ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Калифорнийский университет в Беркли занимает одно из ведущих мест в системе подготовки научных кадров и проведения научных исследований в США. Курс физики в пяти томах, известный под названием Берклеевского, подготовленный крупными учеными-физиками в Беркли, переведен на русский язык в издательстве 《Наука» и пользуется популярностью среди физиков в нашей стране. Вполне вероятно, что читатели с интересом встретят и выпуск сборника задач по физике, также подготовленного в стенах этого университета.

В настоящем сборнике приведено около 300 задач по основным разделам университетского курса физики — механике, электричеству и магнетизму, оптике, теплоте и статистической физике, квантовой механике, атомной и ядерной физике. В него включено также небольшое число задач по математическим дисциплинам. Задачи такого типа предлагаются на вступительных экзаменах по физике для аспирантов физического факультета в Беркли.

Построение сборника довольно своеобразно: оно отражает специфику письменных экзаменов по физике в университетах США. Будущий аспирант, прежде чем приступить к выполнению самостоятельной научно-исследовательской работы, должен помимо устных экзаменов выдержать четыре письменных экзамена, решив каждый раз серию задач по определенным разделам курса физики. Именно по таким сериям и сгруппированы задачи в данном сборнике. Естественно, что при такой подборке задач оказалось невозможным систематизировать их по темам. Все серии задач оценены одинаковым числом баллов (которыми характеризуется степень трудности каждой задачи), но вряд ли можно считать такую оценку вполне объективной. На наш взгляд лучше решить 3——4 довольно сложных, чем 20——25 элементарных задач, с которыми вполне может справиться выпускник средней школы. Преподаватели, которые всерьез ознакомятся с содержанием этого сборника, смогут получить представление об уровне подготовки физиков в Калифорнийском университете и о требованиях, предъявляемых к тем студентам, которые стремятся получить углубленную подготовку в одной из областей физики.

Автор сборника взял на себя нелегкий труд ——составить ответы и решения ко всем задачам. Разумеется, это не обошлось без некоторых ошибок и неточностей. Поэтому при переводе в решения некоторых задач внесены, с любезного разрешения автора, необходимые уточнения или даны соответствующие примечания. Вполне возможно, что некоторые погрешности остались незамеченными. Опечатки, обнаруженные при переводе американского издания сборника, устранены; обозначения ряда физических величин заменены общепринятыми.

При решении задач можно руководствоваться общеизвестным Берклеевским курсом физики в пяти томах, Фейнмановскими лекциями по физике и рядом других учебных пособий, приведенных в списке литературы в конце книги. Сборник может оказаться полезным для студентов, изучающих физику в университетах, педагогических институтах и высших технических учебных заведениях, а также для преподавателей физических дисциплин.

В. И. Григорьев, Ю. А. Янайт

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

В данный сборник включены задачи, отобранные из числа предлагавшихся на письменных вступительных экзаменах в аспирантуру Калифорнийского университета в Беркли в период 1959——1968 гг. Они составлены преподавателями физического факультета в Беркли, принимавшими постоянное участие в экзаменационных комиссиях на протяжении этих девяти лет. Такие экзамены проводятся два раза в год. Все поступающие в аспирантуру обязаны в течение двух дней пройти испытания по таким разделам университетского курса физики, как механика, электричество и магнетизм, оптика, теплота и атомная физика. Экзамен проводится в четыре этапа, на каждый из которых отводится три часа. Пользоваться при этом конспектами, таблицами и другими источниками не разрешается. С момента утверждения данного сборника к печати по существу изменилось только одно： теперь несколько повышены требования к знанию основ квантовой механики.

Проведение экзамена преследует две цели. С одной стороны, он позволяет установить, необходимо ли поступающему в аспирантуру дополнительное изучение определенных разделов университетского курса физики (так называемый placement test); с другой стороны, он служит квалификационным экзаменом (qualification test) для получения ученой степени. Сдавшие его успешно сразу же получают допуск к устному вступительному экзамену. Студентам предоставлены три возможности для сдачи письменного экзамена: один раз как «placement test» и дважды, если это необходимо, в качестве квалификационного. Студенту, не сдавшему экзамен повторно, может быть отказано в приеме в аспирантуру на соискание степени доктора философии в Калифорнийском университете в Беркли.

Отобранные задачи объединены в серии подобно тому, как это было принято на самих вступительных экзаменах. Степень трудности каждой задачи оценивается в баллах (они помещены в скобках рядом с номерами задач); сумма баллов в каждой серии задач равна 100. На решение задач одной серии должно затрачиваться не более трех часов. Чтобы настоящий сборник принес максимальную пользу, читатели должны попытаться вначале решать задачи самостоятельно, не обращаясь ни к приведенным решениям, ни к каким-либо другим руководствам.

Мы надеемся, что данный сборник задач с решениями будет благожелательно воспринят студентами как в университете в Беркли, так и в других университетах. Он может оказать существенную помощь при подготовке к экзамену, а в более широком плане — в оценке своего опыта и способностей. Подготовка по этому задачнику в обществе одного-двух друзей может даже стать занимательным занятием.

В конце сборника приведен список литературы; в ней содержатся все основные сведения, которые могут потребоваться студенту в затруднительных случаях. Чаще всего, однако, наилучшим пособием служит материал уже знакомого учебника.

Решения задач выполнены автором и проверены д-рами Ч. Фонгом, Р. Кунцельманом, К. Вангом, Ч. Ф. Чэном и Чин- фу-Цзяном. Несмотря на тщательное выполнение решений и их проверку рецензентами, ошибки все же возможны. Автор будет очень рад присланным замечаниям. За правильность решений задач руководство физического факультета Калифорнийского университета в Беркли ответственности не несет.

Автор весьма признателен профессору Эмилио Сегре за оказанную им поддержку и ценные советы. Он выражает также свою благодарность рецензентам за добросовестно выполненную ими работу и многочисленные предложения и особенно Сюзанне за проявленное ею терпение при оформлении рукописи.

Мин Чен

МЕХАНИКА

ЗАДАЧИ

(15 баллов). Частица массой т\ и импульсом В упруго сталкивается с частицей массой т2, которая первоначально находилась в покое.

Определите максимально возможный импульс частицы 加2 в лабораторной системе отсчета после столкновения. (Используйте формулы релятивистской теории.)

Примените полученный результат к случаю столкновения протона, импульс которого равен отношению энергии покоя протона к скорости света с, с неподвижным электроном. Найдите численное значение максимального импульса электрона в МзВ/с после столкновения.

(15 баллов). На гладкой ровной поверхности обыкновенного стола лежит тонкий однородный стержень массой т и длиной L. На конце стержня перпендикулярно его оси действует импульс силы 戶，направленный горизонтально.

На какое расстояние передвинется центр масс стержня за время полного своего оборота? *

Чему равны энергии поступательного и вращательного движений стержня и его полная ч кинетическая энергия после воздействия импульса силы? '

(15 баллов). Однородная балка массой т и длиной 厶 поддерживается на своих концах двумя одинаковыми пружинами с жесткостью 力.Балку приводят в движение, нажимая на один из ее концов, смещая его вниз на небольшое расстояние а и затем освобождая. Решите задачу о движении балки, вводя нормальные моды и частоты колебаний. Схематически изобразите нормальные моды.

(10 баллов). Дана матрица Л ьз N X N действительных элементов.

а) Пусть А ——симметрическая матрица, т. е. 4订=4*. Докажите, что все ее собственные значения действительны, б) Пусть Л не является симметрической матрицей; докажите, что любые ее комплексные собственные значения образуют сопряженные пары.

(15 баллов). В северном полушарии на широте 45° с высоты h (h много меньше радиуса Земли) падает покоившееся вначале тело массой т, В каком месте оно упадет относительно отвеса, опущенного из исходной точки? Не забудьте указать не только величину, но и направление смещения.

(15 баллов). Упругая струна длиной 厶 подвешена между двумя опорами. Натяжение струны Т, а ее линейная плотность р. Общая масса струны М = р£. Колебания струны возбуждаются ударом молоточка, который сообщает небольшому участку длиной а в середине струны поперечную скорость и。. Определите амплитуды первых трех низкочастотных гармоник.

(5 баллов). Твердое тело движется в воздухе с очень большой скоростью V (превышающей среднюю скорость движения молекул воздуха). Докажите, что сила сопротивления пропорциональна 4^2, Где Л 一площадь лобовой поверхности тела.

(5 баллов). Какой стала бы продолжительность суток на Земле, если Земля вращалась бы с такой скоростью, что тела на экваторе парили в невесомости?

(5 баллов). Дайте определение циклической координаты. Какие преимущества она дает при решении задач?

121 (10 баллов).

(5 баллов). Покажите, что косоэрмитова матрица (Л+=—А) может иметь только одно вещественное собственное значение, и оно равно нулю.

(5 баллов). Используя метод вычетов, вычислите

+ оо

(15 баллов).

(10 баллов). Сколь огромную энергию пришлось бы затратить, чтобы «разнести» всю Землю (т. е. удалить все ее составные части на оо)?

(5 баллов). Предположим, что затем произошло бы быстрое (без потерь энергии на излучение) воссоединение разнесенных на бесконечность этих частей Земли. Расплавилась бы она? Свой ответ обоснуйте.

(30 баллов).

а) (20 баллов). Жесткий стержень массой m и длиной а подвешен с обоих концов на невесомых нитях, имеющих одинаковую длину L.

Стержень выводят из состояния покоя, прикладывая небольшой импульс силы Р к одному из его концов в направлении, перпендикулярном стержню и нити. Определите частоты и амплитуды нормальных мод колебаний, б) (10 баллов). Стержень находится в покое. Каково натяжение одной из нитей сразу после того, как другую мгновенно перережут?

(25 баллов). Частица массой m движется в поле центральной силы с потенциалом V(r) =Kf3 (К > 0).

(10 баллов). Определите кинетическую энергию и момент импульса частицы при движении ее по круговой орбите (радиусом а).

(5 баллов). Чему равен период такого кругового движения?

(10 баллов). Каков период малых радиальных колебаний частицы относительно г=а, если ее движение под действием возмущений слегка отклонилось от кругового?

(20 баллов). Полагают, что можно получить моноэнер- гетические фотоны высоких энергий путем рассеяния лазерного излучения на пучке быстрых электронов, выходящих из электронного ускорителя. Выведите формулу для максимальной энергии каждого из рассеиваемых фотонов в зависимости от энергии фотонов лазерного излучения и энергии электронов в пучке. Выполните численные расчеты в случае излучения

рубинового лазера, которое рассеивается на электронах с энергией 20 ГэВ, получаемых от Стэнфордского линейного ускорителя.

(15 баллов). Шарик массой М и радиусом а скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 6.

Определите ускорение центра масс шарика.

Если шарик толкнуть вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью и。， то через какой промежуток времени он вернется в исходную точку?

(15 баллов). Нестабильная частица с энергией покоя 1000 МэВ и средним временем жизни в состоянии покоя 10~8 с распадается на мю-мезон (тцс2= 100 МэВ) и нейтрино.

Вычислите среднюю длину распада, если частица имеет импульс 1000 МэВ/с.

Какова энергия мю-мезона в последнем случае, если он испущен под углом 15°?

(15 баллов). Рассмотрим две балки массами М и М2 и длиной 厶 и 厶，жестко прикрепленные к горизонтальному невесомому стержню. Концы стержня лежат на опорах; стержень обладает крутильной жесткостью К и может вращаться только вокруг своей продольной оси. Система совершает колебания под действием силы тяжести. Напишите лагранжиан системы (введя свои переменные) и найдите уравнения движения.

(25 баллов). На шероховатой плоскости, наклоненной под углом 9 (tg 0 = |i, где 科——коэффициент трения как покоя, так и скольжения), расположена частица. К частице прикрепле-

на нить, проходящая через небольшое отверстие в наклонной плоскости.

Частица.

Нить очень медленно подтягивают, и можно считать, что частица все время находится в почти статическом равновесии. Определите траекторию частицы на наклонной плоскости.

(15 баллов). Стержень массой М и длиной L свободно падает в вертикальной плоскости, как показано на рисунке.

В начальном состоянии покоя стержень составлял с горизонталью угол 30°. Определите давление на ось вращения стержня в тот момент, когда он проходит горизонтальное положение.

(15 баллов). Движущийся протон сталкивается с другим протоном, который первоначально находился в покое. Какой минимальной кинетической энергией должен обладать движущийся протон, чтобы стала возможной реакция р + р = = р + р + р + р? Масса антипротона р равна массе протона. Представьте полученный вами результат в виде отношения кинетической энергии к энергии покоя протона. Каково приближенно численное значение кинетической энергии в МэВ?

(15 баллов). Предположим, что приливные волны на Земле вызываются только Солнцем.

Откуда черпается энергия, рассеиваемая во время приливов, и чему равна максимальная величина этой энергии?

Какие процессы обеспечивают сохранение суммарного момента импульса системы?

1.4.2 (5 баллов). Время жизни мю-мезона составляет2-10~6 с.1.4.2 (5 баллов). Время жизни мю-мезона составляет2-10~6 с.Пучок мю-мезоновПучок мю-мезонов〃/〃///〃/〃///圉 Пружинные 1 = 1 весы圉 Пружинные 1 = 1 весывыходит из циклотрона со скоростью 0,8 с, где с — скорость света. Каково должно быть время жизни мю-мезонов в этом пучке в лабораторной системе отсчета?1.4.3 (5 баллов). На рисунке показан блок пренебрежимо малой массы, подвешенный к пружинным весам. К концамвыходит из циклотрона со скоростью 0,8 с, где с — скорость света. Каково должно быть время жизни мю-мезонов в этом пучке в лабораторной системе отсчета?1.4.3 (5 баллов). На рисунке показан блок пренебрежимо малой массы, подвешенный к пружинным весам. К концам□ А5 Kz 1кг□ А5 Kz 1кгнити, переброшенной лены грузы массами жутся с ускорением тяжести. Какой вес весы при движении ше или больше?нити, переброшенной лены грузы массами жутся с ускорением тяжести. Какой вес весы при движении ше или больше?через блок, прикреп- 1 и 5 кг. Грузы дви- под действием силы покажут пружинные грузов — 6 кг, мень-через блок, прикреп- 1 и 5 кг. Грузы дви- под действием силы покажут пружинные грузов — 6 кг, мень-

1.4.2 (5 баллов). Время жизни мю-мезона составляет2-10~6 с.

1.4.2 (5 баллов). Время жизни мю-мезона составляет2-10~6 с.

Пучок мю-мезонов

Пучок мю-мезонов

〃/〃///

〃/〃///

圉 Пружинные 1 = 1 весы

圉 Пружинные 1 = 1 весы

выходит из циклотрона со скоростью 0,8 с, где с — скорость света. Каково должно быть время жизни мю-мезонов в этом пучке в лабораторной системе отсчета?

1.4.3 (5 баллов). На рисунке показан блок пренебрежимо малой массы, подвешенный к пружинным весам. К концам

выходит из циклотрона со скоростью 0,8 с, где с — скорость света. Каково должно быть время жизни мю-мезонов в этом пучке в лабораторной системе отсчета?

1.4.3 (5 баллов). На рисунке показан блок пренебрежимо малой массы, подвешенный к пружинным весам. К концам

□ А

5 Kz 1кг

□ А

5 Kz 1кг

нити, переброшенной лены грузы массами жутся с ускорением тяжести. Какой вес весы при движении ше или больше?

нити, переброшенной лены грузы массами жутся с ускорением тяжести. Какой вес весы при движении ше или больше?

через блок, прикреп- 1 и 5 кг. Грузы дви- под действием силы покажут пружинные грузов — 6 кг, мень-

через блок, прикреп- 1 и 5 кг. Грузы дви- под действием силы покажут пружинные грузов — 6 кг, мень-

(5 баллов). Из винтовки вылетает пуля. Если допустить свободную отдачу (т. е. движению винтовки не противодействует плечо стрелка), то будет ли кинетическая энергия винтовки после выстрела равна, меньше или больше кинетической энергии пули?

(5 баллов). На рисунке заштрихованная область представляет однородную пластину в форме буквы L. Определите координаты 元 и 歹 ее центра масс.

(5 баллов). В стакане с водой при температуре 0℃ плавает кубик льда. Лед растаял. Поднимется, упадет или останется прежним уровень воды в стакане?

(5 баллов). Волчок вращается вокруг своей оси в направлении, указанном на рисунке. Острие волчка упирается в стол. По часовой стрелке или против нее прецессирует ось волчка, если смотреть на него сверху?

(5 баллов). К концам пружины жесткостью k прикреплены грузы с массами т и 3m. Чему равен период колебаний системы?

(5 баллов). Зависимость потенциальной энергии взаимодействия двух частиц V от расстояния г между ними дается выражением

где а и 匕——положительные коэффициенты. На каком расстоянии г частицы находятся в статическом равновесии?

(5 баллов). Две частицы с одинаковыми массами скреплены пружинами, как показано на рисунке. Частицы могут свободно колебаться в продольном направлении. Изобразите стрелками (или опишите) соотношения амплитуд и фаз колебаний частиц, соответствующих двум нормальным модам .(1 и 2).

(5 баллов). Предположим, что радиус Земли сократился на 1 %, а масса ее осталась неизменной. Увеличится или уменьшится ускорение свободного падения g на поверхности Земли? Если да, то на сколько процентов?

(5 баллов). Пустая цилиндрическая консервная банка и такая же банка, но с плотно набитым колбасным фаршем на чинают одновременно скатываться по наклонной плоскости. Какая из банок скатится вниз первой? •

(5 баллов). Цилиндрический стакан наполнен водой до уровня 40 см. В стенке стакана имеются два одинаковых отверстия: одно — на высоте 10 см, а другое — на высоте 30 см. Чему равно отношение масс воды в начальный момент времени, вытекающей за 1 с из обоих отверстий?

(5 баллов). Длинная натянутая струна прикреплена справа к жесткой стене. По струне слева направо распространяется со скоростью 1 м/с поперечное возмущение, имеющее вид равнобедренного треугольного импульса. В начальный момент времени вершина этого импульса отстоит от стены на расстояние 2 м. Нарисуйте профиль струны спустя 2 с и спустя 5 с от начала отсчета.

(10 баллов). Формула для кориолисовой силы имеет вид

F = — 2т(о X v.

В каком случае применйют эту формулу и какой смысл имеют входящие в нее символы?

Река в северном полушарии течет к югу. Ширина русла реки на широте Z равна W. Уровни воды на восточном и западном берегах реки должны быть различными. Какой из них будет выше?

Выведите формулу для разности уровней, подробно поясняя значение каждого используемого в ней символа, г) Оцените весьма приближенно эту разность уровней для

реки Миссисипи!) • Укажите числовые данные, которые вы приписали (пусть даже по догадке) различным параметрам.

(10 баллов). Диск плотно насажен на вал, проходящий через центр диска, причем ось симметрии диска п образует с валом угол 6.

Главный центральный момент инерции диска относительно оси симметрии п обозначим через С, а относительно любой оси п‘, перпендикулярной п, — через Л. Вал вращается в подшипниках с постоянной угловой скоростью з. Определите величину вращающего момента, действующего на подшипники.

(10 баллов). Брусок массой М лежит на идеально гладком горизонтальном столе и посредством пружин, характеризуемых жесткостью k\ и 々2, связан с двумя неподвижными опорами.

Какова будет частота продольных колебаний бруска, если его слегка вывести из равновесного положения? Предположим, что амплитуда колебаний бруска равна Лив тот момент, когда он проходит положение равновесия, к нему прилипает упавший сверху груз массой т. Определите:

новую частоту колебаний,

новую амплитуду колебаний.

(10 баллов). На гладком горизонтальном столе расположен клин с углом В при вершине. Масса клина равна М. На наклонную поверхность клина помещают брусок массой т,

')Вместо этого попытайтесь оценить разность уровней у знакомой вам реки. О правильности ответа можно судить по сопоставлению ваших числовых данных с теми, что приводит автор.——Прим. ред.

который начинает скользить вниз. Трением между любыми поверхностями можно пренебречь. Чему равно ускорение клина относительно стола (до того момента, когда брусок коснется стола)?

5.3 (3 балла). К краю стола, как показано на рисунке, прикреплен блок, массой и коэффициентом трения которого можно пренебречь. Трение на поверхности стола также можно не учитывать. Через блок переброшена невесомая нить, к концам которой прикреплены два бруска массами 10 и 5 кг. Будет ли натяжение нити больше, равно или меньше, чем в том случае, когда брусок массой 5 кг приклеен к столу?

(3 балла). Диск вращается в горизонтальной плоскости вокруг своей оси. В узкую радиальную канавку, расположенную на верхней поверхности диска, вставлено лезвие безопасной бритвы. В каком направлении — в сторону или против вращения—начнет падать лезвие, если оно будет двигаться по направлению к центру диска?

(3 балла). Представьте себе, что радиус Земли уменьшился на 1 %, а масса ее осталась прежней. Увеличится ли, останется прежней или уменьшится энергия вращения Земли? Если изменится, то на сколько процентов?

(3 балла). Однородный тонкий стержень массой М и длиной L висит на шарнире без трения. В нижней своей части, как показано на рисунке, он связан со стеной посредством пру-

жины, обладающей жесткостью 々.Чему равен период колеба ний стержня?

(3 балла). Два тонких стержня каждый массой М и длиной 厶 подвешены на шарнирах и соединены внизу пружиной таким образом, что в состоянии покоя они находятся в вертикальном положении. Жесткость пружины равна 々.Покажите стрелками характер колебаний, соответствующих двум нормальным модам. Какие частоты соответствуют этим нормальным модам?

(3 балла). Каково (с точностью до одной значащей цифры) отношение масс Солнца и Земли?

(3 балла). Два человека одинакового веса держатся руками за концы каната, переброшенного через блок. Оба начинают подниматься по канату вверх. Один из них взбирается со скоростью (относительно каната), вдвое превышающей скорость другого. Трением в блоке можно пренебречь. Кто первым достигнет блока: а) более быстрый, б) менее быстрый, в) оба одновременно или г) ответ неоднозначен?

(3 балла). Пробка погружена в ведро с водой и удерживается в ней с помощью пружины, прикрепленной ко дну ведра. Ведро держит в руке человек, находящийся в лифте. Что произойдет с пружиной в начале спуска лифта, когда он движется ускоренно: а) пружина растянется, б) сожмется или в) е( состояние не изменится?

(3 балла). Один из спутников запущен на круговую орбиту радиусом R. Другой — на орбиту радиусом 1,01 R. Будет ли период обращения второго спутника больше, равен или меньше периода обращения первого спутника? Если периоды обращения различаются, то на сколько процентов?

(3 балла). Шарик радиусомR погружается в жидкость, коэффициент вязкости которой равен т]. Сила сопротивления, действующая на шарик со стороны жидкости, по закону Стокса равна 6nr]Ru. Одновременно в жидкость погружается другой шарик той же массы, но радиусом 2R. Чему равны отношения а) их начальных ускорений ад/а2я, б) их установившихся скоростей Ur/u2r?

(3 балла). Частица движется в поле одной из сил, определяемых следующими выражениями:

Fx = 2yz(l — Gxyz), Fу = 2xz (1 — бхуг), F2 = 2xy (1 — бхуг) и

% = у2 + 之2 + 2 (ху + yz + 2%), Fy = x + z2 + 2 (xy+yz + zx), 尸2 = %2* 2 (%у + yz + zx).

Для какой из них можно ввести потенциал V(x,ytz)?

В поле какой силы сохраняется полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия движущейся частицы?

5.14 (20 баллов). Шар радиусом г вращается вокруг своей оси с угловой скоростью о. Ось вращения горизонтальна. Шар падает на ровную поверхность, некоторое время вращается на месте, а затем начинает катиться без скольжения. Коэффициент трения равен 卩.

Чему равна конечная скорость центра масс шара?

Какое расстояние пройдет шар, прежде чем установится эта скорость?

Вычислите конечную скорость центра масс шара для случая большого 卩,когда начальное скольжение полностью отсутствует.

(13 баллов). Мяч в форме эллипсоида вращения имеет главные центральные моменты инерции /ь /? и /з】). При броске ему случайно сообщили вращение с угловой скоростью о под углом 0 (<90°) к большой оси мяча.

Определите величину и направление момента импульса (относительно большой оси мяча).

Чему равна угловая скорость прецессии? (Влиянием сопротивления воздуха и силы тяжести пренебречь.)

(14 баллов). Частица движется в поле центральной силы. Рассмотрите только радиальную часть движения.

а) Что представляет собой «эффективный» потенциал, описывающий радиальную часть движения частицы? (Нарисуйте графики этого потенциала и его составляющих.) б) Какому условию удовлетворяет эффективный потенциал в случае кругового движения?

в) Вычислите угловую скорость кругового движения в центральном поле с потенциалом V(r) =kr2/2.

6.1 (10 баллов). Тонкая прямоугольная пластина со сторонами а и 2a вращается вокруг оси, совпадающей с одной из ее диагоналей, с постоянной угловой скоростью(о.

Вычислите главные центральные моменты инерции.

Определите момент импульса и его направление.

Вычислите момент, действующий на ось вращения.

(10 баллов). Космический корабль движется по круговой орбите радиусом г。. Ракетный двигатель мгновенно увеличивает линейную скорость корабля на 8%. Каково расстояние до апогея новой орбиты? Нарисуйте аккуратно новую стационарную орбиту. Постройте график одномерного эффективного потенциала и покажите, как он изменился после сообщения кораблю дополнительного импульса.

(10 баллов). Однородный диск массой m и радиусом а вращается вокруг неподвижной оси. По внешней окружности диска проходит невесомая нить, прикрепленная с одной стороны к диску, а с другой ——к пружине, противоположный конец которой закреплен неподвижно. По окружности радиусом а/2 проходит другая нить, которая через пружину связана с грузом, имеющим массу т. Напишите уравнения Лагранжа для диска и груза. (Уравнения не решайте.)

(10 баллов). Груз массой m прикреплен к пружине, а пружина ——к точке подвеса. Под действием внешней силы точка подвеса совершает вертикальное движение по закону х = =%о cos з/. Какова амплитуда стационарных колебаний груза в вязкой среде, если ее сила сопротивления равна ——&х?

(10 баллов). Сплошной однородный цилиндр радиусом а катится без скольжения по внутренней поверхности неподвижного цилиндра большего радиуса R.

Выпишите лагранжиан для этой системы.

Найдите уравнение движения.

Определите частоту малых колебаний цилиндра около положения устойчивого равновесия.

(10 баллов).

Определите радиус сходимости степенного ряда

1

Используя метод вычетов, докажите следующее тож дество:

(—dx = -e~a^ cos тс.

J (х + с)2 +。2〃

где а и с ——действительные величины, причем а > 0.

(10 баллов). Спутник движется по сильно вытянутой эллиптической орбите в плоскости земного экватора. Нарисуйте эту орбиту, отметьте положение Земли и опишите влияние небольшого сопротивления атмосферы на траекторию спутника. Рассмотрите особо любые изменения, которые могут возникнуть у эксцентриситета орбиты е, периода обращения спутника Г, большой полуоси орбиты а и расстояния кратчайшего сближения с Землей Ri.

(10 баллов). В трубу Л (см. рисунок) мощным насосом нагнетают воду. Течение ламинарное. В трубе В скорость течения равна 20 см/с. Сечение трубы В равно 6 см2, сечение трубки С составляет 1,0 см2. Определите разность уровней h ртутного манометра.

(5 баллов). Три материальные точки расположены в вершинах прямоугольного треугольника, как показано на рисунке. Найдите главные моменты инерции относительно осей, проходящих через точку 尸,расположенную в середине гипотенузы. Укажите ориентацию главных осей относительно одной из сторон треугольника.

(10 баллов). Ребенок, едущий в поезде, держит за ниточку длиной 1 м шар, наполненный гелием. Поезд мчится со

скоростью 100 км/час по искривленному дугой пути радиусом 3 км.

Каков угол отклонения нити от вертикали?

На приведенном внизу рисунке отметьте направление проекции нити в горизонтальной плоскости.

Траектория

/\ поезда.

I. 6.11 (5 баллов). Человек, изображенный на рисунке, весит 70 кг. Он сидит на перекладине и медленно поднимает себя, подтягивая веревку, переброшенную через блок. С какой силой он должен тянуть веревку?

(20 баллов). Представьте себе, что вы ритмично хлопаете в ладони, причем промежуток времени между двумя последовательными хлопками равен 7Y Каждый хлопок дает звук в течение весьма короткого (по сравнению с 7\) интервала времени А/. В течение интервала времени А/ звуковое давление около вашего уха можно считать постоянным. В остальное время оно равно нулю.

Покажите качественно, что дает фурье-преобразование звука хлопка. (Для этого не нужно выполнять непосредственно разложение в ряд Фурье.)

Представьте себе, что вместо ритмично повторяющихся хлопков имеется только один хлопок длительностью АЛ Как будет выглядеть качественно фурье-преобразование в этом случае? Сравните его с предыдущим результатом.

В обоих случаях (а и б) требуется показать с помощью графиков «спектр» Фурье, т. е. показать зависимость интенсивности от частоты с соответствующими масштабными соотношениями, поясняющими качественно форму спектра.

I. 7.2 (10 баллов). Даны унитарная матрица S и матрица Т, связанные друг с другом соотношением S = 1 — 2iT. Покажите, что

в предельном случае, когда |7\/《1,0, матрица Т является эрмитовой и

для любой матрицы Т справедливо следующее равенство:

Im(〈a|T|a〉) = — > «/г|Г|а»2,

где |а) — произвольный вектор состояния в пространстве, в котором действуют операторы S и Г, а |п) представляет полный набор таких векторов состояния.

(15 баллов). В кузове грузовика лежит деревянный ящик, частично загруженный кирпичом. Дно ящика ——квадрат со стороной 1 м, масса ящика по сравнению с массой кирпича пренебрежимо мала. Известно, что ящик начинает скользить, если грузовик трогается с ускорением, большим чем 6 м/с2. До какой высоты можно уложить кирпичи в ящике без опасения, что он опрокинется при таком ускорении?

(15 баллов). Ящик с точными приборами поставлен на амортизирующую прокладку для защиты от вертикальных вибраций.

Под нагрузкой прокладка сдавливается на 6 см. Чему равен период собственных колебаний ящика?

Пол вибрирует с частотой 20 Гц. Каково отношение амплитуд колебаний ящика и пола?

(20 баллов). Капитан небольшого судна, попавшего в экваториальную штилевую полосу, решил прибегнуть к хитрости, а именно поднять якорь массой 200 кг на верх двадцатиметровой мачты. Масса остальной части судна равна 1000 кг, (Радиус Земли 6400 км.) Судно придет в движение.

Почему?

В каком направлении?

С какой скоростью?

Откуда берется энергия, приводящая судно в движение?

(20 баллов). Кольцо массой mi может скользить по стержню массой т2 и длиной L, который на одном конце прикреплен к неподвижному шарниру и висит вертикально. Кольцо

связано с шарниром через невесомую пружину с жесткостью 少 так, что при равновесии центры масс кольца и стержня совпадают. Движение происходит в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Составьте лагранжиан системы в координатах 0 и /?, показанных на рисунке.

Получите дифференциальные уравнения движения в координатах 0 и /?.

Найдите одну из нормальных мод и соответствующую ей частоту колебаний (в предположении, что амплитуда колебаний мала).

.8.1 (10 баллов). Покажите, что любая действительная и всюду аналитическая функция должна быть постоянной.

. 8.2 (10 баллов). Даны вектор V и тензор Г:

\ ^2 /\。21a22 丿

на плоскости %卜 ％2 в декартовой системе координат. Вычислите компоненты вектора и тензора в новой системе координат, полученной путем поворота старой системы на +90° вокруг оси Х1 X Х2・

(20 баллов). Докажите, что функция f(г)=不小 удовлетворяет дифференциальному уравнению

V2f —對=—4冗6 (г).

(20 баллов). Составьте лагранжиан и найдите уравнение движения для системы, состоящей из материальной точки массой т, расположенной на верхнем конце невесомого стержня длиной L. Нижний конец стержня прикреплен к шарниру (тре・

ние в шарнире не учитывать). Шарнир совершает вертикальные колебания по гармоническому закону

Л (/) = Ло cos(of・

Единственной степени свободы отвечает координата 0 между стержнем и вертикалью. (Такую систему называют обращенным маятником.)

(20 баллов). В аэропорту, расположенном на широте экватора, имеются трое одинаковых маятниковых часов. Часы А оставляют в аэропорту, часы В помещают в самолет, отлетающий на восток, а часы 3 — в самолет, отлетающий на запад. Однажды точно в полдень, когда все часы показывают одно и то же время, самолеты взлетают. Самолет .В облетает земной шар по экватору в восточном направлении с постоянной путевой скоростью. Самолет 3 облетает земной шар в западном направлении с той же путевой скоростью. На следующие сутки оба самолета прибывают в аэропорт одновременно, поскольку путевые скорости у них одинаковы. Часы А, оставленные в аэропорту, показывают в момент прибытия самолетов точно полдень, т. е. между взлетом и посадкой обоих самолетов прошло 24 ч, 0 мин и 0,00000000 с.

Будут ли эти трое часов по-прежнему показывать одно и то же время? Если нет, то перечислите физические причины, которые, по вашему мнению, могли бы вызвать это расхождение.

Примите во внимание наиболее существенную причину и определите показания часов В и 3 в тот момент, когда часы А в аэропорту показывают полдень (после 24-часового полета). Радиус Земли можно считать равным 6000 км.

1.8.6 (20 баллов). Согласно ньютоновской теории тяготения, гравитационный потенциал Солнца определяется (в предположении сферической симметрии) формулой

—Ф==—-,

где G = 67・10-9 ед. СГС (гравитационная постоянная), GM = =1,3-1026 ед. СГС, М — масса Солнца, г — расстояние от его центра.

а) Получите формулу для силы, действующей на частицу массой т, удаленную от Солнца на расстояние г. б) По Эйнштейну, ньютоновская теория требует уточнения. Если ввести поправку первого порядка, то гравитационный потенциал можно записать в виде

一①一①GM , Л

一①

一①

Исходя из соображений размерностей, попытайтесь найти выражение для поправочного коэффициента Л. Он должен зависеть от скорости света, а также от G и М. Хорошим считается только решение, полученное с точностью до множителя 2.

в) Оцените относительную величину поправки (к ньютоновскому потенциалу), приняв расстояние от Солнца до Земли равным г — 1,5-1013 см.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Пусть Р3 и Р4 ——импульсы частиц соответственно 1 и 2 после столкновения, а | Р4| ——максимально возможный импульс частицы массой 加2, когда в системе, связанной с центром масс, частица 1 после столкновения движется назад. При этом Pi, Р3 и Р4 имеют одно и то же направление.

Ш^ 777gЕ[ 加2

•i，А .• ■■■> •“ "А

До столкновенияПосле столкновения

I Р4| можно найти из уравнений, выражающих законы сохранения импульса и энергии:

Р尸 Р3 + Р4,(1)

品+恤=自+以⑵

где

Ei =“P； + mf, Ез = “Р； +册 и £4 = VP4+"^i-

Но удобнее использовать 4-векторы. Введем 4-векторы P» = (Pj,因)， f= 1,2,3, 4.

При этом для удобства мы приняли с= 1, а / = “——1 • Тогда уравнения (1) и (2) можно заменить одним уравнением

В+p2 =自+p4,⑶

или p3 =p1 +p2 一尸4・ Рассмотрим скалярное произведение

Pl = P] + Pl + Pl + 2 (р • %) — 2 (Р「尸4)一 2 (巳•尸4),

которое является инвариантом, и воспользуемся следующими соотношениями:

壬=一呜

Р/ •匕=—E疋/ + Pj • Р/,

где I, / = 1, 2, 3, 4. Отсюда имеем

一喈=一偌一2期一2%?] + 2m2£4 + 2£,1£,4 — 2P]• P4;

это соотношение можно упростить, учитывая, что Р4 параллельно Pi，Таким образом, можно написать уравнение

{т2 + Е^^Рр^^\Рх\ДР^^+⑸

откуда получаем

I 2/П2(/П2 + Е】)|Р1|⑹

I 4 L (他+当产一1曰 |2 ‘2)

При этом мы отбросили второе, тривиальное решение уравнения (5), а именно [ Р4| = 0.

Дано

Pi 1 = ^1 = 938,2 МэВ.

Следовательно,

Е[ = “Р；+ 喈=938,2 • “》.

Подставляя в (6) эти значения и m2 = 0,5 МэВ, находим максимальный импульс электрона после столкновения:

|Р4 I = 2(0,5) .(О,2 笹)938 2 二

(0,5 + 938,2 "2 户 一 (938,2产

=(1327)2 — (938,2)2 938,2 = 1,4 МэВ/c

Пусть Vo — скорость центра масс стержня, а 0о — угловая скорость вращения стержня относительно центра масс.

илиили⑵⑵где / = (%)m(厶⑵2—момент инерции оси, проходящей через центр масс.

или

или

⑵

⑵

Если за время f стержень совершает

0о/ = 2%

стержня относительностержня относительнополный оборот, то(3)полный оборот, то(3)откуда

стержня относительно

стержня относительно

полный оборот, то

(3)

полный оборот, то

(3)

"2 n

/ =—.

Следовательно, за время полного оборота центр стержня местится на расстояние

02w

О = VqL =.

m

Подставляя сюда выражение (2), находим

С F ЛaПl2冗l

о =-—= .

m 3尸厶3

пере-пере-⑷⑷Т21尸 2Tf=T埠=1■团肃=Т21尸 2Tf=T埠=1■团肃=1月21月2(5)(5)Энергия поступательного движения

пере-

пере-

⑷

⑷

Т21尸 2

Tf=T埠=1■团肃=

Т21尸 2

Tf=T埠=1■团肃=

1月2

1月2

(5)

(5)

⑹⑹Энергия вращательного движения

⑹

⑹

Полная кинетическая энергия стержня равна их сумме: 2*2

М = А + т『/・

Пусть b — длина каждой пружины в состоянии покоя (заметьте, что в поле силы тяжести она не совпадает с длиной свободной пружины: & = Длина свободной пружины — mg/2k), a %i,汇2 и х — соответственно длины пружин 1 и 2 и высота центра масс стержня в момент времени Л

Для абсолютно жесткого стержня %1+%? = 2%. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем

/n尤=—— 々(修 ——b)—— 左(打 —— b),

или

mx = — fe (xi + 无2)+ 2々6, откуда

元=— ±&hx 一 ^Щ = 一 ^(% - b)・(1)

Положим теперь

Х2 = X + -у 0 И Х[ = Х 0.

Из уравнения

/0 = Вращающий момент получаем

Z9 = - k (%2 一b)^1 十左(修一^) "^,

ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ %2 —— 无1 =厶仇

/0 = ^^ (%2 一 修)=一 ^ ^池(2)

Подставляя сюда / = mL2/12, получаем

0 + _^0 = о.(3)

Решения уравнений (1) и (3) записываются соответственно в виде

⑷ ⑸⑷ ⑸无=4 cos (о" + В),9 = С cos (<о2/ + О),

⑷ ⑸

⑷ ⑸

где

и а)2и а)2

и а)2

и а)2

Запишем начальные условия при / = 0:

— ("■fl，Т，

х = 0 и 0 = 0.

Ответы и решения

33

Подставляя (6) в (4) и (Б), имеем

Ь —^ = A cos В,

⑺

0= — Ла)1 sin В,

(8)

号=С cos D、

⑼

0 = — C(o2sinD.

(Ю)

Из (8) и (10) следует

8 = 0 = 0,

(11)

а из (7) и (9) с учетом (11)

Л = & — у и С = у.

(12)

После подстановки (11) и (12) в (4) и (5) получаем

х= 2 cos* me g =々 ^ ,

и

е =年 cos д/, где со2 =・

Обе нормальные моды колебаний определяются выражениями

& =修 + & = (2Ь — a) cos со^,(13)

x2 = %2 一修=a cosgt(14)

В случае 尤=0 имеем х2 = —%ь или моду X?.

Если же Х2 = 0, то имеем %28=2 %ь или моду Хь

Матрица А — симметрическая, т. е. 4爾=4弘.Мы имеем 多4用=咻(1)

2 Зак. 743

здесь tpi ——собственный вектор матрицы Л и а ——соответствующее ему собственное значение матрицы А. Умножим (1) на 屮: слева и просуммируем по всем i:

»嘴4抻尸咚屯电.(2)

Перейдем от (1) к его комплексно сопряженному выражению и умножим обе его части на 切 слева:

多纬曲=优%(3)

£ ^i^f^ = a*X 电嘴.(4)

В равенстве (4)屮力 и 屮；можно поменять местами:

e叫%电=a* §屯%(5)

Поскольку А — действительная матрица, то 4* = А. Более того, если она еще и симметрическая, то 4；/ = 4“・ Меняя местами индексы I и / в левой части выражения (5) и учитывая свойство /；/• = /〃，получаем

£ 电4抻了 = a* § W；电.(6)

Сравнивая выражения (2) и (6), заключаем, что а = а*, т. е. а ——действительная величина.

Пусть а — одно из собственных значений, тогда

多4例=а中,；(7)

здесь Aij — элементы действительной матрицы, которая не является симметрической. Перейдем в (7) к комплексно сопряженным величинам:

Отсюда следует, что а* также представляет собой собственное значение матрицы А.

В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью (о, уравнение движения записывается в виде

a = ^-2oXv-sX®><R),(1)

где

—действующее ускорение свободного падения, а 3 = 2冗/86400= =7-10~5 рад/с — угловая скорость вращения Земли. В результате уравнение (1) принимает вид

а = g — 2ш X V. (2)

В системе отсчета, показанной на рисунке, получаем

^u = g, или vy = ayt = gtf(3)

ах = 2sqz sin 45°.(4)

Следовательно,

= ^axdt =乎^ 3g 户 о

о

Из выражения (3) имеем

也 н gd, откуда f “(6)

2*

Подставляя выражение для / в (5), находим 2g)/ А3

Тело упадет к востоку от отвеса, опущенного из исходной

Движение струны описывается уравнением曲一工曲0产 p дx2 一

ТОЧКИ.ТОЧКИ.⑴⑴где Г ——натяжение, а р — линейная плотность струны.

ТОЧКИ.

ТОЧКИ.

⑴

⑴

VVO

У

Начальные условия при / = 0 записываются в виде у = 0 при всех значениях х, f 0 при (4 + т) <Л < (т—т) • 1 % прh 传一* < 伯 +9.

Запишем общее решение уравнения (1):

У = X(4 cos 等“ j t + В九 sin 劈 У у /) • sin 雯％. (2)

При / = 0 имеем у = 0. Следовательно,

£ Ansin^~ х = 0 при любом значении X. п—\

Это справедливо только в том случае, когда все коэффициенты Ап равны нулю:

ЛЛ = 0 при любом значении 〃・(3)

Таким образом, из решения (2) имеем

sin 等 (f = g).(4)

Отсюда следует

張VH*a)sin唔厶= о

.一亿+а)/2

2%/ р Г ・ плх 」

殆 \ sm—dx=

(L-a)/2

=齡"卦。S囲(1 -划-cos号(1 +?]}•⑸

Искомые амплитуды Вь В2 и В3 первых трех низкочастотных гармоник можно определить, подставляя в (5) значения п = 1, 2 и 39

Число молекул воздуха, коюрым за промежуток времени А/ сообщена скорость V, пропорционально AVД/. Следовательно, полный импульс АР этих молекул пропорционален A V2At Сила сопротивления воздуха

е АР

как видно из предыдущего, пропорциональна ЛИ2.

Чтобы тела парили в невесомости, центробежная сила на экваторе должна уравновешивать силу земного притяжения, т. е.

R# = g・

*) Дальнейшее упрощение формулы (5) дает

n4u()L/ р . пл . пла 2%а/ р . пл

%而 V T 丁 sm н V 7 sm

В результате имеем

76, 殳=о, I & I = В1/3.

—Поим, пеоев.

Подставляя сюда /? = 6 -106 м н g = 9,8 м/с2, получаем откуда

Г =1600л с 1,5 ч.

0，

Примерно такой период обращения имеют искусственные спутники Земли на малых высотах.

Циклическими называются такие координаты, от которых гамильтониан не зависит в явном виде. Поскольку

с дхс ， то импульсы, сопряженные с циклическими координатами, являются интегралами движения.

Пусть а—действительное собственное значение косоэрмитовой матрицы Д, т. е.

4()=8|).(1)

Умножая обе части равенства (1) на ”+ слева, получаем

屮+4屮=a2+2.(2)

Для эрмитово-сопряженной матрицы имеем

2+4+ = a^+⑶

(здесь мы воспользовались условием а* = а). Если мы умножим обе части равенства (3) на 屮 справа, то получим

冲+小2=a屮+2.⑷

Но Д+ = —Д, и (4) принимает вид

^+А^ =—叫+ф.⑸

Из (2) и (5) следует

а 三 0.(6)

Нам нужно вычислить

+оо

Поскольку функция sin z не определена при z = х + iy f оо, мы должны выразить функцию sin2x через е?%. Имеем

一：_9 _1一cos2хП八 1-0"sin х==2Re 2 ~ •一：_9 _1一cos2хП八 1-0"sin х==2Re 2 ~ •

一：_9 _1一cos2хП八 1-0"

sin х==2Re 2 ~ •

一：_9 _1一cos2хП八 1-0"

sin х==2Re 2 ~ •

В верхней полуплоскости довательно, интегралВ верхней полуплоскости довательно, интегралe'2z убывает экспоненциально, и, сле-e'2z убывает экспоненциально, и, сле-

В верхней полуплоскости довательно, интеграл

В верхней полуплоскости довательно, интеграл

e'2z убывает экспоненциально, и, сле-

e'2z убывает экспоненциально, и, сле-

1 - 01 - 0也—dz也—dz

1 - 0

1 - 0

也

—dz

也

—dz

=Re §=Re §по дуге Сд обращается в нуль. Теперь можно вычислить /, заменяя вначале % на z и выполняя затем интегрирование вдоль границы верхнего полукруга:

=Re §

=Re §

dz =dz =1 一产1 一产d% = Re $ L^d%+Re \ ^~-OO

dz =

dz =

1 一产

1 一产

dz = Re {ni Выч [f (z), 0]},

где Выч[/(г), 0] — вычет подынтегральной функции в точке 2 = 0. В данном случае подынтегральная функция имеет в этой точке полюс порядка п = 2. Таким образом,

ВЫЧ 什⑵，°]=名 С1^) Lo = 一力

Окончательно получаем

/ = Re (л) = л.

Будем производить эту разрушительную работу постепенно, удаляя каждый раз с Земли тонкий слой толщиной dr、

Чтобы удалить такой слой на бесконечность, нужно затратить энергию, или совершить работу, численно равную потенциальной

энергии взаимодействия этого слоя с оставшейся массой, но взятую с обратным знаком:

d (Работа) = — d (Потенц. 3H)= G 恤；竹,(1)

где Mr = (4л/3) pr3 ——масса, заключенная внутри сферы радиусом г, dmr = —4npr2dr — масса сферического слоя толщиной —dr и радиусом г, а р — плотность земли. После подстановки получаем

d (Работа) н — d (Потенц. зн) = — G -^- p2r4 dr.(2)

Полная работа, которую необходимо произвести, равна интегралу от правой части равенства (2) в пределах от г = R до г = 0:

о

Работа^.^,^гЧг^^(3)

здесь М —масса, a R — радиус Земли.

Предположим, что вся потенциальная энергия (3/б) X X (GM2/R) преобразуется в тепловую. Считая теплоемкость Земли постоянной, приходим к следующему соотношению:

乳簧= mаaт,⑷

где АТ — приращение температуры Земли вследствие поглоще ния ею выделенного тепла. Полагая

Cv 0,3 кал/(г-К) = 1,2- 103 Дж/(кг • К),

находим

10-6. 106~==^A^-^3, 104 К-

Действительно, Земля бы расплавилась.

Пусть 0! и 02 — углы отклонения нитей от вертикали. Угловая скорость центра масс стержня

0 =у(01 +02).

Кинетическая энергия поступательного движения стержня равна

Tt^^^ = ^l^(Qx + ^-(1)

Между углами S, 01 и 02 существует соотношение

6 = ^(Е — ®2)・

Кинетическая энергия вращательного движения записывается в виде

G=/ 冬=线(瓦 一 @2)2=嗜(6 L е2)2,(2)

где / =加а?/% — момент инерции стершщ.

Потенциальная энергия (при малых углах 01 и 02) равна

V=|mgL[(l- cos仇)+ (1 — cos02)] ^畔⑥ + 喲；(3) здесь мы воспользовались разложением функций cos 0i|2 в степенной ряд. Из выражений (1), (2) и (3) получаем выражение для лагранжиана:

2 = т — Р =等® +。2)2 + 簣向一 ё2)2 一 ~ mgL ®； + el),

⑷ где T =Tt + А・

Из уравнения Лагранжа следуют два уравнения движения:

® +前）+ 嗒（瓦-^）+ |他g厶仇=0,

(5)

4

-(02 + 仇)+ 号(62 -01) + 4 mgLe2 = 0.

⑹

Суммируя

оба уравнения и вычитая одно из другого,

по-

лучаем

畔（瓦一包）+/ngL （仇一员）=0,

или

(瓦 一02)+ 举(仇一ё2)= 0； tnU^ + ^ + mgL^ + ^^Q,

⑺

или

(瓦+包)+昂(m+庆)=0.

(8)

Решения уравнений (7) и (8) можно записать в виде X]=仇一仇=24 sin ©if + 24’ cos ^t, 冗=仇 + 员=2B sin o)2/ + 2夕 cos(o2Z;

здесь(oi и(02

—частоты, соответствующие этим решениям:

Gh = д/券’

⑼

32=“％

(Ю)

Удовлетворяя начальным условиям 01 = 0 и 02 = 0, получаем

Следовательно,

01 =Xsinc)]/ + Bsino2^>(12)

02 = — Л sin sj + В sin о)2九(13)

Начальные значения 仇 и 62 при f = 0 можно найти из выражений для импульса

Р £ = /8=^- • ^(61 — 02) = -^^(01 — 02),(14)

P^mv =加乙6 =加刍(仇 + 02),(15)

откуда

=(16)

S尸一*•(⑺

Из (12), (13), (16) и (17) определяем амплитуды нормальных мод:

<=3戶=3。

mLsim V 3Lg '

3=上=-4=・mLo)2mNLg

Пусть Г — натяжение нити. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем

mg -7 =賢0.(18)

77

7

7

Кроме того, имеем уравнение для вращающего момента относительно точки А:

mg^ = lG =飞糜.mg^ = lG =飞糜.(19)(19)

mg^ = lG =飞糜.

mg^ = lG =飞糜.

(19)

(19)

Подставляя 0 из уравнения (19) в (18), находим

7 = ；mg・(20)

В случае круговой орбиты сила притяжения ——dV/dr должна быть равна центростремительной силе:

откуда

^ = г V ЗКг = а V ЗКа ・(1)

При этом кинетическая энергия частицы дается выражением

т 123^mr33^ma3

т = ут^ = ―— = —g—,(2)

а момент импульса частицы

J = mr2Q = mrv = mr2 V3^ = пг心 7ЗКа,(3)

где использовано соотношение 6 = и/г = "а.

Зная угловую скорость 6 = ^ЗКа, находим период кругового движения

т 2л 2л]=—г- = —/Г'・0“ЗКа

После воздействия возмущения расстояние частицы от центра будет меняться вблизи г = а по некоторому закону 厂=厂(/). Запишем г в виде г = а + х, где % — малая величина. Движение по х в первом приближении описывается уравнением

尤 +[^^+V〃(a)]% = °，(4)

где

片(а) = *|』=ЗК*

Подставляя полученные выражения для Vх(а) и Р〃(а) в (4), приходим к уравнению гармонического осциллятора

尤 + 15Ка% = 0 с частотой

со = “ 15Ка ・

Введем следующие 4-векторы, условившись считать с = 1 н / = “ — 1：

B = (Pi,阳)， 尸з = (Рз,疋з),

^2 = (Р2, /|Р21), Л = (Р4, "РН))

Из законов сохранения импульса и энергии следует

匕+p2 =p3+p4,(1)

или

p3 =尸1 +尸2 一p4.

После возведения в квадрат получаем

-m： = -^ + 2(£1~|PJcos01J£4-2(£1-|PJcos012)£2 + + 2(1 — COS 024)七2旦・

(Замечание, Вернитесь к решению задачи 1.1.1 и обратите внимание на некоторые отличия, возникшие на данном этапе решения.) Отсюда находим £4:

尸 —(El — I Pl I COS 仇2)七2 /П\

4 — (El 一 丨 Pl I cos 仇4) + (1 - COS 624)七2 •I 丿

При энергии электронов 20 ГэВ величина те ничтожно мала по сравнению с 几 следовательно, £1 « | PJ. Чтобы получить максимальную величину £4, следует принять cos 612 = —1, cos Ou = 1 и cos 024 = —1. При этом вектор Р4 по направлению совпадает с Pi и противоположен Р2.

Р/ Рг Р3 &

До рассенникПосле рассеяния

Из (2) следует

国^翁邑=吕，

т. е. энергия рассеянного фотона почти совпадает с энергией

9 Для фотонов Ег = |Рг| и £4 = |₽4|. В дальнейших формулах 612 обозначает угол между направлениями импульсов электрона и фотона до рассеяния, Ou— угол между направлениями импульсов налетающего электрона и рассеянного фотона, 024 ——угол рассеяния фотона. Приводимый в данной задаче рисунок поясняет рассеяние фотонов на встречном пучке быстрых электронов, когда 012 = 024=ли914 = 0.— Прим, перев.

встречного электрона.

1.3.1.1.3.1.

1.3.1.

1.3.1.

2 = УР* + 礴?4 . — Прим2 = УР* + 礴?4 . — Примшения тсшения тсперев.перев.

2 = УР* + 礴?4 . — Прим

2 = УР* + 礴?4 . — Прим

шения тс

шения тс

перев.

перев.

