.
В реальных не очень плотных газах, в которых среднее расстояние между молекулами велико в сравнении с их размерами, учитывают лишь парные взаимодействия частиц. Энергия взаимодействия пары молекул выражается так:
« И = '« И = 'О при г^р,
« И = '
« И = '
(13.7)(13.7)— | и (г) | при р > г > d, оо при r^d.
(13.7)
(13.7)
где р—радиус взаимодействия молекул, d—диаметр молекулы. В этом случае интеграл состояний газа из N молекул, занимающих объем V, принимает вид:
гдегде(13.8)(13.9)(13.8)(13.9)^М1+^У
где
где
(13.8)
(13.9)
(13.8)
(13.9)
Р = 4л \е Ai0Т _ 1 J r2Jft
Для систем, подчиняющихся классической статистике, справедлива теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы: средняя кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень сво боды, равна
= (13.10)
Пользуясь выражением интеграла состояний для одноатомного идеального газа, вычислить свободную энергию и давление гелия, находящегося в цилиндре объема 10 л при температуре Т = 300 К- Масса газа 1 г.
Определить внутреннюю энергию, энтропию, энтальпию и термодинамический потенциал для 1 л гелия при температуре 400 К и давлении 2,76-105 Н/м2, считая его идеальным газом.
Вывести термическое уравнение состояния идеального одноатомного газа, у частиц которого энергия связана с импульсом соотношением 8 = ср4.
Найти свободную энергию F и уравнение состояния идеального одноатомного ультрарелятивистского газа, для частиц которого справедливо соотношение г^ср между энергией и импульсом.
Найти, как зависит от энергии Е и объема V энтропия S идеального одноатомного газа из N частиц.
Найти выражение свободной энергии IF и энтропии S идеального газа при одномерном движении.
Получить уравнение адиабаты классического идеального газа при: а) одномерном движении; б) двухмерном движении.
Найти свободную энергию S столба идеального одноатомного газа высотой Н и площадью основания о, находящегося в одномерном поле силы тяжести с ускорением g, при температуре Т, если известны число N всех частиц газа и масса пг частицы.
В сосуде, имеющем форму куба с ребром L, находится при температуре Т идеальный газ из N частиц. Сосуд с газом помещен в однородном поле силы тяжести с ускорением g. Найти давление на верхнюю грань куба.
Идеальный газ из N атомов заключен во вращающийся с угловой скоростью (о цилиндр радиусом R и высотой I. Определить среднее давление газа на боковую поверхность цилиндра, если температура газа Т.
Вывести закон Дальтона для давления смеси двух идеальных газов. Число частиц одного газа Nv а другого N2.
Смесь двух идеальных газов, состоящих из Nt и ^2 частиц с массами mt и т2 соответственно, находится в цилиндрическом сосуде высотой h и площадью основания о. Сосуд с газом помещен в однородное поле силы
тяжести с ускорением g. Найти давление на верхнюю стенку сосуда, а также положение центра масс.
Вычислить интеграл состояний двухатомного идеального газа, если колебания атомов в молекулах еще не возбуждены. Определить вращательные части свободной энергии, энтропии и внутренней энергии.
Найти изменение вращательной свободной энергии и вращательной энтропии 'для 1 кмоль кислорода (О2) при его нагревании от 350 до 400 К» если момент инерции молекулы кислорода равен 1,91-10“46 кг-м2.
Хлористый водород нагревают от 300 до 400 К- Найти приращение внутренней энергии и энтропии 2 кмоль этого вещества, считая, что колебания атомов в молекулах еще не возбуждены и объем при нагревании остается постоянным.
Вычислить вращательную часть интеграла состояний многоатомного идеального газа и получить выражения для вращательных: свободной энергии <FBP, внутренней энергии UBP и энтропии SBP.
Вычислить вращательные части свободной энергии, внутренней энергии, энтропии, энтальпии и термодинамического потенциала для 1 кмоль водяных паров при температуре 400 К и давлении 1,52-105 Н/м2. Главные моменты инерции молекулы воды (Н2О) равны /^ = = 10"46 кг-м2, 7^= 1,9« 10~47 кг-м2, /^= 1,9-10"47 кг-м2.
Вывести термическое уравнение состояния многоатомного идеального газа.
Найти выражение для свободной энергии газа Ван-дер-Ваальса. Используя полученную формулу, вычислить свободную энергию 1 г гелия, занимающего объем V = 5 л при температуре 400 К ^ = 3,5 • 103 ™0^ > b = 0,024 .
’ кмольJ
Получить калорическое уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса. Вычислить внутреннюю энергию 2 кмоль кислорода, занимающих объем 10'2 м3 при темпера- туре 300 К («=1,36.10‘-^).
Подсчитать энтропию 1 г гелия, находящегося в сосуде объема 10 л при температуре 300 К* Гелий
считать газом Ван-дер-Ваальса (« = 3,5-103, b =
г\’ кмоль2
= 0,024 —.
’ кмоль У
Найти выражение для термодинамического потенциала газа Ван-дер-Ваальса.
Вычислить постоянную а в уравнении Ван-дер- Ваальса для случая, когда потенциальная энергия взаимодействия между частицами имеет вид
t/(r) =t/(r) =' оо при О^г < 2г0,
t/(r) =
t/(r) =
Г < ОО,Г < ОО,—«о (у-) при 2г0
Г < ОО,
Г < ОО,
где г0 — радиус частицы, п—натуральное число, причем п > 3.
Вычислить поправку к уравнению состояния для разреженного газа, частицы которого взаимодействуют по закону
( оо при 0^r <d,уг при г>^
где d—диаметр частицы, а>0, п>3.
Взаимодействие между молекулами двумерного газа, образованного молекулами, адсорбированными на поверхности жидкости площадью о, можно учесть так же, как это делается для обычного газа. Найти уравнение состояния двумерного газа из N частиц, учитывая лишь парные взаимодействия молекул.
Показать, что если для всех газов потенциальная энергия взаимодействия пары молекул имеет вид
Щг) =Щг) =оо при 0^г < г0,( Го V— «о ( у-) при Гооо при 0^г < г0,( Го V— «о ( у-) при Го< Г< Г< 00< 00
Щг) =
Щг) =
оо при 0^г < г0,( Го V
— «о ( у-) при Го
оо при 0^г < г0,( Го V
— «о ( у-) при Го
< Г
< Г
< 00
< 00
(где г0—радиус частицы, п—натуральное число), то с помощью интеграла состояний можно получить обобщенный закон соответственных состояний.
Получить выражение для молярной теплоемкости Су идеального газа, предполагая, что колебания атомов в молекулах не возбуждены.
Найти среднюю энергию и теплоемкость классического газа: а) при одномерном движении; б) при двухмерном движении.
Величина ^qt^r называется вириалом для f-й степени свободы. Показать, что среднее значение вириала одной степени свободы равно уй0Т, если Ноо при qt—*±оо.
Пользуясь теоремами о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и о вириале в виде
4i дщ ~ Pi dpi ’
вычислить среднюю энергию линейного гармонического осциллятора.
Пользуясь теоремами о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и о вириале, найти среднюю энергию частицы, совершающей одномерное движение во внешнем поле с потенциальной энергией U ^ = aq^n (где п—натуральное число, а = const).
Вычислить молярную теплоемкость твердого тела, считая колебания атомов ангармоническими. Функция Гамильтона линейного ангармонического осциллятора имеет вид
где
Вычислить среднюю энергию линейного осциллятора, функция Гамильтона которого имеет вид
где а = const.
Найти теплоемкость Cv одного моля идеального одноатомного ультрарелятивистского газа (е = ср).
4t5. Найти дополнительную теплоемкость двухатомной молекулы, обусловленную ангармоничностью ее колеба-
ний, если потенциальная энергия молекулы имеет #ид
U = ^q»W + tq4,
где коэффициенты а, р, у — постоянные величины.
КВАНТОВОЕ КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Для квантовых систем с дискретным энергетическим спектором е„ при наличии ^„-кратного вырождения каноническое распределение имеет вид
^п=^е М(14Л)
где статистическая сумма 2 равна
2=Sg„e к»т .(14.2)
п
(14.3)(14.4)равна степе-(14.5)(14.3)(14.4)равна степе-(14.5)Статистическая сумма и средняя энергия квантового гармонического осциллятора с частотой v выражаются формулами:
(14.3)
(14.4)
равна степе-
(14.5)
(14.3)
(14.4)
равна степе-
(14.5)
1-е к»т— Av , Avs=—+-^—•
Молярная теплоемкость Cv разреженного газа сумме парциальных теплоемкостей Суй различных ней свободы:
Су = 2 Су' = ср°“+с^+сгл+с^л.
Парциальная теплоемкость Су° = 0 при Т<^Т^\ характеристическая температура данной степени свободы Т^ определяется выражением
Т^=-™ г” •(14.6)
где е^, e£h—энергии основного и первого возбужденного уровней для Z-й степени свободы.
Энергия жесткого ротатора с двумя вращательными степенями свободы равна
+ (14.7)
где 7—момент инерции ротатора, квантовое число / принимает значения 7 = 0, 1, 2, причем каждый уровень (2/ + 1) кратно вырожден.
Вычислить фазовый объем ячейки av для колебательного движения, принимая во внимание, что при 7^>Т?0Л статистическая сумма одномерного гармонического осциллятора с частотой v совпадает с интегралом состояний
J tty
Задана система N независимых одномерных осцилляторов. Найти число осцилляторов в системе, имеющих энергию, большую или равную заданной 6j = = («i+y)^'
Исследовать температурный ход средней энергии Е и теплоемкости с системы N независимых линейных квантовых осцилляторов.
Собственная частота со колебаний молекул азота равна 4,45-1014с"1. Вычислить колебательную часть молярной теплоемкости при температуре Т = 500 К.
Найти свободную энергию и энтропию для системы из N независимых линейных осцилляторов.
Двумерный гармонический осциллятор обладает (п + 1)-кратно вырожденными энергетическими уровнями en = hv (п + ^У Вычислить среднюю энергию и теплоемкость системы, состоящей из N независимых двумерных гармонических осцилляторов.
Система обладает эквидистантными (равноотстоящими друг от друга) невырожденными уровнями энергии гр = рг (где р=1, 2, 3, ..., п). При этом энергия высшего уровня мала по сравнению с тепловой энергией кйТ. Найти статистическую сумму и среднюю энергию системы.
Найти среднюю энергию и теплоемкость системы N невзаимодействующих частиц, могущих находиться в двух квантовых невырожденных состояниях: е0 и ev
Вычислить максимальное значение теплоемкости Cv и положение максимума в температурной шкале для системы N невзаимодействующих частиц с двумя уровнями (е0, ej, если статистический вес gt верхнего уровня значительно меньше статистического веса g0 нижнего уровня.
Вычислить фазовый объем ячейки аг для вращательных степеней свободы, учитывая, что при Т^>Т^ статистическая сумма для жесткого ротатора равна интегралу состояний
3 = -L fe’^dr.
ar J
Рассчитать для случая высоких и низких температур среднюю энергию и парциальную теплоемкость Сур системы, состоящей из N двухатомных молекул, считая их жесткими квантовыми ротаторами. Показать, что кривая С^Т) имеет максимум.
Найти свободную энергию и энтропию системы N квантовых ротаторов при Т > Т®9.
Вычислить характеристические температуры для вращательных степеней свободы следующих молекул, моменты инерции которых приведены в таблице 4.
Та бл и ца 4.
Молекулы
н2
n2
о2
С12
НС1
NO
Момент инерции Х10-40 г-см2
0,46
13,84
19,13
113,5
2,67
16,43
Определить отношение вращательных критических температур для молекул водорода (Н2), дейтерия (D2) и соединения HD, считая радиусы этих молекул одинаковыми.
Вычислить характеристическую температуру для колебательного движения молекулы окиси углерода СО,
если собственная частота колебаний молекулы v«0,65x х Гц.
Определить отношение колебательных характе- рисщческих температур молекул Н2, HD и D2, считая, что квазиупругая сила осциллятора во всех трех случаях одинакова.
Найти вклад в свободную энергию 1 моль двухатомного газа кислорода (О2), вносимый первым возбужденным уровнем молекул при 5000 К, если разность энергий первого двукратно вырожденного и основного трехкратно вырожденного уровней равна 11256 К.
Разность термов основного электронного состояния Уо и первого возбужденного состояния 3Sj в атоме гелия составляет 159843 см-1. Вычислить относительное число возбужденных атомов в гелии при температуре 6000 К.
Определить вращательную и колебательную части молярной теплоемкости кислорода (О2) при температуре 300 К, если известны собственная частота молекулы <о0 = 2,98- 1014с-1иее момент инерции /= 1,91 • 10~46кг-м2.
Найти максимум вращательной части молярной теплоемкости. Какой температуре соответствует этот максимум у молекул хлористого водорода (НС1)?
§ 15. КВАНТОВЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Среднее число частиц с полу целым спином в одном квантовом состоянии с энергией е определяется распределением Ферми—Дирака:
/о(е) =(15.1)
где т)—энергия Ферми, или химический потенциал.
При абсолютном нуле температуры химический потенциал т)0 выражается через концентрацию частиц п и массу т формулой
По = ^Г(Зл2/г)3 .(15.2)
В общем случае (при любой температуре) концентрация
и энергия Е идеального ферми-газа определяются интегралами
n = -^rg Jf0(e)-Z)(e)de;(15.3)
О
£ = 4ef0(e).D(e)de,(15.4)
о
где D(e)de—число квантовых состояний с определенной проекцией спина sz в интервале энергий £4-e+de, V—объем газа, g = 2s + \— статистический вес, s—спин частицы. В нерелятивистском случае плотность состояний D (е) выражается формулой
Функция распределения электронов в практически важных случаях или сильно вырождена (металлы) или мало отличается от классической (больцмановской) функции распределения (полупроводники). В первом случае производная —^ имеет острый максимум при е = г). Поэтому справедливо равенство
J^-f0 (8) de ~ G h)-G (0) +-£(W ^\=xt • (15.6) О
Температура вырождения То зависит от концентрации частиц:
2
При Т^Т^ ферми-газ является вырожденным, а при Т ^> То — невырожденным.
Среднее число частиц с целым спином (бозоны), находящихся в одном квантовом состоянии с энергией е, описывается функцией распределения Бозе—Эйнштейна: f»^= _ej •(!5.8)
Для бозе-газа существует такая предельная температура Ti, что химический потенциал т] обращается в Нуль при T^TV Переход бозонов при Т < То на нулевой уровень энергии называется бозе-конденсацией, а сама температура То—температурой бозе-конденсации.
Рассматривая равновесное излучение как фотонный газ и применяя к нему распределение Бозе—Эйнштейна, получим для спектральной плотности энергии равновесного излучения формулу Планка:
р (v, Т)= ^ ^vTmvTT * (15.9)
Исходя из функции распределения по энергиям, получить распределение по скоростям для нерелятивистских фермионов с половинным спином. Изобразить график этой функции при абсолютном нуле температуры.
Используя результат предыдущей задачи, вычислить среднюю и среднюю квадратичную скорости, а также среднее значение величины, обратной скорости, при Т-0 к.
Определить теплоемкость и энтропию нерелятивистского вырожденного ферми-газа при температурах, отличных от абсолютного нуля.
Найти число столкновений электронов со стенкой в нерелятивистском электронном газе при абсолютном нуле температуры.
Определить для фермионов энергию тех уровней, вероятности заполнения которых соответственно равны 0,1 и 0,9.
При какой плотности электронов с температурой Т = 10^ К можно пользоваться статистикой Максвелла—Больцмана? Какие выводы отсюда можно сделать относительно функции распределения электронов в плазме?
Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01 эВ ниже уровня Ферми, при температуре 200 К?
Найти долю свободных электронов в металле при 0 К, кинетическая энергия которых больше половины максимальной.
Вычислить энергию Ферми при Т = 0 К для серебра, полагая эффективную массу электронов равной массе свободного электрона. Концентрация свободных электронов в металлическом серебре равна 5-Ю22 см~3.
Вычислить наиболее вероятную и среднюю скорости свободных электронов в металлическом серебре при Т — О К, если известно, что концентрация свободных электронов в металлическом серебре равна 5-1022 ем-3.
Вычислить химический потенциал сильно вырожденного электронного газа при температуре, отличной от абсолютного нуля. Оценить, на сколько процентов отличается энергия Ферми металлического натрия при Т^ЗОО К от энергии Ферми при Т\ = 0 К, если концентрация свободных электронов в натрии равна 2,5 х X Ю22 см-3.
Определить термодинамический потенциал Ф, свободную энергую ^ и энтальпию Н вырожденного газа Ферми—Дирака при 7^0 К-
Показать, что для вырожденного газа Ферми между давлением 9\ энергией Е и объемом V выпол-
2
няется соотношение 5>V = -^-E.
Покажите, что сжимаемость k„ = —^-(4^ вы- е V \ дР ) т
3
рожденного электронного газа равна у (п^о)-1- Сравните значение сжимаемости ке, полученное с помощью этой формулы для натрия, с экспериментальным значением ^сп= 15 • 10~11 м2/Н. Плотность электронов для натрия считать равной 2,5-1022 см-3.
Оценить удельную электронную теплоемкость (на единицу массы) для лития и натрия, предполагая, что валентные электроны в обоих случаях можно рассматривать как свободные. Плотности лития и натрия равны соответственно 0,534 и 0,97 г/см3.
Определить число состояний D(e)de, граничный импульс ре и энергию Ферми т^ при абсолютном нуле температуры для ультрарелятивистского электронного газа из N частиц в объеме V. Энергия частицы связана с импульсом р соотношением г = ср (где с—скорость света).
Для ультрарелятивистского электронного газа найдите: а) полную и среднюю энергию одной частицы при Т = 0 К; б) связь между давлением и полной энергией.
Определить число столкновений в единицу времени с единичной площадкой стенки в ультрарелятивист- ском полностью вырожденном электронном газе.
Вычислить теплоемкость вырожденного ультраре- лятивистского электронного газа.
Получить уравнение состояния релятивистского полностью вырожденного электронного газа, у которого энергия электрона е связана с импульсом посредством равенства: 82 = с2р2 + т§с4 (где т0—масса покоя электрона).
Химический потенциал ц бозе-газа определяется равенством
^_2„(2s + l)(2mW/./,-j_^_,
О
где s—спин частицы и г = -^-. Определить температуру бозе-конденсации.
Принимая во внимание тот факт, что при Т <Т'6 число бозонов в состояниях с положительной энергией (е > 0) определяется функцией распределения
™ и=ms^™ и=ms^1^8 de е^Т __х ’1^8 de е^Т __х ’
™ и=ms^
™ и=ms^
1^8 de е^Т __х ’
1^8 de е^Т __х ’
найти число частиц в состоянии с энергией, равной нулю. Полное число всех частиц N.
Определить полную энергию Е и теплоемкость бозе-газа при температуре, меньшей его температуры бозе-конденсации То.
Определить температурную зависимость энтропии S, давления 5\ свободной энергии Ж и термодинамического потенциала бозе-газа при Т < То. Какими особенностями бозе-газ при температуре, меньшей температуры конденсации То, аналогичен насыщенному пару?
Получить уравнение обратимого адиабатического процесса с газом Бозе—Эйнштейна при Т < Т'о.
Выразить температуру конденсации бозе-газа через плотность частиц и оценить ее для изотопа гелия-4, если известно, что спин атомов 4Не равен нулю, а молярный объем составляет 27,6 см3.
Показать, что в случае двумерного газа бозе- эйнштейновская конденсация не имеет места, если энергия выражается формулой
Здесь ^х = ~^-1, ^ = -^-2- (Где nt и л2 = 0, ±1, ±2, ..., a Lt и La — размеры области в направлении осей X и у).
Найти полную энергию двумерного бозе-газа, рассмотренного в предыдущей задаче как функцию химического потенциала т] и температуры Т.
Найти связь между давлением 5\ объемом V и полной энергией Е идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе—Эйнштейна.
В уравнении состояния идеального газа вычислить первую поправку, обусловленную квантовой статистикой.
Сравнивая формулу Вина для р (v, Т) с формулой Планка, установить, до какой температуры в пределах видимого спектра (750 нм > X > 400 нм) можно пользоваться формулой Вина, не допуская ошибки, превышающей 0,1%.
Пользуясь формулой Планка, получить закон смещения Вина ХтахТ = а (где а = const). Выразить а через универсальные постоянные &0, с, h.
Определить температуру поверхности Солнца, считая его абсолютно черным телом, если известно, что максимум интенсивности в излучении Солнца приходится на зеленую область спектра с длиной волны X = 5-10-5 см.
Показать, исходя из корпускулярных представлений, что для давления ^ равновесного излучения существует следующее простое выражение: «^ = у (где и — объемная плотность энергии излучения).
При взрыве атомной бомбы в центре взрыва достигается температура порядка 108 К. Определить световое давление в центре взрыва (сразу после взрыва), предполагая, что излучение равновесное.
Вывести формулу для спектральной плотности равновесного излучения в двухмерном случае.
Используя результат предыдущей задачи, получить законы Стефана — Больцмана и Вина для двухмерного случая.
Пользуясь формулой Планка, найти число фотонов в единице объема с длиной волны в интервале между X и X-f-c/%.
Найти зависимость числа фотонов равновесного излучения от полной энергии и объема.
Кривая закона равновесного излучения Планка имеет максимум при частоте v0. Найти выражение для отношения частот v6, соответствующих различным температурам.
