Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ
В ФИЗИКУ
Допущено Министерствомвысшего и среднего образования СССРв качестве учебного пособия
^ля студентов высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА*ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВ А 1 973
530.1
К 45
УДК 530 (075.8)
Введение в физику. А. И. Китайгородский. Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
Книга представляет собой учебное пособие по физике для студентов высших технических учебных заведений и состоит из трех частей: 1) механическое и тепловое движение, 2) электромагнитное поле, 3) строение и свойства вещества. Таким образом, оптика и электродинамика излагаются с единой точки зрения, а все проблемы строения атомов, молекул и твердых тел даются последовательно на основе знаний, полученных в первых двух частях книги. Пособие отличается также относительно небольшим объемом, оригинальностью и современностью изложения. Второе издание переработано в связи с необходимостью отразить в книге развитие физики за последние годы.
Табл. 14, рис. 330,
© Издательство «Наука», 1973 г., с изменениями.
Александр Исаакович Китайгородский
Введение в физику
М., 1973 г., 688 стр. с илл.
Редактор Л. Л. Русаков
Техн, редактор К. Ф. БрудноКорректор Л. С. Сомова
Сдано в набор 16/1 1973 г. Подписано к печати 7/V 1973 г. Бумага 60х90х/и.
Физ. печ. л. 43. Условн. печ. л. 43. Уч.-изд. л. 45,51. Тираж 68 000 экз.
Т-05771. Цена книги 1 р. 41 к. Заказ № 58
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, М-54, Валовая, 28
0231—1762_
^ 042(02)-73
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию Ю
ЧАСТЬ I
МЕХАНИЧЕСКОЕ И ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Глава 1. Основной закон механики 11
Кинематика 11
Силы 17
Основной закон механики 19
Приложение основного закона механики к ускоренному при* молинейному движению 22
Приложение основного закона механики к движению по окружности 25
Влияние вращения Земли на механические явления 30
Какие данные необходимы для решения механической задачи? 33
Коэффициенты пропорциональности в формулах физики и размерности физических величин . 36
Глава 2. Механическая энергия 38
Работа 38
Кинетическая энергия 40
Потенциальная энергия 41
Закон сохранения механическойэнергии 46
Потенциальные кривые.Равновесие 47
Глава 3. Импульс 50
Сохранение импульса 50
Центр инерции 51
Соударения 53
Явления отдачи 59
Глава 4. Вращение твердого тела 62
Кинетическая энергия вращения 62
Момент инерции 64
Работа вращения и основное уравнение вращения 66
Момент импульса 68
Свободные оси вращения 71
Гироскопы 73
Глава 5. Колебания 74
Малые отклонения от равновесия 74
Частные случаи колебаний 76
Превращения энергии. Затухающие колебания 78
Вынужденные колебания 81
Автоколебания 86
Сложение колебаний одного направления 88
Спектр колебания 91
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний93
Глава 6. Бегущие волны 95
Распространение деформации 95
Возникновение волнового движения 98
Волны давления и скоростиколебания 100
Поток энергии 102
Затухание упругих волн 104
Интерференция волн 106
Принцип Гюйгенса — Френеля. Отражение и преломление волн 108
Коэффициент отражения ПО
Явление Доплера 112
Глава 7. Стоячие волны 114
Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны 114
Собственные колебания стержней 116
Собственные колебания двумерных и трехмерных систем . . .118
Вынужденные колебания стержнейи пластинок 120
Колебания пьезоэлектриков 122
Глава 8. Вопросы акустики 123
Объективная и субъективная характеристики звука 123
Сила и громкость звука 125
Архитектурная акустика 127
Атмосферная акустика 128
Действие ультразвука 130
Глава 9. Температура и теплота 131
Тепловое равновесие 131
Внутренняя энергия' 133
Первое начало термодинамики 134
Энергия микроскопических систем 136
Уравнение состояния 137
Уравнение газового состояния 139
Уравнения состояния реальных газов 141
Глава 10. Термодинамические процессы 142
Графическое изображение процессов 142
Работа. Циклы 144
Процессы изменения состояния газов 145
§61. Процесс Джоуля — Томсона 153
Глава 11. Энтропия 154
§ 62. Принцип существования энтропии 154
§ 63. Принцип возрастания энтропии 157
§64. Принцип действия тепловой машины 159
§65. Цикл Карно. Максимальный к. п. д 161
§66. Второе начало термодинамики 163
Глава 12. Кинетическая теория газов 164
Основные представления 164
Длина свободного пробега 167
Давление газа. Средняя квадратичная скорость молекул . . . .168
Внутренняя энергия газа 171
Статистическое распределение 173
Закон Больцмана 174
Распределение частиц по высоте в поле тяжести 176
Распределение молекул по скоростям 178
Измерение скоростей молекул газа 180
Вероятность состояния 181
Необратимые процессы с молекулярной точки зрения 183
Флуктуации. Границы применения второго начала 185
Глава 13. Процессы перехода к равновесию 187
Диффузия 187
Теплопроводность и вязкость 189
Быстрота выравнивания 190
Стационарные процессы 193
Движение в вязкой среде 194
Коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности для газов 196
Ультраразреженные газы 198
ЧАСТЬ II
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Глава 14. Электрическое поле 200
Векторные характеристики электрического поля: напряженность и смещение 200
Диэлектрическая проницаемость 202
Законы электрического поля 204
Вычисление полей простейших систем 206
Электрическая энергия 216
Радиус электрона и границы классической электродинамики 219
Электрические силы 220
Дипольный момент системы зарядов 223
Поляризация изотропного диэлектрика 226
Поляризация кристаллических веществ 229
Ограниченные диэлектрические тела в электрическом поле . .230
Глава 15. Магнитное поле 234
Магнитный момент 234
Сила Ампера 237
Сила, действующая на движущийся заряд 239
Магнитное поле, создаваемое постоянными магнитами ...240
Напряженность магнитного поля 242
Взаимодействия токов и магнитов 244
Эквивалентность токов и магнитов 246
Вихревой характер магнитного поля 248
Закон электромагнитной индукции и сила Лоренца . ...252
Измерение магнитного поля методом индукционного толчка.253
Ограниченные тела в магнитном поле 256
Связь между магнитной проницаемостью и восприимчивостью.259
Искажение магнитного поля при внесении в него магнетика260
Магнитный гистерезис 263
Глава 16. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла 266
Обобщение закона электромагнитной индукции 266
Ток смещения 269
Картина электромагнитного поля 272
Глава 17. Энергетические превращения в электромагнитном поле . . .274
Превращения в цепи постоянного тока 274
Превращения в замкнутой цепи переменного тока 276
Магнитная энергия поля,.278
Электрические колебания 280
Электромагнитная энергия 283
Импульс и давление электромагнитного поля 286
Глава 18. Электромагнитное излучение 288
Элементарный диполь 288
Антенна как электрический диполь 289
Излучение диполя 291
Электромагнитный спектр 293
Квантовая природа излучения* , ’295
Глава 19. Распространение электромагнитных волн 296
Дисперсия и поглощение 296
Поведение электромагнитной волны на границе двух сред .299
Естественный и поляризованный свет. Поляризация при отражении 302
Распространение световых волн в среде с градиентом показателя преломления 304
Распространение радиоволн 307
Радиолокация 309
Глава 20. Интерференционные явления 312
Сложение волн от двух источников 312
Когерентность 314
Интерференция в пластинке 318
Полосы равной толщины и полосы равного- наклона . . .320
Практические применения интерференции 323
Глава 21. Рассеяние. 328
Вторичное излучение . . . 328
Дифракция волн на отверстиях 330
Система беспорядочно расположенных рассеивателей . . . .334
Поведение сплошной однородной среды 337
Рассеяние в неоднородной среде 338
Дифракционная решетка 341
Направленные излучатели радиоволн 345
. Голография 347
Глава 22. Дифракция рентгеновских лучей на кристалле .......349
Кристалл как дифракционная решетка 349
Определение параметров элементарной ячейки кристалла . . .352
Интенсивность дифракционных лучей 353
Методы рентгеновского анализа 355
Глава 23. Двойное лучепреломление 358
Анизотропия поляризуемости 358
Распространение света в одноосных кристаллах362
Поляризаторы. Исследование поляризационного состояния света 366
Кристаллическая пластинка между «скрещенными» николями 368
Двойное лучепреломление, вызванное внешним воздействием 370
Оптическая активность 372
Принципы теории оптической активности 374
Глава 24. Теория относительности . 377
Основания теории 377
Опытные подтвержденияпринципа постоянства скорости света 378
Время в теории относительности 381
Масса 383
Энергия 384
Дефект массы 385
Принцип эквивалентности и понятие об общей теории относительности 386
Глава 25. Квантовая природа поля 388
Фотон 388
Фотоэлектрический эффект 390
Флуктуации световогопотока 393
Закон Кирхгофа 394
Абсолютно черное тело 396
Теория теплового излучения 398
. Стимулированное излучение 402
Люминесценция 403
ЧАСТЬ III
СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Глава 26. Потоки заряженных частиц 405
Движение заряженной частицы в электрическом и магнитном полях 405
Получение пучков заряженных частиц 408
Электронные линзы 409
Электронный микроскоп 412
Электронные и ионные проекторы 416
Электронно-лучевая трубка 418
Масс-спектрограф 420
Ускорители заряженных частиц 422
Автофазировка 423
Синхрофазотрон. Синхротрон 425
Ионизованный газ 427
Электрический разряд в газе 428
. Плазма 432
Глава 27. Волновые свойства микрочастиц 439
Дифракция электронов 439
Основные идеи квантовой механики 440
Принцип неопределенности 443
Потенциальный ящик 447
Что дает решение уравнения Шредингера 450
Туннельный переход 451
Глава 28. Строение атома 452
Энергетические уровни атома водорода 452
Квантовые числа 456
Электронное облако для s- и р-состояний 457
Принцип Паули 459
Отклонение атомного пучка в магнитном поле 460
Спин электрона 462
Магнитные моменты атомов 464
Периодический закон Менделеева 465
Ионизационные потенциалы 467
Спектры атомов в оптической области 468
Атомные рентгеновские спектры 470
Глава 29. Молекула . . 472
Химическая связь 472
Геометрия молекул 476
Электронная оболочка молекулы 479
Энергетические уровни молекул 480
Вращательный спектр молекул 482
Инфракрасный колебательно-вращательный спектр 485
Комбинационное рассеяние света 489
Электронный спектр поглощения 492
Магнитный резонанс 494
Квадрупольный резонанс 496
Газовые лазеры 498
Глава 30. Атомное ядро 504
Экспериментальные методы ядерной физики 504
Частицы, входящие в состав ядра 512
Масса и энергия атомного ядра 513
Спин и магнитный момент ядра 515
Силы взаимодействия нуклонов 517
Нуклоны в ядре 518
Спектры атомных ядер 20
Нейтрино бета-распада 522
Общие закономерности химических и ядерных превращений 523
§216.Радиоактивность 525
§ 217. Ядерные реакции 529
§217а. Реакции деления тяжелых ядер 531
§2176. Цепная реакция 532
§217в. Принципы действия ядерпого реактора 534
§217г. Искусственные радиоактивные продукты 536
§ 218. Термоядерные реакции 538
Глава 31. Элементарные частицы 539
Термин «элементарная» частица 539
Взаимодействие быстродвижущихся электронов 540
Мезонная теория взаимодействия нуклонов 542
Мезоны 543
Релятивистская теория электрона 544
Рождение и аннигиляция пар частиц 546
Частицы и античастицы 547
Асимметрия элементарных частиц 549
. Барионный спектр 551
Кварки 554
Глава 32. Атомное строение тел 555
Поликристаллическое вещество и монокристаллы 555
Пространственная решетка 557
Выбор ячейки. Симметрия кристалла 561
Упаковка частиц в кристалле 565
Молекулярный кристалл 567
Плотные упаковки шаров 570
Примеры кристаллических структур 573
Тепловые колебания в кристалле 576
Тепловые волны 578
Тепловое расширение 580
Дефекты кристалла 582
Ближний порядок. Жидкости 586
Аморфные тела 588
Дальний и ближний порядок расположения атомов в сплавах 589
Жидкие кристаллы 592
Полимерные вещества 593
. Биологические макромолекулы 595
Глава 33. Фазовые превращения 596
Диаграмма состояния 596
Фазовые превращения 598
. Диаграмма состояния и свойства гелия 600
Условия устойчивого состояния фазы 603
Метастабильные состояния 605
Превращения газ ^ жидкость 607
Сжижение газов 609
Превращения газ ^кристалл 610
Превращения жидкость ^ кристалл 611
Превращения кристалл ^ кристалл 614
Диффузия в твердых телах 616
Глава 34. Деформация тел 618
Упругие свойства 618
Пластические свойства 619
Предел прочности 621
Механические свойства поликристаллическогоматериала...622
Влияние поверхностно-активных веществ на деформацию...623
Разрушение материалов под действиемпотокачастиц...624
Глава 35. Диэлектрики 627
Связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью молекулы 627
Поляризация полярных и неполярных молекул 629
Аддитивность молекулярной рефракции 632
Пиро- и пьезоэлектрики 634
. Сегнетоэлектрики 636
Глава 36. Магнетики 637
Три класса магнетиков 637
Диамагнетизм 638
Парамагнетизм 640
Ферромагнетизм 642
Глава 37. Электронное строение и свойства тел 648
Свободные электроны 648
Энергетические уровнивтвердом теле 649
Электронный газ 652
Проводимость 655
Сверхпроводимость 658
Полупроводники 660
Эмиссия электронов 665
Фотоэлектрический эффект 667
Запирающие слои 670
Контактная разность потенциалов 672
. Электролюминесценция полупроводников 673
Распределение зарядов в неравномерно нагретом теле . . .675
Термоэлектродвижущая сила 676
Выделение тепла в электрических цепях 678
Применения термоэлектрическогоэффекта 680
Приложение. Таблица формул электродинамики 681
Предметный указатель 685
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Более десяти лет прошло со времени выхода в свет первого издания этой книги. За ним последовали два издания на английском языке, два на польском. Многие учебные заведения (в основном, к моему сожалению, зарубежные) сочли принципы, положенные в основу этой книги, совпадающими с их собственными. Я лишь перечислю эти основные идеи, которые счел нужным подробно аргументировать в предисловии к первому изданию. Это отсутствие деталей, отсутствие описаний опытов, дедуктивное изложение теории, отсутствие историзма, полный отказ от повторения школьного материала. В то же время я не считаю возможным опускать сложные вещи, полагаю, что беглое упоминание многих проблем, волнующих физиков, необходимо хотя бы просто для того, чтобы читатель знал об их существовании. Это обстоятельство послужило причиной того, что один любимый и уважаемый мною коллега назвал эту книгу «Физикой с птичьего полета». Я воспринимаю эту несколько двусмысленную оценку как комплимент. Конечно, при кратком изложении детали теряются, но если автору удалось дать четкие контуры стройного и изящного издания физики, то он может считать свою задачу выполненной.
Из предисловия к первому изданию я хочу перенести свою благодарность Э. И. Федину и В. В. Шмидту. При подготовке к переизданию я еще раз оценил, сколь существенной была их помощь в составлении рисунков и примеров.
Л. Китайгородский
ЧАСТЬ I
МЕХАНИЧЕСКОЕ И ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ГЛАВА 1
ОСНОВНОЙ ЗАКОН МЕХАНИКИ
Кинематика
Уравнения движения материальной точки. Если размеры и форма тела не играют роли при рассмотрении явления, то его мысленно заменяют точкой. Приближенное представление тела материальной (т. е. обладающей массой) точкой справедливо не только в тех случаях, когда размеры тела малы по сравнению с другими расстояниями, встречающимися в задаче,— оно допустимо всегда, когда интерес представляет лишь движение центра тяжести тела.
Для описания движения материальной точки нужно указать, в каких местах пространства побывала точка и в какие моменты времени она проходила ту или иную точку траектории. Для этой цели необходимо прежде всего выбрать систему отсчета координат (рис. 1). Расположение точки по отношению к такой системе, которую проще всего выбрать прямоугольной, характеризуется тремя координатами
х, у, 2 или так называемым радиусом-вектором г, проведенным из начала отсчета в данную точку ) (рис. 2).
Результат исследования движения в пространстве может быть, таким образом, задан грубо — в виде таблицы значений г (каждое значение — тройка чисел!) для времен tls /2 и т. д., или точно — в виде непрерывной функции r=f (t) (по сути дела в виде трех функций, например x—ft^, У=Ь(£)> ^^^(О или г=Ф1(0> <%" = ф2(/), ₽ = Фз(0 и т. д.).
Векторное уравнение r=f(t) или, что то же, три ему равноценных скалярных уравнения называются уравнениями движения.
Средняя скорость. Рассмотрим участок траектории АВ. Пусть в момент времени t движущаяся точка находилась в Л, а в момент времени/+А/— в В (рис. 3). Проведем радиусы-векторы гА и гв. Нам известно, что за время А^ точка перешла из А в В. Естественно поэтому назвать вектор АВ вектором перемещения точки.
Векторы складываются по правилу параллелограмма. Рассматривая рис. 3, видим, что
гв=гл + ЛВ, или АВ = гв — гА = Аг,
т. е. вектор перемещения точки есть векторная разность радиусов- векторов. Знание вектора перемещения Аг за время AZ определяет криволинейное движение с точностью тем большей, чем меньше Аг.
Среднюю скорость на участке АВ принято характеризовать отношением
это, следовательно, такая скорость, с какой тело прошло бы участок АВ равномерно и прямолинейно за то же время А/.
Итак, движение на участке АВ можно охарактеризовать направлением вектора АВ — \г и величиной скорости иср. Вместо этого вводится вектор
СР А/ Ы 9
равный по длине средней скорости и имеющий направление вектора перемещения. Теперь можно сказать, что движение тела на участке АВ определяется средней векторной скоростью.
Истинная скорость. Если уменьшать интервал времени А/, то точка В будет приближаться к А. В конце концов эти точки сольются, причем направление АВ превратится в касательную линию к траектории в слившихся в одну точках.
Можно утверждать, что отношение АВ)М при уменьшении М стремится к пределу. Вектор Фист, имеющий направление касательной к траектории точки в данный момент движения и численно равный пределу отношения АВ]М при А/->0, называется истинной векторной скоростью движения точки:
Af
Фист= предел ^ при А/ —>0.
drЕще раз подчеркнем, что для описания движения мы не обязательно нуждаемся в векторах. Вместо того чтобы пользоваться понятием векторной скорости, можно говорить о численном значении скорости ' ^~ *) и указывать направление движения. Однако в этом случае те же самые правила и те же самые опытные факты должны формулироваться более длинными, более громоздкими фразами. Язык векторов соответствует физическому опыту, кроме того, он сжат и выразителен. Естественно, надо употребить некоторые усилия, чтобы к нему привыкнуть.Так как проекциями вектора г на оси координат являются координаты его конца х, у, z, то проекции векторной скорости будут равныdrЕще раз подчеркнем, что для описания движения мы не обязательно нуждаемся в векторах. Вместо того чтобы пользоваться понятием векторной скорости, можно говорить о численном значении скорости ' ^~ *) и указывать направление движения. Однако в этом случае те же самые правила и те же самые опытные факты должны формулироваться более длинными, более громоздкими фразами. Язык векторов соответствует физическому опыту, кроме того, он сжат и выразителен. Естественно, надо употребить некоторые усилия, чтобы к нему привыкнуть.Так как проекциями вектора г на оси координат являются координаты его конца х, у, z, то проекции векторной скорости будут равныИначе говоря, истинная скорость есть производная вектора г по времени:
dr
Еще раз подчеркнем, что для описания движения мы не обязательно нуждаемся в векторах. Вместо того чтобы пользоваться понятием векторной скорости, можно говорить о численном значении скорости ' ^~ *) и указывать направление движения. Однако в этом случае те же самые правила и те же самые опытные факты должны формулироваться более длинными, более громоздкими фразами. Язык векторов соответствует физическому опыту, кроме того, он сжат и выразителен. Естественно, надо употребить некоторые усилия, чтобы к нему привыкнуть.
Так как проекциями вектора г на оси координат являются координаты его конца х, у, z, то проекции векторной скорости будут равны
dr
Еще раз подчеркнем, что для описания движения мы не обязательно нуждаемся в векторах. Вместо того чтобы пользоваться понятием векторной скорости, можно говорить о численном значении скорости ' ^~ *) и указывать направление движения. Однако в этом случае те же самые правила и те же самые опытные факты должны формулироваться более длинными, более громоздкими фразами. Язык векторов соответствует физическому опыту, кроме того, он сжат и выразителен. Естественно, надо употребить некоторые усилия, чтобы к нему привыкнуть.
Так как проекциями вектора г на оси координат являются координаты его конца х, у, z, то проекции векторной скорости будут равны
dz di ‘dz di ‘dx dy
dz di ‘
dz di ‘
Ux = -77 , vv = ^, v2 =
x dt ’ У dt ’ 2
Векторное ускорение. Продолжая рассмотрение криволинейного движения, построим в виде стрелок истинные скорости движения тела при прохождении через точки А и В траектории. Если бы мы не ввели в рассмотрение векторную скорость, то должны были бы
сказать так: скорость в В иная, чем в Л, кроме того, изменилось направление движения. Пользуясь векторной скоростью, мы скажем короче: в точке В иная векторная скорость, чем в Л.
Векторная скорость может меняться по величине и по направлению.
Если участок АВ прямолинейный, то векторы уА и Фв направлены одинаково. Величина изменения скорости найдется арифметическим вычитанием длины вектора Ч)А из длины вектора ^в*
Рассмотрим теперь криволинейный участок АВ; векторы <иА и Фв отличаются как по величине, так и по направлению. Для того чтобы определить, насколько возросла величина скорости, надо, по-прежнему, вычесть длину вектора уА из уб:
А|®Н®в|—1®лЬ
Однако это число не характеризует, конечно, полностью тех изменений, которые произошли в движении.
Рис. 4.
Вычтем теперь вектор Ч)А из вектора *ов в соответствии с правилами операции над векторами. На рис. 4 показан вектор
ДУ=®5—®л-
Вектор ®в— сумма Дф+фд— есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.
Вектор Ду назовем векторным приращением скорости. Длина этого вектора в случае криволинейного движения не равна
И
A |n |= |пв |—^A |. Из рисунка очевидно, что величина векторного приращения | Ап | больше разности величин векторных скоростей А |п|. Для того чтобы узнать векторную скорость в точке В, надо по правилу параллелограмма сложить вектор скорости пА с приращением Ап.
Теперь мы можем следующим образом определить величину ускорения для криволинейного движения. Вектор, равный отношению векторного приращения скорости ко времени, в течение которого это приращение произошло, называется средним векторным ускорением;
а = —
“ср д^ •
При уменьшении промежутка времени А/ это отношение стремится к пределу. Вектор
яист = предел ^ при А/ О
называется истинным векторным ускорением тела в данный момент движения. Иначе говоря, векторное ускорение равно производной от векторной скорости:
и
Векторное ускорение определяет однозначно характер изменения скорости тела.
Вообще говоря, вектор ускорения может образовывать любой угол с траекторией движения. Этот угол определяет характер ускорения и кривизну траектории следующим образом. Через интересующую нас точку траектории проведем окружность, имеющую с траекторией общую касательную в этой точке и на данном участке кривой с наибольшей точностью приближающуюся к ней. Эта окружность называется касательной ), а ее радиус р называется радиусом кривизны в данной точке. Вектор ускорения всегда направлен внутрь этой окружности. Если движение ускоренное, то вектор а образует острый угол с траекторией (т. е. с касательной к траектории в данной точке). Если движение замедленное, то этот угол будет тупым. Наконец, если скорость по величине не меняется, то векторное ускорение направлено по нормали к траектории.
Эти положения можно строго доказать; мы удовлетворимся их геометрической иллюстрацией, приведенной на рис. 5.
изменение скорости по величине;изменение скорости по величине;
изменение скорости по величине;
изменение скорости по величине;
Соответственно со сказанным принято раскладывать вектор ускорения на две составляющие (рис. 6):
a=at + an.
Так как векторный треугольник прямоугольный, то — P^^Z + Он-
Вектор at, направленный вдоль траектории, характеризует
он называется тангенциальным ускорением. Нетрудно доказать, что тангенциальное ускорение
Alyl at= предел
при М —>0, т. е. at—^^-, где А| ^ | — приращение скорости по величине.
Вектор ап направлен по нормали к траектории; он характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальным ускорением. Нормальное ускорение ап связано простой формулой с величиной
скорости и и радиусом кривизны р в данной точке, а именно,
Из этой формулы, которая выводится в курсах теоретической механики на основании геометрических соображений, следует, что движение с неизменным нормальным ускорением (ап и и — постоянные величины) есть движение по окружности. В этом случае р есть постоянная величина для всех точек траектории, равная радиусу окружности.
ттv2
Нормальное ускорение ап = — часто называют также центров стремительным ускорением.
Центростремительное ускорение тела при движении по окружности с радиусом R можно также выразить через период Т или частоту v или угловую скорость со этого движения. Между этими величинами и линейной скоростью о имеются следующие простые соотношения:
12л
Последние две формулы являются определениями вспомогательных величин v и со.
Таким образом, центростремительное ускорение при движении тела по окружности может быть записано также в виде
ап = ^R, или an = -^-R.
Необходимо подчеркнуть, что житейское понимание слова «ускорение» значительно уже его физического смысла. Понятие физического ускорения включает в себя замедление (отрицательное ускорение); самое же главное — то, что ускоренным мы называем и равномерное движение, если только оно происходит по кривой линии. Движением без векторного ускорения является лишь одновременно прямолинейное и равномерное движение.
Порядок ускорени й. Протон в современном ускорителе движется по окружности с нормальным ускорением порядка 1016 м/с2. Линейное ускорение современных реактивных снарядов —30 м/с2. Ускорение хоккейного мяча —10 м/с2. Ускорение автомобиля, трогающегося с места, 1—2 м/с2. Угловая скорость ротора турбогенератора 314 рад/с, на расстоянии 0,5 м от оси вращения частицы движутся с ускорением —5-104 м/с2. Угловая скорость колеса велосипеда 7—10 рад/с, частицы обода с радиусом 0,5 м имеют нормальное ускорение около 20 м/с2.
Силы
В настоящее время физике известны четыре типа взаимодействия- Гравитационные силы. Установленные Ньютоном для небесных тел силы притяжения, иначе называемые гравитационными силами, действуют между любыми двумя материальными частицами в соответствии с законом
F=
где у=6,67-10~и(Н-м2)/кг2, mx, т2— массы частиц и г — расстояние между ними.
Можно строго доказать, на чем мы не будем останавливаться, что закон тяготения Ньютона, записанный для тел малого размера (малого по сравнению с расстоянием между ними), справедлив также и для взаимодействия малого, тела с большим шаром. В этом
случае нужно под расстоянием понимать расстояние между центрами тел.
Закон всемирного тяготения для случая притяжения тела Землей записывается поэтому в виде
где h — высота над уровнем земной поверхности, a R — радиус земного шара. Для точек, близких к земной поверхности, h настолько меньше R, что R-Vh можно заменить на R. Тогда F — y^ т. Сравнивая эту формулу с обычным выражением для веса F^mg, мы видим, что ускорение силы тяжести может быть выражено через гравитационную постоянную, массу Земли и радиус Земли формулой
Пропорциональность сил тяготения массам делает их огромными для небесных тел и пренебрежимо малыми для элементарных частиц. Во взаимодействии друг с другом атомов, молекул или других частичек вещества силы тяготения не играют никакой роли.
Сила притяжения между Луной и Землей равна 2,3-1020 Н, между Землей и молекулой кислорода ~5-10“25 Н, между двумя молекулами кислорода, находящимися на расстоянии соприкосновения (ЗА=3-10“8 см), ~2-10“42Н. Эти цифры говорят сами за себя.
Электромагнитные силы. Если частицы или большие тела обладают электрическими зарядами qi и q^ то между ними действует притяжение в случае разноименных зарядов и отталкивание при одноименных согласно закону Кулона F~^~. Так же как и для всемирного тяготения, эта формула справедлива для точечных частиц. В свое время мы установим (§ 111), что магнитные силы находятся в непосредственной связи с силами электрическими. Все электромагнитные взаимодействия обладают единой природой.
Взаимодействия между атомами, межмолекулярные силы и силы, удерживающие электроны около атомного ядра,— все это силы электрического происхождения. Чтобы лишний раз подчеркнуть, что гравитационные взаимодействия между элементарными частицами ничтожны, сопоставим силу гравитационного притяжения с силой электрического притяжения для атомного ядра водорода с его единственным электроном:
^эл^ 9-10“8Н, тогда как Гграв = 4-10“47Н1
На первый взгляд может показаться непонятным, почему взаимодействие нейтральных атомов и молекул имеет электрическое происхождение. Подробно об этом будет рассказано в гл. 29. Однако уже здесь уместно отметить, что силы между атомами и молекулами
зависят не от общего заряда молекул (который равен нулю), а от местных сгущений и разрежений электрических зарядов.
Поскольку межмолекулярные силы являются силами электрического происхождения, то такое же происхождение имеют поверхностные силы, а также любые силы сцепления между телами. Существенным образом сводятся к электрическим взаимодействиям и силы трения.
Силы упругости, проявляющиеся при растяжении каучука или сжатии металлической пружины, являются результатом проявления межатомных и межмолекулярных взаимодействий. Поэтому и они в конечном счете имеют электромагнитную природу.
Ядерные силы. Между нейтральными частицами, входящими в состав атомного ядра, а также между нейтроном и протоном и между двумя одноименно заряженными протонами действуют силы, которые не могут быть сведены к электромагнитным. Эти силы чрезвычайно быстро убывают с возрастанием расстояния между взаимодействующими частицами. Поэтому за пределами ядра эти силы не проявляются, и мы сталкиваемся с ними только в явлениях, связанных с непосредственным взаимодействием ядер.
Силы «слабого» взаимодействия. Они обнаруживаются в процессах превращения элементарных частиц с участием нейтрино.
Поле сил. Пространство, в котором действуют гравитационные силы, называют гравитационным полем, или полем тяготения. Аналогично говорят об электромагнитном поле. Если какая-либо частица подвержена действию поля сил, то она обладает способностью его создавать. Так, любая материальная частица создает поле тяготения и подвержена действию тяготения. Любая электрически заряженная частица создает электромагнитное поле и подвержена действию электромагнитного поля.
Таким образом, любое взаимодействие частиц физика рисует по схеме: частица — поле — частица. Первая частица создает поле, а это поле действует на вторую частицу. Несколько слов о том, как в этой схеме учитывается квантовая природа поля, будет сказано на стр. 541.
Свойства поля существенно отличаются от свойств вещества. Поэтому в настоящее время часто говорят, что материя встречается в двух видах: поле и вещество. Проблемы взаимоотношения поля и вещества в настоящее время усиленно изучаются и пока что не могут считаться выясненными (подробнее см. в § 220).
Основной закон механики
Законы Ньютона. Основным законом механики является найденное Ньютоном соотношение между силами, действующими на тело, и ускорением, которое приобретает тело под действием этих сил. Этот закон формулируется обычно для материальной точки.Этим нисколько не ограничивается общность закона, так как сложнее тело может быть в принципе рассмотрено как совокупность
материальных точек. Впрочем, уравнение Ньютона для материальной точки имеет и непосредственное исключительно широкое применение, так как во множестве задач механики мы или имеем дело с небольшими по размеру телами или интересуемся движением одного лишь центра тяжести тела.
Основной закон механики говорит следующее. Если на тело действуют силы /1, /2, /з и т. д., дающие в сумме силу F= ^f, то векторное ускорение, приобретаемое телом под действием этих сил, будет пропорционально частному от деления результирующей силы на массу материальной точки:
Уравнение говорит также, что вектор ускорения должен совпадать с направлением результирующей силы. Коэффициент пропорциональности в этой формуле полагается равным единице, что накладывает известные из школьного курса условия на единицы измерения входящих в это уравнение величин.
Основной закон механики можно также записать в виде
dvat
или еще F = ^^Р' • Последняя запись эквивалентна предыдущим лишь в случае массы, не изменяющейся во время движения. Мы будем придерживаться этого условия. Случаи переменной массы будут рассмотрены ниже. В гл. 3 мы остановимся кратко на уравнении движения тел с переменной массой типа ракет, а в гл. 24 рассмотрим осложнения, проявляющиеся при движении тел со скоростями, близкими к скорости света (механика теории относительности).
Основной закон механики следует рассматривать как закон, обобщающий факты. Это уравнение не может быть выведено теоретически из каких-либо простых общих соображений.
Закон инерции является непосредственным следствием основного закона. Если на тело силы не действуют, то векторное ускорение равно нулю, тело движется прямолинейно и равномерно.
Применяя основной закон Ньютона к какому-либо телу, мы ставим это тело в центр рассмотрения, нас интересуют силы, действующие на это тело. Однако нужно всегда помнить, что силы являются мерой взаимодействия тел и что односторонних взаимодействий не существует. Если одно тело действует на второе, то и второе тело действует на первое. Измерения сил — это измерения взаимодействий. Поэтому уже в способе измерения сил содержится утверждение о равенстве по величине силы, действующей со стороны первого тела на второе, и силы, действующей со стороны второго тела на первое. Так как нас интересует обычно какое-то одно тело, то действующую на него силу мы выделяем, а вторую силу называем силой противодействия, или силой реакции. Силы действия и противодействия равны
друг другу по величине и противоположно направлены. Это положение вошло в науку под названием третьего закона Ньютона.
Относительность движения. Тело, покоящееся в одной системе координат, может нам представиться движущимся с другой точки зрения. Равномерное движение человека, шагающего по перрону, будет неравномерным, если его описывать в системе координат, связанной с тормозящим поездом. Поэтому, говоря о законе движения, нужно указать систему отсчета, для которой этот закон имеет место. Система, в которой выполняются законы Ньютона, должна обязательно удовлетворять такому требованию: тело, на которое силы не действуют, должно двигаться в этой системе прямолинейно и равномерно или покоиться. Такая система носит название инерциальной.
Вполне очевидно, что все системы отсчета, которые движутся с ускорением по отношению к телу, на которое не действуют силы, не будут инерциальными системами. Другой важный вывод, к которому мы сразу же приходим, это то, что инерциальная система не будет единственной. Напротив, существует бесчисленное множество инерциальных систем. С любым из тел, движущихся равномерно и прямолинейно по отношению к какому-нибудь одному телу, на которое не действуют силы, можно связать инерциальную систему.
Действительно, предположим, что инерциальная система выбрана. Для какого-нибудь тела, движущегося в этой системе со скоростью ф и ускорением а, справедлив закон Ньютона F^rna. Рассмотрим теперь другую систему отсчета, которая движется прямолинейно и равномерно со скоростью и по отношению к инерциальной. В этой системе то же самое тело будет, правда, иметь другую скорость, равную разности скорости ф и скорости и движения второй системы по отношению к первой. Но ввиду прямолинейности и равномерности относительного движения этих двух систем ускорение тела в них обеих будет одним и тем же. Ведь ускорение есть производная от скорости, а производная от постоянной величины равна нулю:
du — d^ — u^dt dt 1
так как — = 0. В закон Ньютона входит ускорение тела и не входит его скорость. Поэтому основной закон механики будет выглядеть неотличимо одинаково с точки зрения обеих систем.
Это важное утверждение, следующее из закона механики Ньютона, называется принципом относительности движения. Принцип относительности говорит: существует бесчисленное множество инерциальных систем, в которых выполняется закон инерции и закон F=ma. Ни одна из этих систем не имеет каких бы то ни было преимуществ или особенностей по отношению к другим системам. Все инерциальные системы равноправны.
Принцип относительности был впервые установлен Галилеем.
Законы механики в неинерциальной системе координат. Примем, что утверждение «ускорение вызывается силами» сохраняется всегда в любых системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета тело движется ускоренно и в тех случаях, когда оно не участвует во взаимодействии с другими телами. Но если так, то в неинерциальных системах, кроме сил, обусловленных взаимодействием, имеются и силы другого происхождения — обусловленные неинер циальностью системы. Эти дополнительные силы носят название сил инерции (хота, по существу, было бы правильнее назвать их неинерциальными силами). Поскольку силы инерции не обусловле ны взаимодействием, они не удовлетворяют третьему закону Ньютона.
Так как мы не собираемся в дальнейшем пользоваться для анализа движения неинерциальными системами координат, то ограничимся простейшим примером силы, инерции.
Предположим, что по каким-то соображениям нам удобна система отсчета, движущаяся с. постоянным по величине и направлению ускорением а. Все тела,, покоящиеся; или движущиеся равномерно по отношению к инерциальным системам, будут двигаться с ускорением — а по отношению к выбранной нами неинерциальной системе отсчета. Ускорение — а создается силой—та.
Это и есть сила инерции для рассматриваемого случая. Она не является результатом взаимодействия тел и обусловлена ускоренным движением системы отсчета.
Если тело, за которым ведется наблюдение в неинерциальной системе отсчета, находится во взаимодействии с другими-телами, то сила инерции добавится к силам, обусловленным взаимодействием.
Основной закон механики в неинерциальных системах координат записывается в виде
ma^F+силы инерции;
здесь F — результирующая сила, обусловленная взаимодействиями тел.
В зависимости от характера движения неинерциальной системы отсчета (линейное, круговое, круговое с ускорением и т. д.) выражение сил инерции будет иметь разный вид. Формулы сил инерции для всевозможных случаев можно найти в курсах теоретической физики.
Приложение основного закона механикик ускоренному прямолинейному движению
Ниже приводится несколько элементарных примеров, иллюстрирующих физическое содержание основного закона механики: геометрическая сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение и направлена вдоль ускорения.
Горизонтальное движение под действием постоянной силы. Двигатель толкает вагонетку, находящуюся на рельсах. На ваго-
нетку действуют в противоположные стороны две силы: сила трения со стороны рельсов FpB и упругая сила F№, действующая со стороны двигателя на вагонетку. Если эти две силы равны, то вагонетка движется равномерно. Если же вагонетка ускоряется, то результирующая сила должна быть направлена вдоль а. Следовательно, для создания ускоренного движения сила, действующая со стороны двигателя должна быть больше силы трения. Разность этих сил и есть результирующая сила, которая, согласно основному закону механики, равна произведению массы на ускорение. Итак,
F№-F.B = ma.
Сила трения есть результат взаимодействия рельсов с вагонеткой. Следовательно, парная к FpB сила приложена к рельсам (^вр). Сила, составляющая пару с F№,— это сила FBA, с которой вагонетка действует на двигатель.
Сила Рвд есть сила сопротивления, преодолеваемая двигателем (испытываемая им, действующая на него). Эта сила ощущалась бы мускулами человека, если бы он выполнял роль двигателя. Как видно, сила сопротивления Рвд складывается из двух слагаемых: силы трения и величины — та, которую уместно назвать инерционным сопротивлением. Инерционным сопротивлением называют всегда существующую силу, действующую на ускоряющее тело, равную та и направленную в сторону, противоположную ускорению. Инерционное сопротивление может быть и единственной силой, действующей на ускоряющее тело, как, например, в данном случае, если бы трение отсутствовало.
Рассмотрим другой пример горизонтального движения под действием постоянной силы. Груз, являющийся предметом рассмотрения, положен на движущуюся вагонетку с бортом (рис. 7). Если
бы борта не было, то при ускоренном движении груз мог бы соскользнуть с пола вагонетки. Судьба груза зависит от взаимодействия пола вагонетки с грузом. Это взаимодействие заключается лишь в трении. Вагонетка движется с небольшим ускорением а. Сила, действующая на груз, т. е. сила трения, должна равняться та).
Но сила трения покоя не может быть как угодно большой, она „гамаке г?
меньше некоторой величины гтр . если
татагамаке~ тр ,гамаке~ тр ,
та
та
гамаке
~ тр ,
гамаке
~ тр ,
то движение с ускорением а становится невозможным и груз соскальзывает с вагонетки. Если бы трения между грузом и дном вагонетки не было, то груз не сдвинулся бы с места: вагонетка уходила бы из-под груза. Допустим теперь, что у вагонетки имеется борт. Тогда соскальзывание груза прекратится, как только он придет в соприкосновение с бортом. Теперь борт тянет груз с силой F—ma. Сила, составляющая пару с движущей,— это инерционное сопротивление, испытываемое бортом. Оно также равно та, направлено в сторону, обратную ускорению, и приложено к борту.
Числовые примеры сил. Сила, ускоряющая легковой автомобиль, ^200 кгс—1960 ньютонов (Н). 1 Н — сила, сообщающая массе 1 кг ускорение 1 м/с2; 1 Н=105 дин=0,102 кгс. Сила тяги реактивного двигателя современного самолета 10 000—20 000 кгс = 105—2-105 Н. Сила тяги тепловоза ТЭ-З— 10 000 кгс.
Вертикально движущийся лифт. Рассмотрим силы, которые
действуют при неравномерном движении на груз, лежащий на полу
лифта
Пусть лифт движется ускоренно вверх (рис. 8). На груз действуют две силы: со стороны Земли и со стороны дна лифта, F3r и F^.,
Однако теперь результирующая сила должна быть отлична от нуля, и, следовательно, РЗГ^РДГ- Так как результирующая сила должна быть направлена вдоль ускорения, то ЕЛГ>ЕЗГ, а именно:
Far — F3r- та-
Сила F3r есть не что иное как сила притяжения груза Землей, поэтому
Рлг—mg = та.
Величина силы, с которой груз давит на лифт, Ргд, тождественно равна Гдг; таким образом, сопротивление, испытываемое лифтом при подъеме груза, равно
F^mg-V-ma.
*Мы видим, что это сопротивление складывается
РиСе 8* из веса груза и инерционного сопротивления.
Силу Fra называют иногда кажущимся весом.
Этот результат получен для случая, когда ускорение лифта направлено в сторону, противоположную земному ускорению, что будет осуществляться не только тогда, когда лифт движется ускоренно вверх, но и тогда, когда лифт движется замедленно вниз.
В том случае, когда направления силы тяжести и ускорения лифта совпадают, сила давления груза на лифт (кажущийся вес)
Fta=mg—ma.
Из этой формулы следует, что давление на дно лифта прекращается,
если a=g, т. е. если лифт свободно падает в поле тяжести. При этом условии тела в падающем лифте перестают давить на подставки, натягивать канаты ит. д., т. е. как бы перестают весить.
Тяга свободно подвешенного груза. Рассмотрим движение груза на отвесе, установленном на ускоренно движущейся вагонетке. При таком движении нить, на которой висит груз, образует угол с вертикалью. На груз действуют две силы: натяжение нити FHr и притяжение Земли F3r, равное mg (рис. 9). Эти силы направлены под углом. Их геометрическая сумма должна, согласно основному закону механики, равняться та и должна ния. Следовательно, диагональ и F3r смотрит поризонтально,
быть направлена вдоль ускоре- параллелограмма на силах FHrбыть направлена вдоль ускоре- параллелограмма на силах FHrта —FHr + F3r.
быть направлена вдоль ускоре- параллелограмма на силах FHr
быть направлена вдоль ускоре- параллелограмма на силах FHr
Сила, составляющая пару с F3r, приложена к Земле и нас не интересует. Напротив, представляет интерес сила FrH, т. е. сила, с которой груз натягивает нить. Эта сила, приложенная к нити, равна
FrH та -[- F3r.
Таким образом, и в этом примере инерционное сопротивление входит слагаемым в сопротивление, испытываемое ускоряющим телом.
Приложение основного закона механикик движению по окружности
Движение по окружности является ускоренным движением. Если тело движется по окружности с неизменной угловой скоростью, то его ускорение равно по величине со27? и направлено по радиусу к центру.
Равномерно вращающееся по окружности тело может находиться под действием любого числа как угодно направленных сил. Однако
из основного закона механики следует, что векторная сумма всех этих сил, или, короче, результирующая сила, должна быть направлена по радиусу к центру (параллельно ускорению), а по величине должна иметь значение
г mu2 , „
Результирующую силу, действующую на вращающееся равномерно по окружности тело, называют центростремительной силой. Еще раз подчеркнем, что результирующая сила направлена всегда вдоль ускорения, но не вдоль скорости, т. е. в нашем случае сила, создающая равномерное движение по окружности, направлена вдоль радиуса к центру окружности, но не вдоль касательной к круговой траектории. Роль центростремительной силы заключается в том, что она непрерывно отклоняет тело от прямолинейного пути, по которому это тело двигалось бы по инерции в отсутствие действующей силы.
Пример. Несбалансированная частица массы т, связанная с лопаткой современной паровой турбины (3000 об/мин, радиус около 1 м), испытывает центростремительную силу F—mto2r=m (314)2-100= 107 т дин (т — в граммах). Вес частицы равен mg. Таким образом, центростремительная сила превосходит вес частицы в ^——=10 000 раз.
Если тело приводится в ускоренное движение, то в соответствии с правилом действия и противодействия ускоряемое тело действует на другие тела (играющие роль связей), заставляющие его двигаться ускоренно, а не по инерции. Силу, действующую на связи со стороны ускоряемого тела, мы назвали инерционным сопротивлением. Такая сила существует, разумеется, и при движении по окружности ее называют центробежной силой.
Центробежная сила равна по величине центростремительной силе и противоположна ей по направлению. Центробежная сила приложена к связям тела, участвующего в круговом движении, или, иначе говоря, приложена к тем телам, которые заставляют рассматриваемое тело двигаться по окружности и мешают ему двигаться прямолинейно и равномерно. Как и центростремительная сила, центробежная сила является результирующей — суммой всех реакций, которые оказывает вращающееся тело на связывающие его тела.
Рассмотрим несколько примеров, причем ограничимся простейшими случаями, когда круговое движение возникает благодаря взаимодействию двух тел. Если тело А мешает телу Б двигаться прямолинейно и равномерно, а заставляет его двигаться равномерно по окружности, то сила F дб является центростремительной, а сила Рба— центробежной. Такое простейшее взаимодействие осуществляется между телом, положенным на подставку в форме круглой чаши, вращающейся около своей оси в горизонтальной плоско- 26
сти, и самой подставкой (рис. 10). Если трение не очень велико и подставка вращается быстро, то тело соскользнет к борту подставки. В этом случае взаимодействие тела и подставки состоит в следующем: борт чаши действует на тело в направлении по радиусу к центру (центростремительная сила), а тело с равной по величине силой давит на борт в направлении по радиусу от центра (центробежная сила).
Вернемся теперь к начальному моменту этого опыта. Тело лежит на подставке и подставка только-только приведена во вращение. Если бы между телом и подставкой не было взаимодействия, то тело оставалось бы на месте, а подставка вращалась бы под телом. Наличие трения покоя приводит к иному. Вместе с подставкой увлекается во вращение и тело. При этом, как указывалось в предыдущем параграфе, сила трения покоя будет направлена по радиусу к центру: сила трения покоя является един
ственной силой, заставляющей тело вращаться, т. е. сила трения является в этом случае центростремительной силой. Поэтому
F = F .' тр * цс*
Центробежная сила действует со стороны тела на подставку, она направлена по радиусу от центра. Если представить себе для наглядности (однако надо помнить, что это очень грубая картина) трение как результат зацепления двух шероховатых поверхностей, при котором выпуклости поверхности одного тела входят во впадины поверхности другого тела, то центробежная сила представится нам силой, действующей вдоль радиуса от центра на зацепляющие места поверхности подставки.
Взаимодействие трением, удерживающее тело неподвижным по отношению к подставке, может быть только меньше некоторого максимума F^KC. При увеличении скорости вращения чаши наступит момент, когда произведение may2R станет больше, чем F^K\ Тогда участие тела в круговом движении с ускорением |а| = со2/? станет невозможным. Действительно, чтобы обеспечить телу участие в круговом движении с угловой скоростью со, на него надо подействовать с силой m^R. Если взаимодействие трения не может обеспечить этой силы, а следовательно, и движения по кругу радиуса /? со скоростью (о, то тело сдвинется с места по отношению к подставке и между телом и подставкой взаимодействие трения покоя перестанет осуществляться.
Как только взаимодействие тела с подставкой прекратилось и тело стало свободным, начинается прямолинейное и равномерное движение с той векторной скоростью, которой тело обладало в момент отрыва. Так как скорость тела, движущегося по окружности, направлена по касательной, то эта линия и будет линией движения
освободившегося тела. Наиболее отчетливым образом тангенциальные пути отрывающихся от вращающегося тела частиц можно демонстрировать на опыте с точильным кругом.
Сделаем несколько замечаний о процессе вращения камня на веревке (рис. 11). Чтобы в обычных условиях вращать равномерно на веревке камень, нужно придать телу не только центростремительное ускорение, но и тангенциальное. Последнее необходимо для
преодоления трения о воздух. Результирующее ускорение, а следовательно, и сила не направлены вдоль радиуса, а образуют острый угол с направлением движения. Кисть руки совершает вращательное движение, а нить направлена в каждый данный момент вдоль касательной к окружности, описываемой рукой.
В качестве еще одного примера кругового движения рассмотрим вращение двух притягивающихся тел с одинаковой угловой скоростью вокруг общего центра. Нетрудно заставить с помощью центробежной машины вращаться около общей оси два груза равной массы, связанных ниткой.
Рассмотрим сначала первый груз на нитке, зацепленной за ось вращения. Центробежная сила, действующая на ось, равна mito^Rt* Второй груз действует на ось с силой т2(о27?2. Если эти силы равны, то нитки можно связать друг с другом; при этом ничего не изменится (рис. 12). Отсюда ясно, что условием устойчивого вращательного движения двух тел, связанных ниткой, является равенство центробежных сил, действующих на нитку со стороны этих тел:
m^R^^ — m2to2R2.
Таким образом, m1 = R2 пн" Rt ’
т. е. устойчивое вращение происходит лишь в том случае, если расстояния тел до оси вращения обратно пропорциональны массам тел.
Точка, делящая линию длиной /?1+Л?2 в отношении =
К 2 ^1 (см. рис. 12), называется центром инерции (см. § 15). Можно утвер- 28
ждать, что устойчивое вращение двух связанных тел происходит вокруг точки, являющейся центром инерции системы.
Мы говорили о двух телах, взаимодействие которых осуществляется при помощи нитки. Однако все сказанное совершенно справедливо и в том случае, если речь идет о двух телах, притягивающихся согласно закону всемирного тяготения или о притягивающихся положительном и отрицательном электрических зарядах.
Взаимодействие любой природы между парой притягивающихся тел может, таким образом, привести к устойчивому вращению вокруг точки, являющейся центром инерции. Это взаимодействие представляется двумя силами, приложенными к обоим притягивающимся телам. Силы направлены друг другу навстречу и численно равны. (Обычно в этом месте у неподготовленного читателя опять возникает вопрос: почему же тела не притянутся друг к другу? Еще раз подчеркиваем: силы параллельны ускорениям, но не скоростям, а в круговом движении ускорения направлены по радиусу к центру вращения.) Так как на каждое тело действует одна-единственная сила, то обе они являются центростремительными. В то же время обе эти силы являются и центробежными. Действительно, тело А играет роль связи для тела 5, и наоборот. Значит для тела А сила Fба является центростремительной, а сила Раб — центробежной, и наоборот. Впрочем, применение понятия центробежной силы в данном случае носит совершенно формальный характер. Эти строчки были нужны лишь для того, чтобы подчеркнуть аналогию, существующую между системой шаров, связанных ниткой, и системой тел, «связанных» силами притяжения.
Планетная система являет нам пример устойчивого вращения притягивающихся тел. Допустим, что у Солнца существовала бы одна лишь планета Земля. Тогда центр вращения делил бы линию, соединяющую Солнце с Землей, в отношении тсолнца: земли= -333 000 : 1.
Таким образом, говоря в повседневной жизни, что Земля вращается вокруг Солнца, мы не совершаем большой ошибки и не совершили бы ее даже и в том случае, если бы Земля была единственным спутником Солнца.
Влияние вращения Земли на механическиеявления
Земной шар совершает сложное движение: вращается около своей оси, движется по орбите вокруг Солнца. Вполне понятно, что Земля не является инерциальной системой отсчета. Тем не менее мы с успехом пользуемся законом Ньютона в земных условиях. Однако в ряде случаев неинерциальность Земли сказывается достаточно резко. Эти случаи мы должны изучить.
Влияние вращения Земли на ее форму. Вес тела. Если не учитывать вращения Земли, то тело, лежащее на ее поверхности, следует
Рис. 13.Рис. 13.
Рис. 13.
Рис. 13.
рассматривать как покоящееся. Сумма действующих на это тело сил равнялась бы тогда нулю. На самом же деле любая точка поверхности земного шара, лежащая на географической широте <р, движется около оси земного шара, т. е. по кругу радиуса r=R costp (R — радиус Земли, рассматриваемой в первом приближении в виде шара), с угловой скоростью со=0,7292* 10”4 с"1. Следовательно, сумма сил, действующих на такую точку, отлична от нуля, равна произведению массы на ускорение to2R cos <р и направлена вдоль г.
Очевидно, что наличие такой результирующей силы 0G (рис. 13)
возможно лишь в том случае, если реакция земной поверхности ОА и сила тяготения ОЕ направлены под углом друг к другу. Тогда тело будет давить на поверхность Земли (по третьему закону Ньютона) с силой ОС=—О А. Если бы земной шар покоился, то эта сила равнялась бы силе тяготения ОЕ и совпадала бы с ней по направлению.
Разложим силу ОС на две: направленную вдоль радиуса 0D и по касательной ОВ. Наличие вращения Земли приводит, как мы видим из чертежа, к двум фактам. Во-первых, вес (давление тела на Землю) стал меньше силы тяготения. Так как OC^OD, то это уменьшение равно DE=mRto2 cos2 ф. Во-вторых, возникает сила, стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к экватору; эта сила OB^mRa2 cos ф sin ф. Такое расплющивание действительно имело место; Земля имеет не форму шара, а форму, близкую к эллипсоиду вращения. Экваториальный радиус Земли становится в результате указанного действия примерно на V3oo долю больше полярного радиуса.
Расплющивающие силы заставляли перемещаться массы земного шара до тех пор, пока он не принял равновесной формы. Когда процесс смещения закончился, расплющивающие силы, очевидно, перестали действовать. Следовательно, силы давления, действующие на поверхность земного «шара», направлены по нормали к поверхности.
Возвратимся теперь к величине давления тела на землю, то есть к той физической величине, которую принято называть весом. Вычисление, сделанное для шара (сила тяготения минус mRa2 cos2 ф), разумеется, несправедливо для истинной фигуры Земли. Однако для приближенных вычислений этим результатом можно пользоваться.
На полюсе (ф=90°) вес тела равен силе тяготения. Обозначим через mg силу тяготения тела на полюсе. Тогда давление тела на земную поверхность в любой точке земного шара, иначе говоря, вес тела, будет равно, как сказано выше, разности силы тяготения и силы DE, т. е.
mg—mR^ cos2 ф = mgr и
g' = g—Ra? cos2 ф
есть ускорение, с которым падают тела на широте ф. На экваторе g' примерно на V^o меньше g.
Использование различных ускорений свободного падения на разных широтах избавляет нас от необходимости учета влияния вращения Земли на вес тела.
Влияние вращения Земли на движение тел по земной поверхности. Представим себе, что наблюдения движения тела производятся во вращающейся системе координат. Мимо наблюдателя движется прямолинейно и равномерно какое-либо тело. В выбранной
неинерциальной системе отсчета траектория тела будет криволинейной. Французский ученый Кориолис вычислением показал, что по отношению к системе, вращающейся с угловой скоростью 0), тело, движущееся прямолинейно и равномерно со скоростью Ф, имеет ускорение, равное 2 vco sin сс, где а — угол между осью вращения и направлением прямолинейного движения. При этом вектор ускорения направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения и направление скорости. Для выбора из двух возможных направлений ускорения одного можно пользоваться следующим правилом: если смотреть вдоль оси вращения так, чтобы видеть вращение против часовой стрел- - iки, и поставить левую руку ла-
шдонью вниз, установив пальцы
.вдоль прямолинейного движе-
^—ния, то направление большого пальца покажет направление ускорения (рис. 14).
Кориолисово ускорение ак действует на все тела, движущиеся по земной поверхности. , _>^ Если смотреть на ось земного
/^ шара со стороны северного по-
/vv'люса, то вращение представляет-
ся против часовой стрелки. Сле- а^довательно, любое тело, движу
щееся в северном полушарии прямолинейно по отношению к рис> 14,инерциальной системе, откло
няется вправо по ходу движения (влево в южном полушарии) для земного наблюдателя. Это отклонение может быть большим или меньшим в зависимости от направления движения по отношению к оси, а также от линейной скорости движения.
Отклонения тел могут происходить как в горизонтальной, так и в вертикальной (по отношению к поверхности Земли) плоскостях. Кориолисово ускорение направлено перпендикулярно к земной оси; поэтому отклонения, происходящие в горизонтальной плоскости, всего больше на полюсе и равны нулю на экваторе. Обратное положение имеет место для отклонений от вертикальной плоскости. Отклонения в этих двух плоскостях характеризуются соответствующими проекциями вектора ускорения. Так, проекция ускорения тела на горизонтальную плоскость равна
2vo) sin ф, где ф — широта. В северном полушарии эта проекция направлена вправо по движению.
Отклонение движущихся в горизонтальной плоскости тел от прямолинейного пути сказывается на размытии реками правых бере- 32
гов в северном и левых берегов (по ходу движения) в южном полушарии. По этой же причине в северном полушарии реки обходят препятствия с правой (в южном — с левой) стороны.
Воздушные массы, притекающие в область низкого давления, отклоняются от радиального направления вправо в северном (влево в южном) полушарии и образуют циклоны. Таким образом, циклоны в северном полушарии перемещают воздушные массы против часовой стрелки, в южном — наоборот.
Наличие вертикального отклонения приводит к тому, что падающее тело движется не строго по вертикали, а отклоняется с запада на восток (Земля вращается с запада на восток, т. е. против часовой стрелки, если смотреть со стороны северного полюса).
Примеры. 1. Подсчитаем максимальное отклонение от прямолинейного пути обычного артиллерийского снаряда. Отклонение будет максимально на полюсе (<р=290° и для всех направлений выстрела а=90°). Беря скорость полета снаряда 1 км/с, получим 2-1000-0,73-10-4^0,15 м/с2. Это ускорение примерно в 70 раз меньше ускорения силы тяжести. Отклонение снаряда от прямолинейного пути может, как мы видим, достигать величины порядка нескольких сантиметров.
Пусть река течет с севера на юг (в северном полушарии) со скоростью 9= =3 км/ч. При этом вода переходит из областей с малой линейной скоростью вращения поверхности Земли в области с большей линейной скоростью. Это увеличение скорости движения (направленного с запада на восток вместе с берегами реки) характеризуется ускорением Кориолиса и достигается за счет воздействия правого берега реки на массы воды. Вычислим ускорение Кориолиса для широты Ф=45°:
як = 2гю)0 sin ф,
<Оо=2л рад/сут=7,25- 10“б рад/с, и=3 км/ч=0,83 м/с, як=2-0,83-7,25- 10~6Х
Х0,707=8,50-10-6 м/с2.
Таким образом, на каждую тонну воды правый берег давит с силой
8,5-IO-5-10-3=8,5.10-2Н.
Обрывистые правые берега Волги, Дона и других крупных рек северного полушария иллюстрируют приведенный расчет.
Какие данные необходимы для решениямеханической задачи?
Основной задачей механики является нахождение движения по заданным силам. Найти движение — это значит суметь указать, в каком месте пространства и в какой момент времени находится любая из материальных точек. Если же нас интересует сложная механическая система, то такие сведения нужны по отношению к каждой из материальных точек, на которые эта система мысленно разделена.
Для того чтобы справиться с такой задачей, мы прежде всего должны располагать исчерпывающими сведениями о действующих силах. Силы должны быть известны для любой точки и любого места нахождения этой точки. Если силы известны, то при помощи
2 А. И. Китайгородский33
уравнения Ньютона мы можем определить ускорение материальной точки. Однако сведения о траектории, скорости, знание момента времени, которому соответствует прохождение через данную точку пространства,— все эти сведения при помощи одних только уравнений движения Ньютона не могут быть получены. Чтобы описать движение, надо для любого момента времени знать место, где находилась материальная точка, а также знать ее скорость как по величине, так и по направлению. Всего требуется задать шесть чисел: три координаты и три проекции скорости по осям. Эти данные однозначно характеризуют «механическое состояние» точки; их можно назвать параметрами состояния.
Итак, задача сводится к нахождению параметров состояния, а уравнения Ньютона дают лишь ускорения.
Чтобы решить задачу, нужно знать начальные условия, т. е. значения параметров состояния для какого-либо момента времени (обычно этот момент обозначают /=0, отсюда и название: начальные условия). Если начальные значения параметров состояния известны, то дальнейшее является уже делом математика. Уравнения движения Ньютона плюс начальные данные однозначно решают механическую задачу. Дальнейшая судьба точки, а также ее прошлое могут быть прослежены в принципе на сколь угодно большие сроки вперед и назад. Эта идея в свое время поражала ученых. Великий французский ученый и мыслитель Лаплас говорил: если бы знать начальные координаты и скорости всех частиц, из которых состоит мир, то можно было бы предсказать судьбу мира. Эта несколько наивная точка зрения, сводящая все сущее к чисто механическим явлениям, несправедлива в принципе, и не только потому, что практически невозможно располагать требуемыми сведениями. Дело в том, что механика, основывающаяся на законах Ньютона, имеет ограниченное применение и выводы ее не могут применяться столь широко.
Вернемся, однако, к шести начальным условиям. Необходимость задания для материальной точки именно шести цифр отчетливо видна из самих уравнений Ньютона.
Векторное уравнение можно разложить по трем осям и написать его в виде трех равенств: max=Fx,may=Fy и maz=Fz. Определить движение — это значит найти, как меняются со временем все три координаты точки: х, у, г. Нахождение зависимости координатах от времени производится интегрированием уравнения
Первое интегрирование позволяет найти х-компоненту скорости. При интегрировании появляется первая постоянная интегрирования. Второе интегрирование позволяет найти координату х в функции времени. При втором интегрировании, появляется вторая произвольная постоянная. То же самое относится и к уравнениям изменения со временем других двух координат. Всего появятся шесть
произвольных постоянных, которые могут быть найдены лишь в том случае, если известны какие-либо шесть независимых данных о координатах и скоростях частицы.
Начальные условия — это, как мы говорили, три начальные координаты и три начальные проекции скорости. Однако задача может быть решена, если известны и другие шесть чисел. Например, можно задать три координаты начальной точки, числовое значение начальной скорости и две координаты конечной точки. Траектория точки однозначно определится и этими шестью условиями.
Параметры точки могут быть заданы различным способом. Положение точки в пространстве можно задать тремя декартовыми координатами, можно задать расстояние от начала координат и два угла, образованных радиусом-вектором с осями. То же самое относится и к скорости.
Характерным примером зависимости движения тела от начальных условий является поведение ракеты, выброшенной с поверхности Земли. Траектория ракеты и ее судьба определяются направлением выброса, географическим расположением места запуска и величиной начальной скорости. При небольших скоростях брошенное с Земли тело описывает, как хорошо известно, параболическую кривую. При скорости около 8 км/сек обеспечивается равенство центробежной силы и силы притяжения и брошенное тело может быть положено на круговую орбиту. При скоростях между 8 и 11,2 км/сек брошенное тело описывает около Земли эллиптическую траекторию. При начальной скорости около 11,2 км/сек кинетическая энергия тела становится достаточной для полного преодоления притяжения Земли. Ракета, брошенная с такой скоростью, будет двигаться по гиперболе.
Если механическая система состоит из п независимых точек, то число параметров системы будет равно 6п.
Однако в ряде случаев на механическую систему могут накладываться связи, уменьшающие это число. Простым примером является центробежный регулятор, который можно представить себе как систему из двух связанных шариков, которые могут раздвигаться и крутиться около общей оси. Ясно, что заданием расстояния точки от оси вращения и азимутального угла по отношению к произвольной линии мы однозначно определяем механическое состояние системы. Две «координаты» и две скорости изменения этих координат являются параметрами этого состояния.
Рассмотрим теперь произвольно вращающееся твердое тело и подумаем, какими данными надо располагать, чтобы фиксировать его расположение по отношению к неподвижной системе координат. Ясно, что тремя данными мы определим расположение центра тяжести тела. Для описания же поворота тела достаточно знания трех углов. Можно не останавливаться на этом положении, так как очевидно, что тремя поворотами около взаимно перпендикулярных осей всегда можно придать телу любую ориентировку.
Итак, твердое тело надо характеризовать шестью координатами и шестью скоростями изменения этих координат, всего двенадцатью параметрами.
В качестве еще одного примера рассмотрим две жестко связанные точки. Если бы они были свободны, то для их характеристики требовалось бы знание шести координат. Так как они жестко связаны, то имеется дополнительное условие, связывающее координаты этих точек:
(^ — Х2)а + {Ух — У if + (zt — z2)a = const.
Таким образом, независимых величин, характеризующих указанную систему, имеется пять. Пять координат и пять скоростей изменения этих координат дают для этой системы десять параметров.
Так как параметры состояния разбиваются всегда пополам на «координаты» и скорости изменения «координат», то принято говорить о степенях свободы системы, подразумевая под этим число независимых координат, нужных для описания системы. Таким образом, одна точка имеет три степени свободы, две жестко скрепленные точки — пять степеней свободы, твердое тело — шесть степеней свободы, система из п независимых точек — Зп степеней свободы и т. д. Теперь нам будет ясен смысл утверждения: механическое состояние системы определяется заданием ее параметров по числу степеней свободы.
Коэффициенты пропорциональности в формулах физикии размерности физических величин
Коэффициент у, входящий в закон всемирного тяготения, является универсальной постоянной, зависящей от выбора единиц измерения силы, массы и расстояния. Можно выбрать единицы измерения и так, чтобы было у = 1. Для этого за единицу массы надо принять массу точки, притягивающуюся к другой такой же, находящейся на единичном расстоянии, с единичной силой. В системе СГС такая масса равнялась бы, очевидно, 1,5* 107 г, т. е. 15 тоннам.
Таким образом, универсальные коэффициенты, фигурирующие в законах физики, появляются вследствие конкретного выбора единиц измерения. При желании можно было бы изгнать все коэффициенты этого рода из всех законов, выбирая соответствующим образом единицы измерения.
Важно усвоить следующее: применяемая система единиц измерения и коэффициенты пропорциональности в формулах связаны друг с другом. Эту связь можно обнаружить при рассмотрении формул размерностей. Прежде всего, необходимо установить число единиц, которые мы желаем считать основными. Это число целиком зависит от нашего произвола и определяется исключительно соображениями удобства.
В физике общепринята система, в которой единицы измерения длины L, массы М и времени Т выбраны независимо друг от друга.
Тогда значения всех универсальных констант, а также единицы измерения всех других величин однозначно определяется выбором единиц для L, М и Т. Характер этой связи дается так называемыми формулами размерности. Их смысл ясен из примеров. Размерность скорости LT"1, ускорения LT"\ силы MLT"2, гравитационной постоянной М"Х1?Т"\ электрического заряда в формуле закона Кулона NF11 L3/* Т-1 и т. д. Зная эти формулы, можно сразу же сказать, как изменятся числовые значения универсальных констант и единиц измерения производных физических величин, если изменить величину какой-либо основной единицы.
Как мы увидим на примерах (§ 81), анализ размерностей физических величин может подсказать характер тех или иных зависимостей между физическими величинами.
Наряду с системой, в которой основными величинами являются расстояние, время и масса, широкое распространение имеет система, в которой в качестве основных величин выбраны расстояние Л, время Т и сила F (системе FLT). Разумеется, формулы размерности в этой системе будут выглядеть иначе. Например, момент силы в системе FLT имеет размерность FL, а в системе MLT — размерность ML2T-2. Масса, являющаяся в системе FLT производной величиной, получит размерность FL~YT\
Основной закон механики связывает между собой силу, массу, расстояние и время. Поэтому выбор коэффициента пропорциональности в этой формуле зависит для обеих систем от выбора единиц измерения. В обеих системах полагают коэффициент пропорциональности равным единице. Это значит, что в системе МЕТ по формуле F^ma выбирают единицу измерения силы так, чтобы f=l, если масса и ускорение равны единице, а в системе FLT по формуле т = ~ выбирают единицу измерения массы так, чтобы т=1, если сила и ускорение равны единице.
В этой книге мы будем пользоваться большей частью системой MET в двух ее вариантах:
Система СГС: L — сантиметр, М — грамм, Т — секунда; Система СИ: L — метр, М — килограмм, Т — секунда.
В системе СГС единицей силы является дина= 1 г-см/с2, единицей работы — эрг=дин-см. В системе СИ единицей силы является нью- тон=1 кг-м/с2, работы — джоуль^Нхм.
Если читателю встретятся данные, выраженные в системе FLT, то их надлежит перевести в любую из указанных систем. Для этого достаточно запомнить, что единица силы в системе FLT есть килограмм-сила (вес килограммовой гири на уровне моря на широте 45°), которая связана с двумя принятыми нами единицами силы соотношениями:
1 кгс-9,81 Н = 9,81 • 105 дин.
Мы еще раз вернемся к вопросу о системах единиц, когда нам понадобятся электрические величины.
ГЛАВА 2
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Работа
Движение без ускорения (т. е. прямолинейное и равномерное) может происходить как без действия, так и при действии на тело сил. В последнем случае сумма сил, действующих на тело, равна нулю. Между этими двумя видами движений без ускорения имеется существенное различие. В первом случае движение не сопровождается работой, для осуществления второго типа движения нужно затратить работу. Работает мотор, движущий равномерно и прямолинейно автомашину. Работает человек, движущий равномерно и прямолинейно санки с грузом. Говорят, что в этих случаях работа затрачена на преодоле-
<7^<7^ние сопротивлений — трения, сопротивления воздуха и т. д.
<7^
<7^
j Из двух уравновешивающихся сил, действующих на тело, движущееся без ускорения, одна направлена вдоль, другая против
Направление Т^иусениЗ. движения.
7 у Мы говорим про силу, л действующую по направле-
Рис- 15. нию движения, что она
производит работу. Мы говорим про силу, направленную против движения, что против этой силы совершается работа.
Количественной характеристикой работы является произведение силы, действующей на тело в направлении движения, на пройденный телом путь. Эта физическая величина называется работой.
Пусть на тело действует множество сил, геометрическая сумма которых равна нулю. Тело движется равномерно и прямолинейно. Тогда можно все силы разложить на четыре (рис. 15). Силы Ft и F2 согласно принятому определению работы не производят. Сила F производит работу, равную FAS (AS — пройденный путь). Работа силы F' равна — FAS. Знак минус показывает, что работа производится против силы F'.
Рассмотрим теперь движение тела с ускорением, т. е. криволинейное и неравномерное движение. Как нам известно, в этом случае на тело действует результирующая сила, направленная вдоль ускорения (но не вдоль пути в общем случае!). Разложим опять все действующие силы на силы, направленные вдоль движения и на перпендикулярные (рис. 16). Теперь F не равно F' и Ft не равно F2.
ст&^т&бтше ^иженизи Рис. 16.ст&^т&бтше ^иженизи Рис. 16.Сохраняя данное выше определение работы, мы по-прежнему говорим про силы Fi и F2, что они не совершают работы. Работа силы F' по-прежнему отрицательна, т. е. работа происходит против силы F\ она равна F'AS. Сила F производит работу F^S) большую, чем работа против сил сопротивления. Излишек работы идет на ускорение тела.
ст&^т&бтше ^иженизи Рис. 16.
ст&^т&бтше ^иженизи Рис. 16.
Неравенство сил F2 и Ft показывает, что движение криволинейное. Разность сил F2—Ft ответственна за нормальную составляющую вектора ускорения.
ккт.т.е.е.Рассмотрим крайний случай — равномерное движение по окружности. Результирующая сила в таком движении направлена, как нам известно, по радиусу окружности,
к
к
т.
т.
е.
е.
лению движения. Поэтому центростремительная сила не производит работы.
Итак, излишек работы в общем случае криволинейного ускоренного движения идет на создание не всего ускорения, а лишь тангенциальной составляющей вектора ускорения. Для материальной точки это утверждение запишется так:
F—F' = mat и FAS—F'&S=mat\S.
Напомним, что (F—F') есть тангенциальная составляющая результирующей силы Fpf3-
Работа, затрачиваемая на ускорение тела (равная, по определению, проекции результирующей силы на направление движения, умноженной на величину пройденного пути), равна произведению массы тела на величину пути и на величину тангенциального ускорения. Можно последнее равенство записать в виде FAS=F'AS+ -FmatkS и прочитать иначе: работа действующей силы слагается из работы против сил сопротивления и работы, затраченной на ускорение тела.
Примеры. 1. Реактивный пассажирский самолет весом Р=70 тс набирает высоту Л =10 км. Если бы он двигался равномерно, то работа подъема на такую высоту равнялась бы
Л1 = РЛ = 7.108 кгс-м = 68,6.108 Дж = 68,6.10^ эрг.
Если же набор высоты происходит на пути S=85 км с одновременным увеличением скорости (ускорение а=0,3 м/с2), то дополнительная затрата работы на создание ускорения будет
A2 = maS = 17,9-108 Дж = 17,9* 1018 эрг = 1,82-108 кгс*м.
Чтобы обстругать доску длиной 2 м и шириной 022 м2 столяр затрачивает работу около 150 кгс-м=1470 Дж.
. Кинетическая энергия
Итак, при ускорении тела результирующая сила Fpe3 совершает работу
Л = F?e3AS = mat AS, где at— среднее тангенциальное ускорение на рассматриваемом участке пути AS. Подставляя значение аь получим
л Av-AS
А = т——— = mv-Av,А/’
где у — средняя скорость^ равная -^(Уг+Уи, если У2 и ух—мгновенные скорости в конце и в начале пути. Так как Ду=у2— vn то *)
т. е. работа численно равна приращению величины mv^/2. Поэтому величина
принимается за меру энергии движения материальной точки; величину К мы и будем называть кинетической энергией. Предыдущее уравнение читается теперь так: работа результирующей силы, действующей на тело (т. е. произведение тангенциальной составляющей результирующей силы на путь), равна приращению кинетической энергии тела. Это уравнение удобно для решения элементарных механических задач, в которых задан путь, на котором действовала сила.
Термин «энергия» встретится нам неоднократно. Это одно из важнейших физических понятий. Энергия, т. е. работоспособность, есть функция состояния тела; за счет убыли величины этой функции и произведена работа. Кинетическая энергия есть функция состояния движения. Если кинетическая энёргия изменилась от Ki до К 2, то произведенная при этом работа будет равна К2—Кг вне зависимости от характера движения. Быстро или медленно, равномерно или нет менялась скорость — все это не имеет значения. Убыль кинетической энергии на определенную величину дает всегда одну и ту же работу.
Только в том случае, если физическая величина является функцией состояния, она может иметь смысл энергии, т. е. запаса работы.
Примеры. Единицей энергии в атомной физике является электрон-вольт (эВ); это кинетическая энергия электрона, ускоренного разностью потенциалов в 1 вольт:
1 эВ = 1,6.10-12 эрг= 1,6-10“19 Дж.
Энергия протона, ускоренного в синхрофазотроне, равна 10 ГэВ=1010эВ= = 0,016э рг=1,6 10-5 Дж.
Кинетическая энергия крупного пассажирского реактивного самолета (т = = 100 т, 0=800 км/ч) равна
2,5* 1016 эрг = 2,6.109 Дж = 2,5.108 кгс-м.
. Потенциальная энергия
Рассмотрим некоторые явления, при которых произведенная работа не сопровождается изменением скорости тела. Два типа примеров будут занимать наше внимание: первые относятся к упругой деформации тел, вторые описывают события, происходящие при движении тел в поле тяжести и в электрическом поле. Сейчас мы покажем, что в обоих этих случаях мы сталкиваемся с превращением работы в особую разновидность энергии, называемую потенциальной энергией.
Сначала остановимся на явлениях упругой деформации. Опыт показывает, что при любой упругой деформации — растяжении, сжатии, изгибе и т. д.— можно указать такую функцию состояния, которая возрастает как раз на величину произведенной над телом работы. Эта функция состояния или, иначе говоря, функция свойств тела и степени деформации, носит название потенциальной энергии упругости.
Покажем наличие такой энергии лишь для одного примера упругой деформации — линейного растяжения или сжатия. Аналогичные доказательства возможны для любых иных видов упругой деформации.
Пусть некоторая сила (скажем, мускульная) очень медленно растягивает твердое тело (пружину). Работа, затраченная на растяжение тела от длины /+si до длины /+$2, где / — длина недеформиро- ванной пружины, равна
Л = F(s2 —8,).
Мускульная сила уравновешивается в каждый данный момент силой упругости пружины. Последняя же для не очень больших растяжений пропорциональна деформации s *):
у пр
В выражение для работы мы должны подставить среднее значение силы F, т. е. ^ (&s2+&Si). Тогда получим )
« к^ksy . / ks1 \
А " ~2F ~ А \ Т;*
т. е. работа против сил упругости затрачивается на возрастание величины ks2^!^. Эту величину и следует принять за меру энергии упру-
гости. Величину
и =—
упр 2
будем называть потенциальной энергией упругости.
Совершенно такой же вид имеют формулы потенциальной энергии упругости для других видов деформации, к характеризует жесткость тела по отношению к конкретному виду деформации, a s является мерой деформации (например, угол закручивания, угол сдвига и т. п.).
Величина 1/упр является энергией именно в том смысле, о котором мы говорили в конце § 10. Каким бы способом и с какой бы быстротой ни было произведено деформирование тела, одной и той же затраченной работе будет соответствовать всегда одно и то же значение приращения величины k^l^. Это и значит, что ksM2 является мерой энергии, а именно потенциальной энергии упругости.
Примеры. 1. Потенциальная энергия куска стальной проволоки (модуль Юнга £=20,6» 1010 Н/м2), имеющей длину 50 м, поперечное сечение 10 мм2 и растянутой на 1 см, будет
= 20-106 эрг ^2 Дж.
2. Для резины модуль Юнга £=7,85* 10б Н/м2. Камень с массой 20 г, выпущенный из рогатки, поднимается на высоту 20 м. Для этого ему должна быть сообщена энергия 3,92 Дж. Пусть при этом резиновый жгут растягивается на 40 см при первоначальной длине 40 см. Найдем требуемое сечение резинового жгута
иS *^2-40 0^3,92 Дж
vynp— z 2’ ° £s2 — 7,85-ЮШ/м2-1600 см2’
Силы тяжести обладают той же особенностью, что и силы упругости, а именно: работа, затраченная на подъем тела в поле тяжести, идет на изменение функции состояния тела. В этом случае интересующая нас функция зависит от расположения данного тела по отношению к притягивающим его телам. Она носит название потенциальной энергии тяготения.
Покажем наличие такой энергии, прежде всего, для тела, находящегося вблизи земной поверхности. Из точки 1 тело переместилось в более высокую точку 2 по какому-то криволинейному пути. Разобьем эту траекторию на малые кусочки и заменим кривую линию ломаной. Это можно сделать сколь угодно точно. Работа,
затраченная на перемещение тела вдоль одного из таких прямолинейных отрезков длиной dl, равна
dA = mgdl sin а, или dA—mgdh,
где dh— прирост высоты. Так как mg неизменно на всем пути движения, то при сложении по всему пути переноса mg выносится за скобку (при интегрировании выносится за знак интеграла), что дает для всей работы
A = mg(h2—hx\
где Ль Л2— высоты точек 1 и 2.
А = ^mghX — ^mghV = A (mgh\
т. е. работа перемещения равняется приросту произведения mgh, которое является мерой потенциальной энергии тяготения для этого простого случая.
Вполне ясно, что
U = mgh
является энергией и отвечает полностью смыслу, вкладываемому нами в это слово. Каким бы путем ни производилась работа, по какому пути ни перемещалось бы тело и с какой быстротой оно ни двигалось бы, работа перемещения тела из точки 1 в точку 2 будет всегда одинаковой, так как прирост энергии зависит лишь от местонахождения этих точек, в нашем простейшем случае — от их высот.
Так как работа перемещения тела в поле тяготения не зависит от формы пути, то работа перемещения по замкнутому контуру будет равна нулю.
Заметим, что начало отсчета А роли не играет. Если условиться отсчитывать h от поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне колодца, будет отрицательной.
Написанная выше формула непригодна для тел, далеких от Земли, например для Луны. Действительно, как было выяснено в § 2, для больших расстояний приближенная формула силы тяготения mg должна быть заменена точной у ^^ е
Рассчитаем работу, производимую силами тяготения. Условимся работу, совершаемую силами системы, считать положительной, а работу против сил системы — отрицательной. Допустим, что два тяготеющих тела сближаются вдоль линии действия сил на бесконечно малый участок пути — dr (минус, так как г уменьшается). При этом
dA^-^^dr.
Но = d ^— —^ . Следовательно,
Работа идет за счет уменьшения величины (/ =—^HhEai являющейся мерой энергии тяготения в общем случае:
dA = — dU.
Величина
представляет потенциальную энергию тяготения в общем случае.
Потенциальная энергия тяготения равна нулю, если тела находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. При сближении тел U растет по абсолютной величине, но так как U отрицательно, то, как и по приближенной формуле для тел, находящихся вблизи Земли, потенциальная энергия тем меньше, чем ближе друг к другу притягивающиеся тела. Разумеется, при желании можно изменить начало отсчета U и сделать эту величину положительной в интересующем нас интервале значений.
Нетрудно показать соотношение между общей формулой для U и ее частным случаем U^mgh. Действительно, заменяя г на R-Vh, где R — радиус Земли, получим:
.,У Мт R "?Мт
(М — масса Земли). Но h!R — малая величина, поэтому с достаточ- нои точностью , откуда
1+я
Изменив начало отсчета U, а именно приняв-за нуль потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, приходим к формуле U=mgh.
Пример. Чтобы яснее представить себе смысл полученных результатов, рассчитаем потенциальную энергию тела с массой т=Л кг на поверхности Земли и на расстоянии 1000 км над поверхностью Земли.
Потенциальная энергия на поверхности Земли
Мпг а ш 5,8-Ю2Мп1
^=-7-— ^6,67.1О-П.-^—-—— = —-6.Ы07 Дж=—6,Ы014 эрг.
0,0 •
Потенциальная энергия на расстоянии 1000 км
^1000 = ^6,67.1011.^°^—5,3-107 Дж = — 5,3*1014 эрг.
Из расчета видно, что: 1) потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли все время отрицательна и увеличивается по мере удаления от Земли (так как мы условились, что она стремится к нулю при Л->оо); 2) изменения потенциальной энергии поднимаемого над Землей тела, вообще говоря, не описываются формулой
mgQi^—AJ. Действительно,
^юоо — ^o = ~5,3• 107- (- 6,ЫО7) = 0,8• Ю7 Дж,
тогда как расчет по формуле mg(h^—AJ дает 0,98-107 Дж. Однако в тех случаях, когда речь идет о подъемах на высоту h<^.R (R — радиус Земли), можно пользоваться упрощенной формулой mg Qi^—
Весьма схожи между собой выражения потенциальной энергии тяготения и потенциальной энергии электрического взаимодействия зарядов.
Рассмотрим два одноименных электрических заряда qY и q^ находящихся на расстоянии г друг от друга. Заряды взаимодействуют (отталкиваются) по закону Кулона. Поэтому, сближая их на малый отрезок dr, мы произведем работу, равную —dA =— ™r*dr (слева знак минус, так как работа совершается против сил системы; справа тоже знак минус, так как происходит сближение и dr отрицательно). Вычисление, ничем не отличающееся от только что проведенного для сил гравитационного тяготения, дает для энергии электрического взаимодействия зарядов (для краткости ее называют кулоновской) выражение U = ^^-, т. е. и здесь dA=—dU.
Энергия взаимодействия разноименных зарядов будет отрицательной и будет вести себя, как гравитационная. Энергия одноименных зарядов равна нулю на бесконечности и растет по мере сближения зарядов.
Этими примерами потенциальной энергии мы можем ограничиться, хотя в разных случаях в рассмотрение могут быть введены и иные функции состояния тела.
Потенциальная энергия появляется всегда, когда между телами или частицами, входящими в рассматриваемую систему, действуют силы, зависящие от расстояний между телами. Потенциальная энергия есть энергия взаимодействия тел. Если система состоит из множества тел или частиц, то можно говорить о ее суммарной потенциальной энергии, которая складывается из энергий взаимодействия между всеми частицами (каждой с каждой). Уже в случае четырех частиц потенциальная энергия будет состоять из шести слагаемых, так как надо учесть взаимодействие первого тела со вторым, третьим и четвертым, второго с третьим и четвертым и, наконец, третьего с четвертым.
В механике учитывают только потенциальную энергию сил, действующую между разными телами. Если тела — сложные и состоят из множества частиц, то потенциальная энергия взаимодействия этих частиц считается неизменной во время механических явлений. Потенциальная энергия взаимодействия частиц, из которых состоит тело, входит составной частью во внутреннюю энергию тела (гл. 9). Если же имеют место изменения внутренней энергии тела, то явление должно быть рассмотрено с точки зрения законов термодинамики (гл. 9).
. Закон сохранения механической энергии
Какие бы силы ни принимали участие в движении, всегда работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии тела, т. е.
F\s= А (-у-) •
Силы, действующие на тело, могут быть силами упругости, тяготения, это могут быть также электрические силы, силы трения и т. д.
Всегда можно выделить из действующих сил такие, работа которых идет на изменение потенциальной энергии. Для краткости такие силы называются иногда потенциальными, или имеющими потенциал. Уравнение работы перепишется в виде
Fn0TAs + Ms = A(^).
Здесь / — непотенциальные силы. Работа этих сил равна изменению внутренней энергии тела или среды, в которой тело движется.
Подставляя вместо работы потенциальных сил приращение потенциальной энергии с обратным знаком, можем переписать уравнение в виде
/As = Д + ^J •
Сумму потенциальной и кинетической энергии тела называют полной механической энергией. Обозначая эту величину через 6. получим: f^s=^^эт. е. изменение полной энергии тела равно работе непотенциальных сил, например сил трения.
Если работа, идущая на изменение внутренней энергии тела, мала по сравнению с ^, то равенство переходит в утверждение: А^=0 и ^=const. Это есть закон сохранения механической энергии, который говорит, что полная механическая энергия тела сохраняется.
Закон сразу же обобщается на систему, состоящую из многих тел или частиц. Для каждого тела можно написать уравнение работы и все эти равенства сложить. Полная энергия будет теперь равняться -сумме кинетических энергий тел и потенциальной энергии взаимодействия:
Если привлечены к рассмотрению все взаимодействующие тела (такая система тел называется замкнутой), то форма закона остается той же, что и для одного тела. Изменение механической энергии равно работе непотенциальных сил, а если этой работой пренебречь, то полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной — сохраняется.
Закон сохранения механической энергии является, с одной стороны, следствием уравнений механики (закона Ньютона); с другой
стороны, его можно рассматривать как частный случай наиболее общего закона природы — закона сохранения энергии (гл. 9).
Уже в механике мы сталкиваемся с большим разнообразием различных взаимопревращений энергии. Рассматривая движение тела под действием упругих сил или сил тяготения, нетрудно заметить, что увеличение энергии одной из механических форм сопровождается уменьшением энергии другой формы.
Так, например, силы тяжести, действующие на падающее тело, уменьшают потенциальную энергию и увеличивают кинетическую энергию тела. Обратный переход происходит при подъеме тела на высоту. Силы упругости, заставляющие отскочить от стенки брошенный мяч, уменьшают потенциальную энергию сжатого мяча, которая переходит в кинетическую. Обратный переход происходит в момент остановки стенкой брошенного мяча (период от отсутствия деформации до максимального сжатия).
Растянутая пружина может поднять груз на высоту. Напротив, падающий груз растянет пружину. Следовательно, энергия упругости может перейти в энергию тяготения, и наоборот.
Приведенные примеры относятся как к случаям перехода одной формы энергии в другую для одного и того же тела, так и к случаям передачи энергии одним телом другому.
Разумеется, возможны передачи одним телом другому энергии в той же форме: один груз тянет другой при помощи перекинутой через блок нити, один шар, столкнувшись с другим, передал ему часть своей кинетической энергии, и т. д.
. Потенциальные кривые. Равновесие
Потенциальная энергия взаимодействия тел или частиц зависит от их взаимного расположения, т. е. всегда является функцией координат или иных параметров, характеризующих положение этих тел в пространстве. В простейших случаях потенциальная энергия может зависеть от одной-единственной координаты.
Рассмотрим взаимодействие двух частиц, потенциальная энергия взаимодействия которых определяется функцией Щх), где х— расстояние между частицами. Пусть для определенности частицы отталкиваются с силой F. Под действием силы взаимодействия расстояние между ними увеличится на dx, т. е. будет совершена работа F dx. Это возможно за счет потенциальной энергии взаимодействия U, которая изменится на —dU (уменьшение энергии).
Таким образом, — dU=F dx, или
~ * dx *
т. е. в случае потенциальных сил сила есть производная от потенциальной энергии по параметру х с обратным знаком. Тогда характер механической задачи очень просто и наглядно описывается при
помощи так называемых потенциальных кривых, т. е. графиков, на которых значения потенциальной энергии отложены в функции параметра (рис. 17).
При объяснении существа этого графического метода обычно обращаются к движению тела по горе. Рисунок потенциальной кривой особо нагляден в этом случае, так как профиль горы и вид По
тенциальной энергии, которая пропорциональна высоте Л, совпадают с точностью до постоянного множителя.
На потенциальной кривой имеются ямы, вершины, крутые и отлогие скаты и подъемы. Вид кривой позволяет сразу же указать, на каких участках пути совершается большая или меньшая работа, каков знак этой работы. Чем круче потенциальная кривая, тем больше сила, действующая на тело. В соответствии
рис 17с известным геометрическим
’ *смыслом производной сила
характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенциальной кривой.
Справедливость формулы, связывающей потенциальную энер
гию и силу, вполне очевидна для тех частных случаев потенциальной энергии, которые мы привлекли к рассмотрению. Для потенциальной энергии тела у поверхности Земли
U = mgh и F = — •^• = — mg;
для тела в поле тяготения в общем случае
t/ = _v^h. и р = — — = у т‘,Пг •
* гdr * г^ ’
для тела, подвергающегося упругому действию, = и г= —=— кх.
2dx’
для электрического взаимодействия
у <71^2 у р =^^ —АУИгdr г2 *
Возвращаясь к потенциальной кривой, изображенной на рисунке, мы сразу же можем отметить на ней, пользуясь сделанным замечанием, те места, где сила наибольшая, и те точки, где сила, действующая на тело, равна нулю. Последние точки, т. е. положения равновесия,— это дно потенциальной ямы и вершина потенциальной
горы. Те положения, при которых потенциальная энергия максимальна, соответствуют неустойчивому равновесию, а дно потенциальной ямы является положением устойчивого равновесия.
Мы сказали выше, что вид потенциальной кривой позволяет описать возможное движение тела. Это не вполне точно: кроме потенциальной кривой нужно еще знать значение полной механической энергии тела. Если это число известно, то действительно можно по виду потенциальной кривой рассказать о возможных движениях тела или частицы.
На рис. 17 проведены горизонтальные прямые с ординатами ^х и ^2- Если ^ есть полная энергия частицы, то из графика можно найти уже не только потенциальную энергию, но и кинетическую энергию как разность между <§ к U.
Движущаяся точка не может быть в тех положениях, при которых потенциальная энергия больше полной энергии. Таким образом, горизонтальная прямая ^ ограничивает возможные участки движения тела. В случае, если энергия выражается нижней прямой ^п у движущейся точки имеются два возможных интервала положений: она может находиться либо в потенциальной яме (и совершать в ней колебательные движения), либо на склоне правее точки Л, где она будет двигаться вниз или вверх с соответствующим приобретением или потерей кинетической энергии.
Проведенные рассуждения вполне одинаковы для потенциальной кривой любой природы. На рис. 18 приводится несколько типов
потенциальных кривых. Кривая 18, а — это потенциальная кривая тела, колеблющегося на пружине. Колеблющееся тело находится в потенциальной яме с симметричными краями. Кривая 18, б — это потенциальная кривая, типичная для многих взаимодействующих частиц — атомов, молекул. Кривая представляет собой потенциальную яму, один край которой очень крутой, а другой — пологий. По оси абсцисс отложено расстояние между частицами. Как видно из кривой, потенциальная энергия весьма велика на малых расстояниях, затем с увеличением расстояния потенциальная энергия падает, достигает минимума, затем медленно возрастает, стремясь к
некоторому конечному пределу. Характер движения и связи двух взаимодействующих частиц вполне детально описывается этой кривой. Следует различать два случая: первый, когда полная механическая энергия этой пары частиц выражается нижней горизонтальной прямой и второй, когда полная энергия равна ^2. В первом случае система не может выбраться из потенциальной ямы. Это значит, что расстояние между частицами лежит в пределах, указанных на рисунке. Взаимное движение частиц может носить лишь колебательный характер. Так обстоит дело в устойчивой двухатомной молекуле. Второй случай обратен первому. Полная энергия взаимодействующих частиц слишком велика, чтобы они постоянно были связаны. Система может выйти из потенциальной ямы, т. е. связь между частицами не может существовать, частицы могут разойтись на сколь угодно большое расстояние.
Третья потенциальная кривая на рисунке — это так называе- емый потенциальный ящик. Вспоминая, что сила характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенциальной кривой, мы видим, что потенциальная энергия может быть представлена в виде ящика, если тело или частицы перемещаются свободно без действия сил, но не могут выйти за пределы заданного участка, пока полная энергия меньше высоты бортов ямы.
ГЛАВА 3
ИМПУЛЬС
. Сохранение импульса
Импульсом тела или материальной точки называют произведение массы точки на вектор скорости, p^mv (другой термин для этой величины — количество движения). Импульс р является, таким образом, векторной величиной. Если речь идет о системе тел или системе точек, то импульс такой системы равен геометрической сумме импульсов точек, составляющих систему:
р=а+а+--
Основная особенность, делающая эту векторную величину интересной для физика, заключается в том, что в замкнутой системе вектор Р не изменяется, какие бы движения ни происходили внутри системы. Это положение носит название закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса следует непосредственно из законов Ньютона. Для каждого из тел, Входящих в замкнутую систему, справедливо уравнение
т. е.
dt
Подумаем, что будет, если сложить такие уравнения, записанные для всех тел. В правой части равенств стоят силы, действующие на данное тело со стороны остальных. Скажем, сила, действующая на первое тело, равна сумме сил, действующих на него со стороны второго, третьего и т. д. тел. Пользуясь двойными индексами, это можно записать так: Fi2+F13+F14+.• • Совершенно аналогично можно записать выражение силы, действующей на второе тело: F21+F22+F23+. • •, на третье: F31+F32+F33+..., и т. д. Нетрудно сообразить, что при сложении правые части равенств дают нуль. Каждому слагаемому одной строки всегда найдется в другой строке ему равное и противоположное по знаку в соответствии с правилом действия и противодействия. Так, сила F12 даст нуль в сложении с F2i, сила F13— в сложении с F31, и т. д. Поэтому в замкнутой системе имеет место равенство
di di dt
(Р1 +рй +Рз + •••) = О,
или
Pi+p2+^3+• •. = const.
Это и есть закон сохранения импульса. Величины и направления импульсов отдельных тел могут меняться, но их геометрическая сумма для замкнутой системы не меняется.
Значения некоторых импульсов: импульс электрона с энергией 5 эВ~12- К)-20 г-см/с, винтовочной пули — 8- 10е г-см/с = 8кг-м/с, товарного поезда~107 кг-м/с.
. Центр инерции
Известны способы нахождения центра тяжести любого тела. Если тело закреплено в центре тяжести, то оно находится в положении безразличного равновесия. Если имеется система материальных точек или если сплошное тело условно разбить на элементарные объемы, рассматривая каждый как материальную точку, то можно дать аналитическое выражение для положения центра тяжести.
Используя правило сложения параллельных сил (рис. 19), мы можем найти для случая, когда материальные точки расположены вдоль одной линии, скажем, вдоль оси х, следующее выражение для положения центра тяжести:
^1П\Х-^ —|~ trux^ -f- /213X3 Н- •«•^ + /722 + ^3+*
Здесь хх, х2, х3, ...— координаты материальных точек, a mXl т^ m3l , е.— их массы. Массы появляются вместо весов, так как ускорение силы тяжести сокращается.
В теоретической мех нике показывается, что при произвольном расположении материальных точек выражение для положения центра тяжести имеет вид
где R — радиус-вектор центра, a rn r2, r3, ...— радиусы-векторы точек.
То, что ускорение силы тяжести сократилось в этих формулах, позволяет нам считать, что найденная точка имеет объективный смысл и в том случае, когда тело будет перенесено в другие гравитационные условия и даже если будет находиться в условиях невесомости в межпланетном пространстве. Поэтому целесообразно распространенное название «центр тяжести» заменить на название, имеющее прямое отношение к существу дела, а именно, говорить не о центре тяжести, а о центре инерции тела.
Сейчас же мы увидим глубокий смысл этого названия. Рассмотрим скорость движения центра инерции
у — ^ v ” dt *
Пользуясь формулой местонахождения центра инерции, получим
У= ^1^1 И-^2^2+ ^3^3 И- • • •
В числителе стоит суммарный импульс, который сохраняется в замкнутой системе; значит, в правой части равенства находится постоянная величина. Отсюда вывод: вектор скорости центра инерции не меняется ни по величине, ни по направлению. Или, иначе говоря, центр инерции замкнутой системы материальных точек совершает инерционное движение.^
Как мы знаем, все инерциальные системы координат равноправны. Можно поэтому всегда перейти к системе координат, связанной с центром инерции изучаемой системы, и считать эту интересную точку покоящейся. В атомной физике часто рассматриваются соударения частиц между собой. Для этой цели используются две системы координат: лабораторная (естественная координатная система наблюдателя) и система, связанная с центром инерции соударяющихся частиц. Удобство последней системы отсчета очевидно: суммарный импульс частиц равен нулю.
§16. Соударения
Слово «соударение» надо понимать в несколько более широком смысле, чем это принято в житейской практике. Для механических задач, которые нас серчас интересуют, к соударениям относятся любые встречи двух или более тел, при которых взаимодействие длится короткий срок. Таким образом, кроме явлений, которые можно отнести к соударениям во всех смыслах этого слова, — удара биллиардных ша- 5 ров, столкновений атомов или атомных ядер,— сюда можно отнести и такие события, как прыжок человека с трамвая /\
или на трамвай или попадание пули в II стенку. При таких коротких взаимодей-I\
ствиях возникают столь большие силы,I\
что роль всех постоянно действующих I \ сил можно считать ничтожной. Это дает I\
нам право рассматривать соударяющие- I\
ся тела как замкнутую систему и при- /\
менять к ним закон сохранения им- /^
пульса.~
Во многих соударениях длительностьРис. 20.
взаимодействия измеряется тысячными долями секунды. За это время сила доходит до своего максимального значения, затем падает до нуля. Типичная кривая силы при ударе показана на рис. 20. В каждое мгновение удара соотношение между силой, действующей на любое из тел, и импульсом этого тела дается вторым законом Ньютона:
Переписывая его в виде FAt-A(mv), мы можем сказать, что произведение среднего значения силы на время ее действия должно равняться изменению импульса. Более точное утверждение мы получим, проинтегрировав написанное уравнение от начального времени удара до окончания взаимодействия. Очевидно, т
5 F dt = (mv)2—(nw)r о
Интеграл в левой части называют иногда импульсом силы. Геометрический смысл этой величины на графике — площадь под кривой удара (см. рис. 20).
В зависимости от упругих свойств тел соударения могут протекать весьма различно. Принято выделять два крайних случая: идеально упругий и абсолютно неупругий удары.
Остановимся сначала на втором из них. Под неупругим ударом понимают такую встречу двух тел, в результате которой эти тела объединяются. К неупругим ударам относятся столкновение глиняных шаров, прыжок человека на движущуюся вагонетку, столкновение двух разноименных ионов с образованием молекулы, захват электрона положительным ионом и т. д.
Пусть до встречи тела двигались со скоростями У1 и у2; суммарный импульс равнялся //7i^i+m2t>2. После встречи тела имеют общую массу, равную mi+m2, и движутся с какой-то скоростью V. Импульс системы после встречи равен (/Hi+m2) V. Закон сохранения импульса требует равенства
(пч + m2) V = т^ + m2v2,
откуда скорость тел после неупругого удара представится формулой
/и1+/тг2 *
Вектор импульса после встречи тел должен равняться сумме векторов импульса тел до удара.
Если встречное движение происходит вдоль одной прямой, то после удара тела будут двигаться в том направлении, куда ранее шло тело с большим импульсом. Если импульсы тел равняются по величине, то т^^—т2Ф2 и, значит, V равно нулю — столкнувшиеся тела остановятся.
Неупругий удар сопровождается энергетическим превращением. Из только что приведенного примера видно, что кинетическая энергия может даже обратиться в нуль. Нетрудно подсчитать величину, на которую возрастает внутренняя энергия встретившихся тел в том или ином случае; для этого лишь надо составить разность
^1 + ^2 V2 (^l^l I m2^A
2 \ 2 т 2 / •
Рассмотрим теперь идеально упругие столкновения, т. с. такие, при которых тела полностью восстанавливают свою форму. Это значит, что в состоянии этих тел не происходят какие-либо изменения, их потенциальная и внутренняя энергия до и после удара неизменна и, следовательно, кинетическая энергия должна сохраняться. Для двух тел, соударяющихся таким образом, можно составить два уравнения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим массы тел через т и М. Всегда можно выбрать начало координат совпадающим с одним из тел. Это упрощает задачу, нисколько не уменьшая общности 0ас-
смотрения. Мы положим поэтому тело с массой М покоящимся до удара. Указанные два закона сохранения дадут тогда такие равенства:
mu = my + МУ, — та2 = у ти2 + у MV2;
здесь и и У — скорости шара т до и после удара, V — скорость шара М после удара.
Рассмотрим несколько примеров применения этих уравнений. Прежде всего, изучим нецентральное ) соударение двух шаров равной массы (рис. 21). Тогда массы сокращаются в обоих уравнениях и мы получим
= u2 = v2 + V2.
Из векторного равенства ясно, что вектор и является замыкающей треугольника, построенного на векторах у и V. Из правого уравне
ния следует, что треугольник, в котором и — гипотенуза, должен быть прямоугольным; отсюда следует, что скорости после столкновения двух частиц равной массы должны быть направлены под прямым углом друг к другу. Этот интересный вывод легко проследить для биллиардной игры: направления движений шара, который подвергся удару, и «своего» шара образуют угол в 90°. В остальном характер изменения вектора скорости не определяется нашими уравнениями, в которых не учитывается
отклонение линии удара от линии, проходящей через центры шаров.
Полные сведения о движении шаров после удара мы получим, если ограничим себя случаем центрального удара. Движение столкнувшихся шаров будет тогда и после удара происходить вдоль той же прямой. Поэтому можно не пользоваться векторными символами, помня, однако, что изменение знака скорости будет означать изменение направления движения. В этом случае нам нет зато нужды рассматривать упрощенный случай равных масс. Уравнения
центрального соударения имеют вид
та = mv + MV, mu2 = nw2 + MV2.
Преобразовывая эти уравнения к виду
m^u — v^MV, m^—v2^ MV2
и деля их друг на друга, найдем: u+v=V или и=— (у— V). Мы замечаем, что относительная скорость движения шара т по
отношению к шару М до удара (мы ее обозначили через и) равна с обратным знаком той же относительной скорости после удара.
Интересная формула возникает при подстановке У—и+и в формулу закона сохранения импульса. Находим выражение скорости шара т после удара через скорость этого же шара до удара:
Рис. 22.Рис. 22.Если массы шаров равны, то скорость у обращается в нуль. Это явление можно очень эффектно демонстрировать на стальных или костяных ша
Рис. 22.
Рис. 22.
Рис. 23.Рис. 23.риках. Шары как бы обмениваются скоростями при таком ударе (рис. 22). В остальных случаях шар т замедляется. Чем ближе массы соударяющихся шаров, тем эффектнее замедление. Нетрудно прикинуть, что нейтрон (масса 1) отскочит от ядра атома углерода (масса 12), потеряв 2/13 своей скорости, а от ядра атома урана (масса 235) — потеряв всего лишь 2/2зв своей скорости.
Рис. 23.
Рис. 23.
Для макроскопических тел законы упругого удара неплохо выполняются для таких материалов как слоновая кость, сталь, резина и т. д. Эти материалы обладают способностью превосходно восстанавливать свою форму, что видно из интересной фотографии, приводимой на рис. 23, где при помощи так называемой «лупы времени» снят момент удара хоккейного мяча о препятствие. За V5ooo секунды мяч сжимается почти на один сантиметр, такое же время затрачивается на восстановительную фазу удара. В первой фазе кинетическая энергия удара превращается в потенциальную энергию упругого сжатия. Во второй фазе потенциальная энергия пере
ходит в кинетическую. При идеально упругом ударе этот обратный переход должен был бы полностью восстановить значение кинетической энергии, затраченной в первой фазе удара.
Нашими формулами не охватывается важный случай упругого удара шара о стенку (рис. 24). Так как кинетическая энергия должна сохраняться, то скорость шара не может измениться по величине. Что же касается направления движения шара после удара, то оно должно образовывать тот же угол (90°— а) с нормалью, что и вектор скорости до удара. Действительно, в случае удара о гладкую 56
стенку тангенциальная (касательная) составляющая скорости остается неизменной, так как отсутствуют тангенциальные силы сцепления со стенкой. Как видно из рисунка, приращение импульса численно равно 2mv sin а и направлено вдоль нормали к стенке. Согласно основному закону механики, в момент удара сила, дей
ствующая на шар со стороны стенки, должна быть направлена туда же, куда направлен вектор изменения импульса. По- этому-то и угол падения шара равен углу отражения.
Рассмотрим неупругий удар на примере баллистического маятника (прибор для измерения скорости пули). Ящик с песком массой М подвешен на тросе. Пуля влетает в ящик и застревает в песке. Импульс пули до удара ти, импульс системы после удара (Л4+т)и. Имеем
тv = ——7 и.т + М
Приобретя кинетическую энергию Мг№, ящик израсходует ее, поднявшись на высоту /г, удовлетворяющую условию
Mgh^, т. e.h=Tg^) ^т<М) •
Пусть М=10 кг,. т—10 г, ц=900 м/с; тогда А = 4 см.
Если бы мы не пользовались законом сохранения импульса, а определили бы h, основываясь на полном переходе кинетической энергии пули в потенциальную энергию маятника, то получили бы h = 40 м (!). Это означает, что в нашем примере 3920 Дж механической энергии (99,9% общего запаса) «исчезло» (пошло на нагревание-системы). Так как абсолютно упругих тел не существует, то при каждом «упругом» ударе механическая энергия не сохраняется, часть ее переходит в энергию теплового движения молекул и рассеивается. Мы еще вернемся к этому в гл. 11 (стр. 159).
Теперь на примере соударений мы проиллюстрируем достоинства системы координат, связанной с центром инерции.
Пусть на шарик с массой т, покоящийся в лабораторной системе координат, налетает другой такой же шарик со скоростью v. Если удар неупругий, то какая-то часть кинетической энергии системы mv2/2 перейдет в тепло. В иных системах координат кинетическая энергия этой пары шариков выразится другими числами. Что же касается выделяемого тепла, то оно будет одним и тем же для данной пары шариков и будет определяться скоростью их относительного движения. Поэтому, вместо того чтобы с помощью закона сохранения импульса искать переходящую в тепло долю кинетической энергии, вычисленной для лабораторной системы координат, достаточно рассчитать кинетическую энергию для системы, связанной с центром инерции. Так как в этой системе координат суммарный импульс тел равен нулю, то после неупругого соударения шары останавливаются: вся кинетическая энергия переходит в тепло. Кинетическая энергия для системы, связанной с центром инерции, будет иметь минимальное значение.
В системе координат, связанной с центром инерции, шары движутся навстречу друг другу со скоростями уи. Кинетическая энергия каждого шарика равна-^ mu2, а полная энергия системы у mu2. Таково будет количество тепла, выделяемое при неупругом соударении. Какой бы ни был удар, выделение тепла (или другой формы энергии) за счет кинетической энергии тел может произойти в количестве, не превышающем кинетическую энергию, подсчитанную для системы, связанной с центром инерции. И наоборот, для выделения заданного количества тепла нужно эквивалентное количество кинетической энергии, подсчитанное для системы центра инерции.
Пример. Ядерная реакция бомбардировки азота N14 а-частицами протекает согласно уравнению
К14 + не4—>О17 + Н!
и идет с поглощением энергии 1,13 МэВ. Какой кинетической энергией в лабораторной системе координат должна обладать а-частица, чтобы реакция пошла? На первый взгляд кажется, что для этого достаточно энергии 1,13 МэВ. Номы уже знаем, что это не так. В системе координат, связанной с центром инерции, нужна энергия 1,13 МэВ, однако в лабораторной системе координат нужна большая энергия.
тт »7721^x4-^2^2
Действительно, скорость центра инерции тс = ~, где т^— им
пульс первой частицы, m2®2— второй. Скорость первой частицы в системе координат центра инерции
1Ц = Vi — У с — :/77x4-/7721Ц = Vi — У с — :/77x4-/772(У1 — у2)э для второй частицы можно написать
1Ц = Vi — У с — :
/77x4-/772
1Ц = Vi — У с — :
/77x4-/772
®2 - ®2 - Г С - ^+«2 (®2 ~ ^
Отсюда кинетическая энергия системы (a, N14) в системе координат центра инерции будет
Кд.и = 1ц(У1-»2)=, где
— так называемая приведенная масса обеих частиц. Будем считать ядра N14 неподвижными (и2=0). Это предположение справедливо, так как всегда можно пренебречь медленным тепловым движением ядер-мишеней по сравнению с огромными скоростями налетающих частиц. Тогда кинетическая энергия в лабораторной системе координат К д = — щи? и, следовательно.
Ка = Кц.Ка = Кц.nil 4“ ^2и т^ *nil 4“ ^2и т^ *
Ка = Кц.
Ка = Кц.
nil 4“ ^2
и т^ *
nil 4“ ^2
и т^ *
Реакция идет, если Кц. и=1,13 МэВ. Учитывая, что/72х =4,/n2= 14, получим
Кд= 1,13 — ^1,45 МэВ.
. Явления отдачи
Закон сохранения импульса помогает легко разобраться в основных чертах явления отдачи при выстреле, реактивном движении и при рассмотрении других аналогичных проблем.
Рассмотрим, прежде всего, явление отдачи, происходящее в системе отсчета, где в начальный момент тела покоились. В случае выстрела из орудия такое рассмотрение вполне естественно. Если в начальный момент система, состоящая из двух .или более тел, покоится, то суммарный импульс ее равен нулю. Какие бы события далее ни произошли, равенство нулю суммарного импульса продолжает иметь место. Если поэтому в какое-то мгновение происходит взрыв, в результате которого система делится на части с массами тх, т2, т^, ..., которые разлетаются со скоростями фъ у2, ^з, • • •, то сумма импульсов т1У1+т2У2+^зУз+. • • разлетающихся тел должна по-прежнему равняться нулю.
Если речь идет о выстреле из орудия (система делится на две части), то условие равенства нулю импульса этой системы из двух тел имеет вид т^+МУ^О; здесь малые буквы относятся к одному телу, скажем снаряду, а большие — к другому, к орудию. Разделение системы на две части может происходить при разлете частей только вдоль общей прямой линии. Поэтому векторные значки можно отбросить и записать условие в виде ти=—MV. Скорости орудия и снаряда должны быть обратно пропорциональны их массам. Итак, явление отдачи будет ощущаться тем резче, чем больше масса снаряда по отношению к массе орудия.
Чрезвычайно большой интерес представляют явления «непрерывной отдачи», имеющие место в реактивном движении. Подобные явления составляют своеобразную главу механики, которую можно назвать механикой переменной массы. Они' осуществляются не только в реактивном самолете. Напротив, можно указать ряд обыденных явлений, в которых мы имеем дело с подобным движением. В качестве примера достаточно указать рулон разматывающейся бумаги или падение непрерывно конденсирующейся в атмосфере капли (см. пример в конце параграфа). Основания механики переменной массы были заложены в конце XIX в. профессором И. В. Мещерским. Не имея возможности останавливаться на его работе, мы рассмотрим лишь одну-единственную проблему этой области, касающуюся возможной скорости движения ракеты.
Ракета движется со скоростью и и в какое-то мгновение выбра* сывает некоторую порцию горючего газа с массой dM. Масса ракеты естественно уменьшится на эту величину. Если скорость истечения газов обозначить через и (это скорость не по отношению к ракете, а по отношению к той же инерциальной системе отсчета, в которой описывается скорость движения ракеты), то импульс отделившегося от ракеты вещества будет равен и dM. Ракета уменьшит свою массу и увеличит свою скорость на величину du. Импульс ракеты после выброса горючего будет равен (М— dM) (v‘+dv). В соответствии с
законом сохранения импульса мы можем приравнять импульс Ми ракеты до выброса порции горючего и импульс системы после истечения порции газа. Последний будет равен разности импульса ракеты и массы горючего. Итак,
Ми = (М—dM) (v + dv)—udM,
откуда с точностью до бесконечно малых второго порядка
du = (u + v)^-.
Но и+и есть относительная скорость истечения горючих газов (по отношению к ракете). Обозначая эту скорость через с, мы приходим к следующему уравнению для приращения скорости ракеты: dv =—с^ . Знак минус поставлен, чтобы учесть возрастание скорости при убывании массы. Мы видим, что прирост скорости равен доле потерянной массы, умноженной на относительную скорость истечения горючего.
Считая скорость истечения газов по отношению к ракете величиной постоянной, мы легко проинтегрируем написанное уравнение. Если масса ракеты была /Ио, когда скорость ракеты была п0, и стала равной М тогда, когда скорость ракеты изменилась до и, то интегрирование дает
иМ
с ,е дм
т. е.1у—v0 = cln-^.
Последняя формула была впервые получена первым создателем конструкции ракеты и исследователем теории межпланетного сообщения К. Э. Циолковским.
Переходя к десятичным логарифмам и вводя для разности масс ракеты, т. е. для массы отброшенного горючего, обозначение т= =М0— М, получим формулу Циолковского в виде
v = C.2,3.1g(l+^)
(начальную скорость и0 полагаем равной нулю).
Для скорости истечения газов 2000 м/с расчет по формуле дает такие характерные цифры:
т/М0,251,04,010,032,354999
у, м/сек4461386321848177013800013815
Как видно из этой таблицы, скорость ракеты возрастает много медленнее с количеством выброшенного горючего, чем хотелось бы. Для придания ракете значительной скорости необходимо выбро- 60
сить огромное количество горючего по отношению к начальной массе ракеты. Так, для придания скорости 7 км/с от массы ракеты должна остаться меньше чем V30 часть.
Чтобы ракета вышла за пределы земного тяготения, ей нужно придать скорость, равную примерно 11 км/с. Эта цифра получается следующим простым рассуждением. Для отрыва от Земли ракета должна обладать такой кинетической энергией, которой хватило бы для производства работы перемещения тела с земной поверхности в бесконечность. Но эта работа против сил тяжести равна разности потенциальных энергий ракеты на поверхности Земли и в бесконечности. Так как в бесконечности потенциальная энергия равна нулю, то условие отрыва от Земли имеет следующий простой вид:
ти2 тМ
где М и R — масса и радиус Земли. Умножив числитель и знаменатель правой части равенства на R, вспоминая формулу ускоре- м
ния силы тяжести на поверхности Земли g = 4~^ и сокращая на массу ракеты, находим условие отрыва от Земли: v = V2gR, что и дает цифру около И км/с.
Если считать, что скорость истечения газов2000 м/с), то можно найти по формуле Циолковского отношение т!М. Оно будет равно 244. Желая оторвать ракету от Земли, мы должны придать ей такую конструкцию, чтобы в межпланетное путешествие отправить всего лишь ^245 долю той массы, которой обладала покоящаяся ракета. Если бы эту скорость удалось повысить в три раза, т. е. довести до 6 км/с, то отношение т/М упало бы до 5,3. Но это, видимо, пока нереально, судя хотя бы по сообщению прессы в декабре 1968 г. о рейде «Аполлона-8» вокруг Луны: «в земную атмосферу вернется отсек весом 5,3 тонны — все что останется от корабля в 3100 тонн».
Меньшие трудности приходится преодолеть при выведении на орбиту спутника Земли. Для создания искусственного спутника требуется меньшая начальная скорость. Если полагать, что ускорение силы тяжести на тех высотах, где мы желаем создать орбиту спутника, примерно то же, что и на земной поверхности, то закон механики, записанный для искусственной планеты, будет иметь вид mg=ma, а так как спутник движется по окружности, то центростремительное ускорение a^v^/R. Отсюда находим значение скорости обращения спутника и — V gR, т.е. 8 км/с. Если такая скорость будет придана ракете, то она превратится в земного спутника. Из приведенной выше таблицы, рассчитанной для скорости истечения газа в 2000 м/с, мы видим, что значение т/М, нужное для придания ракете скорости 8 км/с, равно 54.
Пример движения тела с переменной ма с с о й. Пусть водяная капля падает в насыщенной водяными парами атмосфере. В момент времени / капля имеет массу т и радиус г. За время dt объем капли, а следовательно, и масса (при плотности, равной 1) увеличатся на величину 4лА/г. Следовательно, скорость dm . 9 dr,
возрастания массы —=4п,гд — . В то же время из физических соображении ясно, dm»
что скорость конденсации -^- водяного пара должна быть пропорциональной кон
денсирующей поверхности (4лг2). Отсюда ~ = const и r=kt, где к — некоторый коэффициент пропорциональности.
Составим уравнение движения этой капли в поле тяготения Земли. Нас интересует изменение импульса d(mu), которое по основному закону механики равно Fdt, где F—mg. Имеем F= ^ (ти), т. е. mg —т~-\-и-^-е Подставляя сю- СИСИ СИ
du Зи __
да выражения для т и г, получим ^-=£—— • Интегрирование этого урав- д
нения показывает, что u=^t, т. е. капля падает с постоянным ускорением ig=2,45 м/с2. Сопротивление воздуха в расчет не принималось.
ГЛАВА 4
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
. Кинетическая энергия вращения
В этой главе будут изучаться «абсолютно твердые» тела. Это значит, что всякого рода деформациями, которые могут происходить при движении тела, мы можем пренебречь и полагать, что расстоя
ния между частицами тела остаются неизменными.
Рассмотрим твердое тело, вращающееся около неподвижной проходящей через него оси (рис. 25). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с массами Дт,, &т2, ..., находящиеся на расстояниях гъ г2, ... от оси вращения. Разным значениям расстояний будут соответствовать и различные скорости движения Vi, v2,... Нас интересует кинетическая энергия вращения всего твердого тела. Она сложится из кинетических энергий частиц Д/П1, Дт2, ..., т. е.
„ _ Д/^ . Д/п^ . Дт^ .
Авр 2'2 Т" 2•" ’""
Скорость кругового движения той или иной точки тела нетрудно выразить через угловую скорость вращения тела со. Если тело поворачивается за время dt на угол d<p, то производная d^ldt носит
название угловой скорости*.
В случае равномерного движения последняя формула переходит в известное читателю соотношение со=2л/7’. Величина <в измеряется обычно в радианах в секунду. Если тело совершает 1 оборот в секунду, то его угловая скорость равна 2л рад/с.
Все точки вращающегося твердого тела имеют различные скорости и (мы будем называть их линейными), но одинаковую угловую скорость со. При повороте на угол dtp точка проходит дугу ds=r d^. Деля обе части этого равенства на время движения dt, находим соотношение между линейной и угловой скоростью:
и = юг.
Таким образом, формула, известная ранее для равномерного движения, справедлива в общем случае.
При помощи этого соотношения выражение для /<вр может быть преобразовано следующим образом:
Квр = ^(Г1 A"Ji + ^ Am2+...).
Величина, стоящая в скобках, не зависит от скорости движения, а характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении: чем больше величина, стоящая в скобках, тем большую энергию надо затратить для достижения заданной скорости. Поэтому величина
I = гХ kmx + гХ &т2 + ...
называется моментом инерции тела, а выражение г2Дт — моментом инерции точки. Значение / можно записать и короче:
/ = ^ г2 dm;
при этом интегрирование (суммирование) происходит по всем точкам тела.
Формула для кинетической энергии вращающегося тела приобретает вид
-''вр2 ’
Эта формула справедлива для тела, вращающегося около неподвижной оси. Если речь идет о катящемся теле — шаре, колесе и пр., то энергия движения будет складываться из энергии вращения и энергии поступательного движения. Если катящееся тело имеет массу М, момент инерции /, скорость поступательного движения и и вращательного со, то кинетическая энергия
Ми2 . /го2
Более того, оказывается, что последняя формула справедлива^ для любого производного движения твердого тела. В теоретической механике доказывается, что произвольное движение всегда можно разложить на совокупность поступательного и вращательного. При этом вращение надо рассматривать по отношению к оси, проходящей через центр инерции.
. Момент инерции
Всматриваясь внимательно в формулу для момента инерции, мы видим, что значение / зависит от характера распределения массы по отношению к оси вращения. Точки, лежащие вдали от оси вращения, вносят в сумму значительно больший вклад, чем близкие точки.
Вычислим момент инерции плоского диска с радиусом г относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр (рис. 26). Масса элементарного кольца с радиусом х будет dm p-2nxdx, где р — плотность материала диска. Момент инерции этого кольца dl^dm^x2, а момент инерции всего диска гг
1Х = У dlx = J р • 2лх3 dx = 2лр -^- = -^- . о о
Очевидно, что относительно такой же оси момент инерции кольца, вся масса которого сосредоточена на внешней окружности радиуса г, будет U=mr\ т. е. U=2Ile Момент инерции одного и того же тела будет различным, смотря по расположению оси вращения. Если тонкая около своей длинной оси, то момент инерции будет крайне мал — все точки лежат очень близко к оси вращения, и следовательно, все величины гХ, гХ, ..., входящие в формулу для /, совершенно незначительны. Момент инерции будет гораздо больше, если спицу вращать около линии, перпендикулярной к ее оси.
Момент инерции зависит и от направления оси и от места ее прохождения. Если нет специальной оговорки, то предполагается, что ось вращения проходит через центр инерции тела.
Если ось вращения сдвинута по отноше
нию к центру инерции (рис. 27) на расстояние а, то новый момент инерции / будет отличен от момента инерции /0 относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции.