Пусть Р — положение мгновенного центра вращения шарика на наклонной плоскости в момент времени /. Вращение шарика относительно этого центра описывается уравнением

—Mga sin б = /о0,(1)

где /0 — момент инерции шарика относительно оси, проходящейчерез точку Р. Согласно теореме о параллельных осях】), имеем/0 = 4 Ma + Ata? = V м〃2.

Следовательно, ускорение центра масс шарика равно

х = 6Z0 = — у g sin б.(2)

Из закона сохранения энергии следует, что в исходной точке шарик должен обладать той же скоростью и。，с которой его толкнули, но противоположно направленной. Для движения с постоянным ускорением

vf = vi + 乱(3)

где Vi и vf — начальная и конечная скорости соответственно. Подставляя сюда vf=—vQl Vi = v^ и х= — (5/?)gsin 6, получаем

2^о = sin б,(4)

откуда

/ =(5) 5g sin о

Частица имеет массу покоя 恤=1000 МэВ/c? и обладает импульсом Р = 1000 МэВ/c. Скорость частицы равна2)

РМ юоос

v == —7=с = —(1)

тс2 “2 • 1000“2' '

Она называется также ^теоремой Штейнера. — Прим, перев.

Найдем среднее время жизни частицы:

彳=(1 —『厂％ То = *「° = “» ・ 1 (Г® &(2)

Следовательно, средняя длина распада частицы равна

S — vT = 300 см.

Введем 4'Векторы:

"х = (Рх, /Ех), ^ц= (Рц, /^ц) Н Р” = (Р” /EJ. (3) В соответствии с законом сохранения энергии и импульса имеем .Рх — &・⑷

Возведем обе части уравнения (4) в квадрат:

爲=(А —Г/, или

0=一矿一缆+ 22综一2|Px]・R|cos15。.

Подставляя известные значения fx, |Р^|,俏“ и mx, получаем 2000 “» £и - 2000 I Рц I cos 15° = 10002 + 1002.

При столь высокой энергии мю-мезона членом т^ можно пренебречь и положить £ц ^ 尸眯.Таким образом,

Е—J22——^ 1100 МэВ.

"“2 -cos 15。

Более подробно об операциях с 4-векторами см. в задаче 1.1.1.

Пусть 01 и 02 — углы отклонения каждого из стерж

ней от вертикали. Моменты инерции стержней равны

/1 =j-MiLif /2 = j M2L^(1)

а сумма кинетических энергий

Т =今/1。： + ｝厶他=^" M\L\^i +春私后唸(2)

Потенциальная энергия всей системы

V = M[g 冬(1 — COS 01) + M2g 叁(1 — COS®2)+£ (4 —仇)2.(3)

Лагранжиан системы записывается в виде 纟=Т — V = AfiLjG? + M2L2&2 —

一今 Mg(l - cos 01) 一 冬 М2g (1 - COS 02)一 与(M -仇产^比-g- M1L^\ + -g- M2L2&2 一扌 MLigB； -^ mг厶2gB；-与(仇-02)

⑷ (при этом мы произвели разложение cos 也 и cos 02 в степенной ряд). Из выражения (4) находим

-薔=^м厶g6 + K(d-e2),

一器 =5m2厶892 一k(仇一82).

После подстановки этих выражений в уравнение Лагранжа получаем следующие уравнения движения:

-^ MiL^Qi + "^ M\L\g^\ + К (仇一02)= О,у M2IXQ2 + -у Мг 厶2g®2 — К (仇 一 02)= О,

Преобразуем эти уравнения к виду

(- 2&否 + 3g + ^^) 4 - -^2 = 0,• ^^4 + (一 2L2(o + 3g + 7g^) B = 0.

Чтобы уравнения (8) не противоречили одно другому, должно выполняться следующее условие:

-2&①2 +3g +而仄6Кm2厶-2&①2 +3g +而仄6Кm2厶6Кш76Кш7-2L2(o2 + 3g4-2L2(o2 + 3g46КM2L26КM2L2=о,=о,⑼⑼

-2&①2 +3g +而仄6К

m2厶

-2&①2 +3g +而仄6К

m2厶

6Кш7

6Кш7

-2L2(o2 + 3g4

-2L2(o2 + 3g4

6КM2L2

6КM2L2

=о,

=о,

⑼

⑼

откуда

(-2&<о2 + 3g + 隔)(_ 2厶公 + 3g + т§7)~ AflM?厶厶 2"

или

4*厶d 一［6g (厶+上2)+ -粤眈К® ］ ®2 +

+［呢+出競尧『=。■(I。)

Уравнение (10) можно решить и определить частоты ®, о)2, соз и 34〔)・ Подставляя найденные частоты со； (/ = 1, 2, 3, 4) в уравнения (8), можно получить соответствующие этим частотам соотношения амплитуд Aj и В^. Таким образом, общее решение системы (6) записывается в виде

44

仇=?4卢庙产и仇=е b卢心『.

Введем три единичных вектора： Xi — в направлении кратчайшего спуска по наклонной плоскости, Si — в направлении

касательной к траектории частицы и й — вдоль нити по направлению к отверстию (см. рисунок).

Условие квазистатического равновесия частицы, когда она едва движется, записывается в виде

Т + mg sin 0 G[ + 耳=0;(1)

здесь F； — сила трения, действующая на частицу со стороны пло* скости и всегда противоположная направлению движения, а Т — натяжение нити. По определению F/=—[iFns\. Подставляя сюда Fn = mg cos 9 и |i=tg 9, получаем

Ff = —mgsin0 sb

Теперь уравнение (1) принимает вид

Т + mg sin 9 Xi = mg sin 0 s【・(2)

Возведем обе части уравнения (2) в квадрат:

Г2 + m2g2 sin2 0 + 2T/ngsine(% • х^ = zn2g'2sin20.

После упрощения получаем

Т (Т + 2mg sin 0 cos S) = 0,(3)

где cos 6=(trxi).

Если частица находится выше отверстия, т. е. когда 0&6《^ и O&cosB&l,

то из уравнения (3) следует что Т & 0. Таким образом, поскольку натяжение нити Г не может быть отрицательным, принимаем Г= 0.

Если же частица находится ниже отверстия, т. е. когда у<6<л И — 1&COS6&0?

то натяжение Т оказывается положительным:

Т = — 2mg sin 0 cos d > 0.

Траекторию частицы определяет результирующая сила

F = Т + mg sin 0Xi = mg sin 0(Xi — 2 cos 6 幻=

=mg sin 0 [Xi + 2 cos 6 (sin 6 yi — cos 6 xj]=

=mg sin 0 [1 — 2 cos2 6)丸 + 2 cos 6 sin 6 yj =

=mg sin 6 cos 26 (—元 + tg 2d 近).(4)

Направление yi показано на рисунке, приведенном ниже.

Траекторию частицы можно построить следующим образом. На участке от Д до В натяжение нити бесконечно мало (но положительно) и частица просто соскальзывает вниз по наклонной плоскости. Пусть б》л/2; из (4) мы получаем уравнение

—tg26=2(5) dx &cos2 6 — sin2 6 x2 — у2

где

x = r cos (冗——6) = — r cos 6 и у = r sin (冗—6)=广 sin 6.

Это уравнение можно преобразовать к виду

(炉——у2) dy ——2ху dx = 0.(6)

Оно имеет следующее решение:

•У + V = c, или 炉+а一罚2 =号， ⑺

где С — постоянная, определяемая из условия С=у = ВР при %=0.

Таким образом, траектория частицы между точками В и Р, описываемая уравнением (7), представляет собой полуокружность радиусом С/2 с центром в точке х=0, у=С/2.

Пусть Ру ——вертикальная составляющая реакции опоры. Сила, действующая на опору по вертикали, равна —Ру. Когда стержень проходит горизонтальное положение, он обладает кинетической энергией /02/2, которая соответствует разности потенциальных энергий стержня в начальном и конечном состояниях:

粤= }Mg£sin30。；

здесь / — момент инерции стержня относительно оси вращения. Для однородного стержня, закрепленного на одном конце, /= =ML2/3. Следовательно,

^MDQ2 = ^MgL.(1)

Ордината центра масс стержня у = (L/2)sin 9, и мы имеем

у ==~L6 cos0 и y = ^L(^ cos 0 — 62 sin 0).

Л

Стержень Т

f*一A公

I Ось

V вращения

Mg

Уравнение движения центра масс стержня имеет вид

Mg-Py = My = ^ ML(Q cos 0-02sin 0).(2)

При горизонтальном положении стержня 02 sin 0 = 0. Вращательное движение стержня относительно центра масс описывается уравнением

■^^Ру COS0 = /U. мё.

Подставляя сюда /ц.M=ML2/\2, получаем

Ру COS0 =⑶

Подставляя 0 из выражения (3) в уравнение (2), получаем

Mg 一 p尸3乙， откуда

Р"=芈・(4)

Величина ——Ру представляет собой составляющую силы, действующую вертикально вниз на ось вращения стержня. Реакцию опоры Рх можно найти из условия, что Рх должна быть равна центростремительной силе, действующей на стержень. В момент времени, когда стержень проходит горизонтальное положение,

L

рх=^х^ dx = ^ MLQ.(5)

о

Подставляя сюда выражение для 02 из (1), находим

Сила —Рх направлена так, что она стремится сдвинуть ось вращения стержня влево.

Пороговое значение энергии движущегося протона определяется выражением

%°p = AM(1+* + ^)・⑴

В случае реакции

p + pfР + р + р + р имеем

АМ = 2/Пр и гщ = т2 = тр.

Следовательно,

Тцор = 6гИр = 5,62 Г эВ.

Замечание. Вывод формулы (1) см. в книге： /. D. Jackson, Classical Electrodynamics, стр. 397—400 】)・ Другой подход см. в решении задачи IV. 11.7, разд. «Атомная физика и квантовая механика» настоящего сборника.

Приливные волны совершают работу за счет энергии вращения Земли. Максимальная энергия, которую могут рассеять приливные волны, равна кинетической энергии вращения Земли /с)2/2, где I — момент инерции Земли, а со — угловая скорость ее вращения.

Рассечем мысленно Землю пополам плоскостью, перпендикулярной плоскости земной орбиты и проходящей через центры Солнца и Земли. Поскольку форма Земли несколько отличается от шарообразной, одна из ее половин окажется несколько ближе к Солнцу, чем другая. Поэтому в соответствии с законом

обратных квадратов она будет притягиваться к Солнцу сильнее, чем другая половина.

Пусть ri и г2 ——радиус-векторы, определяющие положения центров масс двух половин Земли относительно Солнца, F】и F2 ——силы притяжения рассматриваемых половин Земли Солнцем и г0 ——радиус-вектор, определяющий положение центра масс первой половины относительно центра масс Земли. Таким образом, мы имеем 】)

Г1 = г + г0 и г2 = г — г0.

Вращающий момент, действующий на Землю со стороны Солнца, приблизительно равен нулю, и можно записать

M = O = r1XFi + r2XF2 = roX(Fi-F2)+ rX(Fi + F2)^

мС + rXF.(1)

Здесь этот момент мы представили в виде суммы момента пары сил C=r()X(Fi ——F2) относительно центра масс Земли и момента силы F, приложенной к центру масс Земли, относительно Солнца. Момент пары С уменьшает угловую скорость вращения Земли, в то время как момент г X F увеличивает орбитальный момент Земли L0P6. С увеличением последнего возрастает радиус земной орбиты, а также период обращения Земли (в соответствии с законом Кеплера сог3=4л2г3/^2 = const). Сохранение суммарного момента импульса наглядно видно из уравнения (1): уменьшение момента, связанного с суточным вращением Земли, приводит к немедленному возрастанию орбитального момента Земли на ту же самую величину.

Среднее время жизни = 2 • 10~6/V 1 — (0,8)2 = 3 • 10~6 с.

Меньше.

Меньше.

元=1,5 и у=1.

Останется прежним.

Из векторного соотношения между моментом внешней силы М, угловой скоростью прецессии Q и собственным моментом импульса L волчка

M = QXL

следует, что вектор Q направлен вверх, поэтому ось волчка прецессирует против часовой стрелки.

Приведенная масса системы равна

3-13

Следовательно, период колебаний равен

с / 3m/ З/п

При статическом равновесии

~~ = 0 (поскольку 尸=—"^).

Таким образом,

—2аг~3 + &г~2 = 0, откуда

— f или f <колебания в противофазе (мода 1);

— или f -> — колебания в фазе (мода 2).

Поскольку g = GM/R2, то Ag/g = —2AR/R. Следовательно, уменьшение радиуса Земли на 1 % привело бы к увеличению ускорения свободного падения g на 2%.

Пусть Р — мгновенная ось вращения банки в момент времени /. Запишем уравнение вращательного движения относительно Р:

/0 = Mk26 = MgR sin 0, или ^20==g/?sin0,

где / ——момент инерции банки относительно оси Р, a ft2——квадрат радиуса инерции банки. Для пустой банки

居=京=戸+戸=2/?2,

а для заполненной

展=余=4^2 +R2 = 4"&,

Отсюда видно, что 归彳 > 左彳,и, следовательно, 02>9i- Заполненная банка скатится первой.

=Уз；=Уз；Скорость потока 〃з н〃咏:也 отз. 7Pl

=Уз；

=Уз；

叫叫Скорость потока из верхн. отв.

叫

叫

здесь Pi — давление воды у нижнего отверстия, а Ри—у верхнего отверстия.

1.4.14.

Спустя 2сСпустя 2сСпустя 5cСпустя 5c

Спустя 2с

Спустя 2с

Спустя 5c

Спустя 5c

Кориолисова сила

F =: — 2/ns X v.

Она действует на частицу массой т, за которой наблюдают в системе координат, вращающейся с угловой скоростью© относительно инерциальной системы; v ——скорость этой частицы во вращающейся системе координат.

Кориолисова сила направлена на запад. Поэтому уровень воды на западном берегу выше, чем на восточном.

Запад < а Втток

Поскольку I(о X VI =(ои sin 儿 то

Разность уровнейРазность уровней,八 2(ои sin X^0 = —г~,八 2(ои sin X^0 = —г~2取①少sin%.2取①少sin%.⑴⑵⑴⑵

Разность уровней

Разность уровней

,八 2(ои sin X

^0 = —г~

,八 2(ои sin X

^0 = —г~

2取①少sin%.

2取①少sin%.

⑴

⑵

⑴

⑵

здесь V — скорость течения воды,九一географическая широта, со ——угловая скорость вращения Земли, W ——ширина реки, g — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

у = 8 км/ч « 2,2 • 102 см/с;九= 30°, sin九= 0,5;(o = 2n/T = =7,3 • 10-5 pa д/с (T = 86 400 c); W ^ 4 km = 4 • 105 cm; g q 103 cm/c2.

Подставляя эти значения в формулу (2), получаем

Н = 2步ош ^^ = 2(4 • 1。5)(7,3 -Ю"5)(2,2 -102) 0,5 • 10"3 6,4 см.

Как показано на рисунке, единичный вектор п направлен вдоль оси диска, вектор п‘ перпендикулярен вектору п и лежит в плоскости рисунка, а вектор m перпендикулярен плоскости рисунка. Угловую скорость о можно разложить на две составляющие по направлениям п и п‘：

(о = n(o cos 6 + n's sin 6- (1) Момент импульса диска записывается в виде

М = £с(о cos 6 + nMco sin 6. (2) Уравнение движения диска в системе координат, вращающейся с угловой скоростью о, имеет вид

Вращающий момент = ^-^^ = о X М + ^^, (3) где производная (d/d/)o относится к лабораторной системе, а d/dt ——к вращающейся системе координат. Поскольку во вращающейся вместе с диском системе координат диск неподвижен, то второй член в правой части уравнения (3) равен нулю. Следовательно,

Вращающий момент = £】(As? sjn 6 cos 6 — Cs? sin 6 cos 6)=

=ni (4 — С) со2 sin 6 cos б, где ni=n X n'・

Пусть х — расстояние, на которое брусок смещается относительно положения равновесия. Из уравнения движения

Мx + (財 + 局)% = 0Мx + (財 + 局)% = 0⑴⑴

Мx + (財 + 局)% = 0

Мx + (財 + 局)% = 0

⑴

⑴

определяем частоту колебаний

⑵⑵/月1 +月2Л/ ~^~

⑵

⑵

Новая система, масса которой равна М + т, имеет частоту колебаний

=(3)

V М + т'，

Пусть Vi — скорость бруска, с которой он проходит положение равновесия. В соответствии с законом сохранения энергии имеем

^М%=4(% +屮2, (4)

где А — амплитуда колебаний. Запишем закон сохранения импульса

Mvi = (Л1 + m) vf,(5)

где Vf—скорость бруска с прилипшим к нему грузом т. Выразим переход кинетической энергии в потенциальную в виде

黄M + 团)加= *% +甸戌.⑹

Исключая из уравнений (4) — (6) v( и и『，находим соотношение между новой амплитудой колебаний В и амплитудой А:

В = а /—4

V М + m

Пусть ^ ——нормальная сила реакции, действующая на массу т со стороны клина. Уравнение движения бруска массой m

в направлении у записывается в виде

my = mg — N cos р,(1)

а в направлении 无

тх = N sin р.(2)

Уравнение движения клина массой М в направлении % имеет вид

AfX = -^sinp.(3)

Поскольку брусок движется по клину, мы можем написать следующее уравнение связи:

= 隹⑷

Из уравнений (2) и (3) имеем

х = - —Z.(5)

Подставляя N из уравнения (2) в (1) и учитывая (5), получаем

ту = mg + MX ctg р.(6)

Подставляя 尤 из (5) в (4), находим

夫=一岁冷喘一.(7)

，1 + М/т' 丿

Наконец, исключая g в ⑺ с помощью (6), получаем ускорение клина относительно стола

ctg В— м + 小 + м ctg2 р *

Натяжение нити меньше, чем в случае, когда брусок массой 5 кг приклеен к столу.

Кориолисова сила ——2/ns X v действует в направлении линейной скорости, с которой вращается диск. Следовательно, лезвие падает по направлению вращения диска.

Поскольку должен выполняться закон сохранения момента импульса, мы имеем

J = /0 = const.(1)

Так как момент инерции / пропорционален R2, уравнение (1) принимает вид

R20 = const, или

2—+-^- = 0.

А 0

Следовательно, сокращение радиуса Земли на 1 % приведет к увеличению 0 на 2%. Поскольку энергия вращения Земли пропорциональна 0;

/ вр =，

то она также увеличится на 2%.

Обозначим через 0 угол отклонения стержня от вертикали. Уравнение движения стержня записывается следующим образом:

/О = —(Mg sin a^ — hL sin 6.

При малых углах отклонения 0 (sin 0^0) оно принимает вид /0 + (у MgL + 々L)8 = 0.

После подстановки выражения для момента инерции стержня I=ML2/3 имеем

半0+(粵+々)9 = 0.

Отсюда получаем частоту колебаний

/з Mg + 2ks =~ml—

и период

Синфазныеd 丿 Противофазные

колебанияколебания

В случае малых отклонений уравнения движения стержней записываются в виде

号-0 + Mg6 у = 0,等 е + Mg 畤 + 2^L2e = о.

Соответствующие частоты колебаний равны

а)з=Д/襲 н 6)з = дД 券严.

Отношение масс Солнца и Земли равно 3-105.

в) Оба одновременно.

б) Пружина сожмется. Деформация пружины описывается выражением

d 〜(Рвода Рпробка) * ОбъвМ •且❷轴。

Когда лифт спускается с ускорением, то д^фф становится меньше и пружина сокращается.

Квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу радиуса его орбиты. Следовательно, период обращения второго спутника на 1,5% больше первого.

В начальный момент времени f=0 имеем и=0; поэтому !) Qr/@2R ^1 1 •

В случае двух шариков с одинаковыми массами установившаяся скорость обратно пропорциональна силе сопротивления среды. Следовательно,

匕 2R 八

а) Обе силы удовлетворяют условиям

dFx dFy

-ч—— И T. д.

ду дх т

Следовательно, для них можно ввести потенциалы

匕=—2xyz + 6%2y2之2 + const и

% =—(沙2 + "2 + %之2 + 之%2 + " + 纱 + 2xyz) + const.

Полная энергия сохраняется в поле обеих сил.

.5.14. Запишем уравнение движения шара в направлениях： тх = ц/ng, или 戈= |ig.(1)

Автор пренебрегает подъемной силой (силой Архимеда), которая в отличие от силы тяжести не одинакова для обоих шариков. С учетом этой силы отношения aR/a2R и vr/v2r должны быть больше 1 и 2 соответственно.— Прим, перев.

Вращение шара вокруг его оси описывается уравнением /0 = — ^mgr,(2)

где /=2тг2/5 — момент инерции шара.

Интегрируя уравнения (1) и (2), получаем ^ = Rg/,(3)

@ = 一堂…•⑷

Пусть, начиная с момента t=t\, шаркатится без скольжения:

г0 = х.(5)

Подставляя это условие в уравнения (3) и (4), получаем

尸(①一^卩g/J =卩g/b откуда

17 卩g/

а) Конечную скорость движения центра масс шара находим из уравнения (3), подставляя в него выражение (6) для fi；

2

北H.M = Rg厶=尸①几(7)

Момент импульса равен

J = /[(о/ + /2^2 j + Agk =

=/j©sin0 i + 厶①cos0k.(1)

Здесь о = V^i + ш? + шз,/1 > /з, к — направляющий вектор

вдоль оси симметрии эллипсоида.

Частота прецессии определяется по формуле

①(厶一/з) cos 0

которая непосредственно следует из динамических уравнений Эйлера.

Эффективный потенциал определяют следующим образом:

и9фф = *^т + V (广)•

На рисунке показана зависимость эффективного потенциала от г для конкретного случая, когда V(r)—kr2/2.

Круговое движение имеет место при равенстве полной энергии Е минимальному значению (7Эфф- Радиус орбиты R можно найти из уравнения

d U эфф ~drd U эфф ~dr=0・=0・

d U эфф ~dr

d U эфф ~dr

=0・

=0・

в) Если V (г) =&г2/2, то

d U эффd U эффу2т 页一 hR = 0,у2т 页一 hR = 0,Условие минимума {/эфф записывается в виде

d U эфф

d U эфф

у2

т 页一 hR = 0,

у2

т 页一 hR = 0,

откуда находим (v/R)2=k/m. Следовательно, угловая скорость кругового движения равна “女/俏・

Моменты инерции относительно главных центральных осей /х и 1У вычисляются непосредственно:

厶=扌加(专)2 =心他”，⑴

4 = 4■俏(^)2 = }俏“2.⑵

Момент инерции Л для тонкой пластины равен сумме /翼 и /?:

厶=/% + 厶=^力"2.(3)

Пусть i, j и к — единичные векторы вдоль осей %, у и z соответственно. Вектор момента импульса L (а также вектор угловой скорости о) не совпадает ни с одной из главных осей, но располагается в плоскости х, у. Его величина и направление даются выражением

L = "xS* + j/即《 = 〃* ① cos 6 + j/收 sin S =

Здесь /х и 1У заменены выражениями (1) и (2) соответственно.

Отметим, что в этой формуле 6 — угол между векторами о и i.

На ось вращения действует момент

(5)(5)N = (M)。'

(5)

(5)

где (dL/df)o — производная по времени вектора L в инерциальной системе отсчета. В общем случае

(学)厂家+ 6XL.⑹

Во вращающейся с телом системе отсчета первый член в правой части уравнения (6) обращается в нуль. Следовательно,

N = о X L = (3 ma2(o2sin6 cos 6 —^ ma2co2 sin S cos 6)k =

=y 卅a2(B2 sin S cos 6 k.

Космический корабль движется по круговой орбите радиусом /*(). При этом центробежная сила инерции должна уравновешивать силу притяжения, действующую по закону обратных квадратов:

mr^ ==.(1)

го

Следовательно, момент импульса корабля

/о = т0Го = V ^々「о・(2)

Возрастание линейной скорости корабля на 8% вызывает увеличение момента импульса также на 8%. Таким образом, / = =1,О8/о. Дифференциальное уравнение движения корабля имеет вид d2u . km

где 〃 = 1/r.

Это уравнение имеет следующее решение:

и ktn/J2 + i4 cos 8

где А — постоянная. Используя начальное условие r=rQ=Jl/km при 0 = 0, можно определить А:

a =十一号^亲口 一 （今y卜。」4；.⑸

Следовательно,

0,86 + 0,14 cos0

3 Зак. 743

Отсюда находим, что расстояние до апогея равно 1,40г0.

Другое решение. Пусть D и R — скорость корабля и расстояние до него в апогее. В соответствии с законом сохранения момента импульса и энергии имеем

mvrQ = nW R,(7)

у 俏您—* = } mV?—今(8)

Из уравнений (7) и (8) находим

R =方?- Го*(9)

2^/mr0 — и

Подставляя сюда выражение для й/го из равенства (1), т. е.

* = М，(10)

получаем R ^ l,4fo.

Пусть 加 и Ъ^ •— первоначальные длины пружин 1 и 2, когда вся система находится в равновесии, и диск не вращается. При повороте диска на угол 0 от положения равновесия пружина 1 растягивается на длину X)= а8. Если при этом растягивается и пружина 2 на длину Х2, то груз опускается на длину %з = а8/2 + %2・ Кинетическая энергия системы Г равна сумме кинетической энергии диска Гд и кинетической энергии груза Г®

Потенциальная энергия системы

И = У 爲出62 + 4•々刈一〃Zg%3 =

(3)(3)=4 左出㈢ + ^ 白赭_mg (у ае + 不2)•

(3)

(3)

©©ииLuLu电+&)电+&)

©

©

и

и

Lu

Lu

电+&)

电+&)

ш с

Составляем функцию Лагранжа

必=Т — U тс^^ + у m (} а?。？ + а°北 2 + ^2)—

⑷⑷⑸⑸-^ ("呼 + 喲 + mg (} "9 + 冷).

⑷

⑷

⑸

⑸

Уравнения Лагранжа записываются в виде

d (д£、 д^ с d (д纟、 д^ 八II — = u И — I -：— I= U.

di \ дх2 /。工2dt、丿06

Подставляя выражение для лагранжиана (4) в эти уравнения, мы непосредственно получаем два уравнения движения.

Обозначим через % смещение груза от положения равновесия в момент времени /. При этом пружина растягивается

3*

на длину % —— ％ос讪力.Уравнение движения груза записывается в виде

tnx + Ьх + kx =卜丛。沁》.

Оно имеет частное (стационарное) решение

X = "7戸為不甫 cos ®f _ 6), где

О = -т7 .

匕 k — т(й2

Амплитуда стационарного движения, установившегося по прошествии достаточно длительного времени, равна

kXQ

“(々一mco2)2 + 檄①？

6.5.

Кинетическую энергию цилиндра можно представить в виде суммы энергии поступательного движения центра масс цилиндра и энергии вращения его относительно центра масс. Обозначим через 0 угловую скорость вращения цилиндра. Кинетическую энергию цилиндра можно записать в виде

⑴

где для сплошного цилиндра /0 = та2/2. При движении скольжения а。= (R —а)6. Следовательно, выражение (1) нимает вид

Т =今(R 一 а)2 # + 修(R 一 * 私=^ /п (R — а)2 62.

Потенциальная энергия цилиндра равна

без при-без при-⑵⑵⑶⑶V = — (R — a) mg cos 6 (V =0 при 3 = 90°).

без при-

без при-

⑵

⑵

⑶

⑶

Составляем функцию Лагранжа

= Т — V = ~ m(R — а)2 Ь2 + 〃zg (R — a) cos 3.⑷

Подставляя выражение (4) в уравнение Лагранжа, получаем уравнение движения

^(R — Q)S + gsin3 = 0.(5)

В случае малых колебаний sin 6 ^ 6, и уравнение (5) записывается в виде

откуда получаем

8= "з(；上 а) •

Чтобы определить значения 居 при которых заданный ряд сходится, можно использовать следующий признак сходимости: если для любого бесконечного ряда модуль отношения n-го члена ряда к (п——1)-му члену имеет предел Л < 1, то такой ряд сходится. Мы имеем

Следовательно, при |х| < е ряд сходится абсолютно. В случае %=—е знаки членов ряда чередуются, члены ряда монотонно убывают по величине и n-й член в пределе стремится к нулю. Поэтому при % =——е ряд сходится〔). В случае х = е применим асимптотическую формулу Стирлинга

Таким образом, из выражения (1) имеем

R = i+* + o(3)，

и ряд при %=е, согласно признаку Раабе, расходится.

4) Согласно теореме Лейбница о сводимости знакопеременного ряда. — Прим, перев.

Преобразуем заданный нам интеграл следующим образом: j Г cos тх г пГ е'тх

=Re [§ 运高：+。2 闵(2 = % + 泌

Здесь интегрирование выполняется в верхней полуплоскости, если m > 0, и соответственно в нижней полуплоскости, если т С 0. Следовательно, при m > 0

/ = Re {2就 Выч [f (г); — с + ш]}—

=Re [2 冗 2^J = у e-am cos tnc.

При /п V 0 имеем

/ = Re {2л/ Выч [f (之)；一с — ia]}=

n . e^(-cTa)1 Jr

=Re—二 分石—J = — у e-a I m I cos me.

6.7.

Прецессия орбитыПрецессия орбиты

Прецессия орбиты

Прецессия орбиты

Как известно из первого закона Кеплера, Земля должна находиться в одном из фокусов эллиптической орбиты.

Тормозящее действие атмосферы проявляется при движении спутника только вблизи Земли. Пусть в результате этого торможения спутник теряет за один оборот импульс АР. При этом момент импульса спутника уменьшается на

А/ = —APR】，(1)

где & — показанное на рисунке расстояние от центра Земли до перигея орбиты. Эксцентриситет орбиты е связан с моментом импульса / соотношением

。=1+夠綜 ⑵

где Е — полная энергия системы,々一постоянная в выражении для потенциальной энергии V = ——mklr. В случае эллиптической орбиты полная энергия £ отрицательна и 0 < е < 1. Дифференцируя соотношение (2), затем находим

Ае /2 NE + 2Е/ А/ .办

= —，(з)

здесь АЕ ——энергия, теряемая спутником за один оборот. Используя соотношения

g = 2[E-U(R)] и АЕ = ‘АР = ^, получаем

Де 2 [2£ — b(Ri)]/A/小

В случае эллиптической орбиты

2e一1r)="成(*一；)>0.⑸

Поскольку знак А/ отрицателен, из (4) и (5) следует

学<0.

Из этой формулы мы видим, что эксцентриситет орбиты уменьшается. С каждым оборотом спутник становится ближе к Земле. Его орбита все больше и больше приближается к круговой.

Большая полуось орбиты а пропорциональна 1/诊，где W — энергия связи： W = —Е. Поскольку спутник теряет энергию, то W возрастает. Следовательно, а уменьшается. Уменьшается также и период его обращения Т, так как в соответствии с третьим законом Кеплера квадрат периода пропорционален кубу боль* шой полуоси.

Спутник теряет свою энергию на торможение лишь при сбли- жении с Землей. Поэтому подавляющую часть периода обращения он движется вне атмосферы, а остальную, меньшую, часть — в ней. С каждым оборотом полярный угол, соответствующий наибольшему сближению с Землей, увеличивается. При этом орбита спутника прецессирует в направлении, показанном на рисунке. Кратчайшее расстояние между спутником и Землей R〔 можно найти, пользуясь законами сохранения момента импульса и энергии:

п _ k~~k . kI 2E/2

здесь, поскольку £ < 0, знак корня во втором выражении изменен на противоположный. Следовательно, по мере уменьшения / расстояние R】 сокращается.

Обе трубы горизонтальны; следовательно, каких-либо изменений потенциальной энергии жидкости нет. В сечении С кинетическая энергия единичного объема жидкости равна ри'：./2, а в сечении 3 Р圖2. Дано, что vB — 20 см/с. Скорость vc можно найти из закона сохранения массы

… Площадь сечения В 〕/Площадь сечения С = ?° СМ/&

Разность давлений в сечениях В и С находим из закона сохранения энергии для 1 см3 воды:

Рв — Рс = ^ Р呢—^" Р嗚=7000 г/(см • с?) i);

она должна быть равна разности давлений в трубках манометра, подсоединенных к В и С, которая определяется по высоте водяного столба (р = 1) между уровнями ):

gh = PB — Рс.

Следовательно,

Л 7 см.

Поскольку рассматриваемые материальные гонки рас・

х

положены в одной плоскости, то ось, перпендикулярная этой плоскости в точке Р, является одной из главных осей инерции.

Назовем ее осью 2. Тогда момент инерции относительно этой оси записывается в виде

Iz = 3tn~ + 2m导 +团等 =3团壮・(1)

Очевидно, второй главной осью инерции должна быть гипотенуза треугольника, так как вне ее расположена только одна материальная точка. Следовательно,

/х= 2m-^- = ma2.(2)

Используя соотношение /* + /^ = /?, находим

1У = 2та2.

Плотность гелия составляет примерно V? плотности воздуха. Поскольку шар находится в воздухе, простой путь решения задачи состоит в следующем: считать плотность шара равной —6/7 рвозд и не обращать в дальнейшем внимания на присутствие воздуха. Действующее ускорение «свободного падения» шара равно в этом случае —6/7 g, а центробежное ускорение —6а/7, причем

а =齐=?。36偌=25,7 см/с2.

Следовательно,

_(6/7)g _ g _ gR _ 981

ИЛИ

e = arctg 0,0262 ^ 1。30'・

К центру кривизны пути.

Пусть Г—натяжение веревки. В состоянии равновесия 2Т = W = 70 кг. Отсюда Г = 35 кг.

1.7.1. Разложение функции f(f) в ряд Фурье записывается в виде

f(t) = ^- + ^ A cosno/ + 2 Brt sinnof.(1)

Прежде всего отметим, что в нашем случае /(/)——четная функция времени 力 следовательно, все Вп должны обращаться в нуль. Кроме того, заданный сигнал является периодическим (с периодом Т1). Таким образом, мы имеем следующее условие:

f(/ + TKD・⑵

Из (1) и (2) находим

8 = (0尸于「(3)

и разложение (1) принимает вид

f(/) = ®4cos需+堂.⑷

Нетрудно заметить, что сумма большого числа фурье-компонент с приблизительно одинаковыми амплитудами обращается в нуль, за исключением тех промежутков времени, где многие из этих компонент оказываются в фазе. В соответствии с заданной волновой картиной фурье-компоненты должны находиться в фазе лишь в течение тех промежутков времени, когда длятся хлопки, т. е. в промежутках

т{Г 1 ^ / ^ mJ! + А/,"%i = 0, 1, 2, 3,...,

должно выполняться условие

cosruo" ^ 1.

Оно справедливо при

〃①или м《а;%・

Таким образом, приходим к заключению, что

ЛЛ内 const при м《 ①/立 ・

Чтобы остальные компоненты не вызывали существенного искажения исходной волновой картины, они должны быть достаточно малыми:

4fo при 心誌р

В результате получаем следующее распределение:

Непрерывный спектр А (со)

8/

Пусть Т2 — временной интервал, внутри которого можно услышать звук одиночного хлопка. Этот интервал может быть сколь угодно большим, но обязательно конечным. Если допустить, что в случае ,,а" интервал 7\ между двумя последовательными хлопками превышает Т2, то к решению данной задачи можно применить результат, полученный выше. Однако в том случае, когда Т2 произвольно велико, частота о)ь определяемая формулой (3), становится весьма малой. Отсюда следует, что спектр одиночного хлопка является непрерывным.

К такому же выводу можно прийти, выполняя преобразование Фурье, т. е. записывая функцию f (/) в виде

+ °о

f (0 = у= \ е心S®)d(o,

причем

4-00+А//2

4(s)=志\'⑴ё一心‘出=击J e-^dt.

—00— A//2

Таким образом, мы и здесь получаем непрерывный спектр 』(з)・ Его поведение отражено выше на рисунке.

S — унитарная матрица, следовательно,

S+S=L(1)

Подставляя сюда заданное в условии задачи соотношение

S = 1 — 2订， получаем

(1+2订+)(1-2订)=1 или

1 一 2i (т — т+) + 4т+т = 1.(2)

При |「仃|《1 членом Т+Т можно пренебречь. Тогда выражение (2) принимает вид

Т-Т+ = 0 или Т = Т+,

т. е. Т — эрмитова матрица.

Из выражения (2) имеем

1(Т-Т+) = 2Т+Т.(3)

Для упругих переходов (а-^а) равенство (3) можно переписать в виде

"8口5〉一〈a[7+1力=22〈力7+1应8口1a〉，

где

E|〃〉〈〃|= 1,

поскольку \n)——полный набор промежуточных состояний.

Так как Т^а = Таа, то приведенное выше равенство принимает вид

1[{а\Т\а)-({а\Т\а)У] = ^2{а\Т+\п}{п\Т\а).

Используя соотношение

7%-T% = 2iImT〃，

получаем окончательно

Im(〈a|T|a〉) = -Z(〈M|T|a〉)2・

Предельная высота кладки h соответствует случаю, когда результирующая сила R направлена в сторону нижнего ребра ящика: при большей высоте кладки ящик опрокидывается. Для моментов сил имеем

mgL = ma ^f т. е. 9,8 • 0,5 = 6 与，

откуда /z = 1,6 м.

В состоянии покоя вертикальная составляющая сил должна быть равна нулю:

mg + 々% = 0.

Нам дано % = —6 см. Следовательно,

⑴

При возникновении собственных колебаний их период равен

Т == 2n /^/£ = 2冗 7у а 0,5 с.

Если пол вибрирует по закону Ае»”", то уравнение движения записывается в виде

⑵⑵mx + kx = 4^е 心叱

⑵

⑵

здесь мы приняли, что состоянию равновесия соответствует значение координаты % = 0. Перепишем уравнение (2), подставляя вместо 左 его выражение (1):

(3)

Это уравнение имеет стационарное решение

Следовательно, искомое отношение амплитуд при(о0 = 40л рад/с равно

« 0,01.

1-6啮川，

При подъеме якоря возникает кориолисова сила

F = — 2/n(d X V,

действующая на судно и вызывающая его движение.

Судно станет относить на запад.

Пусть V — скорость, с которой поднимают якорь на мачту» Тогда судно приобретает ускорение

Q = /〃 + М，

где т —масса якоря, М ——масса судна. Высота мачты S и время Т поднятия якоря связаны со скоростью и соотношением

S = ^ V dt.

о

тV к=^ a dtотV к=^ a dtоКонечная скорость судна равна

т

V к=^ a dtо

т

V к=^ a dtо

—<-—\v at =——г-тт S =m + Л4 Jm + Л1

о

2 • 200 • 7,29 • 10-5.20《

丽=4,9 • 10 м/с.

Здесь 7,29• 10-5 рад/с— угловая скорость вращения Земли (з = =2兀/「3 = 6,283/86 400 рад/с = 7,29 • 1Q-5 рад/с).

Другое решение.

Воспользуемся свойством сохранения момента импульса судна и якоря относительно центра масс Земли в инерциальной системе:

(М + 加)①户=[М产 + ш (г + S)2] о/.

Отсюда

и для скорости судна относительно воды получаем

V = (со, — со) г = — -^^-~ ^ (направлена на запад).

Судно фактически теряет кинетическую энергию за счет работы, совершаемой против центростремительной силы.

1.7.6.

Пусть Ro ——длина пружины в свободном состоянии. Условие равновесия системы записывается в виде

Следовательно,

⑴

При растяжении пружины до длины R она запасает потенци альную энергию

•J(R_R))2=4(R —刍 +甯广

Потенциальная энергия стержня и кольца в поле силы тяжести

V = — fn{gR cos 0 —^ tn2gL cos 0.

При 0 = 90° эта потенциальная энергия принимается равной нулю.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий вращательного и поступательного движения стержня и кольца:

T=^ie2 + ^m{(店 + №02) = 1 恤厶2/ + 1 g (R2 + R202).

Лагранжиан системы записывается в виде

е=Т —Р = I 牝厶202 + _^ g (&2+R202)+ ,0gR + 〃z2g 勺)COS 0-

4(^-4+T)2-⑵

Подставляя выражение (2) в уравнения Лагранжа

2(*)2(*)d纟d纟=0,=0,

2(*)

2(*)

d纟

d纟

=0,

=0,

получаем уравнения движения

(俏 1* + 扌 ％炉)б + (從iR + % -у) g sin 6 = 0,(3)

〃2候 + (々一团田2) R + mxg (1 — cos 9) — -^kL = O.(4)

В случае малых колебаний 8《1 н R —L/2《厶/2. Поэтому в уравнении (3) можно положить sin 9^9, а в (4) cos 0 = 1 и 9 = 0. Таким образом, уравнения (3) и (4) принимают вид

(mi/?2 + - %l2)0 + (〃2向 + y т2厶)g° = °，⑸

⑺A + Mr — ^'hO.(6)

Из последнего уравнения сразу находим частоту одной из нормальных мод:

Действительную и аналитическую функцию можно разложить в степенной ряд:

f (%)=三

Отсюда следует, что при х~> оо все члены этого ряда, за исключением первого, неограниченно возрастают. Таким образом, если f(x) — аналитическая функция при х ~> оо, то все коэффициенты ап при возрастающих членах должны быть равны нулю. Поэтому

f (х) = а。= const.

Матрица преобразования при повороте системы координат записывается в виде

/ cos 9 sin

" — (-sine cose 丿1 0/

Обозначим через V' и Т‘ вектор V и тензор Т соответственно в новой системе координат. Тогда

\ -012 ^и /

8.3. Если радиус-вектор г отличен от нуля, то левую часть дифференциального уравнения V2f — а2/ = —4лб(г) можно записать в сферических координатах г, 0 и ф. Мы имеем

где L ——оператор, зависящий от d/dQ и д!д^. Поскольку f=e-叫г. то Lf = 0. Следовательно, при 广=/= О

V2f 一a2/ = ； (一a)2 e-ar 一 а2 子=0.(1)

Пусть теперь г—*0; вычислим интеграл

/ =，(V2f —。2力 dV

по объему, ограниченному сферой радиусом а с центром в точке г = 0. В результате прямых вычислений и применения формулы для дивергенции имеем

/ = ^ (V/ • dS) — а2 ydl/ = 4冗一аае~аа — а? \ e^r4nr2 dr. о

В предельном случае, когда а—>0,

/ = 一 4冗.(2)

Учитывая совместно (1) и (2), получаем

W, 一a2, = 一4,6(г).

(Более подробное решение см. в задаче II. 2.1, разд. «Электричество и магнетизм».)

Координаты % н у материальной точки зависят от L, 九(/)и е：

%= Lsin 9,

у = h Q) + L cos 9 = /z0 cos со/ + ^ cos 0.")

Дифференцируя выражения (1) по /, получаем

* = 0厶 cos 9,

0 n —(①饱 sin з/ + QL sin 9),⑵

Кинетическая энергия материальной точки записывается в виде 7 =号停+力)=

=£ (б?/? cos2 0 + б?厶2 sin2 0 + co2fto sin%/ + 2(0瓦@£ sin 0 sin(o/)= =-у (泣2 + 6 届 sin2 皿 + 2叫。厶 sin 0 sin(0/).(3)

Потенциальная энергия

V = mgy = mg (Ло cos со? + 厶 cos 0).(4)

Составляем лагранжиан системы:

2 = Т — V = ^ [О?厶2 + б届 sin2 со/ + 2(0%0厶 sin 9 siiwZ —

——2g (Ло cos о/ + L cos 9)].(5)

Подставляя его в уравнение Лагранжа

4一包=0,di \д0 J 38

находим уравнение движения

L20 + d/ioL sin 0 cos со/ + o/z0L9 cos 9 sin(of ——

—o/zoL0 cos 9 sin 皿一gL sin 9 = 0, или

丄百 + d/zo sin 9 cos W — g sin 9 = 0.

Рассмотрим случай малых колебаний. Перейдем к переменной # = 8 — л； тогда можно написать

sin 9 = — sin В' q — В',и последнее уравнение движения принимает видL* + (g — s^o cos со/) 1 = 0.

Если шарнир закреплен неподвижно, т. е.九。=0, то полученное уравнение совпадает с уравнением движения математического маятника.

а) Нет, часы будут показывать разное время благодаря действию следующих эффектов:

ускорения Кориолиса —2о)X v,

ослабления гравитационного притяжения с ростом высоты.

центростремительного ускорения —v4\/rf

сил трения между воздухом и маятником,

релятивистского эффекта 2 = t/“l — (и/с)2,

ускорения при взлете и посадке,

ускорения, связанного с орбитальным движением Земли, и т. д.

В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему с началом координат в центре Земли. В этой системе кориолисова сила отсутствует. Действующее ускорение свободного падения ^эфф для объекта, движущегося вблизи земной поверхности с угловой скоростью ю, дается выражением

еэфф =—喘 R —ft)X(«XR) = (—體 + o)2R)頁曰一g頁，

g^xb=g =賢一8纸 =go 一①2R,

где go = GM/R2.

Период колебаний математического маятника равен, как известно, 7 = 2jt，L/g, где 厶一длина маятника, которую мы считаем неизменной. Угловая скорость самолета 3, летящего на запад, в инерциальной системе равна нулю. Поэтому период колебаний маятника в нем

=2冗/丄 a/——!——=(2) V g V 1+ 炉^历 〃i + gRig '' '

здесь Го = 2л VL/g — период колебаний часов, оставленных в аэропорту. Угловая скорость самолета В, летящего на восток, вдвое превышает угловую скорость вращения Земли. Следовательно,

Тв = 2Л/\/Т77 == 2л А /=

V go — 4(0欢V g — 3g)2R

=2冗“亍d1 — 3(d2R/g=2冗“亍d1 — 3(d2R/gт。7\ 一 3s2R/gт。7\ 一 3s2R/g(3)(3)

=2冗“亍d1 — 3(d2R/g

=2冗“亍d1 — 3(d2R/g

т。

7\ 一 3s2R/g

т。

7\ 一 3s2R/g

(3)

(3)

Учитывая, что g)2R《g, периоды колебаний обоих маятниковых часов в летящих самолетах можно приближенно представить следующими выражениями:

7 — 77①2R Т I 3 AT

Гв = Го + у 2 0 go 一 ①2R = То + ―厂

/Т1/Т1] т/ 3/ 02* / 0/Т1/Т1] т/ 3/ 02* / 0

/Т1/Т1] т

/ 3/ 02* / 0

/Т1/Т1] т

/ 3/ 02* / 0

Подставляя сюда g = go ——a)2R = 9,8 м/с2, R = 6・ 10° м и Го = =24 ч и учитывая, что з = 2л/То> получаем

_4冗2.6・ 106_

АТ — 9.8 • 24 • 3600 — 280 С.

Поскольку 仆 > То, часы В идут медленнее часов А, а поскольку 73 V То, часы Тз идут быстрее. По прибытии самолетов в аэропорт часы В отстанут на 420 с, а часы 3 уйдут вперед на 140 с относительно часов А, оставленных в аэропорту.

Поскольку Солнце представляет собой однородный шар, то сила равна

⑴

Согласно общей теории относительности, гравитационный потенциал записывается в виде

GM [ Л/с、

一屮=丁 +声，⑵

где Л может зависеть только от с, О и М.

Пусть. Z)(Л) — размерность параметра А. Из (2) приходим к следующему соотношению:

D(A)^D(GMr).(3)

Используя соотношение

D (0^) = D (тс?)三 D (энергия), получаем

Q⑺= Q(*・⑷

Из (3) и (4) имеем

Q(4) = Q(*・ Следовательно,

Отношение второго члена к первому в формуле (2) равно GM ___1,3 • 1026〜

1,5 • 1013.9 • 1020 Q.

Для Земли эта величина очень мала. Только для Меркурия эта поправка является ощутимой.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

ЗАДАЧИ

1.1 (20 баллов).

Каково отношение толщины скин-слоя в меди на частоте 1 кГц к его толщине на частоте 100 МГц?

Чему равна напряженность электрического поля в лазерном пучке при плотности энергии в нем 106 Дж/см3? в) Как связаны между собой параметры R, L и С последовательного колебательного контура в случае критического затухания?

1.2 (20 баллов). Предположим, что электрон колеблется с частотой со = 1015 рад/с. Начальная амплитуда 4 = 10-8 см.

Вычислите энергию, излучаемую электроном за один период.

Чему равно отношение энергии, излучаемой за один период, к средней механической энергии электрона?

За какое время т энергия электрона уменьшится вдвое?

1.3 (20 баллов).

Чему равна энергия взаимодействия двух параллельных диполей, расположенных на расстоянии d друг от друга? Предположите, что вектор, соединяющий оба диполя, перпендикулярен направлениям их дипольных моментов.

Две проводящие сферы (радиусом R каждая) помещены в однородное электростатическое поле Е, направленное перпендикулярно линии, соединяющей обе сферы. Расстояние между центрами сфер равно d. Определите силу взаимодействия между сферами, считая R d.

1.4 (20 баллов). Имеется цилиндр радиусом а и длиной L, однородно заполненный полностью ионизованным газом, текущим со скоростью V вдоль оси цилиндра, с плотностью электрического заряда р.

Определите магнитное поле на расстоянии г от оси цилиндра. (Краевыми эффектами пренебречь.)

Предположим, что в цилиндр инжектируется параллельный пучок быстрых протонов массой т и начальной скоростью Н, направленной параллельно оси цилиндра. Такую систему можно использовать для фокусировки про-

тонов в некоторую точку, расположенную на оси цилиндра. Определите фокусное расстояние 力 предполагая L《f и пренебрегая электростатическими и релятивистскими эффектами. (Фокусное расстояние f ——это расстояние от конца цилиндра до фокуса.)

(20 баллов). Вычислите поле равномерно движущегося точечного заряда, применяя к 4-вектору потенциала (Лх, Ау, A%, iV) преобразование Лоренца от системы отсчета, связанной с зарядом, к лабораторной системе отсчета.

(15 баллов). Докажите, что V2 -ру = —4л6(г).

П. 2.2 (15 баллов). Четыре положительных заряда и столько же отрицательных зарядов расположены по одному в вершинах куба. Знаки зарядов чередуются от вершины к вершине, так что ближайшие к каждому заряду три других заряда противоположны ему по знаку. Как зависит от расстояния результирующее электростатическое поле в точках, значительно удаленных от этой системы?

(15 баллов). Два электрических диполя, расположенные на оси х и противоположно ориентированные вдоль оси 2, осциллируют точно в противофазе. Их х-координаты отличаются на 入/2. Вычислите вектор Пойнтинга на больших расстояниях от этой системы.

(15 баллов). Две одинаковые круговые петли из сверхпроводника, обладающие каждая индуктивностью L, расположены коаксиально на большом расстоянии друг от другас В каждой петле в одном и том же направлении течет ток /. Петли затем совмещают. Каков будет результирующий ток 厶，2 в каждой петле? Чему равны энергии системы в исходном и конечном состояниях? Какие переходы энергии при этом происходят?

(15 баллов). В изображенной ниже электрической цепи, запатентованной Штейнмецем !), частота приложенного переменного напряжения V равна(о = 1/«厶С . Определите зависимость тока, протекающего через резистор, от этого напряжения и параметров цепи.

П.2.6 (15 баллов). Плоская электромагнитная волна падает нормально на проводник, диэлектрическая и магнитная проницаемости которого принимаются такими же, как у свободного пространства. Частота волны и проводимость проводника таковы, что величины токов проводимости и смещения внутри проводника равны друг другу. Определите коэффициент отражения волны, т. е. отношение энергии отраженной волны к энергии падающей волны.

П.2.7 (10 баллов). Незаряженная проводящая сфера помещена в однородное электрическое поле. Запишите в полярных координатах возмущение поля, вызванное сферой, в произвольных точках пространства вне сферы.

П.3.1 (20 баллов). Согласно классической теории, электрон вращается по круговой орбите вокруг протона. Исходя из классической теории излучения, получите дифференциальное уравнение, описывающее изменение энергии электрона. Используя найденное уравнение, вычислите ориентировочно время «падения» слабо связанного (почти свободного) электрона на первую боровскую орбиту.

П.3.2 (20 баллов). Какому распределению зарядов соответствует сферически симметричный потенциал }(/•)= е~入「〃？

П.3.3 (10 баллов). Плоская электромагнитная волна с напряженностью электрического поля Е = 106 ед. СГСЭ падает

1 Чарлз (Карл) Штейнмец (1865—1923)—широко известный на рубеже XIX—XX вв. теоретик и практик в области электротехники. — Прим, перев.

нормально на плоскую поверхность диэлектрика, диэлектрическая проницаемость которого 8 = 1,44. Вычислите давление волны на поверхность. (Показатель преломления 〃 полагайте равным Vе •)

П.3.4 (20 баллов). Обкладки конденсатора (см. рисунок) представляют собой два концентрических цилиндра радиусами П и 厂2 (厂1 V 厂2) и длиной L》厂2・ Область, ограниченная радиусами Г\ и 广3 = “广1尸2， заполнена диэлектриком с диэлектрической постоянной К (в образовавшемся зазоре — воздух).

Какова емкость такого конденсатора?

Чему равны величины Е, Р в D внутри диэлектрика (门 V 广 V 广з) и в воздушном зазоре (「з V 厂 V「2) на расстоянии г от оси конденсатора, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна V?

Какую работу нужно затратить, чтобы удалить из конденсатора диэлектрик при условии, что разность потенциалов на обкладках конденсатора поддерживается постоянной?

(10 баллов). На кольцевой железный сердечник радиусом d и площадью поперечного сечения Л (d2 S Л) намотана катушка из ^ витков провода. Предположите, что магнитная проницаемость железа 卩=const》1.

Как зависит магнитный поток в сердечнике Ф = = ^BndA от тока /, протекающего через катушку?

Если в сердечнике сделать зазор шириной 3 (62 ^ Л), то каким станет магнитный поток при той же величине тока /?

Какова энергия магнитного поля в сердечнике, в зазоре?

Вычислите индуктивность катушки при наличии зазора.

(20 баллов). Круговая петля радиусом а расположена концентрически в плоскости другой, значительно большей петли радиусом Ь(а《匕)・ Большая петля закреплена неподвижно, и по ней протекает постоянный ток /, а меньшую петлю вращают вокруг диаметра с угловой частотой о) (ее электрическое сопротивление равно R, а индуктивность пренебрежимо мала).

