ПРЕДИСЛОВИЕ

Теоретическая физика очень тесно связана с физикой экспериментальной, но весьма отличается от нее как по методу, так и по характеру результатов.

Эксперимент устанавливает только отдельные факты, в решающих случаях— факты первостепенного значения. Теория не просто объясняет их, а формулирует общие принципы. Если бы задача теоретической физики состояла только в обработке результатов опыта, она была бы всего лишь вспомогательным средством экспериментатора.

На самом деле такие достижения теории, как создание механики, электродинамики, статистической и квантовой механики, отнюдь не сводятся к истолкованию некоторых отдельных опытов. Теоретическая физика во многом создала научное мировоззрение человечества в целом и повлияла на образ мышления людей, даже далеких от естественных наук.

Чтобы овладеть теоретической физикой, весьма важно знать физику экспериментальную, видеть взаимосвязь между отдельными физическими явлениями и общими законами, словом, существенно и полезно все то, что называется знанием физики вообще.

Но не менее важно владеть основным инструментом теоретической физики ——математикой: полностью освоить в каждой математической дисциплине, к которой приходится обращаться, ее основную идею и общий метод. В несколько парадоксальной форме Л. Д. Ландау даже говорил, что можно стать физиком-теоретиком, не зная как следует физики, но нельзя им стать, не зная математики.

Большой объем необходимых математических знаний составляет основное препятствие при изучении теоретической физики. При этом надо иметь в виду, что в специальных учебниках математики материал изложен так, как это представляется правильным самим математикам, а не так, как это нужнее всего для физиков-теоретиков.

В этой книге сделана попытка так изложить теоретическую физику, чтобы предварительные математические знания учащегося сводились к минимуму. Сюда входят только элементы анализа бесконечно малых, начатки аналитической геометрии и векторная алгебра. По ходу изложения сообщаются основные сведения из векторного анализа, алгебры матриц, тензоров и спиноров и немного ——о шаровых функциях. Эти математические положения содержатся частично в основном тексте, частично в упражнениях, где соответствующие задачи снабжены решениями, отличающимися от учебного текста большей сжатостью изложения. Такими решениями сопровождаются и многие физические задачи. Всегда спорен вопрос о выборе убедительнейшего способа изложения. Если пытаться обойти сложные и тонкие вопросы или переупро- стнть аргументацию, надеясь на то, что неискушенный читатель не заметит некоторой «подтасовки», то в лучшем случае можно добиться лишь иллюзии понимания, уместной только при чтении популярных книг.

Но и текст, переобремененный уточнениями и оговорками, содержащий длинные рассуждения по любому поводу и то, что в математике называется «эпсилонтикой», способен сбить учащегося с толку, заслонить важное второстепенным.

Искусство теоретика как педагога в основном состоит в умении выбрать оптимальное изложение, ориентируясь на определенную аудиторию или предполагаемый круг читателей. “

Чтобы по-настоящему понимать теоретическую физику, надо все время иметь перед умственным взором основные идеи предмета, цель данного конкретного рассуждения или вычисления и связь всех деталей между собой и с общими физическими принципами. Кроме того, в теоретической физике знание не существует без умения: только тот понимает предмет, кто в должной мере владеет его методами. Пассивное усвоение здесь невозможно, простое запоминание бесполезно.

Настоящий курс состоит из двух томов. Первый том содержит элемен* тарные законы физики, второй ——законы статистические, относящиеся к большим коллективам частиц — газам, жидкостям, твердым телам. Возникающие в таких совокупностях частиц закономерности основаны на законах элементарных взаимодействий и свойствах больших чисел.

Принятое расположение материала представляется в настоящее время наиболее целесообразным.

Сведения чисто обзорного характера, содержащие только сводки результатов или упоминания новейших идей без надлежащего их развития, из книги почти полностью исключены. То, что утверждается, выводится из общих законов. В каждой главе эти законы предшествуют остальному. Нецелесообразно излагать основные принципы тогда, когда все конкретное уже известно.

Я старался по возможности излагать материал по-своему. Тем не менее очень многое в переработанном виде взято из многотомного энциклопедического курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, а также из «Основ квантовой механики» П. Дирака.

ЧАСТЬ /

МЕХАНИКА

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕННО

Механика лежит в основе всей теоретической физики. Начав с некоторых вводных положений, мы приведем уравнения механики к такой форме, в которой они наиболее удобны для решения конкретных задач динамики и допускают обобщения на другие области физической теории.

Система отсчета. Для того чтобы описать движение механической системы, надо задать ее положение в пространстве в зависимости от времени. Имеет смысл говорить только об относительном положении любого тела. Например, положение корабля в океане задается его долготой и широтой по отношению к определенным точкам и линиям на земном шаре. Положение космического тела может быть измерено относительно Солнца или центра Галактики и т. п.

Кроме указания координат системы тел относительно выбранной системы отсчета, необходимо определение момента времени, когда координаты принимают данные значения. Иначе говоря, необходимы часы. Обычно в качестве часов используется какой- либо равномерный периодический процесс, искусственно созданный в механизме или существующий в природе, как, например, вращение Земли вокруг оси.

Привычное нам в повседневной жизни интуитивное понятие единого универсального времени справедливо только тогда, когда относительные скорости всех тел малы по сравнению со скоростью света. В рамках этого приближения справедлива механика Ньютона. В более общем случае необходимо указывать, с какой системой тел связаны часы, по которым измеряется время. Если с этой же системой скреплены координаты, задающие положения движущихся точек, то принято говорить, что задана определенная система отсчета. (Так, местонахождение судна в определенный момент времени выверяется по часам, помещенным где-либо на берегу.) В механике Ньютона принимается, что показания часов совпадают во всех системах отсчета, но следует помнить, что это не свойство времени вообще, а лишь свойство медленно движущихся друг относительно друга систем отсчета. Здесь мы примем это приближение, обобщения будут сделаны в ч. II.

Второй закон Ньютона. Движение в механике состоит в изменении взаимного пространственного расположения тел во времени по отношению к некоторой выбранной системе отсчета. Для формулировки законов движения весьма удобно понятие материальной точки, т. е. такого тела, положение которого в пространстве вполне определяется тремя декартовыми координатами. Эта идеализация, строго говоря, неприменима ни к одному реальному телу. Тем не менее она вполне разумна, когда движение тела достаточно хорошо определяется перемещением любой из его точек и не зависит от вращений и деформаций тела.

Движение Земли вокруг Солнца происходит независимо от ее вращения вокруг своей оси, а полет пули сильно зависит от ее вращательного движения. В этом смысле Земля ближе к понятию материальной точки, чем пуля. Абсолютный размер тел не имеет при этом значения.

Если исходить из понятия материальной точки как первичного объекта механики, то закон движения (второй закон Ньютона) формулируется так:

Здесь F — равнодействующая всех сил, приложенных к данной d2r

точке (векторная сумма сил), ——вектор ускорения, декартовы составляющие которого суть

d2x d2y d2z 萨，萨.

Величина т, входящая в уравнение, характеризует материальную точку и называется ее массой.

Сила и масса. Равенство (1.1) является физическим определением силы. Но его не следует рассматривать как простое тождество или обозначение, так как за ним кроется ряд допущений о законах движения. Эти допущения подтверждаются всей совокупностью опытных данных о механическом движении. Например, то обстоятельство, что в уравнение (1.1) входит вторая производная по времени, означает, что для его решения необходимо задать начальные значения координат и скоростей, т. е. первых производных, и этого достаточно для определения координат во все последующие моменты времени. Ясно, что такой факт может следовать только из опытных данных.

Равенство (1.1) по существу определяет способ взаимодействия между телами, указывая, что оно осуществляется в виде сил, сообщающих ускорения. Разумеется, и это утверждение вытекает из обобщения опытных данных.

В механике Ньютона делается ограничительное предположение относительно силы. Принимается, что она зависит только от взаимного расположения тел в тот момент времени, к которому отно-

сится равенство, и не зависит в явном виде от их расположения в предыдущие моменты. Это предположение, как мы увидим дальше в ч. II, справедливо только тогда, когда скорости тел малы по сравнению со скоростью света. При больших скоростях само определение взаимодействия существенно изменяется и не может быть выражено в форме (1.1).

В равенство (1.1) входит величина т, характеризующая тело,— его масса. Массы различных тел можно сравнивать по тем ускорениям, которые этим телам сообщает одна и та же сила. Чем больше ускорение тела, тем меньше его масса. Масса какого-либо тела может быть выбрана в качестве эталона, причем этот выбор никак не зависит от эталонов длины и времени. Размерность, или единица измерения массы, особая, не связанная с единицами длины и времени.

Свойства массы устанавливаются опытным путем. Прежде всего, при соединении двух тождественных тел в одно целое получается тело двойной массы по сравнению с массой каждого из них. Определенным образом растянутая пружина сообщает такому составному телу ускорение вдвое меньшее, чем каждому из составляющих тел. Иначе говоря, масса есть величина аддитивная — так говорят в тех случаях, когда некоторая величина для тела в целом равна сумме этих величин для всех его частей в отдельности. Опыт показывает, что закон аддитивности массы применим и к телам, состоящим из разных веществ.

Отметим, что распространенное определение массы как количества вещества лишено смысла, так как не указывает, каким способом это количество измеряется. Наоборот, определение массы из равенства (1.1) такое указание содержит.

В механике Ньютона масса тела есть величина постоянная, не изменяющаяся при движении тела. Но аддитивность и постоянство массы вытекают только из опытных фактов и заранее не очевидны. Эти факты ограничены определенным кругом явлений, а именно таким, когда силы взаимодействия не сообщают телам ускорений, при которых происходит разгон до скоростей, сравнимых со скоростью света. Иначе говоря, взаимодействия должны быть в известном смысле не слишком сильными. В атомных ядрах, где взаимодействия велики, закон аддитивности массы выполняется с точностью только до доли процента.

Заметим, что если бы вместо силы растянутой пружины подвергли тела действию тяжести, то ускорение тела двойной массы равнялось бы ускорению каждой массы в отдельности. Отсюда надо заключить, что сила тяжести сама по каким-то причинам пропорциональна массе тела. Это исключительное свойство силы тяжести лежит в основе эйнштейновской теории тяготения.

Инерциальные системы отсчета. В уравнение (1.1) входит ускорение точки. Не имеет смысла говорить об ускорении, не условливаясь, относительно какой системы отсчета оно измеряется. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо разо-

браться в причине ускорения. Иначе говоря, надо выяснить, обязано ли данное ускорение взаимодействию между телами или движению самой системы отсчета. Например, толчок, который испытывает пассажир при внезапной остановке поезда, свидетельствует о неравномерности движения поезда относительно Земли. На перроне в этот момент никто толчка не испытывает, так что нельзя приписать ускорение пассажира проявлению каких-либо сил взаимодействия. Следовательно, система отсчета, связанная с Землей, а не с поездом, отличается тем свойством, что в ней ускорения тел обязаны только их взаимодействиям, например действию силы тяжести. О тонких эффектах, связанных с вращением Земли, будет сказано в своем месте.

Можно предположить, что существует такая идеальная система отсчета, в которой все ускорения тел обусловлены исключительно силами взаимодействия. Ясно, что система, связанная с Землей, ближе к такой идеальной системе, чем скрепленная с поездом.

Определить, обязана ли данная сила своим существованием взаимодействию тел, можно с помощью третьего закона Ньютона: такие силы равны по величине и противоположны по направлению для любой пары взаимодействующих точек. Сказанное справедливо только в том случае, когда силы передаются мгновенно, но в механике Ньютона именно это и допускается.

Если оказывается, что ускорения тел в данной системе отсчета обусловлены только их взаимодействием, то такая система называется инерциальной. Свободная материальная точка, не подверженная действию каких-либо других тел, движется относительно инерциальной системы прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции.

Направление силы тяжести на поверхности Земли узнается с помощью отвеса. Если уронить камень с высокой башни, он полетит не строго по направлению отвеса, а немного отклоните只 к востоку. Эта составляющая ускорения не вызвана, следовательно, притяжением к Земле, что доказывает неинерциальность связанной с ней системы отсчета.

Идеальные жесткие связи. При соприкосновении тел возникают силы взаимодействия, которые можно описать, пользуясь кинематическим понятием абсолютно жестких идеальных связей. Такие связи вынуждают точки механической системы двигаться по определенным поверхностям. Если, например, две материальные точки скреплены жесткой нерастяжимой связью, вынуждающей их находиться на неизменном взаимном расстоянии, то любая из них движется по сфере, в центре которой находится другая точка.

Ограничения, налагаемые связями, в общем случае вынуждают тела двигаться криволинейно. Такое движение всегда ускоренное. Ускорение можно формально приписать силам, которые называются реакциями жестких связей. Эти силы заранее не заданы как функции положения точек. Интегрируя уравнения

типа (1.1) при дополнительных ограничениях, налагаемых связями, определяют силы реакции. В следующем параграфе будет рассмотрен способ, позволяющий обойтись вообще без определения сил реакций при решении уравнений движения.

Движение по твердой поверхности приводит не только к возникновению сил реакции, но и сил трения. Их значение в прикладной механике исключительно велико. Но при трении движение сообщается не только самому телу как целому, а и составляющим его молекулам. Взаимодействие между трущимися поверхностями очень сложное и только в результате усреднения по отдельным молекулам получает вид некоторой силы взаимодействия. В этом разделе книги мы будем рассматривать элементарные законы, относящиеся к отдельным материальным точкам (частицам), а не к большим совокупностям молекул. Поэтому силы трения будут вообще оставлены в стороне. Они изучаются подробно в курсах технической механики.

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Уравнение (1.1) было записано в декартовой системе координат. Но любая система координат есть результат свободного выбора. Описывая в ней некоторый закон природы, мы тем самым вносим в наше описание определенный элемент произвола. Кроме выбора координатной системы, имеется еще свобода в отношении системы отсчета. Скорости материальных частиц относительно разных систем отсчета различны. Между тем желательно так формулировать законы природы, чтобы в них по возможности не входили величины, по определению относящиеся к наблюдателю (например, координаты), иначе говоря, исключить элемент произвола в описании.

Для этого надо перейти от дифференциального закона (1.1) к интегральному. Значение интеграла не зависит от переменных, в которых он вычислен (например, площадь некоторой фигуры одна и та же при вычислении в любых координатах: прямоугольных, полярных и т. п.). Поэтому можно надеяться так сформулировать законы механического движения, чтобы они сводились к высказываниям об интегральных выражениях, описывающих некоторый конечный участок движения.

Это оказывается осуществимым при следующих условиях:

Связи идеально жесткие, т. е. сил трения нет.

Силы взаимодействия между материальными точками могут быть представлены в виде

гДе индекс i относится к частице, а производная по векторной величине г, сама представляет собой вектор с составляющими

W dU dU& n ” ° °

-з—. Величина U одна и та же для всей механической 覘，dzi т

системы. О ее значении будет сказано ниже.

Принцип Г амильтона. Условие (2.1) не столь ограничительно, как может показаться. Под него подпадают силы тяжести, электростатические силы, упругие силы, т. е. как раз такие, к которым применяется механика Ньютона. В дальнейшем будем выражать силы в форме (2.1). Для простоты последующих формул будем считать, что имеется только одна жесткая связь. Это ограничение не имеет существенного значения, так как переход к случаю нескольких связей производится непосредственно. Запишем условие связи в виде уравнения:

尸б,…3,・・ •) = ()・ (2.2)

Рассмотрим теперь некоторое изменение координат материальных точек системы Вг», которое будем считать бесконечно малым. Это изменение обязано не движению точек, а может рассматриваться как чисто умозрительная операция. Оно, однако, не должно нарушать условия (2.2), т. е. мыслится совместимым с наложенной на систему связью. Например, если точки вынуждены дви^ гаться по поверхности, то изменения 6г/ берутся вдоль поверхности, а в остальном совершенно произвольны. Но если точки в результате смещений остались на поверхности, определяемой уравнением (2.2), то смещения удовлетворяют очевидному условию:

广(...修+m...)一尸(…厶…)=工祭m = 0. (2.3)

Здесь было использовано то обстоятельство, что величины 5尸》 бесконечно малые, так что функция 尸 разлагалась в ряд Тейлора до первых производных включительно.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1.1) при дополнительном условии (2.2). Это условие означает, что не все переменные 尸？ независимы. Чтобы сделать число независимых переменных системы равным числу уравнений, умножим каждое уравнение на соответствующую величину 必 и сложим их. Силу Ft разобьем на два слагаемых:尸》=—際 +用.Первое слагаемое обусловлено взаимодействием между материальными точками, второе описывает силы, возникающие вследствие действия связей.

Теперь надо воспользоваться тем условием, что связи идеальные. Начнем с простейшего случая гладкой неизменяемой поверхности, по которой движется материальная точка. Тогда сила реакции должна быть перпендикулярна поверхности, т. е. скалярное произведение векторов 尸，и 3尸/ равно нулю. Ведь это произведение означает не что иное, как работу перемещения точки по поверх-

* Подробнее о дифференцировании по векторам см. во вступлении к ч. II.

ности, т. е. работу сил трения, которые мы заранее исключили, считая связь идеальной.

В случае двух или вообще нескольких точек каждое слагаемое Flbri в отдельности может и не обращаться в нуль, потому что точки могут совершать работу друг над другом. Например, если две точки скреплены жесткой нерастяжимой связью и одна из них как-либо ускорена, она потянет за собой другую, т. е. совершит над ней работу. Следовательно, в системе из нескольких материальных точек, скрепленных жесткими связями, на силы реакции связей накладывается условие:

=(2.4)

причем перемещения подчинены равенству (2.3).

Но тогда из уравнений (1.1) и (2.4) следует, что должно выполняться такое равенство:

需 S =。(2・5)

для всех перемещений точек, совместимых со связями, т. е. удовлетворяющих равенству (2.3). Из этого уравнения можно исключить какое-либо из перемещений 6/ и подставить его в (2.5), после чего все остальные перемещения, очевидно, становятся независимыми.

Более удобно использовать метод неопределенных множителей, так как он позволяет сохранить симметрию формул относительно всех 6г/. Умножим равенство (2.3) на некоторый множитель со и прибавим его к (2.5):

2>* + ^ + а詛 g = 0・(2.6)

i

Поскольку а произвольно, мы ввели в уравнение лишний параметр и благодаря этому можем считать все перемещения совершенно не зависящими одно от другого. Следовательно, возможно положить равными нулю все 6〃 (由 W Q, кроме одного 6/. Тогда остается

+嗡g=0.(26)

Вектор 6г/ теперь считается совершенно произвольным, благодаря параметру ос на 6尸» больше не накладывается никаких связующих условий. Но тогда возможно положить равными нулю любые две составляющие вектора г^ например у» и г；, а не равную нулю составляющую 6修 сократить. Для этой составляющей получим:

d?修.dU . dF n力

++Q•7)

Тем же способом получим аналогичное уравнение для любой составляющей. В векторной форме уравнение выглядит так:

w而②8)

причем значок / нумерует все материальные точки механической системы. Вместе с уравнением (2.2) уравнения (2.8) позволяют определить все ri (как функции времени) и параметр а. Заметим, dFа

что произведения —а 否• суть не что иное, как силы реакции связей, согласно (2.3).

Перейдем теперь к формулировке интегрального принципа. С этой целью преобразуем по частям первое слагаемое равенства (2.5):

(ограничимся пока одним членом). Заметим, что 6rz означает разность двух радиус-векторов, взятых в один и тот же момент времени. Производная от разности равна разности производных, так что

dt

Пользуясь тем, что знак 6 относится к бесконечно малой разности, перепишем получившееся равенство так:

恤d尸—dt严d/勺 2 [d/丿•

Будем суммировать получившееся выражение по материальным точкам, т. е. по /. Сумма

举” u

благодаря малости 6гь которая здесь может рассматриваться как дифференциал координаты.

Собирая отдельные члены равенства (2.5), преобразованные описанным способом, и вынося символ 6 за знак суммы, получим:

(2 崎 g)-S[2?(紂 - Н "(2.9)

Допустим теперь, что система перемещается, следуя законам механики, из некоторого заданного начального положения, которое она занимала в момент времени £ = %, в другое, тоже заданное положение в момент &・ Для этих положений, так как они заданы, надо положить все 6г£ равными нулю:

(2.10)(2.10)(5 г t)/ =/0 = (6r i)/=h=0.

(2.10)

(2.10)

Проинтегрируем выражение, стоящее в левой части (2.9), от момента /0 до момента /х. Полная производная по времени сведется при этом к разности значений дифференцируемой величины на пределах:

〉［係箝力" ［黄制-屮"

' ' (2.Н)

Но на пределах 6г/, как было указано, обращаются в нуль. Кроме того, символ 6, означающий разность значений функции для одного и того же момента времени, может быть переставлен с интегралом по времени по той же причине, по которой 6 переставляется с производной по времени. Обозначая теперь сам интеграл буквой S, приходим к следующему равенству:

8s = 8 ⑵12)

/о L / _

Интеграл в выражении для S берется вдоль истинной траектории движения, так как при выводе равенства (2.12) были использованы уравнения (1.1). Символ 6 впереди интеграла означает, что наряду с этим интегралом рассматривался другой, взятый по бесконечно близкой траектории, отстоящей от истинной на 3尸》 для /-той частицы. Такая близкая траектория называется варьированной, а символ 6 — вариацией данной величины.

Вариация имеет совсем иной смысл, чем дифференциал. Последний относится к изменению величины вдоль траектории движения системы, тогда как вариация отвечает переходу с траектории на другую, близкую к ней и допустимую наложенными на систему условиями связи. Дифференциал определяется из уравнений движения, а вариация подчинена только связям и в остальном произвольна.

Равенство (2.12) показывает, что интеграл S, взятый вдоль истинной траектории системы, имеет экстремум, так как он не изменяется при переходе к любой близкой траектории. Подобно этому, функция вблизи экстремума не меняет значения при изменении аргумента.

Вместо уравнения (1.1) можно исходить из равенства (2.12) как основного положения механики. Такой подход может показаться искусственным. На самом деле, как мы вскоре увидим, в этом лежит путь к очень широким обобщениям. Кроме того, Уравнения движения, которые выводятся из условия (2.12) как исходного принципа механики, могут оказаться гораздо удобнее в приложениях, чем исходная система уравнений (1.1). Величина S называется действием механической системы, а утверждение об экстремальности S вдоль истинной траектории — принци- "。力z Гамильтона, В некоторых случаях этот принцип допускает

более простую формулировку и тогда называется принципом наименьшего действия （стр. 252）.

Степени свободы механической системы. Чтобы осуществить желаемый переход от прямоугольных координат к другим, более удобным для решения некоторых механических задач, сформулируем сначала необходимые общие определения.

Степенью свободы механической системы называется всякий независимый параметр из числа тех, которые задают положение системы в пространстве. Число таких независимых параметров называется числом степеней свободы системы.

Положение одной материальной точки в пространстве задается с помощью трех независимых параметров （ее координат）, измеренных относительно некоторой системы отсчета. Положение N материальных точек, не скрепленных жесткими связями, определяется 3^ независимыми параметрами.

Но если расположение точек как-либо фиксировано, то число степеней свободы может быть и меньшим, чем 3N. Например, если две точки соединены жесткой неизменяемой связью, то на шесть декартовых координат этих точек （/,弘，？i, 族，？2） наложено условие:

（/ 一 /）2 + （弘一%）2 + ⑵ 一 4）2 = R:2，

где R12 — заданное расстояние между точками. Следовательно, все декартовы координаты уже не являются независимыми параметрами; независимы только пять из этих шести величин. Иначе говоря, система из двух материальных точек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга, имеет пять степеней свободы.

Если рассмотреть три материальные точки, жестко скрепленные треугольником, то координаты третьей точки должны удовлетворять двум равенствам, аналогичным только что приведенному, где в правых частях стоят R^ и /?|3. Таким образом, девять координат вершин жесткого треугольника подчинены трем равенствам, и только шесть параметров оказываются независимыми. Треугольник имеет шесть степеней свободы.

Положение твердого тела в пространстве полностью определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Такие три точки, как только что было показано, задаются шестью параметрами. Следовательно, произвольное твердое тело имеет шесть степеней свободы. При этом рассматриваются только такие движения твердого тела, при которых оно не деформируется, например вращение волчка.

Обобщенные координаты. Как было видно из примера точек, скрепленных связями, не всегда удобно задавать положение системы в декартовых координатах. При этом требуется выписывать дополнительные условия, обусловленные связями. Выбор параметров, необходимых для фиксирования положения всех точек механической системы, должен определяться прежде всего целесообразностью. Так, если силы зависят только

от расстояния между частицами, то разумно ввести эти расстояния в уравнения динамики в явном виде, а не через посредство декартовых координат.

Механическую систему можно описать с помощью таких параметров, число которых равно числу степеней свободы. Эти параметры могут иногда совпадать с декартовыми координатами тех или иных точек. Например, в системе из двух точек, скрепленных жесткой связью, параметры можно выбрать так: задать положение одной из точек в декартовых координатах, после чего другая точка непременно будет находиться на шаре, имеющем центром первую точку. Положение второй точки на шаре будет известно, если дана ее долгота и широта. Вместе с тремя декартовыми координатами первой точки долгота и широта второй точки полностью определяют положение данной системы в пространстве.

Для трех жестко скрепленных точек надо задать только что описанным способом положение одной стороны треугольника и угол поворота третьей вершины вокруг этой стороны.

Независимые параметры, определяющие положение механической системы в пространстве, называются ее обобщенными координатами. Мы будем обозначать их символами qa, где нижний индекс а принимает столько значений, сколько степеней свободы у данной системы.

Уравнения Лагранжа. Так как обобщенные координаты независимы, на них не приходится накладывать условий связи. Это одно из их преимуществ перед декартовыми при решении задач динамики. Другое преимущество проявляется тогда, когда обобщенные координаты соответствуют свойствам симметрии рассматриваемой системы. Таковы сферические координаты при движении точки в поле центральных сил. Покажем теперь, как написать уравнения движения в обобщенных координатах.

Можно было бы прямо перейти к ним в уравнении (1.1), но это громоздкая и мало наглядная процедура. Гораздо удобнее исходить из принципа Гамильтона (2.12). Так как обобщенные координаты системы полностью задают ее положение в пространстве, через них можно выразить и декартовы координаты ее точек. Пусть переход от декартовых координат к обобщенным происходит по формулам:

修=X/ (• • • <у(х •..). (2.13)

Дифференцируя эти формулы, получим выражение декартовых составляющих скорости через производные 第, которые называются обобщенными скоростями. Вместо 窜& короче пишут /・ Тогда получается:

Суммирование происходит по всем значениям а, т. е. по всем степеням свободы системы.

Легко заметить, что значок, по которому произведено суммирование, входит в правую часть равенства (2.14) дважды: при частной производной и при обобщенной скорости, причем обе эти величины перемножены. В таких случаях мы в дальнейшем не будем писать знак суммы, подразумевая, что суммирование произведено, если значок вошел в произведение два раза. Такая запись не только экономна, но при известном навыке и более наглядна, потому что формулы не загромождаются символом £・ Значок, по которому произведено суммирование, называется немым. Его можно переобозначить в одной стороне равенства, не трогая другой стороны, например:

(2.14‘)(2.14‘)

(2.14‘)

(2.14‘)

Дело в том, что и а, и р чений, поэтому безразлично, Выразим теперь хг и —,Дело в том, что и а, и р чений, поэтому безразлично, Выразим теперь хг и —,принимают один и тот же ряд зна- какую букву поставить.

Дело в том, что и а, и р чений, поэтому безразлично, Выразим теперь хг и —,

Дело в том, что и а, и р чений, поэтому безразлично, Выразим теперь хг и —,

входящие в подынтегральное выра

жение S, через обобщенные координаты и обобщенные скорости по формулам (2.13) и (2.14'). Это выражение (в любых координатах) называется функцией Лагранжа механической системы и обозначается буквой Z. Итак, пусть дано действие системы S, причем L L (... (у。• •・4а • • •)：

S= 5 L (qat 厶)必. (2.15)

Для истинной траектории системы оно имеет экстремум; это свойство не может зависеть от выбора координат, так как выражает известный физический закон, будем теперь варьировать S, но не по декартовым координатам, а по обобщенным. Так как последние независимы, то такое же свойство имеют и их вариа- ции. Имеем:

厶匕上

6S = 6 \ Ldt=弋 5Ldf=〈(也Ma +丝Ma]df = 0・ (2.16)

Пользуясь тем, что знаки варьирования и дифференцирования переставляются, запишем:

% 抬 措 j 一 A В%. (2.17)

。加df dqadt dt \dqa / dt \^a/

Проинтегрируем полную производную по времени и подставим пределы. Но на пределах вариации координат, как и раньше, обращаются в нуль, так что останется следующее равенство:

dt

dt = 0.

(2.18)

Вариации взаимно независимы и произвольны. Положим сначала все 6(/а, кроме 5%, равными нулю. Тогда в равенстве (2.18) останется только первое слагаемое в сумме по а:

6S=£ 儔= (2.19)

Воспользуемся теперь произвольностью вариации Bq】. Предположим, что величина в скобках, на которую множится 6^, изменяет некоторым образом знак и абсолютное значение, но не равна нулю на интервале интегрирования. Выберем теперь 6^ так, чтобы оно везде было того же знака, что и выражение в квадратных скобках. Тогда подынтегральная величина окажется положительной, так что 6S не может быть равно нулю. Следовательно, чтобы принцип Гамильтона выполнялся, с необходимостью должно обращаться в нуль выражение, которое умножается на 3夕1・ Повторяя то же рассуждение для произвольного бд^, находим:

=0・ (2.20)

Это и есть уравнения движения, написанные для обобщенных координат. Система уравнений (2.20) называется уравнениями Лагранжа,

Если число степеней свободы системы п, то для интегрирования уравнений Лагранжа, имеющих второй порядок по времени, требуется задать 2几 начальных условий: п обобщенных координат и столько же обобщенных скоростей в момент времени ". Тогда каждая обобщенная координата выразится как функция времени, начальных скоростей и начальных координат:

9а =夕仪(%； 7oi> • • •, %?； Mi, • • • > ^оп)• (2.21)

Дифференцируя эти равенства по времени, получаем и обобщенные скорости в их зависимости от тех же величин:

@a = 0(x(f； q()i, • • •, Qon'f 4oi> • • • > @о〃)・ (2.22)

Исключая отсюда все начальные значения координат и скоростей, т. е. решая уравнения (2.21) и (2.22) относительно начальных координат и скоростей, получим 2〃 уравнений вида

9оа ('； ^71, • • •» 氟；^i, • • • > 4«) = 9оа = const. (2.23)

Такие функции координат и скоростей системы, которые во время движения остаются постоянными, называются интегралами движения. В правой части они могут иметь любые постоянные, не обязательно начальные координаты и скорости. Отыскание интегралов движения и составляет задачу механики.

Определенность функции Лагранжа. Как вВДно из определения функции Лагранжа, она состоит из двух слагаемых: “

厶=士号磔：一k ⑵24)

Первое, зависящее квадратично от скоростей, называется кинетической энергией системы, второе, описывающее взаимодействие между частицами, называется потенциальной энергией. Смысл этих названий станет яснее из § 4.

В уравнения Лагранжа (2.20) входит не сама функция L, а ее производные. В связи с этим возникает вопрос об определенности Л, т. е. о возможных добавочных членах к ней, не изменяющих уравнений движения. Например, ясно, что постоянный добавочный член во всяком случае не отражается на уравнениях движения, но к функции Лагранжа можно прибавить и полную производную по времени от любой функции всех % и / без какого-либо изменения системы уравнений (2.20).

Это легко проверить как непосредственной подстановкой, так и следующим простым способом. Слагаемое --'^—, имеющее вид полной производной, можно проинтегрировать, и тогда оно прибавится к действию в виде разности значений функции на пределах:

S=!心 + 粉山="必 十 ，侬，(2.25)

Но при варьировании «& эти значения остаются неизменными потому что на пределах обращаются в нуль вариации координат. Следовательно, производная функции координат и времени не входит в вариацию действия и не сказывается на уравнениях движения. Этим свойством можно воспользоваться для определения вида L, если не задавать его заранее как (2.24), а исходить из принципа Гамильтона и некоторых других общих положений механики.

Принцип относительности. Выше было сформулировано понятие инерциальной системы отсчета как такой системы, в которой все ускорения частиц обязаны только взаимодействию между ними. Допустим, что такая система найдена. Тогда все другие инерциальные системы отсчета движутся относительно нее прямолинейно и равномерно. В противном случае тела, движущиеся с постоянной по величине и направлению скоростью относительно исходной инерциальной системы отсчета, будут двигаться ускоренно относительно другой системы. Но тогда последняя не будет по определению инерциальной.

Итак, все инерциальные системы движутся прямолинейно и равномерно друг относительно друга. Любую из них с одинаковым правом можно считать покоящейся, а все остальные ——движущимися. Уравнения движения механической системы в любой из инерциальных систем отсчета имеют одинаковый вид. В качестве примера приводят обычно пассажира в поезде, идущем равномерно: все физические явления внутри вагона он видит такими же, как если бы поезд стоял. Лучше сказать, что это не пример, показывающий равноценность двух инерциальных систем отсчета, а опытное доказательство важнейшего механического принципа, именуй

мого принципом относительности. В применении к механике Ньютона этот принцип, отражающий известные нам из повседневной жизни простые факты, кажется в силу привычки самоочевидным. Но, примененный к учению об электромагнетизме, он привел к коренной перестройке физических понятий (см. ч. II).

Симметрия законов движения. Способность равенства, выражающего известное физическое соотношение, сохранять свою форму при некотором преобразовании называется симметрией относительно этого преобразования. Принцип относительности утверждает, что уравнения движения симметричны относительно замены одной инерциальной системы отсчета на другую. Опыт показывает, что законы механики обладают и другими видами симметрии.

В механической системе, достаточно удаленной от всех других тел, движение происходит совершенно одинаково, куда бы ее ни поместили. Это означает следующее. Пусть имеются две одинаковые механические системы с одинаковыми начальными условиями движения. Обе они весьма удалены от всех остальных тел, могущих действовать на них. Тогда, если рассматривать их в одной и той же системе отсчета, движение в них будет происходить строго одинаковым образом. Иными словами, движение не изменяется при переносе всех движущихся тел на одно и то же расстояние по взаимно параллельным отрезкам в один и тот же момент времени. Это утверждение основано, разумеется, на очень большом опытном материале, накопленном механикой за всю историю ее развития. В более краткой форме его принято называть свойством однородности пространства.

Две равноценные механические системы, подобные описанным здесь, можно выбрать не только смещенными, но и повернутыми друг относительно друга на любой угол. Опять-таки, если данные две системы достаточно удалены от всех тел, могущих действовать на них, движение в этих системах происходит одинаковым образом. Иначе говоря, все направления в пространстве равноценны. Это свойство пространства называется его изотропией. Изотропия пространства так же является обобщением опыта, как и его однородность. Они выражают определенные свойства законов движения ——их симметрию по отношению к переносам и поворотам. Математически переносы и повороты в пространстве изображаются соответствующими преобразованиями системы координат.

Есть еще один вид симметрии законов движения ——их однородность по отношению к переносам во времени: законы движения не меняются со временем. Никакую машину нельзя было бы спроектировать, если бы не выполнялось это свойство законов движения механических систем.

Определение вида функции Лагранжа. Исходя из перечисленных выше законов симметрии движения, т. е. однородности пространства и времени, изотропии пространства, принципа относительности и принципа Гамильтона, можно

определить вид функции Лагранжа, не пользуясь предварительно уравнениями (1.1).

Начнем со свободной частицы, достаточно удаленной от всех остальных тел (это есть определение свободной частицы). В силу однородности пространства ее функция Лагранжа не может явно зависеть от координат. Иначе в разных точках пространства частица двигалась бы по различным законам. По аналогичной причине в функцию Лагранжа не входит явно время, причем это относится не только к отдельной свободной частице, но и к любой совокупности частиц, не подверженной внешним воздействиям. Таким образом, функция Лагранжа свободной частицы может зависеть только от ее скорости. Но L ——скалярная величина. Получить из вектора скаляр можно двумя способами: взять абсолютное значение вектора или умножить его скалярно на некоторый другой вектор. Но такого выделенного вектора в изотропном пространстве не существует: все направления в нем равноценны. Таким образом, единственно возможный вид функции Лагранжа свободной частицы есть L = L (|г|).

Остается определить, какая это функция. Согласно принципу относительности характер движения не должен изменяться при переходе к другой инерциальной системе отсчета. Как было указано, эта система должна двигаться прямолинейно и равномерно относительно исходной. Если ее скорость движения равна V, то рассматриваемая точка движется относительно нее со скоростью г + V. Мы воспользовались простым законом сложения скоростей, который, как будет показано в ч. II, справедлив только тогда, когда и |г|, и |К| гораздо меньше скорости света. В новой инерциальной системе отсчета функция Лагранжа есть, таким образом,厶= =L (|г + У|). Чтобы закон движения не изменился, разность обоих выражений должна быть равна полной производной от некоторой функции координат и времени. Сразу видно, что это оставляет только одну возможность:

修2(2.26)

для свободной частицы. Здесь m — постоянная вeличинaj Действительно, тогда получаем:

业哮必-吟上=m岁+m岁=訊m小十 叫邑).

Каков знак 加? Определим его. Предварительно надо несколько уточнить принцип Гамильтона: потребовать, чтобы на малых отрезках пути действие было не просто экстремальным, а наименьшим. Тогда знак т будет положительным. При отрицательном т действие могло бы уменьшаться без предела с увеличением |7\ Тем самым окончательно определено первое слагаемое функции Лагранжа для свободной частицы.

Если теперь взять систему взаимодействующих частиц, то для описания их взаимодействия надо ввести в функцию Лагранжа дополнительное слагаемое.

Мы сделали предположение, что действие частиц друг на друга зависит только от их положения в данный момент времени. Существенно, однако, что оно определяется только их относительным положением, т. е. зависит лишь от разности векторов 尸力——rki а не от каждого из них в отдельности. Только разности векторов остаются неизменными при переносах координатной системы. Кроме того, только разности Г/ ——rk удовлетворяют принципу относительности: в них сокращаются произведения V/, прибавляющиеся к каждому радиус-вектору 尸厶 rk при переходе к другой инерциальной системе отсчета.

Так как функция Лагранжа ——скалярная величина, она может зависеть либо от абсолютных величин разностей |尸》—— 尸冷|, либо от скалярных произведений вида (尸》—— 尸々)(勺 ——г^. Но последний случай не встречается на практике и не будет рассматриваться. Следовательно, функция Лагранжа системы материальных точек, не взаимодействующих с другими телами, выглядит таким образом:

l=；号伍)2-U(，，"l〃I…)， ②24')

Мы не ограничились выводом уравнений Лагранжа из уравнений (1.1), а проделали все сложные рассуждения, необходимые для вывода формулы (2.24'), потому, что на этом пути легче всего прийти к тем необходимым обобщениям, которых требуют эйнштейновский принцип относительности и теория электромагнитного поля.

Особое значение принципа Гамильтона в механике состоит в том, что он позволяет в наиболее сжатой и ясной форме выразить все свойства симметрии механической системы. Хотя они могут быть получены и из дифференциальных уравнений движения, интегральный принцип выражает их с большей наглядностью. Так как симметрия условий движения всегда обобщает некоторые закономерности, найденные на опыте, принцип Гамильтона дает тем самым удобнейший способ формулировки всех общих законов механики. Следует, конечно, иметь в виду, что эта формулировка отражает тенденцию к возможно более краткой и удобной записи, а никак не «стремление» природы к минимальности действия.

Свойства симметрии очень существенно ограничивают возможное поведение механической системы. С различными видами симметрии, как будет показано ниже (§ 4), связаны некоторые величины (зависящие от динамических переменных), сохраняющие при движении постоянное значение, приданное им в начальный момент времени. Тем самым существенно ограничивается область изменения переменных в рассматриваемых задачах. Эти величины в ряде важнейших случаев легче всего находятся с помощью

вариационного принципа по заключенным в нем свойствам симметрии.

Принцип Гамильтона с учетом требований симметрии позволяет определить вид варьируемой функции Лагранжа и тем самым вид уравнений движения. В этом смысле он обладает большой эвристической силой, т. е. позволяет находить еще неизвестное, руководствуясь общими положениями.

Наконец, вариационный принцип весьма удобен для решения конкретных задач механики с помощью получаемых путем варьирования уравнений Лагранжа.

Примеры на составление уравнений Лагранжа

Правила составления уравнений Лагранжа. Сведем теперь воедино последовательность операций, приводящих для данной конкретной механической системы к уравнениям Лагранжа:

Выражают декартовы координаты через обобщенные координаты:

修=修(％, • • •, %,・••，9九)・

Путем дифференцирования этих равенств получают декартовы составляющие скоростей, выраженные через обобщенные координаты и обобщенные скорости (напоминаем правило суммирования для значка а):

Декартовы координаты, входящие в формулу потенциальной энергии, заменяют на обобщенные:

и(. •. I 修•一 %/г [ • • •) = и(7i> • • •, q(x, • • •, q〃)・

Скорости, входящие в формулу кинетической энергии, заменяют на обобщенные скорости, так что кинетическая энергия в общем случае начинает зависеть не только от обобщенных скоростей, но и от обобщенных координат:

7三彳黄九)2 = 2恤懿0a爲兆三

Так как декартовы составляющие скоростей ——однородные линейные функции обобщенных скоростей ^а, кинетическая энергия ■— квадратичная однородная функция ^а^р.

Вычисляют частные производные 訝 и 録,считая(Ja и ^ независимыми величинами.

Полученные производные для всех степеней свободы подставляют в уравнения (2.20).

Рассмотрим теперь несколько примеров составления уравнений Лагранжа.

Центральные силы. Центральными называются силы, направленные по линиям, соединяющим материальные точки, и зависящие только от расстояний между этими точками. Фактически мы уже перешли к силам такого рода, допустив, что потенциальная энергия зависит только от расстояний между точками. Тогда сила, действующая на i-тую точку со стороны)%-той, равна:

尸読=一一〃|.・・)= —(3.1) 访 drik '…' д I rik I drik'/

Производная скалярной величины \ri~rk\ = \rik | по вектору rik означает вектор с составляющими:

0丨勺比丨丨片”. d\rik\

Вычислим для примера составляющую по оси %：

У % 猾 + У% + 2% =•(3・2)

I rik I

Но отношение есть составляющая по оси х единичного I rik I

вектора, направленного от i-той частицы к 力-той, т. е. сила, представленная выражением (3.1), центральная.

Если одно из тел рассматриваемой системы намного массивнее всех остальных (как Солнце в планетной системе), его с известным приближением можно считать покоящимся, т. е. пренебречь обратным действием на него остальных тел. В этом случае говорят, что такое тело создает поле, в котором движутся материала ные частицы.

Допустим, что речь идет о поле тяготения, так что центральное тело притягивает остальные тела с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до него. Действием тел друг на друга пренебрежем. Тогда нетрудно найти выражение потен- ннальной энергии некоторой точки в поле центрального тела. Сила, действующая на точку с его стороны, равна:

(3.3)(3.3)尸=

(3.3)

(3.3)

где а — коэффициент пропорциональности.

Сравнивая (3.3) с формулами (3.1) и (3.2), заключаем, что производная потенциальной энергии по расстоянию равна:

(3.4)(3.4)(3.5)(3.5)dU — а

(3.4)

(3.4)

(3.5)

(3.5)

37 —于

Интегрируя это равенство, находим:

U = const —%

Постоянная есть не что иное, как значение потенциальной энергии на бесконечно большом расстоянии от притягивающего

тела. В случае сил, убывающих с расстоянием, эту постоянную обычно выбирают равной нулю, но это чистая условность, так как при расчете силы путем дифференцирования потенциальной энергии постоянная все равно выпадает.

Соглашение о выборе постоянной в выражении потенциальной энергии называется ее калибровкой. В данном случае U калибруется на нуль при бесконечном расстоянии от притягиваю

щего тела:

U = _g(3.6)

Выражение, аналогичное (3.5), полу

чается и для двух точек, несущих электрический заряд, так как закон Кулона по форме выглядит как ньютоновский закон притяжения, но, отвечая двум знакам

заряда, может означать как притяжение, так и отталкивание. Соответственно и потенциальная энергия кулоновских сил имеет оба знака: поьчожительный для одноименных зарядов и отрицательный для разноименных.

Сферические координаты. Формула (3.6) подсказывает, что в случае центральных сил целесообразно выбрать г в качестве обобщенной координаты. Иначе говоря, надо перейти от прямоугольных координат к сферическим. Соотношение между декартовыми и сферическими координатами показано на рисунке 1. Ось 2 называется полярной осью сферической координатной системы. Угол 令 между радиус-вектором и полярной осью называется полярным углом. Он является дополнением до 90° к «широте». Наконец, угол ср аналогичен «долготе» и называется азимутом. Он измеряет двугранный угол между плоскостью zOx и плоскостью, проведенной через полярную ось и данную точку М.

Найдем формулы перехода от декартовых координат к сферическим. Из рисунка 1 ясно, что

(3.7)(3.7)z — r cos О.

(3.7)

(3.7)

Проекция р радиус-вектора на плоскость хОу равна: р = г sin д.(3.8)

Таким образом, % = р cos ср = г sin ^ cos ср,(3・8‘)

у = р sin ср = г sin 令 sin ср.(3.8〃)

Теперь найдем выражение кинетической энергии в полярных координатах. Это можно сделать как путем прямого вычисления по способу, указанному в начале этого параграфа, так и геометрическим построением. Хотя построение проще, изберем сначала

вычислительный путь, чтобы иллюстрировать общий метод. Имеем

z — f cos 仆一г sin 令A,尤=户 sin 2 cos(p +

+ 尸 cos 令 cos 屮 3 — r sin 令 sin фф,y = rsin,&sin(p +

+ 厂 cos 8 sin 屮S + r sin 仆 cos 屮而.

Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получим после очень несложных преобразований:

Т = ~^ + у^ + ^ =

=/ (『2 + 产眾 + Г2 Sin2 心ф2).

(3.9)

Рис. 2Рис. 2То же самое видно из построе

Рис. 2

Рис. 2

ния, представленного на рисунке 2. Произвольное перемещение точки можно разложить на три взаимно перпендикулярных перемещения: dr, rd^ и pdcp = г sin ®d(p・ Отсюда

或2 = di + ^d令2 + 尸 sin2 仆 dqA (3.10)

Так как квадрат скорости v2 = ^j2, то (3.9) получается из (3.10) просто аеленнем на (d/户 и умножением на ~. Следовательно, функция Лагранжа в сферических координатах выражается так:

(3.11)(3.11)L = ^ (产+尸32 +尸2 siM令而2) 一 U⑺.

(3.11)

(3.11)

Чтобы теперь написать уравнения Лагранжа, достаточно вычислить частные производные:

dL . dL °(

dr08<

^ = w sin2心而2 +他22 一槊，

X— — U.

^- = mr2sin2 心而，处*帝=mr2 sin 令 cos 伙p2,^- = mr2sin2 心而，处*帝=mr2 sin 令 cos 伙p2,Эти производные надо подставить в (2.20), чего, однако, мы пока делать не будем, так как рассматриваемое движение фактически сводится к плоскому (см. начало § 5).

^- = mr2sin2 心而，

处*

帝=mr2 sin 令 cos 伙p2,

^- = mr2sin2 心而，

处*

帝=mr2 sin 令 cos 伙p2,

Система и з двух частиц. До сих пор мы считали притягивающий центр неподвижным, что отвечало предположению о его бесконечно большой массе. Но бывает и так, что оба тела системы имеют близкие или равные массы (двойная звезда, система протон — нейтрон и т. п.). Мы покажем, что задачу о дви-

жении двух тел, взаимодействующих только друг с другом, всегда легко свести к задаче о движении одного тела.

Пусть масса первой материальной точки т】，второй — т2; радиус-векторы этих точек, проведенные из произвольного начала координат, соответственно обозначим 尸i и г2. Составляющие 尸i суть %i, уь «г】, составляющие г2 суть х2, у2, г2. Определим теперь радиус-вектор центра инерции этих точек следующей формулой:

火=色Г中".(3.12)

т1 + т2'/

Иногда вместо центра инерции применяется термин «центр тяжести». Но центр тяжести можно определить только в однородном поле сил тяжести.

Введем, кроме того, радиус-вектор относительного положения точек:

尸=尸1一广2.(3.13)

Выразим их кинетическую энергию через Лиг. Исключая из (3.12) и (3.13) Гх и г2 и дифференцируя их по времени, находим；

…+磊，…一事(3.14)

Кинетическая энергия равна:

7 =吟 +崂.(3.15)

Подставляя в нее выражения (3.14), получим после простого сокращения:

•(3/6)

Перекрестный член, содержащий Rr, выпал, что и составляет смысл сделанного преобразования.

Так как на точки по условию не действуют никакие внешние силы, потенциальная энергия может зависеть только от их взаимного расстояния г: U=U (г). Таким образом, функция Лагранжа равна:

我-(3.17)

Напишем теперь уравнения Лагранжа для координат центра инерции. Дифференцируя равенство (3.17), получим:

吗=(恤+加2)A，些=0・

dR V 12/ dR

Следовательно, согласно (2.20) имеем:衣=0, или в декартовых координатах-

N = 0, У = 0,夕 н0・

Эти уравнения легко интегрируются:

х = £о/+х(), ^ = ^о^ + ^о» Z = Z(/+Zo,

где индекс 0 соответствует значениям величин в начальный момент времени. Объединяя уравнения для декартовых координат в одно векторное, получим:

' R = RQt + RQ. (3.18)

Таким образом, центр инерции движется прямолинейно и равномерно относительно исходной системы отсчета. Но эту систему мы считали инерциальной, потому что в ней силы обязаны только взаимодействию между частицами (соответствующая потенциальная энергия есть U (г)). Следовательно, система отсчета, скрепленная с центром инерции двух точек, тоже инерциальна. Если перейти к ней, останется относительное движение обеих точек, которое описывается радиус-вектором г. В системе центра инерции функция Лагранжа имеет вид:

(3」9)

Здесь, очевидно, г2 = х^-^-у2-}-^. В эту функцию Лагранжа входят только три координаты, а не шесть, как в L (3.17). Следовательно, задача о движении двух тел с массами тг и т? свелась к задаче о движении одного тела с массой т, равной:

т1 + т2

Эта величина называется приведенной массой.

Так как система отсчета, связанная с центром инерции, инерциальна, движение центра инерции не сказывается на относительном движении материальных， точек. В следующем параграфе будет показано, что это утверждение справедливо для любого числа точек, не подверженных действию внешних сил. Можно просто считать, что центр инерции покоится в начале координат /? = 0.

Если описывать относительное движение двух точек в сферических координатах, уравнения движения будут иметь такой же вид, как для одной точки, движущейся относительно неподвижного притягивающего центра.

Считая центр инерции двух точек неподвижным и покоящимся в начале координат, находим расстояния обеих материальных точек от начала:

什一 m2r " _ mjг2 一 他］十优2 .

Таким образом, если одна из масс гораздо меньше другой (团2 丈优 1), то 厂1《厂2， т. е. центр инерции двух тел весьма бли- зок к телу большей массы. Это имеет место для системы Земля ——

спутник (искусственный) и с меньшим приближением для системы Земля — Луна.

mmm2m2Приведенную массу можно записать и так:

m

m

m2

m2

(3.21)

Отсюда видно, что она близка к меньшей массе. Вот почему движение спутника можно приближенно описывать так, как если бы Земля была неподвижна, а спутник обращался вокруг нее со своим значением массы, независимым от массы Земли.

Лагранжа для простого и двойного маятников. Дальше мы восЛагранжа для простого и двойного маятников. Дальше мы восПростой и двойной маятник. В заключение этого параграфа построим функции

Лагранжа для простого и двойного маятников. Дальше мы вос

Лагранжа для простого и двойного маятников. Дальше мы вос

пользуемся ими.

Простой плоский маятник представляет собой материальную точку массой т, подвешенную на плоском шарнире к некоторой точке невесомым стержнем длиной /. Шарнир ограничивает плоскость качания маятника (рис. 3). Ясно, что такой маятник имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты примем угол отклонения маятника от вертикального положения ср. Очевидно, что скорость материальной точки равна /ср, так что кинетическая энергия есть

На маятник действует сила тяжести — mg. Здесь g —ускоре

ние свободного падения, знак «минус》учитывает, что сила направлена вниз. Следовательно, потенциальная энергия U = mgz, а

„ dUV

尸=—万£ • 2 выражается через угол следующим образом: ?=

=/(1 — cos q?)・ Итак, функция Лагранжа маятника

L = ^ 门而2 一 mg?(1 一 as 哈. (3.22)

Заметим, что в выражение (3.22) масса т входит как общий множитель в оба слагаемых. Поэтому она сократится в уравнениях движения. Таким образом, закон качания маятника не зависит от его массы. Разумеется, это справедливо, если можно пренебречь всеми видами трения.

Двойной маятник представим себе следующим образом. В точке т имеется еще одно шарнирное соединение, к которому подвешен другой маятник, вынужденный качаться в той же плоскости (рис. 4).

Масса и длина подвеса второго маятника соответственно пусть будут "厶 и 厶，а угол его отклонения от вертикали 屮.Тогда координаты второй точки равны:

Xi^/sincp + ZiSinip,

4 = / (1 — cos ср) + 厶(1 — cos 屮).

Отсюда получаем составляющие ее скорости:

尤1 = / cos (pep + 厶 cos 屮《，

訂=/ sin ф(р +1、sin 屮j.

Возводя их в квадрат и складывая, выражаем кинетическую энергию второй точки через обобщенные координаты 屮，屮 и обобщенные скорости ср,《：

& =号[闿2 + 恥2 + 2〃i cos (ф —屮)Й1-

Потенциальная энергия второй точки определяется через %. Окончательно функцию Лагранжа двойного маятника получаем в таком виде:

l__竺彳恤/2(p2 + 号/：《2 + m1〃] cos ((р 一屮)Ф力 一

一 (ш + 〃厶)g/ (1 — cos ср)—加igA (I — cos ip).(3.23)

Пользуясь обобщенными координатами, мы полностью обошли вопрос о реакциях, которые возникают в шарнирных соединениях.

УПРАЖНЕНИЕ

Написать уравнение Лагранжа, если функция Лагранжа имеет вид:

L = _m=尹.

Функция Лагранжа сходного типа встретится нам в ч. II.

Точка движется по заданной кривой в вертикальной плоскости в поле тяжести. Уравнение кривой в параметрической форме % = %(s), z = z(s). Написать уравнения Лагранжа.

Решение. Скорости равны:

х = ~ s ~ х^, Z = z'S・

Функция Лагранжа имеет вид:

А = у (x/24-z,2) s2 —mgz (s).

Уравнение Лагранжа:

* т [(%'2十才2) s] — ms2 (xf,xf ^-zffzf) -]-mgzf = 0.

Написать уравнения Лагранжа для маятника с упругим подвесом. Для такого маятника потенциальную энергию упругой силы вычисляют по формуле

U = 2 (/ —— /())2, где /0 —равновесная длина нерастянутого стержня, ^ —постоянная, характеризующая его упругость. В качестве обобщенных координат выбрать I и ф.

Написать кинетическую энергию системы из трех материальных точек с массами тъ т2 и т3 в виде кинетической энергии движения всех трех точек, движущихся вместе с центром инерции, и кинетической энергии относительного движения.

Ответ.

mЛ2 丄 加2 ("" + 优3)Д2 ,m3 (%+他2)-2^2^3р2Р3

где

М = т1 + т2 + т3;卩2 =广1一&，Рз =『1 —小

m1r1 + m2r2 + m3r3

§ 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

В § 2 было дано общее определение интегралов движения. Разыскание всех интегралов движения для произвольной механической системы весьма сложно и в аналитическом виде удается в немногих случаях. Но существуют некоторые важные интегралы

движения, которые можно составить непосредственно по виду функции Лагранжа. Эти интегралы будут рассмотрены в настоящем параграфе..

величину:величину:(4.1)(4.1)Энергия. Определим с помощью функции Лагранжа такую

величину:

величину:

(4.1)

(4.1)

e = 分妖一厶

(по а суммирование от 1 до п). Величина Е называется полной энергией системы. Вычислим ее полную производную по времени:

dL丑.dL丑.dE dL , . d dL . dL .. dL

dL

丑.

dL

丑.

Последние три члена справа являются производной от функ- ции Лагранжа 万* которая зависит от н в некоторых случаях от времени. Величина 豆家 по уравнениям Лагранжа может быть выражена как 器•・ Таким образом,

(4.2)(4.2)dE dL

(4.2)

(4.2)

Следовательно, если функция Лагранжа не зависит от времени явно, то энергия Е является интегралом движения, т. е. сохраняется.

Рассмотрим теперь, в каких случаях 厶 не зависит от £. В § 2 было указано, что если данная механическая система достаточно удалена от всех иных тел, или, как говорят, замкнута, то время не входит в функцию Лагранжа. Это выражает однородность

времени. Значит, в замкнутой системе энергия сохраняется, или, как мы условились говорить, является интегралом движения. Если есть две невзаимодействующие замкнутые системы, то для них функция Лагранжа состоит из суммы функций Лагранжа каждой мз систем в отдельности. Соответственно и полная энергия согласно ее определению (4.1) тоже выражается как сумма энергий обеих систем. Энергия таких систем — аддитивный интеграл движения.

Энергия сохраняется не только в изолированной, замкнутой системе. Если на некоторую систему действует постоянное внешнее силовое поле, то функция Лагранжа такой системы не содержит явно время, так что энергия согласно (4.2) тоже интеграл движения. Когда на систему наложены связи, ее координаты в декартовой системе выражаются через обобщенные координаты по формулам, не содержащим явно времени. Этот случай рассматривался в § 2. При этом энергия системы также сохраняется.

Жесткие связи можно рассматривать как частный случай силового поля, так что действие связей, не содержащих времени, аналогично постоянному полю. Поэтому энергия в этом случае сохраняется.

Наоборот, в переменном внешнем поле или при связях, явно содержащих время, энергия системы не сохраняется: либо совершается работа над системой, либо сама система производит работу над каким-нибудь внешним объектом.

Когда внутри замкнутой системы действуют силы трения, энергия макроскопического движения переходит в энергию молекулярного микроскопического движения. Вместе с этой внутренней энергией энергия замкнутой системы, конечно, сохраняется, но функция Лагранжа, в которую входят только обобщенные координаты движения системы как целого, уже не дает полного описания движения этой системы. Определенная с помощью такой функции Лагранжа механическая энергия одного только макроскопического движения уже не сохраняется. Переход механической энергии в энергию внутреннего, микроскопического молекулярного движения происходит при трении и ударе.

Покажем теперь, к какому виду приводится полная энергия, когда функция Лагранжа может быть представлена в виде 厶= =「— где кинетическая энергия Т есть однородная квадраТичная функция обобщенных скоростей (7 = у Тав@а%)・ Поскольку мы приняли, что потенциальная энергия зависит только от коор- "ннат, имеем для производных по обобщенным скоростям:

灰—瓯，

так что полная энергия равна:

七=魄一l (4.3)

Но по теореме Эйлера об однородных функциях сумма част* ных производных, умноженных на соответствующие переменные, равна самой функции, умноженной на показатель однородности (это легко проверить по функции двух переменных ах2 + 2йху + + с” Следовательно,

E = 2T-G — U) = T + U, (4.4) т. е. полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергий в согласии с обычным определением. Это объясняет названия, данные функциям Т и U.

Заметим, что определение энергии (4.1) является более общим, пригодным и в том случае, когда функцию Лагранжа нельзя представить как разность L = T — U (см. ч. II).

Применение интеграла энергии к системам с одной степенью свободы. Интеграл энергии позволяет сразу сводить к квадратурам задачи о движении систем с одной степенью свободы. Так, в рассмотренной в предыдущем параграфе задаче о маятнике мы можем с помощью (4.4) непосредственно записать интеграл энергии:

Е = -^ /2Ф2 + mgl (1 — cos 屮). (4.5)

Значение Е определим из начальных условий. Пусть, например, маятник был сначала отклонен на угол ф0 и отпущен без начальной скорости, так что(ро = О. Отсюда

E = mgl (1 — cos ф0).

Подставляя это в (4.5), получим:

mgl (cos <р — cos q)0) = у /2ф2.(4.6)

Отсюда зависимость угла от времени определится с помощью квадратуры: ф

Фо

Знак «минус» перед корнем выбран потому, что в начале движения угол ф уменьшается. Интеграл, входящий в (4.7), неэлементарный.

Существенно, что закон качания маятника зависит только от отношения 〃g. Масса, как указывалось в предыдущем параграфе, исключается. Таким образом, с помощью маятника может быть очень точно измерено ускорение тел при свободном падении g.

Система, в которой сохраняется механическая энергия, иногда называется консервативной. Таким образом, интеграл энергии позволяет свести к квадратурам задачу о движении консервативной системы с одной степенью свободы. То обстоятельство, что квадратура может при этом не выражаться через элементарные функции, подобно (4・^), здесь не имеет значения.

У консервативных систем с несколькими степенями свободы интеграл энергии позволяет понизить на единицу порядок системы дифференциальных уравнений и тем упростить интегрирование.

Обобщенный импульс. Рассмотрим теперь другие интегралы движения, которые можно непосредственно найти с помощью функции Лагранжа. Для этого воспользуемся следующим очевидным следствием из уравнений Лагранжа. Если какая-нибудь координата не входит в функцию явно （^- = 0）, то согласно уравнениям Лагранжа

（4.8）

Но тогда величина ра, определяемая как

р。 三證， （49） постоянна, т. е. является интегралом движения. ра называется обобщенным импульсом, отвечающим координате с номером а. Под это определение подходит импульс и в декартовых координатах:

（4.10）

Итак, если некоторая обобщенная координата не входит явно в функцию Лагранжа, отвечающий ей обобщенный импульс есть интеграл движения, т. е. остается при движении постоянным. Сама координата при этом называется циклической,

В предыдущем параграфе было показано, что координаты X, У, Z центра инерции системы из двух материальных точек, не подверженных действию внешних сил, не входят в функцию Лагранжа. Отсюда видно, что

（т^т^x= Pxt （他1 + m2）V=乙，（加1+他2）2 =?（4.11） суть интегралы движения.

Импульс системы точек. То же самое легко показать и для системы из ^ точек. В самом деле, для ^ точек можно ввести понятие центра инерции по формуле

R = % （4.12） н скорости центра инерции как

a=立. （4・13）

33332 Компанеец А. С,

33

33

Скорость i-той точки относительно центра инерции есть

" = % — /?・(4.14)

(по теореме сложения скоростей). Кинетическая энергия системы точек равна:

N

£т・(％ + А)2 =

i — 1i = 1

NNN

=4"2m后2十衣工恤"］恤也 (4.15)

Z — 1» = 1i = l

N •

Но из (4.13) и (4.14) сразу видно, что g ^/Л = 0, по определению i = 1

г； и R. Поэтому кинетическая энергия системы точек распадается на сумму двух членов: кинетической энергии движения суммарной массы со скоростью центра инерции относительно выбранной системы отсчета и кинетической энергии движения масс относительно центра инерции:

+2т/ ^2 + т 2 加".(4.16)

卜=1 丿i = 1

Векторы Л не независимы: они, как указывалось, подчинены одному векторному уравнению 工 mH = 0. Следовательно, их можно выразить через ^ ——1 независимых величин, определяя относительные положения r-той и какой-нибудь фиксированной точки, например первой. Кинетическая энергия относительного движения выражается через относительные скорости частиц (см. упр. 4 к § 3). В замкнутой системе по ее основному свойству на точки не действуют никакие внешние силы, а силы взаимодействия внутри системы зависят только от относительного расположения частиц, т. е. от 尸力一rk..

Итак, в функцию Лагранжа входит только /?, а /? не входит. Его составляющие суть циклические координаты. Поэтому общий импульс сохраняется:

夕= * = (［恤£团応・(4.17)

Равенство (4.17) показывает, что общий импульс системы материальных точек, не подверженной действию внешних сил, есть интеграл движения. Существенно, что это аддитивный интеграл движения, складывающийся из импульсов отдельных частиц.

Заметим, что интеграл импульса существует для любой системы, в которой действуют только внутренние силы, в том числе и силы трения, вызывающие переход механической энергии в энергию

внутреннего молекулярного движения. На сохранении импульса это не сказывается.

Если проинтегрировать (4.17) по времени еще раз, то получится интеграл центра инерции, аналогичный (3.18). Это будет так называемый второй интеграл (так как в него входят две постоянные). Он содержит только текущие координаты, но не скорости. (4.7) тоже второй интеграл.

Свойства векторного произведения. Дальше мы будем изучать момент импульса материальной точки и системы материальных точек, короче его называют просто момент. Для отдельной точки он определяется так:

М = [〃?]• (4.18)

Здесь квадратная скобка означает символ векторного умножения.

Как известно, (4.18) заменяет следуюгцне три равенства, записанные для составляющих:

Mx = UPz — zpy, Му = zpx - хр„ Mz - хру - урх. (4.19)

Напомним геометрическое определение векторного произведения. На векторах 尸 и р строится параллелограмм. Тогда [гр] означает вектор, численно равный площади параллелограмма и перпендикулярный его плоскости. Для того чтобы задать направление 7И однозначно, надо условиться о способе обхода контура параллелограмма. Будем всегда обходить контур начиная с первого векторного сомножителя, в данном случае начиная с 厂.Тогда положительной считается та сторона плоскости параллелограмма, в которой обход производится против часовой стрелки. Вектор Л1 направлен по нормали к положительной стороне плоскости. Иначе говорят еще, что если вращать рукоятку штопора от 尸 к 〃，то сам штопор будет перемещаться по направлению 7И. Направление обхода изменится, если переставить местами 尸 и 〃 в произведении. Поэтому знак векторного произведения меняется от перемены мест сомножителей в отличие от обычного произведения. Это видно и из определения декартовых составляющих момента.

Чтобы лучше понять, почему векторное произведение определяет именно векторную величину, надо уточнить, что такое вектор вообще. Вектором называется совокупность трех величин, которые при поворотах системы координат преобразуются как составляющие радиус-вектора. Например, скорость есть вектор, потому что она по определению есть ^, а дифференциалы координат преобразуются, как сами координаты. Следовательно, импульс р тоже вектор.

Если подвергнуть преобразованию составляющие радиус-вектора (т. е. %, у и 2)н р%, ру и Pz по формулам аналитической геометрии и подставить преобразованные величины в (4.19), то окажется, что составляющие МХ1 Му и Mz сами преобразовались по тем же формулам, как %, у и 2. Для этого надо воспользоваться известными

соотношениями для косинусов углов между старыми и новыми осями координат. Но если некоторые три равенства, в данном случае (4.19), сохраняют форму при поворотах координатной системы, то их можно объединить в одном векторном уравнении (4.18) (упр. 3).

Площадь параллелограмма равна rpsin а, где а —— угол между г и р. Произведение rsina есть длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к траектории, направление которой совпадает с р, Эта длина называется иногда «плечом》момента.

Векторное произведение обладает распределительным свойством, т. е.

[а, & + г] = [ab\ + [ас].

Следовательно, произведение векторных двучленов вычисляется по обычной формуле, но с учетом порядка сомножителей:

[« + &, c + d\ = [ac}-\-{bc] + {ad\-Y\bd].

Момент системы материальных точек. Момент системы материа〃ьнь【х точек определяется как сумма моментов всех отдельно взятых точек. При этом надо, конечно, брать радиус-векторы относительно общего для всех точек начала координат:

陷=± 亿П1・(4.20)

i — 1

Покажем, что момент системы можно разложить на момент относительного движения точек и момент системы как целого, подобно тому как это было сделано для кинетической энергии. Для этого надо представить радиус-вектор каждой точки как сумму радиус- вектора ее положения относительно центра инерции и радиус-вектора самого центра инерции; таким же способом надо разложить выражение для скорости частиц. Тогда момент преобразуется к виду:

^ [R + rh 恤衣+龙]=

^NNN

-£恤•仅内+廿[团川，川+ 士依w]+ £[也疥

i = 1/ = 1i = 1j = 1

Во второй и третьей суммах можно воспользоваться распределительным свойством векторного произведения и внести знак суммы под знак произведения. Но обе получившиеся суммы равны нулю по определению центра инерции. Для скоростей это было использовано в (4.15). Таким образом, момент системы материальных точек действительно равен сумме момента движения их центра инерции (/Мо) и момента относительного движения точек (М‘)：

(4.21)(4.21)м = [RP] + £ [尸/4 三倒о + ЛГ・

(4.21)

(4.21)

Проделаем эти преобразования отдельно для системы из двух точек. Для этого подставим гх и г2, выраженные из (3.14) через г и К, в (4.20). Получим:

М = [APJ + [尸202】=[R，Р1+А]+-^-4 ~ (他2 ["11 — 恤〔尸〃2】)・

Далее, заменим 0i на m^, р2 на m2r2 и рх + р2 на Р, после чего момент приводится к требуемому виду:

М = [RP]М = [RP](4.22)(4.22)

М = [RP]

М = [RP]

(4.22)

(4.22)

Здесь —1~~他1十m2Здесь —1~~他1十m2

Здесь —1~~

他1十m2

Здесь —1~~

他1十m2

г = тг = р —импульс относительного движения точек.

В него вошла приведенная масса т.

Покажем теперь, что определение момента относительного движения не зависит от выбора начала координат. В самом деле, если сместить начало координат, то все векторы 尸;изменяются на одно и то же слагаемое:尸：=г? + а. Соответственно момент oтнo^ сительного движения будет равен:

NNN

m = £丿依]=£%加十 £【0龙]=

i = 1i = 1i = 1

TV「 ％"1

=£【片川+。2阂=M\

•=1L / =-1 J

потому ЧТО ^pri=^ mir^ ='

Итак, начало координат при вычислении момента относительного движения можно поместить в любую точку.

Сохранение момента. Покажем теперь, что момент изолированной системы есть интеграл движения. Начнем с момента системы как целого. Его производная по времени равна нулю:

N

響=』麻]+仅*=0，

потому что 2 = 0 для всякой системы, на которую не действуют внешние силы, и依尸]=0, так как R направлено по Р.

Докажем, что сохраняется и момент относительного движения точек системы. Полная производная по времени от него равна:

NN

端=工日加+2卜少小(4.23)

Первое слагаемое справа в (4.23) обращается в нуль, потому что г； направлено по р；. Рассмотрим второе слагаемое. Напомним, что потенциальная энергия U зависит от абсолютных значений разностей всех координат: U = U (... |尸》——r^ •-)• Поэтому согласно

уравнениям движения можно записать, пользуясь формулами (3.1) и (3.2):

k W z

Здесь в правой части стоит сумма всех сил, действующих на f-тую точку со стороны всех остальных. Умножим полученное равенство векторно на 尸；и просуммируем по всем частицам. Слева будем иметь производную по времени от момента относительного движения системы, а справа ——двойную сумму по всем парам частиц. Частные производные войдут в эту сумму дважды:

тому что [rzrj = 0, [rkrk] = 0」尸》〃] = — \rkrX Таким 0, так что момент относительного движения точек той системы сохраняется.В следующем параграфе будет показано, что моменттому что [rzrj = 0, [rkrk] = 0」尸》〃] = — \rkrX Таким 0, так что момент относительного движения точек той системы сохраняется.В следующем параграфе будет показано, что моментобразом,замкну-образом,замкну-(или его(или егоот /-той и от 々-той частиц. При них будут стоять векторные множители [rz, Г/ —尸々]и [rk) rk—rj, которые в сумме равны нулю, по-

тому что [rzrj = 0, [rkrk] = 0」尸》〃] = — \rkrX Таким 0, так что момент относительного движения точек той системы сохраняется.

В следующем параграфе будет показано, что момент

тому что [rzrj = 0, [rkrk] = 0」尸》〃] = — \rkrX Таким 0, так что момент относительного движения точек той системы сохраняется.

В следующем параграфе будет показано, что момент

образом,замкну-

образом,замкну-

(или его

(или его

стдельные составляющие) может сохраняться и во внешнем поле, если оно обладает надлежащей симметрией.

Аддитивные интегралы движения замкнутой системы. Итак, мы показали,что замкнутая механическая система имеет следующие первые интегралы движения: энергию, три составляющих вектора импульса и три составляющих вектора момента. Импульс и момент всегда аддитивны, а энергия аддитивна только для невзаимодействующих частей системы.

Механическая энергия, относящаяся к макроскопическим степеням свободы тела как целого, сохраняется далеко не всегда. При наличии сил трения она передается в виде тепла микроскопическим, молекулярным степеням свободы. Импульс и момент в замкнутой механической системе сохраняются всегда. Первый из них связан с движением центра инерции системы, а второй ——с вращением вокруг центра инерции. Оба эти интеграла движения принадлежат макроскопическим, механическим степеням свободы.

Все другие механические интегралы движения (кроме интеграла центра инерции) находятся несравненно более сложным образом. Нельзя указать общее правило для их определения.

Семь аддитивных интегралов движения ——энергия, импульс и момент (семь потому, что импульс и момент — векторы) — выде> лены в том смысле, что их существование обусловлено симметрией относительно переносов и вращений. Действительно, симметрия функции Лагранжа относительно смещений по времени приводит к закону сохранения энергии. Симметрия относительно смещений в пространстве налагает на потенциальную энергию требование, чтобы она зависела только от разностей координат частиц. Благодаря этому движение центра инерции отделяется и сохраняется общий импульс системы. Сохранение момента относительного дви»

ження мы вывели из того, что в потенциальную энергию входят абсолютные величины разностей |尸力—— 尸〃|, что согласуется со свойством изотропии пространства. Из этого свойства можно вывести сохранение момента при менее ограничительных предположениях об U (см. § 5).

УПРАЖНЕНИЯ

Рассмотреть движение точки по циклоиде, лежащей в вертикальной плоскости, в поле тяжести.

Решение. Уравнение циклоиды в параметрической форме:

z = — R cos s,% = Rs 十 R sins.

Кинетическая энергия точки:

Т = ^ (产 + 尹)=2mR2 cos2 A s2.

Потенциальная энергия:

U = — mgR cos s.

Интеграл полной энергии:

E = 2m/?2cos2 专 s2 — mgR cos s = const.

Значение E можно определить, условливаясь, что при максимальном отклонении от нижней точки циклоиды, когда s =必,скорость s0 = 0, т. е. точка скатывается без начальной скорости. Следовательно,

Е = — mgR cos s0.

После разделения переменных и интегрирования получим:

t = RV 登t = RV 登s 」cos g ds五+ gRcosss 」cos g ds五+ gRcosscoscosY cos s — cos SoY cos s — cos So

t = RV 登

t = RV 登

s 」

cos g ds

五+ gRcoss

s 」

cos g ds

五+ gRcoss

cos

cos

Y cos s — cos So

Y cos s — cos So

Обозначая sin ^- = u, берем интеграл иОбозначая sin ^- = u, берем интеграл иподставляем пределы:подставляем пределы:

Обозначая sin ^- = u, берем интеграл и

Обозначая sin ^- = u, берем интеграл и

подставляем пределы:

подставляем пределы:

du с I К • 〃 一丿 --• = 2 1/ - arcsin — M % 一 "2 Pg "0

Чтобы найти полный период движения, надо взять интеграл в пределах от —а。до 〃о и удвоить результат. Это соответствует качанию точки из s = — s0 в s = So и назад, в положение s =—必.

Таким образом, период качания равен 2л ^^^ .Пока точка движется по Циклоиде, период ее не зависит от амплитуды s0 (циклоидальный маятник Гюйгенса). Как известно, период колебаний обычного маятника, описывающего дугу окружности, в общем случае зависит ог амплитуды (ср. (4.7)).-

Доказать, что точка, движущаяся по кривой в вертикальной плоскости, спускается из заданного верхнего положения в заданное нижнее положение за кратчайшее время, если кривая —— циклоида.

Решение. Пользуясь результатами, полученными в упражнении 2 к § 3, пишем интеграл энергии для точки, спускающейся по кривой;

七=号(川+ zO ^^ + mgz (s).

Отсюда время спуска определяется квадратурой:

/ _ 1 j由丿%*十z*MN J Uz (so) — z (s)・

Переходя в интеграле от независимой переменной s к переменной z, получаем:

Надо так определить % в зависимости от г, чтобы / имело экстремум. Аналогичную задачу мы рассматривали в связи с принципом Гамильтона, где надо было найти траекторию, которая отвечает наименьшему интегралу S. Для этого подынтегральная функция должна удовлетворять уравнению Лагранжа. Очевидно, что такое же уравнение можно написать и для решения настоящей задачи, считая независимой переменной %, зависимой ——х, а подынтегральную функцию взять из выражения для /. Так как зависимая переменная не входит в поды интегральное выражение явно, она является «циклической» и соответствующий «импульс», т. е. производная подынтегральной функции по dz ——постоянным. Обозначим

его—= . Тогда

Сделаем теперь следующую замену переменной:

2 — 2^ — R (1 -|-cos s), dz = Rsinsds. Это дает:

Переходя от z к s, легко находим:

dx = R (1 +cos s) ds, % = R(s + sins).

Чтобы получить написанное в предыдущем упражнении уравнение циклоиды, остается только взять 窃=R.

Полное время, за которое частица спускается из верхнего положения в нижнее, согласно упражнению 1 равно 一^ ~\^^ * При свободном падении с высоты 2R, равной высоте подъема циклоиды, время составляет 2 j/"^.

Показать, что векторное произведение, определенное формулами (4.19), при поворотах координат преобразуется как вектор.

Решение. Из аналитической геометрии известно, по каким формулам преобразуются составляющие вектора при повороте координат. Запишем эти формулы в компактном виде. Перенумеруем координаты х = х±, у ~ x2i z — х3. Косинус угла между новой осью а и старой осью В обозначим (а, 0). Тогда искомый вид формулы таков (по двойному значку ——суммирование!):

Ввиду симметрии между старыми и новыми координатами формулы обратного преобразования пишутся так:

州=必 3,0)，или % = % (0，a)■

Определитель преобразования равен единице. Это доказывается следующим способом. Как известно из анализа, элемент объема, когда производится преоб

разование координат, умножается на функциональный определитель, или яко

биан, 6」~~-~~^ . В данном случае якобиан совпадает с определителем пре- 01，%2，

образования, так как оно линейно. С другой стороны, поворот не может менять

сбьема, так что утверждение доказано.

Теперь образуем определитель обратного преобразования в общем виде. Известно, что коэффициент, стоящий на пересечении строки а и столбца В у обратного преобразования, есть минор соответствующего элемента в прямом пре

образовании, деленный на определитель, в данном случае на 1. Вместе с тем обратное преобразование выполняется с помощью тех же коэффициентов, но с переставленными значками. Выпишем теперь определитель в явном виде:

(3,1)(3,1)(1,1)(1,1)(2,1)(2,1)(3,2)(3,2)(1,3)(1,3)(2,3)(2,3)(3,3)(3,3)

(3,1)

(3,1)

(1,1)

(1,1)

(2,1)

(2,1)

(3,2)

(3,2)

(1,3)

(1,3)

(2,3)

(2,3)

(3,3)

(3,3)

строки с переставленными значками соот-строки с переставленными значками соот-Приравнивая элементы первой ветствующим минорам, получим:

строки с переставленными значками соот-

строки с переставленными значками соот-

(1,1)= (2,2)(2」)= (2,3)(3,1)= (2,1)(1,1)= (2,2)(2」)= (2,3)(3,1)= (2,1)(3,3) —(2,3) (3,2)

(1,1)= (2,2)

(2」)= (2,3)

(3,1)= (2,1)

(1,1)= (2,2)

(2」)= (2,3)

(3,1)= (2,1)

(3,1) - (2,1) (3,3)

(3,2) - (3,1) (2,2)

Возьмем теперь три единичных вектора, направленные по осям правовинтовой координатной системы (если вращать рукоятку штопора от % к у, он перемещается в такой системе по оси г). Такие векторы называются ортами. По определению векторного произведения должно выполняться равенство:

』1/矶

где орт » направлен по х, / — по у, Л — по z.

Чтобы равенство действительно имело место, оно должно выполняться не только в исходной системе координат. Проецируя орты на новые оси, убеждаемся, что полученные нами соотношения для косинусов углов между старыми и новыми осями обеспечивают справедливость равенства между векторами Z, /,总 во всех системах.

Так как любые два вектора можно разложить по ортам, а векторное произведение дистрибутивно (т. е. распределительно), векторное умножение всегда дает вектор. Заметим, что это в некотором смысле «случайное» свойство векторов в трехмерном пространстве, поскольку есть как раз три величины такого типа, как в правых частях (4.19).

§ 5. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Интеграл момента. Будем рассматривать движение Двух тел в системе отсчета, связанной с их центром инерции. В такой системе есть момент только относительного движения тел. Если не действуют внешние силы, то момент сохраняется. Радиус-вектор относительного положения частиц обозначим: г— гх ——r2, а соответствующий импульс есть

""十加2""十加2г = mv.г = mv.(5.1)(5.1)

""十加2

""十加2

г = mv.

г = mv.

(5.1)

(5.1)

Это соотношение пол удается из (3.17) путем дифференцирования функции Лагранжа частиц по г = ^； следовательно, в согласии с (4.22) находим:

Nl^\rp] = m [rr] = const. (5.2)

Если вектор постоянен, то постоянны все три его составляющие. Он сохраняет неизменной не только абсолютную величину, но и направление в пространстве. Но вектор относительного положения частиц г и вектор их относительной скорости г согласно (5.2) перпендикулярны неизменному направлению 7И. А так как все перпендикуляры, опущенные в одну и ту же точку прямой, лежат в одной плоскости, относительное движение частиц системы происходит в этой же плоскости. Вектор 尸，как видно из (5.2), лежит в той же плоскости, так что траектория ——плоская кривая.

При переходе к сферической системе координат целесообразно направить полярную ось по z. Тогда движение будет происходить в плоскости ху или О =号，sin 0 = 1, 8 = 0.

Потенциальная энергия системы двух материальных точек зависит только от расстояния между ними г, потому что это единственная скалярная величина, которую можно образовать, имея в своем распоряжении один вектор 厂.Согласно (3.11) функция Лагранжа для плоского движения при 仆=0, sin® = 1 равна:

l=多(；2 + 尸而2)一 u() (5.3)

где т ——приведенная масса.

Если одна из масс гораздо больше другой, она весьма близка к центру инерции и ее движение можно не рассматривать. В этом случае легкая частица (или система легких частиц) движется вокруг одной тяжелой, как планета в солнечной системе. При этом остается справедливым закон сохранения момента, но уже не относительно произвольной точки пространства, а только относительно центрального тела. Вывод о том, что траектории движущихся частиц плоские, верен и здесь, но только в том случае, если их взаимодействием можно пренебречь или если они с самого начала авигалнсь в одной плоскости.

Момент как обобщенный импульс. Покажем теперь, что составляющая момента MZi которая в выбранной координатной системе равна просто абсолютному значению М, есть не что иное, как 夕①=%, т. е. обобщенный импульс, отвечающий координате ф, или углу поворота вокруг оси %. Действительно, согласно (4.19), (3.8') и (3.8〃)момент М Mz равен:

М = хру — урх = mr cos 屮(厂 sin 屮 + 厂 cos 屮屮)一

—mr sin 屮(厂 cos ср — r sin 屮屮)=mr2 (sin2 屮十 cos2 屮)屮=mr2^.

С другой стороны, дифференцируя L по ф, находим:

Величина 攵 г2(р есть так называемая секториальная скорость, т. е. площадь, описываемая радиус-вектором материальной точки за единицу времени. Действительно, г ср есть основание треугольника, вершина которого находится в центре, аг — его высота. Разница между площадями этого треугольника и треугольника, созданного перемещением частицы, которое может быть не перпендикулярно радиусу, есть бесконечно малая величина второго порядка. Таким образом, закон сохранения момента, если истолковать его геометрически, выражает постоянство секториальной скорости при орбитальном движении материальной точки в поле центральных сил (второй закон Кеплера).

Соотношение М2 =「屮 позволяет по-новому объяснить сохранение момента замкнутой системы. Действительно, функция Лагранжа такой системы не может изменяться при повороте системы отсчета на произвольный угол вокруг произвольной оси в пространстве. Но тогда угол поворота является циклической координатой, и соответствующий обобщенный импульс сохраняется. А так как ось поворота произвольна, должны сохраняться все три составляющие момента замкнутой системы. Из этого рассуждения видно, что закон сохранения момента справедлив не только тогда, когда силы между точками действуют по линиям, их соединяющим (как принималось в § 4), но и в более общем случае. Непосредственное доказательство этого на основе уравнений движения несколько громоздко.

Исключение азимутальной составляющей скорости. Интеграл момента позволяет свести задачу о движении двух частиц (или задачу о движении одной частицы в центральном поле) к квадратурам. Для этого нужно выразить ср через момент и тем самым избавиться от лишней переменной величины, поскольку сам угол ср не входит в функцию Лагранжа. Каждая циклическая переменная может быть таким образом исключена.

Согласно (4.4) имеем прежде всего интеграл энергии:

(5・5)(5・5)

(5・5)

(5・5)

Исключая ср с помощью (5.4), получим:

£ =干 + 爲+ U(r)=const・(5.6)

Это дифференциальное уравнение первого порядка относительно г приводится к квадратуре. Но прежде всего покажем, как ис- с^едовать его графически.

Зависимость вида траектории от знака энергии. Для такого исследования надо сделать некоторые предположения о ходе потенциальной энергии.

Согласно (2.1) сила связана с потенциальной энергией соотношением:

尸患， U = \ F dr.

Верхний предел в интеграле может быть выбран произвольно. Если F обращается при бесконечном г в нуль быстрее, чем ；,

то интеграл \Fdr сходящийся. Тогда можно положить U (г)=

ОО

= ^F dr, или U(8)= 0. Иначе говоря, потенциальная энергия калибруется на нуль в бесконечности.

Кроме того, будем считать, что U(r) при г -> 0 возрастает не быстрее, чем ~, как, например, для ньютоновского притяжения,

где U = 一\^ 公一У.

Напишем теперь (5.6) так:

吟=£— U(「)・(5・7)

Левая часть этого равенства всегда положительна. При г -> оо последние два слагаемых обращаются в нуль. Поэтому, чтобы частицы вообще могли разойтись на бесконечно большое расстояние друг от друга, надо, чтобы их полная энергия была положительной, когда калибровка потенциальной энергии отвечает U(8)= 0. Следовательно, если две частицы сближаются, находясь сначала

бесконечно далеко одна от другой, их энергия по закону сохранения непременно положительна. Если она при сближении частиц не

будет передана какой-либо третьей частице, то, сблизившись, эти

частицы обязательно вновь разойдутся на бесконечное расстояние.

функциифункцииUm （厂）三畸+U（".Um （厂）三畸+U（".(5,8)(5,8)Задавшись определенным ходом U, можно построить график

функции

функции

Um （厂）三畸+U（".

Um （厂）三畸+U（".

(5,8)

(5,8)

Индекс М при U означает, что в потенциальную энергию включена «центробежная» энергия ^^ • Производная от этой величины по г, взятая с обратным знаком, равна 而.Если подставить М =优产ср, то получится обычное выражение для «центробежной» силы. Но в дальнейшем мы будем именовать «центробежной силой» механи- ческую величину другого происхождения (см. § 8).

Пусть U(r) V。и монотонно возрастает при изменении г от нуля до бесконечности. Следовательно, сила имеет отрицательный знак и яв~ ляется силой притяжения (поскольку 尸=—|^). Допустим, кроме того, что в

) М2 бесконечности | U(r) | > .

Это справедливо, например, для сил ньютоновского притяжения или для электростатических кулоновских сил между заряженными телами.

Резюмируем предположе

член, поэтому UM (г)стремится к нулю сочлен, поэтому UM (г)стремится к нулю сония, сделанные нами относительно U附(г): 1) при тг 0 преобладает центробежный

член, поэтому UM (г)

стремится к нулю со

член, поэтому UM (г)

стремится к нулю со

бесконечна и положительна;

при / f оо, где Q(厂)| > 原，u加⑺

стороны отрицательных значений.

Следовательно, кривая Um (厂)имеет вид, изображенный на рисунке 5. Со стороны малых значений г она убывает при удалении от нуля, как к , а приближаясь к большим значениям г, возрастает,

как ——у, подходя к оси г снизу. Где-то при средних значениях г,

кривая должна иметь минимум.

При взаимодействии заряженного тела с нейтральным (например, с атомом, не потерявшим ни одного электрона) U(r) убывает быстрее, чем «центробежная» энергия. Поэтому при больших рас* стояниях (7Л1(г) приближается к оси г с положительной стороны. Тогда кривая (7附(厂)сначала проходит через минимум, затем начинает возрастать и, только пройдя максимум, вновь убывает, стремясь к нулю при г -> оо. Это справедливо, если имеется область, где U(r) преобладает над «центробежной» энергией. В противном случае убывание идет монотонно.

На рисунке 5 можно отложить и полную энергию системы сближающихся частиц. Так как £ сохраняется при движении, график имеет вид горизонтальной прямой, лежащей выше или ниже оси абсцисс в зависимости от знака Е. При положительной энергии прямая Е — const лежит выше кривой 〃加(厂)везде правее точки Л. В этом случае разность £ —— U加⑺ положительна. Частицы, как бьуо указано, могут сблизиться из бесконечного удаления и разойтись бесконечно далеко. Такое движение называется инфинит- н”м. В случае ньютоновского притяжения ему отвечают, как мы Увидим ниже в этом параграфе, гиперболические орбиты.

При Е V 0, но выше минимума кривой 〃附(厂)，разность Е — * 2

——U附(厂)=г остается положительной только между точками В и В\ Следовательно, между соответствующими им двумя значениями радиуса заключена физически возможная область движения с данной отрицательной полной энергией. В этом случае движение называется финитным. Ему отвечают в случае ньютоновского притяжения эллиптические орбиты. При движении планеты вокруг Солнца точка В соответствует перигелию, точка Вг — афелию.

При Е = 0 движение инфинитно. По мере увеличения г скорость стремится к нулю, оставаясь положительной. В случае ньютоновского притяжения этому значению Е отвечают параболические орбиты.

Падение н а центр. Как видно из предыдущего рассмотрения, г не может уменьшиться до нуля из-за «центробежной» энергии. Только если частицы «нацелены» друг на друга, плечо момента обращается в нуль, так что Л1 = 0 и кривая (7Л1(г) заменяется кривой U(г). Тогда ничто не препятствует соударению частиц.

Рассмотрим теперь скорее воображаемый, чем реальный, случай, когда ——U(r) стремится при г -» 0 к бесконечности быстрее, чем }. При этом кривая Uмб отрицательна при всех г, близких к нулю. Согласно (5.7) г2 положительно при сколь угодно малых значениях г и стремится к бесконечности тогда, когда г -> 0. Но столкнуться прямо «в лоб» частицы не могут, потому что такое столкновение нарушило бы закон сохранения момента. Момент равен т ри①,где р ——плечо. Для того чтобы М сохранил заданное конечное значение при уменьшении плеча до сколь угодно малых значений, составляющая скорости г^, перпендикулярная радиусу, должна стремиться к бесконечности, как у. Тогда произведениг т р^ф, определяющее момент, остается конечным.

Таким образом, если Um = — 00 при г = 0, радиальная составляющая скорости стремится к нулю, а азимутальная ——к бесконечности. Траектория точки имеет вид спирали, навивающейся на притягивающий центр, но не достигающей его. Витки спирали уменьшаются, зато увеличивается скорость обращения. Но сила «центробежного» отталкивания не может остановить постепенного сближения частиц, которое происходит тем медленнее, чем меньше г.

При движении трех тел, притягивающихся по закону Ньютона, два из них могут столкнуться, даже если в начальный момент их движение и не было чисто радиальном. Действительно, сохраняется только полный момент относительного движения, а это не исключает столкновения двух тел.

Наконец, при силах отталкивания, стремящихся к бесконечности, когда г -> 0, падение на центр невозможно. Очевидно, что в этом случае движение только инфинитное.

Приведение к квадратуре. Найдем теперь уравнение траектории в общем виде. Для этого надо в (5,7) перейти от

дифференцирования по времени к дифференцированию по (р. Пользуясь (5.4), имеем:仙2

* = ~~дГ "屮•

Разделение переменных и переход к 屮 в (5.7) дают:

_ ｛丄dr

Как видно из равенства, угол ср положен равным нулю при г = г。. Будем считать, что это значение г отвечает точке А или В на рисунке 5, т. е. «перигелию». В этих точках г перестает уменьшаться, т. е. достигает минимума, и г = 0. Точка г = г0 определяется из уравнения (5.7):

e=薪+u(Г。)・6и)

Задача Кеплера. Уравнение (5.10) дает полное решение задачи о движении материальной точки в центральном поле. Ответ в виде квадратуры содержит начальные данные. Если они известны, то интегрирование тем или иным способом можно произвести. То обстоятельство, что квадратура может не выполняться в элементарных функциях, не так существенно.

Но, разумеется, если ответ получается в виде известной и хорошо изученной функции, он представляет специальный интерес, потому что легко поддается наглядному исследованию.

Простое решение в элементарных функциях может быть найдено только в немногих случаях. Один из них относится к центральным силам, убывающим обратно пропорционально квадрату расстояния. Этому закону подчиняются силы ньютоновского притяжения между материальными точками (или телами, обладающими сферической симметрией).

Задача о движении таких двух тел называется задачей Кеплера, так как он эмпирически установил для этого случая законы по имевшимся данным о перемещении планет на небесном своде. Впоследствии Ньютон теоретически вывел законы Кеплера из уравнений механики и закона тяготения как дополнительной гипотезы о силах взаимодействия. С этого вывода начинается систематическое развитие точного естествознания.

В настоящее время принято пользоваться термином «задача Кеплера» применительно к случаю любых сил, обратно пропорцио^ нальных квадрату расстояния между двумя движущимися точками, независимо от их природы и знака. Таким образом, кулоновское взаимодействие тоже относится к задаче Кеплера. Соответственно притяжению или отталкиванию между р ассм атр и в аемыми частиНами мы будем считать постоянную в силовом законе F = -^ и в "(「)= £ отрицательной или положительной.

то интегралто интегралЕсли заменить в (5.10)帝 на новую переменную х,

то интеграл

то интеграл

в задаче Кеплера сведется к виду:в задаче Кеплера сведется к виду:

в задаче Кеплера сведется к виду:

в задаче Кеплера сведется к виду:

Угол отсчитывается от перигелия против часовой стрелки (см. рис. 6 на стр. 55).

Подстановка нижнего предела интегрирования дает нуль. Это видно как из (5.10) соответственно выбору начала отсчета ср, так и прямо из написанного равенства. Действительно, когда подкоренное выражение становится равным нулю, под знаком arccos стоит единица, но arccos 1 = 0.

Обращая результат интегрирования и возвращаясь к переменной г, получим после простых преобразований:

財2

Эта формула справедлива при обоих знаках силовой постоянной а. Запишем ее для каждого знака а в отдельности. Сначала пусть а〉0, что соответствует силам отталкивания. Тогда, несколько преобразовав (5.12), получаем для траектории точки в силовом поле уравнение гиперболы:

Ее эксцентриситет равен I/ 1 + -而- и, следовательно, больше единицы. При 屮=0 знаменатель дроби имеет наибольшее значение, а г ——наименьшее (перигелий). По мере возрастания <р уменьшается cos ф и в некоторой точке знаменатель дроби обращается в нуль. При этом г стремится к бесконечности. Соответствующий угол (р0 задает направление асимптоты к гиперболе (см. рис. 6). Большие значения ср не имеют смысла, так как им отвечал бы отрицательный радиус-вектор частицы.

Для сил притяжения о<0 и из (5.12) имеем:

1+14о- • COS 屮та2 *1+14о- • COS 屮та2 *(5・12〃)(5・12〃)

1+14о- • COS 屮

та2 *

1+14о- • COS 屮

та2 *

(5・12〃)

(5・12〃)

Теперь в зависимости от знака энергии могут быть два вида траектории. При Е > 0 эксцентриситет кривой снова больше еди^

ницы, так что получается гиперболическая траектория. Но так как в знаменателе теперь знак «плюс», угол ср, при котором траектория уходит в бесконечность, больше ~. Это значит, что частица, летящая из бесконечности, отклоняется в сторону притягивающего центра и огибает его. Она заключает фокус кривой внутри асимптот, а гипербола на рисунке 6, изображенная для сил отталкивания, отвечает фокусу вне угла между асимптотами. Это обстоятельство вполне очевидно.

Если £ V 0, эксцентриситет меньше 1. Так как cos ср тоже всегда меньше 1, знаменатель в формуле (5.12") нигде не обращается в нуль и получается уравнение эллипса, ср — 0 отвечает перигелию, ср = л ——афелию.

УПРАЖНЕНИЯ

Точка с массой т летит к притягивающему центру, для которого выражение потенциальной энергии есть —. На бесконечном расстоянии от центра ско

рость летящей точки задана по величине и по направлению. Из центра параллельно этому направлению проведена прямая. Расстояние от этой прямой до траектории в бесконечности равно р. Определить, при каком значении р проходит раздел между траекториями, уходящими вновь в бесконечность, и такими, которые навиваются на центр.

Получить уравнение траектории, когда U= --~—, Е >0.

Ответ. Окружность или эллипс; в отличие от задачи Кеплера центр притяжения лежит в центре орбиты.

Доказать, что в задаче Кеплера имеется дополнительный интеграл движения, выражающийся в виде вектора:

Решение. Дифференцируем N по времени, после чего заменяем 附 на т [го] и mv на ——：

m=[6m]一竺+=上产一 土尸=ГГ3Г3「3

=—-^ [Г 卜叨]—^ (du — г (rw)) = 0.

Вектор N направлен от фокуса к перигелию и численно равен | а | е, где е — с。/ 12®Af2 1/2

эксцентриситет орбиты, т. е. е = ( 1~ /•

Существование постоянного вектора N тесно связано с формой силового закона в задаче Кеплера, где траектория имеет вид эллипса, неизменно ориентированного в пространстве. При всякой другой зависимости потенциальной энергии от расстояния (кроме случая, заданного в упр, 2) интеграл (5.10), вычисленный между двумя положениями максимального сближения притягивающихся частиц, не является простым кратным от 2 л (или от л, как в упр. 2). По край- Heil мере, простое кратное не получается при произвольных значениях интегралов £ и Л4. Но это значит, что в этом случае траектория не имеет вида зам-

кнутой кривой, т. е. «перигелий» поворачивается в пространстве. Соответственно траектория приобретает форму «розетки». Даже в задаче Кеплера, решенной не по формулам механики Ньютона, а по законам механики, к которым приводит теория относительности, вместо эллипса получается розетка (см. упр. 9 к § 14).

СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ

Значение задач о столкновениях частиц. Для того чтобы определить силы, действующие между частицами, надо изучить движение частиц, вызванное этими силами. Так с помощью законов Кеплера был установлен закон тяготения Ньютона. В этом случае силы были определены по финитному движению. Но можно воспользоваться и инфинитным движением, если каким- либо способом разогнать одну частицу до определенной скорости и заставить ее пролететь мимо другой частицы. Такой процесс называется столкновением частиц. При этом вовсе не предполагается, что частицы приходят в соприкосновение, как принято понимать слово «столкновение» в обыденной жизни.

Разумеется, не обязательно, чтобы налетающая частица была искусственно разогнана в ускорителе, она может быть получена при вылете из радиоактивного ядра или в результате ядерных реакций или может прилететь на Землю в составе космического излучения.

К задачам о столкновениях возможен двоякий подход.

Во-первых, могут быть заданы только скорости частиц задолго до столкновения, когда частицы еще не вступили во взаимодействие, и поставлена задача определить их скорости по величине и по направлению после того, как они перестанут взаимодействовать, т. е. разлетятся на бесконечное расстояние. Чтобы решить такую задачу, приходится задать какие-нибудь величины, характеризующие данное столкновение, например изменение энергии налетевшей частицы или ее угол отклонения. Тогда все остальные величины определяются с помощью законов сохранения. Таким образом, подводится только итог столкновения, без рассмотрения его детального хода.

Но возможна и другая постановка задачи: исходя из точно известного начального состояния частиц, требуется предвычислить их конечное состояние.

Сначала будем рассматривать задачи о столкновениях первым из указанных способов. Легко понять, почему, если заданы лишь начальные скорости частиц, столкновение не определено полностью: неизвестно, на каком расстоянии друг от друга пролетят частицы; ведь мы не знаем их начальных координат. Поэтому надо указать какую-нибудь величину, относящуюся к конечному состоянию системы. Обычно задача ставится так: заданы начальные скорости сталкивающихся частиц, а также направление одной из скоростей после столкновения; требуется определить все остальные величины после столкновения.

Если полная кинетическая энергия частиц до и после столкновения одна и та же или точно указано, на сколько она изменяется в результате столкновения, то поставленная задача решается однозначно. Неизвестными являются шесть величин ——шесть составляющих импульса обеих частиц. Законы сохранения дают четыре равенства: одно, соответствующее сохранению скалярной величины энергии (с учетом возможной потери ее, если столкновение неупругое) и три, выражающие сохранение векторной величины полного импульса.

Неупругим называется такое столкновение, когда часть кинетической энергии сталкивающихся частиц переходит к их внутренним степеням свободы. В этом случае надо включить в баланс энергии ту часть ее, которая «застряла» на внутренних степенях свободы, она должна быть указана заранее. Если кинетическая энергия сталкивающихся частиц остается неизменной, столкновение называется упругим.

Одна из величин, характеризующих состояние частиц после столкновения, обычно не интересна: речь идет о плоскости, в которой лежат импульсы разлетающихся частиц. Можно условно положить, что они разлетаются, например, в плоскости некоторого чертежа, где изображены оба конечных импульса. Таким образом, для шести искомых величин имеются четыре уравнения и одна произвольная плоскость. Поэтому надо задать еще какую-нибудь величину, характеризующую столкновение, например угол отклонения налетевшей частицы.

Существует еще более общий тип неупругих столкновений, при которых меняется не только внутренняя энергия частиц, но и их природа. Так происходит, например, при ядерных реакциях. Тогда необходимо указывать и массы получающихся частиц. Но этот случай, строго говоря, нельзя рассматривать в рамках ньютоновской механики, так как необходимо учитывать эквивалентность массы и энергии в соответствии с механикой эйнштейновской теории относительности (см. ч. II). Мы рассмотрим такие столкновения для случая, когда изменением полной массы можно пренебречь.

Лабораторная система отсчета и система центра инерции. Когда столкновения наблюдаются в лабораториях, одна из частиц обычно покоится до столкновения —— это частица мишени. Связанная с мишенью (и с лабораторией) система отсчета называется лабораторной. В этой системе сталкивающиеся частицы имеют общий импульс, равный импульсу налетающей частицы, импульс второй частицы в этой системе по определению равен нулю. Согласно закону сохранения импульса таким же суммарным импульсом должны обладать и разлетающиеся частицы.

Отсюда следует, что обе эти частицы обладают и кинетической энергией общего движения их центра инерции, которая определяйся формулой (3.17)——ее первым слагаемым справа. Таким образом, часть кинетической энергии налетающей частицы до столкно-

вения непременно должна быть сообщена центру инерции частиц после столкновения. Эта часть энергии не может быть затрачена полезно, если в результате столкновения должен был произойти некоторый акт превращения частиц, требующий затраты энергии. Поэтому часто пользуются системой отсчета, связанной с центром инерции частиц, короче — системой ц. и.

В этой системе суммарный импульс сталкивающихся частиц равен нулю: вначале они летят навстречу друг другу, а после столкновения разлетаются строго в противоположные стороны, в общем случае под некоторым углом к первоначальному направлению импульсов. В системе ц. и. вся энергия частиц до столкновения может быть затрачена на некоторый акт превращения. Очевидно, что в этом случае столкновение в наибольшей степени неупруго.

Скорость системы ц. и. относительно лабораторной системы отсчета согласно (3.12), если продифференцировать эту формулу по времени, равна:

V =皿/

—тх + т2

Здесь @0 ——скорость первой частицы относительно второй, 加1 ——масса первой частицы, т2 ——масса второй частицы, которая до столкновения покоилась, V ——искомая скорость системы ц. и. относительно лабораторной. Очевидно, что величина 0°, т. е. относительная скорость частиц, одинакова в обеих системах отсчета. Это справедливо до тех пор, пока можно пользоваться простым законом сложения скоростей, т. е. пока они малы по сравнению со скоростью света.

Общий случай не упругого столкновения. Скорость первой частицы относительно системы ц. и. по закону сложения скоростей равна:

缶， (6.2)

а скорость второй частицы в этой же системе:

Таким образом,加】出о + m2^2o — 0, как и должно быть в этой системе отсчета.

Согласно (3.17) кинетическая энергия частиц в системе ц. и. равна:

•(64)

Здесь приведенная масса снабжена индексом 0, потому что в результате ядер ной реакции она может измениться. Не привлекая соображений об эквивалентности массы и энергии, условимся просто, что в результате реакции освободится или поглотится некоторая энергия т. е. эта энергия перейдет из внутренней энергии (соответствующей внутренним степеням свободы) в кинетиче-

скую энергию частиц (Q〉0) или, наоборот, из кинетической энергии в энергию внутреннего состояния (Q V 0).

В случае ядерных реакций Q есть энергия, которая связана с перестройкой системы. То же самое относится к химическим реакциям, но следует отметить, что два атома, сталкиваясь, не могут превратиться в два других атома, а сталкивающиеся молекулы даже нельзя считать точками (существенно их строение). Столкновение нейтральных атомов может сопровождаться изменением их внутреннего энергетического состояния, и к этому случаю формулы, которые будут здесь выведены, применимы.

С учетом энергии Q закон сохранения энергии при столкновении надо писать так:

получившихсяполучившихся粤+ Q = *(6.5)

получившихся

получившихся

Здесь т = -^~~——приведенная масса частиц,

в результате столкновения, и — их относительная скорость.

Чтобы полностью задать параметры столкновения, будем считать известным направление вектора z; его абсолютная величина задана уравнением (6.5). Скорости каждой частицы в отдельности

равны:

30 m3 + 加4'40g + 加4 •30 m3 + 加4'40g + 加4 •(6.6)(6.6)

30 m3 + 加4'40g + 加4 •

30 m3 + 加4'40g + 加4 •

(6.6)

(6.6)

Они удовлетворяют требованию тз^зо + "厶④夠=0, т. е. закону сохранения импульса в системе центра инерции. Легко проверить, что выполняется и закон сохранения энергии, так как

加3%0 I_竺^

~~21— 丁.

Теперь нетрудно вернуться к лабораторной системе отсчета. Скорости частиц в этой системе будут равны:

330十 九3十仙1十加2，力

При ядерных реакциях изменение полной массы частиц составляет доли процента от нее, так что в формулах (6.7) можно заменить "% + 加4 на тг + т2. Таким образом, зная у, мы получаем полное решение поставленной задачи. Обычно направление вылетающих частиц связано с размещением детектирующего их прибора относительно мишени. Если при регистрации одновременно измеряется их энергия, то можно вычислить энергетический эффект реакции Q.

Упругие столкновения. Вычисления упрощаются, если столкновение упругое, т. е. Q = 0, и массы неизменны. Тогда

из (6.5) следует, что v0 = и, так что относительная скорость частиц не изменяется по величине. Пусть она поворачивается на угол % к первоначальному направлению. Направим ось % по и。и расположим ее в плоскости, определяемой векторами ®0 и и. Получим:

% = и0 cos X，% = 0。sin%.

Согласно (6.6) составляющие скорости частиц в лабораторной системе после столкновения соответственно будут:

(6.8)(6.9)(6.8)(6.9)—(加i + w cos%) и。 __ 晔七 sin % .

(6.8)

(6.9)

(6.8)

(6.9)

—他1 + m2， ly —— mt + m2 1

—恤(1—cos %) и。 —m^ sin x

:一 m1Jrm2 ， 2y — 20y —m14~m2 *

По этим формулам можно выразить угол отклонения первой частицы при столкновении, измеренный в лабораторной системе, через угол поворота относительной скорости в системе ц. и.:

(6.10)(6.10)vly m2 sin %tg 0 ——=；.

(6.10)

(6.10)

% m1 + m2 cos%

Вторая частица, которая в лабораторной системе первоначально покоилась, после столкновения будет иметь скорость, направление которой определяется так:

設= T^ = ctg% ®，=(6.11)

Угол ❷'берется по отношению к оси х. Знак «минус» в определении tg ❷‘ выбран потому, что проекции vly и и2y обратны по знакам.

Формула (6.10) становится еще проще, если массы сталкивающихся частиц равны. Это осуществляется, например, при столкновении двух протонов или приближенно при столкновении нейтрона с протоном. Из (6.10) получаем:

tg@ = tg^, I，&=可，©+©^|,tg@ = tg^, I，&=可，©+©^|,(6.12)(6.12)

tg@ = tg^, I，

&=可，©+©^|,

tg@ = tg^, I，

&=可，©+©^|,

(6.12)

(6.12)

так что частицы разлетаются под прямым углом, а угол отклонения нейтрона в лабораторной системе равен половине угла его отклонения в системе ц. и. Так как последний меняется от 0 до 180°, @ не превосходит 90°. Это ясно без вычислений, так как массы частиц равны. При лобовом соударении налетевшая частица останавливается, а покоившаяся летит прямо вперед со скоростью налетевшей. Так получается потому, что при ударе «в лоб» в системе ц. и. частицы с одинаковой массой просто обмениваются скоростями. В лабораторной системе отсчета вторая частица, таким образом,

получает первоначальную скорость первой, а первая останавливается, как и утверждалось.

Найдем теперь величину кинетической энергии, переданной второй частице при столкновении. Начнем со случая разных масс. По формулам (6.9) находим:

долюдолюПо отношению к энергии Ео падающей частицы это составляет

долю

долю

(6.13)(6.13)七2 = 2ml (1 — cos %)

(6.13)

(6.13)

一恤+加2

Для частиц равной массы отсюда получается: ~ = sin2 g = = sin2@. Соответственно у первой частицы остается: ^=cos2 О. При лобовом столкновении / = 180°, 0 = 90°, £\ = 0, £2 ^о» как уже было доказано.

Задача о рассеянии частиц. Рассмотрим задачу о столкновении более детально. Ограничимся случаем упругого столкновения, которое удобно изучать в системе центра инерции. Переход к лабораторной системе по формулам (6.7) производится непосредственно.

Г，_ /句Г，_ /句Очевидно, что для полного решения задачи о столкновении частиц надо знать потенциальную энергию их взаимодействия (7(г) и задать начальные условия так, чтобы можно было определить все интегралы движения. Интеграл энергии легко найти, если вспомнить, что U калибрована на нуль в бесконечности (U(oo) = 0). Обозначая относительную скорость частиц при бесконечном удалении их друг от друга буквой и, получим величину интеграла энер* гии:

Г，_ /句

Г，_ /句

(6.14)

Найдем теперь интеграл момента. На рисунке 6, относящемся к силам отталкивания, представлено движение первой частицы относительно второй. Траектория этой частицы на бесконечно боль

Рис. 6Рис. 6шом расстоянии от другой частицы прямолинейна, потому что силы там обращаются в нуль. Следовательно, траектория имеет асимптоты как при сближении (прямая AF)f так и при удалении (прямая FB) частиц. Расстояние р асимптоты AF от прямой ОС, проведенной через вторую точку параллельно этой асимптоте, называется приЦельным расстоянием. Это есть не

Рис. 6

Рис. 6

что иное, как «плечо» р момента при бесконечном расстоянии между частицами. Отсюда видно, что момент равен:

М = mvp.(6.15)

Масса в формулах (6.14) и (6.15) приведенная.

Зная интегралы энергии и момента, можно вычислить угол отклонения первой частицы. Из рисунка 6 видно, что этот угол связан с углом 2(р0 между асимптотами простым соотношением % = л ——2q?0. В свою очередь(р0 вычисляется с помощью квадратуры по формуле (5.10), где верхний предел берется равным бесконечности:

(6.16)(6.16)dr

(6.16)

(6.16)

г2 m

Сюда уже поаставлень】 интегралы момента и энергии согласно (6.15) и (6.14). Нижний предел вычисляется по уравнению (5.11).

Дифференциальный эффективный поперечник рассеяния. Предположим, что квадратура (6.16) выполнена. Тогда 屮。，а следовательно, и угол отклонения % известны как функции прицельного расстояния р. Пусть эта функция обращена, т. е. получено прицельное расстояние как функция угла отклонения:

Р = Р(Х)・ (6.17)

В опытах со столкновениями частиц прицельное расстояние фактически никогда заранее не известно: на какое-то вещество, атомы или ядра которого являются рассеивателями, посылается параллельный пучок рассеивающихся частиц с одинаковой скоростью. Наблюдается распределение частиц по углам отклонения %, или, точнее, по углам отклонения 0 в лабораторной системе. Следовательно, акт рассеяния наблюдается как бы очень много раз подряд с самыми различными прицельными расстояниями.

Пусть через квадратный сантиметр рассеивающего вещества проходит одна частица. Тогда в кольце, заключенном между р и р + dp, проходит 2npdp частиц. Таким образом, мы классифицируем столкновения по прицельным расстояниям, подобно тому как это делается в тире с помощью систсмн концентрических колец на мишени. Если известно р в его зависимости от %, то можно утверждать, что на угол, заключенный между % и % 十 d%, отклонится do 三 2лр dp = 2np ^ dy частиц. Зависимость р (%) определяется уравнением (6.17).

Предположим, что рассеянные частицы как-то регистрируются на большом расстоянии от рассеивателя. Тогда последний можно рассматривать как точечный и считать, что частицы после рассеяния движутся по прямолинейным траекториям, выходящим из общего центра. Рассмотрим те частицы, которые движутся в про-

странстве между двумя конусами, имеющими общую вершину и общую ось. Направление оси совпадает с направлением падающих частиц. Половина угла раствора внутреннего конуса равна %, а внешнего / + d/ (рис. 7).

Заключенная между двумя конусами часть пространства называется телесным углом, по аналогии с плоским углом, который определяется как часть плоскости между двумя лучами. Мера плоского угла — часть окружности единичного радиуса, описанной из вершины

угла, а мера телесного угла — часть по

верхности сферы единичного' радиуса, описанной из вершины ко

нуса, заключенная внутри конуса.

На рисунке 7 элемент телесного угла представлен как часть поверхности сферы, покрываемая элементом дуги d% при вращении вокруг радиуса ОС. Так как ОС = 1, радиус вращения элемента d% равен sin %. Следовательно, покрываемая им поверхность сферы равна 2n sin %d%. Итак, элемент телесного угла есть

(6.18)(6.18)JQ = 2л sin х^Х-

(6.18)

(6.18)

Переходя от элемента угла d% к элементу телесного угла dQ,

нии в элемент телесногонии в элемент телесногоугла:угла:можем записать выражение для.числа частиц, попавших при рассея

нии в элемент телесного

нии в элемент телесного

угла:

угла:

(6.19)(6.19)丿 dp dQd(y = р 丁【—・

(6.19)

(6.19)

1 耿 sin %

Величина do имеет размерность площади. Это есть та площадь, на которую должна упасть частица, чтобы рассеяться в элемент телесного угла dR. Ее называют дифференциальным эффективным поперечником рассеяния в элемент телесного угла dQ.

На опыте определяют именно эту величину, регистрируя частицы, отклоненные под различными углами. Если в единице объема рассеивающего вещества заключено п рассеивателей, то ослабление первичного параллельного пучка при прохождении единицы толщины вещества за счет рассеяния в элемент телесного угда d<2 составит:

dJ = — Jndo =—丿几p ^ 4^ частиц/см • сек.

Изучая зависимость do от %, находят, как прицельное расстоя- н“е зависит от угла отклонения, а это позволяет сделать заключе- нне о характере сил, действующих между частицей и рассеивающим Центром.

Формула Резерфорда. Наиболее важное применение формулы (6.19) относится к рассеянию частиц кулоновым полем. Ьуаем считать рассеиватель имеющим очень большую массу по

сравнению с рассеивающейся заряженной частицей. Тогда лабораторная система отсчета мало отличается от системы ц. и., и приведенная масса близка к массе легкого партнера столкновения (см. (3.21)). Как указывалось в § 3, кулоновский потенциал убывает с увеличением расстояния по закону у, как и потенциал ньютоновского тяготения. Следовательно, угол отклонения можно вычислить по формулам (5.12') и (5.12〃)，смотря по тому, какие силы действуют между частицами: притяжения или отталкивания.

Пусть заряд рассеивателя Ze, а рассеивающейся частицы 士 с. Тогда силовая постоянная а равна 士 Ze?. Сталкивающиеся частицы находятся на бесконечном расстоянии, когда знаменатель в формулах (5.12') и (5.12") обращается в нуль, т. е. когда

, 1 4 j 广 2М2Е 心

cos ср。= ± —尸二二二二, или tg ср。= I/ —. (6.20) У 1 十 та2

Так как для определения дифференциального эффективного поперечника рассеяния важна только абсолютная величина угла отклонения, мы выбрали для тангенса один знак. На рисунке 6 различные знаки а отвечали бы отклонению частицы вверх или вниз в плоскости чертежа, что в данном случае безразлично.

Определяя интегралы движения по формулам (6.14) и (6.15) и вспоминая, что % =冗——2屮°, находим прицельное расстояние как функцию угла отклонения:

р = (a/mv2) ctg ^.

Поскольку в рассматриваемом случае система ц. и. близка к лабораторной системе, можно заменить % на @, т. е. на угол отклонения частицы в лабораторной системе. Составляем теперь формулу дифференциального эффективного поперечника рассеяния в лабораторной системе согласно общему определению (6.19):

do =do =Z2m dQ4m2^40Z2m dQ4m2^40(6.21)(6.21)

do =

do =

Z2m dQ

4m2^40

Z2m dQ

4m2^40

(6.21)

(6.21)

Число частиц, рассеивающихся в элемент телесного угла dQ = 2n sin0d0, обратно пропорционально четвертой степени синуса половины угла отклонения. Этот закон однозначно связан с кулоновским характером сил рассеяния. Чем больше угол отклонения, тем меньше прицельное расстояние.

Резерфорд проследил закон (6.21) для рассеяния альфа-частиц на тяжелых ядрах вплоть до очень малых прицельных расстояний. При прицельных расстояниях порядка 8-10-13 см рассеяние частиц начинает следовать иному закону. Отсюда Резерфорд заключил, что весь положительный заряд атома сосредоточен в его центре, так как размер атома около 10~8 см. Там же находится и почти вся масса атома. В противном случае альфа-частица не могла бы рас-

свиваться под большими углами, отклоняясь почти в обратном первоначальному направлении. Таким образом, опыты по рассеянию альфа-частиц привели Резерфорда к открытию атомного ядра.

Если сталкивающиеся частицы близки по массе, то надо в формулу (6.21) подставить угол отклонения % в системе ц. и. вместо угла © и заменить массу легкого партнера на приведенную массу. После этого можно перейти к лабораторной системе отсчета по формулам (6.10) и (6.11).

Формула Резерфорда получает любопытное видоизменение, если сталкиваются две тождественные частицы, например альфа-частица рассеивается на ядре гелия (это, как известно, одинаковые частицы). Никакой метод регистрации частиц не может отличить одну альфа- частицу от другой. Если некоторая частица зарегистрирована, то невозможно узнать, покоилась ли она до столкновения или налетела на покоящуюся. Поэтому в выражении для do надо учесть все частицы, если желательно получить формулу, пригодную для сравнения с опытом.

Из формул (6.12) следует, что для перехода от системы ц. и. к лабораторной при столкновении одинаковых частиц надо заменить % на 20. Тогда sin %d% = 2 sin 20d0. Кроме того, следует учесть, что частицы в лабораторной системе разлетаются под прямым углом, так что sin 0' = cos 0. Заменяя еще истинную массу т на приведенную ^ =芽，получим выражение для дифференциального эффективного поперечника рассеяния друг на друге двух тождественных частиц, взаимодействующих по закону Кулона:

而=喘(彰+熊卜e20^0. (6.22)

Изотропное рассеяние. Как видно из формулы (6.21), рассеяние имеет резко выраженный максимум для малых углов отклонения. Этот максимум связан с большими прицельными расстояниями: пролетающие на таких расстояниях частицы отклоняются слабо, а большие расстояния преобладают в выражении Для эффективного поперечника, так как на них приходится большая площадь. Поэтому, если силы взаимодействия между частицами не обращаются в нуль тождественно уже на конечных расстояниях, •любая частица, как бы далеко она ни пролетала от рассеивателя, несколько отклонится. Отношение ^ тогда непременно будет стремиться к бесконечности при малых углах отклонения.

Но если сила на больших расстояниях не равна строго нулю, а очень близка к нему, т. е. убывает по быстро спадающему закону, то и дифференциальный эффективный поперечник рассеяния начинает заметно возрастать, стремясь к бесконечности, только при са- мнх малых углах отклонения. Однако слабо отклонившиеся частицы вообще не регистрируются на опыте как отклоненные. Действи- те力ьно, некоторым разбросом направлений обладает уже исходный

пучок частиц. Поэтому при наблюдении нельзя учесть такие углы отклонения, которые лежат в пределах углового расхождения исходного пучка частиц.

Если сила очень быстро убывает с увеличением расстояния, то область резкого возрастания -^ в зависимости от угла % может прийтись на столь малые углы, что их нельзя будет определить на опыте как углы отклонения, т. е. выделить из первичного пучка. Зато все сильно отклоненные частицы распределятся по углам рассеяния тем равномернее, чем быстрее силы убывают с расстоянием.

Это показано на примере рассеяния частиц непроницаемой сферой (упр. 1). Действующую при этом силу можно рассматривать как предельный случай силового центра, отталкивающего частицу по закону U (广)=О。(})", при п, стремящемся к бесконечности. Если г с г0, то U(r) f оо, а если 厂 > %, то U(r) -> 0. Иными словами, при 〃 f оо частица не может проникнуть в область, где г > г。，что и соответствует непроницаемой сфере. Но, как видно из упражнения 1, при п = g рассеяние совершенно изотропно. Если п не бесконечно, но достаточно велико, частицы распределены почти изотропно по всем углам, и только при малых углах отклонения выступает резкий максимум, уходящий в бесконечность при стремлении угла отклонения к нулю. Следовательно, закон рассеяния, близкий к изотропному, указывает на быстрое спадание сил с увеличением расстояния. Это обстоятельство сыграло важную роль при изучении ядерных сил.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти дифференциальный эффективный поперечник рассеяния частиц непроницаемой сферой радиуса %.

Решение. Непроницаемую сферу можно описать на языке механики, задавая потенциальную энергию в виде U (г) = 0 при г > г0 (т. е. вне сферы) и U(r) = оо при г W 分.(т. е. внутри сферы). Тогда, какой бы ни была кинетическая энергия частицы, проникновение ее в область г < г0 невозможно.

