ПРЕДИСЛОВИЕ

При отборе материала, включенного во второй том курса теоретической физики, была неизбежна большая степень субъективности, чем при изложении элементарных законов в первом томе. Естественно, что приложения превосходят по объему физические основы. Но в любом случае нельзя излагать материал слишком кратко, потому что непонятное не только пропадает для читателя даром, но еще и внушает ему недоверие и антипатию к предмету.

Я старался располагать сообщаемые сведения так, чтобы главнейшие закономерности обсуждались с разных сторон. Это дает ощущение целостности предмета и в соответствии с золотым правилом педагогики закрепляет усвоенное.

Исходя отчасти из этого, я отвел довольно много места газовой динамике, где применяются важнейшие термодинамические соотношения. Газовая динамика интересна и сама по себе тем, что в ней выясняются особые черты нелинейных волновых явлений, такие, как возникновение разрывов в плавных течениях, установление стационарных режимов протекания необратимых процессов и много других. Кроме того, газовая динамика и гидродинамика имеют много применений в современной технике.

К сожалению, в книге не поместился другой интереснейший раздел механики сплошных сред— теория упругости.

Электродинамика сплошных сред изложена так, чтобы почаще обращаться к статистической физике. От этого должны стать яснее оба эти раздела второго тома. В кинетику также включен один параграф, непосредственно примыкающий к статистике. В четвертой части книги приведен метод кинетического уравнения, а также рассмотрены металлы и полупроводники. Это, разумеется, лишь малая часть физической кинетики, но, возможно, главнейшая.

Местами включены отдельные замечания исторического характера. Представляя предмет в его развитии, в некоторых случаях можно лучше объяснить взаимосвязь и даже взаимообусловленность "открытий, которые в теоретической физике никогда не обязаны случаю или волевому акту.

Как и в первом, во втором томе сообщаются некоторые сведения математического характера. В конкретных приложениях они выглядят много проще, чем в специальных учебниках. Э. Ферми сказал: «Я из книг по физике почерпнул больше математики, чем из математических книг».

И в этом томе я часто обращался к курсу теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Большую помощь оказала мне книга Р. Куранта и К. Фридрихса «Сверхзвуковое течение и ударные волны» (М., 1950) и две книги Г. Ваннье: «Статистическая физика» и «Теория твердого тела», к сожалению, еще не переведенные на русский язык.

Я весьма обязан консультациям М. И. Каганова по материалу четвертой части книги.

ЧАСТЬ /

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

§ 1. РАВНОВЕСНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Предмет статистической физики. Методы квантовой механики, изложенные в первом томе, в принципе позволяют описывать совокупности электронов, атомов и молекул, составляющих макроскопические тела.

На деле, однако, даже задача об атоме с двумя электронами представляет столь большие математические трудности, что ее пока никто не решил достаточно полно. Тем более не представляется возможным не только решить, но даже написать волновое уравнение для макроскопического тела, состоящего, например, из 1023 атомов с их электронами.

В то же время в больших системах выступают некоторые общие закономерности движения, для описания которых не требуется знания волновой функции системы. Приведем один очень простой пример такой закономерности. Предположим, что в совершенно пустом большом сосуде находится только одна молекула. Если ее движение заранее не определено, то вероятность ее нахождения в любой половине сосуда равна 1/2. Если в том же сосуде находятся две молекулы, то вероятность их одновременного нахождения в любой выбранной половине сосуда равна (1/2)2=1/4. Вероятность же нахождения в одной половине сосуда всего газа, состоящего из N частиц (если сосуд наполнен газом), равна (l/2)/V, т. е. выражается невообразимо малым числом. Поэтому в каждой половине сосуда в среднем всегда будет приблизительно одинаковое число молекул. Чем больше молекул составляют газ, тем ближе к единице отношение чисел молекул в обеих половинах сосуда, в какой бы момент времени ни производилось наблюдение.

Это приближенное совпадение чисел молекул в равных объемах одного и того же сосуда представляет собой почти очевидный пример статистической закономерности, выступающей только в случае большой совокупности одинаковых объектов. Кроме распределения в пространстве, такая совокупность молекул характеризуется также известным распределением по скоростям. Так, если газ в данном объеме покоится, то в любую сторону в среднем движется одинаковое количество молекул. Менее очевидно распределение молекул по абсолютным значениям скоростей (об этом см. § 2).

Статистическая физика изучает закономерности движения больших совокупностей электронов, атомов, квантов, молекул и т. п. Распределение молекул по скоростям — одна из простейших задач, решаемых методами статистической физики.

В этом разделе теоретической физики вводится ряд новых величин, которые не могут иметь смысла в механике одного тела или малого числа тел. Примером статистической величины может служить температура, тесно связанная со средней энергией молекулы газа. При статистическом подходе усреднение производится по большому числу однородных объектов. Важно отметить, что распределение по различным механическим параметрам системы может устанавливаться само собой. Так, если впустить газ только в одну половину сосуда, разделенного перегородкой, а потом убрать се, то газ равномерно заполнит весь сосуд. Точно так же, если как-нибудь нарушить распределение газа по скоростям, то в результате взаимодействия между молекулами (их столкновений) установится прежнее статистическое распределение. Таким образом, статистические закономерности являются результатом не только наличия большого количества объектов, но и их взаимодействия.

Статистическая закономерность в квантовой механике. Квантовая механика тоже описывает статистические закономерности. Но в этом случае речь идет о закономерностях, относящихся к одному отдельному объекту. Здесь статистические закономерности проявляются при рассмотрении очень большого числа одинаковых опытов с одинаковыми объектами и нс имеют никакого отношения к взаимодействию этих объектов между собой. Например, электроны в дифракционном опыте могут проходить сквозь кристалл сколь угодно редко и тем не менее дадут точно такую же картину почернений фотопластинки, как и в случае пропускания через кристалл всех электронов вместе.

Аналогично, закономерности альфа-распада связаны нс с тем, что имеется очень большое число ядер: поскольку между ними практически нет никакого взаимодействия, стимулирующего распад, статистический характер квантовомеханических предсказаний только проявляется на большом числе одинаковых объектов, но отнюдь не вызывается их числом. Движение в квантовой механике описывается с наибольшей детальностью, совместимой с принципом неопределенности. Покажем теперь, как производится переход к менее детальному описанию в статистической физике.

Предположим сначала, что волновое уравнение удалось решить в применении к некоторой системе, состоящей из очень большого числа частиц. Это будет соответствовать детальному квантовомеханическому описанию системы. Пусть в результате решения удалось получить какой-то спектр собственных значений энергии системы

Ео, А\, £2, • ЕП1... (1-1) для состояний с волновыми функциями

Фо, Фь ф2, Ф„, ....

Тогда волновая функция любого состояния, как было показано в [§ 27] \ может быть представлена в виде суммы ф-функций состояний с определенными значениями энергии:

Ф = ^сЛ- (1.2) п

Величина

Wn-\cn^ (1.3)

есть вероятность того, что при измерении энергии системы, находящейся в состояии ф, получится /2-е собственное значение.

Разложение (1.2) дает возможность определить не только амплитуды, но и относительные фазы вероятностей соответственно детальному квантовомеханическому описанию системы. Методы статистической физики позволяют, не определяя фазы вероятностей, сразу определить приближенно величины wn,= сп ;. Понятно, что знание величин wn еще не позволяет построить волновую функцию системы, но зато определяются важные для практики средние значения величин, характеризующих макроскопические тела, например их средняя энергия. В этом параграфе будет показано, как вычислять вероятность wn применительно к идеальному газу.

Идеальные газы. Идеальным газом называется система частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Уточним смысл этого пренебрежения. Взаимодействие при столкновениях между молекулами существенно только тогда, когда статистическое распределение wn находится в процессе установления. Когда оно уже установилось, столкновения между отдельными молекулами влияют на него очень слабо, так что ими в известном приближении возможно совсем пренебрегать. В таком случае и говорят об идеальном газе.

Что касается конденсированных систем, т. с. жидких и твердых тел, то их молекулы все время интенсивно взаимодействуют, так что статистическое распределение существенно зависит от того, какие силы действуют между молекулами.

Однако и в газе частицы нельзя считать абсолютно независимыми. Например, принцип Паули накладывает существенные ограничения на возможные состояния газа как целого: две частицы не могут находиться строго в одном и том же квантовом состоянии. Такие ограничения будут учтены при вычислении вероятностей.

Состояния отдельных частиц газа. Чтобы отличать состояния отдельных частиц от состояния всего газа как целого, мы будем обозначать их энергии буквой е, а энергию всего газа —буквой Е. Так, например, если газ помещен в прямоугольный потенциальный

ящик [§ 27], то из формулы [28.19] мы получаем для значения энергии каждой частицы выражение

Л2Л2 / S2 S5 . s^ \

8s " 2 m‘’

где Si, s2 и s3 — положительные целые числа, ах, а^ и я3 —длины ребер ящика.

Пусть в общем случае 8 принимает следующий ряд значений: е0, еь е2, .гк, ....(1.4)

Если в состоянии с энергией 80 находится п0 частиц и, вообще, в состоянии с энергией ек имеется пк частиц, то полная энергия газа равна

=(1.5)

/г

Задавая различные комбинации чисел пк, будем получать значения энергии всего газа как целого, приведенные в ряде (1.1), потому что в системе, состоящей из невзаимодействующих частиц, энергия аддитивна.

В квантовой механике постоянно встречаются примеры того, что энергия 8/г не определяет однозначно состояния системы. Например, энергия водородного атома зависит только от главного квантового числа п (не смешивать с числом молекул /iJ),TaK что при заданной энергии водородный атом может находиться в одном из 2п2 состояний [35. 25]. Это число 2п2 называется весом состояния с энергией гп. Но в принципе можно поместить систему в такие условия, что величина энергии будет определять состояние однозначно. Отметим, прежде всего, что во всех атомах, кроме водородного, энергия зависит не только от главного квантового числа п, но и от азимутального квантового числа /. Учет взаимодействия между спином и орбитальным движением электрона показывает, что есть зависимость энергии от суммарного момента /. Наконец, если атом помещен во внешнее магнитное поле, то энергия зависит и от проекции момента на поле. Итак, существуют условия, при которых значение энергии полностью задает состояние атома. Расщепляются все 2п2 состояний с одинаковым главным квантовым числом.

Вернемся теперь к состояниям частиц в замкнутом сосуде. Если он имеет вид ящика с несоизмеримыми квадратами ребер al, я! и al, то любая комбинация целых чисел sb s2 и s3 дает одно и только одно число. Поэтому задание энергии es определяет все три целых числа slt s2 и s3. Если частицы имеют собственный момент импульса /, то можно, как говорят, снять вырождение, поместив газ в магнитное поле (вырожденным называется собственное значение энергии, которому отвечает несколько состояний системы). Будем сначала рассматривать только полностью снятое вырождение.

Состояния идеально замкнутой системы. Рассмотрим теперь, какой спектр энергии имеет газ, состоящий из совершенно невзаимодействующих частиц, помещенных в замкнутый объем и полностью 8

изолированный от внешних влияний. Для простоты допустим, что каждому состоянию всей системы как целого отвечает одно значение энергии и, наоборот, каждому значению энергии — одно состояние. Это предположение соответствует действительности, если все собственные значения энергии каждой частицы суть несоизмеримые числа г. Обозначим эти числа через 8^. Тогда, если в Л-м состоянии находится пк частиц, общая энергия равнаЕ = ^ п/г8^. Если Е за- к

дана сколь угодно точно, то при несоизмеримых 8^ можно из этого равенства в принципе определить все пк. Отметим, что речь идет не об определении состояния отдельной частицы по ее энергии 8Л, а о нахождении состояния всего газа по сумме энергий его частиц. Каждый, даже весьма малый (но не бесконечно малый) интервал значений dE будет заключать очень много собственных значений Е. Любое из них отвечает своему набору чисел пк, т. е. определенному состоянию системы как целого.

Состояния неидеально замкнутой системы. Энергия является точным интегралом движения только в идеально замкнутой системе, состояние которой сохраняется неопределенно долгое время. Сохранение величины Е обеспечивает постоянство всех пк. Но в природе нет и не может быть систем идеально замкнутых. Любая система как-то взаимодействует с окружающей средой. Будем считать это взаимодействие незначительным и определим, как оно повлияет на поведение системы.

Предположим, что взаимодействие с внешней средой заметным образом не нарушает квантовых уровней отдельных частиц. Тем не менее каждый уровень гк согласно общим принципам квантовой механики [§ 37] перестает быть точным числом, а получает хотя бы небольшую, но конечную ширину Ае^. Этого достаточно, чтобы смысл равенства Е = ^J^k радикальным образом изменился: в системе к

состоящей из большого числа частиц, равенство, содержащее неточные величины v,k не определяет числа пк.

Сколь угодно слабое взаимодействие с окружающей средой делает невозможным точное определение состояния по полной энергии Е.

Переходы между состояниями, близкими по энергии. В идеально замкнутой системе все состояния, отвечающие интервалу энергии dE, не могли переходить друг в друга из-за того, что закон сохранения энергии выполнялся для системы строго. При слабом взаимодействии со средой между различными состояниями возможны все такие переходы, которые не изменяют полную энергию с той точностью, которая вообще совместима с определением энергии неидеально замкнутой системы. Иначе говоря, возможны переходы

В прямоугольном ящике состояние е (s^ s2, s3) имеет энергию, соизмеримую с энергией состояния е (2s1? 2s3, 2s3). Поэтому энергия всех состояний может быть несоизмерима только в ящике более сложной формы, чем прямоугольная.

внутри некоторого интервала энергии АЕ, который задается соотношением

ДЕ М ~ 2лЛ,

где А/ — промежуток времени, в течение которого систему можно рассматривать как замкнутую.

' Предположим теперь, что взаимодействие со средой является столь слабым, что для какого-то небольшого промежутка времени возможно в принципе определить все величины пк и тем самым задать полную энергию газа Е-=^пкгк. Ио за больший промежуток к

времени состояние газа теперь может измениться в пределах того интервала полной энергии, который обусловливается неточностью энергии отдельных состояний Ле^. Будут происходить все такие переходы, которые совместимы с приближенным равенством Е = = 2 пькгк™ ^к^« Разумеется, состояние, в котором все Ае^ одного к

знака, крайне маловероятно; поэтому и написан двойной знак (±). Надо найти то состояние, которое установится в результате всех возможных переходов в интервале АЕ.

Вероятности прямых и обратных переходов. Между вероятностями прямого и обратного перехода существует весьма важное соотношение. Рассмотрим его сначала, исходя из формулы [32. 42], которая получается в первом приближении теории возмущений. Пусть в системе имеются два состояния А и В с волновыми функциями фл и фд. Этим состояниям отвечает одно и то же значение энергии в пределах неточности АЕ, обусловленной взаимодействием системы с внешней средой. В интервале АЕ оба состояния можно считать принадлежащими непрерывному спектру. Тогда согласно [32. 42] вероятность перехода из Д в В в единицу времени равна 2лЛ^11 ^АВ \2gB^ а вероятность перехода из В в Д равна 2tth~1\^‘BA?gA, где

^AB = VA^BdV,ВА = $ ^В^’^А dV

(весасостояний обозначены через g4, g^). Но если gA = gB,To, таккак I ^ав !2 = ! ^ba |2, вероятности прямого и обратного перехода, которые обозначим через wA и wB, равны между собой. Переход возможен только благодаря тому, что энергии ЕА и Ев определены не вполне точно, а задан малый интервал АЕ, где спектр энергии непрерывный (в идеально замкнутой системе ЕА Ф Е^.

Найденное соотношение имеет место только в первом приближении метода возмущений. Но есть и общее соотношение, которое можно вывести из общих принципов квантовой механики. Вид квантовомеханических уравнений подсказывает, что при обращении времени, т. с. замене t на —/, вес остается без изменения, если одно10

временно перейти от ф^. к гр^. Но от ф& можно опять вернуться к ф^, если изменить знаки всех импульсов и моментов. Поэтому оказывается, что вероятности переходов из Л в В и из В* в А* одинаковы (Л* и В* отличаются от Л и В знаками импульсов и моментов).

Равновероятность состояний с одинаковой энергией. Итак, под влиянием взаимодействия с внешней средой в системе будут происходить переходы между всевозможными состояниями Л, В, С,..., принадлежащими одному и тому же интервалу энергии АВ. Если ждать достаточно долго, то система будет проводить в состояниях Л, В, С,... одинаковые промежутки времени. Это легче всего доказать от противного. Сначала допустим, что вероятности прямых и обратных переходов просто одинаковы (WAB = WBA), а потом рассмотрим уточненное соотношение WAB = Wb*a*.

Итак, пусть W AB=WBA. Предположим, что tA больше tB, так что система будет переходить из Л в 6 чаще, чем из 6 в Л. Но это не может продолжаться неограниченно, потому что если отношение tAltB будет расти, то система в конце концов окажется находящейся только в Л, вопреки тому что происходят переходы из Л в В. Сколь угодно долго может поддерживаться только равенство /д = = tB (в среднем) за счет того, что прямые и обратные переходы совершаются в среднем одинаково часто. Такое же рассуждение показывает, что если есть много состояний, для которых прямые и обратные переходы равновероятны, то за достаточно долгий проме-' жуток времени система проведет в среднем одинаковое время в каждом из состояний.

Естественно предположить, что tA* = tAs потому что состояния Л и Л* отличаются только знаками всех импульсов и моментов (и знаком внешнего магнитного поля, который тоже надо изменить, чтобы магнитная энергия всех частиц была одинаковой в состояниях Л и Л*). Если исходить из этого предположения, то все предыдущее рассуждение переносится на тот более общий случай, когда WAB = = Wb*a*.

Тем самым показано, что система проводит одинаковое время во всех состояниях с одинаковым весом, принадлежащим одному и тому же интервалу энергии АЕ.

Вероятность отдельного состояния. Назовем вероятностью состояния qA предел отношения tA/t, когда t неограниченно возрастает. Из равенства всех tA следует, что соответствующие состояния равновероятны. Но это позволяет непосредственно определить вероятность каждого состояния. Действительно, пусть

р р

р — число всех состояний. Тогда ^ tA = t и ^qA=l. А так Л = 1 Л = 1

как состояния по доказанному равновероятны, то qA=Up.

Следовательно, задача нахождения вероятностей отдельных состояний идеального газа сведена к комбинаторике. Чтобы воспользоваться ее методами, надо еще только определить, какие состояния системы молекул надо считать физически различными. Каждое

такое состояние при подсчете полного числа р надо брать один раз.

Определение состояний идеального газа в статистике. Когда газ состоит из одинаковых частиц, например электронов, атомов гелия и т. п., то его состояние как целого задано точно, если указано, сколько частиц находится в каждом из их состояний. Не имеет смысла интересоваться тем, какие именно частицы находятся в некотором состоянии, так как одинаковые частицы принципиально неразличимы между собой. Если спин частиц полуцелый, то имеет место запрет Паули [§ 33] и в каждом состоянии находится либо одна частица, либо ни одной. Исходя из этого надо определить, как строится состояние газа в целом по состояниям отдельных частиц.

Для иллюстрации подсчета числа состояний системы как целого предположим, что имеются только две частицы и каждая из них может находиться только в двух состояниях а и b (га = е6), причем вес каждого состояния равен единице. Отвлекаясь пока от запрета Паули, находим, что мыслимы только следующие три различных состояния системы:

обе частицы в состоянии .а, состояние b свободно;

обе частицы в состоянии Ь, состояние а свободно;

в обоих состояниях находится по одной частице.

Ввиду неразличимости частиц третье состояние надо считать один раз (перестановка одинаковых частиц между состояниями не имеет смысла). Если частицы подчинены, кроме того, запрету Паули, то возможно только одно, третье состояние. Таким образом, запрет Паули сильно уменьшает число возможных состояний системы. Если к частицам применим запрет Паули, то система может иметь только одно состояние; в противном случае состояний имеется три. Система из двух различных частиц, например электрона и позитрона, имела бы четыре состояния.

Рассмотрим еще пример трех одинаковых частиц, размещаемых по трем состояниям с одинаковой энергией. Если действует запрет Паули, то возможно одно и только одно состояние системы как целого: в каждом состоянии находится по одной частице. Если запрета нет, то неразличимые частицы можно расположить так: 1) по одной в каждом квантовом состоянии, 2) две частицы в одном состоянии и третья в одном из двух остальных (это дает шесть состояний системы) и 3) все три частицы в любом из квантовых состояний. Итого получилось 1 + 6 + 3 = 10 состояний системы как целого.

Если бы эти три частицы были различными (например л+, л° и лГ — мезоны), то каждая из них могла бы независимо от других иметь три состояния, а все три частицы вместе имели быЗ3 =27 состояний. Дальше будет выведена общая формула для подсчета числа состояний. Начнем с частиц, имеющих целый или нулевой спин.

Частицы, не подчиненные запрету Паули. Для дальнейших выводов нет смысла считать, что каждое состояние частицы с данной энергией имеет вес, равный единице. Будем обозначать вес состояния частицы с энергией е^ черезgk. Иначе говоря, gk состояний части-

цы имеют энергию гк, или, точнее, находятся в некотором малом интервале энергии ^&k вблизи гк. Для каждой частицы эти состояния равновероятны. *

Допустим, что энергию гк имеют пк частиц, не подчиненных запрету Пуали и необходимо вычислить, сколькими способами эти частицы могут быть расположены по gk состояниям. Назовем искомое число Рпклк.

Согласно доказанному выше вероятность каждого расположения частиц по состояниям равна ^Рп^^у1-

Чтобы вычислить Pnk,g^ будем, как обычно принято в комбинаторике, называть состояние «ящиком», а частицу «шаром». Задача ставится так: сколькими способами можно разместить пк шаров по gk ящикам, нс помечая шары, т. е. не интересуясь тем, какой шар лежит в данном ящике. Если частицы не подчинены запрету Паули, то в каждом ящике может лежать любое число шаров.

Смешаем условно все шары со всеми ящиками, так что получится пк + gk объектов. Из этих объектов возьмем любой ящик и отложим его. Оставшиеся пк + gk — 1 объектов будем вытаскивать наудачу из общей кучи, не интересуясь тем, ящик это или шар, и класть в один ряд с первым ящиком слева направо. Получится, например, такая последовательность:

я, ш, ш, я, я, ш, ш, ш, я, ш, я, ш, ш, ш, я, я, я, ... .

Поскольку слева стоит заведомо ящик, остальные объекты можно разместить между собой ^пк + gk — 1)! способами.

Теперь бросим каждый шар в ближайший к нему слева ящик. Для приведенной последовательности в первом ящике окажутся два шара, во втором ящике ни одного, в третьем три, в четвертом один и т. д. Всех этих размещений будет (пк + gk — 1)!, но они не все различны. Действительно, если поставить второй шар на место первого или любого другого, ничто в изображенной совокупности не изменится. Различных перестановок между шарами пк\. Точно так же можно переставить и ящики с ящиками, потому что безразлично, в каком порядке они стоят. Нельзя трогать только первый ящик, потому что он по условию всегда стоит слева. Всех перестановок между ящиками (gk — 1)!.Следовательно, из всех возможных (пк + gk — 1)! положений в ряду различных размещений будет только

Pn-'8^-^r^W (L6)

51

Если, например, n = 3, g = 3, то Р33==-д~р== 10, как было получено раньше путем прямого подсчета.

Частицы, подчиненные запрету Паули. В случае частиц, подчиненных запрету Паули, положение еще проще. Действительно в этом случае имеет место неравенство пк ^gkl потому что в каждом состоянии находится не больше одной частицы. Из общего числа состояний gk занято пк.

Число способов, которыми можно выбрать пк состояний, равно числу сочетаний из gk по Пк*.

р —ГПк ^к •/1

пЬ&к Ч nfe\ kgk—nkW' '

Столько различных состояний системы возможно в том случае, когда пк Ч gk и в любом из. gk состояний отдельной частицы находится не более одной.

Наивероятнейшее распределение частиц по состояниям. Числа gk и пк относятся к одной определенной энергии. Общее число состояния Р газа равно произведению чисел Pnfc,gk Для всех состояний в отдельности:

0.8) к

До сих’ пор применялась только комбинаторика. Кроме того, было показано, что все отдельные состояния равновероятны. Величина Р зависит от распределения частиц по состояниям. Можно видеть, что фактически газ всегда близок к такому состоянию, когда размещение отдельных частиц по состояниям соответствует максимальному значению Р, возможному при данной полной энергии Е и данном полном числе частиц.

Поясним это утверждение простым примером из области азартных игр, как это принято в теории вероятностей. Пусть монета подбрасывается N раз. Вероятность того, что она один раз упадет гербом вверх, равна 1/2. Вероятность того, что она все N раз упадет гербом вверх, равна С/^^. Вероятность того, что она N — 1 раз упа-

°NT ( Х \N"X 1

дет вверх гербом, а один раз — вверх решкой, равна N • (у I•,

потому что этот единственный раз может оказаться любым (от первого до последнего), а вероятности взаимно исключающихся событий складываются. Вероятность двукратного выпадания решки равна N (N — 1) Л \^

2\2 ) 1

Первый сомножитель показывает, сколькими способами можно выбрать два события из общего числа N (число сочетаний из N по два). Вообще вероятность того, что монета выпадает решкой к раз, равна

Просуммируем все вероятности: к'

Так как сумма биномиальных коэффициентов равна 2^, то 2Н-2Г2"-1-

к

Рассматривая ряд qb, можно видеть, что qk возрастает до середины, т. е. до —, а потом уменьшается симметрично относительно середины. Действительно, й-й член получается из (А—1)-го умножением на ™-, так что члены возрастают,

пока N/2 > к.

Каждый отдельный ряд выпадений решки совершенно равновероятен со всеми остальными рядами. Вероятность любого, наперед заданного ряда равна (1/2)Л'- Но если интересоваться не последовательностью выпаданий герба и решки, а только общим числом выпаданий каждого из них, то вероятности равны qk. При N "> 1 функция имеет весьма острый максимум при к = и быстро спадает по обе стороны от —. Если назвать общее число N бросаний «игрой», то при большом N в подавляющем большинстве игр герб будет выпадать приблизительно N/2 раз. Максимум вероятности тем острее, чем больше N. Теперь вернемся к подсчету числа состояний идеального газа.

Основываясь на равновероятности прямого и обратного перехода между любой парой состояний, мы показали, что любое заранее заданное размещение частиц по состояниям при заданной полной энергии имеет одну и туже вероятность осуществиться. (Таким же образом имеют равную вероятность все отдельные ряды выпаданий герба в каждой отдельной игре). Но если не уточнять состояния газа, указывая, какие из gk состояний с энергией гк заняты, а задавать только общее число частиц в состоянии с энергией гк, то получится распределение вероятностей, имеющее максимум, подобное распределению вероятности игр по общему числу выпаданий герба, а нс по их последовательности. Разница только в том, что в указанной игре вероятность зависит от одного параметра к, а вероятность распределения частиц газа по состояниям зависит от всех пк.

Нам нужно найти распределения для частиц с целым и полуцелым спином. Удобнее искать максимум не самой величины Р, а се логарифма. Функция In Р изменяется монотонно и поэтому принимает максимальное значение тогда же, когда и аргумент Р.

Формула Стирлинга. При вычислениях понадобятся логарифмы факториалов. Поэтому мы сейчас выведем удобную приближенную формулу для In п\ Очевидно, что

In nA = In (1 • 2 • 3 • 4 ... п) = ^ In к.

Логарифмы больших чисел меняются медленно, так как разность In (/г + 1) — In п обратно пропорциональна п (при п ^> 1). Следовательно, пп

1плг!= ^ In к t In# dk = n In п — п = п In п-,(1.9)

^ = 1о

где е — основание натуральных логарифмов. Это известная формула Стирлинга в несколько упрощенном виде. Приближение тем лучше, чем больше п. Более точный вид ее приведен в упражнении 1.

Добавочные условия максимума. Итак, надо разыскать числа пк. при которых величина

s^inP=mn^Aкs^inP=mn^Aк(1.10)(1.10)

s^inP=mn^Aк

s^inP=mn^Aк

(1.10)

(1.10)

максимальна при заданной полной энергии

Е = ^пкеь(1.11)

к и при заданном общем числе частиц

(1.12) к

Такого рода экстремум называется связанным, потому что на него наложены дополнительные условия (1.11) и (1.12).

Найдем сначала Пк для частиц, не подчиняющих запрету Паули, т. е. имеющих целый или нулевой спин. С этой целью сначала подставим в (1.10) выражение для Р из (1.6):

S^-ln^S^-ln^in | S ^к + пк—^\кin | S ^к + пк—^\к(1.13)(1.13)

S^-ln^

S^-ln^

in | S ^к + пк—^\

к

in | S ^к + пк—^\

к

(1.13)

(1.13)

Входящие в это выражение факториалы заменим по формуле Стирлинга (1.9):

S = Z[^ + Пк “ - Пк In~ - (gk - 1) In Sk—L |.

к L

(1.14)

Так как вес каждого отдельного состояния gk — большое число, то по сравнению с ним можно единицей пренебречь. Теперь продифференцируем (1.14) по всем пк и дифференциал приравняем нулю:

^^У dnkVn^k"Vn^ -1ПЛА] = 2^ 1П "^"пР' 01 0-15)

Из этого равенства нельзя заключить, что коэффициенты при всех drik равны нулю, потому что пк — зависимые величины. Они связаны между собой соотношениями (1.11) и (1.12), и в дифференциальной форме это выражается так:

(1.16)(1.17)(1.16)(1.17)^^S 8^ ^/г^О,к

(1.16)

(1.17)

(1.16)

(1.17)

AN = ^апк = 0.к

Из этих равенств можно было бы выразить какие-либо два из чисел dnk и подставить в (L 15); тогда остальные пк были бы независимыми величинами. Но принято поступать несколько иначе.

Метод неопределенных коэффициентов. Исключение зависимых величин в вариационных задачах удобнее всего производить по методу неопределенных коэффициентов Лагранжа. Это позволяет нс нарушать симметрии между всеми пк. Умножим равенство (1.16) на неопределенный коэффициент, который обозначим—р Смысл этого обозначения выяснится после того, как с полученными формулами будут сопоставлены величины, наблюдаемые на опыте. Равенство же (1.17) умножим на коэффициент, который обозначим у. После этого сложим все три равенства (1.15), (1.16) и (1.17). Будем считать все пк независимыми, а 6 и р неизвестными, которые подлежат определению из уравнений (1.11) и (1,12). Теперь условие максимума запишется так:

dS--^ + ^3 = 0. (1.18)

Разыскивается, таким образом, экстремум величины S — у + ^- при постоянных 9 и р, а они в свою очередь могут быть выражены через полную энергию и число частиц. В этом и состоит существо метода неопределенных множителей при нахождении связанного экстремума. Освободившись таким способом от связей, наложенных на величины, можно считать их взаимно независимыми и полагать любой дифференциал dnk равным нулю.

Уравнение (1.18), записанное через dnk, выглядит так:

dS^j2L+l^l^Vd„^|n44±^4. - ^-,0. (1.19) к

Распределение Бозе — Эйнштейна. Положим теперь все дифференциалы, кроме dnk, равными нулю. Согласно только что сказанному это возможно. Тогда, чтобы уравнение (1.19) имело место, должен равняться нулю коэффициент при dnk:

In §к±2к- + i - -^- = о. (1.20)

Разумеется, это уравнение справедливо при всех к. Решая его относительно пк, придем к искомому наивероятнейшему распределению чисел частиц идеального газа по состояниям:

= V (1.21)

Полученная формула называется распределением Бозе-Эйнштейна. О частица^ к_ которым оно применимо, говорят, что они подчинены статистике Бозе-Эйнштейна, или, короче, статистике Бозе.

Они имеют целый или нулевой спин. Если это элементарные частицы (кванты, л-мезоны, К-мезоны и т. п.), то их называют бозонами. Параметры 9 и р, введенные в функцию распределения, могут быть найдены через Е и N по уравнениям

к

к

Так что поставленная задача нахождения наивероятнейших значений пи в принципе решена. Часто оказывается, что удобнее не обращать равенства (1.22) и (1.23), оставляя полную энергию и число частиц выраженными через 6 и р.

Распределение Ферми — Дирака. Найдем теперь величину пк для того случая, когда частицы подчинены запрету Паули. Для величины S согласно (1.17) и формуле Стирлинга имеем:

S == In Т1 —п = V U In ~ — nk In -к — (gk — nk) In ^-"^1. гиЛ(gk — nk)\еe J

кк

(1.24)

Дифференцируя (1.24) и подставляя найденное выражение для AS в формулу (1.18), получим:

dS__^_+ M^L = 2^ft(ln^^-^ + f) = 0. (1.25) к

Отсюда приходим к следующему условию экстремума:

Искомое распределение выглядит так:

пк=бДе^Ь^\у.(1.26)

Здесь Пк^ёь как и должно быть у частиц, подчиненных запрету Паули. Формула (1.26) для таких частиц называется распределением Ферми—Дирака или, короче, распределением Ферми. Распределение Ферми относится к частицам с полуцелым спином. Если такие частицы являются элементарными (например, электроны, протоны, нейтроны), то их называют фермионами.

Параметры 6 и р определяются уравнениями, аналогичными (1.22) и (1.23):

Ve^^^+l) г = Е,(1.27)

к

^gk^M-A-Vy^N.(1.28)

к

О параметрах 6 и ц. Параметр 6 — существенно положительная величина, потому что в противном случае невозможно было бы удовлетворить уравнениям (1.22), (1.23) и (1.27), (1.28). Действительно спектр энергии частицы газа никаким условием не ограничен сверху. При бесконечно большом 8^ и отрицательном значении 6 получилось бы е^! =0, так что распределение Бозе само по себе привело бы к абсурдному результату: пк < 0. В (1.23) слева стояла бы бесконечная величина —2gb которая никак нс может равняться N. Подобным образом распределение Ферми привело бы к бесконечным положительным величинам У, 8^ и У gk в левых частях (1.27) и кк

что невозможно при конечных Е и N в правых частях этих равенств. Поэтому

6^0.(1.29)

В следующем параграфе будет показано, что величина 6 пропорциональна абсолютной температуре газа.

Параметр р имеет большое значение в теории химических и фазовых равновесий. Эти приложения будут рассматриваться далее (см. § 8 и ниже).

Вес состояния. Приведем еще различные формулы для веса состояния частицы идеального газа. Вес состояния с энергией, заключенной между 8 и de, дается формулой [28.25], левую часть которой теперь обозначим dg (е). Кроме того, допустим, что частицы имеют собственный момент j. Тогда надо учесть число возможных проекций вектора /, равное 2/ + 1:

^(8) = (2/+1)^(8) = (2/+1)ViW^21/2л2А3ViW^21/2л2А3(1.30)(1.30)

^(8) = (2/+1)

^(8) = (2/+1)

ViW^21/2л2А3

ViW^21/2л2А3

(1.30)

(1.30)

где V — объем газа. У электрона / = 1/2 и 2/ + 1 = 2.

Для световых квантов надо пользоваться формулой [28.241, заменяя в ней к на м/с и умножая на два (по числу возможных поляризаций кванта при данном волновом векторе к):

^(ю)^(ю)Исо2 dtoЛ2С2 *Исо2 dtoЛ2С2 *(1.31)(1.31)

^(ю)

^(ю)

Исо2 dto

Л2С2 *

Исо2 dto

Л2С2 *

(1.31)

(1.31)

Бывает полезным также знать вес состояния, для которого проекции импульса заключены между рх и рх + dpx, ру и ру + dpy, Pz и pz + dp2. Он определяется согласно [28.231 тоже с учетом множителя 2/ + 1. Так, для электронов получается:

dg (р) = 2dg (р) = 2V dpx dpу dp2(2л^)зV dpx dpу dp2(2л^)з(1.32)(1.32)

dg (р) = 2

dg (р) = 2

V dpx dpу dp2(2л^)з

V dpx dpу dp2(2л^)з

(1.32)

(1.32)

Упражнение 1

Написать формулу для вероятности выпадания при игре в орлянку герба k раз при больших N (k берется вблизи максимума q^.

Общая формула вероятности имеет вид:

Будем считать N и к большими. В данном случае удобнее применить формулу Стирлинга в более точном по сравнению с (1.9) виде:

ln^!=^ln1п2лМ.е 1 2

Положим k~ у + х, N — k — ^- —xs где х — величина, малая по сравнению с Тогда в поправочных членах ~-1п2л£ и — In 2л (^ — А) формулы Стирлинга величиной х можно пренебречь. Знаменатель выражения для q^ разлагаем в ряд с точностью до членов, содержащих х2:

In (М - &)! = In (^ 2 -ху. = -2- In -2- - X In 2 + -N- + J In 2л - 2-, , , .3 f N\N , . N , х2 . 1 1 о N

1п^! = 1п(^ 2 + х)! = -2 1п^ + х1п-2- + -^- + ^-1п2л-2-.

Поправочные члены равны

у ^In 2nN — 2 In 2л ^ ) = у In

Подставляя это в выражение для qk и потенцируя, приходим к искомой формуле:

Величина q имеет максимум при х - 0 и симметрично убывает в обе стороны. Убывание ^в^раз происходит на интервале хе^ I/ -у, который и характеризует остроту максимума. По отношению ко всему интервалу изменения х интервал хе составляет определенную Г

часть: ^ = "|/ -^-. Например, при N = 1000 максимум равен примерно V^. Отношение "- составляет около 2%, так что в основном герб выпадает в каждой игре, состоящей из тысячи бросаний, от 475 до 525 раз. Вероятность выпадания герба (или решки) 400 раз

1 2 •10 000 ।'

из тысячи равна- ^е 1000 ^^q^ 20- Иными словами, она

в е420 (несколько сот миллионов) раз меньше, чем вероятность выпадания герба 500 раз.

Показать, что сумма всех вероятностей выпадания герба, вычисленных в предыдущей задаче как и в точной формуле для q^, равна 1, т. е. что вероятность нормирована на 1.

Так как вероятность весьма быстро уменьшается с возрастанием х по абсолютной величине, интегрирование можно распространить от —сю до +оо без заметной ошибки. Как и при выводе формулы Стирлинга, сумма заменяется интегралом:

ООСО9 v2ОО

рг о р _ip

§ q^dx = y -N ^ е ” dx = -= $ e"V d^.

— ОО— ОО—ОО

Вычислим интеграл

ОО

= $ e-^d^.

Очевидно, что ■ОООООО ОО

/2 = $ е-У d^ ^ e^d4= $ $ е '” ^ d£ di]— ОО—ОО—ОО —ОО

Интегрирование распространяется по всей (£, т])-плоскости. Перейдем к полярным координатам:

g —р cos ф, т] = р sin ф.

Тогда dldr| = рб/ рб/ф. Следовательно, со2л

рР1Iоо

/2 = \ е~ с2р dp \ б/ф = — 2л • у е~ р 2 Q = л, оо

или

/ = Кл.

Поэтому

q(x)dx=l.

— ОО

Найти среднее значение квадрата отклонения числа выпаданий от наивероятнейшего, т. е. от х = 0.

Статистические средние (в отличие от квантовомеханических) будем обозначать черточкой над буквой. Искомое среднее значение X" выразится так:

x2q(x)dx=y ^ х2е N dx = ^p^ с2е dl.

.— ОО—ОО—ОО

Чтобы вычислить интеграл, воспользуемся результатом предыдущей задачи, написав в показателе ас2 вместо £2:

Продифференцируем обе части этого равенства по а:

- Г ^2е-^2^ = —-^.

JL 2 а3

Полагая а = 1, получим:

Попутно заметим, что

и вообще

§ ^ V dt = 1-2- *).

Учитывая найденное значение интеграла, получаем:

Выразив N через х2, можно записать закон распределения вероятностей так:

д(х^х^-Д=е 2^.

V 2лх2

Следовательно, ширина распределения хе очень просто связана со средним квадратом отклонения величины х от ее наивероятнейшего значения:

xe = V 2х2.

При х = хе вероятность q (х) уменьшается в е раз по сравнению с q (0). Конечно, полученное соотношение между хе и х2 имеет место только для полученного здесь экспоненциального распределения или для некоторых других, специально подобранных, но не в общем случае. Выражение для q (х) называется распределением Гаусса.

СТАТИСТИКА БОЛЬЦМАНА

(Трансляционное движение молекул. Газ во внешнем поле)

Распределение Больцмана. Задолго до того, как были получены квантовые формулы (1.21) и (1.26) распределения Бозе и Ферми, Больцман вывел классический закон распределения молекул идеального газа по энергиям. Этот закон получается из обоих квантовых законов путем предельного перехода. Произведем переход сначала чисто формально, а потом обсудим, каким реальным условиям он соответствует.

Пусть 8 отсчитывается от нуля, а отношение ~ отрицательно и велико по абсолютному значению. Тогда

при всех 8 гораздо больше единицы. В сравнении с этой величиной можно единицей пренебречь. Тогда распределения Бозе и Ферми принимают одинаковый предельный вид:

nk = gbe 6 . (2.1)

Это и есть распределение Больцмана. Определим теперь постоянную pi из условий (1.23) или (1.28), в пределе сводящихся к одному и тому же:

= (2.2) к . к

Предположим, что молекулы газа обладают, помимо внешних переносных степеней свободы, еще какими-то внутренними степенями свободы. Последние могут быть связаны с электронным возбуждением, колебанием ядер друг относительно друга или вращением молекулы как целого в пространстве. Энергия всех этих степеней свободы, квантована. Не определяя ее пока подробнее, запишем полную энергию молекулы 8 в виде суммы энергий поступательного и внутреннего движения:

Соответственно и вес состояния с данной энергией представится как произведение двух весов: один относится к поступательному движению и дается формулой (1.32), а другой обозначим просто gu\ уславливаясь включать в него также и множитель 2/ + 1:

, . . V dpxdpydps

—w—g • (2Л)

Поэтому фо рмула (2.2) может быть записана так:

v ^- VT - - с е с - ?--

^ee^g'e 6 } j 3е 2т6 dpxdpMdp^ = N. (2.5) i— эо — оо —- оо

Представляя энергию поступательного движения как ^(Рх + + Py + pz) и учитывая, что интегрирование по каждой из трех составляющих импульсов от — оо до + оо производится независимо, замечаем, что интеграл в (2.5) может быть представлен как произведение трех интегралов вида:

оо _ Рх$ е ^ dpx.

— со

А метод вычисления такого интеграла уже был показан в предыдущем параграфе (см. задачу 3 в упражнении 1). Для него получаем значение р2лт9. Поэтому условие (2.5) приводится к виду:

6 6 = АТЫ АзД^ 6•(2‘6)

Если газ одноатомный, то величины s(/) относятся к электронным возбуждениям. Если ви ) ^> 9, то в сумму по состояниям практически входит только нулевой член \ Но так как энергия отсчитывается от 8^°* как от нуля, вся сумма практически сводится только к одному члену ^(0), значение которого порядка единицы. Например, когда основное состояние имеет момент /2, то gU)) 2 и условие применимости статистики Больцмана принимает вид:

_ р = In Ы21 У. . ( 221V/2]Р7)

Для того чтобы неравенство (2.7) было выполнено, достаточно удовлетворить одному из следующих двух требований: 1) плотность газа очень мала, т. е. велик объем, занимаемый газом при данной температуре 6; 2) очень высока температура 9 при данном объеме V.

В том случае, когда газ неодноатомный, эти условия несколько видоизменяются количественно, потому что сумма по дискретным состояниям, входящая в (2.6), тоже зависит от 9. Но в качественном смысле условия применимости статистики Больцмана остаются в силе.

Классическая и квантовая статистика. Итак, при малой плотности или высокой температуре газа квантовые законы распределения переходят в классический закон Больцмана. В дальнейшем мы условимся называть статистики Бозе и Ферми квантовыми, а статистику Больцмана — классической независимо от того, не-

прерывен или дискретен спектр энергии. Квантовой названа такая статистика, в которой учтена неразличимость одинаковых частиц. Иначе говоря, в основу квантовой статистики положено квантовое определение состояния системы: должно быть указано, сколько частиц находится во всех квантовых состояниях.

Классическое определение состояния системы состоит в том, что указывается, какие частицы находятся в данных состояниях, так как можно следить (в принципе!) за их траекториями. Из классического определения можно получить формулу Больцмана и непосредственно, минуя квантовые законы.

Распределение Максвелла. В этом параграфе не будет рассматриваться статистика внутреннего движения молекул. Формула (2.1) здесь применена только к их переносному движению в пространстве. Согласно (2.3) энергия поступательного движения молекул отделяется от их внутренней энергии. Поэтому распределение Больцмана распадается на произведение двух сомножителей. Сомножитель, относящийся к поступательному движению, имеет вид:

2т6

Вес состояния, относящийся к данной абсолютной величине, получается путем перехода к полярным координатам в формуле (1.32):

MP)-3™"(2-8)

[см. 28.24].

Таким образом, распределение по абсолютной величине импульса пишется в таком виде:

dn^ — Ae 2m6p2dp.(2-9)

Оно применимо как к одноатомным, так и к многоатомным газам, если понимать под т массу молекулы как целого.

Постоянная А определяется условием (2.2), т. е. нормировкой распределения на полное число частиц:

A \pV^ dp = N.(2.10)

о

Значение интеграла было вычислено в задаче 3 упражнения 1. Применяя его, получаем:

(2.И) \ л /(т6)3/2v ’

Вместо распределения молекул по импульсам бывает иногда полезно иметь их распределение по скоростям. Для этого достаточно подставить р = mv в распределение (2.9):

dn (у) = yV • ^j 1 е y2du.(2.12)

Это распределение еще -г-до Больцмана вывел Макс-

Т^Хвелл, почему оно и на/ 1\зывается распределением

/ 1\Максвелла (рис. 1).

/ 1 уНа графике по оси ор-

/ I \динат отложено отношение

/’XПри малых и эта ве-

/।у.

—^-1-^-4—-^^в, „, личина близка к нулю

uHir Vu2^ из-за множителя у2, входя

щего в формулу для веса Рис* 1состояния; потом она до

стигает максимума и, далее, экспоненциально стремится к нулю при больших скоростях. Следовательно, газ содержит молекулы с любыми значениями скорости.

Наибольшее число молекул имеют скорости, отвечающие максимуму кривой распределения. Этот максимум определяется из формулы (2.12). Соответствующая скорость называется наивероятнейшей; она равна

(213)

Среднюю скорость находим интегрированием:

_ -| / 2/П3 С26 з <1 л Г 2/П3 / 20 \2-_ Г §Q

^ V лО3 )2 V л63 \ т jр лт х 1

о

Интересен также средний квадрат скорости:

хал Г2m5" i/"/26 \5 3KS 36 /о

и2 = 1/ —г \еи4 du=\/ —гт 1/ — •- = —.(2.15)

У лб3 JV л63 У \т)8 т v 7

о

Здесь мы пользуемся результатом, полученным в задаче 3 упражнения 1. Заметим, что V у2: и : ии = У'3 : "^~ : ]/*2.

Средняя энергия одной молекулы равна

= 4 6,(2.16)

а энергия всего газа в N раз больше:

E = 4^e.(2.17)

Этот результат относится к энергии переносного движения молекул (трансляционного движения). Переходим теперь к определению численных величин, выражаемых формулами (2.13—15).

Соотношение между плотностью энергии и давлением газа. Выведем очень важное соотношение между плотностью энергии трансляционного движения молекул газа и его давлением, верного при любой статистике и зависящего только от вида выражения энергии через импульс.

Давление газа определяется как сила, с которой газ действует на единичную поверхность в перпендикулярном к ней направлении. Сила, в свою очередь, равна нормальной к поверхности составляющей импульса, передаваемой молекулами газа за единицу времени. Пусть направление нормали к стенке совпадает с осью х. Выберем сначала те молекулы, которые имеют составляющую скорости по оси х, равную их. Они долетят до поверхности за единицу времени, если первоначально находились в слое толщиной их (ясно, что если, например, их = 100 м/сек, то за одну секунду долетят молекулы из слоя толщиной в 100 м\ Вырежем из этого слоя цилиндр, в основании которого лежит единичная поверхность, а высота равна их. Объем такого цилиндра их. Если теперь dn (уД — число молекул, составляющая скорости которых по нормали к поверхности их, то плотность таких молекул ^L^l, в цилиндре с объемом их таких dtl (Рх)

молекул имеется их —Каждая из них, упруго ударившись о стенку, изменит величину нормальной составляющей скорости на противоположную, а стенка получит импульс

тих — (— тих) = 2тих.(2.18)

Следовательно, все молекулы газа, имевшие скорость их, передадут стенке в единицу времени импульс

2mux^M.yA. = 2m^^M.(2.19)

Чтобы получить полное давление газа на стенку, надо проинтегрировать (2.19) по всем их от 0 до оо (но не от — оо до оо , потому что молекулы, летящие от стенки, о нее не ударяются). Таким образом, давление газа на стенку равно

р = 2у- vldn (уа) = Y § y^dn (УА).(2.20)

0—оо

С другой стороны, кинетическая энергия газа определяется так:

Е = ух dn (уА) + v^dn (уу) +Уг dn (уг) j =

= vidn(vx)(2.21)

(средние значения квадратов всех составляющих скорости одинаковы).

Сравнивая теперь (2.20) с (2.21), находим, что давление газа равно 2/3 плотности его кинетической энергии:

(2.22)

Даниил Бернулли опубликовал этот результат в 1738 г., за полтораста лет до того, как статистическая физика стала самостоятельной наукой.

При выводе (2.22) были использованы только два предположения: 1) одинаковые значения трех проекций скорости равновероятны и 2) если импульс равен то, то кинетическая энергия равна -^-. Конкретный вид функции распределения несуществен.

Если газ подчиняется статистике Больцмана, то средняя кинетическая энергия Е одной молекулы согласно (2.17) равна 3/2^0. Подставляя это выражение в (2.22), получим:

pV-N6.(2.23)

С другой стороны, имеем следующее определение абсолютной температуры по уравнению Клапейрона:

pV^RT.(2.24)

В этом уравнении слева стоят величины, не имеющие отношения к тепловым измерениям. Поэтому идеальный газ может быть использован в качестве термометрического вещества. Когда постоянная R для одного моля газа выбрана равной 8,314-107, температура Т получается выраженной в градусах Кельвина.

С другой стороны, сравнивая (2.23) и (2.24), можно найти соотношение между «статистической» температурой 6, входящей в функцию распределения и имеющей размерность энергии (эра), и температурой Т по шкале Кельвина:

8,314.107 —УЕт

= кТ.(2.25)= кТ.(2.25)о R mград • моль

= кТ.(2.25)

= кТ.(2.25)

и —- - - 7 —;—

V6,024-1023

моль

Отношение & называется постоянной Больцмана. Оно равно 1,38 • 10~16 эрг'град. Температуру можно измерить и в электронвольтах, исходя из того, что один электронвольт равен 1,59- 10”12эрг. Переводя эрги в градусы с помощью постоянной Больцмана, находим что 1 эв 11 600° К.

Производная энергии по температуре при постоянном объеме называется, как известно, теплоемкостью cv. У идеального одно- 33

атомного газа она равна 2 R, что соответствует энергии 2 RT.

— з

Заменяя RT на N6, получаем Е — -^ NS (в согласии с (2.17)).

Соотношение (2.25) позволяет вычислять средние скорости молекул, не пользуясь числом Авогадро N:

где М — молекулярный вес газа. Например, средняя скорость молекулы водорода при температуре 300° К равна

_ ч/"8 • 8,3 • 107. зоо

у —: 1/ з”14—2800 м(сек.

Эта величина сравнима со скоростью звука (см. § 16).

Термоядерная реакция. При столкновении ядер между ними возможны реакции, идущие с выделением энергии. Например, при столкновении дейтона с дейтоном между ними может произойти одна из двух реакций (помимо упругого рассеяния):

Dj + Di ->Dj + Di ->Н^ + ПАН1 + Н}*Н^ + ПАН1 + Н}*

Dj + Di ->

Dj + Di ->

Н^ + ПА

Н1 + Н}*

Н^ + ПА

Н1 + Н}*

Здесь Н; —тритий, Не^ — легкишизотоп гелия, nJ —нейтрон, Н{ — протон, Dj ~ Hi— дейтон. Другой пример:

LiI + Di->2He^.

(2.26)(2.26)Для того чтобы заряженные ядра могли эффективно столкнуться, они должны преодолеть потенциальный барьер кулоновского отталкивания, который был рассмотрен в [§ 31 . Вероятность прохождения через потенциальный барьер в зависимости от энергии в основном определяется барьерным множителем

(2.26)

(2.26)

е ^

(см. первое слагаемое справа в [31.271).

Здесь Z^ и Z^e — заряды сталкивающихся ядер, у — их относительная скорость (перемещение в пространстве их общего центра инерции не ведет к столкновениям и, значит, к реакциям).

Реакцию можно вызвать, разгоняя частицы в разрядной трубке. Но заряженные частицы, попадая, в вещество, растрачивают свою энергию преимущественно на возбуждение и ионизацию атомов. Производят же реакцию не более чем одна из 105 или 106 падающих заряженных частиц. Поэтому выход энергии от реакции значительно меньше полной энергии, затрачиваемой на ускорение пучка частиц.

Иначе обстоит дело, если вещество, способное реагировать, находится при очень высокой температуре, порядка 107 °К (103 эв\ При такой температуре ядра сами реагируют уже с заметной скоростью (передачи энергии электронам не происходит, потому что они отделены от ядер тепловой ионизацией и обладают той же средней энергией, что и ядра).

Вычислим скорость ядерной реакции, протекающей в таких условиях (она называется термоядерной). Пусть эффективное сечение реакции между ядрами, имеющими относительную скорость v, равно о (у). Допустим, что реагируют разные ядра; назовем их 1 и 2. Построим на каждом ядре 2 цилиндр с площадью основания о (и) и высотой, численно равной и. Тогда по определению о (у) в единицу времени прореагируют все ядра /, которые находятся в объеме этих цилиндров и имеют скорость и относительно ядер 2 — см. [§ 6].

Число таких актов в единице объема за единицу времени равно произведению

пгиа (v) • ц2 dq (и);(2.27)

где Mi и п2 — количества ядер 1 и 2 в единице объема, dq(v) — вероятность того, что относительная скорость равна и. Если / и 2 — одинаковые ядра, то выражение (2.27) надо поделить пополам, чтобы не учитывать каждую реакцию дважды. Отметим это множителем (2) в знаменателе выражения (2.28).

Определим теперь вероятностный множитель dq (и). Распределение по абсолютным скоростям дается произведением максвелловских сомножителей вида

miU; m2U2 11/ 3 .

В показателе этого выражения стоит сумма кинетических энергий обоих ядер. По формуле [3.17] ее можно расщепить на кинетическую энергию движения центра инерции ядер и кинетическую энергию их относительного движения. Следовательно, в произведении отделяется сомножитель, дающий распределение по относительным скоростям:

где т — приведенная масса ядер, равная пцт^пц + т2) [3.20]. Относительная скорость у0 равна | ^ — у2 I • Для столкновений важна только та составляющая скорости, которая направлена по линии, соединяющей ядра. Если разложить ее на две взаимно перпендикулярные составляющие у' и ф:

то элемент объема в пространстве скоростей у0 представится произведением 2nurdvdv. Сомножители функции распределения и элемента объема, зависящие от v', отделяются, и остается только распределение dq (у), необходимое для вычисления скорости реакции. Нормированное на единицу, это распределение выглядит так:

mv2

^(yHjZ-^e 26 du, (Os^y^O).

От у зависит также барьерный фактор (2.26).

Таким образом, скорость термоядерной реакции равна

(2.28)(2.28)\ л \ актов

(2.28)

(2.28)

-У- \ О (у) У dq (у) —,.

Д v 7\ / смз . сгк

о

Выделим в выражении

о (у) = а0 (у) е hv

для эффективного сечения барьерный фактор. Множитель сг0 (у) зависит от скорости гораздо слабее, чем барьерный фактор.

Интеграл, входящий в (2.28), приводится к такому виду:

ооСо (с) уеСо (с) уе2nZiZ2e2ми2nZiZ2e2миMW2dv.MW2dv.(2.29)(2.29)

о

о

Со (с) уе

Со (с) уе

2nZiZ2e2ми

2nZiZ2e2ми

MW2

dv.

MW2

dv.

(2.29)

(2.29)

Его можно вычислить с хорошим приближением в том случае, когда температура настолько низка, что реакцию способны производить только самые быстрые ядра. На кривой, приведенной на рисунке 1, им отвечает «хвосг» максвелловского распределения. При более высокой температуре, когда барьерный фактор принимает значение порядка единицы, он уже при наивероятнейшем значении скорости не имеет существенного значения. Изложим теперь, в чем состоит приближенный метод вычисления интеграла (2.29).

Показатель экспоненты под интегралом обозначим так:

с , х 2л717252 . my2 а . Ьи-

2nZiZo^2 , т где а = —— .

Найдем минимум функции / (у) из условия

= -^+^=°; °гут=у .(2.зо)

Покажем, что основной вклад в интеграл дают значения у, близкие к vm. Вблизи минимума функция / (у) может быть представлена так:

/ (у) Н {vm) + 1 (у - Уту 1^\п = | W/3 + 4 ь (У - иту. (2.31)

Соответственно, интеграл (2.29) примет вид

'003

(*—f (и \b (V—и )2

\ а0(у) ve v т) 2 ' т) dv.(2.32)

о

Так как функция / (у) входит в экспоненту с минусом, то минимум / (у) отвечает той скорости ядер vnu при которой происходит наибольшее число реакций.

Учитывая, что

можно отношение скорости ут к средней относительной скорости v представить в следующем виде:

Будем называть температуру низкой, если отношение ^ вне- сколько раз больше единицы. При низкой температуре максимум подынтегрального выражения (2.32) весьма острый. Действительно, значение подынтегрального выражения уменьшается в е раз при от-

Г 2

клонении и от и л на величину р -—, которая по условию значительно / « \ 1/3

меньше ит =.

\ Ь у

Следовательно, можно ограничиться вторым членом разложения в (2.31). Кроме того, величины о0 (и) и и можно вынести из-под знака интеграла при у = ит. Ошибка обоих приближений будет порядка Интегрирование распространяется от — оо до оо (подынтегральное выражение быстро убывает при удалении от vw):

оо3

<т0 (и) ие f°т^ du

и зь

^а()(ит)ите-^'От' \ е 2 (° ^du = o0(uin) vm V"^Le-f(.um).

— ОО

(2.34)

Подставляя теперь значения а и b и возвращаясь к (2.28), находим выражение для скорости термоядерной реакции:

r = -2vVmOti^e 2 Л »(2.35)

w V

!2л23z.2e-fj \ 1/3

Экспоненциальный множитель очень сильно зависит от температуры. Например, при термоядерной реакции в дейтерии этот множитель изменяется в 3600 раз, когда температура увеличивается от 100 до 200 эв. Полученная формула отвечает режиму медленного протекания термоядерных реакций. Такой режим в природе осуществляется внутри звезд.

Идеальный газ во внешнем потенциальном поле. Рассмотрим теперь идеальный газ, находящийся во внешнем поле с потенциалом U. Потенциальная энергия может зависеть от положения центра инерции молекулы в пространстве, ее ориентации относительно внешнего поля (если газ не одноатомный) и от проекции спина на поле.

Полная энергия молекулы равна

£ =<2'36>

Если U зависит от положения молекулы в пространстве, т. е. U — U ^х, у, 2), то надо перейти от конечного объема V в весовом множителе (2.4) к бесконечно малому объему dV = dxdydz. Тогда часть функции распределения, зависящая от координат, выделяется и получается формула, описывающая зависимость плотности газа от координат:

_ Ц (X, У, 2)

dn (х, у, z^^n^e 6 dxdydz.(2.37)

Здесь принята калибровка потенциальной энергии U (0, 0, 0) = 0, причем п0 — плотность газа в точке (0,0,0). Очевидно, что в поле тяжести, для которого U = mgz, получим:

dn(z')=n<£ 6 dz.(2.38)

Следует отметить,„что к земной атмосфере «барометрическая» формула (2.38) применима не очень точно, потому что температура воздуха непостоянна по высоте.

Кроме того, из «барометрической» формулы получается, что состав воздуха должен меняться с высотой из-за различного молекулярного веса газов, составляющих атмосферу (азота, кислорода и др.). Фактически же сильное перемешивание почти выравнивает состав воздуха по высоте.

Неравновесность атмосферы планет. Подставим вместо приближенного выражения потенциальной энергии в поле тяжести ее точное выражение [3.5]. Предварительно выразим постоянную а, входящую в формулу [3.5], через более удобные величины. Сила тяжести у поверхности Земли равна — mg, а из общего закона тяготения она же равна — —, где г0—радиус Земли. Отсюда

= mgrL Так что U — —

Следовательно, плотность газа должна меняться с высотой по закону

2 А. С. Компанеец2 А. С. Компанеецn^tw~~^\(2.39)

2 А. С. Компанеец

2 А. С. Компанеец

33

Эта функция остается конечной и на бесконечном расстоянии от Земли; и так как экспонента на бесконечности равна единице, то в соответствии с калибровкой потенциальной энергии U (оо) = О коэффициент пропорциональности назван п^.

Около Земли, где г = г0, плотность больше, чем на бесконечности, во столько раз, во сколько экспонента

mgrpMg г0

е 9 =е RT

больше единицы.

Так как г0 ^ 6,4 • 108 см и g ^ 103 см!сек\ то для кислорода получаем:

^£1_ 32.103.6,4.108 _RT 8,3.107.300—

Разумеется, плотность земной атмосферы на бесконечности равна нулю. Поэтому из формулы (2.39) на самом деле следует, что атмосфера не может прийти в наивероятнейшее состояние, находясь в поле тяжести Земли, и постепенно рассеивается в пространстве. Однако в наивероятнейшем состоянии плотность атмосферы на бесконечности должна была бы быть меньше плотности у поверхности Земли в s800 раз. Поэтому нынешнее состояние атмосферы очень близко к наивероятнейшему. У Луны это состояние уже достигнуто: ее атмосфера улетучилась (если она когда-нибудь была).

Легко по-иному понять причину ухода газа в бесконечность. Всякая частица, скорость которой превосходит 11,5 км!сек, способна преодолеть притяжение Земли (вторая космическая скорость). Движение такой частицы инфинитно. Согласно распределению Максвелла (4.12) в газе всегда могут присутствовать молекулы, имеющие любую скорость. В буквенной записи скорость молекул, способных уйти в бесконечность, определяется соотношением

— ^mgrQ(2.40)

(кинетическая энергия молекулы у поверхности Земли равна или больше потенциальной энергии, взятой с обратным знаком). Подставляя наименьшую из этих скоростей в распределение Максвелла, получим снова е 6 для доли молекул, способных покинуть атмосферу. Легко оценить число таких молекул в атмосфере в любой момент времени. Поверхность Земли составляет 5 ЛО18 см2. Над каждым квадратным сантиметром находится 1030 г воздуха, или 35 моль. Отсюда число всех молекул в атмосфере равно 5 х х 1018-35*6-1023 = 1044, а доля молекул, имеющих скорость больше 11,5 км/сек, равна s'800 = 10'344. Поэтому среднее число молекул, способных покинуть Землю, составляет только 10"300. Совсем иначе складывается соотношение для водорода (/И =2). Вместо степени 10344

его экспонента равна 1021. Поэтому не удивительно, что в атмосфере практически нет водорода.

Надо еще заметить, что молекулы, находящиеся у поверхности Земли, не могут донести свою энергию до верхних слоев атмосферы из-за столкновений с другими молекулами.

Упражнение 2

Найти среднюю относительную скорость двух молекул газа, находящихся в смеси.

Распределение по относительным скоростям выражается формулой, аналогичной распределению по у в задаче о термоядерной реакции. Вместо массы одной молекулы в распределение надо ввести приведенную массу двух молекулТогда средняя относи

тельная скорость из (2.14) оказывается равной

У = 1— дГ(Ш1 + т2)

0 V пт V птгт2 *

Если молекулы одинаковые, то их средняя относительная скорость в К2 раз больше, чем средняя абсолютная скорость.

Вычислить скорость бимолекулярной реакции г', если эффективное сечение зависит от составляющей относительной скорости, направленной по линии, соединяющей молекулы, следующим образом:

По общей формуле (2.28) находим:

сот"с2 А

г ПлП2 -1 Л т С~ 26, ПлП2 л 6Г

r=-wV^ dv= ^~V^°°е

V т

(формула Аррениуса).

Определяющим в этом результате является экспоненциальный _ А

фактора 8. Величина А называется энергией активации. Она равна высоте потенциального барьера, над которым должны пройти сталкивающиеся частицы, для того чтобы осуществилась реакция. Здесь предположено, что движение реагирующих частиц происходит по законам классической механики. Вклад подбарьерных переходов в рассматриваемой задаче очень мал. Полученная формула может относиться только к реакциям обмена типа АВ + CD = АС + BD, когда продукты реакции уносят избыток энергии, выделившейся в реакции (не путать с энергией активации!), если реакция экзо- термична. Чтобы осуществилась экзотермическая реакция типа

A -V В — AB, выделившуюся энергию должна унести какая-то третья частица, которая участвовала в столкновении, но нс вошла в реакцию. Предэкспоненциальный множитель для тройного столкновения не такой, как в формуле Аррениуса.

§ 3. СТАТИСТИКА БОЛЬЦМАНА

Колебательное и вращательное движения молекул

Энергетические уровни молекул. Чтобы применять статистику к газам, состоящим из молекул, надо произвести классификацию энергетических уровней молекул. При решении этой задачи существенно помогает то обстоятельство, что ядра гораздо тяжелее электронов и поэтому движутся много медленнее их. Это было использовано в [§ 33], когда рассматривался вопрос об энергии связи двух водородных атомов в молекуле водорода. В двухатомной молекуле конфигурация ядер определяется одним параметром — расстоянием между ними. От этого расстояния зависит собственное значение энергии электронов. Прибавляя к энергии электронов

энергию кулоновского отталкивания ядер и энергию их вращения в пространстве, получаем при данной волновой функции для электро

нов энергию молекулы в зависимости от расстояния между ядрами. Например, у водородной молекулы кривые этой зависимости имеют различный вид для параллельной и антипараллельной ориентации электронных спинов (рис. 2). Нижняя кривая относится к состоянию с симметричной пространственной волновой функцией и анти-

параллельными спинами, а верхняя кривая — к состоянию с антисимметричной пространственной функцией и параллельными спинами. Нижняя кривая

имеет минимум при г = ге, так что атомы водорода могут связываться в молекулу только в определенном электронном состоянии.

В общем случае минимум могут иметь потенциальные кривые нескольких электронных состояний. Расстояния между кривыми определяются с помощью волнового уравнения типа [34.27]. В этом уравнении можно пренебречь членами, которые содержат массы ядер в знаменателе. Поэтому разность

энергий между различными электронными состояниями молекул такая же, как и в атоме, т. е. от одного до десяти электронвольт.

Вблизи минимума потенциальной энергии ядра могут совершать малые колебания. В первом прйближении эти колебания гармонические, так что их энергия дается общей формулой

8у /1(0 + у) (3.1)

(см: [27.231 и [27.231).

Здесь v называется колебательным квантовым числом молекулы. Число это, разумеется, целое. На рисунке 2 показана более общая зависимость энергии от г, с учетом того, что кривая потенциальной энергии — не парабола. Уровни энергии для подобного случая найдены в [§ 29]. Практически отклонения от формулы (3.1) мало сказываются на статистических величинах, потому что при возбуждении колебаний с большими значениями у наступает диссоциация [§ 12].

Частота со зависит от электронного состояния, при котором совершаются колебания ядер. Согласно общей формуле [7.121 имеем для частоты выражение

/Д dr2 \ = V

Отсюда видно, что частота обратно пропорциональна корню квадратному из приведенной массы ядер. Поэтому колебательный квант энергии значительно меньше расстояния между электронными уровнями, не зависящими от массы ядер. Величина со порядка десятых долей вольта.

Кроме колебательного движения, двухатомная молекула может совершать и вращательное движение как целое. Учет вращения наиболее прост, когда результирующий спин электронов равен нулю. Суммарная проекция орбитального момента электронов на линию, соединяющую ядра, обычно равна нулю в основном состоянии молекулы. Суммарная проекция спина электронов не может равняться нулю при нечетном их числе. Так, молекула NO имеет спин 1/2. Молекула О2 в основном состоянии имеет спин 1, что уже является исключением из общего правила. Возможное объяснение этого случая приводится в [§ 34]. Там показано также, что проекция орбитального момента на ось, соединяющую ядра О, равна нулю, потому что электронная оболочка О2 может рассматриваться как застроенная деформированная атомная оболочка и два электрона сверх нее. Их спины параллельны, а наименьшей энергии отвечает нулевая проекция орбитального момента на ось.

Отвлекаясь от сравнительно немногих исключений, можно выражение для полной энергии двухатомной молекулы в основном состоянии записать в виде суммы трех членов (см. [34.16]):

,,, , / , 1 \ | №К(К + 1) ‘

8--£e + ey + £r--ee + ^(0^ У +2ДД1^‘^

где К — момент вращения молекулы. Здесь наименьший член — последний, так как он содержит массу ядер в знаменателе. Таким образом, ^^то (т- е- не зависит от массы ядер т^ ву^—^-,

Возбуждение электронных уровней. Если подставить выражение (3.2) в распределение Больцмана, последнее распадется на произведение трех распределений: по электронным, вращательным и колебательным состояниям. Предположим, что газ находится при температуре, не превышающей 2000—3000° К. Тогда, если энергия электронного возбуждения составляет несколько электронвольт (напомним, что 1 эв = 11600 град), доля молекул в возбужденных

электронных состояниях в" о" весьма малое число. В тех случаях, когда имеются очень низкие электронные уровни, больцмановский сомножитель может быть и не малой величиной. Но, как правило, диссоциация молекул наступает раньше, чем заметное возбуждение электронных уровней.

Возбуждение колебательных уровней. Обратимся к колебательным состояниям. Для общности рассмотрим не только двухатомные, но и многоатомные молекулы. Если их колебания гармонические, то можно произвести переход к нормальным координатам, как было показано в [§ 7]. Тогда колебательная энергия приобретет вид суммы энергий независимых гармонических осцилляторов. Для каждого осциллятора уровни энергии даются формулой вида (3.1) при соответствующей данному нормальному колебанию частоте со.

Колебания молекул могут менять как взаимные расстояния между ближайшими атомами, так и углы между «направлениями валентностей». Например, в молекуле СО2, имеющей прямолинейную равновесную форму О СО, существуют колебания, при которых изменяются расстояния между ядрами О и С, а также другие колебания, выводящие ядро С из прямолинейного расположения. Первый тип колебаний называется валентным, второй — деформационным. Частоты деформационных колебаний в несколько раз меньше, чем валентных. Оцейка /ко — 0,1 эв относилась к валентным колебаниям. В сложных нормальных колебаниях многоатомных молекул могут участвовать оба типа смещений ядер.

Во всяком случае, если колебательная энергия распалась на сумму энергий отдельных независимых колебаний, то и функция распределения распадется на произведение функций распределения для каждого отдельного колебания.

Выразим среднюю энергию, приходящуюся на одно нормальное колебание:

Преобразование дроби к производной от логарифма позволяет вычислить одну сумму вместо двух. Этот прием постоянно применяется в статистической физике. Сумма под знаком логарифма называется статистической суммой. Как будет показано в дальнейшем, статистические свойства любых систем определяются путем вычисления аналогичных сумм.

В формулу (3.3) входит статистическая сумма для гармонического осциллятора. Эта сумма очень легко вычисляется. Действи

тельно,

(3.4)

Подставляя его выражение в (3.3) и дифференцируя, получаем:

_ ho . hw

8у

(3.5)

е

Первое слагаемое в (3.5) означает просто нулевую энергию колебания с данной частотой. Этой энергией колебание обладает при абсолютном нуле, потому что тогда второй член в (3.5) ничего нс дает. Второй член имеет очень простой смысл. Если записать среднюю энергию через среднее колебательное квантовое число О

/Z(0, ,_

8г, = -2~ + htoL'

то

1

е6 -1

(3.6)

(3.7)

Поэтому сомножитель \ее — 1 / выражает среднее число квантов, которым обладает колебание при температуре 9 кТ. При низкой температуре и близко к нулю. Например, у кислорода и азота hm около 0,2 эв, или 2000 —3000 град. Поэтому при комнатной температуре кислород и азот находятся в основном колебательном состоянии.

У водорода приведенная масса молекулы в 14 раз меньше, чем у азота. Его колебательный квант близок к 6000°. У многоатомных молекул, у которых имеются деформационные колебания, возможно возбуждение таких колебаний при температурах 300—600°.

Колебательная энергия при высоких температурах. Если тем- /ко

пература очень высока по сравнению с /ко, то 6 можно заменить разложением 1 + ~. Подставляя это в (3.5), получим:

Первый член не относите я к тепловому возбуждению. Кроме того, он гораздо меньше 6. Таким образом, оказывается, что при достаточно высокой температуре средняя энергия, приходящаяся на одно колебание, равна 9 независимо от частоты. То же самое можно получить, исходя из неквантованного выражения

+(3-9)

dq еше 9dq еше 9для энергии гармонического осциллятора. Подставляя это в распределение Больцмана и вычисляя среднюю энергию, получим:

dq еше 9

dq еше 9

=--е2 ^1п Мdp \ dqe 6 .(3.10)

Под логарифмом стоит выражение, которое называется статистическим интегралом. Он заменяет статистическую сумму для величин, изменяющихся непрерывно. Его легко найти по известным формулам (упр. 2, § 1):

со р2ОО W^Q^у

С ~ 2т6 , С “ 2611 Л 1 / 2л6 2л АX

\е dp \ е dq = V 2лтд 1/—- = — 9.(З.П)

Отсюда ею = 6. Полную колебательную энергию газа, приходящуюся на частоту со, можно, отвлекаясь от энергии нулевых колебаний, записать так:

Eto = N^RT.(3.12)

Вклад этой энергии в теплоемкость равен R. Теплоемкость, происходящая от колебательных степеней свободы, стремится к постоянному пределу, когда 6 ^> /ко.

Перейдем к вращательной энергии.

Возбуждение вращательных уровней. Вес состояния с данным значением момента К равен, как обычно, 2К + К соответственно числу возможных проекций К. Особенно интересен случай, когда двухатомная молекула состоит из одинаковых ядер. При классификации состояний такой молекулы необходимо учитывать спин ядер. Действительно, волновое уравнение для молекулы, содержащей одинаковые ядра, не меняет своего вида при перестановке ядер. Поэтому, если ядра имеют полуцелый спин, волновая функция должна быть антисимметрична относительно перестановки обоих ядер, а если спин ядер целый или нулевой, волновая функция должна быть симметричной. Симметрия собственной функции молекулы определяется симметрией ее сомножителей (в приближении (3.2) она распадается на сомножители): электронного, колебательного, вращательного и ядерно-спинового. Электронный сомножитель большинства молекул нс меняется при перестановке ядер, если молекула находится в основном электронном состоянии. Колебательная функция зависит только от абсолютной величины расстояния между ядрами и поэтому тоже не меняется. Вращательная собственная функция четна относительно указанной перестановки при четных К и нечетна при нечетных К 1§ 29]. Поэтому если спин ядер полуцелый и они подчиняются принципу Паули, то спиновая функция должна быть антисимметрична при четных К и симметрична при нечетных К. Если спин ядер целый и не равен нулю, положение обратное: спиновая функция антисимметрична при нечетных К и симметрична при четных К. А если спин ядер равен нулю, то нечетные К вообще исключаются, потому что спиновый сомножитель волновой функции отсутствует.

Вращательная энергия пара- и ортоводорода. Рассмотрим вращательные состояния молекулы водорода. У водорода общий спин ядер может равняться единице (ортосостояние) и нулю (парасостояние) [33.42, 42'1. Вес состояния со спином 1 равен 3, а со спином О равен 1. Состояние с /< = 0 четно по вращательной волновой функции. Следовательно, оно должно быть нечетно по спиновой функции, т. с. иметь спин 0. Но состояние с моментом, равным нулю, имеет наименьшую вращательную энергию. Поэтому вблизи абсолютного нуля водород должен находиться в парасостоянии.

При температуре, отличной от нуля, возбуждены все те состояния, для которых больцмановский фактор е ‘2тг^ порядка единицы. Принимая момент инерции водородной молекулы равным 0,45• 10'40 г-см, можно убедиться, что при Т = 300° К сумма по всем нечетным моментам

/г^7<(/<4-1)

V (2Х+1)е2т^8

Д=1,3, 5...

отличается от суммы по четным моментам на несколько тысячных долей. Но так как состояния с нечетным моментом являются для водорода ортосостояниями по ядерному спину, то каждое состояние с нечетным моментом имеет дополнительный весовой фактор 3 по числу проекций спина 1. Следовательно, при комнатной температуре водород на 3/4 состоит из ортоводорода и на Д4 из параводорода. Если охладить водород быстро, то отношение 3 : 1 сохранится долгое время, потому что ортопарапревращение идет медленно. Но это не будет наивероятнейшим состоянием, так как при абсолютном нуле все молекулы должны иметь К = 0, а это соответствует чистому парасостоянию.

Один из способов получения чистого параводорода состоит в том, что водород адсорбируют на каком-нибудь веществе, разрывающем при адсорбции молекулярную связь, например на активированном угле. Выделяя затем водород путем понижения давления при низкой температуре, его переводят тем самым в парасостояние: он десорбируется в наивероятнейшем состоянии при температуре десорбции. Если его нагреть затем до комнатной температуры, то он сохранится в парасостоянии довольно долго.

Напишем теперь формулы для средней вращательной энергии орто- и параводорода. Для простоты записи обозначим сомножитель 2^—г в выражении для вращательной энергии буквой В. Тогда

^пара^пара(2/<+1)е 9 ВК(К + ^(2/<+1)е 9 ВК(К + ^

^пара

^пара

(2/<+1)е 9 ВК(К + ^

(2/<+1)е 9 ВК(К + ^

(3.13)

В отличие от 8-пара у е-орто суммирование происходит по нечетным К. Для смеси при комнатной температуре имеем:

гггг1 , з -4 ^пара“Г 4 ^орто*1 , з -4 ^пара“Г 4 ^орто*(3.14)(3.14)

гг

гг

1 , з -

4 ^пара“Г 4 ^орто*

1 , з -

4 ^пара“Г 4 ^орто*

(3.14)

(3.14)

При очень низкой температуре в сумме надо удержать только член с К = 2, так что

/_6В\6В

enapa-624lnV+5e 9МзОВе 9,(3.15)

Для ортоводорода получим:

^В\6е 9 +84е 9= ^В^В\6е 9 +84е 9= ^Вёорто^6=-/е-1п(зе °+7е+ =

^В\6е 9 +84е 9= ^В

^В\6е 9 +84е 9= ^В

1 + 14е 6 У. (3.16)

Определение спинов ядер по вращательной теплоемкости. Вращательная теплоемкость водорода позволяет определить спин протона. Рассмотрим формулу (3.16). В ней первое слагаемое — постоянное. Его смысл состоит в том, что молекула ортоводорода даже при абсолютном нуле имела бы вращательную энергию 2В. Эта энергия не участвует в теплоемкости, потому что она не зависит от температуры. Определив теплоемкость как ||, видим, что при достаточно низкой температуре отношение теплоемкости ортоводорода к теплоемкости параводорода стремится к нулю, как сомножи

тель е ° . Следовательно, если быстро охладить обычный водород до низкой температуры, то его вращательная теплоемкость будет определяться одной четвертой частью его молекул, находящейся в парасостоянии. Она будет в четыре раза меньше, чем вращательная теплоемкость чистого параводорода, находящегося при той же температуре.

Таким образом, измеряя теплоемкость чистого параводорода и быстро охлажденного обычного водорода, можно определить спин протона или, зная спин из каких-нибудь других данных, можно доказать, что протоны подчиняются запрету Паули, так как их волновая функция антисимметрична.

Вращательная теплоемкость молекул, состоящих из неодинаковых атомов. Двухатомные молекулы, состоящие из неодинаковых атомов, имеют равный по спину ядер вес состояний с четными и нечетными К. Поэтому их средняя вращательная энергия выражается так:

/ оовк (K+D X

ёг = 62+ In^ (2К+1)е6.(3.17)

\ К-0/

Сумма, стоящая под логарифмом, не может быть записана в конечном виде, но ее легко табулировать численно. Оценим то значение температуры, при котором законно перейти от суммы к интегралу. Так, для водорода константа В находится так:

№• 10-541 m

В”2тг^ 1,67.10 21(0,74)2.10 ^ — 1,2 10 Эрг.

Отношение В/^ становится порядка единицы при 6 — 87° К.

В этой оценке т — приведенная масса двух протонов, равная половине протонной массы, а ге — 0,74-КГ8 см, что соответствует

моменту инерции ~ 0,45-10~40 г*см\ Для других газов В порядка нескольких градусов, так что при тех температурах, при которых эти газы не находятся в жидком состоянии, отношение В/6 — малая величина. Соответственно, сумма (3.17) заменяется интегралом. Если обозначить

то

(2K+l)dK-dx

и

_ В (К 4- ПК оо __ В х

£(2/<+1)е69dx^-g-.(3.18)

о

Подставляя это выражение в (3.17), получаем для вращательной энергии двухатомной молекулы или любой линейной молекулы формулу

^6 = ^.(3.19)

Отметим, что понятия высокой температуры для колебаний и вращений отнюдь нс совпадают. По отношению к вращательной теплоемкости кислорода температура должна быть выше 10° К, чтобы считаться высокой, а по отношению к колебательной теплоемкости высокой будет температура, большая 2000° К. Поэтому в весьма широком интервале температур (в частности, и при комнатной температуре) теплоемкость двухатомных газов постоянна и состоит из переносной части 3/2 R и вращательной части R; так что полная теплоемкость составляет 5/2 R.

Заметим, что вращательная теплоемкость стремится к R не монотонно, а проходит через максимум, равный 1,17? при 9 = 0,81 В.

О вращательной энергии многоатомных молекул см. § 8.

У пражнение 3

Деформационное колебание линейной симметричной трехатомной молекулы АВА состоит в том, что атом В смещается перпендикулярно линии АВА в одну сторону, а оба атома А смещаются на одинаковые расстояния в противоположную сторону. При такой конфигурации смещений исключается поворот молекулы в пространстве. Величины смещений должны быть подобраны та$, чтобы оставался на месте центр молекулы. Колебания могут происходить в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Даны массы атомов, расстояние АВ и частота колебания. Определить средний квадрат угла между отрезками АВ и В А, т. е. угла отклонения молекулы от прямолинейной формы.

Так как атомы Л при деформационном колебании смещаются на равные отрезки, то приведенная масса для этого типа колебаний находится по формуле

Потенциальная энергия колебания равна

где I — расстояние АВ, ф — угол между отрезками АВ и В А (ф > О-

Среднее значение потенциальной энергии равно половине среднего значения полной энергии. Полная энергия деформационного колебания складывается из энергий колебания с одинаковыми частотами во взаимно перпендикулярных плоскостях, т. е. она равна

/i<o(ui+ Т^/ко^з + Г^/ко (У14-и2_|_ 1),

где vn и2 — любые целые числа или нуль. Следовательно,

” / W = £■+ % +1),+1 у

Найти вращательную энергию пара- и ортодейтерия.

Частицы со спином 1 имеют симметричную волновую функцию. Проекция спина, равного единице, принимает три значения: 1, О, —1. Обозначим спиновые волновые функции обоих дейтонов, отвечающие этим проекциям, через Ф1 (1), Ф1 (0), гр! (—1) и гр2 (1), гр2 (0), гр2 (—1). Построим все спиновые волновые функции дейтерия, отвечающие суммарной проекции спина 0.

Беря только симметричные

^1 OHs (—0+^1 (—1)^2 (1)» ^1 (0)^2 (0) и антисимметричные

^iO)^ (—(—1)

комбинации, получаем для суммарной проекции спина ± 1:

^1 (1) ^2 (0) +^1 (0) 4*2 (1) Ф1 (1) ^2 (0) -% (0) 1р2 (1)

ipi (— О ^2 (0) + ^i (0) ^2 (—1) 4*1 (—1) ^ (0) - ti (0) М—1).

а для суммарной проекции спина ± 2:

Ф1(1)Фз(1),

Ф1 (—1)ф2 (—1).

Симметричное состояние имеет максимальную проекцию спина, равную 2. Следовательно, и все волновые функции с пдлным спином 2, образующие одно состояние, симметричны. Таких функций пять (по числу проекций спина 2). Антисимметричных функций три, что отвечает числу проекций спина 1. Следовательно, функция с нулевой проекцией спина симметрична, так как всех функций десять. Заметим, что здесь были построены собственные функции

оператора проекции спина, а не его абсолютной величины. Но для интересующей нас задачи достаточно знать число состояний, а не точный вид их волновых функций.

Таким образом, дейтерий имеет шесть ортосостояний с симметричной волновой функцией и три парасостояния с антисимметричной спиновой функцией. Первым отвечает вращательная волновая функция с четными К, а вторым — вращательная волновая функция с нечетными. Тогда полная волновая функция симметрична, как и должно быть при целом спине дейтонов. Вес состояний, происходящий от спина, для ортосостояний равен шести, а для парасостояний — трем. Поэтому статистическая сумма для ортодейтерия равна

65(2К+1)е°,

К = 0, 2,4...’

а для парадейтерия

вк (К+1)

32(2^+l)e6.

К=1, 3,5. ,.

При абсолютном нуле дейтерий должен находиться в ортосостоянии. Энергии обоих состояний согласно (3.15) и (3.16) равны соответственно

8орто^30В^ %

/ю в\

8Пара^М2 + 28е° Л

По сравнению с водородом здесь переставлены орто- и парасостояния. Вблизи абсолютного нуля основной вклад в теплоемкость дает ортосостояние. В нем находятся 2//3 всех молекул при комнатной температуре. Поэтому вращательная теплоемкость быстро охлажденного дейтерия меньше, чем у дейтерия, приготовленного десорбцией при низкой температуре (их отношение равно 2/3). Измеряя это отношение, можно показать, что спин дейтона равен 1, а не нулю. Заметим, что во втором случае были бы только состояния с четными К, т. е. одни ортосостояния (при любой температуре).

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИКИ К ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМУ ПОЛЮ В ВАКУУМЕ И К КРИСТАЛЛИЧЕСКИМ ТЕЛАМ

Наивероятнейшее состояние в системе, состоящей из вещества и излучения. Представим себе закрытую полость в непрозрачном теле. Стенки полости способны поглощать и испускать электромагнитное излучение. Взаимосвязанность испускания и поглощения следует из того, что, когда возможен прямой процесс, возможен и

обратный процесс [см. § 361. Смысл непрозрачности стенок состоит в том, что ими поглощается излучение любой частоты, а следовательно, оно же может испускаться стенками. Поэтому в полости может установиться наивероятнейшее состояние. При этом с единицы поверхности полости в единицу времени в любом направлении испускается и поглощается одинаковая энергия излучения.

Наивероятнейшее состояние излучения стационарно в том же смысле, что и наивероятнейшее состояние газа, рассмотренное в предыдущих параграфах. Наиболее существенно, что излучение при этом характеризуется вполне определенной температурой, которая равна температуре стенок. Необходимость равенства температур будет видна позже, при изложении основы термодинамики (§ 7, 8). Пока же примем это как допущение.

Абсолютно черное тело. Излучение в полости можно исследовать экспериментально, сделав в ее стенке небольшое отверстие. Достаточно малое отверстие не повлияет на состояние внутри полости. Излучение, падающее на такое отверстие извне, поглощается на внутренней стороне стенок и не выходит наружу. В этом смысле отверстие похоже на черное тело, не отражающее световых лучей. Поэтому его и называют «абсолютно черным телом», а излучение, выходящее из полости наружу, — «черным излучением». Выходит, конечно, то излучение, которое само находилось внутри. То, которое падает снаружи, многократно рассеивается на стенках и при каждом рассеянии основная часть его поглощается. Наружу через отверстие ничего нс попадает.

Предложенное название несколько парадоксально, так как оно противоречит наглядному представлению. На самом же деле абсолютно черное тело излучает при равной температуре больше, чем нечерное тело, потому что оно больше всего и поглощает, а в наивероятнейшем состоянии испускание и поглощение равны между собой. Если довести тело, имеющее полость с отверстием, до раскаленного состояния, то отверстие будет светиться ярче всего.

Статистика осцилляторной картины поля. Формула Планка. Рассмотрим применение статистики к черному излучению. Для этого необходимо подвергнуть квантованию уравнения электромагнитного поля, как это было сделано в [§ 36]. В отличие от статистики газа, статистика излучения не допускает предельного перехода к уравнениям, из которых совсем выпадает квант действия. Это станет ясно несколько ниже.

При квантовании поля возможны волновой и корпускулярный подходы. Волновой метод заключается в следующем. Поле представляется, как это было сделано в [§ 36], совокупностью линейных гармонических осцилляторов, каждый из которых характеризуется своим волновым вектором к и поляризацией о. Очевидно, что все эти осцилляторы различны по значениям к и о. Их квантовые свойства сказываются не при подсчете числа состояний поля, а в том, что энергия каждого из них не может равняться произвольному числу, а принадлежит дискретному спектру энергии [27.23,23'1,

т. е. равна /ico^ + yj, где п — целое число. Это характерный случай больцмановского газа (см. § 2, 3).

В наивероятнейшем состоянии осциллятора среднее число ft квантов Нт дается формулой такого же вида, как (3.7):

е9 -1

Число колебаний с частотой со согласно (1.31) выражается формулой

W =(4-2)

Здесь учтены обе возможные поляризации поля, а также то, что со = k/c. Таким образом, энергия электромагнитного поля в интервале частоты равна

dE (о) = ndg (со) = V“ .(4.3)

Л2С3 уе 0 — J

Спектр излучения Солнца близок к этому распределению по частотам.

Статистика световых квантов. К формуле (4.1) можно прийти и другим путем. Электромагнитное поле в результате применения квантовой механики к отдельным осцилляторам представляется как совокупность элементарных частиц — световых квантов. Кванты одной и той же частоты, направления и поляризации неотличимы друг от друга. Они имеют целочисленный собственный момент. На это указывалось в [§ 33] Т Поэтому они не подчиняются запрету Паули и имеют распределение Бозе. Но в отличие от молекул газов, подчиняющихся распределению Бозе, число квантов не является постоянным, так как они поглощаются и испускаются. Добавочное условие (1.12) для них не имеет места.

Легко перейти от общего распределения Бозе к частному случаю, когда условие (1.12) не наложено. Для этого достаточно считать параметр |л, на который умножается равенство (1.12), равным нулю. Параметр ц был введен для того, чтобы удовлетворить условию N = const. Тогда распределение Бозе упрощается:

Л-.(4.4)

Г

Учитывая, что у кванта 8 = hco, получаем снова (4.1). Таким образом, формула (4.1) означает либо среднее колебательное квантовое число осциллятора в совокупности, подчиняющейся стати-

Собственный момент 1, вообще говоря, имеет три проекции. Но проекция О отвечала бы продольной волне, которой не существует. Две круговые поляризации отвечают двум проекциям момента на волновой вектор: ±1 [ср. § 18].

стике Больцмана, либо среднее число колебательных квантов. Напомним, что различие между квантовой и неквантовой статистиками дается именно по признаку различимости частиц (§ 2).

Невозможность предельного перехода h — 0 в статистике электромагнитного поля. Обратимся на время к осцилляторной картине. По классической теории средняя энергия осциллятора равна 0 —см. (3.12). Если умножить ее Hag (со), получится классическая формула Рэлея —Джинса для энергии черного излучения:

(4-5)

Но эта формула заведомо неверна при больших частотах: при интегрировании по со она дает бесконечную полную энергию поля. Именно в этом раньше всего убедительно проявилась ограниченность классических представлений в статистике.

Исходя из экспериментальных данных о распределении энергии в спектре черного излучения, Планк предложил в 1900 г. формулу (4.3). При этом впервые в физике появился квант действия.

Формула (4.5) справедлива только при частотах, удовлетворяющих неравенству hm ^ 6.

Лучеиспускание абсолютно черного тела. По формуле (4.3) легко найти полную энергию равновесного электромагнитного излучения. Интегрируя по w, получаем:

Р Vh С (о3 dco _ И О4 С х3 dx,.

л2с3 )л2с3 h,3 j ех — 1 ’( ' • /

о 5е — 1*°

Интеграл в (4.6) представляет собой отвлеченное число, равное 4/15л. Так что искомая энергия пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры.

Результат (4.6) можно проверить по лучеиспускательной способности абсолютно черного тела. Легко связать ее с энергией Е. Для этого достаточно вычислить, сколько квантов падает в единицу времени изнутри на единицу поверхности полости нормально к поверхности. Если сделать в стенке небольшое отверстие, то в него будет проходить излучение такого же состава, какое падало на стенку.

Скорость каждого кванта равна с. Поэтому ее нормальная составляющая равна с cos А, где А — угол с нормалью. В единицу времени до единицы поверхности стенки под углом $ к ней долетят все кванты, находившиеся в цилиндре высотой с cos ft, построенного на этой части поверхности, т. е. в цилиндре с единичным основа- £

нием. Заключенная в цилиндре энергия равна р с cos Ф. Доля квантов, летевших под углом А к поверхности, равна

2л

1а r п sin $

4jT \2*

0

Отсюда получаем выражение для полной энергии, проходящей в единицу времени под любым углом ft:

л/2

1 С . aп сЕ с Е л204л-б4?4 м

\ sin ft dv • cos ft • v = - • ,. = -^ 9, „ • =<. (4.7)

2 JV 4 V 60c2/i360с2/г3 x 7

о

Постоянная впереди T4 равна 5,67-10"5 эрг^см2-сек-град4\ Формулу (4.7) нельзя непосредственно применять к накаленным твердым телам, не проверив, в какой степени они могут считаться черными.

Благодаря тому что светящаяся оболочка Солнца, хромосфера, мало прозрачна для излучения, испускаемый ею спектр близок к спектру черного тела, хотя и не совпадает с ним точно. Температура излучения близка к 5700°.

Давление черного излучения. Легко вычислить и давление черного излучения. Для этого удобно воспользоваться тем же рассуждением, которое приводит к формуле (4.7). Но теперь надо вычислять не количество квантов, а нормальную составляющую их импульса, переносимого через единицу поверхности. Эта составляющая равна энергии кванта, деленной на с и умноженной на cos У*. Поэтому в отличие от того, как мы поступали при выводе формулы (4.7), теперь надо интегрировать не cos i% a cos2 ft. Кроме того, на каждый квант, упавший на поверхность при наивероятнейшем состоянии поля, приходится другой такой же квант, излученный стенкой в обратном направлении. Поэтому переданный импульс удваивается. Следовательно,

Л/2

Р = ^ • ^ cos2 ft sin ft dft = —(4.8) b

Это значит, что давление равно т/3 плотности энергии. Такой же результат получится из (2.22), если считать импульс равным не ту, а е/с. Заметим, что в опытах Лебедева, в которых измерялось давление направленного пучка, а не излучения, приходящего равно-

„ Е

мерно со всех направлении, оказалось, что р = у, т. е. что давление равно просто плотности энергии (без множителя 1/3).

Давление электромагнитного излучения согласно (4.8) и (4.6) растет пропорционально четвертой степени температуры, тогда как давление газа пропорционально, грубо говоря, первой степени температуры. Поэтому при достаточно высокой температуре давление излучения всегда преобладает.

При высоких температурах давление вещества можно вычислять по формуле для идеальных газов, потому что энергия взаимодействия между частицами становится малой по сравнению с их кинетической энергией. Следовательно,

Считая, что атомы диссоциировали На ядра и электроны, легко пересчитать отношение у к плотности массы. Предположим, что вещество состоит из водорода. Тогда на один протон приходится один электрон. Если р есть плотность вещества, то отношение у равно где т — масса протона, а коэффициент 2 учитывает электрон. Значит,

(4-9)

Согласно (4.8) и (4.6) давление радиации рг равно

л294м

Рг— 45 (Ас)3 ’(4‘ °)

Отсюда получаем соотношение между плотностью и температурой для случая, когда давление радиации становится равным давлению газа:

п — —- т®3 — 1. 1 о 23 г т^з

90 (Ас)3’см3 град3 *

Например, при плотности р = 1 г!с^ оба давления становятся равными, если температура равна 4 • 107 °К. При более высокой температуре давление излучения уже преобладает. Оно оказывает существенное влияние на процессы в недрах звезд некоторых классов.

Максимум в спектре черного излучения. Максимум энергии на единичный интервал частоты имеет место при частоте, определяемой из уравнения:

Г / /ш \-1]

^ 0)3 1 о_0.(4.11)

Выполняя дифференцирование, получаем:

Это уравнение имеет единственное решение относительно —/:

—/- = 2,822.(4.13)

Следовательно, частота, на которую приходится максимум в спектре черного излучения, прямо пропорциональна абсолютной температуре (закон Вина):

2,822

ЮД1=—6.(4.14)

Заметим, что численный коэффициент в полученной формуле был бы иной, если бы рассматривалось распределение не по частотам, а по длинам волн. Любопытно, что соответствующая длина волны Хм в спектре Солнца очень близка к максимуму чувствительности человеческого глаза. График распреде- //гсо\3 / ^V'1ления \ Т/ \е 6 — 1 / при-9 j Z 5 6 7 8 веден на РисУнке 3- ПРИЗаметим, что численный коэффициент в полученной формуле был бы иной, если бы рассматривалось распределение не по частотам, а по длинам волн. Любопытно, что соответствующая длина волны Хм в спектре Солнца очень близка к максимуму чувствительности человеческого глаза. График распреде- //гсо\3 / ^V'1ления \ Т/ \е 6 — 1 / при-9 j Z 5 6 7 8 веден на РисУнке 3- ПРИ0,2-0,2-

Заметим, что численный коэффициент в полученной формуле был бы иной, если бы рассматривалось распределение не по частотам, а по длинам волн. Любопытно, что соответствующая длина волны Хм в спектре Солнца очень близка к максимуму чувствительности человеческого глаза. График распреде- //гсо\3 / ^V'1

ления \ Т/ \е 6 — 1 / при-

9 j Z 5 6 7 8 веден на РисУнке 3- ПРИ

Заметим, что численный коэффициент в полученной формуле был бы иной, если бы рассматривалось распределение не по частотам, а по длинам волн. Любопытно, что соответствующая длина волны Хм в спектре Солнца очень близка к максимуму чувствительности человеческого глаза. График распреде- //гсо\3 / ^V'1

ления \ Т/ \е 6 — 1 / при-

9 j Z 5 6 7 8 веден на РисУнке 3- ПРИ

0,2-

0,2-

ех-/Л 1,61,41,2 - 1,00,80,60,4-

и L "повышении температуры

Рис- 3кривая повышается во всех

точках, если на оси абсцисс //СОт-г

откладывать не х, а частоту со. При этом максимумы лежат „2,8226v

на прямой со =—^—, проходящей через начало координат.

Спонтанное и вынужденное испускание квантов. В начале этого параграфа было указано, что для достижения наивероятнейшего состояния необходимо, чтобы кванты излучения испускались и поглощались. Излучение, полностью изолированное от вещества, представляется в виде совокупности невзаимодействующих линейных осцилляторов, неспособных к обмену энергией. Среди них сохранилось бы неизменным любое начальное распределение энергии. Понятно, что излучение, находящееся внутри полости с идеально отражающими стенками, могло бы перейти к наивероятнейшему распределению, если в эту полость поместить (мысленно) «угольную пылинку». Достаточно малая, чтобы не искажать поля излучения, она в то же время перераспределяет энергию между осцилляторами путем испускания и поглощения квантов.

Вероятность испускания и поглощения квантов была вычислена в [§ 361. Если в поле присутствуют п квантов с данным волновым вектором к и поляризацией о, то вероятность испускания еще одного такого кванта пропорциональна п + 1, а вероятность поглощения пропорциональна п [см. (36.25) и ниже]. Квадрат модуля матричного элемента, стоящего множителем при п + 1 или при п, один и тот же. Испускание, пропорциональное м, называется вынужденным. Его предсказал Эйнштейн в 1916 г. Независящее от п испускание называется спонтанным или самопроизвольным.

При больших п вынужденное испускание сильнее спонтанного. Но большие п отвечают переходу к классическому приближению в электродинамике [§ 36]. Поэтому вынужденное испускание — эффект классический по существу. Его можно понять так. Электро- 52

магнитная волна, падающая на систему, раскачивает излучающие частицы. Амплитуда раскачки пропорциональна амплитуде волны. Поэтому интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды падающей волны, или числу квантов п. Спонтанное испускание — эффект чисто квантовый.

Рассмотрим теперь наивероятнейшее состояние, которое установится в системе, состоящей из атомов и электромагнитного поля. Как будет разъяснено ниже, это состояние естественно называть тепловым равновесием (§ 8). Покажем, что в системе устанавливается распределение Планка (4.1).

Назовем ег и 80 энергии двух состояний атомов. При переходе из состояния 1 в состояние 0 испускаются кванты с энергией Ню = = 8! — 80. При обратном переходе они поглощаются.

Число актов поглощения всеми Ао атомами, находящимися в состоянии 0, в единицу времени равно

Ao^oi^(4.15а)

(U^oi — коэффициент пропорциональности).

Число актов испускания всеми ^1 атомами, находящимися в состоянии 1, в единицу времени (с учетом спонтанных и вынужденных актов) выражается так:

Л\Ц71о(м+1)о.(4.156)

Условие равновесия состоит в том, что величины (4Л5а) и (4.156) равны между собой:

N^ti-N^H^(4.16)

Сюда надо подставить Ао и NY согласно (2.1):

И —«оИ"Б1

е ° g0W01n = e е (и + 1).(4.17)

Коэффициент пропорциональности U70i согласно [32.42] и [36.261 есть квадрат модуля матричного элемента перехода, вычисленного по состоянию атома, умноженный на вес состояния атома после перехода gv Аналогичный смысл имеет 1Г10. Поэтому множители go^oi и g"i^io в равенстве (4.17) сокращаются. Кроме того, 8Х— е0 = Ню, так что остается равенство

ее\п = п + 1.(4.18)

Отсюда сразу получается формула Планка

■(4-19)

Заметим, что теория поля, состоящего из бозе-частиц, всегда приводит к представлению о вынужденном испускании. Вероятность появления п + 1-й частицы в поле пропорциональна п + 1, а ве-

роятность исчезновения частицы пропорциональна п. Это следует из квантованных уравнений поля, описывающего бозоны, подобно тому как это получалось в [§ 36] для электромагнитного поля. Если бозе-частицы имеют заряд, как например л 1 -мезоны, то возможны только такие переходы, которые совместимы с сохранением полного заряда системы.

У ферми-частиц переход на занятый уровень невозможен. Поэтому квантование фермионных полей производится таким образом, чтобы в вероятность перехода входил множитель 1 —/, если вероятность того, что данный уровень занят, равна Д Это достигается путем надлежащей антисимметризации волновой функции системы фермионов [см. § 33].

Квантовые генераторы. Если 8Л > 80 и установилось больц- мановское распределение атомов по энергии, то число их в состоянии 1 меньше, чем в состоянии 0. Но путем внешнего воздействия на атомы можно сделать так, чтобы в высшем состоянии их было больше, чем в низшем. В таких случаях говорят об инверсной заселенности в системе. (Имеется в виду заселенность, или занятость, энергетических уровней.) Если, например, радиационный переход 1 -> 0 запрещен [см. § 36], то возможно тем или иным способом накопить большое число атомов в состоянии 1, например электронными ударами. Но если уже переход 1 -> 0 произойдет, то каждый испущенный квант стимулирует дальнейшие переходы по механизму вынужденной эмиссии. Так как при этом испускаются кванты в том же направлении и с той же поляризацией, то получается мощный всплеск когерентного и однонаправленного излучения. В этом состоит принцип действия квантового генератора.

В течение более чем ста лет во всех учебниках оптики содержалось утверждение, что невозможно заставить разные атомы излучать когерентно. Хотя вынужденное испускание, как было указано, — эффект, по природе своей классический, его надо было сформулировать в квантовых терминах, чтобы прийти к идее квантового генератора, что было сделано В. А. Фабрикантом в 1940 г.

Спектр колебаний решетки твердого тела. Статистическое пове- ведение кристаллической решетки твердого тела во многом напоминает поведение электромагнитного поля. Поэтому, прежде чем применять статистику к колебаниям решетки, надо представить их, по-возможности, в таком виде, в каком были представлены колебания поля, описанные в [§ 36].

Смысл этого представления заключается в приведении колебаний к нормальным координатам. Применительно к излучению оно состояло в том, что электромагнитное поле выражалось в виде суперпозиции (наложения) отдельных бегущих плоских волн. Амплитуда каждой волны и была нормальной координатой поля. Нормальные колебания атомов в решетке тоже являются амплитудами волн, бегущих по решетке от одного атома к другому (по их дискретной совокупности). В линейном, т. е. гармоническом, приближении такие колебания в виде бегущих волн взаимно независимы и полная энер-

гия есть сумма энергий отдельных осцилляторов. Пример такой волны будет дан в упражнении 4.

Но имеются следующие различия между набором осцилляторов для электромагнитного поля и твердого кристаллического тела.

Число степеней свободы электромагнитного поля бесконечно, так что в нем присутствуют все частоты от 0 до оо. Твердое тело имеет конечное число степеней свободы, равное 3 N, где N — число атомов. Поэтому набор колебательных частот простирается от нуля до какой-то максимальной частоты сот.

Зависимость частоты от волнового вектора электромагнитного поля определяется простым законом (о = ск При колебаниях твердого тела частота зависит от волнового вектора весьма сложным образом, причем по-разному для различных кристаллов. Только в пределе для очень длинных волн (т. е. малых й) колебания атомов переходят в колебания сплошной среды, происходящие по законам теории упругости. Для таких колебаний частота пропорциональна волновому вектору и можно отвлечься от атомного строения кристалла.

Положение осложняется, если кристалл состоит из атомов разной природы или атомов, находящихся в неравноценных положениях в кристаллической решетке. Тогда существуют колебания, при которых соседние атомы движутся в разных фазах даже тогда, когда длина волны, бегущей по кристаллу, велика по сравнению с периодом решетки. Такие колебания не переходят в колебания упругого континиума. На рисунке 4 показаны колебания двух типов, причем для простоты они показаны не в решетке, а в одномерной цепочке, построенной из атомов двух сортов. В случае а «белый» и «черный» атомы смещаются на прямой в одну и ту же сторону из положения равновесия. В пределе, когда длина волны стремится к бесконечности, атомное строение цепочки не сказывается на волне такого рода. В случае б смещения происходят в противопо ложные стороны. При бесконечной таких колебаниях наибольшая, так что им отвечает не нулевая, а максимальная частота.

Если решетка (или цепочка) является ионной, то атомы несут заряды противоположного знака. Волна типа б приводит, очевидно, к возникновению дипольного момента [см. § 161 и тем самым это колебание сильно взаимодействует с электромагнитным полем. Оно называется поэтому оптическим.

Тип а называется акустическим, так как в пределе при больших длинах волны оно соответствует упругой, т. е. акустической волне в сплошной среде.

Если в элементарной ячейке кристалла помещаются I атомов, то в трехмерном случае осуществляются 3 i типов колебаний. Из них три — акустические, отвечающие случаю а, остальные относятся к типу б. Заметим, что в элементарной ячейке могут находиться и одинаковые атомы. Так, в решетке алмаза каждая ячейка содержит два атома углерода. В этом случае имеется три типа колебаний а и три типа б.

Полное число колебаний кристалла равно 3 IN' = 3 N, где N' — число элементарных ячеек. Очевидно, что число нормальных колебаний равно числу степеней свободы, т. е. утроенному числу атомов в решетке.

Подсчет числа колебаний, приходящихся на некоторый интервал значений волнового вектора, производится таким же способом, как в случае электромагнитного поля. А именно, надо наложить условие периодичности: считать, что волновая картина в точности воспроизводится при смещении на ах, а^ и а3 по трем координатным осям [см. § 36]. Тогда волновой вектор имеет составляющие, пропорциональные целым числам:

, 2лп! , 2лп2 , 2лп3

К-x ")^2 —,—

а±^2^з

Каждой тройке чисел отвечает одно колебание определенного типа из общего их числа 3 I. На некоторый их интервал к приходится число dg (й), равное

аусиаз dk v dku dk2 V dkx dku dk2

dg № ^dn, dn. dn3= 2 -^)3 7 ~ =(^Z-1-. (4.21)

Энергия твердого тела. Теперь легко написать выражение энергии, приходящейся на этот интервал к. Если обозначать тип колебаний буквой о (по аналогии с поляризацией электромагнитных волн), то волновому вектору к отвечает частота соо и квант энергии йюа. Отсюда получаем:

V dkx dku dkz •

(4.22)

(2л)3 \е 6 - 1/

Чтобы найти полную энергию кристалла, надо проинтегрировать это выражение по всем dkxdkydk2 и просуммировать по о. В отличие от того, как это делалось для электромагнитного поля (ср. (4.6)), здесь надо вести интегрирование не до бесконечности, а только в таких пределах, при которых полное число колебаний равно полному числу степеней свободы ЗА:

жл с С Г dkx dkn dk2 _ .

1'2Ш-^-зл'-<4-23'

a

Каждому значению а отвечает своя функция со^ (Л), называемая также ветвью колебаний. У трех акустических ветвей при малых к имеет место простая зависимость:

^а" Сукх^

где скорость распространения са зависит только от направления, но не от величины к. Но при больших к кривая имеет сложную форму и не идет монотонно. У оптических ветвей имеется как максимальная, так и минимальная частота, которые обычно сравнимы по величине.

Выражение (4.22) невозможно проинтегрировать в общем виде хотя бы уже потому, что нет общей зависимости о)а (Л) для всех кристаллов. Но имеются два важнейших предельных случая, когда удается найти универсальный вид зависимости энергии от температуры.

Температура 0 гораздо больше кванта предельной частоты Нтт. Тогда она подавно больше всех остальных квантов и можно ограничиться первым членом разложения экспоненты в ряд:

Подставляя это в (4.22), находим весьма простое выражение энергии решетки:

р dkv dhu dk,£=У62 Ш -12^=з^=3££-(4-24>

о

Здесь использовано условие (4.23). Смысл равенства (4.24) очень прост: число осцилляторов равно числу степеней свободы, и при высокой температуре энергия каждого осциллятора согласно (3.12) равна 0. Темплоемкость решетки равна 3R и одинакова для всех элементов в расчете на моль. Этот закон хорошо выполняется для очень многих элементов уже при комнатной температуре (закон Дюлонга и Пти). Исключение составляют, например, алмаз и бериллий, у которых большая частота шт обязана относительно малому атомному весу, так как частота колебаний пропорциональна Л1"1/2.

Закон Дюлонга и Пти плохо выполняется у кристаллов, составленных из отдельных молекул. Такие кристаллы имеют очень много ветвей колебаний. Одни из них приближенно отвечают колебаниям молекул как целого, другие — внутримолекулярным колебаниям. Для таких ветвей неравенство /ко^ <^ 0 не имеет места при комнатной температуре, а при более высоких температурах молекулярные кристаллы обычно уже плавятся или возгоняются.

Температура 0 гораздо меньше h^m. Тогда сомножитель

[ ^tom V1

столь мал, что интегрирование без существенной ошибки можно распространить до бесконечности. Заметный вклад вносят только малые частоты, у которых квант имеет значение порядка 0, т. е.

/\ 1

/ко ~ 6. Для больших частот планковский множитель \ее — 1У погашает вклад соответствующих колебаний. Оптические ветви вообще не участвуют в тепловом возбуждении, потому что их минимальные частоты отвечают квантам, которые гораздо больше 6.

Остаются только длинноволновые колебания акустических ветвей. Они отвечают колебаниям сплошной среды, у которых частота связана с волновым вектором уже указанным выше соотношением:

юа = с0^^.(4.25)

Элемент объема dkxdkydk2 целесообразно преобразовать к сферическим координатам, т. е. заменить его выражением k2dkdQ, где dQ — элемент телесного угла для направлений к. Тогда интегрирование по к согласно только что сказанному надо распространить от 0 до оо.

Благодаря этому получается следующая формула для полной энергии кристалла при низкой температуре:

3со

lc-dQ ■(4-6)

о=1О.

Внутренний интеграл берется тем же способом, что и при вычислении энергии электромагнитного поля в формуле (4.6).