Определите, как зависит ток в малой петле от времени.

Найдите, какой момент силы должен быть приложен к малой петле, чтобы привести ее во вращение с указанной частотой?

Определите э. д. с., индуцируемую в большой петле» как функцию времени.

(5 баллов). Вычислите энергию взаимодействия Е трех зарядов q, g н —g, расположенных в вершинах равностороннего треугольника с длиной сторон а.

(5 баллов). Каков порядок величины отношения сил электростатического и гравитационного притяжения между протоном и электроном?

(5 баллов). Точечный заряд q находится на расстоянии d от проводящей плоскости. Какую энергию нужно затратить, чтобы удалить его на бесконечное расстояние от плоскости?

(5 баллов). Некоторое распределение зарядов создает однородное электрическое поле £о, направленное по оси %. В это поле в плоскости % = 0 вводят тонкую пластинку с поверхностной плотностью заряда о. Предполагая, что введение пластинки не нарушает исходного распределения зарядов, найдите результирующее поле по обе стороны от пластинки.

(5 баллов). Рассмотрим две концентрично расположенные металлические сферы радиусами 厂】и г2 (厂2 ＞「】)• Наружная сфера несет заряд q, а внутренняя сфера заземлена. Чему равен заряд на внутренней сфере?

(5 баллов). Определите распределение магнитного поля внутри длинного прямолинейного однородного проводника радиусом R, по которому течет ток /.

(5 баллов). На два одинаковых железных тороидальных сердечника намотано соответственно N п 2N витков одного и того же провода. Предположим, что на вторую обмотку ушло ровно вдвое больше провода, чем на первую. Соединим обе обмотки последовательно. Каково будет отношение напряжений на обмотках, когда в них течет

постоянный ток?

переменный ток высокой частоты?

(5 баллов). На расстоянии d от плоской границы среды из мягкого железа, заполняющего полупространство, расположен параллельно ей тонкий длинный проводник с током /. Предположите, что магнитная проницаемость железа бесконечно велика (卩=8). Определите силу, действующую на единицу длины проводника. Является ли она притягивающей или отталкивающей?

(5 баллов). Однородно намагниченная бусинка объемом V расположена в центре круговой петли радиусом г, по которой протекает ток /. Магнитный момент единицы объема бусинки направлен параллельно плоскости петли и равен М. Определите вращающий момент, действующий на петлю.

(5 баллов). К рельсам железнодорожного пути, изолированным от земли и друг от друга, подключен милливольтметр. Определите его показания, когда по ним идет поезд со скоростью 180 км/ч. Предположите, что вертикальная составляющая магнитного поля Земли равна 0,2. Гс, а расстояние между рельсами L = 1 м.

(5 баллов). Электрический диполь р помещен в постоянное электрическое поле Е под углом а к направлению поля. Какую нужно затратить работу, чтобы повернуть диполь вокруг перпендикулярной ему оси на 180°?

(5 баллов). В однородное электрическое поле £0 вдоль его направления помещен очень длинный тонкий стержень с диэлектрической проницаемостью К. Определите напряженность поля Е и электрическую индукцию D внутри стержня.

(5 баллов). Как связаны между собой параметры R,厶 н С последовательного колебательного контура в случае критического затухания?

(5 баллов). Освещенность земной поверхности равна в среднем 1,3 • 103 Дж/(м2»с). Каковы амплитуды полей Е в В/м и В в Вб/м2, если предположить, что земная поверхность освещается монохроматическим светом?

(5 баллов). На границе раздела двух диэлектриков имеется поверхностный заряд плотностью о. Напишите граничные условия для компонент вектора напряженности электрического поля.

(5 баллов). Как зависит от расстояния г потенциал электрического поля диполя?

(5 баллов). Чему ориентировочно равна напряженность магнитного поля Земли на ее поверхности?

(5 баллов). Чему равен электрический потенциал внутри изолированной проводящей сферы радиусом R, которой сообщен заряд Q?

(5 баллов). Напишите выражения для плотностей энергии и импульса электромагнитного поля в вакууме.

(5 баллов). Определите величину и направление вектора Пойнтинга на поверхности длинного прямолинейного проводника кругового сечения, по которому течет постоянный ток /. Радиус провода 力，а сопротивление провода на единицу длины равно R.

(5 баллов). Каким сопротивлением — емкостным или индуктивным ——обладает параллельный LC-контур на частоте со ниже резонансной ①о?

(5 баллов). Определите силу, действующую на электрический диполь в однородном электрическом поле.

(5 баллов). ^ идентичных конденсаторов соединены параллельно и подключены к источнику напряжения V. Затем их отключают от источника, разъединяют и, не разряжая, вновь соединяют, но последовательно. Определите результирующее напряжение на конденсаторах.

(5 баллов). Две одинаковые катушки, каждая из которых обладает индуктивностью 厶，соединены последовательно и расположены так близко друг от друга, что магнитный поток одной катушки полностью пронизывает другую. Чему равна общая индуктивность такой цепи?

(5 баллов). Изолированный металлический объект заряжают в вакууме до потенциала 匕)，и он запасает электрическую энергию 历о. Затем объект отключают от источника потенциала (заряд объекта при этом не изменяется) и погружают в диэлектрическую среду, занимающую большой объем и характеризуемую диэлектрической проницаемостью К. Какова будет теперь энергия электрического поля?

(5 баллов). Как изменяется с расстоянием 厂 от источника напряженность электрического поля сферической электромагнитной волны при больших значениях г?

(5 баллов). Электромагнитная волна падает нормально на идеальную проводящую поверхность. Изменяются ли при отражении волны фазы векторов Е и Н на 180°? Если да, то какого из них?

(5 баллов). Центры двух металлических сфер радиусом R каждая отстоят друг от друга на расстояние d (d> 2R). Заряд одной из сфер равен Q, а другой ——Q. Будет ли сила взаимодействия между ними больше, равна или меньше силы взаимодействия точечных зарядов Q и ——Q, разнесенных на то же расстояние d?

(5 баллов). Напишите выражение для силы взаимодействия (отнесенной к единице длины) двух длинных параллельных проводов с токами /, текущими в одном и том же направлении; расстояние между проводами d. Является ли эта сила притягивающей или отталкивающей?

(5 баллов). Лабораторный кольцевой электромагнит имеет диаметр полюсов сердечника 15 см, воздушный зазор между ними 1 см и длину магнитопровода 1 м. Обмотка магнита состоит из 22 000 витков медного провода.

Вычислите магнитную индукцию в зазоре в единицах Вб/(м2.А), т. е. отнесенную к току 1 А, при условии, что начальная магнитная проницаемость сердечника равна 1000.

При токах свыше 0,5 А происходит насыщение сердечника. Оцените магнитную индукцию в зазоре при токе 1 А, пользуясь приведенным на рисунке графиком В(Н).

(20 баллов). Рассмотрим простой преобразователь электрической энергии в механическую, схематически показанный ниже на рисунке. К источнику напряжения V подключены два длинных параллельных проводника с нулевым сопротивлением, расположенных на расстоянии / один от другого. Их замыкает скользящий вдоль них стержень, обладающий сопротив-

лением R, который движется параллельно самому себе и остается перпендикулярным проводникам. Перпендикулярно плоскости проводников приложено внешнее однородное магнитное поле В.

СтерженьСтерженьПроводникПроводник

Стержень

Стержень

Проводник

Проводник

++х хх ххх хх ххXXXXXXXXXXхXX X XхXX X XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXх х х ххх х х ххXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX X

+

+

х х

х х

х

х х

х х

х

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

х

X

X X X

х

X

X X X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

х х х х

х

х х х х

х

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

Проводник * 况

Чему равна установившаяся скорость стержня в отсутствие внешней механической нагрузки?

Получите выражение для скорости движения стержня в зависимости от времени, считая массу стержня равной а началом движения момент f = 0.

Определите установившуюся скорость стержня в случае, когда к нему приложена сила 尸 в направлении, противоположном движению.

Чему в случае《в》равен к. п. д. преобразователя, т. е. какая часть электрической энергии, отбираемой от источника напряжения, преобразуется в механическую работу?

П. 5.12 (20 баллов). Пластинами плоского конденсатора служат два диска радиусом г0 с небольшим зазором шириной d (d《「o)・ Пластинам сообщены заряды Qo и —Qo. В момент времени / = 0 центры пластин соединяют тонким прямым проводом, имеющим сопротивление R. Пусть R столь велико, что индуктивностью цепи можно пренебречь, а поле между пластинами в любой момент времени можно считать однородным.

丨 i I II i I III

〃Сопротивление R

Will」’■'! "Ill

Найдите зависимость заряда на каждой пластине конденсатора от времени.

Определите ток /(/), протекающий через круговое сечение радиусом р (р < го) любой из пластин. (Сечение

является концентрическим относительно пластины конденсатора.)

Получите зависимость магнитного поля между пластинами от времени и от радиальной координаты.

Объясните подробно, почему только азимутальная компонента магнитного поля отлична от нуля.

II.5.13 (10 баллов). Световая волна имеет частоту f = =4-1014 Гц и длину волны Z = 5 -10~7 м. Какова скорость распространения этой волны? Чему равен показатель преломления среди п, в которой она распространяется? Какова длина волны света 九о, после того как он вышел из данной среды и стал распространяться в воздухе?

П.6.1 (20 баллов). Система, показанная на рисунке, состоит из двух плоских проводящих пластин длиной /, шириной b (в направлении, перпендикулярном рисунку) и зазором а между ними (о《Ь,/). Справа пластины закорочены, а слева к ним мгновенно подключают источник напряжения У。. Будем предполагать, что ток в пластинах протекает только по направлению /. Всеми сопротивлениями и всеми эффектами, связанными с конечной скоростью распространения электромагнитных полей, можно пренебречь.

Определите зависимость магнитного поля В в зазоре между пластинами от тока /, протекающего в цепи.

Чему равна индуктивность цепи?

Найдите зависимость тока в цепи от времени.

Чему равно напряжение на пластинах на расстоянии х от закороченного конца?

Каков поток энергии в системе на расстоянии х от закороченного конца?

П.6.2 (20 баллов). В двух круговых петлях радиусами R и расстоянием между центрами 厶(X》R) протекают в одном и том же направлении равные токи /. Определите вращательный момент, действующий на петли и силу взаимодействия между ними

в зависимости от угла 0, образованного осями петель с направлением L.

П.6.3 (10 баллов). Длинный провод изогнут подобно шпильке для волос, как показано на рисунке. Получите точное выражение для магнитного поля в точке Р, находящейся в центре полуокружности.

(20 баллов). Определите самую низкочастотную моду электромагнитных колебаний в прямоугольном объемном резонаторе со сторонами а > b > d и идеально проводящими стенками. Найдите соответствующую ей резонансную частоту и опишите зависимость поля от пространственных координат.

(20 баллов). Плоская электромагнитная волна частотой о)падает нормально на поверхность немагнитного металла, имеющего проводимость о.

Напишите дифференциальное уравнение в частных производных для магнитного поля внутри металла. Частоту о)считайте достаточно низкой, так что токами смещения внутри металла можно пренебречь.

Задайте граничные условия для тангенциальных компонент Et и m электрического и магнитного полей на поверхности.

Пользуясь формулой E£ = ZH»Xn, где п — единичный вектор нормали к поверхности, найдите выражение для поверхностного импеданса Z(o, со).

(10 баллов). По прямолинейному круглому проводу с однородной проводимостью о и площадью поперечного сечения Л течет постоянный ток /. Определите направление и величину вектора Пойнтинга на поверхности провода. Возьмите интеграл от нормальной компоненты вектора Пойнтинга по поверхности

провода на отрезке длиной L и сравните полученный результат с количеством джоулева тепла, выделяемого током на этом отрезке.

(20 баллов). По центральному проводнику длинного коаксиального кабеля (на рисунке показано поперечное сечение такого кабеля) и по наружному цилиндрическому проводнику текут одинаковые по величине, но противоположно направленные токи /.

Определите распределение магнитного поля в четырех различных областях:

1) г <а,2) а<г <Ь,

b <r < с,4) г> с.

Вычислите индуктивность L отрезка этого кабеля длиной 10 см (толщиной цилиндрического проводника можно пренебречь, полагая с》а и с&с — b).

(20 баллов).

«Черный ящик» содержит источники неизвестного напряжения и резисторы с неизвестными сопротивлениями. Схема соединения их не дана. Известно лишь, что если подключить к выходным клеммам черного ящика

резистор с сопротивлением R = 10 Ом, то через него будет протекать ток силой 1 А, а при подключении резистора с сопротивлением R = 18 Ом ток составит 0,6 А. Определите, какое сопротивление должен иметь подключенный резистор, чтобы ток стал равным 0,1 А.

верный 兄以〃х"

Предложите простой фильтр, способный сильно ослабить пульсации напряжения частотой 60 Гц на выходе электрической цепи, приведенной на рисунке 】)•

(20 баллов). Центры двух магнитных диполей 模】и 卩2 находятся на фиксированном расстоянии г друг от друга. Диполи могут свободно вращаться вокруг своих центров.

Покажите расположение диполей, соответствующее максимальной энергии Емакс взаимодействия между ними, и вычислите эту энергию.

Покажите взаимное расположение диполей, соответствующее минимальной энергии £мин, и вычислите эту энергию.

(10 баллов). Конденсатор С = 1 мкФ мгновенно подключают к источнику постоянного напряжения Vo = 100 В через

I) Для определенности предположите, что к входным клеммам подключен либо генератор тока (обладающий, согласно определению, бесконечным внутренним сопротивлением), либо генератор э. д. с. с конечным внутренним сопротивлением. ——Прим, перев.

резистор R = 100 Ом. За какой промежуток времени конаенса、 тор зарядится до напряжения 50 В?

7.5 (10 баллов). Электрон влетает в однородное магнитное поле // == 10 Э под углом 45° со скоростью у = 104 см/с. Рассчитайте полностью все последующее движение электрона. (Имейте в виду, что нужно получить точные количественные характеристики этого движения.)

7.6 (20 баллов). Длинный прямолинейный проводник радиусом а имеет внутри круглое отверстие радиусом 6, вытянутое параллельно оси проводника, но смещенное относительно этой оси на расстояние % причем Ь -\- с < а. В проводнике течет ток /, равномерно распределенный по его сечению. Определите магнитное поле в произвольной точке пространства.

(20 баллов). Пластмассовый диск диаметром D = 2 см, высотой ft = 1 см и плотностью р = 1 г/см3 плотно огибает рамка из латунного провода с общим сопротивлением R = 1 Ом, В подвешенном состоянии эта система представляет собой крутильный маятник без трения с периодом колебаний Т = 10 с. В исходном состоянии диск покоится в однородном магнитном поле В = 10 000 Гс, направленном параллельно плоскости рамки (как показано на рисунке). В момент f = 0 переключатель S

переводят в положение М, и на рамку подается напряжение Ио = 0,1 В. Затем в момент времени t =Т\ = 10~4 с переключатель ставят в исходное положение М Определите зависи

мость амплитуды колебаний маятника (в радианах) от времени t.

(20 баллов). Имеется ящик, снабженный двумя клеммами. Известно, что в нем находятся катушка индуктивности с пренебрежимо малым сопротивлением, конденсатор и резистор. Если на клеммы подать постоянное напряжение 100 В, то через них потечет ток силой 0,1 А. При подаче же на них переменного напряжения 100 В частотой 60 Гц ток равен 1 А. Если амплитуду переменного напряжения поддерживать постоянной, а частоту его повышать, то при частоте 1000 Гц ток очень сильно возрастает. Как соединены упомянутые три элемента внутри ящика и каковы значения их параметров?

(20 баллов). Исходя из уравнений Максвелла, получите выражение, описывающее распространение плоской электромагнитной волны с частотой ① в неограниченной среде, имеющей проводимость о, диэлектрическую и магнитную проницае* мости £ и 卩.

II. 8.4 (10 баллов). Какой минимальной энергией (в МэВ) должен обладать протон, чтобы при столкновении его с дейтро* ном образовалась пара протон — антипротон?

II. 8.5 (10 баллов). Катушку индуктивности 厶 мгновенно подключают через резистор R к батарее с напряжением V. Определите стационарное значение тока в цепи. Через какой промежуток времени ток в цепи нарастет до половины стационарного значения?

II.8.6 (20 баллов). Запишите выражения для скалярного и векторного потенциалов, соответствующие следующему магнитному полю:

В =力("+ 4).

II.9.1 (15 баллов). В длинной трубке, содержащей полностью ионизованный газ (водород), вдоль ее оси движутся электроны со средней скоростью 105 см/с, образуя цилиндрический пучок диаметром 50 см. Полный ток пучка равен 104 А. Определите величину и направление силы 尸,действующей на отдельный электрон на боковой поверхности пучка.

II.9.2 (20 баллов). Эффективная проводимость среды, содержащей ^ электронов в одном кубическом метре, определяется формулой о =——INе216m, где с и т — заряд и масса электрона. Пользуясь уравнениями Максвелла, получите выражение для скорости распространения электромагнитных волн в этой среде, а из него ——показатель преломления среды. Объясните, как эта задача связана с отражением радиоволн от ионосферы.

II. 9.3 (10 баллов). Электрическая цепь подключена к источ

нику напряжения V. Определите электрическую энергию, запасенную в этой цепи.

II.9.4 (5 баллов). Чему равна (с точностью до двух порядков) величина остаточного давления газа внутри электронной лампы в миллиметрах ртутного столба?

II.9.5 (20 баллов). Прямоугольная замкнутая проволочная рамка имеет высоту Н и ширину W. В момент времени f = 0 она начинает свободно падать. В начальный момент времени нижняя сторона рамки находится на высоте h над плоскостью у = 0. Выше этой плоскости магнитное (и электрическое) поле отсутствует, а ниже ее имеется однородное магнитное поле В, перпендикулярное плоскости рисунка и направленное на читателя. Масса рамки т, сопротивление R. Определите движение рамки во времени. Найдите скорость рамки и и постройте ее 4*

зависимость от времени f. Особый интерес представляет движение в промежутках времени от / = 0 до 介，от 厶 до /2 и при t > 勾.Как изменится движение рамки, если увеличить пропорционально размеры Н и W, оставляя неизменной толщину провода, из которой сделана рамка?

У

II. 9.6 (10 баллов). Точечный заряд q (измеряемый в кулонах) расположен на расстоянии d от неограниченной проводя' щей заземленной пластины. Восстановите нормаль от поверхности пластины к точке расположения заряда. Найдите плотность зарядов, индуцированных на поверхности пластины, как функцию расстояния г от этой нормали.

II.9.7 (20 баллов). Пластины плоского конденсатора, имеющие форму квадрата со стороной 1 м, расположены на расстоянии 1 см друг от друга. Разность потенциалов между пластинами 1000 В.

Определите силу (в ньютонах), действующую между пластинами.

Пренебрегая краевыми эффектами, вычислите плотность заряда на пластинах (в кулонах на квадратный метр).

10.1 (20 баллов). При комнатной температуре измеряют проводимость следующих материалов: меди высокой чистоты, германия м-типа и ниобия. Затем образцы погружают в жидкий гелий (при температуре 4 К) и снова проводят измерения. Изменится ли проводимость каждого материала? (Дайте лишь качественное объяснение.) В какую сторону? Почему?

10.2 (20 баллов). По тонкостенному проводящему цилиндру диаметром 10 см течет ток. Этот цилиндр расположен внутри другого проводящего цилиндра диаметром 20 см. Оба цилиндра являются концентрическими.

Вычислите индуктивность единицы длины такой системы, предполагая, что по внешнему цилиндру течет такой же по величине ток, что и по внутреннему цилиндру,

но в противоположном направлении и что оба цилиндра являются частью последовательной электрической цепи.

Выясните, стремится ли сила, действующая на внешний цилиндр, расширить или сжать его. (Обоснуйте ваш ответ.)

10.3 (20 баллов). Электрический заряд Q расположен на одном и том же расстоянии d от двух взаимно перпендикулярных бесконечных проводящих плоскостей. Определите потенциал поля в произвольной точке пространства.

10.4 (20 баллов). Тороидальный сердечник изготовлен из согнутого в кольцо стержня диаметром 1 см и длиной 1 м. На него равномерно намотана обмотка с плотностью 100 витков/см. Магнитную проницаемость стержня считайте равной проницаемости свободного пространства.

Каково магнитное поле в сердечнике, если через обмотку течет ток силой 100 А?

Найдите индуктивность обмотки (в генри), предполагая, что намотка является очень плотной и ее толщиной можно пренебречь;

Вычислите электрическую энергию, затрачиваемую на создание магнитного поля в сердечнике при токе силой 100 А;

Определите по известным значениям В п И энергию магнитного поля, сосредоточенного в сердечнике.

Пренебречь радиальным изменением поля, считать его однородным и равным по величине полю в центре сердечника. Указать всюду единицу измерения.

10.5 (20 баллов). Два конденсатора различной емкости Ci и С2 заряжены порознь от одного и того же источника напряжения V. Затем положительно заряженную обкладку одного конденсатора соединяют с отрицательно заряженной обкладкой другого конденсатора. Оставшиеся свободными обкладки затем соединяют между собой.

Определите результирующий заряд на каждом конденсаторе.

Вычислите изменение энергии электрического поля.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

1.1.

Толщина скин-слоя определяется выражением

6 = с/д/2^но)а,

т. е. она обратно пропорциональна квадратному корню из частоты. Следовательно, мы имеем

济/画=«①2/^1 = V108/103300.

Плотность энергии лазерного луча связана с пиковым значением электрического поля Е соотношением

Плотность энергии = £2/8л.

Отсюда находим Е = д/8冗• 10^ =1,6-107 ед. СГСЭ==4,8- 10й В/м.

Уравнение колебательного контура записывается в виде

厶*+(1)

Дифференцируя его по времени £, получаем следующее уравнение:

十可=°，aa)

Ищем решение в виде

I = AQe-i6tt

После подстановки его в уравнение получаем

L32 + r3力一_^ = 0.

Решения последнего уравнения записываются в виде

&一 浓 士 “一 R2 + ”/C

3 =-

Критическому затуханию соответствует условие

R2 — 4〃c = 0・

1.2. Пусть

x = 4sin(oL

Тогда энергия колебаний электрона массой m равна

Е = у тЛ2(о2,(1)

откуда находим

Л = V 2Е1пг&・(2)

Мощность излучения дается выражением

для А⑷для А⑷將=一/歯2，⑶

для А

⑷

для А

⑷

где а = —Л(о2 sin со/. Подставляя сюда выражение (2) и усредняя по периоду, получаем

dE 2。2 14 2Е2 е2о2 口

Следовательно, энергия электрона зависит от времени / следующим образом:

e = 国eхp (-寮小⑸

аe比加＜筹» =誓奈0234 =

—2冗展2(1)3 — Ю-16.2Л (4,8)2- 1O-20. 1045

=3?=3-27- 1030=

=1,8・ 10-21 эрг = 1,1 • 10-9 3В.

Средняя механическая энергия электрона равна сумме средней кинетической и средней потенциальной энергий. Находим

£ = у 恤2 = у т^(з^\

здесь и =(оЛ — максимальная скорость электрона. Отношение излучаемой за период энергии к средней механической энергии составляет

А£ 2л Л2 2 42_ 4ле2о _ 4л (4,8)2 • 1О~20 • 1015□ Q ^-8

Искомое время т можно найти из выражения (5), полагая в нем £ = Ео/2:

«1,1 • IO" &«1,1 • IO" &0,69.3.27» Ю30.9,1 . 10"~28

«1,1 • IO" &

«1,1 • IO" &

2爲2 °—2 (4,8)2. IO*。, юз。

П.1.3.

Потенциал точечного заряда как функция расстояния г записывается в виде

(И(ИV = q/r.

(И

(И

Дифференцируя это выражение по —%, получаем потенциал диполя, ориентированного в направлении оси х:

— dV Л — xq Ах — P cos 0一石/"3 - = -^-

где Р = q Nx ——дипольный момент. Электрическое поле диполя имеет вид!)

匸 Р sin 8 R . 2Р cos е с

Ed = • к Н—Г1,

где 01 и ?1 — единичные векторы. Принимая теперь 0 = 90° н 厂=d, находим потенциальную энергию взаимодействия двух параллельных диполей

呼=—р • Ed = P/d.

Дипольный момент проводящей сферы, помещенной в однородное электрическое поле £, равен R3E, где R — радиус сферы. Сила взаимодействия двух сфер 尸=——dWjdr, или

F = (Е/?з)2糸= 3?『.б (отталкивающая).

II.1.4.

Согласно закону Ампера, мы имеем §B・dS = */;

здесь / ——полный ток, проходяш(ий через ограниченную замкнутым контуром поверхность. Подставляя / = рулг2 и учитывая независимость магнитного поля В от углов, получаем

2nzB =pon「2,

откуда

Пусть 6 = 2лру/с. Сила, действующая на протон, движущийся со скоростью Vх на расстоянии г = у0 от оси цилиндра, равна

eVfB ед Г

F = m ==

dtсс

Отсюда находим

После интегрирования получаем

% =⑴

Следовательно,

аед Г ,2 ед Г / L \2。6 厶 2

В случае L《/ величина Ад очень мала по сравнению с %, и направление движения протона при выходе его из цилиндра определяется соотношением

务=千.⑵

Подставляя сюда выражение (1) для vy, находим

,— mcVf — me — /ис2『— тс? 广.

'—先 e 6 9ob'f — e 6 f — 2npeoL — 2nep厶 о '

здесь для получения окончательного результата мы использовали следующие подстановки: t =厶/У и б = 2при/с.

1.5.

Обозначим через Oxyz лабораторную систему отсчета, а через OQx^yQ^ ——систему отсчета, связанную с движущимся зарядом (который поместим в начало отсчета 0°). Потенциалы точечного заряда в системе 0°%°y°z° определяются выражениями !)

4?=蜀=德=0 и 丿° = М,

Предложенное автором решение заменено более общим и одновременно более компактным. На рисунке, воспроизводимом без изменений, показано положение точки 尸 с координатами (Ь, 0, 0), в которой ранее отыскивались поля. Чтобы определить поля в этой конкретной точке, достаточно в общем решении положить % = Ь, у = 0 耳 z = 0. — Прим. ped.

где

Г0 = “（%。）2 + （严2+々。）2.

Преобразования Лоренца от системы отсчета OQxQy°zQ, связанной с зарядом, к лабораторной системе Oxyz описываются с помощью матрицы

/ 1000、

°1°°

I 00Y-ZPy I

Х00/руY丿

в предположении, что система O^xQyQz^ движется относительно системы Oxyz вдоль оси z со скоростью v. Здесь у = 1/V1 —俨 а В = v/c. Применяя эту матрицу преобразования к компонен

там потенциала

получаем

4 = 0, & = 0, Az = ypV° == vPe/r0 и V == yV° = ye/rQ.Преобразования Лоренца для координат записываются в виде%0 =招 у° = у, г° = Y（2 — vt） и £° = Y（f—号）.

Используя теперь выражения:

E = — W-丄空 и B = VXA,

с dt，

находим компоненты полей Е и В, создаваемых в точке Р （х, у, г） равномерно движущимся зарядом:

" dx0% Ir0 丿dx “%2 + g2 + Y2 （2 一次）2

—уех

—[X2 + у2 + y2 （z - vt）2]^ *

У~ dy 一 丁炉 + 疗 +Y2一（2一0/）2[/2，

Е = _ 0b—ye（2 — vt）

02 С 0/ 一 [%2 + 川 + Y2 （2 一加）2]% '

Вх = ^- =

ду[X2 + D2 + Y2 （2 一。/）2]% '

=一旦=业竺

dx [%2 + 炉 + Y2（2 一 立）2步‘

当=0.

Пусть

Проинтегрируем эту функцию по объему:

/ = ^ / (г)dV = ^ V2 у dV = ^ Vy • ds (теорема Гаусса); s

здесь S — поверхность, ограничивающая объем V. В сферических координатах интеграл принимает вид

/ =——^ -^- г2 sin 0 d(p d0 = — \ \ sin 8 d(p d8 = ss

f 0, если точка r = 0 не принадлежит области У,

—I — 4л, если точка г = 0 принадлежит области V.

Мы видим, что функция f(г) является обобщенной функцией —4n6(r). Следовательно,

f(r) = V2 |||-=-4л6(г).

2.2. Один заряд создает электростатическое поле

е0 =击.

Диполь на большом расстоянии создает поле e 一学 1 dx ，

где Лх — расстояние между двумя зарядами. Чтобы найти поле £*2 двух противоположно ориентированных диполей (квадруполя), разделенных расстоянием Ny, нужно просто продифференцировать поле одного диполя £i по —у:

Аналогично определяем поле £3 восьми зарядов (октуполя), расположенных в вершинах куба:

邑=一战力AХA"

Поскольку А% = Ay = Az = const, отсюда следует, что поле 丛 обратно пропорционально 卢.

2.3. В случае дипольного излучения векторы электрического и магнитного полей в волновой зоне можно найти по формулам

°eikr

E = E2(nXp)Xn —

И

В№пхр j

здесь 々=2п/九——волновое число, р — дипольный момент, а п —— единичный вектор в направлении переноса излучения, которое в нашем случае совпадает с направлением радиус-вектора к точке наблюдения. (Поля пропорциональны 1/г, поскольку их интенсивности изменяются по закону обратных квадратов. Направление переноса излучения определяется векторным произведением Е X В II п. В написанных выше выражениях для дипольного излучения один множитель k следует из разложения векторного потенциала, а другой ——непосредственно из уравнения В = V X А = ik X А.) Электрическое поле, создаваемое двумя диполями вместе, записывается в виде

A dE 次炉xetkr

Е- —(nXp)Xn —,

а индукция магнитного поля

九 dB 次川xeikr

b = 一 丁 k 公^П Хp -2—；

2 dx2

при получении этих формул мы пренебрегли всеми членами, про порциональными 1/г3. Искомый вектор Пойнтинга S на больших расстояниях от излучателей будет!)

S = *(Е'Х Вл*) ^-^^-cos0 sin20cos2(pn;

здесь cos 8 = z/r и tg 屮=у/х,

2.4. Петля из сверхпроводника обладает чрезвычайно малым сопротивлением. Поэтому в случае каких-либо изменений магнитного потока Ф, пронизывающего петлю, индуцированная в ней э. д. с. должна незамедлительно вызывать большие изменения тока, чтобы сохранить этот поток Ф неизменным. До совмещения обеих петель каждую из них пронизывал поток

①наи =/В = С/,(1)

где А一площадь петли, С — постоянная. Запишем выражение для магнитного потока, пронизывающего обе петли после их совмещения:

①к。з = e厂=0%+ /分；①к。з = e厂=0%+ /分；⑵⑵

①к。з = e厂=0%+ /分；

①к。з = e厂=0%+ /分；

⑵

⑵

Здесь /' — суммарный ток в совмещенных петлях. Из условия G^Haq ■— ^^конен имеем

дипольном приближении вычисляют не суммы напряженно-дипольном приближении вычисляют не суммы напряженно-/' = /, или /[ = /^ = //2,(3)

дипольном приближении вычисляют не суммы напряженно-

дипольном приближении вычисляют не суммы напряженно-

поскольку обе петли одинаковы. Энергию системы в исходном состоянии можно записать в виде

取 ^Т" + ^〃2=〃2・(4)

Энергию системы в конечном состоянии — в виде

^KoHe4=y^2 + y^+Wr(5)

Учитывая (3) и то, что для совмещенных петель М = L, получаем

Энергия системы уменьшилась на

^нач-^конеч = у^2.

Это уменьшение связано с преобразованием энергии поля в механическую энергию (т. е. работу против сил, например, трения или удерживающей петлю руки) и энергию излучения.

2.5. Полный импеданс электрической цепи равен】)

Z = zsL + Т/R 书価=8L + T+WF =

— R I .(oL + (sRC)2 sL —(oR2c =1 + (coRC)2 十 ％1 + (coRC)2 ・

Подставляя сюда(o = l/^/LC , получаем

Z= .也-

L + R2C (L + R2。)NlC •

I) Автор получает очень громоздкие формулы, не позволяющие раскрыть весьма интересную особенность данной электрической цепи, на которую, по-ви- димому, обратил внимание Штейнмец. Дадим более простое решение этой задачи. Для произвольной частоты(о

R— R — R ~Z~ ~~R .R —而L + R (1 — ^LC) *

十1 +而RC

В частном случае (см. условие задачи), когда(о2 = 1/LC, получаем

Ir = V］沁 L = — tvlTTi^

—ток через резистор не зависит от его сопротивления. Иными словами, рассматриваемая цепь представляет собой простейший стабилизатор переменного тока. Физика процесса очевидна: если R = 0, то ток ограничен индуктивным сопротивлением. При 0 V R V 8 ток поддерживается на том же уровне вследствие резонанса напряжений на элементах С н L; эти напряжения растут пропорционально R. — Прим, перев.

Общий ток, протекающий в цепи, равен

Через резистор протекает ток

1 + 心 RC1 + 心 RC=囁"+叫=囁"+叫/r = 1 +i(oRC /°6щ =

1 + 心 RC

1 + 心 RC

=囁"+叫

=囁"+叫

几iRL ］上J Z

L + R2c 十"(£ + R2© «无

где

— Г RL у , / L2 у 1 _.Ь^+ЫС

М — I L + R2c 丿十 Il + r2c 丿飞一 —Z + R2c—

R2 = “1+®RC)2,

6尸 arctg(%“^)6尸 arctg(%“^)62 = arctg (① RC)・62 = arctg (① RC)・

6尸 arctg(%“^)

6尸 arctg(%“^)

62 = arctg (① RC)・

62 = arctg (① RC)・

2.6. Пусть электрическое поле изменяется по закону E = E°ei(s"k・r).

Тогда для плотности тока смещения /^ имеем

780 дЕ i(08()E

4ло&о4ло&оа плотность тока проводимости равна оЕ В случае равенства обоих токов по величине

4ло

&о

4ло

&о

(1)

Определим теперь комплексный показатель преломления м:

几= }л/（ё。一器‘）同=“1 一瑞

Принимая во внимание равенство (1), получаем

〃 = “1 — 2 曰〃о(1 — /х);〃 = “1 — 2 曰〃о(1 — /х);⑵⑵

〃 = “1 — 2 曰〃о(1 — /х);

〃 = “1 — 2 曰〃о(1 — /х);

⑵

⑵

здесь м0 и х ——действительные положительные величины. Величина 乂 называется коэффициентом поглощения. Из (2) находим "0= д/"?"》^ 1」。и 乂= ,/«» ^0,414.(3)

Определим теперь коэффициент отражения. При нормальном падении волны он связан с показателем преломления следующим образом:

.九—1 |2—(佝一1)2 + 50兑)2

— («о + I)2 + (no%)2 •

Подставляя сюда из (3) значения 〃о и х, находим г = 0,047.

2.7. Введение незаряженной проводящей сферы в однородное электрическое поле вызывает такое же возмущение поля за ее пределами, как и помещенный вместо нее в точке, совпадающей с центром сферы, электрический диполь с моментом 户=R3%, Где 力—радиус сферы. Следовательно, возмущение внешнего поля в сферических координатах г, 0 и <р можно охарактеризовать полем диполя с компонентами:

匸 2PcosB宀 匸 P sin 0 a匸 八

Er =——门，Eo = —^-仇 и Еф = 0.

П. 3.1. Если электрон движется с ускорением, то он теряет свою энергию на излучение. Полная энергия электронно-протонной системы убывает со скоростью

dE 2a2镇

где а — ускорение, е — заряд электрона, а с — скорость света. Ускорение электрона а связано с радиусом г его орбиты следующим образом:

та = е2Д2, откуда

а = e^jmr2.(2)

(3) ⑷(5)(3) ⑷(5)Используя последнее выражение и учитывая, что а == у2/г, находим полную энергию электронно-протонной системы

(3) ⑷

(5)

(3) ⑷

(5)

Подставляя выражение (3) и (2) в (1), получаем

62 dr 2淤 или после очевидного упрощения

dr _ 4鼠石■ = — 3応2g3・

Интегрирование этого уравнения дает

7=i出=一穿[3产公=寄代3 一喲;

0我

здесь R — начальное расстояние между протоном и электроном, “о — радиус первой боровской орбиты.

3.2. Полагая г =# 0, запишем уравнение Пуассона в сферических координатах

V"三；备Г厂⑺+ А^⑺=一 4пр (r),⑴

где Л ——дифференциальный оператор, зависящий только от углов. В случае сферически симметричного потенциала Л7(г) = 0. Подставляя в уравнение (1) выражение для V(r) из условия задачи, получаем при г =# О

у ' 7 4лг dr4лг

Перейдем теперь к случаю г-> 0. Тогда

Но, как было показано в решении задачи II. 2.1, w；=—4П6").

Следовательно, в общем случае имеем

р(「)= 6 ⑺.

При г—>0 вклад в общий заряд дает только член 6(г), поскольку объем пропорционален г.

3.3. Пусть £\ Е‘ и Е〃 — амплитуды электрического поля падающей, преломленной и отраженной волн соответственно. Известно, что плотность импульса плоской волны дается следующими выражениями:

для преломленной волны в диэлектрике !)

4冗 с '

для падающей волны в воздухе

G2 = -^-EH)

и для отраженной волны в воздухе

G尸户54冗сG尸户54冗сЕ〃Н〃・Е〃Н〃・

G尸户

54冗с

G尸户

54冗с

Е〃Н〃・

Е〃Н〃・

Падающая волна передает единичной площадке среды в единицу времени импульс「2 = cG?, а преломленная и отраженная волны уносят импульс Р1,з = £ Gi — CG3. В соответствии со вторым законом Ньютона давление на поверхность среды должно быть равным разности Р2 и р,з, т. е.

Давление = % — В, з =急(七〃 一 ЕН + £〃“〃)・

В случае нормального падения волны Е, Е‘ и £〃 связаны между собой довольно простыми соотношениями

и

a Н = Е, Н‘ = пЕ‘ и 〃〃 = Е〃. После подстановки этих соотношений в формулу для давления находим

Деление =急炉[1 + (й4У -(7ТТ)]=

=詣炉告* =爲-10,2 ♦黑• = 1,45 • W。дин/см2.

3.4.

Пусть 入——линейная плотность заряда на цилиндре радиусом 门.По теореме Гаусса имеем !)

\\ErdA = ^,О)

⑵⑵где А — площадь боковой поверхности цилиндрического сечения радиусом г и длиной, равной единице. Поскольку Ег зависит только от г, то из (1) сразу получаем

⑵

⑵

团一际尸

Разность потенциалов между двумя цилиндрами в соответствии с условиями задачи вычисляется следующим образом:

v= J Erdr = -^[(1/K)m(Г3/Г1) + in仇〃3)]・(3)

Таким образом, емкость конденсатора

「 入L .2Tt呪乙/д\

▽ = (1/K) In (Гз/门)+ In (厂2〃3)•()

Из выражения (3) можно найти плотность заряда 九：

Л 2冗60у/р-\

—(1/К) In (Гз/门)+ In(Q〃3).9丿

Применяя теорему Гаусса, определяем поле Е в диэлектрике и в воздушном зазоре:

E =

2丁⑹

2"AVY小

Следовательно, электрическая индукция D в диэлектрике равна

0 =备 门VYj⑺

а поляризация ((К 一 1)九/ /

= [2 冗 Кг ' 门厂⑻

(0,r3<r < 厂2・

В случае когда разность потенциалов между обкладками конденсатора поддерживается постоянной, конденсатор уже нельзя рассматривать как изолированную систему. Он должен быть подключен к источнику зарядов (батарее), или к источнику энергии. Пусть С' — емкость конденсатора в отсутствие диэлектрика. Из выражения (4) мы имеем

О =О =2jt£gLIn (「2〃1)2jt£gLIn (「2〃1)⑼⑼

О =

О =

2jt£gL

In (「2〃1)

2jt£gL

In (「2〃1)

⑼

⑼

Работа, затрачиваемая на удаление диэлектрика, дается выра жением

Работа = у СТ2 — ^ СМ 一 q 一 Q)匕

где Q' — заряд на одной из обкладок конденсатора после удаления диэлектрика. Поскольку Qz = C^V, a Q = CV, мы получаем

Работа = (С — Cf) =

=-y 2叫厶(=-y 2叫厶((1/К) In(Г3/Г1) 4- In (「2〃з) In (勺/门)(1/К) In(Г3/Г1) 4- In (「2〃з) In (勺/门)）；）；здесь мы использовали выражения (4) и (9) для С и С\Магнитную индукцию в тороидальном сердечнике вычисляют по формулездесь мы использовали выражения (4) и (9) для С и С\Магнитную индукцию в тороидальном сердечнике вычисляют по формулеdNI3 =卩卩。Следовательно, полный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение Л этого тороида, равен同第， d》"方-Для эквивалентной магнитной цепи тороида справедливо следующее уравнение:① 1R1 + ① 2& N/,где R — магнитное сопротивление части тороида с железом,a R2 — магнитное сопротивление воздушного зазора. Учитывая,dNI3 =卩卩。Следовательно, полный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение Л этого тороида, равен同第， d》"方-Для эквивалентной магнитной цепи тороида справедливо следующее уравнение:① 1R1 + ① 2& N/,где R — магнитное сопротивление части тороида с железом,a R2 — магнитное сопротивление воздушного зазора. Учитывая,что Ф1 = ф2 = ф, и подставляя вчто Ф1 = ф2 = ф, и подставляя вRiRi2?td — 62?td — 6ЦЦоЛЦЦоЛиипоследнее уравнениеR2 =2 ЦоЛ，последнее уравнениеR2 =2 ЦоЛ，

=-y 2叫厶(

=-y 2叫厶(

(1/К) In(Г3/Г1) 4- In (「2〃з) In (勺/门)

(1/К) In(Г3/Г1) 4- In (「2〃з) In (勺/门)

）；

）；

здесь мы использовали выражения (4) и (9) для С и С\

Магнитную индукцию в тороидальном сердечнике вычисляют по формуле

здесь мы использовали выражения (4) и (9) для С и С\

Магнитную индукцию в тороидальном сердечнике вычисляют по формуле

dNI

3 =卩卩。

Следовательно, полный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение Л этого тороида, равен

同第， d》"方-

Для эквивалентной магнитной цепи тороида справедливо следующее уравнение:

① 1R1 + ① 2& N/,где R — магнитное сопротивление части тороида с железом,a R2 — магнитное сопротивление воздушного зазора. Учитывая,

dNI

3 =卩卩。

Следовательно, полный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение Л этого тороида, равен

同第， d》"方-

Для эквивалентной магнитной цепи тороида справедливо следующее уравнение:

① 1R1 + ① 2& N/,где R — магнитное сопротивление части тороида с железом,a R2 — магнитное сопротивление воздушного зазора. Учитывая,

что Ф1 = ф2 = ф, и подставляя в

что Ф1 = ф2 = ф, и подставляя в

Ri

Ri

2?td — 6

2?td — 6

ЦЦоЛ

ЦЦоЛ

и

и

последнее уравнение

R2 =

2 ЦоЛ，

последнее уравнение

R2 =

2 ЦоЛ，

находим

NIANIANIANIANIANIA同，2冗d — 6)/pi + 6 =卩卩0 2mZ + 3 — 1)6 ^ 卩卩。3 + 2ш/ *同，2冗d — 6)/pi + 6 =卩卩0 2mZ + 3 — 1)6 ^ 卩卩。3 + 2ш/ *в)Энергия поля s железев)Энергия поля s железе2卩卩02卩卩0В2ХО6еем= 7體 №飞(元4冗В2ХО6еем= 7體 №飞(元4冗

NIA

NIA

NIA

NIA

NIA

NIA

同，2冗d — 6)/pi + 6 =卩卩0 2mZ + 3 — 1)6 ^ 卩卩。3 + 2ш/ *

同，2冗d — 6)/pi + 6 =卩卩0 2mZ + 3 — 1)6 ^ 卩卩。3 + 2ш/ *

в)

Энергия поля s железе

в)

Энергия поля s железе

2卩卩0

2卩卩0

В2ХО6еем= 7體 №飞

(元4冗

В2ХО6еем= 7體 №飞

(元4冗

0典。№/246

Сергия поля в зазоре =丽麻位戸诉・

Мы видим, что в случае 卩》1 создание поля в зазоре сопряжено с большими затратами энергии даже при очень малой ширине зазора 6.

Индуктивность отдельного витка равна d①Idl. Всего тороид содержит N витков, и каждый виток пронизывается общим магнитным потоком; следовательно,

г кd①

L = Nr・

Подставляя сюда

卩卩0м4/

—卩6 + 2md，

находим

г _卩卩0出/

—“ + 2nd •

3.6.

Магнитная индукция, создаваемая током большой петли, в центре системы равна

b =喘.⑴

Полный магнитный поток, пересекающий малую петлю, дается выражением

(p = B・A = Wycose (a《b),(2)

где А — ориентированная площадь малой петли, а 0 ——угол между осями петель. При вращении малой петли с постоянной угловой скоростью со мы имеем 0 = 3f. Э. д. с., наводимая в петле, равна ——d①[dt. Используя выражение (2), получаем для малой петли

3・ д. a=^^ssinW・(3)

Ток в малой петле /1 определяем по закону Ома:

人=嚼沪85也改.(4)

В соответствии с законом сохранения энергии механическая мощность xdQ/dt должна быть равна мощности тока, наведенного в петле, т. е.

d8 / d①

Используя выражения (4) и (2), получаем

T=—厶而=顽—Sins” 而=1 2b 丿 ^•

Из выражения (2) находим взаимную индуктивность двух петель

m=碧=噜 cosg吟COSW.

Теперь можно определить э. д. с. взаимной индукции, наведенную в большой петле:

醫=一М咎=一m与(2^sins/) =

^1И^а^\^/ 冗а2卩0(0 cos cof V /

=cos 以=一 丿耳-

g2 q2 q2q2

aaaa

4.2.

Злектрич. притяжение / (4,8产.[0 20 〜〔^^

Гравитац. притяжение —仃倘叫—адГПо^МО3^〜*

При вычислении этого отношения мы воспользовались значениями е = 4,8-10-10 ед. СГСЭ, me « 10-27 г, тр « 2000те и G = 6,67-10-8 ед. СГС.

4.3. Потенциальная энергия взаимодействия точечного заряда q с плоскостью равна половине энергии взаимодействия двух точечных зарядов q и —g, разнесенных на расстояние 2d. Следовательно,

Е = — q2Ad.

Поле поверхностного заряда по обе стороны от пластинки определяем по теореме Гаусса; оно равно ±2но для 尤芸0. Применяя принцип суперпозиции полей, находим результирующее поле

Е = Ео 土 2冗。для % 2 0.

Пусть д'——заряд на внутренней сфере. Потенциал этой сферы равен сумме потенциалов, обусловленных зарядами q в q‘ соответственно:

V = »2 + 丁〃 1・

Поскольку внутренняя сфера заземлена, V = 0. Следовательно,

Применяя закон Ампера

§B •样=卩。乐/,

сразу находим

D 卩0’ г

Для постоянного тока

Для высокочастотного тока

県_Z"〜Ln「№二」.丄2N(2乂)24 '

здесь Li — индуктивность обмотки с числом витков i.

Сила взаимодействия между проводником и средой такая же, как и сила взаимодействия между двумя параллельными проводниками с током /, разнесенными на расстояние 2d. Следовательно,

/2

尸=—2・10 — Н/м (притягивающая).

Магнитная индукция В в центре петли записывается в виде

ВВИо/Ио/

В

В

Ио/

Ио/

Теперь можно найти вращающий момент, действующий на бу* синку:

dVBMV MVI

Вращающий момент = HMV =——=-.

Здесь мы исходили из концепции взаимодействия постоянных магнитов. Однако если решать эту задачу с точки зрения взаимодействия круговых токов, то М следует заменить на М‘ = М/ко， а Н — на В. Аналогичная ситуация встречается в задачах II. 6.2 и II. 7.3.

Прибор покажет напряжение, равное индуцированной идущим поездом э. д. с.:

с ad① D г с1180 • 103

а c・ = -№=blu = 2・ io • 1 б・1оз =

= 2-5- 10~4 В6/с=1()т в.

Искомая работа равна разности потенциальных энергий диполя до и после поворота его на 180°, т. е. 2р£ cos а.

В силу непрерывности тангенциальной составляющей напряженности электрического поля на границе имеем Е = Eq. Отсюда следует, что электрическая индукция

D = KE = К&・

4.13. Как показано в решении задачи II. 1.1 (в), R=2'L]C•

Поскольку для освещенности монохроматическим све・ том справедлива следующая формула:

Освещенность = (| (%呼 + 备》=| %稣=求稣，

где Ео и & — амплитуды полей Е н В, мы имеем

瓦=Л/ 8 85^，黑尢麼 ^ 103 В/мV о,оэ • 1U • 3 • 1U

И

&=*品 ^3.10-6 в6/m2.

Согласно теореме Гаусса, имеем следующее соотношение для нормальной составляющей напряженности £ электрического поля:

е1^1п — е2^2/г = О/%

Тангенциальная же составляющая электрического поля Е сохраняется непрерывной. Следовательно,

Eif = Е2t.

Р • г 〜14ле0г3 ~ г2 •

0,5 Гс.

Внутри проводящей сферы электрический потенциал равен !) Q/4jwoR.

4.19. В системе единиц СИ

Плотность энергии = у (еоЕ? + + В^ ,

Плотность импульсаПлотность импульсаEXHEXH

Плотность импульса

Плотность импульса

EXH

EXH

II.5.1. Запишем водимости контураII.5.1. Запишем водимости контура1Т1Т1沁）厶1沁）厶+ isC+ isC1 一 ①2LС心£1 一 ①2LС心£

II.5.1. Запишем водимости контура

II.5.1. Запишем водимости контура

1

Т

1

Т

1

沁）厶

1

沁）厶

+ isC

+ isC

1 一 ①2LС心£

1 一 ①2LС心£

4.20.

Вектор Пойнтинга = Е X Н = (R/匸)X (*^~ @)=

R/2人

2^- Г1 (направлен внутрь провода).

сначала выражение для комплексной про-

С точностью до произвольной постоянной. — Прим, ped.

Отсюда находим комплексное сопротивление

ZZ心L心L心£心£1 -①2l01 -①2/啮'1 -①2l01 -①2/啮'где 畸 м 1/LC.где 畸 м 1/LC.

Z

Z

心L

心L

心£

心£

1 -①2l01 -①2/啮'

1 -①2l01 -①2/啮'

где 畸 м 1/LC.

где 畸 м 1/LC.

Поскольку(о2 <(о^, то Z имеет индуктивный характер.

.5.2. 0.

5.3. Цепь из последовательно соединенных конденсаторов обладает емкостью 67M где С — емкость каждого конденсатора. Результирующее напряжение равно

C]N С

(Q — заряд на каждом конденсаторе), поскольку V = Q/C.

5.4. 4L

5.5. Используя тот факт, что диэлектрик не оказывает влияния на величину электрической индукции D, мы находим

—2K£о — 2^eo — К ・

Другое доказательство:

r = lcv2 = |(КСо)(分2 =岑-.

・6・ Е 〜;,так как энергия волны убывает по закону обратных квадратов.

5.7. Из условия непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля имеем

E + Er = 0, или Er = —Е,

где Er ——электрический вектор отраженной волны. Как видно, он сдвинут по фазе на 180° относительно электрического вектора падающей волны Е.

5.8. Больше. (Под действием сил притяжения заряды на металлических сферах перераспределяются таким образом, что расстояние между ними уменьшается.)

5.9.

'—2冗d •

Снла вызывает притяжение проводов,

5.10.

Криволинейный интеграл от напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равен полному намагничивающему току через поверхность, натянутую на этот контур:

^ Н dl — I = ni\

здесь п — число витков провода. Поскольку ширина зазора значительно меньше диаметра полюсов магнита, то поле в зазоре можно считать однородным. В этом случае приведенная выше формула принимает вид

"Ji + "2/2 =叫

где индексы 1 и 2 относятся к полям в воздушном зазоре и в железном сердечнике соответственно. 〃i и "2 связаны с В] и В2 соотношениями

"1 =旦=@，&=&• = &•

Hl Но卩2 卩同

В случае очень узкого зазора 3】^ &, и мы получаем

务=77瑞2,5 В6/(м2・А).

Для тока i = 0,5 А имеем ц0// = 1,25-10~3 Вб/м2. При увеличении тока / до 1 А значение 卩。"становится равным 2,5-10-3 Вб/м2. Из приведенного в условии задачи графика 3(") определяем В ^ 1,7 Вб/м2 (тогда как при отсутствии насыщения 8 = 2,5 Вб/м2).

В системе устанавливается стационарное движение, когда индуцированная в ней э. д. с. компенсирует напряжение источника, т. е. когда

Blv = 7.

Отсюда находим

и = V/BI.

В любой момент времени / по стержню протекает ток】)

. V - Blv

Отсюда находим уравнение движения стержня

mv — Fx^ ——r——В/.

1) Автор пренебрегает реакцией тока 厶 порождающего противодействующее магнитное поле. — Прим. ред.

Его решение с учетом начального условия, а именно и = 0 при / = 0, записывается в виде

〃вчч

В этом случае уравнение движения принимает вид

Движение является установившимся, если 6 = 0. Отсюда получаем

V FR

При условии, указанном в п.《в》 нашей задачи, ток в стержне равен

._ V — Blv F

1 =-

Отбираемая от источника мощность равна Vi. Часть этой мощности величиной Fv преобразуется в механическую работу. Следовательно,

。“ а 8 口 ”/瓦)一 FRIB2?〔 FR

= f =F戸西瓦

Запишем уравнение цепи

R登十衿6

Отсюда находим

Q = QoCT/RC.

Поскольку заряд Q распределен равномерно по поверхности пластины конденсатора, часть этого заряда, сосредоточенная вне круга радиусом р, равна

q=^(* — p2)=гоq=^(* — p2)=гоQo (* - р2)1Qo (* - р2)1eTRC.eTRC.

q=^(* — p2)=го

q=^(* — p2)=го

Qo (* - р2)1

Qo (* - р2)1

eTRC.

eTRC.