64
Используя замечание, сделанное в конце предыдущего параграфа, мы можем кинетическую энергию тела, вращающегося около сдвинутой оси, представить как сумму
JZ-Mv1 I Л>(°2
здесь у — скорость движения центра инерции, которая будет равна а<й. Таким образом,
Следовательно, момент инерции I относительно параллельной оси, сдвинутой на а от центра инерции, будет равен
1 = к + Ма2.
Отсюда следует, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, всегда самый малый для данного направления. В зависимости от симметрии тела его характеризуют одним, двумя или тремя моментами инерции по отношению к главным осям, проходящим через центр инерции.
Так, для диска характерны две оси, проходящее через его центр: лежащая вдоль диска и перпендикулярная к диску; моменты инерции соответственно равны (разумеется, имеем в виду однородное распределение массы по диску) mr 2/4 и тг'2!2. Для кольца моменты инерции около так же проведенных осей будут тг2!2 и mr2.
Для всех тел вращения достаточно знать моменты инерции относительно двух осей. В случае тел произвольной формы для исчерпывающей характеристики инерционных свойств тела при вращении вполне достаточно знать три момента инерции относительно осей, проходящих через центр инерции, а именно: наибольший момент инерции /макс, наименьший /мин И момент инерции относительно оси, перпендикулярной к первым Двум (/ср).
Единственное тело, у которого моменты инерции около всех осей одинаковы,— это шар. Для шара /—-j-mr2.
Приведенные формулы моментов инерции рассчитаны по формуле
1 ~\ г2dm.
Использование этой формулы требует в общем случае умения оперировать кратными интегралами. Примеры таких вычислений будут даны в курсе теоретической механики.
Как мы узнаем ниже, физика интересуют иногда значения моментов инерции молекул. Так как масса атомов сосредоточена в ядрах, размеры которых крайне малы, то расчет моментов инерции проводится без труда: атомы можно рассматривать как материальные точки.
65653 А. И. Китайгородский
65
65
У двухатомной молекулы момент инерции относительно оси, проходящей через атомы, равен нулю. Для оси, перпендикулярной к соединительной линии, имеем
/ = тА ^а + пг^ Гд,
где гА и гв— расстояния атомов А и В двухатомной молекулы до центра инерции. Если I — расстояние между атомами, то Гд+л^/ и 1А ~ ^ е Следовательно, гв тл
~ тдА-тв ’
Моменты инерции более сложных молекул также могут быть подсчитаны как суммы моментов инерции точечных атомов.
Примеры. 1. Маховик судового двигателя с массой порядка 1 т и диаметром 2 м имеет момент инерции /^1000 кг-м2. Делая 300 об/мин, маховик обладает кинетической энергией вращения
K =500 000 Дж50 000 кге- м.
Момент инерции земного шара имеет величину порядка Ю46 г-см2= = 1038кг-м2. Кинетическая энергия вращения Земли вокруг своей оси 2,5-1029 Дж.
В молекуле водорода Н2 расстояние /=0,753-10-8 см, масса атома водорода /ин = 1,6598-10~24 г, поэтому момент инерции молекулы относительно оси, перпендикулярной к /, будет
Z=-~- = 0,46-IO-49 г.смзе
§ 20. Работа вращения и основное уравнение вращения
Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение силой F или, напротив, вращающееся тело тормозится силой, то при этом кинетическая энергия вращения возрастает или убывает на величину затраченной работы. Так же, rdf как и в случае поступательного :движения, эта работа зависит от
действующей силы и от произведенного ею перемещения. Однако перемещение теперь угловое и знакомое нам выражение работы для смещения материальной точки на некоторое расстояние теперь уже неприменимо.
Для нахождения интересующей нас формулы обратимся к чертежу (рис. 28). Сила F приложена в точке, находящейся на расстоянии г от оси вращения. Угол между направлением силы и радиусом-вектором обозначен через 9. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы (хотя она и приложена к одной точке) равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на
угол dtp точка приложения проходит путь г йф и работа dA, равная произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения, будет равна
dA — Fr s'mQdq.
Выражение Fr sin 6 носит название момента силы,
M^Fr sin 9.
Из чертежа видно, что rsinfl d, где d—кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения. Поэтому
М = Fd,
момент силы равен произведению силы на плечо.
Формула работы, которую мы искали, есть
dA = Md^.
Работа вращения тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Строго говоря, формула справедлива для бесконечно малого угла dtp. Однако мы можем ею пользоваться в любом случае, если будем понимать под М среднее значение момента силы за время поворота. Тогда
АЛ = Л4ср Аф.
Работа вращения идет на увеличение кинетической энергии вращения. Поэтому должно выполняться равенство
., ,, / /<о2\
М dtp = d ( -у \ .
Если момент инерции постоянен во время движения, то
М dtp — /о) do)
dm или, так как со = ’at
■ ■г day
Это есть основное уравнение движения вращающегося тела. Момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции day на угловое ускорение
Примеры. 1. Момент силы, приходящийся на одно колесо локомотива, развивающего тяговое усилие порядка 105 Н, будет порядка ^ 3000 Н-м.
Человек, едущий на велосипеде, создает вращающий момент на педали порядка 100 Н-м.
Покажем на примере связь между выражением для кинетической энергии движущегося твердого тела (см. стр. 63) и основным законом механики.
3*
Точка du F=mdt’Точка du F=mdt’
Точка du F=mdt’
Точка du F=mdt’
Пусть катушка с массой иг и радиусом г, обладающая моментом инерции I относительно своей оси, обмотана невесомой нитью (рис. 29). Конец нити закреплен на некоторой высоте над уровнем Земли. Катушка падает под действием своего веса mg. Составим уравнения движения катушки:
mg-T = m —atrp j diddt
где T — натяжение нити, о) — угловая скорость вращения катушки. Исключая Г, получим ускорение
а—— ——-— .
mr2
Если начать отсчет времени в момент #освобож дени я катушки, то за t секунд она упадет на Н=^12а. Очевидно, что полная кинетическая энергия катушки в этот момент должна равняться изменению потенциальной энергии катушки:
у 2
K = mgh = mg—.
Подставляя сюда выражение для а, получим ШУ2 , /(О2
Момент импульса
Бросается в глаза аналогия между формулами движения материальной точки и выведенными законами вращения твердого тела. Это ясно хотя бы из такого сопоставления:
Вращающееся тело
dt 1к №
Очевиден и физический смысл аналогии: подобно тому как в механике точки ускорения могут быть вычислены по заданной силе, во вращательном движении угловое ускорение вычисляется по заданному моменту силы. Роль массы играет момент инерции, им характеризуется во вращении степень инертности тела (одной массы уже для этого недостаточно). Эта аналогия поощряет нас к тому, чтобы сделать еще один шаг и допустить, что в отношении аналогичных физических величин должны существовать аналогичные закономерности.
В предыдущей главе было установлено, что импульс p^nw является физической величиной, удовлетворяющей закону сохране- 68
ния в замкнутой системе. Величиной, аналогичной р, является момент импульса (вращательный импульс)
N = /о).
Можно строго доказать, что вращательный импульс удовлетворяет закону сохранения: в замкнутой системе полный вращательный импульс входящих в эту систему тел не изменяется. Увеличение вращательного импульса одного из тел должно быть скомпенсировано равным уменьшением остальных.
Закон
/1^1 +1^ += const
имеет много интересных приложений, во многом аналогичных задачам, которые мы изучали в предыдущей главе.
Закон сохранения импульса, если его применить к одному телу, имеет форму m^=const и, таким образом, совпадает с законом инерции. Закон сохранения вращательного импульса приводит нас к интересному результату даже в этом простейшем случае. Одноединственное тело при отсутствии взаимодействия со средой должно удовлетворять условию
/со = const.
Но момент инерции тела может изменяться во время движения. Мы видим, что возрастание I должно сопровождаться уменьшением со, и наоборот.
Этому можно привести множество примеров и эффектно проиллюстрировать на опытах, если располагать вращающимся табуретом. Сидя на таком табурете, возьмите в руки гантели (рис. 30).
Рис. 30.
Раздвиньте руки в стороны и попросите дать вам небольшой вращательный толчок. Движение происходит при некотором моменте инерции / с угловой скоростью со. Теперь сомкните руки перед грудью: момент инерции существенно уменьшится до /'. Так как
произведение /со должно остаться неизменным, то 1(&=Гы'. Значит, сделанное движение руками должно привести к существенному возрастанию скорости вращения. Можно теперь опять
Рис. 31.Рис. 31.
Рис. 31.
Рис. 31.
Рис. 32.Рис. 32.
Рис. 32.
Рис. 32.
развести руки — движение замедлится, сомкнуть руки — движение ускорится.
Уменьшение момента инерции как прием, увеличивающий скорость вращения, хорошо знакомо гимнастам и танцорам. Этот прием используется во всякого рода прыжках, переворачиваниях, кружениях. Напомним лишь с помощью рис. 31 балетный прием — увеличение скорости вращения за счет изменения позы и уменьшения тем самым момента инерции.
При помощи той же вращающейся табуретки и надетого на длинную ось колеса демонстрируют обычно отдачу при вращении (рис. 32).
Стоя на табуретке и держа колесо над головой, резким движением закрутите колесо; табуретка получит при этом вращение в обратную сторону. Это и есть явление отдачи: вращательный импульс /1(01 колеса уравновесится обратным по знаку вращательным импульсом /2<о2 табуретки со стоящим на ней человеком, так как в исходном положении как табуретка, так и колесо не вращались и полный вращательный импульс был равен нулю.
Мы назвали в свое время неупругим ударом такую встречу двух тел, после которой тела движутся вместе. Нечто сходное можно осуществить и при вращении, располагая теми же демонстрацнон-
ными предметами. Приведите колесо во вращение и передайте его человеку, сидящему на табурете. Начальное положение: табурет и человек покоятся, велосипедное колесо вращается с импульсом Z^. Теперь человек берется рукой за колесо. Вращательный импульс /1(01 исчезнуть не может, но теперь он принадлежит всей системе — человек на табурете и колесо вращаются вместе, разумеется, в ту же сторону, куда вращалось колесо. Очевидно, /дог^ ^(1г\12) о). Если до «объединения» человек вращался со скоростью <о2, то должен сохраниться вращательный импульс Zi(ot+ /2со2, и, следовательно,
/1<о1 + /2<»2 = (/1+/2)<о, ®=^i^b^,
1 1 "Т 1 2
что весьма похоже и по форме и по смыслу на выражение для неупругого удара.
Примеры. 1. Маховик судового двигателя, момент инерции которого 1000 кг-м2, при 300 об/мин имеет вращательный импульс ~30 000 кг-м2/с.
Биллиардный шар радиусом 2,5 см имеет момент инерции /=250 г-см2 и движется без скольжения по столу со скоростью 5 м/с. Тогда его вращательный импульс —50 000 г-см2/с=5-10-3 кг-м2/с.
Вращательный импульс Земли при вращении вокруг своей оси ~1034 кг-м2/с.
Свободные оси вращения
Допустим, что тело получило импульс вращения около какой- либо закрепленной оси. Представим себе, что закрепление оси снято. Хотя вращательный импульс должен сохраниться (разумеется, если пренебречь трением), но расположение тела в пространстве может все же меняться; если при этом изменится момент инерции, то это будет скомпенсировано соответственным изменением угловой скорости.
Однако в ряде случаев характер вращения не изменится; вращение будет устойчиво происходить около первоначального направления так, как будто бы ось вращения была по-прежнему закреплена. Теория и опыт показывают, что такими устойчивыми свободными осями вращения могут быть две оси, проходящие через центр инерции: ось максимального момента инерции и ось минимального момента инерции.
Если закрепленная ось вращения проходила через центр инерции (рис. 33), но была наклонена к осям симметрии, а следовательно, и к названным выше направлениям, то после того, как ось высвободится, тело начнет менять свое расположение по отношению к оси вращения. Из рисунка видно, что причиной изменения расположения является то, что центробежные силы образуют пару сил. Тело будет менять расположение до тех пор, пока осью вращения не станет свободная ось.
Можно рядом способов показать, что свободно вращающееся тело будет менять ось вращения додех пор, пока вращение нс станет
происходить около свободной оси. Привязывая за нитку тела различного профиля и прикрепив другой конец нитки к оси быстрого мотора, мы можем передать телу вращательное движение, не закрепляя оси вращения. На рис. 34 показаны последовательные
положения вращающегося кружка, цепи и спичечной коробки. Спичечная коробка начнет вращаться около оси, параллельной либо самому короткому, либо самому длинному ребру. Теория показывает, что вращение около оси со средним* моментом инерции не будет устойчивым, даже если эта ось является осью симметрии.
При строительстве одной из первых турбин не сумели при скорости в 30 000 об/мин достаточно точно фиксировать положение закрепленной оси, чтобы ликвидировать пары центробежных сил, действующие на подшипники. При столь больших скоростях эти силы недопустимо велики. Из затруднения вышли, используя для оси турбинного диска гибкий вал. Вращение происходило около свободной оси, а гибкий вал приспосабливался к этой оси.
Рассмотрим это явление несколько детальнее. Обозначим через а сдвиг центра тяжести колеса турбины, происходящий из-за асимметрии колеса, а через А — величину изгиба вала под действием центробежной силы. Вал'прогнется в сторону асимметрии, поэтому выражение центробежной силы может быть записано в виде 4л2п2Л4(я-гА). Эта сила уравновешивается упругой силой &А, где к — жесткость
вала. Таким образом,вала. Таким образом,А — аА — а114 л2 п2М4 л2 п2М-1-1
вала. Таким образом,
вала. Таким образом,
А — а
А — а
1
1
4 л2 п2М
4 л2 п2М
-1
-1
Из формулы следует, что при большом числе оборотов п прогиб вала А не растет, а стремится стать равным величине асимметрии колеса с обратным знаком. Это означает, что при возрастании скорости вращения турбины полное смещение колеса с валом от оси вращения становится равным нулю. В этом и состоит приспособляемость гибкого вала: он может изогнуться на нужную для уничтожения центробежной силы величину, не сломавшись.
Из приведенной формулы следует, что условие /г/4л2п2Л1 = 1 является критическим. При этом соотношении изгиб вала становится равным бесконечно большой
величине. Это — момент резонанса (внешняя частота п=— у , т. е. совпадает с собственной частотой колеса турбины, имеющего массу М и насаженного на вал с жесткостью &; см. гл. 5), который должен быть быстро пройден при разгоне турбины.
Гироскопы
Под гироскопом или волчком обычно понимают устройство, которое может вращаться около как угодно ориентированной оси. Если волчок закручен и предоставлен сам себе, то он сохраняет свою ось вращения неизменной, пока на него не действуют силы (/(о в этом случае не должно меняться).
Действие силы на ось вращения волчка проявляется весьма неожиданным образом. Это демонстрируется с помощью гироскопа (рис. 35), уравновешенного грузом так, чтобы ось прибора была
горизонтальной. Придадим гироскопу вращение в вертикальной плоскости и-к оси подвесим груз G. Казалось бы, вся правая часть, т. е. гироскоп, должна подняться кверху. Действительно, так было бы, если бы гироскоп не вращался. Вращающийся же гироскоп придет во вращение с постоянной скоростью около вертикальной оси в направлении, показанном пунктиром со стрелкой. Движение происходит под прямым углом к направлению действующей силы.
Описанное явление, при котором ось вращения начинает вращаться около направления силы, называется прецессией. Прецессионное движение волчка хороню знакомо каждому. Как только ось волчка хоть немного отклонится от вертикали, на волчок начнет действовать опрокидывающий момент силы тяжести. Неподвижный волчОк упал бы, но вращающийся волчок начнет прецессировать околб вертикали» ось волчка будет описывать конус с вершиной в точке опоры волчка.
Обычно вращение волчка носит еще более сложный характер. На прецессионное движение накладывается нутация. Оказывается, что небольшой толчок (который всегда возможен) может заставить ось волчка дрожать (рис. 36). В результате явления нутации ось описывает не окруж
ность, а циклоидальную линию, показанную на рисунке. Впрочем, часто нутационные явления заметны очень слабо.
ГЛАВА 5
КОЛЕБАНИЯ
Малые отклонения от равновесия
Движения, совершаемые телом или частицей около положения равновесия, часто встречаются в природе. Покачивается грузик, подвешенный на нитке, дрожит пружинка, колеблется атом, входящий в кристаллическую решетку.
Если материальное тело или точка, на которую действуют силы, находится в положении равновесия, то потенциальная энергия ее минимальна — система находится в потенциальной яме (рис. 37). Если отклонения от положения равновесия невелики, то рассмотрению подлежит маленький участок потенциальной ямы. Ход потенциальных кривых вблизи положения равновесия всегда может быть
представлен параболической зависимостью, т. е. в виде U^jjix2. Здесь 1/2А — коэффициент пропорциональности; половинка введена для удобства, которое сейчас станет очевидным.
74
Обоснование написанной зависимости заключается в следующем. Потенциальная энергия есть функция смещения из положения равновесия. Как известно, при достаточно широких предположениях любую функцию при малых х можно разложить в ряд Тейлора по возрастающим степеням х:
U = ах + ~ кх1 + Ьх4 4- сх4 + ...
Однако, если х мало, то члены с высокими степенями можно откинуть, а первый член пропадает, если потенциальная яма симметрична, и значения потенциальной энергии на одинаковых расстояниях слева и справа от равновесия должны быть одинаковы.
Сила, действующая на отклонившуюся от равновесия точку, будет равна производной от потенциальной энергии с обратным знаком. Поэтому, если энергия выражается формулой U^l^kx2, то F—кх. Смысл знака минус очевиден: найденная сила всегда возвращает тело к положению равновесия, всегда направлена в сторону, противоположную смещению. Силу F——кх так и называют возвращающей силой, а коэффициент к иногда называют коэффициентом возвращающей силы.•
Какой же характер будет носить движение, возникшее под действием возвращающей силы? На этот вопрос ответ должен дать закон Ньютона, который запишется для движений вблизи равновесия в виде та=—кх.
Это уравнение будет удовлетворено, если точка совершает около положения равновесия гармонические колебания, т. е. колебания по закону
х — A cos у t,
где Т — период колебания.
Проверим это утверждение. Скорость движения точки для написанной зависимости смещения от времени будет равна
dx2л4 . 2л ,
и =t.
at17
Запомним, что максимальное значение скорости колебательного движения, т. е. амплитуды скорости, равно иМакс=2лД/Г. Теперь найдем ускорение как производную скорости. Получим
4л2 д 2л ,а = — cos -тр t.
Подставляя в закон Ньютона та^—кх выражения для ускорения и для смещения, имеем
A cos у t = —кА cos у t;
мы видим, что содержащие время множители сокращаются. Значит, уравнение гармонического колебания удовлетворяет закону Ньютона для малых отклонений от равновесия.
Замечательным является то обстоятельство, что закон Ньютона накладывает связь на период возможных колебаний. Как видно из последней формулы, период свободных колебаний около положения равновесия Т ^SnV^/k. Период колебания определяется свойствами колеблющейся системы — коэффициентом возвращающей силы к и массой точки. Поэтому понятно, -что этот период называют собственным или характеристическим периодом колеблющейся системы.
На амплитуду колебаний А условий не наложено, разумеется, за исключением того, что колебания должны быть малыми отклонениями от положения равновесия.
Частные случаи колебаний
Соответственно с тем, что мы оперируем в механике с двумя видами потенциальной энергии — упругой и тяготения, и механические колебания тел можно разбить На эти два случая.
Тела, колеблющиеся под действием сил упругости, наиболее часто совершают линейные колебания сжатия и растяжения; распространены и крутильные колебания.
Если тело, подвешенное на резиновом шнуре, пружине или проволоке, будет смещено от положения равновесия в направлении шнура, оси пружины или проволоки, то возникнут линейные колебания под действием возвращающей силы упругости. Коэффициент к есть в этом случае жесткость колеблющегося тела.
В какой мере этот коэффициент определяет возникающий период и частоту колебания, видно из следующего примера. Одинаковые грузы с массой 1 кг подвешены к трем пружинам различной жесткости. Под действием этих нагрузок пружины растянуты соответственно на 1 мм, 1 см и 1 м. Тогда коэффициенты жесткости будут соответственно иметь значения:
k^ ^^-=0,981 107 дин/см; ^-0,981 • 106 дин/см;
^3 = 0,98Ь104 дин/см.
Периоды и частоты колебаний этих маятников будут
Т^л')/ -^- = 2л j/o^f io?^6.3410"2 с- v1 = -15,8 Гц;
Т2 = 0,2с, v2 = 5Fu;
Т3 = 2 с, v3 = 0,5 Гц.
В крутильных колебаниях возвращение к равновесию происходит под действием крутильного момента, который при малых отклонениях от равновесия прямо пропорционален угловому смещению. Если, скажем, на проволоке висит массивная шайба с моментом инерции 1 и проволока закручена на какой-то угол, то уравнение крутильных колебаний шайбы будет выглядеть так: 1-^ ——D(p. Роль коэффициента возвращающей силы D здесь играет вращательный момент, отнесенный к единице углового смещения, роль массы
играет момент инерции. Значит, период свободных крутильных колебаний представится формулой
Г = 2„
Чем больше момент инерции, тем меньше частота колебаний.
Пример. Пусть диск с массой 100 г и радиусом 5 см подвешен к стальной нити и совершает крутильные колебания с периодом Ч с. Момент инерции диска /1~тг2/2=1250 г-см2. Тогда коэффициент возвращающей силы D=Ac^I JT2 — =49400 дин-см/рад. Если к той же нити подвесить диск прежней массы, но радиуса 1 см, то период крутильных колебаний будет уже не 1 с, а Т2 = 2л Vl^D^ «0,2с.
Тела, колеблющиеся под действием сил тяготения,— это маятники. Если маятник можно примерно представить как материальную точку, подвешенную к невесомой нити, то говорят о математическом маятнике (рис. 38).
Из рисунка мы легко найдем выражение возвращающей силы mg sin а — это составляющая веса по направлению касательной к. траектории. Если отклонения от равновесия малы, то синус угла можно заменить на значение угла а и, далее, заменить его на частное от деления смещения х на длину нити /. В этом приближении смещения по хорде и дуге совпадают по величине. Таким образом, возвращающая сила равна mgxil, а ее коэффициент равен mgU. В выражении для периода колебаний сокращается масса колеблющейся точки T^uVlIg.
Независимость периода колебаний маятника от массы является примером общей особенности движения материальных точек в поле тяготения. Действительно, сила, действующая на такую материальную точку по закону тяготения, будет пропорциональна массе, поэтому в уравнении движения масса со
кратится. Итак, мы пришли к известному выводу, заключающемуся в- том, что в данном месте поля тяготения период колебаний математического маятника будёт зависеть только от его длины.
Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения фигуры Земли и гравиметрическая разведка (небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта изменения значений g могут произойти благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород).
ском маятнике.ском маятнике.Рис. 39.Рис. 39.Если речь идет о малых колебаниях физического тела, которое никак нельзя приближенно заменить точкой, то говорят о физиче- "а рис. 39 показано твердое тело; ось вращения (колебания) проходит через него. Период колебаний физического маятника вычисляется по той же формуле, что и период крутильных колебаний:
ском маятнике.
ском маятнике.
Рис. 39.
Рис. 39.
поскольку уравнение
справедливо для любых движений тела, поворачивающегося около оси. Однако в случае поля тяготения мы легко можем выразить вращательный момент, отнесенный к единице углового смещения, через более непосредственные характеристики маятника. Из того же рисунка
видно, что вращательный момент равен произведению веса тела на расстояние г от центра тяжести до точки подвеса и на синус угла отклонения от положения равновесия mgr sin а. Считая, как все время в этом разделе, отклонения от положения равновесия небольшими, получим для вращательного момента выражение mgr а, откуда D = ^^^. = mgr. Таким образом, период колебаний физического маятника дается выражением
Т = 2л V — = ^ l/ —•V mgr V g
Величину V^Hmr называют приведенной длиной физического маятника. Такую длину имел бы математический маятник с тем же периодом колебания.
Превращения энергии. Затухающие колебания
При колебаниях около положения равновесия в случае, если нет трения, полная энергия тела ^ остается, разумеется, неизменной. Так как потенциальная энергия задается обычно с точностью до произвольной постоянной, то потенциальную энергию в положении равновесия (смещение х=0) мы положили равной нулю. В любой момент движения
о mu2 . kx2
В положении равновесия максимальна кинетическая энергия. В крайних положениях тело останавливается (у=0, х=Л) и мак-
симальна потенциальная энергия. Отсюда, кстати, очевидно, что окА1 2
— энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды.
Для трех пружинных маятников, рассмотренных в примере на стр. 76, если их амплитуды колебаний одинаковы и равны А =0,1 см, полные энергии колебаний будут соответственно иметь значения
^=0,49-105 эрг; ^ = 0,49-104 эрг; ^3 = 49 эрг.
Эти рассуждения не учитывают сил трения, испытываемых, как правило, любым колеблющимся телом. Такие идеальные колебания будут продолжаться вечно с неизменной гс , амцлитудой. Наличие трения приводит/Тх^
к затухающим колебаниям. ФормальноI Tb*.*
и в этом случае можно записать уравне- |117Т—д
ние смещения в видеI11II И
х = A cos1 1 I 11 1 |
однако А будет уменьшаться со време- J 1 U нем (рис. 40). Чтобы узнать, как А долж- но зависеть от времени, надо знать силы трения, т. е. нужно знать /Тр для каж-р с 40
дого мгновения колебаний. Простейшееис‘
допущение, более или менее удовлетворительно выполняющееся на опыте, состоит в том, что сила трения пропорциональна скорости движения:
fTp=«y;
а — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.
Для шарика радиусом 0,53 мм коэффициент сопротивления а при температуре около 15 °C будет в глицерине 13,93 г/с, в серной кислоте 0,35 г/с, в воде 0,01 г/с.
Уравнение энергии имеет теперь вид dS = —та dx;
колеблющаяся точка непрерывно теряет энергию в количестве, равном работе сил сопротивления. Уравнение движения записывается так:
та= —кх—та.
Нетрудно показать подстановкой, что это уравнение удовлетворяется решением х=А cos со/, если амплитуда колебаний Л уменьшается со временем по экспоненциальному закону:
А=Аое йт ’
где Ло— амплитуда в момент времени /—0.
Обратим внимание на то, что отношение двух последующих амплитуд будет сохраняться. Действительно, запишем выражения амплитуды через (и—1) периодов и через п периодов:
Ап_х = А6еАп_х = А6еArt = Aee ™Art = Aee ™
Ап_х = А6е
Ап_х = А6е
Art = Aee ™
Art = Aee ™
Разделим эти выражения друг на друга. Отношение
АТ
действительно не зависит от п. Иногда быстроту затухания характеризуют логарифмическим декрементом 6:
Ап 2т
Итак, затухание происходит тем быстрее, чем больше коэффициент сопротивления, чем меньше масса и чем больше период колебания.
Надо заметить, что период затухающих колебаний отличается от периода свободных колебаний. То же вычисление, которое приводит к формуле временной зависимости амплитуды, дает для пе
7-То7-То111 —4/72^1 —4/72^риода выражение
7-То
7-То
1
1
1 —
4/72^
1 —
4/72^
Это значит, что при малом сопротивлении Т мало отличается от То = 2л К^/^; при увеличении сопротивления период колебаний растет и, наконец, при
— = 1
4mk
колебания прекращаются. Мы говорим в этом случае, что тело, выведенное из положения равновесия, апериодически возвратится к этому положению.
Примерные значения логарифмических декрементов затухания некоторых колеблющихся систем:
Акустические колебательные системы . ; 0,1
Электрические колебательные контуры0,02—0,05
Камертон 10 ~3
Кварцевая пластинка'. 10~4—10-&
Рассмотрим некоторые примеры затухающих колебаний.
Колебания камертона. Логарифмический декремент 6=-^—7= 10~3. Пусть период колебаний камертона Г—0,01 с. Тогда а/2/тг—0,1 с-1. Это значит, что за время 2т/а=10 с амплитуда колебания уменьшится в е раз:"
—— t
At=A,e=
Величину 2щ/а=т называют постоянной времени данной колебательной системы. 80
В акустических колебательных системах, как это видно из приведенной таблицы, логарифмический декремент затухания велик. Это значит, что колебания быстро затухают. Если 6 — ^- Т = 0,1, то уже амплитуда десятого колебания Я10 будет меньше начальной амплитуды ;40 в е раз. Действительно,
—л— = егпг, т. е. -т— = е.
Л1 Л2 Л9 Л10Л1о
Изменение периода затухающих колебаний удобно проиллюстрировать на примере затухающих колебаний пружинного маятника. Пусть груз с массой ш= =50 г подвешен на стальной пружине, которую он растягивает на 2 см. Тогда жесткость пружины &=24 500 дин/см. Если бы не было затухания, то
Т0 = 2л Л/ ^=0,28 с.
и V k
Пусть затухание таково, что постоянная времени т1=2т/а=5 с, т. е. коэффициент сопротивления а=20 г/с. Тогда период колебания станет
1\ = —71^=^Т6 (1+4,08.10-5).
V1-—
Г 4mA
Погрузим тот же маятник в жидкость. Пусть теперь постоянная времени т2=1 с (это значит, что уже амплитуда четвертого колебания примерно в е раз меньше начальной, т. е. затухание достаточно сильное):
Т2 То (1 + 102-10-5) = 1,001 То,
т. е. даже в этом случае период возрос лишь на 0,1?^.
§ 27. Вынужденные колебания
Если тело выведено из положения равновесия и затем предоставлено самому себе, то колебания его происходят с собственной частотой, не зависящей от характера возбуждения, а определяющейся лишь свойствами системы. Колебания тронутой струны имеют одну и ту же частоту вне .зависимости от того, щипком или ударом се заставили звучать.
В то же время имеется ряд способов, при помощи которых телу можно «навязать» колебания с внешней частотой. Такие вынужденные колебания можно осуществить, если создать связь между двумя телами, способными колебаться. Одно из них будет вынуждать колебаться другое. Неточно уравновешенный мотор совершает колебания, которые передаются фундаменту; фундамент будет совершать вынужденные колебания. Можно проделать такой опыт: карманные часы кладутся в маленькую коробку, которая подвешивается на трех нитях; коробка приходит в состояние вынужденного колебания. На рис. 41 показано устройство, при помощи которого можно вращением эксцентрика привести маятник в состояние вынужденных колебаний. Во всех этих случаях на тело действует периодическая сила, меняющаяся с некоторой частотой со; такую силу уместно назвать внешней.
Вынужденные колебания устанавливаются не сразу. Должно пройти некоторое время, пока связанное с колебательной системой тело само придет в колебание. В конце концов установится какая-то амплитуда, а частота колебания будет точно равна со.
Наличие у тела собственной частоты колебания <оо все же скажется на явлении вынужденных колебаний. Точнее, как мы сейчас
увидим, существенно отличие собственной частоты от внешней. На рис. 42 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения со/оэо для трех систем, отличающихся трением. При совпадении внешней частоты с собственной амплитуда вынужденного колебания максимальна. Это явление широко известно под названием резонанса.
Кривые, изображенные на рис. 42, могут быть найдены теоретически. Уравнение движения тела, совершающего вынужденные колебания под действием периодической внешней силы F0cos(ot имеет вид
та = —кх—оси + ^0 cos <о/.
Нетрудно показать подстановкой, что смещение колеблющейся точки будет удовлетворять уравнению
х = А соз(оэ/ + Р),
где амплитуда
/1 —— ,
V («о — от)2 + «V
а сдвиг фазы Р удовлетворяет уравнению
OCG)
т (а>о — о))
dzxdx
Учитывая, чтоа=—*-, a v = ~ , подставим эти величины в уравнение движения. После простых преобразований, группируя члены, содержащие cos®/и sin®/, получим
[(—m®2 + &) A cos Р — a® A sin Р —/^l cos tot—
— [(—т®2 + &) A sin Р + а® A cos р} sin tot=§.
Так как полученное равенство должно выполняться для любого момента времени, мы должны потребовать, чтобы коэффициенты при cos®/ и sin®/ равнялись нулю. Таким образом, получаем два уравнения для определения Лир
[(—/и®2 + к) cos р — a® sin р) А — FOl [(—/и®2 + k) sin Р + а® cos Р] А — 0.
Возводя оба уравнения в квадрат и суммируя, получим
V (®о—-toV + a2®2
где ®0 = У"k/m—частота собственных колебаний. Из второго уравнения находим сдвиг фазы р:
^Р = z-2""m (®0—
Из первой формулы следует, что амплитуда А зависит от <о следующим образом: при <o<<oo амплитуда растет с увеличением <о>
при (о=(оо достигает максимума и далее падает. Эффект (острота резонанса) будет тем более резким, чем меньше коэффициент сопротивления а. При малом трении резонанс разрушает систему: при а=0 резонансная амплитуда обращается в бесконечность. Такая возможность должна учитываться строителями. Чтобы обеспечить нечувствительность сооружения к колебаниям грунта, нужно знать резонансную кривую, подобную изображенной на рис. 43. Нижняя кривая показывает колебания грунта, верхняя — здания. При резонансе, который наступает при периоде колебания 0,32 с, амплитуды колебания достигают 20—25 микрон. Это, в общем, не малая величина.
Острота резонанса сказывается и
еще на одном важном обстоятельстве: чем острее резонанс, тем медленнее устанавливаются колебания постоянной амплитуды.
Другая особенность вынужденных колебаний — это сдвиг фазы. До сих пор мы молчаливо подразумевали такой выбор начала отсчета времени, при котором при /=0 смещение максимально в положительном направлении. Разумеется, если изучается какое-то
одно колебание, то нет нужды делать иной выбор начала отсчета. Однако, если мы сравниваем два колебания и выбираем начало отсчета времени так, чтобы у одного из них при t^Qx—A, то у второго колебания в это же мгновение смещение может иметь произвольное значение. Это обстоятельство можно учесть, вводя в аргумент косинуса сдвиг фазы р: если х^Д cos (со/Ч р), то это значит, что в момент времена /=0 х—Дсозр. При помощи сдвига фаз Р смещение по фазе описывается вполне однозначно.
Вернемся теперь к резонансным явлениям.
Величина р в формуле вынужденного колебания означает, что фаза вынужденного колебания, вообще говоря, сдвинута по отношению к фазе вынуждающего колебания. Величина сдвига фаз зависит от отношения собственной и внешней частот (о/(оо, а также от затухания. На приведенном графике (рис. 44) видно, что при
резонансной частоте вне зависимости от затухания имеет место сдвиг фазы 90°. Если несколько отойти от условий резонанса; то влияние затухания станет очевидным. При слабом затухании (малых значениях логарифмического декремента 8) при частотах, несколько меньших резонансной, сдвиг фаз близок к нулю, при несколько больших частотах сдвиг фаз близок к 180°. Та же тенденция, но не так четко выраженная, имеет место и при сильном затухании. При незначительном трении можно говорить о скачке в 180°, который терпит сдвиг фаз при переходе частоты через резонансное условие.
Чтобы усвоить сущность этих интересных закономерностей, можно проделать простейший опыт (рис. 45). Подвесьте на нитке груз и дайте ему покачаться свободно. Когда период свободных колебаний этого маятника выявится, остановите маятник й периодическим движением руки приведите его в состояние вынужденных колебаний. Сначала двигайте руку быстро, так'чтобы период собст-
венных колебаний был больше периода вынужденных, а затем медленно, так чтобы период собственных колебаний был меньше периода вынужденных. Вы убедитесь в том, что в первом случае маятник и рука движутся в противофазе, а во втором случае — синфазно.
Рис. 45.Рис. 45.
Рис. 45.
Рис. 45.
Вернемся к рассмотренному на стр. 81 пружинному маятнику, имеющему коэффициент‘Затухания а=20 г/с, массу 50 г и период Т0='0,28 с ((в0=22,4 с”1). Если на такой маятник будет действовать синусоидальная внешняя сила с частотой о, то амплитуда вынужденных колебаний окажется равной Л =4 см уже при амплитуде вынуждающей силы Fo= 1790 дин^ 1,8 гс. Отклонение частоты вынуждающей силы от о0 вызовет изменение амплитуды вынужденных колебаний и фазового угла Р между колебаниями маятника и внешней силы. В таблице приведены соответствующие данные, полученные по формулам этого параграфа.
Частота внешней силы со, Гц
Амплитуда вынужденных колебаний Л, см
Фазовый угол 0
2
3,58
0°05'
10
3,95
0°35'
15
4,48
0°15'
22,4
4,04
90°
30
2,48
188°50'
40
1,31
189°10'
Видно, что при наличии затухания максимальная амплитуда вынужденных колебаний достигается при частоте вынуждающей силы, несколько меньшей собственной частоты колебаний. Чем меньше затухание., тем незаметнее становится этот сдвиг.
с^^Я **с^^Я **га ч§Iга ч§I^ <пРис. 46.баться. Однако характер этих^ <пРис. 46.баться. Однако характер этих
с^^Я **
с^^Я **
га ч§
I
га ч§
I
^ <п
Рис. 46.
баться. Однако характер этих
^ <п
Рис. 46.
баться. Однако характер этих
§ 28. Автоколебания
На рис. 46, а изображена ванна треугольного сечения, укрепленная на оси, около которой эта ванна может покачиваться. У ванны есть какой-то свой период свободных колебаний, и, откачнув ее
от положения равновесия, мы можем наблюдать эти свободные колебания до тех пор, пока трение и сопротивление воздуха не остановят их. Поместим эту ванну под водопроводным краном и пустим равномерный поток воды так, чтобы этот поток падал на стенку ванны подальше от ее центровой линии. Нетрудно сообразить, что при этом произойдет. По мере наполнения водой центр тяжести ванны повышает-
ся и, наконец, становится выше оси, около которой эта ванна закреплена. Небольшого давления струи воды теперь достаточно для переворота ванны, вода выльется и ванна вернется обратно. Далее явление повторится1 и будет продолжаться до тех пор, пока в ванну будет -поступать струя воды. Ванна будет коле- колебаний и сущность явления
весьма отличны от тех колебаний, которые мы изучали выше.
Прежде всего, важно отметить, что внешнее воздействие не носит характера колебаний. Внешнее воздействие (давление струи воды) дает постоянную силу. Второе обстоятельство: реальная система, подверженная действию трения или иных сопротивлений, совершает незатухающие колебания. И, наконец, еще одно важное обстоятельство: возникшие колебания не являются гармоническими, их уже нельзя представить синусоидой. В примере, которым мы воспользовались, общего с синусоидой будет совсем мало. Проделав подобный опыт, можно убедиться, что количество воды в ванне в зависимости от времени может быть представлено пилообразной кривой вроде той, что показана на рис. 46, б._
Описанные нами колебания принадлежат к так называемым автоколебаниям. Автоколебания — своеобразное явление, принципиально отличное от свободных - незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Пример, выбранный выше, может показаться искусственным. Однако автоколебательные системы имеют значительное распространение, и мы
сталкиваемся с ними весьма часто всюду, где имеют место механические или иные колебания.
К автоколебательным системам принадлежат простейшие маятниковые часы (рис. 47). Как известно, такие часы заводятся подъемом гири, которая висит на цепочке, перекинутой через зубчатое колесо. Это колесо с помощью зубчатого механизма передает вращение ходовому колесу, которое может сцепляться с изогнутым равноплечим рычагом — анкером. С анкером жестко скреплен маят- , ник.* В моменты, когда ходовое колесо касается своими зубьями зубьев анкера, маятник испытывает толчок, при этом ходовое колесо перемещается на один зубец. В остальное время маятнике анкером качается свободно, обеспечивая точность хода часов. Анкер и ходовое колесо сконструированы таким образом, что маятник получает два толчка по ходу движения: один, когда он идет слева направо, а другой — когда идет справа налево.
В часах мы находим те же признаки автоколебательной системы,
которые имеются в ванне треугольного сечения. Колебания происходят под действием постоянной (а не периодической) силы, колебания незатухающие, несмотря на наличие трения, и не имеют гармонического характера.
В приведенных примерах видно общее свойство автоколебаний, называемое обратной связью. Маятник совершает незатухающие колебания, заставляя механизм подталкивать себя в подходящие моменты. Механизм толкает маятник, а маятник оказывает обратное действие на механизм. Если маятник неподвижен, то прекращаются и толчки. Колебаниями маятника управляет сам маятник.
Так же точно качаниями треугольной ванны управляет она сама. Поступающая вода регулирует качание ванны, а само устройство ванны регулирует поступление воды.
Струна, тронутая пальцами и отпущенная, находится в состоянии свободных колебаний. Иначе обстоит дело со струной, по которой музыкант ведет смычком; она совершает автоколебания пилообразного типа. Смычок увлекает струну, ведет ее за собой; когда смещение струны достигает некоторого предела, струна отрывается от смычка и возвращается в исходное положение. Смычок снова увлекает струну и процесс повторяется. За секунду, пока музыкант ведет смычок, явление периодически повторяется сотни раз. Это — типичные автоколебания, так как они вызываются постоянно действующей силой. Сама струна своей упругостью управляет колебаниями.
Скрипящие звуки плохо смазанных дверных петель — явления такого же происхождения.
Мы говорим во всех случаях об обратной связи, если прибор или машина вносит автоматически коррективы в свое поведение при изменении условий работы. Принцип обратной связи является одной из основных идей, используемых современной автоматикой.
§ 29. Сложение колебаний одного направления
В ряде случаев может возникнуть задача анализа движения
тела, участвующего одновременно в двух колебательных процессах. Колеблющийся маятник может находиться на колеблющейся платформе или качающемся корабле.
Если речь идет о колебаниях одного направления, то такое сложение можно осуществить с помощью модели, показанной на рис. 48.
Рис. 48.Рис. 48.Изображены два маятника, колеблющихся в параллельных плоскостях. На них свободно положена легкая палка, к середине которой прикреплено записывающее перо. Можно считать приближенно, что при любых движениях маятников перо будет ходить в плоскости, мало отличной от плоскостей' колебания обоих маятников, и
Рис. 48.
Рис. 48.
что смещение пера в данное
мгновение будет равно алгебраической сумме смещений маятников. Можно использовать и другое устройство: шарик колеблется на пружине, подвешенной к доске. Сама доска скреплена пружиной со стойкой, так что шарик участвует одновременно в двух колебаниях одного направления.
Если %! есть смещение в первом из колебаний при отсутствии второго, а х2— смещение при втором колебании в отсутствии первого, то при одновременно происходящих колебательных процессах в каждое мгновение
х = х1 + х2.
В самом общем случае складывающиеся колебания могут различаться амплитудами, частотами и иметь сдвиг по фазе.
Рассмотрим сначала случай, когда колебания одинаковы по амплитуде и частоте, но сдвинуты по фазе. Тогда (о)=2л/Т)
= Л cos gV, = A cos (tot + ф)
и
х = хг + х2 = 2 A cos —■ • cos f tot + -|-
Рис. 49.Рис. 49.
Рис. 49.
Рис. 49.
Это значит, что суммарное колебание будет также гармоническим с амплитудой
2Л cos ~.
Отсюда следует: амплитуды колебаний арифметически складываются, если колебания совпадают по фазе; амплитуды колебаний вычитаются, если колебания противоположны по фазе (ср=180°). В промежуточных случаях амплитуда примет значение между нулем и 2Л. В частности, при ф=Л20° амплитуда суммарного колебания равна Л. Рис. 49 иллюстрирует сказанное.
Другой важный случай — это сложение колебаний разных частот. Для простоты положим (р=0 и амплитуды равными. Тогда
Xj = Л cos (0^ и Х2 — Л COS (02/,
х = 2Л cos -12 / cos—-t.
В общем случае при сложении таких колебаний возникает какое-то колебательное движение, при этом не удастся подметить строгой периодичности в изменении смещения х. Однако два частных случая заслуживают особого внимания.
Прежде всего, рассмотрим два колебания с близкими частотами <01 и <о2. Тогда о)!—со^оь+соз и смещение х является произведением двух косинусов: один меняется со временем быстро, а другой — очень медленно. Поэтому
2Л cos"^^/
можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду колебаний, происходящих со средней частотой (ocp=(<Oi+(o2)/2. Такие
колебания, называемые биениями, изображены на рис. 50. Здесь отчетливо видны два периода: период основного колебания и период биений.
Второй важный случай — это сложение двух колебаний, частоты которых находятся в отношении целых чисел. Совершенно ясно, что результирующее колебание будет периодическим. Если, скажем, период одного колебания 3 с, а другого 7 с, то через 21 с суммарное колебание будет повторяться. Это показано на рис. 51.
§ 30. Спектр колебания
Мы уже говорили о колебаниях, в точности повторяющихся через определенные интервалы времени, но не являющихся гармоническими. Например, шла речь о пилообразных колебаниях. Если быть достаточно придирчивыми, то окажется, что гармонических колебаний, т. е. таких, которые изображаются синусоидой, встречается в природе и технике много меньше, чем негармонических.
В конце предыдущего параграфа мы отметили, что сумма двух синусоид хоть и не дает синусоиды, но образует периодическое колебание, если только частоты относятся как целые числа. Разумеется, это верно и для любого числа гармонических колебаний, а не только для двух.
Сумма колебаний с периодами Т и V2T даст колебание с периодом Т; с таким же периодом будет происходить колебание, складывающееся из трех колебаний с периодами Т, Ч^Т, г/3Т, из четырех — с добавлением колебания с периодом Ч^Т, из пяти — с добавлением колебания с периодом г/5Т, и т. д. Переходя к частотам, можно это выразить так: сумма любого числа колебаний с частотами, кратными со,. т. е. с частотами со, 2со, Зсо, ..., есть колебание с частотой со.
Теперь перед нами встает такой естественный вопрос. Складывая произвольно большое число колебаний с частотами, кратными со, беря разные колебания то с теми, то с иными амплитудами, не удастся ли нам всегда подобрать такую сумму, которая передаст своеобразие любого колебания, даже пилообразного? Положительный ответ на этот вопрос был дан французским ученым Фурье. Теорема, которая носит его имя, доказывает, что всегда можно подобрать такие значения ai, а2, а3, ... и <pn <р2, <р3, ..., чтобы представить любое периодическое колебание с частотой со в виде суммы гармонических колебаний:
х = аг cos (со/ + cpj + ^2 cos (2®/ + ф2) + а3 cos (Зсо/ -Нр3) + • • •
Частота со называется основной частотой, частоты 2со, Зсо, ...— это обертоны, или гармоники (говорят: вторая гармоника, третья гармоника и т. д.). Чем ближе график колебания к синусоиде, тем меньше амплитуды гармоник. Напротив, если график колебания мало похож на синусоиду, то амплитуды нескольких гармоник будут не сильно отличаться от амплитуды основной частоты.
Представление колебания в виде суммы гармонических колебаний называется разложением колебания в спектр, а спектром
называются данные о частотах и амплитудах гармонических колебаний, из которых составляется колебание с частотой со. Данные о спектре колебания можно записать в виде таблички. Если частот много, то часто прибегают к графическому изображению спектра (рис. 52).
Идею спектра оказывается возможным распространить и на не периодические процессы. Можно говорить о спектре упругих колебаний, созданных ударом кулака по столу, имеет смысл понятие- спектра выстрела или выкрика.
Чтобы это стало ясным, рассмотрим сначала процесс, состоящий из периодических затухающих толчков. Это не выкрик или выстрел, а серия выкриков или выстрелов, повторяющихся через равные промежутки времени. Элементом такого процесса является быстро затухающее колебание, и вся кривая имеет вид, показанный на рис. 53, а. Спектр такого колебания можно установить существующими средствами: он будет иметь вид, показанный на соседнем рисунке. Мы видим, что (как этого и следовало ожидать) спектр состоит из множества частот, кратных основной. Обратите внимание, что спектр имеет максимум: наиболее сильно в спектре представлена восьмая гармоника. Это не случайно: если мы вернемся к картине колебания, то увидим, что в кажж-rотдельном толчке затухающий импульс колеблется с «частотой», в 8 раз большей частоты основного тона (рис. 53, aY
На рис. 53, б показана картина таких же толчков, но они происходят с частотой в два раза меньшей, чем ранее. Сравните спектр этого колебания с предыдущим. Так как основная частота теперь в два раза меньше, то «частота» затухающего элементарного процесса (она осталась той же) будет теперь 16-й гармоникой основного тона. Распределение амплитуд гармоник останется прежним, но только число их в том же интервале частот станет в два раза большим.
Нетрудно теперь понять, что спектр непериодического процесса — одного толчка — будет сплошным. Отдельных частот в нем
не будет, но характер спектра в том же интервале частот будет весьма похож на то, что рассмотрено ранее (рис. 53, в).
^р€Л!Я) С)‘^ас-ттготп'сс., Гг^
Рис. 53.
Математическое доказательство приведенных рассуждений содержится в теории ' ик называемых интегралов Фурье.
§31. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Чтобы проследить за закономерностями сложного колебания, являющегося суммой двух взаимно перпендикулярных колебаний, проще всего воспользоваться электронным осциллографом. Об этом приборе будет еще речь впереди (стр. 418). Сейчас достаточно сказать, что осциллограф позволяет осуществить колебания электронного луча в двух взаимно перпендикулярных направлениях. След электронного луча на светящемся экране описывает траекторию, возникающую как результат участия светящегося пятнышка в двух взаимно перпендикулярных колебательных движениях.
Пусть колебание следа луча в вертикальном направлении происходит по закону y=b cos (со/+6), а в горизонтальном направлении — в соответствии с формулой x=6zcosco/. Чтобы выяснить характер результирующей траектории, надо из этих двух уравнений исключить время и найти уравнение /(х, у^О. Записывая выражения смещений в виде
i = cos со/, — = cos (со/ + 6) = cos со/ • cos 6 — sin со/ • sin 6
и заменяя во втором уравнении cos со/ на х!а и sin со/ на К 1 —(х/ау, получим после элементарных преобразований уравнение эллипса, повернутого по отношению к осям координат:
^ + тг—cos 6= sin2 6.о2 1 b2- ab
Начнем теперь менять параметры колебаний и проследим за поведением эллипса. Если изменять разность фаз, то эллипс будет менять свою форму и одновременно поворачиваться (рис. 54). При
X
4=0*4=90*
Рис. 54.
разности фаз, равной 90°, оси эллипса будут совпадать с осями координат. При изменении разности фаз в меньшую или большую сторону эллипс начнет поворачиваться налево или направо и одновременно сужаться. Когда разность фаз обратится в нуль, то эллипс выродится в прямую линию. Сказанное нужно проверить, подставляя в написанное выше уравнение эллипса значения 6=0, 90, 180°.
Если амплитуды колебаний вдоль вертикали и горизонтали равны, то при разностях фаз в 90 и 270° траектория становится окружностью. Между этими двумя разностями фаз есть различие, хотя они и дают тождественные траектории. В одном случае луч обегает окружность по часовой стрелке, а в другом — против. Чтобы это увидеть, надо вернуться к исходным уравнениям. Они запишутся так:
для 90° х = tz cos со/, 6 cos (со/+ 90°);
для 270° x = «cosco/, у = bcos (со/ + 270°).
Первая пара уравнений указывает, что при возрастании времени от /=0 точка с координатами х=а, у=0 начинает двигаться в сторону отрицательных у, т. е. по часовой стрелке. Обратное движение указывается второй парой уравнений.
При демонстрации с помощью осциллографа можно обратить внимание на то, что эллипсы не стоят на месте, а медленно перемещаются так, как будто бы происходило непрерывное изменение сдвига фаз. Если мы посмотрим внимательно, то будет видно, что эллипс не поворачивается, а кривая, вычерчиваемая световым пятном, как бы непрерывно переходит из одного эллипса в другой. Подобное явление имеет место тогда, когда частоты колебаний слегка различаются. Действительно, ведь различие частот вполне эквивалентно случаю непрерывно меняющейся разности фаз. Скажем, частота вертикального колебания со2 на Асо больше частоты горизонтального колебаний Ох, тогда
со^ + 6 = ю2/ 4- (Асо/ + 6),
где в скобках стоит переменная разность фаз.
Если частоты существенно отличаются друг от друга, то луч не успевает пройти значительную часть одного эллипса, как уже
Рис. 55.
фаза его становится иной. В результате описываемые кривые вес меньше и меньше напоминают эллипсы. Примеры этих причудл-и вых кривых, называемых фигурами Лиссажу, показаны на рис. 55. Изображены кривые для отношения частот 3 : 4 и 1 : 2.
ГЛАВА 6
БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ
Распространение деформации
Каждое тело обладает в той или иной степени упругостью, т. е. способностью восстанавливать свою форму, искаженную в результате кратковременного действия силы. Эта способность тела является причиной того, что всякое механическое действие передается телом с конечной скоростью. Если бы существовал абсолютно твердый, неспособный деформироваться стержень, то он мог бы двигаться только как целое, действие силы распространялось бы по
такому телу мгновенно. Абсолютно пластическое тело, деформирующееся без малейшего восстановления формы, было бы неспособно к какой бы то ни было передаче механического действия.
В упругом теле деформация передается последовательно от одной точки тела к соседней. Если стержню нанесен сжимающий удар молотком, то на конце стержня образуется уплотнение, которое распространится с определенной скоростью с вдоль тела. Если в твердом теле создан местный кратковременный изгиб, то он также будет передаваться с конечной скоростью по твердому телу. То же самое справедливо для любой деформации. Пробегающие по телу при разных механических действиях деформации обычно демонстрируют при помощи пружин (рис. 56)
,<O№qqw<nqm^^,<O№qqw<nqm^^
,<O№qqw<nqm^^
,<O№qqw<nqm^^
Упругостью сжатия и растяжения обладают как твердые тела, так и жидкие и газообразные. Поэтому в любых телах возможна передача этих деформаций. Что же касается деформаций сдвига, кручения, изгиба, то такие деформации могут передаваться только твердыми телами, обладающими соответствующей упругостью. При деформации сжатия и растяжения движения частиц происходят.в том же направлении, в котором передается механическое действие. В подобных случаях мы говорим о продольном распространении деформации. При сдвиге, изгибе, кручении направление движения частиц может образовать, вообще говоря, произвольный угол с направлением, по которому передается энергия.
Всегда возможно выделить направление, в котором передается механическое действие, а затем разложить смещение частицы тела по трем взаимно перпендикулярным осям, одна из которых лежит вдоль линии распространения, а две других — в перпендикулярной плоскости. Поэтому в наиболее сложном случае можно рассматривать распространяющуюся деформацию как совокупность трех движений: двух поперечных и одного продольного.
Скорость распространения упругой деформации зависит от механических свойств тела; ее, как показывает теоретическая физика, можно связать с другими физическими константами тела. Так, для продольных волн скорость распространения выражается простой формулой:
1
У рх
Здесь р — плотность тела, ах — сжимаемость. Большая плотность тела приводит к увеличению инертности частиц тела и, следова-
тельно, уменьшает скорость распространения упругих волн. Малые сжимаемости говорят о том, что даже малым деформациям соответствуют большие упругие силы. Это обстоятельство приводит к увеличению скорости распространения деформации.
В таком виде этой формулой пользуются обычно для жидкостей. Так, например, вода при изменении давления на 1 атм сжимается на 5-10“6 своего объема. Значит, сжимаемость, равная (см. стр. 138) по определению х =— ^V’ есть Ю"6 см2/дин-5-10"5. Плотность воды 1 г/см3. Отсюда для скорости распространения деформации в воде получим
с2 = 2-1010см2/с2,с= 1400 м/с.
Для газов формулу скорости целесообразно преобразовать. Так как процесс передачи уплотнения в газе весьма быстр, то сжатия и разрежения газа можно считать адиабатическими, т. е. происходящими без теплообмена. Ниже (стр. 150) будет получено уравнение адиабатического процесса, из которого легко вывести связь коэффициента сжимаемости сдавлением газа: х=1/ур, где у^1,4 *). Тогда с — V УР№- Для идеального газа плотность p=p/v (р — масса моля газа, а и — его объем) будет пропорциональна дроби р\л!Т (так как pv/T=const), т. е? скорость распространения деформации в газе
с — 1/ а — .
ЗХесь а — коэффициент, значение которого легко вычисляется при помощи уравнений, рассматриваемых позднее (стр. 149).
Таким образом, скорость распространения деформации в газе, в том числе и скорость распространения звуковых волн, о которых речь пойдет дальше, пропорциональна корню квадратному из температуры и не зависит от давления газа» Интересна зависимость от молекулярного веса: скорость распространения деформации
*) Уравнение адиабатического процесса puT=const. Если р и и — равновесные значения давления и объема для некоторой массы газа, р+Ар и и—Аи — соответствующие значения в момент деформации, то
(р + Ар) (и — Av)T = pvT.
Отсюда
1 । АР Л AyV' 1 _.Ау , Т(Т—1)/АуУ ,
1+у
Отбрасывая члены высшего порядка в разложении бинома, получим
аАи
Ар = —YP—•
9797Отсюда
97
97
4 А. И. Китайгородский
в водороде равна 1263 м/с, в то время как в воздухе мы имеем хорошо знакомое число 331 м/с.
Для продольных волн, распространяющихся в твердомделе, заменяют обычно коэффициент сжимаемости на модуль упругости. Так как по определению модуль упругости
г F М л М
Е=-8;Л=^Р;Л’
то очевидно, что при отсутствии поперечных движений и=1/£, поскольку линейное относительное сжатие будет равно объемному. Формула скорости запишется в виде
Насколько хорошо она выполняется, можно судить по следующим примерным числам:
Модуль Юнга Е, Н/м2
Плотность р, г/см3
с вычисл., м/с
с из опыта, м/с
Стекло
Сталь
Дерево
Вода (13 °C)
7,65-101°
2,16-10°
7,05-101°
x = 4,75-10-i°X
Хм2/Н
2,4 8
0,7
1
5700
5200
4130
1450
5990
5000
4200
1440
Проверку этой формулы надо проводить, изучая скорость распространения звука в тонких стержнях. Дело в том, что более глубокое рассмотрение вопроса показывает, что формула c=V Е!р должна быть справедлива только для таких тел. Для тел иной формы, а также для распространения звука в сплошной среде теория приводит к другим выражениям, которые мы приводить не будем.
Следует также заметить, что таблица приведенных величин может служить лишь для ориентировки. Скорости звука в разных сортах стекол, разных сортах дерева, стали и т. д. могут существенно различаться.
Возникновение волнового движения
Многочисленными способами можно подвести к отдельной точке тела или среды непрекращающиеся колебания. Периодически действующая в какой-либо точке тела сила создаст периодически меняющуюся деформацию, которая будет передаваться от точки к точке тела с определенной скоростью. В колебательное движение придут все точки тела. При этом из-за конечности скорости распространения деформации точки тела будут приходить в колебание одна за другой. Если тело безгранично, то такое колебание будет все время продвигаться вперед, образуя бегущую волну.
Хотя безграничных тел и не существует, но длина большого тела не скажется на характере явлений по той причине, что колебания не дойдут до его конца из-за неизбежных потерь энергии.
Рассмотрим волну, бегущую в практически неограниченном теле вдоль какого-нибудь направления.
Пусть точка, находящаяся в начале отсчета, колеблется согласно уравнению у—A cos со Л Запишем уравнение колебания точки, расположенной вдоль линии распространения деформации на расстоянии х от начальной. Мы не можем записать его в том же виде, так как эта точка пришла в колебание с запозданием на время т=х!с, нужное для распространения деформации на расстояние х. Поэтому колебание точки х должно быть сдвинуто по фазе по отношению к начальной точке. Точка х будет находиться в момент времени / в той же фазе колебания, в какой находилась начальная точка в момент времени, на х!с более ранний. Следовательно, уравнение колебания точки, сдвинутой на расстояние х от начала координат, имеет вид
у— A cos со ^/——^ , где юх/с — сдвиг фазы.
Написанное уравнение называют уравнением волны, оно охватывает колебания всех точек, расположенных на любых расстояниях по отношению к начальной.
Положим, что источник волны далек от наблюдателя и фронт волны давно ушел вперед. Мы рассматриваем участок линии вдоль оси х, охваченный волновым движением. На первый взгляд может показаться, что введение нового термина не оправдано. Все точки
—>• движение ^олны«Жжение ^олны-а
Рис. 57.
участка будут колебаться, это ясно. Но увидим лимыдвижение волны, сможем ли сказать, двигается она вправо или влево? Внимательное рассмотрение показывает, что специфичность волнового движения легко обнаружить. Если волна движется слева направо, то правая соседняя точка будет запаздывать по фазе по сравнению с левой. В обратном случае она будет опережать ее. Волны, бегущие влево и вправо, показаны на рис. 57. Каждая синусоида — это мгновенный снимок волны. В каждое следующее мгновение эта синусоида, как жесткое целое, перемещается в том направлении, куда передается энергия.
Отсюда понятно, как отражается направление волны на виде уравнения волны. Если волна движется вдоль оси координат, то значение координаты х будет входить со знаком минус. При движении волны против направления отсчета координаты в аргументе косинуса надо изменить знак на обратный:
у = Acos alt—*7) г у = Дсо5го(/ + -] .вдоль осипротив оси
Запишем уравнение мгновенного снимка волны для какого-либо времени, равного кратному числу периодов:
и = A cos со — = A cos 2 л .
уссТ
Знак минус можно отбросить, так как косинус— четная функция. Из вида уравнения сразу же следует, что период этой синусоиды равен
Х^сТ.
Этот пространственный период, т. е. расстояние, через которое повторяется волнообразное распределение, носит название длины волны. Мы получили известное соотношение, связывающее скорость движения волны с длиной волны и периодом колебания точки.
При волновой передаче деформации через тело по закону синуса меняется ряд физических величин: смещение точки от положения равновесия, скорость колеблющихся частиц, давление и плотность. Поэтому выражение волны, которым мы оперируем, является весьма общим. Под величиной у можно понимать любую из перечисленных физических величин, изменяющихся по закону синуса при движении волны вдоль направления х. Правда, следует отметить, что волны давления, скорости, смещения не обязаны быть в одной фазе. Например, ясно, что волна скоростей колеблющихся частиц будет сдвинута по фазе на, 90° по отношению к волне смещений. Ведь скорость точки максимальна, когда она проходит положение равновесия.
Волны давления и скорости колебания
Представляет интерес соотношение между амплитудами волн различных физических величин. Остановимся на этом вопросе лишь для случая продольных волн, распространяющихся в газе. Нас могут заинтересовать волны смещения, скоростей частиц, избыточного давления. Так как теория возникла для волн, воспринимаемых слухом, то избыточное давление Ар часто называют звуковым давлением и, отбрасывая значок А, обозначают через р.
Если амплитуда волны смещения А, то амплитуда волны скоростей (оД. По фазе эти две волны сдвинуты на 90°.
Выясним теперь связь между амплитудой скорости колебания и амплитудой давления. Сопоставив общее опредедение к с его 100
выражением для газов (стр. 97), получим для звукового давления формулу
где Р — давление газа, или, используя соотношение c^-^PI^,
э Ли
Вполне естественно, что имеется прямая связь между избыточным давлением р и относительным сжатием в том же месте газа.
Но величину относительного сжатия объема Аи/и можно связать с амплитудой смещения колеблющихся частиц. Отметим вдоль линии распространения две точки: xt и х2. В продольной волне изменение плотности происходит лишь благодаря смещениям в направлении распространения. Выделим мысленно в тазе объем, ограниченный сечениями xt и х2. Когда идет волна, молекулы, находящиеся внутри этого объема, сместятся.Следить нам нужно только за граничными сечениями. Если молекулы слоя% сместятся на уг = A cos со f/ —, а молекулы слоя х2— на у2 = A cos со ( /- L то линейный размер
объема изменится от значения х2—хг в отсутствие волны на величину y2—yv Относительное изменение длины, а значит, и объема будет
Переходя к пределу, чтобы получить величину, характерна Ху
ную для точки пространства, получим
Ди duto Л ./ ,х \
— = ~=A sin со /,
vdxс\с J
а для давления
р — — ср Лоз sin со ^ —у .
Этим доказано, что давление изменяется в фазе со скоростью колебания частиц в волне. Дсо=но есть амплитуда скорости колебания. Таким образом, амплитуда давления р0 выражается через амплитуду скорости следующим образом:
Ро = Р^о.
В акустике и измеряют обычно в см/с, а давление — в дин/см2. Для воздуха при комнатной температуре для этих единиц р0=41 и0. Величина рс называется акустическим, или волновым, сопротивлением. Смысл названия, очевидно, такой: чем больше сопротивление, тем меньше скорость колебания частиц при тех же величинах избыточного давления.
Подсчитаем акустические сопротивления некоторых материалов:
р, г/см3
с, см/с
рс, г/(см2с)
С текло
Сталь
Дерево
Вода
2,6 7,9
0,7 1
5,5-Ю5
5 105 4.2105 1,44-105
14-106 40-10»
2,9-106 1,4-105-
Поток энергии
Волновое движение переносит энергию из одного места пространства в другое. Однако следует помнить, что все точки среды, участвующие в передаче энергии, все время колеблются около положения неизменного равновесия.
Все точки тела участвуют в колебании. Поэтому единица объема обладает колебательной энергией, равной
Р^макс—
2 ,
где р — плотность, т. е. масса единицы объема, а умакс — амплитудное значение скорости колебания. Используя для последней величины знакомое нам выражение
^макс — 6)Л.,
где А — амплитуда смещения, а со — частота, можно записать плотность колебательной энергии тела в виде
рсоМ2
W— ——z—.2 е
Эта энергия распространяется со скоростью с. Мы вправе поставить перед собой следующий вопрос: чему равна интенсивность волны, т. е. количество энергии, проходящее в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную к направлению распространения волны? Вместо того чтобы говорить об интенсивности волны, довольно часто говорят о потоке колебательной энергии, понимая под этим энергию, проходящую в единицу времени (мощность) через данную площадь. Рассуждение ничем не отличается от такового для случая воды, текущей по трубе. Через единицу времени волна проходит путь с и приносит энергию в объем цилиндра с длиной с и площадью, равной единице. Так как на единицу объема приходится энергия w, то на этот объем придется энергия wc. Это и есть значение интенсивности волны:
l = wc.
Мы видим, что интенсивность волны имеет смысл потока энергии, проходящего через единицу площади. Это было впервые указано Н. А. Умовым, разработавшим теорию движения энергии в телах.
До сих пор предполагалось, что волновое движение распространяется вдоль прямой линии. Подобное рассмотрение имеет цену для изучения деформации, бегущей вдоль стержней, струн, воздушных столбов и пр. Однако нас интересуют и такие случаи, когда волновым движением захвачена область трехмерного пространства.
Для описания трехмерной волны нужно знать, как движется ее фронт. Чтобы отыскать фронт волны, надо суметь для данного мгновения отметить все точки пространства, находящиеся в одинаковых фазах колебания. Отмечая последовательное положение этой поверхности равных фаз, т. е. фронта волны, мы получим ясное представление о характере волнового движения.
Рис. 58.
Поверхность волны, вообще говоря, может иметь любую форму. Какой же смысл тогда получит направление распространения волны? За это направление естественно принять нормаль к фронту волны.
Если среда вполне однородна и волна излучается в какой-либо точке среды, то фронт ее будет сферическим. Такая волна распространяется по радиусам от центра. На больших расстояниях от центра излучения уже значительные участки фронта волны будут с точностью опыта казаться плоскими. Так возникает представление о плоской волне, распространяющейся в направлении нормали к фронту. Если излучатель волны имеет вид линии, то возникнет цилиндрическая врлна, распространяющаяся по радиусам цилиндра. Разные типы волн показаны на рис. 58.
Если оставить без внимания всякого рода потери энергии, происходящие при движении плоской волны, то можно утверждать необходимость равенства количества энергии, проходящей через последовательные положения поверхностей равной фазы. Поэтому интенсивность плоской волны не будет меняться в процессе ее распространения. Однако иначе обстоит дело для сферических и цилиндрических волн. Так как поверхности равной фазы увеличиваются по своей площади пропорционально квадрату расстояния и первой
степени расстояния соответственно для сферических и цилиндрических волн, то интенсивности этих волн должны меняться обратно пропорционально квадрату расстояния для сферической волны и первой степени расстояния для цилиндрической волны. Только в этом случае будет соблюден закон сохранения энергии.
Интенсивность волны пропорциональна плотности колебательной энергии, которая пропорциональна квадрату амплитуды колебания. Отсюда следует: амплитуда сферической волны обратно пропорциональна первой степени расстояния от излучающего центра, а амплитуда цилиндрической волны обратно пропорциональна корню квадратному из расстояния от излучающей линии: у = — cos со И—— 1 для сферической волны, у = ^=гсо$ю ^—у^дляцилиндрической волны. Здесь расстояние г, так же как и ранее х, откладывается вдоль направления распространения волны.
Пусть под водой помещен источник колебаний с частотой 1 кГц, создающий поток энергии / = 1 Вт/см2. Оценим амплитуду смещения Л молекул воды, их ускорение В и амплитуду колебательной скорости щЛ=м0.
Из формул предыдущих параграфов следует, что
Л = — у —107см, B = to 1/ —107 см/с2,to г рсг рс
«о — ^^^ ^? см/с*
Для воды с=1450 м/с; р=1 г/см3 и
А 1,9-10~3 см, р = 740 м/с2, «0^ 12 см/с.
Если такой же поток энергии при прежней частоте колебаний создается в воздухе, для которого с=330 м/с, р=1,293-10-3, то
Л = 0,04 см, В=14‘105 см/с2= 14 000 м/с2, «о = 22О см/с.
Затухание упругих волн
Реальные волны, распространяющиеся в среде (твердой, жидкой или газообразной), уменьшают свою интенсивность значительно быстрее, чем по закону обратных квадратов. Сказываются потери механической энергии, превращение се в тепло.
Закон падения интенсивности какого-либо излучения при прохождении через среду почти всегда (для любой среды и любого излучения) может быть получен из следующего рассуждения. Если волна прошла слой толщины dx, то потерянная интенсивность должна быть во всяком случае пропорциональна падающей интенсивности и толщине слоя, т. е. di——pJdx.
Это уравнение можно проинтегрировать; полагая интенсивность равной /0 в точке х=0 и равной / в точке х, получим закон, 104
справедливый для конечных расстояний:
/ х
^y = — y.^dx, т. е. 1=1йе~*х.
I» о
Таким образом, интенсивность волны падает по экспоненциальному закону.
В акустике принято говорить о затухании амплитуды колебания. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то затухание амплитуды колебания будет выражаться тем же законом, только коэффициент затухания (или поглощения) будет в два раза меньшим:
Укажем на смысл коэффициента поглощения р(или уц). Измеренный в обратных сантиметрах (в показателе должна стоять безразмерная величина), он дает величину, обратную толщине, на протяжении которой интенсивность или амплитуда излучения ослабляются в е раз. ,
Формулировка закона экспоненциального затухания, разумеется, лишь частично решает проблему поглощения упругой волны средой. Более важными являются поиски зависимости коэффициента поглощения от свойств среды и от частоты излучения.
Для многих веществ найдено, что затухание упругой'волны (основные данные относятся к звуковым волнам в воздухе) возрастает с частотой колебания. А именно*, коэффициент поглощения
р, —аю2.
Для воздуха а=4-10"13 с2/см. Таким образом, на протяжении 1 км плоская волна частоты 100 Гц ослабляется в ~ 1,015, а очень высокий звук частоты 20 000 Гц — в 10274 раз! Ультразвуковые колебания затухают столь быстро, что их передача на расстояния, большие нескольких сотен метров, совершенно нереальна.
Однако монотонный ход поглощения с частотой может нарушаться. Некоторые вещества обладают избирательным поглощением звука в относительно узкой области частот. Так, например, поглощение ультразвука углекислым газом имеет пик при частотах около 277 кГц. Если провести плавную параболу в соответствии с формулой ц=^со3 для коэффициента поглощения, то она будет хорошо совпадать с экспериментальными данными во всех областях, кроме указанной. При частотах же около 277 кГц, поглощение будет примерно в 20 раз больше, чем это следует из параболического закона.
Что касается зависимости коэффициента поглощения от свойств среды, то здесь для продольных волн в газах и жидкостях имеет место следующая закономерность. Коэффициент поглощения обратно пропорционален кубу скорости упругой волны и прямо пропорционален кинематической вязкости. Столь резкая зависимость от скорости распространения, а также значительна^ величина
кинематической вязкости воздуха приводят к тому, что поглощение звуковых и ультразвуковых волн в жидкости примерно в 1000 раз меньше, чем в воздухе; это значит, что при той же самой частоте упругие волны будут распространяться в воде на расстояния в тысячу раз большие, чем в воздухе.
Поглощение поперечных волн в твердых телах также сильно зависит от свойств тела; так, поглощение в резине, пробке и стекле соответственно в 13 000, 8500 и 130 раз больше, чем в алюминии.
Мы не останавливаемся на теориях поглощения упругих волн в телах ввиду их сложности.
§ 37. Интерференция волн
Если имеется не один, а несколько источников волн, то каждая точка среды примет одновременно участие в нескольких волновых движениях. Оказывается всегда возможным рассматривать колебание физической величины, происходящее благодаря действию нескольких волн, как сумму колебаний, каждое из которых имело бы место, если бы действовала одна волна.
Положим, что из двух точек, расположенных на некотором расстоянии друг от друга, исходят шаровые волны. При помощи уравнения волны можно найти значение амплитуды колебания в любой момент времени для любой соседней точки. Если интересующее нас место находится на расстоянии rt от первого и г2 от второго источника волн, то колебания в нем представятся формулой
и= A cos2л(v/— ~ ] + A cos 2ли= A cos2л(v/— ~ ] + A cos 2лvt—vt—У-У-
и= A cos2л(v/— ~ ] + A cos 2л
и= A cos2л(v/— ~ ] + A cos 2л
vt—
vt—
У-
У-
Результатом сложения двух колебаний, отличающихся только фазами, является, как нам известно, также гармоническое колебание, совершающееся с амплитудой 2Д cos (6/2), зависящей от разности фаз складывающихся колебаний. Разность фаз 6 равна в этом случае
2л.
\/
Итак, вообще говоря, все точки рассматриваемого нами волнового поля будут находиться в колебании. Но амплитуды этих колебаний в разных точках будут разными. Обращают на себя внимание два крайних случая. Во-первых, найдутся такие точки, в которых складывающиеся колебания уничтожат друг друга. Эти точки будут удовлетворять условию
2 л = (2^+1) л,
где й=0, 1, 2, 3, ...,— разность фаз равняется нечетному числу л. Напротив, если
2л^^ = 2йл,
разность фаз равна четному числу л, то амплитуды колебания будут складываться арифметически, т. е. в максимальной степени усиливать друг друга.
Разность гх— г2 называют разностью хода волн; термин не нуждается в пояснениях. Условия максимумов и минимумов амплитуды можно с помощью этого понятия сформулировать несколько иначе. Условие максимума
tA — r^kX
говорит, что разность хода между волнами, пришедшими в данную точку, должна равняться целому числу длин волн. Условие минимума
г1-г2 = |(2&+1)
говорит, что разность хода должна равняться нечетному числу полуволн. Эти условия имеют весьма наглядный смысл: волны усиливают друг друга, если накладывается горб к горбу, и уничтожаются, если накладывается горб на впадину.
Наложение волн, при котором происходит сложение их амплитуд, называется интерференцией.
Как известно из аналитической геометрии, кривые линии, удовлетворяющие условию постоянства разности расстояний от точки
d=dA d = %Л, d- 2Л d-3/zx d- Лd=dA d = %Л, d- 2Л d-3/zx d- Лd=0 d = -^X d^-A.d-=-dx d—%xd=0 d = -^X d^-A.d-=-dx d—%xРис. 59.Рис. 59.
d=dA d = %Л, d- 2Л d-3/zx d- Л
d=dA d = %Л, d- 2Л d-3/zx d- Л
d=0 d = -^X d^-A.
d-=-dx d—%x
d=0 d = -^X d^-A.
d-=-dx d—%x
Рис. 59.
Рис. 59.
кривой до двух фокусов, суть гиперболы. Если провести плоское сечение через точечные источники и отмстить на рисунке места максимального усиления и места уничтожения волн, то они попадут на гиперболы. Соответствующие кривые показаны на рис. 59. Можно без труда наблюдать такую картину на воде, если заставить интерферировать два источника, посылающих водяные'круги из соседних точек.
Таким же точно способом может быть рассмотрена интерференция любого числа источников волн.
§ 38. Принцип Гюйгенса — Френеля.Отражение и преломление волн
Бросается в глаза полная равноправность всех колеблющихся точек волнового поля. Они различаются только фазами. С этой точки зрения возникает естественная мысль: мы имеем право рассматривать любую точку волнового поля как самостоятельный источник сферических волн.
Справедливость этой идеи, высказанной впервые в 1690 г. Христианом Гюйгенсом, можно проверить, делая попытки построения фронта волны по данным о волновом поле на некоторой граничной поверхности. При этом необходимо учитывать, что отдельные (так называемые элементарные) сферические волны будут друг с другом интерферировать. В указании возможности такой процедуры и состоит принцип Гюйгенса, дополненный Френелем.
В чем же значимость этого принципа? Представим себе, что волна падает на непрозрачный экран с несколькими отверстиями. Из принципа Гюйгенса — Френеля следует возможность поисков волнового поля за экраном без всякого знания об источниках полей. Достаточно знать интенсивность поля в плоскости экрана, принять, что из каждой точки экрана распространяется сферическая волна. Амплитуда волны в любом месте пространства найдется сложением (интерференцией) всех элементарных волн, выходящих из отверстий в экране. Откладывая рассмотрение вопросов, связанных с прохождением волн через экраны (эти проблемы представляют наибольший интерес для световых волн), мы остановимся на применении принципа Гюйгенса — Френеля для объяснения явлений отражения и преломления волн.
Рис. 60.
Рассмотрим участок плоской волны, падающей на границу раздела двух сред. Как известно, волна любого происхождения отражается под углом, равным углу падения. Но почему должно так произойти? На это отвечает принцип Гюйгенса. Все точки границы сред можно рассматривать как источники элементарных волн. Первая элементарная волна отправится от той точки, куда раньше всего 108
придет падающая волна. Далее поочередно будут возбуждаться другие точки границы раздела и, наконец, последней придет в колебание та- точка, которой падающая волна достигает позже всего. На рис. 60 изображены положения элементарных волн для того момента времени, когда падающая волна достигла последней точки.
<>о'
Рис. 6L
Рис. 62.
Элементарные волны создали фронт, образующий с границей раздела тот же угол, что и падающая волна. Действительно, скорости распространения падающей волны и отраженных волн одинаковы, значит, радиус наибольшей сферы должен равняться пути, пройденному падающей волной за время от момента возбуждения первой до момента возбуждения последней точки.
Таким же точно образом без труда строится фронт отраженной сферической волны. Это построение произведено на рис. 61. На рис. 62 приведена фотография отражения стенкой звуковой волны.
Рассмотрим теперь элементарные волны, идущие от границы раздела во вторую среду и образующие фронт преломленной волны (рис. 63). Различные среды отличаются плотностями (и упругими свойствами), а значит, и скоростями распространения волн. В более плотной среде скорость волны меньше. Проделаем такое же построение, что и для отражения, т. е. изобразим на рисунке фронт элементарных волн для того момента времени, когда падающая волна
достигла последней точки. Фронт повернулся из-за различия в скоростях распространения. Если волна попадает в более плотную среду, то радиус наибольшей элементарной волны должен быть меньше пути, пройденного падающей волной от момента возбуждения первой точки до момента возбуждения последней точки границы. При этом отношение этих длин должно как раз равняться отношению скоростей распространения волн. С другой сторрны, каквадно из рис. 63, отношение указанных расстояний равно отношению синусов углов падения и преломления. Таким образом мы и приходим к известному правилу преломления волн:
sin а сгsin Р с2 ’
Направление распространения приближается к нормали к границе раздела, если волна переходит из менее плотной среды в более плотную, и обратно — при переходе в менее плотную среду волна отклоняется от нормали. Отношение eje^—n носит название коэффициента преломления.
§ 39. Коэффициент отражения
Объяснение геометрии отражения и преломления может показаться малоинтересным приложением теории. Однако волновая теория позволяет сделать гораздо большее, а именно, выяснить вопрос о долях отраженных и преломленных волн в зависимости
НО
от свойств сред, границу между которыми мы рассматриваем. Мы ограничимся лишь простейшим случаем нормального падения продольной волны на границу двух сред. Этим будут облегчены вычисления. Характер же доказательства одинаков для всех мыслимых случаев.
Следующее положение является исходным для рассуждений этого типа. На границе двух сред ни скорость колебания частиц и, ни избыточное давление р не могут меняться скачком. Интуитивно ясно, что иначе и быть не может. Строгим рассмотрением можно показать, что это положение следует из основных законов физики.
С одной стороны границы имеются волны с мгновенными значениями мпад, мотр, с другой стороны границы имеется волна с мгновенным значением скорости ппр. Непрерывность скоростей дает условие: нпад+нотр=нпр; непрерывность давлений: ипад pi^+^тр РА^ = нпрр2с2. Однако, всматриваясь в написанные два уравнения., мы видим, что они несовместны, так как piCiT^p2c2. В чем же дело? 'Мы забыли, что мгновенные значения скоростей и давлений — векторные величины и даже в простейшем случае, когда векторы смещений лежат в одной плоскости, амплитуды могут различаться знаком. Всматриваясь в написанные уравнения, мы видим, что они становятся совместными лишь в том случае, если принять противоположными знаки амплитуд отраженных волн скорости колебания и давления и записать уравнения непрерывности в виде
^пад 4" ^отр ^пр’ (^пад ^отр) РА ^прРг^2»
ИЛИ
^пад ^отр ^пр» (^пад 4" ^отр) РА ^прРг^г* Предоставляем читателю убедиться в том, что все другие расстановки знаков оставят уравнения несовместными.
Так как амплитуды — положительные величины, то сумма должна быть больше разности. Поэтому первая пара уравнений справедлива, если р1С1>р2^2, а вторая пара имеетместо для обратного случая. Первая пара уравнений возникает тогда, когда все амплитудные векторы скорости колебания смотрят в одну сторону, а фаза отраженной волны давления отличается на 180°, т. е. отраженная волна имеет амплитудный вектор, смотрящую в противоположную сторону по отношению к падающей и преломленной волнам. Вторая пара соответствует обратному случаю.
Р1С1
> РзС2
Р1^ <
• Рг^г
Волна скоростей
Волна давлений
Волна скоростей
Волна давлений
Падающая—>
Отраженная —>
Преломленная —у
Падающая■—>
Отраженная ч—
Преломленная —>
Падающая—►
Отраженная -«—
Преломленная —>-
Падающая—►
Отраженная —*
Преломленная—>
Интересное явление поворота амплитудного вектора при отражении носит название потери полволны или скачка фазы на 180°. Действительно, изменение знака в уравнении волны у = A cos со ^ —~) ’ где у — любая физическая величина, может быть получено внесением в аргумент косинуса сдвига фаз на 180°. С другой стороны, сдвиг на 180° равносилен перемещению волнового распределения на полволны.
Итак, на границе двух сред падающая и отраженная волна либо максимально усиливают друг друга, либо максимально ослабляют.
Запомним, что для волны скоростей колебания потеря полволны при отражении происходит при падении в среду с большим сопротивлением (иногда неточно говорят: в среду с большей плотностью). Волна смещения неразрывно связана с волной скорости колебания и терпит вместе с ней потерю полволны.
Прошедшая во вторую среду волна нс терпит скачка фазы.
Из написанных уравнений найдем, совместно решая их, значение коэффициента отражения г/ т. с. нотр/н пад:
_____ Р1^1Р2^2
р2сг + Р1С1
(г всегда>0); также найдем коэффициент преломления g, т. е. ^лр^пад*
Р1С1 + Р2С2
Для воздуха и твердых тел волновые сопротивления разнятся очень сильно. Для воздуха, как мы указывали, рс=41, а для стали (р=7,9 г/см3, с=5000 м/с) рс=40-105, откуда г=0,99999. Это значит, что звук, падающий из воздуха на сталь, практически отражается полностью и почти не проникает в среду. Легко подсчитать, что для границы воздух — вода г 0,9997.
40. Явление Доплера
До сих пор молчаливо предполагалось, что источник волны ,и приемник ее (т. е. наблюдатель) оба покоятся по отношению к среде, в которой распространяется волна. Своеобразные эффекты, на которые впервые указал Доплер (1842 г.), наблюдаются в том случае, когда источник или наблюдатель или, тем более, оба вместе движутся по отношению к среде. Они заключаются, прежде всего, в том, что при движении источника волн наблюдатель измерит частоту колебаний v', при движении наблюдателя он измерит частоту колебаний v". Эти частоты отличны друг от друга и от той частоты v, которая измеряется при неподвижных наблюдателе и источнике.
При рассмотрении эффекта Доплера надо, прежде всего, обратить внимание на то обстоятельство, что волна, вышедшая от источника, распространяется совершенно независимо от движения 112
источника и наблюдателя. Поэтому при движении относительно среды источник или наблюдатель могут надвигаться или, напротив, убегать от движущейся волны.
Почему же подобные движения могут привести к измерениям частоты, отличным от ее «истинного» значения? Дело в том, что наблюдатель определяет частоту колебаний как число волн, которое приходит в его прибор за единицу времени, в то время как по формуле ч=сГк это число есть число длин волн, укладывающееся 'на пути, пройденном в единицу времени. Если наблюдатель движется к источнику со скоростью и, то за 1 с он зарегистрирует подход не v волн, а большего их числа, и притом во столько раз больше, во сколько относительная скорость волны и наблюдателя с+и больше и. Таким образом,
Если источник движется к приемнику, то наблюдатель опять-таки зафиксирует большее число волн, чем в случае, когда источник и приемник неподвижны. Однако причина увеличения здесь иная.
На первый взгляд это не очевидно. Но дело в том, что движение источника при неизменной частоте колебаний приводит к изменению расстояний между синфазными точками волны. Если первый случай можно грубо интерпретировать как движение наблюдателя навстречу колонне спортсменов, бегущих с одинаковой скоростью и постоянными интервалами X между собой, то ясно, что во втором случае схема рассуждения должна быть другой. Теперь можно говорить о медленном смещении линии старта (бегуны через равные промежутки времени прыгают с перемещающегося вдоль трассы автомобиля), что приведет к изменению расстояний между ними. Вместо X' они станут X". Если линия старта (источник) смещается по направлению к наблюдателю и за 1 с выпускается v спортсменов, то за 1 с они распределятся на участке с — и. Таким образом, интервал между спортсменами (длина волны) Х"=(с—u^h. Частота, с которой спортсмены, движущиеся со скоростью с, пересекают линию финиша (частота колебаний, воспринимаемая наблюдателем),
Обе полученные формулы одинаково годятся и тогда, когда источник и наблюдатель удаляются друг от друга; в этих случаях надо заменить знак скорости и на обратный.
Итак, показано, что при сближении источника и наблюдателя измеряемая частота колебаний, излучаемых источником, возрастает. При удалении частота падает.
Хорошо известный пример эффекта Доплера для звуковых волн дает наблюдение звука гудка приближающегося и удаляющегося поезда. При приближении поезда мы слышим звук с частотой выше
истинной. Высота тона меняется скачком, когда поезд проносится мимо наблюдателя. Поезд удаляется, теперь слышимый звук имеет частоту ниже истинной. Если поезд идет со скоростью 70 км/ч, то величина скачка составит ~12% от истинной частоты.
ГЛАВА 7
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
. Наложение двух волн, бегущихв противоположные стороны
Положим, что две плоские волны, вполне одинаковые по своим характеристикам, идут навстречу друг другу. Нас интересует возникающее колебательное движение среды, в которой распространяются волны.
Как упоминалось выше, различие в направлении распределения учитывается различием в знаках координаты в уравнении волны. Следовательно, результирующая картина смещения должна передаваться выражением
у — A Cosco —^ + A cos со + у^ =
= 2 A cos — cos tot — 2 A coscos tot.
с
Результат вычисления весьма интересен. Сумма двух бегущих волн не дала волнового движения. Полученная формула указывает на наличие колебаний с амплитудой 2A cos ^, разной в разных местах пространства. Своеобразное колебательное состояние среды, возникающее при движении в противоположные стороны двух одинаковых бегущих водн, носит название стоячей волны. Еще раз подчеркнем, что стоячая волна не есть волна. Бегущая волна переносит энергию, в стоячей волне никакой передачи энергии от точки к точке нет; бегущая волна может двигаться вправо или влево, у стоячей волны нет направления распространения. Это название характеризует колебательное состояние среды.
В чем же особенности этого колебательного состояния? Прежде всего, мы видим, что колеблются не все точки среды. В местах про-
X ЗА, 5Х странства, удовлетворяющих условиюх =, ..., ампли
туда колебания равна нулю. Соответствующие.места носят название узлов стоячей волны. Расстояние между двумя соседними узлами вдоль оси х, по которой были пущены бегущие волны, равно половине длины волны. Между двумя узлами лежат точки, которые колеблются с наибольшей амплитудой, равной 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны.
114
. Напротив, в положении мак. Напротив, в положении мак
. Напротив, в положении мак
. Напротив, в положении мак
На рис. 64 представлено колебательное состояние, соответствующее стоячей волне для нескольких последующих моментов времени. Мы видим, что название вполне оправдано. В каждое мгновение видна волна. При этом волна стоит на месте. Если делать мгновенные фотографии одну за другой, то точки пересечения волной оси абсцисс — узлы — будут оставаться на одном и том же месте. Волна стоит. Изменения в мгновенных
снимках будут состоять в изменении величины смещений. Наступит такой момент, когда все точки среды будут неподвижными. По прохождении этого мгновения точки, отклонявшиеся кверху, будут идти вниз, и наоборот. Разумеется, нарисованная картина не имеет ничего общего с бегущей волной, где два «мгновенных снимка» выглядят так, как на ранее приведенном рис. 57. Там волна движется, максимумы и минимумы волны в каждое следующее мгновение переходят в новые места.
Мы сказали, что в стоячей волне передачи энергии нет. Как описать тогда в терминах энергии процессы, происходящие в этом своеобразном колебательном движении? Очевидно, что энергия стоячей волны (какой-либо области, в которой она существует) есть величина постоянная.
В тот момент, когда все точки проходят положение равновесия, вся энергия точек, захваченных колебанием, является кинетичес
симального отклонения точек от положения равновесия энергия всех точек тела является потенциальной.
Стоячая волна — важнейший колебательный процесс: разного вида стоячие волны ‘возникают в телах ограниченных размеров, по которым распространяются упругие волны. Дело заключается в том, что упругие волны отражаются от границы тела со средой и отправляются в среду обратно. В ограниченном теле возникает сложное колебательное состояние, являющееся результатом наложения на исходную волну всех других волн, которые отразились от стенок и вернулись в среду. Ряд типичных случаев будет сейчас рассмотрен.
§ 42. Собственные колебания стержней
Ударом или иным способом в каждом твердом стержне можно возбудить продольную упругую волну, распространяющуюся вдоль его длины. От противоположного конца стержня эта волна отразится, и, таким образом, весь стержень придет в колебательное состояние, изображаемое стоячей волной. Это колебательное состояние будет свободным, так как оно возникнет благодаря кратковременному импульсу и будет далее продолжаться без действия внешних сил. Ряд сведений о характере этих свободных колебаний мы получим, если положим известной длину стержня и укажем способ его закрепления. Длина стержня и способ его закрепления дают нам так называемые граничные условия. Они сводятся к следующему: в закрепленном месте стержня существует узел стоячей волны, на открытом конце стержня образуется пучность стоячей волны.
Рассмотрим несколько способов возбуждения продольных свободных колебаний в стержне с длиной L.
Стержень, закрепленный в обоих концах. В этом случае на концах стержня должны образоваться узлы волны смещений. Так как расстояние между узлами равно половине длины волны, то воз- VуX
можные длины волн связаны с длиной стержня условием £ = п -у,
Л 21.
т. е. = —, где п — любое целое число.
Используя для скорости упругой волны выражение с = VЕ/р и вспоминая связь частоты с длиной волны, получим выражение для собственных частот свободных продольных колебаний стержня
х i/Z
2L V р
Прежде всего необходимо подчеркнуть принципиально новый для нас результат. Сплошное тело имеет не одну, а множество собственных (характеристических) частот колебания. Соответственное этим разнообразны возможные свободные колебания стержня. Стержень может также совершать негармонические колебания с любым спектром *), составленным из частот vn.
Частота гх является основной частотой колебания стержня. Ей соответствует колебательное движение с условием L-U^. Это значит, что при основном колебании центр стержня лежит в пучности стоячей волны, а узлов между концами стержня нет. Колебанию во втором обертоне (вторая гармоника) соответствует условие £=Х. Теперь в центре стержня имеется узел. Если возбуждена третья гармоника, то между концами стержня будут лежать два узла, и т. д.
Пример. Для железного стержня (р=7700 кг/м3, £=20,6-1010 Н/м2) длиной 7 м основная частота vx=365 Гц.
Стержень, открытый с обоих концов» Если стержень подвесить на нитях, а затем возбудить в нем колебания, то возникшая стоячая волна должна удовлетворять условию: на обоих концах стержня существует пучность. Так же как и в предыдущем случае, между длиной стержня и длинами волн возникает связь: L — п~ . Следовательно, формула собственных частот будет той же самой.
Отличие от предыдущего случая заключается в распределении узлов и пучностей. В основном колебании центр стержня покоится (узел). Если возбуждена вторая гармоника, то в центре стержня будет пучность, далее через четверть длины волны — узлы и на краях — пучности.
Стержень, закрепленный в одном конце. В этом случае на одном конце должен быть узел, а на другом — пучность. При колебании с основной частотой стержень имеет форму, соответствующую одной четверти периода синусоиды. Так как расстояние между узлом и пучностью равно Х/4, то связь между длинами волн и длиной стержня дается условием
к
L = п-^ , где n= 1, 3, 5, ...
Собственные частоты колебаний такого стержня выразятся формулой
v„=^ V— (n=L 3. 5, ...).” 4L г р х * ’ ’ 7
Если в первых двух случаях частоты относились друг к другу, как целые числа, то теперь отношение частот дается отношением нечетных чисел.
Стержень, закрепленный в середине, будет в этом месте иметь узел, а на концах — пучности. Задача ничем не отличается от рассмотренной.
Граничные условия, которые использовались при рассмотрении колебательного состояния стержней, являются предельным случаем граничных условий отражения волн, изложенных на стр. 111., Как было выяснено ранее, при отражении от границы, отделяющей среду от среды с большим сопротивлением, происходит отражение волны смещения с потерей полволны. Если стержень закреплен, то волна вовсе не проникает во вторую среду. В этом случае можно говорить о бесконечно большом сопротивлении второй среды. Коэффициент отражения становится равным единице и отражение происходит с потерей полволны. Нетрудно видеть, что это соответствует наличию узла на границе двух сред. Отражение волны от незакрепленного конца стержня соответствует отражению от среды с нулевым сопротивлением. Равенство коэффициента отражения единицеи отсутствие потери полволны приводят к необходимости существования пучности на такой границе.
Продольные собственные колебания могут быть также возбуждены в столбах жидкости и столбах газа.
Поперечные собственные колебания легко возбудить в зажатой и натянутой струне. Распределение узлов и пучностей будет, разумеется, таким же, как и для закрепленного с обоих концов стержня. Набор частот выразится формулой, аналогичной приведенной для стержня, с тем лишь различием, что в выражении скорости поперечной волны в струне надо заменить Е на натяжение струны, т. е. на частное от деления силы, натягивающей струну, на поперечное сечение струны.
Собственные колебания двумерныхи трехмерных систем
В стержнях, струнах, воздушных столбах поверхности равной фазы представляют собой параллельные плоскости. Колебательное состояние можно представить себе как результат наложения плоских волн, распространяющихся вдоль одной линии. Однако возможны и более сложные случаи, а именно такие, когда колебательным движением захвачена двумерная область (пластинка, мембрана) или тело, все три размера которого имеют одинаковый порядок величины.
С двумерными задачами мы сталкиваемся, рассматривая колебания упругих и жестких диафрагм. Колебания разного типа возникнут, если в одном случае закрепить пластинку по краям, а в другом — укрепить ее в одной точке или даже не закреплять вовсе. Кроме колебаний жестких пластинок наблюдают колебания натянутых нежестких пленок — резиновых, мыльных и пр.
Общие закономерности свободных колебаний в этом случае в принципе не отличаются от рассмотренных. Ввиду двумерности задачи узлы и пучности должны характеризоваться теперь кривыми линиями. Например, круглая закрепленная по краям пластинка совершает основное колебание, имея единственную пучность в центре круга. Центральная точка колеблется с максимальной амплитудой, а далее амплитуда спадает к закрепленным краям (к узловой окружности) с сохранением круговой симметрии. Так выглядит простейшее колебание основной (самой низкой) частоты. Мембрана может быть возбуждена и в более высоких гармониках, тогда поверхность ее разбивается на участки узловыми линиями. Оказывается, что узловые линии у круглых пластинок могут иметь форму либо окружностей, либо диаметров, проходящих через центр.
Эффектным и простым опытом является демонстрация узловых линий способом Хладни (по имени ученого, предложившего этот способ). Пластинку посыпают песком, а затем ударом или смычком приводят в колебательное состояние. Песок скатывается с пучностей и собирается на узловых линиях. На рис. 65 показано несколько примеров фигур Хладни.
Естественно, наиболее сложным является колебательное состояние сплошного трехмерного тела. Отказываясь от рассмотрения явления в теле сложной формы, мы ограничим себя изучением собст- 118
венных колебаний прямоугольного параллелепипеда. Если бы в таком теле существовали только стоячие волны, возникшие благодаря сложению волн, бегущих параллельно ребру параллелепипеда, то собственные частоты колебаний ограничивались бы значениями
пхс п^с п3с
а волновые числа (так называют величины, обратные длине волны) будут равны
ь — ъ — Hl ь —~ 2к ’^ 2U ’2/3 ’
где nt) п2, п3 — любые целые числа, 1г, 12) 13— длины ребер параллелепипеда.
Однако в теле могут распространяться волны, идущие под произвольным углом к границам. Стоячие волны образуются в том случае, если после ряда отражений луч придет.в ту же точку, из которой он вышел. Волновое число такого луча должно вычисляться из кх, k2) к3 по правилу сложения векторов. Таким образом,
к = укН1гН^, т. е. v = |l/^ + ^ + ^.z Г к к к
Ясно, что частоты колебаний для простейших случаев распространения волн параллельно ребрам тела также получатся из этой формулы, если положить отличным от нуля лишь одно из трех целых чисел, входящих в формулу.
Спектр колебания трехмерного тела изображается в трехмерном пространстве (рис. 66), которое можно назвать пространством частот, или обратным пространством. Если величины ^”, ^, ^-откладывать соответственно по трем осям, то возникнет решетка, (обратная решетка), каждый узел которой представляет одну из собственных частот колебания тела за номерами nt, п2, п3. Радиус-вектор обратного пространства, проведенный в узел решетки, равняется
возможной частоте колебния. Если провести сферу радиусом v, то в нее попадут все точки, изображающие частоты, меньшие v. Объем такой сферы равен 4/3 nv3, объем каждой ячейки обратной решетки
равен (cl^yiv, где и — объем тела. Следовательно, число собственных колебаний тела с частотами, меньшими v (число узлов в октанте сферы), выражается формулой
Эта интересная закономерность показывает, что число собственных частот резко возрастает, если мы начнем увеличивать интервал частот, подлежащий рассмотрению. При больших частотах дискретный характер спектра начинает смазываться, частоты становятся весьма близкими друг к другу.
Вынужденные колебания стержней и пластинок
Если колебания стержня, пластинки или иного тела происходят не в вакууме, а в какой-либо среде ), жидкой или газообразной, то некоторая часть интенсивности, зависящая, как нам известно, от отношения волновых сопротивлений соприкасающихся сред, переходит из колеблющегося тела в среду. Можно выразить эту же мысль короче: колеблющееся тело излучает энергию. Благодаря излучению свободные колебания стержня, струны и пр. быстро затухают. Если нужно, чтобы такое тело являлось постоянным источником излучения, то колебания следует возбуждать посторонним источником. Так же как и в случае колебаний точки, подведение энергии может произойти как по схеме автоколебаний, так и созданием вынужденных колебаний.
Д ЯапрЗДсеннаЖб магнитного ноля. zв эрелгёдсех.Д ЯапрЗДсеннаЖб магнитного ноля. zв эрелгёдсех.Рис. 67.Рис. 67.В зависимости от способа и места подведения внешней энергии можно возбудить, вообще говоря, любую из частот или любую комбинацию собственных частот способного колебаться тела. Можно, например, следующим образом создать вынужденные колебания натянутой струны. Около стальной струны укрепляется электромагнит, питаемый синусоидальным током от звукового генератора. Колебания струны под действием периодически меняющейся внешней поперечной силы станут заметными лишь в случае резонанса. Подбирая разные натяжения струны и варьируя внешнюю частоту, можно продемонстрировать колебание струны на основной частоте, а также и на более высоких обертонах.
Д ЯапрЗДсеннаЖб магнитного ноля. zв эрелгёдсех.
Д ЯапрЗДсеннаЖб магнитного ноля. zв эрелгёдсех.
Рис. 67.
Рис. 67.
Огромное практическое значение имеет создание вынужденных колебаний (стоячих волн) в пьезоэлектрических пластинках и ферромагнитных стержнях. Эти колеблющиеся тела являются источниками ультразвуковых* волн.
Ферромагнитные тела обладают свойством удлиняться или укорачиваться под действием магнитного поля. Теория этого явления сложна и мы скажем о ней и в дальнейшем лишь немногое. Пока что для нас достаточно знать, как изменяется длина ферромагнитного стержня в зависимости от напряженности поля. На этот во- прос отвечает рис. 67, из которого следует, что никель и отожженный кобальт укорачиваются в полях любой силы, литой кобальт в малых полях укорачивается, а в больших удлиняется и, наконец, железо удлиняется в малых полях и укорачивается в больших. Так или иначе, любой ферромагнитный стержень будет способен совершать вынужденные колебания при внесении в переменное магнитное поле. Для этой цели стержень помещают обычно в отверстие сердечника трансформатора, через который проходит переменный ток. Чтобы стоячая волна в стержне была достаточно сильной, необходимо работать в условиях резонанса: частота переменного поля должна совпадать с собственной частотой колебания стержня.
Так как стержень закрепляют в середине, то собственная частота колебаний
причем стержень может совершать колебания только на нечетных гармониках. Основная частота для никеля, если подставить значения физических констант, окажется равной
237
^ = -у-кГц (/—в сантиметрах).
Например, стержень длиной 40 см будет колебаться с основной частотой 6 кГц.
Наиболее распространенным источником ультразвуковых колебаний является пьезокварц.
Колебания пьезоэлектриков
Как будет рассказано ниже (§ 262), все кристаллы, нс обладающие в числе своих элементов симметрии центром симметрии, могут обладать пьезоэлектрическим эффектом. Это явление заключается в изменении размеров кристалла под действием электрического поля и, обратно, в возникновении электрического поля в кристалле под действием приложенных к кристаллу сил. При использовании пьезоэлектрика в качестве источника колебаний мы, естественно, интересуемся первым явлением, называемым также электрострикцией, или обратным пьезоэлектрическим эффектом. В качестве пьезоэлектриков употребляют кварц, сегнетову соль, титанат бария, дигидрофосфат аммония и другие кристаллы. Вообще говоря, имеются сотни известных веществ, которые могли бы, в принципе использоваться для той же цели. Однако наличие дополнительных требований (прочность, устойчивость к влаге и пр.), а также, разумеется, желание выбрать кристаллы, дающие наиболее сильный эффект, резко ограничивают практический список веществ.
Кристалл, помещенный в электрическое поле, меняет свои размеры в разных направлениях (по отношению к осям симметрии кристалла) по-разному. Поэтому, вырезая из кристалла стержни или пластинки, различно ориентированные по отношению к осям кристалла, и помещая их между обкладками конденсатора, мы будем получать деформации разного типа. Чаще всего вырезают пластинку кварца или другого пьезоэлектрика таким образом, чтобы под действием электрического поля в ней происходили продольные смещения. Тогда под действием переменного электрического поля в такой пластинке возникнут вынужденные стоячие продольные волны.
Если / — толщина пластинки в направлении движения волны, то собственные частоты колебания представятся, как обычно, формулой v=nc!2l. Для кварца в этой простейшей ориентировке скорость упругих волн равна 5400 м/с. Следовательно, основная собственная частота колебания кварцевой пластинки найдется по формуле
2700
v = —j-кГц (/ — в сантиметрах)
(опыт дает несколько иное значение: 2880// кГц).
Амплитуды колебаний зависят от величины прикладываемого поля. Между величиной смещения и напряженностью электрического поля существует линейная зависимость. Прибегают к довольно сильным полям. Кварц — превосходный изолятор, поэтому при толщинах до сантиметра применяются электрические поля порядка 30 000 В/см.
Основным в получении сильного ультразвукового сигнала является резонансный эффект. Смещения под действием статического поля в тысячи раз меньше резонансных смещений, а ведь энергия колебания пропорциональна квадрату смещения.
Если повышать частоту генератора, можно последовательно возбудить пластинку на всех ее обертонах. Частоты наиболее распространенных промышленных ультразвуковых генераторов лежат в пределах от сотен до тысяч килогерц.
ГЛАВА 8
ВОПРОСЫ АКУСТИКИ
§ 46. Объективная и субъективная характеристики звука
Слуховые органы человека обладают способностью оценивать громкость звука, его высоту и тембр. Исследуя различные звуки с помощью электронного осциллографа, можно детально сопоставить объективную и субъективную оценки звука.
Так как звук есть результат колебательного процесса, происхо* дящего в воздухе, то его можно описать исчерпывающим образом графиком изменения амплитуды (смещения, скорости колебания или давления — это довольно безразлично) во времени. Подобный график дает возможность выяснить, является ли процесс периодическим, и если да, то определить основной тон колебания. Изучая
Рис. 68.
форму кривой периодического колебания, можно установить, какие обертоны присутствуют и с какими амплитудами. Иначе и более широко говоря, график зависимости колебания от времени позволяет всегда найти спектр колебания, т. е. узнать, какие в нем присутствуют частоты и с какими амплитудами они представлены в спектре. Получение графика происходит с помощью микрофона, присоединенного к осциллографу. В более совершенных установках происходит автоматическое преобразование графика колебания в его спектр.
Упрощенная схема такого анализатора показана на рис. 68. Входной звуковой сигнал, превращенный микрофоном в электриче-
ский, усиливается предварительным усилителем ПУ и попадает в устройство, состоящее из большого числа фильтров Ф1—Ф27, каждый из которых пропускает определенную полосу частот, например V3 октавы (36—48, 48—60, 60—72 Гц и т. д.).
Рис. 69.
Про фильтры можно сказать, что они раскладывают сигнал в спектр и при этом с тем большей разрешающей способностью, чем меньше частотный интервал фильтра. Выделенная фильтром часть спектра подается на контакты коммутатора Кг и далее через усилитель У и детектор (выпрямитель) направляется на пластины осциллографа, отклоняющие электронный луч по вертикали. Если бы на вторую пару пластин осциллографа напряжение не подавалось, то при включении каждого из фильтров электронный луч отклонялся бы на
высоту, пропорциональную амплитуде соответствующей частотной составляющей спектра. Однако можно сделать много лучше, а именно включить при помощи второй пары пластин горизонтальную развертку электронного луча, так чтобы автоматическое вращение коммутатора Ki было однозначно связано с вращением коммутатора Кй, управляющего разверткой и приводимого в движение мотором М. Таким способом можно добиться того, чтобы амплитуды составляющих, пропущенных разными фильтрами, отмечались бы при разных, но вполне определенных горизонтальных смещениях электронного луча, задаваемых батареей Б.
Тогда на экране осциллографа возникнет спектр.
Лийейчатые спектры возникают у периодических колебаний, сплошные — у колебаний, не имеющих периода. К первым относятся музыкальные звуки, ко вторым — различного рода шумы.
Один и тот же Музыкальный тон, взятый на разных инструментах, будет иметь одну и ту же основную частоту, но разный спектр. Тембровая окраска звука определяется распределением интенсивностей обертонов (см., например, рис. 69). Чем сложнее спектр, тем богаче тембр звука в музыкальном отношении. Интересно, что фазовые сдвиги обертонов (вернитесь к формуле на стр. 91) не влияют на субъективное восприятие звука. Ухо чувствует только силу обертонов.
Анализ шумов имеет практическое значение. Если известны частоты, особенно сильно представленные в шуме, то это облегчает установление причин шума, а значит, и его устранение.
§ 47. Сила и громкость звука
На рис. 70 жирными кривыми ограничена область колебаний, воспринимаемых на слух средним человеком. По оси ординат отложены
две однозначно связанные величины: амплитуда звукового давления и сила (интенсивность) звука. Звуковое давление р и сила звука I
125
связаны в простейшем случае формулой
2рс *
Действительно, интенсивность волны
I = wc,
где w — плотность энергии, т. е. w=pu2,2. Но (см. стр. 101) и=р!рс. Делая подстановку, мы получим написанную выше формулу. Сила звука может быть измерена в Вт/см2.
Для воздуха рг=41. Сильнейшие звуки, вызывающие болевое ощущение, создаются давлением порядка 2000 бар, очень слабые звуки, но все же воспринимаемые средним человеком, имеют давление 2-10”4 бар (1 бар = 1 дин/см2). Мы получим для предельных интенсивностей звука цифры от 0,5-105 эрг/(с-см2)=0,5-10”2 Вт/см2 до 0,5-10~16 Вт/см2.
Столь большой диапазон интенсивностей делает целесообразным введение логарифмической шкалы. Если сила одного звука /ь а другого /2, то говорят, что /2 громче 1г на К децибелов, если
^=101g^.
Величину К называют уровнем громкости. Таким образом, если силы звука отличаются в миллион раз, то по громкости они различаются на 60 децибелов.
Оценивая силу звука в децибелах, надо указать нулевой уровень. Обычно берут величину, близкую к порогу слышимости (10-16 Вт/см2), тогда шепот обладает громкостью порядка 15 дБ, а шум самолета— 120 дБ.
Возвращаясь еще раз к диаграмме слуховых восприятий, отметим, что область речи заключена в более узкие рамки как по частотам (от 100 до 10 000 Гц), так и по силам (от 40 до 80 дБ). Звуки разной частоты обладают различной слышимостью. Лучше всего ухо воспринимает частоты в несколько тысяч герц. Ниже 20 Гц лежит область инфразвуков, выше 10 000—20 000 Гц — область ультразвука.
Приведем примерные значения звукового давления р, интенсивности / и громкости звука К*.
р, бар
/, Вт/см2
К, ДБ
Порог слышимости
2,910-4
IO-46
0
Падение капель
2,910-3
10-14
20
Тихий разговор на расстоянии 5 м .
2,910-2
Ю-I2
40
Симфонический оркестр (фортиссимо) .
2,9
10-8
80
Авиамотор на расстоянии 5м....
290
IO-4
120
§ 48. Архитектурная акустика
В одних помещениях произносимая речь звучит неразборчиво, хотя и громко, в других залах оратору надо возвышать голос, чтобы быть услышанным. Представляют интерес поиски физических констант помещения, характеризующих его акустические свойства.
Опыт показывает, что важнейшим фактором такого рода является так называемое время реверберации — время, в течение которого произнесенный звук ослабляется в миллион раз по отношению к первоначальной силе. В акустическом отношении помещение наилучшее, ер л и время реверберации т составляет 0,5—1,5 с. Если т меньше 3 с, помещения считают хорошими. Если же время реверберации превосходит 5 с, то акустика такого помещения очень плоха, она характеризуется «гулким звучанием».
Произнесенный в каком-либо месте большого зала звук отражается от стенок, пола и потолка комнаты, отражается от мебели, от драпировок, от одежды сидящих в зрительном зале людей. Если при каждом отражений звук теряет большую долю энергии, то затухание звука произойдет очень быстро. Время реверберации в этом случае очень мало, звук будет «глухим». Гулкость возникнет в том случае, если звук будет многократно отражаться с малым затуханием. Слушатель будет улавливать звуковую волну, непосредственно достигшую уха, двукратно отраженную, трехкратно отраженную и т. д. Если время между приходом этих звуковых волн не превысит V15 с, то ухо услышит не два или три звука, как в хорошо известном явлении эха, а воспримет размазанный и, следовательно, нечеткий звук.
Очевидно, что вопрос о времени затухания звука определяется поглощением его на окружающих телах. Так как звук отражается многократно, то через короткое время постоянного звучания какого* либо источника все помещение более или менее равномерно заполнится звуковой, т. е. колебательной, энергией. Через короткий срок установится равновесие между энергией, отдаваемой источником, и энергией, поглощаемой средой. Заметим, кстати, что при отсутствии поглощения звуковая энергия в закрытом помещении возрастала бы неограниченно при постоянном звучании источника.
Представим себе, что источник звука прекратил свою работу. Тогда будет происходить лишь одно явление, а именно, поглощение звуковой энергии поверхностью тел, находящихся в помещении. Каждый из материалов, принимающий участие в этом процессе, обладает характерным для него коэффициентом поглощения а. Если в помещении имеется открытое окно, то для него можно принять коэффициент поглощения равным 1, так как звук полностью уходит (а это все равно, что поглощается) из помещения. Для гладкой и твердой стены коэффициент а близок к нулю (для бетона 0,015). Теперь поглощение звука, характерное для всего помещения, можно описать величиной A =aIS1+a2S2+a3S3+... ; в этой сумме учитываются все поверхности, ограничивающие помещение. Теория
показывает, что время реверберации зависит от величины Л и от объема помещения V, а именно, т — 0,16-^-. В этой формуле объем надо выразить в кубических метрах, а величину Л — в квадратных метрах (0,16—размерный коэффициент).
Нетрудно с помощью последней формулы найти типичные значения времен реверберации. Коэффициент поглощения для бетона мы привели только что; не намного больше (до 3%) энергии поглощают стекло, дерево, штукатурка. Резкое увеличение поглощения происходит при внесении в помещение мягких материалов. Достаточно сказать, что одежда одного человека поглощает столько же звука, сколько 20 м2 стены. Для мягких материалов коэффициенты поглощения колеблются от 0,5 до 0,9. Для решения акустических проблем при строительстве зданий большое значение имеют пористые материалы, коэффициент поглощения которых может приблизиться к а для Мягких материалов (пеностекло, пенобетон).
§ 49. Атмосферная акустика
Если волна переходит из одной среды в другую, то она меняет
направление распространения в соответствии с законом преломления. Угол, на который меняется направление распространения, определяется показателем преломления, т. е. отношением скоростей
распространения.
ной атмосферы температура имеет,ной атмосферы температура имеет,Известно (§ 32), что скорость распространения звука чувствительно зависит от температуры. Изменение температуры на 1 °C увеличивает скорость звука примерно на 0,5 м/с. В различных слоях'зем
ной атмосферы температура имеет,
ной атмосферы температура имеет,
как правило, разные значения. Значит, в разных слоях воздуха звук будет иметь различную скорость. Как же скажется на распространении звука то обстоятельство, что он движется в среде, где коэффициент преломления непрерывно меняется?
Ответ на этот вопрос(дает схема, изображенная на рис. 71. Представим себе, что
звук проходит через серию слоев, внутри которых показатель
преломления постоянен, а при переходе от слоя к слою меняется скачком. Путь звуковой волны представится ломаной линией. Если же толщины слоев будут малы и различия в коэффициентах преломления начнут уменьшаться, то ломаная линия будет неотличима от кривой. Значит, в среде переменного показателя преломления звуковые волны распространяются, вообще говоря, по кривым линиям. При этом линия загибается всегда таким образом, что от точки к точке волна движется кратчайшее время (это положе-
ние носит название принципа Ферма). В этом случае прямая линия в известном смысле не является кратчайшей.
Покажем справедливость этого принципа для случая двух соседних участков ломаной кривой, которую мы только что рассматривали. Для простоты положим, что оба участка имеют равные толщины d и разные скорости распространения и v2- Время, затрачиваемсе волной, чтобы пройти указанный на рисунке путь, равно
т^^-К^ + ^Н-^-]/ (я — %)2 + d2.
Время выражено через независимую переменную х. Давая х различные значения, мы будем получать разные преломления и разные времена перехода от той же начальной точки к той же конечной точке. du
Наименьшим время будет при условии, что ^ =0, т. е. при условии vt х ,а — х
и 2V"x24-d2 У" (а— х)2 + ^2
Но --77™— есть синус угла падения, а -7=^^= — синус угла
У х2+^2У (а — x)2 + d2
преломления. Мы доказали, что преломление волны происходит так, чтобы время ее движения стало минимальным. Следует подчеркнуть, что этот результат справедлив для всех волновых процессов, а не только для упругих волн.
Таким образом, волна, идущая в неоднородной среде, меняет свое направление так, чтобы удлинить свой путь в среде с большой скоростью распространения и сократить его в слоях, где скорость распространения меньше. Иначе говоря, слои с большой скоростью распространения будут проходиться по возможности полого, а слои с малой скоростью распространения — по возможности отвесно.
Эти замечания делают вполне понятными рисунки, на которых схематически представлен ход звуковой волны для случая, когда температура воздуха убывает с высотой (что обычно имеет место днем) и когда температура возрастает с высотой (ночные условия) (рис. 72).
В данном случае большая скорость распространения звука имеет место в слоях, близких к земле. Если проследить за распространением звуковой волны, вышедшей из надземного пункта под небольшим углом к вертикали, то обнаружится следующая картина. Каждый последующий слой отклоняет волну все дальше и дальше от вер.sin i .
тикали. Когда угол падения достигнет угла i0, для которого= I, преломление прекращается, происходит полное отражение. Формально причины полного отражения понятны: sin г не может стать большим единицы. Физическая сущность этого интересного явления будет рассмотрена ниже (§ 128) на примере электромагнитных волн. Как бы то ни было, волна нс только не распространяется вдоль земной поверхности, но, напротив, поворачивается и направляется
5 А. И. К ит а й г ср оде кий129
вверх. Нарисованная картина делает понятным образование «зон молчания». Ночью путь звуковой волны обращен выпуклостью кверху. Поэтому слышимость ночью много выше, чем днем. Если же звук распространяется над отражающей поверхностью (водная ^екв
Рис. 73.
гладь), то несильные звуки могут быть слышны за несколько километров. Путь волны представляет тогда последовательность выпуклых дуг (рис. 73).
Действие ультразвука
Колебательная энергия в единице объема звукового поля пропорциональна квадрату частоты. Действительно, плотность колебательной энергии ^=pz/2/2, но амплитуда скорости ^о^Лса, а следовательно, w пропорционально со2. Сильные источники ультразвука способны создать колебания с амплитудой давления в десятки атмосфер. Таким образом, в микрообъемах вещества несколько тысяч раз в секунду напряжение достигает десятков атмосфер давления, падает до нуля, достигает десятков атмосфер растяжения и т. д.
Ясно, что такое сильное механическое действие может привести к ряду специфических явлений. К ним относится явление кавитации. В момент колебания, соответствующий предельному растяжению в жидкости, находящейся в ультразвуковом поле, происходит микроскопический разрыв, куда устремляются растворенные газы и пар. В момент колебания, соответствующий сжатию, в области этих разрывов возникают колоссальные давления порядка тысяч атмосфер.
Столь существенные действия ультразвука могут быть использованы для преодоления сил, действующих между молекулами. Эмульсии (жир в воде, бензол в воде и пр.) диспергируются под действием ультразвука. В частице, взвешенной в воде, наступает рано или поздно кавитационный разрыв. Дробящее действие ультразвука находит широкое применение в промышленности.
Однако и при отсутствии кавитации действие ультразвука может быть немаловажным. Если ультразвуковая волна проходит через аэрозоль (газ со взвешенными твердыми частицами, например дым)- то результатом является осаждение частиц. Ультразвуковые колебания собирают твердые частицы в узлах звукового давления, частицы слипаются и становятся достаточно тяжелыми, чтобы опуститься на землю.
Нахождение раковин, внутренних трещин и других дефектов металлов с помощью ультразвукового просвечивания является также важной областью применения ультразвука. Метод основан на отражении ультразвука границей среда — воздух или основной металл— включение. Заметный эффект будет получен лишь в том случае, если размеры дефекта больше длины волны. Чтобы увидеть дефект размером в 1 мм, нужна длина волны менее 0,1 мм и, значит, частоты порядка 109 Гц. Обычно работают на много меньших частотах (107 Гц) и применяют метод для обнаружения крупных пороков.
Широко известно применение ультразвука в эхолотах и гидролокаторах.
ГЛАВА 9
ТЕМПЕРАТУРА И ТЕПЛОТА
Тепловое равновесие
Про тело, у которого все свойства остаются неизменными, мы говорим: состояние тела не меняется. Напротив, при изменении какого-либо свойства тела меняется его состояние. Состояние тела можно изменить, совершая над ним работу. Однако возможно достигнуть таких же результатов и немеханическим путем. Вода нагреется как после интенсивного перемешивания, так и после поднесения к ней газовой горелки. Если внешняя среда или окружающие тела воздействуют на рассматриваемое тело или систему тел и меняют состояние этого тела или системы тел немеханическим путем, то говорят о теплообмене.
Если теплообмен между телами отсутствует, то тела находятся в тепловом равновесии, имеют одинаковую температуру. Если тела соприкасаются друг с другом, то наличие теплового равновесия обнаруживается непосредственно: состояния тел длительно остаются теми же. Теплообмен возможен и в случае далеких друг от друга тел. Обнаружить тепловое равновесие в этом случае можно при помощи третьего тела, которое играет роль термометра. Если
термометр находится в равновесии с обоими телами, то температура этих тел одинакова. Это значит, что и при непосредственном соприкосновении они находились бы в состоянии теплового равновесия. При помощи «третьего тела», термометра, всегда можно сказать, обладают ли тела разными или одинаковыми температурами.
При помощи термометра можно не только устанавливать наличие или отсутствие теплового равновесия, но можно и судить о степени отклонения от равновесия. Чтобы термометр мог служить этой цели, нужно условиться о веществе термометра (ртуть, спирт, вода, газ) и о свойстве (признаке), по которому мы будем судить о достижении или отклонении от теплового равновесия предмета с термометром. Как и всегда в физике, важно условиться, какие приборы, в данном случае термометры, должны быть положены за основу. Далее всегда можно проградуировать любой термометр по эталонному. В качестве эталонного вещества для термометра берется газообразный водород. Признак, по которому судят о температуре, —
это давление газа р. Температура тела принимается пропорциональной давлению водорода в газовом термометре при постоянстве объема, занимаемого водородом.
Выбор шкалы температур производится следующим образом. Температура тающего льда называется 0°, температура кипящей воды 100° (при давлении 760 мм ртутного столба). Измеряя давление водорода ро и рюо в этих двух точках, откладывая эти точки на графике и проводя через них прямую линию, получим шкалу температур Цельсия. Уравнение этой прямой, проведенной на рис. 74, имеет вид
t = -Ы2— 100.Рюо Ро
Прямая линия пересекает ось / при температуре —273,1 °C. Это — абсолютный нуль. По определению понятия более низкие температуры невозможны. В физике большей частью пользуются температурой, отсчитываемой от абсолютного нуля, Т=/+273,1°. В этом случае говорят об абсолютной температуре, или температуре в градусах Кельвина (К).