Определить полное число фотонов в единице объема полости, заполненной равновесным тепловым излучением при температуре 300 К.
§ 16. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФЛУКТУАЦИЙ И БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Относительная флуктуация дх параметра х определяется равенством
e^-^/rW-^^^-^-(16.1)
Вероятность малых флуктуаций макроскопической системы описывается распределением Гаусса:
1_ ^"^о)2
где
•<16'3>
^ VA у х — Xq
х0— равновесное значение параметра х, и^— потенциальная энергия, через изменение которой выражается работа при вынужденном переходе системы в неравновесное состояние.
Вероятность малых флуктуаций однородной системы можно выразить через изменение термодинамических параметров:
/AV-A^ — AT-AS\
г ~ ехР (w) •(16Л)
Если в качестве независимых параметров взять объем V и температуру Т, то
W ~ ехрW ~ ехр^(ДТ)>].ехр[^(^)г(ЛУ)-]. (16.5)
W ~ ехр
W ~ ехр
Степень зависимости флуктуаций двух термодинамических параметров х и у характеризуется коэффициентом
корреляции
Г =-^^г.(16.6)
1^ Ах2 • А^2
Если х и у статистически независимы, то ^ = 0.
Величины V и Т статистически независимы. Второй парой статистически независимых термодинамических параметров являются давление ^ и энтропия S.
Среднее значение квадрата смещения броуновской частицы за время t равно
? = 2О^(16.7)
где D—коэффициент диффузии.
Случайные «блуждания» броуновской частицы в направлении оси х с продолжительностью т шага во времени описываются уравнением Эйнштейна—Смолуховского:
^„W = ^_^п(х/г)• ^ Ш, (16.8) где /г ^ 1.
Здесь Wn (х/у)— вероятность попадания частицы через время t = пх из точки с координатой ха в точку с координатой уа (где а—длина шага). Кроме того, имеют место следующие соотношения:
( 1 при х = у, ^Дх1у^ = 6х =\
I 0 при х^у, (16.9)
^i kxilh = ~2^y,x-i +*2" ^у* *+!•
Доказать, что среднее квадратичное отклонение аддитивной величины от равновесного значения равно сумме средних значений квадратов отклонений этой величины для отдельных частей.
Показать, что относительная флуктуация любой аддитивной функции состояния системы обратно пропорциональна корню квадратному из числа независимых частей системы.
Выразить относительную флуктуацию энергии системы, подчиняющейся каноническому распределению, через среднее значение энергии и модуль канонического распределения 6.
Пользуясь распределением Гиббса для системы с переменным числом частиц, выразить (АЛ/)2 через /dNX ,„х
к'лГ/г v 'где ^ — химический потенциал).
Рассматривая идеальный газ как целое и считая справедливой теорему равномерного распределения энергии по степеням свободы, показать, что относительная флуктуация энергии газа обратно пропорциональна VN (где N—число молекул газа).
Найти относительную флуктуацию энергии идеального газа в ультрарелятивистском случае, когда энергия одной частицы е связана с ее импульсом р соотношением е = рс (где с—скорость света).
Доказать статистическую независимость флуктуации энтропии и давления. Найти (AS)2 и (Д^)2.
Получить выражение для (Д^)2 (где N — число частиц, находящихся в определенном объеме). Рассмотреть случай нерелятивистского идеального газа.
Найти для идеального газа коэффициент корреляции флуктуаций температуры и давления и вычислить его для гелия (Не) и водорода (Н2) при нормальных условиях.
Определить коэффициент корреляции флуктуаций температуры и энтропии для любой простой системы.
Найти коэффициент корреляции флуктуаций объема и энтропии для гелия (Не), водорода (Н2) и углекислого газа (СО2) при: а) средних температурах; б) высоких температурах. Газы считать идеальными.
Используя переменные Г и Г, найти AV Д51 и коэффициент корреляции флуктуаций для объема и давления 5*.
Пользуясь формулой (ДЛ/)2 = 6(-^~)т v< справедливой для большого канонического ансамбля, найти (Anz)2 для частиц, подчиняющихся распределению Ферми.
Найти относительную флуктуацию числа частиц для идеального бозе-газа при т]^=0.
Взвесь одинаковых броуновских частиц в жидкости помещена в однородное поле силы тяжести с ускорением g. Пользуясь тем, что в стационарном состоянии поток частиц отсутствует, а распределение частиц описы-
вается формулой Больцмана, найти связь между подвижностью частицы b и коэффициентом диффузии D.
Принимая совокупность броуновских частиц за идеальный газ, подчиняющийся законам гидродинамики идеальной изотермической жидкости, получить уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка. Внешнее поле характеризуется потенциальной энергией U (г); силу сопротивления считать пропорциональной первой степени скорости; силами инерции пренебречь.
Используя одномерное уравнение Эйнштейна — Фоккера—Планка (см. задачу 492), определить средний квадрат смещения броуновской частицы, движущейся в однородном поле силы тяжести с ускорением g.
Броуновская частица совершает случайные «блуждания» в направлении оси х с продолжительностью шага т. Вероятности смещения из точки с координатой fes (где к — целое число и — N ^fc^N) на расстояние е вправо или влево соответственно равны ~^1—^ и у^ + 'у)* Путем предельного перехода при N—>оо, 8—>0, т—>0 вывести уравнение Эйнштейна—Фоккера — Планка и определить характер внешней силы, действующей на частицу.
Пусть частица движется вдоль оси х так, что за каждый интервал времени т она с равной вероятностью может сместиться вправо или влево на расстояние а. При этом вероятность, что частица, начавшая свое движение из точки ха, через время t = пт достигнет точки уа, определяется уравнением Смолуховского
Z= - 00
где п>1, Wi(x/t/) = Y8i/<x-i + -^8!/,x+i> ^о(х/у) = 6Х1у.
Найти Wn (х/у) путем решения уравнения Смолуховского и рассмотреть предельный случай, когда п^Х.
Определить число Авогадро по следующим опытным данным: среднее квадратичное перемещение зерен гуммигута при броуновском движении в глицерине при температуре 20°С в некотором фиксированном направлении за 5 мин составило 1,4 мкм. Вязкость глицерина Р = 1э49 _£_ t радиус частицы а = 0,4 мкм.
^(О + Й~Ь ^(й-Й^(О + Й~Ь ^(й-Й
^(О + Й~Ь ^(й-Й
^(О + Й~Ь ^(й-Й
Найти средний квадрат флуктуационного отклонения вертикально висящего математического маятника длины I и массы т. Ускорение свободного падения в поле силы
тяжести равно g.
Определить для изобарического газового термометра предел чувствительности, который обусловлен флуктуациями. Газ считать идеальным;
число молекул принять равным ^= 1022.
На тонкой кварцевой нити с модулем кручения
/< = Ю”6 рад2" висит легкое зеркальце. Найти предел чувствительности прибора по отношению к углу поворота ф, если температура окружающей среды составляет 300 К.
Используя известные значения для (Д^)2 и (AS)2, получить формулу Ландау и Плачека для отношения интенсивности несмещенного компонента к сумме интенсивностей двух смещенных линий при рассеянии света в жидкостях:
СР।
7о+й + U-aCV
Указание. За исходное взять соотношение
Определить предел чувствительности зеркального гальванометра (рис. 10), полное отклонение которого в апериодическом режиме достигается за время т = 5 с. Причем известно, что 80% подводимой электрической энергии за время успокоения превращается в тепло. Внутреннее сопротивление гальванометра R =100 кОм. Считать, что тепловые флуктуации подчиняются нормаль-
ному закону распределения. Измеримые значения тока должны превышать утроенный доверительный интервал тока за счет тепловых флуктуаций; Т = 300 К.
§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ
При малых отклонениях адиабатически изолированной системы от равновесного состояния скорости изменения параметров сц определяются выражением
do/dS
= ^LikdTk>О7-о
где п—число параметров, характеризующих энтропию S системы. Кинетические коэффициенты Lik удовлетворяют принципу симметрии Онсагера:
Lu = Lki,(17.2)
da;
если термодинамические потоки /. = — и сопряженные
v dS
им силы az=^7 выбраны так, что скорость измененияэнтропии замкнутой системы можно представить формулойп
(17.3)
I = 1
Число частиц системы, радиус-векторы которых в данный момент времени лежат в интервале r-^r + dr и вектора скоростей—в интервале и ч- u-Y-dv, равно
Цг, v, t)drdv.
Функция распределения f(r, v, f) является решением кинетического уравнения Больцмана
^ + ^ + _14 = /ст,(17.4)
dt dr tn dy
где F—внешняя сила, действующая на частицу массой т. Интеграл столкновений /сг выражается так:
/сг = ^ sinGdGdq) ^ст(6, ф)|оа—^(-[/(r, v'4, t)f(r,v'u t) —
—/(г, va, М(г. "v t^dv^ (17.5)
где иг = и, v2, и^ Уз — скорости частиц до и после столкновения, о(0, ср)—дифференциальное эффективное сечение рассеяния.
В приближении парных соударений средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна плотности газа и при максвелловском распределении молекул по скоростям определяется формулой
(17.6)(17.6)1
(17.6)
(17.6)
V^an '
где о—эффективное сечение, п—концентрация частиц. Кинетическое уравнение Больцмана в приближении времени релаксации имеет вид
(17.7)(17.7)а/д/F df = f-f*
(17.7)
(17.7)
dtdrт дит
где /0— равновесная функция распределения, т—время
релаксации.
При рассмотрении термоэлектрических явлений в металлах и полупроводниках удобно выбрать в качестве
термодинамических потоков плотности электрического
тока 7 и потока тепла Q==co + —/ (где со—плотность по-
тока энергии, т]—электрохимический потенциал носителей зарядов). Найти силы, сопряженные потокам, при которых выполняется принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера.
Используя принцип симметрии Онсагера, выразить кинетические коэффициенты для изотропного кристалла через удельную электропроводность о, дифференциальную термо-ЭДС а, коэффициент теплопроводности х.
Используя принцип симметрии Онсагера, выразить коэффициент Пельтье Плв через дифференциальные термо-ЭДС ал и ав двух проводников, на контакте которых при изотермических условиях выделяется тепло, пропорциональное плотности тока /.
Показать, что при наличии внешнего поля U (г) стационарным решением кинетического уравнения Больцмана является функция распределения Максвелла — Больцмана.
Исходя из кинетического уравнения Больцмана, получить максвелловское распределение скоростей молекул равновесного газа в отсутствие внешнего поля.
Получить распределение Больцмана для плотности идеального газа в однородном поле силы тяжести из кинетического, уравнения Больцмана.
В начальный момент времени N молекул равновесного идеального газа занимают при температуре Т сферический объем радиуса R. Затем газ начинает беспрепятственно расширяться в пустоту. Определить плотность частиц как функцию времени и координаты г.
На примере неравновесного распределения в начальный момент времени (/ = 0)
£ £ , Л б (^) / / о "г г /-> ->\2 1 2
L ^0 ^0 J
(где f0 — распределение Максвелла, Л, к, v0, соо, Zo— константы) показать, что в идеальном газе при отсутствии столкновений пространственные неоднородности со временем исчезают.
Указание. Записать уравнение Больцмана, в котором член столкновений отсутствует; получить из него неравновесную функцию распределения и вычислить плотность числа частиц в каждой точке в зависимости от времени.
Оценить среднюю длину свободного пробега молекулы кислорода при нормальных условиях, принимая эффективный диаметр молекулы приблизительно равным 3-10“Х0м. Вычислить также среднее число Z соударений в 1 с одной молекулы с остальными.
Идеальный газ сжимают адиабатически. Получить для этого случая зависимость средней длины свободного пробега и среднего числа соударений в 1 с от давления.
Найти давление водорода в колбе емкостью 1л, при котором длина свободного пробега молекулы больше размеров сосуда. Газокинетический диаметр молекулы водорода равен 2,2-10-8 см и температура газа 300 К.
Идеальный газ нагревают при постоянном давлении. Как изменяется при этом средняя длина свободного пробега I и число столкновений Z его молекул в 1 с с изменением температуры?
Определить среднее число столкновений Z, испытываемых отдельной молекулой двумерного идеального газа с другими молекулами в 1 с.
Считая, что молекулы движутся по законам классической механики, найти зависимость среднего эффективного сечения о рассеяния молекул от температуры, если потенциальная энергия взаимодействия между частицами имеет вид
U = 1 — 7» при г > d,( ОО при г ^d = const.
Найти среднюю длину свободного пробега I молекул примеси в идеальном газе, если масса молекул основного газа т, их эффективное сечение о; эти же величины для молекул примеси равны nV и о'.
Оценить значение коэффициента теплопроводности газа, основываясь на следующих предположениях: а) все молекулы движутся с одинаковой скоростью и; б) каждая молекула изотропно рассеивается через интервалы времени т, одинаковые для всех молекул; в) после рассеяния энергия каждой частицы точно равна средней энергии молекулы в точке, где произошло рассеяние.
Используя кинетическое уравнение Больцмана в т-приближении для электронов проводимости в металле и считая время релаксации т зависящим только от энергии получить уравнение теплопроводности и выражение для коэффициента теплопроводности х через интегралы по энергии носителей.
Используя т-приближение кинетического уравнения Больцмана и считая время релаксации постоянным, найти коэффициент внутреннего трения у для потока газа в направлении оси х, имеющего постоянный градиент проекции скорости их, направленной вдоль оси у.
Определить, на какой угол ср повернется диск, подвешенный на упругой нити, если под ним на расстоянии й=1 см вращается второй такой же диск с угловой скоростью со = ЗОс*. Радиус дисков /? = 0,1м, модуль кручения нити 100 Др3дМ > коэффициент внутреннего трения воздуха 1,8-lO^r-cM^-c”®. Краевыми эффектами пренебречь. Движение воздуха между дисками считать ламинарным.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Предположим ради простоты, что уменьшение энергии электрона вследствие изучения настолько мало, что его ускорение приближенно равно ускорению’при равномерном движении по окружности соответствующего радиуса г:
иб2
— — —
г^т^т^г2
Тогда для полной энергии Е в нерелятивистском случае получим выражение
2™ 4л8уГ “2 *
Уменьшение энергии электрона вследствие изучения определяется формулой
dE _Е^1_ 128ле0 £4
"дГ"6ле0с3”^mV^ '
Отсюда
^—, го = 0,53.10-1Ом.
8ле0г0 °’
Время т, в течение которого расстояние электрона от ядра уменьшается от г0 до rv соответствующего скорости ^==0,1 с = 3-107^-, равно
т = Л^^-(г2—г^)« 1,4-10-» с.
Так как х = Л cos со/ и р =— тосоЛ sin со/, то энергию осциллятора выразим через собственную частоту со и амплитуду Л колебаний:
ЕЕ_ Р2 I /noco2x2 __ /посо2Л2
Е
Е
—2“2
С помощью правила квантования определяем разрешенные значения амплитуд:
^ pdq = m0Ato^ j/ 1 — -^ dx = т0<оА2л = nh;
п /п0(Ь *
где №0, 1,2, ...
Подставляя найденное значение А^ в выражение для энергии, получим:
Еп = пАсо.
Еп = пАсо (где п = 1, 2, 3, ...); со = j/^--,
Указание. Использовать постулат частот и выражение энергии для водородоподобных атомов.
п = 3.
Уне+— 54 В; Уи++ = 122 В.
R = —^-(где Мя—масса ядра), R» = ^. .
1 । т°32л2е0№3с
а) Ев—£^ = 3,7-10~3эВ;
кн—Хо = 0,178 нм;
VD—V„ = 2,8-10-3B.
a) rn = n2rn гг= 1,06- 10~8см;
V = 6,8 В;
% = 243 нм.
2,85- 10-м; 2,53- 103эВ; 1,9- 105В.
Используя функцию распределения Максвелла в виде
3 т°у8
^)=4я(ет)2е~ 2кбТ уа
и соотношения /М = /(^)^» ^^^Ги' находим функцию распределения по длинам волн:
f (X) = 4лЛ3 (2лт060Т)f (X) = 4лЛ3 (2лт060Т)за»2 ^—*4 g ^коТт^Х*за»2 ^—*4 g ^коТт^Х*
f (X) = 4лЛ3 (2лт060Т)
f (X) = 4лЛ3 (2лт060Т)
за»
2 ^—*4 g ^коТт^Х*
за»
2 ^—*4 g ^коТт^Х*
Определяя наиболее вероятную длину волны из условия
df (М л1-^— = 0, получим: Хь —df (М л1-^— = 0, получим: Хь —hh18. ^18. ^2 VШйквТ'V 2тхЕк2 VШйквТ'V 2тхЕк0,09 нм.0,09 нм.^ = 0,Знм.Ах =,hl = 10 мкм. d y2m0EKАх-Крх«к!ъ.Указание. Учесть, что разрешение микроскопа выражается формулой А = ^-ф- (где X—длина волны испускаемого света, 0—угол, под которым виден объектив микроскопа из точки нахождения объекта).^ = 0,Знм.Ах =,hl = 10 мкм. d y2m0EKАх-Крх«к!ъ.Указание. Учесть, что разрешение микроскопа выражается формулой А = ^-ф- (где X—длина волны испускаемого света, 0—угол, под которым виден объектив микроскопа из точки нахождения объекта).ДрДр10-24 Дж ’С .10-24 Дж ’С .Ао> 10е—; сАо> 10е—; смДумДу5к = ^>3,5эВ.к 2тв -^ ’5к = ^>3,5эВ.к 2тв -^ ’dmin ^ 0,05 нм.|£|«13,6эВ; г«0,5- Ю^’м. -гт 2290 Е 3 =: £min 2m0/2 •£„,.--^ = -83эВ; , = ^ =0,3.10-.- м.а) (2—x2)sinx + 4xcosx, (1—x2)sinx + 3xcosx;2(14-4х + 2х2)е2х, (1+6х + 4х2)е2х.dmin ^ 0,05 нм.|£|«13,6эВ; г«0,5- Ю^’м. -гт 2290 Е 3 =: £min 2m0/2 •£„,.--^ = -83эВ; , = ^ =0,3.10-.- м.а) (2—x2)sinx + 4xcosx, (1—x2)sinx + 3xcosx;2(14-4х + 2х2)е2х, (1+6х + 4х2)е2х.
df (М л1
-^— = 0, получим: Хь —
df (М л1
-^— = 0, получим: Хь —
h
h
18. ^
18. ^
2 VШйквТ
'V 2тхЕк
2 VШйквТ
'V 2тхЕк
0,09 нм.
0,09 нм.
^ = 0,Знм.
Ах =,hl = 10 мкм. d y2m0EK
Ах-Крх«к!ъ.
Указание. Учесть, что разрешение микроскопа выражается формулой А = ^-ф- (где X—длина волны испускаемого света, 0—угол, под которым виден объектив микроскопа из точки нахождения объекта).
^ = 0,Знм.
Ах =,hl = 10 мкм. d y2m0EK
Ах-Крх«к!ъ.
Указание. Учесть, что разрешение микроскопа выражается формулой А = ^-ф- (где X—длина волны испускаемого света, 0—угол, под которым виден объектив микроскопа из точки нахождения объекта).
Др
Др
10-24 Дж ’С .
10-24 Дж ’С .
Ао> 10е—; с
Ао> 10е—; с
м
Ду
м
Ду
5к = ^>3,5эВ.к 2тв -^ ’
5к = ^>3,5эВ.к 2тв -^ ’
dmin ^ 0,05 нм.
|£|«13,6эВ; г«0,5- Ю^’м. -гт 22
90 Е 3 =: £min 2m0/2 •
£„,.--^ = -83эВ; , = ^ =0,3.10-.- м.
а) (2—x2)sinx + 4xcosx, (1—x2)sinx + 3xcosx;
2(14-4х + 2х2)е2х, (1+6х + 4х2)е2х.
dmin ^ 0,05 нм.
|£|«13,6эВ; г«0,5- Ю^’м. -гт 22
90 Е 3 =: £min 2m0/2 •
£„,.--^ = -83эВ; , = ^ =0,3.10-.- м.
а) (2—x2)sinx + 4xcosx, (1—x2)sinx + 3xcosx;
2(14-4х + 2х2)е2х, (1+6х + 4х2)е2х.
Согласно определению функции от оператора
/(Л) = у/^Л".
п\п = 0
Для оператора Л= ~ разложение экспонента в ряд записывается в следующем виде:
е^ = 1 + аЛ+^Л8 + ...+ ^> =
। . д а2 д2 .у аМ« “ 1die" •
Указание. Учесть формулы разложения в ряд тригонометрических функций:
=ose-£(-i)-^.п=0' *
Разлагая функцию ф(г+а) в ряд Тейлора, получим:
ф(7+а) = ф(7) + а Лф (7)+ Qi ^ Ф(г) + --- = dr21 dr2
1+а4 + 4--^ + ---W).dr 21 dr2/
Указывая выражения для оператора импульса р = — — , 1 dr
можно оператор параллельного переноса записать так:
А—>—>, Q Р
f,= l+A№)+lMi + ...-e‘ .
кх -5-— кхр
5 дх гр (х) == е hф(х) = ф[(^+ 1)х].
По определению ^(/фф(г) = ф(г + ^г) (где d<p = = nod<p, dr = d<p-r). Разлагая функцию ф(г + йг) в ряд Тейлора и отбрасывая члены 2-го и более высоких порядков малости, получим для оператора бесконечно малого поворота выражение.
= 1 + № • Г] Л = 1 + Т «о^ф.