Отсюда находим ток через круговое сечение радиусом р:

dt r狀0

Магнитное поле определяем по закону Ампера:

А — Но/ —卩 oQo-tIRC

2nRCr e *

Присутствие только 0-компоненты магнитного поля можно объяснить следующим образом (см. фиг. 1). Вычислим магнитные поля Вг п Bz в произвольной точке А(」，6‘，z‘)， где /, 0х и z‘ ——цилиндрические координаты рассматриваемой точки. Для этого определим сначала поля, индуцированные в данной точке токами, текущими по двум элементарным радиальным отрезкам Д/1 и Д/2 с координатами (г, 6' +6,z) и (г,『一0, г).

В точке Р (для простоты она выбрана в плоскости %, г) индуцируются поля

Br~ L X (г】一У)〜(cos0 х + sin0 у) X [& cos6 — ») G十

十 r sin 8 у +(2 —廿)胃 и

В2 ~ (cos 0 х — sin 0 у) X [(厂 cos 6 —厂‘)x — r sin 8 у + (之一2‘)引・

Следовательно,

Bj + B2~ 2 cos 0 (г — гх) (х X z) = — 2 cos 8 (之—W)寸=

=—2 cos 0 (г — d) 0.

Отсюда видно, что компоненты Вг и Bz магнитного поля, индуцированного в точке Р токами на обоих отрезках, обращаются в нуль. Если проинтегрировать этот результат по г и 0 и сложить затем полученные поля токов в обеих пластинах, то получим как раз искомое магнитное поле между пластинами конденсатора. Из проведенного нами решения можно сделать вывод, что единственная, отличная от нуля компонента магнитного поля имеет направление 0.

Другое доказательство. Поскольку векторы тока и положения точки являются полярными, то из закона Ампера следует, что магнитное поле представляет собой аксиальный вектор. Если считать законы электромагнетизма инвариатными относительно зеркального отражения пространства, то при таком отражении вектор магнитного поля должен изменять свое направление в пространстве. Пусть Р и Q ——две точки на плоскости, симметрично расположенные относительно центрального проводника (см. фиг. 2,а). В силу аксиальной симметрии магнитного поля

Зеркало

Диск 7

^L -«—J Диск /'

Фиг. 2.

компоненты Br п Bz в этих точках связаны друг с другом так, как показано на фиг. 2, а. Пусть точка Р является зеркальным отражением точки Р. Как видно из фиг. 2,6, компоненты магнитного поля в точке Р‘ должны быть противоположны по направлению компонентам поля, отраженным в зеркале. Повернем теперь картину на фиг. 2,6 на 180°. Тогда получим ситуацию, показанную на фиг. 2, в. Сравнивая ее с фиг. 2, а, мы видим, что точка Рг совпадает с точкой Q, а направление поля Br(Bz) в точке Р‘ противоположно направлению соответствующего поля в точке Q. Следовательно, компоненты Вг и В2 должны отсутствовать.

П.5.13.

Скорость = Частота X Длина волны ==4 • 1014-5- 10"7=2. 108 м/с.

Показатель преломления

儿=e/и = 3府.

Длина волны в воздухе

Kq = пК = 7,5 • 10~7 м・

Снаружи магнитное поле равно нулю, а в зазоре между пластинами оно отлично от нуля и является приблизительно однородным. Из формулы

§ В • ds = ц0/,

где вектор ds перпендикулярен плоскости рисунка, получаем

ВЬ ^ ц0/, или В 内上卢

(вектор В направлен от читателя к плоскости рисунка). Здесь мы учли, что а《b н тем самым пренебрегли членами, зависящими от а/Ь.

Индуктивность цепи определяем по формуле

I黯4明П齐(3/)П分(早

Уравнение данной электрической цепи записывается в виде 几一L窑=°，

откуда находим

г) Индуктивность ценного конца равнаг) Индуктивность ценного конца равнаобеих пластин на расстоянии % от закоро-

г) Индуктивность ценного конца равна

г) Индуктивность ценного конца равна

г _卩 0%。

厶1 — У

Следовательно,

На расстоянии х от закороченного конца имеем

Поток зиераии = y"= 同；々^ 岑，= "。产(书)2八

При L》R две петли с током взаимодействуют подобно двум магнитным диполям с моментами ц0М, где А —— площадь петли. Индукцию В внутри второй петли, обусловленную током в первой петле, можно представить в виде векторной суммы двух компонент: Вг — в направлении возрастания радиус- вектора г и Be — в направлении увеличения угла 0. Мы имеем

D 卩。г п2 cos 8 Но f г>2%

(%2十 у2)2，

DНо 7 П2 sin 0Но 7 П2У

/ 一 丁/代 -р- 一 丁/代(%2 + g2)2 ，

Здесь % = Leos8, y = LsinB, a ^InR2 — эквивалентный дипольный момент отдельной петли. Вращающий момент, действующий на вторую петлю, можно вычислить по формуле

т = /АХВ = ц0/(АХН), или

Т = 5R2 ® Sin Q +Bq cos 0) = е 吧。出謬。cose ・

Вектор вращающего момента направлен в плоскость чертежа. Сила, действующая на вторую петлю, равна

F = Fe + F「， где

尸=/R2 膿=_ 粤 /2火4 £=

° dx 4(x2 + y2)3

=一从。(/外尸F*)3 = 一卩。(/必)2吗产6

И

Fr = IR唸 7 Ho(/7?2)2 高言=4 М。(/々)2 0叱43 cos2 8 ・

6.3. Магнитное поле в точке Р, обусловленное током / в прямолинейных частях рассматриваемого провода, равно полю тока той же величины, протекающего в бесконечном прямолинейном проводе, расположенном от точки Р на расстоянии г. Поле, создаваемое током / вдоль полуокружности, равно в точности половине поля кругового тока /. Следовательно, в точке Р магнитное поле

2 2Gz 1 2 2r4 M• ' 1 丿

Оно направлено по нормали к плоскости чертежа.

Приведенное здесь решение станет очевидным, если ввести в рассмотрение другой идентичный контур, как показано на рисунке штриховой линией. Теперь мы имеем два бесконечных прямолинейных провода и один круговой контур一一все с токами /. Поскольку поле в точке Р не зависит от поворота одного изогнутого провода относительно другого в плоскости чертежа и поля токов попросту суммируются, то поле тока в одном изогнутом проводе равно половине поля, обусловленного токами во всей рассматриваемой системе проводов.

Волновое уравнение в случае прямоугольного резонатора имеет вид

(許+京+⑴

где

Y2 =卩(Ло -p优

а вместо 屮 может стоять любой из векторов Е или В электромагнитного поля. Граничные условия для полей записываются следующим образом:

案• =() при % = 0, а и у = 0, Ь.

Общее решение уравнения (1) имеет вид

^тп (%, У) = В。COS ^^ COS "^" ,(2)

где m, % = 1, 2, 3, ... . Подставляя это решение в (1), находим

yL = ji2 (^- + ^)-(з)

Зависимость полей от координаты 2 соответствует стоячим волнам:

屮尼(之)— Asinkz + C cos kz.

Для выполнения граничных условий при 2 = 0 и z — d множитель 6 должен удовлетворять соотношению

々=号， / = 0, 1, 2,.(4)

Собственные частоты резонатора определяем из формулы для у после подстановки в нее выражений (4) и (3):

В случае а> b > d самая низкая частота колебаний соответствует значениям m = 1, и = 0 и / = 0, т. е.

^100 ===/ •

а V Ново

Этой частоте соответствует поле

500 =也0(%, 4)屮0(N)~COS器.

Уравнения Максвелла с учетом закона Ома J = аЕ и в пренебрежении токами смещения 】)записываются в виде

VXE+^ = 0,VXH- — Е = 0.VXE+^ = 0,VXH- — Е = 0.(1)(1)

VXE+^ = 0,

VXH- — Е = 0.

VXE+^ = 0,

VXH- — Е = 0.

(1)

(1)

В случае гармонических колебаний с частотой со во втором уравнении можно исключить поле Е и получить следующее волновое уравнение:

VXVXH+ ^^ iH = 0 (2)

в предположении, что

Н =山级*kD.

При нормальном падении плоской волны вектор Н параллелен границе раздела. Следовательно,

詣

а поскольку

VX VXH=V(V・ H)-V2H = -V2H =—鳥 н, то уравнение (2) принимает вид

备пХН) — ^^/(пХН) = 0・(3)

где n X Н = Н* Это и есть искомое уравнение в частных производных.

Поскольку разность потенциалов электрического поля между двумя точками не зависит от пути, соединяющего эти точки, должно выполняться условие Е‘ = Е% т. е. тангенциальная компонента электрического поля должна быть непрерывной. Если металл обладает высокой проводимостью, то заряды в его поверхностном слое движутся в такт с изменением электрического поля падающей плоской волны и Н^ в глубине металла отсутствует. Мы имеем

*=?К и % = 0,⑷

1) Пренебрежение токами смещения соответствует переходу к квазиста- ционарному приближению, в котором не учитывается запаздывание, а, значит, не могут быть описаны и электромагнитные волны. Таким образом, в этой задаче поле внутри проводника, описываемое получаемым ниже уравнением (2), не является волновым. — Прим. ред.

где К ——поверхностный ток, протекающий примерно в толще скин-слоя; К = оЕ^. При z-*0 из (4) имеем Н‘ = Н2・

Используя уравнение (3), можно найти

(5)(5)1+/7

(5)

(5)

Входящая в это выражение величина 6 называется толщиной скин-слоя:

6 =6 =сс«2冗卩CDO«2冗卩CDO

6 =

6 =

с

с

«2冗卩CDO

«2冗卩CDO

Подставляя (5) во второе уравнение Максвелла (1), получаем

= - ^S^ + ^^x^ 船。・

Таким образом, находим поверхностный импеданс

z = “■£ ° + £)•

6.6. Магнитное поле на поверхности провода имеет компоненты

&Т н 统=°，&Т н 统=°，⑴⑴

&Т н 统=°，

&Т н 统=°，

⑴

⑴

где а — радиус провода. Электрическое поле связано с разностью потенциалов V = IR на отрезке длиной L следующим образом:

琨=^ =罕=4. ⑵

Оно направлено вдоль провода. Вектор Пойнтинга на поверхности провода

s=L(exb)= J-4M"・(一；i)=一 鸟?ь(3)

Цо卩0 L 2na 、 "2冗。厶 0、丿

где и ——единичный вектор нормали. Как видно, вектор Пойнтинга направлен по радиусу внутрь проводника.

Энергия поля, поглощаемая проводом на длине L в единицу времени, равна

步=2冗"S = /2r,и она преобразуется в джоулево тепло.

7.1.

⑴⑴В соответствии с законом Ампера § В dl = ЦоЛ,

⑴

⑴

где /' — ток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, по которому производится интегрирование»

5 Зак. 743

1) г V а. В этом случае Г = 1г2/а2, и из

(1) получаем

D 卩0r 卩0"

82nг2nа2 •

⑵

2) а < г < 6. Л = /, и из (1) следует

0 =n—n o/

82"2лг *

(3)

3) Ь < Г < с.

〃 一/ 一产 一 >—e2 一产

''e2 一力2 /e2 -b2

и из (1) находим

统一 2лT傍一ь2 •

г > с. В этом случае /' = 0. Следовательно, Se = 0. Радиальные компоненты поля и компоненты вдоль оси 2 тождественно равны нулю во всех четырех областях.

Согласно определению,

здесь Ф ——полный магнитный поток, пронизывающий сечение ABCD. Используя выражение (3), находим

ь

J2冗а

Следовательно, индуктивность

11.7.2.

Сначала докажем общую теорию о том, что любой такой 《черный ящик» эквивалентен одному источнику э. д. с. с последовательно включенным резистором. Приведенная на рисунке

схема показывает, как можно в самом общем виде соединить различные источники э. д. с. и резисторы внутри черного ящика. Пусть Ц ——ток в t-й ветви электрической цепи. Для каждого замкнутого контура этой цепи можно составить следующее уравнение:

^=Z^?/ +w, 〃=i, 2,・・・，м (1)

где 。订 и bi — коэффициенты, зависящие от сопротивлений резисторов. Систему (1) следует дополнить уравнением сохранения полного тока

N

£“ = /・⑵

Решая систему уравнений (1), находим токи 厶：

N

//=Z(^-W) Aih j=l, ・・・，N； (3)

здесь (Ajj)——обратная матрица по отношению к (а订).Подставляя выражение (3) в (2), имеем

N

2(現一ь网)4尸/,

ИЛИ

Введем теперь обозначения

£Ь认"2 Нa"

Тогда выражение (4) принимает вид

^ = I(R + r\(5)

где 歩 ——э. д. с. эквивалентного источника, г — сопротивление эквивалентного резистора.

Подставляя данные из условия задачи, получаем 歩=12 В н г = 2 Ом. Следовательно, чтобы в цепи протекал ток силой 0,1 А, нужно подключить резистор с сопротивлением R=118Om.

Чтобы снизить пульсации напряжения частотой 60 Гц, фильтр, показанный на рисунке, должен иметь при этой частоте

очень низкое сопротивление. Следовательно,о)2〈 120л 丿П.7.3.очень низкое сопротивление. Следовательно,о)2〈 120л 丿П.7.3.m Т Еm Т Емакс = — Ml •比=—макс = — Ml •比=—N2 COSл_卩gN2 COSл_卩g2"3 卩 °2"3 卩 °2R卩(/3 •2R卩(/3 •Емнн =—Емнн =—卩2 cos 0卩2 cos 0n1卩2n1卩22rг3r02rг3r02呻 о「з.2呻 о「з.

очень низкое сопротивление. Следовательно,

о)2〈 120л 丿

П.7.3.

очень низкое сопротивление. Следовательно,

о)2〈 120л 丿

П.7.3.

m Т Е

m Т Е

макс = — Ml •比=—

макс = — Ml •比=—

N2 COSл_卩g

N2 COSл_卩g

2"3 卩 °

2"3 卩 °

2R卩(/3 •

2R卩(/3 •

Емнн =—

Емнн =—

卩2 cos 0

卩2 cos 0

n1卩2

n1卩2

2rг3r0

2rг3r0

2呻 о「з.

2呻 о「з.

.7.4. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону ]/ =几(1一小印.

Подставляя сюда Уо = 100 В и V = 50 В, находим

^ = /?С1п2 = (1п2)« 10~4 с.

7.5. Перпендикулярная полю компонента скорости элек・ трона равна 1П4

◎丄см/с = 7,071 • 103 см/с.

Из условия равенства сил

m吸ёи丄〃

находим радиус траектории электрона

R =R =cv±m —(3 • 1010)(7,1 - 103)(0,91 • 10~27)cv±m —(3 • 1010)(7,1 - 103)(0,91 • 10~27)еНеН4,8- 1О~10-1044,8- 1О~10-104=4x0 • 10~8 cm«=4x0 • 10~8 cm«

R =

R =

cv±m —(3 • 1010)(7,1 - 103)(0,91 • 10~27)

cv±m —(3 • 1010)(7,1 - 103)(0,91 • 10~27)

еН

еН

4,8- 1О~10-104

4,8- 1О~10-104

=4x0 • 10~8 cm«

=4x0 • 10~8 cm«

Зная и丄 и R, находим частоту

f = и丄/2冗R = 2,8・ 10i° Гц.

Таким образом, электрон движется по спирали радиусом R = 4・10~8 см с шагом v^ (2nmcleH) = 2nR = 25-10~8 см.

г < а,г> а.для плотности токаг < а,г> а.для плотности тока⑴⑵⑴⑵i = ] * Площадьi = ] * Площадьл (а2 — Ь2)"2л (а2 — Ь2)"202 — >02 — >при r《Q・при r《Q・

г < а,

г> а.

для плотности тока

г < а,

г> а.

для плотности тока

⑴

⑵

⑴

⑵

i = ] * Площадь

i = ] * Площадь

л (а2 — Ь2)

"2

л (а2 — Ь2)

"2

02 — >

02 — >

при r《Q・

при r《Q・

Рассматриваемую систему можно мысленно заменить двумя сплошными проводниками 1 и 2 радиусами а и 6, по которым текут токи с плотностью /, что и в исходном проводнике. Только ток в проводнике 1 совпадает по направлению с током в исходном проводнике, а в проводнике 2 он имеет противоположное направление. Согласно принципу суперпозиции поле в любой точке пространства не изменится при такой замене. Применяя закон Ампера, находим магнитную индукцию 8】,обусловленную током в проводнике 1:

D 同i

81 —万7,

или

В прямоугольной системе координат, показанной на рисунке, вектор магнитной индукции Bi записывается в виде

Bi = Bi-7=^== “%2 + У2Bi = Bi-7=^== “%2 + У2х — Bi ——：у.“%2 + y2х — Bi ——：у.“%2 + y2

Bi = Bi-7=^== “%2 + У2

Bi = Bi-7=^== “%2 + У2

х — Bi ——：у.

“%2 + y2

х — Bi ——：у.

“%2 + y2

Мы предположили, что в проводнике 1 ток течет по направлению от читателя. Аналогично находим выражение для магнитной индукции В2, индуцированной током в проводнике 2:

I -2口（废一Ь2），I 2冗/伍2 一ь2），I -2口（废一Ь2），I 2冗/伍2 一ь2），/ 三 V(X — cf + у2 < b,

I -2口（废一Ь2），

I 2冗/伍2 一ь2），

I -2口（废一Ь2），

I 2冗/伍2 一ь2），

/>瓦

Для вектора магнитной индукции В2 имеем

B2fq+戸+&—工寸.

Искомое поле В равно векторной сумме Bi и В2:

в2yV(x — с)2 + у2в2yV(x — с)2 + у2•А•АВ2(х — с) \ - «(% — С)2 + у2 丿 У，В2(х — с) \ - «(% — С)2 + у2 丿 У，B = B1 + B2 = (?J$F

в2y

V(x — с)2 + у2

в2y

V(x — с)2 + у2

•А

•А

В2(х — с) \ - «(% — С)2 + у2 丿 У，

В2(х — с) \ - «(% — С)2 + у2 丿 У，

В области г > а имеем

2л (а2 — b2) L^ \ х2 + У2 (х — с)2 + у2

ха2X2 + У2ха2X2 + У2

ха2

X2 + У2

ха2

X2 + У2

В области г' V b (и г < а)

2冗（废一ь2）y・2冗（废一ь2）y・B = ^d竺川)[匂一y)G + (%-c-%)y] = -

2冗（废一ь2）y・

2冗（废一ь2）y・

Наконец, в области к > 6 (но 厂 V а)

R —U。/ ГЛ.b2y\_Ь2(—с)、二

—2л (а2 - b2) Lv —，％ — с)2 + у?丿 X __(% 一 c)2 + 川丿 У

П. 8.1. При решении задачи влиянием индуктивности рамки можно пренебречь, поскольку мы рассматриваем довольно большой промежуток времени fi = 10-4 с; кроме того, магнитное поле рамки пренебрежимо мало по сравнению с внешним полем. Следовательно, мы можем считать ток в рамке при / W 10~4 с постоянным и равным 0,1 А. В магнитном поле В на боковые стороны рамки действуют силы

Fh = BIh = IQ"3 Н = 102 дин, (1)

а силы, действующие на верхнюю и нижнюю стороны рамки, равны нулю. Следовательно, импульс силы, действующей на каждую из боковых сторон, равен

F = Fh Д/ = 102 дин • 10~4 с = 10~2 дин • с, (2)

а импульс момента

т = 0,02 дин • см • с.(3)

Момент инерции диска

D/2

/ = j ^h^2nx dx =冗/2 г • см2.(4)

о

Начальная угловая скорость диска 厶 t 0,02/

0o = 7 =0,013 рад/с.

При вращении диска и рамки с угловой скоростью 0 в рамке наводятся электродвижущая сила BBhD cos 0 и ток i, равный QBhD cos Q/R. Следовательно, на рамку со стороны поля действует вращающий момент

J = 一 DhiB 0 cos 0 =-且*产 2。0 = 一 4 • КГ/ cos20 Н.м =

=—0,40 cos2 0 дин • см.

Пусть зо ——собственная частота колебаний маятника:

(00 =學= 0,628 с—

Поскольку 0о <С <оо 9, то амплитуда колебаний мала: 4《1. Тогда уравнение движения диска записывается в виде

Z0 +I^=xv или

X . 2П 6В2力202 cos2 0 .B2k2D2

0 + о)20 = —=灰——0^灰一 0 = —Ь0, (5)

где b = B2h2D2/IR = 0,26. Здесь, поскольку отклонение 0 мало, мы положили cos2 8^ 1. Решение уравнения (5) имеет вид

8 = /*+' + 3*」, где

垣=上^^ = 0,13 士 0,615/(/ =

')И начальное отклонение равно нулю. — Прим. ред.

Подставляя начальные условия 0 = 0 и 0 = 0О при / = 0, имеем

В = 一Л и /®+ — со-) = 0о, откуда находим

л ®о 0,013 八

4 = Е7Н = Е = -。，。1的 рад.

Таким образом,

0 = — 0,0106 [e(—o，i3+o,6i5/)t — «(—о,13—0,6i5/)q j =

= 0,0212е-°>13/sin (0,615/).

Рамка с диском совершают затухающие колебания, амплитуда которых убывает по закону 0,0212е~0>13^.

П.8.2. Ток сильно возрастает при частоте 1000 Гц. Этот факт заставляет предполагать, что внутри ящика элементы А и С соединены последовательно. Условие резонанса записывается как

LC = -V =5—.(1)

嗚(2л)2 • 106

При постоянном напряжении 100 В в цепи протекает ток 0,1 А. Отсюда находим сопротивление резистора

R = ^j-= 1000 Ом.

Резистор должен быть подключен параллельно цепи LC. Комплексная проводимость такой цепи дается выражением

Z - R T jsL 一 "① e，

где / = V—1・ Отсюда находим полный импеданс цепи

’一"(1伏2)+[80/(82厶0一1才2 '2

здесь

屮=arctg ①2£с — 1 •

В соответствии с условием задачи при переменном напряжении 〃3巾巾=100 В, круговая частота которого з = 2п・60 рад/с, в цепи течет ток /Зфф = 1 А. Следовательно,

Ом.(3)

Из выражений (1)——(3) мы можем найти 厶 и С. Имеем

откуда получаем С = 2,63-10~5 Ф. Индуктивность определяем из формулы (1): L = 0,965-10-3 Г.

II.8.3. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме, предполагая, что поля изменяются по закону …(尸=_1):

V • gE = р = 0,(1)

▽ *Н = 0,(2)

VXE = —* = j*H,(3)

vxh = !jt*E=^et*e = ^^E・(4)

Исключая H из уравнения (3) или Е из (4), получаем

VXVXE = ^g —而或Е(5)

VXVXH=^g — Ao£)H.(6)

Предположим, что плоская волна распространяется в направлении х. Тогда поля Е и Н являются функциями только 尤 и f. Таким образом, уравнения (5) и (6) для отдельных компонент записываются в виде

d2x =('о + Eg、

—"4早=W(2+®8)%

"2%例1

=+ Ну,

Общее решение всех этих уравнений имеет вид

A = A^eik\ где

—комплексное волновое число.

П. 8.4. Кинетическая энергия налетающей частицы минимальна, когда все частицы после столкновения движутся с одинаковыми скоростями. В данном случае это объясняется тем, что после столкновения все частицы относительно центра масс системы находятся в покое. Следовательно, инвариантная масса частиц после столкновения равна в точности сумме масс всех этих частиц:

M = m^ + mn + 2mp + m_ ^ 5mp.(1)

Закон сохранения энергии и импульса можно записать в форме для 4-векторов:

Pp + Pd = Pf = /V + Pn + A，+ Pp +勺・(2)

Квадраты 4-векторов импульса являются инвариантами:

0 • })=_呜(以•匕)=_偌 и в •勺)=_m2•⑶

Здесь всюду принималось с= 1. Возведем равенство (2) в квадрат. Тогда, приняв во внимание (3), получим

mp + md + 2£pmd =忆

здесь £р — полная энергия протона. Она равна m2一呜一呜 5

Ер =

Следовательно, кинетическая энергия Кр налетающего протона равна

Кр = Ер —叫=3752 МэВ.

8.5. Цепь описывается уравнением

L^ + iR = V.

Его решение, удовлетворяющее начальному условию при / = О, имеет вид

»Т(1 — е-М).

Стационарный ток в цепи равен V/R. Время 力,в течение которого ток в цепи достигнет половины стационарного значения, находим из соотношения

0,5 = 1 — е—(R/L".

Следовательно,

8.6. Из уравнения VX А = В, записанного в видеdAz дАу

0&_%_ n

дх ду 一，

получаем два возможных решения для векторного потенциала А:

А =优Х2, — kyz, 0) и А，=告(一炉 + 归 к,

которые связаны между собой соотношением калибровочной инвариантности

А = А' + -|VU2^ — “2)；

следовательно, потенциалы А и А7 тождественны.

Из уравнения В =——V(p, записанного в.виде

一零=姒一"員и -禦=0,дхдуdz *

находим выражение для скалярного потенциала(pi):

(р = — kxy + С,

где С — константа.

9.1. Магнитная индукция на боковой поверхности пучка равна

月=呉=8 • КН B6/m2.

Следовательно, на электрон, движущийся вдоль границы пучка, действует сила

F = evXB.

Ее значение равно

F = l,6- 10~- 103-8- 10~3= 1,28- 10~18Н.

Сила направлена к оси пучка и стремится сжать его.

9.2. В случае среды, заполненной электронами, уравнения Максвелла для гармонических полей можно записать в виде

VXE = /-~-B, V-B = 0,

VXB = — iM^E + ^^E,(1)

V・E = 0.

Исключая либо В, либо Е в первом или третьем уравнениях системы (1), приходим к волновому уравнению

у + м* + ?)&)= о,⑵

из которого следует соотношение

一宀号一噌=0；(3)

здесь мы предположили, что Е и В изменяются как e~i(dt+ihz. В случае 卩=1 и е = 1 это соотношение принимает вид】)

融=%(1-青)，⑷

где

94л№

Частота о)р называется плазменной частотой. Показатель преломления среды по определению равен

Из выражений (4) и (5) получаем

〃=“i —稣/№

При высоких частотах падающей волны, когда ① > сор, показатель преломления п является действительным, и волна свободно проходит через плазму. При частотах ниже плазменной, когда з V Зр, показатель преломления 〃 становится чисто мнимым. От ионосферы такие волны отражаются.

9.3. Найдем сначала эквивалентную емкость С данной системы. Так как конденсаторы С2 и С3 соединены последовательно, то

11 , 1

где С2з — эквивалентная емкость этих двух конденсаторов. Поскольку конденсатор Ci соединен с цепью (С2, С3) параллельно, то

С = °2з + & =*%т&・

Электрическая энергия, запасенная в системе, равна

IV7 1 С〃2 _.1 /с I С2С3、1/2 — (СС2 + С2С3 + &Сз)片 取=万C/一万卜］十 G + &丿p _2(c2 + ез) •

9.4. 10-5 мм рт. ст.

9.5.

В течение времени 0 & 方 & 乙 скорость рамки совпадает со скоростью свободно падающего тела, т. е. у = gt. К моменту времени / =乙 ее скорость достигает значения

s=m = “冢.

В интервале времени 厶 W f《/2 наводимая в рамке

а °.с・ = -需=-в 將= -вк。，

где Л — площадь рамки в области у V 0. Через рамку протекает ток

/ =к и (направлен по часовой стрелке).

Сила, действующая на рамку со стороны магнитного поля,

丄 =BW / =X v (направлена вверх).

Уравнение движения рамки записывается в виде

B2w2

nw =厂 v.

Отсюда находим

炉犷2

При / ^ /2 на рамку действует только сила тяжести. Следовательно, ее скорость равна

R2犷2

。=噩+(g厶-舞"才…+g (f i).

При увеличении размеров рамки в N раз на ее изготовление уйдет в ^ раз больше провода. Она будет иметь ширину Wf = NW, массу mz = Nm и сопротивление А' = NR、

Из п.《а» следует

『=и в интервале времени 0《/&厶・

Подстановка R[ Wf и mz вместо R, W и m оставляет прежним вид уравнения (1). Следовательно, в интервале времени LV < / < /2

8w2

° — B2W2 十B2W2 丿 e一

Таким образом, пропорциональное увеличение размеров рамки не изменяет ее движения.

9.6.

Если поместить заряд противоположного знака —q на оси г на расстоянии d за пластиной, как показано на рисунке, и убрать пластину, то потенциал обоих зарядов во всех точках плоскости z = 0, в том числе и на бесконечности, будет равен нулю. Таким образом, потенциал новой системы удовлетворяет всем граничным условиям старой системы и в то же время является решением уравнения Лапласа. Поскольку при данных граничных условиях решение этого уравнения единственно, то очевидно, что поле справа от пластины эквивалентно полю упомянутых двух зарядов. Следовательно, в области г ^ 0 мы имеем

у =一，j二 Q.4ле0 — d)2 + г2 4ле0 “(n + d)2 + г2 *

С помощью теоремы Гаусса можно получить выражение для поверхностной плотности заряда а:

илиилиqdqd2Яd+产户.2Яd+产户.

или

или

qd

qd

2Яd+产户.

2Яd+产户.

9.7.

Полная энергия системы дается выражением

W = у еоЕ2 • Объем, = у ^Е2Ах,

где А = 1 м2, х = 0,01 м, £ == 105 В/м и 80 = 8,8-10-12 Ф/м. Если увеличить расстояние х между пластинами на dx、то энер・ гия электрического поля изменится на

Затраченная на это механическая работа Fdx должна быть равна изменению энергии dW. Следовательно,

F dx = ^ е0Е2Л dx, откуда находим

Р = |еоЕ2Л = О,5-8,8- 10~12 • (105)2 • 1 =4,4- 10~2 Н.

С помощью теоремы Гаусса находим

о = 8оЕ = 8,8 • КГ】？ • IO, = 8,8 ・ IO" Кл/м2.

10.1.

Медь — нормальный металл; при понижении температуры его проводимость увеличивается. Эю происходит потому, что при понижении температуры энергия теплового движения электронов и атомов в металле уменьшается. Следовательно, число столкновений электронов между собой и электронов с атомами падает. Электрический ток при этом испытывает меньшее сопротивление, и проводимость увеличивается.

Ниобий — сверхпроводящий металл; его проводимость при температуре ниже критической температуры Тс становится бесконечной. Простое объяснение этого явления заключается в следующем. При температуре ниже критической электроны в ниобии оказываются связанными между собой посредством взаимодействия с фононами. В силу коллективного движения электронов столкновения между ними практически исключены. Поэтому в сверхпроводнике отсутствует ограничение тока в отличие от несверхпроводящего металла, где столкновения электронов играют решающую роль и вызывают переход электрической энергии в тепловую.

Германий — полупроводник. При очень низкой температуре большинство электронов занимает низшие энергетические уровни, и средняя энергия связи становится много больше энергии теплового движения (3kT/2). Количество электронов в зоне

проводимости уменьшается; следовательно, при низких температурах германий имеет плохую проводимость.

10.2.

Решение аналогично решению задачи II. 7.1. Мы имеем l=既m帯=1,4.10-7 г.

Как показано на рисунке, сила, действующая на внешний цилиндр, направлена по радиусу и стремится разорвать цилиндр. Здесь действует такое правило: система, подключенная к источнику (например, к батарее) стремится запасти максимум энергии и увеличить свою индуктивность (так как W = LP/2).

П.10.3.

R(-d,d)Q(〃,d)

Q (f⑷Q (f⑷•Q(D•Q(D

Q (f⑷

Q (f⑷

•Q(D

•Q(D

Как показано на рисунке, при рассмотрении поля в первом квадранте действие двух проводящих плоскостей можно заменить действием трех точечных зарядов. В этом квадранте электрический потенциал определяется формулой

у0，）№（■?（言行у0，）№（■?（言行□==4==〃a + d)2 + e + d)2□==4==〃a + d)2 + e + d)2

у0，）№（■?（言行

у0，）№（■?（言行

□==4==

〃a + d)2 + e + d)2

□==4==

〃a + d)2 + e + d)2

г/"一d户 + ® + d产 “(i+d)2 + (y 一。)2

В остальной части пространства всюду V(х, у) = 0?

10.4.

В соответствии с законом Ампера магнитное поле записывается в виде

⑴⑴» Ni

⑴

⑴

В = ^―.

Подставляя сюда N/1 = 10 000 витков/м и i = 100 А, получаем

3 = 4п・ IO', io。。。.〔о。= 4冗.10-1 = 1,257 Вб/м. (2)

Магнитный поток, пронизывающий сечение сердечника, равен

0)=①1 = 4冗.10，今・10-4 =冗2 ・10-5 B6，(3)

и индуктивность

ГМ①ю • л2 • 10~522 厂

L = ~^- == л • 10 ^ 10 Г. (4)

Электрическая энергия, затрачиваемая на создание магнитного поля, дается выражением

Е=—、石idt,(5)

о

где э. д. с. самоиндукциигде э. д. с. самоиндукции

где э. д. с. самоиндукции

где э. д. с. самоиндукции

/=一祭，

Подставляя ее в формулу (5), получаем

Е =厶'山=岑50 Д* 1)・

о

院力一（4—0」）22n（）8九• 10-7院力一（4—0」）22n（）8九• 10-7Энергия магнитного поля равна

院力一（4—0」）2

2n（）8九• 10-7

院力一（4—0」）2

2n（）8九• 10-7

—.10"4 • 1 =—• 10^50 Дж. 42

10.5.

Начальные заряды на конденсаторах Ci и С2 равны соответственно C[V и C2V. После соединения конденсаторов на них остается общий заряд Q = (Ci — С2) К Одна часть его

(& 一 e2) U&

-直 +02—

сосредоточена на конденсаторе &, другая

(G — С?) UQ

G + с?

на конденсаторе С2.

Энергия конденсаторов до их соединения

После соединения конденсаторов

戶1 Q2 一 1 е2产巾

£ —万 Ci + сГ —万―с】+ с?—'

Следовательно, потери энергии составляют

АЕ = Е°—Е= 2©% [(& + С?)2 — (& 一 CM = ^^ a.

ТЕПЛОТА,СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА

ЗАДАЧИ

1.1 (5 баллов). Оцените удельную теплоемкость одноцентовой монеты 9-

1.2 (5 баллов). Оцените степень магнитной поляризации атомарного водорода в магнитном поле Земли на широте Беркли) при нормальных условиях).

1.3 (10 баллов). Молекулы газа распределены по двум состояниям с внутренними энергиями 0 и 齒 со статистическими весами gi и g2 соответственно. Вычислите вклад этих состояний в молярную теплоемкость газа.

1.4 (5 баллов). На скалах Дувра расположена радиолокационная станция (РЛС), работающая на длине волны 5 м. С высоты 200 м она осуществляет обзор Английского канала). Над каналом в 20 км от РЛС на предельно малой высоте летит самолет. Оказывается, что сигналы от РЛС до него не доходят, и поэтому он не дает отраженных сигналов. Почему это происходит? С другой стороны, на определенных высотах самолет отражает чрезвычайно сильные сигналы. Что это за высоты? (Использование этого физического явления сыграло немаловажную роль для победы англичан в Битве за Англию во время второй мировой войны.)

1.5 (20 баллов). В камере-обскуре требуется получить изображение протяженного объекта желтого цвета. Расстояние от отверстия камеры до фотопленки равно D. Как следует выбрать диаметр отверстия d, чтобы получить изображение с максимальной резкостью? Как при таком оптимальном диаметре отверстия и неизменной чувствительности пленки время выдержки зависит от расстояния О?

1.6 (20 баллов). В замкнутом сосуде объемом 1 л при комнатной температуре находится водород при начальном давлении 10~4 мм рт. ст. В момент времени / = 0 в нем мгновенно нагревают до яркого свечения проволочную спираль общей площадью поверхности 0,2 см2. Молекулы водорода при ударах о

раскаленную спираль диссоциируют. Образовавшиеся нейтральные атомы водорода при контакте со стенками сосуда оседают на них. Чему равна приблизительно средняя длина свободного пробега молекул водорода при начальном давлении? Получите функциональную зависимость давления от времени t. Через какой промежуток времени давление в сосуде упадет до значения 10~7 мм рт. ст. Влиянием нагретой спирали на температуру газа можно пренебречь.

1.7 (25 баллов). Тройной точке воды соответствуют следующие параметры:

температура 0,01 ℃,

давление 4,58 мм рт. ст.,

удельный объем твердой фазы 1,0907 смЗ/г, удельный объем жидкой фазы 1,0001 см3/г, удельная теплота парообразования 596 кал/г, удельная теплота плавления 80 кал/г.

Постройте диаграмму Р — Т. Детальное изображение ее не требуется, но она должна быть качественно правильной. Проследите, что произойдет с чистой водой, находящейся в сосуде при постоянной температуре 1 ℃ и высоком начальном давлении, если в сосуде начать медленно уменьшать давление. Должны произойти два фазовых перехода. Опишите эти переходы и вычислите давления, при которых они происходят.

2.1 (10 баллов). Дайте численные ответы (с точностью до одной значащей цифры) на следующие вопросы:

Сколько молекул содержится в 1 см3 воздуха при нормальных условиях?

Какова средняя длина свободного пробега молекулы азота в воздухе при нормальных условиях?

При какой температуре среднеквадратичная скорость молекул азота станет такой, что они покинут Землю и удалятся в космос?

2.2 (10 баллов).

Вычислите скорость звука в воздухе при нормальных условиях.

Каков предельный к. п. д. наиболее эффективных тепловых двигателей, работающих по круговому циклу с двумя тепловыми резервуарами при температурах Т\ и Т?, когда Ti > %?

Какой физический эффект проявляется при адиабатическом размагничивании парамагнитной соли?

2.3 (10 баллов)

Опишите с помощью характеристических функций фазовый переход первого рода в веществе.

Напишите формулу Больцмана, связывающую энтропию системы в заданном состоянии с термодинамической вероятностью этого состояния.

Какому значению ближе всего соответствует удельная теплоемкость меди: 10~2, Ю'1, 1 или 10 кал/(г-К)?

2.4 (10 баллов). Тело массой 100 г нагревают квазистатически и записывают зависимость его равновесной температуры от мощности нагрева (см. табл. 1). Затем нагрев прекращают и измеряют спад температуры (см. табл. 2). Определите

Табзаца /

Зависимость равновесной температурытела от мощности нагрева

Мощность нагрева,Равновесная температура,

Вт℃

0 12 3 40 12 3 420

0 12 3 4

0 12 3 4

25

30

35

40

Таблица 2

Зависимость температуры тела от временипри охлаждении

°Температура,оТемпература,

Время, с忆Время, с此

050005000501 1 2 2050005000501 1 2 20 4 9 6 8 54 3 3 2 2 20 4 9 6 8 54 3 3 2 2 2о о о о о -3035404550一о о о о о -3035404550一4 5 5 2 377s'3君2 2 2 2 24 5 5 2 377s'3君2 2 2 2 2

05000500050

1 1 2 2

05000500050

1 1 2 2

0 4 9 6 8 5

4 3 3 2 2 2

0 4 9 6 8 5

4 3 3 2 2 2

о о о о о -3035404550一

о о о о о -3035404550一

4 5 5 2 3

77s'3君

2 2 2 2 2

4 5 5 2 3

77s'3君

2 2 2 2 2

удельную теплоемкость тела в Дж/(г - К), полагая, что при охлаждении температура внутри него всюду одинакова.

2.5 (5 баллов). Система состоит из ^ частиц, каждая из которых может иметь энергию Е = 0, Е = «7 иЕ = 2kT. Определите число частиц ^, если в равновесном состоянии энергия системы равна 1000 kT.

2.6 (10 баллов). Кусок льда при температуре 0℃ и стакан с водой при той же температуре 0 ℃ расположены рядом под небольшим колоколом, из которого полностью откачивают воздух. *

Опишите конечное состояние системы под колоколом, если температура льда, воды и колокола поддерживается отдельными термостатами строго равной 0 ℃. Обоснуйте свой ответ. (Тройной точке воды соответствуют темпера^ тура 0,0098 ℃ и давление 4,579 мм рт. ст., а критической точке — температура 374 ℃ и давление 218 атм.)

К какому конечному состоянию придет система, если убрать термостаты, а саму систему теплоизолировать?

2.7 (3 балла). Какой минимальный диаметр d должна иметь линза, чтобы с ее помощью с расстояния Z) = 30 км можно было различить два объекта, разнесенные на % = 30 см друг от друга?

2.8 (3 балла). На точечный источник света стали смотреть через плоскопараллельную стеклянную пластинку. Будет ли он казаться расположенным ближе, дальше или на том же расстоянии, что и без пластинки.

2.9 (3 балла). Диапроектор проецирует изображение предмета на экран. Расстояние от объектива до экрана равно 4,5 м. Определите фокусное расстояние объектива, если предмет размером 2,5 см оказывается увеличенным на экране до размера 60 см.

2.10 (3 балла). На каком расстоянии от глаза находится изображение, видимое в микроскопе?

2.11 (3 балла). Через узкую щель проходит монохроматический пучок света и создает на экране дифракционную картину Фраунгофера. Во сколько раз изменятся интенсивность света в центре экрана и энергия света, проходящего через щель, если увеличить ширину щели вдвое?

2.12 (3 балла). Кольца Ньютона формируются при соприкосновении выпуклой линзы с плоской стеклянной поверхностью. Их можно наблюдать в проходящем или отраженном свете. Больше или меньше интенсивность колец в отраженном свете, чем в проходящем, или она одинакова в обоих случаях?

2.13 (3 балла). Свет с круговой поляризацией падает на четвертьволновую пластинку. Какую поляризацию он имеет после выхода из пластинки?

2.14 (3 балла). На ирисовую диафрагму с переменным радиусом отверстия R, расположенную на расстоянии D от экрана, падает свет с длиной волны 儿.Диафрагму постепенно открывают, начиная с /? ^ 0. При каком радиусе R интенсивность света в центре экрана впервые обратится в нуль?

2.15 (3 балла). Источник света и экран находятся на расстоянии / друг от друга. Между ними помещают тонкую линзу на таком расстоянии от экрана, что получают на нем четкое изображение источника. В каких пределах должно заключаться фокусное расстояние линзы, чтобы четкому изображению источника соответствовало одно положение линзы, два ее положения или не нашлось бы ни одного такого положения?

2.16 (3 балла). Каковы приближенные численные значения показателя преломления стекла и его дисперсии dn/dk в видимой части спектра?

2.17 (3 балла). При условии, данном в задаче III. 2.15, источник света имеет размер 2 см, а его изображение на экране 1 см. Линзу сдвигают в другое положение, при котором снова получают на экране четкое изображение источника. Каков размер этого изображения?

2.18 (3 балла). На звезду смотрят ночью невооруженным глазом. Какой размер имеет ее изображение на сетчатке глаза?

2.19 (3 балла). В каком случае плоское зеркало дает действительное изображение?

2.20 (3 балла). В чем состоит сущность критерия Рэлея?

2.21 (3 балла). Оптическая система состоит из двух тонких линз с фокусным расстоянием 厶 разнесенных на расстояние / друг от друга. Допустимы ли любые значения /? Если нет, то при каких значениях / эта система линз имеет отрицательное фокусное расстояние?

3.1 (10 баллов). В оптической системе, показанной ниже на рисунке, лучи света от точечного источника вначале отклоняются призмой, а затем собираются тонкой линзой с фокусным расстоянием /. Призма изготовлена из стекла с показателем преломления п и имеет малый преломляющий угол а (т. е. допустима малоугловая аппроксимация).

На какой угол призма отклоняет лучи при почти нормальном падении на нее (т. е. почти перпендикулярном одной из ее граней) ?

Определите положение изображения, формируемого системой, по горизонтали и вертикали для указанных на рисунке расстояний между источником, призмой и линзой.

3.2 (10 баллов). Стопа из N стеклянных пластинок с показателем преломления п и толщиной пластинок / собрана таким образом, что каждая пластинка выступает на высоту s относительно предыдущей, как показано на рисунке.

Слева на стопу падает пучок света с длиной волны 鼠 Рассмотрите пучки света, исходящие от каждой ступеньки, и определите условие образования интерференционной картины за стопой при малых углах падения входного пучка. Определите порядок интерференции, если п —- 1,5, / = 0,5 см 口 九=5000 А. Вычислите угловую дисперсию и разрешающую способность стопы, состоящей из 40 пластинок с тем же показателем преломления и той же толщиной пластинок. При этом предположите, что внутри стопы показатель преломления почти не меняется.

3.3 (10 баллов). Свет с круговой поляризацией падает на систему, состоящую из двух четвертьволновых пластинок, оптические оси которых скрещены под углом 0. Показатель преломления для необыкновенных лучей меньше, чем для обыкновенных.

Определите поляризацию света на выходе системы, если 8 = 0, 45 и 90°.

Можно ли утверждать, что две четвертьволновые пластинки по своему действию эквивалентны одной полуволновой пластинке?

Если среди ответов на поставленные вопросы окажется, что поляризация является круговой, то уточните, правая она или левая. Для линейной поляризации укажите ее направление. (За- ме4а〃〃е. Если смотреть в направлении источника света, то пра-

вой круговой поляризации соответствует вращение электрического вектора волны по часовой стрелке.)

3.4 (20 баллов). Предположим, что вам нужно опознать следующие оптические элементы:

два линейных поляризатора,

четвертьволновую пластинку,

полуволновую пластинку, г) круговой поляризатор.

Опишите подробно, каким образом можно идентифицировать каждый из этих элементов, не прибегая к помощи других оптических устройств (за исключением лампы и экрана). Как бы вы поступили, если в и.《а》вам был бы предложен только один линейный поляризатор?

3.5 (20 баллов). Рассмотрим образец из ^ атомов, обладающих магнитными моментами. Пусть спиновый магнитный момент каждого атома равен %. Известно, что при очень низких температурах такая система является ферромагнетиком, поскольку при Т — 0 все спины выстраиваются в одном направлении. Наоборот, при достаточно высоких температурах они ориентированы беспорядочно. Пренебрегая всеми степенями свободы, за исключением спиновой,

а) определите энтропию этой системы методами статистической физики и термодинамики, выразив ее в последнем случае через теплоемкость и спиновую температуру, б) докажите, что теплоемкость С(Т) должна удовлетворять уравнению

F C(T)dT 厶с \ —* = fe^ In 2 о

независимо от деталей взаимодействия, характерного для ферромагнетика, и, следовательно, без учета конкретной зависимости С от Т.

П1.3.6 (20 баллов). Тонкостенный сосуд объемом V находится при постоянной температуре Т. Из сосуда в окружающее безвоздушное пространство медленно вытекает газ через отверстие площадью Л. Через какое время давление в сосуде упадет в е раз?

1П. 3.7 (10 баллов). Предположим, что Земля и Солнце полностью поглощают падающее на них электромагнитное излучение и что Земля находится в равновесном состоянии при температуре Т, Температура поверхности Солнца Т。= 5500 К, радиус его А = 7・101° см, радиус Земли г = 6,4- Ю8 см, а расстояние

между Солнцем и Землей D = 1,5-1013 см. На основе этих данных вычислите температуру Земли Т.

П1. 4.1 (10 баллов).

Один литр газа N2, содержащийся в запаянном цилиндре при атмосферном давлении и температуре 0 ℃, нагревают до 100 °C посредством контакта с неограниченным тепловым резервуаром, имеющим температуру 100 ℃. Как изменится при этом энтропия газа и Вселенной?

Предположим, что одна из стенок этого цилиндра может перемещаться подобно поршню. Предложите способ повышения температуры газа до 100 ℃ (с конечным объемом 1 л) без изменения энтропии Вселенной. [Универсальную газовую постоянную R полагайте равной 2 кал/(моль-К).]

. 4.2 (10 баллов). Покажите, как с помощью третьей линзы (см. рисунок) можно повысить светосилу оптической системы, не изменяя положений предмета и его изображения.

Укажите положение и фокусное расстояние этой дополнительной линзы.

. 4.3 (5 баллов). Кольца Ньютона наблюдают в отраженном свете. Они формируются в тонком воздушном слое между плоской поверхностью и сферической радиусом 50 см. Определите длину волны света, если радиус третьего светлого кольца равен 0,09 см, а двадцать третьего — 0,25 см.

П1.4.4 (15 баллов). Камера заполнена воздухом. Температура ее стенок 7\. На дне камеры разлито немного воды. Давление в камере。卜 объем ее 16. Состояние системы равновесное. Объем камеры начали медленно увеличивать, сохраняя неизменной температуру стенок Ti，Как только объем камеры удвоился (^2 = 21Л), вода на дне ее почти полностью исчезла.

Определите температуру стенок 7\, если вначале давление было pi = 3 атм, а потом стало「2 = 2 атм.

Каким станет давление в камере рз, если еще раз удвоить ее объем (% = 2%)?

Определите массу воды (в жидкой и парообразной фазах) и массу воздуха в камере, если известно, что % = =44,8 л.

1П.4.5 (10 баллов).

Вычислите изменение энтропии одного моля идеального газа в результате свободного расширения его до удвоенного объема.

Каково изменение энтропии, если два разнородных невзаимодействующих идеальных газа по одному молю каждый смешиваются вместе?

Как изменится энтропия системы, если открыть клапан между двумя резервуарами равного объема, содержащими один и тот же газ при одинаковых давлениях и температуре?

1П. 4.6 (20 баллов). На вертикальной нити горизонтально подвешена поглощающая пластинка. Снизу ее освещает направленный вверх пучок света с правой круговой поляризацией (т. е. электрический вектор вращается по часовой стрелке, если смотреть в сторону источника света).

Определите вращательный момент та, действующий на пластинку в предположении, что она полностью поглощает свет, а мощность пучка поляризованного света равна 1 Вт и сосредоточена в видимой части спектра со средней длиной волны 6200А. (Ответ выразите в дин-см, ответы на все последующие вопросы — в единицах та.) б) Каким будет вращательный момент Тб, если вместо поглощающей пластинки подвесить посеребренную с зеркальной поверхностью, так что свет будет отражаться назад, т. е. под углом 180° к первоначальному направлению?

Предположим теперь, что подвешена прозрачная полуволновая пластинка. Свет проходит через нее и свободно распространяется дальше. Чему равен вращательный момент тв в этом случае? (Отражениями от поверхностей пластинки пренебречь.)

Найдите вращательный момент тг, если подвешена прозрачная полуволновая пластинка с серебряным покрытием сверху — свет проходит через пластинку, отражается от ее зеркальной поверхности и снова проходит через нее.

Наконец, пусть подвешена прозрачная полуволновая пластинка, над которой закреплена четвертьволновая пластинка (не связанная механически с первой), посеребренная сверху (чтобы свет мог пройти через систему в обратном направлении). Какой вращательный момент тд действует на подвешенную пластинку?

1П. 4.7 (20 баллов). Дайте краткие ответы на следующие вопросы.

Некая община решила ограничить у себя рождаемость и потребовала, чтобы каждая супружеская пара после рождения сына прекратила производить потомство. Какую долю среди детей будут составлять мальчики после введения этого ограничения, если до него она равнялась 51 %? Ответ обоснуйте.

Предположим, что имеется устройство, способное порознь излучать электромагнитные волны и измерять их интенсивность от некоторого объекта на любой частоте. Как экспериментально определить, является ли данный объект абсолютно черным телом?

П1.4.8 (10 баллов). Образец (некоторый кристалл), содержащий большое количество протонов, помещен в однородное магнитное поле В. При облучении этого образца электромагнитными волнами с соответствующей поляризацией наблюдается максимум поглощения (связанный с переориентацией спинов протонов) при частоте 100 МГц. Какова поляризация Р спинов протонов этого образца при комнатной температуре и наличии поля В?

Замечание. Р определяется следующим образом:

n⑹一2(6

5.1 (5 баллов). Используя координатную сетку, изображенную на рисунке, постройте зависимость молярной теплоемкости водорода от температуры.

HI.5.2 (5 баллов). Через резистор сопротивлением 100 Ом течет ток 1 А. Температура резистора поддерживается с помощью термостата постоянной и равной 30 ℃. Чему равна скорость увеличения энтропии резистора? Ответ выразите в Дж/(К-с).

1П. 5.3 (5 баллов). При низких температурах в качестве теплообменной среды используют Не4. Станет ли теплообмен лучше, хуже или совсем не изменится, если при тех же условиях Не4 заменить на Не3?

5.4 (5 баллов). Заполненную газом трубку вращают вокруг одного из ее концов с угловой скоростью з. Определите равновесное распределение плотности газа р(%) в трубке.

П1.5.5 (5 баллов). Шарик (с моментом инерции /), подвешенный на тонкой проволоке (момент возвращающей силы равен С0), окружен газом с температурой Г. Вычислите средние значения О2 и 02. Как они изменятся, если уменьшить давление газа в миллион раз?

П1. 5.6 (5 баллов). Вычислите к. п. д. обратимой машины, работающей по следующему замкнутому циклу:

П1. 5.7 (5 баллов). Требуется охладить газ, пропуская его через пористую диафрагму. Что можно сказать о значении (dh/dp)T 1) при начальных условиях? Должно ли оно быть больше или меньше нуля или равно ему?

5.8 (5 баллов). Частица совершает броуновское движение в газе при температуре Г и давлении р0- Средний квадрат смещения частицы d2 обратно пропорционален вязкости газа. Увеличится, уменьшится или останется прежней величина d2, если давление газа уменьшить наполовину?

Символом Л автор обозначает удельную энтальпию или удельную тепловую функцию. — Прим, перев.

1П. 5.9 (5 баллов). Фотонный газ заполняет камеру объемом Унач при температуре ТНач. Эту систему адиабатически и обратимо расширяют до объема 丿коней = 8УНач. Во сколько раз изменится температура системы?

1П. 5.10 (5 баллов). Рассмотрим теплоизолированную систему, состоящую из груза, подвешенного на пружине. В исходном состоянии груз был смещен на расстояние Л от положения равновесия. Затем его освободили, и система постепенно под влиянием вязкого трения пришла в состояние покоя. Изменилась ли при этом энтропия Вселенной? Если да, то на сколько?