Градуирование рабочих термометров по эталонному водородному может производиться в ограниченном интервале температур. При высоких температурах может начаться диффузия водорода через стенки сосуда. При низких температурах водород может превратиться в жидкость. Тем не менее принятое определение температуры имеет совершенно общий смысл, как будет видно ниже (стр. 141).
Внутренняя энергия
Основные черты поведения тел при механическом и тепловом взаимодействии превосходно отражает так называемая молекулярно-кинетическая модель. Со^гоящее-шз^олекул тел^ ется как сщсте^лшж^ЩЙ^ и взаимодействующих частиц, подчиняющаяся за конам механики. Такая система молекул ^олжн обладатьэнергиейГсшщдывайХадйся изпотенщи^^ имодействия частиц и из^цнетическюй энергии движения частиц. Эту энергию и называют e/^m^^
^Тлгределенному „ состоя1гию"~тела'-отгределенная
внутренняя энергия. Изменения взаимного расположенияПмТГХа- р а ктерТдвижен и я частиц связаны с изменением внутренней энергии. Каким бы способом ни менялась внутренняя энергия тела, окружающие тела должны передать энергию молекулам рассматриваемого тела. Если тело подвергается механическому воздействию, то передача энергии происходит упорядоченным образом; при тепловом обмене энергия передается со стороны среды путем случайных импульсов, передаваемых то одной, то другой молекуле.
Количество энергии, переданной телу механическим путем, измеряется величиной произведенной над телом работы. Количество энергии, переданной при теплообмене, измеряется количеством тепла.
Так как строгий подсчет внутренней энергии тела затруднителен, а большей частью и невозможен, и так как само представление о внутренней энергии как о чисто механической величине является лишь приближением, то надо ввести строгое определение этой величины. Это удается сделать, изучая процессы, происходящие - без теплообмена с окружающей средой. Такие явления называются 'аЗиабшпачеа^"Производя опыт внутри"теплоизолирующей оболочки и ограничивая измерения краткими сроками (пока тепло не успело «уйти» из изучаемого объема), удается вполне точно осуществить адиабатические условия. Многочисленные опыты, приведшие в свое время к установлению закона сохранения энергии, показывают; чтол каким бы путем ни изменялось в таком процессе состояние тела,д^одна и та же работа. Величина этой
работыпа определению приросту внутренней "энергии
тела(7:—
A = U2 — UV
Абсолютное значение внутренней энергии, разумеется, не может быть найдено из опыта.
Если бы механическая модель тела была вполне точна, то утверждение, записанное выше, являлось бы простым следствием закона сохранения механической энергии. Однако молекулярно-кинетическая модель есть только модель, и поэтому тот факт, что каждому состоянию тела можно сопоставить определенную энергию, так что разность энергий двух состояний равна адиабатической работе
перехода, является важнейшим законом природы, приводящим к закону сохранения энергии.
Теплообмен и механическое воздействие могут приводить в ряде случаев к одинаковому изменению состояния, т. е. к одинаковым изменениям внутренней энергии тела. Это дает нам возможность сравнивать тепло и работу и измерять количество тепла в тех же единицах, что работу и энергию.
Для представления о величинах внутренней энергии приведем следующие цифры.
При нагревании воды на 1° энергия 1 г воды возрастает на
кал = 0,427 кгсм = 4,18-107 эрг = 4,18 Дж = 2,611019 эВ.
При этом одна молекула воды увеличивает в среднем свою энергию на
3-10~23 кал= 1,28-10-23 кгсм = 1,25 -10-16 эрг = 12,5-10~23 Дж = 7,8-10~4 эВ.
При сгорании 1 г угля вещество отдает внутреннюю энергию в количестве
7000 кал = 2990 кгсм = 2,93-10й эрг = 2,93-10* Дж = 18,3-1022 эВ.
При расчете на один атом углерода эти цифры примут вид
10-19 кал = 5,98-10-20 Кгсм = 5,86.10"12 эрг = 5,86-10-19 Дж = 3,66 эВ
При ядерном делении 1 г урана-235 выделяется энергия
2,03-Ю19 кал = 8,65109 кгс м = 8,49.1017 эрг = 8,49-1010 Дж = 5,29-1029 эВ.
Одно атомное ядро отдает при этом внутреннюю энергию в количестве
7,9- 10*12 кал=3,38-10“12 кгс-м=3,3-10-4 эрг=
= ЗД.Ю-11 Дж = 206-106 эВ ^200 МэВ, что более чем в 50 миллионов раз превышает энергию химических реакций (1 МэВ= = 106 эВ).
Первое начало термодинамики
В самом общем случае, обмениваясь энергией со средой или окружающими телами, рассматриваемая си^та может получать или отдавать количество тепла Q, может производить работу или над ней может быть произведенаработ^^^иработа — это "две
формы, в которых энергия тела может"передаваться среде или, наоборот, энергия среды может передаваться телу. Закон сохранения энергии исключает возможность каких-либо потерь при энергетическом обмене. Разность энергий системы в двух состояниях должна равняться сумме теплоты и работы, полученных системой от окружающих тел.
Это утверждение нельзя было бы подвергнуть опытной проверке, если бы мы не добавили, что прирост энергии при переходе системы от одного состояния к другому всегда один и тот же вне зависимости от характера или способа перехода от начального состояния к конечному. Принцип сохранения энергии заключен именно в последнем 134
утверждении. Его-то мы, несомненно, можем подвергнуть .всесторонней экспериментальной проверке, измеряя сообщенные системе теплоту и работу в различных переходах от одного и того же начального к одному и тому же конечному состоянию. Прирост энергии во всех случаях должен быть одним и тем же.
Закон сохранения энергии, выраженный в приведенной конкретной форме, носит название первого начала термодинамики. Этот важнейший закон природы был установлен работами ряда ученых в середине прошлого столетия. Роль Роберта Майера, Джоуля и прежде всего Гельмгольца следует оценить особенно высоко.
Для записи первого начала термодинамики в виде формулы надо условиться о выборе знака для теплоты и работы. Мы примем, что теплота положительна тогда, когда она сообщается системе, а работу будем считать положительной тогда, когда тело совершает ее против действия внешних сил. Тогда первое начало термодинамики запишется в виде
^Q = dU + ^A,
т. е. подведенное телу тепло идет на изменение внутренней энергии и на произведенную телом работу. Разумеется, мыслимы любые превращения, при которых каждая из входящих в равенство величин может быть положительной и отрицательной.
Не случайно в записи первого начала знак дифференциала использован только для энергии. Работа и тепло не являются полными дифференциалами. При переходе тела из одного состояния в другое величины работы и тепла, полученные или отданные телом, будут зависеть от «пути» перехода, и лишь прирост энергии, как это имеет место для полного дифференциала какой-либо функции, не зависит от способа перехода:
2
^dU=U2 — uv 1
Применение закона сохранения энергии и, в частности, первого начала термодинамики охватывает все разделы физики. Ценность его для науки заключается в исключительной предсказательной силе. Не имея каких бы то ни было сведений о характере процесса, зная лишь начальное и конечное состояния системы, можно делать ряд ценных выводов. Пусть, например, проводит химическая реакция присоединения молекулы А к В, образуется молекула АВ. Допустим, нам известны внутренние энергии молекул UA, UB и UАв- Если Uав больше, чем UA"VUB, то мы можем предсказать, что реакция протекает с поглощением тепла, и притом в количестве, равном Q=UAb— (UA-\-UB). Или, зная UA и UB и измеряя при помощи калориметра теплоту реакции, мы можем найти UAb и использовать эти данные для предсказания хода какой-либо другой реакции, в которой участвует соединение АВ.
§ 54. Энергия микроскопических систем
Закон сохранения энергии и правила обмена энергией справедливы, разумеется, как для больших тел, так и для частиц, из которых построены тела. Однако при изучении частиц (атомов, ядер, молекул) или систем, состоящих из небольшого числа частиц, необходимо учитывать еще один важнейший закон природы. Энергия микроскопических систем нс может принимать любые значения. Каждая система имеет свою, характерную для нее и только для нее, последовательность возможных значений энергии: £1? £2, ...На рис. 214 (стр. 454) изображена схема возможных уровней энергии атома водорода. Похожими рисунками можно изобразить энергетические уровни и других атомных систем. При сообщении системе тепла или работы энергия атомов, молекул или иных микроскопических систем может возрастать лишь скачкообразно, определенными порциями (квантами) энергии. Так же точно отдельными квантами и отдается энергия окружающим телам.
Строго говоря, закон о квантовом характере энергии, о наличии для каждой микроскопической системы «лестницы» возможных энергетических уровней является вполне общим законом природы, справедливым и для больших тел. Однако, как показывает теоретическая физика, у большого тела число энергетических уровней, грубо говоря, возрастает в п раз, если тело состоит из п атомов.
По мере возрастания энергии, как это видно из рисунка для водорода, уровни располагаются все теснее. Сближение этих уровнег! происходит у большого тела несравненно быстрее, чем у отдельного атома. Лишь самые низкие, бедные энергией уровни выглядят раздельно. Более высокие уровни сливаются, и практически оказывается, что большое тело может изменять свою энергию непрерывным способом. Если от тела отнимать энергию, то оно «спускается» на более низкие уровни. Квантовый характер изменений энергии проявляется поэтому тем резче, чем ниже температура тела, чем ближе она к абсолютному нулю.
При механическом воздействии энергетические уровни тела или системы смещаются. В подавляющем большинстве случаев проследить за этим смещением не удается. Для микроскопических систем — атомов и молекул — влияние давления очень мало.
Тепловое взаимодействие состоит в переходах системы с одного уровня энергии на другой.
Тепловое равновесие является подвижным равновесием. Каждое тело не имеет все время какую-то одну энергию, а непрерывно обменивается энергией со средой так, что в среднем энергия остается неизменной. Обмен энергией происходит порциями — квантами. Если в какой-то момент энергия равна £i, то в последующий момент она изменится скачком до £2.
Энергия отдается в виде излучения. Если £1>£2, то Et— £2= =/iv, где v — частота излучения, a h — постоянная Планка, равная 6,62-10"27 эрг-с. Приобретение энергии может произойти или в ре- 136
зультате поглощения излучения, или в результате механического толчка какой-либо частицей.
Если температура не остается постоянной, а падает, то число переходов на нижние уровни с верхних подавляет обратные переходы. Энергия снижается скачками, тело отдает один квант излучения за другим.
Схематически описанные явления энергетического обмена были установлены вначале для атомов. Несколько позже стал очевидным вполне универсальный характер этой картины. Мы ограничимся сейчас этими общими замечаниями, отсылая читателя к ч. III за дальнейшими деталями.
§ 55. Уравнение состояния
Среди разнообразных свойств тела можно выделить три основных свойства, или параметра состояния. Это — давление р, объем у и температура Т. Не всегда знания этих параметров достаточно для исчерпывающей характеристики тела. Если система состоит из многих веществ, то нужно знать их концентрации. Если тело находится в электрическом или магнитном полях, то нужно знать их напряженности. Всегда можно выбрать некоторую совокупность параметров, которая будет однозначно определять состояние тела. Остальные характеристики тогда можно вычислить из основных параметров.
Если оставить без внимания электромагнитные поля и ограничиться рассмотрением простейших систем — газов, жидкостей и изотропных твердых тел, то окажется, что всегда лишь два параметра определяют состояние тела. В качестве этих двух параметров одинаково удобно выбрать любую пару из р, v, Т. Чаще всего выбор останавливают на у и Т. Тогда давление р будет функцией у, Т. Уравнение
р = Г^, Т)
называют уравнением состояния. Знание такого уравнения для какого-либо тела, а в особенности для класса тел, имеет очень большое значение для физики. Уравнения состояния могут быть установлены опытным путем. Характер зависимости давления от объема и температуры для жидких и твердых тел крайне индивидуален. Установив уравнение состояния для данного тела, мы получаем исчерпывающие сведения об его поведении в различных случаях, но не приобретаем каких-либо знаний о поведении других тел.
Исследуя поведение вещества, довольно часто характеризуют его не уравнением состояния, а производными одних параметров по другим.
Чтобы знать, как расширяется тело при неизменном давлении с
/ ди \ увеличением температуры, следует вычислить производную (5^) (это обозначение имеет смысл: производная по Гшри постоянном р).
Величина
носит название коэффициента температурного объемного расширения. Как видно из формулы, а показывает долю, на которую меняется объем тела при изменении температуры на один градус.
Термический коэффициент давления
р р
равен относительному изменению давления при изменении температуры на один градус (при постоянном объеме). Коэффициенты а и Р имеют размерность, обратную градусу (К-1)*
Третьей полезной величиной является сжимаемость
1 / ди \и \др)т*
равная относительному уменьшению объема при увеличении давления на единицу (при постоянной температуре).
Эти три коэффициента связаны соотношением, которое мы сейчас легко выведем. Так как
р=Ж Т),
то
dP=®\ dT + (d^ dv-
м \дТ) у 1 уду J т
Если давление постоянно, то dp=Q и
/др \ f^\1
\дт)Дмр’
откуда
—1а р *
Этот интересный результат показывает, что, зная, скажем, сжимаемость и термический коэффициент давления, можно вычислить значение коэффициента температурного расширения. Выведенное соотношение верно для любых тел.
Коэффициенты а, Р и х, вообще говоря, не являются постоянными величинами для данного вещества. При разных давлениях и температурах эти коэффициенты могут принять разные значения. Поэтому, указывая значение какого-нибудь коэффициента, надо сообщить, для каких значений давления и температуры приводится цифра. В некоторых случаях указываются средние значения коэффициентов в том или ином интервале температур или давлений.
Вот несколько примеров.
Температурный коэффициент расширения а и сжимаемость х некоторых жидкостей:
1
а, К”1
х, м2/Н
Вода, 10—30 °C, норм, давление
Ртуть, 10—30 °C
Эфир, 0 °C
2,07 10-4
1,81 • 10-4
16.56 10-4
48,5-10-“ 3,0510-и 149 10-11
Для твердых тел коэффициенты температурного расширения и сжимаемости могут сильно различаться. Так, например, при нормальных температуре и давлении плавленный кварц имеет а=1,29-10”6 К-1, х=2,76- Ю”11 м2/Н, а эбонит имеет а=77-10”6 К"1, х=18,4-10”п м2/Н.
Для воды, ртути и эфира рассчитаем термический коэффициент давления <Рх Л
Р при атмосферном давлении < — = i i :
Вода
Ртуть
Эфир
р, к-1
4,4
61,4
11,3
Это означает, что при нагревании на 10-3 градуса некоторого постоянного объема ртути давление в нем возрастает на 6% (!).
§ 56. Уравнение газового состояния
Самым простым уравнением состояния обладают разреженные газы. Это уравнение записал Менделеев, объединив в одной формуле уравнение Клапейрона и закон Авогадро. Уравнение Клапейрона говорит: выражение у— постоянная величина для данной массы газа, т. е.
~ = const.
Но грамм-молекулы разных газов занимают при одинаковых давлениях и температурах одинаковые объемы (22,41 л при 0 °C и одной атмосфере )) — закон Авогадро. Следовательно, отнесенная к одному грамм-молю постоянная в уравнении Клапейрона должна иметь универсальное значение. Ее обозначают буквой R и называют универсальной газовой постоянной. Для одного моля любого газа
уравнение приобретает вид g^=^RT3 здесь и — объем одного моля газа. Постоянная R имеет размерность работы, отнесенной к градусу и молю; значения ее в разных единицах таковы:
R = 8,31 • 10’ ^ э-рг— U8.3177^-1= 0,0821 JIM2L ='2 tt^-L
х * К-моль \ К моль)’ К-моль К- моль [
Так как объем произвольной массы газа равен У=цу, где ц — числб молеи,"то вГсамом общем случае уравнение состояния разрежённых газов приобретает вид
pV = yiRT, или pV = ^RT.
Здесь т —масса,_а^ молекулярныиДес газа.
Для ряда расчетов может оказаться полезной формула плотности р газа, получаемая из этого^уращгеяия:
Мр )RT_J
Газы, подчиняющиеся уравнению газового состояния, носят название идеальных. Оправданием этому термину была бы уже крайняя простота уравнения, однако мы увидим позже (стр. 169), что это уравнение можно вывести, представляя газ некоторой идеальной моделью, а именно: идеальный газ — это система молекул, силами притяжения и размерашГкотоь.
Идеальные газы имеют коэффициенты расширения и давления и сжимаемость, выражающиеся следующими простыми формулами:
о 11
V Т ' р
При температуре 0 °C (7=273,1 К) а и Р равны а = р ^^Л-р К"1 = 0,00366 К’1.
Насколько реальные вещества близки к идеальным, некоторое представление дают следующие числа:
а при V = const
ос при V=const
Водород
Гелий
Азот
3660-10-6 3660-ю-6
3674-10-6
Углекислота . . .
Воздух
3726-10-6
3674-10-6
Газообразные вещества, находящиеся при давлениях, существенно превосходящих атмосферное, перестают подчиняться формулам идеального газа. Вычисления могут привести к ошибкам в несколько процентов уже при давлениях в несколько десятков атмосфер.
Существенный вывод, к которому можно прийти, изучая поведение разреженных газов, заключается в том, что любой из них, во- 140
обще говоря, с тем же успехом, что и водород, мог быть положен в основу определения температуры. Водород ничем не выделяется среди разреженных газов. Можно поэтому сказать, что температурная шкала, принятая в физике,— это не водородная шкала, а шкала давлений идеального газа. Именно это обстоятельство и оправдывает сделанный выбор способа определения температуры: большой класс веществ приводит к температурным шкалам, в точности совпадающим. Молекулярно-кинетическое обоснование выбора температурной шкалы будет дано ниже (стр. 170).
§ 57. Уравнения состояния реальных газов
Для газов при больших давлениях, для паров, близких к насыщению, и в ряде других случаев уравнение газового состояния начинает давать очень грубые результаты. В этих случаях прибегают к другим уравнениям состояния. Часть из них найдена опытным путем, некоторые (как наиболее известное из них — уравнение Ван-дер-Ваальса) имеют качественное теоретическое обоснование. Так или иначе, ценность того или иного уравнения может быть установлена лишь сравнением чисел, полученных из опыта и вычисленных из уравнения. Приведем примеры уравнений состояния.
Простейшая поправка, которая может быть введена в уравнение идеальных газов,— это, конечно, учет объема газовых молекул. Очевидно, даже бесконечно большим давлением нельзя сжать газ до нулевого объема. Это оправдывает уравнение состояния вида
p(v-b^RT,
где b — константа, учитывающая конечный объем молекул.
Чем больше число констант, которые будут введены в уравнение состояния, тем легче добиться хорошего совпадения опытных и рассчитанных чисел. Однако тем меньше предсказательные возможности формул. Не так уж удивительно превосходное совпадение с опытом в широком интервале значений параметров состояния, которое дает формула Бриджмена и Битти, содержащая пять констант А, В, а, Ь, с, характеризующих вещество:
Р™^Ц^+в')-4.
где
\ и у\ и уиТ3
Три константы at b, s содержит формула Диттеричи:
p(v—b) = RTe"^*.
Две константы а и b содержит уравнение Ван-дер-Ваальса:
(р -t^lt.-b^RT.
Достоинства последнего уравнения заключаются в том, что оно правильно передает общий характер зависимости между параметрами для всех газообразных веществ. Однако не удается подобрать для данного вещества такие постоянные значения а и Ь, чтобы данные расчета хорошо совпадали с измерениями в широком интервале.
Обоснование уравнения Ван-дер-Ваальса заключается в следующем. Давление удовлетворяет уравнению газового состояния, RT
р=—,в том случае, если силами притяжения между молекулами пренебрегают. От взаимного притяжения молекул давление на стенки сосуда должно уменьшиться на некоторое р . Значит, RT
р = —р\ или, учитывая конечный объем молекул,
р = ^ь—р'. или (/? + p')(y—b) = RT.
Почему же p=a!v27 Здесь мы рассуждаем следующим образом. Разделим мысленно объем газа на две части. Одна из них притягивается другой. Силы притяжения должны быть пропорциональны числу молекул в левой части и числу молекул в правой части объема. Иначе говоря, силы притяжения должны быть пропорциональны квадрату плотности, т. е. обратно пропорциональны квадрату объема.
О силах взаимодействия между молекулами мы еще поговорим подробнее в ч. Ш.
ГЛАВА 10
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
§ 58. Графическое изображение процессов
Если два параметра состояния тела заданы, то третий вычисляется с помощью уравнения состояния. Значит, на графике, где по одной оси откладывается один параметр (скажем, давление), а по другой оси — второй параметр (скажем, объем), состояние тела совершенно однозначно характеризуется изображающей точкой.
Необходимо, правда, добавить, что, прибегая к графическому изображению состояния, мы молчаливо подразумеваем, что состояние тела является равновесным. Только в этом последнем случае значения параметров состояния во всем объеме системы будут одинаковы и можно будет говорить о температуре, давлении, плотности и т. д. всего тела (системы) как целого.
Может возникнуть вопрос, о каких же процессах идет речь, если рассмотрению подлежат равновесные состояния? Ответ состоит в следующем: если процесс идет достаточно медленно, то значения параметров состояния во всем объеме можно считать одинаковыми. Такой процесс является как бы непрерывной последовательностью равновесных состояний. Такой процесс является обратимым. Это значит, что любой процесс, изображенный графически, можно мыслить
проведенным в обе стороны. Процесс, состоящий из последовательных равновесий, может быть проведен от состояния / к состоянию 2, а затем от состояния 2 к состоянию 1 через те же промежуточные состояния и при этом в окружающей среде никаких изменений не произойдет.
Обратимый процесс является процессом идеализированным. Любой реальный процесс в той или иной степени необратим, в зависимости от того, сколь далеки промежуточные состояния процесса от равновесных.
Необратимость реальных процессов ясна из следующего соображения. Всякое установление равновесия необратимо. Примеры просты и знакомы каждому: остывание тела в более холодной среде, «рассасывание» механической деформации, например возвращение к покою сжатой и отпущенной пружины, самопроизвольное перемешивание двух газов и т. д. Обратные процессы не могут происходить сами по себе, не могут являться единственными процессами, происходящими в замкнутой системе.
Любой реальный процесс не состоит из последовательных равновесий, в нем неизбежно имеют место явления, подобные перечисленным. Значит, проводя этот процесс в обратную сторону, мы никогда не сумеем провести его в точности через те же состояния. При сжатии газа, если оно происходит с достаточной скоростью, давление газа в слоях, прилегающих к поршню, будет повышенным. При обратном процессе — расширении газа — давление около поршня будет, наоборот, пониженным.
Несмотря на то, что обратимые процессы являются идеализированными, их изучение представляет большой интерес, так как в очень многих случаях различия между реальными и обратимыми процессами становятся незначительными. Все зависит от времени релаксации — так называется время, в течение которого устанавливается равновесие. Это время меняется в очень широких пределах, начиная от времен выравнивания давления в однородном газе (—10"16 с) до времен порядка минут, часов и даже недель, когда речь идет о процессах перемешивания разнородных веществ.
Предположим, что мы сжимаем газ и при этом весь процесс занимает у нас одну секунду. Время релаксации — это ничтожные доли секунды. Поэтому мы вправе считать, что реальный процесс есть последовательность равновесных состояний, и поэтому имеем право изобразить его линией на графике р, v или ином аналогичном чертеже. То же относится и ко всем другим процессам, у которых время релаксации мало по сравнению с временем измерения.
Ознакомимся с видом линий, изображающих простейшие процессы (рис. 75). Мы будем пользоваться графиком с координатами давление — объем. В технической термодинамике употребительны и другие координаты, однако нам нет нужды на них останавливаться. Вертикальная линия 1 на таком графике изображает процесс при постоянном объеме. Если изображающая точка движется снизу вверх, то давление растет, в обратном случае давление падает. Ясно,
что в этом процессе происходит «не видное» на нашем чертеже изменение температуры. Горизонтальная линия 2 есть процесс при постоянном давлении (изобарический процесс). Слева направо — расширение. Обратное движение изображающей точки соответствует сжатию. Кривая, помеченная цифрой 3, соответствует расширению, сопровождающемуся падением давления. Кривая 4 — это расширение, несмотря на возрастающее давление. Изменение температуры в любом процессе может быть вычислено с помощью уравнения состояния.
В большинстве термодинамических процессов одновременно меняются все параметры состояния. Тем не менее можно выделить ряд простейших, но в то же
время практически важных явлений. К ним относятся уже упомянутые выше процессы при постоянном объеме (изохорический), при постоянном давлении (изобарический), а также процесс, происходящий без теплообмена (адиабатический), и процесс, идущий при постоянной температуре (изотермический).
§ 59. Работа. Циклы
В механике пользуются чаще всего работой, представленной как
произведение силы на путь. В термодинамике нас обычно интересует работа изменения объема тела. На рис. 76 изображены контуры тела
Рис. 76.Рис. 76.в двух состояниях. Объем тела изменился от Ui до у2. Полную работу изменения объема можно рассматривать как сумму работ, затраченных на смещения элементов площади dS на путь dl. Если действующие силы перпендикулярны к поверхности, то работа на смещение участка поверхности равна / dl или, вводя давление, р dS dl, т. е.
Рис. 76.
Рис. 76.
dA = р du,
гдег/у — местное изменение объема. Ясно, что вся работа выразится определенным интегралом
А = р du.
На графике р, и работа сжатия или расширения имеет простой смысл: это и есть площадь, ограниченная кривой процесса и двумя
144
крайними ординатами, проведенными для начального и конечного значений объема.
Если давление во время процесса сжатия или растяжения остается неизменным и, кроме того, если оно одинаково во всех точках поверхности, то р можно вынести за знак интеграла и вычислять работу по формуле
. А = р<иг—uj.
Как мы уже говорили, в зависимости от того, как мы условимся, можно считать работу положительной или отрицательной. Мы приняли, что положительной является работа, отдаваемая телом во
1ГV
Рис. 77.
внешнюю среду, т. е. работа расширения. Соответственно работа сжатия будет отрицательной.
Если в результате какого-либо процесса тело переводится из состояния 1 в состояние 2, а затем по тому же пути переходит в начальное состояние, то полная работа такого процесса будет, разумеется, равняться нулю: работа расширения, отдаваемая внешним телам, равна работе сжатия, отдаваемой внешними телами рассматриваемой системе. Однако совсем иначе будет обстоять дело тогда, когда пути «туда» и «обратно» будут различаться. Процессы, в которых тело возвращается в исходное состояние иным путем, называются циклическими. На рис. 77 изображены два цикла и стрелками указано направление процессов. Один из них проходит по часовой стрелке, а другой — против. Процесс, идущий слева направо,— расширение, значит в цикле, проходящем по часовой стрелке, работа расширения больше работы сжатия. В этом случае работа отдается во внешнюю среду. Очевидно, при цикле, протекающем против часовой стрелки, к рассматриваемой системе поступает известное количество работы. Работа, полученная или отданная за время цикла, выражается его площадью (заштрихована на рисунке).
§ 60. Процессы изменения состояния газов
Мы рассмотрим закономерности четырех простейших процессов изменения состояния газов, при этом в большинстве случаев ограничимся газами, удовлетворяющими уравнению газового состояния. Мы увидим сейчас, что, зная уравнение состояния вещества, можно с помощью первого начала термодинамики вывести ряд
ценных следствий о поведении тела в различных условиях. Первое начало термодинамики для газов будем записывать в виде
AQ =dU -Vpdv.
Изохорический процесс. При постоянном объеме первое начало термодинамики принимает вид
\Q=dU.
Рассматриваемая система находится с внешней средой в теплообмене, работа не поступает ни во внешнюю среду, ни в рассматриваемую систему. Возможны два явления: 1) тело получает от среды тепло и увеличивает свою внутреннюю энергию; 2) тело отдает среде тепло, уменьшая свою внутреннюю энергию.
Количество тепла, необходимое для увеличения температуры теЛа на один градус при"неизменном объеме тела, называется теп- лде]Щ^тю^рГ11г6сто объеме и обозначается буквой с с индексом у:
с — (dU\
v \ dT / у = const*
Если зависимость внутренней энергии газа от температуры известна, то теплоемкость с может быть вычислена.
При высоких температурах внутренняя энергия газов линейно зависит от температуры, так как теплоемкость Су при этом от температуры не зависит.
Мы лишены возможности доказать одну важную теорему. Из общих законов термодинамики следует: если р зависит от Т линейно, то cv не может зависеть от объема. Так как для газов, удовлетворяющих уравнениям газового состояния и Ван-дер-Ваальса, такая линейная зависимость имеет место, то для газов Су не зависит от и и поэтому значок «при и=const» в предыдущей формулё может быть опущен:
^для газов)-
Если Су мало зависит от температуры, то внутреннюю энергию газов можно представить формулой
U = cvT + const.
Для идеальных газов константа не зависит от объема и может быть отброшена. Для газа, удовлетворяющего уравнению Ван-дер-Ваальса, константа равна — ato. Таким образом,
U — СуТ — идеальный газ;
U = CyT—~—газ, удовлетворяющий уравнению Ван-дер-Ваальса.
Действительно, в случае идеальных газов изменение объема газа с сохранением температуры не связано с изменением энергии (см. 146
ниже, стр. 153). Если же молекулы притягиваются с силой, отнесенной к единице площади, p'=a/v\ то при расширении газа энергия возрастет на величину работы, затраченной против этих сил, т. е. на
^р' do =~ +const.
Изобарический процесс. Все три слагаемые, фигурирующие в первом начале, отличны от нуля в этом процессе. Система обменивается со средой тёплом и работой без изменения давления в системе. Наиболее распространенный вариант этого процесса заключается в том, что тело получает из среды тепло, но не обращает его целиком на увеличение своей внутренней энергии, а частично возвращает в среду уже в виде механической работы. На других возможностях не будем задерживать внимания.
Совершенно ясно, что теплоемкости при этом процессе и при рассмотренном выше изохорическом должны отличаться. В изобарическом процессе подводимое тепло расходуется не только на нагрев, поэтому теплоемкость ср (так мы обозначим теплоемкость при постоянном давлении) должна быть больше, чем с^. В некоторых случаях эту разность можно оценить
Разделим выражение первого начала на приращение температуры: ^Q dU dv
Это — выражение теплоемкости, верное для любого процесса, в том числе и для интересующего нас изобарического. Для газов последняя формула перепишется так:
, dvср c-u"V Р •
Для идеального газа результат получается очень простой. Так как pv^yiRT, то ^~~^~ и cF=^+p/?. Таким образом, разность теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме равна произведению числа молей газа на универсальную газовую постоянную. Тогда для молярных теплоемкостей
Cp—c^R.
Учитывая, что R^ кал/(К* моль)=8,31 Дж/(К-моль),
ср—cv = 2 кал/(К-моль).
Изотермический процесс. Прежде всего, необходимо, во избежание путаницы, подчеркнуть, что неизменность температуры вовсе не означает отсутствия теплообмена между системой и средой. Система может получать тепло от среды, но обращать его не на повышение температуры. Как хорошо известно, внутренняя энергия тела может возрастать при неизменной температуре (вспомните плавление льда). Кроме того, имеется еще одна возможность (более важная, чем
первая) для газовых процессов: получая тепло от внешней среды, система может отдавать его во внешнюю среду обратно, но в виде механической работы.
В случае реальных газов оба способа расходования тепла при изотермическом процессе вполне возможны: получая тепло, газ расширяется без нагрева и, во-первых, отдает работу внешней среде, а во-вторых, использует тепло на изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул.
В случае идеальных газов, у которых внутренняя энергия зависит только от температуры и, следовательно, в изотермическом процессе меняться не может, первое начало приобретает особенно простой вид Так как 7/7=0, то А()=АЛ. Следовательно, либо система расширя- ется, пол^ча£теплКотвнешней'средаи'птД'ава^ /либо, наоборот/система сжимается, отдавая внешней среде тепло, а получая от внешних тел энергию в виде механической работы. Иде альный газ является в изотермическом процессе преобразователем энергии: получая ее от среды в одной форме, он возвращает ее среде полностью, но в другой форме.
Нетрудно в случае идеального газа перейти от дифференциальной формы AQ=p dv к интегральной. Работа (или тепло, это безразлично, так как они равны) изотермического расширения от объема vt до объема и2 равна
A^^pdv,
подставляя значение давления из уравнения газового состояния и вынося температуру как постоянную величину за знак интеграла, получим:
A=^RT^ = ^RT In-^.
Обратим внимание на то, что изотермические расширения в одинаковое число раз, но при разных температурах требуют различной работы, тем большей, чем выше температура. Например, увеличение вдвое объема одного моля какого-либо идеального газа при температуре 300 К (комнатной) требует работы 8,31-300-In 2=1730 Дж, а при температуре 3000 К — в десять раз больше, т. е. 17 300 Дж.
Практическое осуществление изотермического процесса может быть затруднительным. Во всяком случае для того, чтобы процесс был хотя бы приближенно изотермическим, необходимо стенки сосуда, через которые вещество общается со средой, сделать идеально теплопроводящими и вести процесс очень медленно, чтобы тепло (или работа) успевало возвращаться среде в виде работы (или тепла), не задерживаясь в системе.
Адиабатический процесс,.При отсутствии теплообмена со средой, что может быть достигнуто при помощи условий, в некотором роде обратных по сравнению с изотермическим процессом (идеальная 148
теплоизоляция и быстрое проведение процесса, чтобы тепло не успело перейти из системы в среду или обратно), происходят явле- нця^дидбатического сжатия или расширения. В первом случае в соответствии с первым началок^тер^динамики, которое теперь запишется в виде
pdv = — dU,
^механическая работа переходит во. внутреннюю „энергии тедад во втором случае, наоборот,(работа производится за счет убыли вну^ Ценней энергий рассматриваемой системы.
z В трех процессах, рассмотренных ранее, ход изменения давления, объема и температуры был довольно очевидным, а для газов сразу же вытекал из уравнения состояния. В адиабатическом процессе характер изменения параметров состояния не очевиден, так как все три параметра состояния изменяются. Совместное решение двух уравнений — уравнения состояния газов и первого начала термодинамики — позволяет установить эти зависимости. Так как нас интересует принципиальная сторона дела, то ограничимся случаем идеального газа, чтобы математические расчеты были простейшими. Воспользовавшись выражением для теплоемкости газов при по- dUц RT
стоянном объеме -^- = cv и заменяя давление р на , получим: uR du dT
— сПУСТЬ в начальном состоянии параметры газа были иь р1э Тьав конечном — v2, р^ TV Интегрируя последнее уравнение от точки начала до точки конца адиабатического процесса, получим
_^С^1=С^; _^1П^ = ]|1 л .
ср
Вспоминая, что ср—^=р/? и вводя обозначение= у, получим 7\ ( Е1_ V"1
Из этого уравнения видно, что при адиабатическом сжатии температура возрастает, а при расширений — падает Этим обстоятель- ствбМ^часто пользуются на практике. Быстрое расширение газов применяется тогда, когда хотят их охладить. Известно, что углекислый газ, выпущенный из баллона, может при расширении обращаться в сухой лед, настолько сильно падает температура. Напротив, адиабатическим сжатием можно воспользоваться, например, для воспламенения какого-либо вещества. Распространен демонстрационный опыт: ватка, смоченная эфиром, помещается в сосуд с воздухом. Воздух может быть сжат поршнем. При быстром движении поршня ватка воспламеняется.
Так как мы условились изображать газовые процессы на графике р, и, то написанное уравнение адиабатического процесса
целесообразно преобразовать, заменив температурус помощью уравнения газового состояния. Получим:
Pi^P^L
Сравнивая это уравнение с законом Бойля — Мариотта, имеющим место в изотермическом процессе, мы видим существенные различия в характере изменения давления при сжатии или расширении. В изотермическом расширении или сжатии остается неизменным произведение ра, а в адиабатическом процессе — произведение р^. Так как У> 1, то кривая, изображающая адиабатический процесс на графике
Рис. 78.
(коротко — адиабата), идет круче, чем изотерма. При изменении объема вдвое в изотермическом процессе давление возрастает вдвое; в адиабатическом процессе давление меняется более резко. Например, для большинства двухатомных газов, у которых у—1,4, при изменении объема вдвое давление изменится в 2,63 раза.
Мы уже подчеркнули, что оба процесса носят идеальный характер и что для создания идеальных условий этих процессов требования обратны. Поэтому ясно, что газовые процессы, происходящие в реальных условиях, дадут кривые, промежуточные между адиабатой и изотермой.
Нетрудно дать наглядное объяснение различию в ходе адиабаты и изотермы. При адиабатическом сжатии газ нагревается; поэтому при одном и том же сокращении объема давление возрастает в адиабатическом процессе больше — ведь нагревание при постоянном объеме ведет к повышению температуры.
Как видно из графика на рис. 78, работа изотермического расширения больше работы адиабатического расширения. Напротив, работа изотермического сжатия меньше работы адиабатического сжатия. Это, разумеется, для тех случаев, когда начальные точки процессов совпадают.
Работу адиабатического процесса можно вычислить графически и по формулам. Прежде всего, из первого начала термодинамики для адиабатических процессов следует, что работа должна равняться 150
изменению внутренней энергии:
2
Л = ^ pdv = Ux — и^
1
В случае идеальных газов разность энергии вычисляется элементарно: Ux— U^c^Tx—Т^. Значит, для идеальных газов и работу можно рассчитывать по этой формуле.
К определению работы при адиабатическом процессе можно пр- дойти и другим путем. Так как в любой промежуточной точке про
цесса имеет место равенство pxvl—pv*, где без индексов обозначены
текущие значения давления и объема, то интеграл работы можно р записать в виде
- С dvА = р^^ — ,
что дает после интегрирования от начальной до конечной точек процесса
A P1U^ / 11 \
Разумеется, эта формула вполнеРис 79
совпадает -е- Л=с„(7\—Т2), что
легко доказать, воспользовавшись уравнением состояния идеального газа и преобразовывая полученную формулу (вынесением за скобки
\
к ВИДУ
1 L \ ^з / /J
В зависимости от данных, та или иная формула может представить практические удобства.
Приведем простой пример, иллюстрирующий утверждение, сделанное в гл. 9, о том, что приращения АО^АД не являются полными дифференциалами, т. е. не характеризуют изменения состояния системы.
узПуть 1—3. Работа по изотерме Д1_3=7?Т]1п— — 1700 Дж. Эти 1700 Дж взяты у нагревателя, а внутренняя энергия /7—const, так как Тх—Т^.Путь 1—2—3. Здесь 1—2 — изобара. Следовательно, Т2~600 К. У нагревателя берется Q1_2=cJP(T2—Т3)—8600 Дж, а работа против внешних сил Дг_2— —^1(^2—^j)—2300 Дж. Следовательно, внутренняя энергия газа увеличилась наузПуть 1—3. Работа по изотерме Д1_3=7?Т]1п— — 1700 Дж. Эти 1700 Дж взяты у нагревателя, а внутренняя энергия /7—const, так как Тх—Т^.Путь 1—2—3. Здесь 1—2 — изобара. Следовательно, Т2~600 К. У нагревателя берется Q1_2=cJP(T2—Т3)—8600 Дж, а работа против внешних сил Дг_2— —^1(^2—^j)—2300 Дж. Следовательно, внутренняя энергия газа увеличилась наПусть состояние 1 моля водорода (рис. 79) характеризуется следующими данными: ^=0,02 м3, Т^ЗОО К, рх — 5—Л.—125 000 Дж/м3 (здесь /?=8,31 Дж/К)- ср—Cd=R^ а так как водород—двухатомный газ, то ^/^=1,4. Тогда (^=29,4 Дж/К, <7^=21 Дж/К. Рассмотрим три возможных пути перевода газа в состояние 3: у3=0,04 м3, 73=300 К, Рз=63000 Дж/м3.
уз
Путь 1—3. Работа по изотерме Д1_3=7?Т]1п— — 1700 Дж. Эти 1700 Дж взяты у нагревателя, а внутренняя энергия /7—const, так как Тх—Т^.
Путь 1—2—3. Здесь 1—2 — изобара. Следовательно, Т2~600 К. У нагревателя берется Q1_2=cJP(T2—Т3)—8600 Дж, а работа против внешних сил Дг_2— —^1(^2—^j)—2300 Дж. Следовательно, внутренняя энергия газа увеличилась на
уз
Путь 1—3. Работа по изотерме Д1_3=7?Т]1п— — 1700 Дж. Эти 1700 Дж взяты у нагревателя, а внутренняя энергия /7—const, так как Тх—Т^.
Путь 1—2—3. Здесь 1—2 — изобара. Следовательно, Т2~600 К. У нагревателя берется Q1_2=cJP(T2—Т3)—8600 Дж, а работа против внешних сил Дг_2— —^1(^2—^j)—2300 Дж. Следовательно, внутренняя энергия газа увеличилась на
Д (7=8600—2300=6300 Дж. 2—3— изохорическое охлаждение, холодильнику передается Q^-a—c^T^—Tg^toCO Дж. Так как i^c^ механическая работа не совершается.
Итак, на пути 1—2—3 нагреватель потерял 8600 Дж, была совершена работа 2300 Дж и холодильник получил 6300 Дж. На пути 1—3 нагреватель потерял 1700 Дж, была совершена работа 1700 Дж, состояние холодильника не изменилось. Изменение же состояния газа в обоих случаях было одинаковым.
1
Путь /—4—3. Здесь /—4 —адиабата, а 4—3— изобара;-~ = ^-^-^ Y =
= 2 v , у4=0,020-2Y м3. Температуру Г4 найдем из соотношения -яЛ= ' 1
\ и4 /’ Г4= 300-2 Y . На пути 1—4 работа против внешних сил
совершается только за счет убыли внутренней энергии.\
Л1_4 = -с1,(Т4-Г1) = 6300Л1_4 = -с1,(Т4-Г1) = 63001-2 V ; дж.
Л1_4 = -с1,(Т4-Г1) = 6300
Л1_4 = -с1,(Т4-Г1) = 6300
На пути 4—3 нагреватель отдаст Q4-3 ~ср (Т3— Г4) = 86Оо(1—2Y) Дж
тепла, а работа против внешних сил будет
Дж.Дж.Д4_3 = р(у3 —у4) = 2300 VI—2 y
Дж.
Дж.
Следовательно, на пути 4—3 внутренняя энергия увеличилась как раз на
6300 \1 — 2Y /.Дж. Путь 1—4—3 опять-таки не привел к изменению внутренней энергии газа, которая однозначно определяется температурой.
Измерение теплоемкостей газов. Казалось бы, проще всего определить теплоемкость газа, заполнив испытуемым газом сосуд и погрузив этот сосуд в калориметр. Однако мы не учитываем при таком измерении исключительной малости теплоемкости газа по сравнению с теплоемкостью сосуда, из какого бы твердого материала он ни был сделан. Поэтому измерения теплоемкости газа при постоянном объеме не производятся. Измеряют теплоемкость при постоянном давлении. Для этой цели через калориметр пропускается змеевик, в котором под постоянным давлением движется газ. При помощи термоэлемента измеряется температура газа при входе в калориметр и при выходе. Газ, входящий в калориметр после предварительного нагревания, передает часть своего тепла воде. Зная количество газа, протекшего через сосуд за какое-то определенное время, и количество тепла, полученное водой калориметра за тот же самый срок, мы без труда найдем теплоемкость газа при постоянном давлении ср, деля это количество тепла на протекшую массу газа и на разность температур газа при входе и выходе.
Для определения теплоемкости при постоянном объеме пользуются отношением теплоемкостей — коэффициентом Пуассона у= —cp/cv. Для определения у предлагалось много способов, часть из них основана на измерении объемов и давлений газа в последова- 152
тельных состояниях при адиабатическом процессе. Можно воспользоваться и другими уравнениями, связывающими теплоемкости, например соотношением, определяющим разность теплоемкостей ср и с^.
Теплоемкости различных газов приведены в таблице.
Газ
Су.
Дж/(К*моль)
Ср.
Дж/(К -моль)
V
Гелий Не
12,5
20,9
1,67
Водород Н2
20,4
28,8
1,41
Азот N2
20,39
28,6
1,41
Кислород О2
20,9
28,9
1,40
Пары воды Н2О
27,8
36,2
1,31
Метан СН4
27,3
35,6
1,30
Этиловый спирт С2Н6О
79,4
87,7
1,Н
§61. Процесс Джоуля —• Томсона
Так называется процесс перетекай ия_газа^ через маленькое от- версТгиешз^л^ давления ^ в область меньшего давления' р^. Сосуд, в котором происходит процесс? те плоизолирбваьГот окружаюТцей среды.
По условию процесса давления рг и р^ должны поддерживаться неизменными. Для этого оба поршня (рис. 80) должны передвигаться
вправо по мере перехода газа.
слева направо, не сохраняет своего v2, поскольку переходит в область сслева направо, не сохраняет своего v2, поскольку переходит в область сРис. 80.Рис. 80.Масса газа М, перешедшая объема, а изменяет его с иг до другим давлением. Переход совершается действием левого поршня и при противодействии правого. Левый поршень совершает работу при постоянном давлении рА; она равна ^Ди, где Ди— изменение объема газа слева от перегородки. Но объем слева изменился как раз на ип значит, работа левого поршня равна р^. Правый поршень совершает отрицательную работу, также
слева направо, не сохраняет своего v2, поскольку переходит в область с
слева направо, не сохраняет своего v2, поскольку переходит в область с
Рис. 80.
Рис. 80.
равную произведению давле
ния р2 на приращение объема, которое равно здесь v2. Итак, при переходе массы М газа слева направо совершается работа piUx— р2и2. Закон сохранения энергии требует, чтобы на такую же величину изменилась внутренняя энергия газа. Следовательно,
^г—сл^а—№
формула справедлива для любой массы газа. Значит, в процессе перехода газа из одного сосуда в другой величина
U + pv = const
(ее называют тепловой функциейили энтальпией) остается неизменной.
У идеального газа как U, так и ри зависят только от температуры. Значит, в процессе Джоуля — Томсона температура идеального газа остается- неизхГённой.
Иначе обстоит дело для реальных газов. Если газ нельзя считать идеальным, то он может как нагреваться, так и охлаждаться в процессе Джоуля — Томсона, в зависимости от характера сил взаимодействия между молекулами.
Замечательным является то обстоятельство, что при разных температурах один и тот же газ может вести себя различно. При высокой температуре газы в процессе Джоуля — Томсона нагреваются, при низкой — охлаждаются. Для употребительных газов известны точки инверсии — температуры, при которых эффект меняет свой знак. Температура инверсии кислорода и азота лежит выше комнатной температуры. Поэтому мы наблюдаем охлаждение воздуха в процессе Джоуля — Томсона как при комнатной, так и, тем более, при низких температурах. Температура инверсии водорода лежит при весьма низких температурах. Эффектом Джоуля — Томсона ниже температуры инверсии пользуются в технике сжижения газов.
ГЛАВА 11
ЭНТРОПИЯ
§ 62. Принцип существования энтропии
В середине прошлого века было сделано существенное открытие^ касающееся обратимых термодинамических процессов. Оказалось, что наряду с внутренней энергией у тела имеется еще одна замечательная функция состояния — энтропия. Также, как и внутренняя энергия, эТГгрбТш^ определяется с точностью до произвольной постоянной. Опыт дает значение разности приращения энтропии..Если тело или сисхем^прцй^жо^4^
в^др^гбЕщри температуре Т получает тёпло AQ, то отношение А(>/Г явДЯётся" полным дифференциалов S. Эта функция и есть энтропия. определяющаяся, таким образом, одним из двух эквивалентных равенств:
2
Утверждение о существовании функции, дифференциал которой есть kQJT, носит название принципа существования энтропии и 154
является одним из важнейших законов природы. Оно является существенной частью второго начала термодинамики, о чем у нас речь пойдет ниже. Открытие этого принципа, как и всего второго начала термодинамики, связано, прежде всего, с именами Карно и Клаузиуса. Сущность принципа, несмотря на некоторую его абстрактность, легко понять: переход тела из одного состояния во второе может произойти бесчисленным количеством способов (разные кривые на графике, начинающиеся и заканчивающиеся в тех же точках); при этих переходах тело может получать самые различные количест-
2
ва тепла, однако во всех случаях интеграл j будет иметь оди
наковые значения. Отношение количества теплоты к той температуре, при которой это тепло было пол учено, AQ/Z, называют иногда приведенной теплотой. Так как интеграл всегда можно представить п^тблтгЯШПЛГСутаюй^энтропии при переходе из одного
состояния в другое равно сумме приведенных теплот. Предположим, что тело, равномерно нагреваясь от 20 до 25 °C, получает при подъеме температуры по одному джоулю тепла на каждый градус. Тогда прирост энтропии будет примерно равен
Дж । 1 Дж । 1 Дж < 1 Дж । 1 Дж ~ 293,5 К 294,5 К ф 295,5 К 296,5 К ф 297,5 К ‘
Наиболее просто выражаются изменения энтропии при изотермических процессах:
о2 ох — ^ ,
где Q — полученное при процессе тепло. Так, например, при таянии 1 кг льда энтропия вещества возрастает на
33,6-104 Дж
- ^^— = 1230 Дж/к.
За нуль энтропии может быть принято значение энтропии любого состояния (кипящей воды, плавящегося льда). Однако в некоторых случаях принимают за нуль значение энтропии вещества при абсолютном нуле температуры. Для этого, впрочем, имеются некоторые теоретические основания (теорема Нернста), на которых мы останавливаться не будем.
Приняв S=0 при Т=0, энтропию вещества при температуре Т можно найти по формуле
о
если нагрев происходит при постоянном давлении. Как видим, чтобы знать энтропию, надо изучить ход теплоемкости с температурой.
Если известно уравнение состояния вещества, то энтропия (с точностью до произвольной постоянной) может быть вычислена
весьма просто. По определению^ = -^-. Подставляя значение для AQ таким, как его дает первое начало термодинамики, получим
, с dT . duaS с^ гр |— р р ■,
При помощи уравнения газового состояния исключим отсюда давление. Получим: dS = с^ ^- + р/? -~-. Если взять неопределенный интеграл, то получим выражение энтропии с точностью до произвольной постоянной
S = cv InT + p/? In и + const.
Можно также взять от dS определенный интеграл, пределами которого являются два состояния. Тогда получится выражение для разности энтропий двух состояний
S2-S1 = cjn^ + p/?ln^.
Это — выражения для энтропии идеальных газов. Из формул видно, что энтропия возрастает при повышении температуры, а также при увеличении объема газа. Это, разумеется, полностью совпадает с общим утверждением о повышении энтропии при подводе к телу тепла.
Пример. Покажем, что энтропия действительно есть функция состояния системы. Обратимся к примеру на стр. 151 (рис. 79).
Путь 1—2—3. Изменение энтропии
S2-S1 = Cy lnb-4-Я In 11 и1
= 20,74 In 2 4-8,38 In 2 = 29,36 In 2 ДжДК-моль).
Изменение энтропии
S3— S2 = 20,74 In -^- = — 20,74 In 2 Дж/(К -моль).
Полное изменение энтропии на пути /—2—3
53—^ = 8,38 In 2 ДжДК моль).
Путь /—3. S3—Si=8,38 In 2 ДжДК-моль).
Путь 1—4—3. Так как 1—4 — адиабата, S4—S1=01
S3—S4 = Cj, In ^Л+8,38 In ^- =
= 20,74 In 2* 7 +8,38 In 21 7 =29>36 ,n 2 Дж/(К-моль).
Видно, что действительно, каким бы путем ни совершался переход газа из состояния 1 в состояние 3, изменение энтропии одно и то же.
§ 63. Принцип возрастания энтропии
Как уже говорилось, обратимых процессов, строго говоря, не существует, хотя с точностью, доступной опыту, можно осуществить множество процессов, практически неотличимых от обратимых. Имеются, однако, примеры процессов, которые всегда односторонни и уже поэтому никоим образом не могут быть обращены. Так, например, газ может расшириться сам по себе, но не может сжиматься без приложения внешних сил. Тепло может самопроизвольно переходить от горячего тела к холодному и только при затрате работы (например, электроэнергии) может переходить от холодного тела к более нагретому. При трении кинетическая энергия .макроскопического движения всегда превращается во внутреннюю энергию, но никогда не происходит самопроизвольный обратный процесс. Необратимость всех остальных процессов в конечном счете связана с тем, что в каждом из них в той или иной степени присутствует один из перечисленных односторонних процессов. В реальных процессах невозможно избежать ни самопроизвольных расширений, ни трения, ни теплового рассеяния.
Нет ли какого-нибудь общего признака у всех перечисленных односторонних процессов? Оказывается, есть: этот признак состоит в том, что во всех односторонних процессах возрастает энтропия.
В случае теплообмена между двумя телами общее (всей системы) изменение энтропии равно
Q Q Q1 | Q2
т1 'Г ?2 ,
где Qi— тепло, полученное более холодным телом, Q2— тепло, потерянное более горячим телом.
Если Т2 больше Тг, то Qr=—Q2>0, так как мы считаем положительным тепло, сообщенное телу. Значит,
S.-S^Q. (4>0,
т. е. при теплообмене общая энтропия системы, в которой произошел теплообмен, возрастает.
- Другой случай. Внутри сосуда с газом происходит интенсивное механическое движение (скажем, вертится колесо). Объем не меняется, температура растет, поэтому энтропия изменится на _, То
S2— St = In - jr-, т. е. возрастет.
Наконец, при расширении в пустоту при неизменной температуре прирост энтропии S2—S^p/^ln-—— опять-таки положительный. Итак, во всех односторонних процессах энтропия системы возрастает.’
Нетрудно понять, какое значение имеет этот вывод для всех необратимых процессов. Так как каждый необратимый процесс сопровождается односторонними явлениями, идущими с повышением
энтропии, до прирост, энтропии у необратимого процесса будет завышен против того прироста, который имел бы место при обратимом переходе. Пусть AQ — тепло, полученное телом при температуре Т в интересующем нас необратимом процессе. Если бы процесс был обратимым, то прирост энтропии равнялся бы \Q!T; в реальном процессе прирост энтропии будет больше этой величины:
dS>^ .
Если система теплоизолирована, то AQ=0 и предыдущее утверждение приобретает вид
dS > О,
в теплоизолированной системе возможны лишь процессы, идущие с возрастанием энтропии.
Вполне понятно, что энтропия вместе с внутренней энергией являются важнейшими функциями, определяющими термодинамический процесс. Можно сказать, что энтропия является директором- распорядителем процесса, а внутренняя энергия является его бухгалтером: энтропия дпределяет направление протекания процесса, энергия «оплачивает расходы» на его проведение.
Если в предыдущие формулы ввести вместо знака > знак ^, то краткой формулой запишется закон энтропии как для обратимых, так и для необратимых процессов:
Эта формула передает содержание второго начала термодинамики. Для замкнутых систем второе начало говорит: энтропия теплоизолированной системы возрастает или остается неизменной.
Целесообразно объединить оба начала термодинамики одной формулой
dS 2> -Vp
удобной для рассмотрения всех практических задач термодинамики.
Принцип возрастания энтропии относится к закрытым системам. Если же система общается со средой, другими словами, если речь идет об открытой системе, то ее энтропия может, разумеется, и убывать.
Ниже будет показано, что процессы молекулярного упорядочения связаны с уменьшением энтропии. Живой организм из неупорядоченной системы малых молекул, получаемых в процессах питания и дыхания, конструирует высокоорганизованные постройки — биологические макромолекулы (стр. 595). При этом энтропия организма падает. *
Если представить себе замкнутую систему организм+среда, энтропия которой обязана расти, то ясно, что энтропия среды должна возрастать, перекрывая уменьшение энтропии организма.
Возрастание энтропии среды происходит за счет выделений организма.
Если процесс стационарной, то
( dS \ ^fdSX
\ dt у ОрГ \ dt у Ср
Можно сказать, что жизнедеятельность организма состоит в пропускании через себя потока энтропии вещества. При этом эн тропия вещества, входящего в организм, меньше энтропии, отдаваемой среде,— организм деградирует продукты питания.
Примеры. 1. В примере на стр. 57 мы рассмотрели неупругое столкновение пули с баллистическим маятником и выяснили, что при ударе в системе пуля — маятник исчезает 3920 Дж механической энергии. Это значит, что AQ—3920 Дж было необратимым образом передано маятнику от пули посредством теплопроводности. Если предположить, что процесс был изотермическим (т. е. теплопроводность маятника чрезвычайно велика) и температура системы, скажем, 27 °C, то в этом необратимом процессе энтропия системы возросла на
Д5=^-=13,1 Дж/К.
Детский резиновый мяч массой 0,3 кг после падения с высоты 2 м подпрыгивает на 1 м от пола. В этом изотермическом процессе (пусть /=27 °C) необратимо передается AQ=2,96 Дж, т. е. энтропия системы мяч — пол возросла на
AS= 1-2,87.10-3 Дж/К.
Если бы мяч и пол были абсолютно упругими, то энтропия не менялась бы (AS=0) и движение мяча продолжалось бы вечно.
Рассмотрим необратимый процесс передачи тепла от парового котла к кон денсатору. Пусть паровой котел находится при температуре ^=300 °C, а конден сатор — при /2=3 0 °C. При тепловой мощности котла 10 000 кВт и к. п. д. 25% ежесекундно от котла к конденсатору будет переноситься 7,5-106 Дж. Для котла, теряющего теплоту, это AQ будет отрицательным, т. е. его энтропия убывает; у конденсатора энтропия растет. Но так как Т1>Т2, то энтропия системы котел — конденсатор за каждую секунду возрастает на
Ь8=^(^4-)=11.8-Ю3 Дж/К.
\ 2 21 1 )
§ 64. Принцип действия тепловой машины
Тепловая машина превращает тепло в работу, иначе говоря, за бирает тепло от одних тел и передает его другим телам в форме механической работы. Для того чтобы осуществить это превращение, надо располагать двумя различно нагретыми телами, между которыми возможен теплообмен. Для краткости будем называть более горячее тело нагревателем, а более холодное — холодильником. При наличии таких двух тел процесс превращения тепла в работу рисуется следующим образом: способное расшириться тело (рабочее тело) приводится в контакт с нагревателем. Тепло Qx отбирается от нагревателя и затрачивается на работу расширения Xi, которая отдается окружающим телам. Далее, рабочее тело приводится в контакт с холодильником, которому оно отдает тепло Qt
за счет работы Л2, совершаемой внешними силами над рабочим телом.
Чтобы получить непрерывно действующую тепловую машину, необходимо закончить такт сжатия в той точке, в которой начался такт расширения; короче, процесс должен быть циклическим. Рабочее тело по проведении каждого цикла возвращается в исходное состояние. Закон сохранения энергии требует поэтому, чтобы энергия, полученная от окружающих тел, равнялась энергии, переданной окружающим телам. От среды получено: тепло Qt при расширении и работа Л 2 при сжатии рабочего тела. Среде отдано: работа Л! при расширении тела и тепло Q2 при сжатии. Следовательно, 91+Л2=92+Л1, или Ai—А^Од—Q2. При проведении цикла по часовой стрелке работа сжатия меньше работы расширения. Поэтому последнее равенство выражает тот простой факт, что чистая работа, переданная рабочим телом внешней среде, равна разности теплот, полученной от нагревателя и отданной холодильнику. Соответственно коэффициент полезного действия цикла, а значит, и всей
1 Qi машины, будет равен Л = 1 .
Описанный процесс действия тепловой машины является, разумеется, абстрактной схемой. Однако наиболее существенные черты каждого теплового двигателя передаются этой схемой. Рабочим телом является расширяющийся и сжимающийся газ или пар, роль холодильника играет окружающая среда. Нагревателем служит паровой котел или, в двигателях внутреннего сгорания, горючая смесь.
Те же три системы являются необходимыми и для холодильной машины, в которой цикл протекает в обратную сторону. Принцип работы этой машины заключается в следующем: расширение рабочего тела производится тогда, когда оно находится в контакте с холодильником. Этим холодное тело охлаждается еще больше, что и является задачей холодильной машины. Далее, чтобы цикл стал возможным, нужно произвести сжатие рабочего тела и передать тепло, полученное от холодильника. Это выполняется при контакте рабочего тела с нагревателем. Таким образом, более горячее тело нагревается еще больше. «Противоестественный» переход тепла от тела менее нагретого к телу более нагретому «оплачивается» работой. Действительно, при совершении цикла против часовой стрелки равенство энергии, переданной среде, и энергии, отнятой от среды (т. е. 91+Л2=У2+Л1, или Q2—Qi=—(Л1—Л2),где мы по-прежнему индекс 1 относим к части процесса, протекающей при контакте с более горячим телом), имеет следующий смысл: количество тепла, отнятое от системы, должно быть скомпенсировано равным количеством механической работы.
Второе начало термодинамики накладывает некоторое условие на действие тепловой машины. Если предполагать процесс обратимым, то изменение энтропии рабочего тела после прохождения цикла должно равняться нулю. Можно сказать и иначе: изменение энтро- 160
пии в процессе расширения должно равняться (с обратным знаком) изменению энтропии при сжатии, т. е.
MQ Р dQ
J 7V
В случае же необратимого процесса энтропия замкнутой системы, состоящей из нагревателя, холодильника и рабочего тела, возрастет и поэтому
111ГРис. 81.1ГРис. 81.
1
1
1Г
Рис. 81.
1Г
Рис. 81.
(Напоминаем, что Q есть алгебраическая величина. Тепло, поступившее в систему, считается положительным.) Подсчитывая значения этих интегралов для конкретных процессов, можно в ряде случаев довольно просто найти значение максимального коэффициента полезного действия того или иного цикла тепловой машины.
§ 65. Цикл Карно. Максимальный к. п. д.
Сейчас мы задаемся целью найти выражение предельно большого коэффициента полезного действия тепловой машины, достижимого для идеальной машины, работающей без потерь на обратимом цикле.
Прежде всего рассмотрим теоретический четырехтактный цикл Карно, изображенный на рис. 81. Цикл Карно состоит из двух изо
терм (для температур Ли Т^ и двух адиабат. Первый ' такт процесса пусть будет изотер мическое р асш ире- ние от состояния / к состоянию 2 — рабочее тело находится в контакте с нагревателем, имеющим температуру 7П и процесс проводится весьма медленно. По достижении состояния 2 контакт с нагревателем нарушается, тело теплоизолируется и ему предоставляется возможность дополнительно расшириться. Работа происходит за счет внутрен-
ней энергии и температура
тела пусть падает до Т2. Начиная с этой точки (состояние 3) начинается двухтактное сжатие. Тело сообщается с холодильником при температуре Т2 и изотермически сжимается до состояния 4. Здесь опять тело теплоизолируется и сжатие продолжается уже адиабатическим путем с нагреванием рабочего тела за счет совершаемой работы до начальной температуры TY
1611616 А. И. Китайгородский
161
161
, Адиабатические процессы в цикле Карно носят вспомогательный характер: они помогают перейти с одной изотермы на другую. В энергетическом балансе эти процессы не участвуют, так как работа адиабатического расширения ct,(Tt—Т2) и работа сжатия ^(7*2—Т^ компенсируют друг друга.
В адиабатическом процессе энтропия системы не меняется. При изотермическом расширении энтропия нагревателя уменьшается на величину уЛ t энтропия холодильника возрастает на у1 . Энтропия рабочего тела, вернувшегося в исходное состояние, остается неизменной. Если процесс обратим, то у2- = у^. В необратимых процессах
энтропия всей рабочего тела,—, т. е.энтропия всей рабочего тела,—, т. е.системы, состоящей из холодильника, нагревателя и возрастает и прирост энтропии больше убыли
энтропия всей рабочего тела,
—, т. е.
энтропия всей рабочего тела,
—, т. е.
1 2
т 2 т.
I Q2 I То»
откуда ^-1 и, следовательно, максимальный коэффициент полезного действия цикла Карно равен
гревателя. Чем большегревателя. Чем большеК. п. д. цикла определяется температурами холодильника и на
гревателя. Чем больше
гревателя. Чем больше
перепад температуры, тем выше к. п. д. машины. Нетрудно видеть, что коэффициент полезного действия цикла Карно дает оптимальное значение к. п. д. Нет лучшего цикла, чем цикл Карно, и в этом смысле он должен являться образцом для конструкторов тепловых машин, они должны стремиться как можно более приблизить реальные циклы к циклу этой идеальной машины.
У Доказательство не составит труда. На рис. 82
рИС- 82.показан произвольный цикл, вписанный в цикл
''Карно. Уменьшение энтропии нагревателя
может быть представлено интегралом
вdQТ 1
А
цля которого несомненно справедливо неравенство
так как Тх— самое большее число из тех значений, которые пробегает Т при интегрировании. Увеличение энтропии холодильника выразится интегралом 'А
j , Для которого справедливо неравенство в
Аа
С21 <_LCdn_<?2
J т ' т.а ^тг'
Вв
так как Т2— самое маленькое число из тех значений, которые пробегает Т при интегрировании. При обратимом процессе
ВВА
В
В
В
следовательно,следовательно,IQ21ТгIQ21ТгТуТучто и дает условиечто и дает условиеЧмакс —Чмакс —1-21.т,1-21.т,
следовательно,
следовательно,
IQ21
Тг
IQ21
Тг
Ту
Ту
что и дает условие
что и дает условие
Чмакс —
Чмакс —
1-21.т,
1-21.т,
Итак, из всех возможных циклических процессов максимальным к. п. д. обладает цикл Карно.
Формула максимального к. п. д. показывает причину низкого к. п. д. паровых машин. При Т2=300 К и 7Т=400 К к. п. д. равен 25%. Однако ведь это — максимальный коэффициент полезного действия, он достижим для идеальной машины, работающей обратимо без каких бы то ни было потерь энергии. Не приходится удивляться, что в реальных паровых машинах к. п. д. ниже 10%. В курсе теплотехники рассказывается о путях, которыми идет техника для увеличения коэффициента полезного действия. Ясно, что наиболее существенным является повышение температуры нагревателя, т. е. пара или горючей смеси.
Второе начало термодинамики
Как было указано выше, второе начало термодинамики состоит в утверждении, что энтропия в теплоизолированной системе возрастает. Это утверждение может показаться несколько абстрактным. Кроме того, приведенная формулировка не соответствует историческому развитию идей. Имея в виду огромную, значимость э^ого закона природы, надо кратко остановиться на других существующих формулировках второго начала термодинамики и показать их эквивалентность приведенной выше.
Исторически второе начало термодинамики вошло в науку в виде постулата Томсона о невозможности создания вечного-двигателя второго рода. Вечным двигателем первого рода называют машину, создающую работу «из ничего», т. е. машину, работа которой нарушает первое начало термодинамики. Вечным двигателем второго
6* 163
рода называют такой двигатель, который производит работу при помощи периодически действующей машины за счет одного лишь отнятия теплоты от окружающей среды. Такой двигатель, будь он возможен, был бы практически вечным, так как запас энергии ' в окружающей среде почти безграничен и охлаждение, скажем, воды океанов на один градус дало бы непредставимо огромную энергию. Масса воды в мировом океане по порядку величины составляет ~1018 т. При охлаждении всей этой массы воды лишь на Г выделилось бы 1021 ккал=4,18-1024 Дж тепла, что эквивалентно полному сжиганию 1014 т угля. Железнодорожный состав, нагруженный этим количеством угля, растянулся бы на расстояние ~1010 км, что по порядку величины совпадает с размерами солнечной системы!
Вечный двигатель второго рода — это тепловая машина, работающая с нагревателем, но без холодильника. Такая машина могла бы поработать один такт — газ, находящийся в сосуде с поршнем, мог бы расшириться, но на этом работа двигателя и закончилась бы, так как для продолжения действия машины тепло, полученное газом, необходимо передать холодильнику. Формально невозможность вечного двигателя второго рода видна из формулы максимального к. п. д. При отсутствии теплового перепада (Тз^Л) максимальное значение к. п. д. равно нулю.
Невозможно осуществить периодически действующий вечный двигатель, комбинируя изотермическое расширение с адиабатическим процессом сжатия. Такой процесс невозможен, даже если бы удалось его сделать обратимым. При изотермическом расширении рабочего тела энтропия падает. Значит, процесс сжатия должен приводить к возрастанию энтропии. Этого, однако, не может сделать адиабатический процесс, так как он проходит при постоянной энтропии.
Вполне соответствует принятой здесь формулировке второго начала термодинамики также постулат Клаузиуса, который состоит в утверждении о невозможности перехода тепла от менее нагретого тела к более нагретому без компенсации. Процесс, противоречащий постулату Клаузиуса, протекает с уменьшением энтропии; это свойство энтропии было показано с самого начала.
Мы еще раз вернемся ко второму началу термодинамики в § 77, где мы обсудим его с точки зрения молекулярно-кинетической теории.
ГЛАВА 12
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Основные представления
Считая, что в твердых телах молекулы плотно прилегают друг к другу, можно методами рентгеноструктурного анализа (стр. 352) с хорошей точностью определить размеры молекул. Сравнивая их с объемом, приходящимся на одну молекулу в газе, мы сразу 164 *
же обнаружим основные особенности газообразного состояния вещества.
Наибольший линейный размер двухатомных молекул кислорода равен примерно 4А, такой же размер имеют молекулы азота; молекулы водорода значительно меньше. Объем молекулы кислорода будет примерно равен 10"23 см3. При нормальных условиях в 1 см3 кислорода находится 2,7-1019 молекул. Следовательно, на одну молекулу приходится объем около 0,4-10"19 см3. Сопоставляя эти две цифры — собственного объема молекулы и объема, приходящегося на одну молекулу,— мы видим, сколь редко расположены молекулы. Вполне понятно, что при такой малой плотности встречи между молекулами будут происходить относительно редко. В среднем молекула проходит путь в 1000 А между двумя последовательными столкновениями. Однако скорость молекулы велика, около 500 ж/с. Поэтому столкновения будут происходить в среднем через каждую десятимиллиардную долю секунды (10"10 с). Откуда взялись эти цифры, станет ясно из дальнейшего.
Молекулы начинают притягиваться лишь тогда, когда расстояния между ними становятся сравнимыми с их собственными размерами. Поэтому большую часть своего пути молекулы движутся прямолинейно и равномерно. Если на пути одной молекулы попадается другая, то только в этом случае проявятся силы взаимодействия между молекулами. Ввиду того, что взаимодействие проявляется на незначительной доле пробега молекулы, можно говорить о столкновениях между ними. Время, в течение которого молекулы заметно взаимодействуют, иначе говоря, время соударения, равно примерно 10"13 с. Таким образом, подавляюще большую часть своей «жизни» молекула проводит в свободном движении по инерции.
Такая картина имеет место для газов, находящихся в обычных условиях. Повышение давления, ведущее к увеличению плотности, может ее существенно изменить.
Внутренняя энергия газов, в которых взаимодействие между молекулами происходит лишь во время почти мгновенных соударений, не содержит потенциальной энергии взаимодействия между молекулами. Такие газы мы назовем идеальными и оправдаем вторичное использование того же термина тем, что докажем справедливость уравнения газового состояния для таких газов.
Итак, газообразное вещество представляет собой огромное число мельчайших частиц, пролетающих большие пространства без соударений, затем сталкивающихся, как пара биллиардных шаров, и разлетающихся в разные стороны, уже с другими скоростями, до следующего соударения. Если последить за одной молекулой газа (разумеется, это можно сделать лишь мысленно), то мы увидим ее то движущейся влево, то вправо, то вперед, то назад. Иногда она будет лететь с большой скоростью, в иных случаях будет двигаться медленно. Ввиду полной хаотичности теплового движения в газе можно утверждать, что молекулы свободного газа, находящегося в тепловом равновесии, будут равномерно распределены в пространстве по
плотности. Также несомненна, что во всех направлениях в данное мгновение будут двигаться равные количества молекул. Будут равномерно распределены также и другие случайные события. Скажем, для всех мест будут одинаковыо числа молекул, пролетевших без соударения путь от 100 до 200 А, за секунду наблюдения.
Однако необходимо оговориться: все суждения, высказанные выше, носят так называемый статистический характер. Они справедливы в среднем и справедливы в тем большей степени, чем больше число молекул газа.
- Мы утверждаем, например, что число молекул, летящих «вправо» и «влево», будет одинаковым. Разумеется, это не значит, что эти числа будут равны с точностью до единиц. Числа движущихся молекул столь огромны, что при различии указанных чисел не только на единицы, но и на миллионы процентное различие будет ничтожным.
Если многократно «подсчитывать» количество молекул в каком-либо объеме, то при различных подсчетах будут получены несколько отличные числа. Измерения плотности устанавливают среднее значение числа молекул, находящихся в интересующем нас объеме. Если бы возможно было измерять хотя бы с точностью до тысяч молекул, то отдельные измерения незначительно колебались бы около этого среднего значения (незначительно в процентном отношении).
Когда говорят о числе молекул, имеющих такие-то скорости, или движущихся туда-то, или сталкивающихся по такому-то механизму, всегда имеют в виду среднее значение соответствующего числа. Если число молекул газа велико, то отклонения мгновенных значений от средних (они называются флуктуациями) будут ничтожными. В сильно разреженных газах флуктуации могут стать значительными.
- В теории вероятностей доказывается, что среднее по абсолютной величине относительное отклонение плотности газа от среднего чйсла молекул в единице объема примерно равно 1/К^\ где п — число молекул. Так как в 1 см3 газа находится 2,7-1019 молекул, то флуктуация плотности газа в пределах одного кубического сантиметра составит
1
т. е. 2-Ю-10 от средней величины. Ясно, что подобные отклонения находятся за пределами опытного обнаружения.
- Так же обстоит дело и со всеми другими свойствами газов, которые определяются средними числами молекул.
Зарождение кинетической теории газов восходит к Даниилу Бернулли (1700—1788). Существенное развитие кинетическая теория получила в трудах М. В. Ломоносова (1711—1765). В XIX в. кинетическая теория газов развивалась Клаузиусом (1822—1888), Максвеллом (1831—1879) и Людвигом Больцманом (1844—1906) и приняла уже современную форму.
§ 68. Длина свободного пробега
. Расстояние, которое молекула проходит между двумя последова.- тельными соударениям^ ^ молекулы), является, разумеется, случайной вел ичинои, которая может для отдельных молекул бывать иногда и очень маленькой, и очень большой. Однако в силу хаоса в движении частиц среднеезначение этой величиныдля данного состояния газа будет несомненно константой; ХТ^^Ж^ свободного пробега или, коротко, длина пробега / может быть связана со средней скоростью у движения молекул и средним временем между двумя соударениями т простым соотношением: /=ут). На стр. 165 мы привели типичные значения этих величин.
Длина пробега молекулы должна зависеть, прежде всего, от числа молекул в единице объема газа. Кроме того, ясно, что чем больше размер молекулы, тем меньше будет свободный пробег.
Для того чтобы представить себе характер этой связи, рассмотрим цилиндрический объем газа, через который вдоль оси цилиндра движется молекула. Какой путь удастся пройти молекуле?
Молекулы не точки, они имеют размеры, определяющиеся расстояниями, на которых молекулярное взаимодействие становится чувствительным.
На основании кристаллохимических измерений (см. стр. 565) молекулам с достаточной точностью может быть приписана некоторая форма. На расстояниях, выводящих за пределы «окантовки» молекулы, с точки зрения этой простой геометрической модели силы взаимодействия не действуют. Модель совпадает с истиной, если газ не очень плотный.
Спроектируем молекулы на дно цилиндра, изобразив максимальные сечения. Каждая молекула спроектируется по-разному; так как молекул много, то средняя площадь сечения будет достаточно точной характеристикой молекулы. Эта средняя площадь сечения ст называется эффективным поперечником, или эффективным сечением молекулы. ,
На протяжении длины цилиндра столкновение достоверно произойдет, если площадь основания цилиндра будет вся заполнена сечениями молекул. Если основание цилиндра 1 см2, длина цилиндра / и число молекул в единице объема п, то всего в цилиндре будет nl молекул. Проекции сечений этих молекул закроют дно цилиндра в том случае, если nba=L При этих условиях значение I должно быть по порядку величины близко к среднему пробегу молекулы, т. е. l^Mnc. Более строгий подсчет, которого мы не приводим, подтверждает эту примерную прикидку. В точную формулу в знаменатель входит V 2:
V 2 по
с — величина постоянная для данного газа. Значит, длина свободного пробега определяется только плотностью; уменьшив плотность, скажем, в 100 раз, мы во столько же раз увеличим длину свободного пробега.
Для воздуха в нормальных условиях эффективный поперечники равен примерно 5-Ю"15 см2. Это прекрасно сходится с известными нам из измерения в кристаллах размерами молекул кислорода и азота. Максимальный размер равен 4,3 А, а минимальный — немного меньше 3 А; радиус кружка размером 5-10~15 см2 равен 4 А.
Размеры молекул, как было сказано выше определяют из исследований кристаллов. Однако исследование столкновений частиц можно рассматривать как метод установления их эффективного поперечника. Такой метод имеет ценность для исследования атомных ядер (стр. 519).
Длина свободного пути при нормальных условиях: в воздухе 600 А, в азоте 600 А, в водороде 1100 А, в гелии 1800 А.
§ 69. Давление газа. Средняя квадратичная скорость молекул
Поставим перед собой задачу: пользуясь упрощенными представлениями о движении и взаимодействии газовых молекул, выразить давление газа через величины, характеризующие молекулу.
Рассмотрим газ, заключенный в сферическом объеме с радиусом/? и объемом и. Отвлекаясь от соударений газовых молекул, мы вправе принять следующую простую схему движения каждой молекулы.
Молекула движется прямолинейно и равномерно с некоторой скоростью и, ударяется о стенку сосуда и отскакивает от нее под углом, равным углу падения (рис. 83). Проходя все время хорды одинаковой длины 2R sin 6, молекула наносит стенке сосуда v/(2Rsin 0) ударов за 1 с. При каждом ударе импульс молекулы меняется на 2mvsin 0 (см. стр. 57). Изменение импульса за 1 с будет равно mv2IR.
Мы видим, что угол падения сократился. Если молекула падает на стенку под острым углом, то
удары будут частые, но слабые; при падении под углом, близким к 90°, молекула будет наносить стенке удары реже, но зато сильнее.
Изменение импульса при каждом ударе молекулы о стенку дает свой вклад в общую силу давления газа. Можно принять в соответствии с основным законом механики, что сила давления есть не что
иное как изменение импульса всех молекул, происходящее за одну тих . ти^ ,„
секунду: —• • • или, вынося постоянный член за скобки,
Пусть в газе содержится п молекул, тогда можно ввести в рассмотрение средний квадрат скорости молекулы, который определяется формулой
Выражение для силы давления запишется теперь кратко:
тпи-
F=TT
nnw24^ *nnw24^ */ р/ рДавление газа мы получим, разделив выражение силы на площадь сферы 4л/?2. Получим
nnw2
4^ *
nnw2
4^ *
/ р
/ р
Заменяя 4л/?3 на ЗУ, получим следующую интересную формулу:
Т о 17 2 ( HW \pv =у nmv\ или pV = ^п ( —^-j .
Итак, давление газа пропорционально числу молекул газа и среднему значению кинетической энергии поступательного движения молекулы газа.
К важнейшему выводу мы приходим, сравнивая полученное уравнение с уравнением газового состояния. Сопоставление правых частей равенств показывает, что
ти2 3 р,/? Тти2 3 р,/? Т2/ ти2 \
ти2 3 р,/? Т
ти2 3 р,/? Т
V^RT ( -у- I , или
т. е. средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул зависит только от абсолютной температуры и притом прямо пропорциональна ей.
Проделанный вывод показывает, что газы, подчиняющиеся закону газового состояния, являются идеальными в том смысле, что приближаются к идеальной модели собрания частиц, взаимодействие которых не существенно. Далее, этот вывод показывает, что введенное эмпирическим путем понятие абсолютной температуры как величины, пропорциональной давлению разреженного газа, имеет простой молекулярно-кинетический смысл. Абсолютная температура пропорциональна кинетической энергии поступательного движения молекул. n/yi=N есть число Авогадро — число молекул в одной грамм-молекуле, оно является универсальной постоянной: Af=6,02-1023. Обратная величина X/N будет равна массе атома водорода:
тн = 4г=1,66-10-м г.
Универсальной является также величина
Л|= ^- =*^ = 1,38- 10“1в эрг/К.
Она называется постоянной Больцмана^ Тогда
Если представить квадрат скорости у2 через сумму квадратов составляющих, у2=у2+^+^> то, очевидно, на любую составляющую придется в среднем энергия
Эту величину называют энергией, приходящейся на одну степень свободы.
Универсальная газовая постоянная хорошо известна из опытов с газами. Определение числа Авогадро или постоянной Больцмана (выражающихся друг через друга) является относительно сложной задачей, требующей проведения тонких измерений.
Проделанный вывод дает в наше распоряжение полезные формулы, позволяющие вычислять средние скорости молекул и число молекул в единице объема.
Так, для среднего квадрата скорости получим
~ _ 3RT _ 3RTV ~ mN ~ М >
где Л1 — молекудярный-вес. Корень квадратный из среднего квадрата скорости называют средней квадратичной скоростью. Она равна
= V , ИЛИ,
ср V тсрх V М ’
т. е. -прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярного веса. Легко найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же молекулы имели бы соответственно скорости 40 м/с и 160 м/с, при температуре поверхности Солнца 6000°— скорости 2160 м/с и 8640 м/с. Правда, мы привели нереальные примеры: при температуре жидкого гелия водород и кислород затвердеют и поступательного движения молекул не будет, а при температуре поверхности Солнца молекулы распадутся на атомы.
Для числа молекул в единице объема получим следующее простое выражение:
п _ Зр jD_
V mv2 ^ *
Отсюда следует закон Авогадро: при одинаковых давлениях и температурах все газы содержат одно и то же число молекул в единице объема. Например, при нормальных условиях (давление 1 атм и температура О °C) на 1 см3 приходится 2,683-1019 молекул (число Лошмидта^.
§ 70. Внутренняя энергия газа
Свойства одноатомных газов определяются кинетической энергией поступательного движения молекул. Внутренняя энергия атома не сказывается на термодинамике газа. Очевидно, учет внутренней энергии атома может стать нужным лишь в тех случаях, когда газ находится при очень высокой температуре и когда столкновения атомов могут привести к их возбуждению и. ионизации. Об этих процессах в свое время у нас будет подробная речь.
Таким образом, весьма широкую применимость будет иметь формула внутренней энергии одноатомного газа
U = N^,
где N — число молекул. Воспользовавшись формулами предыдущего параграфа, получим для 1 моля идеального одноатомного газа выражение
U = ^RT.
Отсюда для теплоемкостей 1 моля одноатомного газа получим по формулам, приведенным в § 60:
c„=^R и
Прямая пропорциональность температуре внутренней энергии и соответственно постоянство теплоемкостей одноатомного газа имеют место в довольно широком интервале внешних условий.
У многоатомных газов такая простая картина если и имеет место, то в значительно более узком интервале температур. Причина заключается в том, что энергия многоатомной молекулы складывается из энергии поступательного движения, энергии вращения и энергии колебания частей молекулы (т. е. атомов, из которых она построена) друг по отношению к другу. Подсчет средней энергии, приход ящейся Ий молекулу ^становится довольно сложным. Оказывается, что энергия молекулы уже не будет, линейно зависеть от"тем- пературы исоответственно теплоемкость газа уже не будет постоянной, не зависящей от Т величиной. Все же обычно удается найти узкий интервал температур, внутри которого теплоемкость газа не зависит от температуры. Это имеет место при таких значениях
температуры, при которых средняя энергия молекулы еще недостаточна для того, чтобы соударения молекулы могли привести к изменению ее колебательного состояния, и в то же время эта энергия достаточно велика, чтобы не чувствовался дискретный (квантовый) характер энергии вращения. Забегая вперед и отсылая читателя к рис. 266 (стр. 577), можно сказать, что линейный ход энергии с температурой и постоянство теплоемкости будут иметь место в том случае, если величина кТ, характеризующая по порядку величины энергию поступательного движения молекулы, существенно больше расстояния между вращательными уровнями энергии и меньше расстояния между колебательными уровнями энергии.
Если такой интервал существует, то энергия моля газа и его теплоемкости выражаются следующими простыми формулами:
U = 3RT, cv = 3R, cp = 4R.
Возрастание внутренней энергии и с^ вдвое по отношению к одноатомному газу можно толковать следующим образом. У многоатомной молекулы шесть степеней свободы, в то время как у одноатомной — три. Увеличение вдвое числа степеней свободы влечет за собой увеличение вдвое внутренней энергии. Конечно, в этом утверждении нет ничего само собой разумеющегося. Однако мы находим подтверждение этой точке зрения, рассматривая газ двухатомных молекул. Поскольку двухатомная молекула—это система
из двух материальных точек, то она обладает пятью степенями свободы (см. стр. 36). Если действительно внутренняя энергия пропорциональна числу степеней свободы, то для газа двухатомных молекул должны иметь место формулы
U = ^RT, cv~R, cp = Lr.
Опыт показывает, что в участке температур, где теплоемкость остается неизменной, эти формулы хорошо выполняются. Внутренняя энергия одного моля двухатомного газа при комнатной температуре 300 К будет 1500 кал=6250 Дж.
Типичный ход кривой теплоемкости в широком интервале температур иллюстрируется рис. 84.
§71. Статистическое распределение
Существует множество событий, которые нельзя предугадать. Мы называем их случайными. Рост юноши, явившегося на воинский призыв; число прохожих, пересекающих определенный перекресток в определенные часы; число выигрышных билетов в тираже займа, пришедшихся на облигации каждой рядовой сотни номеров,— все это примеры случайных событий. Наблюдая множество однотипных событий, например измеряя рост большого числа молодых людей, подсчитывая число прохожих за минуту в течение многих дней или анализируя число выигрышных билетов для многих тиражей займа, мы можем отчет о подобных наблюдениях оформить в виде так называемых кривых распределения. Если речь идет о росте человека, то данные могут быть обработаны в виде чисел, указывающих, какое число призывников имело рост от 1,70 до 1,71 м, от 1,71 до 1,72 м и т. д. Действительно, вероятность обнаружить среди призывников человека точно заданного роста (например, 171,34 см) практически равна нулю. Поэтому имеет смысл говорить лишь о числе призывни
ков, рост которых лежит в некотором интервале.
Если речь идет об анализе выигрышных таблиц, то кривая рас
пределения может быть построена на основании данных о числе рядо
вых сотен облигаций, на которые не пришелся ни один выигрыш, на которые пришелся один выигрыш, два выигрыша и т. д.
Если построить график, по горизонтальной оси которого отложена случайная величина (рост, число прохожих, число выигрышей), а по вертикальной оси отложить число случайных событий (число людей, рост которых лежит в заданном интервале, количество случаев данного числа выиг
рышей на сотню номеров
и т. д.), то полученная кривая и есть кривая распределения. Пример такой кривой показан на рис. 85. Кривая проведена через средние точки верхних оснований прямоугольников. Каждый
прямоугольник имеет площадь, численно равную числу случаев, при которых осуществлялось случайное событие для величины, лежащей в данном интервале.
Замечательной особенностью кривых распределения является их воспроизводимость. Если построить кривые распределения, анализирующие рост призывников для ряда лет, то можно убедиться в их полном подобии. Мы не найдем этого подобия, если будем изучать кривые распределения роста, построенные на основании небольшого числа измерений. Если же увеличивать материал, положенный в основу построения каждой кривой, то кривые разных лет будут становиться все более и более похожими. Такое положение дел имеет место для кривых распределения любых событий, если только они случайны и условия полученных кривых распределения не изменились.
Закон распределения той или иной величины, выполняющийся тем лучше, чем для большего числа событий построена каждая ордината кривой, носит название статистического закона.
Знание кривой распределения, разумеется, не поможет нам предугадать номер облигации, которая выиграет в следующем тираже. Однако можно сказать, какова будет доля рядовых сотен номеров, на которые выпадает один выигрыш. Это предсказание будет тем точнее, чем большее число номеров облигаций будет привлечено для анализа.
Огромное число молекул, приходящееся на самый малый объем вещества, делает особенно точным всякого рода статистические предсказания о поведении молекул. Кривая распределения той или иной случайной величины, построенной для молекул вещества, будет воспроизводиться с огромной точностью по той причине, что каждому «прямоугольничку» кривой распределения соответствуют миллиар,- ды молекул.
Закон Больцмана
Некоторые представления о распределении молекул сразу же следуют из хаотичности теплового движения. Это относится к распределению молекул по направлениям скоростей или к распределению молекул по объему для случая, когда на газ нс действуют какие-либо силы. Однако имеется множество случаев, для которых заранее не очевидны следствия допущения о хаотичности теплового движения.
Прежде всего, возникает вопрос о распределении молекул по величинам скоростей. Каков процент быстрых, средних по скорости, медленных молекул? Далее, может встать задача: найти, как изменится равномерное распределение молекул по плотностям при внесении газа в поле сил, скажем, в поле тяжести, или в электрическое или магнитное поле, если молекулы обладают электрическими или магнитными свойствами. На эти и подобные вопросы отвечает закон
Больцмана, который можно вывести, используя аппарат теории вероятностей.
Рассмотрим небольшой объем пространства — кубик со сторонами Ах, Ау, Аг, построенный в точке х, у, г. Пусть в этом кубике находится значительное число молекул. Среди них мы отберем те, которые имеют компоненты скорости, лежащие в пределах от их до vx4-А^, от vy до Uy+Avy и от vz до vz+ Аиг. Величины Дях, Avy, Av2 таковы, чтобы в указанном интервале скоростей находилось большое количество молекул. Это нужно для того, чтобы к этим малым объемам можно было применять законы статистической физики (физически бесконечно малые объемы). В дальнейшем будем говорить о таких молекулах, что они обладают координатами около х, у, г и скоростями около их, оУ) ох. Еще раз подчеркнем, что говорить о количестве молекул, обладающих точно заданной скоростью, нельзя, так как вероятность встретить такую молекулу бесконечно мала. Так как кинетическая энергия молекулы определяется значением скорости, а потенциальная энергия молекулы во внешнем поле зависит от координат молекулы в пространстве, то все выделенные нами молекулы имеют практически одну и ту же энергию <§.
Закон Больцмана, обоснование которого следует искать в курсах теоретической физики, дает общее выражение для числа молекул, обладающих координатами около х, у, г и скоростями около vx, у», Уг? это число равно
An = Ae-6fkT дх Ду д2 д^ да^ д^.
здесь А — постоянная, которая может быть найдена для конкретной задачи, Т — абсолютная температура и/г — постоянная Больцмана.
Энергия, входящая в экспоненту, является суммой кинетической энергии поступательного движения молекулы и ее потенциальной энергии во внешнем поле: £—^-+U. Поэтому
Ап = Ае kt Ах Ay Az Avx Avy А^.
Формула распространяется и на случай, когда молекула обладает и другими формами энергии, например вращательной или колебательной. Тогда эти составляющие энергии надо внести в ^.
Закон Больцмана, или, как еще говорят, распределение Больцмана, показывает, что наибольшей энергии соответствует наименьшее число частиц, скорости и координаты которых лежат в заданном интервале.
Закон Больцмана мы применим для решения двух важных вопросов, касающихся распределения частиц с высотой и распределения молекул по скоростям.
Распределение частиц по высоте в поле тяжести
Если в жидкости находятся в большом количестве маленькие частички, более тяжелые, чем жидкость, и не растворяющиеся в ней, то на первый взгляд может показаться, что рано или поздно эти частицы должны опуститься на дно. Это, однако, неверно,— так было бы, если бы отсутствовало тепловое движение.
Действительно, сила тяжести тянет частицы вниз, однако хаотическое тепловое движение, являющееся неотъемлемым свойством любых частиц, будет непрерывно препятствовать действию силы тяжести. Частица движется вниз, но по дороге может испытать столкновение, которое отбросит ее кверху; опять начнется движение вниз и опять столкновение может отбросить частицу вверх или в сторону. Если какой-то частице удалось добраться до дна сосуда, то зато случайными ударами другая частица может быть поднята со дна и случайными толчками может быть доведена до высоких слоев жидкости. Вполне понятно, что в результате установится некоторое неравномерное распределение частиц. В верхних слоях частиц будет меньше, ближе ко дну сосуда — больше всего. Чем тяжелее частицы и чем меньше температура, тем больше будет «прижато ко дну» распределение частиц по высоте.
Количественная сторона этого интересного явления, которое имеет место для любых частиц, расположенных в поле тяжести (молекул газа или частиц эмульсии, взвешенных в газе или жидкости), освещается законом Больцмана. Экспоненциальный множитель в формуле распределения Больцмана перепишем в виде
my2 mghе~ЧкТ е кТ-
вместо потенциальной энергии тяготения U мы подставили ее выражение mgh. Нас интересует^исло всех молекул (любых скоростей), находящихся на высоте между h и й+Ай Оно будет равно
&n = nQe kT Ай.
Здесь коэффициент пропорциональности п0 по смыслу есть не что иное, как удельное число частиц ^- при й=0. Закон убывания частиц с высотой показан на рис. 86.
Вид формулы показывает справедливость утверждения, сделанного вышегчем больше масса частиц и чем меньше температура, тем быстрее падает кривая. Из формулы видно также, что быстрота убывания зависит от ускорения силы тяжести. На разных планетах частицы должны быть по-разному распределены с высотой.
Согласно приведенной формуле какое-то (пусть очень малое) число молекул имеется на любой высоте над поверхностью Земли. Это значит, что молекулы могут удаляться от Земли, улетать в ми-
ровое пространство, так как не исключено, что случайными столкновениями то та, то другая молекула получит скорость 11,5 км/с, достаточную, как известно, для ухода из сферы земного притяжения. Можно поэтому сказать, что Земля постепенно теряет свою атмосферу. Однако оценки скорости рассеяния атмосферы показывают, что она ничтожно мала. За все время существования Земли было потеряно ничтожное количество воздуха. Другое дело на Луне, где
скорость преодоления притяжения равна ~2 км/с. Такая небольшая скорость достигается молекулами с большой легкостью, поэтому на Луне нет атмосферы.
Формула убывания числа частиц с высотой может быть записана для плотности газа или для давления газа. Т^к как давление газа пропорционально числу частиц в единице объема, то формулу можно переписать в виде
HighР = Р„е "И".
Здесь ро— давление на нулевом уровне. Последнюю формулу назы- Ъйют барометрической. С ее помощью метеорологи, производящие йзмерения атмосферного давления на больших высотах, приводят результаты своих измерений «к уровню моря».
Необходимо отметить еще одно важное применение формулы распределения частиц по высоте: она была использована французским ученым Перреном для опытного определения числа Авогадро. В соответствии с условиями опыта Перрену пришлось несколько модифицировать формулу распределения молекул по высоте. Он изучал эмульсию, получающуюся при растворении гуммигута (разновидность смолы) в воде. В этой эмульсии при помощи микроскопа можно рассмотреть целый муравейник зернышек сферической формы. При помощи центрифуги Перрен сортировал зернышки гуммигута по размеру. За несколько месяцев работы было получено 20—30 г зерен гуммигута диаметром 0,74 микрона. Плотность гуммигута £>=1,195 г/см3, т. е. масса одного зерна была равна 7-10-14 г.
Точ(ю^ определение размеров зерен было нелегкой задачей. Перрен выполнял это тремя независимыми способами:
под микроскопом определялась длина цепочки из нескольких десятков плотно прилегающих зерен;
взвешивалось несколько тысяч зерен и размер вычислялся через известную плотность гуммигута;
по формуле Стокса (см. стр. 196) из наблюдений за скоростью опускания в эмульсии облачка из зерен. При этом предполагалось, что по закону Архимеда 4
зерно опускается под действием силы ~ лг^Р—d)g, где d — плотность жидкости, г — радиус зерна. Эта сила при равномерном опускании уравновешена силой вязкого трения, вычисляемой по формуле Стокса. Из этого условия определяется г.
- Все три способа дали хорошо совпадающие результаты. Это означало, что действующий вес микроскопического зернышка, плавающего в жидкости, можно записать в виде mg(l—d/D). Вспомним, что k=R/N. Отсюда получается барометрическая формула для «атмосферы» из зерен гуммигута, плавающих в воде:
Nmgh
п = п6е RT•
Опыт сводился к определению отношения концентраций п на равностоящих уровнях. Делалось это при помощи фокусирования микроскопа на достаточно тонкий слой эмульсии и подсчета числа частиц в поле зрения за одинаковые промежутки времени. Меняя вязкость эмульсии в сотни раз, Перрен неукоснительно наблюдал, что отношение концентраций соответствовало барометрической формуле. Подставляя значения n0, п, h, т, d, D и Т, можно было определить N. Оказалось, что, несмотря на широкие вариации вязкости эмульсии и размеров зерен, найденное таким образом А блестяще совпадает со значениями, предсказанными молекулярнокинетической теорией: Перрен получил 6-1023^ А^7-1023 (по современным данным N=6,0225• 1О23). Это с полной достоверностью свидетельствовало, что больцмановское распределение по энергиям применимо даже к таким частицам, «грамм-молекула» которых равна 50 000 тонн!
Распределение молекул по скоростям
Распределение молекул по скоростям, выведенное впервые теоретическим путем выдающимся, английским физиком Максвеллом, можно рассматривать как следствие закона Больцмана.
Число молекул, скорости которых лежат в интервале от их до их+А^, от х)у до иу+\иу и от vz до yz+Ayz, будет согласно закону Больцмана равно
Дц = Се ^кТ Avx Avy Ду2.
Подразумевается, что мы интересуемся распределением скоростей в небольшом объеме газа, а распределение молекул по координатам учитывается постоянным множителем С, который сейчас не представляет, для нас интереса.
Написанная формула учитывает распределение молекул как по величинам, так и по направлениям скоростей. Однако распределение по направлениям нам известно. Ведь числа молекул, летящих в том или ином направлении, должны быть одинаковы при полном хаосе в движении молекул. Нас интересует число всех молекул, независимо от их направления, имеющих скорость от v до и+Аи, где у = /^ + ^ + у1.
Если построить трехмерный график, по осям которого откладывать проекции скоростей молекул vx, vy, и2, разбить мысленно это пространство на бесконечно малые кубики объема At^A^At^, то можно наглядно представить себе данные о распределении скоростей молекул в виде чисел молекул, приходящихся на один кубик. Формула Больцмана и дает нам число молекул для каждого из кубиков. Однако, всматриваясь в формулу, мы видим, что число молекул будет одинаковым для всех кубиков, попадающих внутрь шарового пояса с радиусом от и до у+Av,— ведь в экспоненциальный множитель формулы входит лишь абсолютное значение скорости. Число молекул, обладающих скоростями в пределах от и до у+Au, будет пропорционально объему шарового слоя, т. е. 4ли2Ау; таким образом, если число молекул, заключенных в одном кубике, равно
Се 2кТ Аух Д^у Ау2,
то число молекул, заключенных в шаровом поясе, т. е. обладающих скоростями в пределах от и до v+Ау, представится формулой
mt'2
Ап~Се 2/г74лу2Аи.
Какой же характер имеет эта зависимость? При у=0 и у—оо число молекул обращается в нуль. Ясно, что кривая должна обладать максимумом. Обычными правилами найдем максимум множителя при Ар. Беря производную от этого выражения и приравнивая ее нулю, получим
, / тх)2 \
du хJ ’
откуда значение скорости, при которой функция распределения имеет максимум, равно
Что же это за скорость? Так как по оси ординат кривой распределения отложено число молекул, имеющих скорость v, то с является своеобразным рубежом: молекулы, движущиеся со скоростями как большими, так и меньшими с, встречаются реже молекул, движущихся со скоростями с.
Эта скорость называется наиболее вероятной, Кривая распределения молекул газа по скоростям (распреде^ приведена на рис. 87.
Полезно сопоставить формулы наиболее вероятной скорости и средней квадратичной:
с= V
Средняя скорость больше вероятной. Причина ясна из вида кривой распределения: так как кривая распределения уходит далеко вправо, то туда же сдвинуты и средние значения скорости.
Приведем некоторые числа, характеризующие распределение скоростей газовых молекул. Число молекул со скоростями, близкими
к наиболее вероятной с, больше числа молекул со скоростями, близкими к средней квадратичной, в 1,1 раза; больше числа молекул со скоростями, близкими к 0,5 г, в 1,9 раза; больше числа молекул со скоростями, близкими к 2 с, в 5 раз (см. рис. 87).
Измерение скоростей молекул газа
Хотя закон распределения молекул по скоростям следует из исключительно четких теоретических предпосылок, справедливость которых подтверждается огромной массой физических фактов, несмотря на это, представляло бы интерес подвергнуть формулу распределения непосредственной опытной проверке.
Произвести измерение скоростей молекул газа в объеме можно лишь косвенным путем: если молекула излучает свет, то скорость ее движения скажется на ширине спектральных линий (доплер - эффект). Прямые возможности дает методика молекулярных пучков.
Длинную и широкую трубу перегородим двумя заслонками с весьма малыми отверстиями. В крайний отсек поместим газ. Тогда молекулы начнут проникать сначала в средний отсек, а иногда будут попадать и во второй крайний. Очевидно, что пролететь через всю трубу могут лишь те молекулы, у которых вектор скорости в момент вылета через первое отверстие направлен вдоль оси трубы. Таким способом из газа выделяется молекулярный пучок. Молекулы пучка имеют одинаково направленные скорости. Что же касается величины скорости, то, очевидно, по принципу молекулярного хаоса распределение этих молекул по скоростям такое же, как у молекул любого другого направления движения.
Для измерения скоростей молекул пучка можно прибегнуть к установке, напоминающей прибор для измерения скорости пули.
Представим себе два картонных диска, жестко насаженных на ось и вращающихся со скоростью со около нее. Если пуля летит параллельно оси вращения, то диски будут пробиты последовательно в двух точках, сдвинутых по азимуту на угол ф, на который повернулась система, пока пуля прошла расстояние I между дисками. Время поворота на угол ср равно ф/со, значит, скорость пули
(0 ф *
Так как молекулы не пробивают отверстий, то аналогичный опыт для молекулярных пучков ставится с дисками, в которых сделаны прорези по окружности. Угловое расстояние прорезей равно ф. Очевидно, что молекулы со скоростью и смогут пройти через два вертящихся диска с отверстиями лишь при определенной скорости со, удовлетворяющей условию ф/о)=//у. Таким образом, меняя со, можно фильтровать молекулы по скоростям, собирать молекулы одной скорости и мерить их относительные количества.
Многочисленными опытами были подтверждены обсужденные выше формулы распределения по скоростям, а значит, и формулы среднего и вероятного значения скорости молекул.
Вероятность состояния
Рассмотрим ящик, разделенный перегородкой на две равные части. В перегородке сделано отверстие. Если в ящике находятся молекулы газа, то они способны переходить в результате случайных соударений со стенками сосуда и друг с другом из одной половины ящика в другую. Несмотря на то, что движение молекул в ящике совершенно беспорядочно, имеется метод, при помощи которого можно предсказывать, сколько молекул будет в левой, а сколько в правой половине. Этот метод основан на применении к веществу теории вероятностей.
Если бы в ящике была одна молекула, то с равными шансами, или, как говорят, с равной вероятностью, она могла бы быть в правой и левой части ящика. Так как всего возможных случаев два (молекула либо в левой, либо в правой части), а нас интересует осуществление одного из" этих двух случаев, то говорят, что вероятность нахождения молекул в одной половине ящика равна V2. Теперь допустим, что в ящике две молекулы, которые обозначены цифрами 1 и 2. Всего возможных случаев расположения теперь четыре: слева обе молекулы, справа обе молекулы; слева молекула'№ 1, а справа № 2 и, наконец, слева № 2, а справа № 1. Нас интересует вероятность нахождения двух молекул слева; это — один случай из четырех возможных, его вероятность равна гкл т. е. (V2)2. Для трех молекул картина будет такая:
слева 1,2,3 0 1,2 1,3 2,3 3 2 1
справа 0 1,2,3 3 2 1 1,2 1,3 2,3
Ясно, что вероятность пребывания всех трех молекул слева равна V8, т. е. (V2)3. Нетрудно сообразить, что для случая W молекул вероятность нахождения всех их в одной части ящика будет равна (72)лг. Ведь прибавляя новую молекулу, мы всегда имеем возможность поместить ее либо слева, либо справа. Значит при прибавлении каждой новой молекулы вероятность нахождения молекул в одной половине сосуда падает вдвое.
Уже для какой-нибудь сотни молекул число (Va)^ настолько мало, что мы можем практически не считаться с возможностью того, что все молекулы соберутся в одной половине сосуда. Но молекул в кубическом сантиметре газа не сотни, а около 1020. Если мысленно разделить сосуд на две части, то вероятность того, что молекулы соберутся в одной половинке сосуда, равна (Va)1®20. Логарифмируя, можно это число записать в виде 10"3 1о19. Чтобы проставить единицу у этой десятичной дроби, надо записать предварительно 3-1019 нулей! Если принять достаточно высокую скорость письма — три цифры в секунду, то на написание этого числа потребуется 1019 сек, т. е. более 300 миллиардов лет, что в десятки раз превышает время существования солнечной системы.
Еще раз обратимся к табличке размещений трех молекул. Только лишь при одном размещении из восьми все молекулы собираются слева. Любое другое размещение встречается тоже однократно. Но надо вспомнить, что молекулы перенумерованы условно. Нет способов отличить размещения, при котором слева находятся №№ 1, 2, от того, при котором слева имеются №№ 2, 3 или 1, 3. Следовательно, на одно размещение, при котором слева находятся три молекулы, приходятся три размещения, при которых имеются две молекулы, и столько же таких, при которых имеется слева одна молекула. Поэтому вероятность некоторого характерного распределения, независимо от того, какими номерами молекул оно создается, может быть измерена числом размещений, которыми может быть осуществлено распределение. Чем больше это число, тем чаще будет встречаться такое распределение, тем оно будет вероятнее.
Этот пример подводит нас к понятию вероятности состояния тела.
В каждое мгновение атомы, из которых построено тело, обладают определенными координатами и скоростями. Назовем эту мгновенную структуру микросостоянием.
Любое тело, находящееся в состоянии равновесия со средой, сохраняющее неизменимыми все свои свойства, тем не менее не находится в одном микросостоянии. Из-за теплового движения частиц тело непрерывно меняет свои микросостояния. Если речь идет о газе, то эти изменения достигаются поступательными движениями, колебаниями, вращениями молекул; в жидкости микросостояния сменяются благодаря колебаниям частиц и переходом из одного окружения в другое, в твердом теле — в основном из-за колебаний. В любом случар равновесие тела является динамическим.
Переходя из одного микросостояния в другое, тело будет неоднократно возвращаться к одним и тем же состояниям. Одни из 182
них осуществляются более часто, а другие более редно, как это ясно из рассмотренного примера.
Если в течение большого времени Т в каком-то микросостоянии тело жило время А/, то М/Т есть вероятность микросостояния.
Вероятность микросостояния выражается простой формулой, найденной Гиббсом,
= Ae~S/kT
где ^ — энергия. Постоянная А учитывает число размещений, которыми может быть осуществлено микросостояние. При одинаковых А вероятность микросостояния определяется его энергией.
Формула Гиббса совпадает по виду с законом Больцмана. В каком же взаимоотношении находится содержание этих двух законов? Формула Больцмана рассматривает большое число молекул (тел) в одно мгновение и говорит нам о том, как распределены эти молекулы (тела) по энергиям. Формула Гиббса применяется к одному телу (молекуле), за которым мы «следим» долгое время, и дает нам сведения о распределении энергии этого тела во времени. Разумеется это совпадение не случайное, но мы не можем на этом останавливаться.
К основным законам природы относится, как уже говорилось, дискретность (квантовость) состояния тела.
Поэтому можно говорить о числе микросостояний, которыми реализуется данное микросостояние тела. Это число называют статистическим весом макроскопического состояния (другое название термодинамической вероятности).
Термодинамическая вероятность W однозначно связана с термодинамическими функциями тела. Нетрудно сообразить, что статистический вес состояния растет с возрастанием температуры, увеличивается при плавлении и при испарении тела и т. д. Можно сказать, что термодинамическая вероятность состояния тем выше, чем больше свобода движения частиц, из которых оно построено.
Весьма наглядно можно представить себе связь наблюдаемых (микроскопических) величин с вероятностью микросостояний. Понятно, что наблюдаемые величины являются средними из значений, которые эта величина принимает для микросостояний. Если, например, в n-м микросостоянии энергия равна Еп, то средняя (наблюдаемая) энергия
Е = wxEx + w^E^ + w^E. + ...
Разумеется, вероятности wn должны быть нормированы к единице (S^^1)-
Необратимые процессы с молекулярной точки зрения
Из рассмотренного примера сосуда с газом вполне ясно, что наибольшей вероятностью обладает группа таких состояний, у которых молекулы размещены «равномерно». Всякое отклонение от «равномерности» — смещение однрй части молекул в левую
сторону сосуда, расположение слева более быстрых молекул, направленное движение большей части молекул, короче — любое отклонение от беспорядочности в распределении молекул по местам и скоростям,— влечет за собой уменьшение вероятности состояния. Это замечание позволит нам понять молекулярно-кинетический смысл необратимости реальных процессов.
Как было установлено выше, второе начало термодинамики для необратимых процессов, т. е. закон возрастания энтропии в теплоизолированных системах, представляет собой обобщение опытного факта о невозможности ряда процессов. Так, тепло не может без компенсации переходить от холодного тела к нагретому, тело не может приобрести кинетическую энергию только за счет убыли внутренней энергии окружающей среды, газ может самопроизвольно расшириться, но нс сжаться.
Существование необратимых процессов является особенностью молекулярных явлений. В чисто механическом явлении, т. е. процессе без трения, процесс всегда можно повернуть вспять. Маятник при движении вправо проходит в обратном порядке все те состояния, которые проходились при движении влево; биллиардный шар, отскочивший от борта в каком-либо направлении, если на пути его поставить упругую стенку, отскочит от нее и повторит в обратном порядке весь путь, который был пройден «туда». Полная равноценность «туда» и «обратно» очевидна для чисто механических процессов. Почему же свойства обратимости нет у молекулярных процессов, которые мы рассматриваем как совокупность механических движений молекул? Причина лишь одна. Во всех необратимых процессах вероятность состояния возрастает. Обратимый процесс является процессом мыслимым: его осуществление в принципе возможно, однако при наблюдении в те времена, которыми располагает человек, такой процесс практически невероятен.
Это нетрудно показать для любого из необратимых процессов. Тепло переходит от тела нагретого к холодному, но не наоборот. В случае' газообразных тел такой процесс можно наглядно представить как перемешивание быстрых молекул с медленными. Обратный процесс не может происходить по закону случая, так как он представлял бы собой сортировку быстрых и медленных молекул, т. с. переход к более упорядоченному состоянию.
По той же причине мы довольно быстро перемешаем лопатой два мешка с разным зерном. Однако можно продолжать перемешивать содержимое этих двух мешков веками, но зерна не разделятся так, чтобы сверху оказались частицы одного сорта, а снизу другого. А ведь число зерен в мешках неизмеримо меньше числа молекул в кубическом миллиметре вещества. 1
Нетрудно понять также полную невероятность явления, обратного самопроизвольному расширению газа. Если в ящике с перегородкой, который мы только что рассматривали, слева газ, а справа вакуум, то через малое время обе части ящика равномерно заполнятся газом. В принципе может случиться, что молекулы соберутся
обратно все вместе в левой части ящика. Однако вероятность такого события будет крайне мала. Величина ее подсчитана нами, это (1/2)л;
Какой бы необратимый процесс мы ни захотели подвергнуть рассмотрению, результат будет всюду одинаков: каждый необратимый процесс связан с возрастанием вероятности состояния.
Итак, имеются две величины, которые возрастают при необратимых процессах: это энтропия S, с которой мы познакомились ранее, и термодинамическая вероятность состояния W, которая обсуждалась только что. Представляется естественным, что эти две физические величины должны быть связаны. Наличие такой связи было показано Больцманом. Формула, которая была им указана, имеет вид S=k In W. Энтропия пропорциональна логарифму термодинамической вероятности состояния.
Таким образом, второе начало термодинамики приобретает еще одну формулировку: в обратимых процессах вероятность состояния не изменяется, в необратимых процессах (речь идет о замкнутых системах) вероятность состояния возрастает.
Флуктуации. Границы применения второго начала
Любое физическое свойство будет неизменным, если не меняется распределение молекул поместим и скоростям. В принципе молекулы вещества могут менять со временем характер распределения. Однако мы только что указали, что среди всех распределений наиболее вероятные выделяются столь резко, что отклонения от них надо рассматривать как весьма редкие события. Физические характеристики, соответствующие этому наиболее вероятному распределению, можно назвать средними характеристиками. Отклонение измеренной физической характеристики от ее среднего значения для систем с большим числом молекул практически невозможно обнаружить. Так обстоит дело, когда физические свойства изучаются для объемов, в которые входит большое число молекул. Если же число частиц в системе становится небольшим, то оказывается возможным наблюдение и более редких распределений молекул по местам и скоростям. Эгим более редким распределениям будут соответствовать значения физических характеристик, отличные от средних. Эти отклонения физических характеристик от их средних значений, проявляющиеся в системах с относительно малым числом частиц, носят название флуктуаций. Температура и давление, теплоемкость и теплопроводность — любые свойства частей тела, содержащих малые числа молекул, подвержены флуктуациям около средних значений. К этому же вопросу мы можем подойти несколько с другой стороны.
Если в газовой среде поместить подвешенное на тонкой нити маленькое зеркальце, то с макроскопической точки зрения давление газа, действующее на зеркальце, не может проявиться: силы, действующие со всех сторон, одинаковы. С молекулярной точки зрения
в принципе изменения импульса, происходящие от удара молекул о зеркальце, не обязательно должны уравниваться для различных участков его поверхности. Легкое зеркальце может прийти во флуктуационные колебания. Как говорилось выше, на одну степень свободы движения любой частицы (молекулы, броуновской частицы, горошинки) приходится энергия теплового хаотического движения, равная ~ кТ. Эта энергия и приходится в среднем на зеркальце.
С другой стороны, работа вращения нити на угол Аф равна Л1Аф.
кТ
Поэтому отклонения на угол, равный по порядку величины Аф^-^-, будут осуществляться достаточно часто.
Такие флуктуации действительно наблюдаются и их измерение может быть использовано для опытного определения константы Больцмана и, следовательно, числа Авогадро.
Флуктуационные явления ограничивают точность измерений. Стрелка, зеркальце или другая часть показывающего прибора подвержены флуктуациям. Для комнатной температуры предел погрешности в единицах энергии лежит около 10"20 Дж. Во многих приборах мы не достигли еще этого предела, однако в лучших измерительных устройствах этот предел уже достигнут.
Флуктуации ограничивают применимость второго начала термодинамики. Во флуктуационных колебаниях наблюдаются процессы, в которых система переходит от более вероятного состояния к менее вероятному, т. е. энтропия уменьшается.
Прекрасной иллюстрацией может служить броуновское движение. В этих опытах мы наблюдаем флуктуации давления в небольшом объеме, приходящемся на частицу. Благодаря этим случайным колебаниям давления частица может быть, например, подброшена вверх. Однако движение против силы тяжести требует работы. В данном случае эта работа произошла за счет теплового хаотического движения молекул, т. е. за счет одной лишь внутренней энергии вещества, в полном противоречии со вторым началом термодинамики.
Несмотря на то, что в отдельных малых объемах будут иногда происходить явления с уменьшением энтропии, т. е. противоречащие второму началу, вся система в целом всегда будет подчиняться этому закону. Благодаря случайности событий число процессов, идущих за счет внутренней энергии, будет таково же, как и число процессов, идущих в обратном направлении. Можно строго показать, что невозможны какие бы то ни было попытки «отбора» происходящих в отдельных малых объемах процессов, идущих с нарушением второго начала, для создания вечного двигателя второго рода.
Второе начало термодинамики имеет ограничение и с «противоположного конца». Кроме того, что оно неприменимо для систем с очень малым числом частиц, оно теряет справедливость для систем с бесконечно большим числом частиц, а именно для вселенной или 186
для любой ее бесконечно большой части. Как было выяснено выше, сущность второго начала термодинамики заключается в том, что количество равновесных состояний подавляюще велико по сравнению с числом неравновесных распределений. Однако для вселенной, состоящей из бесконечно большого числа частиц, это утверждение теряет свой смысл. Действительно, как число равновесных состояний, так и число неравновесных состояний становятся бесконечно большими. Вследствие этого для вселенной в целом нельзя говорить о различных по вероятности состояниях.
ГЛАВА 13
ПРОЦЕССЫ ПЕРЕХОДА К РАВНОВЕСИЮ
Диффузия
Тело, взаимодействующее со средой, меняет свое состояние так, чтобы прийти в равновесие с окружающими телами. Состояние тела при этом меняется: его внутренняя энергия стремится к минимуму, а энтропия возрастает и становится максимальной тогда, когда равновесие устанавливается. Эти две тенденции обычно противоречивы и поэтому трудно предсказать явление тогда, когда способны изменяться и энергия, и энтропия. Сейчас мы хотим рассмотреть явления диффузии, теплопроводности и внутреннего трения, происходящие в замкнутых системах. Иначе говоря, речь идет о выравнивании концентрации, температур и скоростей одних частей тела по отношению к другим (последнее, разумеется, имеет значение лишь для жидких и газообразных тел). Так как энергия в таких системах меняться не может, то переход в состояние равновесия состоит лишь в возрастании энтропии.
Основные законы явлений диффузии, теплопроводности и внутреннего трения весьма похожи. Начнем их рассмотрение с процессов диффузий. С одинаковым успехом можно говорить о выравнивании концентрации газа или раствора. Наши рассуждения справедливы даже для твердых растворов (см. стр. 590), так как и в этом случае стремление к максимуму энтропии заставляет атомы или молекулы вещества перемешиваться, с тем чтобы одинаковая концентрация установилась во всех частях тела.
Рассмотрим два близких физически бесконечно малых объема вещества с концентрациями диффундирующих атомов (молекул) с и c+dc. Если эти два объема находятся на расстоянии dx, то отношение ^ будет характеризовать быстроту изменения концентрации. Это отношение носит название градиента концентрации. Если ось х выбрана так, что ее положительное направление совпадает с de
направлением диффузии, то -^ будет отрицательной величиной. Вещество будет перемещаться в сторону меньших концентраций.
Это не значит, что все молекулы сплошным потоком непрерывно перемещаются в одну сторону. Напротив, диффузионное движение в значительной степени сохраняет черты беспорядка, свойственные молекулярному движению. Молекулы движутся беспорядочно, движутся во все стороны, в том числе и в сторону большей концентра
ции, но вероятность перемещения молекул в «правильную» сторону больше. Это значит, что через мысленную площадку, поставленную поперек потока, больше частиц перейдет со стороны большей кон
центрации к меньшей, чем наоборот.
Основной закон диффузии утверждает, что поток вещества р, т. е. масса вещества, проходящая за единицу времени через единицу площади, должен быть прямо пропорционален отрицательному градиенту концентрации:
de rdx
Коэффициент пропорциональности D носит название коэффициента диффузии. Написанный закон оправдывается тем, что коэффициент диффузии в ши
роких пределах является константой вещества и среды.
Концентрация и поток массы должны измеряться в соответствующих единицах. Если концентрация измеряется в граммах на см3, то поток должен измеряться в граммах через см2 в 1 с. Отсюда видно, что коэффициент диффузии должен иметь вполне определенную размерность, в системе СГС он будет измеряться в см2/с.
ц — —Dц — —Dс2 ciх^ — %!с2 ciх^ — %!Падение концентрации происходит обычно по провисающей кривой, показанной на рис. 88. Если нас интересует участок, на котором падение концентрации можно представить прямой линией, то
ц — —D
ц — —D
с2 ci
х^ — %!
с2 ci
х^ — %!
где Сг и с2— значения концентраций в точках хг и х2.
Коэффициенты диффузии колеблются в широких пределах. Вот примеры: 1) Для газов при температурах 0—15°C:
водород—> кислород,D = 0,778 см2/с;
воздух —^ кислород,£> = 0,178 см3/с;
воздух —> сероуглерод, D = 0,099 см2/с.
Для растворов медного купороса, диффундирующих в чистую воду (концентрации с — в грамм-эквивалентах на литр):
сD, см2/сут
0,10,39
0,50,29
0,950,23
Теплопроводность и вязкость
Весьма схожие рассуждения мы можем провести для процесса выравнивания температуры. Если температура тела в разных точках разная, то энтропия не максимальна. Чтобы установилось равновесие, средние скорости молекул, а значит, и температуры, должны выравняться.
Если в двух соседних точках температуры Т и ТА-ДТ, а точки эти находятся на расстоянии dx, то отношение ^ будет характеризовать быстроту падения температуры. Оно носит название градиента температуры.
При выравнивании температур участки тела с большей энергией уменьшают ее, участки тела с меньшей энергией получают тепло от более богатых участков. В каком-то условном смысле тепло «перетекает» из одного участка в другой. Количество тепла, переходящее из одного участка тепла в другой через площадку раздела размером в единицу площади за единицу времени, носит название теплового потока q. Так же как и в явлениях диффузии, можно положить, что тепловой поток пропорционален отрицательному градиенту температуры. Чем больше перепад температуры, тем быстрее идет тепло. Формула
dTdx
оправдывается и здесь тем, что коэффициент пропорциональности х, который носит название коэффициента теплопроводности, является константой вещества и не зависит от величины протекающих тепловых потоков. При линейном падении температуры формула упрощается и принимает вид
q = —х —- .
х^ — хх
Нетрудно найти размерность коэффициента теплопроводности. В системе СГС этот коэффициент будет измеряться в кал/(см-с-К). Из формулы, определяющей смысл х, ясно, что х есть тепловой поток, проходящий через площадку в 1 см2 за 1 с при падении температуры 1К на длине 1 см.
Значения коэффициента теплопроводности, так же как и коэффициента диффузии, колеблются в широких пределах.
Вот примеры:
Твердые тела (0—18°С): пробка 0,00012, дерево 0,0008, кварц плавленый 0,0033, серебро 1,06 кал/(см-с-К).
Жидкости: сероуглерод (14°C) 2- 10-4, серная кислота 30%(32°С) 62,4-10~4, ртуть (0°С) 0,2 кал/(см-с-К).
Газы (0°С): углекислота 3,4- 10~5, воздух 5,7-10-5, водород 40,6-10~5 кал/(см- с- К).
Третье явление того же класса состоит в выравнивании скоростей. Если газ или жидкость движутся в каком-то направлении так, что разные их слои перемещаются с разными скоростями, то*такое
движение является неустойчивым. Рано или поздно скорости движения должны выравняться: медленные слои убыстрятся, а быстрые замедлятся. Это явление называют также внутренним трением, или вязкостью. Оно присуще всем телам, кроме гелия II (см. стр. 600).