дг
Если Дф = ф* и ДСф = С*ф*, то
Я (ед+ед)=ед+ед=с^+с*^.
Значит, оператор комплексного сопряжения А не является линейным, так как в общем случае Сг#=С^ и С2 5^ С2.
Нет.
Комплексносопряженным оператором по отношению к оператору В называется оператор В*, для которого выполняется условие
(В*ф*)* = Вф.
Для оператора комплексного сопряжения (Дф = ф*) это условие принимает вид: (Д*ф*)* = Дф = ф*. Поэтому Х*<ф* = гр. Но Дф* = ф. Значит, оператор А* равен оператору А. Оператор комплексного сопряжения А не является эрмитовым, так как
J фГДф2 dx—^ ф^ф2 dx#;^ ф2Дф^ dx = J ф^б/т.
Оператор Д + , сопряженный линейному оператору А, определяется условием
J Ф1ЛФ2 ^Т= ^ ф2 (Д+ф^^Т.
Сумма А+А+ является эрмитовым оператором, так как
ф; (а + А+) ф2 dx = 5 ф2 И +ф!)* dx + J ф2 (Дфх)* dx == $ Ф2 (Д + Л+)*ф;^т.
[Л, В]_ = 0.
V2x—xV2 = 2£.
OX
В общем случае нет. Например, оператор рх коммутирует с операторами у и ру1 которые между собой не коммутируют.
А^2АА1
T=-^-^ = Tr + cF-i, где Т, = -^-2х 2т0 ’ г 1 2т0г22т0 г2
а) —t ^ tp (х) = Хлр (х), ^^ikdx. Отсюда лр(х) = = CetXx, причем Сеп-Х = Сеп"^х+а\ т. е. 1Ха = 12лп. Значит, собственные значения оператора принимают значения X„ = ^n (Me п = 0, ±1, ±2, ...);
—^- = Хф; i|) = c1sinKXx + C2cos]^Xx.
Используя граничные условия, получим:
ф (0) = С2 = 0; ф (/) = сг sin К^I = 0.
Отсюда УМ^кп (где п=±1, ±2, ...). Итак, собственными функциями будут
ф (%) — С\ sin УХх, а собственными значениями оператора —
^П /2>
где п= ±1, ±2, ...
, - А —^
ф(г) = (2ля) 2е^
а) Уравнение — Л^ = 2Х^ имеет решение ф(ф) —
— Ае я .Из требования однозначности ф(<р) = ф(ф + 2л) следует, что 22 = тК (где/72 = 0, ±1, ±2, ...).Из условия
2Л
нормировки Сф(ф)ф*(ф)йф = 1 получаем А = -—=.. По- оУ 2л
этому нормированные собственные функции имеют вид:
Фи(ф) = (2л)’тЛ
Ц — тД1, где т = 0, ±1, ±2
1
Ф„(ф) = (2л)~ 2 etm».
Уравнение —^^4-аз1пф-ф = Хф имеет решение:
~ (Хф + асозф)
ф (<р) = Ае^.Из требования однозначности функ
чаем: Л = (2л) 2. Поэтому ф(ф) = 63. ^2 = 2Й2.64. Тф = |^т2 (где т = 0, ±1, ±2, ...); ф„(ф)=/2^'чаем: Л = (2л) 2. Поэтому ф(ф) = 63. ^2 = 2Й2.64. Тф = |^т2 (где т = 0, ±1, ±2, ...); ф„(ф)=/2^'ции ф(ср) находим спектр собственных значений "К = т11 (где пг=0, ±1, ±2, ...). Из условия нормировки полу
чаем: Л = (2л) 2. Поэтому ф(ф) = 63. ^2 = 2Й2.
64. Тф = |^т2 (где т = 0, ±1, ±2, ...); ф„(ф)=
/2^'
чаем: Л = (2л) 2. Поэтому ф(ф) = 63. ^2 = 2Й2.
64. Тф = |^т2 (где т = 0, ±1, ±2, ...); ф„(ф)=
/2^'
Равноправность осей х, у и г позволяет записать _ _ _ ___2т2
^2 = ^+^+^=з^г2. Но ^2=№=^-^-j-= = ^ з^1- • Следовательно, jg72 = А2/ (/ + !)•
£z,= -^/(/+i).
2m0r0
[W, х]_ =— ^Рх- Поэтому среднее значение проекции импульса частицы равно рх = ^ ф*рхф dx = = С ф* '-^2- (Нх—xH^dx. Пользуясь эрмитовостью гамильтониана Н, получим:
рх=^ С(хф/Уф*—х^*Н^)dx =
ГЪ J
= ^ ^ Е (хфф*—хф*ф) dx = 0.
Здесь учтено, что Н^ = Е^.
[Д, 2Д_=1К2Х. Поэтому 2X = ^4SV2Z- — 2z2B)^dx. Принимая во внимание эрмитовость оператора 2г и то, что ф есть собственная функция этого оператора, т. е. 2^ = 2^, запишем:
2 х = 1J \2^2^ - к2^ 2^} dx == ^ Ф* <2г-2^ {2V^>) dx = О,
так как 2г = 2*г- Аналогично получаем ^у = 0.
В координатном представлении г = г. Для перехода, к р-представлению воспользуемся выражением среднего значения радиус-вектора:
<r> = ^*G)Vr^&^Px(1)
где
ф(р) = (2л&)-3/2 ^ф(г) е ^ dx(2)
суть коэффициенты в формуле разложения ф(г) по собственным функциям ф^. оператора импульса
_3- р 4-"рг
ф (г) = (2лл) 2 \ ф (р) еk d3p.(3)
С другой стороны,
<г> = ^ ф* (г) гф (г) dx.(4)
Учитывая выражение (3) и интегрируя по частям, преобразуем гф(г) к виду
гф(г) = (2лА)-3-'2 С ihe^^^ дзр,
mJдр
Тогда
<г> = (2лА) 2 Jj^*(r)e,iP iK ^.-^ ■ d»pdi =
= С Ф* (р) tA -ф£^- d3p.(5;
др
Здесь принято во внимание выражение для ср* (р) согласно <2). Сравнивая (5) и (1), находим, что в импульсном представлении г — ш — . др
Оператор координаты в импульсном представлении x = iii 5_ . Собственные функции, удовлетворяющие уравнению
и условиям конечности, однозначности и непрерывности, имеют вид:t
—гхрх
ср (р J = Се К , где х—любое вещественное число. Поэтому спектр собственных значений х непрерывен.
Из условия нормировки на единицу получим: 1
А = ^^ 4. Волновая функция в импульсном представлении есть коэффициенты ф(р) разложения ф(х) по собственным функциям ф^ оператора импульса, т. с.
1(Р-Ро)
Ф (р) = (2лаД2) 4 е 4а^а .аг 2_ ixp
ф (р) = (2лА) 2 J ф (х) еdx =
а
Из условия нормировки имеем: А = у ^. Волновая функция в р-представлении выразится в следующем виде
aСхр
ф(р) = (алЛ)-1/2 У sin^—е ^ dx =о
Сар
= —2^(лаА)1/2 е ,.
V ' 4лф-а2р2
Поэтому вероятность обнаружить у частицы импульс р в интервале от р до p+dp оказывается равной
16ла63 sin2^-
dW (р) = | ф (р) |2 dp = —— dp.
Г (О2д2_4л2^2)2
Р2
Л2 = а]/^. ф(р) = («ЛК2л)-1'’г
Гамильтониан частицы в р-представлении есть Н = ^""^^^ ^ • Поэтому для собственных функций <р (р) оператора энергии уравнение в импульсном представлении имеет вид
^ф(р)+^аМ=£ф(р).
Отсюда находим:
<р(р) = Сехр Е-р\I.
r PlAa\6»io r/J
Конечность ср (р) обеспечена при любом вещественном значении Е, т. е. энергетический спектр непрерывен. Постоянная С определяется из условия нормировки на 6-функцию:
j Фг(р) Фе'(Р) dp = 6 (£—£'),
С ЦЕ-Е-),
C2j е h<i Pdp = ^ \ e^E-E’^dtp,
откудаоткудаС — (2лДа)-1/2.С — (2лДа)-1/2.
откуда
откуда
С — (2лДа)-1/2.
С — (2лДа)-1/2.
30
Из условия нормировки получаем: А2 = -^. Уравнение для собственных функций оператора энергии d4w+^»E^=0 dx2 1 ^2 т
иЛ27^П2
имеет для значении Еп = ^mS конечные> непрерывные
и однозначные решения:
1\ ч 2 . пкх
^ = у -sin —,где п = 1, 2, ... .
Поэтому волновую функцию частицы в энергетическом представлении можно записать так:
аа
Ф (Еп) = J ф (х) ф* (х) dx = А у ~ J х (а—х) sin ^ dx = оо
__4 /Т5[1 — (—1)"]
(пл)3*
Вероятность; что частица обладает энергией Еп, выражается формулой
W (Е„) = | Ф (Е„) |» = ^ [ 1 - (-1 )«р.
Очевидно, что W {Е^ ф 0 лишь при п = 1, 3, 5 ... . Средняя энергия частицы оказывается равной
-р у я?К2п2 240-2=5^2
5 2/п0а2 п^-я^т^ *
2
Нормировочная постоянная равна А — -;=. Урав»
У Зл нение для собственных функций оператора проекции момента импульса
где т — -~
лишь для т = 0, ±1, ±2 .. .). Спектр собственных значений для 2х определяется выражением ^2 = timy а по-
стоянная С из условия нормировки оказывается равной -р= • Волновая функция ротатора в ^-представлении запишется в следующем виде
2л
Ф (^г) = j ф (ф) ф^ (ф) dtp =О
2л j 26 d(P
2л
= £ |/ 2 . £ С )е-1тф_^[е<(2-т)ф_|_е-г(2+т)<^1^ф —
Отсюда следует, что при измерении ^2 получаются лишь три значения: ^г = 0, ^ = 2^, 2г =—2А ^соответственно с вероятностями № (0) =-|; F (2) = № (—2) = 4^ .
^г = 5^|ФОТ|3 = 0;
^ = E^I^OTI2=4^-
81.81.д _2.V 35л ’д _2.V 35л ’волновая функция в ^-представле-волновая функция в ^-представле-
81.
81.
д _2.
V 35л ’
д _2.
V 35л ’
волновая функция в ^-представле-
волновая функция в ^-представле-
нии имеет вид
ф№=2 ■/! [4 бт, 0+б„. ^6,., ^+4 бт. 2+46—] •
Отсюда следует, что Z^ = 0; ±А; ±2Й. Их вероятности:r0 = g; W^-W^-b W+1 = W_2 = 1.
Собственные функции оператора энергии для частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме записываются так:
, / х ч Г 2 . ипх
^"W= V ч5т—’
где n—1, 2, 3, ... (см, решение задачи 79).
Матричный элемент <npx|m> дипольного момента ех в ^-представлении по определению равен
<п | ех | т> = е ^п (х) х^т (х) dx.о
Учитывая соотношение
sin a sin 6 =~ [cos {a—b) — cos (а + Ь)]
и вводя новую переменную у = —, запишем:
л
<п | ех | т> = ^ ^ у sin пу sin mydy =о
’лл
J у cos (п— m) ydy—С у cos (п-\-т?) ydy
-оо
Принимая во внимание, что
л
У у cos (n—m) ydy = (И2-^)2 [(—О""”—П» О
получаем:
<л 15ХI т> ”Н^Н^^1].
Это значит, что матричные элементы отличны от нуля лишь для нечетных значений разности п— т.
<n\p\m>-T^nyx^mdx = -^^ оо
X cos^xdx-т-т-^^Отсюда следует,
что матричные элементы импульса отличны от нуля для нечетных значений разности п — т.
Матричные элементы оператора 2г = —^^ в ^-представлении вычисляются с помощью собствен-
ных функций:
фет (ф) = (2л)""г е^ (где т = 0, ±1, ±2, ...).
Smm- = <т 12г | т'> = A J e"im4> 1^™'^ N = WW, т, о
откуда видно, что .2?mm = tim, а все недиагональные элементы равны нулю.
Матричный элемент представим в виде произведения трех интегралов по г, 6 и ф:
<nlm | Dz | пТт'> = /,• /е-/Ф.
Вид угловой части одинаков в любом центрально-симметричном поле. Поэтому, используя сферические координаты (г = г cos 9; dr =^ г2 sin 6 dQ dф dr), запишем:
2л
/ф = 5 е^е-1^ dtp = 2лбттЧ о
значит,
<п1т\Вг\пТт'> = 0 при т'#=т.
Вычисление Je при т' = т дает:
/9 = $ Plm (cos 6) cos 0 • Pi’m (cos 6) sin 9d9 = о
Л
=^ (dP/ + i, tn 4“ bPl_ i, m)Prmd COS 0.
0
Вводя новую переменную x = cos0 и учитывая, что
+ i
$ Plm^Pvm^dlx = blls
— 1 получим:
/е = а6/+1, г -\-b6i-x, г.
Это значит, что матричные элементы Dz отличны от нуля лишь при т' = т. и /' = /±1.
^/zOT = <^M |^> = $^^dT=: 5 ^>mA*^)*ndT =
-i^A t
^(x,/^ФДх)^ (где ^—энергия стационарных состояний).
Временный множитель волновой функции примет вид f (/) те ^; квадрат же модуля ^(х, /)|2 ос
тается неизменным.
Удовлетворяет только временному уравнению Шредингера.
Уравнение Шредингера ач^х^^А2 ^(х, р 1 dt2т0 дх2
допускает разделение переменных. Поэтому его частное решение ищем в виде: Ф(х, О =ф(х)/(/). Тогда
iti df ^2 1р
f dt2m0 гр dx^
При |x|—> oo значение ф(х) будет конечным, если £ > 0. Обозначая ^^ = А2, получим:
1^ = е 1 ^m» , ф(х) = е^,
где к — любое вещественное число. Общее решение примет вид:
Т(х, 0= $ C^e^-^dk,
где ®=2^частота волны де Бройля.
£>0.
а) ¥(х, 0= 1/4 е h w" sinf^; г)
(p X
^(x, =.
Методом разделения переменных находим стационарные решения уравнения Шредингера:
ihA^HW, ^(ф, 0 = (2л)-»/2е‘("г«’-ш'»0,
tom = -^Em = 4rm^ (гДе m = °. ±J> ±2. •••)•
Затем разложим искомую функцию ^(ф, /) по ^„(ф, /): ^(ф, 0 = 2сл(ф. О- tn
Коэффициенты Ст определим из начального условия:
тУ 2л
В результате получим:
^(ф, /) =-^-( 1 —е ' соз2фк
п-7 nr / jx 8 , Л30 v-t 1 • плх - |И /Еп
Т(х, t)=-8 у -£^sm— е " ,rAe<D„ = j - п
= 7^Чп\ п=1, 3, 5,.
2/тг0а2’’
Нормировочный коэффициент А определяется из условия
J Т(х, 0)T*(x, 0)dx=l;
в результате интегрирования получаем:
I Д |2 (е"аЧх = |Л |2а/л=1; |Л|2 = —^.xа У л
Далее определяем область локализации частицы:
X4
Г = |Т(Х, 0) |2= IЛ ,2e~ °z.
Эта функция имеет максимальное значение в точке х = 0 и быстро убывает при | х | > а. Ширина пакета, задаваемого такой функцией, порядка а. Плотность тока вероятности связана с плотностью вероятности w соотношением:
2im0 \ дх2im0 \ дху^)=| Л|2—V"* =^5ф.ох )11 т0тй
2im0 \ дх
2im0 \ дх
Конечное выражение для /х совпадает с классическим; величина —-—аналог классической скорости частицы.
Представим ¥ (х, 0) в виде пакета волн: ^(х, 0) = $ C^e'^dk.
Умножив левую и правую части этого равенства на е~№х и проинтегрировав по х, получим:
00СОД-2
= j ^(х, ^e-''kxdx = ^e(k°"^
--£-(».-»)‘Г -^Дх-Ц^-кХ^у, Да --^-А-А)8
е 2\ е гаах = -/^ е 2
JК2л
Значение С (&) отлично от нуля вблизи к = кй. Выражение
| С (Л) |2 dk = ^- е~“г <к«-к^ dk
пропорционально вероятности найти у частицы квазиимпульс в интервале k-^k-Vdk; величина ДА определяет ширину пакета в А-пространстве.
Данный волновой пакет описывает свободную частицу в момент времени / = 0. Поэтому
V (X, 0=$ С^еЧкх-йкдак,
где
А^2
Л 2т0
Подставляя С (А) из решения задачи 99 и приводя данный интеграл к интегралу Пуассона, получим:
Т (х,= —Г Л ехр
Плотность вероятности равна
№ 0|2
Ж=ехр
ml а4
х2 — 2ш2х^0 4-
Г
X
Да? ко ^
пц
—9 а2
kJvtV “1
т0 /
^2z2 \ „
1 а2
т^а4 /
мещается сомещается сосо временемсо временемкак величина акак величина авероятностивероятностивыражается так:выражается так:^0т0^0т0Kxt [m^k^Kxt [m^k^ннmga4mga4
мещается со
мещается со
со временем
со временем
как величина а
как величина а
вероятности
вероятности
выражается так:
выражается так:
^0т0
^0т0
Kxt [m^k^
Kxt [m^k^
н
н
mga4
mga4
Отсюда видно, что максимум кривой вероятности пере-
скоростью ^. Ширина этой кривой растет
fat* „
—. Плотность тока /иба4
Все величины сохраняются во времени.
а) Энергия Е, проекции импульса рх, ру и проекция момента импульса ^г; б) Е, 2х, Sy, 2?г> 2^\ в) рх, РУ> Рг
^- = iA(Ve,<p« — «V§, <р). Значит, 2г является интегралом движения в поле центральных сил,_т. е. при u = u(r). Величина 2? z представляет собой интеграл движения в центральном поле и (г) и в поле с осью симметрии Oz, так как
йЖ»ди ди
dtдуу дх
Учитывая вид гамильтониана для системы ча- стиц ^ = ЦД + ХиН''<) + ^ik^ikH^ ^Дг^- <=*1=11*к\1=1
потенциальная энергия во внешнем поле, V, uik (rik) — i ^5= к
n(где 5s = 2 р^1 = 1n(где 5s = 2 р^1 = 1энергия взаимодействия частиц, входящих в систему^ и применяя правила коммутации, находим, что
n
(где 5s = 2 р^1 = 1
n
(где 5s = 2 р^1 = 1
лишь в отсутствие внешнего поля.
A <5> = <7x F> (где F = - V«).
НО. Для замкнутой системы пространство изотропно. Поэтому гамильтониан Н не должен меняться при произвольном повороте системы как целого, т. е. [//, =^^]_ =0, где оператор бесконечно малого поворота системы п частиц S' -* = l-\-d® ^riX^i (см. задачу 37). Поскольку d<Pi=\
dq> = const, то условие коммутивности сводится к требованию
Н 2 r,xv,—[ 2 r,XV )Я = 0, 1=1V = 1/
выражающему собой некий закон сохранения.
Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства изотропии пространства, есть момент импульса системы 5?. Следовательно, с точностью до постоянного множителя, равного —iK
— А 2 rzXVz= 2 rtXPi^S. i= 1t = l
Указание. Воспользоваться оператором бесконечно малого переноса системы п частиц как целого в виде п >
Т^- = 1 + 6г 2 V; и условием [Я, ^1- = 0 для замкнутой системы.
1121 y=-^(p—eAY 1еН п ^ ^у ^у^х — ~2" ^z' /«О а а 1е1ъ
vyy* — v^y-"^Bx’
ЛА A A iei г, VZVx — UxVz = —B.
Ti-T. - ^г-^^^^ + ^у-^^Л (где Рх~рх—еАх, Е—напряженность электрического поля, В—индукция магнитного поля).
2,1 МэВ.
х=|а; рх = 0; ^ху = -^- (1 — ^
-т^л2^2п2
——9тг2А,2
№^0,96;£k„h = FA-
№ f-^^^ =4+--0-82-\ 44 )2 л
фЯ1„,(х, у) =-р=-sin-L—sin —;
/22 \
Е^=^Л^^ ^ п^Х' 2’ 3’^!- 2’
W^^ + X^-Y-0’37- .22 . п,кх . п»яи . пчяг
фл,л,л,(х, у, г) = 1Д_ sin-i—sin-^-sin-2—; у аос аос
^1Л,Л, — "2^"( а2 + *2 Т С2 J (ГДе «1— 1, 2, 3, . .., пг — = 1, 2, 3, ...; п3 = 1/2, 3, ...).
, Iiap 2
|^(р)Р ==^ (_1)«е-А_1 .
|Т 1(р2а2—л2^2»2)2'
Уравнения Шредингера для двух областей имеют
вид:
О^х^а, ^ + ^ = 0, где ^ = ^.;dx2К2
х^а,х^а,^-(U6-EY^-(U6-EY^-^—х2хр2 = 0, где х2 dx2
х^а,
х^а,
^-(U6-EY
^-(U6-EY
Их решениями, удовлетворяющими стандартным и граничным условиям, будут:
^ (х) = Л sinйх при О^х^а,
т|)2 (х) = Ве~нзс при х^а.