Отражение от сферы происходит следующим образом. Радиальная компонента импульса изменяет знак на обратный, а касательная компонента сохраняется, так как при радиальной симметрии потенциала не может быть сил, перпендикулярных радиусу. Абсолютная величина импульса сохраняется, поскольку столкновение упругое и кинетическая энергия не изменяется. Простое построение показывает, что прицельное расстояние связано с углом отклонения зависимостью

p = r°cos -3

если р < г0. Отсюда по общей формуле получается:

4

так что рассеяние происходит равномерно по всем углам, т. е. изотропно. Полный эффективный поперечник рассеяния о равен в этом случае 冗容，как и следовало ожидать. Здесь сказалось то обстоятельство, что силы взаимодействия тождественно обращаются в нуль на конечном расстоянии.

Наблюдается столкновение частиц с массами mr и т2, причем тх относится к налетевшей частице. В результате столкновения получаются частицы, импульсы которых образуют с импульсом налетевшей частицы углы <р и 屮.Определить энергию Q, на величину которой изменяется полная кинетическая энергия сталкивающихся частиц. Рассмотреть два случая: а) после столкновения получаются частицы с такими же массами т】и 加2 и 6) с другими массами т^ 力击 в сумме равными 恤十 m2.

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В § 4 рассматривались колебания маятника. Было указано, что они совершаются по сложному закону, который нельзя описать с помощью элементарных функций. Но в предельном случае очень малых углов отклонения маятника от вертикали положение упрощается. Возникающий тип движения, называемый малыми колебаниями, весьма важен в приложениях механики и с той или иной степенью приближения очень широко- распространен в природе и в технике. Поэтому теория малых колебаний выделена в особый параграф.

Малые колебания маятника. Простое графическое исследование показывает, что движение маятника периодическое в самом общем случае. На рисунке 8 изображена кривая U((p) = mgl (1 ——cos ф), дающая зависимость потенциальной энергии от угла отклонения. Горизонтальная прямая отвечает некоторому постоянному значению Е. Если Е < 2mgI, движение происходит между точками ——ф0 и (р0 и периодично по времени.

Задача очень упрощается, если 屮о《1, т. е. угол мал по сравнению с радианом. Тогда cos 屮° можно заменить его разложением в ряд Тейлора, ограничиваясь вторым членом: cos(р0 = 1 ——у. Так как |(р| с(р0, то же разложение справедливо для cos ф. После этого интеграл (4.7) легко вычислить:

-4=-^l/^arccosi.(7.1)

1g J 了叫一屮2卜g ФО

Фо

Решая (7.1) относительно ср, получаем угол отклонения как функцию времени:

屮=(Ро cos jZ手九(7.2)

Получилась периодическая функция. Как видно из (7.2), угол отклонения возвращается к своему первоначальному значению за время t = 2л Г g. Этот отрезок времени называется периодом ко- ^баний. Величина ^Л，- называется частотой колебаний:

з 三 |/ р.(7.3)

Это есть число радианов в секунду, на которое изменяется аргумент косинуса в (7.2). Частотой называют также число периодов колебаний в секунду, при таком определении она в 2л раз меньше з. Период колебаний т связан с со соотношением т = =^. Существенно, что период и частота малых колебаний не зависят от их амплитуды(р0.

Общая задача о малых колебаниях с одной сте

пенью свободы. Для того чтобы решить задачу о малых колебаниях, не нужно сначала приводить к квадратуре задачу о произвольных колебаниях. Можно заранее упростить функцию Лагранжа.

Прежде всего заметим, что колебания ——большие и малые — всегда совершаются около положения равновесия (так, маятник колеблется около вертикального положения). При отклонениях от устойчивого равновесия на систему действует сила, направленная в сторону, противоположную отклонению при любом его знаке. Такая сила называется возвращающей. В точке равновесия сила,

очевидно, равна нулю, просто по определению того, что такое «равновесие».

(7.4)(7.4)Сила равна производной от потенциальной энергии, взятой с обратным знаком. Будем брать производную по обобщенной координате. Тогда условие равновесия выглядит так:

(7.4)

(7.4)

Обозначим решение этого уравнения q = ^0. Предполагая, что система имеет только одну степень свободы, разложим [/(g) в ряд Тейлора вблизи точки q° до квадратичного члена включительно: U 0) = U仇)+爲少承一 9。)+ 4"券)『m-%)2+…・(7方)

Член, линейный относительно (7 — ^0), исчезает согласно (7.4). Обозначим 卜буквой 0. Тогда, ограничиваясь указанными членами ряда, получим:

u(q) = UQ)+£(q — %)2.(7.6)

Сила вблизи положения равновесия равна:

尸（9）=- 丽=—0 （q 一牝3（7・7）

Для того чтобы сила была возвращающей, т. е. чтобы равновесие было устойчивым, должно иметь место неравенство:

(7・8)(7・8)Ui

(7・8)

(7・8)

Это есть условие устойчивости равновесия: функция U (д) должна возрастать по обе стороны от точки q = ^0. Следовательно, в этой точке потенциальная энергия имеет минимум, как видно, в частности, на рисунке 8 при 屮=0.

Рассмотрим теперь выражение для кинетической энергии. Если в общую формулу для кинетической энергии подставить % = % (д), у = у(7), 2 = 2 (д), то Т приведется к виду:

Т = ^^ + у^ + ^=^ 端2 + (符 + 幫产

(7.9)(7.9)Величина в квадратной скобке зависит только от q, поэтому кинетическая энергия точки может быть представлена как

(7.9)

(7.9)

Разложим функцию а (д) в ряд по q ——^0 вблизи положения равновесия, тогда

7=争e篇)……可十

Для того чтобы точка не могла «с разгона» отойти далеко от положения равновесия, ее скорость должна быть малой величиной. Иначе говоря, уже нулевой член разложения кинетической энергии /а(67а) @2 \

)при малых колебаниях имеет тот же порядок малости, что и второй член разложения U, т. е. Р(，~^-®)：. При q = q^ энергия колебаний кинетическая, а в крайнем положении, т. е. при максимальном отклонении от равновесия, вся энергия потенциальная. Но так как полная энергия одна и та же во всех точках, надэ считать, что потенциальная и кинетическая энергии имеют один 0 тот же порядок величины, причем это относится, как всегда при оценках, к старшим, т. е. наибольшим членам разложения Т и U. Следовательно, дальнейшими членами в первом приближении можно пренебречь, если они по каким-либо причинам не представляют специального интереса. Дальше (после того как из уравнений дви- ^ения определится явная зависимость q от времени) будет показано, "то средние значения U н Т равны.

В дальнейшем будем отсчитывать координату q от положения Равновесия, т. е. примем qQ = 0. Тогда, отбрасывая постоянный "〃ен Ug в функции Лагранжа, запишем ее так:

厶а (0)4— 図2. (7.10)

Отсюда получается уравнение Лагранжа:

ОбозначаяОбозначаяа(0" + М = 0・а(0" + М = 0・(7・11)(7・11)(7.12)(7.12)

Обозначая

Обозначая

а(0" + М = 0・

а(0" + М = 0・

(7・11)

(7・11)

(7.12)

(7.12)

приводим (7.11) к обычному виду уравнения колебаний:

С + со2g = 0.(7.13)

Общее решение этого уравнения должно содержать две произвольные постоянные. Его можно записать в следующих формах:

(7.14а) (7.146) (7Л4в)(7.14а) (7.146) (7Л4в)q = С* cos со/ + С2 sin st,q = Ccos (со/+ 丫)，

(7.14а) (7.146) (7Л4в)

(7.14а) (7.146) (7Л4в)

q = Re {C'e叫.

Символ Re { } означает действительную часть от выражения, стоящего в скобках. Постоянная С' в фигурных скобках комплексная: С' = С\ ——/С2. Постоянные С и у в решении (7.14 б) называются амплитудой и начальной фазой колебания, они связаны с С± и С2 известными формулами:

С = ]/ёПР, Y = -arctg^.

Если нас интересует только частота малых колебаний, а не фаза и амплитуда, достаточно воспользоваться формулой (7.12), убедившись, что вторая производная ^^^^ положительна.

Система, подчиняющаяся уравнению (7.13), называется линейным гармоническим осциллятором.

Из формул (7.10), (7.12) и (7.14 б) видно, что средние значения кинетической и потенциальной энергии за один период одинаковы, потому что средний квадрат синуса и косинуса равен %:

sin2®f + Y)= ^ \ sin2®/ + Y)df = ^, cos2 ((о^ + у) = 1, о

T = U =』B0) 32c2 = ^ 0c2.

Малые колебания с двумя и многими степенями свободы. Перейдем теперь к колебаниям с двумя степенями свободы. Для примера возьмем сначала рассмотренный в § 3 двойной маятник. Если ограничиться малыми колебаниями, то надо считать, что отклонения 屮 н 巾 близки к нулю, т. е. маятник колеблется с малым размахом вблизи вертикали. Тогда в выражение кинетической энергии в (3.23) следует подставить равновесные значения 屮=屮=0, cos (屮一屮)=1. Формулу потенциальной энергии надо упростить так же, как в задаче о простом маятнике,

т. е. заменить cosф и costp на 1 —у и 1 —у- Отбрасывая постоянные члены, получаем функцию Лагранжа в таком виде:

l=胃红/2& +号/渺+ m^ 一叱卢鱼联-吟帥2.(7.i5)

Рассмотрим ее в несколько более общей форме:

^ = у 31m；+ 2a12仇％ + &а凭)-

-y (0口研 + 2В上2%g2 + 022柒)一u(0)，(7.16)

или (с учетом условия о суммировании), опуская постоянное слагаемое, запишем так:

Lu^ay/v代—1~ 0卩*宓(7.16)

В таком виде она относится к системе с произвольным числом колебательных степеней свободы.

Сравнивая (7.15) и (7.16), получим значения коэффициентов ^ и p^v для случая двойного маятника:

«и = (m + т。％ а12 = 〃厶/厶， а22 = ^嗇，

011 =(加 + ^l) /g, 012 =。，022 =他1/百。

To, что р12 = 0, не вносит в задачу никаких упрощений.

Коэффициенты ри, В】？ и 022 в общем случае выражаются формулами:

"黑，3(叙。，『第，

где в производные подставлены равновесные значения, которые следует определять из уравнений, аналогичных (7.4):

ди而1ди而1=0,=0,丝一0丝一0илиили(7.17)(7.17)

ди

而1

ди

而1

=0,

=0,

丝一0

丝一0

или

или

(7.17)

(7.17)

Чтобы равновесие было устойчивым, надо потребовать выполнения такого неравенства:

U (д) — U (0) = 4 (₽ii7i + 2阮2%q? + 网2淌 > 0.

При этом условии U (д) имеет минимум в точке % = 0, % = 0・ Перепишем правую часть неравенства в тождественной форме: T(阮1負+ 2612%% + Р22董)=烁(% +欝: +心嘴『隔，〃 Зто выражение остается положительным при всех значениях «】 н «2， если коэффициенты при обеих квадратичных относительно 9 величинах больше нуля:

₽11>0；阮止22—隔 >0・(7.18)

з Компанееи А. С,65

Полученные неравенства легко обобщить на случай произвольного числа степеней свободы. Для этого надо записать коэффициенты 卩3 в виде квадратной таблицы:

(7.19)

Тогда методом индукции можно заключить, что все определители, у которых главная диагональ совпадает с главной диагональю таблицы (7.19), должны быть положительны, чтобы квадратичная форма 611VgM夕丫 при всех 夕卩,qv оставалась больше нуля (доказательство имеется в любом курсе высшей алгебры). В таблице (7.19) эти определители отчеркнуты снизу и справа. Что касается квадратичной формы для кинетической энергии, то здесь положительность автоматически обеспечена исходным выражением, записанным в декартовых координатах. В дальнейшем всегда будем считать, что условия (7.19) выполнены.

顿「小"， 篇=-生心.](7.20)顿「小"， 篇=-生心.](7.20)Напишем теперь уравнения Лагранжа:

顿「小"， 篇=-生心.

](7.20)

顿「小"， 篇=-生心.

](7.20)

dL . .dL ..

0员 ~ %1仇十a1242，^^ = a12^1 十 а22^2>

* = — Bn% — 012%， 工=—В?% — 022%， Отсюда

а1171 + «12% + 011% + 012% = 0，

«12% + «22% + 012% + 022夕2 =。，

или в общей форме (при любом числе степеней свободы):

%v7v + Mv^0-(7・20')

Чтобы удовлетворить этим уравнениям, надо искать решение в виде

外= 4е” q^A^\ q^A^.(7.21)

От решений надо взять действительную часть, как в (7.14 в).

Уравнение для частот. Подставляя (7.21) в (7.20) и сокращая на е心'，получим уравнения, связывающие между собой 4 и Л2：

(Ри ~~ ^i^2) 4 + (Pi2 ~ 也屮)儿=0, I (7 22) (012 — %2叫 4+(022 —紘炉)#2 = °，/

или в общем случае:

(生"一炉%^4三0.(7.22‘)

Чтобы система линейных однородных уравнений имела решение, отличное от нуля, должен обращаться в нуль определитель, составленный из коэффициентов:

Pii - аu* 瓦2 -电炉Р12 — «12 ⑴ 2, §22 — «22 ⑴ 2Pii - аu* 瓦2 -电炉Р12 — «12 ⑴ 2, §22 — «22 ⑴ 2=0, или丨区"一炉""|=0.=0, или丨区"一炉""|=0.(7.23)(7.23)

Pii - аu* 瓦2 -电炉

Р12 — «12 ⑴ 2, §22 — «22 ⑴ 2

Pii - аu* 瓦2 -电炉

Р12 — «12 ⑴ 2, §22 — «22 ⑴ 2

=0, или丨区"一炉""|=0.

=0, или丨区"一炉""|=0.

(7.23)

(7.23)

Применительно к (7.22) отсюда получается биквадратное уравнение:

(апа22 -咻)^4-(Риа22 + 限出］一 2612al2)^2 +

+仇亦22-俄2 = 0.(7.24)

Например, для двойного маятника уравнение (7.24) выглядит так:

тт^Ч}^ — (т + 恤)п111kq + 厶)gd十(m十恤)他“啰=о.

Если специально для данной задачи ввести сокращенные обозначения } =、， ^п!1，то выражение для частот приобретет такой вид:

炉二壺［a +卩)(1 +簿±/(1+n)2«十九)2一鉄(1*同.

Нетрудно убедиться, что отсюда получаются только действительные значения частот. Но мы покажем это в более общем виде применительно к (7.24). Предположим, что задана функция

尸®2) = (а11а22 — а12)8“ 一 (Plla22 + «1力22 — 2 012al2)^2 + Р11?22 Р12»

которая проходит через нуль в тех точках, где удовлетворяется уравнение (7.24). F (со?) положительна при(о2 — 0 и при <о2 = оо, потому что aira22 — a212 > 0,卩口也? 一 P2i2 >。・ Подставим теперь в эту функцию положительное число o)2 = |il После простых преобразований получим:

吟尸 ^) = 一 (ai2Pii - ₽12a11)2 < 0.

Итак, F ((02) при изменении(о2 от 0 до оо сначала положительна, потом отрицательна и затем снова положительна. Следовательно, она меняет знак два раза, так что уравнение (7.24) имеет два положительных корня 哨，<о| и все значения частот действительны, как Должно быть.

Сама величина (о имеет четыре значения, попарно равные по абсолютной величине. Если брать решение в виде (7.21), то доста- точно брать только положительные <о.

Аналогичным, но более сложным способом доказывается, что все(о^ положительны в общем случае, если положительна квадра- тниная форма для U (7).

з*

Нормальные координаты. Подставим корни уравнения для частот в систему уравнений (7.22). Каждой частоте будет соответствовать определенное отношение искомых величин 厶-,или

4

曰』2曰』2gz父)gz父)(7.25)(7.25)в общем случае 才.Эти отношения равны отношениям миноров элементов первой строки определителей (7.23). Для случая двух степеней свободы отношение 厶三-Л- видно непосредственно из уравнения (7.22):

曰』2

曰』2

gz父)

gz父)

(7.25)

(7.25)

Здесь индекс i соответствует номеру решения уравнения для частот (7.23).

Каждая частота з扌 определяет одно частное решение системы (7.20) или (7.20')・ Общее решение линейной системы уравнений представляется как сумма частных решений:

% = ,4,拒心"+ 4，)е"巾,内=引/0+ &4 俨 e‘"'，

依=［靠缚小J，^=L026)

От этих выражений надо взять, конечно, действительную часть.

Введем теперь следующие обозначения:

Qi =』f)е‘①八 Q2 = А^е1^^,

Q力三/俨少而二(7.27)

Из них непосредственно видно, что Q1>2 и Q也 удовлетворяют ди(})фере11циальным уравнениям:

Qi + 研 Qi = 0; @2 + 嗚Q2 = 0,

@ + ^Q^ = 0・(7.28)

Каждое из них может быть выведено из функции Лагранжа вида:

厶=^电一^或Q；，(7・29)

которая описывает колебание с одной степенью свободы.

Таким образом, в переменных Qi задача о связанных колебаниях со многими степенями свободы свелась к задаче о независимых колебаниях линейных гармонических осцилляторов, число которых равно числу степеней свободы исходной колебательной системы. Каждый гармонический осциллятор описывается соответствующей координатой Q〃

Если в формулы (7.26) подставить выражения (7.27), то получатся соотношения между исходными обобщенными координатами g词 и величинами Q», которые называются нормальными координатами. Таким образом, каждая обобщенная координата представляется как сумма изменяющихся по закону гармонических колебаний нормальных координат, независимых друг от друга. Обычно частоты колебаний (о/ несоизмеримы. Но тогда сумма выражений, в которые входят несоизмеримые частоты,——непериодическая функ-* ция времени.

В уравнениях (7.20) нельзя принять, что одна из обобщенных координат остается незатронутой колебаниями, какие бы начальные условия ни были выбраны. Достаточно привести в какой-то момент времени систему в колебание хотя бы по одной из степеней свободы, отвечающей некоторой обобщенной координате, как начнутся колебания по всем остальным степеням свободы благодаря связывающим их смешанным слагаемым функции Лагранжа, содержащим произведения q^qv или ^v. Напротив, колебания Qg и Q^k， никак не связаны до тех пор, пока при решении задачи учитывались только квадратичные члены в формулах потенциаль* ной и кинетической энергий.

Из уравнений (7.26) можно выразить Qi и Q2 через q* и ^2:

==(7.30)

02 -

Если, например, так подобрать начальные значения «】и q?, что для этого момента времени Qi = 0 н 仇=0, то колебание с частотой со】 не будет происходить вовсе. Для этого достаточно взять при / = 0 координаты и скорости в таком отношении, чтобы ^2?1 一 —^2 = 0 н 工2@1 — @2 = 0・ Иначе говоря, проявится только частота (о2 и колебания будут строго периодическими, чего нет при произвольных начальных условиях.

Из функции Лагранжа (7.29) сразу видно, что выражение полной энергии в нормальных координатах приводится к форме:

e=^2您+⑴沮力 ОЗ)

так как L ~ Т — U, aE = T+U. Таким образом, энергия отдельных линейных гармонических осцилляторов, представляемых координатами Q〃 заменяет энергию связанных колебаний, совершаемых координатами 乳.

Надо заметить, что если выразить нормальные координаты прямо по формулам (7.27) или (7.30), то отдельные слагаемые энер- гнн будут еще умножены на некоторые постоянные числа а». Но еслн заменить Q» на Qi j/^L то эти числа исключаются из выражения энергии и она приведется к виду (7.31). Пример такой подстановки имеется в упражнении 1.

Благодаря нормальным координатам рассмотрение задач о колебаниях значительно упрощается, так как линейный гармонический осциллятор является во многих отношениях одной из простейших механических систем.

Приведение к нормальным координатам необходимо при изучении колебаний многоатомных молекул, кристаллов и в теории поля. Кроме того, нормальные координаты полезны в технических применениях теории колебаний.

Случай равных частот. Если корни уравнения (7.24) совпадают, то общее решение надо писать не в форме (7.26), а несколько иначе, именно:

(7.32)(7.32)х = A cos 血 + В sin(о/,

(7.32)

(7.32)

〃 =4 cos(0方 +В' sin(o九

В это решение входят четыре произвольные постоянные, как и должно быть у системы с двумя степенями свободы.

Примером может служить маятник, подвешенный не на шарнире, а на нити. В приближении (7.32) получается, что маятник описывает эллипс, оси которого наклонены к осям координатной системы (х, у), а центр совпадает с началом координат. Если учесть в (7.5) последующие члены разложения потенциальной энергии по углу отклонения маятника, то оказывается, что оси эллипса поворачиваются при качании маятника.

УПРАЖНЕНИЕ

Найти частоты колебаний двойного маятника и его нормальные колебания если отношение масс грузов 卩=з/《и дЛИН стержней 九=5/?«

Решение. По формуле частот для двойного маятника находим:

77

далее ^ = -第=『

Выпишем теперь выражение для кинетической энергии. Для простоты написания положим I = g = пг = 1, так что во все равенства войдут только отношения X и |х. Это дает: а1г = 1 + 科 = 7/4,电纟= рЛ = 15/28, а22 = 卩九2 = 75/196; % = 1 % 科=7/4, 812 = 0,国2 =卩厶=15/28.

Определим коэффициенты 〃厶 Для этого надо вычислить кинетическую энергию, пользуясь, например, формулой (7.16):

2T = ； (Qi + Q2)2+ ^ (Q1 + Q2) ^~ у Qi + y <2г^ +十金( - 仇+工 Q；:=1 a+4a.

Следовательно, надо выбрать a1 —]/з/2, a2 — V2.

Обозначая 9 ^^ и 今 снова буквами Qi и Q2, находим выражение для потенциальной энергии:

как и должно быть согласно (7.10). Обобщенные координаты связаны с нормальными следующим образом:

Qk 要％+『•

Следовательно, если в начальный момент 7(р = — 3屮 н 而=——3《，то все время Q2 = 0, так что оба маятника колеблются с одной частотой со^, сохраняя постоянное соотношение между углами 7(р =——3屮(маятники отклонены в противоположные стороны). Другое нормальное колебание с частотой(о2 происходит при постоянном соотношении углов 7(р = 5屮.При этом маятники отклонены в одну и ту же сторону.

НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

В § 3 был высказан принцип равноправия всех инерциальных систем отсчета, или принцип относительности. В нем отражено особое значение инерциальных систем в механике.

Системы, которые мы обычно рассматриваем как инерциальные, обладают этим свойством только приближенно. Например, система отсчета, связанная с поверхностью Земли, не может счи таться строго инерциальной, так как Земля совершает суточное вращение. Из-за этого плоскость качаний маятника Фуко поворачивается со скоростью, зависящей от географической широты места (см. упр. 1).

Поворот плоскости качаний маятника Фуко нельзя объяснить каким-либо силовым взаимодействием с Землей, потому что сила тяготения не может заставить маятник вращаться именно с востока на запад, а не с запада на восток *. Но если рассматривается несколько качаний, то поворот плоскости еще незначителен и им можно пренебречь. Тогда система отсчета, связанная с Землей, не успевает проявить неинерциальность. Всегда существует известная мера погрешности, с которой данная реальная система отсчета близка к инерциальной системе, причем эта мера зависит от длительности изучаемого процесса движения.

Таким образом, понятие инерциальной системы имеет смысл как приближение и является весьма плодотворной для механики идеализацией. В такой системе отсчета силы взаимодействия измеряются ускорениями тел. Не имея инерциальных систем отсчета, мы вынуждены были бы рассматривать основное уравнение механики (1.1) всего лишь как определение силы вообще и могли бы записывать его как тождество. Между тем существенно, что уравнение (1.1) благодаря возможности наблюдения механических систем f инерциальных системах отсчета позволяет определить меру физи-

У

g

依

X

X

X

ческого взаимодействия между телами. Эта мера не зависит от выбора инерциальной системы отсчета, в чем и заключается принцип относительности.

Преобразования Г а л и л е я. Математически принцип относительности выражается в том, что уравнения движения, написанные

Рис. 9для одной инерциальной си

стемы, сохраняют свой вид, когда производится преобразование к другой инерциальной си

стеме.

Формулы перехода от одной инерциальной системы к другой могут быть получены только на основе некоторых физических предположений. В механике Ньютона всегда допускается, что силы взаимодействия между телами, в частности сила тяготения, передаются мгновенно на любое расстояние. Поэтому перемещение любого тела сразу сообщает некоторый импульс любому другому телу, где бы оно ни находилось. Благодаря этому часы, находящиеся в некоторой инерциальной системе, могут быть мгновенно сверены с часами, движущимися вместе с другой инерциальной системой. Таким образом, в механике время признается универсальным, и это не дополнительная гипотеза, а следствие допущения о мгновенном действии на расстоянии. В электродинамике, где скорость передачи взаимодействия конечна, время не универсально.

Но в пределах механики Ньютона при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, имеющей относительно нее скорость V, принимается, что время в обеих системах одно и то же, т. е. что показания однажды сверенных часов в дальнейшем всегда совпадают. Впоследствии мы увидим, что такое предположение имеет приближенный характер и справедливо только тогда, когда относительная скорость систем много меньше скорости света.

Найдем теперь формулы перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой. Пусть в обеих системах проведены координатные оси так, что абсциссы направлены по относительной скорости 匕 а ординаты взаимно параллельны. Тогда непосредственно из рисунка 9 видно, что абсцисса х некоторой точки в системе, которую мы условно назовем неподвижной, связана с абсциссой %' в движущейся системе простым соотношением:

(8.1)

если в момент Z = 0 начала координат были совмещены. Остальные формулы перехода еще проще;

У = у\ z = z'・(&2)

Соотношение f = / выражает гипотезу об универсальности времени, границы применимости которой устанавливает эйнштейновский принцип относительности.

Условие (8.1) совершенно симметрично по отношению к обеим инерциальным системам отсчета: если считать ту из них, в которой величины снабжены штрихами, неподвижной, а другую ——движущейся, (8.1) сохранит тот же вид, при чем следует, конечно, заменить V на — V.

В данном случае симметрия обеспечивается тем, что / = /• Если /, формулы перехода х = xf + Vt и х' = х—力" противоречат одна другой, т. е. если не считать время одинаковым во всех инерциальных системах, математическое выражение принципа относительности должно быть сложнее, чем оно получается на основании формулы (8.1). Но формула (8.1) следует, казалось бы, совершенно очевидным образом из рисунка 9. Здесь приходится сильно поступиться той «очевидностью», которая на самом деле возникла из нашей повседневной привычки к скоростям, малым по сравнению со скоростью света. ~

На основании равенства (8.1) легко показать, почему уравнения Ньютона имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Силы взаимодействия зависят от относительных координат частиц, и поэтому они не меняются от преобразования (8.1), так как общее слагаемое Vt сокращается в аргументе любой функции, содержащей разность координат. В левой части уравнений Ньютона стоят ускорения, т. е. вторые производные координат по времени. Но так как время входит в равенство (8.1) линейно и в обеих системах по основному предположению одинаково,尤=龙'.Следовательно, уравнения механики имеют тождественный вид в любых инерциальных системах отсчета. Иначе принято говорить, что уравнения механики инвариантны относительно этих преобразований, называемых обычно преобразованиями Галилея.

Неизменность (инвариантность) законов механикн при галилеевских преобразованиях составляет содержание принципа относительности ньютоновской механики. При этом следует иметь в виду, ито сам принцип относительности, выражающий равноправие всех инерциальных систем отсчета, отражает гораздо более общий закон природы, чем приближенная формула (8.1). Применительно к электромагнитным явлениям эта формула и равенство / — /' заменяются на гораздо более общие соотношения, из которых преобразования Галилея получаются только в предельном случае, когда скорости всех частиц и относительная скорость систем отсчета малы по сравнению со скоростью света.

Вращающиеся системы отсчета. Из принципа относительности не следует, конечно, равноправие инерциальных н неинерциальных систем отсчета.

В частности, при переходе к вращающимся системам отсчета в Уравнениях механики появляется ряд характерных членов, кото- Рне мы выведем ниже.

Совместим ось z с осью вращения. Компоненты радиус-вектора 产 в неподвижной системе отсчета обозначим: х\ yft z', а во вращающейся системе отсчета %, у, г. Как известно из аналитической геометрии, те и другие составляющие связаны равенствами:

% = %' cos а + У $汕 а， у = — %' sin а + у' cos а, z = z‘，

где а — угол поворота.

Продифференцируем написанные формулы по времени и обозначим производную а буквой з. Это есть угловая скорость вращения, или число радианов в секунду. Получаем:

戈=尤'cos а + 旷 sin а — зх' sin а 十 зу‘ cos а ==汇 cos а + 旷 sin а + sy,

у =—犬 sin а + 矿 cos а — з%' cos а — ву‘ sin а ==—xf sin а +犷 cos а — сох,

之=?.

Допустим, что по оси z отложен отрезок, численно равный оъ Будем рассматривать этот отрезок как вектор, направленный по оси z. Тогда (ог = |о)|, со* = 0, а)у = 0. Имея вектор о), произведение зу можно заменить на — [шг]х, а —(о% на — 心厂卜.Слагаемые, содержащие 尤'，у и z\ суть не что иное, как проекции скорости частицы относительно инерциальной системы отсчета, преобразованные к вращающейся системе. Назовем их временно 尤展 и g；, Zb. Выражая их с помощью полученных равенств, найдем: 戈；=龙+[8尸k，

yB = y+[^r]yf(8.3)

然=之.

Эти уравнения могут быть объединены с помощью одного векторного уравнения:

гг = г+ [шг].(8.4)

Теперь нетрудно найти функцию Лагранжа для переменных, относящихся ко вращающейся системе отсчета. Прежде всего ясно, что

так как абсолютная величина любого вектора одна и та же в любой координатной системе. Следовательно, переходя от переменных в инерциальной системе отсчета к переменным во вращающейся системе, получаем искомое выражение Л:

厶="戸一 U =号胃一U = *(i+[wj)2-U(r)・(8.5)

Для простоты функция L записана для одной материальной точки.

Напишем теперь уравнение Лагранжа для движения относительно вращающейся системы отсчета, т. е. считая обобщенными координатами х, у и z. Вернемся на время к составляющим, выбранным при выводе равенств (8.3). Тогда функция Лагранжа, выраженная через составляющие векторов, получит вид:

l=^炉-S外+匂+S炉+沼-и (居у, ^(8.6)

欣，吗_ _叫— — Az •欣，吗_ _叫— — Az •Отсюда находим: dL /.、 dL/ •、、 dL

欣，

吗_ _叫— — Az •

欣，

吗_ _叫— — Az •

dL / ・[、dU dL,.、 OU

苏=m①①+s冷一斫， 而=一 ms(X - sy) 一而、

Уравнения Лагранжа в составляющих выглядят так:

т(у +(о戈)+ 加①(х — зу) + mo)x 十 窮=О,т(у +(о戈)+ 加①(х — зу) + mo)x 十 窮=О,

т(у +(о戈)+ 加①(х — зу) + mo)x 十 窮=О,

т(у +(о戈)+ 加①(х — зу) + mo)x 十 窮=О,

Оставим слева только вторые производные и перепишем последние три уравнения в виде одного векторного:

mr = m [尸①]+ 2m [rco] + m [s [ro)]]—苏. (8.7)

Раскрывая двойное векторное произведение по формуле I А[ВС]] = В (А С) — С (АВ) и переходя к составляющим, можно убедиться, что (8.7) равносильно предыдущей системе из трех уравнений. Преимущество векторной записи, как всегда, в том, что она не привязывает уравнение к одной определенной системе координат и значительно более наглядна.

Силы инерции. Первые три члена справа в (8.7) существенно отличают уравнения движения, написанные относительно вращающейся системы отсчета, от уравнений, написанных относительно инерциальной системы отсчета.

Применение неинерциальной системы отсчета определяется характером поставленной задачи. Например, если изучается движение земных тел, то естественно в качестве системы отсчета взять Землю, а не Солнце. Если рассматривается реакция пассажира на внезапную остановку поезда, то в качестве системы отсчета надо взять поезд, а не станционную платформу. Когда поезд резко тор- мознт, пассажир продолжает движение вперед «по инерции», или, точнее говоря, в начальный момент торможения сохраняет ту ско- Р°сть, какую имел поезд при равномерном движении. Поэтому

относительно вагона получается известный каждому толчок вперед. Очевидно, что неинерциальной системой отсчета является именно поезд, а не Земля, потому что на платформе никто толчка не испытывает.

Дополнительные члены справа в уравнении (8.7) имеют то же происхождение, что и толчок при остановке поезда: они вызваны неинерциальностью (в данном случае вращением) системы отсчета. Разумеется, ускорение точки, вызванное неинерциальностью системы отсчета, относительно этой системы вполне реально, несмотря на то, что существуют другие, инерциальные системы отсчета, относительно которых это ускорение отсутствует. В уравнении (8.7) ускорение написано так, как если бы оно было обязано некоторым дополнительным силам, которые обычно называют силами инерции. В отличие от сил взаимодействия силы инерции пропорциональны лишь массе каждого тела, к которому они приложены. Это естественно, потому что ускорения, вызванные неинерциальностью системы, по определению одинаковы у тел, помещенных в одну и ту же точку системы и одинаково в ней движущихся. Термин «сила» применен к ним потому, что соответствующие выражения пропорциональны произведению масс на ускорение.

Существует только одна сила природы, которая обладает тем же свойством ——это сила ньютоновского притяжения. Ускорения всех свободно падающих тел, как известно, одинаковы. Если в уравнении (8.7) положить U = mgzt то масса движущегося тела полностью сократится из уравнения и получится некий универсальный закон движения, не зависящий от массы тела. То же самое относилось бы к случаю, когда U = 0. В неинерциальной системе тела при этом, ускоряясь под влиянием сил инерции, отнюдь не будут двигаться прямолинейно и равномерно. Следовательно, есть удивительная общность между свободно движущимся в неинерциальной системе телом и телом, подверженным, кроме того, действию силы тяжести. На этом основана эйнштейновская теория тяготения.

Рассмотрим теперь подробнее силы инерции, входящие в (8.7), существование которых обязано вращению системы отсчета. Первый член в (8.7) справа обусловлен непостоянством угловой скорости. Он нас интересовать не будет. Второй член называется кориолисовой силой. Для того чтобы возникла такая сила, скорость точки относительно вращающейся системы отсчета должна иметь отличную от нуля проекцию на плоскость, перпендикулярную оси вращения. Эту проекцию в свою очередь можно разложить на состаз- ляющую, перпендикулярную радиусу вращения в данной точке, и радиальную составляющую. Наиболее интересна по своему действию составляющая кориолисовой силы, обязанная радиальной составляющей скорости. Она перпендикулярна и радиусу, и оси вращения. Если тело движется перпендикулярно радлусу и оси вращения, то кориолисова сила радиальна и прибавляется к центробежной, которую мы рассмотрим дальше.

Заметим, что кориолисова сила, даже формально, не может быть сведена к градиенту какой-либо потенциальной функции.

Имеется много примеров действия кориолисовой силы в природе. Вода рек северного полушария, текущих в меридиональном направлении, т. е. с севера на юг или с юга на север, испытывает отклонение к правому берегу, если смотреть по течению. Поэтому правый берег таких рек круче левого. Легко построить соответствующую компоненту кориолисовой силы. Вектор угловой скорости вращения Земли направлен от северного полюса «вверх». Вода реки, текущей в средних широтах северного полушария на юг, имеет составляющую скорости, перпендикулярную земной оси и направленную от нее. Следовательно, кориолисово ускорение воды по отношению к Земле направлено к западу или по отношению к реке, текущей на юг, вправо. Если река течет к северу, то отклонение воды происходит к востоку, т. е. опять вправо, если смотреть по течению. Естественно, что вода больше подмывает тот берег, к которому отклоняется. В южном полушарии это левый берег.

Кориолисова сила существенно сказывается на движении водных и воздушных масс земного шара, хотя, если сравнить ее с силой тяжести, она оказывается незначительной. Действительно, угловая скорость вращения Земли, совершающей один оборот за сутки, немного меньше, чем 10-4 рад/сек, а скорости частиц воды и воздуха бывают порядка, например, 10 или 104 смIсек (последние ——для ураганного ветра!). Отсюда кориолисово ускорение получается от 10-3 до 1 см/сек2, или от одной миллионной до одной тысячной ускорения силы тяжести.

Кориолисова сила вызывает также вращение плоскости качаний маятника Фуко, с помощью которого можно доказать вращение Земли вокруг оси без помощи астрономических наблюдений. С динамической точки зрения совершенно небезразлично, какую систему отсчета считать инерциальной, какую ——вращающейся.

Третье векторное слагаемое в формуле (8.7) есть обычная цен тробежная сила. Действительно, она перпендикулярна оси вращения и по абсолютной величине равна:

! m [о [го]] ； = m о I! [по] ! = ш(о •(о厂 sin р — ma^r sin 0 *. (8.8) Здесь в первом равенстве учтено то, что векторы о и [го] перпендикулярны, так что абсолютное значение их векторного произведения равно произведению абсолютных значений. Но г sin В равно расстоянию от оси вращения до данной точки, так что сила (8.8) удовлетворяет обычному определению центробежной силы.

УПРАЖНЕНИЯ

Рассмотреть вращение плоскости качаний маятника Фуко под влиянием вращения Земли вокруг оси.

Решение. Направим в данной точке Земли ось х на север, а ось у — на восток. Тогда, если вертикальная составляющая угловой скорости(ов = со sin 0,

где 0 — широта места и со — угловая скорость вращения Земли, имеем уравнения движения:

от

^ = — со^х —2^сов,『=—%у + 2£(0в,⑴之二丁*

Умножаем первое уравнение на у, второе ——на 尤 н вычитаем. Тогда получается:

^ (冲一戏)=一^ 岁 +货)зb.

Интегрируем и переходим к полярным координатам (х = г cos ф, г/ = г sin 中)；

Отсюда после сокращения на г2 находим:

ф = Зв，

что и дает угловую скорость вращения плоскости качаний.

Найти отклонение падающего тела к востоку.

Решение. Здесь существенна не вертикальная, а горизонтальная составляющая кориолисовой силы(ог =(о cos 0. Для отклонения х получаем:

х — 2^сОр — 2g/cO[, откуда

1收

Х = у g/3C0r.

Выраженное через высоту падения, это равенство будет таким:

При подстановке реальных чисел видно, что наблюдать такое отклонение затруднительно.

ДИНАМИКА ТШ「0 ТЕЛА

Динамика твердого тела представляет большую самостоятельную главу механики и очень богата техническими приложениями. Наша задача —— дать только краткий очерк этого раздела механики, поскольку в нем содержатся поучительные иллюстрации общих законов. Кроме того, некоторые механические величины, характеризующие твердое тело, необходимы для понимания спектров молекул.

Кинетическая энергия твердого тела. Как указывалось в § 2, твердое тело имеет шесть степеней свободы. Три из них относятся к поступательному движению центра инерции в пространстве. Остальные три степени свободы связаны с вращением тела относительно центра инерции.

В § 4 было показано, что кинетическая энергия системы слагается из кинетической энергии движения всей массы тела, сосредоточенной в центре инерции, и кинетической энергии движения частиц относительно центра инерции. В случае твердого тела относительное движение сводится к вращению с одинаковым для всех

частиц значением угловой скорости о. Разумеется, как величина, так и направление о могут изменяться.

Вычислим кинетическую энергию вращения твердого тела. В общем случае плотность тела р может быть неодинаковой по его объему и зависеть от координат: р = р (%, у, z) = р (г). Масса элемента объема dV равна dm = р (尸)dV. Скорость @ вращения согласно (8.4) есть 心厂](переносное движение не рассматриваем). Поэтому кинетическая энергия единицы массы тела равна:

[s尸]2 = 0)2r2 sjn2 p =①2产—①2产 cos2 ^ — (02Г2 —(ЮГ)2.

Кинетическая энергия всего тела представляется интегралом по всему объему тела от этой величины:

T=^A^dV.(9.1)

Выразим квадрат векторного произведения через компоненты ①从 и rv. Имеем:

(02 =吗 + ① j + 吗，® 尸)=⑴*% + a)yy + 叫2，厂2 =炉 + y + ?2.

Воспользуемся теперь правилом суммирования:

鋁=^н^ц，®厂)小“，产=/%。

Образуя произведения 产со? и ®尸产，надо обозначать индекс суммирования разными буквами, чтобы он нигде не встретился больше, чем два раза. Следовательно,

[<ог]2 = 31A⑴声炉V一⑴必卩⑴屮”.

Введем очень полезный для дальнейшего символ:

: ПРИ ИГ(9-2)

卩 [0 при 卩 W V

С помощью этого символа со^со^ можно тождественно переписать как

8卩卩:==3卩wn①", а квадрат векторного произведения

®川2 =(1vо” (厂233 — %%).

Составляющие угловой скорости твердого тела постоянны по его объему. Следовательно, их можно вынести из-под знака ннте- гра/а (9.1) и привести его к виду:

Л^у^^ \ р (谷从”户—％/”) dK・(9.3)

Все интегралы, входящие в (9.3), зависят только от формы тела и распределения плотности в нем, но не зависят от движе- ння тела, если перейти к системе отсчета, движущейся вместе с самим телом. Выпишем теперь все шесть величин при ⑴从⑴丫

В ЯВНОМ виде, ПОМНЯ, ЧТО Xi = %, Х? = у, %з = 2， 6ц =1， §22=1， 6зз=1， 312 = 0, 513 = 0,б23 = 0:

三厶к三 \р （户 一％2）dK = \p（y2 + z2）dVt

J12~Jxy = -\pxy dV\

J 22 三九三 5 P（f2 - У^ dV = \^（^ + г2） dV, J ^JX2= -\pxzdVf 丿^Jzz = ^ p （r2 - ?2）dV = \p （y2 + *2）dV,厶3三丿州三 一 $ РУ? dk. Величины с одинаковыми индексами называют моментами инерции, с различными — произведениями инерции. Отметим, что Jimv = /*и・ В обозначениях JHV кинетическая энергия вращающегося твердого тела может быть переписана в сжатом виде как

T = 0/卩Y8n8V.（9，4）

Тензоры. Прежде чем развивать дальше динамику твердого тела, рассмотрим подробнее геометрическую природу величин 人屮 В отличие от векторов, составляющие которых имеют один индекс, JHV имеет два индекса.

Уже было указано, что векторная величина характеризуется законом преобразования при поворотах координатной системы. Обозначая косинусы углов между старыми и новыми осями символами （出,V）（см. упр. 3 к § 4）, запишем закон преобразования, примененный к составляющим вектора:

К =（卩，V）

Покажем теперь, что величина 丿卩”,имеющая два значка, преобразуется по закону:

/a"=（"，九）（％ 乂）厶乂.

Начнем с символа 3卩”. Рассмотрим три единичных вектора, направленные по осям повернутой координатной системы （орта）. Для них имеем:

疋⑴=0,后⑴=0, 川⑶=1,加⑶=0, 必（3） = 0, 圖 3）=1.произведения:，⑵力（2）= 内，⑶川⑶=1, ，（1）九，（3）="，（2） "（3） = 0.疋⑴=0,后⑴=0, 川⑶=1,加⑶=0, 必（3） = 0, 圖 3）=1.произведения:，⑵力（2）= 内，⑶川⑶=1, ，（1）九，（3）="，（2） "（3） = 0.出⑴=1, 山（2） = 0, ё⑶=0,

疋⑴=0,后⑴=0, 川⑶=1,加⑶=0, 必（3） = 0, 圖 3）=1.

произведения:

，⑵力（2）= 内，⑶川⑶=1, ，（1）九，（3）="，（2） "（3） = 0.

疋⑴=0,后⑴=0, 川⑶=1,加⑶=0, 必（3） = 0, 圖 3）=1.

произведения:

，⑵力（2）= 内，⑶川⑶=1, ，（1）九，（3）="，（2） "（3） = 0.

Образуем их скалярные

"⑴加⑴=:冷

"⑴ /f（2）=内

Для этих произведений можно ввести сжатую запись:

"也）^^^^

Такое же равенство должно иметь место в любой системе, в частности в «нештрихованной». Преобразуем теперь проекции ортов от

«штрихованной» системы к «нештрихованной». По общим формулам преобразований вектора получим:

九卅=及俨(а, х)=(卩，х),畸”)=吧)(а, и) = (v, х).

Из этих проекций снова образуем скалярные произведения и воспользуемся тем, что они одинаковы в любых системах координат. Тогда найдем, что символ 6^v удовлетворяет равенству, которое требовалось доказать для 丿收

6^ = ""°"*)=九产畸")=(№ *)(匕 *)=(两 九)(% *)兀，

Иными словами, это значит, что при переходе к другой координатной системе “^ сохраняет свое основное свойство.

Второе слагаемое под интегралом (9.3) есть произведение компонент %九• хх, каждая из которых преобразуется по векторному закону. Поэтому их произведение преобразуется следующим об* разом:

尤ZK =(卩，X) (v, х) хххк.

Следовательно, подынтегральная величина в (9.3) преобразуется с помощью коэффициентов (卩，九)(％ х). Так как они постоянны для каждого данного поворота координатной системы, их можно вынести из-под интеграла, что и дает нужный закон преобразования JZx. Все величины с таким законом преобразования называются тензорами второго ранга. По той же терминологии вектор должен называться тензором первого ранга, а скаляр имеет нулевой ранг. Бывают тензоры и более высокого ранга, чем второй. Ранг определяется числом символов 卩,v, ..., входящих в закон преобразования, или, что то же самое, числом значков, входящих в выражение для тензора однократно.

Если какой-нибудь значок повторяется в тензорном выражении, это значит, что по нему произошло суммирование и ранг исходного тензора понизился на два. Возьмем, например, тензор третьего ранга 4模丫九.Он преобразуется по закону:

41VA =(卩，a) (% p) (X, Y) 4竄6Y.

Просуммируем по значкам 卩，v, т. е. напишем их дважды с обеих сторон равенства. Пользуясь доказанным только что свойством символов (出，a) (pi, Р), приведем записанный закон преобразования к виду:

4(!цA = (卩，a)(卩，5)(九，Y)= 3(%В (九，Y)4a旳=(九，Y)4a, a, Y。

Но по такому закону преобразуется вектор, т. е. тензор первого ранга, так что ранг исходного тензора понизился на две единицы, как и утверждалось.

Выражение кинетической энергии (9.3) — (9.4) содержит все значки попарно, т. е. является тензором нулевого ранга — скаляром. Так, разумеется, и должно быть.

Момент твердого тела. Вычислим теперь какую-нибудь проекцию момента твердого тела. По определению момента получаем:

必=\ Р [^]х dV = \р [г [(ог]]х dV.(9.5)

Раскрывая двойное векторное произведение, приводим Мх к виду:

Мх = \ р (si — % ®") dV =

=з% \ р 仅2 + г2) dV — а)у\ рху db —孤 \ РУ? dV, (9.6)

Л1а — J «р^р*(9・6)

В выражение момента снова вошли компоненты величины J, называемой тензором инерции.

Сравнивая (9.6) и (9.4), видим, что

•(9.7)

Му и Mz выглядят аналогично. В векторной форме можно записать все три равенства как

М = Л&8)

Соотношения (9.7) и (9.8) снова выражают тот факт, что момент есть обобщенный импульс, связанный с вращением тела. В этом смысле (9.7) аналогично (5.4). Но имеется существенное различие в том, что составляющие вектора з。не являются полными производными по времени от каких-либо величин. (Это будет показано в настоящем параграфе несколько ниже.) Поэтому з* в (9.7) не вполне подобно ф в (5.4).

Из равенства (9.6) видно, что вектор момента в общем случае не параллелен вектору угловой скорости. Параллельные векторы, как известно, должны быть связаны соотношением вида: Ма = = Jcoa, где 丿—скаляр, а не тензор.

Приведение тензора инерции к главным осям. Тем не менее каждому определенному тензору инерции отвечают некоторые направления в пространстве, такие, что если вектор угловой скорости направлен вдоль них, то и момент направлен в ту же сторону. Условие параллельности между векторами момента и угловой скорости, как мы только что видели, выражается так: Ma = J3a・ Заменяя момент по общей формуле (9.6'), получаем систему трех уравнений вида:

Лф8в=/ба,(9・9)

или (в составляющих):

J 11^1 + /12^2 + /13^3 — /⑴工 '

J21^1 + ^22^2 + 厶3g=J^2>,(9。9 )

J31^1 十 J32^2 + J33^3 = J^3* ,

однородные уравнения имели равняться нулю:однородные уравнения имели равняться нулю:Для того чтобы эти линейные решение, их определитель должен

однородные уравнения имели равняться нулю:

однородные уравнения имели равняться нулю:

—0.—0.(9.10)

—0.

—0.

Все три корня этого уравнения ——действительные и положительные числа. Это можно показать, рассуждая подобно тому, как в § 7 доказывалось положительность о^ в системе, совершающей малые колебания (для случая двух корней). Здесь приводить доказательство мы не будем.

Допустим, что в общем случае все три корня уравнения (9.10) различны. Подставляя их в уравнение (9.9'), составляющие ⑴。 о)2 и о)з надо взять пропорциональными минорам какой-либо строки, например первой. Пусть 噌 и 嘴)一решения, отвечающие двум разным значениям «Л, Jk. (Латинский значок нумерует решения уравнения (9.10), греческий — компоненту вектора; правило суммирования здесь будет относиться только к значкам, нумерующим компоненты.)

Запишем теперь уравнения (9.9) для двух разных i,阮

/耶86)-厶冠

Умножим первое из них на(о孔 второе — на 咸)и вычтем одно из другого:

J伊隔"-Jсф欣)sf = (*Л - Jk)就)S伊.

Для левой части этого равенства воспользуемся основным свойством значков, по которым производится суммирование: в любом члене уравнения любая пара одинаковых значков может быть названа другой буквой без того, чтобы делать какую-либо замену значков во всех остальных членах уравнения. Связано это с тем, что название значка, пробегающего от 1 до 3 при суммировании, совершенно безразлично. Поэтому во втором члене слева переименуем а в 3，а В в а. Воспользуемся еще тем обстоятельством, что 」Ва = J^> т. е. тензор инерции симметричен относительно своих значков. Следовательно,

Jсф说%龍=j昵8限3%)=厶心片)國.

получится:(9.И)получится:(9.И)Тогда соответствующие члены сократятся, и справа 亿・一人)咸%步=0.

получится:

(9.И)

получится:

(9.И)

(9.10) раз-(9.10) раз-Но мы заранее условились, что корни уравнения (9.10) раз- "нинн, поэтому первый сомножитель в равенстве (9.11) не равен Следовательно, обращается в нуль скалярное произведение ” 8(а), так что векторы (о(4)и g)(*)взаимно перпендикулярны.

(9.10) раз-

(9.10) раз-

Итак, в каждой точке твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные прямые, при вращении вокруг которых направления момента и угловой скорости совпадают. Эти три прямые называются главными осями инерции в данной точке, a Ji，2，Л ——главными моментами инерции .

Допустим, что из трех главных моментов инерции два равны. Согласно (9.11) направления соответствующих главных осей перпендикулярны третьей оси, для которой главный момент инерции не равен двум другим. Проведем через начало координат плоскость, перпендикулярную третьей оси. Тогда при вращении тела вокруг любой прямой, лежащей в этой плоскости, момент М направлен по оси вращения. Итак, если 丿】=J2, то в плоскости, проходящей через две оси инерции, которым отвечают равные моменты инерции, любые две взаимно перпендикулярные прямые могут быть выбраны в качестве главных осей. Иными словами, если ось вращения лежит в плоскости равных моментов инерции, то векторы Ж и w параллельны.

Если все три главных момента инерции совпадают: J1~ J2 ^ 匸 /з, то при вращении вокруг любой оси момент М направлен вдоль этой оси.

Напишем теперь выражение кинетической энергии вращения, считая, что оси координат совмещены с главными осями инерции. По определению главных осей инерции имеем:

Л41 — J 1^1, ”2 =丿2①2，Л1з — J з0)з， (9.6 )

Эти равенства получатся, если произвольный вектор момента М разложить по главным осям. То обстоятельство, что в общем случае каждая компонента з» множится на свое число 丿i, еще раз указывает на непараллельность векторов Мид. Воспользуемся соотношениями (9.7), которые дают

m厶8产款，此=/232 =鋁 m3=/з83 = £，

Интегрируя, получим искомое выражение кинетической энергии:

T^-U^ + J^ + Js^- (9.12)

Оно допускает наглядное истолкование. Отложим на осях некоторой координатной системы проекции угловой скорости 91, о)2 и Зз・ Тогда уравнение (9.12) при постоянном значении Г изображает трехосный эллипсоид. Зная направление оси вращения и кинетическую энергию вращения, можно найти все три проекции угловой скорости по точке пересечения оси с эллипсоидом. Если два момента инерции равны, трехосный эллипсоид превращается

в эллипсоид вращения, если три момента инерции равны — в шар. Отсюда ясно, почему в плоскости равных моментов инерции выбор главных осей инерции произволен.

Уравнения Эйлера. Найдем уравнения, которые показывают, как момент М меняется со временем. Для отдельной материальной точки имеем:

絹=^ [喇=+"]='

где первое слагаемое равно нулю, так как 尸 и ° параллельны.

Интегрируя это уравнение по объему твердого тела и пользуясь аддитивностью момента, найдем:

府=\0尸]d!/ = K・ (9.13)

Вектор с правой стороны (9.13), обозначенный нами К, называется результирующим моментом сил, приложенных к телу. Если 尸一сила гяжести, как это часто бывает, то момент сил можно записать и так:

К= —、Pg М dV,

где 2° — единичный вектор в вертикальном направлении. Так как вектор г0 постоянный, он выносится за знак интеграла, и для момента сил тяжести получается такое выражение:

\pgrdV].

Допустим, что точка опоры тела находится в центре инерции, или, что то же самое, в центре тяжести. Тогда результирующая сила тяжести уравновешивается реакцией опоры, а результирующий момент силы обращается в нуль, потому что по определению центра инерции интеграл для всех трех проекций равен нулю. Если К = 0, твердое тело вращается как свободное. Этот случай движения осуществлен в демонстрационном гироскопе.

Для сохранения момента твердого тела требуется только, чтобы результирующий момент сил был равен нулю. Вектор момента произвольной механической системы сохраняется, если нет внешних сил вообще (кроме случая, когда вся система движется в поле неподвижного притягивающего центра).

Уравнение (9.13) неудобно записывать для неподвижной системы отсчета. В такой системе тензор инерции, связывающий между собой векторы М и о по уравнению (9.6'), становится сам переменной величиной, так как относительно неподвижной системы инте- гралы, входящие в равенство (9.3), по объему вращающегося твердого тела в общем случае непостоянны. Предпочтительно относить Уравнение к системе отсчета, скрепленной с телом, учитывая ускоренное движение этой системы. Изменение вектора 府 относительно подвижных осей состоит из двух слагаемых: одно происходит от изменения самого вектора и другое ——от движения осей, на ко-

торые он проецируется. Для вектора М это последнее изменение равно [wM], подобно тому как для радиус-вектора 尸 в § 8 оно равнялось [о)г]. (При повороте координатной системы любой вектор изменяется как радиус-вектор.) Тогда уравнение (9.13), записанное относительно подвижных осей, выглядит так:

(9.14)(9.14)體+ W聞=к,

(9.14)

(9.14)

где вектор момента сил надо проецировать тоже на подвижные оси.

Следовательно, нужна система кинематических уравнений, оп- ределяющих направление подвижных осей относительно неподвижных. Две системы осей можно связать между собой с помощью девяти косинусов, или, в наших обозначениях, символов (卩,х). Этот символ, как было показано, есть проекция орта 〃(乂)на подвижную ось с номером 卩.Относительно неподвижных осей орт п^ не изменяется: п^ = 0. Записывая производную 近⑶)по отношению к подвижным осям, получим:

嘗+ ®〃(* = 0・(9.15)

Таким образом, для девяти косинусов получается три векторных уравнения, т. е. девять уравнений. Покажем, что эти уравне* ния не нарушают основного свойства ортов: п^ 冷(九)—3乂九.Для этого напишем уравнения (9.15) для двух разных ортов 〃(乂)и 〃")：

dn^ .dn^ .[s歩叫—0,[s歩叫—0,d川山~ dtd川山~ dt卜［(0加叫=0.卜［(0加叫=0.

dn^ .

dn^ .

[s歩叫—0,

[s歩叫—0,

d川山

~ dt

d川山

~ dt

卜［(0加叫=0.

卜［(0加叫=0.

Умножим первое из них скалярно на 〃伍),а второе — на 〃(尢) и сложим; в смешанных произведениях сделаем циклическую перестановку. Тогда получим:

"")^~ + 歩2 ^- = ^ 九(大行(乂)= _(s [〃的〃(大)])-® [歩大九(勺)=0, так как [〃(汨加叫=—\п^п^}. Следовательно, если условие 〃(乂)〃(入)=8乂九 выполнялось в начальный момент времени, оно будет иметь силу и в дальнейшем, что и утверждалось.

Уравнения (9.6"), (9.14) и (9.15) полностью определяют положение твердого тела в пространстве.

С помощью соотношений (9.6") удобно сразу исключить составляющие момента, относя таким образом движение к главным осям инерции, связанным с телом. Тогда вместо уравнения (9.14) получится следующая система:

«Л①1 + (」з — ^2)^г^з — -^i,

/2^2 + (丿1 —厶)^3^1 — ^2» (9 ・ 16) /35 + (/2 -/1)①皿2 = к3，

(уравнения Эйлера). Эти уравнения могут быть сведены к квадратурам при произвольных значениях интегралов движения в следующих основных случаях:

Точка опоры тела находится в центре инерции, так что Ki = =К2 = Кз = 0； соотношение между главными моментами инерции произвольно.

J】=厶 * /з п точка опоры лежит на оси симметрии, относительно которой два момента инерции равны; точка опоры не совпадает с центром инерции. Это так называемый симметричный волчок.

3)厶=厶=2厶；центр инерции лежит в плоскости, проходящей через точку опоры перпендикулярно оси симметрии. Это волчок С. Ковалевской.

Показано также, что система уравнений (9.16) может быть проинтегрирована в квадратурах при произвольных интегралах движения, только если соблюдаются условия 1), 2) или 3) и в некоторых сходных случаях.

Свободный волчок. Случай 1), когда ^ = 0, интегрируется аналитически в очень сложной форме. Поэтому мы рассмотрим только некоторые общие свойства вращения свободного волчка, которые можно получить, исследуя интегралы движения.

В неподвижной системе отсчета сохраняется вектор момента М. В неинерциальной системе отсчета, связанной с волчком, Л1, конечно, не сохраняется. Но так как вращение не изменяет абсолютной величины вектора, во вращающейся системе должен сохраняться квадрат момента М2. Это легко доказать и непосредственно, умножая первое уравнение системы (9.16) на J^^ второе — на J2s2 и третье —— на /3(о3. Тогда при К = 0 получаем, складывая все три уравнения:

(J；硏+界呜 + 爲硝)=^ (М；+М3+М；)=嘗=0.

Из той же системы уравнений следует и сохранение кинетической энергии Т для этого случая. Надо умножить уравнения на 铀，со2 и 5 и сложить, откуда получится Т = const.

Выразим теперь проекции вектора угловой скорости через проекции момента с помощью (9.6") и подставим в выражение для кинетической энергии. Тогда (вместе с условием сохранения квадрата момента) получим два уравнения:

妙 + 雰 + 雰=Г (9.17)

M^ + M1 + M| = M2. (9.18)

Если на осях некоторой координатной системы отложены отрезки 他，此 и Л43, то (9.18) представляет собой уравнение сферы, а (9.17)— Уравнение трехосного эллипсоида. Вектор М должен удовлетворять обоим уравнениям, т. е. лежать на пересечении обеих поверх-

Рис. 10Рис. 10

Рис. 10

Рис. 10

Линии пересечения выглядят различно в зависимости от того, вблизи какой из осей эллипсоида они проведены. На рисунке 10 показан их примерный вид. Вблизи наибольшей оси эллипсоид высовывается из сферы. Следовательно, линия его пересечения со сферой — замкнутая кривая. Около наименьшей оси эллипсоид больше всего сплющен, так что из него высовывается сфера и снова получаются замкнутые линии пересечения. Вблизи средней оси одно сечение эллипсоида имеет большую кривизну, чем сфера, а другое — меньшую. В результате линия пересечения, проходящая точно через среднюю ось,— крестообразна, а близкие к ней линии напоминают гиперболы, для которых крестообразные линии служат асимптотами.

Из этого построения следует, что если вектор момента находится где-то вблизи наибольшей оси инерции, то он описывает вокруг нее замкнутую кривую. В неподвижной системе отсчета, где вектор момента не изменяется, большая ось эллипсоида обращается по замкнутой кривой около момента. Следовательно, вращение тела вокруг наибольшей оси инерции устойчиво. То же относится к вращению около наименьшей оси инерции. Что касается средней оси, то здесь кривые незамкнутые, так что вектор момента не остается вблизи средней оси. Вращение вокруг нее неустойчиво.

Для дальнейшего исследования удобно откладывать по осям системы координат не составляющие момента, а составляющие угловой скорости вращения G)!,(о2 и(о3. Уравнения энергии и момента запишем так:

*~2 * 2 ' 2 ~/，

Jjo):+累啕+靠碇=m2.

Найдем направляющие косинусы нормали к эллипсоиду, выражающему сохранение энергии. Получим:

COS Oti — —： ：т":-— 一 .：」’ .：_：h — —

/必叫+必明+二叫 м M

и аналогично для других составляющих. Но отношение ~ есть не что иное, как косинус угла между вектором момента в неподвижной системе отсчета, где он сохраняется, и подвижными осями,

связанными с телом. Следовательно, касательная плоскость к эллип-

соиду сохраняет неизменное направление в пространстве, перпендикулярное вектору момента.

Возьмем теперь вектор s, проведенный в точку касания плоскости с эллипсоидом. Его проекция на направление нормали к

эллипсоиду равна:

d = (о】 cos % + g cos 出 + 仰 cos。3 =工例需^ = ^ = const.

Такова проекция вектора, проведенного в точку касания, на направление нормали к поверхности эллипсоида в этой точке. Следовательно, это есть и проекция вектора(о на направление нормали к касательной плоскости, или, что то же самое, длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную плос

кость.

Итак, плоскость, перпендикулярная полному моменту и касающаяся эллипсоида, уравнение которого выражает сохранение энергии, остается на постоянном расстоянии d от начала координатной системы, по осям которой отложены отрезки з】，з? и Зз，т・ е- проекции угловой скорости тела на подвижные оси. Эллипсоид как бы катится по плоскости, неизменной в пространстве, причем ра- днус-вектор, проведенный в точку касания эллипсоида с плоскостью, задает мгновенное значение угловой скорости по величине и по

направлению.

Свободный симметричный волчок. Задача о

вращении симметричного волчка, точка опоры которого находится

на оси симметрии, допускает, как указывалось, точное решение. В математическом отношении оно довольно сложно. Решение задачи о свободном симметричном волчке, наоборот, весьма просто. Мы получим его по методу, который был только что развит для произвольного свободного волчка.

Допустим, что 丿2 —丿3, т. е. что эллипсоид, уравнение которого выражает сохранение энергии, есть эллипсоид вращения. Он изо

Рис. 11Рис. 11бражен на рисунке 11, где касательная плоскость совершенно произвольным образом выбрана горизонтальной. Для большей четкости чертежа вектор угловой скорости проведен не в точку касания ал- ^ипсоида с плоскостью, а в противоположную сторону. Зто просто означает, что такая же горизонтальная касательная плоскость подразумевается проведенной сверху от Эллипсоида. Кроме того, век- торм изображены не в мас-

Рис. 11

Рис. 11

штабе, а несколько увеличенными, так что надо представлять себе вектор s продолженным только до пересечения с поверхностью эллипсоида и соответственно уменьшенными его проекции.

Угол 0 между осью симметрии и направлением нормали к плоскости, т. е. направлением полного момента, остается неизменным, как видно из рисунка 11, потому что точка касания эллипсоида с плоскостью описывает на поверхности эллипсоида окружность в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. Угол 0 определяется из равенства:

cos@ = W・

Составляющая угловой скорости, направленная по оси симметрии, остается постоянной. Это значит, что ось симметрии равномерно вращается вокруг направления полного момента, неизменного в пространстве. Такое движение называется прецессией.

=М sin 0, откуда=М sin 0, откудаТак как прецессия происходит вокруг полного момента, ее угловая скорость юп должна быть направлена вдоль Л1. Составляющая по оси симметрии не имеет отношения к прецессии. Как видно из рисунка 11, со? = ^п sin©. Но проекция полного момента на ось 2, которая считается неизменно проведенной в плоскости чертежа (а не скрепленной с телом волчка), равна: М2 = J2s2

=М sin 0, откуда

=М sin 0, откуда

(9.19)

Если волчок имеет точку опоры не в центре инерции, то сохраняется не полный момент, а только его вертикальная составляющая. При достаточно большой угловой скорости вращения волчок совершает колебания в вертикальной плоскости, накладывающиеся на

прецессию.

Углы Эйлера. Покажем теперь, как описать вращение твердого тела в пространстве с помощью параметров, задающих его положение. Для этого удобно построить две системы координат: одну — неподвижную Oxyz и другую —скрепленную с телом Oxfyfzr обычно так, что оси этой системы совпадают с главными осями инерции в данной точке. Тогда положение движущейся системы координат относительно неподвижной полностью определяется с помощью трех углов Эйлера (рис. 12):

9 — угол между осями Oz и О/, Ф — угол между линией ОК пересечения плоскостей хОу и х'Оуг и осью %',

屮一угол между линией ОК и

Рис. 12осью х.

Угловая скорость вращения, как мы знаем, откладывается в виде Отрезка, направленного по оси вращения, т. е. перпендикулярно плоскости поворота. Прямая ОК перпендикулярна (по построению) осям О? и 0г\ а следовательно, перпендикулярна проходящей через них плоскости. В этой плоскости откладывается угол поворота 令， так что угловая скорость 8 направлена по линии 0К・ Таким же образом видно, что угловая скорость ф откладывается по оси Oz', а гр —— по оси 0%.

Выразим проекции угловой скорости со^ (о2 и со3 на главные оси инерции Ox', 0yf и Oz' через обобщенные скорости 0,屮 и 6. g есть проекция угловой скорости на ось О?' (третью ось). На эту ось ср, как указывалось, проецируется целиком, а проекция 巾 равна 屮 cos 9, так как 9 есть угол между осями Oz и 0г\ Следовательно, (о3 — ф _|-ip cos d. (9.20)

Чтобы найти проекции угловой скорости на две другие оси, мысленно проведем линию OL в плоскости WGy' и перпендикулярную ОК (на рисунке 12 линия OL не показана). Тогда

/L0£ = ^-屮 и NzOL = ^ + ",

так как прямая OL лежит в плоскости zOz', как и все прямые, перпендикулярные ОК.

Проекция « на OL равна —«sinА, а проекция на Ох' равна ——6 sin A cos (^ —屮,，или——ip sin ^ sin ф. Проекция # на Oyf есть 《sin 9 cos 屮.Проекции 4 на Ох' и на Оу' видны непосредственно из чертежа, они равны Scos(p и ^ sin ср. Таким образом, находим:

0)! = ^ cos ф — г|5 sin ^ sin ср, (9.21) о)2 —^ sin ф + ip sin 9 cos ф. (9.22)

Формулы (9.20) —— (9.22) показывают, что ⑴〕,(о2 и °)з не являются полными производными по времени от каких-либо величин и в этом смысле не совсем совпадают с обычным понятием обобщенной скорости в отличие от ср, « и 8. Об этом было сказано в связи с формулой (9.7).

Если подставить ⑴〕，(о2 и(о3, выраженные через эйлеровы углы, в формулу (9.12), то получится кинетическая энергия твердого тела в зависимости от обобщенных координат 屮，屮，А и скоростей ф, ^, 8.

Симметричный волчок в поле тяжести. Найдем функцию Лагранжа симметричного волчка, точка опоры которого лежит на оси симметрии на расстоянии / ниже центра инерции. Если волчок наклонен на угол 9 к вертикали, высота Центра инерции над точкой опоры 2 равна / cos 9. Следовательно, Потенциальная энергия волчка

U = mgz = mgl cos 仇 (9.23)

Кинетическая энергия волчка, выраженная через углы Эйлера, есть

Г = ^ «Л (哨 + 哺 + 4 厶啕=4 人(В? + 产 sin2 ®) +

+ у А (ф+tpcos^)2.(9.24)

Разность L = Т — U дает функцию Лагранжа. Но так как она не содержит времени явно, полная энергия Е = Т -\- U является интегралом движения:

Е = Т + U = const.

Можно найти еще два интеграла движения, замечая, что углы ф н 屮 не входят в функцию Лагранжа явно, т. е.屮 н 屮——циклические координаты (<р выпадает только у симметричного волчка, 屮 вообще не входит в Г). Получаем:

(9.25)(9.26)(9.25)(9.26)р屮=洋=/з (3 + 0 cos 9) = const,仆=吗=人 siM 甘 0 + 厶 cos 9 血 + ® cos 仔)=const.

(9.25)

(9.26)

(9.25)

(9.26)

Если исключить из последних двух уравнений 屮 и 屮 и подставить их в интеграл энергии, то последний будет содержать только переменную 9, что позволяет свести задачу к квадратурам.

Подставляя (9.25) в (9.26), получаем:

仆=人siM 5 0 +p①cos也

откуда

$=鳥肝(内-耍05 °)，

Интеграл энергии после подстановки © и j равен:

e=^/册+辞+ ^cos® (9.27)

Z乙 bill UJ [ZJ 3

Таким образом, задача свелась к движению как бы с одной степенью свободы 9. Соответствующая «кинетическая» энергия есть у J]®?, а «потенциальная» энергия представлена теми слагаемыми, которые зависят от 8. Эта «потенциальная» энергия обращается в бесконечность при 9 = 0 и 今=冗.Следовательно, при О V 仔 V 冗 она имеет по крайней мере один минимум. Если этот минимум соответствует # < у, то вращение волчка, у которого центр инерции лежит выше точки опоры, устойчиво. Около положения устойчивого равновесия, в данном случае динамического, возможны малые колебания. Они накладываются на уже известное нам прецессионное движение волчка и называются нутациями.

УПРАЖНЕНИЯ

Зная постоянные движения р@ и р» найти угол, при котором амплитуда нутаций может равняться нулю, т. е. волчок будет вращаться в поле тяжести как свободный (псевдорегулярная прецессия).

("2一аР cos 8产2厶 sin 2 8("2一аР cos 8产2厶 sin 2 8Решение. Из интеграла энергии (9.27) находим существенно положительную величину ^ J^2. Угол 8 при нутациях изменяется в узких пределах вблизи положения минимума «потенциальной» энергии. Если полная энергия Е как раз соответствует положению минимума «потенциальной» энергии, обе точки пересечения прямой £ = const с кривой «потенциальной» энергии сливаются в одну. Дифференцируя уравнение

("2一аР cos 8产

2厶 sin 2 8

("2一аР cos 8产

2厶 sin 2 8

р2

— 〃吆/ cos ^ = О з

3mg/ cos2 仆一(2E —冬 + 我)3mg/ cos2 仆一(2E —冬 + 我)по 仆,приравнивая производную нулю и решая совместно с уравнением энергии, получаем уравнения для угла псевдорегулярной прецессии и £:

3mg/ cos2 仆一(2E —冬 + 我)

3mg/ cos2 仆一(2E —冬 + 我)

cos 8 — mgl -|—-— — 0.

Ось симметричного волчка (гироскопа) может вращаться только в горизонтальной плоскости. Определить ее движение с учетом влияния суточного вращения Земли.

Решение. Разложим вектор угловой скорости вращения Земли в данной точке земной поверхности на две составляющие: вертикальную сов =(о sin 6 (6 — широта места) и горизонтальную, касательную к меридиану 3「=(о cos 6. Она, очевидно, направлена на север. Пусть ось гироскопа составляет угол <р с меридианом в горизонтальной плоскости. Угловую скорость вращения гироскопа вокруг оси обозначим о)о. Так как два момента инерции гироскопа равны, одну из главных осей можно считать постоянно направленной вертикально, а другую —горизонтально. Хотя гироскоп движется относительно них, они при его вращении не теряют своего свойства главных осей, так как постоянно находятся в плоскости равных моментов инерции.

Проекции угловых скоростей вращения рамки гироскопа, удерживающей его ось в горизонтальной плоскости, на выбранные таким способом главные оси инерции равны:

0)1 = (0в +屮， CD2 —CDr sin (p, G)3 = G)r COS (p.

Отсюда получаются составляющие момента по главным осям инерции (скорость вращения самого гироскопа соо не учитывалась в д, так как система отсчета скреплена с рамкой!):

M1 = Jl (coB + q)), M2 = J1a)r sin (р, M3 = J3 (о)0 -|- сог cos ф).

Воспользуемся теперь уравнениями (9.14) для изменения составляющих М с。временем. Момент сил действует только относительно второй оси: он обуслов- рен реакцией опоры, удерживающей ось гироскопа в горизонтальной плоскости. 跳。уравнение выписывать не надо. Уравнение для первой составляющей момента дает:

^^ 4- «>2儿％ —(必乂2 =丿1 絮 + /з^г sin ф (юо + C0r COS ф) — Ji(Or cos ф sin ф = 0.

Пренебрегая малой величиной порядка квадрата угловой скорости враще- нн* Земли, приходим к уравнению, совпадающему с уравнением качаний маят- "нка, которое следует из (3.22):

d2 屮 J3 . 石2 + J】 sin

При малых углах отклонения от меридиана sin ф заменяется на ф, и период качаний равен

2л2л人网①cos 0 '人网①cos 0 '

2л

2л

人网①cos 0 '

人网①cos 0 '

Такой гироскоп лежит в основе принципа действия гирокомпаса, который в отличие от магнитного компаса показывает точно на север.

Пользуясь уравнениями Эйлера (9.16) и кинематическими уравнениями (9.15), получить первый интеграл движения для волчка С. Ковалевской.

Решение. Пусть точка опоры волчка лежит в плоскости равных моментов инерции на расстоянии / от центра инерции. Проекции вертикального направления на подвижные оси назовем 如,〃2 и %з・ Тогда момент силы тяжести отно> сительно центра инерции имеет такие составляющие: 0; — п^mg; п2У mg.

Для nlf 〃2 и 〃з пишем кинематические уравнения:

+ (。2〃3 — Зз〃2 = °，-才 + Зз 几 1 — 3[/?з = 0, -^ + ^1П2 — C02〃l = U.

Уравнения Эйлера записываем так:

2 %? gg = 0,2 -^- -[- а)№з =—卩2〃3‘~^~ ~ 卩纟九2，卩? —•

Умножим второе равенство на /, сложим с первым, а результат умножим на 硒 + г(о2. Тогда получим:

^ ®1 + 心2)2 =—沁з ®1 + 心2)2 — i 卩2〃3 ®1 + 心2).

Умножим второе кинематическое уравнение на i и сложим с первым: (几1 + i〃2)=一心3 (〃1 + ①2)-①3(31 + 心2).

Обе части получившегося соотношения умножим на 卩2 и вычтем из уравне・

ния, содержащего производную ~ (g)j +((о2)2. В результате получим:

^ [®1 +心2产一炉 S1-H〃2)]=-心3[®1 +而2尸一户(% + 历2%

или, если обозначить 0 三(5 十 t(D2)2 —— 卢(勺 十 出?)，

Совершенно аналогичным образом составляется уравнение для комплексно

сопряженной на в *, а длясопряженной на в *, а дляd6*

сопряженной на в *, а для

сопряженной на в *, а для

величины 6 *: ^- = /0)38*. Но тогда, умножая уравнение для О

О * на 6 и складывая, получаем интеграл движения:

А 00* =0,I (о)】+ 心2)2 —卢 Gh + W) Е = const.

УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

До сихДо сихпор мы пользовались в качестве уравнений движенияпор мы пользовались в качестве уравнений движениясистемой уравнений Лагранжа. Эти уравнения, если воспользоваться понятием обобщенного импульса ра, можно записать так:системой уравнений Лагранжа. Эти уравнения, если воспользоваться понятием обобщенного импульса ра, можно записать так:#а 一 dLdLРа = Э^・#а 一 dLdLРа = Э^・(Ю.1)(Ю.1)(10.2)(10.2)

До сих

До сих

пор мы пользовались в качестве уравнений движения

пор мы пользовались в качестве уравнений движения

системой уравнений Лагранжа. Эти уравнения, если воспользоваться понятием обобщенного импульса ра, можно записать так:

системой уравнений Лагранжа. Эти уравнения, если воспользоваться понятием обобщенного импульса ра, можно записать так:

#а 一 dL

dL

Ра = Э^・

#а 一 dL

dL

Ра = Э^・

(Ю.1)

(Ю.1)

(10.2)

(10.2)

Обобщенные координаты и импульсы входят в них несимметричным образом. В ряде случаев бывает удобно иметь симметричную систему уравнений. Для практического решения задач механики она не лучше и не хуже уравнений Лагранжа, но гораздо важнее при общих исследованиях.

Уравнения Г амильтона. Функция Лагранжа зависит от обобщенных скоростей квадратично, так что уравнения (10.2) линейны относительно всех qa. Такие уравнения всегда можно разрешить и выразить qa через обобщенные импульсы.

Образуем теперь выражение для энергии (см. (4.1)):

Е = ?а 3 友一Lq а，、. .，*、. а а、・)

и подставим в него все %, выраженные через все 用

Энергия, выраженная через обобщенные координаты и соответствующие импульсы, называется функцией Гамильтона системы, или, короче, гамильтонианом:

Е (•…7а, • • • , * • • Qa(0В)• * *)三 ”(Р> 夕)=QaPa —厶・ (10.3)

Если, например, заменить в выражении (9.27) S на 累, получим гамильтониан симметричного волчка в поле тяжести.

Для того чтобы вывести искомую систему уравнений, напишем выражение принципа Гамильтона, или принципа наименьшего действия, выразив в подынтегральной функции L через ":

5s = 5 f (%〃 一 H (р, q))山=0.(Ю.4)

Здесь все обобщенные скорости заменены через обобщенные импульсы. Очевидно, что свойство интеграла быть экстремальным вдоль истинной траектории не может зависеть от того, в каких переменных он выражен.

Вычислим вариацию 6S:

Второй член в скобках можно проинтегрировать по частям, подобно тому как это было сделано в (2.17). Тогда

8s = Pa5qJj+ \ [8pa(@a —旣5夕/儿 + 削,山=0. (10.5)

Проинтегрированная часть обращается в нуль на пределах интегрирования, если наложено условие, что варьируемая траектория всегда проходит через заданные концевые точки. В этих Точках б^а = 0. Под интегралом qa и р。являются независимыми еременными, вариации которых совершенно произвольны. Рас*

суждая в точности так же, как при выводе уравнений Лагранжа в § 2, заключаем, что вариация 6S может быть равна нулю только в том случае, если выполняются следующие уравнения:

Ра = —Ра = —Ga =Ga =дНдН(10.6)(106)(10.6)(106)

Ра = —

Ра = —

Ga =

Ga =

дН

дН

(10.6)

(106)

(10.6)

(106)

Вместо п уравнений Лагранжа второго порядка получаются 2几 уравнений первого порядка. Они называются уравнениями Гамиль- тона.

Если Н не зависит явно от времени, то можно полностью исклю« чить время из этих уравнений, деля все уравнения на одно из них. Покажем для простоты, как это делается для систем с одной степенью свободы:

也屯纱勿也屯纱勿о.о.

也屯纱勿

也屯纱勿

о.

о.

Интегрирование уравнения (10.7) дает одну произвольную постоянную. Вторая постоянная определится из квадратуры:

生— ]

dq — дН/др，

где Н есть функция g н р, в которой р выражено через q с помощью проинтегрированного уравнения (10.7). Постоянная интегрирования последнего уравнения есть просто начальный момент времени Zo, который без ограничения общности законно положить равным нулю.

Заметим, что в функцию Лагранжа нельзя подставлять импульсы, подобно тому как мы подставляли их в энергию, желая использовать все известные интегралы движения (ср. (9.27)). Функция Лагранжа от подстановки импульсов даст неверные уравнения движения для других переменных. Но можно поступить следующим образом.

Пусть некоторая обобщенная координата % циклическая. Выразим соответствующий постоянный импульс и решим уравнение для него относительно q^. Тогда, если образовать функцию

R = p& — L (Ю.8)

(по о нет суммирования!), то по отношению к % она будет равноценна гамильтониану, а для всех остальных переменных останется функцией Лагранжа. Иначе говоря, для ра и ^а надо писать уравнения (10.6), (10.6'), и первое из них сразу дает pa = const. Уравнения движения для остальных переменных образуются с помощью R по правилу (2.20). R называется функцией Рауса.

Канонические преобразования. Нам неоднократно приходилось менять динамические переменные, переходя, например, от прямоугольных координат к сферическим. При таких

преобразованиях уравнения Лагранжа, разумеется, не изменяют своего вида. Они составляются одним и тем же способом на основе вариационного принципа.

Теперь надо рассмотреть преобразования более общего типа, которые затрагивают не только обобщенные координаты, но и обобщенные импульсы, поскольку те и другие, как было показано, можно рассматривать симметричным образом друг по отношению к другу. Но при этом выдвигается основное требование: преобразованные координаты и импульсы должны удовлетворять уравнениям такого же вида, как исходные, т. е. (10.6) и (10.6'), хотя, возможно, и с другой гамильтоновой функцией. Уравнения Гамильтона называются иногда каноническими, а искомые преобразования тоже называются поэтому каноническими.

Итак, допустим, что старые динамические переменные ра и 仇j выражены через новые Р§ и Q§, для которых гамильтониан есть не Н, а К.

Если старая функция Лагранжа была равна paqa— ", то новая должна иметь вид &@ — К. Но из § 2 известно, что функция Лагранжа определена только с точностью до полной производной от некоторой функции координат и времени. Пусть эта функция V зависит как от старых, так и от новых координат. Тогда соотношение между обеими функциями Лагранжа (старой и новой) следующее:

dqa ^3 < , " (q, Q) dQ^

0V 對。dV dQ^ dV

+ 际 N + 晦 2一 + It • (1°・9)

Так как все dqa и все dQ§ — независимые величины, соотношение (10.9) может иметь силу только в том случае, если равны стоящие при них выражения. Отсюда получаются равенства, которым должны удовлетворять старые и новые переменные для того, чтобы преобразование от одних к другим было каноническим:

dV

Pa = dG

(10.10)

尸。=一弱，

(10.11)

(10.12)

Уже было указано, что координаты и импульсы входят в уравнения Гамильтона симметричным образом. Поэтому можно напиСать формулы преобразования, в которых вместо старых и новых координат входили бы старые координаты и новые импульсы, или старые импульсы и новые координаты, или старые импульсы и Нов&е импульсы.

97974 Компанеец А. С.

97

97

Для примера покажем, как перейти от преобразований (10.10)—-

к таким, где вместо qa и Q§ входят 击 и Р伊 Положим

V = Vf-P^ 『 =『(q, Р)・(10.13)

Тогда первое слагаемое в (10.9) справа, т. е. %r, сократится с соответствующим членом из функции преобразования и полу-

чится такое равенство:

dqa口d卩 dqa ОН dP^

Ра dt" 一К 丨 dqa dt ' dP^ dt

dP 己dVr ,

Qb dt + dt '(1°」4)

Из него найдем другие формулы преобразования:

dVf

(10.15)

Qb =詬,

(10.16)

(10.17)

Способ получения дальнейших формул очевиден.

Уравнение Гамильтона — Якоби. Допустим, что удалось разыскать такую функцию преобразования V (q, Q), что новый гамильтониан К тождественно равен нулю. Тогда новые динамические переменные согласно (10.6) и (10.6') удовлетворяют еле* дующим уравнениям:

d& дК

-ЗГ=—福=°，(1618)

dQ^ ~dTdQ^ ~dT(10.19)(10.19)дК

dQ^ ~dT

dQ^ ~dT

(10.19)

(10.19)

= 0.沖В

Иначе говоря, и Рр, и Q^ постоянны, а так как решение задач механики требует разыскания 2〃 постоянных, функция V (q, Q), обращающая новый гамильтониан в нуль, сразу дает искомое решение. Эта функция удовлетворяет уравнению:

工'%) = - %(10・20)

Оно получается, если в (10.12) положить К = 0 н подставить в него обобщенные импульсы р из (10.15).

Уравнение в частных производных первого порядка (10.20) с 〃 переменными называется уравнением Гамильтона ——兄коби.

Разыскивать общее решение (10.20), содержащее 2п произвольных функций, не требуется. Достаточно найти так называемый полный интеграл этого уравнения, в который входит п произвольных неаддитивных постоянных С/. Он называется полным интегралом уравнения.

Если такой интеграл найден, то можно принять указанные “ постоянных за новые координаты, т. е. положить

Qi = Ср

Тогда согласно (10.11) получим новые импульсы*

Pi = T=_猊 (1。・21)

Эти новые импульсы, как видно из (10.18), есть тоже постоянные величины. Таким образом, из уравнения Гамильтона —— Якоби достаточно найти решение, содержащее половину всех интегралов движения, остальные определятся простым дифференцированием.

Разумеется, уравнение Гами«чьтона — Якоби обычно удается решить в замкнутом виде только в тех же случаях, когда решение может быть найдено как-либо еще. Но выкладки, ведущие к разысканию интегралов движения, при использовании уравнения Гамильтона —— Якоби сильно сокращаются по сравнению с другими методами решения задач механики. Кроме того, по конкретному виду уравнения (10.20) легче заключить, допускает ли оно решение в замкнутой форме.

Действие как функция преобразования. В качестве одной из возможных функций преобразования можно взять действие системы S. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим равенство (10.5), выражающее полную вариацию действия. В § 2 было указано, что вариация координаты отличается от дифференциала тем, что она произвольна, а дифференциал берется вдоль траекто^ рии действительно совершающегося движения. Отнесем теперь равенство (10.5) именно к этому случаю, т. е. к истинному движению. Тогда подынтегральное выражение обратится в нуль согласно уравнениям Гамильтона (10.6) и (10.6'), поскольку для истинного движения эти уравнения всегда выполняются. На пределах интегрирования вариации 6S перейдут в дифференциалы этих величин, взятые вдоль траекторий, так что и вариацию действия 6S можно заменить на dS・ Таким образом, получим:

dS = padqa — p^dq^. (10.22)

Но так как движение системы теперь определено, действие S можно рассматривать как функцию текущих координат ^ при заданных начальных значениях 诚.Это соответствует следующему построению. В начальный момент имеется непрерывный набор одинаковых по устройству систем, различающихся только начальными условиями движения. Иначе говоря, системы имеют одинаковые гамильтонианы и в начальный момент как бы заполняют гладкую поверхность так, что каждая точка поверхности отвечает определенному набору начальных условий движения.

С течением времени каждая система получает согласно динамическим законам и своим начальным условиям свое текущее значение обобщенных координат. Для этих координат снова можно построить поверхность наподобие начальной. Но на ней значение действия не будет таким, как на исходной поверхности для данных систем, «стартовавших» в момент Z = 0.

Подставляя сюда раПодставляя сюда ра0S dS _ dS_ dqa dt — dt dqa 成.из (10.24), получаем:0S dS _ dS_ dqa dt — dt dqa 成.из (10.24), получаем:(10.26)(10.26)

Подставляя сюда ра

Подставляя сюда ра

0S dS _ dS_ dqa dt — dt dqa 成.

из (10.24), получаем:

0S dS _ dS_ dqa dt — dt dqa 成.

из (10.24), получаем:

(10.26)

(10.26)

Если, однако, «выпускать» системы с начальной поверхности непрерывно, то в каждый момент времени найдется такая поверхность, на которой значение действия такое же, какое было в момент / = 0 у систем, «стартовавших» вначале. Следовательно, поверхность постоянного значения действия перемещается в- пространстве обобщенных координат 依， не будучи скрепленной с одними и теми же частицами (мы покажем это дальше на совсем простом примере свободных частиц).

Рассмотрим распространение поверхности постоянного действия (рис. 13),

показанное схематически в пространстве двух измерений. Так как действие теперь вычисляется вдоль известной траектории, оно является функцией %, Л а также той точки на начальной поверхности, где проходила данная траектория. Если S = S (,&, ^, /), то для данного момента времени / полный дифференциал dS должен быть равен:

dsd^q—焉时(10.23)

Сравнивая между собой (10.22) и (10.23), заключаем, что

(10.24)

(10.25)

где индекс внизу у скобки показывает, что все переменные из данной совокупности % или q^ считаются при дифференцированг1и постоянными.

d dS 口

Вычислим, кроме того, частную производную 石.Полная производная ^ равна функции Лагранжа (по определению действия). Частная производная отличается от полной следующим образом:

Но равенства (10.24) — (10.26) совпадают с (10.15) — (10.17), если положить в последнем из них новую гамильтонову функцию К равной нулю. Следовательно, действие является такой функцией преобразования, которая удовлетворяет уравнению Гамильтона —

Якоби. Постоянными интегрирования при этом являются начальные координаты, а другие п постоянных представляют собой не что иное, как начальные импульсы, согласно (10.25) и (10.21).

Итак, перемещение системы по траектории действительного движения осуществляет непрерывно развивающееся каноническое преобразование от текущих переменных координат и импульсов к постоянным начальным координатам и импульсам.

Найдем теперь скорость распространения в пространстве поверхностей с постоянным значением действия. Для наглядности возьмем систему с одной степенью свободы. Продифференцируем действие и потребуем, чтобы дифференциал обращался в нуль, поскольку надо узнать, как перемещается одно и то же значение S: ^=||歯+曾北

Вместо частной энергию со знаком скорость, т・ е. 雾,Вместо частной энергию со знаком скорость, т・ е. 雾,равна:равна:производной действия по времени подставим 《—》，а вместо ^ — импульс. Отсюда искомая

Вместо частной энергию со знаком скорость, т・ е. 雾,

Вместо частной энергию со знаком скорость, т・ е. 雾,

равна:

равна:

(10.27)(10.27)dq Е

(10.27)

(10.27)

dt =万，

Между тем скорость самих частиц v равна согласно (10.6') Едр

не частному 万，а производной Например, для свободных частиц поверхность постоянного действия переносится со скоро- mv2 и

стью т：—=т. е. вдвое медленнее самих частиц.

Интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби. Рассмотрим для примера, как интегрируется уравнение Гамильтона —— Якоби в конкретном случае — в задаче Кеплера. Функция Лагранжа в этой задаче, как было показано в § 3 (см. (3.11)), выглядит так:”

L = у(Г2 + /*2&2 + Г2 sE2 0 加2) — [у ⑺.

Найдем теперь функцию Гамильтона. Импульсы выражаются через скорости следующим образом:

Рг = тг, р® = тг2§, рф = тг2 sin2^qp.

Выражая отсюда обобщенные скорости через соответствующие импульсы и заменяя в гамильтониане входящую в функцию Лагранжа величину ——U на U, получаем:

” =d产 + 將 + 产鳥J + U("・(10.28)

Чтобы получить отсюда уравнение Гамильтона — Якоби, заме- наем по общему правилу импульсы на производные действия 口。 отвечающей им координате и приравниваем найденное выра-

as

жение —. Вместо функции преобразования V будем всюду

писать S. Тогда

[(鼾 + ^ 窝2 +篇)[+ °(，)=—嘗♦(1829)

Прежде всего надо исключить переменные, не входящие явным образом в уравнение, т. е. время / и азимут (р. Это делается так. Вместо S вводится новая функция S。一 так называемое укороченное действие:

S = -Et + p^ + S0 (г, 8).(Ю.ЗО)

Подставляя выражение (10.30) в (10.29), приходим к уравнению для So：

Чтобы проинтегрировать уравнение (10.31), будем искать решение в виде

S。= R (г)+ 8 ⑼.

Подставляем это решение в (10.31) и переносим члены, содержащие переменную 也 в левую часть равенства, а энергию — в правую часть (последнее не обязательно). Получилось, что слева стоит функция, зависящая только от радиуса, а справа — функция, зави* сящая только от полярного угла. Но г и ^ ——переменные независимые. Можно менять, например, г, не изменяя О. Тогда левая часть равенства будет меняться, а правая останется неизменной или наоборот. Такая ситуация может осуществиться в одном и только в одном случае: когда обе стороны равенства постоянны и не зависят ни от 厂,ни от О. Назовем их значение М2. Тогда получаем два урав* нения:

и

Интегрируя оба уравнения с помощью квадратур и объединяя результат в уравнении (10.30), находим полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, содержащий три произвольные постоянные:

S =一瓦+ 0料+、如)/m2-磊 + \ drV2m[(E-U-爲

(10.32)

Отсюда могут быть определены другие постоянные путем дифференцирования по уже известным постоянным £,夕① и М. Смысл первых двух новых постоянных легко усмотреть из ответа: это есть начальный момент времени и взятый со знаком《минус》начальный 102

азимут. Действительно, уравнения траектории после таких подстановок приводятся к виду:

3sЖ3sЖ=а ==а =(10.33)(10.34)(10.33)(10.34)Md^Md^М drМ dr・(10.35)・(10.35)

3s

Ж

3s

Ж

=а =

=а =

(10.33)

(10.34)

(10.33)

(10.34)

Md^

Md^

М dr

М dr

・(10.35)

・(10.35)

Интегралы, входящие в (10.33) и (10.35), могут быть найдены, если подставить конкретный вид зависимости потенциальной энергии от расстояния до центра U = U (г). Практически наиболее важный случай относится к задаче Кеплера, когда U =——-. Тогда уравнение (10.33) выражает зависимость радиуса 厂 от времени, (10.34) связывает между собой азимут и полярный угол и (10.35) дает зависимость радиуса от полярного угла.

Решение такого вида удобно использовать в тех случаях, когда около притягивающего центра движется не одно тело, а несколько, причем в разных плоскостях. Тогда полученное решение справедливо до тех пор, пока не учитывается взаимодействие между телами. При учете возмущения такое решение дает нулевое приближение.

Переменные действия и угловые перемен- н ы е. Рассмотрим теперь решение уравнения Гамильтона — Якоби применительно к задаче о финитном движении системы. Примером такого решения может служить (10.32), если потенциальная энергия U (г) относится к силам притяжения, а полная энергия Е V 0 при U (оо) = 0.

При финитном движении в центральном поле г, *& и ф изменяются в конечных пределах, которые для г и ^ устанавливаются из условия положительности подкоренных выражений в (10.32).屮 ме* няется от 0 до 2n. Из уравнения (10.24) видно, что

Эти импульсы имеют действительные значения при данных Е, Л1 и в тех случаях, когда под корнем стоят положительные величины.

Допустим, что движение финитно по всем переменным. Тогда любой из интегралов

h=^\Pidqi(Ю.36)

по всей области изменения р» и % сходится. Область интегрирования начинается от любого значения д», идет до предела изменения qt с одной стороны (где подынтегральное выражение обращается в нуль), назад до другого предела и опять до %. Иначе говоря, это площадь кривой р» = Pi (%), нарисованной в плоскости, где по координатным осям отложены р», ^.(急 введено в определение для того, чтобы выполнялось такое равенство:

2л

/屮=元\ p屮d屮=аР»о

т. е. /ф просто совпадал с рф; для единообразия такой же множитель входит во все 〃・)

Допустим, что интегралы Ik вычислены для всех переменных. Очевидно, что они зависят только от первых интегралов движения, которые определяют значения всех обобщенных импульсов ра. Например, в случае задачи Кеплера 1п /§, /ф выражаются через Е, М, рф. Выразим теперь первые интегралы через величины /^. Тогда получится, в частности, энергия как функция всех /女：

Е = Е(& /“••，〃一•・，〃)•(10.37)

Подставим интегралы движения, выраженные через /Л, в функцию действия, аналогичную (10.32), но не содержащую времени явно, т. е. такую, в которую не введен член ——Et. Тогда согласно общей теории канонических преобразований получаем функцию преобразования от переменных % к другим переменным, тоже каноническим. Пусть в новых переменных Ik — обобщенные импульсы. Функция преобразования теперь имеет вид:

S = &@,厶).(10.38)

Так как время не входит в (10.38) явно, новый гамильтониан в соответствии с (10.17), равен старому:

К = Н = Е (…I(10.39)

Но этот новый гамильтониан зависит только от обобщенных импульсов /为,так что, применяя формулы (10.6) и (10.6'), получим уравнения Гамильтона для импульсов lk и соответствующих координат, которые обозначим wk:

wk =砍=const.(10.41)

Интегрируя уравнение (10.40), еще раз убеждаемся, что Ik — постоянные движения. Из (10.41) следует, что переменные wk линейно изменяются со временем:

叫=总 +贓.(10.42)

Величины wk и Ik называются угловыми переменными и переменными действия. Такое название для wk выбрано потому, что эти переменные нарастают наподобие угла при равномерном вращении.

Будем теперь следить за изменением одной угловой переменной, происходящим за счет того, что соответствующая обобщенная координата пробегает в обе стороны весь дозволенный интервал значений. Л1ы следим не за фактически совершающимся движением, когда меняются все обобщенные координаты, а закрепляем значения всех координат, кроме одной, и эту одну изменяем при заданном значении всех интегралов движения /丄±々・

Ясно, что, когда изменяющаяся координата пробегает все возможные значения и вместе с соответствующей скоростью возвращается к исходному значению, приращение получает только отвечающая ей угловая переменная wk. Приращение действия при этом воображаемом цикле есть 2冗/〃, так как \pidqi на одном цикле равен 2лЛ (см. (10.36)). Но согласно (10.16) такому изменению действия надо сопоставить изменение угловой переменной А®〃， связанное с ним равенством:

a畋=n叉=2冗/后=2n.

& dlk & di k &

Найдем необходимый для этого цикла промежуток времени тй. Согласно (10.42) имеем:

А^ = %/ = 2九(10.43)

Такому периоду изменения координаты отвечает частота о)Л, согласно общему определению равная ^, т. е.

дЕ

Если бы изменялась только координата ^, то, имея период изменения 七々,она зависела бы от времени по закону:

% =(10.44)

、rz = 1, 2, .../

На самом деле, однако, все qk зависят от всех 侬〃 так что вместо частного закона (10.44) надо написать более общий:

qnk e ” 卜 (10.45)

где целые числа nk приобретают всевозможные значения.

Тогда, «останавливая время» для всех переменных, кроме одной, мн вернемся к (10.44), т. е. к периодической зависимости, а в действительности имеем зависимость более общего вида— (10.45).

Если частоты 9卜 несоизмеримы, то все линейные комбинации Епд с целыми пк различны. Поэтому функция (10.45) ни при каких £ ни разу не возвращается к исходной величине, какую она имела при / = 0. Но она может подойти к начальному значению сколь угодно близко, если ждать достаточно долго. Координата qk не периодическая, а, как говорят, почти периодическая, или условно периодическая функция времени.

Иногда оказывается, однако, что частоты соизмеримы. Тогда по истечении времени, кратного всем периодам, система вернется в исходное состояние, и ее траектория замкнется. Пример замкнутой траектории представляет эллиптическая траектория в задаче Кеплера, где все три периода т「，т^ и тф одинаковы. Другой такой же случай ——двумерный гармонический осциллятор с одинаковыми частотами колебаний по двум направлениям.

Адиабатические инварианты. Допустим теперь, что система подвержена некоторому внешнему воздействию, зависящему от времени (например, гамильтониан содержит параметр 儿 который со временем постепенно изменяется), но примем, что за любой из периодов 匸左 параметр 九 меняется очень мало.

Если гамильтониан системы явно содержит время, то функция преобразования S】к переменным Ik тоже должна зависеть от времени. При этих условиях старый гамильтониан не равен новому, а согласно (10.17) связан с ним таким соотношением:

К = Е (•・/・••)/ = £-幽工 (10.46)

Здесь производную (翁，при очень медленном изменении 九 можно отнести к постоянному 九,а (10.46) рассматривать как разложение гамильтониана в ряд Тейлора, включающее только член первого порядка малости по 工

Если изменяется со временем гамильтониан, то переменными должны являться и производные от него величины:

厶=—算=(^^1)工 (10.47) & dwk \dwk 丿

Мы покажем, однако, что в известном смысле Ik изменяются гораздо медленнее 九.Для этого введем понятие среднего по вр) мени от некоторой величины / (/):

Ишу \ fdt. (10.48)

Допустим, что интервал времени / очень велик по сравнению со всеми периодами системы xkf но весьма мал сравнительно со временем заметного изменения параметра 入.Или, если записать это в виде сильных неравенств:厶九=入/《入 н з"》1, тогда можно,

усредняя по времени уравнение (10.47), вынести Z из-под интеграла. Получится следующее равенство:

厶=｝［厶⑴-4 (0)］=［磊J X

Производная〈冢)(,как видно из записи (10.46), берется при постоянных /々・ Поэтому, если время изменяется на любой целый период тй (когда к S прибавляется 2冗/Q, производная ^ такой добавки не получает, оставаясь условно периодической функцией.

Но среднее значение от функции е 右 за достаточно большой промежуток времени стремится к нулю, потому что

lim ； \ е 尼 dt =lim ； \ е 尼 dt =力£%3第力£%3第=0.=0.Следовательно,Следовательно,среднеесреднееизменение величиныизменение величины"⑴一厶（0）"⑴一厶（0）происпроис

lim ； \ е 尼 dt =

lim ； \ е 尼 dt =

力£%3第

力£%3第

=0.

=0.

Следовательно,

Следовательно,

среднее

среднее

изменение величины

изменение величины

"⑴一厶（0）

"⑴一厶（0）

проис

проис

ходит не в меру изменения 九 за то же время, а гораздо меньше. В пределе, считая Z бесконечно малой величиной первого порядка малости, находим, что изменение /左 есть бесконечно малая меньшего порядка. Иначе говоря, Ik должно считаться постоянной величиной.

Этим важным свойством 1к отличается от энергии, которая меняется соответственно 九,иначе говоря, не сохраняется. Произвольно медленное изменение величины в системе называется адиабатическим. Так как Ik при таком изменении сохраняется, его называют адиабатическим инвариантом.

Вычислим его для линейного гармонического осциллятора. Согласно общему определению (7.31) энергия отдельного осциллятора равна:

e=^ +学. (10.49)

Отсюда адиабатический инвариант равен:

/ 2石/ 2石(10.50)

/ 2石

/ 2石

Допустим, что вследствие изменения упругой постоянной осциллятора медленно меняется его частота. Тогда согласно (10.50) ока- зывается, что энергия должна меняться пропорционально частоте.

Если, к примеру, постепенно менять длину подвеса маятника, То с помощью (7.3) нетрудно заключить, что энергия качаний будет

обратно пропорциональна корню квадратному пз длины. Выражая энергию через угловую амплитуду колебаний 屮。по формуле

Е = — mgl^l，заключаем, что 屮。〜Z~3/4.

Выводы, относящиеся к маятнику, можно, разумеется, получить и совершенно элементарно. Для этого надо рассчитать, какая работа против силы натяжения нити совершается при ее укорочении за один период качания. Если нить укоротилась на А/, то в энергию качания перейдет только половина совершенной работы, т. е. разность между работой повышения наивысшей и наинизшей точек маятника. Сила натяжения нити, обусловленная качаниями маятника, равна ^^, где и = /①屮。sin з/. Учитывая, что средний квадрат синуса при одном качании равен %, получи?л, что работа вытягивания точки подвеса, перешедшая в энергию колебаний, есть — у • у ^Фо^^- Так как сама энергия колебаний равна ^mgl^, имеем отношение:

Переходя от разностей к дифференциалам и интегрируя, получим:

Е ]/"/ = const.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти функцию преобразования от переменных Р, Q к переменным /, ш для линейного гармонического осциллятора.

Решение. Интеграл действия для линейного гармонического осциллятора равен:

S] = ) Р dQ = J M2E-32Q2 dQ.

Согласно общему правилу сюда надо подставить интеграл энергии, выраженный через переменную действия / согласно (10.50), т. е. £ = /о).

Тогда действие равно:

So = /arcsinQ|/~务+•

В такой форме это есть функция преобразования, включающая старую координату Q и новый импульс /. Согласно (10.13) и (10.16) функция преобразования, выраженная через старую координату Q и новую координату 5, связана с S； соотношением:

Это даст искомую функцию преобразования, выраженную через старую координату и новый импульс. Сюда надо подставить новый импульс, связанный с новой координатой по формуле:

—2 sin 侬 *

Окончательно получаем искомую функцию преобразования в таком виде (преобразование Пуанкаре):

So = — ctg W.

Построить уравнение поверхностей постоянного действия для системы материальных точек в поле тяжести, вылетающих из одной точки пространства с одним и тем же абсолютным значением скорости и。.

Решение. Выбираем начальную точку за начало координат. Тогда

Vx = VOX1 Рх = ти()х，X = Voxlt fv == ^oyt Py = ^^oyt U = %yfs

% = Uoz —g/，Pz = mvoz — mgt, £ = %/ —号.

Исключая начальные условия для скоростей, задающие траекторию каждой отдельной частицы, получаем для поверхности постоянного действия S в целом:

х dSу dS mz mgt dS

&=加7 =苏，Pv=mL30，厶=7— 丁 =石，

По выражению для S находим энергию:

Е 一穿=窈Р+附+ (守+眾+孥h*

Найти переменные действия для задачи Кеплера.

Решение. Согласно (10.32) определяем выражения для переменных действия /心 и /「：N

2n/6=2〈1/~М2

入歹 sin2 v

где на пределах интегрирования подкоренные выражения обращаются в нуль. Подставляя U =——~, получаем в результате элементарных выкладок:

/б = 〃一Ар,

Зная, кроме того, что /屮=р®, выражаем энергию через переменные действия:

= ~ 2(/.+ /^ + /^ *

Таким образом, совпадают все три частоты обращения:

дЕ心т

= 3一叫=7 d 4向.，

"т。соответствует замкнутой траектории.

Энергия, теряемая Солнцем на излучение, получается за счет расходова- ннх его массы. Определить^ как это сказывается на орбитах планет.

Решение. Исходим из уравнения орбиты в ее плоскости (5.12"). Постоянная а в выражении для потенциальной энергии равна утт^ где 丫 ——константа тяготения. Переменным параметром 九 в данном случае является масса Солнца т0. Выражаем эксцентриситет орбиты 8, большую полуось b и период обращения т через переменные действия, которые не меняются при медленном изменении параметра /и0 (адиабатические инварианты):

а片 т 2，2冗(/，+%)?

?(〃 + Лр)2‘一w声也0(1.82),一乎〃3 階.

ЧАСТЬ //

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

§ 11. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Уравнения электродинамики значительно упрощаются, если писать их в векторной форме или в некоторых случаях в тензорной форме. При использовании векторов нет произвола, связанного с выбором той или иной координатной системы, и яснее видно физическое содержание уравнений. Тензорная запись, применяемая в теории относительности, дает в этом смысле еще больше:

она позволяет относить уравнения не только к произвольным коор динатам, но и к любой инерциальной системе отсчета.

Мы предполагали у читателя знакомство с элементами векторной алгебры, но по ходу изложения ввели некоторые уточнения понятий. Кроме того, в § 9 было дано определение тензора, при котором векторные величины выступают как частный случай величин более общего класса.

В электродинамике применяются векторные дифференциальные операции. В первой части встречалась только одна такая операция: дифференцирование скаляра по вектору. Так рассчитывался, например, импульс по функции Лагранжа или сила из формулы потенциальной энергии. Но может встретиться и дифференцирование вектора по вектору. Очень полезно при этом сохранять векторную форму записи, в которой лучше виден геометрический смысл операций.

Этот параграф посвящен векторным дифференциальным операциям, а также тензорной алгебре в том объеме, который понадобится при изучении теории относительности.

Вектор площадки. Определим прежде всего вектор элементарной площадки ds. Так называется вектор, направленный

по нормали к площадке, численно равный ее поверхности и связанный с направлением обхода контура площадки, как перемещение правого винта с направлением вращения его головки (рис. 14). Под это определение подходит, в частности, векторное произведение двух векторов, которое численно равно площади построенного на них пар ал лелогр амм а и, как вектор, перпендикулярно его плоскости. В § 4 бььло дано подробное доказательство того, что получающаяся в результате векторного умно-

ки разлагается на составляющиеки разлагается на составляющиежения величина есть вектор, по крайней мере, по отношению к поворотам координатной системы. Это доказательство справедливо и по отношению к вектору любой элементарной площадки.

ки разлагается на составляющие

ки разлагается на составляющие

Будем пользоваться правовинтовой системой координат х, у, z, в которой вращение идет от % к 乡 против часовой стрелки, если смотреть со стороны оси z (рис. 15). В этой системе координат вектор плогцад- так:

dsx = dy dz, ds尸 dz dx, dSz = dx dy.

Поток вектора. Предположим теперь, что через площадку течет жидкость с плотностью, равной единице («вода»), причем скорость течения изображается вектором z. Угол между ds и z обозначим а. На рисунке 16 показаны линии тока жидкости, проходящие через ds. Они параллельны скорости о. Вычислим ежесекундный расход жидкости через площадку ds. Этот расход равен просто yds\ где dsr — показанная на рисунке 16 площадка, поставленная перпендикулярно линиям тока. Действительно, через площадку ds' за единицу времени проходит цилиндр жидкости с основанием 厶'и высотой V. Но dsr = ds cos а, откуда искомый расход жидкости равен:

(Hl)(Hl)dJ uds' = vds cos а = zds.

(Hl)

(Hl)

Аналогичным образом скалярное произведение любого вектора Д, взятого в той точке, где находится бесконечно малая площадка, на ds называется потоком вектора А через площадку ds. Подобно тому как поток жидкости через конечную площадь s равен интегралу от dJ по поверхности:

J = \wds>(11.2)

потокомвектора Л через любую поверх

ность называется интеграл

J = \Ads.(11.3)

Вектор площадки введен для того, чтобы можно было пользоваться бескоор- динатной и наглядной записью (11,3). Вхо

дящие в (11.3) интегралы двойные. Переходя к проекциям, (11.3) можно записать так:

J = ^ A ds ^е \ \ Ах dy dz + + V Ау dz dx+^ 4 dx dy, причем пределы двойных интегралов определяются соответствующими проекциями контура, ограниии~ вающего поверхность, на координатные плос кост и.

Теорема Г а у с- с а — Остроградско-

г о. Вычислим поток вектора через замкнутую поверхность. Для этого рассмотрим сначала бесконечно малую замкнутую поверхность параллелепипеда (рис. 17). Условимся проводить нормаль к элементу замкнутой поверхности всегда из объема наружу.

Вычислим поток вектора 4 через площадку ABCD (направление обхода согласовано с направлением нормали). Так как поток равен скалярному произведению А на вектор площадки ABCD, направленный в сторону отрицательных х (как видно из рисунка 17) и равный ——dydz, получим для бесконечно малой площадки:

dJABcD = — 4 (%) dy dz.

Такое же выражение имеем для площадки AfBfCfDf, только в этом случае проекция dsx равна dydz и Ах берется не в точке х, а в точке х + dx. Поэтому

dJa，b，c，d，= /*(%+ d%) dy dz.

Таким образом, результирующий баланс потоков через обе площадки, перпендикулярные оси х, равен:

cUabcd + dJA^^c^D^=[Ax(x + dx)—Ax (x)]dydz = ~^> dxdydz. (11.4)

Мы воспользовались тем, что dx — бесконечно малая величина, и разложили Ах (% + dx) в ряд: Ах (% + dx) = Ах (%) + 给 dx. Аналогично составляется баланс потоков через грани, перпендикулярные осям у и z. Полный поток через всю поверхность параллелепипеда равен:

dJ = (~аг + ^ + ^1)dx dydz- ⑴・5)

Конечный замкнутый объем можно разбить на малые параллелепипеды и применить соотношение (11.5) к каждому из них в отдельности. Если просуммировать все потоки, то потоки через смежные

грани компенсируются, потому что поток, вытекающий из одного параллелепипеда, втекает в соседний. Останутся только потоки через внешнюю поверхность выбранного объема, которые ничем не возмещаются. Между тем правые части (11.5) будут складываться для всех элементарных объемов dV = dxdydz и получится важнейшая интегральная теорема:

缺 + 芻 + 請)仅(H.6)

Она называется теоремой Гаусса — Остроградского.

Дивергенция вектора. Выражение, стоящее справа под знаком объемного интеграла, можно записать значительно короче. Прежде всего замечаем, что это скалярное выражение, потому что слева в (11.6) стоит скаляр («масса воды») и dV тоже скаляр. Это выражение называется дивергенцией^ или расходимостью вектора Л и обозначается так:

divZ 三胆+ 胆 +胆.(11.7)

дх ду дг''

Дивергенцию можно определить независимо от какой-либо координатной системы, если воспользоваться (11.5). Действительно, из этого равенства выводится такое определение дивергенции:

div 4 = lim 纬竺.(11.8)

Дивергенция вектора в данной точке равна пределу отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку, к объему, заключенному внутри поверхности, когда поверхность стягивается в точку.

Представим себе, что вектор А задает поле скоростей какой-то жидкости. Тогда из определения (11.8) видно, что дивергенция вектора Л есть мера плотности источников жидкости, или число источников, из которых вытекает единица массы жидкости в единицу времени, приходящаяся на единицу объема. Очевидно, что, чем больше источников приходится на единицу объема, тем больше из него вытекает жидкости в целом. Если div А имеет отрицательный знак, можно говорить о плотности стоков, но удобнее определять плотность источников, приписывая им тот или иной знак.

Заметим, что из (11.7) следует величина

+Ц = 1 + 1 +(Н.9)

так как 厂 имеет составляющие %, у, z.

То же самое нетрудно вывести из бескоординатного определения дивергенции (11.8). Построим из начала координат конус, заключающий бесконечно малый телесный угол при вершине (см. § 6). Радиус-вектор не имеет потока через боковую поверхность конуса, потому что он совпадает с образующей, а следовательно,

перпендикулярен нормали к элементу поверхности. Он скользит по этой поверхности, а не пронизывает ее. Поток радиус-вектора проходит только через основание конуса.Так как конус имеет бесконечно малый угол раствора, его основание равно 产dQ Радиус-вектор во всех точках перпендикулярен основанию, следовательно, поток радиус-вектора через основание составляет r-r2dQ.перпендикулярен нормали к элементу поверхности. Он скользит по этой поверхности, а не пронизывает ее. Поток радиус-вектора проходит только через основание конуса.Так как конус имеет бесконечно малый угол раствора, его основание равно 产dQ Радиус-вектор во всех точках перпендикулярен основанию, следовательно, поток радиус-вектора через основание составляет r-r2dQ.УУООВ匸4 dzВ匸4 dzРис. 18Рис. 18СDСDZZОбъем конуса равен произведению площади основания на треть высоты, т. е. опять-таки радиуса. Подставляя поток радиус-вектора и объем конуса в (11.8), получаем div 尸=3. В этом доказательстве по существу даже не надо было считать конус бесконечно малым. Мы поступили так для того, чтобы воспользоваться общим определеОбъем конуса равен произведению площади основания на треть высоты, т. е. опять-таки радиуса. Подставляя поток радиус-вектора и объем конуса в (11.8), получаем div 尸=3. В этом доказательстве по существу даже не надо было считать конус бесконечно малым. Мы поступили так для того, чтобы воспользоваться общим определением дивергенции вектора.Контурные интегралы и теорема Стокса. Рассмотрим векторный интеграл по замкнутому контуру, имеющий такой вид:C^^Adl = ^Axdx + Aydy + A2dz). (11.10)нием дивергенции вектора.Контурные интегралы и теорема Стокса. Рассмотрим векторный интеграл по замкнутому контуру, имеющий такой вид:C^^Adl = ^Axdx + Aydy + A2dz). (11.10)

перпендикулярен нормали к элементу поверхности. Он скользит по этой поверхности, а не пронизывает ее. Поток радиус-вектора проходит только через основание конуса.

Так как конус имеет бесконечно малый угол раствора, его основание равно 产dQ Радиус-вектор во всех точках перпендикулярен основанию, следовательно, поток радиус-вектора через основание составляет r-r2dQ.

перпендикулярен нормали к элементу поверхности. Он скользит по этой поверхности, а не пронизывает ее. Поток радиус-вектора проходит только через основание конуса.

Так как конус имеет бесконечно малый угол раствора, его основание равно 产dQ Радиус-вектор во всех точках перпендикулярен основанию, следовательно, поток радиус-вектора через основание составляет r-r2dQ.

У

У

О

О

В

匸

4 dz

В

匸

4 dz

Рис. 18

Рис. 18

С

D

С

D

Z

Z

Объем конуса равен произведению площади основания на треть высоты, т. е. опять-таки радиуса. Подставляя поток радиус-вектора и объем конуса в (11.8), получаем div 尸=3. В этом доказательстве по существу даже не надо было считать конус бесконечно малым. Мы поступили так для того, чтобы воспользоваться общим определе

Объем конуса равен произведению площади основания на треть высоты, т. е. опять-таки радиуса. Подставляя поток радиус-вектора и объем конуса в (11.8), получаем div 尸=3. В этом доказательстве по существу даже не надо было считать конус бесконечно малым. Мы поступили так для того, чтобы воспользоваться общим определе

нием дивергенции вектора.

Контурные интегралы и теорема Стокса. Рассмотрим векторный интеграл по замкнутому контуру, имеющий такой вид:

C^^Adl = ^Axdx + Aydy + A2dz). (11.10)

нием дивергенции вектора.

Контурные интегралы и теорема Стокса. Рассмотрим векторный интеграл по замкнутому контуру, имеющий такой вид:

C^^Adl = ^Axdx + Aydy + A2dz). (11.10)

Этот однократный интеграл называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру. Если, например, 4 ——сила, действующая на какую-нибудь частицу, то Adi = Adi cos а есть работа силы на элементе контура dl, С — общая работа обхода контура.

Докажем теперь, что циркуляцию вектора 4 по контуру можно заменить интегралом по поверхности, натянутой на контур. Рассмотрим проекцию бесконечно малого прямоугольного контура на плоскость yz. Пусть эта проекция тоже имеет вид прямоугольника, показанного на рисунке 18. Вычислим циркуляцию 4 по этому прямоугольнику. Сторона АВ даст вклад Ау (г) dp, а сторона CD — вклад ——Ау (г + dz) dp, где знак «минус» надо писать потому, что направление вектора CD обратно направлению вектора АВ・ В сумме по сторонам АВ и CD палучаем:

-Ay(z + dz) dy-Y Ay(z)dy = — -^-dy dz,

где проекция Ay (z + dz) была разложена в ряд по dz・ Сумма по сторонам ВС и AD равна:

4z(D + dy) dz — Az(y} dz = -^dy dz・ Результирующая величина циркуляции в плоскости yzi

ddz = (醬一等)dydz=(芻一芻)ds*三В*ds*. (Н.П) Обозначение Вх ясно из равенства.

Если контур произвольным образом ориентирован в пространстве, все его бесконечно малые отрезки надо согласно (11.10) проецировать на три координатные оси. Тогда весь контур будет иметь проекции на три координатные плоскости, и циркуляция разложится на сумму трех выражений вида (11.11).

Циркуляция по выбранному малому контуру будет равна:

dC = Вх 厶% + Ву dsy + В% dSz = В ds,(11.12)

где В%, By и В? суть сокращенные обозначения для таких разностей частных производных:

当=号-肃(n-13)

8产争一翁,(И.14)

daх

丛 W・(11.15)

Циркуляция — величина по определению (11.10) скалярная, следовательно, в равенстве (11.12) справа тоже стоит скалярная величина. Но так как ds ——вектор, то и В тоже вектор, составляющие которого определяются равенствами (11.13) — (11.15).

Вектор В имеет специальное название: он называется ротором, или вихрем вектора А и обозначается так:

b= rot 4・

rot Д разлагается по координатным осям с помощью трех единичных векторов, или ортов:

5 = rot 4 =#*)隱一翁)+偿一竊! +球*)(等_寥.

(11.16)

Сравнивая (11.16) и (11.12), видим, что в равенство (11.12) входит нормальная к площадке составляющая rot А:

\4 d/ = rot〃4 ds,(11.17)

где индекс п при rot 4 показывает, что надо брать не весь вектор rot Л, а его проекцию на нормаль к площадке ds. Формула (11.17) позволяет определить rot 4 бескоординатным способом, подобно тому как в (11.8) была определена div А. Именно:

rotrt4 = lim ^4^，(11.18)

так что нормальная составляющая вектора rot А к любой площадке в данной точке пространства есть предел отношения циркуляции по контуру площадки к ее поверхности, когда контур стягивается в точку.

Для того чтобы интеграл \ Adi не обращался в нуль, надо иметь замкнутые векторные линии, в какой-то степени следующие за контуром интегрирования, подобно замкнутым линиям тока жидкости при вихревом движении. Отсюда термин «вихрь», или «ротор», указывающий на вращение.

Если циркуляция вычисляется по конечному контуру, то его можно разбить сеткой на бесконечно малые ячейки. Циркуляция по сторонам смежных ячеек компенсируется, так как каждая сторона проходится дважды в противоположных направлениях и остается только циркуляция по самому внешнему контуру. Интеграл от правой стороны равенства (11.17) дает поток rot А через поверхность, натянутую на контур. Таким образом, получается интегральная теорема:

\Adl = ^rotAdsf(11.19)

называемая теоремой Стокса.

Дифференцирование по радиус-вектору. Дивергенция и ротор вектора суть его производные по векторному аргументу. Их можно свести к единой записи следующим приемом. Введем символический вектор v (набла ) с составляющими:

三盘，办三房，匕三糸.(11.20)

Тогда умножение слева на наблу означает дифференцирование по радиус-вектору. Но умножение векторов может производиться двумя способами. Скалярное произведение вектора набла у на вектор 4 должно выглядеть так:

(V%) = VXAX + ^УАУ + ^ZAZ~ + 塌 + 若三 div 4. (11.21)

Другой способ умножения векторный, который определяется так:

尸用=川)(办4 一h儿)+歩⑴(弘Av -厶4,)+

+ 献')(弘儿 一 ▽諸L) = rot A.(11.22)

Всюду поставлен знак тождества «=», чтобы подчеркнуть, что речь идет просто о новой системе обозначений. Эта система о6оз・ начений очень удобна в векторном анализе благодаря большой наглядности производимых операций и сжатости записей. При доказательстве любых общих соотношений прибегать к разложению векторов на составляющие оказывается просто ненужным, если пользоваться наблой.

В отношении алгебраических операций набла во всем подобна обыкновенному вектору. Умножением на наблу называется ее применение к данному выражнию, если оно дифференцируется. Иногда набла множится на вектор, обычно справа, не будучи применена

к нему как производная. В этом случае она применяется к другому вектору (см. (11.30), (11.32)).