5.11 (5 баллов). Кусок меди объемом 1 см3 находится при температуре, очень близкой к абсолютному нулю. Предположим, что электроны в нем ведут себя подобно вырожденному газу Ферми. Отметьте характерные особенности распределения электронов по энергиям (dN/dE и Еманс).

5.12 (10 баллов). Вычислите минимальную работу (в джоулях), которую нужно затратить на замораживание одного литра воды с начальной температурой Т = 20 ℃, если используется тепловой резервуар при температуре 20 ℃. Удельная теплота плавления льда 80 кал/г.

5.13 (15 баллов). Определите точку кипения воды на высоте 300 м над уровнем моря. Изложите подробно все этапы расчета и использованные приближения. Удельная теплота парообразования воды при нормальных условиях 540 кал/г.

5.14 (10 баллов). При атмосферном давлении удельные теплоемкости воды и льда в пределах нескольких градусов Z ниже точки замерзания определяются выражениями

ср (вода) = 4222 — 22,6/ Д*/(К • кг),ср (лед) = 2112 + 7,5/ Дж/(К • кг).

Определите удельную энтропию каждой фазы в Дж/(К-кг) при температуре —10 ℃ (воспользуйтесь подходящей формулой). Какая из этих фаз находится в более упорядоченном состоянии?

5.15 (10 баллов). Две линзы с фокусными расстояниями 20 и 30 см соответственно разнесены на расстояние 10 см. Перед первой линзой на расстоянии 30 см от нее перпендикулярно оптической оси системы расположен предмет высотой 5 см. Определите размер изображения, формируемого оптической системой. Выясните также, прямое оно или обратное.

6.1 (10 баллов). В тонкой клинообразной пленке из пластмассы с показателем преломления 1,4 наблюдают интерферен-

ционные полосы. Определите длину волны света, падающего нормально на пленку, если угол клина равен 20〃, а расстояние между полосами 0,25 см.

6.2 (10 баллов). Два одинаковых тела с постоянной теплоемкостью Ср используют в качестве тепловых резервуаров в тепловой машине. Их начальные температуры равны 7\ и 「2 соответственно. Получите выражение для максимальной работы, которую может совершить эта система, в предположении, что оба тела находятся при постоянном давлении и не претерпевают фазовых превращений.

6.3 (10 баллов). Сосуд в форме куба с ребром 1 см содержит гелий при нормальных условиях. Каково по порядку величины

число столкновений в секунду, испытываемых отдельным атомом гелия?

число столкновений атомов с одной из стенок сосуда в одну секунду?

6.4 (10 баллов). В идеальном электронном газе среднее число частиц в квантовом состоянии с энергией Е^ равно

№ ~ 諸(々т) + 1，「Де В 三疗•

Получите выражение, из которого можно найти 卩 в зависимости от плотности числа частиц 〃，температуры Т и других параметров.

Покажите, что эта формула в предельном случае ni3《1 (где А ——дебройлевская длина волны для теплового движения частиц) сводится к распределению Максвелла —Больцмана.

Рассмотрите электронный газ в металле при комнатной температуре. Оцените степень несоответствия предельному случаю и покажите, что статистика Максвелла —Больцмана не применима к этому газу.

6.5 (10 баллов). В ионизованной среде, находящейся в постоянном магнитном поле, распространяется в направлении поля плоская электромагнитная волна с частотой з. Показатель преломления этой среды дается выражением

嘎®) = 1 -■J7T备可，

где К и Q — постоянные величины, а знак + или — соответствуют вращению электрического вектора волны в обратном или прямом направлении относительно вращения электронов в

данном магнитном поле. Рассмотрим в такой среде слой толщиной Л, перпендикулярно которому направлено магнитное поле. Определите величину фарадеевского вращения, т. е. угол, на который поворачивается плоскость поляризации волны при прохождении ею этого слоя, в зависимости от приведенных постоянных. Отражениями волны от поверхностей слоя пренебрегите. Частоту со полагайте достаточно большой, чтобы выполнялось условие * > 0.

6.6 (5 баллов). Аквариум заполняется водой. В нем неподвижно застыла рыбка ——она смотрит вертикально вверх и видит расположенный над водой источник монохроматического света. Вычислите сдвиг частоты света Av, наблюдаемого рыбкой, если уровень воды в аквариуме поднимается со скоростью dh/dt (показатель преломления воды равен п).

6.7 (5 баллов). Показатели преломления кварца для света с длиной волны 5829,90 А равны пе = 1,55379 и п0 = =1,54225. Какой толщины должна быть четвертьволновая пластинка из этого кварца, вырезанная вдоль его оптической оси?

6.8 (10 баллов). Разрешающая способность интерферометра Фабри ——Перо определяется по формуле

X — тлг

где m — порядок интерференции,产一коэффициент отражения зеркал (产 чуть меньше единицы). Любой газовый лазер имеет на своих концах зеркала и излучает спектр линий, соответствующих различным порядкам интерференции волн между этими зеркалами. Предположим, что длина лазера равна 30 см и он излучает свет со средней длиной волны 6000 А.

а) Определите разность длин волн АХ между двумя соседними линиями излучения вблизи длины волны 6000 А. б) Какой минимальный коэффициент отражения должны иметь зеркала в интерферометре Фабри—Перо, располо-

женные на расстоянии 1,5 см друг от друга, чтобы с его помощью можно было разрешить две линии с разностью длин волн АА, найденной в п.《а》？

6.9 (20 баллов). Среда состоит из трех слоев, как показано ниже на рисунке. Из слоя I на слой II падает нормально электромагнитная волна с интенсивностью /о- Определите интенсивность волны, проходящей в слой III (считайте, что он простирается вниз до бесконечности), и интенсивность отраженной волны в слое I (распространяющейся в направлении, противоположном падающей волне).

〃，〃2

气，网

6.10 (5 баллов). Исходя из ограничений, налагаемых дифракцией, вычислите максимальное расстояние 厶 на котором человеческий глаз может различить две светящиеся фары автомобиля.

6.11 (5 баллов).

Свет, отраженный от плоской поверхности диэлектрика, полностью поляризован. Какой угол образуют отраженный и преломленный лучи света?

Какой угол с нормалью составляет в этом случае преломленный луч?

1П. 7.1 (3 балла). Две близко расположенные параллельные щели освещают вначале красным светом, а затем фиолетовым. В каком случае за щелями получается более широкая интерференционная картина?

7.2 (3 балла). Где располагается изображение предмета, помещенного в центр кривизны вогнутого сферического зеркала?

7.3 (3 балла). В какой плоскости расположен вектор Е поляризованного света после отражения его от стекла под углом Брюстера?

7.4 (3 балла). Пучок света сходится в точке Р・ На пути пучка перед точкой 尸，ставят плоскопараллельную стеклянную пластинку. В каком направлении сместится точка сходимости пучка, если пластинка расположена перпендикулярно его оси?

6 Зак. 743

7.5 (3 балла). Объект расположен на главной оптической оси между тонкой собирающей линзой и ее фокусом. Где расположено изображение объекта?

7.6 (3 балла). Какая граница спектра (красная или фиолетовая) данного порядка интерференции в дифракционной решетке расположена ближе к спектру следующего, более высокого порядка?

7.7 (3 балла). Что можно сказать о фокусном расстоянии / тонкой собирающей линзы для красного света? Больше оно или меньше, чем для фиолетового света?

7.8 (3 балла). Объект помещен за фокальной плоскостью тонкой рассеивающей линзы. Какое будет изображение ——действительное или мнимое?

7.9 (3 балла). Какие аберрации свойственны линзам, но отсутствуют в зеркалах?

7.10 (3 балла). Какие опыты дают прямое подтверждение поперечное™ световых волн?

7.11 (3 балла). Какому углу между отраженным и преломленным лучами соответствует отражение света с полной поляризацией?

7.12 (3 балла). В каком случае луч, не параллельный главной оптической оси, проходит без изменения направления через толстую линзу?

7.13 (3 балла). Какому диапазону частот соответствует видимый участок спектра электромагнитных волн?

7.14 (3 балла). Монохроматический пучок света падает из вакуума на среду с показателем преломления п. Как связаны между собой частоты падающей и преломленной волн? Каково соотношение между длинами этих волн?

7.15 (3 балла). Пресс-папье в виде стеклянного полушария лежит на странице книги. Определите положение и масштаб изображения буквы, находящейся в центре, под плоской поверхностью пресс-папье. Дайте иллюстрацию своему расчету; изобразите ход лучей, используя в качестве предмета небольшую стрелку вместо буквы. Показатель преломления стекла полагайте равным 1,5.

7.16 (15 баллов). Как показано на рисунке, две близко расположенные параллельные щели, каждая шириной w (w《 .《九),освещаются монохроматическим светом от удаленного ис-

точника. На большом расстоянии от щелей наблюдают интерференционную картину.

Между одной из щелей и экраном вводят поочередно тонкие стеклянные пластинки различной толщины 6 и измеряют интенсивность света в центре экрана С как функцию толщины 6. Поглощение света в стеклянных пластинках отсутствует. Пусть при 6 = 0 интенсивность света в центре экрана равна Iq.

Как зависит интенсивность света в центре экрана С от толщины пластинки 6?

При каких значениях 6 интенсивность света в центре минимальна?

Предположим, что ширину одной щели увеличили вдвое, а ширину другой оставили без изменения. Как в этом случае будет зависеть интенсивность в центре экрана от толщины 3?

7Л7 (20 баллов). Скорость звука в воздухе ^330 м/с. Имеется свисток, который издает непрерывный тон с частотой 3300 Гц. На большом расстоянии от свистка находится диск диаметром 2 м из идеального звукопоглощающего материала. Он расположен перпендикулярно линии, соединяющей свисток и центр диска.

Если вы находитесь непосредственно за диском, то никакого звука от свистка не услышите. Если вы отойдете от диска на большое расстояние и он по-прежнему будет скрывать свисток от вас, то вы, вероятно, сочтете, что опять не услышите звука. Однако это не так — вы его услышите, причем столь же явственно, как и без диска.

Почему это происходит? {Замечание. Пренебрегите влиянием земной поверхности, строений, деревьев и т. п. Считайте, что свисток расположен в однородном воздушном пространстве, а вы и диск 《подвешены》в этом

пространстве, например, с помощью воздушных шаров или чего-либо еще.)

Получите формулу (по возможности наиболее простым путем), чтобы дать ответ на такой вопрос: на каком расстоянии (в метрах) вы должны находиться позади диска, чтобы при его введении интенсивность звука упала примерно вдвое? Определите это расстояние не более чем с двукратной ошибкой.

7.18 (10 баллов). Пучок света (X = 6000 А) от находящегося на Земле лазера фокусируют с помощью телескопа, диаметр линзы (или зеркала) которого равен 2 м, на лунный кратер (расстояние от Земли до Луны 400 000 км). Каков будет размер светового пятна на Луне? Влиянием земной атмосферы пренебрегите.

8.1 (5 баллов). В неподвижном сосуде содержится газ. Масса молекулы газа равна т. Предположим, что газ находится в равновесном состоянии при абсолютной температуре 7. Обозначим через Vx компоненту скорости молекулы в направлении %. Определите средние значения Vxi V^ и 7<

8.2 (5 баллов). В опыте Милликена с падающими каплями установившаяся скорость масляной капли обратно пропорциональна вязкости воздуха. Как изменится установившаяся скорость падения капли (увеличится, уменьшится или останется постоянной), если возрастет температура воздуха?

8.3 (5 баллов). 50 г молока с температурой Т\ медленно вливают в 250 г жидкого кофе с температурой Г2. Их удельные теплоемкости полагайте такими же, как у воды. Какая установится конечная температура смеси 7/. Чему равно общее изменение энтропии AS?

8.4 (5 баллов). Идеальный одноатомный газ подвергают сжатию (без подвода или отвода тепла), и его объем уменьшается вдвое. Каково отношение нового давления к первоначальному?

8.5 (5 баллов). Теплоемкость электронного газа в металле С = уТ, где Т ——абсолютная температура, у ——константа. Какой вклад оказывает этот электронный газ в энтропию металла S?

8.6 (5 баллов). Движение атомов, находящихся в состоянии теплового равновесия при абсолютной температуре 7, приводит к доплеровскому уширению спектральной линии. Например, если % — компонента скорости атома б направлении г, a vq —

естественная частота линии, то излучение наблюдается с частотой V = ”о(1 + б/c). Чему равен средний квадрат ширины линии (V — Vo)2?

8.7 (5 баллов). Твердое тело плотностью pi плавится при давлении р и абсолютной температуре Т, превращаясь в жидкость плотностью р2- Удельная теплота плавления тела L. Определите изменение энтропии AS и изменение внутренней энергии AU в результате перехода одного грамма вещества в расплавленное состояние.

8.8 (5 баллов). Атом может находиться в любом из двух квантовых состояний с разностью энергий Е・ Постройте качественную зависимость удельной теплоемкости С ансамбля таких атомов от абсолютной температуры Т. Не забудьте правильно отразить предельные случаи Г —► 0 и Т —► оо.

8.9 (5 баллов). Газ состоит из двухатомных 《жестких» (т. е. не колеблющихся) молекул. На основе квантовомеханического подхода определите молярную теплоемкость этого газа а) при «низких» температурах, б) при «высоких» температурах.

(Критерий для «низких» и «высоких» температур установите сами.)

8Л0 (5 баллов). Мощность излучения абсолютно черного тела в интервале длин волн от Z до Z + dZ равна E(A)dA・ Ниже на рисунке приведен график зависимости Е (X) при температуре тела 2000 К. Постройте в этом же масштабе зависимость Е (入)для температуры тела 1000 К・

入

8.11 (20 баллов).

Вычислите максимальную работу (в джоулях), которую может произвести тепловая машина, если в качестве первого теплового резервуара используется кусок железа массой 200 кг с начальной температурой 1500 ℃, а в качестве второго — вода океана с температурой 12 ℃. Удельная теплоемкость железа постоянна и равна 0,6 Дж/(Кт).

Вычислите изменение энтропии Вселенной, вызванное этим процессом.

8.12 (20 баллов).

Полупрозрачное зеркало с серебряным покрытием отражает половину падающего на него света, а другую половину пропускает. Предположим, что на зеркало падает линейно-поляризованный свет, электрический вектор которого параллелен плоскости зеркала. Определите изменения фаз отраженной и прошедшей волн (полагая толщину зеркала равной нулю).

Пучок монохроматического когерентного света с такой же поляризацией, как и выше, проходит в направлении А на систему зеркал, расположенных в углах прямоугольника, как показано на рисунке. Зеркала В и Е полупрозрачные, а С и Q отражают свет полностью. Оптические длины путей подобраны так, что в направлении G происходит полное интерференционное гашение света. По закону сохранения энергии в направлении 尸 должна наблюдаться интерференция с усилением света. Покажите, что это происходит на самом деле.

8.13 (10 баллов). Лучи света от предмета, помещенного в воду (с показателем преломления п = 4/з) пересекают сфери-

а) ОНа) ОНудален от пузырька по горизонтали на огромноеудален от пузырька по горизонтали на огромное

а) ОН

а) ОН

удален от пузырька по горизонтали на огромное

удален от пузырька по горизонтали на огромное

расстояние (практически на бесконечность) ? Выясните, является ли изображение прямым или обратным, действительным или мнимым.

б) предмет касается пузырька с левой стороны?

Рассмотрите только лучи, проходящие вблизи горизонтальной оптической оси.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

1.1. Здесь важно иметь в виду следующее: при обычных температурах к меди применим закон Дюлонга и Пти, т. е. ее молярная теплоемкость равна 3R 6 кал/(К-моль).

Атомы меди совершают колебания в трех направлениях относительно положения равновесия в узлах решетки. Потенциальная энергия атомов является квадратичной функцией смещений %, у н 2 0T положения равновесия, а кинетическая энергия ——квадратичной функцией скоростей d%/df, dyldt и dzlAt. Следовательно, имеется шесть степеней свободы 9- Частоты ко< лебаний таковы, что kT》方з, поэтому справедлив классический закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы, и молярная теплоемкость равна 6(R/2) = 3/R.

Удельная теплоемкость, или теплоемкость одного грамма вещества, показывает, во сколько раз она 'отличается от удельной теплоемкости воды, которая, согласно определению, равна 1 кал/(г -К). Следовательно, масса монеты здесь никакой роли не играет, существен лишь атомный вес меди:

cv ^ 3R (кал/К • моль) •:界賞=~у ^ 0,1 кал/(К • г).

1.2. Здесь стоит вопрос о порядке величины. Степень поляризации будет порядка 卩5〃/々7, где рБ— магнетон Бора. Она непосредственно следует из выражения для показателя степени при больцмановском распределении и в процентном отношении равна 100从山/々7\

Большинство физиков знают, что 卩^ « 10~20 эрг/Гс. Это значение нетрудно вычислить по формуле (ыБ = еЬ12теС. Магнитное поле Земли на средней широте равно примерно 0,5 Гс. Сле* довательно, при нормальных условиях

liBH/kT а (10-20) (0,5)/(1,4 ・ 10—6)(273) 107

Отсюда видно, что поляризация в действительности очень мала.

')В действительности здесь важно то, что число степеней свободы равно 3 и средняя кинетическая энергия молекул равна их средней потенциальной энергии. — Прим. ред.

1.3. Эту задачу можно решить формально, записав ста- тистическую сумму

Z = gx +^IkT}

и используя затем формулу, связывающую внутреннюю энергию со статистической суммой. Однако мы дадим решение, в котором применяется только распределение Больцмана.

Пусть 〃i — число молекул в состоянии 1, а п2 — число молекул в состоянии 2. Тогда

九2他=也/gi） exp （一苏信7）.

Рассмотрим один моль газа. В этом случае 九i + /?2 = "о — число Авогадро. Выражая п2 через AZ0 и пь имеем

（"о — 九 1）/© = 0/gi） exp （—歩/kT）.

Отсюда находим

勿=l + （g2/gi）exp（-&/^T）

И

“ _ Л^О （^2/^1） exp （- ^/kT）2— l + 3/gi）exp （—苏信T）

Следовательно, внутренняя энергия одного моля газа составляет

"внутр"внутр=九1 咅 1 + П2^Г 2 ==九1 咅 1 + П2^Г 2 ="0苏（g2/gj exp （一 君法7） 1 + 依2®） exp （- //々7）

"внутр

"внутр

=九1 咅 1 + П2^Г 2 =

=九1 咅 1 + П2^Г 2 =

Искомая молярная теплоемкость газа при постоянном объеме будет

、_ Р^внутр \ —

丿 внутрдТ 丿р —

i+-g-产网"修普产/q苏м) "修g.产仰言 产/叫岁/心

1.4. Здесь мы имеем дело, по существу, с зеркалом Ллойда.

Когда самолет летит очень низко над водой, на него падают две волны: прямая волна от передающей антенны РЛС и волна, отраженная от водной поверхности, прошедшая путь такой же длины от передатчика. (На рисунке положение самолета изображено умышленно выше, чтобы не произошло наложения прямого и отраженного лучей.) Поскольку при отражении от воды фаза волны изменяется на противоположную, то прямая и отраженная волны, идущие под малым углом к самолету, взаимно уничтожают друг друга, и на него не поступает никакого сигнала.

При некоторой высоте самолета над водой разность хода между обеими волнами может достигнуть значения 九/2, тогда РЛС принимает сильный отраженный сигнал. Вообще, прием сильных сигналов соответствует разности хода (几 +，2)九，где/г = 0, 1, 2 и т. д. При этом из рисунка видим, что (/г + %)九 ^ 2" sin 8, или // + 应 d sin 8 = (п + %)九d/2H. В рассматриваемом случае Xd/2H = (5) (2-104)/2(200) = 250 м. Таким образом, прием сильных отраженных от самолета сигналов соответствует высотам h = [(З/2, 5/2, ... и т. д.) • 250 — 200] м.

1.5. При достаточно большом отверстии камеры изображение любой точки объекта представляет собой геометрическую тень, отбрасываемую этим отверстием. Тень имеет форму диска с диаметром, примерно равным диаметру отверстия d.

При достаточно малом отверстии камеры изображение точки представляет собой дифракционный диск с угловым диаметром, равным приблизительно 2(l,22A/d) ^ 2,42i/d, или линейным диаметром на фотопленке около 2,4W/d. Чтобы получить резкое изображение объекта, эту величину следует уменьшить. Оптимальный диаметр отверстия соответствует случаю, когда размеры дифракционного изображения и геометрической тени одинаковы, т. е. когда

или d = «2,4A£>・

Световой поток, пропускаемый отверстием камеры, пропорционален площади этого отверстия, т. е. d?. Площадь изображения объекта на фотопленке пропорциональна D2. Следовательно, освещенность пленки L пропорциональна отношению

万= 2,42,4万，или 厶〜万♦

Время выдержки обратно пропорционально освещенности L, или прямо пропорционально D.

1.6. Средняя длина свободного пробега 九 дается формулой 九 ^ \/nS, где п ——число молекул в единице объема, a S = =nd2 ——сечение столкновения. В нашем случае

孔=(10-4/760)(б,о . Ю23/22,4 • 103)==3,53 • 1012 молекул/см3.

Для величины d можно принять значение, в четыре раза превышающее радиус первой боровской орбиты, т. е. d ^ 2-10~8см. Подставляя в формулу для X значения п и d, получаем

九=1/(3,5 • 1012) л(4 • 1()76) = 230 см.

Столь большая величина X указывает на то, что образовавшиеся в результате диссоциации молекулы атомарного водорода не испытывают никаких столкновений с остальными молекулами и беспрепятственно движутся к стенкам сосуда. Таким образом, скорость спада давления полностью определяется числом молекул, диссоциированных на разогретой спирали в единицу времени.

Число молекул, бомбардирующих поверхность спирали в единицу времени, равно C/Q/zDA, где у ——средняя скорость молекул (t^ = ^8RT/nM ). Следовательно,

方(叫=-扌面4

откуда

n = n^e'~^MV}t\

здесь V — объем сосуда (1 л). Поскольку давление газа в сосуде пропорционально числу содержащихся в нем молекул п, то последнее выражение эквивалентно следующему:

р = р^ ^А^\

Таким образом, давление р спадает со временем по экспоненциальному закону. Время /, в течение которого давление уменье шается в 10 раз, находим из уравнения

°и丄 или 4Po,4343 *

Следовательно,

“0,4343уЛ *

Подставляя сюда V = 103 см3, Л = 0,2 см2 и

V = “(8)(8,31£)(30® = ]7,8 ,104 см/с, получаем

£=(4)(103)— с

“ —(0,4343) (17,8 • 104) (0,2) —

Это время, за которое давление спадает в 10 раз. Чтобы давление снизилось в 1000 раз требуется время / = (3) (0,26)= =0,78 с.

1.7. Диаграмма Р — Т для воды приведена ниже на рисунке. Кривая плавления имеет отрицательный наклон, и ее производная терпит разрыв в тройной точке, где сходятся кривые сублимации (возгонки) и испарения. Обе эти особенности кривой следуют из уравнения Клапейрона——Клаузиуса

dP L

Отрицательный наклон кривой плавления объясняется тем, что объем воды при замораживании увеличивается. Наклон кривой испарения меньше наклона кривой сублимации вследствие

того, что теплота парообразования меньше теплоты сублимации довательно, при нормальных условиях

Процесс, который требуется рассмотреть в задаче, соответствует спуску по вертикальной прямой, проходящей через точки Л и S. В точке Л жидкость, находящаяся при высоком давлении, переходит в твердую фазу. В точке В происходит сублимация этой фазы.

Чтобы вычислить давление РА в точке Л, нужно найти изменение давления вдоль кривой плавления, соответствующее понижению температуры на 1,01 градуса. Определяем сначала

dP _ L 〜(80) (4,184 - 107)// 2 т/、1 атм

而=ТДЙ (273) (1,0001 - 1,0907) 口НН/СМ •而у?斫通而р =

=—133,6 атм/К・ Следовательно,

Ра = Р (в тройной точке) + 133,6 • 1,01 —

=Р (в тройной точке) + 134,9 атм ^ 135 атм.

Чтобы найти давление Рв в точке В, мы должны найти изменение давления вдоль кривой сублимации при понижении температуры на те же 1,01 градуса. Для простоты будем полагать, что к пару применимо уравнение состояния идеального газа PV = riRT.

Отсюда

几ар =(22,4 •斉)(瑞)=2,06 - 105 см3/г и

丝 _ (80 + 596) (4J84 • 107)1 мм рт. ст. 八

仃 273 - 2,06 • 1051,359-980 дин/см3 °»378 ММ РТ.

Следовательно,

Рв = Р (в тройной точке) — 0,378 • 1,01 = =4,58 — 0,38 = 4,20 мм рт. ст.

2.1.

2з

п =粤=厂 ^ 3 • 1019 молекул/см3.

Средняя длина свободного пробега 厶=1/лпа, где о —— диаметр молекулы №： о 々^ 3-10~8 см. Следовательно,

丄—冗(з・向9)(з・ io-8)2 н 85-ю3 ^ 1,2 10 СМ，

Среднюю кинетическую энергию одной молекулы N2, или ут<А(Ь

следует приравнять 然)々？：

^俏储不吗⑵

откуда

Чтобы удалить молекулу азота с поверхности Земли, нужно совершить работу против поля земного притяжения. Эта работа дается выражением 】)

F го

Работа = (Разность потенциалов) •优=mg \ — dr = mgr^ (3) Го

где Го — радиус Земли. Используя выражения (1) и (3), находим необходимое условие, когда молекулы N2 удаляются в космос:

^ kT = mgr откуда получаем

—2m^ro — 2Mg% _ ?・28・9§0・6,38・108

T —3R 3.8,31.10^140 000 K・

Здесь M — молекулярная масса азота, равная 28 г/моль.

2.2.

Скорость звука в воздухе дается выражением

где Л1 ^ 29 г/моль ——средняя молекулярная масса воздуха, у — =Cplcv = 1,40, R = 8,31 • Ю7 эрг/(моль»К) и Т = 273 к. После подстановки получаем

V « 331 м/с.

К. п. Д. = (Т1 —「2)/Т1 ⑺ ＞，2)・

При адиабатическом размагничивании парамагнитной соли ее температура падает до очень низкого значения ~0,01 К.

2.3.

Пусть gi(RT) и g2(P, Т)—термодинамические потенциалы Гиббса для двух фаз вещества. При фазовом переходе первого рода они обладают следующими свойствами:

方仍，T) = g2(P, т), но

dg](P? 7) dg2(P, 7)дТ 彳 дТ

И

@gi(E Т) * dg2(P 7)・dP 千 дР—"，

здесь Т и Р — температура перехода и давление паров соответственно. Для простой системы, описываемой параметрами Р, и и Т, справедливо уравнение

dg = — s dT + V dP, где

(需)И (и)Г и

Отсюда видно, что

Si * $2 И U[ * О?.

s = k\n W\ здесь Wтермодинамическая вероятность данного состояния.

Как было показано в решении задачи III. 1.1, молярная теплоемкость меди равна 3R, а удельная теплоемкость

cv =醬 0,1 кал/(г • К).

I.2.4. Пусть С(Т)—теплоемкость тела, 取нагр(Т)—мощность нагрева и Потери — тепловая мощность, теряемая телом.

В равновесном состоянии

^нагр(П = ^потери (П.

В процессе охлаждения тела величина Т^потери(Т) связана с теплоемкостью тела С(Т) и температурой Т соотношением

С(г)^- = гпотерй(п,(1)

где ДГ/Д/—изменение температуры в единицу времени. Пользуясь данными из табл. 3, строим графики зависимости Т и

х70"8х70"8100200300400500Л с100200300400500Л с

х70"

8

х70"

8

100200300400500

Л с

100200300400500

Л с

АТ/А/ для процесса охлаждения. Из последней кривой определяем значения А7/А/ для температур Т = 25, 30, 35 и 40 °C.

Таблица 3

т, ос WHarp = wпотерн' аг/а/, к/с 「匸 ^грВтATVAt '

66

8 3 1 и

3 4 4 4

6 6 2 7

2 4 7 9о о о оасгаа

12 3 4

25303540

Подставляя их, а также значения 1^ПОтери =步нагр в формулу (1), определяем числовые значения С(7), которые представлены в последнем столбце табл. 3.

Разделив значения С(Т) (см. табл. 3) на массу тела 100 г, получим удельную теплоемкость с(Т) в единицах Дж/(К-г).

2.5. Согласно распределению Больцмана, число частиц N^Ei), находящихся в i-м состоянии (f = 1, 2, 3), пропорционально ехр (——Ei/kT). Поэтому для чисел частиц с энергиями Ei = 0, Е2 = Е — kT и Ез = 2Е = 2kT получаем следующее соотношение:

М：М：М=1 ：е-1 ：еТ(1)

Поскольку общее число частиц должно сохраняться, то

№1 + %2 + "з = М(2)

Из формул (1) и (2) находим

1/е + 1/е2 “

мм 2

— Г+ 1/е+ 1/е2 7 и

= Т + 1/е + 1/е2 7Г •

Полная энергия системы определяется выражением

Е = ЕМ + ЕМ + Ез№ = I + 歌3疗 & + 备)

и по условию задачи равна 1000 kT. Следовательно, искомое число частиц равно

2.6.

Воспользуемся правилом фаз Гиббса 尸=с — р + 2, где 尸——число термодинамических степеней свободы, с ——число компонент системы и р — число фаз.

В условии задачи сказано, что температура системы поддерживается постоянной и равной 0 ℃. Следовательно, одна степень свободы исчезает. Так как с = 1 и р = 2, а температура постоянна, мы имеем F = 1 — 1 = 0. Это говорит о том, что на диаграмме Р — Т равновесному состоянию отвечает лишь одна точка. Ее положение зависит только от давления, и число фаз системы в этом состоянии не может быть больше двух. Начальное давление паров под колоколом равно нулю. Из диаграммы Р ——Т мы видим, что вода и лед должны испаряться. Давление паров растет до тех пор, пока не достигнет значения, соответствующего точке Л. В конечном состоянии вся вода исчезнет: часть ее превратится в пар, а остальное ——в лед. Именно этому конечному состоянию системы соответствует точка Л на диаграмме 尸一Т.

Если система теплоизолирована, то, согласно правилу фаз Гиббса, должны сосуществовать одновременно три фазы: при с = 1 и 尸=0 имеем р = 3. Конечное состояние системы соответствует тройной точке.

получаем

/ = 0,18 м.

2.10. По принятым нормам среднее расстояние наилучшего зрения равно 25 см, и обычно на этом расстоянии от глаза находится изображение предмета, видимое в микроскопе.

2.11. Амплитуда волны в центре экрана пропорциональна ширине щели. Следовательно, интенсивность света в центре увеличится в 4 раза 1). Энергия света, проходящего через щель, возрастет в 2 раза.

2.12. Интенсивность колец в отраженном свете будет меньше, чем в проходящем, поскольку коэффициент отражения стекла при нормальном падении света мал).

2.13. Поляризация будет линейной.

2.14. Интенсивность света в центре экрана станет равной нулю, когда радиус диафрагмы совпадет с радиусом второй зоны Френеля, т. е.

R = 7而.

2.15. Воспользуемся формулой линзы

А占=+

и найдем из нее р:

р=4(1 土 V1 -))•

Отсюда получаем условия

/<%/ = 4/ и />4f,

соответствующие следующим числам реальных значений р, а именно 0, 1 и 2.

2.16. п = 1,5, dn/dK = 10- 1/А.

См. Г. С. Ландсберг, Оптика,《Наука》，М., 1976, стр. 172—179.— Прим. ред.

2.17. Используем формулу 0 + ⑺ =厶 В исходном положении линзы Mi = q{р、= 7г- Следовательно, 2力 + 9i = /. Отсюда 91 = //3 и pi = 2//3. В другом положении линзы р2 = =//3, а 令2 = 2//3, поэтому М2 =倣/"2 = 2. Таким образом, размер изображения вдвое превышает размер источника.

2.18. Первый минимум в дифракционной картине Фраунгофера соответствует углу

6=1,22-^,

где d ——диаметр зрачка. Следовательно, изображение звезды на сетчатке глаза имеет диаметр

厶 в = 2(1,22^" = 2,44 绥.

Здесь D ——расстояние от зрачка до сетчатки. Если принять d 5 мм = 0,5 см и Z) 3 см, то D/d 6 и

d3B = 2,44.6^=14,6-5- 10~5 см^7・ IO"4 см.

2.19. В случае мнимого объекта, расположенного в зеркале.

2.20. Согласно критерию Рэлея, максимальная разрешающая способность оптического прибора соответствует условию, когда главный максимум дифракционной картины от одного точечного объекта точно совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого близко расположенного с первым точечного объекта. Этому условию отвечает минимальное угловое разрешение оптического прибора. Например, в слу・ чае круглой диафрагмы

6 = 1,22%

где d — диаметр апертуры.

2.21. Выбор / не произволен. Чтобы система имела отри- дательное фокусное расстояние, должно выполняться условие f<K2f.

Согласно закону Снеллиуса

sin 01 =nsin02.

Отсюда при малых углах падения 01 имеем

(О⑵(О⑵Аналогично, поскольку угол а мал, для второй грани призмы можно записать.

(О

⑵

(О

⑵

04 = n03.(3)

Из простых геометрических соотношений между углами треугольников (первый рисунок) имеем

а + л — а'=兀, или а' = а.

Следовательно, а = 62 4- 03(4)

и

6 = (01- 02) + (04 -03).(5)

Из соотношений (2) — (5) находим угол отклонения лучей б;

6 = (п — 1) а,

который, как мы видим, не зависит от угла падения 0ь

Пусть О' — мнимое изображение точечного источника в призме.

В п.《а》было показано, что любой луч, проходя через призму, отклоняется на угол 5.

Из второго рисунка мы видим, что расстояния от мнимого изображения О' и от источника О до призмы в первом приближении одинаковы, поскольку углы аир малы. Подставляя расстояние ”

в формулу Гаусса для линзы, получаем

(3/2)f 十 g f *

Отсюда находим положение изображения по горизонтали q = 3f.

Отклонение положения мнимого изображения источника 00’по вертикали связано с углом 6 соотношением 00х = f6. Теперь легко найти положение изображения, даваемое линзой по вертикали IIх. Поскольку

IP = q00, 一 р，

ТО

1Г = — 2 + 00’ = — 2沁=一 2f 仇一1) а.

Здесь знак — означает, что изображение расположено ниже оси системы.

HI. 3.2. Такой оптический прибор называется пропускающим эшелоном. Принцип действия его аналогичен щелевой дифрак-

ционной решетке. Изменение фазы б, вносимое одной «щелью» относительно другой, дается выражением

2冗[(〃 一cos 8) / + s sin 6]

где 0 — угол между дифрагированным лучом и падающим пучком. В случае малых углов дифракции 0 имеем

62冗[(〃 一1) / + s6]⑴

Применим теперь формулу для углового распределения интенсивности света на Л/-щелевой дифракционной решетке:

sin2 Рsin2 Рsin2 N ~^~sin2 N ~^~sin2sin26Т6Т⑵⑵

sin2 Р

sin2 Р

sin2 N ~^~

sin2 N ~^~

sin2

sin2

6Т

6Т

⑵

⑵

здесь

6 = ±ssine 今s9・

Множитель sin2 р/р2 обусловлен дифракцией от одной «щели», а множитель sin2("5/2)/sin2(6/2) связан с интерференцией пучков от ^ «щелей》.

Дифракционные максимумы соответствуют значениям

Y = 0» 叫 2л,...,

или

冗[(〃 —1) / + s6]

^ = тл, где m — целое число.

Отсюда находим углы, соответствующие максимумам в дифракционной картине:

9 =；卽九一仇一1川w %•(3)

Подставляя в формулу (3) значения 0 ^ 0, м == 1,5, / = 0,5 см н 入=5000 А, получаем

g[m(5・ 10书—(0,5)2] ^0.

Следовательно, порядок интерференции

т = 5 • 103.(4)

Выражение для угловой дисперсии Д9/ДХ можно получить непосредственно из формулы (3). Для малых значений d〃/d九 оно имеет вид

需=45 一备)^告，(5)

Разрешающая способность эшелона зависит от углового расстояния Д0 между главным максимумом и ближайшим минимумом в интерференционной картине m-го порядка. Дифракционные минимумы соответствуют значениям

6I «ГС

万=团冗+下，

или, если учесть (1), углам дифракции

0m = у [击 + /п九一 (м — 1) f] •(6)

Из (6) и (3) находим угловую полуширину главного максимума

№ =(鼠— ％) = ；｝・(7)

Пусть 01 и 02 — углы дифракции, соответствующие главным максимумам на длинах волн Xi и 入2・ Предельное угловое разрешение эшелона дается формулой (7), когда Д9 равно разности углов дифракции 也 и 02：

А9 —员=｝令・

Из формулы (3) находим 01 — ® Тогда последнее выражение принимает вид

111 X

? [m%i — (п — 1) /]——[团九2 — 仇一1) /]=彳万，

откуда следует, что разрешающая способность эшелона равна

”「=与=加n = (5・ Ю3)(40) = 2- 105.

Л1 一 Лг АА

световой волны следующим об-световой волны следующим об-3.3. Компоненты электрического вектора с правой круговой поляризацией записываются разом:

световой волны следующим об-

световой волны следующим об-

Ех = Еo sin (曲一①-^-)

Еу = Ео sin (о/ + 90° — о 备).

Поскольку Пе V 九。,то ve > v0. Предположим, что оптическая ось первой пластинки направлена по оси %. Тогда компоненты электрического вектора на выходе первой пластинки принимают вид

國〜sins/

成)〜sin (со/ + 90° + 90°) = 一 sins%

т. е. свет на выходе пластинки является линейно-поляризованным, причем вектор поляризации составляет с оптической осью пластинки угол 45°.

а) В случае 8 = 0 компоненты электрического вектора на выходе второй пластинки равны

或)~ sin со/

и

Еу} ~ sin(①/ — 90°) = — cos①/・

Следовательно, свет имеет левую круговую поляризацию.

В случае 0 = 45° фаза компоненты Ех относительно Еу не изменится, и свет останется линейно-поляризованным, как и на выходе первой пластинки.

В случае 0 = 90° имеем

£*9)~ sin (со/ + 90°) = cos 就 и

e伊~ - sin叫

т. е. получаем свет с правой круговой поляризацией.

Две четвертьволновые пластинки эквивалентны одной полуволновой только в одном случае: когда 6 = 0.

3.4.

При наличии источника неполяризованного света оба поляризатора можно опознать по изменению интенсивности света, проходящего одновременно через них. Интенсивность пропорциональна cos2 9, где 9 — угол, под которым скрещены оба поляризатора.

Скрестим оба поляризатора под углом 0 = 90°. Свет через такую систему совершенно не проходит.

Поместим любой из остальных элементов между двумя поляризаторами и будем поворачивать его вокруг оси светового пучка. Пусть интенсивность света на выходе первого поляризатора равна //2. Тогда

если максимальная интенсивность света на выходе второго поляризатора также равна //2, то неизвестный элемент — полуволновая пластинка (этот случай соответствует повороту полуволновой пластинки относительно любого из поляризаторов на угол 45°);

если• интенсивность света на выходе второго линейного поляризатора постоянна и равна //8, то неизвестный элемент——круговой поляризатор (поскольку каждый из трех элементов ослабляет интенсивность света вдвое);

если интенсивность света на выходе второго линейного поляризатора изменяется от 0 до //4, то имеем четвертьволновую пластинку (максимум интенсивности получает-

ся, когда оптическая ось пластинки образует угол 45° с оптической осью любого из поляризаторов и каждый из них ослабляет свет вдвое).

Если в наборе имеется только один линейный поляризатор, то его и круговой поляризатор можно отделить от остальных двух элементов, пользуясь тем, что любой из этих двух поляризаторов ослабляет интенсивность света от лампы вдвое, в то время как остальные элементы таким свойством не обладают.

Теперь можно опознать каждый элемент отдельно, манипулируя между двумя поляризаторами любой из оставшихся двух пластинок, пока не представятся следующие два случая расположения:

Между четвертьволновой пластинкой и лампой находится круговой поляризатор. Вся эта система выполняет функцию линейного поляризатора, как показано на первом рисунке.

Лампа. Круговой Четвертьволновая Линейный поляризатор пластинка. поляризатор

При вращении крайнего линейного поляризатора интенсивность света в направлении 4 должна изменяться как cos2(0 + ^/4), где 0 ——угол между осями линейного поляризатора и четвертьволновой пластинки. Заметьте, что при вращении первого (кругового) поляризатора интенсивность света в направлении А меняться не должна.

Между четвертьволновой пластинкой и источником света расположен линейный поляризатор. Если оптические оси четвертьволновой пластинки и линейного поляризатора образуют угол ±45°, то эта система выполняет функцию кругового поляризатора (см. второй рисунок).

ВВ

В

В

ЛампаЛампаЛинейный Четвертьволновая круговойполяризатор пластинка поляризатор

Лампа

Лампа

В этом случае свет в направлении В либо проходит, либо не проходит в зависимости от того, под каким углом, +45 или ——45°, скрещена пластинка относительно линейного поляризатора. Заметим, что интенсивность в направлении В остается постоянной при вращении второго (кругового) поляризатора.

Система, состоящая из полуволновой пластинки и двух остальных элементов, не способна полностью ослабить первоначально неполяризованный пучок света. Следовательно, произведя опыты по п. 1 и 2, мы тем самым идентифицировали все четыре оптических элемента.

III. 3.5.

В статистической физике энтропию определяют следующим образом:

S = k\x\W (勿)，

где tii ——среднее число частиц в i-м состоянии, а 步(м»)——число всевозможных способов реализации системы из совокупностей частиц Mi, f = 1, 2, .... В нашем случае

取（加=取（加=м%i!%2!м%i!%2!

取（加=

取（加=

м

%i!%2!

м

%i!%2!

где гл и п2 ——число атомов с прямой и противоположной ориентациями спинов соответственно, причем щ + п2 = ^. Поскольку 〃i》1, можно воспользоваться формулой Стирлинга

Inn! =n(lnn — 1).

Таким образом, получаем

S =々［N In N —仇1 In ni+n2 In 〃2)一N + (〃i+几2)】=—力 £ 勿 Е?・

В нашем случае i = 1, 2, т. е.

S=—々(勿 In-—- + 几2m号)•(1)

Энтропию можно определить и другим способом. Опытным путем было установлено, что если количество тепла, сообщаемое системе в каждой точке любого непрерывного процесса, разделить на температуру Т и проинтегрировать полученное отношение, то результат оказывается независимым от пути интегрирования. Поскольку в физике инварианты играют большую роль, то приведем эту величину:

тт

睪用号L⑵

оо

При Тт 0 все спины принимают одинаковую ориентацию. Следовательно, ri\ = ^, п2 = 0, и из (1) получаем So = = 01). При Г —► оо спины ориентированы беспорядочно, и 〃i = =几2 = N/2. В этом случае

Sg = — hN In (先)=力乂 In 2.(3)

Из ⑵ и ⑶ следует

屮Inezо

3.6. Среднюю скорость теплового движения молекул газа V можно считать постоянной, поскольку температура сосуда неизменна 2).

Среднее значение скорости, с которой молекулы газа движутся через отверстие, определяется выражением

1

\ п(V cos 0) d (cos 0)

)nd (cos 9)

Число молекул, покидающих сосуд в единицу времени, равно dn — nvA __ nvA .

здесь /г — число молекул, оставшихся в сосуде; А — площадь отверстия; V — объем сосуда. Решение уравнения (1) имеет вид м = ехр (—扑 f).

Таким образом, полагая n = п^еь находим искомое время

“ 4V

/ = —г，где v = л/.

vAV"他

3.7. Согласно закону Стефана ——Больцмана, плотность мощности излучения абсолютно черного тела, имеющего температуру Т, равна

£ (Т) = аГ,

Рассуждения автора непоследовательны, так как выведенное на основе формулы Стирлинга выражение (1) неприменимо при пг -> 0. Правильное доказательство So = 0 (теорема Нернста) см. в учебниках по статистической физике. — Прим. ред.

А также потому, что газ из него вытекает медленно. — Прим, перев.

Здесь m ——масса одной молекулы. — Прим, перев,

где о ——постоянная Стефана ——Больцмана. Применяя к излучению закон обратных квадратов, находим плотность мощности солнечной радиации на Земле:

為(4)2-

Следовательно, Земля поглощает излучение мощностью

殳=о爲(■§『№(1)

которая предполагается равной мощности теплового излучения Земли:

£з = оТМ冗产.(2)

Из (1) и (2) находим

丁4 = 7：(备-)‘ или 7 = д/-^-Го = 4,82 • 1О""2Го-

Следовательно, 7 之 275 К, что не сильно отличается от комнатной температуры.

IIL4.1. В соответствии с первым началом термодинамики и определением энтропии имеем

TdS = Cv dT + PdV.(1)

Изменение энтропии газообразного азота, если он занимает постоянный объем, а температура его повышается от То = =0 ℃ до 7 = 100 ℃, вычисляется по формуле

т

Г C“dT373

ASn2 = \—^— = & ln^~ = 0,312Су.(2)

Молярная теплоемкость двухатомного газа при комнатной температуре равна (5/2)R・ Следовательно, теплоемкость одного литра этого газа составляет

a=4$今2 •击=0,223 кал/k.

Подставляя это значение Cv в формулу (2), получаем

ASn2 = 0,312 • 0,223 = 0,0696 кал/К.

Изменение энтропии резервуара при температуре 100 ℃ равноАЗрез =岩^ = 一 迎熟哑■ = - 0,0598 кал/К.

Следовательно, энтропия Вселенной изменяется на

ASbc = ASn, + ASpe3 = 9,8 • КГ’ кал/К>

Пользуясь тем, что одна из стенок сосуда подвижна, можно вначале газ сжать адиабатически, а затем, когда его температура поднимется до 100 ℃, привести сосуд в контакт с тепловым резервуаром и заставить газ расширяться изотермически до первоначального объема.

При адиабатическом процессе энтропия не изменяется. При изотермическом процессе изменение энтропии азота составляет (Q/T), а теплового резервуара (—Q/T). Таким образом, общее изменение энтропии Вселенной равно нулю:

(0) + (Q“) + (-Q/T) = 0・

III.4.2. Подставляя в формулу линзы

значения р = 20 см и f = 10 см, определяем положение изображения, полученное с помощью первой линзы: g = 20 см. Это изображение служит объектом для второй линзы и находится от нее на расстоянии 70 ——20 = 50 см. Пользуясь формулой линзы, находим положение изображения, даваемое второй линзой и отстоящее от нее на расстоянии 12,5 см, как показано на рисунке.

Если третью линзу поместить точно в то место, где расположено первое изображение, то для второй линзы его положение как объекта не изменится, и, следовательно, положение изображения в системе останется неизменным. Чтобы произошло увеличение светосилы системы, третья линза должна быть собирающей.

На рисунке показан луч света, теряемый в отсутствие промежуточной линзы. В лучевой оптике ее называют иногда полевой линзой.

Ш. 4.3. Положение светлых колец Ньютона дается формулой

2(养+ 4)=(例+》，

где rm—радиус m-го светлого кольца, a d — поправка к толщине слоя, учитывающая недостаточно плотное соприкосновение сферической и плоской поверхностей. Подставляя в эту формулу значения

R = 50cm, r3 = 0,09 см и &з = 0,25 см,

получаем

2d"旷L = 2九 для m = 3(1)

и

. 0,062547 с

2d-]郁一=-^■九 для m = 23.(2)

Исключая d в одном из выражений (1) или (2), находим

九= 5,44 ・ 10-5 см = 5440 А.

4.4.

Согласно условию задачи, вода и пар в состояниях 1 и 2 находятся в равновесии при температуре Ti. Следовательно, давление паров воды「и, которое в общем случае является функцией только температуры, остается постоянным. Обозначим через ро парциальное давление воздуха в системе в состоянии 1. Тогда придем к следующим соотношениям:

Pi = Pn + po = 3 атм,(1)

Р2 = Рп +号=2 атм,(2)

нз которых находим

рп = 1 атм и ро = 2 атм.

Поскольку 夕ц равно одной атмосфере, и этому давлению паров соответствует точка кипения воды при нормальных условиях, то приходим к выводу, что

П = 100℃.

Если % = 2丿2, то Рз = P2V2/V3 = 1 атм.

Полагая V2 = 44,8 л,。口 = 1 атм и Г： = 100 ℃, находим число молей воды и воздуха:

仆如=%озд =(W)⑵=，46 моль.

Молекулярная масса воды составляет 18 г/моль, а воздуха 29 г/моль. Следовательно, масса воды в граммах равна 18•/ода = 26,28 г, а масса воздуха 29/возд = 4»,34 г.

4.5.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Поэтому при свободном расширении этого газа изменения его энтропии не происходит:

Т AS = AQ = AU + AIF = 0 + 0 = 0.

Энтропия одного моля идеального газа, находящегося при температуре Т и давлении р, дается выражением

S(T, р) = СрШ-R\np + K.

где К ——числовая константа. Для смеси двух молей идеального газа с одинаковыми температурами и объемами имеем

Si 2 С, Р)= (J + Ср) Е Т — 2R In р' + 2^.

Здесь “ 一 парциальное давление любого из газов. После сме* шения каждый газ занимает вдвое больший объем, поэтому

, 1

Следовательно, изменение энтропии равно

В случае смешения двух объемов одного и того же газа давление газа в конечном состоянии равно давлению в исходном состоянии, поэтому изменения энтропии не происходит.

4.6.

(1)(1)Энергия фотона с длиной волны 6200 А равна

(1)

(1)

Следовательно, общее число фотонов, испускаемых в одну секунду источником света мощностью 1 Вт, составит

°• 1018 фотон/с.(2)

2 • 1,0 • 1U

Каждый фотон обладает моментом импульса

Суммарный момент импульса !), переносимый светом в одну секунду, равен

%=备=人力 ^(3. 1018)(10-27)= 3 .]оУ ^h .еm.

Его направление параллельно или антипараллельно направлению распространения в зависимости от того, является ли свет лево- или правополяризованным.

Пусть ПП обозначает правую круговую поляризацию фотонов, а ЛП — левую круговую поляризацию. При полном отражении света от зеркала электрический вектор волны изменяет фазу на 冗.Поэтому ПП-фотон после отражения становится ЛП-фотоном. Однако направление момента импульса в пространстве не изменяется. Следовательно, суммарный момент импульса, передаваемый пластинке в одну секунду, равен нулю.

После прохождения полуволновой пластинки ПП-фотон превращается в ЛП-фотон, поэтому на пластинку действует момент, вдвое превышающий вычисленный в п.《а》：

施=:=2та.

Полуволновая пластинка превращает ПП-фотон в ЛП- фотон, который после отражения от посеребренной поверхности вновь становится ПП-фотоном, а пройдя еще раз полуволновую пластинку, оказывается ЛП-фотоном. Сравнивая этот фотон с первоначальным, заключаем, что вращательный момент, действующий на пластинку, равен нулю.

ПП-фотоны на выходе полуволновой пластинки становятся ЛП-фотонами.

ЛП-фотоны на выходе четвертьволновой пластинки превращаются в линейно-поляризованные фотоны,

Линейно-поляризованные фотоны после отражения от зеркальной поверхности остаются линейно-поляризованными, причем направление вектора поляризации меняется на противоположное.

') Автор рассматривает свет, поляризованный по кругу, что в квантовой теории соответствует одинаковому направлению спинов фотонов. — Прим. ред.

7 Зак 743

Линейно-поляризованные фотоны, проходя четвертьволновую пластинку в обратном направлении, становятся ЛП-фотонами.

ЛП-фотоны, проходя в обратном направлении через полуволновую пластинку, превращаются в ПП-фотоны.

Что касается пластинки, то на нее попадают один ПП-фотон снизу (передаваемый им момент импульса равен 方J) и один ЛП-фотон сверху (J), а покидают ее один ЛП-фотон вверх ⑴ и один ПП-фотон вниз (，). В результате имеем

Таким образом,

% = 4%.

4.7.

Число рождающихся мальчиков определяется выраже^ нием

〃м〜Р + (1-Р)Р + (1-Р)2Р+ ... +(1-Р)〃Р+ ...=

= Р[1+(1-Р) + (1—Р)2+ .・・]

где Р ——вероятность рождения мальчика, равная 51 %. Число рождающихся девочек

乙〜(1-Р)+(1-Р)2+ ... +(i—p『+ ・.・=

= (1—Р)[1+(1—Р) + (1—Р)2+

Из этих соотношений получаем, что ггм/пд = Р/(1 — Р). Таким образом, после ограничения рождаемости мальчики будут, как и прежде, составлять 51 % рождающихся детей.

Поступим следующим образом:

Направим электромагнитное излучение известной частоты vo в направлении объекта.

Измерим интенсивность излучения объекта на нескольких частотах: vo, v0 士 Av, vo 士 2Av,

Построим зависимость интенсивности принятого устройством излучения от частоты. В случае абсолютно черного тела эта зависимость должна быть монотонной. Если же объект — не абсолютно черное тело, то на графике появится пик при частоте vo, вызванный отражением от объекта падающего излучения, имеющим ту же частоту.

Для дополнительной проверки можно перестроить излучаемую устройством волну на новую частоту vo + Av. Если объект является абсолютно черным телом, то спектр излучения его останется прежним. В противном случае от・ меченный ранее пик сместится на частоту v0 + Av. На явлении отражения излучения основана работа радиолокатора.

4.8. При термодинамическом равновесии распределение протонов по состояниям описывается функцией распределения Максвелла — Больцмана〔）

門 ххр（爵）=ехр（费卜

"（个）+ "口）k+1 м•"（个）+ "口）k+1 м•Следовательно, для поляризации Р получаем

"（个）+ "口）k+1 м•

"（个）+ "口）k+1 м•

HI. 5.1.