Из условий непрерывности волновой функции и ее производной в точке х = а
A sin ka — Be~Ka, Ак cos ka = — Bv.e-*a
получим:
ctg ka = — у,ctg ka = — у,или sin ka = ± V о ^ o • ka. ’ 2тйа?ий
ctg ka = — у,
ctg ka = — у,
Рис. 11
Графическое решение этого уравнения (рис. 11) дает корни, отвечающие дискретному спектру энергии. Корни уравнения соответствуют тем точкам пересечения, которые будут находиться в четных четвертях окружностей (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке 11 жирными отрезками). Как следует из рисунка, корни урав- А / 1 , нения существуют, если прямая у = — д/ -—— ka рас- С1 V ZTYl^U Q полагается не под большим углом к оси абсцисс, чем
прямая ОА. Наименьший корень уравнения ka = ^ дает: £min 8m0a2 ‘
a) a2t/0 = (2n—l)2-^- ; б) 5 уровней; в) a4J й =
9л2А2Г) 15
ka = пл—2arcsin „ (где А = 4- V 2таЕ, п =
берутся в первойберутся в первой= 1, 2, .Значения arcsin—7^=:
берутся в первой
берутся в первой
четверти, причем к <. ^-V2m6Uй, так какчетверти, причем к <. ^-V2m6Uй, так какV ^и»
четверти, причем к <. ^-V2m6Uй, так как
четверти, причем к <. ^-V2m6Uй, так как
Последнее уравнение решается графически. Точки пересечения прямой у = ка с кривыми у —пк— 2arc.sin —.
V 2m0U0 определяют корни kv к2 ... уравнения (рис. 12).* Эти корни дают дискретный энергетический спектр Еп = - ^2.
2т0 1
125. a)125. a)агийагийб)б)агийагийв)в)а^аа^а2л2А2.27/п0 ’2л2А2 ,/п0 1_ л2А2~ 2т02л2А2.27/п0 ’2л2А2 ,/п0 1_ л2А2~ 2т0УпЗлУпЗлх(м—I)2, шесть уровней.126 Е ~ ^^ х1-2 V2 ' moaWj-127. ка = пл —х(м—I)2, шесть уровней.126 Е ~ ^^ х1-2 V2 ' moaWj-127. ка = пл —2л2лЛЛУ1У1УзУз— arcsin— arcsinКкКкООкк—arcsin—arcsin/2^(7!Ай/2^(7!АйРис. 12Рис. 12V 2теигV 2теигп = 1, 2, 3, ..., к =-Г V^ШоЕА . Значения arcsinп = 1, 2, 3, ..., к =-Г V^ШоЕА . Значения arcsinберутся128.берутся128.в первой четверти, так как Kk^V^Uv т-^r ^ / , 1Xв первой четверти, так как Kk^V^Uv т-^r ^ / , 1XКкV2т01/1л 2КкV2т01/1л 2тоютоюТГ— ^^п"~ 2ТГ— ^^п"~ 2(•^ ) л 2 ^ '^ 1Г/"2" ^п*
125. a)
125. a)
агий
агий
б)
б)
агий
агий
в)
в)
а^а
а^а
2л2А2.
27/п0 ’
2л2А2 ,
/п0 1
_ л2А2
~ 2т0
2л2А2.
27/п0 ’
2л2А2 ,
/п0 1
_ л2А2
~ 2т0
Уп
Зл
Уп
Зл
х(м—I)2, шесть уровней.
126 Е ~ ^^ х
1-2 V
2 ' moaWj-
127. ка = пл —
х(м—I)2, шесть уровней.
126 Е ~ ^^ х
1-2 V
2 ' moaWj-
127. ка = пл —
2л
2л
Л
Л
У1
У1
Уз
Уз
— arcsin
— arcsin
Кк
Кк
О
О
к
к
—arcsin
—arcsin
/2^(7!Ай
/2^(7!Ай
Рис. 12
Рис. 12
V 2теиг
V 2теиг
п = 1, 2, 3, ..., к =-Г V^ШоЕА . Значения arcsin
п = 1, 2, 3, ..., к =-Г V^ШоЕА . Значения arcsin
берутся
128.
берутся
128.
в первой четверти, так как Kk^V^Uv т-^r ^ / , 1X
в первой четверти, так как Kk^V^Uv т-^r ^ / , 1X
Кк
V2т01/1л 2
Кк
V2т01/1л 2
тою
тою
ТГ— ^^п"~ 2
ТГ— ^^п"~ 2
£КИН = ^-Й®.
Используя оператор координаты в импульсном представлении x = i‘A-~-, запишем уравнение Шредингера для собственных функций одномерного гармонического ос- ^2,Ф (р) .2 f р2 \
циллятора вр-представлении: -^1 + ^_^_у х
XiHp) = 0. Вводя безразмерную переменную т^ = ■ ■ Х^=- V тй<йк
2Е
и обозначение А, = — , приходим к уравнению, аналогично
ному уравнению Шредингера для этой же задачи в х-пред- ставлении. Поэтому его решения могут быть записаны в виде: фп(т))=Спе 2 п Нп (я)» где С^^п^пт^у?) ~, Нп (г]) — полиномы Эрмита.
Тогда искомое распределение вероятностей равно
| ф„ (р) р= 1—№п (_^.).
2"л! к лт0М)\ V m.6toft /
♦,(»-<:/ ■ Н,®;
£„,(„ + 1)^ + ^.
где п = 0, 1,2,...; Н = Л^Л7 (х^—) , где Нп^—
полиномы Эрмита.
При х>0 волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению обычного осциллятора. По условию этой задачи она должна обращаться в нуль при х = 0, т. е. ф(0) = 0. Нетрудно видеть, что волновые функции осциллятора при четных значениях п, т. е. при и = 2/ (где Z=l, 2, 3, ...), нс удовлетворяют этому условию. И лишь с нечетными п, т. е. при п = 2/ + 1, они при х = О обращаются в нуль. Таким образом,
Et = (2/+у) Асо.
ЕП1П1Па=(^П-\--^11(й1-\-^П.г-\--^^'1ий2-\-^Па-\- у^(03, ^1ПаВ>Й. П, O = C„lftine~^V+^где
nv п2, п3 пробегают значения О, 1, 2, 3, ...;
1гг
с,/ motoi \ 2/ m0to2 \ 3 v (т^з \ 2
6к а ;’4 \ it ) у* к *
Сп,„2„, определяются из условия нормировки;//^—полиномы Эрмита.
,34.
Ф„. = С„«" ^ 1Е’И'' Н„ ® Н„, ©. _ 11_
Здесь' = кл^) Хл=к^) X, M = 2mlti = ^.,to =
, / 2Г <7'1+2*Г
= V м-> ю1= V Лг-
где Xi^tx, + x2), x = x1—x2;
ЕП1П1 = (^ +4) ^° + (n2 +4) ^
где п( — О, 1, 2, 3, ...; //„.—полиномы Эрмита.
Общие решения уравнения Шредингера имеют вид: ф! = Л^^+В^”^^ при х < О, Фп = Аге1к^ -YB^e"^^ при х > О,
где k1 = ^-V2m0E; k^-^V^m^E — U^.
Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой Лп а отраженная — амплитудой Вх. Поскольку в области х > 0 имеется только проходящая волна, то В2 = 0. Коэффициент отражения представляет собой отношение интенсивности отраженного потока к интенсивности падающего потока, т. е. отношение квадратов амплитуд отраженной и падающей волн:
Из условия непрерывности ф и ф' в точке х = 0 имеем А^В^А,, А.-В^^-А,.
Отсюда
п ( ^1^г\ 2
Коэффициент прозрачности D равен отношению интенсивности проходящего потока к интенсивности падающего потока:
4/zi^2(*i + *2)2’4/zi^2(*i + *2)2’
4/zi^2
(*i + *2)2’
4/zi^2
(*i + *2)2’
138.138.^о sin2 /?оа
138.
138.
/? = 1-D = [1+^±^1"1, где k^W^mAE-YU.Y _Uо sin2 kQa Jк
j^2 ^2^2
Еп= ^-^—1/0, где а = -^п, /г—целые числа, при которых £ > 0.
140. а —2140. а —2(2п+1)лК(2п+1)лК2 K2mo(E+Wo)2 K2mo(E+Wo)(2л + 1)—, где л = 0, 1, 4(2л + 1)—, где л = 0, 1, 4141 п I । Ч» s*n2 ^о°L *"4Е(Е — Uo)141 п I । Ч» s*n2 ^о°L *"4Е(Е — Uo)Я = 14Я = 1445 (E-I/qH45 (E-I/qHгде k6=-^-V2m6 (Е — U^),.при Е^и. В^.где k6=-^-V2m6 (Е — U^),.при Е^и. В^.t/osin2 кйа _t/osin2 кйа _142. Еп =142. Еп =л2А2л2А22/тг0^22/тг0^2пгА-ий, где л=1, 2, 3, ... (заметим,пгА-ий, где л=1, 2, 3, ... (заметим,
140. а —
2
140. а —
2
(2п+1)лК
(2п+1)лК
2 K2mo(E+Wo)
2 K2mo(E+Wo)
(2л + 1)—, где л = 0, 1, 4
(2л + 1)—, где л = 0, 1, 4
141 п I । Ч» s*n2 ^о°
L *"4Е(Е — Uo)
141 п I । Ч» s*n2 ^о°
L *"4Е(Е — Uo)
Я = 14
Я = 14
45 (E-I/qH
45 (E-I/qH
где k6=-^-V2m6 (Е — U^),.
при Е^и. В^.
где k6=-^-V2m6 (Е — U^),.
при Е^и. В^.
t/osin2 кйа _
t/osin2 кйа _
142. Еп =
142. Еп =
л2А2
л2А2
2/тг0^2
2/тг0^2
пгА-ий, где л=1, 2, 3, ... (заметим,
пгА-ий, где л=1, 2, 3, ... (заметим,
что л не может принять нулевого значения, так как при л=0 получается Е = U6 и, следовательно, D < 1); Е1 = = 52,6 эВ; Ее = 164,4 эВ.
«ло п ИИ2 Г1 I V2sh2xa I”1
^-^у^трЩ-Е^.^-^у^трЩ-Е^.Up ехрUp ехрр~ । д^ ~ (J+ 4£(i/0—gj , где х — = к-1У2т6 (Uo — Е). Коэффициент прозрачности D <; 1, если хя^>1 и shxa~yeKa. Поэтому D«16£((70— Е^х
^-^у^трЩ-Е^.
^-^у^трЩ-Е^.
Up ехр
Up ехр
Для электрона D = 0,157; для протона Dca> 10-60. Г 8 V4 /■—— i
D = Doexp |^— -^у- /m6a(U6—Ер j .
Е = О6ехр\-^лЛ-^<и0-Е) .
К У и о
Шаровая функция, или сферическая гармоника Ytm^' ф)» является собственной функцией операторов ^2 и Д:
OTtm = ^m + ^Ytm. ^2Ylm^mYtm(Q, Ф).
Следовательно, компонент момента импульса 2г имеет вполне определенные значения: ^г — т1ъ.
Компоненты 2х и 2у описываются некоммутирующими с 2г операторами. Поэтому можно говорить лишь
о средних значениях этих величин:
Л = $ Y‘lmSxYlm da, 2Ч = $ Yl^Y^ da,
где dQ = sin6d6d(p.
Вместо того чтобы вычислять средние значения компонентов момента, целесообразно иметь дело со следующей их комбинацией:
+ i^y = $ Y*im (Зх + i^ Y tmda.
Учитывая результат действия операторов S”x и ^ на сферические гармоники:
+ Z>y) Ylm = - К]/(/-m)(Z + m + l) Y^m+1, получим:
^+^и = -К К(Г=^ЙГ+^+Т) $ YimYt>m+1 da=о.
Поэтому ^, = 0 и ^ = 0.
^ = ^ = ^г = 0.
1
Л = (-Н ; ^-гА2.
\ 4л у *
^2 = бА2.
У1>0 = j/^cosO; У11±1 = ± }/^sin0-e±^ *\о=4 V^-(3cos26-i); Уе.±1=± ]/^-sinOcose.^; Гз.^Ц]/ ^sin2e.e±^;y3<0=1 Vl(5cos30-3cos0); ^з,±1 = ±4 ]/^sin9(5cos2e-l).e±«P;Уз,±2 =
= tV ^sin20cose.e± w;ys,±a = ± V -sm3 9
4 ГOr Л
Уравнение Шредингера для радиальной функции R^r) частицы с нулевым орбитальным моментом (/ = 0) имеет вид
d2R . 2 dR , 2т6Е
■7Т + -^—^-^Г'^ = 0.
ar2 г dr К2
г ог оОнаходим постоянную С:Онаходим постоянную С:sin2 — r) r2dr = 1г» )sin2 — r) r2dr = 1г» )
г о
г о
О
находим постоянную С:
О
находим постоянную С:
sin2 — r) r2dr = 1г» )
sin2 — r) r2dr = 1г» )
Используя подстановку /?(г) = ^у^> получим для функции х(Н уравнение хЧП+^2х-о, ^ =
2т0Е
= А2 '
Отсюда
X(r) = A sin(£r +«),где Л и а—постоянные ин-тегрирования. Требование
конечности функции R (г) при г—*Ь приводит к равенствуа = 0. Из граничных условий R (г0) = 0 = А£нА1 следует,
что кг0 = лп (где п= 1,2,3, ...). Значит, Е^-^-г-п2. 2т0г0
Волновые функции частицы в s-состояниях запишутся так: ''0
Из условия нормировки
С = (2лг0) 2.
Следовательно, .11 . ля
,|,---=7S;7s,n—г
3 2л2л23 2л2л2- г — г2 / 154. г = -^-; г2 = -^(1
3 2л2л2
3 2л2л2
155. График функции I Фи(012 = 2^—7^ пред" ставлен на рисунке 13;
гвер 2 * W г<гвер 2 *
Основное состояние частицы (п=1, / = 0, т — 0) описывается волновой функцией
*-•■•w = тй' 7 sln 77г'
которая в импульсном представлении имеет вид
Го . ЛЛ /
-», 2л f sm 77 г Г —г pr cos 6
ф (р) = (2л^)_ ®/2—2=г i2—г2 dr I е fc sin 6 d9 = г и оо
яр (г0^3)1/2яр (г0^3)1/2f sin — г sin ^- drJ. г» п-f sin — г sin ^- drJ. г» п-V^o sin ^рft1^\ ft2 /V^o sin ^рft1^\ ft2 /
яр (г0^3)1/2
яр (г0^3)1/2
f sin — г sin ^- dr
J. г» п-
f sin — г sin ^- dr
J. г» п-
V^o sin ^р
ft1^
\ ft2 /
V^o sin ^р
ft1^
\ ft2 /
Отсюда плотность вероятности данного вектора импульса равна
г 0ft3 sin2 -^2-* ^ ^ I2 = p2(n2ft2-p2r§)2 '
Вероятность же того, что импульс частицы заключен между р и p-\-dp, будет выражаться формулой
Г (р) dp = | ф (р) |2 4лр2 dp =sin2 .
уЛ rv ■*■ рйго/tv
Используя уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции и подстановку R (r) — ^^-1 получим:
Х1+&2Х1 = 0 при г <rjгде А2 = ^^\ ;\/
х^—Р2Х2 = 0 при г > г0 (где р2 = ^ (м„—£)).
Решения этих уравнений имеют вид
Xi = A sin кг -j- В cos кг при г < г0,Х2 = С1е-Рг + С2еР' приг>г0.
Из требования конечности функции ф(Н во всем пространстве следует, что В = 0 и С2 = 0. Таким образом,
,* sin кг , п е ^г
Из условия непрерывности функции и ее первой производной в точке г = г0 находим:
A sin kr6 = C1e~^r«,
A cos кгй = —Ct у e-Sr«.
Отсюда
sin кгй = ^д/ —^—kra.0 у W»u6 0
Это уравнение определяет дискретный энергетический спектр частицы.
, -п 9л2 А2,, л2^2 п
т^ив^г. Положение основного энер- 8/noro8т0г«г
гетического s-уровня в момент его появления определяется из условия кге = у. Поэтому
Е = U = ^^
1°8m0r20'
По мере дальнейшего увеличения глубины Ua потенциальной ямы нормальный уровень Ех понижается, т. е.
ЕЕи0и0положение нормального энергетическогоположение нормального энергетического18того18того25 л2А2 ., 7920 •/2 тйггй25 л2А2 ., 7920 •/2 тйггйUo. Действительно, при глубине потенциальной ямы 25лФ
Е
Е
и0
и0
положение нормального энергетического
положение нормального энергетического
18того
18того
25 л2А2 ., 7920 •
/2 тйггй
25 л2А2 ., 7920 •
/2 тйггй
s-уровня определяется величиной Et
гверЦ.га; №r>ro~O,34 = 34%.
фх, о, 0=^0^ 2е °о;ф2,0,0= [4(2ла?)2 J х
=(б-^)Г«.5|пе.е», где
радиус первой боровской орбиты в атоме водорода.
Указание.
По дета н ов к а фу н к ци и ф(г) в уравнение Шредингера дает выражение
В (я, а, £) +
+ r-С (а, а, Е)+
+ уО(а, а) = 0,
где 8, С и D— некоторые полиномы. Это равенство возможно при любых г только в случае, если В = С = D = 0. Отсюда
1 а — а = —,
2а0
4ле0А2тйе*
где ай —, Е =^тгг-
0^о^2 ’128л2е^2
Значит, электрон находится в 23-состоянии.Значит, электрон находится в 23-состоянии.165. Гвер ti!0165. Гвер ti!0^^-•, ^= 1—5е"2~ 0,323.
Значит, электрон находится в 23-состоянии.
Значит, электрон находится в 23-состоянии.
165. Гвер ti!0
165. Гвер ti!0
тоегвер’
Эффективный потенциал ls-электрона в атоме водорода равен
=в2^/(/+1)е2
9$4л80г ‘ 2тйгй4ле0г *
График этой функции представлен на рисунке 14. Энергия электрона выражается формулой Е — — з^^' • По классическим представлениям движение возможно при E>U^, т. е. в области О^г^г*, где г* определяется из соотношения
ОтсюдаОтсюдаг* = 2а0г* = 2а08Л80^2 т0е2 ‘8Л80^2 т0е2 ‘е2 тйе44ле0г* “ 32л28^2 ’
Отсюда
Отсюда
г* = 2а0
г* = 2а0
8Л80^2 т0е2 ‘
8Л80^2 т0е2 ‘
Поэтому
№r> =4- fr2exp ( — 4^r= 13e--«0,238.
«о J X “о/
2a0
r = ^a0; r2 = 3<Zo", (^гУ=-^а1> где a0 —радиус первой боровской орбиты.
168. £кин168. £кин169. 4rf,169. 4rf,"^ту ; уср кв = V^2 =—~~т ^2,2-10’- .
168. £кин
168. £кин
169. 4rf,
169. 4rf,
32л2ео^2 Р ' 4ле0Ас
/4ле0А2 \
4 где г. =.
\1 moe^Z /
Для 2р-электрона: ^2 = ^з» г = 5я0; (Дг)2=5^.
Для Зй-электрона Л2 =—г = ~а01 (Дг)2 = ^^о, где 5-39ао24
а0—радиус первой боровской орбиты в атоме водорода. - Ze2 - Ze2
17L Р"=Д55Л’ “ =где -Ч—ралнус “Р-
вой боровской орбиты в водородоподобном атоме.
Объемная плотность электрического заряда в электронном облаке
Р (г) =€? | -фт.о.о «И2-
Здесь
. / \\1f4ле0&2\
^и(г) = ч])1,0,0(г) =-= е (гдег1="^7)-
У ЛГ1 Xт^ z. j
Тогда
Ф =С-^То J 4ле0г0Ф =С-^То J 4ле0г04nr2dr4nr2drе4ле0Г! *е4ле0Г! *
Ф =С-^
То J 4ле0г0
Ф =С-^
То J 4ле0г0
4nr2dr
4nr2dr
е
4ле0Г! *
е
4ле0Г! *
Средний потенциал фе(г), создаваемый «электронным облаком» в произвольной точке г, определяется как сферически-симметричное решение уравнения Пуассона:
L^rti = _tiH,г dr^v те/ £в
где плотность электрического заряда определяется формулой
p(r) = e|i|)u |2.
Дважды интегрируя это уравнение, находим:
^^^^(т + г)6 а°+т + Л (где е = —е0).
ТЛСО \ / UQ /'
Выберем постоянные так, чтобы q>e(oo) = 0, а <р, (0) было конечным. Тогда
Л = 0; В = —
Прибавляя к выражению фе (г) потенциал поля ядра ^=4^7’ получим:
п2 = 4; ф2 0 0 = (32л^)-1/а Z^—-Ъ"5У;
i^g.i.o = (32лао)-1/а ^-е 2<z° cosG;
■ф211>±1 = ±(64ла„) 2 ^ 2а” e^sinG.
£,„„ = —£j =—^^77«13,6 эВ.
“132л2е№
ДР Д1
л2(«+ I)2’
При п^>1 получаем:
др2Л
^^п+йп л3 »
где
д т<^
А” 32п.4е№ '
Схема уровней энергии атома водорода изображена на рисунке 15.
~ 6
176. ij)„(p)176. ij)„(p)_ 16а о А2 4а§р2-^2 .