Если применить у к скаляру ср, то получится вектор, называемый градиентом скаляра ср:

grad(р = V(p = * 需十〃"骂 + 〃⑺患.(11.23)

Его проекции таковы:

й屮=需翁亠屮=尊.(1L24)

Из формул (11.24) видно, что вектор v(p перпендикулярен поверхности ср = const. В самом деле, если взять вектор dZ, лежащий на этой поверхности, то ср при смещении на dl (по определению dZ) не изменится. Это надо записать так:

dq)=工％ + 患山什螫叱= (V(p,阳=0,(11.25)

т. е. V9 перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, касательной к поверхности ср = const в данной точке пространства, что и утверждалось.

Дифференцирование произведений. Приведем теперь правила дифференциальных операций с наблой. При этом следует помнить, что v по отношению к дифференцированию —• знак производной, а по отношению к правилам преобразования координат ——вектор и умножается, как и всякий вектор.

Прежде всего градиент от произведения двух скаляров вычисляется, как производная произведения:

Vq)2 = /2 +屮 V(p.(11.26)

Дивергенция от произведения скаляра на вектор строится так: div (рА = ^ф(рЛ) + (?д,(р4) = Д (V(p) + ср (V4)=

=Л grad ф +(р div А.(11.27)

Здесь индексы 屮 и 4 при v показывают, на что действует у.

Аналогичным способом найдем ротор от (рА:

rot 屮4 = [%, срД] + [V4, q)4] = [V(p, Д] +(р rot Л. (11.28)

Теперь будем применять у к произведению двух векторов: div [43] = (V [АВ])=\уЛ [АВ]) + (喝[АВ]).

В обоих слагаемых произведем циклическую перестановку, поскольку с V ПРИ умножении можно обращаться, как с обыкновенным вектором. Во втором слагаемом поставим, кроме того, Я после vB, причем следует изменить, как обычно, знак векторного произведения. Получится:

div [АВ] = (5 [?дА]) - (4 [V^B]) = 5 lot А - 4 rot В. (11.29)

Найдем ротор от векторного произведения. При этом надо пользоваться соотношением [AlBC]] = В (4С) —С (43):

rot [АВ] = [V [АВ]]=[以[АВ]] + [VB [AB]] = (VaB) А 一一(以4) 3 + (VBB) A-(AVb)B =

=(BV) A-BdivA + AdivB-(Л?) B. (11.30)

Здесь новыми для нас являются символы (4V), (BV), примененные к векторам В и А. Очевидно, что символы (AV) и (BV)— символические скаляры, по определению v равные:

(ДV)А^х + AyVy + A^2 = Ax~ + Ay^ + A^. (11.31)

и аналогично (Bv). Тогда (ДV) В есть вектор, который получается из вектора 3 путем применения ко всем его компонентам скалярной операции (4V) согласно (11.31). Так как операция (4V) скалярная, ее можно вносить под знак умножения векторов — скалярного и векторного, помня при этом о ее дифференциальных свойствах.

Нам остается еще вычислить из операций такого рода градиент от скалярного произведения:

?(ДВ)-?л(ДВ) + ^в(ДВ).

Применим то же преобразование, что и в предыдущем случае: grad (43) = (3 以)А + [В рлД]]十(4^) В+[А 卩6司=

=(SV) А + [В rot Д] + (4V) В+[А rot В].(11.32)

Некоторые частные выражения. Укажем некоторые существенные случаи применения у.

Из определения дивергенции (11.7) имеем согласно (11.27) и (11.9):

div % = ^ div Tг grad 鳥=^ 一 "^^ =0■(11 ・33)

Беря градиент от ^, мы применили правило дифференцирования сложной функции: сперва дифференцировали ^ по г, а затем взяли v，・ Это делается следующим способом. Зная, что г = и М%2 十 比 十 ％2, наХодим:

Переходя от компоненты по % к векторной записи, получаем:

Vr = j(11.34)

Следовательно, *=得户=一^；.

Ротор от радиус-вектора равен нулю. Например, для составляющей по оси % имеем:

rot г = ~ — =0

* ду dz и вообще

rot г = 0.(11.35)

Возьмем теперь

(А^) х = Ах^-[- ^y^~V Az^z = AXi

а для всех компонент г сразу

(А^)г=А.(11.36)

Покажем, как применять у к вектору, компоненты которого зависят только от абсолютной величины радиус-вектора г. Как и в случае скаляра, надо применять правило дифференцирования сложной функции, а для уг подставлять согласно (11.34) у. Для дивергенции А (г) получаем:

m4(Г)=(工")=屮，(11.37)

где А — полная производная Д по аргументу г, т. е. вектор, составляющими которого являются производные от трех компонент вектора Д по г:力打 Ау и Az,

Далее,

rot Д (r) = [Vr, %]=》・(11.38)

Повторное дифференцирование. Найдем теперь некоторые результаты повторного применения V-

Ротор от градиента некоторого скаляра равен нулю:

rot grad(p = [V, V(p] = [VV](p = 0,(11.39)

так как векторное произведение любого вектора (в том числе v) на самого себя равно нулю. В этом можно убедиться, раскрывая rot grad ср по составляющим.

Дивергенция ротора тоже равна нулю:

div rot Д - (V [V4]) = ([VV] 4) = 0.(11.40)

Запишем в составляющих дивергенцию градиента скаляра ср. По формулам (11.7) и (11.24) имеем:

div grad(p = (VV)(p =鬻 + 窘+ 塞三 А(р. (11.41)

Здесь Д (дельта)——так называемый оператор Лапласа〉или лапласиан:

А _涓丄°2丄/

Наконец, ротор ротора раскрывается как двойное векторное произведение:

rot rot^ = [V[V^]] =

=V(V^)-(VV) Л-

=grad div 4 — A4. (11.42)

Последнее равенство обычно применяют для определения АЛ, так как в криволинейных координатах Аф и △ 4 выражаются различно. Нельзя

сказать, что ДА есть дивергенция градиента вектора, потому что не определен градиент от вектора.

Криволинейные координаты. Во многих задачах полезно переходить от прямоугольных координат к криволинейным. Покажем теперь, как в криволинейных координатах пишутся различные векторные операции, определенные в этом параграфе.

Криволинейные координаты %, ^2, ^3 называются ортогональными, если в выражение элемента длины 由？ входят только квадраты этих координат (dq；, dq\ и dq^ и не входят их произведения, т. е. dqdq?, dq3dqi и dq2dq3. Подобно этому в прямоугольных координатах dP = dx2 + dy2 + В ортогональных координатах

d/2 =抬 dq； + 用 dg + 招 d优.(11.43)

Например, в сферических координатах д】=г, q^ = ", q3 = ф.

Элемент длины в сферических координатах (см. (3.10)):

d/2 = dd + 产d心2 + 产 sjn2 0 dq)2, так что

无1=1,九2 =广，h^ = r sin#.

Построим элементарный параллелепипед (рис. 19). Тогда составляющие градиента равны:

gradi屮片器gra&屮=£% grads中=公品.(U.44)

Чтобы раскрыть дивергенцию, повторим вывод теоремы Гаусса — Остроградского для рисунка 19. Площадка ABCD равна 用2用3dq2dqз・ Поток вектора 4 через нее представляет собой

41(%)九2斤з d% d%・

З^есь 屈2 и /ц берутся при том же значении %, что и Лх.

Сумма потоков через площадки A BCD и A'B'CD' составит悬(九2%旬 dq*dq2 d%,

где величина h2h3A1 разлагалась по d% в точке q* аналогично (11.4). Полный поток через все грани есть

dJ =［誥(力2九34) + / (用3用4) +為(历用243)］ d% d%歯з.

Воспользуемся теперь определением дивергенции (11.8):

dJ = div A-dV = div A • 111112fh dq* dq2 d%.

Следовательно,

5v 4 =出［詁电爲4)+談仇"J + /电色闻. (n-45)

Если подставить вместо &, Л2 и 4 выражения (11.44), то получится лапласиан от скаляра в криволинейных ортогональных координатах.

В сферических координатах он равен:

=3〃噂+詣sin® 需 +龄.(11.46)

По теореме Стокса можно вычислить и ротор вектора в криволинейных координатах. Не повторяя вывода теоремы (11.19), запишем:

г"1 А = а係辰Аз—姦 Мг)> го% A = -^^hrAi-^l 九 3厶3), rots Л = W(4г^2"42 - Д hlA^•("・47)

Если надо образовать лапласиан от вектора, следует поступить так. Применить операцию нахождения градиента от дивергенции вектора согласно (11.44) и (11.45). Затем образовать ротор от ротора, дважды применяя операцию (11.47). Разность обоих выражений согласно (11.42) даст искомый лапласиан. При этом, вообще говоря, оказывается, что некоторая компонента лапласиана вектора зависит не только от той же компоненты самого вектора, но и от двух остальных.

Переход к тензорным обозначениям. Покажем теперь, как пишутся некоторые векторные операции в тензорных обозначениях. Будем всегда пользоваться условием о суммировании (см. ч. I, § 9).

Тогда дивергенция вектора в прямоугольных координатах записывается очень просто:

div 4 = -Тензорные операции i сложнее, но в этой книгеЛапласиан от скаляра△2+ / +京~ =呪？(1L48)з криволинейных координатах гораздо они не понадобятся.пишется в тензорной форме так:(11.49)div 4 = -Тензорные операции i сложнее, но в этой книгеЛапласиан от скаляра△2+ / +京~ =呪？(1L48)з криволинейных координатах гораздо они не понадобятся.пишется в тензорной форме так:(11.49)dа

div 4 = -

Тензорные операции i сложнее, но в этой книге

Лапласиан от скаляра

△2

+ / +京~ =呪？(1L48)

з криволинейных координатах гораздо они не понадобятся.

пишется в тензорной форме так:

(11.49)

div 4 = -

Тензорные операции i сложнее, но в этой книге

Лапласиан от скаляра

△2

+ / +京~ =呪？(1L48)

з криволинейных координатах гораздо они не понадобятся.

пишется в тензорной форме так:

(11.49)

Аналогично пишется в декартовых координатах лапласиан от вектора.

Введем понятие инвариантного тензора. Так называется тензор, который при переходе к другой координатной системе сохраняет свой вид. Один такой тензор нам уже встречался — это тензор 311V (см. § 9). Определим еще один тензор с таким же свойством. Это тензор третьего ранга 削认，все компоненты которого равны +1, если значки /, 2, 3 стоят в циклическом порядке (123, 312 и 231), — 1, если порядок не циклический (213, 132 и 321), и нулю, если среди значков 卩,V,九 есть хотя бы два одинаковых.

Иначе можно сказать, что тензор &卩”九 антисимметричен относительно любой пары значков: от их перестановки его компонента меняет знак. Действительно, компонента «213» отличается от «123» одной перестановкой и поэтому отрицательна, а «312» получается из «123» путем двух перестановок. Две перемены знака дают «плюс». Перестановка одинаковых значков, очевидно, ничего не меняет, а с другой стороны, должна менять знак компоненты. Поэтому компонента с одинаковыми значками равна нулю: только нуль равен самому себе с обратным знаком.

Свойство антисимметрии тензора по отношению к любой паре значков сохраняется при повороте координатной системы, иначе говоря, это инвариантное свойство. Действительно, равенство £小丸=—&viA тензорное по форме и потому имеет силу в любой системе координат. В этом можно убедиться и прямо пользуясь формулами преобразования тензоров.

Но отсюда следует, что у тензора £厶”九 отличны от нуля те же компоненты, что и у тензора £11V九 в исходной системе координат, и обладают теми же знаками. Остается показать, что компоненты 恥％ тоже равны 士 1.

Напишем общую формулу преобразования тензора:

Kv九=(卩，a) (v, В)(入，Y)^ару. (11.50)

Но мы видели, что симметрия тензора е[”九 такая же, как исходного тензора &&§丫・ Следовательно, &[”九=С • е^л, где С ——число, которое надо определить. Введем это число в (11.50) и умножим обе части равенства на &从”九.Слева стоит С, умноженное на сумму квадратов компонент ^к^к- Таких компонент всего 6, они были перечислены. Справа стоит определитель, составленный из коэффициентов преобразования (卩，а), умноженный тоже на 6.

Действительно, коэффициенты (卩,a), (v, Р) и (入,у) берутся ка・ ждый раз по три, причем по свойствам %闻 непременно из разных строк и столбцов таблицы и со знаком, отвечающим четности перестановки строк и столбцов. Множитель 6 получается потому, что Одну тройку значков при суммировании можно выбрать произволь- нмм способом, а всех перестановок из трех по три — 3!, т. е. 6.

Сокращая на 6, видим, что искомое число С равно определителю, составленному из коэффициентов поворота, а он равен единице.

Следовательно, 8gv^ ——инвариантный тензор, сохраняющий свою форму при любом повороте координат.

Образуем теперь из двух векторов и тензора следующую комбинацию:

000 = "0Y4135丫。(11.51)

Записанная через компоненты величина Da имеет такие значения:

^1 - ^2^3 一4筑,02 = "3b1- 483，a =/1当-^2^1,

Получились составляющие векторного произведения. Равенство (11.51) сразу показывает, что векторное произведение веде г себя как вектор, когда преобразуются координаты, потому что (11.51) — тензорное уравнение: такие уравнения справедливы в любой системе координат и, следовательно, свободны от произвола, связанного с ее выбором. Этим свойством должно обладать любое уравнение, выражающее физический закон, что и составляет главный смысл применения векторных и тензорных равенств в физике.

Подобно (11.51) определяется и ротор вектора:dAv

£apv ~~•(11.52)

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить, не переходя к составляющим, следующие векторные выражения, пользуясь формулами (11.26)—(11.42):

А ； "W。)；

div ф (г) г; rot ф (г) г;

V (Аг), где А = const;

V(4 (г) г);

Д) div ф ⑺ 4 (г); rot 屮(广)А (г);

div [г [Аг]], Д = const;

rot [г [4г]], А == const;

А4 (г) (см. (11.42));

V(4(r)3(r));

rot [Аг], 4 = const;

div [Аг], 4 — const;

м) А —.

Ответы.

A ； = divgrad ； = —div 4 = 0;

3①+г而；0;

Д;

Д+~(гЛ);

Д)у- (гА) + ~ (гА),

$г[гА] + у [гА]；

—2 (4г);

3 [гЛ];

Л +у Л;

и)彳(4心)+у (ВД);

2Д;

0;

、2г*

м)—.

Написать Дг|)в цилиндрических координатах.

Написать три составляющие АД в сферических координатах.

Доказать, что ea^YEa]lv = 6^и6у¥ — 6pv6Y,x, и вывести отсюда правило: [А\ВС\\^=В (АС)-С{АВ).'

Решить тензорное уравнение: xax^A^ — Aa = axat где ха — неизвестный вектор, а вектор Ав и скаляр а заданы.

Решение. Множим обе части уравнения на 儿，после чего приходим к квадратному уравнению для скаляра Лаха. Решая его, подставляем результат в исходное уравнение и получаем линейное уравнение относительно компонент вектора ха.

Даны прямая и точка О на расстоянии а от прямой. Пусть некоторая точка плоскости, проходящей через прямую и данную точку О, удалена на г от прямой и на г от точки О. Введя координаты 己=万(广十2), 耳=^(广—％) и ф, где ср ——угол поворота вокруг оси, проходящей через О перпендикулярно прямой, написать лапласиан в этих координатах.

§ 12. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Взаимодействие в механике и электродинамике. Взаимодействие в электродинамике осуществляется не между отдельными зарядами, а между зарядами и окружающим их электромагнитным полем. Физическое понятие поля в электродинамике коренным образом отличается от понятия поля в механике Ньютона.

Как известно, полем тяготения называется пространство, в котором действуют силы тяготения. Значения этих сил в любой точке поля в ньютоновской механике определяются мгновенным положением гравитирующих тел, как бы далеко от данной точки они ни находились. В электродинамике такое представление о поле неудовлетворительно: за то время, пока электромагнитное возмущение дойдет от одного заряда к другому, последний может переместиться на большое расстояние. Элементарные заряды ——электроны, протоны, мезоны — очень часто имеют скорости, близкие к скорости распространения электромагнитных возмущений.

Современная теория тяготения (общая теория относительно- стн) показывает, что и гравитационное взаимодействие распространяется с конечной скоростью. Но так как макроскопиче- скне тела движутся со скоростями, значительно меньшими, в мас-

штабе солнечной системы конечная скорость передачи гравитациоьь ных сил приводит только к незначительным поправкам к законам движения ньютоновской механики.

В электродинамике элементарных зарядов конечная скорость электромагнитных возмущений имеет основное значение. Если под действием поля изменились энергия или импульс заряженной частицы, то они могут быть непосредственно переданы только окружающему электромагнитному полю, так как, для того чтобы изменились энергия и импульс других частиц, необходим конечный промежуток времени, пока электромагнитное возмущение, возбужденное зарядом, достигнет их. Но это означает, что электромагнитное поле само по себе обладает энергией и импульсом. В противном случае эти две важнейшие механические величины сохранялись бы не всегда, исчезая в момент испускания сигнала и появляясь вновь в момент его приема.

В ньютоновской механике считается, что возмущение передается мгновенно, поэтому нет никакой необходимости приписывать импульс и энергию полю: как только одна тяготеющая точка отдала некоторый импульс и энергию, другая сразу же приобрела их.

Электромагнитное поле, как только что указывалось, имеет импульс и энергию. Поэтому его в той же мере, что и заряженные частицы, можно рассматривать как самостоятельный физический объект. Уравнения электродинамики должны непосредственно описывать распространение электромагнитных возмущений в пространстве и взаимодействие зарядов с полем.

Взаимодействие зарядов осуществляется через электромагнитное поле. Такие законы, как закон Кулона или Био — Савара, в которые входят только мгновенные положения или мгновенные скорости зарядов, имеют приближенный характер и справедливы только тогда, когда относительные скорости зарядов малы по сравнению со скоростью передачи электромагнитных возмущений.

Эта скорость — фундаментальная постоянная, входящая в уравнения электродинамики. Она с большой точностью равна 3-1010 см〕сек、

Самостоятельная реальность поля особенно хорошо видна уже из того, что уравнения электродинамики допускают решение и при отсутствии зарядов. Эти решения описывают электромагнитное поле в пустоте, в частности световые и радиоволны.

В течение двух столетий сторонники волновой теории света считали носителем световых волн особую упругую среду, заполняющую пространство, так называемый «эфир». Чтобы представить себе распространение колебаний, нужно было допустить нечто колеблющееся. Это «нечто» и было названо «эфиром». Исходя из аналогии с распространением звуковых волн в сплошной среде, эфиру приписали свойства жидкости. Объяснение физических явлений видели тогда только в том, чтобы свести их к определенным механическим перемещениям тел. В частности, световые явления мыслились как перемещение частиц этой среды ——«эфира».

После создания электромагнитной теории света физики осознали, что электромагнитное поле реально в том же смысле, как и вещество. Более того, законы электродинамики должны быть положены в основу вывода сложных законов, управляющих движением атомов вещества, в частности жидкости. Носителем электромагнитного поля является физическое пространство, неотделимое от состояния и движения реальных объектов. Что касается термина «эфир», еще сохранившегося в радиотехнике, то там он означает не что иное, как само электромагнитное поле.

Электромагнитное поле. Изучение электромагнитного поля началось с наиболее доступных его проявлений: электрической силы, вызываемой трением тел, свойств магнитов и т. п. Очень давно узнали, что тела делятся на проводники и изоляторы, что при разламывании магнита на части получаются не два отдельных полюса, а два магнита с двумя полюсами каждый и т. д.

Физика того времени не могла объяснить, почему одни тела проводят электричество, а другие ——нет, почему железо сильно проявляет магнитные свойства, а медь, по-видимому, не проявляет их. И тем не менее, оставляя такие вопросы в стороне, физики смогли узнать некоторые элементарные законы электромагнетизма. К числу их относится, например, закон Кулона о силе взаимодействия между двумя зарядами, не зависящей от происхождения электризации тел, на которые нанесены заряды. То же можно сказать о законе электромагнитной индукции Фарадея: этот закон связывает между собой магнитные и электрические силы в такой форме, которая не отражает свойств конкретных тел.

В первом томе этой книги мы будем заниматься исключительно элементарными законами электромагнетизма. Чтобы сформулировать их, нет надобности рассматривать свойства вещественных сред типа металлов, диэлектриков или ферромагнетиков. Абстрагируясь от конкретных сред, мы здесь будем иметь дело только с отдельными зарядами и полем, которое они создают.

Такое изложение электродинамики прежде называли «электронной теорией», полагая, что электрон просто точечный заряд и больше ничего. Реальный электрон наделен весьма сложными свойствами и, хотя он действительно никак не проявляет на опыте своих размеров, мало похож на идеализированный заряд «электронной Теории».

Заряд, который мы имеем в виду, излагая материал этой части книги, в некотором смысле напоминает «материальную точку» ньютоновской механики. Это воображаемый объект, в настоящее время наиболее удобный для формулировки элементарных законов теории.

При выводе основных уравнений электродинамики — уравнений Максвелла ——нам придется некоторое время пользоваться терминами, заимствованными из теории, учитывающей свойства вещественных сред, например понятием контура, несущего ток. Но на самом деле мы нигде при этом не учитываем сложных Свойств реаль、

ных проводников. Фактически термин «проводник» применяется только из соображений физической наглядности: мы имеем в виду воображаемый контур, по которому движется непрерывно распределенный заряд.

Следует сделать замечание терминологического характера. Мы везде будем говорить просто《поле》, вместо «напряженность поля». В теоретической физике это принято повсеместно.

Принята также абсолютная гауссова система единиц, в которой электрическое и магнитное поля выражаются величинами одинаковой размерности {г11 см71'сект1) .

Электродвижущая сила. Начнем с определения электродвижущей силы в контуре: так называется работа, совершаемая силами электрического поля при обходе данного замкнутого контура единичным зарядом. При этом совершенно несущественно, что представляет собой данный контур: заполнен ли он проводником или престо является замкнутой линией, проведенной в пространстве. В этом последнем значении понятие электродвижущей силы может применяться к циклическому индукционному ускорителю электронов — бетатрону.

Напишем выражение для электродвижущей силы (сокращенно —— э. д. с.) в обозначениях § И. Сила, действующая на единичный заряд в данной точке, есть по определению электрическое поле Е. Работа этей силы на элементе пути dl представляет собой скалярное произведение Edi. Тогда на всем замкнутом контуре работа, или э. д. с., равна:

д. с. =\ Edi. (12.1)

Предположим, что на данный контур натянута некоторая поверхность. Обозначим магнитное поле буквой Н. Поток магнитного поля через элемент выбранной нами поверхности есть по определению, данному в § 11, dO = Hds, Поток магнитного поля через всю поверхность, натянутую на контур, равен:

①= \〃ds・ (12.2)

Существенно, что величина потока Ф не зависит от конкретного вида поверхности, натянутой на контур. Наглядно это можно объяснить тем, что линии магнитного поля не могут начаться или окончиться в пустом пространстве, где нет магнитов. Следовательно, если натянуть на контур две разные поверхности, поток через каждую из них должен быть одинаков: между ними он не может ни уменьшиться, ни увеличиться.

Закон индукции Фарадея записывается в виде следующего уравЗакон индукции Фарадея записывается в виде следующего уравнения:нения:Д» с.=Д» с.=_丄吧_丄吧(12.3)(12.3)

Закон индукции Фарадея записывается в виде следующего урав

Закон индукции Фарадея записывается в виде следующего урав

нения:

нения:

Д» с.=

Д» с.=

_丄吧

_丄吧

(12.3)

(12.3)

При этом, если все величины выражены в гауссовой системе, то коэффициент пропорциональности равен 3-1010 см!сек. Из определений (11.1) и (11.2) нетрудно убедиться, что с имеет размерность скорости.

Если контур находится в вакууме, как в случае индукционного ускорителя, работа, производимая над зарядом, приведет к увеличению его энергии.

Уравнение Максвелла для rot Е. Итак, равенство (12.3) относится к произвольному замкнутому контуру. Подставим в это равенство формулы (12.1) и (12.2): ，

\ Edl = — ^~ \ 〃ds・ (12.4)

Левая сторона этого уравнения может быть преобразована по теореме Стокса (11.19), а с правой стороны можно поменять местами дифференцирование по времени и интегрирование по поверхности, поскольку они совершаются по независимым переменным. Перенося, кроме того, интеграл в левую сторону, получим:

\ {rotE + ~^ ds^Q. (12.5)

Но исходный контур совершенно произволен, ему можно придать любую величину и форму. Допустим, что выражение в скобках под интегралом в (12.5) не равно нулю. Тогда можно будет так подобрать контур и натянутую на него поверхность, чтобы интеграл (12.5) не был равен нулю. Поэтому должно выполняться равенство:

rotE + y^ = 0. (12.6)

По сравнению с (12.3) это уравнение не содержит ничего физн・ 4ескн нового: в нем заключается тот же закон индукции, но переписанный в дифференциальной форме для бесконечно малого контура. Для дальнейшего дифференциальная форма удобнее интегральной.

Уравнение для div Н. Линии магнитного поля, как уже говорилось, не могут начаться или кончиться в пустом пространстве, т. е. либо замыкаются сами на себя, либо уходят в бесконечность. Следовательно, в любую замкнутую поверхность входит столько же линий магнитного поля, сколько их выходит. Поток магнитного поля в пустоте через любую замкнутую поверхность равен нулю: г 八

Н ds = 0, (12.7)

Преобразуя этот интеграл в объемный по теореме Гаусса ——Остроградского (11.6), получим:

\div〃dP = 0・ (12.8)

Ввиду того что поверхность, ограничивающая объем, произвольна-, всегда можно выбрать объем столь малым, чтобы интеграл брался по области, где div И знакопостоянна, если она не равна нулю. Но тогда вопреки (12.7) и (12.8) div И не будет равна нулю. Поэтому дивергенция И должна везде обращаться в нуль:

div〃=0・(12.9)

Выражение (12.9) есть дифференциальная запись (12.7) для бесконечно малого объема.

В § 11 было сказано, что дивергенция вектора есть плотность источников векторного поля. Источниками поля могут являться свободные заряды, как это имеет место для электрического поля. Но магнитное поле свободных зарядов не имеет.

Уравнения (12.6) и (12.9) вместе называются первой парой урав・ нений Максвелла.

Переходим к выводу второй пары.

Уравнение для div Е. Поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному электрическому заряду, заключенному внутри поверхности, умноженному на 4л (теорема Гаусса):

^Eds = 4да.(12.10)

Эту теорему легко вывести из закона Кулона для точечных зарядов. Поле точечного заряда е выражается следующей формулой:

Здесь 尸一радиус-вектор, проведенный из той точки, где на* ходится заряд, в точку, где определяется поле. Поле обратно пропорционально г2 и направлено по радиус-вектору.

Окружим заряд сферической поверхностью, центр которой совпадает с самим зарядом. Элемент поверхности сферы ds есть г2 dQ~9 где dQ —элемент телесного угла, а — указывает направление нормали к поверхности. Поток поля через элемент поверхности равен:

£ ds = М • / •产"° / = е dQ ・

Поток поля через всю поверхность сферы есть 卜必=e\dC = =4ге. Но так как электрические силовые линии начинаются только на заряде, поток будет одним и тем же через сферу и через любую поверхность, окружающую заряд. Поэтому если внутри замкнутой поверхности имеется произвольно распределенный заряд е, то справедливо равенство (12.10).

Чтобы переписать это равенство в дифференциальной форме, введем понятие плотности заряда. Плотностью заряда р называется 130

заряд, заключенный в единице объема, так что полный заряд в данном объеме связан с плотностью следующим равенством:

e = \pdV. (12.11)

Следовательно, р= lim Подставив плотность заряда

В (12.10), получим:

5(divE-4^p)dV = O. (12.12)

Повторяя для этого интеграла те же рассуждения, которые были проведены для (12.8), получим сходное по типу уравнение для электрического поля:

div Е= 4лр. (12.13)

Согласно (11.8) можно сказать, что плотность источников электрического поля равна плотности электрического заряда, умноженной на 4л.

При формулировке элементарных законов электродинамики часто бывает удобно считать заряды точечными. (Напоминаем, что не следует физически отождествлять эти заряды с электронами!) Для точечных зарядов функция плотности задается путем предельного перехода.

Допустим сначала, что заряд конечной величины распределен по малому, но тоже конечному объему АУ. Тогда р следует понимать как отношение 鳥.Если объем А V 0, то функция плотности будет иметь весьма своеобразный вид: она окажется равной нулю везде, кроме той точки, где находится заряд, а в самой этой точке обратится в бесконечность, так как числитель дроби 鳥 конечен, а знаменатель бесконечно мал. Но интеграл \ pd!/ = $ ^dV = -^ AV = е остается равным заряду е.

Поэтому понятием плотности заряда можно пользоваться и тогда, когда заряды точечные. При этом под р понимается функция, равная нулю везде, кроме той точки, где помещен заряд. Интеграл от этой функции по объему равен либо заряду е, если он находится внутри области интегрирования, либо нулю, если он вне этой области.

Закон сохранения заряда. Одним из важнейших законов электродинамики является закон сохранения заряда: полный заряд любой системы остается постоянным, если в нее не вносятся посторонние заряды. При всех превращениях частиц, происходящих в природе, закон сохранения заряда выполняется точнейшим образом (тогда как закон сохранения массы — приближенно).

Чтобы сформулировать закон сохранения заряда в дифференциальной форме, надо ввести понятие плотности тока. Эта векторная величина определяется так:

/=Р5 (12.14)

где 0 — скорость заряда в той точке, где определена его плотность р. Размерность плотности заряда—заряд/см^, а плотности тока——заряд!см? сек, т. е. размерность заряда, проходящего за единицу времени через единицу поверхности.

В частности, для точечного заряда в формуле (12;14) @ означает его скорость, а р — определенную выше функцию плотности.

Полный ток, вытекающий из некоторой поверхности, равен:

I^\jds.(12.15)

Согласно закону сохранения заряда он должен быть равен уменьшению заряда внутри поверхности за единицу времени, т. е.

/ Н 一翁.(12.16)

От этой интегральной формы закона сохранения заряда перейдем, как мы это уже делали в других случаях, к дифференциальной форме. Подставляя е из (12.11) и преобразуя / по теореме Гаусса — Остроградского, получаем:

\ 傷+ divp@)dV = 0・(12.17)

Так как объем, по которому производится интегрирование, произволен, из (12.17) следует закон сохранения заряда в дифференциальной форме:

^ + div片患+ divp® = 0・(12.18)

Ток смещения. Из теории постоянных токов известно, что линии тока всегда замкнуты. Действительно, разомкнутость линии означает, что на ее концах имеет место накопление или убыль заряда. Но можно определить такие векторные линии, которые всегда замыкаются или уходят в бесконечность и при непостоянном токе. Для этого подставим в уравнение закона сохранения заряда (12.18) 力 о1 дЕ

производную 赤 согласно (12.13). Эта производная равна 高 div”. Следовательно, всегда имеет место соотношение:

豹"(12.19)

Сравнивая (12.19) и (12.9), видим, что линии вектора 丄也 4n dt

厂1 дЕ

всегда замкнуты. Слагаемое этого вектора называется током смещения, потому что оно не связано с переносом зарядов *. Вместе

Рис. 20

с током переноса зарядов ток смещения образует систему замкнутых векторных линий.

До сих пор мы только переписывали в несколько ином виде законы электродинамики, известные из элементарного курса физики. Теперь надо ввести существенно новое предположение: магнитное действие тока смещения не отличается от магнитного действия тока переноса зарядов. На этом предположении основывался Максвелл, формулируя общие уравнения электродинамики.

Уравнение для rot". Уравнение (12.13) принадлежит ко второй паре уравнений Максвелла. Еще одно уравнение этой пары определяет rot 〃・ Подобно тому как для вывода (12.13) применялся закон Кулона, здесь нам понадобится закон Био — Са- вара и гипотеза о магнитном действии тока смещения.

Запишем сначала закон Био — Савара в элементарной форме. Пусть в точке, радиус-вектор которой г】, находится элемент тока длиной di* (рис. 20) при силе тока /. Тогда в точке с радиус-вектором 厂 этот ток производит поле dH^ которое определяется таким законом:

(12.20)

c\r — r1'^'/

Удобнее иметь дело не с линейным, а с распределенным в пространстве током. Если плотность тока (пока без учета тока смещения) pti, то силу тока надо записать как полный поток через пло・ 也адку ds, т. е. как

/ = p®ds).(12.21)

Следовательно, чтобы получить магнитное поле от всего распределения токов, надо проинтегрировать элементарный закон (12.20)

ральное выражение зависит только от разности 尸一 писать символически: Vi = —V・ Заменим еще % ［」『；「・ Получим:1 7小m』］•ральное выражение зависит только от разности 尸一 писать символически: Vi = —V・ Заменим еще % ［」『；「・ Получим:1 7小m』］•尸1，можем за-尸1，можем за-|—1产|—1产нана(12.24)(12.24)жения:жения:厶7"小I』•叫.厶7"小I』•叫.(12.25)(12.25)

ральное выражение зависит только от разности 尸一 писать символически: Vi = —V・ Заменим еще % ［」『；「・ Получим:

1 7小m』］•

ральное выражение зависит только от разности 尸一 писать символически: Vi = —V・ Заменим еще % ［」『；「・ Получим:

1 7小m』］•

尸1，можем за-

尸1，можем за-

|—1产

|—1产

на

на

(12.24)

(12.24)

жения:

жения:

厶7"小I』•叫.

厶7"小I』•叫.

(12.25)

(12.25)

по некоторой поверхности, пронизываемой током, и по всему контуру %:

podА(12.22)

Тогда получится та часть магнитного поля, которая обязана токам, проходящим через внешний контур этой поверхности (см. рис. 20). Если прибавить к р@ ток смещения ^--^-, то векторные линии результирующего тока замкнутся. На рисунке 20 эти замкнутые линии пронизывают незаштрихованный контур. Точки этого контура и натянутой на него поверхности имеют радиус-вектор 尸， а точки векторной линии полного тока и соответствующей заштрихованной поверхности ——радиус-вектор 尸「Заметим, что если бы мы не ввели ток смещения, линии движения точечных зарядов в каждый данный момент времени никак не могли бы замкнуться: там, где есть заряд, ток не равен нулю в этот момент, но равен нулю во всех остальных точках пространства. Только вместе с током смещения получаются полностью замкнутые линии, как на рисунке 20.

Проинтегрируем теперь выражение для магнитного поля вдоль контура незаштрихованной поверхности, т. е. по dZ. Тогда из (12.22) z1 дЕ

получим после прибавления 朝 н перестановки порядка интегрирования:

、 "或=4 、 8 +亲喝ds \办\ [弘行T.（12.23）

Покажем теперь, что внутренний двойной интеграл

4=，吗回"]

равен 4л, если заштрихованный контур и контур векторной линии вдоль которого ведется интегрирование по dl^ сцепляются, и нулю —

в противном случае.

Будем обозначать y/i дифференцирование по составляющим вектора 尸】и просто v — по составляющим 尸.Так как подынтег

Произведем циклическую перестановку в смешанном произведении так, чтобы элемент длиной d/x стоял за знаком векторного умно

Получился интеграл по контуру d/D к которому можно применить теорему Стокса, так что

(12.26)(12.26)

(12.26)

(12.26)

Здесь интегрирование ведется по поверхности, окаймленной токовой линией. Раскроем ротор от векторного произведения, пользуясь (11.30) и помня, что dl не дифференцируется. При этом div "1 ］广|尸「= & "］不丁 обращается в нуль и остается только

С （广一「1，dsQС （广一「1，dsQ(12.27)(12.27)

С （广一「1，dsQ

С （广一「1，dsQ

(12.27)

(12.27)

Величина, стоящая под знаком внутреннего интеграла, имеет простой геометрический смысл. Проведем из точки контура dl прямую до пересечения с поверхностью s「Вдоль этой прямой проходит вектор 尸一尸г Его произведение на ds\, деленное на абсолютную величину I 尸——尸 1 I, означает проекцию площадки ds】на плоскость, перпендикулярную 尸 —— 尸「 Следовательно, выражение

(广―

j 二7-仔•--斤二厂广—— это элемент телесного угла, под которым площадка ds^ видна из точки контура dl. Интеграл \、；?；；》 есть, таким образом, полный телесный угол Q, под которым контур, описанный линией тока, виден из точки контура dl.

Записывая (12.27), мы заменили Vi на v и вынесли ее из-под интеграла по dsv Произведение d%v есть не что иное, как дифференциал dQ, взятый по контуру /, т. е. dQ Вычислим теперь интеграл по контуру /. Допустим, что контур токовой линии обходился по часовой стрелке. Тогда положительная сторона поверхности sx, натянутой на этот контур, обращена за плоскость рисунка 20. Если смотреть на контур s^ так, как он показан на этом рисунке, то скалярное произведение (尸一rx, dsj положительно, так что телесный угол надо брать с положительным знаком.

Пусть начальная точка обхода контура / находится на пересечении контура с поверхностью s^. Начнем обход со стороны, видной на рисунке. В этой точке поверхность занимает полпространства, видного из нее, поэтому Q = 2л. Двигаясь вдоль контура 厶 мы постепенно уменьшаем телесный угол, так что dQ < 0. На обратной стороне поверхности sx скалярное произведение отрицательно и телесный угол равен ——2n. Все изменение телесного угла составляет 2л — (—2л), т. е. 4л с учетом знака «—» в (12.27).

Это справедливо для контура, сцепляющегося с токовой линией; Для контура, не сцепляющегося с ней, возвращение происходит в ту же точку с Q = 2冗 и интеграл обращается в нуль. Отсюда следует, что в интеграл (12.23) входит вклад только тех токовых Линий, которые сцеплены с контуром /, поэтому он равен:

，"近=号\仲+含為ds. (12.28)

Преобразуя теперь левую часть равенства (12.28) по теореме Стокса и учитывая, что поверхность, по которой производится ин* тегрирование, совершенно произвольна, приходим к уравнению Максвелла для rot 〃：

= 器. (12.29)

Легко видеть, что это уравнение согласуется с законом сохранения заряда. Действительно, применим к нему операцию div. Согласно (11.40) div rot 〃 = 0, так что останется дивергенция только от правой части. Если заменить div Е по (12.13), то снова придем к (12.18), т. е. к закону сохранения заряда:

爲) = 0.

Уравнение (12.29) не является просто записью закона Био ——Са- вара в дифференциальной форме. В (12.29) введен ток смещения, который в теории постоянных токов не фигурирует.

Система уравнений Максвелла. Перепишем теперь еще раз систему уравнений Максвелла в таком виде, в каком она получилась из элементарных законов электромагнетизма.

Первая пара:

rotE = —；魯， (12.30)

div"" (12.31)

Вторая пара:

rot〃=4 第+ 岁工 (12.32)

div Е = 4лр. (12.33)

В этих уравнениях считаются известными величинами ри/, т. е. распределения зарядов и токов в пространстве в их зависимости от времени. Неизвестные, подлежащие определению, — обе составляющие электромагнитного поля (£ и 〃)・ Каждая из них имеет три векторные компоненты.

Несмотря на то что в обеих парах вместе восемь уравнений, из них независимы только шесть, по числу компонент поля. Действительно, три компоненты каждого ротора связаны соотношением div rot = 0 и поэтому не независимы друг от друга.

В первой части этой книги было показано, что законы механики могут быть получены из некоторых условий симметрии и принципа наименьшего действия. При таком подходе яснее видно, какая совокупность опытных фактов лежит в основе механики Ньютона. Аналогичным способом мы сумеем подойти и к электродинамике. Тогда ее элементарные законы окажутся простыми следствиями весьма общих закономерностей. Сама процедура получения уравнений Максвелла при этом весьма упрощается.

Электромагнитные потенциалы. В уравнения электродинамики можно ввести такие новые неизвестные величины^ 136

которые будут входить в каждое уравнение по одной. От этого общее число уравнений уменьшится. Эти новые величины носят название электромагнитных потенциалов.

Потенциалы подбираются так, чтобы тождественно удовлетворить первой паре уравнений Максвелла. Чтобы выполнялось уравнение (12.31), достаточно положить

// = rot Л,(12.34)

где Л ——вектор, называемый векторным потенциалом. Тогда согласно (11.40) div И будет равна нулю тождественно.

Электрическое поле надо представить в таком виде:

e =一；鴇一 V屮，(12.35)

где 屮 называется скалярным потенциалом. Согласно (11.39) rot у?Ф — =0. Подстановка равенств (12.34) и (12.35) в (12.30) приводит к тождественному сокращению.

Физически определены векторы электромагнитного поля, потому что через них выражаются силы, действующие на заряды и токи. Напряженности полей, или, как принято говорить, «поля», получаются из потенциалов путем дифференцирования. Поэтому потенциалы определены только с точностью до выражений, которые при дифференцировании сокращаются. Естественно подобрать эти выражения так, чтобы уравнения для потенциалов выглядели как можно проще. Найдем сначала самое общее преобразование потенциалов, не изменяющее полей в равенствах (12.34) и (12.35).

Из уравнения (12.34) ясно, что если прибавить к векторному уравнению градиент от произвольной функции, магнитное поле не изменится, так как ротор градиента тождественно равен нулю. Полагая

A = Af + ^f (г, 0，(12.36)

видим, что магнитное поле, выраженное через такой измененный потенциал, останется прежним:

"= rot 4 = rot 4'・

Чтобы прибавление у/ к векторному потенциалу не сказалось на электрическом поле, надо изменить и скалярный потенциал:

屮=屮'_；寥，(12・37)

где / — та же функция, что и в (12.36). Тогда для электрического поля получим:

1 04’1 д_ 1 ^1 dAf 一

Следовательно, не изменится и электрическое поле. Таким образом, потенциалы определены с точностью до преобразований (12.36), (12.37), которые называются условиями калибровки.

Уравнения для потенциалов. Подберем теперь произвольную функцию так, чтобы вторая пара уравнений Максвелла свелась к уравнениям для потенциалов возможно более простого вида. Подстановка (12.34) и (12.35) в (12.32) дает:

rot rot Аrot rot А1024e20步1024e20步(12.38)(12.38)

rot rot А

rot rot А

1024

e20步

1024

e20步

(12.38)

(12.38)

Выражение rot rot А представим при помощи (11.42). Тогда (12.38) приведется к следующему виду:

+ 黎+ V(div444 芻=平.(12.39)

Постараемся избавиться от величины в скобках в левой части (12.39). Обозначим ее для краткости буквой а. Сделаем преобразования (12.36) и (12.37) над потенциалами. Тогда величина а приведется к виду:

〃 = div4+ 丄粤= div 4 ++—=梨・(12.40)

Функция f осталась пока произвольной. Допустим теперь, что она специально подобрана так, чтобы удовлетворять уравнению:

В』】)

ловию:ловию:(12.42)(12.42)Тогда из (12.40) очевидно, что потенциалы будут подчинены ус

ловию:

ловию:

(12.42)

(12.42)

Оно называется условием Лоренца,

Выражение полей через потенциалы, как было показано, не изменяется от преобразований калибровки. Поэтому в дальнейшем всегда будет предполагаться, что необходимое преобразование выполнено и условие Лоренца удовлетворено. При этом штрихи при потенциалах можно больше не ставить.

Из условия Лоренца и (12.39) получается уравнение для векторного потенциала:

А4-^ =-学(12.43)

Теперь легко написать и уравнение для скалярного потенциала. Из (12.33) и (12.35) имеем:

div Е = — ； ^ div 4 — Аср = 4лр.

Подставляя div А из условия Лоренца (12.42), получим:

△屮一^芻=一4 np.(12.44)

Все уравнения (12.43) и (12.44) содержат по одному неизвестному. Поэтому каждое уравнение для потенциала не зависит от остальных и может решаться в отдельности. Это справедливо, однако, только в декартовых координатах, в криволинейных координатах разные компоненты А входят в одни и те же уравнения.

Уравнения для потенциалов ——это уравнения второго порядка относительно производных по координатам и по времени. Для решения таких уравнений требуется задавать начальные значения не только потенциалов, но и производных от потенциалов по времени.

В дальнейшем будет видно, что в очень многих случаях надо пользоваться уравнениями, в которые входят не электромагнитные поля, а потенциалы, через которые поля определяются. Но так как потенциалы неоднозначны и могут при одних и тех же электромагнитных полях получать различные добавочные члены согласно формулам (12.36) и (12.37), надо следить за тем, чтобы вид всякого уравнения, содержащего потенциалы, не изменялся от преобразований калибровки. Ведь эти преобразования содержат совершенно произвольную функцию f, которая может быть выбрана в любом виде. (Ясно, что высказанное требование не относится к соотношениям, определяющим потенциалы, т. е. к (12.43) и (12.44), справедливость которых связана с выбором потенциалов, удовлетворяющих условию Лоренца.)

Никакой физический результат не может зависеть от выбора произвольной функции f, на которую заранее не накладываются никакие ограничения. Условие Лоренца было подобрано только в целях упрощения (12.43) и (12.44), но не является физически необходимым.

Говорят, что физические уравнения, т. е. уравнения для непосредственно наблюдаемых величин, должны быть калибровочно инвариантными.

УПРАЖНЕНИЕ

Написать уравнения Максвелла и уравнения для потенциалов в цилиндрических координатах, для которых d/2 — d产十 r2^2 十 dz2,

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА

Закон сложения скоростей и электродинамика. В уравнения Максвелла входит постоянная величина с, имеющая размерность скорости* В § 18 будет показано, что с не только по размерности совпадает со скоростью, но и на са- мом деле есть скорость распространения электромагнитных волн в пустом пространстве. Это получается в результате решения системы (12.30)—(12.33) в предположении, что р = 0, / = 0.

Допустим, что величины, входящие в эту систему, измерены не- которнм инерциально движущимся наблюдателем. Пусть теперь

относительно этого наблюдателя движется другой с постоянной скоростью V. В механике был сформулирован принцип относительности: любое уравнение должно выглядеть одинаковым образом относительно различных инерциальных систем отсчета. При каких условиях зто может быть справедливо и в электродинамике? Может ли оказаться так, что законы электродинамики имеют одинаковый вид в системе отсчета исходного наблюдателя, где электромагнитные волны распространяются во все стороны со скоростью с, и в системе отсчета другого наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью V относительно первого?

На первый взгляд кажется, что это невозможно. По закону сложения скоростей в системе отсчета второго наблюдателя электромагнитные волны должны распространяться со скоростью

с' = с+匕 (13.1)

где для простоты взято то направление распространения волн, которое совпадает с относительной скоростью систем. Для обратного направления в равенстве стоял бы знак «минус», для перпендикулярного направления надо было бы складывать скорости векторным способом.

Таким образом, в системе отсчета второго наблюдателя, тоже движущегося инерциально, скорость распространения электромагнитных волн должна была бы зависеть от их направления. Поскольку распространяющаяся электромагнитная волна есть одно из возможных решений уравнений Максвелла, то эти уравнения получали бы различный вид в разных инерциальных системах отсчета.

Следовательно, может быть справедливо одно из двух: либо верен обычный закон сложения скоростей (13.1) и принцип относительности неприменим к электромагнитному полю, либо он все же спра

ведлив и для электромагнетизма, но тогда неверен закон сложения скоростей в его простейшей форме (13.1).

Опыт Майкелсона. Был произведен прямой опыт,

показавший, что справедливо именно второе предположение, т. е.

что скорость света и вообще всякого электромагнитного возмущения в вакууме не складывается со скоростью системы отсчета. Во всех направлениях скорость света в любой инерциальной системе отсчета равна одной и той же фундаментальной величине с. Этот опыт выполнил в 1887 г. Майкелсон. Опишем опыт вкратце.

Луч света падает на полупосеребренную пластинку SS (рис. 21). При этом он раздваивается: часть света отражается и падает на зеркало Д, а часть проходит и падает на зеркало В. Пусть луч SA перпендикулярен скорости Земли в ее движении вокруг Солнца, а луч SB параллелен той же скорости. Отра-

женный от зеркал Л и В свет возвращается на пластинку SS: луч BS отражается от нее и попадает на экран С, а луч AS проходит через прямо и падает на экран С. Поэтому оба луча в отношении прохождений и отражений совершенно равноценны, но на участках AS и BS свет распространяется различно относительно движения Земли.

Посмотрим, какого эффекта следовало бы ожидать, если бы скорость света складывалась со скоростью движения Земли по обычному закону. На пути SB скорость света относительно Земли равнялась бы с — V, а на обратном пути с + V, где V ——скорость Земли. Время прохождения светом всего пути SBS в обе стороны равно в сделанном предположении:

/ . / 2/с 2Z . 2/V2

где I = SB. Переходя к приближенному равенству, мы воспользовались тем, что V ^ с.

На участке SA скорости Земли и света перпендикулярны (в системе отсчета, связанной с прибором). Допуская снова, что скорость света складывается со скоростью Земли, надо на этот раз применить векторный закон сложения. Тогда на участке SA скорость света относительно прибора равна ]/с2— У2, потому что с — гипотенуза прямоугольного треугольника, V и Ус2 — V2 — его катеты. Время прохождения светом всего пути S/S, равного 2/, есть

2/八2-1/22/八2-1/2

2/八2-1/2

2/八2-1/2

Таким образом, разность времен прохождения светом путей SBS и S/S равна 亨.С помощью многократных отражений путь лучей делается довольно длинным (десятки метров). Выбирая его надлежащим образом, можно добиться того, что предполагаемая разность времен прохождения путей SAS и SBS станет равна полупериоду световых колебаний. Тогда, если все рассуждение было верным, лучи на экране должны погаситься.

Чтобы убедиться в том, что гашение лучей в данной точке экрана произошло именно вследствие сложения скоростей Земли и световых лучей, достаточно повернуть прибор на 45° так, чтобы скорость Земли стала направленной по биссектрисе угла ASB. При этом разность времен прохождения лучами путей SXS и SBS должна во всяком случае стать равной нулю, если в первоначальном положении эта разность составляла полпериода колебаний. Иными словами, интерференционные полосы на экране должны сместиться на половину расстояния между двумя полосами: там, где было светлое место на экране, появится темное, и наоборот.

Фактически никакого изменения разности хода лучей от ново рота прибора не наблюдается, т. е. ожидавшийся эффект полностью отсутствует. Скорость света не складывается со скоростью Земли.

Ниже мы разберем некоторые факты, которые, казалось бы, приводят к обратному заключению, и покажем, что противоречие кажущееся. Сначала выясним, какие следствия вытекают из того, что сложения скорости света со скоростью Земли не происходит.

Принцип относительности применительно к электромагнитному полю. Как было указано в предыдущем параграфе, уравнения электродинамики не предполагают наличия какой-либо упругой среды ——«эфира», передающего электромагнитные возмущения. Реальностью является само электромагнитное поле. Поэтому надо ожидать, что уравнения электродинамики в той же степени независимы от выбора инерциальной системы отсчета, как и уравнения механики. Те и другие уравнения непосредственно описывают движение, т. е. изменение состояния изучаемого объекта во времени. Вид уравнений не должен меняться в зависимости от того, что для описания выбрана та или иная инерциальная система отсчета.

Поэтому результат опыта Майкелсона не противоречит представлениям об относительности движения, а подтверждает их. Опыт Майкелсона доказывает, что скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах.

Скорость распространения взаимодействий есть фундаментальная постоянная, входящая в уравнения электродинамики. Эти уравнения могут быть инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы к другой только в том случае, если скорость распространения взаимодействий в обеих системах одинакова. Результат опыта Майкелсона противоречит только закону сложения скоростей, т. е. галилеевским преобразованиям (8.1).

Такой закон преобразования и вытекающий из него закон сложения скоростей подтвержден опытом только для относительных скоростей и скоростей движения, малых по сравнению со скоростью света с. Из опыта Майкелсона следует, что галилеевские преобразования для больших относительных скоростей систем отсчета и больших скоростей движения объектов должны быть заменены другими, более точными преобразованиями. Причем эти преобразования должны иметь универсальный вид, одинаковый как для частиц, так и для электромагнитного поля.

Действительно, пусть в определенной инерциальной системе отсчета заряды как-то взаимодействуют с электромагнитным полем, что приводит к некоторым событиям, например к столкновениям между зарядами. Такие события можно предвычислить на основании уравнений механики и электродинамики. При переходе к другой инерциальной системе уравнения механики и электродинамики должны сохранить свою форму, потому что в противном случае из преобразованных уравнений, совместно взятых, будут получаться другие следствия, в частности и такие, что столкновение вообще не осуществляется. Но столкновения ——это объективные факты, они должны наблюдаться во всех системах отсчета. Между тем, 142

если сохранить преобразования Галилея хотя бы только для механики, а вытекающий из них закон сложения скоростей объявить недействительным для одного электромагнитного поля, возникнет рассогласование, тем более сильное, чем ближе скорость инерциальной системы (или скорости движения отдельных частиц) к скорости света.

Надо найти такие преобразования взамен преобразований Галилея, которые оставляли бы неизменными и уравнения механики, и уравнения электродинамики. При этом, однако, оказывается, что требуют уточнения законы ньютоновской механики, справедливые только при малых скоростях частиц.

Это заставляет пересмотреть законы механики, какова бы ни была наша уверенность в них, основанная на опыте повседневной жизни, когда движения тел совершаются со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.

Преобразования Лоренца. Будем искать преобра* зования более общего вида, чем преобразования Галилея для пере* хода от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подобно преобразованиям Галилея, они должны удовлетворять некоторым требованиям общего характера, которые перечислены ниже.

Формулы перехода должны быть симметричны относительно обеих инерциальных систем. Будем обозначать величины, относящиеся к одной системе, буквами без штриха, а относящиеся к другой системе ——буквами со штрихом. Иначе говоря, надо найти формулы, выражающие %, у, к и % через %', “，2’ и f таким образом, чтобы «штрихованные» величины выражались через «нештрихованные» или «нештрихованные» ——через «штрихованные» формулами одинакового вида.

Скорость «штрихованной» системы отсчета относительно «нештрихованной» обозначим буквой V. Тогда прямые формулы перехода должны преобразовываться в обратные при простой замене V на ——К Это требование необходимо для равноправия обеих систем отсчета.

Преобразование должно переводить точки одной системы отсчета, находящиеся на конечном расстоянии от произвольного начала координат, в точки, тоже находящиеся на конечном расстоянии от произвольного начала другой системы отсчета.

Первое требование крайне ограничивает возможный вид преобразований. Например, функции преобразования не могут быть квадратичными, потому что обращение квадратичной функции приводит к иррациональности так же, как и обращение функции любой степени, кроме первой. Дробно-линейное преобразование, т. е. частное от деления двух линейных выражений, при некоторых ограничениях, налагаемых на коэффициенты, может быть обращено с помощью функции того же вида. Например, для одной переменной прямая и обратная дробно-линейные функции выглядят так: ，一竺土2b _

“ —ex+f » X —e/ — 展

Но эти функции не удовлетворяют второму условию: если %' = * х обращается в бесконечность. Поэтому единственно возможна линейная функция.

Когда относительная скорость двух систем стремится к нулю, формулы перехода дают тождество: K = £,y = y',z = d, % =，

Из формул преобразования следует такой закон сложения скоростей, который оставляет скорость света в пустоте инвариантной.

Резюмируя, скажем короче, что формулы перехода: 1) сохраняют свой вид при обращении, 2) линейны, 3) при малых относительных скоростях переходят в тождество, 4) не изменяют скорость света в пустоте.

Эти четыре условия достаточны. Для простоты выкладок направим какие-нибудь координатные оси, например % и х\ по относительной скорости обеих систем. Тогда координаты, отложенные по другим осям, просто не будут затрагиваться преобразованием, т. е. У ~ У i 2 = z'・

Вернемся к рисунку 9, но не будем делать произвольного допущения, что t = t‘ (опыт подтверждает его только при малых относительных скоростях систем). Тогда линейные преобразования % и / в самом общем виде могут быть выражены так:

xf = ах + р/, (13.2)

尸= ?% + &. (13.3)

Коэффициенты а, 0, ?, 6 определятся из условий 1—4. Постоянные слагаемые в этих формулах писать не надо: они могут быть включены в х или хг за счет выбора начала отсчета.

Применим формулу (13.2) к началу координат «штрихованной» системы: %' = 0. Относительно «нештрихованной» системы эта точка движется со скоростью V. Следовательно, х = Vt. Подставляя в (13.2) £ = 0, % = Vt, получим после сокращения на %:

аУ + § = 0・ (13.4)

Решим уравнения (13.2) и (13.3) относительно х и Л Элементар ные алгебраические выкладки дают:

(13.5)(13.6)(13.5)(13.6)_5/ — 伊'

(13.5)

(13.6)

(13.5)

(13.6)

一 аз一6y

—yxf — atr

—即一a片

Применим теперь 1-е условие. Предварительно отметим, что коэффициенты Р и у, связывающие между собой координату и время, должны менять знак вместе со скоростью V. В противном случае, если повернуть оси % н %' в обратную сторону, формулы не сохранят своего вида, что недопустимо. Изменение х на —% и %' на —£ равносильно изменению V на —匕 чтобы при этом формула

3.2) не изменилась, надо потребовать изменения знака 0 вместе с V. Это согласуется и с (13.4).

Таким образом, необходимо, чтобы формулы обратного перехода от %' к % отличались от формул прямого перехода (13.2) и (13.3) знаками при Р и у:

% = ах‘一 §У,(13.7)

方=—ух7 4-fif.(13.8)

Сравнивая (13.7) и (13.5), получим:

3

(13.9)

аЗ —By，

_ в = —В

(13.10)

Из (13.10) следует,

ЧТО

аЗ — 0у = 1・

(13.11)

Тогда (13.9) дает:

а = 3.

(13.12)

Это все, что необходимо для симметрии между прямыми и обратными формулами.

Теперь применим 4-е условие. Для этого разделим уравнение (13.2) на (13.3):

Пусть х —— точка, в которой находится электромагнитный сигнал, вышедший в начальный момент времени / = 0 из начала координат «нештрихованной» системы. Очевидно, qTO^=c, но согласно

4-му условию у = с. Следовательно,

Подставим в (13.14) соотношения (13.4) и (13.12), чтобы исключить р и 6. Останется соотношение между а и у:

откудаоткуда(13.15)(13.15)ус2 + ас = ас — а 匕У

откуда

откуда

(13.15)

(13.15)

? = 一5

Подставив (13.15), (13.4) и (13.12) в (13.11), находим уравнение Для а:

必(1一^) = 1.(13.16)

При извлечении корня надо взять положительный знак согласно 3-му условию, тогда при малой относительной скорости (13.3) переходит в / = f (иначе получилось бы t =——f, что бессмысленно).

Выражая все коэффициенты а, р, у и 6 по уравнениям (13.16), (13.4), (13.15) и (13.12) и подставляя в (13.2) и (13.3), приходим к искомым преобразованиям:

x. = x-Vt== (13.17)

(13.18)

x^VCx^VCЭти формулы носят название преобразований Лоренца. Обратные формулы согласно (13.7) и (13.8) имеют такой вид:

x^VC

x^VC

(13.19)

(13.20)

Чтобы выяснить смысл этих формул преобразования, применим их к некоторым частным задачам. Пусть в начале координат %' = 0 «штрихованной» системы покоятся часы. Они показывают время ，Тогда из формулы (13.20) следует:

(13.21)

Назовем часами наблюдателя те часы, которые покоятся относительно его системы отсчета. Из формулы (13.21) видно, что один наблюдатель, сверяя свои часы, которые показывают время /, с часами другого наблюдателя, всегда заключает, что последние отстают, т. е. что f V 力 Если часы покоятся в начале координат «нештрихованной» системы, т. е. в точке % = 0, то формула перехода имеет тот же вид, потому что согласно (13.18)

f=vrw- (13.21，)

Это не только не противоречит (13.21), а выражает в точности то же самое: часы, движущиеся относительно некоторого наблюдателя, отстают от его часов.

В теории относительности не существует единого мирового времени, как в ньютоновской механике. Лучше сказать, что абсолютное время ньютоновской механики есть приближенное понятие, справедливое только при малых относительных скоростях сравниваемых

часов. Абсолютность ньютоновского времени давала иногда повод считать его какой-то доопытной, логической категорией, независимой от движения материи. Но следует помнить, что в механике Ньютона приближенное понятие абсолютного времени не ведет к противоречиям, так как там принимается, что взаимодействие происходит на расстоянии мгновенно. Достаточно подставить в (13.18) с = 8, и получится / = /. В ньютоновской механике мгновенное действие передавалось на расстояние силами тяготения.

Иногда полагают, что, зная скорость света с, можно внести такую поправку в показания часов различных инерциальных систем, что ход времени станет всегда одинаков. Но как раз формулы (13.21) и (13.2Г) описывают ход времени в обеих системах отсчета после внесения поправки на конечность времени распространения света. Сокращение промежутков времени вполне взаимно в этих системах отсчета. Следовательно, его нельзя приписать какому- либо изменению в свойствах часов, связанному с движением. Эффект сокращения промежутка времени чисто кинематический.

Относительность времени не означает отказа от его объективности. Оно объективно для каждой системы ^тсчета, подобно тому как направление отвеса, различное в разных точках земного шара, вполне объективно для каждой точки земной поверхности. Между тем были времена, когда и вертикальное направление считалось абсолютным.

Относительным оказывается также понятие длины отрезка. Чтобы узнать длину движущегося тела ——«масштаба», надо одновременно отложить координаты его концов в неподвижной системе отсчета. Принципиально иного метода измерения движущегося масштаба неподвижный наблюдатель не имеет, потому что иначе ему придется остановить масштаб, т. е. перенести его в свою систему отсчета. «Засечки» концов движущегося масштаба он должен произвести одновременно по своим часам, допустим, в один и тот же момент времени: / = 0. Понятие одновременности двух операций, произведенных в одной и той же системе отсчета, может быть однозначно определено с помощью световых сигналов. Действительно, наблюдатели, находящиеся друг относительно друга в покое, всегда могут сверить свое время с помощью светового сигнала, внося постоянную поправку на время его распространения.

Подставляя в (13.17) 2=0, получаем выражение длины движущегося масштаба относительно неподвижного:

А/А/Да:Да:(13.22)(13.22)

А/

А/

Да:

Да:

(13.22)

(13.22)

Если наблюдатели поменяются ролями и тот, который двигался вместе с масштабом, измерит масштаб «нештрихованного» наблюда- те刀я, получится аналогичная формула, в которой Ах' стоит справа, а А% — слева. Обе формулы, связывающие длины неподвижного

и движущегося масштабов, выражают одно и то же: движущийся масштаб укорачивается относительно неподвижного.

Заметим еще, что при фотогр афировании быстро движущихся предметов (воображаемом, конечно) сокращение их длин происходить не должно, потому что лучи от крайних точек объекта, попадающие в аппарат, выходят из этих точек не одновременно. Анализ показывает, что движущийся сбъект на фотографии выглядел бы повернутым. Конечно, фотографирование столь быстро движущихся предметов так же утопично в наше время, как рассматривание их невооруженным глазом.

Сложение скоростей. Найдем теперь формулу сложения скоростей, вытекающую из преобразований Лоренца. Дифференцируя (13.17) и (13.18) и деля одно равенство на другое, получим:

dxr ，— Vо

Учитывая, что &/ = dy и dzr = dz, находим преобразование составляющих скорости, перпендикулярных V:

При малых скоростях (13.23) и (13.24) переходят в обычные формулы сложения скоростей. Это видно, если формально считать с f 8, т. е. положить у =0. Легко сообразить, что если ^ = У^ 4- ^ 4- ^ = с, то и и'= с, т. е. абсолютная величина скорости электромагнитных возмущений не меняется при переходе от одной системы к другой. Но отдельные проекции скорости света, которые меньше с, конечно, могут меняться, как и направление светового луча относительно разных наблюдателей, f так как абсолютного направления в пространстве 八нет.

/ \В связи с этим остановимся на явлении абер

/ \ рации света. Астрономическая аберрация (или от/\ клонение света) состоит в том, что в течение года

/' звезды описывают на небесном своде малые эл/\липсы. Происхождение их легко объяснить: при

/\годичном движении скорость Земли по-разному

/\ складывается со скоростью света, идущего от звез-

/\ ды (рис. 22). Если вектор скорости света звезды

Т〔 § Т? относительно Солнца есть ES, то результирующее направление скорости в одном положении Земли Рис. 22 ЕТ*、а через полгода 七北，Эти направления прое-

цируются на разные точки небесного свода, так что в течение года звезда описывает замкнутый эллипс. В направлении, перпендикулярном плоскости земной орбиты, обе оси эллипса равны и получается окружность, а в плоскости орбиты эллипс превращается в отрезок прямой, равный диаметру этой окружности. Иными словами, большая полуось эллипса всегда равна —, где V——скорость Земли:

=而諒= 20,25〃.

Вызывало недоумение: почему в опыте Майкелсона скорость света не складывается со скоростью Земли и остается равной с, а явление аберрации показывает, что эти скорости складываются. Чтобы сблизить условия опыта Майкелсона и наблюдения аберрации, опыт производили с внеземным источником света, отчего, конечно, результат не изменился. Разрешение кажущегося противоречия состоит в том, что в опыте Майкелсона измеряется абсолютная величина скорости света по разности хода лучей, а в явлении аберрации ——изменение направления скорости света вследствие того, что изменяется направление скорости Земли на орбите. Если для примера взять звезду, расположенную в направлении перпендикуляра к земной орбите, то в (13.23) и (13.24) % = 0, и» = с, vz = 0. Составляющие скорости света относительно Земли равны:

& =—匕 ％ = cjl-{•

При этом 0『十0：=傍 в согласии с опытом Майкелсона. Направление проекции скорости света на плоскость земной орбиты (эклиптики) в течение полугода меняется на обратное, что и приводит к аберрации.

Аналогичные формулы получаются в более сложном случае, когда лучи света не перпендикулярны плоскости эклиптики. Полное совпадение с обычными формулами сложения скоростей достигается "V2

только при отбрасывании членов порядка —.

Другое противоречие с опытом Майкелсона находили в опыте Физо, определявшего скорость све

Рис. 23Рис. 23та относительно движущейся среды. Метод Физо заключался в следующем. Луч света разделялся полупосеребренной пластинкой на Два (рис. 23). Эти лучи пропуска- пись по трубам с текущей водой: °Дин ——по течению, другой — навстречу течению. Для сравнения те же лучи проходили по тру-

Рис. 23

Рис. 23

бам, когда вода в них покоилась. Дальнейшими отражениями лучи снова сводились и взаимно погашались в точках, где разность хода была равна целому числу полуволн, т. е. когда их фазы оказывались противоположными. Когерентность между ними соблюдалась благодаря тому, что они шли от одного источника. Можно было подобрать такую разность хода, что, проходя через покоящуюся воду, лучи взаимно усиливались, т. е. разность хода между ними была равна целому числу волн. В текущей воде разность хода изменялась. Так как частота света и длина труб были неизменны, появление дополнительной разности хода доказывало, что в текущей воде скорость света не такая, как в покоящейся.

Заметим прежде всего, что результат опыта Физо ни в чем не противоречит общим представлениям об относительности движения. Система отсчета, связанная с текущей водой, не равноценна системе, связанной с трубами, если изучается распространение света в воде.

Так как скорость света в воде равна с//г, где 〃 一 показатель преломления, общая формула (13.23) показывает, что с!п не остается неизменной величиной при переходе к другой системе отсчета. В то же время нельзя пользоваться простой формулой сложения скоростей, потому что знаменатель (13.23) отклоняется от единицы на *, т. е. на величину такого же порядка, как и величина в скобке в числителе, если представить его как*(1—?) (V—скорость воды). Считая, что V《& и разлагая знаменатель в ряд до линейного члена включительно, находим изменение скорости света в текущей воде (см. упр. 1):

ОТ)，ОТ)，

ОТ)，

ОТ)，

Это не совсем совпадает с результатом, которого следовало бы ожидать, пользуясь обычной формулой сложения скоростей. Когда опыт Физо был сделан (в середине прошлого века), результат оказался несколько неожиданным. Появление множителя (1 — %) объяснила теория относительности. Так как Майкелсон измерял величину с, а Физо — величину —, противоречия между их опытами нет. Надо еще отметить, что в опыте Майкелсона обнаруживался квадратичный эффект (точнее, отсутствие квадратичного эффекта!), а в опыте Физо — эффект линейный относительно V. Поэтому в опыте Майкелсона использовалась скорость Земли 30 км/сек, которая гораздо больше, чем скорость текущей по трубам воды.

Интервал. Несмотря на то что х и / в отдельности изменяются от преобразований Лоренца, можно подобрать величину, остающуюся при этом инвариантной (неизменной). Легко проверить, что 150

таким свойством обладает разность с2/2 ——х2. Действительно,

什2_ x'^+U?广2 + 2Kr'/‘

или

С 用 一 ％2 =。2 尸—£2 三 S2.(13.25)

Величина s называется интервалом между двумя событиями: тем, которое произошло в начальный момент / = 0 в начале координат, и другим, имевшим место в момент / в точке %.

Слово «событие» можно понимать в самом обычном, житейском смысле, лишь бы можно было определить его координаты и его время. Если первое событие отнесено не к началу отсчета координат и времени, то интервал следует определить по разности отсчетов:

S2 = c2 (% 一 厶)2 — (/ 一 打)2 =e2 (4 - 幻2 一 (抬一朽)2. (13.26)

Большое значение имеет интервал между двумя бесконечно близкими событиями. Будем считать, что они разделены отрезком длины, ориентированным не по оси х, а произвольно. Тогда бесконечно малый интервал между событиями ds определяется так:

厶2 = с2 山2 —出产—dy2 — d%2 =

=с2 ”2 — 山尸 一 d, — dz岸=c2d尸 一 dlr\(13.27)

Записанный в таком виде интервал не связан с каким-либо направлением относительной скорости систем отсчета.

Пространственные и временные интервалы. Интервал позволяет очень наглядно изучить различные пространственно-временные соотношения, возможные между двумя событиями. Пусть по оси абсцисс отложено пространственное расстояние между точками, в которых произошли события, а по оси ординат — промежуток времени от одного события до другого (рис. 24).

Представим себе такой случай, когда ct〉/, так что s2 > 0. Будем рассматривать те же два события во всевозможных инерциальных системах отсчета. Тогда промежуток времени и пространственное расстояние, разделяющие события, будут совершенно разными, но интервал s2 = с? %2 — /2 останется неизменным относительно любой системы отсчета. Следовательно, геометрическое место точек всех возможных пространственных расстояний /2 и промежутков времени (с£)2 есть равнобочная гипербола s2 = с2/2 — /2. Прн этом одна ветвь гиперболы лежит в прошлом относительно события, происшедшего при / = 0, % = 0, а другая ——целиком в будущем. Легко видеть, что такое соотношение с необходимостью

имеет место, если события связаны между собой причинно. Пусть в какой-то системе отсчета события произошли заведомо в одной точке пространства и второе было следствием первого. Этой системе отсчета отвечает точка О (причина) и точка Л (следствие). Но все точки гиперболы, проходящей через Л, лежат при / > 0, так что и в любой системе отсчета причина предшествует следствию.

Можно исходить и из таких причинно связанных событий, которые в исходной системе отсчета происходят не в одной точке пространства, например выстрел и попадание в цель. Но в системе, связанной с пулей, оба события расположены на отрезке ОА (см. рис. 24). В исходной системе выстрел и попадание лежат на наклонном отрезке, проведенном из начала к той же гиперболе, ко- Поэтому в любой системе отсчета по

падание происходит позже выстрела.

Обозначим скорость пули (или любой частицы) о; тогда легко видеть, что и V с. Действительно, чтобы существовала система отсчета, связанная с частицей, надо считать, что ds2 ^ c2dt2 > 0. Но тогда d/2 = 02d户 v c2d/2, или о V & как и утверждалось. Скорость света ——предельная скорость для материальной точки.

Область выше первой асимптоты называется абсолютно будущей по отношению к начальному событию. Всякое следствие лежит в этой области, если причина — событие в точке О. Теория относительности не противоречит, таким образом, объективному характеру причинности.

Можно привести примеры событий, расположенных иным способом в пространстве и времени. Для таких событий с2/2 V 戶 и s2 Vo. Эти события никак не могут быть связаны причинно. Скорость переноса материи, как мы видели, не превосходит с, а для того чтобы иметь s2 V 0, надо взять /2 > 炉产.Не существует такой системы отсчета, где бы оба события могли произойти в одной точке пространства. Для них s2 V 0, так что интервал — мнимая величина.

Зато не определена последовательность подобных событий во времени: существуют такие системы отсчета, где событие, условно названное первым, произошло раньше второго, и такие, где их порядок во времени обратный. Таким образом, теория относительности отрицает абсолютный характер одновременности двух событий, разделенных мнимым интервалом. Ни в одной системе отсчета они не могли произойти в одной и той же точке пространства. Пример их — точки О и 8 на рисунке 24. Точка В лежит на гиперболе, которая принадлежит частью будущему, частью ——прошедшему.

Ясно, что 0 и В не могут быть связаны причинно, так как в противном случае взаимодействие должно было бы распространиться из О в 8 мгновенно. Поэтому есть и такие системы отсчета, где событие В произошло раньше О.

Область между асимптотами со стороны В называется абсолютно удаленной по отношению к исходному событию.

Особый интерес представляют сами асимптоты к гиперболам: на них I = ctf s = 0. Соотношение / = ct имеет место для двух событий, связанных электромагнитным сигналом, например для отсылки и приема радиограммы. Во всех системах отсчета для таких двух событий s = 0, потому что скорость света инвариантна и всегда должно быть / = ct. Так как график на рисунке 24 на самом деле отвечает не плоскости, а 3 + 1 измерениям (три пространственные координаты и время), геометрическое место нулевых интервалов образно называется «световым конусом».

Собственное в р е м я. С интервалом тесно связано понятие собственного времени частицы. Перемещение частицы относительно системы отсчета, связанной с ней самой, по определению равно нулю. Эта система не обязана быть инерциальной, если частица движется ускоренно. Время, измеренное в собственной системе отсчета частицы, очевидно, выражается через интервал таким образом:

山。= ^ = ］/山2 - ^=山］(13.28)

Здесь dt и dl ——промежуток времени и перемещение частицы относительно не связанной с ней системы отсчета. Согласно (13.28) или (13.21) собственное время частицы, движущейся со скоростью dl、г

и = ^, самое короткое. Для конечных промежутков времени получаем:

/0=、山］一警 成,(13.29)

или

% V 九(13.30)

Может показаться, что (13.29) и (13.30) противоречат тому, что было сказано о взаимности сокращения времени для двух наблюдателей. На самом деле, чтобы реализовать различие времен, даваемое этими формулами, надо привести движущуюся систему в состояние покоя относительно неподвижной, т. е. лишить ее свойства инер- Циальности. Такая неинерциальная система никак не равноценна инерциальной.

Сказанное можно пояснить еще и таким способом. Пусть некоторая система была ускорена в течение некоторого промежутка времени т, затем двигалась равномерно очень долгое время 力 изменила направление своего движения на обратное в течение 2т, снова дви- га/ась равномерно в большом промежутке времени 才 и замедлилась Ао остановки за время т. Это как бы путешествие в обе стороны.

Согласно формуле (13.29) основной выигрыш во времени относится к периоду равномерного движения, так как /》т. Если этот период увеличится, скажем, в 10 раз при неизменном времени ускорения и замедления, выигрыш во времени тоже увеличится в 10 раз. Отсюда следует, что ускорение и замедление нужны только для того, чтобы можно было произвести сопоставление времени, протекшего в обеих системах отсчета ——инерциальной и неинерциальной, но не для самого сокращения времени в неинерциальной системе. Неинерциальность накладывает на систему отсчета как бы метку, позволяющую говорить, что именно в этой системе прошло меньше времени между отправлением в путешествие и возвращением.

Математически это можно объяснить еще и так. Дифференциал dt полный, а дифференциал d" = ^ неполный. Поэтому значение интеграла (13.29) зависит от того, какая функция v (£) в него подставлена. Здесь можно усмотреть аналогию между длиной отрезка ломаной или кривой линии и разностью координат его концевых точек. Отсчет координат ——величина определенная, а длина пути зависит от вида кривой.

Время /0 ——это показание часов в движущейся системе отсчета. Оно задает ритм всех физических (и физиологических) процессов в этой системе. Это можно проверить на опыте непосредственно пока только для времен распада элементарных частиц, но сам вывод никакого сомнения, конечно, и без прямой проверки не вызывает.

Среднее время жизни положительного л-мезона с массой 276 электронных масс до его распада в 卩-мезон, или мюон с массой 206 электронных масс, и нейтральную частицу составляет 2-10~8 сек (отрицательный л-мезон чаще всего захватывается ядрами, не успевая распасться). Указанное время измерено для л-мезона, остановившегося в веществе, т. е. это его собственное время. Если бы не существовало соотношения (13.30), выражающего сокращение собственного времени, то быстрый л-мезон имел бы то же время жизни и относительно неподвижной системы отсчета, связанной с Землей. Тогда он мог бы пройти не больше чем 2-10~8-3-1010 = =600 см в воздухе, потому что с — предельно возможная скорость движения. Фактически средний путь л-мезона гораздо больше, потому что время его жизни в неподвижной системе отсчета может быть гораздо больше времени жизни в собственной системе.

Тензорные обозначения. В§11 было указано, что правильное физическое уравнение, помимо одинаковой размерности обеих частей, должно быть еще инвариантным относительно поворотов координатной системы. Иначе говоря, в обеих частях уравнения могут стоять только такие величины, которые одинаково преобразуются при переходе к другой системе координат. Чтобы это было видно из самого уравнения, его удобно записывать в векторной или в тензорной форме. Кроме того, всякое уравнение должно удовлетворять принципу относительности, т. е. сохранять свой вид при переходе к другой инерциальной системе отсчета.

Применительно к эйнштейновскому принципу относительности оказывается возможным ввести такую запись уравнений, в которой видны оба необходимых свойства их инвариантности вместе. Такая запись называется релятивистски инвариантной.

Придадим прежде всего несколько иной вид преобразованиям Лоренца, введя следующее обозначение:

吟三 tg“・(13.31)

При этом

У с2 cos 屮 *

Введем, кроме того, мнимую координату x4t

x& = ict.(13.32)

Тогда преобразования (13.17) и (13.18) приобретут вид поворота координатной системы на угол 屮：

%:cos 屮+%4 sin 屮，(13.33)

%1 =一力 sin w + %4 cos w.(13.34)

В этом приеме нет никаких дополнительных физических допущений по сравнению с теми, которые были сделаны при выводе системы преобразований (13.17) и (13.18). Усовершенствования внесены, как сейчас будет показано, только в обозначения. Мнимая единица нужна для того, чтобы достигалось полное формальное сходство с обычным поворотом координат.

Любой поворот координат, включающий и пространственный (обычный поворот), можно представить в виде совокупности отдельных поворотов, при которых преобразуются только две координаты из их общего числа. В частности, если введена четвертая координата, то всякий поворот четырехмерного пространства осуществляется преобразованием Лоренца в форме (13.33) и (13.34) и дополнительных пространственных вращений координат на действительные углы. Мы сделали время не мнимой координатой, а, умножая его на мнимую единицу, добились того, что совокупность трех пространственных координат и времени преобразуется как единое четырехмерное многообразие декартовых координат.

Естественно ввести при этом четырехмерные скаляры, векторы и тензоры. Например, интервал немедленно проявляет свою скалярную инвариантную природу. Если ввести в него с dt =，, то получается:

厶2 = с2 dt2 — d%； — d務一d%； = — dxk dxk = — (dxk)2, (13.35)

Здесь немой значок k приобретает значения от 1 до 4, как и должно быть в скалярном выражении. В отличие от значков в трехмерном пространстве, которые при тензорном суммировании принимают

значения от 1 до 3 и обозначаются греческими буквами, значки в четырехмерном пространстве будут писаться латинскими буквами.

Определение вектора сохраняется уже нам известное: это совокупность четырех величин, преобразующихся как координаты. С такими величинами мы встретимся в релятивистской механике (§ 14) и в электродинамике (§ 15).

Все основные результаты, относившиеся к тензорам в трехмерном пространстве, применимы и в пространстве четырех измерений, за исключением одного, до некоторой степени «случайного». Речь идет о векторном произведении, которое в трехмерном пространстве записывалось так:

[Л£]а = в7<зуЛрВу.

Имея по существу дело с антисимметричным тензором второго ранга ЛрВу — /丫笈^, мы свели его к вектору, так как число компонент того и другого в трехмерном пространстве одинаково. В четырехмерном пространстве антисимметричный тензор Aik имеет шесть компонент (Л12, Л13, Л14, Л23, Л24, Л34), а вектор только че^ тыре и между ними не может быть соответствия. Поэтому в четырехмерном пространстве нет операции векторного умножения, в которой заключен основной смысл векторного анализа. Здесь, безусловно, удобнее тензорные обозначения.

Релятивистскую инвариантность любого уравнения мы будем доказывать, приводя его к четырехмерной тензорной форме. В свою очередь эта форма записи позволяет заранее отбирать уравнения, согласующиеся с теорией относительности, и, таким образом, сильно ограничивает число возможных физических допущений при поисках новых закономерностей.

УПРАЖНЕНИЯ

1) Вычислить изменение скорости света, распространяющегося в текущей воде в опыте Физо,

Решение.

Без учета теории относительности было бы u+ = — ± V.

2) Получить точную формулу аберрации света при произвольном наклоне луча звезды к эклиптике.

cos 心

Ответ, cos W =j7. 1cos

Написать формулы преобразований Лоренца при произвольном направлении скорости R относительно координатной системы.

7*0 尸P

Решение. В имеющихся формулах х = -р-,尤‘户歹. Составляющая радиус-вектора, перпендикулярная скорости, равна:

Согласно (13.17)Согласно (13.17)V(rV)V(rV)V(rfV)V2V(rfV)V2rfVrfVrV1/j二]/2%2，rV1/j二]/2%2，

Согласно (13.17)

Согласно (13.17)

V(rV)

V(rV)

V(rfV)

V2

V(rfV)

V2

rfV

rfV

rV

1/j二]/2%2，

rV

1/j二]/2%2，

Умножая это равенство на V/V и складывая уравнения, получим:

Показать, что четырехмерный элемент объемом dx1dx2dx3dxi инвариантен относительно преобразований Лоренца.

Решение. Представим элемент объема в тензорной записи:

где отлична от нуля только i-тая компонента вектора dx；.

Можно записать также совокупность коэффициентов преобразования, отвечающих переходу от «нештрихованной» системы отсчета к «штрихованной» соответственно (13.17) и (13.18):

У 1 一》2/с2

0

0

0

1

0

0

0

1

-У

0

0

~ У/с2 _/1 __ у^

О

О

1

/1 — М2/с2

Функциональный определитель, или якобиан, этого преобразования равен 1. Преобразование более общего вида связано с последующими вращениями в трехмерном пространстве, которые не изменяют соответствующий элемент трехмерного объема 力(зу Следовательно, d^]x всегда инвариантен.

Найти, как изменяется трехмерный элемент объема от преобразований Лоренца.

Решение. Якобиан, составленный из первых трех строк и столбцов таблицы преобразования, равен ———==,следовательно,

M1 一 V2/c2

Иначе в этом можно убедиться, применяя к элементу объема формулу сокращения длины (13.22) в измерении, параллельном скорости. Произведение d^)xdt опять дает инвариант, если подставить t из (13.21).

§ 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

Понятие релятивистской инвариантности позволит нам получить выражение для действия свободной материальной точки. Многое нз того, что говорилось о функции действия в механике Ньютона,

остается справедливым и в теории относительности, а именно: действие не должно содержать под интегралом в явном виде координат и времени, а также не может зависеть от направления скорости частицы. Оно должно удовлетворять и требованию принципа относительности, т. е. не менять своего вида при переходе к другой инерциальной системе. В § 13 было указано, что условие инвариантности относительно пространственных вращений выполняется вместе с эйнштейновским принципом относительности, если уравнения записаны в релятивистски инвариантной форме.

Еще одно необходимое требование, которому должно удовлетворять действие в теории относительности, заключается в том, что при малых скоростях движения частиц все выражения должны переходить в соответствующие им выражения ньютоновской механики.

Функция Лагранжа свободной частицы. В § 13 была найдена бесконечно малая величина первого порядка малости относительно приращения всех пространственных переменных частицы и приращения времени. Это бесконечно малый интервал ds, который удовлетворяет и требованию релятивистской инвариантности. Другую такую величину построить нельзя. Поэтому будем искать действие свободной частицы в виде

S = a\ds.(14.1)

Перейдем теперь от действия к функции Лагранжа. Для этой цели представим бесконечно малый интервал так:

ds = Vc2 出 2 — dl2=cdty l-^^ = cdty 1一3 (14.2)

Следовательно, функция Лагранжа, которая тождественно определяется из равенства S 三 \Ldt, есть

L = aq/1—^・(14.3)

Постоянный коэффициент а определим из того условия, чтобы при малых скоростях и функция L переходила в нерелятивистское выражение действия свободной частицы. Поскольку

то при и《с перепишем L в виде

Так как первый член постоянный, он может быть опущен, а второй член должен приводиться к -^ (см. § 2). Сравнивая с (2.26), S"а=—тс.(14.4)

По смыслу здесь масса частицы /и определена в ее собственной системе отсчета. Никаким другим определением массы мы в даль-

нейшем пользоваться не станем. Так как собственная система отсчета задается однозначно, величина т релятивистски инвариантна и характеризует частицу. Окончательно имеем функцию Лагранжа в таком виде:

L=—mc2j/l—(14.5)

Импульс в релятивистской механике. Из (14.5) сразу получается выражение импульса в теории относительности:

При малой скорости частиц оно, как и полагается, переходит в выражение импульса ньютоновской механики р = mv.

В некоторых книгах величину「2L、т. е. коэффициент

У 1 —叫 e2

пропорциональности между скоростью и импульсом, называют «массой движения» в отличие от «массы покоя» т. Мы не будем пользоваться термином «масса движения» во избежание путаницы, понимая под массой всегда релятивистски инвариантную величину т.

Из формулы (14.6) виден предельный характер скорости света, о чем говорилось уже в § 13. По мере того как скорость частицы стремится к скорости света, импульс частицы растет до бесконечности.

Исключение может составлять только такая частица, масса которой равна нулю. Импульс такой частицы, записанный в форме (14.6), дает при v = с неопределенность вида ^ и может остаться конечным. Но тогда скорость подобной частицы всегда обязана быть равной с, потому что в противном случае ее импульс тождественно обратится в нуль, и она никак не сможет вступить во взаимодействие с какой-либо механической системой, т. е. не проявит физической реальности.

Как мы знаем, скорость с релятивистски инвариантна, так что свойство данной частицы двигаться со сиростью света присуще ей самой, а не системе отсчета, в которой описывается ее движение. Импульс такой частицы надо задавать не по формуле (14.6), а независимо от величины ее скорости, которая всегда одинакова и равна с.

Скорость, большая & физически бессмысленна, потому что ей отвечали бы мнимые значения импульса. Сверхсветовые частицы Двигались бы с большей скоростью, чем передается между ними взаимодействие. Нетрудно представить себе абсурдные ситуации, которые получались бы с частицами, движущимися быстрее, чем распространяется взаимодействие между ними. Не мог бы соблюдаться и прин- инн причинности. Исключение сверхсветовых скоростей связано с тем, что причинность никак не нарушается принципом относитель- ности. Причинность связывает между собой объективно происхо-

дящие события, а в § 13 уже было указано, что понятие такого рода, как последовательность причин и следствий, не зависит от выбора системы отсчета.

Энергия в теории относительности. Будем исходить из общего определения энергии (4.1):

匸 dL ти?тс2匸 dL ти?тс2声•（⑷7）声•（⑷7）

匸 dL ти?тс2

匸 dL ти?тс2

声•（⑷7）

声•（⑷7）

Эта формула еще раз подтверждает предельный характер скорости света. Когда и f с, энергия частицы стремится к бесконечности. Иными словами, нужно затратить бесконечно большую работу, чтобы сообщить частице скорость, равную скорости света. Исключение составляют только частицы, масса которых равна нулю, они имеют при v = с конечный импульс и конечную энергию.

По формуле (14.7) энергия покоящейся частицы равна т*. Применим эту формулу к сложной частице^ способной к самопроизвольному распаду на две новые частицы, например к ядру, распадающемуся на дочернее ядро и а-частицу. Так как распад самопроизвольный, он обязан не внешнему воздействию на материнское ядро, а каким-то особенностям его внутреннего движения. Следовательно, радиоактивный распад ——это процесс, происходящий в замкнутой системе, и полная энергия в этом случае сохраняется. Энергия материнского ядра до распада равна сумме энергий дочернего ядра и а- частицы после распада, когда взаимодействия между ними уже нет.

团传2团传2Энергия каждой частицы выражается по формуле (14.7), которая применима к любой частице (простой или сложной), когда рассматривается ее движение как целого. Единственно возможный вид функции Лагранжа такого движения — (14.5), откуда следует энергия в виде (14.7). Считая теперь, что распадавшаяся частица покоилась, запишем выражение закона сохранения энергии для распада, пользуясь (14.7):

团传2

团传2

(14.8)

Оба члена справа, т. е. £\ и Е2 соответственно больше, чем 〃р и /и2c2, откуда получается важное неравенство:

(14.9)(14.9)加 ＞加1+加2，

(14.9)

(14.9)

Следовательно, масса сложной частицы, способной к самопроизвольному распаду, больше, чем сумма масс частиц, возникающих после распада. Это существенно новый факт релятивистской механики по сравнению с механикой Ньютона, где действовал закон аддитивности массы. Если определить разность

T三

一经2^ — Шe2

1*

(14.10)

как кинетическую энергию частицы (при малых энергиях она переходит в 警)，а тс2 назвать энергией покоя, то из закона сохранения (14.8) видно, что часть энергии покоя сложной частицы превращается в кинетическую энергию частиц-продуктов распада, а часть — в их энергию покоя. Закону сохранения удовлетворяют только полные энергии Е, а не кинетические Т, потому что кинетическая энергия материнской частицы как целого до распада равна нулю и не может быть равной всегда положительной кинетической энергии продуктов распада.

При химических превращениях изменение массы покоя реагирующих частиц происходит не более чем на миллиардную долю их общей величины. При ядерных превращениях, где скорости частиц

порядка м， изменение массы уже может доходить до полупроцента. Если происходит аннигиляция электрона и позитрона (положительного электрона), их энергия полностью (включая и энергию покоя) передается электромагнитному излучению.

Как известно из квантовой теории (см. ч. III), излучение передается в пространстве в виде отдельных частиц, так называемых световых квантов. Это не только совместимо с волновыми свойствами излучения, но прямо из них следует. Скорость светового кванта равна с, так что его масса тождественно равна нулю. Суммарная масса покоя участвующих в процессе аннигиляции частиц равна 2小。2 до аннигиляции и нулю после нее.

Увеличение энергии электромагнитного поля при этом, конечно, не меньше 2тс2. Наименьшее значение (2加巒)достигается тогда, когда электрон и позитрон аннигилировали в покое, не имея дополнительной кинетической энергии. Можно было бы назвать «массой» электромагнитного поля его энергию, деленную на с?； при таком определении «масса» сохранялась бы. Но по сравнению с законом сохранения энергии этот закон сохранения «массы» не содержит ничего нового. От деления равенства, выражающего закон сохранения энергии, на с2 никакой по существу новый закон не обнаруживается; происходит только переход к другим единицам измерения.

Масса покоя — та величина, которой целесообразно пользоваться при нахождении энергетического баланса ядерных превращений, так как изменение массы покоя всех частиц, участвующих в превращении, определяет энергию, которая может выделиться в виде кинетической энергии продуктов распада или в виде энергии излучения.

Называть массой светового кванта частное от деления его энергии на квадрат скорости света нет смысла потому, что эта величина никак не характеризует данный световой квант. В одной системе отсчета энергия имеет одно значение, в другой — совсем иное. Между тем масса есть величина, характеризующая именно частицу. Например, масса электрона (подразумевается масса покоя) равна 9・10~28 е, @ соответствующая величина у кванта тождественно равна

нулю. Но этот нуль не в меньшей степени характеризует световой квант, чем 9-10~28 г — электрон.

Масса частицы определяет соотношение между импульсом и скоростью по формуле (14.6). Отдельно по импульсу нельзя вычислить массу частицы, так как частицы с одинаковыми импульсами могут иметь совершенно различные массы. Поэтому абсолютно лишено смысла встречающееся иногда утверждение, что существование им- пульса у электромагнитного поля, проявляющееся в виде светового давления, доказывает наличие массы у светового кванта. Отдельно по импульсу или по энергии определить массу нельзя: она входит только в соотношение между двумя величинами для данной частицы и этим характеризует частицу.

Неверно также распространенное утверждение, что масса в 1 а способна выделить 9* 1020 эрг энергии. Для этого половина этой массы должна принадлежать антивеществу и аннигилировать с ве^ ществом. Изменение массы в чистом веществе (или в чистом антивеществе) происходит при ядерных превращениях, в итоге которых не изменяется общее число протонов и нейтронов. Поэтому и масса меняется не более чем на доли процента.

Выразим теперь энергию через импульс. Возведем в квадрат равенство (14.7) и вычтем из него (14.6) тоже после возведения в квад* рат и, кроме того, умножения на с2. Тогда получается:

Е2 — с2P2 =加 2c4.(14.11)

Энергию, выраженную через импульс, мы назвали в§ 10 функцией Гамильтона, или гамильтонианом. Следовательно,

Е = Н = ]/ mV + с2р\(14.12)

Отсюда находим связь между энергией и импульсом частицы, не обладающей массой

Е = ср・(14.13)

К такому виду стремится выражение (14.12) при неограниченном возрастании импульса.

Преобразования Лоренца для импульса и энергии. Чтобы следить за релятивистской инвариантностью уравнений, удобно записывать их в четырехмерных тензорных обоз^ начениях. Представим сначала в таких обозначениях импульс и энер* гию.

В определение импульса (14.6) подставим ~ = as 11 у2

Тогда его компоненты принимают следующий вид:

Ра = тс^,(44.14)

где греческий значок а принимает значения от 1 до 3, как условлено.

В определении энергии (14.7) надо записать скорость как 衣 и заменить dt на 嘗.Тогда сравнение с (14.14) показывает, что мни- iE

мая величина — должна рассматриваться как четвертая составляющая вектора импульса:

Р4 = тс 需.(14.14')

Импульс и энергия частицы вместе образуют один четырехмерный вектор с составляющими:

〃=m噜-(14.15)

Но в § 13 было показано, что преобразование Лоренца в математическом отношении есть поворот системы отсчета на мнимый угол, тангенс которого равен z—. По определению всякий вектор преобразуется, как радиус-вектор. Следовательно, компоненты четырехмерного импульса при переходе к другой инерциальной системе отсчета должны преобразовываться по формулам (13.33) и (13.34):

p； = pi cosx|)+ p4sin 也

р；=—内 sinip + p4 cos 屮・(14.16)

EVРх = 尸”：■“二EVРх = 尸”：■“二Чтобы вернуться к обычным, трехмерным обозначениям, подставим сюда tg2 = ~y и р& =『 Тогда находим искомые формулы преобразования импульса и энергии:

EV

Рх = 尸”：■“二

EV

Рх = 尸”：■“二

(14.17)

(14.18)

ру и pz не изменяются, если относительная скорость обеих систем отсчета направлена по оси х.

Отметим, что правильный предельный переход от (14.17) к нерелятивистской формуле преобразования импульса р[ = р* — mV получится только в том случае, если вместо Е подставить энергию покоя тс2. Нерелятивистская формула отвечает простому сложению скоростей: Vx = vx — К

Следовательно, если потребовать, чтобы преобразования Лоренца Давали правильный предельный переход к преобразованиям Га- 』н〃ея, необходимо включать в полную энергию частиц их энергию покоя. Наоборот, кинетическая энергия Т из (14,10) правильного пРедельного перехода не дает.

Соотношение (14.12) между энергией и импульсом записывается в релятивистски инвариантном виде так:

PiPi 三 Р；= — mV.PiPi 三 Р；= — mV.(14.19)(14.19)

PiPi 三 Р；= — mV.

PiPi 三 Р；= — mV.

(14.19)

(14.19)

Оно основано dxi щ = -~ равен:Оно основано dxi щ = -~ равен:на том, что квадрат четырехмерной скоростина том, что квадрат четырехмерной скорости

Оно основано dxi щ = -~ равен:

Оно основано dxi щ = -~ равен:

на том, что квадрат четырехмерной скорости

на том, что квадрат четырехмерной скорости

Uilli =Uilli =dxidxidxidxi=—1.=—1.

Uilli =

Uilli =

dxidxi

dxidxi

=—1.

=—1.

Скорость системы невзаимодействующих частиц в теории относительности. Покажем теперь, как определить в теории относительности скорость системы частиц, если между ними нет взаимодействия. Отличие от ньютоновской механики здесь состоит в том, что для описания взаимодействия надо включить в систему поле, и частицы сами по себе уже нельзя рассматривать как некую замкнутую систему, даже если посторонние поля на них не действуют.

Для простоты рассмотрим две частицы. Между скоростью, энергией и импульсом каждой из них существует соотношение:

Р = *(14.20)

вытекающее из (14.6) и (14.7). То же самое равенство можно получить и несколько иначе. Определим согласно (14.17) скорость той системы отсчета, в которой импульс частицы равен нулю. Полагая р； = 0 в левой части (14.17), будем иметь справа V = 爷, или, если скорость направлена не по оси х, вообще: 口 =等=^ в согласии с (14.20).

В применении к одной частице равенство V = @ тривиально и означает просто, что импульс частицы относительно системы Ьт- счета, движущейся с той же скоростью, что и она сама, равен нулю.

Применим теперь (14.20) к двум частицам, чтобы найти скорость той системы отсчета, относительно которой их общий импульс равен нулю. Так как частицы не взаимодействуют, общий импульс и общая энергия их просто складываются; иначе пришлось бы учитывать импульс и энергию поля их взаимодействия (в случае ядерных сил мы просто не умеем этого делать).

Итак, общий импульс частиц равен: А + А ― Р» а общая энергия есть £г + £2 = Е. Направим ось х по р. Так как преобразования Лоренца линейны и однородны, для суммы двух четырехмерных векторов формулы перехода к другой инерциальной системе выглядят так же, как и для каждого из них в отдельности. Поэтому искомая скорость системы отсчета,где общий импульс равен нулю, определяется как

у СЧР1+Р2)у — ТЕ ・

Чтобы получить отсюда предельный переход к ньютоновской ме* ханике, надо взять pr = т^, р?= 加2@2，七工= 加伍气 £2 = m2c2. Тогда формула (14.21) совпадает с обычным выражением для скорости центра инерции системы частиц. Величина 匕 выраженная через скорости частиц по формуле (14.21), не имеет вида полной производной от какой-либо координаты по времени. Поэтому определить по скорости центра инерции его координаты нельзя.

Относительная скорость ^!—④？ в релятивистской механике не имеет смысла, так как нет простого закона сложения скоростей.

Действие заряженной частицы в о внешнем электромагнитном поле. Перейдем теперь к уравнениям движения заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Как и для свободной частицы, будем исходить из выражения для действия, требуя, чтобы оно было релятивистски инвариантно.

Конечно, можно написать много мыслимых релятивистски инвариантных по форме выражений. Оказывается, однако, что соответствует опыту одно из простейших выражений. Под словом «опыт» мы здесь понимаем столь же большую совокупность фактов, как и та, что обосновывает ньютоновскую механику.

Действие частицы, находящейся в электромагнитном поле, включает действие свободной частицы и дополнительный член, описывающий взаимодействие электромагнитного поля и заряда, и в релятивистски инвариантной записи выглядит так:

S = \ (― ds + ^~ Ahdx*.(14.22)

Под Ak понимается четырехмерный вектор. Его три пространственные составляющие дают уже известный нам вектор - потенци ал электромагнитного поля, введенный в § 12. (Это будет показано в следующем параграфе, при выводе уравнений Максвелла из релятивистски инвариантного действия электромагнитного поля.) Четвертая составляющая Л4 есть »(р, где ср—тоже введенный в § 12 скалярный потенциал. Постоянная е называется зарядом частицы. По своему определению это релятивистски инвариантная величина.

Вынесем теперь dt за скобки в выражении для действия. Тогда в скобках по определению стоит функция Лагранжа:

S = \ (―加c2j/" 1 — ^ + V /①一绅j df= \ Ldf. (14.23)

Получим из нее по общим правилам формулы импульса и энергии. Имеем для импульса:

Р = * = 一 q + ^-A=Pq + ~ А. (14.24)

3“есь р0 означает импульс при отсутствии поля.

Энергия по определению (4.1) есть

E^v^-L^ V p^—vA+mc2^ 1 -^ 一春也4十绅=

= £()+绅，(14.25)

где £0 — энергия при отсутствии внешнего поля, равная согласно (14,7)： EQ = vpo + mc^^= -^=.

Таким образом, член, линейный относительно скорости, выпадает из энергии, если выразить ее через скорость. Заметим, что в данном случае у функции Лагранжа нет вида Т — U как раз потому, что имеется линейное слагаемое.

Из (14.24) и (14.25) получаем:

А=Р — ^4 Ео = Е —绅.

Но выражение Е。через р0 уже известно по уравнению (14.12), относящемуся к энергии и импульсу свободной частицы. Подставляя в него эти величины, выраженные через р и £, получим функцию Гамильтона заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле:У

Н=у mV + с2(рЛ)2 + е(р.(14.26)

По аналогии с четырехмерной записью (14.19) можно записать и в данном случае:

3 — у 4)伍一普 4)三 3 — у 4『=—加2c2.(14.27)

Уравнения движения заряда в о внешнем поле. Зная функцию Лагранжа из (14.23), напишем уравнения Лагранжа для частицы, движущейся во внешнем электромагнитном поле. В общем виде они, как всегда, должны быть:

d dL dL n

где одно векторное равенство заменяет три равенства, выраженные через компоненты.

Производная 駕 равна: р =0。+^ <, так что полная производная от р по времени

d dL — dp — dp。丄且"4d/ dv — di —亩十 c df ・

Чтобы раскрыть 芻,напишем его сначала для одной составляющей:

dAy — °/% 丄 °/% dx 丄 dAx dy °/% dz 。/% ； /^» у \ л

Откуда, пользуясь обозначением ®Y) (ср. (11.31)) для всех -dp

трех составляющих Л, переписываем 弄 так:

等=替+今借+m)小

Вычислим теперь производную ~ , или, что то же самое, VL:

VL =善 V (/ ①)一eV(p.

Градиент V (4。)означает дифференцирование по координатам, от которых явно зависит только Л, но не @・ Поэтому, применяя формулу (11.32), приводим YL к виду:

^三 YL = |.®Y)/ + 京erot/] — eV(p・

Подставляя ^ и VL в общее уравнение Лагранжа и оставляя в левой части только 皆,получаем искомое уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле:

《一 V屮-^"给 + за Г" /]. (14.28)

Вспоминая уравнения (12.34) и (12.35), связывающие электромагнитные поля с потенциалами, переписываем (14.28) в оконча

еЕ+^[^Н].еЕ+^[^Н].тельном виде:

еЕ+^[^Н].

еЕ+^[^Н].

(14.29)

Уравнение (14.29) надо рассматривать как физическое определение электромагнитного поля по его действию на заряженную частицу. Скалярный и векторный потенциалы, взятые сами по себе, не входят в равенства, выражающие физические величины, соответственно требованию калибровочной инвариантности.

Тем не менее обойтись совсем без электромагнитных потенциалов было бы весьма неудобно, в частности, нельзя было бы ввести функцию Лагранжа. Покажем, что она удовлетворяет условию, наложенному на потенциалы. Действительно, если подвергнуть потенциалы преобразованию калибровки (12.36) и (12.37), т. е. сделать замену:

” = A + Vf, Ф = ФГ —~^,

То под интегралом в (14.23) появится слагаемое

+ е 丄" = £_ 变

Но полная производная от некоторой функции координат и времени всегда может быть опущена из функции Лагранжа. В соответствии с этим и уравнения движения содержат поля, а не потенциалы.

Вектор в правой части (14.29) называется силой Лоренца. Кроме обычной электрической силы еЕ, известной из электростатики, в силу Лоренца входит слагаемое ~ [^//], несколько напоминающее кориолисову силу. Это слагаемое обязано той части функции Лагранжа, которая линейна относительно скорости.

Магнитная часть силы Лоренца у [@〃] весьма похожа на выражение силы, действующей на ток во внешнем магнитном поле, и может быть из нее получена по примеру того, как в § 12 получались уравнения Максвелла из элементарных законов теории электромагнетизма. Но при таком способе вывода гораздо сложнее усмотреть релятивистскую инвариантность выражений.

Уравнение движения заряда в четырехмерной форме. Покажем, что при выводе уравнения (14.29) из инвариантного принципа (14.22) не была потеряна релятивистская инвариантность результата, хотя при записи (14.23) время, казалось бы, выделено и входит в это соотношение несимметрично с координатами. В частности, оно не варьируется в отличие от координат.

Начнем с определения электромагнитного поля в четырехмерной записи. Составляющие магнитного поля //связаны с составляющими векторного потенциала так:

Пх dz ду，dz дх » Пг дх ду '

Следовательно, с помощью составляющих четырехмерного вектора Ah входящего в (14.22), магнитное поле представляется следующим образом:

“ —dx2 d%3， у —。%3 — A% J z — дх1 一 d%2 *

Введем теперь четырехмерный антисимметричный тензор Fikf связанный с векторным и скалярным потенциалами (или с четырехмерным векторным потенциалом) посредством формул:

厶=翁-許.(14.30)

Подставляя сюда Л4 =阿，х4 = ict, находим компоненты тензора 尸论，содержащие 4 как один из индексов:

后 @4 ЭЛХ . 5(р104 V 1 / Э(р 1Ех

尸24= %尸34 =务.

ОкончательноОкончательнозаписываем весь тензор в виде таблицы:записываем весь тензор в виде таблицы:(14.31)(14.31)

Окончательно

Окончательно

записываем весь тензор в виде таблицы:

записываем весь тензор в виде таблицы:

(14.31)

(14.31)

Равенство между таблицами означает почленное равенство компонент. Таким образом, в четырехмерных обозначениях электрическое и магнитное поля составляют единый антисимметричный тензор. На его диагонали стоят по определению нули, а расположенные симметрично относительно диагонали компоненты имеют обратные знаки.

Умножим теперь первое уравнение (14.29) на — и раскроем его правую часть по компонентам магнитного поля:

躋=+—

Подставим сюда рх из (14.14) и составляющие электромагнитного поля из (14.31). Тогда приходим к такому равенству:

Для остальных двух уравнений применяется аналогичная запись.

Объединим получившуюся систему в одно четырехмерное уравнение. Какой смысл имеет четвертое уравнение? Поскольку в системе (14.29) было всего три соотношения, надо показать, что четвертое является следствием из них.

Для этого умножим (14.29) на е. Слева получим:

叽一死0拗_ dE。dt dpQ dt dt *

Справа произведение скорости на магнитную часть силы Лоренца обращается в нуль, так как [@〃] и 0 взаимно перпендикулярны. Остается такое равенство:

需=е(厠).(14.32)

Подставляя в него Е()=彳將 п составляющие электрического поля из (14.31), видим (после умножения на ^), что получилось дей^ ствительно четвертое уравнение из четырехмерной системы:

тсЗ*^ 需(14.33)

Слева в уравнении (14.32) стоит изменение энергии частицы за ^Диницу времени, т. е. совершаемая над ней за это время работа. Справа — скалярное произведение силы, действующей на частицу,

на скорость ее движения: обычное выражение работы, отнесенной к единице времени. Эта величина называется лоренцевой работой.

Таким образом, мы получили релятивистски инвариантную формулировку уравнений механики заряженной частицы в электромагнитном поле. Существенное физическое отличие от уравнений механики Ньютона состоит в том, что в случае электромагнитного поля нельзя прямо ввести понятие энергии взаимодействия частиц в системе. Каждая частица непосредственно взаимодействует только с электромагнитным полем, соответственно тому, что в теории относительности возможно лишь близкодействие.

Уравнение (14.29) или (14.33) можно решить только в том случае, если задано внешнее электромагнитное поле, действующее на частицу. Чтобы иметь полную систему уравнений электродинамики, надо научиться находить в свою очередь поле по заданному движению зарядов. Эта задача решается в принципе с помощью уравнений Максвелла, которые были получены в § 12. Релятивистски инвариантный вывод будет дан в следующем параграфе. В § 20 мы укажем на некоторые трудности, связанные с применением совместной системы уравнений Максвелла и (14.33).

УПРАЖНЕНИЯ

Быстрый протон с энергией Е налетает на покоящийся протон. Найти, какая часть энергии упавшего протона может быть израсходована на неупругий процесс (например, рождение протон-антипротонной пары).

Решение. Энергия сталкивающихся частиц может быть в наибольшей степени затрачена на неупругий процесс в той системе отсчета, где общий импульс обеих частиц равен нулю (см. § 6). Пусть в этой системе импульс одной частицы р0,

другой —р0, энергия каждой из них Ео = р^mV+с2р^. Исходим из январи- антности четырехмерного произведения: р^р^^ Р^^^ Так как в лабора

тс^Е = Е^-\-с^р^.тс^Е = Е^-\-с^р^.торной системе отсчета импульс покоящегося протона равен нулю, а энергия равна тс2, получаем:

тс^Е = Е^-\-с^р^.

тс^Е = Е^-\-с^р^.

Отсюда следует, что искомая полная энергия в системе ц. и. равна

Таким образом, относительная доля энергии падающего протона, которая может быть истрачена на неупругий процесс, обратно пропорциональна корню квадратному из его начальной энергии. Поэтому в настоящее время так интенсивно разрабатываются ускорители со встречными пучками, где лабораторная система отсчета совпадает с системой ц. и.

Рассмотреть столкновение частицы, имеющей нулевую массу, с покоящейся частицей массы т. Определить энергию налетевшей частицы после столкновения, если известна ее энергия до столкновения и угол отклонения 8.

Ответ.口

Е' = ―g

+爲(1一期3

Найти зависимость скорости ракеты от массы сгоревшего и вылетевшего вещества, если известна ее начальная масса Mq и скорость частиц вылетающего вещества относительно ракеты и.

Решение. Пусть искомая скорость раке гы V, ее начальная масса Мо, мгновенное значение массы М. Если вылетело какое-то количество рабочего вещества dmf то относительно неподвижной системы отсчета закон сохранения импульса записывается так:

равна:равна:Здесь скорость『вылетающего вещества относительно неподвижной системы

равна:

равна:

,и—V

〃 vV*

1一获

Учтено то обстоятельство, что и' и У обратны по направлению. Подставляя ие в уравнение сохранения импульса, получим:

МУ = 加(и-I/)

Закон сохранения энергии удобнее записать в системе, связанной с ракетой:

dMc2dMc2dm • с?dm • с?

dMc2

dMc2

dm • с?

dm • с?

Исключая dm и производя необходимые сокращения, будем иметь:

dVdVdM

dV

dV

откуда в результате интегрирования приходим к искомому уравнению:

Если в ракете происходит полная аннигиляция вещества и вылетающие частицы — фотоны (кванты)^ то

В нер ел яти в и стс ком пределе, когда и《с》 竺 уд,

Покоящаяся частица с массой /п распадается на две частицы с массами ^1 и т2. Найти их энергии.

Ответ.

一他？一偌+ 优2 m| - mf + m2

Вывести уравнения движения заряда в электромагнитном поле непосредственно из инвариантного выражения действия (14.22).

Решение. Вариация действия имеет вид:

6S6Smcb 曲 Tmcb 曲 Te dAke dAkc dxic dxi5%, dx^ -]—f"'立 db尤也)~ О,5%, dx^ -]—f"'立 db尤也)~ О,

6S

6S

mcb 曲 T

mcb 曲 T

e dAk

e dAk

c dxi

c dxi

5%, dx^ -]—f"'立 db尤也)~ О,

5%, dx^ -]—f"'立 db尤也)~ О,

Пользуясь тем, что d金=—d%；, находим вариацию интервала:

小一*

Преобразуя дифференциалы вариаций по частям, получаем:

65=V一叫曬+ ^翁賑_善赛弱配

Приравнивая нулю выражения при вариациях, приходим к системе уравнений (14.33):

d2X[ е {дАъ дАЛ dxk е 匸 dxk

Найти скалярный и векторный потенциалы свободно движущегося заряда.

Решение. В собственной системе отсчета заряд производит только электростатическое поле, скалярный потенциал которого равен —. Магнитного поля в этой системе нет, так что векторный потенциал равен нулю. Преобразуя скалярный потенциал как четвертую компоненту вектора по общим формулам (13.33) и (13.34) и учитывая, что Ах в правой части этих равенств обращается в нуль, находим:

Далее, надо выразить г0 через координаты в той системе, относительно которой заряд движется:

%=]Л吟+嵋+若=%=]Л吟+嵋+若=任二響+外+况任二響+外+况

%=]Л吟+嵋+若=

%=]Л吟+嵋+若=

任二響+外+况

任二響+外+况

Вместо vt можно подставить Е, т. е. абсциссу движущегося заряда. Электромагнитное возмущение в момент времени t приходит в точку с координатами & у, z не из точки Е, 0, 0, где заряд находится в данный момент, а из точки У, 0, 0, где он находился в момент испускания этого возмущения. Если расстояние от точки Е', 0, 6 до точки с координатами х, у, г равно R', то на прохождение этого пути электромагнитному возмущению понадобилось время Заряд, двигаясь

со скоростью и, затратил то же время, чтобы пройти путь-~~. Отсюда имеем равенство:

_ /(% - 1)2 +炉+ 好

Vее

Здесь Е =凉,т. е. абсцисса заряда в текущий момент t Разность х —于 есть проекция вектора R' на направление скорости о, т. е. ^-. Подставляя полу*

ченные выражения в г0, находим окончательно:

屮=^~病、A屮=^~病、A

屮=^~病、

A

屮=^~病、

A

Найти движение заряда в постоянном м однородном магнитном поле.

Решение. Если поле направлено по оси г, уравнения движения имеют следующий вид:

dpx е dyК = 厘、Н '、dpx е dyК = 厘、Н '、е dx~7^1Я|>е dx~7^1Я|>等"等"

dpx е dy

К = 厘、Н '、

dpx е dy

К = 厘、Н '、

е dx~7^1Я|>

е dx~7^1Я|>

等"

等"

Так как магнитное поле не совершает работы над зарядом, р2 = const»

pz = const, 成 + 内=const, pxpz = const, 成 + 内=const, pxmu*mu*Ищем координаты 力 и у в таком виде:Ищем координаты 力 и у в таком виде:

pz = const, 成 + 内=const, px

pz = const, 成 + 内=const, px

mu*

mu*

Ищем координаты 力 и у в таком виде:

Ищем координаты 力 и у в таком виде:

% =厂 cos о/, у = г sin st.

Для г и со получаются выражения:

Evес \ И \

ес \ Н\ *£

Частица движется по винтовой линии. При малой скорости со переходит е \Н\ в постоянную величину .

Найти движение заряда в постоянном и однородном электрическом поле. Решение. Уравнения движения:

Из последнего уравнения получаем:

Из первого уравнения:

Рх — РхО = е|Е|/，Ру — Руо = °，Pz 一Pzo=°・

Эти интегралы уравнений, взятые вместе, дают зависимость х от /. Если Pzo = 0, то, деля рх на 巧,выразим — через х(путем исключения / из интеграла энергии). Траектория заряда имеет вид цепной линии.

Выразить через адиабатические инварианты (переменные действия) энергию движения заряда в притягивающем кулоновом поле.

Решение. Так как потенциал имеет только скалярную составляющую, находим из (14.27) после перехода к плоскому движению в полярных координатах:]2

& (E-绅)2 =加2,2 + "； + 員,Лp=p中

Отсюда радиальная переменная действия равна:

/，= *\Рм"翌、了一5%2一药/，= *\Рм"翌、了一5%2一药2Е • Z/rc2Е • Z/rc

/，= *\Рм"翌、了一5%2一药

/，= *\Рм"翌、了一5%2一药

2Е • Z/

rc

2Е • Z/

rc

Интеграл берется по всей области, где подкоренное выражение действительно. При этом надо учитывать, что Е < тс2, так как в противном случае движение инфинитно. Предположение Е < 加с? отвечает £ < 0 в ньютоновской механике, т. е. финитному движению.

Вычисляя интеграл, находим:

Ze2£Z2e4

e м加力一炉Y屮 d.

Отсюда выражаем энергию через обе переменные действия /「，/炉

не замк-не замк-lдЕ дЕ

не замк-

не замк-

Производные и не равны, так что траектория заряда

尸 01ф

нута. Она имеет вид эллипса, оси которого поворачиваются (розетка).

§ 15. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Преобразования Лоренца для состав ля- ю щ и х поля. В этом параграфе будет показано, что уравнения Максвелла могут рассматриваться как механические уравнения движения применительно к электромагнитному полю. Для этого надо вывести их из общего принципа механики, подобно тому как уравнения механики материальных точек выводились в § 2 из принципа наименьшего действия.

Чтобы сформулировать соответствующий принцип для электромагнитного поля, надо исходить из сходных требований: инвариантности уравнений относительно переносов системы координат в пространстве и во времени, относительно вращений и переходов к другим инерциальным системам отсчета.

Требование инвариантности по отношению к переносам в пространстве и времени сводится к тому, что действие поля не должно содержать явных функций от координат и времени. Иначе говоря, оно может зависеть только от величин, описывающих поле, подобно тому как действие замкнутой механической системы зависит только от ее обобщенных координат и скоростей.

Что касается условия инвариантности по отношению к вращениям в пространстве и переходам к другим инерциальным системам отсчета, то в § 13 было показано, что тому и другому требованию легче всего удовлетворить, пользуясь четырехмерной тензорной записью уравнений.

Поэтому надо начать с вопроса о преобразовании компонент электромагнитного поля, чтобы выяснить, какие инвариантные величины могут быть при этом получены.

Поле, как было показано в § 14, есть четырехмерный антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого определены равенством (14.31). Применим к нему обычное преобразование Лоренца, относящееся к случаю, когда относительная скорость систем отсчета направлена по оси %. Такое преобразование затрагивает только первый и четвертый тензорные значки согласно формулам (13.33) и (13.34).

Отсюда сразу видно, что компонента магнитного поля, направленная по относительной скорости, т. е. Нх = F23, вообще не преобразуется: она имеет тензорные значки 2 н 3.

J74

HrzHrz(15.1)(15.1)(15・「)(15.2)(15・「)(15.2)Далее возьмем компоненты магнитного поля Hz и электрического поля Еу. В тензорных обозначениях это F12 и -р. Значок 2 не затрагивается преобразованием, а значки 4 и 7 преобразуются по общим правилам (13.33) и (13.34). Таким образом, получаются формулы преобразования всех четырех поперечных компонент электромагнитного поля:

Hrz

Hrz

(15.1)

(15.1)

(15・「)

(15.2)

(15・「)

(15.2)

и

(15・2‘)

Остается продольная компонента электрического поля Ех = iF^, для которой оба значка / и 4 преобразуются. Преобразование можно в данном случае рассматривать как поворот в двумерном пространстве с координатами %工 и х4. Тогда F14; есть антисимметричный тензор второго ранга в двумерном пространстве. Но в § 11 было показано, что полностью антисимметричный тензор, ранг которого равен числу измерений пространства, инвариантен относительно поворотов. То, что было сказано о пространстве трех измерений, буквально переносится на любое число измерений, в частности на два. Следовательно, F^ инвариантен при поворотах вида (13.33) и (13.34). Разумеется, это можно показать и прямым вычислением по общим формулам преобразования тензора.

Итак, имеем для обеих продольных компонент поля:

Н】 = Н“,(15・1〃)

(15.2〃)

Найдем теперь величины, инвариантные относительно преобразований. Произвольный тензор Aik имеет инвариант /〃, т. е. сумму диагональных компонент. Не имея других значков, кроме немых, эта величина, называемая следом, или шпуром тензора, инвариантна. Но у тензора 储攵，как антисимметричного, все диаго* бальные элементы обращаются в нуль (ср. (14.31)). Следовательно, 几=0.

Итак, линейный инвариант отсутствует; очевидно, что имеется квадратичный инвариант 尸/F彘，т. е. сумма квадратов всех компонент тензора:

FikFik = Pik^2(\iH\^\E\^(15.3)

Эта величина имеет фундаментальное значение для дальнейшего.

С помощью полностью антисимметричного тензора четвертого ранга можно построить еще одну инвариантную величину:

^iklm^ikP 1т*(15.4)

Поскольку Умт — инвариантный тензор, мы, безусловно, получили релятивистски инвариантную величину. Раскроем ее с помощью компонент электромагнитного поля:

GihimFihFim = 8/ (ЕХНХ + ЕУНУ + Eg = 8f (£//).

Тензор Eikim имеет 4! = 24 компоненты, которые приводятся по 8.

Таким образом, найдена еще одна величина, не меняющаяся от преобразований Лоренца: скалярное произведение (ЕН).

Скаляры и псевдоскаляры. Векторы и псевдовекторы. Покажем теперь, что скалярное произведение (ЕН) в некотором смысле не является настоящим скаляром. Именно: (Eff) меняет знак на обратный, если изменить знаки всех координат на обратные: х' = — х, д' = — у, / = — г.

Указанное преобразование называется инверсией координатной системы, или зеркальным отражением. Действительно, оно превращает правовинтовую систему координат в левовинтовую, но как раз такой видна в зеркале правовинтовая система (правая рука в зеркале выглядит как левая).

Нетрудно видеть, что никакой поворот координатных осей не может привести к инверсии. Таблицу коэффициентов преобразования, отвечающих инверсии, надо записать в таком виде:

—1 О О

О -1 О

О 0 -1

Определитель этой таблицы равен — 1, тогда как соответствующий определитель для поворота равен + 1. Никаким непрерывным преобразованием нельзя перейти от + 1 к — 1.

По отношению к инверсиям векторы ведут себя различным образом. Вектор скорости ® = ~ изменяет знак вместе с г. Вектор импульса р = mz, очевидно, тоже меняет знак. Тем же свойством обладает вектор силы F = р. Все эти векторы называются настоящими (истинными), или полярными векторами, или просто векторами.

Вектор момента М = [гр], компоненты которого содержат произведения компонент 尸 я 〃, очевидно, знак не меняет, равно как и вектор момента силы К =[尸尸].Такие векторы называются аксиальными, или псевдовекторамw: они ведут себя как векторы при враще- 176

ниях координатной системы, но иначе при инверсии. В § 11 было показано, что М и К, т. е. на самом деле векторные произведения настоящих векторов, должны определяться как антисимметричные тензоры второго ранга. Они обладают векторными свойствами только в трехмерном пространстве, потому что число компонент антисимметричного тензора и вектора там совпадает. Инверсия проявляет невекторную природу М и К.