Рассмотрим жидкость или газ, движущийся в направлении оси х. Пусть слои жидкости движутся с разной скоростью. На оси у, перпендикулярной к направлению потока жидкости или газа, возьмем две близкие точки, находящиеся на расстоянии dy. Скорости потока отличаются в этих двух точках на du. Отношение ^ есть
Jdy
градиент скорости потока и характеризует быстроту изменения скорости потока по мере отдаления от поверхности жидкости. Для наглядности мы можем предположить, что речь идет о быстрой речке, где скорости потоков на поверхности максимальны и постепенно убывают ко дну реки.
Если в какой-то момент времени устранить причины, создающие движение жидкости, то скорости движения различных слоев начнут выравниваться в соответствии с законом возрастания энтропии. Чтобы такое выравнивание было возможным, необходимо существование силы внутреннего трения, действующей между слоями жидкости или газа. Величина этой силы, отнесенной к единице площади слоя, полагается пропорциональной градиенту скорости, т. е.
Здесь т] есть коэффициент вязкости (или внутреннего трения). Его размерность в системе СГС—г/(см*с). Такая единица носит название пауза (П). В системе СИ — Н-с/м2=10 П.
Вязкость различных тел колеблется в еще более широких пределах, чем два аналогичных коэффициента, рассмотренных выше. Вот примеры:
Твердые тела: стекло (710°С) 4,5-1010, стекло (420°С) 4*1016, свинец (9°С) 4,7-1014, лед (—14°С) 8,5-1012 П.
Жидкости: эфир этиловый (25°C) 0,0022, вода (20°С) 0,01, глицерин (0,8% воды, 18°С) 13,93 П.
Газы: водород (0°С) 8,49* 10~5, воздух (0°С) 17,19*10~5П.
Любопытно отметить, что водород имеет вдвое меньшую вязкость и в семь раз большую теплопроводность, чем воздух. Этим объясняется использование водорода для охлаждения мощных турбогенераторов.
Быстрота выравнивания
Хорошо известно, что установление равновесия может происходить в самые различные сроки. Температура брошенного в воду раскаленного куска железа и температура воды уравняются очень быстро. Напротив, температуры воздуха и нагретого кирпича уравниваются медленно. В течение мгновенйй продиффундирует азот в кислороде, многими днями длится выравнивание концентраций раствора медного купороса. Также и выравнивание скоростей может
происходить в резко отличные времена, смотря по тому, идет ли речь о газе или о вязкой жидкости.
Универсального ответа (общей формулы) в отношении времен выравнивания дать нельзя, так как геометрия опыта сказывается на этих временах. Остывающее тело может иметь форму цилиндра или пластинки; диффундирующий газ в начальный момент может находиться внутри маленького сферического объема или может быть распределен вдоль какой-нибудь поверхности; внутреннее трение может наблюдаться в трубах разного сечения или в открытых водоемах. Подобные обстоятельства должны каждый раз учитываться особо, и расчет точных значений времен выравнивания является трудной математической задачей. Однако можно отвлечься от геометрических частностей и постараться решить вопрос в общей форме, если отказаться от цели получить точную формулу и удовлетвориться нахождением лишь пропорциональностей между физическими величинами. На этом пути физику помогают соображения о размерностях физических величин, которые должны быть связаны межд) собой.
Рассмотрим, например, явление диффузии. Ясно, что время выравнивания концентрации / зависит, прежде всего, от размеров об* ласти, в которой происходит диффузия (характерная длина L), и от свойств диффундирующих веществ (характеризуемых коэффи циентом диффузии/)). Уравнение диффузии имеет вид ц =— Напишем для него уравнение размерностей:
£27 L^J £4 •
L-L2
Видим, что Т = т. е. время выравнивания / = const *-р- и не зависит от концентрации.
Отсюда мы имеем право сделать такое заключение. Любое строгое решение задачи о времени выравнивания концентрации при диффузионных процессах всегда приведет нас к уравнению
t = const • -у , где const — постоянная безразмерная величина, зависящая от геометрических условий задачи. Величина L, от квадрата которой зависит скорость выравнивания концентрации, имеет смысл геометрического размера области, в которой происходит выравнивание. Зна чит, если концентрация в пределах одного сантиметра выравнивается, скажем, за 10 с , то в пределах двух сантиметров она выравнивается за 40 с.
Таким же точно образом можно решить вопрос о выравнивании температуры. В основной закон этого явления входят количество тепла, коэффициент теплопроводности, температура и расстояние. Но приращение количества тепла в единице объема может быть представлено в виде
dq = рср dT;
Ср— удельная теплоемкость при постоянном давлении, р — плотность (таким образом, срр есть теплоемкость единицы объема). Поэтому между собой должны быть связаны следующие величины: температура, длина, время, плотность, теплоемкость и теплопроводность. Можно без труда проверить, что время t не может зависеть от температуры и выражается через остальные величины единственным образом:
L^^Cp
Значит, время выравнивания температуры выражается формулой
L2t = const,X
где через % мы обозначили комбинацию констант — . Величина х PCjO
носит название температуропроводности. Введение этого коэффициента вполне оправдано желанием сделать аналогичными формулы выравнивания концентрации и температуры. Коэффициенты диффузии и температуропроводности имеют одинаковую размерность и вполне аналогичны в рассмотренных двух явлениях выравнивания.
Мы видим, чем определяется остывание тела. Процесс идет тем медленнее, чем больше плотность и теплоемкость и чем меньше коэффициент теплопроводности.
Пример. Имеются два стержня одинаковых размеров из плавленого кварца и серебра. Для кварца х=0,0033 кал/(см- с- К), р=2,65 г/см3, ср=0,1844 кал/(г- К), т. е. х=0,676-10—2 см2/с. Для серебра х=1,06 кал/(см-с-К), р = 10,5 г/см3, ср= —0,0558 кал/(г- К), т. е. ^=1,71 см2/с. Это значит, что выравнивание температуры в серебряном стержне займет времени в 253 раза меньше, чем в кварцевом.
Как и для диффузии, для выравнивания температур характерна зависимость от квадрата расстояния: время выравнивания пропорционально квадрату линейного размера области.
Не повторяя аналогичных рассуждений, можно записать формулу для времени выравнивания скоростей движения частей жидкости или газа. Вполне естественно, что и ей может быть придан тот же вид:
t = const. V
Коэффициент v, определяющий быстроту выравнивания скоростей движения, равен ; он носит название кинетической вязкости.
Пример. Для водыт]=0,01 П, р=1 г/см3, т. е. v=0,01 см2/с; для глицерина Л=13,9 П, р= 1,25 г/см3, т. е. v=l 1,1 см2/с. Это значит, что если успокоение какого-либо возмущения в глицерине происходит за 0,1 с, то такое же возмущение в воде успокоится примерно за 2 мин.
Стационарные процессы
Если тело предоставлено самому себе, то различия в температурах, концентрациях и скоростях движения частей тела обязательно уравняются в соответствии с принципом возрастания энтропии. Однако вполне возможно и такое состояние тела, при котором длительное время в нем существует неизменный поток тепла или вещества или неизменное распределение скоростей движения частей тела друг по отношению к другу. Процессы такого рода носят название стационарных. Разумеется, при стационарном процессе тело не находится в состоянии равновесия.
При каких же условиях возможны подобные процессы? Представим себе металлический стержень, к которому с одного конца подводится в каждый момент времени некоторое количество тепла. Другой конец стержня находится в тепловом контакте с более холодным телом. Условия, при которых температуры вдоль стержня не будут изменяться, т. е. условия постоянства градиента температуры на всем пути теплового потока, будут выполнены в том случае, когда количество тепла, отнимаемого холодным телом, будет строго равно количеству тепла, подводимому за то же время более горячим телом. При аналогичных условиях возможен и стационарный диффузионный процесс. Для его создания необходимо в одном месте подводить, а в другом уводить из тела равные количества вещества, поддерживая, таким образом, неизменной определенную разность концентраций между двумя участками тела.
Стационарный вязкостный процесс может быть осуществлен, например, в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися с разными скоростями. Так как у твердых поверхностей жидкость или газ будут иметь скорость, совпадающую с движением твердой стенки, то внутри жидкости создастся постоянный перепад скоростей.
Стационарный процесс возникает не сразу. В течение какого-то времени происходит установление этого процесса.
Представим себе, что стержень, по которому передается тепло, погружен одним концом в снег. В начальный момент времени температура стержня во всех его точках равна нулю. Если теперь привести другой конец стержня в тепловой контакт с кипящей водой, то температура начнет повышаться во всех точках стержня, причем, разумеется, не одинаково быстро. Почти сразу установится высокая температура на конце стержня, приведенном в контакт с кипящей водой. Медленнее всего будет расти температура на конце стержня, погруженном в снег. Через некоторое время рост температуры во всех точках стержня прекратится, установится вполне определенное распределение температуры — процесс станет стационарным. Характер распределения температур зависит от того, сколько теп* ла подводится (отводится) в единицу времени.
В электрическом утюге, нагреваемом спиралью, центральная часть находится при самой высокой температуре, далее температура
7 А. И. Китайгородский 193
постепенна падает к наружным краям. В окружающей среде, конечно, наиболее горячим является воздух, примыкающий к утюгу. Далее температура спадает более быстро в силу малой теплопроводности воздуха.
Для грубых расчетов и при малом размере тела, находящегося в воздухе или жидкости, можно не рассматривать кривой падения температуры, а говорить о разнице между температурой тела и среды, Т—Тй. Тепловой поток, передаваемый телом в среду за единицу времени, можно в этом случае полагать пропорциональным этой разности температур:
д = к^Т—Т0У
Коэффициент к * называется коэффициентом теплоотдачи. Это важная для техники величина. Ее значения и вычисления, с ней связанные, обсуждаются в курсе теплотехники.
Обозначим через Р мощность, подводимую к телу, например электрическую мощность в случае утюга. Условие стационарности процесса требует равенства
Р-ЦТ-Т0).
Здесь Т — температура тела, которая установилась в этом стацио- Р
парном процессе, Т = Т0 + -£. Она может существенно меняться в зависимости от подводимой мощности и от условий теплообмена.
Здесь уместно сделать замечание о температуре, которую показывает термометр, выставленный «на солнце». Термометр участвует в стационарном процессе передачи солнечного тепла окружающему воздуху. В зависимости от значения коэффициента теплоотдачи термометр, лежащий под солнечными лучами, может показать в полном смысле слова все, что угодно. Измеренная при таких условиях температура есть температура термометра и ни в какой степени не характеризует погоду.
Мы не будем рассматривать аналогичные проблемы в отношении диффузии.
Движение в вязкой среде
Соображения, касающиеся размерности физических величин, помогают в решении задач огромной практической важности, например задачи о стационарном обтекании жидкостью или газом препятствия, или, что то же самое, о движении тела в среде.
Наиболее важной проблемой является вопрос о силе сопротивления, испытываемой телом при движении в среде. Эта сила сопротивления может зависеть от размеров тела L, скорости движения тела и и свойств жидкости (или газа), а именно, его плотности р и вязкости т). Другие величины не должны играть роли в этом процессе.
Подберем сначала безразмерную величину, составленную из L, и, р и т]. Мы вспоминаем, что кинематическая- вязкость v ^ rj/p 194
имеет размерность кгТ~х, но такую же размерность имеет произведение Lu. Следовательно,
ре pLu Lu
есть безразмерная величина. Она обозначается как указано и называется числом Рейнольдса. Можно убедиться, что Re есть единственная безразмерная комбинация указанных величин. Другие безразмерные величины могут быть лишь функциями числа Рейнольдса, /(Re). Если движения разных тел в разных жидкостях приводят к одному и тому же значению Re, то такие движения называют подобными. Существует большая техническая дисциплина — теория подобия, в которой выводы об особенностях явления делаются на основании наблюдения подобного явления, осуществленного на модели.
Вернемся теперь к поставленной задаче: отыскать выражение силы сопротивления, испытываемой телом, движущимся в среде.
Размерность силы есть MLT-2. Выразим ее через размерность тех величин, которыми мы оперируем, так как больше она ни от чего не может зависеть. Тогда
mlt-^VpVW4lY№
т. е.
MLT-^MaL-3ayT^UM^L^T-ae
Значит,
а + 6=1, —За + P + Y— 8=1, —Р— 6 = —2.
Выражая а, Р, у через 6, получим
а=1 — 8, Р-2 —6, 7 = 2 — 6.
Таким образом, в наиболее общем случае сила F может быть представлена в виде суммы слагаемых, каждое из которых имеет найденную размерность, т. е.
F = А [р1-8^-^-^8] = ри2РЛ [^) ~6],
где А — числовые коэффициенты. Итак, доказано, что сила должна выражаться формулой
F = const • pu2L2f (Re).
Этот результат получен только из соображений о размерности! Функция /(Re) нам неизвестна и должна быть найдена на опыте.
Из простых соображений мы можем получить окончательные формулы для граничных случаев. Если скорость мала, то F должна быть пропорциональна первой степени скорости и. Для этого /(Re) должна равняться 1/Re и, следовательно,
7*7*F = const • x\uL,
7*
7*
>95
Числовое значение константы зависит от формы тела. Для шарика
г — радиус шарика). Последняя формула носит имя Стокса.
Пример. Ртутный шарик (г=0,53 мм), опускаясь в глицерине со скоростью 0,6 см/с, испытывает силу трения около 8 дин.
В случае очень больших скоростей движение жидкости по отношению к телу перестает быть стационарным. Получается вихревое, или турбулентное, движение. Тело может двигаться стационарно, а частицы жидкости движутся более или менее случайным образом. Благодаря интенсивному перемешиванию передача движения от сЛоя к слою перестает зависеть от вязкости. Это может быть лишь в том случае, если / (Re) стремится к пределу при возрастании скорости. Поэтому при больших скоростях движения сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости:
F = const vu?D.
Коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводностидля газов
Процессы становления равновесия в газах тесно связаны с характеристиками, обсужденными в предыдущем параграфе. Выравнивание температур, концентраций или скоростей одних частей газа по отношению к другим происходит благодаря перемешиванию молекул. Быстрота этого перемешивания определяется ролью столкновений между молекулами. При большом времени свободного пробега, например, произойдет следующее: быстрые молекулы за малое время проникнут в области, где находились медленные; молекулы примеси быстро распространятся в основном газе/
Весьма естественным является утверждение, что время выравнивания во всех трех процессах должно быть по порядку близко ко времени свободного пробега молекулы. На частных примерах это можно подтвердить теоретическими расчетами, на чем мы останавливаться не будем..
Из равенства: время выравнивания т=//и мы опустим безразмерный коэффициент пропорциональности, обычно равный единице по порядку величины, и получим на основании § 81 совершенно тождественные выражения для коэффициентов диффузии *), кинематической вязкости и температуропроводности (полагаем L^ty.
Следующая табличка показывает, насколько хорошо выполняется это предсказание:
для воздухадля водорода
v = 0,13v = 0,94
Х = 0,18х=1,3
у/= 0,27v/ = 1,9.
Результаты надо считать хорошими. Совпадение по порядку величины нельзя рассматривать как случайность, если вспомнить, в сколь широких пределах меняются величины, о которых идет речь.
Зная выражение коэффициента теплопроводности через температуропроводность, мы получим:
тср-и
где т — масса молекулы.
В этой формуле сократилось п — число молекул в единице объема. Отсюда следует, что теплопроводность газа не будет зависеть от его плотности, а значит, и от давления. Надо обратить внимание на этот неожиданный, но тем не менее вполне верный вывод. Увеличение плотности газа не ведет к увеличению теплопроводности.
Рассматривая формулу для коэффициента теплопроводности, можно сделать еще одно предсказание. Так как эффективный поперечник мало зависит от температуры (вообще говоря, о немного уменьшается с повышением температуры), так же как и теплоемкость, а тепловая скорость пропорциональна VТ, то и коэффициент теплопроводности должен быть пропорциональным корню квадратному из температуры.
Приводимые ниже числа дают представление о точности выполнения обоих этих предсказаний.
Например, для азота взятого при О °C, 325 °C и 500 °C,
Хз^/.Х! = 1,93:1,65:1,
/7\УЛ:КЛ= 1-68:1,48:1.
Теплопроводность растет с температурой несколько быстрее, чем пропорционально К Т, за счет изменений поперечника и теплоемкости. Что касается независимости от давления, то, как мы только что видели, она имеет место в очень широком интервале давлений.
Так же точно не зависит от давления и плотности газа его динамическая вязкость т] ~ pv/. Температурное поведение вязкости идеального газа должно совпадать с поведением теплопроводности — та же пропорциональность. Числовые примеры помогут запомнить сказанное.
Для азота (Л-273 К, Т2-289 К, Л=296 К)
Пз'-П/П^ 1,06:1,04:1,
УТ8 Ут, :/7\ = 1,04:1,03:1.
Разительным является постоянство вязкости газа(СО2}: при изменении давления в 380 раз, от 2 до 760 мм ртутного столба, вязкость фактически нс меняется, оставаясь все время равной 14,8-10-5 П с точностью до единицы в третьем знаке.
Ультраразреженные газы
Так называются газы, у которых длина свободного пробега больше линейных размеров сосуда. При нормальных условиях длина- свободного пробега есть величина порядка 10"5 см. Свободный пробег обратно пропорционален плотности. Следовательно, при давлении порядка 10"4 мм ртутного столба длина свободного пробега будет измеряться десятками сантиметров. Для сосуда размером около 10 см при таком давлении мы получим вакуум или ультрараз- реженный газ.
Следует обратить внимание, что и в вакууме плотность молекул измеряется огромными числами. При указанном выше давлении в 1 см3 газа содержатся тысячи миллиардов молекул.
Молекулы, переставшие сталкиваться друг с другом и соударяющиеся только со стенками сосуда, вносят специфические особенности в поведение такого газа. Теряет смысл ряд понятий. Уже нельзя говорить о внутреннем трении молекул газа, так как в газе не могут возникнуть слои молекул, обменивающиеся скоростями. Нельзя говорить о давлении одной части газа на другую (в то же время понятие давления газа о стенки сосуда сохраняет свой смысл). Также теряет смысл понятие теплообмена между частями газа и вообще все понятия, связанные со взаимодействием частей газа. Ультраразреженный газ взаимодействует лишь с помещенными внутрь него телами. '
Специфику вакуума как особого физического состояния газа будет полезно проиллюстрировать примерами.
. Как записать выражение для потока тепла, переносимого с одной пластины на другую, если эти пластины имеют разные температуры 7\ и Т*2 и находятся в вакууме? Сущность теплообмена в этом случае состоит в том, что молекулы газа, ударяясь о стенку, отскакивают от нее со средней скоростью, соответствующей температуре этой стенки. Что же касается выражения для потока тепла, то, вглядываясь в знакомую нам формулу
7i—Т2 iTx — T^q = M —2 = рСи/ ,
мы видим, что изменение заключается в том, что роль длины свободного пробега теперь играет расстояние между стенками L. Поэтому выражение для теплового потока должно принять для ультраразреженных газов следующую форму:
<7 = рсу(Л—Л)-
При дальнейшем разрежении ультраразреженных газов тепловой поток в соответствии с этой формулой должен убывать, после того
как длина свободного пробега сравнивается с линейными размерами сосуда. Это и наблюдается на опыте.
Также своеобразны для ультраразреженного газа условия равновесия газа в двух сообщающихся сосудах разной температуры. В случае обычного газа давления газов в обоих сосудах одинаковы при разных температурах; напротив, плотности газов различны, а именно, обратно пропорциональны температурам. Равенство давлений необходимо для равновесия, так как иначе посредством соударений молекул один газ выталкивает из сосуда другой.
Совсем иначе обстоит дело в случае вакуума. Соударений между молекулами нет, поэтому поток молекул из одной части сосуда в другую не затруднен. Условие равновесия будет заключаться в равенстве потоков молекул. Если в единице объема п частиц и частицы движутся со скоростью v, то за единицу времени через единицу площади пройдет пи молекул. Значит, при равновесии пгиг = ^п^^. Так как число молекул в единице объема пропорционально частному от деления давления на температуру (это следует из уравнения состояния идеального газа) и так как скорость молекул пропорциональна корню квадратному из температуры, то условие равновесия примет вид
Р1 Рз~ Ут; *
Таким образом, равны друг другу не давления, а отношения давлений к корню квадратному из температур. Если увеличивать плотность газа, то давления начнут постепенно выравниваться, и мы придем к обычному равновесию тогда, когда длина пробега станет достаточно малой.
ЧАСТЬ II
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
ГЛАВА 14
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Векторные характеристики электрического поля:напряженность и смещение
О наличии в пространстве электрического поля узнают по многим признакам. В первую очередь к ним относятся свойство электрического поля создавать силу, действующую на электрические заряды, и свойство индуцировать электрические заряды на поверхности нейтрального металлического тела.
Измерение силы, действующей на ^аряд q, приводит нас к выводу, что сила F может иметь разные величины и направления в разных точках пространства, а в данной точке пропорциональна заряду q. Отсюда вытекает возможность характеризовать электрическое поле его напряженностью Е, определяемой как
При этом надо оговорить, что q мало; тогда, во-первых, можно измерять Е в достаточно близких друг к другу точках пространства и, во-вторых, собственное поле заряда q не искажает заметным образом измеряемое поле.
Поле любого вектора зачастую характеризуют так называемыми векторными линиями. Касательная к каждой точке векторной линии совпадает с направлением вектора в этой точке. Это относится и к электрическому полю, которое можно характеризовать линиями вектора электрической напряженности Е.
Числовые примеры. 1. Напряженность электрического поля осветительной проводки — десятки вольт на сантиметр.
Напряженность электрического поля Земли вблизи поверхности составляет — 100 В/м=1/300 ед. СГС.
Напряженность электрического поля ядра атома водорода на расстоянии, соответствующем радиусу «орбиты» электрона, 19,2-106 ед. СГС=57,6-1010 В/м.
Напряженность электрического поля, при которой происходит пробой воздуха, 30 к В/см=100 ед. СГС.
Опыт по определению индуцируемых полем зарядов можно произвести при помощи двух маленьких металлических пластинок, ук200
репленных на изолирующей ручке (пластинки Ми, по имени немецкого физика Г. Ми) (рис. 89). Помещая в поле сомкнутую пару пластинок, а затем осторожно разведя их, можно собрать на одной пластинке положительный, а на другой — отрицательный заряд и далее измерить индуцированное количество электричества электрометром или баллистическим гальванометром.
Рис. 89.Рис. 89.
Рис. 89.
Рис. 89.
Опыт показывает, что всегда можно найти такое положение площадки, при котором электричество на ней индуцироваться не будет. В однородных изотропных телах (а мы пока что не будем рассматривать других) это имеет место при расположении площадки параллельно вектору Е. Напротив, электрическая индукция максимальна, если площадка расположена перпендикулярно к вектору Е. Отсюда следует возможность введения еще одного вектора для описания электрического поля, а именно, вектора электрического смещения ®, который определяется следующим условием. Вектор ® направлен по нормали к пластинкам Ми, когда они расположены оптимально по отношению к индукции, т. е. на них индуцируется максимальный заряд. Если смотреть против вектора ®, то мы должны видеть положительную пластинку Ми. Во всех случаях, за исключением анизотропных тел, векторы ® и Е совпадают по направлению. По абсолютной величине
где а — поверхностная плотность заряда, расположенного на пластинке Ми. Так как поверхностную плотность о можно записать как dg
dS^ ’ то
dqdS".
Мы сказали выше, что электрическое поле можно характеризовать линиями вектора Е. Разумеется, можно описать поле и линиями вектора ®. Линии вектора Ф названы электрическими силовыми
линиями. Принимают, что число силовых линий, проходящих через единицу площади, перпендикулярной к силовым линиям, равно |® |=5), а величину, равную
dN^^dS^
называют электрическим потоком через площадку dS^. Если наклонная площадка dS пронизывается тем же электрическим потоком, что и dS^, то
dS =——,cos а
где ос — угол между нормалью к площадке и силовыми линиями, т. е.
dN = 5) cos adS.
Поток через большую поверхность запишется в виде
N = ^ 5) cos сс dS,
а поток через замкнутую поверхность принято отмечать кружком на знаке интеграла:
N = £ 5) cos a dS.
Диэлектрическая проницаемость
Как показывает опыт, между двумя векторами, характеризующими электрическое поле, существует связь. Для случая, когда векторы поля параллельны друг другу, они и пропорциональны друг другу в данной точке пространства ). Изменение вектора Е влечет за собой пропорциональное изменение вектора ®. Отношение £>/Е зависит только от среды.
Принято характеризовать электрические свойства среды безразмерной величиной е, выбранной так, чтобы для вакуума е^1. Как будет видно несколько ниже, это условие вызвано тем, что не могут существовать тела с е<1. Поэтому вакуум является естественным «началом отсчета» для е. Величина е, называемая диэлектрической проницаемостью, определяется равенством
где е0 зависит от выбора единиц. Если состояние среды одинаково во всех точках, то и е является константой. На границе двух сред е меняется скачком. Тела, неоднородные по плотности и другим свойствам, обычно неоднородны и по отношению к диэлектрической проницаемости.
Диэлектрические проницаемости некоторых веществ при 18 °C: для воздуха е=1,00059, для стекла 7,00, для бумаги 2—2,5, для воды 80,5.
В системе СИ измеряют величину 5) в кулонах на 1 м3 (Кл/м2), а напряженность поля — в ньютонах на кулон (Н/Кл). Тогда е0 будет измеряться в Кл2/(м2-Н). В этих единицах
IO-9
бо = ^- Кл3/(м2.Н).
В системе СГС е0 не имеет размерности и кладется равным 1/(4л):
Вместо смещения пользуются также в 4л раз большей величиной D, называемой индукцией; в абсолютной системе D=eE.
Оба выбора значения е0 имеют свои относительные достоинства, что будет видно ниже. Первая система упрощает одну группу формул, но усложняет другую; вторая система приводит к обратному результату.
Следует подчеркнуть, что понятия смещения и индукции имеют совершенно одинаковое физическое содержание. Различие в числовом множителе сводится лишь к различию связей между единицей индукции (смещения) и единицей плотности заряда.
Электрическое смещение равно (см. стр. 201) единице, если плотность заряда на пластинках Ми равна единице. Электрическая индукция равна единице, если плотность заряда на пластинках Ми равна 1/(4л).
В электротехнике пользуются, как правило, только величиной 5), т. е. смещением; напротив, в физике используется исключительно электрическая индукция D.
Необходимо сделать несколько замечаний о формулах и единицах измерения, которыми мы будем пользоваться в этой части книги.
В механике и термодинамике хотя и пользуются различным выбором основных физических величин и разными единицами измерения, все же единодушно полагают одни и те же коэффициенты пропорциональности равными безразмерной единице. Все формулы этих глав физики имеют поэтому одинаковый вид вне зависимости от выбора системы единиц.
К сожалению, иначе обстоит дело в учении об электромагнитном поле. Существуют два общепринятых подхода: один принят в электротехнике, другой — в физике. В этих двух подходах не только является различным выбор основных величин и единиц измерения, но оказываются отличными коэффициенты пропорциональности в одних и тех же физических формулах. Поневоле приходится знакомиться с обеими системами построения формул.
Это будет сделано в ходе изложения. Здесь нам достаточно ограничиться несколькими общими замечаниями.
В электротехнике принята так называемая система СИ. К метру, килограмму и секунде добавляется еще выбор единицы силы тока. При этом силой тока в 1 А называется такая сила тока, при которой коэффициент пропорциональности ц (магнитная проницаемость вакуума), фигурирующий в формулах электродинамического взаимодействия (см. стр. 244), имеет значение
ро = 4л.1О-7 Дж/(А2 м).
Такой выбор единицы силы тока, как показывает эксперимент, сводится к тому, что при протекании тока силой 1 А по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 метра один от другого в вакууме, между этими проводниками возникает сила, равная 2-10-7 ньютона на каждый метр длины. Причины, этого выбора, который может показаться странным, мы освещать не будем; при желанйи познакомиться с этим вопросом подробнее см. Сена Л. А., Единицы физических величин и их размерности, «Наука», 1969.
Все остальные единицы измерения в системе СИ могут быть выражены через килограмм, метр, секунду и ампер.
Поскольку в электротехнике система единиц измерения строится на четырех основных величинах, то она уже никак не может привести к той же системе формул, что и система СГС, которая строится на трех основных единицах. Однако имеются и другие отличия в этих двух системах, выражающиеся в различном выборе числовых безразмерных коэффициентов. В процессе изложения материала мы будем иногда приводить запись формул в обеих системах, а в конце книги, в приложении, помещаем список формул, рассмотренных в книге, записанных в обеих системах с указанием единиц измерения.
Законы электрического поля
Представим себе систему электрически заряженных тел, создающих произвольное поле. Проведем в этом поле замкнутую поверхность. Часть зарядов попадает внутрь поверхности, часть остается вне ее. Можно измерить электрический поток, выходящий за пределы этой поверхности. Результат будет крайне прост и естествен. Суммарный электрический заряд, индуцированный на поверхности (а это и есть по определению поток N = ^Ф cos^dS), будет равен суммарному электрическому заряду, находящемуся внутри объема, охватываемого этой поверхностью:
cos a dS = qt.
Эта теорема, носящая имена Гаусса и Остроградского, показывает, что электрические линии (линии ®) начинаются в зарядах одного знака и заканчиваются в зарядах обратного знака/Не существует оборванных силовых линий.
В постоянном электрическом поле не существует замкнутых на себя линий электрической напряженности). Это следует из другого закона для электрических полей, который говорит: электрическое поле (точнее, поле вектора напряженности £) является полем потенциальным. Работа, совершаемая при перенесении заряда вдоль замкнутого контура, будет равняться нулю в таком поле (значит, замкнутых линий вектора Е нет); работа перенесения заряда из одной точки в другую будет зависеть только от расположения этих точек и не меняется при изменении формы пути. В этом отношении свойства электрического поля совпадают со свойствами поля тяготения.
Выберем в электрическом поле какую-либо точку за начальную и будем вести от нее отсчет потенциальной энергии. На перемещение заряда из начальной точки в данную точку пространства при любой форме пути понадобится всегда одна и та же работа А. Поэтому, находясь в какой-либо точке пространства, заряд обладает потенциальной энергией (7, численно равной затраченной работе А.
Аналогично тому, как потенциальная энергия тяготения пропорциональна массе тела, потенциальная энергия электрического поля пропорциональна заряду:
U = <pq.
Величина y=U'q, т. е. потенциальная энергия, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку пространства, носит название электрического потенциала поля, или просто потенциала.
Из определения потенциала следует выражение для работы, совершаемой при переносе заряда из одной точки поля в другую. Так как работа равна изменению энергии, dA =—dU, то
dA = F dl = qEdl = —q d^, t. e.
Edl = —d^
где dtp — изменение потенциала.
Для конечного участка пути
2
Edi = срг—ср2;
1
разность потенциалов *) равна работе, затрачиваемой на перемещение единичного заряда.
Если заряд движется вдоль силовой линии, то знак вектора можно опустить. Тогда
^Е<И = ^—^г.
1
Наконец, в однородном поле формула упростится к виду
рФ1 Фг
где d — расстояние между точками 1 и 2.
Формулы, связывающие Е и ф, пишутся без каких бы то ни было коэффициентов пропорциональности. Они имеют одинаковый вид во всех системах единиц.
*) В переменном поле написанное равенство не имеет места. Чтобы не было 2
путаницы, целесообразно ввести для ^Е dl особый термин: его называют электри- 1
ческам напряжением между точками 1 и 2. Для постоянных полей напряжение и разность потенциалов совпадают.
Примеры. 1, Пусть плоские электроды с площадью S=10 см2 находятся в воздухе на расстоянии 5 мм и разность потенциалов между ними равна 5000 В. Напряженность созданного электрического поля будет Е— 10б В/м=33 ед. СГС. Электрическое смещение в поле этого конденсатора ^=е0Е"9*10"6 Кл/м2. Это значит, что плотность заряда на пластинах конденсатора а=9*10"6 Кл/м2= =2,7 ед. СГС. Электрический поток через всю плоскость электрода N=2)S— =9-10“9 Кл. Заряд одной пластины q—oS—9* 10**9 Кл. Очевидно, N=q> как это и следует из теоремы Гаусса — Остроградского.
Электрическое смещение поля Земли вблизи ее поверхности 2)^9X X Ю"10 Кл/м2. Поверхность Земли 5^5-1014 м2, поверхностная плотность заряда о— 9-10"10 Кл/м2. Отсюда заряд Земли ^—4,5- 10б Кл. Электрический поток, пронизывающий поверхность Земли, 4,5-106 Кл.
§ 89. Вычисление полей простейших систем
Законы электрического поля, изложенные в предыдущем параграфе, а также общие соображения о симметрии помогут нам вычислить поля некоторых несложных систем. Найти поле — это значит вычислить напряженность, индукцию или потенциал. Заметим, что знания потенциала вполне достаточно, чтобы характеризовать поле. Зная ф во всех точках пространства, можно найти значения вектора Е дифференцированием ф. Эта процедура станет особенно ясной, если построить поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности), удовлетворяющие уравнению ф(х, у, 2)=const. Так как работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю, то силовые линии идут вдоль нормалей к эквипотенциальным поверхностям. Значит, для нахождения числового значения |Е| надо продифференцировать ф(х, у, 2) в направлении нормали. Математические операции такого типа рассматриваются в векторном анализе. Однако такое дифференцирование легко произвести графически, если построить график, на котором значение ф будет отложено в функции координаты, отсчитываемой вдоль силовой линии. Тангенс угла наклона этой кривой даст значение Е с обратным знаком для любого места на силовой линии.
Имея в виду необходимость усвоения читателем новых понятий, мы на примерах проанализируем особенности как потенциала, так и векторных характеристик поля, хотя, повторяем, в принципе знание потенциала решает задачу.
Точечный заряд. Из соображений симметрии ясно, что поле уединенного точечного заряда должно быть радиальным сферически симметричным полем.
Проведем сферу с радиусом г. Поток смещения, исходящий из заряда q, будет равен
5) cos adS — q.
Угол а — это угол между силовыми линиями и поверхностью построенной сферы; он равен 90°. Во всех точках поверхности 2) имеет одно и то же значение и поэтому может быть вынесено за знак
интеграла. Тогдаинтеграла. Тогда^fdS = q,^fdS = q,
интеграла. Тогда
интеграла. Тогда
^fdS = q,
^fdS = q,
и так как ^ dS = 4лг2 (площадь сферы), то смещение в точке, расположенной на расстоянии г от заряда, равно ®=9/(4лг2), а индукция D^qlr1. *
Напряженность электрического поля
.4лЕ08Г2 *
Для данного случая более удобна система СГС, в которой е0=1/(4л). Тогда E=q!^r-^ или в случае вакуума
Г1
Так как напряженность поля равна производной от потенциала (с обратным знаком) вдоль силовой линии, т. е.
dr ’
то для потенциала точечного заряда получим выражение
Постоянную интегрирования положим равной нулю. Этим мы ввели начало отсчета потенциала: в бесконечности <р=0.
Итак, потенциал точечного заряда убывает обратно пропорционально первой степени расстояния, а напряженность — квадрату расстояния.
Если заряд находится в среде с диэлектрическим коэффициентом е, то напряженность и потенциал уменьшаются в е раз. .
Потенциал Земли 0,07 В. При этом за нуль принимается потенциал на бесконечности. В электротехнике потенциал Земли принимается равным нулю.
Система точечных зарядов. Рассмотрим приемы вычисления полей, создаваемых системами точечных зарядов. Положим е=1 и будем пользоваться абсолютной системой единиц. Тогда для потенциала системы зарядов можно написать:
где Гд— расстояния от зарядов до точки наблюдения.
Для двух одинаковых разноименных зарядов получим
а для одноименных
При помощи написанных формул может оказаться неудобным решать задачу. Часто приходится вводить декартову систему координат и выражать радиусы гк через х, у, г. Если зарядов два и находятся они на расстоянии 2а друг от друга, то начало координат
удобно выбрать в средней точке и ось х направить вдоль соединяющей линии. Тогда
Г1 = (х—аУ+у4 + ?2,Г2 = (х+а)2 + у2 + г2.
Также бывает удобно представить потенциал в функции полярных координат точки R и ф. Из рис. 90 видно, что
r^VR2 + a2— SaR cos ф, гг = У/?3 + аа + 2а7? cos ф.
Напряженность поля системы точечных зарядов дается векторным равенством
р „ <7 Г1 |7 Г2 I У Г3 1— У^ ^ Гк
Здесь ^— единичный вектор в направлении радиуса г^.
Картина силовых линий строится геометрическим сложением.
Универсальные формулы потенциала. Если поле создается не
точечными, а объемными и поверхностными зарядами, то потенциал поля может быть подсчитан, если только известно распределение за
ряда.
Разобьем области объемного заряда на бесконечно малые объемы du, а области поверхностного заряда — на бесконечно малые участки поверхности dS. Если р=^ — объемная, а ^^-^ — поверх
ностная плотность заряда, то потенциал, создаваемый объемом du,
равен —, а потенциал, создаваемый элементом поверхности dS, ра
о dS
вен . Складывая потенциалы, создаваемые всеми элементами, получим:
Радиус г проведен из точки наблюдения, а конец г пробегает все точки пространства, где сосредоточены заряды pdv и odS.
Эти формулы редко применяются, так как обычно распределение заряда, характеризуемое функциями плотности р и о, не задается, а, напротив, ищется.
Поле сферического конденсатора. Сфера с радиусом гА, заряженная количеством электричества +^, окружена концентрической сферической поверхностью с радиусом гв. Внешнюю сферу удобно представить себе заземленной. На ее внутренней стороне индуцируется заряд —q. Соображения симметрии определяют радиальный характер поля. Если построить мысленно сферу с радиусом г между сферами конденсатора и применить закон Гаусса — Остроградского, то результат не будет отличаться от полученного для точечного заряда:
г
Уравнение потенциала имеет вид
ф = ^_|_ const,
но в отличие от предыдущего константу уже не следует отбрасывать. Как известно, принято потенциал заземленных металлических частей считать равным нулю. Поэтому будет удобнее, если мы положим ф=0 не в бесконечности, а при г=гв. Тогда const =—.
Выражение потенциала в точках между сферами имеет вид
На поверхности внутренней сферы
Вспоминая, что отношение заряда к разности потенциалов на обкладках конденсатора называется его емкостью, получим для емкости сферического конденсатора выражение
Если наружная сфера отдаляется (rB~*oo)t то емкость становится равной
С —г.
Емкость уединенного шара измеряется величиной его радиуса.
Если между обкладками конденсатора находится диэлектрик с коэффициентом е, то напряженность Е и потенциал ф уменьшатся в
е раз.
Из формулы
С = ег.С = ег.
С = ег.
С = ег.
получим для емкости конденсатора:
С = е-^-^-гв—гд
для шара
Емкость конденсатора возрастает в е раз.
Формулы потенциала и поля, которыми мы сейчас оперируем, применимы для точек пространства между обкладками конденсатора.
Они не могут быть распространены на точки пространства, находящегося внутри первой оболочки или охватывающего обе, оболочки, так как закон Гаусса дает для этих точек другой результат.
Если заряд внутренней сферы сосредоточен на ее поверхности, то для точек внутри сферы
D cosadS = 0.
Так как подобное утверждение справедливо для любой поверхности, проходящей внутри сферы, то это возможно лишь в случае, если Ю=0, а значит, равна нулю и напряженность поля. Следовательно, закон Га
усса доказывает отсутствие поля внутри объема, или заряды расположены лишь на его поверхности. Что же касается потенциала ф, то при Е=0 он может равняться постоянной величине, равной значению ф на поверхности сферы. Кривые £ и ф в функции г, показанные на рис. 91, поясняют сказанное.
Примеры. 1. На расстоянии 1000 км от поверхности Земли напряженность /7400 V , ее электрического поля упадет в ( I =1,33 раза.
Емкость Земли С=6,4* Ю8 ед. СГС=700 мкФ.
Емкость конденсаторов, применяемых в радиотехнике, колеблется в широких пределах от долей пФ (1 пФ=10~12 Ф) до тысяч мкФ.
Поле равномерно заряженной сферы. Очевидно, что вне такой сферы поле такое же, как у точечного заряда или у сферы, заряженной на поверхности, т. е.
4 где г — расстояние от центра сферы, а ^ = улл3р (р — плотность заряда, а — радиус сферы).
Чтобы найти поле внутри сферы, проведем вспомогательную сферу с радиусом г<Са. Внутри такой сферы содержится количество электричества меньшее, чем q, а именно, равное 43 г3
*3 г о31
Согласно закону Гаусса т. е.
4ла3
Отсюда напряженность электрического поля
Е=2г4ле0еа3Е=2г4ле0еа3(СИ)(СИ)
Е=2г
4ле0еа3
Е=2г
4ле0еа3
(СИ)
(СИ)
92) и на поверхности шара92) и на поверхности шара
92) и на поверхности шара
92) и на поверхности шара
или
Е = ^г (СГС).
Обратим внимание на то, что поле равно нулю лишь в центре шара.
Далее поле линейно возрастает (рис. (г=а) становится равным ql^a1). Здесь совпадают результаты формул для внешнего и внутреннего пространства. Далее происходит спад поля по закону обратного квадрата. Потенциал вне такого шара может быть по-прежнему представлен как air. Значение ф внутри шара не представляет интереса, и мы его рассматривать не будем.
Поле с цилиндрической симметрией. Если поле создается равномерно
заряженной нитью или цилиндром, у которых на единицу длины приходится заряд q!l, то поля таких систем будут одинаковы (вне заряженных тел) и будут обладать
следующей особенностью: силовые линии идут под прямым углом к оси симметрии и поток одинаков в любом из радиальных направлений.
Для применения закона Гаусса около цилиндрического тела строится вспомогательная цилиндрическая поверхность с радиусом г и единичной высотой. Поток проходит только через боковые поверхности этого цилиндра. Поэтому ^S) cos a dS сводится к интегралу по боковой поверхности цилиндра и, опять-таки ввиду симметрии (cos а=1 и 5) одинаково во всех точках цилиндра),
®?8 = Т.
т. е.
z ,
Отсюда напряженность поля
(СИ)
2Л808Г Х 7 или
£ = М (СГС).
Поле цилиндра убывает обратно пропорционально первой степени расстояния. Эта формула одинаково пригодна для пространства около заряженной нити, внешнего пространства заряженного цилиндра и пространства между обкладками цилиндрического конденсатора.*
Так как dq>=—Е dr, то для потенциала получим
Ф = ^ -- In у + const.
Потенциал убывает много медленнее с изменением расстояния, нежели в случае сферических систем. Так, например, при увеличении расстояния г в 10 раз потенциал упадет уже не в 10, а в 2,3 раза.
Для конденсатора с радиусами цилиндров а и b получим
<р6-фо=|т- (1па-1пЬ) = || Inf.
Емкость такого конденсатора, отнесенная к единице длины, равна
°2 In (a/b) *
Пример. Коаксиальный кабель а=18 мм и 6=6 мм, заполненный изоляцией с диэлектрической проницаемостью 8=4,2; емкость на единицу длины будет С=1,91 ед. СГС/см=2,12 пФ/см.
Следует помнить, что все приведенные формулы не учитывают искажения поля на краях цилиндра и потому, строго говоря, отно- 212
сятся к бесконечным по длине цилиндрам. Практически приведенные формулы годятся, если объем пространства, занятого «искаженным» полем, существенно меньше объема неискаженного радиального поля.
Однородные поля, Однородные поля, т. е. поля, в которых силовые линии параллельны и расположены с равной плотностью, создаются бесконечно протяженными плоскостями. Разумеется, силовой поток перпендикулярен к такой плоскости. Величину поля доы найдем опять-таки с помощью закона Гаусса — Остроградского. Для этой цели построим вспомогательную поверхность в виде цилиндра, проходящего через заряженную плоскость. Если боковая поверхность цилиндра перпендикулярна к плоскости, то поток через нее сводится к потокам через два основания. Интеграл ^ © cos adS будет равен 2®S, где S — площадь основания. Заряд внутри цилиндра равен aS. Отсюда для смещения имеем формулу
& = —2 ‘
Напряженность электрического поля в системе СИ будет равна
= 2^-, а в систсмс СГС Е=—; напряженность не зависит от расстояния до источников поля. Рассмотрим теперь плоский конденсатор. В сферическом и цилиндрическом конденсаторе поле создается лишь внутренней заряженной поверхностью, а в плоском конденсаторе поле между его обкладками создается обеими поверхностями. Вне конденсатора поля не будет; в этом сохраняется аналогия с конденсаторами, рассмотренными выше. Между обкладками конденсатора ®=а, а напряженность равна
Е=^-а (СГС).
Чтобы записать выражение для потенциала однородного поля, будем откладывать расстояние х от одной из заряженных пластин в направлении силовой линии. Если эта пластина единственная, то 2л
потенциал запишется в виде ф =~ ox+const. Если же речь идет о конденсаторе, то выражение для потенциала между его обкладками будет иметь вид
Ф =— ^ ax + const.*
Отсюда разность потенциалов
Фа — Ф* = — а Ub — ^а) = — где d — расстояние между обкладками. Значит, емкость плоского конденсатора на единицу площади С = -^-(СГС), или С = ^(СИ).
Все эти формулы строго верны для бесконечно протяженных пластин. Практически мы можем ими пользоваться, если влияние краев конденсатора, на которых поле явно неоднородно, невелико. Определять поле в какой-либо точке по приведенным формулам можно лишь в том случае, если эта точка расположена достаточно далёко от краев. Точнее, это условие сводится к тому, чтобы поле, создаваемое элементарными зарядами, расположенными на краях пластин, было много меньше полей, создаваемых ближайшими к точке наблюдения местами пластин.
Вернемся к конденсатору, разобранному в примере на стр. 206. Удвоим расстояние между пластинами двумя способами.
Пластины остаются соединенными с источником напряжения (/=5 кВ. Тогда Ct=^= 1,8 пФ, <?!=(?! t/=9-10-9 Кл, ^ =-^-= 10» В/м, 2), = =9- 10-»=Кл^м\ ^=9-10-» Кл. 1
После удвоения расстояния между пластинами получим: С2—0,9 пФ, q^ =4,5-10™9 Кл, £2=0,5-106 В/м, $)2=4,5-10“6 Кл/м2, М2=4,5-10"9 Кл. Половина заряда ушла в источник.
Прежде чем удвоить расстояние, пластины отсоединяются от источника (заряд конденсатора ^=const). С2=0,9 пФ, ^=^=9-10~9 Кл, Л/2=-~—= 10 кВ,
Е^—-—™Е1) 5)2 = ®ь N2 = Nv Напряжение на пластинах удвоилось за счет работы внешних сил.
Поле на поверхности металла. Внутри металла электрическое поле отсутствует. Это следует из того, что все заряды проводника расположены на его поверхности. Согласно закону Гаусса поле будет направлено во внешнее пространство.
Поверхность металла обладает следующим очевидным свойством: она является эквипотенциальной поверхностью. Действительно, в обратном случае электрические заряды перемещались бы по поверхности проводника. Отсюда следует, что линии силового потока, выходящего с поверхности металла во внешнее пространство, должны образовывать в точках поверхности прямой угол с ней. Так как весь поток выходит из поверхности в одну сторону, то от единицы площади поверхности, согласно закону Гаусса, должно выходить ©=о линий. Иначе говоря, напряженность поля на поверхности проводника равна
Е=^- (СГС).
Электрическое изображение. Рассмотрим электрическое поле, которое возникнет, если около плоской металлической поверхности поместить точечный электрический заряд. Благодаря явлению электрической индукции на поверхности металла вблизи точечного источника соберется электрический заряд противоположного знака. Плотность этого заряда будет наибольшей в местах, наиболее близких к точечному источнику, вдали же от него * плотность индуцированного заряда будет спадать к нулю. Так же и электрическое поле будет сильнейшим в наиболее близких к заряженной точке 214
местах. Имеется возможность рассмотреть эту задачу и количественно. '
Так как поверхность проводника является поверхностью эквипотенциальной, можно, ничуть не уменьшая общности задачи, считать проводящую поверхность заземленной и, следовательно, потенциал металла равным нулю. Внутри металла поля нет, и нас интересует электрическое поле в правой части полупространства.Электрические свойства этого полупространства однозначно определены, если указано, какова величина заряда и на каком расстоянии от эквипотенциальной плоскости он находится. Важно следующее: нас совершенно не интересует, что находится слева от поверхности нулевого потенциала. Это обстоятельство строго доказывается в математической
физике — поле внутри какого-либо пространства определено однозначно, если заданы заряды внутри этого пространства и указаны граничные условия для потенциала.
Обращаясь к рис. 93, а, на котором изображено поле двух разноименных зарядов, и мысленно деля пространство, заполненное этим полем, на две симметричные части, мы видим, что полупространство этого рисунка в точности эквивалентно полупространству заряда около металла (рис. 93, б). Поля таких полупространств должны быть тождественными. Из этого рассуждения вытекает справедливость следующей процедуры. Мы «отражаем» электрический заряд в поверхности металла. В правой части пространства электрическое поле заряда и его «изображения» должны совпадать с искомым полем. Таким образом, искомое электрическое поле выражается формулой
где ri— расстояние точки наблюдения от заряда, а г2— от его изображения.-
Второй вывод, который мы делаем: электрический заряд притягивается к металлической поверхности с такой же силой, как и к своему электрическому изображению, т. е. с силой ^2/(4а2), где а — расстояние от заряда до поверхности.
Наконец, тот же подход к задаче позволяет найти распределение индуцированного электрического заряда на металлической поверхности. Для этого следует продифференцировать выражение для потенциала по направлению нормали к поверхности — это даст значение напряженности электрического поля; далее, согласно формуле последнего раздела надо умножить Е на е/(4л).
Метод электрических изображений имеет ряд применений и дает возможность решать задачи электростатики в случае систем, состоящих из неплоских металлических тел и расположенных вблизи них точечных заряДов.
§ 90. Электрическая энергия
Энергия конденсатора. В том, что заряженный электрический конденсатор обладает энергией, нетрудно убедиться. Несложно и измерить величину этой энергии. Для этого можно, например, разрядить конденсатор через проводник и измерить джоулево тепло, которое при этом выделяется. Чтобы выяснить, от каких факторов зависит электрическая энергия конденсатора, нам нет нужды обращаться к эксперименту. Формула электрической энергии конденсатора является следствием уже известных нам теоретических положений.
Рассмотрим конденсатор, одну из обкладок которого для удобства рассуждений будем считать заземленной. Процесс разрядки конденсатора (заземление второй обкладки), заряженного до разности потенциалов ср количеством электричества q, можно представить себе как последовательный уход элементарных зарядов dq под действием сил электрического поля в землю. Работа, совершаемая полем при таком элементарном акте, равняется ср dq. По мере разрядки работа на перенесение каждой последующей порции зарядов в землю будет становиться все меньше, так как разность потенциалов tp^q/C все время уменьшается. Полная работа, которая будет совершена полем при разрядке конденсатора, будет равна
о
Эту величину вполне уместно назвать электрической энергией конденсатора. Используя связь потенциала с зарядом, формуле энергии можно придать различный вид:
W = ^2 = ^^ — ^Ф2
эл — 2С 2 2 '
Отсюда видно, что при постоянной разности потенциалов электрическая энергия пропорциональна квадрату заряда. Постоянство разности потенциалов имеет место при подключении конденсатора к постоянному элементу. Если обкладки конденсатора изолированы, то заряд постоянен; в этом случае энергия пропорциональна квадрату потенциала и прямо пропорциональна емкости конденсатора.
Энергия поля, В случае бесконечного плоского конденсатора формула энергии может быть записана в виде ^эл — ^^ , ссли пользоваться системой СИ, или в виде №ятг = 4^т, если пользо- эл 8ла ’
ваться системой СГС. Нами написаны формулы для энергии, приходящейся на единицу площади плоского конденсатора.
Эти формулы можно преобразовать, вводя в них напряженность Е вместо разности потенциалов ф. Подставляя ^^Ed, получим
U^^d (СИ) или W3Jl^d (СГС).
Из вида формул следует, что на единицу объема приходится энер- ef2вЕ2
гия -g^ . Назовем w — плотностью электрической энергии.
Рассмотрим теперь произвольное электрическое поле. Построим мысленно эквипотенциальные поверхности и силовые линии и разобьем пространство на малые объемы do, Ограниченные двумя соседними эквипотенциальными поверхностями и боковой поверхностью, проходящей через силовые линии. Каждый из таких объемов не отличается от участка объема плоского конденсатора, ему принад- еЕ2
лежит электрическая энергия, равная dW = — du. Если это выражение проинтегрировать по всему пространству, занятому электрическим полем, то мы вправе ожидать, что полученная формула даст электрическую энергию той системы, которая ссздала поле.
Итак, формула электрической энергии имеет вид
№эл = t^dv-эл J 8л
Значение проведенных математических преобразований выходит за рамкц формального удобства пользования той или иной формулой. Новое выражение энергии позволяет говорить не об энергии системы, создающей поле, а об энергии самого электрического поля и приводит нас к мысли о реальности электрического поля. В рамках изучения постоянных полей эта идея не может быть ни подтверждена, ни опровергнута. Однако, переходя к переменным полям, мы находим прямые доказательства реальности электромагнитного поля (см. стр. 288), и тогда выведенная формула энергии поля (энергии электромагнитной материи) приобретает фундаментальное значение.
Пример. Продолжим пример, рассмотренный на стр. 214. До раздвижения пластин энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, была ^=22,5 X Х10“6 Дж, плотность энергии ЬУ1=4,5 Дж/м3. После раздвижения пластин первым способрм (напряжение t/=const) энергия станет 1Г2 — -тр — 1 1’25-10-6 Дж, а плотность энергии ^2=1’ 12 Дж/м3 (объем поля возрос вдвое). Энергия источника возрастет за счет работы внешних сил и убыли энергии поля. После раздвижения пластин вторым способом (^=const) энергия №2—2^=45-10*6 Дж, а плотность энергии не изменится, 1У2=4,5 Дж/м3.
Энергия взаимодействия. Если два разноименно заряженных тела притягиваются, то при этом силы электрического поля производят работу, разумеется, за счет энергии электрического поля: ДА — =—б/11?эл. Таким образом, в согласии со сказанным на стр. 45 работа электрических сил происходит за счет убыли потенциальной энергии q—. Эту энергию уместно назвать энергией взаимодействия зарядов.
В каком же соотношении находится эта формула и формула электрической энергии поля, которая была рассмотрена в предыдущем пункте? Нетрудно видеть, что энергия взаимодействия является частью электрической энергии поля изучаемых зарядов. Всматриваясь внимательно в формулу энергии поля, мы заметим, что электрическая энергия имеет определенное значение и тогда, когда в пространстве имеется один электрический заряд. Уместно назвать энергию поля, создаваемую одним заряженным телом, собственной энергией электрического заряда. Энергия электрического поля всегда может быть разложена на сумму собственных энергий электрических зарядов и сумму энергий взаимодействия этих зарядов.
Обозначим через Et, Е^ ... напряженности поля, создаваемого первым, вторым и т. д. зарядами. Полное поле будет равно в каждой точке пространства векторной сумме напряженностей: Е=Ег+ +£2+ ...
Плотность электрической энергии будет равна
Мы отчетливо видим указанный выше смысл происшедшего разбиения на слагаемые. Квадраты Е дают собственные энергии, а удвоенные произведения — энергии взаимодействия. Понятно, что энергия взаимодействия зарядов может быть и положительной, и отрицательной величиной; что же касается собственных энергий зарядов и полной энергии поля, то они являются положительными величинами.
Как правило, мы имеем дело с энергией взаимодействия’электрических зарядов. Поэтому с одинаковым успехом можно подсчитать работу электрических сил как результат убыли энергии взаимодействия или как результат уменьшения энергии поля. Нужно производить то вычисление, которое легче проделывается.
Радиус электрона и границы классической электродинамики
Подсчитаем собственную электрическую энергию сферического заряда, у которого электричество распределено на поверхности. Электрическое поле имеется в таком случае только вне заряда, и поэтому нам надо просуммировать энергию поля во внешнем по отношению к сфере пространстве. Напряженность поля заряда, если он расположен в вакууме, выражается формулой -^ , плотность энергии в любой точке пространства будет иметь вид-^ -—-. Разобьем мысленно все пространство на сферические слои. Внутри такого слоя, ограниченного радиусами/ и r+dr, будет заключена энергия -^--~-X (объем слоя). Так как объем слоя равен 4л/*^г, -то энергия в этом шаровом слое представится простым выражением Чтобы найти полную энергию поля, надо проинтегрировать это выражение в пределах от а (так мы обозначим радиус сферы) до бесконечности. Итак,
VV7 ^2 С ^Г 4“
2 J 2а *а
Такой вид имеет формула энергии шарика, заряженного электричеством.
Предоставляем читателю проверить, что для заряда, распределенного по всему объему шарика, мы получили бы почти такую же формулу энергии, отличающуюся лишь близким к единице числовым коэффициентом.
К каким результатам мы придем, если применим полученную формулу к элементарным частицам, например к электрону?
Согласно принципу относительности (см. стр. 384) внутренняя энергия тела с массой т выражается формулой тс2, где с — универсальная постоянная, равная скорости распространения электромагнитных волн в вакууме. Приравнивая два выражения энергии, мы получаем возможность вычислить радиус электрона:
. 2/ис3
Подстановка чисел *) в эту интересную формулу дает 1,4- 10“13см. Значительное число косвенных физических фактов указывает на то, что по порядку величины размер электрона определен этим вычислением вполне правильно.
Тем не менее представление об электроне как об «обычной» электрической частице явно несостоятельно. Ведь сразу же возникает вопрос о силах, удерживающих части электрона столь близко
друг от друга. Силы отталкивания электрических частиц, находящихся на расстоянии порядка 10“13 см, должны быть огромными.
Имеются и другие трудности у теории. Так, из теории относительности следует, что электрон должен быть математической точкой. В то же время электрическая энергия заряда, сосредоточенного в точке, должна быть бесконечно велика.
Это затруднение является типичным для так называемой классической физики, в основном созданной в XIX в. Классическая физика превосходно объясняет поведение макроскопических тел. Многим исследователям, работавшим на рубеже XIX и XX столетий, казалось, что здание классической физики настолько совершенно, что физика как наука близка к завершению. После того как были открыты элементарные частицы, возникло естественное стремление перенести законы, установленные для больших тел, на элементарные частицы. Тогда и начались «неудачи» классической физики. Сейчас мы знаем, что такое перенесение понятий, заимствованных из наблюдений над макромиром, на атомы, ядра и электроны несправедливо.
Проблема электрона не может быть решена в рамках классических представлений. Серьезные успехи в теории электрона достигнуты в последние годы, однако завершенной теории не существует. Излагаемая в этой части книги классическая теория электричества (электродинамика) имеет поэтому некоторые ограничения, с которыми приходится сталкиваться при изучении взаимодействия элементарных частиц. Во всех же случаях, когда речь идет о поведении одной элементарной частицы в полях, создаваемых большими телами, и тем более при рассмотрении взаимодействия макроскопических тел, результаты классической электродинамики безупречно совпадают с опытными данными. .
Электрические силы
При вычислении сил взаимодействия между заряженными телами мы всегда пользуемся понятием электрического поля сил. Вместо того чтобы говорить о силе, с которой тело А действует на тело В, мы вводим поле сил и говорим так: тело А создает поле, а это поле действует на тело В. Как мы увидим в гл. 16, это представление выходит за рамки формальных соображений: электромагнитное поле — это физическая реальность, и природа осуществляет взаимодействие, передающееся от одной точки пространства к другой («близко- действие»). Введение понятия поля позволяет отвлечься от рассмотрения источников поля и решать вопрос о силах, действующих на заряженное тело, имея сведения лишь о напряженностях поля в тех местах, где находятся заряды интересующей нас системы.
Каждое заряженное тело — это система зарядов. Если речь идет о системе дискретных зарядов, то сила, действующая на такую систему, F^qiEi+q2E2+. * •, где Еъ Е2, ...— напряженности поля в тех местах, где находятся заряды. Если электрический заряд
распределен непрерывно в некотором объеме, то сила, действующая на тело, может быть представлена интегралом: F= ^Epdv, а если заряды распределены по поверхности, то интегралом по поверхности: F = J EodS.
Однако необходимо предупредить об одной особенности такого непосредственного подсчета сил: необходимо подставлять в формулы то значение напряженности, которое было бы в отсутствие заряда, на который действует сила. В тех формулах, в которых сила выражается суммой, в напряженность Е{ не входит действие заряда q( самого на себя, т. е. при подсчете Ех не рассматривается поле, создаваемое qx, и т. д. То же справедливо и для интегральных формул: под напряженностью поля, входящей под знак интеграла, надо понимать напряженность, создаваемую всем распределением электрического заряда, за исключением того количества электричества, которое находится в рассматриваемой точке.
Поясним это на примере силы, действующей на заряженную металлическую поверхность. Как нам известно, на поверхности металла, граничащего с диэлектриком, напряженность электрического поля со стороны диэлектрика равна в системе СГС 4ло/е, а со стороны металла равна нулю. Напряженность поля терпит разрыв на этой поверхности. Желая определить силу, действующую на элемент поверхности, мы должны умножить количество электричества odS на ту напряженность, которая была бы в этом месте при удалении рассматриваемого элемента заряженной поверхности. Поэтому было бы неверным умножить о dS как на значение поля со стороны диэлектрика 4ло/е, так и на значение поля со стороны металла, т. е. нуль. Как показывает строгое рассмотрение, поле, которое было бы в этом месте после удаления рассматриваемого элемента, равно арифметическому среднему из двух значений, 0 и 4ло/е, т. е. равно 2ла/е. Таким образом, формула силы, действующей на элемент площади заряженной поверхности проводящего тела, имеет вид
а для всего тела *
F = 2n^dS,
причем интегрирование должно быть распространено по всей поверхности с учетом возможных изменений плотности заряда и диэлектрического коэффициента вдоль поверхности металла.
В случае однородного поля (в идеале — бесконечный плоский конденсатор) силу F, действующую на площадь пластины S, можно с достаточно хорошей точностью подсчитать по формуле
F^^S (СГС).
Величину этой силы можно измерить при помощи так называемых весов Томсона, схема действия которых показана на рис. 94. При разности потенциалов на обкладке конденсатора, равной 600 В, пластинка с площадью 50 см2, находящаяся на расстоянии 5 мм от другой пластинки, притягивается к ней с силой/которая будет рассчитана в двух используемых нами системах единиц.
Система СГС„ eS оС =-7—7=8 см, 4 ла^ = СС7 = 8-2 = 16 ед. СГС,а = 0,32 ед. СГС,Система СГС„ eS оС =-7—7=8 см, 4 ла^ = СС7 = 8-2 = 16 ед. СГС,а = 0,32 ед. СГС,■ 2ла2 с 2-3,14-0,322 ,Х50 = 32 дин.■ 2ла2 с 2-3,14-0,322 ,Х50 = 32 дин.Система СИ'
Система СГС
„ eS о
С =-7—7=8 см, 4 ла
^ = СС7 = 8-2 = 16 ед. СГС,
а = 0,32 ед. СГС,
Система СГС
„ eS о
С =-7—7=8 см, 4 ла
^ = СС7 = 8-2 = 16 ед. СГС,
а = 0,32 ед. СГС,
■ 2ла2 с 2-3,14-0,322 ,
Х50 = 32 дин.
■ 2ла2 с 2-3,14-0,322 ,
Х50 = 32 дин.
ee0S_ 1-Ю-9 5- 10"3 _“ d ” 36л * 5-Ю-3= 8,9-10~12 Ф,
<7 = 07 = 8,9-10-12-600 =
= 5,3-10-9 Кл,
а= 1,06-10-6 Кл/м2,о2 (1,06.10-6)2 5.10-3_2ее0 ~/10^\
к 36л ) = 32-10-5 н.
Таким образом, чтобы уравновесить силы электростатического притяжения, на противоположную чашку весов надо положить груз, равный 32 дин = 32-10“5 Н.
Еще труднее оценка силы, действующей на тело с объемным распределением электричества: в выражении р£ dv напряженность Е
Рис. 94.Рис. 94.есть напряженность поля, созданного всеми зарядами, кроме р du. *
Рис. 94.
Рис. 94.
Если заряженное тело находится в диэлектрической среде, то подсчет силы осложняется еще и тем обстоятельством, что при мысленном удалении заряда приходится мысленно удалить и соответствующую часть диэлектрика, что сказывается на изменении
поляризованного состояния (см. ниже).
Если мы желаем избежать трудностей, связанных с «вычитанием» действия заряда самого на себя, то мы должны прибегать к вычислению силы при помощи выражения для энергии. Убыль энергии равна работе; зная величину перемещения, можно найти значение силы. Как правило, применяется именно такой способ оценки силы.
2 по382 по38ЗА -8лЗА -8лЗА,ЗА,Расчет этим способом силы, действующей на пластину плоского конденсатора, F = ^-S, может послужить яркой иллюстрацией сказанного. Рассматривая притяжение пластин конденсатора (отключенного от источника напряжения), мы можем сразу же запи- писать изменение энергии при сближении пластин на величину А:
2 по38
2 по38
ЗА -
8л
ЗА -
8л
ЗА,
ЗА,
откуда искомая сила
§ S3. Дипольный момент системы зарядов
Вернемся к электрическим системам, которые можно представить как системы точечных зарядов. Положим, что на протяжении интересующей нас системы зарядов электрическое поле однородно. Тогда формула силы, действующей на систему, имеет вид
F-(q1 + q2+...)E-QE1.
где Q — полный заряд системы. Если тело электрически нейтрально, как, скажём, атом или молекула, то сила, действующая на такое
тело, содержащее равные количества положительных и отрицательных частиц, будет равна нулю. Значит ли это, что электрически нейтральное тело не обладает взаимодействием с электрическим полем?
Нетрудно видеть, что нет. В однородном поле силы, действующие на заряды системы, параллельны друг другу. Мы можем отдельно сложить силы, действующие на положительные заряды, и
отдельно силы, которые приложены к отрицательным зарядам. Как хорошо известно, равнодействующая параллель- ных сил приложена в центре «тяжести» тела. Слово «тяжесть» взято в кавычки, (+%™— так как сейчас речь идет об электриче-. '
ском центре тяжести. В результате все"——►силы, действующие на заряды системы,Рис- 95.
находящейся в однородном поле, све
дутся к двум антипараллельным силам, приложенным в центрах тяжести положительных и отрицательных зарядов (рис. 95). Если система электрически нейтральна, то обе силы будут одинаковы; полная сила будет равна нулю, но на тело будет действовать пара сил с моментом M=^EZsina.
Момент сил может подействовать на систему зарядов только в
том случае, если центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов сдвинуты друг по отношению к другу.
Вектор p=ql, равный по величине произведению положитель
ного заряда системы на расстояние между центрами тяжести, носит название дипольного момента системы. Дипольный момент считают направленным от отрицательного центра к положительному. Дипольный момент системы определяет ее поведение в однородном поле. Система, предоставленная сама себе, поворачивается в однородном электрическомшоле так, чтобы ее дипольный момент совпал с направлением электрического поля (sin a=0).
В однородном поле все действия на нейтральную систему электрических зарядов сводятся к моменту силы М=рЕ sin а, где р — дипольный момент системы, равный произведению количества электричества одного знака на плечо диполя. Таким образом, нет нужды
рассматривать в однородном поле сложное расположение какой- либо системы зарядов; ее надо заменить соответствующим диполем.
Если система находится в неоднородном поле, то дипольный момент уже не будет исчерпывающим образом описывать ее свойства. Это видно из рис. 96. Четыре заряда, расположенных по углам квадрата, образуют электрически нейтральную систему с дипольным
моментом, равным нулю (центры тяжести отрицательного и положительного зарядов совпадают). В однородном поле на такую систему не действуют ни силы, ни момент силы. В неоднородных полях, разумеется, этот квадрат может и перемещаться поступательно и поворачиваться, так как силы, действующие на заряды, вообще говоря, различны. По аналогии с диполем такой системе дано название квадруполь. На том же рисунке изображена еще одна нейтральная система с нулевым дипольным моментом — октуполь.
Значительный интерес для учения о строении вещества, которым мы будем заниматься много позднее, представляет рассмотрение взаимодействий простейших электрических систем. Рассмотрим некоторые из них.
Заряд — заряд. Взаимодействие двух точечных зарядов происходит по закону Кулона F=^^.
Заряд—диполь. Предоставленный сам себе диполь стремится повернуться так, чтобы установиться вдоль силовых линий. После
того как такой поворот произошел, диполь остается неподвижным в однородном поле, а в неоднородном будет втягиваться, как это видно из рис. 97, в область более сильного поля. В случае, если неодно-
родное поле есть поле точечного заряда, диполь будет притягиваться к этому заряду. Сила притяжения равна
Если плечо диполя мало, то, приводя к общему знаменателю, мы получим, пренебрегая величиной /3 по сравнению с Н, а величиной г/ по сравнению с г2, следующую интересную формулу:
Обратим внимание на то, что сила взаимодействия заряда и диполя убывает с расстоянием быстрее, чем кулоновская сила, а именно, она обратно пропорциональна кубу расстояния.
Пример. Расстояние меж- &\ ду атомами Н и С1 в молекуле ' НС1 равно 1,28 А, дипольный момент молекулы р=6-10” 18 ед. СГС. Тогда электрон, находящийся на расстоянии г= 10 А от молекулы, притягивается к ней с СИЛОЙ ~6- 10”6 дин.Д
Диполь — диполь. Здесь
полезно решить две задачиРис. 98.
для взаимных расположе
ний диполей, показанных на рис. 98. Точные формулы взаимодействия имеют вид
г, 2 я2 ^q2*
F = -^г2_Р"/2 Для расположения а,
F =Для расположения б.
Если плечо диполя мало, то формулы можно заменить следующими приближенными выражениями:
„3р2
F = для расположения а,
F = для расположения б.
Силы взаимодействия убывают обратно пропорционально четвертой степени расстояния.
Пример. Две молекулы НС1, расстояние между которыми 10 А, притягиваются с силой Г^Ю”6 дин в случае a, F^-10-6 дин в случае 6.
8 А. И. Китайгородский225
Заряд — квадруполь. Расчет ведется для ориентировки, показанной на рис. 99. Сила взаимодействия может быть записана в виде
р= С) ( г3 + а3Г \
-ЧоЧ ^(Гг_а2^р_|_а)з/2 у •
Приближенная формула для малого квадруполя: F— ^3^_, Сила убывает обратно пропорционально четвертой степени расстояния.
§ 94. Поляризация изотропного диэлектрика
Как известно, заполнение однородным диэлектриком пространства, в котором существует электрическое поле, созданное некоторой системой зарядов, приводит к уменьшению в е раз напряженности поля и значения электрического потенциала. Напротив, электрическое смещение (и индукция) остается неизменным. В е раз меняется емкость конденсатора. Это обстоятельство всегда используется при практических измерениях диэлектрической проницаемости. Отношение емкости конденсатора, между обкладками которого находится диэлектрик, к емкости того же конденсатора без диэлектрика можно рассматривать как определение диэлектрической проницаемости.
Мы пойдем сейчас несколько дальше и спросим себя о причинах подобного влияния диэлектрика на электрическое поле. Следующий опыт натолкнет нас на путь объяснения диэлектрических явлений.
Рассмотрим плоский конденсатор, подключенный к источнику напряжения. Плотность электрических зарядов на обкладках конденсатора, а следовательно, и число линий D на единицу площади однозначно определятся напряженностью электрического поля: о=£/(4л). Заполним этот конденсатор однородным диэлектриком. Теперь связь между напряженностью электрического поля и плот-
ностью заряда на обкладках конденсатора выразится равенством а—е£7(4л) — поток силовых линий (т. е. линий D) возрастет/В проводимом подобным способом опыте напряженность электрического поля, равная частному отделения разности потенциалов на расстояние между обкладками, измениться не может. Следовательно, меняется плотность зарядов на обкладках конденсатора, а именно, она возрастает в е раз. Это возрастание можно обнаружить экспериментально: в процессе заполнения конденсатора диэлектриком источник напряжения будет пополнять заряд конденсатора. Измеряя этот электрический ток и время его протекания, можно убедиться в том, что на единицу площади конденсатора будет послано дополнительное количество электричества, равное ~
гЕ Е е— 1
4л 4л 4л
При удалении диэлектрика этот дополнительный заряд возвращается обратно, а дополнительное число силовых линий пропадает. Чтобы объяснить дополнительное притяжение зарядов к пластинам конденсатора, мы вынуждены допустить образование на поверхностях диэлектрика, примыкающих к обкладкам конденсатора, зарядов обратного диака с плотностью о = -^- Е.
Поверхностную зарядку диэлектрика можно объяснить тем, что диэлектрик состоит из связанных попарно положительных и отрицательных зарядов, не способных перемещаться по телу, но могущих сдвигаться друг по отношению к другу с образованием дипольного
Рис. 100.
момента в каждой единице объема диэлектрика. Превращение электрически нейтральной системы зарядов в систему, обладающую дипольным моментом, носит название поляризации, а вектор дипольного момента единицы объема диэлектрика носит название вектора поляризации Р.
Поляризация диэлектрика не приводит к созданию объемных зарядов — числа положительных и отрицательных зарядов в единице объема после смещения останутся равными друг другу. Однако поляризация приводит к созданию заряда на поверхности диэлектрика, как это очевидно из элементарной схемы (рис. 100). Плотность
этого заряда и равна найденной выше величине,t
_ 8—1 р
°пол —.
Мы вели рассуждение относительно диэлектрика, примыкающего к пластине плоского конденсатора. Однако те же рассуждения остаются в силе, если речь идет о проводнике с произвольной поверхностью. Более того, оказывается, что написанное выражение для оп0Л имеет общее значение для площадок, перпендикулярных к силовым линиям, т. е. всегда•
в 1Т-1
° = —лЕт4л
где Е-^— проекция напряженности на нормаль к площадке. Эту формулу можно применять к любой реальной или мысленной границе внутри диэлектрика.
Поляризационный заряд (его часто называют также связанным зарядом) можно выразить через дипольный момент единицы объема. Если речь идет об изотропных телах, то смещение связанных зарядов при наложении поля происходит вдоль электрических силовых линий. Поэтому вектор поляризации параллелен вектору напряженности. Вырежем из диэлектрической пластины цилиндрическое тело с основанием S и длиной /. Благодаря поляризации на основаниях цилиндра соберутся равные по величине и противоположные по знаку связанные заряды. Дипольный момент выделенного цилиндрического стержня будет равен, по определению, произведению заряда aS на плечо диполя Z, т. е. p=an04Sl. Дипольный момент, отнесенный к единице объема, будет равен IPl^o^. Мы приняли в этом расчете, что основания цилиндра перпендикулярны к направлению поляризации. Если площадки будут наклонены к силовым линиям под углом ф, то плотность заряда на них будет меньшей пропорционально косинусу угла наклона. Таким образом, для общего случая имеет место соотношение
где Рп=Рcosф.•
Теперь мы получаем возможность найти связь между вектором поляризации и вектором напряженности электрического поля. Объединяя последнюю формулу с выражением для плотности связанных зарядов, обсуждавшимся в начале параграфа, получим для любого направления п
р 8~1" 4л
Таким образом, если диэлектрическая проницаемость не зависит от напряженности, то между векторами Р и Е имеется линейная зависимость
Р-аЕ.'
Выражение а=^- принято называть поляризуемостью. Для воды а=6,38, для стекла а=0,48.
Так как В=гЕ, то связь между векторами В^ Е и Р может быть записана в форме
■П=Е-^4лР.
Векторы В, Е и Р параллельны в случае однородных сред.
§ 95. Поляризация кристаллических веществ
До сих пор мы рассматривали поведение вещества, типичное для аморфного или мелкокристаллического тела или для монокристалла в некоторых специальных положениях по отношению к полю. Если же из монокристалла вырезать пластинку под произвольным углом к его граням и поместить эту пластинку между обкладками конденсатора, то можно обнаружить следующий эффект: пластинка поляризуется не только вдоль, но и поперек силовых линий, вектор Р не параллелен Е. Следовательно, и вектор В в этом случае не будет параллелен напряженности поля.
В монокристаллах направление, в котором отклоняется свободный электрический заряд (Е), не совпадает с направлением нормали к площадке, расположенной так, чтобы на ней индуцировался максимальный заряд (S). Связь между ВиЕ становится более сложной, и чтобы уметь находить В по значению Е, или наоборот, оказывается недостаточным знать только диэлектрическую проницаемость. В любом монокристалле оказывается возможным найти три направления (главные оси), в которых D||E. Важно знать 8 для этих трех направлений, тогда можно установить связь между В и Е и для произвольной ориентации кристалла в поле. Какова же будет связь между векторами В, Е и Р в этом случае? Оказывается, что уравнение Р=Е+4пР, записанное в предыдущем параграфе и выведенное для случая параллельных векторов, сохраняется и тогда, когда векторы перестают быть параллельными. Имеется и другое отличие кристаллических тел от аморфных в отношении их диэлектрических свойств. Среди кристаллических веществ можно выделить относительно узкий класс тел, обладающих гистерезисными свойствами. Так как эти свойства были открыты впервые у сегнетовой соли, то вещества этого типа называют сегнетоэлектриками. Своеобразие их поведения заключается в следующем (см. также стр. 562).
Поместим сегнетоэлектрик (для простоты будем предполагать, что имеем дело с порошком или с кристаллом, расположенным по отношению к полю так, что DWE) между обкладками конденсатора. Будем изменять напряжение на обкладках конденсатора и, следовательно, напряженность поля Е—Uld и измерять плотность зарядов а на обкладках конденсатора, которая при В\\Е даст нам величину индукции D. По мере увеличения Е величина индукции D будет
расти, однако не прямо пропорционально Е. Рост D будет замедляться* и, наконец, наступит насыщение. Ясно, что насыщение D соответствует насыщению поляризации. Начнем теперь уменьшать напряжение на обкладках. Смещение и поляризация начнут падать,
кривая пойдет вниз, но не по тому пути, по которому происходил рост. В результате при полном снятии напряжения (£=0) индукция и поляризация в диэлектрике не будут равны нулю. Диэлектрик
станет подобным постоянному магниту. У него будут «северный» и «южный» электрические полюсы, и он будет вести себя как большой постоянный диполь.
Дальнейшее поведение сегнетоэлектриков очевидно из рис. 101, на котором изображена гистерезисная петля. Чтобы «разэлектризовать» диэлектрик, надо изменить знак напряжения на обкладках конденсатора. Увеличивая поле Е обратного направления, мы снимем поляризацию диэлектрика, затем вновь наэлектризуем его, но переменим местами полюсы. Наконец, опять достигнем насыщения, и далее процесс может быть повторен в обратную сторону.
Почему эти явления называются гистерезисными? В переводе с греческого гистерезис — запаздывание. Петля, изображенная на
рисунке, показывает, что значения D, а также Р и е, зависят от прошлого состояния образца, т. е. от его истории.
Все кристаллы, не обладающие в числе своих элементов симметрии центром симметрии (см. стр. 562), проявляют интересную способность изменять свои размеры при наложении электрического поля. Это явление носит название электрострикции.
Термодинамические соображения показывают: если электрическое поле вызывает деформацию, то деформация в свою очередь должна привести к поляризации. Этот эффект называется пьезоэлектрическим. О применениях пьезоэффекта несколько слов было сказано в ч. I. Связь этого явления со структурой вещества будет обсуждаться на стр.* 635.
§ 96. Ограниченные диэлектрические телав электрическом поле *
В отношении ограниченного непроводящего тела, внесенного в электрическое поле, могут возникнуть следующие вопросы. Какие силы и моменты сил действуют на это тело? Как искажается поле при внесении в него диэлектрика?
230
Внесенное в поле диэлектрическое тело поляризуется и приобретает некоторый дипольный момент. Поэтому поведение такого тела в электрическом поле, вообще говоря, не отличается от поведения диполя. Если вектор поляризации направлен под углом к напряженности поля, то такое положение диэлектрика будет неустойчивым. На тело будет действовать момент сил, стремящийся повернуть тело так, чтобы векторы Р и Ё стали параллельными.
Это приводит к тому, что диэлектрическое тело, внесенное в данное однородное электрическое поле, устанавливается в определенном положении равновесия, за- , висящем от формы тела. Рас- Т смотрим это на примере диэлек- 4. трического стерженька.4.
Мы убедимся на опыте, что 4- положением равновесия являет- + ся такое, при котором длинная + ось совпадает с силовой линией. + Почему так происходит? Ведь у 4- стерженька отсутствуют фикси- + . рованные полюсы. Причину та- + кого своеобразного поведения * разъясняет рис. 102. В изобра- ц. женном прямоугольном сечении стержня можно свести действу
ющие на связанные заряды силы к четырем силам, приложенным к четырем поверхностям прямоугольного стержня. Мы видим, что силы, действующие на большие грани стержня, почти уравновешиваются, а силы, действующие на малые грани, образуют пару сил, переводящую стержень в положение вдоль силовых линий.
Если тело находится в неоднородном поле, то, кроме момента сил, на него будут действовать и силы, втягивающие диэлектрик в область более сильного поля. Это явление можно с успехом демонстрировать на диэлектрических жидкостях, заставляя жидкость в трубочке подниматься, при наложении напряжения на конденсатор. Силы этого же типа, т. е. действующие на диполи в неоднородном поле, заставляют бумажки лепиться к стеклянной или эбонитовой палочке, натертой мехом или кожей.
Перейдем теперь к- вопросу об искажении электрического поля при внесении в него диэлектрического тела. Прежде всего, покажем, что общие законы электрического поля приводят к важным соотношениям, связывающим значения электрических полей по одну и другую сторону границы диэлектриков.
Векторы напряженности электрического поля в двух соседних точках, находящихся по разные стороны границы диэлектриков с проницаемостями ej и е2, должны отличаться друг от друга как по величине, так и по направлению. Разложим эти векторы на составляющие вдоль границы и по нормали к ней. Мы можем утверждать, что поле, направленное вдоль границы, должно быть 231
одинаковым с обеих сторон ее. Предположим, что это утверждение было бы неверным и с одной стороны поле больше, чем с другой. Тогда можно было бы создать вечный двигатель, перенося вдоль границы заряды против поля там, где поле меньше, а затем предоставив заряду двигаться с другой стороны границы (где поле больше) под действием сил электрического поля. Поэтому тангенциальные составляющие напряженности с обеих сторон поверхности раздела должны быть равными,
Для рассмотрения нормальных составляющих на границе двух сред применим закон Гаусса — Остроградского. Построим вспомогательную поверхность в виде бесконечно низкого цилиндра, одно
основание которого лежит по одну сторону границы, а другое основание находится во второй среде. Заряда внутри такого цилиндра нет. Поэтому суммарный поток индукции через цилиндр должен равняться нулю, а, значит, потоки через оба основания должны быть одинаковы. Это может быть лишь в том случае, если нормальные составляющие векторов индукции будут равны друг другу: Dn =Dnv Отсюда для напряженностей полей имеем
Таким образом, отношение
нормальных составляющих векторов напряженности обратно пропорционально диэлектрическим проницаемостям.
Из рис. 103 видно, что при переходе из среды с меньшей диэлектрической проницаемостью в тело с большей е силовые линии отклоняются от нормали к границе. Это значит — число силовых линий, проходящих через единицу площади, растет.
Задачу об искажении электрического поля при внесении в него диэлектрика определенной формы мы не сумеем решить. Эта задача сложна даже и в том случае, если поле до внесения в него диэлектрика было однородным. Если тело имеет произвольную форму, то, будучи помещено в однородное поле, оно сделает его неоднородным не только вблизи себя, но и внутри себя.
Интересным исключением являются эллипсоиды. Это — широкий класс тел, так как сюда относятся шары, сплюснутые эллипсоиды, которые практически не отличимы от пластинок, и вытянутые
эллипсоиды, которые близки к цилиндрическим телам. Методами математической физики показывается, что поле внутри эллипсоида будет однородным, как это показано на рис. 104. Закон преломления силовых линий приводит нас к типичным картинам для более плотных тел в менее плотной среде (8!<82) и для обратного случая
Рис. 104.
(ei>82), например воздушное включение в стекле или стеклянный эллипсоид в воздухе.
Можно показать, что однородное поле Ео в вакууме, в цоторое ' мы внесли симметричное диэлектрическое тело, связано с полем Еь установившимся внутри диэлектрика, соотношением
E^E.-NP,
где Р — вектор поляризации, N — коэффициент, зависящий только от формы тела. При описании магнитных явлений его принято называть коэффициентом размагничения (см. стр. 263).
Так как в большинстве случаев Р = ^^-Еь то после несложных преобразований приходим к следующему выражению:
р
Диэлектрическая проницаемость всегда больше единицы. Поэтому напряженность поля внутри диэлектрика всегда меньше той напряженности поля, которая была в этом месте до его внесения.
Коэффициент N для плоской пластинки, перпендикулярной к полю, равен 4л. Это — максимальное значение N; убывание поля в е раз, возникающее в этом случае, приводит нас к уже обсуждавшемуся ранее результату для однородной среды. Другой крайний случай — это цилиндр, направленный вдоль поля. Для него N=0 — поле не ослабляется таким телом. Во всех же остальных случаях ослабление поля уже будет зависеть от диэлектрической проницаемости. Для шара N=4n/3 и, следовательно, Е; = -^Х. Для цилиндра, расположенного под прямым углом к полю, М=4л/2.
Причина ослабления поля Е состоит в создании связанными зарядами поля обратного направления. Что же касается поля вектора индукции, то на него связанные заряды влияют лишь косвенно. Действительно, число линий D остается неизменным при внесении диэлектрика в поле. Однако благодаря преломлению линий индукция внутри диэлектрика возрастает. '
ГЛАВА 15
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 97. Магнитный момент
Магнитные поля действуют на токи, движущиеся заряженные тела или частицы, на намагниченные тела. Можно осуществить множество различных приборов и с их помощью судить о свойствах магнитного поля. Наиболее целесообразно характеризовать свойства магнитного поля, изучая его механические действия на контур тока. Вполне возможно осуществление проволочного контура весьма малой площади. Такой прибор позволит промерить магнитное поле достаточно детально. Таким образом, «пробный» контур тока играет в теории магнитного поля ту же роль, что «пробный» заряд в теории электрического поля.
Производя опыты с подобным прибором, мы придем к следующим основным фактам. В каждой точке поля свободно вращающийся контур займет определенное положение равновесия. При этом положение устойчивого равновесия определяется не только расположением в пространстве оси контура, но также и тем, как располагается в пространстве определенная сторона контура, скажем, та, смотря на которую мы видим ток идущим против часовой стрелки. Назовем эту сторону положительной, или северной; условимся проводить нормаль к контуру так, чтобы она образовывала правовинтовую систему с направлением тока. Смотря против нормали, мы будем видеть положительную (северную) сторону контура.
Сравнивая поведение контура тока с поведением магнитных стрелок, можно обнаружить, что нормаль контура, находящегося в ус- 234
тойчивом равновесии, смотрит туда же, куда и магнитная стрелка. Таким образом, называя направлением магнитного поля то направление, куда смотрит нормаль свободного пробного контура, мы не разойдемся с элементарным определением.
Рис. 105.Рис. 105.' Отклоняя пробный контур от положения равновесия, мы обнаружим действие на него момента сил (рис. 105). При этом отклонение контура от равновесия однозначно описывается отклонением нормали контура от направления поля — синус угла а и вращающий момент сил N оказываются пропорциональными: N ~ /^sin а. При том же угле а вращательный момент пропорционален произведению площади контура S на силу
Рис. 105.
Рис. 105.
протекающего тока /. Уменьшение площади в какое-то число раз приводит к такому же изменению вращающего момента, что и уменьшение силы тока в такое же количество раз.
Из сказанного следует, что магнитное поведение контура зависит от расположения нормали контура и от величины произведения /S. Эти данные можно объединить в одну векторную величину, называемую магнитным моментом кольцевого тока. В электротехнике, где используется система СИ, принято называть магнитным моментом вектор M ISn (п — единичная нормаль). В системе СГС, чаще используемой физиками, в эту формулу вводят коэффициент пропорциональности Х/с\ М — -^-ISn (с — скорость распространения электромагнитных волн в вакууме). В введение числового коэффициента, да еще вдобавок размерного, может показаться ненужным усложнением. Однако другие формулы при этом упрощаются; оценить это упрощение читатель сумеет значительно позднее.
Результаты опытов с пробным контуром могут быть записаны в виде: N~BM sin а, где В — коэффициент пропорциональности. Для разных полей или для разных точек пространства одного поля величина В будет иметь разные значения. По смыслу написанной формулы В равно максимальному вращательному моменту, действующему на единичный пробный контур (А/ = 1). Этот коэффициент В, характеризующий магнитное поле, носит название магнитной индукции. Векторная величина, имеющая направление магнитного поля и численно равная В, носит название вектора магнитной индукции. ’
Если вращательный момент описывать вектором, направленным вдоль оси вращения (в соответствии с правилами правовинтовой системы), то формула для него может быть записана в виде так называемого векторного произведения векторов, а именно: #=1Л1В].
Если ^=0, то М параллельно В; это значит, что любой контур тока стремится установиться в магнитном поле таким образом, чтобы его магнитный момент совпал с направлением поля. На тело действует максимальный магнитный момент в том случае, если магнитный момент образует угол 90° с направлением поля. Для контура это соответствует положению плоскости витка проволоки вдоль силовых линий.
Определив магнитное поле с помощью контура тока, у которого магнитный момент подсчитывается из измерений силы тока и площади, мы можем, наоборот, воспользоваться формулой ^=[Л1^] для определения магнитных моментов таких систем, для которых нельзя измерить ток. Более того, мы переносим понятие магнитного момента и на такие системы, где понятие кольцевого электрического тока теряет смысл. Именно таким образом поступает физик, когда он говорит о магнитном моменте электрона, ядерной частицы. Магнитный момент магнитной стрелки также является нерасчленяемым понятием. Впрочем, к магнитному моменту постоянного магнита мы еще вернемся на стр. 442, обсудив некоторые специфические влияния среды. Как бы то ни было, магнитный момент системы, находящейся в вакууме, всегда может быть определен по приведенной формуле вращательного момента.
Поворот от положения равновесия тела, обладающего магнитным моментом, требует затраты работы. При повороте на малый угол а работа вращения может быть представлена в виде
N da— ВМ sin a da =— d(BM cos а.)
Отклонение тела от положения равновесия связано с накоплением потенциальной энергии U=—ВМ cos а. Написанное произведение есть скалярное произведение двух векторов; следовательно, U= —ВМ.
В положении равновесия потенциальная энергия минимальна и равна —ВМ, при повороте магнитного момента на 90° потенциальная энергия возрастает до нуля, и, наконец, когда магнитный момент устанавливается антипараллельно полю (положение неустойчивого равновесия), потенциальная энергия максимальна и равна +ВМ.
Примеры. 1. Магнитный момент ядра атома водорода (ядерный магнетон) 0,505* 10~23 ед. СГС. Магнитный момент электрона (магнетон Бора) 0,927х X Ю-20 ед. СГС=9,27*10-24 А*м2.
Электрический ток в 1 А, текущий по витку с площадью 50 см2, создает магнитный момент 5-10~3 А*м2=5 ед. СГС.
В абсолютной системе единиц магнитная индукция измеряется в гауссах (Гс), в системе СИ В измеряется в теслах (Т) и имеет размерность В* с/м2; 1 Т= = 104 Гс, Для магнитного поля Земли В =0,49 Гс.
В воздушном зазоре мощной электрической машины магнитная индукция достигает нескольких тысяч гауссов. Академик П. Л. Капица получал импульсные магнитные поля с В^Ю6 Гс=10 Т.
§ 98. Сила Ампера
Наличие вращательного момента, действующего на контур тока, является несомненно результатом действия сил на каждый участок проводника, по которому текут заряды. Закон силы, действующей на элемент тока, можно установить опытным путем. Для этого необходимо выделить участок провода, например, с помощью ртутных контактов. Тогда этот участок может перемещаться под действием
Рис. 106.
силы. Если это смещение уравновесить натяжением пружины, то магнитная сила может быть измерена (рис. 106).
Закон силы, действующей на элемент тока малой длины, был впервые установлен Ампером и имеет вид
. dF=-L\di,BV
т. е.
dF = — db В sin dCB.
Векторная запись напоминает нам известное правило левой руки. Сила, действующая на элемент длины провода, всегда образует прямой угол с плоскостью, проходящей через ток и вектор магнитной индукции в этом месте. Чтобы выяснить направление силы, надо посмотреть, с какой стороны вращение вектора dl к вектору В представится идущим против часовой стрелки по кратчайшему пути. Эта сторона будет положительной в правовинтовой системе и вектор силы будет «смотреть» на наблюдателя. Сила имеет максимальное значение тогда, когда элемент тока образует прямой угол с вектором
поля. Сила обращается в нуль для элемента провода, лежащего вдоль силовой линии.
Выше записаны формулы в системе СГС. В системе СИ коэффициент 1/с отсутствует и формула силы Ампера имеет вид dF= = Ildl, BL
Чтобы определить величину силы, действующей на кусок провода конечной длины, написанное выражение силы надо проинтегрировать:
F = J-j[dZ, В].
Только в простейшем случае прямолинейного куска провода длиной I, находящегося в однородном магнитном поле В, закон Ампера можно применить непосредственно в форме
F = — ИВ sin С1В.С
Представляется совершенно естественной связь между законом Ампера и выражением для вращательного момента, выведенным в
предыдущем параграфе. Мы проведем рассмотрение лишь для простейшего случая прямоугольной рамки, расположенной в однородном магнитном поле параллельно силовым линиям (рис. 107). Две стороны рамки перпендикулярны к силовым линиям, две другие лежат вдоль силовых линий. Следовательно, все силы, действующие на элементы провода, можно свести к двум, показанным на рис. 107. Эти силы равны друг другу и по закону Ампера могут быть записаны в виде F—IIB. Тот же рисунок показывает, что силы Ампера приводят к моменту сил N—llBd, Но ld=S есть площадь рамки, следовательно, N=ISB=MBt что совпадает с формулой для момента сил, выведенной в предыдущем параграфе. Предоставляем читателю сделать это доказательство более общим. ,
Пример. На проводник длиной 3 м с током 50 А в поле 3000 Гс=0,3 Т действует сила В=В//=0,3-50-3=45 Н. При диаметре ротора ^1 м на виток действует вращающий момент —45 Н-м. Эти величины по порядку соответствуют 238
параметрам крупной электрической машины- В электроизмерительном при боре на проводник длиной 2 см в поле 100 Гс при токе 0,01 А действует сила Р=2-10~5 Н=2 дин. При диаметре рамки ~1 см на виток действует вращающий момент ~2-10“2 Н-м.
§ 99. Сила, действующая на движущийся заряд
Мы можем пойти еще дальше и сделать попытку рассмотрения магнитных сил, действующих на токи, как сил, приложенных к элементарным частицам электричества.
Электрический ток есть не что иное, как поток электрических частиц. Если заряд каждой частицы есть е, направленная скорость частицы у й концентрация частиц (т. е. их число в единице объема) есть п, то выражение для силы тока можно представить в виде I=ne-vS. Действительно,, через сечение провода S за 1 с пройдут все частицы, которые занимали объем vS^ т. е. протечет количество
Рис. 108.
электричества ne-vS (рис. 108). Подставляя это выражение в закон Ампера, получим
dF=^- [®Д] nSdl.
Но nS dl есть число частиц в рассматриваемом объеме проводника; значит, на одну частицу действует сила
Эту силу называют иногда лоренцевой силой, в честь выдающегося физика Лоренца, много сделавшего для развития теории электронов.
Написанное выражение силы (мы его будем писать только в системе СГС, с коэффициентом 1/с) позволяет сразу же ответить на крайне интересный вопрос о характере движения электрической частицы (электрона, протона и т. д.) в магнитном поле. Сила, действующая на движущийся заряд, направлена перпендикулярно к силовым линиям и к вектору скорости частицы. Если частица движется вдоль силовых линий, то сила на нее не действует. Напротив, сила максимальна, если движение лроисходит в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям. В этом последнем случае f = ~- evB„
Если поле однородно, то электрическая частица, движущаяся перпендикулярно к полю, будет описывать окружность, поскольку движение под действием постоянной силы, направленной под прямым углом к движению, не может быть иным, согласно основному закону механики. Мы вернемся к движению частицы в магнитном поле на стр. 407.
Пример. Электронь! в катодной лампе, ускоряемые разностью потенциалов 70 В, приобретают скорость 5-108 см/с. При вхождении под прямым углом в магнитное поле 500 Гс каждый электрон испытывает отклоняющую силу Лоренца f= --evB—4-10”11 дин. Под действием этой силы электрон начнет двигаться по круговой орбите такого радиуса R, что f=m^/ R; отсюда /^=5,6 см.
§ 100. Магнитное поле, создаваемое постоянными магнитами
Каждый постоянный магнит имеет два полюса ): из северного линии выходят, в южный входят. Мысленно построим поверхность, охватывающую северный полюс магнита. Мы можем найти полное число линий, пронизывающих эту поверхность. Это число по аналогии с соответствующей электрической величиной мы будем называть магнитным потоком и обозначать буквой Ф. Поток через элементарную площадку, перпендикулярную к силовым линиям, равен б/Ф=В dS±; через произвольную площадку dФ=B dS cos а, где а — угол, образованный нормалью к площадке с силовыми линиями; через поверхность 5Ф= J В cos adS и, наконец, через замкнутую поверхность Ф = ^ В cos a dS.
Поток Фл, выходящий из северного полюса магнита и входящий в южный, является основной характеристикой магнита. Чем сильнее магнит, тем больше Ф^ Это несколько оправдывает название «количество магнетизма» (имеющее только историческое значение) для величины, пропорциональной потоку, а именно, равной т = -^-ф. Иногда называют т (еще более неудачно) магнитной массой. В электротехнике пользуются магнитной массой т=Ф.
Если полюсы магнита имеют небольшой размер (магнитная спица), то силовые линии вблизи таких полюсов расходятся радиально.
При помощи закона Гаусса — Остроградского
' ^ D cos a dS = 4л<7
мы обосновали формулу для электрической индукции уединенного заряда, D—q!r\ Очевидно, что «уединенный» магнитный полюс должен дать магнитную индукцию, удовлетворяющую аналогичному равенству:
В = ^ , так как ^ В cos a dS = 4л/п (СГС),
или
в=^р> так как ^ScosadS = m (СИ).
Разумеется, никаких «уединенных» магнитных полюсов не существует. Написанная формула имеет смысл лишь в случае длинного магнита с точечным полюсом и при этом не слишком далеко от по-
Рис. 109.Рис. 109.
Рис. 109.
Рис. 109.
л юса. Подобный подход к магнитному полю постоянного магнита имеет все же полное право на существование. Это хорошо видно при составлении выражения для поля стержневого магнита, рассматриваемого как магнитный диполь с двумя полюсами т, находящимися на расстоянии I друг от друга. На рис. 109 показано поле стержневого магнита и идеальное поле, рассчитанное по формуле
р —HL£i-_— £1.Л Г1 fX 4
гдеГ1, г2—расстояния от полюсов до рассматриваемой точки. Совпадение картин вполне у довл етвор ител ьное.
Хорошие результаты получаются при расчетах полей на больших расстояниях от магнита. Действительно, если расстояния rt и г2 велики по сравнению с длиной магнита / (плечом магнитного диполя), то рассмотрение полюсов как точек вполне оправдано. Расчеты ничуть не отличаются от соответствующих подсчетов электрических взаимодействий. Сравним, например, значения магнитной ин
дукции, создаваемой стержневым магнитом на большом расстоянии от него вдоль оси магнита и перпендикулярно к его оси. В первом случае имеем
в т т 2ml2Л1
где М=т1 носит название магнитного момента постоянного магнита. Во втором случае (рис. ПО)
в оМ
В = cos со == —.
г2г^
Итак, поле вдоль оси в два раза сильнее. В системе СИ две последние формулы будут иметь вид соответственно
О н О М2лгЗ4лг3
Пример. Вычислим магнитную индукцию, создаваемую стержневым магнитом длиной /==10 см на расстоянии г=1 м от магнита вдоль оси. Площадь поперечного сечения магнита 5=3 см2, индукция в магните 500 Гс.
Магнитный поток в магните (он же выходящий из полюса) Ф=500* 3=1500 максвелл (Мкс). Тогда на полюсе магнита сосредоточена «магнитная масса* 1500 т— ——= 120 ед. СГС. Магнитный момент магнита 4л
М = т/=120-10=1200 ед. СГС (эрг/Гс).
Искомая магнитная индукция В =Искомая магнитная индукция В =2М 2-1200 г^ = (100)92М 2-1200 г^ = (100)9= 2,4-10-9 Гс.= 2,4-10-9 Гс.
Искомая магнитная индукция В =
Искомая магнитная индукция В =
2М 2-1200 г^ = (100)9
2М 2-1200 г^ = (100)9
= 2,4-10-9 Гс.
= 2,4-10-9 Гс.
илиилиdF = — dl-smdl, r.dF = — dl-smdl, r.
или
или
dF = — dl-smdl, r.
dF = — dl-smdl, r.
§ 101. Напряженность магнитного поля
Рассмотрим взаимодействие уединенного магнитного полюса и элемента тока (рис. 111). Магнитный полюс создает поле В в месте нахождения электрического тока. Следовательно, по закону Ампера на элемент тока будет действовать сила
■ dF = ^I\dl,BY
Мы можем вместо величины магнитной индукции поставить ее выражение для точечного полюса. Учитывая, что поле направлено по
радиусу, мы получим для силы взаимодействия следующие выражения:
*v-itnГг "1
dF=—т I [dl. — .
cr2 Lr J
Вполне естественно принять, что сила, с которой элемент тока действует на магнитный полюс, представится той же формулой с обращением направления силы. Эго допущение нельзя проверить непосредственно на опыте, так как мы нё можем осуществить ни уеди
ненного полюса, ни отдельно взятого элемента постоянного тока. Однако мы можем проверить правильность высказанного положения, интегрируя силы взаимодействия для опытных случаев. Теория действительно совпадает с опытом.
Итак, сила действия элемента тока на магнитный полюс может быть представлена в виде
1 п tn г Г Г ”1dr=—rl ku, —■l r J
или а системе СИ, без коэффициента 1/с и с заменой т на /п/4л,
dFdF
dF
dF
Мы не ставим знака минус в этой формуле, так как полагаем обращенным радиус-вектор. За направление г всегда принимают направление от источника поля до точки наблюдения. Поэтому, когда речь шла о силе, действующей на ток, г предполагалось направленным от полюса к элементу тока. Теперь же, когда речь идет, о силе, действующей со стороны тока на полюс, радиус-вектор г предполагается направленным от элемента тока к полюсу.
Сила, действующая на единичный магнитный полюс, носит название напряженности магнитного поля;
dH= — .-
т
Нашим рассуждением доказано, что напряженность магнитного поля, создаваемого элементом тока, выражается формулой
dH = —. \dl, —1 .
"Ч ' J
В системе СИ формула, определяющая напряженность магнитного поля, создаваемого током, будет иметь вид
ДН=тЦ к •
4лг2 [ г J
Итак, существуют две характеристики магнитного поля: вектор индукции, измеряемый действием магнитного поля на токи, и век
тор напряженности, который может быть получен в эксперименте
Рис. 112.Рис. 112.измерением воздействия поля на магниты.
Рис. 112.
Рис. 112.
Практически измерения напряженности удобнее сводить к измерению вращательного момента, действующего на магнитную стрелку (рис. 112). Такая стрелка, помещенная в однородное поле, будет подвергаться действию пары сил; величина силы равна mH, а плечо равно / sin а. Отсюда для вращательно
го момента получим выражение
N = МН sina
или в векторной форме N^lMHA, где М=т1 — магнитный момент стрелки, что весьма напоминает формулу момента сил, действующих на контур тока.
Вопрос о связи между напряженностью магнитного поля и магнитной индукцией должен быть решен опытом. Оказывается, что во всех случаях,.за исключением анизотропных тел, векторы напряженности и индукции параллельны друг другу. Это значит, что магнитная стрелка и ось пробного контура всегда установятся параллельно. Далее, во всех случаях, за исключением ферромагнитных веществ, между Н и В имеется простая линейная зависимость: В=РоН^» гДе Но— универсальная постоянная, так называемая магнитная проницаемость вакуума, ар — коэффициент, характеризующий среду,— относительная магнитная проницаемость среды.
В системе СГС полагают р0=1- Это приводит к одинаковой размерности магнитной индукции и напряженности. Эта одинаковость достигнута, однако, не даром, а ценой введения размерного коэффициента \!с в законе Ампера. В системе СИ магнитная проницаемость вакуума равна ио=4л-1О7 Дж/(А2*м).
§ 102. Взаимодействия токов и магнитов
Законы, рассмотренные в предыдущих параграфах, позволяют в принципе рассчитать взаимодействие любых магнитных систем. Мы располагаем формулами сил и моментов сил, действующих на приборы со стороны магнитного поля любого происхождения:
На ток
На магнит
СГС
си
f_Ly<il 51
N= [AfS], где М = — IS с
F=I \dl, Я]
N= [А4Я], где M = IS
F=mH N=\MHY где M=ml
Формулы, связывающие поля с их источниками:
Поля токов
Поля магнитов
„СГС
си
СГС
СИ
d"=S«[*7]
dH=[dZ,—1
4лг2 [ г J
г2
4лг2
В = рЯ
В = |лоцЯ
о 2М В=~
2лг3
Подставляя любую нижнюю формулу в любую из верхнего ряда и используя связь В=^^Н> мы получим формулы магнитных, электромагнитных, магнитоэлектрических и электродинамических 244
Рис. 113.от него (рис. 113). Контур испыты-Рис. 113.от него (рис. 113). Контур испыты-илиилиМтока~31010Мтока~3101010 20=-| • Ю-8 ед. СГС,10 20=-| • Ю-8 ед. СГС,
Рис. 113.
от него (рис. 113). Контур испыты-
Рис. 113.
от него (рис. 113). Контур испыты-
или
или
Мтока~31010
Мтока~31010
10 20=-| • Ю-8 ед. СГС,
10 20=-| • Ю-8 ед. СГС,
взаимодействий. Каждый тип взаимодействия проиллюстрируем одним примером.
Магнитное взаимодействие, т. е. действие магнита на магнит. Два полюса на расстоянии г взаимодействуют по закону Кулона, т. е.
F^HW (СГС), Р=-М»(СИ).
Сила взаимодействия обратно пропорциональна магнитной проницаемости.
Электромагнитное действие, т. е. действие тока на магнит. Магнитная стрелка испытывает вращательный момент со сто
роны элемента тока. Для простоты принято МА_Н, т. е. магнитная стрелка расположена поперек силовых линий.
М/ _dN =^dlsmdl. г (СГС),
dN = -^dl sm<O (СИ).
Взаимодействие не зависит от магнитной проницаемости, т. е. от свойств среды.
Магнитоэлектрическое действие, т. е. действие магнита на ток. Контур тока расположен на продолжении оси стержневого магнита на расстоянии г вает вращательный момент
N = МтокаВ Sin а = ^токаА^агн sj (СГС)
M = ^!l«sina (СИ).
Взаимодействие не зависит от магнитной проницаемости.
Пример. Контур площадью 5=20 см2, обтекаемый током /=10 А, взаимодействует на расстоянии 100 см со стержневым магнитом, магнитный момент которого Л1магн= 1000 ед. СГС=1 А-м. На контур будет действовать вращающий момент
м — 2А1Т0каЛ1магнг3
Л/ = 410“б дин см = 0,04 Н м.
Электродинамическое действие, т. е. действие тока на ток. Два параллельных тока притягиваются с силой
dF = — dl .В,
.с 1 ’
т. е.
dF = tif-^^ (СГС), или dF=W/J^^ (СИ).
Взаимодействие прямо пропорционально магнитной проницаемости.
Таким же точно образом можно составить формулы для любых взаимодействий магнитных систем.
П ример. Электродинамическое взаимодействие надо серьезным образом учитывать при прокладке токопроводящих шин. В случае короткого замыкания шины и поддерживающие их изоляторы должны оказаться достаточно прочными, чтобы выдержать большие электродинамические нагрузки. Пусть по параллельным шинам, отстоящим на расстоянии d=20 см, текут токи /1=/2=3-10* А. На единицу длины одной из шин действует сила F=BI—plqHIt где Я=//(2ш0 — напряженность магнитного поля, создаваемого прямолинейным током, текущим по другой шине (см. стр. 250). Имеем
2nd 2л-0,2 ~аиип-
т. е. на каждый метр шины действует сила —90 кгс. Этот же результат можно было получить интегрированием последней формулы для dF.
§ 103. Эквивалентность токов и магнитов
Мы обращали внимание на сходство между выражениями для вращательных моментов, действующих на магнитную стрелку и контур тока. Действительно, поведение этих двух систем во внешнем поле чрезвычайно похоже. Если характеризовать каждую из систем стрелкой ее магнитного момента, то сходство будет еще более полным. Каждая система стремится расположиться в магнитном поле так, чтобы ее магнитный момент совпал с силовыми линиями поля. Если магнитный момент отклонен от положения устойчивого равновесия, то на систему действует вращательный момент N=VM№ — для магнитной стрелки и ЛГ=[Л!В] — для контура тока. Соответственно потенциальные энергии этих двух систем представятся формулами и=—МН и U—MB.
Так как B=^oyiH, то становится очевидным различие между формулами: они переходят одна в другую введением в формулы магнитной проницаемости. Отсюда следует, что в отношении механического воздействия магнитная стрелка с моментом М эквивалентна контуру тока с моментом М^МДрор).
Однако сходство этих двух систем еще не кончается на сказанном. Мы покажем сейчас, что магнитная стрелка и контур тока обладают собственными полями, совпадающими с точностью до постоянного множителя. Такое сходство имеет место на расстояниях, существенно больших размера системы. Докажем это для точки про- 246
окружности, пересекающимиокружности, пересекающимиРис. 114.радиус-вектор образуют прямой рисунке два вектора. Для поля,Рис. 114.радиус-вектор образуют прямой рисунке два вектора. Для поля,
окружности, пересекающими
окружности, пересекающими
Рис. 114.
радиус-вектор образуют прямой рисунке два вектора. Для поля,
Рис. 114.
радиус-вектор образуют прямой рисунке два вектора. Для поля,
странства, лежащей на линии магнитного момента на расстоянии т от центра системы. Поле магнита для такой точки было уже вычислено, оно равно В~2М!г\ Остается найти поле кругового тока на
его оси.
На рис. 114 произведено построение векторов напряженности,
создаваемых двумя элементами д; чертеж. Векторы напряженности направлены перпендикулярно к соответствующему элементу тока и к радиусу-вектору, т. е. лежат в плоскости чертежа. В какую именно сторону смотрит вектор напряженности, следует определить либо при помощи правила векторного произведения, либо при помощи правила буравчика (что в общем одно и то же).
Элементарное поле равно в рассматриваемом случае dH = 1 dl
=—г , так как элемент тока и сг2 *
угол. Сложим изображенные на
созданного двумя «противоположными» элементами, получим
dH = -^ cos р;
смысл обозначений ясен из чертежа. Такую же величину поля даст любая пара «противоположных» элементов. Поэтому полное поле мы получим, заменив в последнем выражении длину элемента dl на длину половины окружности ла. Напряженность поля кругового тока на его оси на расстоянии г от тока *) представится формулой
и 2зшЧп = —о— .от4
Но—/S, где 5=ла2, есть момент кругового тока. Следовательно,
и 2MD 2М
Н = -^, а магнитная индукция S — ppoTa--
Этим доказано, что магнитный диполь и контур тока эквивалентны не только в отношении действующих на них сил, но и в отношении создаваемых ими полей. Эквивалентность имеет и здесь тот же характер. Чтобы заменить магнитную стрелку с моментом М, нужно взять контур тока с моментом Л4т=Л4/(рр0).
В вакууме и для системы СГС рр0=1, и принцип эквивалентности еще проще: магнитная стрелка с моментом М эквивалентна контуру тока с таким же магнитным моментом.
*) Нас интересуют большие расстояния, следовательно, различия между г и расстоянием до центра системы пренебрежимо малы.
Примеры. 1. Вернемся к примеру на стр. 242. Рассчитаем магнитную индукцию того же магнита в системе СИ:
В = 0,05Т, 5 = 310-4м2, Ф = 15-10-6 В с, т=1510-6В с, / — 0,1 м, М = т/= 15-10-60,1 = 1,5* 10"6 В*с*м,
2лг9 1’
в полном соответствии с результатом на стр. 242.
Контур с током /=5 А, имеющий площадь 5=2 см2, создает на расстоянии /*=50 см вдоль оси, перпендикулярной к его плоскости, магнитное поле с напряженностью Н^МкЧ-
M = -l/S = 3^Qi5-5-310’-2=l эрг/Ге,
Н— 1,6-10“5 эрстед (Э).
Вихревой характер магнитного поля
Исследование хода магнитных линий показывает принципиальное различие между электрическим и магнитным полем. Электрические линии имеют начало и конец, не существует замкнутых линий у постоянного электрического поля. Напротив, опыт показывает, что силовые линии магнитного поля (т. с. векторные линии магнитной индукции) всегда замкнуты, не существуют линии, имеющие начало и конец.
По причинам, обсуждавшимся выше, силы и поля сил, в которых работа по замкнутому пути равна нулю, получили название потенциальных. Векторные поля, характеризующиеся замкнутыми силовыми линиями, носят название вихревых. Магнитное поле является вихревым.
Если провести в магнитном поле замкнутую поверхность, то магнитный поток Ф = ^ В cos a dS через такую поверхность будет всегда равен нулю. Иначе говоря, число линий, входящих в эту поверхность, будет равно числу линий, выходящих из нее. Уравнение ^ В cos a dS = 0 и является математическим выражением того факта, что у магнитных силовых линий нет начала и конца.
Связь магнитных линий с создающими поле токами состоит в том, что магнитные линии всегда охватывают токи. Поэтому интегралы, взятые вдоль силовой линии от индукции или напряженности, ^ В dl или ^ Н dl, должны быть отличны от нуля. Целесообразнее рассматривать второй интеграл, так как его величина должна быть пропорциональна силе электрического тока, охватываемого силовой линией; ведь согласно основной формуле напряженности между Н и силой тока имеет место прямая пропорциональность.
По аналогии с электростатикой ^ Hdl называют магнитным напряжением. Если интеграл берется вдоль силовой линии, то
^Hdl=^HdL
Магнитное напряжение вдоль замкнутой линии должно быть пропорционально току, около которого эта линия обворачивается:
^Hdl = M,
где к — коэффициент пропорциональности.
Силовая линия может охватывать не один ток, а несколько. Для создаваемого поля существенна алгебраическая сумма токов, и уравнение имеет вид
^Hdl=k^I.
Более глубокий теоретический анализ, на котором мы здесь не можем останавливаться, показывает, что написанное уравнение подвергается еще двум обобщениям. Во-первых, магнитное напряжение можно взять не только вдоль силовой линии, но и вдоль произвольного контура; во-вторых, коэффициент пропорциональности в уравнении является константой, зависящей лишь от свойств среды и одинаковой для любых геометрических условий. Таким образом, магнитное напряжение, взятое для любой замкнутой кривой линии, одинаково, если только эта кривая охватывает токи определенной силы. Безразлична форма кривой, размеры кривой; кривая может охватывать один ток или десяток токов; эти токи могут быть прямыми, круговыми,— все это безразлично, магнитное напряжение будет одним и тем же, если только алгебраическая сумма токов, пронизывающих кривую, будет иметь одинаковое значение.
Так как коэффициент пропорциональности в формуле магнитного напряжения есть величина универсальная, то мы можем найти к, если сумеем вычислить магнитное напряжение для любой системы, поле которой нам известно.
Мы познакомились с общим выражением для напряженности магнитного поля элементарного тока. Вычисление магнитного напряжения с помощью формулы напряженности
представляет математические трудности. Кроме того, нам известна формула напряженности магнитного поля на оси кругового тока, Н=2М!г\ Вычисление магнитного напряжения вдоль оси кругового тока не представит особых затруднений. Нас не должно смущать, что интегрирование происходит вдоль прямой линии, в то время как нас интересует магнитное напряжение вдоль замкнутой кривой. Дело в том, что прямая, идущая от отрицательной бесконечности в положительную, является замкнутой кривой — она замыкается в бесконечности. Выражение для магнитного напряжения Н dl, взятого вдоль такой замкнутой кривой, т. е. вдоль оси кругового тока от отрицательной бесконечности до положительной
бесконечности, можно записать в виде
2М r^L^,Д()</2+а2)3
где а — радиус, I — расстояние, откладываемое по оси контура. Интеграл легко берется, если перейти к новой переменной р по формуле Z/a=ctg Р, и оказывается равным 2/д2. Подставляя М = = (1/с) Ьяа* и приравнивая значение магнитного напряжения величине kl, получим
А = ^ (СГС), ^=1 (СИ). Закон магнитного напряжения имеет вид Hdl=^-^I или Hdl = ^L Закон магнитного напряжения может оказать существенные услуги в подсчете магнитных полей ряда систем. В его применении нам должны помочь соображения симметрии, и в этом отношении рассуждения, к которым мы сейчас переходим, очень похожи на соответствующие задачи, которые решались в электростатике с помощью закона Гаусса — Остроградского.
Рассмотрим, прежде всего, бесконечный прямолинейный ток. Из соображений симметрии очевидно, что сидовая линия может иметь лишь форму окружности, центр которой совладает с осью провода. Также несомненно, что во всех точках окружности числовое значение напряженности одно и то же. Применяя к такой силовой линии закон магнитного напряжения., получим: Н ^dl = ~- L При этом ^dl есть не что иное как длина силовой линии. Если рассматриваются точки, расположенные на расстоянии г от оси провода, то ^ dl = 2лг, и, таким образом, для магнитного поля бесконечного прямолинейного тока в пространстве вне провода мы получим:
Я = ^ (СГС),
<«)■
Найдем теперь напряженность магнитного поля внутри провода. Обозначим радиус провода через а и допустим, что ток распределен вдоль сечения провода вполне равномерно. Силовые линии внутри провода также должны иметь вид окружностей. Рассмотрим такую линию радиуса г. Через нее протекает доля тока ^ I, и, следовательно, закон магнитного напряжения даст
,, ~ 4л г2 ,„ „ и 2 г ,
—т. е. Н- — -^1,
или в системе СИили в системе СИ
или в системе СИ
или в системе СИ
Н=г~.
Мы видим, что напряженность магнитного поля на оси провода равна нулю, далее она возрастает, становится максимальной на поверхности провода, а затем убывает обратно пропорционально расстоянию (рис. 115).
конца провода, то формулаконца провода, то формулаРис. 115.Рис. 115.' Если поле определяется в такой точке, для которой расстоя-
конца провода, то формула
конца провода, то формула
Рис. 115.
Рис. 115.
ние г много меньше ее расстояния до Н—Н^г может быть применена ‘для провода конечных размеров.
П ример. Подсчитаем, какова напряженность магнитного поля на расстоянии 5 см от оси прямолинейного тока
■ В системе СГС 7=20- 3- 1O’=6-10й ед. СГС.
2/2.6.101»
Н~сг~ 3.101».5—О.»Э.
В системе СИ /=20 А, г=0,05 м,
/20
Я == А/м.
2лг 2л-0,05
Другой важньщ пример использования закона магнитного напряжения — это вычисление поля соленоида.
Положим, что на окружность длиной L равномерно навиты витки соленоида. Поле внутри кругового соленоида должно быть однородным, и все силовые линии должны быть окружностями, концентрическими с L. Такая система для вопросов теории магнитного поля играет ту же роль, что бесконечный плоский конденсатор в теории электрического поля. Каждая силовая линия охватывает все п витков, и поэтому магнитное напряжение, взятое вдоль силовой линии длиной £, будет равно
^Hdl = ^nl.
Так как^ Н dl = HL, то
H = ^2Lf (СГС),
Н = -^1 (СИ).
Напряженность магнитного поля катушки определяется ее «ампервитками», т. е. произведением силы тока на число витков на единицу длины соленоида. Последняя формула — одно из оправданий электротехнической системы записи уравнений поля. Соленоид
является одним из основных элементов электротехнических устройств, поэтому упрощение формулы для вычисления напряженности его магнитного поля очень полезно для практики.
Формулу H=-j-I можно применять и для открытого соленоида, однако лишь для тех внутренних точек, которые находятся достаточно далеко от краев.
Пример. Напряженность магнитного поля в центре узкого и длинного соленоида (£=15 см, п=1500 витков, 7=0,1 А) будет
Я =1000 А/м.
В системе СГС тот же расчет примет вид
^ТТ^з^’^0’1-3'10’^12’569'
1 А/м = 4л-10-3 Э-, 1Э^80А/м.
§ 105. Закон электромагнитной индукциии сила Лоренца
Как известно, явление электромагнитной индукции, открытое великим английским физиком Фарадеем, состоит в том, что в замкнутом проводнике возникает электрический ток, если только изменяется значение магнитного потока, проходящего через замкнутый провод. При этом э. д. с. индукции оказывается пропорциональной скорости изменения магнитного потока, т. е. производной по времени
, где Ф = С В cos a d 5.
at ’J
Покажем, что закон электромагнитной индукции тесно связан с существованием лоренцовой силы. Если электромагнитная индук
ция возникает при перемещении провода в магнитном поле, то закон индукции является прямым следствием выражения для силы Лоренца.
Чтобы нс загромождать изложения чисто математическими трудностями, проведем упрощенное доказательство, а именно, допустим, что э. д. с. индукции возникает в прямоугольном контуре, расположенном перпендикулярно к силовым линиям однородного магнитного поля. Изменение потока вызывается поступательным перемещением одной из сторон прямоугольника длиной / так, как показано на
рис. 116. В перемещающемся проводнике находятся свободные заряды, поэтому при движении проводника
со скоростью и эти заряды подвергнутся действию силы Лоренца
f = — t)B. (Ввиду того, что углы между направлением скорости, магнитным полем и направлением проводника равны 90°, мы опустили векторные символы в формуле силы, а синус угла при этом равен единице.) Сила Лоренца направлена перпендикулярно к плоскости, проходящей через направление у скорости перемещения зарядов (вместе с проводом) и магнитные линии, т. е. вдоль провода. Таким образом, заряды придут в движение вдоль провода, создастся индукционный ток.
Электродвижущей силой называется работа перемещения единицы заряда вдоль замкнутого контура. Сила, действующая на единицу заряда, равна (1/с) иВ; работа этой силы вдоль движущегося провода равна (1/с) иВ1; но на остальных участках контура работа не производится. Поэтому последнее выражение и есть искомое выражение для э. д. с. индукции.