176. ij)„(p)
176. ij)„(p)
“ л ' (4аор2 + ^2)8’
^aopHW Р*^aopHW Р*dW(p) = ^ (р)|2 • ^рМр = 1224^
^aopHW Р*
^aopHW Р*
зВк
п
О -0,85 -1,5
4
3
177. Собственные функ- ции и собственные значения энергии невозмущенного гамильтониана для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме записываются так:
। z х / 2. пл
^nw= V ^sin-x;
л2^2п2п ” 2/п0а2 *
^^Для вычисления поправок
Рис. 15к энергии за счет стацио
нарного возмущения най-
дем матричные элементы оператора V = V0cos —х:
а
Vmn = J С W ^Ф» W dx =
О
а
2У0 С • ^л2л. пл ,
=—~ \ sin — x-cos—%-sin— xdx.
a J аа а
ОтсюдаОтсюдао
Отсюда
Отсюда
vmn = -^- [6ОТ1Гг+2 Н- 6^^ „_2].
Следовательно, поправка к энергии первого порядка равна нулю:
E\ = Vnn = 0.
Во втором порядке
”Р" "^2.
р2 / R \2
АЕ«^— —) «4,4-10-» эВ.
ЮЛбдП^ \ Gq f
В первом приближении теории возмущений поправка к энергии гармонического осциллятора выражается формулой
£tt'=P(x»)„n.
так кактак как
так как
так как
№ю = 5 |^о,|ахМх = О
(из-за нечетности подынтегральной функции).
Пользуясь правилом умножения матриц и учитывая выражение
^П1П-1 ^n-hn
для матричных элементов координаты, получим:
Е^ = Р ^пп Ц^(п? + пл4\
Поправка к энергии во втором порядке от первого члена ах3 потенциала возмущения выражается формулой
р(2) а2 Х^ K^^lnAl2"U &„ п-к
Поэтому для поправки к энергии основного состояния (п = 0) гармонического осциллятора имеем:
.р 3 А2 /„11 а2 \
4^2^ 6т0ы2Г
Если ось г выбрать вдоль вектора магнитной индукции В, то оператор энергии возмущения примет вид
Л еВ ^^
Энергетический уровень трехмерного осциллятора с п = 1 и Е^ = ^^ в рассматриваемом случае (®1 = со3 = ©3) является трехкратно вырожденным. Ему соответствуют следующие волновые функции:
% (х, у, г) = Ф1 (х) • ф0 (у) • ф0 (2);
Фз (х, у, z) = ф0 (х) -ф1 (у) .ф0 (2);
Фз ^х, у, г) = фо (х) • фо (у) • ф! (2),
где Ф„(х)—волновые функции одномерного осциллятора.
■Вычисляя матричные элементы оператора V, получим сле-
дующее уравнение для определения поправок первого порядка к энергии:
Следовательно,
Е„ = й<»(пЛ-^— ^Д. "\ 1 2 / 2тосо2
Точный результат в данном случае полностью совпадает с тем, что дает теория возмущений во втором приближении.
Используя в качестве оператора возмущения выражение
получим:
—.V—4
I00’ 1004л8'80а/ . ха \ 2
Приимеем:—.
г4ле еоа
Релятивистская поправка к энергетическим уровням будет равна
^Ереа — ~ J Ф/ 8L 2 Ф/ dT«tsmQC
где j—совокупность трех квантовых чисел. Поскольку
ТО
△^рел —
ZVKR / п 31 ^”\^+Т-т
ег i
где К—постоянная Ридберга, а =з— 2^755—постоян- 4л8о^с
ная тонкой структуры, Z—зарядовое число атомного ядра.
В отсутствие электрического поля плоский ротатор с моментом инерции J описывается собственными функциями
(1)
и обладает собственными значениями энергии /7(0) _ ^т^/О\
где т = 0, ±1, ±2, ...
При наличии электрического поля S(St 0, 0) в потенциальной энергии появится слагаемое V =—D^cosq), которое можно рассматривать как энергию возмущения. Матричные элементы оператора V имеют значения 2л
Vkm =—^j* e'^-^coscpt/q) =о
= -4D^(6ft,„+1+6ft,„_1).(3)
Отсюда следует, что в первом порядке сдвиг энергетических уровней отсутствует:
^Em^-Vmm = Q.
Поправка второго порядка, определяемая формулой
№(2,= £^<Г).(4)
k=#mnm равна
^ЕтУ ^^^б1-^ [m2_(m_i)2 + m2_ (m+1)2] ‘
Отсюда
2/4m2— 1 *2/4m2— 1 *
2/
4m2— 1 *
2/
4m2— 1 *
Используя матричные элементы, полученные в решении предыдущей задачи, получим:
1 Г1 Г t(m+l)V Д(т-1)ф11
=72л’ г"”Ф ^"2 ^ [ 2т+12т—1 ] } *
В рассматриваемом приближении плотность вероятности ориентации дипольного момента D под углом ср относительно равна
Если т = 0, то 1^0 (ср) = 1 + 20<£созф. В этом состоянии вероятность ориентации диполя в направлении поля (ср = О) максимальна, а в направлении против поля (ф = л) минимальна, что соответствует выводам классической теории.
(Д£)о = -^/.
Энергетический уровень атома водорода с п = 2 в постоянном электрическом поле расщепляется на 3 подуровня:
(Д£)1)2 = ±Зе<£а0 и (Д£)3 = (Д£)4 = 0, где а0—боровский радиус.
(A£)1 = y[Vu + V22±^>]; ®ч>= = 4- K(V11-V22)a+4|V12|8; ф<0) = С^6’ + С£»<>.
Здесь
Em = E^—mHB (где Иб = ^) ;
Ф/» (ф) = I’m =т4=е1'ПФ (ГДе т=0> ±1, ±2, . . .).
(A£)„z = — т^В (где т = 0, ±1, ±2, ...), Ча (г, о, ф) = Чк0,(г. 9. ф)-
Det(^^^_-ET&lk\^, где / и ^ пробе- \ а < а/
гают значения 1,2, ..., f и Е^\ Е^^Е^.
Е1Л = ![£(»> + Е«> + Уи + У22±
± К №0) -2^ + vn-V+41 v12 Г].
При У12 = 0 получается обычная формула для энергии в первом приближении:
ET = E^+VW E. = E^ + V^
Энергия основного состояния является минимумом функционала:
£ = / (ф) = $ ф* (х) Яф (х) dx.
Так как нормированной из заданного класса допустимых функций является функция
ф(х) = (|/л(3) ае а$2 и гамильтониан имеет вид
то для Е имеем:
£ = 4^+4W
Из условия минимума Е находим:
ЕоЕо=(5)ш1п=4(=(5)ш1п=4(, £о^\тот» / ', £о^\тот» / '
Ео
Ео
=(5)ш1п=4(
=(5)ш1п=4(
, £о^\т
от» / '
, £о^\т
от» / '
4 <——г<"т (гДе °о—боровский радиус). 4ла0 d
a) Ee = (£)mln = ^;
£о = (£)т1п = -^Дшо^О,53Яо)о.
1'96. Указание. С учетом сферической симметрии потенциального поля среднее значение энергии выразится интегралом
о
При этом нормированная волновая функция имеет вид
Ф(г) = (^)Т0+аг)е—;
Е» = ЁтХй = ^У 11г® ~ 1,575^(0.
197, £0 = -£mhl«-l/0 где М—масса нуклона.
Вместо точного значения
Ег=—ZM3.6 эВ.
199. Ев =199. Ев =т0е4 /5\27
199. Ев =
199. Ев =
” (4ле0)2 А2 \ ~16/\ —^6/ 4ле0а0 ’
где а„ — первый боровский радиус.
е0У?оен= 1.695Ry;?<№ = 5,445Ry; 1 Ry= 13,6эВ.
Применяя условия квантования Бора—Зоммер- фельда ^pdx = 2nh ^п + 4) и учитывая, что р— = р2/и0 ^(70 + £—^х) , получим: En = — U6+ 4-ос я +-П -, гдеп=0, 1,2, ..., ^, и а=( - ■ ° V .
\2 /\4 у 2 а у т0/
Максимальное N, определяемое из условия £*^=0, равно
N
3
\ а У
£
2 е
n2^2
202. Е =
2т0а?
п = 0, 1,2, ... .
Еп =
Еп =
^^"лА +(” + 2)]^
Z^e^m^ 132лМ^ ’ п2
где п = 1, 2, 3, ...
А2 2яг0а2
n = 0, 1, 2
Полное число уровней равно
^~j-K2m0U0.
где
где
205. Искомое число энергетических уровней можно найти, если учесть, что число уровней с заданным значением момента импульса 2? совпадает с числом энергетических уровней для одномерного движения в поле с потенциальной энергией
U^ = U^A
2тог^
Максимально возможное значение импульса рг при данном г и энергиях £^0 равно
(Pr)maX = /—2/П01/3ф = ]/—2m0 [t/ (Г) + 2^] .
Следовательно, число энергетических уровней с заданным S будет выражаться так:Следовательно, число энергетических уровней с заданным S будет выражаться так:
Следовательно, число энергетических уровней с заданным S будет выражаться так:
Следовательно, число энергетических уровней с заданным S будет выражаться так:
1^о.С -]/_(7(г)— </г
2лА J Г V ) 2т^аг- о
Отсюда искомое полное число энергетических уровней получается интегрированием по -^- :
оо
Нормированная волновая функция частицы в квазиклассическом приближении имеет вид
, , х т / 2тю (Е)*« = V -^5, , х т / 2тю (Е)*« = V -^5
, , х т / 2тю (Е)
*« = V -^5
, , х т / 2тю (Е)
*« = V -^5
где со (£) —циклическая частота классического движения. Поэтому для среднего значения кинетической энергии можно записать:
к 2m 2т J Y 4 1 dx2а
b/ хчb
- чг ^ W sin\T Vdx +^)dx -Т^р dx-ах а'а
Учитывая условия квантования Бора — Зоммерфельда, получим:
Ёк = уй(о(£).(п + 1) •
Собственные функции и собственные значения операторов ох, оу, ог найдем из решений уравнений ^Х11^^*1’, ОуХ^^ОуХ121, огх<3’ = ог%<3).
где ох, оу, ог—собственные значения, а х(1)> Х<3)> Х<3) — собственные функции операторов ох, оу и oz. Представляя искомые функции в виде матрицы х=^), мы /01\/а\( а\
из первого уравнения ( jq ) ( ^ )=°х (^ ) получим:
Это значит, что Ь — оха, а = охЬ и, следовательно, о2= 1, ож=± 1.
Если ох=1, то Х?^0^))» если °х— — L то
1 /2"1 /2"ПоэтомуПоэтомуИз условия нормировки xWH^ai^j^laM-l
1 /2"
1 /2"
Поэтому
Поэтому
следует, что а =
Аналогично из второго и третьего уравнений находим: для ау-± 1. х+1-* х для az=± 1: Х+1 = (д) ’ ^= (?) 1
Функции х+1 и Х-1 соответствуют случаям, когда спин направлен по оси г и против оси г соответственно.
a^^i Q ^ .
^ ^ ^/\ /\ /х
S = -j а, где ах, оу, gz—матрицы Паули, удовлетворяющие условиям:
П2 — П2 — п2 — 6 — /*
— uz — и I q । I 1
OXCL. “ ОуО».л ууу ZZ у1 Z ЛЛ Z
Квадрат проекции спина на произвольное а направление равен
= 4^<СТа) = 4^"(аА+аА+°А)Х/х/X^2/\/\
X (ахах+сцау + а2аг) = -^ [ ^ + o^ +
+ а=й= + $^у + ауах) ахау + (ауаг + агау) ауаг +
+ (о^х + o^z) а2ах] = ^-^10).
Отсюда
Рассмотрим квадрат суммы операторов спинов двух частиц:
S2 = (S, + S2)2 = Si + S| + 2 (s^).
Как в триплетном, так и синглетном состояниях S2, SJ и S| имеют определенные значения: собственное значение S2 —^2S(S + 1) (где S=1 для триплетного состояния и 5 = 0 для синглетного состояния) и S2 = Si = ~^2. Следовательно,
S1.S2 = ^^±t = ^[2S(S + l)-3],
Поэтому (S^S^ =-у в триплетном состоянии, (S1-S2)=; =—^к в синглетном состоянии.
^==-^(квг—агВЛ. dt т0 х и z 2 v'
a) 4S>j_; б) ^ . 22
24
Для ^-состояния: gi = y , g2 = yi
ГА46
дляЗУ-состояния:g^y,£г = у;
-68
дляF-состояния:gx=y,ga^y•
215.216.215.216.217.217.Р^Г^Рб- /Т 7. 8р = ]/б рБ, ря = 0, ±Рб> ±2рБ;^ = -^=-^6, Нн = ± уРв. ±2рБ.Р^Г^Рб- /Т 7. 8р = ]/б рБ, ря = 0, ±Рб> ±2рБ;^ = -^=-^6, Нн = ± уРв. ±2рБ.^у-К V^k210 т9* бГтах- ^^г^ь'1^у-К V^k210 т9* бГтах- ^^г^ь'11,24-10-26 Н.1,24-10-26 Н.
215.
216.
215.
216.
217.
217.
Р^Г^Рб- /Т 7. 8
р = ]/б рБ, ря = 0, ±Рб> ±2рБ;
^ = -^=-^6, Нн = ± уРв. ±2рБ.
Р^Г^Рб- /Т 7. 8
р = ]/б рБ, ря = 0, ±Рб> ±2рБ;
^ = -^=-^6, Нн = ± уРв. ±2рБ.
^у-К V^k
210 т
9* бГтах- ^^г^ь'1
^у-К V^k
210 т
9* бГтах- ^^г^ь'1
1,24-10-26 Н.
1,24-10-26 Н.
220. и =220. и =2Ь> Т" Ив—^~3,6-102 —.tamO’С2Ь> Т" Ив—^~3,6-102 —.tamO’С
220. и =
220. и =
2Ь> Т" Ив
—^~3,6-102 —.
tamO’С
2Ь> Т" Ив
—^~3,6-102 —.
tamO’С
6 — 0,3a (a + 2b) X X Ио ^Иб^к1 «3,2мм.а) 6; б) пучок не расщепляется.p™x = 0,6piB, ИГх = 6рБ.ДЕ = 4рБй = 3,5х X 10~4 эВ.4%.а) Нормальный; б) нормальный; в) аномальный.Схема зеемановского расщепления термов ^3/2 и 2S!/2 в слабом магнитном поле представлена на рисунке 16.Смещение частоты ® пр определяется формулой6 — 0,3a (a + 2b) X X Ио ^Иб^к1 «3,2мм.а) 6; б) пучок не расщепляется.p™x = 0,6piB, ИГх = 6рБ.ДЕ = 4рБй = 3,5х X 10~4 эВ.4%.а) Нормальный; б) нормальный; в) аномальный.Схема зеемановского расщепления термов ^3/2 и 2S!/2 в слабом магнитном поле представлена на рисунке 16.Смещение частоты ® пр определяется формулойРис. 16Рис. 16аномальном эффекте Зееманааномальном эффекте ЗееманаuRBД<о = (тг£2 — т^-^-.uRBД<о = (тг£2 — т^-^-.ОтсюдаОтсюдаАсоНб^АсоНб^± 1, ± -g-.± 1, ± -g-.
6 — 0,3a (a + 2b) X X Ио ^Иб^к1 «3,2мм.
а) 6; б) пучок не расщепляется.
p™x = 0,6piB, ИГх = 6рБ.
ДЕ = 4рБй = 3,5х X 10~4 эВ.
4%.
а) Нормальный; б) нормальный; в) аномальный.
Схема зеемановского расщепления термов ^3/2 и 2S!/2 в слабом магнитном поле представлена на рисунке 16.
Смещение частоты ® пр определяется формулой
6 — 0,3a (a + 2b) X X Ио ^Иб^к1 «3,2мм.
а) 6; б) пучок не расщепляется.
p™x = 0,6piB, ИГх = 6рБ.
ДЕ = 4рБй = 3,5х X 10~4 эВ.
4%.
а) Нормальный; б) нормальный; в) аномальный.
Схема зеемановского расщепления термов ^3/2 и 2S!/2 в слабом магнитном поле представлена на рисунке 16.
Смещение частоты ® пр определяется формулой
Рис. 16
Рис. 16
аномальном эффекте Зеемана
аномальном эффекте Зеемана
uRB
Д<о = (тг£2 — т^-^-.
uRB
Д<о = (тг£2 — т^-^-.
Отсюда
Отсюда
Асо
Нб^
Асо
Нб^
± 1, ± -g-.
± 1, ± -g-.
^ = 6,4-104.
В основном состоянии атома водорода имеет место сферически-симметричное распределение электрического заряда. Взяв в качестве элементарного заряда
dq(r, 9) = 2лр (г) г2 sin OdO dr,
запишем выражение тока прецессии вокруг вектора В ft Oz в виде:
di (г, 9) = ^-р (г) r2sin9d9dr.
В центре атома этот ток создает магнитное поле
dH0 = — р (г) rdr sin3 9d9.
Интегрируя это выражение по г и 9, получим!
Так как Фе(0) = т~^— (где а0— радиус первой боров- ской орбиты), то Яо=-1^-,
г ~ 3,5-10-и м.
0,052 нм; 0,104 нм.
х« —1.31-IO-».
Используя формулу для среднего значения 7f+7I==$(г!ч-г1)|ч>(гж, r^dY^^g^, получим:
V9 ЛО 10 — 11 л3 -
Хмол— 2m0(Z')2 ~’моль*
в
235.
J v 72|i0zV0
OQR Р 3 | % |Z2/?4p0Z ^O EQ. 10-37 u
— d2 — 4^o(^2+22)4--
-^-«0,028<l. Поэтому JMM = ^£«
to 0,13 Т-Дж
’ Тл-моль
СМОЛ«5,65.10-6—; М«1,9рБ. мол •моль’
Dt-S".-™ Кака=^-0,00224<|.
ТО ^«0,0015.
Р=-Й^«0,0032-^1,^ = cthp-^-«| =
=0,0016.
Для атомов в 2S t -состоянии L = 0,J="2>
бЦ,8-2.
Поэтому I = Nu^th ^Бу . Так как -тБт - ~ 0,0056 <^ 1, то /«#-^«5,24.
241 Г -. d 7. 10-* К'м3 . 7 — К 4.1 л-2
^ь ьм0Л~4,/.1и модь , Jуд-0,4 W Тл.кг.
Основное состояние атомов кислорода есть состояние ^з",
Худ «8,8-10-^;.
-ф,(/Ч, г2) = у=-[фа(Г1)фь(га) + фа(г2)фь(Гх)];
Фл Gv "^ = "4=- [фа G1) Фб fo—Фа W Фб М]-
А£ — ^пара ^орто — 2/0($м,
где /обм = ^ фГ Gi) Ф= От) УиФ? (г2) Фх (r2) dTxdT2.
/обм = 0,0017 ^-«0,09 эВ.
00м’ 4лео«о
^магн = 1 >2 ■ Ю 4 эВ, т. е. Uматн<^10бм.
/о6м = 0,394 эВ; К = 8,735 эВ.
Фпара = Ф,Й. ^ХЖ*’. 8®>\,
(Форток = Фа (Гх, Г2)Х^(^. 5^). 6=1, 2, 3.
При записи фпара и Фор™ использованы обозначения:
Ф^.a G1G1) = -у=- [фи G1) ф2, Л) ± Ф1, (Г2) ф2, (Гх)],
х™ = у- [а (s’1’) ₽ (s«>) ± а (s<2>) р (s’1’)].
Xs2’ = а (s’1’) а (s’2>); х^ = Р (4n) Р («1а)).
где а и р—спиновые волновые функции двух возможных состояний частицы со спином 1/2.
ф’1’ = Ф1, Gi) Фи (г2) [а (1) Р (2) +«(2) р (1) +
+ а(1)Т(2) + а(2)у(1) + р(1)?(2) + р(2)т(1)], где а, р, у—спиновые волновые функции трех возможных состояний ^tnsz = O, ± 1) частицы со спином 1.
a) Ne = 18 — атом аргона, б) Ne = 48—атом кадмия.
Ar—ls22s22p’3s23p’; 3eKr— 1522522рв3523рв3^о4х24р’.
4ePd—ls22s22p63s23pe3d104s24pe4d^.
65Cs— ls22s22pe3s23pe3dle4s24p’4d105s25pe6sI.
a) 2; б) 2(2/ + l); в) 2n2.
a) 6; 6) 3.
a) *S, 3S,35\ 1S), 3®;
35\ 35, 1S>.
4S, 23>, ^
4S3/2.
a) 4^3/2; 6) 6S6 ; в) 4^„ . 22
a^j v-iWi’-iWv^iW
Ф(Г1> Г*, ^"""^ Фо (G) Фо W Фо (rs)
Ф+1(г1)ф+1(г8)ф+1(г3)
где ф„; — одночастичные волновые функции, /и,—магнитное квантовое число, mt — 0, ± 1.
Ф (7i, 72, rj = -^ Фх (7,) [ф0 (72) ф4 (г3) —Фо (73) ф1 (72)].
262.
Ф (£1> ?2» £з)— yrgpФ (£1> ?2» £з)— yrgpФи (71)«(1) Фи Й а (2) фи (73) а (3) Фи (G) Р (О Фи (r2) р (2) фи (7,) р (3)
Ф (£1> ?2» £з)— yrgp
Ф (£1> ?2» £з)— yrgp
Фи (г,) а (1) ф„ (г2) а (2) фм (г3) а (3)
2; 4; 4.
Мультиплетность 95 молекулярных термов определяется суммарным спином S электронной оболочки: gf = 2S-|-l. Поэтому у молекул СО и О2, электронные оболочки которых имеют четное число электронов и целый спин, мультиплетность электронных термов будет нечетной. Молекулы NO и ОН, для которых спин электронной оболочки полуцелый, характеризуются четной мулы типлетностью электронных термов.