Нетрудно видеть, что угловая скорость — псевдовектор. Она связана с моментом соотношением:

m(х = J邮①B

(см. § 9). Но компоненты тензора инерции зависят от координат квадратично и не меняют знака при инверсиях, так что угловая скорость ведет себя в этом отношении как момент. Так получается потому, что направление вектора угловой скорости было выбрано условно (§ 8).

Покажем теперь, что вектор-потенциал 4 — истинный вектор. Он входит в выражение действия (14.23) умноженным скалярно на истинный вектор скорости @. Уравнения механики, как известно из опыта, инвариантны при инверсии: они не изменяют своего вида, оттого что вместо правовинтовой системы берется левовинтовая. Следовательно, скалярное произведение (4z), входящее в функцию Лагранжа, не должно менять знака при инверсии. Для этого 4 обязано быть настоящим вектором. Поскольку (14.23) можно рассматривать как определение Д, векторные свойства 4 следуют именно из его определения.

Но тогда видно, что магнитное поле 〃 一 псевдовектор, потому что набла ▽ = ^, очевидно, представляет собой истинный вектор,преобразующийся при инверсии, как 尸，а магнитное поле

H = rotA = \^A].

Электрическое поле, определяемое как Е =—厂屮一^~%,一 истинный вектор, в силу того что V и 4 — истинные векторы. Скалярное произведение (ЕН), которое получается при умножении вектора Е на псевдовектор 〃，меняет знак при инверсии, это псевДоскаляр. (Е〃) остается инвариантным только при поворотах координатной системы, но не при инверсии.

Четырехмерное тензорное определение (£//) тоже показывает его псевдоскалярную природу: в каждое слагаемое входят по три пространственных значка и один временной (4), так что изменение знака трех координат меняет знак (Е〃).

Может показаться, что уравнения электродинамики не должны бьпъ инвариантными при инверсии: ведь в одних случаях приме- н^ется правило правой руки, в других —— левой. На самом деле приМенение этих правил связано с условностью в определении знака

магнитного поля ——его полюсов. Если переименовать их и одновременно поменять правило каждой руки на противоположное, ничто в законах электродинамики по существу не изменится.

Закон симметрии правого и левого неуниверсален. В природе существует особый класс взаимодействий неэлектромагнитного характера, так называемые слабые взаимодействия, где нет симметрии относительно инверсий. Эта симметрия выражает определенное свойство данного конкретного вида взаимодействия, которое может быть установлено только на опыте.

Итак, мы ограничились двумя инвариантными величинами: I 〃 |2 — I Е |2 И (£〃)• Все остальные можно выразить через них.

Линейность уравнений Максвелла относительно поля. Из величины (ЕН), возведя ее в квадрат, можно образовать настоящий инвариант. Заранее, конечно, совер^ шенно не очевидно, почему такая величина (или еще квадрат инва* рианта I 〃 У — I £ |2) не может входить в выражение для действия электромагнитного поля, равно как и члены более высоких степеней. Но если оставить члены более высокой степени, чем квадратичные, относительно поля, то уравнения электродинамики, которые получатся путем варьирования действия, будут содержать нелинейные слагаемые, т. е. квадраты полей, их произведения и т. п.

Существенное отличие нелинейного уравнения от линейного состоит в том, что сумма двух решений нелинейного уравнения не является его решением: появляются перекрестные члены от обоих решений. Но хорошо известно, что если в вакууме распространяются две электромагнитные волны, то они просто складываются и никак не искажают друг друга. В нелинейной теории скорость волны зависит от ее амплитуды, тогда как в электродинамике скорость воз^ мущений любого рода, распространяющихся в пустом пространстве, одна и та же.

Исходя из этого экспериментального факта, необходимо выбрать только квадратичный инвариант электромагнитного поля, чтобы уравнения поля были линейными. Имея два квадратичных инварианта, можно было бы взять их линейную комбинацию в выражении для действия. Но эта комбинация меняла бы относительный знак между слагаемыми I И |2 — I £ |2 и (七〃)，так как (Е〃) ——псевдоскаляр. Поэтому если оставить слагаемое (七切，то уравнения элект* родинамики будут иметь разную форму в правовинтовой и левовин* товой системах координат и никакое переопределение знака магнитного поля не поможет.

Следовательно, остается только одна квадратичная величина I Н |2 — I Е |2, которая может входить в выражение действия электромагнитного поля.

Из вектор-потенциала получается еще одна квадратичная величина AiAi = I А\ 2 ——ф2, но она не инвариантна относительно калибровки и тоже не может входить в формулу действия.

Взаимодействие поля и зарядов. Соответствующее выражение мы получили в § 14 ——формула (14.22). Для от- 178

дельного заряда оно имеет вид: SB3 = у ^л^.Удобнееперейти от точечного заряда к распределенному в пространстве (как было показано в § 12, это всегда можно сделать).

Чтобы проследить за релятивистской инвариантностью уравнений, покажем, что J и р, т. е. плотность тока и плотность заряда, вместе составляют один четырехмерный вектор. Дифференциал заряда de по определению инвариантен:

de = pd(3)t.(15.5)

Пусть в системе отсчета, для которой написано равенство (15.5), заряды покоятся. Отметим это индексом 0 при р и при d(3)T. Так как эаряд — величина инвариантная, можем записать равенство:

de = p()d ⑶ ％ = pd ⑶ t.(15.6)

Но, как было показано в упражнении 5 к § 13, элемент объема d(3)t0, движущийся вместе с заряженными частицами, сокращается относительно неподвижного элемента объема:

d(3)t = d⑶ to]/1 _^・(15.7)

Отсюда следует, что плотность заряда р связана с его плотностью Ро в покоящейся системе соотношением:

р = —(15.8)

Входящий сюда коэффициент выражается через бесконечно малый интервал, связанный с движением зарядов (см. § 14):

с df

Следовательно, плотность заряда можно представить в свою очередь как четвертую компоненту четырехмерного вектора:

Р = Ро=?醬三^(15.9)

Тогда вектор плотности тока равен:

^ = с^^(15・9')

Вместо выражений edxk надо теперь подставить в SB3 такие Дифференциалы: p0—'d(3)r. Окончательно получим:

5вз = ； \ iM^r d』； \ 〃4d⑷т・(15.10)

Вариационный принцип для электромагнитного поля. Основная задача этого параграфа — пока- зать, что уравнения Максвелла, подобно уравнениям механики,

равносильны некоторому вариационному принципу. Хотя электродинамика не сводится к механике системы материальных точек или сплошной среды, основанной на законах Ньютона, существует далеко идущая аналогия между механикой и электродинамикой, если в основу кладется принцип Гамильтона. Заметим, что речь идет отнюдь не о формальной, внешней аналогии. Вариационный принцип позволяет определить для электромагнитного поля такие величины, как импульс и энергия, которые сохраняются для него не отдельно, а вместе с соответствующими велидннами для частиц. Таким образом строятся законы сохранения общего вида, которые выполняются в замкнутых системах, состоящих из заряженных частиц и создаваемого ими поля.

При определении действия для системы материальных точек производится суммирование по их координатам. Электромагнитное поле, если воспользоваться тер мином механики,—это система с бесконечным числом степеней свободы, потому что для полного задания поля надо указать значения всех его компонент во всех точках пространства, где поле отлично от нуля. Но точки пространства образуют неисчислимое множество, т. е. не могут быть перенумерованы в каком-либо порядке. Поэтому суммирование в случае электромагнитного поля заменяется интегрированием по непрерывно изменяющимся параметрам — координатам точек, в которых задается поле. Значения координат точек аналогичны числам, нумерующим степени свободы механической системы.

Обобщенными координатами поля являются значения вектор- потенциала согласно соответствию qk (/) -> Л (г,/). Производные по времени от вектор-потенциала входят только в выражение для электрического поля. Но в функцию Лагранжа механической си* стемы производные от координат по времени входят через кинетическую энергию, т. е. с положительным знаком. Поэтому, подставляя инвариант F〃F辽 в функцию Лагранжа электромагнитного поля, надо придать ему такой коэффициент, чтобы электрическое поле определяло положительный член.

Численное значение этого коэффициента выбирается равным —亳"，что соответствует гауссовой системе единиц. Иногда применяется —:-.В этом случае единицы измерения электромагнитных величин называются хэвисайдовыми.

С учетом взаимодействия поля и зарядов, т. е. слагаемого (15.10), можем теперь записать действие для электромагнитного поля:

S = \ d⑷且 Ldt. (15.11)

Отделяя интегрирование по времени в четырехмерном элементе объема, получаем отсюда функцию Лагранжа, которую нетрудно переписать в трехмерных обозначениях:

厶 7y+ 吗 (15.12)

Считая 帝 обобщенной скоростью, из функции Лагранжа можно вывести вторую пару уравнений Максвелла в трехмерной форме, а затем с помощью таблицы (14.31) убедиться в их релятивистской инвариантности.

Вместо этого мы произведем варьирование (15.11) непосредственно в четырехмерной форме. При этом распределение токов и зарядов, т. е. jk считается заданным, так что варьируется только Ak. Получаем для вариации действия:

6S = \ [-建(欝? 6阂 d⑷У 0.

При варьировании было учтено, что 尸说=察—第. Во втором слагаемом переименуем немые значки: i назовем 力，а 力 назовем 厶 Тогда этот член будет отличаться от первого только порядком значков у 尸左». Но так как Fki ——антисимметричный тензор, то, переставляя значки, надо изменить знак, после чего оба первых члена в варьированном выражении приведутся. Выражение Fik 鶴瓦 преобразуем по частям:

Производную 被尸/54在 проинтегрируем по соответствующей переменной в d(4)t. Вариация на пределах интегрирования, как всегда при выводе уравнений движения, должна быть положена равной нулю — так окончательно приводим вариацию 5s к виду:

6s =+”13)

Для того чтобы выполнялось требование 6S — 0, выражение в скобках, умноженное на произвольную вариацию 54力,должно равняться нулю в каждой точке четырехмерного объема 小灯工. Отсюда получаются искомые уравнения:

dFbi 4jt .l 1

請(15・14)

Подставляя сюда составляющие четырехмерного тензора Fki согласно (14.31), приходим к уравнениям Максвелла (12.32), (12.33),

Для полноты приведем также первую пару уравнений Максвелла в четырехмерном виде и уравнения для потенциалов.

dAj0勺，dAj0勺，Записываем три равенства:

dAj

0勺，

dAj

0勺，

尸/ =

尸在尸

。4

丽.

(15.15)(15.15)Дифференцируем первое из них по к, второе — по =, третье — по и складываем. Тогда правые части тождественно сокраща* юте я и остается:

(15.15)

(15.15)

Снова нетрудно убедиться, что эти четыре уравнения (по числу способов выбора трех значков из четырех) равносильны (12.30) и (12.31).

Операцию

一C2亚2 一 d后十竭十竭* dxl

д д ^2м

записываем как而而=朝・ Иногда ее обозначают квадратиком, по аналогии с треугольной V. Тогда для компонент потенциала получим вместо (12.43) и (12.44)

□ 4左=-^р = —^ 〃・(15.16)

виде так:виде так:(15.17)(15.17)Наконец, условие Лоренца (12.42) пишется в четырехмерном

виде так:

виде так:

(15.17)

(15.17)

Тензор энергии-импульса электромаг* н и т н о г о поля. Покажем теперь, как уравнения Максвелла (15.14), (15.15) вместе с уравнениями движения заряженной частицы в электромагнитном поле (14.33) обеспечивают выполнение основных механических законов сохранения: энергии, импульса и момента. Тем самым будет окончательно подтверждена законность рассмотрения поля как механической системы.

Умножим уравнение (15.14) после некоторого изменения значков на,d尸/ = 4n尸"力

дх^ с *

Переименуем в получившемся равенстве / вЛ, а^в/и сложим оба совершенно равнозначных равенства. Левые части преобразуем по частям, после чего получим:

/&尸访+g&L储互（需+需）=¥■

Объединяя последние два члена слева, мы использовали то, чтоPik =—尸 At, Flk ——尸 A2・

Первые два члена слева приводятся, если во втором из них еде* лать переименование, обратное только что выполненному. Величину в скобках в третьем члене заменяем, согласно первой группе

уравнений Максвелла (15.15) на — ^^.Тогда это слагаемое оказывается равным:

/п =/п =^3论2舟尸統.^3论2舟尸統.г 8F 決1 d П2

/п =

/п =

^3论2舟尸統.

^3论2舟尸統.

Введя теперь обозначение

7m = ^仍〃尸ki -I"以尸統),7m = ^仍〃尸ki -I"以尸統),(15.18)(15.18)

7m = ^仍〃尸ki -I"以尸統),

7m = ^仍〃尸ki -I"以尸統),

(15.18)

(15.18)

запишем результат преобразований системы уравнений Максвелла в таком виде:

(15.19)(15.19)一詣方尼=導■加

(15.19)

(15.19)

Чтобы выяснить смысл полученного равенства, проинтегрируем обе его части по трехмерному объему. Займемся сначала правой частью. Перейдем в ней к точечным зарядам. Для этого надо заменить четырехмерный вектор плотности тока (см. 15.9') его выражением через плотность заряда:

. dxk

“ = сро 讃

и, кроме того, подставить вместо плотности заряда в собственной системе отсчета его плотность в неподвижной системе:

р ds

Тогда интегрирование по трехмерному объему сведется просто к замене pd(3)u на полный заряд е. Следовательно, интеграл от правой части (15.19) по трехмерному объему дает:

Если теперь умножить (14.33) на 办 то видно, что справа в (15.19) стоит полная производная по времени от компоненты импульса р〔 заряда или системы зарядов, находящихся в том объеме, по которому произведено интегрирование.

Рассмотрим левую часть равенства (15.19) после интегрирования по объему. Она состоит из четырех слагаемых соответственно немому значку 瓦 В четвертом из них знак дифференцирования по ~ выносится за знак интеграла, потому что dx& — дифференциал ict, а интегрирование идет по d⑶t.

Как вскоре будет видно, Та4 тоже содержит мнимую единицу, так что рассматриваемый четвертый член проинтегрированного выражения может быть записан как производная по времени от действительного выражения:

Остальные три члена имеют вид интеграла от дивергенции по объему (ср. (11.48)). Только в данном случае дивергенция берется не от вектора, а от тензора. Но по способу вывода теоремы Гаусса— Остроградского видно, что она применима к интегралу от любой дивергенции. Следовательно, первые три члена проинтегрированного равенства (15.19) превращаются в интеграл по поверхности. В результате для первых трех значений 厶 т. е. для пространственных компонент, имеем уравнение вида:

(15.20)(15.20)

(15.20)

(15.20)

а для четвертой, временной компоненты аналогичное уравнение:

一(霜(一 T44)d⑶T + 卜一 打却)dsj = f.(15.20z)

Уравнения записаны так, чтобы все члены в них были действие тельными, т. е. не содержали мнимой единицы.

В левой части стоит изменение некоторой величины, проинтегрированной по объему, сложенное с потоком некоторой другой векторной величины через поверхность, которая ограничивает объем. Все это вместе равно изменению импульса или энергии зарядов за единицу времени. Если, например, поверхность интегрирования находится так далеко, что поле на ней обращается в нуль, равенства приобретают особенно простой вид:

d 一必d-山d 一必d-山(15.21)(15.2Г)(15.21)(15.2Г)(%+、袈出3)0 = 0,

d 一必d-山

d 一必d-山

(15.21)

(15.2Г)

(15.21)

(15.2Г)

伍 + \ (-744)d⑶T) = 0,

т. е. каждая из величин, стоящая под знаком производной по времени, постоянна (частная производная перед интегралом здесь может быть заменена на полную потому, что значение интеграла в данном случае не зависит от поверхности, лишь бы поле обращалось на ней в нуль).

Система зарядов и поля, для которой написаны равенства (15.21) и (15.2Г), замкнутая: поскольку на ее поверхности нет поля, она ни с чем не взаимодействует: ведь в электродинамике не существует действия на расстоянии, которое могло бы осуществляться через поверхность издалека. В замкнутых системах сохраняются импульс и энергия, следовательно, мы пришли к определению импульса и энергии электромагнитного поля:

(15.22)

£поля=5(- 744)出3儿.£поля=5(- 744)出3儿.(15.22')(15.22')

£поля=5(- 744)出3儿.

£поля=5(- 744)出3儿.

(15.22')

(15.22')

Подынтегральные величины представляют соответственно плот- ность импульса и плотность энергии.

Вернемся теперь к тому случаю, когда поле на поверхности не равно нулю. Выберем поверхность так, чтобы внутри нее не было зарядов. Тогда уравнения (15.20) и (15.20') принимают вид:

^、需出3斤+\%时=0,(15.23)

К \(-看4)出3儿 + \ 学 ds§ = 0.(15.239

Первые слагаемые в этих равенствах означают изменения импульса и энергии поля, происходящие в данном объеме. Следовательно, вторые члены означают не что иное, как потоки импульса и энергии через поверхность, ограничивающую объем. Уравнения аналогичного вида получаются из равенства (12.18), выражающего закон сохранения заряда. В интегральной форме оно представлено в (12.17).

Итак, мы раскрыли смысл всех компонент тензора 丁论.Сведем воедино результаты предыдущих рассуждений.

Компоненты Т^ представляют поток составляющей импульса поля, направленной по оси %а через единичную площадку, нормаль к которой направлена по оси хр, за единицу времени. Но импульс, передаваемый за единицу времени, есть сила. Отнесенная к единице площади, она дает нормальное или касательное напряжение, смотря по тому, совпадают а и 卩 или не совпадают. Поэтому пространственный тензор Тав носит специальное название — «максвелловы натян жеыия>\ так как их ввел Максвелл.

Компоненты ^ Та4 означают плотность пространственной компоненты импульса, направленной по оси ха.

Компоненты —icT4a представляют плотность потока энергии, т. е. энергию, переносимую полем за единицу времени через единицу поверхности, нормаль к которой направлена по оси ха.

Компонента 亍妆 с обратным знаком есть плотность энергии электромагнитного поля.

Выразим теперь все эти компоненты непосредственно через составляющие электромагнитного поля. По формуле (15.18) находим:

7］】=亲同/一 4尸%) = ^ (忆％ —黄h2 — I e衿)=

=亲(砂+ "；-H"E"Ej-E#・(15.24)

Аналогичным образом определяются другие компоненты Тав с одинаковыми пространственными значками.

Компоненты с различными пространственными значками находится так:

712 = ^ (尸 13尸23 十 &4尸24)= 一 + (EQy +当/).(15.24‘)

Компоненты, имеющие только одну четверку среди индексов, равны:

Tn = Т】4 = 4^ ®Hz-EzHy) = ^ [ЕН]Х. (15.24〃)

Следовательно, плотность импульса поля по оси х равна 盘財加(15.25)

а плотность потока энергии по оси % записывается так:

^ [ЕН]Х.(15.26)

Этот вектор имеет специальное название — вектор Пойнтинга. Наконец, плотность энергии равна:

一7l一亲下心_黄"产— I e『))=

=急(旧2 + 1"产).(15.24〃)

Запишем теперь в виде таблицы все компоненты тензора, умноженные на 4л: (их надо представить себе расположенными по четыре в каждой строке):

I (蜀 + 这一或 + "叶";一出)，-(Eg + hХh^^(ExE2 + HxHz)t i[EH\x

一 回еУ + нХhУ), 1 (£1 + 以一局 + 出 + 出一"訪一(多邑 + /%)，i[EH]y

-(ЕхЕ2 + Н/J — (芍邑 + НуН), ^(El + El-El + K + H^H^ i[EH]g i[EH]x / [EH]y "七切 l^^^(15.27)

Диагональная сумма, или шпур, этого тензора равняется нулю. Момент электромагнитного поля. Напишем уравнения (15.19) для двух различных пространственных значков аир, умножим соответственно нал^ и ха и вычтем одно из другого;

'b 0“ 'a d%尼 =-4л (邳fа卜1h一%a尸m/尼)■

Левую сторону преобразуем по частям:

詣(邳TaR -%7")-6邸力诚+ ^kaT^k =訖(%B7a力一%7"). Благодаря симметрии тензора Т^в члены, стоящие вне производных, сокращаются.

Теперь проинтегрируем обе стороны равенства по трехмерному объему, как это было сделано при получении соотношений (15.20) 186

и (15.20'). Преобразуя правую часть тем же способом, как раньше, приведем ее к виду:

~y （邳尸a/г爲一хa尸“侖）=冲рa 一 %加.

Учитывая теперь, что % =

MV

и珠=

电_

02 '

1

представ*

ляем разность Х^Ра — %аРв В виде ПОЛНОЙ производной ОТ 冲Ра——ХаРб, т. е. от составляющей момента заряженной частицы с индексом, не равным а и 0, или:

Му = %аВ%а 夕 В・

Но тогда видно, что слева стоит производная по времени от момента электромагнитного поля, который с помощью (15.27) нетрудно выразить как

(15.28)

Отсюда следует, что подынтегральная величина卜［ё切］4лс

(15.29)

есть плотность момента электромагнитного поля.

УПРАЖНЕНИЯ

Определяя тензор 尸鬻=^［kimFlmi получить для него уравнение из (15.15), Написать компоненты 尸％ в виде таблицы.

Получить уравнение сохранения энергии в трехмерной форме из (12.30) и (12.32) (теорема Пойнтинга).

§ 16. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ

Медленно переменные поля. Важный класс при-* ближенных решений уравнений электродинамики составляют медленно переменные поля, для которых можно пренебречь производными по времени в уравнениях Максвелла (12.30) и (12.32). Остальные члены образуют две системы уравнений, не зависящие друг от Друга:

divE = 4np, rot Е = 0, div〃 = 0,

(16.1)

(16.2)

(16.3)

(16.4)

В первые два уравнения входят только электрическое поле и плотНость заряда, производящего поле, во вторые два — магнитное

поле и плотность тока. Правые части уравнений считаются заданными функциями координат и времени. Так как никакие дифференцирования по времени в (16.2) и (16.4) не входят, временная зависимость электрического поля такая же, как плотности электрического заряда, а магнитного поля — как плотности тока. Следовательно, в приближении, определяемом соотношениями (16.1)— (16.4), поля как бы устанавливаются мгновенно, соответственно вызвавшему их распределению заряда и тока.

На самом деле всякое изменение поля передается в пространстве со скоростью света с. Если наблюдается поле на расстоянии R от заряда, то электромагнитное возмущение дойдет до него за время у. Заряд, имеющий скорость и, за это время сместится на расстояние Приближение (16.1)—(16.4) может быть справедливо только тогда, когда это смещение и у не ведет к существенному перераспределению заряда. Пусть, например, система состоит из двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов, которые за время ^ успеют обменяться местами. Тогда электрическое поле на расстоянии R в момент времени f =^ будет иметь направление, противоположное тому, какое оно имело бы при мгновенном распространении в момент Z = 0.

Следовательно, если размеры системы зарядов г, а скорость их v (по порядку величины), то уравнения (16.1)—(16.4) применимы на таком расстоянии от системы, для которого справедливо неравенство: ^>~, или г.

Пусть V ^ с. Тогда область применения изучаемой системы уравнений достаточно широка.

Уравнения (16.1) и (16.2) называются уравнениями электростатики, (16.3) и (16.4) — уравнениями магнитостатики.

Скалярный потенциал в электростатике. Чтобы удовлетворить уравнению (16.2), положим

Е = —V(p.

Согласно (12.35)屮一скалярный потенциал. Используя (16.1), составляем уравнение для него:

div grad 屮=厶屮=—4лр,(16.6)

которое получается и из (12.44), если положить нестатический член з 諳 равным нулю.

Найдем решение (16.6) для точечного заряда, т. е. положим, что р равно нулю везде, кроме начала координат. Тогда 屮 может зависеть только от расстояния до начала г.

В § 11 было получено выражение лапласиана в сферических координатах (11.46). В том частном случае, когда искомая функция зависит только от г, находим из (11.46):

^沙贈= — 4пр.(16.7)

Проинтегрируем это уравнение от гх до г2, умножив его предварительно на 戸.Так как область интегрирования не содержит начала координат, где помещен точечный заряд, интеграл от правой части обращается в нуль. Следовательно,

г喀(乳，嘘= /=const.

Поэтому потенциал равен:

ср = —— + 8.

Постоянная В равна нулю, если полагать потенциал равным нулю на бесконечном расстоянии от заряда. Определим теперь постоянную А. Для этого проинтегрируем уравнение (16.6) по сфере, окружающей начало координат. Так как лапласиан Дер есть div grad ф, объемный интеграл преобразуется в поверхностный, взятый по сфере. Этот интеграл равен:

\ grad(pds=、^••严 dC =4лА.

В правой части имеем:

—\ 4np dV = — 4ne,

так как интеграл включает ту точку, где находится заряд, т. е. начало координат. Таким образом, Л = —е.

Потенциал точечного заряда равен:

屮=*(16.8)

То же самое получается и для сферически симметричного распределения зарядов по объему, если потенциал надо найти в точке, находящейся вне объема, занятого зарядами. Иными словами, потенциал заряженной сферы во всякой внешней точке такой же, как потенциал равного точечного заряда, помещенного в центре сферы. Аналогичный результат имеет место и для потенциала тяготения, так как закон тяготения Ньютона по форме похож на закон Кулона. Поэтому в большинстве астрономических задач небесные тела рассматриваются как гравитирующие точки.

Если начало координат не совпадает с зарядом, а координаты заряда х, у, г, т. е. заряд находится в точке с радиус-вектором г, т。потенциал в точке XYZ (радиус-вектор R) равен:

屮-]Rf I 一 U(X -%)2 +(y — y)2 + (Z 二^ =

【(Xa-%a)(Xa7a)M

Потенциал системы зарядов. Так как уравнения электродинамики линейны, потенциал, производимый несколькими зарядами, равен сумме потенциалов от каждого заряда в отдельности. Если радиус-вектор i-того заряда 尸,то общий потенциал всей системы

吁 Z』=? [(ХаТ) :•

Но для дальнейшего сокращения будем писать (Х& — х^)2 вместо (Х& —此)(Ха — %)・ Тогда потенциал в точке с радиус-вектором R равен:

屮= 2>[(Ха-羯 2「工 (16.10)

При этом надо помнить, что в квадратных скобках стоит сумма по а от 1 до 3.

Допустим теперь, что начало координат находится где-то в области, занятой зарядами, например, в центре сферы наименьшего радиуса, охватывающей все заряды. Будем искать потенциал на большом расстоянии от начала, т. е. на таком расстоянии R, для которого выполнены все неравенства:

R》戸.(16.11)

Иначе говоря, надо найти потенциал на большом расстоянии от системы зарядов. Тогда функцию (16.10) следует разложить в ряд Тейлора по степеням %工 Выполним разложение до квадратичного члена включительно, но запишем его сначала только для одного слагаемого в сумме по всем зарядам, опуская для краткости индекс i: КХ.一乂 =陷Г％ f 誌闷i+黄叫誌訂闷一气

(16.12)

Условие о суммировании позволило записать ряд Тейлора для функции нескольких переменных в сжатой форме, как для одной переменной. Благодаря тому что Х^ =欠？, получаем выражение для первой производной:

西陷](16」3) где использовано равенство (11.34), которое в обозначениях этого параграфа имеет вид:

dR _Хв5х^ = К

Таким образом, член, линейный относительно хр в сумме (16.12), равен: 尤UsrR

Несколько сложнее вычислить член, квадратичный относитель* но 邳・ Напишем входящую в него вторую производную:

。21 _2_Хв_] ОХв Y d 1 _ >Y 丄 Y d 1

axe oxy反=一5^” = _后 环—大0环咫=一丽十大В环;网

в соответствии с общим определением тензора b^Y в § 9. Далее

д 1 dR д 1 Xy 3 ЗХу%必=环孤必=一页•/ = 一炉

по общему правилу дифференцирования сложных функций, в данном случае функции 摄.

Итак, получается:

/1 电丫 ЗХ^Ху

dXв 0ХY 页=_寿一咫一，

Окончательно разложение |R — r|-1 по степеням компонент г имеет вид:

T^г[ = ^ + ^ + T 邳/ （^? 一 ^） .（16•15）

11Вычтем теперь из последнего члена （16.15） величину, тожде* ственно равную нулю:

1

1

ЗХ”у gR_ 1 /ЗЗД б^\_

戸厂6必a ^ 炉丿=5

так как Х^Х^ = R2,比口 = 3.

Тогда разложение （16.15） принимает вид:

（16.16）（16.16）11 М 1 /1 _\/3X”y

（16.16）

（16.16）

[К二FT = R十图十2(\邳川一T 0闻几/八予一

Этот ряд надо подставить в формулу для потенциала （16.10） и просуммировать по всем зарядам. Введем такие сокращенные обозначения:

〃三 £&匕（16.17）

每三^工д （片為一4 %咽），（16・18）

или в компонентах:

^=42e^-r^ ^=42纳％（i6・i8‘）

^=42&卜2一!）；筷=^2в"，

Вектор d, т. е. три величины d*, dy и d%, и шесть компонент qxxt q”, %z, %尹 e%z,办z зависят только от расположения зарядов в системе, но не от точки, где определяется потенциал. В обозначениях (16.17) и (16.18) потенциал на большом расстоянии от системы зарядов равен:у

吋翠+嘗号⑴，(з9)

так как

9邮6呻=9аа = ； j ё，%% 一 3 •｝卄北)=°，

причем члены с неодинаковыми индексами типа qxy фактически входят в сумму по два раза (например, qxv и равный ему qyx).

Вектор d называется дипольным моментом системы зарядов, тензор второго ранга 击§ — квадрупольным моментом системы.

Дипольный момент. Исследуем получившееся выра

жение для потенциала (16.19). Нулевой член отвечает такому приближению, когда весь заряд считается сосредоточенным в начале координат. Иначе говоря, он означает замену всей системы зарядов одним точечным зарядом.

Это приближение становится явно недостаточным, если система в целом нейтральна, т. е. если £& = 0. Такой случай весьма обычен, так как и атомы, и молекулы нейтральны: заряд электронов компенсирует заряд ядра.

Предположим, что общий заряд равен нулю, и рассмотрим пер^ вый член разложения, содержащий дипольный момент. Этот член убывает как ~, т. е. быстрее, чем потенциал заряженной системы. Кроме того, он пропорционален косинусу угла между d и R Проще всего осуществить нейтральную систему, взяв два заряда равной величины и противоположного знака. Такая система называется диполем. Момент ее равен:

d = N 纣‘ =е (产一厂)(16.20)

в .соответствии с принятым в общих курсах физики определением дипольного момента как произведения заряда на вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному.

Из формулы (16.20) видно, что определение дипольного момента не зависит от выбора начала координат, так как в него входит только относительное положение зарядов. Покажем, что дипольный момент обладает этим свойством всегда, если общий заряд всей системы равен нулю.

Действительно, если сместить начало координат на какой-то отрезок а, то радиус-векторы всех зарядов изменятся так;

г1 = г^а.

Подставляя 尸'в определение дипольного момента, получим: d= 2 &戸=2 е户 + Q £ & = £ 纱"=d', (16.21)

потому ЧТО 2& = 0.

Если же система не нейтральная, то выберем Q следующим образом:

(16.22)(16.22)а = (2 е"

(16.22)

(16.22)

Этот выбор аналогичен выбору центра инерции системы масс. Поэтому можно сказать, что у системы, которая в целом не нейтральна, вектор Q определяет положение электрического центра системы зарядов. Для нейтральной системы определение 。невозможно, так как знаменатель (16.22) равен нулю. Если у заряженной системы выбрать 。 согласно (16.22), то 工«," = 0, т. е. дипольный момент заряженной системы относительно ее электрического центра равен нулю.

Следовательно, получается такая альтернатива: если система нейтральна, то разложение (16.19) начинается с дипольного члена, не зависящего от выбора начала координат, если е = £* есть результирующий заряд, то дипольный член обращается в нуль при соответствующем выборе начала координат.

Квадрупольный момент. Остановимся теперь на втором члене разложения, содержащем квадрупольный момент. Квадруполем называется система из двух диполей с моментами* 或， равными по величине, но противоположными по направлению. Ясно, что разложение потенциала такой системы не имеет ни нулевого, ни первого члена, так что формула (16.19) содержит справа только второй член.

Простейший квадруполь можно осуществить, помещая четыре заряда, равные по величине и попарно противоположные по знаку, через один по вершинам параллелограмма. Такая система нейтральна. Но квадрупольный момент может иметь и заряженная система. Он характеризует, насколько распределение зарядов в системе отклоняется от сферической симметрии.

Действительно, в "начале этого параграфа было показано, что потенциал сферически симметричной системы зарядов убнвает строго п。закону ^, а потенциал квадруполя как ~. Поэтому квадруполь- ный член разложения потенциала может возникнуть только при несферическом распределении зарядов. Дальнейшие члены разло- ^ния, которые могут быть получены тем же способом, учитывают все более тонкие отклонения от сферической симметрии в распределении зарядов.

Выясним, в каком смысле квадрупольный момент характеризует несферичность. Формула (16.22) устанавливает аналогию между центром инерции системы масс и электрическим центром системы зарядов. Подобно этому формула (16.18) позволяет найти известное сходство между компонентами квадрупольного момента и моментами инерции системы масс, определенными формулами (9.3), (9.4).

Поскольку нас интересует аналогия, а не тождество величин, отвлечемся от того, что (16.18) содержит суммирование, а (9.3) 一 интегрирование. К тому же и этого различия не будет, если взять непрерывное распределение зарядов или дискретное расположение масс (как у ядер в молекуле). Кроме того, забудем на время, что в компоненты момента инерции входят массы, а не заряды.

Тензорное выражение момента инерции выглядит так:

JaB = £；加(6арХ^Ху — %%0)•

Положим а = р и просуммируем по общему правилу. Тогда получится:

」аа =〉：加(3%а%а 一 ％а%а) = 2〉： ШХаХа.

/ит

Подставим 2 m%а%а в исходное выражение и найдем: т

y加/冲=2SapJyy - J时m

Зная, как £m%a%a и 2 加％а%в выражаются через Ja^ под- тт

ставим их в определение квадрупольного момента:

9аВ3呻人丫 一)сф)・(16.23)

Знак 〜над равенством должен напоминать о том, что имеет место только соответствие.

В § 9 было показано, что моменты инерции можно привести к главным осям, т. е. найти такую координатную систему, в которой произведения инерции обращаются в нуль и остаются только диагональные элементы тензора инерции. Но так как соотношения между дав и /ав имеют место в любой координатной системе, для тех же главных осей обращаются в нуль и компоненты квадрупольного момента с неодинаковыми значками. Относительно главных осей квадрупольный момент приводится в соответствие моменту инерции так:1

%空-2人)(16.23‘)

(и аналогично другие компоненты).

Если система обладает сферической симметрией, то Л = J2 ^ 厶， так что 91 =夕2 = 4з = 0. Поэтому наличие квадрупольного момента у системы зарядов указывает на то, что расположение зарядов

не сферически симметрично. Однако обратное утверждение неверно: если квадрупольный момент системы и равен нулю, то система зарядов может не быть сферически симметричной. В разложении (16.19) надо учесть члены более высокого порядка, чем здесь выписанные, и только в том случае, если все они равны нулю, осуществляется сферическая симметрия. Только тогда потенциал убывает строго как ~. Отметим, что из определения квадрупольного момента или из (16.23') непосредственно следует тождество: ^аа =0, % + % + 4з = = 0, т. е. из трех главных составляющих квадрупольного момента независимы только две.

Соотношения (16.23), (16.23') следует понимать буквально, если речь идет о гравитационном потенциале. Как известно, Земля не строго сферична, а сплюснута у полюсов. Поэтому сила тяготения содержит члены, убывающие не по закону обратных квадратов, а быстрее. Это сказывается на движении Луны и в большей степени на движении искусственных спутников, находящихся ближе к Земле. Для них формулу (16.19) нужно было бы писать в более высоком приближении.

Формулы (16.23') становятся проще, если два момента инерции системы равны, т. е. симметрия системы требует равенства: J\ = J?. Тогда

%^春((一J1)三一备， %言4"Q3 _ Ji)三一等，

93公g(ji -/3)三9・

В этом случае квадрупольный момент имеет всего одну независимую составляющую д. Ее знак называется знаком квадрупольного момента. Величина Q—^ei (z'? — у 厂建)・

Если бы заряды распределялись сферически симметрично, имело бы место равенство ^ е^ = 3 ^ ^l2» потому что тогда при любом

выборе осей £ &х* = £ 乡归建=£ &z‘； Тогда очевидно, н q = 0・

Положительный знак q указывает на то, что £玖夏2>^］仑戸*

т. е. на вытянутое вдоль оси г распределение заряда, отрицательный знак — на сплющенное распределение.

Потенциал квадруполя с одной компонентой q согласно (16.19) равен:

屮?=一*(響一表)一卷［醬一靑)(需一表)

=一柒(1—3COS2 婚.(16.24)

Потенциал такого квадруполя зависит от угла 令 по закону 1 ——3cos2^, где 令——угол между осью симметрии квадруполя и радиус-вектором точки, где определяется потенциал. Подобные отклонения от сферической симметрии обнаружены в электростатическом потенциале многих ядер. По квадрупольному моменту ядра можно судить о его строении.

Энергия системы зарядов в электростатическом поле. Вычислим теперь энергию системы зарядов во внешнем электрическом поле. Потенциальная энергия заряда в поле равна: U = еср, потому что сила, действующая на заряд, равна F = —VU =——eSep = еЕ. Следовательно, энергия системы зарядов равна:

u=乎№(尸)， (16.25)

где 尸z — радиус-вектор i-того заряда.

Предположим, что поле мало изменяется на протяжении системы зарядов, так что потенциал, действующий в точке, в которой находится i-тый заряд, можно разложить в ряд Тэйлора:

<р (г) = ф (0) + ха |^)о + у хах₽ ('^ХД + • • • . (16.26)

Последний член преобразуем тем же способом, как в разложении (16.15), пользуясь тем, что ср ——потенциал внешнего поля (а не поля, произведенного данными зарядами), так что Лер = 0.

г2

Вычтем из ср равную нулю величину у Дер. Тогда после суммирования по зарядам получим:

и =屮(°)工㊀一®Е。)+ 2 4 (%帮一扌Ьй^)о + …=

=①(0)1&一® 旦)+ да5(>g£^)。 +(16.27)

Здесь в члене, содержащем дипольный момент, подставлено значение поля Vcp (0)=——Е° в начале координат. В системе главных осей квадрупольного момента формулу (16.27) можно переписать так:

^ = Ф (。)]& 一 (a旦)-[% 紀+ % 記一(外 +g2)猊]. (16.28) j 1

В случае нейтральной системы особенно важен член с дипольным моментом. Квадрупольный член учитывает протяженность системы, так как в него входят производные поля. Если система сферически симметрична, т. е. имеет равный нулю квадрупольный момент, поправка на протяженность отсутствует. Не будет и поправок высшего приближения, так что потенциальная энергия всегда будет зависеть только от значения потенциала в центре системы. Поэ-

тому сферически симметричные тела не только притягивают, но и притягиваются, как точечные. Конечно, эти утверждения взаимно связаны по третьему закону Ньютона, который справедлив в электростатике, так как поля определяются мгновенным расположением зарядов.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что среднее значение потенциала на поверхности сферы равно его значению в центре, если везде по ее объему выполняется уравнение: Дф = 0. Связать это с заключением о потенциальной энергии сферически симметричной системы зарядов во внешнем поле.

Указание. Следует разложить потенциал в ряд по степеням радиуса сферы. При интегрировании по поверхности все члены, содержащие %, у или г нечетное число раз, обратятся в нуль. Члены, содержащие %, у или z четное число раз, можно сгруппировать так, что они будут пропорциональны Аф, АА(р и т. д. Останется только нулевой член разложения, что и доказывает теорему.

Вычислить электрическое поле дийоля и энергию взаимодействия двух диполей, находящихся на большом расстоянии друг от друга.

Привести к квадратурам задачу о движении заряженной частицы в поле диполя в нсрелятивистском приближении.

Указание. Воспользоваться уравнением Гамильтона — Якоби и раздел ить переменные. Интеграл по углу не выражается элементарно.

§ 17. МАГНИТОСТАТИКА ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ

Смыс л уравнений магнитостатики. В предыдущем параграфе было показано, что если скорости зарядов малы по сравнению со скоростью света, то магнитное поле должно удовлетворять системе уравнений (см. (16.3) и (16.4)):

div〃 = 0, (17.1) rot〃=^J=^pz. (17.2)

Они называются уравнениями магнитостатики. Но легко убедиться в том, что для точечных зарядов они не могут выполняться непосредственно. Для этого возьмем дивергенцию от обеих частей (17.2). Слева имеем тождественно div rot 〃 = 0, а справа получится ^divp@. Для точечных зарядов невозможно сделать так, итобы div pz была равна нулю одновременно во всех точках пространства, потому что нет замкнутых токовых линий. Замкнутые •линии могут получиться только тогда, когда рассматриваются траектории зарядов, т. е. их движение за определенный отрезок времени. Поэтому уравнение (17.2) приобретает смысл не для мгновенных значений величин, а для средних по времени.

Если определить среднее по времени согласно (10.48), то не обязательно считать траектории зарядов замкнутыми в строгом смысле: Достаточно, чтобы они были финитными или даже чтобы усредняемая величина, проинтегрированная по времени, возрастала не быстрее самого времени.

Следуя (10.48), определим среднее по времени от некоторой функции уравнением:

予=^、/亿@必.予=^、/亿@必.(17.3)(17.3)

予=^、/亿@必.

予=^、/亿@必.

(17.3)

(17.3)

Эта операция усреднения перестановочна с дифференцированием функции по координатам, так как она производится по другой переменной —по времени.

Применим усреднение к величине div /. Пользуясь перестановочностью операции div rot, т. е. нахождения частных производных по координатам, с интегрированием по времени, перепишем уравнение (17.2) в усредненной форме:

div rot Я = ； \ div/d/ =—；=—P(幻丁 (" . (17.4) оо

Допустим теперь, что разность р(/0) — р(0) возрастает медленнее, чем сам промежуток времени /0. Это заведомо справедливо для всякого условно периодического движения (см. § 10). Если выбрать 办 достаточно большим, отношение 2屈勺色色 в пределе станет сколь угодно малой величиной. Благодаря этому среднее значение тока действительно окажется удовлетворяющим уравнению:

力/0

(17.5)(17.5)；\ div j 出=：div \ jdt = div/= 0.

(17.5)

(17.5)

0 оо

Следовательно, уравнение (17.2) и все дальнейшие уравнения этого параграфа надо понимать в смысле средних по времени, что будет обозначаться черточками над величинами, относящимися к движению зарядов. Условимся, кроме того, не писать черточку над ", хотя она и будет подразумеваться.

Если условие * = ° выполняется не только для плотности зарядов, но и для любой функции, относящейся к их движению, последнее называется стационарным. Настоящий параграф относится, таким образом, к стационарно движущимся точечным заря

дам.

Частным случаем стационарного движения является движение

периодическое, например равномерное вращение по окружности. Но для стационарности достаточно, чтобы заряды двигались просто в ограниченной области или удалялись из нее не пропорционально

времени, а медленнее.

Уравнения для векторного потенциала. Чтобы удовлетворить уравнению (17.1), положим, как и в общем

(17.6)(17.6)случае

(17.6)

(17.6)

Л = rot 4

(ср. (12.34)). Здесь А — векторный потенциал. Формула (17.6) не полностью определяет Л, потому что, если прибавить к Л градиент произвольной функции 厶 как в (12.36), выражение rot А не изменится. Поэтому на А надо наложив дополнительное условие. Условие Лоренца (12.42) подсказывает, что надо потребовать

div 4 = 0.(17.7)

Тогда, подставляя в (17.6) и (17.2), получим:

rot 〃 = rot rot Д = ^ /(17.8)

Но согласно (11.42)

rot rot А = grad div А — АД = — АД,(17.9)

причем было использовано условие (17.7). Поэтому А удовлетворяет уравнению:

"=一处7= _(17.10)

которое совершенно аналогично (16.6) для точечного заряда.

Уравнение (17.10) можно получить и из (12.43), если отбросить 1 ^2Д в нем член 彳 несущественный в магнитостатике.

Поскольку решение (17.10) выглядит совершенно так же, как и решение (16.6), запишем его в форме, аналогичной (16.9) для отдельного точечного заряда. Каждая компонента / удовлетворяет уравнению вида (16.6) с той разницей, что в правой части стоит вектор J (/%, jv, £)• Если раскрыть (17.10) по составляющим в декартовых координатах, получатся три уравнения вида (16.6), имеющие справа соответственно — ■— р% —— р& и ———pvz. Следовательно, вектор - потенциал точечного заряда равен:

4=『(17.11)

с I R — r I'/

Покажем, что А удовлетворяет условию (17.7). Дивергенцию надо брать по радиус-вектору той точки, где определяется А. Но Vr|R — г I'1 = —ir|R — г I-1, так что

div A = —~г 0% r n ——行г •

с г —с г |R —г|с dt I R — r I

Выражение в правой части этого равенства есть полная производная величины \R — г|-1 по времени. По условию стационарности оно равно нулю после усреднения.

Вычислим теперь среднее магнитное поле точечного заряда. Пользуясь формулой (11.28), получим:

〃=rot4 =弘以宀，叶(17.12)

Эта формула относится, конечно, только к стационарному движению. В частности, она применима к постоянному току.

Векторный потенциал н а большом расстоянии от системы стационарных токов* Вектор-потенциал системы точечных зарядов равен сумме векторных потенциалов каждого заряда в отдельности:

Получим теперь приближенные формулы, справедливые на большом расстоянии от системы, аналогичные тем, которые были найдены в электростатике. Для этого подставим в (17.13) разложение (16.15), в котором оставлен только первый член, линейный относительно 尸：

吊7阡+當.(17・14)

Выражение для векторного потенциала в приближении (17.14) имеет вид:

Л = ^2。切 + 击』В("W =

(17.15)

так как 戸三 S.

Нулевой член разложения есть полная производная по времени и после усреднения обращается в нуль. Преобразуем теперь первый член разложения, пользуясь тождеством:

。=^ 2 *(R")尸‘ =* & 依戸)^l + 2^(^ ri- (17.16} iii

Из этого тождества следует, что в (17.15) можно подставить полу* разность выражений, входящих в правую часть (17.16). Тогда век* торный потенциал будет равен:

* =鳥 2 G(歩(尸奴)一戸(JR)) = _ 杀 t e"R ［而中•(17.17)

Переставив знаки суммирования и векторного умножения, получим искомую формулу:

—眼唠斗(UM

(17.19)(17.19)Под знаком суммы в (17.18) стоит величина, зависящая только от усредненного распределения токов в системе:

(17.19)

(17.19)

Она называется средним магнитным моментом системы токов. Пользуясь обозначением (17.19), переписываем вектор-потенциал на большом расстоянии от системы токов в следующем виде:

4 =一居口 =卜尢斗(17.20)

Вычислим по векторному потенциалу магнитное поле. По определению

〃 =rot 4 = rot [v +, й].

Так как 陵一постоянный вектор, формула (11.30) дает: 〃=@V)V需一必京=一(HV)J，

потому что А 页=0. Далее (nv)R = а (см. (11.36)). Чтобы вычислить (nv)R"3, воспользуемся (11.34). Тогда получается:

(nv) ^з =(两*=一斎(口俐=-^^.

Наконец, собирая оба члена, приходим к формуле для 〃： "=软("一.现.(17.21)

Для сравнения приведем формулу для электрического поля диполя:

口Rd 3R(Rd)-R2d

£=-V(p = -v 専•(17.22)

Таким образом, оба выражения для физически наблюдаемых величин, т. е. электрического и магнитного полей, совершенно аналогичны. Электрический и магнитный моменты одинаковым образом определяют соответствующие поля. Отсюда получил название магнитный момент, построенный, казалось бы, совершенно иначе, чем электрический.

В случае заряда, движущегося по плоской замкнутой орбите, определение магнитного момента (17.19) совпадает с элементарным определением момента через «магнитный листок». Векторное произведение [尸刃]есть удвоенная площадь, покрываемая радиус-вектором заряда за единицу времени (см. § 5, текст после формулы (5.4)). Следовательно, Irv] = 2^. По определению средней величины (17.3) получаем:

(о

^ =亠 \= f S・(17.23)

r } c at ctQ

Здесь /0 — время обращения заряда по орбите. За это время заряд проходит каждую точку на орбите один раз, следовательно,

-Is-Isсредний ток равен: / = ~. Отсюда получается элементарное определение магнитного момента:

-Is

-Is

(17.24)

Подобие формул (17.21) и (17.22) доказывает эквивалентность замкнутого тока, т. е. «магнитного листка», и фиктивного диполя с тем же моментом 卩.Поле на большом расстоянии от системы токов производится как бы диполем.

Система движущихся точечных зарядов в о внешнем магнитном поле. Рассмотренное в этом параграфе приближение медленно-переменных полей справедливо только в том случае, когда скорости зарядов малы по сравнению со скоростью света. Представляет интерес изучить движение таких зарядов во внешнем магнитном поле. Для этого надо построить нерелятивистское приближение к функции Лагранжа системы движущихся зарядов.

Точная функция Лагранжа (14.23), если заменить в ней в нерелятивистском приближении —тс2^ 1 •— Ц^ на кинетическую энергию …夕」“,принимает следующий вид для системы одинаковых частиц (勺=е, mi = m):

1 = 2^^ + 2(TЛ(乃)叫一绅(尸加 (17・25)

Благодаря члену, линейному относительно скоростей, L и в этом приближении не представляется как разность кинетической и потенциальной энергий: 厶=Т — U. Но путем соответствующего изменения системы отсчета удается привести функцию Лагранжа к обычному виду.

Будем считать внешнее поле однородным Н = const. Векторный потенциал такого поля удобно представить в виде

4 T 〃i(17.26)

так как согласно (11.30)

rot ^ [Нг] = ^ (〃 div 厂一(〃v)尸)=Я.

Подставляя это выражение А в функцию Лагранжа и совершай циклическую перестановку в смешанном произведении векторов, получаем:

厶=；+ 2^ (k叫")一绅. (17.27)

Сравним это выражение с функцией Лагранжа (8.5), относящейся к движению материальных точек относительно вращающейся системы отсчета.

Если считать угловую скорость вращения такой системы малой, так что ее квадратом законно пренебречь по сравнению с теми членами, куда она входит линейно, функцию Лагранжа (8.5) для системы одинаковых частиц можно переписать в таком виде (после циклической перестановки, применявшейся при написании (17.27)):

厶=±龍止 + 2m(0问］①)_a (17.28)

Сопоставляя (17.27) и (17.28), видим, что движение системы зарядов во внешнем постоянном и однородном магнитном поле совпадает с ее движением относительно системы отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью

О = М (17.29) 2тс 、 /

Это утверждение называется теоремой Лармора.

Будем считать, что частота ш гораздо меньше всех частот, характеризующих собственное движение зарядов в той же системе без внешнего магнитного поля. Это движение останется неизменным, если перейти после наложения магнитного поля к системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ——ш. Члены функции Лагранжа, линейные относительно скорости и обусловленные магнитным полем и вращением, взаимно компенсируются. Разумеется, это справедливо только в линейном приближении, когда можно пренебрегать квадратичным относительно угловой скорости влиянием центробежной силы. Это равносильно допущению о малости со по сравнению с собственными частотами системы.

Пусть система из одинаковых зарядов обладает магнитным моментом 卩,определенным согласно (17.19). Вынося из-под знака суммы заряд е, замечаем, что в такой системе магнитный момент пропорционален механическому (см. (4.20)):

吋吋噜= (17.30)

В такой системе магнитный и механический моменты сохраняются вместе. Во внешнем магнитном поле наступает вращение этой системы вокруг поля такого же типа, как у свободного симметричного волчка вокруг направления полного момента. Поэтому движение системы, обладающей магнитным моментом, во внешнем магнитном поле, как и аналогичное движение волчка, называется прецессией. Она происходит с частотой, определяемой согласно (17.29), и называется поэтому прецессией Лармора.

Напишем уравнение для такой прецессии. Если без внешнего магнитного поля вектор момента /И был постоянным относительно неподвижных осей, то по теореме Лармора в поле он будет постоян-

ным относительно осей, вращающихся с угловой скоростью —而・ Составляющие М по этим осям постоянны во времени (М = 0). Чтобы перейти к неподвижным осям, надо воспользоваться уравнением (9.14), считая, что они вращаются в обратную сторону по отношению к подвижным осям с угловой скоростью 成.Следовательно, проекции момента на неподвижные оси не постоянны, и для него имеет место уравнение:

絹 +®Л1] = 0.

Заменяя ш по теореме Лармора, получим:

嘗=一說["/=w切，(17.31)

или

等П就5切。(17.3Г)

Если в системе без магнитного поля механический момент не сохраняется, то уравнение (17.ЗГ) можно отнести к 卩.

Умножая (17.ЗГ) сначала скалярно на 模，находим:— 0,

так что 卩2 — const. Затем множим скалярно на 〃 и находим, что —(Н/7) = \i\H\~ cos # = 0 (й — угол между 世 и Н). Таким образом, магнитный момент сохраняет свою абсолютную величину и под постоянным углом к магнитному полю вращается вокруг него. Такое движение и называется прецессией.

Заметим, что и система из одинаковых зарядов, результирующий магнитный момент которой равен нулю, тоже приходит во вращение в магнитном поле.

Перейдем теперь от функции Лагранжа (17.27) к гамильтониану системы. Из формулы (14.25) следует, что если выразить энергию заряженной частицы через ее скорость, то магнитное поле выпадает и остается только скалярный потенциал. Но в гамильтониан магнитное поле входит, потому что выражение (14.24), связывающее между собой скорость и импульс, содержит векторный потенциал. Подставляя в кинетическую энергию скорость, выраженную через импульс, получаем функцию Гамильтона:

"=表工伍。l^(力+ 2屮(尸3(17.32)

Zi

Считая магнитное поле слабым и пренебрегая соответственно квадратом векторного потенциала, записываем гамильтониан так:

"=^ £m临+訂工9。抬6)+绚0).

Так как в члене, содержащем произведение р^ А(г^ магнитное поле уже содержится линейно, р^ надо заменить просто на 加内・ После циклической перестановки векторов получается:

"=嘉鼻W(”世)+ 2绅『)・(17.33)

Таким образом, гамильтониан приобретает в магнитном поле добавочный член —(//肘)，аналогичный ——(Ed) в электрическом поле.

Допустим теперь, что внешнее магнитное поле не постоянно, а слабо неоднородно в пространстве, так что его изменение на расстоянии порядка размеров системы зарядов невелико. Тогда из гамильтониана (17.33) следует:

j 三尸=—絹=烹("N)三 V (〃N)*・(17.34)

Система с магнитным моментом испытывает силу, зависящую от неоднородности поля. Формулу этой силы можно преобразовать следующим способом. Раскрывая (17.34) с помощью (11.32), получаем:

尸=(nV) 〃+[|iirot /7].

Но rot 〃 для внешнего поля равен нулю, так что сила, действующая на систему зарядов, обладающую магнитным моментом, есть

尸=(模y)".(17.35)

Она проявляется в притяжении намагниченных тел к полюсам магнитов, где магнитное поле сильнее. Аналогичное выражение силы получается и для системы с электрическим дипольным моментом.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти член в разложении векторного потенциала, обязанный магнитному квадрупольному моменту.

Решение. Записываем слагаемое во втором члене разложения | /? — г I*1, обусловленное одним зарядом:

丄=丝空二芷

Преобразуем по частям произведения:

о(г&)2 =АГ (广&)2 - 2r (oR) (rR)

и"川=^「.户—2r (广0).

Полные й^оизводные по времени, которые при усреднении дают нуль, отбрасываем заранее. Левые части написанных равенств преобразуем следующим образом:

中(М)2 =3 о (№)2 —专 г (吮(rR)=工[[Г^] (rR)电

2

0川=——- [Г [г也].

В результате квадрупольный член вектор-потенциала приводится К виду:

4dM["們(小2讣

Переписывая получившееся равенство в тензорных обозначениях, видим» что квадрупольный вектор-потенциал определяется следующим тензором:

Q弘三 ^]г"4/“ Qbb=°，：

i

〃、 e位Y状2 3X№力

Рассмотреть движение магнитного момента 也 в магнитном поле с составляющими: Hz =——方°, Нх = % cos со/, Ну = % sin cot Обратить внимание на случаи: (0=寸工 со—>0.

2тс,

Решение. Согласно (17.3Г) пишем общее уравнение прецессии:

Умножая обе стороны этого уравнения скалярно на 也,видим, что абсолютная величина 卩？ сохраняется. Поэтому достаточно писать уравнения только для 卩* и 卩〃 заменяя 卩на 了炉一晖一 % .

Пользуясь сокращенными обозначениями 8。= ^^, ”1=^^' множим уравнение для ц^, на zb t и складываем с уравнением для 卩％・ Это дает:

应(忆土以g)=—而0 (卩* ± Щу) 土心步士心‘ /卩2 -团-% I

Ищем решение в виде 卩％ + 中歹=4十 е± 仰‘ и получаем следующее уравнение для амплитуд 4十：

®-%) Д± = %/卢一力+力二

Умножая уравнение с Д+ в левой части на уравнение для 4T находим:

4人二_㈣—，= —

(0 — соо)2 + cof —К (со — соо)2 + cof

Когда со = соо («парамагнитный резонанс»), момент вращается в плоскости ху с частотой соо. Если s -> 0 (внешнее поле вращается бесконечно медленно)】 момент точно следует за полем.

ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Решение волнового уравнения. Все результаты электростатики и магнитостатики могут быть получены и не на основе уравнений Максвелла, а при помощи элементарных законов Кулона и Био—Савара. Существенно новое, чего не могло быть в домаксвелловской физике, — электромагнитные волны. Такие волны распространяются в вакууме, при отсутствии зарядов. Они получаются как специальные решения уравнений Максвелла. Из этих решений не только удалось заключить об электромагнитной природе света, но и предсказать существование других электромагнитных волн, более коротких и более длинных, чем световые, в частности радиоволн.

При отсутствии зарядов и токов уравнения для скалярного и векторного потенциалов (12.44) и (12.43) пишутся так:

△4-3 霓=0,(18.1)

△屮 Е'^^'П。(18.2)

при дополнительном условии Лоренца (12.42):

div" + ；患=0・(18.3)

Уравнения (18.1) и (18.2) называются волновыми. Статических решений такие уравнения вообще не имеют. Действительно, если положить вторые производные от потенциалов по времени равными нулю, то останется АЛ = 0, А(р = 0. Но если эти уравнения выполняются во всем пространстве, их решениями могут быть только постоянные величины. Это видно из упражнения 1 к § 16.

Пусть некоторая функция / удовлетворяет во всем пространстве уравнению А/ = 0 и нигде не обращается в бесконечность. Ни в одной точке она не может иметь максимума. Предположим обратное. Тогда точку максимума можно будет окружить небольшой сферой, на которой функция принимает только меньшие значения, чем в центре, а это противоречит результату указанного упражнения. Следовательно, функция / и все ее производные, которые удовлетворяют тому же уравнению, нигде не имеют максимума и повсюду конечны. Таким свойством может обладать только постоянная величина.

Итак, волновые уравнения имеют только нестатические решения, справедливые во всем пространстве. Будем искать такие частные решения (18.1) и (18.2), которые зависят от одной декартовой координаты, например %, и от времени. Подобные решения подчиняются, очевидно, таким уравнениям!

够亠匿初=0,(18・4)

02屮 1 32cp —0%2 C2 方/2 —

и дополнительному условию:

卓 + 丄粤=0.(18.6)

дк ' с dt''

Найдем наиболее общее решение полученной системы уравнений* Введем на время следующие обозначения:

% +(18.7)

X — ct — y\. J

Преобразуем (18.5) к этим независимым переменным ^ и г|.

Символически (18.4) можно переписать следующим образом:

и + тЙ)Й-Т^)ф==0-(瓜 8)

Тогда

дх 一 龙 дх * Ot] дх —龙 十 dr|，1 d(p — ^ф 1 dg . дф 1 (9т)— ^ф дфe dt 一兆e及十dr! e力-能 it)，

потому что при постоянном т. е.山=0,員==1 и ~ = 1, а при постоянном х, т. е. dx = 0, 丄亥= ^尊 =1 согласно тем же

''с d£ с dt

уравнениям. Символически:

с dt —死，Эх c dt — Ат]'

так что уравнения (18.4) и (18.5) в переменных 三，п пишутся в виде

將=0,穹=0.(18.9)

Интегрируя любое из них по g, получаем:

^"(П)，爲="п)・(18.10)

Теперь нетрудно проинтегрировать по п：

4 ="⑺對 + &(目，(p-?С ^d^ + C[ ©. (18.10‘)

Но интегралы от произвольных функций С(т]) и С'(п) по п суть новые произвольные функции той же переменной % так что окончательно искомые решения в переменных Е, п имеют вид:

4 = 4 ⑺ + 4 (3，屮=Ф1 ⑺ + 屮 2 (三)・(18.11)

Сразу очевидно, что подстановка таких решений в (18.9) дает тождественно нули.

Возвращаясь к переменным х н /, переписываем полученное решение:

4 = 41 (% — с£)十 4 (% + Е),屮=Ф1 (% —或)+ % (% + 仪)・(18.12)

Оно содержит по две произвольные функции для каждого из уравнений (18.4) и (18.5), так что является общим.

Бегущие плоские волны. Решение, зависящее от 无一с/, не связано с решением, аргументом которого является % + cf, это два линейно независимых решения. Поэтому достаточно изучить одно из них:

А = А (%— с/),(18.13)

Ф — ср (% —с/)・(18.14)

Чтобы удовлетворить дополнительному условию (18.6), произведем преобразование калибровки:

(18.15)(18.15)屮(尤一⑺=q/(x —⑺一^-gf (x-a)=U+f

(18.15)

(18.15)

(точка над f означает производную по всему аргументу п = % — с/). Но если положить 屮‘=——/, получим просто 屮=0. Тогда согласно (18.6) получится и Ах = 0 Таким образом, для решения рассматриваемого вида, зависящего только от х ——условие Лоренца проще всего удовлетворяется подстановкой: ср = 0, Ах = 0.

Итак, направленная по % составляющая электрического поля

равна нулю:

с dt дх *с dt дх *(18.16)(18.16)Так как поле не зависит от калибровки потенциалов, этот результат общий.Так как поле не зависит от калибровки потенциалов, этот результат общий.Направленная по 尤 нулю:Направленная по 尤 нулю:составляющая магнитного поля тоже равнасоставляющая магнитного поля тоже равнаdAz дАуdAz дАу(18.17)(18.17)Находим остальные составляющие полей:Находим остальные составляющие полей:— c dt"尸一石— c dt"尸一石1 дАх1 дАхс dtс dt=儿,=儿,Xz,也=方苴=4夕Xz,也=方苴=4夕(18.18)(18.18)

с dt дх *

с dt дх *

(18.16)

(18.16)

Так как поле не зависит от калибровки потенциалов, этот результат общий.

Так как поле не зависит от калибровки потенциалов, этот результат общий.

Направленная по 尤 нулю:

Направленная по 尤 нулю:

составляющая магнитного поля тоже равна

составляющая магнитного поля тоже равна

dAz дАу

dAz дАу

(18.17)

(18.17)

Находим остальные составляющие полей:

Находим остальные составляющие полей:

— c dt

"尸一石

— c dt

"尸一石

1 дАх

1 дАх

с dt

с dt

=儿,

=儿,

Xz,也=方苴=4夕

Xz,也=方苴=4夕

(18.18)

(18.18)

Из этих равенств следует, что Е и 〃 взаимно перпендикулярны, потому что

ЕН = ЕуНу + Е2Н2 = 0・(18.19)

По абсолютной величине |£| и \Н\ равны, так как \Е\ = \Н\ = ЛАМ%#.

Равенство и перпендикулярность электрического и магнитного полей суть инвариантные свойства полученного решения. Действительно, согласно формулам (15.3) и (15.4) |ЛГ|а — |£|2 и ЕН — релятивистски инвариантные величины. Если \Е\ = |"| и ЕН = 0 в одной системе отсчета, такие же равенства выполняются в любой системе отсчета.

Решение вида (18.13) имеет простой физический смысл.

Возьмем значение £ в момент времени / = 0 на плоскости % = 0. Оно равно £(0). Ясно, что такое же значение £(0) в момент времени / будет на плоскости % = с/, потому что на этой плоскости £(х — ct) = £(0). Можно еще сказать, что плоскость, на которой поле Е равно 七(6), перемещается в пространстве параллельно самой себе за время t на расстояние ct、т. е. движется со скоростью с. То же сгмое относится к любой плсскссти % = %。，на которой в начальный момент времени было некоторое значение поля Е(х())・ Итак, все плсскссти, несущие данные значения поля, перемещаются в пространстве со скоростью с. Поэтому решение 七(％ — с/) называется бегущей плоской волной.

Заметим, что форма волны при распространении не изменяется: расстояние между плоскостями % = %】и % = х2, на которых Е равно £(%i) и 七(％2), постоянно. Этот результат имеет силу при любой форме волны, распространяющейся в пустом пространстве.

Итак, скорость электромагнитной волны в вакууме не зависит ни от формы, ни от амплитуды волны; она равна универсальной постоянной с.

Электрическое и магнитное поля, как видно из (18.19), перпендикулярны как друг другу, так и направлению распространения волны. Поэтому говорят, что электромагнитные волны поперечные (в отличие от продольных звуковых волн в воздухе, у которых колебания происходят в направлении распространения).

Если обозначить единичный вектор в направлении распространения волны через п и отложить его по оси % правовинтовой системы координат, то электрическое поле будет направлено по оси у, а магнитное —по оси z. Эти направления соответствуют большому, указательному и среднему пальцам правой руки. В дальнейшем электромагнитные волны всегда описываются в такой координатной системе, в которой электрическое поле совпадает с осью у.

Так как вектор п направлен по оси %, можно записать % = гп, и электрическое поле представится в виде

Еу = Ау (rn-ct). (18.20)

Но в этой записи больше не обязательно связывать вектор п с осью %. Решение с аргументом такого вида, как в (18.20), годится для любого направления 〃, если только п^ Ен Н взаимно перпендикулярны.

Найдем теперь механические интегралы движения электромаг* нитной волны.

Согласно (15.25) плотность импульса электромагнитной волны равна: 1 1 ・

击［E切一磊闽， (18.21)

а плотность энергии по (15.24'"):а плотность энергии по (15.24'"):(18.22)(18.22)

а плотность энергии по (15.24'"):

а плотность энергии по (15.24'"):

(18.22)

(18.22)

Она отличается от плотности импульса множителем с. Как раз таким свойством обладают энергия и импульс частицы с нулевой массой, как в формуле (14.13). Это обстоятельство очень важно для квантовой теории света (см. ч. III),

Плотность потока энергии электромагнитного поля выражается формулой (15.26). Согласно этой формуле вектор Пойнтинга плоской электромагнитной волны равен:

(18.23)

что согласуется с выражением плотности энергии (18.22).

Пространственная часть тензора энергии — импульса электромагнитного поля позволяет вычислить давление плоской электромагнитной волны. Из общей формулы (15.27) видно, что когда отличны от нуля только Еу и Hz, остается одна компонента TXXi которая равна:

急便汁第一以+第+ "a"Н = ^就.(18.24)

Эта компонента представляет импульс в направлении оси х, проходящий в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной оси х. Если допустить, что волна падает нормально на поглощающую преграду, то весь этот импульс передается преграде. Но импульс, переданный за единицу времени, по второму закону Ньютона (см. (1.1)) равен силе, которую испытывает единица поверхности преграды, направленной нормально преграде. Следовательно, Тхх есть не что иное, как давление электромагнитной волны на поглощающую преграду при нормальном падении на нее. Получилось, что давление плоской волны равно плотности ее энергии.

Это предсказание электродинамики было подтверждено в опытах П. Н. Лебедева. Было доказано, что электромагнитное поле действительно может рассматриваться как механическая система, подобно тому как это делается в § 15 настоящей книги.

Гармонические волны. Особый интерес представляют бегущие плоские волны, у которых функция Е(х — ct) гармоническая. Наиболее общее гармоническое решение уравнений (18.4), (18.5) приводит к выражению вида:

(18.25)

где символ Re означает действительную часть от выражения, стоящего в фигурных скобках,尸一комплексный вектор вида 尸i + iF2 (ср. (7.14в)),①—частота волны, как в формуле (7.3); со есть число радианов в секунду, на которое меняется аргумент показательной Функции.

Вектор(оу называется волновым вектором. Он обозначается

(18.26)(18.26)буквой &:

(18.26)

(18.26)

Геометрический смысл 论 легко раскрыть. Для этого определим длину волны, т. е. отрезок Лг в пространстве, на котором Е возвращается к одному и тому же значению. Пусть искомая длина волны 入.Тогда

/°卡=区 I * I ⑷=«2吗(18.27)

потому что период функции «汉 равен 2冗.Следовательно,

九=賢.(18.28)

Сравним теперь длину волны с волновым вектором:

々=竽〃，入=工、(18.29)

Иногда применяется величина, в 2л раз меньшая, чем длина волны, и обозначаемая 大.Она равна обратному значению абсолютной величины волнового вектора.

Рассмотрим, как преобразуются частота и волновой вектор гармонической электромагнитной волны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Покажем, что трансформационные свойства составляющих волнового вектора и частоты такие же, как координат и времени.

Введем понятие фазы волны как аргумента показательной функции (18.25). Докажем, что фаза есть инвариантная величина. Действительно, фаза характеризует некоторое событие, например прохождение электрического и магнитного полей через нуль в некоторый момент времени и в некоторой точке пространства. Если рассматривать эту же волну в другой системе отсчета, то координаты и время, отвечающие этому событию, будут иметь другие значения, но само событие, или факт, конечно, измениться не может.

Это легко понять, если представить себе, что электрическое поле измеряют по показаниям какого-нибудь безынерционного прибора. Такие два прибора, совмещенные в некоторый момент в одной точке пространства, но имеющие относительную скорость движения, оба должны показать нулевое значение поля. В противном случае та система отсчета, где электромагнитное поле равно нулю, будет как-то выделена по отношению к остальным. Например, светочувствительная пластинка, экспонированная в данное мгновение, не почернеет только в этой системе.

Выражение фазы волны согласно (18.25) есть

屮=配一со/ = %i焼 + %拠 + %з底 + %4 • ^・(18.30)

Для того чтобы оно было инвариантным, необходимо считать, что волновой вектор и частота вместе составляют один четырехмерный вектор: kx =自，ky =局，kz =々з, ^ =瓦.Тогда фаза записывается как屮=也%入

Четырехмерный вектор k[ имеет особое свойство, которое видно из второго, скалярного равенства (18.26):

I川2一* =比也・=g・=0.I川2一* =比也・=g・=0.(18.31)(18.31)

I川2一* =比也・=g・=0.

I川2一* =比也・=g・=0.

(18.31)

(18.31)

Иначе говорят, что 居 есть нулевой вектор, т. е. вектор нулевой четырехмерной длины. В отличие от трехмерных векторов, которые могут иметь нулевую длину только при обращении в нуль всех компонент, четырехмерные векторы этим свойством не обладают.

Применяя общие формулы (13.33) и (13.34) для преобразования компонент четырехмерного вектора, находим:

(18.32)(18.33)(18.32)(18.33)

(18.32)

(18.33)

(18.32)

(18.33)

Проекции ky и 為z, перпендикулярные относительной скорости систем отсчета, ках обычно, не изменяются.

Предположим теперь, что источник света покоится относительно «штрихованной» системы отсчета, т.е. движется по оси % со скоростью V относительно «нештрихованной» ——«неподвижной» >— системы. Неподвижный наблюдатель измеряет частоту светового луча, идущего под углем 0 к оси %. Тогда согласно (18.33) и (18.26), подставляя kx = ~ cos 0, находим изменение частоты движущегося источника света по сравнению с частотой в его собственной системе отсчета:

(18.34)

Если 0 <； у, то з〉о/.

Эта формула описывает известный эффект Доплера, с помощью которого измеряются лучевые (т. е. направленные строго по лучу зрения) скорости небесных объектов. С точностью до члена, линейного относительно —, этот эффект получается и в нерелятивистской теории из элементарных кинематических соображений.

Значение релятивистской формулы особенно ясно тогда, когда источник движется перпендикулярно лучу зрения. Тогда во второй формуле (18.33) надо положить и получается:

(o^^j/" 1—^・ (18.35)

Эта формула выражает поперечный эффект Доплера. Он непосредственно связан с релятивистским изменением времени, которое описывается формулой (13.21). Движущийся излучатель гармонических волн можно рассматривать как часы, поскольку в нем совершается периодический процесс с частотой о/・ Полное число колебаний есть величина инвариантная: каждое колебание есть некоторое событие. Так как движущиеся часы показывают меньшее время, этому должна отвечать большая частота колебаний.

Поперечный эффект Доплера наблюдался Айвсом в излучении каналовых частиц, т. е. летящих атомов. У них отношение - было достаточным, чтобы заметить смещение частоты спектроскопическим способом. Получилось прямое экспериментальное доказательство сокращения масштаба времени при относительном движении.

Поляризация плоской гармонической в о л- н ы. Выясним теперь характер колебаний электрического поля в плоской гармонической (иначе говорят: «монохроматической», т. е. «одноцветной») волне. Для этого запишем вектор 尸(см. (18.25)) в таком виде:

尸=& + zF2 = (% —喝)с'。・(18.36)

Подберем фазу а так, чтобы векторы 名 и Е? были взаимно перпендикулярны. Умножим уравнение (18.36) на е?а и возведем в квадрат. Тогда получим:

(El，旦)2 = I 旦〜［区卩=ё-2/(1 尸I 仔 — I 尸212 + 2i (A尸2))■(18.37)

Мы воспользовались условием перпендикулярности £\ и Е2* Благодаря этому (Е】一iE^ ——чисто действительная величина. Следовательно, мнимую часть выражения (18.37) надо приравнять нулю. Представляя е~22a как Cos 2а — i sin2a, находим:

亠(I 尸 1У _ I % I2) sin 2a + 2 (尸I尸2)cos 2a = 0, или

tg2a =舒券乔，(18.38)

откуда определяется угол а по заданному решению (18.25).

Теперь легко выразить 吕 и & В самом деле, согласно (18.36) 七1 —疋2 =(尸I +，尸а)。-”"=尸］_cosa+尸2sina —，(尸isina —尸2cosa), так что

A = ^icosa + F2sina, E2 =尸 1 sin a - 尸2 cos a. J

Включим постоянную фазу а в показатель (18.25) и обозначим для краткости/.

a—— 三也(18.40)

Тогда электрическое поле плоской гармонической волны будет В самом общем случае равно:

£ = Re {(旦一zR) e'W}=旦 cos ” + 旦 sin 收 (18.41)

При этом векторы Ег и £2 определены как взаимно перпендикуляр* ные.

Представим теперь решение (18.41) наглядным образом. Пусть волна распространяется по оси х. Направим ось у по ^, ось z по Е2. Следовательно, из (18.41) получаем:

(18.42)(18.42)Ey = \E±\ cos^, E^^l^l sinx|).

(18.42)

(18.42)

поля:поля:Исключим отсюда фазу г|). Для этого разделим первое уравнение на |Eil, второе ——на |Е2|, возведем в квадрат и сложим. Тогда ис- ключится фаза и останется уравнение, связывающее компоненты

поля:

поля:

(18.43)(18.43)(4)2 I(е/

(18.43)

(18.43)

Следовательно, вектор электрического поля описывает эллипс

в плоскости yz, которая сама перемещается со скоростью с по направлению своей нормали, т. е. по оси %. Вектор поля обходит весь эллипс на одной длине волны. Относительно неподвижной координатной системы вектор электрического поля описывает винтовую линию, навитую на эллиптический цилиндр. Шаг винта равен длине волны. Такая электромагнитная волна называется эллиптически поляризованной. Она представляет наиболее общую форму плоской гармонической волны (18.25).

Если одна из компонент равна нулю, например 吕=0 или 七2 = 0, то колебания Е происходят в одной плоскости. Такая волна называется плоскополяризованной.

Когда |£\| равно |旦|, вектор Е описывает в плоскости z/г окружность. В зависимости от знака 旦 вращение по окружности идет по часовой стрелке или против нее. Соответственно этому волна называется правополяризованной или левополяризованной. На рисунке 25 представлено расположение векторов £г, Е?以 七 в право- и левополяризованной волне. При одном и том же значении фазы 屮 вращение идет либо против часовой стрелки, либо по ней.

Сумма двух волн равной амплитуды, поляризованных по кругу, дает плоскополяризованную волну. Соотношение их фаз определяет плоскость поляризации. Так, если сложить волны, показанные на рисунке 25, то колебания Е2 и —七2 взаимно погасятся и останется

только плоскополяризованное колебание Е. В свою очередь колебание, поляризованное по кругу, разлагается на два взаимно перпендикулярных плоских колебания.

В природе чаще всего наблюдается неполяризованный (естественный) свет. Разумеется, та- к°й свет не может быть строго монохроматичен, т. е. отвечать

одной определенной частоте(о, ибо волна с заданной частотой, как только что было показано, всегда так или иначе поляризована. Но если представить себе, что компоненты £\ и & на рисунке 25 не связаны строгим фазовым соотношением (18.42), а беспорядочно меняют свою относительную фазу, то результирующий вектор тоже будет менять свое направление в плоскости yz беспорядочным образом. Для этого надо, чтобы частоты колебаний были заключены в некотором конечном интервале Асо, потому что между колебаниями со строго постоянной и одинаковой частотой всегда сохраняется постоянная разность фаз.

Рассеиваясь на зарядах, естественный свет при некоторых направлениях рассеянного луча оказывается поляризованным.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что при сложении двух волн равной амплитуды, поляризованных по кругу в противоположные стороны и бегущих в одну и ту же сторону с длиной волны, различающейся на △九，получается плоскополяризованная волна, вектор поляризации которой поворачивается по мере распространения.

Найти соотношение между углами 0 и 0\ определяющими угол наклона светового луча к направлению относительной скорости двух систем отсчета.

Решение. Подставляя в первую из формул (18.32)^х~~ cos 。，

/e；=^-cos6‘ и учитывая, что 即=^~ sin 6, k^~ sin б\ ky == /г^ находим:

& с sin б" 、「\—戸tga=v У 1 —声.

cos

Отсюда следует:

cos 6' ^——

cos 8 =一,

1 + ~ sin O'

что соответствует формуле сложения скоростей (13.23).

Применяя полученное соотношение к явлению аберрации света, мы должны положить 6' = ^ для лучей звезды, проходящих перпендикулярно плоскости земной орбиты. Тогда в системе отсчета, связанной с Землей, получается постоянный по величине угол наклона между лучом и перпендикуляром к плоскости орбиты:

При годичном движении Земли соответствующая звезда описывает на небесном своде окружность с угловым радиусом у .

Если учесть, что звезда находится на конечном расстоянии от Солнца, то на это угловое смещение накладывается еще и параллакс.

Доказать, что величина co2dQ релятивистски инвариантна.

Указание. Воспользоваться формулой (18.34) и результатом упражнения 2.

ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ. ПОЧТИ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

Невозможность передачи сигнала при по・ мищн монохроматической волны. Плоская монохроматическая волна (18.25) неограниченно простирается во все стороны в пространстве и во времени, не имея, так сказать, ни начала, ни конца. Кроме того, ее свойства везде и всегда одинаковы: постоянна ее частота, амплитуда и расстояние между двумя бегущими гребнями, т. е. длина волны 厶.Во всем этом легко убедиться, рассматривая синусоиду или винтовую линию.

Поставим теперь задачу о возможности передачи электромагнитного сигнала на расстояние. Для того чтобы передать сигнал надо сосредоточить в известном объеме электромагнитное возмущение. Распространяясь, это возмущение может достичь другой области пространства; зарегистрированное каким-либо способом, например радиоприемником, оно передаст в точку приема сигнал о событии, происшедшем в точке отправления. (Наше зрительное восприятие также является непрерывной регистрацией электромагнитных (световых) возмущений, исходящих от окружающих объектов.) Сигнал должен иметь определенные границы во времени, чтобы извещать о наступлении и окончании каких-либо событий.

Чтобы передать сигнал, надо как-либо изменить амплитуду волны на некоторое время. Например, надо увеличить амплитуду одной из волн синусоиды и ждать, пока это увеличение амплитуды проявится в принимающем устройстве. Строго монохроматическая волна, т. е. синусоида, имеет одинаковую амплитуду всегда и поэтому не годится для передачи сигналов.

Таким же образом идеальная плоская волна со строго заданным волновым вектором не может передавать изображения объектов, ограниченных в пространстве.

Распространение немонохроматической волны. Посмотрим теперь, как можно использовать для передачи сигнала наложение нескольких синусоид, т. е. монохроматических волн. Предположим, что в нашем распоряжении имеется целый спектр частот бегущих волн, ограниченный интервалом 8° — ^ V ① V а)о + £・ При этом вся ширина спектра, т. е. интервал, частот Аз, гораздо меньше «несущей» частоты соо. Для простоты вычислений допустим, что амплитуда волны во всем интервале спектра одна и та же и равна: £о(о)) = £0, обращаясь в нуль вне этого интервала.

Тогда результирующее колебание представится интегралом по всем отдельным монохроматическим колебаниям:

Е= Eq (coje^* (^-^)rf(o ~ £0 \ e—(sfi*) ds・(19.1)

9g —

В этой формуле переменна не только частота, но и абсолютное значение волнового вектора k — так называемое волновое число. Согласно (18.26) оно равно 录 но здесь удобнее рассмотреть зависимость более общего вида: k =々(①).

Так как частота заключена в малом интервале, А можно разложить в ряд по степеням (① 一со0):

力(з)=々(g) + (①—g)(為)°.(19.2)

Подставим (19.2) в (19.1). Для результирующего поля получим следующее выражение:

七=旦«—i (①0f 一A%) $c _' —ds・ (19.3)

As

①0

Перейдем к переменной интегрирования Е =①一со0. Вычисляя интеграл, приводим его к такому виду:

(19.4)(19.4)

(19.4)

(19.4)

Исследуем получившееся выражение. Оно состоит из двух сомножителей. Первый из них (Е^，(①。'-衣％)) представляет бегущую волну, однородную в пространстве, со средней 《несущей» частотой со。. Но амплитуда результирующей волны уже непостоянна в пространстве благодаря второму сомножителю:

2 {[J 默2 {[J 默三g{DT凱 х]т} ^S^.三g{DT凱 х]т} ^S^.

2 {[J 默

2 {[J 默

三g{DT凱 х]т} ^S^.

三g{DT凱 х]т} ^S^.

ds"=誦ds"=誦где обозначения g н х ясны из равенства. Этот сомножитель благодаря синусу имеет бесконечное число максимумов. Но один из максимумов наибольший, он достигается, когда аргумент функции % обращается в нуль. Остальные экстремумы меньше и убывают с расстоянием от главного, который находится при % = ^^ ^. Таким образом, видно, что этот максимум не имеет постоянного положения в пространстве, а сам перемещается со скоростью

ds

"=誦

ds

"=誦

(19.5)

потому что из определения точки максимума % = 0 следует:

dco ,,

% =痴'=0九

Как было указано в начале этого параграфа, перемещением максимума можно передавать сигналы из одних точек пространства в другие, потому что этот максимум выделен среди других. Такое сконцентрированное в пространстве возмущение на-

зывается волновым пакетом.

Волновой пакет может иметь и не такую форму, как на рисунке 26, где он относится к выражению (19.4). Выбирая иную зависимость Eo(s), чем в формуле (19.1), т. е. не постоянную амплитуду в интервале частоты Асо, а более сложную функцию частоты, можно изменить форму £(%). В частности, легко придать результирующей амплитуде форму прямоугольника, так что передаваемый сигнал будет напоминать тире азбуки Морзе.

Здесь слово «легко» относится к аналитическому определению величины Ео(со), приводящей к прямоугольному сигналу. Действительно, формула (19.1) есть не что иное, как интегральное преобразование Фурье от функции £0((о) с переменной со к функции §(%) с переменной %. Но преобразование Фурье обладает свойством взаимности: если придать функции £)(з) вид, отвечающий g(x) по формуле (19.4), то «на выходе» получится сигнал прямоугольной формы 户()(%)•

Имея достаточно большую несущую частоту ①°, можно передавать отдельные сигналы со звуковой частотой так, что они не налагаются друг на друга. Иначе говоря, без заметных искажений удается воспроизвести музыку или речь.

Диапазон частот и длительность сигнала. Как мы видели, чтобы передать сигнал, всегда необходим некоторый диапазон частот. Монохроматическая волна со строго определенной частотой однородна по времени: она передает как бы один сигнал бесконечной длительности. По теореме обращения интегралов Фурье, выражающей их свойство взаимности, заключаем, что сигнал бесконечно малой длительности требует для своей передачи бесконечно большого диапазона частот. А если длительность сигнала конечна? Какой диапазон частот требуется для его передачи?

Об этом можно заключить, рассматривая рисунок 26, изображающий зависимость g от %. Для передачи сигнала важна только об- 门асть кривой вблизи главного максимума при % = 0・ В единицах %

она по порядку величины равна л. Следовательно, длительность сигнала определится из такого равенства:

A% = 岑• а?〜n.

Иначе товоря, чтобы передать сигнал длительности А/, требуется интервал частот Ао), связанный с АЕ соотношением:

АзА/〜2лс. (19.6)

Следует отметить, что эта оценка относится только к порядку величины А(о и Л/, Определение Л% до известной степени произвольно и сделано на глаз по виду кривой.

Форма кривой подсказывает, что основной вклад в передачу сигнала дают малые значения %, близкие к нулю, потому что около нуля амплитуда волны больше. Оценивая интервал частот по тому относительному вкладу, который они вносят в передаваемый сн— нал, можно вывести несколько более строгую оценку, чем (19.6):

〈Аз〉〈А/〉〜1・ (196)

Здесь величины взяты в угловые скобки, чтобы подчеркнуть, что метод оценки изменен по сравнению с (19.6). Кроме того, надо указать, что оценки (19.6) и (19.6') нижние. Во многих случаях имеет место сильное неравенство: Л(оД/》2冗.

Если радиостанция должна передавать звуки, воспринимаемые человеческим ухом, то величина Л/не больше чем 0,5 • 10~4 се&, потому что предельно доступное слуху число колебаний в секунду составляет 2-104. Фактически достаточно передавать частоты не выше 0,5-104. Отсюда Асо 〜2・10* или 0,5-104.

Диапазон частот Асо всегда меньше «несущей» частоты ①°, которая даже у самых длинноволновых передающих станций не меньше чем 106. Частоту соо надо сравнивать с интервалом Асо порядка 0,5-104, потому что срезание самых высоких частот в музыке, пении и речи не вносит существенных искажений.

Для телевизионных передач необходим гораздо больший интервал частот, потому что изображение воспроизводится 25 раз в секунду и в свою очередь состоит из десятков тысяч отдельных точек. Из-за этого несущая частота должна быть столь высокой, что соответствует длине волны в несколько метров. Такие короткие волны распространяются в относительно небольшом радиусе: они экранируются кривой поверхностью Земли наподобие световых волн. Любопытно, что для передачи цветных изображений практически требуется такой же диапазон частот, как и для черно-белых. В основном это связано с тем, что острота цветового зрения человека ниже, чем контурного.

Фазовая и групповая скорости. Рассмотрим подробнее, с какой скоростью передаются сигналы. Если применить формулу (19.5) к распространению сигнала в вакууме, то получится, конечно, о = с. В материальной непоглощакнией среде по- 220

ложение меняется, здесь надо считать, что зависимость 々 от ① иная, чем в вакууме (в поглощающей среде положение намного осложняется). Это явление называется дисперсией электромагнитных волн.

Мы не будем исследовать его, а просто примем, что между & и со имеется зависимость, отличная от прямой пропорциональности. Это весьма важно для оптико-механической аналогии, которой посвящен § 21 (см. ч. III). Примем, таким образом, что скорость волнового пакета равна:

число так:число так:Она отличается от скорости распространения поверхности постоянной фазы, которая выражается через частоту и волновое

число так:

число так:

(19.7)(19.7)СО"=石.

(19.7)

(19.7)

Действительно, выражение для бегущей монохроматической

волны можно записать в виде

Е = Е*

Сопоставляя эту формулу с общей формулой для бегущей волны Е = Е (% — 〃/), приходим к (19.7). Скорость волны обозначена 〃, а не с, потому что (19.7) относится к распространению волны не в вакууме, где различие между 〃 и с пропадает, а к непоглощающей среде, и называется фазовой скоростью волны, v — групповой скоростью волнового пакета, получаемого путем наложения группы волн.

Групповую скорость можно определить и в векторном виде:

(19.8)

Тем самым определяется и направление передачи сигнала.

Форма волны в пространстве и диапазон волновых векторов. Соотношение, аналогичное (19.6), можно вывести и для формы волны в пространстве в некоторый определенный момент времени. Для этого надо взять % при постоянном значении времени / = const. Выбирая снова Ах 〜 я, получим: а Ло dk А NhNx

= 丁〜冗，

илиNhN 〜2乳.(19.9)

Для 〈А 力〉，〈Ах) можно записать формулу, аналогичную (196). '

Учитывая, что й — величина векторная, соотношение (19.9) надо написать для всех трех компонент ft. Тогда вместо (19.9) приходим к трем оценочным формулам:

(19.10)(19.10)А&・ Ах 〜2л, △0 • А/ 〜2л, △Gz・Az〜2冗.

(19.10)

(19.10)

Поясним соотношения (19.10) наглядным примером. Допустим, что надо как-то ограничить радиоволну с боков, как это делается в луче радиолокатора (радара). Найдем ту предельную точность, с которой локатор может зарегистрировать положение объекта, находящегося от него на расстоянии /. Очевидно, что эта точность задается диаметром пучка лучей d на расстоянии I от локатора.

Пусть частота, на которой работает локатор, равна со, тогда соответствующая длина волны 九=警.Если бы электромагнитная волна распространялась в неограниченном пространстве, то она имела бы (или могла бы иметь) точно определенный волновой вектор:

. 2л

k = j-fl

(п — единичный вектор в направлении луча). Если волна имеет поперечный размер d, то Л уже нельзя считать точно определенным вектором, направленным по к.

Для того чтобы представить электромагнитную волну в некоторой точке пространства, занятого лучом локатора, надо взять совокупность плоских волн, у которых векторы А лежат внутри ко* нуса, имеющего известный угол раствора. Будем считать, что ось конуса совмещена с вектором п. Здесь имеется в виду не конус с резко ограниченной поверхностью, а конический пучок направлений. Зависимость амплитуды волны от направления ее распространения внутри конуса может, например, напоминать кривую рисунка 26 вблизи основного максимума.

Угловой раствор конического пучка определяется некоторым значением 力丄 в любом направлении, пер пен ди куля р ном оси конуса. 々丄 задает тот интервал значений А力，который необходим для того, чтобы диаметр пучка лучей в пространстве мог быть равен d. Очевидно, что по своему смыслу 々丄 и d суть не что иное, как » н

или 彳 и Az во второй и третьей формулах (19.10), если считать, что п направлено по оси 尤 Таким образом, приходим к соотношению：

(19.10')(19.10')d • 2々丄力2Л

(19.10')

(19.10')

(А^у надо положить равным 2々丄,потому что отклонение от п имеет место в обе стороны).

Собственными размерами зеркала локатора можно пренебречь, если рассматривается диаметр его пучка на большом расстоянии от зеркала, что только и представляет практический интерес. Иначе говоря, d определяется только соотношениями (19.10) и не зависит от размеров зеркала.

Расхождение пучка лучей в каждой точке измеряется отно* шением 脑 Поэтому отношение поперечного размера пучка d

g 2g 2к расстоянию до локатора / не может

g 2

g 2

2力|

быть меньше величины —

d2电

72丁・

На рисунке 27 это соотношение по-Рнс 27

казано для предельного случая равен-*

ства, но следует помнить, что речь идет

2也

скорее о верхней оценке порядка величины ~=t (19.10') есть нижняя оценка этой величины:

々丄 n

T 2原.

Имея верхнюю и нижнюю оценки 々丄,можно исключить из них 更,и тогда получится:

7岂瀛，или т2胃。

Окончательно:

d^l/7X.

Если, например, I = 100 юи, а 九=1 从，то положение объекта не может быть определено локатором с точностью, превосходящей 320 м (поэтому и можно было пренебречь размерами его зеркала).

Предел применимости понятия луча. Формулы (19.10) показывают, в каких пределах применимо понятие луча в оптике. Очевидно, что говорить о луче определенного направления можно только в тех случаях, когда

△У 財(19.11)

т. е. когда поперечное размытие волнового вектора гораздо меньше его самого. В задаче о радиолокаторе это значит, что 力丄《瓦 Но 力丄〜^, а « = ^, так что (19.11) равносильно требованию

d》九.(19.12)

Иначе говоря, размеры области, для которой имеет смысл говорить о лучах, должны быть гораздо большими, чем длина световой волны. Например, небольшое отверстие в стенке камеры-обскуры Диаметром, скажем, в 1 мм гораздо больше, чем длина волны видимого света, имеющая порядок величины 0,5 «10~4 см. Поэтому изображение, получаемое в камере-обскуре, строится при помощи световых лучей.

Оптика световых лучей называется геометрической оптикой. •Луч определен только тогда, когда задано его направление, т. е. нормаль к фронту волны. Если же задан пучок непараллельных,

например сходящихся, лучей, то фронт волны искривлен. Но радиус его кривизны в каждой точке должен быть гораздо больше, чем длина волны, чтобы вблизи этой точки можно было представить его с помощью касающегося плоского фронта. Тогда сходящийся пучок лучей представится совокупностью нормалей к соответствующим плоским фронтам волн.

Вблизи фокуса оптической системы, куда сходятся все лучи, кривизна волнового фронта может стать сравнимой с длиной волны, и тогда возникнут отклонения от геометрической оптики. Эти отклонения носят название дифракции волн. Они наблюдаются и в тех случаях, когда волна падает на какое-нибудь непрозрачное препятствие. Согласно геометрической оптике должна была бы получиться резкая тень ——переход от области, где поле отлично от нуля, к области, где оно равно нулю. Но уравнения Максвелла содержат производные полей по координатам и не допускают разрывных решений в пустом пространстве. Фактически между «светом» и «тенью» всегда существует переходная зона, в которой амплитуда волны изменяется сложным, немонотонным образом.

УПРАЖНЕНИЯ

Написать соотношение между фазовой и групповой скоростями.

сdco dak , . du Л du

ответ.仁血= ^ = " +力血"一九也

Показать, что если зависимость амплитуды монохроматической волны в волновом пакете пропорциональна функции вида

—(s —so)?е(Асо/—,

где ①。——несущая частота, а Асо《①。характеризует ширину спектра, то форма волнового пакета воспроизводит аналогичную функцию, но от f , причем ширина пакета обратно пропорциональна Асо. Сопоставить это с (19.6).

Найти предельный размер объекта, который можно рассмотреть в микроскоп, применяя свет с длиной волны 九.

Решение. Обозначим половину угла раствора конуса лучей, проведенных из объектива микроскопа к предмету, через 0. Тогда Д/г = k sin 0. Отсюда

不Е -百丽万一 sirTe.

Поэтому выгодно пользоваться пучками лучей с большими углами раствора и с малой длиной волны.

ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

Основные уравнения и граничные условия. До сих пор мы рассматривали электромагнитные волны в пустом пространстве, вне зависимости от зарядов, их испустивших. В этом параграфе будет рассмотрено испускание волн точечными зарядами, движущимися в вакууме. Основная система урав-

нений в данном случае — это (12.43) и (12.44) вместе с условием

Лоренца (12.42). Перепишем эти уравнения заново:

=(20.1)

△屮一^ 需=一 4лр,(20.2)

div4 + U = 0.(20.3)

Уравнения (20.1) и (20.2), записанные для декартовых компонент векторного потенциала и для скалярного потенциала, имеют одинаковый вид (лапласиан вектора отличается от лапласиана скаляра в криволинейных компонентах, например Дг, 4% Дq). Поэтому найдем решение какого-либо одного из этих уравнений, например (20.2), и применим его ко всем остальным.

Удобно поступить так: найти поле одного точечного излучателя, а потом просуммировать по всем излучающим зарядам, подобно тому как в § 16 было найдено сначала статическое поле одного точечного заряда. В силу линейности уравнений (20.1) — (20.3) решение при произвольном распределении зарядов и токов представится суммой или интегралом по всем излучателям.

Допустим, что в начале координат в элементе объема dV помещен заряд бе, равный pdV. Будем искать соответствующий потенциал.

Чтобы определить решение однозначным образом, надо наложить на него известное граничное условие. Будем считать, что заряды находятся в бесконечном пространстве, свободном от вещества, т. е. что нигде поблизости нет ни проводников, ни диэлектриков.

Тогда граничное условие может быть наложено только для бесконечного расстояния от зарядов. В соответствии с поставленной задачей естественно предположить, что за бесконечно большой промежуток времени до начала излучения и на бесконечно большом расстоянии от излучателя никакого поля излучения не было:

屮(ff-8， 『T8)=0,

—0о,Г-8)= 0.依勺

Это позволяет однозначно определить решение поставленной задачи.

Поскольку заряд бе помещен в начале координат, естественно искать решение, обладающее сферической симметрией. Тогда в урав* нении для ф нужной перейти к сферическим координатам и диффе^ ренцировать только по 厂,как в электростатической задаче, и, кроме того, конечно, по времени.

Запишем теперь уравнение (20.2), оставляя только произвол* нне по г и по /・ Будем считать, что оно относится к любой точке, кроме начала координат, тогда в правой части будет стоять нуль:

丄金2羽L °竺=0(20 5)

△力'dr с?»—〈NU.J丿

Положим на время

тогда

屮=

2屮_1 d①Ф

豆一7芽 r2，

①（г，f）

(20.6)

尸20屮一戸①①

Г新—广芽_R

d 2 3中_ *①]^Ф 0① *①д?г芽=「尹+苏一豆=г凉

Подставляя это в (20.5) и умножая на г (по условию г не равно нулю), получим:

洲①_ 1严① 不■一？'加" = U.

Но это есть уравнение распространения волны такого же вида, как (18.5). Его решение подобно (18.12):

①=①1, + 善)+ ①2，一 /)・(20.8)

Теперь применим граничные условия (20.4). Решение Фх зависит от аргумента /十尢 а решение Ф2 —от аргумента £ —g Первый из этих аргументов ，+ £)при /-> — оо, г->оо имеет совершенно неопределенный вид ——оо 十 оо, т. е. равен чему угодно. По условию (20.4) функция Ф обращается в нуль при / ->— oof 厂一> оо (г в знаменателе (20.6) не имеет значения, как будет видно в дальнейшем). Поэтому ①i обращается в нуль при каком угодно значении аргумента, т. е. тождественно. Для функции Ф2 условие (20.4) означает, что Ф2 (— оо) = 0. Иначе говоря, функция Ф2 обращается в нуль при минус бесконечности, откуда, конечно, не следует, что она всюду равна нулю. Итак,

Опуская индекс 2, напишем выражение для ср так:

屮=—(20.9)

Функция Ф пока не определена. Из вида ее аргумента заключаем, что она описывает волну, бегущую в направлении возрастающих значений радиуса (потому что t> 0). Такая волна называется расходящейся.

Запаздывающий потенциал. Значение функции Ф при г = 0, / = 0 перемещается в точку г за время / = у,или, другими словами, потенциал в точке г и в момент времени / определяется зарядом не в тот же момент /, а в более ранний момент t^. Член у учитывает запаздывание, происходящее из-за конечной скорости распространения волны. Конечно, изменение заряда 5е, находящегося в начале координат, происходит из-за того, что

одни заряды приходят в эту точку, а другие уходят из нее, сами заряды не изменяются. Но наше решение пока учитывает потенциал только тех зарядов, которые находятся как раз в начале координат.

Очень близко от начала координат, когда запаздывание становится очень малой величиной, потенциал должен определяться мгновенным значением заряда Зе (/) (см. начало § 16).

Как было показано в § 16, потенциал точечного заряда равен (см. (6.8)), откуда

①(/) _ МО _ р (/) dV

Поэтому

(D(f) = p(f)d 匕(20.10)

так что запаздывающий потенциал точечного заряда 屮《——^) согласно (20.9) и (20.10) должен быть равен

屮£一善=一 方 即.(20.11)

Если сместить начало координат в произвольную точку, то получится выражение, аналогичное (16.9):

屮片仅(20• 12)

Здесь плотность заряда определена в точке г (%, у, г), а потенциал вычисляется в точке R (X, У, Z). Таким образом, зависимость плотности заряда от пространственных координат входит в это выражение двояко: непосредственно, как в статической задаче, через аргумент г и через временной аргумент / — -~благодаря тому что запаздывание потенциала в точке /?, обусловленное разными зарядами системы, различно. Окончательно, чтобы получить полное решение уравнения (20.2), надо проинтегрировать (20.12) по всем элементам объема, т. е. по dV — dxdydz:

(20.13)(20.13)

(20.13)

(20.13)

Для точечных зарядов р означает ту специальную функцию, которая была определена в § 12. Она равна нулю в любой точке, кроме той, где в данный момент находится заряд.

Уравнение (20.1) имеет совершенно такой же вид, как и (20.2), и его решение удовлетворяет тем же граничным условиям. Поэтому векторный потенциал записывается аналогично (20.13):

7- ％ (20.14)

Это решение можно сравнить с (17.10), полученным без учета запаздывания.

Проверим теперь, что решение системы уравнений (20.1) и (20.2) удовлетворяет условию Лоренца (20.3). Производная по времени от скалярного потенциала берется непосредственно, потому что Z входит в интеграл по dV как параметр:

\R-r\dt

Дивергенцию от Л надо брать по аргументу R, стоящему в подынтегральной функции как параметр, поэтому можно внести ее под знак интеграла. R входит только в комбинации | R — г |, так что Vr заменяется на ——Vr. Но нельзя непосредственно заменить (Hvr на —divr, взятую от всего выражения, потому что г является и пространственным аргументом / Надо произвести следующую замену:

// divr /

dlVR |&—门=—“I [&—「I +•

Дивергенцию от всего выражения (первое слагаемое) можно преобразовать по теореме Гаусса — Остроградского в интеграл по

токов,токов,только div А,только div А,поверхности. Выбирая поверхность за пределами системы видим, что этот интеграл обращается в нуль»

токов,

токов,

только div А,

только div А,

4■用+ div4= \ 不反二^爲+ divГj)d匕4■用+ div4= \ 不反二^爲+ divГj)d匕В выражении div^ j дифференцирование производится по пространственному аргументу. Складывая у и имеем:

4■用+ div4= \ 不反二^爲+ divГj)d匕

4■用+ div4= \ 不反二^爲+ divГj)d匕

но подынтегральное выражение равно нулю по закону сохранения заряда, так что условие Лоренца выполняется.

Запаздывающий потенциал н а большом расстоянии от системы зарядов. Найдем вид решения (20.12) и (20.13) на большом расстоянии от излучающей системы. Заметим, что подынтегральная функция зависит от аргумента R в обоих интегралах как в знаменателе, так и в числителе через аргумент t—〔“^，L Функция, стоящая в знаменателе, зависит от аргумента R плавно. Ее разложение по степеням R дает члены, убывающие в бесконеч- ности как 麻.Они, как будет показано ниже, ничего не вносят в излучение при n > 1. Поэтому заменим | R — г [-1 просто на 备 и вынесем из-под интеграла. Величина | R — г |, входящая во временной аргумент числителя, на большом расстоянии от системы выглядит так:

(20.15)(20.15)IR — г [ = R —广武=R —姿=R — /%

(20.15)

(20.15)

где п — единичный вектор в направлении R. Следующие члены раз* ложения (20.15) содержат R в знаменателе и не существенны. Таким образом, на большом расстоянии от излучающей системы потенциалы равны:

(20/6)

4 =磊V«一办子丿)优 (20.17)

Член ^^ в аргументе подынтегральных выражений (20.16) м (20.17) показывает, на сколько запаздывает электромагнитная волна, вышедшая из более отдаленных частей излучающей системы, по сравнению с волной, излученной более близкими ее частями. Иначе говоря, член у- определяет время, в течение которого электромагнитная волна проходит через систему зарядов. Если скорость зарядов равна 〃 то за это время они сместятся на расстояние Запаздывание внутри системы незначительно, когда это расстояние мало по сравнению с размерами системы г. Следовательно, если е；^^《 厂,или, проще и《с, то заряды не успеют заметным образом изменить своих положений за время распространения волны в системе.

Но для того чтобы в системе действительно ничего не изменилось, заряды должны в течение этого времени сохранить и свои скорости, потому что векторный потенциал зависит от токов, т. е. от скоростей зарядов. Если на противоположных концах системы заряды колеблются в одинаковой фазе, а за время ^^ фаза колебания успевает измениться как раз на противоположную, то действие таких зарядов будет взаимно ослабляться за счет запаздывания внутри системы.

Сформулируем теперь условие того, что запаздывание электро- магнитной волны в системе не приводит к дополнительному сдвигу фаз между отдельными излучателями. Пусть заряды колеблются с частотой со и излучают свет. Длина волны равна: X = —. За время ^^ фаза колебаний зарядов изменится на(о^~^-. Это изменение в любой точке системы должно быть малым по сравнению с 2冗,откуда следует, что размеры системы должны быть малыми по сравнению с длиной волны излучаемого света, чтобы запаздывание внутри нее не давало сдвига фаз волн от разных излучателей.

Таким образом, член ^^ в аргументе подынтегральной функции не имеет существенного значения при двух условиях: v ^с и г

Векторный потенциал и поле в дипольном приближении. Допустим, что оба полученных неравенства

выполнены, так что запаздывание внутри системы, т. е. член везде мало. Оказывается, что полностью пренебречь им можно только в выражении для векторного потенциала Л, а для скалярного приходится идти еще на одно приближение, если пользоваться решением (20.16). Действительно, полагая в (20.16) ^ = 0, внднм, что после этого интеграл целиком относится к одному определенному моменту времени /—у, т. е. перестает зависеть от г в аргументе времени. Но тогда получается просто:

где заряд согласно закону сохранения не зависит от времени вообще. Потенциал приобретает электростатическое значение £ и не дает вклада в изучаемый эффект испускания электромагнитных волн.

Вместо того чтобы пользоваться дальнейшими членами разложения скалярного потенциала по степеням времени запаздывания внутри системы, можно вообще избавиться от скалярного потенциала, изменяя калибровку векторного потенциала Л. Действи* тельно, если скалярный потенциал не зависит от времени, то вместо условия Лоренца (20.3) надо взять

div Д = 0. (20.18)

Значения составляющих электромагнитного поля от этого не изменяются.

Так как калибровка решений (20.16) и (20.17) отвечала условию Лоренца, надо добавить дополнительный член к векторному по* тенциалу, чтобы выполнить условие (20.18).

Непосредственно из равенства (20.17) следует, что без учета запаздывания электромагнитной волны внутри системы векторный потенциал равен:

A = ic\№T 厂"匕 (20.19)

Так как в аргумент времени здесь не входят координаты заря* дов, заменим / на pz, помня, что теперь р относится к одному мо* менту времени / — ~. Если заряды точечные, то интеграл от функ* ции р по области, включающей заряд, равен самому значению заряда. Отсюда приходим к выражению:

4 =峪咻屮

(20.20)

Здесь индекс f —^ внизу означает, что суммирование по за

рядам надо производить для этого именно момента времени. Учи* тывая теперь, что U =后,получаем ：

(20.21)

При выводе было использовано определение дипольного момента (16.20). Заметим, что в (20.21) входит только производная по времени d. Поэтому преобразование (20.21), отвечающее постоянному сдвигу начала координат, не изменяет d не только для нейтральных, но и для заряженных систем. В частности, (20.21) справед* ливо и для одиночного заряда.

Приближение (20.21), в котором Л выражается через производную от дипольного момента системы как целого, называется дипольным.

В § 18 была выбрана такая калибровка потенциалов бегущих плоских волн, что скалярный потенциал обращался в нуль. Сделаем такую же калибровку и для расходящихся сферических волн, т. е. поступим в соответствии с условием (20.18).

Калибруя потенциал, не следует дифференцировать его по R* входящему в знаменатель: каждое такое дифференцирование увеличивает на единицу степень R (ведь потенциал определяется на большом расстоянии от излучающей системы). Достаточно каждый раз брать производную по который задает запаздывание, входя в аргумент времени. Только члены, обратно пропорциональные А, дают вклад в излучаемую энергию (см. ниже). Единичный вектор 筋 =疗，который будет возникать при дифференцировании, вторично дифференцировать в искомом приближении не надо, так как при этом тоже появляются лишние степени R в знаменателе.

Подставим выражение (20.21) в условие (20.18). Пользуясь формулой (11.37) для дивергенции вектора, зависящего только от абсолютной величины радиус-вектора, получим:

div

Rc — — Rc* *

Это подсказывает, что калибрующую функцию / надо взять такой:

(20.22)

Тогда, прибавляя к векторному потенциалу V/, приведем его к следующему виду:

j d п (nd) [п [nd ]]

(20.21)

Здесь векторный потенциал обозначен тем же символом Л, что и до калибровки.

Возможна и другая операция: вместо изменения векторного потенциала на V/ можно найти скалярный потенциал в следующем приближении, тогда вместо divZ = 0 будет выполняться равнозначное условие Лоренца:

div4+lg = 0.

Вычислим теперь электромагнитные поля. При этом надо, как указывалось, дифференцировать только по аргументу t — ~. При вычислении магнитного поля воспользуемся (11.38) и тем, что rot grad / = 0. Тогда получим:

〃 =rot 4 =表 rot 2 ｛，一"= 一 费[点]・(20.23)

Электрическое поле равно:

七=—^得=^^^[Нп]. (20.24)

Из этих формул видно, что электрическое поле, магнитное поле и вектор п взаимно перпендикулярны. Кроме того, \Н | = | Е |, потому что I Е 卩=j [Нп\ |2 = I 方『一(〃w)2, а Нп = 0. Следовательно, волна в точке R на большом расстоянии от излучающей системы подобна плоской электромагнитной волне. Это и должно было полупиться, потому что поле вычисляется далеко от зарядов, где фронт волны почти плоский, и решение переходит в то, которое было получено в § 18.

На рисунке 28 представлена общая картина поля. Вектор d поместим в центре сферы большого радиуса R так, чтобы d совпал с полярной осью, или, образно выражаясь, был направлен на «северный полюс». Через точку, где строятся векторы поля, проведем «меридиан» и «параллель». Тогда электрическое поле касательно

к «меридиану» и направлено «на юг», а магнитное поле касательно

к «параллели» и направлено «на восток».

Из формул (20.23) и (20.24) видно, что поле обращается в нуль на «полюсах» и максимально на «экваторе», т. е. в плоскости, проходящей через излучатель перпендикулярно 2. Распределение поля в пространстве не обладает, таким образом, сферической симметрией. Так как поле поперечное, перпендикулярное радиусу в каждой точке, оно не может быть сферически симметричным по чисто геометрическим причинам. Зона на боль-

том расстоянии от излучателя, где поле определяется формулами (20.23) и (20.24), называется волновой зоной.

Интенсивность дипольного излучения. Найдем энергию, теряемую системой зарядов на излучение. Для этого надо вычислить поток энергии, проходящий через бесконечно удаленную от излучателя сферу.

Как было показано в § 15 (см. (15.26)), плотность потока энергии, или вектор Пойнтинга, есть 盘[ЕН]. Отсюда находим, что энергия излучения, проходящая через единицу поверхности на расстоянии R от излучателя в направлении п в единицу времени, равна:

亲【上川=专[【"用切=表期"『.(20.25)

Поток энергии направлен по радиусу от излучателя, как и должно быть в волновой зоне, где волна близка к плоской. Полная энергия, проходящая через всю сферу радиуса R за единицу времени, равна:

^^^[Emds^^m (〃ds)=亲，I 〃|2 ds, (20.26)

потому что вектор п направлен по ds. Далее элемент поверхности ds = jR22nsin^ d3, где 仔一полярный угол. Согласно (20.23)

用”孤 msin2仇(20.27)

Подставляя (20.27) в (20.26), сокращая на R2 и интегрируя, получим выражение для энергии, излучаемой в единицу времени:

(20.28)

Заметим, что все члены в выражении для полей, содержащие в знаменателе степени R выше первой, ничего не прибавили бы к излучению энергии при достаточно большом R. Поэтому и были оставлены только члены с первой степенью R в знаменателе. Но если поставить задачу о вычислении не потока энергии, а потока момента, надо искать поле на больших расстояниях с большей тонкостью. В волновой зоне поток момента равен нулю, как можно убедиться из формул § 15.

Формула (20.28) содержит результат фундаментальной важности: при всяком ускорении заряд излучает энергию. Действительно, d = ge»f"・ Следовательно, чтобы d было отлично от нуля, необ- ходимо ускоренное движение зарядов при любых знаках ускорений.

Если применить этот результат к атому водорода, возникает разительное противоречие с опытом. Электрон, двигаясь финитно R。любой орбите, непременно должен отдавать свою энергию элект-

ромагнитному полю и в конце концов упасть на ядро. На самом деле ничего подобного не происходит: атом устойчив.

В этом факте обнаруживается, что ньютоновская механика совершенно неприменима к движению электрона в атоме. В третьей части книги мы разъясним устойчивость атома, пользуясь квантовой механикой, где само понятие движения качественно отличается от классического, т. е. ньютоновского.

dEdEРадиационное трение. Итак, мы видели, что эаря% движущийся ускоренно, непрерывно излучает энергию, передавая ее электромагнитному полю. Покажем теперь, что при финитном движении заряда потери его энергии на излучение сводятся к действию некоторой эффективной силы «трения» 尸.Эту силу определим следующим равенством:

dE

dE

(20.29)

так как произведение силы на скорость есть работа в единицу вре* мени. Формулу (20.28) можно преобразовать так:

dE 2 е2 IdE 2 е2 I|22 е2 d|22 е2 dГГ —ГГ —^ Г Г^ Г Г

dE 2 е2 I

dE 2 е2 I

|22 е2 d

|22 е2 d

ГГ —

ГГ —

^ Г Г

^ Г Г

Усредним полученное соотношение по времени, учитывая, что при финитном движении среднее значение от полной производной равно нулю (см. § 17). Тогда из сравнения (20.29) находим, что тормозящая сила равна:

尸=器；. (20.30)

Сила пропорциональна третьей производной радиус-вектора заряда или второй производной от его скорости.

Путем несколько более сложных вычислений удается показать, что применимость формулы (20.30) не ограничена финитным движением заряда. Полученное выражение есть не только средняя, но и мгновенная величина силы радиационного «трения», или радиационного торможения.

При выводе формулы (20.28) мы пренебрегли запаздыванием электромагнитных волн внутри системы, так что это выражение в известном смысле приближенное. Но если говорить о точечном заряде, то учет лишней степени гп под интегралом в формуле (20.17) в пределе дает нулевой вклад, так как для точечного заряда г стремится к нулю. По этой причине формулы (20.28) и (20.30) строго применимы к точечному заряду.

Найдем вид формул (20.28) и (20.30) для случая быстро движущихся зарядов. Для этого надо получить релятивистски инвариантные формулы, которые в пределе малых скоростей переходят в (20.28) и (20.30). Перепишем первую из них так:

Здесь / — время в собственной системе отсчета заряда. При переходе к произвольной системе отсчета его, как известно из § 13, надо выразить через инвариантную величину интервала ds:

dsdt = •

Далее в четырехмерных обозначениях — dE = icdp^ —dt = i 譽. Кроме того,(翁『=體•鵠 где 〃力=鶴，т. е. четырехмерная скорость. Следовательно, переходя к произвольной системе отсчета, надо вместо четвертых составляющих векторов "《и х4 написать равенства для всех составляющих. Это дает:

=4 員將з ds. (20.31)

Теперь можно найти четырехмерное выражение силы 尸八 Начнем с определения четырехмерного вектора силы:

‘加第三代.(20.32)

В случае силы Лоренца Fi = ^- Fikuk. Умножим обе части равенства (20.32) на 〃》・ Тогда слева получаем:

d °

но 〃扌=—1, так что 〃»芻=0・ Отсюда находим условие, которому должна тождественно удовлетворять всякая четырехмерная сила F/：

尸也=0・(20.33)

Кроме того, надо потребовать, чтобы в пределе малых скоростей Fi переходила в трехмерное нерел яти висте кое выражение (20.31).

Вторая производная по времени, как только что было показано, выражается через вторую производную по интервалу. Пользуясь четырехмерными векторами*^ и 〃力，можно построить единственное выражение, которое удовлетворяет обоим поставленным тре* бованиям:

•(2。，34)

Действительно, если умножить его на и^ получим: 口 2 с? / d2Ui [d2u^\ 八

В согласии с (20.33). Далее, в нерелятивистском приближении 〃а = 0, 〃4 = z； так что 芻=0. Следовательно, в таком приближении

имеет только первое слагаемое в скобках справа, которое переходит в (20.31) для трех пространственных составляющих.

Итак, формулы (20.28) и (20.30) вместе с их релятивистскими обобщениями должны быть применимы без ограничений для произвольно движущихся зарядов.

Но выражение для 尸 допускает возможность ускоренного движения заряда без всякого внешнего поля! Действительно, считая 戶 единственной силой, действующей на заряд, можно записать уравнение:

，d2r 2 е2 d^r

которое имеет решение:

отвечающее самоускоренному движению заряда.

Таким образом, электродинамика точечных зарядов внутренне противоречива.

Если считать заряд протяженным, то возникают еще большие трудности. Необходимо допустить, что существуют какие-то силы неэлектрической природы, сдерживающие заряд в конечном объеме и не дающие ему разлететься под действием кулоновского отталки* вания. Но такие силы никогда не наблюдаются. Кроме того, допустив существование неэлектрической силы, действующей на заряды, мы вынуждены признать электродинамику принципиально незамкнутой теорией, не способной решать вопросы, находящиеся в области ее применения.

На самом деле ситуация более благоприятна. Полученное абсурдное решение отвечает самоускорению заряда за промежуток времени порядка 10~23 сек.

Явления, протекающие в столь малые времена, относятся к области, где надо применять не классическую, а квантовую теорию. Это будет показано в ч. III. По причинам, связанным с квантовой теорией, классическая электродинамика применима к явлениям, протекающим не менее чем за 10~21 сек, Это означает следующее. Если рассматривается процесс, происходящий, скажем, за 1б~19 сек, то ошибка от применения неквантовой теории в худшем случае имеет порядок IO*, а ошибка, связанная с противоречием самой теории,— порядок 10-4. в。всех случаях эта «внутренняя неточность» в сто раз меньше. Поэтому не имеет смысла стараться изменить теорию так, чтобы исчезли малые ошибки и остались большие.

Квантовая теория тоже приводит к некоторым затруднениям, но их удается устранить без введения каких-либо взаимодействий неэлектромагнитной природы.

Магнитное дипольное и квадрупольное излучения. Мы указывали, что ускоренное движение зарядов необходимо для того, чтобы они могли излучать. Но это условие только необходимое, а не достаточное. Можно привести простой

пример, когда формула (20.28) дает нуль и для ускоренно движущихся зарядов. Пусть система состоит из двух одинаковых заряженных частиц, которые сталкиваются. По третьему закону Ньютона ускорения одинаковых частиц равны и противоположны по знаку, так что d= £ ег/ = е (rx + г2) == 0. Третий закон Ньютона в данном i = 1

случае применим, потому что в дипольном приближении запаздывание электромагнитных взаимодействий внутри системы считается пренебрежимо малым, а следовательно, силы взаимодействия между зарядами рассматриваются как мгновенные. Тогда нет надобности учитывать импульс, переданный полю, так что сохраняется суммарный импульс обеих частиц. Отсюда получается, что

=1 = 一 /.

Для этого случая формула (20,19) дает нулевой результат, так как оказывается, что волны, испускаемые каждым зарядом в отдельности, взаимно погашаются. Необходимо обратиться к более высокому приближению.

Если в разложении векторного потенциала (20.17) по степеням (尸к) учесть еще один член, кроме нулевого, то получится выражение, описывающее излучение, которое зависит от изменения квадрупольного и магнитного моментов системы. Но это разложение делается не по обратным степеням R, как в электростатике и магнитостатике, а по степеням запаздывания внутри системы. Все поправки к полю излучения, которые мы теперь будем искать, обратно пропорций' нальны первой степени R.

Напишем соответствующий член разложения векторного потен* циала:

斤=-£ \(切 М ^ = 一3 М \ 〃")优 (20.35)

Производная по времени, как по независимой переменной, вы* несена из-под знака интеграла. Интеграл преобразуем следующим образом:

<rn)jdV =у \ {(гп)/-(л/) r}dV + ~ ) {(rn)J+(nJ) г} dV.

(20.36)

Здесь первый интеграл равен:

у [л [rj]] rfV = y ^р[п [r^]] dV^c[n^

т. е. он выражается через магнитный момент системы (см. 17.19)).

Из второго интеграла вычтем выражение-^ \ (/7) dV. Оно соответствует вектору, направленному по п, т. е. по направлению распространения волны в данной точке. Согласно общей теории такое

слагаемое вектор-потенциала не влияет на поле. После этого второй член равен:•

~ ^ р ^(гп) 0 + (@〃)г — ~|~ к (厂叫а "'=

匸 』Q・ m("4 + га W ^ 〃а (戸叫.(20.37)

To, что получилось, есть производная по времени от квадрупольного момента, умноженного на вектор п (см. (16.18)). Если определить векторQa 三面件，(20.38)

то выражение (20.37) представится как

4 \ p{(〃)0 +(0k)r-K(E}adV = ^Qa・ (20.39)

Собрав теперь полученные выражения, найдем искомый член векторного потенциала, описывающий запаздывание электромагнитной волны внутри системы излучающих зарядов:

%' = —浦叩]一募 @・(20.40)

В него входит первая производная магнитного момента системы и вторая производная электрического квадрупольного момента. Соотношение (20.40) надо, строго говоря, еще перекалибровать в соответствии с условием (20.18). Но этого можно и не делать, если учесть, что выражение магнитного поля от этого не изменится, а электрическое поле равно [Нп] согласно (20.24), как во всякой плоской или почти плоской волне.