Следовательно,

\ a /

Энергия кристаллической решетки при низкой температуре, как и энергия электромагнитного поля, пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Теплоемкость пропорциональна третьей степени температуры.

Интерполяционная формула Дебая. П. Дебай, которому принадлежит излагаемая здесь теория теплоемкости кристаллов при низкой температуре, предложил интерполяционную формулу для промежуточных температур, когда результаты (4.24) и (4.27) не имеют силы. Формула Дебая переходит в обе эти формулы в предельных случаях высоких и низких температур. Промежуточный интервал описывается качественно, но в известном согласии с опытом. Для этого надо допустить, что закон

g)q = сок

имеет место при всех к (не только при малых). Но после столь большого упрощения нет смысла учитывать, что скорость упругих волн со зависит от того, куда направлен вектор к. Тогда надо рассматривать волны не в кристаллическом континууме, а просто в изотропном упругом теле. В нем могут распространяться поперечные волны СО скоростью Ct и продольные волны со скоростью Q. Очевидно, что поперечные волны имеют два направления поляризации (о = 1; 2). Поляризацию продольных волн обозначим индексом о = 3. Вследствие изотропии тела ct и Ci не зависят от направления распространения волны.

Верхний предел частоты определим из того условия, что полное число колебаний равно ЗАЛ Для этого перейдем в уравнении (4.23) к сферическим координатам:

V 2л2V 2л2со2 dco = ЗУ.со2 dco = ЗУ.Подставляя ct и сь найдем:Подставляя ct и сь найдем:WN (2^4-^) VWN (2^4-^) V1/31/3(4.28)(4.29)(4.28)(4.29)

V 2л2

V 2л2

со2 dco = ЗУ.

со2 dco = ЗУ.

Подставляя ct и сь найдем:

Подставляя ct и сь найдем:

WN (2^4-^) V

WN (2^4-^) V

1/3

1/3

(4.28)

(4.29)

(4.28)

(4.29)

Условие (4.28) подобрано так, что при высоких температурах автоматически получается закон Е = ЗУб.

При средних температурах 6 ~ h(om. Вместо оо как верхнего предела в интеграле (4.26) подставляем k^torn. Тогда выражение С(3 для энергии имеет вид:

(4.30)(4.30)

(4.30)

(4.30)

Переходя к переменной интегрирования x^ Q n обозначая/г^ — Впэ переписываем выражение для энергии решетки так:

0^/0

v 21 \ 04 С х3с1х

1 о

При низкой температуре 6D ^6; поэтому верхний предел в интеграле заменяется бесконечностью. Интеграл равен ^, а для энергии получается выражение

= 30 cf + ^f) •(4.32)

Тот же вид имеет точная формула (4.27), если заменить в ней со на ct и с^ не зависящие от направлений.

Если перейти от энергии к теплоемкости и заменить коэффициент при О4 с помощью (4.29) через Ор, получим:

<4-зз>

Сравнивая эту формулу с опытными данными о теплоемкости при низкой температуре, можно узнать ор, так называемую дебаевскую температуру. Но ее определяют и непосредственно, вычисляя ct и cL из упругих свойств тела. Обычно расхождение между значениями Ор, найденными этими двумя способами, составляет величину порядка 10° К. Это и оправдывает приближение, принятое Дебаем т.

Эффект Мёссбауэра. Рассмотрим еще одно очень важное применение теории колебаний кристаллической решетки. Оно относится к механизму поглощения и испускания квантов ядрами, входящими ев состав кристалла.

Когда атомное ядро испускает квант, оно согласно закону х/?со

сохранения импульса приобретает импульс —, где со —частота испущенного кванта. Если оно до испускания покоилось, то кинетическая энергия после испускания равна

р2(Aw)2, /ко

2m2mc32тс2 ’

где т — масса ядра.

Сделаем оценки дчя типичного случая. Пусть Ato ~ 105 эв, атомный вес А = 100, так что энергия покоя ядра тс? = 9-Ю10 эв. Тогда кинетическая энергия ядра отдачи составляет 0,5 -10~5 от энергии испущенного кванта.

Возбужденное ядро, способное к испусканию кванта, обладает известным временем жизни. Характерная величина этого времени А/ для выбранного примера порядка 10“9 сек. Но состояние, живущее в течение времени А/, имеет неопределенность в энергии, или энергетическую ширину АЕЮ"17 эрг [см. (31.37)], или

10-5 эв. Между тем энергия отдачи ядра равна 105-0,5-10~6 = 0,5 X X 10" эв, что в 5000 раз больше АЕ. Это значит, что испущенный квант, падая на такое же ядро, находящееся в невозбужденном состоянии, не обладает достаточной энергией для его возбуждения. Для того чтобы квант был способен возбудить ядро, с которого он был испущен, его энергия не должна отстоять от центра линии испускания дальше чем на 10-5 эв (ширина линии). Вследствие же отдачи ядра он теряет 0,5 -101 эв. Аналогичные соображения применимы и к поглощению кванта, когда ядро получает его импульс.

В 1958 г. Р. Мёссбауэр открыл, что если излучающее ядро не свободно, а входит в состав кристаллической решетки, то суще-

ствует конечная вероятность такого акта поглощения или испускания, при котором импульс отдачи получит не само ядро в отдельности, а весь кристалл как целое. При этом энергия отдачи уменьшится во столько раз, сколько атомов входит в кристалл, т. е., скажем, в 1022 раз. Тогда проявятся все эффекты, связанные с естественной шириной линии. В частности, квант, испущенный из некоторого возбужденного состояния ядра, будет способен сам поглощаться такими же невозбужденными ядрами. Условие для этого состоит в том, чтобы в результате электромагнитного перехода в ядре не был испущен или поглощен ни один квант колебаний кристаллической решетки. Ясно, что тогда энергию отдачи может получить только вся решетка как целое. Благодаря дискретности переходов в квантовых системах имеется конечная вероятность такой ситуации.

Опыт Паунда и Ребки. Опишем одно из очень многих применений эффекта Мёссбауэра, имеющее принципиальное значение. Рассмотрим величину работы поднятия на высоту г двух одинаковых ядер, одно из которых находится в основном состоянии, а другое — в возбужденном. Согласно соотношению между массой и энергией, масса возбужденного ядра больше массы невозбужденного на ^. Следовательно, работа его подъема на высоту 2 должна быть больше /ко

на gz, если только в закон тяготения входит строго та же масса, что и в выражение энергии или импульса. Энергия испускаемых квантов увеличивается в отношении (1+^. Например, при г = = 103 см увеличение энергии или частоты отвечает множителю (1 + 10 15). Может ли такой квант не возбудить ядро в основном состоянии, находящееся на 103 см ниже?

Чтобы подъем ядра на высоту z выводил испускаемые им кванты из резонанса с невозбужденным состоянием ядра, надо иметь столь малую ширину верхнего уровня ДЕ, при которой изменение частоты на 10~15 от ее полного значения выводило квант за пределы естественной ширины линии. Ясно, что такую точность измерения частоты обеспечивает только эффект Мёссбауэра.

В опытах Паунда и Ребки квант выходил из резонанса только частично, но вполне заметным образом, чтобы количественно подтвердить ожидаемый эффект.

Частота электромагнитных колебаний дает и меру времени. Следовательно, время течет по-разному в точках с различным гравитационным потенциалом. Этого требует эйнштейновская теория тяготения (общая теория относительности).

Упражнение 4

Написать формулу для распределения энергии черного излучения по длинам волн. Найти длину волны, на которую приходится наибольшая энергия.

Исходя из того, что со^^, имеем:

Максимум энергии на единичный интервал X определяется из уравнения -^^ — 4,965.

Показать, что распределение Бозе можно вывести, рассматривая равновесие между произвольными бозонами и больцмановским газом.

Пусть энергия больцмановской частицы — 8, а бозона — г|. Рассмотрим процесс, в котором происходит переход е + г] -> е' + + т|\ т. е. процесс, в котором взаимодействие частиц меняет их начальное состояние с энергиями 8 и г] на состояние с энергиями 8Г и т|'. В равновесии должен соблюдаться баланс

Wе, т); е'п'^е^Ч 0 4" ^П') " ^е', ПО е, Т)^е'^п' 0 4" ^1),

где We, ri; g^ — вероятность прямого, a И^'; е, п — вероятность обратного перехода. Здесь учтено то, что было сказано о вынужденных переходах бозонов. Полагая для простоты gen ^g^ и пользуясь тем, что при этом U78Y1; 8'nz = W8^; 8ТЬ находим

/ 4 —Hi \-l/ 4' —111\-l

n^=\e 0 — 1/ » n^ = \e 6 — 1/ ’

если только больцмановские частицы подчинены распределению

|1 — ЕН — Е/

Вынужденное испускание приводит к закону распределения Бозе.

Найти полное число квантов в черном излучении

V С cd2 dco _ Уб3 С х2 dxп л2с3 j ^> л2Л3с3 ) ех — 1° 6 6 — 1

при данной температуре.

Разложим подынтегральное выражение в ряд (см. приложение):

1ех — 11ех — 1

1

ех — 1

1

ех — 1

С x^dx _ ^ j ех — 1^Ок^ 1С x^dx _ ^ j ех — 1^Ок^ 1

С x^dx _ ^ j ех — 1^

Ок^ 1

С x^dx _ ^ j ех — 1^

Ок^ 1

Следовательно,

СООООООО

С е-кххг дх= у _1 С е-уу2Ду—2 У -L

J^3 JZe /г3

Ок=10к=Х

Сумма приблизительно равна 1,20, Поэтому

_ 2,4 Уб3

л2 Л3с3 *

Атомы расположены в виде линейной цепочки. Смещение s-ro атома обозначим as. Силу, действующую между s-м и s + 1-м атомами, запишем как а (а^ — as^ (смещение происходит вдоль цепочки и меняет расстояние между атомами). Написать и решить уравнения колебаний цепочки. Силой взаимодействия между несоседними атомами пренебречь.

Уравнение колебаний s-ro атома запишется так:

та § — a (as+х + as. х — 2as).

Ищем решение в виде:

as^b (/) eisL

Подставляя это выражение в уравнение, находим (после сокращения на eis^Y

mb (^ = ab (/) ^ -Ye^ — 2)^2b (/) a (cos/ — 1) = —4asin2 -b (t).

Следовательно, частота колебаний с данным значением / равна

Если расстояние между атомами d, то s — ^, где х — равновесное положение s-ro атома. Введя обозначениеполучим:

eds ^ eihxe

Таким образом, / можно считать волновым вектором, если длина измерена в единицах d. При малых / частота пропорциональна | / |. Следовательно,

Решить ту же задачу, считая, что атомы в цепочке с четными номерами имеют массу т^ а с нечетными номерами — массу т^.

Ответ,

to2 J тг + т. _ л Л/ т^-т^ \2sin2 / А

\ т^пг^ + г \ т^ /т^ /'

Верхний знак отвечает акустической ветви колебаний, нижний — оптической ветви.

§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЗЕ

Выбор знака ц. Распределение Бозе имеет весьма своеобразные свойства при низких температурах. Будем предполагать, что атомы не имеют спина (таковы, например, атомы гелия с атомным весом 4). Как электроны в оболочке атома гелия, так и протоны и нейтроны в ядре гелия находятся в IS-состоянии. Все они входят попарно, и спины по принципу Паули антипараллельны. Поэтому результирующий спин равен нулю.

Вес состояния бесспиновой частицы согласно (1.30) равен

(5.1)

Условие нормировки согласно (1.30) выглядит так:

Это условие может быть выполнено только при отрицательном ц. Действительно, если предположить, что ц больше нуля, то знаменатель подынтегрального выражения станет отрицательным при

е < ц, так как тогда е 6 < 1. Но это невозможно, потому что функция распределения по самому своему смыслу — величина положительная.

Следовательно, ц < 0. При высоких температурах распределение Бозе переходит в распределение Больцмана согласно (2.6).

Знак ”. При уменьшении температуры ц уменьшается по абсолютной величине. Это можно показать в общей форме с помощью (5.2). Дифференцируя равенство как неявную функцию, имеем

5ц

(5.3)

Интегралы в (5.3) берутся от существенно положительных вели

чин (е — р > 0, потому что р < 0), и поэтому ” <0. Следова

тельно, с уменьшением 0 абсолютная величина р уменьшается монотонно, так как р должно увеличиваться.

Покажем теперь, что ц обращается в нуль при температуре, отличной от нуля. Для этого положим в (5.2) [л = 0 и найдем соответствующее значение 0 = 0О:

\У е\ее° — 1 у de = —179—™ \ У х (ех — 1) 1 dx = N. (5.4) оо

Интеграл представляет собой просто отвлеченную величину: он равен 2,31 (см. приложение). Поэтому уравнение (5.4) удовлетворяет значение 0О, не равное нулю.

Бозе-конденсация. Что же будет происходить при дальнейшем понижении температуры? Очевидно, что ц не может перейти от отрицательных значений к положительным, потому что это, как указано в начале параграфа, привело бы к отрицательным значениям вероятности. Кроме того, ц не может стать снова отрицательным, потому что эта величина всегда меньше нуля. Таким образом, р изменяется только монотонно, если вообще способно изменяться. Итак, единственная возможность заключается в том, что р остается равным нулю после того, как оно достигло нулевого значения. Но тогда равенство (5.2) перестает выполняться, если температура меньше 0О, a N остается прежним. Наоборот, из (5.4) видно, что число частиц, если определить его как

Vm3/2V1 .2,31 VmW/2

N” 2'/2л2Аз )]/e\e6-l) de- 2,/2 2 3 >(5-5)

0

при 0 < 0O уменьшается с понижением температуры пропорционально 63/2.

Что делается с остальными частицами, число которых равно N — N'*? В отличие от световых квантов эти частицы не могут быть поглощены. Поэтому они перейдут в состояние, которое не учитывается в нормировочном интеграле (5.2). Единственное состояние такого рода имеет энергию, равную нулю: благодаря множителю Уе оно ничего не прибавляет к интегралу (5.4). При нормировке можно выделить частицы, находящиеся в нулевом состоянии, в отдельное слагаемое. Если конечное число частиц перейдет в состояние с нулевой энергией, то они, разумеется, выпадут из интеграла. Следовательно, N частиц останутся распределенными непрерывно, но при ц — 0. Таким образом, при температуре 0< 0О все распределение состоит из бесконечно узкого «пика» при е = 0 и частиц, распределенных по закону \е6 — 1Д При абсолютном нуле температуры все частицы находятся в нулевом состоянии: это состояние бозе-газа определено, очевидно, единственным образом. Больц- мановский газ при стремлении температуры к нулю вел бы себя совсем иначе. Все частицы оставались бы внутри распределения Ц —8

е 6 , как бы ни была мала 0.

65653 А. С. Компанеец

65

65

Жидкий гелий. Как уже указывалось, гелий с атомным весом 4 подчиняется статистике Бозе, так как спин его ядер и электронных оболочек равен нулю. Поэтому интересно выяснить, наблюдается ли у него что-нибудь похожее на эту «бозе-конденсацию».

При низкой температуре гелий является жидкостью и к нему распределение Бозе, относящееся к идеальному газу, неприменимо. С. Т. Беляев показал, что и сильно взаимодействующие бозе- частицы могут собираться в нулевом состоянии. Поэтому качественная сторона результата, полученного для газа, остается в силе. Можно сравнить поведение жидкого гелия с тем, что дает изложенная здесь элементарная теория бозе-газа.

Жидкий гелий действительно претерпевает своеобразное изменение состояния при температуре 2,19° К (при атмосферном давлении). У одноатомной жидкости, какой является жидкий гелий, трудно предположить какое-либо изменение состояния, связанное с перегруппировкой атомов в пространстве. Считая, что изменение в жидком гелии, как и в газообразном гелии, вызвано изменением распределения частиц в пространстве импульсов, разумно сравнить истинную температуру перехода гелия в жидкое состояние с той температурой, при которой началась бы бозе-конденсация в газообразном гелии той же плотности.

Плотность жидкого гелия равна 0,12 г! см3, Поэтому

.6 ■ Ю23 = 0,18. Ю23 см-3.

Следовательно, температура б0 согласно (5.4) получается равной

А /1,18. 1023.9,86. 1,41-1. 18. 10-81\2/3 _

— \ 2,31.17,1-Ю-зб ) ,

или Т0 = 2,8° К,

что близко к температуре перехода. Заметим, что у бозе-газа в точке перехода теплоемкость непрерывна; скачок испытывает ее производная по температуре. У жидкого гелия имеется скачок теплоемкости. Отсюда видно, что жидкостные свойства гелия существенны для понимания природы перехода.

Сверхтекучесть. П. Л. Капица открыл, что ниже температуры перехода жидкий гелий обладает удивительнейшим свойством: он способен протекать сквозь тончайшие щели, не обнаруживая никаких признаков вязкости. Это свойство было названо сверхтекучестью (см. § 19).

Вопрос о связи сверхтекучести с бозе-конденсацией нельзя считать окончательно решенным. В пользу этой связи говорит то обстоятельство, что изотоп гелия с атомным весом 3 не сверхтекуч Ч Спин ядра Не3 равен 'Ч^ так что его атомы подчиняются статистике Ферми, а не статистике Бозе. Соответственно, они не могут

При сверхнизкой температуре (^ 10-3° К) Н| переходит в сверхтекучее состояние вследствие того, что атомы образуют связанные пары. Это явление аналогично сверхпроводимости (§ 43).

переходить в нулевое состояние все вместе: этого не допускает принцип Паули.

Н. Н. Боголюбов показал, что газ, близкий к идеальному и состоящий из бозе-частиц, обладает таким спектром энергии, каким, по теории Ландау должна обладать сверхтекучая жидкость в низкоэнергетических состояниях. Аналогичный результат получил С. Т. Беляев для сильно взаимодействующих частиц. Но доказать теоретически, что именно жидкий гелий ниже точки перехода должен обладать свойством сверхтекучести, в полном объеме еще никому не удалось.

Упражнение 5

Вычислить энергию и давление бозе-газа ниже точки перехода.

Энергия бозе-газа находится так:

„ Vm^2 №Г Г х^йх

Wh8 ' ev~i ~о

(см. приложение). Давление найдем из общего соотношения (2.22):

= 2 £ ^ l.lSm^e5/2

Таким образом, давление бозе-газа ниже точки перехода не зависит от объема, а зависит только от температуры. Если сжимать такой бозе-газ, то его частицы будут переходить в состояние с нулевой энергией. При расширении бозе-газа частицы, наоборот, будут выходить из состояния с нулевой энергией, пока не выйдут все. При дальнейшем расширении давление начнет уменьшаться. Заметим, что давление «черного излучения» зависит тоже только от температуры. При сжатии часть квантов просто поглощается и таким образом выходит из игры. У бозе-газа, состоящего из неуничтожаемых частиц, вместо поглощения происходит переход в нулевое состояние.

§ 6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ

Вид кривой распределения Ферми и ее истолкование. Критерий перехода квантовой статистики в классическую состоит в том, что

^6 \3/2

v ^ \ 2лу

(см. (2.7)). Если неравенство обратное, то проявляются существенно квантовые свойства статистического распределения. В этом параграфе будет рассмотрено распределение Ферми при том условии, что выполняется неравенство

yvVyvV№ \ 2л у№ \ 2л у(6-1)(6-1)

yv

V

yv

V

№ \ 2л у

№ \ 2л у

(6-1)

(6-1)

или равносильное ему неравенство

|>1.(6.2)

Согласно (1.26) и (1.30) кривая распределения Ферми имеет следующий вид:

, . к V (2пг^1/28х/2 ds (1/С О\

^(е) = —W 6 +1/ е(6.3)

Здесь введен весовой множитель 2 в предположении, что / = т/2. Первый сомножитель в (6.3) представляет полное число состояний между 8 и е + de, а второй сомножитель выражает вероятность того, что одно произвольно выбранное из этих состояний занято. Иначе говоря, фермиевский сомножитель характеризует относительную плотность занятых состояний с энергией е. Функцию

6 +U<6Л)

можно трактовать pi как вероятность, и как среднее число частиц, приходящихся на одно состояние, учитывая, что/(е) всегда заключена между нулем и единицей. Сходная по виду функция в распределении Бозе могла означать только среднее число частиц в одном

/ 8 —Ц\-1

состоянии с данной энергией, так как функция \е 6 — 1/ бывает и больше единицы, и не должна трактоваться, как вероятность.

Исследуем ход кривой f (е), когда ^-^ 1. При е = 0 имеем:

/(0) = (е"^+ 1) 11,

потому что согласно неравенству (6.2) е 6 — малое число. Пока 8 8 — Ц

остается меньше ц, величина е 6 тоже мала, a f (е) близка к еди- 8 —Ц

нице, как и f (0). Только когда 8 — ц сравнима с 6, е 0 имеет порядок единицы и / (е) начинает заметно убывать при возрастании 8. При 8 = ц значение / (е) уменьшается до т/2:

При еще больших 8 функция/(в) убывает экспоненциально, потому что единицей можно пренебречь по сравнению с экспонентой. Функция / (е) переходит в распределение Больцмана:

|1 —89 •

Такой же предельный вид имеет и распределение Бозе. Примерный ход кривой / (е) изображен на рисунке 5. Область значений е, при

Рис. 5Рис. 5которых f (е) переходит от единицы к нулю, имеет '1 ширину порядка 6, потому что только если е — ц ~ 0, экспонента 8— Ц

Рис. 5

Рис. 5

е 6 сравнима с единицей: при меньших е экспонента гораздо меньше единицы, а при больших е ■ экспонента гораздо больше единицы.

абсолютном нуле. Будем называтьабсолютном нуле. Будем называтьРаспределение Ферми при

абсолютном нуле. Будем называть

абсолютном нуле. Будем называть

область перехода / от единицы к нулю областью размытости фермиевского распределения. По мере уменьшения температуры область размытости сужается и при абсолютном нуле переходит в резкий скачок /, так что функция распределения имеет вид ступеньки. Этой формой / мы пользовались в [§ 33] при выводе потенциала Томаса — Ферми в атоме. На рисунке 5 ступенчатое распределение вычерчено жирной линией. Значение ц при абсолютном нуле обозначается через ц0. Следовательно, при 0 = 0 все состояния с энергией, меньшей ц0, заняты с вероятностью единица, т. е. с достоверностью, а состояния с энергией, большей ц0, свободны тоже с достоверностью.

Критерий близости распределения Ферми к его виду при абсолютном нуле. Распределение Ферми можно представить себе в про- странстве импульсов. Если импульс определить как ^ = 60'= Но, то он будет граничным. Все состояния с е е0 заняты, а состояния с 8 > еа свободны. Поверхность 8 = е0 носит название ферми- поверхности.

Повторим теперь вкратце вывод величины 80 = ц0, сделанный в [§ 33]. Учитывая то, что было сказано о ступенчатом характере функции / (е), воспользуемся распределением (6.3). Тогда получится:

VW1/2 j У(2т)3/283/2

N^^dn (8) = я2й5- ^ V 8 d^ =,(6.5)

откуда

02/3 4/3 ^2 / N\2/3

8o=Ho = 3W4/3 ^у} •(6-6)

Состояние ферми-газа как целого при абсолютном нуле, как и вообще в квантовой статистике, определяется тем, какие состояния заняты отдельными частицами, но не какими частицами они заняты. В данном случае заняты частицами все состояния внутри поверхности сферы граничной энергии 8 = е0.

При температуре, близкой к абсолютному нулю, тепловое возбуждение может сообщаться только тем частицам, энергия которых

близка к е = е0. Действительно, пока 8 < е0, тепловое возбуждение, имеющее порядок величины 6, не может быть передано частице, состояние которой отвечает энергии, лежащей глубоко внутри ферми-поверхности 8 = е0, потому что все состояния между 8 < 80 и ферми-поверхностью е — е0 заняты, а энергии 9 недостаточно, чтобы выбросить частицу за пределы ферми-поверхности. На свободные места могут выйти только те частицы, энергия которых отстоит от е0 на величину порядка 0. Более глубокие состояния при такой температуре заполнены плотно. Следовательно, вероятность заполнения почти равна единице при всех энергиях 8 < е0 и сходит к нулю в области шириной порядка 0 вблизи е0, как и показано на рисунке 5.

Критерием того, что кривая по форме близка к ступеньке, как ясно из сказанного, является соотношение

0<8О.

А это с точностью до численного множителя совпадает с (6.1). Как сейчас будет показано, понятие «близости» температуры к абсолютному нулю по критерию (6.1) сильно расходится с привычным.

Электроны проводимости в металлах обычно рассматривают как идеальный газ. При этом пренебрегают действием на них ионов решетки и, что необходимо для применимости понятия газового состояния, их взаимодействием между собой. Под действием ионов нарушается простая зависимость

между энергией и импульсом. Из-за этого в большинстве металлов ферми-поверхность ничем не напоминает сферу. Исключение составляют в основном щелочные металлы. Но и с учетом сложной зависимости энергии от импульса электроны еще можно было бы строго рассматривать как газ в поле ионов решетки, что иногда и делается. Строго учесть действие электронов друг на друга пока вообще не удалось.

Тем не менее представление об электронах в металле как о ферми- газе невзаимодействующих частиц обычно приводит к результатам, которые хорошо согласуются с опытными данными. Тем более таким представлением можно воспользоваться для простой оценки. Выберем для примера металлический натрий, у которого последний электрон связан с атомом слабо и легко отделяется от него в решетке. В связи с этим в натрии и вообще в щелочных металлах выполняется зависимость е = —, и ферми-поверхность близка к сфере.

Плотность металлического натрия 0,97, атомный вес 23, Следовательно, в единице объема заключено

о

^•6,02-1023 = 0,25-1023

атомов и столько же электронов проводимости. Отсюда согласно (6.6)

,112- 10-б4

е0==4,1 - 4,60,8* 1017==4,8- 1012,

что соответствует 34 800° К. Здесь числа подставлены в таком порядке, в каком они входят в (6.6).

Следовательно, при всех температурах, при которых может идти речь о натрии как о металле, электронный газ в нем близок к ферми-газу при абсолютном нуле. Аналогичные результаты получаются и для нещелочных металлов, хотя и с менее надежным значением электронной плотности.

При равной плотности газа ферми-энергия электронов в 1840 раз больше ферми-энергии протонов. Энергия покоя отдельного нейтрона несколько больше, чем у протона. Поэтому в свободном состоянии протон устойчивее нейтрона, который самопроизвольно распадается на протон, электрон и антинейтрино \ Но в сверхплотном ферми-газе веществу выгоднее перейти в нейтронное состояние. Тогда в нем не будут присутствовать электроны с высокой ферми- энергией и общая энергия нейтронного ферми-газа станет меньше, чем энергия ферми-газа, состоящего из электронов и протонов. Имеются веские указания на то, что действительно существуют нейтронные звезды.

Сжимаемость щелочных металлов. Получим формулу для сжимаемости ферми-газа при абсолютном нуле. Энергия при абсолютном нуле согласно (6.5) и (6.6) равна

г С \(2т)3/2е3/2

о

Давление по уравнению Бернулли (2.22) равно двум третям от плотности энергии, т. е.

_ 2 (2т)3/2е^232/Зл4/3 № (NW

Р 15 л2Л3 5 m\v) *( • /

Отсюда

5 In V3З/3 т / NVWf NVW,. . ._ m

™ "= 0,273 • 1027 — бар~г- (6.9)

др^Рл4/3 № \ V)\V )

Я. И. Френкель отметил, что сжимаемость щелочных металлов близка к сжимаемости электронного газа. В самом деле,

выражая у через атомный вес и плотность, получаем следующую таблицу:

a In VLi Na К Rb Cs

-^— -IO6 по уравнению (6.9) 4,7 13 37 52 79

-^L-106 ИЗ опыта815 32 40 61.

др

В реальной кристаллической решетке действуют, конечно, не только силы отталкивания между частицами, но и силы сцепления. Равновесие между силами сцепления и силами отталкивания определяет собственный объем, который имеет каждое конденсированное тело (твердое или жидкое) при отсутствии внешнего давления. Обычное атмосферное давление дает силу, ничтожно малую по сравнению с этими огромными силами, сдерживающими тела в их объемах. Для того чтобы изменить объем тела только на один процент, нужны давления порядка десятков тысяч атмосфер.

Приведенное здесь совпадение теоретических и экспериментальных данных указывает на то, что силы сцепления при сжатии щелочных металлов изменяются незначительно по сравнению с силами отталкивания. Можно допустить, кроме того, что состояние валентных электронов щелочных металлов сравнительно мало возмущается атомными остатками и в какой-то мере близко к электронному газу. Сжатие мало затрагивает весьма плотные электронные оболочки атомных остатков, и поэтому сжимаемость щелочных металлов близка к сжимаемости идеального ферми-газа. Что так должно быть, заранее, конечно, не очевидно.

Теплоемкость ферми-газа. В заключение рассмотрим ферми-газ не при абсолютном нуле, а при температуре, отличной от нуля, но удовлетворяющей неравенству (6.1).

Предварительно удобно вывести общую оценку для интеграла, входящего в распределение Ферми при 6 <^ е0. Рассмотрим интеграл

, х / Е — Ц\-1

/ = ^ ^\е 6 + V de,(6.10)

о

где у (е) — какая-нибудь функция типа степенной, например е1^, 8°/2 и Т. П.

Кривая распределения Ферми (рис. 5) совмещается сама с собой при повороте на 180° относительно точки / = ^,8 = ц, если отвлечься от области, где 8 < 0, дающей экспонциально малый вклад в интеграл при ц ;> 6. Поэтому если представить у (е) в виде разложения

Y(8) = Y(|i) + (8-y)Y'(ц) + у(е-ц)2/'(10(6.11)

то интеграл от нечетной функции (относительно е = ц) обращается в нуль. После преобразования по частям интеграл от четного слагаемого (е— ц)2 дает вклад, пропорциональный 02, как можно видеть, заменяя ^-^ на безразмерную величину х.

Для вычисления теплоемкости ферми-газа надо найти нормировочный интеграл, в котором у' (е) = е<, и среднюю энергию (при у' (е) = е3/2). При температуре, отличной от абсолютного нуля, оба эти интеграла получат слагаемые, пропорциональные 02. Следовательно, добавка к теплоемкости, т. е. ■— , будетлинейна относительно 6. Например, для натрия оценка дала е0 = 34 800°, так что при комнатной температуре -- <20,01. Теплоемкость ферми-газа, приходящаяся на один электрон при комнатной температуре, равна 0,05. Ее надо сравнить с теплоемкостью больцмановского газа, равной согласно § 2 1,5 (если 0 выражена в эргах, теплоемкость С есть величина отвлеченная).

Легко понять, почему теплоемкость ферми-газа гораздо меньше, чем у больцмановского газа: тепловое возбуждение способны воспринимать не все электроны в фермиевском распределении, а только те из них, энергия которых близка к граничной. Поэтому теплоемкость ферми-газа и оказывается равной всего нескольким процентам от N. Теплоемкость ~ N получается только тогда, когда все электроны способны получать тепловое возбуждение.

Доквантовая электронная теория металлов сталкивалась с большим затруднением в том, что электронный газ в металле при комнатной температуре не имеет заметной на опыте теплсемкости. Теплоемкость металла не превышает 3 на атом (см. (4.24)). Между тем, если бы число электронов было равно числу атомов, металл по классической статистике имел бы теплоемкость 3 + 3/2 = 9/2 на атом, чего никогда не наблюдается. Значение статистики Ферми для электронов в металле показал Зоммерфельд, найдя формулу для теплоемкости ферми-газа.

При низкой температуре теплоемкость кристаллической решетки металла пропорциональна 63 (см. (4.27)). Поэтому, если температура достаточно низка, электронная теплоемкость начинает преобладать и может быть измерена. Опыт показывает, что при очень низких температурах теплоемкость металлов действительно пропорциональна 6. Как видно из (6.26), зная теплоемкость, можно определить и число электронов на атом. Любопытно, что у висмута (металла, во многих отношениях нетипичного) оказывается очень малое число электронов проводимости.

Упражнение 6

Найти равновесную концентрацию электронов в некотором объеме, свободном от всяких зарядов, т. е. от вещества, при низкой температуре.

Вместо сохранения числа частиц здесь надо учитывать сохранение заряда при образовании и аннигиляции электронно-позитронных пар [§ 37]. Если обозначить число электронов в данном квантовом состоянии через f, а число позитронов через /+, получим вместо (1.17) следующее дополнительное условие:

к

Определяя f" и ^, дающие максимум функции Р при указанном дополнительном условии, получаем функции распределения электронов и позитронов:

/ е —а \-1/ е + |и \-1

> f+ = [e 6 +0 *

Полное число электронов по условию задачи должно равняться полному числу позитронов:

? —8—111Т/ Е + н- V1

*\ |/е \е 6 + 1 / de = \ V г \е 6 + 1 / de.

с0

Это уравнение относительно ц имеет только одно решение: р = 0. Следовательно, полное число электронов в единице объема равно

2 • 4л С p-dp

0 е6+ 1

Вычислим этот интеграл при 6 <^ тс2. Тогда для энергии можно взять нерелятивистское приближение 8 — тс2 + 2^, а функцию _ 8

распределения — по Больцману: е е* Отсюда получим выражение для равновесной концентрации электронов:

Эта величина становится равной 1 см^ при 0 ^^- = 8 кэв. Энергия электромагнитного поля, приходящаяся на единицу объема при той же температуре, равна 0,6- 1018 эрг, тогда как в энергии покоя электрона и позитрона запасено только 1,6-10"6 эрг. Энергия электронов и позитронов близка к энергии электромагнитного поля, когда 6 ~ тс2. Если 6 ;> тс2, энергия покоя не сказывается. Тогда е = ср для квантов, электронов и позитронов. На долю электромагнитного поля приходится г/3 энергии.

Найти граничную энергию сверхплотного электронного газа, для которого зависимость энергии от импульса в основном крайне релятивистская: г —ср. Определить плотность, при которой газ может считаться ультрарелятивистским.

Вместо уравнения (6.1) имеем:

4л е3 W (2л/1)3с3"2 “

[см. вывод (33.26)1. Следовательно,

_/3_у/зру/з9 ,

6°\8л/\V/ "WlC"

Энергией покоя можно пренебречь, если

е0 > тс2.

Поэтому условие для плотности пишется в виде:

N 1шчп/ ч

электронов/смл .

V ' и Л" \ п, j

(поскольку в е0 входит (у) , неравенство должно быть сильным). Энергия ультрарелятивистского газа дается выражением

ОО

V С еМеn2h2c3 J е —И .

0 е 6 +1

Найти число электронов, выходящих под действием теплового возбуждения в единицу времени из поверхности металла.

Проходить через поверхность металла могут только такие электроны, у которых нормальная к стенке составляющая скорости больше некоторой величины d0Xi удовлетворяющей неравенству

ту 2

Иначе говоря, энергия вылетающих электронов отличается от граничной энергии гораздо больше чем на 6.

Металл рассматривается как потенциальный ящик конечной ту 2

глубины—у. Так как тангенциальная составляющая скорости сохраняется при пересечении поверхности, работа выхода со дна ящика равна -у. С ферми-границы ц работа выхода равна—— — ц. При ненулевой температуре всегда имеются электроны с энергией, ту2

большей —у. Они в основном и выходят из’металла (термоионная эмиссия).

Число электронов со скоростью vXl падающих в секунду на квадратный сантиметр поверхности, равно

uxdn (ух),

где dn (yj — плотность электронов, имеющих данное значение проекции скорости их. Запишем выражение для плотности электронов, у которых составляющие скорости заключены в данном интервале (оно аналогично выражению 6.3):

2m?duxduuduz / L V1d*’ vy, Уг)= (2лЛ)30 + 1J ’

где е = " (и* + Уу + ^zY Через поверхность металла проходят только те электроны, у которых разность е — ц гораздо больше 6. Поэтому можно перейти от распределения Ферми к распределению Больцмана с тем же значением ц, как в распределении Ферми. Отсюда искомый поток электронов, вычисляемый по «хвосту» фермиевской кривой, где е — ц^б, равен

^2^з 56 ^ Vxdv^ 26 ^ dvtie 29 ^ dvze 26 =UQX""°0—03

2т» £ 6 ^ 2л0 т№ ^ и-^ - р и . р 2 и . р и \2/

(2л/г)3пгт^л1^

Если приложить к металлу электрическое поле, то максимальный ток, который может быть снят с него при данной температуре (ток насыщения), определяется этой формулой. Поскольку она относится к электронам в металле, величина ц близка к ц0, т. е. к граничной энергии при абсолютном нуле, и не зависит от температуры.

Заметим, что если приложить к металлу очень сильное электрическое поле, то из него будут выходить электроны, преодолевая потенциальный барьер, возникающий при таких условиях на границе (холодное испускание). Но для этого требуются очень большие поля. Холодное испускание аналогично ионизации атомов при штарк-эффекте [8.33].

§ 7. СТАТИСТИКА ГИББСА

В этом параграфе будут рассмотрены основания общего статистического метода Гиббса, применимого к любым системам, состоящим из достаточно большого числа частиц, независимо от того, являются ли эти системы жидкими, твердыми или газообразными. Очень трудно обосновать этот метод исходя из представления о некоторой произвольной системе взаимодействующих частиц. Сознавая это, Гиббс не пытался вывести свои результаты из уравнений механики: он просто исходил из предложенной им общей функции распределения. Как его работы, так и все дальнейшее развитие физики показало, что предложенный им метод универсален.

Когда возникла квантовая статистика, то и она превосходно уложилась в общие положения Гиббса. Вывести их из уравнений 76

квантовой механики тоже весьма трудно, но, вероятно, с физической точки зрения проще, чем из уравнений классической механики, в которых нет места для вероятности. Огромные усилия многих выдающихся математиков, затраченные на классическое обоснование статистики Гиббса, представляют, возможно в основном, методический интерес.

Но в принципе следовало бы так обосновать статистический метод, чтобы его согласие с опытом следовало из согласия с опытом законов механики (классической или квантовой). Не располагая таким строгим доказательством, надо удовлетвориться полуинтуи- тивными соображениями, которые показывают, по крайней мере, естественный характер статистического подхода Гиббса.

Квазизамкнутые системы. Как было показано в § 1, статистика рассматривает системы, находящиеся в слабом взаимодействии с окружающей средой. Будем называть их квазизамкнутыми. Взаимодействие не нарушает существенным образом строения квази- замкнутой системы, но обусловливает переходы между такими ее состояниями, которые соответствуют близким отдельным энергетическим уровням замкнутой системы. В системе, состоящей из достаточно большого числа частиц, интервал энергии ДЕ, обязанный квазизамкнутости системы, содержит чрезвычайно много отдельных энергетических уровней, или, точнее говоря, состояний, отвечающих отдельным весьма близким энергетическим уровням идеально замкнутой системы. Это и делает возможным применение статистики.

Статистическое равновесие. Все эти отдельные состояния, как было показано в § 1, равновероятны: при доказательстве не было использовано то обстоятельство, что система газообразная. Иначе говоря, система проводит в каждом из состояний одинаковое время. Если изучается поведение макроскопической системы, то существенно знать не ее детальное состояние (характеризующееся некоторой волновой функцией), а большую группу состояний, к которой принадлежит детальное состояние системы подавляющую часть времени.

Именно такие группы состояний и рассматривались как наивероятнейшие в предыдущих параграфах. Оказалось, что при этом газ обладает распределением Бозе или Ферми, в зависимости от того, целый или полуцелый спин имеют частицы. Если частицы газа близки к наивероятнейшему распределению при постоянных условиях взаимодействия с внешней средой, то состояние газа будет все время близко к наивероятнейшему. Возможность сколько-нибудь значительных отклонений от наивероятнейшего состояния исчезающе мала. .

Вся совокупность равновероятных микроскопических состояний, в которых система проводит подавляющую часть времени, называется состоянием статистического равновесия системы. В § 4 оно было названо тепловым равновесием. Дальше будет показано, что и эти два понятия равновесия в рассмотренных случаях равно-

значим. Статистически равновесное состояние определено Гораздо менее детальным образом, чем это делается для состояний в квантовой механике, но достаточно для макроскопического описания системы как целого.

Понятие статистического равновесия применимо к любым, достаточно большим системам частиц, независимо от того, взаимодействуют ли они так слабо, как частицы идеального газа между собой, или так сильно, как в жидком и твердом состояниях. Напомним, что при доказательстве равновероятности микросостояний в § 1 не предполагалось, что система состоит из невзаимодействующих частиц. Состояние любой системы в макроскопическом смысле тем вероятнее, чем больше микросостояний оно включает. При этом учитываются только те микросостояния, которые совместимы с законом сохранения энергии, т. е. принадлежат к интервалу энергии \Е квазизамкнутой системы.

Распределение вероятности в подсистемах. Вместо того чтобы рассматривать квазизамкнутую систему во внешней среде, удобнее исходить из большой идеально замкнутой системы и разделять ее на отдельные квазизамкнутые подсистемы. Каждая из них имеет макроскопические размеры, т. е. состоит из огромного числа молекул. В ней можно выделить внутреннюю, объемную часть и приповерхностный слой, где она граничит с остальными подсистемами. Квазизамкнутость подсистем имеет место в том случае, когда приповерхностный слой каждой из них, через который осуществляется взаимодействие с окружающими подсистемами, оказывает достаточно малое влияние на процессы, происходящие в объеме. Взаимодействие в подсистеме приводит к установлению равновесия внутри нее, в то время как взаимодействие между подсистемами устанавливает статистическое равновесие системы в целом.

Допустим, что равновесие внутри некоторой подсистемы установилось. Какова вероятность того, что ее энергия заключена в интервале между Е и Е + dE? Этому интервалу отвечают g (Е) равновероятных микросостояний. Функция g (Е) была в § 1 названа весом состояния с энергией Е.

Так как все отдельные микросостояния равновероятны, вероятность Р (Е) состояния в интервале энергии dE пропорциональна

P(£) = p(£)g(£), (7.1)

где р (Е) — функция, которую надо определить.

Отдельные квазинезависимые подсистемы можно рассматривать как очень большие молекулы больцмановского газа. Естественно считать, что такой «газ» подчиняется статистике Больцмана, так как макроскопические подсистемы различимы между собой. Поэтому следует ожидать, что функция распределения должна иметь больц- мановский вид:

Е

р(Е) = е 61

Этот вывод носит предварительный, интуитивный характер. Ниже дается более строгий вывод, основанный на свойствах функции р (Е), которые будут сейчас установлены.

Теорема Лиувилля. Докажем, что функция р (Е) постоянна в промежутке времени, в течение которого квазизамкнутая система может рассматриваться как замкнутая (остальные подсистемы не влияют заметным образом на ее состояние).

Вес состояния g (Е) определяется числом микросостояний, энергия которых заключена между Е и Е + dE. Каждое из этих микросостояний характеризуется определенной совокупностью интегралов движения. У идеального газа это может быть совокупность импульсов отдельных молекул, их колебательных и вращательных квантовых чисел. В общем случае это — число состояний квантовой системы, каждое из которых характеризуется определенной волновой функцией. Иначе говоря, это вполне определенная механическая характеристика системы, относящаяся к интервалу ее энергии dE. Поэтому g (Е) есть величина постоянная постольку, поскольку квазизамкнутая система может рассматриваться как строго замкнутая, т. е. в течение короткого, но конечного промежутка времени.

/ (ЕА

Вероятность Р (Е) определена как Игл-у-2, когда t стремится к бесконечности (§ 1). Здесь t есть время наблюдения за всей замкнутой системой, в которую входит данная квазизамкнутая подсистема. Поэтому Р (Е) по самому своему смыслу не может зависеть от момента времени, ибо эта функция является итоговой, средней величиной для сколь угодно больших промежутков времени. Но если Р (Е) есть величина постоянная и g (Е), как функция интегралов движения, тоже постоянная, то согласно (7.1) искомая функция р (Е) тоже не зависит от времени и сама является интегралом движения. И так как все интегралы движения в принципе известны из механики, то р (Е) должна быть их функцией. Иначе говоря, р (Е) не может зависеть от таких величин, которые меняются со временем, а зависит, кроме Е, только от других интегралов движения. Точнее, р (Е) остается конечно постоянной не все время, а только в течение таких промежутков времени, за которые квазизамкнутая система может рассматриваться как замкнутая. Утверждение о постоянстве р (Е) известно под названием теоремы Лиувилля. Здесь она доказана в квантовых терминах, для дискретных состояний. Классическая формулировка, принадлежащая самому Лиувиллю, нам не понадобится.

Теорема умножения вероятностей. Квазизамкнутые подсистемы можно в течение некоторого промежутка времени рассматривать как независимые. Тогда к ним применима известная теорема умножения вероятностей: вероятность того, что одна подсистема находится в состоянии Л, а другая в состоянии В, равна произведению вероятностей каждого состояния в отдельности:

Рав-РаРв. (7.2)

Это утверждение очень просто доказывается с помощью принятого здесь определения вероятности. Если tA — время пребывания первой подсистемы в состоянии A, tB— время пребывания второй подсистемы в состоянии В, tAB — время пребывания второй подсистемы в состоянии 6, когда первая находится в состоянии А, то согласно определению вероятности имеем:

Рдв = Иш^.

/-►ОО f

Но этот предел можно представить и так:

Рдв = Пт-^ • ^- = lim-^ • lim —lim lim/—►ОО ^ АЧ tСОt-^-CO t t—^co

Мы считаем, что если системы независимы, то должно иметь место равенство

Пт =/д->ОО Ч /—►ОО

потому что безразлично, наблюдать ли за второй подсистемой непрерывно, или только тогда, когда первая находится в состоянии А. Отсюда следует равенство (7.2).

По отношению к статистическим весам утверждение, аналогичное (7.2), очевидно из их определения, потому что они относятся к разным подсистемам:

ЙАВ = ЙАЙВ-(7.3)

Таким образом, должны выполняться следующие равенства: ?ав ^Ра’ Рв^ёАВ' Рав — §аРа * §врв-

Из формул (7.2) и (7.3) следует, что

Рав = Ра’Рв-(7.4)

Иначе говоря, функция р, которую называют плотностью вероятности, для двух независимых подсистем равна произведению плотностей вероятности для каждой подсистемы в отдельности. Такая функция именуется мультипликативной.

Распределение Гиббса. Теперь можно доказать, что р (Е) имеет ожидаемую экспоненциальную форму. Логарифм плотности вероятности есть величина аддитивная, т. е. он равен сумме логарифмов этой величины для каждой подсистемы в отдельности:

1прлв = 1прл + 1прй.(7.5)

Из теоремы Лиувилля следует, кроме того, что In р есть интеграл движения. Этот интеграл движения является, следовательно, аддитивным.

В [§ 4] было показано, что имеются следующие аддитивные интегралы движения замкнутой системы: энергия, импульс и момент.

Для того чтобы In р был аддитивным интегралом движения, он должен линейно зависеть от энергии, импульса и момента. Если выбрать такую систему отсчета, в которой подсистема как целое не движется и не вращается, то импульс и момент равны нулю и остается только линейная зависимость от энергии:

1пр = яЕ + Ь-(7.6)

Коэффициент а должен быть одинаков у всех подсистем большой системы, потому что в противном случае In р не будет иметь свойств аддитивной функции. Если а одинаково у двух подсистем, то для этих подсистем получается:

In Рдв — In Рд + In Рв — а (Ед + Ев) + Ьд + Ьв — йЕдв~\- Ьдв- (7.7)

Отсюда и видна аддитивность In р.

Вероятность бесконечно большой энергии должна быть бесконечно мала; поэтому а < 0. Введем обозначение

« =(7.8)

Если подсистемы находятся между собой в равновесии, то смысл величины 6 такой же, как в предыдущих параграфах (произведение температуры на постоянную Больцмана). Действительно, для идеального газа в качестве отдельной подсистемы можно взять и одну молекулу, и тогда распределение Гиббса

Е Еj.

<Г"»=Г 8

переходит в распределение Больцмана

8е 8-

отвечающее равновесным условиям в газе. Введем еще обозначение 6 = 4-(7.9)

Тогда искомая функция распределения выглядит окончательно так

=(7Л°)

На функцию распределения р (£) накладывается условие

2 Р (5) = lim^ ^= 1 = 2 Р ^ё Ю •(7.11)

ЕЕ

так как 2/ (Е) = /. Это означает просто, что вероятность нахождения подсистемы в каком-либо из всех возможных состояний, совместимых с законами сохранения, равна единице. С помощью условия нормировки (7.11) величина F выражается в зависимости от 9

(и, как будет показано в следующем параграфе, от некоторых параметров, входящих в энергию Е). Для этого достаточно подставить распределение Гиббса (7.10) в (7.11) и просуммировать по всем

£

возможным состояниям. Тогда множитель е6 как постоянная величина выносится за знак суммы и получается следующее равенство для нахождения F:

_F_ Е

е е=£е W(7Л2)

Е

Выражение, стоящее в правой части, аналогично входящему,, в (3.3), но относится к общему случаю. Оно также называется статистической суммой.

Средняя энергия подсистемы. В предыдущих параграфах средняя энергия системы в большинстве случаев обозначалась просто как Е (без знака усреднения). В распределение Гиббса входит собственное значение энергии некоторого состояния, а не средняя величина. Теперь же по распределению Гиббса будет вычисляться средняя энергия подсистемы, которую надо обозначать Е, чтобы отличать ее от Е. В дальнейшем знак усреднения снова можно будет опускать.

Общее определение среднего состоит в следующем. Пусть в некотором состоянии А величина / принимает значение fA. Тогда если вероятность этого состояния равна РА, то среднее значение выразится так:

1 = ^аРа.(7.13)

А

Например,.

E=^Ep^g^,(7.14)

Е потому что

Подставим в (7.14) распределение Гиббса. Тогда получится выражение для средней энергии:

F—E

E = ^Eg^e 9 '(7.15)

Е

Флюктуации энергии. Средние величины в какой-то мере характеризуют состояние системы вообще. Для этой цели средними величинами пользуется всякая статистика, а не только физическая статистика: постоянная средняя величина позволяет оценить порядок значения переменной величины.

Однако если переменная величина испытывает сильный разброс, то среднее значение характеризует ее недостаточно.

Поэтому вместе со средним значением энергии в подсистеме интересно знать и ее средний разброс. Эти две средние величины 82

определяют состояние подсистемы значительно лучше, чем одно только Е. Но если усреднять величину

ЬЕ = Е-Е,(7.16)

то получится тождественный нуль. Действительно,

Д£^£-£=0.(7.17)

Поэтому целесообразно усреднять величину (ДЕ)2 = (Е — £)2. Так как (ДЕ)2 существенно положительная величина, то отклонение Е в любую сторону от среднего дает свой вклад. Искомая средняя величина может быть записана несколько иным образом г:

(ДЁР =Ц - W — ~Ё -ЁЁЕ + (Ё)2 = Ё2 - 2££ + (£)2 = Ё2 - (£)2.

(7.18)

Здесь было использовано то обстоятельство, что среднее от постоянной величины (Е)2 равно ей самой и тем, что постоянный множитель можно выносить из-под знака усреднения:

£Ё-(Е£) = (£)2.

/(АЕр называется абсолютной флюктуацией энергии. Эта величина является характеристикой того, насколько энергия в среднем отклоняется от своего среднего значения. Отношение абсолютной флюктуации V(ДЕ)2 к модулю | £ | называется относительной флюктуацией энергии. Она измеряет относительную долю отклонения энергии от ее среднего значения.

Определения абсолютной и относительной флюктуаций сохраняют смысл и для других величин, характеризующих подсистему, а не только для энергии.

Применим теперь распределение Гиббса к вычислению флюктуации энергии в подсистеме. Для этого продифференцируем по 6 те два тождества, из которых определяются F и Е:

F — EF — E

е g(E) = l, Е = ^Ее g^E).

ЕЕ

Первое из этих равенств есть условие нормировки (7.11), а второе является определением средней энергии (7.15).

Величины Е и g (Е) чисто механические и от статистической характеристики 6 системы не зависят. Поэтому по 6 надо дифференцировать только Е, Е и, конечно, просто 6:

V / 1 дГ Р—Е\„

(7.19)

Е

^(vs-tH)^*®-^-

Из (7.19) следует:

»”»-^= ‘ S^-^Ee = g(E) = ^. (7.21) ЕЕ

Подставляя это в (7.20), находим:

-f Р Р РF—E1_ F — E

^«^("т + 4-^Ее 6 g^ = F^-EEp e g(E).

EE

(7.22)

Величина E как постоянная может быть вынесена из-под знака усреднения, и получится:

62^ = £2-(£)2 = (АЕ)2.(7.23)

Отсюда относительная флюктуация равна

(7.23а)

\Е\\Е\ V дбv 7

Но эта величина обратно пропорциональна корню квадратному из числа частиц в подсистеме, потому что средняя энергия как величина аддитивная пропорциональна числу частиц.

Покажем, как это получается на примере идеального газа.

Согласно (2.17) Е = ^kN^. Следовательно, относительная флюктуация равна j/"^. Например, для одного кубического сантиметра газа при нормальных условиях N = 2,7-1019, так что относительная флюктуация энергии составляет несколько десятимиллиардных долей.

Подавляющую часть всего времени энергии 1 см? газа во внешней среде отличается от своего среднего значения на столь малую долю. Тем не менее в дальнейшем построении статистики удобнее считать энергию подсистемы мало флюктуирующей, а не строго постоянной величиной, как в абсолютно изолированной системе.

Разумеется, для отдельной молекулы газа относительная флюктуация— не малая величина. Так, согласно (2.14) и (2.15) флюктуация скорости равна

Ку2-(у)2 = /36 _ 86 \1/2 /8б_\-1/2 = -J ЛГ^ = 0 42 и \т пт) \пт) г 8 ’ ’

Итак, вероятность данного значения энергии в подсистеме имеет весьма острый максимум вблизи Е = Е. Этот максимум тем острее, чем больше подсистема.

Энтропия. Исходя из плотности вероятности для подсистемы, можно построить аналогичную функцию для замкнутой системы.

Пользуясь тем, что вероятности мультипликативны, т. е. перемножаются, можно записать:

/>=Па=Пр«,-ПлП&<724>

ti"i i

Используем теперь явный вид распределения Гиббса (7.10). Тогда для произведения, взятого по всем подсистемам, получится:

F_Ey-^El ^Fi~E

Пр-П^ 6 =5 6 •

Но если система большая, то 2^^^™cons^ и» следовательно, i

JJ р.= const. Таким образом, вероятность некоторого состояния с

пропорциональна статистическому весу этого состояния:

^-П^-0^)-<7-25)

Все состояния системы с одной и той же энергией равновероятны: вероятность G (Е) состояний пропорциональна числу G (Е) (см. § 1).

Как само собой понятно, идеально замкнутых систем в природе быть не может. Когда говорится о «замкнутой» системе, то предполагается такая система, подсистемы которой приходят в равновесие между собой быстрее, чем вся большая система приходит в равновесие с окружающей средой. За то время, пока устанавливается равновесие между подсистемами, аддитивные интегралы большой системы не успевают заметным образом измениться. Следовательно, можно отличать статистическое равновесие во всей системе от равновесия в ее подсистемах.

Очевидно, что статистическое равновесие в большой системе поддерживается дольше, чем равновесие, установившееся только внутри ее подсистем. Поэтому и вероятность более полного равновесия просто по определению больше, чем вероятность менее полного равновесия. Мерой вероятности согласно (7.25) для большой системы является статистический вес ее состояния. Поэтому состояние замкнутой системы имеет тем больший статистический вес, чем система ближе к статистическому равновесию, следовательно, G (Е) может служить мерой близости большой системы к равновесию. Таким же образом можно считать и величину gt каждой Z-й подсистемы мерой ее близости к равновесию (внутреннему) для тех промежутков времени, в течение которых подсистема может считаться квазизамкнутой.

Для любого не слишком малого промежутка времени можно указать такие системы, которые в течение этого промежутка остаются почти замкнутыми. Для них величина G является мерой равновесности их состояния: чем больше G, тем подсистемы данной «замкнутой» системы ближе к равновесию между собой. *

Удобнее применять в качестве меры близости системы к статистическому равновесию не самый статистический вес G, a In G, так как он обладает свойством аддитивности. Величина G называется энтропией системы и обозначается буквой S:

S-lnG. (7.26)

В предыдущем параграфе было показано, что состояние ферми- газа при абсолютном нуле определено единственно тем, что G = 1. Следовательно, для ферми-газа при абсолютном нуле температуры (6=0) энтропия равна нулю:

5 —In 1-0.

Бозе-газ при абсолютном нуле целиком находится в состоянии с нулевой энергией (§ 5). Следовательно, и его состояние при абсолютном нуле температуры определено тем, что S — 0.

Энтропия в подсистеме. Энтропия по определению — величина аддитивная, так как

S = lnG = lnn& = Sln^—SS-- (7.27)

Из этого равенства видно, что величину In^ — St естественно назвать энтропией подсистемы. Для того чтобы ее вычислить, удобно пользоваться функцией распределения Гиббса для подсистемы. Как было показано в этом параграфе, энергия квазизамкну- тых подсистем очень близка к своему среднему значению Е/, но не строго равна ему.

Поэтому формулу для энтропии подсистемы с успехом можно применять и для «замкнутой» системы, энергия которой строго постоянна. Допускаемая при этом ошибка определяется относительной флюктуацией величин в подсистеме и, следовательно, ничтожно мала.

Энтропию квазизамкнутой подсистемы, равную Ing^E/), следует представить как In gt (Ё^ где Ёг — среднее значение энергии в данной подсистеме при «замороженном» взаимодействии с другими подсистемами. Иначе говоря, допускается, что при нахождении Et подсистемы за рассматриваемый промежуток времени не приходят к более полному равновесию между собой.

Пользуясь тем, что флюктуации энергии малы, можно заменить условие (7.11) следующим простым соотношением:

2 р ФЬ gi (Ei) ^ Р (Е^ gi (Ei) = 1. (7.28) Е.

подсистемы,(7.29)подсистемы,(7.29)находим:находим:S, = ln-T-Р(5г)S, = ln-T-Р(5г)1pTW1pTWПодставляя отсюда gi (Е^ в определение энтропии

подсистемы,

(7.29)

подсистемы,

(7.29)

находим:

находим:

S, = ln-T-

Р(5г)

S, = ln-T-

Р(5г)

1

pTW

1

pTW

Но так как логарифм есть медленно меняющаяся функция, можно логарифм от среднего значения pz (EJ заменить средним значением логарифма In — :

Pi

sz = In 1.(7.30)

Pi

Происходящая от этого ошибка тем меньше, чем больше подсистема, так как относительные флюктуации стремятся к нулю при увеличении подсистемы.

Подставляя в (7.30) р/ из распределения Гиббса (7.10), находим следующее выражение для энтропии (индекс i опускаем):

S = ln - = —=(7.31)

р6х 7

Сравнивая его с (7.21), получим:

»(7-32>

Заменяя в этом равенстве У7 на Ё — 6S, приходим к соотношению

q д(Е~ 6S) дЕ . с

5“ дб5’

или

°•

Здесь дифференцирование происходит по б_при постоянных внешних условиях, от которых могут зависеть Е и F. Полученное соотношение можно записать и так:

9 = §.(7.33)

Упражнение 7

Найти по формуле (7.26), как выражается энтропия идеального одноатомного газа через его энергию и объем. Число атомов равно N.

Сначала вычислим фазовый объем всех состояний с энергией, меньшей заданной. Разделив его на (2n/i)3jV, получим:

. dpxldpyldp21dpxa ... dp2Ndx1dy1dz1 ... dzN _. d4 ... dxN

}(2n/i)3jVJ (2лЛ)3" ’

где dxx = dpxldpx2dpx3 и т. д. Импульсы атомов во всех состояниях с энергией, меньшей Е, удовлетворяют неравенству

рх\ + Р«\ + Pz\ + Рх2 + • • • PzN ^ ^тЕ.

Импульсы перенумерованы, что соответствует неквантовой статистике. Область ЗЯ-мерного пространства, по которой производится интегрирование, аналогична сфере в пространстве трех измерений. Координаты точек внутри сферы подчинены неравенству

хНуНг2^К\

где R—радиус сферы. Радиус ЗЯ-мерной сферы равен У~2т£. Очевидно, что объем в пространстве 3N измерений пропорционален Xy^mEYN подобно тому, как в пространстве трех измерений объем пропорционален R3. (Коэффициент, зависящий от N, в этом упражнении не понадобится.) Тогда число состояний между Е и Е + dE пропорционально величине

Так как энтропия равна логарифму статистического веса, то в нее входит слагаемое — 1рп£. Пренебрегая единицей по сравне- нию с -у, приходим к формуле, выражающей зависимость энтропии от энергии и объема газа:

S = ^-1п£+ ЛИп V +const.

Показать, что распределению Гиббса отвечает квантовомеханическая матрица плотности [стр. 308—311].

F—H

р = е 0 ’

где Н — оператор Гамильтона.

Для большей симметрии записи формул будем считать оператор Н нелокальным по координате, т. е. возьмем его в матричном виде Я^. Напишем выражение квантовомеханического среднего некоторой величины X, имеющей в координатном представлении матричную форму Кхх- [см. (25.19)1:

(К)Е = Ф* (Ех) Ххх, ф (£, х') dxdx'.

Здесь х — совокупность координат системы. Статистическое среднее X связано с (K)E соотношением, аналогичным (7.14), так что

Е

(предполагается, что вырождение полностью снято).

Воспользуемся тем, что функция собственного значения величины £, умноженная на ф (х), равна примененному к ф (х) оператору этой величины Я, от которого образована та же функция:

_ е__н__ ^хЦ.

е 6t|)(£, х') = е е^^- x') = \dx"e е т|) (5, х").

Меняя местами сумму и интеграл, получаем:

Z = § ^ 'Ф* (£> х) Чх-е-—^ (Е, *") dxdx'dx". Е

Но

^ЧЕ, x)q(E, Z) = 6 (x-Z). Е

Это получается по аналогии с [26.28], если переставить х с собственным значением Е в волновой функции по формуле [26.31]:

ф (£, х) = ф* (х, Е).

Окончательно приходим к выражению

_^ZZ^£5/ А F — Й\/ f — h\

K^dx'dxXxx'C 6= $dx \Хе 6 )xx=Sp\Xe 0 f

F-H

Сравнение с [27.36] показывает, что р = е 6 есть матрица плотности системы, находящейся в статистическом равновесии.

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Статистика и термодинамика. Результаты предыдущего параграфа могут показаться очень абстрактными, если не связать их с реальными, измеримыми свойствами макроскопических тел. Этими свойствами описывается поведение тел при сжатии, нагревании и других процессах через соответствующие константы (сжимаемость8, коэффициент теплового расширения и прочие макроскопические характеристики тел). Статистика учит, как определять в общем виде соотношения между этими константами и как вычислить их через средние величины, находимые из распределения Гиббса, или через входящие в это распределение параметры.

Такая величина, как 6 (называемая модулем распределения), по существу и задана тем, как она входит в распределение Гиббса. При вычислении средних величин 6 входит под знаком суммы или интеграла как параметр. Поэтому 6 является одной из величин; задающих макроскопическое состояние системы.

Свойства средних макроскопических величин, определяющих состояние тела, суть предмет термодинамики. Они выражаются в виде ряда соотношений, дифференциальных и интегральных, которые будут получены и истолкованы в этом параграфе.

Исторически термодинамика возникла раньше статистики. Обычно она строилась, как известно, на основе двух постулатов, или «начал». Достоверность «начал» термодинамики подтверждена огромной совокупностью опытных фактов. Поэтому термодинамику можно изучать независимо от статистической физики, в особенно-

сти если иметь в виду технические приложения. Но надо помнить, что в настоящее время «начала» отнюдь не постулативные утверждения, так как они обоснованы методами статистики.

Статистическая физика не является только обоснованием термодинамики. Прежде всего, статистика указывает путь вычисления термодинамических величин по микроскопическому строению тел. Кроме того, статистика позволяет предвычислить, насколько истинные величины отклоняются от своих средних значений. Такого рода отклонения, как уже было показано, измеряются флюктуациями (7.22). В определенных условиях флюктуации проявляют себя таким образом, что могут быть зарегистрированы на опыте (§ 9).

Когда термодинамика еще создавалась, атомное строение вещества не было окончательно доказанным. Поэтому постулаты были просто необходимы. Но в настоящее время они не могут рассматриваться как недоказуемые. Любое свойство вещества должно в принципе быть выведено из элементарных законов.

Не следует думать, однако, что с появлением статистики термодинамика утратила свое значение как часть физической науки. Термодинамика учит, как связаны между собой реальные, наблюдаемые на опыте макроскопические величины, определяющие тепловые, механические, химические и т. п. свойства макроскопических тел. В тех случаях, когда вычисление той или иной величины методами статистики практически невыполнимо по незнанию элементарных законов силового взаимодействия или из-за большой математической сложности, термодинамика указывает, как эта величина, прямо или косвенно, может быть найдена путем измерения.

Отдавая предпочтение систематическому изложению перед историческим, мы будем строить термодинамику целиком на основе статистики. «Начала» в качестве постулатов при таком подходе не требуются. . *

Количество тепла. Квазизамкнутая макроскопическая система устанавливает состояние статистического равновесия внутри себя значительно быстрее, чем с окружающей средой. В этом состоянии она проводит подавляющую часть времени, причем истинные значения величин почти постоянны и близки к своим средним значениям.

Если две или несколько равновесных внутри себя подсистем приведены в соприкосновение, то между ними устанавливается равновесие. Мерой равновесности системы является ее энтропия. Рассмотрим, каким образом взаимодействие между системами, приводящее к равновесию, меняет макроскопические величины, характеризующие их состояние.

Пусть два тела приведены в соприкосновение таким образом, что внешние условия и число частиц в каждом из них поддерживаются неизменными. Тогда согласно дифференциальному равенству (7.33) приращение средней энергии каждой подсистемы пропорционально приращению ее энтропии:

(8-1)(8-1)dE^dyS.

(8-1)

(8-1)

Здесь частные дифференциалы при сделанных оговорках об условиях их нахождения заменены полными. Черта усреднения над Е снова опущена, так как термодинамика всегда имеет дело со средними величинами энергии и ничто иное в равенство войти не может.

Суммарное приращение энергии двух тел, изолированных от внешних воздействий, равно нулю:

d^ + ^^0.(8.2)

Суммарное приращение энтропии положительно или равно нулю, потому что в результате взаимодействия тела приходят в статистическое равновесие между собой, а такое равновесие полнее, чем равновесие лишь внутри каждого из них в отдельности. Следовательно,

^iS1 + c/1S2> 0.(8.3)

Пользуясь (8.1) и (8.2), получаем:

(8Л|

Если 91 > 6 2, то dEx < 0, т. е. первая система передает энергию второй. Передача энергии происходит исключительно за счет контактного взаимодействия, т. е. микроскопических сил между молекулами при соприкосновении тел. Энергия, переданная таким способом, именуется теплом, так что тепло не следует именовать «формой энергии». Правильно говорить о тепле как о способе передачи энергии от одного тела к другому.

В формуле (8.4) 91 и б2 суть параметры, входящие в распределение Гиббса каждой из подсистем в отдельности. Пока эти параметры различны, системы не могут находиться в состоянии равновесия между собой. Приближение к равновесию происходит за счет передачи тепла, причем тепло всегда переходит к той подсистеме, у которой 9 меньше. Только когда 91 и 92 одинаковы, макроскопические количества тепла больше не передаются и энергия каждой подсистемы испытывает только малые флюктуации около своего равновесного значения. Если одна из подсистем представляет собой идеальный больцмановский газ, то для нее 9, как было показано, пропорциональна абсолютной температуре, так как распределение Гиббса для газа в целом приводит к распределению Больцмана для отдельных молекул с тем же параметром 9. Абсолютная температура газа может быть определена путем независимых, нетепловых измерений по уравнению Клапейрона (pV = RT). Естественно считать, что величина 9 для любой системы, не являющейся идеальным газом, тоже есть не что иное, как температура. Если система находится в равновесии с идеальным газом, то ее значение 9 такое же, как у газа, а следовательно, пропорционально его абсолютной температуре. Таким образом, величина 9, входящая в распределение Гиббса у квазизамкнутой подсистемы, действительно имеет смысл се температуры, измеренной в абсолютных еди-

ницах (эргах), если идеальный газ выбран в качестве термометрического вещества. Несколько ниже в этом параграфе будет дано определение температуры, не зависящее от выбора термометрического вещества.

Распределение Гиббса имеет место для всякой совокупности квазинезависимых подсистем, в том числе и еще не пришедших в состояние статистического равновесия между собой. Хотя величина Оив этом случае по определению одинакова у всех подсистем, что следует из мультипликативности функции распределения р (Е) (см.: 7.4 —7.8), но ее нельзя считать в этом случае равной температуре 6 большой системы. У системы, не находящейся в равновесии, вообще говоря, и не существует строгого определения температуры. Если подсистемы находятся в равновесии только внутри себя, то каждая из них характеризуется своим распределением Гиббса, которое не может быть выделено в виде сомножителя распределения Гиббса большой системы, потому что параметры 6 в системе и подсистеме различны. Они совпадают только в равновесии, и в этом случае измеряют температуру системы.

На примере температуры видно, как величины, определяемые статистически, отождествляются с реально измеримыми термодинамическими величинами. Любая статистическая величина может считаться определенной тогда и только тогда, когда указана однозначная совокупность операций, измерительных и рассчетных, связывающих эту величину с реальными макроскопическими величинами или с микроскопическими параметрами системы, которые могут быть найдены на опыте.

Работа. Гамильтонова функция или гамильтонов оператор системы обычно зависят не только от обобщенных координат и импульсов, изменяющихся по законам динамики, но и от некоторых, выбираемых по произволу параметров. Таким параметром может быть напряженность внешнего электромагнитного поля. От параметров, входящих в гамильтониан, зависит спектр энергии системы, а следовательно, и средняя энергия Е.

Эти изменяемые произвольно параметры называются внешними параметрами системы. Обозначим их для общего случая буквой %; под X можно понимать любую величину такого рода. При изменении % средняя энергия тоже изменяется. Очевидно, что она может измениться только за счет какого-либо внешнего источника энергии. Так как X — величина механическая, а не статистическая (X входит в гамильтониан!), изменение X происходит за счет некоторой внешней механической работы, производимой над системой, например опускания гири при вращении электродвигателя.

Механическую работу, совершаемую при изменении X, можно представить так:

dA = — MX, (8.5)

где величину Л естественно назвать обобщенной силой (ведь работа равна произведению «силы» Л на «путь» d'K). Знак «минус» 92

введен в формулу для того, чтобы работа dA равнялась приращению энергии тела, над которым она совершена. Действительно, приращением энергии тела по определению является величина

dE^^dK(8.6)

где черта усреднения слева подразумевается и опущена только для сохранения единства обозначений в этом параграфе. Сравни

вая (8.5) и (8.6), видим, что средняя величина равна взятой с обратным знаком обобщенной силе:

Л—”(8.7)

Таким образом, получилось обобщенное соотношение между силой и энергией типа [2.1], как и должно было быть.

В приложениях чаще всего внешним параметром для системы является занимаемый ею объем. В чисто механических терминах это можно представить себе, считая, что потенциальная энергия любой частицы, входящей в состав данной системы, равна бесконечности за границами объема, т. е. что нужна бесконечная работа для удаления хотя бы одной частицы из объема. Таким способом объем и входит в гамильтониан системы [см. § 28].

Будем считать, что система занимает объем некоторого цилиндра с выдвигающимся поршнем. Если давление обозначить через р, а площадь поршня через /, то действующая на поршень сила есть pf. При перемещении поршня на расстояние dx над ним совершается работа pfdx. Работа над системой соответственно равна dA = = —pfdx. Но произведение fdx равно приращению объема системы dV. Следовательно, изменение энергии системы есть

dE^dA = — pdV.(8.8)

При сжатии (с/У < 0) работа положительна.

Из формулы (8.8) видно, что давление есть обобщенная сила Л, связанная с приращением объема dV.

Итак, энергия системы может изменяться при изменении внешних параметров. Этот способ изменения энергии называется в термодинамике работой. Тем самым обобщается механическое понятие работы.

(8.9)(8.9)Первое начало термодинамики. Как было указано, энергия может передаваться системе путем чисто контактного взаимодействия, без какого-либо изменения макроскопических параметров или обмена частицами. Этот способ передачи энергии был назван переносом тепла. Таким образом, полное изменение энергии системы складывается из работы, произведенной над ней, и из переданного ей количества теплоты

(8.9)

(8.9)

dE = dAA-dQ.

Слева стоит, конечно, средняя энергия системы. Равенство (8.9), выражающее закон сохранения энергии, можно рассматривать и как тождество, определяющее количество тепла: dQ-dE—dA. Исходя из статистического обоснования термодинамики, можно быть заранее уверенным в применимости закона сохранения энергии к тепловым процессам. Всякая энергия, сообщенная системе без изменения ее внешних параметров, должна передаваться контактным способом; она и названа количеством тепла.

Но термодинамика возникла раньше статистики. Равенство (8.9), истолкованное термодинамически, означает, что количество тепла можно измерять в единицах механической работы или работу — в единицах количества тепла. Иными словами, равенство (8.9) распространяет закон сохранения энергии на тепловые процессы. Поэтому установление механического эквивалента тепла Майером, Джоулем и Гельмгольцем знаменовало важнейший этап развития физических знаний. Более ранние воззрения на теплоту как на скрытое движение молекул, хотя и были близки к современному статистическому истолкованию тепловых явлений, не содержали в себе еще ничего количественного. Поэтому теория теплоты и в особенности тепловых двигателей смогла развиваться только после того, как было экспериментально доказано соответствие между тепловыми и механическими величинами. Когда были сформулированы основные положения термодинамики, стала создаваться статистика как физическая количественная теория.

Уравнение (8.9) приводится к другой форме. Для этого надо заметить, что энергия тела является однозначной функцией его состояния. Представим себе, что совершается некоторый периодический процесс, состоящий в том, что к телу подводится тепло, а от него отводится работа, подобно тому, что происходит в тепловых двигателях. Проинтегрируем равенство (8.9) по одному рабочему циклу:

\dE=\dQ + \dA. (8.10)

В начале и в конце цикла энергия имеет одно и то же значение, в чем и состоит условие периодичности. Поэтому полное изменение энергии в одном цикле JdE равно нулю. Следовательно,

\dQ = — \dA. (8.11)

Работа, совершаемая двигателем в одном цикле, равна количеству теплоты, подведенному к нему в этом цикле. Невозможно построить двигатель, который работал бы без подвода тепла (вообще, энергии) извне. Это утверждение именуется «первым началом термодинамики». Воображаемый двигатель, отдающий работу без подвода энергии извне, называется вечным двигателем первого рода. Фатальный неуспех всех попыток построения такого двигателя привел к негативному постулату, положенному в основу термодинамики. Конечно, если в основе термодинамики лежит статистическое 94

рассмотрение, то первое начало вытекает из механического закона сохранения энергии.

Ни работа, ни количество тепла, взятые в отдельности, не могут характеризовать состояние тела, которому они переданы. Согласно равенству (8.11) тело может совершать любое количество рабочих циклов, возвращаясь каждый раз к исходному состоянию. При этом оно получает сколь угодно большое количество тепла и совершает произвольно большую работу, возвращаясь после каждого цикла к исходному состоянию. Поэтому неправильно говорить о «запасе тепла», которым обладает тело. Оно обладает только запасом энергии, которая изменяется за счет передачи тепла и совершения работы. Некорректно называть тепло и работу «формами энергии»: они представляют собой лишь разные способы передачи энергии — микроскопический и макроскопический. Математически это видно из того обстоятельства, что ДА и dQ не являются полными дифференциалами каких либо величин. Например, dA = = —pdV. Давление зависит не только от объема, но и от темпе- ратуры. Так, у идеального газа р=у и, следовательно, dA = = — ^dV. Это равенство не может быть проинтегрировано, пока не указано, как в данном процессе температура О меняется в зависимости от объема V. Итак, количество тепла и работа характеризуют процесс, совершаемый телом, но не характеризуют состояния тела.

В некоторых случаях количество тепла, переданное в процессе, выражается особенно простым способом. Если, например, объем тела не изменяется (изохорический процесс), то dV = 0. Вообще dA = 0 при неизменных внешних параметрах к Тогда количество тепла равно изменению энергии тела:

dQ = dE, Q = ^E.(8.12)

Если не меняется давление (изобарический процесс), то dA = = —pdV—d (pV). Тогда

dQ = dE-ydpV = d<E-VpVY

Величина

EA-pV^I(8.13)

так же, как и энергия, однозначно зависит от состояния тела. Она называется тепловой функцией или энтальпией тела и обозначается буквой /. Таким образом, в изобарическом процессе количество тепла равно изменению энтальпии тела:

dQ~dI, Q = A/.(8.14)

Обратимые процессы. Каждому значению внешних параметров, характеризующих некоторую подсистему замкнутой системы, отвечает определенное состояние статистического равновесия. Можно

представить себе, например, вещество, находящееся в нетеплоизолирующем цилиндре под поршнем. В этом случае вещество и окружающую его внешнюю среду следует рассматривать как одну систему. Внешним параметром, задающим состояние системы, является в этом случае объем V, занимаемый веществом.

При каждом значении объема между веществом и окружающей его средой устанавливается статистическое равновесие, когда температуры среды и вещества одинаковы, а суммарная энтропия имеет максимум, отвечающий данному значению полной энергии и объему V под поршнем.

Предположим, что внешний параметр X изменяется так медленно, что при каждом значении X успевает установиться полное равновесие внутри системы. Иначе говоря, состояние системы зависит только от того значения, которое имеет X в данный момент. Этому значению X отвечает максимум энтропии, так что система все время находится в состоянии статистического равновесия. Но отсюда следует, что в таком процессе вообще не происходит приближения системы к статистическому равновесию, потому что она из равновесия не выводится. А так как мерой полноты равновесия является энтропия, она при столь медленном изменении X не меняется. Речь идет об энтропии всей системы, а не подсистем.

Покажем это путем следующего простого рассуждения. Пусть скорость изменения X есть X. По условию это величина малая. Скорость изменения энтропии — S. При Х = 0 и 3 = 0. Выразим S через X. Сразу видно, что разложение может иметь только такой вид 8 = а(хУ. Действительно, энтропия при любых изменениях в системе ведущих к установлению равновесия может только возрастать, так что S > 0. Производная же X изменяется произвольно и может иметь оба знака. Отсюда видно, что разложение начинается с квадратичного члена по X, и изменение энтропии имеет второй порядок малости.

Постоянство энтропии при медленном изменении X можно объяснить следующим образом. Энтропия есть логарифм числа равновероятных состояний системы в некоторой области значений энергии вблизи Е. Если X меняется бесконечно медленно, то вся большая система должна в каждый момент времени рассматриваться как консервативная, так что все ее отдельные состояния равновероятны. Быстрое изменение могло бы стимулировать переходы в каком- либо определенном направлении и тем самым нарушить равновероятность состояний, вытекающую из принципа детального равновесия, т. е. одинаковой вероятности прямых и обратных переходов. Полное число состояний при медленном изменении X сохраняется, так как X — параметр, входящий в гамильтониан. От него может зависеть вырождение состояний, но не их число. Наивероятнейшая область состояний, имеющих равную вероятность осуществления, в принципе определяется чисто комбинаторно, а поэтому не зависит от того частного значения X, при котором берутся состояния. Сле- 96

довательно, число состояний в наивероятнейшей области и логарифм этого числа, т. е. энтропия, сохраняются.

Тем самым показано, что каждому значению X при его медленном изменении отвечает вполне определенное состояние системы, совершенно независимо от того, как изменялось значение X до этого, лишь бы изменение происходило достаточно медленно. Пусть X изменяется сначала от XL до Х2, а потом от Х2 до %v Тогда при обратном изменении X система пройдет через тот же ряд состояний, какие она принимала, когда X изменялось в прямом направлении. Такой процесс называется обратимым.

Можно представить себе следующие два предельных случая:

Подсистема и окружающая ее среда все время находятся в статистическом равновесии, так что их температуры одинаковы. Если внешняя среда достаточно велика, то ее температура вообще не меняется, а следовательно, в этом процессе не меняется и.температура подсистемы. Такой обратимый процесс называется изотермическим. При изотермическом процессе сохраняется суммарная энтропия всей системы, а энтропия подсистемы и энтропия среды меняются на величины, одинаковые по абсолютным значениям, но имеющие противоположные знаки.

Параметр X меняется столь быстро, что приближение к статистическому равновесию между средой и подсистемой вообще не успевает происходить, но в то же время и столь медленно, что равновесие внутри подсистемы и внутри среды не нарушается. Такой процесс осуществился бы в том случае, если бы система была отделена от среды идеально теплоизолирующей перегородкой. Так как процесс теплопередачи обычно идет медленно, вполне мыслимы столь быстрые изменения %, при которых тепло не успевает передаваться. В этом процессе сохраняются энтропия системы и отдельно энтропия среды, потому что по отношению к механизму установления равновесия в них изменение X медленное. Такой процесс называется изэнтропическим (или адиабатическим).

В дальнейшем будут рассмотрены и некоторые необратимые процессы.

Второе начало термодинамики. Найдем выражение для количества тепла, получаемого системой при обратимом процессе. Будем, как обычно, считать, что данная система является подсистемой некоторой большой замкнутой системы. Состояние такой квазирав- новесной подсистемы в каждый данный момент времени вполне определяется ее энтропией и внешними параметрами. Согласно (8.1) и (8.6) при неизменном числе частиц приращение энергии выражается через приращение энтропии следующим образом:

dE = BdS + ^dk(8.15)

Применив к этой формуле (8.5) и (8.7), получаем:

dE = edS-AdX = 6dS + dA.(8.16)

А. С. Компанеец97

Отсюда следует, что

(8.17)(8.17)^dS = dE-dA.

(8.17)

(8.17)

Но правая часть последнего равенства есть не что иное, как количество теплоты, полученное системой, т. е. dQ. Следовательно, если в данной системе происходит обратимый процесс, то

dQ-^dS. (8.18)

В других подсистемах большой системы, в которую входит рассматриваемая подсистема, могут происходить и необратимые процессы. Но это не существенно для применимости равенства (8.18). Последнее является одним из важнейших в термодинамике, определяя приращение энтропии системы через количество теплоты, непосредственно измеряемое на опыте. Весьма существенно, что количество теплоты, полученное системой в некотором обратимом или вообще, в любом процессе, зависит от того, как проходил этот процесс, тогда как приращение энтропии определяется только начальным и конечным состоянием системы. Частное от деления бесконечно малого количества теплоты, полученного подсистемой в обратимом процессе, на температуру, есть полный дифференциал:

dS = ^. (8.19)

Если внутри подсистемы происходит необратимый процесс, то равенство (8.19) может и не иметь места. Действительно, пусть система состоит из двух находящихся в контакте отдельных подсистем, находящихся при различной температуре. В процессе выравнивания температур такая система приближается к статистическому равновесию и ее энтропия возрастает. Но никакого тепла в систему извне не передается, так что dQ для всей системы равно нулю, a dS > 0.

Рассмотрим еще один пример необратимого процесса. Пусть газ, первоначально находившийся в сосуде с объемом 1/0,перепускается через отверстие в эвакуированный сосуд, так что в конце процесса получается больший общий объем, равный V. Фазовый объем Г при этом, естественно, возрастает, так как увеличивается геометрический объем (см. (7.35) и задачу 1 из упражнения 7). Но это значит, что возрастает и энтропия. При расширении в пустоту газ не совершает работы, так как нет сил противодавления, и не получает тепла. Иначе говоря, его энергия сохраняется (см. 8.9). Следовательно, он может рассматриваться, как замкнутая система, приближающаяся к статистическому равновесию. Ясно, что если сосуды сообщаются, а в одном из них вакуум, то система неравновесна. В такой системе энтропия возрастает. Заметим, что когда газ изотермически расширяется в цилиндре, находящемся под поршнем, на который действует давление во внешней среде, то энтропия газа тоже возрастает, но на столько же уменьшается энтропия внешней среды. Итак, при необратимом расширении газа в пустоту прира-

щение энтропии положительно, а переданное количество теплоты равно нулю.

Приведенные два примера показывают, что если внутри системы совершается процесс, то

(8.20)

Если же данная система необратимо обменивается теплом с другими системами, а в н у т р и нее необратимые процессы не происходят, то к ней применимо равенство (8.19).

Определим теперь с помощью равенства (8.18), какую работу может совершать тепловой двигатель. Под этим названием здесь надо понимать устройство, которое периодически получает теплоту от некоторого теплового резервуара и за счет теплоты совершает работу. Согласно первому началу термодинамики полная работа, производимая в одном рабочем цикле, равна подведенному в этом цикле количеству тепла (8.10). Если двигатель работает обратимо, то количество тепла выражается формулой (8.18). Поэтому

^dA = —^dQ = —\9dS. (8.21)

Отсюда следует, что если температура рабочего вещества в течение цикла сохраняется постоянной, то работа тождественно обращается в нуль:

\dA = — 6^8 = 0 (8.22)

(при периодическом процессе начальное состояние совпадает с конечным, а энтропия является однозначной функцией состояния, так что JdS == 0). При необратимых процессах

dQ<^dS, \dQ>0,

так что если температура постоянна, то \dA ^ 0. Тогда периодический процесс может осуществляться только за счет внешней работы, производимой над системой.

Из равенства (8.22) следует, что тепловой двигатель не может работать лишь за счет получения теплоты из окружающей среды, потому что среда (по условию) находится при постоянной температуре. Сформулированное здесь положение известно под названием второго начала термодинамики.

Воображаемый двигатель, который должен работать лишь за счет получения теплоты из окружающей среды, называется вечным двигателем второго рода. При аксиоматическом изложении термодинамики невозможность построения такого двигателя постулируется (на основе неуспеха бесчисленных попыток создания вечного двигателя второго рода), а дальнейшие доказательства ведутся от противного: сначала допускают, что доказываемое положение неверно, а тогда оказывается, что если оно неверно, то удастся построить вечный двигатель второго рода. Учитывая, что энтропия —

понятие статистическое, вечный двигатель второго рода надо квалифицировать как бесконечно невероятное устройство, а вечный двигатель первого рода — как механически невозможную систему, нарушающую закон сохранения энергии.

С вечным двигателем второго рода не следует смешивать так называемый даровой двигатель, вроде ветродвигателя, работающего за счет нагревания земли солнцем.

Коэффициент полезного действия. Для того чтобы тепловой двигатель мог работать, необходимо проводить рабочий цикл при двух температурах. Более высокую температуру принято называть температурой нагревателя, а более низкую — температурой холодильника. Работа за один цикл равна

bа

$M=61$dS + 62^S,(8.23)

а*Ь

где предел а относится к начальному и конечному состояниям, а предел b— к промежуточному состоянию. Но ^dS =—\ dS, так что аb

b

.^A = (91-92)^S.(8.24)

а

Полное количество тепла, полученное от нагревателя, равно ь

^dQ^^dS. Коэффициентом полезного действия (к. п. д.) двигателя называется отношение полученной от него работы к количеству теплоты, взятому у нагревателя, поскольку получение этого количества теплоты связано с основными затратами. Согласно (8.24) к. п. д. обратимого двигателя может быть найден так:

Это равенство показывает, что к. п. д. обратимого двигателя зависит от температур нагревателя и холодильника. Температура 62 — это фактически либо температура окружающей среды, либо несколько более высокая температура. Для увеличения к. п. д. надо увеличивать бр

Равенство (8.25) показывает, что к. п. д. обратимого двигателя может служить для определения абсолютной термодинамической шкалы температуры, независимой от термометрического вещества. Но, как видно из (8.25), эта шкала совпадает со шкалой газового термометра, что и объясняет особое значение последней.

К. п. д. необратимого двигателя меньше, чем к. п. д. обратимого двигателя, работающего при тех же температурах нагревателя и холодильника. Действительно, при учете (8.20) равенство (8.24) заменится неравенством $ dA (0х — 62) (Sa — S^). Поэтому при

том же количестве тепла, взятого у нагревателя, работа необратимого двигателя меньше, чем работа обратимого двигателя.

К. п. д. необратимого двигателя меньше потому, что часть тепла, получаемого от нагревателя, тратится не на полезную работу, а на преодоление сил трения или рассеивается в окружающую среду, например, через стенки цилиндра.

Заметим, что идеально обратимый двигатель должен был бы работать бесконечно медленно, так как в противном случае в нем не успевало бы в каждый момент устанавливаться статистическое равновесие. Приближение к равновесию всегда необратимо.

Дифференциальные термодинамические тождества для энергии и энтальпии. Исходя из общего уравнения (8.9) можно написать общее уравнение для дифференциала средней энергии системы при постоянном числе частиц, если в качестве внешнего параметра выбран объем:

dESdS-pdV. (8.26)

В этой формуле dS означает приращение энтропии, обязанное обратимым процессам в подсистеме и взаимодействию с окружающей средой. Напомним, что в незамкнутой системе изменение энтропии не связано с приближением к равновесию. В частности, dS может иметь оба знака. Состояние однородной системы с постоянным числом частиц определяется двумя величинами: объемом и энтропией. Это видно по числу независимых параметров, входящих в распределение Гиббса: вместо 6 и V = X можно взять $ и V = X; энергия такой системы является функцией энтропии и объема. Возьмем полный дифференциал от этой функции:

(8.27)(8.27)dE = (^\ dS + ^X dV,\dS ) v\с^Г js

(8.27)

(8.27)

где индекс при производной показывает, какая величина считается постоянной при дифференцировании. Сравнивая (8.26) и (8.27),

получаем:

(8.28)(8.28)

(8.28)

(8.28)

Дифференцируя 6 по V и р по S, получим равенство между перекрестными производными:

(8.29)(8.29)/ дб \ / др\ _ д2Е

(8.29)

(8.29)

Wjs ” ” W Д ” aTas *

Энтальпия или тепловая функция связана с энергией соотношением (8.13):

E^l — pV.

Отсюда получается выражение для полного дифференциала энтальпии:

(8.30)(8.30)dl^^dS-VVdp.

(8.30)

(8.30)

Здесь считается, что энтальпия выражена как явная функция энтропии и давления, подобно тому как энергия выражена через энтропию и объем в тождестве (8.26). Для идеального газа подобное выражение было получено в задаче 3 упражнения 7 Г Тождество для энтальпии приводит к ряду дифференциальных соотношений:

мТ;. v-i^, ™\ = т - д,.(8.31)

\dS )р^ \dp)s wpjs wSjp др dS v 7

Полученные тождества позволяют вычислять по одним термодинамическим величинам другие.

Свободная энергия. Если в системе происходит необратимый процесс, то согласно (8.20) dQ ^dS. Подставляя это неравенство в уравнение первого начала (8.9), получаем:

dE^6dS + M.(8.32)

Такимобразом,работа,полученная системой,удовлетворяет не

равенству

dA^dE-^dS.(8.33)

Предположим, чтопроцесс происходит припостояннойтемпературе.

Тогда (8.33) может быть записано как соотношение между полными дифференциалами:

dA^d(E-eSV(8.34)

Величина

= f(8.35)

согласно (7.31) входит в распределение Гиббса (7.10); ее называют свободной энергией системы.

Из неравенства (8.34) следует, что наименьшая работа, которую надо совершить над системой при постоянной температуре, чтобы вызвать в ней некоторое заданное изменение состояния, равна приращению свободной энергии:

Лмин = ^2-^1.(8.36)

Минимальная работа требуется при обратимом процессе.

Неравенство (8.34) может иметь и несколько иной смысл. Оно определяет наибольшую работу, которая производится самой системой при данном изменении состояния:

^макс-^1-^.(8.37)

При этих процессах сохраняется суммарная энтропия системы и окружающей среды, и неравенство (8.32) переходит в равенство.

Рассмотрим следующий пример. Пусть идеальный газ расширяется в пустоту. При этом он не совершает никакой работы pi его энергия сохраняется. Но энергия идеального газа зависит только от его

Считая его разрешенным относительно Е.

температуры, а не от объема. Поэтому при расширении газа в пустоту температура не изменяется. Энтропия газа, как было показано, увеличивается. Следовательно, минимальная работа, необходимая для того, чтобы вернуть газ к первоначальному объему при той же температуре, равна изменению свободной энергии газа при расширении. В отличие от полной энергии газа, свободная энергия при его расширении в пустоту уменьшается (AF < 0, так как AS > 0).

Легко получить термодинамическое тождество для свободной энергии. Дифференцируя соотношение между полной и свободной энергией и подставляя тождество (8.26), получаем:

dF = — SM-pdV.(8.38)

Переходы вида (8.35) от (8.26) к тождеству (8 38) производились в [§ 10] при канонических преобразованиях к другим переменным. Из тождества (8.38) получаются дифференциальные соотношения:

р ” wV \деД’ V56/V W/e ' S6dv v ’

Эти формулы особенно удобны тем, что в них в качестве независимых переменных входят объем и температура, легко измеряемые на опыте. Между тем тождество для энергии содержит как независимую переменную энтропию, которая сама должна получаться путем вычисления (например, интегрированием (8.19)).

Свободная энергия F согласно (7.12) выражается через статистическую сумму:

_ Е

F = — 6 In 2 9,(8.40)

где Е — истинная, а не средняя энергия.

Правая часть этого равенства выражена через температуру и внешние параметры, входящие в собственные значения Е. Но 6 и X — это как раз те независимые переменные, которые входят и в тождество (8.38). Поэтому для определения всех термодинамических величин _ Е

достаточно вычислить статистическую сумму ^е 6. Реальное вычисление этой суммы связано для произвольной системы с огромными математическими трудностями. Фактически она вычислена только для идеальных газов pi кристаллов, а также для систем мало отличающихся от идеальных. Следует заметить, что если бы даже pi удалось вычислить статистическую сумму для какого-то конкретного вещества, например для жидкой воды, найденные таким весьма нелегким способом термодинамические закономерностр! относились бы только к воде, а не ко всякой жидкости. Свойства же идеальных газов pi кристаллов вытекают из статистики весьма общим образом.

Термодинамический потенциал. Определим теперь минимальную работу, необходимую, чтобы вызвать в системе некоторое заданное изменение nppi постоянной температуре и давлении. Пусть температура и давление в системе такие же, как во внешней среде. За-

метим, что в однородной системе с постоянным числом частиц, в которой не происходит фазовых ил pi химических превращений, состояние полностью определено давлением и температурой, так как термодинамические тождества для таких систем содержат лишь две независимые переменные; и задание двух величин достаточно для нахождения всех остальных. Но если система состоит из двух фаз одного pi того же вещества (например, из жидкости и пара), то при заданных температуре и давлении соотношение между долей жидкого и газообразного вещества может быть совершенно произвольным.

При увеличении объема системы она совершает работу. Можно представить себе, например, что система находится в цилиндре под поршнем, а шток поршня соединен с каким-нибудь объектом, способным изменять только свою механическую энергию: маховиком или грузом. Кроме того, при расширении системы производится работа над внешней средой. При сжатии работа dA' совершается над системой. Работа dA' состоит из двух слагаемых: работы dA, полученной от механического объекта, и работы — pdV, совершенной внешней средой, где р — давление во внешней среде, которое в рассматриваемом процессе равно давлению в системе. При сжатии — pdV — величина положительная, как и должно быть. Так как температура системы по условию не изменяется, можно согласно (8.33) записать следующее соотношение:

dA - р dV- dA - d (р V) d (Е - 6S), и л PI

dA^d^E-^S + pV). (8.41)

Величина Е — 6S + pV есть, очевидно, функция состояния системы. Эта функция называется термодинамическим потенциалом и обозначается буквой Ф:

ф^Е-^S + pV. (8.42)

Ее приращение в некотором обратимом процессе равно минимальной работе, которую необходимо совершить над системой при постоянных температуре и давлении, равных температуре pi давлению внешней среды, чтобы заданным образом изменить состояние системы:

Лт1п-Ф2-Ф1, (8.43)

Такая работа совершается nppi обратимом процессе. Она равна взятой с противоположным знаком работе, которую может совершить система над внешним объектом при тех же условиях, когда она переходит из состояния 2 в состояние 1. Когда Ф достигает минимума, система больше не способна производить работу. А это, как обычно, есть условие равновесия. В данном случае равновесие надо понимать в термодинамическом смысле, например, по отношению к фазовому переходу или химическому превращению. Следо-

вательно, условие равновесия в системах, способных к изменениям такого рода, состоит в минимальности термодинамического потенциала.

Найдем теперь термодинамические соотношения для Ф. Согласно (8.42)

Ф-F + pV.(8.44)

Дифференцируя это равенство и подставляя dF из (8.38), получим:dФ^dF л-pdV -V Vdp^

__Sde-pdV + pdVA-Vdp — -Sde+Vdp. (8.45)

Отсюда уже известным нам способом следует, что

\д6)р’ удр^Р у др/о \д6 )р дрдв'

Термодинамический потенциал зависит только от величин, характеризующих состояние тела: его температуры pi давления. Но при этом Ф, конечно, величина аддитивная: еслР1 соединить два равных объема одного pi того же вещества nppi одинаковых температуре и давлении, то общий термодинамический потенциал будет вдвое больше, чем у каждого объема в отдельности — см. (8.42). А так как в этих объемах заключены одинаковые числа молекул, можно записать:

Ф — МуЦр, 6),(8.47)

где р — термодинамический потенциал, отнесенный к одной молекуле вещества. Величина р называется химическим потенциалом данного вещества. Несколько ниже показано, что она совпадает с параметром р, входящим в распределение по энергии молекул идеальных газов (см. § 1). Очевидно, что

<8'48>

Если система состоит из нескольких сортов молекул, например представляет собой раствор одного вещества в другом или смесь газов, то состояние определяется не только температурой и давлением, но pi концентрациями веществ. Концентрация г-го вещества в смеси равна

(8.49)

к

Химический потенциал f-ro вещества в смеси определяется аналогично (8.48):

=(8‘50)

где ц^ зависит от р, 9 и всех концентраций q, с3,..., cUv.. .

Считая Ni переменными величинами, запишем полный дифференциал йФ следующим образом:

dФ = — S d6 + V dp + 5 ц/ dNb(8.51)

Это равенство обобщает (8.45) на случай переменного числа частиц.

Так как переход от Е к F, Ф и I не затрагивает числа частиц Nt, то аналогичным образом обобщаются и дифференциальные соотношения (8.26), (8.30) и (8.45): к ним просто прибавляется справа сумма ^^dNi. Например, для dE имеем:

dE = 9 dS — pdV-V^Pi AN;.(8.52)

i

Для случая постоянного объема и одного сорта молекул это равенство приводится к виду:

dE = MS + pdN-(8.53)

Сопоставим его с (1.18). Входящая туда величина S есть энтропия газа, так как она означает логарифм числа состояний при данной энергии. Отсюда ясно, что ц есть химический потенциал, определенный по (8.48).

Процесс Джоуля — Томсона. Рассмотрим один важный пример необратимого процесса. Пусть газ находится в сосуде цилиндрической формы, разделенном пористой теплоизолирующей перегородкой. Давления по обе стороны перегородки различны. Различны, разумеется, и температуры, потому что сквозь перегородку нс происходит теплообмена. Более высокое давление заставляет газ перетекать сквозь перегородку. Но, просачиваясь по мелким порам, газ вследствие трения теряет свою кинетическую энергию направленного течения, которая переходит во внутреннюю энергию — кинетическую энергию движения отдельных молекул. Переход упорядоченного движения в неупорядоченное (тепловое) — существенно необратимый процесс. Он называется в данном случае процессом Джоуля — Томсона.

Покажем теперь, что энтальпия / в этом процессе сохраняется. Для этого надо рассмотреть баланс энергии некоторой массы газа, например одного моля. Так как перегородка теплоизолирующая, то изменение энергии газа равно произведенной над ним работе. Будем ставить индекс 1 при величинах, относящихся к состоянию газа со стороны более высокого давления, индекс 2 — при величинах со стороны низкого давления. Пусть поршень вытесняет при давлении рА один, моль газа с объемом Vb который после продавливания через перегородку приобретает объем У2 при давлении р^. Для того чтобы газ с объемом ¥г вошел в перегородку, надо совершить над ним работу pAVx. Выйдя из перегородки, он сам совершит работу р^. Поэтому баланс энергии получается таким:

Ел Е1 "PiVi — p^V^.(8.55)

Благодаря теплоизолирующим свойствам перегородки газ может получать и отдавать энергию только в форме работы. Собирая величины с одинаковыми индексами по одну сторону равенства, находим:

Ei + PiVi — £2 + Р2У2

или согласно (8.13)

/1= Z2. (8.56)

Энтропия в классической и квантовой статистике. Сопоставим определения энтропии, основанные на классических и квантовых законах движения. В последнем случае энтропия определяется как логарифм числа состояний системы при некотором значении энергии. При переходе к квазиклассическому приближению число состояний системы равно занимаемому ею фазовому объему АГ, деленному на (2якУ\ где п — число степеней свободы. Логарифм этого отношения и есть энтропия. Когда квантовые законы движения еще не были известны, энтропия определялась просто как логарифм именованного числа АГ. В этом определении энтропия зависит от выбора единиц. Если, например, единица массы увеличится вдвое, к энтропии прибавляется nln2. Так как единицы произвольны, то отсюда следует, что при классическом способе счета состояний энтропия могла определяться только с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Строгий смысл имело только и з м е н е н и е энтропии в том или ином процессе.

При квантовом способе счета состояний энтропия равна логарифму отвлеченного числа pi не зависит от выбора единиц измерения.

Температура системы равна абсолютному нулю, когда система находится в основном состоянии, т. е. имеет наименьшее из возможных значений энергии. Если такое состояние имеет вес, равный единице, то энтропия (или логарифм веса) обращается в нуль. Это утверждение называется теоремой Нернста, известной также как третье начало термодинамики.

Некоторые следствия из теоремы Нернста будут рассмотрены ниже.

Конфигурационная энтропия. В некоторых случаях в энтропию вносит значительный вклад большое число состояний системы, различающихся между собой пространственным расположением атомов или молекул. Если такие состояния обладают приблизительно одинаковой энергией, то логарифм числа всех состояний содержит в качестве слагаемого логарифм числа всех пространственных конфигураций. Когда температура достаточно высока, чтобы можно было пренебрегать небольшой разностью энергий различных конфигураций, число их находится чисто комбинаторным способом.

Вклад в энтропию такого рода может получаться вследствие частично неупорядоченного расположения атомов в кристалле при сохранении структуры кристалла как целого. Для примера рассмот-

рим кристалл льда. Как и жидкая вода, лед состоит из отдельных молекул Н2О, сохраняющих свою индивидуальность. В кристалле льда всегда можно указать молекулу воды, которой принадлежит данный атом. Атомы кислорода образуют правильную решетку, и возле каждого из них находятся два и только два атома водорода. Силы, удерживающие в данном случае молекулы воды в решетке, называются водородными связями. Они соединяют по два атома кислорода, между которыми находится один водородный атом. С тем атомом кислорода, который ближе к атому водорода, их соединяет обычная химическая связь, а с удаленным атомом — водородная связь. Ее символически обозначают пунктиром, так что водородный атом может находиться между двумя кислородными атомами по одной из двух схем: ОН—О или О—НО.

Механизм водородной связи здесь рассматриваться не будет.

Каждый атом кислорода в решетке имеет две «сплошные» и две «пунктирные» связи, что надо представлять себе в пространственном виде. А именно, надо считать, что каждый атом О помещен в центре тетраэдра, а его четыре ближайшие соседа О — по вершинам тетраэдра. Из центрального атома выходят две сплошные и две пунктирные черточки. То же самое относится к любому атому О, относительно которого можно выполнить такое же построение, как для центрального атома на рисунке 6. Белые кружки — атомы О, черные — Н, расположенные нерегулярно, по два около любого О, по одному на линии О—О. Неупорядоченность состоит в том, что любые две из четырех черточек около каждого атома могут быть сплошными, и тогда остальные две — пунктирные. Сплошная черточка «короче», т. е. изображает настоящую химическую связь, которая соответствует более тесному расположению атомов Н и О. На одной соединительной линии всегда сидит один и только один атом Н: либо ближе к центру, либо ближе к вершине тетраэдра.

Отсюда легко рассчитать число возможных конфигураций по числу соединительных линий.

В одном моле льда 2/V атомов водорода; каждый в своем тетраэдре сидит в одном из двух положений на соединительной линии. Следовательно, всего возможно 24расположений, если не учитывать, что атом кислорода должен иметь вблизи себя два атома водорода, чтобы сохранялись молекулы воды. Общее число размещений атомов водорода около атома кислорода равно 16. Перечислим их: четыре атома Н около О (одно размещение), три Н около О (четыре размещения), два Н около О (шесть размещений), один Н около О (четыре размещения), ни одного атома О (одно размещение). Размещений, приводящих к образованию молекул воды шесть из шестнадцати, т. е. для каждого О надо брать 3/8 от общего числа случаев, равного 16, А так как атомов кислорода А, то искомое число размещений молекул воды в кристалле льда равно 22yvM = Ш •

Это дает конфигурационную энтропию льда, равную

5К0„ф=1п(4) =/Vlny.

Упражнение 8

Найти соотношение между теплоемкостями при постоянном объеме и при постоянном давлении.

Пользуясь (8.18), находим из определения теплоемкостей:

/dQ \ ~ fdS \jdQ \ fdS \

С1/~\деср \де/р— \де)р-

Производные неявных функций можно переписать следующим образом:

= _(dVX HdvX . (dSX —

\do )v w6 js/ \dS /о ’ \^6 jp ~\d9 )s[ \dSjo*

Частные производные, имеющие одинаковый индекс внизу, можно сокращать, как обыкновенные дроби, потому что дифференциалы в них имеют одинаковый смысл. Тогда

cv" \dVjo ” \ др ^f \др js*

Таким образом, теплоемкости при постоянном давлении pi постоянном объеме относятся как изотермическая сжимаемость к изэнтропи-

отт?dV\ (дУ\

ческой сжимаемости. Из четырех величин cn, cv. и

1 ’ \др jo \др js

Достаточно измерить только три. Четвертая может быть вычислена.

/ЭЕХ

Вычислить производную .

Так как Е = F + eS, то

д_Е\ — f^\

dV^ ” W)^4dV)e’

или, учитывая (8.39), получаем:

W/o” \дб)у*

Если давление известно как функция температуры pi объема, то энергия может быть вычислена только с точностью до произвольной функции температуры:

E„^v[-H8gV| + W

Поэтому всегда следует иметь в виду, что определение зависимости р = р (V, 6) не даст полных сведений о термодинамических свойствах вещества. Кроме того, pi любое слагаемое в давлении, зависящее линейно от температуры, не сказывается на энергии, выпадая из полученного равенства. Например, у всех идеальных газов р = -у, а энергия зависит от температуры довольно сложно, еслр! в статистических суммах берутся дискретные квантовые уровни.

Найти V W/ е.

/dV\

Ответ. Е + 6.

Найти разность теплоемкостей при постоянном объеме и постоянной температуре (с^ — с у).

Количество тепла при постоянном давлении равно di, а при постоянном объеме равно dE (см. 8.14 и 8.12):

_(дГ\/^Х

СР — \дб)р’ Cv”\д9)v■

Преобразуем ср;

Далее, представляя энергию как £ = £ 16 ,И (р, 6)1, запишем

1дЕ\ = (--\ (дЕ\ (д±\ — 'FX (dV\ \дб)р \д6 )v' \dV)ti\d6 )p — Cv' WM^/p'

Отсюда

/dV\ Г . /дЕ\ ] JdV\ /др\

Ср Cv \ОбЫР + W?J" 6\дб)р\д6 Д

(здесь мы использовали результат, полученный в задаче 2). Производная Ку) преобразуется так:

/дУ\ _(др\ / !^Р\

\дб )р ~\d^)v/\dV)^e

Отсюда следует, что

Дальше (в § 10) будет строго показано, что (|pj0<O, т- е- что с уменьшением объема давление может только возрастать (в противном случае состояние системы механически неустойчиво). Поэтому всегда ср">Су и (^)s>(|p]0 (согласно задаче 1). У иде- (др\ N )др\ ' N6м

альных газов =^)е = - р,, так что Cp-cv=N.

Принимая второе начало термодинамики как постулат, доказать, что к. п. д. обратимого двигателя всегда больше, чем к. п. д. необратимого двигателя, работающего при той же разности температур нагревателя и холодильника.

Доказательство ведется от противного. Пусть обратимый и необратимый двигатели получают от нагревателя одно и то же количество тепла Q1$ но количество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику необратимым двигателем, меньше количества теплоты Q2, которое отдает обратимый двигатель. Обратимый двигатель можно заставить работать, как холодильную машину, т. е. отбирать за счет внешней работы тепло у холодного резервуара и отдавать его горячему резервуару. Чтобы отдать горячему резервуару тепло Qb обратимый двигатель должен забрать у холодного'резервуара тепло Q2, которое больше того количества теплоты Q^ которое ему отдал необратимый двигатель. Но тогда окажется, что при встречном действии двигателей горячий резервуар получает и отдает одно и то же количество теплоты, т. е. что горячий резервуар фактически не служит источником тепла. Из холодного же резервуара при каждом цикле получается положительное тепло Q2 — Q2, за счет которого совершается полезная работа, равная разности работ необратимого двигателя и работающего в качестве холодильной машины обратимого двигателя. Все тепло, таким образом, отдает холодный резервуар, которым может быть просто окружающая среда. Но это противоречит второму началу термодинамики.

Доказать, что теплоемкость системы стремится к нулю, когда температура стремится к абсолютному нулю. То же доказать для (.

Энтропия связана с теплоемкостью соотношением

оs™S ^6.о

где нижний предел интеграла положен равным нулю по теореме Нернста. Для того чтобы интеграл имел смысл, надо потребовать, чтобы limc = 0, так как иначе возникнет логарифмическая расово

ходимость. Кроме того,, а предел производной

\ иО / р\Ор /0

^^ при стремлении 6 к нулю тоже равен нулю, потому что limS^O при произвольном значении р.

0-^0

Найти изменение температуры газа в процессе Джоуля — Томсона, т. е. /56\.0

как функцию переменных р и 6.

При постоянной энтальпии / искомую производную можно записать по общему правилу дифференцирования неявных функций:

/ 5/ \/56 \ __\ 5/ /о

\dpji ~ ~ /5/\ *\дб)р

Но дифференциал 1 при постоянном давлении согласно (8.14) равен количеству тепла. Отнесенное к единице изменения температуры, оно равно теплоемкости при постоянном давлении ср. В числителе выразим / через термодинамический потенциал согласно (8.30) и (8.45): / - Ф + 6S. Тогда

5//5Ф\ . g IdS \

др — \др /9 '\ 56 )р*'

Пользуясь (8.46), находим окончательно:

У идеального газа V — — , так что искомая величина равна нулю.

Выразить энтропию идеального газа через числа заполнения пр для всех трех статистик, полагая g^ == 1.

Пользуясь выражениями для S из равенств (1.14) и (1.24), находим:

статистика Бозе —

S —• 2 [(^£ "К 1) 1^ (^Л Н~ 1) ^k In ^k\i k

статистика Ферми —

S = 2(l-п^ \п (\ - пк) + пк In пк, к

статистика Больцмана для пк < 1 —

S = — Vnjn^.

к

Если вес не равен единице, то получаем соответственно:

^бозе —2 Sk Ufk-V 1) ln (fk + 1) " fk ln//J, к

5ферм„ = 2 gk [(1 - fk) 1П (1 - fk) + fk 1П //J, к

sболы1 = — 2 Skf к In Кк

Первое слагаемое в 5ферми можно истолковать, как энтропию «дырок», т. е. незанятых уровней.

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ В СТАТИСТИКЕ БОЛЬЦМАНА

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые следствия из общих положений термодинамики в применении к идеальным газам, что поможет лучше понять результаты § 8.

Будем предполагать, что плотность газа настолько мала, что к его молекулам применима статистика Больцмана. Это не означает, что движение молекулы следует рассматривать как неквантовое: квантование вращательных, колебательных pi тем более электронных уровней надо учитывать во всех тех случаях, когда расстояние между соседним!! уровнями сравнимо с 6 (т. е. с&Г) или больше 0. Даже pi тогда, когда расстояние между уровнями сколь угодно мало по сравнению с 6, как это имеет место для переносного движения, квант действия следует оставлять в формуле для статистического веса состояний; в противном случае не получается однозначного выражения для энтропии.

Отклонения от статистики Больцмана, наступающие у газов при низких температурах или больших плотностях, иногда называются «вырождением». Следует отличать отклонения от собственно идеальности, обязанные взаимодействию между молекулами, и квантовые отклонения от классической статистики. Возникают, конечно, и такие поправки, которые обязаны совместному действию обоих факторов.