а) Л=1; S = 0; 1. Поэтому возможны следующие электронные термы: Ш; 3П.
б) Л= 1; 3; S= l/2 и 3/2. Этим значениям соответствуют термы: 2П, 4П, 2Ф, 4Ф.
Записываем правильные функции нулевого приближения:
ф = С1ф1+Саф2; Ф'= С^ф2+С2ф2,(1)
где коэффициенты Cn С2, G, С'г определяются формулами (1) задачи 188.
Выражаем из (1) ф, через функции ф и ф', описывающие состояние с возмущенными энергиями Е + Е^\ Е + Ер. Энергии Е^а определяются формулой
Е^ = у ^ + ^2 ± I'^VW]-
Вводя затем временные множители, переходим к волновой функции ^i
е к Г', -ТЕ2 z
(2)(2)Ф.=—^— [С^фе h— С2фе k
(2)
(2)
1 С^-СгСа L Y2YJ
В начальный момент времени (/ = 0)
1 T1 CA-CiCa
Подставляя в (2) вместо ф и ф' их выражение через ф4 и ф2, получим разложение Ф^
^1 = ^(0 Фг + а, (0Ф8,
где
expV )(~ТЕ^‘
aaW=e-^v-7vrVC;C.e -С'2Сге к U1U2 — С 1^2
Подставляя сюда значения коэффициентов и вычисляя |а2(/)|2, получим для вероятности перехода выражение Г12 = 2 -У^Л [1 — cos соч» Л, 12LJ
где a>a) = |/(vii_V22)2 + 4|V12p.
Отсюда видно, что вероятность №12 периодически меняется со временем с частотой со1^.
Потенциальная энергия осциллятора в однородном электрическом поле S(.<S> 0, 0) равна
U (х) = ^- х2—е^х = ^- (х—х0)2 + const,
где
0 то2
Поэтому волновая функция возмущенного осциллятора имеет вид:
гдегдеФаФаIf ТП(й \2 d^\ nA /d£6If ТП(й \2 d^\ nA /d£6[e-($-t.)2],[e-($-t.)2],(-1?К 2*А!(-1?К 2*А!ii(mAw3)1^2 "(mAw3)1^2 "
где
где
Фа
Фа
I
f ТП(й \2 d^
\ nA /d£6
I
f ТП(й \2 d^
\ nA /d£6
[e-($-t.)2],
[e-($-t.)2],
(-1?
К 2*А!
(-1?
К 2*А!
i
i
(mAw3)1^2 "
(mAw3)1^2 "
Вероятность перехода определяется коэффициентами разложения ак возмущенной функции ф0 (х—х0) в ряд по невозмущенным функциям фА(х):
+ 00
dydyак= $ ФЛ(х)ф0(х—x0)dx =
dy
dy
К 2*Л&!
ПоэтомуПоэтомуВходящий в эту формулу интеграл приводится путем /г-кратного интегрирования по частям к интегралу Пуассона:
Поэтому
Поэтому
ь21 s. ь 4afc=V^u
Для вероятности перехода 0—*к получим:
^6к = \ак\г =^6к = \ак\г =2М!2М!
^6к = \ак\г =
^6к = \ак\г =
2М!
2М!
Это—распределение Пуассона со средним значением к, равным
22т^<о3
а> и«- Л J б> и"“й-^ с3л2 \ е *°г — 1 /
Т « 1,7-105 К.
А/ = ± 1; Д/п = 0, ± 1.
Указание. Амплитуду колебаний осциллятора надо выразить через энергию Д^ = ^м (и + у) , используя классическое соотношение Е = ОТ?2М А2. Правило отбора для гармонического осциллятора An = ± 1 применимо лишь при условии
1/А_ Vп^Д<ку тоы г 1 2
где л—длина волны падающего излучения.
W «6,2-108 с-1; т= 1,6-10” с.
По закону сохранения момента импульса при переходе 0—>-0 излучаемый фотон должен иметь полный момент импульса /, равный нулю. Но фотон имеет спин 5=1, описываемый вектором поляризации е. Чтобы полный момент импульса был равен нулю, фотон должен находиться в состоянии с £=1, описываемым волновым вектором к. Вероятность перехода пропорциональна квадрату скалярного произведения е-к, которое обращается в нуль вследствие поперечности электромагнитного поля. Следовательно, переход 0—>0 с излучением одного фотона запрещен.
Такой радиационный переход может однако идти с испусканием двух фотонов. Примером является распад
л<0)-мезона:
л«» _^ Т1 -|_ Y1.
При больших /
^ = |V„r ^.Д. -Д^Г6 (£ — £').
Величина А£, входящая в соотношение А£-А/~ А, есть разность двух точно измеренных значений энергии в два различных момента времени, разделенных интервалом А/.
Vhoh-5,14 В; Увозб = 2,09 В.
£св = 5,37эВ.
А1 = 0,27; Д2 = 0,05; %гол = 177,5 нм, Хгр = 81,9нм.
а~9,2.
А£ = 2-10-3эВ; -^-~10~а.
АХ = 0,0005 нм.
-4-= 4-105.
Д-2,7; Д-1.2.10-.
=^Т^--лГТ%-^ 176>
\&EbvJhi ^Мг-\-М4 ’
где Л4Г и М2—массы атомов водорода и иода соответственно.
Z = 59.
( —) = — — (где р—приведенная масса).
\ v / Врр.
Для НС1 имеем (—) =—0,0007.
\ V /вр
р«7-10-3.
T«2,5-10~8c.
6Х = ^, (6X)Hg= 1,5-10-6 нм.
(6Х)# = 2Х j/^41n2 (где т—масса атома).
Относительное изменение длины волны вследствие эффекта Доплера выражается формулой
№= 2₽v
\ д / допл
/
2^0Т 1 п in 2 .
При Т = 300К имеем: рх = 0,95 • 10-в и (6Х)Д0ПЛ = = 0,95-10-3 нм.
Уширение вследствие столкновений может быть найдено из формулы
(6Х)СОуД ^d? -
X ~2*ofP2*
где 51—давление, d—диаметр атома аргона, Т—абсолют-
/
8к0Т тт^- При
4^0^ -| Г л In 2 ~ . «в НТЗ2" V “4°'1и' м2
доплеровское уширение и уширение за счет соударений становятся неодинаковыми.
Используя выражение для амплитуды рассеяния
f (0)=i Е ^ +1) ^1-1) pt (cose),
lR 1 = 0
можно для полного сечения записать:
о = f I / (0) |4Q = ^ f dQ £ (2/ + 1) ^-1) Pt (cos 9)
JJ /=0
Изменяя порядок суммирования и интегрирования и произведя интегрирование по углу ср, получим:
°=5Е Е (2/+ 1)(2/' + 1)(е2^-1)(е-а1^ -1) х 1=0Г=0
л
X J PzP^sin0d0.
о
Учитывая далее ортогональность полиномов Лежандра, т. е. выполнение условия
j Pt (cos 0) Рр (cos 9) sin 0 dO =! ^~-q 6и» о
и производя суммирование по /', находим:
1=0
где парциальное сечение рассеяния ot равно
Ог = ^(2/+1)8Ша6,.
o^^ImfAO),
где Itntt — мнимая часть функции f. Полученный результат составляет содержание так называемой оптической теоремы, используемой в физике ядра и элементарных частиц.
В области г > а имеет место U (г) = 0. Поэтому волновое уравнение для ф (г) в этой области примет вид
(1)
где а .
Принимая во внимание непроницаемость сферы, можно граничное условие записать так:
Ф(Н1,=а = 0-(2)
Решением уравнения (1), удовлетворяющим граничному условию (2), является
(3)
Из (3) определяем 6Z:
60 = — ка,
6z = 0 если /^0.
Поэтому
о = а0 = -^-sinafta.
При ка<^1 (медленные частицы) s\nka~ka. Поэтому а = 4ля2. Согласно квантовой механике сечение рассеяния непроницаемой сферой в 4 раза больше того сечения, которое получается в классической теории.
Уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции преобразуем с помощью подстановки:
Ф(Н = 7%(И-(1)
Поскольку в случае ка <^ 1 интерес представляет только сферически-симметричное решение (s-рассеяние), то % (г) будет удовлетворять уравнениям:
Х"4-А2х(г) = 0, А2 = ^^ при г > а;
9(2)
X" + ^х(г) = 0, кХ = ^Е^ при г <а.
Граничные условия для /(г) следующие:
Х(°) = °,,3)
Х(оо) = Л4 (конечное число).' '
Решениями уравнений (2), удовлетворяющими граничным условиям (3), будут функции:
X (г) = sin (Аг + 60) при г>а;
X (г) = A sin kYr при г <а.(4)
г = а по-г = а по-(5)(5)Из условия непрерывности отношения у- при лучим уравнение
г = а по-
г = а по-
(5)
(5)
tg (Аа + б0) =-^-tg А^.
Отсюда
-^-tgkxa\—ka.
При малых скоростях рассеиваемых частиц (А —► 0) фаза s-рассеяния пропорциональна А:
и
6о
tg ^оа
. V^tn»U»
/^АоЯ
а = 4ла2
\ 2
1)
Для неглубокой ямы коа<^Л. Из формулы
получимполучимо = 4ла2о = 4ла2ст = 4ла2 (Ц^2—1У\ «о“/
получим
получим
о = 4ла2
о = 4ла2
к^ 16л uXtnXa»9 - 9 1£4
С увеличением глубины Uo сечение рассеяния сильно возрастает и при к6а—>у становится неограниченно большим. Равенство кйа = ^ совпадает с условием появления в яме первого энергетического уровня.
При дальнейшем увеличении Uo сечение ст уменьшается и обращается в нуль при tgkoa = ktta, а затем убывание ст сменяется его ростом.
Таким образом, сечение ст будет колебаться между О и оо при монотонном увеличении глубины U0 ямы. При появлении в яме нового энергетического уровня (резонансное рассеяние) ст—>оо. Это позволяет понять тот факт, что при рассеянии медленных электронов атомами аффективное сечение может сильно отличаться от геометрического.
f = $о =^LS2^ (
где
х = уК2тД7?.
При xa^l амплитуда рассеяния будет постоянной:
f = — а и ст = 4ла2.
Этот результат соответствует рассеянию непроницаемой сферой радиуса а.
Решая уравнение
" I Гм 1 0 + О 2ma In/1\
Xz + p2^-|Xz = °(1)
с граничными условиями
%z (0) = 0; хД°°) = А1 (где М — конечное число), (2)
получим для радиальной волновой функции % решение, выраженное через функцию Бесселя к(кг):
гдегдеФг(г) = Л/г -к (кг),Фг(г) = Л/г -к (кг),2та“| 2172та“| 217(3)(4)(3)(4)
где
где
Фг(г) = Л/г -к (кг),
Фг(г) = Л/г -к (кг),
2та“| 2
17
2та“| 2
17
(3)
(4)
(3)
(4)
Для определения фазы бг учтем асимптотическое выражение для функции Бесселя
г / у \ / 2 X 2 , / < Хл . Л X/с\
№^~V"^7) 51П^г-т+т)-<5>
Отсюда
~ 2 \2) ~
,1
-11 И/ 1 ' V । 2mal 2/; । 1 \ I /е\
2"Uv+2/ +1TJ V+"27J’(6)
При больших /, которые определяют рассеяние на малые углы, выражение (6) примет вид
tя та
О, т- .
'(2/+1) А2
Отсюда видно, что |6г|<^1.
Из общего выражения для амплитуды рассеяния
f (9) = 2k Е <2Z + D Pi (cos9). (е8<6<-1) / = 0
при малых 6г, когда ellbi ~ 1 +2tSz,
«О|
E^(cos9) = —г.
i^02sin7
Поэтому 7 (6) = — ^Ц- .
кК 2siny
Дифференциальное сечение da в рассматриваемом случае обратно пропорционально энергии:
, л3а2т 6 ,а
Оно характеризуется универсальным угловым распределением.
301. da = 4a4'^^-X (301. da = 4a4'^^-X (sin да —да cos да\2 д3а^ )sin да —да cos да\2 д3а^ )dQ,dQ,
301. da = 4a4'^^-X (
301. da = 4a4'^^-X (
sin да —да cos да\2 д3а^ )
sin да —да cos да\2 д3а^ )
dQ,
dQ,
305. /(6)305. /(6)а —4ла —4л/2aa2m\21\ ^2 / 1 + 4а2&2 "/2aa2m\21\ ^2 / 1 + 4а2&2 "
305. /(6)
305. /(6)
а —4л
а —4л
/2aa2m\21
\ ^2 / 1 + 4а2&2 "
/2aa2m\21
\ ^2 / 1 + 4а2&2 "
где q = 2k sin -^ .
Полученная формула справедлива при условии
где у — скорость частицы.
_ 2л /Uoa^mVr< 1. sin4^a sin2 2аЛ
А2 ) V(W
J ПРИ ^<^1;
Q = -^V^") ПРИ ак>^
3. do = n(^2b\ е 3 d^, \ 2&2 /
где q = 2k sin -^ .
о = 2 (п-^й,7\ (1 —е- 2а2,=2).
\ 2А&2 v'
Пределы применимости формулы (1) вытекают из условия применимости борновского приближения: 170<^^-.
304. ст~т2(п-2,1>2<л-3>а2Й2!1-п).
При n = 1 (кулоновское поле) в формулу для о не войдет квантовая постоянная К;
при п = 2 сечение не зависит от массы рассеивае мой частицы;
при п = 3 сечение рассеяния в борновском прибли
2am^(«ч-s)2am^(«ч-s)жении не зависит от скорости.
2am^(«ч-s)
2am^(«ч-s)
В случае рассеяния медленных частиц (£а<^1) а « 4ла2 (2та)2 Д"4;
при ка^\ (быстрые частицы)
о = 4л (та-У к-гК~4'аг.
6
/\2 ^os 2/ 0 \
do = 2л (oiq^ I д-^(^г)—формулаРезер-
sm У
форда, где£—кинетическая энергия рассеиваемых частиц.
/7р1\ 2
о я = л I .“„- ) e>Y \ 4ле0£к /
До = 0,5.10-26 м2.
Нп / 7р» \21
^=(НЧ) —-п-= 1,3-10~28м2.
du \8ле0£ / . , 0
8111 У
Так как
х 1 4ле0г 4ле0 J |7_^ | то
f(e)=^(/2-z/1).(1)
Здесь , f dt ,"t71
/ = V ctc*r =
1 J 4ле0г e0g2 *
/-C/^^f Р(И^-(2)
J J4ne0|r—r'l
где (? = 2«sin-p
Замечая, что функция I (r')=C^J _,. e^ удовле- 4ле0|г — r' |
творяет уравнению Пуассона:
V2/ ^ = _Le^r^
CO
Рис. 17Рис. 17получим для /2 следующее выражение:
Рис. 17
Рис. 17
1 =="^ j* р (И •el^'dT' • (3)
Подставляя (2) и (3) в (1), найдем:
2тсг0д2Л2
где
F(0) = ^p (y)-eiqr'du* — атомный форм-фактор, зависящий от угла рассеяния и скорости рассеиваемых частиц.
dodoe2elm24^М^e2elm24^М^[г-р^чи.[г-р^чи.Следовательно,
do
do
e2elm24^М^
e2elm24^М^
[г-р^чи.
[г-р^чи.
/п ।2
do = 4a^-—где а0—боровский радиус; (4+а0д2)4
7лЗ^27лЗ^2о =о =7 л % \2,- .
7л
З^2
7л
З^2
о =
о =
= -5- — при М«» 1.
3 \mv) г
28 /^\2
о = ^-л I — •
р = ти0— прямая, параллельная оси q.
1) q = — — +(g0 + — )—прямая с угловым коэффициентом ——.
/ । ц \2ql ^t ( р+т»^ ^t
+\ ет =1—эллиптическая спи
раль, навивающаяся на начало координат Qi — постоян-ная величина, определяемая начальными условиями, со=
сунке 17 соответствует движению заряда от г0 до еп а
верхняя—от ех до точки г0.
Фазовые траектории представляют собой параболы с вершиной на оси q (рис. 18):
Р1 —Ро= — 2mag(q0—q).
Объем, занимаемый фазовыми точками, имеющими при t0 = О координаты из интервала q^q»^ М» и Ро^Ро+^Ро сохраняется (ДГ0 = ДГ1). Это равнозначно сохранению фазовой- плотности (теорема Лиувилля).
ДГ0 = ДГ(.
ATt = у |pxA-2 х^р^ -|- ргха х^ра 4* раХу x3pi | = =| -^ [е—"^8(8 + Де)] sin 61 = const.
ДГ = ДГ'.
d?' =Ddr = 0, так как якобиан преобразования равен нулю:
D = ОАдг^д^Ръ,^ = 0.
D(qi, q2, Pi, р2)
Значит, фазовый объем не сохраняется.
Г(е) = ла6=~; объем элементарной ячейки равен к.
4/ е2 \2_
322t Г(е) = у nV (-^ — m^2)2 , где с—скорость света в вакууме.
dQ(e) = -^ Vs/36"lde, где s — число степеней свободы, h— постоянная Планка, V—объем газа.
Энергия Е идеального газа зависит лишь от обобщенных импульсов. Поэтому фазовый объем Г = =Г(£, V). Действительно,
Г(£, V^Jd^d^d^ ^dq4.. .dqsN J ^ = 7"^
где Г^,—объем ЗМ-мерного шара в пространстве импульсов, пропорциональный RaN, причем радиус шара Rry^VE. Значит,
— N
Г(£, V) = ANVNEa ,
где константа An не зависит от объема и энергии. Энтропия системы S равна
S = ^o In Г = ^01пЛл, + ^Л1пУ4-^0^1п£.
Температура идеального газа определяется соотношением т — 17^ 1 ~Х — 2Е
1 — L^SVvJ 3h0N
Поскольку внешним параметром является объем, то обобщенной силой будет давление. Поэтому
51=г ($),=■
Отсюда
9»V=k»NT.
r(£) = Bw£w, где Bn—постоянная величина, не зависящая от энергии Е.
в
f(E") = Ae ^о7, где А— постоянная, определяемая условием нормировки.
Каноническое распределение Гиббса выражается формулой
dW(E)~e ^dT,
То"'
где 2 — \ е"-^к°т-^—интеграл состояний системы. Для г
линейного гармонического осциллятора dr = — de. Поэтому
vh J/iv
о
Следовательно,
._ e
dW (6)=^^ ^de.
KqI
Средняя энергия гармонического осциллятора равна
8 = ^е*"^е = М’.
О 1-JL др
dll^f)--^ -1 Л-Е-у .е
E^-^N-A^T, bEe^VtUrN—XV^ EB;
\2) в’ Ев
1121 I2 1
Г 1
lim le^7-Q(£’)J—^6(£—Е^ где Q(£) — число
N->«
различных микросостояний с заданной энергией Е, EQ — энергия замкнутой системы.
£B = v(^-l)«^^r; еЦ^.Т, где /число степеней свободы одной частицы.
dU7(e)= ? е ^T^gde.
dW^v ю2> ®3) = (2л^Т)“ (Л/ЛрХ Хе-^7 ^Х*1^'^ ^^д^.
/^КЦ^ + т+т,)*!
-/^ = VkJ Цх + /2 + /3)“.
Квазизамкнутая система, содержащая большое число частиц, будет с наибольшей вероятностью находиться в состояниях с энергией ^, близкой к среднему значению ^. Поэтому в интеграл состояний Я заметный вклад вносят только указанные выше состояния. Тогда с _^.-2. - д
2=Je ^dti^^e *»гЙ(£) = е *»rgo,
где Йо(^)—число состояний с энергией <§ = £=Е.
Учитывая выражение 2 = ехр(—^Ik^, находим Q„ = exp[(£—^IkgTy Энтропия S определяется термодинамическим соотношением S =—^-, поэтому Q0 = es/*«. Логарифмируя последнее равенство, получим S=feolnQo.
W£ =трЁТ> гДе 0 определяется из условия 2е '
^Е^-Е. ‘
Искомое число частиц газа N6<0<Vb равно
N o<o<t>B — 4nAfN o<o<t>B — 4nAf
N o<o<t>B — 4nAf
N o<o<t>B — 4nAf
ПроПро
Про
Про
где N—число всех молекул и ив =
водя интегрирование по частям и переходя к новой пе-
ременной i = Vau, получим
^o<o<«B-^ erf(1)^o<o<«B-^ erf(1)
^o<o<«B-^ erf(1)
^o<o<«B-^ erf(1)
где е—основание натуральных логарифмов. Значения X
интеграла ошибок —Д=- С е^^ dt = erf (х) приводятся в таб
лицах. ^—-^43%.
Воспользуемся распределением по энергиям:
dW (в)=-==^=-е k»TVsde.
V ’/л(й0Т)8'
з
Число Nx молекул газа, у которых e^-^h0T, равно
со 8
Nx = -^L С/ёda,
V л^Г8 ^
где N — полное число молекул в газе. Тогда искомая часть молекул равна
Пусть поверхность пленки совпадает с плоскостью XOY. Тогда вероятность для молекулы «двухмерного» идеального газа иметь определенные значения компонентов скорости их и иу из интервалов t^ 4- vx + dvx и vv-rUv + dvv Равна
dW (vx, и^ = Се~^ ^W) dUx ^
Постоянная С определяется из условия нормировки:
2л^0Т1 *
Поэтому /71 /22 \
dW (vx, ^ = 2^ e-5M= ^+М dx)x dvy = w ^ dvx dvti1
где w^u)—плотность вероятности.