При низких температурах внутренняя энергия газа равна Е = 3/2RT, а молярная теплоемкость cv =恥工 Они соответствуют трем степеням свободы — трем компонентам импульса, квадратичная форма от которых определяет кинетическую энергию молекулы. Колебательные и вращательные движения запрещены, поскольку энергия теплового движения kT меньше разности энергетических уровней между первым возбужденным и основным состояниями молекулы. С ростом температуры молекулы начинают вращаться. При этом теплоемкость становится равной

поскольку у молекулы появляются две дополнительные степени свободы, связанные с ее вращением. При еще более высоких температурах cv = ‘厶欠.Увеличение коэффициента обусловлено возникновением у молекул двух колебательных степеней свободы. При очень высоких температурах мы должны учитывать возбуждение электронных уровней.

£） Здесь Е⑴ и E（J） обозначают энергии протонов со спинами, направленными по магнитному полю и против него. — Прим. ред.

7*

HI. 5.2.

箏=翦/2 = 0,33/2 Дж/(К • с).

HI. 5.3. Хуже. Теплообмен пропорционален скорости потока жидкости. Не4 при температуре ниже точки Z-перехода (Т 比 « 2,2 К) становится сверхтекучим, и скорость потока его может быть огромной. Не3 ведет себя как нормальная жидкость и имеет обычную вязкость при низких температурах. Следовательно, скорость потока Не3 меньше скорости потока Не4.

5.4. При одномерном рассмотрении потенциальная энергия молекулы газа в трубке в точке х (отсчитываемой от оси вращения трубки) дается выражением

Е =Е =то2%2то2%2

Е =

Е =

то2%2

то2%2

где т — масса молекулы. Плотность молекул подчиняется больцмановскому распределению:

Р W = Р (0) ехр (喘广)；

здесь М ——масса одного моля газа, a R ——универсальная газовая постоянная.

Замечание. М = NQm и R = Nok, где Nq — число Авогадро и k ——постоянная Больцмана.

5.5. Согласно теореме Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы, имеем

Пот. эн. = ^ СО2 =-—尼Т,

Следовательно,

* = 丁 и 02 = —j-.

Эти величины от давления не зависят.

5.6. В процессе В —► С, показанном на рисунке в условии задачи, система поглощает тепло

QBC=^TdS = ^521 = 75 000 Дж. в

В процессе С -^ А она отдает тепло QCa = 100-500 == 50 000 Дж.

Поскольку Qab = 0, то к. п. д. машины равен

「Работа「Qbc 一QbC Qbc「Работа「Qbc 一QbC Qbc=33,3% ・=33,3% ・

「Работа「Qbc 一

QbC Qbc

「Работа「Qbc 一

QbC Qbc

=33,3% ・

=33,3% ・

5.7. Разность удельных энтальпий системы между двумя близлежащими точками термодинамического равновесия дается выражением

d九=(需)户+ (职卡.

где по определению

Если газ охлаждать путем уменьшения давления р, то(黑入 >。・

Используя соотношение

(— (dh/dT)p — Ср

WA — RpidT工W7W

и тот факт, что ср > 0, получаем

\ др)т (dpldT)h

5.8. Вязкость газа очень слабо зависит от давления (при увеличении давления до 1000 атм она при постоянной температуре возрастает всего на 20—40%). Поэтому средний квадрат смещения частицы не изменится.

5.9. Для описания излучения абсолютно черного тела рассмотрим следующее уравнение для TdS:

TdS = CvdT + Т (需力 dV

и соотношения !)

Тогда получим

Т dS = Q = — T3V dT + TdV, откуда

dV . 3* с

1= U.

')В этих соотношениях и — плотность энергии системы, U = uV — ее внутренняя энергия, о — постоянная Стефана ——Больцмана и с ——скорость света. — Прим, перев.

После интегрирования имеем

УГ3 = const.

Следовательно, в результате адиабатического расширения камеры получаем

Тконед = （ J吧）/ Гнач.\ и конеч /

Поскольку Уконеч = 8%% ТО

^конеч == ~2 ^нач,

т. е. температура уменьшится в два раза.

5.10. Изменение энтропии определяется выражением

AS =AS =77Механическая работа — ^Л21=

AS =

AS =

7

7

где Л — жесткость пружины, Т — абсолютная температура.

5.11. При температуре абсолютного нуля все электроны занимают нижние энергетические уровни. В этом случае

dN〜卢dp〜"戸d£

В результате интегрирования в пределах от 0 до Емакс, где Емакс — энергия Ферми, получаем

N 〜映КЗИЛИ Емакс 〜N%・

Энергия Ферми определяется выражением

"一力2 （ 3行2м y/3

上маке—.

5.12. Пусть Т и Трез — температуры воды и теплового резервуара соответственно. Максимальный к. п. д. процесса, который можно получить при использовании двух термостатов с температурами Т и Грез, равен

А 旷 Трез — Т^ = W=~Г—

Отсюда находим минимальную затрачиваемую работу

Г = - \ ^ЦД^Су~Т+^|^^••80• 1000 =

293

= 293・ 103 m 需一 2 0・ 103+ 2。•窮艺 勿・ 103 Дж.

5.13. Атмосферное давление зависит от высоты над поверхностью Земли:

Р = Р°ехр (一 警)=Ро exp 償)

Подставляя h = 300 м, g = 9,80 м/с2, Л1 = 29 г/моль, R = =8,3 Дж/(К-моль) н 才^ 300 К, получаем

Р = Р°ехр (-*)аРоехр(—О,О34)^(1-О,О34)Ро,

т. е. АР = —О,О34Ро. Испарение представляет собой фазовый переход первого рода, описываемый уравнением Клапейрона ^

dP __ L

где 厶 ——удельная теплота парообразовании, v и t^ ——удельные объемы пара и воды соответственно. Заметим, что %《v. Используя уравнение состояния идеального газа, отнесенное к одному грамму пара, или v = RT/18P, имеем

АР 18L

откуда

2 • 3732 АР1。厂

= 不 С и

^кип5= 100— 1 =99 ℃.

5.14. Из уравнения

7ds = CpdT -T(^^dp

находим изменение энтропии при постоянном давлении:

/ dT

ds =»= Ср -у-.

от Оот О(1)(1)⑵⑵Интегрируя последнее уравнение в интервале температур До —10 °C, получаем следующие изменения энтропии:

от О

от О

(1)

(1)

⑵

⑵

s — So = 4222 In ^"|^|"^ + 226 (для воды)

и

S’ 一 S； = 2112 In (^|") — 75 (для льда);

')Точнее, Клапейрона ——Клаузиуса. С именем Клапейрона (а также Менделеева) связывают обычно уравнение состояния идеального газа.——Прим, перев.

здесь 50(5д) — энтропия воды (льда) при температуре 0 ℃, причем So связано с s[ через удельную теплоту плавления /:

= 1227.(3)

Суммируя значения (3) и (1), получаем

s - s[ = 4222 m (鶏)+ 1453,(4)

а вычитая (2) из (4), имеем

5-^ = 2110 In (鬻)+ 1528 = 1450 > 0.

Поскольку s > s', лед представляет собой более упорядоченную термодинамическую систему.

5.15. Подставляя в формулу линзы

77 + 4т = 7Г⑴

значения р\ = 30 см и " = 20 см, находим qi = 60 см. Первая линза дает изображение /, увеличенное в 5(^i/pi) раз, т. е. 10см. Расстояние от этого изображения до второй линзы равно

р2 = Ю — 60 = — 50 см.⑵

Снова воспользовавшись формулой линзы (1) для р2 =——50 см и ,2 = 30 см, находим для изображения 2.

1150 1О о

% —18,8 см.

Размер изображения 2, полученный в системе линз, равен

1噥= 10Х 当см.

Таким образом, изображение получается обратным с высотой 3,75 см.

6.1. Условие формирования светлых полос записывается в виде

2nd = ^m + у^ A；, m = 1, 2, 3,(1)

При переходе от одной полосы к следующей оптическая толщина клина nd изменяется на 九/2. Следовательно,

九=2〃 (Ad) = 2п (AD) tg 6 « 2п (ДО) 6;

здесь ДР ——расстояние между полосами, равное 0,25 см. Подставляя данные из условия задачи, получаем

九=2・ 1,4・ 0,25 ас 108«7000А.

6.2. Пусть /1 и /2 ——мгновенные значения температур тела 1 и тела 2, a dW — элементарная работа, совершаемая системой, когда этим телам сообщают тепло ——dQi и dQ2 соответственно (знак минус перед dQi означает, что это тепло фактиче

ски отбирается от тела 1). В таком случае максимально дости・ жимый

D/1 - /2 dWdW

к・П•& =下一=一而=一中7.

Следовательно,

—dW = Cp ^1 у- — div(1)

В соответствии с первым законом термодинамики часть тепла, отбираемого от тела 1, затрачивается системой на работу, а остальная часть передается телу 2, т. е.

Cp(T^t{)^W + Cp(t2^T^ или

一e也=呼+ *(乙一八一72)・(2)

Подставляя выражение (2) в (1), получаем

d呼=一普 ” + еР ⑵ 1 一 * 一 TJ], или

d(W7i) = -Q(2/i-Ti — T2)阳.(3)

Интегрируя это выражение в пределах от Ti до Т/, где Г/ — конечная температура обоих тел, имеем

取7> = еp [Т? 一乃一 6 + TJ £ 一 厶)].(4)

Здесь мы учли начальное условие W — Q при Л = Ть Конечную температуру Т/ находим из уравнения (2), полагая в нем /2 = =厶=Ту：

Максимальную работу W, совершаемую рассматриваемой системой, не трудно найти, если подставить (5) в выражение (4).

6.3.

Число столкновений = Число атомов 8 ед, объема X X Четырехкратная величина поперечного сечения атома X Средняя скорость атомов = (3-1019) (4л-10~16) (105) « 4-109 с-1. Здесь использована система единиц СГС.

Число столкновений со стенкой = Число атомов в ед. объема X Средняя скорость атомов^ = 0,5-1024 с-1.

6.4.

Параметр 卩 можно найти из условия

£ М = п.

Используя приведенное в условии задачи выражение для ^, получаем

-\ \ r1 小^p =儿；(1)

(2咽3 J eB (E-n) + [产

здесь множитель 2 в числителе введен потому, что электроны обладают спином %・ Так как Е = р2/2т, то выражение (1) принимает вид

~\ с J к4冗р2 dp = n.(2)

(2яй)8 J ТМР2/2т-ц) + !

Отсюда можно найти ц. В случае е^В《1 подынтегральное выражение в (2) можно разложить в ряд и получить следующее

соотношение:соотношение:

соотношение:

соотношение:

2(黑广(产一2-%状+ ...) = n.(3)

Дебройлевская длина волны для теплового движения частицы с массой m и энергией лйГ дается выражением

При 几九3《1 в разложении (3) можно пренебречь членами высокого порядка малости и записать

决8 =号-=击九3«],决8 =号-=击九3«],⑷⑷

决8 =号-=击九3«],

决8 =号-=击九3«],

⑷

⑷

где V ——объем, занимаемый частицами. Таким образом, среднее число частиц М в состоянии с энергией £\ равно

При комнатной температуре kT ^ 1/40 эВ; подставляя в формулу для 九 это значение 々7, а также постоянные т^ ^ 0,5-106 эВ и йс = 1973 эВ-А, получаем

6户二包二 44A.

V 0,5・106.九0

Следовательно,

〃九3力 IO」” 1024=]о5,

и статистика Максвелла ——Больцмана к электронному газу не применима.

6.5. Линейно-поляризованную волну можно представить в виде суперпозиции двух волн с круговой поляризацией, имеющих одинаковые амплитуды, но противоположные направления вращения вектора поляризации. После прохождения слоя ионизованной среды волна с положительной круговой поляризацией будет опережать волну с отрицательной круговой поляризацией по фазе на угол

КК ]丄 & 2Q

(О (со — Q) (О (со + Q) J 九 ①九(£)2 一 Q2 •

Следовательно, угол поворота плоскости поляризации равен Д/2.

6.6. Оптическая длина пути возрастает со скоростью

I窑，

что равносильно удалению источника света от наблюдателя со скоростью

и = 5 — 1）需.

Отсюда следует

Av — n ——1 dhv — c dt *

HI. 6.7. Пусть x ——толщина четвертьволновой пластинки. Тогда справедливо следующее соотношение:

（储一〃о） "^ = "J" •

Отсюда находим

5,8299・10-5

”"4-0,01154 =，263 • Ю СМ.

6.8.

Найдем разность фаз между двумя волнами излучения А и 厶'при прохождении ими расстояния d:

здесь ДЛ — разность длин волн. Подставляя в эту формулу d = =2• 30 = 60 см, Л = 6000 А и 6 = 2л, находим

ДЛ = ^л；6- 10~3Л.

Разрешающая способность должна быть равна

ЛЛ=106.=106.

Л

Л

=106.

=106.

Порядок интерференции

2d2d2 ・ 1,5 ・ 108~бббо2 ・ 1,5 ・ 108~бббо=50 000.=50 000.

2d

2d

2 ・ 1,5 ・ 108

~бббо

2 ・ 1,5 ・ 108

~бббо

=50 000.

=50 000.

Из формулы, приведенной в задаче, находим, что коэффициент отражения должен удовлетворять условию

产+斉一1》0

или

（Г - 1 +嗡）（r+ 1+崙）

Отсюда для разрешения двух линий с АА = 6-10~3 А следует выбрать

г 1 一奇 Q °,92-

полей в об- области IIIполей в об- области III

полей в об- области III

полей в об- области III

6.9. Обозначим напряженности электрических ласти / через £0 и £i, в области II через £2。Е2HB

через Ез соответственно.

При нормальном падении волны картина обладает вращательной симметрией. Поэтому будем считать, что электрические поля перпендикулярны плоскости рисунка. Граничные условия таковы, что компоненты электрического и магнитного поля, параллельные границе раздела в одном слое, должны оставаться в любой момент времени параллельными ей по другую сторону границы раздела. Отсюда мы имеем следующие соотношения:

е0 +e1 =e2 +弱

邑+ & =丛，

V6i （£"о — £i） == Vе2 （邑—£）,

Vе2 （邑一良）=д/е3 £3.

Из этих соотношений можно найти зависимость £\ и Ез от f0:

戶—1 — Увз/si J = T+"丽戶—1 — Увз/si J = T+"丽°-V^T + V^ 0,°-V^T + V^ 0,ЕвЕв2&1 + Ve3/ei2&1 + Ve3/ei2#iTVe? + 〃£з2#iTVe? + 〃£з

戶—1 — Увз/si J = T+"丽

戶—1 — Увз/si J = T+"丽

°-V^T + V^ 0,

°-V^T + V^ 0,

Ев

Ев

2&

1 + Ve3/ei

2&

1 + Ve3/ei

2#iT

Ve? + 〃£з

2#iT

Ve? + 〃£з

Мы видим, что искомые поля не зависят от 829- Интенсивность волны в слое III пропорциональна £1, а интенсивность ог・ раженной волны в слое / пропорциональна Я?.

6.10. В соответствии с критерием Рэлея

7 = 1,22^ мы имеем

—Dd

—1,22 九•

I） Такой вывод можно получить только, не учитывая толщины слоя II.— "Р"丸 ped,

1,22 ・ 102 ・ 0,51,22 • 5000 ・ 1(Г*1,22 ・ 102 ・ 0,51,22 • 5000 ・ 1(Г*Подставляя d = 0,5 см, О » 1,22 MH 九=5000 А, находим

1,22 ・ 102 ・ 0,5

1,22 • 5000 ・ 1(Г*

1,22 ・ 102 ・ 0,5

1,22 • 5000 ・ 1(Г*

•°」* = 106 см == 10 км.

5 • 10-5

6.11.

а) 90°.

б)屮=arctg(〃i/〃2), где 〃i и п2 ——показатели преломления первой и второй диэлектрических сред.

7.1. При освещении красным светом.

П1. 7.2. В центре кривизны зеркала.

HI. 7.3. В плоскости, перпендикулярной плоскости отражения.

HI. 7.4. Если пучок света падает слева, то точка сходимости пучка сместится вправо от точки Р.

HI. 7.5. За фокусом по ту же сторону от линзы, что и объект,

П1. 7.6. Красная.

П 1.7.7. Фокусное расстояние обратно пропорционально величине (“ 一1) (/•—.

ПОСКОЛЬКУ Пкрасн V ^фиол, ТО /красн > /фнол・

IH. 7.8. Мнимое.

7.9. Хроматическая аберрация.

П1. 7.10. Свет не проходит через систему из скрещенных под прямым углом линейного поляризатора и анализатора )«

IH.7.11.冗/2.

HI. 7.12. Когда он проходит через оптический центр линзы.

П1. 7.13. Диапазону 40007000 А, что соответствует частотам 7,5-1014—4,3-1014 Гц.

7.14. (Опад ^211 ①пр； Хпад ^^ 〃九пр・

7.15. Лучи, идущие из центра круга, не преломляются. Поэтому изображение будет казаться расположенным в той же плоскости, где и буква. В случае малых углов 9 имеем 6’ = п0

')Вообще, любые поляризационные эксперименты показывают наличие поперечной компоненты,——Прим. ред.

(из закона Снеллиуса). Поскольку Г =厂8‘ = пг0 = п/, то размер изображения в п раз больше размера буквы.

7.16.

Сдвиг фаз в точке С между лучами, исходящими от обеих щелей, равен

Интенсивность света в точке С пропорциональна cos2(A/2). Следовательно,

/c = /°cos2"产.(1)

Из формулы (1) получаем, что интенсивность минимальна При 1)

Амплитуда волны в точке С равна

Ас = 2Ае^ + 4М(W+A)= Ае^ (2 + е^).

Отсюда получаем интенсивность в точке С:

/c~mc|2~4+l+4Re@A]~5 + 4cosA~5 + 4cos 空殁-".

IH.7.17. По существу это задача о дифракции Френеля на круглом экране. Длина звуковой волны от свистка К = v/f = ^ 0,1 м. Поскольку источник удален от диска на большое расстояние, звуковая волна в любой точке на поверхности диска

имеет одну и ту же фазу. Для точки, расположенной на оси диска, радиус Z-й зоны Френеля определяется выражением

Отсюда получаем

здесь D ——расстояние между наблюдателем и диском. Площадь проекции Z-й зоны записывается в виде

（nR；—冗/?乙）cos 0^ л ^W + 等）cos 0,

где

COS 0 == —/— •

Результирующая амплитуда звуковой волны вдоль оси диска равна

4=2 （—1）‘4,

где

4 二 л 口。+ （爪2/2）］ cos 8 мд 9 二一冗"D +°’⑴

l— 一（心 + ^产~з

Компоненты амплитуды, перпендикулярные оси, отсутствуют в силу осевой симметрии.

Если наблюдатель находится непосредственно за диском, то £） = 0. Следовательно, 4, = 0 для любого I * 0. Поскольку первой зоне Френеля, примыкающей к периферии диска, соответствует I = г/（Х/2） （где г = 1 м — радиус диска）, то результирующая амплитуда звуковой волны равна нулю и свиста не слышно.

Если теперь отойти далеко за диск, то 。》九.Первой зоне Френеля, примыкающей с внешней стороны к диску, соответствует 厶=r2/W, и для результирующей амплитуды получаем

4 = £ （一 1）” 4 = 纟 （一1）” （4 一 4+1）

= 11% =厶，Zi+2,...

^（-у£*4（-1）7 鲁儿= =4（一1产1（4一48）.

Поскольку Лоо = 0, то

4T(一严4.⑵

В отсутствие диска результирующая амплитуда

8 =三(一1)/个禁⑶

z—o

Условие ослабления интенсивности звука в два раза при введении диска записывается в виде

^ = ^В\ или

Подставляя Д/, из формулы (1), получаем

(n(W + 厶九2/2)D2 V= 1 / 冗п)зt (欧 +02产)•

Поскольку Ri, = 1 м, а 厶入=1/Z), последнее равенство принимает вид

(ГР + d/2 f =丄

t (1 + J

Отсюда получаем уравнение

Q6_Q4 — 2,5 02-1=0,

из которого находим D ^ 1,5 м.

7.18. Размер пятна равен приблизительно ширине центрального максимума дифракционной картины от круглого отверстия. Первое темное кольцо появляется при

sina= 1,22 где

a 〜 РаОиус пятна&

з 〜расстояНие земля — ЛунаD *

При 入=6000 А, & = 2ми£> = 400 000 км получаем

1,22孚=咏峥金и1,5.102 m.

8.1. Vх = 0, так как Vх — нечетная функция. 1/2=—-, поскольку Vx — V^ = V^ = у V2 — у (^Г") • 艺=0，так как Vx — нечетная функция.

8.2. Скорость падения капли уменьшится, поскольку с повышением температуры вязкость воздуха возрастает.

8.3.

Общее изменение энтропии при смешении молока и кофе дается выражением

Tfrf

AS = 50 , ^Д + 250 J ^^ = 5OC0 In （给 + 250cp In 偿）= 12

=50 In （^4^） + 250 In （工峠刍生）кал/К,

поскольку для воды cv = 1 кал/（г-К）.

8.4. Уравнение состояния для адиабитического процесса имеет вид

p 肉=2у? = const,

причем для одноатомного газа у = 5/3. Поскольку V2 = Vi/2, то для отношения давлений получаем

齐П（2" = 2%。3,17・

8.5. Из определения энтропии следует

S = j •。戸=у \ dt =、Т・оо

8.6.

（"一"0）=胃=材.

HI. 8.7. Изменение энтропии равно AS =厶/T. В соответствии с первым законом термодинамики изменение внутренней энергии дается выражением

AU = Т AS - Р АР = Е-Р （*-*）・

8.8. Поскольку ^2 〜Nе-Е1кт, М 〜N и N\ 屮 N? = N, мы имеем

dT * *dT\l+宀T丿八力（尹盯+ i）2 •

Следовательно,

C = |1

при Tf ОО, при Г-> 0.при Tf ОО, при Г-> 0.I NE2*e-E 映

при Tf ОО, при Г-> 0.

при Tf ОО, при Г-> 0.

3/2R при Т《0вР,

5次 при 7》Ер, где 0Вр — характеристическая температура для вращения молекул.

8.10. Площадь, ограниченная кривой, уменьшится в 24 = =16 раз, а значение 儿 соответствующее максимуму кривой, увеличится вдвое.

8.11.

Теплоемкость железа равна

Сж=200- 103-0,6= 1,2. 10~5 Дж/К.

Для тепловой машины с двумя тепловыми резервуарами прн температурах Т и 八(7\ = 12 ℃ = 285 К) максимальный

к. п. д.к. п. д.q Т Г 285q Т Г 285

к. п. д.

к. п. д.

q Т Г 285

q Т Г 285

Вычисляем максимальную работу

17731773

% = eж\ -Ц^^ = gЖ \ (1 -285^)打=285285

=(1488 一 285 In 塞)Сж = (1488 - 521) Сж

= (967)(1,2- 105)= 1,16♦ 108 Дж.

Изменение энтропии тела, связанное с передачей ему тепла AQ, дается выражением

AS =半.

Следовательно, изменение энтропии железа

285

SgHeq — SHaq =、筝=Сж \ 學= С*1п (霧•)=

1773

Н一(由6,22)备=一1,83以 а изменение энтропии океана

S【0Heq — S；aq = ¥磬江=5,22 Сж.

Общее изменение энтропии равно их сумме:

Д50бщ = 3,39 Сж = 4,07 • 105 Дж/К.

8.12.

Пусть 6 — сдвиг фазы отраженного света относительно падающего света с амплитудой А. Тогда амплитуды прошедшего и отраженного света связаны с А соотношениями

? =金'R = /eW (产=亠1).(1)

Если теперь изменить направления отраженного и прошедшего лучей на противоположные, то по правилу обращения световых лучей мы должны получить первоначальный луч. При этом (см. рисунок) мы имеем

RR* + ТГ = Л2 и

TR* + RT* = 0,⑵

где

Г = Т и =

После подстановки выражений (1) в (2) получаем

е№ + 6-№ 三 2 cos 6 = 0.

Отсюда 6 = ±л/2.

Луч BEG (см. рисунок в условии задачи) претерпевает только одно отражение—от полупрозрачного зеркала Е. Поэтому сдвиг фаз между лучами BEG и BEF равен л/2. Аналогично сдвиг фаз между лучами BCDEF и BCDEG равен также л/2. Следовательно, если лучи BEG и BCDEG идут в противофазе, то лучи BEF и BCDEF — в фазе. Математически это можно записать следующим образом:

б (BEG) — “BEF) = m (2冗)土 专,

6 (BCDEF) - 6 (BCDEG) = п (2л) 土 у,

6 (BCDEG) — 6 (BEG) = / (2冗)+ 冗(в противофазе).

Для однотипных зеркал следует выбрать один определенный знак в правых частях первых двух выражений. Суммируя все три выражения и учитывая, что 斗冗/2 + 冗/2 工冗=2п, а ——л/2 — л/2 + 冗=0, получаем

6 (BCDEF) - 6 (BEF) = (Z + m + 〃 + 1)・ 2%

т. e. лучи BCDEF и BEF в направлении F идут в фазе.

а) По закону Снеллиуса мы имеем

sin 6'4

1кГе-=п=Т*

Расстояние от центра пузырька до изображения, как показано на рисунке, равно —q. Оно является отрицательным, поскольку изображение располагается по ту же сторону от пузырька, что и предмет. Используя закон синусов для треугольника, можно найти соотношение между расстоянием q и радиусом пузырька

⑵⑵е = Rsin 0 — sin а

⑵

⑵

где а = л;—(冗一28’ + 8) —8 = 2(8’ 一 9). Таким образом,

—々sin 0/а、

4 =久 2 sin e — 6) cos (卄一e) .

Если лучи идут близко от горизонтальной оптической оси, то углы 0 и 0Z оказываются очень малыми. Поэтому в формулах (1) и (3) можно произвести следующую замену: sin 9^9, sin 8’ ^ ^ 0х, sin(8‘ — 8)^8’ — 9 и cos(8‘ — 8)^1, после чего формула (3) принимает вид

42 (О7 — 0)，2 丿

а формула (1)—

仇=%仇(4)

Подставляя (4) в (3‘), получаем

Фактически это расстояние отрицательно, поскольку изображение расположено по ту же сторону от пузырька, что и предмет. Следовательно, изображение является мнимым и прямым. Так как предмет находится на бесконечности, то q по определению представляет собой фокусное расстояние пузырька.

Эту задачу можно решить и другим путем, если воспользоваться формулами для толстой линзы, выведенными для параксиальных лучей от точечного источника, претерпевающих преломление на сферических поверхностях радиусами R】 или /?2. Мы можем записать

ии(6)⑺(6)⑺п' nf — п

и

и

(6)

⑺

(6)

⑺

〃 —n — n'.

7Г= & ；

здесь /| и fg — переднее и заднее фокусные расстояния для левой и правой сферических поверхностей соответственно. Подставляя в формулы /г = 4/з,几'=I, R、•= R о R?=——R, получаем f；=-3R и % = 一 伏.(8)

фокусное расстояние линзы f определяется выражением

7=万十及一力Г

откуда находимоткуда находим⑼⑼

откуда находим

откуда находим

⑼

⑼

Подставляя в (9) выражения для % и f； из формул (8), получаем

(Ю)(Ю)3R

(Ю)

(Ю)

V Г •

Наконец, можно найти % используя формулу Гаусса для линзы

(Н)

Отсюда, полагая по условию задачи р = оо, получаем q = f = —±R・

б) При 〃 = R мн имеем

e f R R【3十丄丿 3R •

Следовательно,

3 пg = —g"R・

оо

о

о

IV. АТОМНАЯ ФИЗИКАИ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ЗАДАЧИ

IV. 1.1 (20 баллов).

Почему при резерфордовском рассеянии а-частиц в тонкой золотой фольге пренебрегают влиянием электронов атома на а-частицу?

Объясните, почему при комптоновском рассеянии рентгеновских лучей не учитывают влияния ядер атомов.

1.2 (20 баллов). Оцените магнитное поле, действующее на протон в атоме водорода со стороны электрона, находящегося в состоянии 2P.

1.3 (20 баллов). Ртутная лампа излучает 1018 фотонов в секунду на спектральной линии 2537 А. Полагая, что плотность паров ртути в лампе мала и они находятся в тепловом равновесии при температуре Т = 300 К, вычислите доплеровское уширение спектральной линии. Оцените ее естественную ширину. Какова мощность излучения лампы на этой спектральной линии?

1.4 (20 баллов). Калий ——щелочной металл с атомным номером Z = 19.

Какова конфигурация электронных оболочек этого атома в основном состоянии?

Какие квантовые числа L, S и / характеризуют основное состояние атома калия?

Опишите количественно зеемановское расщепление уровней атома, находящегося в основном и первом возбужденном состояниях.

IV. 1.5 (20 баллов). Рассмотрим прямоугольную потенциальную яму с бесконечно высокими стенками и шириной 2а, как показано на рисунке

Волновая функция частицы, находящейся в этой потенциальной яме, записывается в виде

COS 元 + Sin —h "^-COS(внутри потенциальной ямы),

屮=0 (вне потенциальной ямы).

Вычислите коэффициент С.

Какие значения можно получить при измерении полной энергии частицы и какова вероятность появления каждого из этих значений?

IV. 2.1 (15 баллов). Дайте числовые значения следующих физических постоянных (в общепринятых единицах):

массы нейтрона mn,

постоянной Планка А,

постоянной тонкой структуры а,

комптоновской длины волны электрона Хе,

классического радиуса электрона г。,

времени жизни атома водорода в возбужденном 2р- состоянии,

магнитного момента протона pip,

времени жизни свободного нейтрона %

скорости электрона на первой боровской орбите v. Ответы на п.《в》，«г» и《д》выразите через фундаментальные постоянные % 方，me и с.

IV. 2.2 (25 баллов).

Одномерное движение частицы массой m в поле с потенциалом V (х) описывается стационарным уравнением Шредингера

—芸 今护 + У (х)屮(х) = Е2 (х).

Предполагая V(x) = V(——％), а решение 屮(％) невырожденным, докажите, что 屮(％) имеет определенную четность, т. е. что

2 (%) = + 屮(一х) — четная функция

или

屮(％)=—屮(一х) — нечетная функция.

Рассмотрите движение частицы в потенциальном поле, показанном на следующем рисунке:

Постройте приближенную картину решений стационарного уравнения Шредингера, соответствующих двум самым низким собственным значениям энергии частицы в данном потенциальном поле. Обозначьте полученные решения через 屮1 и 屮2, а соответствующие им энергии через Ei и £*2・

Частное решение полного уравнения Шредингера для приведенного выше потенциального поля можно представить в виде суперпозиции функций

56一‘(e岡"h Ge一，閭力)f.

Получите волновой пакет 屮，который в момент времени / = 0 сосредоточен (почти) полностью в левой потенциальной яме. Опишите подробно дальнейшее движение пакета во времени.

IV. 2.3 (20 баллов). Позитрон имеет ту же массу, что и электрон, но положительный заряд и противоположный спиновый магнитный момент. Если в атоме водорода заменить протон позитроном, то получится атом позитрония.

Атом позитрония в основном состоянии имеет два очень близко расположенных энергетических уровня 0 и 3sl. Какой из них расположен ниже?

Какова энергия связи электрона в атоме позитрония в основном состоянии?

Предположим, что атом позитрония покоится и, находясь в состоянии 〔So, аннигилирует с образованием двух у-квантов. Определите энергию у-квантов и относительные направления их разлета.

IV. 2.4 (15 баллов).

Вычислите значение матричного элемента

〈乙付1［厶+,厶」亿⑺.

Докажите, что

е"尹2 = cos(е/2) + i% sin (0/2).

2.5 (25 баллов). На какую величину сдвинется энергетический уровень 1S атома водорода, если представить заряд протона не точечным, а равномерно распределенным по сферической оболочке радиусом Ю-13 см? Воспользуйтесь первым приближением теории возмущений.

3.1 (5 баллов). Предположим, что заряд протона оказался вдвое большим. С каким зарядовым числом Z и массовым числом 4 существовало бы наиболее тяжелое устойчивое ядро?

3.2 (5 баллов). Оцените порядок величины магнитного поля, в котором обычное ядро вместо эффекта Зеемана давало бы эффект Пашена — Бака? (Такой эффект никогда не наблюдался.)

3.3 (5 баллов). Какой минимальной кинетической энергией должен обладать протон, чтобы при его столкновении с тяжелым ядром образовался антинейтрон?

3.4 (5 баллов). Попадая в вещество, отрицательно заряженные мюоны очень быстро втягиваются на боровские орбиты вокруг ядер, а затем постепенно захватываются протонами атомных ядер (Л-захват). Эта картина очень напоминает процесс p-распада, только протекающий в обратном порядке. Вероятность такого захвата в различных веществах довольно точно подчиняется следующему закону:

Вероятность захвата мюона = const • Zp.

Объясните, почему в этом законе показатель степени р должен быть равен 4.

3.5 (5 баллов). До какого значения энергии протонов их рассеяние на нейтронах можно считать изотропным?

JV. 3.6 (15 баллов). Определите (без подробных вычисле- ний) энергетические уровни частицы массой т, движущейся в Одномерном потенциальном поле

+ 8,% V О,

3.7 (5 баллов). Перечислите известные вам точные симметрии (законы сохранения). Приведите примеры приближенных симметрий.

3.8 (5 баллов). Имеется мезон, который может распадаться двумя возможными путями с образованием различных продуктов распада. Оба процесса характеризуются временами распада 九 и 友・ Напишите формулу для неопределенности массы этого мезона.

3.9 (5 баллов). Каковы фазовая и групповая скорости волны де Бройля у свободного электрона, движущегося со скоростью V, определяемой по классической теории?

3.10 (10 баллов). Укажите, в каких областях трехмерного конфигурационного пространства волновая функция 屮 должна обращаться в нуль для каждого из перечисленных ниже энергетических состояний атома водорода: а) ls-состояние, б) 25-состояние,

в) 2р-состояние (в этом случае рассмотрите отдельно каждое из возможных состояний).

IV. 3.11 (10 баллов). Напишите простейшую формулу для энергии связи электрона, находящегося на /(-оболочке, с ядром атома, имеющим заряд Z. Рассмотрите, как изменится (увеличится или уменьшится) эта энергия связи, если учесть а) релятивистскую поправку, б) эффект экранировки центрального поля остальными электронами, в) конечный размер ядра.

IV. 3.12 (10 баллов). Найдите зависимость (с точностью до знака) потенциальной энергии взаимодействия двух частиц от расстояния г между ними (г велико) для следующих конкретных случаев:

два нейтральных атома,

два ионизованных атома, в) один нейтральный атом и один ион, г) два нейтрона (учтите только ядерные силы), д) два нейтрона (с учетом электромагнитных сил).

. 3.13 (15 баллов). Рассмотрим квантовомеханическую модель—однородную сферу, которая может свободно вращаться относительно своего центра. Предположим, что центр сферы совпадает с началом координат. Поскольку точки на поверхности сферы не отличимы друг от друга, квадрат модуля волновой функции I屮(仇屮)|2 не зависит от углов 9 и ср. Определите воз-

можные значения момента импульса сферы и покажите, как вы их получили.

IV. 4.1 (15 баллов). Одномерный потенциальный барьер имеет следующую форму:

Определите коэффициент прозрачности этого барьера для частиц массой т, движущихся к нему слева с энергией Е (1Л V <£< Vo).

.4.2 (5 баллов). Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы следующей матрицы:

.4.3 (20 баллов). Предположим, что 屮 является собственной функцией уравнения Шредингера для одной частицы. Введем в рассмотрение вектор С, удовлетворяющий соотношению

4($ФЧ^) = -J(v.c)dKVV

Какой физический смысл имеет вектор С?

Найдите выражение для С в явном виде.

IV. 4.4 (20 баллов).

Напишите волновую функцию для атома водорода в основном состоянии.

Получите выражение для вероятности найти частицу (электрон) в шаровом слое между г и г + dr.

При каком значении г эта вероятность максимальна?

IV. 4.5 (20 баллов). Дайте числовые значения (не более чем £ трехкратной ошибкой) следующих физических величин:

расстояния между ядрами атомов в молекуле водорода;

длины волны, соответствующей максимуму спектральной плотности излучения абсолютно черного тела при температуре 3 К；

ширины запрещенной зоны, расположенной между валентной зоной и зоной проводимости, в чистом кристалле германия;

энергии, выделяемой при делении одного ядра урана-235;

частоты излучения в красной области спектра;

интервала времени, в течение которого свет проходит расстояние, равное диаметру одного протона;

магнитного момента свободного электрона.

IV. 4.6 (20 баллов). Частица массой m находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с очень высокими («бесконечными») стенками, разделенными промежутком длиной а. Стенки ямы мгновенно и симметрично раздвигаются до расстояния 2а.

Какова вероятность того, что частица в этой расширенной системе находится в основном состоянии?

Сохранится ли энергия частицы в результате раздвижения стенок?

IV. 5.1 (20 баллов). Кратко объясните:

Что такое принцип соответствия?

Что представляет собой закон Дюлонга и Пти?

Почему в спектрах поглощения щелочных металлов наблюдается только главная серия?

Почему g-фактор Ланде для всех синглетных уровней равен 1, а для всех S-уровней равен 2?

Назовите два экспериментальных факта, непосредственно подтверждающих корпускулярную природу электромагнитного излучения.

IV. 5.2 (20 баллов). Мю-мезон (мюон) и протон образуют водородоподобный атом. Масса мю-мезона в 210 раз превышает массу электрона.

Какой энергией обладает фотон, испускаемый таким атомом при переходе из первого возбужденного состояния в основное?

Чему равен радиус первой боровской орбиты у такого атома?

Какова скорость мю-мезона на n-й боровской орбите? п ——главное квантовое число.

IV. 5.3 (20 баллов). Студенты, проходящие химический практикум, определяют присутствие малых примесей натрия в образце по характерному желтому окрашиванию (линия 5890 А) пламени бунзеновской горелки, в котором сжигается образец. Этот эффект может показаться необъяснимым, так как темпера-

тура пламени сравнительно невелика (2000 К). Проведите количественный расчет и покажите, что здесь нет ничего странного.

IV. 5.4 (20 баллов). Частица движется в одномерном потенциальном поле

(0, если

если х>0.

Предположим, что она обладает энергией Е > Vo и движется слева направо.

Определите волновую функцию частицы. Нормировать ее не нужно.

Произведите нормировку волновой функции таким образом, чтобы она соответствовала единичному потоку движущихся частиц (одна частица в одну секунду).

Решите задачу《а》для случая Е V Уо н сделайте вывод из полученного результата.

IV. 5.5 (20 баллов). Состояние частицы массой т характеризуется (ненормированной) волновой функцией

,/、 e-ikr + beikr5(厂)= >

где г — расстояние от начала координат.

Чему равна энергия частицы?

Является ли эта частица свободной? Если нет, то они- шите, по возможности, потенциальное поле, в котором она находится.

IV. 6.1 (15 баллов).

В уравнения электродинамики входит уравнение непрерывности, которое связывает изменение плотности заряда во времени с дивергенцией плотности тока. Используйте аналогичное уравнение квантовой механики для того, чтобы получить выражение для потока вероятности в нерелятивистском случае.

Вычислите поток вероятности для ненормированной волновой функции 屮=3-吟

Применимо ли понятие потока к действительной волновой функции?

IV. 6.2 (20 баллов). На лестнице стоит мальчик и с высоты Н роняет вниз маленькие шарики массой т. Представим себе, □то он целится идеально точно. Используя принцип неопределенности, оцените средний разброс шариков около мишени.

IV. 6.3 (20 баллов). Согласно закону Мозли, частота линии /<« рентгеновского излучения v зависит от атомного номера элемента Z следующим образом:

Vv = aZ — b.

Выразите приближенно коэффициент а через фундаментальные физические постоянные.

Объясните, почему частоты спектральных линий рентгеновского излучения изменяются от элемента к элементу в соответствии с таким простым законом, а частоты линий оптических спектров описываются более сложно.

IV. 6.4 (10 баллов). Частица с массой покоя mi налетает со скоростью V на покоящуюся частицу массой т2 и поглощается ею. Определите массу покоя М и скорость V образовавшейся частицы.

IV. 6.5 (15 баллов). Электроны влетают через щель Si в область с однородным магнитным полем В и, описав в этой области полуокружность, покидают ее через щель S?. При входе в эту область спины электронов ориентированы вверх (屮=0). как показано на рисунке. Магнитный момент электронов ц = =——(eg/2meC)s, где фактор g = 2 + а/л (здесь а ——постоянная тонкой структуры).

Определите частоту, с которой прецессирует спин электронов.

Вычислите циклотронную частоту электронов.

Под каким углом <р к первоначальному направлению ориентированы спины электронов при выходе из области с магнитным полем?

Замечание. Можно доказать, что квантовомеханическое выражение для изменения среднего значения спина электрона во вре-

мени аналогично выражению из классической динамики. Следовательно, здесь может быть полностью оправдан классический подход к решению задачи, и его нужно использовать.

IV. 6.6 (20 баллов).

Используя классические формулы для кинетической и потенциальной энергий электронно-протонной системы и квантовый постулат Бора, получите выражение для энергии уровней в атоме водорода.

Оцените разность энергий между четвертым и вторым уровнями.

IV. 7.1 (20 баллов). Электрон движется параллельно оси % слева направо в потенциальном поле У = 0 в области %《0 н V = 20 эВ в области % > 0 (см. рисунок).

v-гоэв

У=0

Кинетическая энергия электрона при % =——оо равна 10 эВ. Будем рассматривать движение электрона как одномерную плоскую волну.

Напишите уравнение Шредингера для областей % V 0 и % > 0;

постройте на графике решения этого уравнения для обеих областей;

чему равна дебройлевская длина волны электрона (в сантиметрах) при % V 0?

найдите граничные условия при % = 0;

что можно сказать о вероятности нахождения электрона вблизи некоторого положительного значения координаты %?

IV. 7.2 (20 баллов).

Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор с характеристической частотой v0. Каковы собственное значение энергии и четность собственного состояния, соответствующие квантовому числу 〃？ Какие значения может принимать /г?

Волновую функцию трехмерного гармонического осциллятора можно записать в виде произведения трех собственных функций одномерного гармонического осциллятора, каждая из которых зависит от определенной декартовой координаты и соответствует квантовому числу пх, пу или п2. Найдите энергию, четность и кратность вырождения четырех самых нижних отдельных групп энергетических уровней.

Задачу о трехмерном гармоническом осцилляторе можно решить и в сферических координатах. Несмотря на использование других собственных функций, собственные значения энергии окажутся теми же самыми. На основе своих знаний о четности и вырождении различных состояний установите, какому значению орбитального квантового числа I соответствует каждая группа уровней, о которых говорилось в п.《6》.

IV. 7.3 (20 баллов). Свободный атом углерода имеет четыре электрона в s-состояниях и два электрона в р-состояниях.

Определите, пользуясь принципом Паули, число разрешенных состояний для последней пары электронов.

В предположении LS-связи квантовые числа для сум、 маркого полного момента J, суммарного орбитального момента L = (Zi + 为)2 и суммарного спинового момента S2=(si+s2)2 получаются 《хорошими》】). Определите наборы квантовых чисел /, L и S для p-состояний обоих электронов и вычислите их мультиплетность.

Сложите мультиплетности термов, найденных в п.《6》， и убедитесь, что полученный результат в точности совпадает с полученным в п. «а».

IV. 7.4 (20 баллов). Атомный номер натрия равен 11.

Какова электронная конфигурация этого атома в основном состоянии? (Используйте стандартное символическое обозначение, которое показывает распределение электронов атома по различным состояниям.)

Обозначьте основное состояние атома, как принято в спектроскопии. (Примером может служить обозначение 53尸2・)

Самая низкочастотная линия в спектре поглощения натрия представляет собой дублет. Какие спектроскопические обозначения следует приписать соответствующей па-

ре возбужденных энергетических уровней, на которые переходит атом в процессе поглощения.

Чем можно объяснить расщепление на эти два энергетических уровня?

Суммарный полный момент атома J различен для этих двух уровней. Выше или ниже расположен уровень, соответствующий большему значению /?

Рассматриваемое расщепление на два уровня пропорционально средней величине г71, Где г ——расстояние между валентным электроном и ядром атома. Вычислите наиболее простым путем значение п.

IV. 7.5 (20 баллов).

Выпишите все перестановочные соотношения для операторов момента импульса Lx, L^, Lz и оператора L2.

Пусть 屮/м ——собственная функция операторов L2 и Lz, отвечающая их собственным значениям #2(/+1) и 方加 соответственно. Докажите, что 屮= (L%-h iLJ 屮/印 также является собственной функцией операторов L2 и L” и найдите их собственные значения.

Покажите, что в случае I = 0 функция 收团,рассматриваемая в п.《6》，является также собственной функцией операторов Lx и Ly.

IV. 8.1 (15 баллов). Определив квантовые числа S, L и У, запишите в принятых спектроскопических обозначениях следующие состояния атомов:

основное состояние нейтрального атома бора (атомный номер Z = 5),

основное состояние однократно ионизованного атома натрия (Z = 11),

основное состояние двукратно ионизованного атома натрия,

первое возбужденное состояние однократно ионизованного атома натрия,

основное состояние молекулы водорода.

IV.8.2 (10 баллов). Частица массой т находится в основном состоянии с энергией Е =——В в одномерной потенциальной хме шириной а. В решение уравнения Шредингера входят два параметра, имеющие размерность длины:

= " и "2 = "爲.

Ответьте качественно на следующий вопрос: до какого расстоя- ння % можно считать отличной от нуля плотность вероятности

для этой частицы? Для иллюстрации ваших результатов по* стройте график волновой функции.

IV. 8.3 (10 баллов). На рисунке представлена система из двух магнитов А\ и Л2; каждый из них аналогичен магнитам, используемым в опытах Штерна и Герлаха. Через такую систему проходят атомы только в состояних с Sz = +V2 (имеются в виду атомы калия, узкий пучок которых падает слева). Представим теперь, что между магнитами 4 и 4 на пучок атомов в течение одной микросекунды воздействует пространственно однородное магнитное поле В. Каковы должны быть величина и направление поля В, чтобы ни один атом из этого пучка не попал на детектор О?

IV.8.4 (10 баллов). Оцените приближенно время жизни т атома водорода в возбужденном 2р-состоянии. Принимая во внимание принцип неопределенности, мы могли бы сказать, что энергетический уровень этого состояния имеет ширину 】)АЕ а ^ 方/т・ Однако в известной серии опытов, проведенных более двадцати лет назад, Лэмб и его сотрудники измерили энергию этого уровня с погрешностью примерно в тысячу раз меньшей, чем А巨.Объясните этот парадокс.

IV. 8.5 (15 баллов). Приведите формулы и числовые значения в сантиметрах (с точностью до одной значащей цифры) для а) радиуса первой боровской орбиты в атоме водорода, б) радиуса первой боровской орбиты в атоме ртути, в) комптоновской длины волны электрона, г) комптоновской длины волны пи-мезона, д) дебройлевской длины волны нейтрона с энергией 10 кэВ, е) дебройлевской длины волны протона с энергией 10 ГэВ, ж) комптоновской длины волны нейтрино (с указанием типов нейтрино), з) радиуса наиболее тяжелого устойчивого ядра.

Здесь т обозначает среднее время пребывания атома в возбужденном нестабильном состоянии, переход из которого является разрешенным. — Прим, ред.

IV.8.6 (10 баллов).

Докажите, что для любого стационарного состояния квантовое среднее значение импульса р должно равняться нулю.

При каких условиях можно доказать, что квантовое среднее значение оператора положения г обращается в нуль?

IV. 8.7 (10 баллов).

Установите правила отбора для электрических дипольных переходов в атомах легких элементов.

Какие из них остаются в силе для тяжелых элементов?

для ядер?

IV. 8.8 (10 баллов). Расщепление линий в сверхтонкой структуре атома меньше расщепления в тонкой структуре примерно в mjMZ раз, где т — масса электрона, М -—масса протона, а Z ——атомный номер. Объясните, чем это вызвано.

IV. 8.9 (10 баллов). Рассмотрим функцию f (%), определяемую степенным рядом вида

n=0

где р ——некоторое положительное целое число.

Какое суждение можно вынести о скорости возрастания этой функции (по сравнению со степенной функцией) при х —► +оо?

Может ли эта функция служить решением какого-нибудь конкретного уравнения Шредингера, удовлетворяя одновременно условию нормировки

卜 2 (%) I2 dx— 1? о

Дайте объяснение.

9.1 (5 баллов). В некотором циклотроне дейтроны ускоряются до энергии 16 МэВ. До какой энергии будут ускорены а-частицы в этом циклотроне, если заменить в нем дейтерий гелием?

9.2 (5 баллов). Какова плотность вещества в ядре атома в г/см3?

9.3 (5 баллов). Протоны и а-частицы, обладающие одинаковыми кинетическими энергиями, проходят через золотую фольгу. Чему равно отношение их сечений кулоновского рассея- ння (нерелятивистского)?

9.4 (5 баллов). Какая выделилась бы энергия (в джоулях), если бы метеор из антивещества массой 1 кг столкнулся с Землей?

9.5 (5 баллов). Определите энергию основного состояния атома, образованного из электрона и позитрона, которые связаны между собой силами кулоновского притяжения.

9.6 (5 баллов). На сколько компонент расщепляется спектральная линия атома натрия, соответствующая переходу ?D312 f 2D% в случае нормального эффекта Зеемана?

9.7 (5 баллов). Частица массой m находится в потенциальной яме, имеющей форму полусферы радиусом R. Оцените приближенно кинетическую энергию частицы в основном состоянии. (Рассмотрите только нерелятивистский квантовый случай.)

9.8 (5 баллов). Определите границу коротковолнового рентгеновского излучения для трубки, находящейся под напряжением 25 кВ.

9.9 (5 баллов). Большое число идентичных фермионов находится в прямоугольном ящике объемом V, занимая низшие возможные уровни. Во сколько раз изменится максимальный импульс частиц, если удвоить объем ящика, а число частиц оставить неизменным?

9.10 (5 баллов). Укажите величину магнитного момента протона не более чем с двукратной ошибкой.

9.11 (5 баллов). Запишите в спектроскопических обозначениях основное состояние атома гелия.

9.12 (5 баллов). Пусть ^(r, /)—волновая функция частицы, движущейся в потенциальном поле V =々产/2. Рассмотрим другое состояние этой частицы с волновой функцией 屮(ar, f). Во сколько раз отличаются средние кинетическая и потенциальная энергии в этих двух случаях?

9.13 (10 баллов). Исходя из элементарной теории Бора:

вычислите магнитное поле в центре атома водорода, индуцированное электроном в основном состоянии;

оцените для этого состояния сверхтонкое расщепление энергетического уровня】)；

вычислите частоту радиоизлучения атомарного водорода, распределенного в космосе (в пренебрежении магнитным моментом электрона).

IV.9.14 (15 баллов). Рассмотрим атом, состоящий из двух протонов и одного электрона.

!) Без учета аномального магнитного момента протона. — Прим, ред.

Предполагая, что расстояние R между протонами жестко зафиксировано и нам известна зависимость энергии электрона £0 в основном состоянии от R, напишите выражения для £о(О) и £о(°°) и оцените их численно.

Теперь предположите, что оба протона взаимодействуют друг с другом, и их ^эффективная потенциальная энергия》 Y(R) равна сумме E°(R) и энергии электростатического отталкивания. Определите, как зависит расстояние R между протонами в состоянии равновесия от 瓦(R).

Считая функцию Eo(R) гладкой и монотонной в интервале между предельными значениями Ео(О) и Е()(8), постройте приближенно график зависимости Y(R).

До сих пор мы не учитывали собственного движения протонов. Охарактеризуйте качественно природу нижних энергетических подуровней основного состояния электрона и нижних возбужденных состояний обоих протонов.

IV. 9.15 (15 баллов). Параллельный пучок электронов, ускоренных в поле с разностью потенциалов 37 В, падает нормально на экран, в котором имеется щель шириной 1 А (ясно, что такая щель нереальна и рассматривается абстрактная задача). За экраном, на расстоянии 10 см от него, перпендикулярно щели и направлению пучка перемещается детектор очень малых размеров (~ 1 А).

Какова примерно ширина области, в которой детектор зарегистрирует электроны?

Какое распределение электронов будет регистрировать детектор, если в экране сделать еще одну такую же щель, параллельную первой и отстоящую от нее на расстояние 10 А? Нарисуйте это распределение.

Предположим, что интенсивность электронного пучка уменьшилась настолько, что в любой момент времени в пространстве между экраном и плоскостью детектора имеется только один электрон. Произойдет ли изменение картины?

Какая наблюдалась бы картина, если бы одну из щелей перекрыли вторым (прозрачным для электронов) детектором, дающим нам информацию о том, через какую щель прошел каждый электрон?

IV. 10.1 (20 баллов).

Мюон — это частица с массой 206 те, заряд которой равен заряду электрона. Предположим, что отрицательно заряженный мюон оказался захваченным атомом фосфора (Z = 15) и стал последовательно переходить на все более низкие энергетические уровни. Определите энергию фотона, испускаемого атомом, при переходе мюона с уровня п = 3 на уровень 几=2.

Для точного определения массы мюона можно использовать результаты прецизионного измерения энергии фотона, излучаемого так, как описано в п.《а》. Случайно оказалось, что энергия фотона лежит примерно в середине длинноволновой границы ^полосы поглощения у свинца (Z = 82). Чтобы доказать, что данное утверждение справедливо, вычислите приближенно энергию, соответствующую границе К-полосы поглощения для свинца, в) Как, используя этот факт, вы произвели бы точное измерение энергии фотона и почему упомянутый случайный факт можно отнести к разряду «счастливых»?

IV. 10.2 (25 баллов).

Исходя из выражения для мощности излучения ускоренно движущегося электрона

dw 2 е2a2

Н = арг/с，

получите формулу для сечения томсоновского рассеяния,

Опишите, какая существует связь между томсоновским и комптоновским рассеянием?

Считая, что у-кванты с энергией 0,5 МэВ рассеиваются атомами водорода под углом 90°, вычислите энергию у-квантов, рассеянных на электронах и протонах, а также оцените по порядку величины отношение их сечений рассеяния (у + е—)/(у + р).