Свободная энергия идеального газа. Как было указано в предыдущем параграфе, при вычислешш термодинамических величин удобно исходить из выражения для свободной энергии газа.

Исходной должна быть формула (8.40), которую надо привести К такому виду, какой она принимает для больцмановского газа.

При этом надо учесть, что статистическая сумма по определению вычисляется по всем физически различным состояниям газа. Но состояние газа не изменится, если произвести все возможные пере- становки молекул по индивидуальным состояниям; в неквантовой статистике такая перестановка в принципе имеет смысл. Число перестановок из N молекул равно ^!

Полная энергия идеального газа распадается на сумму энергий всех его молекул:

где i — номер квантового состояния. Здесь пока под Е надо понимать истинное, а не среднее значение энергии.

Подставляя выражение Е под знак статистической суммы (8.40) и деля эту сумму на число перестановок между молекулами, получаем:

ЕЕ1 Vр о ] /онV к /1 Vр о ] /онV к /

Е

Е

1 Vр о ] /он

V к /

1 Vр о ] /он

V к /

Вторая сумма по к относится ко всем возможным сочетаниям энергии отдельных молекул eW. Здесь использовано то обстоятельство, что энергетический спектр всех молекул одинаков (газ состоит из молекул одного сорта). Суммирование в (9.1) производится по спектру отдельной молекулы. Заменяя ЛИ его выражением по формуле Стирлинга, приходим к общей формуле для свободной энергии идеального газа в статистике Больцмана:

еУ> 0= —M61n-^еУ> 0= —M61n-^(9.2)(9.2)

еУ> 0

= —M61n-^

еУ> 0

= —M61n-^

(9.2)

(9.2)

Сумма по переносным степеням свободы. В статистической сумме по состояниям отдельных молекул целесообразно выделить переносные степени свободы, представляя энергию в виде

2т 12т 1(9.3)

2т 1

2т 1

Здесь принято, что газ не находится во внешнем поле и энергия поэтому не может зависеть от координат центра инерции молекулы. Статистический вес состояния с импульсом р равен

(9.4)(9.4)dpx dp4 dp2 dx dy dz(2л/;)3

(9.4)

(9.4)

(см. (1.32)). Через gw обозначен вес, относящийся к уровню энергии 8^ \ Интегрирование по х, у, г дает в статистической сумме со-

множитель fdxdydz = V. Интегрирование по импульсам выполняется известным способом:

Р%2т6Р%2т6dpxdpxV 2пт9.V 2пт9.(9.5)(9.5)

Р%

2т6

Р%

2т6

dpx

dpx

V 2пт9.

V 2пт9.

(9.5)

(9.5)

Свободная энергия идеального газа приводится, таким образом,

к следующему виду:

/7__^0]п/7__^0]п^gwe” к^gwe” к— jV6 In ~/(6). (9.6)— jV6 In ~/(6). (9.6)

/7__^0]п

/7__^0]п

^gwe” к

^gwe” к

— jV6 In ~/(6). (9.6)

— jV6 In ~/(6). (9.6)

Здесь выделена зависимость свободной энергии от объема. Функция / (9) зависит от строения молекулы.

Термодинамические величины идеального газа. По формуле (9.6)

легко определить давление. Согласно (8.39)

(9.7)(9.7)___JdF\ _ N6Р~ \dV]o - V '

(9.7)

(9.7)

Это — хорошо известное уравнение Клапейрона. Термодинамический потенциал равен

Ф = Е + pV = F-VN9 = — imn^f(9).

Здесь он выражен через объем. Для того чтобы можно было пользоваться тождеством (8.45), надо еще заменить V на р, после чего и получается окончательная формула для термодинамического потенциала Ф идеального газа:

ф^ —дгб1п№.(9.8)

С помощью (8.47) или (8.48) находим химический потенциал

И = -01п^.(9.9)

Энтропия идеального газа равна

(9J0)

Это выражение не согласуется с теоремой Нернста. На самом деле, конечно, при очень низких температурах надо применять к газу не статистику Больцмана, а квантовую статистику, даже отвлекаясь от того обстоятельства, что при низкой температуре газ фактически конденсируется.

Энергия газа равна

E = F-V^S. или

до) dine*

Таким образом, энергия идеального больцмановского газа, выраженная через температуру, вообще не зависит от объема. Средняя „_ Е

энергия одной молекулы зависит только от температуры газа. Так получается не только потому, что между молекулами нет силового взаимодействия, но pi потому, что свойства газа описываются классической статистикой. В квантовой статистике идеальных газов энергия молекулы зависит и от объема, pi от температуры (см. (6.21)). Надо заметить, что в формуле (9.11) переменные не соответствуют тождеству (8.26). Чтобы пользоваться этим тождеством, надо было бы выразить температуру из (9.10) pi подставить в (9.11), что в общем виде затруднительно сделать. Энтальпия идеального газа равна

I = E + pV = N^^ + N9 = N9^M-.(9.12)

Подобно энергии, она зависит только от температуры и выражена здесь не через «свою» переменную.

Смесь идеальных газов. Так как молекулы идеальных газов не взаимодействуют между собой, то свободная энергия смеси аддитивно складывается из свободных энергией всех компонентов:

F = —2^01п^№.(9.13)

Давление смеси вычисляется обычным способом:

P==—"WX = V 1(9‘14)

Если ввести парциальное (частичное) давление i-го компонента cmccpi (его вклад в общее давление газа р), то

Pi =■ ciP(9.15)

п

(см. (8.49)), так что полное давление представится как сумма парциальных давлений. Это относится, конечно, только к идеальным газам. Термодинамический потенциал смеси равен

—2^91п^Д(9.16)

Химический потенциал i-ro компонента определяется по формуле (8.50). Он равен

^=^ = -61п^'(9-17)

Эти формулы имеют важное значение в теории химических равновесий в газах (§ 13).

Вращательная энергия газа. Перейдем теперь к вычислению статистической суммы по вращательным степеням свободы молекул. Желая получить простые формулы для применений, ограничимся в этом параграфе случаем неквантованного движения (квантованное было рассмотрено в § 3). Это значит, что температура удовлетворяет условию

е >27-(9.18)

где J — момент инерции молекулы. При комнатных температурах условие (9.18) выполняется для всех газов, включая водород.

В выражение для средней энергии входит только логарифмическая производная статистической суммы (9.11), так что постоянные сомножители для энергии несущественны. Но во многих приложениях статистики важно значение самой суммы. Чтобы вычислить это значение, надо учесть, что сумма берется по физически различным состояниям молекулы, иначе говоря, по физически различным ориентациям в пространстве, если движение рассматривается классически. Например, двухатомные молекулы Н2 или О2 при повороте на 180° вокруг оси, перпендикулярной к линии, соединяющей ядра, совмещаются сами с собой. Положение двухатомной молекулы в пространстве задается двумя углами — азимутом и полярным углом — и может быть изображено одной точкой на поверхности сферы единичного радиуса. Но только половине этой сферы отвечают физически различные ориентации молекулы.

Положение нелинейной молекулы в пространстве при фиксированном центре инерции определяется с помощью эйлеровых углов [§ 9]. Если молекула обладает каким-либо видом симметрии относительно вращений в пространстве, то статистическую сумму надо поделить на число способов, которыми молекула может быть совмещена сама с собой при поворотах. Например, молекула аммиака NH3 имеет форму пирамиды с правильным треугольником в основании. Ее вращательную статистическую сумму, взятую по всем ориентациям в пространстве, надо поделить на 3. Молекула бензола имеет правильную шестиугольную форму (С6Н6). Шестиугольник совмещается сам с собой при повороте на 60° в своей плоскости, а также при повороте на 180° вокруг оси, соединяющей противоположные вершины. Следовательно, его статистическая сумма берется по 1/(6.2)112 всех ориентаций.

Напишем теперь выражение классической вращательной статистической суммы двухатомной (или, вообще, линейной) молекулы:

(9.,9)

вр

Множитель 4л учитывает все ориентации в пространстве. Двойка (2) в знаменателе ставится в том случае, если молекула совмещается сама с собой при повороте на 180° вокруг оси, перпендикулярной

линии, которая проходит через ядра (О2, СО2 со структурой О = = С = О и т. п.). Квантовая статистическая сумма для молекулы кислорода, ядра которой не имеют спина, берется только по четным вращательным состояниям (см. § 3). В классическом пределе это и учитывается множителем 1/2. В том случае,когда ядра молекулы обладают спинами, надо домножить статистическую сумму (9.19) на величины (2S + 1), взятые для всех ядер. Таким образом, у линейной молекулы

V 4Л 2ЛУ6 _ 2J6

L " (2) * (2лЛ)2 “ (2УТ^ вр

Положение нелинейной молекулы в пространстве задается ориентацией произвольной скрепленной с ней оси pi углом поворота относительно этой оси. Следовательно, все повороты в пространстве вносят в статистическую сумму множитель 4л-2л = 8л2, pi получается следующее выражение:

V = № ( и Г 29 (т;4 5 + У) ^1^2 ^3 = ^iTSWa (О 9П ^(0)НГМ)3(а)№• ^“^

вр

Здесь множитель (о) имеет тот же смысл, как (2) в знаменателе (9.20).

Отсюда видно, что вклад вращательной энергии в полную энергию газа, равный

N№——^-de ’

з

составляет ^6 в случае линейной молекулы pi у у нелинейной молекулы.

Колебательная энергия молекул. Энергия молекулы, совершающей малые колебания, согласно [7.31] может быть представлена в следующем виде: п

е«ол = у 1 №MQW,(9.22)

а = 1

где Qa — нормальные координаты колебаний, Ра — соответствующие импульсы, Uo — потенциальная энергия колебаний в положении равновесия, которая была опущена в [7.31]. Классический предел 2 достигается nppi 6:

кол

кол а—1

<^3)

Колебательное движение дает вклад Nn^ + NU0 в среднюю энергию газа. Здесь п, как видно из (9.22), есть число колебательных степеней свободы отдельной молекулы. Сравнивая теперь результаты для средней энергии переносного, вращательного и колебательного движения, видим, что каждая переменная, входящая в классическое выражение энергии квадратично, приводит к вкладу у МО в полную энергию газа. Это выражает закон равнораспределения энергии по степеням свободы.

Л2

Часто бывает так, что /иоа^> у, и существует область температур, в которой выполняются два сильных неравенства:

Н^>^> г(9.24)

При таких температурах колебательные кванты молекул еще не возбуждены, а вращательная теплоемкость уже постоянна. Так, у азота pi кислорода при температурах от нескольких десятков до з нескольких сот градусов полная теплоемкость составляет у N + N =

=^~2~N. В этих условиях газы, и в частности воздух, подчиняются закону равнораспределения с пониженным числом степеней свободы.

Для того чтобы закон равнораспределения был применим к колебательным степеням свободы, должны возбуждаться колебания с большими квантовыми числами. Но при этом состояние молекул уже не очень далеко от границы диссоциации молекул на атомы, и часть из них распадается. Это следует иметь в виду, рассматривая полную энергию газа при высокой температуре.

Термодинамические величины для газа, подчиняющегося закону равнораспределения. Теплоемкость газа, подчиняющегося закону равнораспределения, постоянна в широкой области температур. Следовательно, постоянно и отношение теплоемкостей:

В ряде дальнейших приложений (§ 19) оказывается удобным выразить термодинамические величины через у. Функция / (0) пропорциональна величине

6^е 6 = 6v — ie 6 .

Отсюда получаем формулу для энергии, которая здесь будет записана без постоянного слагаемого NU0;

£_с9 = ^т = ^т.(9.26)

Энтальпия равна

/ = 5 +=(9.27)

Энтропия с точностью до постоянного слагаемого выражается так:

S=^ln V + ^lne-^lnpVv + const.(9.28)

Отсюда получается уравнение изэнтропического процесса в газе, который подчиняется закону распределения:

pV^ = const.

Величина у часто называется показателем изэнтропы (или показателем адиабаты). Заметим, что, описывая реальное изэнтропическое сжатие воздуха, надо брать у = 7/5, потому что нужны очень большие сжатия, чтобы возбуждались колебательные степени свободы.

Сведем теперь воедино те правила, по которым надо вычислять теплоемкость газа по закону равнораспределения. На каждую переносную pi вращательную степень свободы надо положить^, поскольку онР1 дают по одной квадратичной переменной в гамильтониане молекулы. Поэтому в статистическом интеграле получается сомножитель ]/2лтб, илр! ф^л/б. Если молекула линейная, то вращательных степеней свободы две, если нелинейная — три.

Молекула, состоящая из I атомов, имеет 31 степеней свободы. Следовательно, из них на колебания приходится либо 31—5, либо 31—6. Каждое даст N в теплоемкости, если /ко<^ б.

Так, у трехатомных молекул, имеющих форму треугольника, например Н2О, при полном возбуждении всех степеней свободы (помимо электронных) получается теплоемкость cv — 6N, у = 7/6. Если колебания еще не возбуждены, то cv = 3N, у = 4/3. При самой низкой температуре остаются только переносные степени свободы, з

как у одноатомного газа, что даетс^^уМ, у = 5/3.

Если атомы трехатомной молекулы вытянуты в одну прямую (например, СО2), то максимальная теплоемкость cv 13/2, у = = 15/13, т. с. cv линейной молекулы больше, чем треугольной молекулы. Если же колебания не возбуждены, то cv = 5/2, что меньше, чем у треугольной молекулы. Такое пересечение кривых теплоемкости СО2 и Н2О с изменением температуры действительно наблюдается.

Полимерные цепи. Существует такое состояние конденсированных тел, которое в' известных отношениях напоминает газообразное— если не в строгом, количественном смысле, то, по крайней мере, качественно. Есть общие черты поведения газов и веществ, состоящих из очень длинных и гибких полимерных молекул, как например каучук. Его молекулы построены из отдельных звеньев, сочлененных весьма подвижным способом.

Обычно угол между соседними звеньями задан сравнительно жестко благодаря направленному характеру валентных сил, но при 120

заданном угле возможно почти свободное вращение одного звена вокруг оси, проходящей через соседнее звено. Точнее говоря, энергия взаимодействия звеньев слабо зависит от этого поворота в пространстве, так что при комнатных температурах осуществляется как бы свободное, беспорядочное вращение, напоминающее движение несвязанных молекул газов.

Беспорядочное вращение звеньев в пространстве приводит к запутыванию молекулы в клубок. Ясно, что в таком состоянии ее энтропия больше, чем если она вытянута, потому что число свернутых расположений гораздо больше, чем растянутых. Молекула, свернувшаяся в клубок, обладает большей конфигурационной энтропией (§ 8).

Реальный полимер состоит из звеньев конечного объема. При количественном расчете состояний следовало бы учесть взаимную непроницаемость звеньев. Это очень трудная задача. Но для качественного понимания термодинамических свойств полимеров иногда достаточно рассматривать звенья как одномерные свободно пересекающие друг друга и сочлененные шарнирами, допускающими полную свободу вращения по всей поверхности сферы с центром в точке сочленения.

В пользу такой картины говорит следующее обстоятельство. При изотермическом обратимом растяжении каучука его полная энергия остается неизменной: в окружающую среду передается тепло dQ, равное взятой с противоположным знаком работе растяжения — dA. Но dA xdl, где dl — удлинение, т — натяжение. Знак «плюс» выбран для того, чтобы при увеличении длины над полимером совершалась положительная работа.

Так как при обратимом процессе dQ = 6dS, то xdl = —^dS. Удлинение каучука связано с уменьшением его энтропии, как и утверждалось. Из последнего соотношения получаем:

6«L- <9-29)

Аналогично этому в газе согласно (8.16)

Если из данных о теплоемкости при разных растяжениях известна энтропия, как функция длины, т. е. расстояния между концами нити в клубке, то можно по формуле (9.29) вычислить натяжение в зависимости от длины.

Энтропия цепи со свободным вращением. Вычислим теперь энтропию цепи со свободным вращением в сочленениях. Ближе к действительности было бы предположение о вращении в пространстве при постоянном валентном угле между звеньями, но общий характер зависимости энтропии от /, по-видимому, и у такой модели будет таким же, как у модели со свободным вращением.

Будем считать, что цепь состоит из Af звеньев. Найдем вероятность того, что эти звенья (мономеры), сложившись в полимерную цепь, дадут расстояние I между ее концами. При сильно запутанном клубке I ^ Nb, где b — длина одного мономера.

Как обычно, вероятность определяется числом способов, которыми цепь можно расположить в пространстве между заданными положениями начала и конца. Логарифм этой вероятности и есть конфигурационная энтропия (в соответствии с § 8).

Обозначим вектор между концами цепи через /, а вектор каждого отдельного звена — через Ьк. Полагаем, что эти векторы имеют одинаковую длину Ь, но разное положение в пространстве. Тогда плотность вероятности каждого отдельного расположения в пространстве всей цепи равна

б^-2бЛ

\ к )

Здесь 6-функция определена уравнением [26.28]. Она равна нулю для всех расположений векторов Ьк, кроме тех, которые в сумме дают вектор /. В свою очередь, интеграл от этой функции по всем значениям вектора / равен 1. Искомая вероятность того, что вектор между концами цепи равен /, получается, если усреднить 6-функцию по всем расположениям отдельных мономеров в пространстве:

/ N \

^'(Z) = ^ d£M>U- У Л. (9.30)

Чтобы выполнить усреднение, удобно воспользоваться представлением 6-функции через интеграл Фурье:

/V \ 1 с ф-хф

б /- У ^ = А \ dWe х *=’ Л

I8л3 J 6

\к — \ /

Оно получается из общего определения [26.28], если подставить в него ipr

собственные функции оператора импульса (2лЛ)" 3/Ф Zi при h = 1. Теперь можно переставить порядок интегрирования по £ и по дйк. Каждое такое усреднение дает:

(9.31)

После этого Wn (О приводится к виду

wN eiy dV-- (9-32)

Теперь воспользуемся тем, что N — очень большое число. Тогда заметный вклад в интеграл дадут только такие значения ^, при которых ^^ близко к единице (малые Е).

Соответственно этому надо взять

Следующие члены разложения синуса дают вклад, стремящийся с возрастанием N к нулю по отношению к основному результату.

Длина растянутой цепи есть Nb = L. Выполним теперь следующий предельный переход:

V 6 ) V 6N•

Тогда после усреднения по направлениям £ получится:

р-LbV

^ь^ = ^й\^1-е-^е 6 ^^.(9.33)

О

Пока удобно это выражение оставить в комплексной форме. Во втором слагаемом заменим £ на —^ тогда получим следующий интеграл:

L х 14л2/г J* *

Представим показатель подынтегральной функции так:

bL Ш 9/2 \3 Z2

~6 ^ bL) 2 bL'

Перейдем к переменной интегрирования £' = £ —™. Тогда, пользуясь тем, что интеграл от нечетной функции равен нулю, получим:

3 /2

(9.34)

По формулам задачи 3 из § 1 легко проверить, что это распределение нормировано на единицу:

4л J l*WL (/) dl = X.о ,

Таким образом, энтропия всей цепи при заданных L и / с точностью до слагаемого, не зависящего от /, равна

S = ln^(/) = -|^.(9.35)

Натяжение цепи согласно (9.29) равно

Таким образом, натяжение пропорционально длине цепи. Это напоминает закон Гука. Подобно давлению газа р, натяжение т имеет «энтропийную» природу. В неполимерных конденсированных телах т при растяжении обязано в основном силовому взаимодействию между молекулами.

Упражнение 9

Найти работу и количество тепла, получаемые газом при изотермическом процессе.

Работа равна изменению свободной энергии:

Д = — ОТ In Хг •

V 1

Количество тепла выражается через изменение энтропии:

Q-—6 (S2 —S1) = ^9 In .

Величины А и Q равны по величине и противоположны по знаку, потому что при постоянной температуре не изменяется энергия идеального газа.

Смешиваются две порции различных газов, находящихся при одинаковых температуре и давлении. Найти увеличение энтропии.

Пользуясь уже известным выражением для энтропии, можно записать:

AS » Л-, In И + К, In г^* - Л\ In - .V, In М1 Plрр

где рх и р2 — парциальные давления обоих газов после смешения. Отсюда

AS In ^ + In ^ In + N2 In . PlP2

Если при тех же условиях смешиваются две порции одного и того же газа, то энтропия после смешения равна (Л\ + ^2) In у и AS = О, как и должно быть. Этот необходимый результат не получился бы без множителя (W!)-1 при статистической сумме. Благодаря этому множителю в свободную энергию входит только сумма по физически различным состояниям газа и энтропия не изменяется при соединении двух порций одинакового газа при равных температуре и давлении. Заметим, что если выводить формулы статистики Больцмана из квантовой статистики путем предельного перехода, то требуемый множитель получается автоматически.

Вычислить свободную энергию газа в центрифуге радиуса R и длины—/, вращающейся с угловой скоростью со. Найти средний квадрат расстояния молекулы от оси.

Центробежная сила равна maFr [8.8], что соответствует эффективной потенциальной энергии I/ =— тсо2г dr^— —™-г . Отсюда получается выражение для свободной энергии:

F^ — ^61n26 rdr\ = _ Мб In\6/F^ — ^61n26 rdr\ = _ Мб In\6/еце_) _б£N mto-еце_) _б£N mto-11

F^ — ^61n26 rdr\ = _ Мб In

\6/

F^ — ^61n26 rdr\ = _ Мб In

\6/

еце_) _б£

N mto-

еце_) _б£

N mto-

1

1

Свободная энергия удовлетворяет общему соотношению dF = = —SdQ —AdK, где со2 надо считать внешним параметром к (см. (8.38)). Далее находим средний квадрат расстояния молекулы от оси:

-52 dF /126 \ п,

1 Nm д (io2)_mco^»

\1-е26/

потому что если со2 = л, то 2= — ^-=л (см. (8./)).

При очень больших угловых скоростях r2-^R\ а при малых скоростях Г2= 2-.

ФЛЮКТУАЦИИ

Обратимость уравнений механики во времени. В классической механике начальное и конечное состояния системы связаны взаимно однозначным образом: одно из них полностью определяет другое. Математически это обстоятельство выражается в том, что если изменить знаки всех скоростей на противоположные, движение пойдет в обратном направлении. Изменение знака скоростей формально равносильно перемене знака времени. Но если изменить знак времени, то вид уравнений Лагранжа не изменится. То же самое видно из второго закона Ньютона, куда входят только вторые производные по времени.

Для того чтобы совершить такой же переход в уравнениях электродинамики, надо прежде всего изменить знаки всех токов. Чтобы не изменился вид уравнений Максвелла [12.30] и [12.32], надо вместе с током изменить и знак магнитного поля, а электрическое поле оставить без изменения. Так как магнитное поле — аксиальный вектор, или псевдовектор, выбор его знака носит чисто условный характер.

Уравнения квантовой механики тоже сохраняют форму при замене / на —L В простейшем случае, когда оператор Гамильтона — действительный, т. е. не содержит I, переход от t к —t просто означает замену ф->ф*, что непосредственно видно по уравнению Шредингера Яф = — 4 ^ . Но функция ф вполне равноправна с ф* (безразлично, какую из них считать сопряженной). В более сложных случаях, когда оператор Н комплексный, тоже всегда можно вместе

с заменой t на —/ перейти от функции ф к другой, физически ей вполне равнозначной.

Статистическая механика и обратимость во времени. Исследуем теперь, как законы статистической механики относятся к обращению времени. Статистическая механика утверждает, что если система в некоторый начальный момент времени была отклонена от статистического равновесия, то в подавляющем большинстве случаев она в дальнейшем будет приближаться к равновесию. Система же, находящаяся в равновесии при неизменных внешних условиях, так и останется в равновесии, какие бы воображаемые изменения знака времени ни производились в уравнениях механики, описывающих детальное, микроскопическое состояние системы. Поэтому может показаться, что возникла парадоксальная ситуация: законы статистики, по виду неинвариантные относительно обращения времени, выведены из уравнений механики.

Постановка задачи в классической механике и статистике. Возникшее противоречие сразу исчезает, если рассматривать ква- зизамкнутые статистические системы, находящиеся во взаимодействии с окружающей средой. В таких системах замена t на —/ просто недостаточна, чтобы заставить процессы протекать в обратном направлении. Однако интересно разобраться в ситуации и для случая строго замкнутой системы, чтобы сблизить общую постановку задачи в механике и статистике. Рассмотрим кажущийся парадокс в пределах классических законов движения. Сначала возьмем следующий пример. Пусть газ занимает одну половину сосуда, разделенного перегородкой, а в другой половине — вакуум. После того как перегородка убрана, газ заполнит весь сосуд. Будем рассматривать движение каждой молекулы как происходящее по законам классической механики, так что в каждый момент точно известны ее координаты и импульсы. Пусть они отложены по осям 6-мерной воображаемой координатной системы, обнимающей так называемое пространство фаз. Каждая точка в этом 6-мерном пространстве задает состояние всех молекул газа. Движение всех молекул изобразится в виде движения одной точки в фазовом пространстве по траектории.

Таким образом, переход газа из состояния, в котором он целиком собран в одной половине сосуда, в состояние статистического равновесия отвечает перемещению точки в фазовом пространстве из одной его области в другую область, отвечающую статистическому равновесию. Если газ полностью изолирован от внешних воздействий и в состоянии статистического равновесия знаки всех скоростей как-либо изменятся на противоположные, то фазовая точка, изображающая состояние газа, будет перемещаться в обратном направлении и весь газ соберется в одной половине сосуда. А так как любое равновесное состояние газа достижимо из неравновесного, то газ, казалось бы, должен столь же часто выходить из состояния статистического равновесия, сколь часто он в него приходит. Но этого на самом деле, очевидно, не наблюдается. Так выглядит в его прос- 126

тейшей форме кажущееся противоречие между принципом причинности классической механики и связанной с ним обратимостью времени и понятием необратимости переходов в статистике.

На самом деле равновесием в статистике называется целая область состояний, в которой замкнутая система проводит подавляющую часть всего времени, а не какое-нибудь одно, строго определенное состояние. Фазовая точка чрезвычайно долго блуждает в области равновесия, прежде чем самопроизвольно выйдет из него сколько- нибудь далеко. Через огромное большинство фазовых точек в области статистического равновесия проходят такие траектории, «извилины» которых почти нигде не попадают в области, отвечающие заметно неравновесным состояниям.

Если выбрать некоторый участок области равновесия, то можно утверждать, что система столь же часто выходит из него, как и возвращается в него, но в огромном большинстве случаев выходит «недалеко».

Поэтому кажущаяся необратимость в статистике связана с постановкой задачи в ней: в неравновесных состояних система остается недолго и быстро попадает в равновесные состояния; в равновесных состояниях она остается весьма долгое время, так что вероятностью самопроизвольного выхода из этих состояний практически можно пренебречь. Но в настоящем параграфе будет вычисляться вероятность именно самопроизвольных, хотя и малых отклонений системы от равновесия.

Квантовая механика и необратимость переходов. В основе квантовой статистики лежит принцип детального равновесия (§ 1). Согласно этому принципу равны вероятности прямого и обратного перехода между двумя состояниями, имеющими одинаковый статистический вес. Но из этого принципа отнюдь не следует, что вероятность перехода из равновесного состояния в неравновесное такая же, как из неравновесного состояния в равновесное. Статистически равновесное состояние включает очень много равновероятных микросостояний, а неравновесное состояние — сравнительно мало микросостояний: система потому и проводит подавляющую часть в равновесии, что неравновесных состояний несравненно меньше, чем равновесных. Каждое данное микросостояние, принадлежащее к совокупности состояний статистического равновесия, с подавляющей вероятностью переходит опять в состояние той же области, т. е. в равновесное, и только с ничтожной вероятностью — в состояние не из числа равновесных. Неравновесное состояние преимущественно переходит в равновесное потому, что переход в менее равновесное состояние может осуществиться несравненно меньшим числом равновероятных способов. Поэтому и оказывается, что система как бы «стремится» к равновесию, несмотря на одинаковую вероятность прямого и обратного перехода между любыми двумя равновероятными микросостояниями.

Формула Пуассона. Самопроизвольный переход системы из равновесного состояния в заметно неравновесное весьма маловеро-

ятен, но не совершенно невозможен. Отклонения истинных величин от средних тем вероятнее, чем меньше система, в которой они происходят. Если, например, наблюдать за молекулами газа в кубике с ребром 10 6 см, то при нормальных условиях (0° С, 760 мм рт. ст?) среднее число молекул составляет всего 27. Молекулы могут уходить в соседние участки, так что истинное число их в некотором объеме будет испытывать весьма заметные отклонения от числа 27.

Легко определить вероятность того, что в данном объеме V будет М молекул, если в полном объеме V() заключено Мо молекул. Вероятность нахождения одной молекулы в объеме V равна, очевидно, ^-. Поэтому вероятность нахождения N молекул в объеме V и Мо — — N молекул в остальной части объема равна

MJ(^-AQ! АПMJ(^-AQ! АП'То/ (у J'То/ (у J(10.1)(10.1)

MJ(^-AQ! АП

MJ(^-AQ! АП

'То/ (у J

'То/ (у J

(10.1)

(10.1)

Множитель впереди показывает число способов, которыми из общего числа Мо молекул выбираются N. Формула, аналогичная (10.1), была выведена в задаче 1 § 1 для вероятности выпадания решки N раз.

Пусть общее число молекул сколь угодно велико, a N — любое, но гораздо меньшее число. Преобразуем отношение факториалов так:

(Л^о — 1) (^Vo2)...+ 1) =

No V~n»)Vn;)•

Величины и (1 —представим следующим образом:

fl _rz _ £Wq(у ^

\ г о/L\ ;vo/ J

/ V W Nn

где N = y- Mo по определению N. Подставляя все полученные выражения в исходную формулу, находим искомую вероятность

(Ю.2)

Это — формула Пуассона. Сразу видно, что она нормирована на единицу, как и само исходное выражение. В задаче 1 будет показано, что распределение (10.2) имеет весьма острый максимум при N = N.

По формуле Пуассона вычисляется разброс случайных величин для самых различных случаев, например для числа отсчетов счетчика заряженных частиц. С помощью этой формулы узнают вероятность того, что зарегистрированные частицы указывают на неко-

торый реальный эффект, а не вызваны случайным фоном, допускающим известное превышение числа отсчетов над средним.

Вероятность флюктуации. Выведем общую формулу для вероятности флюктуации величин в подсистеме большой системы. Частным случаем такой подсистемы является рассмотренный только что небольшой объем газа.

Пусть в подсистеме произошло самопроизвольное отклонение от статистического равновесия. Тем самым отклонилась от равновесия и вся система. Отношение вероятностей равновесного и неравновесного состояний большой системы равно отношению статистических весов состояний:

где IF и G даются для большой системы. Индекс 0 означает равновесное состояние.

Выражая статистический вес через энтропию (S = In G), получим:

^ = es-s«.(10.4)

Формуле (10.4) можно придать несколько иной вид. Так как большая система замкнутая, ее энергия при флюктуации не изменяется (£ — £0). Но полная и свободная энергия находятся в таком соотношении: F = Е— б£, £0 = £0— е£0. Из этих равенств следует, что изменение энтропии системы при флюктуации равно взятому с противоположным знаком изменению свободной энергии, деленному на температуру:

S-So = ^^ = -^.(10.5)

Изменение свободной энергии выражено через минимальную работу с помощью (8.36).

Отметим сразу, что Лмин есть та минимальная внешняя работа, которую пришлось бы произвести над системой, чтобы вызвать рассматриваемую флюктуацию обратимым образом, т. е. без всякого изменения энтропии. Фактически же никакая работа не совершается, а флюктуация происходит самопроизвольно, и энтропия несколько уменьшается. То, что работа на самом деле не совершена, видно из равенства Е = £0, положенного в основу вывода.

Итак, вероятность флюктуации в подсистеме определяется следующей формулой, принадлежащей Эйнштейну:

W^e 6 .(106)

В подсистеме можно вызвать такое же отклонение, как ожидаемое по формуле (10.6), производя обратимую работу Лмин.

Флюктуации термодинамических величин. Приведем выражение минимальной энергии к виду, более удобному для конкретных вычислений. Будем считать, что большая система разделена на две части: малую, в которой происходит флюктуация, и большую остальную часть, где величины меняются обратимо. Флюктуация есть самопроизвольное нарушение статистического равновесия в малой подсистеме. Флюктуирующие величины, относящиеся к подсистеме, мы будем писать без индексов, а равновесные — с индексом нуль; величины, которые описывают остальную часть системы, получат верхний индекс «штрих».

Минимальная работа по определению вычисляется при постоянной энтропии всей системы, т. е. так, как будто происходит не флюктуация, а некоторое изменение величин за счет внешнего воздействия, не нарушающего статистического равновесия. При внешнем воздействии работа равна изменению энергии системы:

ДМИН = А£ + А£\(10.7)

Положительный знак соответствует тому, что работа совершается над системой.

Изменения величин в большой системе весьма малы, и тем меньше, чем больше система. Так что А£' заменяется по термодинамическому тождеству (8.26):

A£'==0oAS'-poAV'.(10.8)

Работа Дмин вычисляется, как уже указывалось, при обратимом процессе. Поэтому AS' =—AS, а, кроме того, конечно, AV'=—AV. Следовательно,

Дмин = А£ — 60 AS+ ро А V.(Ю.9)

Большие флюктуации маловероятны. Поэтому и в подсистеме величины AS и AV следует считать малыми. Но для подсистемы уже необходимо разлагать в ряд до малых второго порядка, так как в противном случае выражение для Дмин оказалось бы тождественно равным нулю (разложение энтропии вблизи максимума может начинаться только с квадратичных членов). Итак,

А£ = О). AS + (w).<А W +

+ (^).A1/AA'+2(S)o’AS)A

т т I дЕ \ а / дЕ \л

Но— Ро- Следовательно, в выражении Дшш =

= А£ + А£' остаются действительно только квадратичные величины по малым отклонениям. Эти члены можно представить в несколько иной форме. Пользуясь тем, что

/ д“Е \/ др \/ д2Е \ _ / дб \ . д2Е /др \ / дб \

VW2 )s = “ \W )s; \д& )v \ dS jv' "dSdV ~ “ \dS )v — У "dV js'

запишем Лмин следующим образом:

2 AvIBVv+(4iVsl +

+ г^К^У^Я^ИМ" ^ЛЗ-АрЛИ. (10.10) L\ /о\ ио /о J

Поэтому формула Эйнштейна для вероятности флюктуации преобразуется к такому виду:

^_е2*б (ДрАУ-ЛеЛ5)>(10.11)

где индекс 0 при 9 опущен.

Найдем вероятность флюктуации объема и температуры. Для этого заменим ^p и AS их выражениями через объем и температуру:

ьр=4-^ ^+СдДА Д6»м \oV\ дв) v

Ь8=Д^Л АУ + f^ aq-\ dV 1 \ дб /у

Но согласно (8.39) [ ^-^ = ("^е* Поэтому правую часть равенства (10.11) можно представить как произведение двух сомножителей, зависящих только от АУ и от Аб:

у? ^^(^Ууб (^vy .е” 20 (^К (Л0)\(10.12)

Теперь легко определить средние квадратичные флюктуаций (АУ)2 и (Аб)2. Если ввести обозначение

то квадрат флюктуации объема можно записать в таком виде:

Интегрирование законно было распространить на всю числовую ось от —оо до оо, потому что при больших АУ подынтегральная функция весьма мала.

Окончательно приходим к формуле

W="W(10,15)

\ W /б

Следует отметить, что это выражение для флюктуации объема подсистемы применимо только при постоянной ее температуре. При постоянной энтропии получилось бы другое выражение. Ана-

логично находится и квадрат флюктуации температуры при постоянном объеме:

(де^=е(^ = 41(10.16)

\/ V cv

Заметим, что квадратичная флюктуация объема (величины

/ дУ \ ~-х— . Следовательно\ др /0/ дУ \ ~-х— . Следовательно\ др /0аддитивной) пропорциональна первой степени аддитивной величины

/ дУ \ ~

-х— . Следовательно

\ др /0

/ дУ \ ~

-х— . Следовательно

\ др /0

относительная флюктуация объема V(А V)2/ V

обратно пропорциональна корню квадратному из размеров системы. Это утверждение было высказано применительно к энергии в § 7. Флюктуация температуры У^Аб)2 обратно пропорциональна корню квадратному из теплоемкости и поэтому тоже убывает с размерами

подсистемы, как и следовало ожидать.

Величина 6 есть модуль распределения Гиббса всей большой системы. Когда происходит флюктуация в подсистеме, то величина 9, разумеется, не совпадает с ее температурой, т. е. с ее модулем распределения, относящимся к тому промежутку времени, в течение которого подсистема независима от большой системы. Для этого промежутка времени 6, строго говоря, не является и температурой большой системы, ибо 6 имеет смысл температуры только применительно к полному равновесию.

Температура и энергия системы связаны не вполне однозначно: при заданной энергии температура может испытывать небольшие флюктуации, а при заданной температуре флюктуации может йен ытывать энер ги я.

Термодинамические неравенства. Из формул (10.15) и (10.16) следуют весьма важные термодинамические неравенства:

/ др \Ur Л/ др \Ur Л<0,<0,Су>Су>0.0.(10.17)(10.17)

/ др \

Ur Л

/ др \

Ur Л

<0,

<0,

Су>

Су>

0.

0.

(10.17)

(10.17)

Состояние вещества может быть устойчивым только тогда, когда выполняются эти неравенства. В противном случае отклонение от равновесия становится тем вероятнее, чем оно больше. Если уравнение состояния вещества указывает, что неравенства (10.17) нарушаются при каких-либо р, 6 и V, то в этой области значений термодинамических величин вещество неустойчиво и должно распасться на отдельные фазы (например, жидкость и пар), которым отвечают другие V.

Среднее значение флюктуаций двух величин. Рассмотрим теперь совместно флюктуации объема и энтропии. В этом случае формула для вероятности флюктуации выглядит так:

е" 26 + 2 ( dV )s AV + (is )v (AS)2j (10.18)

Здесь выражение в правой части уже не распадается на произведение двух сомножителей, зависящих от каждой переменной в отдельности. Поэтому наряду с флюктуацией объема при постоянной 132

энтропии и флюктуацией энтропии при постоянном объеме отлично от нуля и среднее значение от произведения флюктуации объема и энтропии: AVAS ^ 0. Вычислим это среднее по формуле (10.18), которую сначала запишем в сокращенных обозначениях:

(10.19)(10.19)((Хц (А V)2 2ai2 AV AS Д- а2г (AS)2)

(10.19)

(10.19)

W ^е 26

В этих обозначениях искомая величина представится так:

AP-AS =

= - » In У (

da12 J Jx x

Чтобы вычислить интеграл, запишем квадратичное выражение в показателе степени в виде суммы квадратов:

(/anAV4—^AS? + ^I^^IAS)2.-

\V «и У«и

После этого произведем замену переменных, обозначая

ду + 2и дд^.

Переменная интегрирования х изменяется в тех же пределах, как и А V и AS, т. е. от —со до со. Интеграл в (10.19) теперь вычисляется так:

(AS)2)(AS)2)q -g P л ng Г лссц2лr au rana33 —a^3Тацаза — af2q -g P л ng Г лссц2лr au rana33 —a^3Тацаза — af2d xd AS =d xd AS =(10.20)(10.20)

(AS)2)

(AS)2)

q -g P л ng Г лссц2л

r au rana33 —a^3Тацаза — af2

q -g P л ng Г лссц2л

r au rana33 —a^3Тацаза — af2

d xd AS =

d xd AS =

(10.20)

(10.20)

Отсюда находим искомую величину:

AP7AS = ■ 5 In 2л —=s \dVJ_s

5a13Paii^g—a^2а|2 —аца23 (d6\2jJdP\ UL\

\dVjs^\dV)s\dS)v

(10.21)

Рассмотрим величину

6( дб у ./ др \ рб \ // 56 \/ 56 \/ др \ / dV \

ДуТдЗ ~ \ QV is + \ dV )s Us )v/ \dV )s~ \dV )s\ dV )s ( dS )6

dp \/ 5p \ / dV \

аГД" \дй)5( Д^Уе"

Но если представить давление как функцию энтропии и объема в виде р = р [8, V (S, 6)1, то последнее выражение есть — (-|§-)Q, откуда и следует (см. (8.46)), что

АУ.А8 = б(^ .(10.22)

\/Р

Полученный результат показывает, что флюктуации объема и энтропии связаны, или коррелированы. Это понятно, так как если объем системы увеличивается, то возрастает и статистический вес состояния, т. е. энтропия.

Упражнение 10

Написать формулу Пуассона (10.2) для больших N и N.

Представим (10.2) в следующем виде:

IW __1 —p-N + N In N — N In N + N

где АП написан с той же точностью, как в задаче 1 упражнения 1.

Далее, представим In как —In (^1 4 ^—jh разложим в ряд до второго члена включительно. Это приводит к распределению Гаусса

_ у (n-W

и средней квадратичной флюктуации (ДМ)2 = АЛ То же значение флюктуации следует и из точной формулы Пуассона:

или

p^NMN'W-

Найти флюктуацию давления при постоянной энтропии и флюктуацию энтропии при постоянном давлении.

Ответы.

W=cp, Xw=-^^s.

3» Найти среднее значение Аб Ар.

Ответ:

aW = -62J^ .

су \^ )у

Найти флюктуацию энергии и числа электромагнитного поля с данной частотой.

Исходя из выражения

/ По \-1

£to= Йео \5 9 — 1; ,

получим с помощью (7.23): hto f hto \-2

ТА£^2 _ ^м)2 е VX^V - i; .

Эту формулу представляем так:

Г/ Пб) \-1/ /26)\-21

^Еюу=^у [И - и + И" - и ].

Переходя к числу квантов с данной частотой Л^=-^-, получим:

Флюктуация числа квантов выглядит иначе, чем флюктуация числа частиц больцмановского газа в задаче 1.

Математический маятник, висящий вертикально, совершает флюктуационные колебания около положения равновесия. Найти средний квадрат угла отклонения от вертикали.

Обозначим- длину маятника /, а его массу т. Согласно [§ 7] потенциальная энергия при отклонении на угол ср равна ^mgl^2. В данном случае это и есть минимальная работа, входящая в вероятность флюктуации. Отсюда

§ 11. РАВНОВЕСИЕ ФАЗ

Распадение на фазы. Вещество, состоящее из молекул одного сорта, характеризуется четырьмя величинами: количеством частиц, температурой, давлением и объемом. Из них независимы только три величины, так как должно выполняться уравнение состояния. Так, у идеального газа имеет место уравнение Клапейрона pV = NG.

Идеальный газ равномерно заполняет весь предоставляемый ему объем и в этом смысле является не правилом, а исключением. Если же взять, например, 1 г воды при температуре 20° С, то его никаким давлением нельзя заставить равномерно заполнять объем 10 см3 (об отрицательных давлениях см. ниже в этом параграфе). Помещенный в такой объем грамм воды при 20° С распадается на Две части: жидкую и газообразную, иначе говоря, не остается

однородным. При этом в системе устанавливается некоторое, вполне определенное равновесное давление.

В состоянии статистического равновесия среднее количество молекул, переходящих из жидкости в пар, равно среднему количеству молекул, конденсирующихся из пара в жидкость. Легко понять, что это условие может быть выполнено не при всех давлениях: число ударов молекул о жидкую поверхность в единицу времени прямо пропорционально давлению, тогда как число испаряющихся молекул зависит от давления очень слабо. Поэтому при заданной температуре только одно давление обеспечивает равновесие между жидкостью и паром. В других условиях может произойти распадение на жидкость и твердое тело, на газ и твердое тело, на твердые тела различных кристаллических модификаций или, вообще, распадение на фазы.

Условие равновесия фаз. Равновесное давление в его зависимости от температуры может быть в общем виде выражено методами статистической физики и не требует детального рассмотрения механизма перехода одной фазы в другую.

В состоянии равновесия температура и давление в двух фазах, конечно, одинаковы. Это условие необходимо, но не достаточно для равновесия. Кроме равенства в обеих фазах температуры и давления, еще должно выполняться условие минимальности термодинамического потенциала Ф (§ 8). Термодинамический потенциал аддитивен: он равен сумме потенциалов обеих фаз, и условие его минимальности записывается следующим образом:

^Ф^^ + ^Ф^О.(11.1)

При заданной температуре и давлении изменение Фг и Ф2 происходит только за счет числа частиц. Согласно (8.47) находим:

dФ1 = |л1dNXl ^Ф2^р2й№т2.(Н-2)

Но сколько молекул выходит из одной фазы, столько попадает в другую:-

dN^ — dN.2.

Отсюда следует, что

(R-^^-O.(11.3)

Так как dNx — произвольное число, то условие равновесия фаз сводится к равенству химических потенциалов обеих фаз:

М/Л 6) = М/Л 6).(11.4)

Это уравнение может быть изображено в виде кривой в плоскости р, Q. Иначе говоря, некоторой температуре отвечает вполне определенное давление.

В равновесии могут находиться и три фазы одного и того же вещества. Тогда условие равновесия записывается в виде двух равенств:

Нх(Р» 6) = МР. 6) = Нз(Р, 6).(11.5)

Эти уравнения задают одну точку в плоскости р, 9 (тройную точку). Из нее выходят кривые равновесия между каждыми двумя из трех фаз (рис. 7).

Теплота перехода. Две фазы одного и того же вещества обычно сильно отличаются друг от друга: их удельный объем, энтропия, энергия и другие аддитивные величины испытывают скачок в точке перехода. Так как переход совершается при постоянном давлении, то количество тепла равно изменению тепловой функции. Будем относить это тепло к одной молекуле, поэтому и тепловая функция должна быть отнесена к одной молекуле. Эту функцию обозначим буквой I. Аналогично энтропию, приходящуюся на одну молекулу, обозначим через s. Тогда теплота перехода, отнесенная к одной молекуле, равна

q = (Н.6)

В общем случае тепловая функция связана с термодинамическим потенциалом соотношением / = Ф + gS. Переходя к величинам, отнесенным к одной молекуле, и применяя (8.48), получим:

ОтсюдаОтсюда(11.7)(11.7)i = |i-|- 6s.

Отсюда

Отсюда

(11.7)

(11.7)

^ = H2-Hi + 9(s3-8i).

Но при равновесии |ix = ц2. Поэтому теплота перехода равна температуре, умноженной на изменение энтропии при фазовом превращении:

(Н.8)(Н.8)^=6 (Sa-Si).

(Н.8)

(Н.8)

Этот результат вполне понятен, так как фазовый переход есть процесс обратимый.

Уравнение Клаузиуса — Клапейрона. Рассмотрим две фазы одного и того же вещества, находящиеся между собой в равновесии. Предположим, что температура в равновесной системе несколько изменилась. Выясним, как должно измениться давление, чтобы равновесие не нарушилось. Иначе говоря, найдем производную dp

вдоль кривой равновесия.

Зависимость равновесного давления от температуры задана в виде неявной функции (11.4). Искомая производная находится по общему правилу:

(11.9)(11.9)dp_^ _ Гд^-Ца) 1 /r^Gh_zJ^l dQ L дб Jp / L dp Jo*

(11.9)

(11.9)

Согласно (8.48)

(11.10)

где и — объем, отнесенный к одной молекуле. Умножая числитель и знаменатель правой части (11.9) на 9 и привлекая (11.8), получаем искомое уравнение:

(11.11)(11.11)dp д

(11.11)

(11.11)

d6 6 (у2 — yi) ’

которое известно как уравнение Клаузиуса — Клапейрона.

Допустим, что рассматривается переход, для которого q положительно, например плавление. Тогда знак производной зависит от того, какая фаза имеет больший удельный объем: жидкая или твердая. Например, удельный объем воды в точке плавления меньше, чем удельный объем льда, так что ц2 — ^ — величина отрицательная. Если повысить давление над системой из воды и льда, но так, чтобы равновесие не нарушилось, то температура понизится. Известно, что лед действительно плавится под давлением.

При переходе в газообразную фазу (испарение, если переходит жидкость, или сублимация, если переходит твердое тело) имеет место неравенство v2 S’ ^i- Пренебрегая vL в уравнении (11.11) и заменяя 6'

у2 через —, получим:

^Sl£.±/у 12)

dine о*

Эта производная всегда положительна. Поэтому кривые равновесия воды вблизи тройной точки можно изобразить примерно так, как показано на рисунке 7. Кривая равновесия между водой и льдом имеет отрицательную производную.

Газ, близкий к идеальному. Чтобы описать фазовый переход с помощью уравнения состояния, надо иметь уравнение, справедливое для обеих фаз, каким теория не располагает. Поэтому применяется модельное уравнение Ван дер Ваальса, по которому строится качественная картина перехода в системе газ — жидкость. Чтобы прийти к этому уравнению, полезно сначала рассмотреть газ, мало отклоняющийся от идеального, а затем совершить необходимую экстраполяцию к системе, способной конденсироваться. Такой под

ход позволяет понять смысл

параметров, задающих величину отклонения газа от идеальности.

Пока газ мало отличается от идеального, к нему следует применять обычные методы статистики. Начнем с выражения для свободной энергии (8.40), считая, что газ состоит из одинаковых частиц, движущихся в пространстве классическим образом. Тогда в свободную

энергию надо ввести ^!, как это было разъяснено в §9. Запишем ее в таком виде:

(11.13)(11.13)F = — 6 In | ^тр \ е 6 dP \ е 6 dT0

(11.13)

(11.13)

Здесь U — энергия взаимодействия между отдельными молекулами, зависящая от их расположения в пространстве, Е’ — остальная часть гамильтониана газа, йГ0 и dT' — соответствующие элементы фазового объема.

Отклонение газа от идеальности описывает второй интеграл в (11.13). Преобразуем его логарифм следующим образом:

Так как газ по условию близок к идеальному, надо считать, что отношение -- в основной части фазового пространства — величина малая, так что интеграл от разности \е 6 — 1/мал по сравнению с интегралом от 1. В этом приближении получим:

(11.14)(11.14)рр Пе 6 -1 №

(11.14)

(11.14)

In \ е 6 dF0 = In \ йГ0 + ——?

JJ\ dr0

Если U зависит только от координат центров инерции молекул, N

то dF0= JJ dVk, так что^ dT0 есть VN. Значение U может зависеть к = 1

и от ориентации молекул в пространстве, но это ничего не меняет в окончательных выводах. Для вычисления второго слагаемого снова воспользуемся тем, что газ близок к идеальному, т. е. имеет малую плотность. Тогда взаимодействие между молекулами осуществляется в нем в основном при парных столкновениях. Встречи трех молекул одновременно мало вероятны и не дают заметного вклада в статистический интеграл. Число всех возможных пар из N молекул _ W(W-l) W2 гт

равно —По координатам центров тяжести всех остальных молекул, кроме сталкивающейся пары, можно проинтегрировать непосредственно:

С ( - У- \ N2 VN-2 С /^.2\

—3 V 6 -^dV^V^

(11.15)

где [/12 — потенциальная энергия взаимодействия одной пары молекул. В [/12 входит только относительное расположение обеих молекул, так что интегрирование по координатам их общего центра инерции выполняется непосредственно. Это даст еще один сомножитель V.

Зависимость U^ от расстояния между молекулами можно описать следующим образом. Начиная с некоторого расстояния г0 и ближе они очень сильно отталкиваются, наподобие твердых шаров. Следовательно, при г энергия отталкивания U гораздо больше

6 , а это значит, что е 6 можно пренебречь по сравнению с единицей. При г>г0 отталкивание переходит в притяжение. Это — экспериментальный факт, потому что все газы способны конденсироваться, что при одних силах отталкивания было бы невозможно. В области притяжения | [/12 |^6. Таким образом, приходим к равенству:

§ (е-^_ i)dv12=- $ dvla- ^=

г ГоГ > Го

(11.16)

Если рассматривать в условном смысле г0 как удвоенный «радиус» молекулы, то очевидно, что |3 — ее восьмикратный объем.

Подставляя найденное выражение интеграла) а ° dF0 в (11.13), находим свободную энергию газа, близкого к идеальному:

Е'.t

г-,Л 1С А1 N‘"б (п OS \т-1. N"О / q os \

Е = N6 In -у eV ^£ dT Ц 2]/ у q"у ^ид 4 2V \Р в у *

(11.17)

Здесь первое слагаемое — свободная энергия идеального газа, второе — поправка на неидеальность, пропорциональная первой степени плотности газа у. Иначе говоря, здесь найден первый член разложения по степеням плотности газа. Это возможно было сделать потому, что

ZV12 d V12 < сю

(интеграл сходится). Для этого необходимо, чтобы силы притяжения убывали быстрее, чем куб расстояния между молекулами. Иначе не применимо приближение парных столкновений.

Найдем теперь давление газа:

р —+ 2V2 Д "в)'(11.18)

Полученная формула выведена только для не очень плотного газа. Переходим теперь к экстраполяции на произвольную плотность.

Уравнение Ван дер Ваальса. При очень сильных сжатиях, когда среднее расстояние между центрами молекул близко к г0, 140

давление должно становиться очень большим, так как у них остается малый свободный объем. Этому физическому требованию можно формально удовлетворить таким способом. Вместо уравнения (11.18)

напишем:

(11.19)(11.19)N6 N-a

(11.19)

(11.19)

7 Аф' ~

v 2

Эту формулу нельзя вывести из основ статистической механики. Она имеет чисто модельный характер. Зато она учитывает необходимое свойство неидеального газа: сильный рост давления при тесном сближении молекул. Формально по уравнению (11.19) давление обращается в бесконечность, когда объем газа равен учетверенному объему всех молекул -—-. Условность результата видна уже из того, что сюда входит именно учетверенный объем: множитель 4 на самом деле здесь ничем не выделен.

Притяжение между молекулами уменьшает давление в газе пропорционально квадрату его плотности. Это можно показать наглядно, рассуждая так. Давление газа на стенку пропорционально плотности его кинетической энергии (см. (2.22)). Кинетическая энергия молекулы, ударяющейся о стенку, уменьшается за счет притяжения этой молекулы к остальным молекулам, находящимся в объеме. Если притяжение пропорционально числу взаимодействующих пар, то ясно, что на одну молекулу это даст уменьшение кинетичес-

„ N

кои энергии на величину порядка у,ав пересчете на плотность кинетической энергии получается величина порядка!у 1 , что и учтено в уравнении Ван дер Ваальса (11.19).

Его принято писать в таких обозначениях:

Тогда окончательно получаем:

Р V — Ь V2 * ( 1.20)

Точное уравнение состояния реальной жидкости должно быть гораздо сложнее, чем (П.20). Но такое уравнение реальной жидкости все равно будет применимо к некоторому сравнительно узкому классу жидкостей и не сможет описывать перехода «жидкость — газ» в общем виде.

Между тем модельное уравнение (П.20) как раз является достаточно общим для описания фазового перехода, имеет сравнительно простой вид и в предельном случае малых плотностей аналитически переходит в уравнение состояния идеального газа.

Уточнять это уравнение может понадобиться только в том случае, если будут найдены качественно новые детали поведения системы газ — жидкость, не заключающиеся в формуле (П.20).

Менее чем два параметра необходимое уравнение состояния содержать не может. Если не будет сил притяжения (а = 0), не произойдет конденсация, а без исключенного объема b система стянется в точку, а не в жидкость конечной протяженности.

Уравнение Ван дер Ваальса и фазовый переход. Покажем теперь, как из уравнения Ван дер Ваальса следует, что существует область

состояний, в которой вещество распадается на газообразную и жидкую фазу. Уравнение (11.20) — третьей степени относительно объема. При некоторых значениях о ир оно должно иметь три действительных корня. Кривая зависимости давления от объема при постоянной температуре (изотерма) показана на рисунке 8. Между точ-

положительна, а согласно первомуположительна, а согласно первомуD т-'/\

положительна, а согласно первому

положительна, а согласно первому

ками В и г производная Пу )

W/oW/oнеравенству (10.17) состояние вещества при таком знаке

W/o

W/o

неустойчиво. Отсюда следует необходимость распада вещества в этой области на две фазы.

Ветвь кривой А К отвечает жидкому состоянию, т. е. малому объему. При уменьшении давления жидкость расширяется до точки К, после чего изменение происходит вдоль прямой KL. Точки К и L однозначно определяются условием равенства химических потенциалов (11.4), а промежуточные точки прямой отвечают смеси, жидкости в состоянии, принадлежащем К, и пара в состоянии L. Заметим, что положение точки К при температуре, соответствующей данной изотерме, определено однозначно.

Участок КВ не абсолютно неустойчивый, так как на нем ^р)9< < 0. Можно осуществить состояния этого участка, не давая образовываться пузырькам пара в жидкости (перегретая жидкость — см. § 14). Кроме того, жидкость должна быть свободна от различных включений, например пузырьков посторонних газов. Иногда участок KL лежит частично ниже оси абсцисс, что соответствует отрицательному давлению, т. е. растяжению жидкости. Она действительно может растягиваться, если везде прилипает к стенкам сосуда и не имеет свободной поверхности. Участок FL отвечает переохлажденному пару, который можно получить, не давая образовываться центрам конденсации. Такие центры, или зародыши, конденсации легко возникают, например, на ионах. На этом основано действие камеры Вильсона для наблюдения следов (треков) заряженных час- тищ

Критическая точка. При достаточно высокой температуре первый член справа в уравнении Ван дер Ваальса преобладает над вторым. Тогда уравнение становится очень похожим на уравнение Клапейрона для объема V — Ь. Но такое уравнение имеет только один действительный корень для каждого значения р. Это отвечает хорошо известному факту, что при высокой температуре вещество не расслаивается на жидкую и газообразную фазы ни при каком давлении.

Определим температуру, при которой расслоение на фазы прекращается. На соответствующей изотерме A'CD' (рис. 8) точки В и F, где производная (^)0 обращается в нуль, сливаются в одну точку С и область неустойчивых состояний исчезает. В точке С объединяются все три корня уравнения (11.20), так что точка С отвечает тройному корню. Но разложение функции относительно разности V — Vc должно начинаться с члена третьей степени, если Vc — тройной корень. Линейный и квадратичный члены обращаются в нуль в том случае, если первая и вторая производные давления по объему в точке С равны нулю. Отсюда легко определить положение точки С по уравнению Ван дер Ваальса.

Записываем условие обращения в нуль первой и второй производных:

/ др \N6r2а

(Ж)= -7v Ж+чтт^О, (11.21)

\dV )9 (V = VC) 6 = 6С)Сс^)2vc

id^px2 NO ба„

(у = ус> е = ос)(Vc-by v^.

Отсюда

Vc~b vc

2 или

VcSb.(11.23)

2727Согласно (11.21) получается

27

27

N6rVAfl t

2(^с-^)2

Следовательно,

9с-9с-8 а 2T”Nb*8 а 2T”Nb*(11.24)(11.24)

9с-

9с-

8 а 2T”Nb*

8 а 2T”Nb*

(11.24)

(11.24)

Давление в точке С определится по уравнению Ван дер Ваальса:

N6rа

(1L25)

v с °Vc

Если изобразить кривую равновесия фаз в плоскости 9, р, то в точке (р = рс, 9 = 0С) эта кривая окончится. Точка С назы-

вается критической. При температуре 6 > 6с расслоения на фазы не происходит.

Критическая точка может существовать только на кривой равновесия между такими двумя фазами, которые не обладают каким-либо признаком, не способным меняться непрерывно. Примером такого признака может служить упорядоченность в строении кристалла: положение атома в идеальном кристалле в принципе задает при данной ориентации в пространстве положение всего кристалла, как бы велик он ни был. Между тем положение атома в жидкости влияет только на положение ближайших его соседей. Поэтому непрерывный переход между твердой кристаллической фазой и жидкой фазой некоторого вещества невозможен. Кривая, разделяющая кристаллическую и жидкую фазы, нс имеет критической точки, обойдя которую удавалось бы превратить жидкость в кристалл постепенно, минуя четко выраженную температуру плавления.

Закон соответственных состояний. Исключим из уравнения (11.20) постоянные а, b и N с помощью уравнений (11.23—25):

Vr 8

a=3Vcpc, b = N =(11.26)

Последнее из этих трех выражений показывает, насколько в критической точке вещество отличается от идеального газа: в уравнении состояния PcVc = 8 NSC появляется коэффициент 3/8 (вместо 1). Но это соотношение, как общее правило, не выполняется. Уравнение Ван дер Ваальса носит приближенный характер. Поэтому нет ничего удивительного в том, что у реальных веществ

Q

PCVC^ ^с.

Если теперь подставить (11.26) в (11.20), получится: р 89/9r/Vr\2

Pcw/vc-iV ) *и1-

Формула (11.27) выражает частный вид так называемого закона соответственных состояний: для двух разных веществ отношения Р 6 V

-р-, -Q - и —связаны одним универсальным соотношением. Следует заметить, что в общей форме закон соответственных состояний, особенно для веществ сходного строения, выполняется на опыте лучше, чем конкретная формула (11.27), основанная на модельном уравнении Ван дер Ваальса. Общий закон не навязывает уравнению состояния определенную функциональную форму. Но есть, конечно, отклонения и от закона соответственных состояний: у двух р9V

веществ, имеющих одинаковые -- и -у-, отношения не точно Рс6сvс

совпадают.

Свойства вещества вблизи критической точки. Исследуем теперь свойства вещества вблизи критической точки в общем виде, не предполагая справедливым уравнение Ван дер Ваальса (11.20). Представим первый сомножитель формулы для вероятности флюктуации объема как

Wv_c^^^v =(AV)3 + -H^r)e

В критической точке (fp)0 = O- Н° тогда необходимо равенство / д^р \ гх

потому что в противном случае вероятность бесконечно большого отклонения объема от равновесного значения будет стремиться к бесконечности при одном из двух знаков величины А К Следующая производная (4р)0 Д°лжна быть отрицательна. Тогда вероятность флюктуаций объема в критической точке^ е126 51/3 и стремится к нулю при АУ-> ею, что обеспечивает устойчивость вещества в критической точке. Поэтому разложение р на критической изотерме начинается с члена, пропорционального (V — Ус)3, а разложение производной, соответственно, с квадрата разности (V - Ус)2.

Что касается температурной зависимости, то первый член разложения является линейным относительно 9 — 6С> потому что зависимость давления от температуры не показывает никаких особенностей вблизи критической точки.

Таким образом, разложение по двум переменным в критической области имеет вид:

(М=- МУ_ Vcy -v (6 6с)-(11 -28)

Здесь v > 0, потому что при температуре выше критической всегда должно выполняться неравенство (-^^<0: все точки р, V плоскости, соответствующие температуре, большей 9 с, устойчивы. Соответственно и Z > 0. При температуре ниже критической (y^Q обращается в нуль в двух точках, (точки В и F на рисунке 8). Следовательно,

¥в-Ус=-У~фс-9),

(11.29) ^-Ус = ]/Д(9с--6).'

Найдем теперь на изотерме точки К и L, определяющие линию фазового перехода. Для этого применим условие равно-

веси я фаз Ц/< = Ц£. Его удобно записать в виде интеграла, взятого вдоль изотермы, проходящей через точки К и L:

L •

$ dp = O.(11.30)

К

Умножая на N и заменяя затем dФ при 9 = const на Vdp, получим:

LLI

N\ dp = ( йФ = $ Vdp = ^V-V^dp, к к к

L

потому что интеграл ^ dp^pt — Рк обращается в нуль по усло- к

вшо pL^ рк- Подставим теперь исходное выражение (11.28). Тогда, учитывая, что интегрирование идет вдоль изотермы, и заменяя dp по исходному разложению (11.28), приводим условие равенства химических потенциалов к такому виду:

VL

(E-Ec)^(V-Vc)2 + v(9-6cW = 0.(11.31)

v к

Подынтегральная функция нечетна относительно V — VG. Следовательно, интеграл обращается в нуль, если значения V — Vc на пределах интегрирования, т. е. V к —- VG и Vl — VG. равны между собой и противоположны по знаку. Иначе говоря, объемы Vk и Vl отстоят от Vg на одинаковые величины, но в противоположные стороны.

Условие равенства давлений тоже представим в интегральной форме:.

lv l,

( dp = \ dV = 0.(11.32)

д J \dVmv '

КVK

Подставляя сюда (11.28) и интегрируя, получим:

у (VL - Vc)3 + V (VL - Vс) (8 - 6с) -

- |(VK-Vc)3- v(^-Vc) (9 —9с)=0.

Пользуясь тем, что Vk — Vc =—(Vz — Vc), находим искомое уравнение

| (V£ - Vc)3 + v (VL - Vc) (6 - 8C) =0,

из которого следует, что

Vz- Vc = Vc- VK= ]/ 3V (x"- •'(H.33)

Таким образом, вблизи критической точки область абсолютно неустойчивых состояний уже, чем вся область, где происходит расслоение на фазы в отношении 1/рЗ.

Найдем теперь теплоту перехода вблизи критической точки. Согласно определению

Q ес (S£ - Sk) = 6С ^йс (VL -VkV (11.34)

Производная в критической точке сохраняет конечную величину (-^)1/с • Поэтому теплота перехода пропорциональна (6С —6)1-2. В самой критической точке она обращается в нуль, как и следовало ожидать.

Исходное разложение (11.28) согласуется с уравнением Ван дер Ваальса, но нельзя быть уверенным, что оно относится к реальным газам и жидкостям. Критическая точка является особой точкой, и разложение в ряд Тэйлора в ее окрестности может и не иметь места. Но опыт показывает, что не слишком близко к критической точке характер зависимости величин от такой, как здесь, получен.

Фазовые переходы второго рода. В точке фазового перехода равны термодинамические потенциалы обеих фаз. Другие аддитивные величины, такие, как энергия, энтропия, объем, испытывают скачки. Но существуют и такие фазовые переходы, в которых терпят разрыв не сами аддитивные величины, а только их производные, как теплоемкость, сжимаемость и т. п. Пример такого перехода указывался в § 5: это переход жидкого гелия при 2,2° К.

В точке перехода скачкообразно изменяется теплоемкость. Другой пример представляет переход железа из ферромагнитного состояния в неферромагнитное при 770° С (точка Кюри).

Фазовые переходы второго рода часто наблюдаются в кристаллах. В этом случае они соответствуют какому-либо изменению трансляционной или вращательной симметрии решетки. Так как вид симметрии не может изменяться непрерывно — свойство симметрии либо существует, либо отсутствует, — симметрия всегда изменяется скачком. Если при этом испытывает скачок и энтропия, то имеет место фазовый переход первого рода; если энтропия непрерывна, а разрыв терпят производные, то это переход второго рода.

Между скачками производных на линии фазового перехода второго рода существуют некоторые соотношения. Их можно установить следующим образом. Надо исходить из непрерывности энтропии и объема:

(11.35)(11.35)AS^Sa-S^O, АК = У2^У1 = О.

(11.35)

(11.35)

Эти равенства надо продифференцировать по температуре вдоль линии перехода:

а(^+а(^.^=0,(11.36)

А® +а(^ 4г = 0-(11.37)

\ де ]р 1\ др je dev 7

Здесь ^ означает производную давления по температуре вдоль линии перехода. Далее, (согласно (8.46) и ^0J = = -^-- Отсюда после исключения А^_^ получается:

^ср^Ц^ХМ^ .(11.38)

р \de )\ др )^х ’

Таким образом, на линии фазовых переходов второго рода скачок теплоемкости связан со скачком сжимаемости. Аналогичное выражение легко найти и для скачка теплоемкости при постоянном объеме.

Иногда линия фазовых переходов первого рода в некоторой точке переходит в линию фазовых переходов второго рода. Если переход связан с изменением симметрии, то просто окончиться не может ни та, ни другая линия.

Упражнение 11

Найти теплоемкость одной из фаз вещества вдоль кривой фазовых переходов первого рода.

По определению теплоемкости

n ds _ ~ [ (OS \ dp (dS \ 1 _q ( dV \

с” де Vdo )р + de \Эр УоI "ср е\ де )ре

Показать, что в критической точке ср обращается в бесконечность.

Указание. Использовать результат задачи 4 в § 8 и условие, определяющее критическую точку.

Найти скачок теплоемкости при постоянном объеме на линии фазовых переходов второго рода, выраженный через скачок сжимаемости.

Ответ.

л nfdvV.(dp\kcv— 6 у d6 ))е-

Показать, что поправка к термодинамическому потенциалу газа, близкого к идеальному, равна поправке к свободной энергии, выраженной через р и 0.

Свободная энергия представляется в общей форме так:

F-F^V, b) + bF(V, 6).

Отсюда получаем выражение для давления:

/ дЕ \. .

Тогда термодинамический потенциал примет вид:

ф = Р^рУ=РиД(У, 9) + Рнд. V-V^9 + SF(V, 0).

Здесь ^д + Рид^ есть основной член Фид, выраженный через давление идеального газа при тех же условиях. Заменяя теперь . зад(дФ\ Л7о

рид на p-V-gy- и учитывая, чтополучаем искомый

результат:

Ф = Фид(Р, 6) + 6F(p, 6).

Вычислить изменение температуры в газе, близком к идеальному, в процессе Джоуля — Томсона.

Заменяя постоянные ос и р через вандерваальсовские константы а и Ь, напишем поправку к термодинамическому потенциалу:

6Ф=р(ь--^У

Здесь использован результат задачи 4. Находим 6V при данном р;

(дФ\ . а

\ др еО

а производная, показывающая изменение температуры, есть

дб \1 ddVя v\ 1 / 2а

др Iср \50ср \ 6

(см. задачу 7 § 8). При е = -у производная меняет знак (инверсия). При достаточно низкой температуре она всегда положительна, так что, переходя к более низкому давлению, газ охлаждается. Инверсия используется при сжижении водорода, который при комнатной температуре имеет отрицательную производную^-^. Перед расширением в процессе Джоуля — Томсона водород охлаждают ниже точки инверсии.

Показать, что разложение (11.18) применимо к газу, состоящему из дипольных молекул.

Согласно [§ 16] энергия взаимодействия двух диполей с моментами (^ и d2 равна

r^d^ — MAr d^r

Хотя она убывает на больших расстояниях, как -^-, интеграл по ориентациям молекул в пространстве дает 0 в числителе.

§ 12. СЛАБЫЕ РАСТВОРЫ

Термодинамический потенциал слабого раствора. Наиболее разработана статистика слабых растворов, для которых оказываются применимыми многие закономерности, относящиеся к идеальным газам. Причина этого состоит в том, что молекулы растворенного вещества в слабом растворе так же мало взаимодействуют между собой, как молекулы идеального газа. Но молекулы растворенного вещества сильно взаимодействуют с окружающими их молекулами растворителя. Это обусловливает различие между молекулами в растворе и газом.

Найдем теперь термодинамический потенциал слабого раствора. Исходим из общего выражения для свободной энергии в классической статистике:

_ £

F = — 91n$e (12-1)

Несущественный множитель (2 л/:) здесь опущен. Интеграл берется по всем физически различным состояниям системы. Если учесть тождественность всех N молекул растворителя и п молекул растворенного вещества, то можно распространить статистический интеграл на все фазовое пространство и поделить его на полное число перестановок всех одинаковых частиц между собой. Число таких перестановок равно N\nV

Запишем теперь общее выражение термодинамического потенциала, отвечающее свободной энергии (12.1):

O = F + pV = 61п$е 6 dr + 91n^!+pVy+91пп!, (12.2) где интеграл распространен по всему фазовому пространству системы. Разложим выражение в скобках по степеням малой величины — , учитывая, что нулевой член разложения представляет собой термодинамический потенциал Фо чистого растворителя. Кроме того, заменим In п\ по формуле Стирлинга на п In ~:

Ф-Фо + уВ(р, 6, АЧ + л61п”. (12.3)

Зависимость В (р, 6, А") от числа частиц растворителя можно уточнить, исходя из того, что термодинамический потенциал есть аддитивная функция от п и N. Иначе говоря, при увеличении п и N в некоторое число раз и Ф должен увеличиваться в такое же число раз. Но этому требованию в (12.3) непосредственно удовлетворяет только потенциал чистого растворителя Фо, равный 2V|ll0 (где р0— химический потенциал чистого растворителя). Для того чтобы вто-

рой и третий члены были тоже аддитивными, запишем сначала третий член в другом виде:

пЯ In — — пб In + пВ In N.еeN 1

После этого термодинамический потенциал будет выглядеть так:

ф=^о(р, 6)+rte In ^ + п(^;Ж+6InNy

Чтобы получить аддитивное выражение, надо потребовать, чтобы функция -^ + 01пУУ вообще не зависела от N. Отсюда получается общее выражение для термодинамического потенциала слабого раствора:

Ф-Ж(р, 0) + м6 In ^ + пХ(р, 6).(12.4)

Химический потенциал растворителя в растворе равен

5Фпб/1 о

N"’(12.5)

а химический потенциал растворенного вещества —

^ = ^ = 61п^ + W)-(12.6)

Осмотическое давление. Существуют полупроницаемые перегородки, через которые свободно проходят молекулы растворителя, но не проходят молекулы растворенного вещества. Растворитель по обе стороны такой перегородки должен находиться в равновесии, когда в единицу времени сквозь перегородку в обе стороны проходят одинаковые количества молекул. Условие равновесия состоит в том, что химический потенциал чистого растворителя за перегородкой равен химическому потенциалу растворителя в растворе. Температура по обе стороны перегородки одинакова, потому что без этого вообще не наступает статистическое равновесие. Различаться может только давление, если разность давлений сдерживается перегородкой. Обозначая разность давлений Хр, получаем условие равновесия:

Но (Р. 6) = н(р + лР. е) = По(р + Ар,(12.7)

Разложим р,0 в ряд по степеням Хр, ограничиваясь линейным членом (это разложение правомерно, так как по отношению к жидкости Хр — малая величина):

Ио(р + Ар, б) = По(Р, 6) + ^Ар.(12.8)

Но производная -™- равна объему, приходящемуся на одну молекулу чистого растворителя:

dpo = V

др N *

Отсюда получается уравнение

УЛр=п^.'(12.9)

Избыточное давление Др в растворе называется осмотическим давлением. Уравнение (12.9) имеет полное сходство с уравнением Клапейрона для идеальных газов. Первоначально оно было найдено опытным путем и послужило основой при построении термодинамической теории растворов. Здесь оно получено из общих основ статистики.

Равновесие фаз растворителя (законы Рауля). Рассмотрим теперь другой случай, когда равновесие тоже устанавливается по молекулам растворителя. Пусть раствор находится в равновесии с другой фазой растворителя, а растворенное вещество в эту фазу не переходит. Найдем смещение кривой равновесия фаз в плоскости р, 9.

Обозначим химический потенциал той фазы, куда не переходит растворенное вещество, через ц1# Тогда условие равновесия фаз чистого растворителя определяется уравнением

н(р> 6) = Но(Р, 6),(12.10)

а равновесие другой фазы растворителя с раствором смещено и задается следующим условием:

НДр + Др, е + А9) = Ио(р + Ар, 9 + А9) - ^-.(12.11)

Разложим химические потенциалы в-ряд по Др и по Де:

Н1(р + Др> 0 + Д6)-Но(р + Др, 6 + Д9) = МР. е) --Но (Р, 6) +

+ [ др ^ ~ М kp + [ ^ (Hi - Но)] Д6 = (V1 - Vo) Др - ($1 - So) А9.

(12.12)

Допустим теперь, что давление в системе такое же, как над чистым растворителем, т. е. что Др = 0. Тогда можно определить смещение равновесной температуры Де:

где Q = Nе (sT — s0) — теплота фазового перехода чистого растворителя. Для испарения Q ;> 0; поэтому если растворяемое вещество не переходит в пар, то Де>0, т. е. равновесная температура повышается. Действительно, раствор имеет более высокую температуру кипения, чем чистый растворитель.

Допустим теперь, что растворенное вещество не переходит в твердую фазу растворителя. Тогда Q есть теплота затвердевания, Q < 0. Отсюда видно, что температура плавления раствора ниже, чем у чистого растворителя. На этом свойстве растворов основано применение охлаждающих смесей.

Рассмотрим теперь равновесие при заданной температуре (Аб = = 0). В этом случае понижение давления определится из (12.12):

Если раствор находится в равновесии с паром, то иг > и0. Произведение Nut есть объем всего растворителя в испаренном состоянии. Если бы можно было перевести растворенное вещество в пар вместе с растворителем, то парциальное давление молекул вещества равнялось бы понижению равновесного давления над раствором. Относительное понижение давления — kp/p равно концентрации раствора nIN.

Равновесие по растворенному веществу. Раствор называется насыщенным, если он находится в равновесии с растворенным веществом. Условие равновесия состоит в том, что химический потенциал чистого растворенного вещества ро равен его химическому потенциалу в растворенном состоянии:

и^р^9 1п-^ + Х(р, 6).(12.15)

Здесь предположено, что и насыщенный раствор является слабым, т. e. п0 <^ N.

Если чистое вещество находится в газообразном состоянии, то его химический потенциал зависит от давления по закону (9.17): n^einp+fje).(12.16)

Зависимость функции X (р, 6) от внешнего давления сравнительно невелика: X (р, 9) определяется свойствами конденсированной фазы, которые не меняются, когда внешнее давление колеблется в пределах нескольких атмосфер. Приравнивая правые части (12.15) и (12.16) и потенцируя, находим, что равновесная концентрация растворенного газа пропорциональна его давлению над жидкостью (закон Генри):

-^ = а(0)р.(12.17)

Коэффициент при р зависит от давления слабо.

Теплота растворения. Теплота растворения при постоянном давлении равна разности тепловых функций веществ, составляющих раствор, после растворения и до него (§ 8). Тепловая функция связана с термодинамическим потенциалом следующим образом:

7 = ф-б(^-) = -02(А^ .(12.18)

\ /р\ ои 8 /рх

Поэтому теплота растворения равна

Q = — е2 -^ у (Хц0 + ие In -^ + пХ - «цб - хЦо), (12.19)

где Цо — химический потенциал растворяемого вещества. Входящие сюда величины можно выразить через концентрацию насыщенного раствора n^!N с помощью условия насыщения (12.15). Отсюда получается:

q^ — п^Алп—.(12.20)

Теплота растворения на одну молекулу равна Q/n = q, или

q = — 02^1п~- = — -^-.(12.21)

59 п0 п0 567

Таким образом, если концентрация насыщенного раствора увеличивается с температурой, то при растворении поглощается тепло.

Принцип Ле Шателье — Брауна. Допустим, что к насыщенному раствору, находящемуся в равновесии с растворяемым веществом, подводится тепло. Тогда, если -^->0, часть вещества дополни- тельно растворяется и благодаря этому тепло расходуется не только на повышение температуры, но и на растворение. Если же -^<0, то часть вещества выделяется из раствора, на что в этом случае согласно (12.21) тоже расходуется тепло. В обоих случаях в равновесной системе происходят изменения, ослабляющие внешнее воздействие, направленное к повышению температуры. Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило, известное в термодинамике под названием принципа Ле Шателье — Брауна.

Правило фаз. Предположим, что имеется k веществ (компонентов), распределенных в виде растворов произвольной концентрации по / фазам. Сколько параметров определяют равновесное состояние такой системы?

Химические потенциалы веществ зависят от температуры, давления и относительных концентраций. Концентрации всех компонентов в любой фазе связаны тождествами:

к

^с\=\,(12.22)

так как по определению концентрации

Условие равновесия состоит в равенстве химических потенциалов каждого из к веществ по всем фазам:

14 (р, 6, с;, с* ... ср = ^ (р, 9, с^ ^... ^ =

= ...= ^(р, 9,cf,cf...cf),

(12.23)

,4 (р, 9, ci, pi.. - с’) = ^ (р, 9, с^, с^ - • - ср ==---=^(р. 6. 4> ^••■4).

Здесь верхний индекс означает всегда фазу, нижний — вещество.

В уравнения (12.23) входят к концентраций в / фазах и еще две переменные — температура и давление, так что получается kf + 2 переменных.

Для каждого вещества имеется /—1 уравнений (12.23) и к ним / дополнительных равенств (12.22), всего к (f — 1) + / равенств для нахождения kf + 2 переменных. Число независимых переменных, которые могут меняться по произволу, равно разности между числом переменных и числом уравнений, т. е.

r^kf-V^-ky- \>-f^k-f-V2.(12.24)

Число г называется числом термодинамических степеней свободы системы. Равенство (12.24) выражает правило фаз Гиббса: число степеней свободы равно числу компонентов минус число фаз плюс два. Например, если в равновесии находится одно вещество в двух фазах, то г — 1; в такой системе можно по произволу менять одну переменную величину: температуру или давление. В двухкомпонентной системе из двух фаз имеются две степени свободы: вместе с температурой или давлением можно изменять концентрацию компонентов в одной из фаз.

Упражнение 12

Найти изменение объема веществ при образовании слабого раствора Ответ.

Л d 111 ПаA V = — пВ ——др

Эта формула согласуется с общим принципом Ле Шателье — Брауна.

Представить термодинамический потенциал слабого раствора двух веществ в одном растворителе в таком приближении, чтобы можно было учесть влияние одного вещества на растворимость другого.

Выполним разложение в ряд до членов, квадратичных относительно концентрации:

Ф = Л^ (р, 9) + nJ In -^- + /г39 In -^г + ntXv + п2Х2 +

II ^1^2 у I П2 у

Отсюда следуют выражения для химических потенциалов обоих растворенных компонентов:

Ц] “ 01п сх 4* Хх -}- Н^и 4“ ^2^i2> н^ — б In с2 4* Х2 4* £12 ^ 12 4~ £22^2-

Учитывая это и пользуясь уравнением, аналогичным (12.15), получаем требуемый эффект.

ХИМИЧЕСКИЕ РАВНОВЕСИЯ

Необратимые и обратимые реакции. Химические реакции, протекающие с конечной скоростью, как и все процессы, скорость которых не совпадает со скоростью изменения внешних параметров системы, необратимы. Например, при сгорании гремучей смеси (водород с кислородом) необратимым образом получается водяной пар.

Если приготовить некоторое количество гремучей смеси в замкнутом сосуде, то состояние смеси будет термодинамически неустойчивым по отношению к реакции. Правда, реакция отнюдь не протекает прямо по «брутто-уравнению» 2Н2 ЛО2 = 2Н2О. Для этого молекулам пришлось бы преодолевать слишком высокие потенциальные барьеры (см. задачу 2 в § 2). На самом деле реакция должна проходить через стадии, в которых участвуют промежуточные неустойчивые вещества ОН, Н, О с ненасыщенными валентностями, так называемые активные центры.

Первичное образование активных центров очень затруднено, поэтому гремучая смесь при комнатной температуре может храниться неограниченно долго. Но если активные центры как-то возникли, например от мощной электрической искры или от соприкосновения с открытым пламенем, то они возобновятся и размножатся в ходе реакции (цепные реакции) \ В тех условиях, когда размножение активных центров происходит достаточно быстро, реакция идет со взрывом.

Но химическая реакция никогда не доходит до конца. Если взрыв произведен в достаточно прочном сосуде (бомбе), то в конечном равновесном состоянии будут присутствовать водород, кислород и водяной пар в концентрациях, зависящих от начальных концентраций смеси, а также от температуры и давления. Это конечное состояние называется химическим равновесием.

При медленном изменении состояния равновесие будет смещаться в ту или иную сторону, т. е. может увеличиваться количество исходных или конечных продуктов. Но эти химические реакции около равновесия идут с той скоростью, с которой изменяются внешние параметры. Следовательно, такие реакции обратимы, как и все процессы, скорость которых не устанавливается самопроизвольно, а все время

Большинство цепных реакций связано с активными центрами. Это было установлено Н. Н. С е м е н о в ы м и его учениками.

равна скорости изменения величин, задающих равновесное состояние системы.

Условие химического равновесия. Состояние термодинамического равновесия, и в частности химического равновесия, находится с помощью термодинамических функций веществ, участвующих в реакции. При этом нужно только «брутто-уравнение», совершенно независимо от того, какие промежуточные вещества получаются в ходе реакции, что помогло созданию теории химических равновесий еще в прошлом веке. Между тем учение о скоростях и о механизме химически/Х реакций продолжает интенсивно развиваться и поныне. В ходе многих реакций происходит разветвление, или размножение активных центров. По-видимому, механизм протекания таких реакций пока еще не выяснен окончательно ни в одном случае из-за экспериментальных трудностей.

Химическое равновесие при заданной температуре и давлении достигается тогда, когда термодинамический потенциал в реагирующей смеси имеет минимум, т. е. когда

ЙФ-О.(13.1)

При р = const и 9 = const условие минимума Ф выглядит так:

dФ = У1yLidNi = 0.(13.2)

Здесь pi; — химический потенциал f-го вещества, входящего в уравнение реакции. Например, для гремучей смеси такие вещества суть водород, кислород и водяной пар, причем все три — в молекулярном, недиссоциированном состоянии. Числа dNi не произвольны: они меняются в ходе реакции и поэтому связаны между собой уравнением реакции. Иначе говоря, Ni могут изменяться только в эквивалентных (стехиометрических) количествах. Например, если взять реакцию

2СО + О2 = 2СО2,

то dNco • dNo2: dNco^— 2 :—1:2. В реакции термической диссоциации водорода

Н2-2Н,

dNu, tdN^ —— 1 • 2. Вообще число dNi. пропорционально эквиваленту данного вещества в реакции vz. Уравнение (13.2) можно переписать и так:

' 2^=о.(1з.з)

Этим уравнением выражается условие химического равновесия в системе.

Закон действующих масс. Уравнение (13.3) особенно полезно в том случае, когда известно явное выражение химического потенциала реагирующих веществ, как например в слабом растворе или в идеальном газе. В последнем случае могут быть определены

равновесные концентрации веществ, если имеется достаточно данных о строении всех находящихся в равновесии молекул.

Химический потенциал некоторого газа в смеси идеальных газов согласно (9.17) равен

p,z = — 91П-И-,(13.4)

где fi (0) — статистическая сумма, взятая по всем значениям импульса молекулы как целого, а также по всем ее вращательным, колебательным, электронным и ядерно-спиновым состояниям. Электронные состояния существенны тогда, когда они лежат близко к основному состоянию молекулы и далеко от границы ее диссоциации. Если они находятся ближе к границе диссоциации, то разложение молекулы наступает раньше, чем такие высоковозбужденные состояния смогут как-либо сказаться на значении статистических сумм (см. задачу 2).

Подставляя выражение химического потенциала в условие химического равновесия (13.3) и сокращая на 6, получим:

iI

Потенцируя уравнение, найдем условие равновесия, выраженное через парциальные давления, по формуле

(13.5) ii

Это уравнение можно записать и через относительные концентрации веществ, заменяя парциальные давления при помощи (9.15):

П^' = р Т^ц(6д.^ = р(13.6)

Здесь Ci означает концентрацию t-ro компонента смеси:

(13.7)

Давление в правой части (13.6) следует еще выразить через начальное давление или через начальную плотность, что всегда легко сделать по уравнению Клапейрона, если учесть изменение числа частиц по сравнению с их начальным числом при данной равновесной глубине протекания химической реакции.

Концентрации компонентов в равновесии зависят от начальных количеств исходных веществ, участвующих в реакции. От этих количеств, или масс, зависят, таким образом, и равновесные концентрации. Поэтому уравнение (13.6) называется иначе законом действующих масс.

Величина, стоящая в правой части равенства (13.5), называется постоянной равновесия данной реакции, потому что в нее не входят концентрации смеси.

Теплота реакции. Теплота химической реакции, происходящей при постоянном давлении, определяется как разность тепловых функций реагирующих веществ после реакции и до нее. Удобно записать эту теплоту в пересчете на один элементарный акт реакции (см. (12.18)):

(13.8)(13.8). п2 д (6Ф0)

(13.8)

(13.8)

Но в элементарном акте 6Ф^ ^ Ц/У/. Поэтому теплота реакции

(13.9)(13.9)равна

(13.9)

(13.9)

4566

Это выражение указывает теплоту, поглощенную в ходе реакции. Теплоту выделившуюся надо было бы определить с обратным знаком.

Когда справедлив закон действующих масс, теплота реакции выражается через константу равновесия К*.

? =(13Л°)

Формула (13.10) согласуется с принципом Ле Шателье — Брауна, d In /< п что легко видеть из следующего рассуждения. Если —^—>0, то с возрастанием температуры равновесие стремится в сторону преобладания тех веществ, которые входят в уравнение реакции с положительными коэффициентами uz. Концентрации этих веществ входят в числитель левой стороны равенства (13.6). Но тогда согласно (13.10) система поглощает тепло и в ней происходят реакции, противодействующие повышению температуры. Увеличивая или уменьшая температуру равновесной системы, можно вызвать в ней протекание обратимых реакций в желательном направлении.

Упражнение 13

Написать уравнения закона действующих масс для реакции 2СО + О2 = = 2СО2, если первоначально в ней участвовали а молей СО и b молей О2.

Пусть прореагировало х молей О2. Тогда вместе с ними в реакцию вошло 2х молей СО и образовалось 2х молей СО2. Всего в системе находится а + b — Зх + 2% = а + b — х молей разных газов. Концентрации соответственно равны:

а — 2х

b — х

С°2а-\-Ь — х ’

2х

Ссо«” а + Ь — х "

Уравнение равновесия выглядит следующим образом:

(а-Зх^Ь-х) Л Л

Здесь р —давление в равновесии, которое отличается от давления ро исходных веществ при той же температуре множителем ct-A-b — xv

™^—. Отсюда получается уравнение для искомой величины х:

ррК

(а — 2х)2 (Ь — х)4 (a 4-Ь) *

Вычислить константу равновесия для термической диссоциации азота, пользуясь следующими данными.

Основное состояние атома азота 4S. Первое возбужденное состояние лежит на 2,4 эв выше 2О, следующее — на 3,5 эв выше основного состояния атома (2РУ

Энергия образования молекулы N2, отнесенная к абсолютному нулю, равна 9,76 эв. Момент инерции основного состояния молекулы 7=13,84- 10“40 г-см2. Колебательный квант молекулы равен 0,287 эв. Орбитальный и спиновый электронные моменты в основном состоянии молекулы не имеют проекции на линию, соединяющую ядра. Первое возбужденное состояние лежит более чем на 6 эв выше над основным состоянием молекулы.

Статистическая сумма для атомов равна в+2.3е о).

Здесь и в дальнейшем удобно 6 выражать в электрон-вольтах, учитывая, что 1 эв = И 600°. Ограничимся такими температурами, при которых статистическая сумма для молекулы содержит только основное электронное состояние. Тогда получится (см. (9.21)):

9,76

_ (2я^Мг0)3/2 2л/6 4пе 8.

'Nz ~(2л/г)2/_ М 1

(2nft)32\1 — е 6 У

Константа равновесия для реакции У2 = ^N согласно (13.5) равна

nf> /2.43.5\21/„ а\3/2 /Ли \9,76

/<„^ = (4 + |0^'0"+бГт;(1-ГТ ,-Т.

/n2'п \ л /

Для примера найдем долю диссоциированных молекул, если температура равна 1 эв, а в 1 см? содержится 2,7 • 1019 молекул. Тогда уравнение закона действующих масс выглядит так:

-т^—= 0,494 • 106 • 5,90 • 10"5 = 27,4.

Здесь предэкспоненциальный фактор равен 5-Ю5, а экспонента равна 5,9-10 5. Равновесная диссоциация равна х = 0,88. Таким образом, когда температура равна всего одной десятой от энергии диссоциации, 88% всех молекул уже диссоциированы. Относитель

ное преобладание предэкспоненциального фактора над экспонентой при таких сравнительно низких температурах объясняется тем, что статистический вес диссоциированного состояния определяется всем объемом, который занят газом, а недиссоциированного —только объемом молекул, и поэтому при атмосферной плотности газа (2,7 • 1019 молкм^ диссоциация уже весьма вероятна.

Иногда образно говорят, что здесь «энтропия работает против энергии»—то, что невыгодно энергетически, становится весьма вероятным благодаря возрастанию энтропии, т. е. статического веса. В интервале температур, где происходит основная часть диссоциации газа, его теплоемкость сильно растет, так как большая часть подводимого тепла расходуется на диссоциацию молекул.

Найти степень термической ионизации гелия как функцию температуры и давления. Вторую ионизацию не учитывать.

Потенциал ионизации гелия 24,47 эв, а первое возбужденное состояние лежит на 20,5 эв выше основного состояния.

Ионизационное равновесие удовлетворяет закону действующих масс:

сНе Р *

Здесь статистические суммы равны

г — о (2^6)3/2(2лЛ)3’

,9 (2лтНе6)3/2

'Не(2л/Ц3

(2лтНе6)3/2 ^

'Не “(2лД)36

(множители 2 учитывают спин иона Не+ и электрона). Отсюда константа равновесия выражается так:

7< = 47< = 4(2лте9)3/2(2лА)3(2лте9)3/2(2лА)324,476-е024,476-е01У2,п^№ г лЗ е1У2,п^№ г лЗ е

7< = 4

7< = 4

(2лте9)3/2(2лА)3

(2лте9)3/2(2лА)3

24,47

6-е0

24,47

6-е0

1У2,п^

№ г лЗ е

1У2,п^

№ г лЗ е

Если начальное давление гелия р0, то уравнение ионизационного равновесия приобретает следующий вид:

х- _ К1 —х ~ р0 ‘

Здесь, как и в предыдущей задаче, предэкспоненциальный фактор преобладает над экспонентой, равной 2,19-10"3, из-за большего статистического веса ионизированного состояния. Возбужденные состояния атома гелия дают весьма малый вклад в статистическую сумму. При более высоких температурах первая ионизация завершена, так что просто нет нейтральных атомов которые могли бы возбуждаться.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Термодинамический потенциал поверхностного слоя. До сих пор рассматривались только объемные свойства вещества, так что все результаты, относившиеся к фазовым и химическим равновесиям и равновесиям в растворах, относятся, строго говоря, к весьма большим системам.

Поверхностные слои, разделяющие разные вещества или разные фазы одного и того же вещества, проявляют особые свойства, которые, однако, зависят и от природы, и от состояния соприкасающихся объемов.

Термодинамический потенциал, приходящийся на единицу поверхности соприкосновения двух сред, зависит от температуры 6 и от давления р в окружающих средах. При равновесии 9 и р постоянны по всей поверхности. Взаимодействие соприкасающихся участков границы раздела фаз осуществляется через их линии раздела. Поэтому различные участки можно рассматривать как квази- независимые подсистемы: площади отдельных участков пропорциональны квадрату их размеров, а длины разграничивающих линий пропорциональны первой степени размеров. Если участки достаточно велики, то взаимодействие внутри поверхности будет сильнее взаимодействия по линии. Следовательно, термодинамический потенциал поверхности аддитивен по той же причине, что и потенциал объемный. Если потенциал, приходящийся на единицу поверхности двух сред, обозначить через а, а величину поверхности — через £, то в силу аддитивности потенциал всей поверхности равен

Ф = а£. (14.1)

Поверхностное натяжение. Работа при постоянных давлении и температуре равна изменению термодинамического потенциала (§ 7). Поэтому при изменении поверхности на единицу совершается работа, равная а. Эта работа называется поверхностным натяжением данных двух сред.

Легко показать связь такого определения поверхностного натяжения с его элементарным определением. Пусть жидкая пленка натянута на жесткий проволочный /7-образный контур, замкнутый подвижной перемычкой, которая дополняет жидкую поверхность до прямоугольника. Если длина перемычки равна единице, то со стороны пленки на перемычку действует сила, равная удвоенному поверхностному натяжению пленки (потому что пленка имеет две стороны). Когда перемычка смещается на единицу длины, сила поверхностного натяжения совершает работу, численно равную своей удвоенной величине. Но при этом поверхность пленки возрастает на две единицы, так что работа увеличения поверхности на единицу действительно равна «силе» поверхностного натяжения.

При увеличении поверхности часть атомов выходит из объема в поверхностный слой, для чего требуется частично преодолеть силы притяжения со стороны других атомов. Это и объясняет про-

исхождение работы, которая тратится или выигрывается смотря по природе соприкасающихся объемов на увеличение поверхности. На границе с вакуумом поверхностное натяжение конденсированной фазы, конечно, всегда положительно.

В равновесии термодинамический потенциал имеет минимум. В данном случае минимум достигается просто при наименьшей поверхности £. Поэтому жидкая пленка, натянутая на некоторый неплоский контур, принимает наименьшую возможную при данном контуре поверхность. Идеально уравновешенная жидкая капля имеет сферическую форму, которая отличается наименьшей поверхностью при данном объеме.

Теплота увеличения поверхности. При увеличении поверхности не только совершается работа, но и передается тепло. Так как процесс увеличения поверхности является обратимым, то теплота определяется по общей формуле (8.18) 6 = 6 AS через энтропию поверхности (см. (8.46)). Подставляем в эту формулу термодинамический потенциал (14,1), находим выражение для теплоты:

6 = -6(C2-:i)5-(14.2)

Теплота может как выделяться, так и поглощаться, смотря да по знаку

Равновесие пара над каплей. Условие равновесия фаз изменяется, если учитывать не только объемный, но и поверхностный термодинамический потенциал. Общее условие d<D = 0, конечно, остается в силе, но теперь оно уже не приводится к форме (11.4) ц1 = |i2. Его можно записать в следующем общем виде:

Пусть индекс 1 относится к парообразной фазе, заключенной в большом объеме, индекс 2 — к небольшой капле жидкости радиуса R. Тогда для первой фазы

(Н-4)

а для второй фазы дФI^/1.

dN^ + dN •(14.5)

Производная от второго слагаемого вычисляется следующим образом:

(Кб)

Если плотность жидкости р (мол/см3), ТО R=N^3 fy пр^ 1/3 и

(14.7)(14.7)dR_ _ _1 RdN 3 N’

(14.7)

(14.7)

Подставляя это в (14.6) и выражая N через R, получим:

(И.8)(И.8)dt, 8ла7?2_ 2а

(И.8)

(И.8)

4 D„ “pR-

3 • у nZ?Jp r

Таким образом, условие равновесия между паром и жидкой капелькой выражется равенством

R(P, 9) = р2(р, 0)4™.R(P, 9) = р2(р, 0)4™.(14.9)(14.9)

R(P, 9) = р2(р, 0)4™.

R(P, 9) = р2(р, 0)4™.

(14.9)

(14.9)

Представим давление р как р0 + \р (где Ар — равновесное давление над плоской поверхностью). Разложение химического потенциала по степеням Ар дает (см. (12.12)):

(и!-у2) Ар=-^-.(и!-у2) Ар=-^-.(14.10)(14.10)

(и!-у2) Ар=-^-.

(и!-у2) Ар=-^-.

(14.10)

(14.10)

Пренебрегая удельным объемом жидкости по сравнению с удельным объемом пара, находим окончательное выражение для избыточного давления:

■ Ар = ^-=^- = -^-р.(14.11)

м RpUx Rv± R • 6 rx '

Аналогично получается формула для давления в пузырьке пара, но с противоположным знаком.

Устойчивость пересыщенных фаз. Таким образом, равновесное давление пара над выпуклой поверхностью капли больше, а над вогнутой поверхностью пузырька меньше, чем над плоской поверхностью. Этим объясняется относительная устойчивость пересыщенных фаз, о которой говорилось в § 11. Если в пересыщенном паре самопроизвольно возникает капелька жидкости, радиус которой R меньше, чем

(14.12) рО(р—р)'1

(где р — равновесное давление пара над плоской поверхностью, ар' — давление пересыщенного пара), то такая капелька вновь испаряется. Дальнейшая конденсация на ней как явление флюктуационное маловероятна. Только если неравенство (14.12) заменяется на обратное, капля начинает расти. Но спонтанное образование большой капли, как и всякая большая флюктуация, маловероятно. Поэтому обычно конденсация начинается на каких-нибудь уже имеющихся в паре зародышах, например на ионах.

Так же точно можно объяснить, почему не закипает хорошо очищенная от примесей перегретая жидкость. Кипение жидкости — это образование пузырьков пара в ее объеме. Для того чтобы пузырек не был раздавлен внешним давлением, равновесное давление должно быть, по крайней мере, не меньше внешнего, атмосферного

давления над жидкостью. Но если равновесное давление пара над плоской поверхностью только равно атмосферному, то в пузырьке не хватает давления для равновесия. Поэтому пузырек недостаточно больших размеров не может расти.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИ I

Интеграл вида

Хп (^± I)-1 б/х о

вычисляется следующим приемом. Функция (^ ± 1) 1 разлагается в ряд по степеням е~х:

(ex±i)-i = 2 (± о^е-^.к =1

Ряд интегрируется почленно, причем интеграл от каждого отдельного члена представляется так:

С п-кх ytl у1оС п-кх ytl у1оe~zzn dz.e~zzn dz.

С п-кх ytl у1

о

С п-кх ytl у1

о

e~zzn dz.

e~zzn dz.

Этот интеграл при целом п равен и!, как легко показать путем его преобразования по частям. При п полуцелом его можно взять по формулам, выведенным в задаче 3 § 1.

Именно, подставляя V^ — и, получим:

^е-гугдг = 2 ^ е-“г и» du =,оо

и вообще

С г m “ оj 1 • 3 • 5 ... (2m — I) Кл

\ ezz 2 dz = 2 \ e"uu^mda =——.

оо

Будем называть эту величину у и, так что

§ erzzn dz= п\. о

Следовательно,

к

— У (±1)»+1_1_1

Оk=i

Сумма с верхним знаком может быть сведена к сумме с нижним знаком. Действительно,

jl —L_Т 2^+1 “ з«+1 * * *1 . \jl —L_Т 2^+1 “ з«+1 * * *1 . \11!1!

jl —L_

Т 2^+1 “ з«+1 * * *

1 . \

jl —L_

Т 2^+1 “ з«+1 * * *

1 . \

12«+i ~ 3^+14/1+1

З/г+1 “ • • •JL . JL .2^+i * 3/i+1 * 4n+1З/г+1 “ • • •JL . JL .2^+i * 3/i+1 * 4n+19 . I 1

З/г+1 “ • • •

JL . JL .

2^+i * 3/i+1 * 4n+1

З/г+1 “ • • •

JL . JL .

2^+i * 3/i+1 * 4n+1

2/i+i И ।

Наконец, сумма с положительными знаками имеет такие значения:

1

1/2

1

3/2

2

5/2

3

ОО

6=1

2,612

1,645

1,341

1,202

1,127

1,082

При п нечетном имеют место следующие формулы:

V 1 _ л2 VI 1 Л1

ZZ " 90 •

к = 1к = 1

Поэтому

С х3 dx о I V 1л4

5Z is*

Ок = 1

Отметим еще, что

со 1г— со

— •2,612 = 2,31.2’— •2,612 = 2,31.2’С х ‘ dx ]/ л ^1

— •2,612 = 2,31.

2’

— •2,612 = 2,31.

2’

0k= 1

ЧАСТЬ И

ГИДРОДИНАМИКА И ГАЗОДИНАМИКА

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ

Механика сплошной среды по самому своему существу есть статистический раздел теоретической физики, так как рассматривает движение больших совокупностей атомов и молекул. Но в большинстве приложений общих выводов можно не принимать во внимание атомное строение вещества, считая его непрерывной средой. В статистическом смысле это отвечает переходу к средним величинам, т. е. к замене истинных, флюктуирующих величин статистически усредненными.

Тензор напряжений. Одна из таких средних величин рассматривалась в § 2 и 8; это — давление, т. е. средний импульс, переносимый за единицу времени через единицу поверхности. Давление действует не только на стенки сосуда, заключающего вещество: в любом сечении объема оно одно и то же. В покоящихся жидкостях и газах оно действует перпендикулярно любой поверхности, проведенной внутри среды или на ее границе. Но в движущейся жидкости или газе через поверхность могут переноситься и составляющие импульса, касательные к ней, так что создаются касательные силы.

Ясно, что такие силы имеют по две составляющие, как всякие векторы, лежащие на поверхности. Таким образом, сила, с которой данный объем действует на другой объем, соприкасающийся с ним через разделяющую их поверхность, описывается в общем случае тремя величинами: нормальной составляющей и двумя касательными составляющими.

Представим себе объем в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, вырезанный из сплошной среды. Площадка dSx = dy dz перпендикулярна оси х и т. д. На единицу поверхности этой площадки действуют три составляющие силы, или, как принято говорить, напряжения: рхх, рху и рХ2. Первый индекс у этих величин такой же, как у dS, в данном случае х, а второй индекс указывает направление действия силы. Аналогично определяются составляющие рух, руу и ру2; р2Х, р2у и р22.

Нетрудно показать, что девять величин р1к образуют тензор второго ранга. Для этого надо вычислить результирующую силу в направлении х, приложенную к некоторому объему произвольного вида. Пусть dS — элемент поверхности, ограничивающей

объем. Тогда в направлении х на площадку dS действует сила dSxpxx-VdSypyx + dS,pzx (где dSx, dSy и ^-проекции dS). Действительно, поток любой величины pix через площадку dS с составляющими dSt выражается так же, как поток вектора At через эту площадку. Добавочный индекс х не имеет значения. Поэтому результирующая сила dfx согласно правилу о суммировании [§ 2] равна

dfх~dSxpxx-j-dSурух4~dS2p2X = dSiPiX, fx^^dSip^ (15.1)

и вообще: dfk = dSipik.

Так как d^k и ^—составляющие векторов, то связывающие их коэффициенты pik представляют собой компоненты тензора второго ранга х. Его диагональные компоненты аналогичны давлению, но определены с противоположным знаком. Так, для обычного давления, которое подчиняется закону Паскаля, надо писать просто Pik^ — P^ik- Тогда сила, действующая на площадку dS, определяется как dfk=^pdSi6ik^ — pdSk- Эта сила нормальна к площадке.

Покажем, что тензор pik симметричный. Для этого надо вычислить момент сил, действующих на элементарный кубик. Пусть одна из его вершин совмещена с началом координат, а три ребра — с координатными осями (рис. 9). Определим проекцию момента сил относительно оси х. Плечи имеют только составляющие напряжения, приложенные к площадкам ABCD и EFCD. Значения плеч соответственно равны dy и dz. Сила в направлении х. приложенная к площадке ABCD, есть pyz dSy = py2 dx dz. Ее момент по отношению к оси х равен py2dxdzdy. Момент силы, приложенный к площадке EFCD, равен — pzy dx dy dz. Знак «минус» стоит потому, что, как видно из рисунка, этот момент вращает в сторону, противоположную той, в которую вращает сила, приложенная к площадке dSy. Результирующий момент силы равен, таким образом, фу2 — р2^ dx dy dz.

Рис. 9Рис. 9Дэугие составляющие pik не дают результирующего момента силы. Найденный таким образом момент силы равен произведению углового ускорения ф кубика на момент инерции / (если считать, что в объеме не содержится других носителей углового момента, вроде маленьких волчков). Но мы с самого нау чала будем полагать, что среда

Рис. 9

Рис. 9

1 См. [9.6]. Совокупность девяти коэффициентов, связывающих между собой компоненты двух векторов, образует тензор второго ранга.

однородна и не содержит макроскопических включений. Тогда момент инерции / на два порядка меньше, чем объем малого элемента, потому что в / входит дополнительно квадрат плеча. Следовательно, если приравнять момет силы произведению момента инерции на угловое ускорение и поделить обе части равенства на объем элемента, то слева останется нулевой порядок малости, а справа — упомянутый квадрат плеча, т. е. малая второго порядка. Это возможно, только если ру2 — р2у = 0, или, в общем виде, если

Pik = Pki-(15.2)

Всякий тензор второго ранга pik можно тождественно представить как сумму трех слагаемых:

Pik — ^ ^IhPll + (^у-^ — у $ikPll^ + Plk^-Pkl .(15.3)

Каждое из них при переходе к новой координатной системе преобразуется через соответствующие компоненты в старой системе: скаляр рц — через скаляр, симметричное слагаемое — через симметричное, антисимметричное — через антисимметричное. Скаляр аналогичен давлению в законе Паскаля, но с обратным знаком. Второе слагаемое появляется в средах, сопротивляющихся изменению формы при постоянном объеме, третье слагаемое, как было показано, вообще равно нулю.

Общие уравнения движения сплошной среды. Напишем теперь уравнения движения сплошной среды. Элемент массы, заключенный в некотором объеме dV, есть pdV, где р — плотность массы. Если скорость этого элемента у, то согласно второму закону Ньютона

™pdV = dF.at ‘

Это равенство, проинтегрированное по конечному объему, выглядит так:

\ -ту р dv = \ dF.

Сила складывается из двух частей. Во-первых, может действовать заданная объемная сила с плотностью р/. Во-вторых, на данный элемент объема действуют соседние элементы, что описывается с помощью тензора напряжений pik. Их совокупное действие на весь объем определяется согласно (15.1). Поэтому в общем виде уравнение второго закона Ньютона для произвольной части объема запишется так:

^‘pdy^^pfidy+^p^ds,.(1514)

Интеграл по поверхности преобразуется в объемный по теореме Гаусса:

Так как равенство (15.4) имеет место для произвольно выбранного объема, то равны подынтегральные выражения:

Рт-Шг+^- ' (15-5)

Здесь неизвестными являются плотность, три компонента скорости и шесть компонентов напряжений — всего десять величин при трех уравнениях. Следовательно, в общем случае для решения задачи необходимы еще семь уравнений, конкретизирующих свойства сплошной среды.

В любом случае имеет место сохранение массы (при нерелятивистских скоростях). Соответствующее уравнение записывается совершенно аналогично закону сохранения заряда [12.181:

|| + divp^ = 0. (15.6)

Рассмотрим одну из простейших сплошных сред.

Идеальная жидкость или газ. В механике сплошной среды жидкость или газ называются идеальными, если у них нет недиагональных компонент тензора напряжений. Это свойство может быть инвариантным относительно поворотов координатной системы только в том случае, когда все диагональные компоненты равны между собой, т. е. когда тензор превращается в скаляр. Поскольку скаляр не преобразуется при поворотах координатной системы, давление перпендикулярно любому элементу поверхности, как бы он ни был ориентирован в пространстве. Для покоящейся жидкости это имеет место всегда. Идеальной жидкостью называется такая, в которой это свойство (закон Паскаля) сохраняется и при движении, т. е.

Pik^^ P^ikt 0^.7)

где р, как указывалось, есть давление в жидкости. Это уменьшает число неизвестных до пяти, так что все еще нужно одно дополнительное уравнение к (15.5) и (15.6) (объемная сила fk рассматривается как внешняя, заданная).

Чтобы найти недостающее уравнение, надо выяснить, термодинамическому процессу какого типа отвечает течение жидкости или газа. Если течение не слишком медленное, то отдельные элементы движущейся среды не успевают обмениваться теплом. Оно передается сравнительно медленно через молекулярное движение и поэтому основной обмен энергией между различными элементами объема происходит путем совершения работы сжатия или расширения. В этой книге будут рассматриваться только такие течения, которые не сопровождаются теплообменом.

Передача тепла от горячих мест к холодным есть только один из возможных необратимых процессов. При движении сплошной среды может быть также существенным внутреннее трение или 170 '

идущая в ней химическая реакция. Если эти необратимые процессы не происходят, можно считать течение изэнтропическим.

Когда начальная энтропия жидкости постоянна по всему объему среды, то уравнение изэнтропического процесса задает давление как функцию плотности или плотность как функцию давления:

р = р(р) или р = р(р).(15.8)

В более общем случае надо написать условие постоянства энтропии элемента массы:

^(SpdV) = 0.

Здесь S — энтропия, отнесенная к единице массы. Так как pdV (элемент массы) — величина постоянная для элемента жидкой среды, то получим:

T = $+^TS-”+»TS' os.g) где ^ = ^ (скорость данного элемента объема жидкости).

Полная производная скорости вычисляется аналогично (15.9) [см. (11.31)1:

dydy . dx dv , dy dv , dz dvdy . ,/ir

dtdt 1 dt dx ' dt dy x dt dzdt 1 vv 1

Подставим (15.7) и (15.10) в (15.5). Тогда получится уравнение движений идеальной жидкости (уравнение Эйлера):

p^ + ^^-Vp + pf.(15.11)

Вместе с (15.6), (15.8) или (15.9) это дает полную систему уравнений течения идеальной сжимаемой (р не постоянно!) жидкости.

Закон сохранения энергии. Выясним теперь, какую форму имеют законы сохранения при таком движении. Для простоты будем считать, что объемная сила имеет потенциал U, т. е. /=— VI/, причем U зависит только от координат, но не от времени. Поделим (15.11) на р и умножим скалярно на и. Тогда слева будет стоять полная производная

dv du2у 7 ” at T •

В выражении справа тоже есть полная производная ®^^ = ^,так как U не зависит явно от времени. Произведение же «и^рdp dp ттdp

представляется какНо частное ~ согласно термодина

мическому соотношению (8.31) есть не что иное, как дифференциал энтальпии di. Действительно, полный дифференциал энтальпии равен dI = G dS-V V dp.