Уже указывалось, что запаздывание внутри системы мало, когда ^《1 и ■£《1 • Отношение ~ входит в магнитный момент системы. Поэтому те члены в разложении по степеням запазды- V

вания, которые пропорциональны —, дают магнитное дипольное излучение. Квадрупольный момент системы содержит лишнюю степень г по сравнению с дипольным, поэтому квадрупольное излучение связано с членами разложения, пропорциональными

Поле магнитного дипольного излучателя подобно полю излучающего электрического диполя. В отличие от поля, представленного на рисунке 28, магнитное поле, излучаемое магнитным диполем, лежит в одной плоскости с 出，т. е. направлено по «меридиану», а электрическое поле ——по «параллели». Формула для излучаемой в этом случае энергии вполне подобна (20.28), но вместо | d |2 в нее входит I 出 |2. Так как магнитный момент пропорционален у, излучаемая энергия уменьшается в 工;раз по сравнению с электродипольным излучением.

Поле излучающего квадруполя имеет более сложную конфигу* рацию. Выражение для излучаемой энергии содержит квадрат третьей производной квадрупольного момента системы. По по* рядку величины квадрупольный излучатель испускает в (£『раз меньше энергии в единицу времени, чем дипольный.

Электрическое и магнитное поля произвольной излучающей системы, вычисленные с точностью до первой степени величины за- (т)

паздывания --, состоят из трех слагаемых: электродипольного, магнитодипольного и электроквадр у по льного. Соответственно век* тор Пойнтинга содержит смешанные члены, т. е. произведения полей,

отвечающих излучателям разных типов. Но полная излучаемая энергия в единицу времени слагается из трех членов, обязанных каждому типу излучения в отдельности. В этом легко убедиться следующим образом.

Искомая величина испускаемой энергии есть скаляр. Смешанные члены от излучения разных типов должны были бы содержать ска* лярные комбинации соответствующих моментов, линейные по каждому из них. Так как по всем направлениям, т. е. по вектору л, производится интегрирование, результат может зависеть только от произведения двух моментов. Но ни одно из них не настоящий скаляр. Действительно, произведение (&卩)получается из вектора и псевдовектора 2 и 世(см. § 15), т. е. это псевдоскаляр, который не может равняться скалярной величине излучаемой энергии. Далее, da и Ra имеют по одному тензорному значку, а квадрупольный момент • • •

qaa — два тензорных значка. Следовательно, из q^ и da или 卩@ нельзя построить скаляр, линейный по q^ и da или по q^ и р,а.

Остается сумма трех членов, из которых каждый зависит от квадрата входящей в него величины dMa, Марк или 勺耶9；3・ Так как поле излучающего магнитного диполя подобно полю излучающего

электрического диполя, полная энергия, излучаемая за единицу времени магнитным диполем, выражается формулой, аналогичной

(20.28)!

(20.41)(20.41)dEq 2 I ...

(20.41)

(20.41)

Сложнее вычислить излучение электрического квадруполя» Его магнитное поле равно:

(20.42)(20.42)〃L露山@1・

(20.42)

(20.42)

Так как электрическое поле в волновой зоне связано с магнитным соотношением Е~ ［Нп\, можно записать аналогично (20.26) |

協=曲［他］2 =盛 \ dQ {U(优)小(20.43)

Пользуясь (20.38), находим отсюда:

羽=备\{("//) 5；九)-Sa理胃：力/} dQ.

Интегралы по углам вычисляются следующим способом. Интеграл от произведения двух компонент na и п^ отличен от нуля только в том случае, когда a = 卩・ Следовательно, искомый интеграл должен быть равен:

\ ^а^ц dQ = абщъ

Чтобы определить число а, просуммируем по а. Так как nana = 1, 6aa = 3, получаем: a = 4л/3.

Интеграл от произведения четырех компонент na,九^,. пц, nY может отличаться от нуля лишь тогда, когда значки компонент попарно равны одним из трех способов: a = 0, р, = ”； a =卩,0 = “； a = v, § = 卩.Следовательно,

\〃a〃B〃皿v dC = b (SapSjiv + SafxSpv + 8а^рц).

Чтобы найти число b, просуммируем снова по а. Тогда получим слева ^n^nvdQ, а справа 53卩丫匕,так что & = 4п/15・ Окончательно находим, что

dEл1 ••• • • •

R =賜 9 a|3 9aB・(20.44)

Выше было сказано, что при соударении двух одинаковых зарядов не может быть электродипольного излучения. Так как при столкновении сохраняется механический момент М, то сохраняется и пропорциональный ему магнитный момент и 世=0. Следовательно, остается только электрическое квадрупольное излучение.

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить, за какое время заряд, обращающийся по круговой траектории вокруг притягивающего центра, вследствие излучения электромагнитных волн упадет на этот центр.

Частица с зарядом е и массой m пролетает со скоростью у на расстоянии р от неподвижной заряженной частицы с зарядом Ze. Пренебрегая искривлением траектории налетающей частицы, вычислить теряемую ею на излучение энергию.

Решение.

2 週? I I 2 Z2“ ? dtл Z2e«

=S)而2 十泊伊)2 = WM2c3pM・

На свободный электрон падает плоская световая волна, которая приводит его в колебательное движение. Электрон начинает излучать вторичные волны, т. е. рассеивает излучение. Найти эффективный поперечник рассеяния, определяемый как отношение рассеиваемой энергии в единицу времени к плотности потока энергии падающего излучения.

Решение. Исходим из того, что г = —. Отсюда видно, что, если рассеянный свет распространяется перпендикулярно падающему лучу, рассеянное 240

излучение вызывает только составляющая £ в третьем перпендикулярном направлении. Рассеянный свет оказывается плоскополяризованным. По другим направлениям свет поляризован частично.

Зная г определим 次 по （20.28）. Деля на поток энергии -力"，получим: 8 л е4

Найти движение и излучение заряда, упруго связанного с некоторой точкой в пространстве, так что частота его свободных колебаний （0°. При атом заряд помещен в магнитное поле

也= 1〃|, % = 0，%"

Решение. Колебания заряда подчиняются уравнениям:

т^ = — tri^lx + ~ I 〃丨％

ту = — т^у ——^\H\xtml —-m3含.

Третье уравнение не зависит от первых двух и от магнитного поля. Первыедва уравнения легко решаются, если положить % 匸 ае1^9 у = бе"①'・ Тогдаq （呪—со2）—心 § *」b = О,b （觴-co2） + 而 ^^ a = 0.

Умножим теперь второе уравнение на i и один раз вычтем из первого, другой раз сложим с ним. Тогда комбинации а± ib удовлетворяют уравнениям:.

（a ± ib）（端一炉）¥ （а 土 ib）^?-^^

Сокращая на （a 士 ib）, приходим к уравнениям для частот:

d一嘲±红竺@ = 0.

° тс

Считая малой величиной по сравнению с о）о, заменяем со на соо

е II со、

в члене —1——!— и представляем разность со^ —со2 как （соо + со） （соо —со）, что

приближенно равно 2①° （соо —（о）. Тогда получаются выражения для частот обоих колебаний:

8 = 3。不-^1 三 ％*8&

е. наимееме. наимеемобоихобоихОни отличаются от несмещенной частоты как раз на -4——' т. 尸2тс，

е. на

имеем

е. на

имеем

обоих

обоих

ларморовскую частоту.

Из уравнений для а н b после подстановки в них ①二①。不 §^ j! с той же степенью приближения:

a— ± ib.

Если представить координаты в действительной форме, получим для колебаний: % == a cos （①。千 G厶）f, у = q sin （g 士 ①厶）九

十2тс十2тсСледовательно, радиус-вектор нормального колебания с частотой(оо

十2тс

十2тс

вращается по часовой стрелке, а радиус-вектор колебания с частотой соо —« —纟^^! — против часовой стрелки. Таким образом, в согласии с теоремой Лармора частота 金^思」один раз складывается с частотой coo» а другой раз вычи*

тается из нее, смотря по тому, в какую сторону вращается заряд.

Рассмотрим излучение такого заряда в магнитном поле. Электрический вектор излученной электромагнитной волны лежит в одной плоскости с вектором смещения заряда (см. рис. 28). Если наблюдается излучение, обязанное z-co- ставляющей дипольного момента, то вектор его поляризации направлен по оси z, а поле пропорционально г. Следовательно, такое излучение плоскополя- ризовано и имеет частоту <оо. Заряд, колебание которого происходит вдоль магнитного поля с несмещенной частотой со。， излучает электромагнитные волны, поляризованные в одной плоскости с магнитным полем. В направлении магнитного поля так колеблющийся заряд не излучает вообще.

Колебания с частотами соо ± ^тс обусловливают излучение волны с кру

говой поляризацией, причем направление распространения волны должно совпадать с направлением магнитного поля. Вектор электрического поля в таких волнах вращается в ту же сторону, что и радиус-вектор заряда.

Если излучатель находится в поле электромагнита, то можно наблюдать его

излучение в направлении, перпендикулярном полю, а если просверлить отверстие в башмаке электромагнита — параллельном полю. В первом случае наблюдатель регистрирует колебания по оси г и одну проекцию каждого колебания с правой и левой поляризацией. Поэтому оба поляризованных по кругу колебания

излучают в этом направлении плоскополяризованные волны с частотами "° ±^^・ Происходит расщепление несмещенной частоты в спектре на три

частоты.

Две частоты в спектре проявляются при наблюдении вдоль поля, здесь оба колебания поляризованы по кругу. При наблюдении не под прямым углом к полю эти колебания поляризованы эллиптически, и, кроме того, остается несмещенная частота.

Изложенные здесь вычисления составляют классическую теорию эффекта Зеемана. На самом деле при не очень сильных магнитных полях наблюдается совсем иная картина расщепления спектральных частот, правильно описываемая только квантовой теорией.

Наблюдая эффект Зеемана у небесных объектов, можно судить о величине и направлении действующего вблизи них магнитного поля.

Найти энергию излучения, теряемую в единицу времени зарядом, вращающимся во внешнем постоянном и однородном магнитном поле со скоростью* близкой к скорости света.

(14.33):(14.33):Решение. Применяем формулу (20.31). Величину надо взять из

(14.33):

(14.33):

ds2 ~~ тс 吼〃

Учитывая, что отлична от нуля только одна составляющая магнитного ноля, например Hz = F12 =—尸21, получаем:

e2 I Я I2 v^e2 I Я I2 v^加4c8加4c8

e2 I Я I2 v^

e2 I Я I2 v^

加4c8

加4c8

Отсюда потеря энергии в единицу времени равна： dE = 2 ©4 I 〃 |2 *七2

Построить поле излучающего квадруполя в волновой зоне. ...

Решение. Пусть ось z направлена по третьей главной оси тензора j；g. Вместо % будем писать просто。呻・ Тогда составляющие вектора Qa, определенного формулой (20.38), запишутся так:

@хН”ХD!.， Qy = пу^2^Qz~一几 2(d1 +。2)。

Проекции магнитного поля в декартовых составляющих равны:

"х=[〃 G ]% = —nynz (^i + 2D2),

"» = [〃 0 Ay~nxnz (2^i + ^2)>

也=[〃 a ]z=〃x 旬(°2—A).

От декартовых составляющих надо перейти к составляющим ио г110 H 屮帛 пользуясь таблицей косинусов, которую легко построить:

гОФ

х sin 仔 cos ф cos 8 cos 中 一sin ф

у sin 0、sin ф cos 仔 sin (p cos ф z cos 仔 一sin 仔 П nx = sin ^ cos (p,ny = sin ^ sin <p, n^ = cos O.

Отсюда

Hr = Hxnx + Hyny + Hztiz = — nxnynz (Z\ + 2D2) + nxnyti2 (2Dt + D2) ++ nxnyn2 (Z)2 一01) = 0,

как и должно быть в волновой зоне.

Для других двух составляющих магнитного поля имеем:

〃0 = Нх cos ^ cos ф + 〃, cos 8 sin ср — Hz sin 令=(Q — Z\) sin 令 sin 中 cos <p, /f(p = — Hx sin ф + Иу cos(p= [D1 + Z)2 + 5 cos2 屮 + 5 sin2 q>] sin 仔 cos 8.

У одноосного квадруполя при。2 = А получается Н^ = 0, как и должно быть по соображениям симметрии. 〃廿= 0 при ф = О, ср = -^-, т. е. на двух перпендикулярных меридианах, 〃屮=0 на полюсах и на экваторе.

ЧАСТЬ 〃/

КВАНТОВАЯ МЕХАНННА

§ 21. НЕДОСТАТОЧНОСТЬ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАННХН. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКОЙ

Неустойчивость атома по классическим представлениям. Опытами Резерфорда было установлено, что атом состоит из легких отрицательных электронов и тяжелого положительного ядра, весьма небольшого по сравнению с размерами самого атома. Для того чтобы такая система была устойчивой, электроны с необходимостью должны обращаться вокруг ядра, наподобие того как планеты обращаются вокруг Солнца: покоящиеся разноименные заряды немедленно притянутся друг к другу*

Но указанное условие устойчивости совершенно недостаточно. Прежде всего атомы постоянно сталкиваются между собой, если речь идет о газе, а в конденсированных телах (жидкостях или кристаллах) находятся в постоянном тесном контакте. Трудно представить себе, как при таких условиях атомы каждого элемента сохраняют свою тождественность. Если бы, например, солнечная система столкнулась с системой другой звезды, то после столкновения в обеих системах все выглядело бы совершенно иначе, чем до него.

Кроме того, как указывалось в предыдущем параграфе, движение электрона в атоме неминуемо повело бы к испусканию электромагнитных волн. Теряя энергию на излучение, атомный электрон должен был бы упасть на ядро. Это находится в разительном противоречии с очевидным фактом устойчивости атомов.

Теория Бора. В 1913 г. Н. Бор предложил некоторый компромиссный выход из положения. Согласно Бору, в атоме существуют определенные устойчивые орбиты, двигаясь по которым электрон не испускает электромагнитных волн. При переходе с орбиты, соответствующей большей энергии, на орбиту с меньшей энергией электрон излучает; частота излучения связана с разностью энергий электрона на обеих орбитах соотношением:

用①=& - £2>

где h — универсальная постоянная, равная 1,054-10"27 эрг • сек.

Оба положения Бора носили характер постулатов. Но с их помощью можно было в прекрасном согласии с опытом объяснить наблюдаемый спектр водородного атома, а также спектры ряда атомов и ионов, своим строением напоминающих атом водорода (например, положительного иона гелия, состоящего из ядра и одного электрона). 244

Несмотря на то что оба квантовых постулата Бора были совершенно чужеродны классической физике и необъяснимы с ее позиций, такая внутренне противоречивая теория чрезвычайно продвинула вперед науку об атоме.

Первый постулат утверждает, что устойчивы отнюдь не любые мыслимые, а только некоторые состояния атома. Это утверждение, как мы теперь знаем, отвечает существу дела и выводится из квантовой механики столь же непосредственно, как эллиптические орбиты планет из механики Ньютона.

Теория Бора имела блестящий успех при объяснении спектров водорода и подобных ему атомных систем. Но уже атом гелия, имеющий два электрона, не поддавался последовательному расчету по теории Бора. Еще менее эта теория была способна объяснить устойчивость водородной молекулы. Поэтому положение в физике, несмотря на ряд прекрасных результатов теории Бора, было совершенно неудовлетворительным. Помимо упомянутых здесь частных трудностей, теория Бора в целом была эклектической, так как непоследовательно объединяла классические и квантовые представления.

Световые кванты. Кроме вопроса об устойчивости атома, в очень многих случаях была видна недостаточность классической физики для понимания опытных фактов. Еще в 1900 г. М. Планк показал, что состояние теплового равновесия между полем и материей невозможно удовлетворительно описать, опираясь на классические законы излучения, согласно которым оно происходит непрерывным образом. Наоборот, Планку пришлось допустить, что излучатели передают энергию электромагнитному полю отдельными порциями, или квантами. Каждый квант обладает энергией, пропорциональной его частоте, причем коэффициент пропорциональности и есть упомянутая уже постоянная h. Предположением Планка как раз и воспользовался Бор в своем втором постулате.

Гипотеза о световых квантах оказалась весьма плодотворной при объяснении целого круга явлений. Очень важным было квантовое объяснение внешнего фотоэффекта, предложенное Эйнштейном. При освещении поверхности металла, граничащей с вакуумом, из металла вылетают электроны. Оказывается, что энергия каждого отдельного электрона совершенно не зависит от общей энергии падающего излучения, а зависит только от его частоты. Энергия вылетающего электрона представляется как разность двух величин: кванта энергии /ко и работы вырывания электрона из металла.

Развивая идеи Планка, Эйнштейн предположил, что электромагнитное излучение не только испускается и поглощается, но и распространяется в виде отдельных квантов.

Так как энергия кванта равна h①,а скорость его равна с, он Должен обладать импульсом у (см. § 14, 18). Следовательно, квант

является частицей с нулевой массой, возможность существований которой следует из релятивистской механики.

Импульс квантов был обнаружен в эффекте Комптона. Рассея* ние электромагнитных волн на свободных электронах, если рас* сматривать его по классической теории, должно выглядеть так: падающая волна приводит электрон в колебательное движение, отчего он сам становится излучателем (см. упр. 3 к § 20). Но тогда частота рассеянного электроном излучения непременно дол* жна совпадать с частотой падающих на него электромагнитных волн.

Для того чтобы электрон, находящийся в веществе, можно было рассматривать как свободный, частота падающего излучения долж- на быть очень велика по сравнению с собственными частотами его движения. Поэтому следует наблюдать рассеяние коротковолнового (рентгеновского) излучения. Тогда собственные частоты колебаний электронов в веществе, лежащие в оптической области, не смогут заметно сместить частоту рассеянного света —— по крайней мере это должно ожидаться по классической теории.

Рассуждая в соответствии с принципами классической механики, можно предположить, что относительное изменение частоты рент- геновых лучей при рассеянии на атомных электронах вещества тем меньше, чем больше частота колебаний, т. е. чем меньше длина волны. При данной длине волны рассеяние на любой угол не должно приводить к изменению частоты излучения, так как рассеянное излучение испускается одним и тем же колеблющимся зарядом в такт с колебаниями электромагнитного поля падающей волны.

Опыты Комптона (1923) показали совершенно иное. Чем более жесткое (т. е. коротковолновое) излучение падало на вещество, тем сильнее уменьшалась частота рассеянного излучения по сравнению с падающим (при данном угле рассеяния). При определенной частоте падающего излучения частота рассеянного излучения оказывалась тем меньше, чем больше был угол рассеяния. Экран, через который свободно проходили падающие рентгеновы лучи, почти полностью задерживал лучи, рассеянные под достаточно большим углом.

По классической теории эти результаты необъяснимы, но зато совершенно непринужденно объясняются в свете квантовых представлений. Рассеяние рентгеновых лучей на свободном электроне следует рассматривать как столкновение двух частиц. Одну из них— электрон — надо считать покоящейся до столкновения, а другую 一 световой квант ——как обычную материальную частицу, обладающую энергией и импульсом. Особые свойства кванта учитываются только тем, что у него импульс равен энергии, деленной на с.

Законы сохранения энергии и импульса применимы к столкновению с квантом совершенно таким же образом, как и к столкновению всяких частиц (см. § 6). Так как сталкиваясь с электроном, квант передает ему некоторый импульс, его собственный импульс уменьшается, а следовательно, уменьшается и его энергия. Из-за 246

этого частота рассеянного излучения меньше частоты падающего излучения.

Как во всякой задаче о рассеянии частиц, достаточно задать одну величину, чтобы определились все остальные. Обычно задается угол отклонения первоначально падающей частицы. Мы рассмотрели подобную задачу в упражнении 2 к § 14. Пользуясь результатом этой задачи и тем, что энергия падающего кванта Ео =八①о, энергия рассеянного кванта Е = /ко и начальная энергия электрона равна т*> получаем:

—魁(12)，

Таким образом, определяется зависимость частоты рассеянного излучения от угла рассения 6. Она полностью согласуется с опытом.

Представление о свете как о потоке частиц не было новым для физики. Но к моменту появления гипотезы о световых квантах волновая теория света была общепризнанной, а корпускулярная («корпускула» ——частица) казалась оставленной навсегда. Такие явления, как дифракция и интерференция света, в классической теории могут быть истолкованы только на основе волновой картины и абсолютно противоречат корпускулярной. Зато фотоэффект и комптон-эффект столь же безнадежно не согласуются с классической волновой теорией.

Таким образом, в начале двадцатых годов нашего столетия физическая наука оказалась в необычном положении: она вынуждена была пользоваться двумя, казалось бы, в корне противоречащими теориями для объяснения разных явлений, относящихся к одной и той же сущности — электромагнитному полю.

Выход из создавшегося положения был найден в последовательной квантовой теории, где всякое движение обладает некоторыми волновыми свойствами.

Оказалось, что классическая механика Ньютона ограничивает круг своих применений макроскопическими телами и очень часто теряет силу в применении к микроскопическим объектам, в частности совершенно неприменима к описанию движения атомных электронов или световых квантов. Квантовая механика заключает в себе точный критерий применимости классических представлений.

Прежде чем перейти к изложению квантовой механики, надо объяснить, каким образом один и тот же объект в принципе может проявлять то корпускулярные, то волновые свойства.

Соответствие между геометрической оп* ти к ой и классической механикой. Корпускулярная теория света возникла, возможно, на основе того, что световые 』уии в однородной среде распространяются прямолинейно наподобие частиц, не подверженных действию силы. Но в бесконечной однородной среде столь же прямолинейно распространяются и плоские

электромагнитные волны: нормаль к фронту волны сохраняет неизменное направление. В этом случае между корпускулярной и волновой картинами имеется взаимная сопоставимость. Различие между ними проявляется в том случае, когда волны распространяются в как-либо ограниченном пространстве. Однозначное соответствие между фронтом волны и направлением волновой нормали нарушается соотношениями (19.10). Если для идеально плоской волны в каждой точке пространства строилась только одна определенная прямая волновой нормали, которую можно было сопоставить с траекторией корпускулы, то в случае «размытого» волнового фронта имеется целый конус направлений в данной точке и нет физического способа указания «истинной» траектории корпускулы. Все направления в конусе одинаково пригодны, но это значит, что в строгом смысле непригодно ни одно из них.

Построением световых лучей пользуется геометрическая оптика. Но мы видим, что это построение неоднозначно тем в большей степени, чем менее точно может быть определено направление волновой нормали. А последнее зависит от того, каковы размеры области, в которой распространяется электромагнитная волна. Пока область во всех измерениях велика по сравнению с длиной световой волны, никакие дифракционные, т. е. волновые, эффекты не сказываются. Но по мере того как размеры области приближаются к длине световой волны, понятие светового луча все более теряет смысл.

Таким образом, исходя из чисто волновых представлений, можно установить критерий применимости понятия луча (т. е. корпускулярной картины) и найти правила предельного перехода от волновых понятий к механическим. Это в свою очередь покажет путь перехода от корпускулярных понятий ньютоновской механики, так сказать, в обратном направлении к волновым понятиям квантовой механики.

Прежде всего необходимо установить соответствие между механическими и волновыми величинами.

Поверхности постоянной фазы. Выясним прежде всего значение фазы волны для оптики световых лучей. Казалось бы, понятие фазы целиком чуждо геометрической оптике, но на самом деле, как сейчас будет показано, фазе можно придать вполне определенный механический смысл.

Начнем с выражения поля распространяющейся электромагнитной волны, которое представим в таком виде:

七=七о(尸，f)cos^^. (21.1)

Здесь 九一длина волны, которая считается малой по сравнению со всеми линейными размерами области, занятой полем. В предельном случае плоской волны фаза равна:

± = kr—3t (21.2)

(ср. (18.25), (18.26)). Так как й = —,(о = —, где и — фазовая скорость (см. (19.7)), удобно выделить зависимость от 九 в явном виде, записывая фазу как частное 屮三今.

Выражение поля через фазу надо подставить в волновое уравнение, чтобы уточнить порядок величины всех тех членов, которые должны быть отброшены для перехода к приближению лучевой, т. е. геометрической, оптики:

△E-%紫=。。QL3)

При дифференцировании по / и по г надо оставлять только такие члены, которые содержат 入 в знаменателе в наибольшей степени, потому что 九 —— по условию малая величина. Поэтому амплитуду волнового пакета Е°(г, /) вообще не надо дифференцировать. Следовательно,

dt — X扭 九»

器=2 COS%

Первый член во второй строке должен быть отброшен по сравнению со вторым, содержащим в знаменателе X2. Отсюда и аналогично

Д£^-Ео(| V炉。s±・

Подставив получившиеся выражения в (21.3), получим дифференциальное уравнение первого порядка для фазы 屮=年；

(V9尸一^関匕6(21.4)

В предельном случае плоской волны из (21.2) следует:

"WP三累⑵・5)

иа

8 = -*，(21.6)

причем для плоской волны

胪一^ = 0.

Но согласно (21.4) этому же уравнению удовлетворяют вели- ЧИНЫ v(p,—尊 в почти плоской волне (21.1). Следовательно, можно принять уравнения (21,5) и (21,6) как определения волнового век・ тора и частоты почти плоской и почти монохроматической волны.

(Мы принимали длительность волнового процесса, представленного уравнением (21.1), гораздо большей, чем период колебаний ^.)

Как видно из (21.5), волновой вектор направлен по нормали к поверхности постоянной фазы ф =(р0, т- е. задает направление светового луча в данной точке пространства. Распространение почти плоской волны представляется как перемещение в пространстве семейства поверхностей постоянных фаз.

В разные моменты времени / поверхность, на которой фаза имеет определенное значение ср =(р0, занимает разные положения в пространстве соответственно уравнению:

Ф(Г 0 = Фо-

Определим скорость распространения этой поверхности. Надо исходить из условия:

加=曾山+需" = 0.

Пусть d尸— вектор, направленный по нормали к поверхности. Тогда I 患 есть абсолютное значение | k |. Из (21.5) и (21.6) полу* чим в согласии с определением фазовой скорости (19.7):

I dr I dt со

Вт

Групповая скорость распространения волнового пакета (21.1) может быть найдена с помощью (19.5) как

(21.7)(21.7)Осо

(21.7)

(21.7)

0 =痴•

Существенно, что для почти плоской волны (о может быть выражена как функция 欠,подобно тому как это делается для плоской волны.

Подобные величины в оптико-механиче- с к о й аналогии. В § 10 было рассмотрено распространение поверхностей постоянного действия системы тождественных материальных частиц, движущихся вдоль пучка траекторий. В начальный момент времени заданы начальные условия для каждой такой частицы. По мере движения частиц изменяется величина действия каждой из них согласно уравнению:

t

S = \ L d/・

Было установлено, что распространение поверхностей S = const описывается уравнением первого порядка в частных производных вида (10.20), в которое надо подставить V = S, если в качестве функ- 250

пии, осуществляющей каноническое преобразование, взято само действие частиц.

Уравнение Гамильтона—Якоби вполне аналогично уравнению распространения поверхности постоянной фазы (21.4). Последнее можно написать, например, так:

)/〃 2(v⑺2 = _ 曾.

Тогда левая часть равенства аналогична гамильтониану, в который вместо импульса подставлен волновой вектор k = у/ф，а координатная зависимость входит через величину 〃. Уравнение (21.4) еще больше будет напоминать уравнение Гамильтона—Якоби в релятивистской форме, если в выражение функции Гамильтона свободной частицы (14.12) подставить m = 0 и заменить Н на —而， а р на VS.

Таким образом, распространение световых лучей в среде полностью аналогично движению частиц с нулевой массой. Механика этих частиц в такой же степени определяется уравнением (21.4), как механика «обычных» материальных частиц — уравнением Гамильтона—Я коби.

Любой величине в механике отвечает аналогичная величина в геометрической оптике. Чтобы установить подобие величин, надо исходить из сравнения фазы с действием. Тогда видно, что энергии отвечает частота, а импульсу — волновой вектор. Действительно, согласно (10.26) и (21.6) видно соответствие £ и со;

厂 dS

e=一 3 = 一 ^，

а из (10.24) и (21.5) соответствие 欠 и р:

Но тогда скорости распространения поверхности постоянного действия согласно (10.27) и постоянной фазы имеют вполне сходные

выражения:

£①

ITT и 而.

Наконец, скорость волнового пакета аналогична скорости движения самих частиц:

dE dco现 аст =亦， @пак = ^・

В § 18 был найден закон преобразования частоты и волнового вектора, совпадающий с законом преобразования энергии и импульса частицы при переходе от одной системы отсчета к другой.

Оптические и механические величины, находящиеся в соответствии, различаются только размерностью. Так, фаза имеет нулевую размерность, а действие—размерность JLdf, т. е. г-с^1сек. Соответ-

ственно волновой вектор и импульс, частота и энергия различаются также размерностью действия. Коэффициент пропорциональности во всех соотношениях должен быть одинаков, потому что в противном случае оптико-механическая аналогия не имела бы релятивистски инвариантного характера. Этот коэффициент, как мы увидим дальше, есть не что иное, как квант действия, или постоянная Планка %.

В следующем параграфе будет показано, что оптико-механическая аналогия есть результат предельного перехода от волновых уравнений квантовой механики к уравнениям классической механики, подобного предельному переходу от волнового уравнения электродинамики к уравнению распространения световых лучей.

УПРАЖНЕНИЕ

Исходя из* того, что фаза аналогична действию, показать, что свет заданной частоты распространяется по таким траекториям, для которых время распространения постоянной фазы наименьшее (принцип Ферма).

Решение. При постоянной частоте изменение фазы волны, распростра* няющейся от точки / до точки 2, приведенноекодному моменту времени, равно:

22

С.,Спdr

\ R dr = 6 \

11

Произведение ndr есть перемещение поверхности по перпендикулярному к ней направлению. Следовательно, —есть время перемещения dt. Согласно вариационному принципу, которому фаза должна удовлетворять так же, как 2

аналогичная ей величина действия, время t = \ dt —наименьшее из возможных.

1

В механике подобный принцип имеет место при постоянной энергии частиц. Тогда надо записать действие в виде

S = \ р dr.

Но импульс р обычно связывают со скоростью самой частицы (p = mv)t а не поверхности постоянного действия (принцип наименьшего действия Эйлера — Мопертюи).

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ

Сущность дифракционных явлений. Классическая механика имеет аналогию только в геометрической оп* тике, но отнюдь не в волновой. Различие между механикой и волновой оптикой лучше всего иллюстрируется на примере дифракционных явлений.

Представим себе следующий опыт. Пусть имеется экран с двумя малыми отверстиями. Предположим, что расстояние между ними того же порядка, что и размеры этих отверстий. Временно закроем одно (названное первым) отверстие и направим на экран световую волну. Будем наблюдать волну, прошедшую через второе отверстие, по

распределению интенсивностей на другом экране, помещенном за первым. Затем, открыв первое отверстие, закроем второе — распределение интенсивностей изменится. Теперь откроем оба отверстия сразу. Получится такое распределение интенсивностей, которое вовсе не будет представляться как сумма интенсивностей ст каждого отверстия в отдельности. В тех точках экрана, куда волны от обоих отверстий приходят в противоположных фазах, они взаимно гасятся, а в тех местах экрана, где фазы пришедших от обоих отверстий волн одинаковы, взаимно усиливаются. Иначе говоря, складываются не интенсивности света, т. е. не квадратичные величины, а сами значения полей.

Такого рода дифракция может происходить только потому, что волна проходит через оба отверстия. Из-за этого в точках второго экрана получаются определенные и постоянные разности фаз для лучей, прошедших через каждое отверстие. (Мы здесь отвлекаемся от дифракционных явлений, связанных с прохождением света через одно отверстие. Эти явления обязаны разности фаз лучей, идущих через разные точки отверстия. Не рассматривая такие разности фаз, мы считаем фазу волны, прошедшей через каждое отверстие, постоянной, но учитываем разность фаз между волнами, прошедшими через разные отверстия. Это упрощение ничего в принципе не меняет.)

Несколько сложнее картина дифракции рентгеновых лучей в кристаллической решетке, так как дифракционные явления происходят в трех измерениях. Решетку проще всего представить себе как стопку плоскостей, заполненных отдельными атомами и молекулами. От каждой такой плоскости частично отражается под одним и тем же углом проходящая волна. Но так как отражение осуществляется на постоянном расстоянии одно от другого, между отраженными волнами получается неизменная разность фаз, зависящая от угла падения волны на кристалл. Отраженные волны могут взаимно усиливаться только в том случае, если эта разность фаз равна в зависимости от угла падения 2冗,4л, 6л и т. д.

Расстояние между плоскостями кристалла с несложным строением можно вычислить независимым от дифракции рентгеновых лучей способом (по плотности, атомному весу и числу Авогадро), зная число атомов в кубическом сантиметре. Угол, под которым возможно отражение от данной кристаллографической плоскости, связан с расстоянием между плоскостями простым геометрическим условием, включающим в себя длину волны (условие Вульфа— Брэгга), так что по измерению угла отражения можно определить Длину волны рентгеновых лучей.

Хотя трехмерная дифракция в кристаллической решетке сложнее плоской картины дифракции от отверстий, причина этих явлений °дна и та же: подобно тому как волна должна пройти через оба отверстия сразу, чтобы получилась определенная разность фаз на экране, рассеяние рентгеновых лучей должно осуществляться на всех атомах кристакчлической решетки. На каждом атоме кристалла

должна рассеяться одна и та же волна. Тогда условие отражения будет выполнено только при строго определенных значениях углов. Никакая корпускулярная картина без учета волновых свойств излучения не могла бы объяснить дифракцию рентгене* вых лучей.

Дифракция электронов. Совершенно такая же картина наблюдается при рассеянии электронов (или других микрочастиц) на кристаллах. Как известно, электроны действуют на фото* пластинку или на люминесцирующий экран подобно рентгеновым лучам, поэтому прямой опыт доказывает, что микрочастицы претерпевают дифракцию, подчиненную тем же основным закономер* ностям, что и дифракция электромагнитных волн.

Но для этого каждый электрон должен рассеиваться на всех атомах решетки, потому что электроны летят совершенно независимо друг от друга: между ними нет и не может быть постоянной разности фаз. Они просто могут проходить через кристалл по одному, и все равно получится такая же дифракционная картина, как от прохождения всех электронов сразу.

Вспомним, что в оптике дифракционную картину удается получить только от одного и того же источника света: лучи от разных источников некогерентны. Необходимо, чтобы одна и та же световая волна прошла через оба отверстия: только тогда разность хода сохраняет неизменное значение, зависящее от геометрии расположения приборов в опыте и длины волны. В этом случае в одних и тех же точках экрана постоянно сохраняются светлые или темные места, несмотря на то что лучи, испущенные источником в разное время, некогерентны. Но при наблюдении дифракции это обстоятельство оказывается несущественным: когда бы волна ни была испущена, она, пройдя через оба отверстия, встретится сама с собой. Она усилит или ослабит себя на экране в зависимости от того, сколько полуволн укладывается на каждом из ее путей от отверстий до соответствующих точек экрана.

Дифракция электронов доказывает, что законы движения в микромире вообще имеют волновой характер, и каждый электрон рассеивается на всех атомах кристаллической решетки. Ясно, что это несовместимо с понятием определенной траектории электрона в той же степени, как дифракция рентгеновых лучей ——с лучевой, или геометрической, оптикой.

Дифракционные явления доказывают, что с движением элект* рона связана фаза некоторой величины.

Длина волны электронов. Подобно тому как из дифракции рентгеновых лучей определяется их длина волны, дифракция электронов (или иных микрочастиц) позволяет измерить длину волны, относящуюся к ним. Длина волны очень просто связана со скоростью или с импульсом частицы р. Волновой вектор частицы связан с ее импульсом следующим соотношением:

(22.1)

Это соотношение было предложено Л. де Бройлем на несколько лет раньше, чем оно было подтверждено опытами Дэвиссона и Джер- мера, впервые наблюдавших дифракцию электронов от кристаллов.

Постоянная h, или квант действия, упоминалась в предыдущем параграфе. Раньше применяли постоянную, в 2n раз большую, чем й, а принятую здесь обозначали Й. Тогда вместо числа радианов в секунду ① в выражение фазы подставляли число колебаний в секунду V.

Длина волны электрона, отвечающая (22.1), равна:

入=^ =竽=管(22.2)

Ее называют дебройлевской длиной волны. Часто пользуются величиной, в 2л раз меньшей:

大= ^ = ^・(22・2‘)

Формула (22.2) показывает, что дебройлевская длина волны, отвечающая движению макроскопических тел, исключительно мала из-за малости h по отношению ко всем величинам, могущим характеризовать движение таких тел. Естественные единицы макроскопического движения сантиметр — грамм ——секунда, если перевести в них дебройлевскую длину волны какого-нибудь тела, скажем с массой 1 а и скоростью 105 см/сек, дают 九 〜 10-22 см. Ясно, что наблюдать движение макроскопического тела в области столь малых размеров невозможно, а следовательно, не могут проявиться и дифракционные явления. Применимость классической (ньютоновской или релятивистской) механики к макроскопическим телам практически не ограничена.

Пределы применимости классических понятий. Совсем иначе выглядит соотношение величин, когда формула (22.2) применяется к движению электрона в атоме. Размер атомов нетрудно определить, как было сказано, совсем простым спо* собом: деля объем одного грамм-атома твердого или жидкого вещества на число Авогадро ^ = 6,024 • 1023. Отсюда получается радиус атома порядка 0,5-10-8 см.

Порядок величины скорости электрона оценивается так. Напишем уравнение движения заряда в кулоновом поле:

Умножим обе части равенства скалярно на г и преобразуем вторую производную по времени, стоящую в нем слева:

тгг =加糸 С) — mr2тгг =加糸 С) — mr2—Ze2r2—Ze2r2

тгг =加糸 С) — mr2

тгг =加糸 С) — mr2

—Ze2r2

—Ze2r2

т・ e. получилось выражение потенциальной энергии. Усредним полученное равенство по некоторому достаточно большому промежутку времени. Тогда среднее значение от полной производной во всяком

случае равно нулю: состояние атома, как это видно из опыта, в обычных условиях стационарно. Но отсюда следует, что среднэе значение кинетической энергии равно половине взятого с обратным знаком среднего от потенциальной энергии. Подставляя найденную оценку величины радиуса г = 0,5-10~8 с% Z = 1 (атом водорода) и m = 9・ 10~28 а 一 массу электрона, находим:

V = "|/ ^^2,2« 108 см!сек.

Итак, волновое число, отвечающее движению электрона, определенное по формуле (22.2), равно 0,5-10-8 см, т. е. это величина как раз тех же размеров, какие были приняты для самого атома.

Если допустить, что имеется какая-то траектория электрона в атоме, то на всей ее длине уложится только одна дебройлевская длина волны. Ясно, что при таком условии вообще нельзя говорить о какой-либо траектории: дифракционные явления должны полностью смазать ее. Картина такова, как если бы рассматривался волновой пакет размером в одну длину волны. Амплитуда волны была бы отлична от нуля во всех точках пакета, и никакую кривую, проведенную внутри области пакета, нельзя было бы сопоставить с воображаемой траекторией частицы или линией светового луча. Такой пакет можно описывать только в рамках волновых представлений, если интересоваться движением частицы внутри него. (Разумеется, это не относится к движению всего пакета в пространстве как целого!)

Итак, мы видим, что движение электрона в атоме — существенно волновое явление. Понятие траектории утрачивает смысл.

Вместе с тем следует помнить, что электрон не лишается при квантовом описании своих свойств частицы и не становится волной в том наглядном представлении, к которому мы привыкли. Никогда, например, не наблюдается часть электрона. Если второй экран, на котором возникает дифракционная картина, заменен фотопластинкой, то в месте попадания каждого электрона получается одна точка почернения. Только расположение всех точек почернения в целом характерно для дифракционной картины. Таким образом, правильнее говорить не что электрон становится волной, а что законы движения в микромире имеют волновой характер.

В то же время дифракция была бы совершенно невозможна, если бы в прохождении одного и того же электрона реально не участвовали все атомы кристалла. Траектории электрона в таком виде, какой она имеет у всех привычных нам макрочастиц, у электрона в дифракционном опыте не существует. Что именно имеет в этом случае волновой характер, будет показано дальше. Во всяком случае, ни в каком опыте, проявляющем воичновые свойства движения, не наблюдается деление заряда или массы электрона.

Не следует думать, что электрон все-таки обладает какой-то траекторией, но мы пока не в состоянии наблюдать ее из-за несовершенства технических средств или по неполноте физических знаний. На самом деле дифракционные явления доказывают, что электрон

достоверно не имеет траектории, так же как дифрагирующий свет не распространяется отдельными лучами. В дифракционном опыте свет проходит через оба отверстия, что несовместимо с понятием единого луча. В таком же смысле нет никакой траектории электрона в атоме: это твердо установленный факт, который уже не может быть отвергнут дальнейшим развитием физики.

Статистическая закономерность и индивидуальный опыт. Отсутствие траектории отнюдь не означает, что исчезает всякая закономерность в движении электрона. Наоборот, одинаковые дифракционные опыты, поставленные, конечно, с достаточно большим числом электронов, имеющих равные скорости, всегда дают одинаковые дифракционные картины. Поэтому причинная закономерность движения несомненна, но она имеет статистический характер, проявляясь в очень большом числе отдельных опытов, так как каждое прохождение электрона через кристалл можно рассматривать как однократный, независимый опыт.

Дифракционные явления приводят к закономерному расположению точек на фотопластинке, так же как при большом числе выстрелов по мишени на ней воспроизводится закон рассеяния попаданий. Только в отличие от попаданий пуль, летящих по траекториям и дающих поэтому гладкую кривую распределения пораженных мест на мишени, электроны на фотопластинке оставляют почернения более прихотливым образом, характерным для волнового движения. Разброс попаданий пуль обусловлен невоспроизводимостью строго одинаковых начальных условий при выстреле и становится меньшим при лучшей прицельности стрельбы, а разброс электронов представляет вполне закономерную дифракционную картину и при данной скорости электронов никак не может быть уменьшен.

Заметим еще, что статистическая закономерность в дифракционном опыте не имеет никакого отношения к тем статистическим закономерностям, которые управляют движением большого коллектива взаимодействующих частиц. Как неоднократно повторялось, одна и та же картина получается совершенно независимо от того, как проходят электроны через кристалл: все сразу или по одному. Некоторая фаза, управляющая движением, существует только потому, что каждый электрон интерферирует сам с собой. Разумеется, квантовые законы движения сказываются и на поведении больших совокупностей частиц, влияя на присущие коллективам статистические закономерности, но в отличие от классических законов движения они ле утрачивают вероятностного характера и при переходе к отдельным электронам.

Принцип неопределенности. Остается еще подробнее разобрать вопрос, в каких случаях понятие траектории Микрочастицы сохраняет свой смысл. В камере Вильсона, в катодном осциллографе и во многих других приборах траектория частиц прекрасно предвычисляется по законам классической механики и наблюдается. В камере Вильсона вдоль линии движения электрона остается туманный след.

Прежде всего вспомним, что и свет в известных условиях распространяется по определенным траекториям ——лучам. Геометрическая оптика применима тогда, когда неточность задания волнового вектора А^х, подчиненная неравенству:

А 力之 2п,(22.3)

мала по сравнению с kx (см. 19.9). Подставляя А力％ из уравнения (22.1), получаем аналогичное неравенство для микрочастицы, например электрона:

Дрх • А% 后 2лЛ・(22.4)

Это неравенство называется соотношением неопределенности квантовой механики.

Если для〈А亀〉〈А%〉 берется оценка (19.6‘), вместо (22.4) получается аналогичное неравенство:

(224)

Понятие траектории электрона имеет смысл, если величина неопределенности всех трех составляющих его импульса мала по сравнению с самим импульсом:

Ар*Р%， 、Ру《^Ру、 ^Рг*^ Pz*(22.5)

Заметим, что мы все время говорим «электрон» только для конкретности. Имеется в виду любая микрочастица.

Нетрудно убедиться, почему соотношения неопределенности никак не мешают электронам иметь нужные траектории, например, в кинескопе телевизора. Примем для оценки, что элемент изображения имеет размер около 0,1 см. Тогда согласно (22.4') неопределенность поперечной составляющей импульса составит 10-26 г • см/сек. Так как скорость электрона при этом примерно 1010 см/сек, его импульс приблизительно равен 10-17. Следовательно, неопределенность в угле, задающем направление импульса, порядка 10-9. Поэтому неточность попадания электронного луча на экран не превышает 10-7 см. Таким образом, имеется «запас» в 10-1/10~7, т. е. в миллион раз.

Это согласуется с выводом, сделанным для атома, где такого «запаса» нет. Размер атома в 107 раз меньше, так что Ар 〜10-19, и сам импульс электрона в атоме при скорости 2 • 108 тоже порядка Ю"19, т. е. Ар и р совпадают по порядку величины и никакой траектории электрона в атоме не может быть.

Таким образом, квантовая механика не отменяет классическую, а включает ее как предельный случай, подобно тому как волновая оптика включает предельный случай геометрической оптики световых лучей. При этом квантовая механика оперирует с теми же величинами, что и классическая: энергией, импульсом, координатами, моментом и т. д. Но конечность кванта действия h налагает ограничения на применимость каких-либо двух классических понятий (например, координаты и импульса) для одного и того же состояния движения.

Импульс и координата частицы не могут иметь одновременно точных значений потому, что ее движение по существу волновое. Пытаться определить эти точные значения в той же мере бессмысленно, как искать точные траектории световых лучей в волновой оптике. Так же как в результате усовершенствования оптических приборов световые лучи не приобретут точного смысла, любой прогресс измерительной техники в применении к электрону не позволит определить его траекторию точнее, чем указывается соотношениями (22.4) или (22.4'). Само понятие траектории, как мы видели, имеет столь же приближенный смысл, как и понятие светового луча.

Соотношения неопределенности иногда пытаются толковать ошибочным образом. Считают, что траектория не может быть определена потому, что точность начальных условий не превосходит Ар* и А%, связанных соотношением (22.4). Это значило бы, что истинная траектория где-то все же проходит, но лежит в более или менее узкой области пространства и в ограниченном интервале импульсов.《Истинная》траектория уподобляется той воображаемой траектории, которая проводится от орудия к мишени до выстрела. Где пролетит снаряд в действительности, заранее неизвестно хотя бы потому, что нельзя приготовить строго одинаковые пороховые заряды. Но эта неточность в начальных условиях для снаряда приводит только к возможности построения гладкой кривой рассеяния попадания по мишени. Между тем распределение электронов следует законам дифракции волн: имеются места минимумов и максимумов, которые никак не могут быть связаны с неточным знанием начальных условий. Дифракция указывает, что никакой «истинной», но нам «неизвестной» траектории не существует.

Соотношения неопределенности показывают не то, с какой ошибкой могут быть измерены те или иные величины одновременно, а насколько вообще имеют точный смысл соответствующие величины в квантовом движении. В этом сущность принципа неопределенности квантовой механики. Термин «неопределенность» подчеркивает, что речь идет не о случайных ошибках измерения или о несовершенстве физических приборов, а о том, что импульс и координата действительно не имеют физического смысла для одного и того же состояния микрочастицы.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Волновое уравнение. Явление дифракции происходит потому, что складываются амплитуды волн. Там, где фазы волн совпадают, интенсивность, пропорциональная квадрату результирующей амплитуды, максимальна; там, где фазы противоположны, интенсивность минимальна. При дифракции электронов величина, аналогичная интенсивности, измеряется почернением пластинки, Т・ е. числом электронов, попавших на единицу площади. Чередование максимумов и минимумов и их относительное расположение

при дифракции электронов следуют тому же закону, что и при дифракции рентгеновых лучей. Чтобы объяснить дифракцию электронов, необходимо допустить, что с их движением, так же как с распространением волн, может быть сопоставлена какая-то волновая функция, поведение которой определяет дифракционную картину.

Физически наблюдаемой величиной является почернение пластинки, т. е. число электронов, попадающих на единицу площади. Так же как при попадании снарядов число поражений пропорцио- нально вероятности поражения в данном квадрате, плотность попадания электронов на фотопластинку находится в прямой пропор* циональной зависимости от вероятности их нахождения вблизи данной точки пластинки. Каждое попадание электрона надо рассматривать как тождественный опыт, результат которого заранее не предопределен и должен предсказываться вероятностным образом: надо указать соотношение между плотностью вероятности и волновой функцией движения электрона.

Здесь весьма полезна аналогия с дифракцией электромагнитной волны. Вызванное волной почернение пластинки пропорционально квадрату амплитуды волны, поэтому можно ожидать, что вероятность нахождения электрона в некоторой точке пропорциональна квадрату волновой функции. Так как наблюдается плотность вероятности, а не волновая функция, последнюю надо в общем случае считать комплексной величиной, от которой следует брать квадрат модуля, чтобы перейти к плотности вероятности. Дальше мы увидим, что действительная волновая функция может отвечать далеко не всякому состоянию.

Вероятность dw нахождения электрона (вообще частицы) в элементе объема dV будем считать связанной с волновой функцией 屮 следующим соотношением:

dw = \^ (х, у, г, t)\dV. (23.1)

Волновая функция гр зависит от координат и от времени, квадрат ее модуля есть плотность вероятности.

Линейность волнового уравнения. Подобно тому как в электродинамике по уравнениям Максвелла изучаются законы распространения самой волны, а интенсивности находятся путем возведения в квадрат ее амплитуды, так и в квантовой механике следует найти уравнение, управляющее величной гр, а не плотностью вероятности. Чтобы это уравнение отвечало тому сходству дифракционных картин, какое наблюдается для электронов и электромагнитных волн, оно, как и уравнения Максвелла, непременно должно быть линейным.

Действительно, чтобы амплитуды волн могли взаимно гаситься, они должны складываться в каждой точке пространства. Но чтобы сумма двух решений уравнения снова ему удовлетворяла, т. е, тоже была его решением, уравнение обязательно должно быть линейным. Поэтому уравнение, которому подчиняется волновая функция, линейное. Из такого уравнения может быть определена база 260

волны, не зная которую невозможно построить дифракционную картину.

Таким образом, получается один из важнейших принципов квантовой механики: сумма двух решений волнового уравнения сама является его решением. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения). Вместе с принципом неопределенности, задающим условие перехода квантовых уравнений в классические уравнения движения, принцип суперпозиции позволяет прийти к основному уравнению квантовой механики.

Удобно сначала написать не само уравнение, а его решение, т. е. волновую функцию, применительно к свободной частице. Такая частица обладает строго определенным и постоянным импульсом р. Согласно соотношению де Бройля (22.1) этот импульс отвечает волновому вектору некоторой волны Л = у .Действительно, если направить на кристалл электроны с импульсом р, они дадут такую же дифракционную картину, как волна с волновым вектором "=£. Следовательно, волновая функция свободной частицы зависит от координат следующим образом:

屮〜eikr = /九.

Она записана в комплексном виде потому, что может измеряться только квадрат ее модуля, а не она сама. Из физических соображений нельзя потребовать, чтобы волновая функция была действительной.

Зависимость волновой функции от времени определяется тоже легко, если вспомнить, что частота волны в таком же смысле отвечает энергии частицы, как волновой вектор — импульсу. В § 21 было показано, что коэффициент пропорциональности между со и £ должен быть тем же, что и между Е и 〃. Поэтому

①号(23.2)

Отсюда получаем выражение для волновой функции свободной частицы:一跑丄也

审—心仆询=е(23.3)

Групповая скорость волн равна:

z ==(23.4)

Таким образом, она совпадает со скоростью частиц, как и должно быть согласно § 21.

Но теперь видно, что волновая функция (23.3) очень просто связана с действием свободной частицы:

в этом случае(23.6)в этом случае(23.6)где S — действие частицы. В самом деле, действие

в этом случае

(23.6)

в этом случае

(23.6)

S = — Et + ргS = — Et + ргравно:

S = — Et + рг

S = — Et + рг

в согласии с тем, что

dS口 dS

P=斤三VS,e=一方,

как это и должно быть по уравнениям § 21, устанавливающим аналогию между механикой и оптикой.

Формула (23.5) подтверждает полученное в том же параграфе соотношение между фазой волны и действием частицы.

Волновое уравнение для свободной частицы. Составим теперь волновое уравнение для найденной только что 巾ункции 屮.Естественно, что вид этого уравнения связан с тем, как Е выражается через р, или, что тоже самое,(о через к. Например, в оптике, где(о2 = Л2, волновое уравнение должно писаться как a屮一^翳=0.

Оно релятивистски инвариантно. Наша цель — получить в первую очередь уравнение нерелятивистской механики, в которой * =舞.Как мы знаем, аналогия между оптикой и механикой вовсе не требует, чтобы уравнения последней были записаны релятивистски инвариантно. Смысл аналогии состоит в соответствии величин.

Этого достаточно, чтобы найти уравнение для волновой функции (23.3). Имеем:

• 患=一罕也(23.7)

(23.8)(23.8)

(23.8)

(23.8)

Из (23.7) и (23.8) получаем:

謬+諾+鋼屮，В，

т. е. нерелятивистское уравнение для волновой функции 屮.Через оператор Лапласа оно выражается так:

一2需=一壯曲.(23.10)

I dt 2m т/

Уравнение (23.9) справедливо благодаря тому, что Е = ^

Уравнение Шредингера. Обобщим уравнение (23.10) на случай частицы, движущейся во внешнем потенциальном поле U (г). Чтобы иметь соотношение E^^-^-U, аналогичное £ =舞 для свободной частицы, надо положить

工=一(23.11)

Это уравнение получил в 1925 г. Э. Шредингер, обобщая соотношения де Бройля на случай связанных электронов.

Уравнение (23.11) непосредственно следует из (23.10) для простейшего случая U = const, потому что тогда оно удовлетворяется той же подстановкой (23.3), но для значения импульса р = = ]/ 2m (Е —— U). Отсюда уже один шаг до обобщения на случай переменной потенциальной энергии.

Но это обобщение ни в коем случае нельзя рассматривать как «вывод» уравнения квантовой механики из каких-либо принципов или уравнений доквантовой, классической физики. Уравнение Шредингера содержит в себе новый физический закон.

Правдоподобность уравнения (23.11) видна при предельном переходе к классической физике, подобном переходу от волновой оптики к геометрической.

Будем считать, что в равенстве (23.5) стоит действие не свободной частицы, а частицы, движущейся в поле U (г), и найдем, в каком приближении будет удовлетворяться уравнение Шредингера (23.11), если подставить в него выражение волновой функции через действие.

Определяем значения производных волновой функции:

0"_0 ЭГ — dt0"_0 ЭГ — dti~ г dSё厶=彳订‘屮，i~ г dSё厶=彳订‘屮，

0"_0 ЭГ — dt

0"_0 ЭГ — dt

i~ г dS

ё厶=彳订‘屮，

i~ г dS

ё厶=彳订‘屮，

0屮 @ j i dS

孕屮 / 02s1万2 =戸狐^"—必孕屮 / 02s1万2 =戸狐^"—必

孕屮 / 02s1

万2 =戸狐^"—必

孕屮 / 02s1

万2 =戸狐^"—必

Подставим их в уравнение (23.11) и сократим наЛ~°2. Тогда останется следующее уравнение для функции S:

_ 窜=歳[(Й)2 + 儔У + (II)2] _ AS + и. (23.12)

dS (VS)2dS (VS)2Предельный переход к классической механике проще всего произвести, полагая, что квант действия h стремится к нулю. Это аналогично утверждению, что все классические величины, характеризующие движение, велики по сравнению с h. Тогда из (23.12) получится:

dS (VS)2

dS (VS)2

(23.13)

т. е. уравнение Гамильтона — Якоби.

Произведенный здесь предельный переход почти полностью повторяет переход от волновой оптики к геометрической, который был выполнен в § 21. Действительно, если положить 九=0, то это равносильно обращению в нуль дебройлевской длины волны, что соответствует переходу от волн к траекториям.

Итак, волновое уравнение Шредингера действительно дает правильный предельный переход. Оно как бы является четвертым членом в таком соответствии:

геометрическая оптика -> классическая механика

волновая оптика -> |квантовая механика]

Вертикальные стрелки указывают на переход от лучей или траекторий к волновым картинам, а горизонтальные — от волн к частицам. Последнее относится только к неквантованным уравнениям электромагнитного поля, так как при их квантовании возникает необходимость в корпускулярных представлениях о световых квантах. Здесь рассматривается аналогия квантовой механики с классической волновой оптикой.

Области применения различных теорий. Области применения квантовой механики и волновой оптики не перекрываются, строго говоря, нигде: в волновой оптике, или, что то же самое, в электродинамике, считается конечной скорость света с, но сколь угодно малым квант действия h. В нерелятивистской квантовой механике скорость с считается сколь угодно большой, a h имеет конечную величину. Квантовая теория электромагнитного поля, в которой и с, и 力 имеют конечные величины (т. е. масштабы скоростей частиц сравнимы с с, а величины размерности их действия ——с Л), в настоящее время тоже во многом завершена. По крайней мере любая конкретная задача, требующая применения квантовой электродинамики, может быть однозначно и с любой точностью решена, причем результаты полностью согласуются с опытом.

Нерелятивистская, т. е. построенная на соотношении £ =舞 + + U, квантовая механика является в своей области применения такой же законченной теорией, как ньютоновская механика. Так же как и уравнения ньютоновской механики, волновое уравнение (23.11) справедливо только при скоростях частиц, достаточно малых по сравнению со скоростью света. Но зато в области своей применимости оно установлено столь же окончательно, как законы движения Ньютона для макроскопических тел.

Квантовая механика в своей области применения продолжает, конечно, совершенствовать методы подхода к различным конкретным проблемам. Основой для этого совершенствования является правильность ее общих положений. В этом же смысле продолжает и по сей день развиваться и ньютоновская механика.

Условие нормировки волновой функции. Вернемся к волновому уравнению (23.11). Напишем его для волновой функции^ и для сопряженной функции ip*, в уравнении для которой надо заменить i на — i:

—^家=-^а屮+ u屮，

Умножим первое уравнение на 仪,а второе — на гр и вычтем второе из первого. Член 屮* U屮 сократится, а остальные члены дадут:

嚼中笔=一^伸*拆一屮加吁 (23/4)

Левая часть последнего равенства преобразуется к виду:

Правую часть напишем несколько подробнее так:

—^ (гр* Агр —屮 Агр*) = — ^ 仲*div grad 屮一屮 div grad 屮*)==—^ div 仲*Vip —屮V“*)

(cm. (11.27)). Окончательно представим полученное равенство в следующем виде:

爲 I 屮仔=一 m 儔(屮* W)一 W*)}.(23.15)

Левая часть (23.15) есть производная по времени от плотности вероятности нахождения частицы вблизи некоторой точки простран二 ства. Проинтегрируем (23.15) по всему объему, в котором может находиться частица. Если этот объем имеет конечные размеры, то за его пределами^ и 屮* должны обращаться в нуль. Но тогда по теореме Гаусса ——Остроградского правая часть (23.15), преобразованная в интеграл по поверхности, находящейся за пределами объема, обращается в нуль:

^ \ 2”и = 0・(23.16)

Следовательно, сам интеграл от времени не зависит. Если он сходится, как этого следует ожидать при интегрировании по конечному объему, то ему можно придать простой физический смысл, а именно: он должен быть равен вероятности нахождения электрона или вообще частицы где-либо внутри объема, где он обязательно ^находится. Такая вероятность равна достоверности, т. е. единице. Итак,

\|W2dV = i.(23.17)

Это равенство называется условием нормировки волновой функции.

Если движение инфинитно, интеграл, входящий в (23.17), расходится. В этом случае можно либо изменить условие нормировки (см. § 25), либо нормировать вероятность на большой, но конечный объем и затем устремлять его к бесконечности. Физические результаты от этого, конечно, не меняются.

Если проинтегрировать (23.15) по произвольному объему, по

лучим:

鳥、1屮［2 du=_ 、 div {爲停* V”_/屮 *)}dV = =一 、爲仲*^一/屮*)派(23.18)

Слева стоит изменение вероятности нахождения электрона внутри данного объема, а справа — поток вероятности через поверхность, которая ограничивает объем. Отсюда ясно, что плотность потока вероятности согласно (23.18) равна:

(23.19)(23.19)

(23.19)

(23.19)

Следовательно, действительная волновая функция дает J = О и не описывает тока электронов. Поэтому общее определение волновой функции с необходимостью должно включать комплексные величины.

Уравнение для стационарных состояний. Допустим, что потенциальная энергия не зависит от времени явно. Тогда в классической механике, как известно, выполняется закон сохранения энергии системы. Действие такой системы содержит слагаемое ——£7. Но так как в классическом пределе 屮=е 3 будем и в общем случае искать 屮 пропорциональным е ":

屮=}'石业(%, У, z). (23.20)

Подставляя это выражение в (23.11) и опуская нуль в индексе, получим уравнение:

一^а屮 +0巾=e取(23.21)

В этом уравнении надо рассматривать энергию Е как некоторую постоянную величину. Если нас интересуют при этом состояния, отвечающие финитному движению, то вероятность нахождения частицы на бесконечно большом расстоянии от той области, где 屮 отлична от нуля, должна быть бесконечно малой. Анализ конкретных примеров показывает, что последнее осуществляется не при всех значениях энергии Е, а только при некоторых, принадлежащих дискретной, ограниченной совокупности.

Например, если U (оо) = 0, то при отрицательных значениях Е будут получаться два значения функции 屮〜^ ^ . Одно из них экспоненциально возрастает при г ~> оо и никаким способом не может быть нормировано, потому что е~~^~ на бесконечно большом расстоянии от начала координат сколь угодно велика. Есть, однако, избранные значения £, при которых коэффициент 266

перед экспоненциально нарастающим решением обращается в нуль. Следовательно, при финитном движении возможны не произвольные отрицательные значения энергии, а только некоторые определенные Е. Их совокупность называется спектром энергии системы.

Состояние системы, отвечающее такому значению энергии, называется стационарным, а сама величина энергии ——ее собственным значением. В общем случае всякое значение энергии в уравнении (23.21), которому отвечает волновая функция, удовлетворяющая определенным граничным условиям, называется собственным значением энергии. Выбор граничных условий связан с тем, какое движение изучается.

Таким образом, оказывается, что в отличие от энергии в классической механике энергия в квантовой механике не может быть за* дана произвольно.

§ 24. ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Собственные значения импульса. Мы определили, что такое собственные значения энергии из волнового уравнения (23.21), о чем было сказано в конце предыдущего параграфа. Но весьма важно находить собственные значения других величин: импульса, момента и т. д. Чтобы найти соответствующие уравнения, удобно исходить из вида 屮 в предельном переходе к классической механике:s

屮=е 3(24.1)

подобно тому как это было сделано при выводе уравнения (23.21). Применим к обеим частям равенства(24.1) операцию-^-^, т. е. возь- h

мем частную производную по % и умножим на у：

Л0"Л0"dS idS ii дх — дхi дх — дх(24.2)(24.2)

Л0"

Л0"

dS i

dS i

i дх — дх

i дх — дх

(24.2)

(24.2)

Но в классическом пределе S переходит в действие частицы, а 凉一в составляющую импульса рх (см. (10.24)). Поэтому уравнение для собственных значений импульса, дающее правильный предельный переход к классической механике, имеет следующий вид: 论执I

T詼=厶取 (24・3)

где рх — собственное значение проекции импульса на ось %.

Операторы импульса и энергии. Сопоставим уравнение (24.3) с волновым уравнением для собственных значений энергии (23.21):

^2 [(т j + (т К j + G 工)1 屮 + Up =七陋(24・4)

Здесь символ (狐) означает вторую производную, которую затем надо применить к 屮.

Для нахождения собственных значений энергии и импульса надо в левых частях уравнений (23.21) и (24.3) произвести определенную совокупность дифференциальных операций и умножений на функции координат. Но легко видеть, что эти совокупности связаны между собой весьма любопытным образом. Назовем оператором импульса, оdu h

примененным к волновом функции, символ 狐,умноженный на у. Вместо ^鳥 символически пишем рх.Тогда уравнение (24.3) надо будет переписать так:

良屮=直冲.(24.5)

Это уравнение означает буквально то же самое, что и (24.3), но символическое обозначение рх должно подчеркивать, что соответствующая операция применяется для нахождения собственных значений импульса.

Операцию в левой части (24.4) (тоже символически) обозначим Н. Мы пишем Н, а не £, потому что энергия предполагается выраженной через импульс, подобно гамильтоновой функции Н. Тогда (24.4) в более короткой записи выглядит так:

方ф = Е屮.(24.6)

Сравнивая теперь (24.4) и (24.3), видим, что операторы энергии и импульса связаны теми же соотношениями, как и соответствующие величины:.1 а а а а

"=^期 + % + 叫 + u・(24.7)

Мы написали &, а не просто U, чтобы подчеркнуть, что в этом равенстве выражение U понимается не как самостоятельная величина, а как оператор, действующий на©, т. е. оператор умножения U (г) на©. Равенство (24.7) символическое: подр аз умев ается, что обе его части применены к

Польза сокращенных операторных обозначений в квантовой механике состоит в том, что уравнения становятся от этого более выразительными. В операторной записи, например, лучше всего видна связь между квантовыми законами движения и классическими, которые являются предельными по отношению к квантовым.

Если в классических уравнениях, связывающих механические величины, заменить импульсы их операторами, то получатся правильные операторные соотношения квантовой механики. Предельный переход к классической механике восстанавливает обычные соотношения между величинами. Действительно, в предельном переходе 人 h

оператор р = у Vi|)даст〃屮.Если надо совершить предельный переход для р2, то следуем дифференцировать каждый раз только

экспоненту, потому что при этом квант действия оказывается в знаменателе. При /г ~> 0 останутся только члены с наибольшей степенью Л в знаменателе, а как раз они и получаются при замене оператора 方 на величину VS, т. е. на классический вектор импульса.

Но предельным переходом не исчерпываются все преимущества операторной символики в квантовой теории. Лучше всего они будут видны из дальнейшего изложения.

Оператор проекции момента. Теперь легко определить оператор проекции момента 此.Из § 5 известно, что момент Мг есть в то же время обобщенный импульс, отвечающий, как обобщенной координате, углу поворота вокруг оси г: Мг = рг Тогда согласно (10.24)

(24・8)

Поэтому ясно, что в квантовой механике оператор р, должен иметь вид:

(24・9)

Но проекция Мг согласно классической механике связана с декартовыми проекциями импульса так:

(24.10)(24.10)Mz = xpy-ypx，

(24.10)

(24.10)

Следовательно, должно существовать операторное соотношение:

59=血7 = ±6厂诟х = ^(X ^ - у^.(24.11)

Проверим, что определения (24.9) и (24.11) действительно совпадают. Перейдем к цилиндрическим координатам:

у =厂 sin ф.у =厂 sin ф.% = rcosq).

у =厂 sin ф.

у =厂 sin ф.

Эх — dr ЭхЭх — dr Эх生十即dх '生十即dх 'Отсюда имеем:

Эх — dr Эх

Эх — dr Эх

生

十即dх '

生

十即dх '

d屮一d"力丄02d屮ду — dr ду д^> ду

Выражая цилиндрические координаты через декартовы, запишем:

dr

/ =

X

dr

У =

>炉+歹

：sin 中,

4)= arctg&

у — sin ф

d(p

COS(P

дх

%2+疗一f ,

而=

%2+外亠

Г .

Подставляя все эти выражения в равенство (24.11), убеждаемся, что оно тождественно по смыслу с равенством (24.9):

弘嚼一缴=計Гcos 时n權+学嘉)-

—г sin(Р(cos 曬一乎記］=? (cos2 屮 + sin?屮)窑=?鄒

Аналогично (24.10) можно определить и остальные две проекции момента, но, прежде чем делать это, надо выяснить, какие величины могут существовать одновременно в одном и том же физическом со- стоянии системы. В §22 мы видели, что, например, координата и соот- ветствующая ей проекция импульса одновременно не существуют. Получим теперь общий критерий, выраженный через операторы соответствующих величин.

Одновременное существование двух фи* зических величин. Допустим, что в некотором состоянии, описываемом волновой функцией 屮，существуют одновременно две физические величины 九 и у. Найдем необходимое для этого условие.

Если в некотором состоянии можно определить физическую ве・ личину 九,то волновая функция этого состояния должна быть собственной функцией оператора 倉 Если же в том же состоянии определена и величина v, то одна и та же функция 屮 удовлетворяет двум уравнениям:加=悔，(24.12)

у“ = уф.(24.13)

Иначе говорят, что функция 屮 является собственной функцией как оператора 1, так и оператора G. Применим теперь оператор v к (24.12), помня, что в правой части этого уравнения стоит просто величина 九,а не оператор, и аналогичным образом применим оператор 分 к (24.13). Тогда получится:

у 久“)=уА屮=Xvip = Xvtp,(24.14а)

沃屮=近巾=у久屮=vXxp.(24.146)

Вычтем теперь (24.146) из (24.14а):

V Х-ф — lv-ф =入 у” 一山九屮=0.

Так как в правой части стоят просто произведения чисел, они сокращаются, и мы приходим к требуемому условию:

V Хгр = Xvip.(24.15)

Символически равенство (24.15) можно записать как равенство между операторами:

Л 人Л 人人人人 人

=vX — Xv = 0.(24.16)

Это символическое равенство означает, что результат последовательного применения операторов ^ и i не должен зависеть от порядка их действия. В противном случае уравнения (24.12) и (24.13) не могут иметь общей собственной функции^, т. е. общего решения.

Здесь доказана необходимость условия (24.16) того, чтобы величины 九 и у могли существовать в одном и том же состоянии системы, которому отвечает волновая функция гр. Можно доказать и достаточность этого условия, чего мы, однако, делать не будем.

Перестановки некоторых операторов. Применим теперь полученный вывод к двум величинам, заведомо не существующим в одном и том же состоянии, — координате % и импульсу Рх・ Надо вычислить перестановку рхх — хрх.

Переходя от символической записи к обычной, получим:

h д . h д , h . . h 九吋 A ,

Возвращаясь к символической записи, представим найденный результат так:

Ст —如 х = ^・(24.17)

Таким образом, результат действия операторов рх и х зависит от порядка их применения, рхих ——неперестановочны. Так и должно быть, потому что рх и х одновременно не имеют физического смысла.

Собственная функция оператора % удовлетворяет уравнению (х — %')屮=0. Следовательно, она равна нулю везде, где координата % не равна выбранному собственному значению £. Эта функция отличается от нуля только в одной точке % = %'. Собственная функция оператора импульса, которая удовлетворяет уравнению (24.3),

есть е fl ; она отлична от нуля во всем пространстве. Этот пример показывает, как сильно различаются собственные функции неперестановочных операторов. Сокращенная запись (24.17) есть удобное представление предыдущей формулы, в которой оператор импульса выражен в явном виде, через производную. В дальнейшем мы будем писать перестановочные соотношения исключительно через операторы, так как символическая запись короче и гораздо нагляднее: видно, какие величины стоят за операторами.

Различные составляющие импульса перестановочны между собой:

РхРу РуРх = 0・(24.18)

(Слово «операторы» в дальнейшем часто будет опускаться как само собой разумеющееся в применении к перестановкам). Перестановка (24.18) просто следует из того, что результат применения двух частных производных не зависит от порядка их действия. Так же очевидно, что

рух — хру = 0.(24.19)

В тензорной записи все эти перестановки выглядят так:

Мв - 2命а = у Зав，(24.20)

РаРр-РрРа = 0,(24.21)

хахр — ^病=0.(24,22)

Вычислим теперь перестановку двух составляющих момента. Найдем Мх и Му:

Мх = ург -沥》Му = 2 応一хр2.

Сгруппируем члены так, чтобы не нарушать порядка одноименных координат и импульсов:

МхМу 一 МуМх =(汴Z —方力(汕一泣)一(泣 一 xp2)(ypz-zpy).

Воспользуемся перестановкой ргг -гр2 = ^-. Тогда получим искомый результат:

А 人人 人Л. Л. А А人人АЛ АЛЛ. А

Мхму — МуМх = Урх (厶2 —部z) — Xpy (厶2 — Z"z)=

=у(^Px—xpy)=ihMz.(24.23)

Перемещая значки х, у и г циклически, получим остальные перестановки:МуМ2- MzMy == ihMx,(24.23)

МгМх — MXMZ = ihMy.(24・23〃)

Все три формулы перестановок легко запомнить, если записать их в сокращенном векторном виде:

［ММ\ = ihNL(24.24)

Раскрывая это равенство по составляющим, придем опять к выражениям (24.23) — (24.23〃).

Отметим, что векторное произведение оператора самого на себя может и не равняться нулю, если операторные составляющие вектора неперестановочны (но, например,［方户］=0).

Квадрат момента. Рассмотрим другие свойства момента. Покажем, что хотя двух проекций момента одновременно быть не может, но зато существует вместе с одной проекцией момента его квад- раТ：М2 = М^ + М^ + Ml(24.25)

Проверим это:

М2М, 一 М.М2 = MJM, 一 М2М^ + М1Мг 一 屈也，

потому что Mz и Mzt конечно, переставляются. Прибавим к правой части последнего равенства и вычтем из нее комбинации MXMZMX и МуМгМу, затем вынесем Мх и Му за скобки один раз справа, а другой раз — слева. Тогда получим:

М2Мг 一 М.М2 = Мх (МХМ2 一 府「府%) + (МхМг 一 MZM^ Mx ++ My(MyMz- мгму)+ (府/iz — Мгму)му =

^ — ih (МХМУ + МУМХ 一 МУМХ 一 МХМУ) = 0.(24.26)

При этом были использованы правила перестановки между отдельными составляющими момента.

Для дальнейших применений необходимо преобразовать оператор квадрата момента к сферическим координатам. Для этого полезно сначала перейти к тензорной записи. Для отдельной составляющей имеем:

Ма = Еаб/вРу,(24.27)

откуда оператор квадрата момента равен:

Воспользуемся тем, что £аву£аЗп = 6p^6Yn — 6pn6Y^ что доказывается сравнением с векторным равенством [АВ} [CD]==(AC) (BD)一 (AD) (ВС). Тогда М2 можно будет переписать:

М2 = х^рух^ру 一 х^рухур^

В результате некоторых перестановок по правилам (24.20)— (24.22) приведем правую часть полученного выражения к такому виду:

府2 = Т Х^^Р^ + £с成 Y ЗаЗ%аРь ^ Ха"а —人 人人 人九 人 人Л Л

一 UaPa)2 =尤曲一7 %Pa — “a"/.

Но выражение xapa есть не что иное, как Л (rV), что в сферических

h д и人 2

координатах переписывается просто как у 厂赤• Кроме того, р^ = =—Л2А. Подставим теперь лапласиан, записанный в сферических координатах, согласно (11.46). Тогда видим, что квадрат момента выражается просто через угловую часть лапласиана:

加 =一公Г2伐^戸^ + 鳥帀鳥sin今詣+后鳥鍋+

+ 九2r !:+胪，^r^ = _/i2(焉房se6^ +鳥泰) (24.28)

Собственные функции квадрата момента и проекции момента. Найдем теперь собственную функцию квадрата момента, т. е. решение уравнения:

№ 屮= М2“(24.29)

Для этого исходим из хорошо известного нам равенства:

Ду-0.(24.30)

Возьмем / произвольных постоянных векторов аъ 做,…，。厶...» az и образуем следующий ряд операторов: (^V), (а^\..., («/V), (a/V). Так как векторы постоянные, любой из написанных операто-

ров перестановочен с лапласианом. Напишем поэтому (24.30) после применения всех операторов в следующем виде:

A ®R) (5 …QV)…(。戸)；=0・(24.31)

Выразим лапласиан в сферических координатах и воспользуемся выражением (24.28):

А = 尸 —碧.(24.32)

Г2 дг дг 九2r2'，

Теперь учтем то обстоятельство, что всякое применение оператора (a»V) к 7 повышает степень г в знаменателе на единицу, ав числителе всегда стоит некоторая функция углов. Поэтому результат /-кратного применения оператора QV) к ~ можно представить как

3F)…(a戸)；=/津.(24.33)

Перенесем часть лапласиана, содержащую дифференцирование по г, в правую сторону равенства. Тогда, выполняя это дифференцирование и сокращая на 广«+з), приходим к равенству:

疯2/®,⑺=九2%(/+ 1)〃也 明・(24.34)

Но это равенство совпадает по виду с уравнением для собственных функций оператора М2 (24.29). Следовательно, мы нашли собственную функцию оператора М2 и его собственные значения 九2/(/ 十 + 1)・

То, что квадрат величины равен /г2/ (/ + 1), а не полному квадрату, может вызвать некоторое удивление. Казалось бы, если направить вектор М по какой-либо координатной оси, то собственное значение квадрата должно быть равно квадрату собственного значения проекции (мы вскоре увидим, что она целочисленна). Но на самом деле проекции момента между собой неперестановочны, так что если одна из них принимает некоторое заданное значение, то другие не имеют никаких определенных значений, в частности нулевых. В силу этого квадрат момента выражается сложнее, чем просто квадратом целого числа. Исключение составляет случай, когда все три проекции момента равны нулю, что имеет место при I = 0.

Все ли собственные значения квадрата момента исчерпываются формулой Л!?=九2/ (/ + 1)ПрИ целых значениях /? Если говорить только о пространственном движении частицы с тремя степенями свободы, то других /, кроме целочисленных, не существует. Такой момент называется орбитальным. Этот термин заимствован из старой теории Бора, допускавшей движение частиц по орбитам. В более обгцем случае, когда частица имеет и внутренние степени свободы, типа вращательных, возможны и полуцелые /, но пока мы будем рассматривать только орбитальный момент.

Из формулы (24.33) следует, что результат применения оператора (a»V) к стоящему в ней выражению всегда приводит к появлению скалярных произведений вида (а»г) или постоянных чисел (а^. Все это однозначные функции координат. Но такие однородные функции могут получаться только при целых степенях /. Нецелые сте< пени / в однородной функции означают и нецелые степени координат, т. е. приводят к неоднозначности. Но собственная функция оператора М2 есть амплитуда вероятности того, что частица имеет поляр* ный угол 仆 и азимут 屮 при значении М2 = /г2/ (/ + 1):

dw = \ ^i 也屮)pdQ.

Эта функция должна быть по определению однозначной. Поэтому нецелые значения / для орбитального момента исключены.

Согласно формуле (24.26) оператор квадрата момента перестановочен с оператором любой из его проекций. То же самое видно и из (24.28), если представить квадрат момента в виде

府2 _sin 今(24.35)

Sin 仔sin2 V'7

при помощи (24.9). Так как угол 屮 не входит в явном виде в выражение (24.35),府2 перестановочен с 応.

Но это значит, что в одном и том же состоянии могут существовать и величина M2t и величина рг т. е. состояния с определенными значениями М2 и р屮 могут описываться одной и той же собственной функцией. Собственная функция рф сразу видна из (24,9). Записывая уравнение для собственных значений 夕①，имеем:

0濟=/^ =。屮也(24.36)

откуда

阿о(р

屮= ek.(24.37)

При произвольных векторах а» собственная функция 屮 не соответствует (24.37). Но нетрудно так подобрать эти векторы, чтобы применение операторов QV) приводило собственную функцию к нужному виду. Для этого надо выбрать всего два типа а». Часть из этих векторов, равную Z —財 возьмем как единичные векторы по оси г, остальные k векторов в виде линейной комбинации единичных векторов по осям хну:

а± = пх± iny.

Тогда (tz±V) = ^ ±/^. Результат применения к у опер атора (〃2^) = ^дает 养.Повторное использование того же оператора по отношению к ,§ дает опять в числителе z и единицу, действуя на z,

оставшееся от предыдущего дифференцирования. Применяя опера- д . .д 1

т°Р 灰+ "初 к ^получим:

1 —%+力— sin 9m3

"而)"7 —.

3 sin2 仇2。3 sin2 仇2。儀+廟中儀+廟中3(% + %)2Г53(% + %)2Г5Ясно, что повторное действие того же оператора умножит получившееся выражение еще раз на е^, помимо того, что появятся лишние степени sin 仇 Действительно, дифференцируя предыдущее выражение тем же способом снова, находим:

3 sin2 仇2。

3 sin2 仇2。

儀+廟中

儀+廟中

3(% + %)2

Г5

3(% + %)2

Г5

И Т. Д.

Таким образом, если оператор 殺+力用 применяется k раз, ре

зультат оказывается пропорциональным eik^. Это есть собственная функция оператора 卩屮，если собственное значение рф = hk. Но так как мы нашли, что любая собственная функция М2 отвечает собственному значению 1^1 (Z + 1) при целом /, а дифференцирование ^ + ^ составляетчасть всех дифференцирований вида (〃▽), то убеждаемся, что и k — с необходимостью целое число. Ясно, что оно не может превосходить /. Кроме того, если берется оператор ~ — /^, то собственная функция содержит в показателе — ik^, но опять-таки по абсолютной величине k не превосходит 厶 Следовательно, мы нашли все собственные значения рф = hk\

—hl hl у — / k/« (24.38)

При этом были построены и общие собственные функции оператора квадрата момента и его проекции Mz, Эти функции называются в математике шаровыми, или сферическими. Мы определили их так:

『=й儀(24.39)

Они удовлетворяют одновременно двум уравнениям:

府2yz；" =胪/«+])y±\(24.40)

MzV 产="У 尸=± hkY~\(24.40')

Опыт Штерна и Герлаха. Целочисленность проекций момента подтверждается в прямом опыте. Идея опыта заключается в следующем. Между проекцией орбитального момента и проекцией магнитного момента существует прямая пропорциональная зависимость (см. 17.30):

网=盡m,， (24.41)

Узкий пучок паров исследуемого вещества пропускается между полюсами электромагнита в сильно неоднородном поле. Чтобы соз-

дать такое поле, один из полюсов электромагнита надо сделать клинообразным. Частицы (в опыте Штерна и Герлаха — атомы) вступают в поле параллельно ребру клина, т. е. движутся перпендикулярно плоскости, в которой лежат силовые линии поля. Плоскость симметрии поля проходит через ребро клина и направление движения частиц. Будем считать, что ось г перпендикулярна ребру клина и лежит в плоскости симметрии поля. Если механический момент атомов имеет только дискретные целочисленные проекции на ось г, то и магнитный момент атомов может установиться только несколькими определенными способами соответственно механическому. Отклоняющая сила, действующая в магнитном поле на частицу с магнитным моментом, согласно (17.35) равна:

州）乩=网警^嘉祟.（24.42）

В плоскости симметрии поля Н направлено по г и зависит только от z. Так как момент Mz может иметь только определенный набор значений, отклоняющая сила, которая действует на атомы в пучке, тоже имеет вполне определенное значение для частиц с каждой проекцией момента М2. Как видно из (24.42), сила является кратной от

М дН2

——^. Поэтому частицы пучка испытывают только такие отклонения, которые отвечают возможным значениям силы (24.42). Иными словами, пучок частиц в отклоняющем магнитном поле приобретает рид не сплошного веера, как следовало бы ожидать по классической

теории, а расщепляется на столько отдельных пучков, сколько значений принимает число k.

Число это, как мы только что показали (см. (24.38)), заключено

в пределах от — / до Z, т. е. принимает 21 + 1 значений. На рисунке 2Э представлена картина расщепления для / = 1. Что касается самого числа 厶 то оно в пучке не изменяется и отвечает состоянию летящих атомов с наименьшей возможной энергией. Это состояние связано с определенным квадратом момента (в классической аналогии——«центробежной энергией», как в §5) и при испарении вещества обычно не изменяется. Тепловая энергия испарения недостаточна

для того, чтобы энергетическое состояние атома изменилось, и поэтому все атомы ^етят с одним и тем же значением Z, но со случайным распределением проекции момента k.

Целочисленность k связана с тем, что две проекции момента одновременно не существуют.

Это легко связать с опытом Штерна и Герлаха. Действительно, направление магнитного поля (или ось г) выбрано совершенно произвольно. Все допустимые значения проекции момента на эту ось

равновероятны. Можно было бы измерить проекции момента на некоторую ось в пространстве, а потом пропустить те же пучки через магнитное поле, образующее весьма малый угол с полем, в котором производилось первое измерение. Оба измерения дадут, естественно, только целочисленные проекции. Но один и тот же вектор не может иметь одновременно целочисленные проекции на бесконечно близкие, а в остальном произвольные направления: когда производилось первое измерение, момент имел проекции только на первое направлен ние поля и соответственно при втором измерении ——только на второе направление поля.

Подобно тому как не существуют одновременно координата и импульс, оказывается, что не существуют и две проекции момента в одном и том же состоянии частицы.

УПРАЖНЕНИЯ

1) Найти перестановки:

МхРх,

MXpyf

Mx pz.

府爲，

府£

府2応，

心启，

油户.

2) Доказать, что pxf (х) — f (х) 3% = "^■灰，「де / (х) — функция оператора £.

3) Проверить, что [а (Ьс\]十[S [са]] + [с [ab]] = 0, где прямая скобка — символ перестановки стоящих в ней операторов.

4) Если перестановка двух операторов [ab] есть число, а не оператор, то

人 a a2 a3

где e" = 1 + 彳 + 2! + зГ и 丁 •几 Доказать.

Доказать, что при переходе к сферическим координатам имеют место равенства:

餌三(机 ± iMy)=he^ (謚 ± i ctg 喘).

§ 25. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ВОЛНОВЫМ ФУНКЦИЯМ

Принцип суперпозиции. Одно из самых основных положений квантовой механики состоит в том, что ее уравнения линейны относительно волновой функции 屮.Это положение следует из всей совокупности фактов, подтверждающих правильность квантовой механики, так же как и аналогичное положение в классической электродинамике (см. § 15) тоже является следствием опыта.

Например, явление дифракции электронов показывает, что амплитуды волновой функции складываются таким же простым образом, как амплитуды волн в оптике; дифракционные максимумы 278

и минимумы находятся в одних и тех же местах, определяемых только фазовыми соотношениями, независимо от интенсивности волны. Все это указывает на линейность волновых уравнений; решения не< линейных уравнений обладают иными свойствами.

Сумма двух решений линейного уравнения снова удовлетворяет этому же уравнению. Отсюда следует, что любое решение волнового уравнения можно представить в виде некоторой совокупности стандартных решений, подобно тому как в § 19 бегущая непериодическая волна была представлена совокупностью бегущих гармонических волн.

Утверждение о возможности выражения одних волновых функций через суммы других волновых функций называется принципом суперпозиции (наложения).

Эрмитовость операторов. Обычно волновые функции могут быть выражены при помощи суммы других волновых функций, которые являются собственными функциями известных квантовомеханических операторов. В настоящем параграфе будет показано, как производить такие разложения. Но сначала нужно установить некоторые общие свойства операторов, собственные значения которых суть физические величины, доступные измерению.

Пример измерения физической величины мы уже видели в опыте Штерна и Герлаха. Общее число пучков частиц, получающихся в результате расщепления исходного пучка этих частиц в магнитном поле, задает число /, т. е. квадрат момента, а номер данного отдельного пучка в совокупности 2Z + 1 пучков ——проекцию момента hk на выбранную ось.

Очевидно, что измеряемые собственные значения должны быть действительными величинами, хотя сами операторы могут явно зависеть от г = ]/—1 (см. (24.3) и (24.9)). Рассмотрим уравнение для собственных функций оператора X и другое уравнение, с ним сопряженное:

猿]?=兀ф, (25. la) 仆"* =九*屮*. (25.16)

Надо найти условие, при котором собственные значения X — действительные числа:仆—九.

Для этого умножим (25.1а) на©*, а (25.16) на гр, проинтегрируем по всей области изменения переменных 招 от которых могут зависеть операторы, и вычтем одно из другого. Тогда получится:

\ (巾畸巾-巾赛屮*) dx =(九-九*) \巾*巾d%.

Но интеграл от 屮*2 = I 屮 I2 не может быть равен нулю, так как I 屮 I 2 — существенно положительная величина.

Собственное значение наблюдаемой величины 九 по условию Действительно, т. е.九=九*, поэтому получается соотношение:

\ (屮标屮—屮仆屮*) dx = 0. (25.2)

Равенство (25.2) должно выполняться не только для пары сопряженных собственных функций оператора 兀 т. е.屮 仇，％) и 2* (九，％), но и для любой пары функций %* (х), 2 (%), если эти функции удовлетворяют тем же условиям (конечность, однозначность, непрерывность), как и собственные функции 屮(X, %):

\ (Х*2 -疯*Х*) dx = 0.(25.3)

Необходимость такой расширенной формулировки по сравнению с (25.2) будет разъяснена ниже в этом параграфе. Оператор, для которого выполнено равенство (25.3), называется эрмитовым.

Проверим теперь, были ли операторы, вводившиеся до сих пор, эрмитовыми. Возьмем, например, == у ^, для которого получим: 2л2л2л

i x*xi押лр=t X号*9="*屮?-门？等加.

боо

Здесь положено d* = d(p. Собственные функции оператора Мг были найдены в предыдущем параграфе. Они равны H*w. Такие функции при целом k удовлетворяют условию однозначности^ (ср)— =屮(屮 + 2л), так что функции %* и гр, подставленные в интеграл, тоже должны быть однозначными. Проинтегрированная часть выражения обращается поэтому в нуль при подстановке пределов, откуда следует эрмитовость оператора М^:

2л2л

\ X*府押 d(p= \ W：X*d(p

оо

в согласии с общим требованием (25.3).

В случае М^ надо взять вместо dcp элемент телесного угла dQ. Тогда эрмитовость 府2 доказывается путем двукратного интегрирования по частям: по ср и по 今.Для оператора Гамильтона Й (гамильтониана) dx соответствует dV. Чтобы доказать эрмитовость Я, интегрировать На до с помощью теоремы Гаусса — Остроградского.

Ортогональность собственных функций. Из эрмитовости операторов вытекает важное свойство их собственных функций. Рассмотрим уравнение для двух собственных значений одного и того же оператора 定

Zip 仇，％)=九屮仇，%),(25.4a)

『屮* ®, x)=九纯* (А/, х).(25.46)

Умножим (25.4а) на屮* (九‘，％), а (25. 46) на屮(儿 ％), проинтегрируем по % и вычтем одно из другого:

\ ［屮*仇%) ^屮(儿%)一巾(儿%) %气产仇'，%)］厶=

=(九一入')) 屮* (九'，%)屮& %) d%.(25.5)

Левая часть этого равенства обращается в нуль согласно общему требованию эрмитовости (25.3). Поэтому, если X 声 X, должен быть равен нулю интеграл

\屮*仇'，х)屮 3, х) dx = 0.(25.6)

Это свойство волновых функций называется их ортогональностью.

Иногда одному и тому же состоянию системы может соответствовать несколько величин 入,v н т. д. Для этого необходимо, чтобы операторы 儿％ ... были перестановочны. Например, при свободном движении частицы существуют % ру и 〃，или, как уже было показано, 府2 Может иметь собственное значение вместе с Mz. Тогда строятся функции, собственные по отношению ко всем операторам одновременно, типа eh ++ нли 吸・ В общем случае должны

выполняться равенства:

入中(X, V； %)=九中仇，v;又)，

v,ф (X, v; %) = Vw(九，V； %) при [人人]aa人人

[X v] — Xv - "儿=0.

Для таких функций

、屮*(九'，"; х)屮仇，v; %)d% = 0,(25.7)

если А/ =/=九 или U # V.

Разложение по собственным функциям. Предположим, что известны собствен ные функции некоторого оператора X. Эти функции удовлетворяют, кроме уравнения Zip ^ ^t еще и некоторым требованиям, связанным с условиями задачи отыскания собственных значений: они конечны, однозначны, непрерывны и т. п. Тогда согласно принципу суперпозиции любая функция 屮(х), ^удовлетворяющая тем же требованиям, может быть представлена как сумма собственных функций оператора X:

屮(%)= £ б,屮仇‘，х).(25.8)

Покажем теперь, как определить коэффициенты разложения с广 Для этого умножим обе части уравнения на 屮* (儿 ％) и проинтегрируем по х:

\ 屮* (А, х) 2 (%) d% = Е С" \ гр* 仇，х)屮(Zz, х) dx. (25.9)

Согласно условию ортогональности все интегралы в правой части равенства (25.9) обращаются в нуль, кроме того, в котором 入'—九.Следовательно, остается уравнение:

\ 屮* (九，％)屮(%) dx = с&\ 2* & %)屮(X, %) d% =办 \ I 屮(Z, %) |2 dx.

Будем считать, что собственные функции 屮 仇,х) могут быть нормированы на единицу, т. е. что \ | 屮仇，％) 12 dx = 1 (см. (23.17)).

Вместе с условием ортогональности (25.6) условие нормировки может быть записано в виде одного уравнения с помощью символа 6ns где 6Uz = о при 九 А/ н 3九九，=1 при 入=V:

、屮*(М, х)屮(儿 х) dx = 6卜纭,(25.10)

где 6^s разумеется, не тензор, а просто символ с указанными свойствами.

Для коэффициента разложения с入 получаем уравнение:

с九=\ 屮* (儿 х)屮(х) dx.(25.11)

В случае, когда имеется система перестановочных операторов X, V, равенство (25.11) непосредственно обобщается:

旗,V = \ 屮* (九，V； х)屮(%) d%,(25.1 Г)

если

，屮*(九'，"；х)屮仇，V； %)6/% =e"5w.(25.10‘)

Таким образом, состояние* 屮(％), в котором величина X не имеет определенного значения, так как 屮(％) — не собственное состояние оператора X, представляется в виде суммы состояний со строго определенными, собственными значениями 九.Слагаемое волновой функции, отвечающее некоторому значению Z, есть

以屮仇，х).(25.12)

Оно представляет амплитуду вероятности данного значения величины 兀 в состоянии屮(х). Чтобы найти вероятность 侬入 появления величины X, надо исключить зависимость от %, так как х н 入 в одном состоянии не существуют.

Для этого определим плотность вероятности состояния с данным Z, т. е. I ” I 2| 2 (儿 х) |2, и проинтегрируем по всем %. Из условия нормировки собственных функций получим:

畋=心心|屮& »2点=©产.(25.13)

Проверим теперь, что величины | ” |2 имеют основное свойство вероятностей: сумма их по 九 равна единице,. если сама функция 屮(х) удовлетворяет условию нормировки (23.17). Действительно, воспользуемся условием ортогональности (25.10). Тогда получим:

=£ 或以&『.、=£ 或以&『.、%)二纵叩(V, %)jd% =

=£ 或以&『.、

=£ 或以&『.、

Сравнивая с (25.13), имеем:

£ 畋= 2>У=1. (25.14)

Следовательно, коэффициент。九 нужно рассматривать как амплитуду вероятности, подобно ip (%)• Но 屮(％)——это вероятность найти частицу с координатой х независимо от 九，а с九 ——вероятность найти ее с данным значением величины Z независимо от х.

Теперь можно вернуться к смыслу условия эрмитовости операторов (25.3). Из этого условия вытекает ортогональность собственных функций с различными значениями 入.Если система находится в состоянии с некоторым собственным значением X, то амплитуда вероятности появления в этом состоянии другого значения А/ 抬 入 обращается в нуль, потому что из (25.11) следует:

eм = 、 屮* (九'，%)屮(九，%) dx = 0, (25.15) если А/ 抬九.Таким образом, из эрмитовости операторов вытекает вещественность собственных значений и возможность «чистых состояний» со строго определенными значениями некоторых величин.

Разложение функции ip (х) по собственным функциям оператора X весьма напоминает разложение вектора по единичным векторам, направленным вдоль осей декартовой системы координат. Роль этих единичных векторов, или ортов, играют собственные функции оператора 屮(儿 ％), а роль проекций вектора на оси ——коэффициенты разложения。入.Условие нормировки аналогично выбору единичных векторов для разложения (打⑴产 = 1, и если разлагаемый вектор имеет единичную длину, т. е. нормирован сам, то и сумма его проекций равна единице, подобно условию £ |”|2= 1.

Определение величины проекции вектора А на ось, записанное в тензорных обозначениях, следующее:

4 = /а〃£)・ Тогда

Эти две формулы следует сопоставить с (25.11) и (25.8). Суммирование по тензорному значку а аналогично интегрированию по %, суммирование по номеру орта i аналогично суммированию по 九. Мы как бы имеем вектор 屮(%) в пространстве с несчетным множеством измерений вместо трех измерений евклидова пространства. Кроме того, «длина» такого вектора определяется не как сумма квадратов его компонент, а как сумма квадратов их модулей, так как вектор комплексный.

Сравнение 屮(％) с вектором можно продолжить. Для этого обратимся к уравнению (9.9), которое служит для отыскания главных осей и главных значений тензора инерции Jap. Это уравнение подобно

из которого определяются собственные значения оператора X и собственные функции 屮（儿 ％）, которые, как только что было указано, аналогичны ортам, или единичным векторам по направлению декартовых осей. Ортогональность волновых функций находит свою аналогию в перпендикулярности главных осей тензора инерции:

砧）吧）=6漱

В § 9 было показано, что перпендикулярность главных осей тензора инерции вытекает из симметрии тензора /础=）战 В пространстве с комплексными векторами вместо симметрии требуется эрмитовость операторов. В дальнейшем мы покажем, что условия симметрии и эрмитовости записываются весьма сходным образом.

Математическое понятие комплексного пространства, подобного евклидовому, помогло формулировке законов квантовой механики. В математике такое пространство называется гильбертовым.

Разложение по собственным функциям проекции момента. Поясним смысл разложений по собственным функциям на примере опыта Штерна и Герлаха. Пучок атомов расщепляется на некоторое число отдельных пучков соответственно числу проекций момента на магнитное поле Mz = hk. Если наибольшее значение проекции равно hl, то 財 как уже указывалось, принимает 22 + 1 значений: от ——/ до /, изменяясь через единицу.

Собственная функция, отвечающая Мг = hkt есть

屮他，9）=焉产、（25.16）

где множитель （2冗）一】/2 введен для нормировки:

2л

\ I屮产d（p = 1・

О

Если каждый из отдельных пучков снова пропустить через магнитное поле, параллельное той же оси z, то дальнейшего расщепления не произойдет, так как Mz в каждом из этих пучков имеет одно определенное значение, а не весь набор в интервале ——/ V 左 V 厶 как это было в исходном пучке. Отсюда хорошо виден смысл ортогональности собственных функций. Если частица находится в пучке, которому соответствует данное значение 左，то вероятность найти ее в пучке с другим значением проекции М2 = hk!抬 hk равна нулю.

По общему правилу вероятность равна квадрату модуля коэффициента разложения %，функции 屮（fe, ср） по функциям 屮（牝屮）， т. е. согласно общей формуле:

2n2л

Ckf =\屮* （財叫屮3',屮）徹p =击\0"（赵一々）аp = об

/①（”一目）2 n 0, 玄

Если второе магнитное поле направлено по оси х, то снова произойдет расщепление пучка, потому что в таком поле выделяется составляющая момента Мх, которая не существует вместе с Mz. Число компонент расщепления снова окажется равным 2/ + 1, так как оно определяется максимальной проекцией момента /. Эта последняя величина не может зависеть от того, как направлено магнитное поле, и связана только с состоянием атомов в исходном пучке.

Собственные функции Мх суть

屮优1‘砌=y^ ""叫Q5・16')

где — / V 瓦 V 厶 а со ——угол поворота вокруг оси х.

Функции (25.16) и (25.16') не совпадают, как и должно быть для функций неперестановочных операторов.

Итак, в магнитном поле, направленном по оси х, пучок частиц с данным значением k расщепится на 2/ + 1 пучков с определенным значением Мх. Следовательно, функция (25.16) представится как сумма функций (25.16'):

I

屮(財屮)= е e也屮他I,8).(25.17)

方 1 = 一 I

Квадрат модуля | 以，|2 показывает, какая доля частиц из пучка с данным значением 内 окажется в пучке, отвечающем проекции момента на ось х, равной hkv

Если второе магнитное поле ориентировано не по оси %, а составляет небольшой угол с первоначальной осью 2, то среди коэффициентов разложения типа (25.17) наибольший квадрат модуля имеет тот, у которого значение проекции на новую ось (凡)близко к проекции на старую ось 伍).Остальные коэффициенты малы.

Волновая функция и измерение величин. Предыдущий пример определения проекций момента поясняет, какую роль играет процесс измерения в квантовой механике. До того, как над исходным пучком был поставлен опыт Штерна и Герлаха, т. е. до прохождения частицами магнитного поля, о значении проекций их момента вообще ничего нельзя было сказать. В зависимости от того, как было повернуто магнитное поле, получались либо проекции момента на ось z, либо на ось %, но, разумеется, не те и другие сразу.

Отсюда видна особая роль измерительного прибора в квантовой механике, весьма отличная от его роли в классической, неквантовой физике. Если классическое измерение сказывается на измеряемом объекте сколь угодно слабо и совершенно в принципе не меняет значения измеряемых величин, то измерение, производимое над микрообъектами, сказывается на них столь сильно, что просто исключает некоторые другие, одновременные измерения.

Например, измеряя проекцию момента на ось z, нельзя вместе с ней измерять какую-либо иную проекцию. Это убедительно следует из опыта Штерна и Герлаха. Измеряя значение координаты

частицы, мы теряем возможность одновременного измерения ее импульса в соответствующем направлении. Чтобы измерить координату с точностью Ах, надо пропустить частицу через щель шириной А%, но тогда дифракция создаст неточность импульса Арх N 、2门用 e /

Здесь измерительным прибором является экран со щелью. Таким образом, рассматривая процесс измерения, необходимо не терять из виду измеряющий прибор, некоторый классический объект типа магнита или экрана со щелью.

Определение любой физической величины неразрывно связано со способом ее измерения. В классической физике эта связь менее заметна, так как измерение сколь угодно слабо влияет на измеряемый объект. В квантовой механике положение диаметрально противоположно: после измерения объект находится обычно в ином состоянии, чем до него. Поэтому не имеет смысла одновременное измерение некоторых величин в соответствии с принципом неопределенности. Таким образом, этот принцип находит свое обоснование при анализе измерительной операции. В этом смысле квант действия h как бы измеряет воздействие прибора на микрообъект, например, задает неопределенность импульса, возникшую при прохождении частицы через щель.

Не следует думать, однако, что в результаты физических измерений как-то «вмешивается» воля измеряющего. В итоге опытов над большим числом одинаковых объектов можно узнать, в каком состоянии они находились до измерения, совершенно независимо от способа измерения. Измеряющий только выбирает этот способ (например, направление магнитного поля в опыте с расщеплением пучка), но затем получает вполне определенное число компонент расщепления и определенную интенсивность каждого пучка. Если изучается однократное прохождение пучка через магнитное поле, экспериментатор всегда имеет 2/ + 1 компонент расщепления и выносит отсюда заключение, что в данном пучке проекция момента не имела никакого определенного значения.

Пусть теперь один из пучков, уже с некоторым заданным значением А, выведен в другое помещение, и там второй экспериментатор снова производит опыт Штерна и Герлаха.

Если магнитное поле во втором опыте ориентировано произвольно, то получится, как было указано, 2/ + 1 пучков, но, меняя направление магнитного поля, можно добиться того, что никакого расщепления больше не произойдет. Так будет тогда, когда второе магнитное поле направлено параллельно первому. Отсюда второй экспериментатор заключит, что частицы в пришедшем пучке обладают волновой функцией вида (25.16). Здесь измерение позволяет установить, что частицы до измерительного процесса находились в определенном «чистом» состоянии.

Если поле ориентировано так, что во втором опыте наблюдается новое расщепление пучка частиц, то волновая функция в каждом из получившихся пучков не будет совпадать с исходной. Но между 286

ними будет вполне четкое соотношение (25.17), никак не зависящее от воли производящих измерение.

Квантовая механика не делает субъективным результат измерительного процесса, но ограничивает возможность одновременной постановки некоторых измерений. Осуществимы либо одни, либо другие из них, но не те и другие сразу. Это высказывание известно под названием принципа дополнительности. По существу он равносилен принципу неопределенности.

Средние значения величин в квантовой механике. Как мы видели, измерение величины в квантовой механике не всегда приводит к одному строго определенному значению. Только в «чистом» состоянии вероятность появления некоторого значения в процессе измерения равна единице, т. е. достоверности. В общем случае значение измеряемой величины 九 появляется с вероятностью 侬入.Найдем среднее значение измеряемой величины согласно определению:

⑴=2 入畋•(25.18)

Подставим сюда 侬入 из (25.13) и 纨 из (25.11):

⑴=£入G产=工入以或=£标讣屮(х)屮* (九，Х)厶.

九XX

Пользуясь условием действительности собственных значений X, заменим произведение 九屮* 0, х) под интегралом на 九*гр* (九，％) и будем сначала суммировать, а потом интегрировать. Тогда получит- СЯ，⑴=\ 屮(%) 2 с竄*屮* (А, %) dx.

Но оператор X* не зависит от конкретного значения 九(например, если X = рх, то V ==——у Д^. Поэтому вынесем Z* из-под знака суммы:

〈九〉=、屮(%) V 2戌Ф* (九，%)厶.

Но сумма g威屮*(九，%)=屮*(%)，tак как это ееть уравнение, комплексно сопряженное с (25.8), поэтому

(九〉=\ 屮(%)欠*屮* (%) dx.

Пользуясь, наконец, эрмитовостью оператора X, т. е. формулой (25.3), приходим к искомому выражению среднего:

〈九〉=\屮*(%)加(%)厶.(25.19)

Таким образом, чтобы вычислить среднее значение X в состоянии 屮(х), не надо знать собственных значений оператора X, а достаточно вычислить интеграл (25.19).

Если состояние 屮(％)—не «чистое» собственное состояние оператора л, то каждое измерение переводит частицу в другое состояние. Но имея достаточное количество частиц в одинаковом исходном состоянии и произведя измерение последовательно над каждой, можно получить значение (X) в исходном состоянии со сколь угодно большой точностью. Это значение вполне воспроизводимо, но, разумеется, надо выполнять измерения не над теми частицами, которые ему уже подвергались, а над «свежей» порцией частиц, находящихся в том же состоянии, какое было перед первой серией измерений.

Вывод соотношений неопределенности для 〈Ах〉(Др). Определим 〈А%〉 как

〈А%〉= М〈“一 *5(25.20)

и соответственно 〈Ар*〉как

〈ApQ 三(25.20‘)

Для простоты записи положим х。= 0, рХо = 0. Рассмотрим теперь такой интеграл от существенно положительной величины:

/ = \ К^Х + 历方х)屮2 dx N 0,где а н b ——действительные числа.

Раскрывая подынтегральное выражение, получим:

/ =废、屮*卫屮点+ 吗g評* • px^dx - iab\x^ •葭*屮*d% +

+ tab \p%2・％** d%・

Слагаемые, содержащие 力^屮*, преобразуем, пользуясь эрмито- востью р%, так что возникает перестановка рхх — ^応，которая равна у, согласно (24.17). Все выражение интеграла дov^жнo оставаться положительным при любых значениях а и Ь, что возможно только в том случае, если коэффициенты при а2, &2 и ab удовлетворяют неравенству:

4(、屮*^2屮 d%)(、屮*方^屮 dx^ ^Л2 5 ^*^ dx = h2.

После извлечения квадратного корня получим:

〈Ах〉〈Ар*〉м^・(25.21)

Это самая нижняя оценка неточностей 〈Ах〉 и (Дрх).

Из хода рассуждения видно, что (25.21) справедливо для любой пары эрмитовских операторов, если их перестановка — число.

УПРАЖНЕНИЯ'

Пользуясь тем, что средние значения некоторой величины в том состоянии, которое является собственным для оператора, соответствующего этой величине, совпадают с собственны ми доказать, что собственные, значения квадрата момента равны №1 (/+ 1).

Решение. Образуем квадрат момента:

7H2 = л^ + М； + М；.

Найдем среднее значение от обеих частей равенства:

〈М2〉=〈代〉+〈叱〉+〈也〉.

Воспользуемся тем, что среднее значение квадрата любой проекции момента одно и то же:

〈mD=〈儿党=〈М〉〈財2)= 3(m》

Среднее значение квадрата проекции момента можно найти из того, что все его проекции равновероятны:

Но так как все рассматриваемые состояния с различными проекциями М2 по отношению к М2 — собственные состояния, находим:

M2 =〈MZ〉=/l2/ а+1).

Найти собственные значения энергии квантового симметричного волчка. (Примером такого волчка может служить молекула аммиака, имеющая форму пирамиды с основанием в виде правильного треугольника.)

Решение. Энергия симметричного волчка, выраженная через проекции момента, равна (см. (9.17)):

方=泰(府:+曲訂+е3府3

Переходя к 府｛ имеем:

方=盡(府2一府》+ 2?з^з-

Подставляя собственные значения момента и его проекции, находим окончательно:

/ 侬丄/庐依優，丄侬炉S ~

§ 26. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

В классической механике мы видели, что возможна такая формулировка ее законов, при которой координаты и импульсы входят в уравнения симметричным образом (§ 10). В квантовой механике те и другие величины не существуют одновременно. Но правомерно поставить вопрос о том, как перейти от координат к импульсам, считая последние независимыми переменными, иначе говоря, ввести в уравнение импульсы вместо координат. Кроме импульсов, можно выбрать и какую-нибудь иную систему переменных. Ограничение состоит только в том, что эти переменные должны существовать в одном и том же состоянии.

Матричное представление операторов. Пусть в уравнении для собственных функций оператора X, записан-

ном в переменных %, надо перейти к независимым переменным v・ В качестве - исходных уравнений возьмем следующие:

欠屮(九，%)=九屮(九，x),(26.1)

vip (v, %) = 丫屮“，％).(26.2)

По виду они напоминают (24.12) и (24.13), но теперь операторы X и V не коммутируют между собой (т. е. не перестановочны: коммутация —перестановка).

Разложим собственную функцию оператора X в ряд по собственным функциям оператора v:

屮(儿 %) = g网屮"，x),(26.3)

V

где коэффициент разложения Cv определяется общей формулой (25.11):

“匍=\ 屮* W, %)屮 & %) dx.(26.4)

Подставим это разложение в уравнение (26.1), умножим обе части равенства слева на 屮* (v〔 ％) и проинтегрируем по %. Справа в силу (25.10) получим:

\ 屮 * (匕 ％) £ М(V, х) d% = £ % \ 屮 * (К %)屮(v, х) dx = VV

Слева введем следующее обозначение:

九亦三、中*(",%弘屮"，х) dx.(26.5)

Изменим, кроме того, обозначение значка суммирования v на Ь・ Тогда уравнение (26.1) приведется к виду:

，九vv'Cv =九С”.(26.6)

В таком виде оно весьма напоминает уравнение (9.9) для разыскания главных значений тензора инерции. Вместо величины с двумя значками </&§ мы имеем здесь другую величину, или, точнее, совокупность величин,九v5・ Такую совокупность удобно располагать в виде таблицы:

入и 九 12 • • •九 lv，• • •

九vv，==九21 九22 • • •入2v，• • •(26.7)

которую принято называть матрицей. Отдельный элемент 九””,называется матричным элементом.

Таким образом, оператор X в произвольных переменных v в самом общем виде представляется матрицей (26,7). Дальше будет показано, 290

что исходная форма действия оператора 儿(26.1) тоже может быть приведена к виду (26.6).

Если (26.6) служит для разыскания тех же собственных значений 儿 что и (26.1), то естественно понимать коэффициенты с” входящие в (26.6), как собственные функции оператора X в переменных V, что можно записать следующим образом:

с”三屮& v).(26.8)

Тем самым мы осуществили как бы переход к новой системе координатных осей в гильбертовом пространстве. Уравнение (26.1) определяло систему собственных векторов оператора X (х),屮(九，％), а (26.6) дает систему собственных векторов 外=屮 & v) оператора 入(V)九w，.

Здесь под 九у”，надо понимать всю совокупность матричных элементов, т. е. матрицу (26.7).,

Условие эрмитовости оператора 入^，очень просто переписать в матричных обозначениях. Подставляя в это условие, выраженное в форме (25.3), % = 屮(％ %),屮 = 屮 «',%), получаем:

、屮*(%%爪屮%)厶=\屮("，Х)仆屮*(%x)d% ==[^屮*("，%)删(% %)或]*,

или, пользуясь общим обозначением матричного элемента (26.5),

九vv =九帛v・(26.9)

В таком виде условие эрмитовости оператора очень напоминает условие симметрии тензора. Но так как векторы в пространстве Гильберта комплексные, вместе с перестановкой значков следует произвести комплексное сопряжение.

Покажем теперь, как записать в матричном виде результат последовательного применения двух операторов X и Т)к некоторому вектору Су・ Действие первого оператора запишется в следующем виде:

а”’〉:九v,Cv,(26.10)

V

где а”，一 новый вектор (ср. в § 9:此=“叫，где ①口 一 вектор угловой скорости, а Ма — вектор момента). Тогда действие следующего оператора Q на ®，в матричном виде надо представить так:

玩=工n从”心，= £ £后”小亦匍=e(£加Y%，卜v，(26. io') vzvz VV \/

Отсюда видно, что результат последовательного действия двух операторов на вектор % есть следующая матрица:

(п入)RV =工 Tjjuv^v'v,匕从=£(Л^)Ц¥^У«(26.11)

Получившаяся формула выражает правило матричного умножения. Оно соответствует последовательному действию двух операторов, ?] и 尤 Из формулы (26.11) видно, что умножение матриц неперестановочно, так же как действие операторов:

@п)从V = Ej 入从寸小，，2；仙”，九”，=(n')p,v・(26.12)

Умножение вектора на число всегда можно представить в виде acv~ £ об*”，％，，(26.13)

где 5w — единичная матрица в гильбертовом пространстве.

С помощью матрицы 3屮 правило перестановки (коммутации) каких-нибудь двух операторов, дающих в результате перестановки число, как например рх и %, выглядит так:

У ((р*)х (%)『” 一(x)iiv(P*)wv) = 7 М”・(26.14)

Если же перестановка дает не число, а новый оператор, как между составляющими момента, то в матричном виде она записьь вается следующим образом:

2 [(mх)х (此)办一(嶋)з (必)亦]=ih (M^v.(26.15)

Диагональная форма матриц. С помощью формулы (26.4) можно представить переход к собственной функции в переменной v, т. е.《(九，v)三 cv следующим симметричным обра-

屮(儿 v) = ^ip* (v, х)屮(入，X)dx.(26.16)

Это есть общая формула для преобразования независимой переменной. Но этой же формуле можно придать и другой смысл, если положить V = Х\ Иначе говоря, формула (26.16) осуществляет при、= N переход к системе переменных, которые сами являются собственными значениями данного оператора:

«(X/,入)=\屮*(乂，Х)屮优，%)d%.(26.17)

Но в силу условия ортогональности собственных функций (25.10) получается:屮仇,，九)=加出(26.18)

Собственная функция оператора в системе его собственных значений есть просто 6-матрица. Весьма просто выглядит в этих переменных и сам оператор. Это видно непосредственно из уравнения (26.6). Подставляя в него найденную собственную функцию с入=В入入'(V = X), видим, что и в матрице, представляющей оператор в его собственных переменных, остаются только члены, стоящие по главной диагонали в таблице (26.7):

(九)的=入бил(26.19)

Иначе говорят, что оператор приведен к диагональному виду. 〃ля того чтобы два оператора могли быть приведены к диагональному виду одновременно, т. е. в одном и том же состоянии, они должны быть перестановочны. В диагональной форме две матрицы всегда перестановочны, так как если 九从v = ^6MV, nve = n^ve, то произведение

仇叫"£ =入n ¥ 5!Tv8v£ =九哨从3，V

равно произведению

(n入)и£ =刀九D^ 3VgbjUV -n九3从£ =九哨吟V

Но перестановочность двух матриц не может зависеть от системы переменных, в которых они выражены. Переход к другой системе переменных есть, как указывалось, поворот координатных осей в гильбертовом пространстве. Но если некоторая матрица, в данном случае равная перестановке двух других матриц, не равна нулю в одной системе осей, никакой поворот не может сделать ее равной нулю в другой системе. Чтобы две матрицы были перестановочны в некоторой координатной системе, они должны переставляться в любой системе. В частности, соответствующие операторы должны переставляться и не в матричном виде, а в координатном представлении.

Тогда каждый из матричных значков 卩， ％ е в написанных только что выражениях соответствует некоторому набору собственных значений операторов Хиг], существующих одновременно. В этом отличие этих выражений от формулы (26.19), относящейся только к собственным значениям одного оператора 1.

Переменные могут принимать как дискретный, так и непрерывный ряд значений. Например, углы поворота изменяются непрерывно, а собственные значения квадрата момента и его проекции — дискретно. Поэтому желательно придать формулам преобразовав ния такой смысл, чтобы они в одинаковой степени были применимы к дискретной и непрерывной совокупностям переменных.

Допустим, что переменная 九 изменяется непрерывно. В § 24 было указано, что собственная функция оператора в его переменной (в том случае 尤)равна нулю везде, кроме некоторой точки % = %', отвечающей собственному значению. Следовательно, если собственные значения 九 образуют непрерывный ряд значений, то

屮(A/,九)=\屮*(九\ %)屮(儿 x)d% = 0 при A/W 儿 (26.20)

что согласуется с условием ортогональности (25.6). Но если в случае дискретного ряда собственных значений 九 при 九=А/ интег* рал (26.20) равен единице, то при непрерывности 九 положение меняется. Чтобы исследовать этот случай, умножим обе части (26.20) на некоторую функцию с (X), проинтегрируем по всему интервалу

изменения 九 и, кроме того, переставим справа интегрирования по 九 и по %:

^(V, Qc0)d 入=\屮* (X, %)d%\c(九)屮(九，％)d 儿(26.21)

Тогда интеграл по d九 справа, т. е. Jc (X)屮(九，％) dK, можно рассматривать как обобщение ряда (25.8) на непрерывный спектр знаЧений 兀屮(％) = \ с (九)屮 & %) d九.(26.22)

Поставим теперь основное требование к функциям непрерывного спектра: коэффициенты ряда (25.8) и подынтегральная функция с (А) в разложении (26.22) должны выражаться совершенно аналогичным образом, т. е. (см. (25.11)):

с (А) = \ 屮* (X, %)屮(%) dx.(26.23)

Но из этой формулы видно, что в правой части (26.21) стоит не что иное, как с ("):

\ 屮* (А/, х) dx^ с (X)屮(九，％) dA = \ 屮* (九‘，％)屮(%) dx = c (Xz).

(26.24)

Итак, собственная функция 屮(V,九)имеет то замечательное свойство, что она при интегрировании просто заменяет аргумент множащейся на нее под интегралом функции:

\巾(九'，九)С а)В = e(").(26.25)

Желая сохранить аналогию с дискретным спектром 九，удобно вместо 8九九，-матрицы ввести аналогичное обозначение — 6-функцию. Обозначая 屮仇'，九)三 8 (А/ —九)，запишем:

\ 8 (汇一九)с 0) М = с (")・(26.26)

Выбирая с 仇)=1, находим согласно предыдущему равенству: \8(Х —Qd九=1.(26.27)

Таким образом, нами получены основные два свойства 6-функции, введенной Дираком: она равна нулю везде, кроме той точки, где ее аргумент равен нулю, а в этой точке обращается в бесконечность таким образом, что интеграл от нее равен единице.

С помощью 6-функции условие нормировки в непрерывном спектре пишется следующим способом, обобщающим (26.20):

、屮*(A/,灯屮(儿 %)厶=8仇‘一九).(26.28)

Таким образом видно, что хотя интеграл от квадрата | 屮(X, %) |2 обращается в бесконечность, никаких трудностей нормировка функций в непрерывном спектре с собой не несет. Вместо единицы, как в дискретном спектре, в непрерывном спектре надо нормировать на б-функцию.

Дифференцируя обе стороны равенства (26.26) по V, находим: 、[爲6 ("一入)]cgd"端.(26.29)

При надобности эту формулу можно дифференцировать столько раз, сколько производных имеет с (九‘).Таким образом, 6-функцию под интегралом можно дифференцировать сколько угодно раз, если это потребуется.

Фактически мы уже встречались с 6-функцией, рассматривая распределение заряда (т. е. функцию его плотности) для того случая, когда заряд считался точечным. И тогда интеграл от плотности по объему равнялся конечной величине, как в формуле (26.27).

Переход к импульсному представлению. Для примера рассмотрим, как выглядят уравнения квантовой механики, если в качестве независимых переменных вместо координат взяты проекции импульса. Заметим прежде всего, что и в координатном представлении, т. е. при независимых переменных х, у и г, уравнениям квантовой механики можно придать общую матричную форму (26.6). Для этого оператор X (%) надо представить в виде 父(£) 6 (х ——％') и вместо суммирования ввести интегрирование. Производные, входящие в оператор 入(％), заменяются соответственными производными от 6-функции, как в равенстве (26.29): от 患 надо перейти к ^ 6 (хЛ — х).

Несмотря на то что координатная форма записи квантовомеханических уравнений, казалось бы, проще всех, другие представления во многих случаях имеют ряд преимуществ, которые станут понятны из дальнейших применений. В. Гайзенберг, нашедший основные уравнения квантовой механики независимо от Шредингера, пользовался не координатным, а явным матричным представлением с самого начала.

Найдем теперь оператор умножения на координату в импульсном представлении. Для этого в формуле (26.16) переставим X и v:

屮(v,九)=\ 屮* 仇，Х)屮(V, %) dx.(26.30)

Получилась собственная функция оператора v в переменных 九. Но из сравнения с (26.16) видно, что 屮(v,九)комплексно сопряжена с функцией 屮(儿 v):

屮(%九)=屮*(儿V).(26.31)

Отсюда ясно, как будет выражена собственная функция коор- динаты в переменной импульса: если 屮(рх, %) = е 用 » то ipxx

屮(尤，"％) = е h * Так как уравнение для собственных значений координаты есть

в переменных импульса надо взять

(26.32)

Вместо оператора кинетической энергии в переменных импульса мы получим просто умножение на число:

个=^（区+聪+啕.（26.33）

Зато для потенциальной энергии может получиться более сложный оператор, чем в координатном представлении, т. е. он будет иметь вид матрицы, не умноженной на 6-функцию.

Найдем оператор потенциальной энергии для конкретного случая кулонова поля. Для этого надо сначала нормировать собственную функцию 屮(о, х) в непрерывном спектре. Вспомним интегральную теорему Фурье, приводившуюся в § 19. Эта теорема такова: если две функции связаны интегральным соотношением:

-0о

то обратное преобразование от f (u) Kg (х) пишется так: g(x) = * ( e-呻⑷血.

Эти формулы надо сопоставить с (26.22) и (26.23). Вместо 入 в

.22) надо подставить р*, а вместо 屮(儿 ％) Дробь -^二 е 拉 Тогда р 2лЛ •

ВИДНО, что

ipxip х

СО*со ~ ・石-

屮(%)= \ р-^^Ы dpx, с("*)= \ у^-- ip(X)ах (26.34)

уже с правильной нормировкой, поскольку (26.22) и (26.23) как раз и определяли условие нормировки.

Чтобы найти матричный элемент кулоновской потешщальной энергии, надо, таким образом, вычислить следующий интеграл:

—jp，r ipr

(力(26.35)

В нем в качестве каждого значка У и v входят все три компоненты векторов импульса // и р.