IV. 10.3 (20 баллов). Напишите классическую формулу для мощности излучения ускоренно движущегося заряда (см. задачу IV. 10.2) и, применяя принцип соответствия, определите среднее время жизни простого гармонического осциллятора в возбужденном состоянии с высоко расположенными квантовыми уровнями энергии. Результат выразите через квантовое число

уровня я, классическую круговую частоту со, массу m и заряд е осциллирующей частицы.

IV. 10.4 (20 баллов). Согласно одной из простых моделей, атомное ядро из N нейтронов и Z протонов рассматривается как совокупность нуклонов в бесконечно глубоком (квадратном) потенциальном ящике.

Получите выражение для плотности энергетических уровней (т. е. для числа уровней, приходящихся на единичный энергетический интервал) в таком потенциальном ящике.

Чему равна максимальная кинетическая энергия отдельного нуклона, если ядро атома находится на самом нижнем энергетическом уровне?

Покажите, что при постоянной плотности ядра найденная выше максимальная энергия не зависит от числа нуклонов.

Как следует изменить рассматриваемую модель, чтобы учесть электрическое взаимодействие между протонами?

10.5 (15 баллов). Парамагнитная соль титана подвергается действию магнитного поля В = 10 000 Гс в гелиевом криостате при температуре 1 К. Вычислите приближенно, какая часть от общего числа ионов Ti3+ [3d1; 2D^\ имеет ориентацию спина по направлению поля.

11.1 (20 баллов). Представьте себе метательное копье, которое, упираясь своим острием в неподвижную горизонтальную мраморную плиту, находится в «идеально сбалансированном» вертикальном положении. Используя принцип неопределенности, оцените время, через которое упадет это копье.

11.2 (20 баллов). В некоторых магнитных материалах могут существовать спиновые волны с частотой з = D* где О — постоянная, a k — волновое число (модуль волнового вектора), соответствующее данной спиновой волне. Энергетические уровни квантованы: Е =几方со.

Найдите зависимость фазовой v и групповой 4 скоростей этих волн от частоты з.

Определите температурную зависимость интегральной по спектру плотности энергии U, связанной со спиновыми волнами, в состоянии теплового равновесия.

Замечание. Спиновые волны являются бозонами, энергия теплового движения которых описывается законом Планка для излучения абсолютно черного тела. Здесь так же, как и в теории свободного электронного газа, можно определить число частиц N优)，у которых волновые числа попадают в интервал между k

н 々 + d山(только для спиновых волн не нужно писать множитель 2, учитывающий поляризацию, т. е. спиновые состояния электронов или, например, фотонов).

IV. 11.3 (20 баллов). Коротко опишите такие положения, рассматриваемые в квантовой механике, как

физическая интерпретация волновой функции 2(%),

правила векторного сложения моментов импульса, в) правила отбора, т. е. допустимые изменения квантовых чисел j, I н m для разрешенных излучательных электрических дипольных переходов,

соотношение, налагаемое на динамические величины G и F, когда они одновременно могут иметь точно определенные значения.

11.4 (5 баллов). Оцените кинетическую энергию нуклона в ядре атома углерода. Диаметр ядра равен примерно ЗХ ЮТ м.

11.5 (5 баллов). Мощность излучения Солнца (с учетом излучения нейтрино) равна 4 • 1026 Вт. Предположим, что вся энергия выделяется в результате ядерной реакции, протекающей по протонно-протонному циклу:

4р ^ Не4 + 26 МэВ.

Сколько рождается атомов гелия внутри Солнца в одну секунду?

11.6 (5 баллов). Какова (с точностью ±30%) энергия фотонов в /(-линиях характеристического рентгеновского спектра атома меди?

11.7 (5 баллов). Какой минимальной энергией должен обладать движущийся электрон, чтобы при его столкновении с другим покоящимся электроном образовалась пара электрон — позитрон:

е~ + е" -> е~ + е~ + е" + et?

11.8 (5 баллов). Атом с атомным номером Z = 26 часто проявляет валентность +2. Обозначьте символически конфигурацию электронных оболочек атома для этого случая. [Пример. Для кислорода она записывается в виде (Is?, 2s2, 2р4)3Р2]

11.9 (5 баллов). Оцените зеемановское расщепление Av спектральных линий атома водорода в магнитном поле В = =10 000 Гс,

IV. 11.10 (10 баллов). Частица движется в одномерной симметричной потенциальной яме вида

Укажите, как повлияют малые возмущения этого поля (они изо* бражены ниже графически) на поведение частицы в различных состояниях:

а) 」'——в основном состоянии,

—в первом возбужденном со* стоянии,

—В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИЙ.

Для краткости ответов введем следующие обозначения: А — если энергия состояния возрастет в первом приближении теорий возмущений, В — если возрастет во втором приближении, С — если уменьшится в первом приближении, D ——если уменьшится во втором приближении и Е — если не изменится в обоих при* ближениях.

IV. 12.1 (20 баллов). Рассмотрим систему из двух частиц, имеющих одинаковые массы М. Пусть эти частицы совершают одномерное движение и взаимодействуют между собой с силой 尸 = ——少(修——％2), где %i и %2 ——координаты частиц. Предположим, что состояние этой системы описывается волновой функцией

g ехр[г-乌唠円 exp [- ±项%.

Чему равно среднее значение полной энергии относительного движения частиц?

Определите среднее значение модуля импульса относительного движения этих частиц.

Если измерить относительный импульс р> то с какой вероятностью можно получить значение

р< VW2^?

IV. 12.2 (10 баллов). При квантовомеханическом рассмотрении процесса рассеяния используют волновую функцию вида

pikr

屮(г) ^eik2 + f(Q)f 8.

Воспользуйтесь этой функцией 屮 и получите выражения для падающего и рассеянного потоков вероятности.

Найдите соотношение, связывающее f(H) и сечение рассеяния а(0).

12.3 (10 баллов).

°•ж ••

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю 11 12 13

На рисунке нанесены экспериментальные точки, отражающие, например, зависимость сечения рассеяния атома от энергии бомбардирующих электронов. Они нанесены довольно редко — нужно было получить самое общее представление о характере процесса. Предположим, что вам предоставлена возможность произвести пять дополнительных измерений. Какие значения координаты Е вы бы приблизительно выбрали и почему?

12.4 (5 баллов). Счетчик регистрирует излучение долгоживущего радиоактивного препарата. Среднее показание его равно 104 импульсов в секунду. Какова вероятность того, что в течение одной секунды он зарегистрирует менее 9700 импульсов?

12.5 (5 баллов). Время жизни радиоактивного элемента в среднем составляет т = 10 дней. Какова вероятность того, что произвольный атом этого элемента распадается в течение пятого дня?

12.6 (5 баллов). Период полураспада свободного нейтрона 〜12 мин. Какой энергией (в МэВ) должен обладать нейтрон, чтобы с вероятностью 50% он мог выжить, преодолев расстояние в 10 световых лет от звезды до Земли?

12.7 (3 балла). /С-мезон распадается на два нейтральных пиона с нулевым спином. Каким спином обладает К・мезон?

12.8 (3 балла).

Какому расположению трех положительных зарядов на сфере отвечает состояние с наименьшей энергией?

В случае четырех зарядов?

12.9 (3 балла). Оцените высоту кулоновского барьера, преодолеваемого а-частицами у поверхности ядра U238 при его распаде.

12.10 (3 балла). Какой радиус имела бы ls-оболочка воображаемого атома из нейтрона и электрона, связанных между собой силой только гравитационного взаимодействия?

12.11 (3 балла). Как зависит радиус /(-оболочки атома от его атомного номера Z?

12.12 (3 балла). Атом водорода находится в возбужденном состоянии, характеризуемом квантовыми числами 几=3 и / = 2. На какие нижние уровни он может совершить излучательные переходы? (Рассмотрите только электрические дипольные переходы.)

12.13 (3 балла). Сколько электронов может уместиться на оболочке с главным квантовым числом и = 5?

12.14 (3 балла). Рассмотрим атом из электрона и позитрона, находящийся в состоянии с орбитальным квантовым числом / = 1. Определите магнитный момент такого атома.

12.15 (3 балла). Определите собственные значения следующих четырех операторов, относящихся к спину электрона:

S%，Sy, S? И s2 = s^ + s^ + s^・

12.16 (3 балла). Представьте себе, что электрон, помещенный в однородное магнитное поле, обладает только одной степенью свободы — спиновой. Напишите выражение для энергии электрона в различных состояниях в зависимости от магнитного поля В и фундаментальных констант е,方，/п и с.

12.17 (3 балла). Покоящаяся частица (например, нейтральный пион) массой m распадается на два фотона. Определите импульс р каждого фотона.

12.18 (3 балла). Фотон выбивает электрон из покоящегося атома водорода. При каком условии пренебрежение связью электрона с ядром и его движением не вызывает грубых ошибок при анализе этого процесса?

12.19 (3 балла). Атом водорода находится в состоянии, характеризуемом главным квантовым числом п — 2. Какому орбитальному квантовому числу (/ = 0 или / = 1) соответствует в полуклассическом представлении орбита с большим эксцентриситетом?

12.20 (3 балла). Какова (в электрон-вольтах) энергия связи электрона, находящегося в основном состоянии, с ядром однократно ионизованного атома гелия?

12.21 (3 балла). Назовите два важных механизма, которыми можно объяснить ослабление пучка фотонов с энергией 500 кэВ при его прохождении через вещество.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

1.1.

а-частицы обладают низкими энергиями, и размер ядра атома оказывается малым по сравнению с длиной волны де Бройля ——Комптона для этих частиц. Следовательно, рассеяние частиц на ядрах является когерентным, причем сечение такого когерентного рассеяния на протонах пропорционально Z2, где Z — число протонов в ядре. Рассеяние же а-частиц на электронах является некогерентным, поскольку радиус электронной орбиты намного превышает длину волны де Бройля для этих частиц. Сечение рассеяния а-частиц на электронах пропорционально Z. Отсюда видно, что рассеяние а-частиц на ядрах превалирует над рассеянием их на электронах. Более того, энергетические потери а-частиц при рассеянии на ядрах намного превышают их потери на ионизацию атома, поскольку энергия, передаваемая электрону при единичном акте рассеяния частицы на электроне, меньше 2теУ^. Наконец, угол рассеяния а-частиц на ядрах значительно больше, чем на электронах. Именно по этим основным причинам пренебрегают влиянием атомных электронов.

Сечение комптоновского рассеяния обратно пропорционально квадрату массы рассеивающей частицы. Следовательно,

Сечение фотон-электронного рассеяния / ^n \2〔

Сечение фотон-ядерного рассеяния\ ^е /*

откуда видно, что влияние ядер на рассеяние рентгеновских лучей пренебрежимо мало.

IV. 1.2. Магнитное поле в центре петли с током i вычисляем по формуле

А 一卩。'

где а — радиус петли. Если электрон в атоме водорода нахо Дится в 2р-состоянии, то радиус его орбиты а и скорость орбитального движения V равны 】)

а = п2а0 и и = а 糸

Оценка делается на основе модели атома Бора. — Прим. ред.

где @о ——боровский радиус электронной орбиты в атоме водорода, а — постоянная тонкой структуры, а п = 2. Определяем ток i:

2・ЮТa.

2冗a2冗出的 (2) (3,14) (8)(0,5 • 10~10)'

Следовательно,

ВВ^ 0,43 Вб/м2.^ 0,43 Вб/м2.=(4冗. 10-7)(],4. ICT4)

В

В

^ 0,43 Вб/м2.

^ 0,43 Вб/м2.

—(2)(2 - 10-10)

(1)(1)IV. 1.3. В соответствии с классической волновой теорией относительное доплеровское уширение линии дается выражением

(1)

(1)

(0 с

где в нашем случае V(^2) — среднеквадратичная скорость атомов ртути, а

« 7,43 • Ю15 с-L« 7,43 • Ю15 с-L2冗 сс 3,0 • Ю8

« 7,43 • Ю15 с-L

« 7,43 • Ю15 с-L

о == 2лF

九2,537 • 10-7

Согласно закону равнораспределения, 号〈* =萼,

откуда

^ 3,7 • IO' с.

Таким образом, из формулы (1) получаем

Ag)d = 3,7 - 10~7ш =(3,7 • Юр(7,42 • 1015) «3- 109 с"1.

Используя соотношение неопределенностей, находим естественную ширину спектральной линии

A8L東，

где т — среднее время перехода, ответственного за излучение. Для электрического дипольного перехода т ^ 10~8 с, так что

Ag)n比108 с"1《厶①口.

Полная энергия излучения за одну секунду на данной спектральной линии вычисляется по формуле

W =nhs =?1卫四

(п — число испускаемых фотонов в одну секунду). Таким образом, находим 1)

取= 1018嚅=5・ 1(Я эВ^ 1 Дж.

IV. 1.4.

Is?, 2s2, 2隐 3s2, 3卢，4sL

L = 0, S = %, / = %•

В случае нормального эффекта Зеемана мы должны рассматривать только то расщепление энергетического уровня, которое отвечает изменениям квантового числа т；, соответствующего z-компоненте орбитального момента количества движения. Для основного состояния mz = 0, а для первого возбужденного состояния (4р) оно может принимать значения т/ =——1, 0 и +1. На рисунке приведена диаграмма энергетических уровней и показаны разрешенные переходы. Сдвиг уровней АЕ в магнитном поле В составляет

АЕ = ±Т^В・

±1. Им соответствует из-±1. Им соответствует из-Согласно правилу отбора для разрешенных переходов с магнит

±1. Им соответствует из-

±1. Им соответствует из-

hv = Ziv。+ hv = Av0, hv = hvQ ——hv = Ziv。+ hv = Av0, hv = hvQ ——岛5,岛5,4 л me ，4 л me ，ных подуровней, имеем Ат/ = 0 или лучение с энергией

hv = Ziv。+ hv = Av0, hv = hvQ ——

hv = Ziv。+ hv = Av0, hv = hvQ ——

岛5,

岛5,

4 л me ，

4 л me ，

А/И/ = + 1,

Д/И/ = 0, Nmi = — 1 ・

I) Здесь в числителе дроби стоит значение Яс в эВ-А; а в знаменателе一 Длина волны в А, деленная на 2л, — Прим, перев.

IV. 1.5.

Функция 屮 должна быть нормированной. Из условия нормировки

\ ^2 dx= I —а получаем

О 标。S2（S）小曲（警）+.C。S2（粤）］公=1.

Здесь из подынтегрального выражения отброшены произведения с перекрестными членами, поскольку при интегрировании они дают нули. Что касается оставшихся членов, то мы имеем

2心（} + }+强） = 1, откуда

Подставляя поочередно каждый член волновой функции •ф в уравнение Шредингера, получаем

力2 J2 / ЛХ \ 方2 冗2/ ЛХ \

2m dx2 C0S （ 2а 丿—2m 4废 cos （ 2a 丿一

=cos 三 Ei cos ,

力2 d2./ 3冗％、Й2 9冗2. （ 3冗％、口. /Злх\

方2 d2/ зЛ% \9方2冗2/ зЛ% 4口 /3冗%、

-而萨 cos l^r）=^cos D cos , Можно показать, что все члены волновой функции описывают собственные состояния системы, а £卜 Е2 и £3 являются собственными значениями энергий, соответствующими этим состояниям. Поскольку исходная волновая функция представляет собой линейную комбинацию трех собственных функций, то возможные результаты измерений энергии записываются следующим образом:

口 一閭2 口 一 9门2方2口 _ 9歩方2

1 一 8ma2，2 — 2та2 И 3 一 8ma2 *

Вероятность измерения каждого из этих значений пропорциональна квадрату веса соответствующего члена волновой функции, т. е.

尸1：Р2：p3=1 ： 1 ： +,

а так как Р\ + Р2 + Ръ = 1, получаем

п 16 D 16 D 1

pp2 =丽йp3 =福.

IV. 2.1.

mn = 939,5 МэВ/* или 1,675-10~27 кг,

/г = 6,626 • IO—? эрг-с,

а =『Е

Хе = — = ^ =« 0,0243 Л,

丿 е加еСтес2 5 • 105''

Д)г0 =优:庐 ^ 2,82 • 10 13 см,

10-9 с,

Ж)師^諾 ^8・1()ТМ9В/Гс,

т = 103 с, поскольку ст = 3,03-1013 см,

и = ас ^ 2,2-108 см/с.

IV. 2.2.

В стационарном уравнении Шредингера

-義 ^^ + U ⑶ 2(%)"2⑴(1)

изменим знак координаты %. Тогда получим

Считая V{х) = V(—%), уравнение (2) можно переписать в виде

—北“号二"+ U (%)”(-%) = Е2(—%).(3)

Следовательно,屮(——％) также является решением уравнения Шредингера, соответствующим тому же значению энергии Е. Но из условия задачи известно, что решение уравнения должно быть невырожденным; поэтому 屮(％) и 屮(——х) должны быть линейно зависимыми. Если обе функции нормированы, то

2(%) = ±2(-%);(4)

здесь знак 土 означает, что решение может иметь либо положительную, либо отрицательную четность.

Заданное потенциальное поле V(%) удовлетворяет условию V(%) = 7(—%). Значит, как было показано в предыдущем

пункте, волновая функция имеет вполне определенную четность: либо з(%) = +屮(一%), либо 2(%) =-屮(一%). Пусть

瓦=釁 и 局=^“2^乙—储部,

где n ——целое число. Поскольку волновая функция должна обращаться в нуль при % = ±а, то 屮(％) ведет себя в области —q V % V —方 подобно функции sin 々i(% + 〃)，а в области b V V%Va — подобно функции ±sinE(a — %). В областях же —& V%V0 и 0 < х < & она изменяется экспоненциально как -比е+х)и +(—)2-仇(6-幻 соответственно J) • Знак + (—) отвечает положительной (отрицательной) четности волновой функции. Основное состояние 屮i системы имеет положительную четность (четно), а возбужденное состояние R — отрицательную четность (нечетно). Энергию системы в /г-м состоянии можно вычислить по формуле

На рисунке построены волновые функции 屮卜 屮2 и (屮i + 屮2) в зависимости от 尤 для момента времени t — 0.

Запишем волновой пакет в виде

"="]2一出1"九+中#一旭2"方.

Поскольку в правой потенциальной яме функции 屮i и 屮2 складываются в противофазе (т. е. гасят друг друга), в левой потенциальной яме складываются в фазе (т. е. усиливают друг друга), а в области —b < х < & они пренебрежимо малы, то в

I) Можно порекомендовать читателю найти более корректное решение этой задачи. — Прим. ред.

момент времени / = 0 волновой пакет 屮 почти полностью сосредоточен в левой потенциальной яме. С течением времени разность фаз между обеими составляющими волнового пакета изменяется как (£2 ——七1)〃方.Это означает, что волновой пакет постепенно перемещается в правую потенциальную яму, а за・ тем возвращается обратно. Период таких колебаний равен

2门方

三—自,

IV. 2.3.

Ниже расположен уровень 0, и вот почему. У позитрона направления магнитного и спинового моментов совпадают, а у электрона они противоположны друг другу. Из курса классической электродинамики нам известно, что система, состоящая из двух магнитных диполей, обладает минимальной потенциальной энергией, когда оба диполя ориентированы в одном направлении. Следовательно, в основном состоянии направления спинов позитрона и электрона противоположны.

Приведенная масса позитрония равна ц = 72^е- Следовательно,

Энергия связи = (7г) {Энергия связи в атоме водорода)= =6,8 эВ.

£у = [2те—— (Энергия связи)]/2 » 0,5 МэВ. Согласно законам сохранения импульса и момента количества движения, оба у-кванта разлетаются в противоположных направлениях с противоположно направленными моментами количества движения.

IV. 2.4.

〈匕济值+, L」I厶切=〈匕 mf\[Mx + iM力 Mx 一 iMy\ |/, ап) = =(Г, 〃 12(1МУМХ 一 1МхМу) |/, т)=〈匕 〃 I 21 [Му, Мх] |/,加〉= =〈Г, mz 12力此 IZ, m) = 2力2他3 (/ —，)3 (加一〃z')・

Если х — некоторый оператор (матрица), то функции от этого оператора е汝,cos % и sin % определяются с помощью формальных разложений в соответствующие ряды. Следовательно, мы можем написать ряд

"=1+С£)+屮+…=

_ ](。m/2)2(0城/2)4

=12!*4! …十

Пользуясь тем, что 力=1, получаем 战翅=1 一嗜+噜一

+沁耳+沁耳(е/2)з(е/2)53!十 5!(е/2)з(е/2)53!十 5!

+沁耳

+沁耳

(е/2)з(е/2)5

3!十 5!

(е/2)з(е/2)5

3!十 5!

2.5. Электрический потенциал внутри однородно заряженной сферы постоянен и равен V = е/а. Соответствующий потенциал точечного заряда изменяется как е〃. Определяем искомый сдвиг энергетического уровня:

т) 2产 dr dQ = (i)3 4 J 宀。(т 一 V)f2 dr ^

О

2^22^23*3*T<(t)2=T(13'6 эВ)(ет)^7-10-9эВ-T<(t)2=T(13'6 эВ)(ет)^7-10-9эВ-

2^2

2^2

3*

3*

T<(t)2=T(13'6 эВ)(ет)^7-10-9эВ-

T<(t)2=T(13'6 эВ)(ет)^7-10-9эВ-

Отсюда мы видим, что энергетический уровень поднимется. Следовательно, энергия связи уменьшится.

3.1. Устойчивость ядра зависит от величины отношения г, определяемого выражением !)

Знереия ку儿оновскозо взаимодействия'Позерхностная энергия ядра *

Поскольку радиус ядра ~4& а площадь его поверхности 〜/%, то

Z2%/3

или

72р2

Г = const.

При малых значениях г ядро устойчиво. Оно распадается при г > го, где го — критическое значение г, соответствующее ядру с Z = Zo ^ 80 и Д = Ао ^ 200. Для устойчивого ядра с удвоенным зарядом должно выполняться соотношение

const.const.

Отсюда находим

4Z24Z2才&才&4石4石(8°)2~ЕГ = 32,(8°)2~ЕГ = 32,

4Z2

4Z2

才&

才&

4

石

4

石

(8°)2

~ЕГ = 32,

(8°)2

~ЕГ = 32,

，)Приводимый автором критерий устойчивости не является полным. ]1рим. ред.

4Z24Z2= 2Z,= 2Z,а так как

4Z2

4Z2

= 2Z,

= 2Z,

т0 получаем 2Z&32, или Z《16. Наиболее тяжелому устойчивому ядру соответствовало бы Z ^ 16 и Д я^ 32.

10-6『бВ ==^ 3 • 105 Гс.卩 ЯП3・10"210-6『бВ ==^ 3 • 105 Гс.卩 ЯП3・10"23.2. Эффект Пашена — Бака проявляется при увеличении магнитного поля В до таких значений, когда энергия Цяд^ становится сравнимой с величиной сверхтонкого расщепления энергетических уровней, имеющей порядок 10~6 эВ. Отсюда следует, что

10-6『б

В ==^ 3 • 105 Гс.

卩 ЯП3・10"2

10-6『б

В ==^ 3 • 105 Гс.

卩 ЯП3・10"2

3.3. Кинетическая энергия равна m^c2 + mnc2 = 2mn^2.

3.4. Боровский радиус орбиты мюона пропорционален 1/Z; число же протонов в ядре пропорционально Z. Следовательно, вероятность 】)того, что мюон попадет в объем, занимаемый ядром, пропорциональна Z&

3.5. До значений энергии Ер, не превышающих 10 МэВ, при которых дебройлевская длина волны протона еще достаточно велика по сравнению с hlgc, где 俏冗——масса пиона (/「= = 0").

3.6. Данная задача аналогична задаче о линейном гармоническом осцилляторе. Потенциал, заданный в области % > 0, совпадает с потенциалом для гармонического осциллятора. Следовательно, уравнение Шредингера должно записываться аналогичным образом:

"2 = — -Д-+ 4-归％2” = 0, х > 0.

* 2m dx2

Однако граничное условие в нашем случае имеет вид

必(％ = 0) = 0.

В случае линейного гармонического осциллятора четным значе- нням п соответствуют четные волновые функции. При % = 0 эти волновые функции отличны от нуля и, следовательно, не удовлетворяют записанному выше граничному условию. Нечетным зна- ■

')Амплитуда вероятности захвата пропорциональна отношению объема 'Ара (который пропорционален Z) к размерам области, в которой может на- ^одиться мюон (этот размер порядка радиуса боровской орбиты, т. е.〜1/Z). вероятность (т. е. квадрат модуля амплитуды) оказывается поэтому пропор- зональной Z& — Прим. ред.

чениям и отвечают нечетные волновые функции относительно %. Поэтому

^2m+lU = 0) = 0；

здесь m — любое положительное целое число. Отсюда мы видим, что функции

屯 т+1 (%)

удовлетворяют уравнению Шредингера и заданному граничному условию и их можно считать допустимыми решениями. Им соответствуют собственные значения энергии

^2/n+i =(2т+у) h^^ где m = 0, 1, 2, 3,....

. 3.7. Ниже перечислены точные симметрии и законы сохранения:

комбинированная четность СРТ = 1,

преобразования Лоренца,

закон сохранения вероятности (унитарность),

закон сохранения числа фермионов,

законы сохранения импульса, энергии и момента количества движения,

законы сохранения барионного и лептонного зарядов,

закон сохранения заряда.

Неуниверсальное сохранение имеет место для

четности,

зарядового сопряжения,

обращения времени,

зарядовой независимости ядерных сил,

G-четности,

странности, И т. д.

3.8. Запишем отнесенную к единице времени вероятность распада частицы в момент / в дифференциальной форме

dP ⑴+半

Отсюда определяем вероятность того, что к моменту времени / мезон еще существует:

Р«)〜ехр (—筑％).

Таким образом, среднее время жизни частицы равно

厶 +，2 *

Согласно принципу неопределенности для энергии £ имеем

Следовательно, неопределенность массы частицы

厶f 2c

3.9. Групповая скорость =嬴=丽=工=V.

дЕс?

Фазовая скорость — kv = ^pr v = »^ = -у-・

зло.

Для ls-состояния волновая функция обращается в нуль только на бесконечности.

Для 25-состояния она обращается в нуль как при 厂= =2@о, так и при г = оо.

Для 2р-состояния (т = ±1) волновая функция равна нулю при 0 = 0, л и г = 0, оо. Для 2р-состояния (т = 0) она равна нулю при 6 = л/2, Зл/2 и при г = 0, оо. (Здесь m — магнитное квантовое число, 9 — сферическая координата, дополняющая широту.)

IV. 3.11. Энергия связи дается формулой

2^m^Z2

Л2

При учете релятивистской поправки масса электрона окажется больше. Следовательно, энергия связи увеличится (а энергетический уровень опустится).

Экранировка уменьшает поле ядра, или эффективное значение Z; следовательно, станет меньше и энергия связи.

Если распределение заряда в ядре считать однородным и сферически симметричным, то потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром будет такая же, как и для электрона на определенной орбите в боровской модели. Однако, согласно квантовомеханическим представлениям, имеется некоторая конечная вероятность попадания этого электрона внутрь ядра атома. Отсюда следует, что учет конечного размера ядра атома приводит к уменьшению энергии связи. (См. задачу IV. 2.5.)

IV. 3.12.

Только гравитационное взаимодействие !), потенциал которого V 〜一1/r.

')Автор имеет в виду такие большие расстояния г, на которых все «атомнне》силы (например, силы Ван-дер-Ваальса) можно считать пренебрежимо малыми. — Прим. ред.

Кулоновское взаимодействие: I/ 〜1〃.

В поле иона нейтральный атом ведет себя подобно электрическому диполю. В этом случае V 〜一l/尸.

Ядерное взаимодействие, характеризуемое потенциалом —e~hr/r.

Нейтроны ——нейтральные частицы, не обладающие электрической поляризацией. Поэтому здесь нужно учесть только взаимодействие их магнитных моментов. Рассматривая нейтроны как два магнитных диполя, получаем следующий вклад в потенциальную энергию взаимодействия: —2did2/r3, где di = =d2 = d (d — магнитный момент нейтрона).

IV. 3.13. Полную волновую функцию системы можно записать в виде произведения радиальной функции R(r) и угловой функции 屮(仇 ср):

”(「，0, ^) = R(r)^(Q9 ср).

В свою очередь функцию 屮(8,屮)можно представить как суперпозицию собственных функций оператора момента импульса системы:

屮(9, Ф)= X m У『(0, Ф)«

Здесь У『(0, ср)——общеизвестные сферические функции с целочисленными индексами / и т, причем 0 ^ m ^ /. Функция Yim (0,屮)характеризует состояние системы с собственным значением модуля момента импульса 力 “/(/十1)・ Квадраты всех этих функций

|УГ (0,屮)『，за исключением |Уо (9,屮)『，

зависят от угла В; то же самое относится и к перекрестным про- нзведенням i)・ Таким образом, единственной функцией, которая удовлетворяет условию независимости

1^1)(9,屮)|2

I) Если сумма определенного числа произведений с перекрестными членами не зависит от 0 и ф, т. е.

У &/ ［嘴(8,叫* 嘴(8,屮)=const == Л,

то, интегрируя по всему угловому пространству и используя условие ортогональности

\ 峭(0, ф)屮歹(0, ср) dQ = 0 для I 耍 /' или tn 力 /и',

мы находим, что 4лД = 0. Таким образом, произведения с перекрестными членами обращаются в нуль.

от углов 0 и ф, является

"@中)mу8(з哂

следовательно, / = m = 0. Это означает, что единственно возможное значение момента импульса системы равно нулю, т. е. система должна находиться в S-состоянии.

IV. 4.1. Одномерное уравнение Шредингера записывается в виде

(1)(1)* = (Е — У)取2m d%2'/ *

(1)

(1)

Если частицы расположены слева от барьера, то V = 0, и уравнение (1) принимает вид

2тЕ ,

⑵⑵Общее решение этого уравнения дается функцией 屮l = AeikxX + Вет"”,

⑵

⑵

где

l V 2тЕ

= Г.

Для частиц, находящихся в центральной части, имеем V = Vo, причем Vo > Е・ Соответствующее решение уравнения Шредингера для этой области записывается как

гдегдезМ = сe 財% + £)e一也%,зМ = сe 財% + £)e一也%,(3)(3)々2 =々2 =72m (九 一 E)72m (九 一 E)

где

где

зМ = сe 財% + £)e一也%,

зМ = сe 財% + £)e一也%,

(3)

(3)

々2 =

々2 =

72m (九 一 E)

72m (九 一 E)

Наконец, для частиц, находящихся справа от выступа потенциального барьера, V = V\ <Z Е. Здесь, поскольку мы рассматриваем волну, распространяющуюся в положительном направлении оси %, решение уравнения (1) будет следующим:

^R = Feik3X,(4)

где

6"2/n (七一%)

Запишем теперь граничные условия

⑸⑹⑺⑻⑸⑹⑺⑻4e-/】d/2 + Ве*С12 = Се-自d/2 + 口№岡2,

⑸⑹⑺⑻

⑸⑹⑺⑻

i%4e-/0/2 一 ik^Be^ =局ce-財〃2 一品0或以%

Fe*3d/2 = Cek?dl2 +。6—自 d/2

诚3尸戸3d/2 =局Cg財d/2 一 財 De-к2d12.

Из условий （5） и （6） получаем

2ih、Ae-th、di2 = "財+局）Ce^2 + "財-局）0熙吗 （9） а из условий （7） и （8）—

他2 +决3）尸6/鼠/2 = 2品c6財〃2（10）

И

（局-决3）尸e/也/2 = 2局 De-bdB.（11）

Путем исключения из уравнений （9）, （10） и （11） коэффициентов С и D находим

2法Мe-/0/2=（南+初e-Ed的+憑）］偉1一阮）战d （比一喝）

F 产禹 2— 一，

откуда получаем следующее выражение для коэффициента прозрачности барьера:

々31尸产16%々鹼3

& m 12 - （够_&々3）2 （gi2d — 済吟2 + （々网 + 々2电）2 （「Ed + eEdp =

=）百（%-e、Ne -

一［"0 — E） 一 "上（七 一 匕）］2 sh2 h2d + （匕）一七）（“豆-Ne —%）2 ch2 々2d .

IV. 4.2. Нам дана матрица

Чтобы найти собственные значения матрицы, нужно решить характеристическое уравнение

（1）（1）М -九/1 = о,

（1）

（1）

которое в нашем случае принимает вид

3-九 2

о=°・⑵

Отсюда следует

（3一 九）九+ 4 = 0,

или

（九一4）（九 + 1） = 0.（3）

Следовательно, собственными значениями матрицы Л являются 入=4 и 九=——1. Пусть 入=4. Согласно определению собственного вектора, имеем

/3-4

（2

⑷

Отсюда следует

—%i + 2%2 = 0, или %i = 2%2；(5)

при этом компоненты вектора должны удовлетворять условию нормировки

忏 + 赭=1.(6)

Таким образом, собственному значению 入=4 соответствует собственный вектор

2

*

Для 入=—1 имеем

0(3=。’⑺

откуда

4yi+ 2勿=0, или у1 = -^妝，(8)

и

%+%=1.(9)

В результате получаем собственный вектор

1

，

V 5

соответствующий собственному значению 入=——1.

IV. 4.3.

С — вектор, характеризующий плотность потока вероятности. Его аналогом в классической электродинамике является вектор Пойнтинга.

6 )炉少dU = \ (屮*需+需少)dU =柒,漳*V2屮一(V2炉)电dV^

VVy

=磊 \ div 2* grad 屮一(grad 炉)"］刘=一 \ (V • C) d忆 VV

Следовательно,

e = 备伸* g^d"-(grad峭巾］.

IV. 4.4.

Волновая функция, отвечающая основному состоянию атома водорода, имеет вид

где “о = 0,5 А.

Вероятность нахождения электрона в слое между г и г + 2г вычисляется по формуле

Р (г) dr = I фо I2 d匕 где dV = 4冗产 dr.

Подставляя сюда выражение для волновой функции 屮о, получаем

Р (г) " =[2 (*)% eхр (- 含)了 产公.⑴

При максимальном значении 尸(厂)производная dP(r) I dr обращается в нуль. Следовательно, для нашего случая имеем

^卜 ехр(_^)] = о,

ИЛИ

2—4- = 0・⑵

Отсюда следует, что 尸(厂)принимает максимальное значение при г = а。. Второе решение уравнения (2), г = 0, соответствует минимальному значению 夕(г), равному нулю.“

IV. 4.5.

а)R 駕^1人

Из известного соотношения 九макс? = 0,29 К-см находим, что при 7 = 3 К

九^ Ю'1 см=107А.

Ширина запрещенной зоны « 1,1 эВ.

При делении одного ядра освобождается энергия, примерно равная 200 МэВ. Она соответствует разности энергий связи в исходном и конечных ядрах.

『广^^4.吁rц.『广^^4.吁rц.Д)

『广^^4.吁rц.

『广^^4.吁rц.

е)

ж)

к = 0,9 • IO" Дж/Гс.

IV. 4.6. Основному состоянию частицы, находящейся между двумя непроницаемыми стенками, соответствует нормированная волновая функция вида

叫尤)= cos等，

где а ——расстояние между стенками. Эта функция обращается в нуль при % = —а/2 и % = а/2.

а) Собственные функции состояний частицы в расширенном потенциальном барьере записываются в виде

п/ х /1 плх

и (%) =~ cos для нечетных п

и

и" (%) = /\Jу sin -^^ для четных 及(исключая п = 0),

которые обращаются в нуль при х = а и % = —а. Функцию w°(x) можно разложить в ряд по ортонормированным собственным функциям vn:

〃。(%) = S0炉(%),n=l

где

+а/2

ап =、以(%) vn (%) dx

—а/2

—амплитуда вероятности нахождения частицы в состоянии п. Вычисляем эту вероятность для основного состояния:

б) Энергия частицы сохраняется в статистическом смысле, т. е. энергия частицы в исходном состоянии Е(и^) равна сумме энергий 旦 всех возможных состояний 炉，взятых с весом В, который равен вероятности пребывания частицы в каждом из этих состояний:

(См. задачу IV. 1.5.)

IV. 5.1.

Принцип соответствия: классическая механика является предельным случаем квантовой механики, когда постоянная Планка оказывается пренебрежимо малой относительно некоторого характерного параметра системы, например момента импульса. В этом случае все законы и предположения квантовой механики должны сводиться к классическим.

Закон Дюлонга и Пти утверждает, что молярная теплоемкость любого металла равна 3R, или 6 кал/моль・К】).

Потому что первоначально каждый атом калия находится в основном, или S-состоянии, и при переходе любого из них в возбужденное 35-состояние происходит поглощение только того фотона, длина волны которого соответствует главной серии.

Фактор g равен 2 для спинового момента электрона и 1 для орбитального момента.

Комптоновское рассеяние и фотоэффект.

IV. 52

В случае системы, образуемой протоном и электроном, испускаемый фотон обладает энергией

% = 13,6 (} — ±) = 10,2 эВ,поскольку п = 2.

Энергии уровней пропорциональны массе т, и опа у мюона в 210 раз превышает массу электрона. Следовательно),

еи « 2100 эВ.

Радиус первой боровской орбиты обратно пропорционален массе т. Поскольку для электрона он равен а。= 0,5 А, то для мюона получаем следующее значение:

0,5 •前 0,0024 А.

Скорость частицы на /г-й боровской орбите v = 0n⑴门 не зависит от массы частицы, потому что ап обратно пропорционально т, а соп пропорционально ей. Следовательно,

здесь а ——постоянная тонкой структуры.

IV. 5.3. Из известного соотношения 入максТ = 0,29 см - К находим, что максимум спектральной плотности излучения при температуре Т = 2000 К приходится на длину волны 入макс =

')Этот закон справедлив при достаточно высоких температурах. — Прим, ред.

=1,45-10~4 см = 1,45-104 А. Фотоны с этой длиной волны обладают энергией ^ 1 эВ, что вдвое меньше энергии фотонов в желтой линии натрия (2,07 эВ).

Чтобы разрешить противоречие, нужно рассмотреть спектральное распределение энергии теплового излучения

/1 с】 1 Cl1 с】1

声行:7 =弱 /,44•108小7— 1 =证 / 22• 104小一1 •

Здесь подставлены числовые значения второй радиационной постоянной с2 = 1,44• 10~ м• К = 1,44• 108 А-К и температуры Т = 2000 К. На длине волны 入= 5890 А имеем

/ (5890 А) ——-—jy^.

、 丿(5890)5 /2,3 —]

По сравнению с /(14 500 А) это очень малая величина. Действительно,

/(5890 А). = / 14 500、5 098一1 〜L44 .К 〜

/(14 500 А) - I 5890 丿产,3_i ~2,20-105 ~

(88,6)(6,54 ・ 10-4)^0,058

В то же время она больше, чем / (入 V 5890 А). Поскольку все атомы натрия находятся в основном состоянии 32sl〃，то ближайшим разрешенным возбужденным состоянием является 32Л/2)з；2. Переходам

32S%

соответствует излучение линии 5890 А. Для электрических дипольных переходов AL = ±1, поэтому следующим близким возбужденным состоянием является 4р, переход с которого отвечает излучению с 九=3300 А. Однако этим переходом можно пренебречь, поскольку / (3300 А)《/ (5890 А) !)-

Мы приходим к выводу, что при такой низкой температуре наблюдается в основном только желтая линия.

方 2 б/2“[2m dx2方 2 б/2“[2m dx2+ £*^1 = 0,+ £*^1 = 0,(1)⑵(1)⑵IV. 5.4. Запишем уравнение Шредингера. Для области % W 0 оно имеет вид

方 2 б/2“[

2m dx2

方 2 б/2“[

2m dx2

+ £*^1 = 0,

+ £*^1 = 0,

(1)

⑵

(1)

⑵

а для области % > 0

舞4> +任一几)业=°・

Уравнения (1) и (2) имеют следующие решения:

Ф)— Aeik{X + Be^ikiX9% & О,(3)

屮2 = Се注2% + De^ik2X,x > О,(4)

где

л 、2mE l «2他(Е —九)

①=-й 局=.

Если частицы движутся слева направо, то D — 0. Для сшивания решений воспользуемся граничными условиями

取(0)Г(0) И 名段(5)

Они дают

А + В = С и

k\ (Д — В)=局С.

Отсюда находим

e=》4⑹

и

Из выражений (3), (4), (6) и (7) получаем

22 = 4 %一上% 醉2*・財

Если частицы движутся к барьеру со скоростью и = 7?Е1т> то в ящике с единичным сечением и длиной I = V будет находиться только одна частица. Плотность частиц, движущихся к барьеру, равна Л2. Следовательно, мы имеем следующее условие нормировки:

А2 у = 1, откуда находим

4 =(卷户.⑼

В случае Е V % имеем

月=2•旦戸U恤

Таким образом, волновые функции (8) принимают вид 屮1 = / (或+ 专義:ё-®Х ), 心=24汴広宀

Частицы не могут полностью преодолеть потенциальный барьер и отражаются от него обратно. Характеристическое расстояние, на которое проникают частицы в глубь барьера (х > 0), равно

自V2m "о — F) *

IV. 5.5. Подставим заданную волновую функцию в уравнение Шредингера, записанное в сферической системе координат:

Выполняя дифференцирование, получаем

F必+ V⑺必=Е 5・(2)

Функция U(r) оказывается постоянной, и ее можно положить равной нулю. Из уравнения (2) мы видим, что

Следовательно, частица является свободной.

IV. 6.1.

Формула для потока вероятности имеет вид

J =一亲，[屮* grad 屮一(grad 屮*)电 d4s

(Ее вывод дан в решении задачи IV. 4.3.)

Подставляя 屮=eihx и 屮* = e^ihx в приведенную выше формулу, мы получаем

/% = — ^" \ [e~ikx (/) eikx — (— ik) e^ikxeikx] dAx = ~^ d/%;

здесь —скорость распространения волны.

Нет. Поток, соответствующий действительной волновой функции тождественно равен нулю.

IV. 6.2. При свободном падении тела в поле силы тяжести имеем

s = △% + и/.

Здесь s — расстояние между шариком и отвесом, Ах — начальное смещение шарика, ох—горизонтальная составляющая его скорости, равная Дрх/т. Применяя соотношение неопределенностей

получаем

s = Nk +誓 +士 ■七.⑴

Минимальному значению s соответствует условие

As 1 IГ 1 1 л или

/И V g V "2 g

Отсюда находим、

Следовательно,

с / 2 力2〃

IV. 6.3.

Сравнивая формулы

Nn = aZ — b и

m = Ef — Ej = (Z—D2Rc}1a —击)=2吁号"Dy, получаем

где R ——постоянная Ридберга.

В атоме с большим атомным номером Z все электроны, за исключением ls-электронов, удалены от ядра на довольно большое расстояние. Поэтому на положение энергетических уровней ls-электронов остальные электроны не оказывают влияния. Считая, что

E(ls)~(Z-l)2, а

Е (2由〜(1/22) (Z-У

получаем

V =里边产也〜(Z - I)2,

т. e. частный случай закона Мозли.

При анализе оптических спектров пренебрегать влиянием остальных электронов уже нельзя, поскольку именно они определяют уровни оптических переходов.

. 6.4. Направим ось % вдоль направления движения первой частицы. Тогда компоненты 4-импульсов обеих частиц записываются в виде

B =(YigS, 0, 0,仰附1*

А = (0, 0, 0,加2力 где

一号)上

Определяем массу покоя образовавшейся частицы:

М =[-々(А +「2)厂(Л +「2)J= (d + 侬 +

Скорость V этой частицы можно найти из выражения для ее импульса Р. Поскольку импульс сохраняется, мы имеем

V1 — (V2/c2)” 1

Отсюда

y^v2(c2-V2) = M2V2c2.

Следовательно,

M%2 +寸m縛

IV. 6.5.

На каждый электрон, попавший в магнитное поле, действует вращающий момент

『XB = — *g(s><B), или

° = ^f" (поскольку S 丄 В).

Угловая скорость прецессии спина равна отношению вращающего момента к спину:

ИЛИ

egB

2mc

причем вектор Q совпадает по направлению с вектором магнитной индукции В.

Циклотронную частоту определяем по формуле(о = =eg/2mc ^ 8,8-106 рад-с-1 - Гс (если пренебречь постоянной тонкой структуры а в выражении для фактора g)・

<p = Q/ = Q警=n第舞=姜=#+^•

Следовательно, измеряя ср, можно опытным путем определять численное значение а. На этом принципе основаны известные эксперименты по измерению малых отклонений g-фактора мюона от значения, равного 2.

IV. 6.6.

Если электрон движется по круговой стационарной орбите, то

*=加号；(0

здесь V — линейная скорость электрона, г — радиус орбиты. Согласно квантовому постулату Бора,

Орбитальный момент электрона = mvr = пй, (2)

где n = 1, 2, 3,...・ Исключая и в формулах (1) и (2), находим

Потенциальная энергия электрона на орбите

а кинетическая энергия

T=4■加m=费

Следовательно, полная энергия электрона дается выражением

Е =-显=一瑞г(〃=1, 2, 3 ...).

e(" = 4)一ё(% = 2)=需(击一营)=(13,6 3B)4-2>55 3В.

IV. 7.1.

Уравнения Шредингера для рассматриваемых областей записываются следующим образом:

一寨 + 九屮(х) = Е" (х),х>0,

Т 響1*(х)， х<。；

здесь Vo = 20 эВ, £ = 10 эВ.

Оба решения этих уравнений представлены на рисунке.

Дебройлевскую длину волны электрона вычисляем по формуле

九_包h2n力c

p“2他EV(2mc2) E *

Подставляя в нее значения m = 0,5 МэВ/c2, he = 1,973 X X Ю~п МэВ - см и Е = 10 эВ, получаем

>(1,973 • КГ】1)2冗(

Л = ——«4 • 10 см;

3,2・10~з

здесь в знаменателе стоит числовое значение величины ”(2溷)Е ==VhO2 МэВ - 10~5МэВ3,2 • 10~3 МэВ.

Граничные условия: функция 屮(％) и ее производная d1^ (х) fdx при х = 0 должны быть непрерывными.

Вероятность нахождения электрона в области х > 0 пропорциональна ехр (—2хД).

IV. 72

а) Собственные значения энергии: £〃 =(几十 ^ hvQ (п = = 0,1,2,.,. .),

Четность собственных состояний:尸匸(——1严・

б) Собственные значения =131 (八X + 因 + 八z h 2"^ 九v().

энергии:

或=宦+球+爲=

Четность собственных состояний: Р == (― 1)〃％+电+勺.

Свойства состояний, соответствующих четырем самым нижним энергетическим уровням, сведены в следующую таблицу:

Габлица

Кратностьвырождения£(2/+1)Кратностьвырождения£(2/+1)

Кратностьвырождения£(2/+1)

Кратностьвырождения£(2/+1)

пх + пу + п2Еп Чет^стьп^ %

о

3

10

о 1 2;6?

о о1 0 110 0 2

о1о 110020

и о о и AV и СЧ о о

+1Т+1

32527-2

1001212003

1120021030

1212100300

о 1 2 3

в) Используя выражения для четности Р = (—1尸 и числа вырожденных состояний 2/ + 1, находим, что каждой группе уровней соответствуют те значения 厶 которые приведены в таблице.

IV. 7.3.

Всего имеется 6 различных 2р-состояний, поэтому число всевозможных состояний первого 2р-алектрона равно 6, а второго, согласно принципу Паули, — только 5. Таким образом, число всевозможных размещений для двух 2р-электронов равно

30. Фактически же вследствие неразличимости обоих электронов число возможных состояний меньше, а именно 30/2 = 15.

Пусть S и 厶——полные спиновый и орбитальный моменты обоих электронов. Общую волновую функцию г|)для обоих электронов можно представить в виде произведения спиновой волновой функции 4)S(S1, S2) И орбитальной ВОЛНОВОЙ функции l|)L(^b ^2)« Теперь, если мы поменяем местами оба электрона, то получим

屮(门，r2)= (- 1)厶屮L&2,门) и

2s(Sl, S2)= (— 1)S + 1 屮s(S2, S1)・

Отсюда следует, что

2(1, 2) = (—l)“s+i 屮(2, 1),(1)

но, согласно статистике Ферми, волновая функция для обоих электронов должна быть антисимметричной, т. е.

^(1, 2) = (一1)屮(2, 1).(2)

Поэтому из (1) и (2) получаем

S + 厶=Четное число.(3)

В силу того что S = si + S2, сумма S может быть либо 0, либо 1, а поскольку L = li +【2, то L может принимать значения 0, 1 или 2. Отсюда получаем следующие возможные квантовые состояния, удовлетворяющие условию (3):

S

厶

Мультиплетность состояний 2J+ 1

0

0

1

0

2

1

1

1

1

1

3

1

1

5

Полное число состояний равно 15.

IV. 7.4.

Is?, 2s2, 2處 3sl.

32S%'

32;\, 32Р%.

Структура тонкого расщепления обязана спин-орбиталь- ному взаимодействию, т. е. взаимодействию спина электрона с

9 Зак. 713

магнитным полем ядра В, если рассматривать это взаимодействие в системе отсчета, жестко связанной с электроном.

Энергетический уровень, соответствующий большему значению /, расположен выше.

Поскольку потенциал кулоновского поля V 〜1/г, то dV/dr 〜厂"Л Следовательно, при фиксированном значении L энергия взаимодействия пропорциональна

S・L丄学〜厂3s」〜l3.r dr

Отсюда видно, что п = —3.

IV. 7・5・

[厶%,丄J = Z力g， [厶力厶』=访厶为, [L2,厶』=3 ihLy、 [厶，L2] = 0,2 =%，y,之.

£29=厶2 (厶％ +辽J也爲=(厶为 +辽g) ^lm

=(厶% + iLJ 自2/(/ + 1)切加=力2/(/ + [)屮.

Таким образом доказано, что 屮 является собственным состоянием оператора 厶2.

厶 2屮==厶纟(厶％ + iLj ^im = {ihLy + L 乩之 + 力 L% + iLJ) ^im ^1

=(Lx + iLy) (mft + 力)% =(俏 + 1)力(厶尢 + 辽/ ^im = (m+ 1)й(р.

Отсюда следует, что ср является также собственной функцией оператора Л2.

Предположим, что

^х^ОО ==: 2 4m也/и；⑴

m

здесь 团=0, 1, 2, ..., Z и Z = 0, 1, 2, ..., a Atm ——постоянные коэффициенты. Действуя оператором L2 на обе части равенства (1), получаем

L2Lx^^h2ZAlml(l+l)^lm.⑵

Z, m

Левая часть полученного соотношения равна нулю, так как операторы 厶2 и lx коммутируют друг с другом, а Л2г|?Оо = 0. Но функции 屮/„г являются ортонормированными; значит, все коэффициенты 4rи, за исключением ЛОо, в правой части соотношения (2) должны обращаться в нуль, т. е.

4m = 0 (кроме /оо)・

Таким образом мы доказали, что

^х^оо =』oo2oo・

Аналогичным путем можно доказать и второе соотношение

厶 gW00 = BooWoo.

IV. 8.1.

2А/2, поскольку имеется один неспаренный электрон.

0, так как отсутствует внешний электрон.

2尸3/2, поскольку имеется 《дырка》в 2р-оболочке.

В данном случае один из 2р-электронов переходит в состояние 3s, образуя 《дырку》в 2р-оболочке. Пользуясь правилом Хунда, находим

S — s2P + S3s — 1, L — 1 и / — 0.

Следовательно, получаем возбужденное состояние 3Р0-

Д)

8.2. График волновой функции приведен на рисунке.

Волновая функция частицы, находящейся в потенциальной яме в основном состоянии, имеет только один максимум. Между стенками потенциальной ямы она характеризуется длиной волны 〜2a. Вне потенциальной ямы плотность вероятности спадает экспоненциально:

Р^еХр(-2М^).

На расстоянии % 三 d》а/2 + d вероятность нахождения частицы становится настолько малой, что ею можно пренебречь.

8.3. Спиновый магнитный момент электрона равен gs^s. В магнитном поле спин электрона прецессирует с ларморовой частотой

施卩蕾r _ eв九 -2/nc施卩蕾r _ eв九 -2/nc(gs = 2, s = ^).(1)(gs = 2, s = ^).(1)

施卩蕾r _ eв

九 -2/nc

施卩蕾r _ eв

九 -2/nc

(gs = 2, s = ^).(1)

(gs = 2, s = ^).(1)

Если при прохождении электронами области между А\ и Л2 направления их спинов изменяются на большой угол, скажем 180°, то электроны не смогут пройти через магнитную систему A2f потому что в полях магнитов А\ и Д2 на них действуют отклоняющие силы в одном и том же направлении. Таким образом, мы имеем условие

В 冗=(о/ =孚1, (2)

из которого находим магнитное поле

Q 0,36 Гс.Q 0,36 Гс.^2£ =е/ (8,8- 106)(10~6)

Q 0,36 Гс.

Q 0,36 Гс.

Это поле должно быть направлено либо параллельно пучку электронов, либо перпендикулярно плоскости х, а.

8.4. В атоме большинство разрешенных переходов между энергетическими уровнями происходит за время 〜10一9 с Поэтому можно считать, что время жизни возбужденного 2р-со・ стояния в атоме водорода тоже порядка 10~9 с. Пользуясь соотношением неопределенностей, находим ширину энергетического уровня“

力 6,6 • 10-16D

АЕ^ —— = 6,6 • 10 эВ;(1)

здесь мы использовали значение 方 в следующих единицах:

力=力=需党小6,6 2毋•&需党小6,6 2毋•&

力=

力=

需党小6,6 2毋•&

需党小6,6 2毋•&

Значениям 拉=2Значениям 拉=2=1. Уровень с / ==1. Уровень с / ==% соответствуют два уровня с / == 0 и 0 является метастабильным, поэтому его

Значениям 拉=2

Значениям 拉=2

=1. Уровень с / =

=1. Уровень с / =

энергия может быть измерена с гораздо более высокой степенью точности, чем та, которую дают вычисления по формуле (1). Что касается уровня с / = 1, то его положение более неопределенно. Однако оба уровня расположены настолько близко друг к другу, что частота перехода между ними лежит в микроволновом диапазоне. Поскольку радиочастоты можно измерить с весьма высокой точностью, то имеется возможность определить экспериментально среднюю частоту квантов, поглощенных на этом переходе, что равносильно измерению с большой точностью сред-

него энергетического сдвига между этими уровнями. Используя соотношение

£(/=!) = £(/= !)-£(/= 0) + Е(/ = 0),

можно определить среднюю энергию уровня, соответствующего / = 1, с гораздо большей точностью, чем она дается формулой

(1).