Так как движение изэнтропично (dS = 0), а Vесть объем, отнесей-

ный к единице массыный к единице массы—V то dl = d-. Следовательно, Р /Р

ный к единице массы

ный к единице массы

dt \ 2 и )dt \ 2 и )1 др р dt '1 др р dt '(15.12)(15.12)

dt \ 2 и )

dt \ 2 и )

1 др р dt '

1 др р dt '

(15.12)

(15.12)

Раскроем полную производную, стоящую слева, и снова умножим равенство на р:

Р^ + ' + ^ + Р^+' + ^^г<15Л2>

Теперь обратимся к (15.6), которое называется уравнением неразрывности, и умножим его на -^-yi-Vlk

(у +1 + ^) ^ + (у + * + ^) d*v Р®” 0.

Прибавим это к (15.12):

д /г2 . , . .Л . ,.(и- . , । ,Д др

^ Р Д2 + ^ + ^) + dlv Р® ^ 2 + ^ + ^) " 57"

Воспользуемся тем, что согласно (8.13) I = Е-\-pV = Е-V—, где

Е — энергия единицы массы вещества. Отсюда р/ = р£ -\-р.

Подставляя это в последнее равенство, находим окончательно

уравнение, по форме аналогичное уравнению сохранения массы, или уравнению неразрывности (15.6):

^p^ + £ + (/) + divp®(^ + / + l/) = 0.(15.13)

Плотность энергии состоит, таким образом, из трех слагаемых: плотности кинетической энергии р ^, плотности средней, т. е. внутренней (или термодинамической) энергии рЕ и плотности потенциальной энергии pU. Что касается плотности потока энергии то в него входит не Е, а энтальпия /. Это значит, что энергия не только переносится с потоком вещества, но и передается от одного объема к другому путем совершения работы при сжатии. Как видно из (15.13), механическая величина ру + ^ входит вместе с термодинамической энергией Е в баланс полной энергии.

Закон сохранения импульса. При рассмотрении этого закона конкретные свойства среды и движения (в термодинамическом смысле) не играют роли. Это значит, что можно исходить из уравнения (15.5), в котором надо, конечно, считать внешнюю силу / равной нулю, так как в противном случае импульс не может сохраняться.

Перепишем уравнение неразрывности (15.6) в тензорных обозначениях и умножим его на ир.

др di дхк

Левую часть (15.5) тоже представим в тензорной форме: du; (dv; . д \

‘ dt r \ dt ' R дхк

После этого сложим оба уравнения:

i PUi + ^ppUiUk-Pik)=°-(15.14)

Это равенство выражает закон сохранения импульса. Плотность импульса равна pvb а плотность потока импульса — ри^к — pik. При течении идеальной жидкости тензор напряжений заменяется через давление согласно (15.7) и уравнение (15.14) выглядит так:

^pVi + ^tpViV/i + Si/^l^O.(15.15)

Существенно, что импульс переносится в пространстве не только потоком вещества, чему соответствует слагаемое pt^, но и силами напряжений или давлением.

Теорема Бернулли (слабая форма). Существует еще один, специально гидродинамический закон сохранения. При стационарном изэнтропическом течении идеальной жидкости в потенциальном поле сил уравнения движения приобретают форму

^ = (^)® = -^-71/.(15.16)

Стационарность учтена тем, что частная производная положена равной нулю.

Умножив (15.16) скалярно на у, получим:

Я /\

^7+'+уг0-

Полная производная означает, что дифференцируется величина, связанная с заданным элементом объема жидкости (частная производная берется для некоторого элемента объема, связанного с неподвижной системой координат).

Равенство нулю полной производной показывает, что стоящая под знаком дифференциала величина сохраняется в элементе жидкости или газа при его стационарном изэнтропическом течении:

y+/ + t/ = const.(15.17)

Это есть теорема Бернулли в так называемой слабой форме.

Сохранение циркуляции скорости. Построим теперь замкнутый контур, проходящий через одни и те же частицы жидкости или

газа. Условия в жидкости такие же, какие предполагались только что при выводе теоремы Бернулли, кроме стационарности.

Обозначим элемент длины вдоль жидкого контура dl. Теорема, которая будет доказана, состоит в том, что циркуляция скорости вдоль жидкого контура

T = ^Tdl(15.18)

постоянна, если движение изэнтропично и силы имеют потенциал.

(15.18')(15.19)(15.18')(15.19)Обозначим буквой а координату, отсчитанную вдоль жидкого контура, так что а задает частицу жидкости. Вместо dl напишем ^da и будем вести интегрирование по а. Тогда циркуляция равна

(15.18')

(15.19)

(15.18')

(15.19)

Г-Г-da.da.

Г-

Г-

da.

da.

Возьмем от нее полную производную по времени: dF С dy dl . . С d dl .

= ф v, г- da + ^v -ri -т- da.dt j dt da 1 j di da

Вместо ™ подставим <~ ^^p — ^U. Скалярное произведение этой величины на dl содержит изменение р и U от частицы к частице,

т. е.т. е.— ™ — dU, потому что контур не фиксирован в простран

т. е.

т. е.

стве, а перемещается с жидкостью. Отношение ~ можно заменить на dl, как в (15.12). Дифференцирования по / и по а перестано

вочны, так как производятся по независимым переменным. Дан

ное значение а все время принадлежит одной и той же частице. Следовательно,

(15.20)(15.20)d dl d dl dt)dv d y2

(15.20)

(15.20)

dt dada dtda ’dada 2 *

В результате правая сторона равенств (15.19) приводится к виду:

dr Я d (и2, г Л ,/1 с

"dt —~(15.21)

Но после обхода контура координата а возвращается к исходному значению, а следовательно, и к начальным значениям v, I и U. Отсюда видно, что

5 = 0, r = const.(15.22)

Если циркуляция Г отлична от нуля, то существует контур, касательный во всех точках к направлению вектора скорости (подобно замкнутой линии магнитной индукции). Вдоль такого контура происходит циркуляция жидкости или газа. Дымовые кольца, которые пускают курильщики, суть видимые линии вектора rot у. Эти линии замкнуты потому, что div rot у = 0. Циркуля-

ция самой скорости происходит по линиям, сцепляющимся с коль

цом (как линии индукции магнитного поля сцепляются с линиями постоянного тока [§ 301).

В непотенциальном поле сил условия применимости теоремы о циркуляции нарушаются. Например, в поле непотенциальной кориолисовой силы [8.7] в атмосфере Земли возникает циркуляция воздушных масс (пассат). Неизэнтропичность течения тоже вызывает циркуляцию. Из-за нагревания водных или воздушных масс

внешними источниками тепла давление перестает быть однозначной функцией плотности. В общем случае однофазной однокомпонентной среды любая термодинамическая величина есть функция двух других. Но тогда у не означает полного дифференциала и не выражается через di.

Таким образом, при неравномерном нагревании возникает

циркуляция жидкости или газа, если механическое равновесие нарушилось или стало неустойчивым.

Когда условия применимости теоремы (15.22) выполнены, циркуляция не может возникнуть сама собой (если она отсутствовала). Но тогда равен нулю и ротор скорости:

rot у = 0.

Это равенство выполняется тождественно во всех точках жидкости, потому что циркуляция у по контуру преобразуется в поток rot у через поверхность, натянутую на контур, по теореме Стокса [§ 11]:

Г = ф v dl = ^ rot Ч) ds.

Безвихревое движение остается безвихревым. Это значит, что можно ввести потенциал скорости

= Уф,= Уф,(15.23)

= Уф,

= Уф,

где ср — однозначная функция координат и времени. Если же течение вихревое, то вихревые линии проходят через одни и те же частицы жидкости и как бы скреплены с ними: согласно (15.22) циркуляция сохраняется вдоль жидкого контура.

Потенциальное течение обладает особым интегралом движения. Из общей формулы [11.32] имеем:

— = [«у rot -и] + (У V) Ч).

илиилиПри безвихревом движении справа остается только второй член. Полагая "далее, что р зависит только от р, приводим общее уравнение (15.11) к виду:

или

или

^ + у u2 + / + ^ = const.(15.24)

Это имеет место по всему объему жидкости (теорема Лагранжа—Коши).

При стационарном течении жидкости ^ = 0, и тогда получается: ly2 + / + t/ = const(15.25)

тоже по всему объему.

Это — так называемая сильная форма теоремы Бернулли. Величина, которая в слабой форме теоремы сохранялась только вдоль линии тока, в данном случае постоянна по всему объекту и не зависит, таким образом, от координат. Она целиком определяется своим значением в одной точке.

Часто можно с хорошим приближением рассматривать плотность жидкости или газа как постоянные, т. е. считать их несжимаемыми. Более точно условия для этого будут сформулированы в следующем параграфе. Здесь же мы запишем только соответствующие уравнения гидродинамики:

^ + (Tv)y = _ LVp+/,(15.26)

div^^O.(15.27)

Система (15.26)—(15.27) — полная, так как в ней четыре уравнения и четыре неизвестные величины — у и р. Не представляет труда написать для этого случая интегралы Бернулли и Лагранжа. Раздел гидродинамики, где изучается течение сильно сжимаемых жидкостей, называется газовой динамикой (§ 20—25). Слабые, или звуковые, сжатия рассматриваются в акустике.

С помощью уравнения (15.27) решаются задачи о стационарном течении несжимаемой жидкости, если поставлены надлежащие граничные условия. Так, на твердой неподвижной стенке должна обращаться в нуль нормальная составляющая скорости. Если ввести потенциал скорости (15.23), то для него из (15.27) получается уравнение

Аф-0(15.28)

с граничным условием -оп = у„ф = 0 (где ^п — нормальная составляющая градиента). На свободной поверхности надо полагать давление постоянным или равным нулю, что одно и то же, так как в уравнения входит только ур. Свободная поверхность проходит через линии тока. Этих условий во многих случаях достаточно, если еще известны условия на бесконечности.

Комплексный потенциал. Рассмотрим случай плоского стационарного течения несжимаемой идеальной жидкости. Все линии тока параллельны некоторой плоскости, назовем ее х, у, так что потенциал ф зависит только от х и у. Согласно (15.23)

Уд:Уд:дфдх'дфдх'UyUyдфдУ-дфдУ-(15.29)(15.29)

Уд:

Уд:

дф

дх'

дф

дх'

Uy

Uy

дф

дУ-

дф

дУ-

(15.29)

(15.29)

Тогда задача о нахождении поля скоростей весьма упрощается путем применения функций комплексного переменного.

Возьмем комплексную функцию w = ф + tq), зависящую от некоторой комплексной переменной г = х + iy:

W^W

Переменные х и у независимы, поэтому в общем случае значение производной может зависеть от того, какие дифференциалы dx и dy входят в dz = dx-\-idy. т. е. от направления вектора dz в комплексной плоскости. Функция w (2) называется „dw

аналитической, если производная не зависит от этого направления х. Выясним условия, которые при этом необходимо наложить на ф и ф.

Напишем дифференциалы dw при постоянном х и при постоянном у:

^ = ^ + $хУх’(15.30 а)

<15-306)

ггdw„

Для того чтобы существовал предел , не зависящий от х и у (по отдельности), необходимо, чтобы коэффициенты при dx и idy, а также при i dx и dy в дифференциалах (15.30 а, б) были равны между собой:

dx ” Уу’ dx" dy(10.61}

(условия Коши—Римана). Если эти условия выполнены, то

dw = ® + i ^) (dx + i dg^B + i ^) dz = (^ - i ^) dz, \dx 1 dx j x 1\dx 1 dx) \dy dy )’

vdw

т. e. однозначный предел существует.

Исключая зр из (15.31), находим:

5+з>°.(13.32)

так что функция ф может быть выбрана в качестве потенциала плоского течения. То же относится и к ф.

Из условий Коши—Римана получаем также следующее соотношение:

М +(15.33)

dx dx 1 dy dyv 1

Это значит, что градиенты ф и ф взаимно перпендикулярны. Но тогда линии постоянных значений (риф тоже взаимно перпендикулярны, так что уф направлен по линии ф = const и уф — по линии ф = = const. Следовательно, на твердой стенке ф = const, так как тогда вектор уф = у не имеет нормальной составляющей к ней.

Прямолинейная сетка взаимно перпендикулярных прямых х = = const и у = const отображается в криволинейную сетку ф = = const, ф = const. Но эти кривые тоже взаимно перпендикулярны. Поэтому преобразование w = w (2) называется конформным, т. е. сохраняющим форму бесконечно малых участков отображаемых плоскостей.

Заметим, что ф и ф можно поменять местами: считать линии ф = const линиями постоянного потенциала, а ф = const линиями тока, что соответствует измененным граничным условиям.

Течение вязкой жидкости (§ 17) при обтекании твердого препятствия может сильно отличаться от описанного здесь потенциального течения. Но в сверхтекучем жидком гелии строгая потенциальность осуществляется (§ 19). Кроме того, в некоторых участках течения реальной жидкости картина близка к потенциальному течению.

Упражнение 14

В постоянный плоскопараллельный поток несжимаемой идеальной жидкости, имеющей скорость Уо, погружен шар радиусом а. Найти картину потенциального обтекания.

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0. Для

невозмущенного потока он равен ф0 = ^г. Будем искать потенциал

возмущения, вызванного шаром в виде фх = A ^V —У Так как операторы у и А перестановочны, а у0 — постоянный вектор, то

Фх удовлетворяет уравнению Лапласа Афг = 0, как и ф0. Скорость равна А ф:

Постоянную А надо выбрать так, чтобы удовлетворить граничному условию ул = ул ф = 0 на поверхности шара. Следовательно,

иип ап а3 (уог)-(уог)<243 (уог)-(уог)<24

и

и

п а

п а

3 (уог)-(уог)

<24

3 (уог)-(уог)

<24

Отсюда А^^. Окончательно:

а3 3 (^г) г —^г2

Возмущение потока, производимое шаром при г > а, имеет вид поля, создаваемого диполем [16.19], 178

Такой же расход имеет место через любую замкнутую кривую С,Такой же расход имеет место через любую замкнутую кривую С,что div у = 0 в любойчто div у = 0 в любойРис. 11Рис. 11

Такой же расход имеет место через любую замкнутую кривую С,

Такой же расход имеет место через любую замкнутую кривую С,

что div у = 0 в любой

что div у = 0 в любой

Рис. 11

Рис. 11

Рассмотреть течения, описываемые комплексным потенциалом!

считая потенциалом скорости как ф, так и ф.

Переходим к полярным координатам в плоскости х, у. 2 = ге1а.

Логарифмируя и отделяя мнимую часть, получаем:

Ф=£1ПГ-

Скорость имеет только радиальную составляющую: г дг 2пг*

Расход жидкости через окружность с центром в начале координат равен 2л

Г— $ vrr da.

'о

охватывающую начало (рис. 10), потому точке, кроме начала. Отсюда видно, что расход через замкнутый контур, не охватывающий начала, равен нулю. Сколько втекает в заштрихованную область через дугу окружности, столько вытекает через дугу контура С. Картина течения отвечает нитевидному источнику с постоянным расходом Г на единицу длины, расположенному перпендикулярно плоскости ху.

Если же за потенциал скоростей принять ф, то линии равного потенциала расположены по радиусам (рис. И),

так как

Отсюда следует, что скорость в каждой точке перпендикулярна радиусу и равна

1 дф г

I) = —.

г да 2лг

Линии тока образуют окружности. Найдем циркуляцию скорости по окруж-

НоСти. Так КаК элемент ДЛИНЫ равен г da, то для циркуляций можно записать:

2лГ С г daр2л j г *о

Такую же циркуляцию скорость имеет по любому замкнутому контуру, охватывающему начало, так как везде, кроме самого начала, rot у = 0. Полученная картина относится к прямолинейному нитевидному вихрю, перпендикулярному плоскости течения. Существование вихря, т. е. ротора, видно из того, что циркуляция по замкнутому контуру отлична от нуля.

Нитевидные вихри могут быть и непрямолинейны. Так как div rot у = 0, такие линии либо уходят в бесконечность, либо замыкаются сами на себя, либо кончаются на стенке или свободной поверхности. Поле скоростей, образуемое нитевидным вихрем, такое же, как магнитное поле постоянного линейного тока (см. § 34) при соответствующих граничных условиях.

Потенциал нитевидного вихря гр в отличие от потенциала источника ф многозначен. При обходе вихревой нити к потенциалу прибавляется величина циркуляции Г, так как а изменяется на 2л. Итак, ф d^ = Г.

Рассмотреть картину течения, если комплексный потенциал задан формулой w = arch z = ф + /ф = arch (х + и/) (единицы измерения подобраны так, чтобы w и г были безразмерны).

Очевидно, что 2 = сН^ = сНгр4-1ф.

Раскрываем гиперболический косинус, переходим, где надо, к тригонометрическим функциям и после разделения действительной и мнимой части находим:

х = сНгр cos ф, у = sh гр sin ф.

В этих равенствах можно разделить гр и ф следующим способом:

х ।^2 J *2#2 = ।

ch2 ф ’ sh2 ф ’ cos2 ф sin2 ф *

Отсюда видно, что линии гр = const образуют семейство конфокальных эллипсов, а линии ф = const — семейство конфокальных гипербол, перпендикулярных эллипсам в точках пересечения с ними, в силу конформности отображения (рис. 12) \ В пределе при гр = 0 получается отрезок оси %, расположенный между 1 и —1. Он соединяет фокусы.

Если линии равного потенциала заданы уравнением ф = const, то линии тока являются замкнутыми: они окружают межфокальный отрезок. При обходе этого отрезка переменная ф получает добавку 2л. Это значит, что потенциал многозначен. Этому соответствует

Рис. 12

отличная от нуля циркуляция скорости по эллипсу или по замкнутой кривой, охватывающей отрезок —1 ^х^ 1. Можно представить себе, что по этому отрезку плоскость ху пересекает вихрь, сосредоточенный на полосе плоскости, перпендикулярной ху. Линейная плотность вихря равна скачку скорости между верхним и нижним краями отрезка, что непосредственно следует из теоремы Стокса [11.19], если применить ее к контуру, показанному пунктиром.

Не обязательно, чтобы течение совершалось вокруг линейного отрезка. Часть той же картины линий тока получится, если какой-то эллипс, вычерченный более жирной линией, считать твердой границей, вокруг которой циркулирует жидкость. В этих условиях циркуляция отлична от нуля, a rot и везде обращается в нуль. Так может происходить только в неодносвязной области, которую нельзя стянуть в точку (из-за наличия твердой преграды).

Если считать потенциалом скорости ф, то получается другая картина течения. Это будет перетекание жидкости из верхнего полупространства в нижнее сквозь отверстие в форме полосы, расположенной в пределах —1 <:х^1в плоскости, перпендикулярной ху. Фактически у краев отверстия всегда возникают завихрения, так что найденное здесь поле скоростей весьма идеализировано. Но в верхней полуплоскости оно довольно точно описывает картину течения, кроме области, прилегающей к стенке.

Доказать, что если комплексный потенциал в зависимости от z задан в неявном виде равенством z = w + ewt то картина течения соответствует рисунку 13.

Рис. 13

Жирными линиями показаны сечения полуплоскостей, перпендикулярных плоскости течения и оси у. Это задача о вытекании жидкости из двумерного канала в неограниченный затопленный объем.

Известно, что при вытекании воды из ванны образуется полая вихревая воронка, вокруг оси которой вращается жидкость. Найти форму воронки.

Циркуляция происходит в двусвязной области, поэтому rot У везде равен нулю. Потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа и многозначен, как в задаче 2. Поэтому его тоже можно Г

взять в виде а. Отсюда скорость вращения жидкости равна

Г

Так как rot у везде равен нулю, применима сильная форма теоремы Бернулли. На свободной поверхности жидкости р = О давление или энтальпия выпадают из равенства, выражающего теорему, если взять две точки на поверхности воронки. Далеко от оси воронки U = 0 и у = 0. В произвольной же точке U = gz. Отсюда

Z — Vnr) g 1

что и выражает связь между глубиной точки и радиусом воронки.

§ 16. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые задачи об изэнтропическом движении идеальной несжимаемой жидкости. Но сначала надо установить критерий несжимаемости, т. е. условие, при котором плотность жидкости можно считать постоянной при течении.

Звуковые волны. Будем исходить из общих уравнений (15.6) и (15.11), полагая внешнюю силу равной нулю. Считая, что изменение плотности мало по сравнению с ее невозмущенным значением, положим

Р —Ро + р\ (16.1)

где р0 = const, р' << р0.

Заменим теперь градиент давления на градиент плотности. Пользуясь указанным неравенством, разложим давление в ряд, ограничиваясь первым членом разложения:

Здесь производная берется при постоянной энтропии. Так как р0 — const, заменяем V/? на V р':

=<16-3)

Допустим также, что скорость движения жидкости мала в том смысле, что квадратичные по скорости выражения малы по сравнению с стоящими рядом линейными членами. Малы и произведения у на р', которые должны рассматриваться как нелинейные члены в уравнениях. Таким образом, уравнения (15.6) и (15.11) приводятся к линейным:

-^- + Podiv-f=O,(16.4)

(16.5)

Чтобы исключить отсюда у, надо продифференцировать (16.4) по времени и взять дивергенцию от (16.5). Это дает уравнение относительно р':

Др' = о.(16.6)

сД2 w/s rv 7

Получившееся уравнение имеет вид волнового [18.51. Оно описывает распространение волн в жидкости со скоростью

с =с =(16.7)

с =

с =

Согласно термодинамическому неравенству (10.17) (|р)5<0. Но dV =— ~, так что подкоренное выражение в (16.7) всегда положительно.

В задаче 1 § 8 было показано, что изэнтропическая производная связана с изотермической соотношением:

(16.8)(16.8)ЭрХ ^СР_(дР\dpjs cv\d^)e*

(16.8)

(16.8)

В идеальном газе р = ^ = ^22 (по (2.23) и (2.24)) (уравнение

Клапейрона). Следовательно,

(16.9)(16.9)fdp\ „RT

(16.9)

(16.9)

\dp/o ” М — М ’

где М — молекулярный вес газа. Величины ^ и ^ относятся к одному грамму вещества, а нс к одному молю. Скорость звука сравнима со скоростью движения отдельных молекул (ср. (2.14)).

Теперь нетрудно установить критерий того, что при движении жидкости можно пренебречь ее сжимаемостью. В равной степени эта оценка относится и к газу. Пусть, например, в жидкости или газе движется твердое тело со скоростью у0. Если перейти к системе отсчета, где тело покоится, то будет иметь место набегание на тело потока жидкости со скоростью — ф0. Частица жидкости, натекающая на тело «в лоб», в этой системе отсчета останавливается.

Применим к этой частице теорему Бернулли в слабой форме (15.17): *

. ^+/о = /. (16.10)

Здесь /0 — энтальпия в набегающем потоке далеко от тела, / — энтальпия остановленной частицы жидкости. Так как нас интересует критерий несжимаемости, то I — /0 надо считать малым по сравнению с /0. Это согласно (8.31) дает:

I- ЦI- Ц(16.11)(16.11)^Р — Ро = р'_ = (др\ р( =с2 Р1

I- Ц

I- Ц

(16.11)

(16.11)

Ро Ро W$ Ро ро '

Но из (15.18) следует, что / —/0 = ^. Отсюда получаем критерий

выполнения неравенства р'Ср0:

(16.12)(16.12)р' = 1 Т»

(16.12)

(16.12)

Ро 2 С2

Изменение скорости любой жидкой частицы должно быть мало по сравнению со скоростью звука в жидкости. Сжимаемость жидкости или газа существенна только при околозвуковых или сверхзвуковых скоростях течения.

Беря операцию rot от уравнения (16.5), находим, что в звуковых волнах rot у О. Таким образом, у звуковых волн или других слабых возмущений можно ввести потенциал скорости по формуле «у = V ф.

функции — + ^ (гДефункции — + ^ (гДеПоверхностные волны. Рассмотрим малые колебания свободной поверхности жидкости. К ним можно применить линеаризованные уравнения гидродинамики. Но в отличие от случая распространения звуковых волн жидкость теперь не надо считать сжимаемой, потому что колебания сводятся к изменению формы поверхности. Величину rot у по-прежнему надо считать равной нулю, так как член (yV)y, являющийся квадратичным относительно скорости, отбрасывается, а в правой части уравнения Эйлера стоит градиент от

функции — + ^ (гДе

функции — + ^ (гДе

р = const, a U обозначает потенциальную

энергию жидкости в поле тяжести).

Согласно сказанному движение при малых возмущениях потенциально, причем в несжимаемой жидкости потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0. Для простоты будем считать движение двумерным: поле скоростей зависит только от глубины точки под поверхностью z и координаты х, отсчитанной вдоль невозмущенной плоской поверхности. Тогда уравнение Лапласа запишется так:

(16.13)(16.13)д2ф ^ф п

(16.13)

(16.13)

dx2 dz2 ’

Применим теперь теорему Лагранжа (15.24) к точке, лежащей на поверхности жидкости. Ее смещение по вертикали обозначим через £. Квадратом скорости точки надо, как указывалось, пренебречь. Потенциальная энергия на единицу массы равна, очевидно, gz, где g — ускорение свободного падения. Для идеальной несжи

маемой жидкости вместо / подставим-^- . Таким образом, интеграл Лагранжа—Коши в требуемом приближении запишется так:*

t+p+^=const-

где р — так называемое капиллярное давление, обязанное искривлению поверхности жидкости при движении. Как было указано в § 14, на поверхности жидкости действует поверхностное натяжение а. У плоской поверхности сила натяжения не имеет составляющей, направленной по оси z. Но при искривлении поверхности такая составляющая должна появиться. Тогда она действует как внешнее давление.

Найдем ее, пользуясь рисунком 14, на котором участок кривой поверхности изображен в виде дуги окружности. Как видно из этого рисунка, проекция сил поверхностного натяжения на вертикальное направление равна — adq, т. е. —ос — с каждой стороны. Угол dtp равен отношению ^, где R — радиус кривизны поверх-

Рис. 14Рис. 14ности. Если £ = £ (х, /) есть уравнение кривой, то для радиуса кривизны из геометрии известно следующее приближенное выражение:

Рис. 14

Рис. 14

=

£ \дх2//'

Поэтому проекция равнодействующей сил поверхностного натяжения на вертикальное направление равна

а давление, т. е. сила, отнесенная к единице поверхности, выразится формулой

Р =(16-14)

На рисунке 14 кривизна поверхности отрицательна, так что р имеет должный знак.

Таким образом, интеграл Лагранжа—Коши, записанный для точки на свободной поверхности, выглядит при 2 = 0 так:

+ g^ — —C-| = const.(16.15)

dt х р дх2v ’

Будем теперь искать решение (16.13) в виде гармонической волны, бегущей по поверхности. Как известно из [18.25], оно должно зависеть от х и t по следующему закону:

ф = ф0 (2) cos (со/ — кх\(16.16)

Подставляя это выражение в (16.13), находим, что ф0 (2) удовлетворяет уравнению

§-^2Фо = О.(16.17)

Если глубина жидкости достаточно большая, надо удержать только решение вида

Фо~^,(16.18)

так как под поверхностью 2 < 0.

Чтобы удовлетворить условию (16.23), продифференцируем его по времени и воспользуемся тем, что на поверхности

dt ~V2~~dz‘

Это дает:

dt2 + дг р дх2 dz”(10.19)

Согласно (16.19) ^ = ^Ф- Из (16.16) находим ^=— ^2Ф и |^ = —&2ф. Сокращая на ср, приходим к уравнению, выражающему зависимость частоты от волнового числа к;

^ = kg + ^.(16.20)

По аналогии с электродинамикой такое уравнение называется дисперсионным (см. § 33). Отношение частоты к волновому числу согласно [19.7] есть фазовая скорость и волны. Согласно (16.20) можно записать:

“2 = < + "-(16.21)

/2 л \

При малых к, т. е. для длинных волнздесь преобладает

первое слагаемое справа, т. е. слагаемое гравитационного происхождения. Соответственно длинные волны называются гравитационными. При больших к (у коротких волн, или ряби) важнее поверхностное натяжение. Эти волны называются капиллярными. Фазовая скорость имеет минимум при

<16-22)

Соответствующее значение и выражается формулой

U-"=V(16123)

Для воды это составляет примерно 26 см!сек.

Колебания заряженной капли. Теория капиллярных волн оказалась очень плодотворной в применении к вопросу об устойчивости атомного ядра по отношению к его делению на две части, близкие по размерам. Взаимодействие между частицами в ядре — это близко- действие (как между молекулами), и оно вызывает силы, похожие на поверхностное натяжение в жидкости (§ 14). Поверхностное натяжение в ядре противостоит силам кулоновского отталкивания между протонами, входящими в состав ядра. Кулоновские силы относятся к дальнодействующим. Поэтому число взаимодействующих протонов растет как квадрат атомного номера z2. Среднее расстояние между парой протонов растет, как zxi\ т. с. как размер ядра. Отсюда видно, что полная кулоновская энергия ядра растет с атомным номером, как z5/\ Поверхностная энергия возрастает, как квадрат размеров, т. е. как г^ч

Если допустить, что ядро разделилось на две равные части с атомным номером Z/2, то легко видеть, что при достаточно большом Z получается выигрыш в энергии, который может быть реализован в виде кинетической энергии осколков, разлетающихся за

счет сил кулоновского отталкивания. Но прежде чем этот выигрыш в энергии может реализоваться, надо несколько деформировать ядро, превратить его в вытянутый эллипсоид. Такой эллипсоид растягивается дальше сам собой за счет кулоновских сил.

Частота колебаний сферического ядра, переводящих его в эллипсоид, определяется из формулы, аналогичной (16.20). В ней справа тоже стоят два члена; но первый из них не гравитационного, а электростатического происхождения. Так как кулоновская сила направлена по отношению к поверхности наружу, первый член в выражении для частоты имеет знак «минус». Поэтому существует такое значение Z, при котором ядро становится абсолютно неустойчивым по отношению к сколь угодно малым искажениям поверхности.

Чтобы найти общее выражение частоты колебаний заряженной капли, надо разлагать колебания не на бегущие плоские волны, как в (16.16), а на стоячие сферические волны по полиномам Лежандра [29.5]. Выполненные таким способом оценки вскоре после того, как было открыто деление урана, позволили получить очень существенные полуколичественные результаты теории деления (Н. Бор и Уилер, Я. И. Френкель), положенные в основу дальнейшего развития прикладной ядерной физики.

Первоначально теория дробления заряженных (дождевых) капель применялась в физике атмосферы, и лишь через десятилетия нашла другую область приложения, в физике ядра.

Кавитация. Рассмотрим еще одно применение интеграла Лагранжа — Коши, но теперь уже в точном виде: с учетом квадратичных членов. Пусть в начальный момент в покоящейся несжимаемой жидкости как-то образовалась сферическая вакуумная полость, «каверна», радиуса а. Надо найти дальнейшее движение жидкости, т. е. закон схлопывания полости.

По самой постановке задачи движение центральносимметрично и скорость имеет только радиальную составляющую. Тогда согласно [11.46] уравнение неразрывности выглядит так:

(i6-24)

Решение этого уравнения, как сразу легко понять, имеет вид:

= (16.25)

Этому выражению для скорости соответствует потенциал

Ф = ^. (16.26)

Подставим полученные результаты в интеграл Лагранжа, записывая его в виде равенства соответствующей величины на бесконечности и на поверхности полости. На бесконечности давление равно рй, а на поверхности полости — нулю. Текущее значение радиуса 188

полости обозначим через г0. Тогда получится следующая запись уравнения (15.24):

(16.27)(16.27)р0 _ 1 dA . 1 Др “ г0 di 2 г* ’

(16.27)

(16.27)

Здесь левая сторона равенства относится к г = оо, а правая — к г = г0 (/)• Уравнение для г0 (/) получается из (16.25):

(16.28)(16.28)dr. _ А (Qdtг(1

(16.28)

(16.28)

Начальные условия для полученной системы уравнений такие: г0 (0) = а, Л (0) = 0, т. е. при / = 0 жидкость покоится. Исключая время из уравнений (16.27) и (16.28), находим:

(16.29)(16.29)dA = £ А _р.1

(16.29)

(16.29)

dr. 2 г. р А *

Путем умножения на Л это уравнение сводится к линейному относительно Л2. Его удобно также поделить на г0, чтобы упростить зависимость от г0. Принимая Го в качестве новой независимой переменной х и вводя обозначение Л2 = у, имеем:

(16.30)(16.30)dy = LX

(16.30)

(16.30)

dx 2 х р '

Дальнейшие вычисления отнесены к задаче 4 (см. упр. 12), а теперь скажем несколько слов о значении этой задачи. Пустоты образуются в воде при вращении гребных винтов (кавитация). В момент схлопывания пустот жидкость внезапно останавливается. Но мгновенная остановка некоторой массы требует бесконечно большой силы. Практически, конечно, начинает сказываться сжимаемость, так что давление вблизи центра схлопывания становится не «бесконечным», а просто очень большим. Но эти маленькие всплески давления, передаваясь по жидкости, оказывают совокупно разрушающее действие на лопасти винта. Принимаются особые меры, чтобы лопасти противостояли кавитации.

Упражнение 15

Показать, что бегущая звуковая волна поляризована продольно.

Общее выражение для бегущей волны имеет вид [18.201:

/, гп\

у = у /.

\ с )

Так как rot у — 0, то [ул] = 0, или [ул] = 0. Это значит, что векторы л и у коллинеарны.

Если решение (16.17) взять в виде:

Фо = сЬй (z + d),

то uz = k sh к (г + d) обращается в нуль при г = —d, как и должно быть у твердой границы. Закон дисперсии следует из уравнения

«?, = ^к0 -|- th kd.\ 6 Р /

Найти минимальную групповую скорость распространения поверхностных волн.

Указание. Групповая скорость равна ^ [19.8].

Найти время схлопывания полости в задаче о кавитации.

Начальное условие к уравнению (16.30) состоит в том, что у = 0 при х = а. При этом начальном условии (16.30) имеет следующее решение:

а3

ц = р, у- С xd^ = 2 р_ ^

Р «) У х d Р

X

Отсюда

Полное время схлопывания находится так:

оо го

Входящий сюда интеграл равен 2,23 \

Доказать, что период колебаний жидкости в [/-образной трубке равен периоду колебаний маятника, длина подвеса которого составляет половину высоты столба жидкости.

§ 17. МЕХАНИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Тензор вязких напряжений. Если жидкость находится в покос, то производимое ею давление нормально к любой площадке. Это значит, что недиагональные компоненты тензора напряжений равны нулю, а диагональные равны между собой. Элементарно о том же самом говорят, что жидкость принимает форму сосуда, в который налита: в состоянии покоя она не сопротивляется изменению формы.

Но при деформации жидкости в ней сказываются силы вязкости, если движение происходит с конечной скоростью. Здесь будут решаться задачи, в которых в отличие от задач о течении идеальных жидкостей, рассмотренных в § 15 и 16, полная картина течения может быть построена только с учетом вязкости.

Для количественной характеристики вязкости надо найти соотношение между тензором действующих в ней напряжений и кинематическим тензором, описывающим неоднородное распределение скоростей. Однородное в пространстве поле скоростей не может создавать вязких напряжений, так как в таком поле одни частицы жидкости не смещаются относительно других.

Чтобы определить тензор напряжений по неоднородному полю скоростей, надо сделать некоторые предположения. Прежде всего, допускают, что pik зависит от распределения скоростей в данный момент времени и вблизи данной точки пространства. Значение pik устанавливается за такой небольшой промежуток времени и на таком малом отрезке длины, для которых макроскопическое движение жидкости заметно не изменяется. Кроме того, считают, что неоднородность столь невелика, что для се описания достаточно первых производных скоростей по координатам ^-. И наконец, принимают, что эти производные малы и квадратичными относительно них членами можно пренебречь. Перечисленные условия обычно выполняются при течении воды или воздуха в дозвуковых режимах. При сверхзвуковых течениях возникают разрывы или скачки, которые требуют особого описания (§ 24).

Чтобы линейно выразить симметричный тензор pik через тензор |^, надо образовать симметричные комбинации из компонентов —. Таких выражений можно составить только два: 6/^^- и |^ + |"- Поэтому зависимость тензора напряжений от тензора ^ выглядит следующим образом:

(17.1)(17.1)/ди& , ди Л , dvePih - ^ (&7 + d + ^к дГе ‘

(17.1)

(17.1)

При записи равенства (17.1) удобнее частично пользоваться векторными обозначениями:

р»«=[(ё+§) - 4 div +^div

где

(17.1')(17.1')9^'+4ч-

(17.1')

(17.1')

Константы т] и £ называются соответственно коэффициентами первой и второй вязкости.

Если жидкость движется, как несжимаемая, то div у = 0 и остается просто

Из этого соотношения видно, что коэффициент вязкости характеризуется напряжениями, возникающими при скольжении слоев жидкости друг относительно друга. Так, если течение плоскопараллельное, т. е. скорость имеет только одну составляющую, скажем ^, зависящую от одной координаты, перпендикулярной оси у, то согласно (17.2) возникает напряжение

РхЫ = РИх = Чдх. (17.3)

При этом объем жидкости не меняется ( div — 0). Таким образом, коэффициент первой вязкости ц относится к напряжениям, которые сопровождают изменение формы жидкости, как при скольжении одних слоев по другим. В большинстве приложений важен именно этот коэффициент.

Чтобы выяснить смысл коэффициента второй вязкости £, рассмотрим всестороннее равномерное расширение среды. Тогда скорость в данной точке пропорциональна радиус-вектору этой точки: у = ar, ut = ахь а = const, р = р (/). Скорость относительного изменения объема есть div у = За, что видно из уравнения неразрывности (15.6):

1 dp 1 dV о л\ ~ = V ^ = d1V®=3ti. (17.4)

Таким образом, плотность действительно зависит только от времени, но не от координат, что и соответствует процессу равномерного расширения. Первое слагаемое в (17.1) обращается в нуль, потому что закон расширения (17.4) дает = a8ik, и остается

Pik = №ik = ^t^. (17.5)

Итак, коэффициент второй вязкости описывает напряжения, возникающие при изменении объема жидкости. Заметим, что выражение (17.5) имеет паскалевский вид (15.7): р1к есть равномерное всестороннее давление. Но в отличие от статического давления оно зависит не от самого объема, а от скорости его изменения.

В § 8 было указано, что процесс, происходящий в таких условиях — необратим, т. е. ведет к увеличению энтропии. При обратимом процессе давление зависит только от значения объема в данный момент времени.

Коэффициент второй вязкости £ становится особенно большим, когда процесс установления равновесия при расширении или сжа-

тии как-либо затруднен. Пусть, например, среда—газ, молекулы которого имеют переносные, вращательные и колебательные степени свободы. Энергия при столкновениях молекул передается легко между степенями свободы первых двух типов. Если колебательные кванты энергии молекул заметно больше средней энергии теплового движения 9, то молекулы возбуждаются при весьма немногих столкновениях. Необходимо маловероятное столкновение с такой молекулой, у которой переносная или вращательная энергия случайным образом оказалась существенно больше 6, чтобы мог возбудиться колебательный квант у одного из партнеров столкновения. При этих условиях статистическое равновесие по колебательным степеням свободы устанавливается медленнее, чем по другим степеням свободы. При быстрых, например звуковых, колебаниях плотности равновесие как бы «отстает». При неустановившемся равновесии всегда имеется конечная скорость его установления, т. е. необратимый процесс. Необратимая передача энергии внутренним степеням свободы ведет к затуханию упорядоченных движений среды (задача 1).

В воздухе, где колебательные кванты очень велики, при комнатной температуре вообще нс успевает происходить их возбуждение и коэффициент £ мал. В углекислоте (СО2) имеются деформационные колебания (§ 3) со сравнительно низкой частотой. Поэтому при комнатной температуре коэффициент £ в углекислоте больше, чем в воздухе.

Первая вязкость г] тоже вызывает необратимые процессы в среде.

Уравнения Навье — Стокса. Напишем теперь уравнения движения вязкой жидкости, пользуясь общим уравнением (15.5). Для этого надо подставить в него напряжения в виде суммы паскалевского члена, относящегося к идеальной жидкости, и напряжений, происходящих от сил вязкости:

р-^ = — ~- + рА + Л +divdiv у

v di дх^ 1 \dxl 1 dxi dxk 3 dxk j i

включает суммирование по значку квключает суммирование по значку к^выражение

включает суммирование по значку к

включает суммирование по значку к

= div d. дхк

Следовательно,

p =+ рЛ + Л Ау/ + Л /- div ф — Л a" div ^ + ? 4- div Ч).

v dt дх^i 1gx.3 11 ox^

Переходя полностью к векторным обозначениям, получим общие уравнения движения вязкой жидкости (Навье—Стокса):

р ^ + (vV) = — Vp + p/+T] А^ + (S + ^j ^ div ч). (17.6)

7 А. С. Компанеец193

Для несжимаемой жидкости они упрощаются:

Р (If + (^ ®) = — vP + p/+n Л®-(17.6')

Вместе с уравнением неразрывности (div у 0) они образуют полную систему. Заметим еще, что при переходе к криволинейным координатам Ау удобно писать как V div у — rot rot -у. Левая часть уравнения при переходе к криволинейным координатам тоже видоизменяется, потому что само понятие вектора в недекартовых координатах иное, чем в прямоугольных. Например, движение точки по координатной линии в криволинейных координатах непрямолинейно и не может рассматриваться, как свободное.

По сравнению с (15.11) (уравнение Эйлера) уравнение Навье— Стокса (17.6') имеет более высокий порядок производных по координатам. Это значит, что для решения (17.6') необходимо дополнительное граничное условие.

Опыт показывает, что вязкая жидкость не скользит по стенке. Скорость течения на покоящейся стенке равна нулю; на движущейся стенке она равна скорости стенки. В идеальной жидкости граничное условие накладывалось только на нормальную составляющую скорости на стенке; в вязкой же жидкости граничное условие налагается и на касательную составляющую скорости. Отсюда видно, что если есть твердые стенки, то предельный переход от вязкой жидкости к идеальной во всей области течения невозможен. Вблизи стенки всегда находится слой, в котором существенны силы вязкости.

Выделение тепла при вязком трении в жидкости. Покажем теперь, как при вязком течении механическая энергия переходит в тепло. Для простоты ограничимся случаем несжимаемой жидкости.

Рассмотрим уравнение (15.13). В случае вязкой жидкости в правой части уравнения будет стоять не нуль, а произведение т]у -Ау. Поэтому уравнение баланса энергии будет включать в себя потери. Перепишем его в тензорных обозначениях:

д /у2 I I d /и । р , тАд2и; 1

dtp А + d^Uk ( 2 + р +дхр (17-7)

Выражение, содержащее вязкость, надо преобразовать по частям:

д2^ ддщ /дг)( \2

Ut дх^дх^ ^г дх^\dxk! *

Проинтегрируем теперь уравнение (17.7) по всему объему жидкости. Тогда члены, содержащие перед всем выражением сведутся к интегралам по поверхности и обратятся в нуль. В левой стороне равенства это происходит потому, что энергия не уходит

за пределы жидкости (теплопроводность не рассматривается), а в правой части равенства — из-за условий, налагаемых на скорость. На твердых стенках равна нулю скорость, а на свободной поверхности не может быть никаких напряжений, т. е. обращается в нуль величина ^--, пропорциональная напряжениям.

Следовательно, в балансе энергии остаются такие члены:

57=dV.(17.8)

Согласно второму началу термодинамики механическая энергия упорядоченного движения может только уменьшаться, переходя во внутреннюю энергию жидкости. Следовательно, коэффициент вязкости т] всегда больше нуля.

Уравнение (17.8) описывает непрерывный переход энергии механического движения в энергию движения молекул, или, как говорят, диссипацию, т. е. рассеяние энергии. Поэтому уравнения Навье— Стокса относятся к неконсервативному движению, которое сопровождается трением 1§ 1], в данном случае — вязким.

Число Рейнольдса. Предположим, что на жидкость не действуют внешние силы /. Перенесем Vp в левую часть уравнения, а выражение, содержащее вязкость, оставим справа:

p(^ + (®V)V) + Vp = 7^|.(17.9)

Рассмотрим теперь некоторую задачу, например о стационарном обтекании тела. Если форма тела задана, то оно характеризуется одним линейным размером /. Будем измерять длину в единицах /. Соответственно этому снабдим координату х!1 и /V штрихом. Поскольку задача по условию стационарна, отбросим-^. Тогда уравнение (17.9) будет иметь вид:

lp(»V')T + JVp=^^.(17.10)

vvv

Обозначим скорость набегающего потока на большом расстоянии от тела через и и поделим уравнение (17.10) на а Кроме того, обозначим через у' скорость, измеренную в единицах а Тогда уравнение Навье—Стокса получит вид:

(у V Ц Ц •(17.11)

v 11 ри2 ри/ дх^v 7

Величина

(17.12)

называется числом Рейнольдса. Это единственный безразмерный параметр, входящий в уравнение (17.11). Если уравнение решено

для одной конкретной задачи, то тем самым получено решение для обтекания всех тел подобной формы, если только число Re каждый раз имеет одно и то же значение. Ответ получается в соответственных единицах: длина в масштабе Z, скорость в масштабе у' и давление в масштабе рх?. Вместо аналитического решения можно пользоваться результатами измерений на моделях, если при их обтекании число Рейнольдса было таким же, как в реальной задаче.

Пользуясь подобием, можно определить зависимость силы F, действующей на тело, от его размеров и параметров потока. Размерность силы имеет комбинация py2Z2. В выражении для силы при ней должен стоять коэффициент, зависящий только от числа Рейнольдса:

F = pv42f (Де).(17.13)

Жидкость характеризуется не значением вязкости и плотности, взятыми отдельно, а их отношением

v—(17.14)

Эта величина называется кинематической вязкостью, так как в ее

Г л СМ2 размерность не входит единица массы: =

Число Рейнольдса характеризует относительное значение инерционных и вязкостных членов в уравнении Навье—Стокса. Большие Re означают преобладание инерционных членов, т. е. р (yV) у; малые Re — преобладание вязкостных членов, т. е. ц Ау. При очень медленном движении, когда Re^\, роль инерционных членов очень мала. В противоположном крайнем случае, когда Re^ 1, жидкость движется почти как идеальная. Но, как уже указывалось, вблизи твердой стенки всегда есть область течения, где вязкость сказывается сильно. В пределе при Re ^ 1 эти области иногда могут стать малыми, но не исчезают совсем.

Течение вязкой жидкости по цилиндрической трубе. Рассмотрим одну задачу, в которой инерционные члены не проявляются не в силу их малой величины, а просто в результате симметрии течения. Если несжимаемая жидкость течет по цилиндрической трубе, то скорость направлена по оси z трубы и зависит только от расстоя* ния г до оси. Оператор (yV) сводится к и ^ и в применении к и (г) дает нуль. Производная по времени отсутствует, так как течение стационарно. Тогда уравнение Навье—Стокса принимает вид:

=(17.15)

Чтобы удовлетворить этому уравнению, надо принять, что давление р зависит только от г, причем линейно. Действительно, если бы р зависел от радиуса, то существовал бы радиальный градиент давления и, следовательно, радиальная составляющая скорости, что противоречило бы предположению. Кроме того, чтобы 196

левая часть (17.15) не зависела от 2, производная ~ должна быть постоянной величиной. При этих предположениях удается удовлетворить всем условиям задачи.

Введя обозначение ^ =рг и пользуясь цилиндрическими координатами, получим:

1 d du pf/17 1

ТТггТг = ^-(17Л6)

Отметим также, что скорость не может обращаться на оси трубы в бесконечность и равна нулю на стенке (при г = а\ Решение при этих условиях (17.16) имеет вид:

— р- \- ( rdr = — ^(17.17)

о о

Знак «минус», стоящий впереди, указывает на то, что жидкость течет в сторону меньшего давления, против градиента р. Полный расход жидкости равен

2лр ^ vrdr =—у^^^^ t^T^(17.18)

6

(формула Пуазейля). Здесь рг — р^ есть разность давлений на входе и выходе из трубы, I — длина трубы, v — кинематическая вязкость. Таким образом, мы получили точное решение уравнений Навье— Стокса.

Равномерное падение твердого шарика в вязкой жидкости. Если в вязкой среде падает шарик, сила сопротивления F при некоторой скорости уравновешивает силу тяжести. В этих условиях скорость принимает постоянное значение, зависящее от радиуса шарика, действующей на него силы тяжести вязкости и плотности среды. Если шарик легкий, скорость его равномерного движения мала. Мала, следовательно, и скорость обтекающей его жидкости. Значит, мало и число Рейнольдса, характеризующее обтекание, так что инерционными членами в уравнении Навье—Стокса можно пренебречь. Но инерционные члены привносят в уравнения гидродинамики плотность. Так как в рассматриваемой задаче о медленном падении шарика мы эти члены опускаем, то сила должна выражаться только через вязкость, скорость шарика и его радиус. Из соображений размерности сразу видно, что имеется только одно такое выражение, верное с точностью до численного коэффициента:

F^v\ua.(17.19)

Вычисления показывают, что коэффициент пропорциональности равен 6л. Следовательно,

р^бл^ш.(17.19)

Это закон Стокса.*

Работа силы тяжести за единицу времени при падении шарика в жидкости равна Fv0 = 6лт]/?Уо. Она приводит к нагреванию жидкости, так как кинетическая энергия системы при стационарном движении не увеличивается (это справедливо для тела любой формы, движущегося стационарно в вязкой жидкости).

Подвижность. При достаточно медленном равномерном движении1 тела можно формулу (17.19) записать и в таком виде:

v^wF,(17.20)

где коэффициент (Ь равен (6лт]7?) Ч Этот коэффициент называется подвижностью тела в жидкости.

Предположим теперь, что на жидкость со взвешенными в ней частицами не действуют никакие силы: ни вязкие, ни гидростатические, ни силы тяжести. Но частицы каким-либо способом неравномерно распределены по объему. Такое состояние системы не может быть наивероятнейшим. Блуждая по жидкости под действием случайных флюктуаций давления (броуновское движение), частицы в среднем распределятся по объему равномерно. Если их концентрация п неравномерна, то в среднем они чаще будут переходить из тех мест, где концентрация больше, туда, где она меньше. При нс слишком больших градиентах концентрации поток частиц за единицу времени через единицу поверхности пропорционален градиенту концентрации:

(17.21)

Коэффициент D называется коэффициентом диффузии частиц в среде. Знак «—» указывает на то, что диффузия происходит от больших концентраций к меньшим, т. с. в сторону, противоположную ^п.

Пусть теперь на частицы действует поле сил /, которое будем считать потенциальным:

/= - ^и.

Стационарное распределение частиц устанавливается в том случае, если сумма потока пи, обязанного подвижности частиц, и диффузионного потока обращается в нуль:

-wn^U-D^n^O,(17.22)

или

-coVy-DV Inп = 0.(17.23)

Решение этого уравнения имеет вид:

п^пое "ъ *(17.24)

Но в равновесном состоянии частицы должны быть распределены по закону Больцмана (2.38):

и

п^п^е 9*(17.25)

При выводе этого закона не были наложены ограничения, Связанные с размерами частиц. Единственное условие состояло в том, что их равновесное распределение должно иметь статистическую природу. Сравнивая (17.24) и (17.25), приходим к выводу, что

D =м6. (17.26)

Полученное равенство называется соотношением Эйнштейна. Если известна подвижность частиц, то тем самым определяется их коэффициент диффузии, и наоборот.

Заметим, что равенство (17.39), как и само понятие диффузии, применимо к частицам не только макроскопических размеров. Оно справедливо, например, и для ионов в электролите или для атомов примесей в веществе.

Упражнение 16

-1. В вязкой среде распространяется плоская монохроматическая звуковая

волна с частотой о. Найти декремент ее затухания на единице длины.

Пользуясь (16.5), (16.7) и (17.6), можно записать уравнения для звуковых возмущений:

Ро ^ = ™ W + г] Ао + ^ + -У ) V div т,= —podivc.

^р^рОтсюда

^р

^р

=<? Ар' - к + ^ Т]) А ~ ^

Если

р' = рпе-1^1кх

Ро \/Ро \/(ось х направлена по к), то

Ро \/

Ро \/

Следовательно,

или приближенно

Мнимая часть к дает искомый декремент затухания, которое происходит по экспоненциальному закону:

Если вторая вязкость, обусловленная необратимыми процессами, сопровождающими изменение объема, не особенно велика, то в газах затухание звука того же порядка величины происходит за счет передачи тепла от сжатых участков к разреженным. Физическая причина для совпадения порядков величин заключается в том, что вязкость и теплопроводность осуществляются сходным механизмом молекулярных соударений.

Вязкая несжимаемая жидкость помещена между двумя вращающимися бесконечными коаксиальными цилиндрами, угловые скорости и радиусы которых сох и <о2, rY и г2. Найти поле скоростей при постоянных во времени o)L и о2.

Если перейти к полярным координатам г, q), z, то скорость имеет только составляющую иф = и, зависящую от г. Подобно задаче о движении жидкости в трубе, инерционные члены здесь тождественно обращаются в нуль. Для лапласиана Ду имеем:

(Ду)ф = — rotmfot у = гу = 0,

' т dr \ г J dv откуда

у = Сг + -1.г

Радиальную компоненту в уравнениях Навье—Стокса имеет только градиент давления и центробежный членри~. Поэтому легко определяется зависимость давления от радиуса, если известна зависимость скорости от радиуса.*

На стенках имеют место условия у (г^ = со^Ч и ^ ta) = ю^ Поэтому

C02rj —СРгГ^(СО! —С02) г2Г2

ri-ri^-г^г •

В начальный момент времени N частиц, способных диффундировать в данной среде, собраны внутри весьма малого объема. Найти их распределение в более поздние моменты.

Плотность частиц зависит только от расстояния г, так что диффузионный поток радиален. Его плотность равна

. п дп

1dr

Закон сохранения числа частиц выглядит так:

дп J.. D д 9 дп

В задачу не входят характерные величины с размерностью длины, так как начальный объем, в котором заключены частицы, считается сколь угодно малым. Поэтому г может входить только в составе безразмерной комбинации ^ = -^-, где [О] = [/2/Д Для того чтобы полное число частиц сохранялось, коэффициент при функции, куда входит g, должен быть пропорционален (J)ty3K Действительно, тогда и только тогда число частиц не зависит от времени:

ООСООО

^ = 4л пггйг = ^к= G®^KI-

J'1\Dt(D03/2а

оо' 7v 7о

Подставляя в уравнение для п выражение

(D0o/2 \Dt) получаем:

dn3 г г2 df t z 3 ~£ df \

dt ~Dt7/2^~

dn = 2r ^ n--r2d-= — f 6 У

dr Dtb/2 dV r2 dr dr t^ \ dV d^j*

Отсюда получается дифференциальное уравнение для f: 4^+6/+^ + |/ = 0, где

Решением этого уравнения является функция

(Второе решение не затухает на бесконечности и тем самым не обеспечивает постоянства N, так как интеграл $ п^Д/Л-^ рас- о

ходится.) Из условия сохранения N находим постоянную С:

_ N“ 8л3/2*_ N“ 8л3/2*СО£СО

_ N

“ 8л3/2*

_ N

“ 8л3/2*

N = 4nC ^ е " 7 VAS = 2<nC ^/ ^ d^ = 8л3/2С;

Оо

Следовательно,Следовательно,- N f=^e- N f=^e1414

Следовательно,

Следовательно,

- N f=^e

- N f=^e

1

4

1

4

и

г2

п = —-"479е 4D< ‘(4лО03/2

При /, стремящемся к нулю, эта функция стремится к нулю везде, кроме начала координат, и поэтому удовлетворяет начальному условию. Получившаяся формула дает одно из представлений трехмерной 6-функции [§ 26].

Если частицы первоначально находились в некоторой точке г г\ то ее можно выбрать в качестве начала координат. Тогда решение представляется в виде:

я (г, /,=*

v 7(4лО03/2

При / = 0 оно переходит в 6 (г — г').

Показать, что г2 = 6Dt, т. е. что удаление некоторой диффундирующей частицы от исходного положения растет пропорционально Vt.

Найти функцию n^r, ty удовлетворяющую уравнению диффузии для произвольного начального распределения частиц в пространстве /г(г, 0) — п^гУ

Так как уравнение диффузии линейно, то решение представляется в виде:

ОО^г_г'у

n^,t)=\ е d V*.

j (4л№)3/2

Оператор ^ —D ^-^ г2 ^), примененный к обеим частям этого равенства, перестановочен с интегрированием по dV' и дает нуль. Начальное условие удовлетворяется потому, что

п (г, 0) —по (г') 6 (Г~И dVr = п0 (г).

Функция, с помощью которой находят решение для произвольного начального условия по решению для точечного начального распределения, называется функцией Грина исходного уравнения. При этом учитывается и граничное условие /гг_оо^0.

§ 18. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Ламинарное и турбулентное течение. Течение жидкости или газа, которое рассматривалось до сих пор, называется ламинарным или струйным. Жидкость течет как бы слоями, которые не перемешиваются. Такого рода течение наблюдается при не очень больших числах Рейнольдса — порядка нескольких десятков или меньше. Но при больших числах Рейнольдса течение, как показывает опыт, иногда имеет весьма нерегулярный характер (нестационарно) и сопровождается интенсивным перемешиванием.

В связи с этим возникает вопрос об устойчивости ламинарного течения. Не всякое движение, совместимое с уравнениями гидродинамики, на самом деле осуществляется. В некоторых случаях

сколь угодно малое возмущение в начальных условиях со временем сильно отклоняет жидкость от заданного движения, отвечающего ламинарному решению уравнений гидродинамики. Подобно этому неустойчивое равновесие нарушается сколь угодно малой возмущающей силой.

Неустойчивое движение в механике точки тоже сходно с неустойчивым равновесием. В качестве примера укажем движение точки вдоль верхней образующей горизонтального цилиндра в поле тяжести. При малейшем отклонении от образующей точка скатывается с цилиндра.

Если вдоль образующей сделан желобок, нужно конечное отклонение от траектории, чтобы точка далеко ушла от нее. Это пример неустойчивости по отношению к конечным возмущениям.

Разного рода силы трения могут оказывать стабилизующее, иногда и дестабилизующее влияние на устойчивость. Общее исследование устойчивости движения весьма сложно. В применении к жидкостям оно проведено для немногих случаев, причем результаты, по-видимому, не всегда могут быть угаданы интуитивно даже в качественном отношении.

Большую пользу приносит экспериментальное исследование, которое, говоря в самых общих чертах, показывает следующее. Когда число Рейнольдса, характеризующее ламинарное течение, становится больше некоторого ReKpi возникают пульсации скорости, сперва регулярные. Если же число Рейнольдса заметно превосходит свое критическое значение, эти пульсации приобретают нерегулярный характер, оставаясь тем не менее стационарными. Согласно определению стационарности [17.51 это значит, что среднее по времени от полной производной по времени любой величины, характеризующей течение, равно нулю:

2

С соблюдением некоторых математических предосторожностей такое движение можно представить как совокупность периодических движений, пульсаций. Возникновение пульсаций связано со случайными причинами, воздействующими на неустойчивое ламинарное течение. Поэтому отдельные пульсации характеризуются набором случайных, хаотически распределенных фаз.

Тогда движение жидкости может рассматриваться в значительной мере теми же методами, что и состояние статистической системы. Всякая классическая статистическая система требует для своего описания в деталях огромной совокупности начальных условий движения отдельных частиц. Так как это не только невыполнимо, но и практически не нужно, применяется вероятностное описание, с помощью которого могут быть определены средние значения раз

личных величин. Подобная возможность открывается и для хаотического турбулентного движения жидкости. Набор большого числа начальных фаз рассматривается как статистический ансамбль. При этом даже самые малые по масштабу пульсации лежат целиком в области применимости уравнений Навье—Стокса, так что атомное строение жидкой или газообразной среды не имеет отношения к проблеме турбулентности, если масштаб пульсаций гораздо больше свободного пробега молекулы.

Очевидно, что не все выводы статистической механики могут переноситься в теорию турбулентности. Статистический ансамбль рассматривается как замкнутая или квазизамкнутая система, в которой точно или приближенно сохраняется энергия. При турбулентном же течении жидкости согласно уравнениям Навье—Стокса всегда присутствуют силы вязкости, которые приводят к диссипации энергии макроскопического движения. Поэтому ни о каком подобии статистического равновесия при турбулентном течении говорить нельзя. Может достигаться только квазистационарное состояние с постоянной средней диссипацией энергии в каждой точке пространства.

Пограничный слой. Уравнения гидродинамики Навье — Стокса имеют более высокий порядок, чем уравнения Эйлера, в которых не учтена вязкость. В соответствии с этим на скорость вязкого течения налагается дополнительное условие: на поверхности неподвижного твердого тела она обращается в нуль. Если тело движется, то скорость жидкости, как указывалось, в любой точке поверхности тела равна скорости движения этой точки тела. Между тем в идеальной жидкости достаточно только, чтобы не было движения жидкости сквозь поверхность тела.

Отсюда ясно, что предельный переход в уравнениях Навье— Стокса к случаю бесконечно малой вязкости представляет собой непростую операцию. Нельзя непосредственно положить вязкость жидкости равной нулю во всем объеме. В узком (пограничном) пристеночном слое всегда действуют силы вязкости и движение жидкости может быть описано только точными уравнениями Навье— Стокса, которые обеспечивают выполнение граничного условия о = 0 на стенке. Чем меньше вязкость, тем тоньше этот слой. Его свойства в значительной мере определяют силу со стороны жидкости, которую испытывает тело при своем движении.

Сила сопротивления и подъемная сила. Если тело движется равномерно, то удобно перейти к системе отсчета, гд^оно покоится, а жидкость натекает на него во встречном направлении. На бесконечном расстоянии впереди тела ее скорость постоянна и равна скорости тела, взятой с обратным знаком. Вблизи тела скорость, конечно, не образует постоянного поля. По ее распределению должна вычисляться сила, с которой жидкость действует на тело.

В общем случае сила имеет три составляющие в координатной системе, две плоскости которой параллельны основному, невозмущенному потоку. Но если тело симметрично относительно одной

из этих плоскостей, то составляющих силы только две. Одна из них направлена в сторону, противоположную скорости тела, и называется силой сопротивления. Другая перпендикулярна ей и называется подъемной силой. На несимметричное тело действует и отклоняющая сила в третьем перпендикулярном направлении, но се мы рассматривать не будем.

Задача состоит в том, чтобы найти по возможности общие выражения для сил, действующих на тело в жидкости.

Отрыв пограничного слоя. Прежде всего надо разобраться в происхождении этих сил. Для этого рассмотрим картину обтекания тел разного профиля.

Если тело в продольном сечении имеет острый край, как показано на рисунке 15, то при его обтекании пограничный слой срывается и уносится в жидкость на весьма большое расстояние от тела. Образуется так называемый след движущегося тела.

В вязком слое у поверхности тела отличен от нуля rot о, так как имеется поперечный градиент скорости. Вдали от пристеночного слоя, в объеме, где роль вязкости невелика, rot у затухает весьма медленно согласно теореме о сохранении циркуляции.

В результате позади тела образуется очень длинный вихревой след, который, как будет показано, обусловливает силу сопротивления при обтекании не слишком тонкого профиля типа аэропланных крыльев. Последние будут рассмотрены отдельно.

Пограничный слой может отрываться и нс от острой кромки, а от плавных участков профиля.

Рассмотрим гладкий профиль такого вида, какой показан на рисунке 16. В самом широком месте профиля линии тока сгущаются. Следовательно, скорость там наибольшая. Затем они начинают расходиться и скорость падает.

Согласно теореме Бернулли (15.17) там, где скорость падает, давление растет. Это относится к несжимаемой жидкости, для которой вместо энтальпии надо писать pl р.

Применим теперь теорему Бернулли к некоторому участку течения между точками х и х + Ах:

4[uo(x+Ax)-yS W] = — |[р(*+^)-₽(4 (18-1)

Здесь индекс 0 у скорости должен указывать на то, что ее значение берется в основном потоке, а не в пристеночном слое.

В направлении, перпендикулярном скорости, давление не изменяется, так как при стационарном течении (*vV)o = — Отсюда следует, что в пристеночном слое перепад чисто гидростатического давления р такой же, как в основном потоке. Что каса- ется членаобязанного вязкости, то он может стремиться

только к конечному пределу, потому что толщина слоя у, как показывает теория, пропорциональна рЛ\ Следовательно, при достаточно больших перепадах давления — \р Г> v |, при которых теорема Бернулли применима (приближенно), в пристеночном слое имеет место соотношение

у [о2 (х + Ах) - и2 (х)] = — - [р (х 4- Ах) - р (х)].(18.2)

Пользуясь теперь (18.1), получаем:

v2 (х + Ах) — v2 (х) = Vo (хЦ- Ах) — Vo (х),(18.3)

откуда следует, что

и2 (х + Ах) = у2 (х) + [yj (х + Ах) - уЦх)]. (18.4)

Разность, стоящая в скобках в правой части, отрицательна, так как относится к обтеканию сужающейся части тела и точка с координатой х + Ах расположена ниже по течению, чем точка с координатой х. Если отрицательная величина перевешивает положительное слагаемое v2 (х), то уравнение (19.4) не может удовлетвориться, так как слева стоит существенно положительная величина. Следовательно, дальнейшее обтекание тела пограничным слоем жидкости невозможно. Он должен оторваться и перейти в след.

Это рассуждение, основанное на оценках, является в большой степени наводящим и не доказывает необходимости отрыва. Отрыв происходит в действительности, если профиль сужается недостаточно плавно.

При больших числах Рейнольдса след может быть и турбулентным. Если турбулизацию производит само движущееся тело, а исходный поток является ламинарным, то пульсации скорости в следе постепенно затухают и на большом расстоянии позади тела течение в следе тоже становится ламинарным.

Выражение силы, действующей на тело через распределение скоростей в следе. Рассмотрим теперь, как распределение скоростей в следе связано с силой, действующей на тело. Будем исходить из уравнения (15.15), согласно которому тензор потока импульса равен

(18.5)(18.5)П/* = 6,*р + ру/у*.

(18.5)

(18.5)

Интеграл от этого выражения по замкнутой поверхности

VWS^Fi (18.6)

равен t-му компоненту импульса, переносимому через поверхность за единицу времени. Если где-то внутри поверхности находится твердое тело, движущееся в жидкости, то компоненты вектора F равны силе, с которой тело действует на жидкость.

На достаточно большом расстоянии впереди тела жидкость покоится. На большом расстоянии позади тела движение сосредоточено в основном внутри следа.

Обозначим скорость тела через —^ и направим ось х по у0. Соответственно, силу сопротивления обозначим через Fx. Считая тело симметричным относительно средней плоскости, параллельной скорости тела, поместим ось у в этой плоскости перпендикулярно скорости у0. Тогда Fu — подъемная сила.

Перейдем в систему отсчета, относительно которой тело покоится. В этой системе скорость невозмущенного движения жидкости равна — ©о, а возмущение скорости, вызванное телом, обозначим через у'. Соответственно, давление представим как р0 + р', где р0 = const. Тензор потока импульса П^ выразится так:

П/^ = p06ife + Р^О/г " P^OZ^ + Ф'^и ” Р^0/г) + MuL (18.7)

Интеграл от постоянного слагаемого по замкнутой поверхности равен нулю:

$ (Po^ih 4- pUoiUohJ dSfe = (po6i/; + pyo;yoft) $ dSk = O.

Это очевидно, потому что ^dSfe = O. Интеграл от третьего слагаемого (18.7) пропорционален полному потоку жидкости сквозь замкнутую поверхность:

5 P^oz^ dSk = uoi 5 Р^ dSk и, понятно, тоже обращается в нуль.

На достаточно большом расстоянии от тела квадратичное по скоростям Di возмущение мало по сравнению с линейным. Поэтому последний член справа в (18.7) можно отбросить. Тогда вклад в выражение потока импульса дает только слагаемое, стоящее в (18.7) в скобках:

Fi = \ (,p'^ik — pvokVi) dSk. (18.8)

Выберем теперь поверхность, по которой производится интегрирование, в виде двух плоскостей, перпендикулярных оси х: одну достаточно далеко впереди тела, другую — далеко позади него.

Покажем, что интеграл по передней поверхности сколь угодно мал. Так как вне следа движение потенциально, там справедливо уравнение Бернулли в сильной форме (15.25):

Ро+4 Р^ = Ро + / + -| (©о-®')2- (18.9)

Отбрасывая здесь член, квадратичный по возмущению, и учитывая, что ©0 имеет только составляющую по оси х, получим:

р' — риои'х = О.(18.10)

Но это — подынтегральное выражение в (18.8).

Аналогичное рассуждение применимо и к интегралу по задней поверхности в той области, которая не пересекается следом. Остается только интеграл по сечению следа.

Добавочное давление р' внутри следа — величина такого же порядка, каки вне следа. С этим мы уже встречались, рассматривая давление в пограничном слое около обтекаемого тела. Но согласно (18.10) вне следа давление р' такого порядка, как величина р^х в той же области. A pv0^ вне следа, очевидно, меньше, чем в следе, просто по определению следа. Поэтому в формуле (18.8) достаточно удержать только второй член, проинтегрированный по сечению следа.

В результате сила сопротивления Fx равна

Fx = — ру0 ^ Dx dy dz.(18.11)

Входящий сюда интеграл р § v' dy dz представляет изменение потока жидкости через сечение следа, вызванное присутствием тела. Скорость dx направлена в сторону, обратную у0. Таким образом, F х, т. е. сила, действующая на жидкость, направлена в ту же сторону, куда движется тело. По третьему закону Ньютона такая же по величине сила, но имеющая противоположное направление, действует на тело, замедляя его движение. Энергия движения тела диссипируется в основном вязким трением внутри следа.

Чисто потенциальное обтекание тела не дает результирующей силы сопротивления. Для примера можно рассмотреть такое обтекание шара (задача 1 в § 15). Абсолютное значение скорости распределено симметрично по отношению к средней плоскости, проходящей через центр шара перпендикулярно основному потоку. Но тогда по теореме Бернулли симметрично и давление в соответствующих точках шара, так что результирующая сила, обязанная обтеканию, равна нулю. В свое время этот результат, противоречащий опыту, вызывал недоумение. Он называется парадоксом Даламбера.

Приведем еще выражение для подъемной силы. Согласно (18.8) она равна

Fy = — $ $ р^о^ dydz.(18.12)

Этот интеграл берется по сечению следа. Давления здесь не было в самом исходном выражении, так как сила FM касательна к поверхности интегрирования, а давление перпендикулярно ей. В остальном (18.12) выводится примерно так же, как (18.11). На передней 208

поверхности, где течение потенциально, надо ввести потенциал скорости по формуле Уу=^-. Тогда

ОО

J Uy dy = ср (сю) — ф (— оо) = 0.

Интеграл по задней поверхности фактически берется только по сечению следа.

Строение следа. Дадим оценку величины их на различных расстояниях до тела. Согласно сказанному выше давлением внутри следа можно пренебречь, так что силы вязкости уравновешиваются одними инерционными силами. Для их получаем приближенное уравнение:

(18.13)(18.13)ди'д2у'

(18.13)

(18.13)

идхду~

Здесь слева стоит и0 вместо и0 — их. Это будет обосновано оценкой. Заменяя производные на дроби, приходим к такой оценке:

Vxих

Xу 5

где у0-полная ширина следа. Это дает:

(18.14)

Если поперечные размеры тела одинаковы в обоих направлениях, то интеграл (18.11) можно приближенно записать так:

f^^pUoU^.(18.15)

Подставляя сюда у0 из (18.14), находим:

Следовательно, возмущение скорости обратно пропорционально расстоянию от тела. Ясно, что их <^ и0 при больших х.

Хорошо обтекаемые тела. Из формулы (18.11) видно, что сила сопротивления тем меньше, чем уже след. Для этого нужно, чтобы пограничный слой отрывался от тела как можно ближе к его заднему концу. Пограничный слой срывается в том случае, если сильно возрастает давление вниз по течению. Чем более плавно уменьшается поперечное сечение тела к его заднему концу, тем медленнее растет давление и лучше удерживается пограничный слой. Хорошо обтекаемые тела имеют приблизительно такой профиль, как показано на рисунке 17. Это могут быть тела вращения (17, а) или тела, сильно вытянутые в направлении, перпендикулярном чертежу (17, б). При обтекании таких тел линии тока плавно смыкаются сзади и образуется узкий след. Совсем не возникнуть

он не может, так как течение вблизи поверхности подчиняется уравнениям Навье — Стокса и имеет rot у, отличный от нуля; а вихрь затухает весьма медленно.

Но если след очень тонок, то условия, принятые для вывода формулы (18.11), нарушаются. Главная часть силы сопротивления дается не интегралом от члена, линейного относительно возмущения скорости по

узкому сечению следа, а интегралом от квадратичных членов, взятых по широкой области вне следа. Об этом сопротивлении будет сказано несколько ниже, в связи с подъемной силой для хорошо обтекаемых тел.

Теорема Кутта — Жуковского. Определим теперь подъемную силу, действующую на крыло. Для простоты будем считать его бесконечно длинным, с постоянным сечением по длине. Тогда картина обтекания двумерна. Подъемная сила на единицу длины определится

следующим интегралом по сечению следа:

(18.17)(18.17)^ = РУо$ Vy dy.

(18.17)

(18.17)

В отличие от интеграла в формуле для силы сопротивления этот интеграл может иметь конечное значение и при сколь угодно тонком следе. Напоминаем, что координата у отсчитывается поперек следа. Если положить

где ф — потенциал скоростей, то интеграл по сечению следа запишется так:

(18.18)(18.18)Ру = Руо § *у dy = ри0 (ф2 - фО .

(18.18)

(18.18)

Здесь ф2 — ф! — скачок потенциала скоростей между верхней и нижней границами следа.

Считая след очень тонким, будем рассматривать разность ф2 — — Фг как изменение потенциала скоростей при обходе замкнутого пунктирного контура, показанного на рисунке 18. А это, как было показано в задаче 2 § 15, есть циркуляция скорости Г при обходе замкнутого контура. Следовательно, подъемная сила крыла равна

^ = ру0Г(18.19)

(теорема Кутта — Жуковского).

Для получения подъемной силы необходимо, чтобы возникла циркуляция вокруг крыла. Направление циркуляции должно быть таким, чтобы под крылом ее скорость вычиталась из скорости основного потока, а над крылом — прибавлялась к ней. Тогда результирующая скорость под крылом меньше, чем над крылом.

Согласно сильной форме теоремы Бернулли, которая в данном случае применима, поскольку в неодносвязной области циркуляция может отличаться от нуля и в отсутствие вихря, давление под крылом получается большим, чем над ним. Это и создает подъемную силу.

Отметим различие между формулами (18.11) и (18.12) для силы сопротивления и подъемной силы. Интеграл (18.12) берется от полного дифференциала и сохраняет конечное значение для сколь угодно тонкого следа. Формула сопротивления (18.11) дает тем меньшее значение 7Д, чем тоньше след.

Поэтому для хорошо обтекаемых тел, как указывалось, надо переходить к той части сопротивления, которое определяется полем скоростей вне следа.

Характеризуем это сопротивление, не прибегая к формулам. Его удается линейно выразить через производные от циркуляции Г, взятые вдоль крыла, т. е. по г. Поэтому если крыло бесконечно длинное, так что Г не зависит от г, сопротивление, отнесенное к единице длины, стремится к нулю. Тогда сопротивление надо вычислять частично по формуле (18.11), частично по вязкому трению в пограничном слое на поверхности крыла. Так или иначе, оказывается, что оно во много раз меньше подъемной силы. Очевидно, что это — необходимое условие для полета.

О вычислении циркуляции. Для конкретного вычисления подъемной силы необходимо знать циркуляцию скорости Г относительно крыла. Эта задача, вообще говоря, не имеет однозначного решения, если рассматривать произвольное течение. Но можно потребовать, чтобы поток плавно смыкался позади острой кромки, не унося дополнительных вихрей. Такие вихри должны были бы возникать при смыкании потоков, имеющих неодинаковые скорости в направлении, перпендикулярном потоку (скачок касательной составляющей всякого вектора на некоторой поверхности равносилен поверхностному вихрю). Условие отсутствия вихрей позади задней кромки крыла поставлено С. А. Чаплыгиным и Н. Е. Жуковским.

Тогда задача обтекания крыла решается методом функций комплексного переменного, который был описан в § 15.

Допустим, что комплексный потенциал скорости задается некоторой функцией w (г) (крыло считаем бесконечно длинным). Для конкретного профиля разыскание функции w (2) — задача весьма сложная. Рассмотрим ее поэтому в общей форме.

Считая, что крыло покоится, а на него натекает воздух, надо принимать его скорость постоянной на бесконечном расстоянии от крыла. Подобно комплексному потенциалу w, можно ввести и комплексную скорость ^-. Тогда, независимо от выбора dz, состав- 211

ляющие скорости равны действительной и мнимой части произ- „ dwводной если выполненыусловия Коши — Римана.Найдем зависимость произ-ляющие скорости равны действительной и мнимой части произ- „ dwводной если выполненыусловия Коши — Римана.Найдем зависимость произ-

ляющие скорости равны действительной и мнимой части произ- „ dw

водной если выполнены

условия Коши — Римана.

Найдем зависимость произ-

ляющие скорости равны действительной и мнимой части произ- „ dw

водной если выполнены

условия Коши — Римана.

Найдем зависимость произ-

Рис. 19

ВОДНОЙ ОТ Z. Для того чтобы функция принимала конечное значение при | г |-> оо, ее надо искать в виде разложения в ряд по обратным степеням переменной г1:

dz 1 г 1 г 1

Интегрируя, получим:

йУ = ф-|-ир=:Л2 + 51п2 — у+ ...(18.20)

Первый член в этой формуле отвечает комплексному потенциалу постоянного течения. Второй член дает возмущение, произведенное крылом, которое не стремится к нулю при бесконечном значении | г |. В задаче 2 § 15 было показано, что потенциал ф + нр = В In г может отвечать как источнику, если В — действительное число, так и вихрю — при В чисто мнимом. Но крыло не может быть источником; следовательно, В — чисто мнимая величина. Ее надо положить Г

равной 2л.. Тогда действительным потенциалом скорости надо считать ф.

Следовательно, циркуляция определяется первым членом разложения w (2) при заданном профиле крыла. Условие Чаплыгина — Жуковского необходимо для того, чтобы w (г) однозначно определялось по заданному профилю.•

Всегда существует такое положение крыла в потоке, при котором подъемная сила обращается в нуль. Например, если крыло имеет плоскость симметрии относительно верхней и нижней сторон и в этой плоскости лежит скорость движения крыла (рис. 17, а), то очевидно, что подъемной силы нет.

В случае несимметричного профиля тоже может быть указана плоскость, при движении в которой подъемной силы не будет. Угол, который образует скорость движения крыла с этой плоскостью, называется углом атаки крыла ос (рис. 19). При малых углах атаки подъемная сила пропорциональна ос. При больших значениях ос становится невозможным плавное обтекание профиля. Принцип (или условие) Жуковского и Чаплыгина не может выполняться у задней кромки, так что возникает большая сила сопротивления.

Существует оптимальный выбор а, так как при слишком малых а может оказаться недостаточной подъемная сила.

Неправильный выбор угла атаки был причиной многих неудач на ранних стадиях развития авиации.

Упражнение 17

Показать, что отброшенный при оценке ширины следа член у' -^- имеет

тот же порядок, что и и'х по

отношению к основному члену Со ^

ди' dv'

Согласно (18.16) ^ =—• Но +7^=°- ПоэтомУ

ду рух2 ’ду рух2 ’ИЛИ У„^г.» pvr2ИЛИ У„^г.» pvr2Так как тоТак как тоду Уо’ду Уо’

ду рух2 ’

ду рух2 ’

ИЛИ У„^г.

» pvr2

ИЛИ У„^г.

» pvr2

Так как то

Так как то

ду Уо’

ду Уо’

И ду pvx2 Уо (pv)2 X3 ■

Отношение этого отброшенного члена к основному члену равно

F и'уорух " у0 *

Из формулы (18.16) видно, что Vx всегда меньше ц0 на достаточно большом расстоянии от тела.

Бесконечно длинный цилиндр радиуса а обтекается плоскопараллельным потоком, перпендикулярным оси цилиндра.

Скорость потока на бесконечности равна ц0. Кроме того, имеется циркуляция Г вокруг цилиндра. Найти подъемную силу, считая жидкость идеальной и течение безвихревым.

Так как течение безвихревое, существует потенциал скоростей, удовлетворяющий уравнению Лапласа Аф = 0. Поскольку уравнение линейное, справедлив принцип суперпозиции [§ 15]. Обтекание плоскопараллельным потоком отвечает потенциалу скоростей

ф = Уо cos 6,

который обеспечивает обращение радиальной компоненты в нуль на поверхности цилиндра (угол 6 отсчитывается от направления скорости). Добавляя циркуляционную компоненту скорости к ц6, получаем поле скоростей.

Давление на поверхности цилиндра находим из сильной формы теоремы Бернулли:

у2р ( o/i а2\ ол । Г • л Л 1Г 12)

Р = ~ Р 2 = - 2 ГЧ -^)cos2e + ^0sinOp +г^-2лг| г

Чтобы получить отсюда подъемную силу, надо вычислить следующий интеграл:

2л

Fy = — ^ р ~ a sin 6 d6 = рГ^0.о

Остальные слагаемые давления ортогональны sin о в интервале углов 0,2л. Полученная здесь формула согласуется с общей теоремой Кутта —Жуковского, хотя относится к иным условиям обтекания, чем те, при которых она была доказана в тексте.

Сила сопротивления равна

2Л

Fx= ^ Р ”2 ^cos 6о

как и должно быть при безвихревом обтекании тела идеальной жидкостью. Этот результат был назван в тексте парадоксом Даламбера.

§ 19- СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ

mUa2 .mUa2 .Квантовая жидкость. При атмосферном давлении гелий остается жидким вплоть до абсолютного нуля температуры. Это можно объяснить качественно следующим образом. Как было показано в [28.441, связанные состояния частицы, в которых она движется финитно, возникают не при любой потенциальной кривой притяжения, а только тогда, когда выполняется условие

mUa2 .

mUa2 .

(19.1)

где U — эффективная глубина, а — радиус потенциальной ямы.

Сохранение жидкого состояния у гелия показывает, что это условие для него не выполнено из-за малой массы атома и небольшой глубины ямы. Водород, как известно, переходит в твердое состояние молекулярного кристалла. Значит, малая масса атомов нс является достаточным условием для того, чтобы вещество оставалось жидким до абсолютного нуля. Вероятно, атомы гелия с их замкнутой, сферически симметричной электронной оболочкой взаимодействуют слабее, чем водородные молекулы, и условие (19.1) выполнено для водорода, но не для гелия.

В водородной молекуле велика примесь одноэлектронных атомных состояний, и поэтому две молекулы водорода взаимодействуют сильнее, чем два атома гелия, по крайней мере, в жидкой среде, т. е. в конденсированной фазе. При давлении всего в 25 атм (для жидкости сравнительно малом) гелий переходит в твердое состояние при абсолютном нуле. Отсюда видно, что и в гелии условие (19.1) почти выполнено.

Существуют два устойчивых изотопа гелия: с атомным весом 4 и с атомным весом 3. В природной смеси доля легкого изотопа около одной миллионной. В настоящее время эту смесь разделяют, получая отдельно чистый Не3. Разумеется, если условие (19.1) не выполнено для тяжелого изотопа, то оно тем менее выполнено для легкого изотопа. И действительно, оба они остаются жидкими до абсолютного нуля. Их называют квантовыми жидкостями, в связи с тем что сохранением своего жидкого состояния до абсолютного нуля они обязаны квантовым свойствам движения атомов.

Тем не менее оба изотопа в сжиженном состоянии ведут себя совершенно различно. Как было указано в § 5, жидкий Не4 при температуре 2,2°К переходит в особое сверхтекучее состояние, в котором он способен проходить сквозь тончайшие капилляры, не обнаруживая вязкости. Атомы гелия с атомным весом 4 не имеют ядерного спина и поэтому подчиняются статистике Бозе. В связи с этим ниже температуры перехода часть атомов находится в состоянии с нулево£1 энергией. Это надо понимать в смысле квантового принципа суперпозиции: состояние с нулевой энергией примешано к состоянию каждого атома, входя в амплитуду вероятности его состояния. Не3 — не переходит в сверхтекучее состояние, и это можно сопоставить с тем, что спин ядра Не3 равен 4/2. Соответственно этому Не3 подчиняется статистике Ферми. Если бы оба изотопа были газами, то вопрос о различии между ними решался бы очень просто: ферми-газ не имеет тенденции собираться в одном состоянии, так как это противоречило бы принципу Паули.

Но модельной микроскопической теории квантовой жидкости нс существует в настоящее время. Поэтому различие в поведении обоих изотопов дает только очень веское указание на связь вида статистики атомов со сверхтекучестью, ио не полное доказательство.

Существует, однако, созданная Л. Д. Ландау феноменологическая теория сверхтекучего состояния, построенная по образцу обычной гидродинамики идеальной жидкости, но с полным описанием сверхтекучих свойств макроскопического движения. Связь со статистикой атомов Ландау не рассматривал.

В этой теории Не4 в сверхтекучем состоянии представляется как жидкость, движение которой определено не одной скоростью, а двумя: сверхтекучей и нормальной. Ниже будет пояснено, что это означает. Уравнения теории Ландау и выводы из них вполне однозначны и прекрасно согласуются с опытными данными.

Спектр жидкого Не4. Феноменологическая теория не выводит свойства жидкости из микроскопических свойств отдельных атомов,

а постулирует закономерности движения квантовой жидкости как целого, опираясь на опыт. Жидкость, как вообще в гидродинамике, рассматривается как однородная среда. Если ее движение квантовано, она обладает некоторым набором квантовых состояний.

Так как среда однородна, каждое состояние должно характеризоваться своим интегралом импульса (согласно общим теоремам механики). При температуре, близкой к абсолютному нулю, когда возбужденных состояний мало, любое из них можно рассматривать независимо от всех остальных.

Нулевым уровнем энергии для таких возбуждений является энергия бозе-конденсата, с которым связывают сверхтекучую часть жидкости, а с возбуждением — нормальную часть. Повторяем, что нельзя считать одни атомы принадлежащими сверхтекучей части, а другие — нормальной. Возбуждения коллективны и описывают движение жидкости как целого.

Картина коллективных возбуждений применялась уже в § 4, где рассматривались фононы в кристаллической решетке. В распространении волны по решетке принимают участие все ее атомы, так что фонон — пример совместного их возбуждения. Так как решетка имеет дискретное строение, фонон обладает не настоящим импульсом, изменяющимся от 0 до оо, а волновым числом, ограниченным сверху. Энергия фонона /ко зависит от волнового числа. Эта зависимость называется спектром фононов, или коллективных возбуждений решетки.

■ Таким же образом и коллективные возбуждения в жидком гелии характеризуются своим спектром, т. е. функцией, задающей зависимость энергии от импульса.

Наблюдая рассеяние очень медленных нейтронов в жидком гелии на его элементарных возбуждениях, спектр последних можно найти экспериментально. Для этого достаточно измерять энергию нейтрона вместе с его углом отклонения в одном и том же акте рассеяния. Тогда по законам сохранения энергии и импульса определяются те же величины для «частицы» рассеивателя [§ 5]. Иначе говоря, восстанавливается спектр возбуждений, рассеивающих нейтроны. Таким способом был подтвержден спектр возбуждений в жидком Не4, ранее предсказанный Ландау на основании макроскопических свойств сверхтекучего гелия.

Подобно фонону акустических колебаний решетки, возбуждение в жидком гелии при малом импульсе имеет энергию, линейно зависящую от импульса:

е = ср. (19.2)

Здесь с — величина, аналогичная скорости звука. Естественно полагать, что наименьшее возбуждение жидкости — звуковое. Такое возбуждение, как и в решетке, принято называть фононом. При больших импульсах зависимость 8 (р) оказалась немонотонной: она достигает максимума, а затем уменьшается и проходит через минимум. После этого она опять несколько возрастает. При импульсе

порядка hJa, где а — атомный размер, спектральная кривая оканчивается. При столь коротких волнах жидкость больше нельзя рассматривать как непрерывную среду.

Течение через капилляр. Явление сверхтекучести, открытое П. Л. Капицей, состояло в том, что жидкий гелий практически мгновенно протекал сквозь такой тонкий капилляр, через который он проходил бы выше точки перехода чрезвычайно долго. Ландау объяснил это, исходя из вида спектра (19.2). Объяснение Ландау заключается в следующем.

Пусть жидкий гелий, находящийся при абсолютном нуле, течет по капилляру со скоростью у. Явление вязкости состоит в том, что упорядоченное движение жидкости вследствие трения о стенку переходит в неупорядоченное тепловое движение. В терминах квантовых состояний это значит, что в капилляре будут испускаться фононы, так что часть сверхтекучей жидкости перейдет в нормальное состояние. Рассмотрим, при каких условиях такой переход совместим с законами сохранения.

Перейдем в систему отсчета, относительно которой гелий покоится, а капилляр движется со скоростью — и. В этой системе энергия текущего гелия до испускания фонона равна нулю, а после испускания фонона с импульсом р она равна ср.

Вернемся теперь к исходной системе отсчета. Импульс гелия относительно этой системы, очевидно, равен р' = р + ту (где т — масса текущего гелия). Напишем еще формулу преобразования энергии к движущейся системе. Так как (19.2) имеет необычный вид зависимости энергии от импульса, проще всего исходить из преобразования Лоренца [14.18] и перейти к нерелятивистскому приближению. Это совсем не обязательный способ, но и не ведущий к ошибке. Представляя энергию как тсЬ + Е, напишем:

т^ + Е=^^±5?. (19.3)

V

В этой формуле с0 — скорость света.

Разлагая корень в ряд и удерживая первый член, получим после вычитания тсо из обеих сторон равенства:

£_8+ру + ^. (19.4)

Здесь Е означает кинетическую энергию текущего гелия после того, как был испущен фонон, т. е. после диссипации. Она меньше, чем первоначальная кинетическая энергия течения ^-. Следовательно,

е+р®<0, (19.5)

или согласно (19.2)

(19.6)(19.6)ср +ру < 0.

(19.6)

(19.6)

Величина ср существенно положительна. Следовательно, если с < с, неравенство не может быть удовлетворено. Испускание фонона запрещено законами сохранения. Гелий течет по капилляру без трения. Если гелий находится не при абсолютном нуле, то просто надо будет рассмотреть испускание еще одного фонона сверх имеющихся, что не меняет положение существенным образом. Сверхтекучий компонент не испытывает сил вязкости. Нормальный компонент, разумеется, проявляет вязкость вследствие рассеяния элементарных возбуждений на стенках капилляра.

В задаче 1 будет показано, что в сверхтекучем компоненте невозможно также образование возбуждений, находящихся вблизи минимума спектральной кривой 8 (р), если скорость течения меньше некоторой величины.

Условие механического равновесия сверхтекучего компонента. До того как П. Л. Капица открыл сверхтекучесть жидкого гелия, вязкость гелия измерялась по затуханию крутильных колебаний диска в жидкости. Так как сверхтекучий и нормальный компоненты при этом не разделялись, в таких опытах просто измерялась вязкость нормального компонента.

Сквозь очень тонкий капилляр протекает только сверхтекучий компонент, не имеющий вязкости. Так как этот компонент не несет тепла (у бозе-конденсата нулевая энергия), остающийся в сосуде жидкий гелий нагревается: та же энергия распределяется на меньшую массу.

Рассмотрим теперь два сосуда с жидким гелием при температуре ниже точки перехода, соединенные очень тонким капилляром. Температуры в сосудах различны. Тепло передается по капилляру очень медленно. Поэтому в первую очередь должно установиться механическое равновесие, которое поддерживается свободным перемещением сверхтекучего компонента в капилляре.

Условие равновесия, как всегда, состоит в том, чтобы при перетекании этого компонента не могла совершаться работа. Поскольку не происходит передачи тепла, работа равна изменению энергии. Если энергия жидкого гелия в одном сосуде Ег, а в другом Е2, то работа равна

Д = А(Ех + Е2) = 0. (19.7)

Но изменение энергии происходит только за счет перетекания сверхтекучего компонента, т. е. без изменения энтропии. Если из первого сосуда вытекло A^1 частиц гелия, то

^E1 = ^N1^s=^^Nъ (19.8)

так как dE = 9 dS — р dN + [i dN (см. 8.52). Аналогичное соотношение можно записать и для ДЕ2. Но NNX = — ДА2. Поэтому

ДМ^-^-О. (19.9)

Окончательно условие механического равновесия состоит в том, что химические потенциалы гелия в обоих сосудах сравниваются:

Н (Р1, б1) = н(р2, М- (19.10)

Соответственно, при различных температурах гелий установится в сосудах на различных уровнях в зависимости от давления. Напомним, что для нормального компонента условие равновесия состоит в равенстве давлений.

Линеаризованные уравнения гидродинамики жидкого гелия. Точные уравнения гидродинамики жидкого гелия имеют очень сложную форму. Кроме того, они содержат одну теоретически нс определенную функцию: отношение плотностей сверхтекучего и нормального компонентов в зависимости от их относительной скорости. Мы ограничимся рассмотрением только звуковых волн в жидком гелии. Для этого достаточна линеаризованная форма уравнений (см. § 16).

Представим плотность потока жидкости в следующем виде:

/=рл + рл. (19.11)

где р,7 и ^ — плотность и скорость нормального компонента, ps и ys —плотность и скорость для сверхтекучего компонента. Считая ^ и x)s малыми, достаточно полагать р^ и р5 зависящими только от температуры, такими же, как в покоящейся жидкости. Очевидно, что p^ + Ps^P, где р — полная плотность.

Сравнивая (19.11) с выражением плотности импульса, входящей в. (15.15), видим, что их можно отождествить, т. е. считать / плотностью импульса. Зато в выражении для плотности потока импульса в (15.15) входит нелинейный член ргзд, который в линеаризованном уравнении следует опустить. Таким образом, получается:

| —VP- (19-12)

Далее надо учесть, что энтропия переносится только нормальной компонентой скорости. Если назвать энтропию на единицу массы буквой S, то энтропия на единицу объема равна pS, а плотность потока энтропии p^S. Здесь по определению S входит р, а не р,г, так как энтропия берется на единицу общей массы. Если пренебречь диссипативными процессами, то энтропия удовлетворяет закону сохранения, типа сохранения массы и заряда:

™pS + pS div ^ — 0. (19.13)

Далее надо записать динамическое уравнение для скорости сверхтекучего компонента. Механическое равновесие для этого компонента достигается при р = const. Следовательно, при небольших скоростях ускорение сверхтекучего компонента пропорционально — VH- Здесь р означает химический потенциал, отнесенный

к единице массы. Докажем, что коэффициент пропорциональности равен единице. Действительно, если записать

(19-14)

и умножить обе части равенства на #5, то слева будет стоять Величина —Vp есть градиент от энергии, отнесенный при постоянной энтропии к единице массы, т. е. сила на единицу массы. Произведение силы на скорость у5 равняется приращению кинетической энергии единицы массы за единицу времени, как и должно быть.

Наконец, четвертое уравнение имеет тот же смысл, что и (15.6), т. е. выражает сохранение массы:

J + divj=O(19.15)

(уравнение неразрывности).

Уравнения (19.12)—(19.15) образуют полную систему: они содержат четыре неизвестных /, у5, р и р. Другие величины р, S и у^ непосредственно выражаются через них: энтропия и плотность — по термодинамическим формулам, ^ — по уравнению (19.11), если известно отношение р5/р^ в покоящемся гелии.

Второй звук. Получим теперь уравнения, описывающие звуковую волну в жидком гелии. Прежде всего, возьмем производную по времени от (19.15) и заменим с помощью (19.12):

5 = Др.(19.16)

Теперь найдем производную по времени от энтропии S:

dS1 dс S dp1 е 1.। S1.,х

“57 =Р S div tUn-\div (рЛ + p5^s).

dtр otv р otрk1 Р \\ пи \ v ss у

Здесь рп и р5 дифференцировать не надо (см. (19.13)); поэтому dS,

^^^div^-^).(19.17)

Пользуясь тем, что P = yV, получаем из термодинамического тождества для Ф (8.45):

Vp = —S VS + ^V/?.(19.18)

Сюда надо подставить ^р и ур из уравнений движения (19.12) и (19.14):

д-о,1 / дт„ д^Д

-^ = --SV6-?^-^ + Ps^).

Наконец, пользуясь тем, что р„ + р5 = р, получим: ^(^-y^^-sve.(19.19)

Исключая теперь (у„ — у5) из (19.17) и (19.19), приходим к уравнению

d=S S^p

^-=~Д0-(19-2°)

Р/г

Уравнения (19.16) и (19.20) содержат только термодинамические переменные, из которых независимы, как всегда, две.

Покажем теперь, что эти уравнения при низкой температуре описывают различные и не связанные между собой волновые процессы. Сжимаемость конденсированного вещества при низкой температуре обусловлена упругими силами, которые действуют между молекулами. Поэтому плотность р в основном зависит от давления, сжимающего жидкость. Следовательно, вторую производную др д-р. .

надо заменить на^^Г’ причем дифференцирование плотности выполняется при постоянной энтропии или при постоянной температуре, что в данных условиях безразлично. Влияние тепловых возбуждений на сжимаемость при низкой температуре не существенно, так как возбуждений очень мало. Но тем самым получается обычное уравнение для распространения звуковых колебаний в жидкости (16.6).

Энтропия S жидкого гелия на единицу его массы при низкой температуре зависит в основном от температуры (см. задачу 2). Фононная часть энтропии, как и у твердого тела, пропорциональна кубу температуры. Кроме того, при температуре в ГК еще сказывается вклад возбуждений, энергия которых близка к минимуму на кривой 8 ^р\

оd^S (dS \ д26

Заменяя -^ наприходим к волновому уравнению

вида:

d29 S2p 6

Этот вид звуковых возмущений называется вторым звуком. Его предсказал Ландау на основании полученных им уравнений (19.12)— (19.15).

Рассмотрим подробнее, в чем состоят эти колебания. Они происходят при постоянном объеме или постоянном давлении, что в данном случае безразлично. По уравнению (19.12) видно, что постоянное давление отвечает нулевому потоку У, т. е. условию Р/г^/г + Р.^5 = 0. Жидкость как целое остается в покое, а сверхзвуковой компонент колеблется относительно нормального. В точке перехода, где р5 обращается в нуль, исчезает и второй звук, что непосредственно видно по (19.21).

Там, где повышается концентрация тепловых возбуждений, температура, естественно, повышается вместе с рЛ. Поэтому второй звук отвечает волне температурных колебаний, бегущих по жидкому гелию.

Исходя из этого, Е. М. Лифшиц предложил возбуждать такие колебания с помощью электронагревательной спирали, через которую пропускается переменный ток. Этим способом наблюдал второй звук В. П. Пешков.

Квантованные вихри. Рассмотрим волновую функцию движения квантовой жидкости как целого. Такую волновую функцию всегда можно выделить в виде сомножителя из общей волновой функции. Если скорость макроскопического течения равна V, то волновая функция запишется так:

.МУг

ф = е’(19.22)

где М — масса жидкости. Иначе ф можно записать в следующем виде:

i 1Г1. mV г

г _п/~-(19.23)

Здесь знак П означает произведение по всем атомам. Пусть теперь скорость не строго постоянна по объему, а медленно изменяется от точки к точке на расстояниях атомного масштаба. Тогда (19.23) заменится приближенным выражением вида:

'=’(19.24)

где П снова означает произведение по отдельным атомам.

Применим эту формулу к циркуляционному движению жидкости, когда интеграл от скорости по замкнутому контуру отличен от нуля. Так как волновая функция однозначна, то интеграл в показателе (19.24) может измениться при обходе контура только на

2 л/г Тт целое кратное от величины Иными словами, циркуляция по контуру может принимать только следующие значения:

Г=Д Vdr= —п,(19.25)

где п — целое число.

Но движение сверхтекучей жидкости по преимуществу потенциально, так как это отвечает наименьшим возбуждениям (например, потенциальны звуковые возмущения). В задаче 2 § 15 было показано, что потенциальное движение жидкости может давать отличную от нуля циркуляцию только в том случае, если в ней имеется вихревая нить.

Чрезвычайно интересно, что вихревая нить, дающая циркуляцию Г согласно (19.25), характеризуется величиной, имеющей макроскопический порядок. Действительно, так как т = 6,4 X X 10~24 г, то Г 10-3 смМсек. На расстоянии 10~6 см от оси вихря, 222

большом по сравнению с атомными размерами, это соответствует скорости циркуляции 102сл/^, которая регистрируется непосредственно по рассеянию медленных (тепловых) нейтронов.

Существование квантованных вихрей объясняет, каким способом происходит передача вращения от сосуда к заключенному в нем жидкому гелию.

Согласно уравнению (19.6) сверхтекучее движение жидкости по капилляру возможно вплоть до скоростей, равных с. Фактически оно прекращается при гораздо меньших скоростях, по-видимому, из-за образования квантованных вихрей, предсказанных Л. О н саге р о м и Р. Фейнманом независимо.

Упражнение 18

Доказать, что при скорости течения, меньшей некоторого значения, в сверхтекучей жидкости не могут рождаться возбужденные состояния вблизи минимума потенциальной кривой, заданной формулой

Найти выражение энергии жидкого гелия при низкой температуре, учитывая и те состояния, которые рассматриваются в задаче 1.

Возбуждения ведут себя как бозе-газ с р = 0, для которого

Е =Е =е (р) V dTpв (2лА)»е6—1е (р) V dTpв (2лА)»е6—1д — 0259д — 0259In \ 1 — еIn \ 1 — еVd^p (2л/1)3 *Vd^p (2л/1)3 *

Е =

Е =

е (р) V dTp

в (2лА)»

е6—1

е (р) V dTp

в (2лА)»

е6—1

д — 02

59

д — 02

59

In \ 1 — е

In \ 1 — е

Vd^p (2л/1)3 *

Vd^p (2л/1)3 *

Вклад в интеграл дают две области: вблизи нуля и вблизи р = р^. Распространяя оба интеграла на бесконечные пределы, что справедливо при низких температурах, получим:

(Р-Ро)2'2АГо0(Р-Ро)2'2АГо0VdTpVdTpд с—c—\Vdx г»-А

(Р-Ро)2'2АГо0

(Р-Ро)2'2АГо0

VdTp

VdTp

F —О2— \ In 1 — е 6 \ In 1—2 6

"36 J 17 (2лЛ)3 J

Так как А > 6, то во втором интеграле можно заменить логарифм первым членом его разложения в ряд. Тогда

£ = _ 02 Л С in (1 - dx + V--^.

об 2л2/г3с3 j v '12л2/г^

_ о_

Учитывая, что

\ in(i-H^=- 2= - 6-

ол = 1

(см. примечание к ч. I), получим окончательно:

„V64 ум K^W

2л2/^

где А = 8,6° = 1,2-10 15 эрг, ро=1/9-1019 (г-сж)/сек, Л40 = = 0,16 тне* = 0,105-10~23 г. При температуре 1°К

у = (0,74 +0,12) • 10.

Вклад возбуждений с импульсом вблизи рй составляет 14%. Если вычислять теплоемкость, то полученное выражение надо дифференцировать по 9. При этом первое слагаемое умножится на 4, а второе — на у, т. е. на 8,6. Следовательно, доля возбуждений с р р^ в теплоемкости около 29%.

ОДНОМЕРНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

Термодинамические величины. Начиная с этого параграфа будут рассматриваться течения сжимаемого газа. Как было показано в § 16, сжимаемость среды имеет существенное значение при скоростях течения, близких к скорости звука или превосходящих ее. Поэтому полезно иметь выражения термодинамических величин, описывающих состояние газа, через скорость звука в нем. Обычно термодинамические формулы для величин, задающих состояние газа, очень громоздки и приходится применять специальные таблицы .

Но весьма часто рассматривается газ, у которого отношение теплоемкостей постоянно, как например у воздуха при температурах от 200° до 1500°К (примерно). У него колебательные степени свободы почти не возбуждены и cplcv = 7/5. У одноатомных газов постоянство теплоемкости нарушается только возбуждением электронных степеней свободы и cplcv = 5/3 в еще более широком интервале температур.

Скорость звука согласно (16.7) равна

Как было показано в задаче 1 § 8, изэнтропическая производная (lp)s связана с изотермической соотношением

/др\ сп /др\ cD /др\

M(20 2)

Wp/sW/e cvWP/T*v *

Производная ^т (2.24), в котором надо грамм вещества, т. е. вещества. ТогдаПроизводная ^т (2.24), в котором надо грамм вещества, т. е. вещества. Тогдаопределяется из уравнения Клапейрона брать газовую постоянную не на моль, а на не R, a R!M, где М — молекулярный вес

Производная ^т (2.24), в котором надо грамм вещества, т. е. вещества. Тогда

Производная ^т (2.24), в котором надо грамм вещества, т. е. вещества. Тогда

RTР = мР-RTР = мР-Заметим, что здесь

RT

Р = мР-

RT

Р = мР-

1

Р “ у ’

(20.3)(20.3)(20.4)(20.4)WJWJ_ RTт М 1_ RTт М 1(20.5)(20.5)где V — объем одного грамма, или удельный объем газа. Поэтому

(20.3)

(20.3)

(20.4)

(20.4)

WJ

WJ

_ RT

т М 1

_ RT

т М 1

(20.5)

(20.5)

или, обозначая cp/cv = ^, получим:

(20.6)(20.6)ср RT RTС ~ Cv М'

(20.6)

(20.6)

Газ с постоянным отношением теплоемкостей подчиняется закону равнораспределения. У него, с точностью до постоянного слагаемого энергия и энтальпия одного грамма выражаются формулами:

спТ

f =(20.7)

Учитывая, что ср— cv = R (у газа) и пользуясь (20.6), получаем выражения для удельной энергии и удельной энтальпии через скорость звука:

с2

<20-8)

■ I =^г(20.9)

Значение скорости звука в динамике сжимаемого газа. Скорость звука с в формуле (20.1) и далее определена в системе отсчета, относительно которой газ в данной точке покоится. Поэтому она характеризует внутреннее, термодинамическое состояние газа по формулам (20.8) и (20.9). Скорость звука в газе относительно неподвижной системы отсчета может быть получена путем сложения скорости самого газа со скоростью звука в нем.

В динамике сжимаемого газа, или, как принято говорить, в газодинамике, скорость звука имеет такое же значение, как скорость света в электродинамике. Возмущения, или «сигналы», передаются из одной части газа в другую со скоростью звука. В отличие от электродинамики, где понятие сверхсветовой скорости встречается только в исключительном случае (эффект Черенкова, § 39), в газодинамике весьма часто скорость вещества бывает больше скорости звуковых сигналов. Быстрее звука могут двигаться как тела

в среде (пули, снаряды, ракеты, самолеты), так и само вещество, обычно газ, течет быстрее звука по неподвижной трубе. -

Если на его пути имеется какое-либо небольшое препятствие, 'го вызванное им возмущение переносится относительно газа со скоростью звука. Но когда скорость течения больше скорости звука, возмущение не может передаваться вверх по течению. Набегающий на препятствие газ ничего не «знает» о том, что встретится на его пути. В отличие от этого при обтекании тела с дозвуковой скоростью возмущения проникают сколь угодно далеко вверх по течению.

Предельная скорость. При стационарном изэнтропическом течении имеет место слабая форма теоремы Бернулли (15.17):

|+ Z-const.(20.10)

Если газ перетекает из сосуда, где он покоится и имеет энтальпию /0, переходя в состояние с энтальпией /, то согласно (20.10) имеем: 7)2

2 +/-/0,(20.11)

откуда скорость в новом состоянии равна

^Г2(/о-"7).(20.12)

Предположим, что происходит истечение газа в вакуум. В [§ 8] мы рассматривали этот процесс как необратимый. Но необратимость возникает при остановке вытекшего газа, когда кинетическая энергия упорядоченного движения переходит в его внутреннюю энергию Е. Пока газ не остановлен, его энтропия не изменяется. Выразим се через давление и температуру, пользуясь (9,28):

S-c>T-R }пр.(20.13)

Отсюда, учитывая, что -5==г, получаем уравнение

cp — cvУ 1

изэнтропы:

7Y -1 ]р = const.(20.14)

Таким образом, при изэнтропическом расширении в вакуум газ охладится до нулевой температуры (у реальных газов это используется для их сжижения). При р = 0 энтальпия согласно (20.7) тоже равна нулю. Отсюда следует, что наибольшая скорость стационарного истечения отвечает переходу в вакуум и равна

Уо^ГЖ,(20.15)

или, с привлечением (20.9),

Г

й-р(20.16)

Эта формула показывает преимущество, получаемое при выражении энтальпии непосредственно через скорость звука.

Для воздуха о0 = cQ "|/5.

Критическая скорость. Так как скорость звука в сжимаемом газе изменяется от точки к точке, определение дозвукового и сверхзвукового течения локально. В разных местах одно и то же течение может быть как дозвуковым, так и сверхзвуковым. Но можно установить такую постоянную контрольную для данного течения величину, сравнения с которой достаточно, чтобы узнать характер течения. Введем обозначение:

у* = ]Z ^Д у°55w <20-17)

С помощью (20.9) и (20.15) перепишем уравнение Бернулли (20.11) так:

) +(20-18)

Простая перегруппировка членов в этом уравнении дает:

= Дг№-с2).(20.19)

Отсюда видно, что если и > и*, то и о^ > с, т. е. в данной точке течение сверхзвуковое (у>с), и наоборот.

Понятия предельной и критической скорости применимы в случае любого стационарного изэнтропического течения, когда можно пользоваться сильной формой теоремы Бернулли.

Течение газа по теплоизолирующей трубе. Рассмотрим течение сжимаемого газа по длинной трубе постоянного сечения с теплоизолирующими стенками. Так как труба длинная, нельзя пренебрегать потерями на вязкое трение. При этом, однако, выделяющееся тепло не передается в окружающую среду благодаря теплоизоляции. Очевидно, что в этих условиях сохраняется полный поток энергии, переносимый газом. Поэтому согласно (15.31) можно записать

ри^-+ const.(20.20)

Но если сечение трубы постоянно, то ру = const. Следовательно, ^+ const.(20.21)

Это равенство весьма напоминает теорему Бернулли, но имеет совсем другое происхождение. Теорема Бернулли относится только к изэнтропическому течению. В данном же случае энтропия газа растет вследствие вязкого трения. Но благодаря быстроте течения выделяющаяся теплота не успевает передаваться через стенки трубы; не происходит также теплообмен между разными объемами газа. В этом смысле условия напоминают процесс Джоуля — Томсона

(см. (8.56)). Но теперь скорость газа не гасится трением полностью. Поэтому в выражение закона сохранения (20.20) входит и у. Сохранение величины I в этом случае непосредственно связано с постоянством сечения, так как в общем случае сохраняется только величина (20.20).

Из равенства (20.21) полностью исключается скорость, если заменить се по формуле у = где^— удельный расход (в трубе постоянного сечения он постоянный):

^ + / = const.(20.22)

Сюда входят только термодинамические величины / и р.

Продифференцируем равенство (20.22) по давлению, заменяя ™ с помощью (8.30):

di DdS . Xdp dp р

Для производной энтропии по давлению, взятой вдоль трубы, получаем:

dS _ _ £ Л у2 \dp р9 \ dp/dp)1

где q заменяется на ру.

Вблизи максимума энтропии производная ^ есть ^)с- Иначе говоря, она равна с2. Следовательно, энтропия достигает максимума там, где у^с.

Приращение энтропии, согласно второму началу термодинамики всегда положительно. Поэтому при дозвуковом течении, когда величина в скобках в правой части (20.23) положительна, давление должно падать вдоль трубы ^йр < 0). При сверхзвуковом течении давление растет.

Если в трубу подан сверхзвуковой поток, то он не может стать дозвуковым внутри трубы, и наоборот. В противном случае энтропия должна была бы самопроизвольно уменьшаться на некотором участке трубы.