Оно имеет вид
^«А=1_иВ1 (СГС),
= vBl (СИ).
Пусть за время dt провод передвинулся на расстояние dx. Площадь контура возросла при этом на величину ldx=dS, а магнитный dx
поток — уа величину йФ=В dS. Так как и = -^, э. д. с. индукции может быть представлена и в такой форме: ~ -^- . Но это выражение — ^инд _. — J_ ^ в системе СГС и ^инд = — ^ в системе СИ — и есть закон электромагнитной индукции Фарадея.
Этим показано, что электромагнитная индукция и отклонение движущихся электрических зарядов во внешнем поле представляют собой проявления одних и тех же законов природы. Мы еще раз вернемся к этому интересному вопросу в следующей главе. Сейчас нам нужно было лишь напомнить смысл и содержание закона электромагнитной индукции.
Измерения магнитного поля методоминдукционного толчка
Используя явление электромагнитной индукции, можно разработать весьма совершенные методы измерения магнитного поля. Допустим, что имеется необходимость определить значение магнитного поля в каком-либо месте пространства. Изготовляется плоская катушка малого размера (или берется один проволочный виток) и помещается в магнитное поле в положение, перпендикулярное к силовым линиям. К катушке (витку) идут провода от клемм баллистического гальванометра. Если теперь быстрым движением повернуть плоскость катушки на 90° так, чтобы ее плоскость совпала с силовыми линиями, то за время поворота по катушке пробежит
Рис. 117.Рис. 117.электрический индукционный ток. Этот кратковременный ток, быстро достигающий максимума, а затем спадающий к нулю, носит название индукционного толчка (рис. 117). За время толчка по проводу пройдет определенное количество электричества, которое с большой точностью может быть измерено баллистическим гальванометром—прибором, позволяющим из-за инертности своей поворотной рамки интегрировать электрический ток за время толчка.
Рис. 117.
Рис. 117.
Если сопротивление катушки R, число витков п, то сила протекающего по катушке индукционного тока запишется в виде
1— п 5?R dt *
Количество электричества, протекшее через провод за время индукционного толчка, будет равно
Т2
Q = J 1 at = R-i п рФ = К'1» (Ф2—ФО, О1
где Oi— значение потока, проходящего через катушку в первом положении, а Ф2— во втором.
Если Фх или Ф2 равно нулю (магнитные линии не проходят через катушку в начальном или конечном положении), то проведенное измерейие дает значение магнитной индукции. Остается лишь разделить величину магнитного потока на площадь сечения S катушки: B^QR^nS).
Разумеется, возможны и другие варианты измерения. Скажем, вместо того чтобы поворачивать катушку, можно включать или выключать поле. Можно также, если надо увеличить эффект, поворачивать катушку не на 90, а на 180°, это удвоит эффект. Для этой же цели прибегают не к включению или выключению поля, а изменяют знак поля на обратный.
Так как измерительная катушка может быть сделана очень маленькой, вплоть до квадратного миллиметра, то измерения этим способом могут помочь в точном зондировании магнитного поля в небольших объемах.
Этот же самый метод применяется для измерения магнитного напряжения. Для этой цели изготовляется измерительный пояс (его называют поясом Роговского) — длинная катушка, надетая на гибкий ремень. Поясу может быть придана любая форма, и два конца его могут быть подведены к любым двум точкам пространства. Концы пояса могут быть также при желании приведены в соприкосновение. Покажем, что такой измерительный пояс, соединенный с баллистическим гальванометром, будет давать при выключении поля ве-
личину, пропорциональную магнитному напряжению вдоль того пути, по которому он уложен.
Баллистический гальванометр измерит величину магнитного потока, проходящего через все витки катушки. Пусть п — плотность намотки, т. е. число витков, приходящееся на единицу длины измерительного пояса. Тогда на малом отрезке пояса A/f уложится nA/j витков, и магнитный поток, проходящий через эти нА/} витков, будет равен ФгпА/г.
Если среда однородна и все витки имеют одинаковую площадь, то
и суммарный магнитный поток, пронизывающий весь измерительный пояс, будет
ф=2 ^Sn н£ м£.
i
Переходя к пределу при А/; ->0, получим
2
Ф = pSn Н dl.
1
Так как измерения проводятся в среде, для которой р мало отличается от р0, то pSn есть константа прибора. Отбросы баллистического гальванометра при измерениях с помощью пояса будут в точности пропорциональны магнитному напряжению между точками, где находятся концы пояса.
Этим прибором легко продемонстрировать закономерности, обсуждавшиеся в § 104. Обводя катушку вокруг одного и того же тока, мы увидим, что при любой конфигурации напряжение будет одним и тем же; мы также легко проверим, что магнитное напряжение вдоль контура, не охватывающего тока, равно нулю. Обводя катушку около одного тока несколько раз, мы убедимся в возрастании магнитного напряжения в соответствующее число раз, и т. д.
Необходимо подчеркнуть особенное значение измерений магнитного поля методом индукционного толчка для тех случаев, когда нас интересует магнитное поле внутри твердого тела. Кроме обсуждаемого метода, можно прибегнуть лишь к вырезыванию в твердом теле щелей. Обычно это невозможный путь.
Остановимся на самой распространенной задаче — измерении магнитной проницаемости железных тел. Наиболее точные результаты могут быть получены, если исследуемое вещество изготовляется в виде тороида. На это кольцо наматываются две обмотки, одна из которых присоединена к источнику тока, а другая — к баллистическому гальванометру. Если ток включен, то через кольцо проходит магнитный поток Ф=В8. Переключая направление первичного тока на обратное, мы вызовем во второй катушке индукционный ток. Протекшее по гальванометру количество электричества Q будет связано с магнитной индукцией внутри кольца уже обсуждавшимся
выше соотношением
где S — сечение тороида (предполагается, что витки плотно прилегают к кольцу), п2 и R — число витков и сопротивление вторичной обмотки. Что же касается напряженности магнитного поля, то ее мы можем определить по формуле, справедливой для кругового соленоида: Н = ^- Частное от деления В на Н даст значение магнитной проницаемости материала кольца.
Ограниченные тела в магнитном поле
В той или иной степени все тела обладают магнитными свойствами. Магнитные свойства скажутся, во-первых, в том, что тела будут испытывать силы и моменты сил со стороны магнитного поля; во- вторых, магнитное поле исказится, если поместить в него тело. Как указывалось выше, магнитные свойства вещества характеризуются коэффициентом р — магнитной проницаемостью вещества. По значениям р тела могут быть отчетливо разбиты натри класса веществ: ферромагнетики, к которым относятся железо, никель и кобальт, обладающие положительными значениями относительной магнитной проницаемости, много большими единицы; парамагнетики — тела с проницаемостью, несколько большей единицы, и диамагнетики, у которых магнитная проницаемость чуть меньше единицы. Типичные цифры приведены в таблице.
Вещество
ц
X
Медь
Вода
Платина . . . . Кремний . . . . Вольфрам . . . .
0,999990 0,999991 1,000300 0,999986 1,000079
—10-5
—9-Ю"6 300-ю-6
—14-10-6 79-10-6
Искажение магнитного поля, происходящее при внесении в него диамагнитных и парамагнитных тел, совершенно незначительно. Напротив, магнитное поле искажается весьма существенно, если в пространство будут внесены ферромагнитные тела.
Что же касается силовых действий магнитного поля, то они без особого труда обнаруживаются и для пара- и диамагнитных тел. Не приходится и говорить о значительных силах, которые испытываются со стороны магнитного поля железными телами; эти силы превосходно знакомы каждому.
Остановимся сначала на изучении магнитных сил. Каждое тело, не обладавшее магнитными свойствами, становится магнитным, 256
будучи внесенным в поле. Этот процесс есть намагничивание тела, проявляющееся в приобретении телом магнитного момента. Как нам известно, система, обладающая магнитным моментом, может обнаружить себя двояко. В однородном поле такое тело поворачивается так, чтобы направление момента совпало с внешним полем. В неоднородном поле тело будет, кроме того, испытывать силу, действующую так, что тело придет в движение вдоль силовых линий.
Вращательный момент может быть без труда обнаружен у ферромагнитных тел. По формуле ^=[Лf^] можно найти магнитный момент тела. Однако большей частью нас интересует не тело случайной формы, а вещество. Поэтому по возможности пересчитывают измеренную величину на магнитный момент единицы объема. Век- гор, направленный вдоль магнитного момента и численно равный величине магнитного момента, приходящегося на единицу объема, называют вектором намагничения J. Разумеется, перерасчет от магнитного момента тела к вектору намагничения не вызывает трудностей лишь в том случае, если мы уверены в том, что намагничение образца однородно. Это имеет место тогда, когда.образец обладает формой эллипсоида или вырожденного эллипсоида, т. е. цилиндра, пластинки, шара (ср. стр. 233). С такими телами и проводят подобные эксперименты.
Определение вектора намагничения измерением вращательного момента легко проводится для ферромагнитных тел. Для парамагнитных и диамагнитных тел вращательные моменты очень малы и измерять их трудно. В этих случаях предпочитают измерение силы, действующей на тело, находящееся в неоднородном поле.
Рассмотрим элемент объема магнетика, находящегося в неоднородном поле. Для простоты положим, что поле меняется вдоль одной оси и градиент поля равен ^ . Каждый элемент объема магнетика будет вести себя, как магнитный диполь; поэтому потенциальная энергия единицы объема может быть записана в виде U——JH. Если его момент установился вдоль поля, то сила, действующая на единицу объема магнетика, будет равна производной потенциальной энергии по координате, т. е.
' dx
Таким образом, зная градиент поля и измеряя силу, можно найти величину магнитного момента единицы объема исследуемого тела. Практически это осуществляется в различных установках. Простейшими из них являются так называемые магнитные весы. В одной из чашек аналитических микровесов делается отверстие, через которое пропускается нить. На конец нити подвешивается образец и помещается между полюсами магнита. Образец уравновешивается сначала при невключенном магните, а затем при наложении поля. Разность показаний весов дает значение силы f.
Весы должны быть достаточно точными, что видно из следующего примера. Кусок висмута (наиболее сильное диамагнитное вещество),
2572579 А. И. Китайгородский
257
257
помещенный в магнитное поле, напряженность которого Я ~ 1000 Э, имеет намагничение J=2-10~2 ед. СГС. При неоднородности магнитного поля ^ ^^О Э/см на каждый кубический сантиметр висмута будет действовать сила лишь в 1 дин, т. е. /~1 дин/см3.
Рис. 118.
Опыт показывает, что для диа- и парамагнитных тел между вектором намагничения и напряженностью магнитного поля имеется простая зависимость
J=p0 хЯ,
где х носит название магнитной восприимчивости. Для диамагнитных тел х отрицательно, для парамагнитных — положительно. Значения х были приведены в таблице на стр. 256. При положительных значениях х вектор намагничения параллелен вектору напряженности поля, при отрицательных значениях х, т. е. для диамагнитных тел, направления векторов намагничения и напряженности магнитного поля противоположны.
Эта разница в знаке делает весьма непохожим поведение тел обоих классов в тождественных условиях. Это иллюстрируется рис. 118. Различия действительно разительны. Парамагнитное тело втягивается в область сильного поля, диамагнитное тело выталкивается. В однородном поле парамагнитная стрелка стремится расположить свою ось вдоль силовых линий, диамагнитная — поперек (ср. аналогичный пример с диэлектриком, стр. 231).
Определение магнитной восприимчивости измерением силы в неоднородном поле можно производить для твердых тел как в виде монокристаллов, так и в виде порошков. Без всякого труда метод приложим и к жидкостям. В этом случае можно поставить опыт так, чтобы измеряемой величиной явилось повышение или понижение уровня жидкости, втягиваемой или выталкиваемой из пространства между полюсами магнита.
§108. Связь между магнитной проницаемостьюи восприимчивостью
Обе эти величины могут быть измерены непосредственно: магнитная проницаемость определяется измерением индукции и напряженности с дальнейшим вычислением по формуле \i=BIH, а восприимчивость — по силовым действиям на магнетик, как описано только что. Разумеется, можно установить на опыте связь между этими двумя характеристиками магнитных свойств вещества. В этом, однако, нет нужды, так как между р и х существует строгая и простая связь, следующая из таких соображений.
Вернемся к опыту по определению магнитной проницаемости тела, выполненного в виде тороида. Первичная катушка, которой обернут тороид, создает поле с напряженностью H=nIIL, не зависящей от вещества тороида; без тороида напряженность поля представится той же формулой. Иное дело — магнитный поток. Мы убеждаемся опытным путем, что значение В зависит от магнитной проницаемости. Если сердечник катушки сделан из железа, то В возрастает в сотни и тысячи раз. Это увеличение магнитного потока мы связываем с явлением намагничивания.
Обратим прежде всего внимание на то обстоятельство, что в отсутствие железа магнитная индукция кругового соленоида ц0Я имеет смысл магнитного момента в единице объема.
Магнитный момент витка катушки равняется IS (будем вести рассуждения применительно к системе СИ). Полный магнитный момент системы будет равен nIS, а магнитный момент токов в единице объема есть не что иное как напряженность поля. Магнитный момент эквивалентных диполей будет в ц0 раз больше (ср. § 103). Следовательно, магнитная индукция однородного магнитного поля, создаваемого витками кругового соленоида при отсутствии сердечника, ц0^, может быть представлена как магнитный момент эквивалентных диполей, приходящихся на единицу объема.
С полным основанием мы можем полагать, что магнитная индукция сохранит свой смысл, если, не нарушая однородности поля, равномерно заполнить пространство катушки дополнительным числом магнитных диполей. Если на единицу объема от дополнительных диполей приходится магнитный момент J, то магнитная индукция возрастет на эту величину и станет равной
В = р0// + J.
Такое возрастание В и происходит, когда соленоид заполняется веществом. Так как J = yioxH, то В=р0(х+1) Н, и, следовательно, магнитная восприимчивость и проницаемость связаны равенством
|Л= 1 +х.
Аналогичное рассуждение применительно к системе СГС приведет к формулам с другими коэффициентами. Магнитный момент токов (и диполей) в единице объема равен
п — IS -
с1 н
—гт;= -:— 17 .
LS4л
Поэтому при наличии среды
A-B=-l-H + J, т. е. B = H + 4nJ. 4л 4л
Полагая J^nH, получим
В = (1 + 4лх') Н, следовательно,
р, = 1+4лх', где х' = ^.
Пример. Проведем расчет примера на стр. 258 в системе СИ. Для висмута х'=2-10~5, т. е. х=4лх'=8л« 10”5; кусок висмута находится в магнитном поле
ю6
Я= 1000 3= — • 103- 1000А/м = -— А/м,обладающем неоднородностью
^ = 50Э/см = 50Юз-100 А/м2=5^ А/ма.
dx4л4л
Намагничение висмута будет /=р0хЯ=8л-10-6 В-с/м2. Тогда на единицу объема (1 м3) будет действовать сила
J^=8-10-6= 10Н/м3.
* dx4л
Ясно, что 10 Н/м3=1 дин/см3, что совпадает с результатом предыдущего примера.
§ 109. Искажение магнитного поля при внесениив него магнетика
Вопрос об искажении магнитного поля имеет практическое значение только при внесении в поле железных тел. В значительной части нам придется повторить рассуждения, аналогичные приведенным на стр. 232 для диэлектриков.
На границе двух сред, обладающих разными магнитными про- ницаемостями, векторы магнитного поля (как индукция, так и напряженность) преломляются. Чтобы найти законы этого преломления, рассмотрим, прежде всего, магнитное напряжение, взятое вдоль малого контура A BCD, тесно прилегающего к поверхности раздела так, как это показано на рис. 119. Так как через этот контур токи не протекают, то магнитное напряжение равно нулю. Разложим вектор напряженности магнитного поля с обеих сторон границы на
нормальную и тангенциальную составляющие. Из рисунка ясно, что обращение в нуль магнитного напряжения может иметь место лишь в том случае, если тангенциальные составляющие будут равны друг другу:
Другое условие на границе двух сред мы найдем рассмотрением магнитного потока, проходящего через прилегающий к поверхности раздела небольшой цилиндр (на рисунке не показан). Так как у магнитных линий источников нет, то число силовых линий, входящих в верхнее основание цилиндра, должно равняться числу линий, выходящих через нижнее основание. Боковая поверхность бесконечно мала и поток через нее равен нулю. Разложим вектор магнитной индукции с обеих сторон границы на две составляющие: нормальную и тангенциальную. Очевидно, равенство потоков через основания может иметь место в том случае, если нормальные составляющие вектора индукции не изменятся при переходе через границу:
Из этих двух правил мы находим закон преломления силовых линий. Из рисунка ясно, что
tg«i ^Pi.
tga2 Р2’,
При переходе из воздуха в железо магнитные линии отклоняются от перпендикуляра чрезвычайно значительно и поэтому сильно
сгущаются. Именно поэтому железное тело, обладающее магнитной проницаемостью в сотни и тысячи раз больше р0, «вбирает» в себя силовые линии. На этом явлении основана магнитная защита. В пространство, огражденное железом, магнитный поток не пройдет: подавляющая часть магнитных линий будет идти внутрь железа (рис. 120).
В совершенной аналогии с диэлектриками решается задача о характере искажений, вносимых в магнитное поле телом определенной формы. Если тело имеет форму эллипсоида, цилиндра или пластинки, то поле внутри такого тела, как показывают теоретические
расчеты, будет однородным, если поле было однородным и до внесения в него железного тела. Между внешним однородным полем Но (тем, которое было) и полем внутри железного тела Ht (которое стало) существует соотношение, полностью аналогичное обсужденному в § 96. Напряженность поля, образовавшегося в железном теле, становится меньше той, которая была ранее, на величину, пропорциональную намагничению:
Hi = H0— — J.
° Но
Чтобы фактор размагничения был безразмерным, намагничение поделено на магнитную проницаемость вакуума. Продолжая и далее пользоваться соотношениями системы СИ и подставляя
получим следующую связь между внешним и внутренним полем
н
В системе СГС
и связь между внешним и внутренним полем будет иметь вид
Н,=Н,=НоНо1 + (р.-1)Л7(4л)-1 + (р.-1)Л7(4л)-
Н,=
Н,=
Но
Но
1 + (р.-1)Л7(4л)-
1 + (р.-1)Л7(4л)-
Коэффициент размагничения имеет те же значения, что и в случае диэлектриков: N=4k/3 (М' = 1/3) для шара, А=4л (А' = 1) для пластины и т. д.
§ НО. Магнитный гистерезис
Говоря о магнитной проницаемости железных уел, мы могли создать ложное впечатление, что магнитные свойства ферромагнетиков отличаются от магнитных свойств парамагнитных тел только величиной магнитной проницаемости. Это совсем не так. Принципиальное отличие ферромагнетиков от других тел заключается в отсутствии линейной и, более того, однозначной зависимости магнитного состояния тела от напряженности магнитного поля. Поэтому понятие магнитной проницаемости для ферромагнетиков носит весьма условный характер. Правильное представление о магнитных свойствах железа можно получить, рассматривая кривую зависимости намагничения от напряженности или магнитной индукции от напряженности поля. Обе эти кривые довольно близки друг К другу.
Будем измерять намагничение железного тела в функции напряженности. Сначала намагничение будет расти медленно, затем быстро и, наконец, наступит магнитное насыщение. Такого типа кри
вые намагничения, впервые построенные А. Г. Столетовым, типичны для всех ферромагнитных тел (рис. 121). Повторяем, что кривые намагничения и магнитной индукции весьма похожи. Ход кривой намагничения дает магнитную восприимчивость, ход кривой индукции дает магнитную проницаемость. Из приведенной кривой видно, что магнитная проницаемость (восприимчивость) изменяется по кривой с максимумом. При малых полях магнитная проницаемость
мала, затем она возрастает до максимума, потом падает и по достижении насыщения остается неизменной. Большей частью, когда приводят значения магнитной проницаемости, не оговаривая внешних условий, имеют в виду максимальную магнитную проницаемость. - .
Однако описанным не исчерпывается своеобразие поведения ферромагнетиков. Положим, что железо доведено до состояния магнитного насыщения, и начнем уменьшать напряженность магнитного поля. Оказывается, что индукция будет убывать теперь по другой кривой, лежащей выше кривой начального намагничения. Напряженность поля может быть доведена до нуля, но намагничение не будет снято. Соответствующие значения намагничения и индукции называют остаточными. Чтобы снять остаточное намагничение, необходимо переменить направление поля. Если иметь в виду опыт, о котором говорилось на стр. 255, то это значит, что нужно изменить
направление тока в первичной катушке, обмотанной около железного тела, на обратное. Размагничивание произойдет тогда, когда напряженность поля достигнет некоторой величины Нс, называемой коэрцитивной (задерживающей) силой. При дальнейшем увеличении тока тело начнет намагничиваться в обратном направлении, т. е. там, где был южный полюс, возникнет северный. Магнитный поток будет расти до той же степени насыщения, что и в начальном процессе. Достигнув отрицательного максимума индукции, можно повести процесс в обратную сторону и получить изображенную на рис. 122 петлю гистерезиса.
Из этого рисунка следует, что напряженность поля, в которое помещено железо, не определяет еще ни магнитной индукции, ни, следовательно, магнитной проницаемости. Для абсциссы Я=400 Э, например, возможны три значения индукции: первое имеет место при начальном намагничивании, второе — в процессе размагничивания и третье — по прохождении почти всей петли при повторном намагничивании. Значение магнитной индукции и магнитной проницаемости зависит от предыдущей «исторйи» образца. Отсюда и название «петля гистерезиса».
Обычно рисуют петлю, построенную при условии, что ферромагнитное тело доводится до магнитного насыщения. В то же время ясно, что можно осуществить с куском железа любые петли гистерезиса меньшего размера, как бы вписанные в основную петлю. Для этого надо начать размагничивание, не доходя до насыщения. Тогда каждому значению Н соответствует сколь угодно большое число значений В.
Отсюда следует способ приведения ферромагнитного тела в состояние, при котором одновременно равны нулю и индукция, и напряженность. Такое приведение магнитного тела в «нулевую точку» осуществляют серией последовательных перемагничиваний, начиная каждый следующий цикл при меньшем значении напряженности, чем предыдущий.
Магнитное состояние железа нельзя характеризовать только значением проницаемости или только величиной напряженности шли индукции. Нужно знать две величины, скажем, индукцию и напряженность, которые определят магнитное состояние железа точкой внутри основной гистерезисной петли.
Характер петли гистерезиса сильно зависит от материала. Магнитно-мягкими называют тела, у которых коэрцитивная сила мала (а значит, мала и площадь петли). К мягким материалам относятся чистое железо, кремнистая сталь, сплав железа с никелем (среди них выделяется пермаллой — 78% никеля). Углеродистые и иные стали принадлежат к магнитно-твердым материалам; их используют для изготовления постоянных магнитов.
Опыт показывает, что при перемагничивании ферромагнетик нагревается. Это очень существенно для электротехники, так как при помещении железа в переменное магнитное поле точка графика B—f^H), изображающая магнитное состояние железа, непрерывно обегает петлю гистерезиса. Пробег по петле сопровождается выделением тепла, которое связывается теорией магнитного поля с площадью петли. Разумеется, чем меньше максимальная индукция, тем меньше площадь петли. Поэтому можно попытаться подыскать эмпирические формулы,'связывающие выделяющееся тепло с максимальной индукцией. В электротехнике имеет распространение, например, формула такого вида:
где т]— коэффициент, значения которого приводятся в таблицах.
Пример. Для хорошего трансформаторного железа т|=070011. При Вмакс^ = 10 000 Гс потери будут
д^В^^б-103 эрг/см3=2,5. 10"4 Дж/см3.
Это значит, что при перемагничивании железа переменным током частоты у=50 Гц мощность потерь в железе составит 12,5-10~3 Вт на каждый кубический сантиметр объема железа.
ГЛАВА 16
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
1. Обобщение закона электромагнитной индукции
Мы доказали в предыдущей главе, что движение проводника в магнитном поле сопровождается индукционными явлениями. Если этот движущийся проводник составляет часть контура, магнитный поток через который меняется при движении, то в контуре
о ~ т-г
возникает ток, соответствующий э. д. с. индукции <§ =—у . Причина возникновения тока заключается в действии лоренцевой силы: на единичный электрический заряд действует сила, равная ~ [#В] (в системе СГС).
При возникновении индукционного тока существенно лишь относительное перемещение провода и магнитного поля. С одинаковым правом можно говорить, что лоренцева сила возникает тогда, когда заряд движется в магнитном поле, или в том случае, если магнитное поле движется, а заряд «покоится». Этот факт следует из принципа относительности.
Выберем систему координат, по отношению к которой магнитное поле изменяется; например, свяжем систему координат с лабораторным столом, вдоль которого движется полюс постоянного магнита. Тогда на заряды, находящиеся в покое по отношению к лабораторному столу, будет действовать сила Лоренца. Представим себе, что нам ничего не известно о движущемся постоянном магните. Установив наличие силы, действующей на покоящиеся электрические заряды, мы сделаем вполне справедливый вывод о существовании в этой системе электрического поля, напряженность которого равняется силе Лоренца, отнесенной к величине заряда. Итак, напряженность электрического поля в «покоящейся» системе координат, по отношению к которой источник постоянного магнитного поля движется со скоростью у, выражается формулой
S=4l<
Разумеется, законы электрического поля, создаваемого зарядами, и электрического поля, создаваемого движением системы по отношению к магнитному полю, будут разными. Прежде всего, у нового поля, с которым мы знакомимся, нет источников — зарядов. Значит, силовые линии не имеют начала и конца. С другой стороны, нетрудно видеть, что силовые линии этого электрического поля будут замкнутыми, т. е. электрическое поле, создаваемое движущимся магнитным полем, является полем вихревым.
Мысленно построим произвольный контур (неподвижный по отношению к лабораторному столу). Движущееся магнитное поле бу» дет пересекать этот контур. Если бы на месте мысленного контура
был реальный проволочный контур, то согласно закону Фарадея в нем возникла бы э. д. с., равная, как нам известно, ^ Edi. Следовательно, интеграл U = ^Edl не равен нулю; а это и значит, что электрическое поле Е = у [^В], созданное движущимся магнитным полем, является .полем вихревым.
Для реального проволочного контура U = где Ф — магнитный поток, проходящий через контур. Но наличие или отсутствие провода на месте замкнутой кривой ничего не меняет. Равен-
АФ
ство и — --^ должно иметь место и для мысленного контура, который построен в пространстве, где движутся источники магнитного поля.
Остается сделать последнее обобщение. Опыт показывает, что причины изменения магнитного поля не играют роли в индукционном эффекте. Всегда можно подобрать равноценные изменения полей, создаваемые движением постоянного магнита или изменением силы тока в неподвижной катушке, например приближением постоянного магнита или усилением тока в катушке, создающей поле. Поэтому найденный закон должен быть справедлив всегда* во всех случаях, независимо от того, по какой причине меняется магнитное поле. Итак, если в какой-либо области пространства меняется магнитное поле (магнитный поток), то возникает вихревое электрическое поле, связанное с изменением магнитного поля законом: напряжение U = ^ Edi вдоль замкнутого контура равняется производной по времени от магнитного потока, проходящего через эту кривую:
с dt или в системе СИ
dt
В этом состоит обобщенный закон индукции — один из важнейших законов природы.
Раскроем математическое содержание закона. Подставляя выражения электрического напряжения и магнитного потока, запишем его в развернутом виде
^Edl = — 1-^BcosadS .(СГС),^Edl = — ~t ^BcosadS (СИ).
Остановимся, прежде всего, на знаке минус, который надо ввести - в развернутой форме записи. Дело в том, что в векторной алгебре направление обхода контура и направление нормали к площади контура связаны между собой: положительное направление нормали в
Рис. 124.Рис. 124.
Рис. 124.
Рис. 124.
правовинтовой системе идет так, что с конца вектора мы видим вращение против часовой стрелки (рис. 123). Построим в пространстве замкнутую кривую и присвоим ей произвольное направление обхода. Этим будет уже определено направление нормали к площадке, охваченной рассматриваемой кривой. Через контур проходит магнитный поток. В данное мгновение он может быть положительным или
отрицательным — вектор индукции образует острый или тупой угол с нормалью. Производная по времени от потока будет положительной, если поток возрастает, и будет отрицательной, если поток убывает. Таким образом, учитывая знак минус в формуле закона индукции, можно сказать следующее: электрическое напряжение будет положительно, т. е. направление электрической силовой линии совпадет с принятым положительным направлением обхода, в том случае, если положительный поток убывает или отрицательный поток возрастает; наоборот, напряжение отрицательно, если положи
тельный поток возрастает, а отрицательный убывает. Эти соотношения хорошо видны на рис. 124.
Покажем, что знак минус в формуле индукции есть математическое выражение правила Ленца. Предположим, например, что к
катушке приближается своим северным полюсом стержневой магнит. Примем направление обхода контура, указанное на -рис. 125. Тогда положителен магнитный поток и положительна его производная по времени. Электрическое напряжение должно быть отрицательным и индукционный ток направлен в сторону, обратную той,
которая принята за положительное направление обхода. Магнитное поле индукционного тока мы сразу же найдем, вспоминая, что силовые линии выходят с той стороны кольцевого тока, где ток представляется идущим против часовой стрелки. Следовательно, при сближении магнита с контуром в последнем возникает ток такого направления, который своим полем препятствует вызвавшему его эффекту. Это и есть правило Ленца. Не составляет труда продемонстрировать это важное правило и для других частных случаев.
Подведем итоги. Переменное магнитное поле неотделимо от поля электрического. Более того, мы видим, что разделение полей на электрические и магнитные носит относительный характер. С одной точки зрения в пространстве имеется одно лишь магнитное поле. С другой точки зрения наряду с магнитным полем присутствует и электрическое поле.
Вихревое электрическое поле образуется электрическими линиями, обворачивающимися около векторов магнитной индукции, при условии, что магнитный поток, пронизывающий замкнутую силовую линию, изменяется во времени. При возрастании потока силовая линия имеет направление по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора индукции.
§ 112. Ток смещения
Теория электромагнитного поля, начала которой были заложены Фарадеем, была математически завершена английским ученым Джемсом Клерком Максвеллом. Одной из важнейших новых идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о необходимости симметрии во взаимозависимости магнитного и электрического полей.
Мы обсудили только что вопрос о создании электрического поля меняющимся магнитным потоком. Возникает естественный вопрос: создает ли переменный поток электрических силовых линий свое собственное магнитное поле? Максвелл отвечает на этот вопрос утвердительно и выдвигает гипотезу о существовании связи между переменным электрическим потоком и магнитным полем, совершенно симметричной обобщенному закону индукции. Гипотеза состоит в
следующем: если в некоторой области пространства происходит изменение электрического потока, то создается вихревое магнитное поле; магнитное напряжение U, взятое вдоль замкнутой кривой, равно изменению электрического потока, пронизывающего эту замкнутую кривую, т. е.
и dt ’ где
U = ^Hdl,
и электрический поток
N = ^ D cos a dS •s
В системе СГС
U —L^Lс di *
Симметрия соотношений между магнитным и электрическим полями не распространяется на знак, стоящий перед производной потока.
Как известно, при наличии токов магнитное напряжение по замкнутой кривой равно [/=/(или —■/ в СГС^ . Как записать уравнение магнитного напряжения для такой замкнутой кривой, которая охватывает электрический ток и переменный поток электрических силовых линий? Максвелл полагает, что магнитные напряжения сложатся, так что общая формула будет иметь вид
fHdl = I+^- (СИ)
или
$Hdl = ^(l +^ (СГС).
dN
Выражение имеет размерность силы электрического тока.
Максвелл назвал его током смещения, вкладывая в это название очень распространенную в конце XIX в. мысль о том, что поле в вакууме смещает частицы «эфира» со своих положений равновесия. Это название удержалось в науке, хотя мы и не связываем сейчас наличие поля в вакууме с идеей о смещении частиц какой бы то ни »dN „
было среды. В диэлектрической среде ток смещения -^- может быть разбит на два слагаемых в соответствии с возможностью разбиения вектора индукции D на сумму векторов напряженности и поляризации (ср. стр. 229). Поэтому часть тока смещения, «идущего» в диэлектрике, определяется изменением вектора поляризации, а зна-
чит, относительными смещениями центров тяжести положительного и отрицательного зарядов.
Прежде чем перейти к обсуждению роли тока смещения в тех или иных процессах, докажем важное положение, касающееся сум-
мы токов проводимости и смещения.
Рис. 126.Рис. 126.Рассмотрим произвольную систему электрических токов и проведем мысленно замкнутую поверхность так, чтобы токи пересекли ее. Если токи — постоянные, то закон сохранения электричества приводит нас сразу же к требованию: сум-
Рис. 126.
Рис. 126.
ма токов, втекающих в замкнутую поверхность, должна равняться сумме токов, уходящих из этой поверхности, или, короче, алгебраическая сумма токов, вытекающих из замкнутой поверхности, равна нулю. Вполне, понятно, что этот закон может не выполняться для переменных токов,— представим себе, например, замкнутую поверхность, обнимающую одну пластину конденсатора, включенного в цепь переменного
тока (рис. 126), или замкнутую поверхность, которую в одном месте
пронизывает верхушка антенны.
Покажем, что эта теорема останется в силе и для переменных токов, если ее сформулировать не для токов проводимости, а для полного «тока», складывающегося из тока проводимости и тока смещения. Для доказательства достаточно представить себе произвольную кривую с опирающейся на нее поверхностью, для которой справедлив закон
^ Hdl — I + /смещ.
Начнем стягивать к нулю замкнутую кривую; тогда поверхность S, которая опиралась на этот контур (рис. 127), станет замкнутой
Рис. 127.Рис. 127.
Рис. 127.
Рис. 127.
(операция похожа на стягивание краев дорожного мешка). Магнитное напряжение обратится в нуль, а значит, станет равной нулю и сумма токов проводимости и смещения, проходящих через замкнутую поверхность.
Теперь мы можем обсудить роль токов смещения в электромагнитных явлениях.
Вычисления показывают, что токи смещения пренебрежимо малы там, где токи проводимости отличны от нуля. Поэтому всегда пренебрегают значениями токов смещения внутри проводников.
Интересуясь величиной тока смещения в диэлектриках, мы должны рассмотреть два случая: токи смещения в диэлектрике, окружающем замкнутый проводник, и токи смещения, продолжающие проводники незамкнутых цепей.
Рассмотрим замкнутый проводник, по которому идет электрический ток, и пересечем его замкнутой поверхностью. Если ток — постоянный, то в каждое мгновение в поверхность входит и выходит одинаковое количество электричества. Иначе дело обстоит в случае переменных токов. Сила переменного тока может иметь разные значения в разных участках цепи (см. ниже, стр. 290). Поэтому в какое-нибудь мгновение силы входящих и выходящих из поверхности токов могут оказаться неравными; тогда от места, где ток меньше, к месту, где ток больше, по диэлектрику «идет» ток смещения, своеобразно дополняя меньший ток до большего. Ясно, что изменения во времени тока смещения будут строго следовать за изменениями тока проводимости. Описанное явление играет заметную роль лишь у токов достаточно высокой частоты.
Если токи проводимости не замкнуты (цепь переменного тока с конденсатором), то токи проводимости и смещения просто равны друг другу. В этом случае можно говорить о замыкании током смещения тока проводимости.
Несмотря на то, что в этом случае токи смещения весьма значительны, ряд расчетов проводится с успехом без их учета. Действительно, замыкая ток проводимости между обкладками конденсатора, ток смещения создает в этом пространстве такое же магнитное поле, которое было бы создано, если ток проводимости проходил бы в неразорванной цепи. Поэтому наличие тока смещения не сказывается на подсчете магнитного поля, коэффициента самоиндукции системы и т. д.
§113. Картина электромагнитного поля
Рассмотренные в двух предыдущих параграфах уравнения
носят название уравнений Максвелла. Эти уравнения кратко выражают совокупность наших сведений об электромагнитном поле.
Уравнения Максвелла нельзя вывести» Предыдущие два параграфа являются не выводом, а лишь показом догадок, приведших Максвелла к его открытию.
Огромный класс явлений, интересующих физиков, электротехников и радиотехников, подчиняется уравнениям Максвелла. Правила, которым подчиняются эти явления, представляют собой следствия уравнений Максвелла и могут быть выведены из них. Исклю-
чительная предсказательная ценность уравнений Максвелла ставит их в ряд с немногими великими законами природы, такими, как уравнения механики Ньютона или начала термодинамики.
В нашу задачу не входит описание математических способов решения уравнений Максвелла. Оказывается возможным преобразовать записанные выше интегральные уравнения в дифференциальные. Решая дифференциальные уравнения Максвелла, можно в принципе найти электромагнитное поле для заданного распределения зарядов и токов.
Мы остановимся еще раз на физической сущности электромагнитных явлений, передаваемой уравнениями Максвелла. Она сводится к следующему. _ '
Разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет лишь относительный смысл. Если с точки зрения одной инерциальной системы координат существует лишь магнитное поле, то с точки зрения системы, движущейся по отношению к первой, наряду с магнитным полем имеется и электрическое. Справедливо и обратное: если наблюдатель одной системы устанавливает наличие одного лишь электрического поля, то наблюдатель другой инерциальной системы установит существование как электрического, так и магнитного поля.
Рассмотрим теперь электромагнитное поле, каким оно нам представится с точки зрения какой-либо инерциальной системы отсчета. Остановим сначала свое внимание на области пространства, где отсутствуют свободные электрические заряды и, следовательно, токи проводимости. Уравненйя Максвелла имеют в этом случае вид
Оба поля, магнитное и электрическое, имеют чисто вихревой характер: силовые линии замкнуты и притом взаимно переплетены, эЛектрические линии обворачиваются около магнитных, а магнитные—
Рис. 128.
около электрических. Некоторое представление о характере электромагнитного поля может быть дано изображением его в виде цепочки колец — чередующихся замкнутых магнитных и электрических силовых линий (рис. 128). Цепочка существует только в том случае, если поле — переменное. Нарастающий кольцевой магнитный поток создает вокруг себя электрический, кольцевой поток. Изменение электрического поля приводит к созданию кольцевого магнитного потока и т. д.
Если же в рассматриваемой области пространства имеются заряды и токи, то наряду с вихревыми полями со сцепленными линиями мы обнаружим вихревое магнитное поле, линии которого замкнуты около токов, и потенциальное электрическое поле, линии которого начинаются в положительных и кончаются в отрицательных зарядах.
ГЛАВА 17
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 114. Превращения в цепи постоянного тока
Рассмотрим участок проводника, по которому идет постоянный электрический ток. Если сопротивление выделенного участка есть R и электрическое напряжение на его концах равно U, то сила тока определяется законом Ома I=U/R. На перемещение зарядов вдоль цепи электрическое поле затрачивает работу. Если относить эту работу к единице заряда, то она равна U. Так как сила тока есть по определению количество электричества, протекающее через сечение в единицу времени, то произведение IU дает работу, которую затрачивает поле на перемещение электричества, отнесенную к единице времени. IU есть мощность тока. Если ток постоянен, то вся эта работа переходит в тепло (так называемое джоулево тепло). Формулы для расчета теплового эффекта тока:
7/2
Превращение работы электрического поля в тепло происходит в каждой точке проводника. Чтобы выразить это утверждение формулой, преобразуем закон Ома так, чтобы он относился не к участку проводника, а к точке проводника. Вводя плотность тока j=I/S, где S — сечение проводника, заменяя выражение электрического напряжения на Е1 и, наконец, выражая сопротивление через длину провода I и его сечение, т. е. R = у^> получим: j=KE.
Таким образом, можно утверждать, что плотность тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля. Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость Л. Направление тока полагаем в каждой точке совпадающим с направлением напряженности. Формула
носит название дифференциального закона Ома. Ее надо рассматривать как опытный закон, обобщающий законы прохождения тока в проводниках. Обычная (интегральная) форма закона Ома является следствием этого уравнения.
Выделим в проводнике бесконечно малый элемент объемом dx в форме цилиндра с образующей dl вдоль силовых линий и площадкой основания dS, перпендикулярной к току. За единицу времени через сечение протекает количество электричества jdS, напряжение на концах элемента равно Е dl; следовательно, работа поля, затрачиваемая на перемещение электричества через этот объем, равна jE dx. Этой же формулой будет выражаться тепло, выделяемое внутри объема dx. Если нас интересует работа тока в небольшом объеме проводника, то последнее выражение надо проинтегрировать. Формула же
jE = L=%E2
дает нам выражение работы тока (джоулева тепла), выделенного единицей объема проводника.
Итак, если рассматривать какой-либо участок проводящей цепи постоянного электрического тока, то энергетические превращения в нем сводятся к превращению работы поля в тепло. Однако картина меняется, если поинтересоваться энергетическим балансом в пределах всей замкнутой цепи постоянного тока. Работа электрических сил вдоль замкнутой кривой в случае постоянного поля равняется нулю, так как работа электрических сил, затрачиваемая на перенесение заряда по внешнему участку цепи, равна и противоположна по знаку работе, необходимой для переноса заряда по внутреннему участку цепи. Следовательно, выделение джоулева тепла в цепи постоянного тока происходит лишь за счет отдачи энергии источником тока — аккумулятором, электрической машиной и т. д., т. е. за счет энергии неэлектрического (как говорят иногда, «стороннего») происхождения. Роль электрического тока сводится лишь к «переносу» энергии от источника тока до места выделения тепла. Энергия, которую способен отдать источник, характеризуется электродвижущей силой ^, которая па определению измеряется работой, совершаемой при переносе единицы заряда вдоль замкнутого контура. Фактически сторонние силы производят эту работу лишь в коротких участках цепи, где заряду приходится двигаться против сил электрического поля.
Мощность, выделяемая цепью постоянного тока, выразится формулой /^. Это выражение можно отнести к единице объема в том случае, если полагать сторонние силы объемно распределенными. Тогда работа сторонних сил представится в виде
где £стр— «напряженность» сторонних сил.
Обозначая работу сторонних сил через Р, а выделяемое джоулево тепло — через Q, мы можем кратко выразить сущность электрических превращений в цепи постоянного тока формулой
P-Q=0.
Пример. Для изолированного медного провода сечением S—4 мм2 при открытой проводке допускается плотность тока /=9-106 А/м2. Отрезок такого провода длиной 1 м имеет сопротивление 4,25-10“3 Ом. При указанном значении / по проводу протекает ток /=36 А. Потери энергии на джоулево тепло за одну секунду будут на этом участке цепи равны /2/?~ 1296-4,25- 10“3а^6 Дж, т. е. в единице объема будет ежесекундно выделяться 0,33 кал=1,38 Дж.
Превращения в замкнутой цепи переменного тока
Протекание переменного тока неизбежно сопровождается индукционными явлениями. Действительно, переменной силе тока соответствует переменный магнитный поток Ф. Под Ф понимается число силовых линий, создаваемых рассматриваемой цепью тока и пронизывающих проводящий контур. В этом случае индукционные явления будут вызваны своим собственным магнитным потоком, откуда и название явления — самоиндукция. Так как Ф непрерывно меняется, то в цепи тока в каждый момент времени наряду со сторонней э. д. с. имеется, кроме того, э. д. с. индукции, равная ЛИНД ^^
,
Магнитный поток всегда пропорционален первой степени тока. Формула Ф — LI имеет универсальную справедливость. Коэффициент L — это индуктивность цепи (другое название — коэффициент самоиндукции). Значение L зависит от геометрических свойств цепи, от характера заполнения системы магнитными телами и не зависит от условий, в которых работает эта система проводов и магнитных тел. Таким образом, для э. д. с. самоиндукции имеет место равенство
^йНД=_£^.
Смысл знака минус в этой формуле сводится к следующему: Э. д. с. индукции противодействует сторонней силе в те мгновения, когда ток возрастает; э. д. с. индукции направлена против сторонней силы. Наоборот, когда ток падает, э. д. с. индукции совпадает по направлению со сторонней э. д. с. Это обстоятельство и обусловливает распространенную аналогию между явлением механической инерции и явлением самоиндукции. Самоиндукция • препятствует как возрастанию, так и уменьшению тока.
Закон Ома, связывающий э. д. с. и силу тока, остается в силе. Поэтому произведение силы тока на полное сопротивление цепи будет в каждый момент времени иметь значение
IR = «^ + ^инд = ^стр—LIR = «^ + ^инд = ^стр—Ldi dt *di dt *
IR = «^ + ^инд = ^стр—L
IR = «^ + ^инд = ^стр—L
di dt *
di dt *
Помножим обе части равенства на мгновенную силу тока. Получим энергетическое равенство такого вида:
Здесь/^р =Р — работа сторонних сил, PR=Q— джоулево тепло. Мы видим, что в цепи переменного тока равенство этих двух величин не имеет места. Разность Р — Q равна в каждый момент времени Ы^ , т. е. равна производной от ^JUP. Иными словами, избыток работы сторонних сил над выделением джоулева тепла идет на приращение величины Ч^ЕР. Наоборот, избыток выделяющегося тепла над работой сторонних сил происходит за счет величины V2 ЕР. Уравнение
выражает закон сохранения энергии.
Величина H7=V2 LI2 несомненно имеет смысл энергии. Это — магнитная энергия системы, неразрывно связанная с существованием в ней магнитного поля- (в системе СГС формула магнитной энергии™у Ы2^ .Магнитная энергия имеется и в цепи постоянного тока. Но в этом случае она не проявляет себя, остается неизменной. Индукционные явления имеют место только при включении и выключении тока. При замыкании цепи сторонние силы производят работу, которая затрачивается наряду с выделением тепла й на накопление магнитной энергии. Наоборот, при размыкании выделение джоулева тепла происходит за счет магнитной энергии тока.
Формулу магнитной энергии можно было бы проверить опытным путем, исследуя замыкание или, еще лучше, размыкание тока. Джоулево тепло, выделившееся с мгновения отключения источника, должно численно равняться магнитной энергии тока. Если коэффициент самоиндукции велик, то выделение тепла продолжается достаточно долго и может быть измерено, скажем, калориметрическими способами. •
Индуктивность можно измерить различными опытами, а в простейших случаях можно и вычислить по формуле Ь=ФИ. Задача сводится к вычислению магнитного потока, проходящего через систему. .
Нам понадобится в дальнейшем выражение индуктивности кругового соленоида. Магнитный поток через один виток катушки равен Ф^ЦорЯЗ, где S — площадь витка, поток через п витков Ф=пцоЦ^5. Подставим сюда выражение напряженности поля (воспользуемся системой СИ):
- Ф = пр0р5^.
Поделив на силу тока, получим выражение индуктивности катушки (приближенно эта формула пригодна и для открытого соленоида):
L — РоН *
Индуктивность катушки прямо пропорциональна магнитной проницаемости среды и резко зависит от числа витков. Увеличение индуктивности достигается применением железа и увеличением числа витков. Чтобы стала отчетливой связь величины коэффициента самоиндукции с размерами катушки, помножим числитель и знаменатель на /. Тогда
= № (тУ^’.
и становится ясным, что индуктивность прямо пропорциональна объему, занятому магнитным полем, и квадрату плотности, с которой ложатся витки катушки.
Пример. Дан узкий длинный соленоид (/—15 см, п=1500 витков, S=1 см2, /=0,1 А). В середине соленоида возникает магнитный поток Ф=/щор7Л$= =6л-10“5 В-С. Индуктивность такого соленоида
«а 15002
7,^р0ру5 = 4л-10-7-1 -у~у • 10-4= 1,9-10-3 генри (Г).
В системе СИ индуктивность измеряется в генри, 1 Г=1 Ом-с. В радиотехнике индуктивность катушек измеряется миллионными и тысячными долями генри. Индуктивность дросселей с железным сердечником может достигать целых генри.
Магнитная энергия поля
В главе, посвященной электрическому полю, мы показывали, что электрическую энергию системы можно представить себе как величину, распределенную в пространстве с плотностью V2 ef2 (в системе СИ). Полную электрическую энергию системы можно найти интегрированием этого выражения по пространству, занятому полем. Мы подчеркивали важность этого обстоятельства, так как оно позволяет выразить энергию через напряженность поля и обосновывает представление о локализации поля.
Естественно, мы ожидаем, что подобные соображения будут справедливы и для магнитного поля. Это Действительно так, и можно строгим вычислением показать переход от формулы магнитной энергии V2 LP к выражению для плотности магнитной энергии V2 р0р#2, совершенно аналогичной соответствующему выражению для электрического поля.
Проведем этот переход для простейшего случая однородного поля кругового соленоида. Подставляя значение индуктивности в формулу магнитной энергии, получим
Но у есть напряженность поля. Следовательно, магнитная энергия катушки может быть представлена в виде
т/
так что плотность магнитной энергии представится выражением£УМ = !^ (СИ),
= (СГС).
Таким образом, для любой системы токов магнитная энергия может быть представлена интегралом по объему, занятому полем:
rM = ^jnHMT (СИ),Гм = ±|иЯМт (СГС).
Рассмотрим магнитную энергию двух токов. Ее выражение распадается естественным образом на три интеграла, если напряженность результирующего поля Н представить как сумму напряженностей обоих токов: Н=111+Нъ- Смысл каждого из интегралов, входящих в выражение магнитной энергии
г = ^ j цЯ^т + ц0 J ^HtH2 dt + ^ У ИЯ* dr,
довольно очевиден. Первый и последний интегралы дают магнитные энергии первого и второго токов. Что же касается второго интеграла, то его можно назвать энергией взаимодействия двух токов. Действительно, этот интеграл может иметь разные значения при одинаковых величинах напряженностей полей Hi и Н2. Представим себе, что меняется взаимное положение двух токов, тогда векторы полей Hi и Н^ вообще говоря, повернутся друг к другу и значение энергии взаимодействия изменится.
Первый и третий интегралы можно, конечно, представить через силу тока и индуктивность как V2 LiPt и V2 L2/22. Что же касается среднего интеграла, то ясно, что его величина должна быть пропорциональной произведению сил токов. Значит,
^НгН2 dx=MIJ^
Коэффициент пропорциональности М носит название коэффициента взаимной индукции. Так же как и индуктивность, М зависит от геометрии системы и распределения в ней магнитных тел.
Из этого вычисления ясно, что с изменением магнитной энергии системы токов связаны не только работа сторонних сил и выделение джоулева тепла, но и работа поля, затрачиваемая при перемещении проводников под действием амперовой силы. Закон сохранения энергии требует поэтому выполнения такого равенства:
dW„= — A — (Q — P)d(.
Здесь А — механическая работа. Таким образом, утверждается, что магнитная энергия затрачивается в общем случае на работу
перемещения проводников и на превышение выделения джоулева тепла над работой сторонних сил.
Приведенные в этом параграфе соотношения не учитывают лишь одного явления — магнитного гистерезиса. Поскольку этот вопрос носит специальный характер, мы не будем на нем останавливаться.
Пример. Энергия, запасенная в магнитном поле катушки (пример на стр. 378), будет
WWL/2_l,910-30,l22 “2L/2_l,910-30,l22 “2=0,95-10-5 дЖе=0,95-10-5 дЖе
W
W
L/2_l,910-30,l2
2 “2
L/2_l,910-30,l2
2 “2
=0,95-10-5 дЖе
=0,95-10-5 дЖе
Плотность энергии
^м^^оЦ—=4л-10-7-1—— =0,63 Дж/м3.
Разумеется, тот же результат можно получить, поделив полную энергию магнитного поля на объем катушки: wM=WM/SL
§ 117. Электрические колебания
Фундаментальное значение для электродинамики имеют процессы превращения электрической энергии в магнитную и обратно. В качестве простейшей системы, в которой имеют место подобные
превращения, мы можем рассмотреть заряженный электричеством
конденсатор, обкладки которого в некоторый момент присоединяются к концам катушки (рис. 129). При разрядке конденсатора через катушку течет электрический ток и около нее создается магнитное поле. В каждое мгновение в этой системе существуют тесно связанные между собой электриче-
Рис 129. ское поле конденсатора и магнитное поле катушки. Энергия этого контура складывается в каждый момент времени из электрической энергии поля, сосредоточенного в основном между обкладками конденсатора, и магнитной энергии, сосредоточенной главным образом внутри катушки. Как известно, в такого рода контуре возникают электрические колебания. Необходимость электрических колебаний' в по
добной системе сейчас будет нами показана.
Оставим сначала без внимания потерю энергии на джоулево тепло. Тогда закон сохранения энергии требует выполнения равен
ства
W = ^+^-LP= const.
Сумма электрической и магнитной энергии в каждое мгновение одна и та же, и, значит, производная по времени от написанного
выражения должна равняться нулю:
dW QdQ , UI n.
dt
Так как сила тока должна равняться убыли заряда с пластины конденсатора,,
7
1 ~ dt ’
то уравнение упрощается и получает вид
Подобная связь между зарядом на пластинах конденсатора и силой тока, являющейся производной от заряда по времени, может быть удовлетворена лишь при колебания^ заряда и тока по гармоническому закону.
Это станет ясным, если мы сопоставим уравнения механического колебания (стр. 75) с найденным:
, dOdx
L^ =—= —kx.
dt C ’ dt
Аналогия имеет место между зарядом и током, с одной стороны, и смещением от положения равновесия и скоростью движения, — с другой. Что же касается параметров системы, то индуктивность играет роль массы, а обратная емкость — роль жесткости системы.
Беря начало отсчета времени в тот момент, когда конденсатор заряжен полностью, положим, что
Q = Qo cos tot.
Тогда
I = — Qo(osin tot.
Подставляя в дифференциальное уравнение, получим
*—LQ^to1 cos tot = — ^* Qo cos °^
или после сокращения
.1
to = ~7= .
V LG-
Таким образом, каков бы ни был начальный заряд на обкладках конденсатора, в нем происходят гармонические колебания с собственной частотой соо=1/К^С. Частота электрических колебаний тем больше, чем меньше емкость и индуктивность цепи.
Что же происходит в реальной цепи тока, где нельзя пренебречь потерями на джоулево тепло? Очевидно, в этом случае полная энергия системы будет убывать в согласии с равенством
dW^ — PRdt, т. е.
Продифференцировав еще раз по времени и используя соотношение между зарядом и током, мы приходим к уравнению вида
Г^-+-/?^ + -1/=0.
И здесь необходимо проследить аналогию между соответствующими электрическими и механическими величинами. Сопоставляя последнее уравнение с уравнением механических колебаний с трением (стр. 79), мы отметим аналогию между электрическим сопротивлением R и коэффициентом а, характеризующим механическое сопротивление.
Решения подобных линейных дифференциальных уравнений рассматриваются в курсах высшей математики. Мы ограничимся тем, что приведем окончательную формулу, справедливость которой, впрочем, нетрудно проверить подстановкой в уравнение
/ = /ое-^ cos tot.
Частота колебаний
®=К®о—р2.
Таким образом, процесс определяется двумя характеристиками: собственной частотой свободных незатухающих колебаний соо= = \)УХС и коэффициентом затухания Р=7?/(2Л). Мы видим, во- первых, что малое затухание достигается уменьшением сопротивления по отношению к индуктивности (разумеется, такой ситуации трудно добиться; скажем, увеличивая число витков катушки, мы увеличим одновременно обе величины; правда, L будет расти быстрее). Во-вторых, мы можем отмстить, что при условии
со2 < Р2, т. е. 4L < CR^
колебания становятся невозможными. Разрядка конденсатора в таких условиях приводит к апериодическому процессу, аналогичному возвращению маятника, отклоненного в вязкой среде, в положение равновесия.'
Пример. Пусть имеется конденсатор переменной емкости с максимальной емкостью С=500 пФ. Вычислим Индуктивности катушек, необходимых для контура радиоприемника, работающего в диапазонах 1500 м и 15 м.
Частота электрических колебаний, соответствующая Л1=1500 м, vx= =2-105 Гц=200 кГц. Так как со — 2л V] = ■, тоЛг =—L—= 12-10-3Г=
11 4лМС
= 1,2 мГ. Чтобы процесс в контуре был периодическим, сопротивление контура должно быть меньше 7?i = 2 }^L1/C = 3000 Ом.
Л2=15 м, v2=2-107 Гц=20 МГц, Л2=0,12-10”6 Г—0,12 мкГ. Чтобы колебания были возможны, сопротивление контура должно быть меньше R^ — 2 у^Г2/С = 30 Ом.ч
§ 118. Электромагнитная энергия
В такой системе как колебательный контур, состоящий из конденсатора (в особенности, если он состоит из близких пластин большой площади) и катушки (в особенности, если она имеет много наложенных витков), электрическое и магнитное поля сосредоточены каждое в своей области. Поэтому можно говорить об электрической и магнитной энергиях как о двух хотя и связанных, но разных величинах. Такое разбиение в значительной степени теряет свой физический смысл, когда мы переходим к рассмотрению быстропеременных полей, в которых значительные по величине электрические и магнитные поля существуют в одних и тех же пространственных областях.
Вспоминая еще сказанное в § 113 об относительном характере разбиения электромагнитного поля на электрическое и магнитное, мы поймем необходимость введения в теорию электромагнитной энергии, формально равной сумме электрической и магнитной энергий поля. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с плотностью
w = 8^(eE2 + |i№).
В объеме V содержится электромагнитная энергия
F = 2J(eE2 + n№)dV.
V
В быстропеременных полях теряет физический смысл вопрос о превращении магнитной энергии в электрическую и обратно. В то же время надо рассматривать любые энергетические превращения, происходящие в электромагнитном* поле, привлекая в энергетический баланс величину электромагнитной энергии как единого целого.
Если принять справедливость написанного выражения для электромагнитной энергии, то, используя уравнения электромагнитного поля/ которые мы изучали в предыдущей главе, можно строго доказать следующую теорему для убыли электромагнитной энергии внутри некоторого объема пространства:
-" = (P-Q) + ^KcosadS. '
Эта теорема была доказана в 1884 г. Пойнтингом, а в более общей форме (в применении не к электромагнитному полю) — Н. А. Умовым в 1874 г. Интеграл, стоящий в правой части равенства, есть поток
вектора К *). Этот вектор, как показывает вычисление, которое мы вынуждены были за сложностью опустить, перпендикулярен к плоскости, проходящей через векторы поля Е и Н (рис. 130), и равен
К=-^ [ЕЯ] в СГС и К= [ЕЯ] в СИ.
Так как при удалении от источников поля в бесконечность значения напряженностей убывают достаточно быстро, то поток вектора Пойнтинга обращается в нуль, если речь идет о всем пространстве. В этом случае теорема утверждает: изменение электромаг- £нитной энергии равно избытку
<работы сторонних сил над выде
лением тепла.
Однако наибольший интерес представляет применение теоремы к конечному объему, когда поток вектора Пойнтинга нулю не равен. Положим, что рассмат- Iриваемый объем не охватывает
Iтоков, тогда равенство имеет
■ВИД
/—^-=Ф AcosadS.
jyИзменение электромагнитной
рис 1зоэнергии равно потоку вектора
Пойнтинга через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем.
Вектор Пойнтинга характеризует поток электромагнитной энергии, а последнее уравнение выражает следующее фундаментальное обстоятельство: изменение электромагнитной энергии внутри какого- либо объема сопровождается вытеканием или втеканием в этот объем эквивалентного количества энергии.
По сути дела, теорема Пойнтинга является необходимым следствием закона сохранения энергии и предположения о локализации в пространстве электромагнитной энергии.
Если вектор Пойнтинга действительно имеет смысл потока энергии, то он должен быть связан с плотностью энергии соотношением /С=иш (ср. стр. 102, где рассмотрена аналогичная проблема в отношении распространения упругих волн в среде). Теория Максвелла позволяет вычислить скорость распространения электромагнитной энергии и. Она оказывается равной
с
*) Напомним, что в математике выражение вида J A dS называется потоком- вектора А через поверхность S.
284
Рис. 131.Рис. 131.^-ЕН =^-i-H =4л 4л Л,^-ЕН =^-i-H =4л 4л Л,2Х *2Х *
Рис. 131.
Рис. 131.
^-ЕН =^-i-H =
4л 4л Л,
^-ЕН =^-i-H =
4л 4л Л,
2Х *
2Х *
Таким образом, в пустоте электромагнитная энергия должна распространяться со скоростью с=3-1010 см/с в блестящем согласии с опытом. Совпадение значений с, определенных из чисто электродинамических экспериментов (например, измерением взаимодействия двух токов), со значением этой константы, найденным непосред
ственным измерением скорости распространения электромагнитных
волн, является замечательным и чуть ли не исчерпывающим доказательством справедливости теории Максвелла.
В среде скорость распространения электромагнитного поля в Кер, меньше. Мы увидим ниже, в каких случаях это соотношение выполняется, и дадим объяснение отклонениям от него.
Обратимся теперь к рассмотрению энергетических превращений в ограниченных областях пространства, включающих в себя токи проводимости.
Пусть в изучаемой нами области находится цилиндрический провод с радиусом г, по которому течет ток с плотностью /. Напряженность магнитного поля на поверхности провода (ср.стр.250) будет равна в системе СГС Н = — rj, при этом
магнитные силовые линии представляют собой окружности, охватывающие ось тока. При помощи рис. 131 мы убеждаемся в том, что вектор Пойнтинга будет направлен внутрь проводника, так как напряженность поля и вектор тока совпадают по направлению. Что же касается числового значения вектора Пойнтинга, то для него мы получим (на поверхности провода)
Теперь определим поток вектора Пойнтинга, поступающий в участок провода с длиной /. Этот поток равняется
K-^rl = ~- лг21 =
где V — объем участка провода. Но /2А есть не что иное, как джоулево тепло, выделяющееся в единице объема провода. Мы доказали, таким образом, что поток вектора Пойнтинга поступает в провод и приносит энергию в количестве, как раз равном расходу на джоулево тепло.
Откуда же поступает этот поток? Таким же способом можно показать, что поток энергии выходит из тех участков провода, где локализованы сторонние силы.
Эта картина делает понятным распространение электромагнитной энергии вдоль проводов. Если электрический ток включается в Куйбышеве, а электрическая лампочка загорается в Москве, то
энергия доставлена электромагнитными волнами, а не принесена первыми электронами, начавшими движение вдоль провода.
Примеры. 1. Рассчитаем порядок напряжения, которое появится в антенне радиоприемника, находящегося на расстоянии 7^=100 км от радиостанции, излучающей мощность Р=100 кВт=105 Дж/с.
Численное значение вектора Пойнтинга в месте расположения приемной антенны будет
Р 105
с) (Вт/"’)'
В системе СГС векторы Е нН имеют одинаковые размерности (г1^2см“1^2с"1). Доказывается, что для электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, численные значения векторов Е и Н, измеренные в системе СГС, равны между собой: Е=Н. Напомним связь между единицами Е и Н в системе СИ и СГС:
1 В/м=—10-4 ед. СГС; 1 А/м=4.10-» Э.
Тогда численные значения векторов Е и Н в системе СИ будут
£' = |1(Н£; Я' = 4л.10-3Я.
Отсюда для электромагнитной волны (Е'=Н') получим: £=120л Н. В системе СИ К=ЕН, следовательно, ^=£2/(120 л),
'Е = V 120л/( = 1,7- IO-2 в/м.
Это значит, что в приемной антенне длиной 1 м. возникает разность потенциалов порядка 20 мВ.
Сравним полученное значение К с солнечной постоянной — энергией, получаемой Землей от Солнца на 1 см2 за 1 с, за вычетом потерь в атмосфере:
^Солнца = °>15 Вт/см2 = 1500 Вт/м2.
§119. Импульс и давление электромагнитного поля
Согласно теории относительности (см. стр. 384) материя, обладающая энергией, обладает и массой. Соотношение между массой и энергией дается законом Е=тс2, где с — скорость распространения света. Как нам уже известно, энергию электромагнитного поля можно рассматривать распределенной в пространстве с определенной плотностью:
Таким образом, единица объема, занятая электромагнитным полем, обладает массой m==w!c\'
Движущаяся материя, обладающая массой, должна обладать и импульсом, равным произведению массы на скорость движения. Отсюда вывод: единица объема электромагнитного поля обладает импульсом
W
0 = тс = —.
6с
Это выражение уместно назвать плотностью импульса. 286
Как было сказано ранее (стр. 284), вектор Пойнтинга, имеющий смысл потока энергии, должен быть связан с плотностью энергии соотношением K=wc. Сопоставляя две последние формулы, мы видим, что плотность импульса и вектор Пойнтинга связаны постоянным коэффициентом пропорциональности — квадратом скорости распространения волны с2, а именно, плотность импульса равна g=KJc\
Поток электромагнитной материи, обладающий массой и импульсом, должен оказывать давление на поставленную на его пути площадку. Величийа этого давления может быть выражена через плотность импульса. Она может быть различной в зависимости от того, поглощается энергия волны площадкой или отражается. Разумеется, возможны и промежуточные случаи.
За время М к площадке S подходит электромагнитное поле, заключавшееся в объеме Sckt. Если происходит полное поглощение, то за это время пропадает импульс gSckt. Но частное от деления изменения импульса на время есть сила, а сила, поделенная на площадь,— это давление. Таким образом, давление, испытываемое площадкой, поглощающей электромагнитную энергию, равно произведению плотности импульса на скорость света, p=gc, или, так как g^w/c, давление равно плотности энергии w.
Теперь рассмотрим идеально упругую встречу поля с площадкой. Если вся энергия электромагнитного поля (волны) отражается, то изменение импульса будет в два раза большим: импульс изменил свое направление на обратное. Совершенно таким же образом и в чисто механических случаях (стр. 57) сила упругого удара в два раза больше силы неупругого удара. Итак, давление, оказываемое волной на идеально отражающую пластинку, будет равно
р = 2gc, или р = ^w. ~
Теперь легко получим формулу для общего случая. Если пластинка отражает часть энергии и коэффициент отражения равен р, то давление электромагнитного потока (волны) представится формулой
p=w^\—р) + 2рйУ = (1 +р)^.
Опытная проверка этих формул, произведенная для света в 1900 г. П. Н. Лебедевым, сыграла большую роль в установлении наших взглядов на природу электромагнитных волн. Давление света исключительно мало, даже если пользоваться самыми сильными источниками. Например, давление света на зеркало, расположенное на расстоянии 1 м от «лампы» в миллион свечей, будет величиной порядка 10”4 дин/см2. Именно поэтому работы Лебедева по измерению светового давления с точностью порядка 1—2% рассматриваются как вершина экспериментального искусства.
Основной частью прибора Лебедева являлся легкий подвес, на котором были прикреплены крылышки. Одно из них было сделано предельно поглощающим свет, а другое — отражающим. Свет
направлялся то на одно, то на другое крылышко и сравнивались углы закручивания, по которым можно было вычислить величину силы. Большие экспериментальные трудности, преодоленные в этом опыте, состояли, прежде всего, в учете того, как действует на крылышки нагрев остатков газа в сосуде, в котором помещался подвес.
Теория переменного электромагнитного поля привела, как мы сейчас видели, к представлениям о поле как о физической реальности (электромагнитной материи). Огромное значение опытов Лебедева заключается в непосредственном доказательстве справедливости этих представлений.
Электромагнитное поле обладает энергией и импульсом, оно перемещается в пространстве с определенной скоростью, давит на препятствия. Позже мы узнаем (стр. 546), что электромагнитное поле может превращаться в вещество. Вся эта совокупность фактов неоспоримо доказывает физическую реальность электромагнитного поля.
ГЛАВА 18
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 120. Элементарный * диполь
Электромагнитное излучение возникает во всех случаях^ когда в пространстве создается переменное электромагнитное поле. В свою очередь электромагнитное поле будет изменяться во времени, если меняется распределение электрического заряда в системе или является переменной плотность электрического тока. Таким образом, источником электромагнитного излучения являются всякого рода переменные токи и пульсирующие электрические заряды.
Простейшими системами, создающими электромагнитное поле, являются магнитный и электрический диполи (и прежде всего второй из них) с переменным моментом. Таким электрическим диполем является система, состоящая из неподвижного положительного заряда и совершающего около него колебание отрицательного заряда. Если это колебание происходит по гармоническому закону, то дипольный момент будет также меняться по этому закону, т, е. представится формулой р=р0 cos cot Значение этой простой модели излучателя весьма велико по той причине, что множество реальных систем ведут себя с хорошей точностью как идеальные диполи.
Мы должны напомнить содержание § 93, где было указано, что электрические свойства любой системы, у которой «центры тяжести» положительного и отрицательного заряда не совпадают, могут быть описаны, если указан дипольный момент такой системы. А электрически нейтральные системы, у которых способны смещаться друг по отношению к другу доложительные и отрицательные заряды, составляют основную долю излучателей электромагнитного энергии, прежде всего потому, что под эту рубрику попадают молекулярные и атомные системы. Электрон, вращающийся около ядра атома,
*>Я8
представляет собой систему с переменным дипольным, моментом; нейтральная молекула, атомы которой находятся в состоянии колебания, также является зачастую системой с переменным дипольным моментом. Однако этим еще не исчерпывается наш интерес к электрическому диполю. В следующем параграфе будет показано, что радиотехническая линейная антенна может быть уподоблена диполю (аналогичные термины — осциллятор, вибратор — несколько шире точного термина «диполь»).
Что касается магнитных диполей, то мы сталкиваемся с ними тогда, когда распределение электрического заряда, а следовательно, и дипольный момент системы остаются неизменными, но в то же время плотность тока, а значит, и магнитный момент системы меняются во времени. Основным примером является рамка, по которой идет переменный электрический ток. Если ток замкнут, то электрические заряды нигде не скапливаются и не рассасываются, дипольный электрический момент такой рамки равен нулю и неизменен. В то же время магнитное поле рамки, связанное со значением ее магнитного момента, будет меняться и, следовательно, приведет к излучению электромагнитной энергии. Отметим такой результат теории: если система обладает одновременно и электрическим и магнитным моментом, то обычно излучение магнитного диполя на больших расстояниях от источника много меньше, чем излучение электрического диполя.
Если диполь излучает, отдавая при этом свою внутреннюю энергию, или, как это имеет место в антенне, превращая в энергию излучения энергию сторонних источников, то такой диполь можно назвать первичным излучателем. Однако, кроме подобных случаев, значительный интерес представляет и вторичное излучение, т. е. такое явление, при котором диполь приходит в колебание благодаря действию электромагнитной волны и становится излучателем лишь по этой причине. Вторичные колебания будут особо интенсивными в том случае, если первичная волна имеет ту же частоту, что и собственная частота диполя (резонанс). ~
Приведение диполя в колебательное состояние можно представлять себе как механический процесс — раскачка зарядов внешней силой, равной произведению заряда на напряженность. В то же время для приемной антенны процесс создания в ней вторичных колебаний можно рассматривать как индукционный процесс наведения переменного электрического тока переменным магнитным полем. С той точностью, с которой антенну можно подменять диполем, оба рассмотрения совпадают.
' §121. Антенна как электрический диполь
Между состоянием колебания колебательного контура (стр. 280) и колебанием тока в антенне имеется существенное различие. Говоря об электрическом колебании контура, мы говорили об определенной мгновенной силе тока, об определенном мгновенном заряде па
28928910 А. И. Китайгородский
289
289
обкладках конденсатора. Молчаливо подразумевалось, что сила тока во всех участках цепи одинакова, а электрический заряд сосредоточен на обкладках конденсатора и, следовательно, в данное мгновение может иметь лишь единственное значение.
При переходе к антенне мы уже теряем право рассматривать электрическое колебание так, как мы изучали в свое время колебание маятника. Тем не менее колебание электрического тока в антенне имеет механическую аналогию: оно во многом похоже на колебание стержня или струны, т. е. представляет собой стоячую волну.
Д.Д.
Д.
Д.
Это обстоятельство можно наглядно продемонстрировать, доказав, что в антенне, находящейся под током, имеются узлы и пучности тока. Индикатором тока может служить маленькая лампочка накаливания (рис. 132). Мы убедимся, что в середине свободного куска провода, в котором возбуждены электромагнитные колебания, имеет место пучность тока проводимости, а на концах находятся узлы тока проводимости. В таком проводе в каждое мгновение ток идет во всех частях провода в одну сторону. В некоторое мгновение ток во всех точках провода обращается в нуль, а затем начинает течь в обратную сторону. Соответственно меняются электрические заряды, которые непрерывно распределены вдоль провода. Очевидно, пока ток идет в одном направлении, происходит скопление положительного заряда на одной половине провода и образование отрицательного заряда на другой. В момент обращения тока в нуль на концах скапливаются максимальные заряды противоположных знаков. Далее ток начинает идти в обратную сторону, заряды начинают уменьшаться и обращаются в нуль в тот момент, когда сила тока во всех точках провода максимальна. После этого начинается перезарядка, на половинах провода начинают скапливаться заряды обратного знака и т. д.
Мы обращаем внимание на то, что в каждый момент времени на двух пЬловинах стержня имеются заряды противоположного знака. Два заряда, равные по величине и противоположные по 290 /
знаку, расположенные на некотором расстоянии друг от друга,— это электрический диполь. Можно поэтому сказать, что электрические колебания в антенне весьма похожи на колебание электрического диполя, при котором дипольный момент меняется от максимального положительного значения к нулю, затем от нуля возрастает в противоположном направлении, затем опять уменьшается и т. д.
Отличие антенны от диполя обнаруживается только на близких расстояниях от нее. На расстояниях же в сотни раз больших размеров антенны поле, создаваемое антенной, практически не отличимо от поля, создаваемого идеальным электрическим диполем.
Вернемся еще раз к аналогии антенны со стержнем. Собственные частоты электрических колебаний, которые могут существовать в свободной незаземленной антенне, не ограничиваются простейшим случаем, когда на длине антенны укладывается полволны (впрочем, в технике УКВ такой полуволновый диполь в основном и применяется). Между длиной волны и длиной антенны имеется понятная, с точки зрения изложенного на стр. 116, связь: L = п~ . Такие длины волн X антенна с длиной L способна излучать и принимать.
Способы изменения собственных частот антенны хорошо известны радиотехникам. Они сводятся к подключению к антенне катушки самоиндукции или конденсатора. Меняя индуктивность или емкость, можно менять собственные частоты антенны в широких пределах.
§ 122. Излучение диполя
Излучение диполя можно исследовать экспериментально. Результат полностью совпадает с теоретическим рассмотрением, которое было впервые проведено Герцем. Мы обсудим лишь результаты опытов и теоретических расчетов, при этом ограничимся изучением поля диполя вдали от него, в так называемой волновой зоне, т. е. на расстояниях, значительно больших размера диполя.
По каким бы сложным законам ни колебался диполь, всегда можно разложить это колебание по теореме Фурье в спектр, т. е. представить его в виде суммы гармонических колебаний с частотами со, 2со, Зсо и т. д. Поэтому вполне достаточно рассмотреть электромагнитное поле диполя, момент которого меняется по гармоническому закону p=p0cosco/.
Расчет и опыт показывают, что поле такой системы представляет собой шаровую волну, распространяющуюся со скоростью v = с/Кч^. Электрический и магнитный векторы волны расположены под углом 90° друг к другу и под таким же углом к направлению распространения. Последнее обстоятельство следует, впрочем, из теоремы Пойнтинга.
, и Электрический и магнитный векторы меняются в волновой зоне в одной фазе, совершая в каждой точке пространства гармоническое
колебание. Между числовыми значениями векторов напряженности имеется простая связь, а именно:
^eE = V?H.
Отсюда следует такое представление вектора Пойнтинга:
К = —£2
А 4л г р 4я
Таким образом, интенсивность волны, т. е. энергия, приходящаяся на единицу площади в единицу времени, пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля.
' Излучение диполя не одинаково в разные стороны. Амплитуда, а вместе с ней и интенсивность зависят от угла наклона линии распространения к оси диполя. Излучение максимально в направлении, перпендикулярном к оси диполя, и равно нулю в направлении дипольного момента. Теория дает для напряженности электрического поля следующее выражение:
ЕЕ_ Р0ю2 c^R_ Р0ю2 c^Rsin 0 cos соsin 0 cos со
Е
Е
_ Р0ю2 c^R
_ Р0ю2 c^R
sin 0 cos со
sin 0 cos со
где множитель перед косинусом является амплитудой волны вектора Е. Угол 0 есть угол между направлением распространения и
осью диполя. Выражение для магнитного поля отличается от написанного лишь несущественным множителем.
Зависимость интенсивности излучения от. направления изображают иногда диаграммой, подобной приведенной на рис. 133. Здесь радиус-вектор, проведенный в интересующем нас направлении, пересекает кривую интенсивно
сти. Отрезок, который образуется при этом пересечении, дает в известном масштабе интенсивность излучения.
Весьма важным результатом является пропорциональность амплитуды квадрату частоты излучения. Очевидно, что интенсивность 292
излучения диполя будет исключительно резко зависеть от частоты, а именно, пропорционально четвертой степени частоты:
2<^^sm29.
Так, при уменьшении частоты вдвое интенсивность упадет в 16 раз.
Теория привела к важному заключению о поперечности электромагнитной волны. Это ясно из рис. 134. Электрический и магнитный векторы перпендикулярны к направ- лению распространения. Благодаря этому при вращении около направ
ления распространения электромагнитная волна меняет свои свойства. Подобные свойства носят название поляризационных.
Картина силовых линий излучающего диполя не представляет особого интереса. На рис. 135 приведены век- 5 торы напряженности электрического поля для некоторых точек пространства. Поле — вихревое, и силовые линии замкнуты. При излучении замкнутые линии движутся, расширяясь в сторону от излучателя. Что касается магнитных силовых линий, то они
представляют собой окружности, охватывающие ось диполя.
На больших расстояниях от поля шаровая волна практически не отли
чима от плоской. Расположение векторов Е, Н и К в плоской волне и числовые соотношения, приведенные выше, остаются, разумеет
ся, такими же.
§ 123. Электромагнитный спектр
Теория показывает, что электромагнитное излучение образуется тогда, когда электрические заряды движутся неравномерно, ускоренно. Равномерно движущийся (свободный) поток электрических зарядов не излучает. Нет излучения электромагнитного поля и у зарядов, движущихся под действием постоянной силы, например у зарядов, описывающих окружность в магнитном поле.
' В колебательных движениях ускорение непрерывно меняется, поэтому колебания электрических зарядов дают электромагнитное излучение. Кроме того, электромагнитное излучение произойдет при резком неравномерном торможении зарядов, например при попадании пучка электронов на препятствие (образование рентгеновских луцей). В хаотическом тепловом движении частиц также рождается электромагнитное излучение (тепловое излучение). Пульсации
ядерного заряда приводят к созданию электромагнитного излучения, известного под названием у-лучей. Ультрафиолетовые лучи и видимый свет производятсждвижением атомных электронов. Колебания электрического заряда в космических масштабах приводят к радиоизлучению небесных тел.
Наряду с естественными процессами, в результате которых создается электромагнитное излучение самых различных свойств, имеются разнообразные экспериментальные возможности по созданию электромагнитного излучения.
Основной характеристикой электромагнитного излучения является его частота (если речь идет о гармоническом колебании) или полоса частот. Можно, разумеется, при помощи соотношения c~vX пересчитать частоту излучения на длину электромагнитной волны в пустоте.
Интенсивность излучения пропорциональна четвертой степени частоты. Поэтому излучение очень низких частот с длинами волн порядка сотен километров не прослеживается. Практический радиодиапазон начинается, как известно, с длин волн порядка 1—2 км, что соответствует частотам порядка 150 кГц; длины волн порядка 200 м относят к среднему диапазону, десятки метров — это уже короткие волны. Ультракороткие волны (УКВ) выводят нас из обычного радиодиапазона; длины волн порядка нескольких метров и долей метра вплоть до сантиметра (т. е. частоты порядка 1010— 1011 Мгц) употребляются в телевидении и радиолокации.
Еще более короткие электромагнитные волны были получены в 1924 г. Глаголевой-Аркадьевой. Она использовала в качестве генератора электрические искры, проскакивающие между взвешенными в масле железными опилками, и получила волны длиной до 0,1 мм. Здесь уже достигается перекрывание с длинами волн теплового излучения.
Участок видимого света весьма мал: он занимает всего лишь длины волн от 7,6-10"5 см до 4-10"5 см. Далее следуют ультрафиолетовые лучи, невидимые глазом, но весьма хорошо фиксируемые физическими приборами. Это — длина волн от 4-10“5 см до 10"5 см.
За ультрафиолетовыми следуют рентгеновские лучи. Их длины волн — от 10"6 см до 10~10 см. Чем меньше длина волны, тем слабее рентгеновские л учи поглощаются веществами. Наиболее коротковолновое и проникающее электромагнитное излучение носит название у-лучей (длины волн от 10"9 см и ниже).
Характеристика любого вида из перечисленных электромагнитных излучений будет исчерпывающей, если будут произведены следующие измерения. Прежде всего, тем или иным методом электромагнитное излучение должно быть разложено в спектр. В случае света, ультрафиолетовых лучей и инфракрасного излучения это может быть сделано с помощью преломления призмой или пропусканием излучения через .дифракционную решетку (см. ниже). В случае рентгеновских и гамма-лучей разложение в спектр достигается отражением от кристалла (см. стр. 351). Волны радиотехни- 294
ческого диапазона раскладываются в спектр с использованием явления резонанса.
Полученный спектр излучения может быть сплошным или линейчатым, т. е. может заполнять непрерывно некоторую полосу частот, а может также состоять из отдельных резких линий, соответствующих крайне узкому частотному интервалу. В первом случае для характеристики спектра надо задать кривую интенсивности в функции частоты (длины волны), во втором случае спектр будет описан заданием всех имеющихся в нем линий с указанием их частот и интенсивностей.
Опыт показывает, что электромагнитное излучение заданной частоты и интенсивности может отличаться своим поляризационным состоянием. Наряду с волнами, у которых электрический вектор колеблется вдоль определенной линии (линейно поляризованные волны), приходится сталкиваться с таким излучением, в котором линейно поляризованные волны, повернутые друг по отношению к другу около оси луча, наложены друг на друга. При исчерпывающей характеристике излучения надо указывать его поляризацию.
Следует обратить внимание, что даже для самых медленных электромагнитных колебаний мы лишены возможности измерять электрические и магнитные векторы волны. Нарисованные выше картины поля имеют теоретический характер. Тем не менее в их истинности не приходится сомневаться, имея в виду неразрывность и целостность всей электромагнитной теории.
Утверждение о принадлежности того или иного вида излучения к электромагнитным волнам всегда носит косвенный характер. Однако число следствий, вытекающих из гипотез, столь огромно и они находятся между собой в таком спаянном согласии, что гипотеза об электромагнитном спектре давно приобрела все черты непосредственной реальности.
Квантовая природа излучения
Мы уже говорили (на стр. 136), что изучение атомных явлений привело к открытию закона, согласно которому внутренняя энергия системы не может иметь произвольного значения, а характеризуется системой энергетических уровней. Излучение энергии связано с переходом системы с более высокого на более низкий уровень. Поглощение энергии связано с подъемом на более высокий уровень.
Это относится в первую очередь к электромагнитному излучению. Квантовая природа субмикроскопических явлений была открыта исследованием ряда противоречивых фактов, найденных в отношении электромагнитного излучения еще в начале нашего века.
Таким образом, испускание диполем электромагнитного излучения частоты v происходит не непрерывно, а квантами (порциями). Величина энергии кванта равна Av, где h — постоянная Планка, равная 6,62-10-27 эрг-с=6,62-10~34 Дж-с.
Квантовая природа электромагнитных волн проявляется либо в излучении, либо в поглощении, так как и поглощение может происходить лишь квантами энергии. Если величина кванта энергии равняется разности каких-либо энергетических уровней системы, на которую падает волна, то процесс поглощения будет весьма отчетливым. Такое поглощение можно назвать резонансным. С точки зрения классической физики такое положение имеет место тогда, когда частота внешнего поля равна частоте колебаний частиц, из которых состоит система. Если величина кванта электромагнитной волны меньше разности энергетических уровней, то поглощение не может иметь места и такая волна будет свободно проходить через систему.
Вторичное излучение системы описывается на квантовом языке следующим образом. Система поглощает квант электромагнитной энергии и поднимается на более высокий энергетический уровень. На этом уровне система некоторое время существует, а затем возвращается на прежний энергетический уровень, отдавая при этом энергию также в виде кванта.
Как это непосредственно очевидно из формулы кванта энергии Av, квантовые явления обнаруживаются тем отчетливее, чем больше частота излучения. Тем не менее в настоящее время обнаружена квантовая природа излучения практически всех участков электромагнитного спектра. Оказывается возможным обнаружить квантовое поглощение радиоволн длиной в несколько сотен метров (радиоспектроскопия, см. стр. 495).
Возникновение того или иного электромагнитного спектра излучения связано, прежде всего, с расположением энергетических уровней у такой системы и, далее,, зависит от вероятностей перехода системы с п-го уровня на m-й. Если бы эти вероятности были известны заранее вместе с картиной энергетических уровней, то предсказание спектра, излучаемого системой, было бы простой задачей.
Мы еще не раз вернемся к проблемам излучения и поглощения электромагнитной энергии, а сейчас займемся вопросами распространения электромагнитных волн, в которых квантовая природа излучения не проявляет себя, если явление не сопровождается поглощением и излучением энергии.
ГЛАВА 19
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Дисперсия и поглощение
В однородной среде электромагнитная волна распространяется с неизменной скоростью и в неизменном направлении. Скорость волны в пустоте максимальна. Скорость волны в среде равна
с
Х) =
или, так как в большинстве интересных случаев ц = 1,
Отношение скорости распространения воля в пустоте к скорости распространения в среде носит название показателя преломления. Таким^образом, электромагнитная теория приводит к равенству и = р'е , которое неплохо выполняется для очень длинных волн. С изменением длины волны показатель преломления меняется. Это явление, называемое дисперсией, чуждо электромагнитной теории Максвелла, полагающей среду непрерывной и не учитывающей взаимодействия излучения с веществом. Как бы то ни было, равенство п = j/e для быстрых электромагнитных колебаний не имеет места.
Распространяясь по веществу, электромагнитная волна приводит в колебательное состояние электрические заряды молекул. Так как электронное облако легко подвижно по сравнению с тяжелыми ядрами, то электрическое колебание состоит в смещении центра тяжести электронов по отношению к неподвижному центру тяжести положительных зарядов атомных ядер. Обозначая через т и е заряд и мдссу колеблющихся электронов, можно записать уравнение колебания в форме
тх = — кх— cf0 cos со/
или, деля на т и пользуясь формулой собственной частоты колебания to^=k!m,
х— —о)аХ—— Еи cos со/.
о m 0
Мы приравняли произведение массы на ускорение двум силам: возвращающей силе—кх и внешней периодически меняющейся силе еЕ^ cos со/. Это — уравнение вынужденных гармонических колебаний. Оно удовлетворяется, если положить
х = х0 cos со/.
После подстановки в уравнение найдем
£от °
^о —2 Г *
й)0—(О2
Дипольный момент молекулы будет равен
— £
tn 0
^о = —:
COq— со-
Вектор поляризации — дипольный момент в единице объема — будет в N раз больше, если N — число молекул в единице объема:
Р = -2^Е.
(Oq— (О2
Вспоминая формулу, связывающую поляризацию с напряженностью,
мы видим, что выразили диэлектрическую проницаемость среды через параметры молекулярного диполя
4лЛ/£2
Показатель преломления среды должен быть равен корню квадратному из этого выражения.
Общий характер зависимости хорошо подтверждается опытом, как это показывает рис. 136, на котором сравниваются кривые по
казателя преломления в функции частоты, рассчитанные по приведенной формуле и измеренные для конкретного вещества ). В чем же состоит основной результат опытов и расчета? Показатель преломления вообще растет с увеличением частоты во всем интервале частот, за исключением области, непосредственно примыкающей к частоте резонансного поглощен ия.Эта область носит название области аномальной дисперсии. У вещества может быть не одна, а несколько резо
нансных частот, соответствующих разностям его энергетических уровней. Тогда и областей аномальной дисперсии будет несколько.
Итак, скорость распространения волны, т. е. показатель преломления, существенным образом зависит от соотношения частоты волны и собственных частот молекулярных диполей.
Разумеется, от этих же причин зависит степень поглощения электромагнитной волны веществом. Повторяя рассуждения, приведен-
ные на стр. 104 для упругих волн, мы придем к совершенно аналогичной формуле'
/ = /ое-<
позволяющей оценить отношение прошедшей интенсивности излучения I к падающей /0, если известны коэффициент поглощения ц и толщина слоя d. Напоминаем, что коэффициент поглощения равен величине, обратной толщине слоя, ослабляющего интенсивность излучения в е раз. Благодаря сложной системе энергетических уровней, свойственной веществу, зависимость коэффициента поглощения от частоты падающей волны может быть причудливой и «скачущей».
До сих пор речь шла о диэлектрических средах, в состав которых входят лишь связанные электрические заряды. Иные закономерности имеют место при распространении электромагнитной волны в такой среде, где в заметном числе присутствуют свободные электроны. К таким средам относятся металлы, а также подобный газу коллектив свободных зарядов — ионосфера. Применяя изложенную теорию, мы должны положить собственную частоту соо свободного заряда в формуле для е равной нулю (частота пропорциональна жесткости связи). Тогда диэлектрический коэффициент представится формулой
। ^nNe^/tn,
—(О2*
При достаточно больших значениях со показатель преломления п = К8 стремится к единице. Наоборот, при (о2<4лУУе2/т показатель преломления становится мнимым. Последнее означает, что при указанных значениях частоты волны не могут проникать в металл или ионосферу. Напротив, при больших частотах волны «не замечают» среды, в которой имеются электроны. Эти предсказания хорошо оправдываются для радиоволн. Действительно, длинные и средние волны отражаются от ионосферы и не проникают в нее, короткие волны способны проникать в ионосферу, а УКВ проходят через нее беспрепятственно.
Приведенные соображения крайне упрощены, и не приходится удивляться, что они не оправдываются для оптического диапазона, где значения показателя преломления могут быть и близки к нулю и много больше единицы.
Поведение электромагнитной волнына границе двух сред
Так же как и упругая волна, электромагнитная волна отражается и преломляется, если на ее пути встречается граница раздела двух сред. Основные закономерности этих явлений поддаются теоретическому анализу с помощью пограничных условий для векторов электромагнитного поля. Эти условия, рассмотренные на стр. 231 и 261, являются в свою очередь следствиями уравнений Максвелла.
Поскольку соотношения между полями с обеих сторон от границы не произвольны, расщепление волны на отраженную и проходящую становится тоже не произвольным.
Два соотношения являются решающими: тангенциальные составляющие электрического и магнитного векторов с обеих сторон границы раздела должны быть одинаковыми.
Посмотрим, какие ограничения будут наложены этими соотношениями для простейшего случая нормального падения. Этот случай
изображен на рис. 137. В плоскости чертежа пусть лежат электрические векторы, тогда магнитные будут расположены перпендикулярно к плоскости чертежа. Мы знаем, что с направлением распространения электрический и магнитный векторы должны образовывать правовинтовую систему: вектор Е поворачивается по кратчайшему пути к вектору Н против часовой стрелки, если смотреть против направления распространения. Мы видим, что удовлетворить этому непременному следствию из электромагнитной теории можно двумя способами: изменить на обратное направление вектора Н отраженной волны или сделать то же самое для вектора Е. Таким образом, либо электрический, либо магнитный векторы терпят скачок фазы на 180° при отражении.-
Решение вопроса о том, какой из двух случаев имеет место, приходит при рассмотрении косого падения. Оказывается, что оба случая имеют место: один при переходе волны в среду с большим е, другой — в среду с меньшим в.
При нормальном падении дальнейший расчет не зависит от того, какую схему мы изберем. Пограничные условия запишем в виде
ЕПад Е0Тр "Т" ЕПр)
^пад" И01р + ^пр-
Но между числовыми значениями векторов Н и Е имеется связь Н = VrE = пЕ.'
Следовательно, мы получим два уравнения
F = F A-F
•^пад ^orpi np
и
^Ч^пад ^х^отр 4“ ^2^пр>
из которых можно найти отношения Еотр/Епад и Enp/Enw Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды и показателю преломления (ср. стр. 292), то для коэффициентов отражения и прохождения получим, вводя относительный показатель n=nJnXl следующие простые формулы:
коэффициент отражениякоэффициент отражения^отр\2(п— I)2д^) -(TTW’
коэффициент отражения
коэффициент отражения
/ Е \2
(^W(^Wкоэффициент прохождения = ( -^ 1
(^W
(^W
Х^пад/
Аналогия с упругими волнами (ср. стр. 112) весьма велика.
Подобным вычислением, проделанным для случая произволь
ного наклона луча и любого поляризационного состояния волны,
получены все общие результаты, к изложению которых мы и переходим. Все они весьма удовлетвори- / -
тельно совпадают с экспериментом.
Так как сумма коэффициентов отражения и прохождения равна единице, то результаты теории полностью описываются рисунком 138, на котором интенсивность отраженной волны представлена как функция угла падения.
Расчёт и опыт показывают, что характер отражения существенным образом зависит от поляризационного состояния падающей волны по отношению к плоскости падения. Вектор напряженности электрического поля Е «важнее» вектора Н хотя бы в том смысле, что фотохимическим действием обладает вектор Е. Поэтому принято, описывая поляризационное
состояние волны, описывать его по
отношению к электрическому вектору. Положение вектора Н всегда легко найдется, если только известно направление распространения. Итак, оказывается, что коэффициент отражения различен для двух волн, падающих под одним и тем же углом ф на одну и ту же границу раздела, если в одном случае электрический вектор лежит в плоскости падения, а в другом случае перпендикулярен к ней. Кривая I на рисунке соответствует случаю, когда вектор Е перпендикулярен к плоскости падения; кривая /// соответствует вектору Е, лежащему в плоскости падения; кривая II — случаю, когда падающая волна не поляризована.
В первом случае коэффициент отражения меняется монотонно; при нормальном падении отражение мало — коэффициент порядка 5%, при увеличении угла коэффициент отражения растет и при этом тем быстрее, чем ближе к положению скольжения. Совсем иначе ведет себя луч, электрический вектор которого лежит в плоскости падения. Его интенсивность отражения падает и доходит до нуля при угле фв, удовлетворяющем следующему интересному равенству: n=tg^B. Наш рисунок построен для значения л=1,52 (переход из воздуха в стекло), в соответствии с чем угол обращения коэффициента отражения в нуль равен 56° 40'. Далее коэффициент отражения возрастает к единице.
Чем же вызвано отсутствие отражения именно для этого случая, чем он специфичен? Очевидно, мы должны искать ответ в тех же пограничных условиях, из которых следует вся теория явления. Предоставляем читателю произвести построение векторов поля для этого угла и доказать требуемое.
У читателя может возникнуть вопрос. Если пограничные условия позволяют понять все явления на границе двух сред, то как быть с полным внутренним отражением, когда поле имеется в одной среде (Е^^О), в то время как в другой среде поля нет. Вопрос вполне законный, и теория дает на него ответ. Оказывается, что в условиях полного внутреннего отражения поле проникает во вторую среду, но не распространяется в глубь среды. Равенство Elt=Eu не нарушается.
Существует ряд опытов, доказывающих проникновение во вторую среду световых волн в условиях полного внутреннего отражения. Упомянем лишь простой по идее опыт, описанный Мандельштамом. Стеклянная призма погружается в раствор флуоресцина — вещества, обладающего способностью давать характерное свечение под действием света. Луч света заставляют падать на призму так, чтобы происходило полное отражение с внутренней стороны грани призмы, опущенной в раствор. Флуоресцин в этом опыте интенсивно светится (в исключительно тонком слое, примыкающем к стеклу), доказывая этим проникновение электромагнитной волны в раствор.
Естественный и поляризованный свет.Поляризация при отражении
Установим стеклянную пластинку под углом фв к световому лучу. Луч отразится. Начнем поворачивать луч около его оси (фактически мы будем поворачивать источник света около оси, вдоль которой идет луч),, рассчитывая на то, что рано или поздно отраженный луч пропадет. Однако, если мы воспользуемся для опыта лучом естественного света, то наши ожидания не оправдываются: отраженный луч одинаковой интенсивности будет возникать при любом азимутальном положении падающего луча. Было бы ошибочным делать из этого вывод об опровержении только что изложенной теории. Этим опытом доказано лишь одно: поляризационное сос- 302
тояние естественного луча более сложно, чем это дается схемой двух векторов Е и И, имеющих фиксированное направление колебания.
Продолжая этот же опыт, заставим падать уже отраженный под углом фв луч на вторую такую же пластинку, установленную под тем же углом фв к лучу, отраженному от первой пластинки. Начнем теперь вращать луч около самого себя. Так как, разумеется, важно лишь относительное положение луча и зеркала, то проще вращать вторую стеклянную пластинку. Следя за двукратно отраженным лучом, мы обнаружим, что отражаться он будет по-разному, и без труда найдем такое положение, при котором отражение отсутствует. Очевидно, это такое взаимное положение луча и зеркала, при котором электрический вектор луча лег в плоскость падения. Мы можем сделать отсюда вывод: отражение от первого зеркала привело естественный луч в поляризованное состояние, при котором электрический вектор имеет одно-единственное выделенное направление колебания.
В отличие от естественных лучей лучи с определенным направлением колебания векторов носят название поляризованных. Как же мы должны представить себе поляризационное состояние естественного луча? Приходится допустить, что в естественной электромагнитной волне равномерно представлены все возможные направления колебания электрического вектора. Мы подчеркиваем слово «возможные», так как электромагнитная теория говорит о попереч- ности электрического вектора. Следовательно, естественная непо- ляризованная волна является, по сути дела, наложением бесчисленного количества линейно поляризованных волн с равномерно представленными направлениями колебания векторов. Все поперечные направления являются направлениями колебания электрических векторов естественного луча света.
Отражение от двух последовательных зеркал, установленных под углами фв, является одним из возможных способов поляризации световых лучей.
Электрические векторы естественного света можно всегда разложить по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Если исследуется отражение, то удобнее всего разложить векторы на составляющую, лежащую вдоль плоскости падения, и другую, к ней перпендикулярную. Поведение естественного луча эквивалентно поведению двух таких волн, если считать, что разность фаз между ними меняется по закону случая. Поэтому, когда говорят о поляризации света, употребляют выражения: одна из составляющих не прошла, или прошла в такой-то доле. Если при отражении света или при преломлении одна из составляющих проходит в большей степени, чем другая, а именно это и имеет место при отражении и преломлении, как показал рисунок кривых отражения, то происходит частичная поляризация света.
Этим явлением можно воспользоваться для того, чтобы поляризовать какой-либо луч полностью. Пользоваться двумя зеркалами, расположенными под углами фв к лучам, неудобно. Гораздо
удобнее пропустить луч света через стопу стеклянных пластинок. Каждое преломление будет на известный процент увеличивать долю одной из компонент в луче. Таким образом может быть осуществлена практически полная поляризация.
Естественное состояние светового луча — неполяризованное. Отсюда не надо делать вывод, что каждый луч, который не подвергался отражению или преломлению, является неполяризованным. Это прежде всего относится к радиоволнам. Короткие электромагнитные волны, на которых ведется телевизионная передача, сильно поляризованы. Именно это обстоятельство позволяет по расположению телевизионной антенны определить, в каком направлении находится передающий центр. Электромагнитная волна, несущая телевизионную передачу, сильно поляризована; антенну надо устанавливать так, чтобы направление колебания электрического вектора совпало с направлением антенны. .
Распространение световых волн в средес градиентом показателя преломления
Различие в плотности влечет за собой, как правило, различие в показателях преломления. Возникает естественный вопрос о характере распространения волны в такой среде, где значения коэффициента преломления меняются от точки к точке (т. е. градиент показателя преломления отличен от нуля).
Различие в показателях преломления означает разницу в скоростях продвижения фронта волны. Отсюда следует, что фронт волны по мере продвижения в такой среде будет непрерывно деформироваться. Если мы построим нормали к фронту волны, то получим кривую линию. Можно сказать, что свет распространяется в неоднородной среде не по прямым, а по кривым линиям.
Мы уже обсуждали в свое время аналогичную проблему для звуковых волн (стр. 129). Закономерности здесь те же самые и ход лучей управляется тем же принципом Ферма. При распространении в неограниченной среде с градиентом показателя преломления луч света будет распространяться так, чтобы пройти расстояние между двумя точками за минимальное время. Поэтому луч света будет загибаться так, чтобы сократить свой путь в участках пространства, где показатель преломления велик, и, наоборот, будет «стараться» проделать как можно большую часть пути в областях пространства с малым показателем преломления. -
Наиболее известным примером распространения света в среде с градиентом п является прохождение светового луча через земную атмосферу. Плотность и показатель преломления воздуха падают с высотой. Это приводит к явлению астрономической рефракции: луч, идущий от какой-либо звезды к Земле и входящий в атмосферу не по радиусу, а под углом, будет изгибаться и видимое положение звезды будет смещено по отношению к ее истинному положению.
Для звезд, расположенных у горизонта, угол смещения достигает огромной для астрономии величины в V2 градуса.
Наличие градиента показателя преломления у атмосферы приводит к возникновению миражей. Миражи наблюдаются в африканских пустынях по той причине, что над раскаленным песком могут легко возникнуть тепловые потоки, приводящие к температурным перепадам, следовательно, к градиенту плотности, а значит, и показателя преломления. В результате луч света идет по кривой линии и возникает картина пейзажа в том же месте, куда его мысленно помещает зритель, привыкший к прямолинейному распространению света.
Разумеется, нельзя говорить о сферической или плоской волнах, когда речь идет о распространении света в неоднородной среде. Следует напомнить, что переменная скорость распространения означает, что длина волны также меняется от точки к точке. Какое же уравнение описывает движение волны в среде, где показатель преломления меняется от точки к точке? Имея в виду изменение параметров волны от точки к точке, мы должны поискать дифференциальное уравнение, описывающее это явление, поскольку лишь дифференциальное уравнение устанавливает закон, связывающий физические величины для данной точки пространства.
Это уравнение можно найти с помощью уравнений Максвелла. Вывод несколько сложен, и мы не сможем его провести. Результат вычислений таков: как для вектора Е (или его проекции), так и для вектора И (или его проекции) справедлив следующий закон:
д2Ф 1 д2Ф
ds2 V2 dZ2
Функцию Т называют волновой функцией. Она представляет вектор Е или Н или их составляющие, поскольку для них всех уравнения одинаковы, s — координата в направлении распространения волны, t — время, у — скорость распространения.
Написанное уравнение называется волновым, и справедливо для точек пространства, лежащих вне источников поля (т. с. вне заряженных областей и вне областей, по которым текут электрические токи).
Покажем, прежде всего, что написанному дифференциальному уравнению удовлетворяет простейший волновой процесс — плоская волна. Как нам известно (стр. 99), выражение плоской волны с частотой со, распространяющейся вдоль направления s, имеет вид
Y^ylcoscof/ — — V
Вычислим вторые производные волновой функции Т по времени и по координате. Получим
д/2 — ш т — у2 т .
Мы видим, что между вторыми производными имеется нужная связь:
д2Т__ 1 д2Тds2 у2 di2 ’"
значит предложенное дифференциальное уравнение содержит в себе уравнение плоской волны. Однако написанное дифференциальное уравнение много шире. Его решением является любая функция аргумента (t—, так какдля любой функции V — -^выражения производных через V будут те же самые.
Зависимость функции от аргумента ^— -^рассматривается как единственный признак волнового процесса. Смысл этого аргумента заключается в следующем: если состояние в точке s=0 характеризуется в момент времени /=0 некоторым значением волновой функции, то такое же состояние имеет место в точке Si через момент времени t1 = -~1 в точке s2— через момент времени /2=у , и т. д. При этом s есть координата, отсчитываемая вдоль любого прямого или криволинейного пути.
Дифференциальное уравнение
d2XF_ 1 д2^
ds2 У2 д/2
является общим уравнением волнового процесса, справедливым для любой среды, в том числе и неоднородной, в которой у меняется от точки к точке.
Если волновая функция должна быть выражена через три координаты пространства х, у, 2, то обобщением волнового уравнения является следующая формула:
д2^ д2Т . d2'? _ 1 д2^дх2 * dz/2 ‘ dz2 у2 dt2 *
Для суммы вторых частных производных какой-либо функции существует краткое обозначение: ДТ (читается: лапласиан У). Итак, у2 д/2 *
Дифференциальное уравнение волны справедливо для произвольного процесса, в котором значения длины волны и амплитуды волны меняются от точки к точке.
Обозначим через ф амплитуду волновой функции Т. Именно ф представляет интерес для большинства задач. Если в пространстве существует колебательный процесс с частотой со, то
= — й)2^
di2
в самом произвольном случае. Следовательно, волновая функция будет всегда удовлетворять уравнению
Д¥ = —^¥.
Часть выражения для Т, зависящая от времени, всегда сократится в подобном равенстве, поэтому последнее уравнение есть уравнение для амплитуды волны гр. При помощи соотношения Х = и^-его можно также записать в виде
Атт 2
Иногда и это уравнение называют волновым.
Распространение радиоволн
Законы отражения и преломления определяют закономерности распространения радиоволн. Чтобы обсуждать конкретные результаты, нужно лишь обобщить теорию на случай среды с непрерывно меняющимся коэффициентом преломления. Но эти рассуждения были проведены (стр. 128) для упругих волн. Они полностью сохраняют свой характер и для электромагнитной волны, как для света, так и для радио. Двигаясь в среде с переменным п, т. е. с переменной скоростью, волна распространяется таким образом, чтобы затратить кратчайшее время на прохождение расстояния между двумя точками. Путь волны будет криволинейным, причем, переходя из слоя с меньшим п в слой с большим п, волна будет отклоняться в сторону нормали, проведенной к границе раздела.
Чтобы судить о характере распространения радиоволн, следует знать электрические свойства земли и атмосферы. Значения электропроводности и диэлектрического коэффициента этих двух сред решительным образом сказываются на электромагнитном поле волны.
Чем объясняется различие в поведении электромагнитных волн разной длины? Разумеется, существенную роль играет дисперсия. Однако примерное суждение о поведении электромагнитной волны мы получим^ если оценим соотношение между током смещения и током проводимости. Понятно, что среда обнаруживает диэлектрические свойства, если ток смещения много больше тока проводимости. Напротив, если током смещения можно пренебречь, то среду можно назвать проводящей.
С этой точки зрения нужно оценивать свойства земной поверхности и свойства атмосферы.
Приведем характерный пример. В радиотехнике известно, что равнинная местность, покрытая лесами, характеризуется диэлектрическим коэффициентом е порядка 12 и удельной электропроводностью у (в системе СГС) 7-107. При распространении волн над морем важны значения 8 и у для морской воды. Соответствующие цифры:
е=80 и у=1010. Отношение плотности тока проводимости к плотности тока смещения (на стр. 285 мы приводили нужные формулы) выражается формулой
i^p ==~Y^==0 7 10~10 —
/см ‘’в
(в системе СГС). Для длинных волн (возьмем, например, 2000 м) это отношение равно для лесистой местности 77, а для поверхности моря 1600. Среду можно считать в обоих случаях хорошим проводником, в особенности это касается распространения над морем. Для коротких волн (скажем, для 20 м/ первая цифра падает до 0,77, а вторая — до 16. Это значит, что для коротких волн морская вода продолжает оставаться в основном проводящей средой, но лесистая местность ведет себя в значительной степени как диэлектрик.
При распространении волн над проводящей поверхностью последняя «не отпускает» волны от себя. Электрические силовые линии подходят к Земле под прямым углом и перемещаются вдоль земной поверхности. Именно поэтому электромагнитная волна легко обходит вокруг земного шара (на это требуется время 0,13 с; вполне возможно весьма точное определение этого времени и, таким образом, определение скорости распространения радиоволн). Это относится к длинным волнам. Короткие волны будут удерживаться у поверхности только морем. В других же местах они могут вести себя, как совершенно свободные волны. При движении вдоль земной поверхности волна проникает в глубь Земли и поглощается сю и притом тем сильнее, чем выше частота колебаний.
Целый ряд замечательных особенностей в поведении радиоволн объясняется наличием в верхних слоях атмосферы слоя, содержащего значительное число свободных ионов и электронов (ионосфера). Таким образом, грубо можно представить себе пространство, в котором движется электромагнитная волна, в виде диэлектрического слоя, зажатого между двумя проводящими слоями.
Ионизация атмосферы нс однородна, т. с. число свободных зарядов в единице объема меняется от слоя к слою. Как мы видели в §125, с увеличением числа зарядов коэффициент преломления падает. Так как коэффициент преломления проводящей среды меньше единицы, то волна, поступившая из диэлектрической среды в ионосферу под некоторым углом, будет отклоняться в сторону от нормали. Ионизация растет, значит, отклонение будет возрастать от слоя к слою.
Далее, как показывает рис. 139, волна может либо выйти из ионосферы и уйти от Земли, либо, продолжая искривляться, вернуться на Землю. Грубо говоря (если не учитывать неоднородности ионосферы), волна вернется на Землю, если она попадет на ионосферу под углом, большим угла полного внутреннего отражения:
в противном случае волна уйдет в мировое пространство. Путем многократных отражений то от ионосферы, то от земной поверхности короткая волна способна огибать земной шар со значительно меньшими энергетическими потерями, чем тс, которые имеют место для длинных волн.
Так как УКВ пропускаются слоем свободных зарядов, то они нс отражаются ионосферой. Это делает возможным радиоприем на УКВ лишь в пределах прямой видимости.
Рис. 139.
Мы сильно упростили картину атмосферы. Исследования показали, что распределение плотности свободных электрических зарядов в атмосфере характеризуется несколькими максимумами, так что ионосфера распадается на несколько слоев. Эти слои обладают разной устойчивостью в различные времена года. Интересно, что существование слоев связано с деятельностью Солнца, так как наблюдаются изменения состояния ионосферы в соответствии с 11-летним циклом солнечных пятен. Ионизация верхних слоев атмосферы несомненно связана с приходом к Земле космической радиации.
Из рассмотрения электрических свойств ионосферы и земной поверхности радиотехника делает ряд выводов о наиболее благоприятных условиях радиопередачи и приема на волнах различной длины. На этом мы останавливаться нс будем.
§ 130. Радиолокация
Радиолокационная установка состоит из передающей и приемной частей. Передатчик посылает в пространство импульсы продолжи-
Рис. 140.
тсльностью а (порядка микросекунды) через каждую десятитысячную долю секунды (X) (рис. 140). Если в телесном угле, «освещенном»
радиоволнами, имеется предмет, способный отражать волну, то она отразится и вернется обратно к радиолокационной установке, которая примет отраженный сигнал через время т—2Rjc после отправления в пространство очередного импульса.
Это время измеряется при помощи электронного осциллографа. Развертка луча синхронизируется с отправлением в пространство импульсов передатчика. На вторую пару пластин осциллографа подастся напряжение, возникающее в приемнике в результате демодуляции сигнала. Тогда на экране осциллографа возникнет «зубец», сдвинутый по отношению к точке начала развертки на расстояние, пропорциональное времени т. Если в поле зрения локатора попал неподвижный предмет, то и «зубец» на экране осциллографа двигаться не будет; действительно, синхронизация заключается в том, что время развертки делается равным одной десятитысячной доле секунды, т. е. интервалу времени, через который следуют один за другим импульсы передатчика. Если предмет, «увиденный» локатором, перемещается, то движется и зубец, видимый на экране осциллографа.
От этой схемы техника современной локации ушла уже далеко вперед. Электронному лучу осциллографа дают возможность совершать более сложное движение от центра экрана вдоль радиуса к краю экрана. Одновременно линия, описываемая электронным лучом, медленно вращается вокруг центра экрана наподобие стрелки часов.
Это вращение синхронизировано с вращением антенны локатора, так что светящаяся линия направлена в ту же сторону, что и радиолуч передатчика. Далее вносится следующее важное изменение в работу осциллографа: если радиолуч не встречал препятствия и, следовательно, приемник нс поймал отраженного луча, то экран осциллографа остается темным. Напротив, если импульс принят, то на экране вспыхивает точка.
Таким образом, тело, встретившееся лучу при ощупывании им горизонта, даст о себе знать светящейся точкой на экране осциллографа. При этом расстояние этой точки до центра экрана будет пропорционально расстоянию от локатора до предмета, а се азимутальный угол укажет направление, в котором расположен предмет.
Экраны осциллографа обладают послесвечением. Поэтому светящаяся точка, возникшая один раз, нс исчезнет и после того, как локатор, проделав обзор местности, вернется опять в то же положение.
Если светящаяся точка возникла благодаря отражению луча неподвижным предметом, то она даст неподвижное изображение на экране осциллографа. Если предмет движется, то на экране будет видно его движущееся изображение.
Благодаря разным коэффициентам отражения различных предметов на экране локатора с круговым обзором видна своеобразная картина местности. Реки и озера представятся темными по- 310
л осами (малое отражение), земля — более светлая, лес — еще светлее. Разумеется, весьма отчетливо «видны» металлические предметы.
Работая на различных длинах волн, можно изменять характер видимости. Так, на радиоволнах сантиметрового диапазона можно хорошо наблюдать за облаками. Более длинные волны не чувствуют облаков и дождя, и локаторы на таких волнах пригодны в любую погоду, если, наоборот, не ставится специальная задача наблюдения за облаками.
Применение принципов радиолокации в науке и технике многообразно. Локаторы позволяют самолетам легко совершать ночные
Рис. 141.
полеты и производить посадку на неосвещенные аэродромы. Существенное значение имеет радиолокация для метеорологии; кроме обнаружения на далеких расстояниях или в ночное время облаков и туч, что существенно при составлении прогнозов, радиолокаторы могут следить за шарами-зондами. Радиолокаторы, установленные на морских судах, значительно повышают безопасность движения, сводят на нет возможность случайных столкновений судна с препятствиями или другими судами. При помощи радиолокационных методов в астрономии находят расстояние до метеоров и определяют направление и скорость их полета. Волны отражаются в основном от «хвостов» метеоров, которые представляют собой ионизированные газы. Возможна радиолокация Луны, Солнца и планет. Радиолокационная астрономия имеет большое практическое значение, так как позволяет создать навигационные приборы, при помощи которых в любую погоду и любое время суток будет возможно определить положение корабля по наблюдениям за небесными телами.
Проблемам радиолокации посвящена значительная литература. Поскольку вопросы радиолокации принадлежат радиотехнике, а не физике, то нам кажется достаточным освещение принципа этого замечательного метода. . .
На рис. 141 изображена блок-схема радиолокатора.
ГЛАВА 20
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§131. Сложение волн от двух источников
Рассмотрим, прежде всего, два идеальных источника, излучающих сферические волны. Оба источника колеблются синхронно. Как известно, в этом случае для волн любого типа (проще всего это продемонстрировать на примере водяных волн) возникает характерное поле, в котором мы видим светлые и темные «борозды», проходящие через те места, где волны усиливают или ослабляют друг друга. *
Расчет этой картины несложен. Рассмотрим любую точку, на
ходящуюся на расстоянии гг от одного и г2 от другого источника
Рис. 142.Рис. 142.волны. Тогда максимальное усиление волн будет иметь место в том случае, если разность хода между волнами гг — г2 равняется целому числу длин волн пК. Напротив, погашение будет иметь место в тех точках, где разность хода равняется нечетному числу полуволн (2п+1)у. '
Рис. 142.
Рис. 142.
Как известно из аналитической геометрии, кривая поверхность, все точки которой удовлетворяют условию: разность расстояний до двух фокусов есть величина постоянная, есть гиперболоид.* На рис. 59 (стр. 107) проведено сечение через источники волн. В этом сечении показаны гиперболы — места, для которых разность хода имеет одно и то же значение вдоль кривой.
Рассмотрим теперь (рис. 142) сечение волнового поля цилиндрической поверхностью,
ось которой проходит через излучатели (которые мы все время предполагаем точечными). На таком экране интерференционная картина даст о себе знать системой чередующихся темных и светлых прямых линий, поскольку все точки цилиндра,
лежащие на одинаковой высоте, находятся в совершенно одинако
вых условиях, т. е. в одинаковом положении по отношению к источникам излучения. На средней линии цилиндра мы будем иметь светлую полосу, так как расстояния от обоих источников равны и волны усиливают друг друга. Для точек, лежащих на высоте z над центральной прямой, разность хода лучей гх— г2 представим как
. Но гХ—rX^lz. где I— расстояние между источниками.
2/zГ1 + Г22/zГ1 + Г2пХ.пХ.Значит, условие n-й светлой полосы имеет вид
2/z
Г1 + Г2
2/z
Г1 + Г2
пХ.
пХ.
Если экран далек, то для полос, близких к центру, r^r^w^R,
где R — радиус цилиндра. Светлые полосы пройдут через точки z, удовлетворяющие условию.
Расстояние между соседними полосами будет kz^XRH.
Пример. Если два когерентных (см. § 132) источника, расстояние между которыми /=1 мм, испускают свет с длиной волны Х=6000 А, то на поверхности цилиндра с радиусом 7?=1 м появятся интерференционные полосы, расстояния между которыми равны Дг—Х/?//=0,6 мм.
- Если источник света излучает волны разных длин, то интерференционная картина будет окрашена, так как условия максимума различны для разных X.
Нас может заинтересовать не только положение максимумов и минимумов интерференции, но и вид кривой интенсивности поперек полос.
Рис. 143.Рис. 143.Если lz!R — разность хода между волнами, то с 2л U
Рис. 143.
Рис. 143.
есть разность фаз, и суммарная амплитуда в любой точке запишется в виде
A cos со^ + Л cos (со/+ 6).
на стр. '90на стр. '90Если амплитуды равны, то это дает обсуждавшееся
на стр. '90
на стр. '90
выражение
2 A cos у cos f со/ + у
Измеряемая на опыте интенсивность (квадрат амплитуды волны) равна среднему значению этого выражения, взятому за период колебаний. Так как
[со^ += 1
(см. о вычислении среднего в следующем параграфе), то
/ = 2Л2 cos2 ^ .
Кривая интенсивности может быть построена на графике в функции вертикальной координаты z (рис. 143).
Когерентность
Описанное в предыдущем параграфе сложение двух волн можно пытаться осуществить различными способами и для разных длин волн. Можно, например, установить близко друг от друга две антенны, излучающие радиоволны; можно установить близко друг от друга две электрические лампочки с точечной нитью накала; можно свести воедино падающий луч и этот же луч, отраженный зеркалом. Опыт показывает, что интерференционные явления осуществляются далеко нс во всех случаях. Выяснить, в чем здесь дело, всегда можно, изучая сложение полей двух антенн. Легко показать, что интерференционная картина будет наблюдаться лишь в том случае, если между налагающимися волнами имеется разность фаз, постоянная за время наблюдения. В таком случае говорят о когерентных колебаниях.
Если разность фаз фиксирована, то электромагнитное колебание в данной точке пространства происходит все время с одной и той же амплитудой. Таким образом, точка максимума всегда будет таковой; место, где волны предельно гасят друг друга, будет все время сохранять нулевую интенсивность.
Если же разность фаз беспорядочно меняется, то картина будет совсем иной. В течение некоторого времени колебание в данной точке происходит с максимальной амплитудой, в следующий интервал — с какой-либо средней, а затем волны на какой-то срок гасят друг друга. Если бы эти периоды длились время, соизмеримое с практическими возможностями инструментов, то мы установили бы наличие меняющегося интерференционного поля. Если же перемены в разности фаз следуют столь быстро, что инструменты не могут обнаружить этих изменений, то интерференционное поле нс проявит себя и инструменты покажут среднее значение интенсивности. В этих случаях говорят о некогерентных колебаниях.
Чему же будет равна та средняя интенсивность, которая проявится в пространстве, где налагаются поля? Покажем это элементарным расчетом.
Амплитуда суммарной волны в данной точке и в данное мгновение может быть записана в виде
Лх cos со/ + Л2 cos (со/+ 6).
Мгновенная интенсивность пропорциональна квадрату этого выражения, т. с. равна
А^ cos2 со/ + Л 2 cos2 (со/ + 6) + 2АгЛ2 cos со/ • cos (со/ + 6).
Нас интересует средняя по времени интенсивность излучения, которая равна
I = A^ (cos2 <о/)ср + Л2 [cos2 (со/ + 6)] ср +
4-2А1Л2 [cos ait -cos (toZ4-6)]cp.
Средние значения тригонометрических величин «довольно часто встречаются в физических вычислениях. Полезно поэтому напомнить, что средние значения 314
sinx и cosx равны нулю, а средние значения sin2x и cos2x равны Ч^ если только аргумент х тригонометрической функции с равной вероятностью принимает любые значения. Среднее значение Какой-либо функции /(х) по смыслу понятия равно
I/ (х)]ср —
Эта формула пригодна для подсчета среднего, если переменная х принимает дискретные значения. Если же переменная х непрерывна и принимает любые значения в интервале от а до Ь. то формулу для вычисления среднего значения мы получим следующим образом. Разделим интервал (6 — а) на п отрезков Ах. Помножим числитель и знаменатель на Ах, получим
,,, , _ /(xJAx+f^Ar-f^
IfWlcp
Переходя к пределу, имеем
[/W]cp = ^23а
По этой формуле можно вычислить среднее значение любой функции от непрерывно меняющейся случайной величины. При вычислении среднего значения периодической функции надо взять в качестве пределов интегрирования величину одного периода, поскольку среднее значение за один период несомненно равно среднему значению за любое число периодов. Таким образом, например,
[cos2 х]ср = -^ У cos2 xdx=Y>о
Запишем формулу интенсивности в виде
/ = АХ (cos2 «Оер 4- АХ [cos2 (tot + 6)1 ср +
+ ^1^2 lcos (2<^ + 6)]ср+ АЛ (cos 6)ср.
Пользуясь сведениями о средних значениях cos х hcos2x , получим: если разность фаз двух волн меняется беспорядочно, т. с. если колебания некогерентны, то
I=l(At + AXY,
напротив, если разность фаз фиксирована, колебания когерентны, то
/=4(л1+л=+лАс°з б>
или для равных амплитуд
I = 2А cos2 у ,.
— мы пришли к интерференционной формуле предыдущего параграфа.
Когерентность радиоволн, излучаемых соседними антеннами, может быть нарушена или создана техническими приемами.
Что же касается световых колебаний, то здесь прежде всего надо отличать свет обычных источников от света лазеров. В обычных источниках излучения отдельных атомов не находятся в согласии друг с другом. Фазы волн, посылаемых отдельными атомами, сдвинуты на случайные величины. Вполне естественно, что два источника света, сколь угодно близких по размерам к точке, не дают
ЗСогереншнбсеЗСогереншнбсе
ЗСогереншнбсе
ЗСогереншнбсе
интерференционного поля. Создать когерентные световые колебания с помощью обычных источников света можно лишь одним способом— «расщеплением» одной и той же световой волны.