Интеграл проще всего найти таким способом. Определим «потенциал» ср некоторого распределения «зарядов», равного р = 三（2兀/г）-8« h • Согласно § 16 ф удовлетворяет уравнению:

4л4лi <Р—Р'）г

4л

4л

h

Д（рД（рПотенциал от элементаПотенциал от элемента（2л%）з с *заряда pdV равен拆=啖

Д（р

Д（р

Потенциал от элемента

Потенциал от элемента

Тогда потенциал всего заряда в точке г = 0 выражается как раз формулой （26.35）. Но решение уравнения для потенциала, как это непосредственно видно, представляется так:

/（戶一戸'）r

屮=石画（р—尸）2 •（26.36）

Это можно проверить, подставив （26.36） в уравнение Пуассона. Выражение （26.35） получится, если подставить сюда 厂=0. Таким

ооразом, матричным элемент от — выглядит так:

（26.37）（26.37）частицычастицы（26.38）（26.38）（彳以=2#九 g_p，）2，

（26.37）

（26.37）

частицы

частицы

（26.38）

（26.38）

а интегральное уравнение Шредингера для движения в кулоновом поле, записанное в переменных импульса:

2m 屮（?"） 一 石^ \ -（〃一Р）2 =?屮（E，P），

Вообще уравнения квантовой механики, если выражать их в произвольных переменных, интегральные. Специальная особенность координатного представления состоит в том, что оно приводит к б'-функциям для операторов компонент импульса, и поэтому интегральные уравнения переходят в дифференциальные. Во всяком случае представление оператора с помощью б'-функции, т. е. производной от 6-функции, никак нельзя считать диагональным: такая функция отлична от нуля в области, сколь угодно близкой к нулевому значению аргумента, но не точно там, где аргумент равен нулю.

Выражение （26.32） для координаты в переменной импульса справедливо потому, что импульс и координата определены в одном и том же интервале: они изменяются непрерывно от — оо до оо. Но, например, угловая координата — азимут ——изменяется только в пределах от 0 до 2n. Благодаря этому на волновую функцию накладывается условие однозначности, которое в применении к данному случаю выглядит так:

（P（p,屮）=屮9屮，屮+ 2冗）.（26.39）

2Пi0屮屮

Подставляя сюда 屮（р^ 屮）=е "» находим:夕屮=hk.

Раньше мы получили этот результат, пользуясь общим уело- вием однозначности волновой функции в ее зависимости от пространственных координат х, у и г, откуда следовала целочисленность I и 瓦 Пример (26.39) приведен для того, чтобы показать, как из ограниченности интервала изменения координаты 屮 получается дискретный спектр соответствующего импульса "①.А это в свою очередь приводит к тому, что оператор умножения на угол 屮 в переменных р(р отнюдь не имеет простого вида, аналогичного (26.32) (см. упражнение).

Иначе это можно высказать так: математическая дифференциальная запись оператора рх (или рф) фактически не определяет его, пока не указаны граничные условия, налагаемые на собственную функцию. Интегральное представление оператора в отличие от дифференциального является полным и поэтому иногда предпочтитель* нее.

Унитарные преобразования. Рассмотрим некоторые общие свойства преобразований от одной системы независимых переменных к другой. Найдем прежде всего преобразование, обратное (26.16), т. е. приводящее от независимой переменной v к переменной %:

"(九，х) = \屮*(居 ")屮(儿 v) dv. (26.40)

Здесь принята интегральная форма записи, но, как уже было показано, она в принципе ничем не отличается от записи с помощью суммы для дискретного спектра. Используя соотношение (26.31), избавимся от комплексно сопряженных функций, и тогда (26.16) и (26.40) будут выглядеть следующим образом:

屮(九，v)=，中仇，%)屮(居 V)d%, (26.41) 屮仇，%) = \屮(儿 V)屮(% %) dv. (26.4r)

Получившиеся формулы преобразования построены по типу матричного умножения (26.12): безразлично, ставить ли значки в индексах или в аргументах функции двух переменных, а также суммировать или интегрировать по матричному значку.

Таким образом, можно сказать, что мы определили матрицу преобразования от переменных % к переменным v:

U%” =屮(％, v), (26.42) а также матрицу обратного преобразования, которую принято писать как Uvx с показателем —1:

U/ = 2(v, х). (26.42')

Но тогда из формулы (26.31) видим, что между матрицами прямого и обратного преобразований существует соотношение:

U/ = U%・ (26.43)

Принято называть операцией эрмитовского сопряжения матрицы переход к комплексно сопряженным элементам с одновременной перестановкой значков. Чтобы отличать эрмитовское сопряжение от комплексного, принято вместо звездочки ставить крестик:

U% 三 U 玄.(26.44)

Применяя эту запись к матрице U, перепишем (26.43) так:

U/ = U%・(26.45)

Иначе говоря, матрица, обратная UXVt в то же время является эрмитовски сопряженной с ней. Такие матрицы называются уни^ тарными (напоминаем, что элементы эрмитовской матрицы удовлетворяют соотношению: Дар = 4孤).

Из определения обратной матрицы имеем:

\ит(М, x)U(%, v)dx = 8w,(26.46)

так что унитарная матрица удовлетворяет соотношению:

\U+(", %) U (%, v)d% = 8w,(26.47)

которое равносильно условию ортогональности собственных функций оператора v в переменных %.

Преобразование оператора к другому представлению тоже осуществляется с помощью унитарной матрицы U. Покажем это, исходя из (26.5). Заметим прежде всего, что оператор 九 под интегралом выражен в переменных х, и только поэтому интегрирование однократно. В общем виде операторы выражаются матрицами, которые только в ^-представлении, как указывалось, содержат б'-функции, позволяющие свести интегрирование к дифференцированию. Поэтому более общая запись (26.5), в которой % не обязательно понимать как координату, следующая:

九= \、屮*("，%')九『押(％ x) d/d%・(26.48)

Пользуясь (26.31), (26.42) и (26.42'), придадим формуле преобразования оператора к новым переменным такой вид:

入v，v = \ \ и”，Ж，%и%у dx dx' = \ \ Uх*х，*Uк、dx d%', (26.49)

т. е. содержащий произведение трех матриц: U+,九 и U.

Произведения матриц на векторы и друг на друга часто записывают, не привода в явном виде значков. Тогда формулы перехода от одних переменных к другим для волновых функций выражаются так:

Для операторов:Для операторов:屮，=屮(7,X = U+AU屮，=屮(7,X = U+AU(26.50)(26.51)(26.50)(26.51)

Для операторов:

Для операторов:

屮，=屮(7,

X = U+AU

屮，=屮(7,

X = U+AU

(26.50)

(26.51)

(26.50)

(26.51)

и условие унитарности так:

где единица в правой части означает на самом деле дельта-матрицу или дельта-функцию.

Условие унитарности матрицы преобразования U аналогично такому же условию для косинусов углов поворота между старыми и новыми декартовыми осями координат. Если прямые преобразования выглядят как %； = А^х^, то обратные имеют вид: %卩= =Лрах« ((в — косинус угла между новой осью с номером а и старой с номером В). Но обратные преобразования можно выразить и с помощью обратной матрицы Лар, так что ,4命 = 4肥.В гильбертовом пространстве, где векторы комплексные, кроме перестановки значков, применяется операция комплексного сопряжения.

Разыскание собственных значений оператора есть не что иное, как приведение к главным осям «поверхности» второго порядка в гильбертовом пространстве. Невозможность одновременного приведения к главным осям двух поверхностей связана с тем, что соответствующие главные оси этих поверхностей по разному ориентированы. Такова наглядная геометрическая интерпретация того положения, что два оператора не имеют собственных значений в одном и том же состоянии, т. е. соответствующие величины одновременно не существуют.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти матричные элементы оператора умножения на угол поворота ф в переменных 卩①=hk.

Ответ: По формуле (26.5) получаем:

%'々=必匕 nРИ①

q)^z^ = лпри h‘ = к.

Показать, что унитарный оператор U может быть представлен в виде

U = eR

где Ф ——некоторый эрмитовский оператор.

Решение. Если

U =/①， то

厂=尸①.

Покажем теперь, что t/т = U+. Для этой цели заметим прежде всего, что переход к комплексно сопряженному оператору означает, во всяком случае, изменение знака при Ф в экспоненте. Далее раскроем экспоненту в виде ряда:

(/-i = l~tQ + y ф2~-^ фз +，...

Возьмем какой-нибудь из членов ряда, например третий, и запишем его с помощью матричных значков, условливаясь, что использовано условие о суммировании и известна эрмитовость Ф+ (①徐=①《0)：

吗=①w=①国唯吗=(6%.

Собирая члены разложения вновь в виде экспоненты, получим:

иг = и+・

§ 27. ОПЕРАТОРЫ В МАТРИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Зависимость матричных элементов от времени. Результаты предыдущих параграфов позволяют найти решение некоторых важных квантовомеханических задач. Покажем прежде всего, что для операторов можно составить уравнения движения, аналогичные уравнениям движения ньютоновской механики.

Запишем матричный элемент некоторого оператора в переменных энергии, т. е.

九ое = \2*(Е', %)兄屮(Е, %) d%.(27.1)

Стоящие под интегралом собственные функции оператора Гамильтона вместе с зависящим от времени множителем имеют вид (23.20):

(£", %)=〔""屮0(£; %),(27。2)

где индекс «нуль» при волновой функции означает, что временной множитель из нее выделен. Тогда матричный элемент (27.1) представится в таком виде:

九е，е = е\ 屮ЗЕ', %) ^о (Е, %)厶・ (27.3)

Принято называть матричный элемент без временного множителя записанным в шредингеровском представлении, а со множителем — в гайзенберговском представлении.

Продифференцируем теперь матричный элемент по времени, допуская для общности, что 分 может содержать и явную временную зависимость

一一)心(日，%)匿一万(E-E 阴业(E, x)dx.

(27.4)

Возвращаясь к матричному элементу (27.1), перепишем равенство (27.4) следующим образом:

е =上沪 + 方(Е%е‘е —入е，еЕ).(27.5)

Из предыдущего параграфа (уравнение (26.19)) мы знаем, что оператор, записанный через собственные переменные, имеет диагональный вид. Следовательно,

Н = Е'6е，е〃, Н е〃е = 6е〃еЕ・ (27.6)

Но тогда (27.5) можно записать в форме перестановки между оператором Гамильтона Н и оператором 定

d、E，E0九e，e . ，q认E，E I

飞一=FгCe，e〃Ne〃e — Ne，e〃Ge〃e匕)=-^Г

+ 4"[(”九)？e —(入H)e，e]・(27.7)

Матричное равенство справедливо в любой системе переменных, в частности и в координатном виде:

^ = ^ + 万⑺ ^一(27.8)

Заметим, что уравнение (27.8) имеет классический аналог. Если есть некоторая динамическая величина 九(р, q; /), то полная производная от нее по времени равна:

dk didk di_ дХ . dhdp .。入 dq=田十而应十而办_ дХ . dhdp .。入 dq=田十而应十而办(27.9)(27.9)

dk di

dk di

_ дХ . dhdp .。入 dq

=田十而应十而办

_ дХ . dhdp .。入 dq

=田十而应十而办

(27.9)

(27.9)

получим:получим:Подставляя сюда р и q из уравнений Гамильтона (10.6) и (10.6‘),

получим:

получим:

(27.10)(27.10)也=处丄如也一处亚dt 一。/十 dq др др dq *

(27.10)

(27.10)

В § 31 будет показано, что выражение (27.10) получается из (27.8), когда совершается предельный переход к классической

口дК дН дК дНис

механике. Выражение 而一 加^ называется скобкой Пуассона.

Если величина 九 не зависит явно от времени и скобка Пуассона от нее равна нулю, то X = 0, т. е. X ——интеграл движения. Аналогичным образом, если оператор не содержит явно / и перестановочен с гамильтонианом, то X называется квантовым интегралом движения. Соответствующая величина 入 существует в данном состоянии одновременно с энергией системы.

Например, гамильтониан частицы в центральном кулоновом поле имеет вид (см. (24.32)):

部1 33肺2Ze2

Оператор квадрата момента содержит лишь дифференцирование по углам и поэтому перестановочен с гамильтонианом. Следовательно, он сохраняется вместе с энергией. То же относится к опе- ратору проекции момента Мг = -『彳.Следовательно, вместе с энер-

гией сохраняются в рамках допустимого квантовой механикой те же величины, что и в классической механике, где сохранялись все три компоненты вектора момента. Только в квантовой механике, вместо трех составляющих остается квадрат момента и его проекция. Сохранение трех проекций момента отвечает траектории движения, лежащей в плоскости, перпендикулярной моменту, но в квантовой механике нет траекторий.

Найдем теперь квантовый аналог уравнений движения, т. е. вычислим полные производные по времени от координаты и импульса. Имеем:

*=4[步一汾眼一喝， (27.12)

потому что оператор потенциальной энергии зависит только от координат и перестановочен с 尸.Чтобы вычислить получившуюся перестановку, найдем ее для какой-нибудь одной компоненты г, например х. Для этой компоненты

А 2 А人人А АЛ. А

p X 一 хp2 = p旣一X成

так как квадраты остальных двух составляющих импульса перестановочны с %. Далее прибавим и вычтем из перестановки одинаковый член рххрх. Группируя члены, получим:

人 /人 а人人、/人 A人人 、人用 А

Рх -хрх) + [рхх-хрх)рх = 2т рх.

другиминаходим(27.13)другиминаходим(27.13)Аналогичным образом вычисляются и перестановки с составляющими радиус-вектора. Подставляя их в (27.12), окончательно:

другиминаходим

(27.13)

другиминаходим

(27.13)

т 'т

Следовательно, операторы скорости и импульса связаны тем же соотношением, что и классические величины.

Определим производную оператора импульса:

• дО• дО(27.14)(27.14)

• дО

• дО

(27.14)

(27.14)

где был использован результат упражнения 2 K § 24.

Оператор в правой части уравнений (27.14) естественно назвать оператором силы. Таким образом, для операторов получились такие же уравнения движения (27.13) и (27.14), как для классических величин. Это утверждение носит название принципа соответствия.

Образуя средние значения от равенств (27.13) и (27.14) по правилу (25.19), видим, что и квантовомеханические средние удовлетворяют классическим уравнениям движения.

Линейный гармонический осциллятор. Применим уравнения (27.13) и (27.14) к задаче о нахождении собственных значений энергии линейного гармонического осцилля-

тора. Из формулы (7.31) нам известно, что энергия отдельного линейного гармонического осциллятора с единичной массой равна:

戶一更丄炉Q2

Допустим, что масса осциллятора т. Тогда его координату х можно измерять в обычных единицах длины, а импульс р — в единицах г • см I сек.

Выражая скорость через импульс по формуле х = ^, представляем гамильтониан осциллятора в таком виде:

I т(о2х2

(27.15)

Чтобы найти собственные значения энергии, (27.15) операторным уравнением:

надо считать

(27.16)

В этом параграфе мы будем решать задачу, считая независимой переменной энергию. На первый взгляд может показаться, что

это гораздо труднее, чем пользоваться координатным представлением, где по крайней мере известна форма операторов: р =7■孤. На самом деле применительно к осциллятору матричная форма имеет ряд преимуществ, так как позволяет решить задачу алгебраически. В координатном представлении задача об осцилляторе будет решена в следующем параграфе, для чего понадобится анализ дифференциального уравнения.

Усредним уравнение (27.16) по произвольному состоянию ос-

циллятора:

〈е〉=需+吟"

(27.17)

Ясно, что средние значения положительных величин 〈р?〉 и 〈％2〉по крайней мере не отрицательны, так что и среднее значение энергии не отрицательно. Если усреднение производилось по собственному состоянию гамильтониана, то среднее значение равно собственному значению, поэтому и собственные значения энергии не отрицательны.

Запишем теперь уравнения движения (27.13) и (27.14) применительно к осциллятору, т. е. полагая потенциальную энергию T 7 加0)2尤2

U = —^―. Это дает:

公А

р = — m(o2x.

(27.18)

(27.19)

Возьмем от обеих частей этих уравнений матричные элементы в энергетическом представлении, т. е. заменим каждый оператор X, 304

входящий в уравнения, матричным элементом ^е. Так как ни один из операторов в настоящей задаче не зависит явно от времени,

получаем из (27.5):

^е，е = ；-(Е' — Е)人е，е・(275)

Применяя эту формулу к (27.18) и (27.19), находим: ^(Е'-Е)Хе，е = ^Ре，е，(27.20)

•| (& - Е) %，е =—加鋁丘，尸(27.21)

Исключим из второго уравнения Ре，е и подставим в первое, тогда[(& 一 七)2-左2叫 хе，е = 0.(27.22)

Таким образом, отличен от нуля только такой матричный элемент Хее для которого Е'——Е = ± hs. Отсюда видно, что разности между соседними собственными значениями энергии могут быть равны ± йсо и ничему иному. С другой стороны, мы установили, что собственные значения энергии не отрицательны, так что вычитая из некоторого собственного значения энергии величину 八① достаточное число раз, мы непременно придем к некоторому наименьшему собственному значению энергии Ео. Поэтому будем в дальнейшем писать собственное значение энергии в таком БИДе:En==h^n + EQ.(27.23)

Соответственно матричные элементы вместо Хе，е обозначим через хп/п, где 几‘ и 几一целые неотрицательные числа. В этих обозначениях вместо уравнения (27.22) надо написать аналогичное уравнение, где индексами будут не сами значения энергии, а их номера: [(" —几)2 — 1]%，几=0.(27.24)

Прежде всего ясно, что при одинаковых номерах (几'=п) Хп，п = 0, следовательно, матрица хп^ не имеет диагональных элементов. Положим 几'=п ± 1. Тогда первый сомножитель в уравнении (27. 24) слева обращается в нуль, откуда следует, что хп±\, и 7^=0- При всех прочих п этот сомножитель не равен нулю, так что равны нулю остальные матричные элементы, как и диагональные; таким образом, только x〃±i, % 抬 0.

Определим теперь не равные нулю матричные элементы хп±\,п Для этого будем исходить из соотношения перестановки (24.17), которое тоже надо переписать в энергетическом представлении. В правой части равенства (24.17) стоит число, так что от правой и соответственно левой части получаются только диагональные матричные элементы. Чтобы найти матричные элементы левой части, надо выразить матрицы импульса через матрицу координаты. Это делается с помощью основного уравнения движения (27.20), которое показывает, что у матрицы рмп отличны от нуля только те же элементы, что и у матрицы х%，%, т. е. pn±i, п*

Для этих элементов получаем:

Рп + ^п — im^^n^l, п> Рп-1, « = — ifTUdXn一工,п・(27.25)

По общим правилам умножения матриц находим для левой части соотношения перестановки:

Рп, п +1^п +1, 〃 + Рп, П-1^П-1, П — ^П,п + 1Рп + 19 71 — ^п,п-1Рп-1, « =

=—2msН %,宀产 + 2m* /, 一 产=4" •(27.26)

Но так как матрица хПгП_1 эрмитовская, то хп^ = x*-i, п, поэтому I %,九一1 产=I 加一1,几产・ Тогда уравнение (27.26) можно переписать и в таком виде:

闻宀『_|%1〃|2 =負・(27.26)

Видно, что каждый индекс первого слагаемого слева на единицу больше соответствующего индекса второго слагаемого. Кроме того, слагаемых с отрицательными индексами нет, поскольку и начинается согласно (27.23) с нуля. Поэтому

ьЕ =费，%2产 = 2•费,^宀e=仇+1)备・

(27.27)

Так как | хп>п+1 |2 = | хп+1гП |2, мы определили квадраты модулей всех отличных от нуля матричных элементов координаты.

Примем, что сами матричные элементы ——действительные числа, значение их фазы ни в какое физическое равенство не входит. Тогда согласно (27.25) матричные элементы импульса — чисто мнимые числа. Из условия эрмитовости при этом следует, что Рп'п = рЗ，= —рпп‘・ Пользуясь (27.27) и (27.25), запишем обе матрицы Хп^п и р,展几 в виде таблиц:

Хп，п=У^Хп，п=У^оо о ооо о оу 1 оО V2/2 Оу 1 оО V2/2 ООО /3ОО /3О ...О ...О ...О ...О ...О ...О Уз О У 4 ...О 0 ]/4 0 ...О Уз О У 4 ...О 0 ]/4 0 ...0-/10000-/20000—Кз000Гз0 —М000Г400-/10000-/20000—Кз000Гз0 —М000Г40(27.28)(27.28)

Хп，п=У^

Хп，п=У^

о

о о о

о

о о о

у 1 о

О V2

/2 О

у 1 о

О V2

/2 О

О

О /3

О

О /3

О ...

О ...

О ...

О ...

О ...

О ...

О Уз О У 4 ...

О 0 ]/4 0 ...

О Уз О У 4 ...

О 0 ]/4 0 ...

0

-/1

0

0

0

0

-/2

0

0

0

0

—Кз

0

0

0

Гз

0 —

М

0

0

0

Г4

0

0

-/1

0

0

0

0

-/2

0

0

0

0

—Кз

0

0

0

Гз

0 —

М

0

0

0

Г4

0

(27.28)

(27.28)

Остается вычислить энергию самого нижнего состояния Ео. Ее можно представить как диагональный матричный элемент энергии Н с индексами «О, 0». Выражая матрицы энергии через квадраты матриц координаты и импульса, получаем:

^-Н^^ + ^^^^ (27.28^)

где мы использовали (27.28).

Смысл нулевой энергии удобнее разъяснить в следующем параграфе.

Матрица плотности. Рассматривая опыт Штерна и Герлаха, мы указали в § 24, что первичный пучок частиц в произвольно ориентированном магнитном поле расщепляется на 2/ + 1 пучков, тогда как пучок с определенным значением проекции момента расщепляется лишь в поле, не параллельном оси 2, т. е. не параллельном тому полю, которое вызвало первичное расщепление. В этом последнем случае говорят, что имеет место чистое квантовое состояние системы , характеризуемое определенной волеовой функцией. (В чистом состоянии некоторый опыт, произведенный над системой, при повторении дает один и тот же результат.)

Как характеризовать состояние исходного пучка? Для него известна вероятность wk появления каждого значения 々,равная (2/ + I)-1. В чистом состоянии должны быть известны не только вероятности 侬〃,но и их амплитуды Q, через которые wk выражаются как ©а = I с^ |2. Поэтому в чистом состоянии система может характеризоваться волновой функцией

2 (%) = 2 以屮(財 х).

k

Но для этого нужно, чтобы система была замкнутой, т. е. ни с чем не взаимодействовала. Только в этом случае она имеет определенный гамильтониан, и ее волновая функция 屮(％) удовлетворяет точному волновому уравнению.

Частицы в опыте Штерна и Герлаха (обычно атомы какого-нибудь металла) получаются путем испарения в специальной печке. В таких условиях каждый атом нельзя считать замкнутой системой: он взаимодействует со своим окружением. Взаимодействие оказывается недостаточно сильным, чтобы повлиять на квадрат момента каждого атома, так что у всех атомов значение 7И2 = 胪/ (/ + 1) одно и то же (см. § 24), но зато создает такие условия, при которых все значения k у вылетающих атомов равновероятны. Подобное состояние, испытавшее влияние внешнего воздействия, принято называть в отличие от чистого состояния смесью.

Будем рассматривать смеси не специально в связи с опытом Штерна и Герлаха, а в общем случае. Пусть система в результате некоторого внешнего воздействия имеет вероятность появления

n-го состояния, равную wn. Для описания такой системы оказывается удобным ввести специальную матрицу:

Р (%', х) = £ 叫а* (几，％')屮仇，％),(27.29)

называемую матрицей плотности системы.

Покажем, как с помощью матрицы плотности вычисляются средние величины для данной смеси. Общее определение среднего некоторой величины 〈九〉есть, как обычно,

⑴=£叫〈九〉"，(27.30)

где 〈入〉“ среднее от 入 по n-му состоянию (ср. (25.18)). Среднее значение величины 九 по 几-му чистому состоянию есть согласно (25.19)

〈九〉九='屮*(几，x)JC屮(小 %)dx.(27.31)

Подставим это в (27.30) и поменяем порядок суммирования и интегрирования. Оператор X (х) при этом предварительно удобно представить в виде матрицы:

Х(х) = 6(х-/)兄(/)三入(/，％),(27.32)

подобно тому как это делалось в предыдущем параграфе.

Напоминаем, что если X (%') содержит дифференцирование по /, то форма записи (27.32) не диагональная. Подставляя теперь (27.32) в выражение для среднего, приводим его к виду:

⑴= \dx^dxf ^ ©評 * (几，％')入(x, £)屮(几，％)=

= \dx\d%A(x, £)р(/, %)(27.33)

согласно (27.29).

В такой форме у нас получился диагональный элемент произведения матриц Ар, т. е. \dx'% (%, х') р (/, х), проинтегрированный по dx. Сумма диагональных элементов матрицы 4^ или интеграл по диагональным элементам А (х, х), если значок меняется непрерывно, называется следом, или шпуром (Sp) матрицы:

Sp 4三2 4”，(27.34)

Sp 厶三，dxA (x, x).(27.35)

Выражение (27.33) есть шпур от произведения матрицы плотности на матрицу усредняемой величины. Это выражается таким образом:

〈L〉= Sp(M))・(27.36)

Значение формулы (27.36) состоит в том, что она не зависит от выбранного координатного представления. Величина шпура мат- 308

рицы есть инвариант относительно унитарного преобразования, т. е. относительно перехода к другому представлению. Покажем это, пользуясь формулами предыдущего параграфа. Запишем формулу (26.48) применительно к произвольному оператору А:

AVfv — \ 5^* (v，» х，) Ах^(V, х) d£ dx. (27.37)

Образуем шпур от обеих частей равенства, причем справа переставим интегрирования по £, % н суммирование по v:

Sp 4 = £ 4v = \ \ d£ d%4，％2 屮* (% x')^ (v, %). (27.38)

VV

Воспользуемся теперь тем, что гр* (v, %') = г|)(/, v) п 屮(v, %)= =гр* (х, V). Тогда внутренняя сумма приведется к виду:

£屮*(居")屮(/, v),(27.39)

V

но в силу общего условия ортогональности волновых функций эта сумма равна:

2 少*(居 v)屮(%', v) =5 (% — £)・(27.40)

V

Здесь была применена формула (26.28) путем замены 入 на % и х на V. При этом в случае дискретного спектра величины v интегрирование заменяется суммированием, но правая часть равенства выражается через 6-функцию, если только спектр 九(т. е. %) непрерывный.

С помощью (27.40) получаем:

Sp 24 = g儿" =\厶\"4*尤,3(% - /) = \ dxAxx, (27.41) V

где было использовано основное свойство 6-функции.

Таким образом, выражение средней величины через шпур матрицы плотности справедливо в любом представлении, как и необходимо для всякой физической величины.

Попутно отметим важное свойство шпура от произведения двух матриц:

У (43)”^ = £ ^vy.figv = £ 4卩”&卩—£ 5V卩4]U/V — 2 (B4)w・

VVMMVMVV

(27.42)

(Мы применили многократно применявшуюся перестановку значков, по которым производилось суммирование.) Сокращенно запи- шем:SpXB^SpBA.(27.42')

Инвариантность шпура в гильбертовом пространстве находит свою аналогию в евклидовом пространстве: сумма диагональных компонент тензора второго ранга 4仪《 — скаляр, она не меняется при повороте координатных осей.

С помощью основной формулы (27.36) легко найти шпур самой матрицы плотности. Для этого достаточно подставить в эту формулу 九=1. Получаем:

Sp р = 1.(27.43)

Найдем теперь шпур квадрата матрицы плотности, т. е. ее произведения на самое себя. По правилу умножения матриц

(р • p)w = \ d/p (х, /) р (才，£)・(27.44)

Подставим сюда выражения матриц р (%', /') и р (х〃，％) и переставим порядок суммирования и интегрирования по dxff. Пользуясь свойством ортогональности функций 小(几，xf,) и ip* (几'，£'), получим:

\ d/p (х, £') р (%〃，％') = £ w^)n^ (п, %)屮(几'，％') хп, nf

X \屮* (几',£')屮(几,£') dx" = £ ⑪河* (〃'，%) гр (n, %)・

Чтобы найти шпур от этого выражения, надо положить %'=尤 и проинтегрировать по d%・ Благодаря нормировке каждый интег* рал от I 屮(几，х) I2 равен единице, так что

Sp р • р = £ 啸.(27.45)

п

Но шпур самой матрицы плотности есть

Spp = £b〃\屮* 仇，％)屮(几，X)dx = ^lwn=l, (27.46) п几

как мы уже знаем из (27.43).

Если вероятность некоторого события не переходит в достоверность, то ⑪"V 1・ Следовательно, квадрат вероятности меньше самой вероятности Wn V ⑪公 Сравнивая соотношение (27.45) с формулой (27.46), видим, что

Spp・p vSpp.(27.47)

Неравенство может перейти в равенство только для случая чистого состояния, когда одна из вероятностей, например wni равна единице, а все 侬球力几=0. Тогда

Sp p.p = Spp= 1.(27.47)

Близость Sp р • р к Sp р может рассматриваться как мера чистоты состояния.

Таким образом, матрица плотности дает максимально возможно полное описание смеси.

Найдем теперь уравнение для изменения матрицы плотности со временем, заменяющее уравнение Шредингера для волновой функ* ции (23.11), или — ?曾=方屮.

Возьмем производную по времени от матрицы плотности: 響*=1叫^空齡1中(几，不)+炉仇，%')｝吗卢^

Но

I dt * ' z 切

откуда получается:

。嘴9 = ^ [方* (£)Р 出，％)-方⑴ p (N, x)]・ (27.48)

Так как это уравнение имеет операторный вид, оно справедливо в любом представлении.

§ 28. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ

В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

В этом параграфе будет получено решение волнового уравнения для некоторых случаев, имеющих частично иллюстративное, частично вспомогательное значение. Тем не менее при этом выяснятся многие важные закономерности.

Задачи, в которых используются граничные условия, налагаемые на волновую функцию в ее зависимости от координат, было бы затруднительно решить в ином представлении, кроме координатного. Таким задачам отведена большая часть настоящего параграфа. Кроме того, здесь же решена задача о линейном гармоническом осцилляторе при помощи уравнения Шредингера. Независимо от полученного ранее результата в энергетическом представлении решение этой задачи в координатном представлении имеет большой интерес как иллюстрация расчетных методов квантовой механики.

Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Предположим, что частица вынуждена двигаться в одном измерении, оставаясь на отрезке длиной а, так что О V % V а. Можно представить себе, что в точках % = 0 и % = а поставлены абсолютно жесткие непроницае

мые стенки, отражающие частицу. Ограничение такого рода наглядно изображается в виде кривой потенциальной энергии (рис. 30): U = оо при % V 0 н при % > а. При 0 V % V а полагаем U рав

ным нулю: такова калибровка потенциальной энергии. Для того чтобы выйти из области 0 V % V о, частице пришлось бы совершить бесконечно большую работу. Следовательно, вероятность того, что

частица окажется при x = 0 или при 尤 =а, равна нулю. С помощью (23.1) получаем:

(28.1)(28.1)屮(0)=屮(〃)=0.

(28.1)

(28.1)

Эти граничные условия могут быть оправданы и с помощью предельного перехода от ямы конечной глубины к бесконечно глубокой яме, что будет сделано дальше.

Поскольку потенциальная энергия не зависит от времени, можно прямо написать уравнение для разыскания собственных значений энергии — уравнение (23.21). Так как движение одномерное, вместо Д надо взять полную производную 器. Тогда

(28%)

Введем сокращенное обозначение

(28.3)(28.3)2тЕ о

(28.3)

(28.3)

В 5

так что волновое уравнение приведется к виду: 嘉=一则■(28.4)

Решение (28.4) хорошо известно:

гр = Сх sin хх + С2 cos их.(28.5)

Но согласно (28.1) гр (°) = 0, поэтому член с косинусом надо опустить, положив С2 = 0. Остается

^ = 6! sin хх.(28.6)

Теперь подставим второе граничное условие:

屮(а) = & sin ха = 0.(28.7)

Это уравнение относительно х. Оно имеет бесчисленное множество решений:

иа = пл,(28.8)

где п ——любое целое число, не равное нулю:

1 ^п^оо.(28.9)

Значение п = 0 исключается, потому что при х = 0 волновая функция обращается в нуль везде (W = sin 0 = 0); тогда, следовательно, I гр |2 = 0, и частицы просто нигде нет (тривиальное решение).

Подставляя теперь 乂 из определения (28.3) и решая (28.8) относительно £, находим выражение для энергии, т. е. спектр энергии для рассматриваемой задачи:

反=嘉・成(28.Ю)

Граничное условие, налагаемое на волновую функцию, столь 氷е обязательно для разыскания спектра энергии, как и само волновое уравнение. Как видно из (28.10), оно выполняется не при всех значениях энергии, а только при значениях, принадлежащих к определенному ряду чисел, характерному для рассматриваемой задачи. Смотря по условиям, эти числа могут образовывать или дискретную совокупность, как в данной задаче, или непрерывную последовательность, как в задаче о свободном движении

частицы.

Действительно, при свободном движении частицы ее волновая функция должна оставаться везде конечной. Этому условию удовлетворяет функция (23.3) при всех действительных и положительных значениях энергии. Отрицательным энергиям отвечал бы в этом случае мнимый импульс, так что координатная зависимость волновой функции имела бы вид экспоненты от действительного аргумента. Но такая экспонента обращается в бесконечность при % = + ОО ИЛИ X — — оо.

Решение уравнения (23.21) для стационарных состояний всегда связано с разысканием спектра энергии. В отличие от теории Бора, где дискретность состояний выступала как необходимый, но чужеродный придаток к классическому движению, в квантовой механике сам характер движения определяет спектр энергии. Это станет видно особенно хорошо на дальнейших примерах.

Вернемся теперь к волновой функции (28.6). Она обращается в нуль внутри интервала 0 ——а *(т. е. кроме его концов) п раз. Число нулей («узлов») волновой функции равно номеру собственного значения энергии.

Этот результат легко понять из таких соображений. При п = 1 на интервале 0 — а укладывается полволны синусоиды, при 几=2 —— одна волна, при 几 = 3 ——три полуволны и т. д. Следовательно, чем больше л, тем меньше длина волны де Бройля X. Но энергия пропорциональна квадрату импульса, т. е. обратно пропорциональна квадрату 入，согласно (22.2). Поэтому, чем меньше X, тем больше энергия. Это заключение справедливо, конечно, и не при чисто синусоидальной форме волновой функции, но уже не в виде точной количественной зависимости, а качественно: чем больше нулей, или «узлов», имеет волновая функция, тем больше энергия.

Состояние с наименьшей энергией отвечает волновой функции, которая нигде внутри интервала «узлов» не имеет. Оно называется основным состоянием, а все остальные — возбужденными.

Чтобы полностью задать волновую функцию, остается определить коэффициент Cj. Находим его из условия нормировки (23.17):

ааа

\ I 屮 j2 dх = с; \ sin2 хх dx = C[ \ 1 二f；s2囈 dx =

000

% sin 2хх \ С\а 〔

Второй член проинтегрированного выражения обращается в нуль на обоих концах интервала согласно (28.8). Таким образом,

& = ]/!，(28.11)

办=)/"^也繫.(28.12)

Волновая функция (28.12) действительна. Поэтому согласно (23.19) ток (поток частиц) в этом состоянии равен нулю. Это можно пояснить еще и так. Волновая функция (28.12) разлагается на сумму

—

двух экспонент. Вместе с временным множителем е 拉 каждая такая экспонента представляет волновую функцию свободной частицы (23.3), причем одна из них отвечает импульсу р = hx, а другая — такому же импульсу с обратным знаком. Таким образом, состояние (28.12) представляется как наложение двух состояний с противоположными импульсами, причем эти состояния характеризуются равными амплитудами.

У частицы, движущейся в потенциальной яме по законам классической механики, средний импульс равен нулю: при каждом от- ражении от стенок ямы он меняет знак. В этом смысле можно утверждать, что средний импульс частицы и для квантового движения равен нулю. Отличие состоит в том, что в каждый данный момент классический импульс имеет определенное значение, а квантовый импульс частицы в яме такого значения не имеет: волновая функция представляется суммой состояний с импульсами обоих знаков. Это соответствует принципу неопределенности: так как координата частицы ограничена пределами 6Vx V а, ее импульс не может иметь точного значения.

Заметим еще, что в данной задаче о прямоугольной потенциальной яме квадрат импульса равен 胪乂"，так как неопределенность распространяется только на знак импульса. Квадрат импульса в этом случае пропорционален энергии. Для ямы произвольной формы квадрат импульса тоже не определен.

Частица в трехмерной потенциальной яме бесконечной глубины. Предположим, что частица заключена в ящике, ребра которого 〃匸 о?，〃з・ Обобщая граничные условия (28.1), заключаем, что волновая функция этой частицы обращается в нуль на всех гранях ящика:

屮(0,次 2)=屮(％, 0, 2)=屮(％, у, 0)=

=屮(紀 У, 2)=^(% &, z)=屮(%, у, Оз)=0・(28.13)

Волновое уравнение теперь надо писать в трехмерном виде:

-庚誥+諸+對=及 (28.14)

Решение удобно представить так:

屮=С sin 乂丄％ • sin 乂2y • sin х3г.(28.15)

Оно выражено через синусы, а не через косинусы, чтобы удовлетворить первой строке граничных условий (28.13). Величины хп х2 и 乂3 определяются из второй строки граничных условий (28.13). Сомножители соотношения (28.15) обращаются в нуль либо при % = а】, либо при у = 〃2, либо при 2 = 〃з・ Иначе говоря,

(28.16)(28.16)sinxi% = 0, 比1% = 〃1П，, sin && = 0， x2& = 〃2n， sin 乂303 ^^ °，乂3"3 — 几3口，

(28.16)

(28.16)

Здесь 几 1,几2 H 几з — целые числа, из которых ни одно не равно нулю (в противном случае 屮 была бы равна нулю во всем ящике).

Подставляем,(28.15) в (28.14) и пользуемся тем, что для каждого сомножителя (25.15) справедливо равенство вида:

爲 sin%% =--乂; sin %1%,(28.17)

что дает:

a屮=一(鸡+褐+褐)屮.

Чтобы уравнение (28.14) удовлетворялось, энергия должна быть связана с 乂力 х2 и х3 следующим образом:

e=爲(若十渴+啕・(28.18)

Подставляя 乂1, х2, 乂3 из (28.16) в (28.18), получаем собственные значения энергии:

3川网=需£ + ^ +思・(28.19)

Наименьшая возможная энергия равна:

Eui =筹(今+ * + a (28.20)

Значение Е = 0 невозможно согласно принципу неопределенности; частица, заключенная в ящике конечных размеров, не имеет строго определенного импульса, в частности и нулевого. Так как Рх = ± йх, то Ар% = 2Лх. Подставляя Дрх в соотношение неопре- деленности (22.4), находим, что минимальное значение & равно —. Но это как раз соответствует формуле (28.18), если подставить в нее ^/ — ~ (^ ~ h 2, 3).

Подсчет числа возможных состояний. Каждому значению тройки чисел nlt 几2 и 几з отвечает одно возможное состояние частицы. Будем искать распределение числа возможных состояний системы по значениям 几i, п2 и п3 для больших чисел п1т "2，饱。

Числа, большие по сравнению с единицей, можно дифференцировать: дифференциал d^ означает интервал чисел, малый по сравнению с “и но заключающий в себе еще много отдельных цело-

численных значений пР Иначе говоря,枕工》d九i》1. Тогда ясно, что в интервале dnv заключено как раз d^ возможных целых чисел и аналогично в интервалах dn2 и dn3.

Отложим 几и 〃2 и 九з на координатных осях. В этом пространстве построим параллелепипед со сторонами dn^ dn2 и dn3 так, что его объем будет равен dn1dn2dn3. Согласно только что сказанному каждой точке внутри этого параллелепипеда, имеющей целочисленные значения координат /1^ 几2 и 几з, отвечает одно возможное состояние частицы в трехмерном потенциальном ящике. Таких точек внутри параллелепипеда dn1dn2dn3. Следовательно, обозначая число состояний в объеме через dN (几i孔2几з)，получаем:

dN (Hi, 〃2,几3) = d几id/22d几з・(28.2 1)

Подставляя сюда 乂力 x2, x3 из (28.16), найдем выражение числа состояний через dxidx2d*з：

dN的，％, %3)=且也哼手曲1.

Но так как 仆的生一геометрический объем ящика 匕 то

dN的，叫 啕=上探2.(28.22)

Числа 乂［, 乂2 и 乂3 принимают только положительные значения.

Рассматривая движение частицы в одномерной потенциальной яме, мы указали, что каждому значению хг отвечают два значения проекции импульса, равные по величине и противоположные по знаку. Поэтому если сравнить между собой числа состояний, заключенных в интервалах d% и *三审，то на последний приходится вдвое меньше состояний. Соответственно этому число состояний в интервале значений импульса dpxdpydpz равно

Vdpxdpydpz ,&，Pz) =—酶р—

где рх, ру и pz принимают все действительные значения от — оо до оо.

Иначе говоря, удалось избавиться от несколько искусственного допущения о том, что частица движется именно в ящике, притом в ящике прямоугольной формы. Относя, например, (28.23) к единичному объему, мы получим вполне общую формулу для соответствующего числа состояний квантовой частицы, которое имеет размерность I/cm、 Заметим, что формула (28.23) может быть выведена только в квантовой механике благодаря конечному ненулевому значению кванта действия.

Формула (28.23) согласуется с соотношением неопределенности (22.4). Если движение ограничено по % интервалом 0 — аъ то физически различны только состояния, у которых проекции импульса различаются не меньше чем на 詳.Следовательно, в интер*

вале dpx заключено состояний. Перемножая a®%a2da a^dpz

—^2^- • ~2nhi приходим к формуле (28. 23). Для того чтобы при оценке числа состояний из соотношения неопределенности получался правильный численный коэффициент, в правой части (22.4) была поставлена величина 2лА или 2冗 в (19.6).

Рассмотрим теперь число состояний, несколько изменив независимые переменные. Отложим на координатных осях проекции импульса рх, ру и pz. Подсчитаем число состояний в импульсном пространстве, заключенном между двумя сферами, имеющими радиусы р и р + dp. Искомое число равно интегралу от (28.23) по объему, заключенному между этими сферами. Соответствующий объем в импульсном пространстве равен поверхности сферы радиуса р, т. е. 4лр2, умноженной на dp:

dN (p)三 \ dN (% &, 〃)=个胪=讎・(28・24)

Перейдем отсюда к энергии частицы 七=晶.Перейдем отсюда к энергии частицы 七=晶.Пользуясь тем, что р = ^mE, pdp = mdE,Пользуясь тем, что р = ^mE, pdp = mdE,состояний, no Е + d£:состояний, no Е + d£:соответствующих интервалу значенийсоответствующих интервалу значенийdN (Е)=dN (Е)=17 tm 3/2 e1/2 泾2 "2冗2用317 tm 3/2 e1/2 泾2 "2冗2用3находим число энергии от Е(28.25)находим число энергии от Е(28.25)

Перейдем отсюда к энергии частицы 七=晶.

Перейдем отсюда к энергии частицы 七=晶.

Пользуясь тем, что р = ^mE, pdp = mdE,

Пользуясь тем, что р = ^mE, pdp = mdE,

состояний, no Е + d£:

состояний, no Е + d£:

соответствующих интервалу значений

соответствующих интервалу значений

dN (Е)=

dN (Е)=

17 tm 3/2 e1/2 泾

2 "2冗2用3

17 tm 3/2 e1/2 泾

2 "2冗2用3

находим число энергии от Е

(28.25)

находим число энергии от Е

(28.25)

Итак, число состояний, заключенных между Е и Е + d£, возрастает пропорционально Е】/2. В одномерной потенциальной яме u an^^dE

ПОЛУЧИЛОСЬ бы1/9・

J21/”冗用/2

В курсах математической физики показывается, что результат (28.25) имеет силу для таких значений энергии, которые весьма велики по сравнению с энергией основного состояния. Тогда число состояний пропорционально объему и не зависит от его формы.

Одномерная потенциальная яма конечной глубины. Рассмотрим теперь движение частицы в одномерной потенциальной яме конечной глубины. Зададим ее так: U = оо при — boWxvO, U = 0 при OvxVohU = Uo при а <х оо. Иначе говоря, потенциальная энергия при х>0 равна U。везде, кроме области шириной а около начала координат, которую мы и назвали ямой. При % V 0 потенциальная энергия бесконечна (рис. 31)

* В § 20 было показано, что трехмерное волновое уравнение можно свести к одномерному путем подстановки 4)= —. Тогда, если момент частицы равен нулю, уравнение (24.32) полностью сведется к одномерному с той разницей, однако, что переменная г изменяется только от нуля до бесконечности. Формально «того можно достичь, помещая в х = 0 бесконечно высокую потенциальную стенку. Рисунок 31 по существу относится к сферической потенциальной яме при нулевом значении момента.

Так как решение должно иметь различный аналитический вид внутри ямы и вне ее, надо найти условия сопряжения волновой функции на границе при х = а. Запишем волновое уравнение

一嚣言+u(")屮=迎(28・26)

кривой обе егокривой обе егов котором U (%) определено рисунка 31, и проинтегрируем

кривой обе его

кривой обе его

части по узкой области а — 3 V % V W 〃 + 3, заключающей точку разрыва потенциальной энергии % = а. Интегрирование дает:

-^[图…-(凱-6]= - (?-⑺屮以.(28.27) а —6

Хотя U (%) и терпит разрыв на границе ямы, оно остается везде конечным. Поэтому, когда 6 стремится к нулю, интеграл справа тоже стремится к нулю, так что равна нулю и левая часть (28.27). Иначе говоря,

а + 0 —а + 0 —(28.28)

а + 0 —

а + 0 —

т. е. предел производной справа равен ее пределу слева.

Для задачи о яме бесконечной глубины это рассуждение несправедливо, потому что тогда интеграл в (28.27) имеет неопределенную величину.

Покажем путем предельного перехода, что и сама волновая функция не терпит разрыва на границе. Предположим противное, что 屮 терпит разрыв А, т. е.屮(а + 0)——ip (а ——0) == А. Кроме того, допустим, что разрыв происходит не в точке, а в некоторой узкой области вблизи % = а. В точках % ——а = ± 5 волновая функция плавно сопрягается с некоторым решением волнового уравнения для узкой переходной области а ——5w%Va + 5. Таким образом, в целом получается ступенчатая кривая, но края ступеньки скруглены. Последнее вытекает из (28.28) — произвол* ная волновой функции не может иметь разрыва в точках х = а± 8,

Производная волновой функции в переходной области имеет

так что в пределе, когда 3 f 0, она (точнее, должна обращаться в бескотак что в пределе, когда 3 f 0, она (точнее, должна обращаться в бескона гр и выполним преобразование пона гр и выполним преобразование попорядок величины 於 ~ , обращается в бесконечность нечность, если А #0!).

так что в пределе, когда 3 f 0, она (точнее, должна обращаться в беско

так что в пределе, когда 3 f 0, она (точнее, должна обращаться в беско

на гр и выполним преобразование по

на гр и выполним преобразование по

Умножим теперь (28.26) частям:

也竺L 一@也匆_

Проинтегрировав преобразованное выражение от а — 6 до а 十 8, получим:

а 十 6а + 6

Q—6Q—6

(28.29)

После этого произведем предельный переход к 6 ~>0. Проинтегрированные члены можно записать так:

(屮需取_。=2 (a +。)- 2(a -叨(凱±6,потому что производная, как уже доказано, не терпит разрыва.

Внутри предполагаемой области разрыва г|)-функции производная 寫 порядка ^, но на границах области ^ возвращается к значениям, не зависящим от 6 и потому конечным в соответствии с тем, что края ступеньки предполагаются скругленными. Следовательно, вся проинтегрированная часть в (28.29) слева имеет порядок величины А • (2)十§. Оставшийся интеграл оценивается так:

а — 6

Следовательно, он стремится к бесконечности, когда 6 стремится к нулю. Правая часть (28.29) конечна при 6 ->0. Поэтому предположение о том, что гр (%) имеет конечный разрыв Д, приводит к бесконечному члену в равенстве (28.29), который ни с чем не сокращается, т. е. к противоречию. Чтобы противоречия не было, надо считать А = 0, иными словами, что волновая функция не терпит разрыва.

Таким образом, в точках разрыва кривой потенциальной энергии волновая функция непрерывна вместе со своей первой производной.

Фактически мы не знаем таких взаимодействий в природе, которым соответствовали бы разрывные кривые потенциальной энергии. Но известны силы, очень быстро спадающие с расстоянием, ——это ядерные силы. Точный закон их зависимости от расстояния мы пока не умеем сформулировать, но хорошо известны ситуации, когда эти силы переходят от очень больших значений до нуля на расстояниях, которые гораздо меньше длины деброй- левской волны ядерных частиц. Тогда зависимость силы от расстояния законно аппроксимировать ступенчатой кривой рисунка 31. Такое приближение дает в ряде случаев вполне разумные результаты.

Но, допустив существование разрыва у кривой потенциальной энергии, необходимо было исследовать поведение волновой функ^ ции вблизи разрыва, чтобы модель разрывной потенциальной кри-

вой была внутренне последовательной, т. е. не приводила к математическим противоречиям.

Имея граничные условия, можно теперь построить решение волнового уравнения. Волновое уравнение для области О V% V。 (в яме) имеет вид:

Возьмем его решение:

гр = & sin кг,(28.30)

где х определено по (28.3). Решение только с синусом выбрано потому, что на левом краю ямы, где потенциальная энергия терпит бесконечный разрыв,屮 удовлетворяет граничному условию (28.1): 屮(0) = 0.

Волновое уравнение вне ямы (при % > о) напишем так:

一篇??=(E一°。)屮・(28・31)

Рассмотрим сначала тот случай, когда Е > UQ. Тогда, пользуясь сокращенным обозначением,

；^(Е —4)三嘱，(28.32)

перепишем (28.31) в стандартной форме (28.4):

案=一嘴屮，

откуда

屮=& sin %х + C3 cos(28.33)

Теперь надо удовлетворить граничным условиям на правом краю потенциальной ямы, где U (х) терпит только конечный разрыв. Согласно этим условиям непрерывна как сама волновая функция, т. е.

& sin ха = С2 sin 乂山 + С3 cos 乂館，(28.34)

так и ее производная

хС1 cos ха = 乂1。2 cos х^а ——乂1。3 sin х^а.(28.35)

Из этих двух уравнений можно определить, как С2 и Сз выражаются через 已и сопрягая таким образом решение волнового уравнения вне ямы с его решением внутри ямы. Уравнения (28.34) и (28.35) линейны относительно С2 и С3 и имеют решения при всех значениях коэффициентов:

с Xi sin ха sin х^ + 乂 cos ха cos 乂】@ 厂 2 一

б乂 1 sin ма cos 乂1a一乂 cosxq sin 乂1a б

5 =

Исключение составляет только то значение Е, при котором 乂^ = 0, т. е. £ = 〃・ Эта точка не принадлежит к спектру разрешенных

значений энергии. Зато при Е > U。уравнение Шредингера имеет решение всегда. Никакой дискретности в спектре собственных значений нет.

Можно было бы калибровать потенциальную энергию в этой задаче на нуль при % = оо, т. е. считать ее равной нулю при % > а и равной ——и。при 0 v%va. Тогда рассмотренный только что случай отвечал бы положительным собственным значениям полной энергии.

Пусть теперь Е V U『Введем величину

絹(4 — Е)三◎・(28.36)

Волновое уравнение надо написать иначе, чем при Е > (/0, а именно:

Его решение выражается через экспоненциальную функцию

2 = С^х + &е-汝.(28.37)

Но экспонента е乂尤 стремится к бесконечности, когда возрастает х. При % = оо она давала бы бесконечную вероятность нахождения частицы, а интегралу \ | 屮 产d% нельзя было бы приписать о

никакого конечного значения. Следовательно, решение, имеющее физический смысл, существует только при С4 = 0 и должно иметь ВИД：屮=金6-嶽.(28.38)

Постараемся снова удовлетворить граничным условиям при % = а. На этот раз они приводят к

& sin ха = С5е- &%(28.39)

xCi cos %а~ — хС5е~ 0a.(28.40)

Разделив уравнение (28.40) на (28.39), чтобы исключить Сх и С5, получим:

乂 ctg 冗〃 =—x.(28.41)

Выразим из этого уравнения sin ха:

sin ха = ± (1+ctg2 ха)-1/2 = ± [1+(^j J / ==

=安广=土偌匸(28.42)

Приведем его к более удобному виду. Согласно (28.3)

а У 2m так что

(28・43)

причем следует выбирать только те решения, при которых ctg ха согласно (28.41) отрицателен. Следовательно, ха должно лежать во второй, четвертой, шестой и вообще только в четных четвертях окружности.

Исследуем уравнение (28.43) графически (рис. 32). Левая часть уравнения изображается синусоидой, правая часть — двумя прямыми с угловыми коэффициентами ±—т=*. Если тангенс угла а 2mUq

X2

наклона этих прямых к абсциссе меньше по модулю, чем —, то они имеют одну или несколько точек пересечения с синусоидой в тех четвертях, которые отвечают корням уравнения (28.41). При этом не учитывается тривиальная точка пересечения ха = 0, потому что при 乂 = 0 волновая функция обращается в нуль везде. Таким образом, в потенциальной яме рассматриваемого вида имеется только несколько собственных значений энергии.

Если

(28.44)

то вообще нет точек пересечения прямых с синусоидой, которые отвечали бы собственным значениям энергии (точка пересечения в первой четверти не идет в счет!). На рисунке 32 точки пересечения в четных четвертях помечены кружками.

Специальный интерес представляет тот случай, когда положение уровня энергии весьма близко к верхнему краю потенциальной ямы по сравнению с ее полной глубиной. Допустим, что это основной уровень и других уровней в яме нет. Тогда, считая, что ширина ямы задана, а глубина немного больше предельной, т. е. UCf запи* шем:

4=а (1+3，ха=^ (1+办

где v к у — малые величины. Так как синус вблизи максимального значения отличается от единицы на малую величину второго порядка, получаем соотношение между и и у:

sinxa 〜1у ~

"十ь '2

Пользуясь теперь определением х (28.3), представляем уравнение (28.43) так:

sinxa = sin(l+y)^dl —豹2 = j/~£ = j/" ^^.

Считая, что E отличается от UQ на малую величину е, находим:

откуда видно, что

京7院•怨45)

Следовательно, уровень отвечает поставленному условию 8《U。： если глубина ямы отличается от предельной, при которой уровень только появился, на малую величину первого порядка, то уровень энергии отстоит от верхнего края ямы на величину второго порядка малости.

Такой случай реально осуществляется в ядре тяжелого водорода —дейтерия. Глубина потенциальной ямы, соответствующей ядерным силам, оценивается как 20——30 Мб, а энергия связи протона и нейтрона, т. е. е, — около 2,2 Мв (напоминаем, что задача о двух телах — протоне и нейтроне — сводится к задаче одного тела (см. § 3)). Благодаря малой энергии связи частиц в дейтероне волновая функция их относительного движения вне ямы согласно формуле (28.38), а также (28.44) и (28.45) имеет следующий вид: 屮=盡0卜8 .(28.46)

Из этой формулы видно, что функция 叩 затухает на расстоянии

а

во много раз превышающем размер потенциальной ямы (в дейтероне, если сказать точнее, не во много раз, а в 2——3 раза). Но тогда интеграл от | 屮 |2, взятый по области вне ямы (соответственно кубу отношения (患—— 1) Зу превосходит интеграл от | 屮产 по области внутри ямы. Иными словами, частица с гораздо большей вероятностью может быть обнаружена вне области действия ядерных сил, чем внутри нее. Поэтому оказывается, что волновая функция известна гораздо лучше, чем силы, связывающие протон и нейтрон. Но различные свойства дейтерона вычисляются по его волновой

функции, а не прямо по ядерным силам. Пользуясь этой особенностью дейтерона, Бете и Пайерлс построили вполне удовлетворительную количественную теорию дейтерона.

① ннятное и инфинитное движение. Покажем теперь, что вид спектра энергии частицы связан с характером движения. При Е > и° решение вне ямы имеет вид (28.33). Оно остается конечным и при бесконечно большом %. Поэтому интеграл \| 巾 Ed%, взятый по области ямы, сколь угодно мал по сравнению с таким же интегралом, взятым по всему пространству. Иными словами, ничто не препятствует уходу частицы в бесконечность. Такое движение было названо в § 5 инфинитным.

Если Е V и。, то решение (28.38) (когда оно существует) экспоненциально затухает при х -> оо. Следовательно, вероятность того, что частица уйдет бесконечно далеко от начала, равна нулю: частица все время остается на конечном расстоянии от ямы. Такое движение естественно назвать финитным, как и в классической механике.

Итак, инфинитное движение имеет непрерывный спектр энергии, а финитное ——дискретный, состоящий из отдельных значений. Если глубина ямы очень мала, финитное движение может и отсутствовать. Последнее справедливо только в трехмерном случае: в одномерной и двумерной яме всегда есть хотя бы один связанный уровень с отрицательной полной энергией. Поэтому мы и подчеркнули, что задача о потенциальной яме конечной глубины фактически относится к трехмерному движению. В классической механике в любом случае при Е <Uq движение финитно в яме любого числа измерений, в том числе трехмерной.

По ходу решения видно, что полученный результат относится не только к прямоугольной потенциальной яме. Действительно, если потенциальная энергия калибрована на нуль в бесконечности, то решение с положительной полной энергией при достаточно большом % имеет вид (28.33), а с отрицательной полной энергией ——вид (28.38). Последнее содержит только одну постоянную, тогда как (28.33)——две. Интегральные кривые обоих решений надо продолжить к началу координат так, чтобы выполнялось условие 屮(0) = О (мы считаем, что х всегда больше нуля). Ясно, что, имея в своем распоряжении две постоянные, можно всегда подобрать их так, чтобы условие 屮(0) = 0 выполнялось . Наоборот, решение (28.38), содержащее одну постоянную, обратится в начале координат в нуль только при некоторых специальных значениях х.

Можно объяснить еще и по-иному, почему инфинитное движение имеет сплошной спектр энергии. Волновая функция частицы при инфинитном движении отличается от волновой функции свободной частицы только в области потенциальной ямы. Но в этой области частица находится со сколь угодно малой вероятностью, если вся

область движения достаточно велика. Поэтому волновая функция при инфинитном движении совпадает с волновой функцией свобод* ной частицы «почти» во всем пространстве, где вероятность обнаружить частицу равна единице, и спектр энергии оказывается таким как у свободной частицы.

Если Uq стремится к бесконечности, то функция вне ямы очень быстро затухает. В пределе (UQ ~>оо) она обращается в нуль сколь угодно близко к границе х = а, что и дает граничное условие (28.1).

При конечном U。волновая функция вне ямы обращается в нуль не сразу. Следовательно, имеется не равная нулю вероятность того, что частица окажется вне ямы на некотором расстоянии от нее.

В классической механике это было бы совершенно невозможно, как это и получается из (28.38) в предельном переходе к Л ->0. При этом х = оо м 巾 вне ямы сколь угодно мала. Так, разумеется, и должно быть: если частица находится вне ямы, то ее кинетическая энергия (в классическом смысле) £ — U。V °・ Но скорость такой частицы ——мнимая величина. В классической механике это и означает, что соответствующая точка пространства совершенно недостижима для частицы с энергией Е,

В квантовой механике координата и скорость в одном и том же состоянии частицы никогда не могут быть точными величинами. Раньше мы выразили это соотношением неопределенности, т. е.

рассматривали такие случаи, когда точность понятия скорости для некоторого состояния ограничена пределами ^^. Но этот предел — нижний и относится к частице, почти свободной от действия сил. Появление мнимой скорости в формуле для связанной частицы

показывает, что само понятие скорости неприменимо в сколь угодно большой области пространства, где U > 应.Иначе можно сказать, что при U > Е неопределенность кинетической энергии всегда больше разности U — Е.

На примере дейтерона мы видели, что связанная частица может даже с подавляющей вероятностью находиться как раз в той области, где не действуют уже никакие силы.

Итак, для движения связанной частицы вне ямы никакого аналога в классической механике нет. Но как раз эта область движения является определяющей при нахождении энергетического спектра для финитного движения.

Линейный гармонический осциллятор. Рассмотрим задачу о квантовом линейном гармоническом осцилляторе. Из формулы (27.16) нам уже известен его гамильтониан.

力2 d2屮力2 d2屮(28.47)(28.47)После замены оператора импульса на 4-— получаем уравнение Шредингера:

力2 d2屮

力2 d2屮

(28.47)

(28.47)

Введем другие единицы измерения: примем единицу длины рав- н。^ 鳥'так что_

(28.48)

где величина 三 безразмерная. Производная患 Р^на

dx = V万艰.

Далее, положим

= е • Лео.

В этих безразмерных переменных уравнение (28.47) выглядит так:,2.

一諸+守屮=叫.(28.49)

В уравнении (28.49) не содержатся никакие параметры задачи, т. е. со, m и h. Поэтому собственное значение е может быть только отвлеченным числом. Сопоставляя его с размерной величиной энергии, видим, что собственное значение энергии линейного гармонического осциллятора пропорционально его частоте s.

Чтобы решить уравнение (28.49), оказывается удобным ввести новую зависимую переменную g (自)так, что

= е 2 g(у.

Отсюда

黑=_，立位)+「建=ё7(_敏位)+需

* =停 g(9-g(占)一2曬 +嘉).

Подставляя эти соотношения в (28.49) и производя необходимые сокращения, получаем уравнение для новой зависимой переменной:

-^ + 2自讐=(е — 1) g ⑥.(28.50)

Коэффициенты этого уравнения содержат 自 в степени не выше первой, поэтому его удается сравнительно просто проинтегрировать. Ищем решение в виде разложения в степенной ряд такого вида:8

g(E)=go + giE + g2f + g3f + ・・・=2 g"

门=0

Чтобы определить коэффициенты разложения g九,надо подставить ряд в уравнение (28.49), продифференцировать его почленно

и сравнить выражения при одинаковых степенях &”. Первая производная равна:

8

讐=a +2g2E + 3g3f + … = 2 九g君甌

П = 1 так что

2自讐=2 2隔下.

м = О

Вторая производная

8

讐 = 2g2 + 6g3Ef・・=2 3—1)施点I・

尼=2

В последней сумме было изменено название индекса суммирования на А. Вернемся теперь к п, полагая А ——2 = n (k = п + 2). Тогда

警=J (п + 2) (п+1)^+2^.

п —О

Теперь подставим выражения первой и второй производных в уравнение (28.50) и соберем коэффициенты при 貝：

8

У 孑［—5 + 2) (〃 + 1) g九+2 + 2〃g九一(£ 一 1) gj = 0・ n = 0

Как известно, чтобы степенной ряд был равен нулю, должны обращаться в нуль все его коэффициенты при 自九.Следовательно, 2〃 +】一8 g九+2 = Sn("+2)("十1) -

Таким образом, разложение идет по степеням ^2, потому что коэффициенты gn идут через один.

Предположим сначала, что g()N0・ Тогда по формуле (28.51) найдем последовательно ^2, g《，…，g2卧 Ни один коэффициент не появится в ряду с нечетным номером, если gi = 0. По рекуррентной формуле (28.51) все g2k+i последовательно обращаются в нуль. Наоборот, если g。= 0, gi 夕 0, то в ряду останутся коэффициенты лишь с нечетными индексами. Поэтому достаточно рассматривать решения, содержащие либо только четные, либо только нечетные степени F・ Для определенности возьмем ряд с четными степенями.

Исследуем поведение ряда при больших значениях Е・ Тогда "преобладают члены, содержащие высокие степени 占,т. е. большие 〃. Но если “ ——большое число, то в рекуррентной формуле среди козф- фициентов (28.51) можно пренебречь постоянными числами по сравнению с п, и получится асимптотическое соотношение:

2g〃 + 2 =万 g〃・

Так как мы условились считать п четным числом, положим 九'=2п. Вместо g2n запишем:蝕三g心 так что gn есть коэффициент ряда, идущего по степеням g2. Для этих коэффициентов асимптотическое рекуррентное соотношение пишется так:

g% + i = ±.

В функции с нечетными степенями 自 можно вынести 三 за скобку, после чего повторить вывод асимптотического соотношения между коэффициентами ряда, стоящего в скобке. Получится, разумеется, такое же соотношение, как для четных п.

Теперь нетрудно найти вид самих коэффициентов при больших п:

С ^0 —出

g鄒十1 一 n(n-l)(n-2) ...1 一 川，

хотя в знаменателе стоит на самом деле не точно и!, потому что при 九', близких к единице, неправильно само рекуррентное соотношение между коэффициентами. Порядок убывания g^，с увеличением nf при больших /г' получился правильным. Пользуясь полученным выражением для g* находим асимптотическое разложение для функции g 低)：

g(?= £ 华产=2零=声.n,=0门'=0

Итак, асимптотическое поведение g R) описывается экспоненциальной функцией 决2. Но тогда можно найти и волновую функцию 屮 при больших Е：

屮位)=e2十^ =e2.

Такой вид 屮 低)совершенно неприемлем:屮 должна оставаться конечной при больших 官，а не возрастать.

Есть только одна возможность получить конечное значение 屮(Е) в бесконечности. Надо, чтобы ряд для g (自)обрывался на некотором п и все дальнейшие коэффициенты g^+2, g*+4 и т. д. тождественно равнялись нулю. Из формулы (28.51), видно, что g几+金 обращается в нуль, когда

£ = 2〃 + 1,

причем п ——любое целое число или нуль. Так как gn+4 выражается линейно через g%+2, достаточно gn+2 обратиться в нуль, чтобы ряд обрывался на g^. Следовательно, когда £ = 2〃 + 1, функция g (Е) превращается в полином. Произведение полинома на экспоненту

е 2 всегда стремится к нулю при 三 f оо. Значит,巾(оо) = 0.

При этом волновая функция осциллятора отвечает его финитному движению в том же смысле, что и в классической механике: вероятность того, что частица уйдет на бесконечное расстояние, 328

равна нулю. Финитному движению отвечает дискретный спектр энергии. Из выражения для е находим:

Еп = Л(о (几+，Еп = Л(о (几+，(28.52)(28.52)

Еп = Л(о (几+，

Еп = Л(о (几+，

(28.52)

(28.52)

Наименьшее возможное значение энергии Ео = ^. Все это согласуется с результатами, полученными в предыдущем параграфе.

(28.53)(28.53)Состояние с энергией Ео называется, как уже говорилось, основным. Функция g (Е) этого состояния обрывается уже на нулевом члене, так что соответствующая волновая функция имеет вид:

(28.53)

(28.53)

屮=go« 2

Эта функция не имеет нулей на конечном расстоянии от начала координат, как и должно быть в основном состоянии.

Заметим, что состояние с энергией, равной нулю, отвечало бы частице, покоящейся в начале координат. Но такое состояние несовместимо с принципом неопределенности, так как в нем осциллятор имел бы одновременно координату и скорость.

Найдем еще собственные функции первого и второго возбужденного состояний. В первом состоянии £\ = /zco ^ 1 +yj = у Лсо. Здесь надо взять go = 0, так как отличен от нуля первый член ряда g 电=giE， е = 3, и все остальные коэффициенты g2n+1 с нечетными номерами обращаются в нуль. Четные отсутствуют все, потому что go = 0. Вообще все функции с четными п оказываются четными 屮(一自)= 屮(Е), с нечетными п — нечетными 屮(—自)= = ——屮(g). Как только что показано, функция с n = 1 выглядит так:

屯=g& 2・

Она обращается в нуль один раз при g = 0, т. е. имеет один узел.

Рис. 33Рис. 33

Рис. 33

Рис. 33

Рис. 34Рис. 34Так же легко найти функцию ф2- Действительно, Е2 = /ко (2 + ^~)= 5

Рис. 34

Рис. 34

=歹力3,£ = 5. Коэффициент ^2 согласно точной рекуррентной формуле равен

g2 = go уту — 2go, откуда

屮2=统(1一2自2)6-2.

Узлы этой функции находятся в точках Е = ±蟲・ Вообще функция 屮〃 имеет п узлов. Функции для нескольких первых п показаны на рисунке 33.

Распределение собственных значений энергии линейного гармонического осциллятора и кривая его потенциальной энергии изображены на рисунке 34. Весьма любопытно, что собственные значения энергии осциллятора разделены равными промежутками.

Задача об осцилляторе качественно похожа на задачу о прямоугольной яме бесконечной глубины, но в яме энергия уровней возрастает пропорционально квадрату номера соответствующего уровня.

Больше похожа на задачу об определении уровней энергии в бесконечной глубокой потенциальной яме другая задача — о нахождении собственных значений квадрата момента. И там, и здесь оператор, собственные значения которого определяются, выражен через вторые производные, и независимые переменные изменяются в строго ограниченной, конечной области: О V % V а для ямы, OV^Vk, 0v<pV2jt для квадрата момента. Поэтому собственные значения в обоих случаях зависят от номера квадратично:

"一П2九2"2

УПРАЖНЕНИЯ

Кривая потенциальной энергии задана так: потенциальная энергия равна нулю при х < 0 и равна U。при % ? О (потенциальный порог). Слева падают частицы, движущиеся вдоль х, т. е. одномерно. Найти коэффициент отражения, если Е > Uo.

Решение. Волновая функция слева равна

ipxipx

Справа (над порогом) надо искать функцию в виде

» где 炉=亦 2/n (Е —4), потому что в этой области по условию нет частиц, движущихся в сторону отри-

—Z {Ы — 0*)

1^1 , т. е. квадратов1^1 , т. е. квадратовца тельных х. Заметим, что волна е “ бежит слева направо, а е ” 一 справа налево (см. § 18).

1^1 , т. е. квадратов

1^1 , т. е. квадратов

Из граничных условий при % = 0 находим отношение

амплитуд отраженной и падающей волн, что и есть коэффициент отражения:

Когда Е < (У。, р' — чисто мнимая величина, и коэффициент отражения всегда равен единице.

Кривая потенциальной энергии задана так: потенциальная энергия равна нулю при х < 0 и при % > а. При 0 £ % W а она равна (/0, причем {/0 > О (потенциальный барьер). Слева падают частицы, энергия которых меньше UQ. Найти коэффициент отражения..

Решение. Волновая функция слева от барьера равна eikx + Се~'*" (々 = ^_). Для простоты положено просто & = 1, так как нас интересует только отношение 呉=С. Под барьером волновая функция имеет вид суммы экспонент от действительного аргумента С：/* + Сг^х\ за барьером снова ищем волновую функцию в виде волны, бегущей слева направо C^kx\ там будет только прошедшая волна, а перед барьером — падающая и отраженные волны. Постоянные С, С；, С； и & определяются из условий непрерывности волновой функции и ее производной на границах барьера. Выражения для постоянных С и С3 соответственно имеют вид:

—2 (х2 + Л2) sh хд

“ =3孑 /)2 ef。—(乂 — /)2 济а，

「—4ik>te~ika

(乂 + /)2 с-"。- (乂 一 /)2 济。，

а выражения потока с обеих сторон от барьера таковы: hbhh

Подставляя [ С | и | С3 |, убеждаемся, что оба выражения для потока совпадают, как и следовало ожидать.

Если 乂a》i, т. е. барьер весьма мало прозрачен, имеем:

e1,е3= _ g e-次气-乂а.

Таким образом, проходящий поток экспоненциально уменьшается с толщиной барьера. Отметим еще, что если Е > UOl т. е. энергия частиц лежит выше барьера, часть их все же отражается (| С3 1V 1). В классической механике такой барьер не отражает.

Показать, что происходит отражение от потенциальной ямы, для которой при — оо W % W О U = 0, при Ow%W" U= — I UQ | и при а < % w оо и = 0.

Проверить свойство ортогональности волновых функций для ямы бесконечной и конечной глубины.

Показать, что функции gn (自)，через которые выражаются волновые функции линейного гармонического осциллятора, с точностью до постоянного множителя могут быть выражены в таком виде:

g〃(E) = /["E・

Проверить это подстановкой в уравнение (28.50) при £=2〃+ 1.

Нормировать функции 屮。и 屮^ гармонического осциллятора, пользуясь тем, что

сооо__

Проверить, что в основном состоянии линейного гармонического осциллятора 〈(Ар)?〉((Ах)2) принимает минимальное значение 耳 (см. (25.21)).

§ 29. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Задача о движении электрона в центральном притягивающем поле — основная в квантовой механике атома. При этом не обязательно считать поле чисто кулоновым. Например, в атомах щелочных металлов внешний электрон, сравнительно слабо связанный с ядром, движется в поле ядра и так называемого атомного остатка, т. е. всех прочих электронов. Такое приближенное описание позволяет удовлетворительно понять особенности поведения атома щелочного металла и его энергетические состояния, не решая чрезвычайно трудную квантовомеханическую задачу многих тел. Даже в тех случаях, когда замена точного описания приближенным понятием результирующего поля остальных электронов, действующего на данный электрон, с количественной стороны неудовлетворительна, общая качественная картина состояния атома все еще передается правильно и помогает классификации отдельных состояний атома.

Удачный приближенный подход достигается благодаря тому, что он правильно отображает распределение узловых поверхностей волновой функции в пространстве. В этом значение общей задачи о движении электрона в центральном поле. Такое поле будет описываться некоторой функцией U (г), вид которой в общем случае уточнять не надо. Но в непосредственной близости к силовому центру (ядру) U (г) стремится к бесконечности по закону Кулона: там меньше всего сказывается экранирующее действие остальных электронов на данный электрон. Кроме того, примем, что U (оо) = 0.

Собственные функции квадрата момен- та и его проекции (сферические функции). Оператор Гамильтона частицы, движущейся в центральном силовом поле, запишем, пользуясь (24.35):

Л 用2 1 0 0 府2

"=一'赤+而^ + U(Г)・ (29・1)

Благодаря тому что оператор М2 содержит дифференцирования только по углам, он перестановочен с оператором энергии Н. Следовательно, в одном и том же состоянии имеют собственные значения энергия, квадрат момента М2 и проекция момента M2t которая перестановочна и с гамильтонианом, и с квадратом момента.

Однако в гамильтониан Mz не входит; следовательно, Мг может иметь разные собственные значения hk при одной и той же энергии системы £• Одинаковой энергии Е отвечает целый набор собственных функций 屮е, z,々 где ——/ V 力 V 厶 Состояния, описываемые такими волновыми функциями, называются вырожденными.

Нетрудно установить критерий вырождения, т. е. условия, при которых оно появляется. В § 24 было показано, что различные компоненты момента, например Мх и MZi между собой неперестановочны, но переставляются с квадратом момента и, как видно из (29.1), с гамильтонианом движения в центральном поле. Подействуем оператором Мх на функцию 屮瓦 z> k. Так как она не является его собственной функцией, в результате получится набор собственных функций оператора Мг:

М^Х^Е, /, Л = W 以,方屮Е, 2, kf»(29.2)

h=:—I

.(Как было указано в § 25, квадрат модуля коэффициента разложения I ckt 左，I2 равен вероятности того, что частица с данным значением проекции момента М2 = /庆，проходя через магнитное поле, направленное по оси %, окажется в пучке, где Мх = hkf.) Волновая функция (29.2), равная Мх^е9 乙 Л, в то же время — собственная функция гамильтониана (29.1), так как Мх перестановочен с гамильтониа* ном; каждое слагаемое 屮旦 乙々，一собственная функция Я, но не М2. Таким образом, благодаря тому что операторы Мх и Мг неперестановочны, различные волновые функции ^Ei 厶々 н Мх^е, z, л отвечают одной и той же энергии, т. е. наступает вырождение.

Из рассуждения ясно, что оно применимо к собственным функциям любого оператора X, если имеются два другие оператора 卩 и V, перестановочные с и неперестановочные между собой:卩以,v не совпадает с 屮尢” но в то же время является собственной функцией X, так как 卩俞 = Z (前)= 九 也p).

В § 24 были построены собственные функции операторов М2 и Мг и представлены в виде (24.39). Здесь мы выразим те же самые функции несколько иначе, более удобным способом для непосредственных вычислений.

Ограничимся случаем ^ = 0. Тогда волновая функция (24.39) при добавлении числового множителя может быть представлена как У；=与吟(29.3)

Множитель введен для того, чтобы определение У； совпало со стандартным. Из записи (29.3) видно, что этой формулой выражается однородная функция координат нулевой размерности. Следовательно, это функция только углов, как и должно быть. Кроме того, так как волновая функция (29.3) содержит только дифференцирование

no z, в нее входит лишь угол между гиг, точнее, его косинус (cos 心). Итак, функция, определяемая (29.3), есть полином от cos 8.

Этот полином удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

焉斯i^*yy岛(1 - COS20)鳥衅=一/(/1)片， (29.4)

которое получается из (24.35), если положить в нем рф = Mz = =йй = 0, так как собственная функция квадрата момента У： (cos 行) отвечает нулевому значению проекции момента на ось 2.

Уравнение (29.4) второго порядка, следовательно, оно имеет два линейно независимых решения. Однако регулярно, т. е. не имеет особых точек, только одно из них, а именно У； (cos 心).Нетрудно убедиться и в общем случае (для произвольного /), что второе решение имеет особые точки при cos 令=±1, но мы удовлетворимся доказательством для I = 0. Регулярное решение есть У； = 1, а второе решение, как видно из (29.4), определяется так:

；^^ (1 一 cos2m = 0, (1 - cos2 仆)= С, d cos 仆 '丿 d cos 仆 ''丿 d cos 仔 '

口 _「f dcos®0 — J 1 — cos2 О *

Оно обращается в бесконечность при 令=0,冗.

Следовательно, если есть какое-либо регулярное решение (29.4), то оно совпадает с У； с точностью до постоянного множителя.

Определим функцию Р± (и) так:

Р(〃)=贵爲依 Т)“・(29.5)

Проверим, что она удовлетворяет уравнению (29.4). Возьмем выражение:

у = (〃2—1у・(29.6)

Оно удовлетворяет такому соотношению:

(1-〃2)^ + 2"у = 0・(29.7)

Продифференцируем это соотношение / + 1 раз по 〃• Тогда получится:

像г"蹴+ 2阅％=(j)爲(凯-

-2(? + 1)"^偌"一?(/+1乂粉9+2包房团什

十2/a + D尉y = a 一們爲岗9-2,儂)‘什

+ % + D (冴广曲1 -炉)^ +m+ 1)］係"=。・(29.8)

Таким образом, если принять и = cos 8, то выражение (阪)у будет удовлетворять тому же уравнению (29.4), что и У； (cos ®)・ Численные множители перед У； и в определении (29.5) подобраны так, чтобы имело место точное равенство У； = Р； (cos 0) (см. упр. 1).

Полиномы (29.5) называются полиномами Лежандра.

Для полноты приведем без вывода выражение сферических функций при 力 # 6:

(29.9) [(_1卄丿(儿，喇*=号(儿，(f)=

=嚼綺。-〃旷係г価一小叫

Найдем теперь нормировочный коэффициент полиномов Лежандра Pi из условия:

11=曲\円(")d".

Подставляя сюда выражение (29.5) и интегрируя I раз по частям, получаем:

1符蟲(-1)‘£传Т)‘儒)"(m一

Все проинтегрированные члены обращаются на пределах в нуль, потому что в них порядок производной в одном из сомножителей меньше I и при дифференцировании остается некоторая степень (〃2 — 1), не равная нулю. Производная порядка 2/ от (^2 — 1)" равна (2/)!. Таким образом, приходим к условию нормировки: 儼£ (1 — г?)' d〃= 1.

Входящий сюда интеграл называется эйлеровым интегралом 2-го рода. Он приводится подстановкой i^^ = u к стандартному виду*

11

\ (1 — u2)z du = 22Z+1 ^yz (1 — v)1 dv

—10

и равен

222+1 (/!)2(2/ + 1)]・Таким образом, находим нормировочный коэффициент “八

az = jNf丄.(29.10)

При 尼抬 0 нормировочный коэффициент есть

а1>к = У(29」1)

(29.12)(29.12)屮= %(г)У弘cos 也 ф).屮= %(г)У弘cos 也 ф).Радиальные функции. Уравнения для радиальных функций исследуются так. Прежде всего подставляем в уравнение Шредингера Н^ =七中，где Н определяется (29.1), волновую функцию в виде

(29.12)

(29.12)

屮= %(г)У弘cos 也 ф).

屮= %(г)У弘cos 也 ф).

Оператор М2, входящий в Н, дает, действуя на У?, постоянное число /г?/ (» + 1). Частную производную по г, примененную к X (г), следует заменить полной производной. В результате получаем уравнение для радиальной функции:

九21 d 2女］出/«+1)2m r2 dr dr九21 d 2女］出/«+1)2m r2 dr dr2mr22mr2% + и ⑺ ％ = Е%・(29.13)% + и ⑺ ％ = Е%・(29.13)

九21 d 2女］出/«+1)

2m r2 dr dr

九21 d 2女］出/«+1)

2m r2 dr dr

2mr2

2mr2

% + и ⑺ ％ = Е%・(29.13)

% + и ⑺ ％ = Е%・(29.13)

Это уравнение удобно привести к одномерному виду путем подстановки:

ОтОт(29.14)

От

От

Не повторяя выкладок, с помощью которых мы преобразовывали уравнение (20.5), запишем окончательно уравнение для отыскания собственных значений энергии:

胪 ср/?/”/(z+i)r胪 ср/?/”/(z+i)r—2m dr?—2m dr?2mr22mr2+ U(r)R = ER・+ U(r)R = ER・(29.15)(29.15)

胪 ср/?/”/(z+i)r

胪 ср/?/”/(z+i)r

—2m dr?

—2m dr?

2mr2

2mr2

+ U(r)R = ER・

+ U(r)R = ER・

(29.15)

(29.15)

Пока не конкретизован вид U (г), можно исследовать (29.15) только в двух предельных случаях: при очень больших и при очень малых расстояниях от ядра.

На малых расстояниях поле атомного остатка не сказывается и остается чисто кулоновская зависимость U (г) = — §(Z — атом- ныи номер элемента). Однако если г очень мал, то член 説 ' 厶- R во всяком случае больше, чем членR, н подавно больше ER. Пока положим /，0. Следовательно, в непосредственной близости к ядру волновое уравнение имеет очень простую форму:

В таком виде оноВ таком виде онотак чтотак чтоЭто уравнениеЭто уравнение空_"2 —空_"2 —Z(/+1)RZ(/+1)Rрешается подстановкой:решается подстановкой:a(a-l) = "/+；)・имеет два корня:а = %+1, а = — Ia(a-l) = "/+；)・имеет два корня:а = %+1, а = — I(29.16)(29.16)(29.17)(29.17)(29.18)(29.18)(29.19)(29.19)

В таком виде оно

В таком виде оно

так что

так что

Это уравнение

Это уравнение

空_

"2 —

空_

"2 —

Z(/+1)R

Z(/+1)R

решается подстановкой:

решается подстановкой:

a(a-l) = "/+；)・

имеет два корня:

а = %+1, а = — I

a(a-l) = "/+；)・

имеет два корня:

а = %+1, а = — I

(29.16)

(29.16)

(29.17)

(29.17)

(29.18)

(29.18)

(29.19)

(29.19)

но второй кореньно второй кореньдает согласно (29.14) %= г~м; такая функция %

но второй корень

но второй корень

обращается в точке г = 0 в бесконечность при всех /• Поэтому корень

a = —/ надо отбросить и принять зависимость R от г при малых Z в виде

R = Crl^t % = С±(29.20)

При Z = 0 в уравнении надо оставить кулоновский член. Это уравнение решается. путем подстановки R в виде ряда

R = aj+ %尸+…，R = aj+ %尸+…，(29.21)(29.21)

R = aj+ %尸+…，

R = aj+ %尸+…，

(29.21)

(29.21)

так что зависимость волновой функции от радиуса на малых расстояниях от ядра имеет вид (29.20) при всех I.

Чем больше момент, тем выше порядок обращения в нуль волновой функции в начале координат. Только при / = 0 она остается конечной вблизи ядра: Х = — = ^i. Это можно объяснить, пользуясь аналогне访 с классической механикой. Момент есть произве

дение импульса на «плечо», т. е. на расстояние до начала координат; / = 0 отвечает нулевому «плечу» и нулевому моменту. Поэтому есть отличная от нуля вероятность найти электрон в начале координат. В старом варианте квантов。访 механики (в механике Бора) орбита электрона с нулевым моментом проходила сквозь ядро, что было непонятно. Большие значения момента отвечают большему «плечу» и соответственно в квантовой механике — меньшей вероятности нахождения электрона вблизи ядра.

Поведение волновой функции вблизи начала координат можно объяснить еще и так. На частицу действует центробежная отталкивающая сила, которой отвечает эффективная потенциальная энергия (/+1)/a

~赤;2， (см・ § 5). Эта энергия ограничивает классически доступную область движения со стороны малых г. В квантовой механике частица проникает в область, где по классической механике она имела бы мнимую скорость. Но волновая функция быстро спадает при углублении в эту область, т. е. по мере приближения к началу координат. Закон убывания оказывается в данном случае степенным: с приближением к началу координат волновая функция уменьшается, как г1, т. е. закон уменьшения тем сильнее, чем выше барьер. При / — 0 барьер отсутствует и ничто не мешает электрону подойти сколь угодно близко к ядру.

Теперь мы рассмотрим область больших значений г. При больших г в уравнении (29.15) можно отбросить члены, спадающие при увеличении г, т. е. центробежную и кулоновскую энергию (последняя калибрована на нуль в бесконечности (U (оо) = 0). Тогда уравнение очень упрощается:

网_ 2те

Его общее решение выглядит так:

(29.23)

Исследуем два случая. Пусть энергия положительна (Е > 0). При этом R может быть выражено следующим образом:

irV2mE“J 而后

R = Cie「L + C2e(29.24)

Оба слагаемых остаются конечными при любых значениях г; поэтому в решении надо удержать обе постоянные & и С2. (С такой ситуацией мы встречались в § 28, рассматривая решение волнового уравнения (28.33) для потенциальной ямы конечной глубины.)

Любое общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Предположим, что решение (29.20), справедливое только при малых г, продолжено в область больших г, где оно не имеет простого вида 六匕 но зато удовлетворяет точному уравнению (29.15). Таким образом мы получим некоторую интегральную кривую этого уравнения. Но всякая интегральная кривая может быть представлена путем надлежащего подбора двух постоянных в общем решении. При стремлении г к бесконечности это решение принимает свою асимптотическую форму (29.24), если £ > 0.

Выражение (29.15) остается конечным, когда г-> оо, при любых постоянных & и С2. Следовательно, при положительной энергии волновое уравнение всегда имеет решение, конечное при всех значениях г. Поэтому область энергий £ > 0 отвечает непрерывному спектру, так как волновая функция удовлетворяет необходимым условиям в начале координат и в бесконечности при любой энергии £ > 0. Согласно (29.24) вероятность нахождения электрона при г -> оо не обращается в нуль, т. е. этот случай отвечает инфинитному движению, как и в классической задаче, разобранной в § 5 (см. также § 28).

Итак, подтвердилось общее правило, что инфинитное движение имеет сплошной спектр энергии.

Пусть теперь £ < 0, или Е =—| Е |. Тогда (29.23) надо представить так:

гV2m\E г — гV2m\E\

R = &e—— +С2е ―・(29.25)

Здесь первое слагаемое стремится к бесконечности вместе с г, и поэтому надо положить & = 0, так что R будет содержать не две, а одну произвольную постоянную:

rVlm I Е \

R = C?e^—•(29.26)

Если теперь провести из начала координат интегральную кривую начиная от г = 0, где она имеет вид (29.20), то при больших г, как правило, решение не будет приводиться к (29.26). При всех отрицательных значениях энергии, кроме некоторых, интегральная кривая в бесконечности представляется как (29.25) и, следовательно, не удовлетворяет граничному условию, налагаемому на волновую функцию.

Только для тех значений энергии, при которых интегральная кривая идет так, что оказывается

Ci(£) = 0,Ci(£) = 0,(29.27)

Ci(£) = 0,

Ci(£) = 0,

волновое уравнение имеет решение, удовлетворяющее граничным условиям. Это отвечает дискретному спектру энергии. В то же время R (оо) согласно (29.26) обращается в нуль, т. е. финитное движение отвечает дискретному спектру энергии, как и должно быть.

Кулоново поле. Посмотрим теперь, как находится дискретный спектр энергии для случая чисто кулонова поля:

U ⑺=—第・(29.28)

Этот случай осуществляется в атоме (но не в молекуле!) водорода, в однократно ионизованном гелии, двукратно ионизованном литии и т. д.

Волновое уравнение (29.15) должно быть записано так:

+(29.29)

2m dr? ] 2mr2不11、/

Мы сразу рассматриваем только отрицательную энергию, приводящую к дискретному спектру.

Здесь удобно изменить единицы длины и энергии, подобно тому как это было сделано в задаче о гармоническом осцилляторе (§ 28). Вместо системы СГС, где основными единицами являются произвольные величины — сантиметр, грамм и секунда, возьмем в качестве единиц следующие: элементарный заряд е, массу электрона m и квант действия h.

Из этих величин строится единица длины:

爲=(5,29172 士 0,00002) • 10'9 см и энергии

署=(27,20976 土 0,00044) эв

(единицы длины и энергии выражены через истинную массу электрона; в атоме водорода надо брать приведенную массу электрона и протона).

Следовательно, если в уравнении (29.29) положить е = 1, m = 1, 九=1, то длина и энергия будут измерены в этих единицах. Обозначим такую длину g:

(29.30)

и энергию е:и энергию е:ё=詞к，ё=詞к，(29.31)(29.31)

и энергию е:

и энергию е:

ё=詞к，

ё=詞к，

(29.31)

(29.31)

так что волновое уравнение будет содержать из атомных констант только атомный номер Z:

一党 +一R = _ 2哦.(29.32)

Решение этого уравнения ищем методом разложения в ряд. При этом будем исходить из решений, полученных при больших и малых значениях & (т. е. г).

Согласно формулам (29.20) и (29.23) пишем R в следующем виде:

"=尹为-W强(及+ Xig +樣2 +…)=

_88

=仔+『厂襄£ %F = eT腐 £机守+z+L (29.33) п = 0п — 0

Первый сомножитель определяет вид R при £->0, второй сомножитель в основном должен соответствовать виду R при больших 三， и ряд как бы интерполирует между двумя крайними выражениями.

Дифференцируя теперь (29.33) два раза, получим:

ОООО

談=25侬 2 хВ++ — 2р石е»施 2 (n+Z+l)X^+z +

П—0п = 0

_00

+ 混W (几+/ + 1)5+/)з守+/一】.

n=0

Первый член справа есть просто —2eR・ Следовательно, он сократится с таким же членом в (29.32) справа. Сгруппируем оставшиеся члены так, чтобы в одном из них Е везде имело степень на единицу меньшую, чем в (29.33), а в другом — степень, на две единицы меньшую. Кроме того, сократим на общий множитель e-*F2e. После этого будем иметь равенство между двумя такими рядами:

ОО

2 口(2+1)一(拉+/+1)m+川儿ут= д = 0

оо

=2 [2Z-2 M石(% + 2十 1)]以产".

n = 0

Такое равенство возможно только тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях 三.В левой части степень 三"十“ будет иметь коэффициент, содержащий %п+1，Следовательно,

%厘=儿善卷儲%.侬.34)

Из соотношения (29.34) определяются последовательно все коэффициенты %九.При больших п в формуле (29.34) надо пренебречь постоянными числами Z, Z и / (Z + 1) по сравнению с п, и тогда останется предельное выражение:

及十广礬》(29・35)

С подобным предельным выражением мы встречались в задаче о линейном гармоническом осцилляторе (§ 28). Оно приводит к экспоненциальному виду весь ряд

(29.36)(29.36)2儿f言ё2 y砒n

(29.36)

(29.36)

при больших Е・ Но такой ряд не может давать правильного выражения для R (三)，так как если подставить (29.36) в (29.33), то получится 屮(оо) = оо, вопреки граничному условию. Однако если все коэффициенты обращаются в нуль, начиная с некоторого Xn+i и дальше, то ряд (29.33) вырождается в полином. Тогда, будучи умножен на e-S'2e он дает 屮(оо) = 0, как и требуется. Из (29.34) видно, что %〃+i равно нулю, если

(29.37)(29.38)(29.37)(29.38)Z一仇+ /+1)m如=0, т. е.

(29.37)

(29.38)

(29.37)

(29.38)

Z2

£ =师十/+1尸

Переходя, наконец, к обычным единицам и учитывая знак энергии, получаем искомый спектр:

ЕЕZ2me《Z2me《2九2(" + 2+1)2 .2九2(" + 2+1)2 .(29.39)(29.39)

Е

Е

Z2me《

Z2me《

2九2(" + 2+1)2 .

2九2(" + 2+1)2 .

(29.39)

(29.39)

Квантовые числа. Числопесть степень полинома £ 丄即, п входящего в выражение для волновой функции. Более подробный анализ показывает, что этот полином имеет ровно п действительных корней. Так как Хо # 0 и х九 # 0, ни один из корней не равен ни нулю, ни бесконечности. Поэтому если рассматривать зависимость волновой функции от радиуса, то она имеет п нулей, или «узлов», не считая нуля при 三=8, связанного с финитностыо движения, и при 三=0, который есть у всех функций с / 声 0. Название «узел» вместо нуль дано по аналогии с узлами колеблющейся струны, закрепленной в двух точках (последняя задача имеет полную аналогию с движением частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме).

Ясно, что волновая функция имеет нули не только в случае водородного атома. Поэтому число пЛ, т. е. число узлов функции, находящихся на конечном расстоянии от начала координат, может характеризовать состояние электрона в любом атоме, поскольку с качественной стороны законно описывать действие на отдельный электрон всех остальных электронов с помощью эффективной потенциальной энергии U (г). По той же причине можно описывать состояние отдельного электрона с помощью числа /, через которое выражается квадрат момента. Через пг и I выражается еще одно число, которое обозначается п и связано с /гг и / так:

几三几г + 2+1.(29.40)

Этими величинами можно пользоваться и для сложных, многоэлектронных атомов, хотя энергия электронов в них отнюдь не выражается простой формулой (29.39). Числа n, пг и Z удобны для классификации состояний электронов.

I называется азимутальным квантовым числом электрона. В спектроскопии принята следующая система обозначений: состояние электрона с / = 0 называется s-состоянием и соответственно с I = 1, 2, 3 называются/?-, d- и /-состояниями. Больших значений I в невозбужденных атомах не бывает. Складывая моменты отдельных электронов (см. следующий параграф), находят результирующий момент всего атома.

Проекция момента отдельного электрона на какую-нибудь ось равна, как мы знаем, hk, где ——/ ^ k ^ I. k называется магнитным квантовым числом, так как обычно имеют в виду ось, по которой направлено внешнее магнитное поле.

пГ — число нулей радиальной волновой функции — называется радиальным квантовым числом.

Наконец, сумма (29.40) называется главным квантовым числом электрона в атоме.

Энергия электрона в атоме водорода согласно (29.39) и (29.40), выраженная через главное квантовое число, равна

= —(29.41)

Если сообщить электрону в водородном атоме такую энергию за счет внешнего воздействия, электрон может быть вырван из атома. Поэтому соответствующую величину энергии называют энергией связи. Формула, аналогичная (29.41), получается и для положительного иона гелия. Кроме различия в Z2 = 4 раза, имеется более тонкое различие, вызванное тем, что приведенная масса атома гелия немного отличается от приведенной массы атома водорода из-за разницы в массах из ядер (напомним, что приведенная масса атома с одним электроном очень близка к массе электрона).

Состояние с % = 1 основное. В этом состоянии атом не может излучать свет, потому что перейти в более низкое состояние просто некуда.

В начале этого параграфа мы указывали, что энергия частицы, движущейся в центральном поле, может зависеть только от квадрата ее момента, но не от проекции момента. Иными словами, волновые функции, отвечающие одинаковым 厶 и, как мы теперь видим, одинаковым 几〃 но разным 玄 отвечают одной и той же энергии электрона. Это и называется вырождением.

Для кулонова поля получился несколько неожиданный результат: энергия зависит не от двух квантовых чисел пг и /, а только от их суммы пГ + /・ При разных пг и 厶 но таких, что их сумма одинакова, собственные значения энергии одни и те же. Следовательно, происходит дальнейшее вырождение энергетических состояний, 342

так как разным I отвечают совсем различные шаровые (сферические) функции Ft

Следует отметить существенное различие между вырождением по fe и по I. Первое имеет место при всяком аналитическом виде функции потенциальной энергии U (г) и связано только с симметрией силового поля, действующего на частицу. В случае U = U (г)—— это симметрия всех вращений вокруг начала координат. Такой тип вырождения называется необходимым, он вызывается симметрией, которая задается условиями задачи о нахождении собственных значений энергии.

Вырождение же в кулоновом поле целиком обусловлено специ- фическойформой зависимости U =—. Если, например, кривая

потенциальной энергии имеет степенной вид: U = — g то вырождение по I получается только при показателе степени в силовом законе b = 1. Такой тип вырождения называется случайным: он наступает при каком-то избранном значении параметра, входящего в гамильтониан.

Имеется глубокая связь между случайным вырождением состояний в кулоновом поле в классической и квантовой механике. В классической механике (§ 10) было показано, что энергия при кеплеровском движении зависит только от суммы адиабатических инвариантов 1Г и /ф, но не от каждого из них в отдельности. В дальнейшем (§ 31) будет показано, что адиабатические инварианты очень просто связаны с квантовыми числами. Поэтому формула (29.39) есть прямой квантовый аналог классической формулы, выражающей зави-* симость энергии от адиабатических инвариантов (см. упражнение 3 к § 10).

В свою очередь классический вид зависимости энергии от суммы адиабатических инвариантов 1Г и /ф определяет замкнутый характер траектории финитного движения в кеплеровской задаче (эллипс). В релятивистской задаче Кеплера (упражнение 9 к § 14) траектория уже не замкнута и энергия сложнее зависит от адиабатических инвариантов. Соответственно и в квантовой теории: здесь нет случайного вырождения по /.

Четность состояния. Состояние электрона в атоме характеризуется еще одним свойством, которому в отличие от энергии и момента не отвечает никакой классический аналог. Это свойство относится непосредственно к самой волновой функции и связано с ее поведением при изменении знаков всех трех координат (ср. § 15).

Рассмотрим волновую функцию электрона. Волновое уравнение (29.15) не изменяет своего вида, если подставить в него

(29.42)§ 15, ин- левовин-(29.42)§ 15, ин- левовин-% = — %', у = — “ z = — z'・

(29.42)

§ 15, ин- левовин-

(29.42)

§ 15, ин- левовин-

Это преобразование, называемое, как нам известно из версией, превращает правовинтовую систему координат в

товую, и наоборот. Никаким поворотом осей в пространстве эти системы координат не могут быть совмещены.

Волновое уравнение (29.15) линейное. Поэтому если оно не изменило своего вида, то его решение, определяемое граничными условиями с точностью до постоянного множителя, может получить только некоторый дополнительный множитель:

屮(招 У, 2)= С^ (炉，“吟=С屮(―%, - у, - z)・(29.43)

Но «штрихованная» левовинтовая система координат в принципе ничем не отличается от «нештрихованной» правовинтовой. Поэтому обратный переход должен содержать тот же переводной множитель С:

屮(炉，fA z')=屮(一％, — /Л — 2)= С屮(х, у, г).(29・43‘)

Подставляя это в (29.43), получим:

屮(% 4, 2)=c2屮(%, ", 2), откуда

С2-1, С = ± 1.(29.44)

При С = 1 функция называется четной, а при С =——1 — нечетной, Аналогичным свойством обладали волновые функции линейного гармонического осциллятора, оператор энергии которого тоже был четным Н (х) = Н (——х), а волновые функции чередовались по четности, смотря по номеру собственного значения п, т. е. были либо четными, либо нечетными.

Нетрудно установить, какое квантовое число определяет четность волновой функции электрона в центральном поле. Согласно выражению сферической функции (24.39) она получается путем I дифференцирований функции ~ по координатам. Следовательно, число I полностью определяет четность волновой функции частицы в ее координатной зависимости.

Если рассматривается многоэлектронный атом, то четность его полной волновой функции равна четности числа £〃, где 厶——азимутальные квантовые числа отдельных электронов.

Четность волновой функции можно представить в операторной форме, если ввести оператор инверсии G, такой, что

&屮(招 У, z)=屮(一招一у, — z)・(29.45)

Так как оператор Гамильтона для атома есть четная функция координат, можно записать:

GH = H.(29.46)

Отсюда следует, что оператор четности перестановочен с гамильтонианом:

GH^ = HG^(29.47)

Собственные значения оператора G суть числа С = ±1 в соответствии с (29.44), так как

鄧=if)(― %, — у, — z) = Ср・ (29.48)

Согласно (29.47) и (27.8) эти числа существуют одновременно с собственным значением энергии.

Если говорить об отдельном электроне, то задание четности его состояния не доставляет никакой новой информации, так как четность определяется азимутальным квантовым числом I. В многоэлектронном атоме состояние задается не только квантовыми числами отдельных электронов, но и тем, как моменты отдельных электронов складываются в результирующий момент всего атома.

Сложение моментов. Для начала рассмотрим правило сложения моментов двух электронов в атоме. Момент каждого из них, строго говоря, не является интегралом движения, так как отдельный электрон движется в поле не только ядра, но и другого электрона. Такое поле не обладает симметрией относительно вращений вокруг ядра, и поэтому может сохраняться только общий момент обоих электронов, а не момент каждого из них в отдельности.

Тем не менее азимутальные квантовые числа электронов к и /2 продолжают с качественной стороны правильно описывать состояния соответствующих электронов. С их помощью определяется точное квантовое число результирующего момента.

Будем рассуждать так, как если бы 乙 и /2 тоже были точными квантовыми числами. Найдя по ним результирующий момент, надо затем иметь в виду, что только он на самом деле является точным квантовым интегралом движения системы.

Для определенности пусть 厶 > %• Будем проецировать меньший момент на направление большего. Так как проекция момента /2 изменяется от 厶 до ——/2» находим, что в сумме с большим моментом /х получаются следующие возможные наибольшие проекции результирующего момента (в единицах 九)：

L = 1工 + %,乙 + 厶一1，厶 + 厶一2, ..., /1 — /2. (29.49)

Каждое из написанных здесь значений задает квадрат результирующего момента по формуле:

M^^h^L (L+1). (29.50)

Эту формулу нетрудно вывести по методу средних значений так, как была выведена формула для квадрата момента отдельного электрона (упражнение 1 к § 25).

Таким образом, момент двух электронов изменяется в пределах от L = 1± + 12 Д9 L = I 厶——Z2 h Проекция результирующего момента L изменяется в пределах от —L до L. Сформулированное здесь правило согласуется с тем, что величина суммы двух векторов заключена между суммой и разностью их абсолютных значений.

По аналогии с обозначением состояний отдельных электронов буквами s, р, d, и / для I = 0, 1, 2, 3 состояния атома обозначаются прописными буквами S, Р, D, F, ... для L = 0, 1, 2, 3,... Большим L отвечают буквы, следующие за F в алфавитном порядке.

Обобщение приведенного правила сложения на случай трех й большего числа электронов очевидно: сначала складываются какие-нибудь два момента по правилу (29.49), потом к ним прибавляется по тому же правилу третий и т. д.

Совместное действие законов сохранения момента и четности. Итак, мы установили, что в системе электронов, находящихся в центральном поле ядра, действуют два закона сохранения: результирующего момента и результирующей четности. В отличие от случая одного электрона в системе электронов оба эти закона отнюдь не сводятся к одному и тому же. Общая четность находится путем арифметического сложения отдельных чисел 厶 а общий момент — путем геометрического, векторного сложения. Поэтому, чтобы описать состояние системы электронов, надо задать и соответствующий этому состоянию момент, и четность.

Рассмотрим теперь, какие ограничения могут налагать эти два закона сохранения, действуя совместно, на возможные переходы между различными состояниями в атоме. Для примера возьмем возбужденный многоэлектронный атом с полным моментом L = О, т. е. в S-состоянии. В этом атоме имеются s-электроны и, допустим, нечетное число р-электронов. Следовательно, атом находится в нечетном состоянии (четность определяется сложением нечетного числа единиц ). Пусть, кроме того, полная энергия возбуждения атома достаточна для того, чтобы из него мог вылететь один из р-элек- тронов, но так, чтобы в результате перестройки электронной оболочки атом или ион остался снова в S-состоянии с L = 0. Так как моменты складываются вектор но, такое состояние может получиться и при четном, и при нечетном числе р-электронов.

По условию сохранения полного момента вылетевший из атома электрон должен иметь I = 0, потому что у исходной системы был нулевой результирующий момент, и после вылета электрона осталась система, у которой момент по условию равен нулю. Иначе говоря, сделано допущение, что только в таком состоянии у электрона хватает энергии для вылета. Следовательно, закон сохранения момента требует, чтобы у вылетевшего электрона момент тоже был равен нулю.

Эти соображения показывают, что можно удовлетворить законам сохранения энергии и момента при надлежащих исходных предположениях. Посмотрим, будет ли соблюдаться при этом закон

сохранения четности. В оставшейся системе теперь два р-электрона с Z = 1, так что ее состояние четное. Вылетевший электрон имеет согласно закону сохранения момента / = 0, т. е. находится тоже в четном состоянии. Следовательно, конечное состояние системы обязано быть четным, а начальное по предположению было нечетным. Итак, рассматриваемый переход невозможен по закону сохранения четности. Законы сохранения энергии и момента, имеющие классические аналоги, не исключают этого перехода, невозможного согласно квантовому закону сохранения четности, который не имеет классического соответствия. Мы рассмотрели типичный случай перехода, «запрещенного» по соображениям четности (от L — О к L = 0 с предполагаемым изменением четности).

Повторим еще раз, что закон сохранения четности независим от закона сохранения момента, так как четность определяется иным законом сложения, чем момент.

Закон сохранения момента в квантовой механике надо применять всегда вместе с законом сохранения четности. Общее в происхождении этих законов состоит в том, что оба они вытекают из инвариантности уравнений относительно ориентации координатных осей в пространстве. Но изменение ориентации осей достигается не только их поворотами: дополнительное преобразование заключается в инверсии, не сводимой ни к какому вращению. Это и дает закон сохранения четности в дополнение к закону сохранения момента.

Закон сохранения четности в такой форме, безусловно, применим к системам, в которых осуществляются электромагнитные взаимодействия. Это экспериментальный факт, на основании которого уравнения электродинамики построены инвариантными по отношению к инверсии координатной системы (§ 15).

Значительно более слабые взаимодействия, имеющие место при некоторых превращениях элементарных частиц (например, при Р-распаде), не удовлетворяют закону сохранения четности.

Водородоподобные атомы. В начале этого параграфа было указано, что атомы щелочных металлов похожи на водородный атом. Внешний электрон в этих атомах сравнительно слабо связан с атомным остатком, состоящим из ядра и всех остальных электронов. Волновые функции электронов атомного остатка отличны от нуля на меньших расстояниях от ядра, чем волновая функция внешнего электрона, так что остаток как бы экранирует заряд ядра. Поле, в котором движется внешний электрон, близко к куло- новому, если только он не находится в области атомного остатка. Поэтому и спектры щелочных металлов напоминают спектр водородного атома. Уровни энергии этих атомов, происходящие от возбуждения внешнего электрона, можно представить в виде

E%С = 一研[〃+a(/)]2, (29.51)

где поправка А (/) зависит от азимутального квантового числа. Она учитывает отклонения поля от чисто кулонового на малых раестоя-

ниях От ядра. Чем больше 厶 тем дальше от ядра находится внешний электрон (согласно 29.20) и тем меньше Л (/).

Таким образом, уровни энергии щелочных металлов, как и уровни энергии всех атомов, кроме водородного, зависят от п и Z.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что в определении (29.3) шаровая функция полностью совпадает с полиномом Лежандра (29.5) от и — cos О.

Решение. Так как уже было показано, что функции (29.3) и (29.5) пропорциональны, достаточно доказать их тождество при каком-нибудь значении 〃=cos 仇 Покажем это при cos О = 〃 = L В определении (29.5) при и = 1 отличен от нуля только тот член, который получается от /-кратного дифференцирования бинома (и2 ——I)". Каждое дифференцирование дает множитель, равный степени бинома, и двойку от дифференцирования квадрата. Эти сомножители сокращаются со знаменателем 2〃1, так что Pz (1) = 1.

Докажем теперь, что У； (1) тоже равно единице.

Сместим в определении (29.3) начало координат на величину g в направлении оси z, так что 广】под знаком производной будет равно [х2 + “+ (г ——^)2]~ %. Перед знаком производной г при малом £ можно оставить равным [х^+ у^+ 2^^.

Разделим обе части равенства на ~, умножим на ?, положим в выражении производной 甘=0 и просуммируем по / от 0 до оо. Тогда справа будем иметь разложение в ряд Тэйлора величины [炉 十 炉 +(% —白尸]〜％.

Следовательно, y^(cos -Q) есть коэффициент разложения в ряд Тейлора [х2+ + 产 + Q-汩-% при 住

ОО

小2+/ +(2-2-% = [1-2?cos8 + ^]i= 2 用y；(cos").

2 = 0

Но при cos 8 = 1 имеем просто:

Следовательно, искомый коэффициент равен единице, как и утверждалось.

Доказать, что между тремя последовательными полиномами Лежандра существует соотношение:

⑵+1)〃 巳(〃) = « + 】)々+i®+ /Pz-i (〃)•

Пользуясь результатом предыдущего упражнения, пишем:

(1—2р〃 + р2)-%=£ ^Pl (W).

2 = 0

Дифференцируя это равенство по р, умножая на 2р и прибавляя исходное выражение, получаем:

У (2/+ 1) p*z ® = (1 -р2) (1 -2р〃 + р2)-з/2.

Заменяя в производной по р значок суммирования / на Z + 1, находим:

N (/ + 1) РР+1 ⑷=(〃 一 Р) О - 2р〃 + р2厂％.

Теперь выполним такие операции: умножим производную по р на р2, прибавим исходное выражение, умноженное на р, и заменим значок суммирования / на / — 1, Тогда получим:

ОО

£ / Рр-1 (“) = (Р — р2〃)(1 — 2р〃 + р2)-%・ / = 0

Видно, что сумма двух последних равенств совпадает с первым, умноженным на и. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, приходим к требуемому равенству.

Ясно, что в это равенство не мог войти полином порядка выше / + 1, так как степень Р； равна /. Кроме того, так как умножение на и изменяет четность полинома 尸乙，равенство возможно только при полиномах различной четности слева и справа.

Построить и нормировать волновые функции в водородном атоме при /= 0, 1, 2 м 〃 = 1, 2, 3. Воспользоваться тем, что j хпе~х dx = n\.

о

§ 30. СОИН ЗЛЕИТРОНА

Согласно уравнению (29.41) основное состояние водородного атома имеет главное квантовое число п, равное единице. При и = 1 азимутальное квантовое число / и радиальное квантовое число пг должны быть равны нулю, потому что п = пг + I + 1, а I п пг по определению не могут быть меньше нуля. Таким образом, основное состояние водородного атома есть s-состояние. Орбитальное движение s-электрона не производит магнитного момента, потому что магнитный момент пропорционален механическому. Между тем, если поставить опыт Штерна и Герлаха с атомарным водородом, пучок расщепится, но только на две компоненты. Но при / = О расщепления по орбитальному моменту, как мы говорили, не должно быть, а при I = 1 пучок должен был бы расщепиться на три части, соответственно числу проекций момента k = —1, 0, 1.

То же самое наблюдается, если брать не водород, а какой-нибудь щелочной металл. Электронная оболочка любого щелочного металла состоит из атомного остатка, находящегося в S-состоянии, т. е. не имеющего орбитального момента, и одного электрона в s-состоянии. В этом смысле атомы щелочных металлов похожи на водородный атом.

Таким образом, состояние атома не описывается на самом деле тремя квантовыми числами 〃，/ и 々.Надо указать еще одно квантовое число, по которому происходит расщепление пучка.

Собственный момент, или спин, электрона. Ясно, что добавочное квантовое число должно быть как-то связано с моментом электрона, потому что оно приводит к расщеплению пучка в магнитном поле. Расщепление на два пучка может давать только момент, наибольшая проекция которого равна 九/2. Тогда он имеет всего два возможных значения проекции й/2 и —й/2.

Опыт Штерна и Герлаха был приведен только для примера. На самом деле не только этот опыт, но и вся огромная совокупность 349

опытных фактов об атоме свидетельств ует о том, что электрон обладает механическим моментом 九/2, не связанным с его простран- ственным, или, как принято говорить, орбитальным, движением. Этот механический момент называется спином электрона. Можно сказать, что электрон в классической аналогии напоминает планету, которая имеет момент не только вследствие обращения вокруг Солнца, но и вращения вокруг оси.

Сходство с планетой не заходит особенно далеко, потому что момент вращающегося твердого тела может быть равен любой величине, а спин электрона всегда имеет проекции 士九/2 и никаких других. Поэтому спин является чисто квантовым свойством электрона —в предельном переходе к классической механике он обращается в нуль. Слово «спин» происходит от английского «вертеть веретено», но не следует думать, что электрон действительно похож на твердое тело вроде волчка или веретена. Сходство электрона с волчком состоит лишь в том, что их движение не описывается только положением одной точки в пространстве: для них характерна внутренняя вращательная степень свободы.

Скорее можно обнаружить некоторую аналогию электрона со световым квантом: как было показано в § 19, электромагнитная волна имеет внутреннюю поляризационную степень свободы. При совершенно одинаковой фазе две волны могут различаться поляризациями. Если уподобить фазу, зависящую от координат, пространственному аргументу волновой функции электрона, то поляризационная степень свободы волны уподобляется спиновой степени свободы кванта. Но тождества между ними нет: поляризация волны есть понятие классическое, а спин — квантовое.

Общее определение момента. Поскольку спин не связан с пространственным движением электрона, определение обусловленного им момента по операторной формуле /Й = [гр], очевидно, неприменимо. Надо дать более общее определение, пригодное во всех случаях, прежде всего, конечно, такое, которое описывало бы свойство момента как интеграла движения.

Момент произвольной механической системы в классической механике определяется следующим образом (для одной проекции):

质=為 (30.1)

Здесь S означает действие системы, а 6(р ——бесконечно малый угол поворота вокруг оси г. Обозначение 6(р должно подчеркивать, что оно имеет несколько иной смысл, чем в прежнем определении момента (см. § 5 и 24):屮 означает не азимут отдельной материальной точки, а угол поворота прямоугольной координатной системы. В данном случае этот поворот бесконечно малый.

Если взять систему материальных точек, то ясно, что поворот координат на 6ф равносилен перемещению каждой точки на 6ф по азимуту, так что определение (30.1) дает в этом случае проекцию суммарного момента как аддитивного интеграла движения. То же

самое относится к моменту вращающегося твердого тела, у которого все точки поворачиваются на один и тот же угол.

Момент как аддитивный интеграл движения замкнутой системы существует потому, что имеется симметрия относительно вращений, которую мы в § 2 назвали изотропией пространства. С такой симметрией можно связать и общее определение момента в квантовой механике независимо от того, обязан ли момент пространственному перемещению материальной частицы или какой-либо внутренней степени свободы, которая не описывается с помощью обычных координат. Правильность такого обобщения проверяется, как всегда, опытом.

Если момент обязан только пространственному движению, удобно исходить из классического соответствия между волновой функцией и действием:

中=e及

(см. (23.5)). Найдем изменение t при бесконечно малом повороте координатной системы:

3屮=3J 3s =屮• ； М力屮， (30.2)

где была использована формула (30.1).

Обобщение будет заключаться в том, что вместо Mz мы подставим некоторый момент произвольного происхождения J2, Тогда (30.2) надо переписать в таком виде:

瑞5， (30.3)

где 2 ——волновая функция, которая больше не связывается с действием, так как может содержать и другие переменные, кроме пространственных.

Будем рассматривать формулу (30.3) как квантовое определение оператора /, иначе говоря, перейдем от величины момента к оператору момента.

Покажем, что при таком выборе оператора момента его проекции удовлетворяют обычным правилам перестановки (24.24), которые были выведены для проекций момента пространственного движения частицы. Эти последние принято называть проекциями орбитального момента (термин «орбитальный» восходит к теории Бора, допускавшей существование орбит).

Всякий оператор определяется по отношению к какому-нибудь объекту, на который он действует: в геометрическом пространстве, например, к вектору, в гильбертовом пространстве — к вектору состояния, т. е. волновой функции. Удобно получить сначала правила перестановки операторов JXf Jyi /г при их действии на составляющие радиус-вектора %, у, г.

Если ввести три единичных вектора (орта) п{1\ 〃(引 и 冷①)，то, как известно из § 8 и 9, изменение радиус-вектора при повороте координатной системы равно:

5/=[加")6例，r],(30.4)

где Вер» — бесконечно малый угол поворота вокруг i-той оси.

Повернем координатную систему еще раз вокруг fe-той оси (々 W i); тогда изменение 3力尸 при новом повороте:

汝 3，)=[心)3做，6zr] = [n^k} [п^г\\ 师3s.(30.5)

Проделаем те же операции в обратном порядке:

6； (6/) = [п^8^ 3/] = [п^ [n^V]]师5恥・ (305)

Найдем теперь разность между обоими изменениями раднуо вектора:

6/ (6丿)一3月 3，)=([川)[П^Г\\ — [П^ [П^Г]]) 6ф/6ф^ =

n {(球i),九(h)) r 一也小)(孔口),尸)一(球工 球%尸+m⑴(球向尸)} 6⑵6中在=

=-[[献»)办叫川6屮产5.(30.6)

Но векторное произведение [球工 球幻]=球“)，где i * 々=#/, если номера ортов следуют в циклическом порядке. Следовательно,

6/ (6/)一生(3,)=-[版”]5中力屮冗.(30.7)

Иными словами, повороты вокруг разноименных декартовых осей неперестановочны. Но легко видеть, что правила перестановки поворотов вокруг разных осей тождественны с правилами перестановки между соответствующими составляющими момента. Действительно, если сопоставить повороту на угол 6(рЛ вокруг й-той оси оператор 五 J夙卜,то предыдущее равенство после сокращения на 6屮3屮々(мы приняли, что Bq?% = 5s3屮左)будет выглядеть так:

JiJk—-JrJi = ihJi,(30.8)

где i 丰 h 丰 I.

Таким образом, получилось правило перестановки операторов проекций момента произвольного происхождения независимо от того, к каким степеням свободы они относятся. Надо считать, что правила перестановки (30.8) справедливы для действия операторов J%, /р и Jz н в гильбертовом пространстве векторов состояний. По существу аналогичное допущение было сделано по отношению к операторам проекции орбитального момента и ко всем операторам вообще.

Только если допустить, что операторы проекций момента в любом случае удовлетворяют правилам перестановки (30.8), момент может быть аддитивным интегралом движения замкнутой системьь Если бы проекции орбитального момента удовлетворяли одним правилам перестановки, а проекции спинового момента — другим, то суммарный момент подчинялся бы каким-то совсем особым переста- 352

новочньш соотношениям. В частности, он переставлялся бы с гамильтонианом не так, как орбитальный момент, что должно было бы нарушать условия его сохранения. Но так как опыт показывает, что суммарный момент замкнутой системы сохраняется при тех же условиях, при которых в системе, не имеющей спина, сохраняется один орбитальный момент, ясно, что единственно возможные перестановочные соотношения между составляющими момента суть (30.8).

Заметим еще, что в системе, обладающей спином, строгому условию сохранения удовлетворяет только полный момент </, который строится из орбитального момента и спина по правилам векторного сложения (§ 29). Составляющие J отдельные моменты могут считаться интегралами движения лишь приближенно, подобно тому как азимутальные квантовые числа отдельных электронов условно рассматривались как интегралы при нахождении результирующего орбитального момента атома.

Собственные значения квадрата момен- т а и его п р о е к ц и и. Из соотношений (30.8), как и раньше из (24.24), следует, что момент перестановочен с любой из своих проекций. Будем теперь исходить только из соотношений (30.8), чтобы найти собственные значения квадрата момента и одной из его проекций.

Выберем некоторое состояние системы, характеризующееся пока неизвестным собственным значением квадрата момента J и его проекции. Хотя эти числа мы еще не определили, но имеем право считать в рассматриваемом состоянии соответствующие им операторы диагональными:

户=户5/2/2,6厶厶(30.9)

Jz = J 26j2j/26j2j*#(30.10)

Начнем с операторного выражения:

户=展+ ^ +耳，

из которого образуем соотношение между средними значениями: 〈「〉=〈JD +〈Jj〉+〈/〉(30.11)

Но в собственных состояниях операторов средние от соответствующих величин равны собственным значениям в этих состояниях, так что

尸=& +〈&〉+〈」»(30.12)

Ясно, что средние значения от квадратов〈北〉и〈Jj〉не могут быть меньше нуля, поэтому

Л<Л,(30.13)

или

一疗(30.14)

Будем измерять момент в естественных единицах ft, возвращаясь, где надо, к обычным единицам путем умножения на й. Пусть тогда

наибольшее абсолютное значение проекции момента равно J.

Вместо (30.14) запишем, применяя теперь знак V вместо V：

一 J V 厶 V J・(30.15)

На примере орбитального момента мы видели, что 丿尸 > Jz. Из (30.15) следует, что матричные элементы любой величины, зависящие от Jz，в состоянии с данным J2 должны обращаться в нуль, когда хотя бы один из значков Jzt J； становится больше J. Применим это к матричным элементам от операторов Jx 士 iJy.

Возьмем две перестановки вида (30.8):

A. 人人 人人

-/ = 一 ?.

Умножим вторую из них на 士 i н сложим с первой:

(Л ± iJy)Jz - Л (Л± 也)==й (Л ± 小).(30.16)

Так как все три оператора 久，Jy и Л перестановочны с 拄， соответствующие матрицы диагональны по J2. Разные значки они имеют только по отношению к Jz. Образуя матричные элементы от обеих частей равенства (30.16), находим:

£ {(( ± 〃Р)厶〃"'%厂 0厶" 3 ± i JJ〃3}П

―干(J% ±'」у)厶(30.17)

Теперь воспользуемся тем обстоятельством, что сама матрица (J^j /〃 диагональна в том представлении, где Jz является независимой переменной. Это выражено равенством (30.10), используя которое напишем в упрощенной форме:

(/2)(丿:='丿厶丿2(厶)丿:丿2 = 〃3:〃，

Подставляя это в (30.17) и собирая все члены равенства в левой его стороне, получаем:

(九 士 "/厶 ^ (厶-A±1)=0.(30.18)

Так как один из двух сомножителей этого равенства слева должен быть равен нулю, видим, что Jx + iJy имеет только такие матричные элементы, у которых номер столбца на единицу меньше номера строки (J；=厶一1), a Jх — iJy — только такие； матричные элементы, у которых номер столбца на единицу больше номера строки (J£ = Jz + 1). При этом собственные значения /纟 изменяются через единицу (выраженные через 九!) и пробегают числа от —J до J. Но тогда для числа J имеются две и только две возможности: J равно либо целому, либо полуцелому числу (%, 3/2 и т. д.):

только целые и полуцелые числа, будучи уменьшенными на целое число единиц, могут переходить сами в себя с обратным знаком.