Все сказанное относится к таким течениям, где все величины изменяются непрерывно. Но в очень длинных трубах возможно появление скачка или ударной волны. Предположим, что в талую трубу подается сверхзвуковой поток. Скорость его в трубе должна постепенно уменьшаться, так как давление в трубе растет, согласно только что доказанному. Если скорость течения уменьшится до звуковой раньше, чем газ выйдет из трубы, энтропия в этой точке достигнет максимального значения. Но так как уменьшаться она не может, режим плавного течения должен смениться другим, содержащим скачок.

КВАЗИ0ДН0МЕРН0Е ТЕЧЕНИЕ ГАЗА

Течение в трубе с переменным сечением. Отличие сверхзвукового течения от дозвукового очень хорошо видно, если газ изэнтропи- чески движется по трубе медленно изменяющегося сечения F. Тогда его скорость с хорошим приближением можно характеризовать ее средним значением по площади сечения трубы. Если течение стационарно, то расход газа через каждое поперечное сечение один и тот же:

pyf^const.(21.1)

Возьмем логарифмическую производную от этого выражения: dp du +(21.2)

р 1 v 1 Fv z

Преобразуем первое слагаемое так:

dpdp dp dii qx

p dp p с2 *

Здесь было использовано то условие, что газ течет изэнтро- пически и (^Х = (^Х , a di =^Vdp = d~, так как V — удельный \dpj wp;sрJ

объем газа. По уравнению Бернулли

dl = — и du.(21.4)

(21-5)(21-5)Подставляя последние два выражения в (21.2), найдем: du /. у2 \ dF

(21-5)

(21-5)

Пусть теперь течение является дозвуковым (у < с). Тогда скобка в левой стороне равенства (21.5) положительна. Если газ движется по сужающейся трубе, dF < 0. Отсюда следует, что du > > 0, т. е. течение ускоряется. В расширяющейся трубе дозвуковое течение замедляется. Но если и > с, то скобка ~ Ои соотношение обратное. Сверхзвуковое течение ускоряется в расширяющейся трубе и замедляется в сужающейся.

Сопло Лаваля. Из сказанного следует, что газ, вытекающий из камеры, где он покоился, через сужающуюся насадку не может достичь звуковой скорости. Чтобы газ достиг сверхзвуковой скорости, необходимо, чтобы он, проходя через трубу (сопло), сечение которой сначала уменьшается, достигал при минимальном сечении звуковой скорости и затем уже вытекал через расширяющуюся часть сопла, ускоряясь дальше. Согласно (21.5) и = с при dF = 0, т. е. в самом узком месте (в горловине).

Покажем, как по уравнению состояния газа рассчитать течение газа в сопле заданной формы. Для этого удобно выразить плотность

(21.6)(21.6)и энтальпию газа через его давление, пользуясь уравнением изэнт- ропы. По формуле (9.28) для энтропии находим:

(21.6)

(21.6)

PXh? P»w

Пусть р0 и р0 отнесены к такому состоянию газа, в котором он покоился. Из (20.3), (20.6) и (20.9) выражаем энтальпию, после чего заменяем плотность р, пользуясь изэнтроТюй (21.6):

-у— 11

(21.7)(21.7)Т Р = У Р Y Р^

(21.7)

(21.7)

Y—1 Р Y-1 Ро

Отсюда определяется зависимость плотности потока ру от давления в данной точке сопла:

рУ = рК2 (/о-/)==Ро(Д/У]/?

\Ро/ v Y—^oL \Ро/

Обозначая отношение р/р0 через р, приводим выражение плотности потока к виду:

(21.8)

Это выражение обращается в нуль как при р^\, т. е. в. исходном состоянии покоя, так и при р^О, когда происходит расширение до вакуума. Максимум достигается при

d оу = ^ v — р ^ 1 = —= 0, т. е. при у =^с.(21.9)

ар1 ар 1 ар ии1х

Иначе говоря, в этой точке у равна местной скорости звука, что отвечает горловине сопла.

Построим следующие кривые. Прежде всего, отложим на абсциссе величину р от единицы до нуля (рис. 20), а на ординате ру. При помощи этого графика удобно находить приведенное давление р по заданной плотности потока ру. Далее, изобразим поперечное сечение сопла F как функцию х от входа (^ = 1) до выхода. В верх

ней части рисунка 21 это показано для наглядности в виде профиля сечения сопла.

Задаваясь некоторой абсциссой х, находим по графику площадь поперечного сечения F. Считая, что сопло дает расход Q через все сечение, находим плотность потока или удельный расход. ру = QJF. Затем по рисунку 20 надо определить два значения рх и р^ отвечающие одной

ii той же ординате х. Их откладываем в нижней части рисунка 21. Соединяя плавными кривыми все точки рх и ^2, убеждаемся, что верхняя кривая отвечает целиком дозвуковому течению, а нижняя — целиком сверхзвуковому.

Следовательно, расход Q, по величине которого были проведены кривые, не соответствует данному профилю сопла.

Может существовать только одно, вполне определенное значение Qo, при котором точка рх до горловины сопла перемещается по верхней, дозвуковой

кривой, а в самой горлови- ^0х х

не переходит на нижнюю,рис 21

сверхзвуковую ветвь. Та-'

кая кривая вычерчена на рисунке 21 жирной линией. Надо отмстить, что на выходе из сопла она соответствует определенному давлению р^.

Если давление на выходе из сопла меньше, чем р^ то газ будет выходить из сопла в окружающую среду с избыточным по отношению к ней давлением. Так как истечение сверхзвуковое, это никак не отразится па режиме внутри сопла. «Сигналы» о пониженном давлении снаружи не пройдут в сопло вверх по течению. Дополнительное расширение газа произойдет уже после выхода из сопла.

Если внешнее давление больше р01 расширение газа не следует ни одной из плавных кривых, приведенных на рисунке 21. Режим истечения не может быть непрерывным. Опыт показывает, что при этом образуются поверхности скачкообразного перехода, или ударные волны. Такие скачки будут рассмотрены в общем виде в § 25.

Поверхности разрыва имеют коническую форму, так что течение в сопле становится неодномерным, и примененная здесь квазиодно- мерная модель течения не адекватна вблизи выхода из сопла.

Упражнение 19

Сжимаемый газ вытекает в трехмерную область из некоторого источника, находящегося внутри нее. Найти минимальный размер источника, если его расход Q.

Полный расход газа удовлетворяет равенству

Q = 4nr2pu = const.

Произведение ру имеет максимум согласно (21.9), что и определяет минимальный радиус при заданном Q. Течение вне источника либо целиком дозвуковое, либо сверхзвуковое.

Найти минимальный радиус вихревой нити в сжимаемом газе.

Вне нити течение безвихревое. Если нить направлена по оси г, то скорость имеет только азимутальный компонент иф, и условием равенства вихря нулю служит равенство

rotzo = 7 ^гуф = 0, откуда

где Г, как обычно, циркуляция вокруг нити.

Поскольку течение безвихревое, применима сильная форма теоремы Бернулли;

2। 2 'со,

где /оо — энтальпия на бесконечном расстоянии от нити при уф = 0.

Так как />0, то максимальная скорость равна |/ 2/оо, а мини- „Г

мальныи радиуст=.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ИЗЭНТРОПИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

Общие уравнения. Из уравнений газовой динамики наиболее

полно исследованы уравнения нестационарного изэнтропического течения. Изэнтропичность в данном случае надо понимать в очень жесткой форме: удельная энтропия постоянна не только для каждой данной частицы газа, но и по всему объему. При этих условиях

давление однозначно зависит от плотности и \р заменяется на

одномерным, как поскорость имеет проекодномерным, как поскорость имеет проек(sp)s ^Р"^Р- Движение будем считать трубе. При этом градиент заменяется на ^ и

одномерным, как по

скорость имеет проек

одномерным, как по

скорость имеет проек

цию только на х. Уравнение Эйлера (15.11) и уравнение неразрывности (15.6) приводятся к виду:

(22.1)(22.2)(22.1)(22.2)ди ,дос2 др

(22.1)

(22.2)

(22.1)

(22.2)

dt хдхр

др ,др . ди п

dt 1дх г дх

Инварианты Римана. Написанные уравнения можно преобразовать к такому виду, в котором частные дифференциалы величин, 232

входящие в производные по х и по /, пропорциональны друг другу. Для этого умножим второе уравнение на неопределенный коэффициент п и сложим с первым:

S+4+<^+-f) £+(?+HS - °-<22'31

Далее, подберем величину п так, чтобы при частных дифференциалах по / и по х стояли пропорциональные величины. Иначе говоря, потребуем, чтобы с3 . П'О

У + "Р = Р.(92.4)

Отсюда получим:

ИЛИ

« = ±|.(22.5)

Подставим это выражение для п в (22.3):

(22.6)(22.6)

(22.6)

(22.6)

После небольшой перегруппировки членов это уравнение сведется к виду:

^.± с-^ + (у±с)(^±--^ = 0.(22.6')

dt р dt х х ’ \dx р dx)х '

Таким образом, частные дифференциалы при каждом выборе знаков действительно пропорциональны: один раз это

5у + ^ и (у +Дди + ™^, другой раз

ди —^ и (и — с) ^ду — --^у

Но эти уравнения допускают более простую запись, если воспользоваться тем, что в условиях полной изэнтропичности термодинамические величины выражаются через одну из них, в данном случае плотность р. Введем величину

(22.7)

Тогда производные от р заменяются через производные от и:

С дрдис_др _ ди99

р dtdi* р dx dx’

после чего уравнения (22.6') приобретают весьма симметричный вид:

£ (у + и) + (у ± с) ^ (у ± и) - 0.(22.9)

(22.10)(22.10)В обоих слагаемых под знаком производной стоят одинаковые величины. Возьмем для примера первое из этих уравнений и перепишем его в таком виде:

(22.10)

(22.10)

-g= у + с. дх(у + м)

Из этой записи видно, что слева стоит производная ^ при постоянном значении функции уфи. Таким образом, если задать в плоскости х, / кривую, уравнение которой есть

(22.11)(22.11)dx .

(22.11)

(22.11)

dt^u+c’

то вдоль нее остается постоянной величина у + и. Аналогично вдоль другой кривой, удовлетворяющей уравнению

dx didx diУ— С,У— С,(22.12)(22.12)

dx di

dx di

У— С,

У— С,

(22.12)

(22.12)

сохраняется значение у — и. Инварианты у ± и, найденные Б. Риманом, основателем газовой динамики, носят его имя.

Характеристики. Кривые, которые описываются уравнениями (22.11) и (22.12), называются характеристиками уравнений газовой динамики (22.1) и (22.2). Разъясним теперь их значение. Пусть в начальный момент времени у некоторой частицы газа возникло малое возмущение. Оно будет распространяться в обе стороны со скоростью ± с относительно газа, причем в общем случае с — переменная величина. Но так как частицы газа сами движутся со скоростью у относительно неподвижной системы отсчета, по отношению к этой системе возмутищения распространяются со ско-

ростыо У ± с.

IXХарактеристики, проходящие

\через некоторую точку, показы-

\/вают, как распространяются вы-

\/^хходящие из этой точки возмуще-

\/ ^-^0 ния, или «сигналы» (рис. 22).

\/Состояние газа в этой точке

-влияет на состояние газа между

обеими характеристиками и не Л влияет на частицы газа вне этой Рис. 22области. Здесь имеется глубокая

аналогия со световым конусом в электродинамике [§ 13]. То обстоятельство, что скорость звука переменна и складывается со скоростью газа, существенно осложняет картину и, как будет показано ниже (§ 23), приводит к появлению разрывов или ударных волн, чему в электродинамике пет аналогии.

Вдоль характеристики (22.11) сохраняется инвариант

у + и, а вдоль характери

стики (22.12) — инвариант у — и. Отсюда можно видеть в общей форме, как строится решение системы (22.1) — (22.2) или (22.9). Пусть состояние газа задано вдоль некоторой кривой АВ в пло

скости х, / (рис. 23). Отрезок АВ везде направлен таким образом, что обе характеристики, проходящие через любую его точку, составляют больший угол с осью х, чем отрезок в этой точке. По аналогии с термином, принятым в теории относительности, такой отрезок АВ называют пространственноподобным [§ 13].

Так как на отрезке АВ известны у, и, (а вместе с ними и с, р, р),

через каждую точку можно провести начальные отрезки характеристик обоих семейств у ± с. Возьмем точки 1 и 2 и точку 3, где d х

пересекается линия ^+ проведенная из точки /, с линией

cl V

т^у„с, проведенной из точки 2. Разумеется, оба отрезка 13 и

(22.13)(22.13)(22.14)(22.14)23 считаются достаточно малыми и проводятся в виде прямых. Но вдоль линии 13 сохраняется инвариант и + и, а вдоль 23 — инвариант у — и. Поэтому получаются следующие два уравнения:

(22.13)

(22.13)

(22.14)

(22.14)

У3 + ^3 ~ ^1 + ^1,

&311^ — ^2 — ^2,

полностью определяющие состояние в точке 3.

Точки 3 образуют плавную кривую, показанную пунктиром. На этой кривой снова известно состояние газа по уравнениям (22.13), и так до вершины криволинейного треугольника С. В этом треугольнике состояние газа может быть найдено по его состоянию на линии АВ.

Из построения видно, почему отрезок АВ должен лежать ниже обеих характеристик 12 и 13: в противном случае у них не было бы нужной точки пересечения 3.

Возможно задание исходных функций и на двух пересекающихся времениподобных отрезках (рис. 24). Построение характеристик видно из самого чертежа: по 1 и 2 находится 3, изЗ и 4— 6, из Зи 5 — 7 и т. д.

Исходное состояние, заданное на отрезке АВ (см. рис. 23) и отрезках АС и ВС (см. рис. 24), как бы распространяется по газу. Скорость распространения относительно газа всегда равна ±с. В соответствии с этим уравнения газовой динамики относятся к волновым (но нелинейным) уравнениям. Описание распространяющихся процессов роднит их с волновыми уравнениями электродинамики.

Распространение слабых разрывов. Функции о, и, заданные на отрезке АВ, не обязаны иметь одинаковую аналитическую форму по всему отрезку. В отдел ьнььх точках их производные могут терпеть разрыв при условии, что сами функции там разрыва не имеют. Действительно, этого достаточно, чтобы уравнения характеристик (22.11) и (22.12), проведенных через точку разрыва производной, были однозначны. Инварианты Римана у ± и на этих характери

стиках тоже заданы однозначно, но их производные терпят разрыв при переходе к соседним характеристикам. Решение, не аналитическое на отрезке АВ в точке 1, имеет разрывы аналитичности по обеим характеристикам, проходящим через точку I. Но эти разрывы относятся только к производным, а не к самим величинам. Они называются поэтому слабыми разрывами в отличие от сильных разрывов, или ударных волн (§ 25). Условие непрерывности самих функций необходимо для того, чтобы имели смысл уравнения первого порядка (22.1) и (22.2).

ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ

Особые решения. Решение системы из двух уравнений (22.1) и (22.2) в частных производных первого порядка содержит в общем случае две произвольные функции. Но существует важный класс особых решений, содержащих одну произвольную функцию, которые не могут быть получены из общего решения путем специального выбора функций.

Чтобы построить такие решения, запишем еще раз систему (22.9) для каждого из инвариантов v + и и v — и в отдельности:

+(23.14)

-^ (у-и) + (у-с) ^^-^=0.(23.15)

В обшем случае эти уравнения взаимно связаны, так как с зависит от и. Но если положить, например, и — и равным постоянной вели-

чине в некоторой области течения, то уравнение (23.15) будет удовлетворено автоматически. Задавшись этой постоянной, можно выразить и и с в зависимости от у и подставить в уравнение (23.14), которое будет, таким образом, содержать только одну неизвестную функцию — у. Решение системы выразится через одну произвольную функцию. Оно называется простой волной.

Построим это решение. Уравнение характеристики, определяемой (23.14), есть (23.11):

®=и + с.(23.16)

/u4-u=const

Производная dx/dt в общем случае берется при постоянном инварианте Римана у + и. Но в простой волне и есть функция у. Следовательно, и с есть функция у. Значит, у + н и у + с суть функции только от и. Поэтому (23.16) можно записать и так:

® =у + с(у).(23.17)

Эго уравнение непосредственно интегрируется:

х = (у + с (у)) t + /+ (у),(23.18а)

где Д — произвольная функция скорости. Примеры ее определения из условий задачи будут даны ниже.

В области простой волны, где у — и — const, все характеристики семейства (23.18а) прямолинейны. Каждой прямой соответствует определенное значение скорости у, задающее угловой коэффициент v + с (у) и отрезок Д (у), отсекаемый на оси х при t = 0.

Другая простая волна получается из решения v + и = const. Она имеет прямолинейное семейство характеристик:

х=Ду-с(у))< + /_(у).(23.186)

Каждая простая волна содержит и семейство криволинейных характеристик. При у — и--= const оно описывается уравнением dxdx ,

^ = у —у, а при у + u —const —уравнением = у +

Критерий появления простой волны. Существует простой критерий того, что в решении газодинамической задачи участвует простая волна. Пусть какая-то часть течения не затронута возмущениями. В ней у = const и и = const. В такой части течения оба семейства характеристик имеют вид параллельных прямых (рис. 25). Характеристика АВ — крайняя справа в этом семействе. Еще правее лежит возмущенная область семейства. Следовательно, прямая АВ описывает распространение слабого разрыва, отделяющего постоянное течение от возмущенного, где функции имеют другой аналитический вид.

Продолжения другого семейства характеристик, пересекающих АВ, криволинейны в области возмущенного течения (см. рис. 25). Каждая из них в области постоянного течения отвечает одному и

тому же значению у + ил\ с этим значением и + и переходит в область, расположенную правее АВ. Но и + и сохраняется вдоль этого семейства характеристик в самом общем случае, а значит, у + и имеет постоянное значение во всей области возмущенного течения, а не только по характеристикам соответствующего семейства. Эта величина у + и принесена характеристиками из области

постоянного течения. Иными словами, правее АВ непременно находится простая волна."

Но тогда семейство характеристик, которые левее АВ прямолинейны и параллельны АВ, состоит из прямых и в области, находящейся правее АВ. Но здесь характеристики этого семейства имеют разный наклон. Таким образом, с постоянным течением или с вакуумом всегда граничит простая волна.

Простые волны в газах с постоянным показателем изэнтропы. Формулы для простых волн имеют особенно удобный вид для газов с постоянным показателем изэнтропы. Так как давление пропорционально р^' (см. 21.6), то j/ Vq^s пропорциональна

р 2 . Следовательно,

у — 1 dpde2 р ~ с ’

ИЛИ

“ЛТ-Л<23-19)

Например, для воздуха, где у = 7/5, получаем и = 5 с. В простой волне типа (23.18а) можно положить

илиОтсюдаилиОтсюдаV — и = const = — ^о,

или

Отсюда

или

Отсюда

5 •

(23.20)(23.20)Х = у + ^^ + /+ (у),

(23.20)

(23.20)

где ий — значение и в той области, где воздух покоится.

Любопытен случай у = 3. Идеальный газ, конечно, не может иметь такого показателя изэнтропы, но формулы, содержащие

7 = 3, нужны для построения общего решения уравнений газовой динамики в § 24. Кроме того, давление плотных продуктов детонации взрывчатых веществ типа тротила приближенно следует закону р = А р3.

(23.21а)(23.216)(23.21а)(23.216)При 7 = 3 получаем и = с. Но тогда система уравнений (23.14) и (23.15) полностью разделяется. Ее самое общее решение имет вид:

(23.21а)

(23.216)

(23.21а)

(23.216)

^=(у + с)/ + / + (у + с),х = (и — с) t-Vf — (у — £)•

Волны, бегущие в каждую сторону, распространяются независимо и никак взаимно не возмущаются. При у 3 только простые волны не порождают каких-либо волн встречного направления.

Если функции /+ и f_ определены из условий задачи, то уравнения (23.21а, б) полностью задают в неявном виде скорость течения и скорость звука, а следовательно, и другие термодинамические величины в зависимости от координат и времени.

Волна разрежения и волна сжатия. Предположим, что в покоящемся и однородном по термодинамическому состоянию газе в начальный момент времени ^ = 0 создано такое распределение скоростей, как показано на рисунке 26. Скорость везде нарастает вдоль оси х от точки / до некоторого максимального значения в точке 2 и затем убывает, обращаясь в нуль в точке 3. Возникающее течение граничит с постоянным, т. е. с областью покоя, и поэтому представляет простую волну. По формуле (23.12) находим:

Х=(у + с) ^+/+ (у),

где функция Д. определяется начальным распределением скоростей на участке 1—3. Эта простая волна состоит из двух частей. Газ, находившийся между 1 и 2. расширяется, потому что частицы движутся тем быстрее, чем дальше от точки 1 они расположены. Этот участок течения называется волной разрежения.

Частицы в точке 2 и правее нагоняют те, которые находятся еще правее. В результате газ сжимается. Получается волна с ж а - т и я. Свойства волн разрежения и сжатия весьма различны.

Чтобы убедиться в этом, найдем

крутизну волны в некоторый момент времени, т. с. производную по правилу дифференцирования неявных функций:

(dyJ = Ги ц^Ь^^-Г1.(23.22)

\dx)t L\ do/ du J x 7

В области волны разрежения произ- de

водная положительна. для

данной простой волны (у — и = const) тоже положительна. Поэтому знаменатель выражения (23.22) нигде не может обратиться в нуль. С увеличением / крутизна волны уменьшается, волна разрежения растягивается в пространстве.

В волне сжатия производная отрицательна в соответствии с профилем скоростей на рисунке 26. Поэтому неизбежно наступает такой момент f, когда крутизна фронта обращается в бесконечность (рис. 27, кривая 2). Если формально продолжить решение за этот момент, то кривая распределения получит «перехлест», как у морской волны, набегающей на берег. Но, разумеется, скорость не может иметь нескольких значений в одной и той же точке. Поэтому на самом деле после появления вертикальной касательной профиля скорости возникает ударная волна (прямой отрезок 3 на рисунке 27).

Причину появления вертикальной касательной можно понять так. Характеристики, выходящие из тех точек, где скорость больше, dx

имеют согласно уравнениюи больший наклон к оси х.

У них больше и. Кроме того, они идут из области, где сильнее сжатие; следовательно, у них больше и с.

Из-за этого характеристики, идущие левее, догоняют характеристики, вышедшие правее. Но пересечение характеристик физически невозможно, потому что они несут разные значения инвариантов Римана. Если бы две характеристики одного и того же семейства пересеклись, то в одной и той же точке пространства в один момент времени соответствующая величина у ± м имела бы два различных значения, что невозможно.

В волне разрежения характеристики расходятся веером (рис. 28) и поэтому нс могут пересечься.

Упражнение 20

Длинный цилиндр разделен перегородкой на две части: в одной его половине (при х 0) находится однородный покоящийся газ с постоянным показателем изэнтропы у, в другой (при х > 0) — вакуум. Перегородка мгновенно убрана при t = 0. Описать движение газа.

На границе с покоящимся газом возникает простая волна (23.186), бегущая налево. При этом в условие задачи нигде не входят величины, имеющие размерность длины, поэтому функция Д, входящая в выражение для х, в общем случае может равняться только нулю. Следовательно,

х = (v — с) t = (v — и) /.

В этой простой волне сумма и-Yu постоянна: x)-Yu = u0 = 2

= -—гс0. На границе газа с областью покоя ц = 0,— c^L На

2'

границе с вакуумом t/ = 0, с^О,Расширение в вакуум

2

происходит со скоростью -2rj^o, так что граница вакуума дана 2‘

уравнением х = ^-|С0Л (Это можно сопоставить со скоростью стационарного разлета в вакуум j/^^-jCoJ В произвольной точке

/1 +V \ у

Все величины зависят только от отношения р поэтому стечением времени область простой волны расширяется, оставаясь подобной самой себе. Такая волна называется автомодельной, т. е. самоподоб- dx

ной. Все характеристики семейства — с выходят веером из начала координат.

Найти уравнения криволинейных характеристик в автомодельной простой волне.

Дифференциальное уравнение этих кривых записывается так:1

dx didx di= v + ^.= v + ^.

dx di

dx di

= v + ^.

= v + ^.

Из задачи 1 находим: 2 / х .\

2 у — 1 хc-i+v 0 т + Гг

Следовательно,dx 4с0 . 3 — у хdt ” 1 + у ‘ 1 + у I *

Это однородное уравнение интегрируется подстановкой х = wt

, day 4r?02 (у— 1) w

~dt ~ 1+v1+y*

Отсюда легко усмотреть следующее частное решение:,

2с0

Общее решение имеет вид:Общее решение имеет вид:2cq2cq— 2(у — 1) VAT y+i ,— 2(у — 1) VAT y+i ,

Общее решение имеет вид:

Общее решение имеет вид:

2cq

2cq

— 2(у — 1) VAT y+i ,

— 2(у — 1) VAT y+i ,

где А — постоянная интегрирования, определяющая характеристику в данном семействе.

Поршень выдвигается из цилиндра с постоянной скоростью и0. Описать движение газа за поршнем/

2^о7-12^о7-1Решение получается из задачи 1. Если скорость поршня у0 <

2^о7-1

2^о7-1

, то между ним и покоящимся газом образуется участок про

стой волны. На самом поршне и = у0, так что скорость звука равна с0-—^'. Отсюда по уравнению изэнтропы можно найти плот

ность и давление газа на поршне.

Между поршнем и простой волной имеется область постоянного течения. Действительно, если скорость поршня с0, самая правая прямолинейная характеристика описывается уравнением d^^VQ — с^ Где с’ — скорость звука на поршне. Ее можно найти 22

из уравнения v0 + —т^'При у^---l^ получается: у0 — с' =

= Y-~-c0 —с0. Подставляя х^ — с' в уравнение крайней правой характеристики, получим: х' = ^-Ц~ уо — со\ t. Она отстает от поршня, потому ЧТО Хп~Х —— а с0 по условию

больше у0.

При Уо>~“^о автомодельная простая волна образуется полностью, т. е. содержит весь веер прямолинейных характеристик. Между поршнем и газом возникает область вакуума. Разумеется, это верно только в предположении, что газ образует сплошную среду, без учета распределения молекул по скоростям.

Поршень выдвигается из цилиндра с воздухом ^у ^ ^ по закону х—хй (О, но так, что при / — О, х0 — О, х0 — 0. Найти движение воздуха.

Согласно общему решению (23.186)

X — (и — С) t f М,и + 5с = 5с0,откуда

Х=(1 у~со)/+/-(")•

На поршне у = х0 (/). Поэтому

5 зд-с^-г- смог

Тем самым функция /- определена в параметрической форме: для каждого значения / известен аргумент х0 (7), т. е. г», и значение самой функции. Условие х0 (0) = 0 наложено для того, чтобы в начальный момент движения не возник участок автомодельной простой волны, как в задаче 3.

Показать, что если поршень равноускоренно двигается в цилиндр по at2

уравнению х =, то через некоторое время появится точка, где обра

щается в бесконечность.

Функция f- согласно задаче 4 определяется уравнением

/ (- «о - - £ + ” «с+v = С «/•+м

Следовательно,

г W

Подставляем это выражение в уравнение простой волны:

Х""\5У М + 10аа"

Решая квадратное уравнение относительно у, получим:

Bat — 5с0 — \^Bat — Вс^ + 70ц2 (х + со0и _--,

Знак «минус» перед корнем стоит потому, что при х = —c^t скорость должна обращаться в нуль: до этого места распространяется простая волна сжатия по неподвижному воздуху. Производная ^^ равна

\/^

В простой волне второе слагаемое под корнем всегда неотрицательно, х — c^t. Следовательно, корень обращается в нуль только тогда, когда оба слагаемые равны нулю, т. е. при х = —с0/ и при t = -™. В этом случае вертикальная касательная возникает в самой передней точке волны. Иногда она возникает и в середине простой волны сжатия.

Если бы поршень равноускоренно выдвигался из трубы, под корнем стояло бы выражение (6а/ + 5с0)2 + 70а2 (х + со0, которое не обращается в нуль при / > 0, | х | < c^t.

§ 24. ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ

(Взаимодействие простых волн)

В этом параграфе мы будем находить общие решения уравнений одномерного нестационарного течения, содержащие две произволь- ные функции координаты и времени. Но предварительно придется сделать небольшое отступление математического характера.

Преобразования независимых переменных. Система уравнений (23.14)-—(23.15) приводится к линейной, если превратить х и t в зависимые переменные, a v и и — в независимые. В ряде важнейших случаев это позволяет легко разыскать решение системы.

Для перехода к новым переменным удобно использовать следующий прием. Пусть от старых переменных х, t надо перейти к новым у, и. Тогда «элемент объема» dxdt преобразуется так:

dx dt = du du,(24.1)

d (y, u)v

где перед dvdu стоит так называемый функциональный определитель, или якобиан:

d (х, f) fdx\ tdt\tdx\ tdl\

d (y, u)\du)u\du)u\du)v\du)u'

Если взять для примера переход от декартовых координат х, у к полярным г, ср, то якобиан равен, как и должно быть, г.

Запись якобиана в виде дроби объясняется следующим образом.

Предположим, что сначала переходят от х, / к у, и, а затем к г, w. Тогда надо записать следующие формулы перехода:

(24.3)(24.4)(24.5)(24.3)(24.4)(24.5)dx dt~~^-~dv du; dv du ~ dx dw;а (и, и)о (z,

(24.3)

(24.4)

(24.5)

(24.3)

(24.4)

(24.5)

dx dt =dx dw.

о (у, и) у (z,

Но можно сразу перейти от х, t к х, w; dx dt = dx dw. д (г, w)

Сравнивая (24.3) и (24.4), находим: д (х, t^ д (у, и) д (х, t) д (у, и) д (z, w)д (г, w) '

Таким образом, символ д(и, и) как бы сократился, как у дробей. Соответственно, его законно добавлять к выражению какого-либо якобиана, если требуется.

В целях преобразования обычные частные производные иногда удобно записывать в виде якобианов:

д (и, 0 _ 1ди\ (dt\ _ fdu\,^д

д (х, t) \dx// \dt )х Дх/Д*

потому что второе слагаемое определителя содержит N-) =0.

Отметим также, что перестановка любой пары переменных х, t или у, и равносильна перемене знака якобиана, как всякого определителя.

Применим полученные соотношения к системе уравнений (23.14) — (23.15). Для этого умножим каждое уравнение на у^”у Производные, входящие в уравнения, преобразуются при этом следующим образом:

d (х, /) tdu\ д (х, /) д (и, х) d (и, х) /дх^

д (и, и) \di)хО (и, и) д (/, х)d (и, и)\dujv'

где использованы все перечисленные свойства якобианов.

После перехода к независимым переменным у, и система получает вид (нижние значки опущены, так как они теперь очевидны):

ди 1 ди 1 х 17 \ди ди)х1

дх дх I /\ /ot . dt \л

ди ди 1 х' \ди х ди)-'

Складывая и вычитая эти уравнения, получим более простую систему:

-2+^-4=°’<24-9)

дх । otdt/ rx * i

(24.10) du 1 dudux 7

Перейдем от термодинамической переменной и к энтальпии /. Поскольку производные берутся при постоянной энтропии, можно записать:

d/^^l^p^dp^dw.(24.11)

р р dp 1 р 1х 7

Тогда система (24.9)—(24.10) приобретает вид:

-™ + у?/-? = 0’(24-12)

di ' di duх 7

Решение основной системы. Полученную систему из двух линейных уравнений первого порядка удобно преобразовать к одному уравнению второго порядка. Применим прием, аналогичный тому, с помощью которого от уравнений Максвелла [12.34, 12.35] для полей

переходят к волновым уравнениям для потенциалов. При этом первая пара уравнений Максвелла удовлетворяется тождественно. Положим

(24.15)

Здесь функция % подобна потенциалу. Тогда дх д2%d2/ dt _ d2% dt д2/

di д/2 д! do ’ di д!2 ’ до do di’

так что уравнение (24.12) выполнено тождественно. Уравнение (24.13) приводится к виду:

с^-^ + а/^0-(24Л6)

д!2 до2 1 д!х 7

В этой форме оно весьма напоминает волновое уравнение. Для того чтобы решить это уравнение, надо задаться зависимостью с от /. Для газов с постоянным показателем изэнтропы согласно (20.9) имеем: с2 = (у — 1) /. Поэтому (24.16) приводится к следующему окончательному виду:

Счастливым образом это уравнение решается в очень простой форме как раз для одноатомных и двухатомных газов, т. е. для у = 5/3 и у = 7/5. Запишем:

(24.18)

где п — целое положительное число или нуль. Тогда п = 1 дает у = 5/3 и п 2 дает у = 7/5.

Для данного п обозначим решение %п. Тогда

-/_L/94 19) 2/гЩ1 1 di2 до2 di Ue

Продифференцируем (23.19) по /. После простой перегруппировки членов будем иметь уравнение аналогичного вида для ^х

2 т ^ ^г ^Lzt_L ^" ^Хп J „ ^1 — Г) /942мД-3 1 д!2 дГ2/г + Зди2 д/ di д! "

Если сделать замену:

а<24-21)

то д™ удовлетворяет такому же уравнению, как Х/г+1(^', /)•

Х^(^', Г) = д-^Л.(24.22)

Опуская штрих при и слева и выражая у справа через у', приходим к рекуррентной формуле:

(24.23)

При п = 0 имеем уже упоминавшийся случай у — 3, для которого уравнения (23.14, 15) решались особенно просто. Но здесь понадобится решение в другой форме. Запишем (24.19) для п = 0 и вернемся от / к с по формуле:

г с2 с2

Замена I на с дает:

„2 . X 2 X dXo _ ^Хо I ± ^Хо. лс до с дс дс2 ‘ с дс 1

что приводится к стандартному волновому уравнению:

^_^> = 0,(24.24)

дс2 ди27

решение которого имеет вид:

Хо=Х01 (с + v) + Хо2 (с - и) = Xoi (/2/ + у) + Хог (К27 - и) (24.25)

(см. (18.12)).

Это решение содержит две произвольные функции и поэтому является общим. Величины хп /2, ••• определяются из него путем дифференцирования и тоже содержат две произвольные функции.

Значение полученного решения. Покажем теперь, для чего используется решение (24.25) и подобные ему при п 0. В предыдущем параграфе было показано, что там, где течение граничит с областью постоянных у, и, возникает простая волна. Решение, полученное в этом параграфе, не применимо к простой волне, потому что у и и здесь независимые переменные, а в простой волне у ± и = const. Соответственно этому решение (24.25) и производные от него решения могут иметь место только в таких областях течения, которые

не граничат с постоянным течением. Такое решение может граничить только со стенкой или с простой волной.

Покажем, как это осуществляется (рис. 29). Пусть в трубе, наглухо закрытой с одного конца, имеется газ, отделенный от вакуума перегородкой L Если убрать перегородку, возникнет автомодельная простая волна с веером прямолинейных характеристик. Уравнение самой правой

Рис. 30Рис. 30^0 =^0 =и —0и —0(24.26)(24.26)

Рис. 30

Рис. 30

^0 =

^0 =

и —0

и —0

(24.26)

(24.26)

из них — % = c0L В некоторый момент эта характеристика дойдет до стенки 2 и возникнет картина отражения простой волны. Налево от стенки пойдет криволинейная характеристика 3—3' и затем целый ряд ей подобных: 4—4' и др. Правее линии 3—3' находится та область, которая описывается решением, полученным в этом параграфе.

Представим себе, что труба продолжена за точку 2 другим

участком, симметричным с ней до точки, находящейся на расстоянии 2—1 справа. Если перегородки одновременно убраны с обеих сторон, то навстречу простой волне, идущей из точки /, побежит налево такая же волна. Возникнет область взаимодействия простых волн, ограниченная линией 3—3' слева и симметричной с ней линией справа. Таким образом, отражение от стенки равносильно взаимодействию со встречной простой волной, расположенной зеркально симметрично относительно данной.

Более сложная картина взаимодействия показана на рисунке 30, на котором полностью представлены оба пучка прямолинейных характеристик. В области пересечения характеристики обеих волн искривляются. За пределами этой области они прямолинейны.

Граничные условия к общему решению. Чтобы найти течение в области взаимодействия простых волн, надо поставить условия на границах области. Это может быть либо на стенке, либо на границе с простой волной.

На неподвижной стенке скорость газа обращается в нуль. Поэтому согласно (24.14) координата стенки х0 равна

На границе с простой волной должны выполняться как уравнения волны

^(у + сП + ^у),

гак и равенства (24.14) и (24.15). Подставляя эти выражения в уравнения простой волны, получим:

У(У±б?)|у+/+- (^).

д! ди х 7 д! х 1 — х 7

Но с помощью равенства (24.11) можно заменить у на du:

ди ди ' 1 — х '

В простой волне всегда выполняется одно из двух соотношений v ± и = const, так что

du ] -

Следовательно, условие, налагаемое на /, имеет вид:

_ (du Эх . дх\ _= с / х

\du ди'ди) du \ / •

Окончательно приходим к следующему условию:

Х = — \f+(v)dv.(24.27)

На границе с автомодельной простои волной (см. задачу 1 § 22), у которой /±= 0, получается просто

Х=0.(24.28)

Упражнение 21

Написать общие решения (24.17) для одноатомного и двухатомного газа Ответ.

Xi = j/ Xoi У 2/ + -—И +Хоз I I 2/~ у-) = у \у о/ \

“УН^+^+цг 27у3)}

, с2 Зс2

где /=^=

Ь - ! У У У27 + /I У+У^ "VI (У -

- - цУУ V21+У+”™ V2' - У]+

+ S ри (W + ^) + & (Г27 -,

где /= |-с2.

Рассмотреть область отражения простой волны от стенки в одноатомном газе.

Пусть падающая волна бежит слева направо. Ее уравнение

Аргументы функций Хои Х^ суть v + и и у — и, в чем легко убедиться, если подставить / через с. На границе падающей волны с областью взаимодействия 3—3’ согласно (24.28) % = 0. Этому условию может удовлетворить только функция Х01 (ц — у), аргумент которой равен определенному постоянному значению (тому же, как в случае простой волны). Функция Х02 (и + у) на этой границе должна быть равна нулю при переменном значении аргумента, т. е. везде. Итак,

На стенке выполняется условие (24.26):

^4^Lo = /6/Xo(/27).

Отсюда

Хо /27 = х0 /3 § 127 d /27 х0^ (/27)2 + const.

Следовательно,

Хо (/27 - ^ =(/27 - Р 3)2 + const.

Переходя к ц, запишем:

Xi =[(и - у)2 + const],

В автомодельной простой волне и — v = и0. Поэтому на границе с простой волной и — и тоже равно и0. Но на этой линии %т 0. Поэтому окончательно получаем следующее искомое выражение для Xv

Х1==—д[(«-о)2-«?]-2ц у о

По формулам (24.14) и (24.15) определяются х и t и тем самым в неявном виде у и /.

Найти простую волну, получающуюся после отражения от стенки автомодельной простой волны в одноатомном газе.

На рисунке 29 отраженная простая волна находится правее характеристики 3'— 4'— 5', которая продолжает прямолинейную характеристику /—3' падающей автомодельной волны. Точка пересечения 3' существует при любой скорости поршня у0, если | у0 | < < Зс0, т. е. если автомодельная волна расширяется не в вакуум. Это можно показать с помощью уравнения характеристики 3—3’ (см. задачу 4). Точка 3' является общей для падающей и отраженной волн. У падающей волны у — и = —а01 а у отраженной у + и = 250

= const. Но в точке 3', имеющей скорость поршня х, у = — | у0 |. Поэтому м = ^0 — | у0 I- Отсюда видно, что константа отраженной волны равна —| у0 I + w0 — | у0 | = ^0 — 2 | у0 |.

Уравнение отраженной простой волны имеет вид:

х^(у-у) t-H- М-

Связь между с и у задается в случае одноатомного газа для такой волны равенством

и + и="и + 3с^г/о — 2 । у01.

Функция f- (у) определена граничным условием (24.27):

f

'du ’

где полная производная берется вдоль линии 3'—4’—5'. Но эта линия принадлежит и простой волне, где v Ь и = const. Следовательно,

^Ул _ ^а , du дх дХ1 _ д7л ^(и-и^1 г __ _

du ди ' du ди ди ди ° t м СЗ ' 2 и- V3° Г

Чтобы получить /С (у), сюда надо подставить значение и из уравнения простой волны, т. е. и = и0 — 2 | у0 | — у, и воспользоваться соотношением между Xi и f_.

Найти положение точки 3' на рисунке 30.

Запишем уравнение характеристики 3 — 3';

dx1 х 3

— 2 с0.

Отсюда

&V + 4 V x^t.

Уравнение прямолинейной характеристики 1—3' имеет вид:

х = (у + с) t = ^c0- з \uQ^t.

Момент пересечения обеих характеристик находим из равенства

Д/2Kx0C0

—г— •со ” з" I уо I

Чтобы оно могло выполняться, необходимо, чтобы выполнялось условие

Уо I < Зс0.

Напоминаем, что между поршнем и простой волной имеется область постоянного течения (см. задачу 3 § 23).

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

В § 23 было показано, что простая волна сжатия переходит в ударную волну. Иначе говоря, исходная гипотеза о непрерывном изэнтропическом течении газа перестает быть применимой. Это обстоятельство долгое время вызывало недоумение, пока Рэнкин и Гюгонио независимо друг от друга не построили теорию ударного разрыва, показав тем самым, что разрыв не противоречит законам механики.

Условия на фронте ударной волны. Для того чтобы найти условия на фронте ударной волны в рамках механики сплошной среды, достаточно законов сохранения массы, импульса и энергии. Удобно перейти к системе отсчета, относительно которой фронт волны, т. е. сам разрыв, в данный момент покоится. Например, при стационарном течении в сопле Лаваля фронт волны, если он возникает, покоится относительно сопла (в терминах [§ 5] — лабораторная система отсчета). Мы ограничимся случаем, когда газ втекает в фронт ударной волны перпендикулярно его поверхности. Если в данной точке не пересекается несколько поверхностей разрыва, как иногда бывает в сопле Лаваля, можно выбрать такую систему отсчета, где скорость течения перпендикулярна плоскости фронта.

Обозначим буквой D скорость распространения фронта относительно неподвижной системы отсчета, в которой покоится невозмущенный газ перед фронтом. Тогда в системе отсчета, в которой фронт неподвижен, скорость газа равна —D. Если у — скорость газа за фронтом, опять-таки в неподвижной системе отсчета, то относительно фронта его скорость равна и —D. Величины, относящиеся к состоянию газа перед фронтом, будем снабжать индексом нуль, например: Ро, Ро> со- Позади фронта те же величины оставим без индекса, т. е. р, р, с. В системе, связанной с фронтом, течение стационарно.

Поток массы, втекающей в фронт со стороны газа, равен —р0О, а поток, вытекающий за фронт, равен р (у — О). Отсюда получаем первый закон сохранения на фронте:

р(У~О)^-р0О.(25.1)

Согласно уравнению (15.15) можем записать выражение закона сохранения импульса:-

p-\-p<u-Dy = p0-Vp0Da.(25.2)

Здесь использовано то обстоятельство, что скорость имеет только составляющую, перпендикулярную к фронту.

И наконец, согласно закону сохранения энергии (15.13)

I(25.3)

Здесь написаны выражения энергии на единицу потока массы с учетом того, что масса, перетекающая через фронт, согласно (25.1) сохраняется. Как и в задаче о неизэнтроппческом течении газа по 252

длинной трубе (§ 20), использован баланс энергии, а не сходная по форме теорема Бернулли. Ударная волна соответствует, как будет показано, неизэнтропическому процессу, и теорема Бернулли здесь не имеет места.

Скорость волны и скорость газа. Из уравнения (25.1) получаем:

где V и У0 — соответствующие удельные объемы.

Воспользуемся теперь законом сохранения импульса (25.2). Заменяя в нем (у —D)2 согласно (25.4) и решая уравнение относительно D, получаем:

D = V р-р” ■ = Vo V•(25-5)

V Ро-Ро/Р Г Vo-Vv 7

Это формула скорости фронта относительно невозмущенного газа. С помощью (25.4) легко найти отсюда и скорость D — и газа относительно фронта:

D/7751.(25.6)

Столь же просто определить скорость сжатого газа относительно несжатого, т. е. в неподвижной системе отсчета:

— (D — и)(25.7)

Формулы (25.5), (25.6) и (25.7) относятся к распространению фронта в любой среде. В них не учитывается уравнение состояния. Отметим, что скорость распространения фронта по газу и скорость течения самого газа совсем не одно и то же, как это видно из формул (25.5) и (25.7). Волна перемещается относительно газа.

Ударная адиабата. Реальные свойства среды заключены в уравнении (25.7), в которое должна войти зависимость энтальпии от плотности и давления газа (или, вообще, среды). В идеальном газе /=-^1^-=^.(25.8)

у — 1 р у — 1v 7

Предположим, что выражения (25.5) и (25.6) подставлены в уравнение (25.3). Тогда закон сохранения энергии в фронте ударной волны будет выражен только через термодинамические величины р, V и р0, Уо. Скорости волны или газа нс войдут.

Кривая, описывающая зависимость р от V и начальных параметров состояния р^ Уо, называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио (в общем случае так называется любая кривая, связывающая две величины на ударном фронте). Смысл этой кривой в (р, У)-плоскости существенно иной, чем изэнтропы pV^ const или изотермы pV = const. При изэнтропическом сжатии газа его состояние действительно изменяется вдоль изэнтропы, притом обра-

тимо. То же относится к изотерме. При ударном сжатии кривая р (V; р0, Vo) показывает, какое давление необходимо для того, чтобы сжать газ от объема Vo и давления р0 до объема V. Но самый процесс ударного сжатия вовсе не следует адиабате. Ударная адиабата — это геометрическое место точек, достижимых из данного состояния р0, Vo путем сжатия в ударной волне. Как уже указывалось, эта кривая может строиться не только на (р, К)-плоскости, но, например, на плоскости р, и. Часто называют просто адиабатой изэнтропу. Здесь это не сделано, чтобы избежать путаницы в терминологии.

Слабые ударные волны. Всякое достаточно малое возмущение в состоянии газа распространяется относительно него со скоростью звука. В пределе скорость ударной волны тоже переходит в скорость звука, так как р — р0 заменяется на dp, a (Vo — V)/V§ — на d^ =

^dp. Поэтому формула (25.5) для скорости распространения волны сводится к (16.7).

Звуковое возмущение происходит изэнтропично, т. е. производная dp/dp должна вычисляться при постоянной энтропии. Следовательно, достаточно слабая по амплитуде ударная волна распространяется по газу, не изменяя его энтропию.

Возьмем некоторый участок на ударной адиабате, близкий к начальному состоянию, т. е. к состоянию перед фронтом (рис. 31). Отношение ^—^ равно тангенсу угла наклона хорды 0—1 к оси V. В пределе для слабых волн оно переходит в тангенс угла наклона касательной к адиабате в точке 0.

Но только что было показано, что малый участок адиабаты вблизи начального состояния совпадает с изэнтропой. Отсюда следует, что адиабата и изэнтропа имеют общую касательную в начальной точке 0.

Определим, какой порядок величины имеет изменение энтропии относительно малой разности р — р0 в слабой ударной волне. Не вдаваясь в вопрос о механизме ударного сжатия, надо тем не менее

считать, что оно происходит не совершенно мгновенно, а на некотором небольшом отрезке длины, на котором величины р, V, и изме

няются от начального до конечного состояния. По крайней мере, это допущение будет сделано для слабой ударной волны. Полагая, что ударное сжатие на самом деле происходит постепенно, можно применить законы сохранения к любому промежуточному моменту в процессе ударного перехода, а не только к начальному и конечному состояниям. В частности, если р и V означают давление и объем в такой промежуточной точке, а ро и Vo лю-прежнему — их на-

чальные значения, то получается уравнение, в точности совпадающее с (25.5):

P-PU = ^VO-V),(25.9)

где D—то же самое значение скорости распространения волны по газу, что и в уравнении (25.5). Ясно, что при другом значении скорости в промежуточной точке волна не могла бы распространяться стационарно, не изменяя своего профиля.

Соотношение (25.9) изображается прямой, соединяющей точки О и 1. Поэтому в отличие от ударной адиабаты прямая 0—/ есть настоящая линия слабого ударного перехода. (В сильных волнах, как показывает анализ, нет оснований считать, что в процессе перехода справедлив закон Паскаля. Поэтому величина р на графике не может представлять переходное состояние.)

Воспользуемся теперь законом сохранения энергии при ударном сжатии. Подобно тому как это было сделано в уравнений (25.3), подставим вместо О2 и (D —у)2 их выражения (25.5) и (25.6):

f + ^^+ oEo-V-p0V0-V 2 у—^"у*

Отсюда

Е-Е0 = р0У0-рУ + * (Н+Ю(р-ро)-=| Ф+PoHVa-Vy

(25.10)

Выражение справа есть площадь трапеции, у которой ординаты точек 0 и / служат основаниями, а Уо — V — высотой. Малый участок адиабаты 0—1 совпадает, как было показано, с изэнтропой. Следовательно, площадь под кривой согласно (8.10) есть работа ударного сжатия. Разность между изменением энергии и произведенной работой согласно термодинамическому соотношению (8.16) равна температуре Т, умноженной на изменение энтропии S —■ So. Так как температура умножается на малую величину, можно не уточнять, к какому состоянию в ударном переходе она относится.

Разность между площадью трапеции и площадью криволинейной фигуры равна площади сегмента. Его основание — величина первого порядка малости по отношению к амплитуде волны р — р0. Тогда высота сегмента, как известно из геометрии, представляет собой величину второго порядка малости. Следовательно, площадь сегмента, или изменение энтропии, будет третьего порядка малости. Закон изменения величин в слабой ударной волне очень близок к изэнтропическому, т. е. к изменению в простой волне.

Практически оказывается, что и при не слишком малой относительной амплитуде ударной волны, т. е.отклонения

от изэнтропичности сказываются еще слабо.

Зависимость S — So от р — р0 содержит нечетную степень — куб. Поэтому давление изменяется в ту же сторону, что и энтропия,

Но согласно второму началу термодинамики энтропия возрастает. Следовательно, при ударных переходах вещество только сжимается. Осуществляются ударные волны сжатия, но не разрежения: смысл имеет лишь часть адиабаты, лежащая выше точки р0, Vo.

Этот вывод основан не только на втором начале термодинамики, но и на том, что адиабата проходит ниже своей хорды, т. е. обращена

выпуклостью вниз, что имеет место у всех газов и, вообще, у огромного большинства вещества.

Устойчивость ударной волны. Покажем теперь, что только ударные волны сжатия могут быть устойчивыми и могут распространяться в среде, не размываясь. Единственное предположение,

которое надо сделать при доказательстве, состоит в том, что адиабата всегда обращена выпуклостью вниз, т. е. лежит ниже хорды.

Рассмотрим адиабату для произвольного ударного перехода, который теперь не считается слабым (рис. 32). В начальном участке она совпадает с изэнтропой, имея с ней общую касательную. В точке 1 адиабата касается другой изэнтропы, относящейся к ударно сжатому веществу. Непосредственно из чертежа видно, что хорда 0—1 идет более круто, чем нижняя касательная, и менее круто, чем верхняя касательная, так как обращена выпуклостью вниз.

Р — Ро Vo-VР — Ро Vo-VS, о*S, о*Возьмем соответствующее неравенство вблизи начальной точки 0. Запишем его так:

Р — Ро Vo-V

Р — Ро Vo-V

S, о*

S, о*

Умножим обе части этого неравенства на Уд. Учитывая, что около точки и имеет место соотношение =— dp и пользуясь (25.5) и (25.7), перепишем неравенство так:

D2D2др) s* о °*др) s* о °*(25.11)(25.11)

D2

D2

др) s* о °*

др) s* о °*

(25.11)

(25.11)

Отсюда следует, что ударная волна распространяется быстрее звука относительно несжатого вещества.

Вблизи точки 1 исходное неравенство обращено:

Р — Ро _ (др\

I/0~V W)s, Г

Умножая его на V2 и заменяя — ^ на dp, получим с помощью (25.6):

(25.12)(25.12)(D-v^Cc2.

(25.12)

(25.12)

Следовательно, относительно вещества, сжатого волной, ударная волна распространяется медленнее, чем звуковые возмущения в этом же веществе.

Из полученных неравенств вытекает, что ударная волна не может испустить вперед себя никакого звукового возмущения. Наоборот, всякое возмущение, бегущее вдогонку волне, нагоняет ее. Таким образом, характеристики в волне сжатия доходят до ударного фронта и усиливают его.

Если вообразить ударный фронт разрежения, или переход из состояния 1 в состояние 0, то для него все рассуждение станет обратным: он будет испускать вперед себя звуковые волны и размоется в пространстве, теряя свойства разрыва, а звуковые, или простые волны, бегущие сзади, не догонят и, следовательно, не усилят его.

Итак, доказано, что если ударная адиабата обращена выпуклостью вниз, то существуют только ударные волны сжатия, но не разрежения. Рассматривая слабую волну по такой адиабате, мы получили такой же результат из второго начала термодинамики. Теперь то же самое получилось из условия устойчивости ударного фронта.

Ударное сжатие при большей амплитуде волны представляет собой важнейший пример сильно необратимого процесса. Мы встречались с необратимым процессом в гидродинамике, говоря о вязкости. Но это был слабо необратимый процесс, так как градиент скорости течения считался малым и соотношение между ним и тензором вязких напряжений (17.1) было линейным. Другой пример слабо необратимого процесса — теплопроводность при малом градиенте температуры. В слабых ударных волнах оба эти необратимых процесса сопровождают распространение фронта и определяют его строение. В фронте сильной волны нельзя пользоваться понятиями вязкости и теплопроводности. Весь переход, как показывает детальное рассмотрение, которое здесь проводиться не будет, совершается на длине одного свободного пробега молекулы (в газе). Так как давление и плотность при этом меняются во много раз, то нельзя считать малыми градиенты величин. Что касается слабых волн, то они растянуты в отношении к длине пробега. Это мы оставляем без доказательства.

Течения, включающие ударные волны. В §§ 22, 23 было показано, как решаются задачи о гладких одномерных нестационарных течениях. Если течение включает в себя ударную волну, то отпадает поставленное в § 22 условие изэнтропичности: на ударном фронте генерируется энтропия. Но энтропия, получившаяся таким образом в некотором объеме жидкости, в дальнейшем переносится с ним, т. е. перемещается с той же скоростью, что и сам газ. Это позволяет определить в таком объеме давление р в зависимости от плотности и полученной в ударном переходе энтропии.

Что касается самого фронта ударной волны, то он задастся дифференциальным уравнением D = d- = Vo ]/™* Если числен-

uiу V 0 — V

Рис. 33Рис. 33ными расчетами это уравнение проинтегрировано до некоторой точки на (х, /^плоскости, то следующий шаг состоит в определении D. После этого строится еще один малый отрезок линии, представляющей путь ударного фронта. Скачки величин на линии определяются по формулам, полученным в этом параграфе. Например, скачок скорости дается равенством (25.7). Таким способом течение строит

Рис. 33

Рис. 33

ся в принципе однозначно.

Ударные волны в газе с постоянным у. Уравнение ударной адиабаты особенно просто у идеального газа с постоянным отношением теплоемкостей. Пользуясь (25.5), (25.6) и (25.8), получаем:

м PV _L V" Р-Рч — ,, PoVo , у» p-p0 ?7-1 + '2 щ^р -Y T-l + V°

Отсюда простые преобразования дают любое из двух соотношений:

Р = (т—О У —(тН-D Vo

Ро (T-l) Vo-(y+1) V’

Ко _ (У+ *) Р + (Т— !) РоV (?—•) р + (? +*) Ро"

(25.13)(25.14)(25.13)(25.14)Это и есть уравнение адиабаты Гюгониб в (р, У)-плоскости. Из уравнений видно, что при сколь угодно большом отношении р/р0 отношение объемов сжатого и несжатого вещества стремится к конеч

(25.13)

(25.14)

(25.13)

(25.14)

\v)\v)пред у—Гпред у—Г(25.15)(25.15)ному пределу:

\v)

\v)

пред у—Г

пред у—Г

(25.15)

(25.15)

Для воздуха, например, это отношение равно 6. Конечно, это было бы верно только в том случае, если бы при сжатии действительно оставался постоянным показатель изэнтропы. Фактически из-за возбуждения колебательных степеней свободы молекул, диссоциации и ионизации, воздух сжимается в очень сильных ударных волнах в 10—11 раз. Но так или иначе ударное сжатие имеет предел по плотности, изображенный на рисунке 33 в виде вертикальной асимптоты к адиабате Гюгонио. В отличие от нее изэнтропа асимптотически стремится к V -= 0. Поэтому адиабата всегда идет круче. Более крутой ход адиабаты объясняется тем, что в сильной ударной волне большая часть энергии тратится не на сжатие, а на нагревание. Эта энергия расходуется необратимо.

"Упражнение 22

Получить выражение для изменения энтропии в слабой ударной волне в общем виде и, в частности, для газа с постоянным показателем изэнтропы.

Исходим из равенства (25.10):

E-Eo = -™Vp^p»HV-Voy

Разлагаем энергию в ряд с точностью до члена, линейного по изменению энтропии и кубического по изменению объема. Так как сомножителем при р является разность V — Vo, то разложение по объему достаточно выполнить с точностью до квадратичного члена:

Е-Е«" !®V <S - S"> + (l)S < V “" W +

Здесь производные относятся к исходному состоянию. Так как /дЕ\ _т (№\ _

W/s~" Ро’ то после подстановки в исходное уравнение получим:

Таким образом, чтобы ударный переход относился к сжатию, необходимо, чтобы выполнялось условие ^у^^^- ^Т° значит’ что адиабата Гюгонио должна быть обращена выпуклостью вниз. Согласно уравнению изэнтропы

ИЛИ

Поэтому

(др.\= т(т+1)Ро

Отсюда следует, что изменение энтропии на единицу массы равно /о с\ PoYCy+^/tz таз^Y (Y + D (То—Т)3 о0; —1270|/212уз .

Найти изменение энтропии на единицу массы в ударной волне произвольной амплитуды в газе с постоянным у.

Вывести соотношение D (D — у) = у^. (найденное Л. Прандтлем), где у* — критическая скорость, определенная формулой (21.18).

Если ввести обозначение у2 = 4~т, или у — ? , \, то из (21.18) Т+г 11+v2v '

следует, что

u: = v2£)2+(l-va)^.

Уравнение (24.14) записывается через v2 таким образом:

Ро _ у2р+рор P+v2Po"

Отсюда находим D2:

П2 — Р —Ро _ Р + ^Ро _ с« / р 2\Ро(1—Ро/Р)Ро(1—V2) v2+l\Po ' Г

С помощью D1 определяем критическую скорость:

С другой стороны,

ро(р/ро—1) Ро 1—V2 1+v2\VPo+ /

Тем самым доказано требуемое равенство.

Критическая скорость была определена для изэнтропического течения. Ее появление в теории ударных волн связано с тем, что условие сохранения энергии на фронте ударной волны по форме сходно с теоремой Бернулли и в ударную адиабату (25.13) входит V2.

Ударная волна в идеальном газе с постоянным у падает на абсолютно жесткую и неподвижную плоскую преграду, параллельную фронту волны. Найти отношение давления pt в отраженной ударной волне к давлению р в падающей волне, если давление в невозмущенном газе равнялось р0.

Скорость газа в падающей волне у согласно (25.7) равна

У=К(р-Ро) (Vo - V).

После образования отраженного ударного фронта газ перед преградой должен остановиться. Следовательно, скорость в отраженном фронте совершает скачок от у до 0, т. е. по абсолютному значению такой же, как в падающей волне, но в обратную сторону. По той же формуле (25.7) скачок выражается через давление рг и объем Vt на отраженном ударном фронте так:

Приравнивая абсолютные значения обоих выражений для и и производя несложные преобразования, получим:

Отношения V0IV и V-JV находим из формул предыдущей задачи и подставляем их выражения в полученное уравнение:

(Ро/Р— О2 = (Pi/р — 1)2

Po/p + v2 Pi/p + v2 •

2)]=°.2)]=°.Далее, приводим к общему знаменателю и переносим все члены в одну часть равенства:

2)]=°.

2)]=°.

Р1_ Ро Г[ А _ 1 V^O _ 1 \ I /1 I v2\ (Р1 + Ро _ р L\p Др ) х ' \ р

Сокращая на разность рг — pOs нс равную нулю, и решая относительно pjp, получим искомое выражение:

1 + 2v2-v2^Pl рР V2 I Ро

р

Если падающая волна столь сильная, чтоЕсли падающая волна столь сильная, чтоРо рРо рV2, ТОV2, ТО

Если падающая волна столь сильная, что

Если падающая волна столь сильная, что

Ро р

Ро р

V2, ТО

V2, ТО

Pi = Зу— 1

Р V—1 *

Для воздуха это отношение равно 8. С таким возрастанием давления связано большое разрушительное действие сильных ударных волн на преграды.

Если волна слабая, то избыточное давление р — р0 в отраженной волне удваивается. То же самое получается в акустической изэнтропической волне.

§ 26. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ УДАРНЫХ ВОЛН

Ударная труба. Для экспериментального изучения ударных волн применяется устройство, принцип действия которого поясняется на рисунке 34. Сжатый и разреженный газ разделены перегородкой, которая внезапно убирается (разрывается) (рис. 34, а\ Тогда в сжатом газе образуется волна разрежения, а в несжатом — простая волна. Если отношение первоначальных движений было велико, ударная волна оказывается сильной. Для нее отношение р/р0 велико. Покажем, как рассчитать амплитуду волны.

На рисунке 34, б схематически изображено распределение давлений в газе после того, как убрана перегородка. Левее точки / первоначальный газ не возмущен волной разрежения. Между точками 1 и 2 находится волна разрежения. Между точками 2 и 3 течение постоянное. Точка 3 относится к частицам, через которые проходила первоначальная граница раздела между газами. Как и в задаче о равномерном вытягивании поршня из цилиндра, область постоянного течения должна возникнуть потому, что крайняя характеристика

волны проходит не по границе того газа, в котором распространяется волна. В задаче 3 § 23 эта характеристика образовывала угол с линией движения поршня в (х, /)-плоскости, в данном случае угол образуется с линией движения первоначальной границы раздела между газами.

Между точками 3 и 4 находится область постоян

ного течения в разрежен

ном газе, а в точке 4 — ударная волна, сжимающая этот газ из его

первоначального состояния.

На границе между газами, т, е. в точке 3, их давления и скорости с двух сторон совпадают. Это следует из третьего закона Ньютона и условия неразрывности движения. Скорость газа справа определяется из ударной адиабаты:

V^'^-PoUVo-V^VpoVoy^-^^- 1). (26.1)

Второй сомножитель под корнем нетрудно выразить из адиабаты Гюгонио, пользуясь (25.14):

(26.2)(26.2)( Р _1)]/2

(26.2)

(26.2)

У^ (т-1)^+(т+1)

Скорости газа и давления в точках 2 и 3 одинаковы, так что их можно найти по уравнению простой волны. В этой волне v + ах = — и^ const. Если слева находится газ с постоянным показателем изэнтропы уь то Зависимость скорости звука от давления находится по уравнению изэнтропы, справедливому в простой волне. Но энтальпия 1Х пропорциональна давлению в степени -~ \ В то же время энтальпия пропорциональна с\. Следовательно,

T1 -1

(26.3)(26.3)С1 = (Р_\ 2Y1

(26.3)

(26.3)

СЮ \Р1)

Отсюда для скорости в простой волне получаем:

U = H0 — и

2

Vi-1

£io 1

(26.4)

Введя обозначения ^ = а и "=^> приходим к уравнению

^М^ 2 -...-—.(26.5)

Y1—1 с0 L W J V Г Y [(Y—1)1] V 7

Это уравнение несложно решить подбором подходящего значения х. И в том случае, когда слева и справа от перегородки газ один и тот же, на границе раздела совпадают только давления и скорости. Плотность же, температура и энтропия терпят разрыв, что не противоречит законам механики. Такого рода разрыв называется контактным. Он сравнительно медленно размывается процессами переноса — диффузией и теплопроводностью.

Точечный взрыв. Допустим, что в некоторой точке газообразной среды мгновенно выделилась очень большая энергия Ео, что примерно соответствует ситуации при ядерном взрыве. Поясним, что значит «очень большая». От места взрыва по газу пойдет ударная волна. Если переносимая волной энергия на единицу массы газа весьма велика по сравнению с первоначальной энергией газа, а давление в ударной волне во много раз больше исходного давления в газе, в то время как масса газа, захваченного волной, уже во много раз больше массы того устройства, которое выделило энергию, то можно говорить об освобождении энергии в одной точке.

Пусть, например, выделилась энергия 1021 эрг, что соответствует взрыву в Хиросиме. Рассмотрим момент времени, когда радиус ударной волны составлял 100 м. Масса воздуха в этом объеме около 5000 т, что заведомо намного больше массы бомбы. Энергия воздуха в этом же объеме первоначально равнялась 1019 эрг, что гораздо меньше энергии взрыва. Это и соответствует определению точечного взрыва. Для обычных, химических взрывчатых веществ указанные условия не выполняются. Близкие условия можно создать, взрывая тонкую проволочку сильным импульсом электрического тока.

Если точечный взрыв произошел в среде, для которой отношение теплоемкостей можно считать постоянным, то задача о распространении ударной волны имеет полное и точное решение, найденное Л. И. Седовым. (С меньшей полнотой эту задачу независимо рассмотрел также К. П. Станюкович.)

При сделанных предположениях распространение волны точечного взрыва определяется двумя постоянными размерными параметрами: энергией £0 и начальной плотностью среды р0. Если показатель изэнтропы у постоянный, то плотность р газа в фронте сильной волны связана с р0 постоянным отношением (24.15):

Р = ^Ро-(26.6)

Поэтому в задаче не появляются новые размерные параметры Так как ударная волна очень сильная и ионизирует газ (если это воздух), надо пользоваться значением у не для «комнатных» темпера-

тур, т. е. не 7/5, а вводить некоторое эффективное число. Оно составляет примерно 1,1, что соответствует указанному в предыдущем параграфе предельному сжатию в 10—11 раз.

Из переменных величин г, / и параметров £0, р0 можно составить одну и только одну безразмерную комбинацию:

^Г(-£^У/5-(26-7)

Благодаря этому задача оказывается автомодельной, т. е. самоподобной. У двух точечных взрывов, имеющих разные начальные энергии Ео при различных значениях начальной плотности р0, величины, отвечающие одному и тому же значению безразмерной переменной £, связаны простым соотношением подобия, вытекающим из (25.7).

В процессе распространения волна остается подобной самой себе. Точки с одним и тем же значением £ перемещаются в пространстве, причем состояние в них изменяется по простым законам. Найдем эти законы. Сначала выпишем исходные уравнения задачи. Это — уравнение Эйлера:

ди .duх1др

+(26.8)

dt 1drрdr 1v 7

уравнение неразрывности в сферических координатах:

-J+^^>~0(26.9)

и уравнение сохранения энтропии в каждой частице газа: dS dS . dS nm

= +=(26Л0)

Эту энтропию газ получает в результате сжатия в ударной волне, и затем его состояние изменяется изэнтропически, что и выражено в уравнении (26.10).

Согласно (20.13) энтропия газа равна 1п^. Это выражение можно получить, если подставить вместо температуры ее выражение из уравнения Клапейрона. Закон постоянства энтропии удобно писать непосредственно для отношения р/рХ Следовательно,

+=(26-п)

Отметим, что амплитуда ударной волны при распространении изменяется, так что энтропия каждой части газа, созданная ударным сжатием, переменна от точки к точке. Система трех уравнений (26.8), (26.9) и (26.11) содержит три неизвестные и поэтому является полной.

К этой системе надо добавить граничные условия. Одно из них записано в уравнении (26.6). Другое задается выражением (26.7). 264

Пренебрегая начальным давлением р0 по сравнению с давлением р (волна сильная!), получаем для скорости на фронте волны формулу:

(26.12)(26.12)y=Vр (J'-) = 1+(1-

(26.12)

(26.12)

Г ^ \ Ро Р / г Ро \т+1 /

Вследствие подобия положения фронта должно отвечать, как указывалось, постоянному значению £, которое мы обозначим через ^. (Как находить t0 будет разъяснено ниже.) Тогда из (26.7) заключаем, что уравнение линии фронта в (г, /)-плоскости имеет вид:

г_т WV/5

\ Ро /

(26.13)(26.13)В дифференциальной форме отсюда следует, что

(26.13)

(26.13)

■ U dt 5 t 1

Но тогда согласно (25.5) получается следующее граничное уравнение для давления в фронте волны

Р = Ро-Ро/РР = Ро-Ро/Р(26.14)(26.14)Г Р 1_ 2 г

Р = Ро-Ро/Р

Р = Ро-Ро/Р

(26.14)

(26.14)

V Ро 17-15 t •

Y7+1

Граничные условия (26.6), (26.12) и (26.14) достаточны для решения задачи. Существенно, что они не нарушают ее автомодельности.

Очерк решения задачи о точечном взрыве. Чтобы избежать громоздких выкладок, дальше будут приведены только основные результаты. Условие (26.14) подсказывает, в какой форме следует искать давление. А именно, надо положить

(26.15)(26.15)

(26.15)

(26.15)

Если возвести обе стороны (26.14) в квадрат и подставить в него (26.15), то станет ясно, что

Р1&>) = 1.(26.16)

По уравнению (26.12) легко сообразить, что для скорости надо сделать подстановку:

<26.17)

Действительно, из (26.15) и (26.17) получается, что

Vi(g = L(26.18)

Наконец, непосредственно из (26.6) ясно, что р надо искать в виде:

Р=^-роРЖ(26.19)

где р! (£0) = 1.

Если теперь подставить (26.15), (26.17) и (26.19) в уравнения газовой динамики (26.8), (26.9) и (26.11), то г и / в отдельности сократятся, подобно тому как это получалось в задаче о диффузии из мгновенного точечного источника (задача 3,§ 17). Останутся три обыкновенных дифференциальных уравнения, содержащие независимую переменную и три зависимые переменные: рт, ^ и рР Но выписы

вать эти уравнения не будем.

Легко убедиться, что в них входят производные по £ только в комбинацииотДельно же £ не входит. Следова

ть U Ш

граничные условия (26.16), (26.18) и вытекающее из (26.19) условие для Pi будут соответствовать £ = 1.„граничные условия (26.16), (26.18) и вытекающее из (26.19) условие для Pi будут соответствовать £ = 1.„тельно, если ввести новую независимую переменную = то " to

граничные условия (26.16), (26.18) и вытекающее из (26.19) условие для Pi будут соответствовать £ = 1.„

граничные условия (26.16), (26.18) и вытекающее из (26.19) условие для Pi будут соответствовать £ = 1.„

Поэтому уравнения можно сначала проинтегрировать, не зная £0, а уже потом искать £0, определяющее положение фронта. Система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка может быть разрешена относительно производных •—, —.

ииd^xd^xЕсли поделить каждое из первых двух уравнений на последнее,Если поделить каждое из первых двух уравнений на последнее,

и

и

d^x

d^x

Если поделить каждое из первых двух уравнений на последнее,

Если поделить каждое из первых двух уравнений на последнее,

то переменная £ будет исключена и останутся два уравнения, в которых и1 станет независимой переменной, изменяющейся от 0 до 1 (подобно тому как изменялась переменная g).

Известно, что порядок системы уравнений понижается на единицу, если известен один ее интеграл. Такой интеграл в поставленной задаче легко найти из соображений подобия. Возьмем сферу, отвечающую некоторому произвольному значению § < 1. Внутри этой сферы все время заключена одна и та же доля полной энергии взрыва Ео (это ясно как раз из подобия). Если г — радиус сферы, то скорость ее расширения удовлетворяет уравнению (26.13) только с другим значением С Такое уравнение годится для любого постоянного £. Энергия, проходящая через квадратный сантиметр поверхности сферы радиуса г, равна поэтому

Но согласно (15.13) поток энергии равен P^^+^j- Выражая Е как (v J^-- и / как ^ Z^y^ и затем пользуясь (26.15), (26.17) и (26.19), легко получить после сокращения на (г//)3 нетривиальное соотношение между зависимыми переменными pv рт и иР Оно аналогично интегралу энергии.

14л^ $о14л^ $о25 (V + I)2 (У* ® + р! ® ) ^” 1 '25 (V + I)2 (У* ® + р! ® ) ^” 1 '(26.21)(26.21)

1

4л^ $о

1

4л^ $о

25 (V + I)2 (У* ® + р! ® ) ^” 1 '

25 (V + I)2 (У* ® + р! ® ) ^” 1 '

(26.21)

(26.21)

После этого остается одно дифференциальное уравнение первого порядка, которое непосредственно интегрируется в квадратурах. Решение, однако, получается очень громоздким, и здесь мы его выписывать не будем. Вместо этого приводим графики функции —, — и

РФ уфРФ

в зависимости от — = § гф (рис. 35). Индекс Ф означает, что величина взята на фронте волны. Весьма любопытно, что р как функция £ остается конечной

в центре. Но почти вся масса газа, захваченная взрывной волной, сосредоточена в тонком слое вблизи фронта.

Константа £0 определяется следующим способом. Полная энергия взрыва Ео равна

£0 = 4л ^ г2 dr ^ + (Т^)-(26.20)

о

Здесь рф — радиус фронта волны. Подставляя сюда г через безразмерную переменную g, а также выражения р, р и v через рг> рх и уь получим (после сокращения на Ео);

Интеграл представляет собой просто некоторое число. Следовательно, из (26.21) можно определить £0.

Зависимость радиуса ударной волны от времени г г^ ^к хорошо подтверждается наблюдениями.

§ 27. ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

Детонация. В § 25 было показано, что ударное сжатие — сильно необратимый процесс. Кинетическая энергия вещества тратится на его нагревание. Нс поддержанная внешним источником энергии, ударная волна в конце концов затухает, как это происходит при взрыве.

Но если ударная волна распространяется по химически активному веществу, реагирующему с выделением тепла при ударном сжатии, то положение может существенным образом измениться. Теплота реакции будет компенсировать потери в ударной волне.

Предположим, например, что скорость химической реакции в ее зависимости от температуры подчиняется закону Аррениуса,

_ А

т. е. пропорциональна е т, где Л —энергия активации (см. задачу 2 § 2). Характерная величина А имеет значение порядка 2 эв, или 23 200°. Тогда при комнатной температуре в выражение скорости реакции входит экспонента 10 33. Это значит, что за любой промежуток времени молекула способна вступать в реакцию только в течение 1/1033 доле от него. Если в 1 см3 содержится 2,7 • 1019 молекул и каждая из них сталкивается с другими 109 раз в секунду, то эффективными в смысле реакции будут только 2,7 • 1019-109- 10 33 = = 2,7 • 10~5 столкновений в секунду, или 3 столкновения в сутки.

Когда газ сжат ударной волной достаточной силы, его температура повышается. Например, в гремучей смеси 2Н2 + О2 она составляет примерно 1800° К. Соответственно, экспонента в законе Аррениуса увеличивается до 10~5’5, а молекула реагирует за 10 4—КН сек (более подробно об этой оценке см. задачу 2). При такой скорости реакции энергия освобождается непосредственно за ударной волной и как раз компенсирует необратимые потери в ударном сжатии при надлежащем значении скорости распространения волны.

.Такой скорости отвечает, разумеется, вполне определенное давление и степень сжатия в фронте волны, иначе говоря, заданный режим детонации.

Здесь будут рассмотрены условия существования стационарного режима. Из них вычисляется и скорость распространения детонационной волны.

В § 25 упоминалось, что ширина фронта сильной ударной волны в газе по порядку величины равна одному свободному пробегу молекулы. Это составляет около 105 см. Между тем если реакция осуществляется за 10 5 сек, то за это время фронт успевает пройти расстояние порядка 1 см. Следовательно, реакция происходит не на самом ударном фронте, а в зоне заметной ширины позади него. Ударное сжатие только поджигает газ.

Кроме того, при ширине зоны реакции на много большей, чем свободный пробег, всю эту зону можно рассматривать как сплошную непрерывную среду, подчиняющуюся уравнениям газовой динамики, т. е. (15.6) и (15.11). Неприменимо только уравнение изэнтропичности, так как движение сопровождается необратимой химической реакцией. Вместо (15.9) надо иметь уравнение для скорости выделения энергии в зависимости от параметров состояния газа, уравнение состояния и, конечно, выражение энергии через р и V.

Но мы не будем рассматривать протекание реакции столь подробно. Чтобы сделать выводы общего характера, достаточны усло- 268

вия стационарности процесса, а также полученные в § 25 свойства ударных волн.

При стационарном движении уравнения сохранения должны выполняться для любой пары точек в зоне протекания химической реакции за фронтом ударной волны. Этим принципом мы уже пользовались, рассматривая в § 25 слабую ударную волну, которая растянута в пространстве. Но теперь в балансе энергии необходимо учитывать и ту энергию, которая выделяется в результате протекания химической реакции.

Она тоже должна идти стационарно, чтобы весь режим был стационарным и волна распространялась с постоянной скоростью.

Построим две адиабаты Гюгонио: одну для точек, расположенных непосредственно за фронтом ударного сжатия, где химическая реакция еще не начиналась, а другую для точки, где реакция уже закончилась, т. е. химически активные вещества «выгорели». Первая из этих адиабат ф—7) ничем не отличается от адиабаты, приведенной на рисунке 32, вторая (2—3) расположена выше нее (рис. 36). Это следует из того, что при выгорании внутренняя энергия движения молекул увеличивается и, следовательно, произведение р¥ растет. Поэтому кривая 2—3 лежит выше кривой 0—1.

Соединим точки 0 и 1 прямой линией, уравнение которой совпадает с (25.9). Это уравнение выводится только из законов сохранения массы и импульса, имеющих одинаковую форму в любой точке волны и не зависящих от протекания химической реакции. Как было сказано в § 25, сам ударный переход в сильной волне происходит скачком и не следует прямой 0—1 (процесс такого перехода не может быть описан в терминах скалярного, паскалевского давления р\ Но дальнейшее изменение состояния в зоне протекания реакции идет плавно и при стационарном режиме следует прямой. Реакция должна закончиться в точке пересечения прямой 0—1 с адиабатой 2—3, в сторону которой изменяется состояние от точки 7, так как химически активное вещество выгорает.

На самом деле будет доказано, что прямая 0—1 не пересекается с адиабатой 2—3, а касается ее в точке F (рис. 37). Для этого надо рассмотреть другие возможности и исключить их.

Допустим, что прямая 0—1 пересекается с адиабатой 2—3, как показано на рисунке 36. Сравнивая с рисунком 32, убеждаемся в том, что в верхней точке пересечения скорость переднего фронта ударной волны меньше, чем скорость звуков в продуктах выгорания. Но после того как реакция закончилась, начинается расширение ее продуктов. Иначе говоря, за точкой полного выгорания следует волна разрежения. А такая волна всегда нестационарна, как мы видели в § 23. При этом волна разрежения распространяется по веществу со скоростью звука. Если это происходит быстрее, чем распространяется ударная волна, разрежение, догоняя се, проникнет в зону реакции и замедлит ее. Но тем самым станет невозможным стационарное протекание реакции. Следовательно, в стационарном режиме прямая 0—1 не имеет верхней точки пересечения с адиабатой полного выгорания 2—3.

Я. Б. Зельдович предложил простое рассуждение, показывающее, что реакция не может закончиться и в нижней точке пересечения прямой 0—/ с адиабатой полного выгорания. При плавном течении процесса состояния должны были бы соответствовать и точкам отрезка прямой, лежащим выше адиабаты 2—3. Но для этого выделяющаяся энергия должна превосходить весь первоначально имевшийся запас химической энергии. Это видно по построению, приведенному на рисунке 36. Перейти из верхней точки пересечения в нижнюю скачкообразно тоже невозможно, так как это соответствовало бы ударной волне разрежения, которой не существует, если адиабата обращена выпуклостью вниз (а в газах это всегда так!). Но достичь адиабаты 2—3 все же необходимо, так как реакция заканчивается. Поэтому остается одна возможность: прямая 0—1 касается адиабаты 2—3.

Условие Чепмена — Жуге. Рассмотрим теперь газодинамические следствия из условия касания в точке F. На малых участках адиабаты 2—3, соответствующей полному выгоранию, не происходит возрастания энтропии, так как необратимый процесс химической реакции завершается. Прямая 0—1 вблизи точки касания совпадает с адиабатой с точностью до малых величин второго порядка. Так как в ходе реакции энтропия возрастает, то она вдоль прямой достигает своего максимума около точки F.

Условие касания прямой и адиабаты выглядит так:

(27.1)(27.1)Р-Ро _ _ ( дЕ_\

(27.1)

(27.1)

Vo-V” W )F-

/ др\ др/ др\ др2 Рр-Ро2 Рр-Ро(27.2)(27.2)Пусть давление относится к точке F, потому что уравнению (27.1) удовлетворяют все точки прямой. Умножая обе части написанного равенства на Vf, получим:

/ др\ др

/ др\ др

2 Рр-Ро

2 Рр-Ро

(27.2)

(27.2)

Так как производная берется вблизи максимума энтропии, надо считать, что ^F = ^}s- Поэтому в (27.2) входит квадрат

скорости звука ср в точке Жуге. Левая часть того же равенства, как это видно из сравнения с (25.6), равна квадрату разности (Z) — ул)2, т. е. скорости детонационной волны относительно продуктов реакции в точке полного выгорания. Окончательно ,

D-vF=cF. (27.3)

Скорость распространения детонационной волны относительно продуктов полного выгорания равна скорости звука в этих продуктах. Это и есть газодинамический смысл условия касания, называемого условием Чепмена — Жуге.

При этом нестационарная волна разрежения позади точки F еще не может нагнать фронт ударной волны или просто проникнуть в зону реакции. Граница как раз находится в точке Жуге.

Условие (27.3) вместе с уравнениями ударной адиабаты как раз достаточны для определения скорости стационарной детонационной волны D (задача 3).

Термоядерная детонация. В § 2 было выведено выражение скорости термоядерной реакции (2.35). Оно несколько напоминает формулу Аррениуса. В связи с этим возникает вопрос, возможна ли ядерная детонационная волна. При этом надо учитывать, что при высоких температурах, которые должна развивать такая волна, большую долю энергии будет брать на себя излучение (см. (4.9) и (4.10)). От этого соответственно понизится температура среды, заключающей излучение, и тем самым замедлится термоядерная реакция. Зона ее протекания за фронтом ударной волны при малой скорости реакции может растянуться до нереальных размеров.

Тем не менее расчеты показали, что смесь трития с дейтерием, вероятно, способна поддерживать в себе термоядерную реакцию в виде детонационной волны, так как эффективное сечение реакции Н3 + Н2 — Не4 + нейтрон весьма велико. Чистый дейтерий по расчетам не должен детонировать.

Упражнение 23

Получить обыкновенные дифференциальные уравнения для функций pv ут и р! в задаче о сильном взрыве. Показать, что этим уравнениям удовлетворяет построенный интеграл энергии.

Определить, во сколько раз возрастает скорость химической реакции в газе с постоянным показателем изэнтропы 7/5 при энергии активации А — 2 эв в детонационной волне, имеющей скорость 2,8 км/сек, возбуждением колебательных степеней свободы пренебречь. Начальный объем газа Уо — 2 • 103 см^/г, начальное давление р0 = 109 днАсм? • сек), температура = 300 °К.

Скорость звука в исходном газе равна

с0 = Уур0у0 = 5,3 • 104 см/сек.

Давление в фронте детонационной волны связано с ее скоростью равенством, которое было выведено в задаче 2 § 25:

^2=-m-(—+ v2V

V2+l \Ро /

Отсюда р!р0 = 32,5. Объем сжатого газа равен

Уо = PlP»*^ к ,.V vWo+1 ’

т

Следовательно, =- = 6,4, Т=1920°К.

1 о

Экспонента в законе Аррениуса изменяется от Ю™31’8 до 10-3’4, так что реакция ускоряется на 28 порядков. По сравнению с этим уже не так существенно, что дополнительное ускорение достигается за счет сжатия газа, которое увеличивает число соударений между молекулами.

Найти скорость детонации в газе с постоянным показателем изэнтропы у, пренебрегая начальной энергией и начальным давлением газа.

Обозначим теплоту реакции через Q. Начальной энтальпией мы пренебрегли. Тогда уравнение энергии между точкой Жуге и начальным состоянием запишется так:

1рА2— —У+т-

Заменяем теперь D — Vf по условию Жуге на cF. Выражая далее D по формуле (24.5), получаем:

^FVF , v _п , PFV0

y-i -VwVF—Q+ v0-vF 1

Снова используем условие касания (27.1) и (25.6):

и о VFVF

Выражаем отсюда объем в точке Жуге и подставляем его в уравнение энергии. Тогда приходим к выражениям для pF и VF;

^—^W р.^—^W р.2Q(y-l)2Q(y-l)ТоТо

^—^W р.

^—^W р.

2Q(y-l)

2Q(y-l)

То

То

Наконец, подставляя pF в (25.5), выражаем скорость распространения детонационной волны через теплоту реакции:

D = V0D = V0= K2Q (у2—1).= K2Q (у2—1).

D = V0

D = V0

= K2Q (у2—1).

= K2Q (у2—1).

Благодаря тому, что мы пренебрегли начальным давлением и начальной энтальпией смеси, получившееся выражение не зависит и от начальной плотности смеси.

ЧАСТЬ III

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

§ 28. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ

Изучение электродинамических явлений в сплошных средах было источником открытий элементарных законов электромагнетизма. Для этого всегда требовалась та или иная степень абстрагирования от реальных свойств вещества. Вследствие атомного строения вещества электрическое и магнитное поле в каждой точке среды изменяется сложным и нерегулярным образом. Но обычно наблюдаемы лишь средние значения полей по малым, но макроскопическим объемам тел. Электродинамика сплошных, или «материальных», сред в отличие от электродинамики вакуума изучает зависимости между средними величинами.

Операции усреднения так или иначе связаны с привлечением статистических закономерностей, зависящих от строения вещества, в котором разыгрываются электромагнитные процессы.

Поэтому электродинамика сплошной среды не может формулировать столь общие закономерности, как электродинамика вакуума. Усреднение, которое будет произведено в этом параграфе, во многом формально и не приводит к замкнутой системе уравнений. Получающиеся соотношения можно рассматривать только как отправные. Их применение к конкретным условиям и средам всегда требует детального анализа.

Определение среднего. В § 15, в механике сплошной среды, уже было использовано понятие средней величины по объему. В связи с этим надо уточнить определение макроскопического бесконечно малого объема. Такой объем содержит очень большое число атомов или молекул вещества и поэтому достаточно велик, чтобы можно было отвлекаться от нерегулярного изменения поля в масштабах одного атома. В то же время он настолько мал, что операция усреднения по его отдельным частям, например по любым двум половинам, дает один и тот же результат. Поэтому он и называется «бесконечно малым».

Выберем объем в форме кубика с ребром а. Тогда среднее значение некоторой функции / в точке с координатами %, у, г в момент t равно

а/2 а/2 сЦ^

Цх, у, г, 0 = "з" ^ d^ ^ dr] ^ dU(,x-H, z/ + i], z + £, /). — а/2 —а/2 — а/2 <\

т. е.(28.2)т. е.(28.2)Частная производная от функции / по координате равна среднему значению производной по х от /, дх дх 1 так как х входит в интеграл как параметр.

т. е.

(28.2)

т. е.

(28.2)

Очевидно также, что

(28.3)уравнения Максвелла вид:(28.3)уравнения Максвелла вид:5L = 1Ldi dt *С помощью последних двух формул[12.30—33] после усреднения приобретают

(28.3)

уравнения Максвелла вид:

(28.3)

уравнения Максвелла вид:

rott = —(28.4) с dt

div^ = 0,(28.5)

rot^=l^ + ^^,(28.6)

(28.7)(28.7)div ^ = 4лр.

(28.7)

(28.7)

Здесь мы воспользовались тем, что согласно (28.3) и (28.4) среднее значение производной от некоторой величины равно производной от среднего значения этой величины.

- Электрическая поляризация. Уравнения (28.4—7) удобно записывать в других обозначениях, так чтобы не входили средние значения микроскопической плотности заряда р и плотности тока ру.

Для этого надо учесть, что незаряженное вещество состоит из одинаковых количеств положительных и отрицательных зарядов. Заметный избыток зарядов любого знака сделал бы его механически неустойчивым из-за кулоновских сил отталкивания. Любые заряды наэлектризованных тел составляют ничтожную часть от заряда того же знака, входящего в состав этих тел в их нейтральном состоянии.

Рассмотрим некоторое в целом электрически нейтральное тело.

В электромагнитном поле его собственные заряды могут несколько перераспределиться по объему и средняя плотность их в каждой точке станет отличной от нуля. Но так как тело в целом нейтрально, то..

^pdV = 0,(28.8)

где интеграл берется по всему объему тела.

Введем теперь следующее обозначение:

p^_divP,(28.9)

где Р называется вектором электрической поляризации тела. Ясно, что тождество (28.9) не определяет вектора Р, так как одно равенство не может задать три составляющие вектора.

Вектор Р удобно доопределить следующим образом. Формула [16.211 показывает, что дипольный момент незаряженного тела задается однозначным образом, независимо от выбора начала координат. Так как заряд элемента объема равен р dV, то дипольный момент тела согласно [16.17] после перехода к непрерывной функции распределения заряда равен

d=^rpdV.(28.10)

Покажем, что в качестве Р можно выбрать плотность дипольного момента, т. е. положить

Р—рг.(28.11)

Заменим в равенстве (28.10) р согласно (28.9) на div Р:

d=—^rdw PdV.(28.12)

Повторяя тс же рассуждения, которые применялись при выводе теоремы Гаусса—Остроградского [11.6], можно преобразовать объемный интеграл, содержащий операцию V, действующую на все подынтегральное выражение, к интегралу по поверхности ds, ограничивающей объем. Надо заменить оператор V в том месте, где он стоял в объемном интеграле, на ds в поверхностном интеграле. Интеграл (28.12) преобразуется по частям:

<1 = — \г ^г. рР) dV + 5 (PV) г d V = — 5 г (ds Р) + ^ (PV) г d V.

(28.13)

Но поверхность можно выбрать вне пределов тела, в вакууме. Ясно, что это не отразится на объемном интеграле (28.12). Тогда интеграл по поверхности обращается в "нуль. Согласно [11.36]

^г==р.

Поэтому

d^rpdV^PdV.(28.14)

Таким образом, Р можно задать как плотность электрического дипольного момента.

Магнитная поляризация. Средняя плотность тока тождественным образом выражается через вектор электрической поляризации и аналогичный ему вектор магнитной поляризации (или плотность магнитного дипольного момента).

Исходя из закона сохранения заряда [12.18] после усреднения получаем:

^~ = — div ро.(28.15)

Пользуясь тождеством (28.9), перепишем (28.15) так:

div(--^ + ^) = 0.(28.16)

Это равенство удовлетворяется тождественно, если положить

— -^- + р® = crot М,(28.17)

потому что div rot М = 0.

Но (28.17) не полностью определяет М. В качестве М удобно выбрать плотность магнитного дипольного момента т [17.19]:

m = ~ [г, p©]dV.(28.19)

Подставим сюда ру из равенства (28.17):

т = — —lr’ rotM]dH.

Вынесем знак частной производной из-под знака первого интеграла и заменим вектор Р его выражением (28.11). Тогда под знаком интеграла останется р [гг] = 0. Второй интеграл представим так:

$ [г rot Л1] d V = $ [г [Vr, ^M]] dV - 5 [г [VrM]]d V =

-Цг[^М]]-Цг[?гМ]]б/У.

Здесь произведение dV -V заменено снова на ds. Так как в оставшемся объемном интеграле умножение векторное, раскрываем произведение при том же порядке сомножителей, помня, однако, что Vr действует только на г:

[г [VrM]] - М (Vrr) - (MVr) г = М di v г - (MV) г=ЗМ - М = 2М.

Тем самым приходим к требуемому равенству

m^MdV.(28.20)

Полученные соотношения имеют характер тождеств. При выводе не были использованы конкретные свойства среды, кроме того, что она в целом нейтральна.

Уравнения Максвелла для сплошных сред. Подставим теперь во вторую пару уравнений Максвелла (28.6) и (28.7) тождественные соотношения (28.9) и (28.17), чтобы исключить р и р©:

го!(^-4лм) = yj-^ + ^p),(28.21)

div (^ + 4лр) = 0.(28.22)

Уравнения приобретают более симметричную форму, если ввести следующие обозначения. Усредненное электрическое поле назовем 276

просто электрическим полем в среде и не будем писать в дальнейшем черту усреднения, называя его

Введем обозначение:

$4-4лР = Я.(28.23)

Тогда из (28.22) видно, что

div 0 = 0.(28.24)

Чтобы сохранить соответствие в названиях, удобно определить среднее значение магнитного поля ^ как магнитную и н д у к- ц и ю в среде В, потому что тогда получается по аналогии с (28.24):

div 5 = 0.(28.25)

Чтобы сохранилась симметрия в обозначениях электрических и магнитных величин, надо разность

^ __ 4пм = 5 - 4лМ(28.26)

назвать магнитным полем 5^ в среде. После этого оба уравнения для роторов пишутся так:

rotg = —1^.,(28.27)

rot^ = l^-.(28.28)

Вместе с уравнениями для дивергенций (28.24) и (28.25) получается система уравнений Максвелла для сплошной среды. Внешне они выглядят даже симметричнее, чем неусредненные уравнения Максвелла для вакуума с точечными зарядами. На самом деле эта симметрия достигнута за счет неполноты уравнений. Систему уравнений Максвелла в среде необходимо дополнить соотношениями, которые так или иначе учитывают конкретные свойства среды. В средах разной природы это могут быть совсем несходные зависимости.

Четырехмерная запись уравнений электродинамики в среде. При выводе уравнений электродинамики из уравнений микроскопической теории было использовано только одно свойство среды —• ее электронейтральность в целом. Это условие релятивистски инвариантно по определению электрического заряда [14.22]. Поэтому возможен переход к четырехмерной записи уравнений, из которых получаются и преобразования Лоренца электромагнитных величин в среде.

Электрическое полей магнитная индукция суть средние значения электрического и магнитного поля в вакууме, микроскопически определенного с учетом действия истинных зарядов среды внутри нее.

Но тогда ясно, что из В и Е надо сопоставить тензор Р^ аналогичный [14.13]:

О Bz - Ву - iSx

Fik = —Bz 0 Bx-iSti

By-Bx 0 -i£2(28.29)

i<o х i<§ y lS z 0

Операция усреднения (28.1) содержит отношение -^, числитель и знаменатель которого испытывают одинаковое лоренцево сокращение! 13.22]. Уравнения (28.25) и (28.27), получившиеся путем усреднения первой пары уравнений Максвелла, в четырехмерном виде выглядят аналогично (15.151:

(28.30)(28.30)^Fjk I dF к[ ■ dFц ~дх^ *" dxi * дхк '

(28.30)

(28.30)

Значки I, к, I пробегают значения от 1 до 4, причем х4 ~ let.

Чтобы записать уравнения (28.24) и (28.28) в четырехмерном виде, введем следующий тензор:

0<S^2^u-~iDx

(28.31)(28.31)(28.32)(28.32)Gik — ^z 0 ^x-iDM

(28.31)

(28.31)

(28.32)

(28.32)

0 -IDZ ‘

iDx ID у iDz 0

Тогда оба уравнения объединяются в одно:

d^ikлдхк

Граничные условия к уравнениям Максвелла в среде. Найдем условия, которым удовлетворяют поля и индукции на границе раздела двух сред. Для этого построим небольшой цилиндр таким образом, чтобы участок границы раздела был заключен внутри него и проходил параллельно основаниям. Проинтегрируем уравнение (28.25) по объему этого цилиндра и воспользуемся теоремой Г а у с - с а:

$ div В dV = ^BdS.

Будем считать высоту цилиндра малой второго порядка по сравне

нию с радиусом. Тогда интеграл по поверхности достаточно распространить только на основания. Так как они малы, то значение вектора В на каждом из них постоянно.

Таким образом, получается (рис. 38):

Вг dS1 + B2 dS2 = 0.

Вектор площадки dS направлен по внешней нормали к объему цилиндра. Поэтому

dS^ — dS^ ft dS, где ft — единичный вектор нормали. Следовательно,

(В^ —В2, n)~Bin — В2п — 0.

(28.33)

На поверхности раздела непрерывна нормальная составляющая магнитной индукции.

Аналогичное рассуждение применимо и к электрической индукции. Если на поверхность раздела не нанесен сторонний электрический заряд, то непрерывна нормальная составляющая Dn\

D^-D^-O.(28.34)

Если же имеется заряд с поверхностной плотностью о1, то

Dnl — Dn2 = 4 ло.(28.35)

Это следует из микроскопического уравнения div ^ = 4л р [16.1], если включить в р только сторонние заряды, произвольно нанесенные на поверхность раздела (например, электризацией трением).

Чтобы найти граничное условие для электрического поля, построим небольшой прямоугольный контур, охватывающий границу раздела (рис. 39). Проинтегрируем уравнение (28.26) по поверхности, натянутой на контур ABCD:

rot^dS = —— ^5^-dS=—-4- ( BdS.

Jc j atc at J

Пусть высота AB сколь угодно мала по сравнению с основанием AD. Тогда интеграл по площади от конечной величины В сколь угодно мал и может быть положен равным нулю. Интеграл от rot 8 преобразуется по теореме Стокса [11.17]:

^rot8 ds=^8 dl = 0.(28.36)

Он сводится к интегралу по двум основаниям AD и СВ, для которых dlx = —dl2. Так как оба эти отрезка малы, то вектор выносится в каждом из них за знак интеграла:

dk - ^2 dk = (^1 - ^2) dk = 0.

Контур ABCD можно поворачивать любым образом, Лишь бы граница раздела оставалась между основаниями AD и СВ. Поэтому любая составляющая вектора — ^2, лежащая на поверхности раздела, равна нулю. Таким образом, окончательно имеем:

(28.37)(28.37)^_^2=0,

(28.37)

(28.37)

где 8Z1 и 8/2 — двумерные векторы, касательные (тангенциальные) к поверхности.

Производя аналогичную процедуру с уравнениями (28.28), получаем:

^Z1 = ^Z2.(28.38)

Могут быть случаи, когда по самой границе раздела сред течет ток, сосредоточенный в микроскопически тонком слое. Для такого случая

=(28.39)

Здесь// имеет размерность заряда, протекающего за единицу времени через единицу длины контура, лежащего на поверхности. Множитель ^ имеет то же происхождение, что pi в уравнении Максвелла (28.6)/

Упражнение 24

Показать, что тензор, связанный с Fik соотношением F^ = ZikimFim (где F 1т — так называемый дуальный тензор), удовлетворяет уравнению вида (28.32). Величина £цат — полностью антисимметричный тензор [§ 11].

Из определения дуального тензора получим:

dFlm

дхкдхк *

Индексы к. I и т все различны согласно свойствам дуального тензора. Следовательно, справа входит циклическая перестановка этих индексов, которая согласно (28.30) равна нулю.

Написать формулы преобразований Лоренца для полей и индукций.

Dx — Dx>D'g = a^Dg-^Hzy ^z = a^z + ~^~ НуУDx — Dx>D'g = a^Dg-^Hzy ^z = a^z + ~^~ НуУПо аналогии с [15.1" и 2"] находим, что все продольные составляющие по относительной скорости систем отсчета сохраняются, а поперечные составляющие преобразуются так:

Dx — Dx>

D'g = a^Dg-^Hzy ^z = a^z + ~^~ НуУ

Dx — Dx>

D'g = a^Dg-^Hzy ^z = a^z + ~^~ НуУ

^ = а ^у-^-В^, S'z = a^z-V^Bgy В'х — Вх, Ву-Цву-^^у В'г = а^Вг — ^-^уу

гдеа = ^1—^ 1/2 [см. (15.1— 21)].

§ 29. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ

Диэлектрики и проводники. Все среды по своим электрическим свойствам делятся на два класса: 1) среды, в которых при постоянном значении среднего электрического поля устанавливается статистическое равновесие—диэлектрики, 2) среды, в которых равновесие в электрическом поле нс устанавливается, а течет ток,— проводники. В этом параграфе будут рассмотрены условия равновесия зарядов на проводниках.

Распределение заряда на проводниках. Допустим, что некий проводник отделен от других проводников диэлектрической средой или вакуумом, т. с. изолирован, и помещен во внешнее электрическое поле, постоянное во времени. В равновесии заряды на проводнике распределяются так, чтобы поле внутри проводника равнялось нулю. Иначе говоря, внутри проводника поле этих зарядов полностью компенсирует действие внешнего поля.

На изолированный проводник можно нанести избыточный заряд любого знака. Однако и в этом случае поле внутри проводника обращается в нуль. Покажем, что во всех случаях плотность заряда внутри проводника равна нулю.

Действительно, по уравнению (28.7) при отличной от нуля плотности заряда р должен был бы существовать поток вектора поля Е через поверхность, внутри которой р =£ 0. Это относится как к собственным зарядам, входящим в состав проводящей среды, таки к зарядам, нанесенным на проводник извне. Но среднее поле внутри проводника, находящегося в равновесии, равно нулю, так что р тоже нс может иметь отличного от нуля значения.

Следовательно, заряд проводника может быть сосредоточен только на его поверхности. Поверхностная плотность заряда была обозначена в предыдущем параграфе о. За счет этой плотности у проводника, если он нс имеет результирующего заряда, возникнет отличный от нуля дипольный момент (у заряженной системы определение дипольного момента неоднозначно). Но и при неравном нулю моменте объемная поляризация равна нулю, так как Р = рг, а р = 0. Поэтому вместе с электрическим полем внутри проводника равна нулю индукция D. Из уравнения (28.35) следует, что поскольку внутри проводника D = 0, нормальная составляющая электрической индукции Dn вблизи поверхности проводника равна поверхностной плотности заряда:

Оп=Лта. (29.1)

Уравнение (28.37) показывает, что касательная составляющая электрического поля на поверхности проводника равна нулю, потому что она обращается в нуль внутри проводника (6t = 0). Если проводник находится в вакууме (практически мало что изменится, если он находится в воздухе), то в окружающем пространстве поле совпадает с индукцией. Тогда можно считать, что в уравнении (29.1) стоит нормальная составляющая электрического поля.

Потенциал проводника. В состоянии равновесия внешнее поле постоянно. Согласно (28.4) и (28.7) оно удовлетворяет уравнениям:

div^-0,(29.2')

rot^-O.(29.2")

Чтобы удовлетворить второму из них, достаточно положить

(29.3)

Тогда электростатический потенциал ср определяется из уравнения Лапласа:

div grad ср Atp — 0.(29.4)

На поверхности каждого проводника потенциал в равновесии принимает постоянное значение. В противном случае существовала бы направленная вдоль поверхности составляющая градиента потенциала, т. с. касательная составляющая электрического поля $t = = — Vz(p. Но это исключено. При том же значении потенциала находится и любая точка внутри проводника, потому что иначе внутри проводника имелось бы электрическое поле 8 ~ — Vcp, что в равновесии невозможно.

Из уравнения (29.3) видно,что потенциал определен с точностью до постоянного слагаемого. Это слагаемое условились выбирать так, чтобы потенциал земли или соединенного с ней, т. с. заземленного, проводника равнялся нулю. Если потенциалы других, неза- земленных, проводников заданы, то уравнение (29.4) полностью определяет потенциал и поле между проводниками.

Энергия системы проводников. Будем считать по-прежнему, что проводники находятся в вакууме. Вычислим энергию создаваемого ими поля. Из уравнения [15.24] известно, "что эта энергия равна

E = ^-^82dV,(29.5)

где интегралы берутся по всему объему, нс занятому проводниками.

По уравнению (29.3) заменим 82 на проведение — 8 Vtp. Воспользуемся теоремой Гаусса таким же способом, как в уравнении (28,13). Иными словами, после интегрирования по частям заменим dV -V (где V относится ко всему выражению под интегралом) на dS:

E = -^WS*H^4><iiv8dV.(29.6)

В пространстве между проводниками, свободном от зарядов, div § = 0 [16.11. Следовательно, объемный интеграл в (29.6) равен нулю.

Чтобы вычислить интеграл по поверхности, учтем, что на каждом проводнике потенциал ф имеет постоянное значение. Нумеруя от- 282

дельные, не соединенные между собой проводники индексом I, получим:

E=-^^VdS“(29-7)

Поверхность проводников является внешней по отношению к объему, заключенному между ними. Поэтому в интеграле (29.6) элемент поверхности dS направлен внутрь каждого проводника. Следовательно, если dSi—внешняя нормаль к поверхности /-го проводника, то

8 dSi = —8яг dSi = — S„i dSh(29.8)

Но согласно (29.1) в вакууме $ni = 4лог. Поэтому энергия Е равна

(29-9)

iI

где et — заряд /-го проводника.

Выражение (29.9) отличается множителем 1/2 от энергии зарядов в вакууме, помещенных во внешнее поле, которая выражается формулой U = 2^/ф;. Так получается потому, что в случае системы заряженных проводников поле создано самими зарядами, а нс наложено извне. Действительно, в силу линейности уравнений электродинамики потенциалы связаны с зарядами линейной зависимостью. Если себе представить, что заряды e'i увеличиваются от нуля до их действительных значений et пропорционально их величинам по закону ei = Хеи то de'i = etdK и для текущих потенциалов ф£ получается такая же линейная зависимость: ф^ = Хф,. Поэтому

1

t оi

Коэффициенты емкости и связи. Общее линейное соотношение между зарядами и потенциалами в системе проводников имеет, очевидно, такой вид:

et = ^CifeWk,(29.10)

к

где величины С^ называются коэффициентами емкости. Они имеют размерность длины.

Предположим, что все проводники, кроме 6-го, при данном их расположении в пространстве заземлены, т. с. ф^< = 0, если к* #= к. Тогда заряд на /-м проводнике при / ^ к равен

ei-C^k.(29.11)

Знак /-го заряда должен быть обратным по отношению к знаку 6-го заряда, так как /-й проводник заземлен и тем самым заряд, одноименный с 6-м, отведен в землю. Легко сообразить, что это

соответствует минимуму энергии, т. е. условию равновесия. Следовательно,

С/<0 при i^k.(29.12)

При i = к коэффициент емкости Сц имеет положительный знак.

В задаче 2 будет показано, что матрица Си симметрична, т. с. Си = Cki. Это значит, что к-й проводник при единичном потенциале индуцирует (наводит) на f-м проводнике такой же заряд 5/, как единичный потенциал на f-м индуцирует на заземленном ^-м проводнике.

Систему уравнений (29.10) можно разрешить относительно потенциалов. Матрицу коэффициентов, выражающих потенциалы через заряды проводников, принято называть обратной по отношению к матрице Си и обозначить через Си. Как известно из алгебры, Си равняется минору элемента Си, деленному на весь определитель | Си |. По определению миноров между прямой и обратной матрицей существует следующее соотношение:

^CSC^bu.(29.13)

к

Величины Си называются коэффициентами связи между проводниками. Потенциалы выражаются через заряды так:

=(29.14)

к•

Если подставить соотношение (29.14) в формулу для энергии (29.9), получим:

Е-^С^еА.(29.15)

к

Через потенциалы энергия выражается так:

E=^ClMll.(29.16)

к

Покажем теперь, в каком соотношении находится емкость конденсатора С с коэффициентами емкости его обкладок. Емкость конденсатора С связывает его заряд с разностью потенциалов между обкладками:

е — С (ф2-ф1).(29.17)

Энергия конденсатора, как известно, равна

Е = ~.(29.18)

Если заряд одной обкладки е, то заряд другой — е. Следовательно, из равенства (29.15) при учете того, что С12 = С21, получается:

^^у^-гей + с^е2.(29.19)

Сравнивая это с (29.18), находим для емкости выражение сначала через коэффициенты связи:

^ = (^-2^ + ^).(29.20)

Подставляя коэффициенты связи из общего определения обратной матрицы, найдем окончательно:

СС^11^22~ Qa , С22 + 2С12 + Сп^11^22~ Qa , С22 + 2С12 + Сп(29.20')(29.20')

С

С

^11^22~ Qa , С22 + 2С12 + Сп

^11^22~ Qa , С22 + 2С12 + Сп

(29.20')

(29.20')

Метод электрических изображений. В математической физике существует много методов расчета статических электрических полей проводников. В частности, поля, зависящие от двух координат (плоские поля), определяются методом функций комплексного переменного, рассмотренным в § 15.

Рассмотрим некоторые задачи, относящиеся к полям в трех измерениях.

Пусть против бесконечной заземленной плоскости, на расстоянии а от нес, помещен заряд е (рис. 40). Требуется найти электрическое поле.

Для решения этой задачи можно применить следующий прием. В точку, находящуюся против заряда, на расстоянии а позади проводника, поместим фиктивный заряд — е («изображение заряда е в плоскости»). Тогда потенциал в полупространстве, в котором находится истинный заряд, равен

(29.21)(29.21)е еф =

(29.21)

(29.21)

Рис. 40Рис. 40где г — расстояние от данной точки до истинного заряда, аг' — расстояние до его изображения. В силу симметрии расположения обоих зарядов потенциал на проводнике равен нулю, т. с. проводник действительно эквипотенциален. Функция удовлетворяет уравнению Лапласа везде в полупространстве перед проводником: в этой области у нее нет особых точек.

Рис. 40

Рис. 40

Функция — тоже удовлетворяет уравнению Лапласа везде, кроме той точки, где находится истинный заряд. Таким образом, построено решение уравнения Лапласа и выпол

нено граничное условие на плос- -е кости.

Эта задача является частной по отношению к более общему случаю точечного заряда е около заземленной проводящей сферы (рис. 41).

Здесь надо сделать следующее построение. Пусть расстояние заряда до центра сферы равно R, радиус сферы г0. Отложим от центра отрезок ОА^^-. Проведем произвольный радиус ОВ и соединим точку В прямыми с точками А и е. Треугольники еОВ и АОВ подобны, потому что они имеют общую вершину с одинаковым углом при ней О, а сторо

ны, прилегающие к этому углу, пропорциональны по построению:

еО R ОВ г0

О Вг0АОАО*

Следовательно, пропорциональны им и третьи стороны:

^ — А

В Аг0

Поместим теперь в точку Л фиктивный заряд е\ равный

е- = — ^е.(29.22)

Тогда потенциал в произвольной точке вне шара равен

Ф-у+у,(29.23)

где гиг' — расстояния от этой точки до заряда и до Л, соответственно.

На поверхности шара ф = 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить е' из (29.22) в (29.23) и положить г’ = В А. Тогда искомое условие будет выполнено благодаря доказанной пропорциональности сторон треугольников.

Если на сфере имеется собственный заряд ^, то к потенциалу (29.23) достаточно прибавить слагаемое ^-.Условие постоянства потенциала на шаре этим не нарушается.

Неоднородные проводники. Условие эквипотенциальности проводника, сформулированное в начале этого параграфа, относится только к проводникам, однородным по составу. Рассмотрим теперь, что необходимо для равновесия в проводнике, в котором концентрация носителей тока неоднородна. При отсутствии электрического поля условие равновесия заключается в минимальности термодинамического потенциала (§ 8). Если надо найти равновесную объемную концентрацию некоторых частиц, следует потребовать, чтобы перенос малого количества этих частиц dN из одной точки пространства в другую не изменял общего термодинамического потенциала Ф

системы. Тогда работа переноса, равная полному изменению Ф, будет нулевой:

dAdAdN — 0,dN — 0,[/дФ \ _ (дФ_\ 1

dA

dA

dN — 0,

dN — 0,

|\луд \5лГ/2I

где индексы 1 и 2 относятся к двум произвольным точкам. Но ^-^|ы (8.48), где ц —химический потенциал переносимых частиц. Следовательно, при отсутствии электрического поля химический потенциал в равновесии одинаков во всех точках системы.

Если частицы имеют заряд и находятся в электрическом поле, работа их переноса складывается из приращения Ф и изменения потенциальной энергии:

, Г/ дФ \ /дФ\1 Л

dA = Ц^Л ~ I дл^)2 + е(Р1-еФ2| ^ = °-

Отсюда следует условие заряда:Отсюда следует условие заряда:рД ^ф-—const.рД ^ф-—const.(29.24)(29.24)равновесия по отношению к носителям

Отсюда следует условие заряда:

Отсюда следует условие заряда:

рД ^ф-—const.

рД ^ф-—const.