Способы искусственного осуществления когерентных источников показаны на рис. 144. Два зеркала / и //, слегка наклоненные друг к другу, или сдвоенная призма (бипризма) являются источниками волн от двух мнимых центров. В любом месте интерференционного поля может быть установлен экран, на котором будут наблюдаться интерференционные полосы. Проведенные выше теоретические рассуждения вполне подходят к этим случаям; ход полос определяется расстоянием между мнимыми изображениями источника света и расстояниями от этих изображений до точки наблюдения.
Вполне очевидна причина когерентности двух частей «расщепленного» луча. Между любой парой атомов истинного источника нет когерентных соотношений. Расщепляя же луч на две части, мы
& и в создании интерференцион- i лучи, выходящие в телесном& и в создании интерференцион- i лучи, выходящие в телесномдаем возможность излучению каждого атома интерферировать самому с собой.
& и в создании интерференцион- i лучи, выходящие в телесном
& и в создании интерференцион- i лучи, выходящие в телесном
Существующие многочисленные устройства, позволяющие наблюдать интерференцию с помощью источников обычного света, отличаются различными способами расщепления луча света путем отражения и преломления с последующим наложением частей расщепленной волны в области интерференционного поля.
Размер источника света сказывается существенным образом на когерентности его «расщепленных» лучей. Положим (рис. 145), что источник света имеет размер ного поля принимают участие угле 2и. Лучи типа /, Г исходят от одного атома и, следовательно, когерентны. То же самое верно и для лучей 2, 2'. Положим, что мы хотим наблюдать интерференцию, наложив друг на друга поля лучей 1, 2 и Г у 2’. Чтобы интерференция имела место, надо, чтобы поля когерентных лучей /, Г и 2, 2' поддерживали друг друга. Этому мешает разность хода A=b sin и\ имеющая место между Г, 2*, а также 1 и 2. Интерференция станет возможной лишь при условии 6sin^X/2.
Понятно, что интерферировать могут лишь световые волны
одинаковой длины. Следовательно, интенсивность интерференционной полосы определяется нс интегральной мощностью излучения, а мощностью излучения света данной, волны.
Большим ограничением в постановке интерференционных опытов с обычным светом является ограниченная когерентная длина светового луча. Дело в том, что в один прием атом излучает в-тече- нис времени порядка Ю”?-с. Принимая во внимание значение скорости света, нетрудно убедиться в том, что испущенный «цуг» волн имеет протяженность порядка метра. Таким образом, при строгой монохроматичности когерентная длина для видимого света будет порядка метра. Если используется такой источник света как ртутная лампа высокого давления, то когерентная длина будет всего лишь порядка миллиметра. Это значит, что излучение одного и того же атома, подвергшееся расщеплению и сведенное в одну точку с разностью хода, большей миллиметра (большей когерентной длины) уже нс даст явления интерференции./
Стимулированное излучение лазера, происхождение которого рассмотрено на стр. 402, обладает идеальной монохроматичностью: частотный интервал в миллионы раз меньше частоты света. Самое
главное состоит в том, что все атомы лазера создают стимулированное излучение в одной фазе. Следовательно, в этом случае излучения разных атомов способны интерферировать между собой. Не имеет значения конечная длина цуга волн. Следующие друг за другом акты излучения происходят в одной фазе. Поэтому когерентная длина теряет свое значение и расщепленный свет лазера будет интерферировать и в том случае, если одна часть луча прошла путь на десятки и сотни метров больший, чем его другая часть. Расщепление лазерного луча для достижения интерференции нс требует и доли тех мер, которые должны быть приняты для наблюдения интерференции обычного света. Достаточно установить лазер за экраном с двумя щелями и создать общее поле света, выходящего из двух щелей.
Исключительная мощность лазерного света позволяет с легкостью осуществлять интерференционные опыты, казавшиеся ранее исключительно трудными или невозможными.
Интерференция в пластинке
Рассмотрим отражение и преломление света, падающего на плоскую пластинку толщиной d (рис. 146).
Пусть плоская волна падает на пластинку под углом I. Луч света отразится и преломится. Преломленный луч попадет на нижнюю
грань пластинки и также отразится и преломится.. В результате возникнет множество лучей, параллельных непосредственному отраженному, а также множество параллельных лучей, прошедших во вторую среду. Все эти лучи когерентны и между ними имеется разность фаз; следовательно, возникают условия для интерференции как в отраженных, так и в прошедших лучах.
Как известно (см. стр. 301), коэффициент отражения, во всяком случае при отвесном падении, невелик. В этом случае интенсив- нбеть каждого «следующего» луча будет много меньше интенсивности предыдущего. Например, при коэффициенте отражения 5% первый отраженный луч будет иметь интенсивность 0,05 /0- Второй 318
отраженный луч претерпел два преломления и одно отражение. Его интенсивность будет 0,95-0,95-0,05 /о=О,О45 /0. Таким образом, интенсивности первых двух лучей будут весьма близки друг к другу. Но* уже третий луч будет резко слабее, так как он терпит три отражения и два преломления. Его интенсивность будет равна 0,95-0,95-0,05-0,05-0,05 /0, т. е. он в четыреста раз слабее предыдущего луча.'
В условиях небольшого коэффициента отражения явление сводится к наблюдению интерференции двух первых лучей.
Что же касается прошедших лучей, то в условиях малого коэффициента отражения интерференция не наблюдаема, так как второй луч уже в четыреста раз (для того же числового примера) слабее первого, третий — в четыреста раз слабее второго и т. д. Однако не представляет особого труда создание таких условий опыта, при которых как в отраженном,*так и в проходящем свете возникало бы множество интерференционных лучей.
Если на плоскую пластинку падает монохроматическая волна, то картина интерференционного поля определится разностью фаз первого и второго отраженных лучей..
Из формулы волны
A cos со /
очевидно, что фаза волны, прошедшей путь х со скоростью у, изменится на со ~ или ^-х , где X — длина волны в среде. Обозначая через %0 длину волны в пустоте и учитывая, что коэффициент преломления равен п = у , можем записать изменение в фазе как^-ях. Произведение пх называют часто оптическим ходом волны. Если волна на своем пути проходит через несколько сред, то ее фаза изменится на
где S = (m1x1+m2x2+. ..) — оптический путь.
Разность фаз 6 интерферирующих волн, которая определяет интенсивность* результирующего поля, равна
6 = у Д,
т. е. определяется оптической разностью путей S' и S" этих волн Д-S'— S".
Расчет Д для интересующего нас случая проводится с помощью рис. 146. Удобнее всего выразить Д через угол преломления г, толщину пластинки d и показатель преломления п. Как видно из чертежа,
'A — 2dn cos г.
Однако нужно учесть еще скачок фазы при отражении (ср. стр. 300). В этом отношении j первый и (второй лучи отличаются, так как первый отражается от внешней грани пластинки, а второй — от
внутренней. Поэтому электрический вектор одного из них терпит скачок фазы на 180°, а другой — нет. Следовательно, результирующая разность фаз будет:
6 = |^ 2dn cos г + л.
Л о
Максимум интерференции наблюдается при условии 6=т-2л, где т — целое число, минимум — при условии 6=т-л. Следовательно, - ’
условие максимума: 2 dn cos г = тХ0 ± у;
условие минимума: 2 dn cos г = тХ0.
Таким образом, в зависимости от X, п, d и г интерференция может привести к нулю или к максимуму интенсивности волны, отраженной от пластинки. В идеальном опыте с ^монохроматическим лучом, меняя, например, угол падения, мы должны были бы фиксировать периодическое погасание и появление отраженного луча. В аналогичном опыте с белым лучом пластинка должна последовательно проходить через все цвета радуги.
§ 134. Полосы равной толщины и полосы равного наклона
_ В условие экстремума 2 dn cos г^тХ входит несколько факторов. Одновременное их варьирование может привести к запутанной картине. Ярче всего явление наблюдается тогда, когда можно считать неизменными все параметры, кроме одного.
Если пластинка имеет переменную толщину d, коэффициент преломления неизменен, а угол падения (а следовательно, и преломления) практически один и тот же для рассматриваемого участка пластинки, то интерференция будет обнаружена в виде так называемых полос равной толщины. Все места пластинки, обладающие одинаковой толщиной d, будут находиться в одинаковых условиях. Поэтому на неровной пластинке возникнет система темных и светлых (или радужных в случае белого света) полос, обрисовывающих места равной толщины. В этом состоит объяснение цветных разводов, которые мы часто видим на пленках нефти или масла, разлитого на воде. Если пластинка имеет форму клина, то полосы равной толщины будут прямыми. Такие полосы легко наблюдать на мыльных пленках. В вертикальной пленке мыло стекает и пленка становится более тонкой в верхних частях, на пленке появляются горизонтальные полосы.
Если свет падает на пластинку отвесно, то cos r^l; полосы возникнут в тех местах пластинки, толщины d которых удовлетворяют соотношению 2 dn^mX^.
Две соседние полосы соответствуют толщинам, отличающимся друг от друга на ^ = у, т. с. на полдлины волны. Таким образом, 320
световые полосы равной толщины указывают на неравномерности в толщинах пластинки порядка десятых долей микрона.
Если толщина от точки к точке меняется очень медленно, то
полосы могут оказаться на весьма большом расстоянии друг от друга. Так, например, в стекающей мыльной пленке может образоваться клин с углом раствора 0,5 дуговой минуты; тогда, как не
следующая — при d=X, и т. д. юс можно установить значениеследующая — при d=X, и т. д. юс можно установить значениетрудно рассчитать с помощью рис. 147, полосы будут находиться на расстоянии 2 мм друг от друга.
следующая — при d=X, и т. д. юс можно установить значение
следующая — при d=X, и т. д. юс можно установить значение
Если клин сходит на нулевую толщину, то конец клина будет темным в отраженном свете: толщины, меньшие V4, света нс отражают. Первая светлая полоса возникнет при толщине d=М2 (разность хода вдвое больше, учтите путь туда и обратно), Таким образом, простым счетом по
толщины.
Возникает естественный вопрос: почему в естественном свете мы легко наблюдаем полосы равной толщины на тонких пленках, но нс видим их, скажем, на оконном стекле? Причина заключается в невозможности создания идеальных условий, при которых единственной переменной величиной является толщина пластинки d.
X.X.Рассмотрим влияние нестрогой одинаковости угла падения (преломления). Если эти углы варьируют от гх до г2 так, что на максимум интерференции для тх будет накладываться погасание для угла г2, то интерференционные полосы будут смазаны. Каков же угловой интервал Аг—г2— гх, размазывающий картину полос равной толщины? Мы найдем его из условий
X.
X.
Следовательно,Следовательно,2dn cos гг = mX, 2dn cos r2
Следовательно,
Следовательно,
2d/t(cosr2 — cosr1) = -^-.
Для простоты ограничимся случаем отвесного падения; пусть Г1=0, а г2 равно малой величине Аг. Тогда
2dn=mX, 2dn(l—^гМ = (m X,
откуда
321321а так как 2dn—mX, то (ДГ)2=;1. х 7 2/тг
321
321
11 А. И. Китайгородский
Если пластинка тонкая, то величины т измеряются единицами и десятками. В этом случае разброс углов в пределах десятых радиана (т. е. 5—10°) не размажет картины. Если же пластинка толстая, то уже для 1 мм т порядка 5000, а значит, разброс углов порядка сотых долей радиана уже не позволит наблюдать полосы равной толщины.
Но даже и при идеальной геометрии опыта относительно толстые пластинки не создадут интерференционной картины из-за ограниченной когерентной длины.
Для лазерного света трудности наблюдения интерференции от толстых пластинок в основном снимаются.
Перейдем теперь к рассмотрению другого типа полос, называемых полосами равного наклона. Они наблюдаются от плоскопараллельной пластинки (d одинаково во всех точках пластинки) при падении на нее пучка света с непрерывным набором углов падения (рис. 148).
Мы всегда можем выделить из пучка отраженных лучей, присутствующих в телесном угле, тс из них, которые лежат на образующих одного и того же конуса, ось которого есть нормаль к пластинке. Лучи, ложащиеся на такой конус, имеют одно и то же значение г. Они и дадут линии равного наклона.
Следует подчеркнуть различие в способе наблюдения линий равной толщины и линий равного наклона. Линии равного наклона наблюдаются в бесконечности, поэтому на пути лучей надо поставить линзу; кривые равного наклона будут наблюдаться, в се фокальной плоскости. Что же касается линий равной толщины, то при нормальном падении на клинообразную поверхность они наблюдаются глазом на поверхности пластинки. Если же свет падает на такую пластинку под углом, то линии равно?! толщины наблюдаются на поверхности клина лишь для очень тонких пленок. В противном слу- 32?
чае интерференционная картина наблюдается в двух плоскостях, расположенных над и под клином на расстоянии а (а — угол клина). Для вывода этой формулы, который мы предоставляем читателю, следует построить луч, падающий на поверхность клина под углом /, а также лучи, отраженные от верхней и нижней граней клина. Плоскость наблюдения интерференционной картины будет проходить через точку, в которой пересекаются продолжения двух отраженных лучей. Мы привели формулу для воздушного клина.
§ 135. Практические применения интерференции
Интерференционные методы широко применяются для измерения малых расстояний или малых изменений расстояний. Они позволяют заметить изменения толщины, меньшие сотых долей длины световой волны. В интерференционных измерениях неровностей на поверхности кристалла удается достигнуть точности порядка 10"7 см.
Многочисленные применения основаны на использовании метода кривых равной толщины. Широко распространен этот метод в оптической промышленности. Если, скажем, нужно проверить качество поверхности стеклянной пластинки, то это делается рассмотрением полос равной толщины воздушного клина, создаваемого испытуемой пластинкой и эталонной пластинкой с идеально плоской поверхностью. Если прижать эти две пластинки с одного края, то образуется воздушный клин. Если обе поверхности плоские, то линии равной толщины будут параллельными прямыми.
Представим себе, что на испытуемой пластинке имеется впадина или бугор. Тогда линии равной толщины искривятся и будут обходить дефектное место. При изменении угла падения света полосы
И*И*движутся в ту или другую сторону в зависимости от того, бугром или впадиной является дефект. На рис. 149 показано, как выглядит поле микроскопа в этих случаях. Первые два рисунка соответствуют дефектным образцам. У первого дефект расположен справа у самого края, а у второго — слева. Третий рисунок соответствует образцу без дефектов.
И*
И*
Тот же метод может быть применен для весьма точного измерения коэффициента расширения. Для этой цели надо создать воздушный зазор между поверхностью исследуемого объекта и неизменной плоскостью. Если объект будет расширяться, то толщина слоя начнет меняться. Полосы равной толщины придут в движение. Если одна полоса сдвинулась, а ее место заняла следующая, то толщина воздушной прослойки в этом месте изменилась на М2.
Если, как это и делают обычно, вести измерения в монохроматическом свете, то полосы видны очень резко и смещение полосы на сотую долю расстояния между полосами может быть измерено.
Рис. 150.
Точные измерения показателя преломления вещества могут быть проделаны с помощью интерференционных рефрактометров. В этих приборах наблюдается интерференция между двумя световыми лучами, которые по возможности отдалены друг от друга (рис. 150). Для этого берется достаточно толстая пластинка и подбирается выгодный угол падения (для обычного стекла наиболее выгоден угол порядка 50°). Лучи, идущие между пластинками, разобщены, и на пути одного из них можно поместить испытуемое вещество. Этим меняется оптический путь одного из лучей, а значит, и разность путей лучей, интерферирующих на выходе. Если пластинки интерферометра в точности одинаковы и установлены идеально параллельно, то оба интерферирующих луча имеют одинаковый путь и усиливают друг друга. При наклоне пластинок создается разность хода и поле зрения будет менять свою яркость.
Такая картина имеет место для идеально параллельного пучка лучей. Если же на пластинку падает слегка расходящийся пучок, то в поле зрительной трубы возникнет система полос равного наклона. В этом случае изменения в оптической разности хода удобно определять, считая проходящие мимо креста нитей интерференционные полосы.
Положим, что на пути одного из лучей установлено тело длиной / и с коэффициентом преломления п. Если коэффициент преломления среды есть п^ то оптическая разность хода изменится на Д— — 1(п— п0У При этом через окуляр трубы должно пройти Д/Х полос. Нетрудно оценить точность этого метода, если указать, что смещение в 0,1 полосы улавливается без труда. При таком смещении Д=0,1 Х=0,5-10-5 см, что на длине / = 10 см позволит зафиксировать изменение коэффициента преломления на 0,5* 10~6.
Для точных измерений длин, а также для определения скорости света (см. также стр. 379) применяется получивший особую известность интерферометр Майкельсона (рис. 151). В этом приборе параллельный пучок монохроматического света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку, покрытую с одной стороны полупрозрачным слоем серебра. Эта пластинка поставлена под углом 45° к падающему от источника лучу и делит его на два, один из которых идет параллельно падающему лучу (продолжает его), а другой — перпендикулярно (налево). Разделенные лучи падают на два зеркала под нулевыми углами падения и возвращаются в те самые места полупрозрачной пластинки, из которых они вышли. Каждый луч,- вернувшийся от зеркала, повторно расщепляется на пластинке. Часть света возвращается в источник, а другая часть поступает направо в зрительную трубу. В результате в поле зрения трубы наблюдаются два когерентных интерферирующих луча. На рисунке видно, что после первого разделения на полупрозрачном слое луч, идущий от зеркала, стоящего напротив трубы, дважды проходит через стеклянную пластинку с полупрозрачным слоем. Поэтому для обеспечения равенства оптических путей луч, идущий от другого зеркала, пропускается через компенсационную пластинку, идентичную первой, ноЯ5ез полупрозрачного слоя.
В трубу будут наблюдаться линии равного наклона (круговые кольца), соответствующие интерференции в воздушной пластинке,
Рис. 152.Рис. 152.
Рис. 152.
Рис. 152.
толщина которой равна разности расстояний зеркал от полупрозрачного слоя. Перемещение одного из зеркал на четверть длины волны будет соответствовать переходу от максимума к минимуму, т. с. вызовет смещение картины на полкольца. Это может быть отчетливо отмечено наблюдателем. Таким образом, в фиолетовых лучах чувствительность интерферометра больше чем 1000 А—0,1 микрона.
Интересным применением интерферометра Майкельсона является микроинтерферометр, разработанный советским физиком В. П. Линником. Принцип его схемы состоит в том, что одно из зеркал интерферометра заменено исследуемым объектом. В плоскости
изображения наблюдаются линии равной толщины. Детали размером 0,1 микрона дадут четкий переход от максимальной освещенности к минимальной . Микроинтерферометр обычно выполняется в виде приставки к обычному микроскопу и ввинчивается в тубус микроскопа вместо объектива. Большое значение для науки имеют интерференционные микроскопы, близкие по идее к микроинтерферометру (в микроскопе интерференция осуществляется не в плоскости изображения, а перед обычным объективом, т. е. интерферен
ционное изображение имеет те же размеры, что и микрообъект). Выигрыша в увеличении двухлучевой интерференционный микроскоп не дает. Значение этого метода в другом. Среди объектов микроскопического исследования чрезвычайно часто встречаются либо почти совершенно прозрачные, либо с мало меняющейся по площади прозрачностью. Сделать видимыми детали таких объектов было возможно лишь путем их искусственного окрашивания: различные структурные элементы, вообще говоря, по-разному воспринимают окраску. Но окрашивание мало применимо при изучении живых микроорганизмов. Возможности интерференционного микроскопа иллюстрирует рис. 152, на котором изображена с увеличением в 300 раз микрофотография крови лягушки.
К недостаткам метода относятся большие потери света в интерференционном устройстве и серьезное усложнение оптической системы микроскопа.
Дальнейшее повышение чувствительности интерференционных методов и, следовательно, дальнейшие успехи интерференционной микроскопии возможны при переходе^т двухлучевых интерферометров к многолучевым. Дело в том, что в двухлучевых интерферометрах освещенность экрана меняется пропорционально множи-
телю (1+cos kh\ где h — смещение вдоль экрана. Вследствие плавности перехода от максимума освещенности к минимуму малое смещение интерференционных полос с уверенностью регистрировать не удается. Многолучевые интерферометры существенно улучшают положение. В качестве примера многолучевого интерферометра рассмотрим интерферометр Фабри — Перо.
Интерферометр Фабри — Перо (рис. 153) состоит из двух довольно толстых стеклянных или кварцевых пластин, каждая из которых
Рис. 153.
покрыта полупрозрачным слоем серебра. Пластины обращены металлизированными поверхностями друг к другу; эти поверхности строго параллельны. Зазор между пластинами заполнен воздухом. При падении на интерферометр пучка света этот пучок, попадая на каждое из полупрозрачных покрытий, раздваивается на проходящий и отраженный. В результате как в проходящем, так и в отраженном свете получается набор когерентных световых пучков, интенсивности которых убывают по геометрической прогрессии (см. стр. 319), а фазы сдвигаются по арифметической прогрессии. Чтобы обеспечить возможность интерференции большого числа лучей, необходимо добиться малого убывания амплитуды при последовательных отражениях. Это достигается тем, что металлическое покрытие на пластинках имеет коэффициент отражения 0,9 или больше. Тогда интенсивности лучей в проходящем свете будут весьма невелики, но зато они будут мало меняться от луча к лучу, что позволяет большому числу лучей (до 10—15) участвовать в создании каждого максимума освещенности. .
Интерференционная картина получается в> виде обычных колец равного наклона, но с одним очень важным изменением: главные максимумы, определяемые условием 2dn cos a=mX, теперь резко сужаются, причем их интенсивности в десятки раз превышают интенсивность фона между ними. Поэтому интерференционная картина приобретает вид весьма узких светлых полос, разделенных широкими темными промежутками. Смещение такого узкого максимума может быть зафиксировано с гораздо большей точностью, чем смещение полосы в двухлучевом интерферометре. Аналогичное сужение максимумов происходит и при увеличении числа щелей дифракционной решетки.
Таким образом, многолучевые приборы резко повышают чувствительность интерференционных методов. Такие системы оказываются незаменимыми при исследовании в отраженном свете вертикальной структуры поверхности объекта. Увеличение детали по вертикали может достигнуть 400 000, что позволяет уверенно разрешать подробности с размерами порядка 5—10 А. Это — несколько- межатомных расстояний! Примером такой фотографии служит снимок спирального роста кристалла, приведенный на стр. 614.
В настоящее время интерферометры, работающие на естественных источниках света, заменяются интерферометрами, использующими лазеры. Достоинства совершенно очевидны — это не идущая ни в какое сравнение мощность света, строгая монохроматичность, идеальная параллельность пучка света и неограниченная когерентная длина.
С помощью лазеров можно проделывать измерения на 200-дюймовом телескопе с интерферометром, у которого одно плечо имеет длину десятка метров, а другое — единицы сантиметров.
Интерферометры, используемые для контроля сферичности линз, могут быть изготовлены с одной-единственной поверхностью сравнения, в то время как, используя обычный свет, с изменением радиуса испытываемой линзы приходилось менять и эталон сравнения (так как нельзя было работать с большими разностями хода). Мы уже не говорим о том, что интерференционные картины стали несравненно ярче, а поэтому анализируются легко и более точно.
Возможность обходиться без компенсации оптического пути одного из лучей позволяет изготовлять интерферометры совершенно нового типа. Становится возможным следить за смещениями плотин, геологическим дрейфом, колебаниями земной коры.
Было известно и ранее, что, измеряя быстроту движения интерференционных колец, можно измерять скорость движения одного из интерференционных зеркал благодаря эффекту Доплера (см. стр. 112). С помощью лазерного света, отражая его от объектов, находящихся на большом расстоянии, и заставляя отраженный свет интерферировать с исходным, можно производить точные измерения скорости движения далекой мишени.
ГЛАВА 21
РАССЕЯНИЕ
Вторичное излучение
Под действием электромагнитной волны каждая молекула становится вторичным излучателем электромагнитных волн. Под действием электрической силы электронное облако смещается по отношению к атомным ядрам и молекула приобретает дипольный момент, меняющийся во времени с частотой падающей волны. По- 328
ведение такой молекулы нисколько не отличается от поведения элементарного диполя, о котором шла речь в гл. 20. Интенсивность вторичной волны будет выражаться формулой, приводившейся (0^\
на стр. 293 (интенсивность ~ — sin2 0 1 , а распределение интенсивности вторичного излучения в пространстве будет передаваться рис. 133.
В ряде случаев, о которых пойдет речь ниже, явление вторичного излучения приводит к разнообразным явлениям рассеяния электромагнитных волн. При этом под рассеянием понимают обычно любые явления распространения электромагнитных волн, не укладывающиеся в рамки преломления, отражения и прямолинейного распространения.
Формула интенсивности, приведенная выше, справедлива для любых электромагнитных волн. Однако резкая зависимость от частоты излучения показывает, что эффекты рассеяния волны одной молекулой станут заметны при не слишком длинных волнах. Интенсивность рассеяния волн видимого света уже вполне достаточна для того, чтобы привести к существенным эффектам.
Длина световой волны в сотни и тысячи раз превышает размеры обычных молекул. Поэтому все электроны молекулы приводятся внешним полем в колебание с одной и той же фазой. Для световых волн, для ультрафиолетовых волн и даже для очень мягкого (т. е. длинноволнового) рентгеновского излучения молекула ведет себя, как элементарный электрический диполь.
Картина существенно меняется, если речь идет о рентгеновском излучении с длиной волны порядка 1 А. Теперь уже размеры молекулы больше длины волны и различные участки электронного облака молекулы колеблются в разных фазах. Чтобы вычислить интенсивность рассеянной волны, нужно учесть явления интерференции, которые возникнут между волнами, рассеянными разными частями молекулы.
В принципе такое вычисление не представляет труда. Электронное облако молекулы надо, прежде всего, разбить на небольшие объемы Av^. Каждый такой объем должен иметь размеры, много меньшие длины волны. Тогда электроны, приходящиеся на этот объем, будут рассеивать в одной фазе. Если обозначить через р плотность электронного облака, то на объем \ик придется рАи6 электронов. Амплитуда вторичной волны, созданной к-м объемом, будет пропорциональна рА^. Амплитуды рассеяния надо сложить с учетом разницы фаз между элементарными волнами и сумму амплитуд возвести, в квадрат. Распределение интенсивности рассеянной волны будет существенно отличаться от картины излучения одного диполя. Это и понятно, так как будут направления, в которых элементарные волны, рассеянные отдельными объемами, поддерживают друг друга, т. е. действуют в фазе, и, наоборот, будут такие направления, в которых элементарные волны ослабляют друг друга. Важным следствием такого рода подсчетов является следующее:
при наличии интерференции между элементарными волнами, исходящими от отдельных объемов частицы, волны, идущие назад, в конечном счете ослабляют друг друга; напротив, волны, идущие вперед, усиливают друг друга.
Мы говорили о вторичном излучении молекулы, однако очень часто роль вторичного излучателя играет гораздо более крупная частица, состоящая из большого числа молекул. Это может быть частичка пыли, коллоидная частица, капля тумана, мельчайший кристаллик, частичка дыма, крупная белковая молекула и т. д. Характер рассеяния волн частицами будет определяться отношением их размера к длине возбуждающей электромагнитной волны. Если частичка мала по сравнению с длиной волны, то она будет рассеивать, как один элементарный диполь. В противном случае возникнут интерференционные эффекты, а также будет превалировать рассеяние вперед.
Частица может обладать неодинаковой-рассеивающей способностью в разных своих частях. Именно так обстоит дело в молекуле, рассеивающей рентгеновские лучи. Наиболее простым рассеивающим телом является частица, все объемы которой обладают одинаковой рассеивающей способностью. Мы остановим свое внимание на подобной системе. Она не только проста для расчета, но и легко воспроизводится на опыте (отверстие в непрозрачном экране).
Дифракция волн на отверстиях
Амплитуда рассеяния отдельной частицей определяется характером распределения в ней рассеивающего вещества. Можно встретить частицы («отверстия»), в которых плотность рассеивающего вещества плавно падает с удалением от центра атома. Можно представить себе более резкие неоднородности — включения или поры, на краях которых плотность меняется скачком.
При рассеянии любыми такими неоднородностями возникают своеобразные так называемые дифракционные эффекты. Интенсив-, ность рассеяния сначала плавно спадает с возрастанием угла, -затем обращается в нуль; при дальнейшем возрастании угла интенсивность возрастает вновь, доходит до какого-то максимального значения, затем вновь падает до нуля и далее спадает волнообразно. Рассеяние такими объектами приводит к образованию дифракционных полос и пятен разной формы в зависимости от рассеивающего объекта.
Наиболее резко дифракционные эффекты обнаруживаются при рассеянии на отверстиях, сделанных в непрозрачном экране. Каждое отверстие можно рассматривать как участок, равномерно заполненный излучающими диполями. Картины рассеяния отверстием или частицей, имеющей форму такого отверстия, должны давать совпадающие кривые хода интенсивности с углом рассеяния.
Для световых лучей дифракционные картины проще всего наблюдаются в параллельных лучах при помощи следующей схемы.
Световой пучок, выходящий из источника, делается параллельным и падает на экран, в котором можно располагать различные включения (если экран прозрачный) или отверстия (если он непрозрачен). Линза, установленная за экраном, сводит параллельные
лучи в плоскость фотопластинки (или экран для рассмотрения эффекта). Если на пути лучей не будет никаких неоднородностей, отверстий и пр., то эта линза соберет лучи в точку. В противном случае на экране возникнет картина рассеяния или дифракции.
На рис. 154 приводятся полученные таким способом дифракционные картины от иголок и тонкой проволоки (а) и от круглого отверстия (б).
Чтобы происхождение этих картин было очевидным, мы произведем расчет распределения интенсивности рассеянного ) излучения для простейшего случая отверстия в виде щели.
Пусть волна падает на щель, вырезанную в непрозрачном экране, под прямым углом. Разобьем щель на объемы А]/ так, как показано на рис. 155, и напишем выра-
Рис. 155.Рис. 155.большую и, следовательно,большую и, следовательно,женис волны, посылаемой произвольным объемом ДУк в направлении под углом ф к падающей волне. Волны от различных элементов ДУк придут в точку наблюдения с разными фазами. Если разности хода отсчитывать по отношению к самому крайнему лучу (в сторону отклонения), то лучи, посланные следующими объемами, будут проходить пути на величину х sin ф сдвинуты по фазе на -^хк sin ф.
Рис. 155.
Рис. 155.
большую и, следовательно,
большую и, следовательно,
Амплитуда волны, рассеянной к-м объемом, будет пропорциональна «рассеивающему» объему А1/, т. е. выражению
(2 лА
Wk cos ( tot — -^- хк sin ф 1 .
Надо сложить эти выражения для всех объемов. Суммирование можно заменить интегрированием по координате х, отсчитываемой поперек щели. Заменяя ДУк на пропорциональное ему Дхк и переходя к пределу, получим для амплитуды рассеяния под углом ф:
а
Л = k I cos ( tot—^х sm ф 1 dx;о
к — коэффициент пропорциональности, а — ширина щели. Вводя переменную
, 2л .
2 = tot^-Х5Шф,
получим
d? = —д7 sin ф dx
2ля .— smtp2ля .— smtpи, следовательно,
2ля .
— smtp
2ля .
— smtp
Д = 2л~— [s*n ^— sin f °^sin ф L
Обозначая ^ sin ф = и и делая тригонометрическое преобразование, получим
Д = ^sin и cos (со/ — и).
Таким образом, результирующее колебание в точке наблюдения и ка .
происходит с амплитудой ~ sin и, т. е. наблюдаемая интенсивность
и2
Это — формула распределения интенсивности в зависимости от .угла рассеяния.
В большинстве дифракционных экспериментов нас интересуют малые углы рассеяния ф; причины этого позднее станут ясными. Поэтому, заменяя sin ф на tg ф и учитывая, что
.X
^ф = 7>
где х — расстояние точки наблюдения в плоскости фотопластинки до центра дифракционной картины, а / — расстояние от щели до фотопластинки, получим для и выражение
па х
На рис. 156 изображена кривая ^Л > так как и пропорционально х, то так выглядит дифракционная картина на фотопластинке.
Места темных полос находятся легко из условия и^^пк, где п — целое число. Таким образом, первый нуль лежит при х ; тому же числу равно и расстояние между двумя последовательными обращениями интенсивности в нуль. *
Эта формула показывает, когда будут наблюдаться дифракционные явления на разных длинах волн и в разных условиях. Дифракция света (Х=0,5-10"4 см) хорошо наблюдается в лабораторных условиях, если брать отверстия порядка 0,1 см и расстояния порядка 2 м между экраном и пластинкой. При этих цифрах х=1 мм — эффект будет отчетливо виден. -
Видимые лучи будут давать заметную дифракцию от теннисного мяча (а=5 см), но на большем расстоянии. При расстоянии /=100 м и длине волны Х=5000 А х=1 мм. Таким образом, и в этом случае расстояние между обращениями в нуль интенсивности рассеянного излучения по порядку величины равно 1 мм.
В соответствующих уравнению x^fla условиях можно наблюдать и дифракцию радиоволн.
Пусть величины / и X фиксированы. Ширина щели существенно сказывается на дифракционной картине. Если щель велика, то х-Д), т. е. изображение щели, сфокусированное линзой, бесконечно тонко. По мере уменьшения ширины щели дифракционная картина начинает выявляться и первый дифракционный минимум начинает все дальше отодвигаться от центра картины. Наконец, щель станет столь малой, что наше приближение в формуле для и (замена sin ф на tg ф) будет неверным. Изображение щели на экране расплывается, и в конечном счете, когда длина волны и размер щели сравняются, щель будет давать вторичное излучение как единый источник. Интерференция элементарных волн исчезнет, и от щели будет расходиться во все стороны элементарная волна.
Для отверстий и частиц (или включений в среде) другой формы дифракционные картины, как показал рис. 154, имеют совсем другой вид. Тем не менее главные особенности картины и общие закономерности сохраняются. Так, например, при дифракции от круглого отверстия или иной круглой неоднородности наблюдаются концентрические кольца с минимальным диаметром темного кольца 1,22 Kf/D, где D — диаметр отверстия. •
Так как дифракционные картины имеют максимумы в различных местах для разных длин волн, то при дифракции белого света возникает разложение в спектр. Дифракция от круглой частицы или отверстия имеет вид радужного кольца.
Система беспорядочно расположенных рассеивателей
Мы рассмотрели поведение различных вторичных излучателей электромагнитных волн в зависимости от их размеров по отношению к длине падающей волны. Свойства рассеивателя определяются его размерами лишь в самых общих чертах; детальная картина опреде- 334
ляется распределением вещества в рассеивающей частице. Распределение вещества в частице не играет роли лишь тогда, когда ее размеры малы по сравнению с длиной волны. В этом случае частица рассеивает как одно целое, как единый электрический диполь. В обратном же случае картина становится сложной, поскольку она определяется интерференцией волн, рассеянных отдельными объемами частицы. Мы рассмотрели лишь один пример рассеивателя, размеры которого больше длины волны, а именно, однородно рассеивающую частицу, образом которой может служить отверстие в непрозрачном экране.
Теперь мы обращаемся к вопросам рассеяния системой частиц: системой молекул газа, совокупностью пылинок или частиц дыма, системой кристалликов инея на стекле или системой отверстий в марле. Во всех этих и других подобных случаях картина осложняется тем, что электромагнитные волны, исходящие от разных рассеивателей, вообще говоря, могут интерферировать между собой. Теперь картина рассеяния будет зависеть не только от свойств одной рассеивающей частицы, но и от характера их взаимного расположения. Становится существенной близость друг к другу рассеивателей, упорядоченность или беспорядочность из взаимного расположения. В зависимости от этих обстоятельств интерференция волн, рассеянных отдельными частицами, может быть выражена в предельной степени, а может и отсутствовать совершенно. Возможны также любые промежуточные случаи.
Остановимся на крайних случаях и рассмотрим сначала рассеяние системой беспорядочно расположенных частиц на примере рассеяния рентгеновских лучей большим беспорядочным скоплением атомов или молекул.
При наличии большого числа одинаковых рассеивающих центров (скажем, атомов, молекул или более крупных одинаковых участков) результирующее рассеяние определяется, как мы сказали, рассеянием одного центра (области) и характером взаимного расположения рассеивающих центров. Крайне различны картины рассеяния для случаев упорядоченного и беспорядочного расположения рассеивающих центров.
Если рассеивающие центры расположены совершенно беспорядочно, как, например, молекулы газа друг по отношению к другу, то волны, рассеянные разными центрами, можно считать некогерентными. Дело в том, что при беспорядочном расположении рассеивающих центров будут с равной вероятностью встречаться любые фазовые соотношения между волнами, идущими от разных центров. Можно с уверенностью утверждать, что в точку наблюдения равные количества волн (от разных центров) будут приходить с положительными и отрицательными амплитудами. Нетрудно сообразить, что при этом произойдет. Обозначим через Д}, Д2, Л3 и т. д. амплитуды волн от разных центров. Суммарная амплитуда в точке наблюдения будет:
А -^А, + 42 +А Н .
а интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды, будет суммой такого вида:
/~ А^ = А^ + Д2 + л2 + _ . + 2Д1Д3 + 2ДМ3 + ... + 2Л2А3 + ...
Но среди удвоенных произведений будут одинаково часто встречаться как отрицательные, так и положительные слагаемые. Поэтому сумма с большой точностью будет равна сумме квадратов амплитуд слагаемых. Иначе говоря, полная интенсивность будет равна сумме интенсивностей, излучаемых отдельными центрами. Если центры тождественны, то полная интенсивность, рассеянная беспорядочно расположенными центрами, запишется так:
I^NA\
где N — число рассеивающих центров, А — амплитуда рассеяния одного центра.
Итак, оказывается, что рассеяние множеством беспорядочных частиц носит такой же характер, как и рассеяние одной частицей. Оно лишь в N раз сильнее.
Изучая рассеяние рентгеновских лучей газом, мы получаем сведения о рассеянии одной молекулой. Схема исследования рентгеновского рассеяния газами показана на рис. 157. Рентгеновский луч монохроматизируется отражением от
Рис. 157.
кристалла и затем поступает в камеру, содержащую газ. Рассеяние фиксируется фотографической пленкой. По степени почернения судят об интенсивности. Интенсивность в функции угла рассеяния изображается довольно быстро спадающими плавными кривыми для одноатомных газов и спадающими кривыми со слабо выраженными максимумами для многоатомных газов. По этим кривым с помощью теоретических формул можно судить о характере распределения электронной плотности в молекуле.
Можно привести значительное число примеров систем, рассеивающих электромагнитные волны подобно газу, рассеивающему рентгеновские лучи.
Хорошо известно рассеяние светового луча в пыльной комнате. Через щель в занавесках окна в комнату проникает резкий прямолинейный луч света, который виден глазу со всех сторон. Система пылинок ведет себя по отношению к световой волне во многом, как и система молекул по отношению к рентгеновскому лучу. Пылинки расположены на довольно больших расстояниях друг от друга и распределены совершенно беспорядочно. Интерференция волн, рассеянных отдельными пылинками, отсутствует, и картина рассеяния такая же, как и у одной пылинки. Она только возрастает в интенсивности пропорционально числу пылинок, попавших в поле первичного светового луча. Каждая пылинка ведет себя, как элементарный электрический диполь (размер пылинки меньше длины световой волны). Поэтому законы рассеяния света пылинками, т. е. зависимость от длины волны света и характер углового распределения, будут такие же, что и для элементарного электрического диполя (т. е. будут справедливы формула интенсивности, приведенная на стр. 292, и распределение интенсивности, показанное на рис. 133).
Обсуждаемую закономерность нетрудно также продемонстрировать, сравнивая дифракционные картины от одного отверстия и от системы беспорядочно расположенных отверстий. Опыт показывает, что по характеру распределения рассеянной интенсивности эти две дифракционные картины будут совершенно тождественными. Естественно, что интенсивность рассеяния экраном с N отверстиями будет в N раз больше интенсивности рассеяния непрозрачного экрана с одним отверстием.
Так как рассеяние многими беспорядочными центрами совпадает по характеру с рассеянием одним центром, то становится понятным происхождение радужных ореолов вокруг фонарей, которые каждый наблюдал через заиндевевшее стекло. Эта картина не что иное, как дифракция на крупинках льда. Так как они расположены полностью беспорядочно, то ведут себя, как «круглые» частицы.
Поведение сплошной однородной среды
Этот случай является противоположным (по отношению к только что рассмотренному) крайним случаем явления рассеяния. Говоря о сплошной неоднородной среде, мы имеем в виду систему рассеивателей, распределенных в пространстве совершенно однородно и непрерывно. Сплошной однородной средой по отношению к световым волнам являются, например, прозрачные стекла. Размер световой волны значительно превышает межатомные размеры, поэтому мы можем мысленно разбить кусок прозрачного стекла на элементарные объемы, существенно меньшие по размеру длины волны света, но в то же время содержащие большое число молекул. Среду можно считать однородной, если числа молекул во всех таких объемах практически одинаковы.
Рассеяние электромагнитных волн зависит не только от однородности в отношении числа излучателей, приходящихся на единицу
объема, но также и от однородности в их распределении по ориентациям. В конечном счете рассеивающая способность объема тела определяется его дипольным моментом, складывающимся из дипольных моментов молекул, входящих в этот объем. Можно поэтому сказать, что рассеивающая способность объема тела определяется значением диэлектрической проницаемости или, имея в виду соотношение 8 = п2, его коэффициентом преломления. Следовательно, среда, однородная в отношении рассеяния электромагнитных волн, должна быть однородной в отношении показателя преломления для данной длины волны.
Наблюдения над поведением электромагнитных волн в сплошных" однородных средах показывают, что рассеяние в них отсутствует: при прохождении луча света через прозрачное тело нельзя увидеть луч света, наблюдая его сбоку (в противоположность лучу света, идущему в пыльной комнате).
Каждый элементарный объем однородного тела является источником элементарной волны. В то же время рассеянная волна не образуется. Это можно объяснить лишь единственным способом: элементарные волны, рассеянные однородной средой в любом направлении, идущем под углом к первичному лучу, уничтожаются полностью благодаря интерференции. Эта теорема может быть достаточно строго доказана; мы не будем на этом останавливаться, так как единственность этого объяснения довольно очевидна.
Однако явление рассеяния в однородной среде сказывается, и притом весьма существенно. Дело в том, что рассеянные волны уничтожают друг друга во всех направлениях, кроме одного, а именно, кроме направления, в котором распространяется первичная волна. Рассеяние вперед не просто накладывается на первичную волну, а изменяет ее скорость. Явление преломления электромагнитных волн, которое мы уже рассматривали, можно, оказывается, трактовать как естественное следствие рассеяния.
Электромагнитная волна, распространяющаяся в среде, представляет собой сумму первичной волны и рассеянных волн. Теория показывает, что наложение этих волн сводится к замедлению первичной волны.
Рассеяние в неоднородной среде
Вещество, распределенное равномерно в смысле, который мы только что обсудили, не рассеивает электромагнитных волн. Хотя все участки этого вещества создают элементарные волны, вторичное излучение в стороны не может быть обнаружено: какую бы точку пространства мы ни взяли в качестве точки наблюдения, можно строго доказать, что, интерферируя между собой, волны, рассеянные однородным веществом, уничтожат друг друга. Всегда можно сопоставить одной элементарной волне другую, противоположную ей по фазе. В результате действие всех элементарных волн уничто^ жается.
Представим себе теперь, что в какой-то ограниченной области вещество имеет плотность большую, чем в окружающей среде, иначе говоря, имеет избыточное число диполей в единице объема. Тогда уничтожатся все элементарные волны, за исключением тех, которые созданы этой избыточной плотностью. Подсчет рассеянного излучения, как всегда, состоит в сложении амплитуд элементарных волн. Разумеется, при суммировании надо учитывать разности фаз, с которыми элементарные волны приходят в точку наблюдения. -
Изменится ли дело, если рассеивающий участок обладает пониженной, а не повышенной плотностью? Мы можем рассудить следующим образом: если дополнить такую рассеивающую область веществом так, чтобы среда стала однородной, то рассеяние пропадет. Ясно, что, прибавляя к какой-либо сумме и отнимая от нес одну и ту же величину, мы ничего не изменим. Значит, рассеяние области с пониженной плотностью будет равно рассеянию того вещества, которого недостает до однородного заполнения среды.
Итак, важно лишь одно: рассеивающая область должна иметь плотность распределения вещества, отличную от окружающей среды. При этом на рассеянии неотличимо одинаково сказываются нарушения плотности в сторону увеличения и уменьшения. Так, например, рассеяние пористым стеклом и рассеяние стеклом, в котором беспорядочно распределены включения таких же размеров, что и поры, совершенно тождественны.
Для радиоволн, из-за их большой длины, рассеяние будет происходить лишь в тех случаях, если неоднородности плотности наблюдаются в относительно большом масштабе. Скажем, чтобы наблюдалось рассеяние километровых волн, надо, чтобы на их пути попадались по крайней мерс стометровые отклонения от средней плотности. Меньших включений или провалов в плотности волны «замечать» не будут.
Рассеяние световых волн наблюдается тогда, когда имеются нарушения в распределении рассеивающего вещества по крайней мерё порядка десятых микрона. Таким образом, световые волны нс чувствуют неоднородности распределения электронов ни в молекуле, ни при переходе от одной молекулы к соседней, поскольку эти события разыгрываются на расстояниях, много меньших десятых микрона. Иначе обстоит дело с рентгеновскими лучами: так как их длина того же порядка, что и размер атома, то для них отдельный атом играет роль «включения в пустоте».
Широко распространено рассеяние на неоднородностях для световых волн. Наличие неоднородностей в рассеивающем веществе легко узнается по внешнему виду среды. Среда становится мутной. Нужные для возникновения рассеяния света условия возникают в опалесцирующих стеклах, в запыленном воздухе и т. д. Во всех этих случаях в среде имеются беспорядочные нарушения плотности вещества, при этом области нарушения приближаются по своему размеру к длине световой волны.
Как говорилось выше, если частица или неоднородность рассеивает как один диполь (для этого она должна быть по крайней мере в 10—20 раз меньше длины волны), то интенсивность рассеяния, согласно формуле диполя (см. стр. 329), должна быть пропорциональной четвертой степени частоты, т.е. обратно пропорциональной четвертой степени длины волны. Для света это приводит к такому интересному следствию: при рассеянии белого света средой с неоднородностями она должна приобретать голубую окраску, так как голубые (наиболее короткие) лучи будут рассеиваться значительно сильнее. Наоборот, пройдя через рассеивающую среду, белый свет становится красноватым, так как. синяя часть спектра обедняется из-за более сильного рассеивания.
Для световых волн неоднородными являются не только мутные среды. Однородный газ или жидкость оптически неоднородны из-за наличия в них флуктуаций плотности. Действительно, проведем такой расчет. Можно считать, что световые волны, рассеянные в области с линейным размером порядка 0,02 мкм (в 20 раз меньше длины волны X), находятся в одной фазе. В таком объеме газа (8-Ю-18 см3) при нормальных условиях имеется в среднем 215 молекул. Относительная флуктуация числа частиц, согласно законам статистической физики, есть 1/КМ, т. е. равна примерно 4%. Это вполне ощутимая неоднородность, обеспечивающая рассеяние света воздухом. -
Этим рассеянием объясняется голубой цвет неба. Если бы рассеяния солнечного света атмосферой не было, то небо выглядело бы черным. Цвет неба обеспечивается рассеянием относительно малой доли энергии: в единице объема рассеивается порядка 10"7 доли энергии первичной волны.
Рассеяние на флуктуациях плотности называют молекулярным, поскольку оно зависит от молекулярного строения вещества (а не от загрязненности вещества). Исследование молекулярного рассеяния жидкостей представляет интерес как способ выяснения некоторых особенностей молекулярного строения. Неоднородная среда, в которой участки отклонения от средней плотности находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга и расположены вполне хаотически, не отличается по характеру рассеяния от системы беспорядочно рассеивающих центров (§ 138). Однако большей частью в непрерывных средах (таких как жидкости и аморфные твердые тела по отношению к рентгеновским лучам, опалесцирующие стекла или коллоидные системы по отношению к световым лучам, атмосфера по отношению к радиоволнам) интерференция волн, рассеянных соседними областями пониженной или повышенной плотности, сказывается на виде картины рассеяния. Интерференция этого рода приводит к рассеянию, существенно отличному от идеальной картины рассеяния единичным электрическим диполем.
Мы рассмотрели рассеяние электромагнитных волн системой хаотически расположеннььх частиц, рассеяние в однородной сплошной 340
среде и, наконец, рассеяние в неоднородной среде как промежуточный случай. Остается обсудить еще один важный пример: рассеяние электромагнитных волн на системах упорядоченно расположенных центров. Это будет сделано на примерах дифракционной решетки для световых волн, направленных излучателей для радиоволн и кристаллов для рентгеновских лучей.
- § 141. Дифракционная решетка •
Дифракционную решетку можно изготовить из стеклянной пластинки, покрытой тонким слоем алюминия. При помощи специальных машин на такую пластинку мягким резцом из слоновой кости наносятся штрихи, расположенные на равных расстояниях друг от друга. В такой «решетке» неоднородности (штрихи) расположены регулярно, и это приводит к ряду особенностей рассеяния света.
ааааРис. 158,Рис. 158,
а
а
а
а
Рис. 158,
Рис. 158,
Мы будем говорить все время об оптической дифракционной решетке, однако излагаемые ниже соображения и факты относятся к регулярному расположению любых неоднородностей и рассеивающих центров и к любым электромагнитным волнам, от кратчайших до километровых. Ограничимся рассмотрением дифракции в параллельных лучах, способ осуществления которой был упомянут в § 137.
Если все рассеивающие центры тождественны (в оптической дифракционной решетке это несомненно имеет место), то расчет дифракционной картины должен происходить следующим образом.
Рассмотрим амплитуду волны, идущей под углом ф к падающей. Суммарная амплитуда сложится из амплитуд волн, рассеянных отдельными центрами. Если бы волны от отдельных центров приходили в точку наблюдения в одной фазе, то суммарная амплитуда равнялась бы произведению числа центров N на амплитуду отдельного центра f. Однако волна каждого центра сдвинута по фазе от волны соседнего центра (можно считать, что на одну и ту же величину). Волны от разных центров будут интерферировать, и результирующая интенсивность будет равна не Np, a Ц\ где L — величина, которая будет больше N в тех направлениях, где волны усиливают друг друга, и меньше N там, где они приходят по преимуществу в противоположных фазах и ослабляют друг друга.
Направления, в которых волны от всех центров будут усиливать друг друга, находятся сразу же из рис. 158. Разность хода волн,
выходящих из двух соответственных точек, соседних центров, равна a sin ср. Волны будут усиливать друг друга, если эта разность хода будет равняться целому числу длин волн: a sin ф=пХ (условие максимума). Таких направлений, как мы видим, будет несколько. Если на решетку падает волна не монохроматическая, то' решетка разложит волну в спектр. При этом возникает не один спектр, а несколько. Число п, фигурирующее в написанном уравнении, называют поэтому порядком спектра.
Число п может равняться нулю (неотклоненный луч) и быть отрицательным. Первый и минус первый, второй и минус второй и т. д. спектры будут тождественны при простой геометрии опыта (плоская волна под прямым Гуглом).
Вычисление распределения интенсивности рассеянной волны несколько громоздко. Остановимся лишь на важном вопросе о ширине дифракционного максимума. Нас интересует, как быстро спадает интенсивность дифракционного максимума, возникающего при углах Ф, удовлетворяющих уравнению a sin ф=пХ; переходит ли один максимум сразу же в следующий или между ними имеется достаточно широкий провал? Рассмотрим практически важный случай решетки, состоящей из большого числа рассеивающих центров (щелей). Разделим мысленно решетку на две части и будем сравнивать по фазе пары лучей, идущие от первого центра и (Af/2+l)-ro центра, второго центра и (AV2+2)-ro центра и т. д. При максимальном усилении волн разность хода между парами таких лучей равна (N,^ пХ. Если слегка изменить ход лучей и наклонить их так, чтобы разность хода возросла на V2 длины волны, то максимальное усиление складывающихся волн заменится их полным уничтожением. Первая волна погасит (Л72+1)-ю, вторая (2У/2+2)-ю и т. д. Если мы отойдем от положения максимума еще дальше, то, как показывает точное вычисление, интенсивность и дальше останется практически равной нулю до тех пор, пока угол отклонения ф не приблизится к положению следующего максимума.
Угол, при котором возникает максимум дифракции ц-го порядка, дается формулой
Если обозначить через Аф угловую полуширину максимума, то для угла (ф+Аф) можно записать условие
у a sin (ф 4- Аф) = у пХ + у,
Отсюда
5*п(ф + Аф) = ^ + ^,
значит,
sin (ф + А<р) — sin ф = ^ .
Расстояние между двумя соседними максимумами определится выражением
.. X '
Sin Ф2 — Sin Ф1=™ •
Мы видим, что полуширина линии, грубо говоря, в М раз меньше расстояния между максимумами. При больших значениях N, т. е. в решетках, состоящих из большого числа рассеивающих центров, дифракционные линии исключительно узки и подробности в спектре, полученном от решетки, весьма велики. Представьте, например, что на решетку падает свет, в состав которого входят две близкие волны X и Х+6Х. Для простоты положим, что речь идет о рассеянии при углах меньше 20° и sin ф^ф. Тогда можно сказать следующее: в n-м порядке эти две линии будут сдвинуты на угол 6ф, который, как видно из условия зтф^ф = ^-, будет равен 6ф=~6Х.
Ширина максимума для каждой волны найдется из уравнения
sin(ф + 6<р) —sinv.
Ясно, что эти две линии будут видны раздельно (оптики говорят: будут разрешены), если
Я слX
— ОХ -ту- .аNa
Выражение X/8X=nN характеризует разрешающую способность решетки. *.
Пример. .В хорошей дифракционной решетке расстояние между штрихами я~10-3 мм, число штрихов ^=100 000. Тогда разрешающая сила для спектра второго порядка X/6X=nN=200 000. Это значит, что, например для Х=6000А могут быть различены две линии, разность длин волн которых равна 0,03 А.
Остановимся теперь на интенсивности дифрагированного луча^ Волны, направляющиеся в точку максимума, действуют в одной фазе. Если f — амплитуда волны, рассеиваемой одним центром, то суммарная амплитуда, идущая в направлении максимума, будет Nf, а интенсивность — N2p. Высота дифракционного максимума пропорциональна квадрату числа рассеивающих центров. Так как ширина максимума обратно пропорциональна W, то площадь его (интегральная интенсивность максимума) пропорциональна первой степени N. Если мы будем сравнивать между собой различные максимумы, то увидим, что отношение их высот (или, что все равно, площадей) зависит от значения для этих направлений амплитуды / рассеяния одним центром.
Таким образом, период решетки предопределяет места, где расположены максимумы, а форма (в широком смысле слова) щели или рассеивающего центра определяет интенсивность максимумов.
Допустим, что периодом решетки определены углы фь ф2, ф3 и т. д. Только под этими углами идут рассеянные лучи. Но какова будет интенсивность этих лучей для первого, второго и т. д.
Рис. 159.Рис. 159.
Рис. 159.
Рис. 159.
порядков дифракции? Это зависит от значений амплитуды одного центра рассеяния для этих углов рассеяния. Может случиться так, что для угла ф2 амплитуда / будет в максимуме. Тогда второй порядок дифракции будет представлен сильной линией. Если под углом ф3 амплитуда / близка к нулю, то, значит, линия третьего порядка будет отсутствовать в дифракционном спектре, и т. д. Иллюстрацией сказанному может послужить рис. 159, на котором изображены для двух разных структур решетки дифракционные спектры и факторы рассеяния / одного центра (пунктир).
На этих принципах основывается любого рода изучение структуры с помощью дифракционных спектров. Расстояние между дифракционными линиями позволяет найти период решетки (если, конечно, известна длина волны), а интенсивности линий разных порядков позволяют судить о структуре рассеивающего центра.
Пример. Дана дифракционная решетка а—3-10"3 мм, N—1000, на которую падает параллельный монохроматический пучок света Х=5000 А. Дифракци-
. пХ п.
онные максимумы будут видны под углами sin ф„ — — = — , ширина дифрак-
X 1
ционного максимума будет ^^-^^qqq- Полученные результаты справедливы при любом виде рассеивающего центра. Для расчета относительной интенсивности дифракционных максимумов надо обратиться к конкретному виду рассеивающих центров. Рассмотрим два случая.
Рассеивающими центрами являются одинарные полоски шириной Ь = =я/4=0,75* 10-3мм(рис. 159, а). Формула интенсивности при дифракции на щели получена в § 137. Величина интенсивности пропорциональна квадрату амплитуды sin2 ц лЬ
рассеяния от одной полоски: Р — ——— , и "Д751п Ф* Интенсивность n-го дифракционного максимума определится величиной /§ в направлении фи, которое определится из уравнения 81пф„=п/6. Если принять /1 за Ю0, то для остальных интенсивностей получим
/1=80; /2 = 40; /^ = 8,9; /^ = 0; /5 = 8,2.
Рассеивающими центрами являются двойные полоски шириной Ь=аН= =0,75-10-3 мм каждая. Период решетки а прежний (рис. 159, б). Ясно, что положение и ширина дифракционных максимумов не изменилась. Расчет, аналогичный проведенному в § 137, показывает, что для двух щелей/2^ ^^” 2 <^ 1 + + cos £—• (6 + c)sin ф^ |. Отсюда легко определить относительные интенсив- ности дифракционных максимумов, по-прежнему полагая /1=100:
/1 = 12; /1 = 20; /§=7,5; /1 = 0, /1 = 2,7.
§ 142. Направленные излучатели радиоволн
Для некоторых радиотехнических целей и прежде, всего для радиолокации весьма существенно направить в пространство радиолуч, сконцентрировав, таким образом, энергию генератора по возможности в малом телесном угле. Один из способов решения этой
задачи состоит в использовании для этой цели правильной решетки антенн.'
Мы видели (§ 141), что при упорядоченном расположении рассеивающих центров излучаемая энергия сосредоточивается в отдельных направлениях. Если расположить излучатели радиоволн в один ряд (рис. 160) с расстоянием tii между двумя соседними антеннами и добиться такого положения, при котором все антенны работали бы синхронно, то подобная решетка излучателей не будет ничем отличаться от рассеивающей дифракционной решетки. То обстоятельство, что в случае антенны мы имеем дело с первичными волнами, ни в какой степени не меняет рассуждений предыдущего
Рис. 160.Рис. 161.Рис. 160.Рис. 161.
Рис. 160.Рис. 161.
Рис. 160.Рис. 161.
параграфа, лишь бы излучения от различных антенн можно было считать когерентными, что возможно, если антенны питаются синхронно от генератора колебаний. ►
Если расположить антенны достаточно густо, так чтобы расстояние между соседними диполями было меньше длины волны, то уже первый порядок дифракции, согласно уравнению я sin ф=/Д, становится невозможным. Остается лишь нулевой порядок. Это значит, что имеются лишь два максимума излучения, один из которых составляет угол 0°, а другой — угол 180° с направлением нормали к решетке. Сказанное в § 141 о ширине максимума остается в силе и здесь, т. е. чем больше общее число излучателей, тем уже будет телесный угол, в котором интенсивность луча достигает заметного значения. .
Однако практически неудобно, что одинаково сильное излучение может иметь место в двух противоположных направлениях. Чтобы выйти из этого положения, изготовляют сдвоенную решетку диполей (рис. 161). Каждую пару антенн располагают на расстоянии, равном V4 длины волны. При этом в паре диполей токи сдвинуты по фазе на 90°. При этих условиях один из двух максимумов уничтожится и вся энергия будет передаваться лишь внутри одного дифракционного максимума. Действительно, при таком устройстве каждая пара диполей будет находиться в следующих фазовых соотношениях. Для волны, идущей «вперед»: если бы волны посылались синхронно, то 346
между ними была бы разность хода V4 волны; однако антенны работают не синхронно и волна, излучаемая «передним» диполем, отстает на 90°, чем компенсирует свое опережение по разности хода. Другое положение будет для волны, посылаемой «назад». Сдвиги по разности хода и по фазе в изменении тока антенны наложатся друг на друга; следовательно, результирующая разность фаз будет 180° и излучение, идущее назад, пропадет.
Рис. 162.
Если антенны расположены в линейный ряд, то можно добиться хороших результатов для ширины луча в плоскости, перпендикулярной к антеннам. Если же мы хотим добиться узости радиосигнала и в пространстве, то приходится прибегать к более сложным системам вибраторов. Этим и объясняется причудливый вид радио- излучателя локатора (рис. 162).
§ 142а. Голография
Волна, рассеянная каким-либо объектом, несет богатую информацию о свойствах объекта. Исходя из принципа Гюйгенса, «можно строго доказать, что распределение амплитуд и фаз волны на фронте волны в любое мгновение процесса ее распространения исчерпывающим образом характеризует рассеивающие свойства объекта. Когда объект фотографируется, часть информации, которую несет волна, теряется. Почернение фотопластинки пропорционально квадрату амплитуды волны (т. е. интенсивности), пришедшей в данную точку фотопластинки, и. не зависит от фазы волны. Фотопластинка дает двумерное изображение трехмерной картины. Ясно, что существенная часть сведений об объекте теряется при фотографировании.
Вместо процесса фотографии в 1947 г. Д. Габором был предложен процесс голографии, который стал практически осуществимым после открытия лазера.
Голография — двухстадийный процесс. Сначала с объекта снимается голограмма, далее голограмма освещается и возникает трех
мерное отображение объекта, в принципе неотличимое от него.
Голограммой называется интерференционная картина, получаемая на фотопластинке в результате интерференции первичного и рассеянного лучей.
Заставить интерферировать рассеянный луч и первичный можно самыми разными способами. В простейшей схеме мы можем часть плоского фронта лазерной волны закрыть призмой, а другую часть — рассеивающим объектом (рис. 162а). Когерентность излучения лазера позволит получить на фотопластинке какую-то интерференционную картину, которая будет иметь вид, подобный показанному на рис. 1626. Если убрать рассеивающий объект, то интерференционная картина имела бы вид линий, параллельных ребру призмы, с расстоянием между линиями, которое легко выразить (ср. стр. 321) через угол призмы. Можно сказать, что рассеяние от объекта «модулировало» эту простую интерференционную картину.
Картина из чередующихся черных и светлых полос напо
минает нам дифракционную решетку. Поэтому нетрудно согласиться г тем, что при падении света на голограмму возникнут неотклоненный луч, а также спектры плюс и минус первого порядка. Можно показать, но мы не будем на этом останавливаться, что высокие порядки спектра будут отсутствовать и что один из спектров будет представлять собой расходящийся реконструированный волновой фронт световой волны, рассеянной объектом. Другая волна будет сходящейся и создаст реальное изображение объекта, которое мо-
жет наблюдаться с теми же возможностями, что и сам объект (рис. 162в).
В настоящее время интенсивно исследуются различные применения голографии. Ясно, например, что голограммы могут легко передаваться на любые расстояния и реконструкция изображения может производиться вдали от объекта. На одну и ту же пластинку разными длинами волн и разными наклонами первичного луча могут быть записаны изображения разных объектов. Голография является очень емким способом хранения информации.
Голографическая микроскопия свободна от огромного недостатка обычной микроскопии — необходимости фокусирования. Получив объемную голограмму, мы можем, не торопясь, рассматривать ее в микроскоп, изучать в деталях все срезы объекта, хотя полученный снимок относится к какому-то зафиксированному мгновению. Не приходится доказывать значимость такого метода исследования при наблюдении живых объектов.
ГЛАВА 22
ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ НА КРИСТАЛЛЕ)
§ 143. Кристалл как дифракционная решетка
Дифракционной решеткой называют обычно, как мы говорили, кусочек стекла с нанесенными на равных расстояниях царапинами. Что здесь существенно для получения типичной дифракционной картины, обсуждавшейся выше? Наличие стекла, форма царапин, толщина стекла или ширина «щели»? Вдумываясь в текст § 141, мы видим, что существенным является периодическое повторение неоднородности рассеивающего вещества. Действительно, что бы ни являлось причиной рассеяния, какой бы характер ни имела неоднородность вещества, но если эти неоднородности будут регулярно повторяться через период а, то максимумы рассеяния будут иметь место под углами ср, удовлетворяющими уравнению a sin (p ^/zX. Такую картину дадут царапины любой формы, нанесенные на любом стекле, любые щели, проделанные во всяком экране. Важно лишь одно: распределение вещества должно повторяться с периодом а.
Правда, некоторые различия в картинах могут иметь место. Интенсивности лучей, дифрагированных в разных порядках, могут быть разными в зависимости от формы щели. Распределение вещества внутри повторяющейся неоднородности сказывается на интенсивности рассеяния р, которая для разных порядков может иметь различные значения.
Напомнив результаты § 141, перейдем к кристаллу.
Основная особенность кристалла, выделяющая его среди других тел,— это периодическое распределение вещества. Вдоль любого
направления кристалла средняя во времени плотность электронов периодически повторяется. В простейшем случае распределение электронной плотности будет выглядеть так, как показано на рис. 163. Это — электронная плотность (число электронов на кубический ангстрем) на линии, параллельной ребру кубика каменной соли. Максимум электронной плотности соответствует центру атома. Большой максимум — это атом хлора, маленький — атом натрия. Через атом картина повторяется, период электронной плотности вдоль линии равен 5,6 А. Подобная картина дает представление о распределении электронной плотности вдоль одной линии. Вдоль слегка сдвинутой параллельной линии плотность будет уже другой.
Однако кристалл — трехмерное образование, и повторяющийся элемент его — трехмерная элементарная ячейка. Мы не можем изобразить графически электронную плотность элементарной ячейки. Достаточно знать, что ячейки повторяются в пространстве. Сходство и различие между кристаллом и дифракционной решеткой очевидны. Кристалл — это трехмерная дифракционная решетка, в которой неоднородный элемент регулярно повторяется не вдоль линии, а в трех измерениях. Роль «щели», т. е. повторяющейся неоднородности, играет элементарная ячейка кристалла.
Нас интересуют закономерности дифракционной картины, создаваемой кристаллом.
Рентгеновские лучи рассеиваются электронами. Неоднородности в электронной плотности таковы, что длины волн порядка 1—2 А дадут отчетливую дифракцию. Чтобы найти направления, в которых возникают дифракционные лучи, надо сложить элементарные волны, идущие от всех ячеек. Амплитуды этих волн для данного направления, разумеется, одинаковы. Сложность задачи заключается в том, что необходимо учесть разности фаз между волнами, рассеиваемыми отдельными ячейками. Эти волны надо сложить для каждого направления и выделить те направления, в которых волны максимально усиливают друг друга.
Задачу можно решить разными способами, поскольку можно придумать разные последовательности суммирования ячеек. Допустим, можно сначала просуммировать волны от ячеек, идущих вдоль ребра а, потом сложить волны от всех ячеек в плоскости ab и т. д. Мы изберем другой путь, наиболее простой, предложенный основателями рентгеновского структурного анализа — английскими учеными отцом и сыном Брэггами; независимо от них ту же идею предложил русский кристаллограф Вульф. В кристалле всегда можно бесчисленным количеством способов провести плоскости, проходящие через узлы решетки. Между двумя соседними плоскостями заключен слой, повторением которого вдоль нормали строится кристалл. Проведем нормаль к слою и мысленно спроектируем электронную плотность на направление нормали. Ясно, что вдоль нормали возникнет периодическое распределение электронной плотности. Период d уместно назвать межплоскостным расстоянием.
I
Рис. 164.
Условие максимального усиления волн, рассеянных ячейками, входящими в состав одного слоя: угол падения должен быть равен углу отражения. Такой вывод мы делаем на основании принципа Гюйгенса; только при сформулированном условии рассеянные волны будут распространяться в одной фазе и складываться. Волны последующих слоев будут усиливать друг друга при некоторых дополнительных условиях. Из рис. 164 видно, что разность хода лучей, «отразившихся» от двух соответственных элементов соседних слоев, равна 2d sin 6. Таким образом, дифракционные лучи имеют место при условии
2dsinO = /tX.
Дифракционный луч возникнет в том случае, если из бесчисленных систем плоскостей, на которые можно разбить кристалл, найдется такая система, которая будет удовлетворять уравнению 2d sin 9=пХ. Разумеется, возможны случаи, когда одновременно несколько систем плоскостей будут удовлетворять этому требованию.
Однако скорее всего при произвольном направлении монохроматического луча дифракция не возникнет, и при желании наблюдать дифракцию придется поворачивать кристалл в поисках подходящего угла 9.
Пример. Межплоскостное расстояние в кристалле кальцита равно 3,029 А. При рентгеноструктурном анализе часто применяется излучение от медного анода с длиной волны 1.54 А. Это значит, что дифракционный максимум первого порядка будет соответствовать углу 6 — arcsin — ^ 14°40',
§ 144. Определение параметров элементарной ячейки кристалла
Определяя на опыте углы 29, образуемые дифрагированными лучами в кристалле, можно найти (если X известно) межплоскостные расстояния, существующие в кристалле, и таким образом определить периоды повторяемости структуры в любом направлении.
Если решетка — кубическая, то она характеризуется одним параметром — ребром куба. Ромбическая решетка задается тремя взаимно перпендикулярными периодами а, Ь, с.
Устанавливая кристалл надлежащим образом к лучу, можно подвести под отражение любую систему плоскостей, в том числе и плоскости, параллельные основным граням (ab, Ьс, ас) решетки. Ряд подобных измерений позволяет всегда уверенно «прощупать» решетку, измерить длину ребер и (в случае низкой симметрии) углы между ребрами элементарной ячейки.
Эти измерения представляют существенный интерес. Если измерен объем ячейки кристалла У и известна плотность вещества 6, 0то мы сразу же находим M—Vb — и массу вещества, находящегося в ячейке. Поделив на массу атома водорода тн = 1,67-10~24 г, найдем > молекулярный вес содержимого ^- ячейки. Но число молекул в ячейке, разумеется, не может быть дробным. Кроме того, во многих случаях соображения симметрии ограни- чивают возможные числа молекул. Например, в ромбической ячейке число молекул не может быть мень- ^у ше четырех. Таким образом, изме- ^рения ячейки позволяют делать
рИС1 155важные суждения о молекулярном
весе вещества.
В простейших случаях определение элементарной ячейки решает задачу определения структуры.
На рис. 165 изображена элементарная ячейка железа, показаны расстояния между атомами. Эти сведения сразу же получаются одним лишь измерением межплоскостных расстояний. Исследователь
рассуждает следующим образом. Кристаллик железа — кубический;
измерим основное межплоскостное расстояние для системы плоскостей, параллельных грани куба. Опыт дает цифру 1,4 А. Посчитаем, сколько атомов железа приходится на кубик с ребром 1,4 А. Масса атома железа mFe=92,6-10~24 г, плотность железа 6Fe=7,88 г/см3. На
кубик объемом (1,4)3-10“24 см3 приходится масса (1,4)3-10"24-7,88=
=21,7-10~24 г. Но это число в четыре раза меньше массы атома железа. Значит, элементарная ячейка железа имеет ребро больше
1,4 А. Попробуем предположить, что она больше в два ораза. Тогда ребро куба сбудет 2,8 А и на одну ячейку будут приходйться два атома. .
Так как кристалл — кубический и обладает симметрией оси четвертого порядка (см. стр. 563), то этот второй атом может находиться лишь в центре элементарного куба. Проверим справедливость предположения о двух атомах в ячейке. Если оно верно, то диагональное межплоскостное расстояние, показанное на рис. 166, должно равняться 1,4 К2 А. Опыт дает эту цифру, что и доказывает модель структуры.
Для многих металлов, сплавов,
простых солей с формулой типа
АВ довольно часто оказывается достаточно подобных элементарных соображений для определения взаимного расположения атомов. Если же в ячейке много атомов и форма ячейки не кубическая, то задача определения структуры может быть решена лишь при использовании данных не только о геометрии дифракционной картины, но и об интенсивностях лучей.
Интенсивность дифракционных лучей
Аналогично тому, как это имело место для линейной решетки, интенсивность луча, дифрагированого кристаллом, равна N2F\ т. е. пропорциональна квадрату амплитуды F2 волны, рассеянной одной элементарной ячейкой кристалла в данном направлении, а также квадрату числа элементарных ячеек в просвечиваемом объеме.
Величина F2 однозначно связана со структурой кристалла, т. е. с характером распределения в ячейке электронной плотности.
Как уже говорилось выше, величина F2 для данного дифракционного луча (для данной системы «отражающих» плоскостей) зависит от проекции электронной плотности на направление нормали. Разобьем слой кристалла параллельными плоскостями на
35335312 А. И. Китайгородский
353
353
бесконечно тонкие слои dz. Если р — электронная плотность ячейки, то pdz— число электронов ячейки, попавших в слой dz. Все электроны одного тонкого слоя рассеиваются в одной фазе и
Рис. 167.
дают волну pdz cos (а)/+ф). Амплитуда волны одной ячейки есть d
F — J р cos (mt + ф) dz.о
Интеграл берется вдоль одного периода (межплоскостного расстояния); значения риф для каждого z различны.
Мы не будем разъяснять, как решается задача определения электронной плотности кристалла во всех точках элементарной ячейки. Во всяком случае основой решения служит написанное^ равенство. Оно позволяет вычислить амплитуду любого дифракционного луча, если известна электронная плотность кристаллов. Нужной, однако, является обратная задача: нахождение электронного распределения в кристалле по найденным на опыте интенсивностям дифрагированных лучей. Эта задача решается с успехом для весьма сложных кристаллов, содержащих до сотни атомов в элементарной ячейке.
У кристалла антрацена была измерена интенсивность примерно 600 дифракционных лучей. При помощи этих данных были найдены значения электронной плотности во всех точках ячейки. На рис. 167 изображено сечение электронной плотности, проведенное через центры атомов одной из молекул антрацена. (Для вычерчивания электронной плотности использован прием, который приняв у географов для изображения гористой местности. Линии равных высот на карте электронной плотности соответствуют равным плотностям электронов.) Четырнадцать отчетливых вершин — это четырнадцать атомов углерода, находящихся, как показывает исследование, на расстояниях 1,4 А друг от друга. Высота максимума электронной плотности.пропорциональна числу электронов в атоме. Атомы углерода содержат по шести электронов, атому водорода принадлежит один электрон. Десять пиков, из которых некоторые лишь намечаются, соответствуют центрам десяти атомов водорода, входящих в молекулу антрацена, химическая формула которой С14Ню.
Методы рентгеновского анализа
Измерения углов 26, образованных дифрагированными лучами с падающим на кристалл лучом, а также их интенсивностей можно производить как с помощью ионизационной камеры (см. стр. 504), так и фотографическим методом. Фотопленки, фиксирующие одновременно след многих дифракционных лучей, называются рентгенограммами.
Но каким же способом можно получить на одной пленке следы нескольких лучей, если при фиксированном положении кристалла по отношению к лучу условие nX=2d sin 9, как было сказано выше, скорее всего не будет выполнено ни разу? Для этой цели имеются три возможности:
вращать кристалл, подставляя разные системы плоскостей в отражающее положение;
облучать кристалл сплошным спектром длин волн, лежащих в достаточно широком диапазоне от Х3 до Х2, с тем, чтобы почти каждая система плоскостей нашла «подходящую» длину волны в спектре;
получить рентгенограмму порошка, в котором условие дифракции для любого d всегда будет выполнено для некоторых кристалликов.
Первый метод называется методом вращения кристалла, второй носит имя Лауэ — немецкого физика, с именем которого связано открытие дифракции лучей, и третий есть метод порошка, или дебаевский метод (по имени Дебая, открывшего этот метод). Метод Лауэ имеет крайне ограниченное применение. Практически используются методы вращения для изучения структуры кристаллов, т. е.
определения взаимного расположения атомов, и дебаевский метод для специфических задач, возникающих при исследовании мелкокристаллических веществ.
Цель рентгенограммы вращения — собрать на одну пленку данные о существующих межплоскостных расстояниях и интенсивностях соответствующих лучей. Однако нужно еще знать, как расположена система плоскостей по отношению к осям кристалла. Для этого не только надо знать, где на пленке находится пятно, но и в какое мгновенное положение кристалла оно возникло. Чтобы рентгенограмма давала и эти сведения, пленку перемещают во время съемки. Такие методы съемки называются рентгенгониомет- рическими.
Рентгеноструктурные исследования мелкокристаллических веществ применяются гораздо чаще, чем исследования монокристалла. Происхождение рентгенограммы порошка (дебайграммы) показано на рис. 168.
Остановим свое внимание на определенной системе плоскостей с расстоянием между плоскостями d и нормалью п. Пусть в объекте 355
имеются кристаллики со всевозможными направлениями п. Луч, «отраженный» от плоскости, будет создан не всеми кристалликами, а лишь теми из них, у которых плоскости находятся под углом# к лучу, удовлетворяющим условию 2dsin# = ^X. Соответственно нормали к этим плоскостям образуют с первичным лучом угол 90°—#. В отражающем для плоскостей d положении будут находиться все кристаллики, нормали которых лежат на конусе с углом раствора 2 (90°—#). Соответственно и «отраженные» лучи создадут конус с углом раствора 4#. Пересекаясь с пленкой или фотопластинкой, эти конусы дают кольца.
Если нас интересуют углы# не более 20—25°, то рентгенограмму можно снимать на плоскую пластинку; снимок имеет вид системы концентрических колец. Если же требуются сведения о всевозможных межплоскостных расстояниях и мы хотим проанализировать рассеяние во всем возможном интервале углов, то применяются камеры с цилиндрической пленкой. Высота пленки берется небольшой, и мы видим на ней лишь части колец.
Если для той или иной проблемы важно определить межплоскостное расстояние поточнее, то прибегают к так называемой задней съемке, т. е. к такому эксперименту, в котором на пленке фиксировались бы самые широкие дифракционные конусы с углом раствора, близким к 360°.
На пленке измеряют углы рассеяния #с некоторой неизбежной ошибкой измерения А#. Посмотрим, как отражается величина этой ошибки на определении величины межплоскостцого расстояния. Дифференцируя условие дифракции 2d sin#==nX, получим:
|^| = ctg# А#.
Мы видим, что точность в измерении межплоскостного расстояния быстро растет при приближении угла # к 90°. Измерить угол дифракции с точностью порядка 0,1° не представляет труда. Из последнего уравнения видно, что по линиям, углы # которых равны 65°, 75° и 85°, межплоскостное расстояние будет измерено с точностью соответственно 0,13%, 0,08% и 0,05%. В специальных камерах метод задней съемки дает весьма хорошие результаты: позволяет устанавливать межплоскостные расстояния с точностью до 0,00001 А. Для получения наилучших успехов подбирают длину волны излучения так, чтобы угол рассеяния приблизился к 90°.
Все три вида дебаевской съемки широко применяются в материаловедении и вопросах изучения строения вещества. Для каждого вещества характерна определенная, только для него типичная система Линий. Фазовое превращение влечет за собой исчезновение одной системы линий и появление другой. Появление новой фазы также будет замечено рентгенограммой. Фазовый анализ — одно из важнейших применений этих съемок.
Предположим теперь, что кристаллики в веществе имеют преимущественную ориентацию. Тогда нормали п той или иной системы
плоскостей уже не принимают все возможные направления в пространстве и не заполняют равномерно конус нормалей, который был показан на рис. 168. Но если конус нормалей не будет заполнен сплошным образом, то то же самое произойдет и с конусом дифрагированных лучей. Поэтому на пленке мы увидим не сплошные, а прерывистые кольца. Такие кольца — признак преимущественной ориентации кристалликов, так называемой текстуры. При помощи дебаевского метода можно детально изучать характер предпочтительной ориентировки кристалликов, возникающей, как правило, при различного рода пластической деформации.
Размер кристалликов также сказывается на виде картины. Если кристаллики очень крупные, то кольцо рентгенограммы не выглядит сплошным: оно распадается на точки,* каждая из которых есть след «отражения» от отдельного кристаллика. Если же кристаллики очень маленькие (порядка 10“б~10’6 см), то, как показывает теория, линии дебайграммы начинают размываться. Разработаны методы оценки среднего размера кристалликов по этим данным.
Для аналитических целей возникает в ряде случаев еще одна задача: построить аппаратуру таким образом, чтобы можно было исследовать рентгеновский спектр, излучаемый веществом. Как будет выяснено позднее (см. стр. 471), каждое вещество способно создавать характеристический спектр рентгеновских лучей. Спектры атомов разного сорта существенно отличаются друг от друга. Это обстоятельство может быть использовано для производства качественного и количественного анализа. Для того чтобы решить эту задачу, пользуются рентгеноспектрографами — установками, в которых большой кристалл ставится в «отражающее» положение своей гранью, межплоскостное расстояние для которой хорошо известно. Поворачивая этот кристалл и измеряя интенсивность дифракции для каждого угла, можно найти (по значению угла -9), какие длины волн присутствуют в спектре исследуемого вещества и с какой интенсивностью.
ГЛАВА 23
ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ
Анизотропия поляризуемости
Если вещество находится в электрическом поле, то связанные заряды (электронные оболочки молекул) смещается со своих положений равновесия, образуя электрические диполи. Когда на стр. 226 мы обсуждали явления поляризации диэлектрика, мы говорили о смещении электрических зарядов вдоль силовых линий. Однако нетрудно понять, что в реальных молекулах дело может обстоять совсем не так. Если атом имеет сферически симметричное электронное облако, то оно действительно будет в одинаковой степени смещаться 358
в любом направлении. Про такой атом мы скажем, что поляризуемость его изотропна. Ясно, что даже для двухатомной молекулы подобная изотропия не может иметь места: характер связи электронов вдоль и поперек линии, соединяющей эти два атома, различен и, следовательно, разные значения будут иметь и поляризуемости. В зависимости от направления электрического вектора по отношению к оси молекулы величина поляризуемости, а значит, и смещения (дипольного момента) будет разной. w
Существенно также и то обстоятельство, что направление смещения и направление электрической силы, вообще говоря, совпадать не будут. Это можно иллюстрировать механической моделью шарика, закрепленного на двух перпендикулярных пружинах разной жесткости. Пусть, например, сила действует под углом 45° к связям. Тогда вдоль связей действуют равные силы. Но жесткость горизонтальной пружины, скажем, в три раза больше жесткости второй пружины. Тогда вертикальное смещение будет в три раза больше горизонтального и вектор смещения образует значительный угол с вектором электрической силы. Таким же точно образом индуцированный дипольный момент образует угол с направлением напряженности Е.
Почти все молекулы обладают анизотропной поляризуемостью, однако она появляется далеко не во всех случаях. Если речь идет о жидкости, аморфном теле или газе, то анизотропия индуцированной поляризуемости не проявится. Действительно, каждой молекуле с дипольным моментом, отклонившимся «влево», можно будет найти парную с моментом, отклонившимся «вправо». Суммарный же дипольный момент такой пары молекул, а значит, и дипольный момент. в единице объема (т. е. вектор поляризации Р), будет смотреть вдоль вектора Е.
Однако и при упорядоченном расположении молекул в кристаллах анизотропия поляризуемости молекул не обязательно даст о себе знать. Кубические кристаллы обладают изотропией поляризуемости. Для них равенство Р=аЕ остается в силе так же, как и для изотропных тел. Чтобы это стало понятным, рассмотрим молекулы, у которых электроны могут смещаться лишь в одном-единственном направлении. Симметрия кубического кристалла такова, что в нем мы всегда найдем молекулы, оси поляризуемости которых составляют 90°. Рассмотрим три такие молекулы, оси поляризуемости которых идут вдоль осей х, у, z декартовой системы координат. При наложении произвольно направленного поля Е эти молекулы поляризуются и дадут диполи с моментами РЕ cos ф1? РЕ cos ф2 и РЕ cos ф3, поскольку момент пропорционален проекции Е на направление поляризации. Суммарный дипольный момент этих трех диполей мы получим, складывая их векторно. Но фп ф2, ф3суть углы вектора Е с осями координат. Значит, суммарный момент этих молекул имеет длину
Е Кр2 (cos2 фг + cos2 ф2 -{- cos2 ф3) = РЕ
и направлен вдоль Е. Суммируя по всем молекулам, придем к тем же выводам в отношении вектора поляризации Р и поляризуемости а в единице объема.
Рассмотрим теперь кристаллы с особой осью — кристаллы, принадлежащие к тетрагональной и гексагональной сингонии. Для определенности будем говорить о первой из них, т. е. положим, что каждая молекула имеет еще три эквивалентные, связанные с ней осью симметрии четвертого порядка. Положим, опять-таки для простоты рассуждения, что молекула способна поляризоваться лишь вдоль одной оси. Остановим свое внимание на четверке молекул, оси поляризуемости которых образуют угол е б особой осью (рис. 169). Изучим поведение этих молекул в электрических полях разного направления. Если вектор Е направлен вдоль особой оси, то поляризация будет пропорциональна cose. При этом ввиду симметрии расположения суммарный дипольный момент этих молекул будет параллелен Е, а
значит, и вектор поляризации будет параллелен Е;
Р = а[{Е,
где а„— поляризуемость для этого направления поля, создаваемая уже всеми молекулами.
В проекции на плоскость, перпендикулярную к главной оси, оси поляризуемости образуют между собой прямые углы. Поэтому здесь будут справедливы выводы, которые мы получили, обсуждая кубический кристалл. А именно, поляризуемость будет одной и той же для всех направлений Е в плоскости, перпендикулярной к главной оси. Если Е перпендикулярно к главной оси, то вектор поляризации Р опять-таки параллелен Е: .
Р^аЕ.
В то время как поляризуемость молекул вдоль оси пропорциональна cos е, поляризуемость молекул в направлении, перпендикулярном к оси, пропорциональна sin е. Это и приводит к различию ап и а±.
Что же будет, если поле Е наклонено к главной оси кристалла? Ввиду различия поляризуемостей ан и а± вектор Р не может уже совпасть по направлению с полем; значение а также будет другим. Зная а и и а±, можно вычислить а для произвольного направления. Мы не станем рассказывать, как это сделать в общем виде, но приведем числовой пример.
Для кристалла исландского шпата (кальцита) а±=0,139, ан = =0,095. Пусть вектор Е образует с плоскостью, перпендикулярной 360
к особой оси, угол 30° и направлен, как показано на рис. 170. Тогда вектор поляризации в указанной плоскости
PL = a,LEL = 0,139 • Е cos 30° = 0,120 Е.
Вычислим перпендикулярный к нему вектор поляризации по направлению особой оси:
Рхх^аххЕхх = 0,095 Е sin 30° = 0,0475 Е.
Следовательно, суммарный вектор поляризации Р образует*с пло- 0 0475
скостью угол arctg уро «2Г40'. Это значит, что между Р и
Е образовался угол ~8°20'. Величина вектора поляризации P=VP\-vP\ = 0,129£, т. е. в этом случае поляризуемость а=0,129.
Если же Е будет направлен под углом в 453 к особой оси, то поляризуемость а еще более уменьшится в сравнении с а^ и станет ' равна а=0,120, а угол между Ей Р будет
45°-arctg^«10°30'.
При выбранном на рис. 170 направлении вектора Е углы, образуемые этим вектором с осями поляризуемости молекул, будут различными: для пары молекул, расположенных слева, эти углы будут больше. Поэтому правая пара молекул поляризуется сильнее.
То обстоятельство, что поляризуемость кристалла обладает симметрией оси четвертого порядка, не означает симметрии вкладов отдельных молекул в величину поляризуемости при произвольном направлении поля.
Итак, величины поляризуемостей будут разными в разных направлениях. Это влечет за собой важные следствия: поляризуемость однозначно связана с диэлектрической проницаемостью, а е определяет показатель преломления (см. § 125; е=ц2), т. е. скорость распространения волны в кристалле; значит, электромагнитная
волна распространяется в кристалле с разной скоростью в разных направлениях.
Тетрагональные и гексагональные кристаллы (в оптике их выделяют под названием одноосных) обладают следующей особенностью: все направления, возникающие друг из друга поворотом около главной оси, оптически эквивалентны. В кристаллах более низкой симметрии эта особенность отсутствует.
В одноосных кристаллах имеется одно особое направление и перпендикулярная к нему особая плоскость. Если вектор Е лежит в этом направлении или в этой плоскости, то Р\\Е (и, следовательно, Z)||E). В остальных кристаллах, как показывает анализ, можно выделить лишь три особых взаимно перпендикулярных направления, в которых Р||Е. ,
Распространение света в одноосных кристаллах
Расщепление светового поля на две волны. Мы ограничимся изучением явлений, происходящих при падении света на грань кристалла, вырезанную двумя способами: перпендикулярно к главной оси и параллельно главной оси.
При распространении света вдоль главной оси мы не обнаружим каких-либо особенностей, отличающих его от распространения волны в изотропных телах. Электрический вектор создает поляризационные колебания диполей в направлении, перпендикулярном к главной оси. Значит, .волна будет распространяться со скоростью и0=с/п0, где Пу^К^!, а е± есть диэлектрическая проницаемость для направления, перпендикулярного к оси. Показатель преломления п0 и скорость света оо названы обыкновенными.
Учитывая, что е= 1+4ла, для исландского шпата найдем: n^V 1+4ла±= — 1,658. Это значит, что ио=1,8ЬЮ10 см/с.
Прохождение света через кристалл в направлении главной оси не меняет поляризационного состояния света. Естественный свет остается, каким был. Направление колебаний электрического вектора у поляризованной волны не меняется.
Простота рассматриваемого случая характерна для одноосного кристалла. Здесь любое поляризационное состояние падающей волны способно возбудить колебания в плоскости, перпендикулярной к главной оси. А для одноосного кристалла всем таким колебаниям соответствует одна и та же поляризуемость молекул и, значит, одно значение е и п. •
Остановимся теперь на случае нормального падения луча на грань, параллельную главной оси.
Различно поляризованные волны ведут себя по-разному. Рассмотрим поведение линейно поляризованного луча. Если электрический вектор перпендикулярен к оси, то свет будет распространяться с той же скоростью о^ что и в предыдущем случае. Если же электрический вектор параллелен оси, то поляризация диполей будет
ЗС2
происходить вдоль оси, для которой диэлектрическая проницаемость имеет другое значение еи. Следовательно, этому направлению распространения соответствует другое значение скорости -oe=clne и другое значение показателя преломления пе — Vе„. Эти скорость и показатель называются необыкновенными. Причины названий будут ясны ниже.
Кристаллы, у которых Ve^o» называют оптически положительными; наоборот, для случаев ие>> оо используется название «отрицательные кристаллы».
Для исландского Шпата пе = КТ+4лац = 1,486, уе = 2,02-1010 см/с. Исландский шпат является отрицательным кристаллом, так как ие>и0.
Эллиптическая поляризация. Что же произойдет в том случае, если на грань упадет волна, электрический вектор Е которой образует угол ср с направлением главной оси (рис. 171)? Опыт показывает
(и это может быть предсказано уравнениями Максвелла), что электромагнитная волна расщепляется на две. Вектор Е надо разложить на составляющие Е sin ф и Е cos ф. Первой будет соответствовать волна, идущая со скоростью ио, а второй — волна со скоростью ц,. Это обнаружится по разности хода между двумя волнами, возникшими расщеплением падающей. Если толщина кристалла /, то возникнет разность фаз Ь = ^Цпе—п0).
Таким образом, по выходе из
кристалла поляризационное состоя
ние волны существенно изменилось: на кристалл падал линейно поляризованный свет, а прошедший свет является комбинацией
двух волн, имеющих взаимно перпендикулярные направления колебаний и сдвинутых друг по отношению к другу на 6. Что же это за своеобразное поляризационное состояние? Такой свет называется эллиптически поляризованным, так как конец электрического вектора описывает эллиптическую спираль. Действительно, если электрический вектор одной из волн записать как
Ех — Е sin ф cos mt,
то для второй волны электромагнитное колебание в плоскости, перпендикулярной к лучу, будет иметь вид
Еу = Е cos ф cos (tot + 6).
Задача сложения таких колебаний решалась нами (см. стр. 94). Точка, участвующая в двух таких колебаниях, описывает эллипс. То же относится и к концу электрического вектора, но так как волна движется вперед, то конец вектора Е описывает эллипс
44Рис. 172.Рис. 172.Ve>lToИе<^оVe>lToИе<^оо-лучао-лучачаечае
4
4
Рис. 172.
Рис. 172.
Ve>lTo
Ие<^о
Ve>lTo
Ие<^о
о-луча
о-луча
чае
чае
в проекции на плоскость, перпендикулярную к лучу. В пространстве конец вектора Е описывает эллиптическую спираль, навертывающуюся на направление луча.
Для получения этим способом света, поляризованного по кругу, пользуются «пластинкой в четверть волны». Так называется пластинка, которая дает разность хода в Х/4 волнам, идущим со скоростями ио и и^. Толщина такой пластинки должна удовлетворять равенству ,
T/(n„—rte)=2"+ тл.
Если на такую пластинку падает линейно поляризованный луч и притом такой, у которого вектор Е образует угол 45° с направлением главной оси кристалла, то разложение этого вектора дает:
Ее
Е, = —т= cos tot. Ev = -T=smtot,х К 25/2
т. е.
Е^Е^-Е1.
А это — уравнение окружности. Значит, описанные экспериментальные условия преобразовывают линейно поляризованный свет в свет,
поляризованный по кругу.
Двоиное л у че прел омле- ние. Давно известное явление раздваивания объектов при рассмотрении через прозрачный кристалл показывает, что расщепление на две волны может происходить не только по скоростям распространения, но и по
смешение направлениям лучей в про" странстве. Двойное луче
преломление наблюдается при нормальном падении света на грань кристалла (отшлифованную или естественно образованную) под углом к оптической оси. Явление можно исследовать также при помощи пластин- ^смешение ки> вырезанной параллель- е-луча но оси, заставляя свет падать под углом к нормали. Именно на этом втором слу-
мы и остановим внимание. Введем еще одно ограничение: напра-
вим луч так, чтобы плоскость падения света была перпендикулярна к оптической оси.
Пусть поляризованный луч падает на пластинку под углом l Будем вращать луч вокруг его оси, меняя, таким образом, положение электрического вектора по отношению к плоскости падения.
При совпадении электрического вектора с плоскостью падения (рис. 172, а) мы незамечаем каких-либо особых явлений. Происходит sin i преломление в соответствии с законом для изотропных тел ^у = ^о- Коэффициентом преломления оказывается по; так и должно быть, поскольку электрический вектор перпендикулярен к главной оси кристалла. Повернув луч около его оси на 90° (рис. 172, б), мы также будем наблюдать обычное преломление. Однако теперь sin I sin r* = пе— угол преломления другой, нужно взять показатель для необыкновенного луча. И это естественно, так как вектор Е совпадает теперь с направлением главной оси.
Самое замечательное заключается в том, что при промежуточных положениях мы не наблюдаем одного луча с промежуточным углом преломления, а видим два луча — обыкновенный и необыкновенный, с их коэффициентами преломления по и пе. Как и раньше, вектор напряженности раскладывается на два вектора, лежащих вдоль главной оси и перпендикулярно к ней. Каждая компонента создает свое поле, свою волну. При вращении луча света около его оси интенсивности этих двух лучей все время меняются; когда ослабляется один "луч, усиливается другой.
Так как лучи преломляются дважды, при входе и выходе из пластинки, то обыкновенный и необыкновенный лучи выходят параллельными. Чем толще пластинка, тем сильнее разойдутся лучи. При тонком пучке падающего света можно измерить разность показателей преломления, определяя смещение пучков.
Теперь мы можем объяснить происхождение названий «обыкновенный» и «необыкновенный» лучи. Начнем вращать кристаллическую пластинку, оптическая ось которой параллельна грани, около нормали к отражающей грани. Если бы речь шла об изотропном теле, то такое вращение не могло бы внести изменения в явление отражения и преломления. Вращая, как указано, кристаллическую пластинку, мы увидим, что с одним лучом ничего и не происходит: его положение в пространстве и интенсивность остаются неизменными. Так ведет себя обыкновенный луч. Напротив, та компонента Е, которая перпендикулярна к плоскости падения, образует при вращении кристалла меняющийся угол с главной осью кристалла. Необыкновенный луч будет при этом вращении менять не только интенсивность, но и свое положение в пространстве. Обнаруживается, что необыкновенный луч не подчиняется законам изотропных сред. В общем случае преломленный луч может не находиться в плоскости падения.
Мы не будем останавливаться на довольно сложном объяснении этих явлений, скажем лишь, что они превосходно подчиняются теории электромагнитного поля Максвелла.
§ 149. Поляризаторы. Исследование пеляризащ>онногосостояния света
Рис. 173.Рис. 173.Мы говорили на стр. 301, что в качестве „поляризаторов могут быть использованы плоские поверхности диэлектрика, установленные под углом фв к падающему лучу. Луч, отраженный при этих условиях, будет полностью поляризован; преломленный луч максимально поляризуется. Однако использование отражающей пластинки в качестве поляризатора неудобно из-за того, что поляризованный луч идет под углом к падающему. Можно поступить иначе и воспользоваться стопой стеклянных пластинок. За счет многократного преломления поляризация может быть сделана весьма полной. Однако подобный прибор поглотит заметную долю света (рис. 173).
Рис. 173.
Рис. 173.
Наиболее совершенным поляризатором является
кристалл, в котором благодаря двойному лучепреломлению может быть отделен линейно поляризованный обыкновенный (или необыкновенный) луч. Такие поляризаторы носят собирательное имя николей. '
Поляризатор, предложенный французским ученым Николем, состоит из двух прямоугольных призм из исландского шпата (рис. 174). Эти призмы склеены канадским бальзамом — веществом, имеющим
показатель преломления п^ 1,550, лежащий между по и пе исландского шпата. Попадая в призму, неполяризованный луч света расщепляется на два. Обыкновенный луч отражается на границе между призмами, где для него выполняются условия полного отражения, и выпускается в сторону. Необыкновенный луч проходит сквозь обе призмы. Таким образом, николь действует как щель, пропускающая только определенным образом направленные колебания электрического вектора.
Большое практическое значение имеет использование для поляризаторов явления плеохроизма (многоцветности). Такое название получило явление разного поглощения обыкновенного и необыкновенного лучей, а также зависимости коэффициента поглощения необыкновенного луча от направления по отношению к оптической 366
оси. Плеохроичный кристалл дает разную окраску, поглощает по- разному свет, если его поворачивать по отношению к лучу.
Классическим примером плеохроичного кристалла является турмалин. Коэффициент поглощения для обыкновенного луча почти во всем видимом спектре столь велик, что пластинка турмалина толщиной 1 мм, вырезанная параллельно оптической оси, практически пропускает один лишь необыкновенный луч и, следовательно, может служить поляризатором. Однако желто-зеленая окраска проходящего света препятствует практическому применению турмалина в качестве поляризатора.
Широкое употребление имеют искусственные плеохроичные пленки, известные под названием поляроидов. Для их изготовления применяется сильно плеохроичное вещество — герапатит (кислый сульфат трииодид хинина). Поляроид представляет собой прозрачную пленку из пластмассы, содержащую ориентированные в одном направлении субмикроскопические игольчатые кристаллики герапа- тита. Для ориентации кристалликов вязкая масса, содержащая кристаллы, возвратно-поступательным движением растирается между двумя стеклами. Разумеется, герапатит не единственное вещество, пригодное для изготовления поляроидов.
Для плеохроичных свойств весьма существенны атомы иода, входящие в состав герапатита. Можно изготовлять и чисто иодные поляроиды, пропитывая иодом растянутые пленки поливинилового спирта.
Исследование поляризационного состояния света производится с помощью двух николей или других поляризационных приборов и «пластинки в четверть волны». В качестве последней можно взять листочек слюды толщиной 0,038 мм. Рассмотрим прохождение света через два николя. Чтобы их различать, называют первый по пути луча николь поляризатором, а второй — анализатором (рис. 175).
Рис. 175.
Если на поляризатор падает естественный свет с интенсивностью /0, то из николя выйдет линейно поляризованный свет с интенсивностью ~ /0. Вращение поляризатора около его оси, разумеется, ничего не меняет в интенсивности прошедшего луча. Николь выпустил линейно поляризованный луч. В этом можно убедиться, используя анализатор. Если оба николя установлены параллельно друг другу своими «щелями», то свет, не изменив интенсивности (мы здесь4 не учитываем поглощения в веществе поляризационного прибора), пройдет и через анализатор. При скрещенных николях (так
называется положение, при котором «щели» приборов образуют угол 90°) свет не проходит (рис. 175). Интенсивность света при угле а между «щелями» будет равна /^ДЛ cos2 а. Действительно, электрический вектор волны, приходящей к анализатору, можно разложить на две составляющие: вдоль и поперек «щели». Проходит составляющая амплитуды Е cos а (рис. 176), значит, интенсивность будет пропорциональна cos2 а.
Если свет был частично или полностью поляризован, то это будет обнаружено уже первым николем.
При помощи двух николей нельзя отличить свет, поляризованный по кругу, от естественного, а эллиптическую поляризацию — от частичной поляриза
ции естественного света. Чтобы это сделать, можно воспользоваться пластинкой в V4 волны. Если расположить ее перед поляризатором, то это никак не скажется на естественно поляризованном свете, но превратит свет, поляризованный по кругу, в линейно поляризованный. Аналогичным образом пластинка в V4 волны изменит свойства эллиптически поляризованного света.
Кристаллическая пластинка между «скрещенными»НИКОЛЯМИ
Весьма распространено исследование прозрачных анизотропных веществ путем наблюдения за поведением линейно поляризованного света, падающего на вещество. Чтобы не осложнять задачу, положим, что речь идет о кристаллической пластинке, вырезанной параллельно оптической оси. Эту пластинку помещают между Николями.
Из поляризатора на пластинку падает линейно поляризованный луч. Удалим пластинку и установим анализатор в скрещенном положении. Свет не проходит. Теперь поставим на место пластинку — поле просветлело, луч света проходит через систему. Причина может быть лишь одна: кристаллическая пластинка изменила поляризационное состояние луча, вышедшего из поляризатора. Как именно изменила — это мы выясним с помощью анализатора: если при вращении анализатора мы найдем новое положение темноты, то это значит, что кристаллическая пластинка изменила направление колебания луча, но оставила его линейно поляризованным. Если вращение анализатора не меняет интенсивность света, то это значит, что пластинка превратила линейно поляризованный свет в свет, поляризованный по кругу. Наконец, если погасить свет вращением - анализатора или пластинки не удается, но интенсивность света меняется при вращении, то это значит, что пластинка создала эллиптически поляризованный свет.
Изменения, происшедшие с линейно поляризованным светом, зависят от двух причин: от взаимного расположения оптической оси пластинки и направления колебания в луче, вышедшем из по- ляризатора, и от разности фаз б = -у^по—пе),которую пластинка создает между обыкновенной и необыкновенной волнами, на которые расщепилась падающая волна.
Если вещество, помещенное между скрещенными николями, изотропно, то никакого просветления поля не произойдет. Описанное явление можно с успехом использовать для изучения анизотропии вещества.
Рис. 177.
Обычно наблюдения ведутся в скрещенных николях и вращается пластинка. При таком вращении просветление не будет неизменным. Действительно, в каждый момент вращения амплитуда А света, вышедшего из поляризатора, раскладывается по-разному на компоненты A cos ф и Д sin ф (ф — угол между «щелью» поляризатора и оптической осью пластинки). Конец электрического вектора волны, вышедшей из пластинки, описывает эллипсы:
Л2 COS2 ф 1 Л2 Sill2 ф Л2 COS ф SIH ф’
где 6 неизменно, а ф непрерывно меняется. Трансформации эллипса для случая пластинки в V4 волны (в предыдущую формулу надо подставить значение 6—90°) при изменении ф показаны на рис. 177. При разных ф будут возникать различные поляризационные состояния.
Так как разность хода 6 зависит от длины волны, то при освещении белым светом картина получается окрашенной. Если пластинка имеет равномерную толщину, то она будет окрашена в ровный цвет, различный для каждого взаимного расположения пластинки и николей. Действительно, для некоторых длин волн белого спектра пластинка может иметь толщину х/4 К для других — х/2 X,
для третьих — толщину, кратную X. Соответственно с этим для
разных длин волн возникнут разные поляризационные состояния, в большей или меньшей степени пропускаемые анализатором при различных взаимных положениях пластинки и николей. Явление хроматической -поляризации очень красиво. Вряд ли каким иным способом можно создать такое богатство световых тонов и оттенков,
которые возникают в поле зрения при изменениях толщины пла-которые возникают в поле зрения при изменениях толщины пла-
которые возникают в поле зрения при изменениях толщины пла-
которые возникают в поле зрения при изменениях толщины пла-
Рис. 178.Рис. 178.стинки (например, при росте кристалла) или при изменениях ее расположения по отношению к Николям.
Рис. 178.
Рис. 178.
Если пластинка имеет переменную толщину, то будут наблюдаться интерференционные полосы, радужные при рассмотрении в белом свете.
Наряду с этими картинами полос равной толщины можно наблюдать и своеобразные полосы равного наклона, если рассматривать кристаллическую пластинку в сходящихся лучах (коноскопическое исследование). Эти наблю
дения можно проводить над ма
ленькими кристаллическими зернышками в поле зрения микроскопа. Их практическое значение — установление симметрии кристаллика. В частности, не представляет труда решение вопроса о принадлежности объекта к одной из трех групп: 1) вещество аморфное или кристаллическое с кубической симметрией, 2) одноосные кристаллы, 3) кристаллы более низкой симметрии. В первом случае интерференционные полосы отсутствуют. Одноосные кристаллики дают картину, показанную на рис. 178, если только оптическая ось совпадает с падающим лучом света. Темный размытый крест возникает в тех местах, куда попадают либо только обыкновенный, либо только необыкновенный луч. Раз нет превращения в эллиптически поляризованное колебание, то скрещенные николи света не пропустят.
Теория явления громоздка, и мы не будем на ней останавливаться.
Двойное лучепреломление, вызванное внешнимвоздействием
Как было сказано в начале главы, почти любая молекула обладает анизотропией поляризуемости. Оптически изотропное тело может быть построено из анизотропных молекул, если последние расположены беспорядочно. Напротив, если любым способом придать молекулам некоторую преимущественную ориентацию, то вектор поляризации — суммарный дипольный момент молекул — уже не 370
будет иметь одинаковые значения для разных направлений, тело приобретет анизотропию в значениях диэлектрической проницаемости, а значит, и оптическую анизотропию*
Такую анизотропию, выражающуюся в появлении двойного лучепреломления, можно вызвать почти всегда неоднородной деформацией твердого тела, у некоторых жидкостей — внесением их в электрическое поле (эффект Керра), а также созданием потока жидкостей тех веществ, молекулы которых имеют вытянутую форму. Двойное лучепреломление наблюдается в биологических объектах, высокополимерах, т. е. опять-таки в веществах, состоящих из длинных молекул, которые не могут уложиться в веществе полностью беспорядочным образом. Вообще говоря, в той или иной степени двойное лучепреломление присутствует почти всегда, так как крайне трудно создать в теле идеальную изотропию.
Если тело подвергнуть одностороннему сжатию или растяжению, то в нем возникает анизотропия осевого типа. Такое тело по оптическим свойствам подобно одноосному кристаллу. Наблюдение за возникающей оптической анизотропией удобнее всего вести между скрещенными николями. Легкое надавливание пальцами делает прозрачную пластмассу или стекло анизотропными — поле зрения сразу же просветляется. Неоднородная деформация создает различные значения разности п0— пе в разных местах объекта. Поэтому на теле, подвергнутом деформации, образуются полосы равной разности фаз 6. Форма этих кривых соответствует напряжениям, возникающим в теле. Анализируя ход кривых, удается получить отчетливое представление о распределении напряжений.
Каким же образом использовать столь ценный метод на практике, имея в виду, что он применим лишь к прозрачным телам? Путь здесь единственный — создание моделей из прозрачных пластмасс. Создавая модель моста, здания, элемента машины и нагружая модель в соответствующей пропорции, можно видеть картину возникающих напряжений. Количественная оценка напряжений оптическим способом носит название метода фотоупругости. Ее изложению посвящены специальные руководства.
При наблюдении в белом свете возникают причудливые цветные картины. Если деформации упругие, то после снятия нагрузки картина пропадает. Напротив, если напряжения не снимаются удалением нагрузки, то цветная картина фиксируется.
Остановимся теперь на оптической анизотропии жидкостей, помещенных в электрическое поле.
Электрическое поле оказывает ориентирующее действие лишь в том случае, если молекулы жидкости обладают постоянным жестким дипольным моментом. Тогда молекулы стремятся расположиться так, чтобы направление жесткого дипольного момента совпало с направлением поля. При этом жидкость приобретает свойства одноосного кристалла с оптической осью вдоль Е. Наблюдение эффекта удобнее всего производить, помещая жидкость с наложенным полем между скрещенными николями (рис. 179).
Опыт показывает, что разность по— пе, возникающая в жидкости, пропорциональна квадрату напряженности Е электрического поля. Разность фаз равна ^В1Е\ где I — длина, пройденная световым лучом в жидкости, а В — постоянная Керра, характерная для вещества.
Рис. 179.
Большим значением В выделяется нитробензол, имеющий большой жесткий дипольный момент, 2-10"5 ед. СГС. Бензол имеет постоянную Керра 0,5-10“7 ед. СГС, сероуглерод 3,5-10"7 ед. СГС.
Пример. Конденсатор длиной 10 см, заполненный нитробензолом, будет работать как пластинка в х/4 волны, если напряженность поля в нем будет Е= j/"-^ — 26 600 В/см. Для этого, при расстоянии между пластинами 1мм, к конденсатору надо приложить разность потенциалов 2660 В.
Эффект Керра дает возможность трансформировать колебания электрического поля в изменения интенсивности света. Инерция эффекта мала: время релаксации, связанное с занятием молекулами в электрическом поле надлежащего положения, есть величина порядка миллиардной доли секунды. Поэтому электрические колебания, модулированные звуком, могут быть превращены в изменения световой интенсивности. Это дает возможность записывать звук на фотопленку.
Оптическая активность
Оптической активностью называется способность некоторых веществ поворачивать направление колебания линейно поляризованного луча. Явление состоит в следующем. Устанавливаются скрещенные николи и на пути луча помещается вещество. Происходит просветление поля, которое может быть уничтожено поворотом анализатора на какой-либо угол а. Значит, линейно поляризованный свет, прошедший через оптически активное вещество, так и остается линейно поляризованным, но направление колебания луча изменяется на угол а. Опыт показывает, что поворот направления колебания строго пропорционален толщине слоя вещества:
а = pd.
Характеризующая вещество постоянная р называется удельным вращением и выражается обычно в градусах на миллиметр. Явление 372
обладает дисперсией: р зависит от длины волны. Обычно р падает с увеличением длины волны.
Поворот направления колебания довольно значителен и у многих веществ для ряда длин волн достигает десятков градусов на 1 мм. Для водных растворов органических веществ вращение плоскости поляризации зависит от концентрации: a=pcd, где с — концентрация.
Какие же вещества относятся к оптически активным? Оптически активное вещество должно быть построено из таких структурных единиц, которые не имеют в числе своих элементов симметрии ни плоскости симметрии, ни центра симметрии. В случае молекулярных веществ такими единицами, как правило, будут молекулы. В случае кристаллов, в которых молекулы не могут быть выделены, такой единицей будет элементарная ячейка.
Молекулы (или ячейки), удовлетворяющие указанным условиям, могут встретиться в виде двух оптических изомеров, обозначаемых буквами d и / (правые и левые). Оптические изомеры находятся между собой в отношении предмета и его изображения в зеркале. Вещество, состоящее из d-молекул (ячеек), вращает свет вправо, из /-молекул — влево. При этом под правым вращением понимают тот случай, когда при увеличении толщины слоя вещества для восстановления темноты приходится поворачивать анализатор вправо, смотря против луча света. Меняя направление света на обратное, мы не изменим знака эффекта.
Оптическая активность наблюдается у веществ как в жидком, так и в твердом состоянии. Важно лишь наличие в веществе избытка d- или /-молекул. Ориентация же этих молекул может быть как беспорядочной, так и упорядоченной. В первом случае тело изотропно и вращение одинаково, в каком бы направлении ни шел луч света. В оптически активных кристаллах величина вращения а зависит от направления луча по отношению к осям кристалла.
При плавлении молекулярных кристаллов, вращающих свет, структурные единицы сохраняются. В этих случаях как твердое, так и жидкое вещество обладает оптической активностью. Приме
Я
—gfS
иг
Рис. 180.
ром может служить сахар, который, кроме того, обладает активностью и в растворах. Эту способность сахара используют в практике (сахариметрия) для определения процентного содержания сахара по величине вращения направления колебания светового луча.
Иначе обстоит дело в таких кристаллах как кварц (рис. 180). Расположение атомов в ячейке кварца удовлетворяет необходимым условиям, а именно, не обладает ни центром симметрии, ни
плоскостью симметрии. В кристалле кварца нельзя выделить молекулу; поэтому при плавлении конфигурация атомов меняется и в плавленом кварце отсутствуют нужные структурные единицы — плавленый кварц оптически неактивен.
Одно и то же, с точки зрения химического состава, вещество может встретиться как в оптически активном, так и в неактивном виде. Это относится не только к кварцу. Структура неактивной модификации весьма мало похожа на структуру кристаллов, обладающих оптической активностью. Сказанное вполне понятно в случае ионных и гомеополярных кристаллов.
Но каким образом может образоваться неактивный кристалл из активных молекул в случае молекулярного кристалла? Это происходит путем образования кристаллов-рацематов. Рацемической смесью называется смесь равного количества d-молекул и /-молекул. Такая смесь не вращает, так как уравниваются два противоположных эффекта. Кристалл-рацемат построен из пар молекул d и I. Каждая пара дает центросимметричную группу атомов.
Что же касается оптически активных кристаллов, то они встречаются в виде d- и /-форм. Эти кристаллы обладают структурами, тождественными в том же смысле, как левая и правая перчатки. Так, отмеченные на рис. 180 одинаковыми буквами грани кристалла тождественны именно в этом смысле. Если речь идет о молекулярных кристаллах, то это значит, что в одном случае структура выполнена d-молекулами, а в другом — /-молекулами. Правый и левый кварц, правый и левый сахар, правая и левая винная кислота — все свойства этих веществ, все подробности их структуры тождественны во всем, за исключением направления вращения света.
Неорганические оптические изомеры (например, левый и правый кварц) встречаются в природе в равных количествах/ Иначе обстоит дело с органическими молекулами, играющими биологическую роль. Французский химик Пастер показал, что ряд микроорганизмов способен питаться только определенным оптическим изомером.
Принципы теории оптической активности
Каким же образом объясняется явление оптической активности? Прежде чем ответить на этот вопрос, покажем, что линейно поляризованный свет эквивалентен двум лучам, поляризованным по кругу влево и вправо. '
Запишем уравнения колебания электрического вектора, считая, что между левой и правой волнами есть сдвиг фаз 6. При круговой поляризации вправо v -
Ex = Eq cos to/, £^ = Easinto/;
для света, поляризованного влево,
' Е" = Еу cos (to/ + 6), Е” = — Еэ sin (to/4-6).
Суммарное поле имеет компоненты ЕХ=Е"+Е^ и Е^Е^+Е*.
Чтобы увидеть поляризационное состояние возникшего колебания, найдём отношение Ev/Ex для суммарного поля. С помощью простых тригонометрических преобразований получим
Отношение не зависит от времени; это и означает наличие линейно поляризованного колебания, происходящего под углом 6/2 к оси х. Требуемое доказано.
С точки зрения подобного представления вполне ясно, в чем состоит явление вращения направления колебания. Поворот плоскости колебания на угол 6/2 означает, что левовращающая волна отстала от правовращающей (или наоборот, в зависимости от направления вращения) на угол 6. Это рассуждение оправдывает рассмотрение проблемы оптической активности в главе, посвященной двойному лучепреломлению. И здесь, как и ранее, волна разделяется веществом на две составляющие, из которых одна движется быстрее другой и непрерывно уходит от нее вперед по фазе. Удельное вращение с этой точки зрения пропорционально разности коэффициентов преломления левого и правого лучей.
Этим рассуждением мы нисколько не продвинулись в объяснении явления, а дали ему лишь другую (вполне эквивалентную) интерпретацию. Однако новый подход позволит нам легче объяснить
Рис. 181.
оптическую активность. Волны, поляризованные по кругу влево и вправо,.движутся по веществу с разной скоростью. У них разные коэффициенты преломления, а значит, разные диэлектрические проницаемости и поляризуемости. Сдвиги электронного облака под действием этих двух волн должны быть различны; одна волна испытывает большие трудности, чем другая, смещая электроны с
положений равновесия. Если мы найдем причину этому различию, то объяснение оптической активности будет дано.
Из химии хорошо известно: если в молекуле имеется асимметричный атом углерода, то вещество может показать оптическую активность. Под асимметричным атомом углерода химики понимают атом С, связанный с четырьмя различными атомами или радика
лами.
Связи четырехвалентного атома углерода идут примерно под тетраэдрическими углами друг к другу. На рис. 181 изображена некоторая молекула, содержащая асимметричный атом углерода. Радикалы или атомы, связанные с С, различны; природа их не существенна. Мы видим, прежде всего, что возможны две молекулы
такого вещества, похожие друг на друга, как предмет и его изображение в зеркале,— это оптические изомеры. Совместить их невозможно, в этом легко убедиться с помощью проволочных моделей.
Представим себе волну, поляризованную по кругу, идущую вдоль оси симметрии связей. На рис. 182 волна идет перпендикулярно к чертежу к нам. Атомы А, В находятся выше атомов Е, D. Рассмотрим направления электронных смещений для волн, поляризованных влево и вправо. Примем наличие следующей картины в случае, когда волна поляризована вправо: если вектор Е направлен вдо^ь ED, то в верхнем «этаже» вектор Е направлен вдоль ВА. Если так, то в волне, поляризованной влево, будет иметь место другая картина: когда вектор Е направлен вдоль
ED, то в верхнем «этаже» вектор Е направлен вдоль АВ.
Всматриваясь в рисунки, мы видим, что поведение смещающихся электронов различно. В одном случае электроны атомов А и D движутся одновременно от центра. Во втором случае при движении электронов А к центру электроны D движутся от центра. Такие различия мы всегда найдем для системы атомов, не обладающих центром симметрии и плоскостью симметрии. Напротив, если эти элементы симметрии присутствуют, то действия левой и правой волн
будут тождественными.
Различные условия смещений электронов для асимметричных группировок приведут к различной поляризуемости, а значит, и к
разным показателям преломления левой и правой волн. Ясно, что поведение левой и правой молекул будет обратным.
В строгой теории доказывается, что эффект сохраняется при любых расположениях молекул по отношению к лучу.
ГЛАВА 24
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Основания теории *
Теория относительности, созданная в начале нашего века великим физиком современности Альбертом Эйнштейном, покоится на двух постулатах: 1) принципе относительности, 2) принципе постоянства скорости света. Мы вкратце рассмотрим содержание этих принципов, расскажем об эспериментальном их подтверждении и о некоторых следствиях из теории.
Теория относительности возникла при исследовании вопроса о существовании механического носителя электромагнитного поля (эфира). Теория относительности решила эту проблему и в этом смысле может рассматриваться как завершение теории электромагнитного поля. При решении задач, поставленных электродинамикой, теория относительности далеко ушла за рамки этой проблемы. Ее развитие привело к установлению закономерностей механических движений, приближающихся по скорости к свету, к закону эквивалентности массы и энергии, к новым взглядам на природу тяготения. Наше рассмотрение будет неизбежно очень кратким и поэтому мы вынуждены отказаться от исторической перспективы.
Прежде всего, о содержании основных постулатов.
Принцип относительности утверждает, что все законы природы (а не только законы механики) одинаковы во всех инерциальных системах координат. Принцип утверждает, что нет ни одного физического опыта, который мог бы установить особенные свойства одной из инерциальных систем. Все инерциальные системы равноправны. .
Второй постулат говорит о постоянстве скорости света в вакууме для всех инерциальных систем. Из него следует, что скорости света «туда» и «обратно» должны быть одинаковы, что скорость света не зависит от движения источника света и измерительных инструментов.
Какое же отношение эти принципы имеют к нашим представлениям об электромагнитном поле и его носителе? Нетрудно видеть, что сформулированные принципы исключают аналогию между электромагнитными волнами и, скажем, звуковыми.
Представим себе изолированную от внешнего мира лабораторию, движущуюся прямолинейно и равномерно по отношению к звездам. В этой комнате производятся измерения скорости звука в направле-
нии движения. Теоретически возможны два крайних случая:, первый — стенки комнаты непроницаемы для воздуха и воздух увлекается комнатой; второй случай— стенки проницаемы для воздуха, воздух неподвижен относительно звезд, лаборатория движется сквозь воздух, не увлекая его. Положим, что в этих двух случаях производятся измерения скорости звука. Ее измеряют два наблюдателя: движущийся и неподвижный по отношению к звездам. В каждом случае скорость звука по отношению к этим двум наблюдателям будет разной. Если скорость звука в воздухе есть с, а скорость комнаты по отношению к неподвижному наблюдателю есть у, то в случае увлечения воздуха движущийся наблюдатель найдет скорость равной с, а неподвижный г+у; в случае покоящегося воздуха движущийся наблюдатель найдет скорость равной с — у, а неподвижный — с.
Постулаты теории относительности отвергают для электромагнитной волны в эфире оба варианта. В опытах со световой волной скорость света будет равняться с как для неподвижного, так и для движущегося наблюдателя. Значит, и неподвижный и увлекающийся системой эфир противоречит теории относительности. Таким образом, теория относительности отвергает возможность представления о поле как о среде, в которой происходят механические смещения. Мы приходим к заключению, что электрическое и магнитное поля должны обладать непосредственной реальностью.
Опытные подтверждения принципа постоянстваскорости света
На первый взгляд принцип постоянства скорости света противоречит «здравому смыслу». Поэтому желательно, прежде чем мы начнем выводить следствия из теории относительности, указать непосредственные опытные доказательства его справедливости. Они известны из астрономических наблюдений.
Астрономами доказано существование так называемых двойных звезд, в которых два небесных тела близкой массы вращаются около их общего центра тяжести. У нас имеются средства измерять расстояния между звездами, их массы и скорости, следить за их относительным движением. Если бы скорость света зависела от скорости самой звезды, то при движении в сторону земного наблюдателя скорость света складывалась бы со скоростью небесного тела, при обратном движении скорости вычитались 6ёь В этом случае земному наблюдателю представлялось бы, что движение по одной половине орбиты происходит быстрее, чем по другой. Этот эффект наблюдался бы даже в том случае, если бы скорость небесного тела у была в сотни тысяч раз меньше скорости света с.
Действительно, на огромном расстоянии / различие во временах I i.
и ——может быть и при самых малых у настолько значи- с—у с+у1
тельным, что не только нарушится периодичность, но даже световой
луч, посланный при движении «туда», мог бы обогнать луч, посланный при движении «обратно». Тогда вращение звезд не было бы видно или приобрело бы причудливый характер. Периодическое вращение двойных звезд может быть понято только на основе принципа постоянства скорости света.