IV. 8.5.

а。=鴛 0,53 А = 5,3- 10~9 см.

г0 = ^£г 6,6 • IO— А = 6,6- 10~п см・

Х = —«3,8. 10~исм; к = — ^2,42- 1О~10 см. 丿 шс ，тс ，

Г)大=丄笈1,4・ 10-13 см; Л = — «8,88- 10~13 см.

方方с1973 с ллл

V2mn£ \2mnc2E V2- 10э- 104

= 44・ 10"см・

X=|» = * = ^= 1,973・10-7A= 1,973・10Tcm・

Для мюонного нейтрино c mv < 1,2 МэВ/^2 имеем 尢=7^Г> 1°-з А = 10一" см, и для электронного нейтрино с mv < 60 эВ/M имеем Х = -^— ^30 Л = 3 • 10~7 см.

Поскольку г ^ 1,3 • 1()тз 卡4 см, а ^Л « 6, то получаем г^8 • Ю""13 см.

IV. 8.6.

Пусть Р — оператор четности, который《отражает》 все координаты относительно начала системы отсчета. Полагая, что все состояния имеют определенную четность, имеем

〈Р〉=〈2, P2〉=〈PW, pP2〉=〈PPW, РрЛф〉=

=〈2, РрР2〉=〈屮，一РФ) = — 3, Р2〉= — (р),

поскольку РР = 1. Следовательно, (р)三 0.

Если все собственные состояния, соответствующие собственному значению энергии £；, имеют определенную и одинаковую четность, то среднее значение радиус-вектора г должно равняться нулю.

IV. 8.7.

Полагая, что в атомах легких элементов преобладает LS связь, получаем следующие правила отбора для электрических дипольных переходов:

должна изменяться четность,

AL = ±1, AAf = ±1,0,

AS = 0,

А/= 0, ±1 (исключая переход 厶= 0 — /『 = 0).

В атомах тяжелых элементов следует принимать во внимание / ——/-связь. Поэтому получаем следующие правила отбора:

в любой момент времени реализуется переход только для одного электрона,

А/ = 0, ± 1, и для электрона, совершившего переход, Д/ = ±1 и Д/ = 0 или ±1,

изменяется четность.

В случае ядер налагается ограничение на изменение ядер- ного спина А/ = ±1, 0. Четность также должна изменяться (но не для перехода /^ = 0 т /『=0).

IV. 8.8. Сверхтонкое расщепление связано с взаимодействием магнитного момента ядра 卩乳 и магнитного поля Ве, обусловленного орбитальным движением электрона. Энергия взаимодействия равна цп Ве; она обратно пропорциональна массе ядра М, поскольку |ып = еЬ/2Мс〔).

Тонкое расщепление объясняется взаимодействием магнитного момента электрона це с кулоновским полем ядра Е. Энергия взаимодействия равна у^•良 Она обратно пропорциональна массе электрона те, так как це = е”2гПеС. В то же время на малых расстояниях от ядра (г ^ 0) поле Е в пренебрежении эффектом экранировки растет пропорционально заряду ядра (Е~ 〜Z). Следовательно, энергия взаимодействия оказывается пропорциональной Z. В результате получаем

Сверхтонкое расщепление 1/М — m Тонкое расщепление Z/zn 一 MZ '

IV. 8.9.

Дана функция

')Магнитные моменты протонов и нейтронов, из которых состоят ядра, не сводятся к указанному выражению для 卩门，но имеют тот же порядок величины. —Прим. ре@.

где

_ хп"〃=而戸,

Мы видим, что при П ОО

"м+1 %л

— (〃 + 1 戸5

Следовательно, функция /(%) конечна при любом конечном зна、 чении %・ В случае х оо она стремится к бесконечности быстрее любой степенной функции.

Функция не относится к возможным решениям уравне~ ния Шредингера, поскольку не является нормируемой из-за расходимости интеграла.

9.1. Обозначим через К^ и Kd кинетические энергии а-ча* стицы и дейтрона соответственно. Тогда 】)

к _ 比—(Q”R)2

% - 2此 一 2ма，

_ ^D _ (QdBR)2~2〃d *

Отсюда находим

Ka = Md Q^ =⑵⑵2不一工碣一⑷⑴一 •

Следовательно,

尤=2^ = 32 МэВ.

9.2. Плотность ядра р 〜1015 г/см3. Такая величина получается при умножении плотности обычного вещества на отношение объема атома к объему ядра:

р = (1 г/см3)(勺 1(荐寸=р = (1 г/см3)(勺 1(荐寸=1015 г/см3.1015 г/см3.

р = (1 г/см3)(勺 1(荐寸=

р = (1 г/см3)(勺 1(荐寸=

1015 г/см3.

1015 г/см3.

9.3. Отношение сечений равно 4, поскольку кулоновское рассеяние пропорционально Z.

IV. 9.4. 2тс2 = 2- (3-108)2 = 1,8-1017 Дж.

9.5. Она равна 6,8 эВ, так как приведенная масса позитрония равна половине массы электрона.

9.6. Атом натрия имеет шесть уровней энергии с тремя парами различных переходов. Поэтому при зеемановском расщеплении будут наблюдаться три спектральные линии, соответствующие Ат」=4-1, 0 и —1.

9.7. В соответствии с принципом неопределенности р* 方/R. Следовательно,

。九2

9.8. Из соотношения йс/Х = 25 кэВ находим Х= 0,08 А.

9.9. Максимальный импульс частиц изменится в (%)% раз, потому ЧТО Рмакс 〜片％・

9.10. Магнитный момент протона равен 2,8卩砲(卩明一 ядерный магнетон), т. е. 1,4-10-23 эрг/Гс.

9.11.母・

9.12. Кинетическая энергия увеличится в а2 раз!):

К〃儿.3H・=G(ar), ^-^-^^ = ^^^г\ 昇^^屮如)〉，

а потенциальная энергия уменьшится в а2 раз:

Пот. эн. = (^)(аг), у 办(аг)〉= ±〈2 (аг),с^产屮(аг)〉=

=亲〈2()^办(Г)〉・

IV. 9.13.

Электрон в основном состоянии создает круговой ток

z =廟，⑴

где е — заряд ни — скорость электрона, а а。一 радиус боровской орбиты. Этот ток создает в центре орбиты радиусом а。маг* нитное поле

b =g=b =g=Ио МИо М2ao2ao4冗ад4冗ад=(87)^^^^2'5 B6/m『=(87)^^^^2'5 B6/m『

b =g=

b =g=

Ио М

Ио М

2ao

2ao

4冗ад

4冗ад

=(87)^^^^2'5 B6/m『

=(87)^^^^2'5 B6/m『

= 1,25- 105 Гс;

здесь использована подстановка о = ас = 2,2 ・ 106 м/с и аэ == =0,53 • 10"。м.

Разность энергий между состояниями протона со спином, направленным вверх и вниз, равна

АЕ = 28%п =(2,5 ・ IO') (з, 15 ・ 10—2)= 7,88 . ю~7 эВ.

Здесь 卩яд = 3,15 • 10~12 эВ/Гс.

« 1,2 • 109 рад/с.« 1,2 • 109 рад/с.aе = аеe =(7,88 . 10-7 犯)(3 .m8 a儿) 1973 эВ-А

« 1,2 • 109 рад/с.

« 1,2 • 109 рад/с.

IV. 9.14.

При R = 0 оба положительных заряда находятся в на・ чале координат. Следовательно, £ (0) в 4 раза должно превышать энергию связи электрона в атоме водорода в основном состоянии:

⑴⑴Eo(O) = — 4(Rh) = — 54,4 эВ.

⑴

⑴

Если R—► 8, то удаленный протон не оказывает никакого влияния на электрон. Поэтому

Ео(8)= — Rh = — 13,6 эВ.⑵

Полная потенциальная энергия системы по условию задачи равна

U(R) = Eo(A)+^・⑶

Условие равновесия протонов записывается следующим образом:

⑷⑷野(R) = o・

⑷

⑷

Подставляя выражение для потенциальной энергии (3) в (4), получаем

откуда находим

Приблизительная зависимость Eo(R) показана на следующем рисунке:

Если оба протона находятся в нижнем возбужденном состоянии, то следует учитывать дополнительные энергетические уровни, отвечающие колебательным и вращательным степеням свободы протонов, с энергиями

^кол = (^ + у)力几=1， 2, 3,...,

4P〜7^ JQ+D?/=1，2, %

причем Зс можно выразить через V(R), массу протона тр и Права

IV. 9.15.

Конечная энергия каждого электрона равна 37 эВ. Следовательно, для дебройлевской длины волны электрона получаем

九=匹==0,32 А.

р «2тЕ 72mdE V(l,02 - 106) (37)'

Ширина центрального максимума дифракционной картины определяется по формуле !) из классической оптики:

х^— 4^6,4 см;

это та ширина, в пределах которой электрон может быть зарегистрирован.

При наличии двойной щели будет наблюдаться следующая интерференционная картина:

1) В данную формулу следует подставлять 入=2冗大.Поскольку она справедлива лишь при 儿《а, то ее применение нельзя считать оправданным.— Прим, перев.

Согласно квантовой механике, волновая функция оди・ точного электрона может интерферировать сама с собой. Поэтому должна наблюдаться та же картина, что и в п.《6》.

Если бы существовал такой детектор и можно было бы регистрировать прохождение электронов через одну из щелей, то мы получили бы дифракционную картину от одной щели. Однако из-за неопределенности координат и импульсов сами электроны и детекторы оказываются столь ненадежными объектами (т. е. нельзя ни жестко закрепить второй детектор на щели, ни узнать, падают ли электроны на нее параллельным пучком),что вряд ли можно получить какую-либо достоверную информацию от второго детектора 】).Сохранится интерференционная картина от двойной щели. (См. книгу: R. М. Elsberg, Fundamental of Modern Physics, 1961, стр. 161.)

IV. 10.1.

Поскольку Z = 15, a 团卩=206me, то для энергии излученного фотона получаем

丛今2 = 22小(206)(* 一 击卜88 кэВ

(здесь Rs = 13,6 эВ).

Границе /(-полосы поглощения у свинца соответствует энергия

见=亿一 1)2 Rg = (81)2 (13,6 эВ) ^89,3 кэВ,

и /(-серия линий рентгеновского излучения простирается (от 67) до 89,3 кэВ. Поэтому, когда мю-мезон переходит с уровня 拉=3 на уровень п = 2, он излучает фотон на частоте рентгеновского излучения, под действием которого электрон из К-о6о・ лочки атома свинца может перейти в возбужденное состояние. Следовательно, коэффициент поглощения у свинца оказывается довольно значительным.

Давайте поступим следующим образом:

Установим источник у-квантов, энергия которых была определена в п.《а》.

Поместим счетчик у-квантов непосредственно за свинцовой фольгой, служащей поглотителем. Мы зафиксируем слабый сигнал от источника, поскольку элемент с Z = 82 обладает большим поглощением, как было показано в п.《6》.

1) Объяснение автора может не удовлетворить читателя. Подробно об

интерференционном опыте с электронами можно узнать из книги: Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские лекции по физике, т. 3—4, «Мир», 1977, стр. 207——216, или из книги: Э. Вихман, Квантовая физика (БКФ), 《Наука》, 1974, стр. 206—207. Об аналогичном опыте с фотонами см. там же, стр. 168— 178. — Прим, перев.

Будем последовательно заменять свинец другими поглощающими элементами с меньшими номерами Z (81, 80, 79 ...), но с одинаковой радиационной длиной. Попытаемся регистрировать у-кв анты способом, указанным в п. 2.

Построим зависимость наблюдаемой интенсивности излучения у-квантов от атомного номера Z соответствующего поглотителя. При некотором значении Z = Zi мы заметим резкое увеличение интенсивности наблюдаемого излучения. Иными словами, для веществ с Z > Zi регистрируются сравнительно сильные сигналы, а с Z V Z】一 только слабые. Таким образом, получаем следующее неравенство:

Энергия границы К-полосы поглощения у элемента

с номером Zi + 1 ^^з->2 ^ Энергия границы К-полосы

поглощения у элемента с номером Zi, где Zi = 81, или

£k(Zi + 1)》£342》Ek(Zi)・

Из этого соотношения можно установить верхний и нижний пределы для массы мю-мезона:

203те & 〃“ & 209me.

Если бы масса мю-мезона оказалась значительно больше, то соответственно намного больше, чем 82, оказалось бы и число Z- Элемент с таким номером вряд ли удалось бы найти среди известных нам устойчивых элементов, и, следовательно, он был бы для нас недоступен.

10.2.

Энергия рассеянного излучения равна энергии излучения движущегося заряда:

Знереия рассеянное。〃з4у〃ен〃％ dw 2 е2Л2,1、

" Единица времени— "з⑴

Если электрическое поле падающего излучения в месте расположения заряда равно Е, то

a = - = - e --.(2)

Подставляя выражение (2) в (1), находим

dw 2е^Е2/с、

3絞сз・3絞сз・

3絞сз・

3絞сз・

Интенсивность падающего излучения равна

⑷

По определению сечение томсоновского рассеяния дается выражением

1 dwоT三7■万•

Таким образом, подставляя сюда выражения (3) и (4) для dw/dt и /, получаем

"=学(為广⑸

Томсоновское рассеяние ——это предельный нерелятивистский случай комптоновского рассеяния. Кроме того, они совпадают, если рассматривается рассеяние излучения в прямом направлении при малом изменении длины волны, т. е.

ок = о"(cos®, EJ

где f (1, £Y < mec2)1.

⑹⑹Используя законы сохранения энергии и импульса, мы получаем следующую формулу для комптоновского рассеяния:

⑹

⑹

%сс Епад (1 — 8駡/优炉 + 1 ・

Подставляя в эту формулу 0 = 90°, m0c2 = тес2 = 0,5 МэВ и Енад = 0,5 МэВ, находим энергию у-квантов, рассеянных на электронах:*

Ерасс^°,25 МэВ.

Если происходит рассеяние па протоне, то m0c2 = т^с2》 》Enaq И

Ерасс =6ian・

Из формулы (5) следует, что сечение рассеяния пропорционально 1/团2. Отсюда для у-квантов малых энергий получаем такое отношение сечений рассеяния на электронах и протонах:

+e一仅？e

匸 ^-^-^4 • 106.у + p十m^

10.3. Энергия осциллятора с квантовым числом п равна

где з — круговая частота осциллятора. Запишем соответствующее выражение для энергии из классической механики:

⑵⑵Е^ =号屋®,

⑵

⑵

где А ——амплитуда колебаний. Из (1) и (2) следует

疋=(2拉+ ^)詣(3)

Подставляя в формулу излучения ускоренно движущегося заряда

dw _ 2标出

dt — 3 с3

величину а = Лео2, получаем

dw 2 с?"»2絞①з小 ]и

m = 后-^=3 奇(2〃+1)方・⑷

Согласно правилу отбора для осциллятора, А〃=土 1. Если электрон переходит из состояния с номером п в состояние с номером п— 1, мы говорим, что он больше не находится в состоянии п. Следовательно, среднее время жизни осциллятора на уровне п

—Еп — Е(1T — 3mc3工=~d^/dt~= 2e2(o2(2〃+ 1)•

IV. 10.4.

Частица массой m внутри потенциального ящика описывается уравнением Шредингера

一嘉（盜+舞+黎）现・

Поскольку на стенках ящика потенциал обращается в бесконечность, то на стенках волновая функция

2(/ У, 2)= 0・

Собственные значения полной энергии Е протона (или нейтрона) определяются выражением

где пх, пу и 九z — положительные целые числа, а а ——размер потенциального ящика. В результате получаем

dn 一团。2

dE — n^h2^ '

Поскольку полное число нейтронов (или протонов) связано с п соотношением

N (или Z)—^-^j 冗序)・ 2 = -2^-,

или

(здесь п — положительно и каждому его значению соответствуют два спиновых состояния частицы), то получаем для ней

Ef = В?/ 冗％Ef = В?/ 冗％方2%%2ma2方2%%2ma2трона

Ef = В?/ 冗％

Ef = В?/ 冗％

方2%%2ma2

方2%%2ma2

и аналогично для протона

方 2,2/з

Обозначим』/炉=р, n〔A = ап и Z/A = ар. {Замечание. Не забудьте, что А = N + Z.) Поскольку р, ап и ар являются постоянными, a N = апЛ = апр«3 и Z = арЛ = арр^3, то

”/з”/з(апр)2/( = const,(апр)2/( = const,

”/з

”/з

(апр)2/( = const,

(апр)2/( = const,

Следовательно, энергия Ef в выше написанных формулах — постоянная величина.

Здесь для оценки можно ввести общее потенциальное поле для всех протонов 】).При этом все энергетические уровни протонов повысятся.

10.5.

Если предположить, что орбитальный момент 3d-злектрона в ионах Ti3+ полностью «заморожен», т. е. (Л2) = 0, то орбитальное движение не дает никакого вклада в эффективный магнитный момент. (См. Ch. Kittel- Introduction to Solid State Physics, 1971, стр. 629).) В этом случае мы имеем дело с нормальным эффектом Зеемана: происходит расщепление энергетических уровней в магнитном поле на подуровни с различными значениями ms. Обозначим через N% (и "_%) число электронов,

спин которых параллелен (и антипараллелен) направлению поля В. Мы имеем следующее отношение:

m/2: N_% = ехр (备)：eXр (一 备)，

где (в предположении g = 2)

%=霊=°，93。 IL ЭРГ-

(Замечание. Поскольку заряд электрона отрицательный, то направления спинового и магнитного моментов противоположны друг другу.) Отсюда находим относительную долю ионов титана, спин которых направлен по полю:

'= "% + 1% н 1 + ехр (- 2х/^Г) = i+exp (— 1,86/1,38)0j79*

11.1. Согласно принципу неопределенности, момент импульса копья / = /0 и сопряженная с ним угловая координата 0 не могут быть одновременно определены с произвольно высокой точностью, т. е.

• 90 =可他产前瓦^方；(1)

здесь I — длина копья, а 60 и 0о — возможные начальные значения угловой координаты и угловой скорости копья. Для оценки времени падения копья нужно определить порядок значений 0О и 0о, соответствующих наилучшей балансировке копья в вертикальном положении. Проще всего предположить, что копье идеально сбалансировано, когда неопределенность его кинетической энергии равна по порядку величины неопределенности его потенциальной энергии !):

^萼0汝｝mg唸

(в строго вертикальном положении потенциальная энергия копья принята равной нулю), или

、/勺传 ®о・(2)

Из формул (1) и (2) получаем

ео-^л/т⑶

I) В действительности это требует доказательства. — Прим. ред.

雷Q晶"集⑷

Уравнение движения копья записывается в виде

mg ^^" q -- mglQ 三 Вращающий момент = /0 = ^ /п/0, или

—е.

Интегрируя это уравнение, находим решение

е = 9оехрд/5/ = л/?д/£"ехр“4Н⑸

здесь мы учли начальное условие (3). При 0 ^ 1 копье можно считать практически упавшим. Таким образом, из (5) получаем искомое время

t=N^'n«*NM

Если сюда подставить ]) / = 1000 см и m = 1 г, то получим /30 с.

11.2.

Энергия волны квантована:

Е = п力①=nh Dk2.

Отсюда находим фазовую скорость

у = А — -"?-&• =nDk = nD «~ = п «方6

и групповую скорость волны

и ==寫 穿=4-嚼=i (2%方 Dk) = 2nDk — 2n 灰.

aP arПП/v

Согласно закону излучения абсолютно черного тела, тепловая энергия имеет следующее распределение:

刃固)一

叫傍)一

(здесь х ——постоянная Больцмана). Определяем интегральную по спектру плотность энергии:

о

где 4冗«2壮«/方з — плотность состояний. Подставляя в эту формулу выражения для Еп и 步(£^), получаем

u = nhD \ 白4оu = nhD \ 白4о4jt dk4jt dkexP(F~)_i JexP(F~)_i J

u = nhD \ 白4о

u = nhD \ 白4о

4jt dk

4jt dk

exP(F~)_i J

exP(F~)_i J

—4rtnD C归4 d归—4nnD / иТ

= 方2 )( nh Dk2 \~7 = 方2 l

。exP

здесь

с С х4 dx,

/ — \ 7~9\ г* — const.

/J exp(X2) — 1

о

Следовательно,

IV. 11.3.

Волновая функция является функцией пространственных координат 居 у, 2 и времени /, описывающей состояние системы. При этом:

Волновая функция представляет собой амплитуду вероятности и может интерферировать сама с собой.

Квадрат модуля волновой функции характеризует вероятностное состояние рассматриваемой системы.

Она описывает состояние одиночной частицы〔) (фотона, электрона и т. д.) в отличие от статистической функции распределения, которая характеризует состояние большого числа таких частиц.

J = Ji + J2; на это правило векторного сложения двух моментов импульса Ji и J2 налагается следующее условие:

1/ = m丨一|厶1,丨*一丨川 + 1,..，，1Л1 + 1Л1;

здесь мы предположили, что |川 > |/2|.

А/= 0, 土 1 (исключая / = 0->/ = 0),

А/ = ±1,

Лап = ± 1, 0.

')В действительности важно не то, что частица одиночная (можно записать волновую функцию и для нескольких частиц), а отсутствие влияния «термостата». — Прим. ред.

Коммутатор операторов G и F должен быть равен нулю: [G,尸]=G尸一尸G = 0.

IV. 11.4. Используя принцип неопределенности, найдем сначала импульс нуклона. Если размер нуклона находится в пределах А%, то его импульс должен быть порядка

АР ————• 10~15 дин • с;

А% 3. Ю"13

здесь А% приближенно равно диаметру ядра углерода: Ах ^ ^ 3-10~13 см. Отсюда кинетическая энергия нуклона в основном состоянии равна

3用^2m3用^2m3方23方22 (Ах)2 m2 (Ах)2 m^7 МэВ.^7 МэВ.

3用^

2m

3用^

2m

3方2

3方2

2 (Ах)2 m

2 (Ах)2 m

^7 МэВ.

^7 МэВ.

Средняя энергия нуклона должна быть несколько больше этого значения. В самом деле, применяя статистику Ферми для случая kT《Е/, мы получаем следующее выражение для средней энергии нуклона в ядре:

色" _ 且_ _3_方2c2「3Л2.6t/3〜

M，—万3^ I 厂丿 —M 2,仪2 |_(4n/3)(3. 10-13)3]^

МэВМэВ3 • (1,973 • 10-")2. 12,6~9380-(10-13)2-9-

МэВ

МэВ

(вывод формулы для энергии Ферми Е/ дан в решении задачи IV. 10.4).

IV. 11.5. В результате предполагаемой ядерной реакции на Солнце выделяется

4- 1026ТТ

а ^ 10比 атомов Не в секунду.

26• 1,6• КГ”)~

11.6. Энергия фотонов рентгеновского излучения в /(-линиях спектра меди равна 〜13,6・(29—I)2 эВ 10,6 кэВ.

11.7. Воспользуемся законом сохранения 4-импульса

匕+Р2 =%，

где Р/ ——суммарный 4-импульс частиц после столкновения. Следовательно,

2 從 с? + 2me£e = т^с2, откуда

時/ — 2/тф2

Условию 俏/ = 4me соответствует минимальная энергия движущегося электрона, при которой происходит рождение пары электрон ——позитрон. Следовательно, Ее = 7тес2, т. е. пороговая кинетическая энергия электрона равна приблизительно ЗМэВ.

11.8. Потенциальная энергия системы минимальна, когда магнитные моменты неспаренных электронов принимают одинаковую ориентацию и спины электронов в состояниях с 〃 = =3 выстраиваются в одном направлении. Следовательно, S ~ =(1/2) (6——2) = 2. Далее, согласно правилу Хунда,厶=2 и / = 4. Таким образом, атом находится в состоянии

(Is2, 2s2, 2戌，3s2, 3戌，4s2, 3dбум.

11.9. Величина расщепления между энергетическими подуровнями соответствует частоте

а 1 п D 2е 方 5еВ е В

Y Л 网 一方46小e 统S 一 2hme 一 mе 2Л 一

IV. 11.10.

А, потому что А£\ =〈“о,"［屮。〉больше нуля при Н\〉0.

4, так как AEi =〈屮卜方i“i〉больше нуля.

D, поскольку AEi =〈屮。，方i“o〉= 0 для нечетной функции "1, а во втором приближении

IV. 12.1.

Подставим % =打——冷，R = %i + 也，屮=^x^>r и приведенную массу 卩=М/2 в уравнение Шредингера для двух частиц с координатами %〔 и %2・ Тогда получим следующее уравнение, описывающее относительное движение:

После дифференцирования получаем

или

丽 V^x = ^х ,

откуда находим

Введем обозначение у? = 7口卜 %?/力. Поскольку волновая функция для основного состояния системы записывается в виде

5 = "*ехр（书，

то

I〈Р0 I I〈心,у ^ 5〉/〈心,5〉| =

=2 j e-^y 3'?- dy = здесь мы учли, что=2 j e-^y 3'?- dy = здесь мы учли, что必耍% = 乂善;必耍% = 乂善;

=2 j e-^y 3'?- dy = здесь мы учли, что

=2 j e-^y 3'?- dy = здесь мы учли, что

必耍% = 乂善;

必耍% = 乂善;

\ е~『（2y dy） = \ «у dz = 1,

ооо

о

о

а , е* dy = д/冗/2; dy/dx = （ц^/й2）Ч о

Пусть 2（р） — волновая функция в р-представлении. Она связана с 屮冥 посредством преобразования Фурье

屮（p） = \ e3/%一（1炉厶；

о

здесь a= "从々/2%.Таким образом,

屮（p） = j eхp [— a （% + 备 J 一 a （屍力…хР （盡）〜 о

~ехР（-^^）.

Вероятность того, что импульс частицы примет значение р < Va/%“2M^ =ро, дается выражением

00/84。

\ *2（p）dp/\ ^2（р） dp = ^^ e-ddqMOQ）,

о" о

где ①（9о）—функция ошибок. Подставляя сюда

4о =4о ==1,=1,V 2自«浜“2方“n论"2«卩 V2 VgV 2自«浜“2方“n论"2«卩 V2 Vgро— У 方 “2Mk — 77 2М — “«4卩

4о =

4о =

=1,

=1,

V 2自«浜“2方“n论"2«卩 V2 Vg

V 2自«浜“2方“n论"2«卩 V2 Vg

находим, что искомая вероятность равна ①（1） = 0,84.

IV. 12.2.

Пусть Риад = е访z и 屮расе = f (8) eikr/r. Тогда мы можем записать

/пап = (^пад, ^ Фпад) = (^пад, ^ 夫 ^пад) = ^ ・

Если же использовать для / известное выражение, антисимме- ТрИЗОВаННОе ОТНОСИТеЛЬНО “над и -фпад, то

^пад ^ Нт [^пад (石屮пад)—(宣 $пад) ^пад]=

=2^ [(鬼 e~ikzeikx — (— ik) e-ikzeik2^ =姦》2ik =嘗

И

/расе = "^J^ [Орасс (京 Wpacc) — ("3F ®расс) Wpacc]=

Y[K)F，硝8)阴П駅屮广

По определению дифференциального сечения рассеяния do (6) — “асе dQJ пад

IV. 12.3. Прежде всего следует уточнить положения максимума и минимума кривой и поведение кривой между ними. Поэтому следует произвести измерения при следующих значениях Е: 5,5, 6,25, 6,5, 6,75 и 7,5. Представляет интерес также исследовать асимптотическое поведение кривой при 占》13. Если обработка результатов измерений о занимает немного времени, то можно вначале произвести три измерения: при Е】=5,5, Е?= =6,5 н J = 7,5, а затем, используя полученные новые данные, определить подходящие значения £ для оставшихся двух измерений. Здесь следует стремиться к тому, чтобы получить максимальную информацию о характере кривой в тех областях, где ее поведение отклоняется от монотонного. Например, если а(£*^) сильно отличается от 1/2[о(Е? + 0,5) +о(Е，一0,5)], где i= 1, 2 или 3, то нужно произвести дополнительные измерения в точках Ei 土 0,25.

12.4. Вероятность отсчета п импульсов в секунду подчиняется нормальному (гауссову) закону распределения

尸S)=厶〃片 exp [-("2A；]；

здесь Дп ——среднеквадратичное отклонение n, a N —- среднее число отсчетов.

При N》1 имеем Nn ^ N N • Вероятность того, что счетчик зарегистрирует п V 9700 импульсов, определяется по формуле

9700

Р(y 9700)=品^ 卜 Xp［一"萨 W

-^=r exp(—x2)dx«0,0015.-^=r exp(—x2)dx«0,0015.

-^=r exp(—x2)dx«0,0015.

-^=r exp(—x2)dx«0,0015.

Здесь введены следующие обозначения:

п — N п — 10 000

% = —7=—=

“2 А几141,4

И

%о =%о =9700 — Nд/2 An9700 — Nд/2 An-300141,4-300141,4«-2,13.«-2,13.

%о =

%о =

9700 — Nд/2 An

9700 — Nд/2 An

-300

141,4

-300

141,4

«-2,13.

«-2,13.

12.5. Вероятность распада атома, отнесенная к единице времени, в момент / равна

р /аА «_//工=-1-乂 Вероятность существования атома

—т — t К после момента времени /,

где т ——среднее время жизни элемента, равное 10 дням. Вероятность распада атома в течение пятого дня составляет

55

Р = , p e)必=J \ e-"° 山=-'一’"『:-

44一

=L，4 — е-о,5 = о,67О — 0,606 = 0,064.

12.6. Для преодоления столь огромного расстояния нейтрон должен двигаться со скоростью, близкой к скорости света, и поэтому обладать очень большой энергией. Чтобы достигнуть Земли, ему отведено время / = 10 лет, или около л -108 с. Согласно условию задачи, только половина нейтронов должна «выжить» к концу этого пути; отсюда мы получаем, что время, затрачиваемое нейтроном в его собственной системе отсчета на покрытие данного расстояния, должно быть равно периоду полураспада нейтрона, т. е. /0 = ,12 мин. Применяя соотношение

где / — время, измеряемое на Земле, находим

En = Y (^n^2) = g ^d = W •% 俑経 ^ (4,4 • 105) mnc2

q (4,4 • 105) (940 МэВ) ^ 4 • Ю8 МэВ.

12.7. Пусть 厶方——момент относительного импульса обоих пионов. Четность системы равна (——1)L. Пионы подчиняются статистике Бозе, так что система из двух пионов должна находиться в четном состоянии 1). Следоватеельно, L четно для двух таких бесспиновых частиц, как пионы. Значит, Sk = L четно.

12.8.

В случае трех зарядов минимальной энергии соответствует расположение зарядов в вершинах равностороннего треугольника со стороной “3 R.

В случае четырех зарядов минимальной энергии соответствует расположение зарядов в вершинах правильного тетраэдра с ребром 2R/«3・

При таких конфигурациях заряды разнесены на максимально возможные расстояния друг от друга, а сами состояния симметричны относительно перестановки любых двух зарядов.

IV. 12.9.

30 МэВ;30 МэВ;Zze2 =90・2・(4,8・ 10-1°)2

30 МэВ;

30 МэВ;

一 (1,3. 10 門.6.(1,6. 10-6)

здесь использована подстановка

R V238"(h3 • 10~13см) «6 - 1,3- 10"13см.

IV. 12.10. Из условия равенства сил

GMm mv2

имеем

GM == 02r.

Применяя квантовый постулат Бора, находим

ииТаким образом,Таким образом,nhТпгnhТпгGM = у2г = ^ ~тг^ГGM = у2г = ^ ~тг^Гn2h2 т2гn2h2 т2г

и

и

Таким образом,

Таким образом,

nhТпг

nhТпг

GM = у2г = ^ ~тг^Г

GM = у2г = ^ ~тг^Г

n2h2 т2г

n2h2 т2г

Отсюда при и = 1 получаем

Г С__ 1/24(е/俏)2

г — GMm2 — GMm 丿—GMm —GM/m

=；w丝Г。丿Qo 0,24 . IO©”。« 1,2 • 1031cM

(6,7- 10~8)- 1840-(9,1 • 10~28)2。，

(здесьa0 = 5•10-9 еm).

12.11. Радиус ^-oбoлoчки обратно пропорционален Z.

12.12. На уровни с 几=3, / = 1 и п = 2, I = L

4

12.13. 2 2(2/+ 1) = 50.

12.14. Согласно статистике Ферми, волновая функция системы фермион — антифермион должна быть антисимметричной. Поэтому (—ly+s+i = —1, т. е. сумма / + s должна быть четной (см. задачу IV. 7.3). Отсюда при / = 1 получаем s = 1, т. е. спины электрона и позитрона имеют одинаковую ориентацию. Поскольку заряды электрона и позитрона противоположны по знаку, то магнитные моменты обеих частиц антипараллельны, и суммарный магнитный момент системы равен нулю.

12.15. 士％, 士％, 土％, 3/4.

12.16. 土#~В・

12.17. p = mc/2・

12.18. При hv > a2mec2, где ^12)^^1^ = 13,6 эВ一энергия связи.

12.19. В квантовой механике значению 2=0 соответствует симметричное состояние. В полуклассической теории значение / = 0 исключается, а значению I = 1 соответствует круговая орбита (модель Зоммерфельда).

12.20. 4-13,6 эВ.

12.21. Комптоновское рассеяние и фотоэффект.

ПРИЛОЖЕНИЯ

НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ И СООТНОШЕНИЯ 1)

Физическая величина

Символ

Значение

Гравитационная постоянная

G

6,6732 - 10~8 дин - см2/г2

Ускорение свободного падения (на уровне моря, широта 45°)

g

980,62 см/с2

*Скорость света в вакууме

с

2,997925 • 1010 см/с

Заряд электрона

е

4,80325 ・ КГ】。 ед. СГСЭ.

1,60219 • IO" Кл

Масса электрона

те

0,511004 МэВ/с2

0,910558 ・ КГ?’ г

Масса протона

тр

1836,1/ие== 938,26 МэВ/с2

* Удельный заряд электрона

e/唉

1,7588 • 107 ед. СГСМ^/г

*Электрическая постоян- ная

е0

8,854- 10~12 Ф/м

*Магнитная постоянная

Цо

4冗・IO" г*

Число Авогадро

N。

6,02217- 1023 моль-1

Постоянная Больцмана

k

1,38062 ・ IO* app/к

8,61708- 10~н МэВ/К

*Универсальная газовая

R

8,31434 ・ 107 эрг/(моль • К)

постоянная

1,987 калДмоль • К)

*Объем одного моля идеального газа при нормальных условиях

Vo

22,4139 л

Постоянная Планка

ft

1,05459 ・ IO'? эрг ・ с

S/2 冗）

6,58218 ・ IO* МэВ* с

h

6,62620 • 10~27 эрг • с

*Постоянная Стефана — Больцмана

о

5,66961 • 10~8 Вт/(м2 • К4)

')Значения физических постоянных соответствуют данным статьи В. М Taylor, W. Н. Parker, D. М Langenberg, Rev. Mod. Phys., 41, 375 (1969). Звездочкой отмечены постоянные и соотношения, добавленные при переводе — они используются автором в решениях задач.——Прим, перса.

*Вторая радиационная по- f2*Вторая радиационная по- f2стоянная в законе излучения Планка"Постоянная Вина (九максТ) "Постоянная Ридберга для атома Н^Ионизационный потенциал атома НПостоянная тонкой структуры ©Re)Магнетон Бора (e/i/2meC)Ядерный магнетон &12mpe)1 МэВ == 1,60219-10~6 эрг1 кал — 4,184 Дж力с = 1,973 • 10~п МэВ X X см == 1973 эВ • А1 физ. атм ==1,0332 (кг-сила)/см2= =1,0 1 32- 105 Н/м2 = =760 мм рт. ст.1 А = 10~8 см = 1()7° мстоянная в законе излучения Планка"Постоянная Вина (九максТ) "Постоянная Ридберга для атома Н^Ионизационный потенциал атома НПостоянная тонкой структуры ©Re)Магнетон Бора (e/i/2meC)Ядерный магнетон &12mpe)1 МэВ == 1,60219-10~6 эрг1 кал — 4,184 Дж力с = 1,973 • 10~п МэВ X X см == 1973 эВ • А1 физ. атм ==1,0332 (кг-сила)/см2= =1,0 1 32- 105 Н/м2 = =760 мм рт. ст.1 А = 10~8 см = 1()7° мьR0,2898 см • К 109678 см-】Rh13,6 эВа1/137,0367,29735 • 10-3Ив0,57864- 10~14 МэВ/Гс9,27096 ・ КГ?】 эрг/ГсНяд3,1515- 10~18 МэВ/Гс5,04919- 10~24 эрг/ГсьR0,2898 см • К 109678 см-】Rh13,6 эВа1/137,0367,29735 • 10-3Ив0,57864- 10~14 МэВ/Гс9,27096 ・ КГ?】 эрг/ГсНяд3,1515- 10~18 МэВ/Гс5,04919- 10~24 эрг/Гс1,43883 см・К1,43883 см・К

*Вторая радиационная по- f2

*Вторая радиационная по- f2

стоянная в законе излучения Планка

"Постоянная Вина (九максТ) "Постоянная Ридберга для атома Н

^Ионизационный потенциал атома Н

Постоянная тонкой структуры ©Re)

Магнетон Бора (e/i/2meC)

Ядерный магнетон &12mpe)

1 МэВ == 1,60219-10~6 эрг

1 кал — 4,184 Дж

力с = 1,973 • 10~п МэВ X X см == 1973 эВ • А

1 физ. атм =

=1,0332 (кг-сила)/см2= =1,0 1 32- 105 Н/м2 = =760 мм рт. ст.

1 А = 10~8 см = 1()7° м

стоянная в законе излучения Планка

"Постоянная Вина (九максТ) "Постоянная Ридберга для атома Н

^Ионизационный потенциал атома Н

Постоянная тонкой структуры ©Re)

Магнетон Бора (e/i/2meC)

Ядерный магнетон &12mpe)

1 МэВ == 1,60219-10~6 эрг

1 кал — 4,184 Дж

力с = 1,973 • 10~п МэВ X X см == 1973 эВ • А

1 физ. атм =

=1,0332 (кг-сила)/см2= =1,0 1 32- 105 Н/м2 = =760 мм рт. ст.

1 А = 10~8 см = 1()7° м

ь

R

0,2898 см • К 109678 см-】

Rh

13,6 эВ

а

1/137,036

7,29735 • 10-3

Ив

0,57864- 10~14 МэВ/Гс

9,27096 ・ КГ?】 эрг/Гс

Няд

3,1515- 10~18 МэВ/Гс

5,04919- 10~24 эрг/Гс

ь

R

0,2898 см • К 109678 см-】

Rh

13,6 эВ

а

1/137,036

7,29735 • 10-3

Ив

0,57864- 10~14 МэВ/Гс

9,27096 ・ КГ?】 эрг/Гс

Няд

3,1515- 10~18 МэВ/Гс

5,04919- 10~24 эрг/Гс

1,43883 см・К

1,43883 см・К

ПЕРЕВОД ЕДИНИЦ СИСТЕМЫ СИВ СИСТЕМУ СГС (ГАУССОВУ)

ФизическаявеличинаДлина Масса Время СилаРабота и энергия Мощность Электрический зарядОбъемная плотность зарядаПоверхностная плотность зарядаФизическаявеличинаДлина Масса Время СилаРабота и энергия Мощность Электрический зарядОбъемная плотность зарядаПоверхностная плотность зарядаСимволСИ厶厶d"1 мМ, m1 кг/1 с尸1 Н吃邑U1 ДжР1 Втq, Q1 Клp1 Кл/м301 К л/м2СимволСИ厶厶d"1 мМ, m1 кг/1 с尸1 Н吃邑U1 ДжР1 Втq, Q1 Клp1 Кл/м301 К л/м2СГССГСн г г мщр D с г д э э 2 3 с 5 7 7 о о о ю юн г г мщр D с г д э э 2 3 с 5 7 7 о о о ю ю3 • 109 ед. СГС%3- 103 ед. СГСЭ^/см33 • 105 ед. СГСЭ^/см23 • 109 ед. СГС%3- 103 ед. СГСЭ^/см33 • 105 ед. СГСЭ^/см2

Физическаявеличина

Длина Масса Время Сила

Работа и энергия Мощность Электрический заряд

Объемная плотность заряда

Поверхностная плотность заряда

Физическаявеличина

Длина Масса Время Сила

Работа и энергия Мощность Электрический заряд

Объемная плотность заряда

Поверхностная плотность заряда

Символ

СИ

厶厶d"

1 м

М, m

1 кг

/

1 с

尸

1 Н

吃邑U

1 Дж

Р

1 Вт

q, Q

1 Кл

p

1 Кл/м3

0

1 К л/м2

Символ

СИ

厶厶d"

1 м

М, m

1 кг

/

1 с

尸

1 Н

吃邑U

1 Дж

Р

1 Вт

q, Q

1 Кл

p

1 Кл/м3

0

1 К л/м2

СГС

СГС

н г г мщр D с г д э э 2 3 с 5 7 7 о о о ю ю

н г г мщр D с г д э э 2 3 с 5 7 7 о о о ю ю

3 • 109 ед. СГС%

3- 103 ед. СГСЭ^/см3

3 • 105 ед. СГСЭ^/см2

3 • 109 ед. СГС%

3- 103 ед. СГСЭ^/см3

3 • 105 ед. СГСЭ^/см2

Электрический ток

Плотность тока

厶/ J

1 А

1 А/м2

3 • 109 ед. СГСЭ./с

3- 105 ед. C「C3q/(c • см2)

Потенциал

b

1 В

1/300 ед. СГСЗр

Напряженность электрического поля

Е

1 В/м

(1/3)10-4 孤 СГСЭ^/см

Электрическая поляризация

Р

1 Кл/м2

3 • 105 ед. СГСЭи/см

Электрическая индукция

D

1 Кл/м2

12л • 105 ед. СГСЭг/см

Проводимость

о

1 См/м

9 • 109 с"

Сопротивление

г, R С

1 Ом

(1/9). 10-ис/см

Емкость

1 Ф

9• 10"см

Магнитный поток

ф

1 Вб

108 Гс • см2

108 Мкс

Магнитная индукция

в

1 Вб/м2

104 Гс

Напряженность магнитного поля

н

1 А/м

4n.iО-з Э

Магнитная поляризация 1)

м

1 Вб/м2

(1/4л)104 Гс

Индуктивность

厶

1 Г

(1/9)10~ис2/см

】)Магнитный момент, отнесенный к единице объема. — Прим, перев.

ЛИТЕРАТУРА ])

МЕХАНИКА

French А. Л, Newtonian Mechanics, W. W. Norton, New York, 1971.

Sears F. W., Mechanics, Heat and Sound, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1950.

Kittel Ch., Knight W. D, Raderman 府.4, Berkeley Physics Course, Vol. I (Mechanics), McGraw-Hill, New York, 1965 [имеется перевод: 7. Киттс ль, У. Найт, М. Рудерман, Берклеевский курс физики, т. I (Механика), «Наука», 1975].

Symon К. A., Mechanics, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1971.

Goldstein //., Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1950 (имеется перевод: Г. Голдстейн, Классическая механика, «Наука», 1975).

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Taylor Е 尸.，Wheeler J. 4, Spracetime Physics, W. H. Freeman, San Francisco, 1966 (имеется перевод: Э. Ф. Тейлор, Дж. А. Уилер, Физика пространства — времени, «Мир», 1971).

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Ford К.取.，Classical and Modern Physics, Xerox, Stamford (Conn.), 1972.

Halliday D, Resnick R., Physics, Part 2, Wiley, New York, 1966.

Purcell E. M., Berkeley Physics Course, Vol. II (Electricity and Magnetism), McGraw-Hill, New York, 1965 [имеется перевод: Э. Парселл, Берклеевский курс физики, т. II (Электричество и магнетизм), «Наука》，1975].

Hauser W., Introduction to Principles of Electricity, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1971.

Panofsky W. K・，Phillips M., Classical Electricity and Magnetism, Addison- Wesey, Reading (Mass.), 1962 (имеется перевод: В. Пановскай, М. Филипс, Классическая электродинамика, Физматгиз, 1963).

Jackson /. D, Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1962 (имеется перевод: Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир》，1965).

ТЕПЛОТА

Zemansky М. IT., Heat and Thermodynamics: An Intermediate Textbook, McGraw-Hill, New York, 1968.

Morse P. AL, Therma Physics, W. A. Benjamin, Menlo Park (Calif.), 1969 (имеется перевод 1-го изд.: 6 Морс, Теплофизика, «Наука》，1968).

ОПТИКА

Jenkins F. 4, White Н. £, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill, New York, 1957.

Rossi B., Optics, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1957.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Reif 尸.，Berkeley Physics Course, Vol. V (Statistical Physics), McGraw-Hill, New York, 1967 [имеется перевод: Ф. Рейф, Берклеевский курс физики, т. V (Статистическая физика), «Наука», 1977].

Tolman R. С., Principles of Statistical Mechanics, Oxford University Press, New York, 1938.

1) Литература дана в порядке возрастания сложности излагаемого в ней материала.

Huang К., Statistical Mechanics, Wiley, New York, 1963 (имеется перевод: К. Хуанг, Статистическая механика,《Мир》，1966).

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Kittel。九.，Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, 1971 (имеется перевод:夕.Киттель, Элементарная статистическая физика, ИЛ, I960).

Kittel C/l, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, 1971 (имеется перевод издания 1956 г.: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, 1963).

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Saxon D. S., Elementary Quantum Mechanics, Holden-Day, San Francisco, 1968.

Merzbacher E, Quantum Mechanics, Wiley, New York, 1970.

Bohm D, Quantum Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (New Jersey), 1951 (имеется перевод: Д. Бом, Квантовая теория, 《Наука》， 1965).

Schiff L. /., Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1968.

Messiah 4, Quantum Mechanics, Wiley, New York, 1961-1962.

Bethe H. 4, Jackiw R. W., Intermediate Quantum Mechanics, W. A. Benjamin, Menlo Park (Calif.), 1968 (имеется перевод другой книги одного из авторов: Г. А. Бете, Квантовая механика,《Мир》，1965).

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

Acosta V. et al., Essentials of Modern Physics, Harper & Row, New York, 1973.

Elsberg R. AL, Fundamentals of Modern Physics, Wiley, New York, 1961.

Harnwell G. ”，Stephens W. E, Atomic Physics: An Atomic Description of

Physical Phenomena, Dover, New York, 1966.

Reinman A. L, Physics, Harper & Row, New York, 1971.

Born M., Atomic Physics, Hafner & Blackie, Лондон, 1969 (имеется перевод издания 1963 г.: М. Борн, Атомная физика, «Мир», 1970).

Fermi Е., Nuclear Physics, University of Chicago Press, Chicago, 1950 (имеется перевод: Э. Ферми, Ядерная физика, ИЛ, 1951).

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ

Хайкин С. 3., Физические основы механики, «Наука», 1971.

Фейнман Р., Лейтон А, Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, 《Мир》， 1976—1978.

С ив у хин Д. В, Общий курс физики, т. I—Ш, «Наука», 1974—1976.

Стрелков С.力.，Введение в теорию колебаний, «Наука», 1964.

Борн М., Эйнштейновская теория относительности, «Мир», 1972.

Матвеев А. Я., Механика и теория относительности, «Высшая школа», 1976.

Угаров В. 4, Специальная теория относительности. «Наука», 1969.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е.府.，Краткий курс теоретической физики, кн. 1 (Механика. Электродинамика), «Наука», 1969.

Тамм И. Е., Основы теории электричества, «Наука》，1976.

Ландсберг Г. С., Оптика, «Наука», 1976.

Хир К., Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы, «Мир》，1976.

Терлецкий Я. Л., Статистическая физика, «Высшая школа», 1973.

Широков Ю. ЛГ, Юдин Н. 〃.，Ядерная физика, «Наука», 1972.

Фок А 4, Начала квантовой механики,《Наука》，1976.

Ландау Л. 〃.，Лифшиц Е. М., Краткий курс теоретической физики, кн. 2 (Квантовая механика), «Наука», 1972.

Блохинцев Д. 〃.，Основы квантовой механики, «Наука》，1976.

СОДЕРЖАНИЕ

579994427786691124 28804461139999 11112222222579994427786691124 28804461139999 11112222222Предисловие к русскому изданию ..

579994427786691124 28804461139999 11112222222

579994427786691124 28804461139999 11112222222

Предисловие автора

Раздел I. Механика

Задачи

Ответы и решения

Раздел II. Электричество и магнетизм

Задачи

Раздел III. Теплота, статистическая физика и оптика ...

Задачи

Ответы и решения

Раздел IV. Атомная физика и квантовая механика ....

Задачи

Ответы и решения

Приложения

Некоторые физические константы и соотношения ...

Перевод единиц системы СИ в систему СГС (гауссову) •

Литература

ИВ № 1044

Мин Чен

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ С РЕШЕНИЯМИ

Редактор А. Ц. КуксенкоХудожник И. Б/КравцовХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Л. П. ЧуркинаКорректор В. С. Соколов

Сдано в набор 26.08.77. Подписано к печати 17.02.78. Формат бОХЭО1/^. Бум. тип. № 1.Литературная гарнитура. Высокая печать. 9,25 бум. л., 18,50 печ. л. Уч.-изд. л. 14,90.Зак. 743. Цена 1 р. 40 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного Знамени

Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой

Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли；,

198052. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект 29»“

1) У эллипсоида вращения два главных центральных момента инерции

1) Нужно не забывать, что в системе с двумя степенями свободы возможны колебания только с двумя частотами. Из уравнения (10) следуют че

I) См. перевод: Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир»,

I) Радиус-вектор г определяет положение центра масс Земли относитель

б) Прежде чем установится эта скорость, шар пройдет расстояние

s=t^>=4^ (тй)2=^-

1) Это частный вид уравнения Бернулли для стационарного движения несжимаемой жидкости. — Прим, перев.

I) Автор использует систему единиц СГСЭ и записывает поле в сфери

1) Обычно в ..,„,

i) Мы уточнили здесь используемое автором выражение для плотности

I) Автор использует рационализированную формулу (система СИ). Здесь

с электрической постоянной е = е0. В случае диэлектрика с относительной

диэлектрической проницаемостью К она равна е = еК — Прим, перец.

I 2"伍2 一b2)，

При этом мы использовали выражения

1) Автор фактически предполагает, что среда представляет собой разре

1) Не следует путать эту энергию с той, что отбирается от источника.

вается всегда больше. Аналогичная ситуация имеет место при аккумулирова

1) Отчеканенной из меди.——Прим, перев.

I) Автор использует неудачное выражение, скрывающее явную зависи

III. 2.7. Предельное угловое разрешение круглой линзы дается формулой

g方j，22与，

откуда находим выражение для диаметра линзы

d=l,22 铝.

Подставляя X = 5000 А = 5» 10~7 м, х = 0,3 м и О = 30 км = =3-104 м, получаем

d==l,22-5 - 10"7-3- 104/0,3^6,1 - 10"2 м = 6,1 см・

III. 2.8. Ближе.

III. 2.9. Увеличение диапроектора равно отношению расстоя； ния q от объектива до экрана к расстоянию р от объектива до предмета. По условию задачи оно равно 24. Следовательно,

q 4,5

〃2424

Подставляя значения р и q в формулу линзы

11 . 1

сивности света в наблюдаемой картине. Что касается ее контраста, то он в

отраженном свете выше, чем в проходящем, так как в этом случае отсут

1) <Хорошими» квантовыми числами называют те, которые определяют точно (или в некотором достаточно точном для рассматриваемой ситуации

I) Очевидно, что физиологическое восприятие рассматриваемого явления не изменилось бы и при противоположном неравенстве: излучение с X =

1) Здесь используются следующие обозначения: Qa и Qd 一 заряды a-ча

стицы и дейтрона, Л4 а и Md—их массы соответственно, В — индукция магнитного поля в циклотроне, а R ——радиус орбиты. Возможности ускорения в циклотронах ограничены нерелятивистской областью энергий. Поэтому приводимые здесь формулы также не нуждаются в релятивистских поправках. —Прим ред.

I) В действительности этот потенциал не постоянен.——Прим. ped.

I) Автор подставляет далекие от действительности цифры. Однако, ввиду того что под знаком логарифма получается огромное число («2-1018) и оно при подстановке реальных цифр изменяется не более чем на порядок, ответ

22к5хшаш^。пиеме ОЕ22к5хшаш^。пиеме ОЕ

22к5хшаш^。пиеме ОЕ

22к5хшаш^。пиеме ОЕ

ММНЧЕН

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ С РЕШЕНИЯМИ

Издательство

④Мир

Москва

xuxxss

University of California, Berkeley

PHYSICS PROBLEMS

With Solutions

MIN CHEN

Massachusetts Institute of Technology

Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jerse

МИНЧЕН тншмнпняинвинвтнвнншн^^ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ С РЕШЕНИЯМИ

Перевод с английского Ю. А. ЯНАЙТА

Под редакцией В. И. ГРИГОРЬЕВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1978

УДК 53(076.1)

MSI

Сборник задач по физике с ответами и решениями включает около 300 задач по основным разделам современной физики —— механике, электричеству и магнетизму, оптике, теплоте и статистической физике, квантовой механике, атомной и ядерной физике. Задачи предлагались студентам старших курсов Калифорнийского университета в Беркли в 1959—1968 гг.

Сборник предназначен для студентов, изучающих физику в университетах, педагогических институтах и высших технических учебных заведениях, а также для преподавателей физических дисциплин.

Редакция литературы по физике

Original English language edition published by Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, U. S. A. Copyright © 1974 by Prentice-Hall, Inc.

20401.068

M 訂 68-78© Перевод на русский язык, «Мир», 1978

U41(UI )-78