(29.24)

(29.24)

Пусть, например, носители заряда, ионы, образуют слабый раствор с переменной в пространстве концентрацией с. Тогда химический потенциал ц определяется формулой (12.6). Разность потенциалов между точками 1 и 2 равна

ф2-ф1 = _|1п^.(29.25)

Контактная разность потенциалов. Другой случай неоднородного проводника представляет два металла, находящиеся в контакте. Носители заряда во всех металлах, как известно, одни и тс же — электроны.

Для того чтобы перенести электрон из одного металла в другой, надо затратить работу, которая равна разности двух работ: работы Ах для вырывания электрона из первого металла в вакуум и работы А^ получаемой затем при входе в другой металл. Работа выхода в вакуум совершается частично в поверхностном слое металла и частично силой притяжения заряда к своему изображению, когда электрон уже вышел в вакуум. Когда металлы находятся в равновесии, полная работа переноса электрона должна равняться нулю. Поэтому между соприкасающимися металлами в равновесии существует разность потенциалов, компенсирующая различие работ выхода Аг и А2:

ф2-Ф1 = ^=рП(29.26)

Здесь учтено, что заряд электрона отрицателен.

Сказанное иллюстрируется рисунком 42, на котором изображено движение заряда по замкнутому контуру. При обходе этого контура

работа тратится на выход из металла 1 в вакуум, получается при входе в металл 2 и совершается на пути 1—2 в вакууме электрическим полем, образующимся между металлами. Но суммарная работа на замкнутом пути в равновесии обращается в нуль. В противном случае описанная здесь система осуществляла бы вечный двигатель:

при обходе электрона в ней ничего не изменяется, так что работа получалась бы из ничего, без затраты энергии извне.

Таким образом,

Лг-И^-ф^-Л^О,

что и выражается уравнением (29.26).

Фз-Ф1Фз-Ф1_ Из — ^2) + Н2 — ^1)И_ Из — ^2) + Н2 — ^1)И^з— АхИ^з— АхИ(29.27)(29.27)Если в контакте находятся последовательно три металла, то разность потенциалов между крайними равна

Фз-Ф1

Фз-Ф1

_ Из — ^2) + Н2 — ^1)И

_ Из — ^2) + Н2 — ^1)И

^з— АхИ

^з— АхИ

(29.27)

(29.27)

Работа выхода из промежуточного металла выпадает из формулы. В частности, если по краям находится один и тот же металл, разность потенциалов обращается в нуль, как и должно быть по закону сохранения энергии.

Работа выхода электрона из различных граней металлического кристалла может быть неодинаковой в зависимости от плотности расположения атомов вблизи поверхности. Между соседними гранями, имеющими разную работу выхода, в вакууме, т. с. снаружи, устанавливается поэтому разность потенциалов (но внутри металлический монокристалл эквипотенциален). В атмосфере эта разность потенциалов быстро компенсируется налипающими извне ионами.

Упражнение 25

Доказать, что потенциал не может иметь минимума или максимума в точке, расположенной вне проводников.

Предположим обратное. Тогда на небольшой замкнутой поверхности, окружающей экстремум, градиент потенциала направлен везде наружу или везде внутрь этой поверхности. Поток вектора £ = — V<p через поверхность нс равен нулю, что невозможно, если внутри нес нет заряда. Следовательно, заряд не может находиться в равновесии в поле заряженных проводников, если он нс находится на одном из них.

Доказать, что в системе проводников дифференциал изменения энергии dE равен У] ф/ det или У в/ ^ф/.

По определению

d£^ ^ ^dV.

Заменим 8 на — Уф и произведем интегрирование по частям, описанным в этом параграфе способом:

— 2- ф ^^ ds + ^ \ q) div d8 d V.

Второй интеграл равен нулю, так как в вакууме d8 = 0. В первом интеграле воспользуемся тем, что потенциал на поверхности каждого проводника постоянен:

= —-1^Ф/ d^tdSi.L

Но —^ согласно (29.1) есть dab а элемент поверхности ds{ направлен в получившемся интеграле внутрь проводника. Следовательно,

dE = 2 Ф^ 5 °i ^si 2 Ф*

~дЕ г?

Отсюда видно, что Ф; = ^г- Если в исходном интеграле заменить под знаком дифференциала 8 на — Уф и произвести аналогичное интегрирование, то получим

dE = ^ei d^.

Поэтому

ЭЕ

Но е^^С^и. так что к

lk дф/ дф& м*

Найти коэффициенты емкости и коэффициенты связи для двух концентрических сфер радиусов гх и г2.

Обозначим заряд на внутренней сфере через ^, а заряд на внешней поверхности наружной сферы — через е’. Потенциал в пространстве между сферами равен

ф = т" + const, а во внешней области потенциал равен

289289Ю А. С. Компанеец

289

289

откудаоткудаИз условия эквипотенциальное™ наружной сферы следует, что“ + const = — ,Л2^2

откуда

откуда

const = -—

Поэтому потенциал внутреннего шара равен

Ф1 — " + —Ф1 — " + —£l£l

Ф1 — " + —

Ф1 — " + —

£l

£l

а потенциал внешнего —

Заряд на внутренней поверхности внешней сферы равен — еъ потому что на ней оканчиваются все силовые линии от заряда внутренней сферы. Следовательно, полный заряд внешней сферы е^ равен ег — ev Поэтому

<Pi = -" + 7,Г1 Г2

ф2 = 7- + ”.

Коэффициенты связи принимают значения:

пл 1 п-хп-1п-1 1

u12—u2i— —, u22—

ri ‘^2Г2

Определитель | С-11 равен -У Для коэффициентов

^2 \ rl r2 J

емкости находим следующие значения:

Си —Си —/У2^2 — 1/У2^2 — 1— C2i —— C2i —ГЛЧ — гх ’ГЛЧ — гх ’С22 —С22 —Г2—rxГ2—rx

Си —

Си —

/У2

^2 — 1

/У2

^2 — 1

— C2i —

— C2i —

ГЛ

Ч — гх ’

ГЛ

Ч — гх ’

С22 —

С22 —

Г2—rx

Г2—rx

Дана система заземленных проводников и точечный заряд е, индуцирующий на них заряды е<. Если убрать заряд е и оставить заземленными все проводники, кроме / го, а на нем довести потенциал до некоторого значения ф<, то в той точке, где раньше находился заряд в, будет потенциал ф' (0). Выразить заряд е^ через е, ф< и ф< (0).

Представим себе точечный заряд как бесконечно малый заряженный проводник, емкостью которого можно пренебречь. Из симметрии коэффициентов емкости Cik = Ск1 следует тождество

2 Ci^M = 2 e^’t = 2 ^ф,.

2ф^ = 0.2ф^ = 0.В первом случае, когда все проводники заземлены, их потенциалы равны нулю. Значит, и точечный заряд находился вместе с нулевым потенциалом:

2ф^ = 0.

2ф^ = 0.

Следовательно,

2 e^ = е.ср; + Сф(' (0) = О,

откуда получаем искомое выражение для е,:

Ф; (°)в;= — е——.

Ф<

Для случая одного сферического проводника эта формула переходит в (29.22).

Точечный заряд помещен между двумя концентрическими заземленными сферами. Найти заряды, которые он индуцирует на сферах.

Если внутренняя сфера не заземлена, то потенциал между сферами изменяется по закону

Ф=у- + а

(действием точечного заряда пренебрегаем).

Тогда, считая, что внешняя сфера заземлена, и обозначая радиусы сфер через гг и г^ получаем два уравнения:

7к + «=Ф1,

ч

Отсюда

Потенциал в том месте, где находился заряд е, таким образом, равен

Ф;(0)=^-

Следовательно, заряд, индуцированный на внутреннем шаре тогда, когда он был заземлен, был равен

61 = _еФ^)1 ф;61 = _еФ^)1 ф;1Г21Г2е 1fЧ Че 1fЧ Чс ri г2-г Г Ч — Чс ri г2-г Г Ч — Ч

61 = _еФ^)

1 ф;

61 = _еФ^)

1 ф;

1

Г2

1

Г2

е 1f

Ч Ч

е 1f

Ч Ч

с ri г2-г Г Ч — Ч

с ri г2-г Г Ч — Ч

Для заряда е2 на втором шаре получаем:

fi г

г Ч-~Чг Ч-~Че^ — е — е^ — е р = —ч ~ ч

г Ч-~Ч

г Ч-~Ч

В случае двух проводящих плоскостей надо заменить отношения и у единицей. Индуцированный заряд распределяется обратно

пропорционально расстояниям до плоскостей. Было бы гораздо сложнее получить этот результат методом последовательных отражений.

Бесконечная заряженная плоскость имеет полусферический выступ. На бесконечном расстоянии от выступа поверхностная плотность заряда на плоскости равна По. Найти поле и заряд, сосредоточенный на выступе.

Обратимся к задаче обтекания шара идеальной жидкостью (§ 15). Потенциал скоростей в этой задаче удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0. Проведем через центр обтекаемой сферы среднюю плоскость, параллельную линиям тока на бесконечности. Тогда силовые линии поля, с которым мы имеем дело в настоящей задаче, будут лежать на эквипотенциальных поверхностях, рассматриваемых в задаче об обтекании сферы. Чтобы убедиться в этом, ищем электрическое поле по аналогии с полем скоростей в виде:

, 3 (d • г) г — d • г2с = 4 тшоп + —,

где п — единичный вектор нормали к плоскости, d— параллельный ему вектор. Если радиус выступа г^ то при г > г0 граничное условие 8^ = 0 должно выполняться на плоскости. Это следует из того, что на ней dr = 0, а п и d перпендикулярны ей. При г < г0 то же условие ставится на выступе. Следовательно,

d^^nr^n.

Выражая отсюда поверхностную плотность заряда через ^ и интегрируя по поверхности выступа, находим, что весь заряд на нем равен Злго(т0.

Найти электрическое поле в вакууме между двумя пересекающимися гранями монокристалла, разность работ выхода для которых не равна нулю. Грани образуют между собой угол ф0. Длину ребра, по которому пересекаются грани, считать бесконечной, полуплоскости граней — тоже бесконечными.

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0 и принимает постоянные значения на каждой из граней. Поэтому ф в любой точке надо искать в виде функции только от угла ф между плоскостью, проведенной через эту точку, и одной из граней. Уравнение Лапласа для этого случая приводится к виду:

Следовательно,

ф = Clip + С2.

Постоянные интегрирования находим по формуле (29.26). Окончательно получаем:

ГП — ^2 — ^1 Ф I m

V Iе! ^ + ф1'

Электрическое поле перпендикулярно плоскости ip = const и равно

<2 1 dtp _ Л2 — Лт 1

г d^ | е ф0 * г

Вблизи ребра оно очень велико.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ

Общие уравнения. В диэлектрике, или непроводнике, устанавливается равновесие зарядов при отличном от нуля среднем электрическом поле 8 (знак усреднения, как условились, нс пишем). Отсюда следует, что в постоянном поле согласно (28.26)

rot^ = 0.(30.1)

Следовательно, в электростатике диэлектриков можно пользоваться электростатическим потенциалом ф, определенным так:

Vф.(30.2)

Кроме того, при отсутствии сторонних зарядов в среде, которая в целом нейтральна,

divD = 0.(30.3)

Между индукцией D, полем ^ и вектором электрической поляризации Р существует соотношение (28.23):

Д=^ + 4лР.(30.4)

Написанная система уравнений имеет решение только тогда, когда установлена связь между поляризацией (или индукцией) и полем 8.

Свободная энергия диэлектрика. Такое соотношение нс может не зависеть от природы диэлектрика и внешних условий, в которых он находится (температуры, давления). Удобно подойти к вопросу с общей термодинамической точки зрения.

Допустим, что в диэлектрической среде находится проводник при потенциале ф. Будем рассматривать его заряд как внешний параметр по отношению к диэлектрику. Работа изменения заряда проводника на de равна

dA^^de.(30.5)

Выразим теперь правую часть этого уравнения через средние величины, характеризующие диэлектрическую среду. Согласно (29.1) заряд проводника связан с нормальной составляющей индукции на его поверхности следующим образом:

е^ \а(30.6)

Подставляя это в (30.5) и пользуясь постоянством ср на поверхности проводника, находим:

dA =фdA =фdD • dS С t$)dD dS4лJ 4лdD • dS С t$)dD dS4лJ 4л(30.7)(30.7)

dA =ф

dA =ф

dD • dS С t$)dD dS

4лJ 4л

dD • dS С t$)dD dS

4лJ 4л

(30.7)

(30.7)

Преобразуем теперь полученный интеграл по поверхности в объемный интеграл:

« * С div ^dP^ dV4л« * С div ^dP^ dV4л(30.8)(30.8)

« * С div ^dP^ dV

4л

« * С div ^dP^ dV

4л

(30.8)

(30.8)

Знак «минус» учитывает, что в предыдущей формуле элемент поверхности dS был направлен по внешней нормали к проводнику, т. е. по внутренней нормали к поверхности диэлектрика, граничащей с металлом.

Пользуясь (30.2) и (30.3), раскроем дивергенцию под знаком объемного интеграла (30.8) следующим образом:

div ф dD~ Vф dD-V^ div dD — Vф dD^-^d (div D) —— ^dD. (30.9)

По определению свободной энергии (8.38)

dF= — Sd6 + dA = — S^6+ ^ ^-dV(30.10)

находим поле 8:находим поле 8:^dP^dPвыражение для добавки к ее плотности / в электрическом

находим поле 8:

находим поле 8:

^dP

^dP

(30.11)

Если известно выражение для добавки к плотности свободной энергии / через электрическую индукцию D, то поле 8 определяется следующим образом:

^ = 4л^ = 4л^ЭР)^^ЭР)^(30.12)(30.12)

^ = 4л

^ = 4л

^ЭР)^

^ЭР)^

(30.12)

(30.12)

Изотропные диэлектрики. В изотропном диэлектрике (газообразном, жидком или стекловидном) при не слишком большом значении индукции D скалярная величина / линейно выражается через скаляр D4

8ле*8ле*(30.13)

8ле*

8ле*

Безразмерная величина е называется диэлектрической постоянной или диэлектрической проницаемостью среды. Она зависит от температуры и от плотности среды (или от ее удельного объема). Если подставить / в выражение для поля (30.12), получим

= Р = е^. (30.14)

Отсюда находим соотношение между полем ^ и поляризацией Р:

D = £$ = 8 + 4лР,(30.15)

или

Р = ^^(30.15)

Под действием электрического поля положительные заряды смещаются в сторону поля, а отрицательные — в обратную сторону. Поэтому среда поляризуется в направлении поля. Таким образом, формула (30.15) показывает, что в статическом поле 8 > 1. Из выражения (30.13) определяется добавка к энтропии S' изотропного диэлектрика при неравном нулю 8, А именно, если полный объем диэлектрика V, то согласно (8.39) имеем:

С7 _5 ^ _ VD2 58 _ ^2 58

д " де 8л82^“ 8л де*(dU.

Дифференцирование в последней формуле производится при постоянной индукции/). Так как индукция определяется зарядом на проводнике, то это означает, что при дифференцировании и заряд проводника считается постоянным, а меняться может его потенциал ф.

Пусть, например, проводник сначала был заземлен и на нем индуцировали заряде, поднося другое заряженное тело. Затем проводник отъединили от земли, а индуцирующий заряд отвели достаточно далеко. Тогда в диэлектрике выделилось тепло

Q = 6S'.(30.16)

Здесь процесс был обратимым в соответствии с (8.20) (электрокалори- ческий эффект).

Если проводник присоединен к другому проводнику достаточно большой емкости, то сохраняется его потенциал. У такого проводника можно изменять заряд при постоянном потенциале, т. е. при постоянном поле в диэлектрике. В этих условиях надо считать независимой переменной поле, а нс индукцию. Согласно общим термодинамическим правилам, чтобы перейти от переменной D к 8, следует из / вычесть D8l^n (см., например, переход от энергии к энтальпии в § 8). Итак,

•' 4л 8 8л *

Определенный через нес электрокалоричсский эффект при постоянном поле имеет ту же величину. Но это справедливо только в случае линейной зависимости между полем и индукцией.

Точечная симметрия кристаллов. Перейдем к диэлектрическим свойствам кристаллов. Для этого надо ввести некоторые понятия, характеризующие симметрию кристалла. Прежде всего, твердые кристаллические тела симметричны по отношению к переносам (трансляциям) в трех направлениях, не лежащих в одной плоскости

(некомпланарных), на любые величины, кратные пространственным периодам решетки. Но этот вид симметрии для нас сейчас нс имеет значения. Важнее то, что большинство кристаллов симметричны

2лотносительно поворотов на углы —, где п — целое число, равное

3, 4, 6. При этом внешняя огранка нс имеет значения: поворот на угол п оставляет неизменными объемные свойства кристалла, например его диэлектрическую постоянную. Если кристалл симметри- 2л

чен относительно поворота на , то принято говорить, что он имеет ось п-го порядка, обозначаемую через Сп. Кроме осей симметрии, кристаллы могут иметь плоскости симметрии, отражение в которых оставляет неизменными их объемные свойства. Операции симметрии, связанные с осями и плоскостями, оставляют в совокупности на месте по крайней мере одну точку кристалла (начало координат). Поэтому такие виды симметрии в отличие от трансляций называются точечными.

То, что число п ограничено значениями 2, 3, 4 и 6, легко понять, если учесть, что в кристалле должны сочетаться два вида симметрии: точечная (относительно вращений) и трансляционная. В отношение последней кристалл можно уподобить паркету. Если есть ось симметрии Сп, то паркет должен быть выложен многоугольниками с симметрией соответствующего вида. Это могут быть: параллелограммы, совмещающиеся сами с собой при повороте на 2л (ц = 1, т. с. точечной симметрии просто нет); прямоугольники, симметричные при повороте на 2л/2; правильные треугольники с осью С3 (повороты на 2л/3); квадраты и правильные шестиугольники с осями, соответственно, С4 и С6. Дискретность операции переноса обусловливает эти и только эти допустимые вращения кристалла в пространстве.

Отсутствие в природе осей симметрии С5, С7 и т. п. у кристаллов косвенно доказывает их атомное строение на основании чисто макроскопических свойств.

Не входя в классификацию кристаллов по их точечной симметрии, рассмотрим на нескольких примерах, какой вид имеет в них линейное соотношение между полем и индукцией. При этом сказывается только точечная симметрия кристалла.

Допустим, что кристалл имеет только одну выделенную ось симметрии Сп с любым возможным п и нс имеет других таких же осей, направленных под углом к ней, и нс имеет также плоскости симметрии или оси С2, перпендикулярной данной оси Сп. Например, прямая пирамида с равносторонним треугольником в основании имеет ось С3. Плоскость симметрии, проходящая через С3, в данном случае не будет иметь значения. “

Среда с такой выделенной осью симметрии в отличие от среды изотропной может характеризоваться не только скалярными величинами, но и некоторой векторной величиной, если вектор направлен по оси. Причем этот вектор определяет именно среду, т. е. кристалл, а не внешнее воздействие на него (например, приложенную к нему 296

силу). Ясно, что тело, изотропное само по себе, выделенного направления иметь не может.

Свободная энергия кристалла. В данном случае мы имеем в виду вектор спонтанной электрической поляризации. Разноименные заряды, входящие в состав кристалла, несколько раздвинуты по направлению выделенной оси. Ясно, что по другому направлению они сами по себе сдвигаться нс могут, так как это нарушило бы заданную симметрию. Если бы существовала другая ось такой же симметрии, это было бы невозможно: сдвиг зарядов по одной оси уничтожал бы другую. Плоскость симметрии, перпендикулярная данной оси, здесь тоже исключена, так как по разные стороны от нее располагались бы заряды разного знака. Перпендикулярная ось второго порядка невозможна потому, что плюс нельзя совмещать при повороте с минусом.

Но если есть только ось Сп, вектор спонтанной поляризации Ро существует. Найдем теперь, какой вид в таком кристалле

g D имеет плотность величины f'если зависимость между полем и индукцией линейная.

Единственный скаляр, который можно построить линейным образом из заданного вектора Ро и вектора электрического поля, есть скалярное произведение ^Ро. Далее, вместо квадрата вектора 82 в /' должна войти квадратичная функция компонентов поля вида £1к6\(эк. Так как /' — скаляр, величины sik образуют тензор второго ранга. Итак,

(30.17)

Если кристалл не имеет никаких осей симметрии, в нем тоже может существовать спонтанная поляризация Ро в некотором направлении, нс связанном с кристаллографическими осями. Поэтому (30.17) задает общее выражение для /' в кристаллической среде.

Найдем из него индукцию. По формуле, аналогичной (30.12), получим:

О1 = -4я^=4пР01 + г^к.(30.18)

При отсутствии поля в кристалле существует индукция 4лР0.

Такие кристаллы называются пироэлектрическими. Происхождение термина объясняется следующим образом. Поляризованное тело как целое обладает результирующим дипольным моментом. Следовательно, оно создаст снаружи некоторое поле. Вследствие притяжения ионов из атмосферы поле в конце концов компенсируется: на положительный полюс диполя садятся отрицательные ионы и наоборот. Но если внести тело в пламя, спонтанный момент от нагревания изменится и в течение некоторого времени полене будет компенсировано, так что момент проявится. Таким способом это свойство кристаллов первоначально и было открыто; отсюда и название таких кристаллов («пирос» — огонь по-гречески).

Иногда у пироэлектрических кристаллов наблюдаются фазовые переходы второго рода (см. § 11), при которых они превращаются в непироэлектрики без существенной перестройки решетки. Так, если кристалл в пироэлектрической фазе имеет ось симметрии Сп, то с изменением температуры или давления расположение атомов становится таким, что возникает перпендикулярная оси плоскость симметрии. Хотя само изменение решетки происходит плавно, без скачка, появление плоскости симметрии сразу меняет свойства кристалла. Становится невозможной спонтанная поляризация. Как указывалось в § 11, в такой точке перехода терпит разрыв не энтропия, а ее производная — теплоемкость.

Непироэлектрическая фаза вблизи точки перехода не имеет собственного момента, но весьма легко поляризуется внешним полем, потому что асимметричное расположение атомов, отвечающее поляризованному состоянию, мало отличается от исходного симметричного расположения в отсутствие поля. Кристаллы в таком сильно поляризуемом состоянии называются сегнетоэлектриками, потому что их типичный представитель — сегнетова соль.

Коэффициенты квадратичной формы г1к образуют тензор диэлектрической постоянной. Это — симметричный тензор, т. е.

e-ik = e,hi(30.19)

по определению коэффициентов квадратичной формы.

В кристалле, нс имеющем никаких элементов точечной симметрии (осей или плоскостей), sik, как всякий симметричный тензор, имеет шесть компонентов. Но уже появление одной оси симметрии второго порядка С2 или плоскости симметрии уменьшает число компонентов е^. Направим одну из осей координат, скажем г, по оси С2. При повороте на 180° вокруг оси г координаты х и у меняют знаки: х-^ — х, у^ — у. Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат: &уу —>• £yyt ^22^22, ^Ху-^^xyt ^Хг^" ^Х21 ^уг-^ ^yz*

Но если повернуть кристалл на соответствующий угол относительно оси симметрии, то ни одно его свойство не сможет измениться. В частности, компоненты тензора диэлектрической постоянной должны вернуться к исходным значениям. Следовательно, еХ2 и гу2 равны сами себе с обратным знаком, т. е. равны нулю.

В случае одной плоскости симметрии выберем ее как плоскость координат ху. Отражение в этой плоскости меняет 2 на — г. Поэтому снова получается, что 8^ = — гХ2 = 0 и 8^ = — гу2 = 0.

Рассмотрим в качестве примера кристалл, имеющий одну ось четвертого порядка С4. Ясно, что если кристалл допускает повороты на 90°, то у него же имеется симметрия относительно поворотов на 180° = 2-90° вокруг той же оси. Таким образом, гХ2 = 8^ = 0. Поворот на 90° дает: х -> у, у -> — х. Поэтому ехх = еУУ1 гху = = — ^ух = ■— ^ху = 0- Но если диагональные компоненты тензора, в плоскости ху одинаковы, а недиагональные обращаются в нуль, 298

то тензор в этой плоскости вырождается в скаляр. Когда ^ лежит в этой плоскости, то в ней же лежит и вектор D, причем он направлен параллельно 8.

Рассмотрим еще случай, когда в кристалле имеются две перпендикулярные оси С2. Легко видеть, что тогда есть и третья перпендикулярная ось С2. Действително, пусть первая из них осуществляет преобразование х -> — х, у -> — у, а вторая — преобразование у -> — у. 2 —> — г. Их последовательное применение возвращает у к прежнему значению, и преобразуются только две координаты: х -> — х, z -^2. Сравнивая со случаем одной оси второго поряд

ка, видим, что это преобразование осуществляется осью С2, направленной по у. Следовательно, все недиагональные компоненты равны нулю: гху = гУ2 = гХ2 = 0. Оси симметрии являются главными осями тензора диэлектрической постоянной. В кристалле, не имеющем элементов точечной симметрии, направление главных осей тензора г1к заранее не определено.

Если кристалл имеет две перпендикулярные оси четвертого порядка, то они порождают третью ось С4 (подобно двум осям С2). В этом случае говорят, что кристалл имеет кубическую симметрию. Все три диагональные компоненты одинаковы (гхх = гуу = а недиагональные обращаются в нуль. Тензор г1к целиком вырождается в скаляр. Соотношение между полем и индукцией такое же, как в изотропной среде. Заметим, что тензорные величины более высокого ранга, чем второй, у кристаллов кубической симметрии не обязательно такие, как у изотропного тела. Кристалл не может быть изотропным во всех отношениях.

Кристалл с осью симметрии третьего порядка будет рассмотрен в задаче 4.

Упражнение 26

Два полубесконечных изотропных диэлектрика с постоянными ^ и е3 разделены плоскостью, иначе говоря, каждый заполняет полупространство по одну сторону от нее. Внутри одного из них находится точечный заряд е на расстоянии а от поверхности раздела. Найти поле, создаваемое этим сторонним зарядом.

Применим метод изображений. Потенциал в той среде, где находится заряд, определяется аналогично (29.21):

е , аеФ1 — ~ + -7 •

Потенциал в среде, где нет заряда, равен

ре

ф2-р

Поле в первой и второй среде выражается формулами

Соответственно индукции равны ^8>г и е2^2-

Условие непрерывности тангенциальных составляющих поля на поверхности раздела, где г-г\ выражается уравнением

Равенство нормальных составляющих индукции приводит еще к одному уравнению:

1 — ОСЕ^рЕ.^

Отсюда

а==_Е1-^1_ в=-Д—.

Е1 (81 + 82) ’81 +82

Если диэлектрическая постоянная е2 < еъ а заряд находится в среде с постоянной еь то поле электрического изображения в первой среде имеет тот же знак, что и поле заряда, одноименного с истинным. Следовательно, заряд отталкивается от границы раздела. Например, в водных растворах электролитов (е = 81) ионы отталкиваются от поверхности. Вблизи поверхности электролит обеднен ионами (негативная адсорбция).

Однородный диэлектрический шар радиуса R помещен в однородное электрическое поле ^0. Найти результирующее поле.

Полагаем, что внутри шара действует однородное поле ^, а вне шара поле получает такую добавку, как от диполя с моментом d, помещенного в центре шара. Условие равенства тангенциальных компонентов поля и нормальных компонентов индукции даст:

. d<р

— +

ф , 2d ср

(см. задачу 1 § 15 и задачу 6 § 29). Отсюда

Шар поляризован однородно.

В математической физике доказывается, что любой трехосный эллипсоид в электрическом поле поляризуется однородно. Если одна из его главных осей нс параллельна внешнему полю, то и поляризация направлена под углом к нему.

Вычислить диэлектрическую проницаемость газа, состоящего из дипольных молекул с постоянными моментами d.

Так как потенциальная энергия диполя во внешнем поле равна — ^$d) [16.28], то часть свободной энергии газа, зависящая от от поля £, равна

л^d cos Ф

F^ —— NS in ^ sin 'ft d&e 6 .

о

Здесь £ можно рассматривать как внешний параметр X (см. § 8). Отсюда следует, что —есть не что иное, как Л, т. е. среднее значение от производной полной энергии по X. В данном случае это Ad cos Ф (где N — число молекул в единице объема). Так что для поляризации можно записать

P = Nd cos А.

Следовательно,

Р = А6^1п\ sin^^e 6 ^Ae^lnJ.sh^ =об JОб \cd 6 J

о

= Nd cth-.\6ed /

Выражение в скобках называют функцией Ланжевена. В слабом поле оно принимает вид ~. Отсюда поляризация газа равна

n Nd-£ 1 , 4nNd2

е=1+Т-

Согласно (30.16) электрокалорический эффект у такого газа отрицателен. При включении электрического поля молекулы получают преимущественную ориентацию вдоль поля. Большее упорядочение соответствует меньшей энтропии. Следовательно, теплота должна изотермически отводиться во внешнюю среду, как при сжатии газа по изотерме.

Если молекулы не имеют собственных дипольных моментов, то поляризуемость в первом приближении не зависит от“температуры. Ее значение много меньше, чем у газов с дипольными моментами.

Показать, что в кристалле, имеющем ось симметрии третьего порядка, тензор диэлектрической постоянной вырождается в скаляр в плоскости, перпендикулярной оси.

Введем комплексные координаты ^ = x + iy, v^x — iy. В общем случае тензор еХХ1 гху^гух, &уи получает три комплексные компоненты: е^, 8^ = 8^, 8ПП. При повороте на 120° g получает со- 2Л14Л14Л1

множитель е 3 , е^ —сомножитель е 3 . Следовательно, ^ = е 3 8^, 4л1‘

откуда 8^ = 0. Аналогично 8Ф1 = с 3 8ПЛ и епп = 0. Остается компонент е^е^, который умножается на 1. Но 8^п —действительная величина, потому что 8^== е^*^* = 8^ = 8^. Тензор диэлектрической постоянной в плоскости, перпендикулярной оси, задается одним действительным числом, т. е. вырождается в скаляр.

§ 31. постоянный ток

Основные уравнения. Постоянный ток в проводнике можно представить как непрерывно нарастающую поляризацию. Действительно, дипольный момент единицы объема нейтральной среды есть следующая сумма по всем зарядам:

р(г+-г_).(31.1)

+, -

Следовательно,

А это — не что иное, как ток, проходящий за единицу времени через единицу поверхности, или плотность тока / Таким образом, при постоянном электрическом поле уравнение (28.27) с учетом (28.23) и (31.2) приобретает вид:

rot^ = -^ = ^’.(31.3)

с dt с''

При постоянной магнитной индукции (28.26) дает также

rot^ = 0.(31.4)

Из-уравнения (31.3) следует, что

div/=^- div rot ^ = 0.

Это значит, что векторные линии плотности тока замкнуты (подобно линиям магнитной индукции). На границе раздела двух сред сохраняются нормальные составляющие вектора плотности тока:

lnl—]ni‘

Чтобы удовлетворить уравнению (31.4), надо электрическое поле представить в виде градиента потенциала:

£ = — ?ф.(31.5)

В отличие от электростатического потенциала в проводнике, в котором течет ток, потенциал ф представляет собой переменную величину, зависящую от координат.

Закон Ома. Все проводники делятся на два рода. В проводниках первого рода заряд переносится электронами и передвижения вещества не происходит. Таковы все металлы и электронные полупроводники. В проводниках второго рода заряд переносится ионами, т. с. имеет место движение самого вещества. Примером могут служить растворы электролитов.

При достаточно слабом поле в однородной и изотропной среде всегда имеет место пропорциональная зависимость

3=^(31.6)

именуемая законом Ома.

Коэффициент о называется электропроводностью или удельной проводимостью. Он имеет размерность сек”1. (В этом параграфе обозначение о относится только к проводимости в отличие от § 29, где о означает поверхностную плотность заряда). В монокристаллических образцах металлов и полупроводников зависимость (31.6) имеет тензорную форму:

h-^ikSk.(31.7)

Но мы не будем пользоваться этим более общим видом закона Ома, предполагая твердое вещество поликристаллическим, как это обычно бывает на практике.

Основное отличие металлов от полупроводников состоит в том, что у металлов проводимость растет при понижении температуры, а у полупроводников она с понижением температуры падает и стремится к нулю при абсолютном нуле температуры. Кроме того, проводимость полупроводников на много порядков меньше, чем у «хороших» металлов, таких, как медь, серебро, золото и т. п. У металлов при комнатных температурах о имеет значение порядка lO18^1. Примером полупроводников могут служить германий, кремний, закись меди и т. п. Проводимость полупроводников обычно не имеет определенного постоянного значения. Она сильно зависит от способа приготовления образца и содержащихся в нем примесей (§ 43).

Закон Ома у металлов выполняется во всех экспериментально достижимых полях. У полупроводников наблюдаются заметные отклонения от пропорциональности между полем и током. Поле увеличивает число электронов проводимости и изменяет условия их прохождения через кристаллическую решетку.

Если к проводнику применим закон Ома или вообще установлена зависимость между полем и плотностью тока, система уравнений, описывающих прохождение постоянного тока, замкнута. Когда j= о$,

div/=— divcrVy = 0,(31.8)

что при постоянной проводимости сводится к уравнению Лапласа:

А<р = О.(31.9)

На поверхности раздела двух проводников выполняется условие непрерывности нормальной составляющей тока, которое записывается через градиенты потенциала так:

0Г17и1ф = а27„2ф.(ЗЛ-10)

На границе между проводником и диэлектриком нормальная составляющая V<p обращается в нуль, так как jn = 0.

Джоулево тепло. Работа электрического поля над движущимися зарядами за единицу времени согласно [14.321 равна

(31.12)(31.12)

(31.12)

(31.12)

Переходя с помощью (31.2) к плотности тока, получим:

=(31.13)

Если физическое состояние проводника не изменяется, энергия, получаемая его частицами, должна отводиться в виде тепла, т. е. ^7 = ^у- Когда к проводнику применим закон Ома (31.6), можно записать следующее отношение:

^=0^2. (31.14)

Выделяющееся тепло (его называют джоулевым) не изменяет знака при перемене направления поля. Поэтому выделение тепла при омическом сопротивлении проводника — необратимый процесс, подобный вязкому трению (§ 17). Оно сопровождается возрастанием энтропии в системе, состоящей из проводника и окружающей среды.

В проводниках первого рода скорость возрастания энтропии связана с джоулевым теплом таким же соотношением, как при обратимой передаче тепла:

§ = С Q dV= С ^dV. (31.15)

Здесь стоит знак равенства в отличие от общего соотношения (8.20) потому, что в металле или полупроводнике не происходит никакого необратимого изменения параметров системы. Состояние

проводника первого рода, по которому течет ток, при постоянных физических условиях совершенно неизменно. Так как энтропия

возрастает, то проводимость о всегда положительна.

В проводниках второго рода, в которых переносится вещество

и тем самым изменяются концентрации компонентов, равенство

не должно иметь места. Источником необратимости при переменной концентрации является не только выделение джоулева тепла, но и диффузионные процессы (см. § 17).

Полный ток в проводнике. Полный ток, проходящий через поперечное сечение проводника, будем обозначать буквой /: ‘

I — ^jdS. (31.16)

Рассмотрим некоторые два сечения (рис. 43), разделенные боковыми

поверхностями, через которые ток не проходит (на них лежат токовые линии). В силу закона сохранения заряда интеграл (31.16) одинаков для обоих сечений.

Джоулево тепло, выделяющееся в объеме между сечениями, равно

^dV=- $ jVtpdy.(31.17)

Преобразуя этот интеграл по частям, получаем

§ = - 5 WJds-Y ( ср div/dV.(31.18)

Объемный интеграл равен нулю, так как div / = 0. Выберем теперь сечения 1 и 2 по эквипотенциальным поверхностям. Учитывая, что в формуле (31.18) ds направлен везде по внешней нормали, находим следующее выражение для джоулева тепла:

^ = (44 —qxj ^jds^^-^L(31.19)

Эта величина положительна, так как ток идет от высокого потенциала к низкому. Вследствие линейности уравнений, он пропорционален разности потенциалов:

/ = Ф1-ф2 .(31.20)

Коэффициент R называется сопротивлением проводника между эквипотенциальными сечениями 1 и 2.

Если проводник линейный, точнее цилиндрический, длины /, с площадью сечения F, то / = Fj\ ф£ — ф2 = ^1. Отсюда с помощью выражения (31.16) сопротивление выражается через удельную проводимость так: R = 1/(аРУ Наконец, из (31.19) и (31.20) получаем:

dQ _ (Ф1-ф2)2„ & R ~

Гальванический элемент. В § 29 было показано, что в разомкнутой цепи, состоящей из нескольких металлов, потенциал на концах одинаков, если концы состоят из одинаковых металлов. Этот результат получился потому, что природа носителя тока во всех металлах одинакова. Но если в цепи, кроме металлов, имеется электролит, т. е. проводник, в котором заряд переносят ионы, то на концах разомкнутой цепи появляется разность потенциалов.

Рассмотрим следующую цепь: цинк — электролит, содержащий растворы сернокислого цинка ZnSO4 и сернокислой меди CuSO4, — медь. Когда один атом цинка переходит в раствор, он там становится катионом Zn++, а заряд в виде двух электронов переходит на цинковый электрод. Далее, один ион меди осаждается из электролита на медном электроде, который получает, таким образом, два избыточных электрических заряда (в нем недостает двух электронов). В разомкнутой цепи, один конец которой имеет положительный

заряд, а другой — отрицательный, существует разность потенциалов. Она равна электродвижущей силе (э. д. с.) гальванического элемента.

Если теперь замкнуть электроды проводником, в цепи возникнет ток. Он поддерживается тем, что при растворении цинка выделяется большая свободная энергия на атом, чем ее требуется для осаждения меди. Описанный процесс обратим: заставляя ток течь в обратном направлении, можно заставить медь раствориться, а цинк — осаждаться.

Поскольку реакция в гальваническом элементе происходит при постоянной температуре и давлении, фактически надо брать не свободную энергию, а термодинамический потенциал Ф (§ 8). Его изменение, приходящееся на одну частицу, есть химический потенциал вещества, вступающего в реакцию. Из обратимости процесса следует, что работа, совершающаяся над зарядами при прохождении тока, равна полному изменению термодинамического потенциала системы (§ 8).

Растворение цинка дает работу pZn — pznso4 на атом, а осаждение меди — работу pcuso4 — Heu- Результирующее изменение термодинамического потенциала равно

6Ф = Hzn — Hzn so4 — Heu + Heu so4. (31.22)

Через замкнутый гальванический элемент при этом проходят два элементарных заряда. По определению тогда совершается работа, равная разности потенциалов, умноженной на переносимый заряд. Следовательно, э. д. с. гальванического элемента равна

э. д. с.=^. (31.23)

Найдем теперь соотношение между э. д. с. и током, проходящим через элемент. Разность потенциалов на концах Лго проводника, входящего в цепь, равна ф1г — ф2/. Она связана с током соотношением (31.20):

q>u-^i=Rii-

Складывая такие равенства для всех проводников, составляющих цепь, получаем слева величину э. д. с., а справа /2 R^. Отсюда

(31.24)

При этом в гальваническом элементе выделяется теплота Q химической реакции. Она связана с электродвижущей силой формулой, аналогичной (13.8).

Термоэлектродвижущая сила. Понятие э. д. с. применимо нс только к гальваническому элементу. В общем случае э. д. с. равна работе, которая'совершается над единичным зарядом при обходе замкнутого контура:

(31.25)(31.25)э. д. c. = ^8dl.

(31.25)

(31.25)

Рассмотрим э. д. с., вызываемую в системе проводников градиентом температуры. Начнем с некоторых определений.

Прохождение тока представляет собой необратимый релаксационный процесс приближения к статистическому равновесию. Если в проводнике создана разность потенциалов, в нем возникают неравновесные условия, причем электрический ток осуществляет приближение к равновесию. Равновесие не следует смешивать со

стационарными неравновесными уело- рис 44 виями, например протеканием постоян

ного тока от внешнего источника э. д. с.

Аналогичным образом градиент температуры нарушает тепловое равновесие и выравнивается потоком тепла — это другой релаксационный процесс приближения к статистическому равновесию.

Релаксационные процессы взаимно связаны: градиент температуры вызывает электрический ток в проводнике, а градиент потенциала — тепловой поток. Между этими перекрестными процессами существуют определенные соотношения, которые будут здесь уста

новлены.

(31.26)(31.26)Для простоты будем рассматривать только линейные проводники. Координату точки, отсчитанную вдоль проводника, назовем х. Тогда выражение тока при наличии градиентов температуры и потенциала записывается следующим образом:

(31.26)

(31.26)

где Ro — сопротивление на единицу длины проводника. Записанное равенство надо рассматривать как определение перекрестного коэффициента а.

Рассмотрим теперь цепь, состоящую из двух металлов: I и II (рис. 44). Металлы спаяны в двух точках, которые находятся при разных температурах 61 и 62. Покажем, что в этой цепи возникает э. д. с., выражающаяся через коэффициенты а обоих металлов.

Э. д. с. равна разности потенциалов на концах разомкнутого контура, что совпадает с формулой (31.25):

д. с. = ^ 8 dx — — ^ ^ . сД = фх — ф2.

Считаем, что концевые точки отделены разрывом цепи, как на рисунке 44, где этот разрыв показан. При / = О получаем из (31.26):

д. с. = ^ § dx= ^ a^dx.(31.27)

Этот интеграл берется от одного конца разомкнутой цепи до другого. Удобно перейти к переменной интегрирования 9. Так как любой перепад температуры d^ при обходе всего замкнутого контура проходится в противоположные стороны в проводниках I и II, то

02

д. с. = ^ (ai — ац) d9.(31.28)

01

Из этого равенства видно, почему для получения термо-э. д. с. в цепи нужно два разных металла: в кольце из одного металла сц—оси = 0. Кроме того, необходима разность температур на спаях (61 =# 92). Это согласуется со вторым началом термодинамики (§ 8): для получения работы в тепловом двигателе надо иметь разность температур.

Если концы разомкнутой цепи находятся при потенциалах фг и ф2, то э. д. с. = ф£ — ф2. При бесконечно малой разности температур спаев находим выражение для дифференциала термо-э. д. с.

с/ф = (а] — аи) dS.(31.29)

Тепло Пельтье. Перейдем к другому перекрестному явлению — переносу тепла в проводнике при не равном нулю электрическом поле. Сначала найдем выражение для потока энергии в проводнике при наличии градиентов потенциала и температуры. Заряде в точке с потенциалом ф имеет энергию еф. Поэтому ток I переносит энергию /ф за единицу времени. Если имеется градиент температуры ^, то возникает поток тепла — у ^. Знак «—» указывает на то, что тепло передается в направлении понижения температуры. Наконец, есть поток энергии перекрестного происхождения, который мы обозначим через рС Называя полный поток энергии по проводнику W, получим:

^=/<р+Р^-т£.(31.30)

Далее выразим электрическое поле через ток по уравнению (31.26). Тогда

^-Ф/ = ₽₽07 + (ар-Т)^.(31.31)

Допустим теперь, что градиент температуры отсутствует, и применим уравнение (31.31) к точке спая двух металлов.

Ток / в точке спая непрерывен, а потенциал терпит разрыв, равный контактной разности ф2 — фг. Образуем разность между энергией, притекающей к спаю за единицу времени, и энергией оттекающей от него:

(W - ф2/) - (Г - Ф1/) = (₽Л2 - Moi) Л (31.32) где W — полный поток энергии в проводнике, а /ф — поток энергии зарядов в электрическом поле. Эта часть потока энергии может 308

быть, в принципе, целиком обращена в механическую работу. Поэтому разность W — ф/ согласно первому началу термодинамики (8.9) имеет смысл теплового потока. Если величина W — ф/ терпит разрыв в некоторой точке, то в ней происходит выделение или поглощение тепла. Это явление называется эффектом Пельтье.

Разность |32^о2 — Moi принято называть коэффициентом Пельтье для данного спая. Его обозначают символом Пц_ь Можно говорить и о коэффициентах Пп и П1 в отдельности:

Пи _! = Пп - П1 - р2/?02 - Мог (31.33)

Эффект Пельтье зависит от силы тока линейно. Поэтому в отличие от джоулева тепла тепло Пельтье выделяется обратимо: при изменении направления тока оно меняет знак. Но это утверждение нуждается в более строгом доказательстве. Выше указывалось, что состояние с отличным от нуля током не является равновесным, а только стационарным. Тем не менее будем допускать, что эффект Пельтье обратим. Приняв это допущение, применим второе начало термодинамики к системе проводников, изображенной на рисунке 44. Будем рассматривать ее как обратимый тепловой двигатель, работающий при разности температур cU между нагревателем и холодильником. К горячему концу проводится несколько большее количество тепла, чем к холодному. Согласно определению коэффициента Пельтье теплота, подводимая к спаю, равна—Пц = 1/. Но так как от другого спая теплота отводится, то в полезную работу при обратимом процессе можно превратить лишь некоторую долю теплоты Пи т/. Эта доля равна отношению ~. Таков согласно второму началу термодинамики (8.25) к. п. д. обратимого теплового двигателя, работающего при разности температур dQ между горячим и холодным резервуарами.

Полезная работа тратится на поддержание тока, создаваемого за счет термо-э. д. с. Поэтому согласно (31.29) получаем:

— n!b!/y = (a]-an)Zd6. (31.34)

Отсюда находим соотношение между перекрестными коэффициен

тами:

— ап -аь— ап -аь(31.35)(31.35)Пц ^1 $2^02 Pl^Ol

— ап -аь

— ап -аь

(31.35)

(31.35)

6=6

Но так как металлы I и II совершенно произвольны и произвольна температура среды, то равенство вида (31.35) должно выполняться для каждого металла в отдельности. Опуская индексы, получим:

^Ro-aB. (31.36)

Эту формулу получил еще в прошлом веке У. Томсон, предположив обратимость эффекта Пельтье. Строгое доказательство дал

в 1934 г. Л. Онсагер для перекрестных коэффициентов в линейных соотношениях вида (31.26) и (31.30) —см. § 40.

В частности, Онсагер показал, что тензор электропроводности oik в кристаллических проводниках симметричен: если единичный градиент потенциала вдоль оси х вызывает некоторый ток вдоль оси у, то единичный градиент потенциала по оси у вызывает по оси х такой же ток.

Эффект Томсона. Исходя из своей теории термоэлектрических явлений, Томсон предсказал еще один эффект, который в его время было бы трудно обнаружить экспериментально. Ток выделяет дополнительное тепло, по сравнению с джоулевым, проходя по неравномерно нагретому проводнику.

Вычислим производную от потока энергии по координате, предварительно подставив в него выражение для $ из уравнения (31.26):

^ = /^ + 7Ар^0 + ^-(ар -у)?.(31.37)

dx dx ' dx* и ' dxx r и dxх 1

Сюда надо снова подставить § = — ^$ из (31.26), а коэффициент а из (31Л6). Тогда ^ представится в виде суммы трех слагаемых:

. Изменение потока энергии на единице длины в стационарных условиях равно энергии, отводимой от проводника на единице длины. Первое слагаемое выражает джоулево тепло. Знак «—» указывает на то, что оно отводится. Второе слагаемое связано с изменением чисто теплового потока вдоль проводника. Третье же слагаемое выражает то добавочное тепло, которое обязано совместному действию тока и градиента температуры. Ясно, что иначе, как в виде тепла, эта добавочная энергия не может отводиться. В несколько видоизмененной форме запись этого количества тепла выглядит так:

(б4^7?.(31.38)

\ d6 6 J dxv 7

Коэффициент пропорциональности перед /~ называется томсоновским коэффициентом.

Упражнение 27

Среда с малой проводимостью о* заполняет полупространство. В нее наполовину погружены два сферических электрода радиусом г0 каждый. Проводимость электродов много больше проводимости среды. Показать, что ток между электродами такой же, какой стекает с отдельного электрода, потенциал которого по отношению к бесконечно удаленным точкам среды равен разности потенциалов между электродами.

Пусть потенциал отдельного электрода равен ф0. Его можно считать постоянным по электроду, так как проводимость среды считается гораздо меньшей, чем проводимость материала электрода. На расстоянии г от центра электрода потенциал в среде равен фоу. Отсюда ток, уходящий в среду, можно выразить так:

/ = 2лг2Оф0 ^ — 2лоф0г0.

Разность потенциалов двух электродов равна

2г2 ’

где Г1 и г2 — расстояния данной точки от центров этих электродов. Ток между ними проще всего вычислить через среднюю плоскость, разделяющую их. Временно введем расстояние между ними, равное 2а. Тогда нормальная составляющая плотности тока на плоскости равна

• ^ ПфоГрДп (я2 + р2)3/2’

где р — расстояние точки от линии, соединяющей электроды.

Полный ток равен

I = $ яр dpjn = 2лоф0г0.

Так как div / = 0, ток через любую поверхность, разделяющую электроды, одинаков и не зависит от а.

Эта задача объясняет принцип действия заземления: для связи, например телефонной, достаточно одного провода, а вместо другого применить заземление, так как сопротивление в нем не зависит от расстояния между электродами, погруженными в землю. По токам в земле можно с помощью усилителя подслушать разговор. Поэтому иногда все же применяется двухпроводная связь.

Выразить теплоту химической реакции, происходящей в гальваническом элементе, через его электродвижущую силу.

§ 32. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НЕФЕРРОМАГНИТНЫХ СРЕД

Работа магнитного поля. Магнитные свойства различных сред, подобно электрическим свойствам диэлектриков, удобно описывать с помощью выражения для свободной энергии сред в магнитном поле. Предположим, что магнитное поле создается некоторым распределением плотности тока j. Как известно, работу над зарядами непосредственно производит только электрическое поле [14.32]. Но если электрическое поле индукционного происхождения, то его работу над зарядами можно выразить и через изменение магнитного поля согласно уравнению (28.26).

Исходя из этого уравнения вычислим изменение энергии магнитного поля за время di. Если работа совершается над токами, то ее удобно определить со знаком «—» по отношению к энергии поля. Следовательно,

dA = — dt^jdV.(32.1)

Заменим плотность тока по уравнению (31.3):

dA= — ~ ^Srot^dV.(32.2)

Преобразуем теперь полученный интеграл по частям, учитывая, что на бесконечно удаленной поверхности поле обращается в нуль:

dA= —с^- § $[dS^] + ^ 8-\^^ЩйУ =

= -^va€^dV=-^3€rot*dV.(32.3)

Заменим еще rot £ по уравнению (28.26) и сократим на dt:

'dA = dV.(32.4)

(32.5)(32.5)Рассуждая так же, как в § 30, видим, что дифференциал плотности свободной энергии, обязанной магнитному полю, равен

(32.5)

(32.5)

^-п=Т

Заметим, что это выражение аналогично /е, содержащему дифференциал электрического поля, потому что магнитная индукция — это среднее значение магнитного поля, что соответствует определению электрического поля, а не индукции в среде.

Таким образом, дифференциалы сходных электрических и магнитных величин выглядят так:

Wfe=$dD ^dtm = —BdH Wr= = — Dd$ 4ndfm = 3€dB

Магнитная проницаемость. Итак, для нахождения связи между магнитно?! индукцией и магнитным полем надо вычислить fm в зависимости от индукции, а затем определить 3€ по формуле

(32.6)(32.6)^ = 4л^.

(32.6)

(32.6)

Опыт показывает, что во всех средах, кроме ферромагнетиков, которые будут рассмотрены в следующем параграфе, магнитное поле и магнитная индукция пропорциональны. Поэтому зависимость

плотности свободной энергии от магнитной индукции надо искать в квадратичной форме:

(32.7)

Подставляя (32.7) в (32.6), получаем:

3*6 или В=\кЗ€.(32.8)

Коэффициент р называется магнитной проницаемостью среды. В отличие от диэлектрической проницаемости е, магнитная проницаемость бывает как меньше, так и больше единицы. В первом случае среда называется диамагнитной, во втором — парамагнитной.

Парамагниты — те среды, молекулы которых обладают собственным магнитным моментом. В магнитном поле моменты принимают термодинамически наиболее равновесную ориентацию с преимущественным направлением по полю. Тогда поляризация направлена в ту же сторону, что и В, и, следовательно, В > 3€ и р > 1. Но, кроме того, в молекулах возникают токи, которые по закону индукции Ленца ослабляют внешнее поле. Вклад этих токов в магнитную проницаемость, как общее правило, меньше, чем вклад собственных магнитных моментов. Оценка будет сделана ниже.

Если, однако, собственных моментов нет, то поляризация, обязанная индукционным токам, направлена в сторону, противоположную направлению внешнего поля, и р < 1. Это и дает диамагнетизм.

Теорема Ван Леевен. Магнитные свойства тел имеют в конечном счете чисто квантовую природу. Действительно, из классического выражения статистического интеграла

Нкр, г)

Z = ^e ё dr

магнитное поле выпадает. В магнитном поле все импульсы р заряженных частиц, как известно из [14.24], заменяются на р’ = ^р — ^ А. Если принять/?' за новые независимые переменные при интегрировании, то элемент фазового объема dV = jQ dpt dxi заменяется на JJ dpi dxu причем якобиан преобразования равен единице. Это видно из того, что сам векторный потенциал зависит только от координат. Следовательно, векторный потенциал не входит в Z:

_ н ^р*г)_ н ^р'* г)

2 = ^е 6 П dPt dxi = V 8 Hdp'tdXi.

Все константы, описывающие магнитные свойства сред, так или иначе зависят от постоянной Планка.

Свободная энергия вещества в магнитном поле. При дальнейших расчетах будем полагать магнитное поле слабым, чтобы можно было получить необходимые общие выражения. Для диа- и парамагнитных сред это допущение оправдывается. Во внешнем поле дополнительная энергия атома или молекулы порядка произведения магнетона Бора [33.49] на<5^. Если даже Э*€ ~ 105, то и в этом случае энергия будет величиной порядка 10"15. Это во всяком случае очень мало по сравнению с атомным масштабом энергии (~ 10-12). Так как при комнатных температурах 8 ~4-1014, то магнитная добавка мала и в сравнении с энергией теплового движения.

Вычислим добавку к энергии основного состояния квантовой системы, помещенной в однородное магнитное поле <М>. Векторный потенциал поля согласно [17.26] равен

(32.9)(32.9)л=1№-

(32.9)

(32.9)

Следовательно, оператор Гамильтона в нерелятивистском приближении [13.38] запишется так:

й - Ж ^ - к + и V» - £ (*«.)]. (32.10)

Напоминаем, что символ /х над Я, р обозначает оператор в квантовомеханическом смысле. Символы 6t обозначают операторы Паули проекций спина электронов [30.31] т. Раскрывая квадраты выражений в скобках, получим:

(32.11)(32.11)Н = ^ {^ + U М ” 4^ (Pi 1^Гd + V^riAPi) +1 8mc2 u тс 4

(32.11)

(32.11)

Переставляя сомножители в смешанных векторных произведениях, выразим их через операторы механического момента [§ 241:

Pi [^] 4- Y^nAPi = ^ [г^] = 2»(32.12)

В векторном произведении не сказывается неперестановочность операторов р и г, потому что его компоненты содержат только различные проекции векторов р и г.

Пусть теперь ось г направлена по магнитному полю. Тогда гамильтониан равен

# Т ^ +2^) +2 sb № (^+ ^- <32-13)

Здесь Яо — гамильтониан, не возмущенный полем, Хг—оператор проекции на ось 2 полного орбитального момента, выраженного в единицах /г, Sz — оператор проекции спинового момента на ось г. Третье слагаемое содержит квадрат векторного произведения:

[^г]2 = НЧ^ - (<%>)2 = НЧ2 - Н^ = № (х2 + у2).(32.14)

Поправки к энергии, т. е. к собственным значениям гамильтониана Яо, надо учесть в первом и втором приближении теории возмущений [§ 32]. В первом приближении поправка равна среднему значению возмущающего гамильтониана по невозмущенному состоянию, это относится к обоим слагаемым возмущения в (32.13) — линейному и квадратичному (относительно ЭСу

В принципе надо было бы учесть и поправку второго приближения по гамильтониану, линейному относительно магнитного поля. Но, как известно из [§ 32], такая поправка содержит в знаменателе разности собственных значений энергии невозмущенной системы. Если система не имеет результирующего момента, эти разности, как указывалось, имеют величину порядка Ю'12, так что второе приближение дает очень малый вклад в определяемую энергию. Если же возмущаемое состояние имеет результирующий момент и поэтому обладает тонкой структурой, то разности энергий в знаменателе могут быть и не велики. Но тогда для вычисления парамагнитной восприимчивости квадратичные по Ж члены в собственных значениях энергии не должны учитываться вообще, так как они дают малый вклад.

Следовательно, всегда можно ограничиться средним значением возмущающей энергии по невозмущенному состоянию:

Д£=- т №>+2 ^+bb <(2 ^+У^ • <32-15>

Сюда вошел член, квадратичный по магнитному полю, только от третьего слагаемого в (32.13). Величины (Ж^ и (8g) суть средние значения проекций результирующего орбитального и спинового моментов. Угловые скобки означают квантово-механические средние— см. [25.19]. Приходящаяся на один атом добавка к свободной энергии, обязанная магнитному полю, равна (см. § 7)

\F =— Oln^e 6 =— 9VnSe 6+

+ 1пе <2(^ + ^)>Г(32.16)

Здесь р = ~^ —магнетон Бора. Суммирование производится по всем проекциям моментов.

Диамагнетизм. Начнем с того случая, когда в основном состоянии системы магнитный момент равен нулю. Тогда первое слагаемое в скобках (32.15) равно единице и свободная энергия получает добавку:

Рассматривая магнитное поле, действующее на атом, как внешний параметр X системы, можно применить общие соотношения § 8. А именно, если дифференциал энергии равен Л dK то среднее зна- чение выражается так: Л =

В нашем случае dE = —mdd^ (где т — магнитный момент, обязанный полю). Поэтому

(32л7)

С

Выражение (32.18) не содержит постоянной Планка в явном виде, но следует помнить, что любая длина в атомных единицах [§ 291 пропорциональна

Если система центральносимметрична, то

<^>=^>=i-<d>.

(32.18)(32.18)Следовательно,

(32.18)

(32.18)

т —- втс2

Магнитная поляризация М равна плотности атомов или молекул, умноженной на т. Оценим ее. При плотности конденсированной среды N 5-Ю22 см"3. Тогда

Ne2бтс2Ne2бтс22,5-Ж2,5-Ж

Ne2бтс2

Ne2бтс2

2,5-Ж

2,5-Ж

Принимая (г2) ~ 10"16 см2 и учитывая, что соотношение между магнитным полем и магнитной индукцией содержит при магнитной поляризации коэффициент 4л, получаем, что магнитная проницаемость диамагнитных тел отличается от единицы на величину порядка 10Л Поэтому можно было считать, что атом находится в таком же поле, как если бы он был в вакууме.

У диамагнитных молекул циклических соединений, таких, как бензол, диамагнитная проницаемость отличается от 1 гораздо сильнее, чем у атомов. Молекула бензола имеет следующее строение:

Н

н с н

В кольце чередуются простые и двойные связи.

В квантовой теории химического сродства доказывается, что по такому кольцу электроны могут свободно перемещаться от атома к атому. Под г в этом случае надо понимать радиус всего кольца, а не отдельного атома. Это согласуется с большой диамагнитной проницаемостью бензола.

У насыщенного соединения, циклогексана С6Н12, где все связи в кольце двойные, диамагнитная проницаемость не имеет аномальной величины.

Диамагнетизм свободных электронов. Как было показано в задаче 7 [§ 14], электроны в магнитном поле движутся по винтовым линиям, оси которых совпадают с направлением поля. Отсюда, казалось бы, следует, что их движение создает магнитный момент, направленный против внешнего поля, так что газ, состоящий из свободных электронов, диамагнитен. Но это противоречит общей теореме ван Леевен.

Парадокс разрешается следующим образом. Статистическое равновесие может достигаться только в том случае, если газ заключен в замкнутый объем (для неравновесного состояния не имело бы смысла вычислять статистическую сумму). Наталкиваясь на стенки, ограничивающие объем, электроны отражаются. В результате возникает пристеночный ток отраженных электронов, создающий магнитный момент, направление которого противоположно магнитному моменту объемного тока. Можно показать, что они в классическом приближении всегда компенсируются.

В 1930 г. Л. Д. Л а н д а у заметил, что компенсация происходит только при чисто классическом движении электронов по траекториям. Так как в направлении, перпендикулярном полю, перемещение электронов финитно [§ 5], квантовое рассмотрение дает дискретное слагаемое энергии [§ 28]. А это значит, что статистический интеграл частично заменяется на сумму и теорема ван Леевен неприменима.

Вычислив эту сумму (сначала в случае слабых магнитных полей), Ландау нашел диамагнитную восприимчивость электронного газа. О ее величине будет сказано ниже. Впоследствии оказалось, что в сильных полях зависимость магнитной восприимчивости от поля немонотонна; она носит осциллирующий характер.

Парамагнетизм. Первое слагаемое в скобках (32.16) отлично от единицы, если не равен нулю момент системы в основном состоянии. Пусть оно отвечает полному моменту J, а магнитное поле настолько слабое, что не разрывает связи в мультиплете =5?, S [§331. В таком магнитном поле происходит аномальное зеемановское расщепление. Квантовомеханическое среднее значение определяется выражением

где g — фактор Ланде [33.51], равный

2J (J+1)2J (J+1)(32.19)

2J (J+1)

2J (J+1)

Слагаемое свободной энергии, в которое входит J, равно

AFnap= — 6 In 2ееAFnap= — 6 In 2ее(32.20)(32.20)

AFnap= — 6 In 2ее

AFnap= — 6 In 2ее

(32.20)

(32.20)

Суммируя по Jz как геометрическую прогрессию и умножая числитель и знаменатель суммы на е 26 , получаем:

AfnaP = -61n{sh [!AfnaP = -61n{sh [!Р^ (7 + 1/2)Р^ (7 + 1/2)!]csch[^2j}.(32.21)!]csch[^2j}.(32.21)

AfnaP = -61n{sh [!

AfnaP = -61n{sh [!

Р^ (7 + 1/2)

Р^ (7 + 1/2)

!]csch[^2j}.(32.21)

!]csch[^2j}.(32.21)

При достаточно малом Н гиперболические синусы разлагаются

в ряды shx = x(l +-g-), после чего надо разложить и логарифм

их отношения. Тогда слагаемое свободной энергии, пропорциональное квадрату магнитного поля, равно

(32.22)

Отсюда получается средняя составляющая магнитного момента, параллельная полю:

что вполне аналогично средней составляющей электрического ди

польного момента, вычисленной по формуле Ланжевена (задача 3

§ 30). Коэффициент при 3€ в выражении магнитной поляризации при комнатной температуре теперь имеет значение порядка

1022.10-40

36 3-3. 1,4- 10-14 ,

что значительно больше магнитной восприимчивости диамагнетика. Поэтому при J 0 всегда проявляются парамагнитные свойства тел, на фоне которых диамагнетизм дает только малую добавку.

Отметим, что магнитная поляризация, обязанная J, в слабом магнитном поле обратно пропорциональна абсолютной температуре.

Описанные здесь парамагнитные свойства хорошо проявляются у редкоземельных элементов и их солей. У этих элементов застраивается 4/-оболочка, которая по преимуществу находится внутри заполненных оболочек атома [§ 33]. Поэтому результирующий момент 4/-оболочки, экранируемый внешними электронами, свободно ориентируется в пространстве. Внешнее магнитное поле действует на него примерно так, как если бы на нем не сказывалось электрическое поле окружающих атомов, и к редкоземельным элементам хорошо применимы полученные здесь формулы. В более общем случае, когда момент принадлежит внешним оболочкам атома, в кристаллическом теле проявляется зависимость энергии от ориентации момента относительно кристаллографических осей. Тогда простая формула (32.20) не выполняется.

Парамагнетизм щелочных металлов. Щелочные металлы обладают парамагнетизмом, не зависящим от температуры. Объяснение, предложенное Паули, заключается в следующем. Электроны щелочных металлов, как указывалось в § 6, можно рассматривать как ферми-газ, заполняющий сферу наименьшей энергии в импульсном пространстве. Каждую фазовую ячейку занимают два электрона. Если наложить внешнее магнитное поле, энергия тех электронов, магнитный момент которых направлен против поля, станет на 2(3/7 больше, чем у тех, момент которых параллелен полю. Поэтому наименьшая энергия газа отвечает такой конфигурации, при которой сфера, содержащая электроны со спинами, параллельными полю, несколько больше, чем сфера со спинами, антипараллель- ными полю. Это дает результирующую магнитную поляризацию газа.

Состояние электронного ферми-газа в щелочном металле при обычной температуре мало отличается от его состояния при абсолютном нуле. Поэтому, чтобы вычислить основную часть магнитной поляризации, не, зависящую от температуры, достаточно искать минимум полной, а не свободной энергии идеального газа в магнитном поле. При 9=0 получаем F = Е — 9S = Е.

Будем считать, что п электронов в единице объема изменили направление спина на противоположное. Соответствующая добавка к энергии равна — ^п^Н. Найдем теперь изменение кинетической

энергии газа. Граничный импульс электронов, спин которых параллелен полю, равен

(у+^),/з -2л/1(32.24)

см. (6.6) и [33.261.

Аналогично определяется р0 — для электронов противоположного направления спина. Здесь и ниже N и п относятся к единице объема. Кинетическая энергия газа при этих условиях равна

(

Ро^Ро- \

С и С л 1 \ 4л (Р^ + Ро-)/ОО

\ p^dp-V \ p dp =•(32.25)

О0/

Так как в слабом поле n<^N, разложим р^ и ро_ в ряд по малому отношению nIN. Удерживая только квадратичные члены, найдем искомую полную добавку к энергии:

Д£ = ^7---4—Чп^Н.(32.26)

Отсюда из условия минимума ДЕ определяется магнитная поляризация М (минимум ДЕ достигается при равенстве полных граничных энергий электронов обоих направлений спина):

M = 2pn = -^-^ W1/^.(32.27)

Л/з /Г

При учете диамагнетизма свободных электронов эту величину надо (по Ландау) уменьшить на

Упражнение 28

Вычислить зависимость температуры от магнитного поля при изэнтропическом размагничивании парамагнитного вещества. Передачей энергии от магнитной системы к другим степеням свободы в среде пренебречь. Поле считать слабым.

Согласно (32.22) энтропия, обязанная магнитным моментам вещества, равна

\ Об )Н"662 J

Энтропия уменьшается при изотермическом намагничивании, так как моменты в поле упорядочиваются. При изэнтропическом размагничивании температура магнитной подсистемы при отсутствии обмена энергией с другими степенями свободы (например, колебаниями решетки) понижается пропорционально полю. Таким способом достигаются весьма низкие температуры, если исходное состояние всей системы отвечало малой энергии теплового возбуждения, — порядка 1° К. Так как энтропия решетки при низких температурах 320*

пропорциональна б3 (см. § 4), дальнейшее выравнивание температуры между магнитной подсистемой и решеткой оставляет общую равновесную температуру очень низкой.

Найти температурную поправку к магнитной восприимчивости щелочных металлов, пользуясь (6.18).

Указание. Здесь надо перейти от полной энергии Е к свободной энергии F.

ФЕРРОМАГНЕТИЗМ

После того как Эрстед в 1820 г. открыл магнитное действие тока, Ампер высказал предположение, что магнитные свойства железа обязаны круговым токам, текущим внутри молекул. Согласно Амперу намагничивание железа должно происходить потому, что элементарные моменты круговых токов выстраиваются параллельно и в таком положении их удерживают магнитные силы, как компасные стрелки, поставленные друг другу «в хвост».

Гипотеза Ампера казалась почти очевидной, пока не был определен элементарный магнитный момент, т. е. магнетон Бора и расстояние между атомами. Энергия взаимодействия двух магнитов, как всяких диполей [задача 2 § 16], имеет порядок величины квадрата момента, деленного на куб расстояния, т. е. в данном случае 10"4°/10~24 = 10'16. В тепловых единицах это I °К. Тепловое движение атомов должно было бы нарушать порядок расположения моментов уже при I °К. Между тем железо теряет магнитные свойства при температуре около Ю3 °К (точка Кюри). Следовательно, способность железа намагничиваться не имеет столь простого объяснения, основанного на классической магнитостатике.

Обменная энергия ферромагнетика. Энергия взаимодействия двух элементарных магнитных моментов есть величина порядка В2 е^

~ 4а3/п2 2 > т- е- величина релятивистская, содержащая квадрат скорости света в знаменателе. Взаимодействие, которое упорядочивает моменты в ферромагнетике, приблизительно в тысячу раз больше. Поэтому оно должно иметь электростатическую природу и в то же время зависеть от направления спинов отдельных атомов по отношению друг к другу. Такое взаимодействие было рассмотрено в [§ 34] в связи с вопросом об устойчивости водородной молекулы. При антипараллельных спинах атомы водорода притягиваются, при параллельных — отталкиваются.

Поскольку волновая функция двух электронов должна в соответствии с принципом Паули антисимметризоваться, то в исходном приближении она имеет вид:

^ = ^(^(1)^ (2)+^ (2)^(1))-

Знак «—» соответствует антисимметричной пространственной волновой функции и, следовательно, симметричной спиновой функции, т. е. параллельным спинам. Знак «+» относится к антипараллель- ным спинам. Но ясно, что при этом знаке пространственная волновая функция соответствует меньшей энергии системы, так как тогда симметричная пространственная волновая функция нигде не имеет узловых поверхностей: в основном состоянии их не имеют фл и фд. Антисимметричная пространственная функция обращается в нуль на средней плоскости между ядрами а и Ь.

Поэтому водородная молекула может быть устойчива только при антипараллельных спинах. Ферромагнитные элементы Fe, Со, Ni имеют незастроенную З^-оболочку. Было высказано предположение, что у них устойчива как раз параллельная конфигурация спинов. Это возможно потому, что волновые функции Зб/-СОСТОЯНИЙ имеют узловые поверхности сами по себе. Поэтому в отличие от ls-состояний у водорода симметрия общей волновой функции двух электронов заранее не определяет более устойчивое состояние.

Ввиду сложности квантовомеханических расчетов многоэлектронных систем это пока не подтверждено прямыми вычислениями, хотя и представляется весьма правдоподобным.

Так как З^-оболочка ферромагнетиков. находится внутри атомов, разность энергий взаимодействия при параллельных и антипараллельных спинах здесь гораздо меньше, чем у водородной молекулы. На величине интеграла сказывается также то, что волновые функции отдельных электронов имеют узловые поверхности. Следовательно, абсолютная величина обменного интеграла (см. [34.81 и [33.201)

е2 kOMrMMMWJ '12

у ферромагнетиков может быть гораздо меньше, чем у водородной молекулы. Как видно по температуре Кюри, значение обменного интеграла для железа — величина порядка 0,1 эв (103 °К).

Обменная энергия зависит только от взаимной ориентации спинов, но не зависит от их ориентации относительно кристаллической решетки. Поэтому нерелятивистская обменная энергия ферромагнетика связана только с абсолютной величиной результирующего момента, или магнитной поляризации /И, а не с направлением М в кристалле.

Ферромагнетики напоминают пироэлектрики (§ 30), где есть результирующая электрическая поляризация Р. В отличие от ферромагнетиков у пироэлектриков не только величина, но и направление Р определяется электростатическими силами в решетке. Поэтому пироэлектричество может существовать только в кристаллах низкой симметрии без выделенных осей или с одной выделенной осью. Ферромагнетизм не требует низкой симметрии решетки. Кристаллы Fe, Со и Ni сами по себе имеют кубическую симметрию.

Намагничивание вдоль одной из осей нарушает очень слабо (в релятивистском порядке величины) кубичность этих кристаллов.

Точка Кюри. Рассмотрим теперь свойства ферромагнетика вблизи точки Кюри. В самой точке Кюри М обращается в нуль, но не скачком, а постепенно приближаясь к нулю с повышением температуры. Это был первый изученный фазовый переход второго рода (§ 11). Так как магнитная поляризация М вблизи точки Кюри мала, то термодинамический потенциал в ее окрестности разлагается в ряд по степеням М2. Компоненты М по отдельности входить не могут, так как обменная энергия зависит только от абсолютной величины М. Кроме того, делается допущение, что производные термодинамического потенциала по компонентам М не обращаются в бесконечность при М = 0. Поэтому разложение и идет по степеням М2.

Допустим, что магнитное поле отсутствует. Тогда разложение термодинамического потенциала с точностью до членов, квадратичных относительно М2, имеет вид:

Гм=аМН^М\ (33.1)

Плотность термодинамического потенциала здесь обозначена той же буквой, что и плотность свободной энергии, но в данном случае это не ведет к путанице.

Для того чтобы существовало равновесное намагничивание с конечным значением М, коэффициент b при М4 должен быть положителен, иначе [м не имел бы минимального значения. Коэффициент а представим так:

^ = 06(9-6,), (33.2)

где 6С — температура Кюри. Тогда из условия ^^ = 0 находим:

М2 — ^ ^с-^. (33.3)

Следовательно, намагничение действительно обращается в нуль при температуре Кюри. Ясно, что если а > 0, то действительные значения намагничения осуществляются только при температуре ниже точки Кюри, 6 < 6С. При этом поляризация УИ пропорциональна |/бс— 6, что удовлетворительно согласуется с опытом вблизи (но не слишком близко) 9С. Это доказывает, что предположение о форме зависимости коэффициента разложения а от температуры в этой области температур справедливо. В общем виде надо было бы потребовать выполнения только условия а (6С) = 0.

Статистические интегралы или суммы в квантовой теории, определяющие термодинамический потенциал, имеют практически бесконечную кратность для больших систем взаимодействующих частиц. Поэтому такие суммы или интегралы могут зависеть от входящих в них параметров неаналитическим образом, т. е. могут не допускать разложения в ряды типа (33.1) вблизи точек перехода.

Опыт тем не менее подтверждает аналитический вид зависимости термодинамического потенциала от магнитной поляризации в области температур, не слишком близких к точке Кюри.

Зависимость энтропии от Л12 определяется производной

s5 а(9-9с)М2 = —аМ2. (33.4)

гп \ дО ) м дО у\*

Член —^— здесь не нужно учитывать, так как его вклад при малом М2 меньше. Подставляя (33.3), находим:

при 6<вс.(ЗМ)

О при 6 > 6С.

Отсюда видно, что теплоемкость 6 (-^1 испытывает в точке \ ) м

Кюри скачок, равный

<ЗМ>

Это согласуется с общей теорией фазовых переходов второго рода (§ И). Теплоемкость магнитонеупорядоченной фазы больше, потому что она обладает энтропией беспорядочного расположения магнитных моментов.

В магнитном поле 3€ выражение (33.1) получает добавку — М3€. Теперь условие минимума fw выглядит так:

^- = 2Л1{сс(9™9г)+6Л42}-^=^0.(33.7)

(33.8)(33.8)Отсюда определяется коэффициент пропорциональности между полем и поляризацией при температуре выше точки Кюри, когда собственная поляризация без поля равна нулю:

(33.8)

(33.8)

2а(6-6с)*

Это напоминает зависимость (32.23) у парамагнетиков, с той разницей, что вместо температуры 9 в знаменателе стоит разность 6 — 6с (закон Кюри — Вейсса).

Энергия магнитной анизотропии. Зависимость энергии от направления магнитной поляризации в решетке обязана спин-орби- тальным взаимодействиям и на несколько порядков (три-четыре) меньше обменной энергии 1§ 33]. Связь спина с орбитальным движением электронов имеет релятивистский характер и поэтому соответственно слабее электростатического обменного взаимодействия.

Учитывая, что значения тех членов энергии, которые описывают ее зависимость от направления в кристалле, малы, достаточно удержать в разложении первые неисчезающие слагаемые.

Они соответствуют разложениям квантовомеханической теории возмущений того же порядка, и поэтому вопроса о разложимости функции в ряд здесь не возникает. Вид разложения должен быть совместим с симметрией кристалла (аналогично тому, как это имело место у кристаллического диэлектрика — § 30). Выражение, которое при этом получается, принято называть энергией магнитной анизотропии.

Она должна быть четной функцией компонентов магнитной поляризации, так как энергия не меняет знака при инверсии времени t — /, а вектор М переходит при этом в —NL Простейшей четной функцией М является квадратичная форма от проекций Мх, Мд, Мг. Коэффициенты формы образуют симметричный тензор второго ранга. Подобно тому как это имеет место для тензора диэлектрической проницаемости, число независимых компонентов этого тензора определяется точечной симметрией кристалла. Если в нем нет осей симметрии выше второго порядка, тензор имеет три независимых главных значения. Этот случай будет оставлен в стороне, как нетипичный для ферромагнетиков.

Если имеется ось третьего, четвертого или шестого порядка, то в перпендикулярной к ней плоскости два главных значения тензора одинаковы. В кристаллах кубической симметрии тензор второго ранга вырождается в скаляр, так как имеет три одинаковых главных значения.

Итак, при двух разных главных значениях тензора энергию магнитной анизотропии можно записать так:

Га = ^ Ж + мгн) + ^ М^=& (М2+^+М^+ЦАд^.

Но первое слагаемое не содержит вообще никакой анизотропии. Его можно отнести к изотропной обменной энергии или вообще опустить. Вместо Mz напишем М2 cos2 6 (где 6 — угол между вектором поляризации и осью симметрии). Заменив коэффициент Р2 — Pi просто на р, получим:

^ = £лРсо52 9. (33.9)

Если Р < 0, то энергия анизотропии имеет наименьшее, т. е. равновесное, значение при 9=0. Поляризация направлена по оси симметрии, которая в этом случае называется осью легкого намагничивания. При Р >0 равновесие соответствует 6 — ^- Кристалл намагничивается в плоскости ху. Но чтобы найти направление М в этой плоскости, надо учесть в энергии анизотропии члены выше второго порядка.

В кубическом кристалле, к числу которых относятся Ее, Со, Ni, тензор р имеет одну независимую компоненту. Квадратичная форма вырождается в скалярное выражение, содержащее только М2. В разложение fa входят четные функции М, так что надо теперь

обратиться к членам четвертого порядка. Чтобы иметь симметрию куба, они не должны меняться при перестановке координат х, у, z. Поэтому

Га=01 (^+мн Ml)+02 (М^+МЖ+мп 1) =

= (0; -^ Их+мн Mi)+^)мнм'нм1+жпт,+шжн + ш^=(01 - f) (Ml+мп Ml) + ^ м*.

Последний член не содержит анизотропии, так что /^ приводится к виду:

/' = Р'(Ж + ^ + Ж).(33.10)

Найдем экстремум этого выражения при заданной величине М. Сумма квадратов трех направляющих косинусов равна 1. Если один из них равен 1, то остальные равны нулю. Это соответствует направлению М по стороне куба. Если два косинуса равны а третий равен нулю, то это диагональ грани куба. Наконец, все три косинуса могут равняться -Д=, что соответствует пространственной диагонали куба. Для этих случаев сумма четвертых степеней косинусов равна 1, х/2 и 1/9. Следовательно, если Р'< 0, направления легкого намагничивания совпадают со сторонами куба, т. е. с осями четвертого порядка. Этот случай осуществляется у железа. Если Р' > 0, то направлениями легкого намагничивания становятся пространственные диагонали куба. Это имеет место у кобальта. Как уже указывалось, в намагниченном кубическом кристалле симметрия лишь слегка нарушена, потому что fa имеет ‘релятивистский порядок малости.

Кристалл в магнитном поле. Мы будем рассматривать только кристалл с одной осью легкого намагничивания. В магнитном поле к выражению свободной энергии прибавляется, как было указано, член — МЭ€. Предположим, что Р < 0. Найдем направление вектора М.

Выберем ось х в плоскости, проходящей через ось легкого намагничивания г и магнитное поле. Это ничем не ограничивает общности. Тогда М2 = М cos 6, Мх = М sin 6. Скалярное произведение МЭ^ принимает вид: М х sin 6 + ^ ^ cos 6). Чтобы найти 6, т. е. направление вектора поляризации в магнитном поле, надо искать минимум выражения

Г-МЭ€ = — ^Af2C0S26_^ (^sinH^cosO). (33.11)

Дифференцируя по 6, приходим к уравнению

| Р | М2 sin 6 cos 6 - М^х cos 6 + NW\ sin 6 = 0. (33.12)

Введем обозначение: cos 6 = g. Деля (33.12) на sin 6 cos 6, получим:

Чтобы избавиться от иррациональности, переносим член с корнем в знаменателе направо и возводим в квадрат:

^\мн^У = 5^. (33.13)

Если привести это уравнение к общему знаменателю, получается уравнение четвертой степени. Его действительные корни лежат при | § | < 1, потому что левая часть всегда положительна.

Уравнение с действительными коэффициентами может иметь только попарно сопряженные комплексные корни. Поэтому действительных корней либо два, либо четыре.

Так как максимумы и минимумы функции (33.11) чередуются, то у нее имеется либо один, либо два минимума. Один из двух абсолютно устойчив, другой же метастабилен.

Два положения равновесия получаются потому, что при о%^ = О направления 6 = 0 и 6 = л равнозначны. В слабом поле поляризация частично выводится из этих направлений, а в сильном поле они сливаются в одно. Граница слияния будет найдена в задаче 1.

Благодаря двум равновесным направлениям М кристалл может проходить разную последовательность состояний при намагничивании и размагничивании, происходящих не бесконечно медленно. Метастабильное состояние долго сохраняется и не успевает переходить в полностью устойчивое. Но это и значит, что процесс необратим, так как он не проходит последовательность абсолютно равновесных состояний [§ 81. Кривая намагничивания не следует кривой размагничивания. Это явление называется гистерезисом.

Его следует отличать от гистерезисных явлений при намагничивании поликристаллических образцов. Это явление очень важно в электротехнике. Но там гистерезис обязан магнитным силам между кристалликами и магнитоупругим силам.

Если магнитное поле перпендикулярно оси легкого намагничивания, т. е. 2 = 0, то условие минимума принимает вид:

sin6=l^- (ЗЗЛ4)

Когда это отношение меньше единицы, уравнение имеет два корня: ^т ил — ет- Но если весь кристалл намагничивается под одним углом, допустим 6,71, то он сам создает внешнее магнитное поле, энергия которого всегда положительна. Его энергия добавляется к свободной энергии кристалла, которая становится далекой от минимума, необходимого для равновесия. Ближе к равновесию такая конфигурация, когда кристалл разделен на слои, в которых

поляризация попеременно образует с осью легкого намагничивания углы 6m и л — 6m- Эти слои называются доменами (участками). Результирующее внешнее поле кристалла тем самым ослабляется, что ведет к уменьшению общей энергии.

Домены. Рассмотрим ферромагнитный кристалл с одним направлением легкого намагничивания в отсутствии внешне приложенного магнитного поля. Если он целиком будет иметь одно значение магнитной поляризации М, то возникнет, как только что было указано, его собственное внешнее поле. Объемная энергия такого поля растет как интеграл от квадрата поля по объему, т. е. как куб размеров кристалла.

Поэтому энергетически более выгодно, чтобы монокристалл разделился на домены, намагниченные во встречных направлениях. Это ослабит внешнее поле, но зато возникнет энергия промежуточных переходных зон между доменами, где поляризация по необходимости направлена под углом к оси легкого намагничивания.

Фактическое разбиение на домены происходит в соответствии с минимумом полной энергии, состоящей из энергии внешнего магнитного поля и суммарной энергии переходных слоев. Обе они положительны и надо находить минимум их суммы, зависящей от размеров и формы монокристалла.

Л. Д. Л а н д а у и Е. М. Лифшиц показали, как определить строение и энергию переходного слоя.

В таком слое между однородно намагниченными доменами вектор поляризации постепенно поворачивается на 180°. Следовательно, он имеет переменное направление в пространстве. Это приводит к увеличению обменной энергии ферромагнетика, потому что наименьшая энергия такой природы соответствует однонаправленным моментам.

Если домены доходят до края монокристалла с неизменным направлением поляризации, то из них выходят линии магнитного поля в окружающую среду. В силу граничного условия (28.33) в данном случае В = 5^, а в ферромагнетике В = 4лМ, так как там 3€ = 0. Следовательно, если поляризация домена перпендикулярна поверхности монокристалла, то 3€^' = 4лЛ1. Но внешнее поле имеет дополнительную энергию. Поэтому при не слишком большой энергии анизотропии более выгодна конфигурация, показанная на рисунке 45. Стрелки соответствуют направлениям поляризации в доменах. Векторные линии, как видно из рисунка, замкнуты, так что уравнение div Л4 = 0 выполнено.

Магнитная поляризация в малых доменах треугольного сечения не совпадает с осью легкого намагничивания, и такие домены повышают свободную энергию монокристалла. Но зато магнитное поле

совсем не выходит наружу, так как вектор поляризации везде ка- сателен к поверхности. Таким образом, появление малых доменов у поверхности зависит от того, что энергетически выгоднее: выход магнитного поля из монокристалла или намагничивание в направлении, перпендикулярном оси легкого намагничивания.

Эта конфигурация, предсказанная теоретически, впоследствии была обнаружена и на опыте. На поверхность ферромагнитного монокристалла, параллельную вектору поляризации, наносилась эмульсия из легчайших коллоидных ферромагнитных частиц. Они собирались около границ доменов, как показано на рисунке 45. Притяжение к границам объясняется тем, что вблизи них возникают микронеоднородности магнитного поля, связанные с поворотом вектора М. Магнитики, как известно [17.35], втягиваются в область неоднородного поля.

Очень маленькие кристаллики ферромагнетика состоят из одного домена, потому что объемная энергия магнитного поля в этом случае мала (пропорционально кубу размеров). Энергия границы раздела между доменами пропорциональна квадрату размеров (площади ее поверхности). Ясно, что при малых размерах энергетически выгоднее однородное намагничивание, а при больших размерах — разбиение на домены.

Антиферромагнетизм. Если в некоторой кристаллической среде обменный интеграл имеет знак, обратный тому, который должен быть в ферромагнетике, то возможен другой тип упорядочения магнитных моментов: моменты соседних атомов ориентированы противоположно. При некоторых температурах этот порядок может исчезать, но без существенной перестройки решетки.

Это тоже будет точка Кюри, в которой имеет место скачок теплоемкости, но без выраженного изменения магнитных свойств вещества. Что касается скачка теплоемкости, то он неизбежно возникает за счет изменения температурной зависимости энтропии в фазах с различной степенью упорядоченности.

Такой тип фазовых переходов второго рода был указан Л. Д. Ландау при анализе некоторых экспериментально наблюдавшихся скачков теплоемкости. Впоследствии опыты по магнитному рассеянию нейтронов подтвердили, что в точке перехода действительно меняется симметрия магнитных свойств кристалла. Пока спины соседних атомов направлены в противоположные стороны, решетка имеет магнитную периодичность через один атом. Когда же направления всех спинов равновероятны, магнитный период равен структурному. Это обнаруживается при дифракции нейтронов, происходящей от их магнитного взаимодействия со спинами атомов.

Вследствие спишорбитального взаимодействия магнитные моменты соседних атомов в антиферромагнитной фазе могут не полностью взаимно компенсироваться. Так бывает в том случае, если положения одинаковых атомов, имеющих магнитные моменты в решетке, неравноценны и электрическое поле вблизи них различно. Тогда взаимодействие спинов атомов с орбитальным движением

электронов приводит к тому, что суммарный спин соседних атомов не строго равен нулю (как того требуют обменные силы), а имеет небольшую результирующую величину. Малое значение этой результирующей величины определяется отношением спин-орбиталь- ных сил к обменным. Кристалл с таким слабым ферромагнетизмом называется ферримагнитным, потому что это свойство часто наблюдается у соединений железа.

Упражнение 29.

Найти в координатах q%^x, STг границу области, внутри которой ферромагнитный кристалл с одной осью легкого намагничивания имеет два равновесных направления поляризации — устойчивое и метастабильное.

Граница области отвечает слиянию корней уравнения (33.12):

|Л1 = 0.

sin 6 cos 61 r 1

Корни сливаются, когда они становятся общими для этого уравнения и уравнения, полученного в результате его дифференцирования:

УУ X I Z Qsin3 6 ' cos3 6*

Из этого уравнения

tg36=-^.

Подставляя в исходное уравнение, находим соотношение между ^ х и ^ %, определяющее искомую границу:

^/з + УУГ^ = (| Р |.

Это замкнутая криволинейная звездообразная фигура с заострениями по осям (астроида). Метастабильная область находится внутри нее.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные уравнения. В § 31 было получено уравнение, описывающее магнитное поле постоянного тока в проводниках (31.3):

rot^==^y,(34.1)

где / — ток проводимости. Далее, согласно (28.5)

div 5 = 0.(34.2)

Если В и Э€ связаны пропорциональной зависимостью, т. е.

5 = ^,(34.3)

то в среде с постоянной проницаемостью ц

rot5=^(v.(34.4)

Чтобы удовлетворить уравнению (34.2), положим, как обычно,

S^rot Л,(34.5)

где Л — векторный потенциал магнитного поля. На него удобно наложить условие, подоГнэе условию Лоренца [17.7]:

div Л = 0,(34.6)

потому что вектор Л не может быть определен только по своему ротору. Условию (34.6) всегда можно удовлетворить, добавляя к вектор-потенциалу градиент от некоторой скалярной величины, не влияющей на В. Подставляя (34.5) в (34.4), получаем:

rot rot Л = Vdiv Л — А Л = ^- цу,(34.7)

или согласно условию (34.6)

—(34.8)

Если магнитная проницаемость постоянна не повсюду, а лишь в отдельных областях пространства, то на границах, где р претерпевает разрыв, выполняются обычные условия (28.33) и (28.38). Записанные через вектор-потенциал, они выглядят так:

rot„ Д1 = rot„ Д 2, ^- rot/ Дх = -- rot/ Д2,(34.9)

где индексы п и /, как обычно, обозначают нормальную и касательную составляющие.

Вектор-потенциал и поле в неограниченной среде. Если среда неограниченна и однородна, т. е. магнитная проницаемость везде имеет одно и то же значение, вектор-потенциал при заданном распределении токов равен

А= ^(34.10)

Это — обычное решение уравнения Лапласа с правой частью, вполне аналогичное решению [17.11]. Интеграл берется по всему распределению токов j (г'\

Отсюда магнитная индукция равна

B = rot Д = ^ $ [vj(r')]dV'.(34.11)

Знак V перестановочен с интегралом по dVf, потому что дифференцирование производится по координатам точки наблюдения индукции, а интегрирование — по аргументу г’. Производя диф-

ференцирование и переставляя сомножители в векторном произведении, получим:

( у г~<Ъу\(34.12)

с J I r~r i

Чаще всего приходится иметь дело с тонкими линейными проводниками. В них направление тока определяется линейным элементом проводника. Поэтому

(34.13)(34.13)jdV' = Idl,

(34.13)

(34.13)

где / — полный ток в проводнике. Переход (34.13) можно произвести во всех тех случаях, когда интеграл не становится от этого расходящимся (см. ниже о коэффициенте самоиндукции). Пользуясь (34.13), запишем выражения векторного потенциала и индукции, создаваемых линейным током:

(34.14)

в==ЛЦ№г-г234 15

(закон Био —Савара).

Поле на большом расстоянии от системы токов. Допустим, что размеры контура, несущего ток, весьма малы по сравнению с расстоянием до той точки, в которой определяется векторный потенциал — см. [§ 17]. Заменим тогда \г— г* |-1 под интегралом (34.14) его разложением в ряд по степеням г'*.

|7^| - т + Т•<34-16)

которое неоднократно использовалось в I томе.

Из-под знака интеграла Г1 и г"3 выносятся. Следовательно,

А=(Иdl+^(гг,) Л) •(34-17)

Но контур считается замкнутым, и J dl — 0. Второй интеграл удобно несколько преобразовать. Для этого перейдем к скалярному элементу длины по формуле

dl^^dl,

потому что dr’ =е= dl. Как отдельное обозначение dl применяется для того, чтобы отметить интегрирование по контуру линейного проводника. Производя указанную замену и интегрируя по частям, получаем:

\ t^) didl = vl di ^rr)r H NrdL

Но первый интеграл справа, взятый по замкнутому контуру, обращается в нуль, потому что производная — берется от однозначной функции. Во втором интеграле вернемся к dl:

5 (r^r)r'^ = § (rdr')r' = ^ (rdl) г'.(34.18)

Полученный интеграл можно заменить на полусумму правой и левой частей равенства (34.18), а затем применить формулу двойного векторного произведения:

Л =$ UrHdl-Wr'^^r $ №].(34.19)

Введем теперь магнитный момент контура по формуле

т = lordly(34.20)

(Он обозначен через т, а не через jn, чтобы не возникло путаницы с магнитной проницаемостью р). Векторный потенциал при этом выразится так:

A = VlVmrA.(34.21)

Заметим, что ^ [rdZ] есть элемент площади контура dS. Это соотношение используется, когда закон сохранения механического момента представляется как интеграл площадей [§ 51. Соответственно, магнитный момент равен

т =(34.22)

Если контур плоский, \dS надо заменить вектором площади, нормальным к поверхности.

Магнитная индукция контура равна [см. 17.211:

£ =(34.23)

Работа магнитного поля над током. Выражение работы магнитного поля (32.4) преобразуется таким образом, чтобы в него непосредственно входил ток. Для этого достаточно подставить вместо магнитной индукции В векторный потенциал по формуле (34.5):

^d (rot Л) dV = t ^rot dAdV(34 24)

J 4лJ 4л *\/

Получившийся интеграл преобразуется известным способом по частям:

dfo^dAW __ Г MfdSdA] , С [dAV]<^

J 4лJ 4л + ) 4л

Первый интеграл обращается в нуль на поверхности, где отсутствует поле, т. е. достаточно далеко от системы токов; второй интеграл после циклической перестановки подынтегральных множителей принимает вид:

dA = ^ § dA rot 3€dV=^ dAJdV.(34.25)

Формула (34.25) может вызвать некоторое недоумение. В [§ 14] было показано, что магнитное поле не производит работы над зарядами. Но когда магнитное поле изменяется, возникает электрическое поле индукции согласно (28.26), которое фактически и производит работу.

Если в системе токов действуют только линейные зависимости (34.1) — (34.3), то равенство (34.25) можно проинтегрировать по dA, учитывая, что плотность тока j пропорциональна векторному потенциалу. Мы считаем, что поле не внешнее, а вызвано самим же током /. Тогда свободная энергия системы токов равна:

Лп=^ AidV-<34-26)

Эту систему считаем в первом приближении равновесной, т. е. джоулевы потери не принимаем во внимание. При большой проводимости такой подход оправдан, если за время изменения магнитного поля необратимое выделение тепла в системе невелико.

Индекс т при свободной энергии указывает на то, что надо взять только ту ее часть, которая обязана току или магнитному полю.

Заменяя векторный потенциал согласно (34.14), представляем Fm в виде двойного объемного интеграла:

^=2^ V^aVdV'.(34-27)

Для системы линейных проводников заменим плотность тока согласно (34.13). Тогда

^=S2 ьь $ $I34-27')

Здесь суммирование производится по всем отдельным контурам. Интегралы

@4.28)

где Xik = Xki при i^k называются коэффициентами взаимной индукции двух контуров.

Аналогичное выражение при г = к содержит логарифмически расходящийся интеграл. Однако учитывая, что проводник всегда имеет конечную толщину, интегралу такого рода можно придать

приближенный смысл (см. ниже). Тогда он называется коэффициентом самоиндукции i-го контура.

Считая, что это сделано, получаем выражение для Fm в виде квадратичной формы от токов:

Fm-^^ikhk.(34.29)

i,k

Здесь 561к определены в электромагнитных единицах, чтобы квадрат скорости света с2 не входил лишний раз в знаменатели.

Получим теперь еще одно важное выражение для Fm. Если перейти к линейным токам в равенстве (34.26), то оно принимает такой вид:

Fm = ^It\Mlb(34.30)

Преобразуя контурный интеграл по теореме Стокса, получим:

Fm = Тс 2 h $ rot А^ = Тс 2 $ В^‘ii

Входящий сюда поток магнитной индукции через контур принято обозначать через Ф/:

ФЦВД(34.31)

Таким образом, свободная энергия имеет вид:

(34'32)

Сюда явным образом не входят упоминавшиеся выше расходящиеся интегралы. Сравнивая формулы (34.32) и (34.29), находим выражение магнитного потока через Z-й контур:

Ф^с^561к1к.(34.33)

к

Коэффициент самоиндукции. Расходимость двойного интеграла (34.28) при i = к обязана тому, что в этом случае rz — г\ неизбежно обращается в нуль при обходе одного и того же контура, когда ггя точка совпадает с rVK Опуская индексы, для отдельного проводника можно выражение для коэффициента самоиндукции условно записать так:

2=^Vl^\7=TT(34"34)

Для примера возьмем прямолинейный провод длины I и радиуса а. Обозначая через х расстояние от одного его конца, пере-

пишем выражение для коэффициента самоиндукции применительно к этому случаю так:

Подставить сюда непосредственно пределы внутреннего интеграла нельзя. Но исходная формула (34.34) не может иметь места, когда х отстоит от х' на расстоянии порядка радиуса проводника и меньше. Поэтому пределы изменения х в интегралах надо заменить на х —у и % + у (логарифмическая точность). Ошибка тем 2/

меньше, чем больше In-- по сравнению с 1. После подстановки такого предела получим:

56=^- t dx(— ln9- + ln^—^=^Z-ln-.(34.36)

c2 J \ 2xa / c2 ea x 7

о

Число |= 1,359 под логарифмом написано только для того, чтобы не нарушать математическое равенство. Фактически формула (34.36) не претендует на такую точность. Ее значение состоит в том, что полученное выражение не зависит от распределения тока по сечению тонкого проводника, как и у коэффициентов взаимной индукции. Тем самым формула (34. 29) оправдывается (по крайней мере, как приближенная). "

Наиболее часто применяются коэффициенты самоиндукции круговых катушек, соленоидов. В этом случае сделанное только что приближение заменяется другим. Допустим, что у цилиндрической катушки приходится п витков на единицу длины вдоль оси. Если обмотка тонкая, то ток по соленоиду течет как бы по его поверхности перпендикулярно образующей цилиндра.

4лм/с4лм/сЕсли сила тока в обмотке /, то поверхностная плотность тока равна jt = nL У достаточно длинного соленоида магнитное поле внутри гораздо больше, чем снаружи. Поэтому в равенстве (28.34) можно пренебречь внешним магнитным полем. Тогда поле внутри соленоида можно принять равным

4лм/с

4лм/с

(34.37)

Обозначая радиус соленоида через г, а полную длину через /, найдем, что поток индукции, проходящий через отдельный виток,

равен

лг2^^,

а поток Ф через все nl витков равен ur^vS^nl. В данном случае су? Ф

Х = -у или

cl

Ж = ^^1._(34.38)

Это выражение тем точнее, чем больше отношение длины соленоида к его радиусу и чем тоньше обмотка.

У «мягких» поликристаллических ферромагнитных материалов пропорциональность между В и Ж сохраняется до очень больших значений индукции, причем pi > 1. Поэтому сердечник из такого материала увеличивает коэффициент самоиндукции в соответственное число раз.

Силы, действующие на проводник в магнитном поле. Выражение силы, действующей на элемент объема среды в магнитном поле, в общем случае довольно сложно. Но если магнитная проницаемость близка к единице, то сила в полной аналогии с магнитной частью силы Лоренца [14.29] равна

dF=l[/^]dV.(34.39)

Наибольший интерес представляет случай линейного проводника. Производя замену (34.13), находим результирующую силу, действующую на контур в целом

^=™^[^].(34.40')

В этом интеграле учитывается магнитное поле двоякого происхождения: приложенное к контуру извне и созданное самим током /. Но собственное поле не может создать результирующей силы, действующей на контур. В противном случае он мог бы заставить сам себя перемещаться в пространстве как целое, что противоречит закону сохранения импульса. Отдельные части контура, конечно, могут приводить друг друга в движение.

Обозначив внешнее поле через Жо, запишем (34.40) так:

F^^Ydl^oY(34.40')

Применим к интегралу (34.40') обобщенную теорему Стокса. Она заключается в том, что элемент замкнутого контура dl можно заменить на W5V] (где dS— элемент поверхности, натянутой на контур). В общем случае V относится ко всему подынтегральному выражению, а здесь, очевидно, только к Э€о.

Переходя к поверхностному интегралу и раскрывая двойное векторное произведение, запишем:

■ F= у $ (- dS (V^o) + \<dS^^ =

= у $ (— dS div Ж0 + (dSV) ^ + [dS rot ^0]).

Ho div 5^о = О, и rot ^0 = 0. Поэтому остается только второе слагаемое:

F=yJ(d5V)^0.(34.41)

Если внешнее поле мало изменяется в пределах контура, то ^0 можно в первом приближении вынести за знак интеграла. Тогда, вспоминая определение магнитного момента тока (34.22), получим приближенное выражение для силы, действующей на контур:

(34.42)

Такая же формула имеется в магнитостатике точечных зарядов [17.35].

Момент сил, приложенных к контуру со стороны однородного внешнего магнитного поля, равен

К=[^о].(34.43)

Это следует из определения момента силы К=~~ ^ [^[^^о]] и выражения магнитного момента (34.20). Пользуясь тем, что f dl-r = Q и заменяя \ dl {гЗ^^ через ~ ^йЦгЗб^ — г (dl3^^\ приходим к формуле (34.43), которая является основной для понимания принципа действия электродвигателя.

Упражнение 30

Магнитное поле создается системой параллельных токов бесконечной длины, направленных вдоль оси z. Магнитная проницаемость среды постоянна. Написать основные уравнения для магнитного поля и установить аналогию с электростатическим полем.

Выберем векторный потенциал Л, направленный по оси г и зависящий только от х и у. Условие (34.6) при этом выполнено автоматически. Составляющие индукции равны

D ^А D 5АD V , D [I е

■ду ’ уох

Уравнение (34.1) запишется так:

д2Л . д2Л 4л/рдх2 ' ду2с *

Это скалярное уравнение для плоской задачи аналогично электростатическому уравнению А ср = — ^^ (где рст — плотность сторонних зарядов, внесенных в диэлектрик). Для двумерной задачи надо выбрать:

£) =8^.=— 8"., Dy — ^y = —8™-.

х х дх ’ у у ду

Следовательно, в уравнении Лапласа -^ заменяется на —•

Плотность тока имеет только азимутальную составляющую в цилиндрической системе координат и зависит от г и г: /г = j2 = 0, /ф = / (г, z). Написать уравнение для векторного потенциала.

только индук-только индук-прихо-прихо-Полагаем, что у векторного потенциала отлична от нуля азимутальная составляющая Лф = Л (г, г). Составляющие ции выражаются так:

только индук-

только индук-

прихо-

прихо-

Вг = —^-, Вг=--5-гА.

г 02 ’2 г дг

Вычисляя второй раз ротор в цилиндрических координатах, дим к уравнению

д 1 д < д^А4лц . , х

дт> = / г, г).

or г or'az2,с J х’

Показать, что магнитная индукция линейного проводника в пространстве с постоянным значением ц может быть выражена через градиент некоторого скаляра, многозначного при обходе контура, сцепляющегося с проводником.

^7П ” Т $ ИТ^7П ” Т $ ИТВекторный потенциал контура (34.14) преобразуется в поверхностный по теореме Стокса в обобщенной форме:

^7П ” Т $ ИТ

^7П ” Т $ ИТ

Л-

Поверхность надо провести так, чтобы вектор г не лежал на ней. Отсюда индукция равна

Д —rot^4 = — MdS?-—U] = ^ t ЫДт—- с J L L \r—r IJI с J I\г — г'\

1I г—г' I1I г—г' IПервое слагаемое под интегралом равно нулю, так как точка г

1

I г—г' I

1

I г—г' I

выбрана не на поверхности. Оператор V, примененный к

во втором слагаемом, выносится за знак интеграла, потому что интегрирование ведется по г*. а V относится к точке г. Следова

тельно,тельно,В=—( (dSV):В=—( (dSV):

тельно,

тельно,

В=—( (dSV):

В=—( (dSV):

Выясним теперь смысл скалярной величины

- ^ (dSV)- ^ (dSV)11С (dS, г — г А _ С dScos а

- ^ (dSV)

- ^ (dSV)

1

1

J |г —г'|3 ~ j (г —г')2*

Здесь а — угол между нормалью к площадке dS и отрезком прямой, проведенным из dS в точку г. Поэтому dS cos а — проекция площадки dS на плоскость, нормальную к отрезку, а все подынтегральное выражение —телесный угол dQ, под которым dS видна из точки г [12.27]. Совершая обход по замкнутому контуру, сцеп-

ляющемуся с проводником, видим, что телесный угол изменяется на 4л при возвращении в исходную точку. Таким образом,

с ’

а потенциал ц ~ Q— многозначная функция.

Показать, что результирующая сила и момент силы, действующие на контур со стороны собственного магнитного поля в однородной среде, равны нулю.

Результирующая сила равна

F= 1 ^ [jW] dV = — ^ § [^rot ^] dV.

Воспользуемся равенством

V (^2) = ^^ 3€ + [^ rot <5^].

Интеграл от Vq%^2 по объему непосредственно преобразуется в поверхностный и на достаточно удаленной поверхности обращается в нуль. Интеграл от (<7^ V) <7^ преобразуется по частям так:

$ (<7^V) ^dV = \ <3€dS) 3€ -^ длчЖУ.

Поверхностный интеграл снова обращается в нуль, а в однородной среде div В= ц div <7^ = 0.

Момент силы равен

К [г [Ж rot Ж]] dV = ^ [г, ^ ^2 - (^V) ^] dV.

Далее, пользуясь тем, что rot г = 0, и интегрируя по частям, получаем: J [г V <7^2] dV = 0. Аналогично, пользуясь снова тем, что rot г = 0, убеждаемся в том, что интеграл от второго слагаемого равен нулю.

Показать, что силы, действующие на контур с током со стороны его собственного магнитного поля, растягивают площадь контура при постоянной силе тока.

В выражении дифференциальной работы (34.25) независимая переменная есть векторный потенциал Л. То же относится и к (34.26). Так как требуется сохранять силу тока постоянной, надо выбрать ее в качестве независимой переменной. Для этого надо вычесть из Ет интеграл — ^ AjdV. Тогда получится —Fm.

Следовательно,

для одного проводника. Это выражение должно иметь минимум при постоянном токе, так что равновесие соответствует наибольшему

коэффициенту самоиндукции. А так как Ф = Ж1, то максимальное значение X дает и наибольший магнитный поток, пронизывающий контур при постоянном токе. Следовательно, магнитные силы растягивают контур. Отметим, что имеется полная аналогия между линейными токами и вихревыми линиями в идеальной жидкости (§ 15). Вихревое кольцо тоже растягивается, что можно видеть на примере дымовых колец.

Два одинаковых круговых кольца радиуса г расположены в параллельных плоскостях, отстоящих на 2а. Центры колец находятся друг против друга, на одном перпендикуляре к плоскости колец. Найти коэффициент взаимной индукции между ними в виде определенного интеграла.

Ответ.

л 2 2лрг2 С da

12 ~ Jsin2 а*

о

§ 35. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ

Условия квазистационарности. Рассматривая поле в среде, мы до сих пор всегда полагали его постоянным во времени. При этих условиях устанавливается либо статистическое равновесие (определенные, зависящие от поля значения магнитной и электрической поляризации), либо постоянная скорость изменения электрической поляризации, которая характеризуется током проводимости / При включении поля равновесие наступает не мгновенно, а в течение некоторого характерного времени, называемого временем релаксации системы. То же относится к постоянному току. Если за это время поле изменяется незначительно, можно пользоваться равновесными величинами р и 8 и значением проводимости о, относящимся к постоянному току. Иначе говоря, мы будем считать, что все соотношения между электромагнитными величинами вида В = рЖ, D= е8, J = о^ содержат те же константы, что и в постоянных полях.

Напишем уравнения Максвелла для такого медленно меняющегося, или, как принято говорить, квазистационарного, поля.

Уравнения для дивергенций остаются неизменными, они имеют вид (28.24) и (28.25). Уравнение (28.26), содержащее время, тоже не изменяется. В нем надо заменить В на рЖ со статическим значением магнитной проницаемости. Вводя ток проводимости согласно (31.3) в (28.27), получаем:

rot^ = lf 4-^ = -д-1 + 4-^.(35.1)

с dt 1 сс dt х сw /

В § 31 было указано, что у хороших проводников о имеет значение порядка 1018 сек1. Отсюда видно, что электрическое поле должно было бы изменяться за время 10~18 сек, чтобы первый член справа стал сравнимым со вторым членом, не содержащим времени.

Характеризуя поле частотой его изменения со, видим, что ток смещения будет мал, если выполняется неравенство

(о<о. (35.2)

Тогда состояние системы определяется мгновенным значением поля, а не скоростью его изменения, что входит в условие квазистационарности.

Кроме того, если стационарное значение проводимости в системе устанавливается за время т, то, чтобы можно было подставлять значение о для постоянного поля, необходимо выполнение еще неравенства

Ю<1 (35.3)

Для хороших проводников выполнение неравенства (35.3) гарантирует соблюдение (35.2). У плохих проводников может оказаться, что при некоторой частоте поля надо учитывать оба члена справа в (35.1). Переменное поле, квазистационарное в металле, может оказаться неквазистационарным в полупроводнике.

В определение квазистационарного поля входит также требование, чтобы оно имело одну и ту же фазу по всей системе. Это в свою очередь накладывает ограничение на размеры системы: они должны быть малы по сравнению с величиной ^ = -- [18.241, где X — длина волны соответствующих электромагнитных волн в вакууме. В непроводящей среде это выражение несколько изменяется (см. § 36), но сохраняет тот же смысл. Для квазистационарности поля имеем еще одно условие:

Когда рассматривается поле у границы проводника, возникает дополнительное требование, которое будет рассмотрено ниже в этом параграфе.

Основные уравнения квазистационарных полей. Итак, для выполнения приведенных выше условий имеем систему уравнений: rot^ = ^ = l^,(35.5)

divD = 0,(35.6)

rot^ = —1^,(35.7)

div 6 = 0.(35.8)

Беря второй раз rot от уравнения (35.5) и пользуясь (35.7), получим:

rotroW = -- rot^ = — ^~.(35.9)

ссг otх '

Если имеет место пропорциональная зависимость В — \кН, т. е. среда неферромагнитна, или, что практически важнее, в системе содержится «мягкое» (легко намагничивающееся) железо, то

rotrot^^Vdiv^-Д Ж = —^-^-. (35.10)

Но если Э^ — ™-^ то div<?^ —0. Отсюда получаем уравнение для магнитного поля:

(35.П)

Это уравнение типа уравнения диффузии (или уравнения теплопроводности) — см. задачу 3 § 17. Оно позволяет сделать некоторые выводы, основанные только на соображениях размерности.

Пусть проводящее тело толщины / (длина считается большей) помещено в пространстве, где внезапно включается или выключается магнитное поле. Тогда можно оценить промежуток времени, в течение которого поле проникнет внутрь проводника или затухнет в нем. Из уравнения (35.11) видно, что размерность времени имеет величина

t0=^. (35.12)

Чем больше проводимость, тем медленнее внешнее поле проникает в проводник. Объясняется это законом индукции Ленца: при включении поля в проводнике возникает ток, создающий обратное поле. При большой проводимости ток затухает медленно. В случае сверхпроводника он не затухает совсем. Поэтому магнитное поле в сверхпроводник не проникает: в тонком слое на его поверхности появляется ток, полностью экранирующий поле.

Допустим теперь, что магнитное поле на поверхности проводника синусоидально изменяется с частотой со. Токи, индуцированные в проводнике, направлены так, чтобы противодействовать проникновению поля. В результате магнитное поле в проводнике будет отлично от нуля только до . некоторой конечной глубины 6. Эта величина тоже легко оценивается из соображений размерности по уравнению (35.11):

/5- (35J2'>

При очень высокой частоте или при очень большой проводимости 6 мала. Может наступить такая ситуация, когда 6 станет меньше, чем длина свободного пробега электрона в металле. Но для столь небольших длин теряет смысл само понятие проводимости, подобно тому как понятие вязкости неприменимо для расстояний, малых по сравнению с длиной свободного пробега молекулы газа. Отсюда получается еще один критерий справедливости теории ква-

зистанионарных полей: глубина проникновения поля в проводник должна быть велика по сравнению со свободным пробегом электрона в металле. В противном случае нельзя пользоваться соотношением j = о*^. Вместо дифференциальных уравнений приходится пользоваться интегральным уравнением, учитывающим баланс электронов, приходящих на поверхность металла и рассеянных на ней назад в объем.