Вероятность для молекулы указанного газа иметь скорость у из интервала v-r-u + dv представится выражением
dW (и) = w (и) • 2ли dv =е 4k»Tvdv.
Поэтому
Воспользуемся выражением максвелловской функции распределения в сферических координатах:
dn(v, 0, <p)=ydAf(v, 0, ф) = п (~)3/2 e-^VsinOdvdOdcp.
Тогда число молекул, соударяющихся в 1 с с 1 см2 поверхности сосуда и имеющих заданное значение скорости, равно
dv (и) = лп (2 е v3 dv.
Вероятность обнаружить у молекулы в пучке скорость v в интервале dv выражается так:
dr (v)=^,
где
1 -V = — 7ZV,4
Поэтому для средней и среднеквадратичной скоростей молекулы в пучке можно записать:
полное число частиц в газе, *0 = 0“’2Гг *
^(цг,их) = 2л^ \ 2л^7'/ е гкаТ y^dyidy,.
евЦц.
^ = -е"т+1—erf V4 ) «°Д Л7 л 1\ V л /’
^~87%.
^= 2 e-i-erf(l)+l. ул
£ = >1^^2^ , где и — число частиц газа в единице объема.
W (« < =.) - erf ( д/5= ) -2 /^ ■^.
^=2 1/^e-*o-erf(/^) + l, где х0 = ^-«
4,5-102.
dAf1(0) = 4-S-4'ysinOcos6d6, где п = l/"^ltil_ 1' '2 Vг лт '
М = 9s "у о. ^ ^ , где m—масса атома, 5s—давле-
ние пара металла.
5' = 3'„ехр Г— ^ ^~^- 0 р L гйотл?
Эта формула может быть использована для экспериментальной проверки распределения Максвелла.
п о ккал
cv = -к- R^o
v 2 кмоль-К
6,.= /|.; 6,- /л.
иО1Н = У2иа6с.
U1U16 № 23
U1
U1
рт
H = —ln3«8,6 км, р—молярная масса.
RT In 51
N^-^n—21—— ~6,Ы02« ——. Здесь р и
£^ (р —Р ) (Й2 —Л1)кмольг
р'—плотности частиц гуммигута и жидкости соответственно; V—объем одной частицы.
Потенциальная энергия молекулы в однородном поле силы тяжести равна u — mgz. Поэтому u = mgz.
Используя распределение Больцмана dW (z) =
= Be А»г dz, запишем:
8 = ^6 k°T dz— интеграл состояний. В данной задаче о
Вводя параметр ^ = ^9 выразим и через 2: и = —mg -gg In
Тогда
"и—кТ f \5^5!\
\ е к°т — 1 /
E = 1RT7Й§Г-;
еХР DT ~ 1
1)сг~4;?; 2)сг~|Я-
f62
Молекула кислорода массы т в гравитационном поле Земли обладает потенциальной энергией, равной
.( 1 1 \u=mgrM-—у) >
где го«6,4'1О8 см—радиус Земли, г — расстояние молекулы от центра Земли.
Вследствие пропорциональности плотности частиц газа больцмановской функции распределения можно записать распределение числа частиц по высоте в единичном телесном угле в виде:
mgr» /п (г) =пое к»Т Vo г ) .
Отсюда следует, что число частиц в единичном телесном угле на бесконечности не равно нулю, т. е. при г —► ОО
_ mgr,п„= пйе~ к«т .
Учитывая значение показателя степени
mgr0кйТmgr0кйТ^~зоо,^~зоо,
mgr0кйТ
mgr0кйТ
^~зоо,
^~зоо,
получим, что молекулы кислорода, преодолевающие гравитационное поле Земли, составляют часть, равную
JQ-344
п0
367.
368.
Идеальный газ во вращающейся центрифуге эк
вивалентен идеальному газу во внешнем силовом поле
|F„„| = /nto2r,
где г—расстояние молекулы от оси вращения. Вычислим потенциальную энергию молекулы в таком поле:
.*г=~^dr.*г=~^dr
.*г=~^dr
.*г=~^dr
Согласно распределению Больцмана вероятность обнаружить молекулу в точке с цилиндрическими координатами
г, ср, г равна
dW (г, <р, z) = Be- к°т dV = Be ^к«т rdrdqdz.
Отсюда получим функцию распределения по г; m^r^
dW ^^Ае^ rdr.
Следовательно,
/ m^R \^ тм2г2
й= _1 К г»е"^т dr =
W02/?2
mco2/?2 X 2AoT
"WJ г
"7 mo)2^2
Согласно распределению Больцмана вероятность обнаружить молекулу на расстоянии г от оси центрифуги равна (см. задачу 369):
/ т^Я1\ - ]. гпл^г^
dW (г) = ^^ \е 2к°т * у е 2k°T rdr = w (г) dr.
Число частиц определенного сорта в единице объема на некотором расстоянии г от оси центрифуги пропорцио- бэльно плотности вероятности w^r). Поэтому отношение плотности частиц с массой тт к плотности частиц с массой т2 на внешнем цилиндре будет равно
nJr=RnJr=RШхт2Шхт2mtto2R2 е^г"— 1mtto2R2 е^г"— 1m^to2R2е 2к0Т Jm^to2R2е 2к0Т Jе 2коте 2кот
nJr=R
nJr=R
Шх
т2
Шх
т2
mtto2R2 е^г"— 1
mtto2R2 е^г"— 1
m^to2R2
е 2к0Т J
m^to2R2
е 2к0Т J
е 2кот
е 2кот
а на оси цилиндра —
fnA _mi е 2kt>T — 1
\n2)tc=o m2 m^R2
е 2к»т -1
Следовательно, для коэффициента разделения q получаем выражение
)Ктх-т^ to2R2
\n2)r- = R ^ 2к0Т
mtoaRa
‘ZV ( m^R^
e \ *2keT
mtoaRa
e 2h.T -1
2
Плотность распределения вероятностей
mtoara
w (г) = Аге2к°т
не имеет максимума внутри интервала (О, RY
372. E = E0 + Nh0T 14
mto^R1 exp \ 2квТ )
2к0Т ^2^2
1 —exp 2k,,T
Су = Су ) 4- Nk0 1
2 ехр ( 2к0Т )
( mtoaRa\^ Х\~е^т )
где Ео и Су>— значение энергии и теплоемкости газа при со = 0.
373. dN-^’ ^
g
mgz mW, 2 ■ к0Т е2к,Т
mgH\ / mtoaRa \ r^r^t X-e *оГДе2бот-1)
где ^ —общее число молекул в сосуде. Ось г направлена вертикально вверх.
374. dU7(q)) = /lc к»т sincpdtp;
u^k^T—-acth f-A;) .
375.
376.
377.
— ~ 0 15
^=0,46-10» |.
— _ у? В ^д * 3A0T ’
где p^gj/V^ + OHB, Ив — магнетон Бора, g—фактор Ланде.
0,65-103 -^.
э-моль
п,—п =^Е>=1(^9_ * V
*2 м0 \3 у
Обозначая постоянный дипольный момент через р0, запишем для потенциальной энергии молекулы в постоянном электрическом поле:
u = —р0<^0 cos 9.
С помощью распределения Больцмана получим:
лРо ®о а
cos °
cos2 9 =cos2 9 =~ 3 ^45 k6T )~ 3 ^45 k6T )cos26e*°r sinOdO о
cos2 9 =
cos2 9 =
~ 3 ^45 k6T )
~ 3 ^45 k6T )
Po8O
-—; cos 6
ek°T sinOdO
1 Яр—15 no1 Яр—15 noОтсюда
1 Яр—1
5 no
1 Яр—1
5 no
nx—ny
Следовательно, и
К = п° ^5м о^оК = п° ^5м о^о
К = п° ^
5м о^о
К = п° ^
5м о^о
381.<F=—WV^ln^ + y ^^^7^ +1}=—8,79 кдж, 5» = ^~0,62.102§,
где та — ^— 6,02-ю26 ’ ^ — ^ N<> — ^’^' ^23#
U = 1W® 414 Дж, S = Nke [1п^+у Instil 44-4] « 10,26^, Я = у^У = 690Дж, Ф = Н—8Т = =—3414Дж, где Я = -гХ==0,5> 1023, т„ = ^-,р—моле- кулярный вес.
Интеграл состояний 2Z одной частицы запишется в виде
.*83_*8_ £
^i^TS^V k°T^p^dp~^Vc ^h^^\e k°Te 4 de.
Обозначив а = ^ и п =—^-, получим табличный определенный интеграл:
е-«беп ^g ое-«беп ^g ог (п +1)а"+1’г (п +1)а"+1’
е-«беп ^g о
е-«беп ^g о
г (п +1)
а"+1’
г (п +1)
а"+1’
где Г (п + 1) — гамма-функция Эйлера. Тогда, используя свойство мультипликативности 2, запишем:
g= _L V^№Ng= _L V^№Nкс 4 Гкс 4 ГЗХ^ЛП 44 JJ N\ЗХ^ЛП 44 JJ N\
g= _L V^№N
g= _L V^№N
кс 4 Г
кс 4 Г
ЗХ^ЛП 4
4 JJ N\
ЗХ^ЛП 4
4 JJ N\
Уравнение состояния газа
51 =v (W-)r-v"V
совпадает с уравнением Клапейрона — Менделеева.
^=-^от(1п^?+1); 5» = ^.
S = -| Nk6 In Е + Nke In V + const.
1) ^=—^\пТ — Мк;Г\пЕ—^\п12кпгквН + k6T lnNl+Nk0Tlnh.
2) S=Nk0\nL+ ^ InT+y ^oln 2-^^ — k0\nN\,
где L—линейные размеры области в направлении движения.
а) £2Т = const, б) То — const, где£и о—размеры областей, занимаемых одномерным и двумерным газом соответственно.
388.388.389.389.^ = - NkeT ln-J (^^)2 -k0TN In [-^- X
388.
388.
389.
389.
^ ^оГ J ] .
од 2 Nk^T । . tngL 1
3 v Lem&L!kQT__x^ •
390.391.390.391.д> — N.^1 ГуП (tn«W\
390.
391.
390.
391.
~ 2 я1 m^Ri елр к 2к0Т 'е 2к«т -1
^m=-^(^1 + F,)=i^ + ^ = ((V1+^)^.
392.5» (ft)= У
<=1.2
-V< mjg
migh m^gh <^-1
Ус (^im1+<V8ma)gX
X L Nt(keT-
<=1,2 I
олп SC SC (er-XT l m iM 6^1к^Г
2 = йП0СТ^—^—) > »Bp = —Nk0T\n^r- , SBp = lVft0(l+ln^^), U^ = NkaT, где /-момент
инерции, т—число одинаковых атомов в молекуле.
Д^вр = -Мйк0^Т1\п-Ь- + дТ1п-^^2-|« «2,28-10» Дж, д5вр = ^Л1п^-® 1.Ы03 ^.
Д(/ = |^ЛА7'«4,2.108 Дж; ^S=4k6N0\nb-« « 1,2-10* 4г-
^Ц^У^кеТ^\1^^^^
X (|1п 8л2+ у In ^^). ^вр=4 Nk0T; SBP= ^Nk6 х
X ( 1 + 1п8л2+ у In—2-~" /^, Ц. /: —главные моменты инерции молекулы, т — число осей симметрии молекулы.
^вр = Фвр^-1,7- Ю7 Дж; //вр = (7вр~5,0.10е Дж; Звр«5,5-10‘ ^.
S'V^NkJ.
3^ = 3^ + 4г (RTb—а), п=-4- = ~число Ио УИМОЛ
молей газа.
Эг = —11,5 кДж.
U = UM—4^- (где п—число молей газа), t/= = 1,2466-10’ Дж.
401 S—S n^b —k N n Fin ^ • -^25^112111 _l 2. — n^Rb
^r- , где n—число молей.
S «32,44
Ф = ФВД + 2y- (RbT—а), где n—число молей.
a = -J^-2-nA^u0V0, где Уо = улг^.
405.
где
? / _±<П\
Р = 2л Ц e k»T — 1 Jr dr.о \/
п = т^Ы,
где /(т, co)—некоторая универсальная функция, вид которой зависит от числа п. За единицу объема выбрана величина Ио^улго (поэтому (о = у-),за единицу тем-
(/0 /к0Т \
пературы—величина -^ поэтому т = -77— , за единицу
“о \V о /
давления — величинаfпоэтому л =
"охий j
D
cv = f-%- (где /—число степеней свободы молекулы).
а) cv = -^Nk0;
cv=Nh0.
m- i^=Tk’T-
410. е = к0Т.
4н. ;_.4(i + i)v.
Твердое тело можно представить в виде совокупности 3N независимых линейных ангармонических осцилляторов. Поэтому интеграл состояний указанной системы
равен:
% =—!—
N\№N
_ Р3
^ ^птцко Т
ад2 |3<74
в "к0Т + кйТ Дц
3N
Первый интеграл легко вычисляется:
С е 2тк0Т Др — (2ятквТ') 2.
Значение же второго интеграла определяется в основном первым экспоненциальным множителем, который существенно отличен от нуля в области <72^—^~ • Но в этой
области tV <^( тт-^г ^ 1 • Поэтому вторую экспоненту можно разложить в ряд. В результате получим:
” -О^,,^* _^L(а„4\
I е к,Т ек,Т Дд— i е к»Т I 1 _|_ Ж__|_ ... \dq =
иJ\ Ко*]
— оо— оо'z
— 1 f(1 А А-ь т
- У a4 а2^ +
Следовательно, интеграл состояний системы запишется в следующем виде:
3N
|^л/?07 ^1 + 4 а2 к0Т+ • . • j J (а) ^!Лзлr •
Энергия одного моля твердого тела оказывается равной
£=й0т=(^Д)у~з/?т(1+|^.^+...),а молярная теплоемкость cv определяется формулой
=v=v%\^aRVx+^Tk.T*...y
б = ^-к6Т.
cv = ^R.
с^п = 2^Тб(где 6 = -^-§—А у) .
av = h.
(№,),;,,, = №" >.r ■
4IS. E-N^ ^_iy, C,-Nk.
Л»т ) '
419. с^ол = 0,05 R.
[ to \ . ..Av
S =S =Nk6Nk6hvhv1Avek°T — 11Avek°T — 1(Av1—e k»T(Av1—e k»TУ = NkeT In \t—e ^j+NT’
S =
S =
Nk6
Nk6
hv
hv
1
Av
ek°T — 1
1
Av
ek°T — 1
(Av
1—e k»T
(Av
1—e k»T
Статистическая сумма 2 системы, состоящей из N
независимых двухмерных гармонических осцилляторов,
равна
00Ау(п+1)
й ~ NIй ~ NI^(п + 1)е- ^
й ~ NI
й ~ NI
п = 0.
Обозначив уу = Р> получим:
У (п+ l)e-P(«+D = — АУ e-p(«+D =
п=0Р м = 0
д 1
ар еР_! ж (е3—1)2 ’
Таким образом, окончательное выражение для статистической суммы имеет вид:
Ду
1 е k°T
" N\ (!_е-^/д0Т)2 •
Следовательно, средняя энергия и теплоемкость системы определяются формулами:
Е = к6ТгЕ = к6Тгding _ ОТding _ ОТ2/iv gtolkoT _ j2/iv gtolkoT _ j
Е = к6Тг
Е = к6Тг
ding _ ОТ
ding _ ОТ
2/iv gtolkoT _ j
2/iv gtolkoT _ j
Если e„<fe0T, то тем более ^р^к^Т. Значит, в формуле статистической суммы экспоненту можно разложить в ряд по малому параметру. Ограничиваясь членами второго порядка малости, получим:
-"—?"(" + 1)^ + -Гб"(" + 1)(2'.+ 1)^;-.-"—?"(" + 1)^ + -Гб"(" + 1)(2'.+ 1)^;-.
-"—?"(" + 1)^ + -Гб"(" + 1)(2'.+ 1)^;-.
-"—?"(" + 1)^ + -Гб"(" + 1)(2'.+ 1)^;-.
Учитывая выражение
In 2 ~ In п — ( ^ +^п— 1) (п + 0-^7
для средней энергии системы, приходим к следующему результату:
£ = 1(п+1)е-1(П-1)(п+1)^;.
Тс
Е = Ne0 + Nk0Tce~ т -^;
cv=Nk0 (V) е Ч 1 + е г ) ,
где Тс=^
С повышением температуры cv сначала возрастает и имеет характерный максимум при Т = Тс, а затем убывает до нуля.
424 с.,« 4Nk (§Л е-1 Т= ei — e<> —Ч
аг = №.
£вр ~ Nk^T (1 — 24^27^7) »
Е,Е,cvesLNfe0 при Т^>Т®Р;. 3WV - 4я,уб 7-¥
Е,
Е,
при Т<^Т^Р.при Т<^Т^Р.в»—4л27’
при Т<^Т^Р.
при Т<^Т^Р.
/^2\ 2
c^ — 3Nh1 в WJk0T
cv -^^^JkQT) e
F = — Nk0T[n^-^-, 5 = мЦ1 + 1п ™/°7’) .
T®p(H2) = 87,5K; TT (N2) = 2,9K; Tbp (02) = 2,1K;
Пр(С12) = 0,36К; T^p (HC1)= 15.2K; T? (NO) = 2,49K-
Ь2
T®p —-—— , где J = m*a?—момент инерции мо- о JI RqJ
лекул, m* = ™^—приведенная масса, a — расстояние между атомами.
Т=р (Я2): Т?р (D2):Т^ (HD) = 2:14.
Т“ОЛ«3118К._
Т™л (Н2): Т^ (HD): Т™л (D2) = V 2: У1:1.
AdF = — 0,07 RT ~ — 0,7 ккал/моль.
-^25 = 6.10-17.
с?р = /?(1 + 10-6), сРл = 3.10-2/?.
т^ЫЯ; Тюах = 0,81^= 12,5К.
Число состояний в расчете на единичный объем с импульсом в. интервале между р и pA-dp с учетом двух ориентаций спина определяется равенством
D(p)dp =18лр2 dp.
Учитывая нерелятивистское соотношение между импульсом и скоростью p = mv, получим:
D (и) dv = ^ m3u2 du.
Умножая это равенство на функцию распределения Ферми и учитывая, что для нерелятивистских частиц mu2 о е = —, найдем:
, , ч 8лт3йп-^=-сг, , ч 8лт3йп-^=-сгу2 duу2 du
, , ч 8лт3йп-^=-сг
, , ч 8лт3йп-^=-сг
у2 du
у2 du
Отсюда при абсолютном нуле температуры:
. . . J^^vMv при и < ию,dn0 (и) — < Л3 г ””
I. Опри у > ую,
где Ут = 1/ 2До, Ло—энергия Ферми при Т = ОК. V т
График функции ^ представлен на рисунке 19.
j у dn0 (у)
у=°-= 1ут;
J ^П0(У)
где
Рис. 19Рис. 19
Рис. 19
Рис. 19
_^ ЛШ21
к По 7 J •
где N — число электронов в
объеме V.
e. — 'n + V In 9; Sy = г)—А0Т In 9.
^<^Ю28 м-3.
442. f(ez)«0,6.
443. ±1=
ri0 ж 5 эВ.
ит« 1,3-10е см/с; ц«0,97-10е см/с.
iti^f^iy «0,6-ю-*.
По 12 \ По )
Ф ^ ,»„. [1 -^ ^] ; F = 4 ЛЧ [ 1 -в "’Х
^Na=ll,7-10-ia — да 12- 10-п е ’динН
4‘ = $Nk0^ = 0,258- Ю'*?^; с^а =
= 0,1166- 10-<Г^.
D(e) — C3ft3 8 > Po — h ^8nl/) 3’ ^^^yenvj 3 •
a) E = lN4tt; 7 = 4^. 6) ^=yv* c N
v=-^-y (где c—скорость света).
c^= ^Nk^.
5> = ^(4shz-4sh| + 2),
где z = 4Arcsh-^, p0—граничный импульс.
Искомое значение температуры Т'о определяется уравнением
V = 2 (2s +1) (2лткеТ^к-Ц ^г ,(где Ч* = А =о).
Но f 1,306л.
ПоэтомуПоэтому2
Поэтому
Поэтому
„3,31Ла Г /V 1 з
0— тк0 [V(2s+l)J
Суммарное число частиц N' с энергией е > О определяется формулой
О
Полагая s — zkj\ преобразуем выражение для N' к виду
N' = ^ (2s + 1) МТ)’^ ^.О
Но согласно предыдущей задаче N и Т^ связаны соотношением
§ (2s + 1) £mkeT^ V J.
о
Следовательно,
N' (Т \з/2
Искомое число частиц N" в состоянии, соответствующем нулевому значению энергии, равно
N" = N — N'
N" = NN" = NТ \ 3/2'ri/ .Т \ 3/2'ri/ .или
N" = N
N" = N
Т \ 3/2'ri/ .
Т \ 3/2'ri/ .
е8/2 de, ехр(е/^оЛ—1 *е8/2 de, ехр(е/^оЛ—1 *
е8/2 de, ехр(е/^оЛ—1 *
е8/2 de, ехр(е/^оЛ—1 *
Полная энергия при Т < Т'о представляется ин
тегралом
С помощью подстановки е = к6Тг предыдущее выражение преобразуется к виду
О
Отсюда
з5
£ = O,128(2s + l)A-3m2V(A!oT)2 ;
3
cv = 0,32Л-3 (2s + 1) mT^0 ^кбту!г.