Правда, здесь речь шла о движении источника света, и поэтому
могли остаться сомнения в справедливости принципа постоянства скорости для движения наблюдателя. Эти сомнения рассеиваются другим астрономическим наблюдением — над периодичностью движения спутников Юпитера. Измерения движения спутников Юпитера можно произвести в двух случаях, когда свет, идущий от Юпитера к Земле, совпадает с направлением движения солнечной системы и противоположен ему. Тождественность наблюдений и четкая картина периодичности, связанная с годовым движением Юпитера,
показывают справедливость принципа постоянства скорости света
и в этом случае.
Наиболее существенную роль в развитии теории относительности сыграл опыт, произведенный Майкельсоном впервые в 1881 г. при помощи описанного на стр. 325 интерферометра. Опыт заключался в следующем. Положение двух зеркал, т. е. длины плеч 1Х и /2, подбиралось так, чтобы когерентные лучи, на которые расщепляется световой сигнал, затрачивали бы одинаковое время на прохождение путей вдоль двух плеч интерферометра. Этот подбор производится при такой установке интерферометра, при которой одно
Рис. 183.Рис. 183.из его плеч установлено вдоль движения земного шара по орбите. Далее прибор поворачивается на 90° и наблюдается смещение . интерференционных полос.
Рис. 183.
Рис. 183.
Результат опыта Майкельсо- на, многократно повторявшегося им самим и другими исследователями, таков: смещения полос нет и времена прохождения светом плеч, равные при одной установке, остаются равными и при повороте прибора. Это обстоятельство установлено с очень большой точностью.
Что же следует из этого опыта?
Так как Земля движется со скоростью ^30 км/с по отношению
к неподвижным звездам, то с точки зрения звездного инерциального наблюдателя пути, пройденные двумя лучами, не могут быть одинаковыми.
Рассмотрим прохождение обоих лучей (рис. 183). Разумеется, нам надо обратить внимание лишь на участки пути, где лучи идут раздельно. Продольный луч на пути «туда» должен пройти длину
плеча /i и догнать зеркало, уходящее со скоростью у вперед. Следовательно, путь стх пройденный лучом, должен равняться ст^ =/1+ут1. Затраченное фронтом волны время будет:
т
с (1 — у/с) *
На пути «обратно» луч пройдет длину плеча U за вычетом пути, пройденного прибором ему навстречу. Путь луча fT2=/i— vr2 и
т
с(1+«/с) ■
Измеряемое на опыте время Ti+t2 равно
2/1
с (1 — и2/с2) *
Обратимся теперь к поперечному лучу (рис. 184). За полное время
т, прошедшее от момента выхода до момента возвращения луча в
центр прибора S, зеркало сместится так, как показано на рисунке. Следовательно, путь волны будет
стст
ст
ст
откуда время т равно 2/2
с V1 — ^!сг 1
При первом измерении плечи к и /2 подбираются так, что лучи затрачивают одинаковое время на раздельные пути. Значит,
2/х2/21г,
-=7=== , ИЛИ -т=е= = L.
с (1 — V^/c2) С V1 — у2/с2V1 — у2/^2
Но при втором опыте, т. е. при повороте интерферометра на 90°, сдвига интерференцион
ной полосы нет и времена прохождения остаются по-прежнему равными, хотя плечи к и /2 поменялись местами! В этом и заключался неожиданный результат опыта.
Итак, если первое плечо установлено продольно, то
lt = /2 Ki — V2/C2;
если второе плечо установлено продольно, то /, = /^1—f2/c2.
При и=0 /1=/2, но при и^О мы приходим к замечательному результату: длина одного и того же отрезка меняется в зависимости от того, установлен этот отрезок вдоль движения или поперек движения. Полученный результат справедлив для любого тела, для лю-
бого расстояния между двумя точками. Итак, первое следствие теории относительности: движущееся по отношению к инерциальному наблюдателю тело сокращает свой размер в направлении движения. Поперечные размеры остаются неизменными. Если неподвижный по отношению к предмету наблюдатель установит, что длина интересующего его предмета /0, то наблюдатель, по отношению к которому этот предмет движется со скоростью у, найдет для него длину I = /0 ^ 1 —р2!^.
Пример. Если предмет движётся со скоростью 1 000 км/с относительно некоторого «неподвижного» наблюдателя, то последний обнаружит уменьшение длины предмета в направлении движения в 1,000005 раза. Если же скорость предмета будет 200 000 км/с, то /0//=1,34.
В разных системах отсчета длина одного и того же отрезка, каким-то определенным образом движущегося, будет разной. Надо отчетливо представить себе относительный характер этого сокращения. Возьмем два стержня одинаковой длины /0. Приведем их в движение с относительной скоростью у. Пусть имеются два наблюдателя: один — движущийся с первым, а другой — со вторым стержнем. Тогда первый наблюдатель найдет для своего стержня длину /0, а для чужого /0К1—^Ic^. Для этого наблюдателя второй стержень короче первого.. Напротив, второй наблюдатель найдег для второго стержня длину /0, а для первого /0 К1—^(с1; для него первый стержень короче второго.
Длина стержня и вообще расстояние между двумя точками — относительное понятие. Из всех длин стержня, измеренных в разных инерциальных системах, выделяется длина покоя 1^. Эта максимальная длина стержня имеет абсолютный смысл. ;
§ 156. Время в теории относительности
В выражении, связывающем длину покоящегося и движущегося стержня, появилась величина К1— Р2 (Р = у/с). Этот квадратный корень появится и в других аналогичных формулах, связывающих значения различных физических величин для покоящегося и движущегося наблюдателей. Рассуждения, похожие на те, которыми мы пользовались в предыдущем параграфе, приводят к интересным выводам в отношении времени и ускорения, массы и силы, импульса и энергии, напряженностей поля, плотности заряда и тока и т. д. Формулы теории относительности позволяют переходить от значений величин, устанавливаемых покоящимся наблюдателем, к значениям, которые установит движущийся наблюдатель. Отношение р=и/с является во всех случаях важным критерием необходимости релятивистской поправки.
Нетрудно видеть, что сравнимые с единицей значения р2получит лишь при огромных скоростях. Даже при у= 100 000 км/с V1 — р2 будет отличаться от единицы всего лишь на несколько процентов. Поэтому ясно, что выводы теории относительности не представляют
интереса для медленных движений, и в этих Случаях мы не должны учитывать изменение физических свойств с движением. Особенное значение приобретает теория для микромира, где скорости частиц, приближающиеся к скорости света, встречаются весьма часто.
Остановимся, прежде всего, на следствиях теории, касающихся времени.
Промежуток т, в течение которого происходит то или иное событие, также оказывается различным с точки зрения двух инерциальных систем. Поэтому два события, одновременные с одной точки зрения, будут происходить одно раньше, а другое позже с точки зрения другой системы отсчета.
Качественно это утверждение сразу же следует из принципа постоянства скорости света. Действительно, рассмотрим систему, движущуюся равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе. В одной из них установлен излучатель, свет от которого идет во все стороны. В той системе, где находится источник, выберем два пункта, равноудаленных от источника вдоль прямой по ходу относительного движения. Ясно, что в этой системе свет придет в оба приемника одновременно. Так обстоит дело с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с источником. Однако для наблюдателя во второй системе дело обстоит не так. Для этого наблюдателя один приемник движется навстречу сигналу, а другой — уходит от него. Поскольку скорость с и для этого наблюдателя имеет то же самое значение (притом одинаковое в обе стороны), то для него свет поступит раньше в тот приемник, который находится позади. *
Может возникнуть сомнение: не приведет ли нас подобный вывод к бессмыслице? Поскольку понятие одновременности относительно, то может случиться так, что с точки зрения одной системы отсчета сначала стреляет ружье, а затем падает с ветки подстреленная птица, а с точки зрения другой системы отсчета птица упадет раньше, чем выстрелит ружье. Внимательный анализ показывает, что относительность последовательности событий ограничена скоростью распространения взаимодействия (меньше с). Поэтому «раньше» и «позже» могут меняться местами лишь в тех случаях, когда они не находятся в причинной связи (т. е. не являются результатом взаимодействия).
Весьма интересен вывод теории, касающийся собственного времени предмета,— так называют время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным телом. Если по часам наблюдателя некоторой инерциальной системы прошло время т, то стрелка часов, движущихся с предметом, передвинется на время
Т^тГ" 1— Р2.
Это означает, что произвольным образом движущиеся часы идут медленнее неподвижных *).
♦) Эта формула находит экспериментальное подтверждение в опытах с ц- мезонами (см. стр. 542).
Надо отчетливо понять относительный смысл этого утверждения. Если два наблюдателя находятся в разных инерциальных системах, то каждый из них будет утверждать, что отстают часы другого наблюдателя. Казалось бы, возникает противоречие. Остановим наблюдателей и сверим их часы. Однако для того, чтобы произвести такую проверку, надо по крайней мере одного из наблюдателей заставить проделать кольцевой путь. По возвращении на исходное место часы могут быть сверены. Но теперь суждения наблюдателей потеряли относительность. Тот наблюдатель, который оставался в инерциальной системе, имеет право применить написанную выше формулу. Наблюдатель, совершивший кольцевой путь, двигался ускоренно, и формула т0 = тК1 — Р2 не может быть им применена. Значит, после возвращения «кольцевого» наблюдателя и сверки часов окажется, что отстали его часы, и он не может «оспаривать» этот результат, мотивируя принципом относительности, который верен только для инерциальных наблюдателей.
§ 157. Масса
Если обозначить через т0 массу тела, измеренную в системе координат, с ним связанной, то для наблюдателя, по отношению к которому это тело движется, масса будет равна
Величина т0 носит название массы покоя. Увеличение массы со скоростью является естественным следствием основных принципов теории. Скорость света с является предельной скоростью для любых движений или передачи взаимодействия. При о=с масса любого тела обращается в бесконечность. Естественно, что ускорение тела дается с тем большей трудностью, чем ближе мы к пределу возможной скорости.
Возрастание массы со скоростью4 было впервые установлено для электронов р-лучей еще в начале нашего века. Поскольку возможно раздельное определение скорости электронов и и отношения elm (см. стр. 421), то, считая заряд электрона неизменным, мы имеем возможность проверить формулу для массы.
В настоящее время поправки, даваемые множителем V1—ра , играют решающую роль при конструировании ускорителей заряженных частиц. Скорости частиц, достигаемые в современных ускорителях, столь велики, что, например, в одном из них Р достигает 0,9986, и, таким образом, масса становится в 60 раз больше массы покоя. Во всех опытах, проводимых в земных условиях с макроскопическими телами, мы не нуждаемся в учете поправки V1—ра к значению массы. В то же время было бы желательным убедиться в ее справедливости не только для элементарных частиц. Такую возможность дают точные астрономические наблюдения. Оказывается,
что изменение массы планеты Меркурий при ее движении по орбите объясняет небольшие отклонения орбиты от эллипса.
Выражение массы движущегося тела меняет формулу импульса, которая приобретает вид
Заметим, что закон Ньютона остается в силе, если его писать dp
как F = ^-. В то же время формула F^ma уже не будет справедливой во всех случаях.
§ 158. Энергия
В § 10 мы нашли выражение энергии движущегося тела, найдя функцию, на возрастание которой затрачивается работа ускорения тела. Повторим эти вычисления с учетом поправок, которые дала теория относительности.
Работа перемещения тела на пути dl равна
_ dpdl
F dl = -~dl= dp^.^vdp,
dt r dt r
где *o — вектор скорости. Если эта работа идет на увеличение энергии ^ тела, то
d<§ = tudp = vd (mo) = игоdi) + v2 dm.
Так как
значит,*
# n 1 । и2 A jmt) dt)
dS — у + c2 (ip2)/ ^^ ^’ т* e* ^^ ПP2) *
Сравнивая последнее выражение с формулой приращения массы, находим: dS=c2dm, т. е.,
S — mc2.
Мы отбрасываем аддитивную постоянную, возникающую при интегрировании: при т=0 и ^ должно равняться нулю.
Таким образом, работа, сообщенная телу, идет на увеличение функции ^=тс2, которая получает, следовательно, смысл энергии тела.
Фундаментальный результат этого вычисления заключается в следующем: увеличение массы тела сопровождается увеличением его энергии (а значит, затратой энергии со стороны); напротив, уменьшение массы тела или системы сопровождается уменьшением его энергии (а значит, передачей .ее окружению). Между приращением массы и приращением энергии имеется прямое и универсальное соотношение, поскольку с2 есть постоянное число.
Но какой же смысл следует придать энергии <§? Является она энергией движения? Очевидно, что нет. Если тело покоится, то ^ обращается не в нуль, а в т^. Следовательно, U=mQc2 есть энергия покоящегося тела, т. е. внутренняя энергия тела, а разность тс2— тос2 есть энергия движения.
Первую часть фразы следует рассматривать как утверждение, которое следует проверить на опыте. Что же касается выражения энергии движения, тс2— тйс\ то мы узнаем в нем знакомое выражение кинетической энергии, если воспользуемся приближенным равенством
!~ 1 j-Л R2~ 1 + 2 р ‘
С этой степенью точности
тс2—тпс2 = mflc2 -7=— I ] ^ т.с- тг Р =•
‘°° \Р2 /° 22
Пример. Внутренняя энергия тела с массой m0—I кг будет U^m^c2— =9-1016 Дж—2,16-Ю ккал. Такое количество энергии выделилось бы в виде тепла при сгорании 3 млн. т угля.-Даже в термоядерных реакциях высвобождается пока лишь несколько процентов этих грандиозных запасов внутренней энергии.
§159. Дефект массы
Как мы сказали только что, выражение, связывающее массу покоя с внутренней энергией тела, и^тйс\ следовало бы подвергнуть опытной проверке.
Внутренняя энергия тела складывается из энергии покоя составляющих частиц, их кинетической энергии и их потенциальной энергии взаимодействия. Изменение любой из этих составляющих энергии должно сказываться на величине U, а следовательно, и на массе покоя. Таким образом, масса покоя возрастает, если растет температура тела, убыстряется внутреннее движение системы. Она возрастает также, если сблизятся отталкивающиеся части системы или разойдутся притягивающиеся.
Из сказанного ясно, что масса покоя системы взаимодействующих частиц не обладает свойством аддитивности, т. е. не подчиняется закону сохранения. Если тело с массой покоя Мо состоит из N частиц с массами т0, то M^Nm0. Разность
Мо — Nm(] = \М
носит название дефекта массы тела (системы частиц). Величинас2АМ
называется энергией связи.
385385Если система распадается на части, то энергия связи выделяется и может быть измерена. Кроме того, непосредственно измерятся и массы покоя. Таким способом закон U^m^c2 может быть проверен на опыте.
385
385
Числовые примеры показывают, что любые изменения внутренней энергии, связанные с изменением скорости движения и сил взаимодействия между молекулами и атомами, не могут привести к измеряемому изменению массы. Опытная проверка изложенной теории оказывается возможной в ядерной физике (см. стр. 513).
Примеры. 1. Масса 1 кг молибдена при нагревании его на 1000 К возрастет на ^M =0,000000003 г.
Если стальной стержень длиной 128 см и поперечным сечением 1 см2 (масса стержня 1 кг) растягивать силой в 8 т, то запасенная в нем при этом потенциальная энергия увеличит его массу на 2-10~12 г.
Принцип эквивалентности и понятиеоб общей теории относительности
Рассмотрим неинерциальную систему координат, движущуюся с ускорением а0- Положим, что мы хотим описывать физические явления в этой системе. Законы механики будут в ней выглядеть иначе. Ведь правило F^ma справедливо лишь для инерциальной системы. Покоящиеся тела будут иметь ускорение — а0 по отношению к этой системе.
Если сохранить правильную для инерциальной системы терминологию и считать, что ускорение создается силами, то можно поле «сил» —maQ) действующих на все тела в ускоренной системе, назвать полем ускорения и проводить аналогию между этим полем и полем тяготения.
Так же точно можно ввести дополнительные поля «сил», рассматривая явления во вращающейся системе координат и, разумеется, для общего случая. Фиктивные поля сил, которые мы вводим для описания движения с точки зрения неинерциальной системы координат, можно назвать полями сил инерции. Сила — та0— одна из сил инерции.
Движение точки с ускорением а по отношению к такой неинерциальной системе будет подчиняться уравнению
та — F-V силы инерции.
Выражение для сил инерции можно найти в курсах теоретической физики.
Важно обратить внимание на принципиальную сторону дела. В неинерциальных системах появляются фиктивные поля сил. Каждому такому полю ускорения можно сопоставить фиктивное распределение притягивающих масс так, что любое поле, созданное ускоренным движением, вообще говоря, может быть истолковано как поле тяготения. Иногда в этом смысле говорят о принципе эквивалентности тяготения и ускорения.
Рассмотрим несколько простейших примеров. Мы находимся в лифте, который падает вниз с ускорением а. Выпустим из руки шарик и сообразим, какой характер будет иметь его падение. Как только шарик будет выпущен, он начнет, с точки зрения инерциаль- 386 "
ного наблюдателя, свободное падение с ускорением g. Так как лифт падает с ускорением а, то ускорение по отношению к полу лифта будет (g — а). Наблюдатель, находящийся в лифте, может описать движение падающего тела при помощи ускорения g^g'— а. Иначе говоря, наблюдатель в лифте может не говорить об ускоренном движении лифта, «изменив» ускорение поля тяжести в своей системе.
Теперь сравним два лифта. Один из них неподвижно висит над Землей, а другой движется в межпланетной пустоте с ускорением а
а
по отношению к звездам. Все тела в неподвижном над Землей лифте обладают способностью свободно падать с ускорением g. Но такой же способностью обладают тела внутри межпланетного лифта. Они будут «падать» с ускорением — а на «дно» лифта. При этом роль дна будет играть стенка, противоположная направлению ускорения.
Выходит, что действия поля тяжести и проявления ускоренного движения неотличимы.
Поведение тела в ускоренно движущейся системе координат равнозначно поведению тела в присутствии эквивалентного поля тяжести. Однако эта эквивалентность может быть полной, если мы ограничим себя наблюдениями на небольших участках пространства. Действительно, представим себе «лифт» с линейными размерами пола в тысячи километров. Если такой лифт неподвижно висит над земным шаром, то явления в нем будут происходить иначе, чем в том случае, когда лифт будет двигаться с ускорением g по отношению к неподвижным звездам. Это ясно из рис. 185: в одном случае тела падают косо на дно лифта, в другом случае — отвесно.
Таким образом, принцип эквивалентности справедлив для таких объемов пространства, в которых поле можно считать однородным.
Рассмотренные качественные соображения лежат в основе общей теории относительности. Эта теория, также развитая Эйнштейном, 13* 387
поставила перед собой задачу найти способы формулировки законов природы, не зависящие от выбора системы координат. До сих пор. мы полагали, что такая задача выполнима лишь для инерциальных систем координат. Принцип эквивалентности показывает, что абсолютность ускорения может быть уничтожена полем тяготения. Ускоренно движущуюся систему координат можно рассматривать как инерциальную, если только ввести эквивалентное поле тяготения. Правда, такая эквивалентность, как мы только что видели, ограничена во времени и пространстве. Однако Эйнштейн показал, что это ограничение может быть снято, если в соответствии с введенным полем тяготения внести изменения в геометрию системы.
Г Л А В А 25
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ПОЛЯ
Фотон
Уже несколько раз указывалось, что излучение и поглощение электрической энергии происходит порциями, квантами. Величина кванта зависит только от частоты излучения и равна /iv, где h — универсальная константа, равная 6,62-10~27 эрг-с. В настоящее время квантовый характер поглощения и излучения установлен для всего огромного диапазона длин волн электромагнитного спектра, от жестких у-лучей до длинных радиоволн.
Явления поглощения и излучения характеризуют, прежде всего, саму микросистему, взаимодействующую с электромагнитным полем волны. Квантовый характер этих явлений (которые мы в деталях обсудим в ч. III) доказывает, прежде всего, наличие у микросистемы отдельных энергетических уровней, невозможность для микросистемы обладать произвольной величиной энергии. Сами по себе эти факты не привели бы к мысли о том, что не только веществу, но и электромагнитному полю свойственна квантовая природа, если бы при взаимодействии с веществом электромагнитная волна не вела себя в ряде случаев, как частица. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения, обнаруживающиеся тем более явно, чем меньше длина волны, проявляются в тех случаях, когда происходят потери и превращения электромагнитной энергии. Эти свойства, наоборот, не проявляются при распространении, рассеянии, дифракции электромагнитных волн, если они не сопровождаются потерей энергии.
Корпускула электромагнитного поля носит название фотона. Фотон характеризуется, прежде всего, величиной своей энергии:
<В = Ьз.
Пользуясь законом эквивалентности массы и энергии, мы имеем право приписать фотону массу,
пг0пг0Так как электромагнитное поле распространяется со скоростью
пг0
пг0
с, то приходится допустить, имея в виду формулу т^
что масса покоя фотона равна нулю. Считая, что понятие импуль
са применимо к фотону, мы можем положить
/IV р^пг-с = — с
Напомним, что опыты Лебедева (стр. 287) непосредственно доказали справедливость для света соотношения p=W/c между плотностью импульса и плотностью энергии электромагнитной волны. Формула импульса фотона превосходно согласуется с этим выводом.
Значения ^ т и р фотонов различных типов электромагнитного излучения
X
6
т, г
р, г-см/с
Радиоволны . s . .
2000 м
10-21 эрг = = 0,62-10~9 эВ
1,Ы0~42
3,3. ю-32
Видимый свет . . .
6000 А
3,3-10-12 эрг = = 2 эВ
3,6-10~33
1,Ы0-22
Рентгеновские лучи
1 А
19,8-10-9 эрг = = 12 400 эВ
2,2-10-29
6,6. ю-19
Как будет видно из следующих параграфов, существование фотонов убедительно доказывается многочисленными экспериментами. В то же время огромный опытный материал не позволяет нам отказаться от представления о непрерывности электромагнитного поля. Наиболее яркие противоречия возникают при рассмотрении интерференционных явлений, столь изящно объясняющихся волновым характером поля и совершенно непонятных с корпускулярной точки зрения.
Действительно, представим себе простейший интерференционный опыт: два близких отверстия, через которые пропускается свет. Без труда проделаем следующий эксперимент. Сначала сфотографируем прошедший свет, когда оба отверстия открыты. Получим обсуждавшуюся нами в свое время картину, состоящую из чередующихся светлых и темных полос. Теперь закроем по очереди оба отверстия и снимем фотографию на одну пластинку. Результат, разумеется (с точки зрения волновой теории), будет другим — интерференции нет.
Подумаем теперь, что означает этот эксперимент на языке корпускулярных представлений. Можно представить себе (хотя и трудно), что, отскакивая от борта отверстия или ударяясь друг об друга, фотоны падают неодинаково в разные места фотопластинки. Но картины получаются разные в зависимости от того, проходил ли свет ^ерез оба отверстия одновременно или последовательно. Фотоны,
проходящие через одно отверстие, «знают», закрыто или открыто соседнее отверстие.
Этим и многими другими рассуждениями и опытами можно дока- зать полную невозможность сведения электромагнитных явлений к одной лишь картине поля или к системе фотонов. Каждое из рассмотрений оказывается исключительно плодотворным в одной области явлений и отказывает в другой.
Развитие физики последних десятилетий проходит под флагом энергичных поисков формы объединения этих двух противоположных представлений об электромагнитной материи. Поле — это реальность, которая характеризуется непрерывными в пространстве и времени значениями напряженностей полей; корпускула — это реальность, занимающая некоторую ограниченную область пространства в данное мгновение. Электромагнитная материя объединяет в себе эти противоречивые качества. В гл. 27 мы увидим, что сочетание таких противоречивых свойств характерно не только для электромагнитной материи, но и для вещества. Однако в познании вещества физика ушла значительно дальше, чем в учении об электромагнитном поле. Дуалистическая природа частиц вещества описывается уравнением Шредингера (стр. 441); взаимоотношения между корпускулами и волнами для этих частиц в достаточной степени выяснены.
К сожалению, значительно хуже обстоит дело с созданием теории электромагнитного поля (материи), так называемой квантовой электродинамики (см. подробнее стр. 541). Такой законченной теории не существует. Ввиду принципиальных противоречий, имеющих место в квантовой электродинамике, ее отдельные успехи, выражающиеся в установлении новых закономерностей, связывающих поле и частицы, не могут быть обобщены и взаимоотношение между фотонами и электромагнитным полем не может считаться выясненным. Правила «перевода» с корпускулярного языка на волновой и обратно состоят в следующем: электромагнитная волна с длиной X и интенсивностью / может проявить себя как поток фотонов с частотой v=c/X и интенсивностью I=N-hv, где N — число фотонов, приходящихся в единицу времени на единицу площади. Направление движения фронта волны есть направление движения фотона.
Мы оставим в стороне весьма сложный вопрос о поляризационном состоянии света. Чтобы толковать его на языке корпускул, необходимо принять существование у фотона некоторого избранного направления (спин, ср. стр. 462 о спине электрона).
Фотоэлектрический эффект
Вырывание электронов под действием электромагнитных волн является одним из важнейших подтверждений неизбежности корпускулярных представлений. Мы рассмотрим здесь это явление именно с этой стороны и вернемся к нему еще раз в § 274 для обсуждения действия света на металлы и полупроводники.
Так как работа выхода электрона из металла (см. стр. 665) не меньше 2,2 эВ, то фотоэлектрический эффект становится возможным при Ziv> 3,5-10"12 эрг, т. е. для частот порядка 0,5-1015 Гц (Л— -6000 А).
Эйнштейн предложил рассматривать фотоэффект как явление соударения фотона с электроном. Фотон при этом отдает всю свою энергию и прекращает существование. ЕсЬи А есть работа выхода электрона (т. е. работа преодоления сил связи электрона с веществом), то закон сохранения энергии будет иметь вид
Av = Л Н—2" •
где mv1^ — кинетическая энергия выбитого из вещества электрона (фотоэлектрона).
Первая проверка справедливости фотонной гипотезы заключается в проверке линейной зависимости кинетической энергии фотоэлектрона от частоты падающего излучения.
Энергия фотоэлектронов определяется методом задерживающего потенциала. Если поверхность вещества, из которого вырываются электроны, является обкладкой конденсатора, то через цепь, в которую включен этот конденсатор, пойдет ток. Его можно прекратить, если подать на конденсатор задерживающее напряжение. Ток прекратится, когда
,, гни2eU3 = —.
Следует иметь в виду, что электроны имеют тем меньшую скорость, чем с большей глубины они вырваны. Поэтому прекращение тока
наступит тогда, когда будут задержаны электроны, наиболее близкие к поверхности. Определяя на опыте eU3 для разных частот v электромагнитного излучения, можно построить кривые U3 в функции v. Идеальные прямые, полученные в таких опытах, показаны на рис. 186. Тангенс угла наклона прямой eU3~h\— А,
равный Ше, может быть вычислен из других данных, что дает еще одну независимую проверку теории.
Описанный опыт нельзя все же считать прямым доказательством фотонной гипотезы. Возможно возражение, состоящее в том, что фотоэлектрон постепенно накапливает энергию, передаваемую ему электромагнитной волной. Это возражение снимается классическим опытом А. Ф. Иоффе и Н. И. Добронравова. Еще ранее А. Ф. Иоффе прибегнул к исследованию фотоэффекта на пылинке, взвешенной между обкладками конденсатора. Из-за неизбежного трения о воздух пылинка несет заряд, и поэтому ее тяжесть может быть уравновешена электрическим полем. При равновесии qE=mg, где т, q — масса и заряд пылинки. При фотоэффекте пылинка теряет электрон и, следовательно, в зависимости от знака q меняет свой заряд на q-\-e или q — е. Пылинка выходит при этом из равновесия и начинает движение к одной из пластин конденсатора. Чтобы уравновесить пылинку, надо изменить поле. Условия равновесия будут
(9 ± е) Ег = mg.
Этим способом Иоффе определял заряд электрона.
Возвращаемся к опыту Иоффе и Добронравова. Они также наблюдали за поведением пылинки, взвешенной между обкладками конденсатора, но цель была теперь другая. Одной из обкладок конденсатора служил анод рентгеновской трубки. На трубку накладывалось напряжение 12 000 В, а рентгеновские лучи создавались исключительно слабым потоком электронов, составлявшим около 1000 электронов в секунду.
Как известно, рентгеновские лучи возникают при соударении электрона с анодом. Однако, что излучается анодом: непрерывное электромагнитное поле или 1000 фотонов в секунду? Это и должна показать пылинка, находящаяся между обкладками конденсатора. Рентгеновские лучи вырывают из пылинки электрон. Но как они это делают?
Опыт Иоффе и Добронравова показал, что вырывание электрона из пылинки происходит в среднем один раз в 30 минут. Если бы рентгеновские лучи распространялись в виде непрерывного поля, то в каждое мгновение пылинка получала бы совершенно мизерную энергию, недостаточную, разумеется, для отрыва электрона. Эта энергия распределялась бы поровну между всеми электронами пылинки. Наблюдение Иоффе и Добронравова потребовало бы от волнового представления совершенно невероятного вывода: раз в 30 минут все электроны передают энергию одному и он отрывается от пылинки.
В то же время фотонная гипотеза не только объясняет явление с качественной стороны, но приводит к опытной цифре. Пылинка в описываемом опыте представляла собой висмутовый шарик радиусом 3-10"5 см. Она находилась на расстоянии 0,02 см от анода, от которого рентгеновские лучи шли во все стороны. Вероятность по- 392
. л(3-10-6)2 1 m падания фотона в пылинку равна / т noJ = , аппплп - • Так как
1 oUU UUU
в 1 с вылетает 1000 фотонов, то в среднем в пылинку будет попадать 1 фотон в 1800 с (30 минут), что и совпадает с опытом.
Флуктуации светового потока
Серьезным опытным доказательством фотонной теории являются опыты С. И. Вавилова, посвященные изучению флуктуации слабых световых потоков.
Оказывается, что порог чувствительности глаза к свету лежит исключительно низко. Глаз способен видеть примерно 100 фотонов, попадающих в одну секунду на роговицу. Если световой поток колеблется около этой величины, то свет не будет восприниматься глазом, когда число фотонов будет падать ниже порогового значения.
В опытах Вавилова исследователь наблюдал пучок света, который выпускался через каждую секунду на промежуток времени 0,1 с. Если величина светового потока превышала порог чувствительности, то глаз наблюдал каждую вспышку света. При уменьшении интенсивности света некоторые вспышки уже не оказывали действия на наблюдателя. Чем меньше интенсивность света, тем больше оказывалось пропусков. Таким образом были непосредственно обнаружены флуктуации числа фотонов в световом потоке. Трудно предложить более непосредственное доказательство корпускулярной природы света.
Другие опыты Вавилова ярко показывают невозможность объяснения фотонной гипотезой таких типично волновых явлений как интерференция. Вавилов разделял световой пучок на два когерентных луча (бипризмой Френеля). Эти лучи давали интерференционную картину. В то же время флуктуации обоих световых пучков оказались совершенно независимыми. Это обстоятельство еще раз указывает на полную невозможность объяснения интерференции каким-то статистическим распределением фотонов.
Волновые свойства присущи не потоку фотонов, а каждому фотону. Таким образом, никак нельзя считать фотон «обычной» частицей.
Здесь необходимо некоторое отступление. Создавая модели невидимого мира, мы наделяем элементарные частицы свойствами, заимствованными в мире окружающих нас вещей или, как говорят физики, в макромире. Так, например, мы говорим об атомах как о шариках. Не приходится и говорить, что шарик-атом лишь частично отражает свойства шарика-вещи. Каждому, например, ясно, что присущие шарику-вещи такие свойства как цвет, шероховатость, запах, невозможно перенести на шарик-атом. По мере проникновения в микромир перенесение свойств вещей на свойства элементарных частиц становится все более затруднительным.
Части атома, части атомного ядра, частицы света еще в меньшей степени напоминают шарики-вещи, чем атом. На примере фотона мы столкнулись с возможностью сочетания в микрочастице противоречивых свойств вещей нашего большого мира. Конечно, в макромире частица — это частица, а волна — это волна. Частица занимает ограниченную область пространства и движется по определенной траектории, волна распределена в пространстве непрерывно и энергия передается в той или иной доле всеми точками пространства. Примирить эти два представления для вещей нельзя. Но мы не имеем права навязывать поведение вещей частицам микромира.
Познание микромира состоит не в создании модели, похожей на знакомые глазу человека картины. Изучение закономерностей явления, нахождение объективно существующих причинных связей между явлениями — в этом состоит бесконечный процесс познания. Таким путем и происходит становление сложной картины микромира, сущность которой не может быть передана никакими хитроумными моделями, заимствованными из мира вещей.
Закон Кирхгофа
Опытом установлено: два тела, находящихся при разных температурах, выравнивают свои температуры и в том случае, если тела находятся в вакууме. Обмен энергией происходит при помощи электромагнитных волн, излучаемых атомами этих тел.
Как говорилось выше, каждому атому можно приписать определенную систему энергетических уровней. Поглощая энергию, атом переходит на более высокий уровень, излучая — на более низкий. При каждом акте излучения атом отдает в пространство электромагнитную энергию hvmn=$m—£п, где Sm— энергетический уровень до излучения, а ^п— после. Излученная волна обладает частотой чтк. Эта волна достигает второго тела и поглощается им- При этом атом, поглотивший энергию, поднимается с уровня ^п на уровень Sm-
То же самое можно выразить и на языке представлений о фотоне, говоря, что при каждом акте излучения отдается фотон /zv электромагнитной энергии, а в явлении поглощения фотон захватывается атомом и его энергия идет на переход атома с низкого уровня на более высокий.
Все атомы тел участвуют в обмене энергией, то поглощая, то излучая фотоны. При этом в зависимости от случайных обстоятельств могут возникать самые различные энергетические переходы, и в принципе в обмене энергией участвуют электромагнитные волны любой длины.
Можно представить себе, что в теплообмене участвуют тела^ образующие замкнутую систему (система тел, за которой мы наблюдаем, окружена оболочкой, не выпускающей излучения наружу). Тогда через некоторое время эти тела придут в состояние равновесия, все тела примут одинаковую температуру. Это не значит, что 394
электромагнитное излучение прекратится. По-прежнему атомы будут то переходить на более высокую энергетическую ступень, то на более низкую. Но если состояние равновесия достигнуто, то к каждому телу в каждый момент времени будут подходить и уходить равные количества энергии для излучения любой волны. Излучение, которое подходит к телу, в общем случае лишь частично поглощается телом и заставляет его атомы переходить с более низкого на более высокий энергетический уровень. Другая часть падающего излучения рассеивается, отражается телом.
Атомы не задерживаются долго на высоких уровнях; возвращаясь в исходное состояние, они отдадут поглощенную энергию в виде излучения. Если падающая на единицу площади в 1 с энергия есть р, то поглощенная будет Лр. Безразмерный коэффициент Л, указывающий долю поглощенной энергии, называется поглощательной способностью тела. Очевидно, если
’Лр = ^,
где^ — энергия, излучаемая 1 см2 поверхности в 1 с, то тело находится в равновесии со средой — температура его неизменна.
Но в чем же состоит условие теплового равновесия многих тел, которые, разумеется, могут обладать разной поглощательной способностью и разным излучением? Исходя из термодинамических соображений, Кирхгоф показал, что равновесие возможно лишь в том случае, если интенсивность падающих на тело электромагнитных волн одинакова для всех участков всех тел, находящихся в равновесии друг с другом. Таким образом,
S1 ^2 ^3
Подобное соотношение должно быть верно для любой длины волны и для любой температуры. Это и есть закон Кирхгофа, который говорит, что отношение испускательной способности тела к поглощательной есть величина постоянная для каждой длины волны и любой температуры.
Это значит, что тело, которое сильно поглощает какие-либо лучи, будет их сильно излучать, и наоборот. Почему мало нагреется под действием солнечных лучей вода, заключенная в бутыль с посеребренными стенками, и сильно нагреется вода в фляжке из черного стекла? В первом случае поглощение солнечной энергии мало, во втором — велико. Теперь налейте в оба сосуда горячую воду и поместите их в холодное помещение. Гораздо быстрее остынет вода в фляжке из темного стекла: то тело, которое больше поглощает, будет больше излучать.
Можно показать эффектные опыты с окрашенной керамикой. Если тело имеет, скажем, зеленый цвет, то значит оно не поглощает зеленого света. Раскаляя зеленый черепок, можно увидеть, как Он начнет светиться цветом, дополнительным к зеленому.'
Нас не должно смущать, что мы применяем закон, установленный для равновесия, к явлениям, безусловно неравновесным (тело
находится при температуре более высокой, чем среда). Здесь дело обстоит совершенно так же, как и для других проблем термодинамики (ср. стр. 144): законы термодинамики применимы, если только можно рассматривать каждое мгновенное состояние как равновесное. В явлениях теплового излучения это условие всегда выполняется.
§ 165. Абсолютно черное тело
Закон Кирхгофа приводит к интересному следствию. Тела, обменивающиеся теплом посредством излучения, получают (при данных v и 7) одну и ту же интенсивность электромагнитных волн от своих соседей, независимо от материала и свойств тела. Для каждой длины волны (или частоты, это одно и то же) и для каждой температуры опыт приводит к универсальной величине р. Таким образом, существует универсальная функция p(v, Г) — функция частоты излучения и температуры, характеризующая процесс теплообмена излучением.
Функции р (v, Т) можно придать наглядное содержание. Рассмотрим тело, поглощающее 100% падающей на него энергии при всех длинах волн. Для такого абсолютно черного тела 4 = 1 и
^ = p(v, ту
Функция p(v, 7) есть испускательная способность абсолютно черного тела. Но как осуществить тело, поглощающее свет любых длин волн? Разумеется, черные вещества типа сажи позволят нам приблизиться к такому телу. Однако несколько процентов будут нас всегда отделять от условия А = 1.
Рис. 187.Рис. 187.Возможно более остроумное ре
Рис. 187.
Рис. 187.
шение. Представьте себе ящик с небольшим отверстием. Уменьшая размеры этого отверстия, можно сделать его абсолютно черным. Эта особенность отверстий хорошо известна из повседневных наблюдений. Глубокая нора, раскрытое окно не освещенной изнутри комнаты, колодец — вот примеры абсолютно черных «тел». Вполне понятно, в чем здесь дело: луч, попавший в полость через отверстие, способен выйти наружу лишь после многократных отражений (рис. 187). Но при каждом отражении теряется доля энергии. По-
этому при малом отверстии в большой полости луч не сумеет выйти, т. е. полностью поглотится.
Для измерения испускательной способности p(v, 7) абсолютно черного тела изготавливается длинная трубка из тугоплавкого материала, которая помещается в печь и нагревается. Через отверстие трубки с помощью спектрографа изучается характер излучения. Результаты подобных экспериментов изображены на рис. 188. Кривые представляют собой интенсивность излучения в функции длины волны, построенные для нескольких температур. Мы видим, что излучение сосредоточено в относительно узком спектральном интервале, лежащем в пределах 1—5 мкм. Лишь при более высоких температурах кривая захватывает область видимого спектра и начинает продвигаться в сторону коротких волн. Волны длиной несколько микрон носят название инфракрасных. Поскольку они при обычных температурах берут на себя основную обязанность переноса энергии, мы называем их тепловыми.
Кривая теплового излучения обладает максимумом, тем более ярко выраженным, чем выше температура. При возрастании температуры длина волны Хт, соответствующая максимуму спектра, сдвигается в сторону более коротких волн. Этот сдвиг подчиняется так называемому закону Вина, который легко устанавливается на опыте:
, _ 2886 .^/77 J ’
в этой формуле длина волны должна быть выражена в микронах, а Т — в градусах абсолютной шкалы. Сдвиг излучения в сторону коротких волн мы наблюдаем, когда следим за накаливанием металла — смена красного каления на желтое по мере роста температуры.
Второе обстоятельство, на которое мы обращаем внимание, рассматривая кривые излучения,— это быстрый рост всех ординат кривой с увеличением Т. Если ^х есть интенсивность для данной волны, то суммарная интенсивность спектра представится интегралом
R=^xdk.
О
Этот интеграл есть не что иное как площадь под кривой излучения. С какой же быстротой растет R при увеличении Т? Анализ кривых показывает, что весьма быстро — пропорционально четвертой степени температуры:
R = оТ4 эрг/(см2-с),
где о=5,7-10”5 ед. СГС. Это закон Стефана — Больцмана.
Оба закона имеют значение при определении температуры далеких от нас раскаленных тел. Именно таким способом определяется температура Солнца, звезд, раскаленного облака атомного взрыва.
Законы теплового излучения лежат в основе определения температуры расплавленного металла. Принцип оптических пирометров заключается в подборе такого накала нити электрической лампы, при котором свечение этой нити становится таким же, что и свечение расплавленного металла. Мы пользуемся законом: если тождественно излучение, то одинаковы и температуры. Что же касается температуры раскаленной нити, то она находится в прямой зависимости от электрического тока, проходящего через нить. Исходя из этого, оптический пирометр нетрудно проградуировать.
Реальные тела не являются абсолютно черными, и для каждого из них в формулу Стефана — Больцмана приходится вводить множитель, меньший единицы (поглощательную способность данного тела). Эти множители определяются эмпирически и представляют интерес для практической теплотехники, для которой проблемы теплообмена излучением крайне существенны. Тем не менее рассмотренные законы имеют значение, так как закономерности излучения (ход с температурой, ход с длиной волны) в общих чертах сохраняются и для нечерных тел. Теоретическая же значимость вопроса об абсолютно черном теле выяснится в следующем параграфе.
Теория теплового излучения
Рассмотрим полость, внутри которой происходят процессы поглощения и излучения электромагнитных волн. Эта полость может быть шаром, прямоугольным параллелепипедом — это безразлично. Стенки полости излучают и поглощают равные количества энергии, вся система находится в равновесии. Внутри полости существует электромагнитное поле, которое в свою очередь находится в равновесии со стенками: во всех точках пространства плотность энергии поля w = ~- (£2 + Я2) не меняется со временем.
Это электромагнитное поле мы можем рассмотреть с двух позиций. -С одной стороны, в полости существуют стоячие электромагнитные волны, совершенно так же как в закрытой комнате с источниками звука существуют стоячие звуковые волны. С другой стороны, имея в виду квантовую природу поля, мы можем сказать, что рассматриваемое пространство заполнено фотонами, аналогично тому как сосуд с газом заполнен молекулами.
Исходя из волновых представлений, мы можем легко определить число частот электромагнитных колебаний, происходящих в полости. Рассуждения, приведенные в свое время для звуковых волн на стр. 120, полностью применимы и сейчас. Число собственных частот электромагнитных колебаний, меньших v, равно
4 v3 т,
3
где с —- теперь скорость электромагнитных волн, а V — объем полости. Эта формула дает число колебаний для случая линейно поля- 398
ризованных волн. При тепловом излучении мы имеем дела с не- поляризованными колебаниями, которые всегда можно разложить на две оси.
В таком случае число колебаний будет в два раза больше и равняется у л —V. Дифференцируя, получим, что в интервале частот от v до v+dv число колебаний будет равно
8лv2т, ,
V dv.
с3
Теперь мы воспользуемся точкой зрения, рисующей «другуюсторону медали». Полость заполнена колебаниями с частотой v, иначе говоря, фотонами с энергиями s=/iv. Число ^-Vdv можно рассматривать как число фотонов в объеме полости, a -^—dv— как плотность фотонного газа. Мы приблизились к ответу на важный вопрос: чему равна плотность электромагнитной энергии в полости? Если бы фотоны всех энергий возникали одинаково часто, то оставалось бы умножить е на -^--dv и мы получили бы плотность энергии для частот интервала dv. Однако частицы газа не распределены равномерно по энергиям. Поэтому искомая формула имеет вид
dv = ^- 8W (8) dv,
где W (в) — вероятность создания фотона с энергией е.
Таким образом, плотность электромагнитной энергии для волн (фотонов) с частотой v выражается формулой
8лv2 ТТ77 / \
w, = — e-W (е).
Поток энергии через единицу площади, т. е. вектор Пойнтинга К, будет, согласно стр. 292, в с раз больше wv Что же касается потока энергии р, излучаемого единицей площади тела, находящегося в равновесии с полем, то он должен быть в четыре раза меньше вектора Пойнтинга: р=~/С. Между w и р имеется связь: р=у wc. Какого же происхождения коэффициент 1/4? Не желая задерживаться на этом, в общем мало существенном обстоятельстве, проведем следующее упрощенное рассуждение.
Каждая площадка излучает поток энергии р, идущий во все стороны в пределах полусферы, т. е. телесного угла 2л. Таким образом, среднее излучение внутрь единичного телесного угла равно р/2л. Из геометрических соображений ясно, что излучение равно нулю вдоль площадки и максимально вдоль нормали. Если бы падение интенсивности излучения происходило равномерно, то для получения среднего значения р/2л надо было бы, чтобы вдоль нормали излучение равнялось р/л. •
Теперь рассмотрим сферу, заполненную излучением. В центре сферы имеется площадка, через которую проходит поток энергии К. Но, с другой стороны, на эту площадку падает излучение со всех участков сферы, равное (р/л) 4л. Следовательно, р= -^ К.
Итак, от формулы объемной плотности электромагнитного излучения мы перейдем к выражению испускательной способности черного тела, умножая w^ на с/4:
2HV2 1V7 у V
Pv = — 6^ (6).
Дальнейшая задача исследования этой функции связана с оценкой вероятности распределения энергии Ц7(е). Исторически первая формула для pv была предложена в 1911 г. независимо друг от друга Рэлеем и Джинсом. Она имеет вид
р» = —V2.
Эта формула получена в предположении равномерного распределения энергии по степеням свободы, т. е. независимости W от е. Она верна для больших длин волн и высоких температур.
Другая возможность в отношении W (е) — это использование закона Больцмана, который так хорошо оправдывался для молекулярных газов; тогда W (е) — е-^кТ. Однако уравнение для испу- скательной способности, носящее имя Вина,
2л v2Р’- С22л v2Р’- С2hw~ ^/кт^hw~ ^/кт^
2л v2
Р’- С2
2л v2
Р’- С2
hw~ ^/кт^
hw~ ^/кт^
как и формула Рэлея — Джинса, не совпадает с опытом, как это видно из рис. 189.
Где же ошибочное звено в проведенных рассуждениях? Его надо искать в незаконном распространении статистических соображений, лежащих в основе закона Больцмана, на совокупность фотонов. Ведь мы же подчеркивали, что фотоны дают нам одностороннюю точку зрения на электромагнитное поле. Реальность поля не может быть исчерпана представлением его в виде собрания частиц. Естественно поэтому, что у фотонов «своя статистика». Она носит название статистики Бозе — Эйнштейна.
Чтобы получить новую функцию распределения частиц по энергиям, заменяющую закон Больцмана, достаточно учесть, что волновой характер поля делает лишенным содержания представление о различии между тождественными частицами. На этой новой основе и строится статистика Бозе — Эйнштейна (см. стр. 655), которая приводит, как сейчас будет показано, к следующему закону распределения фотонов по энергиям:
W^-^h^v
следовательно, формула для испускательной способности абсолютно черного тела принимает вид
2лт2 /zv
^v ~ С2 "eh^jkT х *
Эта формула была впервые получена Планком и носит его имя. Блестящее совпадение теоретической формулы с опытом и характер
отклонений от правильных результатов теоретических формул Вина и Рэлея — Джинса иллюстрируются рисунком 189.
Из формулы Планка вытекают как следствие рассмотренные выше законы Вина и Стефана — Больцмана. Для доказательства первого
из этих законов надо решить задачу на экстремум, т. е. найти корень уравнения
Для доказательства второго положения надо найти pv dv.
Предоставляем эти вычисления читателю.
§ 166а. Стимулированное излучение
Вернемся еще раз к полости, внутри которой существует электромагнитное поле, находящееся в равновесии со стенками полости. Но теперь рассмотрим эту систему с микроскопической точки зрения. Излучателем фотонов являются возбужденные атомы. Остановим наше внимание на фотонах /rv. Газ этих фотонов находится в равновесии с атомами, излучающими и поглощающими свет с частотой v, т. е. с атомами, обладающими энергиями £2 и Ev где Е^— Ex=h\.
Когда равновесие установилось, числа атомов N^ находящихся на уровне Ev и атомов N2, находящихся на уровне £2, будут неизменными. Так как распределение атомов по энергиям удовлетворяет закону Больцмана, то
^1 _ е(Е2-Ej/kT ек\МкТе
Равновесие в системе носит, разумеется, динамический характер, т. е. атомы переходят с нижнего уровня на верхний и обратно, а фотоны то поглощаются, то излучаются. Поскольку имеет место равновесие, числа переходов вверх и вниз за единицу времени равны друг другу.
Два процесса представляются очевидными. Первый из них — это поглощение фотона, которое происходит при попадании фотона на атом, находящийся на нижнем уровне Ег; атом при этом «возбуждается», т. е. переходит на уровень Е^. Число таких событий можно записать в виде
BN.W^. •
Здесь В — коэффициент пропорциональности, и наша запись утверждает, что число переходов атомов снизу вверх (число поглощений фотонов) пропорционально числу атомов с энергией Ех и числу фотонов с энергией е.
Второй процесс, существование которого очевидно, это самопроизвольные (спонтанные) переходы атомов с верхнего уровня на нижний. Положение атома на уровне £2 неустойчиво, и поэтому постепенно они будут переходить на нижний уровень. Число таких переходов в единицу времени должно быть пропорционально числу 402
возбужденных атомов в системе . .'
где А — другой коэффициент пропорциональности.
Если приравнять AN ^ и BNXW(е), то для № (е) мы получим закон распределения Больцмана, т. е. ту же статистику, которой подчиняются атомы. Но это предположение, как мы видели в предыдущем параграфе, приводит к резкому противоречию с опытом. Значит, кроме двух процессов, которые мы описали, есть какой-то еще, участвующий в создании равновесия.
Эйнштейн указал сразу же после опубликования Планком его формулы, что все станет на место, если допустить, что падение фотона с энергией hv на возбужденный атом стимулирует его излучение с этой же частотой. Причем вероятность этого процесса должна быть такой же, как и вероятность поглощения, т. е. число актов стимулированного излучения в единицу времени равно
BNaW (8).
Приравнивая теперь число переходов вверх и вниз, мы получим AN. + BN.W (е) - BNtW (8),
или
W W eh^/kT_x
Предельные значения IT (8), а именно W <^—ekTlhv для малых hv/kT (Рэлей—Джинс) и W ^^е~Нх'!кт для больших hv/kT, нам известны. Это заставляет нас положить А = В. Таким образом демонстрируется путь к формуле статистики фотонов
Мы видим, что спектр черного тела удается объяснить лишь введением представления о стимулированном излучении.
Можно показать, что стимулированное излучение должно существенно отличаться от спонтанного. Спонтанно излученные фотоны имеют разные направления и случайные фазы. Фотоны, возникшие благодаря встрече фотона /iv с возбужденным атомом, имеют ту же фазу и то же направление, что у первичного фотона. Благодаря этим особенностям стимулированного излучения можно достигнуть фантастических мощностей световых потоков в устройствах, которые называются лазерами, или генераторами стимулированного излучения (см. §. 206).
§ 1666. Люминесценция
О люминесценции говорят в том случае, если молекулы могут быть приведены в возбужденные состояния без увеличения их средней кинетической энергии, т. е. без нагревания.
Люминесценция не подчиняется закону Кирхгофа. Интенсивность люминесценции по определению превосходит интенсивность
ФосфОрЕС" ценцияФосфОрЕС" ценцияМ —ФлуоресценцияМ —ФлуоресценцияРис. 189а.маловероятны. Излучение теперьРис. 189а.маловероятны. Излучение теперьяя
ФосфОрЕС" ценция
ФосфОрЕС" ценция
М —
Флуоресценция
М —
Флуоресценция
Рис. 189а.
маловероятны. Излучение теперь
Рис. 189а.
маловероятны. Излучение теперь
я
я
излучения той же длины волны, испускаемой абсолютно черным телом.
Различаются два вида люминесценции. Явление называют флуоресценцией, если оно состоит в самопроизвольном переходе молекулы из возбужденного состояния Р на низкий уровень N (рис. 189а).
Длительность флуоресценции
обычно меньше 10-7 с и во всяком случае меньше 1 секунды.
Если возбужденная молеку- . ла или атом переходит с возбужденного уровня на метастабиль- ный уровень, то может возникнуть фосфоресценция. Метаста- бильным называется такой уровень, переходы с которого на более низкий уровень крайне может произойти лишь возвраще-
нием молекулы с уровня М на прежний возбужденный уровень Г. При высоких температурах это возвращение происходит быстро, при низких — медленно. Таким образом, фосфоресценция, в отличие от флуоресценции, зависит от температуры.
Люминесценция может быть вызвана самыми различными факторами — химической реакцией, трением и т. д. Важнейшими вариантами являются фотолюминесценция и электролюминесценция, возникающие вследствие поглощения света и ударов заряженных частиц.
Фотолюминесценция не может иметь большую частоту (т. е. больший квант энергии), чем возбуждающий свет. Красная флуоресценция возбуждается оранжевым светом, желтая — зеленым, зеленая — голубым и т. д.
ЧАСТЬ III
СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
ГЛАВА 26
ПОТОКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Простейшим, во всяком случае в классификационном смысле, видом вещества является некоторая совокупность заряженных частиц — электронов и ионов. Мы встречаемся с системами заряженных частиц либо в виде пучков частиц, в которых все частицы имеют общую скорость и движутся в одном направлении, либо в виде газа хаотически движущихся частиц. Разумеется, возможны и промежуточные состояния. В этой главе будут рассмотрены основные физические явления и технические устройства, в которых мы имеем дело с пучками и с плазмой. Вопросы эмиссии электронов, непосредственно связанные с физикой твердого тела, будут изложены в гл. 37.
Движение заряженной частицы в электрическоми магнитном полях
Произвольное электромагнитное поле действует на заряженную частицу с силой / = ^£'+~ [^В] (стр. 239). Если поля Е и В известны в функции координат и времени и даны начальная скорость и ме
Рис. 190.Рис. 190.сто нахождения частицы, то для частиц, движущихся со скоростями хх^с, траектория частицы г (/) может быть найдена с помощью основного закона механики
Рис. 190.
Рис. 190.
Решение такой задачи представляет обычно большие математические трудности. Для знакомства с закономерностями общего характера вполне
достаточно рассмотреть движение заряда в однородном поле.
Частица в электрическом поле. Частица входит в поле под углом 90°+а (рис. 190). При выборе координат, указанном на рисунке,
уравнения движения имеют вид duyер dux п Л ~ m ’ dt '
Отсюда
уу=—^4-%,, ух = и6Х.
Интегрируя еще раз, получим, полагая х=0 при /=0:
У=—^ЕГ1 + и»у^ X = W-
Исключая время, найдем уравнение параболической кривой, которую будет описывать электрический заряд (пунктир, на рис. 190). Если частица входит в поле под прямым углом (v0y=0), то уравнение траектории имеет вид
/ Если частица входит в поле вдоль силовой линии, то она и будет продолжать движение вдоль силовой линии с ускорением "Е.
Обозначая разность потенциалов точек начала и конца движения заряженной частицы через V, получим с помощью уравнения кинетической энергии
eV^^-^.
Если конечная скорость и^>у0, то
eV = и v= V 2 —V.2rm
Это уравнение делает понятным распространенность единицы энергии электрон-вольт*.
1 эВ= 1,63-10-1?эрг.
Это — работа, необходимая для ускорения электрона напряжением 1 В. Единица «электрон-вольт» удобна в тех случаях, когда энергии относят к одной элементарной частице. Работа ионизации, вырывания электрона, выхода электрона из металла — все эти величины имеют порядок ^единиц и десятков электрон-вольт.
Частица в магнитном поле. Особенности силы, действующей на заряженную частицу в магнитном поле, нам известны (стр. 240). Пусть частица вошла в поле с начальной скоростью ^0. Разложим этот вектор на составляющие вдоль и поперек поля, и и и v±. Тогда для движения в плоскости, перпендикулярной к полю, имеем
тя = -1-915.
Продольное движение будет происходить равномерно с неизменной скоростью и и.
Движение в перпендикулярной плоскости — круговое, a=u2L iR есть центростремительное ускорение. Таким образом,
ту^ту^
ту^
ту^
ти .с
откуда радиус окружности R = прямо пропорционален скорости частицы и обратно пропорционален магнитной индукции. Существенно запомнить, что угловая скорость обращения около силовой линии со = — у частиц данного сорта в заданном поле будет
одинаковой. Вне зависимости от величин и направлений скоростей все частицы будут обертываться около силовой линии за одно и то же время.
Если частица вошла в поле под углом к направлению поля, то она будет двигаться по спирали с радиусом витка R и с частотой со (рис. 191). Проекция скорости на направление силовых линий vn позволит найти шаг спирали:
m 2л 2лтсг = ипТ = У||—у,,.
Существенно, что величина vM=v0 cos а, где а — угол начальной скорости с полем, с большой точностью постоянна даже при угле разброса начальных скоростей 5—10° (при этом значения vn будут разниться не более чем на 1%). Отсюда следует, что через каждые 2 сантиметров расходящийся (в указанных пределах) пучок заряженных частиц будет собираться в точку, т. е. фокусироваться на образующей цилиндра (на который навивается спиральная траектория), проходящей через точку входа частиц в поле.
Пример. Пусть электрон разгоняется напряжением V—300 В и входит В магнитное поле с индукцией В =500 Гс под углом а=30°. Скорость электрона
= V V 9.10-28 - =109«/е-
“Полезно отметить, что уо/с=1/ЗО, поэтому в настоящий расчет вводить реляти- .Вистские поправки не имеет смысла.
у н = у0 cos а = 0,87-109 см/с, у^ = 0,5-109 см/с..
Радиус цилиндра, на который навивается спиральная траектория электрона, mv.c Q. 10-28*0 5-109-3-1010
R=—п=0,056 см, т. е. его диаметр несколько
еВ4,8* 10~10*500
больше одного миллиметра. Угловая скорость
0,89* 1010 рад/с,0,89* 1010 рад/с,еВ _4,8*10-10*500те-9* 10-28*3* 1010
0,89* 1010 рад/с,
0,89* 1010 рад/с,
Шаг спиральной траектории
г — ^цТ = 0,87 • 109 q gg. iqio”^»^ см*
§ 168. Получение пучков заряженных частиц
В газоразрядной трубке (см. ниже) навстречу друг другу движутся потоки электронов и положительных ионов. Чтобы получить ионный луч, т. е. пучок ионов, движущихся в одном направлении, можно сделать отверстие (канал) в катоде. Большая часть ионов, попадающих в отверстие, пройдет через него и далее будет двигаться по инерции. Эти пучки под именем каналовых или закатодных лучей были известны физикам еще в прошлом веке. Подобный способ получения ионного потока сохраняет свою силу и сейчас. Вещество переводится в газообразное состояние, молекулы его ионизуются
и далее положительные ионы выводятся через канал из газоразрядного объема.
Для получения электронного луча газовый разряд не используется. Источником электронного луча служит так называемая элек
тронная пушка—приспособление, использующее явление термоэлектронной эмиссии (подробнее см. стр. 467). Как известно, раскаленные металлы могут служить источником электронов. Так, 1 см2 поверхности вольфрама, нагретого до 2400 °C, дает в 1 с число электронов, соответствующее току силой в 1 А.
Схема электронной пушки показана на рис. 192. На электроды подается напряжение, ускоряющее электроны. Катодом служит накаливаемая током вольфрамовая нить 1. Анод 2 имеет форму стакана с круглым отверстием в дне. Электроны выходят из этого отверстия в виде пучка, расходимость и
ширина которого определяются отверстием. Фокусировка электронного пучка (фокусирующий электрод 3) позволяет получать сильные и тонкие пучки электронов (см. § 169).
Проблема получения максимального по интенсивности электронного пучка при данной затрате энергии имеет большое техническое
значение.
Чтобы использовать все электроны, испускаемые нитью, необходимо, прежде всего, ускорять электроны достаточно высоким напряжением. Нить испускает определенное число электронов в единицу времени. Все эти электроны должны оттягиваться от нити. Если напряжение мало, то около нити образуется электронное облако, которое будет препятствовать эмиссии. По мере увеличения напряжения облако постепенно рассасывается и термоэлектронный ток растет. Наконец, мы доходим до напряжения, при котором электронное облако не образуется. Дальнейшее увеличение напряжения уже не приведет к нарастанию термоэлектронного тока — мы достигли тока насыщения. При этом условии и должна работать электронная пушка. Итак, достаточное напряжение обеспечит отвод от нити всех ее электронов.
Далее перед техникой встает задача увеличить выход электронов нити. Вольфрамовые катоды во много раз перекрыты в отношении эмиссионных свойств торированными и оксидными катодами. То- рированный катод — это вольфрамовая проволочка, покрытая тончайшей пленкой металлического тория. Тот ток, который чистый вольфрам дает при 2400 °C, торированный вольфрам дает при 1500 °C. Оксидный катод состоит из металлической подложки, на которую нанесен слой окислов щелочноземельных металлов. Этот катод уже при 900 °C дает ток, получаемый от вольфрама при 2400 °C.
В современных электронных приборах оксидный катод применяется с косвенным подогревом: катод изготовляется в виде трубочки, внутрь которой вставляется вольфрамовая спираль, разогреваемая током.
Электронные линзы
Электрические и магнитные поля позволяют управлять электронным пучком. Однако их действие не ограничивается возможностями отклонения пучка от первоначального направления. При помощи различных полей можно параллельный пучок электронов сделать сходящимся или расходящимся, можно расходящийся из одной точки пучок свести в другую точку. Весьма простые системы полей позволяют изготовить «линзы» для электронного пучка. Становится возможным создание большой области науки — электронной оптики, наиболее существенным достижением которой является электронный микроскоп.
Вспомним свойства обычной световой двояковыпуклой линзы. Если поместить с одной ее стороны предмет, то с другой стороны линзы возникнет увеличенное или уменьшенное изображение предмета. Это происходит по той причине, что все лучи, выходящие из какой-либо точки объекта, собираются в одну точку изображения; при этом все точки изображения попадают в одну и ту же плоскость, перпендикулярную к оси симметрии линзы. Простое геометрическое построение, проделанное на рис. 193, показывает, почему линза
работает таким способом: упавший на нее луч отклоняется на угол, пропорциональный расстоянию h между осью симметрии и точкой пересечения луча с линзой. Построение произведено для точки
Рис. 193.
предмета, лежащей на оси симметрии. Но такой же результат будет верен и для других точек. Следует оговориться (как это, впрочем, делается и в оптике), что рассуждения справедливы для тонких линз и пучков, расходящихся в пределах малого телесного угла.
Покажем теперь, что роль линз с успехом выполняют электрические и магнитные поля с осевой симметрией. Такие поля можно
получить от заряженных электричеством пластинок с круглым отверстием, от цилиндрических конденсаторов, витков тока и плоских катушек. Существует большое число систем, ведущих себя как линзы по отношению к электронному лучу. Нам достаточно для пояснения идеи рассмотреть один пример электрической линзы и один пример магнитной линзы.
В качестве примера электрической линзы выбран конденсатор, в одной из пластин которого сделано круглое отверстие (рис. 194). Если электронный пучок будет падать на это отверстие со стороны
41Г
однородного поля, то он будет фокусироваться. Действительно, когда электрон попадет в область неоднородного поля, то на него будет действовать сила, перпендикулярная к эквипотенциальным
Рис. 195.Рис. 195.вывод показывает, что так оно ивывод показывает, что так оно иобразующая угол с осью симметрии, мы видим, что имеется радиальнаяобразующая угол с осью симметрии, мы видим, что имеется радиальнаяповерхностям и, следовательно, Раскладывая эту силу на две, составляющая, прижимающая электроны к оси. Однако этого было бы недостаточно, чтобы рассмотренная система играла роль линзы. Нужно еще, чтобы радиальная составляющая поля была пропорциональна расстоянию между осью симметрии и точкой попадания электрона в плоскость отверстия. Несложный
Рис. 195.
Рис. 195.
вывод показывает, что так оно и
вывод показывает, что так оно и
образующая угол с осью симметрии, мы видим, что имеется радиальная
образующая угол с осью симметрии, мы видим, что имеется радиальная
есть. Радиальная составляющая напряженности электрического поля может быть представлена в виде -1 ДЕ
Ег=—^агг
dEи
где —градиент напряженности вдоль оси симметрии. Для доказательства рассмотрим маленький цилиндр, расположенный, как показано на рис. 195 (расстояние 1—2 считаем бесконечно малым). Так как внутри цилиндра зарядов, нет, то разность потоков через основания 1 ц 2Г кг^-ДЕ, должна равняться потоку через боковую поверхность Ег*2игДг с обратным знаком. :
Таким образом, отверстие в заряженной электричеством пластине играет роль линзы для электронного луча.
Рассмотрим теперь поведение электронных, лучей, проходящих через плоскую катушку с током (рис. 196). Такая катушка является магнитной линзой. Электроны движутся по спирали и возвращаются на ось симметрии, сделав виток спирали. Фокусирующие свойства катушки несомненны. Можно доказать, что угол отклонения луча пропорционален расстоянию этого луча от оси симметрии. Магнитная катушка меняет азимут электронной траектории, значит, изображение предмета в такой линзе будет повернуто. Однако и этот поворот не искажает электронно-оптического изображения.
Итак, если предмет рассеивает или излучает электронные лучи, то, поставив по ходу этих рассеянных электронов электрическую или магнитную линзу, мы можем получить «электронное изображение*
предмета. Если в плоскость изображения поставить фотопластинку или светящийся экран, то возникнет своеобразная «картина» предмета, яркая в тех точках, которые излучают или рассеивают много электронов, темная в тех местах, которые соответствуют отсутствию рассеяния и излучения в предмете. Так как можно построить системы электронных линз, дающие увеличенное изображение предмета, то становится возможным осуществление электронного микроскопа.
Электронный микроскоп
Электронный микроскоп, т. е. такой микроскоп, в котором роль лучей света играют электронные лучи, обладает исключительными, еще до конца не исчерпанными возможностями непосредственного «разглядывания» объекта. Дело заключается в том, что возможности увеличения объекта, рассматриваемого в электронном микроскопе, вообще говоря, неограниченны. В то же время оптический микроскоп может дать увеличение не более чем в 2000—3000 раз.
Чтобы понять причины этого различия, нам нужно познакомиться с понятием разрешающей способности микроскопа. Вопрос ставится следующим образом: каковы условия раздельного видения двух близких точек?
Представим себе, что перед щелью или круглым отверстием находится идеально точечный источник света. После того как свет пройдет через отверстие, возникнет дифракционная картина. Линза, поставленная позади отверстия, не соберет лучи в одну точку. Напротив, возникнет размытый кружок (или полоса, смотря по тому, идет ли речь о круглом отверстии или щели), окруженный чередующимися темными и светлыми кольцами. На стр. 333 мы вычислили величину этого размытия для щели. Радиус диска, которым изобразится точка после дифракции от отверстия, был приведен на стр. 334. Он равен 1,22^/0.
Каждый оптический прибор обязательно имеет входное отверстие — объектив. Дифракция на объективе является неизбежным обстоятельством, и любая светящаяся точка в фокальной плоскости прибора расплывается в светлый кружок. Угловой размер радиального размытия равен 1,22X70, таким образом, линейные его размеры в фокальной плоскости будут 1,22 Xf!D. Здесь / и D имеют смысл фокусного расстояния и диаметра объектива. Для микроскопа эта формула дает лишь порядок величины, так как предмет близок к объективу и нельзя считать пучок лучей параллельным. Однако мы не станем вдаваться в детали, так как интересны лишь качественные оценки.
Если две светящиеся точки, которые наблюдаются в микроскоп, настолько близки, что светлые диски их изображений находятся своими центрами ближе друг к другу, чем на расстоянии, равном радиусу диска, то раздельное видение этих двух точек становится невозможным.
В микроскопических наблюдениях предельное линейное разрешение равно 1,22^//^- Так как отношение фокусного расстояния к диаметру объектива не может быть сделано существенно меньше единицы, то микроскоп позволяет разглядеть две точки, которые находятся на расстоянии порядка длины волны. Таким образом, при наблюдении в обычном свете (длина волны около 0,5 мкм) мы лишены возможности разглядеть у объекта детали, выражающиеся сотыми долями микрона.
Какое же полезное увеличение дает оптический микроскоп? Представим себе, что некоторое изображение рассматривается при помощи окуляра, фотографируется, затем опять рассматривается с помощью окуляра и т. д. Совершенно ясно, что таким способом можно добиться сколь угодно большого увеличения. Однако увеличение потеряет всякий смысл после того, как на полученной фотографии можно будет увидеть глазом предельно разрешимые точки. Таким образом, если фотография, полученная на оптическом микроскопе, увеличена до такой степени, что одному микрону соответствует 0,5—1 мм, то этим достигнут предел полезного увеличения. Как мы видим, для микроскопа он лежит около 1—2 тысяч.
Как будет показано в следующей главе, электронный луч обладает свойствами волны, длина которой выражается формулой
х = —,т-и ’
где h — постоянная Планка, т — масса и v — скорость электрона. При напряжении 50 000 В длина волны равняется 0,05 А. Но расстояние между атомами больше 1 А. Таким образом, предельные возможности электронного микроскопа не связаны с разрешающей способностью.
Расчет показывает, что конструкция электронного микроскопа в принципе позволяет добиться разрешающей способности 2—3 А. В настоящее воремя удается в отдельных случаях получать разрешение в 5—6 А, т. е. полезное увеличение до миллиона раз.
Как же устроен электронный микроскоп? Оказывается, что между световой и электронной оптикой имеется очень много общего. В электронно-оптических приборах мы всегда найдем те же элементы и те же принципы конструкции, с которыми приходится встречаться в обычных оптических приборах. Главное различие (которое, впрочем, не имеет принципиального характера) состоит в том, что электронно-оптические линзы представляют собой устройства с непрерывно меняющимся «показателем преломления», так как электрические или магнитные поля меняются в электронных линзах не скачком (как показатель преломления на границе стеклянной линзы), а непрерывно. Схема микроскопа показана на рис. 197; 1 — электронный прожектор, 2 — конденсорная линза, 3 — объект, 4 — объектив, 5 — промежуточное изображение, 6 — проекционная линза, 7 — конечное изображение, 8 — смотровое окно. Если желательно рассматривать изображение глазом, можно поставить
Рис. 197.Рис. 197.вместо фотопластинки флуоресцирующий экран. Размеры электронного микроскопа много больше, чем оптического. Он занимает значительно больше места, потребляет электрическое напряжение, стоит значительно дороже. Все это возмещается его огромной разрешающей силой.
Рис. 197.
Рис. 197.
Изображенный на схеме электронный микроскоп работает на магнитных линзах. Чтобы исключить столкновение электронов с молекулами воздуха, в системе создается достаточно высокий вакуум, порядка 10"5 мм рт. ст. Электронная пушка создает пучок электронов с энергией, соответствующей 50 000 В. Таким образом, в установку должен быть включен высоковольтный трансформатор, повышающий напряжение сети до указанного значения.
Существуют различные способы рассмотрения предмета при помощи электронного луча. Электроны очень сильно поглощаются веществом. Поэтому, если мы желаем рассматривать предмет «на просвет», то для этой цели годятся лишь объекты с толщиной, измеряемой в долях микрона. При прохождении через тонкий слой вещества электроны по-разному рассеиваются различными местами объекта. Это явление и используется для рассмотрения предмета. Существуют две схемы электронного видения, показанные на рис. 198. Можно пропустить только те электронные лучи, которые прошли через вещество без рассеяния, а рассеянные лучи задержать диафрагмой (рис. 198, а). В этом случае наиболее яркими местами изображения будут те участки вещества, которые не рассеивают электронов (в том числе места с малой толщиной слоя). Наоборот, темными покажутся участки предмета, которые сильно рассеивают электронные лучи. Второй прием обратен первому (рис. 198, б). Объект помещается под углом к оси микро
скопа и в линзы направляются только рассеянные электроны. Ясно, что соотношение темных и светлых полей в изображении будет теперь обратным.
Рассмотрение предметов в электронном микроскопе производится обычно на подложке толщиной около 0,01 мкм. Эта подложка изготовляется следующим образом. На поверхность воды помещается капелька раствора коллодия в амилацетате. Капелька расплывается по воде и образует тоненькую пленку, которая после испарения амилацетата приобретает достаточную прочность. Из тоненькой проволочки делают петельку и поддевают пленку — держатель объекта готов. При рассмотрении в прямом пучке подложка будет
казаться светлой. При косом падении луча она покажется темной.
Если рассматриваемые предметы слабо рассеивают электроны, то они будут плохо видны на общем фоне. Для получения большей
а)б)
Рис. 198.
Рис. 199.
контрастности прибегают к напылению различных металлов на рассматриваемые предметы. Подложка с нанесенным объектом подставляется под поток атомов металла (полученный испарением металла в вакууме). При этом напыление происходит под углом к подложке (рис. 199). При таком приготовлении образец оттеняется. При
которые можно получить во взвешенном состоянии, чтобы их можно было зачерпнуть держателем.которые можно получить во взвешенном состоянии, чтобы их можно было зачерпнуть держателем.Рис. 201.Рис. 201.
которые можно получить во взвешенном состоянии, чтобы их можно было зачерпнуть держателем.
которые можно получить во взвешенном состоянии, чтобы их можно было зачерпнуть держателем.
Рис. 201.
Рис. 201.
рассмотрении в электронных лучах возникает исключительно яркая картина, так как электроны рассеиваются только теми частями объекта, на которые попали атомы металла. На рис. 200 показано, как выглядит в электронный микроскоп вирус гриппа.
Рассмотрение объектов на подложке особенно важно для биологии и медицины. Бактерии зачерпываются держателем образца из той среды, где их присутствие подозревается. Легко изучать частицы,
Рис. 200.
К совершенно другим способам приходится прибегать для рассмотрения поверхности твердого тела. В некоторых случаях твердое тело может быть сделано эмиттером (испускателем) электронов. Пропуская этот пучок через линзы, мы можем увидеть поверхность. Однако в ряде случаев такая процедура невозможна: эмиссия мала, образец не должен быть нагрет и т. д. Тогда используют метод реплики. На поверхность предмета наносят тонкий слой вещества, который затем отделяется и рассматривается на просвет в электронном микроскопе. Как показал опыт, слои, образованные самыми различными веществами (органическими, металлами, кварцем), образуют точные отпечатки (реплики) изучаемой поверхности. Фотография поверхности матового стекла, полученная таким способом, приводится на рис. 201. Метод реплик требует тщательного экспериментирования. Нелегкой задачей является отделение нанесенного вещества. Один из возможных способов — растворение объекта при сохранении пленки.
Электронные и ионные проекторы
При помощи электронного микроскопа в настоящее время удается в лучшем случае заметить крупные молекулы в виде отдельных пятен или точек. Однако имеется возможность добиться гораздо большего, а именно разглядеть форму молекулы и увидеть картину 416
ее электронного облака. Это удалось сделать с помощью особых микропроекторов.
На рис. 202 изображена схема электронно-ионного микропроектора. Это — баллон, откачанный до вакуума 10-8 мм рт. ст., в который введены электроды, причем катод изготовляется в виде острия с весьма малым радиусом закругления. Форма катода позволяет создать около него поля порядка 107 В/см. При таком поле из холодного катода начинают вырываться электроны, летящие радиальным потоком. Если на пути потока находится препятствие,
Рис. 202.Рис. 202.
Рис. 202.
Рис. 202.
то на флуоресцирующем экране (или фотопластинке) возникает теневое изображение. Если объект лежит на поверхности острия, то увеличение равно отношению расстояния от острия до экрана к радиусу закругления острия. Особыми способами удается добиться радиуса закругления меньше 200 А.
Если нанести молекулы какого-либо вещества на острие, то можно увидеть их изображение на экране. Это удалось сделать для молекул фталоцианина, имеющих размер около 15 А. На экране были четко видны форма молекулы, ее характерное четырехлепестковое строение, сгущения и разрежения электронной плотности.
Хотя этот способ никак нельзя рассматривать как осуществимый в стандартных лабораторных условиях для любых объектов, трудно переоценить возможность достижения полезного увеличения, превышающего миллион. -
Однако разрешающая способность может быть повышена еще на порядок величины, а кроме того, может быть много увеличена четкость изображения, если осуществить тот же принцип рассмотрения объектов, заменив электронный пучок на ионный. Устройство ионного проектора в принципе не отличается от схемы электронного проектора. На острие подается положительный потенциал и при больших полях (108 В/см) от острия могут отрываться ионы. Для этого надо предварительно или во время работы проектора
41741714 А. И. Китайгородский
417
417
осуществить адсорбцию атомов или молекул поверхностью острия. (В приборе, показанном на рис. 202, с помощью палладиевой трубочки в баллон прибора вводится небольшое количество молекул водорода.) Как только нейтральные атомы молекулы) занимают место на поверхности острия, они отдают свой электрон и в виде положительных ионов направляются к экрану.
При помощи такого ионного проектора удалось уже получить изображение самого вольфрамового острия. Изображение возникает по той причине, что адсорбция атомов происходит в определенных местах вольфрамового кристалла. На полученном изображении удалось видеть периоды решетки, т. е. разрешение достигло 2—3 А.
Электронно-лучевая трубка
Электронно-лучевая трубка — весьма распространенное устройство,— необходимый элемент телевизора, радиолокатора, осциллографа. Принцип электронно-лучевой трубки мы поясним на простейшем примере трубки (рис. 203), состоящей из электронной пушки 1 и двух конденсаторов 2, отклоняющих электронный луч в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Рассмотрим применение электронно-лучевой трубки для записи быстрых процессов. Если напряжение на конденсаторы не наложено, то электронный луч идет вдоль оси прибора и создает точку на светящемся экране. Положим, что на горизонтальную пару конденсаторных пластин подано переменное напряжение (частота больше 20 Гц). Тогда, в такт с изменениями поля, электронный луч начнет колебаться в вертикальном направлении. Ввиду ничтожной массы электронов это колебание будет практически безынерционным ). Мы не увидим движения луча, так как глаз не успевает следить за движениями светящегося пятна, а также потому, что экран обладает послесвечением,
Теперь вступает в ход вторая пара пластин, дающая так называемую «временную развертку». На эту пару пластин накладывается
пилообразное напряжение. Так как вторая пара пластин дает горизонтальное отклонение луча, то под действием такого напряжения светящаяся точка будет двигаться, скажем, слева направо вполне равномерно. Дойдя до конца экрана, светящаяся точка прыжком будет возвращаться в исходное положение и процесс будет повторяться. Мы имеем возможность накладывать на пластины пилообразное напряжение разной частоты и таким образом давать самый различный временной масштаб горизонтальному смещению пучка.
Если на пластины, дающие горизонтальное смещение луча, включена временная развертка, а на пластины, дающие вертикальное смещение,— исследуемое напряжение, то луч будет вычерчивать кривую напряжения в функции времени, поскольку горизонтальная координата светящейся точки пропорциональна времени, отсчитываемому от произвольного мгновения.
Особенно эффектно применение осциллографа для наблюдения за периодическими процессами. Всегда удается подобрать временную развертку таким образом, чтобы картина, созданная лучом при одном пробеге слева направо, совпала с картиной, создаваемой при втором и следующих пробегах. Когда период развертки подобран, на осциллографе устанавливается неподвижная кривая, дающая величину напряжения в функции времени для любого временного интервала (меньше одного периода или равного нескольким периодам).
Для создания пилообразного напряжения используется автоколебательный процесс, весьма похожий на явление, описанное нами на стр. 86,— опрокидывание ванны с водой. Ход луча слева направо создается процессом непрерывной и равномерной зарядки конденсатора ). К зажимам конденсатора присоединяется разрядная трубка. Пока разность потенциалов на трубке меньше потенциала зажигания, ее присутствие не сказывается на зарядке конденсатора. Как только потенциал достигает критического значения, происходит очень быстрый разряд конденсатора и процесс начинается снова. Пилообразные колебания должны быть синхронизированы с исследуемым периодическим процессом.
Электронно-лучевую трубку можно усложнить, помещая между катодом и анодом модулятор. Он представляет собой металлический цилиндр, один из торцов которого закрыт диафрагмой с отверстием, примерно равным размеру катода. Подавая отрицательный потенциал на модулятор, мы получаем возможность изменять интенсивность пучка. При некотором напряжении (запирающее напряжение) луч гасится полностью; это нужно делать, например, во время обратного хода луча. С помощью модулятора можно, например, запирать луч на время его обратного хода при развертке.
Чтобы одновременно наблюдать на экране две переменные величины, электронно-лучевую трубку снабжают электронным
коммутатором, периодически переключающим отклоняющее устройство попеременно в измерительную схему одной или другой величины. Для этой же цели разработаны двухлучевые осциллографы. Эти приборы снабжены электронно-лучевой трубкой с двумя независимыми электронными прожекторами и отклоняющими системами. В таком осциллографе имеются также два отдельных усилителя исследуемых напряжений и два генератора пилообразных колебаний.
Большое значение имеет подбор светящихся экранов для электронно-лучевых трубок. Существуют экраны с длительным послесвечением; для иных целей, напротив, требуются экраны, у которых свечение пропадало бы мгновенно после выключения луча.
Для записи импульсных однократных процессов электронный осциллограф обязательно снабжается фотоприставкой, затвор которой синхронизируется с разверткой, обеспечивая фотографирование экрана в нужный момент.
Масс-спектрограф
Из основного уравнения движения заряженной частицы (£+|l»Bl)
очевидно, что ее траектория определяется отношением заряда к массе elm. Поэтому исследование отклонения частицы в электрическом и магнитном полях может быть использовано для нахождения elm. Так как начальная скорость движения частицы не известна, то elm не может быть найдено измерением отклонения в одном электрическом или одном магнитном поле. Действительно, всматриваясь в общие формулы, которые были выведены в § 167 для отклонения в электрическом и магнитном полях, мы видим, что траектория определяется коэффициентами, в которые входят и е/т, и начальная скорость. Задача решается использованием отклонения одной и той же частицы как в магнитном, так и в электрическом поле.
В простейшем случае достаточно уравновесить электрическое отклонение магнитным. Для этого надо расположить поля так, как показано на рис. 204. Заряженные частицы не будут отклоняться при условии еЕ = ~еоН. Из этого опыта находится скорость частицы. Далее можно воспользоваться либо одним электрическим, либо одним магнитным отклонением; по величине отклонения от прямолинейного пути можно рассчитать elm.
Измерения е!т имеют большое значение в атомной физике как средство определения массы частиц (если заряд известен). Особенно большое значение имеют измерения масс ионов. Прибор, в котором пучок частиц разделяется по массам и состав частиц по массам может быть исследован, называется масс-спектрографом.
Схема этого прибора показана на рис. 205. Идея его, предложенная Астоном, заключается в следующем. В электрическое поле конденсатора поступают частицы с разными значениями скоростей.
Выделим мысленно группу частиц с одинаковыми elm. Поток этих частиц попадает в электрическое поле и расщепляется: быстрые частицы отклонятся в электрическом поле меньше, медленные — больше. Веер этих частиц поступает теперь в магнитное поле, перпендикулярное к чертежу. Оно включено так, чтобы отклонять
3 - направление от нас.
♦♦XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXеЛЬток-^- положит*, частицеЛЬток-^- положит*, частиц
♦
♦
X
X
XX
X
XX
X
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
X
XX
X
еЛЬток
-^- положит*, частиц
еЛЬток
-^- положит*, частиц
Рис. 204.
частицы в противоположную сторону. И здесь быстрые частицы будут отклоняться меньше, а медленные — больше. Отсюда следует, что в какой-то точке, лежащей за пределами поля, выделенный нами мысленно пучок одинаковых частиц опять соберется в одну точку — сфокусируется.
Частицы с иным значением elm также соберутся в точку, но в другую. Расчет показывает, что фокусы для всех elm расположатся
весьма близко к некоторой прямой. Если вдоль этой прямой расположить фотографическую пластинку, то частицы каждого сорта дадут знать о себе отдельной линией.
Если масс-спектрограф выполнен с большой тщательностью, то его разрешающая способность будет весьма велика и он сможет обнаружить присутствие очень близких изотопов. На первый взгляд это может показаться несущественным — массы изотопов различаются по крайней мере на единицу атомного веса. Но ведь на единицу различаются изотопы одного и того же химического элемента, разные же изотопы разных элементов (например, S36 и Аг36) могут
отличаться по массе весьма незначительно. Кроме того, важно иметь возможность определять массу сложных ионов. Подобные проблемы возникают, например, при химическом анализе газовых смесей. Тогда близкими по массе могут оказаться разные частицы, например С12Н2 и N14 или N14H2 и О16 и т. д. Все эти задачи с успехом решаются с помощью масс-спектрографа.
Ускорители заряженных частиц
По сути дела, ускорителями заряженных частиц являются и такие приборы как электронная лампа, рентгеновская трубка, электронная пушка. Однако этот термин закрепился за установками, которые создают потоки заряженных частиц (электронов, протонов, дейтонов и т. д.), движущихся со скоростями, близкими к скорости света; такие потоки предназначены для воздействия на вещества. Цели такого воздействия могут быть самыми различными: изучение ядерных превращений, создание радиоактивных изотопов, медицинские цели, химические воздействия и т. д. Роль ускорителей в современной науке исключительно велика.
Разумеется, можно ускорить частицу вплоть до любых энергий, заставляя ее проходить последовательно ускоряющие поля. Однако для создания частиц с энергиями в десятки тысяч электрон-вольт необходимы отрезки пути порядка многих сантиметров. Современная физика стремится к получению потоков частиц с энергией в десятки миллиардов электрон-вольт. Линейный ускоритель, нужный для такой цели, должен был бы иметь длину в десятки километров. Линейный ускоритель огромной длины построен в Станфорде в США. Несмотря на частичные достоинства, такое лобовое решение вопроса нельзя считать оптимальным.
Основная идея, положившая начало конструированию ускорителей, основанных на циркулярном принципе, принадлежит Лоуренсу. В одной установке объединяется ускорение частицы электрическим полем и ее многократное возвращение к тому же ускоряющему промежутку с помощью магнитного поля. Первые ускорители, основанные на этой идее, получили название циклотронов.
Схема циклотрона показана на рис. 206. Чтобы представить себе ускорительную камеру, вообразите плоскую круглую конфетную коробку, разрезанную по диаметру. Две половины А и В большой металлической коробки, называемые дуантами, и составляют основную часть ускорительной камеры. На дуанты накладывается переменное электрическое поле определенного периода Т. Вся эта система помещается между полюсами электромагнита, создающего внутри коробки перпендикулярно к ее основанию сильное постоянное магнитное поле.
Напряженность магнитного поля подбирается в соответствии с установленным периодом изменения электрического напряжения. А именно, напряженность поля должна иметь такое значение, чтобы период вращения в таком поле (а он выражается, как мы. знаем, 422
формулой Т = -^-J равнялся бы периоду изменения электрического поля. При таком условии все заряженные частицы, попадающие в ускорительную камеру, подхватятся полями и начнут спиральное ускоряющее движение с неизменным периодом Т. Действительно, попавшая в промежуток между дуантами частица получит ускорение, пройдет половину окружности в магнитном поле и подойдет
Рис. 206.
к ускорительному промежутку как раз в тот момент, когда фаза напряжения изменится на 180°; частица опять ускорится в том же направлении и попадет внутрь другого дуанта, где пройдет полуокружность с возросшим радиусом. Далее процесс повторяется, скорость частицы растет и, наконец, мы выпускаем их из циклотрона.
Возможности циклотрона ограничены. Дело в том, что по мере возрастания скорости частицы растет и ее масса, а значит, меняется период обращения в магнитном поле. Период обращения начинает увеличиваться и частица начинает запаздывать: она приходит к ускоряющему промежутку в момент, когда фаза напряжения изменилась не на 180°, а на большую величину. Это запаздывание нарастает, и в конце концов получится так, что электрическое поле не только не будет подхватывать частицы, но будет тормозить их. Расчеты показывают, что предельная энергия, которую циклотрон может сообщить заряженной частице, выражается формулой ^Vex^mc^u, что дает для протонов 22 миллиона электрон-вольт (22 МэВ) и в три раза большую величину для ос-частиц. Для достижения больших энергий надо искать новые пути.
Автофазировка
Новые идеи в области ускорителей были высказаны Векслером (СССР) и Мак-Миланом (США) соответственно в 1944 и 1945 гг. Они заключаются в следующем. Вглядываясь в формулу периода обращения частицы в магнитном поле, мы видим, что возрастание массы
можно скомпенсировать возрастанием магнитного поля. Если бы такая компенсация удалась, то период обращения заряда мог бы остаться неизменным.
Положим, что во время работы циклотрона напряженность магнитного поля нарастает. Среди миллиардов частиц, движущихся в ускорительной камере, несомненно, найдутся такие частицы у которых возрастание массы из-за увеличения скорости идет как раз в такой пропорции с нарастанием магнитного поля, чтобы период обращения оставался неизменным. Расчеты показали, что и другие частицы при этих условиях не будут выходить из синхронизма, с тем лишь совершенно неважным для практики различием, что их энергия будет нарастать не монотонно, как у частиц «удачных», у которых возрастание массы полностью компенсируется возрастанием магнитного поля, а колеблясь около значения энергии «удачных» частиц.
У «удачных» частиц радиус орбиты согласован со значением энергии, в этом и состоит их «удачливость». Положим теперь, что имеется частица, у которой энергия больше, чем надо для данного радиуса. Но тогда из-за излишнего прироста массы частица будет замедляться. Наоборот, если частице не хватает энергии, то прирост массы будет недостаточен и частица будет ускоряться по отношению к своим соседям на том же радиусе. Отсюда следует, что явление возрастания массы со скоростью позволяет частицам как бы самостоятельно регулировать'скорости своего движения и подбирать фазы напряжения, пригодные для корректировки этого движения. Отсюда и термин «автофазировка». '
Таким образом, оказывается возможным в принципе безгранично увеличивать скорость движущихся в циклотроне частиц, если только плавно увеличивать напряженность магнитного поля. Ускорение частиц в такой установке надо вести импульсным методом. При возрастании поля установка работает, обратный цикл является холостым.
Описанный способ не является единственным приемом осуществления автофазировки. Другой принцип заключается в медленном изменении периода электрического напряжения. Идея та же самая: возрастание массы заряженной частицы влечет за собой увеличение периода обращения в магнитном поле; мы подгоняем к этому нарастанию соответствующее изменение режима переменного электрического поля. Ускоритель, в котором медленно увеличивается период электрического напряжения, носит название фазотрона (синхроциклотрона). Траектория частицы в фазотроне представляет собой плоскую спираль. Чем дальше зайдет эта спираль, тем большая энергия частиц будет достигнута. Таким образом, увеличение энергии связано с увеличением площади ускорительной камеры, находящейся в магнитном поле. Из существующих ускорителей этого типа наиболее мощным является фазотрон АН СССР с весом магнита 7000 т. Этот фазотрон дает пучок протонов с энергией 680 МэВ.
Фазотроны ограничены энергиями порядка сотен МэВ; дальнейшее увеличение их возможностей привело бы к немыслимому увеличению веса магнита. Энергии частиц в миллиарды электрон-вольт (ГэВ) достигаются в синхрофазотроне..
Синхрофазотрон. Синхротрон
У синхрофазотрона остается уже совсем мало общего с циклотроном. Синхрофазотрон осуществляет ускорение частиц на одной круговой орбите. Это сильно ограничивает объем магнитного поля. Мы можем, так сказать, вырезать всю центральную часть магнита. Количество металла, идущее на магнит, резко уменьшается. Электромагнит синхрофазотрона АН СССР на 10 ГэВ весит 36 000 т. Фазотрон на те же энергии потребовал бы около 1 млн. т металла.
Чтобы ускорять частицу на орбите постоянного радиуса, надо менять, и притом вполне согласованным образом, период ускоряющего электрического поля и напряженность магнитного поля. Работа должна происходить импульсным методом. Каждый импульс состоит в нарастании магнитного поля и уменьшении периода электрического ускоряющего напряжения.
При заданном радиусе орбиты однозначная связь напряженности поля и скорости дается формулой
н тои с
VT^v^ er ’
а связь периода обращения со скоростью определяется выражением 2лг
и *
Если эти условия выполнены, то некоторая «удачная» частица будет монотонно набирать скорость.
Условия автофазировки имеют место и здесь. Поэтому остальные частицы хотя и не станут описывать круговую орбиту, однако будут идти по траектории, колеблющейся около этой орбиты, и примут участие в синхронном возрастании скорости. Колебания около средней круговой орбиты заставляют делать довольно широкую дорожку для заряженных частиц. Ведутся интенсивные поиски методов сужения этой дорожки, что приведет к сокращению веса металла и, следовательно, позволит добиться еще больших энергий частиц.
Мы говорили до сих пор об ускорителях, применяемых для тяжелых частиц. Ускорители электронов обладают рядом своеобразных особенностей.
Еще в 1941 г. для ускорения электронов был создан ускоритель, получивший название бетатрона. Эта установка работает по принципу трансформатора, у которого первичной обмоткой является обмотка магнита, а вторичной «обмоткой» — пучок электронов,
вращающихся по окружности постоянного радиуса. Иначе говоря, электроны движутся по кольцевой силовой линии вихревого электрического поля, создаваемого переменным магнитным потоком.
На первый взгляд кажется, что такое ускорение может продолжаться беспредельно. Возрастание массы со скоростью не накладывает какого-либо ограничения, так как в этом явлении нет нужды ни в каком синхронизме. Тем не менее бетатрон имеет ограничение. Дело в том, что при энергиях в десятки и сотни МэВ становятся чувствительными потери энергии на излучение — ведь ускоренно движущийся электрон излучает электромагнитные волны. В результате излучения траектория электронов из круговой превращается в спиральную, закручивающуюся внутрь, и ускорение становится невозможным. Когда нужны электроны с энергиями 20— 50 МэВ, бетатроны применяются с успехом. Если мы желаем получить электроны больших энергий, то надо прибегнуть к синхротронам — установкам, предложенным в 1946—1947 гг.
Синхротрон подобен описанному выше фазотрону, т. е. является резонансным ускорителем. К магнитному полю бетатрона добавляется ускоряющее электрическое поле. Механизм ускорения обеспечивается автофазировкой. Однако то обстоятельство, что мы имеем дело с легчайшими частицами, электронами, облегчает задачу конструктора. Дело в том, что уже при энергии 2—3 МэВ скорость электронов практически становится равной скорости света. Но если так, то при дальнейшем возрастании энергии радиус траектории электронов не меняется. Это дает возможность выполнять магнит в виде кольца, как в синхрофазотроне. Но как быть с излучением, ведь оно имеет место и при движении в синхротроне? Для того чтобы компенсировать потери на излучение, приходится увеличивать ускоряющее напряжение.
При больших энергиях потери на излучение достигают внушительных цифр. В ускорителе на 300 МэВ и при радиусе орбиты 1 м электрон излучает за один оборот энергию 1000 эВ. Если бы мы построили синхротрон на 10 Гэв с радиусом орбиты 20 м, то потери энергии за один оборот составляли бы 30 МэВ.
Мощность ускорителей возрастает год за годом. Необходимость в этом диктуется желанием получить уровни энергии барионов и мезонов как можно детальней (см. § 226а).
В пятидесятых годах началось строительство протонных синхрофазотронов. Были пущены в ход машины на 28 ГэВ в Женеве (Европейская организация ядерных исследований) и на 33 ГэВ в Брукхейвене (США).
Одним из самых мощных в мире ускорителей элементарных частиц является в настоящее время протонный синхрофазотрон на 76 ГэВ в городе Серпухове.
Чтобы дать представление о масштабах этих машин, достаточно привести цифры для серпуховского ускорителя: диаметр орбиты 472 м, вес железа в магните 20 000 тонн.
Ионизованный газ
Превращение атома в положительный ион, т. е. отрыв электрона от атома, может произойти самыми различными способами. Удар электроном, другим атомом или молекулой, поглощение фотона — все эти способы передачи энергии могут привести к ионизации атома, если только подводится количество энергии, достаточное для преодоления сил связи электрона с атомом. Эта энергия для разных атомов и молекул колеблется в пределах 4—25 эВ (см. также § 193). Это значит, что ионизация атома может быть совершена электроном, который разогнан напряжением 4—25 В. Разумеется, частица большей энергии способна превратить в ионы столько атомов или молекул, на сколько у нее хватит запаса энергии. Один электрон, разогнанный в мощном ускорителе, способен создать миллионы пар ионов.
Ионизация атома состоит в отрыве от него электрона; ионизация молекулы может привести также к отрыву электрона, однако в иных случаях молекула делится при ионизации на два крупных иона. Таким образом, ионизация создает не только электроны и положительные ионы, но может привести и к образованию отрицательных ионов. Однако отрицательные ионы получаются и иным путем, а именно, присоединением к нейтральному атому свободного электрона. Оказывается (см. § 196), что такой процесс энергетически выгоден.
Ионизационные процессы в твердых телах будут подробно изучаться в § 258. Здесь проблема ионизации интересует нас только как способ, при помощи которого можно создать потоки ионов. С этой точки зрения интерес представляет лишь ионизация газов. Если мы хотим получить поток ионов вещества, существующего при нормальных условиях в виде твердого или жидкого тела, то приходится прибегать к испарению.
Рассмотрим ионизацию газа, производимую потоком каких-либо частиц. Если источник ионизации убран, то начнется воссоединение (рекомбинация) положительно и отрицательно заряженных частиц в нейтральные атомы или молекулы. Так как при рекомбинации встречается пара частиц, то естественно, что скорость рекомбинации будет пропорциональна квадрату числа ионов в единице объема п. Если Дм — число ионов, превращающихся в нейтральные частицы в единицу времени в единице объема, то Дм—ум2, где у — коэффициент, имеющий значение порядка 10"6 см3с-1 для большинства газов при нормальных условиях. При постоянном действии ионизатора между процессами ионизации и рекомбинации должно установиться равновесие. Пусть ионизатор создает в единицу времени N пар ионов в единице объема. Сначала число ионов в газе будет нарастать, но так как рекомбинация будет происходить все чаще (пропорционально квадрату наличного числа пар ионов), то нарастание ионов прекратится, когда N=kn, т. е. Af=yM2. Если ионизованный газ заполняет некоторый объем и если хаотическое движение частиц
газа является преобладающим, то такой электропроводящий газ, состоящий из нейтральных и заряженных частиц, называют плазмой (см. ниже).
Важным примером сильно ионизованного газа является ионосфера. Число заряженных частиц в единице объема ионосферы подвержено сильным колебаниям, суточным и годовым. Как известно, эти колебания сказываются на радиоприеме. В 1 см3 ионосферы находится ~106 электронов и ионов. Всего же частиц в этом объеме ~108. Таким образом, степень ионизации ионосферы ~1%. В интенсивных плазмах, образующихся в различных ионных приборах, степень ионизации имеет такой же порядок величины.
Электрический разряд в газе
Первоначальное знакомство с элементарными заряженными частицами физики получили, исследуя прохождение электрического тока через газы (электрический разряд в газе). В цепь тока включается стеклянная трубка с газом. Включение происходит с помощью электродов, впаянных в стекло. Чтобы получить исчерпывающую картину явления, надо исследовать его для различных газов, разных давлений газов и при разных напряженностях поля.
Поведение различных газов в общем одинаково. Различие ионизационных потенциалов (см. § 193) приводит лишь к тому, что некоторые критические точки, о которых мы будем говорить ниже, осуществляются при других напряжениях и давлениях.
Рассмотрим характерные для всякого газа явления, происходящие при увеличении напряжения, накладываемого на газоразрядную трубку. Поведение газа, к описанию которого мы переходим, имеет место в широком интервале давлений. Мы оставляем в стороне лишь такие малые давления, при которых свободный пробег молекул становится соизмеримым с размерами газоразрядной трубки. Наше рассмотрение также не относится к столь большим давлениям, при которых плотность газов приближается к плотности жидкостей, где свободный пробег молекулы отсутствует. Почему так важен свободный пробег частиц — читателю станет сейчас ясно.
Итак, наложим на газоразрядную трубку небольшое напряжение. Если ионизатор отсутствует, ток через трубку не пойдет. В присутствии ионизатора в газе находятся заряженные частицы — ионы и электроны. При наложении поля частицы будут направляться полем к электродам. Явление носит название несамостоятельной проводимости газа. Быстрота, с которой заряженные частицы будут передвигаться по направлению к электродам, зависит от многих обстоятельств и прежде всего от напряженности поля и давления газа.
На упорядоченное движение иона и электрона, происходящее под действием постоянной электрической силы, накладывается тепловое хаотическое движение. Разгоняемая электрическим полем частица пробегает небольшое расстояние. Короткий пробег неминуем 428
мо заканчивается соударением. При небольших скоростях движения эти столкновения происходят по закону упругого удара.
Средняя длина свободного пробега определяется прежде всего давлением газа. Чем выше давление, тем короче свободный пробег, тем меньше средняя скорость упорядоченного движения частицы. Напряжение, наложенное на газоразрядную трубку, действует, разумеется, в обратном направлении — увеличивает среднюю скорость упорядоченного движения частиц.
Как мы говорили в предыдущем параграфе, в газе, находящемся под действием ионизатора, устанавливается определенная концентрация ионов; в равновесном состоянии число вновь образующихся
Так продолжается до тех пор, покаТак продолжается до тех пор, показа секунду ионов равняется числу рекомбинирующих за это же время. Наложенное напряжение нарушает равновесие: часть ионов достигает электродов, не успев рекомбинировать. По мере увеличения напряжения все большая и большая часть создаваемых в единицу времени ионов достигает электродов: электрический ток через газ растет.
Так продолжается до тех пор, пока
Так продолжается до тех пор, пока
совсем не остается времени для рекомбинации и все ионы, создаваемые ионизаторами, доходят до электродов. Ясно, что дальнейшее увеличение напряжения не может увеличить тока (ток насыщения, плато на рис. 207).
Чем меньше плотность газа, тем при меньших напряженностях поля будет достигнут ток насыщения.
Сила тока насыщения равна заряду ионов, образуемых ионизатором за секунду в объеме газоразрядной трубки.
При дальнейшем увеличении напряжения возникают новые явления. В некоторый момент скорость электронов становится достаточной для выбивания электронов из нейтральных атомов и молекул. Напряжение на трубке должно при этом достигнуть такого значения, при котором электрон успевает набрать на длине свободного пробега энергию, достаточную для ионизации моле
кулы.
Возникновение ударной ионизации сказывается на кривой зависимости тока от напряжения: ток начинает расти, поскольку увеличение напряжения означает увеличение скорости движения электрона. Увеличение же скорости влечет за собой увеличение ионизующей способности электрона, а следовательно, создание большего числа пар ионов и увеличение силы тока.
Для этой области напряжений прохождение тока через газы начинает сопровождаться оптическими явлениями — газ светится. Дей
ствительно, если удары частиц могут привести к ионизации атома и молекулы, то они тем более могут привести к явлениям возбужде-
ния частиц,т. е. к переходу на более высокие энергетические уровни. Возвращаясь в нормальное состояние, молекула или атом излучает квант света. Мы не будем здесь останавливаться на этой стороне дела, поскольку излучению возбужденных атомов и молекул посвящено много места в дальнейшем (см. гл. 28 и 29).
Если энергия электрона будет в несколько раз превышать энергию, необходимую для ионизации одной молекулы, то прохождение электрического тока через газ приобретет ярко выраженный лавинный характер. Какой-либо электрон разрушает атом, создает ион и электрон. И созданный электрон обладает ионизующей способностью, и первичный электрон сохранил еще достаточно энергии, чтобы ионизовать другой атом. Процесс расширяется, и из мест первичной ионизации в сторону электродов распространяется лавина электрических зарядов: в каждом последующем слое число пар ионов будет больше, чем в предыдущем. При более или менее высоких напряжениях возрастание этой лавины происходит с исключительной быстротой.
Вторичными ионизаторами в газе являются электроны, а не ионы. Последние приобретают способность ионизовать молекулы газа только при очень больших скоростях движения, с которыми мы обычно не имеем дела. Если ионы не производят ионизацию, то устранение внешнего ионизатора прекратит разряд даже в том случае, если число пар ионов, создаваемых ударами, в сотни и тысячи раз превосходит первичную ионизацию. Каждая лавина должна начаться с первого электрона, а так как электроны движутся к аноду, то разряд прекратится в отсутствие внешнего ионизатора, как только все электроны доберутся до анода.
Такого рода весьма сильные несамостоятельные разряды обладают следующей особенностью: при данном напряжении сила электрического тока, проходящего через газ, пропорциональна числу первичных ионов, создаваемых внешним ионизатором в единицу времени. Отношение силы такого, как говорят, газоусиленного тока к силе тока насыщения, создаваемого первичной ионизацией, может достигать сотен и тысяч. Это свойство разряда используется при создании измерителей ионизации — пропорциональных усилителей (см. стр. 504).
Электрический разряд может стать самостоятельным, т. е. будет продолжаться при устранении внешнего ионизатора, лишь в том случае, если ионы станут дополнительными поставщиками заряженных частиц. Это всегда произойдет при очень больших напряжениях, когда, как мы указывали выше, ионы смогут ионизовать ударом молекулы газа. В этом случае ионы будут создавать все новые и новые электроны — первичные источники лавин.
Однако самостоятельный разряд возникнет и при значительно меньших напряжениях, если мы изготовим катод газоразрядной трубки в виде пластинки. Дело в том, что ионы способны выбивать электроны из холодного катода. Если скорость иона достаточна для такого процесса, то условие самостоятельного разряда 430
можно сформулировать так: появление новых электронов на катоде должно по крайней мере заменить работу первичного ионизатора.
свечения газового разряда.свечения газового разряда.Мы не сказали еще ничего о роли давления. При больших давлениях столб разряда сжимается, начинается термическая ионизация. Различие давлений меняет картину распределения плотности тока и соответственно характер~
свечения газового разряда.
свечения газового разряда.
р = ^0тш рт.епт.р = ^0тш рт.епт.нормальных и более высоких давлениях мы сталкиваемся с разными видами разрядов: характерны тихий разряд, дуговой разряд, искровой разряд. В разреженных газах имеет место так называемый тлеющий разряд. Каковы же условия возникновения и внешний вид этих разрядов?
р = ^0тш рт.епт.
р = ^0тш рт.епт.
= Ютим ртп.еж= Ютим ртп.ежр=0^мм рттг.спг.р=0^мм рттг.спг.р=0,0^мм ртгг.ст.Рис. 208.р=0,0^мм ртгг.ст.Рис. 208.Тихим разрядом называются не сопровождающиеся ни звуком, ни свечением утечки зарядов с конденсаторов или иных заряженных тел. На остриях, тонких проводах и вообще всюду, где имеет место резкое падение потенциала, а значит, большая напряженность поля, могут возникнуть самостоятельные тихие разряды — кистевой и корона.
= Ютим ртп.еж
= Ютим ртп.еж
р=0^мм рттг.спг.
р=0^мм рттг.спг.
р=0,0^мм ртгг.ст.
Рис. 208.
р=0,0^мм ртгг.ст.
Рис. 208.
При более высоких напряжениях возникает искровой разряд (газ пробивается). Пробивное напряжение довольно строго зависит лишь от произведения давления газа на расстояние между электродами. Воздух между шаровыми электродами пробивается искрой при напряженности поля 30 кВ/см (при нормальном давлении). Измерение пробивного расстояния можно использовать для измерения высоких напряжений.
Особый вид разряда наблюдается в электрической дуге. В дуговом разряде плотность тока велика, хотя напряжение между электродами мало. Особенностью дугового разряда, который чаще всего создается между угольными электродами, является чрезвычайно высокая температура электродов. Поэтому в дуге большую роль играет термоэлектронная эмиссия с катода.
Тлеющий разряд в разреженных газах имеет характерный вид для каждого давления. При некотором опыте можно по одному лишь виду разряда с большой точностью определять степень разрежения. Вид различных типов газового разряда представлен схемой рис. 208.
§ 178а. Плазма
Вещество в состоянии плазмы. Можно привести газ в ионизованное состояние путем повышения температуры. Термическая ионизация газа начинается при температуре порядка 6000 °C. Средняя энергия движения молекул йЦкТ становится уже достаточной для того, чтобы обеспечить частые соударения между молекулами, приносящими энергию, необходимую для отрыва электрона или иной ионизации.
Степень ионизации зависит от температуры и давления газа. С возрастанием давления ионизация уменьшается.
При температурах порядка десятков тысяч градусов и выше газ нейтральных атомов или молекул, заключенный в некотором объеме, переходит в новое состояние, которое называют плазмой.
Нетрудно прикинуть, что при температурах 20 000—30 000° водородный газ, например, плотность которого соответствует давлению 1 мм рт. ст. при комнатной температуре, окажется полностью ионизованным. Действительно, средняя энергия на одну степень свободы при температуре 30 000 °C равна V2 7?7=30 килокалорий на моль. Это существенно больше энергии ионизации атома водорода. Таким образом, тепловые соударения превратят нейтральный газ в смесь двух «газов» — «газа» протонов и «газа» электронов. Это и есть плазменное состояние.
Плазма, образовавшаяся из других веществ, может иметь более сложный состав. В ней могут находиться электроны, оголенные ядра и различные ионы. Разумеется, плазма в том или ином количестве содержит и нейтральные частицы. Однако при высоких температурах этот процент совсем мал. Для примера, приведенного выше, на один нейтральный атом придется на 2-104 заряженных протонов.
В состоянии плазмы вещество существует в звездах и Солнце. Верхний слой атмосферы, так называемая ионосфера, также является плазмой.
Получить в земных условиях вещество в состоянии плазмы путем нагревания сосуда, разумеется, невозможно из-за отсутствия огнеупорных материалов. Однако при помощи специально подобранных форм магнитных полей даже горячую плазму удается удержать в ограниченном объеме.
Если все частицы плазмы свободно обмениваются энергией, то плазма быстро придет в состояние равновесия, т. е. средняя энергия электронов и ионов будет одинаковой, несмотря на большое различие масс частиц. Ионы плазмы движутся медленно по сравнению с электронами. В ряде расчетов их можно даже считать неподвижными.
Скорость установления равновесия между частицами разных сортов может колебаться от ничтожных долей секунды до секунд в случае горячей плазмы (порядка 108 К).
Примером неравновесной плазмы является плазма газового разряда. Внешние источники передают энергию прежде всего элек- 432
тронам. А выравнивание энергии электронов и ионов произойдет лишь после большого числа столкновений. Поэтому в газовом разряде электронная температура Те много больше ионной 7Y В дуговом разряде Те— порядка многих десятков тысяч градусов, а Тг— порядка тысяч градусов.
Для того чтобы дать представление о поведении частиц в плазме, приведем результат простых расчетов, взятых из книги Л. Арцимовича, Элементарная физика плазмы, Атомиздат, 1963.
Для водородной плазмы высокой концентрации (10й ионов на один кубический сантиметр) мы получим для холодной плазмы (7=104 К)
0,03см и т = 4-10~10С4
Для горячей плазмы (108 К) длина и время свободного пробега равны соответственно
Х = 3-106см и т = 4-10~4с.
Приведенные данные относятся к столкновениям электронов с ионами.
Рассмотрим теперь вопрос об электрическом поле плазмы. Оно сильно меняется и в пространстве, и во времени. Тем не менее можно рассчитать среднее поле системы, содержащей равное число ионов и электронов, расположенных на некотором среднем расстоянии / друг от друга. Нетрудно понять, что из-за нейтральности плазмы среднее поле плазмы по порядку величины должно равняться полю одного заряда на расстоянии / от него, т. е. Е^еп^», где п — концентрация. Таким образом, для водородной плазмы, взятой выше в качестве примера, Е^4-10“10-2* 109^1 ед. СГС. Это поле меняется очень быстро. Оно может изменить знак за время порядка времени пробега и на расстоянии порядка расстояния между частицами.
Мы сказали выше о нейтральности плазмы. Это ее свойство является необходимым и выполняется, несмотря на хаотичность движения электронов, очень строго. При большой разнице концентраций nt и пе электрическое поле немедленно начнет выталкивать частицы, присутствующие в избытке, и притягивать частицы другого знака. Такой автоматизм действует с огромной точностью (препятствует совершенно мизерному отклонению от нейтральности) уже для небольших объемов, радиус которых больше КТе/п, т. е. для плазмы нашего примера — больше 10“5— 10“3 см.
Плазма является источником электромагнитных волн с длинами, лежащими в широком диапазоне. Как известно, торможение электрона порождает сплошной спектр электромагнитных волн (так образуются рентгеновские лучи) с частотами от нуля до E^Jh, где 2?макс — максимальная энергия электрона. Для оценки порядка величины длины волны тормозного излучения плазмы можно положить E=kTe. Тогда окажется, что у холодной плазмы тормозное излучение будет видимым и инфракрасным, а у горячей плазмы — рентгеновским.
Важным источником излучения является рекомбинация протона (иона) с электроном. При этом, очевидно, излучается фотон с энергией, равной энергии связи частиц противоположных знаков.
Наряду с излучением, носящим одинаковый характер для разных веществ, находящихся в состоянии плазмы, плазма излучает характеристически линейчатые спектры (их происхождение описано в §§ 199 и 203), поскольку в состав плазмы входят определенные возбужденные атомы и ионы.
Плазма в магнитном поле. При наложении магнитного поля траектории заряженных частиц становятся направленными. Свободная частица движется по винтовой линии, накрученной на вектор напряженности магнитного поля. Смещения поперек силовых
Рис. 208а.
линий происходят лишь под действием соударений. При высокой температуре и сильном поле заряженная частица не может покинуть область магнитного поля.
Наложение магнитного поля на плазму приводит к тому, что плазма оказывается сжатой электродинамическим давлением. На рис. 208а показан поперечный разрез плазменного столба (/ — стенка камеры, 2—вакуум, 3— плазма). Траектории электронов представляются кольцевыми, если смотреть вдоль поля. Можно считать, что эти токи складываются в один круговой поверхностный ток.
При таком расположении тока и поля, согласно стр. 242, возникает сила, направленная внутрь столба. Величина бокового давления будет равна, согласно § 119, значению плотности электромагнитной энергии, которое в нашем случае равно //2/(8л) (если считать, что напряженность поля внутри плазмы сводится к нулю полями кольцевых токов). Это давление уравновешивает газовое давление плазмы, которое в отсутствие поля привело бы к немедленному расширению плазмы.
С эффектом давления магнитного поля были связаны надежды длительного удержания горячей плазмы в концентрированном состоянии. Практическое значение этой возможности станет очевидным, если ознакомиться с термоядерными реакциями. Как указано 434
в §218, температуры порядка 108 К, если бы они оказались осуществленными, привели бы к созданию термоядерного реактора со всеми отсюда вытекающими последствиями для энергетики будущего.
При сильном газовом разряде электродинамическая сила ~ [б//,^приводит к образованию узкого плазменного шнура, оторванного от стенок разрядной трубки.
Уравнение р=7/2/(8л) может быть переписано следующим образом. Допустим, что ионная и электронная температуры равны друг другу, тогда
p = 2nkT.
Здесь п — концентрация частиц. Полагая, что шнур имеет форму цилиндра радиуса г0, и считая, что происходит скин-эффект, можем для напряженности магнитного поля на поверхности цилиндра записать формулу
Обозначая пг^п — число электронов на единицу длины — через N, получим
/2 = 5,5-10"14 NT;
формула записана для силы тока, измеряемой в амперах.
Если начальное давление водорода 0,1 мм рт. ст., радиус трубки 10 см и сила разрядного тока 5-105 А, то температура плазмы окажется равной 2 млн. градусов.
Проблемы устойчивости. Создание устойчивого плазменного шнура или области плазмы иной формы является сложной технической задачей, которая до сих пор еще не решена. В результате флуктуаций могут происходить случайные деформации плазменного шнура.
На первый взгляд казалось, что создание магнитных бутылей без течи — задача не такая уж сложная. Первоначальные теории позволили подсчитать скорости диффузии в различных устройствах. Результаты расчетов были довольно оптимистическими, но опыт дал скорости расплывания плазменного столба в тысячу раз большие.
За последние десять лет теория поведения плазмы в магнитном поле получила большое развитие и причины нестабильности плазмы стали много более ясными. Схемы и модели плазмы, которыми оперировала первоначальная теория, рассматривавшая плазму как совокупность двух жидкостей положительно и отрицательно заряженных (магнитная гидродинамика), не давали точного представления о всей сложности процессов в плазме. Чтобы дать представление об усложнениях, которые необходимо ввести в теорию, рассмотрим примеры нестабильностей, не учитываемых магнитной гидродинамикой.
В слабо ионизованном разряде типа, который зачастую существует в обычных флуоресцентных лампах, при наложении магнитного поля, параллельного электрическому, нити плазмы имеют спиральный вид. До полей в 1000 Гс диффузия плазмы к стенкам подчиняется простым правилам. При увеличении поля возникают сильные колебания плазменного шнура и начинается аномальная диффузия.
Элбкмргаское 770^5
JtwaМагяшкпое 7?ахе *-слаттгос?
Причины ее состоят в следующем. Представим себе, что один участок спирального шнура стал плотнее (на верхнем рис. 2086 отмечен прямоугольником. Внешнее электрическое поле стремится рассосать сгусток, поэтому ионная составляющая этого участка шнура сдвинется к аноду, а электронная — к катоду (см. левый рис. 2086). Поскольку участок имеет спиральную форму, то продольное смещение отрицательной и положительной составляющей приведет к тому, что в поперечном сечении этого участка шнура положительные ионы окажутся смещенными по отношению к электронам (см. правый рис. 2086). Возникнет поперечное электрическое поле и соответствующий ток. Но все события разыгрываются в продольном магнитном поле. Поэтому перпендикулярно полям начнет действовать лоренцева сила. Если внимательно рассмотреть геометрию явления, то окажется, что сила действует во «внешнюю» сторону, т. е. так, что спираль расплывается, и в конце концов придет в соприкосновение со стенками сосуда.
А вот другой механизм нестабильности, приводящий к течи магнитных бутылок. Предположим, что в плазменном столбе образовался шнур с плотностью, большей средней (рис. 208в, сверху). Пусть этот участок, образовавшийся благодаря флуктуации, имеет длину / и существует время I. События, которые мы сейчас опишем, произойдут в том случае, если тепловая скорость ионов много меньше Ш* а тепловая скорость электронов много больше Ut. Ясно, что 436
эти условия выполняются без труда. Покажем, что они приводят к расплыванию плазмы.
Если создался участок повышенной плотности, то неизбежен градиент давления, который начнет процесс рассасывания. Электроны движутся быстро, а ионы практически неподвижны. Поэтому середина участка приобретает положительный заряд. Возникшее электрическое поле в конце концов должно уравновесить градиент давления.
Теперь рассмотрим поперечное сечение участка (рис. 208в, слева). Ясно, что собравшийся в его центре положительный заряд
^^Магхшйхое тюле^^Магхшйхое тюле
^^Магхшйхое тюле
^^Магхшйхое тюле
будет источником радиального электрического поля. Все частицы плазмы в каждое мгновение движутся в скрещенных электрическом и магнитном полях. На спиральное движение вокруг магнитной силовой линии накладывается лоренцево смещение поперек линий электрического поля. В проекции возникнет круговое движение'
К нестабильности шнура нас приводит то обстоятельство, что скорости дрейфа в неоднородном электрическом поле меньше для ионов, чем для электронов (рис. 208в, справа).
Если электрон и ион (возьмем протон для примера) находятся в тепловом равновесии, то их радиусы обращения около магнитных силовых линий R^ и 2?р будут относиться, как 1 к 40. Действительно (см. стр. 407),
пXVUC , О . О ^еуееВ '— mpUp
Но при тепловом равновесии meVe=mpyp, т. е.
У — , а значит,У — , а значит,Я₽ К тр ~ 40 *Я₽ К тр ~ 40 *
У — , а значит,
У — , а значит,
Я₽ К тр ~ 40 *
Я₽ К тр ~ 40 *
Если электрическое поле, наложенное на магнитное, однородно, то радиус R не сказывается на скорости дрейфа. Скорость дрейфа,
разумеется, пропорциональна электрическому полю. Если электри
ческое поле неоднородно, то частица движется неравномерно — быстрее в области сильного поля и медленнее в области слабого поля.
Теперь сравним поведение электрона и иона, движущихся поперек электрических силовых линий неоднородного поля. Пусть ось спиральной траектории проектируется на область, где электрическое поле наиболее сильное (рис. 208г). У иона радиус в 40 раз больше; поэтому в своем закручивании около магнитной силовой линии ему придется побывать в области слабых электрических полей. Следовательно, электрическая сила, вызывающая дрейф, будет в среднем меньше для иона.
Вернемся теперь к нестабильности плазмы, возникающей из- за случайного образования небольшого плотного шнура. Мы показали, что в поперечном сечении этого участка возникает круговой дрейф частиц. Теперь мы знаем, что ионы будут сдвигать-
Рис. 208г,ся медленнее. Если бы плот
ность плазмы была однородной, то это обстоятельство было бы
незаметным. Но при неоднородной плотности круговой дрейф, медленный для ионов и быстрый для электронов, приводит к тому, что при дрейфе от мест высокой плотности к местам низкой плот
ности происходит преимущественное перемещение электронов и, наоборот, при дрейфе от менее плотных мест к более плотным, к этим областям приносится больше ионов.
Плазменный столб обязательно неоднороден по плотности просто по той причине, что он имеет границы.
Таким образом, от оси столба плотность падает к боковым стенкам. Это значит, что дрейф ионов и электронов в столь подробно нами рассматриваемом флуктуационном участке приведет к разделению зарядов в его поперечном сечении (см. рис. 208в, справа). Создается еще одно электрическое поле, показанное на рис. 208в слева. Это электрическое поле вместе с магнитным полем создает лоренцеву силу, действующую во внешнем направлении. Итак, плотные флуктуационные участки автоматически перемещаются от оси плазменного столба к его стенкам (сверху). Борьба с этой универсальной нестабильностью плазмы, разрушающей ее в малые доли секунды, является крайне сложной проблемой.
Задача техники состоит в создании «обратной связи», т. е. осуществлении такой конструкции, при которой случайные флуктуации вызывали бы силы, стремящиеся их уничтожить. Однако, как это сделать, до сих пор не вполне ясно.
ГЛАВА 27
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ
Дифракция электронов
На рис. 209 изображены картины рассеяния рентгеновских лучей и электронных пучков одним и тем же веществом. Полное сходство картин показывает, что и в случае электронов имеет место явление дифракции. Из рентгенограммы при помощи уравнения nX^d sin 6 можно, зная длину волны X, найти значения межплоскостных расстояний (см. стр. 351). Измерив на электронограмме
Рис. 209.