Токи Фуко. Остановимся на двух предельных случаях: когда размеры проводника малы по сравнению с глубиной проникновения 6 и когда они велики по сравнению с ней. В первом случае токи, индуцированные переменным полем, слабо экранируют его. Следовательно, их собственным магнитным полем можно пренебречь, считая, что правая часть уравнения (35.7) включает в себя только магнитную индукцию So, обусловленную магнитным полем, приложенным извне:

r„t8 = -la».,(35.13)

Если проводник имеет большую магнитную проницаемость, то Во определяется из магнитостатической задачи; в случае же немагнитного вещества Во заменяется на внешнее поле 3€0. Вместе с уравнением div ^ = О, которое следует из (35.5), целиком определяется индуцированное электрическое поле. Тем самым становятся известными и токи, вызванные внешним магнитным полем. Они называются токами Фуко. В массовых проводниках с большим • сечением они могут быть весьма значительными. Поэтому сердечники трансформаторов, якори динамо-машин и т. п. делаются из отдельных тонких листов железа с изолирующими прокладками.

Определим, как зависит от частоты колебаний внешнего магнитного поля диссипация его энергии. Из уравнения (35.13) следует, что индуцированное электрическое поле пропорционально частоте, так как в правой части стоит первая производная по времени. Плотность тока/ = о^, таким образом, тоже пропорциональна частоте, а джоулевы потери /8 зависят от частоты по квадратичному закону.

Скин-эффект. В противоположном случае, когда глубина проникновения переменного поля в проводник мала, будем для простоты считать его бесконечно большим. Пусть поверхность проводника совпадает с плоскостью хд, а ось z направлена в глубину. Тогда ток имеет только составляющую по оси %, а магнитное поле — по оси у. Будем считать, что поле изменяется со временем по гармоническому закону, который удобно взять в комплексной форме:

(г) = ^0Д •

Подставляя Ну в (35.11), находим: «^=4ло^^15

dz2’ о '' v ‘

Из двух решений этого уравнения следует выбрать то, которое затухает в глубь проводника. Множитель — i представим так:

е 2. Тогда

—- (— г)1^ —е—- (— г)1^ —еш . . Злг 4+я1=е-Гш . . Злг 4+я1=е-Г— 1 + l— 1 + lГ 2Г 2

—- (— г)1^ —е

—- (— г)1^ —е

ш . . Злг 4+я1=е-Г

ш . . Злг 4+я1=е-Г

— 1 + l

— 1 + l

Г 2

Г 2

Величина 6 определяется следующей формулой:

(35.15)(35.15)6=-=^ V 2шщ<в

(35.15)

(35.15)

Поэтому комплексное выражение для магнитного поля выглядит так:

г iz

Э^у = ^- ^"ш .(35.16)

На поверхности металла (при 2 = 0) оно совпадает с внешним полем. Отсюда с помощью (35.5) находим электрическое поле:

х 4ла хх 4ла хс d^u4ла dzс d^u4ла dz

х 4ла х

х 4ла х

с d^u

4ла dz

с d^u

4ла dz

Производная от магнитного поля по 2 вносит в это выраже- ние фазовый множитель е 4 . С учетом же знака перед производной . , ЗЛ1?Л1

Л1 + ——

этот множитель принимает вид: е 4 = е 4 . Вычитая из показа-

теля 2га (что всегда можно сделать), получаем е 4. Поэтому электрическое поле равно

(35.17)(35.17)„ ш ' z iz . .

(35.17)

(35.17)

'ё.—.е 4-е »-е 6

х 4лао

Беря теперь действительные части от (35.16) и (35.17), находим окончательно:

(35.18)(35.19)(35.18)(35.19)STу = STQe 6 cos ^ — (о^,

(35.18)

(35.19)

(35.18)

(35.19)

А 4ла6 еА 4ла6 еZ , л

А 4ла6 е

А 4ла6 е

COSт-

\ 64

Таким образом, электрическое поле и ток J — 08 отстают от магнитного поля по фазе на

При этом поле и ток сосредоточены в наружном слое проводника. Отсюда название «скин-эффект» («скин» — кожа по-английски).

В проводниках кругового сечения имеет место аналогичный эффект. Если глубина проникновения заметно меньше радиуса цилиндрического проводника, ток проходит не через все его сече-

ние. Поэтому проводник в таких случаях делают либо полым внутри, либо многожильным.

Через поверхность проводника проходит поток энергии электромагнитного поля, которая выделяется в его объеме в виде джоулева тепла. Поток энергии через единицу поверхности — это, как известно [15.26], нормальная составляющая вектора Пойнтинга:

или (в данном случае)

Р=У^Х.(35.20)

Если подставить сюда действительные части (35.18) и (35.19), то получим выражение для мгновенного значения Р как функции времени. Более интересно ее значение, усредненное по времени. Его удобно вычислить с помощью комплексных выражений (35.16) и (35.17). Их действительные части имеют вид:

у == 2+ h *eZ(0Z), 8^ = — (е • e~itoi + е* • eito^.

только(35.21)провод-(35.22)только(35.21)провод-(35.22)Образуя среднее от произведения ^у(8Х1 надо удержать члены, не зависящие от времени:

только

(35.21)

провод-

(35.22)

только

(35.21)

провод-

(35.22)

=Т (he* + h*e)=~ Re {he*}.

Эту величину надо брать при z = 0, т. е. на поверхности ника. Отсюда

р=———4л 4ла6 2 р 2

Сравнивая это выражение с (35.15), заключаем, что потери пропорциональны корню квадратному из частоты переменного поля.

Сопротивление в цепи переменного тока. Рассмотрим контур, состоящий из сопротивления, емкости и индуктивности, включенных последовательно. Емкость С и индуктивность L считаем сосредоточенными соответственно в конденсаторе и в катушке. Пусть внешний магнитный поток, проходящий через катушку, изменяется по заданному закону. При этом в контуре возникнет электродвижущая сила, которая с помощью (35.13) выражается следующим образом:

Э = ^ Sdl = ( rot8dS= —( Bods = — 1^. (35.23)

J Jс at j ис at v '

Работа э. д. с. за единицу времени равна 1Э. Эта работа распределяется следующим образом. Часть RP необратимо переходит в джоулево тепло, другая изменяет магнитную энергию катушки -^72,

и третья расходуется на изменение электростатической энергии конденсатора (гДе — мгновенное значение заряда обкладок).

Следовательно, баланс энергии надо записать так:

Э1-№ + ^ + ^£.(35.24)

Ток, приходящий к конденсатору, связан с зарядом его обкладок соотношением

/ = ^.(35.25)

Выполняя дифференцирование в третьем члене в правой стороне (35.24) и сокращая на /, получаем неоднородное уравнение:

^^ + ^ + "5=5,(35.26)

где заряд е связан с силой тока / соотношением (35.25). Таким образом, мгновенное значение тока / зависит не только от величины э. д. с. в данный момент, но и от всей истории ее изменения.

На практике, однако, э. д. с. обычно изменяется со временем по гармоническому закону, т. е. синусоидально. Так как уравнение (35.26) является линейным, то ток, вызванный этой э. д. с., тоже следует гармоническому закону. Собственные колебания в цепи, удовлетворяющие уравнению без правой части, затухают со временем благодаря омическому сопротивлению. Поэтому если Э = = Эое-/Ю/, то через некоторое время после включения э. д. с. в цепи устанавливается ток, изменяющийся по такому же закону: I = = l^e"itot. При этом

Следовательно, дифференциальное уравнение (35.26) переходит в алгебраическое:

+=(35.27)

Коэффициент при / называется комплексным сопротивлением или импедансом:

= VR2 + (toje-l\2e^i (35.28) \(ОСу f\(ОС /

где сдвиг фазы ф тока относительно э. д. с. определяется формулой

(35-29)

Индуктивность приводит к отставанию тока по фазе, а емкость — к опережению.

Система связанных контуров. Предположим теперь, что данный контур индуктивно связан с другими. Согласно (34.33) они создают в нем магнитный поток

Ф< = С^ад. (35.30) кф1

В эту сумму не входит собственный магнитный поток данного контура. Тогда э. д. с. в Z-м контуре согласно последнему равенству (35.26) равна .

9i = 3iBH-^l = 3iBH- 2 (35-31)‘ кф1

Мы пишем частную производную от магнитного потока Ф' потому, что изменение потока может происходить и при неизменном магнитном поле за счет движения контура; здесь же по смыслу речь идет об изменении потока только за счет изменения поля. Подставляя это выражение для э. д. с. в равенство (35.26), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(35.32) к

сумма берется теперь по всем к, включая I.

Если все 3iBH изменяются по одинаковому гармоническому закону, пропорционально е ^, то система (35.32) превращается в алгебраическую.

Это позволяет рассчитывать линейные цепи синусоидального переменного тока по той же схеме, что и цепи постоянного тока. Закон Ома для каждого замкнутого контура записывается через матрицу импеданса Zib определенную так:

Zik (to) = bikRi - i ^xik - ^. (35.33)

При вычислениях используется также первый закон Кирхгофа, состоящий в том, что алгебраическая сумма токов, приходящих к каждому разветвлению цепи, равна нулю.

Заметим, что переменный ток проходит через конденсатор, так как изменение заряда одной обкладки вызывает соответственное изменение заряда другой. Необратимые потери происходят на омических сопротивлениях т.

Механическая аналогия цепи переменного тока. Уравнения (35.32) можно рассматривать как систему лагранжевых уравнений механической модели, у которой обобщенные координаты равны заря-

дам Ci, а обобщенные скорости — токам It = ё^ Соответствующая функция Лагранжа имеет вид:

+(35.34)

Кроме нее, определяется так называемая диссипативная функция

^=^2^(35-35)

таким образом, чтобы уравнения Лагранжа при наличии диссипации имели вид

a dL dL dDa dL dL dDdt дЦ dei di t ’dt дЦ dei di t ’(35.36)(35.36)

a dL dL dD

a dL dL dD

dt дЦ dei di t ’

dt дЦ dei di t ’

(35.36)

(35.36)

эквивалентный (35.32).

Такие уравнения, разумеется, нельзя получить только из вариационного принципа [§ 2]. Левая часть (35.36) описывает в общем случае чисто механические свойства системы, тогда как диссипация — существенно статистический, необратимый процесс. По сравнению с элементарным механическим законом, выраженным с помощью вариационного принципа, здесь входит и дополнительное предположение о форме статистического закона в правой части (35.36). Таким же способом можно записать и уравнения механики, если в системе действуют силы трения, пропорциональные скоростям.

Установление механической аналогии для электрических колебаний в цепях сыграло важную роль в общем развитии физики. Оказалось, что электромагнитное поле при количественном описании можно рассматривать как механическую систему, в чем проявляется единство законов природы. Из такого подхода были получены и общие уравнения микроскопической электродинамики, т. е. уравнения Максвелла [§ 15].

Движение проводника в магнитном поле. Определим электродвижущую силу в контуре, движущемся в магнитном поле. В покоящемся контуре она выражается формулой (35.23). Но если некоторый участок контура перемещается в пространстве, то в системе отсчета, связанной с ним, может возникнуть дополнительное электрическое поле, если в исходной системе была отлична от нуля магнитная индукция В.

Электрическое поле легко определить из формул преобразования Лоренца для поля в среде (задача 2 § 28). Считая, что скорость проводника у мала по сравнению со скоростью света, и помня, что она предполагалась направленной по оси %, перепишем формулы преобразования так:

g;=^+^. <35-37)

^ кОни объединяются в одно выраже-

Т‘ ние, записываемое в векторной форме:

al

//+(35.38)

V Vу у Такое электрическое поле действует

^*/>/ внутри проводника, имеющего ско-

Iрость у. Поэтому э. д. с. в контуре равна

lir3=^'dl=^dl+^®^. (35.39)

Рис 46

Первый интеграл выражается через изменение потока индукции в покоящемся контуре (35.23). Во втором интеграле сделаем циклическую перестановку:

М di^v^A в.

Но входящее сюда векторное произведение есть площадь, которую описывает за единицу времени отрезок dl благодаря движению контура, т. е.

(35.40)(35.40)№=-§.

(35.40)

(35.40)

Происхождение знака «—» в этой формуле можно понять из рисунка 46. Вектор Idtol направлен вверх из плоскссти чертежа, тогда как сам вектор площади, в соответствии с выбранным направлением обхода контура, надо провести вниз. Следовательно, приращение площади противоположно по знаку вектору этой площади, что и оправдывает знак в выражении (35.40).

Преобразуя первый интеграл в (35.39) по теореме Стокса, получим:

Э = —Ц (35.41) с J dt с у dt с dt х '

Знак полной производной по времени здесь должен подчеркивать, что берется полное изменение потока индукции сквозь контур, обязанное как изменению вектора В во времени, так и движению контура в пространстве.

По формуле (35.39) видно, что второе слагаемое Э отлично от нуля только в том случае, если В не параллельно у. Иными словами, э. д. с. появляется за счет того, что контур «пересекает» линии магнитной индукции, хотя эти линии представляют собой чисто условное построение в таком же смысле, как меридианы или параллели на земной поверхности.

Упражнение 31

Найти комплексное сопротивление двух контуров, соединенных в параллель.

Отв ет:

г z^z/

Найти собственные колебания тока в контуре.

Полагая в (35.27) Э = 0, находим уравнение собственных колебаний:

Z^=R-ito56^-^=0, откуда

При R <2 "j/" ^ корень действительный, и получаются колебания, затухающие с декрементом ^; в противном случае ток затухает апериодически с декрементами

7? , -.Л R^_

2X — Г 4J?2 - ^с *

Найти уравнение для собственных частот контура, составленного из двух параллельно соединенных контуров с импедансами Zx (со) и Z2 (со).

Ответ:

Z(«) = (Zr‘(®) + ^1

Два контура с малыми сопротивлениями связаны индуктивно через коэффициент взаимной индукции Л12. Найти собственные частоты и приближенные значения декрементов затухания этих колебаний.

Уравнения (35.32) пишутся так:

—zcoj?n7 i — itoX^I ^-VRJi— ^^™0,ito^12I T — иаХ^! 2 4- R2I 2 — т^г — 0.

Условие разрешимости этой системы требует, чтобы ее определитель равнялся нулю:

1^Ж1Х 4- Rx ,zco j?12

— zco Жх^— zcoJ^ + £?2 ~ /соС2

Это — уравнение четвертой степени относительно w:

со4 (^и ^22 - ^2) + /со3 (<^п/?2 + Ж^ -

В нулевом приближении относительно Rb R2 получаем биквадратное уравнение со следующими корнями:

/, 2 \ <^цС*1 +=56’226*2 ± У (<=5f 116*1 + с$6’22С2)2 — 4(с5;11^22 — =^12) 6'1С2

Если коэффициент взаимной индукции L12 равен нулю, то решение дает частоты независимых колебаний. Разумеется, это справедливо и для точного уравнения, так как тогда определитель равен произведению диагональных элементов. Чтобы найти в первом приближении декременты затухания, положим:

^^((о^о + Дд.

Подставляя это в уравнение и удерживая члены, линейные по ДТ, 7?! и R2, находим:

Д^ \^т)о С^ (с^ц^гЧ-<^22^1) "(^16*1+ ^26*2)

~ 2 (он )о СА (^п^гг — ^22)— (=^ii6*14-=5>2262)

Знаменатель этой дроби равен

цС1 + ^^СУ2 — 4 (ХИХ^2 — ^12) СгС2,

где нижний знак отвечает (со_)о.

Покажем, что при этом и числитель отрицателен, т. е. AL содержит коэффициент —i. Тогда в показателе экспоненты стоит

величина —i ((о_)0 —Z = —t (g)J0 t — 7^—- как и должно L\w Jo 12 (co_)o

быть.

Неравенство, которое надо доказать, имеет вид:

Жц6*1 + <^2262 — V^iiCi + cS?22С2)2 — 4(^11сУ22— Жу^СуС^ х

2 (<5^пс5!?22 — ^Ъ) 6*iC2

х ^1XRX + ^22^2) < R\Cx 4~ ^?2С2.

Так как ^т и R2 — положительные величины, то достаточно одну из них, например R2, положить равной нулю и произвести выкладки для другой. Приводя после этого к общему знаменателю коэффи- фициенты при 7?! и перегруппировывая члены, приходим к такому неравенству:

Избавляясь от иррациональности, видим, что условие выполнения исходного неравенства сводится к требованию:

^11^22 “ ^YL > 0.

Выполнение этого неравенства является необходимым условием, так как величина Fm. определенная согласно (34,29), — существенно положительна [7.18].

Проводящий диск радиуса а вращается в однородном внешнем магнитном поле j}^, перпендикулярном его плоскости, с угловой скоростью со. Найти разность потенциалов между центром диска и его краем.

В системе отсчета, связанной с диском, существует электрическое поле, равное согласно (35.18) на расстоянии г от оси вращения

сс *

Отсюда разность потенциалов равна

а

о

Однородно намагниченный проводящий шар с моментом т радиуса а вращается вокруг оси, параллельной направлению момента с угловой скоростью со0. К его полюсу и экватору подведены скользящие контакты, соединенные проводником. Определить э. д. с. в контуре, состоящем из проводника и части шара между контактами (униполярная индукция).

В системе отсчета, связанной с проводником, шар имеет не только магнитную, но и электрическую поляризацию:

р[^]с ’

что видно из общих формул преобразования полей и индукций (см. задачу 2 § 28) в пределе при ^1 — ^ 1Л = а->1. Электрическое поле, создаваемое распределенным в пространстве и постоянным во времени электрическим моментом Р, является электростатическим. Поэтому разность потенциалов между двумя неизменными точками (контактами) не зависит от пути внутри проводящего шара. Выберем поэтому путь, наиболее удобный для интегрирования электрического поля по контуру, а именно — по меридиану от полюса до экватора. Если В — магнитная индукция в шаре, то электрическое поле равно ^г- Следовательно, на пути интегрирования дает вклад только нормальная составляющая индукции, так как о везде направлена по параллели, касательно к поверхности шара.

Магнитное поле на поверхности шара равно

Зг ^тИ — тг^

г6

(см. задачу 2 § 30).'

35335312 А. С. Компанеец

353

353

Отсюда нормальная составляющая получается равной

2m cos Д

Ее надо приравнять нормальной составляющей индукции внутри шара, т. е. В cos А, откуда

о3

Следовательно,

Л/2

С 2т cos $•тсд0

д. с. = \ ato0 • a sin У- ай =—-.

J о3пс

о

Благодаря скользящим контактам эта разность потенциалов создаст в неподвижном проводнике постоянный ток.

§ 36. БЫСТРОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛЯ

Общие уравнения. Быстропеременным полем в среде называется такое поле, которое заметно изменяется за время, необходимое для протекания релаксационных процессов в среде. В случае диэлектрика это — время установления статистического равновесия, в случае проводника — время установления постоянного тока после включения электрического поля. Эти времена совершенно различны для разных сред и для разных релаксационных процессов в одной и той же среде.

Если в каждый момент времени в среде не успевает установиться равновесное значение поляризации, отвечающее полю, то мгновенная величина поляризации зависит не только от значения поля в данный момент, ио и от всего предыдущего хода изменения поля. Кроме того, когда поле сильно неоднородно в пространстве, то поляризация в данной точке зависит и от поля в окружающем пространстве.

Итак, общие уравнения (28.26) и (28.27) для произвольного быстропеременного поля в значительной степени беспредметны, так как не существует прямой функциональной зависимости индукции от поля при произвольном характере изменения поля со временем. Тем не менее для слабых полей можно записать линейную интегральную формулу вида:

D(Z) = £(f) + ^(/-T)f (T)dr. (36.1)

О

Она относится только к изотропной среде. Функция / (т) указывает, какой вклад дает поле в индукцию в данный момент времени t, если за время т до него поле равнялось ^ (/ — т). Из физических соображений ясно, что величина f (оо) равна нулю или, по крайней 354

мере, конечна (см. задачу 1), так как описывает, какой вклад в индукцию вносит поле, приложенное бесконечно давно.

Таким образом, уравнения Максвелла в среде при произвольной зависимости поля от времени — интегральные. Но существует один весьма важный случай, в котором явная зависимость поля от времени вообще исключается из уравнений Максвелла. А именно пусть

g = goe^,(36.2)

т. е. поле меняется со временем по комплексному гармоническому закону. Оно называется в этом случае монохроматическим. Подставляя (36.2) в (36.1), получим:

D^ itol = %^ + goetot f eto7 (t) dr.

0

Экспоненциальный множитель в дальнейшем не будем выделять; тогда

D =! 1 + \(т) dV\ %.(36.3)

\0/

Эта зависимость формально имеет такой же вид, как обычное соотношение (30.14) между индукцией и полем:

D = e(<o)^,(36.4)

где

е (Ю) = 1 +$ etotf (т) dr.(36.5)

О

Аналогичная формула может быть написана и для магнитной проницаемости, однако в большинстве случаев оказывается, что в быстропеременном поле ц — 1. Но для общности пока не будем считать, что ц = 1. Зависимость 8 и ц от частоты поля называется дисперсией.

Частные производные по времени от величин вида (36.2) просто заменяются множителем — lw.

д-О = — i«)D, ™ = — i®B.(36.6)

Поэтому уравнения Максвелла для монохроматических полей имеют следующий вид:

rot^ = — "D = — l^M^(36.7)

rot^ = ^e = ^l^,(36.8)

divp (го) Э^ = 0,(36.9)

dive(to)£ = 0.(36.10)

12*355

Заметим, что в старой литературе замена (36.6) часто не производилась в явном виде. В уравнения Максвелла при этом подставлялись некоторые средние значения 8 и р для выбранной области частот. Это требует специальных предположений о слабом виде зависимости е (р) и р (со), что не всегда выполняется.

Мнимая часть вир. Как видно из определения (36.5), диэлектрическая постоянная в быстропеременном поле — величина комплексная. Ее действительная часть равна

Кее=1 + ^ / (т) cos сот dr,(36.11)

о

а мнимая часть —

Im е = ^ f (т) sin мт dr,(36.12)

о

где функция f (т) по определению (36.1) должна быть действительной, В это выражение входят, конечно, только действительные значения поля. Из определений (36.11) и (36.12) следует, что

e'^e' + fV.(36.13)

Мнимая часть е" соответствует отставанию по фазе индукции от поля на величину arctg--.

Функции е' ((о) и е" (со) удовлетворяют известным соотношениям четности. Так, в е' входит только cos ad, и поэтому

е'(_ со)^' (со).(36.14)

Величина же е" содержит sin od. Следовательно,

е"(_ 0)) = —^(со).(36.15)

Таким образом, в целом

8 (— со) = 8' (— О)) +("м)(м) — (со) = 8* (а)). (36.16)

Хотя отрицательная частота не имеет непосредственного физического смысла, соотношения (36.14, 15 и 16) очень существенны. Рассмотрим теперь физический смысл мнимых частей е" и р". Как известно из [15.261, вектор Пойнтинга

Р =(36.17)

задает плотность потока энергии электромагнитного поля. Ясно, что его дивергенция равна плотности выделяющейся в единицу времени энергии для данной точки. Такой вывод можно сделать, например, по аналогии с уравнением div/= — |^ [12.181. Если усреднить div Р по времени, то получится плотность энергии, необратимым образом выделяющейся в виде тепла.

Чтобы взять среднее значение квадратичной по полю величины, воспользуемся формулой вида (35.21):

div ^ ^- Re {div [^^:Д}^8л Re {5^* rot ^ — ^ rot <^*}.

Подставляя сюда rot $ и rot <5^* из уравнений Максвелла (36.7, 8), находим:

divP- 8л Re V^*B - ий№\.(36.18)

Выражая в и ц в виде (36.13), найдем окончательно:

div Р^ 8л Re {zco^* (p' + гр") <Ж — fo)^ (в' — is) ^*} =

= -|(|VWi4W(36.19)

Так как эта формула описывает необратимые потери, то мнимые части в и р, т. е. s" и р", должны быть существенно положительными функциями частоты при со > 0.

Диэлектрическая постоянная при больших и малых частотах. При очень большой частоте колебаний поля диэлектрическая проницаемость легко может быть вычислена в общем виде. Действительно, если электрическое поле имеет высокую частоту, то за время -~ никакие силы связи, действующие на электроны в веществе, не успеют заметно повлиять на их скорости. Следовательно, движение электрона в поле волны описывается простым уравнением, в которое входит только сила, создаваемая внешним полем:

mr ^еб^е^.(36.20)

Отсюда следует, что

тсо2 ’

Если в единице объема содержится N электронов, то их смещение под действием волны создает поляризацию Р, равную

p = Ner = _^^(36.21)

mco2

Через нее выразится индукция D;

П = 8^-4лР=^-^^1.(36.22)

Сравнивая это выражение с (36.4), определяем асимптотическое значение диэлектрической проницаемости при большой частоте:

(36-23)

Отметим, что это действительная величина, которая < 1.

При очень больших частотах, например, в рентгеновском диапазоне, различие между металлами и диэлектриками исчезает.

При малых частотах комплексная величина е (со) существенно различается у диэлектриков и металлов. В первом случае 8 (со) стремится к своему электростатическому значению е (0) = 80. Разложение действительной части е' по степеням со2 содержит только четные степени, а разложение мнимой части начинается с члена, пропорционального со, и далее идет по нечетным степеням, как это следует из (36.14, 15).

У металлов при самых малых частотах надо воспользоваться уравнением (34.1):

rot^=^ = 4^i.с с

Сравнивая это уравнение с (36.7), убеждаемся в том, что

— /сое^4ло, или

(36.24)

Таким образом, разложение начинается с чисто мнимого члена, который стремится к бесконечности, как ^ при со->О. Этот член, как и должно быть, является нечетным по оз. Следующий член разложения — действительная постоянная величина. Ему, однако, нельзя приписывать смысл статической диэлектрической проницаемости, поскольку в металлах нет равновесия в постоянном электрическом поле.

Соотношения между мнимой и действительной частью 8. Эти важные соотношения были найдены в 1926 г. Г. Крамерсом и Р. Кронитом. Рассмотрим прежде всего выражение (36.3), считая в нем оз комплексной величиной вида со' + i^,r:

е (со) 1 +(Т) ^Те(36.25)

о

Входящий сюда интеграл сходится при любом положительном значении со" из-за того, что при т -> оо экспоненциальный сомножитель 0/4 стремится к нулю. Функция / (т) согласно наложенному на нее выше условию не влияет на сходимость интеграла (36.25). Так как e-w"T убывает сильнее, чем т в любой степени, то все производные е (со) по со тоже конечны при со">0. Иными словами, величина е определена как функция комплексной переменной со во всех точках полуплоскости со" > 0, т. е. выше действительной оси. В § 15 было указано, что производная от функции комплексного переменного не должна зависеть от направления, в котором она берется. Если функция R (г) есть первообразная по отношению к Q (г), т. е.

Q^)"^» то интеграл/?^ Q (г) dz не зависит от пути в КОМП- 20

лексной плоскости, соединяющего точки z^ и zv Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что Q (г) ^гесть полный дифференциал.

Представляя Q как Q' + IQ' и dz как dx + idy, получаем:

Q dz - (Q' + iQ") (dx +1 dy) - (Qr + iQ") dx + (iQr - Q^ dy.

Условие того, что Q dz есть полный дифференциал, интеграл от которого не зависит от пути, имеет, как известно, следующий вид:

^(Q' + ^-^W'-Q").(36.26)

После разделения действительной и мнимой частей отсюда получатся условия Коши-Римана, о которых было сказано в § 15.

Они должны быть выполнены во всех точках, через которые проходит контур интегрирования. Если при деформации контура он пересечет точку, где условия Коши-Римана не выполняются, то значения интеграла до и после пересечения могут различаться.

Производные существуют во всех точках области, в которой проводится контур, если функция Q (?) в ней не обращается в бесконечность и однозначна. Поясним значение последнего условия. Для этого рассмотрим многозначную функцию / (?) = (г — 20)а. Если представить z — 20 как | г — z0 | е^, то / (2) = (2 — Zo)^'^. При обходе точки 2 — 20 к аргументу ф прибавляется 2л, a f (z) получает сомножитель ^2л/а, который не равен единице, если ос — не целое число. Тогда если dz --= lim (z— 20), то дифференциал dz не однозначен, так что производная зависит от направления dz. Если контур пересекает такую точку, то подынтегральная функция получает неопределенный множитель.

Но в верхней полуплоскости (со" > 0) функция е (со) не имеет и таких точек неоднозначности. Действительно, дифференцируя (со — соо)а достаточное число раз, мы в конце концов придем к отрицательному показателю и функция обратится в бесконечность при со = соо. Но, как мы показали, все производные 8 по со конечны. Следовательно, е (со) однозначна в верхней полуплоскости.

Рассмотрим теперь функцию

8 (СО) — Iсо — cot

при Im {cOi} = 0. У диэлектриков эта функция, как и 8 (со), конечна и однозначна выше действительной оси, а на самой этой оси (оз" = 0) она обращается в бесконечность при со = о^. Возьмем от нее интеграл по замкнутому контуру, показанному на рисунке 47. Этот контур обходит верхнюю полуплоскость сначала по бесконечно большой полуокружности, затем вдоль действительной оси от — оо

до точки со = сот — р, далее по бесконечно малой полуокружности радиуса рвокруг точки оз = coj (сверху) и, наконец, снова по действительной оси от ТОЧКИ 0) = = coj + р до Со' — ОО.

Согласно только что доказанному рассматриваемый интеграл равен нулю, потому что он берется по замкну

тому контуру, внутри которого подынтегральная функция везде однозначна и аналитична. Интеграл по верхней полуокружности равен нулю сам по себе потому, что функция ^г^7 согласно (39.23) стремится на ней 11

к нулю, как ^, а длина окружности возрастает пропорционально со.

Mi —рMi —рlimр^Оlimр^Ое— 1CO — COiе— 1CO — COidto -|-dto -|-8— 1СО —ОД8— 1СО —ОДОстаются интегралы по действительной оси и по малой полуокружности. Первый из них равен

Mi —р

Mi —р

lim

р^О

lim

р^О

е— 1

CO — COi

е— 1

CO — COi

dto -|-

dto -|-

8— 1

СО —ОД

8— 1

СО —ОД

Этот интеграл стремится к конечному пределу, когда р -> 0, и называется главным значением интеграла. Он обозначается перечеркнутым знаком интеграла ^.

Покажем прежде всего, что

Действительно,

= —In^-w) | +ln(w-<01) |==1П“У^-1о~^==1п 1==0.

— О«1+р

Интеграл по полуокружности радиуса р берется следующим образом. Так как на этой полуокружности

со —со^-'-р^, dto^-ipd^e^, е (со) =•-е (сох), то о

z $ d^ [е (сОл) — 1] = — гл [е (wj — 1]=^ — гл [е' (сог) + ie" (сог) — 1].

Знак «—» здесь обусловлен тем, что угол гр отсчитывается против часовой стрелки, а обход полуокружности, как видно из рисунка 47, производится по часовой стрелке.

Поскольку весь интеграл равен нулю, то получаем отдельно уравнения для действительной и мнимой частей:

ле" (04) = — ](36.27)

n[6' (<»i)-l]-j(36.28)

Эти соотношения называются дисперсионными.

Смысл дисперсионных соотношений. Равенство (36.1), лежащее в основе дисперсионных соотношений, выражает принцип причинности: на индукцию влияют значения поля в предыдущие моменты времени и не могут влиять значения поля в будущем. Поэтому под интегралом стоит ^ (/ — т), где 0< т оо.

Воспользуемся теперь тем, что г" (— о) = — еГ (о). (36.15). Тогда формула (36.28) приводится к виду:

Ооосо

Г г /х пС е" (о)) do) Г е" (cd) dcoC„ /х , Г 1,11

л Ге (озг) — 1Ь^ \ — Н X ———= \ в (со) do:— ,

L ХJJ (0 — 0)!1 J (0 — 0)1ДX [ (0 — 0)1(0+ (0j ]

—оо00■

где в первом интеграле со была заменена на — (D и переставлены пределы интегрирования. Окончательно получим:

е' (Ю1) - I = 2 Т(36.29)

Х 17Л ,) О) —ОДХ 7

О

Этот интеграл берется только по положительным значениям частоты. В частности, для статической диэлектрической постоянной имеем: е'(0) — 1 — ^^d<o.(36.30)

О

Обычно поглощение происходит в ограниченной области частот. Но за поглощение, как было показано, ответственна мнимая часть 8 (оз), т. е. е" (со). Поэтому интеграл (36.29) берется фактически только по области поглощения, а дает действительную часть диэлектрической проницаемости для всех частот о)! в виде:

(36.31)

(О2 — 0)2

где оз2 — средний квадрат частоты по области сильного поглощения, a ац лежит вне области сильного поглощения.

Если 8' (о) и 8" (со) получены измерением, то контроль его правильности состоит в проверке выполнения интегрального соотношения (36.29).

Значение дисперсионных соотношений далеко выходит за рамки электродинамики сплошных сред. В физике элементарных частиц тоже имеют место аналогичные соотношения между амплитудами упругого и неупругого рассеяния, выражающие принцип причинности, как и формулы Крамерса — Кронига. В физике элементарных частиц справедливость принципа причинности для расстояний 1014 см и меньше подвергалась неоднократно сомнению. Поэтому экспериментальная проверка дисперсионных соотношений имеет здесь большой принципиальный интерес.

Упражнение 32

Выразить полное число электронов в единице объема через интеграл от мнимой части диэлектрической проницаемости.

Будем считать, что о)! очень большая частота. Тогда согласно 4 л N

e^J^I -—~. Полагаем, далее, что интервал частот, в котором имеется сильное поглощение, целиком принадлежит области, в которой (о to!. При этом

Б (Щ — 1 =7- =7 \ 8 (to) to Uto.

.v 17mto[ЛО); J v 7’

0 откуда

$8"

Вывести дисперсионные соотношения для металлов.

Отличие металлов от диэлектриков состоит в том, что 8" (0) у металлов обращается в бесконечности, как^^ при со -> 0. Поэтому функция

4л г о

8

у металлов обладает теми же свойствами, что и 8 у диэлектриков.

т—чw

Главное значение интеграла \ --- равно нулю, что было показано

в общем виде. Интеграл по малой полуокружности от слагаемого, 4л2а ~

содержащего проводимость, дает—. Эту величину надо прибавить к правой части (36.27),

§ 37. ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ

Классическая теория дисперсии. Первое объяснение дисперсии было дано на основе классической электронной теории. В основе этой теории лежит модельное представление о квазиупругосвязан- ных электронах, имеющих некоторую собственную частоту колебаний о)о. Уравнение вынужденных колебаний таких электронов в электрическом поле — ^eaw имеет вид:

m (г + ^r^^el^e и'мm (г + ^r^^el^e и'м(37.1)(37.1)

m (г + ^r^^el^e и'м

m (г + ^r^^el^e и'м

(37.1)

(37.1)

[см. доп. задачу к § 71. Решение, имеющее частоту внешнего поля, при о) 4 о)о можно записать так:

(37.2)(37.2)r el

(37.2)

(37.2)

т (со^ — со2)'

Отсюда выражение для диэлектрической проницаемости получается таким же способом, что и по формуле (36.23) для случая больших частот:

(37.3)(37.3)/ \4лЛе2

(37.3)

(37.3)

8 ((л)) = 1 Н7-7т-.v 71 m (со2 — со2)

В более общем случае, когда среда содержит электроны с разными частотами собственных колебаний в количестве Nt на единицу объема, формула дисперсии имеет вид:

(37.4)(37.4), х 1 . V 4л/У,-е2

(37.4)

(37.4)

е (cd) = 1 4- 7 —7~т——»v 71 ^■m(co^ —со2)

При больших частотах, когда

> to0Z

для всех 1, (37.4) переходит в асимптотическую форму (36.24). Аналитический вид зависимости (37.3) совпадает с тем, который дает формула (36.31), если заменить в ней а)! на со и со2 на (Оо. Последнее сопоставление означает, что электромагнитные колебания в среде подвержены сильному затуханию, когда их частота близка к собственной частоте колебаний электронов в среде.

Благодаря соответствию формуле (36.21), полученной фактически только из постулата причинности, классическая дисперсионная формула при частотах вне области сильного поглощения несомненно имеет правильный аналитический вид. Она не потеряла значения и сейчас.

Когда создавалась квантовая теория строения атома, стало ясно, что электроны в среде связаны во всяком случае не квази- упруго. Так, в старом варианте квантовой теории Бора электроны должны были двигаться вокруг ядер по некоторым устойчивым траекториям. Но если бы это было верно на самом деле, то в диспер-

сионную формулу (37.4) вошли бы частоты обращения электронов вокруг ядер. В действительности же в нее входят совсем не эти частоты, а характеристические частоты квантовых переходов, которые согласно условию Бора определяются разностями энергий на орбитах: со12 = •

Получить это из классической картины движения, даже с учетом постулатов Бора, невозможно. Поэтому Г. Крамере и В. Гейзенберг предложили другой, более абстрактный вывод дисперсионной формулы, с тем чтобы в нее вошли именно частоты переходов. Но из вывода формулы (37.3) видно, что тем не менее обязательно должны существовать некие величины, изменяющиеся во времени по гармоническому закону, — по типу уравнения (37.1). Анализируя, что именно при их выводе изменяется гармонически, Гейзенберг получил уравнения движения для матричных элементов [27.13] и пришел тем самым к матричному представлению уравнений квантовой механики независимо от Шредингера. Эквивалентность обоих представлений была показана несколько позже.

Волновое уравнение для атома в заданном поле излучения. Переходим к выводу квантовой дисперсионной формулы, которая, как уже было указано, по виду аналогична классической. Схема вычислений во многом тоже сходна с классической: сперва определяется средний дипольный момент, индуцированный полем; затем по дипольному моменту находят поляризацию и, наконец, зная поляризацию, выражают е (со). Для нахождения дипольного момента надо согласно общим правилам квантовой механики сначала определить волновую функцию атома, возмущенного полем световой волны, после чего произвести квантовомеханическое усреднение.

Здесь удобно ввести зависимость внешнего поля от времени в действительном виде, чтобы не подставлять неэрмитовский комплексный оператор в уравнение ^Шредингера. Положим.

cos со/. (37.5)

Длину волны излучения будем считать большой по сравнению с размерами атома. Для видимого света, например, она в 104 раз больше атомного радиуса. Поэтому поле 80 практически однородно, находясь в одинаковой фазе во всем атоме. Отсюда видно, что поправка к гамильтониану, т. е. возмущающая энергия, согласно [33.53] выглядит так:

Нш=-^, (37.6)

где d — оператор дипольного момента атома. Если обозначить гамильтониан невозмущенной системы через Н^\ то уравнение Шредингера будет иметь вид:

- z dgt=Hw^-¥Hw^.

(37.7)

Разлагая волновую функцию на невозмущенную часть ф(0) и возмущение фЦ), линейное относительно £ и поэтому малое, получим уравнение, применявшееся ранее (32.29):

^^-Н^^Н^^-(37.8)

Невозмущенная функция ф(1) представляется в виде разложения по невозмущенным волновым функциям с коэффициентами, зависящими от времени:

<Г=ЕМИГ(37.9)

п

Для коэффициентов разложения получается система обыкновенных дифференциальных уравнений [32.32]/ в которой амплитуда с0 невозмущенного состояния фо0’ в правой части заменена единицей:

А^ = ^ ^оТ/^’гро0 dV.(37.10)

При этом зависимость правой части от времени известна:

Пользуясь обычными обозначениями матричных элементов [27.31:

ЧЕп-Е«У

h ^й'п^\ (Зул) запишем уравнение (37.10) так:

4 Уи = “ ^б'^'^^ +е''(37.12)

Чтобы проинтегрировать это уравнение, надо наложить на с л некоторое начальное условие. Естественно считать, что внешнее поле действует достаточно долго, так, что все переходные процессы, связанные с его включением, не сказываются к данному моменту времени на состоянии атома. Можно положить, например, что внешнее поле зависит от времени по такому закону:

£ ^S^ cos со/, /<0, а>0, а<^о),

^:^0cos(iV, /^0.(37.13)

Здесь амплитуда со временем постепенно нарастает до ее постоянного значения 80. Этот закон изменения поля надо подставить в (37.12), проинтегрировать от — оо до любого /^ 0 и устремить а к нулю. После этого для любого момента времени получается единая зависимость сп от /:

Индуцированный дипольный момент. Среднее значение дипольного момента вычисляется по общей формуле [25.191 для квантовомеханических средних:

(d) = ф* ^ф dV ™ (ф0 * +ф(1):,:)5 (ф(0) +ф(1)) dV. (37.15)

Член, квадратичный относительно ф(1), надо, конечно, отбросить, так как вычисления ведутся с точностью до величин, пропорциональных So в первой степени. Член ^°*^(0)dV не имеет отношения к вопросу о поляризации, вызванной внешним полем. Кроме того, если функция ф(0) является четной или нечетной относительно инверсии, то этот собственный дипольный момент равен нулю, так как тогда все подынтегральное выражение нечетно. Следовательно, средний дипольный момент, ответственный за дисперсию, равен

<d> = 5Й11) Т^0* ^(01) dV. (37.16)

Подставим сюда разложение (37.9) и проинтегрируем ряд почленно:

<d>-S(с„5-ф<°>* d< dV + с* d< dV\ (37.17) п

Вошедшие сюда интегралы снова суть матричные элементы дипольного момента. Подставляя их выражения из (37.11), запишем выражение для среднего дипольного момента так:

<d> = 2 (cne-itond d’On ^e^d'^.(37.18)

При помощи формулы (37.14) для сп получим окончательно:

п

/ pitotp-i&t \1

+(37.19)

Здесь уже можно было писать don вместо d^, потому что временные сомножители е‘ lto^ сокращаются.

Чтобы вычислить поляризацию атома световой волной, достаточно знать проекцию дипольного момента на направление поля. Если, например, электрическое поле падающей волны направлено по %, то в выражение (37.19) войдут только составляющие моментов перехода, направленные по оси х, т. е. матричные элементы х:

2aZLUo+o> + o>no-J ®°'Xn01 +Ь^^г+;^+7;Го"п ]•

(37.20)

При замене x„nxn„ на | хп0 |2 использована эрмитовость матричных элементов (xon = хХУ

Выполняя простые алгебраические преобразования и вводя само электрическое поле 8 вместо его амплитуды <$0> получаем:

/лх V ^o^qP2 I хп^ ~/лх V ^o^qP2 I хп^ ~(37.21)(37.21)

/лх V ^o^qP2 I хп^ ~

/лх V ^o^qP2 I хп^ ~

(37.21)

(37.21)

Дисперсионная формула. Подставляя средний дипольный момент в выражение электрической поляризации, находим диэлектрическую проницаемость:

е (со) = 1 4е (со) = 1 44л№ у 2<опО | хн0 рА ^ со=о —о>2 • п4л№ у 2<опО | хн0 рА ^ со=о —о>2 • п(37.22)(37.22)

е (со) = 1 4

е (со) = 1 4

4л№ у 2<опО | хн0 р

А ^ со=о —о>2 • п

4л№ у 2<опО | хн0 р

А ^ со=о —о>2 • п

(37.22)

(37.22)

Вид зависимости 8 от частоты в точности такой же, как в классической теории дисперсии (37.4), но смысл величин, характеризующих среду, конечно, иной. Частоты со^ заменяют собственные частоты колебаний электронов, что, как указывалось, было основой теории Крамерса и Гейзенберга.

Сопоставим теперь числители выражений, входящих в (37.4) и в (37.22), и покажем, что им можно придать аналогичный смысл. Прежде всего, ясно, что

N^^NU(37.23)

где N — полное число электронов. Обозначим относительную долю каждого колебания через ^:

(37.24)

Тогда

= L(37.25)

Сравнивая классическую и квантовую дисперсионные формулы, видим, что они становятся тождественными, если положить

(37.26)

и доказать, что при таком определении fn условие (37.25) выполняется. Иначе говоря, надо вывести равенство

V 2тюп0 I |2.иV 2тюп0 I |2.и(37.27)(37.27)

V 2тюп0 I |2.

и

V 2тюп0 I |2.

и

(37.27)

(37.27)

Будем исходить из соотношения перестановки между операторами импульса и координаты электрона [24.17]:

рхХ - хрх

h

I

(37.28)

Перепишем его в матричном представлении [26.12]:

У Uw»o - Хопрпо) == р ■(37.29)

Согласно [27.131 матричные элементы координаты и импульса связаны соотношениями вида [27.251:

Роп22^ ^^Ом^От РпО7" ^^^nO^nOt ^Оп ==^лО* (37.30)

Используя эти формулы, получим:

у (irncoo„ I х№ I2 - imtono | хОя I2) ==у-(37.31)

Учитывая теперь, что озоп = — (ояо, мы приходим к равенству (37.27).*

Необходимость этого равенства, вероятно, и привела Гейзенберга к идее о неперестановочных матрицах координаты и импульса.

Заметим, что величины /^ (они называются силами осцилляторов) пропорциональны тем же матричным элементам, которые входят в вероятности испускания и поглощения соответствующих квантов [§ 361. Поэтому дисперсионные свойства вещества связаны с интенсивностями испускаемых им спектральных линий.

Частота, близкая к резонансу. Дисперсионная формула (37.22) теряет силу, если частота излучения со близка к одной из частот перехода п0, так как при со = о)^() соответствующий знаменатель обращается в нуль. Этот случай требует особого рассмотрения.

- Если на атом падает волна с частотой, близкой к частоте перехода, то происходит «накачка» /г-го уровня, т. е. число атомов в этом состоянии растет. Но возбужденный атом способен испускать кванты. Поэтому «накачка» не может происходить неограниченно.

Чтобы учесть это обстоятельство, надо по-новому написать уравнения для амплитуды возбужденных состояний сп. В уравнении (37.12) достаточно удержать только второй член справа. К нему надо прибавить еще один член, описывающий изменение амплитуды вероятности сч вследствие испускания квантов.

Возбужденное состояние живет конечное время и поэтому имеет энергетическую ширину, не равную нулю. Соответственно не следует заранее полагать частоту кванта строго равной частоте падающего света. Назовем частоту испущенного кванта где индекс к включает все параметры, задающие состояние кванта, т. е. волновой вектор и поляризацию.

Обозначим матричный элемент, соответствующий испусканию кванта, через Нпк. Его зависимость от .времени определяется экспоненциальным множителем:

Нпк-е^-ю^Н;к.(37.32)

Поэтому изменение амплитуды сп задается уравнением

_ А ^ = - ^™е1V е-'(“„о-"/,)‘н',1кск. (37.33)

"к

Здесь первое слагаемое соответствует поглощению падающего излучения основным состоянием с переходом в п-ое состояние, а второе слагаемое — испусканию кванта с частотой о^. По всем таким квантам произведено суммирование. Амплитуда того состояния, в котором присутствует квант с частотой со^, обозначена через ск.

Она, в свою очередь, изменяется за счет обратного поглощения этих квантов. Поэтому

(37.34)(37.34)1г ДСК _„_it.—i^ -toy

(37.34)

(37.34)

. dt

Здесь не производится суммирование, потому что при поглощении такого кванта система просто возвращается в состояние п. Уравнения (37.33, 34) написаны по общей схеме, найденной в [§ 32]. Начальные условия, как обычно, выглядят так: сп (0) = 0, ск (б)=0.

Введем вместо ск новую неизвестную функцию ск следующим образом:

(37.35)

Тогда функция ск удовлетворяет уравнению

d^ + i(<oft-<on0)^==- ' 7/Lcn,(37.36)

at

в которое время явно не входит.

Сначала будем рассматривать его как линейное неоднородное уравнение с известной правой частью. Его интеграл, удовлетворяющий начальному условию, имеет вид: '

= ~ 3 H'to е'(С) dt'.б= ~ 3 H'to е'(С) dt'.б(37.37)(37.37)

= ~ 3 H'to е'(С) dt'.

б

= ~ 3 H'to е'(С) dt'.

б

(37.37)

(37.37)

Этот интеграл удобно преобразовать по частям, пользуясь начальным условием для сп. Выполнив преобразование, получим:

h 3 юк-юп0 dt1h 3 юк-юп0 dt1(37.38)(37.38)

h 3 юк-юп0 dt1

h 3 юк-юп0 dt1

(37.38)

(37.38)

Подставим теперь ск в уравнение (37.33) и переставим суммирование по к с интегрированием по f:

dc^ i (0)^_ to) t

i df “' 2

dt'dt'(37.39)(37.39)

dt'

dt'

(37.39)

(37.39)

Сумма по к фактически сводится к интегралу. Обозначая число состояний кванта, приходящихся на единичный интервал энергии,

через р (Ек) dEk = hp (Ek) dak, можно переход от суммирования к интегрированию символически записать так:

(Ек) dak.к

Таким образом, в формулу (37.39) входит интеграл

\ р (Ек) | Н'Пк |2 ——dtok. (37.40)

Если разность / — f велика, этот интеграл равен просто -лф(о)„0);^(37.41)

[см. доп. задачу в) к § 32].

Отсюда видно, что он не зависит от времени. Сюда подставляется резонансная частота шк = (оло, как в р (со*), так и в матричный элемент Н'гк. Этот результат выводится тем же способом, что и весьма похожая формула [32.421 в теории квантовых переходов. Обоснование состоит в том, что максимум подынтегральной функции тем острее, чем больше разность / — /'. Таким образом, получается: ddt =p(ton0)\H'nk\»cn. (37.42)

Коэффициент при сп согласно [§ 36] есть не что иное, как половина вероятности Г самопроизвольного перехода из n-vo состояния с испусканием кванта:

{ = J|^|2p((0n0).(37.43)

Аномальная дисперсия. Теперь надо найти амплитуду вероятности с.ч и па ней — индуцированный дипольный момент в резонансном случае. Уравнение для сп согласно (37.42,43) имеет вид:

1^+ 2(37.44)

Отсюда получаем:

c^ — iN^e- 2 еТ + z(%o-®)rо

37.45)37.45)Слагаемое, которое обязано нижнему пределу интегрирования, содержит экспоненциально затухающий множитель е 2 . Поэтому при интегрировании достаточно подставить верхний предел. Для искомой амплитуды сп получаем:

37.45)

37.45)

" 2Л/Г

w/io w 2

Ей соответствует индуцированный дипольный момент, который согласно (37.20) имеет вид:

(d) =1.(37.46)

Полученное выражение справедливо только в окрестности р

резонанса, т. е. при [со^ —2 . Оно, в частности, не удовлетворяет требованиям четности (36.14, 15). Но вдали от резонанса достаточна формула (37.27). Точной и общей формулы, которая годилась бы и вдали, и вблизи от резонанса, не существует.

Диэлектрическая постоянная вблизи резонанса — комплексная функция частоты:

е (ю) = 1 + ±!У1_(37.47) ^/zo ^2

Согласно f§ 361 и (37.43) Г тоже выражается через | х„0 |2:

4е2(о^п

(37.48)

Отметим, что в (о) обращается в бесконечность при со со^ — ^, т. е. в точке комплексной плоскости, лежащей ниже действительной оси. Но выше нее в (со) везде конечна, как и должно быть согласно принципу причинности (§ 36).

Разделяя действительную и мнимую части (37.47), находим:

е' (го) = 1 +,(37.49)

((O„o —ш)2 + "4"

е" (<о) =(37.50)

(a)„o-<o)2+ ^

Следовательно, согласно общему требованию (§ 36) г" = 0. Заметим, что результатом задачи 1 § 36 здесь нельзя пользоваться, так как в" (со) убывает недостаточно быстро при со сю. Но это не должно рассматриваться как недостаток формулы (37.50), справедливой по самому выводу только вблизи резонанса.

Проследим теперь ход действительной и мнимой частей в (со) с возрастанием частоты. При со < <олО действительная часть в' (о) далеко от резонанса возрастает с увеличением со, как (со„о — со)"1. Такая зависимость называется нормальной дисперсией. При со =

Г

= тп() — 2 величина в проходит через максимум и далее убывает

Г

до (0 = 0)^ + 2 , гДе имеет минимум; это — область так называемой

аномальной дисперсии. После минимума выражение (37.49) возрастает по относительной величине и стремится к 1 с отрицательной стороны, так что и здесь дисперсия нормальна.

В области аномальной дисперсии в7 (со) имеет максимум при со = (о^. Заметим, что поглощение несколько смещает разонанс от точного совпадения со = (о^, но здесь этот эффект не учтен.

Кривая нормальной дисперсии непосредственно наблюдается методом скрещенных призм. Первая из них развертывает изображение щели в спектр, а вторая, поставленная перпендикулярно, смещает изображение спектра вверх или вниз в соответствии со значением е' (со) (рис. 48). В следующем параграфе будет показано, что функция в7 (со) связана с показателем преломления вещества.

Надо отметить, что величина Г определяет так называемую естественную ширину спектральных линий, связанную с радиационным затуханием. На опыте обычно сильно проявляется допплеровское расширение линий, обязанное тепловому движению атомов. В центре линии допплеровское расширение маскирует естественную ширину, но вследствие экспоненциального вида распределения

атомов или молекул по скоростям оно дает профиль вида е 0)5 (где т — масса атома). Это значит, что на «крыльях» линии проявляется естественное расширение.’

Упражнение 26

Показать, что статическая диэлектрическая проницаемость всегда больше гдиницы.

Указание. Согласно (37.22)

е (0) = 1 + У

v 71 h(о^о

п

Получить классическую дисперсионную формулу с учетом излучения электромагнитных волн электроном, приведенным в колебание падающей волной.

Вводя в уравнение (37.1) силу радиационного трения [20.30], запишем его в виде:

m (r + toir) = ^oe'"''to'' + -| % г.

Отсюда

8 (to) = 1 +8 (to) = 1 +4лЛ?е22 е2

8 (to) = 1 +

8 (to) = 1 +

Мнимый вблизи со —Мнимый вблизи со —т (со2 —со2)— з ко3 ~

Мнимый вблизи со —

Мнимый вблизи со —

член в знаменателе имеет существенное значение (оо. Поэтому в нем можно заменить со2 на со^. Но тогда

нарушится поставленное выше условие нечетности в" (со) по со (36.15).

Переписать формулу (37.47) в таком виде, чтобы для одноуровневой системы далеко от резонанса она переходила в (37.22), а действительная и мнимая части е (оз) удовлетворяли требованиям четности (36.14) и (36.15).

Числитель и знаменатель (37.47) умножим на сопо + ^ Вблизи резонанса в числителе заменим эту величину на 2соЛО, а в знаменателе множитель при Г — на 2со. В результате получится интерполяционная формула

е (со) = 1 + -^-.

v 1 Л со^0 — со2 /соГ

§ 38. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Плоская электромагнитная волна. Первым успехом максвелловской электродинамики было создание электромагнитной теории света, природа которого до этого времени оставалась загадочной. Свойства воображаемого «эфира» представлялись столь странными и противоречивыми, что скорее создавали затруднения в оптике, чем разрешали их.

Основные уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, получаются из (36.7, 8). Приведем их еще раз:

rot ^ = ™ р (со) 3€.rot ^ = ™ р (со) 3€.(38.1)(38.2)(38.1)(38.2)

rot ^ = ™ р (со) 3€.

rot ^ = ™ р (со) 3€.

(38.1)

(38.2)

(38.1)

(38.2)

При е и ц, не зависящих от координат, уравнения для дивергенций излишни, так как они вытекают из (38.1) и (38.2). Умножим уравнение (38.1) на iсоц (со) и заменим под знаком rot величину /сор (со)Ж на rot 8. Тогда получим:

rot rot ^ = — ^8 (со) £.

Но rot rot ^ = V div & — Д^ = — Д<^. Поэтому

Д8 = -Ю2^8.

(38.3)

Ищем решение в виде плоской волны:

8 ~ ¥-tieikr

(38.4)

Подстановка в (38.3) дает:

(®) Р (“)•

(38.5)

Если е и pi — действительные величины, т. е. если частота далека от области аномальной дисперсии, то отношение ^ равно фазовой скорости волны и [19.71:

и=^ь=^.,(38.6)

Групповая скорость волны равна

(38-7)

С этой скоростью, как было показано [19.8], перемещается группа волн, или волновой пакет. В поглощающей среде волновой пакет размазывается. При сильном поглощении это происходит на размерах самого пакета и формула (38.7) теряет смысл.

Из уравнений (38.1) и (38.2) получается соотношение между электрическим и магнитным полями плоской монохроматической волны (38.4):

rot(38.8)

Подставляя сюда

к = “ КеЦ ^о,

где й0 — единичный вектор вдоль направления распространения волны, получим

[^1 = -)/^’(38.9)

или из (38.2):

(38.10)

Таким образом, векторы 8 и 5^ перпендикулярны kOl равно как и взаимно перпендикулярны, но не одинаковы по абсолютной величине, как в вакууме.

Поток энергии в электромагнитной волне определяется, как среднее по времени от вектора Пойнтинга, которое по формуле (35.21) преобразуется к виду:

([^*] + [^]).

Ввиду перпендикулярности ^ и 3€ получим отсюда:

(38.11)(38.11)

(38.11)

(38.11)

Плотность энергии монохроматического излучения в прозрачной среде при г 0 получается путем деления абсолютной величины (Р) на групповую скорость у. Этот почти очевидный результат может быть получен и путем усреднения энергии по времени.

Если имеется и поглощение, то вектор к — комплексный:

к - К е^ “ ^ (П + ix) “ .(38.12)

Здесь п называется показателем преломления, ах — коэффициентом поглощения среды на данной частоте. Заметим, однако, что х может отличаться от нуля и при чисто действительном, но отрицательном е или р. Такие значения 8 и р могут принимать вблизи области аномальной дисперсии, как это видно из формулы (37.3) или (37.22).

Затухающая волна описывается такой зависимостью от координат и времени:

со со

<z>— ttot^-Ш — X — X - X

(38.13)(38.13)8 — с с ,

(38.13)

(38.13)

При комплексных значениях 8 или р векторы^ и Ж различаются по фазе колебаний, как это видно из формул (38.9, 10). При отрицательных е или р разность фаз равна | ^ |.

Пусть р = 1, а частота как раз такая, что 8 (со) == 0. Тогда электрическое поле волны продольно, т. е. направлено по к0. Уравнение (36.10) удовлетворяется тождественно. Магнитное поле волны вообще равно нулю, потому что согласно (36.7) и (36.9) равны нулю

его ротор и дивергенция. Наконец, уравнение (36.8) показывает, что rot 0 и, следовательно, электрическое поле не имеет поперечной составляющей.

Итак, при 8^0 продольны электрические волны, а при р — 0 — магнитные волны.

На рисунке 49 изображена зависимость показателя преломления от частоты вблизи

резонанса, но без учета затухания, при со — co,iO. Со стороны меньших частот (со << (о„о) имеют место соотношения 8> 1, п> 1. Если перейти в область со > со^о, то е (со) сначала меньше нуля, так что показатель преломления чисто мнимый. При таких частотах волны не распространяются в среде, апериодически затухая в пространстве. В точке со = o)L величина 8 (со) обращается в нуль. Эта точка и соответствует продольной электромагнитной волне. Затем 8 (со) становится больше нуля. Здесь волна поперечна

и распространяется без затухания, если 8 (со)—действительная величина. При малом значении Г, т. е. при узкой полосе погло

щения, coL может лежать столь далеко от соло, что истинное погло

щение не существенно.

Волна на границе непоглощающих сред. Рассмотрим отражение и преломление электромагнитной волны на границе раздела двух непоглощающих сред. Пусть падающая волна распространяется в плоскости xz и вектор электрического поля лежит в той же плоскости. Тогда вектор магнитного поля параллелен плоскости ху, разделяющей обе среды (рис. 50). Показатели преломления обеих сред назовем пх и ги, угол между направлением падения волны и перпендикулярном к плоскости обозначим 6.

Чтобы удовлетворить граничным условиям, необходимо принять, что волна не только проходит во вторую среду, но и частично отражается от границы. Это станет ясно из дальнейших вычислений.

Обозначим углы отражения и преломления, показанные на рисунке 50, через 6' и О". Так как изменение фаз вдоль границы раздела определяется множителями ^^^ elZ^ и е1^\ то х-овые проекции волнового вектора всех трех волн &v, ^ и к"х должны быть одинаковыми. Чтобы граничные условия удовлетворялись при всех значениях х, должно выполняться равенство kx-^ Таким же способом убеждаемся, что одинаковы частоты. В дальнейшем частота всех трех волн обозначается просто через со. Из рисунка 50 видно, что ^=^^sinO, /^ = &'sin6', кх^к” sin 6". Из (38.12) при к —0 следует, что к^^ пь к'—

Отсюда получаются равенства:

(38.14)(38.14)sin 0 — sin 6',пх sin 6 — м2 sin 6".

(38.14)

(38.14)

Первое удовлетворяется, если 6' = 6, и выражает известный закон отражения: угол падения равен углу отражения. Таким же образом получаем и закон преломления:

(38.15)(38.15)Sill 6" А?!sin 6гц *

(38.15)

(38.15)

Задача состоит в том, чтобы найти соотношение между амплитудами отраженной и падающей волн. Для этого надо воспользоваться граничными условиями (28.34) и (28.37). Считая, что р 1, как у большинства прозрачных сред, мы значительно упростим окончательные формулы. Оказывается, что достаточно пользоваться граничными условиями только для электрического поля и индукции, а условие для магнитного поля удовлетворится автоматически благодаря соотношениям (38.9, 10).

Для нормальных составляющих индукции имеем:

гц (8 — £') sin 6 ^/z^" sin 6",(38.16)

что непосредственно видно из рисунка 50.

Условие для касательных составляющих электрического поля записывается так:

(^ + ^') cos 6 - 8" cos б".(38.17)

Подставим в (38.16) выражение для пц получаемое из закона преломления (38.15). Тогда

sin 6" (8 — ^') ^sin 6.

Умножим это уравнение на cos б", уравнение (38.17) на sin 6 и вычтем одно из другого. Тогда амплитуда преломленной волны сократится и останется соотношение между амплитудами падающей и отраженной волн:

(8—-8') sin 26" ^(8 4-8') sin 26.

После простых преобразований находим отсюда:

(38.18)(38.18)8' = tg (6-—е)

(38.18)

(38.18)

8tg(6"+6)*

Из вывода ясно, что было бы невозможно удовлетворить граничным условиям (38.16) и (38.17), не введя заранее в рассмотрение отраженную волну.

Формула (38.18) была получена Френелем задолго до Максвелла из представления об упругих поперечных колебаниях воображаемой среды. Френель получил и аналогичную формулу для случая, когда магнитное поле лежит в плоскости падения. Он, разумеется, накладывал условия только на один вектор, не зная о другом. Но, как было указано, если условия для одного вектора удовлетворены, то для другого они выполняются сами собой.

Если волна падает в направлении, близком к нормальному, то у электрического поля остается касательная составляющая, ко-

торая в формуле (36.17) написана со знаком «+-», потому что она направлена в ту же сторону, как и у падающей волны. Но из формулы Френеля видно, что знак отношения 8','8 зависит от того, что больше: угол падения или угол преломления. Так как при малых угла синус и тангенс заменяются на аргумент, то

tg(6"~ 6) __ П^ — П^ tg(6" + 6) " nvA-n^tg(6"~ 6) __ П^ — П^ tg(6" + 6) " nvA-n^(38.19)(38.19)8' lim — lim о^о 6 е-^о

tg(6"~ 6) __ П^ — П^ tg(6" + 6) " nvA-n^

tg(6"~ 6) __ П^ — П^ tg(6" + 6) " nvA-n^

(38.19)

(38.19)

Следовательно, при нормальном падении на границу среды с большим показателем преломления знак поля в отраженной волне изменяется.

Это легко наблюдать в так называемых кольцах Ньютона (рис. 51). Плоско-выпуклая линза находится на плоской стеклянной поверхности. В отраженном свете видна система светлых и темных концентрических колец в соответствии с тем, равна ли разность хода между лучами, отразившимися от внутренней поверхности линзы и от плоскости, четному или нечетному числу полуволн. Но внутренний кружок —темный из-за изменения фазы на л при отражении от внешней поверхности стекла.

Если в формуле (38.18) 6 + 6" ^, то тангенс в знаменателе обращается в бесконечность и амплитуда отраженного луча равна нулю. Соответствующий угол падения определится из равенства:

cos 6 — cos — 6"\ — sin 6".

. \ 2 У

Подставляя в него sin 9"=^ sin 6, находим:

(38.20)

(закон Брюстера). Если магнитное поле лежит в плоскости падения, то отношение 8’ ;8 не обращается в нуль ни при каком значении 9 (задача 3).

Пусть на границу раздела падает волна, поляризованная произвольным образом. Ее электрическое поле можно разложить на две составляющие: одну, у которой электрическое поле лежит

в плоскости падения, и другую, у которой электрическое поле находится в плоскости раздела. Отражена будет только вторая составляющая. В результате отраженный луч окажется плоскополяризованным. Это обнаруживается, если поставить второе стекло (именно стекло, а не зеркало!) так, чтобы для него поле волны, отраженной

от первого стекла, теперь оказалось в плоскости падения, а угол падения снова был равен тому значению 6, которое определяется уравнением (38.20). Отражения не произойдет Первая и вторая пластинки называются соответственно поляризатором и анализатором, по их роли в создании и обнаружении поляризации волны.

Поверхностный импеданс. Металл можно рассматривать как среду с очень большой мнимой частью диэлектрической проницаемости. При малых частотах она равна ^ (36.24). Пользуясь комплексной диэлектрической проницаемостью, можно получить формулы, описывающие отражение от металла, по тому же методу, как были найдены формулы Френеля.

Существует приближенный, но более простой подход к задаче, предложенный Л1. А. Леонтовичем. Вместо того чтобы рассматривать электромагнитную волну, быстро затухающую в металле, пользуются соотношением между тангенциальными составляющими поля на поверхности металла. Как было показано в § 35, быстропеременное поле проникает в металл на глубину 6, обратно пропорциональную корню квадратному из частоты и проводимости. Следовательно, производные поля особенно велики в направлении, перпендикулярном поверхности металла. Но тогда из уравнений (38.1, 2) видно, что тангенциальные составляющие полей велики по сравнению с нормальными. Например, если по нормали направлена ось г, то поле имеет большие проекции:

Тангенциальные составляющие поля внутри металла <6t и 3^t связаны соотношением (38.9). Но так как они непрерывны на поверхности металла, то касательные составляющие вне его удовлетворяют той же зависимости:

(38-21)

где ц и 8 относятся к области внутри металла.

Тем самым отражение электромагнитной волны описывается с помощью одной комплексной постоянной

(з8-22)

и граничного условия (38.21). Величина £ называется поверхностным импедансом металла.

С помощью (38.21) легко решается задача об отражении электромагнитной волны от металла. Пусть электрическое поле волны параллельно границе металла ^t^6y Касательная составляющая магнитного поля падающей волны равна | ^ | ^Ждля

отраженной волны, как легко видеть из построения, подобного

приведенному на рисунке 50, | 5^? | = —Э^’ cos 9. Полагая, что вне металла 8 = Ж, получаем из (38.21):

Отсюда находим отношение амплитуд:Отсюда находим отношение амплитуд:(38.23)(38.24)(38.23)(38.24)84-8' ^^ ^Х — Х’^ cos 9 = £ (8 — 8') cos 6.

Отсюда находим отношение амплитуд:

Отсюда находим отношение амплитуд:

(38.23)

(38.24)

(38.23)

(38.24)

8' _1 — L COS 6

$1 + ^ cos 6 *

Выражение для g содержит V8 в знаменателе. А эта величина велика по модулю (благодаря большой проводимости о). Поэтому с хорошим приближением можно записать:

—1+2^ cos 6. (38.24')

Отношение амплитуд поля близко к единице, как и наблюдается при отражении от металла.

Единственное исключение может иметь место, если электрическое поле лежит в плоскости падения. Тогда вместо (38.23) получим:

= (8 - 8') COS 9. (38.25)

Если волна падает под скользящим углом к поверхности ^9^-^-, cos. 9 <С 1), то и при малом значении | ^ | амплитуда отраженной волны 8' может заметно отличаться от 8.

Оставляя в стороне этот особый случай, можно утверждать, что вектор электрического поля, касательный к поверхности, т. е. сумма падающего и отраженного векторов, равна нулю, если поверхностный импеданс достаточно мал. Таким образом, чем сильнее поглощение в среде, тем лучшим отражателем является ее граница: равенство 8Z = 0 обеспечивает отсутствие тока проводимости в металле.

Электромагнитные резонаторы. При генерации электромагнитных колебаний с частотой порядка 1010 и выше используются не контуры с сосредоточенными параметрами, а резонаторы, стенки которых сделаны из хорошо проводящих отполированных металлов.

Считая для простоты, что резонатор ничем не заполнен, можно в уравнениях (38.1, 2) положить 8 1, ц = 1. Применяя операцию rot ко второму из них, получим:

rotrot8^rot^^8.

с с2

Но так как div 8 = 0 согласно (38.1), то заменяем rot rot 8 на — Д8. Следовательно, электрическое (и магнитное) поле удовлетворяет уравнению

(38.26)(38.26)д8 + §8^0.

(38.26)

(38.26)

Запись через оператор Лапласа А полезна только при употреблении декартовых координат. Однако в большинстве случаев в соответствии с формой резонатора применяются криволинейные координаты, и поэтому под знаком rot следует понимать дифференциальную операцию, определенную в [11.47].

Если поверхностный импеданс мал, то граничное условие к уравнению (38.26) состоит в том, что ^t = 0, т. е. электрическое поле не должно иметь касательной составляющей к поверхности. Тогда обращается в нуль нормальная составляющая вектора Пойнтинга Р=4^[ЗД и потерь в стенках резонатора нет.

Уравнение (38.26) вместе с граничным условием Et 0 представляет задачу о собственных значениях частоты со, аналогичную задаче о собственных значениях в квантовой механике [§ 28]. Решения классифицируются по числу узловых поверхностей, на которых обращаются в нуль компоненты электрического вектора. Каждому решению (или, как принято говорить в радиотехнике, «моде» колебаний) отвечает собственная частота. Если резонатор обладает известной симметрией, например сферической, то нескольким «модам» может соответствовать одна и та же частота. В квантовой механике это называется вырождением. Примеры резонаторов см. в задачах 4, 5.

Волноводы. Волноводом называется длинная (неограниченная) цилиндрическая полость с металлическими стенками. Внутри нее распространяются электромагнитные волны, не рассеиваясь в пространстве. Волноводы делятся на два вида: электрические (^), у которых не равна нулю проекция электрического поля на ось трубы, и магнитные (^), с неравной нулю осевой проекцией магнитного поля.

Коаксиальный волновод. Рассмотрим волновод круглого сечения, в котором ни электрическое, ни магнитное поле не имеют составляющей по оси.Поле электромагнитной волны ищем в виде:

^r = %OrWikz ^, ^ = ^ = 0;(38.27)

=(38.27')

Уравнения поля суть:

div^y^o^O,(38.28)

===(38.29)

rotr=^L = i^^ = _ ^ ^г„(38.30)

Остальные уравнения Максвелла выполняются тождественно.

Из последних двух уравнений следует, что ^^--ск, <6 = j%\ как в пустоте. Решение (38.28) имеет вид: %г = — ™ (как в слу-

чае цилиндрического конденсатора). При этом необходимо, чтобы сечение имело вид кольца, а не полного круга, так как в центре круга поле обращалось бы в бесконечность и задача не имела бы решения.

Волновод, в котором (о = ск, обязательно должен иметь двусвязное сечение. Он называется коаксиальным (соосным). Бегущую в нем волну принято называть главной волной.

Заметим еще, что при со ск нет решения, у которого были бы отличны от нуля 8^ и ^ г. Величина 8^ есть тангенциальная составляющая электрического поля на стенках волновода, обязанная равняться нулю. Но тогда уравнение, аналогичное (38.30), показывает, что на стенке равнялась бы нулю и нормальная составляющая магнитного поля Нг. Этому требованию не удовлетворяет решение уравнения, аналогичного (38.28), имеющее вид av/^ СОП51

Волны вдоль проводов. К задаче о распространении главной волны близко примыкает задача об электромагнитной волне, бегущей вдоль длинного проводника. Будем снова полагать, что зависимость поля от координаты вдоль провода такая же, как в бегущей волне, т. е. поле пропорционально e"ltot'vlk^.^ электрическое поле в поперечном направлении зависит от координат, как электростатическое. В исходном приближении получится то же самое, чгои в задаче о главной волне. Требуется в первом приближении учесть конечное сопротивление провода.

Пусть заряд, приходящийся на единицу длины провода, е, а ток в продольном направлении /. Закон сохранения заряда требует, чтобы

(38.31)(38.31)де^1

(38.31)

(38.31)

diдг *

Потенциал в данной точке провода связан с зарядом электроста

тическим соотношением

(38.32)(38.32)е = С^),

(38.32)

(38.32)

где С — емкость единицы длины провода.

Градиент потенциала вдоль провода равен взятому с обратным знаком току, умноженному на импеданс единицы длины Z — см. (35.28). Но в этом импедансе нет емкостного слагаемого, так как емкость уже учтена уравнением (38.32) и не влияет на соотношение между током и продольным полем — ^. Она как бы подсоединена параллельно, а не последовательно.

Запишем поэтому:

~^ = IZ = (R -to^L~^ = IZ = (R -to^L(38.33)(38.33)

~^ = IZ = (R -to^L

~^ = IZ = (R -to^L

(38.33)

(38.33)

Дифференцируя обе части равенства по г и заменяя ~ согласно (38.31) на — др получим:

дг2 " С Z dt ~дГ(38.34)

При частотах, применяемых для передачи сигналов вдоль проводов, постоянные среды практически не зависят от частоты. Поэтому .о д

множитель — zco можно заменить производной^ , после чего частота больше никуда не входит. Отсюда получается искомое уравнение (его называют телеграфным уравнением):

Напоминаем, что индуктивность здесь берется в электромагнитных единицах. Чтобы перейти к гауссовым единицам, ее надо поделить на с2.

Если пренебречь сопротивлением, то оказывается, что сигнал передается по проводам со скоростью света. Это можно показать следующим образом. Между электрическим и магнитным полем согласно общим равенствами <6^ ^х имеется симметрия.

Если ввести потенциал ф, для которого

х дх ’ у ду ’

то электрический и магнитный потенциалы вместе удовлетворяют условиям Коши — Римана (§ 15). Следовательно, все электромагнитное поле определяется с помощью одного комплексного потенциала ф + /ф. Векторные линии одного совпадают с эквипотенциальными линиями другого. Оказывается, что коэффициент ^ в уравнениях электростатики занимает то же место, какое X занимает в уравнениях магнитостатики. Так как они определяются одним и тем же комплексным потенциалом, то ^С 1 (где ^ и С выражены в гауссовых единицах). Поэтому при ^ = 0 телеграфное уравнение (38.34) переходит в простое волновое уравнение:

=(38-36)

которое описывает распространение сигналов с фундаментальной скоростью с.

Упражнение 33

Показать, что, если закон дисперсии выражается формулой (37.3), то групповая скорость всегда меньше скорости света в пустоте.

Записываем выражение для величины, обратной у:

1 дк 1 к" , д| Г\у до) с уdto /

Требуемое неравенство сводится к тому, чтобы

1 со де т /—

8 + У 8 • •1 2 dco '

де

Так как производная ^ > 0 (нормальная дисперсия!), то при 8>1 требуемое неравенство выполняется. При 0^8^ 1

! со де . ( я2со2

8 + ¥ дсо " 1 + (сор^2)7 ’

Эта величина больше, чем 1/е = ]/ 1 4--^—, в чем легко убедиться, возводя обе стороны неравенства в квадрат. Отрицательные значения 8 заранее исключены, так как отвечают области поглощения.

Волна падает из среды с большим показателем преломления пх на границу среды с меньшим показателем п2 под таким углом 6, что

-1 sin 6 > 1.

Рассмотреть волну во второй среде.

Этот случай, как известно, называется полным внутренним отражением. На самом деле, однако, волна немного проникает во вторую среду, но экспоненциально затухает в ней, так что энергия остается в первой среде.

Нормальная проекция волнового вектора во второй среде равна я2у cos 6" = я2 у V1 " sin2 6"

= Пг “ у 1 - sin2 6 = i “ l/«iSin26 - и;'.

Следовательно, волна, попавшая во вторую среду, ослабевает по закону

—V п-л sin2 0 —zz^

-е с v 1-.

Касательная составляющая волнового вектора равна я2 у sin 6. Таким образом, к" имеет действительную составляющую по х и мнимую по г. Но так как они взаимно перпендикулярны, то к”-> со2

является действительной величиной, равной ^2cy> как и должно быть.

Получить формулу Френеля для того случая, когда магнитное поле лежит в плоскости падения.

Ответ:

^' _ sin (0" — 6)

§sin (0"+ 6) *

Найти собственные частоты и собственные колебания поля в резонаторе с идеально отражающими стенками, имеющем форму параллелепипеда со сторонами av а2 и а3.

Компоненты электрического поля выбираем в виде:

g = g^-w cos М sin ^ sin ^

Лага2а3 ’

g = ^-wsin^cos^sin^( ’

^^ага2а3 э

, = g«e-,w sin ^ sin ^ cos,

Щ а2 а3 '

где пъ п^ и п3 — целые числа, из которых ни одно не равно нулю.

Эти составляющие удовлетворяют граничным условиям ^ — О на всех стенках. Из уравнения div © = 0 следует соотношение

Щ «2^3 "

между амплитудами ^, ^и и ^г. Уравнение для частоты запишется так:

с2 ”\ а^ ‘ а^ '

При nY = п2 = ^з = 1 получаем наименьшую, т. е. основную, частоту.

В сферическом резонаторе радиуса а отлична от нуля только азимутальная составляющая магнитного поля, не зависящая от азимута и не имеющая нулей по полярному углу 'О' при 0 < ф < л. Найти частоту колебаний (основную для данного случая).

Отличны от нуля только составляющие rotr 38 и rotQ 38 соответственно равные

rotr5^ =——«ЛsinOa%Sp, rot^5^ =

г Г Sin О' дО1ср иг ^ Ф

У величины rot rot 38 остается составляющая по азимуту ф:

roL rot 38 = —A ~4-n X sin О4

Ф\ г 5Г2 Ф Isin ффус2 ф-

Сферическая функция самого низкого порядка, не имеющая нулей в области 0 < О' < л, равна Р\ (cos О) = sin О; в этом легко убедиться с помощью [29.9]. Подставляя ^'^ =(г) sin О, найдем

уравнение для S^ (г):

iy!r^_?^ =

г dr2гс2

Ему удовлетворяет функция

1 /, sin кг\

- cos кг,

что легко проверить подстановкой. Она регулярна при г = 0.

На поверхности сферы равна нулю составляющая электрического поля ^, которая пропорциональна rot» Э^. Следовательно, при г — а

(1г^\=0,

\dr )г=а ’ или

ctg ка^^ — ка.

Отсюда ка = 2,74, со = 2,74

Если взять шаровую функцию более высокого порядка У/ (/ > 1), то порядок се обращения в нуль при # = 0 и 0* = л увеличится. Это дает большую собственную частоту.

Найти минимальную частоту волны Е-типа, которая может распространяться в волноводе прямоугольного сечения со сторонами ал и а^.

Электрическое поле надо взять в виде:

М2 ЗХПл • зит»

= е т ^ cos —-

+ ik^z sin—1 cos,

g -WVsin^zax a2

Отсюда находим частоту колебаний:

со2 = с2 (^2 + ^пХа^ + ^гца^.

Эта зависимость со ^к^ приводит к дисперсии, т. е. к зависимости скорости сигнала ^1к2 от частоты со. Минимальная частота, которую пропускает волновод, равна

, Г

СО = ЯС I/ — +.

Существование минимальной частоты пропускаемого сигнала — общее свойство всех полых внутри волноводов.

Нет дисперсии только у коаксиального волновода, у которого со = ск. В нем может распространяться главная волна.

Написать выражения для показателя преломления и коэффициента поглощения, если 8=8' + 18".

Из определения n + ix^V^ + ^"получаем:

/г2 — х2 = е', их = у.

Отсюда следует, что и2 и — и2 — это корни квадратного уравнениях2 — хе —f —О-

Поэтому

8. Показать, что при ц = 1 мнимая часть поверхностного импеданса отрицательна. g

Из определения величины | получаем:

Корень выбирается со знаком «+»; так как ^ > 0, то энергия должна поглощаться в металле. Поскольку г" > 0, то V < 0.

§ 39. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПОЛЕЙ

Магнитное вращение плоскости поляризации. Фарадей был интуитивно убежден в существовании связи между электромагнитными и световыми явлениями. В поисках этой связи он открыл в в 1845 г. вращение плоскости поляризации света в веществе, помещенном в магнитное поле.

Расположение опыта при этом следующее. Через отверстие, просверленное в башмаках электромагнита, пропускается луч пло- скополяризованного света, который, таким образом, проходит часть пути параллельно линиям магнитного поля. При этом плоскость поляризации поворачивается на угол, пропорциональный напряженности поля и длине пути в нем.

Эффект Фарадея объясняется на основании теоремы Лармора [17.191, согласно которой система зарядов, помещенная в постоянное магнитное поле Н, приходит в равномерное вращение с угловой скоростью:

(39.1)

Рассмотрим теперь плоскополяризованную волну, распространяющуюся вдоль линий магнитного поля по оси 2. Без магнитного поля плоскополяризованная волна тождественным образом разлагается на сумму двух волн, поляризованных по кругу [§ 181:

1\in, (to) --- 2— iCO/4" in- (to) " 2

2c + (^i~^2)ec J* (39.2)

Здесь i ^i| = | ^21 > ^1^2 = 0.

Каждое слагаемое в правой части равенства описывает волну, поляризованную по кругу; вектор поляризации такой волны вращается вокруг направления ее распространения с угловой скоростью (О.

В магнитном поле, направленном по оси 2, к этой угловой скорости прибавляется ларморовское вращение электронов в молекулах среды. Точнее говоря, если перейти к системе отсчета, связанной с молекулой, то на электроны действуют волны, поляризованные по кругу с частотой со ± col, смотря по тому, вращается ли вектор поляризации волны в ту же сторону, куда происходит ларморовская прецессия, или в противоположную. Соответственно этому надо изменить выражение (39.2) следующим образом:

(39.3)

Если поле не очень сильное, то показатель преломления можно разложить в ряд:

п(й)±©1) = п((о)±:©2,^.(39.4)

Тогда электромагнитная волна представляется следующим образом: со Г/сою^ дпitotoL дп 1

g Г 'Wra(ю> 721+ zg2) " + (^ - i$2) Г2 J =

— 1(о/ + ш(ю) ~ z г~>/ to дп \( со дп \1

= ес H^xcos со£-—ч-z — e2sin <oL —z .(39.о)

L \ с dto /4 L с да /] v 7

Второй сомножитель в выражении (39.5) описывает равномерное вращение вектора поляризации волны, угловая скорость которого равна

(39.6)

Эффект тем больше, чем сильнее дисперсия.

Естественная оптическая активность. Право-левая асимметрия в области элементарных взаимодействий открыта недавно, в 1956 г., Ли и Янгом. Аналогичная асимметрия у молекул (стереоизомерия) известна уже более ста лет, со времени Пастера. В процессах биосинтеза участвуют стереоизомерные молекулы, создающие из неорганических веществ (N2, О2, СО2, Н2О и др.) новые стереоизомерные органические молекулы. Чрезвычайно трудно понять, обязано ли преобладание правых изомеров над левыми в одних случаях и левых над правыми в других какой-либо случайности в самом процессе начального зарождения жизни или имеет особое, более глубокое значение. Последняя возможность представляется, одцако, крайне маловероятной, так как слабые элементарные вза-

имодействия, которые в миллиард раз меньше электромагнитных, едва ли имеют отношение к химико-биологическим процессам, происходящим, в конечном итоге, только за счет сил электромагнитной природы. А законы электромагнетизма, т. е. уравнения Максвелла, вполне симметричны относительно перехода от правой координатной системы к левой (инверсии).

Инверсия, как известно, есть дискретная операция, совершенно независимая от поворотов координатной системы [см. стр. 176]. Определитель преобразования инверсии (т. е. перехода х->-—х, у->- — у, г-> — г) равен — 1, а определитель преобразований непрерывного повороту есть + 1. Поэтому можно представить себе среду, совершенно изотропную относительно вращений, но асимметричную относительно инверсии. Примером такой среды может служить водный раствор сахара: его молекулы ориентированы произвольным образом, но, будучи стереоизомерными, сохраняют это свойство и в воде. Раствор «правых» молекул отличается от раствора «левых» молекул — иногда только один из них сладкий из-за стереоизомерии вкусового рецептора. Кристаллический сахар, конечно, не только стереоизомерен, но и анизотропен, как всякий кристалл.

Распространение электромагнитных волн в изотропной среде, содержащей стереоизомерные молекулы, имеет свои особенности, которые будут здесь рассмотрены. Во введении к § 36 было указано, что индукция может быть связана с полем в среде не только в данной точке пространства, но и в некоторой окрестности точки. В первом приближении такая зависимость должна иметь тензорную форму:

(39.7)

Здесь принято, что индукция линейно зависит не только от поля, но и от его первой производной по координате.

В изотропной среде симметричный тензор второго ранга превращается в скаляр е; из теории дисперсии видно, что тензор диэлектрической постоянной симметричен не только в электростатике, но и в общем случае быстропеременного поля, но мы в § 37 (см. § 40) пока оставили этот вопрос в стороне. Что касается тензора третьего ранга а1кь то в изотропной среде он может быть пропорциональным только инвариантному тензору третьего ранга, сохраняющему свой вид при всех поворотах координатной системы.

Единственный тензор такого вида был построен в [§ 11]; это полностью антисимметричный тензор третьего ранга г1кь определенный равенствами

8123 — 8312 — 8231 “8213 ”$132 “ е321 “ I •

При совпадении любых двух значков компоненты равны нулю. Итак, в изотропной среде aikl = ае^ и равенство (39.7) приобретает вид:

+(39.8)

Его легко привести к векторному виду. Для i = 1, например, имеем (хг = х, х2 = У» я3 = z):

(39.9) или, вообще,

P^e^ + arot^.(39.10)

При инверсии координатной системы векторы D и ^ меняют направления на противоположные, rot ^ знака не меняет, так как rot £ == [v^L а компоненты v, естественно, так же меняют знаки, как и 8,

Следовательно, уравнение (39.10) не осуществимо в среде, симметричной относительно инверсии координатной системы, но может иметь место в асимметричной среде типа сахарного раствора. В такой среде уравнения Максвелла (38.1) и (38.2) при р = 1 принимают вид:

гоШ = — Ze -^ ^ — а • — rot £,(39.11)

rotS = ^.(39.12)

Ищем решение в виде бегущей плоской волны, т. е. пропорциональное etbr. Умножая (39.11) на у и заменяя ~ Э^ на rot ^, получим:

rot rot £ = е ^ £ + ta ^ [fe^].

Так как из (39.11) следует div 8 = 0, то операцию rot rot можно заменить на А и привести уравнение для £ к следующему виду:

^-^У = 1^а\кН(39.13)

Считая, что волна распространяется вдоль оси г (кг = к, kx = ки = = 0), раскрываем уравнение (39.13) по компонентам ^:

^2-e^)^- ^-ak%ti = Q,

„I V(39-14)

i -2- а-^х + (&2 - 8?j gy = 0.

Для того чтобы это уравнение имело решение, его определитель должен равняться нулю:

&2 — 8— ая

с= 0,

. СО2 ,(О2

ИЛИ

(/г2 - е ^ - а2£2 § = 0.(39.15)

Так как рассматриваемый эффект обязан асимметрии молекул, то максимально возможная величина а не больше размера молекулы. Тогда отношение двух членов в правой части (39.10) по порядку величины равно отношению размера молекулы к длине световой волны, т. е. ~ 10~4. Но фактически у сахара а еще значительно меньше \ Исходя из этой оценки и учитывая, что в нулевом приближении к = У е — , можно произведение ак заменить на а/е--.

В следующем приближении ’

, О) /, 1 г— й) \ 1 /2 ч Г— (0 /, . асо \(0 , /— , (О

k+ = — 8± V 8 а— = V 8 — 1 ±= — V 8± — а.

~ с \с /С \ 2с V с2с2

(39.16)

Подставляя это в выражение (39.14), получаем (в том же приближении):

=(39.17)

Если в среду, у которой а ^ 0 (так называемая оптически активная среда), попадает плоскополяризованная электромагнитная волна, то получается эффект, весьма напоминающий магнитное вращение плоскости поляризации. Представляя плоскую волну в виде суммы двух волн, поляризованных по кругу, замечаем, что они в соответствии с двумя знаками в равенстве (39.17) будут обладать различными значениями к, а именно: к^ и к_. На пути г результирующий вектор поляризации повернется на угол

z(^+-^_) = za“2.(39.18)

Если а отлична от нуля за счет находящихся в растворе асимметричных молекул, то, измеряя угол поворота плоскости поляризации, можно определить концентрацию раствора. Для сахарного раствора это было бы непросто сделать путем выпаривания.

Черенковское излучение. В 1936 г. П. А. Ч е р е н к о в наблюдал прохождение быстрых ^-электронов через прозрачные среды. Неожиданно обнаружилось, что возникает слабое свечение.

Задолго до этого, еще до создания теории относительности, А. Зоммерфельд теоретически рассмотрел задачу о движении электрона со сверхсветовой скоростью и показал, что должно возникать электромагнитное излучение, подобное звуковым эффектам в газе при движении тела со сверхзвуковой скоростью. Формально оба эффекта имеют одинаковое происхождение.

Интерес к работе Зоммерфельда, естественно, уменьшился, когда оказалось, что не бывает скоростей движения, превосходящих скорость света в вакууме. Но И. Е. ТаммиИ. М. Франк заметили, что скорость релятивистских частиц может превосходить скорость света в прозрачной среде, равную уЧтри п > 1. Таким образом,

они объяснили излучение Черенкова как испускание света электроном при его движении в среде со скоростью, превосходящей фазовую скорость электромагнитных волн. Излучение испускается только

на такой частоте, для которой у>^-^у, гДе у — скорость элект

рона.

Надо заметить, что нет надобности явно учитывать потери энергии электроном. Само его «сверхсветовое» движение достаточно для создания электромагнитных волн в среде по чисто кинематическим причинам. Хотя на самом деле источником энергии излу

чения является электрон, интенсивность излучения определяется его скоростью, а не ускорением, как в вакууме.

Поле электрона, движущегося в среде. Определим поле излучения, создаваемое электроном. Зная поле, нетрудно найти действующую на электрон тормозящую силу. А значение этой силы, очевидно, численно и есть величина энергии, уходящей в излучение на единице пути электрона.

Чтобы найти поле, удобно представить его в виде интеграла Фурье [§ 19]. Для этого надо сначала выразить плотность заряда и плотность тока электрона в таком же виде.

Так как электрон точечный, то его плотность равна 6-функции от разности г — г0 (гдег0— радиус-вектор точки, в которой в данный момент находится электрон). Так как он движется равномерно, то г0 = у Л Следовательно, плотность заряда р и плотность тока / равны соответственно:

р = еб (г — ©0, /= еуб (г — -у/)(39.19)

(принимаем их = и и vy = и2 = 0).

Разложение 6-функции в интеграл Фурье можно выполнить по формулам, приведенным в т. 1 на стр. 296:

р —еб (г —у/) = ^~~ § d^dkydk^^^-^,(39.20)

' /=Р®=^3 $(39.21)

Чтобы получить гармонические компоненты, надо в этих уравнениях выделить зависимость от времени. В § 37 было указано, что только для таких компонентов возможно написать уравнения Максвелла в случае быстропеременного поля. Учитывая, что -икх = со, и обозначая двумерный вектор с компонентами кх, ky буквой q, перепишем р и / = Д в виде:

р =dxq \ dto e-iti^ • е и x+lqr^ = f р (со) dw, (39.22)

1(2л)3 У Y JJ\/

Ь=^у J dXq ^ dtoe-ltof-euX 14,4 = ^ jx (ш) e"ltot dm, (39.23)

где амплитуды р (со) и jx ((d) видны из равенства.Они представляются как разложения Фурье по ^qr

Полученные плотности заряда и тока надо рассматривать как сторонние по отношению к среде. Поэтому их надо подставить в правые части волновых уравнений:

А ср (со) + ^ to2<p (со) = -1^,(39.24)

А Ах (со) + «МЛ. (to) = - у jx (со),(39.25)

которые получаются обычным способом из (38.1, 2), если заменить поля потенциалами согласно [12.34, 35]:

(39.26)(39.26)8 = цйА — ~ср, 5^ = rot А.

(39.26)

(39.26)

Сравнивая амплитуды разложений Фурье с обеих сторон равенств (39.24, 25), получаем компоненты фурье-потенциалов:

Ф ^ 2л2е (со) иФ ^ 2л2е (со) и9 .9 / 18 f(0)\<72 + со2 -х-—\и2 с2 /9 .9 / 18 f(0)\<72 + со2 -х-—\и2 с2 /(39.27)(39.27)

Ф ^ 2л2е (со) и

Ф ^ 2л2е (со) и

9 .9 / 18 f(0)\

<72 + со2 -х-—

\и2 с2 /

9 .9 / 18 f(0)\

<72 + со2 -х-—

\и2 с2 /

(39.27)

(39.27)

dhx dky e ' y\U2 C2dhx dky e ' y\U2 C2(39.28)(39.28)

dhx dky e ' y

\U2 C2

dhx dky e ' y

\U2 C2

(39.28)

(39.28)

Здесь было учтено, что оператор А, примененный к отдельному компоненту Фурье по со и по q, умножает его на — ^2 + ^j- Легко проверить, что найденные потенциалы удовлетворяют условию Лоренца [14.42], которое в данном случае имеет вид:

. (08-t ТФ +. (08-t ТФ +^ = 0. ОХ^ = 0. ОХ(39.29)(39.29)

. (08

-t ТФ +

. (08

-t ТФ +

^ = 0. ОХ

^ = 0. ОХ

(39.29)

(39.29)

Сила, действующая на заряд, равна произведению заряда на электрическое поле, взятое в месте его нахождения (г±= 0, х = у/) с обратным знаком («—» берется потому, что поле 8 производится самим зарядом). Для одного компонента Фурье это составляет:

— е8 ((d) d(o = — uwA (cd) + £-™ф) dto =— е8 ((d) d(o = — uwA (cd) + £-™ф) dto =?p2(*2 л2 ^“ J?p2(*2 л2 ^“ Jdhv dku a/44 y \c28 c’2dhv dku a/44 y \c28 c’292 + to2 JL \02 C1 /92 + to2 JL \02 C1 /

— е8 ((d) d(o = — uwA (cd) + £-™ф) dto =

— е8 ((d) d(o = — uwA (cd) + £-™ф) dto =

?p2(*

2 л2 ^“ J

?p2(*

2 л2 ^“ J

dhv dku a/44 y \c28 c’2

dhv dku a/44 y \c28 c’2

92 + to2 JL \02 C1 /

92 + to2 JL \02 C1 /

Здесь учтено, что сила параллельна скорости электрона. При интегрировании удобно перейти к полярным координатам, заменяя dkxdky на 2nqdq. Кроме того, к полученному выражению поля надо прибавить такой же член от разложения (39, 20.21) для отрицательной частоты со, чтобы получилась вся гармоническая составляющая, отвечающая | со|:

(39.31)

Вычисление интенсивности черенковского излучения. С первого взгляда может показаться, что формула (39.31) дает нулевое значение поля. На самом же деле, правильная величина эффекта получается путем предельного перехода.

Мы неявно полагали, что среда прозрачна, так что 8 (со) имеет только действительную составляющую е' (со), которая является четной функцией частоты согласно (36.14): е' (со) = е' (—со). Но тогда каждое слагаемое под интегралом в (39.31) не имеет определенного значения, так как при и > -^ второе слагаемое в знамена-

V 8

телях отрицательно и существует положительная величина q^^^^L^L — З^у обращающая знаменатель в нуль.

Чтобы вычислить интеграл, заметим прежде всего, что не существует идеально прозрачных сред. Величина 8 (со) всегда имеет небольшую положительно-мнимую часть 8" (со), а 8 (—со), соответственно, мнимую часть —8" (со); ведь согласно (36.15) 8" (—со) = = —8" (со). Благодаря этому знаменатели в соответствующих точках равны не нулю, а мнимым величинам противоположных знаков. При стремлении 8" (со) к нулю интеграл (39.31) стремится к определенному конечному значению.

Заменяя qdq на ^ d^ и вводя очевидные сокращения, надо вычислить предел при Х->0 такого выражения:

ооооа

2 J £ —2 J £ — а — IX 2 j £—-a-\-iX ООО

cotzсо

J а — £ — IX 2 J Н — a — IX 2 j a —£ + /V а0а

Объединим первый интеграл с третьим и второй с четвертым:

б-^ + Х^} (а-^ + Хз -

Оа

— I arctg | — i arctg ^^ |• 21 arctg у.

Оа

Когда А->0, получаем искомый предел, равный — л/. Следовательно,

— е§ (со) dto = e2to dto2 V(39.32)

х 7\С28 (со) У2 /х 7

Отметим, что если для данной частоты у<—ч^=, то знаменатели

V 8 (О))

подынтегральных выражений не обращаются в нуль и разность слагаемых под интегралом (39.31) равна нулю. Черенковское излучение исчезает.

Компоненты Фурье в разложении электромагнитного поля движущегося заряда, вообще говоря, не соответствуют никакому реальному излучению электромагнитных волн под произвольным углом. Последнее всегда соответствует условию k = ^Vе- Исходя из этого, легко найти тот единственный угол, который образует направление реального излучения данной частоты с вектором скорости летящего заряда. В разложениях была сделана замена со = = кхи, или со = ku cos 6. Но если к —волновой вектор излучения, то он равен и у ]/е. Следовательно,

cos 6=~4=.(39.33)

У Г 8

Отсюда еще раз видно, что излучение может происходить только _ с

тогда, когда у >

V 8

Рассеяние света флюктуациями. Никакая среда не может быть идеально однородной. Благодаря тепловому движению в ней возникают флюктуации плотности. Но отсюда следует, что плоская электромагнитная волна, проходя через среду, непременно искажается: неоднородности рассеивают ее.

Найдем декремент ослабления плоской волны благодаря такому рассеянию в газовой среде. Пусть в некотором объеме V число молекул флюктуативно изменилось на ДАЛ Дополнительный дипольный момент объема V в поле плоской электромагнитной волны §, вызванный этой флюктуацией плотности, равен

(39.34)(39.34)Ad=^V ДМ,

(39.34)

(39.34)

где р — коэффициент пропорциональности между дипольным моментом молекулы и внешним полем 8 (в предположении, что он целиком обязан этому полю). Величину [3 легко связать с диэлектрической постоянной газа. Если плотность газа п, то дипольный момент единицы объема (поляризация Р) в поле ^ равен пр^. Поэтому диэлектрическая проницаемость выражается так:

е (со) 1 + 4л/гр ((о).(39.35)

Так как поле зависит от времени по гармоническому закону, то вторая производная дипольного момента равна

со2Р (со)£ ДА.(39.36)

Интенсивность рассеянного излучения согласно [20.28] определяется так:

1=1 К^ = ^ 0)4p2g2 (Д Nf.(39.37)

Поток энергии рассеянного излучения, выходящий из единицы объема, т. е. у, надо усреднить по флюктуациям. Как было показано в задаче 1 § 10, в газе (ДА)2 = М.

Затухание первоначальной плоской волны обязано не поглощению, а рассеянию излучения и относится не к амплитуде, а к квадрату амплитуды волны, т. е. к потоку энергии. Обозначая затухание на единице длины через ^, видим, что ц равна отношению величины 1IV к потоку энергии -^- падающего излучения. Коэффициент р обычно заменяется на -^- согласно (39.35). Поэтому

(39.38)

Таким образом, рассеяние на флюктуациях тем сильнее, чем выше частота излучения. Атмосфера рассеивает в солнечном спектре всего сильнее лучи синего цвета, чем объясняется синий цвет ясного неба.

Рассмотрим вкратце вопрос о поляризации рассеянного излучения. Формула (39.34) показывает, что наведенный дипольный момент параллелен полю. Электрический вектор рассеянного излучения, как известно из [§ 20], лежит в одной плоскости с дипольным моментом и направлением рассеяния. В любом случае вектор электрического поля падающей волны перпендикулярен ее направлению. Следовательно, излучение, рассеянное под прямым углом к направлению падающего излучения, имеет электрический вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной падающему лучу. При этом условии он компланарен с направлением рассеяния и индуцированным дипольным моментом. Поэтому естественный, не поляризованный свет 396

рассеивается в перпендикулярном направлении, как плоскополя- ризованный. В других направлениях он поляризован частично, имея преимущественное направление для электрического вектора.

На самом деле, величина [3 для отдельной молекулы есть тензор, а не скаляр. Ее индуцированный дипольный момент не параллелен полю. Поэтому не получается полной поляризации даже в идеально прозрачной, не замутненной атмосфере. Кроме того, один и тот же луч может рассеиваться неоднократно, и это тоже нарушает полную поляризацию.

Человеческий глаз не реагирует на поляризацию света. Но глаз пчел к ней чувствителен. Пчелы в полете ориентируются по солнцу, но, чтобы узнать его положение на небе, им достаточно света хотя бы от небольшого участка неба, не закрытого облаками.

ЧАСТЬ IV

ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА

§ 40. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Общая теория неравновесных состояний статистических систем, имеющих большое число степеней свободы, пока не сформулирована столь совершенным образом, как теория равновесных состояний, основанная на распределении Гиббса (§ 7). Но существуют соотношения, справедливые для состояний, близких к равновесному. При их выводе обычно считается, что система подвержена некоторому внешнему воздействию, выводящему ее из равновесия. Если воздействие несильное, то отклонение от равновесия в большинстве случаев может описываться с помощью линейных разложений по амплитуде возмущения. В этом случае оказывается, что есть общие соотношения между коэффициентами линейных форм, выражающих скорости процессов, происходящих в системе, через амплитуды приложенных к ней возмущений.

Теорема Онсагера. Допустим, что в системе имеются некоторые статические внешние воздействия, которые выводят ее из состояния статистического равновесия. Если, например, в проводнике есть градиент электрического потенциала или в среде с произвольными свойствами есть градиент температуры, то пока поле или градиент температуры не станут равными нулю, равновесие невозможно.

Как было указано в § 31, эти градиенты могут вызывать нарушение равновесия двоякого рода: градиент потенциала создает не только электрический ток, но и тепловой поток, а градиент температуры тоже вызывает потоки обоего рода.

В анизотропном проводнике градиент потенциала по одной координатной оси может вызывать ток и по другим осям, если тензор электропроводности oik имеет недиагональные компоненты.

Л. Онсагер показал, что между недиагональными компонентами Oih, или перекрестными коэффициентами, выражающими поток тепла через градиент потенциала и электрический ток через градиент температуры, существуют соотношения симметрии, вытекающие из весьма общих свойств статистических систем. Введем понятие среднего значения некоторой аддитивной, но неравномерно распределенной в пространстве величины х в объеме тела V:

х=-р x(r) dV, (40.1)

где х (г) — локальное значение этой величины в точке г объема V. dx

Тогда х = ^ характеризует поток данной аддитивной величины через поверхность, окружающую объем. Например, если х — заряд, то х — ток, если х — энергия, то х — полный поток тепла и т. п. Величины х можно без ограничения общности отсчитывать от их средних, т. е. равновесных, значений, полагая х — 0.

В термодинамическом равновесии энтропия данного объема S максимальна, так что равновесное значение величины хк находится из условия

Х. = ^-°. (40.2)

Если Хк Ф 0» то равновесие не наступает. Величины Хк — это как бы силы, выводящие систему из равновесия. При слабой неравно- весности величины хь которые обращаются в нуль в состоянии равновесия, задаются линейными функциями от Хк. С учетом правила суммирования по двойным значкам запишем уравнение, связывающее Xt и Хк:

Х1 = а,1кХь. (40.3)

Это равенство определяет величины а^, называемые кинетическими коэффициентами. Теорема Онсагера состоит в утверждении, что ^ih ^kb

Для доказательства надо рассмотреть две средние величины:

Xi (/) xh (/ + т) И Xi (t + т) хк (/) .

В первой из них при усреднении величина хк берется в более поздний момент времени, а во второй — к более позднему моменту отнесена величина х1е Если на систему не наложено внешнее магнитное поле, то ее свойства симметричны относительно замены / на —t, т. е. относительно инверсии времени. Во внешнем поле надо дополнительно к / изменить знак при 3€.

В системе, симметричной относительно замены / на —/, безразлично, что брать в более поздний момент времени: Xi или хк. Поэтому два указанных средних значения равны между собой:

Xi (О хк (I + т) = Xi (t + т) хк (/). (40.4)

Считая промежуток времени т малым, разложим по нему хк и Xi в ряд и ограничимся первым членом разложения. Тогда равенство (40.4) надо будет записать так:

XiXk — xtxk. (40.4')

Чтобы выполнить усреднение, вспомним, что е5^’ хз’”‘ 'х^ есть вероятность состояния с данными значениями величин хь Поэтому уравнение (40.4') в более"’развернутом виде выглядит так:

$ Xixkes IJ dxi = $ XiXkes Д dxb (40.5)

Подставим сюда разложения хь хк (40.3) с учетом определения (40.2):

5 ^здх- П ^ = ^ ^“^ ^ IIйХь (40-6)

Рассмотрим интеграл

h^w^es П^(40-7)

Если i Ф j\ то интеграл по х^ Xj дает: —

§ Xi IJ dxt ^ ^| es dXj = Xi Ц dxt • es |=0.

i Ф i^"-#ix.=—co

Это следует из того, что вероятность бесконечно большого отклонения величин от их равновесных значений бесконечно мала. Если i = /, получаем:

П dX£II dXi $ Xl дхф dXi

lфL1ф1

/^7Ю\

= § П dxt [ es J — ^ es dXi ) = — 1.

Выражение, проинтегрированное no dxit обращается в нуль на пределах, а оставшийся интеграл равен —1 в силу нормировки вероятностей. Поэтому

( XiXjes | | dx, = t Xi — || dx£ = — 6г/.(40.8)

Подставляя это в (40.6), получаем: akjbij = оц^к]. или

^и = «,ц.(40.9)

что и утверждалось. Полученное равенство выражает симметрию кинетических коэффициентов. При его выводе была явно использована обратимость самопроизвольных флюктуаций относительно обращения времени, о чем было сказано в § 10.

Применение теоремы Онсагера к термоэлектрическим явлениям.

В § 31 были написаны выражения (31.26) и (31.30) для тока и потока тепла, которые мы перепишем применительно к плотностям потоков У и Q *.

j=g (^ — aV6), q — срУ= р^ — yV6.

Смысл обозначений ясен из сравнения с § 31.

Энергия, выделяющаяся в единице объема за единицу времени, равна

div q = div (<7 ~ фУ) + div ф/.(40.10)

Но так как div/=0, — V<p = ^, то

div q^ div (^-фу)-^/.

Дивергенция от потока энергии равна взятому со знаком «—» изменению энергии за единицу времени в единице объема: div q = = — ^. Эта энергия выделяется при неизменном состоянии проводника, т. е. при постоянных внешних параметрах. Следовательно, она представляет собой тепло согласно его общему определению в § 8. Но тогда изменение энтропии за единицу времени в объеме проводника согласно соотношению dS = ^- равно

dS с div q , рр div(^ —ф/)

Второй интеграл, входящий справа, преобразуется по частям к следующему виду:

_ $ div (9-у/) dV=^Q„ фу) ^ dу.(40 j2)

Отсюда получим:

^^dVA^^L^dV.(40.13)

Сопоставим теперь это выражение с общим определением (40.2) параметров, характеризующих неравновесное состояние.

В состоянии равновесия ток j и тепловой поток а — ф/ равны нулю. Отклонение от равновесия получается за счет е и у/6. Производные по времени от параметров хь т. е. хи в данном случае суть / и q— ф/ Например, стационарный ток через единицу поверхности есть заряд носителей тока в единице объема р, умноженный на скорость перемещения «электрического центра» этих зарядов а [16.22]. Учитывая еще, что р = const, получаем: у^р^- = ^ра. Аналогично можно определить и тепловой поток.

Учитывая теперь, что

dS dS dxi, .х

It — dxt 'dt = XiXb(40.14)

видим, что величины X/, отнесенные в данном случае к единице объема, суть

Vg = -^>=(40.15)

Исходные уравнения переноса перепишем так:

j=A6 — став2 ^ =— oXg — оа62Х0,(40.16a)

q-WJ=^^-^ = -?>6X8--YX8.(40.166)

Применяя теперь теорему Онсагера (40.9), получаем равенство перекрестных коэффициентов:

P^oaQ.(40.17)

Равенство (31.30), аналогичное этому, доказывалось при помощи второго начала термодинамики, что составляло в принципе слабое место при выводе термоэлектрических соотношений» Равенство же (40.17) получено вполне строго.

Разложение флюктуаций на гармонические составляющие. Весьма общие соотношения получаются и в кинетике быстропеременных процессов, если эти процессы слабо изменяют равновесное состояние системы, в которой происходят. Физические величины быстро отклоняются от равновесных значений, но с малой амплитудой. Как было показано в § 36, при описании таких процессов удобно разлагать переменные величины на составляющие, изменяющиеся по гармоническому закону.

Получим одно важное соотношение, относящееся к гармоническим составляющим величин.

Пусть в системе имеется некоторая величина а (/), изменяющаяся случайным образом по произвольному закону, например вследствие тепловых флюктуаций. В частности, это может быть показание гальванометра, включенного в замкнутую цепь при отсутствии внешней э. д. с. Тепловые флюктуации будут вызывать в цепи нерегулярную э. д. с. любого знака и такого же вида ток. В разных участках цепи флюктуируют температура и концентрация носителей тока, а это вызывает переменную э. д. с.

Представим нерегулярно изменяющуюся величину а (/) в виде интеграла Фурье:

а (/) = $ а (со) eltot da.(40.18)

Здесь а (со) называется амплитудой Фурье переменной величины a (t\ Так как a(t) не обращается в нуль при / =’±оо, то может возникнуть вопрос о правомерности разложения (40.18). Его надо понимать в следующем смысле. Пусть в приведенном примере ток в контуре разлагается на гармонические составляющие с помощью осциллографа, воспринимающего частоты в интервале Асо. Тогда а (со) — показание этого осциллографа на частоте со, входящей в интервал Асо. Это вполне определенная величина, если интервал Асо задан.

Так как а ^ — действительная величина, то

а* (/) = а (/) = $ а* (со) e-itot d<o = а (со) eitot dw.

Сравнивая амплитуды при е -ito^ получаем:

a*со).(40.19)

Покажем теперь, как средний квадрат величины а (/) выражается через ее амплитуду Фурье, По определению среднего

г

|7(7)p = lim2y ( a^^dt.(40.20)

-т

Подставим сюда разложения (40.18) и поменяем порядок интегрирования по частоте и по времени:

сосоТ

[(2(/)]2= f at^dto a^da/ lim‘

е/Т —>ОО

Если со + со' ^ 0, то интеграл от g^-w>t в бесконечных пределах стремится к нулю. Если же со + со' = 0, то интеграл возрастает, как 27. Следовательно,

т lim ^ gt^-v^t J Т"*С° -т

Если это учесть и, кроме того, сделать подстановку со' = —со, то получим:

а2~ ^ dto ^ cz (со) cz (—со) dco = ^ с/со' ^ | а (со) |2 dco. (40.21)

Здесь мы использовали условие (40.19). Интеграл по d<o не зависит от со'. В интеграле по dco' пределы теперь не подставлены. Это означает, что среднее значение cz2 пропорционально интервалу частоты Део в разложении Фурье, которое представляет флюктуирующую величину. Интервал Део уже определен как полоса пропускания осциллографа, измеряющего а (со). Следовательно,

а2= Део ^ | а (со) |2 don.(40.22)

— ОО

Явная зависимость от Део устраняется, если положить а' (со) = = \/ Д со а (со). Таким образом, Део входит только в нормировку амплитуды Фурье, а интеграл в разложении квадрата амплитуды распространяется на бесконечный интервал частот.

Флюктуации напряжения в линейных электрических цепях.