Зная, какие матричные элементы Jx 士 iJy отличны от нуля, построим теперь матричные элементы от (J% — iJy)(Jx + Uy). Раскроем сначала произведение операторов:

(」% — iJу) (J + z/y) = /^+/j + i (厶/у — Jyjx)=

= * + /%一厶=户一扑一厶. (30.19)

Так как справа стоит диагональная матрица, матрица слева тоже диагональна. Напишем отвечающий этой матрице диагональный элемент:

(J% —"»厶,j^+i (Jх + iJy)j2+i,j z = J2 — JI — J(30.20)

Применим равенство (30.20) к случаю, когда Jz равна своему максимальному значению J. Тогда слева оба матричных элемента, входящие в произведение, содержат значки J + 1. Следовательно, они равны нулю, и получается равенство, определяющее собственные значения квадрата момента:

户=/(/+1). (30.21)

Символический вид этого равенства не должен вводить в заблуждение: ведь мы условились понимать под 尸 собственное значение оператора /?, а под J ——максимальную проекцию момента на ось z.

В отличие от орбитального момента полный момент может иметь как целые, так и полуцелые значения J. Те и другие совместимы с правилами перестановки (30.8) *.

так как в противном случае у него был бы матричный элемент с индексами /, 力+l, который должен равняться нулю. Следовательно,——2 ctg Р； =0,так как в противном случае у него был бы матричный элемент с индексами /, 力+l, который должен равняться нулю. Следовательно,——2 ctg Р； =0,на эту волновую функцию, оператор е"屮на эту волновую функцию, оператор е"屮Тогда оказывается, что момент некоторой системы может принимать либо только целые, либо только полуцелые значения, потому что，z изменяется каждый раз обязательно на единицу.

так как в противном случае у него был бы матричный элемент с индексами /, 力+l, который должен равняться нулю. Следовательно,——2 ctg Р； =0,

так как в противном случае у него был бы матричный элемент с индексами /, 力+l, который должен равняться нулю. Следовательно,——2 ctg Р； =0,

на эту волновую функцию, оператор е"屮

на эту волновую функцию, оператор е"屮

Найдем теперь матричные элементы составляющих момента. Для этого заметим, что

(厶一"/厶,j?+i = (j% + О亨”1，"

потому что операторы Jx и Jу эрмитовские.

При помощи (30.20) это дает:

I Jx + iJy 比+1,厶=J Q + 1) — 厶(厶+ 1) = Q — JJQ + Л+1).

(30.22)

Этот матричный элемент обращается в нуль при Jz = —— (J + 1), как и должно быть. Аналогично

\Jx - iJy瓦,j”i = J (/+ 1)一J式厶一1)=(/+()(/一(+ 1).

(30.22)

Здесь получается нуль, когда J? = J + 1.

Если определить Jx + Uу как матрицу с действительными элементами, то и матрица Jх — iJy тоже должна иметь действительные элементы: при этом условии правила перестановки между обеими матрицами будут соответствовать (30.8). Поэтому

(九 + 0厶+1, Jz = V(J - Jz) (J + 厶+ 1),(30.23)

(J% — iJJj? j^ + i = ]/(J + JJ (J — J?+ 1)。(30.23)

Матрица (J% 十 iJJ имеет отличные от нуля элементы только рядом с главной диагональю, справа от нее, а матрица Jx — iJу — только слева от главной диагонали, тоже рядом с ней. Нам понадобятся эти матрицы для J = 1/2. При таком значении полного момента его проекция Jг принимает лишь значения % и —%. Соответственно этому получатся такие матричные элементы:

(厶 + "川/2, -% = J (у + у)(Т 4+ 1)= 1,(30.24)

(厶—iJу)-%, % = 7^у + у^у ~ у + 1) = 1 ・(30.24)

Каждая матрица имеет две строки и два столбца.

По этим матрицам нетрудно найти матрицы самих проекций момента Jx и Jy. Они равны:

Умножая Jy на 士i и складывая с Jx, вернемся к (30.24) и (30.24'), что оправдывает равенства (30.25) и (30.25').

К матрицам Л и Jy надо присоединить матрицу Jz. Так как она по условию диагональна, ее следует написать в таком виде:

Л = | J _i •(3°・25〃)

Спиновая переменная электрона. Теперь надо построить вектор состояния, или волновую функцию, на которую будут действовать операторы (30.25)—(30.25〃). Ясно, что эти волновые функции будут зависеть не от пространственных координат, а от особой переменной, описывающей спиновую степень свободы. Но так как матрицы, отвечающие моменту J = %, имеют только две строки и два столбца, соответствующий вектор состояния имеет всего лишь две компоненты. Назовем их 屮】и 屮2・

Найдем собственные функции, отвечающие проекциям спина ±1/2. Для этого удобно написать их столбцом:

屮5 ・(30.26)

屮2

Эти функции, вместе взятые и записанные в равенстве (30.26) в виде одной функции 屮，должны быть собственными по отношению к оператору 厶，определенному как матрица (30.25〃)：

'押評'0 -1'押評'0 -1(30.27)(30.27)

'押評'0 -1

'押評'0 -1

(30.27)

(30.27)

Так как оператор J2 диагональный, вид собственных функций легко определяется:

厶二％,屮i/2 = (o),厶=—V2, ▽—% = (]}(30.28)

т. е.

屮/2, i = L 电厶,2 = 0,屮_%, 1 = 0,屮一％,2=1・

Таким образом, мы приходим к записи собственных функций оператора J?, вполне аналогичной общей записи собственных функций любого оператора, например оператора X в переменных х: 屮仇，办

Роль независимой переменной х играют значки 1,2, а собственных значений оператора спина 丄厶 и —1/2. В отличие от переменной х, принимающей непрерывный ряд значений, спиновая переменная имеет только два значения (1 и 2), но все формальные требования, предъявляемые к операторам и собственным функциям в квантовой механике, выполняются и в случае спина. Например, из записи операторов JX9 Jy и J2 видно, что они эрмитовские. Волновые функции, отвечающие разным собственным значениям оператора /г, ортогональны. Это непосредственно видно из (30.28): если обозначить спиновую переменную s (s = 1,2) и собственные значения

выполняются соотношения ортонормирован-выполняются соотношения ортонормирован-jz （Jz = “2，—％），Т。 ности:

выполняются соотношения ортонормирован-

выполняются соотношения ортонормирован-

士忆s忆s = 3“・（3°・29）

Таким образом, собственное значение проекции спина надо рассматривать как четвертое квантовое число в дополнение к и, / и ^. Чтобы не писать каждый раз дробь %, обычно задают только знак проекции спина, который обозначается буквой о. При нормировке произвольной волновой функции квадрат ее модуля интегрируют по пространственным переменным и суммируют по спиновой переменной s. Например, в центральном поле условие ортонормирован- ности надо записать так:

，\ ^n^^k'G^nlkG dV = ^nn^ll^kk'^GG^（30.30）

s

Операторы （матрицы） Паули. Условившись не писать величину проекции спина, а только ее знак, удобно ввести вместо Jx, Jy и Jz три такие матрицы:

0 1° —i 10…

i 0 三 0—1'（30・31）

которые были введены Паули для квантовомеханического описания спина электрона. Рассмотрим подробнее свойства этих матриц.

Заметим прежде всего, что каждая из них имеет по одному отличному от нуля элементу в каждой строке и в каждом столбце. Это позволяет представить действие таких матриц на функцию 屮 （30.26） в виде подстановки:

8押=（一：：）・（30.32）

С помощью подстановок проще, чем по общему способу, находить правила умножения матриц, например:

С：）（зо-зз）

Очевидно, что это равенство символически надо записать как 金=1. Здесь единица означает 6SS/. Таким же образом находим:

м，）

и, наконец,

（зо・зз〃）

Теперь найдем таким же способом попарные произведения матриц Паули:

(30.34)(30.34)(30.34〃)(30.34)(30.34)(30.34〃)мю=（_;：）=《—：）=疗押=-&向屮, w=a, （_ ：）=恵=瘠=总屮=_沾中.

(30.34)

(30.34)

(30.34〃)

(30.34)

(30.34)

(30.34〃)

Все полученные равенства можно записать в виде одного в тензорной форме (см. § 11):

^1^т — §1т + ^1тп^п*(30.35)

Это значит, что любое выражение, квадратичное относительно матриц Паули, приводится к линейному. Например,

(4°) (3°) = ^i^i * Втот = AiBi + tZimnAiBm(yn =

= (AB) + i([AB] a).(30.36)

Разумеется, здесь обе матрицы Паули действуют на спиновые переменные одного и того же электрона.

Векторные свойства операторов Паули. Покажем, что операторы Паули могут рассматриваться как составляющие вектора. Для этого следует убедиться в том, что при поворотах координатной системы эти операторы преобразуются как составляющие вектора, т. е. что преобразованные операторы обладают теми же свойствами, как исходные.

В § 9 были введены обозначения для косинусов углов между старыми и новыми осями координат, а именно: косинус угла между старой осью а и новой осью а' был обозначен (а', а). Тогда компоненты преобразованного вектора выражаются через компоненты вектора относительно старых осей следующим образом:

h = (a‘，a)% 肅=(弘 6)施.(30.37)

Надо доказать, что они дают в произведении результат, аналогичный (30.35).人 人

Перемножая 总 и 虚，получим:

g工б" = (a , а) (В , P) Oa“ =

=(a , a) (6 , P) (Sap + »%6丫。丫) = 6а，в，+ i (a , ex) (P , P) %師。丫・

Ho &aBY — инвариантный тензор, он одинаков в любой системе координат. То же самое можно сказать, если один из значков тензора (?) свернут (просуммирован) со значком какого-либо вектора,

например 6丫. Это следует просто из свойств коэффициентов преобразования (а', а), ..., (у\ ?)• Поэтому

Таким образом,Таким образом,О%，理，=6а，у + ^a^^^ySО%，理，=6а，у + ^a^^^yS(а , а) (В , Р) %ВуОу = £а，в，『о『・

Таким образом,

Таким образом,

О%，理，=6а，у + ^a^^^yS

О%，理，=6а，у + ^a^^^yS

как и для старых компонент 原，&в・

Формулы преобразований для поворота вокруг одной оси удобно записать в явном виде:

(30.38)(30.38)ax = ax cos 屮 + d sin ф,筋=——8% sin 屮 + % cos ф.

(30.38)

(30.38)

Мы воспользуемся этими формулами для того, чтобы найти закон преобразования компонент волновой функции屮2・

В § 26 было показано, что преобразование поворота координатных осей относится к классу унитарных преобразований. Формулы (30.37) и (30.38) выражают унитарные преобразования операторов. Но представляет интерес найти соответствующее унитарное преобразование самих волновых функций.

Начнем с самого простого преобразования — поворота вокруг оси z, которое для операторов имеет вид (30.38). Будем исходить из стандартных волновых функций (30.28), которые, чтобы не писать дробь в индексе, обозначим просто 屮+ и 也.Произвольную функцию спиновой переменной можно представить как линейную комбинацию 中+ и屮_:

屮=%仲十 + % 屮-•(30.39)

Разумеется, функция 屮 тоже двухкомпонентная, причем, как видно из (30.28) и (30.39), ее первая компонента равна хх, а вторая /•

Совершим теперь поворот координатной системы на бесконечно малый угол 6(р вокруг оси г. Тогда, как нам известно из определения момента (30.2) или (30.3),

6屮+ = *5屮屮+，6屮一 =—*6 屮屮一.(30.40)

Следовательно, для 3屮 имеем:

(30.41)

Интегрируя это соотношение, получаем формулу преобразования для 屮'при конечном угле поворота ср:'

(30.42)

Таким образом, двухкомпонентная функция ^J преобразуется через половинный угол поворота.

Отметим, что I 屮'产=I ^5 I2 + I х2 I2 ~ I 屮产=I %i E + + I / E, как и должно быть при унитарном преобразовании, сохраняющем нормировку волновой функции.

Найдем более общий вид унитарного преобразования волновой функции 屮，которое представим с помощью четырех чисел а, Р, Y и 6:

注=а/ + В/，(30.43)

兄=Y%i + б/.

Комплексно сопряженные величины %：*, %；* могут быть выражены соответственно через а*, В*, 丫*, 6*. Потребуем, чтобы I 屮'『=丨屮 I2. Это налагает на коэффициенты преобразования следующие четыре условия, которые получаются из сравнения выражений при | 修 |2, | / I2» 尤匿 и х^2:

а*а + у*у= 1,а*В + у*6 = 0,

(30.44) 8*8 + 6*6 = 1,邛*+?6* = 0.

Из условий (30.44) следует соотношение между а, Р, у, 6 и сопряженными величинами а*, В*, 丫*, 6*:

厂(зо.45)

где D = аб — 0у, т. е. определитель преобразования.

Равенство (30.45) означает, что сопряженная матрица преобразования равна обратной матрице, но это и представляет собой условие унитарности. Образуя определители от обеих сторон (30.45), находим, чтоО* = О"1. Без ограничения общности можно положить 0 = 1, тогда

а = 6*,§ = —Y*，(30.46)

Применим полученные соотношения к повороту координатной системы вокруг оси % на угол 仆.Проекция спина на первоначальную ось z пусть была равна +1/2. Среднее значение проекции спина на новую ось равно cos 也 потому что между средними величинами в квантовой механике такие же соотношения, как между самими величинами в классической механике. Так как основные свойства операторов при повороте координат сохраняются, будем считать, что оператор проекции спина на новую ось 2 (硝 имеет вид (30.31). Найдем выражения для преобразованных при повороте волновых функций.

Если по отношению к старым координатным осям волноваяЕсли по отношению к старым координатным осям волновая

Если по отношению к старым координатным осям волновая

Если по отношению к старым координатным осям волновая

функция состояния была 屮十= ласно (30.43) должно быть:

то относительно новых осей сог-

屮I = а

а для комплексно сопряженной волновой функции с помощью (30.46) получим:

Оба эти выражения надо подставить в определение среднего значения проекции момента на новую ось z:

〈&〉= £ ^* ^^s = cos 仇(30.47)

s

Используя известную форму оператора а^ и выражения для ip*' и 屮'，определяем из (30.47):

a3 + PY = cos 仇

Поскольку аб — 即 = D = 1, получаем второе уравнение, связывающее между собой коэффициенты преобразования: аб —卩丫 = =1. Складывая и вычитая эти уравнения, находим:

а8 =у(1 4-cos-&) = cos2у, §y = — sin2у.

Пользуясь (30.46), получим:

a*a = |a|2 = cos2y, р*р = | р р = sin2 у.

Примем, что а—действительная величина, равная cos у. Тогда, чтобы удовлетворить условию ссб — Ру = 1, надо считать 0 чисто мнимой величиной 2 sin 芽.Правильность такого выбора а и р видна из следующего. Найдем 〈%〉, которое, очевидно, должно быть равно sin 仇 С другой стороны, имеем:

〈％〉= 2叭*%叭=—绅绅2 + 冲产恥=2 sin--cos у = sin ^. (30.48) s

Таким образом, получилась матрица, описывающая поворот вокруг оси х:

cos у, isin 彳

I sin у, cos у

仆 5(<р+х) . • 仆 п-(х-<р) cosye2 , ismуе2仆 5(<р+х) . • 仆 п-(х-<р) cosye2 , ismуе2(30.49)(30.49)Самый общий вид матрицы достигается в том случае, когда производится еще один поворот вокруг новой оси / на угол %. Три угла поворота ср, 3 и % суть не что иное, как углы Эйлера (§ 9). Перемножая все три матрицы, найденные для каждого поворота в отдельности, получаем самую общую матрицу поворота:

仆 5(<р+х) . • 仆 п-(х-<р) cosye2 , ismуе2

仆 5(<р+х) . • 仆 п-(х-<р) cosye2 , ismуе2

(30.49)

(30.49)

..О -9 (ф—х)仆一$(①+х)

I sin у е2 , cosye 2

Такая матрица имеет известную аналогию с матрицей косинусов (X,卩).Но в отличие от последней действует не на компоненты вектора, а на компоненты особой величины ——спинора. Спинор ——это двухкомпонентная комплексная величина, имеющая закон преобразования, описываемый матрицей (30.49), тогда как вектор ——трехкомпонентная величина, преобразующаяся при поворотах координат с помощью матрицы косинусов.

Так как матрица преобразования спинора выражается через половинные углы, при повороте координат на 360° спинор не возвращается к первоначальному значению. Отсюда ясно, что никакая классическая непосредственно измеримая величина не может линейно выражаться через спинор. Возможны только билинейные выражения типа (30.47) и (30.49). Такие величины при повороте на 360°, разумеется, принимают прежние значения. Но только они и могут измеряться в квантовой механике, а отнюдь не сами волновые функции.

Оператор полного момента электрона. Мы рассмотрели спин электрона отдельно от его орбитального момента. Образуем теперь векторный оператор полного момента электрона:

)=麻+^d (30.50) или в составляющих:

jx = Mx + ~0Xf jy = My+^yi Ь = Мг+^г. (ЗО-бО")

Операторы 麻 и 2 перестановочны, так как они действуют на различные переменные: М — на пространственную, с — на спиновую. Благодаря тому что Mi и ^ имеют одинаковые правила перестановки, составляющие векторного оператора J имеют те же правила перестановки. Кроме того, j—вектор, потому что М и сг одинаково преобразуются при поворотах координатной системы.

Если собственное значение квадрата орбитального момента не равно нулю, т. е. Z，0, то собственные значения квадрата полного момента могут быть равны либо , + 4")卜 + ~|), либо, — y^Z +уу. В первом случае говорят, что спин и орбитальный момент параллельны, во втором случае, что они антипараллельны.

Это приводит к удвоению числа состояний электрона. Вместо квантового числа о можно пользоваться квантовым числом j = / 士 1/2.

Магнитный момент спина. Спин электрона, подобно его орбитальному моменту, связан с определенным магнитным моментом. Но опыт показывает, что отношение магнитного момента спина к механическому моменту в два раза больше, чем для орбитального движения электрона. В этом нет ничего парадоксального, потому что нельзя применять вывод (17.30) не к орбитальному моменту. Но магнитный момент спина выводится из релятивистского волнового уравнения Дирака для электрона (§ 37); в согласии с опытом соотношение между магнитным и механическим спиновыми моментами таково:

网=盡6 (30.51)

Следовательно, проекция магнитного момента спина на любую ось равна:

(卩就=±嘉三±阿. (30.52)

(Здесь мы опять измеряем момент в обычных единицах.) Величина 卩° называется магнетоном Бора. Это естественная единица магнитного момента.

Так как и спиновый, и орбитальный моменты создают свои магнитные моменты, между ними происходит магнитное взаимодействие. Оно пропорционально произведению магнитных моментов. Но формула каждого магнитного момента содержит величину скорости света в знаменателе. Следовательно, магнитное взаимодействие, как принято говорить, спина и орбиты обратно пропорционально с2, т. е. относится к релятивистским эффектам. Если скорости атомных электронов малы по сравнению с с, то мало и магнитное взаимодействие. В легких атомах это всегда так.

Из-за магнитных сил энергия уровня с j = I + % несколько отличается от энергии уровня с / = / ——"2. В такой простой форме это заключение относится к отдельному электрону в центральном поле, например в атоме щелочного металла.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что общее свойство матриц Паули ааар +(Ур^а —2дар сохраняется при поворотах координатной системы, пользуясь тем, что ~

(% V)(3 V)=诟生

Найти собственные значения скалярного произведения (аха2) для двух электронов, пользуясь тем, что и】и % перестановочны.

Решение. Так как а± и о^ перестановочны, для квадрата суммы имеет место обычная формула:

Gi + к)? = о； + о； + 2&1 а2.

Из § 29 известно, что сумма двух моментов изменяется от их суммы до разности, так что суммарный спин принимает значения 1 и 0 (по наибольшей проекции). Так как а — удвоенный оператор спинового момента, соответствующие максимальные проекции все вдвое больше. Поэтому, когда спины складываются как параллельные векторы, собственное значение квадрата (ах + а2)2 вчетверо больше, чем соответствующего квадрата момента, т. е. равно 4・1・2= 8, когда же спины антипараллельны, оно равно О*

Далее, oj = Gj = az= 1, так что собственное значение (W&) есть —厂=1

0 — 6 с

при параллельных спинах и ~— 3 при антипараллельных спинах.

3) Найти собственные функции Ответ:3) Найти собственные функции Ответ:

3) Найти собственные функции Ответ:

3) Найти собственные функции Ответ:

Таким образом, собственные функции всех трех неперестановочных операторов различны.

§ 31. КВАЗИКЛА0СИЧЕСК0Е ПРИБЛИЖЕНИЕ

Применение квантовой механики к конкретным задачам часто наталкивается на большие математические трудности. В этих случаях оказывается необходимым применять различные приближенные методы.

Такие методы не следует рассматривать просто как вынужденную замену точных решений. Наоборот, анализ применяемого приближения позволяет глубже разобраться в определяющих чертах поставленной задачи, отделить главенствующее от второстепенного.

Там, где приближение оказывается несовершенным, обычно не выполняются исходные упрощающие предположения.

В настоящем параграфе будет рассмотрен приближенный метод квантовой механики, применимый в тех случаях, когда данная задача имеет близкое классическое соответствие.

Квазиклассическое приближение. В § 23 было показано, что предельный переход от квантовой механики к классической достигается путем подстановки:

屮=:万， (31.1) где S — действие частицы. Чтобы совершить предельный переход, надо формально считать 九=0. Допустим теперь, что квант дейст*

вия малый, но конечный по сравнению с характерными величинами размерности действия в рассматриваемой задаче. Тогда S нельзя считать строго равным классическому действию, а надо представить в виде разложения в ряд:

S = S0 + ftS1 + /i2S2+ ・・・・(31.2)

Здесь классическое действие — So, а все остальные члены — квантовые поправки. В конкретных задачах обычно приходится пользоваться, кроме So, только первым членом разложения Sn потому что если остальные члены оказываются того же порядка, как нулевой и первый, само приближение не оправдано.

Подставляя разложение (31.2) в формулу (31.1) и затем в одномерное уравнение Шредингера, найдем S。，瓦，S2, ... для движения с одной степенью свободы. В случае, когда в уравнении Шредингера для системы с несколькими степенями свободы переменные разделяются, как, например, в центральном поле, подстановку, подобную (31.1) и (31.2), можно произвести для каждой степени свободы в отдельности.

После сокращения на 屮=е 元 получим из уравнения Шредингера точное уравнение для S пока без приближений:

(S')2 + } S" = 2m (Е — U)三 р2.(31.3)

Подставим ряд (31.2) в это уравнение и соберем члены при одинаковых степенях Л:

(Si)2 -炉 + /112s3sl + 1 s[ + ft2 [2星 + (S；)2 + } s[ + ・・・=o・

(31.4)

Приравнивая нулю коэффициенты при последовательных степе* нях Л, находим уравнения для So, S^ S2, ...» в которых известным считается классический импульс р = р^2т (£* — U). Заметим, что в каждом новом приближении появляется соответствующая новая функция, так что в принципе все они могут определяться последовательно:

S； = ±p,(31.5)

SI = 4•芻=^ (In S/ = i (In /瓦匕(31.6)

SU 士吉{[(In /万)T 一 (In W)〃} •(31.7)

Из последнего равенства видно, что примененное приближение теряет силу, когда классический импульс обращается в нуль, т. е. в точках поворота * Е = U (%). Тогда второй член разложения

обращается в бесконечность. Кроме того, все члены разложения становятся большими, когда велики производные р\ р〃, ..., выражающиеся в свою очередь через производные потенциальной энергии U', U", ... . Иными словами, для применимости приближения не должна быть велика сила 尸=——U' и ее производные по координате. Разложение (31.2) можно применять при достаточно плавной форме кривой потенциальной энергии.

Это допущение в реальных задачах обычно выполняется. Но почти всегда встречаются точки поворота, в окрестнсюти которых необходимо дополнительное исследование.

Допустим сначала, что решение найдено для таких х, которые достаточно далеки от точек поворота. Тогда, оставляя в разложении (31.2) нулевой и первый члены, получим:

—In 匕Г1±4-\pdx

(31.8)(31.8)р土 = е " J= е

(31.8)

(31.8)

VP

Это решение с точностью до множителя совпадает с обычным представлением волновой функции 屮 через действие:屮=е 九， S = \pdx. Два знака в формуле отвечают волнам, бегущим в обе стороны. Приближение (31.8) называется квазиклассическим от латинского слова «квази» — почти.

Решение в классически недостижимой области. Однако термин «почти», строго говоря, можно применять только к таким областям пространства, где импульс р — действительная величина. Там, где U > Е, импульс становится мнимым, и остается лишь внешнее сходство квантовых формул с классическими. В задаче о потенциальной яме конечной глубины (§ 28) было

показано, что частица имеет конечную вероятность оказаться в классически недоступной области, где U > 方.Для случая прямоуголь-

ной потенциальной ямы решение задачи достигается с помощью граничных условий, позволяющих сопрягать волновую функцию для областей, где Е > U и где U > Е. Рассмотрим теперь типичную

волновые функции квазикласси^волновые функции квазикласси^задачу, в которой надо сопрягать ческого приближения между областями, где р2>0 и р2 <0.

волновые функции квазикласси^

волновые функции квазикласси^

На рисунке 35 изображена кривая потенциальной энергии для случая, когда волновая функция в классически недоступной области имеет особый интерес. Полная энергия частицы меньше максимального зна-

чения потенциальной энергии. Волновая функция частицы, помещенной левее «горба» потен-

циальной энергии, не может уменьшиться до нуля на конечном расстоянии от точки %i до точки х2. Следовательно, волновая функция не равна нулю и правее точки х2, где полная энергия снова больше потенциальной. Здесь волновая функция вообще перестает затухать, так что движение в целом инфинитное. Это значит, что потенциальный барьер конечной ширины не может сколь угодно долго удерживать частицу в яме.

Покажем, как вычислить коэффициент «прозрачности» потенциального барьера, т. е. вероятность прохождения сквозь него частицы.

Волновая функция вблизи точек поворота. При сопряжении волновой функции между областями, где р2 > о ° где р2 V 0, мы наталкиваемся на следующую трудность: вблизи обеих точек поворота (^ и х2) неприменимо найденное нами решение (31.8). Оно справедливо только на достаточно большом расстоянии от этих точек с обеих сторон от каждой. Можно, однако, допустить, что вплоть до таких удаленных от Xj и %2 точек кривая потенциальной энергии хорошо аппроксимируется своей касательной, проведенной через точку поворота, но, разумеется, области такой линейной зависимости U отх еще очень малы по сравнению со всей подбарьерной областью. Запишем указанное разложение потенциальной энергии:

U (%) = U (Y一打 + 力)=u(%1) + (%一%)(*] = u(打) — (%一打)尸1,

(31.9)

где 尸 1 — сила, действующая на частицу в точке хъ U (%0 = Е.

Подставим разложение (31.9) в уравнение Шредингера:

(31.10)

Достаточно далеко от точки поворота можно использовать квази- классическое приближение (31.8) и представить решение в такой форме: х

± V 2m 尸 1 (% —尢I dx

Хотя в интеграле подставлен нижний предел хъ вблизи х = xt решение (31.11) не справедливо. В точке поворота % = / на рисунке 35 производная (阻[положительна. Здесь действует сила притяжения 尸i =—傑)j VS Поэтому левее точки хг под корнем стоит положительная величина. Правее точки поворота корень мнимый. Здесь

решение имеет такой вид:

(31.12)

Оба решения (31.11) и (31.12) справедливы только там, где в показателях стоят величины, Достаточно большие по модулю по сравнению с единицей. Но из формул (31.11) и (31.12) не видно, каким образом решение проходит через промежуточную область, т. е. какой вид приобретает некоторое решение, найденное далеко от xt слева (скажем, 《+), при изменении % до значений, далеких от %】 справа.

Чтобы связать между собой две асимптотические формы решения, надо знать точное решение для промежуточной области и продолжить его в далекие от точки поворота области. Если слева точное решение примет, например, формуто справа получится линейная комбинация 屮+ и 屮二 Но это асимптотические формы одного и того же решения, следовательно, их и надо будет использовать в качестве условия сопряжения волновой функции по обе стороны от точки поворота.

Покажем теперь, как строится точное решение. Уравнение (31.10) всегда допускает его, так как оно содержит независимую переменную линейно. Прежде чем приступить к нахождению решения, сделаем следующую подстановку:

& =(31.13)

чтобы избавиться от лишних букв, загромождающих уравнение. Тогда его можно будет переписать так:

諸 + 帥=0・(31.14)

Решение удобно искать в виде

^^^f^dq,(31.15)

где пределы интегрирования пока не указываются. Подставим (31.15) в (31.14), выполнив следующие операции:

2" = -\e‘我矿,(g)歯，

帥=、崑唯f(q)dq=-i ^^)f^dq^-ie^f{q)\ + i 卜鹏备歯.

Пределы интегрирования выберем таким образом, чтобы проинтегрированное выражение равнялось нулю. Тогда подстановка в дифференциальное уравнение (31.14) дает:

~唱一小晩的"(31.16)

Так как это равенство должно выполняться при всех значениях функция / удовлетворяет уравнению:

嘿一货=0,(31.17)

так чтотак чтоОтсюдаОтсюда(31.18)

так что

так что

Отсюда

Отсюда

(31.19)

Это решение справедливо при любых 自一положительных и отрицательных. Путем некоторых вычислений, основанных на теории функций комплексного переменного, можно показать, что при больших абсолютных значениях | Е | полученное решение переходит в решения вида (31.11) и (31.12), между которыми устанавливается следующее соответствие:

решение слева от хх: | решение справа от %工：

青 sin 仔占%+ (31.20a) 表叫翁叶十户赤却m (31.206)

Заменяя 自 на х, видим, что решения слева образованы линейными комбинациями из 屮+,屮，выраженными согласно (31.11). В свою очередь показатели степени в уравнениях (31.11) на еще больших расстояниях от точки поворота надо заменить интегралами: \pdx и у р I d%・

Прохождение через потенциальный б а р ь- е р. В упражнении 2 к § 28 была получена точная формула для вероятности прохождения частицы через потенциальный барьер прямоугольной формы. Найдем теперь формулу для вероятности перехода через потенциальный барьер произвольной формы в квази- классическом приближении.

Возможность прохождения сквозь потенциальные барьеры — общее свойство движения частиц в квантовой механике, связанное с тем, что волновая функция не обращается в нуль в классически недостижимой области, где Е < U. В общем случае для нахождения вероятности подбарьерного перехода необходимо решить уравнение Шредингера, отвечающее данной задаче. Соответственно этому не может быть получена общая точная формула вероятности. Но в кв аз и к л ассическом приближении общая формула может быть найдена. К выводу этой формулы мы и приступаем.

Так как все показатели степени в этом приближении велики по сравнению с единицей, можем заключить, что вероятность прохождения должна получиться экспоненциально малой. В противном случае само приближение неприменимо. Но если вероятность прохождения барьера очень мала, то вероятность отражения от него близка к единице. Поэтому волновую функцию левее барьера, откуда

на него падают частицы, можно с хорошей точностью заменить стоя чей волной типа (28.5):

у рф = е %】 十6打 =2 sin p dx +《卜

Мы ввели в нее i 今,чтобы удобнее было произвести переход через левую точку поворота xx. Пользуясь соответствием, выраженным формулой (31.20а), видим, что волновая функция под барьером имеет требуемую форму затухающей экспоненты:

Чтобы перейти через вторую точку поворота &， представим функцию под барьером таким образом:

一^ \ 丨"丨d% ± \ \ Р \ dx

У\р \ 屮=е "I ・е *•(31.21)

Здесь первый сомножитель — постоянная величина, а второй — экспоненциально нарастает в глубь барьера. Решение такой формы сопрягается с волной, бегущей от барьера вправо и имеющей коэффициент, по модулю равный единице.

Из всего сказанного следует, что амплитуда волны, уходящей

за барьер, уменьшается в отношении е "】,а сама вероятность

прохождения сквозь барьер равна квадрату уменьшения ампли

**\p\dx\p\dxтуды:

*

*

\p\dx

\p\dx

(31.22)

Этой формулой можно пользоваться только до тех пор, пока входящий в нее показатель степени велик по сравнению с единицей. В противном случае для вывода соответствующего соотношения необходимо пользоваться точными волновыми функциями.

Существование подбарьерных переходов показывает, что понятие траектории иногда полностью неприменимо при квантовом движении. Траектория, продолженная под барьер, приводила бы к мнимым значениям скорости.

Соотношения неопределенности (22.4) указывают только нижний предел возможных неточностей в задании координат и импульсов.

Когда частица находится под барьером, для нее неточность во много раз возрастает. Где бы она под барьером ни находилась, ее скорость— мнимая величина, т. е. полностью неопределенна.

Можно сформулировать то же самое иным способом. При измерении энергии частицы, находящейся в подбарьерной области, получается столь большая неточность энергии, при которой нельзя больше утверждать, что частица имеет энергию ниже барьера.

Альфа-распад. Прохождение частиц через потенциальный барьер позволило объяснить один из важнейших фактов ядер- ной физики ——альфа-распад. Массы ядер тяжелых элементов, имеющих большой атомный номер (больше Z = 82), удовлетворяют неравенству вида (14.9):

т(Л, Z)>m(4-4, Z-2) + m(4, 2),

где А — атомный вес, Z ——заряд ядра. Следовательно, т (4,2)—— масса ядра гелия с атомным весом (массовым числом) 4 и атомным номером 2. Такое ядро, вылетающее при альфа-распаде, называется альфа-частицей.

Из неравенства видно лишь то, что самопроизвольный распад ядра с массой т (Л, Z) возможен, но никаких указаний о временном законе распада не следует. Ядра некоторых элементов имеют среднее время распада 10 млрд, лет, другие ——около 10~5 сек, т. е. различие составляет 23 порядка величины. Отметим, что энергии вылетающих альфа-частиц различаются при этом всего в два раза. На опыте установлено, что логарифм среднего времени распада ядра обратно пропорционален скорости альфа-частицы. Этот логарифмический закон и соответствует разнице в 23 порядка. Он находит себе объяснение в различии барьерных факторов, которые зависят от энергии экспоненциально.

Задача заключается в том, чтобы построить подходящую, по возможности простую модель ядра, которой на основании квантовомеханических законов будет соответствовать наблюдаемый закон распада. Такая модель не должна, кроме того, противоречить остальным фактам, относящимся к ядру.

Хотя в настоящее время не существует количественной теории ядерных взаимодействий, имеется вполне удовлетворительная достаточно универсальная модель ядра, позволяющая описывать и ста* вить во взаимосвязь все наблюдаемые явления в ядерной физике, вплоть до энергий частиц в сотни мегавольт.

Применительно к альфа-распаду достаточно пользоваться только самыми общими чертами этой модели. На больших расстояниях от ядра, больших чем 10-12 см, никакие специфические ядерные взаимодействия не проявляются. На таких расстояниях от ядра на альфа-частицу действует только электростатическая кулоновская сила, которой соответствует потенциальная энергия:

U = 2(z；2)竺. (31.23)

На малых расстояниях должны, конечно, действовать силы притяжения, потому что в противном случае ядро (Л, Z) вообще не могло бы существовать. Силовой закон, т. е. форму кривой потенциальной энергии вблизи ядра, мы не знаем, но можем утверждать, что она должна отвечать очень крутому ходу зависимости сил с изменением расстояния, как при всех ядерных взаимодействиях. В § 28 указывалось, что для описания таких потенциальных кривых вполне пригодны упрощенные модели, известные под названием потенциальных ям.

На рисунке 36 изображена такая предполагаемая потенциальная яма, в которой альфа-частица находится в ядре. Дальше от ядра кривая, отвечающая яме, как-то переходит в кривую кулоновского отталкивания, причем детальный закон перехода, как будет видно из дальнейших вычислений, не имеет существенного значения. Уровень энергии Е проведен выше нуля, потому что иначе альфа-частица вообще не могла бы вылететь из ямы. Простая кривая рисунка 36 вполне достаточна для объяснения закона альфа-распада.

Для нахождения вероятности альфа-распада надо вычислить барьерный фактор D согласно (31.22). Благодаря тому что ядерные силы короткодействующие, переходная область между электростатическими и ядерными силами мала и закон Кулона можно считать справедливым до точки г = q, т. е. вплоть до отвесной границы ямы. Точка 厂 1 является эффективным радиусом ядра, определяемым из альфа-распада. (Другие данные о ядре приводят к несколько иным значениям его радиуса, но различия оказываются вполне в пределах приемлемого.)

Итак, барьерный фактор вычисляем по формуле

D = e 仆 三 е-Р. (31.24)

Интеграл в показателе степени легко определить подстановкой: 病刍F = cos2%.(31.25)

Тогда после элементарных выкладок он приводится к такому виду:

(Z — 2) еа - М2 (Z-2) е2 М1 - 2 (Z-2) е2 )'(31.26)

Величина £7〕[2 (Z — 2) e2]-i есть отношение энергии альфа- частицы к эффективной высоте барьера в точке q, рассчитанной по формуле (31.23). Оценим это отношение. У тяжелых ядер 2 (Z — 2) ~ 180, q 4 9 -10'13 см, Е возьмем равным 6 Мэв (Ю-5 эрг), е2 = 23 • IO*。. Отсюда

Егх 〜1

2(Z-2)e2 — У *

Эту величину можно считать малой. Тогда в правой части (31.26) получим приближенно:

р 〜2]^ 2(Z —2)次包 f Er. \ —h\22(Z — 2)«2丿一

=需• 2 (Z - 2) - ^ %"0亿_2)・(31.27)

В справедливости такого разложения можно убедиться прямой численной подстановкой.

Зная барьерный фактор, легко найти временной закон альфа- распада. Для этого надо воспользоваться формулой (23.18). Интеграл по поверхности в правой части этого уравнения надо отнести к бесконечно удаленной поверхности, поскольку вне ядра имеются только альфа-частицы, удаляющиеся от него. Полный поток через такую поверхность дает вероятность распада в единицу времени. Объемный интеграл в левой части (23.18) достаточно распространить по объему ядра, так как волновая функция альфа-частицы экспоненциально затухает под барьером. Согласно основному результату § 23 вероятность нахождения альфа-частицы в ядре равна:

N = \|屮卩优

Можно считать, что в какой-то начальный момент времени N было равно единице. Тогда по уравнению (23.18) определяется закон ее убывания со временем. Амплитуда волновой функции уменьшается при прохождении барьера в О】^ раз. Если считать ее 374

в ядре единичной, как мы сделали при вычислении барьерного фактора, то волновая функция в бесконечности должна быть равна:

AD е~1ГAD е~1Г$4冗г$4冗г(31.28)(31.28)

AD е~1Г

AD е~1Г

$4冗г

$4冗г

(31.28)

(31.28)

Мы воспользовались тем, что для перехода от одномерного движения к трехмерному надо разделить волновую функцию на 厂(см. § 29). Множитель появляется при нормировке волновой функции

У 4л

на единицу по телесному углу, коэффициент Л связан с нормировкой на число N по объему ядра.

Подставляя выражение (31.28) в правую часть равенства (23.18), выражающего закон сохранения числа частиц при распаде ядра, и заменяя нормировочный коэффициент 4 вероятностью нахождения частицы в ядре, можно получить следующий временной закон альфа-

распада: * г 「 4£也распада: * г 「 4£也(Z —2)决 上厂1 —(Z —2)决 上厂1 —=(31.29)—1=(31.29)—1

распада: * г 「 4£也

распада: * г 「 4£也

(Z —2)决 上厂1 —

(Z —2)决 上厂1 —

=(31.29)

—1

=(31.29)

—1

где Ei ——расстояние от уровня энергии Е до «дна» потенциальной ямы на рисунке 36. £\ оценивается весьма грубо, но главный смысл формулы (31.29) не в предэкспоненциальном факторе, а в показателе экспоненты, дающем основную зависимость вероятности распада от энергии а-частицы. Учитывая это и принимая во внимание произвольность определения Е〃 мы не стали воспроизводить подробный вывод коэффициента перед барьерным фактором в (31.29). Этот коэффициент получается совершенно иным, если считать, что альфа-частица не существует в ядре как готовая, а образуется в момент вылета, что, вероятно, ближе к истине. Но барьерный фактор и при таком допущении оказывается тем же самым.

N =］万.N =］万.Интегрируя (31.29), получаем экспоненциальный закон спадания активности распада:

N =］万.

N =］万.

(31.30)

Здесь было принято, что ^ (0) = 1. Величина Г имеет размерность энергии для удобства сравнения с другими величинами той же размерности. Каждое ядро, пока оно не распалось, имеет одну и ту же вероятность распасться в единицу времени, сколько бы оно перед этим ни существовало в нераспавшемся состоянии. Эта вероят- г

ность есть 万 и от времени не зависит.

Формулы (31.29) и (31.27) подтверждают закон обратной пропорциональности между логарифмом вероятности альфа-распада и скоростью V вылетающей а-частицы, найденный экспериментально. Простое вычисление показывает, что при изменении энергии сс-час- тицы в два раза от 4 до 8 Мэв время распада изменяется на 22 порядка величины. Законы классической механики совершенно не способны

объяснить столь сильную зависимость времени распада от энергии. Причина этой зависимости как раз состоит в кв аз и к л асе ич ности движения сс-частицы: по классическим законам она совсем не может покинуть ядро, а благодаря конечности величины кванта действия h появляется весьма малая возможность. Она очень резко уменьшается вместе с энергией альфа-частицы.

Ширина уровня. Пользуясь выражением (31.30), запишем в явном виде временную зависимость волновой функции ядра, не испустившего альфа-частицу. Эта зависимость выглядит так:

屮〜С 2/г h . (31.31)

Здесь первый сомножитель учитывает экспоненциальное зату・ хание амплитуды волновой функции по закону е 2" (поскольку вероятность, т. е. квадрат амплитуды, затухает по закону е "丿； второй сомножитель ——обычный временной фактор волновой функции. Выражение (31.31) очень похоже на обычную формулу для затухающих колебаний, только в данном случае затухает амплитуда вероятности исходного (нераспавшегося) состояния ядра.

Для этого состояния имеется конечный поток вероятности вылета частицы из ядра, пропорциональный самой вероятности нахождения альфа-частицы в ядре. Это и приводит к экспоненциальному затуханию вероятности нераспавшегося состояния.

Все нераспавшиеся ядра описываются совершенно одинаковой волновой функцией (31.31), если в момент / = 0 они были заведомо в исходном состоянии. Поэтому все они имеют абсолютно одинаковую вероятность распада в единицу времени, и невозможно указать, какое из них распадется раньше, какое позже. Точно так же в опыте по дифракции электронов нельзя предсказать, в какую точку фотопластинки попадет данный электрон. Закономерность распада чисто статистическая, так же как закономерность дифракционной картины.

Нельзя приписать альфа-распад завершению какого-либо процесса, протекающего во времени в ядре: ядро всегда в одинаковой степени готово к распаду. На это указывает неизменность закона распада во времени.

Поэтому время одинаково хорошо в принципе может измеряться и периодическими, и радиоактивными процессами. Фактически закон тех и других экспоненциальный: один раз с действительной, другой раз с мнимой экспонентой.

Волновую функцию (31.31) можно приписать комплексному собственному значению энергии Ес = Е —歹. Такое собственное значение не противоречит эрмитовости оператора Гамильтона. Мы отмечали в § 26, что любой дифференциальный оператор определен только после того, как указаны граничные условия, налагаемые на волновую функцию. До сих пор эти условия выбирались 376

в действительной форме: например, в случае финитного движения волновая функция должна была равняться нулю в бесконечности. В случае ал ьфа-распада н ал агается иное граничное условие: в бесконечности волновая функция имеет комплексный вид (31.28), отвечающий расходящейся сферической волне. Из-за комплексности волновой функции получилось и комплексное собственное зна

чение энергии.рис. 37

Предположим теперь, что

волновая функцш! (31.31) разложена в интеграл Фурье по функциям с действительной энергией, временная зависимость которых определяется экспонентами е 九• Каков по порядку величины тот интервал энергий, в котором амплитуда функций с действительной энергией отлична от нуля?

Запишем разложение в интеграл Фурье:

—iEJ Pf .Е/8iE，t

尸—=е-花一'石=\dE< (31.32)

岸 Г/ “Е-Е，"о岸 Г/ “Е-Е，"о112л2л.(31.33).(31.33)Тогда амплитуда а (£") равна:

岸 Г/ “Е-Е，"

о

岸 Г/ “Е-Е，"

о

1

1

2л

2л

.(31.33)

.(31.33)

Найдем квадрат амплитуды:

1〃(Е) 12 =1〃(Е) 12 =4几2 (Е —£/)24几2 (Е —£/)2(31.34)(31.34)

1〃(Е) 12 =

1〃(Е) 12 =

4几2 (Е —£/)2

4几2 (Е —£/)2

(31.34)

(31.34)

Отсюда видно, что \а (Ef) |2 уменьшается в два раза, когда Е‘ отстоит от £ на ± у, так что вся «полуширина» энергетического интервала равна Г (рис. 37).

- Из определения (31.32) видно, что амплитуда а (Е‘) имеет размерность обратной энергии. Поэтому, если проинтегрировать квадрат амплитуды по энергии, получится величина, которая тоже имеет размерность обратной энергии. Но это есть не что иное, как полная площадь кривой (31.34), которая характеризует тот интервал энер*

гий, где амплитуда разложения отлична от нуля. Обозначая этот интервал Л£, получим по определению:

11\a(E^dEf^ \-8\a(E^dEf^ \-8dErdEr11二_~77p =而. (E —E )2 +-j-二_~77p =而. (E —E )2 +-j-(31.35)(31.35)

1

1

\a(E^dEf^ \

-8

\a(E^dEf^ \

-8

dEr

dEr

1

1

二_~77p =而. (E —E )2 +-j-

二_~77p =而. (E —E )2 +-j-

(31.35)

(31.35)

С другой стороны, среднее время, в течение которого совершается распад, можно определить так:

加=\ ”■巧山(31.36) о

Сравнивая между собой (31.35) и (31.36), видим, что

АЕА/ = 2冗瓦 (31.37)

Получилось соотношение, вполне сходное по форме с соотношением неопределенности (22.4). Заметим, что коэффициент 2兀 в правой части (31.37) связан с определением ДЕ по формуле (31.35). Если бы Д£ определялось аналогично (19.6') по кривой \а (£') I, в правой части (31.37) стояла бы единица.

Соотношение (31.37) следует формулировать так: энергия состояния, существующего в течение ограниченного промежутка времени А/, определена с точностью до величины порядка 等. Вполне точно задается только энергия состояния, существующего неограниченно долго.

Смысл соотношения неопределенности для координаты и импульса не аналогичен смыслу (31.37). Оценка (22.4) выражает то обстоятельство, что координата и импульс не существуют в одном и том же состоянии; (31.37) означает, что если состояние системы имеет конечную длительность А/, то его энергия в каждый момент времени, принадлежащий интервалу А/, определена не точно, а за- ключена в некотором интервале значении ДЕ порядка 犷.

Величина Г 〜ДЕ называется шириной уровня энергии системы. Понятие ширины уровня может быть применено к любым состояниям, имеющим конечную длительность, не обязательно к состояниям систем, способных к альфа-распаду. Например, уровень энергии атома, находящегося в возбужденном состоянии, имеет определенную ненулевую ширину, так как возбужденный атом способен к самопроизвольному испусканию кванта.

Истолкование ширины уровня. Покажем, как ширина уровня ядра, способного к альфа-распаду, может быть найдена путем рассмотрения хода волновой функции под потенциальным барьером.

В § 28 было показано, что инфинитное движение имеет сплошной спектр энергии. Движение частицы, проходящей потенциальный барьер, инфинитно, так как она может затем уйти в бесконечность. Следовательно, строго говоря, ядро, способное к альфа-распаду, должно было бы иметь сплошной спектр энергии. Фактически мы и пользовались этим в разложении (31.32).

Посмотрим теперь, как находятся квазидискретные уровни Ес. Из (31.32) следует, что даже у ядер с самым коротким временем альфа-распада (/ 〜10~5 сек) Г 〜10 22 эрг, или 0,6 ЧО-10 эв. Как совместить сплошной спектр с таким узким интервалом энергии?

\p\dx彳 \〔PS%\p\dx彳 \〔PS%Общее решение волнового уравнения между точками г и гх имеет такой вид:

\p\dx彳 \〔PS%

\p\dx彳 \〔PS%

希• (3L38)

Первое слагаемое экспоненциально убывает при увеличении 厂, а второе экспоненциально возрастает. Следовательно, если бы барьер простирался вправо до бесконечности, решение существовало бы только при С2 = 0. Отношение С2/Сх, определенное из граничных условий при 厂=厂 1, является функцией энергии. Корни уравнения С2 (Е) = 0 и дают возможные собственные значения энергии финитного движения. Именно таким способом и получается энергия частицы в яме конечной глубины.

Движение частицы в яме, рассмотренное в § 28, отличается от движения частицы за барьером благодаря тому, что барьер имеет конечную ширину. Поэтому в этом случае второе решение, пропорциональное С2, не обязано строго равняться нулю, а может быть только мало по сравнению с первым решением в некотором небольшом интервале значений ДЕ вблизи корня уравнения С2 (Е) = 0. Эта область значений ДЕ и соответствует тому исходному требованию, что волновая функция вне ядра мала по модулю по сравнению с волновой функцией в ядре.

Иными словами, можно утверждать, что если энергия ядра заключена в данной области значений АЕ, то ос-частица в известном смысле связана в ядре, т. е. с подавляющей вероятностью находится в нем в течение некоторого конечного промежутка времени А/.

Чем выше или чем шире потенциальный барьер, тем меньше барьерный фактор D и тем меньше пропорциональная ему вероятность распада у. Но тогда соответственно меньше и АЕ, т. е. тем ближе состояние непрерывного спектра к состоянию дискретного спектра, имеющего точное значение энергии Е. Это и разъясняет смысл неопределенности АЕ: она показывает, насколько данное состояние, способное к распаду, близко к связанному, живущему бесконечно долго.

Можно еще сказать, что по мере увеличения ширины барьера, т. е. уменьшения барьерного фактора, мнимая часть энергии, равная

——у, стремится к нулю, а Ес стремится к энергии связанного состояния.

Неточность ЛЕ совершенно не ограничивает применимости закона сохранения энергии: общая энергия ядра и а-частицы постоянна. Но состояние со строго определенной энергией не может относиться к ос-частице в ядре, потому что, если ее координата задана в интервале вблизи /\, энергия уже не может иметь совершенно точного значения. Как уже было указано, этот случай весьма далек от свободного движения, поэтому неопределенность в энергии здесь должна вычисляться с помощью вероятности распада, а не просто по соотношению (22.4). Если энергия задана совершенно точно, она относится и к нераспавшемуся, и к распавшемуся ядру. Накладываясь, эти состояния ядра дают общее состояние с точным значением энергии.

Всякое состояние, подверженное самопроизвольному переходу в другое состояние с той же энергией, имеет некоторую энергетическую ширину. Точно определенная энергия всегда отвечает наложению состояний, способных переходить друг в друга.

Можно подразделять полную ширину уровня на частные, связанные с вероятностями различных переходов. Так, сильно возбужденные ядра способны к испусканию нейтронов различных энергий и к излучению гамма-квантов. Каждая возможность дает свою экспоненту в члене, характеризующем затухание волновой функции (31.31). Полнее затухание определится произведением таких экспонент, так что полная ширина уровня энергии ядра равна сумме его ширин по отношению ко всем возможностям распада.

Квантовые условия Бора. Кв аз и к лассическое приближение позволяет находить уровни энергии частицы, движущейся в потенциальной яме. Чтобы не повторять сходных рисунков, будем считать, что на рисунке 35 кривая потенциальной энергии обращена выпуклостью вниз, а не вверх. Тогда между точками %i и %2 полная энергия больше потенциальной, так что это и есть классически возможная область движения. По законам классической механики частица будет- совершать периодическое движение, подобно маятнику (ср. рис. 8). Полный период движения равен;

T = 2Jv=2^!y^- (3L39)

Найдем, какие ограничения налагает квантовая механика на возможные собственные значения энергии частицы.

Так как правее точки % = х? потенциальная энергия больше полной, надо представить решение волнового уравнения в виде затухающей экспоненты:

X

-=e д ,屮 2]/|р[

С помощью условий сопряжения (31.20) следует от этого решения перейти к решению в яме. Его представим как

^ = p^sin (\ pdx + ^jt(31.40)

так как при %, близком к х2, оно переходит в (31.20а).

Левее точки % = / решение снова должно иметь вид затухающей экспоненты:

屮=—厶 ・ 屮 2/|р|

Если применить к нему условия сопряжения, то функция в области ямы будет выражена следующим образом:

4 = ^sin(； \ pd% + £)・(32.40)

Функции (31.40) и (31.40'), очевидно, должны совпадать при любом значении х внутри ямы, так как они относятся к одному и тому же состоянию:

singfpd% + T=CsinG 卜点 + 吋.(31.41)

Чтобы равенство (31.41) было справедливо, должно выполняться одно из двух условий:

С = 1, фазы под знаком синусов в сумме составляют четное число, умноженное на л.

С = —1, фазы составляют в сумме нечетное число, умноженное на л.

Действительно, в случае а), обозначая фазы синусов а и 2bl—а, получим:

sin а — sin (2尼冗一а) = — 2 sin Вл cos (а —力л) = 0.

В случае б) имеем аналогично:

sin а + sin [(2^ + 1)冗一а] = 2 cos R 十}) л; sin [а —(也 + })冗]=0.

Объединяя оба случая в одной формуле, видим, что функции (31.40) и (31.40') совпадают, если сумма фаз под знаком синуса равна целому кратному л, которое, очевидно, не меньше л,потому что сумма фаз положительна:

где n = 0, 1, 2 и т. д. Распространяя теперь интеграл на весь период движения в классическом смысле, приходим к условию:

2 \ }/2m (J-U)dx 三 2 \ рп dx = 2n 卜+^)九 (31.42)

Подобное условие было постулировано в старой теории Бора, но тогда писали просто п. Заметим, что в современной квантовой механике слагаемые 彳 в фазах косинусов присутствуют только тогда, когда кривые потенциальной энергии в точках поворота имеют конечные тангенсы угла наклона. Если это не так, необходимо дополнительное исследование вопроса о правильном выборе фазы. Квазиклассическое приближение, вообще говоря, применимо только тогда, когда фазы, входящие в волновую функцию, велики по сравнению с 2冗.Поэтому формула (31.42) в принципе справедлива лишь при больших п. Есть, однако, исключительные случаи, когда она применима при всех п.

В отличие от старой квантовой теории квантовая механика получает приближенную формулу (31.42) без всяких дополнительных, чужеродных допущений, тогда как раньше подобная формула применялась к классическому движению. Но в классической механике всегда допускается, что механические величины могут изменяться непрерывным образом, так что квантовый постулат выглядит в ней как резко противоречащий всем ее основам.

Как видно из формулы (31.42), фаза волновой функции на отрезке %i%2 изменяется на число, которое больше, чем 冗孔,и меньше, чем л (п + 1). Следовательно, синус меняет знак п раз, т. е. функция имеет п нулей, что соответствует 几-му собственному значению энергии. Собственные значения Еп растут вместе с номером п, потому что только при этом условии может возрастать интеграл \ VE^ — U dxt

т. е. площадь кривой \р dx, лежащая ниже прямой Еп = const.

Таким образом, подтверждается общее правило: чем больше собственное значение энергии, тем больше нулей имеет соответствующая волновая функция.

Найдем интервал АЕ между двумя соседними собственными значениями энергии при больших п. Имеем:

2 c 呼以=厶_ 2冗比(31.43)

Но входящий сюда интеграл выражается через период классического движения t так, что

△e=胃=九3，(31.44)

где ①一частота классического движения. Таким образом, последовательные уровни энергии в первом приближении находятся на равном расстоянии один от другого, если можно пренебречь зависимостью частоты колебаний от энергии.

Описанные здесь приемы нахождения собственных значений оператора энергии можно применять и к другим операторам, например к квадрату момента. Для этого нужно, чтобы уравнение для волновой функции такого оператора приводилось к виду:

广+户(/九)/ = 0,

где 九一собственное значение исследуемого оператора.

Квазиклассический предел матричных элементов. Посмотрим теперь, во что переходят матричные элементы операторов в квазиклассическом приближении. Чтобы совершить предельный переход от волновых законов движения квантовой механики к классическому движению по траекториям, надо образовать из волновых функций волновые пакеты:

屮=\ dEC (Е)屮(Е, х), ^ = ^dErC^ (ЕГ)^(Е\ %). (31.45)

Так как классическая траектория на самом деле весьма размыта по сравнению с величинами микроскопических масштабов длины, интервал энергии АЕ, по которому ведется интегрирование в (31.45), очень мал.

Пусть имеется некоторый оператор 尤(х), от которого надо образовать среднее значение по состоянию, описывающему волновой пакет (31.45). По общей формуле (25.19) пишем:

С ⑴〉=\ 屮标屮 dx = \ dEC (Е) \ dErC^ (£') е ~~ 九卩氏(31.46)

Воспользуемся тем, что весь интервал изменения энергии в квазиклассическом пределе весьма мал. Заменим Ег——Е на величину АЕ:

〈入⑴〉=\ \ dE d\EC (£) С* (£ + АЕ) к 說十八七,е・

В выражении С* (Е + АЕ) можно просто заменить АЕ на 0. Тогда С (Е)С*(Е 十 АЕ) перейдет в | С (Е) |2, т. е. в вероятность состояния, отнесенную к единице энергии. В матричном элементе 九е，，е такая замена означала бы переход к диагональному элементу, который вообще не зависит от времени, тогда как нас будет интересовать 〈九(/)〉как функция /.

Матричный элемент 九七+八巳七 зависит от энергии Е плавным образом. Можно подставить в него некоторое среднее значение энергии £0 в интервале АЕ. От £0 фактически зависит и 〈九〉=〈九(Е。/)〉. Тогда искомая средняя величина выразится так:

〈入冏，t)) = ^dE\C(E) \^d^Ee~屍q+ajEq(31.47)

Но интеграл от всех вероятностей §dE | С (Е) |2 равен единице, и получается следующее равенство:

〈九(Ео, /)) = 5 d^Ee h 九Ео + ае,£о・(31.48)

Если записать разложение классической величины X (Ео,/) в интеграл Фурье, то простое сравнение равенств (31.48) и разложения

X (Ео, /) = \ d^l (Ео, со) показывает, что、

Ч + А£. E0 = h^l(Ео,叫.(31.49)

Таким образом, матричный элемент переходит в коэффициент разложения Фурье, отвечающий той же частоте, с которой изменяется со временем сам матричный элемент. В случае дискретного спектра надо пользоваться не интегралом, а рядом Фурье, причем основным интервалом разложения является период классического движения т, определяемый из (31.39).

Применим теперь полученный результат, чтобы показать, что перестановка между оператором энергии и оператором 父 в классическом пределе переходит в скобку Пуассона между соответствующими функциями Н (%,р) и 九(х,р) (см. § 27).

Пусть операторы Я и X заданы в координатном представлении. Тогда перестановка между ними выглядит так:

(方^ 一 ^育)з = \ dx"因(% %")Z (£‘, £) 一 九(X,炉’)H (/’, £)].

Каждую функцию двух переменных можно тождественно представить как функцию суммы и разности этих переменных:

"(居 %〃)三"(Ц^, %-%")， w X)三人F^~, %〃一£), 入(%, £)三%3二%7")，"①,£)三"(江产,广一%)

Функции от разности в правых частях этих тождеств разложим в интегралы Фурье по нормированным собственным функциям

1 亨 импульса 屮=j^^ е “ ：

九(x〃，%')=市 \ c "九卜寸i, pjdpi и ?. д.

В классическом пределе надо перейти, как указывалось выше, к волновым пакетам и считать разности координат малыми величинами. Поэтому разложим Н , Р^, ^- -у--, Pi^ и другие

амплитуды Фурье в ряд по %——％* %"——％', ... и ограничимся линейными членами:

"(招 "')=告一 6万"1'["(居切 + ^(方7"爲"的 p)]dpt 入(%〃,£) =，e， [入(£, Pi) + -^ (£ — %") ^7 入(x',Pi)] dpt

Преобразуем линейные члены по частям. Для этой цели заме-

ним (х — х )ehна 7 而и воспользуемся тем,

что на пределах (при р — ±8)коэффициенты разложения должны обращаться в нуль. Отсюда

(Противоположные знаки при вторых производных получились потому, что в показатели экспоненты входят соответственно х——％" и %"—£・)

Подставим разложения матричных элементов в перестановку между операторами и воспользуемся тем, что при изменении порядка интегрирования по 尤",Р 0 Pl получается 6-функция:

嘉 \ 屋 Л%Х〃=6(Р1-р).

Заменяя интеграл по 〃 с помощью формулы

'Sb (pi~p)/(pi) = /(p)

и оставляя только члены, линейные относительно кванта действия, приходим к такому выражению искомого матричного элемента: (必一汕з=為 卜万""力{"(招 Р)м£,Р)一"(£, p)2ф, Р) 一 一^[懿大("'，p)-"(招p)磊^ +入(%，p)需^一 繇 h(£, p)]}.

Существенно, что^^ и£^ теперь входят с одинаковыми знаками, так как в экспонентах у них стоят соответственно х—%" и х"——х'. Снова преобразуем по частям члены, пропорциональные 左. Для примера рассмотрим один из них:

出i豔^р一望1P3-7=Т 卜(% 7')入工 + ^ д^^} ^

Переходя к пределу, следует считать, что %'f % везде, кроме, 号О

конечно, экспоненты eh , по которой производится разложение. Тогда

瑞鶴dp.

Собирая все члены, линейные относительно ft, получим формулу перестановки в классическом пределе:

載—讷*，тх = £ \ dp/6 j Y儒^ 一絹粉 (31.50)

Разложим теперь (31.50) в интеграл Фурье аналогично тому, как разлагались "и 入；

(沐一6小片7 = ^ \ dp即 f(池_^卜下 (31.51)

Здесь можно прямо полагать выражение в скобках функцией % и р. Сравнивая коэффициенты Фурье разложения (31.51) и (31.50), видим, что, с одной стороны, имеем классический предел матричного элемента перестановки операторов (ЯЛ — ^方)，а с другой ——скобку Пуассона:

Нт(必—汕=*£(31.52)

九_о 力、丿 Ор Ох дх др，\1

как и было указано в § 27.

Заметим, что следующий член разложения перестановки содержит уже代

УПРАЖНЕНИЯ

Определить уровни энергии линейного гармонического осциллятора из уравнения (31.42).

Решение.

了2£7 俏 0)2

j_就］/2个-^^)=吟=n力卜+升

—Vie jm(a2

Отсюда En — hm ^л + ^)что> вообще говоря, справедливо при всех п, начиная с нуля. Заметим, что в формуле, пригодной только при больших п, слагаемое } не имеет смысла.

Найти фактор D для потенциального барьера вида: (7=0 при х < 0# U = Uq — ах при % ^ 0, Е V О。.

Сопоставить случайное вырождение энергии в задаче об атоме водорода с выражением энергии через адиабатические инварианты в задаче Кеплера (упражнение 3 к § 10).

§ 32. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Часто бывает так, что в операторе Гамильтона квантовомеханической системы имеется слагаемое, при котором стоит малый параметр. Если точное волновое уравнение не допускает аналитического решения или решается очень сложно, целесообразно бывает искать решение в виде разложения по степеням малого параметра.

При этом возможна двоякая постановка задачи. Иногда малое слагаемое в гамильтониане, которое называется возмущающей энергией, просто слегка изменяет энергию и волновую функцию невозмущенного состояния. Причем и возмущенное, и невозмущенное состояния стационарны.

В других случаях возмущение делает некоторое стационарное состояние нестационарным, так что появляется конечная вероятность перехода системы в совершенно иное состояние, например из состояния с дискретным собственным значением энергии в состояние с непрерывным спектром энергии.

Эти случаи надо рассматривать раздельно.

Статические возмущения. Невырожденное движение. Рассмотрим сначала самый простой случай, когда собственные значения энергии гамильтониана, отвечающего невозмущенному состоянию системы, не вырождены. Назовем «невозмущенный» гамильтониан 方°, возмущающую часть его R, так что полный гамильтониан

H = H0 + V. (32.1)

Уравнение для собственных функций «невозмущенного» гамильтониана выглядит так:

("о — Е〃о)屮九 о = °・ (32.2)

Будем считать, что Но имеет дискретный спектр, каждому собственному значению Еп0 отвечает одна собственная функция 屮〃°, причем эти функции ортогональны и нормированы на единицу:

，2U評п。 dx = 6几,八. (32.3)

«Возмущающий» гамильтониан содержит некоторый малый параметр, но мы не будем выписывать его в явном виде, помня, что порядок малости каждого выражения определяется его степенью относительно V.

Будем искать поправку к собственной функции и собственному значению энергии с номером /г; соответствующее точное уравнение Для собственных значений энергии есть

(凡+ R-J)必=0・ (32.4)

Решение удобно искать в виде разложения по собственным функциям «невозмущенного» гамильтониана 屮〃°, которые определяются из (32.3):

%=20紋屮球0.(32.5)

nf

Подставим это разложение в уравнение (32.4) и воспользуемся тем, что 屮几乙 есть собственная функция гамильтониана HQ. Получим:

(е球о一七九+r)屮球0 = 0.

Это уравнение точное. Его нетрудно превратить в уравнение для коэффициентов С* что отвечает переходу к такому представлению, где независимой переменной является энергия невозмущенной системы (32.2). Для этого умножим уравнение для 屮 слева на 屮簡 и проинтегрируем по всему объему (элемент объема обозначим dx, чтобы не возникло путаницы с оператором V). Пользуясь ортогональностью волновых функций, найдем:

(Е^ — Е力 Ch = — £ 乙球&，・(32.6)

Здесь Vkn означает матричный элемент возмущающей энергии.

Соотношение (32.6) представляет собой бесконечную систему линейных уравнений относительно коэффициентов разложения С%. Эта система решается методом разложения в ряд по степеням малого параметра, входящего в V. Энергию /г-го состояния представим в таком виде:

J = Е〃о + Ji + 邑2(32.7)

а коэффициенты разложения по собственным функциям невозмущенного движения как

& =脑 + &J + &2 +(32.8)

Положим теперь слева в (32.6)力=〃，тогда в первом приближении здесь останется только одна поправка к энергии ——EnV Справа надо удержать член первого порядка относительно V, т. е. Vnn. Следовательно, уравнение для поправки к энергии невозмущенного движенияполучаетсявпервом приближении:

Enl = Vnn.(32.9)

Нодиагональныйматричный элементвозмущающей энергии

равен:

乙九=\啕0rW加dx,(32.10)

т. е. согласно (25.19) поправка к энергии в первом приближении равна среднему значению энергии по невозмущенному состоянию.

Если 6 #= 〃, то разность Е%。——Еп имеет нулевой порядок малости относительно возмущения; она отлична от нуля и в невозмущенной системе. Поэтому вся левая часть уравнения (32.6) первого порядка •388

малости, так как содержит &优方 п). Чтобы иметь тот же самый порядок и справа, надо оставить при Vk^ только коэффициент с номером 〃'=/г в соответствии с (32.8). Отсюда находим С尼】：

&i = —(32.11)

(Мы заменили в знаменателе Еп на ЕЛО, так как в числителе уже есть %)

С помощью (32.5) находим и собственную функцию (в первом приближении):

%(32.12)

尼

где штрих при сумме означает, что член с k = п опущен.

Из формул (32.11) и (32.12) видно, какому требованию должно удовлетворять возмущение, для того чтобы можно было считать его малым:

屮川—(32.13)

Оно должно быть мало не по отношению к невозмущенным собственным значениям энергии, а по отношению к их разностям. Матричный элемент возмущающей энергии между состояниями k и п обязан быть гораздо меньше расстояния между ^-тым и /г-ным уровнями энергии.

Часто бывает, что среднее значение возмущающей энергии по невозмущенному состоянию обращается в нуль. Тогда надо использовать последующее приближение. Подставим в уравнение (32.6) снова k = nt т оставим слева члены до второго порядка малости. Учитывая, что справа уже имеется Vnn^ здесь надо оставить коэффициенты Сп/ до первого порядка малости включительно:

当 1 + 晶2 = Van + Yf+ 匕g(32.14)

Величины £Д1 и Vnn сокращаются в силу (32.9), и остается выражение для поправки к энергии п-го состояния во втором приближении:

% =(32.⑸

Здесь мы использовали то обстоятельство, что Vn^ = P^f, так как оператор V должен быть эрмитовским.

Отметим, что если 几=0, т. е. возмущаемое состояние основное, то поправка к энергии Е° непременно отрицательна.

Вариационное свойство собственных значений. Последний результат можно объяснить, исходя из весьма общих соображений. Мы указывали, что разыскание собственных значений оператора есть не что иное, как приведение к главным осям поверхности второго порядка в гильбертовом пространстве.

Но главные оси квадратичной поверхности обладают вариационным свойством: при бесконечно малом повороте координатных осей (вблизи главных осей) радиус поверхности, проведенный из начала координат, стационарен, т. е. (в первом приближении) не изменя* ется. Следовательно, если говорить о нулевом, или основном, со* стоянии, то соответствующая главная ось наименьшая; всякое приближение к этому состоянию ведет только к уменьшению энергии.

Собственные векторы оператора Но не давали истинных главных осей оператора Н = HQ + V. Но, когда в волновые функции, т. е. в собственные векторы оператора Я, было внесено исправление с помощью (32.12), собственные значения Е^ оказались ближе к действительным. В частности, приблизилась к своему истинному значению и энергия основного состояния и, следовательно, с необхо* димостью уменьшилась.

Что касается поправки первого приближения Еп1 = Vnn, то ее знак может быть любым. Эта поправка вычисляется по собственным функциям невозмущенного состояния, без поворота осей в гильбертовом пространстве. По существу ее следует просто включать в энергию невозмущенного состояния. Она определяет поправку к радиусу квадратичной поверхности точного гамильтониана Н = =Яо + У, проведенному в направлении n-й главной оси «невозмущенного» гамильтониана. Именно эта в первом приближении исправленная величина уточняется дальше путем поворота осей по формуле (33.12), и тогда оказывается, что энергия основного состояния при уточнении может получить только отрицательную поправку Е^.

Вариационное свойство собственных значений очень просто доказать следующим образом. Будем искать волновую функцию 屮， которая придает экстремальное значение интегралу

〈"〉='2*方屮次(32.16)

при дополнительном условии:

1 = \w*屮厶，(32.17)

т. е. оставаясь всегда нормированной на единицу.

Чтобы решить задачу на экстремум с дополнительным условием, надо прибегнуть к методу неопределенных множителей: варьировать оба интеграла (32.16) и (32.17) по 屮*, умножить вариацию второго из интегралов на неопределенную пока величину —Е, сложить после этого вариации интегралов и приравнять их сумму нулю:

\8^ (H-E)^dx = Q.

Чтобы это равенство выполнялось при любой вариации 3屮*, надо потребовать:

(方一七)屮=0.(32.18)

Но это есть уравнение для разыскания собственных значений опера、 390

тора Н. Следовательно, любое собственное значение отвечает стационарному значению〈"〉，причем в основном состоянии имеет наименьшую величину из возможных.

Это свойство энергии основного состояния используется следующим образом. Например, имеется нейтральный атом и электрон и требуется узнать, могут ли они соединиться, образуя отрицательный ион (присоединять электрон способен атом водорода и некоторые другие атомы).

Решить задачу о движении двух электронов в поле ядра очень трудно. Аналитического решения этой задачи не существует. Тут приходит на помощь вариационный метод. Выбираются некоторые собственные функции, удовлетворяющие граничным условиям, т. е. равные нулю в бесконечности, как должно быть при финитном движении связанного электрона. Эти функции отнюдь не удовлетворяют точному уравнению Шредингера для данной задачи и могут только отчасти напоминать их.

Если при подстановке в (32.16) получается отрицательное значение 〈"〉，то можно быть уверенным, что истинное собственное значение энергии в основном состоянии лежит еще ниже, т. е. тоже отрицательно. Но отрицательные собственные значения энергии действительно отвечают финитному движению, т. е. связанному состоянию электрона. Обычно функции, подставляемые в выражение (Я), содержат некоторое число параметров по выбору вычисляющего. Если интересуются энергией основного состояния, эти функции не должны нигде обращаться в нуль на конечном расстоянии от начала координат, что несколько ограничивает их выбор. После вычисления интегралов (32.16) и (32.17) параметры подбирают так, чтобы〈"〉 была возможно меньшей при сохранении нормировки функции.

Надо заметить, что таким способом более или менее надежно определяется только величина энергии. Волновая функция может быть и не очень похожа на истинную.

Возмущение вырожденных состояний. Допустим теперь, что п-ое собственное значение энергии в невозмущенном состоянии вырождено. Имеется несколько функций 屮几九⑪ удовлетворяющих одному и тому же уравнению:

Но^рлхо = Епо^флхо* (32.19)

Здесь 九 может отвечать собственному значению какого-нибудь оператора, перестановочного с гамильтонианом. Тогда необходимо правильно выбрать собственную функцию нулевого приближения 4〃о，которой следует придать вид:

2"0 = U " 大2班0, (32.20)

т. е. искать ее как некоторую линейную комбинацию исходных функций. При этом разложение (32.8) надо представить так:

С〃2 = 6皿〃淋 + С 量4, + ・・・• (32.21)

Соответственно изменится и уравнение для отыскания £п1. Оно будет следующим:

EniO必=2 V叽 m • Опм,(32.22)

где ，“入，门“——матричный элемент между состояниями пк и 几九‘：

V叫 n\f = \ 炉标^5” d%・(32.23)

Уравнение (32.22) имеет решение, если обращается в нуль определитель:

1%认，nv —Sxr^ni | = 0.(32.24)

В общем случае определитель имеет столько корней, какова кратность вырождения невозмугценного состояния 0〃°. Каждому корню отвечает определенное собственное значение Е^ и определенный набор коэффициентов разложения 〃九入.Таким образом, вырожденное состояние расщепилось на невырожденные, которых в общем случае столько, сколько было равных вырожденных собственных значений энергии.

Поясним это физически. Допустим, что вырождение невозмущенного состояния имело необходимый характер, т. е. было обязано некоторой симметрии в условии задачи. Например, во всяком центральном поле имеет место вырождение по магнитному квантовому числу, если полный момент не равен нулю. Если возмущение нарушает центральную симметрию, то разным проекциям момента на некоторую ось может отвечать различная энергия системы. Например, в магнитном поле ff к энергии атома добавляется слагаемое——[iQ\H\k9 где “о — магнетон Бора. При этом происходит расщепление состояний, но удается найти поправку к энергии, не решая уравнение (32.24). Так получается потому, что возмущение, вызванное магнитным полем, есть в данном случае

V^-^\H\M^-^\H\^^.(32.25)

Но оператор 『 而 диагоналей по состояниям с данным значением магнитного квантового числа k.

Возмущение как причина квантовых пер е х о д о в. Рассмотрим следующую задачу. Пусть гамильтониан невозмущенной системы имеет состояния, принадлежащие как дискретному, так и непрерывному спектрам энергии, но такие, что они относятся к одинаковым ее значениям. Пример подобных состояний мы видели в § 29: возбужденный атом может обладать энергией, достаточной для распада на положительный ион и свободный злектрон, но последний остается связанным, поскольку при самопроизвольном распаде атома не выполнялся бы закон сохранения четности состояния. (Напоминаем, что если гамильтониан есть четная функция координат, то в системе сохраняется полная четность волновой функции.) 392

Другой пример такого же состояния с дискретным спектром, способного к переходу в состояние с непрерывным спектром — возбужденный атом + электромагнитное поле. Пока атом не взаимодействует с полем, возбужденное состояние может существовать неограниченно долго просто потому, что атому некуда передать энергию возбуждения. Но если на систему наложено некоторое внешнее возмущение — электромагнитное поле (или если приняты во внимание известные дополнительные слагаемые гамильтониана, которые можно рассматривать как отвечающие возмущению), то состояние с дискретным уровнем энергии перестает быть строго стационарным.

Допустим, что в первом примере на атом наложено некоторое возмущение, оператор которого не является четной функцией координат. Это нарушает закон сохранения четности, и переход в непрерывный спектр становится возможным. Во втором примере в гамильтониан включается оператор взаимодействия между электроном и электромагнитным полем. Благодаря такому взаимодействию становится возможным излучение светового кванта. Но энергия кванта равна Лео, а частота со принимает непрерывный ряд значений. Следовательно, энергия электромагнитного поля имеет непрерывный спектр. Здесь начальное состояние системы ——возбужденный атом и электромагнитное поле при отсутствии квантов, а конечное состояние ——атом в основном состоянии и один квант в поле.

Третий пример, который следует привести, — рассеяние частицы на каком-либо силовом центре. Здесь оба состояния частицы —— начальное и конечное ——принадлежат непрерывному спектру, так как частица в них свободна. Если рассеяние упругое, то энергия начального и конечного состояний частицы одинакова, а изменяется направление импульса. В этом случае возмущение производит рассеивающий центр, который переводит частицу из одного состояния с непрерывным спектром в другое, но сохраняет ее энергию. При неупругом рассеянии часть энергии может получить рассеиватель, но существенно, что энергия частицы все-таки остается принадлежащей непрерывному спектру.

Наша задача ——определить вероятность перехода энергии системы в область непрерывного спектра под действием некоторого возмущения.

Поскольку речь идет о переходе, то надо исходить из уравнения Шредингера, содержащего время:

一^工=(》。+r)屮・(32.26)

Соответствующее уравнение для «невозмущенного» гамильтониана имеет вид:

一7号=儿脾).(32.27)

Считая V малым возмущением, представим волновую функцию как U = W。)十少⑴(32.28)

и пренебрежем членом 卄屮⑴，как имеющим второй порядок малости.

Тогда для 屮⑴ получится неоднородное уравнение:

一 ^%•一 方評⑴=V^.(32.29)

оператора 方°:оператора 方°:^-^Cmit) С；^-^Cmit) С；(32.30)(32.30)ттБудем искать 屮⑴ в виде разложения по собственным функциям

оператора 方°:

оператора 方°:

^-^Cmit) С；

^-^Cmit) С；

(32.30)

(32.30)

т

т

причем каждая из функций ^ удовлетворяет однородному уравнению (32.27). Подставляя ряд (32.30) в неоднородное уравнение и учитывая (32.27), приходим к такому равенству:

一空零憫=沙明(32.31)

т

Отсюда с помощью свойства ортогональности функций^ получаются уравнения для коэффициентов Ст. Умножим обе части (32.31) на 屮f)* и проинтегрируем по объему. Тогда слева останется только h дС„з°

член ——а справа ——матричный элемент возмущающей энергии:〃

(32.32)

Выделим в явном виде его зависимость от времени:

乙1 =,屮e)"吋)厶=/伊「4"(\屮方⑼6曲。)(0)厶)-.

(32.33)

Так как вся система как целое считается замкнутой, ее гамильтониан не зависит от времени явно ни в слагаемом HOf ни в слагаемом V. Поэтому зависимость любого матричного элемента от времени может быть записана аналогично (32.33):

Vnm = J L m —(乙m)—・ (32.34)

Считая, что система в начальный момент времени / = 0 находилась в состоянии с энергией £\, т. е. в состоянии 屮二 надо положить С\ = 1, C〃wi = 0. Поэтому уравнение (32.32) интегрируется так:

или, снова включая экспоненциальный множитель в обозначение матричного элемента, т. е. возвращаясь к функциям 屮；；；屮？，по

лучим:

1 _宀（%』.

еп（‘）= 以一々 y加.

(32.35)

Следовательно, вероятность того, что в момент времени Z си

стема будет находиться в состоянии с номером п, равна согласно (25.13):

(0 = 1 以 (0 产=^让=

=2 (1 _ cos—4 siM(以―E】)C ・

屮 C0S Л "以一Ei)2_4SH1 2力 (以一旦)2，

(32.36)

По условию конечное состояние принадлежит непрерывному спектру, так что вместо Еп можно писать просто Е. Кроме того, интереснее найти полную вероятность перехода системы в состояние с непрерывным спектром энергии. Для этого следует умножить (32.36) на число состояний, принадлежащих интервалу энергии непрерывного спектра dE, и проинтегрировать по энергии. Пример такого выражения числа состояний dN (£) был дан в § 28 (см.: 從.25)).

Запишем формулу (28.25) в общем виде следующим образом:

dN (E) = g(E) dE・dN (E) = g(E) dE・(32.37)(32.37)

dN (E) = g(E) dE・

dN (E) = g(E) dE・

(32.37)

(32.37)

Полная вероятность искомого перехода равна

步=、侬(Ei, Е) dN (Е) = \步=、侬(Ei, Е) dN (Е) = \4 . 2 (E — Ejt4 sin2 -——a,乙一(£ — £i)24 . 2 (E — Ejt4 sin2 -——a,乙一(£ — £i)2\V(E, ^) ^g{E)dE.(32.38)\V(E, ^) ^g{E)dE.(32.38)

步=、侬(Ei, Е) dN (Е) = \

步=、侬(Ei, Е) dN (Е) = \

4 . 2 (E — Ejt

4 sin2 -——a,乙一

(£ — £i)2

4 . 2 (E — Ejt

4 sin2 -——a,乙一

(£ — £i)2

\V(E, ^) ^g{E)dE.

(32.38)

\V(E, ^) ^g{E)dE.

(32.38)

Для четкости записи будем ставить индексы £, Е^ при V не внизу, а в скобках, как аргументы функции, чем они, конечно, и являются по отношению к Уе,е「

Обозначим аргумент синуса буквой 占：

(E — £lU(E — £lU三自•三自•

(E — £lU

(E — £lU

三自•

三自•

Перейдя к переменной интегрирования Е, получим:

取=行曙1廿伍1 +季，Ei)『g(Ei + W)成•(32.39)

Функция —имеет главный максимум при Е = 0; следующий ее максимум в двадцать раз меньше. Поэтому весь вклад в интеграл (32.39) дают значения g, которые порядка единицы. Но тогда момент времени / можно всегда выбрать так, чтобы 十 было гораздо меньше Е「Иными словами, в аргументах функций V и g законно заменить 十厂 просто на & и вынести эти функции из-под интеграла по g.

Тем самым показано, что если время / достаточно продолжительно, то энергии начального и конечного состояний Е^ и Е опре-

делены настолько точно, что их можно считать просто равными друг другу в согласии с законом сохранения энергии при переходе, совершающемся в замкнутой системе. Разумеется, закон сохранения энергии справедлив всегда, но при слишком малых значениях / нельзя точно определить энергию конечного состояния, так как соотношение неопределенности (31.37) для данного случая имеет вид: (Е — Е0 / N 2冗力.Но когда / -> оо, получается точное равенство: Е = £\.

Так как функция 鼻貝 быстро убывает с возрастанием Е, интегрирование можно распространить от — оо до оо. Поскольку остальные величины были вынесены из-под знака интеграла, сам интеграл равен числу:

оо

\ 喈 dE =儿(32.40)

— ОО

Отсюда

呼= ^W(E = +, Ei) 12g (J)".(32.41)

Тогда вероятность перехода в единицу времени равна:

嘗= ^|у(Е = А E0『g(&)・(32.42)

В этой записи специально подчеркнуто, что V (Е = Еъ EJ не диагональный элемент возмущающей энергии, а только матричный элемент, отвечающий переходу системы в состояние с непрерывным спектром энергии.

Конечное и начальное состояния были взаимно вырождены, т. е. отвечали одинаковой энергии, и возмущение «перемешало» их.

УПРАЖНЕНИЯ

Потенциальная энергия системы есть однородная функция степени я от всех координат. Найти соотношение между интегралами:

〈7〉= 一\2喂A屮仅 〈U〉='屮*U屮d匕

т. е. средней кинетической и средней потенциальной энергией системы (см. § 22).

Решение. Допустим, что масштаб длины изменился в а раз, г -»аг. Так как функция 屮 остается нормированной, произведение i|)*ipdV при изменении масштаба не изменяется. Кинетическая энергия, содержащая лапласиан, получает множитель а-2, а потенциальная по условию — множитель а". Следова- тельно, средняя энергия системы 〈"〉= 〈7〉+ 〈U〉преобразуется следующим образом:

〈"a〉=* + a〃〈U〉・

Но согласно экстремальному свойству собственных значений производная от 〈"а〉в стационарном состоянии должна равняться нулю:

да

空二十砂…〈U〉=0.

Возвращаясь к исходному масштабу координат, положим а= 1, так что

2

〈и〉=£〈т〉・

В частности, для кулоновского взаимодействия 几=—1. Тогда 〈U〉= -2〈T〉，〈幻吊⑦，

как и получалось в § 22 на основании классических законов.

На линейный гармонический осциллятор наложено возмущение вида V = ах4. Показать, что поправка к n-му собственному значению энергии в первом приближении равна:

(воспользоваться матричными элементами (27.28))

Невозмущенная система имеет два близких уровня энергии, расстояние между которыми сравнимо с матричными элементами возмущающей энергии между этими состояниями. Найти поправку к энергии в первом приближении.

Решение. По аналогии с методом возмущений, применяемым к вырожденному состоянию, когда собственные значения энергии разных состояний строго равны, ищем волновую функцию в следующем виде:

屮=С件01 + e2屮02，

Здесь 屮°] и 屮02 一 волновые функции обоих состояний без возмущения. Эта волновая функция будет описывать некоторые новые два состояния, в которые исходные состояния перейдут под влиянием возмущения. Подставляем эту функцию в уравнение для отыскания собственных значений Н — HQ+ R: ―~~

方2=("0+ Y)(01""01 +e2з02)=е2=е (& 中01 +e2w02)，

Умножим это уравнение один раз на 屮言，другой раз на 屮爲 и проинтегрируем по всему объему. Кроме того, воспользуемся тем, что H^i = Ef評oi, ортогональностью и нормировкой собственных функций. Получим систему двух линейных однородных алгебраических уравнений:

(Ею + 01 — Е) Q + %2c2 = 0,/1&+ (上20+ ^22 一上)。2 =。，

Она имеет решение, если определитель, построенный из коэффициентов, равен нулю:

£2 — (Jo + Jo + 厶]+ %2)Е + (£10 + У и) (々о + v22) 一 I 02 产=0, что дает два значения «возмущенной» энергии:

^ = 4(EЮ + ^2О+ VU+V22) ± У ⑷。十忆工E20-/2)2+1%

Если матричный элемент перехода 匕2 обращается в нуль, получается обычная формула для поправок к энергии в первом приближении: к Е10 добавляется Уи, к Е20 добавляется V22- 口° условию задачи матричный элемент %2 того же порядка, что и Ею — Е?。, так что уровни энергии существенно перестраиваются по отношению к исходному расположению.

Найти функции 屮十 и @一 для предыдущей задачи, учитывая, что | Сх |а + + 丨 С?产=L Воспользоваться обозначением:

当。十九1一/。一%2 一 *

Ответ»

屮+ = cos 讶 e 屮oi — sin у e 屮og,

屮==sin у e 屮01 + cos 万 e 屮°g,

где знаки «+» и《一» соответствуют выбору знаков в формуле энергии,

§ 33. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ. АТОМ

Рассматривая закон сложения моментов нескольких частиц или р ез у л ьтир ующую четность состояния атома, мы затрагивали вопросы, связанные с задачей многих тел в квантовой механике. Но система, состоящая из одинаковых частиц, обладает в квантовой механике одним совершенно особым свойством, вытекающим из квантовых законов движения, которое будет специально рассмотрено в этом параграфе. Имеется в виду физическая тождественность одинаковых частиц. Так как проследить за движением каждой из одинаковых частиц невозможно ——траектории в квантовой механике отсутствуют, нельзя никаким способом указать состояние некоторого выбранного электрона.

В классической механике положение несколько иное: там можно было в начальный момент как-то условно перенумеровать тождественные частицы и затем, пользуясь непрерывностью классического движения, указать, какой из электронов находится в данной точке пространства с данной скоростью.

Такая постановка вопроса в квантовой механике физически бессмысленна. Вместо этого состояние системы из многих тождественных частиц надо задавать таким способом: перечислить возможные состояния отдельной частицы и указать, сколько частиц находится в каждом из возможных состояний. Более детальное задание несовместимо с основными принципами квантовой механики.

Принцип Паули. Конкретно для систем, состоящих из многих электронов, опытные данные накладывают следующее дополнительное ограничение: в каждом из отдельных состояний может находиться не больше одного электрона. Состояние может быть либо незанятым, либо занятым одним электроном. Это высказывание называется принципом Паули. Из тех основ квантовой механики, которые мы рассматривали до сих пор, принцип Паули не вытекает: он является дополнительным ограничением. Но в квантовой теории поля этот принцип находит свое обоснование.

Ограничимся следующим утверждением: принцип Паули применим ко всем частицам, имеющим полуцелый спин: электронам, протонам, нейтронам, гиперонам (гиперон — это как бы возбужденное состояние нуклона, у него большая, чем у нуклона, масса и полуцелый спин), и не применим к частицам с нулевым или целым 398

спином, к которым можно причислить и кванты электромагнитного поля.

По отношению к атому принцип Паули удобно формулировать следующим образом: в атоме не может быть больше одного электрона с каждой данной четверкой квантовых чисел: главным п, азимутальным /, магнитным k и спиновым о. (Спиновое квантовое число измеряет проекцию спина на ту же ось, на которую проецируется орбитальный момент.)

Иногда вместо указанной четверки чисел удобнее выбирать такую: главное квантовое число, полный момент / = | / 十 s |, азимутальное квантовое число, которое в данном случае указывает, как складывается орбитальный момент со спином (т. е. параллельны они или антипараллельны), и проекция полного момента на некоторую ось.

Применительно к такому выбору квантовых чисел принята следующая система обозначений. Впереди ставится главное квантовое число электрона п, затем азимутальное квантовое число, но пишется не его значение, а название соответствующего состояния, т. е. s, р, d или /, а в виде нижнего индекса ——значение полного момента /. Таким образом, обозначение включает в себя три квантовых числа из четырех. По четвертому числу (проекции 力丿)имеется вырождение. При данном / это четвертое число может принимать 2/ + 1 значений. Следовательно, в состоянии nlj может находиться согласно принципу Паули не более 2/ + 1 электронов.

Число электронов в атоме, имеющих данные три квантовых числа п, / и /, обозначается в виде показателя степени при спектроскопическом обозначении состояния, заключенном в скобку (при

этом число электронов и называется, как степень, т. е. квадрат, куб и т. д.). Например, если имеются два электрона в состоянии с/г = 2, / = 1, / = 1/2, то состояние в целом записывается так: (2卩/2产 Ясно, что показатель степени не может быть больше, чем 2/ + 1.

Сложение моментов двух электронов с одинаковыми пи/. Когда следует пользоваться квантовыми числами п, /, ^, а и когда п, /, /,岛？ В § 31 было указано, что спин связывается с орбитальным моментом магнитными силами. Но, как мы увидим ниже, важнее особая связь между орбитальными и спиновыми моментами разных электронов, имеющая чисто электростатическое происхождение. В разных случаях может преобладать тот или иной тип связи.

Если сильнее связь между моментами отдельных электронов, то результирующее состояние атома строится следующим образом: складываются между собой орбитальные моменты, давая результирующий орбитальный момент L = | WZ |, н спиновые моменты, обусловливая результирующий спин S = | Es |, н затем только происходит обязанное уже магнитным силам сложение результирующих орбитального и спинового моментов: / = | 厶十 S |. Такой тип связи называется нормальным.

Если сначала складываются спин и орбитальный момент каждого электрона, а потом моменты отдельных электронов, связь называется аномальной.

Пока оставим в стороне вопрос о причинах возникновения той или иной связи в атоме, а займемся правилами сложения орбитальных и спиновых моментов отдельных электронов, которые несколько отличаются от общих правил сложения моментов благодаря принципу Паули. Появляются некоторые дополнительные ограничения, связанные с тем, что в состоянии с данной четверкой квантовых чисел не может находиться больше одного электрона. На этом простейшем примере легче всего понять, как пользоваться принципом Паули.

Если два электрона имеют разные главные квантовые числа п или разные азимутальные квантовые числа /, то при сложении моментов о принципе Паули можно забыть: есть различие хотя бы в одном из квантовых чисел. Но если п и / одинаковы, следует иметь в виду, что не все мыслимые состояния одного электрона совместимы с состояниями другого электрона. То же самое относится к сложению моментов большего числа электронов с одинаковыми п и /. Такие электроны обычно имеют близкие значения энергии, и по ним группируются состояния атомов; говорят, что при одинаковых п и I электроны принадлежат одной и той же оболочке атома.

Рассмотрим простейший случай, когда п — \, Тогда / = О согласно определению (29.40). Но при 厶 равном нулю, равно нулю и магнитное квантовое число k. Следовательно, у электронов одинаковы три квантовых числа и согласно принципу Паули обязательно должно различаться четвертое квантовое число о. Однако и может иметь только два значения: 1 и —1 соответственно тому, что проекции спина равны ±у. Каждое значение а согласно прин

ципу Паули может принадлежать одному электрону при данных 几, I и 6, равных соответственно 1, 0, 0. Поэтому результирующее состояние имеет спин S = = 0. Если бы не принимался в рас

чет принцип Паули, то общий спин мог бы равняться и единице.

Прежде чем рассмотреть более общий случай, введем систему обозначений, относящуюся ко всей оболочке как целому. Эта система строится по аналогии с обозначением состояний отдельного электрона, только вместо строчных латинских букв ставятся прописные. Главное квантовое число применительно к нескольким электронам не имеет смысла, и пишется только результирующий орбитальный момент S, Р, D или 尸 соответственно тому, чему равно L. В левом верхнем углу принято писать 2S + 1, где S ——результирующий спин электронов. В правом нижнем углу пишут р ез у льти р у ющи й момент J, а в правом верхнем углу — полную четность электронов (g—четное, и — нечетное состояние). Если желательно детализовать, из каких состояний отдельных электронов получилось данное результирующее состояние, записывают

рядом распределение электронов по оболочкам с определенными квантовыми числами по способу, указанному выше.

Например, в случае двух электронов при 九==1, / = 0,论=О результирующее состояние оболочки изображается так:

Здесь возможно только одно результирующее состояние. Но бывает и несколько результирующих состояний при одном и том же распределении отдельных электронов по разным квантовым числам. Такой случай мы теперь и рассмотрим.

Пусть имеется состояние (пр)2, т. е. у двух электронов главные и азимутальные квантовые числа одинаковы и равны 1. У них должны различаться либо магнитные, либо спиновые квантовые числа, либо те и другие. Каждый р-электрон может находиться в шести состояниях, которые мы перечислим, записывая первым магнитное квантовое число и вторым — значение проекции спина:

A:lf ~； 5:0, у； В : — 1, у； Г : 1, — у；

Д ： 0, —^~； Е：—I’ ~ у •

Следовательно, два электрона могут занимать любые два неодинаковых состояния из этих шести. Число сочетаний из шести по два равно, как известно, С| = ^| = 15. Эти пятнадцать состояний различаются как суммарным орбитальным моментом £, так и суммарным спином S и их проекциями. Последние зависят от выбора координатных осей и будут интересовать нас лишь постольку, поскольку они характеризуют относительное направление 厶 и 6

Как мы знаем, состояние с данным моментом определяется его максимальной проекцией, т. е. наибольшим возможным значением L, совместимым с принципом Паули, и соответственно наибольшей проекцией S. Из пятнадцати состояний надо отобрать во всяком случае только те, у которых суммарные проекции Lz и S^ положительны или равны нулю, потому что отрицательные проекции никак не могут оказаться наибольшими.

Всех состояний с неотрицательными проекциями восемь из пятнадцати, а из этих восьми отберем те, которые имеют наибольшие проекции. Перепишем все восемь состояний, совместимых с принципом Паули:

1, 1; ДВ:0, 1; 〃： 2, 0; ЛД: 1, 0;

Л£:0, 0; БГ: 1, 0; 5Д:0, 0; ВГ:0, 0.

Второе число в каждой паре означает проекцию спина, т. е. содержит необходимый； множитель }.

Теперь отберем состояния с наибольшими проекциями моментов среди перечисленных. Начнем с АБ. Ему отвечает проекция

орбитального момента, равная единице, и спинового момента, тоже равная единице. Каждая из них может принимать значения О （отрицательных мы заранее не рассматриваем）. Следовательно, АВ, АД и АЕ уже не следует принимать в счет. Из оставшихся рассмотрим АГ. Момент с максимальной проекцией 2 имеет положительные проекции 2, 1,0; следовательно, БГ и БД надо отбросить, как возможные проекции АГ, Осталось еще BF, которое никаких проекций не имеет. Ясно, что все равно что полагать проекцией АБ: состояние АД или 5厂：на подсчет числа состояний это не повлияет.

Запишем теперь результирующие состояния в спектроскопических обозначениях, учитывая, что полный момент изменяется от L + S до \L — S\:

АБ ： 5P）2 3/^,（拉р）2 зрд,（拉р）2 3尸导

АГ I （пр）21Q§

ВГ : （пр）2 £・

Рассмотрим еще случай трех р-электронов. Для них получается семь состояний, совместимых с принципом Паули:

АБВ :0, 4； ЛВД:0,4； Я5Г:2,1； 46〃:1,^； А5Е:0, ^; АВГ\\^- БВГ :0, у.

з

Максимальна проекция спина, равная у, при нулевой проекции орбитального момента. Максимальна проекция орбитального момента 2 при суммарной проекции спина —.Эти два состояния вместе с их проекциями перечислены от АБВ до АБЕ. Остается состояние АВГ, по отношению к которому БВГ может считаться проекцией. Итак, результирующие состояния следующие:

aБВ :（w戸4s办

АБГ : （пр）3 2D«2> （пр）3 2£）办

ЛБr :（叩尸 2用：仇P）3 2%：

Волновое уравнение двухэлектронной системы. Сформулируем теперь принцип Паули с помощью волновых функций. Чтобы избежать математических сложностей, рассмотрим двухэлектронную систему. Волновое уравнение для двух электронов надо записать так:'

庁①^一^&一^飼+夕乙/“①^^①.（33.1）

Здесь Дх и Д2 — операторы Лапласа относительно переменных первого и второго электронов, U （尸】,尸2）— потенциальная энергия их взаимодействия с внешним полем и друг с другом:

U （厂 1，尸2）= Ubh （尸L 厂2）+ Ub3 （尸1,尸2）。（33.2）

Например, в атоме гелия

и(/，尸2)= 一 胃一貶 + 宀.(33.3)

qГ 2丨「1Г2|

Волновая функция зависит от пространственных и спиновых переменных обоих электронов:

(D =(D(/, si； г2, $2)・(33.4)

Взаимодействие спинового момента с орбитальным слабое, по крайней мере в легких элементах (см. § 30). Поэтому в операторе потенциальной энергии в первом приближении можно пренебречь спин-орбитальным взаимодействием, что соответствует записи (33.3). Если влияние спина на орбитальное движение мало, то вероятность некоторого значения спина и координаты равна произведению вероятностей обоих значений, и амплитуда вероятности Ф тоже распадается на произведение амплитуд:

，①(尸1, 51； Q，82)二中(尸1，尸2)%闻，52).(33.5)

Амплитуда вероятности орбитального движения удовлетворяет уравнению (33.1), если в него не входит оператор спина. При помещении системы во внешнее однородное магнитное поле Н к гамильтониану прибавляется оператор:

Sar =靑{(&〃) + 位〃)} = fM 团 Giz + 以)，(33.6)

где принято, что ось 2 совпадает с направлением поля (знак изменен на «+» из-за того, что заряд электрона отрицателен). Действие оператора а1г + Sz на спиновую функцию % дает просто полную проекцию спина обоих электронов, которую при отсутствии спин- орбитального взаимодействия можно рассматривать как интеграл движения, т. е. как число. Это число просто прибавляется к гамильтониану, так что уравнение для Ф не изменяет своего вида.

Рассматривая оператор Н в (33.1), видим, что он совершенно симметричен относительно перестановки координат обоих электронов, т. е. не меняет вида, если первый электрон назвать вторым, а второй — первым:

庁(/, sc 尸2，s» =百(尸2, $2；尸 1, Si).(33.7)

Но уравнение (33.1) линейное. Поэтому, если оно не меняется от операции (33.7), волновая функция может только умножиться на некоторое постоянное число Р:

①(厂1, Si； r2, S2)= P①(尸2, $2；尸 1, Si).(33.8)

Ввиду того что 尸 1, Si и 尸2, $2 входят одинаковым образом во все формулы, в (33.8) можно поменять их местами, получив;

①(R，$2；尸 1, Si) = РФ (гь so 勺戸2)・(33.9)

Подставляем (33.9) в (33.8):

①(厂1, Si；厂2, s" = P2(D (尸i, Si；尸2, $2), или

P2=1,尸=±1.(33.10)

В этом сравнительно простом случае двух частиц преобразование их перестановки сходно с преобразованием симметрии соответ。 ствующей им волновой функции относительно отражения (см. (29.44)).

Введем теперь операторы перестановки Рг и 耳，действующие только на координаты и на спин электронов. Так,

户，中(/, /)=中(尸2, /)(33.11)

и

A%(Si, s2) X(52, Si).(33.12)

Если волновое уравнение симметрично относительно перестановки 尸 1 и 尸2 или sx и s2, то собственные значения Рг и Ps равны ±1.

Обозначим совокупность орбитальных квантовых чисел первого электрона буквой 〃i (вместо 几厶 и 々0, второго электрона — буквой 几2・ Тогда орбитальная волновая функция 4f подробнее может быть записана так:

中=屮仇1,尸 1； 〃2,广2)■

Из требования (33.10) следует, что

户3(几1,厂 1；〃2,尸2)=屮＞(几1，尸2；"2,尸1)=±中(几1,尸 1；几2,，2)・(33.13)

При верхнем знаке функция (33.13) называется симметричной, при нижнем знаке — антисимметричной.

Аналогичные свойства имеет спиновая функция % (。厶 s^ о2, s2) по отношению к оператору перестановки спиновых переменных sn s2.

Перейдем теперь к требованиям, которые принцип Паули предъявляет к волновой функции системы из двух электронов. Запишем такую функцию в следующем виде:

①(如，j, гр Si； /ь, %，尸2, $2).

Полная перестановка спиновых и пространственных переменных в этой функции происходит от действия оператора Р, равного

P = PrPs-(33.14)

Применяя оператор (33.14) к функции Ф, получим:

力①(%,01, A Si； 〃2,02,尸2, S2)=

=①m1，6,尸2, S2；〃2,02,尸 1，S1).(33.15)

В соответствии с (33.10) эта функция тоже либо симметрична, либо антисимметрична. Но теперь сразу видно, что только антисимметричная функция удовлетворяет принципу Паули. Действи- 404

тельно, пусть состояния обоих электронов тождественны, т. е. 九I =几2，°i =仃2・ Тогда, если функция Ф антисимметрична, имеем: 户①仇 1，%,尸L Si； Hl, 5l,尸2, S2)=(B(〃1, (Ji, /，§2；拉 1,。1,尸1, S1) = =—Ф (пь аь 尸 1, S1；勺，Oi,尸2, 52) = ф (пъ 5l,厂d Si；小，O1, r2, s2).

(33.16)

Оператор P по определению переставляет только переменные 尸 и s, но не квантовые числа п, о. Первое равенство (33.16) означает результат действия оператора 户，второе учитывает антисимметрию волновой функции, а третье получается из первого выражения функции Ф перестановкой обеих четверок аргументов, относящихся к каждому электрону в отдельности. Возможность такой перестановки для любой функции очевидна, потому что безразлично, какой из электронов считать первым, какой ——вторым.

Перестановка всей первой четверки величин ^, ^; rn st с четверкой 〃i,。丄；r2, s2 в последнем равенстве (33.16) просто ничего не означает: все равно, какие аргументы писать сначала — относящиеся к первому электрону или ко второму, т. е. 〃^ ^,尸力 s】или 九1，ai» 尸2, s2- Таким образом, функция Ф (几i, ах, rx, s】；九i，仃口 r2» s2) равна самой себе с обратным знаком, следовательно, она тождественно равна нулю.

Ясно, что таким свойством при одинаковых квантовых числах обладает только антисимметричная функция, но не симметричная: последняя перешла бы сама в себя. Но если антисимметричная функция двух электронов, находящихся в одинаковых состояниях, тождественно обращается в нуль, то амплитуда вероятности такого состояния системы из двух электронов равна нулю при любых значениях переменных r^ s】;r2, s2. Только антисимметричная функция совместима с принципом Паули.

То же относится к волновой функции многоэлектронной системы: она антисимметрична относительно одновременной перестановки пространственных и спиновых переменных любой пары электронов. Это и есть общая формулировка принципа Паули.

Самосогласованное поле. В начале этого параграфа было указано, что состояние атома можно описать, задавая, сколько электронов находится в состоянии с данными квантовыми числами: один электрон или ни одного. Но что означают сами квантовые числа в многоэлектронной системе?

Принимают, что каждый электрон находится в поле ядра и всех остальных электронов, и такое поле называется самосогласованным. Исходя из такой модели многоэлектронного атома, удается даже приближенно рассчитать энергетические уровни атомов, как это впервые сделал Д. Хартри.

А. Фок внес существенное улучшение в метод самосогласованного поля, учтя тождественность электронов и принцип Паули. Основой метода Фока является вариационное свойство собственных значений энергии, т. е« свойство экстремальности интеграла (32.16).

При этом волновая функция двухэлектронной системы (мы ограничимся двумя электронами) в первом приближении выбирается в виде произведения волновых функций каждого электрона в отдельности. Затем эти функции подбираются так, чтобы интеграл (32.16) имел экстремум, при условии сохранения нормировки обеих функций в соответствии с (32.17).

Чтобы удовлетворить при этом принципу Паули, надо выбирать исходные волновые функции не просто как произведения функций Pi (尸 1)屮2 (尸2), а как такую их комбинацию:

屮=★仲1 ‘° 必(尸2)± 5 (尸2)屮2 (/))(33 ・ 17)

(индексы 7 и 2 при волновых функциях ——квантовые числа).

При верхнем знаке эта координатная функция множится на антисимметричную спиновую функцию %, а при нижнем знаке — на симметричную спиновую функцию. Подобные функции будут построены в этом параграфе несколько ниже, а пока удовлетворимся утверждением, что при противоположной симметрии пространственной и спиновой волновых функций результирующая функция Ф антисимметрична.

Если гамильтониан двухэлектронной системы не зависит от спинов, то в выражении (32.16) останется только интегрирование по пространственным переменным, а суммирование по спиновым переменным в любом случае даст единицу. «Память» о спине останется в пространственной волновой функции только в знаке между слагаемыми.

Множитель ^т в выражении (33.17) выбран для нормировки: если нормированы и ортогональны 屮〔и G, то 4f тоже нормированная функция, и можно рассматривать (32.16) с волновой функцией (33.17) как среднюю энергию. Нормировка ¥ проверяется следующим образом:

\ |B『d吟d% = ^ \ №i2d吟 \ \^dV2 +

+ ^ \ I屮2 E dUi \ 2工『d%±^ \ 屮；屮2dUi \ Ж1 dV2±

±^ \ 屮帥2W2、嘀5d%=l.(33.18)

Выразим гамильтониан двухэлектронной системы так:

Н = НГ (гО + ^Ч^ + ^п.(33.19)

Здесь Нг (尸О и Нг (尸2)имеют одинаковый вид, но зависят от переменных первого и второго электрона, V12 — гамильтониан взаимодействия, равный 濟 | 尸】——г2 Г1-

Подставим в (33.19) волновую функцию (33.17) и проинтегрируем по d%, d%. При этом всегда можно произвести переобозна-

чение переменных интегрирования, т. е. заменить в каждом слагаемом 尸 1 на 尸2 и наоборот. В результате этого каждый член встретится дважды, и двойка сократится с нормировочным множите-

1 л ем

Таким образом, получится:

〈"〉=^Г （尸1）嗚（尸J （方‘"0十方'（尸2）+%2）如（尸0屮2 （/） d吟dV2±± -屮；（尸1）啮（尸2）（方‘（尸1） +育’（尸2）+廿12）屮1 （尸2）屮2 （尸1） dV\ dV2.

Учитывая, что функции 屮i и гр2 ортогональны и нормированы, приводим〈"〉к такому виду:

〈"〉=\ ^Нг （г）屯 W +，^Нг （г）屮2 dV +

+ 、卡：（勺）屮^ （尸2）吟2屮1 （尸I）屮2 （尸2）d吟dV2 ±

± \ 屮:（厂1）嗎（尸2）吟2屮1 （尸2）屮2 6） ^Vi dV2.（33.20）

Рассмотрим смысл отдельных членов в выражении средней энергии. Первые два определяют среднюю энергию отдельных электронов в первом и втором состояниях. Третий член есть энергия взаимодействия между электронами, так как е屮;（尸，屮】（rj ——плотность заряда первого электрона, ei|^ （г2）屮2 （尸2）——плотность заряда второго электрона и е? | 屮】（尸° '2 ［屮？（尸2）I2 厘竺｝：——энергия взаимодействия между двумя элементами заряда. Эта величина построена по классическому закону, появление ее очевидно. Последний член

имеет квантовую природу: он получился вследствие симметризации волновой функции （33.17）. Его называют обменным интегралом или обменной энергией двух электронов. Термин «обмен» выбран потому, что каждый электрон как бы находится в обоих состояниях

сразу.

Знак обменного интеграла зависит от спинового состояния системы. Поэтому оказывается, что, даже пренебрегая магнитным взаимодействием спинов, необходимо учитывать их взаимодействие через обменный интеграл. При этом взаимодействие нельзя свести к какой-либо «силе», оно обязано чисто квантовым свойствам сим

метрии волновой функции, которые диктуются принципом Паули. Обменное взаимодействие больше магнитного, так как в конечном

электронов 历3排электронов 历3排и не содержит с2 в знаменателе.и не содержит с2 в знаменателе.счете оно обусловлено кулоновской потенциальной энергией двух

электронов 历3排

электронов 历3排

и не содержит с2 в знаменателе.

и не содержит с2 в знаменателе.

Будем теперь варьировать интегралы （33.20） по 屮：и 脸 при условии ортогональности функций и дополнительных условиях: \W；WidU = l и ^ гр^г dV =1. Как обычно, вариации этих двух

выражений умножаются соответственно на параметры ——£\ и ——£2,

а вариации условий ортогональности \i|?f屮2 dlz = 0 и \屮事屮^dY =0 на другие два параметра ——％ и ——т]2. Обозначим вариацию по 屮f через bp：, а по «^ через 5屮扌.Тогда условие экстремальности 〈方〉 при всех дополнительных равенствах будет выглядеть так:

5 曾〈"〉一邑5啃屮1 一 %5 哨屮 2 = 0,(33.21a)

5噁〈"〉一i^啮屮2 — %6嗎屮 1 = 0.(33.216)

Выполняя варьирование, приходим к системе из двух интегро- дифсреренциальных уравнений:

启'⑺5-册2产5 (r) 士

± e2 \時?学产:5⑺=Е仲i (r) + n通⑺，(33.22a) 方，⑺屮2⑺+ e2 \ !方："丁屮2⑺士

± e2 \ 置耳空轩丝屮2 (г) = Е2Ыг) + 小暇(г). (33.226)

Умножая (33.22а) на 屮；⑺ и на ip* (г) и интегрируя по d匕 получим выражения для и т^:

Ei =、屮；(г) 〃'(尸)5 (г) dV + °2 \ ЬШ±^^ dV dVf 士

± 济 、 若(尸)5([畸⑺,(尸)dl/dH,(33.23)

% = \出⑺H,⑺5⑺d V + ； \ 3。*少『小叫±

土 济 \ №Si2：2(r),("dI/dM ・(33.24)

Аналогичные выражения выводятся для Е2 и т]2.

В решениях всегда можно отделить угловую зависимость волновых функций, так что остаются уравнения, включающие только зависимость от г. Окончательная система уравнений доступна для решения на вычислительных машинах, тогда как точное уравнение Шредингера для двухэлектронной задачи в настоящее время никакими средствами решить нельзя. Степень согласия с опытом решений, полученных из уравнений Фока, в ряде случаев вполне удовлетворительна. Как всегда, при пользовании вариационным методом, собственные значения энергии согласуются с отнятом лучше, чем какие-либо интегральные выражения, получаемые с по* мощью волновых функций, определяемых вместе с энергией.

Представление волновых функций по методу самосогласованного поля позволяет понять, почему при сложении моментов нескольких электронов одни значения результирующего момента отвечают меньшей полной энергии, чем другие.

Возьмем для примера два р-электрона. Угловые части волновых функций p-состояния суть шаровые функции порядка 1, т. е. V1 V。 "7・

y? = cos 也件‘ =± sin 行 e上阿.

Распределение электронной плотности, отвечающее этим функциям, такое:

|Y；『 = cos2 也 I У} \2 = \Y^ I2.

Иначе говоря, для функций У； это распределение вытянуто вдоль полярной оси, а для функций У# сплющено к «экваториальной» плоскости . Энергия кулоновского отталкивания электронов, как мы только что видели, выражается интегралом

) i「1一厂2 I ё

Если два электрона находятся в одинаковых орбитальных состояниях (и, следовательно, имеют противоположные спины), то энергия их отталкивания будет больше всего, потому что они движутся в одной области пространства; если же орбитальные состояния электронов различны, энергия меньше, чем при одинаковых состояниях, так как тогда электроны движутся дальше друг от друга.

Если теперь рассмотреть состояния с магнитными квантовыми числами ±1, т. е. У；н У[* то по формуле для кулоновского отталкивания у них должны были бы получаться одинаковые энергии взаимодействия между парой электронов с проекциями момента +1 и парой с проекциями +1 и ——1, так как ±1 отвечает одинаковая электронная плотность. На самом деле имеется различие, связанное с обменным членом, но это различие все же меньше, чем при сравнении пар электронов с одинаковыми или противоположными проекциями с парой, имеющей проекции равные 1 и 0, т. е. Y\*Y^ с У；-У?.

Следовательно, при сложении моментов отдельных электронов состояние с наименьшей энергией достигается тогда, когда пространственные волновые функции имеют наименьшее перекрытие. Если квадраты их модулей одинаковы, как у У} и У] функций, перекрытие изменяется за счет обменного эффекта, но остается больше, чем у функций с проекциями момента 0 и 1.

Поэтому, если складываются моменты двух р-электронов, их спин должен иметь максимальное значение, чтобы проекции орбитального момента могли отвечать наименее перекрывающимся волновым функциям У} и У?. В результате оказывается, что система из двух р-электронов имеет наибольший спин, т. е. 1, а при этом наибольшем спине ——наибольший результирующий орбитальный момент. Мы пришли к так называемому первому правилу Хунда.

Если имеются три р-электрона, то орбитальный момент третьего уже должен иметь магнитное квантовое число ——1, а результирующий спин окажется равным 3/2. Это энергетически выгоднее, чем если бы спин третьего электрона был направлен в сторону, обратную первым двум, но эти два электрона оказались в одинаковом орбитальном состоянии. Следовательно, из найденных выше трех возможных результирующих состояний системы (пр)3 наименьшей энергией обладает состояние 4sз^. Наоборот, у состояний 2”?, 5/2 и 2P% з/2 имеется по две совпадающих проекции орбитального момента электронов: для состояния 2£>з/2 5/з это дает две волновых функции У；, для состояния 2。％, 3/2 две функции У；. Таким образом, подтверждается правило Хунда: спин надо брать как можно большим и уже при данном спине искать максимально возможное значение орбитального момента.

Приведенный только что пример относится к атому азота, содержащему конфигурацию (пр)3. Наименьшей энергией у него обладает состояние 4sв%, как и ожидалось; на 2,2 эв выше лежат состояния 2°з/2, 5/2 и на 3,8 эв выше — состояния 2Pi/2t з^. Последние лежат выше всех потому, что когда два электрона движутся вблизи полярной оси в состоянии У；, они в основном находятся на меньшем расстоянии, чем когда они движутся вблизи экваториальной плоскости. Это легко увидеть, если построить полярные диаграммы sin2 ® и cos2 ® и вращать их вокруг полярной оси.

Таким образом, находит свое объяснение нормальная связь между моментами отдельных электронов. Эта связь обусловлена кулоновским отталкиванием и принципом Паули. В не слишком тяжелых атомах нормальная связь, обязанная кулоновским силам, всегда превосходит связь спина с орбитальным моментом, происходящую от магнитных сил.

Так складываются орбитальные и спиновые моменты отдельных электронов. Но между результирующим орбитальным и результирующим спиновым моментами системы электронов имеется магнитное взаимодействие, аналогичное тому, которое осуществляется у отдельного электрона.

В отличие от отдельного электрона у системы из нескольких электронов спин может быть больше 1/2 ——по первому правилу Хунда предпочтительны большие значения спина. Поэтому результирующий момент J в общем случае имеет не два возможных значения, а столько, сколько значений у векторной суммы J = =I 厶 + S |. Если 厶 > S, то сумма имеет 2s + 1 значение, если 厶 V S, то 2厶 + 1 значение.

Мультиплеты. Если бы не было магнитного взаимодействия между спином и орбитальным моментом, то каждый из них мог бы свободно ориентироваться сам по себе. Это привело бы к вырождению, равному (2S + 1) (2厶 + 1). Магнитное взаимодействие частично снимает вырождение: при закрепленном векторе орбитального момента как бы создается магнитное поле с осевой симметрией, при которой каждой проекции спинового момента отве- 410

чает своя энергия взаимодействия «спин ——орбита». (Если больше спин, то надо рассуждать аналогичным образом в отношении орбитального момента.)

Если проекция меньшего момента на больший задана, то, очевидно, определен и результирующий момент J согласно общему правилу сложения моментов. Результирующий момент опять может свободно вращаться в пространстве, но уже при степени вырождения 2/ + i. Таким образом, магнитное взаимодействие расщепляет (2S + 1) (2L + 1) уровней на 2S + 1 или на 2工 + 1 уровней с заданным значением полного момента J, причем каждый уровень с определенным J вырожден 2J + 1 раз. Совокупность всех этих уровней называется мультиплетом, а сами уровни —— уровнями тонкой структуры.

Мультиплет] имеет 2s + 1 или 2L + 1 компонент расщепления. Из них одна отвечает наименьшей энергии. Она определяется следующим образом. Всего при данном азимутальном квантовом числе / может быть 2/ + 1 значений магнитного квантового числа, а при данном магнитном квантовом числе — две проекции спина. Следовательно, в данной конфигурации может находиться 2 (2Z + 1) электронов. Легко видеть, что если в ней находится 21 + 1 электрон, то результирующий орбитальный момент должен быть равен нулю. Тогда волновые функции всех отдельных электронов различны и энергия кулоновского отталкивания наименьшая. Это было подробнее рассмотрено на примере конфигурации (пр)3.

Таким образом, заполнение 2 (2/ + 1) состояний как бы разделяется на два этапа: сначала заполняются 2/ + 1 состояния с полным моментом 厶=0, а затем еще 2/ + 1 состояния. Оказывается, что при заполнении первых из них низший уровень мультиплета отвечает значению J = \ L ——S |, а при заполнении следующих 2Z + 1 состояний низший уровень имеет J = L + S. Это правило именуется вторым правилом Ху兄Ое; оно будет обосновано при рассмотрении тонкой структуры атомных уровней.

Найдем еще, сколько электронов в атоме могут обладать данным главным квантовым числом п. Так как / изменяется от 0 до /г ——1, а при данных 几 и / могут быть 2 (2Z + 1) электронов, получаем, что всего с данным и принцип Паули разрешает находиться в атоме

и — 1

， 2(2/+1) = 2紋 (33.25)

электронам.

Метод Томаса — Ферми. Метод Фока позволяет получать удовлетворительные количественные результаты в применении к задаче о движении нескольких электронов. Но при большом числе электронов уравнения, естественно, становятся очень сложными и запутанными, и трудно извлекать из них общие закономерности. В этом случае приходит на помощь еще более приближенный, но зато весьма общий метод подхода к многоэлектронной задаче, осно-

ванный как раз на том, что число электронов в атоме Z велико по сравнению с единицей.

Этот приближенный метод был независимо предложен Томасом и Ферми на основании интуитивных, но весьма наглядных соображений. Впоследствии Дирак показал, что уравнения Томаса ——Ферми могут быть выведены из уравнений Фока, если применить к последним квазиклассическое приближение. Точность метода, т. е. допускаемая ошибка, порядка Z'2/3.

Несмотря на то что всегда предпочтительнее излагать более строгий метод вывода, позволяющий оценить совершаемую ошибку, мы изберем наглядный способ подхода к уравнениям Томаса —«► Ферми, дающий возможность лучше понять его физическую сущность. Кроме того, если и видна ошибка при переходе от уравнений Фока к уравнениям Томаса — Ферми, то совершенно не оценена до настоящего времени степень приближения уравнений Фока по сравнению с точными квантовомеханическими }фавнениями. Известно только, что в численном выражении эта ошибка обычно невелика, но теоретически не объяснено, почему так получается.

Будем исходить из уравнений § 28 для возможного числа состояний частицы. Согласно формуле (28.23) число состояний квантовомеханической частицы с импульсами, заключенными между рх и рх + dp*, ру и ру + dpyt рг и р2 + 叭，в объеме V равно:

/al 、 VdpxdpydpzdN(Рх> "у, "z)= ②i评 •

Так как электрон имеет еще спиновую степень свободы, применительно к нему правая часть этого равенства должна быть умножена на два. Кроме того, электроны подчиняются принципу Паули: это значит, что в каждом состоянии с данной проекцией спина может находиться не более одного электрона.

Пусть имеется система из ^ электронов. Какое наименьшее возможное значение кинетической энергии они могут иметь?

Ясно, что все они согласно принципу Паули не могут иметь нулевого значения кинетической энергии: тогда все они должны были бы находиться в состоянии с рх = Ру = Pz = 0, что запрещено. Только два электрона с противоположными по знаку проекциями спина могут иметь один и тот же, в частности нулевой, импульс. Следующие два электрона будут обладать уже несколько отличным от нуля импульсом.

В состоянии с наименьшей энергией всех электронов как целого каждая пара электронов должна занимать состояние, возможно более близкое к состоянию с нулевым импульсом и не занятое другой парой. При этом ясно, что достаточно большое число электронов займет в пространстве импульсов сферу, центр которой совпадает с началом координат. Объем этой сферы будет складываться из отдельных кубиков объемом (2n/i)3/IZ, причем в каждом кубике должны находиться два электрона. Всякое отклонение от сфериче-

ской формы объема в импульсном пространстве, заполненного электронами, поведет к увеличению их полной энергии, т. е. к отклонению от основного состояния.