S~aT 2 , F = —|аТ 2, 9> = ^Т 2, Ф = 0, где a = 0,128(2s + l)^3m3/2^/T.
При Т <Тй давление бозе-газа не зависит от объема, внутренняя энергия, свободная энергия и энтропия пропорциональны объему (если Т = const).
8
VT3^ = const или W3 = const.
2
461 T' = ^l^2 Г - - ^1 3 • T'He _ 3 131Z
Полное число частиц определяется формулой
00/т)
ЛГ=у.,^£.р'г.
Это уравнение не имеет решения для т] порядка ~ . Это означает, что в системе нет уровней, число частиц на которых было бы близко к N.
E^L^h-^um^jy^^e^.
9 Е
=.
465 W — Nk Т I 1Т —— ( л^а ^ 2 I
JV-NR61 [ l + 2g V \тквт) J’
где знак плюс—для фермионов, знак минус—для бозонов, g — 2s + 1 — чйсло спиновых состояний частицы со спином s, N — число частиц, V—объем газа.
До Т < 2700 К.
а = т^г« 0,2898 см -К.
7 = 6000 К.
470. 5»«2,3.10иатм.
2л/1 V2
p(v, 7) ёГ^^тТГ!*
1) u = omT (где om = 4,81 ^^ = consA ;
Чах Т = COnst.
Й(М 7)-^»
13
475.476.475.476.N^V^E1.
475.
476.
475.
476.
Vo (7г)?i*
108 СМ-8.108 СМ-8.Пф= 19,24л f^Y«5 ф *\ he )
108 СМ-8.
108 СМ-8.
L = L1-VL1 (где Lt—значение величины L для t-й части). Поэтому
(АЛ)2 = (ALJ2 + 2АЛХ • AL2 + (AL2)2.
Для независимых частей
ALrAL2 = 0.
Следовательно,
(AZTa= ^WT4.1=1
Полученный результат легко обобщается методом математической индукции на случай к независимых частей:
к
(AL)2 = S(ALZ)2.
1 = 1
На основе предыдущей задачи для аддитивной функции состояния системы имеем:
N^L^ 2(ALi)2,<=1
где Lz—значение рассматриваемой величины L для t-й части. Если флуктуации величины L в различных подсистемах по порядку величины близки друг к другу, то _ N
(AL)2c/d W (Д/л)2. Среднее значение L = ^Lt тоже про- i= 1
порционально числу частей N. Следовательно, относительная флуктуация представится соотношением
1
Таким образом, bLcz>N 8 . Поэтому для макроскопических систем флуктуации аддитивных величин будут очень малыми.
Используем выражение для средней энергии Е: E=^Ee'^dr]^e"^"dr (где е = А0Т).
Рассмотрим интеграл/< = у е~Р£ dP (где 0 —^ . Дифференцируя К (0) по 0, получим:
Тогда
£
к ар • с — к ар8 •
На основе полученных выражений имеем:
6£ = J-т/Ё»_(Еу = -= V% '
Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц имеет вид
где е„—энергия одной частицы на n-м уровне; й определяется из условия нормировки:
О ^ч &nNn
ее ^е 8 Ve" е =itN «
Среднее значение для числа частиц определяется равенством
я Nn enN„N = e9 ^Ne9 2е 9 •
Nn
Дифференцируя последнее соотношение по т] и учитывая зависимость Q от т), получим:
.^п
е
nnT, V
n
n
Из условия нормировки путем дифференцирования по г) аналогично найдем:
dQ тут- = — N.
Поэтому
\дц/т, v 6 v '6’
откуда
ТЖу = 9($Л .х 1\ dq / т, v
6Е=-Д=-.
AS« = ^/t (Д^=.
(^«V^^J; №=W.
гдг, д^ = У^ • Гне ^ °’63’ Гн= = °’53'
Гдт, дз = р///Г^'
а) гне = 0,63; rHj = 0,53; гсо, = 0,50;
б) гне = 0,63; гНа==0,47; гСо, = 0,38.
ДГД^=.-^Т; г№.^ = - Vг-
(Дп,-)2 = /гД1— п^ (где п^среднее число частиц в состоянии с энергией ez).
1К(Ап,.)2= tA + J-. ni'ГЦ
D = keTb.
При сделанных предположениях внешняя сила F1 = — ^U и сила сопротивления F2 =—^уравновешиваются градиентом давления 5s:
п(—уу—^Щ = ^5*,(1)
где у—коэффициент сопротивления, п—концентрация броуновских частиц.
Взяв дивергенцию от (1), приняв во внимание уравнения непрерывности div (nv) + ^ = 0 и уравнение состояния идеального газа 3> = пкеТ, получим для вероятности W броуновской частицы следующее соотношение:
" ^е5"+м:^1(2)
При получении равенства (2) учитывается также, что плотность вероятности пропорциональна плотности невзаимодействующих частиц, т. е. W со п.
ксТ
Отношение -у представляет собой коэффициент диффузии D. Поэтому
d-^- = ^^W^U-VDWy
Направляя ось х вдоль ускорения силы тяжести, запишем одномерное уравнение Э—Ф—П в виде
^-12fn7 э“\ । тч^dt ~ у дх\ a*pu
Умножая уравнение (1) первый раз на х—х0, а второй раз на (х—х0)2 и интегрируя по х, получим следующие соотношения:
57 (х х0)2 = 2D — (х х0),(2)
dt И — т дх •
Так как |^ =— mg = const (где m—масса броуновской
частицы), то при интегрировании уравнений (2) с нулевыми начальными условиями
(х х0) |/0=q — О, (х х0)2 |fo=o — О, найдем
Xx^x^=2Dt-Y^^t\(3>
Отсюда для среднего значения квадрата смещения имеем: [(х—х,)—(х—x0)]2 = 2DL
Это соотношение в отсутствие внешнего силового поля при хо = О переходит в следующее:
x^2Dt.
Обозначая через W (кв, st) вероятность того, что частица находится в точке с координатой кв в момент времени st и используя выражения для вероятностей перехода, получим следующее разностное уравнение:
W (efe, ST) = 1 { [1 - ^=2^] W [(fe- 1) 8, (S— I) Т] ++ [1 + (-^] ^[(^+1)е, (s-l)T]}.
Вычитая из обеих частей этого уравнения F [fee, (s—1)т] .и разделив на т, преобразуем его к виду
Л (й? [fee, Ts]-r [fee, (s-1) т]} = g {1W [(fe-1) e,($-1)т]-2Г[йе, (s—l)T] + W7[(fe+l)e, (s—1)t]} +
1 j (fe + 1) еГ [(fe+ 1) 8, (s— 1) t] -(fe— 1) er [(fe-1) 8, (s— 1 )T] 1
тЛЦ2eJ*
(1)
В пределе при т«—>0, е—>0, N—>-оо, когда можно еде- лать замену — = D, ^j = f> st—-t, fee—► x, равенство (1) преобразуется в уравнение Э—Ф—П
dW r^d^W . , д т W7 ,„
Сравнение этого уравнения с общим уравнением Э—Ф — II показывает, что в рассматриваемом случае на броуновскую частицу действует квазиупругая сила Fx =— у/х= = — Т]Х.
В данной задаче с учетом выражения ^(.qy) уравнение Смолуховского принимает вид:
^(x|y)=lw'„_1(x|y+l)+lu7„_1(xly-l).
Умножая обе его части на ^ и суммируя по у, получим:
где
Qn® = 2 w„(x\yy^.
У=-ю
Учитывая, что
УУ
находим:
Q>»(5)= [гД^ + т)] ^ = 2^ S l(n + m) 11(п—т) !• т=-п 22
Сравнивая последнее выражение с определением Q„(£), получим
(и!2-”। I/
Н, при \у—х|Сп,
Г„(х|г/)=< у («+у-*)1 ^(л-гН-х)!
(0при \у—х| > п.
Это есть биномиальное распределение. В предельном случае, когда п^>1 и \у—х|«^п, с помощью формулы Стирлинга получается выражение
W„kx\y^-=^V 2лпW„kx\y^-=^V 2лп(х—у)21 2n J ’(х—у)21 2n J ’
W„kx\y^-=^
V 2лп
W„kx\y^-=^
V 2лп
(х—у)21 2n J ’
(х—у)21 2n J ’
^ = 6,02-10аз моль
^ = ^.
Y mgl
Наименьшее изменение температуры (АТ)0, которое можно зарегистрировать таким термометром, состав- т ляет .
V N
(p0 = /^= )/^«2.10-1 рад.
Удельная энтропия носителей тока является функцией плотности электрического заряда р и удельной энергии носителей в. Поэтому
\ де\ др )е^Г "' '
Используя законы сохранения электрического заряда и энергии
> + «V 7= О,
■^- + divte> = 0,
ds 1 а также учитывая выражения для производных-^-= — , ("^■)е = ^> преобразуем (1) к виду
ds ,а’+е0Т*^ V 1 ^ ( г) \ , (** ,^ 1 /ох
-gr+div—= 1 —(2)
В результате интегрирования равенства (2) по объему V замкнутой системы получим:
VV
Здесь учтено, что на поверхности, ограничивающей объем V, выполняется условие /„ = ^„ = 0.
Выражение (3) аналогично соотношению (17.3). Поэтому силы, сопряженные термодинамическим потокам / и Q, соответственно равны у V (у 1 и V (у) •
Выбирая в качестве термодинамических потоков плотности электрического тока / и потока тепла Q, можно
с помощью метода Онсагера записать:
V 71 ^ ( Л \ I Т и ( 1 \
1-lh"t^ \"^;pL^ \т) ’
Q =* L21 т ^ ^^-VЬгг^ ^т^ .
Отсюда при Т = const с учетом выражения ч = 'П^^оФ (где т]' —химический потенциал носителей заряда в отсутствие внешнего поля) получим:
Это значит, что £п = оГ. При / = 0 находим дифференциальную термо-ЭДСа и коэффициент теплопроводности х в виде:
1 VT]L13 еQ^22^21 — ^12
e«vr” TL^’VT т^ ■
Следовательно, £12 =— аТаа, £22 = Т2(и + ааоТ).
Плв = Т(ав—ал)-
При наличии внешнего поля U (г) кинетическое уравнение Больцмана имеет вид:
а‘ д7 " а7 8?
Функция распределения Максвелла —Больцмана
f (7, у) = Ае L 2 -I к°т (2)
(где Д=соп$1) обращает в нуль левую часть кинетического уравнения. Интеграл столкновений JCT в уравнении (1) для распределения (2) тоже равен нулю, так как имеет место соотношение
/ ('7 vl) • / (г, у() = f(r,vtH (г, и^,
в котором uv у2, о(, у2—скорости первой и второй частиц до и после столкновения соответственно.
п = пое к«т (где g—ускорение свободного падения).
р (г, /)=М--^[е-(6+^2-е-(в-а)г] + Ф(а+^^
2 ( У лб
т 2А0Т ’ а~т 2А0Т ’ а~D(6—а)1, где р0 = const — плотность частиц при /о = О,
т
2А0Т ’ а~
т
2А0Т ’ а~
Ф(6±а)— интеграл ошибок,5 = 7
К -ж/ т
-2-2(где(гдес t У 2А0Т •
-2
-2
(где
(где
f(x, v, t) = Afi (x—vxt) Г1 +-L (у-у0)> Loo.
At = const).
510. Z«4,7-109.
гсо^2 V +v А Zc/d^" v.
^<1,1-IO"3 мм рт. ст.
I u^T\
2 = 2d-~vV^2 (где d— диаметр эффективного ce
N-
чения, -$—число частиц на единице площади, и—средняя скорость теплового движения).
/ = — (1+-)^гдеа~-^-).
Пусть в газе имеется постоянный градиент температуры, направленный вдоль оси х. Предположим также, что изменение температуры АТ на длине свободного пробега / = ту много меньше самой температуры Т.
Поток тепла Qx, определяемый количеством энергии, переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, и градиент температуры дТ связаны соотношением дх
Qx — -^-^'(1)
где х — коэффициент теплопроводности.
Предполагая ради простоты, что площадка находится в точке с координатой* х = 0 и что каждая молекула движется свободно в течение времени т, непосредственно предшествующего прохождению через эту площадку, получаем для средней энергии, переносимой одной моле-
кулой, следующее выражение:
в (—I cos 9) в (0) — I cos 9 (»4х '\их / х=0
где 9 — угол между направлением скорости молекулы и осью х. За единицу времени через выделенную площадку пройдет некоторое число молекул, направление движения которых характеризуется углом 9 в интервале между 9 и 9~|-d9. Это число молекул определяется равенством
dk = ~ п sin 9 cos 9 d9,
где п— общее число молекул в единице объема. Поэтому полный поток энергии представится интегралом:
Q = —cos2 9 sin 9 nvdQ = —(2)
J 2 \ дх / х=о3 дх х '
о
Учитывая, что
де де dT
дхдТ дх *
приравняв правые части формул (1) и (2), получим:
1 г 1% = nvl,
г де
где с —теплоемкость, отнесенная к одной молекуле.
Для неравновесной функции распределения электронов при наличии в проводнике электрического поля <SX и градиента -^- температуры из кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации следует:
/ = М<1 + т[(^ + ^)т+е*]^-(»
где— е0 — заряд электрона, /0(е)—функция распределения Ферми—Дирака.
Плотности тока /я и потока энергии Qx найдем по формулам:
к = —е» $ vxf dg, Q, = J фх dg,(2)
где dg—интервал квантовых состояний, выражающийся так:
dg = —йз 7 61/2 da sin 0 d6 dtp.
Подставляя в (2) выражение (1)для/, преобразуем соотношения (2) к виду
и — <V4 [е0»ж+ ^d?т ) dx J + т йх > I
Л -Г ^? _1_ /^ ^п \ dT 1 иг1 dT К I d
Чх—[Мх+^гТ,/ dx]A«Т dx Лв’ )
00j
где /<„ = —-^^ jT(e)6n+~-^-de. Полагая в (3) /, = 0,
О
находим:
О 1 KtK3-Kl dT 0dT_ т Ki dx * ИЛИИ dx '
Отсюда
1^3-^
Н-Т Кг
,р = тпкеТ (где п—средняя концентрация молекул газа).
ф«48,6°.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Значения основных физических постоянных
Скорость света в вакууме с = 2,998-108 — е
Число Авогадро Мо = 6,023-1026 кмоль-1.
Универсальная газовая постоянная 2? = 8,314-103 Дж-кмоль-1*
Постоянная Больцмана Ао= 1,38-10 - 23 Дж-К""1.
Постоянная Планка h = 6,626• 10-34 Дж-с.
Элементарный заряд е0 = 1,602-10“ Кл.
Постоянная Ридберга 7?^ — 109737,31 • 102 м-1.
Масса покоя электрона т0 = 9,1 Ь 10-31 кг.
Первый боровский радиус а0 = 0,529-10-10 м.
Постоянная тонкой структуры.
Магнетон Бора pg = 9,273-10-24 Дж-Тл.
Магнитная постоянная р0 = 1,257-10-6♦
А- м
Электрическая постоянная е0 = 8,854• 10-12-~^-.
Гамма-функция Эйлера
Гамма-функция определяется посредством интегрального равенства
Г(а) = J e-^x^dx.(4)
о
Интегрируя по частям, получим:
Г(а+1) = аГ(а).(5)
При а= 1 и а = ~ гамма-функция принимает значения:
Г (0=1, г(1)=Кл.(6)
Для целых и полуцелых а значение гамма-функции легко определяется с помощью приведенных формул.
Для других значений аргумента Г (а) можно найти в специальных таблицах.
Вычисление интегралов вида J (а)= ^ x^e’^^dx
Рассмотрим, как вычисляется интеграл J (а) при т = 0, 1, 2,... и п = 2, 4, 6, .. . .
При нечетных т / (а) = 0. В случае четных т интеграл J (а) с помощью замены z = axn сводится к гамма-функции
№.(7)
Jп\ п /4 '
Это равенство справедливо при т^О и л^О (не обязательно целых). Отсюда находим:
l)^x»e-ax*dx=^jr, 2) L4e-axldx = -^vr(^Y
j4а3/2 j4а”
(8)
\ xe~ax8dx=-l-, 4) ^ х3е~ах* dx = -^-^,(9)
Интеграл ошибок
Этот интеграл определяется равенством
X
Ф^х) = егКх)=-^=-^е-‘^1.(10)
Пользуясь приведенным определением, легко доказать справедливость следующих соотношений:
j e"i$dt = ^- [1ТФ(х)1. ± X
j ^-^=£±± ^.е-^_1^ф(Х) ,(н)
± X
Ф(1) « 0,84,9/ у3г5\
Ф(х)=7Й Г~зТГ+^2Т“---) пРих<и
Некоторые интегралы с квантовыми функциями распределения
При расчете физических величин для систем, подчиняющихся распределению Ферми, встречается интеграл вида
Л(п)=С-^^,(12)
о 1+е^
где f (е) — непрерывная функция, имеющая производные любого порядка. Этот интеграл обычно вычисляют по формуле
Л (n)=j / (8) de+2 £ ^2,^ р-1' (п) Г (2п) [1-21-2"] £ (2„),
(13)
где £(2п) = ^ -^- —дзета-функция Римана. Отметим, что
с(у) =2,612; с(4) = 1,341; U2)=^; £(4) = g и т. д. (14) При изучении бозе-систем часто используется интеграл
00
<15>
который можно выразить через гамма- и дзета-функции по формуле /2 = Г(п)^(п).(16)
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Раздел I. Квантовая механика
Экспериментальные основы квантовой механики .... 4
Математический аппарат квантовой механики . . , . ,9
Изменение состояний во времени. Интегралы движения . 17
Уравнение Шредингера для стационарных состояний * . 21
Приближенные методы квантовой механики ...... 34
Спин. Магнитные свойства атомов40
Системы из одинаковых частиц. Многоэлектронные атомы
и молекулы , i 45
Квантовые переходы. Основы теории излучения , . . , 49
Теория рассеяния , . 56
Раздел II. Статистическая физика
Фазовое пространство. Каноническое распределение Гиббса 61
Распределение Максвелла 66
Распределение Больцмана во внешнем силовом поле . . . 68
Термодинамические функции и уравнения состояния классического газа72
Квантовое каноническое распределение 78
Квантовые функции распределения .........81
Основы теории флуктуаций и броуновскоедвижение..87
Элементы теории неравновесных процессов92
Ответы и решения 96
Приложения 189
Феоктиста Григорьевна СероваАнастасия Александровна Янкина
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕКВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Редактор Г. Р. Лисенкер. Художественный редактор В. М. Прокофьев.Технический редактор С. А. Птицына. Корректоры Н. В. Бурдина,Н. И. Новикова.
ИБ № 3343
Сдано в набор 18 04.79. Подписано к печати 31.07.79. 84Х108‘/з2. Газетная бум» Гарн. Литерат. Печать выс. Усл п л. 10,08 Уч.-изд. л. 7,69. Гираж 32 000 экз. Тип. зак. № 2 3. Цена 30 коп
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Печать с матриц ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первой Образцовой типографии имени А А. Жданова Союз- полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, М-54, Валовая, 28.
Типография им. Смирнова Смоленского облуправления издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2. Заказ 3308
11. Х=-^U= 0,0387 нм.
V 2т»е0 f v’
12. ^ = 0,15 нм; Хе = 6,5нм.
14. Х=1,6*10"г§ м; волновые свойства а-частицнеоб- ходимо учитывать.
15.0,072 нм.
16. £^><0,02 МэВ; £^^37,5МэВ.
1 sin/<£=£о)а\
= /2^У I 2А )
\ ла /(р —Ро)*.
3 irPo
б) фГг) = (2лЙ)‘~е h ; ф (р) = 6 (р—р0).
СО хг Pi
75. W= ^dy^dx^ | ф(х. у, рг^ Vdpz, где ф (х, у, pz^ = - ООРх t
— ^2ntV) 2 Сф(х, yt г)е ^ dz.
Е = j edNa > о =^ (2s + 1) (2mpiW J
оо
II. Дельта-функция Дирака
Дельта-функция определяется равенством
6(х-х0) = Р ПРИ^-
4| оо при х = х0.v '
ь
J 6(х—х0) dx = 1, если а < х0 < bt(2)
а
Если /(^ — непрерывная функция, то
ь
Ф. Г. СЕРОВА, А. А. ЯНКИНА
СБОРНИК ЗАДАЧпо теоретической физике
Квантовая механика,статистическая физика
Допущено Министерством просвещения СССРв качестве учебного пособиядля студентов педагогических институтовпо физическим специальностям
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1979
ББК 22.31
С 32
Рецензенты:
кафедра теоретической физикиМосковского педагогического института им. В. И. Ленина,профессор Челябинского педагогического институтаСвирский М. С.
Серова Ф. Г.г Янкина А. А.
С32 Сборник задач по теоретической физике: Квантовая механика, статистическая физика. Учеб, пособие для студентов пед. ин-тов по физ. спец. — М.: Просвещение, 1979. —192 с., ил.
В книге содержатся задачи по квантовой механике и статистической физике, подобранные в соответствии с программой курса теоретической физики для физических специальностей педагогических институтов.
ББК 22.31530.1ББК 22.31530.160602—720 С —41-794309021100
ББК 22.31
530.1
ББК 22.31
530.1
103 (03)-79
© Издательство «Просвещение», 1979 г.