Применим теперь (40.22) к линейной электрической цепи, содержащей емкости, самоиндукции (в общем случае — и взаимные индукции) и сопротивления. Предположим, что емкости, а также самоиндукции или взаимные индукции зависят только от формы и расположения проводников и поэтому не испытывают статистических флюктуаций. Для этого в конденсаторах не должно быть диэлектриков, а в индуктивностях — ферромагнетиков. Сопротивление, на котором происходит диссипация энергии электро-

“*““^—пмагнитного поля, т. е. ее переход в тепло,

г——1——। представляет существенно статистический ) элемент в цепи. Обобщение на случай, П р »»/ J когда диссипация присутствует во всех элеК и нмL^ Ментах цепи, не представляет затруднений.

JJ Если статистический элемент цепи —

У —Г сопротивление, то на нем и происходят флюктуации. В частности, при отсутствии внешней э. д. с. на концах участка цепи, Рис- 52содержащего сопротивление, самопроиз

вольно возникает непрерывно изменяющаяся случайная разность потенциалов. Это явление принято называть «шумом» в цепи: при соответственном усилении он так и будет восприниматься в телефоне, присоединенном к цепи. Интервал Асо представит ширину пропускания усилителя.

X. Найквист в 1928 г. показал, что сила шума прямо пропорциональна сопротивлению, включенному в цепь (в общем случае — действительной части импеданса). Таким образом, впервые удалось связать кинетическую характеристику системы (сопротивление) с флюктуациями, происходящими в этой системе в состоянии равновесия.

Чтобы установить связь, рассмотрим цепь такого вида, как показано на рисунке 52. Это резонансный контур, состоящий из емкости С и индуктивности X, последовательно подключенный к сопротивлению R.

Найдем прежде всего случайную э. д. с. в такой цепи, если компонента Фурье флюктуации напряжения на концах сопротивления R равна Vr (со). Подобно а' (со) амплитуды Фурье здесь определены вместе с квадратным корнем из интервала частоты Асо. Следовательно,

Э2^ |Э(со)|2М(40.23)

— ОО

где Э (со) означает компоненту Фурье от э. д. с. в контуре, умноженную на V А со .

Выразим Э (со) через Vr (со). Как было показано в § 35, линейные цепи переменного тока рассчитываются подобно цепям постоянного тока. Обозначая условно индуктивное и емкостное сопротивление /?1 и R^ получаем сопротивление участка контура, на котором они соединены параллельно:

r^^ + R^)-1.

Тогда ясно, что отношение э. д. с. во всем контуре к падению напряжения на сопротивлении R согласно закону Ома равно

Э(^ _ R' _1_1

^(со) " R+R'- 1 + W ” 1 + R/R^R/R^*

Подставив сюда Я1 = —itoX, R, = / (wC) (§ 35), получаем квадрат модуля компоненты Фурье э. д. с.:

|3(to)P|3(to)PI VR <“) |2I VR <“) |21 + Я2 (шС^^У1 + Я2 (шС^^У(40.24)(40.24)

|3(to)P

|3(to)P

I VR <“) |2

I VR <“) |2

1 + Я2 (шС^^У

1 + Я2 (шС^^У

(40.24)

(40.24)

Выразим входящие в эту формулу величины через резонансную частоту контура соо= (^С)~ Чч

Э(Ю) |2 =Э(Ю) |2 =I Уд (to) I2I Уд (to) I2l+^Pco^— — ^У\to0 to /l+^Pco^— — ^У\to0 to /(40.25)(40.25)

Э(Ю) |2 =

Э(Ю) |2 =

I Уд (to) I2

I Уд (to) I2

l+^Pco^— — ^У\to0 to /

l+^Pco^— — ^У\to0 to /

(40.25)

(40.25)

Воспользуемся теперь соотношением (40.22). Перепишем его так (напоминаем, чтоЦ Асо включен в определение Э(ш) и У^фф):

(40.26)(40.26)СЭ = С Г |3((o)|3tfo.

(40.26)

(40.26)

— СО

Колебательный контур, как было показано в § 35, эквивалентен линейному гармоническому осциллятору. Среднее значение его энергии в тепловом равновесии представляет собой удвоенное значение средней потенциальной энергии. Используя теперь (3.5), найдем

СЭ3 = /коо/4 +СЭ3 = /коо/4 +(40.27)(40.27)1\ _ Ato0 ,, /za>0

СЭ3 = /коо/4 +

СЭ3 = /коо/4 +

(40.27)

(40.27)

/но.,226 '

е — 1/

Считая, что резонанс при со = о>0 достаточно острый (этого всегда можно добиться соответственным выбором индуктивного и емкостного сопротивлений), можно квадрат амплитуды вынести из-под знака интеграла при | Э (ю) |3 = | Э (<о0) 1- Интегрируях, получаем:

С|Э(о0) |2С|Э(о0) |2, + gcJ^r^W(40.28)

С|Э(о0) |2

С|Э(о0) |2

0 \WO со У

Приравнивая этот результат выражению (40.27), Приходим

к искомому соотношению:

|3(too)|2 = /?§cth§|3(too)|2 = /?§cth§(40.29)(40.29)

|3(too)|2 = /?§cth§

|3(too)|2 = /?§cth§

(40.29)

(40.29)

При достаточно высокой температуре, когда ^"СИ ^cth^l,(40.30)

и полученная формула приводится к виду, в котором ее первоначально нашел Найквист:

|3(to0)|2 = ^.(40.31)

Электропроводность в быстропеременных полях. Соотношение Найквиста (40.31) обобщается для быстропеременных полей, период которых сравним со временем установления тока в проводнике. При этих условиях электропроводность обладает дисперсией. Линейное соотношение между полем и током в общем случае имеет интегральную форму, подобно (36.1):

iaHo«MlM<k.(40.32)

О

Здесь а, Р — тензорные значки. Слагаемое Sa (/) справа сюда не входит, так как в (36.1) оно обеспечивало равенство 8 и D в вакууме.

Если 8^ (t) зависит от времени по гармоническому закону (0 = ^ (w)e-'w,

то соотношение между полем и током приобретает характер простой пропор ционал ьности:

/а (“) = К М W е'и/ Л | ^р (®).(40.33)

\0/

Следовательно, интеграл, стоящий в скобках, представляет собой выражение для электропроводности на частоте со.

Р. Кубо выразил ога(3 (т) через усредненные корреляции тока в проводнике в состоянии статистического равновесия для разных моментов времени (определение корреляции между величинами — см. § 10):

м W = 4 J <к (г, 0 и (0, 0)> dV. (40.34)

Здесь угловая скобка означает среднюю величину. Такое обозначение вместо обычной черты сверху выбрано потому, что усреднение будет производиться квантовомеханическим способом, как в [§ 25]. Величина /а (0, 0) обозначает случайную равновесную флюктуацию тока в направлении ха в начале координат и в начальный момент времени. В однородном проводнике, не подверженном внешним воздействиям, оба начала отсчета выбираются произвольно. Величина /р (г, /) — это такая же флюктуация тока в точке г в момент t в направлении Хр. Понятно, что (/р (г, 0) = (/а (0, 0)) = 0. Так как

флюктуации происходят не мгновенно, а в течение времени, необходимого для релаксации в системе, то /р (г, т) и /а (0,0) при не слишком больших т не являются независимыми величинами, и среднее от их произведения отлично от нуля. При а 7^ р оно отлично от нуля, разумеется, только в проводнике с необходимой для этого анизотропией. Это среднее и определяет тензор электропроводности в интегральном соотношении (40.32), а компонента Фурье от него дает электропроводность при соответствующей частоте.

Отличие (40.34) от соотношения Найквиста, прежде всего, в том, что последнее содержит средние квадратичные флюктуации для одного и того же момента времени, а формула Кубо относится к среднему от разновременных флюктуаций. Поэтому в нее не входит интервал частоты Део.

Некоторые необходимые формулы. Для вывода соотношения Кубо нам понадобится частично напомнить, частично вывести некоторые квантовомеханические формулы, которые целесообразно свести здесь воедино.

Начнем с определения матрицы плотности [27.29]:

р (х', X) = 5 ^^ ^ ^ W-(40.35)

п

Здесь wn— вероятность того, что система находится в п-м состоянии, ф^ (х) — волновая функция этого состояния.

Описание с помощью матрицы плотности применяется к незамкнутым системам, которые могут находиться, будучи изолированы от внешних воздействий, в чистых состояниях ф„ (х). В частности, система, находящаяся в статистическом равновесии с окружающей средой, описывается матрицей плотности

F-H

Ро-е 6(40.36)

(см. задачу 4 § 7). Здесь // — гамильтониан системы.

Матрица плотности удовлетворяет уравнению [27.48]

которое удобно переписать в несколько ином виде, пользуясь тем, что Н — эрмитовский оператор. А именно, Н* =Н, где значок „г^“ (тильда) означает транспозицию, т. е. перестановку строк и столбцов. Но Нр — рН по определению того, что понимается под транспонированным оператором [см. стр. 493]. Отсюда следует, что

=(40.37)

Это определение производной по времени отличается только знаком перестановки от производной по времени некоторого оператора L

С помощью матрицы плотности вычисляются средние значения величин в состояниях, которые описываются не волновыми функциями, а через определение (40.35). К такому способу вычисления средних значений особенно удобно прибегать в случае незамкнутых систем, в частности таких, которые находятся в статистическом равновесии. Для этого, собственно, и введена матрица р (х\ х). Согласно [27.36] среднее значение величины X, которой в х-представ- лении соответствует матрица Ххх/, равно

<Х> =5 ^v$ ^v^ (^ Р (х^ = \йх (Xp)A^ — Sp {Хр}= Sp {рХ|, где обозначение Sp представляет диагональную сумму [27.34] матрицы.

Получим теперь еще две общие формулы для оператора !(/). Найдем сначала в проинтегрированной форме то уравнение, которое дает зависимость оператора X от времени, т. е. выразим X (/) из дифференциального уравнения

В момент времени V оператор X выглядит так:

(40.38)

Чтобы убедиться в этом, достаточно продифференцировать (40.38) по времени, учитывая, что Н не перестановочен с X. Поэтому производная по времени от второй экспоненты пишется справа от X:

dt hх7

Полагая здесь f^t, возвращаемся к исходному уравнению.

Второе равенство, которое нам понадобится, позволяет выразить перестановку некоторого оператора V с оператором е~^{ через перестановку V с самим Н. Это — тождество общего вида, в котором не используются конкретные свойства гамильтониана. А именно

АА РА

v е- 5 н - е- ₽ н V=е- ₽ н \<$ 'е»'н (VH - Н У) е- ₽'й. (40.39) о

Продифференцируем обе стороны равенства по ^:

Ve-»ftH-V-e-»HHV = e-SHH\d^e6'H(VH-HV)e-»'H-о

Подставляя вместо интеграла его выражение из (40.39), видим, что оба получившиеся выражения одинаковы. Следовательно, (40.39) справедливо при [3 = 0, а также дает тождество при дифференцировании по [3. Поэтому оно выполняется при всех [3.

Соотношение Кубо. Пусть к статистически равновесной системе с гамильтонианом Н приложено слабое возмущение V (х, /), зависящее от времени. Тогда уравнение (40.37) для матрицы плотности имеет вид:

Считая возмущение слабым, разложим р на две части: Р — Ро + Рь

где р0 определяется формулой (40.36), a pj — малая добавка, линейная относительно V. Ясно, что "^f = 0, если V — 0, так как Ро перестановочна с //. В равновесии так, разумеется, и должно быть. Пренебрегая членом, квадратичным относительно V, получим:

ф = 1(р1Я-Яр1) + 4(ро^-1/ро).: (40.40)

Это линейное неоднородное уравнение решается следующим образом:

Pi№ —dVe h. (40.41)

Дифференцируя (40.41) по времени, нетрудно убедиться, что уравнение (40.40) удовлетворено: производная по верхнему пределу интегрирования дает слагаемое ^ (p0V — Ур0), а производная по t под интегралом — перестановку ^ ^Н — Н^, как при доказательстве (40.38).

Заменим теперь коммутатор Уро —Ро^ с помощью тождества (40.39), в котором положено Р^р Постоянный сомножитель р0, F

т. е. е6, не имеет значения. По условию V (х, /) зависит только от координат системы, а не от ее импульсов, так что оператор V неперестановочен только с оператором кинетической энергии системы.

Воспользуемся квантовыми уравнениями движения [27.8]. Из них следует, что перестановка V с оператором кинетической энергии есть изменение кинетической энергии за единицу времени в поле V = 2^’’ т* е* работа внешнего поля £ =— Гф

над системой (ф/ — ф(^/)). Найдем это из перестановок. Оператор кинетической энергии всех электронов системы есть 2^’ Перестановка ^^ с V равна

2^(р^ ~-pi vpi +Р‘ vK - Ш=

_ h v t - dV . dV - \

2mi \P' дп дГ( P* /i

[см. задачу 2 § 24]. Будем считать, что внешнее электрическое поле однородно в пространстве. Тогда ~7 —— е8> (где 8 уже не оператор, а постоянный вектор). Выражение -—- есть оператор скорости электрона. Перейдем в последней перестановке от суммы к интегралу по объему проводника:

хек£=Ц у-k^r—rw. w т j т х 1

ii

Тогда видно, что подынтегральная функция есть оператор плотности электронов, умноженный на оператор их скорости и на заряд, т. е. представляет оператор плотности тока j (г). Окончательно находим перестановку

В согласии с принципом соответствия из нее следует, что изменение кинетической энергии за единицу времени равно работе, производимой над системой, причем равенство надо понимать в операторном смысле.

Подставляя получившуюся формулу в правую часть (40.39), получим:

уРо_роу = —7 8е^ \ d^’P \ jdVeS’k (40.42) о

После этого из формулы (40.41) найдем искомую поправку к матрице плотности за счет внешнего поля 8:

рг = dte>^t)\eH Po^dp $H\dVje h b

— OQ(0J

(40.43)

Дальнейшее упрощение можно произвести, считая, что температура достаточно высока по сравнению со всеми величинами типа hhn, где т„ — некоторое из характеристических времен релаксации в системе. Если сделать это допущение, то в операторе

е h]е h'

входящем в (40.43), правомерно пренебречь вещественной частью показателей Р'// = у по сравнению с мнимой частью у (f — /), поскольку f — / эффективно имеет порядок величины т^. Но в этом случае надо применить формулу (40.38), так что

(40.44)

а интегрирование по d$' дает просто Р = -|.

В результате поправка к матрице плотности оказывается равной

t

Pi = y $ ^' ^ Ш $ j V» П dV.(40.45)

— ОО

Вычислим с помощью этой формулы и (40.37) средний ток в точке г = 0 в момент L Ясно, что невозмущенная матрица р0 не дает вклада, так что

t

<и W)=Sp {pi/a}=4 $ dt-Sp (/') $ dV Sp {р0/р(г, П и(0, 0} = — ОО

= у $ dt- (П $ dV </р (г, П и (0, 0).(40.46)

Здесь /р (г, f) скалярно умножен на ^р (/').

Если 8^ зависит от времени по гармоническому закону Sp (/) — — Sop^lW, то

</a(0> = ^-'w $ dt'e-toV’-o^dV^^t'-tA-nia^, t)>.

(40.47)

Заменяя теперь / — f =т, находим:

\ Ле''" J </^r- ^^/«(О. 0Ж (40.48) о

Средняя величина по равновесному состоянию не зависит от времени. Поэтому в ней без ограничения общности можно положить / = 0 в аргументах /р, /а. Сравнивая получившееся выражение (40.48) с (40.33, 34), видим, что соотношение Кубо доказано.

Аналогичные выражения могут быть получены для других кинетических коэффициентов. Таким образом, соотношения между линейными кинетическими коэффициентами находятся с помощью равновесных функций распределения. Возможность такого описания можно видеть в том, что как равновесная система, так и система, слабо выведенная из равновесия, описываются одним и тем же гамильтонианом. Возмущение, вносимое внешним воздействием, выражается через гамильтониан и равновесную функцию распределения линейно по возмущающей энергии V (40.41).

Упражнение 34

Показать, что тензор статической электропроводности симметричен.

Перепишем формулу (40.13) для однородной анизотропной среды:

dt ~ )6

где а — тензорный значок. По аналогии с (40.15) заключаем отсюда, что

у 8д-

Так как /а = Оар ^р = —6сгаРХр, то по теореме Онсагера получаем искомое соотношение симметрии: оар = Ор^

Показать, что тензор электропроводности в быстропеременном поле симметричен.

По формулам (40.33) и (40.34) получаем:

<мН^^^хр(т)е№^e'“T dT ^^ ^Р ^г’ т) /а (°’ °^-

оо

Исходя из симметрии флюктуаций по времени, заключаем, что (/р^тЦ-ДО, 0)> = (/р(г, 0)/а(0, т)>.

Смещая далее начало координат в точку г и учитывая, что замена г на —г ничего не изменяет при интегрировании по объему, приходим к равенству

5 dV </р (г, т) /а (0, 0)> = $ d V </а (- г, т) /р (0, 0)>,

которое и доказывает симметрию тензора электропроводности.

Пользуясь результатами задачи 4 § 17, выразить коэффициент диффузии через корреляцию между скоростями частицы в разные моменты времени.

Исходим из тождества

tr=\ V (f) dt'.

о

Образуем квадрат Y:

tttt

r1^^ (f) dt' $ © (Л df= 5 dt' 5 dt"v Ю ® ^- 0000

Допустим теперь, что из некоторой точки в начальный момент времени выпущены N частиц (где N — большое число). Каждая из них движется в среде, испытывая случайные столкновения с ее молекулами независимо от других выпущенных частиц. В момент / частица с номером I окажется на расстоянии п от начала. Усредним г2 по диффундирующим таким образом частицам:

Nt tNt t

^'=^2n=Hdt' Sdf 2~ $dt' S dt"^T)W).

i=l0 0 i=l00

Заменим теперь Iм на f + т. При больших промежутках времени т корреляция между скоростями теряется из-за хаотического характера столкновений: частица «забывает» свою скорость в момент f. Следовательно, lim у (/') у (/' + т) = 0- Учитывая

ОО

это, можно двойной интеграл переписать так:

r2=^dtf ^ у (/') у (f + т) dx.0 -оо

Но внутренний интеграл по т не может зависеть от I' в силу однородности времени. Поэтому

r^ty^t y(0)y(T)dT-6DC

откуда

^ = 4 ^ © (0) У (т) dx = 4 ^ ® ^ ® ^ ^*

Это соотношение есть, по существу, частный случай формулы Кубо с заменой квантовомеханического среднего на обычное. Величина D является также кинетическим коэффициентом, связанным с подвижностью частиц соотношением Эйнштейна (17.39). В свою очередь, электропроводность выражается через подвижность так: а = пт Здесь п — число носителей заряда в единице объема.

§ 41. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Соотношения, полученные в предыдущем параграфе, аналогичны термодинамическим: они не зависят от свойств конкретной среды, но только связывают одни средние величины с другими.

Как выражать кинетические величины через атомные константы, из таких формул не следует.

В общем случае для конкретных вычислений надо знать матрицу плотности неравновесного состояния (40.35). Она дает самое полное описание из возможных в системе, подверженной внешним воздействиям и находящейся в контакте с окружающей средой. При малых отклонениях системы от равновесия матрица плотности дается формулой (40.41), которая, однако, имеет слишком общий характер, чтобы из нее можно было получать результаты, относящиеся к конкретным системам.

Диагональные элементы матрицы плотности, взятые при х = х[, задают функцию распределения системы, которой мы пользовались в статистике равновесных систем. Но понятием функции распределения можно пользоваться и применительно к неравновесным системам, если недиагональные элементы р (х', х) не имеют существенного значения в рассматриваемой задаче. В этом параграфе будет показано, как находить функции распределения непосредственно, минуя матрицу плотности. По функции распределения, вычисленной с той или иной степенью точности, можно затем находить и кинетические коэффициенты, такие, как вязкость, теплопроводность и т. п.

Для этого сначала строятся уравнения, выражающие баланс числа частиц, переходящих из одного состояния системы в другое. Точность таких уравнений зависит от того, насколько детально задается состояние каждой частицы, и насколько хорошо представлена вероятность перехода между различными состояниями.

Уравнения для неравновесных функций распределения называются кинетическими.

Коэффициент диффузии. Рассмотрим пример кинетического уравнения, на котором хорошо видны упрощения, заранее вносимые в задачу. Покажем, как определить функцию распределения, которая описывает диффундирующие в некоторой среде частицы. Они заполняют объем среды неоднородно; их концентрация п зависит от координат. При отсутствии внешних сил, поддерживающих неоднородность, например силы тяжести, частицы не находятся в статистическом равновесии. Между ними устанавливается такое распределение по скоростям, которое приводит их к равновесию, т. е. к равномерному по скоростям распределению в пространстве. Покажем, как найти функцию распределения по скоростям для этого случая.

Направим ось х по градиенту концентрации. Тогда функция распределения будет зависеть от х и от скорости частицы у, т. е. п = = п (х, у). Но мы введем упрощение в задачу: будем интересоваться только направлением скорости, а не ее абсолютной величиной, так что будем искать п (х, ^0), где у0— единичный вектор в направлении у. Абсолютные величины у положим у всех частиц одинаковыми. Основные черты явления диффузии улавливаются и в таком грубом описании.

Назовем вероятность того, что некоторая частица за единицу времени изменит направление скорости от у0 до Уд так:

dW0^w(K-v0\W.(41.1)

В § 17 рассматривалась диффузия малых, но макроскопических частиц. Если частицы — атомы или молекулы диффундируют в газе, то их взаимодействие со средой имеет характер отдельных столкновений. Тогда dW0 выразится через эффективное сечение.

Будем считать среду изотропной, так что вероятность зависит только от угла между у0 и Уо, но не от их собственного направления в пространстве. Элемент телесного угла Q' здесь берется в координатной системе, в которой по осям отложены компоненты у'.

Полное изменение числа частиц с данным вектором у0 за единицу времени в единице объема равно нулю (учитываются все частицы с вектором у0, попадающие в объем и выходящие из него):

^n(t, х, ®о)=О.

Раскроем это уравнение в явном виде. Частные производные по первым двум переменным вычисляются обычным способом. Направление скорости у0 может изменяться скачкообразно, например при столкновении данной частицы с частицей среды (взаимные столкновения диффундирующих частиц здесь не будут рассматриваться). Изменение числа частиц с данным направлением скорости у0 складывается из двух частей: первая берется со знаком «—» и выражает убыль таких частиц вследствие столкновений

— $ п (у0) dW0 = — $ п (у0) W (I Vo — у0 I) dQ', (41.2) а вторая (со знаком «+») выражает приход частиц в состояние с данным у0 из состояний со всеми другими направлениями скорости У£

$и(^)^0=$я(^)®(М-^(41.3)

Таким образом, получается следующее уравнение баланса:

+ ^ + 5 [«(®o)-«(®:)]^(l^-®ol)dfi' = O.(41.4)

В стационарных условиях |^ = 0. Обозначим А угол между dx

скоростью и осью х. Тогда у cos О и (41.4) приобретает вид:

ucos»^= - ^ [п (т>0) — /г (%>»)] ои (| т,; —-z>01) tZQ'. (41.5)

Согласно сделанному упрощению здесь у = const. Можно выбрать ее равной, например, средней тепловой скорости.

Представим функцию распределения в таком виде:

n(x, ^ — ПоМ+п^х, COS'»).(41.6)

Полагая отклонение от равновесия небольшим, надо потребовать сильного неравенства п^ ^> пх. Тогда в левой части уравнения (41.5) останется только п0, а в правой части только пх. Это легко понять, если учесть, что п0 (х) не зависит от у0 и подынтегральное выражение, если подставить в него пй (х), обращается в нуль. Тем самым задача сводится к неоднородному линейному интегральному уравнению:.

У cos V =ох

= — ^ М - ®о|) ph (*, COS ») — — пх (х, cos А')] ^'• (41-7)

Отделяем угловую зависимость таким образом:

(41.8)(41.8)пх (х, cos А) =пх (х) cos А.

(41.8)

(41.8)

Соответственно, пх (х, cos О') = пх (х) cos$' . На рисунке 53 показаны векторы у0> ^о и углы между ними. Исходя из определения А можно записать: cos Ф' = ^пх (где пх— единичный вектор вдоль оси х). Разложим это скалярное произведение на два слагаемых, которые образованы составляющими векторов, перпендикулярными и параллельными у0:

cos ft' = v;хпх

Если 9 —угол между у0 и ^, то у'!1 = cos 9 , п"х = cos А, у'Т = sin 9, п-^ = sin А. Вводя угол ср между векторами у'1 и пх на плоскости, получим:

cos O'cos A cos 9 4- sin A sin6 cos ср.(41.9)

(Это основная формула сферической тригонометрии, в которой треугольники рассматриваются не на плоскости, а на сфере единичного радиуса.) Интегрирование в (41.7) ведется по полному телесному углу. Поэтому в качестве полярной оси можно выбрать у0, заменяя dQ' на sin 9d9d(p. Подставляя (41.9) в (41.7), найдем:

л

у cos ф^ =— ^шгх (х) cos $ сУ0 (cos 9) (1 — cos 9) sin 9 d6о

(интегрирование по <р обращает в нуль слагаемое, содержащее cos <рх). Определим теперь следующую величину:

- Л.1

lt^ £ к>о (cos 6) (1 -cos 6) sin 9 de =?—-—^—— (41.10) Jzw0 (1 — cos 6) d&

(смысл обозначения lt ниже будет разъяснен). Тогда искомая поправка к функции распределения равна

(41.11)

Так как слагаемое п0 (х) не дает вклада в поток частиц, т. е. $ cos^zio dQ = 0, то искомый диффузионный поток найдется так:

/ = t и cos$ и d& =— ^-vlt ? cos2*OdQ =—(41.12)

Сопоставляя (41.12) с общим выражением (17.34), связывающим диффузионный поток с градиентом концентрации, находим коэффициент диффузии (4лп0 = ^ ndti — объемная концентрация):

D = ^vlt.(41.13)

Длина свободного пробега. Если диффундируют отдельные атомы или молекулы, то полученное выражение можно истолковать следующим образом. Вероятность отклонения частицы за единицу времени на угол 6 при рассеянии выражается через эффективный поперечник [§ 5, § 351 do:

dW0 = vNda.(41.14)

Здесь do имеет вполне определенный смысл, если речь идет о столкновениях атомов 2.

Кинетическое уравнение (41.5) можно записать с помощью вероятности, определенной по формуле (41.14). Тогда величина 1Ь ранее выражавшаяся определением (41.10), запишется так:

^=[^^(1-cos 9)у.(41.15)

Отсюда следует сопоставление между двумя способами задания вероятности рассеяния:

vN do = w d&.(41.16)

Покажем теперь, как полученные результаты соответствуют элементарным представлениям о процессах переноса.

Как указывалось в § 35, полный эффективный поперечник рассеяния может сходиться, если силы между частицами достаточно быстро убывают с расстоянием. В неквантовой теории рассеяния для этого требуется, чтобы силы на некотором расстоянии от рассеивателя тождественно обращались в нуль. Допустим, что эффективный поперечник рассеяния конечный и равняется о. Если падающие частицы образуют параллельный пучок с плотностью потока /, то его убыль на единице пути равна

ах * или

/^/о^^. (41.17)

С другой стороны, в кинетической теории газов вводится понятие свободного пробега I частицы между столкновениями. Ослабление параллельного пучка, выраженное через Z, имеет вид затухающей

X

экспоненциальной функции I = IQe ^‘Сравнивая это с (41.17), находим связь между а и Z:

Длина 1Ь входящая в коэффициент диффузии, выражается несколько иначе, как это видно из (41.15). Она называется транспортной длиной пробега, потому что через нее определяется перенос, или «транспорт», частиц. Длина lt совпадает с I только при изотропном рассеянии, когда cos 9 do = 0.

Если рассеяние с большей вероятностью происходит при 9^ у, т. е. вперед, то основной вклад в интеграл, задающий 1Н получается при cos 6 ~ 1. Интеграл в знаменателе (41.15) может стать много меньше, чем No; тогда lt > I. Коэффициент диффузии согласно (41.13) при этих условиях намного превосходит то, что дает элементарная оценка, в которую подставляется I вместо lt.

За основу расчетов было принято неравенство п-^ <^ п0. Смысл его виден из формулы (41.11): неравенство выполнено, если плотность частиц мало меняется на длине транспортного пробега. Аналогичное условие относится не только к теории диффузии, но и к другим явлениям переноса: теплопроводности (перенос энергии), вязкости (перенос импульса). В большинстве неравновесных процессов оно выполняется.

Но, например, при ударном сжатии, если плотность меняется сильно, весь необратимый процесс разыгрывается на одной длине пробега. Тогда неприменимы сами термины «теплопроводность» и «вязкость». *

При выводе коэффициента диффузии не учитывалось распределение диффундирующих частиц по величине скорости. В связи с этим не имело смысла вводить в формулы зависимость эффективного поперечника от величины относительной скорости.

Коэффициент 4/3 в выражении для D написан только потому, что он получился при вычислениях. Допущение о том, что скорости всех диффундирующих частиц одинаковы, все равно носит качественный характер.

Зависимость а (у). Для дальнейших применений найдем зависимость классического эффективного поперечника рассеяния от скорости. Допустим, что силы уменьшаются с расстоянием по степенному закону F = аг^Ч Коэффициент а при этом имеет размерность т1гт

—^—. Эффективный поперечник рассеяния может зависеть только от а, массы и скорости. Но его выражение определяется из размерности единственным способом:

2

и=/2.

Следовательно, вероятность столкновения за единицу времени пропорциональна скорости в степени 1 — —. Ясно, что поперечник рассеяния о не зависит от скорости, если п = 4. Такой показатель степени у сил отталкивания введен Максвеллом в основном для удобства расчетов.

Тем не менее ионизованный атом взаимодействует с нейтральным как раз по максвелловскому закону, но с обратным знаком силы: притягивается, а не отталкивается, как принял в своей модели взаимодействия нейтральных атомов Максвелл. Энергия нейтрального атома в поле иона есть Sd, где d наведенный дипольный момент. Если поляризуемость атома а, то d = aS, так что энергия взаимодействия пропорциональна квадрату поля. В свою очередь, поле иона обратно пропорционально квадрату расстояния, так что потенциальная энергия взаимодействия обратно пропорциональна г4, а сила изменяется обратно пропорционально г5. Этим результатом мы воспользуемся в задаче 3.

Кинетическое уравнение Больцмана. Рассмотрим теперь уравнение, позволяющее определить неравновесную функцию распределения более детальным образом: не только по направлениям, но и по величине скорости. Это уравнение в строгом смысле будет относиться к одноатомному газу, иначе говоря, оно будет учитывать только переносные степени свободы сталкивающихся частиц. Если газ не очень плотный, то достаточно рассматривать только парные столкновения атомов, подобно тому как это делалось в § 11.

Получим выражения, входящие в баланс соударений, аналогичные (41.2) и (41.3). Пусть искомая функция распределения атомов по координатам и скоростям есть / (/, г, -у). Найдем ее изменение

в данной точке пространства, обязанное столкновениям с атомами, имеющими скорость у'. Если обозначить здесь через п число атомов в единице объема п (в предыдущем разделе было удобнее брать плотность 4лм), то число атомов, имеющих скорость у, в единице объема будет nf (t, г, у). Иначе говоря, функция / (/, г, у) нормирована на единицу. Число столкновений атома, имеющих скорость у, со всеми атомами, имеющими скорость у', за единицу времени равно nf (/, г, у') (у— у') do. Укажем на следующие соответствия: относительная скорость партнеров | у — у' | соответствует у в (41.14): число атомов в единице объема, сталкивающихся с данным атомом, т. е. nf (t, г, у'), аналогично N. Тогда изменение функции распределения за единицу времени вследствие таких столкновений, подобно (41.2), равно

— Ht, г, у) J \nf у, г, у') | у — у' | do d-w.(41.19)

Пусть в результате столкновения скорости атомов стали У! и у[. Примем, что все столкновения упругие, т. е. не сопровождаются электронным возбуждением. Тогда относительная скорость атомов в результате столкновения может только изменить свое направление в пространстве, но не абсолютную величину [§ 61:

| у — у' | = | ух — у! |.(41.20)

Вероятности прямого и обратного столкновения за единицу времени согласно принципу детального равновесия одинаковы (§ 1). Они получаются друг из друга путем изменения знака времени в уравнениях механики, инвариантных относительно замены / на —L Следовательно, изменение функции распределения f Ц, г, у) в результате столкновений (где у есть конечная скорость за единицу времени) аналогично (4.19) равно

$ $ nf (t, г, у^ f (/, г, у!) | У1 — у? | do dx^. (41.19')

Разность между интегралами (41.19) и (41.19') и есть искомый баланс соударений. Угол поворота единичного вектора относительной скорости в системе отсчета, связанной центром инерции, равен г~~~гр Этот угол (обозначим его через %), от которого зависит do, однозначно связывает у и у' с ут и у[. Переходя от do к углу %, получим формулы перехода от у, у' к уь у! (см. задачу 3, а также [6.8 и 6.91). Кинетическое уравнение для f (/ь rv у) имеет следующий вид:

^-^_L^VfJ_^^_L dt dt ‘ dt • dt d-о

+ $ $ nUV, Г, y) f (t, r, y') - f (Z, r, y^f (Z, r, yi)] x xly-y'l^-dQvdr,,-.(41.21)

Здесь ~ надо заменить на ^ (где F — сила, действующая на атом хdr

со стороны внешнего поля), а производную ^ надо заменить на у.

В отличие от (41.4) уравнение (41.21) нелинейное, так как состояние устанавливается путем столкновений атомов одного и того же газа. При выводе (41.4) предполагалось, что состояние среды, в которой происходит диффузия, не изменяется под влиянием диффундирующих частиц.

Если газ однороден и нс находится во внешнем поле, т. е. V/ = О и F = 0, то стационарное состояние, соответствующее условию | = 0, задастся распределением Максвелла. Во всяком случае это распределение удовлетворяет (41.21), потому что в силу закона сохранения энергии

/(у)/(у') — /(У1)/(у1) = ^ 29 (У +у } — е 29 ^1 + У1 ^0.

В постоянном внешнем поле получается распределение Больцмана

потому что

'6 '6 ’ ^6 ь ‘ dt ди

Следовательно, обе эти функции распределения обеспечивают равновесное состояние в системе.

зХ-теорема. С помощью кинетического уравнения Больцман показал, что первоначально неравновесное состояние в газе под влиянием соударений между атомами переходит в равновесное, или, по крайней мере, в стационарное, при котором баланс числа столкновений обращается в нуль.

Для этой цели Больцман ввел функцию ^, аналогичную энтропии:

$ dx^f (у, /) 1п/ (у, /).(41.22)

Вычислим производную е%^ по времени:

dx„t In/ —dxv Jin/- J /dxv.

В силу условия нормировки производная по времени от последнего интеграла равна нулю. Заменим частную производную под интегралом по уравнению (41.21):

^ = п ^ dx, J dxv- ^ do I -о - o' i In / (о) [/ (о) / (o') - / (oj /(©;)].

(41.23)

Это выражение симметрично относительно замены у на я', так как обе скорости являются переменными интегрирования. Кроме того, можно заменить я, я' на яъ унесли при этом изменить знак интеграла. Наконец, интеграл не изменится.от перестановки между яг и я\. Симметризуем теперь (41.23) по всем четырем скоростям и поставим впереди 1/4:

= Y § do | о-©'I [In (/(о) •/(©'))-

- In (/ (^) f (»!))] • V (») f W ~ f (fi) f (® Л- (41.24)

Логарифм — монотонная функция своего аргумента. Поэтому выражение вида (In х — In у) \х — у) положительно как при х ^ у, так и при х < у. Отсюда следует, что е%^ может только возрастать, т. е. ^^- ^ 0. Величина^ достигает максимума, когда выражения в квадратных скобках обращаются в нуль. Но тогда, как мы видели, / (у) совпадает с распределением Максвелла.

Если допустить, что интеграл, входящий в (41.24), не обращается в нуль при подстановке других функций распределения, кроме максвелловской, то из этого равенства будет следовать, что неравновесное распределение атомов по скоростям благодаря столкновениям между атомами переходит в равновесное. Таким способом Больцман старался обосновать необходимость возрастания энтропии и связанного с этим установления равновесия. К сожалению, это не убедило многих его современников, считавших атом скорее умозрительным понятием, чем физической реальностью. Прямых экспериментальных доказательств существования атомов тогда не было.

Уравнение Больцмана построено на основе законов механики, симметричных относительно инверсии времени. Само же уравнение первого порядка по времени и асимметрично. Это особенно хорошо видно из е^’-теоремы, ведущей только к возрастанию энтропии. Так получается в силу характера самой постановки задачи в кинетике: неравновесное состояние рассматривается как исходное.

Самопроизвольные отклонения от равновесия, т. е. флюктуации, не охватываются уравнением (41.21); так при его выводе подставляется среднее число столкновений, претерпеваемых атомами за единицу времени, т. е. п (я—©') / (у') do. Флюктуации при таком подходе не учитываются, как видно из (41.24). Но, как было показано в § 10, именно флюктуации восстанавливают в статистике симметрию относительно направления времени.

Время релаксации. Решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана в общем случае представляет очень большие трудности. Такое решение может понадобиться, чтобы исследовать состояние газа во фронте сильной ударной волны. Заметим, что эта задача имеет и практическое значение. При сверхзвуковом движении ракет или спутников в верхних, достаточно разреженных слоях атмосферы свободный пробег молекулы сравним с размерами движущегося тела. Но ширина фронта ударной волны, 422

в которой давление увеличивается вдвое или больше, — величина такого же порядка, что и свободный пробег. Следовательно, обтекающий тело воздух имеет неравновесную функцию распределения во всей области обтекания. Гидродинамическое описание здесь невозможно. Поэтому здесь необходимо знать неравновесную функцию распределения с той или иной степенью приближения.

При слабых отклонениях от статистического распределения задача тем не менее допускает общее исследование, так как ее можно линеаризовать. Предположим, что факторы, вызывающие отклонение от равновесия, задаются величинами первого порядка малости. Это могут быть градиенты скорости и температуры, или внешние силы, связанные с отсутствием статистического равновесия (например, электрические поля в проводниках). Все такие факторы описываются вторым и третьим членами кинетического уравнения (41.21). Искомую функцию распределения представим как

0L(41.25)

где Д — максвелловская функция распределения, a g — функция первого порядка малости относительно возмущений. Поэтому в кинетическом уравнении надо пренебрегать произведениями g на величины того же порядка малости и произведениями функций g от разных аргументов.

Функция /0, как было показано, тождественно удовлетворяет кинетическому уравнению. Поэтому под интегралом надо оставить члены, линейные относительно g.

Производную ^j можно заменить на /0 ^-. Второй и третий члены пропорциональны величинам возмущающих факторов. Они делают уравнение неоднородным относительно g. Как всегда, полезно сначала рассмотреть однородное уравнение. Если заменить под интегралом /0 (yj fo (у!) на /0 (у) /0 (©'), то после сокращения на /0 (ф) приходим к линейному однородному интегро-дифференциальному уравнению относительно поправочной функции:

^- = - n ^ I ® - о' I dx^ daf0 (o') [g (о) + g (o') - g (O1) - g (©;)].

(41.26)

■ Из этого уравнения видно, что интегральный оператор, примененный к g (у), имеет размерность Vr (где т — некоторое характерное время).

Решение (41.26) ищем в форме

_ £

g^go^e \

т. е. с разделенными переменными. Тогда функция g (/) удовлетворяет уравнению

f=^o,(41.27)

где L—тот же линейный интегральный оператор, как в (41.26).

Из записи уравнения (41.27) видно, что - есть собственное значение этого оператора. Можно доказать, что оператор L является эрмитов- ским, т. е. имеет действительные собственные значения [§ 25], и что, кроме того, все собственные значения L положительны. Для этого применяются простые интегральные преобразования.

Далее, в уравнении (41.27) отделяется угловая зависимость go (у). Будем искать gQ (у) в виде:

go ^-Gi (у) Р? (cos fl) eim^Gt (у) У?,(41.28)

где РТ -— присоединенный полином Лежандра [§ 29], УТ — шаровая функция.

Так как уравнение (41.27) не изменяет своего вида от любого вращения координатной системы в пространстве (в нем не выделено никакое направление), то подстановка g (o'), g (у), g^^, g (^j) в форме (41.28) после интегрирования по углам дает выражение, пропорциональное той же шаровой функции, которая была подставлена. Например, подставляя выражение g^'V в которое входит шаровая функция от углов в пространстве ^',получимту же функцию в пространстве у; аналогично получается и для пг и п[. Пример такой подстановки дает интегрирование функции в (41.8). Скалярный оператор L, примененный к шаровой функции, может дать только ту же самую функцию. Символически запишем это в таком виде:

Lg^LGi^Y?^', ф') = (AZGZ (и') У? (А, ф)).(41.29)

Здесь Az — скалярный оператор, зависящий только от абсолютной величины скорости. Он определяется конкретным дифференциальным эффективным сечением ^^- и порядком шаровой функции /, но не числом т, зависящим только от произвольного выбора полярной оси в пространстве.

KiGu = — Gls.KiGu = — Gls.После отделения угловой зависимости g(^ остается еще, как указывалось, зависимость от абсолютной величины скорости, подобно тому как в уравнении Шредингера в центральном поле после разделения переменных остается уравнение для чисто радиальной функции ср (г). Собственное значение энергии определяется двумя числами: азимутальным / и радиальным пг, т. е. числом узловых точек ср (г). Число I входит и в уравнение данной задачи, а вместо пг имеется некоторое число s, определяющее .’собственную функцию уравнения, содержащего только абсолютную величину скорости. Обозначим эту функцию Gls (и). Тогда уравнение для нее имеет вид:

KiGu = — Gls.

KiGu = — Gls.

(41.29)

Величина %ls, имеющая размерность времени, называется временем релаксации в системе, соответствующей неравновесной функции распределения gls (у) = GlsYT. Оно показывает, за какое время поправка к равновесной функции затухает в е раз. Найденное таким способом время релаксации — не оценочная, а вполне точная величина, если брать функции распределения как собственные по отношению к оператору столкновений L.

Имеется целый спектр времен релаксации xls. Разным процессам соответствуют различные / и s.

Вязкость одноатомного газа. Кинетические коэффициенты (вязкость или теплопроводность газа) в элементарных курсах физики определяются через свободный пробег молекулы или атома. Эти оценки мы предполагаем известными читателю. Здесь будет показано, как вычислить коэффициент вязкости одноатомного газа из кинетического уравнения. Сравнение с опытом в принципе позволяет по температурной зависимости вязкости газа восстановить элементарный закон силового взаимодействия между атомами.

Рассмотрим газ, в котором задано неоднородное поле средних скоростей. Пусть средняя составляющая скорости вдоль оси х линейно зависит от у, т. е. их = ау. Иными словами, в точке на расстоянии у от плоскости у = 0 скорость центра инерции элемента объема газа пропорциональна у. Будем считать, что при у = 0 находится твердая неподвижная стенка. Тогда их есть х-овая компонента гидродинамической скорости газа относительно стенки.

Распределение Максвелла в элементе объема описывается следующей экспонентой:

/о = ( 2^о Vе” t(^ - ауУ + ^ + и;]- (41.30)

Но такое распределение не удовлетворяет кинетическому уравнению (41.21): интегральный оператор обращается в нуль, а член ^ не равен нулю. Следовательно, функцию распределения для таких условий надо искать в виде:

(41.31)(41.31)df0^-,так как ужеdf0^-,так как уже/ = /о[1+§'(Ул-а</, иу, иг)].

(41.31)

(41.31)

df0

^-,так как уже

df0

^-,так как уже

Поправочную функцию g не надо учитывать в члене

/0 зависит от у (причем эта зависимость принята слабой). Поэтому dL

произведением ^ g надо пренебрегать. Следовательно, уравнение

(41.32)(41.32)для g получает вид:

(41.32)

(41.32)

Здесь оператор L определен равенством (41.27), из которого еле- дует, что Lg = “ . Экспоненциальный множитель е т ничего не меняет в (41.27).

Согласно (41.25) fog = f — /о. Поэтому кинетическое уравнение сводится к такому виду:

у dtl I Z”fo — Оду ту dtl I Z”fo — Оду т(41.33)(41.33)

у dtl I Z”fo — Оду т

у dtl I Z”fo — Оду т

(41.33)

(41.33)

Это уравнение называется релаксационным.

Чтобы придать ему строгий смысл, надо подставить в него должное значение т. Покажем, из какого условия можно найти т. Производно ная -~- выражается так:

Ио = ^LIE^Z^IIiL дуО

После сокращения на /0 из уравнения (41.33) получается:

ggтиу ^х — ау^тиу ^х — ау^ооат.ат.(41.34)(41.34)

g

g

тиу ^х — ау^

тиу ^х — ау^

о

о

ат.

ат.

(41.34)

(41.34)

В дальнейшем понадобится только распределение при у = О, чтобы вычислить вязкие напряжения на стенке. Симметрия g определяется произведением *ихх)у или произведением sin О cos О cos ср

(для случая шаровой функции). По «магнитному квантовому числу», т. е. по индексу т (в первом томе этот индекс обозначался через А) шаровой функции, имеет место вырождение [см. стр. 343], так как оно зависит от выбора оси у. Следовательно, т зависит только от /,

которое в данном случае равно 2. Зависимость g от абсолютного значения и при у = 0 не соответствует никакой собственной функции

оператора Л2, по крайней мере, при произвольном виде эффективного сечения . Поэтому никакого определенного числа т25 выбрать

нельзя: в точный ответ входят все значения т25.

Но определяющим для процесса релаксации должно быть наибольшее значение т25, так сказать «узкое место» на пути к равновесию (см. задачу 2). При данном / = 2 надо взять наименьшее собственное значение оператора Л2, которое соответствует самому долгому времени релаксации. Обозначим его (т20)-1. Индекс «О» означает, что наименьшее (т20)-1 дает собственная функция «основного состояния» оператора Л2.

Вычислим теперь вязкие напряжения на стенке. Они даются средним значением компонента импульса, переносимого в единицу времени на стенку в направлении у. Аналогично тому, как в § 2 вычислялось давление на стенку, надо теперь найти интеграл от произведения п^ (1 + g) nwxuy. Равновесная функция распреде-

ления не дает вклада. Поэтому остается только интеграл, содержащий g:

Рху^п mvxdvx^dvy ^ du2fog —— оо0— оо

ООООООти2

пат / т \з/2 f 0 , С о , С— .-

=— ^J ^ тих dvx ^ и-у dv д ^ с/ид20 (и) е 26 .

— оо0— оо

Интеграл по иу можно тоже распространить от —оо до оо, добавив множитель 1/2. Первоначально он брался только по тем атомам, которые летят из объема на стенку. Далее: их = у2 sin2 ft cos2 ср, ц2 = ^2 cos2 ц и ИНТеграл по полному телесному углу равен 4л, умноженному на средний квадрат cos2 ср, т. е. на 4/2, и на разность средних значений cos2 $ и cos4 $ по телесному углу (4/3—4/5 = 2/15). В результате интеграл по углам дает 4л/5 [см. стр. 240].

Вязкость т| равна коэффициенту пропорциональности между

~ и (см- § 17Т т-е-

1 / 2 \V2 т’/2 с

—) -V v6T2o(v)e 26 dv. (41.35) о

Из уравнений (41.26) и (41.27) видно, что вязкость не зависит от плотности, так как время т обратно пропорционально /2, которое сокращается в (41.35). Этот факт теоретически обнаружил еще Максвелл, рассматривавший его сначала как парадокс.

Если силы между атомами зависят от расстояния степенным £ образом, то эффективное сечение обратно пропорционально ип, (где п — показатель степени в выражении потенциальной энергии взаимодействия: U = — Тогда время релаксации пропорционально

— — 1

уп , а интеграл (43.25) по скоростям зависит от температуры L (А ] б\ 2 [ з2 j зз

по закону 62/ — б” • Соответственно,2 =

2+1

= 9"2. Сравнение с опытом позволяет найти эффективное зна

чение п (не смешивать с плотностью!). При п = 4 т не зависит от скорости и Т] = птО.

Аналогичным способом определяется теплопроводность газа. Но так как тепловой поток есть вектор, то ему соответствует по симметрии полином Лежандра Рг и, конечно, другое время релаксации (см. задачу 4).

Чтобы найти точное выражение для коэффициента диффузии, надо рассмотреть смесь двух газов, неоднородную по концентрации, но при одинаковом давлении во всех точках (в противном случае возник бы суммарный гидродинамический поток газа). Из строгого

кинетического уравнения типа (41.21) следует, что коэффициент диффузии слабо зависит от относительной концентрации компонентов.

Это можно объяснить качественно следующим образом. Представим себе смесь легкого и тяжелого газа. Диффузия представляет собой относительное перемещение одного компонента в другой. Больший вклад всегда дает легкий компонент, как более подвижный (независимо от того, больше его или меньше). Это и подтверждается расчетами.е

При диффузии в среде с неоднородной температурой наблюдается перекрестный эффект, предсказанный теоретически Д. Э н с к о- гом. Градиент температуры сам по себе вызывает диффузионный поток в смеси из двух компонентов. Это явление называется термодиффузией. Заметим, что элементарная кинетическая теория газов, основанная только на понятии свободного пробега, не может указать даже знак соответствующего коэффициента, т. е. направление термодиффузионного потока по отношению к градиенту температуры.

Колебания плазмы. Кинетическое уравнение с релаксационным членом вместо интегрального имеет следующий вид:

S+^'+^^ + V1”0'(41'36>

Если функция распределения быстро изменяется со временем под действием каких-либо сил, например, если в газе происходят колебания с периодом, который гораздо меньше времени релаксации, то последний член в уравнении (41.36) может стать пренебрежимо малым по сравнению с остальными. Иначе говоря, столкновения между частицами будут несущественны для определения /. Вид функции f в этом случае зависит от движения каждой частицы в поле всех остальных или во внешнем поле.

Такое состояние осуществляется в плазме, совершающей высокочастотные колебания. Плазмой, как известно, называется ионизованный газ, состоящий из тяжелых положительных ионов и электронов (а при неполной ионизации в плазму входят и нейтральные атомы). В целомтакой газ нейтрален, т. е. содержит ионы и электроны в равном числе, но при колебаниях происходят местные изменения плотности зарядов обоих знаков.

Предположим, что вблизи некоторой точки несколько изменилась плотность электронов на величину пг. Тогда возникает электрическое поле согласно уравнению [16.11:

div ё = 4лт\

Это поле действует на электроны обычным образом:

doт -гг=№>.dt

Считая, что изменения плотности относительно невелики, можно полную производную скорости заменить на частную, как в (16.5), 428

где рассматриваются звуковые колебания. Возьмем дивергенцию от обеих частей последнего уравнения:

тdiv у = е di v 8 = 4лпе2.

dt

Согласно уравнению неразрывности в его приближенной форме (16.4) div ф =—^"^" (гДе п° — средняя плотность электронов). Это дает уравнение для п’\

д^п' 4лпое2

"Ж" ~ ж •

Следовательно, плотность электронов совершает колебания с частотой.

Эта частота называется лэнгмюровской. Соответствующий период колебаний изменяется обратно пропорционально корню из плотности, тогда как время релаксации обратно пропорционально самой плотности. Отсюда следует, что в достаточно разреженной плазме релаксационное слагаемое всегда становится достаточно малым по сравнению с другими членами кинетического уравнения.

Найдем теперь среднюю энергию лэнгмюровских колебаний. Средняя кинетическая энергия отдельного электрона равна

^2 = т . ^[со|[м5е^

2 m2cog4ma)“ ’

где ^о — амплитудное значение поля. Подставляя сюда и умножая на плотность электронов, находим:'

1 5^25^2

2"^ = -fc = f-.(41.38)

Иными словами, средняя энергия колебаний электронов равна средней энергии поля.

Запишем теперь кинетическое уравнение для плазмы без релаксационного члена:

ж + ^+^-О.(41.39)

Сюда надо добавить уравнение для ^:

div ^ — 4ле fdxv ,(41.40)

где положено, таким образом, что функция / нормирована на п'. Эти уравнения получил А. А. В л а с о в.

Так как в (41.40) входит производная по координате, это значит, что в плазме могут существовать не только волны вида £ =

= §0 cos соо/, т. е. однородные в пространстве, но и бегущие продольные волны ^х = Е cos (кх — со/) типа звуковых. При малых к, т. е. при больших длинах волн, их частота со близка к лэнгмю- ровской частоте соо.

Затухание бегущих волн в плазме. Л. Д. Л а н д а у обнаружил, что бегущие волны в плазме обладают некоторым затуханием вследствие передачи энергии отдельным электронам. Это затухание не сопровождается ростом энтропии, так как происходит не в результате столкновений, т. е. не связано с процессами релаксации. Энергия, полученная отдельными электронами от коллективного, гидродинамического движения плазмы, может быть потом ими возвращена полю и движению плазмы как целого. При истинном затухании, т. е. при переходе энергии волны в тепло, это не осуществимо.

Ландау получил свой результат прямо из уравнений Власова. То же самое можно вывести из уравнений механики путем более длинных, но зато и более наглядных и элементарных расчетов. Мы изберем этот путь.

Пусть продольная волна бежит вдоль оси х. Тогда движение электрона подчиняется уравнению

т ^~ ^cos (kx — toty(41.41)

Примем, что начальные условия при / = 0 следующие: х = х0, dx

®веДем новую неизвестную ^ = кх—со/. Начальные условия для нее будут: £0 = кх0, £0 = ки0 — со. Она подчиняется уравнению

mlF = e^cos^,(41.42)

которое очень легко интегрируется в квадратурах. Умножим обе его части на d^^=dt^ и возьмем первый интеграл:

Ш2=е^°к sin ^+с-

Из начальных условий находим:С = —^—e$oksinkxo.

Тогда

- sin^Xo).

Извлекая квадратный корень, разделяя переменные и интегрируя еще раз, получим:

кх0 — totкх0 — tot

t= jj .^= ^ S. (41.43)

у (/гу0 — <о)2 +-^—^кхо

Так как надо найти у, т. е. скорость электрона, то дифференцируем полученное выражение по х. Это дает:

dtdt \

dx R \ dx )

Решая относительно у, находим:

(41.44)

Последнее равенство показывает, что корень надо брать с тем же знаком, какой имеет величина to0 — со (тогда выполняется начальное условие для скорости). Из (41.44) надо найти кинетическую /тух \

энергию электрона точнее, ее слагаемое ——) и усреднить ее по начальной координате и по начальной скорости электрона.

Усредним сначала по координате х0. Считая электрическое поле слабым, разложим корень в ряд до квадратичного члена по полю включительно, т. е. заменим ]/1 +<х на 1 4- у — М. Это дает:

m (dx^— М со^2 [sin (^х —со/) — sin ЗД2 члены, линейные ”2 \ dt )22m2-(Н —^)3+относительно 8V

Сюда надо подставить х^М + ^о- Тогда при усреднении по х0 линейные члены обращаются в нуль. Преобразуем теперь квадратичный член:••

[sin (fox — со/) — sin tooj2 — {sin [to0 +t Mo — to)] — sin to0}2 == 4 cos2^x0+ (to0 — w)j sin2 ~ (to0 — co).

Квадрат косинуса в первом сомножителе при усреднении по х0 ту2

дает х/2. Поэтому среднее значение -у для электрона с начальной скоростью у0 равно:

. t ти^ mv^ coy2^2 sin2 у (^у0 —со) ¥ =•(41-45)

Произведем теперь усреднение по начальной скорости. Интегралы от распределения Максвелла по другим компонентам скорости дают единицу. Остается сомножитель

г / \! т \

1/2

е 26

(41.46)

Надо вычислить следующий интеграл:

У'""" ие^ n” sin^l (too-со)

(41.47)(41.47)4 "Г = " У S ~<Б^- f М d”:

(41.47)

(41.47)

— со

где значки сверху показывают, по каким величинам произведено усреднение. Получился интеграл, который при ^о = у можно формально считать расходящимся. На самом же деле это связано с разложением квадратного корня в ряд: без разложения результат был бы однозначным и конечным. Это значит, что интеграл (41.47) надо брать в смысле его главного значения (см. §36), которое тоже конечно. Действительно, исключим сначала из интервала интегрирования участок у — еСУстремим в к нулю в точном выра

жении: это не вносит никаких бесконечных слагаемых. Переход к тому же пределу в приближенном интеграле (41.47) как раз и дает главное значение.

Чтобы найти его, разложим /0 (^о) в ряд вблизи у0 = ^, ограничиваясь первым членом:

Интеграл от нулевого члена разложения берется по нечетной функции и дает главное значение, равное нулю. Интеграл от первого члена встречался нам в [32.39]. Производя подстановки

tС sin2 £

(&v0 — со)=£ и пользуясь тем, что -^2' dg —л (32.40), — ОО

получим:

(41-48)

Чтобы упростить эту формулу, воспользуемся законом сохранения энергии: суммарная энергия электронов, поля и плазменных колебаний должна сохраняться, или согласно (41.38) должно иметь место соотношение:

(41.49)(41.49)(41.50)(41.50)_ti —£ л п°т (dx \2 Vodt 8л dt 2 ^”57 /

(41.49)

(41.49)

(41.50)

(41.50)

Если у — декремент затухания амплитуды поля, то d 65 9 §§ _ л Ярсое^о е, / со \

dt 8л ~ 8л “ Т т№ ‘АТ)*

Отсюда

у=2л3

Ио52(О г, / (О \

Считая волновой вектор малым (это требование сейчас будет уточнено), заменим со на соо« Тогда у приводится к виду:

ЗТ СО а гл / ton \1\

? = ~(51.51)

Введем обозначение:

Тогда подстановка в (41.46) дает результат, полученный Ландау:

(4L52)

Отсюда видно, в каком смысле к является малой величиной: должно выполняться неравенство к <^ и, или, иначе, длина волны должна быть велика по сравнению с х.

Физическое происхождение у ясно из формул. Если /0 (и0) — убывающая функция скорости, то вблизи v0 = ^ имеется небольшой избыток более медленных электронов над более быстрыми. Двигаясь со скоростью, которая близка к фазовой скорости волны, электроны увлекаются ее движением, как бы пристраиваясь к ней. Но так как более медленные из них имеются в большем числе, они в результате отбирают энергию у волны. Это и есть причина затухания.

Упражнение 35

В объеме сферы радиуса а диффундируют частицы, способные к размножению. Это могут быть, например, нейтроны в уране, обогащенном изотопом [/235, или активные центры разветвленной химической цепной реакции. В уравнении диффузии это учитывается путем добавления члена ап к D&n (где а > 0). Тогда в однородных условиях (Ди = 0) п = пое^. Фактически частицы, попадая на поверхность сферы, выходят из игры (нейтроны вылетают наружу, активные центры химической реакции рекомбинируют). Приближенно это описывается граничным условием п (а) = 0. Найти значение радиуса, при котором число частиц начинает экспоненциально нарастать со временем (критический размер).

Решение имеет центральную симметрию. Поэтому его надо искать в форме п=™-е-}^.

При Z > 0 концентрация затухает со временем. Функция / (г) удовлетворяет уравнению D ^~ — _ (а + ^)/

при граничном условии / (0) = / (а) = 0. Так как / — существенно положительная величина, выбираем решение, не имеющее узлов:

/

а

Отсюда следует уравнение для X;

Величина X обращается в нуль, когда радиус равен

При больших значениях радиуса, как показали В. Г. Б у р с и а н и В. С. С о р о к и н, происходит экспоненциальное нарастание числа частиц.'

Одноатомный газ выводится из равновесия внешним возмущением, которое описывается функцией вида Л (и) Y™, удовлетворяющей уравнению

Возмущение наложено в начальный момент времени / — 0. L — оператор, определенный формулами (41.26) и (41.27). Найти асимптотический вид функции g при t = оо.

Отделяем угловую зависимость g подстановкой (41.28):

Это дает уравнение для Gt (у):

.+AzGz = /i(y).

Разлагаем Л (и) по собственным функциям оператора Az: h = ^^LcsGis- Решение ищем в виде G/^2^s (0 Gis- Тогда каждая «амплитуда» bs удовлетворяет уравнению dbs . bs dt tZs

Так как в начальный момент возмущение равно нулю, получаем решение

bs (0 = тг5уД1 — е ' ти /

Асимптотически оно имеет вид:

bs ^ ^l^S*

Если одно из времен релаксации, например tZo, заметно превышает все остальные, можно удержать только первый член:

Gz (£->оо)^т/(Д

что соответствует приближению, принятому в тексте,

В одндатдмном нейтральном газе Находятся отдельные ионизованные атомы газа (того же самого или другого). Газ помещен во внешнее однородное электрическое поле. Найти подвижность ионов (Э. Фогт и Г. В а н н ь е).

Как было указано, сила между ионом и атомом убывает по максвелловскому закону, так что вероятность столкновения иона с атомом не зависит от их относительной скорости. При малой концентрации ионов можно считать, что функция распределения атомов /0 не зависит от присутствия ионов. Тогда для функции распределения ионов получается кинетическое уравнение

S + "5 S = ~ ° I ® - ®' I dod^' U (®) /о (О') - / (О1) Ж)].

В стационарных условиях ~ = 0. Поставленную задачу удается решить, не находя функцию распределения ионов f (у).

Пусть поле направлено по х. Умножим обе части уравнения на их и проинтегрируем по dx^. Слева имеем:

еёх С df .ciеё

—" \dxv = - \ fdxv =.

Вычислим теперь интеграл от произведения ^ на первую часть уравнения. В первом члене получим:

— п ^ fv.x dxv • ^ /0 (у') dx^ ^ |у — у' | do.

Первый сомножитель равен ух, второй равен 1 (по условию нормировки), подынтегральное выражение третьего не зависит от скорости (по основному свойству соударений частиц с максвелловским законом взаимодействия).

В последнем слагаемом подынтегрального выражения справа удобно выбрать <и1 и у! в качестве переменных интегрирования. Якобиан преобразования от у, «и' к фь y^ равен единице, в чем можно убедиться прямым вычислением. Следовательно, для интегрирования надо выразить у через фь ©! и угол поворота относительной скорости в системе, связанной с центром инерции.

Преобразование выполняется известным способом. Если частица с массой т и скоростью у сталкивается с частицей, имеющей массу М и скорость у', то в системе, связанной с центром инерции, их скорости до столкновения равны:

М + т , и - м + т .

Соответственно, после столкновения

АМ (у — я') , Ат^о — чН -

где Л — сокращенное обозначение матрицы косинусов углов поворота вектора [см. задачу 3, § 4]. Возвращаясь к исходной системе отсчета, получим:

(ЛЛ1 + т)‘0 + Л1 (1 — Л) -у', т (1 — Л) у + (Л/п + Л1) у'

^М + т> ^iМ-^т*

Исключая отсюда у', найдем искомое выражение для ф:

_ (т +Л^Л!)^! М (1-Л"1 )^

^Л4 + тI ' M-Vm 1

где Л"1 — матрица преобразования обратного Л. Второе слагаемое при интегрировании по направлениям г/ обращается в нуль, так как /0 (у') есть равновесная максвелловская функция. От оператора Л"1 останется только элемент Л^1 = cos %, потому что Аху и Л ^ при интегрировании по азимуту вектора повернутой скорости обратятся в нуль. Следовательно,

е$।/1m + Л4 cos у \

т J 11\ m-V-M )

Существенно, что произведение | у — у' | do в данном случае зависит только от угла %. Полученный интеграл может быть найден вместе с численным коэффициентом. Таким образом найдено соотношение между приложенным полем и направленным компонентом скорости электрона («дрейфовой скоростью»). Результат хорошо согласуется с опытом.

Найти теплопроводность идеального одноатомного газа.

Счйтая,что газ как целое должен покоиться, надо при вычислении считать давление газа постоянным. Тогда будет происходить только перенос энергии, но не массы. Принимая, что температура изменяется с координатой по линейному закону, представим ее так: 9 — 90 + 9'х (где 9'—градиент температуры). Функцию распределения ищем в таком виде:

f|У 12 (60 + 6' X) / | I g y\\

1[ (2л)3(60 + 6'х)5 J

При интегрировании по скоростям g не дает вклада. Поэтому

Следовательно, полное число атомов в единице объема п (х) равном 90 (0о + б'я)"1. Отсюда р = п (х) 9 (х) = п 90 = const. Значит, постоянство давления обеспечено.

Подставляя функцию / в релаксационное уравнение, найдем:

у eV^А? \ = s_

\2(6о+6'я)22 бд + б'хУ т 1

Смысл времени релаксации в этом уравнении будет еще уточнен. Поправка к функции распределения при х = 0 равна

gg 6'тох / ту2 _5\

g

g

“^-\'20Г

Определяем тепловой поток qx как среднее значение ^ их (при этом 60 заменяем на 6):

иОЧ иг6(2л6)3/2иОЧ иг6(2л6)3/2mu2 ._

иОЧ иг

6(2л6)3/2

иОЧ иг

6(2л6)3/2

, — -9с- „ / mu25 \ nvo2, х

Ч 262 2V '

Интегрирование по углам дает ™. Поэтому

C^dv^ 5L'^tM

36 (2л8)3/2 V aU 2 \ 26 2р TW

§ 1):§ 1):Если т (у) не зависит от скорости, то вычисления дают (см. задачу 3

§ 1):

§ 1):

5 бпт^—2-^Г^

Здесь коэффициент при — о' и есть теплопроводность газа. Заметим, что в нее входит нс то время релаксации, от которого зависит т], потому что функция g здесь имеет симметрию вектора, т. е. первой шаровой функции, а не тензора х)хх)у. Наибольшее конечное время релаксации в задаче о теплопроводности характеризуется числами I — 1, s = 1. Значению s = 0 при / = 1 соответствует g = av (где а — постоянный вектор). Но такая функция обращает интеграл столкновений в нуль в силу закона сохранения импульса при соударениях. Поэтому т10 = оо, что давало бы бесконечную теплопроводность.

/9\/77W2

,/ mu2 5 \/о — од \

Функция а^ ортогональна у) я ( с множителем у2^ 20 ) и не входит в разложение правой части уравнения, рассмотренного в задаче 2. Поэтому бесконечное время релаксации т10 не участвует в задаче о теплопроводности. Величина qx выражена через тп.

Найти еще одно решение уравнения (41.27), соответствующее бесконечному времени релаксации.

§ 42. ЭЛЕКТРОН В КРИСТАЛЛЕ

Кинетика электронных явлений в кристаллических телах зародилась в работах Лоренца и Друде вскоре после открытия электронов как элементарных частиц. Как было указано в § 6, основная трудность классической электронной теории металлов была связана с аномально малой теплоемкостью электронов в металлах. Эту трудность устранил Зоммерфельд, применив к электронам в металле статистику Ферми. Но настоящее развитие электронной теории металлов и вообще квантовой теории кристаллического состояния началось с работы Ф. Блоха, выполненной в 1930 г. Блох

ВЫяснИл Главные особенности поведения электронов в кристаллической решетке.

Движение электрона в периодическом поле. Движение электрона в поле, имеющем пространственную периодичность, могло рассматриваться в квантовой механике. Но там эти вопросы остались бы без применения. Чтобы выяснить основные особенности задачи, начнем с одномерной модели.

Пусть потенциальная энергия электрона зависит от координаты х- периодически:

U (x-Vna)^U (х),(42.1)

где п — целое число любого знака и — оо х оо. Следовательно, а — пространственный период функции U (х). Подставим соотношение (42.1) в уравнение Шредингера:

— n ” -t- U (х-\-па)^^—+ U (х)ф = Еф, (42.2)

2т dx2 1 v 17 т 2т dx2 1\ / т п \/

которое при такой подстановке не изменяет своего вида. Поэтому волновая функция ф (х) при замене х на х + а может только умножиться на постоянное число С, по модулю равное единице:

ф(х + ^)^Сф(х).(42.3)

Действительно, ф ( х-\-па) = С^ф (х). Отсюда видно, что при | С | ^ 1 функция"ф (х + па) стремится к бесконечности при большом п, положительном или отрицательном, в зависимости от величины | С |.

Всякое число, равное по модулю 1, представляется в таком виде:

(42.4)

где £ — действительная величина. Отсюда видно, что волновая функция удовлетворяет равенству

ф (х + па) = е2л^”ф (х),(42.5)

которое выполняется при любой функции вида:

ф(х) = е а u^xY(42.6)

Здесь и^ (х) = и5 (х + naY т. е. функция и^ (х) имеет период, равный периоду решетки а. Заменяя в (42.6) х на х + па, убеждаемся что требование (42.5) выполняется.

Первый сомножитель функции (42.6) очень напоминает волновую ipx

функцию свободного электрона еh . Импульсу р соответствует величина

которая называется квазиимпульсом. 438

Благодаря периодичности потенциального поля движение электрона в нем весьма похоже на свободное движение. Отличие соответствующей волновой функции состоит в модулирующем периодическом множителе. Это отличие сказывается и на зависимости энергии от квазиимпульса, которая может быть найдена из уравнения Шредингера, если подставить в него волновую функцию ф (х) — ikx

= eh ик(х):

h2 d^Ub 2ik duk , k2 .n

+ +(42‘8)

Энергия электрона в одномерном периодическом поле. В уравнение (42.8) квазиимпульс входит как параметр. Поэтому собственное значение энергии зависит от к. Вид зависимости определяется из условия периодичности ик. Таким образом, энергия и квазиимпульс электрона существуют в одном и том же состоянии, как энергия и импульс свободного электрона. Но зависимость энергии от к имеет очень сложный вид. Цель настоящего параграфа состоит главным образом в том, чтобы разъяснить некоторые принципиальные особенности поведения Е (к) в одномерных и трехмерных периодических структурах.

Прежде всего, энергия есть четная функция квазиимпульса: Е (k) = Е (— к). Действительно, переход от £ к — |, или, что одно и то же, от к к — к, соответствует замене волновой функции на комплексно сопряженную. Но этот переход не влияет на собственное значение энергии, так как означает замену / на — t. Уравнения квантовой механики симметричны относительно обращения знака времени (при наличии внешнего магнитного поля надо еще изменить и его знак).

Найдем теперь общий вид кривой, изображающей зависимость Ек. Для этого заметим, что равенство (42.4) определяет действительную величину | с точностью до любого целого слагаемого, положительного или отрицательного. Поэтому удобно условиться относить g всегда к одному и тому же интервалу — 1/21/2.

Если § находится вне этого интервала, к нему всегда можно прибавить целое число так, чтобы оно опять попало в область между 1/2 и — L2. Это целое число назовем п.

Уравнение (42.8) содержит самое число £ или к. Поэтому каждое значение п соответствует разным энергиям и разным функциям ик. Считая, однако, что | заключено в пределах между — 1/2 и 1/2, можно энергию снабдить дополнительным индексом пл

Е^Еп, <ку

При этом достаточно брать только положительные п, так как энергия — четная функция квазиимпульса.

Второй индекс п вместо непрерывно изменяющегося к удобно вводить по следующей причине. При £ ± 1/2 уравнение (42.3) дает:

ф (х + я) = ^Ф (х) = — ф (х) = ф (х — а).

Рис. 54Рис. 54

Рис. 54

Рис. 54

Эти равенства не содержат мнимой единицы, и поэтому такая волновая функция не соответствует распространению какой-либо волны [см. стр. 256]. Она описывает стоячую волну, которая строится следующим образом.

В уравнение (42.8) входит I. Решение вида стоячей волны получается в виде линейных комбинаций uk-Vu_k и Х-^ик — и_к) л/г1

при к ——, подобно тому как cosx и sinx образуются из е1х. Но ик + и_к и ик —- и_к — разные волновые функции. Им соответствуют и различные значения энергии. Причем эти значения имеют место на концах интервала—, потому что Е (к)— четная функция к. То же самое возникает каждый раз, когда к = —-,у, т- е- ПРИ всех Целых и пол у целых

Но если при одном и том же аргументе к функция имеет два

значения, а в соседних точках она однозначна, то это сводится просто к разрыву. Иными словами, внутри интервала с каждым значением п функция Еп (к) непрерывна, а при переходе к следующему интервалу испытывает конечный скачок. Кривая состоит из отдельных гладких участков, которые удобно относить всегда к интервалу — 1/2^ 1/2, рисуя их один над другим, как показано на рисунке 54.

На этом рисунке заштрихованы те интервалы энергии, которые не могут содержать в себе энергию электрона в данном периодическом поле. Каждый отрезок разрешенных значений энергии называется иначе разрешенной энергетической зоной данного номера п. Между ними расположены запрещенные энергетические зоны.

Происхождение такого спектра энергии можно понять следующим образом. Пусть период а стремится к бесконечности. Тогда состоя-

ние электрона в периодическом поле заменяется совокупностью состояний около каждого отдельного притягивающего центра. Такие центры моделируют поле атомных остатков в кристаллической решетке. Отдельные состояния соответствуют при этом разрешенным энергетическим зонам, которые стягиваются в уровни. При уменьшении периода сказывается действие на электрон всех остальных центров (кроме того, центра, с которым он связан). Это возмущение снимает вырождение уровня, состоящее в том, что один и тот же электрон может быть связан со всеми центрами.

Уровень расщепляется соответственно числу отдельных центров. Но так как в реальном кристалле имеется огромное число центров, то происходит не расщепление на дискретные уровни, а расширение вырожденного уровня, так что получается зона. Более слабо

связанные состояния, которым соответствуют верхние уровни, расширяются сильнее.

Волновые функции (42.6) суть правильные собственные функции вырожденной задачи, которые задаются квантовым числом к и номером зоны п [32.20].

Собственные функции уравнения (42.2) образуют полную систему. Из них, в принципе, можно построить любой волновой пакет, описывающий движение электрона в периодическом поле U (х). Если ограничиться состояниями, принадлежащими одной зоне, что соответствует Ая= —— , то из соотношении неопределенности

[22.4] следует, что Ах = а, т. е. локализация электрона возможна в пределах одной ячейки (одного периода).

Скорость распространения волнового пакета, как известно из

квантовои механикидЕСоотношение у = дрквантовои механикидЕСоотношение у = дрниемниемсовпадает со скоростью электрона, в периодическом поле заменяется соотноше-

квантовои механики

дЕ

Соотношение у = др

квантовои механики

дЕ

Соотношение у = др

нием

нием

(42.9)(42.9)/ dx\дЕ„

(42.9)

(42.9)

\dt)n~Vn~~dT'

Но здесь координата определена с точностью до одного периода. Индекс п указывает, что электрон принадлежит /z-й энергетической зоне.

Формула (42.9) показывает, что и есть функция к, т. е. что скорость —- константа движения. Она существует в одном состоянии с энергией, как у свободного электрона. Это важнейшая черта сходства между электроном в периодическом поле и свободным электроном. Электроны в таком поле движутся не рассеиваясь на периодически расположенных центрах.

Если периодическая функция потенциальной энергии задана точно, то вид энергетического спектра, подобный тому, что показано на рисунке 54, в принципе полностью определяется. Пример такого определения дается в задаче 1.

Слабо связанный электрон. Здесь мы найдем спектр приближенно, считая, что состояние электрона в нулевом приближении

свободное и описывается волновой функцией е h (где к — обычный импульс). Потенциальная энергия будет рассматриваться как возмущение. Иногда это оправдано и в количественном смысле. Если кристалл состоит из сложных атомов, то заряд ядра экранирован электронами атомного остатка. Внешний электрон, движение которого изучается, может иметь большое квантовое число, если сопоставить зону, характеризующую состояние в решетке, с состоянием в атоме. При большом квантовом числе волновая функция

сильно осциллирует в пределах атомного остатка. Каждая единица квантового числа, как известно [стр. 405], показывает, сколько узловых поверхностей имеется у волновой функции. Поэтому среднее значение потенциала, действующего на внешний электрон, соответствует матричному элементу, содержащему сильно осциллирующие волновые функции. В результате оказывается, что периодическая часть волновой функции внешнего электрона приходится на область, где электрон взаимодействует с периодическим полем решетки. Такой эффективно ослабленный потенциал называется псевдопотенциалом.

Кинетическая энергия электрона в кристалле оценивалась в § 6. Она имеет порядок величины в несколько вольт. Псевдопотенциал порядка 0,1—0,2 в. Поэтому поправка к энергии электрона, вносимая решеткой, при малом псевдопотенциале может определяться по теории возмущений.

Поправка первого приближения равна среднему значению потенциала по объему. В нее вообще не входит периодическая часть потенциала: его среднее значение путем надлежащей калибровки энергии выбирается равным работе выхода электрона из кристалла, отсчитанной от дна энергетической зоны. Если зона соответствует состоянию отдельного атома с энергией ионизации Еп, которая в кристалле превращается в разрешенную полосу значений энергии, то можно рассматривать энергию электрона в зоне как кинетическую, если принять наименьшую энергию полосы за нуль.

Вычислим теперь поправку к энергии, обязанную периодической части потенциала. Если считать ее малой, то электрон надо в первом приближении рассматривать как свободный (с учетом сдвига его энергии за счет связи с решеткой как целым). На виде волновой функции это не сказывается: она, как и в случае свободного электро

на, равна еh . Энергия такого электрона равна |Е0| (где | Ео I — энергия связи, Ео = (U^.

Поправка к энергии во втором приближении согласно [32.15] для сплошного спектра должна иметь вид:

Еь' = — ^ г^г dk'-(42 10)

Здесь U кк* есть матричный элемент от периодической части потенциала (V — объем кристалла, введенный для нормировки):

1 a i (k — к'> х

U№—v-y ки^ах.(42.11)

Величина U (х) может быть разложена в ряд Фурье:

Г 002ninx )

Щх) = ке\ 2(42.12)

Значение n = 0 исключается, так как среднее значение по условию и есть Ео. Тогда, как видно из (42.11), матричный элемент отличен , ,. 2зхп1г.

от нуля только при \к — к ] = —-— и в этом случае равен коэффициенту Фурье в разложении потенциала.

Знаменатель выражения (42.11) обращается в нуль в двух случаях: при к = k' и при £ = — к'. В первом случае обращается в нуль и числитель, потому что коэффициент Фурье с п — 0 отсутствует. Во втором случае в числителе стоит интеграл:

. Р° *21кх

Uk<-k = -Y^ e^U^dx.(42.13)

— OQ

v nhn,

Он не равен нулю в тех случаях, когда , т. е. если к нахо

дится на краю зоны разрешенных значений энергии. Следовательно, формула (42.10), в которой поправка к энергии вычисляется как малое возмущение, в таком виде неприменима. Волновая функция электрона возмущается сильно, а энергия, хотя она изменяется относительно слабо, не выглядит как разложение в ряд по степени возмущающей энергии.

Энергия невозмущенной задачи всегда вырождена: Е (к) = = Е (—к). Но при к-#-—п матричный элемент Uk) _и между двумя этими состояниями обращается в нуль и возмущение не сказывается сильно.

При к^^^ матричный элемент согласно (42.13) равен коэффициенту разложения потенциала в ряд Фурье Un. Как известно из [§ 32], волновую функцию надо взять в виде линейной комбинации обеих функций, соответствующих вырожденному значению энергии.

Ф^сА + ^Ф _к.

Ее надо подставить в волновое уравнение, умножить слева на ф& и на ф1й и проинтегрировать. С учетом ортогональности волновых функций получим два линейных однородных уравнения:

/ ^2\

\ 2/тг ' ^оп + U пСк Еску /\

\2пг “ \Еоп\)С-к + и^Ск = ЕС-к.

Чтобы они имели решение, должен обращаться в нуль определитель:

/\ 2

Отсюда видно, что энергия электрона в решетке отличается от энергии свободного электрона на величину

E-^ = ±\Un\-\Eon\. (42.14)

Таким образом, около края зоны происходит скачок на 2 | Un |, т. е. 2 | Un | есть ширина запрещенной зоны в рассматриваемом приближении. Хотя мы считаем U малой величиной по сравнению с энергией Е, тем не менее формула (42.14) не должна рассматриваться как разложение по малой величине. Как известно из анализа, вблизи точек, где функция претерпевает разрыв, она не разлагается в степенные ряды, так как недиффе

ренцируема. Поведение энергии в окрестности точки разрыва рассмотрено в задаче 2.

Соответственно знаку перед | Un | в (42.14) отношение коэффициентов ck ! c-k равно ± 1. Таким образом, волновая функция имеет вид стоячей волны, как и должно быть на краю зоны.

дЕ

Скорость электрона на краю зоны, т. е.равна нулю

(см. задачу 2).

Построим теперь спектр энергии слабо связанного электрона в периодическом поле. Будем откладывать на абсциссе импульс к (рис. 55). Тогда, если на ординате откладывать только часть энергии, зависящую от импульса, то в нулевом приближении получится парабола показанная пунктиром. Сплошной кривой, вернее участками сплошной линии, показана кривая энергии с учетом разрывов при к = ^~. В этих точках ^- = 0. Далеко от мест разрыва сплошная и пунктирная кривые очень близки.

Чтобы выполнить построение зон, аналогичное приведенному на рисунке 54, надо сместить все отрезки сплошной кривой на участок—так’ что^ы точки» соответствующие разрывам с четным номером, оказались на ординате, а с нечетным — на абсциссе \ Тогда получится совокупность кривых, у которых максимумы и минимумы попеременно лежат при к = 0.

Выражения около разрывов показывают, на сколько данная точка смещается влево, чтобы попасть в основной интервал.

Запрещенные значения энергии непосредственно видны на ординате илиприй = — "^* Так как коэффициенты разложения потенциала в общем случае убывают с номером, то запрещенные зоны в спектре становятся все уже. Таким образом, на примере слабой связи электрона с решеткой показано, как выполняются общие требования, налагаемые на состояние электрона в периодическом поле.

Состояние электрона в трехмерном периодическом поле. Покажем прежде всего, как описываются трехмерные периодические функции. Пусть трехмерная потенциальная функция возвращается к своему значению путем трансляций по трем некомпланарным, т. е. не лежащим в одной плоскости, отрезкам av сц и а3:

(г + пха^ — U (г), U (г + п^ ^Щг), U (г + п^ = U ^.

Здесь nv гц и гц — целые числа любого знака; условие некомпла- нарности отрезков можно, как обычно, записать так: (а^ [а2«31) ^ 0. Отрезки av сц и а3 суть основные периоды кристаллической решетки, т. е. наименьшие трансляции, при которых решетка тождественно совмещается сама с собой.

Введем следующие три вектора:

К [°2°з1 L [^3^11 L lalg2]/ДО 1 С\

(«1 [а2«з]) ’2 <ах [а2а3]) ’3 (ах [а2а3]) *'* ’ '

Они называются векторами обратной решетки. Из их определения непосредственно получается:

№=^.(42.16)

При I = к циклическая перестановка показывает, что числитель и знаменатель выражения (а^ одинаковы. При I ^ к циклическая перестановка обращает числитель в нуль. Если ах, сц и я3 взаимно перпендикулярны, ^b-v = — .

С помощью векторов обратной решетки разложение потенциальной энергии в ряд Фурье представляется так:

U (г) = Re / 2 Un^n^ Mi №) + п2 w + п3 (г^)й (42.17) I Mi, па, ПзJ

Из соотношений (42.16) видно, что прибавление к аргументу г любого целого кратного от векторов аи сц и сц не изменяет ни один экспонент в разложении, что доказывает периодичность U (г).

Если ввести вектор с дискретными компонентами

b — nxbx -|- tt^b^ 4" ^з^з,(42.18)

то трехмерная периодическая функция U (г) получает вид:

U (г) = Re / ^ Ube^A .(42.17)

Рис, 56Рис, 56

Рис, 56

Рис, 56

Заметим, что все три числа пх, п2 и п3 не должны вместе равняться нулю, так как (42.17) относится только к переменной части потенциала. Постоянная отнесена к работе выхода.

Рассуждая таким же способом, как для одномерного случая, заключаем, что волновая функция электрона в трехмерной периодической решетке аналогично (42.6) имеет вид:

ikr

(42.19)(42.19)Ф^е к ^ (г).

(42.19)

(42.19)

Здесь ик (г) — периодическая функция с теми же периодами, что и сама решетка. Квазиимпульс к определяется следующим образом:

к = 2nh ^xbx + Ш + W. (42.20)

По аналогии с одномерным случаем числа £ можно брать в пределах — 1/2 ^ £ ^ 1/2. Следовательно, в трехмерном периодическом поле тоже имеется область квазиимпульсов вблизи начала координат, к которой приводится состояние с любым квазиимпульсом. Энергия на границе этой области терпит разрыв при переходе от зоны к зоне.

Покажем на примере простой плоской квадратной решетки, как строятся отдельные зоны (называемые зонами Л. Бриллюэна). Как уже указывалось, в случае решетки, основные периоды которой перпендикулярны, векторы обратной решетки равны обратным значениям периодов: Ь — ™. Построим теперь все векторы обратной

решетки по уравнению (42.18), полагая п^ — 0. Узлы этой решетки отметим черными кружками (рис. 56). Проведем все линии I—I, которые делят пополам векторы обратной решетки, соединяющие начало с ближайшими узлами по горизонтали и вертикали. На этих

линиях лежат векторы к, у которых одна из составляющих, горизонтальная или верти кал ьна я, удовл етвор яет условию kx = ± лНЬх или k2 ± ккЬ2. Квадрат, ограниченный ими, есть основная зона Бриллюэна.

Следующая зона получается, если провести линии II—II, перпендикулярные векторам обратной решетки Ь — ± -у- ± у , идущим из начала к ближайшим соседям по диагонали. Эта зона Бриллюэна горизонтально заштрихована. Сумма площадей по-

лучившихся треугольников, как видно из рисунка 56, равна площади внутреннего квадрата. Путем надлежащих переносов и они складываются в квадрат.

Тогда в каждом из квадратов, и во всех последующих, энергия будет непрерывной функцией двумерного вектора к, имея разрыв на сторонах квадрата.

Граница третьей зоны, не обозначенной на рисунке, соответствует линиям, ко

торые проводятся так: одна пара — горизонтально на расстоянии ±6 от начала, другая пара — вертикально на расстоянии ±у от начала (или вертикально на расстоянии ± ^и гори

зонтально на расстоянии ± Ь\ Это дает восемь прямоугольных треугольников, в сумме равновеликих основной зоне. Затем проводятся линии, перпендикулярные векторам с составляющими ±&!,±-22- или ± ^ , ±62ит. д. Г

Расположение энергетических поверхностей в двумерном случае может существенно отличаться от одномерного случая. Представим разрезы этой поверхности (см. рис. 56) по двум направлениям: горизонтальному и диагональному (рис. 57). Снабдим их нижними индексами h и d, а также 1 и 2 для первой и второй зон. Отложим справа от начала ЕН12, а слева —Edl^. Тогда в двумерном случае возможно (но не обязательно!) такое расположение кривых, при котором нижний край линии Ed2 лежит ниже верхнего края линии Ehv Поэтому по энергии вторая зона как бы заходит за первую и на ординате не получается запретного интервала энергии. В одномерном случае это невозможно. Показанное на рисунке 57 расположение энергетических поверхностей в двух зонах Бриллюэна называется перекрытием зон. Аналогичное расположение, очевидно, может осуществляться и в трехмерном случае.

На рисунке 58 показана форма первых четырех зон для кубической решетки с атомами в вершинах и центрах граней кубов. Их построил Дж. Николас. Рисунок дает представление о геометрической форме зон в трех измерениях.

Поверхности постоянной энергии. Движение всякой частицы можно рассматривать как в геометрическом, так и в импульсном пространстве. В периодическом поле естественно пользоваться ква- зиимпульсным пространством векторов к, определяемых по урав-

1 Берутся все возможные комбинации знаков.

IllIVРис. 58IllIVРис. 58нению (42.20). Так как энергия электрона в решетке сохраняется, он

IllIV

Рис. 58

IllIV

Рис. 58

обязан двигаться по поверхности постоянной энергии Е (й) = const.

Знание энергетических зон позволяет построить поверхность постоянной энергии. Возьмем сначала двумерную решетку, для ко

торой вместо поверхностей получаются линии постоянной энергии.

Рис. 59Рис. 59Представим их для случая прямоугольной зоны на рисунке 59 и будем считать, что энергия имеет экстремум в центре зоны. Тогда'видно, что есть кривые, замыкающиеся вокруг середины прямоугольника, и такие, которые подходят к его границе, например, в точке а или а'. По построению зон точки a w а равнозначны, так что, попадая в а, электрон снова проходит ту же траекторию из а'. Но то же движение удобнее представить иначе: заполнить всю й-плоскость одинаковыми прямоугольниками и считать, что электрон, дойдя до границы зоны, продолжает свое движение в соседней прямоугольной зоне, описывая такую же траекторию еще раз, и т. д. Тогда он переходит как бы без скачка из а в а’.

Рис. 59

Рис. 59

В результате описанного построения оказывается, что в ft-плоскости существуют замкнутые и незамкнутые траектории с постоянной энергией вдоль каждой из них. Первые из них соответствуют финитным, вторые — инфинитным движениям.

Аналогичным образом в ft-пространстве есть замкнутые и незамкнутые поверхности постоянной энергии. Например, если брил- люэновская зона имеет вид прямого параллелепипеда, то вместо волнистой линии в плоском случае получится цилиндр с волнистой образующей (как бы гофрированный) и вытянутый в сечении, перпендикулярном оси. Движение электрона вдоль образующей инфинитно, а под углом к ней — финитно. В следующем параграфе будет рассказано, как это проявляется в наблюдаемых эффектах.

Упражнение 30

Рассмотреть спектр энергии электрона в одномерном периодическом поле, имеющем вид отдельных прямоугольных зубцов (рис. 60). Высота каждого зубца U, ширина Ь, расстояние между ними а. Считать энергию меньше U. Ответ получить в пределах Ub = const при b -> 0 (модель Кронига и Пенни).

На участке 0 ^ х ^ а

^ = Сх^х -VC^e1^, где и = -^ У^тЕ,

на участке Ь^х<_0

ф = С3еХх + С4е Лх, где X = ~~ У2гп (у — £),

а на участке a<<x^a-Vb

the

ф — еТ (С3^-^ + С4е

где а^-Ь^с согласно (42.4) и (42.7).

Сопрягая функции и производные при х = 0 и х^а, получаем:

Сх + С2 - Сз + С4, Схе^ + С^е ^ - СУкс + С4^с+^,

zx (С4 С2) ” X (С3 — С4),

/х (С^ - С^е-1^ = X <C^ikc^b - C4eikc^b).

Исключая Сх и С^ приходим к системе из двух однородных линейных уравнений относительно С3 и С4, определитель которой должен равняться нулю:

/1р offer I 1

+ — V к +1 —к

£^с ^ -Kb—ixa, | ^ХЛ-Нха)^ __^^

\ <х у L 1—

— eikc (е ^^^+ еКЬ-‘х°^ = 0.Рис. 60

ние кЧ)~^^ Вводя обозначениение кЧ)~^^ Вводя обозначениеУмножая на е 1кс, приходим к уравнению:

ние кЧ)~^^ Вводя обозначение

ние кЧ)~^^ Вводя обозначение

cos ха ch kb-V+ sin ха sh kb = cos kc.1 2хЛ

Выполним теперь указанный в условии предельный переход. Тогда ch kb = 1, shM^M, а^с. Произведе- ^^ = а, приходим к уравне

нию: Л ^^-+ cos ха == cos &с. Его левая часть изображается кривой на рисунке 61. Правая же часть заключена между двумя параллельными прямыми на расстоянии ± 1 от оси абсцисс. Следовательно, разрешенные интервалы энергии находятся там, где левая часть уравнения больше 1 или меньше —1 (в противном случае кривая не пересекается с прямыми).

Рассмотреть в одномерном случае зависимость Е от к вблизи края зоны для слабо связанных электронов, как обобщение формулы (42.14).

Матричный элемент возмущающей энергии, отличный от нуля, существует между состояниями с квазиимпульсами кп + 6& и кп — — Ьк (где кп соответствует точно краю зоны). Для нахождения поправки к энергии используем метод, примененный в задаче 3 [§ 321, где рассматривается случай близких, но не равных собственных значений энергии. Уравнение, из которого определяются собственные значения энергии, имеет вид:

_^лД1^Д\ р Iр I]

— 0.

fc^_\Eon\-E

Отсюда

Следовательно,

как и утверждалось.

Соответственно рисунку 56 построить несколько зон Бриллюэна, порядок которых выше второго.

§ 43. ПОЛУПРОВОДНИКИ И МЕТАЛЛЫ

Проводимость и картина зон. Зонная структура энергетических уровней в кристаллах позволяет в принципе понять, почему одни кристаллы проводят электрический ток, а другие ведут себя как изоляторы.

Предположим, что при температуре, равной абсолютному нулю, все состояния во всех зонах Бриллюэна, вплоть до некоторой, заняты электронами, а в следующей и во всех остальных — свободны. При этом между последней занятой и первой свободной зонами нет перекрытия, т. е. ситуация, показанная на рисунке 57, не осуществляется.

Тогда для переброса электрона в свободную зону требуется некоторая отличная от нуля энергия. Статическое электрическое поле, квант энергии которого /ко равен нулю, не может произвести такого перехода. Это относится, по крайней мере, к слабому полю, не производящему заметного искажения картины зон.

В заполненной зоне всегда присутствуют электроны с квазиимпульсами обоего знака, так как Е (к) Е (— 6). Если в статическом поле оба эти состояния останутся занятыми, то ток не сможет возникнуть. Поэтому кристалл с заполненными энергетическими зонами ведет себя как диэлектрик.

Если же зона заполнена только частично, то при абсолютном нуле в ней заняты нижние состояния. Сверху к ним непосредственно примыкает континуум свободных состояний. Во внешнем поле сколь угодно малой частоты, т. е. статическом, часть электронов всегда сможет переходить в соседние свободные состояния. От этого получится избыток электронов с одним направлением квазиимпульса над числом электронов с другим направлением квазиимпульса. Иначе говоря, возникнет ток. Такова простейшая теоретическая модель металла.

Примером могут служить щелочные металлы. Электрон щелочного металла находится в наружной s-оболочке, где имеются два состояния, в соответствии с возможными направлениями спина. В кристаллической решетке уровень расширяется и образует зону. Если имеется, например, п атомов, то в этой зоне 2п мест. При абсолютном нуле из них заняты п нижних мест. Остальные п верхних мест свободны. Очевидно, что граница между свободными и занятыми состояниями в этой зоне и есть уровень Ферми, определенный в § 6. Та зона, через которую проходит ферми-граница, называется зоной проводимости металла. При наложении внешнего поля незанятые состояния в ней позволяют электронам переносить электрический ток.

Зона проводимости может возникать и другим способом. Так, у бериллия 25-оболочка заполнена. Но так как свободная 2р оболочка по энергии близка к 25-оболочке (уровни бериллия водородоподобны благодаря малому атомному номеру), то зоны, происходящие из 2s- и 2р-состояний атомов в кристалле, перекрываются. К занятым

состояниям непосредственно примыкают свободные, и бериллий оказывается проводником, а не диэлектриком.

Электронные полупроводники. Представим себе такой кристалл, у которого зазор между полностью занятой и свободной зонами порядка нескольких сотых долей электрон-вольта. При комнатной температуре величина зазора сравнима с энергией теплового возбуждения. Тогда часть электронов перейдет из заполненной зоны в свободную. В таком состоянии кристалл проводит электрический ток. Заряд переносится как за счет тех электронов, которые попали в первоначально незанятую зону, так и за счет состояний, оставшихся свободными в зоне, целиком заполненной при 6=0 (эта зона называется валентной, потому что соответствует состояниям валентных электронов в атомах). Свободные состояния в валентной зоне принято называть «дырками» по аналогии с дираковскими дырками в состояниях с отрицательными энергиями [§ 37]. Дырки ведут себя как электроны с положительным зарядом.

В отличие от дырок в теории Дирака дырки в полупроводниках могут существенно отличаться от электронов в зоне проводимости не только по знаку заряда, но, например, по закону дисперсии, т. е. по зависимости энергии от квазиимпульса, поскольку они принадлежат разным зонам Бриллюэна.

Чаще всего полупроводники обязаны своими свойствами не переходу электронов из одной зоны в другую, а примесям в веществе. Если энергетический уровень электрона в атоме примеси близок к нижнему краю зоны проводимости, то тепловое возбуждение перебрасывает электроны из примеси в эту зону. Там возникает некоторая (обычно малая) концентрация электронов, способных свободно перемещаться по решетке. В этом случае говорят о полупроводнике ц-типа.

Если же примесь имеет свободный уровень вблизи верхнего края заполненной зоны, то на этот уровень тепловое возбуждение перебрасывает электроны снизу. Остающиеся дырки так же свободно перемещаются по валентной зоне, как электроны по зоне проводимости. Полупроводник с дырочной проводимостью относят к р-типу.

При абсолютном нуле не остается ни электронов в зоне проводимости, ни дырок в валентно?! зоне, и полупроводник становится диэлектриком. Металл же проводит электричество при всех температурах, так как у него к занятым уровням вплотную примыкают свободные.

Концентрация электронов или дырок обычно невелика (1015 электронов в 1 см3). Поэтому они движутся по решетке как отдельные независимые частицы. Из-за малой концентрации принцип Паули не сказывается на их состоянии и носители заряда в полупроводнике (электроны и дырки) образуют больцмановский газ. Тем самым осуществляются условия, которые предполагались в классической электронной теории проводимости Лоренца и Друде.

Эффективная масса. Близость теории полупроводников к классической электронной теории металлов обязана еще одному обстоя- 452

тельству. Электроны в зоне проводимости занимают состояния, которые в основном расположены близко от ее нижнего края. Но, как видно из задачи 2 § 42, при 6^ ^ ™х пх ' зависимость энергии от 6й квадратична:

с 2тс 2т2т \/(6&)22т \/(6&)22т2т2mh ' *2mh ' *(43.1)(43.1)

с 2т

с 2т

2т \/

(6&)2

2т \/

(6&)2

2т

2т

2mh ' *

2mh ' *

(43.1)

(43.1)

Энергетическая щель 2 | Un | между зонами обычно много меньше энергии ~ на краю зоны. Поэтому знак выражения в круглой скобке совпадает со знаком перед корнем в исходной формуле для Е. Следовательно, график зависимости Е (&) имеет вид двух парабол: в верхней зоне ветвь параболы уходит вверх — коэффициент при (6й)2 положителен, а в нижней зоне — вниз — коэффициент при (6&)2 отрицателен. Но так как в заполненной зоне заряд переносят дырки, то у них коэффициент при (66)2 в выражении для энергии оказывается положительным, подобно тому как положительна масса позитронов в теории Дирака. Коэффициенты т™ в множителе 4-, входящем в выражение для энергии, называются эффективными массами носителей заряда. Из формулы (43.1) видно, что они могут очень сильно отличаться от истинной массы свободного электрона.

Если отсчитывать энергию от края зоны, то ее зависимость от квазиимпульса, таким образом, имеет вид: Е— •

В реальной трехмерной решетке энергия зависит не только от абсолютной величины, но и от направления квазиимпульса. Так как Е — скаляр, а 6й — вектор, то общая форма квадратичной зависимости должна иметь вид:

Е (6) = ~ т{/6k^kj. (43.2)

Здесь mqv —тензор обратной эффективной массы. Эта зависимость имеет место в том случае, если минимум энергии электронов или максимум энергии дырок достигается в центре зоны при к = 0. В кристалле с симметрией куба тензор второго ранга т/у- тогда вырождается в скаляр эффективной массы т*. При более низкой симметрии остается зависимость вида (43.2).

Но и при кубической симметрии минимум энергии может лежать не в центре зоны. Например, у кремния имеется по шесть точек в зоне проводимости, в которых энергия минимальна. Эти шесть точек смещены от центра зоны в пространстве квазиимпульсов на одинаковые расстояния от центра зоны по трем взаимно перпендикулярным направлениям осей симметрии четвертого порядка.

Вследствие такого расположения на осях симметрии поверхности равной энергии окружающие минимумы имеют вид эллипсоидов вращения. Они показаны (без соблюдения масштаба) на рисунке 62. Зависимость энергии от квазиимпульса вблизи каждого отдельного минимума имеет вид:

Е^ =

"2" ^ij Q^i ^of) (^/ ^оу) •

(43.3)

Благодаря симметрии эллипсоидов тензор т^ определяется двумя числами.

Простая квадратичная зависимость энергии от компонентов квазиимпульса получается в том случае, если исходное состояние атома, соответствующее зоне в кристалле, не было вырожденным. В противном случае получается по нескольку отдельных ветвей, выражающих зависимость Е (6) в одной и той же зоне. Этим ветвям приближенно могут соответствовать носители заряда с различными массами: «легкие» и «тяжелые» электроны и дырки. Вырожденной является, например, валентная зона кремния, так что она относится к дырочным состояниям.

Хорошо разработанная теория электронных полупроводников сильно способствовала развитию полупроводниковой техники. Так как тип полупроводника зависит от рода примесей, вводимых искусственно, можно получать полупроводниковые материалы с заранее заданными свойствами.

Динамика электрона в кристаллической решетке. Если к кристаллу приложено внешнее поле, которое мало меняется на одном периоде решетки, то движение электрона в решетке во многом напоминает движение свободного электрона. Допуская, что электрон локализован не точнее, чем в пределах одной ячейки, можно его движение представить как перемещение волнового пакета со ско- дЕ

ростьюаналогично (42.9). Здесь индекс п показывает, что

энергия принадлежит л-й зоне. Что касается квазиимпульса к, то его изменение за единицу времени равно

dt =^ + Д®«^1-(43.4)

Это уравнение, подобно (42.9), получается, если представить движение электрона как перемещение волнового пакета, локализованного в пределах одной ячейки.

Условия применимости уравнения (43.4) заключаются в том, что поле не должно вызывать переходов между зонами. Для этого оно должно быть не слишком сильным, плавно изменяться в пространстве на длине одной ячейки и так медленно меняться во времени, чтобы не содержать в разложении Фурье частот, сравнимых с отношением ширины запрещенной зоны к постоянной Планка.

Иначе говоря, в уравнении (43.4) энергия рассматривается как построенная в конце предыдущего параграфа гладкая функция к, периодическая в ft-пространстве. В двух измерениях зависимость энергии от к изображает «паркет», составленный, например, из прямоугольников такого вида, какой показан на рисунке 59.

Уравнение (43.1) относится, строго говоря, к оператору квазиимпульса, который можно, в принципе, построить с помощью функ- ikr ■

ций ф/?^=с h и^^ по общим правилам [§ 26]. Но при квазикласси- ческом движении (43.1) переходит в уравнение между величинами. Критерий квазиклассичности состоит, как всегда, в том, что интеграл § к dr по области движения велик по сравнению с квантом действия.

Допустим теперь, что электрическое поле равно нулю (^ = 0), а магнитное — однородно и постоянно. Направим вдоль него ось г.

Подставим скорость, выраженную как производная от энергии, в уравнение (43.4) и раскроем последнее в компонентах (индекс п опустим для краткости):

(43.5)(43.6)(43.7)(43.5)(43.6)(43.7)дкхеdy едЕ

(43.5)

(43.6)

(43.7)

(43.5)

(43.6)

(43.7)

dtсdtсдкц 3

dkyе ,vz> dx едЕ

dtс dt~ сдкх 3

dt *

Из этих уравнений следует, что Е есть интеграл движения, в точности как у свободного электрона в магнитном поле. Действительно, dEдЕdkx дЕdkyдЕdk2

dtдкхdt+ дкуdtдк2dt

(43.8)(43.8)е/ дЕдЕдЕдЕ \ п

(43.8)

(43.8)

с\ дкхдкудку окх /

Таким образом, траектория электрона в ft-пространстве есть сечение поверхности Е (ft) = const плоскостью к2. Если поверхность замкнутая, то везде замкнута и траектория. В конце § 42 было указано, что поверхность постоянной энергии может быть и незамкнутой (она, например, может иметь вид гофрированного цилиндра). Тогда траектория, лежащая в любой плоскости ft-пространства и проходящая через ось цилиндра, нс замкнута. Такие траектории называются еще «открытыми».

Уравнения (43.5) и (43.6) показывают, что скалярное произве- dr dk

денисравно нулю, т. е. что скорость в геометрическом

пространстве везде перпендикулярна «скорости» в й-пространстве. Таким образом, траектории в этих пространствах повернуты на 90° друг относительно друга.

Эффект Холла. Если к проводнику, по которому идет ток, приложено перпендикулярное току магнитное поле, то носители тока испытывают отклоняющую силу в третьем перпендикулярном направлении. Независимо от знака заряда носителей эта сила отклоняет их в одну и ту же сторону, так как произведение су имеет для них одинаковый знак. Но когда на одной стороне проводника образуется избыточная концентрация зарядов, то возникает электрическое поле, перпендикулярное току и магнитному полю. Это явление называется эффектом Холла. Скалярная величина перпендикулярного поля равна

^L_Rj^.(43.9)

Коэффициент R называется константой Холла.

Покажем теперь, как определяется константа Холла из кинетического уравнения для электронов в кристалле. Напишем это уравнение через соответствующее время релаксации, смысл которого не будем здесь уточнять. Считая проводник однородным, получим уравнение, аналогичное (41.33):

№ = 4 • 4г+°-(4з-1о)

\ di /полн ok от 1 т'7

В отличие от (41.33) причиной, выводящей электроны из состояния статистического равновесия, в данном случае является приложенная к ним сила Лоренца. Подставим в (43.10) вместо ^ выражение для силы Лоренца из уравнения (43.4):

р + ±) ^ _| +1^1 = о,(43.11)

дЕ

где

Будем искать функцию распределения в виде суммы трех слагаемых:

Мо + А + Л-(43.12)

Здесь f0 — равновесная функция распределения, добавка fy пропорциональна электрическому полю, /2 — пропорциональна магнитному полю. Подставляя это разложение в (43.11) и удерживая только первые неисчезающие члены разложений, получим:

+7[°Ж1(^+$)+ЛТЛ“°-<43'13)

Но ™ = -^- • -Ц- = -^- о. В произведении на [©Я] этот член дает нуль. Поэтому, сравнивая выражения, пропорциональные 8 и 3€, получаем два уравнения:

(43-14)

(43Л5)

Вычислим теперь слагаемые тока. Продольная составляющая тока вычисляется по первой поправке к функции распределения (чтобы не путать с временем релаксации т, будем писать dVк, а не Дтку

( vfadVk^ — пте2 ( )^dVk.

11 \ Urv j Urv

Интегрируя по частям и учитывая, что на пределах интегрирования /0 обращается в нуль, находим:

JW = оте2 С , а \ № dV

J° \ dk / dk

Но так как средние значения вторых производных Е по разным компонентам к равны нулю, получим отсюда первое слагаемое для тока:

jW=nTe^^f0^dVft(4з.16)

(считаем, что ось х направлена по 8).

Теперь найдем второе слагаемое для тока:

ис J dkдк R

Интегрируя по частям один раз, получаем:

мб“Т ( р / d Г ЭЕ |\ дЕkVdkV^^WdV,i=

ktC^T С £ / I1 \ дЕ jit/ Л Q 1 7\

= "yA\№-%\dk)ikdVk- (43J7)

Под знаком векторного произведения мы не дифференцировали, потому что rot grad = 0. Подставим fx в (43.17) и проинтегрируем по частям еще раз:

/(2)/^в°т2 L р /д \ /I дЕ !-т£> 1 д \ дЕ <т/1 Q\

JdkKW^W) dkdVfe‘ ( 18)

Для того чтобы интеграл (43.18) не обращался в нуль, компоненты вектора к, по которым производится дифференцирование,

должны быть попарно одинаковыми. За этим удобно проследить в тензорной записи, равносильной (43.18):

/ (A dkl £jmn -^7dk)idk. AV к.(43.19)

Здесь г?-тп — полностью антисимметричный тензор. Значки могут совпадать одним из двух способов: либо п = i, j = /, либо / = ns j = L Пусть 3€ направлено по оси г, а 8 — по оси х. Тогда в членах со вторыми производными слагаемое /(2) будет иметь только zy-овую составляющую:

«Л2 С . Г д2Е д2Е ./ д^Е ^ 1 ж

'» "—Г” 1 '°Г132 д№ ‘ dkl + ^~3l\dk dkJ -ve^ 2dVk'

Но так как е231^=1, е132 =—1, ^зЖ^^—[®Ж|;у, то получим векторное равенство:

яе3т2 / С с [ д2Е д2Е / д2Е \21

' iV°И» (43-2°)

Мы ограничимся рассмотрением невырожденных зон в полупроводниках, в которых энергия зависит от квазиимпульса квадратично. Тогда члены с третьими производными от энергии обращаются в нуль.

Покажем теперь, как по формулам (43.16) и (43.20) вычислить постоянную Холла R. Пусть имеется равенство вида

.j=<p6 + 4^Y(43.21)

Считая магнитное поле слабым, подставим в векторное произведение в первом приближении 6^ Тогда в следующем приближении получим:

^^^-^IW(43.22)

XXСравнивая это с определением постоянной Холла, находим:

X

X

(43.23)

Рассмотрим случай изотропной, т. ё. скалярной эффективной, массы т^ и запишем:’

£ = dr№ + ^ + ^)-(43‘24)

Отсюда

д2Е _ д2Е _ 1 д2Е

дк2 дк2 —' ^К^у *

Далее, так как ^^AVu^X, то

■R-~-№.25)

По этой формуле непосредственно определяется число носителей, если известна постоянная Холла /^. Но в таком простом виде /? выражается через число носителей только для полупроводников чистого /?-типа или чистого р-типа. Если проводимость смешанная, то /? = = \ес (щ — п2Л Е Разумеется, применимость этой формулы ограниченна, так как она предполагает, что зависимость Е (k) для носителей заряда обоих знаков имеет вид (43.24), в котором т* и т считаются одинаковыми для обоих видов носителей.

По знаку R определяется и знак носителей, т. е. тип полупроводника, если носители имеют только один знак.

Носители тока в металлах. В большинстве металлов число электронов равно числу атомов или близко к нему. Несовпадение этих чисел может иметь место за счет перекрытия зон (см. §42), когда нельзя однозначно указать, какой зоне принадлежит состояние.

Так или иначе, плотность электронов в металле очень велика, так что нет оснований рассматривать их как газ, состоящий из независимых частиц. Электроны в металле образуют скорее квантовую жидкость, чем газ. Другим примером квантовой жидкости, с которым мы встречались, является жидкий гелий (§ 19). Возбужденные состояния квантовой жидкости напоминают отдельные частицы. Если такая жидкость однородна (жидкий гелий), то возбужденные состояния характеризуются энергией и импульсом. Возбуждения электронной жидкости металла, находящейся в ионной решетке, имеют в качестве постоянной движения квазиимпульс к. Кроме того, в отличие от возбуждений в жидком гелии II, которые ведут себя как бозоны, возбуждения в металле подчиняются статистике Ферми и переносят заряд.

Не следует думать, что таким способом произошло только переименование: то, что считалось настоящей частицей (электрон), стало называться «возбуждением» или квазичастицей. Ферми- жидкостная теория электронов в металле предсказывает и эффекты коллективного движения, при которых электроны проявляют себя как плазма с возбуждениями, совсем не похожими на отдельные электроны. Эти возбжудения наблюдаются на самом деле, но мы оставим их здесь в стороне. Кроме того, вместо того чтобы пользоваться понятием «возбуждение», мы будем по-прежнему говорить «электрон».

Ферми-поверхности в металле. В § 6 распределение Ферми рассматривалось применительно к газу, у которого зависимость Экергии от импульса дается простой формулой Е = -^. Тогда при абсолютном нуле состояния частиц заполняют ферми-сферу с граничной энергией, определяемой по уравнению (6.6). Полученные в § 6 критерии вырождения сохраняют силу и при более сложной зависимости энергии от квазиимпульса электрона в металле, но конкретные формы ферми-поверхности оказываются в ряде случаев весьма причудливыми.

Построение таких поверхностей рассматривается в книге И. ЛА Л и ф ш и ц а и др. «Электронная теория металлов» (М., 1971), а также в книге А. А. Абрикосова «Теория нормальных металлов» (М., 1972). Здесь будут рассмотрены только наиболее простые из типичных ферми-поверхностей.

У щелочных металлов, как указывалось, электроны проводимости при абсолютном нуле, т. е. в основном состоянии, занимают половину соответствующей бриллюэновской зоны. В данном случае минимум энергии соответствует центру куба в й-пространстве. В силу симметрии нижние состояния последовательно заполняют сферические поверхности, окружающие центр. Несколько неожиданным образом оказывается, что и та поверхность, которая окружает половину нижних состояний в зоне, весьма близка по форме к сфере — намного ближе, чем можно было бы полагать, сравнивая диаметр такой сферы в й-пространстве с ребром куба. Поэтому сферические поверхности, рассмотренные в § 6, в случае щелочных металлов описывают истинные соотношения.