Пусть наибольшая энергия электрона в этой сфере равна £0, тогда по формуле (28.25) нетрудно связать Ео с полным числом электронов в сфере. Добавляя множитель 2, учитывающий спин,

получим:

N =N =2“2m也2“2m也42九342九3оо

N =

N =

2“2m也

2“2m也

42九3

42九3

о

о

Отношение NIV есть не что иное, как плотность электронов 〃, так что соотношение между граничной энергией EQ электронов и их плотностью таково:

& = 32/W*%・& = 32/W*%・(33.26)(33.26)

& = 32/W*%・

& = 32/W*%・

(33.26)

(33.26)

Рис. 38Рис. 38

Рис. 38

Рис. 38

Фактически это соотношение относится к кинетической, а не к полной энергии электронов. Различие между полной и кинетической энергиями существенно тогда, когда движение происходит в области, где изменяется потенциальная энергия.

Рассмотрим кривую потенциальной энергии, представленную на рисунке 38. Кинетическая энергия частицы в области О V % W 〃 отсчитывается от U = 0, а в области % > а — от U = Uo. (Мы предполагаем, что области достаточно велики, чтобы можно было при данной кинетической энергии пользоваться квазиклассическим приближением, т. е. они намного больше дебройлевской длины волны. Тогда кинетическая и потенциальная энергии как раздельные величины имеют приближенный смысл.)

При такой кривой потенциальной энергии наименьшая полная энергия получается тогда, когда ее максимальное значение Е° + U одинаково в обеих областях (аналогично тому, как устанавливается одинаковый уровень жидкости в сообщающихся сосудах). Если бы максимальная энергия электронов была в одной области больше, чем в другой, то общая энергия электронов могла бы понизиться за счет их перехода на свободные места в область с меньшей максимальной энергией. Но мы ищем

основное состояние системы, в U котором общая энергия уже не может быть понижена.^)

Итак, условие того, что электроны находятся в состоянии с наименьшей общей энергией, есть

£0 + [/ = const. (33.27)

Это условие можно применять и в тех случаях, когда потен-

циальная энергия изменяется в пространстве не скачками, как на рисунке 38, а плавно, как в атоме. Необходимо только, чтобы она не слишком сильно изменялась на расстоянии, равном одной деб- ройлевской длине волны электрона, согласно общему положению о применимости квазиклассического приближения (см. § 31). Но при большом числе электронов велика их максимальная кинетическая энергия, а следовательно, мала дебройлевская длина волны. Поэтому условие применимости излагаемого метода и состоит в том, чтобы число электронов в атоме было достаточно велико по сравнению с единицей.

Распределение потенциальной энергии в атоме выглядит приблизительно так, как показано на рисунке 39. Потенциальная энергия везде отрицательна, так как она калибрована на нуль в бесконечности.

Граничная энергия электронов не должна быть нигде положительна, потому что с положительной энергией они могли бы уйти из атома в бесконечность. Поэтому граничная энергия может быть либо отрицательной, либо равной нулю. Покажем, что она не может быть и отрицательной, т. е. равна нулю. Если бы, например, граничная энергия отвечала пунктирной прямой на рисунке 39, то электронная плотность должна была бы обратиться в точке г — г^ в нуль: согласно уравнению (33.26) там, где равна нулю кинетическая энергия, обращается в нуль и плотность.

Полагая, что в некоторой точке г = rQ плотность электронов равна нулю, надо принять, цто все электроны находятся при г V『о, так что весь заряд атома ——и положительный, и отрицательный —— сосредоточен в сфере радиуса г = г。. Но тогда по теореме Гаусса электрическое поле в точке г = rQ должно обращаться в нуль, так как распределение заряда принято сферически симметричным. Однако I Е I =—患,а из рисунка 39 видно, что в этой точке производная потенциала не равна нулю. Следовательно, единственная возможность состоит в том, что весь заряд сосредоточен в области, на границе которой производная потенциала обращается в нуль.

На рисунке 39 производная по- тенциала стремится к нулю при г оо. Отсюда следует, что граничная энергия электронов равна нулю, как и утверждалось. Но мыслима и такая возможность, когда кривая потенциальной энергии будет подходить к абсциссе с горизонтальной касательной при конечном г. Это тоже дает нулевое значение для граничной энергии. Но дальше будет показано, что и такая возможность не осуще-

Рис. 39ствляется. Во всяком случае мы будем

исходить из того, что граничная энергия равна нулю. Постоянная в уравнении (33.27) и есть эта граничная энергия.

Потенциальная энергия электрона равна U = ——е(р, а кинетическую надо выразить согласно (33.26). Тогда получится основное для метода Томаса — Ферми соотношение между потенциалом в атоме и плотностью электронов в данной точке:

32/3几%九2 (2m)-1h2/з 一绅=0.(33.28)

Второе соотношение между потенциалом и плотностью находим из уравнения (16.7). В нем взят обратный знак в правой части, потому что заряд электрона отрицательный:

(33.29)(33.29)^»2需=45.

(33.29)

(33.29)

Исключив плотность электронов из уравнения (33.28) и подставив в (33.29), получаем уравнение, описывающее распределение

электронов в атоме:

黑产察嘗(33・3。)

Преобразуем это уравнение аналогично (20.6). Для этого подставим ср в таком виде:

ф=—屮.(33.31)

Функция 屮 безразмерна, так как ~ имеет размерность потенциала. В непосредственной близости к ядру ф определяется только иZe

ядром, потому что его потенциал стремится к бесконечности, как а потенциал пространственно распределенного заряда электронов остается конечным. Следовательно, вблизи ядра граничное условие состоит в том, что 2 (0) = 1.

На больших расстояниях от ядра его заряд полностью экранируется зарядом электронов. Поэтому потенциал должен стремиться к нулю быстрее, чем ~. Отсюда 屮(оо) = 0.

Подставляя (33?31) в (33.30), находим уравнение для 屮

d* Зя A3 J/Jd* Зя A3 J/J(33.32)(33.32)

d* Зя A3 J/J

d* Зя A3 J/J

(33.32)

(33.32)

Удобно избавиться от размерного множителя в правой части. Для этого надо ввести новую единицу длины, подобную атомной единице (см. (29.30)):

(33.33)(33.33) (3n)* 1九2

(33.33)

(33.33)

Эта единица отличается от атомной множителем -4т~・ После z /з

d2屮2%d2屮2%введения безразмерной переменной х уравнение (33.30) приводится к стандартной форме (уравнение Томаса — Ферми):

d2屮2%

d2屮2%

(33.34)

Теперь ни уравнение, ни граничные условия к нему, т. е.屮(0) = 1 и 屮(оо) = 0, не содержат атомного номера. Поэтому (33.34) достаточно проинтегрировать один раз для всех атомов. Но применять это уравнение, конечно, можно только к атомам с большим и средним атомным номером.

Функция 屮(х), если вернуться к размерному радиусу г, дает распределение потенциала для каждого Z:

屮=乡屮(1,125Z% 零 г).(33.35)

Если расстояние от ядра выражено через %, то распределение электронной плотности получается одинаковым для всех атомов. Разумеется, это свойство уравнения (33.34), а не реальных атомов. Но и такое огрубленное рассмотрение позволяет получить важные выводы об атоме как целом.

Так как при одних и тех же х значение 屮(％) одинаково для всех атомов, соответственные значения г для разных атомов обратно пропорциональны Z'/з. Следовательно, у тяжелых атомов основная часть электронов сосредоточена в большей близости к ядру, чем у более легких.

Покажем теперь, что граничное условие 屮=0 может быть поставлено непротиворечивым образом только при % = оо. Уже указывалось, что к точке %о, где « (х) обращается в нуль, кривая потенциала должна подходить с горизонтальной касательной. Следовательно, вблизи этой точки разложение 屮(х) начинается с такого члена:屮(%) = a(%—%0)2 + 々，

где k — положительное число. Подставляя это разложение в уравнение (33.34), будем иметь:

. 小/3+号

(2+ 团(1 +舟 a(X一/产=”(Х一/),

откуда следует, что k = —6 вопреки требованию 々 А 0.

Только асимптотическое касание с абсциссой не ведет ни к какому противоречию.

Появление в атомах электронов с данным значением I. При выводе уравнения Томаса — Ферми мы исходили из распределения электронов по импульсам. Но можно поставить вопрос и об их распределении по другим интегралам движения. Так как в атоме, т. е. в центральном поле, сохраняется момент, естественно искать распределение электронов по моментам.

Рассмотрим сначала, как выглядит распределение момента электронов по атому. Граничный импульс электронов пропорционален корню квадратному из граничной кинетической энергии Е°, так что согласно (33.26) электроны с наибольшими импульсами находятся вблизи ядра. Но момент пропорционален произведению импульса на расстояние от ядра, поэтому вблизи ядра момент электронов мал. На больших расстояниях от ядра уменьшается плотность электронов и соответственно граничный импульс. Из-за этого опять становится малым момент. Следовательно, момент достигает наибольшего значения где-то на средних расстояниях от ядра. Это максимальное значение момента тем больше, чем выше электронная плотность. Поэтому в тяжелых атомах, в которых электронная плотность велика, появляются большие значения момента.

Чтобы найти наибольшие значения момента, возможные при данном Z, будем исходить из классического выражения энергии частицы в центральном поле:

僧 № Ze2屮—2/n 十 2m г2 г *

Граничную энергию Е следует положить равной нулю в согласии с основным допущением (33.28). Тогда для радиальной составляющей импульса получаем такую формулу:

J (33.37)

Вместо М2 можно подставить Л2/ (/ 4- 1). Но так как вся излагаемая теория отвечает квазиклассическому приближению, несколько лучший результат получится и при квазиклассическом собственном значении М2. Можно показать (но мы этого делать не будем), что квазиклассическое собственное значение М2 есть 九2« + 4"f・ Заметим, что (/ + ^『 отличается от / (/+ 1) только на 1/4.

Вынесем теперь из-под корня в (33.37) ~ и выразим подкоренное выражение через безразмерную величину %:

рТ]/~ 1,778Z%x屮一 « + ^：・ (33.38)

Для того чтобы рг могло быть действительной величиной, подкоренное выражение должно оставаться действительным в некотором интервале значений х. Но так как х叩=0 при % = 0 и при х = оо, указанный интервал конечен и заключает в себе точку максимума xip. Максимум равен 0,488. Следовательно, весь интервал, в котором рг ——действительная величина, стягивается в точку при таком значении Z, когда

0,488Z% =，+ ^『・ (33.39)

Тогда кривая у = 1,778 工‘厶％屮 касается горизонтальной прямой у =+ Следовательно, данное значение / в атоме может

появиться при Z, удовлетворяющем условию:

Z = 0,155 ⑵+ 1)2.(33.40)

По этому уравнению электроны, имеющие Z = 2, появляются при Z = 19, а имеющие / = 3 — при Z = 53. Лучшее согласие с действительностью получается, если взять в последней формуле коэффициент 0,17 вместо 0,155.

Весь излагаемый расчет возможен только благодаря учету экранирования поля ядра электронами, с чем связано появление максимума функции %屮.В чисто кулоновом поле ничего похожего не получилось бы. Это указывает на то, что по мере возрастания атомного номера зависимость энергии электронов от азимутального квантового числа все усиливается.

Когда поле значительно отличается от кулонова, зависимость энергии от / становится столь сильной, что увеличение главного квантового числа и с одновременным уменьшением I приводит к меньшему возрастанию энергии, чем увеличение п при данном /・

Объясняется это тем, что при больших / велико «плечо» момента, т. е. электрон находится далеко от ядра. Но потенциальная энергия электрона в атоме зависит от г не по закону Кулона: она убывает гораздо быстрее благодаря экранированию. Поэтому на больших расстояниях от ядра электрон как бы выталкивается центробежной силой из потенциальной ямы, что ведет к сравнительно боль- / шому повышению уровня энергии.

Оказывается, что при переходе от уровня энергии Е (и, /) к Е (п + 1, 0) возрастание энергии меньше, чем при переходе от Е (п, Г) к Е (п, I + 1). В кулоновом поле энергия зависит только от 〃，и тогда переход от £ (〃，/) к Е (/г, /4-1) вообще не изменяет энергии, а от £ (/z, Z) к Е (〃 4- 1, 0) ведет к повышению уровня. При слабом отклонении поля от кулонова тоже еще имеет место неравенство: Е (〃 + 1, 0) — Е (п, /)〉Е (/г, I + 1) — Е (/г, /).

Периодическая система Менделеева. Рассмотрим теперь в общих чертах заполнение мест в периодической системе элементов Менделеева. При малом числе электронов в атоме зависимость энергии электрона от квантовых чисел не сильно отличается от той, которая имеет место в чисто кулоновом поле, так что положение энергетического уровня определяется главным квантовым числом п. В связи с этим застройка электронных оболочек атома идет по возрастающим значениям п.

Как видно из формулы (33.25), в оболочке с п = 1 могут находиться два электрона. У водорода один электрон, его состояние 1s, у гелия оболочка заполнена, состояние (Is)2 'Sf. Электронная оболочка основного состояния атома гелия настолько устойчива, что если к нему подходит близко любой другой атом, то общая энергия может только увеличиться, так что возникают силы отталкивания.

Гелий химически инертен. Силы взаимодействия между его атомами малы благодаря симметрии и устойчивости их электронных оболочек. Поэтому гелий (газ) сжижается при весьма низкой температуре .

После гелия начинается застройка оболочки с и — 2. Первый электрон этой оболочки, т. е. 25-электрон, появляется у лития. Два внутренних ls-электрона, имеющих конфигурацию гелия, образуют замкнутую оболочку (К-оболочку) и сильно экранируют заряд ядра; поэтому внешний электрон лития связан слабо. Так у лития (и в дальнейшем у Na, К, Rb, Cs) получается электронная конфигурация щелочного металла вследствие присоединения s-электрона к ядру, окруженному оболочкой благородного газа.

За литием идет элемент бериллий, в атоме которого два 25-электрона, конфигурация (ls)2(2s)2 xSf. Хотя оболочка (2 s)2 (L]-оболочка) у бериллия застроена, его свойства отнюдь не напоминают свойств благородного газа гелия с застроенной (1s)2 оболочкой. Причина состоит в том, что поле, действующее на электрон, в легком элементе бериллии еще достаточно близко к кулоновому, поэтому энергия ^-состояния близка к энергии 2р-состояния: она мало зависит от азимутального квантового числа. Чтобы электрон перешел из 1 s-оболочки в 2s- или 2р-оболочку, нужна малая энергия. Благодаря этому электронная конфигурация бериллия малоустойчива по отношению к возмущениям. Достаточно небольшой энергии, выделяющейся в результате присоединения других атомов, чтобы вызвать перестройку 2р-оболочки, нужную для образования устойчивой системы связанных друг с другом атомов.

После бериллия начинает застраиваться 2р-оболочка (Ап-оболочка), которая оказывается полностью заполненной у неона. Перед неоном стоит фтор, ему не хватает одного электрона до полной занятости Ai i-оболочки. Энергия присоединения электрона, дополняющего (2р)5-оболочку фтора до заполненной оболочки неона, велика. Этим объясняется химическая активность фтора и других галогенов, аналогичным образом расположенных относительно благородных газов.

В оболочке с 几=2 может быть восемь электронов. Элементы, у которых электроны занимают эту оболочку, образуют второй период системы Менделеева (Н и Не составляют первый период). Затем застраивается оболочка с 几=3, но сначала только первые две ее подоболочки: 3s и Зр (Ali и 加口). Элементы третьего периода имеют строение внешних электронных оболочек, подобное оболочкам элементов второго периода.

Химические свойства атомов в основном определяются внешними электронными оболочками. Этим и объясняется подобие химических свойств, лежащее в основе периодического закона.

У аргона Зр-оболочка застроена, т. е. завершен еще один период системы из восьми элементов. Конфигурация благородного газа у аргона получается потому, что состояние Зр, с одной стороны, и состояния 3d и 4s, с другой стороны, сильно разнятся энергетически. Можно сказать, что у аргона сравниваются влияния главного и азимутального квантовых чисел на энергию уровня: они влияют примерно одинаково и еще достаточно сильно, чтобы этот'элемент имел устойчивую электронную оболочку благородного газа. Но в отличие от гелия аргон все же способен вступать в химические соединения.

Рассматривая состояния оболочек, которым не хватает до полной застройки меньше половины всего возможного числа электронов, т. е. меньше 22+1, можно считать, что незаполненные состояния («дырки») ведут себя подобно электронам. Например, если в np-оболочке не достает двух электронов до шести, то можно складывать состояния двух «дырок», подобно тому как производится сложение состояний двух пр-электронов. При этом всегда получаются правильные результаты, но для нахождения полного момента основного состояния такой системы из двух «дырок» надо пользоваться вторым правилом Хунда, т. е. брать J = L + S. Путем сложения спинов и орбитальных моментов с учетом принципа Паули легко убедиться в том, что четыре электрона в 〃р-о6оло4ке равноценны двум «дыркам» в ней (см. упражнение 2).

Понятие «дырка» в системе занятых состояний и равноценность «дырки» с частицей чрезвычайно плодотворны во многих областях физики, где изучаются многоэлектронные системы.

Сведем теперь схему застройки электронных оболочек для элементов первых восемнадцати мест периодической системы в одну таблицу (см. стр. 421), в которой приведены количества электронов, имеющих данные квантовые числа.

После аргона начинает сказываться более сильное влияние азимутального квантового числа на энергию, чем главного квантового числа. Иначе говоря, застройка 4з-оболочки оказывается энергетически выгоднее, чем Зб?-оболочки. Новый период начинается щелочным металлом калием. Отметим эмпирическую закономерность: застройка идет по одинаковым п + L Сумма и + / одинакова (равна 4) для Зр- и 45-оболочек, а для 3^-оболочки она уже на единицу больше. После З^-оболочки застраивается 4р-оболочка с тем же значением суммы 〃 十 / = 5, а потом 5s. Замечено, что это правило соблюдается и в дальнейшем, причем заполнение оболочек с одинаковой суммой и + / идет в порядке возрастания и. При застройке d- и /-оболочек обнаруживаются некоторые отклонения от этого правила.

В оболочках cn = 1, 2, 3 вместе находятся 2-12 + 2-22 + 2-32 = =28 электронов. В 4s- и 4р-состояниях еще восемь, в 5s — два электрона. После 55-состояния идут электроны с 〃 Т- Z = 6, причем начиная с наименьшего 几,т. е. с 4d. Этих электронов еще 420

Элемент

九=1

2 = 0

zi = 2

/1 = 3

Основное состояние атома

/ = 0

/ = 1

/ = 0

/ = 1

Н

1

2S，

Не

2

党

Li

2

1

2S〃

Be

2

2

臂

В

2

2

1

С

2

2

2

3Pg

N

2

2

3

4s3

0

2

2

4

3Pg

F

2

2

5

Ne

2

2

6

С

Na

2

2

6

1

Mg

2

2

6

2

IS：

Al

2

2

6

2

1

2也

Si

2

2

6

2

2

3Pg

P

2

2

6

2

3

S

2

2

6

2

4

3Pg

Cl

2

2

6

2

5

Ar

2

2

6

2

6

對

2・(4 + 1) = 10. После 4d- идут 5р-электроны, которых шесть, затем по тому же правилу 65-электроны.

Следующее значение n + Z = 7, причем наименьшее 〃 равно 4. Следовательно, начиная с 57-го места может заполняться (а фактически заполняется с 58-го места) 4/-оболочка, получая сразу два 4/-электрона.

Это хорошо согласуется с результатом, который был получен на основании метода Томаса — Ферми для появления электронов с / = 3. А1ы видели, что электроны с наибольшим значением момента впервые появляются в середине атома, при значении безразмерной переменной % == 0,488 (это, конечно, весьма грубая оценка).

То же самое можно доказать, рассматривая движение электронов в центральном поле, убывающем не по закону Кулона, а быстрее, вследствие экранирования поля другими электронами. Именно томас-фермиевский потенциал убывает по закону у р (%), примерно, как т. е. быстрее, чем центробежная энергия ~ • Ьсли сложить потенциальную энергию электрона, вычисленную с учетом экранирования, с центробежной энергией, то оказывается, что в d- и /-оболочках минимум эффективной результирующей потенциальной энергии находится в середине атома (ср. § 5).

Кривая Um для d- и /-электронов при больших г идет выше, чем для s- и р-электронов, и оказывается, что эффективная потенциальная яма ——минимум кривой Um ——расположена к ядру ближе, чем кончаются оболочки s- и р-электронов. Таким образом, d- и /-оболочки застраиваются как бы внутри атома. Но химические свойства атомов зависят главным образом от внешних электронов, состояния которых при заполнении /-оболочки изменяются весьма мало. Так возникает группа из 2 • (2 • 3 + 1) = 14 химически сходных элементов, называемых редкоземельными.

При заполнении Зс/-оболочки взаимодействие с внешними электронами сильнее, и тогда получается не группа сходных элементов, а ряд элементов с нерегулярным изменением химических свойств. Происходит как бы «соревнование» за энергетически наивыгоднейшее состояние между Зс/-оболочкой и внешними оболочками: например, у V23 имеется три d-электрона и два s-электрона, у следующего за ним элемента Сг24 — пять d-электронов и один s-электрон, у Мп25 тоже пять d-, но два s-электрона.

Оболочка 5/ заполняется, начиная с тория, у целой группы элементов, аналогичных редкоземельным. Большую часть этих элементов составляют созданные искусственно трансурановые элементы.

Я д е р н ы е оболочки. Электронные конфигурации благородных газов отвечают особенно большой энергии связи электронов в атоме. Чтобы удалить один электрон из атома благородного газа, надо затратить большую работу, чем из атома всякого другого элемента. Когда к электронной оболочке типа оболочки благородного газа присоединяется еще один электрон, как в атомах щелочных металлов, он оказывается особенно слабо связанным.

Благородные газы находятся на вполне определенных местах в таблице Менделеева: 2, 10, 18, 36-м и т. д., что находит свое объяснение в модели заполняющихся электронных оболочек, которые в свою очередь строятся по квантовым числам отдельных электронов. Но чтобы имело смысл понятие квантовых чисел отдельного электрона, необходимо допустить, что на него действует самосогласованное поле всех остальных электронов.

Как было указано, метод самосогласованного поля не имеет пока строгого обоснования в атомной физике. Обычно говорят, что элек^ 422

тростатические кулоновские силы дальнодействующие и поэтому на каждый электрон действительно оказывают влияние все остальные.

Было доказано экспериментально, что в ядрах атомов тоже получаются особо устойчивые состояния для каждого «сорта» определенных чисел нуклонов (т. е. нейтронов и протонов), аналогичные основному состоянию благородных газов. Эти числа суть 2, 8, 20, 50, 82 и 126. Но хорошо известно, что ядерные силы в отличие от кулоновских короткодействующие, поэтому аргумент, обосновывающий применимость понятия самосогласованного поля к атому, к ядру не имеет отношения.

Но так как указанные выше числа тем не менее проявляются в очень многих наблюдаемых на опыте свойствах ядер, для них было предложено ироническое наименование «магических чисел», чтобы подчеркнуть этим их несоответствие теоретическим ожиданиям. Очевидно, понятие самосогласованного поля все же применимо и к ядру. Не вдаваясь в возможные причины применимости этого понятия, покажем, путем каких рассуждений можно вывести все указанные числа из некоторой простой теоретической модели.

В § 28 указывалось, что силы, действующие между частицами в ядре, могут быть описаны с помощью эффективной потенциальной ямы. Допустим, что некоторое самосогласованное поле, все же существующее в ядре, заставляет каждый нуклон двигаться в такой яме. Задача о движении частицы в прямоугольной яме решалась в § 28, причем было показано, что она относится не к одномерному, а фактически к трехмерному случаю, но применительно к собственному значению орбитального момента, равному нулю.

Такую задачу можно решить и при произвольном орбитальном моменте частицы. Чтобы несколько приблизить решение к реальности, берется не строго прямоугольная яма, как на рисунке 32, а с немного закругленными краями. Тогда уровни энергии располагаются группами. Каждый уровень в ядре принято обозначать не главным, а радиальным квантовым числом, т. е. числом нулей радиальной функции, и азимутальным квантовым числом. Эти группы оказываются такими: Is; Ip; Id, 2s; 1/, 2р; 1g, 2d, 3s; lh, 2/, 3"； ", 2g, 3d, 4s. (Напомним, что буквы g, h, i означают соответственно моменты / = 4, 5, 6. В состоянии с каждым I может находиться 2 (2/ + 1) частиц.)

Поэтому, если попытаться связать перечисленные группы отдельно лежащих энергетических состояний с оболочками, то получатся следующие числа заполненных состояний: 2; 2 + 6 = 8; 8-卜10 + 2 = = 20; 20 + 14 + 6 = 40; 40 + 18 + 10 + 2 = 70; 70 + 22 + 14 + + 6 = 112. Они согласуются с магическими числами только до 20.

М. Гепперт-Майер и X. Э. Суэсс объяснили это несоответствие тем, что при построении энергетических уровней не была учтена сильная спин-орбитальная связь нуклонов. Существование такой связи хорошо известно из ядерной физики, но мы не будем рассматривать ее подробно. Указанные авторы предположили, что при больших / состояние с моментом / = / + i/纟 так сильно отличается

по энергии от состояния с / = Z ——х/2, что попадает в число состояний предыдущей группы. Тогда состояния должны группироваться следующим образом (начиная с четвертой группы): 1/, 2р, 1目9厶； 1日/2, 2d, 3s, IZh%; 1力恥，2厶 Зр, 1Лз/2. Так как в состояниях с /= =Z 士 】丿2 спин жестко связан с орбитальным моментом, они вырождены 2/ + 1 раз. Поэтому после числа 20, отвечающего заполнению первых трех групп, следующая заполненная группа получается при 20 + 14 + 6 + 10 = 50; затем 50 + 8 10 + 2 + 十 12 = 82; 82 + 10 + 14 + 6 + 14 = 126. Это в точности отвечает магическим числам .

Предлагаемое объяснение в свою очередь ведет к некоторым прогнозам, а именно вблизи магических чисел следует ожидать ядер с большими моментами; / = 9/2, п/2, ..., что имеет место на самом деле.

Орто- и парасостояния двух электронов. Покажем теперь, как строить спиновую волновую функцию в соот« ветствии с требованиями симметрии относительно перестановок. Будем считать, что полная волновая функция распадается на про> изведение координатной и спиновой частей, и займемся отдельно спиновой. Так как все произведение антисимметрично, один из его сомножителей должен быть симметричен, другой антисимметричен. Такой простой вывод относится, как указывалось, только к двухэлектронной системе.

Так как спин каждого электрона в атомных единицах равен 1/2, результирующий спин системы из двух электронов может быть равен нулю или единице. Оба эти состояния имеют специальное название. Состояние со спином, равным единице, называется ортосостоянием, а со спином, равным нулю, — парасостоянием.

Пренебрегая магнитным взаимодействием между спинами, можно строить спиновую волновую функцию двух электронов из произведений их спиновых функций, взятых в отдельности, подобно тому как строилась координатная волновая функция (33.17):

%(S, S1； %, S2)= %31,S1)%(O2, S2). (33.41)

Теперь надо удовлетворить требованиям симметрии. Если ах = а2, то произведение (33.41) симметрично само по себе. Если S W S, то можно образовать либо симметричную, либо антисимметричную волновую функцию так, как в (33.17).

В результате получаются три симметричные волновые функции и одна антисимметричная:

X(l, s0x(l, sj,

Хсимм = “ yr}(X (1, S0 % ( 1, $2)+ % (1, $2)X ( 1, S0), (33.42) 、X (— 1, Si) % (— 1, S・2)

Хантисммм = J攵(％ (1, $1)Х( 1，$2)- ％(1，$2)% ( 1, S0) . (33.42 )

Множитель — введен для нормировки.

Функциям (33.42) отвечают три проекции результирующего спина: 1, 0 и ——1, а функции (33.42) — только одна проекция 0. Величина проекции спина, т. е. 0, 1 или —1, зависит от выбора оси 2. Но симметрия или антисимметрия волновой функции является ее внутренним свойством и от выбора координатных осей не зависит. Поэтому все три волновые функции (33.42) следует считать принадлежащими одному и тому же полному значению спина, равному 1, но трем разным его проекциям, а состояние (33.42) — принадлежащим полному значению спина, равному нулю. Полный спин, так же как и симметрия волновой функции, не зависит от выбора координатных осей.

Подразделение спиновых состояний на орто- и парасостояния распространяется на любые системы из авух одинаковых частиц и на любые значения спина. Состояние с симметричной спиновой волновой функцией называется ортосостоянием, с антисимметричной волновой функцией ——парасостоянием. Но при значении спина, большем “2, нет однозначного соответствия между пара- и ортосостоянием и результирующим спином. Зато при спине, равном %, спиновая функция автоматически оказывается принадлежащей либо орто-, либо парасостоянию, если только потребовать, чтобы она была собственной функцией оператора полного спина. При этом уже не обязательно, чтобы частицы были тождественными, лишь бы спин каждой равнялся 1/2. Так, эфемерное образование из электрона и позитрона (положительного электрона) — двух разных частиц ——может находиться в орто- и парасостоянии в зависимости от значения их результирующего спина.

В уравнения самосогласованного поля входит выражение обменной энергии (см. (33.22а) и (33.226)) с двумя знаками в зависимости от симметрии координатной волновой функции. Но так как симметрия этой функции обратна симметрии спиновой волновой функции, можно сказать, что знак обменной энергии связан с тем, в каком состоянии находятся частицы: «+» стоит в парасостоянии и «——» Ъ ортосостоянии. В свою очередь пара- и ортосостояния отвечают разному значению результирующего спина. Поэтому знак перед обменной энергией может быть связан с собственным значе' нием полного спина двух электронов.

В упражнении 2 к § 30 было показано, что собственное значение оператора (ад) равно —3 при антипараллельных спинах и 1 при параллельных. Поэтому если ввести оператор } (1 十输&)， то его собственное значение равно +1 в ортосостоянии и —1 в парасостоянии. А так как симметрия координатной волновой функции противоположи а симметрии спиновой функции, можно просто ввести в гимильтониан системы, записанный в приближении самосогласованного поля； обменную энергию, умноженную на величину

—~ (1 +(7^2). Тогда правильный знак обменной энергии в уравнениях будет обеспечен автоматически.

Таким образом, получается как бы эффективное взаимодействие между спинами электронов, которое, как указывалось, гораздо больше магнитного взаимодействия между ними.

Спин-орбитальное взаимодействие у от- дельного электрона. Построим оператор, описывающий взаимодействие спина электрона с его орбитальным моментом. Очевидно, что такой оператор может быть определен только для самосогласованного поля, потому что моменты отдельных электронов как интегралы движения не могут быть заданы иначе, как в предположении, что все остальные электроны создают статическое центрально-симметричное поле, действующее на данный электрон.

Строгий вывод оператора спин-орбитального взаимодействия возможен только на основе релятивистского волнового уравнения для электрона (§ 37). Здесь мы ограничимся полуинтуитивным наглядным доказательством.

Перейдем к системе отсчета, в которой электрон покоится. В этой системе на него действует не только электрическое, но и магнитное поле, тогда как в системе, где покоится ядро, есть лишь электрическое поле. Но совершить переход непосредственно по формулам преобразований Лоренца для компонент поля (15.1) и (15.Г) нельзя, так как система, связанная с ядром, неинерциальная. Поэтому будем менять систему отсчета постепенно, бесконечно малыми «шагами».

Поскольку неинерциальность обязана взаимодействию электрона с ядром, предположим, что само это взаимодействие включается бесконечно малыми «порциями» за счет изменения элементарного электрического заряда от е入 до ^ (X + А). Так как магнетон Бора сам пропорционален заряду, его значение при этом равно 入卩°.

При возрастании магнитного поля на dH оператор энергии магнитного поля получает добавочный член:

dV = — ^^dH).

При малых относительных скоростях формулы преобразований Лоренца дают:

dH=-^[vdE] = -^[pdE].

Так как самосогласованное поле центральное, электрическое поле равно:

E = —= — T — f

a dE = Edh. Подставляя это в формулу для магнитной энергии dV9 находим:

Заменим \гр\ на 麻，а магнитный момент на ^ .Тогда получим:

2m2c2 ' 丿 г dr

Интегрируя по X от 0 до 1, т. е. переходя к полной величине взаимодействия, находим искомый оператор взаимодействия спина с орбитальным движением:

R=為仿麻)；备(33・43)

Оценим Для этого (33.31), тоОценим Для этого (33.31), топорядок величины коэффициента в формуле (33.43). заметим, что если взять томас-фермиевский потенциал

Оценим Для этого (33.31), то

Оценим Для этого (33.31), то

d(p Ze , . Ze dip

打=一产屮+VZ= 一

Множитель 屮一х^ порядка единицы и в дальнейшем будет опущен. Но так как сама томас-фермиевская переменная х порядка 力2

единицы, получаем г ^ ———.Если оператор орбитального Z 侬 2

момента М выразить через безразмерный оператор М = hl, а <г —— через удвоенный безразмерный оператор спина 2s и подставить в формулу (33.43), то численный коэффициент перед (4/) оказывается имеющим такой порядок величины:

。〜備 F•霏.(33-44)

Здесь Vбезразмерная величина, равная 1/137, так что 毎 достигает 0,6 при Z 〜90; 甯一 атомная единица энергии, равная 27 эв.

Взаимодействие £ и 5. Таким образом, оператор спин- орбитального взаимодействия отдельного электрона может быть записан в таком виде:

V = a(sl).(33.45)

Полный оператор спин-орбитального взаимодействия получится, если просуммировать V для всех электронов в некоторой оболочке, имеющей общий спин и орбитальный момент. Это делается следующим образом. Будем считать суммарный спин S электронов закрепленным и усредним спин, входящий в каждое слагаемое от спи< нового момента s отдельных электронов. Тогда при усреднении останется только проекция спина отдельного электрона на суммарный спин:

〈3〉=氐

Усреднение производилось по спиновым состояниям при данном суммарном спине, который надо, таким образом, считать оператором. Аналогичным образом усредняются орбитальные моменты при данном суммарном орбитальгюм моменте £, так что в результате получается оператор спин-орбитального взаимодействия:

(33.46)(33.46)V0^A(LS).

(33.46)

(33.46)

J2 =(L + S)2 = L2 + S2 + 2LS・Но L2 = L(L+1), S2^S(S+1), J2 = jq+i), откудаJ2 =(L + S)2 = L2 + S2 + 2LS・Но L2 = L(L+1), S2^S(S+1), J2 = jq+i), откудаНайдем собственные значения этого оператора. Для этого запишем:

J2 =(L + S)2 = L2 + S2 + 2LS・

Но L2 = L(L+1), S2^S(S+1), J2 = jq+i), откуда

J2 =(L + S)2 = L2 + S2 + 2LS・

Но L2 = L(L+1), S2^S(S+1), J2 = jq+i), откуда

(ZR) = ^ " (J 十 1) 一 L (L + 1) - S (S + 1)]. (33.47)

Таким образом, оператор спин-орбитального взаимодействия диагоналей в состояниях с определенным значением полного момента J. При данных L и S всего получается 2厶 + 1 или 2s + 1 различных состояний с данным J, которые все вместе называются мультиплетом. Так как L и S для всех компонент мультиплета одинаковы, получаем, что энергия компоненты мультиплета с данным значением J определяется только слагаемым 丿(丿 + 1).

Теперь можно объяснить второе правило Хунда относительно того, какое значение J отвечает наименьшей энергии в мультиплете.

Пусть имеется некоторая оболочка (枕/)% в которой занято меньше половины мест (р ——число электронов в оболочке, р < 2/ + 1). Тогда по первому правилу Хунда все спины выстраиваются парал^ лельно и s = -|-. Постоянная а в формуле (33.45) положительна (это получается из (33.43), если учесть, что 雰 <0 и заряд электрона отрицателен). Но тогда видно, что и постоянная Л в формуле (33.46) положительна и равна у . Поэтому наименьшей энергии мультиплета отвечает согласно (33.47) наименьший полный момент J, равный I Л—S |.

Если оболочка заполнена более чем наполовину, удобнее рассматривать «дырки», чем электроны. У полностью застроенной оболочки результирующий спин и орбитальный момент равны нулю, так что энергия расщепления мультиплета равна нулю (расщепления нет). Каждая «дырка» означает удаление из этого заполненного состояния одного электрона, т. е. имеет отрицательную энергию относительно нулевого уровня. Если «дырок» несколько, то их спины выстраиваются параллельно. Поэтому теперь постоянная 4 отрицательна: она относится к «дыркам». Наименьшей энергии в мультиплете отвечает наибольший полный момент J = L + S. Таким образом, второе правило Хунда нашло свое обоснование.

При Л > 0 мультиплет называется нормальным, при / V 0 — обращенным. Само мультиплетное расщепление называется тонкой структурой уровня с данными пи/.

Уровни с различными L и S отстоят друг от друга на величины порядка одного или нескольких электроновольт (см. пример с азотом). Этот порядок величины объясняется, как мы видели, электростатическим взаимодействием между электронами, не содержащим с в знаменателе. Расщепление мультиплетов имеет магнитную природу, оно соответственно меньше. Отсюда название «тонкая структура».

Сказанное относится к легким атомам: как видно из (33.44), у тяжелых атомов мультиплетное расщепление того же порядка, что и электростатическое взаимодействие между электронами. Поэтому в тяжелых атомах часто осуществляется иной тип связи, чем в легких: вместо сложения орбитальных и спиновых моментов всех электронов в результирующие Л и S складываются / и s отдельных электронов в их результирующий момент j. Затем уже происходит сложение полных моментов отдельных электронов. Этот тип называется / — /-связью.

В ядрах, как мы видели, осуществляется только /——/-связь.

Атом в о внешнем магнитном поле (эффект Зеемана). Рассматривая поведение системы зарядов, помещенных во внешнее магнитное поле, очень удобно исходить из наглядного представления о ларморовской прецессии магнитного момента вокруг поля (см. § 17). При такой прецессии сохраняется только составляющая момента, направленная вдоль поля, а обе перпендикулярные составляющие, усредненные по прецессионному движению, равны нулю.

Положение в квантовой механике аналогично, с той лишь разницей, что перпендикулярные полю проекции момента не существуют как физические величины. Таким образом, устанавливается простое соответствие между интегралами классической и квантовой механики. Такой соответственной величиной является проекция момента на магнитное поле; ее можно назвать квантовым интегралом движения.

Внешнее магнитное поле, наложенное на атом, определенным образом возмущает его состояние. Напишем оператор возмущающей энергии для того случая, когда в атоме осуществляется нормальная связь. Тогда орбитальные моменты отдельных электронов складываются в результирующий орбитальный момент £, который в свою очередь создает магнитный момент:

口。р6 =就以

Магнитные моменты спинов тоже складываются б общий спиновый момент:

К"加с

(Здесь отсутствует двойка в знаменателе в связи с магнитной аномалией спина (см. § 30).)

Результирующий магнитный момент атома равен:

N = Nop6 + Ncn =说(L + 25). (33.48)

Следовательно, магнитные моменты складываются по иному закону, чем механические, т. е. J = L + S. Магнитный момент атома с отличными от нуля L и S не пропорционален его механическому моменту.

Оператор энергии возмущения, вызванного магнитным полем, таким образом, равен:

R = — (ДЯ)=鑒(Z 十 2$ =卩盟(/+*)・ (33.49)

Здесь 卩о = ^ — магнетон Бора. Знак «+» впереди получился потому, что заряд электрона отрицательный. Напомним, что магнитная энергия в формуле (17.33) определялась именно как поправка к гамильтониану, т. е. к энергии, выраженной через импульсы. Поэтому она непосредственно и стол ковыв ается операторным образом в квантовой теории.

При дальнейших рассуждениях очень удобно пользоваться так называемой векторной моделью атома, которая делает выводы весьма наглядными. Смысл этой модели состоит в том, что величинам J, 厶 и S в формуле (33.47) сопоставляются три стороны треугольника. Каждому уровню мультиплета отвечает свой треугольник. В предельных случаях J = L + ShJ=| 厶——S | треугольник вырождается в прямую линию.

Предположим теперь, что к атому приложено внешнее постоянное и однородное магнитное поле, которое действует на магнитный момент атома согласно формуле (33.49). Возможны два предельных случая, когда векторная модель позволяет очень просто рассмотреть состояние атома, возникающее под влиянием поля.

Слабые поля. Пусть внешнее поле весьма мало по сравнению с эффективным внутренним «полем» в атоме, заставляющим весь треугольник JLS вращаться вокруг стороны J. Говоря более строго, дополнительная энергия атома от помещения в такое слабое поле будет очень невелика по сравнению с расстоянием между отдельными компонентами мультиплета (обе формулировки означают в принципе одно и то же).

В § 32 было показано, что возмущение можно считать слабым, если вызываемое им смещение уровней мало по сравнению с расстоянием между уровнями. В данном случае это относится к уровням тонкой структуры. Далее, поправка к значению уровня энергии получается путем усреднения возмущающей энергии по невозмущенному состоянию. Но мы говорили, что квантовомеханическое усреднение по состоянию представляется наглядно как усреднение

по прецессионному движению. Таков способ выражения при пользовании векторной моделью. Разумеется, модель может дать не больше, чем следует из общих положений квантовой механики.

В частности, прецессию не надо представлять себе как реальное вращение треугольника, это лишь указание на то, как правильно производить усреднение.

Состояние атома с моментом J вырождено 2/ + 1 раз в соответствии с числом возможных проекций Jz. Применим теперь общее правило для нахождения поправок к уровням энергии, вызванных возмущением. Согласно формуле (32.22) поправка к уровню вычисляется с помощью матричных элементов возмущающей энергии, взятых между отдельными невозмущенными вырожденными состояниями. В частном случае, когда имеются только матричные элементы между одинаковыми вырожденными состояниями, поправка к энергии просто равна диагональному матричному элементу Упк 九入.

В данном случае невозмущенное состояние вырождено по значению проекции момента J^， но все компоненты расщепления в слабом поле отвечают одному и тому же J (丿 三〃，丿^三入).В операторе возмущающей энергии (33.49) первое слагаемое есть само Jz (// направлено по z). Покажем, что второе слагаемое (SJ имеет только матричные элементы, диагональные по J^，если выбирать их между состояниями с одинаковыми значениями полного момента J. А так как магнитное поле по условию слабое, оно не изменяет J.

Запишем следующий оператор:

5Л^ + ^ + Л)-Л(5хЛ + SyJy + * Jz) +

/人 人人 人\人/A 人，人 、人

+ (扌2%— JzS*) /% 十g —)N*y) / у

Здесь правая часть равенства получилась путем тождественного преобразования. Произведение SXJ x + SyJy-\- SZJ Z^={SJ) вьь числяется таким же способом, как (£5) по формуле (33.47). Оно диагонально для данной компоненты мультиплета. /* + /" + /^ = =” тоже диагонально, откуда

= [丿(J+1)-L(L+1) + S(S + 1)]-

[/ A A.人 人、

—j(丿 + i)( %厶—3

где оператор у определяется следующим образом:

Ух = S2Jy — JzSy = S^Ly — LzSy = LySz — LzSy,

、у = JzS* ~— Sz Jx = L^Sx — S2 Lx = L^S* — LxS29(33.50)

Yz = L%Sy — LySx.

В упражнении 4 будет показано, что оператор у не имеет матричных элементов, диагональных по J. Следовательно, его среднее значение по невозмущенному состоянию системы, т. е. по одной

компоненте мультиплета, отвечающей определенному J, равно нулю. Таким образом, оператор Sz пропорционален ' Jz по крайней мере в нужном для нас —^приближении. Отсюда сразу получается выражение для расщепленных уровней энергии в магнитном поле:

e =卩。丨"|({1土

(33.51)(33.51)j(J + l)-L«+l)+ S(S + l) 十2，(J下1)

(33.51)

(33.51)

Выражение, стоящее в фигурных скобках, имеет специальное название — множитель Ланде.

Покажем теперь, как формула (33.51) выводится на основе векторной модели. На рисунке 40 изображен треугольник, который без магнитного поля весьма быстро вращается вокруг стороны J. Во внешнем магнитном поле И (достаточно слабом) сама сторона J, но значительно медленнее, прецессирует вокруг Н, оставаясь под постоянным углом к нему, так как Jz мы полагаем константой движения; фактически это справедливо лишь постольку, поскольку J — константа движения, как мы видели из строгого доказательства.

Благодаря быстрой прецессии треугольника вокруг J приближенно постоянной остается только проекция S на J, равная;

Здесь (SJ) в числителе находится из равенства;

"=()一 *)2 = )2+ 各一 2(抬)， откуда

抬 /(/ + 1) + S(S + 1)-L(L + 1)

Подставляя вместо S в формулу (33.49) S?, снова приходим к формуле (33.51). Таким образом, множитель Ланде находит свое наглядное истолкование.

Сильные поля. Допустим, что магнитное поле очень сильное, так что возмущающая энергия намного больше расстояния между компонентами мультиплета. На языке векторной модели это означает, что орбитальный и спиновый моменты гораздо быстрее прецессируют вокруг Н, чем относительно третьей стороны треугольника J. Но спиновый момент вследствие магнитной аномалии прецессирует вдвое быстрее, поэтому связь в треугольнике разрывается. А это значит, что в формуле (33.49) удобнее пользоваться первой формой записи ——через £ n S, а не через J и находить отдельно собственные значения Lz и Sz.

Магнитное поле разрывает связь между L и S, но остается еще настолько слабым, что не приводит к переходам между различными значениями L или S, которым отвечают, как мы видели, энергетические интервалы в несколько электронвольт. Поэтому собственные значения оператора (33.49) получаются просто, если перебрать все различные проекции Lz и S^:

E = iiq\H\(L2 + 2S2). (33.52)

Оба типа расщепления мультиплетного уровня в магнитном поле весьма различно проявляются в спектрах атомов, что будет рассмотрено в § 36.

Атом в постоянном и однородном электрическом поле (эффект Штарка). Рассмотрим теперь поведение мультиплетного уровня во внешнем электрическом поле, начав со случая слабого поля, когда смещение уровней, вызванное им, мало по сравнению с естественным расщеплением мультиплета.

Прежде всего следует иметь в виду, что проекция момента на электрическое поле определена только с точностью до знака, потому что момент — псевдовектор, а электрическое поле ——настоящий вектор. При изменении знаков всех координат на обратные составляющие момента не меняют знаки, а составляющие электрического поля меняют. Но так как выбор право- и левовинтовой координатной системы произволен, проекции момента на электрическое поле физически определены с точностью только до знака.

Если J — число целое, то имеется J + 1 проекция момента на электрическое поле (0,1, ...» J), а если J — полуцелое число, то всех проекций J + % (%, 3/2, ••♦,」)• Состояние с J = % вообще не расщепляется электрическим полем. Таким образом, расщепление в магнитном поле более полное.

В сильном электрическом поле связь между L и S нарушается. Тогда картина расщепления такова. Вектор £ целочисленный. Он имеет L + 1 проекцию на электрическое поле. Так как он сильнее связывается с этим полем, чем вектор спина, связь которого с электрическим полем такого же типа, как спина с орбитальным движением в мультиплете, расщепление уровня в сильном электрическом поле в первую очередь определяется абсолютным значением проекции 丨厶？ I на поле. При данном значении проекции Lz проекция спина относительно Lz имеет уже 2s + 1 значение, так как L и S — оба псевдовекторы. Получается L + 1 отдельных групп no 2S + 1 уровней в каждом.

Исключение составляет только группа, в которой проекция орбитального момента Lz на поле равна нулю. В ней происходит расщепление по спину на S + 1 или S + ~ уровней, смотря по тому, является ли S целочисленным или полуцелочисленным.

Величина расщепления определяется относительным смещением соседних уровней. Как было показано в § 31, смещение уровня

равно среднему значению возмущающей энергии по невозмущенному движению. Исходя из (16.28), имеем выражение для возмущающей энергии в электрическом поле в виде

уэл = —(ЙЕ).(33.53)

Легко показать, что среднее значение этой величины равно нулю. Действительно, волновая функция состояния атома с данным J всегда четная или нечетная (случай атома водорода ——см. ниже). Поэтому произведение ^^j ——обязательно четная функция координат. Но тогда среднее значение от оператора (33.53) содержит под интегралом нечетную функцию координат ——дипольный момент (ср. (25.19)), так что весь интеграл тождественно обращается в нуль.

Расщепление уровней получается только во втором приближении и поэтому квадратично относительно внешнего поля. Но, как будет показано, это относится к такому полю, которое не разрывает связи между L и S (слабые поля).

В атоме водорода энергия электрона определяется только главным квантовым числом п и не зависит от /. Поэтому состояние с Е = Еп представляется как наложение состояний с разными I от 0 до п——1. Но при / четном волновая функция четная, а при I нечетном ——нечетная. Следовательно, функция с Е = £*„ не имеет определенной четности, так что среднее значение от дипольного момента не обращается в нуль. Поэтому в атоме водорода наблю« дается расщепление линий, зависящее от электрического поля линейно.

Заметим, что в релятивистскую формулу для энергии водородного атома входят ми/. При данном / орбитальный момент / = j 土 и состояние с данными 拉 н /, как и в нерелятивистском приближении, не имеет определенной четности, что обусловливает линейный эффект расщепления.

Высоко возбужденные состояния атомов всегда более или менее напоминают состояния атома водорода, потому что ядро и атомный остаток действуют на электрон, отошедший далеко от ядра, наподобие точечного заряда. Энергия этих состояний зависит от I согласно формуле (29.51). Если возмущение, вызванное полем, сильнее, чем зависимость энергии уровня от /, то наблюдается линейный эффект расщепления.

Постоянное электрическое поле не только смещает энергетические уровни атома, но и качественно меняет все его состояние. Напишем потенциальную энергию электрона в атоме, на который наложено внешнее электрическое поле Е , направленное по оси z:

U = UQ (r) + e\E\z.(33.54)

При достаточно большом и отрицательном z потенциальная энергия вдали от атома меньше, чем в атоме, но эта область значений z отделена от области движения электрона в атоме потенциаль*

ным барьером. Всегда имеется отличная от нуля вероятность самопроизвольного, спонтанного перехода электрона через потенциальный барьер в свободное состояние. Переходы такого типа были рассмотрены в § 31 применительно к альфа-распаду.

Атом в любом состоянии, помещенный во внешнее электрическое поле, может самопроизвольно ионизоваться путем перехода электрона через потенциальный барьер подобно тому, как самопроизвольно распадается ядро, испуская альфа-частицу. Разумеется, если поле слабое, вероятность распада исчезающе мала. Барьер становится проницаемым в сильном поле, особенно при высоковозбужденных состояниях атома. Если время самопроизвольного вылета электрона в таком состоянии становится меньшим, чем время испускания кванта, то линии в спектре, соответствующие переходам из этого состояния, исчезают.

Таким образом, возмущение, слабое внутри атома (атомная единица напряженности поля | Е | = ^^ = 5,13-109 в/см, так что внешнее поле всегда мало по сравнению с атомным), тем не менее существенно влияет на состояние, так как изменяются условия в бесконечности. Но если расширение атомных уровней, обязанное конечному времени их жизни по отношению к самопроизвольной ионизации, мало по сравнению с расстоянием между уровнями, уровни по-прежнему можно рассматривать как дискретные.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти возможные состояния системы из двух rf-электронов с одинаковыми главными квантовыми числами.

Решение. Каждый электрон может находиться в десяти состояниях: Л: 2, 1/2; 5: 1, 1/2; В: 0, 1/2; Г: -1, 1/2; Д: -2, 1/2; Е: 2, -1/2; Ж: 1, —1/2; 3: 0, —1/2; И: —1, —1 /2; к: —2, —1 /2.

Состояния с положительными проекциями спина и орбитального момента таковы:

АБ: 3,1; ЛВ: 2, 1; АГ: 1,1; ДД: 0,1; 4Е: 4,0; АЖ: 3,0; 43: 2,0; /%: 1,0; /К: 0,0; БВ: 1,1; БГ: 0,1; 5Е: 3, 0; БЖ： 2, 0; БЗ: 1, 0; 5〃： 1, 0; BE: 2, 0; 8木：1, 0; ВЗ: 0, 0;厂Е: 1, 0; ГЖ： 0, 0; ДЕ: 0,0.

Отбирая состояния с максимальными проекциями моментов, получаем три результирующих состояния с нулевым спином:

IS, 1D, 1(/ или 】Sf,切号，】Gf

и два состояния со спином, равным единице:

зр, з 尸Или 3Pg 3Pg 3Pg и з尸 g з尸 g з尸 g

2>1 »04'3’2*

Показать, что в системе из четырех р-электронов с одинаковыми главными квантовыми числами состояния те же, что и в системе из двух р-электронов, иначе говоря, что два электрона имеют те же состояния, что и две «дырки».

Вычислить полную энергию электронов в атоме по методу Томаса — Ферми.

Решение. Согласно (28.25), (33.26) и (33.28) полная кинетическая энер« гия всех электронов в атоме равна:

оо

потому что граничная кинетическая энергия электронов есть eq.

Вместо еср подставим - - ■ и перейдем к безразмерной переменной х в соответствии с （33.33）. Тогда для £кии получим:

ОО

Потенциальная энергия распадается на две части: потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядром, равную:

Е пот =—Е пот =—п • 4冗г2 dr，п • 4冗г2 dr，оо

Е пот =—

Е пот =—

п • 4冗г2 dr，

п • 4冗г2 dr，

о

о

и энергию взаимодействия электронов между собой:

е/T = ^ f 军（1一屮）几，4冗川办.

Множитель 1/2 учитывает то обстоятельство, что каждый электрон следует считать один раз. Складывая обе части потенциальной энергии и переходя к безразмерной переменной, получаем:

ОО

Епот = Ет/от + Е常т = _ 2 （^）/з Z% 贤、（屮％ + р也）咅

Интегралы, входящие в выражение для энергии, легко вычислить, пользуясь уравнением （33.34）. Именно:

ОО\ 旷 d% = _ 卡（0）,ОО\ 旷 d% = _ 卡（0）,

ОО

\ 旷 d% = _ 卡（0）,

ОО

\ 旷 d% = _ 卡（0）,

потому что 屮'（8）= 0. Второй интеграл преобразуем по частям:

888

^'2— ^Ух ^/2— 5 \ М 力味""х = —5〈屮,屮％ d% =

~1°??

4 ;方^州）2応=一^%（屮）2『+ ^ j （屮，）2〃 = ~! ［伸，）2点,оо0

поскольку проинтегрированные выражения равны нулю. Далее,

\ （屮'）2点=中旷『一\ （屮'）2点=中旷『一；屮屮〃 d% = —г|/（0）—〈屮也學；屮屮〃 d% = —г|/（0）—〈屮也學

\ （屮'）2点=中旷『一

\ （屮'）2点=中旷『一

；屮屮〃 d% = —г|/（0）—〈屮也學

；屮屮〃 d% = —г|/（0）—〈屮也學

так как “（0） = 1. Следовательно,

Подставляя эти значения интегралов в Екин и Епот, замечаем, что Епот = — 2Екнн，так что полная энергия равна —疗кнн в согласии с результатом точной теории, изложенным в упражнении 1 к § 32.

Величина т|/(0) равна —1,589. Отсюда получается такая формула для полной энергии связи всех электронов атома:

Е = —0,769 雰 z7/s = —20,94Z“ 的・

Например, для урана Е= —8-105 38, или —1,6 тс2.

Зависимость вида Z卜 легко полудить и без вычислений следующим образом. Кулоновские силы медленно спадают с расстоянием. Поэтому все электроны взаимодействуют между собой попарно. Имеются Z? пар. Среднее расстояние между электронами убывает как Z—jcM. (33.33)). Это и дает Z%. Заметим, что у ядер энергия связи пропорциональна первой степени числа частиц (в широких пределах). Это указывает на короткодействующий характер ядерных сил: каждый нуклон, т. е. протон или нейтрон, взаимодействует не со всеми остальными нуклонами, а только с «ближайшими».

Найти, какие матричные элементы от оператора у, определенного формулами (33.50) по J и Jy т. е・ 丫)). ‘，」，, отличны от нуля.

Решение. Находим правила перестановки между составляющими полного момента и вектора у. Например:

人 人人 人人 /人公人 人、/ А aА а 4 Л

хУу—、yJx = Jх 亿2$% — L^SJ — \LZSX 一LXSZ)Jx ==(£%+*%)(厶理一£.S)—(££% —以&)(几十 )==

匸一iLySy + *L%Sy = iy2.

厶%-z厶=电;厶%-z厶=电;办公一沁=一屯;办公一沁=一屯;Таким же способом получаются следующие перестановки:

厶%-z厶=电;

厶%-z厶=电;

办公一沁=一屯;

办公一沁=一屯;

"必一+/* = 一咕；办色一6北=通；厶山-Qy九 = 一而*.

Одноименные составляющие векторов /и у перестановочны. Легко убедиться в том, что все эти правила перестановки тождественны с правилами перестановки составляющих орбитального момента частицы 麻 с декартовыми координатами.

Так как Jz перестановочна с 丫^, виднм, что они диагональны в одном и том же представлении, следовательно, отличны от нуля только матричные элементы (у )jс одинаковыми Jz. Далее, возьмем перестановки между Jz и компонен-

тами ?% и Вторую из них умножим на 士 t н сложим с первой, тогда получится:厶(包土»%)-(% ± 通)力=± (% ±改卩・

Обозначим 市± = (k ± i y^) и возьмем матричный элемент от перестановки Лу±-Т±^=± 布土 Так как Jz диагонально, будем иметь:

厶（Y土）%「（Y±）厶,乎厶（Y土）%「（Y±）厶,乎± "±）厶，G± "±）厶，G

厶（Y土）%「（Y±）厶,乎

厶（Y土）%「（Y±）厶,乎

± "±）厶，G

± "±）厶，G

Перенося все члены в левую часть равенства, находим:

(丿2一丿:下1) (Y土)厶,j； = °，

Отсюда видно, что матричный элемент (匕)，отличен от нуля только

при /； = Jz^ L

Приведенное вычисление показывает, как надо находить не равные нулю матричные элементы. Следует образовать перестановку между тем оператором, который считается диагональным в данном представлении, и оператором； матрич-

ные элементы которого исследуются. Тогда этот матричный элемент можно вынести за скобку. Выражение, стоящее в скобке, должно равняться нулю, для того чтобы не был равен нулю сам матричный элемент.

Иногда для этого приходится делать перестановку два раза. Этот случай мы сейчас разберем. Образуем перестановку:

[Л $/三（*+^+*）К-К（岂+）》+*）=

= （/%+ /у） Gz —3 （舅十）К） = Jxy2 — Jxy2Jx + JxyzJx —

一 ♦/ x + Jyy2 — Jy уг/ у 十 jy Q/y— У^ y — ^x （/xGz — $/x）十

十（/3一力"）/x 十/? ^ ^z-QJy）十（）№ -§Jy"» =

=—力介曾x +方宓+ М）У =

=2廿足十R -2&% 一K = 2i Q疝X -LVy）■

По аналогии запишем еще две перестановки:

U2. QJ = 2i（L% —jyQz）,口2,汨=2i （/总一厶亢）.

Теперь найдем вторую перестановку:

卩 2,，,田]=2i（/y 卩 2, k ]-&，』]） =

A A.A•人人人 人 人Л 0 Л

=4J Yn — 4JyJzYy — 4JхУх —4J2丫?・

人 При этом надо воспользоваться тем, что все составляющие J перестановочны с）2. Мы подставили сюда в правую часть выражения для первых перестановок （J2, О*], 【/2, Qy]. Используем правило перестановок составляющих момента, тогда вторая перестановка приведется к виду:

卩2,，,初=4С> —4（）/ +办）%一

/ A Л人 \人人2人人 人. /人 人人 人、А A а

—4 （厶 — iJу） у* — 4 JzYz = 4/2丫? 一 4i— JуУх） — 4jг （Jy）=

=4/2R — 2 （仆必 一 f/2）— 4厶（J £ ）・

Но （/у） тождественно равно нулю, так что

，，卩2, yJ]=2J^ + 2y/2.

Таким образом, получилось соотношение между операторами, содержащее только диагональный оператор «Л и уг:

（於）2储一 2CR/2 十巨（/2）2 一 2衿z- 2^/2 = 0.

Образуем теперь от получившегося равенства матричный элемент с индексами /,</'・ При этом вместо J2 и /,2 надо писать J （J 十 1） и Jf （Jz + 1）：

尸（J+ 1）2 ">jj，— 2J 卩十1）（Yz）jj"' "' + 1） +

+ （Yz） j〃* S + I）? — 2/（J + 1）（匕）々，一 2（Yz）〃"”T 1） =0.

Преобразуем коэффициент при （Yjjj」

丿 2“ + i）2-2j u + i）厂（/十 i）+ j，2（j，+ i）2 — 2j（j + 1）-

一2厂（Г + 1） = Г +2r +j2-2〃，（jj，+ J + /，+ ]）+ j,4 + 2r3 + /，2 —

—2J2-2J —2*-2J』（J"） [（/-「『 Q+『） + 2 （*-〃，+ </，）一

-2J/-（/+「）-2] = y 十г）（J 十г十2） （/一/一1） （J-г 十 1）.

Таким образом, приходим к равенству:

（/ +『 + 2） （/ +「）（J—J' — 1） （J — J' + l） = 0.

равен нулю, иметь место. J = /' = 0.равен нулю, иметь место. J = /' = 0.Первый сомножитель не может обращаться в нуль. Второй только если J = J' = 0. Для мультиплета это никак не может Но, кроме того, условия для （Yr ）j < исключают возможность

равен нулю, иметь место. J = /' = 0.

равен нулю, иметь место. J = /' = 0.

Следовательно, единственно не равный нулю матричный элемент （Yj/J， получается при J' = J± 1. Но такой матричный элемент относится к двум разным компонентам мультиплета, так что при усреднении по одной компоненте не дает вклада в〈邑〉.

Полученными правилами для （у^ , , мы будем пользоваться в §36.

§ 34. ДВУХАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ

Гомеополярная химическая связь. Химическая связь в конечном счете всегда обязана электростатическому взаимодействию между ядрами и электронами соединяющихся атомов, но для своего полного объяснения, не только количественного, но и качественного, требует применения квантовой механики. Боровские орбиты, с помощью которых как-то объясняли устойчивость атомов, в применении к молекулам лишены элементарной механической устойчивости, т. е. не могут связывать атомы друг с другом.

Имеются два различных типа химических соединений: такие, при которых электрический заряд частично или полностью переходит ог одного атома к другому, и такие, при которых атомы остаются строго нейтральными. Первый тип называется гетерополярным, второй ——гомеополярным.

В § 32 было сказано, что электронной оболочке атома фтора не хватает одного электрона до полностью застроенной оболочки неона. Когда фтор соединяется с водородом, электрон водородного атома присоединяется к фтору, который получает при этом отрицательный электрический заряд, и притягивает к себе ядро водородного атома — протон. Соединение таких двух атомов оказывается достаточно устойчивым и идет с выделением энергии. Для полного расчета такой системы, разумеется, нужна квантовая механика, как для всяких атомных расчетов, но по крайней мере с качественной точки зрения понятно, почему отрицательно заряженная частица присоединяет к себе заряженную положительно.

При соединении двух водородных атомов в молекулу водорода никакого переноса заряда не происходит （опыт показывает, что молекула водорода не имеет дипольного момента）. Следовательно, для объяснения природы гомеополярной химической связи простая модель двух притягивающихся разноименных зарядов по меньшей мере недостаточна. Квантовомеханическое объяснение механизма такой связи дали Гайтлер и Лондон в 1926 г.

В нулевом, исходном приближении теории Гайтлера и Лондона атомы считаются независимыми. Каждый электрон находится

около своего ядра. Обозначим ядра буквами а и 6, а электроны снабдим индексами / и 2. Взаимодействие между атомами в исходном приближении не учитывается. Волновые функции электронов соответственно будут ^а (г, и 中匕(q). Но, очевидно, что состояние системы вырождено, потому что система с такой же энергией получится, если взять электронные функции 2a(尸2) и 屮匕(厂i)・ Волновую функцию нулевого приближения для вырожденного состояния надо строить по общему правилу теории возмущений (см. (32.20)—— (32.23)) такой, чтобы диагонализовать возмущающую часть гамильтониана.

Как и всякий гамильтониан двухэлектронной системы, гамильтониан, описывающий взаимодействие между атомами, симметричен относительно перестановки обоих электронов. Следовательно, если образовать в качестве функций нулевого приближения

% =也(Л)办(Q)+ ^а (厂2)办(П)(34.1)

и

=必(П)也(厂2)-必(尸2)5(П),(34.2)

а оператор возмущающей энергии обозначить, как всегда V12, то будут отличными от нуля только такие матричные элементы:

"12)SS= \豐&2%必也，(34.3)

(匕2)力在=\ 中% &2'人 d%i dx2.(34.4)

Обе волновые функции (34.1) и (34.2) должны быть приведены в соответствие с принципом Паули. Для этого 4rs надо умножить на антисимметричную спиновую функцию, а 匕一на симметричную спиновую функцию. Тогда состояние 4rs отвечает результирующему нулевому спину, а состояние Тл ——спину, равному единице (§ 33).

Кроме того, обе функции 4rs и Тл надо еще нормировать, т. е. разделить на

№ 三(\ I 4rs !2 d& 厶2产 И N厶三(\ |Тд I2 d%i d%2)%・

В дальнейшем вместо векторного аргумента г у волновых функций можно писать скалярный, так как предполагается, что оба атома водорода находятся в основном состоянии, обладающем сферической симметрией. Соответственно в аргументы войдут четыре расстояния: 厂％, г%，厂。2 и %】，^^s ^^а надо будет записать так:

К = (Ns尸 2 (%) Р (厂金)+ 屮(％)屮(厶2)]，(34.5)

史а =(必尸伸(工)屮(%) Р (%)]・(34.6)

Здесь 2 ——одна и та же функция, т. е. функция основного состояния водородного атома. Согласно (29.33) она равна 歹匕 где 孑 —— расстояние от ядра в атомных единицах. Нормировать ее здесь не надо, так как все равно потом нормируются функции 屮％ и ¥5. 440

力2加而p\a 一击、力2加而p\a 一击、(34.7)(34.7)Напишем теперь уравнение Шредингера для водородной молекулы:

力2加

而p\a 一击、

力2加

而p\a 一击、

(34.7)

(34.7)

%Г12 Г ab)

Первые два члена описывают движение ядер молекулы. Они содержат массу протона в знаменателе и поэтому малы по сравнению с членами, описывающими движение электронов. Физически это значит, что ядра движутся гораздо медленнее электронов, так что можно находить электронную волновую функцию при фиксированном расстоянии между ядрами. При этом £ будет явно зависеть от расстояния между ядрами, которое войдет в левую часть (34.7) как параметр.

£ (гаЬ) надо рассматривать как потенциальную энергию ядер при данном расстоянии между ними. Если эта функция имеет минимум, означающий состояние устойчивого равновесия ядер при данном квантовом электронном состоянии, то атомы могут соединяться в молекулу. В дальнейшем члены, отвечающие кинетической энергии ядер, мы писать не будем: эти члены должны учитываться, когда рассматривается колебательное, вращательное или переносное движение молекулы, но само положение устойчивого равновесия, которое определяется электронным состоянием, должно

Д2力2

быть определено без учета — в— А。и — й— &•

«Возмущающая» часть гамильтониана перенесена во вторую строку уравнения (34.7), она и была обозначена как V12. Таким образом, в первом приближении поправки к энергии основного, невозмущенного состояния атомов получатся, если подставить волновые функции (34.5) и (34.6) в уравнения (34.3) и (34.4) и вычислить интегралы от известных функций. Не следует ожидать большой точности от предлагаемого способа, потому что уравнение (34.7) после отбрасывания кинетической энергии ядер не содержит малого параметра, но в первом, полукачественном приближении все же удается охватить основные особенности поставленной задачи.

Прежде всего следует ожидать, что состоянию 4fs соответствует меньшая энергия, чем состоянию Тд. Действительно, функция 4rA обращается в нуль на плоскости, проходящей перпендикулярно отрезку гаЪ на середине расстояния между ядрами, т. е. на средней плоскости. Таким образом, у функции ¥л есть узел. Функция 4fs узлов не имеет, откуда следует, что ей отвечает меньшая энергия.

Интегралы (34.3) и (34.4) разнятся в одном члене

土 А = ± NXN^i < ip (〃)屮(〜2)~— F义

J\%%1「12 Гаь)

X 屮(Га^ 寸(广储)d%i d%2,(34.8)

который подобен обменному интегралу в уравнении, выражающем энергию по методу самосогласованного поля Фока (см. (33.20)). Но в данном случае в интеграл входят известные функции, так что его можно вычислить и построить кривую Е (厂。匕).Величина А в (34.8) тоже называется обменным интегралом. Соответствующая ей кривая действительно имеет минимум при некотором значении гоаЬ) причем глубина потенциальной ямы настолько отвечает энергии связи водородной молекулы, насколько этого можно ожидать в данном приближении. При желании согласие с опытными данными можно улучшить с помощью некоторых вычислительных приемов.

Кривая с минимумом отвечает только симметричной пространственной волновой функции или антисимметричной спиновой функции. Получается, как и в атоме, эффективная энергия взаимодействия между спинами, которую можно представить с помощью оператора (су).

Основная черта химических, валентных сил ——их способность к насыщению. Третий атом водорода не присоединяется к молекуле из двух атомов. Как раз это и следует из теории Гайтлера и Лондона: спин электрона в третьем атоме обязательно параллелен спину одного из двух атомов молекулы, так что лишний атом не сможет присоединиться к ней. Схема взаимно насыщающихся спинов применима к очень большому классу соединений, особенно органических.

Но возможен и другой подход к проблеме валентности, в некоторых случаях совершенно необходимый. Начнем опять с водородной молекулы, но теперь не с разъединенных атомов, а с атомов, сближенных до того, что их ядра сливаются в одно. Очевидно, что по своему электростатическому действию на электроны такое ядро эквивалентно ядру гелия, а электроны атомов образуют весьма устойчивую оболочку, как у гелия. Если не заставлять ядра нахо- диться в одной точке, они под действием сил кулоновского отталкивания разойдутся на некоторое расстояние, а электронная оболочка растянется. При некотором расстоянии между ядрами сила, возникающая при деформации оболочки, уравновесит отталкивание ядер; при этом образуется устойчивая конфигурация молекулы. Здесь тоже ясно, что третий атом водорода присоединиться не может: его электрону нет места в гелиевой оболочке.

Рассмотрим теперь молекулу кислорода. Каждый атом кислорода имеет по четыре электрона в 2р-оболочке и спин, равный 1. Молекула кислорода, как известно из опытных данных, тоже обладает спином, равным единице. Следовательно, здесь не происходит полного насыщения спинов. Это можно объяснить, рассматривая общую оболочку двух кислородных атомов, соединившихся в молекулу. Если считать, что в ней шесть мест, как в исходных 2р-обо- лочках атомов кислорода, то при соединении лишние два электрона перейдут в другое состояние. По правилу Хунда их спины будут параллельны, что и объясняет величину спина у молекулы кислорода.

Электронные состояния двухатомных мо- леку/. Рассмотрим электронные термы двухатомной молекулы. Поле в двухатомной молекуле обладает осевой, а не сферической симметрией, как поле в атоме. Поэтому полный орбитальный момент электронов не является интегралом движения. Сохраняется только его проекция на линию, соединяющую ядра. Как проекция всякого орбитального момента, она принимает целочисленные значения А = 0, 1, 2,....

Соответственно этому термы обозначаются как S, П, А, .... Большие греческие буквы применяются для того, чтобы не смешивать молекулярные состояния с атомными, для которых приняты латинские буквы. В обозначении учитывается только абсолютная величина проекции.

Гамильтониан электронов в двухатомной молекуле симметричен относительно зеркального отражения в плоскости, проходящей через ядра. Если координату на оси, перпендикулярной этой плоскости, обозначить буквой Е, то замена Е на ——^ оставляет гамильтониан неизменным. Легко видеть, что одновременно меняется знак проекции момента на эту ось. Действительно, пусть 刀——координата, лежащая в плоскости и перпендикулярная линии, соединяющей ядра. Тогда проекция момента на ось, соединяющую ядра: М^ = Ерп——刀/Ч・ При отражении в плоскости 占 и р& меняют знаки, а т] и рл нет, так что Mg меняет знак. Для этого нужно, чтобы проекция на ось не равнялась нулю.

Следовательно, состояния с Л =^= 0, т. е. П, Д, ... , двукратно вырождены: при одной и той же энергии проекция момента на ось может иметь два знака.

Иначе обстоит дело с 2-состояниями. При зеркальном отражении в плоскости функция такого состояния может только умножиться на некоторое число С, потому что она единственная. При повторном отражении она снова умножится на то же число, т. е. уже на С2. Но в то же время она должна вернуться к первоначальному значению. Следовательно, С? = 1, С = ±1.

Иначе говоря, имеются два разных 2-состояния. В одном из них волновая функция меняет знак при отражении в плоскости, проходящей через ядра, в другом не меняет. Первое из этих состояний называется положительным и обозначается 2+, второе — от- рицательным и пишется как 2~.

Это два совершенно различных электронных состояния молекулы, энергия которых отвечает совсем разным потенциальным кривым £+ （%匕），£~ （%匕）.Кривые получаются при различных исходных состояниях атомов, соединяющихся в молекулу.

Электроны в молекуле могут обладать результирующим спином S. Если число их нечетно, то S равно по крайней мере 1/2. Если спин- орбитальное взаимодействие невелико, то спин свободно ориентируется относительно орбитального момента и создает при данном А + 1-кратное вырождение （напомним, что спин и орбитальный момент — оба псевдовекторы, так что задавая А, мы получаем

2S + 1 проекцию S). Число 2s + 1 пишется, как и у атомных термов, в левом верхнем углу при Л : 25+1Л.

Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то электронная волновая функция обладает дополнительной симметрией относительно средней плоскости, проходящей между ядрами перпендикулярно линии, соединяющей их. Отражение в этой плоскости не меняет знака М^ поэтому здесь при всех Л могут быть два состояния ——четные или нечетные, — которые в обозначении терма пишутся не так, как у атомов, а в правом нижнем углу: Ag, А〃.

У очень многих молекул основное состояние есть 丄£十,а если они построены из одинаковых атомов, то и N方.То, что S равно нулю, объясняется взаимным насыщением спинов у гомеополярных молекул. У гетерополярных молекул может образовываться полностью застроенная оболочка у одного из атомов, как мы видели на примере HF. Здесь спин тоже равен нулю. Состояние S не имеет вырождения в отличие от П, А, ..., поэтому 2 предпочтительнее для основного состояния. Наконец, четные и положительные состояния в отличие от нечетных и отрицательных не обязаны иметь узловые поверхности на плоскостях симметрии, поэтому состояния с наименьшей энергией ——это, как правило, четные и положительные.

Но есть исключение из перечисленных правил: основное состояние молекулы кислорода з^^. Приемлемое объяснение того, почему у молекулы кислорода спин равен единице, уже приводилось. Покажем теперь, как можно обосновать отрицательность терма. Если спины имеют одинаковые проекции, то пространственные состояния электронов должны быть различными. В исходных атомах это были p-состояния, которые имеют волновые функции У，* У； и『；.Но в данном случае надо выбрать У丁 и Урфункции, чтобы получить результирующую проекцию момента на ось симметрии, равную нулю при антисимметричной пространственной функции.

Так как результирующий спин равен 1, спиновая функция обоих электронов симметрична относительно их перестановки (§ 33). Поэтому орбитальная функция должна быть антисимметрична. Если строить ее из функций электронов в атомах, она будет иметь такой вид:

У；(必，5)У”(餘，^-У1(К Ф^^ГЧ^ь 91) =

=sin 屯 sin 鶴(e"s—S)— «—"s—s)). (34.9)

При отражении в плоскости, проходящей через ядра, угол <р = =arctg 寺 меняет знак вместе с 自.Следовательно, функция (34.9) тоже меняет знак благодаря сомножителю, заключенному в скобку. Это и объясняет, почему основное состояние обязано быть 2\

Разумеется, сферические функции не являются точными решениями для состояний электронов в молекуле, но такой признак волновой функции, как число или расположение узловых поверхностей относительно плоскостей симметрии, не зависит от детальной формы силового поля.

Вращение ядер. Рассмотрим теперь движение молекулы как целого, ограничиваясь синглетным состоянием (S = 0).

Исходное приближение в теории молекул состоит в том, что рассматривается движение электронов при фиксированном положении ядер. Это позволяет определить энергию электронного терма как функцию расстояния между ядрами Е (гаЬ), Для краткости будем писать просто г, а £ заменим на U, так как эта функция заменяет потенциальную энергию при движении ядер.

В следующем приближении определяются состояния движения ядер при данной функции U (г). Иначе говоря, рассматривается их состояние, усредненное по движению электронов.

Опишем движение в системе центра инерции ядер. Как известно из § 3, задача о движении двух тел приводится к задаче о движении одного тела с массой, равной приведенной массе обоих тел т\ Так как потенциальная энергия ядер зависит только от расстояния между ними, гамильтониан ядер удобно выразить в полярных координатах: 人

В этой формуле 府2 — не интеграл движения, так как ядра молекулы не образуют по-настоящему замкнутой системы ——они взаимодействуют с электронами. Какова бы ни была молекула, ее полный момент ^ — интеграл движения, как у всякой замкнутой системы. Он слагается из полного момента электронов £ и полного момента ядер М ・

Поэтому подставим вместо М2 в формулу (34.10) разность полного и электронного моментов молекулы:

府2 =(女—£)2, (34.11)

после чего усредним этот оператор по движению электронов.

Рассмотрим средние от разных слагаемых в формуле (34.11):

〈用=〈庆2〉+〈以〉—2〈欠£〉. (34.12)

К? есть точный интеграл движения, равный К (К + 1), его усреднять не нужно;〈工2〉не зависит от движения ядер. Остается третий член, зависящий от 立 и от £・ Диагональна только проекция £ на ось молекулы g, равная А.

Операторы проекций на другие оси не имеют диагональных элементов (см. (30.18)). Следовательно, отлично от нуля только среднее значение проекции на ось g, т. е. интеграл движения Л. Остается найти среднее значение〈(宜 £ )〉= (К〈£〉).

Оператор орбитального момента определяется так:

而=［氾，

где 尸一вектор относительного положения ядер, направленный по определению по оси молекулы, р — импульс относительного движения ядер. Таким образом,“

6而)=& 応］)=(［氾方I) = 0 тождественно, или

7(必一 £) = 0 и (；必)= (/£),(34.13)

так что проекция полного момента равна проекции электронного момента на ту же ось, т. е. равна Л. Максимальная проекция К на произвольную неподвижную ось в пространстве будет, таким образом, принимать значения, начиная с Л : Л, Л + 1, Л + 2,.... Меньше Л эта наибольшая проекция К на произвольную ось не может быть.

Итак, среднее значение скалярного произведения

〈(&)〉=(К〈») = (К〃)А = А2, где л - у .(34.14)

Как и〈厶2〉，оно не зависит от движения ядер.

Отсюда находим гамильтониан ядер, усредненный по движению электронов:

〈〜玉，+ U(r)+安亨+筈併土(34」5)

Здесь удобно включить член, зависящий от (L2) и Л2, в потенциальную энергию аналогично тому, как при движении в центральном поле центробежная энергия включается в Uм・

В знаменатель последнего члена обычно подставляется равновесное расстояние между ядрами, которое принято обозначать ге. Тогда тгГе представляет собой момент инерции молекулы относительно ее центра инерции. Очевидно, что у системы из двух материальных точек отличны от нуля только две, притом равные компоненты тензора инерции относительно главных осей, построенных в центре инерции. Момент инерции вокруг оси симметрии равен нулю.

Уровни энергии м о л е к у л ы. Вблизи минимума потенциальной энергии система способна совершать малые колебания. Частоту колебаний в двухатомной молекуле принято обозначать как (о。, а соответствующее колебательное квантовое число и. Энергию двухатомной молекулы можно представить в виде суммы трех слагаемых:

Е =+ кк (34.16)

Здесь Езл ——значение энергии, соответствующее минимуму по* тенциальной кривой (включая центробежный член), а второе ела- 446

гаемое — колебательная энергия (ср. (28.51)). (Дальше будет разъяснено, что формула (34.16) относится только к синглетным состояниям молекул.)

Сравним порядок величины всех трех слагаемых энергии в (34.16). Первое не зависит от массы ядер и определяется только электронным движением. Расстояние между электронными энергетическими состояниями порядка одного или нескольких электронвольт.

Частота малых колебаний во втором слагаемом содержит корень квадратный из массы колеблющихся частиц в знаменателе (ср. (7.12), где а пропорционально массе). Таким образом, колебательная энергия молекулы меньше электронной в несколько десятков или сот раз. У молекулы водорода, имеющей наименьшую приведенную массу, колебательный квант /zco^ около 0,5 эв, у других двухатомных молекул, не содержащих водорода, h^e 〜0,1—— 0,2 38.

Третий член в (34.16), обязанный вращению молекулы как целого, содержит в знаменателе массу ядер. Расстояние между уровнями энергии в этом случае соответственно еще меньше и сопоставимо с расстоянием между уровнями тонкой структуры, обусловленными магнитным взаимодействием электронов. При таких условиях энергию магнитного взаимодействия нельзя считать малой по сравнению с вращательной энергией молекулы и требуется особое рассмотрение несинглетных состояний. Но этот вопрос мы затрагивать не будем.

Рассмотрим теперь четность состояния молекулы как целого относительно инверсии координат всех ее частиц, т. е. электронов и ядер. Инверсия отвечает переходу от правовинтовой системы координат к левовинтовой. При этом волновая функция может либо оставаться без изменений, либо менять знак.

Поведение 2± при этом связано с полным моментом вращения К・ Заметим прежде всего, что инверсия совершается одновременно в неподвижной и в собственной системах отсчета. В собственной системе 2+-термы остаются без изменений, а 2'-термы меняют знак. Кроме того, вращение молекулы как целого определяется волновой функцией, четность которой зависит от четности К (см. § 29). Поэтому четность £+-терма есть (—1卢，а 2" есть (—1)^+4

Влияние спинов ядер. Вращательные состояния молекулы зависят от спинов ядер, если ядра одинаковы. Спины ядер обусловливают дополнительную симметрию гамильтониана, связанную с перестановкой ядер. В зависимости от спина каждого из одинаковых ядер их волновая функция должна либо менять знак при полной перестановке всех переменных (пространственных и спиновых), либо оставаться неизменной. Первое отвечает ядрам с полуцелым спином, подчиняющимся запрету Паули, второе — ядрам с целым или нулевым спином. При этом несущественно, что ядра — не элементарные частицы. Поскольку они движутся обособленно, применимость запрета Паули определяется только их результирующим спином.

Четность вращательной волновой функции молекулы в S-состоянии относительно отражения в средней плоскости, проходящей между ядрами, зависит только от К、・ Действительно, такая замена означает, что вместо полярного угла 9 берется л —仔,так что cos © заменяется на ——cos 仔.Функция У* есть К-тый полином Лежандра, четность которого равна (—1)к. Проекция К на ось симметрии в S-состоянии равна нулю (К$ = А), а этому состоянию и отвечает волновая функция Y* = Рк (cos 8). Итак, при четном К координатная волновая функция ядер четная, при нечетном К ——нечетная.

Четность спиновой волновой функции тождественных ядер в S-co- стоянии молекулы противоположна четности К, если спин ядер полуцелый, и совпадает с четностью К, если спин ядер целый.

Сначала рассмотрим случай, когда спин каждого ядра равен 1/2, как у водорода. Тогда действует запрет Паули. Симметричная спиновая функция отвечает спину 1 (ортоводород), антисимметричная спиновая функция — спину 0 (параводород). Но спин 1 имеет три проекции 1, 0, —1, так что молекулы ортоводорода находятся в троекратно вырожденном по спину состоянии, а молекулы параводорода — в невырожденном.

В формулах для числа состояний молекулы типа (28.25) надо молекулам ортоводорода приписывать множитель 3, а молекулам параводорода — множитель 1. Кроме того, те и другие получают множитель 2K + 1, по числу проекций момента К.

Если взять не водород, а дейтерий, положение меняется. У ядер дейтерия спин равен 1, и они не подчиняются принципу Паули. Их волновая функция симметрична относительно перестановки пространственных и спиновых переменных. Четность пространственной функции определяется четностью К, а четность спиновой функции находится так: состояния с полным спином 0 и 2 четные, а состояние с полным спином 1 нечетное (см. упражнение 1). Эти состояния тоже называются орто- и парасостояниями соответственно. Но в отличие от водорода дейтерий находится в ортосостоянии при четных К н в парасостояниях ——при нечетных 庁.

Молекулы с одинаковыми ядрами, не имеющими спина, могут быть только в четных вращательных состояниях, потому что у них вся четность волновой функции относительно перестановок целиком определяется четностью К・ Повторяем, что приведенное рассуждение относится лишь к 2-состояниям ядер.

Магнитная энергия взаимодействия спинов ядер с их вращением весьма невелика: она содержит с? и массу тяжелой частицы в знаменателе. Но благодаря требованиям симметрии волновой функции спиновое состояние ядер сильно влияет на движение молекулы.

Формула для вращательных уровней двухатомных молекул по виду зависимости энергии от К может применяться и к несферическим ядрам. Причина появления таких ядер следующая. Мы видели, что в заполнении ядерных оболочек участвуют нуклоны с большими моментами, волновая функция которых весьма далека от сферической симметрии. Если такой отдельный нуклон движется 448

в поле симметричного остова, он благодаря асимметрии собственного состояния, деформирует и остов, который вытягивается и приобретает осевую симметрию вместо сферической. Вращательные уровни ядер отвечают низким （по ядерным масштабам） энергиям возбуждения и распознаются по тому, что следуют правилу интервалов:

Ек-ЕкА=^К,（34.17）

где / — момент инерции ядра.

УПРАЖНЕНИЕ

Построить волновые функции орто- и парасостояний молекулы дейтерия в электронном состоянии ^2}.

Ответ.

Ортосостояния

Проекция спина 0:

屮（1, Si）屮（一 1, S2）+ 屮（1, sj 屮（一 1, Si）; W （0, Si）更（0, s2）.

Проекция спина 土 1:

屮（1, S［）屮（0, S2）+屮（1, sj 屮（0, s0;

屮（一1, S［）中（0, s2）+屮（一1, S2）屮（0, S3

Проекция спина 土 2:

屮（1, Si）F（l, s2）;屮（一1, sMh—l, s2）.

Парасостояния

Проекция спина 0:

, S1）屮（一1, sj—屮（1, S2）l（-l,Si）・

Проекция спина 士 1:

屮（1, %）屮（0, sj —屮（1, sj 屮（0, Si）;

屮（一1, Si）屮（0, S2）-q（-l, S2）屮（0, S］）・

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНО

Понятие эффективного поперечника рассеяния частиц, определенное с помощью терминов классической механики в § 6, непосредственно переносится в квантовую механику. Действительно, дифференциальный эффективный поперечник рассеяния в данный элемент телесного угла равен отношению числа рассеянных частиц, летящих в этом элементе угла, к плотности потока падающих частиц. Так как поток и плотность потока могут быть определены квантовомеханическим способом, эффективное сечение в квантовой теории имеет тот же смысл, что и в классической теории.

Мы рассмотрим сначала приближенный способ определения эффективного поперечника рассеяния частиц, а затем перейдем к более точным методам.

15 Компанееи А, С.449

Борновское приближение. Определим условия, при которых рассеивающее поле может рассматриваться как слабое возмущение, действующее на частицу.

Пусть энергия частицы на достаточно далеком расстоянии от рассеивателя равна £, а потенциальная энергия имеет порядок величины U. Ее можно считать, например, глубиной потенциальной ямы, представляющей рассеиватель. Начнем с такого случая, когда 七》U. Тогда изменение волнового вектора частицы в поле имеет порядок величины

Если размеры области, в которой действует поле (《ширина потенциальной ямы»), порядкам, то полное изменение фазы волновой функции в рассеивающем поле оценивается как

1/" m_Ua — Ua

r 2月九一hv 1

где v — скорость^частицы на далеком расстоянии от рассеивателя. Полученное отношение должно быть гораздо меньше единицы, чтобы считать возмущение, произведенное полем, слабым.

В обратном случае (когда | (/ |》Е) волновое число «в яме» (точнее, «над ямой», потому что Е > 0, движение частицы инфи*

нитно) равно I/ ―

Критерием малости изменения фазы является a j/"?"〃!《1 (в это соотношение вообще не входит энергия частицы). Сравнивая с результатом § 28, относящимся к яме конечной глубины, видим, что полученное условие почти совпадает с условием отсутствия в яме связанных уровней, но содержит сильное неравенство вместо простого. Яма только тогда может рассматриваться как слабое возмущение исходного движения частицы, когда произведение а/1 U I во много раз меньше той величины, при которой возможно

появление связанного уровня.

Если рассеивает не потенциальная яма, а потенциальный горб, т. е. на частицы действуют силы отталкивания, критерий слабости возмущения остается тем же, но он не имеет отношения к связанности уровней. .

Когда необходимые критерии малости возмущения выполнены, можно применить к задаче о рассеянии частиц общие методы § 32, а именно формулу (32.42). Будем считать, что рассеяние упругое, т. е. в акте рассеяния состояние рассеивателя не изменяется. Тогда энергия рассеивающейся частицы до рассеяния такая же, как после него, а меняется только направление ее импульса.

Считая возмущение слабым, можно взять волновые функции падающей и рассеянной частицы в виде плоских волн. Это соответствует приближению Борна. Пусть импульс частицы до столкнове*

ния был равен р, после столкновения —р\ причем, как только что указывалось, р = р'. Оба импульса определены в системе центра инерции сталкивающихся частиц, при этом задача двух тел приведена, как всегда, к задаче одного тела.

В выражение (32.42) входит функция g (Е‘), т. е. число состояний, приходящееся на единичный интервал энергий. Чтобы воспользоваться формулой (28.25) для g (£'), надо нормировать волновые функции свободных частиц на тот же объем 匕 который входит в g (Е')・ Из окончательного результата он, конечно, выпадет. Нормируя волновые функции на 6-функцию, т. е. на 6 (р―//), мы в конце концов получили бы то же самое, но пришлось бы изменить формулу (28.25).

Итак, волновые функции начального и конечного состояний такие:

2(。) =才屮3)=而 • (35.1)

Функция 屮(р) отвечает плотности потока 多,что непосредственно видно из (23.19):

j hJ — 2imVj hJ — 2imV(35.2)(35.2)

j h

J — 2imV

j h

J — 2imV

(35.2)

(35.2)

переходу,(35.3)переходу,(35.3)Согласно (35.1) матричный элемент, относящийся к равен:

переходу,

(35.3)

переходу,

(35.3)

1广以р-р'”

Чтобы найти вероятность перехода, надо подставить этот матричный элемент в (32.42), умножить на 万 и на число конечных состояний g (Е‘ = Е). Так как нас интересует вероятность попадания частицы в элемент телесного угла dQ, формулу (28.25) надо умножить еще на 寥.Поэтому

dg(E(35.4)

Дифференциальный эффективный поперечник рассеяния равен вероятности рассеяния частиц в единицу времени в элемент телес* ного угла, деленной на плотность потока падающих частиц, т. е・ на К =专］/"崇 Поэтому

"Р—Р')г12

比=\ 一 и ⑺ dv\ 偽 dQ・(35.5)

Входящий сюда матричный элемент относится теперь к нормировке волновых функций на единичный объем У = 1・ Вводя волновые векторы fe = £-, Л' = —, запишем:

* = ^^\Uh*『g* = ^^\Uh*『g(35.6)(35.7)(35.6)(35.7)

* = ^^\Uh*『g

* = ^^\Uh*『g

(35.6)

(35.7)

(35.6)

(35.7)

Выражение (35.5) упрощается, когда рассеивающее поле центральное, т. е. зависит только от г. Тогда в Ukfk можно выполнить интегрирование по углам, так что останется только интегрирование по радиусу. В определении полярного угла © выберем направление вектора ft——々'в качестве полярной оси. После этого матричный элемент приведется к такому виду:

оол

Uh，h = \ e"5 и (r) di/ = 2h \严drU⑺、6川在一儿力30Se仆d8.

оо

(35.8)

Ввиду того что sin仔 d© =——d cosO, интегрирование по О выпол-* няется сразу, и мы получаем:

ООUл* = 2п ^ г2 dr U (г)оООUл* = 2п ^ г2 dr U (г)о/2一时"一6一门友一№'|Г/2一时"一6一门友一№'|Г"论一勿 I r"论一勿 I r

ОО

Uл* = 2п ^ г2 dr U (г)о

ОО

Uл* = 2п ^ г2 dr U (г)о

/2一时"一6一门友一№'|Г

/2一时"一6一门友一№'|Г

"论一勿 I r

"论一勿 I r

4л|少一勿I4л|少一勿I

4л

|少一勿I

4л

|少一勿I

ОО

(35.9)(35.9)\ rU (г) sin (I 论一4'Г) dr.

(35.9)

(35.9)

Как уже указывалось, k = 6'; поэтому разность векторов легко выразить через угол отклонения частицы 6 :

I々一勿『=2九2一2 伊勿)=2依(1 一cos 6) = 4依sin2-|, (35.10)

в чем легко убедиться и из геометрического построения.

Итак,

〃，力=~^ 弋 rU (г) sin(2kr sin-^\ dr. (35.11) 力 Sin 备,、/

Для примера возьмем томас-фермиевский потенциал (33.31), тогда

U=—^W(%)・

Подставляя в (35.11), получим:

8

Uh* =——2"综,р (%) sin ^2kr sin 芍 dr・ (35.12)

也sin密0

Этот интеграл можно найти численно для разных значений безразмерного отношения

(Зл)% / 胪

откуда получится после подстановки в общую формулу (35.7) дифференциальный эффективный поперечник рассеяния быстрой за^ ряженной частицы на атоме.

Рассмотрим предельный случай малых углов рассеяния, при которых sin ~ заменяется на ^. Тогда (35.12) приведется к виду:

Uh* =—冗(洋)"• ^2 \ %屮(％)d%・(35.13)

о

Функция 屮(X) убывает при х -> оо приблизительно, как х~3, так что интеграл, входящий в (35.13), сходящийся. Это значит, что дифференциальный эффективный поперечник рассеяния на малые углы, отнесенный к единице телесного угла, т. е.爲,стремится к конечному пределу. Как видно из (35.11), в общем случае для этого необходимо, чтобы сходился интеграл

f 产U(/j〃 V8・(35.14)

о

Тогда 応 стремится к конечному пределу при сколь угодно малых углах отклонения.

Таким образом, зависимость эффективного поперечника рассеяния частиц от расстояния до рассеивателя в квантовой механике иная, чем в классической механике. В § 6 было показано, что если сила на бесконечно большом расстоянии не обращается в нуль тождественно, а не просто стремится к нулю, то каждая частица, как бы далеко от рассеивателя она ни пролетала, немного отклонится. Вследствие этого классическое выражение дифференциального эффективного поперечника рассеяния на малый угол стремится к бесконечности, если сила взаимодействия частицы с рассеивателем не обращается в нуль на некотором конечном расстоянии г0 от рассеивателя и дальше остается равной нулю.

Это различие между классической и квантовой теориями объясняется на основе принципа неопределенности. Частица, пролетевшая на расстоянии г от рассеивателя, имеет неопределенность импульса Ар 〜一^у. Если сила взаимодействия достаточно быстро убывает с расстоянием, то изменение ее импульса при большом прицельном расстоянии г может оказаться меньше, чем Др. Условие этого определяется интегралом (35.14): когда он сходится, неопределенность импульса Др, связанная с дифракцией волны, больше, чем отклонение, происходящее в результате взаимодействия

частицы с рассеивателем. Но благодаря дифракции интегралы принимают конечное значение.

Допустим, что выполнено второе из условий применимости бор- новского приближения, относящееся к медленным частицам. Тогда 左厂《1, так как при малых энергиях мало и волновое число. Заменим в выражении (35.11) sin^2fer sin у) на 2^г sin ~. Оказывается, что, если выполнено условие (35.14), угол рассеяния 9 вообще выпадает из выражения для эффективного поперечника рассеяния частиц. Рассеяние становится изотропным. В каждый элемент телесного угла попадает одно и то же число частиц.

Заметим, что условие (35.14) достаточно для того, чтобы полный эффективный поперечник рассеяния был конечным, т. е. о = =\ do V 8, но не необходимо. Даже тогда, когда дифференциальный эффективный поперечник рассеяния частиц на малые углы обращается в бесконечность, но не по очень сильному закону, полный эффективный поперечник может остаться конечным.

Рассмотрим теперь случай рассеяния частиц в чисто кулоновом поле. Тогда U = 士一y. Матричный элемент, входящий в общее выражение (35.5), был вычислен для кулонов а поля в § 26 (см. (26.37)), но мы найдем его непосредственно из (35.9), определяя \ sin%d% как о 8

lim \ е-а* sinxd% = lim =1・

Тогда

\ sinaxdx= ~, о

и, наконец,

ОО

=sin(2kr sin |Vr = ±. (35.15)

Подставляя это соотношение в (35.7), находим окончательное выражение для дифференциального эффективного поперечника рассеяния:

do= 一孕叫(35.16)

4m2 у4 sin 4 丁

где использовано то, что р = hk = mv. Этот результат любопытным образом совпадает с точной классической формулой Резерфорда (6.21).

Оказывается, что формула (35.16) получается и при точном решении волнового уравнения для случая кулонова поля в задаче

о рассеянии. Таким образом, формула Резерфорда переносится в квантовую механику без изменений.

Борновское приближение в теории рассеяния кулоновым полем можно рассматривать как первый неисчезающий член разложения точной формулы по степеням Ze?. Но так как сама точная формула не содержит степени выше (Z^2)2, результат борновского приближения и совпал с точным.

Оценим теперь пределы применимости рассматриваемого метода к кулонову полю. Для этого воспользуемся первым критерием, относящимся к движению частиц с большими скоростями. Ввиду того что произведение Ua в этом случае равно Ze?, приходим к следую* щему условию:

(35/7)

Величина 应 равна 1/]37. Поэтому запишем (35.17) так；

爲^《1.(35.18)

У тяжелых элементов, имеющих Z 〜90, условие (35.18) вообще не выполняется. На самом же деле формула Резерфорда применима к нерелятивистским частицам и в этом случае, потому что эта фор- мула точная.

Формула (35.16) справедлива для рассеяния релятивистских частиц на малые углы, если заменить в ней m на “ 芦::竺=；-. Усло- вие (35.18) при этом не является необходимым, потому что малые углы рассеяния отвечают большим прицельным расстояниям, на которых кулоново поле представляет собой малое возмущение.

Общая теория рассеяния частиц в центральном поле. Рассмотрим теперь задачу о рассеянии частиц в точной постановке. При этом надо решить уравнение Шредингера для движения частицы в центральном поле. Но в отличие от § 29, где определялись собственные функции оператора энергии, здесь надо искать решения, отвечающие совсем иным граничным условиям. А именно: волновая функция в бесконечности должна состоять из функции, соответствующей падающей плоской волне, которая описывает налетающие частицы, и функции, отвечающей сферической расходящейся волне, описывающей рассеянные частицы. Та и другая функции комплексны, так что надо применять методы разложения, несколько отличные от общих методов разложения волновых функций по собственным функциям операторов (§ 25).

Всякая волновая функция частицы в центральном поле удовлетворяет уравнению Шредингера:

一爲必十^十。⑺①=Ё①。 (35・19)

Здесь Ф означает волновую функцию, деленную на г (ср. (29.14)), энергия Е положительна, так как движение инфинитно.

Решение Ф представим в виде разложения по собственным функциям квадрата момента. В качестве полярной оси выберем направление импульса падающих частиц. Воспользуемся также тем, что рассеяние симметрично по азимуту. Если частицы не имеют спина или их спиновое состояние является смесью состояний с противоположно направленными спинами в равном отношении (см. § 27), то всегда есть азимутальная симметрия рассеяния, кроме того, такая симметрия будет всегда, если не играет роли спин-орбиталь* ная связь.

Собственные функции момента с азимутальной симметрией суть Y? = Р/ (cos 6) (см. § 29). Поэтому общее решение уравнения (35.19) нужного для нас вида есть

｝』а (Г) л (cos е),｝』а (Г) л (cos е),(35.20)(35.20)

｝』а (Г) л (cos е),

｝』а (Г) л (cos е),

(35.20)

(35.20)

где % (г) удовлетворяет уравнению:

九2 d2a2加公2九2 d2a2加公2(35.21)(35.21)

九2 d2a

2加公2

九2 d2a

2加公2

(35.21)

(35.21)

На больших расстояниях от рассеивателя центробежная и потенциальная энергии стремятся к нулю, так что асимптотическая форма (35.21) такая:

一農罢=ER厂 (35・22)

Общее решение этого уравнения равно:

R = 4sin (説 + 说一 ~у (35.23)

Здесь А = ^—・ Так как решение (35.23) асимптотическое, оно не обязано обращаться в нуль при г = 0. Слагаемое — у вводится для того, чтобы это решение переходило в точное, когда частица движется свободно, т. е. при (/ = 0 (как это происходит, будет показано ниже в этом параграфе). Величина & показывает, на сколько фаза частицы, движущейся в поле рассеивателя, отли* чается от фазы свободной частицы.

Чтобы вычислить 6Z в явном виде, надо найти решение точного уравнения (35.21), которое в начале координат обращается в нуль, как /+1 (см. (29. 45)), и продолжить его до области, где становится справедливым асимптотическое решение (35.23). Будем считать 6丄 известной величиной, но сначала выясним условие ее существования.

На больших расстояниях от рассеивателя потенциальная и центробежная энергии близки к нулю, а частица почти свободна» 456

При этом ее движение квазиклассично. Но в таком приближении решение (35.21) выглядит следующим образом:

r …心 j u 2宀и(Г)-*)+

(广о — точка поворота, где подкоренное выражение равно нулю (ср. (31.40)), тогда как у свободной частицы, т. е. при U (г) = 0, решение есть

Sin 口 j dr ]/碎厘宴^ +斗

Отсюда ясно, что в квази^ассическом приближении разность фаз волновых функций свободной и связанной частиц равна:

&〜&〜(35.24)(35.24)

&〜

&〜

(35.24)

(35.24)

Если она стремится к постоянному значению, когда г -> оо, то фаза существует не только в квазиклассическом приближении, а всегда, потому что определяющей является область больших г. Разлагая подынтегральное выражение в (35.24) в ряд по U (г), видим, что М конечна, если сходится интеграл —

(35.25)(35.25)drV^i и (г)

(35.25)

(35.25)

2加广2

что в свою больших г.что в свою больших г.очередь зависит от сходимости интеграла \ dr U (г) при Если зависимость U (г) степенная, то для сходимости

что в свою больших г.

что в свою больших г.

интеграла \ U (г) dr достаточно, чтобы показатель степени в фор* г0

муле U (厂)=^ был больше единицы. Таким образом, конечных

фаз не существует для кулонова поля, но для него, как было пока* зано, возможно точное решение задачи о рассеянии.

Допуская существование М, найдем коэффициенты при асимптотических волновых функциях Ah Заметим, что решение (35.23) содержит в себе и падающую, и рассеянную волны: это общее решение. Нетрудно определить асимптотический вид падающей волны: достаточно далеко от рассеивателя она плоская. Так как мы приняли, что частицы падают вдоль полярной оси, их волновую функцию для больших расстояний, от рассеивателя надо записать как

eikz. Такая функция нормирована на единицу в единичном объеме (ср. (35.1)), поэтому плотность потока падающих частиц изображается в данном случае просто как и.

Разность р——/” есть, таким образом, асимптотическое выражение рассеянной волны, если вместо гр подставлено его значение для больших расстояний от рассеивателя. Но на бесконечном расстоянии рассеянная волна не должна содержать частиц, движущихся по направлению к рассеивателю. Иначе говоря, функция гр——elkz должна содержать на бесконечности только расходящиеся волны eikr

типа —. (Заметим, что вместе с временной зависимостью волна

1—г\- tkr

включает зависимость у е 用 ,показывающую, что движение идет в сторону возрастающих г.)

Функция (35.23) содержит и сходящуюся, и расходящуюся волны. Если разложить。/° по полиномам Лежандра, то коэффициенты разложения, зависящие от г, тоже будут отвечать обеим волнам. Надо так подобрать постоянные коэффициенты Ah чтобы разность р——elkz содержала только расходящуюся волну.

Разложим elkz = eikr c°s* по полиномам Лежандра, считая г весьма большим,——нас интересует только асимптотический вид функций от г. Пусть

оо

濟尸 cos 9 = £ R；,⑺ p, (cos 6).(35.26)

Г =0

Умножим обе части (35.26) на Р (cos 6) и проинтегрируем по sin 0 d9 . Справа получится согласно (29.10):

2 R；，§ Р (COS е) Р〃(cos 6) sin 8 成=工弋，脩阮，=・ 〃 о〃

(35.27)

Слева проинтегрируем один раз по частям:

打1

一)协г cos 8 р (cos 0) d COS 6 = , «决疋 Р (Ю 龙=

О—1

Проинтегрированное выражение имеет в знаменателе г, следующий член, если проинтегрировать его еще один раз, дает в знаменателе 产 и т. д., до /-той производной от полинома Р/ (J), которая равна постоянному числу. Но надо удержать только член, пропорциональный у, существенный для асимптотического решения. Подставим в него пределы и воспользуемся тем, что В (1) = 1, В(——1)= =(—1)" (см, упражнение 1 к § 29).

Сравнивая интегралы от левой и правой частей равенства (35.26), умноженного на 2 (cos 0), получим:

=樹『”4 (jGT') _e-卜―号))，(35.28)

где мы заменили (—l)z на 紋市—е 2 -е 万・ Представим теперь (35.23) как

R説+6厂苧)-(…-嗡).(35.29)

Разность Ri—R； не должна содержать сходящейся волны, следовательно,

4 =然"吃(35.30)

Подставляя это значение Л； в (35.29) и образуя разность &—

——R；, находим расходящуюся волну с моментом /:

^-^/^^^ ^1-^^(35.31)

Если бы слагаемое фазы ——^не было введено в (35.23), оно возникло бы в показателе экспоненты.

Окончательно рассеянная волна представляется в такой форме: 炉=?/(*(35.32)

где

/(°)= £2 ⑵ + 1)0叫 一 1)pt (cos 6).(35.33)

Найдем выражение для дифференциального эффективного поперечника рассеяния.

Радиальная составляющая потока частиц через бесконечно удаленную сферу в единице телесного угла есть (ср. (35.2))

為絮一2'警)产dQ = o|f(8)|2dQ.

Деля это соотношение на поток падающих частиц, равный о, приводим выражение для дифференциального эффективного по* перечника рассеяния к виду:

而=| j(8)|2dQ・(35.34)

Формулы (35.33) и (35.34) основные в теории рассеяния.

Если все фазы М малы по сравнению с единицей, выражение для эффективного сечения переходит в формулу Борна, чего мы, однако,

проверять не будем. Заметим только следующее. Сходимость ряда (35.33) или других построенных из него рядов требует, чтобы lim 6/ = 0. Следовательно, при больших / верны те оценки, которые были сделаны на основе борновского приближения.

Пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра, найдем теперь полное сечение рассеяния:

0=- 而='|〃力2公=击\ dQ 2 ⑵+1)(。叫Т)Х / —О

2оо

X в (cos 6)=击 2⑵ + 1) ” + 1)(朋—I) x

Z=3 〃 =0

X(0-2©, 一 D \b(cos 9) R，(cos 0) dQ =

2 ⑵ +1) ” +1)(产2 — 1)— 1) X

Z =0» 〃 =0

8

X^S/z< =患工(2/+1)，々一屮.(35.35)

z —о

Таким образом, полное сечение рассеяния разбилось на сумму частичных (парциальных) сечений, из которых каждое отвечает рассеянию частиц с определенным моментом («плечом», или прицельным расстоянием в классическом соответствии):

8

0 = 2s，

I = о где

=畜(2/ + 1) [2 — ”勿 _ g—2因=

=當(2/ + 1) 2 (1 — cos 2g =餐(2/ + 1) sin2 3/・(35.36)

Максимальное сечение рассеяния частицы с данным моментом I есть, таким образом,

а)тах = ^(2/+1)・(35.37)

Соотношение между моментом и прицельным расстоянием («плечом») удобно написать в квазиклассическом приближении, когда, как указывалось в § 33 (ср. (33.38)), вместо ]/7 (/ + 1) надо брать I + ^ для абсолютной величины момента. Тогда

/+^ =加，(35.38)

где р — прицельное расстояние.

Таким образом, парциальное сечение (35.36) отвечает кольцу на прицельной плоскости, как на мишени в тире. Но есть и различие, связанное с волнозым характером движения в квантовой механике. В классической теории рассеяния (§ 6) дифференциальный эффек^ тивный поперечник рассеяния есть

rfaKJI = 2лр dp.

Согласно (35.38) 1 на единицу, есть у.Согласно (35.38) 1 на единицу, есть у.р =—^—, a dp, отвечающее возрастанию I

Согласно (35.38) 1 на единицу, есть у.

Согласно (35.38) 1 на единицу, есть у.

Поэтому классическое выражение 血长口 было бы

而пТ⑵+1),

т, е. в четыре раза меньше максимального квантового сечения.

Результат, сходный с квантовым, получается в волновой оптике при разложении фронта плоской волны на отдельные кольцевые зоны Френеля. Когда все зоны, кроме одной, закрыты экраном, амплитуда волны, прошедшей сквозь кольцевое отверстие, вдвое больше, чем через равную площадь незагороженной волновой поверхности. Но, имея строгий результат (35.37), не стоит дальше развивать аналогию с приближенным построением зон.

Функция / (6) называется амплитудой рассеяния. Ее слагаемое, отвечающее моменту /, есть парциальная, или частичная, амплитуда рассеяния //(8). Через нее выражается парциальное сечение oz.

Представляет интерес рассмотреть поведение амплитуды рассеяния // (6), когда угол рассеяния 0 стремится к нулю. Помня, что Pi (1) = 1, находим:

力(°)=费⑵+1)(”"-1)，(35.39)

Найдем мнимую часть этого выражения:

Jm〃(0)=—表(2/ — 1) (cos 2M — 1) = ^1 sin2 &• (35.40)

Сравнивая c (35.36), получаем связь между амплитудой рассеяния на нулевой угол и парциальным сечением рассеяния:

Jm 力(0) = ^s・(35.41)

Так как в коэффициент пропорциональности не входит /, таково же соотношение между полной амплитудой рассеяния на нулевой угол и полным сечением:

Jm〃0) = M(35.4Г)

Разложение полного сечения на парциальные особенно полезно тогда, когда существенна одна или несколько парциальных амплитуд.

Например, в случае короткодействующих сил рассеиваются в основном частицы в s-состоянии, т. е. с моментом, равным нулю. Волновая функция всех остальных состояний обращается в нуль в области действия сил. Но если отлична от нуля только одна фаза (Зо*。, 3/丁0 = 0), не равна нулю лишь амплитуда s-рассеяния, которая стоит в разложении при нулевом полиноме Лежандра Ро = 1. Следовательно, при короткодействующих силах рассеяние сферически симметрично. Об этом уже было сказано в § 6. Но в классической теории всегда остается острый максимум дифференциального эффективного сечения рассеяния частиц в направлении падающего пучка. В квантовой теории сечение s-рассеяния строго изотропно.

УПРАЖНЕНИЯ

Получить эффективное сечение рассеяния быстрых частиц водородными атомами, находящимися в основном состоянии, принимая, что состояния атомов не изменяются.

Решение. Волновая функция водородного атома с n = 1, I == 0 есть 屮 o = B「*

откуда из условия нормировки

6

определяется коэффициент В:

Потенциальная энергия взаимодействия летящей частицы с атомом равна: 上 (^) dVf

Первый член интеграла Ukk, был найден в тексте. Он равен

ле2

«2 sin2 彳

/Si，）（_b）/Si，）（_b）dV.dV.Второй член находим следующим способом:

/Si，）（_b）

/Si，）（_b）

dV.

dV.

ё2 、 /"")5、^^^=可屮3 (次№ 一论"加

Вычисляя последний интеграл, надо считать начало координат находящимся в точке г', тогда он сведется к тому же виду, как и предыдущий;

Следовательно,

^kkf

Величина, стоящая в скобках, называется экранирующим множителем. Вычисляя ее таким же способом, как (35.8), получим:

爲「甯(Q sin(2廿 Sin|)^.

0

Интеграл приводится к такой форме:

\ xe~bx sin ах dx =—京 \ e~bx sin ax dx = оо\ xe~bx sin ах dx =—京 \ e~bx sin ax dx = ооd ad a2ab2ab灰02十接一（@2 +旅）2 ，灰02十接一（@2 +旅）2 ，

\ xe~bx sin ах dx =—京 \ e~bx sin ax dx = оо

\ xe~bx sin ах dx =—京 \ e~bx sin ax dx = оо

d a

d a

2ab

2ab

灰02十接一（@2 +旅）2 ，

灰02十接一（@2 +旅）2 ，

Здесь a = 2Л sin -у, Ь =так что экранирующий множитель равен

sin2sin21 -[ 1+1 -[ 1+ii

sin2

sin2

1 -[ 1+

1 -[ 1+

i

i

В последней формуле предположено, что рассеивающаяся частица — электрон, т. е. имеет ту же массу и заряд. Тогда, строго говоря, следовало бы построить функцию, антисимметричную с функцией атомного электрона, чего мы не сделали. Окончательная формула для поперечника упругого рассеяния отличается от (35.16) квадратом экранирующего множителя. Заметим, что этот множитель получен правильно только в борновском приближении в отличие от формулы Резерфорда, которая точна.

При 0=0 эффективный поперечник оказывается конечным, потому что 6 = 0 отвечает большим прицельным расстояниям, когда заряд ядра экранируется зарядом электрона.

Вычислить эффективный поперечник рассеяния частицы непроницаемой сферой радиуса а, который гораздо меньше, чем 元三尢=万,так что существенно только s-рассеяние.

Решение. На поверхности непроницаемой сферы волновая функция обра-

щается в нуль согласно ние (35.23) имеет вид:Отсюда 5° = — kaf ащается в нуль согласно ние (35.23) имеет вид:Отсюда 5° = — kaf а。=鲁 sin2 ka.。=鲁 sin2 ka.граничному условию (28.1). Следовательно, peine- Rq — A0 sin 々(г —a).

щается в нуль согласно ние (35.23) имеет вид:

Отсюда 5° = — kaf а

щается в нуль согласно ние (35.23) имеет вид:

Отсюда 5° = — kaf а

。=鲁 sin2 ka.

。=鲁 sin2 ka.

Но по условию 々a《1, так что sin ka q ka.

Окончательно о = 4лш2, т. е. эффективный радиус рассеяния вдвое протяженнее радиуса сферы. Сечение в квантовой теории в 4 раза больше, чем в классической (см. упражнение 1 к § 6).

Найти эффективный поперечник рассеяния частиц потенциальной ямой, глубина которой близка к UCl определенной формулой (28.44). При U = Uc в яме появляется первый связанный уровень энергии. Предполагается, что энергия налетающей частицы гораздо меньше разности | Uс ——4 1 и радиус ямы гораздо меньше длины волны налетающей частицы, деленной на 2n. Выразить сечение через энергию связанного уровня.

Решение. Сместим кривую потенциальной энергии (§ 28, рис. 31) по ординате таким образом, чтобы при г > а было U = 6, т. е. калибруем U (г) на нуль на бесконечном расстоянии от начала координат. Условие сопряжения волновых функций при / = а имеет вид:

h cos 伍a + 3°) — х cos 乂a

sin 伍a 十 б。) ~ 飞in ка »

где也=扌 W 2加e, k = 4"$2加(£十1u万 •

Пренебрегая ha, получим выражение эффективного сечения: 4冗•4冗4n

Далее, пользуясь обозначениями, введенными в § 28, находим приближенное выражение х:

，。卡(1+>僉尸卡 № 齡+僉).

По условию и。一 Uc》Е, так что

ОтсюдаОтсюдаха q 万(1 + 0),к ctg ха Qха q 万(1 + 0),к ctg ха Qл 冗0л 冗0一%.4=一丽"一%.4=一丽"乂 2寸炉乂a=屈乂 2寸炉乂a=屈(% -%)2(% -%)2缥j缥j

Отсюда

Отсюда

ха q 万(1 + 0),к ctg ха Q

ха q 万(1 + 0),к ctg ха Q

л 冗0

л 冗0

一%.4=一丽"

一%.4=一丽"

乂 2寸炉乂a=屈

乂 2寸炉乂a=屈

(% -%)2

(% -%)2

缥j

缥j

Окончательно получаем эффективное сечение в таком виде:

Заметим, что при выводе этой формулы нигде не было использовано то обстоятельство, что I 仇 I < I % 丨・ Зта формула справедлива и при I 4 I > | & I, когда никакого уровня в яме нет, но он появился бы при незначительном углублении ямы. В таком случае говорят о «виртуальном уровне».

Подобный случай виртуального уровня имеет место при рассеянии нейтронов на протонах с антипараллельными спинами, что устанавливается путем сравнения эффективных сечений рассеяния нейтронов на орто- и параводороде.

Выразить эффективное сечение через амплитуду рассеяния одинаковых частиц друг на друге. Рассмотреть случай бесспиновых частиц и частиц со спином 1/2.

Решение. Будем рассматривать движение в системе центра инерции частиц. В случае нулевого спина волновая функция должна быть симметрична относительно перестановки частиц, отвечающей замене 0 на — 0. Отсюда

d(j = |f ⑼+/=(— 0)产 dQ・

Нормировочный множитель —^ здесь не нужен, так как частиц две и при регистрации они неотличимы.

В случае спина 1/2 имеются три ортосостояния и одно парасостояние. Отсюда вероятность столкновения в ортосостоянии равна 3/4, в парасостоянии — 1/4, а эффективное сечение равно: .

如={4 l f 8)Т (- б К+R ⑼ + 〃一 6)%Q =如={4 l f 8)Т (- б К+R ⑼ + 〃一 6)%Q =

如={4 l f 8)Т (- б К+R ⑼ + 〃一 6)%Q =

如={4 l f 8)Т (- б К+R ⑼ + 〃一 6)%Q =

В обоих случаях появляется «интерференционный» член //*, которого нет в аналогичной классической задаче (ср. (6.22)).

В предельном переходе к классической механике интерференционный член не стремится к нулю, потому что сохраняет конечное значение амплитуда рассеяния / — через нее выражается о. Так как в пределе стремится к нулю длина волны X,疗* становится весьма быстро осциллирующей функцией, среднее от которой по сколь угодно малому интервалу углов стремится к нулю. Примерно так же происходит предельный переход от волновой оптики к геометрической на границе тени.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Электромагнитное поле в вакууме может рассматриваться как механическая система (это было показано в § 15). Оно имеет функцию Лагранжа, действие и т. п. Поэтому законно поставить проблему квантования этой системы, т. е. применения к ней квантовой механики.

Основное отличие электродинамики от механики точечных масс состоит в том, что степени свободы электромагнитного поля распределены непрерывно: чтобы задать поле в данный момент времени, надо определить его значение в каждой точке пространства. В этом смысле электродинамика похожа на механику жидкости или упругого тела, если рассматривать их как сплошные среды, отвлекаясь от атомного строения вещества. Координаты точек пространства как бы нумеруют степени свободы поля, а значения амплитуд потенциала задают обобщенные координаты.

Определенные таким образом координаты электромагнитного поля не являются взаимно независимыми. Действительно, уравнения электромагнитного поля содержат производные по координатам, т. е. разности значений поля в бесконечно близких точках. В этом смысле уравнения поля напоминают уравнения для связанных колебаний: они линейны, но содержат каждое не одну, а несколько обобщенных координат, взятых для бесконечно близких точек пространства. Уравнения связанных колебаний приводятся к нормальным координатам, которые взаимно независимы (§ 7). То же самое можно сделать и с уравнениями электродинамики и тем самым разделить в них зависимые переменные. Это весьма упрощает применение квантовой механики к излучению.

Здесь наглядно сказывается общность методов аналитической механики: они позволяют таким образом определить обобщенные координаты и импульсы, чтобы можно было затем однозначно применять квантовые законы.

Электромагнитное поле в замкнутом объеме. Прежде всего необходимо представить электромагнитное поле как некоторую замкнутую систему, так как наиболее удобно применять квантовую механику именно к таким системам. Можно предположить, например, что электромагнитное поле заключено в ящик с зеркально отражающими стенками. На стенках такого воображаемого ящика (汇=0 или х = alf у = 0 или у = а2, z = Q или г = =。3) нормальные составляющие вектора Пойнтинга обращаются в нуль.

Заполним все пространство такими ящиками и допустим, что в соответственной точке каждого ящика поле имеет одно и то же значение. Такое поле периодично по всем трем направлениям в про” странстве:

Л (х,，，2)= 4(汇 + 01, у, г) = Д (х, у + а2, г) = Д (х, у, z + a).

(36.1)

Но если убрать зеркальные стенки, поле все равно останется периодичным, так как каждое его значение перемещается в каждой точке пространства с одной и той же фундаментальной скоростью с. Поэтому достаточно наложить на поле только условия периодичности (36.1), а от стенок вообще отказаться. Это заметно упростит вычисления, а окончательные результаты не могут зависеть от того или иного вспомогательного приема.

Решение уравнений, описывающих электромагнитное поле в пустоте, найдено в § 18. Так как на поле наложено условие периодичности, его можно разложить в ряд Фурье по всем трем измерениям, т. е. представить через отдельные гармонические составляющие. Эти составляющие должны быть действительными величинами. Выражая в них явным образом только зависимость от координат, напишем по аналогии с (18.25)

А 3, г) = Akeikr + 成е-访г(36.2)

для одной гармонической составляющей. Из этой записи видна ве- щественность векторного потенциала Д.

Так как рассматривается поле в пустоте (при отсутствии зарядов), скалярный потенциал можно положить равным нулю, а условие Лоренца (12.42) для векторного потенциала сведется к виду: div А = =0, т. е. (см. (11.27)):

div А 伊，г) = div (Akeikr) + div (力窮一竺=(Ak\eikr)十+ (4丽6-*Г)=力但4力)然丽一2(也U) e-/Г= 0.

Чтобы это равенство выполнялось при всех г, должен быть равен нулю коэффициент при каждой экспоненте. Иначе говоря, векторы Ak и Ai перпендикулярны волновому вектору й:

但4总)=0,但4力=0.(36.3)