углы 6 всех колец и использовав значения d, найденные из рентгенограммы, можно вычислить X. Вычисления для всех колец приведут к одному и тому же значению. Этим доказывается дифракционное происхождение картины, доказывается возможность сопоставить пучку электронов определенную длину волны.
Для получения подобной картины следует на пути электронного пучка поставить тонкую пленку вещества. Электроны сильно поглощаются веществом и проходят только через пленки толщиной порядка 10*5 см. Электронограммы получают в электронографах — установках, похожих на электронный микроскоп. Для получения дифракционных электронот рамм можно даже использовать электронный микроскоп. Для этого достаточно устранить линзу.
Явление дифракции электронов применяется для тех же целей, что и дифракция рентгеновских лучей. Электронография обладает рядом достоинств перед рентгенографией. Первым преимуществом являются короткие экспозиции. Вещество гораздо эффективнее рассеивает электроны, нежели рентгеновские лучи. Электронограмма может быть получена за время, измеряемое секундами и долями секунд, в то время как для получения рентгенограмм нужны минуты и часы.
Так как электронные пучки не проникают в вещество сколько-нибудь значительно, то электронография является удобным способом исследования структуры поверхностей. Электронография позволяет изучать и расположение атомов в кристаллах, правда лишь в тех случаях, если структура несложная.
Нас интересует не столько применение электронографии, сколько сам факт дифракции электронов. Возвращаясь к нему, поставим самый важный вопрос: какова длина волны электронного пучка? На этот вопрос отвечает опыт. Меняя ускоряющее напряжение (/, мы изменяем длину волны, при этом X оказывается обратно пропорциональным V U, а именно.
а 12,25
Л ^ '■,
Vu
если X выражать в A, a U — в вольтах.
Еще в 1924 г., до открытия дифракции электронов, Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу: он предположил, что двойственное поведение электромагнитного поля, проявляющего себя не только в виде волны с частотой v и длиной X, но и в виде частиц, фотонов с энергией E=hv и импульсом р = — = — , следует распространить и на частицы вещества. Опыты по дифракции электронов подтвердили это предположение. Формулу длины волны электронов
-х=А=А
р ти
с помощью соотношения mv2/2=eU, откуда v^VSeU/m, мы сразу же приводим к виду
* const*h
-к = —» где const* = г-♦
,VUV^etn
Подстановка значений е, т и h в системе СГС с одновременным переводом значения U в вольты дает для константы приведенное выше значение. Этим бесспорно доказывается справедливость гипотезы де Бройля.
Длины электронных волн для разных значений ускоряющих потенциалов, рассчитанные по приведенной формуле:"
(7(B)11001000
-1(A)12,251,220,39
Поскольку дифракция на кристалле возможна тогда, когда длина волны по порядку равна периоду кристаллической решетки (—1 А), видно, что дифрагировать на кристалле могут электроны, обладающие энергиями порядка сотен электронвольт.
§ 180. Основные идеи квантовой механики
Итак, пучок электронов может вести себя как волны с длиной Х—Ыр. Является ли это поведение типичным для совокупности большого числа электронов или волновые свойства присущи отдельному электрону? Для ответа на этот вопрос можно сравнить электроно- 440
граммы, полученные с сильным и слабым пучком электронов. В одном таком опыте пучок был настолько слаб, что средний промежуток времени между двумя последующими прохождениями электрона через дифрагирующую систему был в 30 000 раз больше времени, затрачиваемого электроном на путь от нити накала до фотопластинки. Тем не менее дифракционная картина ничуть не отличалась от другой электронограммы, полученной с пучком в 107 раз более сильным. Подобные опыты показывают, что волновая природа присуща каждому отдельному электрону. Таким образом, то, что было сказано на стр. 388—390 о фотоне, справедливо и для электрона. Электрон не ведет себя подобно пуле и горошинке. Поведение электрона не может быть описано с помощью уравнений механики Ньютона. Изучение поведения микрочастиц составляет предмет так называемой квантовой механики.
Двойственное поведение электрона не является особенностью именно этой частицы. Волновое поведение характерно для любой микрочастицы. Может наблюдаться, например, дифракция нейтронов. Наблюдалась дифракция атомов гелия, молекул водорода. Как мы увидим ниже, волновые свойства отходят на задний план по мере того как масса частицы растет. Но об этом позже. Обозначим амплитуду волны, сопоставленной с микрочастицей массы т, через ф. Эта амплитуда, как, впрочем, амплитуда волны любой природы, есть функция координат. Функция ф(х, у, г) («пси-функция») должна удовлетворять волновому уравнению (см. стр. 307)
Аф + ^ф = 0.
Подставим в это уравнение длину волны микрочастицы Х= —h/(mv), выразив скорость частицы через ее энергию. Если частица движется в поле с потенциальной энергией U и обладает полной энергией ^, то
= и У = У
Подставляя в волновое уравнение, получим:
Это уравнение называется уравнением Шредингера и является основным законом квантовой механики. Проведенная подстановка в волновое уравнение ни в какой мере не является выводом основного закона квантовой механики. Ее надо рассматривать только как иллюстрацию догадки, приведшей к открытию этого уравнения.
Так же, как и основной закон движения Ньютона, уравнение Шредингера является законом природы, охватывающим, как мы увидим далее, обширный круг явлений ).
Это дифференциальное уравнение позволяет в принципе найти амплитуду волны ф(х, у, г), сопоставляемой с микрочастицей во всех точках рассматриваемого пространства.
Как же проверить справедливость уравнения Шредингера? Это можно сделать при помощи основного утверждения теории: интенсивность ф-волны в каждой точке пространства, т. е. значение ф2, есть плотность вероятности *) нахождения электрона в этом месте пространства. Что же касается амплитуды ф-волны, то она (аналогично векторам напряженности электромагнитной волны) на опыте не измеряется.
Описание частицы ф-функцией не является каким-то неполным, несовершенным способом описания ее движения. Было бы неверным думать, что только в силу особенностей квантовой механики мы находим лишь вероятности ф2 (х, у, г) пребывания частицы в данной точке пространства и что возможна другая, лучшая теория, при помощи которой можно будет находить траекторию частицы и указывать достоверно, где она находится. Достоверное описание движения частицы, определение ее траектории, невозможно по той причине, что микрочастица ведет себя совсем не так, как большое тело. Микрочастица не есть частица в классическом смысле этого слова.
Мы еще раз повторим описание эксперимента с двумя щелями, который был использован при обсуждении двойственного поведения фотона. *
Пусть пучок электронов падает на экран с двумя щелями. Произойдет дифракция. Остановим свое внимание на одной точке экрана, скажем, той, где интерференция уничтожила волны. Если открыть лишь одну щель, то в эту точку будут приходить электроны. Если открыты обе щели, то в эту точку электроны не придут. Невозможно объяснить этот факт коллективными действиями электронов.
Если настаивать на том, что электрон ведет себя как классическая частица, то придется согласиться с тем, что электрон, проходящий через одну щель, «знает», открыта или закрыта вторая щель, и в зависимости от этого меняет свое поведение. Разумеется, мы должны сделать вывод, что электрон не является классической частицей. Каждый электрон обладает волновыми свойствами, и понятие траектории к электрону не применимо в полной мере. Поэтому вопрос о том, через какую щель прошел электрон в том опыте, когда обе щели были открыты одновременно, лишен содержания. Такой вопрос законен только для «обычной» частицы, но не для микрочастицы.
Значит ли это, что становятся бессмысленными любые суждения о скорости микрочастиц и их координатах? На этот вопрос дает ответ так называемый принцип неопределенности, установленный немецким физиком Гейзенбергом.
§181. Принцип неопределенности
Этот принцип указывает, в каких пределах можно пользоваться классическим описанием микрочастицы.
Применимость понятия траектории. Положим, что мы хотим определить координату микрочастицы в некоторой точке х и нам это удается сделать с точностью ^x. Чтобы «увидеть» частицу, нужно применить «микроскоп», работающий при помощи света достаточно короткой длины волны, так как чем меньше X, тем больше разрешающая способность. В принципе мы можем сделать \х как угодно малым, для этого придется лишь брать длину волны X покороче, чтобы Ах было того же порядка, что и длина волны: Дх^Х.
Однако короткая длина волны означает большой импульс р= =Н!Х у фотона. Этот импульс будет передан «рассматриваемой в микроскоп» частице. Частица получит «щелчок» и изменит свой импульс на величину Np порядка ИА. Уменьшая X, мы будем уменьшать неопределенность в координате Дх, но зато будет возрастать неопределенность в наших знаниях Ар. Исключая X из двух соотношений Дх^Х и \p^h!K, получим уравнение
Ах-Др ^ И, выражающее принцип неопределенности. Принцип указывает, что описание траектории микрочастицы имеет физический смысл лишь в том случае, если оно произведено с неопределенностями в значениях координат и импульса вдоль одного и того же направления, удовлетворяющими неравенству
Дх-Ар > И.
Это замечательное соотношение устанавливает границы применимости языка классической физики по отношению к микрочастице.
Подставляя вместо импульса р произведение то (что справедливо для скоростей, не очень близких к скорости света), мы получим условие
А А
Ах • Av > — ,т *
связывающее неопределенности в координате и скорости вдоль оси х. Правая часть соотношения будет иметь совсем разные порядки величин в зависимости от того, пойдет ли у нас речь об электроне, атоме, молекуле или теннисном мяче.
Для электрона
—7 см2/с
т*
и, значит, неопределенности в координате и скорости связаны соотношением
Ах-Av > 7.
Электрон находится внутри атома (размер 10~? см). Можно ли описать движение электрона в атоме, как если бы электрон был
«обычной» частицей? Используя принцип неопределенности,находим, что Аи^Ю8 см/с. Таким образом, суждения о скорости атомного электрона могут иметь лишь самый общий характер. Лишены содержания понятия траектории электрона в атоме, пути перехода электрона из одного энергетического состояния в другое (см. ниже) и т. д. Короче говоря, у атомного электрона признаки «обычной» частицы малозаметны.
Допустим теперь, что электрон попал в камеру Вильсона и мы грубыми средствами хотим проследить его траекторию с точностью порядка десятых долей миллиметра. Если толщина следа частицы Ах=10“2 см, то по соотношению неопределенности Аи^7 м/с; это — неопределенность поперечной составляющей скорости. Если электрон летит со скоростью хотя бы 1 км/с (а тем более еслй это быстрый электрон), то неопределенность указанного порядка роли не играет и траектория электрона приобретает смысл. Так же мы можем обсуждать пути электронного луча в микроскопе, говорить о траектории электронов в электронно-лучевой трубке, и при этом не придем в противоречие с «классической» картиной.
Протоны, нейтроны, атомные ядра и атомы обладают в тысячи раз большей массой. Возможности классической трактовки этих частиц несколько шире. Так, например, для а-частицы, масса которой примерно в 7000 раз больше массы электрона,
Ах-Аи > 10~3.
Можно ли спрашивать, в каком месте атома проходила через него траектория а-частицы, проникшей в вещество? Желая начертить траекторию с точностью 10~9 см, мы располагаем сведениями о поперечной слагающей скорости с неопределенностью 106 см/с= = 10 км/с. Для быстрой а-частицы (20 000 км/с) эта неопределенность незначительна, значит, можно говорить о том, далеко ли от центра атома проходит траектория пронизывающей его а-частицы.
В то же время бессодержательны разговоры о траектории протонов и нейтронов в ядрах, так как размер ядра ~10-13 см.
Уже для крупной молекулы, скажем, белковой с молекулярным весом порядка 106, принцип неопределенности теряет значение. Для такой молекулы произведение Ах-Аи>10~7, и о траектории молекулы можно смело говорить в достаточных деталях. Даже хаотическое тепловое движение такой молекулы, средняя скорость которого порядка 1 м/с, можно проследить и начертить траекторию центра тяжести молекулы с точностью порядка 1 А.
Не приходится и говорить о том, что даже для пылинки, видимой в микроскоп, принцип неопределенности уже не будет иметь практического значения.
Возможности одновременного измерения двух физических величин. Не следует думать, что невозможность определения траектории частицы связана с каким-либо несовершенством измерения и что в дальнейшем физика справится с этой задачей. Отсутствие смысла в одновременном идеально точном задании некоторой пары фи-
зических величин является особенностью микрочастиц. Отличие микрочастицы от «обычной» частицы и сказывается в том, что методы описания поведения «обычной» частицы становятся непригодными для микрочастицы. Только для классической частицы имеет смысл одновременное задание и определение координаты и импульса.
Принцип неопределенности имеет более широкое значение, нежели способ прикидки возможности или невозможности построения траектории частицы. Органически входя в математический аппарат квантовой механики, принцип неопределенности позволяет выяснить возможность одновременного измерения любых физических величин, а не только координаты и импульса.
Прежде всего, уточним принцип неопределенности в отношении координаты и импульса. Следует вспомнить, что у частицы имеются три координаты и что вектор импульса имеет три компоненты. Вместо одного соотношения, обсуждавшегося выше, надо написать три соотношения, а именно:
Дх-&рх> h; \у-kpy>h\ kz-kpz> h.
Квантовая механика рассматривает также вопрос о возможности одновременного определения (задания) всех координат по разным осям, а также всех составляющих импульса. Одновременное задание координат или одновременное задание всех трех компонент импульса оказывается возможным (имеющим смысл). Зачем мы подчеркиваем это обстоятельство? Казалось бы, всегда можно определить одновременно три компоненты любого вектора. Детальное рассмотрение показывает, что это не так. Примером вектора, три компоненты которого не могут быть определены одновременно, может служить вращательный импульс частицы (другие термины: момент количества движения, момент импульса).
Пусть частица вращается около некоторой оси с вращательным импульсом L. Это движение можно рассматривать как совокупность трех вращений около трех взаимно перпендикулярных осей с вращательными моментами Lx, Ly и Lz. Если мы имеем дело с «обычной» частицей, то, разумеется, можно раздельно определить все три компоненты вращательного импульса, поскольку можно проследить за траекторией частицы. Для микрочастицы подобное определение невозможно, а одновременное задание всех трех компонент вращательного импульса бессмысленно. Действительно, допустим на минуту обратное: все три компоненты вращательного импульса известны. Но тогда по трем составляющим можно построить и полный вектор вращательного импульса. Если же это сделано, то этим определена плоскость, в которой движется частица. Но если известна эта плоскость, то мы знаем в точности координату частицы вдоль оси вращения и одновременно отмечаем, что скорость поступательного движения вдоль оси вращения равняется нулю. Это противоречит принципу неопределенности, связывающему координату и импульс.
Таким образом, для микрочастицы характерна невозможность одновременного определения трех компонент ее вращательного импульса. Какие же сведения в отношении вращения могут быть заданы одновременно? Принцип неопределенности отвечает на это следующим образом: любая из компонент и абсолютное значение (длина вектора) вращательного импульса. Из этого правила имеется одно исключение: для микрочастицы может быть установлено полное отсутствие вращения, т. е. равенство нулю вектора вращательного импульса, иначе говоря, равенство нулю всех трех его компонент одновременно.
Энергия и промежуток времени. Оперируя принципом неопределенности, связывающим координату и импульс частицы, можно предположить, что аналогичное соотношение должно касаться в какой-то мере и энергии. Действительно, в механике обычных частиц для вычисления полной энергии как суммы кинетической и потенциальной, необходимо было знать одновременно и положение частицы и ее скорость. Для микрочастицы это невозможно. Однако полная энергия частицы может быть найдена целиком, без разделения на части, и на основании только что сказанного естественно ожидать, что это может быть сделано с некоторой неопределенностью А(£. Если думать, что принцип неопределенности сохранит свою форму, то из соображений размерности следует, что соотношение неопределенности для энергии должно иметь вид
А^-Ат h,
где Ат есть промежуток времени.
Что это за временной интервал и какой смысл надо вложить в соотношение неопределенности для энергии? Под Ат надо подразумевать время, в течение которого микрочастица обладает энергией ^±А^. Неопределенность энергии микрочастицы определяется временем пребывания в этом энергетическом состоянии. Существенных значений неопределенность в энергии может достигнуть лишь в тех случаях, когда время пребывания на данном энергетическом уровне начнет определяться ничтожными долями секунды.
Атомный электрон находится сколь угодно долго на своем самом низком (основном) энергетическом уровне (подробнее см. ниже). Поэтому энергия основного состояния фиксирована вполне жестко. На более высоком уровне электрон задерживается весьма недолго. Энергия его в этом состоянии будет <§±А<§. Соответственно с этим частота, излученная атомом, при переходе с более высокого на более низкий энергетический уровень не может быть строго определенной, а лежит в небольших границах v+A^/Л. Это и наблюдается на опыте — спектральные линии обладают конечной шириной, чем и пользуются для определения так называемых времен жизни микросистемы в возбужденном состоянии. Опыт показывает, например, что ширина спектральных линий в рентгеновской области имеет порядок 10 эВ. Тогда время жизни в возбужденном состоянии имеет порядок h!А^^Ю-16 с. . .
§ 182. Потенциальный ящик
В свое время (§ 13) мы познакомились с потенциальными кривыми, наглядно передающими условия движения частицы. Простейшей кривой такого типа является прямоугольная кривая, так называемый потенциальный ящик. В таком ящике потенциальная энергия имеет неизменное значение на протяжении некоторого отрезка а (для простоты ограничимся линейной задачей). На бортах ямы потенциальная энергия меняется скачком. Если стенки ящика очень высоки, то можно считать потенциальную энергию внутри ящика равной нулю (ведь выбор начала отсчета не играет роли), а на бортах ямы равной беско-,, нечности (рис. 210).
Положим, что в таком ящике находится один электрон (или любая другая частица), и попробуем решить вопрос о ха- | рактере его движения. Мы ре- • шаем простейшую одномерную ; задачу и полагаем, что электрон движется лишь вдоль оси х. Если бы к электрону были применимы законы механики Ньютона, то такой электрон двигался бы непрерывно сначала в одну сто- — - рону ящика, упруго отражал- ся бы от стенки, затем двигался бы в обратную сторону и т. д. Иначе быть не может с точки зрения механики Ньютона, поскольку при (/—0 кинетическая энергия то2>12 будет постоянной. Таким образом, по поводу возможных движений в потенциальном ящике механика «обычной» частицы приводит к следующим заключениям. В ящике возможно движение с любой кинетической энергией mv42\ частица может также покоиться в ящике. Для каждой данной энергии движение будет равномерным и будет происходить то в одну, то в другую сторону, причем в конце дозволенного интервала скорость меняется скачком по направлению.
Посмотрим теперь, какой ответ о движении электрона в таком ящике даст квантовая механика.
Поведение электрона мы должны характеризовать функцией ф, квадрат которой укажет вероятность нахождения электрона в какой- либо точке дозволенного отрезка. Так как внутри ящика (/=0, то уравнение Шредингера упрощается и записывается в виде
<^2ф4л2 п а К
Ьт + ^Ч-О, где
2лх
Этому уравнению удовлетворяют синус и косинус от аргумента —^- .
Если ящик ограничен координатами х=0 и х>=а, то при этих
значениях -ф=0 (за стенки электрон не проникает). Поэтому cos 2л у не годится в качестве решения уравнения (cos 2л у = 1 при х=0). Значит,
■ф = Л sin ух.
Но длина волны X не может быть любой, так как *ф=0 при х=а. Значит, должно выполняться равенство
^п = (п+ 1)л,
или
Х = -^г, где п = 0, 1, 2,
Итак, длина волны может принять значения 2а, а, ~ , у , ... Мы видим, что ф-функция представляет собой амплитуду стоячей волны (ср. стр. 116) и вся рассмотренная задача имеет формально много общего с задачей колебания стержня или струны. Но если длина волны X имеет дискретный ряд значений, то энергия ^ микрочастицы уже не может быть любой, а равна
о = (2Н^)1^.
'® 8та2 ’
целое число п называется квантовым числом.
Таким образом, уравнение Шредингера приводит к квантованию энергии. Микрочастица в потенциальном ящике имеет ряд дискретных уровней энергии. Самый низкий энергетический уровень имеет место при п=0. Энергия равна . Это — нулевая энергия частицы, находящейся в потенциальном ящике.
Наличие нулевой энергии является интересной особенностью микрочастиц. У «обычных» частиц низшей энергией является нулевое значение. У микрочастиц ни при каких условиях не достигается прекращение движения. При абсолютном нуле температуры микрочастица обладает определенной нулевой энергией, существенно различной в зависимости от характера поля сил, в котором находится частица.
Пример. Пусть а= 1 А (характерная для атомной области величина). Тогда нулевая энергия электрона в потенциальном ящике будет
б-Ю-27!2
^ = №=МЛ7йР7Г^-°'6'10-10"Р^^ >В.
Пусть а=1 см (свободный электрон в куске металла). Тогда"^—0,6-10~26 эрг= =37-10~16 эВ.'
Находясь на данном энергетическом уровне, электрон имеет скорость, которую можно вычислить из длины волны: v=hlm\. Однако движение электрона уже нельзя описывать уравнениями
классической механики, и невозможно указать, где находится электрон в тот или иной момент времени. Зато можно найти значение ф2, т. е. плотность вероятности нахождения электрона в том или ином месте пространства, по уравнению
ф„ = Л2sin2 у х = Д2 sin2-— (/г+ 1) х.
Характерным обстоятельством является следующее: каждому энергетическому уровню соответствует своя (того же номера п) волновая функция (собственная функция).
На рис. 211 показана ф-функция и ее квадрат для четырех первых энергетических уровней электрона, находящегося в потенциальном ящике. Квантовая механика приводит к выводу, что электрон бывает не одинаково часто в разных точках пространства. Если энергия электрона — наименьшая (он находится на основном уровне, и=0), то чаще всего мы встретим электрон в середине «ящика». Если электрон находится в состоянии с м=1, то он никогда не бывает в центре дозволенного отрезка, и т. д. Кривые ф2 дают ясное представление о тех местах, где бывает электрон.
Подведем итоги. Механика микрочастиц приводит к следующим заключениям в отношении движения микрочастицы в потенциальном ящике. В ящике возможно движение лишь с дискретным рядом значений энергии ^0,(^1, §2» • • • Частица не может покоиться, так как и самому низкому энергетическому уровню соответствует движение с некоторой скоростью. Сведения о характере движения частицы при определенной энергии указываются квадратом ф-функции; зная ф2(х), можно узнать, в каких точках пространства микрочастица бывает чаще, а в каких точках — реже.
Нам остается выяснить, при каких условиях становится возможным «обычное», т. е. классическое, описание поведения частицы.
Представим себе, что речь идет о молекуле кислорода, запертой в реальном ящике, размеры которого в несколько десятков раз превышают размеры молекул. Пусть молекула имеет среднюю
44944915 А. И. Китайгородский
449
449
энергию молекулы кислородного газа при комнатной температуре, т.е. 10"13 эрг. Беря значения ц= 100 А, т*=5,4* 10~25 г,^=Ю~13эрг, найдем, на каком квантовом уровне будет находиться микрочастица. Вычисление дает п=1000. Отсюда следуют два вывода. Во- первых, кривая ф£ будет иметь столь огромное число чередующихся максимумов и минимумов, что мы не сильно погрешим против истины, если скажем: вероятность пребывания частицы одинакова для всех точек ящика. Во-вторых, мы видим, что соседние уровни энергии будут очень близки.
Обе особенности, следующие из основного уравнения квантовой механики, стираются: распределение вероятностей для частицы становится практически неотличимым от огибающей кривой, энергетические уровни сближаются настолько, что дискретность энергии становится практически незаметной. Результаты квантовой механики начинают совпадать с результатами механики больших частиц. Это происходит всегда, когда энергия частицы соответствует большому квантовому числу. Мы пришли к важному принципу квантовой механики: при больших квантовых числах результаты квантовой механики совпадают с механикой «обычных» частиц. Это значит, что при больших п понятие траектории частицы и другие особенности, свойственные обычной частице, применимы и к микрочастице.
Что дает решение уравнения Шредингера
Мы уделили относительно много места движению частицы в потенциальном ящике. На этом простейшем примере было легко показать основные черты квантовомеханического метода рассмотрения задач. Если электрон (или другая частица) может совершать движения в ограниченном объеме, то характерные особенности решения уравнения Шредингера сохраняются, какую бы форму ни имела в этой области потенциальная кривая. Во всех случаях потенциальную яму можно пересечь некоторым количеством горизонтальных прямых — возможных энергетических уровней. В принципе уравнение Шредингера позволяет вычислить эти значения энергии, если только задана форма потенциальной ямы. Самый низкий уровень дает нулевую энергию частицы для данной потенциальной ямы. '
Для каждого энергетического уровня номера п квантовая механика устанавливает вид волновых функций фп(х, у, г). Величина ф2 (*, У> 2) Дает плотности вероятности нахождения частицы в данной точке пространства, если энергия частицы есть <§п. Так как за время измерения частица успеет многократно побывать во всех точках пространства, то ф2(х, у, г) можно рассматривать как плотность «облака частицы». Электронное облако, окружающее атомное ядро, есть нечто вроде фотографии атома, снятой с длительной экспозицией. ф-функция является амплитудой волны, сопоставляемой частице. В примере электрона, находящегося в потенциальном 450
ящике, это были стоячие волны и каждому уровню соответствовала своя длина волны X.
В общем случае дело будет обстоять не так и стоячие «волны», соответствующие данному состоянию (данному п), будут весьма своеобразны: их длина волны X = -^^^ —-— будет разной в разных точках пространства в соответствии с ходом потенциальной «кривой» U (%, у, г). Для более или менее сложных примеров сходство ф-функции с амплитудой стоячей волны (в привычном смысле этого слова) становится весьма отдаленным.
Теория и опыт показали, что в ряде случаев одному значению энергии ^п могут соответствовать несколько собственных функций фп. Это происходит, если при одной энергии возможны состояния частицы, отличающиеся другой физической величиной (например, вращательным импульсом). Виды ф3-облаков таких состояний (их называют вырожденными) могут радикально различаться.
Если найдены уровни энергии и вычислены собственные ф-функ- ции для всех уровней, то этим исчерпывающим образом решена задача о движении частицы в потенциальной яме данного вида. Зная решение уравнения Шредингера, можно предсказать результат того или иного измерения, произведенного над этой частицей.
§ 184. Туннельный переход
Мы остановимся сейчас на своеобразном эффекте, который возможен для микрочастицы и невозможен для обычной частицы. Речь
идет о туннельном переходе, «просачивании» частицы через потен циальный барьер.
Представим себе (рис. 212), что внутри области, в которой дви жется частица, имеется потенциальный барьер с высотой U и ши
риной d. Если энергия частицы $<и> то обычная частица может находиться либо перед барьером, либо за барьером. Переход через барьер невозможен, так как при этом частица будет иметь отрицательную кинетическую энергию и мнимую скорость, что бессмысленно. Иначе обстоит дело для микрочастицы. Принцип неопределенности не позволяет приписать микрочастице одновременно точные
значения скорости и координатыРис. 212.
и, следовательно, кинетической и
потенциальной энергии. Поэтому частица с полной энергией ^ может пройти сквозь барьер.
Условия этого перехода можно оценить следующим образом.
Неопределенности координаты и импульса связаны соотношением
45145115*
451
451
&x-&p^h. Неопределенность в импульсе однозначно связана с неопределенностью в кинетической энергии, так как K=p^!^mY Если только kK есть величина порядка U—<§, где^— энергия частицы, a U — высота барьера, то частица, находящаяся слева от барьера (см. рисунок), имеет неопределенность в координате
ДХ ~=- .
Если ширина барьера d меньше Ах, частица может быть обнаружена по другую сторону барьера. Частица как бы проходит по туннелю, проложенному сквозь барьер на уровне полной энергии^.
Итак, условие туннельного перехода заключается в том, что
dV^m^U —<h, т. е. ^V^m^J—<§) < 1.
Как нетрудно видеть из примеров, явление имеет значение только для микрочастиц.
При U—^=10 эВ^Ю”11 эрг, т~10-27г (масса электрона) и d~10~8 см -^- K2m (U — ^)=0,2 < 1, т. е. туннельный переход возможен.
Для шарика с массой т=Л г, лежащего рядом с поставленной спичечной коробкой ^U—^=3000 эрг, d=2 см), -^- V"2т (U— ^) — 2,5- 1028> 1. Ясно, что шарик сквозь спичечную коробку «просочиться» не может.
Строгая теория позволяет оценить вероятность просачивания через барьер. Эта вероятность оказывается пропорциональной
-^^ К2т (U -8) dе.
Туннельный эффект является строгим следствием уравнения Шредингера. Решение этого уравнения показывает, что ф-функция имеет отличные от нуля значения и в тех точках пространства, где U^>(§. Значит, с некоторой вероятностью, тем меньшей, чем больше U—^, электрон может быть найден и в тех областях пространства, где на языке «обычных» частиц он обладал бы отрицательной кинетической энергией.
ГЛАВА 28
СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 185. Энергетические уровни атома водорода
Один электрон, «вращающийся» в поле ядра. Казалось бы, простая задача. Однако даже для этого простейшего атома решение уравнения Шредингера очень громоздко, и мы не имеем возможности его проделать. Что же касается результатов этого расчета, то мы их обсудим довольно детально.
452
Между электроном и ядром действует электрическое кулоновское притяжение. Потенциальная энергия электрона в поле ядра равна U——еЧг, где е — заряд электрона (такой же, как и заряд протона), а г = Ух^ А"У^ А-^— расстояние электрон — ядро.
Уравнение Шредингера имеет вид
^ФН ^ + у J ф — о.
Атом является своеобразным вариантом потенциальной ямы. Она изображена на рис. 213. Это — яма без дна и с расходящимися бортами. Борта ямы — гиперболы, ось г=0 является одной из асимптот. Электрон внутри атома обладает отрицательной потенциальной
энергией), поскольку минимальное значение потенциальной энергии стремится к бесконечности при г -> 0, а максимальное значение равно нулю.
На рис. 214 изображены энергетические уровни, полученные решением уравнения Шредингера. Существенной особенностью решения является сближение уровней по мере возрастания квантового числа п. О переходе между уровнями пойдет речь ниже. Шкалы значений, пропорциональных энергии, даны в принятых в спектроскопии единицах: вольтах и обратных сантиметрах.
Формула энергетических уровней может быть представлена в виде о 2 я2 те4
По историческим причинам принято эту формулу записывать в виде л cRh
где R = 2л^— = 109740 см"1 называется постоянной Ридберга.
Таким образом, не только потенциальная, но и полная энергия электрона в атоме оказывается отрицательной. Электрон атома может находиться на уровнях, нумеруемых числом п. Чем больше п, тем выше энергетический уровень, тем большей энергией обладает электрон. Электрон свободного атома водорода, не подвергающегося каким бы то ни было воздействиям, находится на самом низком энергетическом уровне ^i =—cRh.
Если атому любым способом сообщается энергия, большая по величине, чем cRh, то электрон выходит за пределы потенциальной ямы — атом ионизуется. Энергию cRh называют энергией ионизации.
Принято характеризовать работу отрыва электрона от атома потенциалом ионизации. Для атома водорода
v cRh 3.1О1о.1О974О.6,6.1О-27, ,iqcd
УИон = —=4,8710-ю= 4,5-10 2 ед. СГС=13,5В.
Причина названия следующая. Положим, что отрыв электрона от атома водорода происходит под действием пучка электронов. Чтобы ионизовать атом водорода, надо разогнать электроны, играющие роль снарядов, по крайней мере до энергии eV=cRh. Следовательно, V есть разность потенциалов, до которой надо разогнать электрон, чтобы при ударе об атом водорода он сумел вызвать ионизацию.
Если атом водорода получит энергию, меньшую cRh, то он может перейти на какой-либо п-й уровень). Про такой атом говорят, что он находится в возбужденном состоянии.
В возбужденном состоянии атом находится ничтожные доли секунды и переходит на более низкий уровень, испуская фотон в соответствии с равенством
^тп = Sm — Sn = CRH ( ^—^2 ) -
Если атомы водорода возбуждаются различного рода соударениями, то они поднимаются на различные уровни энергии и возвращаются на основной уровень «прыжками» через различное число
Рис. 215.
ступеней (см. рис. 214). Поэтому большое скопление атомов водо рода будет излучать различные фотоны со всевозможными частотами vmn. Возникает характерный линейчатый спектр испускания.
Вычисляя при данном п частоты vm, соответствующие числам tn=n-VL я+2, ..., можно получить различные серии частот линий в спектре водорода. Существование этих серий было известно задолго до создания квантовой механики. Одна из них (серия Бальмера) соответствует п=2. Подставляя т=3, 4, 5, 6, 7, 8,
вычислим длины волн шести линий в этой серии: Х3—6562,80 А;
4861,38 А; Х5=4340,51 А; \ -4101,78 А; Х7 -3970,11 А; Х8=3889,09 А. Хорошо заметно сближение линий по мере роста т, что и наблюдается на опыте (рис. 215). Расхождение этих теоретических цифр с опытом не превышает пяти единиц в последней цифре.
§ 186. Квантовые числа
Решение уравнения Шредингера позволяет найти не только все энергетические уровни^ атома водорода, но и все его волновые функции. В основном состоянии электрон характеризуется одной функцией ф1. Что же касается возбужденных состояний, то все они — по терминологии квантовой механики — вырождены, при этом ц2-кратно. Этот термин означает, что энергии ^2 соответствуют четыре ф-функции, энергии ^3 — девять и т. д. Каждое из этих состояний может реально осуществиться.
Чем же отличаются друг от друга п2 состояний с одним и тем же квантовым числом п? Квантовая механика дает ответ на этот вопрос. Состояния с одним и тем же значением энергии §п могут отличаться величиной вращательного импульса электрона, а также значением проекции вращательного импульса на какое-либо направление (это направление выделяется среди прочих просто тем, что мы его выбрали).
Результат решения уравнения Шредингера для атома водорода таков: вращательный импульс электрона имеет дискретный ряд значений, которые даются, формулой
где / может принять любое целое значение от 0 до п — 1, если электрон находится на n-м уровне.
Далее, уравнение Шредингера показывает, что по отношению к избранному направлению z вращательный импульс L может быть ориентирован лишь таким способом, чтобы
Lz — т — ,2 2л ’
где т — целое число, которое может принять значения от — / до +/, включая нуль.
Напомним, что в соответствии с принципом неопределенности знание L и Lz исчерпывает возможные сведения о вращательном импульсе, иначе говоря, имеет смысл одновременное задание только лишь этих двух величин.
Итак, состояние электрона в атоме характеризуется тремя квантовыми числами: п, /, т. Число п называют главным, I — побочным и т — магнитным квантовыми числами.
Состояния со значениями /=0, 1, 2, 3, ... обозначают соответственно буквами s, р, d, f, ... Число впереди буквы используется 456
для указания главного квантового числа. Например Зр-состояние — это состояние с п—S и 1=Л.
Приведем перечень всех возможных состояний для п^Х, 2 и 3.
п
/
Обозначение состоя-
т
1
0
1s
0
2
0
2s
0
1
2р
— 1, 0, 1
3
0
3s
0
1
Зр
— 1 0, 1
2
3d
—2, — 1, 0, 1, 2
Энергетические переходы у водородного атома определяются исключительно значениями главного квантового числа п. Чтобы числа /, т стали играть роль, нужно «снять вырождение», т. е. добиться такого положения, при котором состояниям с разным вращательным импульсом соответствовала бы разная энергия. Для атомов водорода это можно сделать, помещая их в магнитное поле. У других атомов, как мы увидим ниже, вырождение снимается взаимодействием электронов.
§ 187. Электронное облако для s- и р-состояний
Состояние, характеризуемое тройкой чисел п, /, т, описывается волновой функцией фп^,т. Этому состоянию соответствует характерная форма электронного облака, определяемая функцией Ф2пл^»- Остановимся на виде ф2-функций водородного атома, характеризующих различные возбужденные состояния этого атома.
Рассмотрим s-состояния. Так как /=0, то и т=0, значит, для каждого п имеется лишь одна ф-функция. Равенство /=0 говорит об отсутствии у электрона вращательного импульса. Естественно, это требует отсутствия предпочтительных направлений движения, т. е. сферической симметрии электронного облака. Уравнение Шредингера и дает такой результат: функции ф15, ф2^, ф35 и т. д. сферически симметричны.
На рис. 216 построены кривые радиального распределения плотности электронного облака (или, что то же самое, плотности вероятности пребывания электрона в данном месте). По оси ординат отложена величина 4лг2ф2, называемая радиальной плотностью; очевидно, 4nr2^dr есть число электронов ), заключенных в шаровом слое между радиусами г и r-Vdr. Кривые радиальной плотности
показывают, что в состоянии 1s имеется один максимум электронной плотности, у атома водорода он находится на расстоянии 0,53 Л от ядра. В состоянии 2s имеются два максимума плотности; правда, в основном электрон будет внутри второго максимума. Наконец,
в состоянии 3s имеются три максимума плотности, из которых наиболее «посещаемым» является дальний.
С возрастанием главного числа п электронное облако расплывается.
Совершенно иначе выглядят функции p-состояний. Значению /=1 могут соответствовать три значения т=0, —1, +1. Представление о конфигурациях электронного облака дает рис. 217. При т=0 длинная ось «восьмерки» располагается вдоль выделенного направления, при т=±Л — перпендикулярно к нему. Очевидно, состояния с т^±1 имеет смысл различать лишь тогда, когда они присутствуют оба. Рисунок дает некоторое представление о симмет- 458
рии электронного облака. Она одинакова для всех р-состояний. Различие в главном квантовом числе сводится лишь к изменению характера радиального спада плотности: чем больше п, тем больше растянется картина.
Мы не будем обсуждать состояний с большими значениями I, их электронные облака более сложны.
§ 188. Принцип Паули
Известно, что атомы расположены в таблице Менделеева по возрастающему числу электронов в них. У гелия два электрона, у лития — три, у бериллия — четыре. Какие предсказания о структуре атомов можно сделать с помощью уравнения Шредингера?
На первый взгляд проблема может показаться безнадежной. Строгая процедура уже для гелия должна была бы заключаться в решении уравнения Шредингера для нахождения волновой функции с шестью переменными ф(Х1, ух, гп х2, у2у г2), квадрат которой должен был бы дать значение вероятности нахождения первого электрона в точке х1У ylt zx при одновременном пребывании второго электрона в точке х^ у^ г2. В качестве потенциальной энергии нужно было бы подставить в уравнение
,, 2е32е2 . е2
Г1Г2Г12
где гх и г2 — расстояния электронов до ядра (заряд ядра гелия 2^), a ft2 — расстояние между электронами. Точное решение подобной задачи совершенно невозможно.
Было бы крайне желательным говорить отдельно о каждом электроне атома и описывать каждый атомный электрон своей волновой функцией ф(х, у, zY Но как это сделать? Очевидно, надо рассматривать движение одного электрона в поле ядра и остальных электронов. Это эффективное поле можно считать обладающим сферической симметрией. Поэтому описание свойств такого электрона не будет отличаться от описания электрона водородного атома.
Разумеется, задача все же будет довольно сложной: для различных электронов эти эффективные поля различны, а главное, их надо определять все одновременно, поскольку каждое из них зависит от состояний всех остальных электронов (подобное эффективное поле называют самосогласованным). Такой подход к задаче о многоэлектронном атоме позволяет в значительной степени сохранить описание свойств электрона атома водорода для описания поведения электрона сложного атома.
Состояние каждого электрона будет характеризоваться теми же квантовыми числами, что и у водорода. Однако в случае атома, состоящего из нескольких электронов, взаимодействие электронов снимает вырождение и уровни с разными I и т будут обладать разными энергиями.
Уравнение Шредингера позволяет найти возможные уровни энергии, но ничего не говорит о том, какой энергией будут обладать атомные электроны. Можно было бы думать, что все электроны атома займут самый низкий энергетический уровень. По крайней мере таким было бы поведение «обычных» частиц. Однако опыт категорически отвергает подобное предположение. «Размещением» электронов по энергетическим уровням управляет так называемый принцип Паули. Первоначальная догадка о существовании такого принципа была получена из рассмотрения таблицы Менделеева.
Как говорилось выше, уравнение Шредингера приводит к существованию (2/+1) состояний для данных п и I. Это в свою очередь дает цифру п2- разных ф-функций для одного значения п, о чем также говорилось выше. Первые значения п2 — это 1, 4 и9. Обратимся к таблице Менделеева. Гелий, неон и аргон, завершающие три первых периода таблицы, содержат соответственно 2, 8 и 18, т. е. 2/12 электронов. Случайность? Нет, напротив,— выражение глубокой закономерности, согласно которой одинаковой ф-функцией могут обладать только два электрона. Иными словами, энергетические уровни могут быть заняты каждый не более чем двумя электронами. Этот общий закон природы, к которому мы еще вернемся в § 190, носит название принципа Паули.
С помощью этого принципа можно «разместить» электроны сложного атома по квантовым числам и, следовательно, по уровням энергии и значениям вращательного импульса. У атома гелия два электрона; они могут занять единственный ls-уровень. Третий электрон лития должен занять уже следующий уровень, 2s. У атома бериллия четыре электрона займут уровни 1s и 2s. Пятый электрон атома бора займет уровень 2р. На этом уровне имеется шесть мест для электронов, они и будут заполняться, пока мы не дойдем до неона. Однако мы отложим до § 192 рассмотрение связи периодического закона Менделеева с электронной структурой атома.
Отличаются ли чем-либо те два электрона, которые занимают уровень, характеризующийся одними и теми же тремя квантовыми числами? Оказывается, что эти два электрона отличаются направлениями собственного вращательного импульса (направлением «спина»).
§ 189. Отклонение атомного пучка в магнитном поле
В предыдущих параграфах мы много говорили о вращательном импульсе электрона, созданном движением электрона вокруг ядра. Можно доказать наличие этого вращательного импульса, так как в результате движения электрона атом приобретает магнитный момент.
Прибегнем к классическим представлениям и положим, что электрон вращается по окружности радиуса г. Так как сила тока равна заряду, переносимому в единицу времени, то сила тока, эквивалентного такому вращающемуся электрону, есть 1=пе, где п— число 460
оборотов в секунду. С другой стороны, n—ul^urY где у — скорость. Таким образом,
2лг ’
а магнитный момент вращающегося электрона (ср. стр. 235) равен
М =—лг=—еуг.
сс 2 л г2с
Вращательный импульс электрона L равен итог. Следовательно,
2 тс
Связь между вращательным импульсом и магнитным моментом электрона, движущегося вокруг ядра, полученная этим элементарным вычислением, подтверждается опытом для всех атомных электронов.
Итак, атомы, у которых 1^#0, обладают магнитными моментами и должны проявлять в подходящем опыте свойства маленьких магнитов. Таким опытом является пропускание параллельного пучка атомов в неоднородном магнитном поле (рис. 218).
Рис. 218.
Из длинной трубы тщательно откачивается воздух. В левом конце создается атомарный газ. Через маленькие отверстия в экранах атомы могут выбраться из левого отсека. Так как имеются две щели, то окончательно на свободу выйдут лишь атомы, движущиеся вдоль оси прибора. Этот параллельный пучок атомов проходит через неоднородное магнитное поле. Как нам известно (стр. 257), на тело, обладающее магнитным моментом М, в таком поле действует сила
от того, смотрит вектор М в северную или южную сторону. Если в атомном пучке содержатся атомы с разными или разно ориентированными магнитными моментами, то пучок атомов размоется: в разные стороны полетят атомы, на которые действуют разные силы /. Пучок атомов падает на пластинку; продолжая опыт, мы всегда можем дождаться такого момента, когда число собравшихся на ней атомов будет достаточным для их обнаружения.
Описанный опыт сыграл значительную роль при разработке основ теории атома. Он имеет значение и теперь как способ определения магнитных моментов атомных ядер.
§ 190. Спин электрона
Опыты с атомными пучками позволяют измерить М, а значит, и L. Одним из существенных выводов квантовой механики было утверждение о квантовании вращательного импульса L*. полный импульс L принимает лишь ряд дискретных значений, а именно
где / — побочное квантовое число. Значит, и магнитные моменты атомов могут иметь лишь дискретный ряд значений:
м-^УПТТП^рТДТП.
Константа
Н = 4^с = 0-927-10"2°ЭРг/Гс
называется магнетоном Бора.
В опыте с атомными пучками внешним магнитным полем выделено направление, перпендикулярное к атомному пучку. Проекции L на это направление могут также иметь лишь дискретный ряд значений:
2 л *
значит,
где т — магнитное квантовое число. Мы видим, что значения Мг должны равняться целому числу магнетонов Бора.
В опыте с атомными пучками непосредственно определяется Мх. Какой же результат должен иметь опыт с пучками тех или иных атомов? Мы ожидаем следующую картину. У атома водорода, гелия, лития и бериллия имеются только s-электроны. Поскольку для них L=0, пучок в магнитном поле не расщепляется. При наличии р-электронов мы ждем расщепления пучка на три резкие составляющие: центральную неотклоненную для т^О и две симметрично расположенные справа и слева для т=±1. d-электроны должны
дать пять пучков в соответствии с пятью возможными значениями квантового числа т, и т. д.
Сделанные предсказания оправдываются в одном: в некоторых случаях пучок атомов не расщепляется, в других случаях он разбивается на резкие составляющие. Таким образом, ясно, что имеются атомы с магнитным моментом, равным нулю, и также несомненно, что если магнитный момент есть, то он квантуется.
Что же касается результатов, полученных для конкретных атомов, то они указывают на совершенно новый факт — наличие у электрона собственного магнитного момента. .
К такому выводу нас сразу же приводит опыт с пучком водородных атомов: пучок водородных атомов расщепляется на две симметричные компоненты, соответствующие отклонениям атомов с магнитными моментами ±^* Центрального, неотклоненного пучка нет! Этот факт можно объяснить лишь следующей гипотезой, которая подтверждается всем остальным материалом атомной физики: электрон обладает магнитным моментом; при этом существуют лишь два возможных положения этого момента в пространстве, а именно, с проекциями ±р, на направление внешнего поля.
Магнитный момент электрона, обязанный движению электрона около ядра, однозначно связан, как мы только что видели, с вращательным импульсом движения электрона около ядра. Оказывается, что и собственный магнитный момент электрона связан с собственным вращательным импульсом электрона, получившим название спина.
То, что электрон обладает спином, было предположено Гаудсми- том и Юленбеком еще в 1925 г., до описанных нами опытов, обнаруживших у электрона собственный магнитный момент. Эти исследователи показали, что предположение о наличии у электрона спина, т. е. собственного вращательного импульса, снимает неразрешимые затруднения в расшифровке спектров. Первоначально предполагалось, что спин есть следствие вращения электрона около своей оси. Отсюда и термин спин (от англ, «to spin» — вращаться). Однако подобная трактовка неверна. Спин электрона является его первичной характеристикой, не сводимой к чему-либо более простому.
Какова же связь собственного вращательного импульса (спина) с собственным магнитным моментом электрона? Опыт с пучком атомов водорода привел нас к тому, что проекция собственного магнитного момента электрона Мг может принимать лишь два значения: ±р,. Следует полагать, что и проекция спина Ьг может принимать лишь два значения.
Если мы пожелаем применить к собственному вращательному импульсу электрона формулу
то найдем, что число / имеет одно-единственное значение.
Действительно, как следует из квантовой механики, значению /—О, 1, 2,... соответствует 1,3, 5, ...и вообще (2/+1) состояний. Чтобы получить два спиновых состояния, к которым нас привел опыт (2/+1=2), приходится положить квантовое число 1= ^ •
Абсолютное значение собственного вращательного импульса электрона (спина) имеет единственное возможное значение L = V “4 2л • Что же касается проекции спина, то, полагая по-прежнему, что различия в возможных значениях Lz должны быть кратны Л/2л, мы видим, что она может принять лишь два значения: +-|-Л/(2л) и — Y /г/(2л). Таким образом, (Lz)cn =s/i/(2n), где s — новое квантовое число (спиновое число), которое может принимать лишь два значения: i1^.
Ранее было сказано, что опыт с водородом привел к отклонениям, соответствующим магнитному моменту, равному одному магнетону, и Mz=p,. Так как квантовое число s равно 1/2, то соотношение
zmc оказывается неверным для собственного движения электрона. Согласие с опытом получится, если •
MCIl = — Lcn.СП тс СП
Таким образом, отношение MIL магнитного момента к вращательному импульсу для движения электрона около ядра в два раза меньше этого же отношения для собственного движения электрона.
Наличие спина у электрона позволяет вновь вернуться к принципу Паули и сформулировать его более отчетливо. В состоянии с квантовыми числами п, I, т могут находиться не более чем два электрона. Различие этих электронов лишь в проекции спинов. Могут ли эти два электрона иметь одинаковые проекции спинов? Опыт дает отрицательный ответ на этот вопрос, и принцип Паули получает следующую формулировку: в каждом состоянии, характеризующемся четырьмя квантовыми числами п, I, т и s, может находиться лишь один электрон. Другими словами, если в состоянии п, I, т находятся два электрона, то они обладают противополож о направленными спинами.
§191. Магнитные моменты атомов
Гипотеза о спине электрона позволяет расшифровать результаты опытов с атомными пучками для атомов разного сорта. Измерения магнитного момента являются одним из существенных способов суждения об электронном состоянии атомов. Рассмотрим, что должны дать эти опыты для первых элементов таблицы Менделеева.
Атом водорода мы изучили. Что даст пучок атомов гелия? Отсутствие расщепления. Так и должно быть; у этого атома имеются два электрона в состоянии 2s; принцип Паули требует для них
противоположно направленных спинов, а значит, и магнитных моментов; суммарный магнитный момент равняется нулю.
У атома лития магнитный момент должен определяться третьим электроном, поскольку первые два, находящиеся в состоянии 1s.
но^т-1но^т-1■■-—^-^^/■■-—^-^^/взаимно компенсируют действие своих спинов. Третий электрон лития находится в состоянии 2s. Поэтому, так же как и в случае водорода, магнитный момент может определяться лишь спином. Расщепление литиевого пучка на две компоненты подтверждает эти рассуждения. Так же как и у водорода, одна компонента соответствует проекции спина + V2, а другая — проекции спина —
но^
т-1
но^
т-1
■■-—^-^^/
■■-—^-^^/
В атоме бериллия четыре электрона, два в состоянии 1s и два в состоянии 2s. Каждая пара электронов имеет противополож
ные спины, которые, компенси-рис. 219.
руясь, дают суммарный момент, равный нулю. Поэтому пучок атомов бериллия не расщепляется
на компоненты.
Зато пучок атомов бора расщепляется на четыре компоненты. Откуда же они взялись? Ясно, что магнитный момент создается лишь пятым электроном, который находится в состоянии 2р; это состояние может быть осуществлено с тремя значениями магнитного квантового числа: +1,0, —1. Таким образом, орбитальный магнитный момент может иметь три значения, включая нулевое. С этими значениями складывается спиновый магнитный момент. Как они сложатся? Рис. 219 показывает всевозможные взаимные расположения моментов. Мы видим, что возможны четыре комбинации с вращательными импульсами 3/2, Va, —*/2 и —3/2 (в единицах /г/(2л), обычно это указание опускают).
Еще богаче будет расщепление для атомов углерода: семь линий, включая неотклоненную, со значениями вращательного импульса 3, 2, 1, 0, — 1, —2, —3.
§ 192. Периодический закон Менделеева
В свете данных об электронном строении атомов становятся ясными закономерности периодической системы Менделеева.
Основные правила распределения электронов в атоме по квантовым числам следуют из принципа Паули. Однако, если бы мы
руководствовались только этими данными, то приписали бы правильные квантовые числа электронам лишь первых восемнадцати атомов (до аргона). Дело заключается в следующем. Электроны заполняют атом в порядке следования энергий состояния. В атоме водорода уровни энергии являются вырожденными, энергию определяет лишь одно квантовое число. В многоэлектронных атомах благодаря взаимодействию вырождение снято и энергия электрона в атоме зависит от всех квантовых чисел. В атоме водорода само собой разумеется, что электроны, находящиеся на уровне, для которого п=3, обладают меньшей энергией, чем те электроны, которые находятся на уровне с п=4. В многоэлектронном атоме при больших значениях побочного квантового числа такое положение дел не обязательно. Поэтому в ряде случаев «естественный» порядок хода квантовых чисел не соответствует порядку заполнения атома электронами.
Электроны внутри атома принято подразделять на слои, т. е. совокупности уровней с разными главными квантовыми числами. Обычно слои обозначают следующими заглавными латинскими буквами (в порядке следования квантовых чисел и):
К. L, М, N, ...
Электронная оболочка атома характеризуется в основном распределением электронов по квантовым числам (по слоям). Это распределение описывают формулами, указывающими (в показателе сверху) количество электронов с тем или иным значением главного (п) и побочного (/) квантовых чисел. Например:
кремний—Is2 2s2 2р6 3s2 Зр4;
кальций— Is2 2s2 V 3s2 3p6 4s2.
Для суждения о степени заполнения уровней надо запомнить максимальные числа s, р, d, f, ... электронов: 2, 6, 10, 14, ... (получаемые по формуле 2(2/+1)).
Вернемся к таблице Менделеева и поинтересуемся тем, в каких ее местах происходят нарушения последовательности распределения электронов по квантовым числам. Первое такое нарушение происходит у калия. Последний электрон поступает не на 3d-уровень, а на уровень 4s. Следующий по порядку элемент, кальций, также получает электрон на уровень 4s, а с 21-го элемента, скандия, застраиваются Sd-уровни. Уже у хрома (24-й элемент в таблице) возникает новая аномалия. Число электронов теперь иное и порядок-распределения квантовых уровней по энергиям изменился. Размещение двух электронов на уровне 4s становится энергетически невыгодным и хром получает структуру 3s2 Зр6 3d5 4s.
Нет нужды продолжать описание других подобных аномалий. Электронные структуры всех атомов можно найти в любом справочнике по физике или химии. Важно лишь одно: распределения элект- 466
ронов по квантовым числам, выясненные чисто физическими методами исследования (спектральный анализ, измерение магнитных моментов), помогают понять химические особенности того или иного атома.
Ионизационные потенциалы
Одним из способов изучения электронной структуры атома является измерение энергии ионизации, т. е. энергии, которую нужно затратить для того, чтобы удалить электрон из атома. Так как энергия электрона в атоме отрицательна и отсчитывается от нуля, соответствующего удалению электрона из атома, то энергия ионизации является одновременно не чем иным как энергией уровня, занимаемого электроном в атоме. Принято эту энергию относить к заряду электрона и выражать в вольтах. Например, говорят: ионизационный потенциал атома водорода равен 13,53 В; это значит, что для освобождения электрона нужна работа, равная работе перемещения электрона между точками с разностью потенциалов 13,53 В (смысл этой цифры показывает рис. 214).
Если речь идет о многоэлектронном атоме, то можно найти серию ионизационных потенциалов, характеризующих уровни первого, второго, третьего и т. д. электронов, считая от положения наименее связанного электрона. В этом смысле говорят о первом, втором и т. д. ионизационных потенциалах атома данного сорта.
Существует множество методов измерения ионизационных потенциалов. Для измерений помещают газы и пары в электрическое поле. Поток электронов, испускаемых накаливаемой нитью, ионизует газ. Пока энергия первичного электрона недостаточна для вырывания атомного электрона, электрический ток, идущий через газ, не меняется. Как только энергия первичных электронов станет достаточной для вырывания электронов из атомов газа, в пространстве окажется значительное число положительно заряженных ионов и произойдет резкое возрастание электрического тока. Постепенно повышая напряжение, приложенное к прибору, можно весьма точно отметить момент, при котором начинается это возрастание электрического тока. Критическое значение напряжения и дает непосредственно величину ионизационного потенциала. Значения первых ионизационных потенциалов различных элементов представлены наглядным графиком (рис. 220) для большинства химических элементов.
Бросается в глаза периодичность этого свойства, вполне совпадающая с химическим периодом. Труднее всего оторвать электрон у атома гелия, а также у атомов всех других благородных газов. Именно это обстоятельство и объясняет их химическую инертность. Одновалентные щелочные металлы имеют наименьшие значения потенциала. И это полностью соответствует представлениям химика, знакомого с исключительной реакционной способностью этих веществ.
Значения первого и последующих ионизационных потенциалов связаны с валентностью атомов. Почему атомы щелочных элементов одновалентны? Дело заключается в том, что один (внешний) электрон атомов этих веществ связан гораздо слабее, чем остальные электроны. Первые потенциалы атома цезия имеют, например, такие
значения: 3, 9; 27; 46 и 62 В. Мы видим, сколь велико различие в энергиях, которые надо затратить на отрыв первого и последующих электронов.
Спектры атомов в оптической области
Возможно наблюдение атомных спектров поглощения и спектров испускания. Однако основное значение имеют лишь последние. Атомные спектры испускания в оптической области можно получить, исследуя при помощи спектрографов излучение, которое создается парами тел, твердых при обычной температуре, или газами.
Чтобы атомы излучали, их надо возбудить, т. е. заставить перейти с более низкого на более высокий энергетический уровень. При возвращении атома на более низкие уровни энергии и возникает спектр испускания. Каждому переходу будет соответствовать одна линия в спектре.
Возбуждение атомов осуществляется различными путями. Один из способов заключается в использовании газового разряда. Напряжение, приложенное к газоразрядной трубке, ускоряет заряженные частицы, находящиеся в газе. Эти частицы сталкиваются с нейтральными атомами и ударом передают им энергию. Другой способ, применяющийся в спектральном анализе металлов, состоит в создании дуги или искры между двумя электродами, сделанными из изучаемого материала. В искре и дуге развиваются весьма высокие температуры, вещество испаряется в пространстве разряда. Возбуждение атомов достигается благодаря соударениям.
Атомный спектр испускания состоит из огромного числа резких линий. Частота излучения, соответствующая каждой линии, подчиняется уравнению hvmn=Em — Еп. Таким образом, измеряя частоты излученного света, мы можем судить о разности энергетических уровней данного атома. Можно довольно уверенно расшифровать спектры атомов, т. е. находить по значениям частот излучения картину энергетических уровней. Данные о спектральных линиях элементов и их энергетических уровнях приводятся в справочниках.
Не следует думать, что в спектре содержатся линии, соответствующие переходу с любого уровня на любой. Опыт показал (и теория дала этому обоснование), что существуют некоторые правила отбора, или правила запрета. Определенные переходы являются запрещенными и не осуществляются.
Разумеется, нельзя сказать, в какое более низкое по энергии состояние перейдет возбужденный атом и спектральная линия какой именно частоты будет излучена. Но не все переходы оказываются равновероятными. Теория может в принципе подсчитать вероятность перехода с одного уровня на другой. Величина этой вероятности определяет в основном интенсивность соответствующей спектральной линии.
На спектры атомов влияют внешние поля. Если излучающее вещество находится в электрическом или магнитном поле, то ряд спектральных линий расщепляется на несколько компонент. Энергия системы, обладающей магнитным моментом М и находящейся во внешнем магнитном поле Н, дается выражением U=—МН (см. стр. 246). Состояния с одними и теми же квантовыми числами п и / могут отличаться друг от друга проекцией магнитного момента на направление магнитного поля. Поэтому наложение магнитного поля снимает вырождение энергетических уровней, атомные электроны с разными магнитными квантовыми числами будут обладать уже различной энергией.
Исследования атомных спектров испускания в оптической области имеют большое практическое значение: на них основан метод спектрального анализа веществ (преимущественно сплавов) — очень чувствительный способ (вплоть до 10"10 г) определения химического состава, вытесняющий в ряде случаев химический анализ.
Оптические частоты возникают обычно при относительно небольшом возбуждении атома, переводящем на более высокий уровень внешние, валентные электроны. Однако даже самый «верхний» электрон может создать спектр большего диапазона. Казалось бы, что излучение не имеет границы со стороны малых частот. Действительно, из картины энергетических уровней (на рис. 214 изображены уровни и переходы для водорода, однако в принципе таковы же картины и для других атомов) мы видим, что при больших п уровни сближаются и, следовательно, существуют переходы, приводящие к сколь угодно малым частотам, а значит, к длинным волнам. Однако опыт показывает, что спектры, создаваемые внешними электронами,
хотя и существенно заходят в область инфракрасного спектра, но все же не дают линий с очень большой длиной волны. Это значит, что вероятность перехода атома на какой-нибудь, скажем 21-й, уровень энергии невелика, а вероятность перехода с 21-го на 20-й (в этом случае был бы излучен фотон с малым v) совсем ничтожна.
Что же касается наибольших частот (наиболее коротких волн), то они ограничены ионизационным потенциалом. Если речь идет о «верхнем» электроне, то наибольшим является потенциал гелия, а наименьшим — цезия, а именно, 24 В и 4В. Это будет соответствовать частотам излучения 6-1015 Гц (Х=500 А) и 10 16 Гц (Х=3000 А). Таким образом, только один верхний электрон может нас продвинуть в область очень коротких ультрафиолетовых волн, которую в то же время можно назвать областью очень длинных волн по сравнению с рентгеновским характеристическим излучением.
Вполне понятно, что при больших возбуждениях подниматься на верхние уровни уже будут способны электроны, лежащие в глубине атома. В состав характеристического спектра начнут входить рентгеновские лучи.
Атомные рентгеновские спектры
В многоэлектронных атомах ионизационные потенциалы нижних уровней достигают больших величин. Возбуждение таких атомов может поэтому привестив к излучению рентгеновских лучей (длины волн порядка 0,1—10 А). Чтобы вызвать рентгеновское излучение, надо сообщить атому энергию порядка 104 эВ. Такого эффекта можно достичь в газоразрядных трубках, на которые наложено напряжение в десятки и сотни тысяч вольт.
Можно оценить значение температуры, при которой атом начнет излучать рентгеновские частоты благодаря тепловым соударениям с другими атомами. Чтобы средняя кинетическая энергия, приходя- " щаяся на одну степень свободы, имела порядок 104 эВ, нужны температуры порядка 108 К. Столь высокие температуры осуществляются при атомных взрывах (см. стр. 538), на Солнце и в звездах. Рентгеновское излучение Солнца может быть зафиксировано приборами, установленными на спутниках.
Практическим способом получения рентгеновских лучей является бомбардировка твердых тел (антикатода рентгеновской трубки) потоком электронов. Электрон, попадающий на антикатод, резко тормозится, и это дает сплошной спектр рентгеновских лучей. Энергия электронов, выросшая за счет ускорения в электрическом поле до величины^, в результате торможения уменьшается до значения ^2- Разность энергий ^i—^2=^ и выделяется в виде излучения. Величина ^2 может принимать любые значения, от ^г до нуля, так что частоты возникающих лучей лежат в границах от v = ~Sil^ До нуля. Не перешедшая в излучение энергия электронов переходит в тепло (в энергию рентгеновских лучей переходит всего лишь примерно сотая доля энергии электронного пучка). Из сказан-
него ясно, что сплошной спектр рентгеновских лучей имеет коротко- волновую границу А.мин = —^— = -^-, Подставляя значения констант, *макс
получим
а _ 12,3.^мин у >
здесь X выражено в ангстремах, а V — в киловольтах. Начинаясь при строго определенной длине волны, сплошной спектр рентгеновских лучей возрастает по интенсивности с увеличением длины волны, достигает максимума через несколько десятых ангстрема от коротковолновой границы, а затем медленно спадает.
Исследования показывают, что на сплошной спектр накладываются резкие линии, характерные для каждого сорта атомов. Рентгеновский характеристический спектр возникает благодаря тому, что часть электронов, падающих на антикатод, проникает внутрь атомов и выбивает из них внутренние электроны, т. е. электроны, находящиеся в К-, L- и т. д. слоях. Рентгеновский квант возникает при переходе одного из верхних электронов на освободившееся нижнее место. Совокупность спектральных линий, возникших благодаря переходам электронов на /(-уровни, называют /(-серией, на Л-уровни — L-серией, и т. д. Если повышать напряжение на рентгеновской трубке, то серии будут возникать последовательно, поскольку по мере роста энергии электронов, падающих на антикатод, будут последовательно освобождаться для переходов все более и более низкие энергетические уровни. Последней возникнет /(-серия.
Общая схема рентгеновских электронных переходов показана на рис. 221. Жирными точками отмечены исходные уровни. На схеме помечены наиболее интенсивные линии. Однако некоторые переходы
отсутствуют ввиду правил запрета. Это относится, например, к переходам с одинаковым значением побочного квантового числа.
Так как строение нижних заполненных уровней одинаково у всех атомов, то картины рентгеновских спектров различных атомов очень похожи друг на друга. В каждом спектре имеются типичные (сдвинутые для элементов разного атомного номера по шкале длин волн)
Рис. 222.
последовательности линий, например, все элементы создают сильный а-дублет К^х и К<х2 и более слабый Р-дублет. Довольно часто эти дублеты бывают не разрешены и тогда говорят о a-линии и Р- линии /С-серии данного элемента. Эти дублеты имеют «спиновую» природу.
Рис. 222 показывает этот систематический сдвиг характеристического спектра в коротковолновую область с увеличением атомного номера элемента, дающего этот спектр. Это — закон, открытый Мозли. Физическое основание закона — последовательное увеличение силы взаимодействия электрона с ядром при возрастании заряда ядра. Формулу закона мы не будем приводить. Строгая закономерность в смещении линий прекрасно видна из рисунка.
ГЛАВА 29
МОЛЕКУЛА
Химическая связь
Молекула — это устойчивая постройка атомов. Каждый атом молекулы занимает в ней устойчивое положение. Смещение атома в любую сторону влечет за собой увеличение потенциальной энергии молекулы. Сближение атома с его соседями вызывает силы от- 472
Рис. 223.Рис. 223.
Рис. 223.
Рис. 223.
талкивания, отдаление — силы притяжения. Каждый атом молекулы и молекула в целом находятся в потенциальной яме.
Характер потенциальной кривой любого атома молекулы довольно очевиден (рис. 223). Поскольку невозможно сблизить атомы на нулевое расстояние, то кривая потенциальной энергии в функции расстояния атома от его соседей идет круто вверх при малых расстояниях. В сторону увеличения расстояния кривая идет от положения равновесия (дна ямы) много медленнее. Далее возможны варианты: потенциальная энергия на больших расстояниях может быть меньше и больше дна потенциальной ямы, яма может иметь и не иметь четко выраженный борт. Энергия молекулы может быть больше и меньше суммы энергий отдельных атомов (частей молекулы). В зависимости от этого при объединении атомов в молекулу будет выделяться или поглощаться тепло (см. подробнее § 215).
Атом, находящийся в потенциальной яме, связан со своими соседями. В чем причина этой связи? Существуют ли разные типы связей? Можно предложить две идеальные схемы химической связи: ионную и гомеополярную. В подавляющем числе интересующих химию случаев осуществляется либо один из этих
типов связи, либо промежуточный случай, в котором обе идеальные схемы сосуществуют.
Если один атом способен передать другому один или несколько электронов, то между образовавшимися ионами возникнет электрическое притяжение. Это и есть ионная связь. Силы электростатического притяжения уравновесятся отталкиванием электронных оболочек атомов на некотором характерном для этой пары ионов межатомном р асстоя н и и.
Для того чтобы один атом передал другому свои электроны, нужно, чтобы этот процесс был сам по себе энергетически выгоден. Тогда простое стремление перехода на наиболее низкий энергетический уровень и будет причиной передачи электрона.
Отрыв электрона от нейтрального атома всегда требует затраты энергии, равной, как мы знаем (см. стр. 455), произведению заряда электрона на ионизационный потенциал. Следовательно, образование положительного иона всегда связано с затратой работы. Напротив, образование отрицательного иона, т. е. присоединение электрона к нейтральному атому, может быть связано с выделением энергии. Правда, это касается лишь первого электрона. Присоединение второго электрона к однократно отрицательному атомному иону из-за электрического отталкивания потребует затраты работы.
Чтобы ионная связь осуществилась, необходимо, чтобы энергия отрыва электрона, т. е. работа создания положительного иона, была меньше суммы энергии, выделяющейся при образовании отрицательных ионов, и возникшей энергии электрического притяжения ионов.
Наименьшим ионизационным потенциалом обладают щелочные металлы, у которых последний электрон начинает строить новую оболочку. У щелочноземельных металлов два электрона связаны с остовом атома слабее других. Вполне очевидно, что образование положительного иона из нейтрального атома требует меньше всего работы в том случае, когда речь идет об отрыве электронов, находящихся в начавшей застраиваться электронной оболочке.
С другой стороны, оказывается, что наибольшая энергия выделяется при присоединении электрона к атомам галоидов, которым не хватает одного электрона до заполненной оболочки. Поэтому в очень значительном числе случаев ионная связь образуется при такой передаче электронов, которая ведет к созданию у образовавшихся ионов заполненных электронных слоев, характерных для атомов благородных газов. Таким образом, физический смысл потенциальных ям в таких молекулах как NaCl или MgCl2 объясняется превосходно.
Однако ясно, что это объяснение не может быть универсальным. Это очевидно хотя бы уже из факта существования двухатомных молекул водорода, кислорода и пр. Невозможно ведь допустить, что при связи один из атомов превращается в отрицательный ион, а другой — в положительный. Впрочем, здесь не нужны теоретические аргументы. Физические свойства молекул, построенных из ионов, сразу же показывают, когда можно, а когда нельзя говорить об ионной связи. В частности, ионные соединения диссоциируют и образуют электролиты. Огромный класс органических молекул не показывает такого поведения. Уже этого достаточно, чтобы стала очевидной невозможность ионной модели для этих веществ.
Каким же образом можно объяснить связь между атомами? Мы должны поискать, не возникает ли какой-либо выигрыш в энергии при объединении в молекулу, скажем, двух атомов водорода.
Такой выигрыш есть, и условия его возникновения указываются квантовой механикой. Как говорилось на стр. 453, поведение электрона водородного атома в главных чертах совпадает с поведением электрона в потенциальном ящике. Нулевой уровень энергии электрона в потенциальном ящике определяется размерами ящика (см. стр. 448), а именно, чем меньше размер ящика, тем больше нулевая энергия. Таким образом, всякое расширение пространства, в котором электрон мог бы двигаться, приводит к уменьшению энергии.
Представим себе теперь, что два атома водорода пришли в соприкосновение. У каждого из них по одному электрону. Поскольку принцип Паули разрешает двум электронам находиться в одном состоянии, то нет помехи к слиянию областей существования электронов и, таким образом, к увеличению размеров потенциального
ящика. Такая картина возможна лишь для двух электронов с противоположными спинами.
Представим себе, что к образовавшейся молекуле водорода приближается третий атом. Аргументы, использованные выше, уже неприменимы. Третий электрон не может объединить свою область с областью движения электронов в молекуле водорода, этого не разрешает принцип Паули,— в молекуле водорода оба свободных места заняты двумя электронами с противоположными спинами.
Итак, второй, как его называют, гомеополярный, тип связи обеспечивается парой электронов с противоположными спинами. Если в ионной связи речь шла о передаче электронов одного атома другому, то здесь связь осуществляется обобщением электронов, как бы созданием ими общего пространства для движения. Расширение пространства, в котором электрон может двигаться, ведет к уменьшению энергии и объясняет, таким образом, образование потенциальной ямы.
Образование молекул путем объединения электронных облаков электронов с противоположными спинами является основным типом связи, осуществляющимся в органических молекулах.
Каждый атом способен образовать ограниченное число гомеопо- лярных связей, при этом в создании каждой связи участвует пара электронов с противоположными спинами, имеющая общее «жизненное пространство» в виде перекрывающихся облаков их волновых функций.
Как мы знаем, s-электроны имеют сферически-симметричные ф- функции, но р-, d-, /-электроны имеют ф-функции, вытянутые в определенных направлениях. Отсюда следует, что гомеополярная связь, образованная всеми электронами, кроме s, будет направленной связью. Если между двумя атомами возникла связь, то электронные облака этих атомов установятся вполне определенным образом по отношению к первой линии связи. Значит, линии связи, идущие от тех же атомов, могут образовывать лишь какие-то определенные углы между собой. Квантовая механика может вывести значения этих нормальных углов связей для всех атомов.
Обе схемы связи до известной степени идеальны. Сплошь и рядом мы сталкиваемся со случаями, в которых физические и химические свойства молекулы приводят нас к необходимости принять промежуточный механизм связи. Если при ионной связи электрон целиком отдается одним атомом другому, а в гомеополярной связи каждый электрон принадлежит поровну обоим связанным атомам, то в промежуточных случаях электроны, осуществляющие связь, могут больше времени проводить около одного атома, чем у другого. Такая модель допускает, например, существование примерно ионной связи, при которой электроны связи основное время принадлежат отрицательному иону, или примерно гомеополярной связи, при которой электроны связи проводят почти одинаковое время у обоих связанных атомов. Возможны любые промежуточные связи, любого процента «ионности».
Геометрия молекул
Накоплен обширный материал по значениям расстояний между центрами атомов в молекулах и кристаллах. Основная часть этого материала получена дифракционными методами. Если не претендовать на очень большую точность, то оказывается возможным изображение молекул моделями, дающими представление о форме и размерах молекулы.
Особенно простыми являются модели молекул типа NaCl, в которых атомы соединены ионной связью. Каждый ион можно представить сферой определенного радиуса. Представление о размерах ионов дает следующая табличка:
Ион
ы+
Na +
К +
Cs+
F-
ci-
Вг-
I-
Ионный радиус, А
0,60
0,95
1,33
1,69
1,36
1,81
1,95
2,16
При помощи такой таблички можно найти расстояние между центрами ионов в любой соли; например, расстояние в NaCl равно 0,95+ + 1,81=2,76 А.
Рис. 224.Рис. 224.Однако, какой смысл вкладывается в утверждение: ион можно представить шаром? Чтобы увидеть законность такого представления, нужно выяснить, как близко к молекуле, скажем NaCl, может подойти еще один ион натрия (или хлора). Это можно узнать, так как, согласно опыту, и твердые, и расплавленные соли построены из ионов. Оказывается, что и второй, и третий ионы подходят к данному иону на те же расстояния, что и первый. Более того, одноименно заряженные ионы также могут приблизиться друг к Другу на расстояние, равное сумме ионных радиусов. Действительно, ионы ведут себя как шары.
Рис. 224.
Рис. 224.
Из этих геометрических фактов следует важный вывод, касающийся ионных молекул. Положим, что к одной молекуле подошла вплотную еще группа молекул. Создалось расположение ионов, показанное на рис. 224. При полном равенстве межатомных расстояний уже невозможно сказать, с каким из соседних атомов хлора образует молекулу данный ион натрия, и наоборот, какой ион натрия должен считать своей парой данный
ион хлора. Понятие молекулы потеряло свой смысл.
Таким образом, геометрия расположения центров атомов приводит к заключению: в конденсированном состоянии (т. е. в жидком 476
и твердом), где атомы соединены ионной связью, молекул как выделенных образований не существует. Понятие молекулы оказывается неприменимым.
А как обстоит дело в газовой фазе? При испарении от жидкости легче всего отрывается пара разноименно заряженных ионов, не несущая в целом электрического заряда. Поэтому мы, прежде всего, находим в парах молекулы типа NaCl. Однако наряду с молекулами из жидкости испаряются и ионы разных типов.
Совсем не так обстоит дело в молекулах с гомеополярной (ковалентной) связью. Анализируя встречающиеся в молекулах межатомные расстояния, мы приходим к выводу о возможности вычисления расстояний между центрами атомов при помощи так называемых атомных радиусов. Их значения (в ангстремах) для наиболее часто встречающихся атомов таковы:
С— С = С= Н— О— о- о =0,771 0,665 0,602 0,30 0,66 0,55 0,50
Атомные радиусы уменьшаются с возрастанием кратности валентной связи. Из этой таблицы мы узнаем, что расстояние между двумя связанными атомами углерода С—С составляет 1,54 А, расстояние С—Н равно 1,07 А и т. д.
При создании модели молекулы мы обладаем также некоторыми простейшими сведениями о валентных углах. Можно говорить о нормальных валентных углах, происхождение которых понятно из соображений симметрии и находится в согласии с некоторыми качественными соображениями квантовой механики, о чем мы говорили в предыдущем параграфе. Так, нормальными углами атома углерода, связанного с четырьмя атомами, являются тетраэдрические углы 109°28'; для ароматического атома углерода, а также для других атомов углерода, связанных с тремя атомами, нормальным валентным углом является угол 120°. Наконец, для атома углерода, связанного с двумя атомами, характерен валентный угол 180°. Нормальные валентные углы атомов кислорода, серы и азота, связанных с двумя, а для азота с тремя атомами, равны 90°. Атом азота нитрогруппы (NO2) имеет нормальные валентные углы, равные 120°.
Валентные углы в ряде случаев значительно отклоняются от «нормы». В ряде циклических соединений типа циклобутана вместо 109°28' осуществляются углы, равные 90°. Весьма значительные отклонения от нормальных получают валентные углы из-за объемных препятствий. Однако, прежде чем разъяснить это последнее обстоятельство, необходимо остановиться на третьей геометрической характеристике молекулы — межмолекулярном радиусе.
Исследования расположений молекул в кристаллах показали, что каждому атому можно приписать свой межмолекулярный радиус, такой, что в среднем и с достаточной точностью соседние молекулы будут соприкасаться. Так, например, межмолекулярный радиус водорода равен 1,17 А, кислорода 1,36 А, азота 1,57 А и т. д.
Это, однако, не значит, что расстояния между валентно не связанными атомами одной и той же молекулы будут определяться этими цифрами. Дело заключается в том, что размеры и форма молекулы определяются взаимодействием сил, устанавливающих равновесные расстояния между валентно не связанными атомами и нормальные валентные углы. При этом силы связи между атомами на порядок величины выше, поэтому межатомные расстояния не меняются и конфигурация молекулы определяется конкуренцией упругости валентного угла с сжимаемостью межмолекулярной сферы атома.
Рис. 225.
Приведем простой, но наглядный пример. Валентный угол в молекуле воды равен, как показывает оопыт, 105°. Расстояние между атомами водорода составляет 1,54 А. Следовательно, имеет место существенная спрессовка межмолекулярных сфер атомов водорода, равная 2-1,17—1,54=0,8 А. Эта спрессовка уравновешивается упругостью валентного угла, нормальное значение которого равно 90°. /Таким образом, силы, спрессовывающие атомы водорода на 0,8 А, равны силам, изменяющим угол от 90° до 105°. Подтверждение этим простым соображениям находим, сравнивая структуру молекулы воды со структурой молекулы сероводорода. Так как длина связи водород — сера значительно больше длины связи водород — кислород, то атомам водорода в молекуле сероводорода значительно менее «тесно». Расстояние между атомами водорода оказывается равным 1,99 А, а валентный угол 92°. Спрессовка атомов водорода на 0,35 А уравновешивается изменением валентного угла всего лишь на 2°. Аналогичные картины могут быть продемонстрированы на огромном числе примеров органических молекул.
Рис. 225 показывает построение модели молекулы хлорбензола. Слева — атом углерода, в середине — начало построения, группа Н
С, справа—модель молекулы.
А
Электронная оболочка молекулы
Движение электронов в молекуле, так же как и в атоме, характеризуется волновой функцией. Поскольку в молекуле много электронов, то, строго говоря, ф-функция должна быть функцией 3/1 координат п электронов. Тогда ф2 будет давать вероятность любого распределения электронов, т. е. «электронную плотность».
Мы уже говорили о сложности решения уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов. Разумеется, трудности лишь возрастают при переходе к молекуле. Здесь возможны лишь приближенные полуэмпирические методы расчета. В связи с этим особое значение приобретают физические методы определения электронной плотности. Однако и здесь нельзя претендовать на многое.
Методом рентгеновского структурного анализа определяется средняя во времени электронная плотность молекулы (величина электронной плотности дает вероятность пребывания электронов в данном месте). Из-за колебаний атомов внутри молекулы и молекулы как целого картина электронной оболочки получается размазанной. На рис. 167 (стр. 354) изображено сечение картины электронной плотности в молекуле антрацена. Грубость метода видна уже по тому обстоятельству, что атомы водорода молекулы оказались выявленными не во всех случаях. Картина построена тем же способом, как это принято делать при построении географических карт. Линии равной электронной плотности обрисовывают электронные вершины и долины. Каждый атом определяется «горой» электронной плотности. Вдоль линии связи колоколообразные функции плотности двух атомов накладываются и дают «мостик», соединяющий атомы. К сожалению, точность метода слишком мала, чтобы обнаружить особенности химической связи измерением высоты этого мостика. Его высота не отличима от суммы функций плотности двух свободных атомов. В то же время специфика химической связи, вероятно, должна сказываться в дополнительном (против свободных атомов) возрастании электронной плотности. Картины электронной оболочки такого типа являются лишь красивой иллюстрацией строения молекулы.
Если бы нам была известна электронная плотность по отношению к атомным ядрам молекулы, то мы имели бы возможность произвести вычисление дипольного момента молекулы. Действительно, для этого нужно найти центры «тяжести» положительного и отрицательного зарядов. Пока еще таким способом дипольный момент не определялся, хотя сравнение данных нейтронографии (нейтроны рассеиваются на ядрах) и рентгенографии могло бы решить подобную задачу. Однако дипольный момент молекулы уверенно измеряется на опыте (см. § 259), и можно, наоборот, найти с его помощью центр «тяжести» отрицательного заряда.
Казалось бы, что в чисто ионных молекулах мы встретимся с крайним случаем, когда центр тяжести электронного облака совпадает с центром аниона. Мы могли бы, например, предсказать
дипольный момент КО следующим образом. Если от калия взят один электрон и передан хлору, то в результате один «лишний» положительный заряд будет находиться от одного «лишнего» отрицательного на расстоянии центров калия и хлора, т. е. 1,81 + 1,33=3,14 А. Отсюда дипольный момент равен 3,14-4,8-10-18= 15 ед. СГС. Опыт дает 6,8 ед. СГС. Это значит, что даже в таком классическом случае ионной связи электрон от калия не перешел целиком к аниону. Зато обратные крайние случаи осуществляются вполне строго. Очевидно, что симметричные молекулы, например Н2, О2, бензол и т. д., не могут обладать дипольным моментом: центры тяжести электронного облака и ядер совпадают.
Еще одно свойство электронного облака необходимо упомянуть— его смещаемость по отношению к ядерному остову. Сместить электронное облако по отношению к ядрам можно электрическим полем. При этом, поскольку ядра много тяжелее электронов, можно считать, что ядра остаются на месте. Смещение электронного облака молекулы можно характеризовать сдвигом его центра тяжести. Если число электронов молекулы А, то при смещении центра тяжести отрицательных зарядов по отношению к центру тяжести положительных зарядов на расстояние х молекула приобретает индуцированный дипольный момент p = Nex. Индуцированный дипольный момент линейно растет с полем, р-^)Е. Принято характеризовать сдвиг центра тяжести электронного облака величиной поляризуемости молекулы р. Величина р имеет размерность объема. Ее значения тем больше, чем больше объем молекулы (подробнее см. гл. 35).
Энергетические уровни молекул
Изменение энергии атома происходит единственным способом — изменением характера движения электрона, переходом электрона в другое квантовое состояние. Этот способ изменения энергии сохраняется и у молекулы. Однако, кроме того, имеются еще возможности изменения энергии молекулы. Атомы молекулы могут колебаться друг по отношению к другу, слагаемым в энергию молекулы входит энергия колебаний. Эта энергия также может принять только ряд дискретных значений. Далее, молекула вращается как целое; энергия вращения молекулы также квантуется, и изменения состояния молекулы могут заключаться в изменении энергии вращения. Таким образом, энергетическое состояние молекулы должно характеризоваться указанием состояния ее электронной оболочки (электронный уровень), состояния колебательного движения (колебательный уровень) и состояния вращения (вращательный уровень). Приходится оперировать тремя типами данных,— так сказать, номером дома, этажа и квартиры.
Но что играет роль этажа и квартиры? Какие энергетические уровни разделены большими промежутками, а какие малыми? Опыт и теория отвечают на этот вопрос схемой уровней, изображен-
ной на рис. 226. Показаны два электронных уровня е' и е с соподчиненными колебательными уровнями, занумерованными числами и. Каждому колебательному уровню в свою очередь соподчинены вращательные уровни, занумерованные квантовыми числами /,
Разумеется, промежутки между вращательными уровнями меньше, чем между колебательными. Наиболее велика разность энергий между электронными уровнями.
Положим, у молекулы возможны электронные уровни, лежащие при 100, 200, 300, ... единицах энергии, колебательные уровни— при 10, 20, 30, ... единицах, вращательные— при 1, 2, 3, ... единицах; тогда молекула, находящаяся на втором электронном уровне, первом колебательном и третьем вращательном, будет иметь энергию 213 единиц.
Итак, энергия молекулы может быть задана в виде*)
W = W 4-IF + W w № эл" w кол I вр-
Частота излученного или поглощенного света будет всегда соответствовать разности двух уровней, т. е.
v =
= 1(ДГЭЛ + Д№кол + Д№вр).
j=3
v=3
Г О
vd
j-aгоРис. 226.j-aгоРис. 226.481481
j-a
го
Рис. 226.
j-a
го
Рис. 226.
481
481
Хотелось бы выделить такие переходы, при которых меняется только один «сорт» энергии. Практически это воз-
можно только для вращательных переходов, и мы легко поймем, почему.
Начнем исследовать поглощение электромагнитных волн группой молекул. Начнем исследование с самых длинных волн, т. е. с малых порций энергии hv. До тех пор, пока величина кванта энергии не станет равной расстоянию между двумя ближайшими уровнями, молекула поглощать не будет. Постепенно увеличивая
частоту, мы дойдем до квантов, способных поднять молекулу с одной «вращательной» ступеньки на другую. Это произойдет, как показывает опыт, в области микроволн (край радиодиапазона) или, иначе говоря, в области далекого инфракрасного спектра. Длины волн порядка 0,1 — 1 мм будут поглощаться молекулами. Возникнет чисто вращательный спектр.
Продолжая увеличивать частоту, мы дадим возможность лучше проявиться вращательному спектру, но новые явления произойдут лишь тогда, когда мы направим на вещество излучение, обладающее квантами энергии, достаточными для перевода молекулы с одного колебательного уровня на другой. Однако ясно, что мы никогда не получим чисто колебательного спектра, т. е. такую серию переходов, при которой номер вращательного уровня сохранялся бы. Напротив, переходы с одного колебательного уровня на другой будут затрагивать различные вращательные уровни. Скажем, пере ход с нулевого (самого низкого) колебательного уровня на первый осуществится молекулами четвертого вращательного уровня на третий, третьего — на второй и т. д. Таким образом, возникнет колебательно-вращательный спектр. Мы будем наблюдать его в инфракрасном свете (3—50 мкм). Несомненно, что все переходы с одного колебательного уровня на другой будут близки друг к другу и дадут в спектре группу очень близких линий. При малом разрешении эти линии сольются в одну полосу. Каждая полоса соответствует определенному колебательному переходу.
Продолжая далее увеличивать частоту, мы в конце концов попадем в новую спектральную область, характерную для молекулы. Это произойдет в видимой и ультрафиолетовой части спектра, когда энергия кванта станет достаточной для перехода молекулы с одного электронного уровня на другой. И здесь, разумеется, невозможны ни чисто электронные переходы, ни электронно-колебательные. Возникнут электронно-вращательные переходы, в которых энергетический переход сопровождается переменой и «дома», и «этажа», и «квартиры». Поскольку колебательно-вращательный переход представляет собой полосу, то спектр в видимой области будет «полосатым»: он состоит из системы полос.
Теперь обсудим детальнее различные виды молекулярных спектров.
Вращательный спектр молекул
Свободное вращение молекул происходит лишь в газообразном состоянии. Поэтому основные сведения о вращательных энергетических уровнях получены изучением спектров газов. Исследование этих спектров оптическими методами крайне затруднено. Методика радиоспектроскопии, развитая в последние годы, является гораздо более подходящей для этой цели. Генератор электромагнитных волн посылает излучение через волновод), часть которого заполнена
исследуемым газом. После прохождения через газ электромагнитные волны поступают в приемник, где измеряется их интенсивность. Подобное измерение может быть проделано для большого диапазона частот. При этом возможность генерирования радиометодами узкой полосы частот столь велика, что разрешающая способность радиометодов оказывается в сотни тысяч раз выше (!), чем у оптических методов. Если оптические методы позволяют разделять линии, отстоящие на 0,1 см"1, то радиометоды позволяют разделять линии, отличающиеся на 10"6 см"1 ). Столь большая разрешающая способность позволяет решать интересные задачи, о которых будет сказано ниже.
Вращательный спектр возникает благодаря квантованию кинетической энергии вращения молекулы
TZ 2 ’
где / — момент инерции молекулы. Такой вид имеет выражение для энергии двухатомной молекулы — она характеризуется одним- единственным моментом инерции, взятым по отношению к оси, перпендикулярной к линии, соединяющей атомы и проходящей через центр инерции. В общем случае, как мы указывали в свое время (стр. 83), вращение характеризуется тремя моментами инерции, около трех главных осей.
Остановимся коротко на вращательных спектрах двухатомных молекул.
Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что не все молекулы, в том числе и не все двухатомные молекулы, будут давать вращательный спектр поглощения или излучения. Как мы разъясняли (см. стр. 288), каждый излучатель (или поглощатель) электромагнитной волны является своеобразным осциллятором — элементарным диполем. Если движение атомов молекулы или движение молекулы как целого не сопровождается изменением дипольного момента, то такие движения не могут привести ни к излучению, ни к поглощению электромагнитных волн.
Дипольный момент р молекулы меняется при излучении или поглощении периодически с соответствующей частотой, колеблясь около своего среднего значения, которое соответствует равновесному положению атомов. Можно показать, что интенсивность Спектер°\
483483ральных линии пропорциональна производной^ _°, т. е. максимальной быстроте изменения дипольного момента с межатомным расстоянием. Все симметричные молекулы, атомы которых соединены гомеополярной связью, обладают постоянным нулевым значением р. Поэтому они не дают вращательных спектров. К таким
483
483
молекулам относятся, например, все двухатомные молекулы из одинаковых атомов (Н2, О2, N2 и т. д.).
Рассмотрим вращательный спектр двухатомной полярной (т. е. обладающей дипольным моментом) молекулы. Энергия вращения мо
лекулы равналекулы равнаkbv=kbv=Itor ,Itor ,
лекулы равна
лекулы равна
kbv=
kbv=
Itor ,
Itor ,
V =V =hj4л2/hj4л2/(/• = 0, 1, 2, ...).(/• = 0, 1, 2, ...).
V =
V =
hj4л2/
hj4л2/
(/• = 0, 1, 2, ...).
(/• = 0, 1, 2, ...).
здесь со — угловая скорость вращения, I — момент инерции молекулы,
/ = тгг1 + т/Х = ттт,п гг'
//t2
(гх и г2 — расстояния до центра инерции, г=г1+г2). Значение о) определится из того, что вращательный импульс, равный Ло, согласно правилу квантовой механики (стр. 457) может принимать лишь ряд дискретных значений
^Viy+D,
где /=0, 1, 2,...—квантовое число, нумерующее вращательные уровни. Следовательно, угловые скорости вращения молекулы ~111—— могут иметь лишь такой ряд значений:
Ю/=2^7^У+1)'
) готсюда
В этом простейшем случае вращательный спектр будет представлять собой систему равноотстоящих линий.
При разных температурах газа средняя энергия вращения молекул будет различной. В соответствии с законом Больцмана наиболее вероятная энергия I^l^^kT (две вращательные степени свободы, см. стр. 171). Отсюда мы легко рассчитаем номер того уровня энергии, на котором чаще всего находится молекула. Например, для
молекулы пара соляной кислоты (7=2,61 • 10"40 г-см3) и температур 300, 600 и 1200 К получим соответственно /=4, 6 и 8.
Так как переходы возможны лишь между соседними уровнями, то ясно, что серия равноотстоящих частот будет группироваться около линии для «среднего» j. Интенсивность линий по мере отдаления от этого значения j будет падать, так как все меньше и меньше молекул будет находиться в соответствующих энергетических состояниях.
Вращательные спектры позволяют с огромной точностью (много большей, чем в дифракционных методах) определять межатомные расстояния в простых молекулах. Действительно, если число атомов в молекуле невелико, то, зная момент инерции и массы атомов, можно определить расстояния между атомами. Для двухатомной молекулы
Л Iтлгги
г = V —, где т = —=.
Подсчет для молекулы соляной кислоты:
mH = 1,67-10 - 24 г; тс1 =35-1,67-10"24 г.
Расстояние между атомами Н и О в молекуле НС1 будет равно
г = ^2,61.1О-<о.36.1,67 10-^63.10_8 см
V 35-1,67 10~48
Это значение хорошо совпадает с данными, полученными другими методами.
§201. Инфракрасный колебательно-вращательный спектр
Этот вид спектра наблюдается в области длин волн от 2—3 до десятков микрон. Когда говорят кратко: «инфракрасный спектр», имеют в виду колебательно-вращательный спектр поглощения молекул. Если наблюдения ведутся в твердых телах, то вращение молекул отсутствует, возникает чисто колебательный спектр. В жидких телах вращение затруднено и вращательная структура полосы будет смазана.
Двухатомная молекула. Оставим пока в стороне вопрос о вращении и рассмотрим уровни энергии колебания.
Колебание двухатомной молекулы может быть представлено простой моделью двух шариков, связанных пружиной. У такой системы имеется собственная частота колебаний, равная
1
V=2^ V т’
где к — коэффициент (жесткость), определяющий силу связи, ат — масса атома, если атомы в молекуле одинаковы, и приведенная масса -1 если массы разные (последнее обстоятельство предостав
ляем доказать читателю). Квантовая механика приводит к выводу,
что энергия осциллятора должна быть представлена формулой
Здесь гЦхх — нулевая энергия осциллятора (энергия колебаний при абсолютном нуле), а и=0, 1, 2, ...— колебательное квантовое число. В квантовой механике показывается, кроме того, что у осциллятора, колеблющегося по гармоническому закону, возможны энергетические переходы только между соседними уровнями. При наступлении ангармоничности колебания начинают появляться переходы через уровень, через два уровня, но значительно более слабые, чем основной переход. Гармоническое колебание — это колебание под действием возвращающей силы — кх. Потенциальная энергия такого колебания есть kx2/2, т. е. меняется по параболическому закону.
На рис. 228 построена потенциальная кривая для двухатомной
молекулы и в нее вписана парабола. Горизонтальные линии — это энергетические уровни, рассчитанные с помощью теоретических формул. Пока энергия мала, реальная кривая незначительно отличается от параболы. Мы можем ждать хорошего подчинения молекулы закону гармонического осциллятора, пока энергия колебания далека от энергии разрушения (диссоциации) молекулы. В этих условиях можно считать все колебательные уровни равноотстоящими, и так как разрешены лишь переходы между соседними уровнями, то двухатомная молекула как идеальный осциллятор будет обладать одной-единственной частотой перехода. Если вращение молекулы отсутствует, то весь спектр будет состоять из одной линии. В действительности наряду с основной частотой v в спектре можно будет найти «обертоны» с частотами 2v, 3v и т. д. (дальше будет проявляться сближение уровней, и пропорциональный ход частот обертонов потеряется). Однако обертоны слабы, и в очень многих случаях мы вправе говорить об одной колебательной частоте.
Наличие вращения молекул превращает эту спектральную линию в полосу. Если молекула одновременно колеблется и вращается, то ее энергия будет определяться двумя квантовыми числами и и /:
(§—+ ^кол + §^2// (/+ !)•
Различные переходы приведут теперь к созданию двух групп (как говорят, ветвей, их обозначают буквами R и Р) частот, меньших и больших колебательной частоты vK0JI. Принимая во внимание правила запрета, о которых мы говорили выше, получим 486
следующую формулу частот:
v ^^^4ni]i G—L 2, ...).
При этом знак плюс соответствует переходам с более низкого на более высокий вращательный уровень, а знак минус — обратному положению.
о
Рис. 229.
Эта формула иллюстрируется рис. 229, изображающим спектральную полосу НС1. Точка О соответствует значению vK01, черточками справа и слева показаны возникающие частоты. Высота черточек пропорциональна интенсивности этих спектральных линий. При большом разрешении каждая линия видна раздельно. При малом разрешении линии сольются в полосу, ход интенсивности которой передается огибающей кривой. На рис. 230 показана схема энергетических переходов, которая привела к созданию этой полосы. Заметим, что чисто колебательный переход (с /'=0 на /*"=0) запрещен, в середине полосы имеется провал. Далее поглощение проходит через максимум слева и справа от колебательной частоты. Максимумы поглощения приходятся на те значения /, которые чаще всего встречаются при данной температуре (по той же причине, которую
• з
• 21
7^
3
а
1
у ^Vj2 / 0 • /23^6 78Г"°
Рис. 230.
мы обсуждали в предыдущем параграфе). Поэтому при возрастании температуры вид спектральной полосы будет меняться так, как показано на схеме.
Колебания многоатомной молекулы. Многоатомная молекула может совершать большое число колебательных движений, равное числу колебательных степеней свободы. Это число подсчитывается следующим образом. Молекула из N атомов имеет 3^ степеней свободы. Три из них приходятся на координаты центра инерции молекулы. Число вращательных степеней свободы в общем случае также равно трем. Однако у линейных молекул всего лишь две вращательные степени свободы, поскольку вращение около линии, проходящей через центры атомов, лишено физического содержания. Таким образом, число степеней свободы, а вместе с ним и число колебательных частот, равно 3N — 6 или 3N — 5. Некоторые из этих частот могут не проявиться, если при соответствующем колебании дипольный момент молекулы не меняется (к вопросу о таких, как говорят, неактивных колебаниях мы еще вернемся). Как бы то ни было, число колебательных частот, а значит, и число полос в инфракрасном спектре, строго определено числом атомов и симметрией молекулы.
Если вращение молекул отсутствует (твердое тело), то инфракрасный спектр поглощения состоит из линий, соответствующих колебательным переходам. Ввиду сильного поглощения (исследование поневоле происходит в толстых слоях) в обычных условиях линии сливаются в полосу. В жидкостях вращение молекул заторможено и вращательная структура полосы размыта. Отдельные линии, составляющие полосу, уже не видны.
Остановимся теперь на вопросе о физическом смысле частот колебания многоатомной молекулы. О каких, собственно говоря, колебаниях идет здесь речь? В случае двухатомной молекулы вопрос был ясен: речь шла о колебаниях вдоль линии связи. Какие же величины колеблются по гармоническому закону в многоатомных молекулах?
При любом колебании молекулы отклонения атомов от положения равновесия можно описать смещениями вдоль связи и искажением валентных углов. 3N — 6 координат qt (в широком смысле этого слова) исчерпывающим образом опишут мгновенную конфигурацию колеблющейся молекулы.- При произвольном выборе координат qt их значения не будут меняться по закону простейшего колебания.
Закон изменения во времени каждого qt будет изображаться сложной и запутанной кривой, хотя и периодической. Ьднако оказывается, что можно прибегнуть к такому описанию колеблющейся молекулы (3N — 6) числами Qb при котором эти числа Qt менялись бы по гармоническому закону, колебались бы с частотами V/. Эти «координаты» Qi носят название нормальных, а ^t называются частотами нормальных колебаний.
Возможность введения нормальных координат означает, что периодические кривые изменения любых других координат qt могут быть разложены в спектр по частотам нормальных колебаний. Как бы мы ни подходили к колебательному спектру, мы всегда 488
придем к заключению, что он составлен частотами нормальных колебаний.
Что же это за координаты Qb получаются ли они при каком-то особенном выборе системы отсчета? Нет, нормальные координаты — это, прежде всего, линейные комбинации смещений q^ Поэтому каждая нормальная координата описывает колебание молекулы в целом. Примеры нормальных колебаний молекул СО2 и Н2О приведены на рис. 231 и 232. Реальное колебание представляет собой одновременное выполнение всех этих движений.
При помощи спектра можно определить совокупность частот нормальных колебаний молекулы. Эти данные могут быть использованы для того, чтобы создать от-
Рис. 231.Рис. 232.
Для прикладных целей имеет большое значение характеристичность многих частот колебаний. Специальное рассмотрение показывает, что в некоторых нормальных колебаниях главным образом меняется какое-либо одно межатомное расстояние или один валентный угол. Естественно, такая частота мало меняется в группе родственных соединений, если только молекула содержит эту связь. Это обстоятельство используют в химии.
Измерение колебательных частот молекулы производят не только с помощью инфракрасных спектров поглощения, но и методом комбинационного рассеяния (раман-спектры). Как мы увидим ниже, эти два метода полезно дополняют друг друга.
Комбинационное рассеяние света
Такое название получил частный случай рассеяния света частоты v веществом, при котором наряду с сильным рассеянием света с неизменной частотой v появляется ряд линий меньших и больших частот.
Рис. 233.Рис. 233.Наблюдение ведется обычно под прямым углом к падающему свету. Облучение ведется ртутной лампой, имеющей в своем спектре несколько сильных линий, из которых наиболее существенной является синяя линия с длиной волны 4358 А. Рассеянное излучение поступает в спектрограф и фиксируется фотопластинкой. Схема спектра приведена на рис. 233. Основная особенность спектра заключается в следующем. Около каждой возбуждающей линии появляются тождественные группы значительно более слабых линий. Сателлиты расположены обычно симметрично справа и слева, хотя и могут различаться интенсивностью. Это явление было обнаружено независимо Раманом в Индии и Ландсбергом и Мандельштамом в Москве. Работа Рамана была опубликована немного раньше ), и спектры комбинационного рассеяния называют также раман-спектрами.
Рис. 233.
Рис. 233.
Объяснение спектральной картины заключается в следующем. Фотон Их в основном рассеивается молекулой упруго, т. е. без изменения частоты. Однако наряду с таким рассеянием возможно и рассеяние с частичной потерей энергии,затраченной на переход молекулы с одного уровня на другой. Допустим, что фотон Их потерял
энергию, необходимую для подъема молекулы с нулевого колебательного уровня на первый. Потеря энергии равна <§и=1—(SVo — =/ivK01. Следовательно, рассеянный фотон будет иметь энергию /i(v—vK0JI). В спектре возникнет сопровождающая линия («сателлит») со стороны меньших частот.
Частоты v—vK04 называют красными сателлитами, с большей частотой — фиолетовыми. Рассеяние с частотой, большей v, происходит при падении фотона на возбужденную молекулу. Тогда одновременно с рассеянием происходит переход молекулы на низший уровень. Эту «лишнюю» энергию забирает фотон. Если возбужденная молекула находилась на первом колебательном уровне, то фотон увеличит свою энергию на hvK04 и в спектре рассеяния возникнет частота v+vK01.
Справедливость этого механизма рассеяния превосходно подтверждается объяснением соотношения интенсивностей красных и фиолетовых линий. При комнатной температуре большинство молекул находится на нулевом уровне с энергией 1/2/ivK04. На первом возбужденном уровне с энергией 3/2^КОЛ находится меньше молекул. Уже из этого обстоятельства ясно, что интенсивность фиолетовых линий должна быть меньше и, более того, при низких температурах фиолетовые линии должны практически пропасть. Отношение интенсивностей пропорционально числу атомов, находящихся в
первом и нулевом состояниях. Согласно закону Больцмана
3 V КО Л
е
Формула находится в прекрасном согласии с опытом.
Итак, смещенные линии спектра комбинационного рассеяния сдвинуты на величины, равные (в единицах энергии) разности энергетических уровней молекулы.
Мы вели рассуждение по отношению к двум колебательным уровням, но ясно, что сказанное относится к любым энергетическим переходам: чисто вращательным, колебательно-вращательным и любым другим. Основная линия рассеяния будет иметь ближайшими сателлитами линии, соответствующие наименьшим энергетическим переходам. Вращательный спектр расположится значительно ближе к основной линии, чем колебательно-вращательный.
По отношению к спектрам поглощения правила запрета для спектров комбинационного рассеяния те же в отношении колебательного квантового числа, но иные для вращательного. Разрешены такие переходы, при которых
и Д/^0, +2.
Таким образом, колебательно-вращательная полоса будет состоять из чисто колебательной линии, сдвинутой от линии возбуждения на v, а также из серии линий, сдвинутых на ¥кол — 2vBp и vKM+2vBp от линии возбуждения.
Спектры комбинационного рассеяния снимают обычно с жидкостей. Линии vK0JI±2vBp оказываются размытыми, и явственно выступает система линий чисто колебательного спектра.
Спектры комбинационного рассеяния обладают большим достоинством перед инфракрасным спектром. Мы как бы переносим те же измерения в видимую область. Те частоты, которые непосредственно измерялись в инфракрасном спектре, определяются как разности между основной и рамановской линией примерно с той же точностью.
Казалось бы, можно отказаться от инфракрасного спектра. Однако это можно сделать не для всех целей. В некотором отношении инфракрасный и рамановский спектр дополняют друг друга.
Подумаем, в чем отличие процесса излучения волн молекулой от процесса рассеяния. В обоих случаях молекула посылает в пространство элементарные волны, в обоих случаях молекула ведет себя при излучении, как диполь. Однако в первом случае молекула является диполем в отсутствие внешнего поля, а во втором случае молекула ведет себя, как диполь, под действием поля падающей волны. Итак, излучение или поглощение имеет место тогда, когда изменения состояния молекулы (колебания, вращения и пр.)
сопровождаются изменением собственного дипольного момента р. Рассеяние возможно при tqm условии, что изменения состояния молекулы сопровождаются изменениями индуцированного дипольного момента, т. е. изменением поляризуемости 0. При этом, как показывает теория, важно наличие такого изменения в момент прохождения молекулой равновесной конфигурации.
Линии инфракрасного спектра имеются для тех частот, которым соответствуют движения, удовлетворяющие условию
(г0— равновесное расстояние). Линии комбинационного рассеяния возникают для таких колебаний, при которых
Довольно часто эти условия исключают друг друга. Поэтому одно колебание может быть активно в инфракрасном спектре и неактивно в рамановском, и наоборот.
Молекула СО2 может послужить примером. Из трех колебаний этой молекулы линейное симметричное колебание оставляет дипольный момент молекулы неизменно равным нулю. Это колебание неактивно в инфракрасном спектре. В спектре комбинационного рассеяния, напротив, активным будет только это колебание, а два других будут отсутствовать. Для антисимметричного колебания это видно сразу же из следующего соображения. В обоих крайних положениях деформация электронного облака, а вместе с ней и поляризуемость, будет одинаковой. При колебании поляризуемость будет меняться одинаково в оба полупериода колебания и при равновесном положении будет проходить через минимум или максимум, но это и значит, что =0.
\dr
Мы не будем останавливаться на дальнейшем обсуждении этих закономерностей. Они хорошо изучены, и существуют таблицы, позволяющие по симметрии молекулы делать вывод о числе ее частот колебания в инфракрасном и рамановском спектрах; наоборот, данные о числе линий позволяют судить о симметрии молекулы.
Электронный спектр поглощения
Рассмотрим спектры поглощения при переходе в видимую и ультрафиолетовую области. Величина фотонащадающего света будет того же порядка, что и разность между электронными уровнями молекулы. Станут возможными электронные переходы. Однако, как уже говорилось, электронные переходы сопровождаются изменениями в энергии колебания и вращения. Поэтому каждому переходу будет соответствовать весьма широкая полоса, причем в обычных условиях эксперимента эта полоса — сплошная, мы не видим ее «колебательно-вращательной» структуры. В каждой полосе элект-
ронного перехода присутствует множество «полосок» колебательновращательных переходов, при этом возможны любые изменения квантовых колебательных чисел.
Находясь в возбужденном электронном состоянии, молекула имеет иные свойства, чем тогда, когда она находится на нулевом электронном уровне. Меняется система колебательных и вращательных уровней; колебательные частоты, т. е. разности между колебательными уровнями, будут иными. Меняется и форма потенциальной кривой, а вместе с ней и равновесные расстояния между атомами.
Кривые поглощения в видимой и ультрафиолетовой областях достаточно характерны и могут использоваться для идентификации вещества.
Зависимость поглощения света от толщины слоя вещества можно записать в виде (ср. стр. 104)
здесь /0 — интенсивность падающего луча, / — интенсивность прошедшего луча, х — толщина слоя, р — коэффициент поглощения света, имеющий разные значения для разных длин волн. Кривой поглощения иногда называют кривую ///0 в функции длины волны, но большей частью под этим названием подразумевают кривую зависимости р от X или от v.
Закон поглощения света в растворах записывают в виде
1 = Це~кт или 1 = 1{}е~ш\
здесь / — путь луча в веществе, a kN и ее — выражения коэффициента поглощения для раствора. Вполне естественно предполагается,
что коэффициент поглощения пропорционален концентрации вещества, которую выражают числом молекул N в единице объема или числом молей вещества на литр раствора с. Для раствора термин «кривая поглощения» относится обычно к кривым зависимости коэффициентов к или е от Л.
Примеры кривых поглощения в видимом и ультрафиолетовом спектре приведены на рис. 234. 1 — кривая для красного красителя (конго), 2 — для анилина, 3 — для фенола, 4 — для бензола.
Магнитный резонанс )
Пусть в постоянное магнитное поле с напряженностью Н помещено вещество, содержащее частицы со спином s и магнитным моментом М. Потенциальная энергия этой частицы в поле есть скалярное произведение МН=МгН. Согласно общему закону квантовой механики эта энергия может принять лишь дискретный ряд значений, соответственно 2s+l возможным ориентациям спина и магнитного момента в пространстве.
Каким же образом можно обнаружить возникшую систему энергетических уровней? Как всегда, по энергетическим переходам.
Правила отбора позволяют лишь переходы между соседними уровнями, отличающимися на единицу в значении s. Пусть, например, в одном состоянии
а в другом —
= № (8—1).
Следовательно, разность энергий равна
Энергетические уровни будут равноотстоящими.
Вычисленной разности уровней соответствует частота излученного или поглощенного кванта энергии
ч = 8^Н.
h
Для электрона
v = 2,8.106//, для протона
v = 3,46-1077.
Мы видим, что каждому значению Н соответствует своя характеристическая частота, называемая частотой магнитного резонанса. Для практически возможного интервала напряженностей поля эти частоты лежат в радиодиапазоне: для ядер — в области коротких и ультракоротких волн, для электронов — в сантиметровой области.
Опыт и теоретические соображения показывают, что нет практической возможности фиксировать излучение, соответствующее этим частотам. Зато можно с успехом наблюдать резонансное поглощение электромагнитных волн соответствующей длины. Для этого вещество помещают в катушку, присоединенную к генератору высокой частоты, а катушку помещают в постоянное магнитное поле. Резонанс можно «ловить», либо изменяя напряженность поля при неизменной частоте, либо, напротив, меняя частоты при том же значении Н. Магнитный резонанс обладает исключительной остротой. Ширина пика поглощения — величина порядка 0,1 МГц при частоте 460 МГц.
Лаи^яженностб магнитного ноля.Лаи^яженностб магнитного ноля.Рис. 235.Рис. 235.
Лаи^яженностб магнитного ноля.
Лаи^яженностб магнитного ноля.
Рис. 235.
Рис. 235.
Магнитный резонанс имеет широкое приложение как метод исследования вещества. Большой интерес имеет обнаружение как электронного резонанса, так и ядерного. Наличие электронов с нескомпенсированными спинами указывает химику на присутствие в веществе так называемых свободных радикалов, позволяет делать выводы о характере химических связей. С помощью ядерного резонанса можн'о определить химический состав вещества. Однако большое значение имеет следующее обстоятельство. Магнитный резонанс является настолько чувствительным эффектом, что отзывается на «добавку» поля, создаваемого электронной оболочкой атома, к внешнему полю. Оказалось, что характер этого добавочного поля зависит от свойств химической связи данного атома с остальными. Таким образом, резонансные частоты данного атома слегка варьируют в зависимости от его химической связи. Это явление носит название химического сдвига.
На рис. 235 изображена осциллограмма спектра поглощения химического соединения. Это — картина магнитного резонанса ядер фтора. На осциллограмме видны четыре линии, причем одна из них в три раза выше трех других. В молекуле, структурная формула которой дана на рисунке, имеются четыре «разных» атомов фтора. Атомов фтора, входящих в группу CF3, в три раза больше, чем других двух «химически разных» атомов. Химический сдвиг разделил резонанс ядер атомов фтора и создал возможность установления структурной формулы этого соединения.
Таким образом, явление ядерного резонанса дает нам новый способ химического анализа, позволяющий определить не химическую
брутто-формулу, т. е. для нашего примера общую долю всех атомов фтора по отношению, скажем, к атомам водорода, а детальную химическую формулу, позволяющую находить доли разно-связанных атомов одного сорта.
§ 205. Квадрупольный резонанс
Схема энергетических уровней молекулы, обсуждавшаяся выше, недостаточно детальна. Оказывается, каждый вращательный уровень имеет структуру. Между электронной оболочкой молекулы и атомными ядрами может существовать еще одно до сих пор не учитывавшееся нами взаимодействие: атомное ядро может обладать электрическим квадрупольным моментом и в зависимости от ориентировки атомного ядра по отношению к электронной оболочке молекула может обладать различной энергией. Значения этой энергии весьма невелики и соответствующие энергетические уровни соподчинены вращательным уровням.
Таким образом, для характеристики молекулы, кроме указания ее электронного состояния, колебательного и вращательного уровня, может понадобиться указать и квадрупольный уровень энергии.
Квадрупольное взаимодействие не всегда существует. Если оно есть, то вращательные переходы, которые мы обсуждали выше, на самом деле являются вращательно-квадрупольными. Можно наблюдать чисто квадрупольные переходы, т. е. переходы между отдельными квадрупольными уровнями, а также можно добиться разрешения вращательно-квадрупольных переходов. Обе задачи решаются методами радиоспектроскопии. Чисто квадрупольные переходы лежат в области 1—800 МГц, т. е. в диапазоне коротких радиоволн. Вращательно-квадрупольные переходы наблюдают, изучая поглощение микроволн, т. е. миллиметровых волн, в газах.
Основной интерес представляют чисто квадрупольные переходы. Они наблюдаются в твердых телах и некоторых жидкостях.
Приведем формулу энергии взаимодействия атомного ядра с электронной оболочкой молекулы для случая поля с осевой симметрией (такое поле существует во всех линейных молекулах):
©—eQq ^^„^ »
d2V
здесь Q — квадрупольный момент ядра, Я = — вторая производная электрического потенциала вдоль оси симметрии поля. Эффект отсутствует для ядер со спином 0 и 1/2. Взаимодействие также не имеет места, если электронное облако около ядра обладает сферической симметрией.
Число уровней ограничено. Число возможных переходов при учете правил запрета становится совсем небольшим. Так, например, 496
в случае s= 1 и s= у возникает одна линия, если s=-^ — две линии,
7
S^ у — три ЛИНИИ.
Картина квадрупольного спектра поглощения наблюдается при помощи генератора, частота которого непрерывно изменяется в исследуемом интервале длин волн. Разрешающая способность радиоспектроскопических методов огромна. При частоте спектральной линии порядка 30 МГц ширина линии равна нескольким сотням герц.
Электрический квадрупольный момент Q ядра является константой ядра атома, характеризующей отклонение распределения электрического заряда ядра от сферической симметрии. Величина Q в квадратных сантиметрах определяется на опыте из приведенной выше формулы, если известно g = ^2 и промерены квадрупольные частоты. Отклонение от сферической симметрии заряда ядра в первом приближении учитывается представлением ядра в виде эллипсоида вращения. Если ядро вытянуто вдоль спина, то Q>0, и наоборот.
Эллипсоидальное ядро стремится ориентироваться вполне определенным образом в поле электронной оболочки. Основным уровнем энергии является расположение, при котором ось симметрии поля и ось эллипсоида совпадают. В возбужденных состояниях ось ядер- ного эллипсоида может ввиду дискретности энергии находиться лишь в нескольких избранных ориентациях по направлению к оси симметрии поля. Энергия этих квантовых состояний и дается приведенной выше формулой. Падающая на молекулу электромагнитная волна поглощается, если величина фотона соответствует энергии перехода от одной ориентации ядерного эллипсоида к другой.
Квадрупольные спектры начали изучаться совсем недавно. Они представляют большой интерес для науки, если учесть огромную точность в измерении частот и реакцию квадрупольной частоты на любое самое маленькое изменение электрического поля, создаваемого не только той молекулой, в состав которой входит ядро, но и соседними молекулами.
Достаточно сказать, что квадрупольные частоты будут заметно различаться в кристаллических разновидностях одного и того же вещества. Таким образом, ядро реагирует не только на изменение поля, создаваемого близкими к нему электронами, но и на изменение далекого электронного окружения.
Пример. Электрический квадрупольный момент ядра Cl35 Q=—0,07Х X IO-24 см2. Квадрупольный резонанс наступает для С12 при частоте v=54,47 МГц. Для ядра С135 спин s=3/2. Это значит, что квантовое число т принимает значения: 3/2, V2* —3/г» —V2- Так как энергия квадрупольного взаимодействия зависит от т2, то при поглощении кванта /iv электромагнитной энергии возможен только один переход: с уровня, соответствующего |ш|=3/2, на уровенц соответствующий |т|=1/2. "
Условие резонанса:Условие резонанса:
Условие резонанса:
Условие резонанса:
eqQ
2 *
Измерив резонансную частоту v и зная из других данных величину Q квадрупольного момента ядра С135, находим градиент напряженности электрического поля, создаваемого электронами в центре ядра С135 в молекуле С12:
qq— 2,14-1016 ед. СГС.— 2,14-1016 ед. СГС.р£ I 2/iv_2-6,6- IO-27-54,5 106 рг I eQ “4,8-10-10*0,07 10~-4
q
q
— 2,14-1016 ед. СГС.
— 2,14-1016 ед. СГС.
Газовые лазеры
Лазеры, или генераторы стимулированного излучения, представляют собой неравновесные системы с инверсной заселенностью уровней энергии, предназначенные для получения мощных световых потоков,
Частицы атомарного или молекулярного газа, находящегося в состоянии теплового равновесия, распределены по энергетическим уровням в соответствии с законом Больцмана, т. е. число частиц, находящихся на более высоком уровне энергии £3 меньше числа более устойчивых частиц с энергией Ег в е<Е»-Е^кТ раз. Нормально уровни энергии заселены таким образом, что чем выше уровень, тем он беднее частицами.
Но это относится к газу, к которому не подводится энергия. Если речь идет о газовом разряде, положение меняется. Распределение частиц по уровням энергии уже может не только не подчиняться закону Больцмана, но возможен и случай инверсии — верхние уровни окажутся более заселенными, чем нижние. Если мы подводом энергии (накачкой, подкачкой) добиваемся такого положения, то становится возможной конструкция лазера.
Понятно, почему инверсная заселенность является необходимым условием создания лазера. Прежде всего нас не интересует спонтанное излучение. Как указывалось выше, спонтанное излучение не направлено и не когерентно. Значит, речь идет о стимулированном излучении. Поскольку вероятности перехода частицы, в которую попадает фотон, вверх и вниз одинаковы, усиление стимулированного излучения возможно лишь в том случае, если верхний уровень будет более заселен, чем нижний.
Ситуация иллюстрируется схемой рис. 236. В невозбужденном состоянии частицы лазерного вещества находятся в основном на нижнем уровне (рис. 236, а\ Когда начинается накачка, происходит инверсия заселенности (рис. 236, б). Какая-либо частица излучает спонтанно фотон, который способен стимулировать излучение других частиц. Эта деятельность фотона продолжается до тех пор, пока 498
фотон не поглотится частицей, находящейся на нижнем уровне (рис. 236, в).
Возможно осуществить лазеры, работающие в импульсном режиме: накачкой частицы подымаются на верхний уровень, а затем в очень короткий промежуток времени весь этот запас энергии отдается в форме стимулированного излучения.
Газовые лазеры работают в непрерывном режиме. Для этого надо располагать системой частиц, обладающих следующими особенностями. Накачка должна переводить частицы из основного состояния на верхний лазерный уровень. Эмиссия лазера состоит в переходе частиц с верхнего лазерного уровня на нижний. С нижнего
сЗерхккй у^о^енб сЙж/сххй уровеньсЗерхккй у^о^енб сЙж/сххй уровень^2
сЗерхккй у^о^енб сЙж/сххй уровень
сЗерхккй у^о^енб сЙж/сххй уровень
лазерного уровня спонтанным излучением система переходит в основное состояние.
Из этого описания ясно, что возбуждение не должно переводить частицы на нижний лазерный уровень. Кроме того, нижний уровень должен быстро освобождаться, т. е. время жизни в этом состоянии должно быть существенно меньше времени жизни на верхнем лазерном уровне.
Переход частицы с нижнего лазерного уровня в основное состояние не участвует в лазерном излучении. Это неизбежная потеря, и сделать ее меньше можно лишь одним способом, подбирая системы, у которых разница между энергиями верхнего и нижнего уровней велика по сравнению с разностью энергий нижнего и основного уровней.
Отношение энергии излучаемого фотона к энергии возбуждения является абсолютной максимальной эффективностью лазера. Разумеется, она много меньше практической эффективности, так как энергия накачки неизбежно тратится не только на подъем частицы на нужный верхний лазерный уровень.
В одном и том же газе могут существовать несколько возможных верхних и нижних лазерных уровней. Установление режима,
благоприятного для создания фотонов определенной энергии, т. е. для выделения двух уровней как верхнего и нижнего лазерных уровней, достигается конструированием лазера наподобие резонирующей полости. Если прибор представляет собой газоразрядную трубку с зеркалами у оснований колонны, то при помощи микрометрической подачи нужные фотоны отбираются варьированием длины
767674747272ЭТотеициалЭТотеициал_ лшшшши иояизацигг, (-т— верхний лазерныйн \ уровеньvj&SS^^^ эмиссия_ лшшшши иояизацигг, (-т— верхний лазерныйн \ уровеньvj&SS^^^ эмиссия0,400,407070сиси8866442 -2 -В5sВ5sо —L_L ОсиоОхое состояние атома.о —L_L ОсиоОхое состояние атома.055055660,300,300,250,250200200,100,10ОО0,050,05ОО££е^е^Нижний лазерный уроьеньНижний лазерный уроьень*-/ о*-/ о^5S 5.^5S 5.5 ^7У 85 ^7У 88^58^5^7= =^7= =X8X8Лазерная 8f5X\d^ccyj?Лазерная 8f5X\d^ccyj?§^^1§^^155ч—§ ^z—I '== ^ч—§ ^z—I '== ^ууSSОсновное состояние молекулыРис.Основное состояние молекулыРис.ОсновноеС0СЛ10Я№е молекулыОсновноеС0СЛ10Я№е молекулы236а.236а.
76
76
74
74
72
72
ЭТотеициал
ЭТотеициал
_ лшшшши иояизацигг, (-т— верхний лазерныйн \ уровень
vj&SS^^^ эмиссия
_ лшшшши иояизацигг, (-т— верхний лазерныйн \ уровень
vj&SS^^^ эмиссия
0,40
0,40
70
70
си
си
8
8
6
6
4
4
2 -
2 -
В
5s
В
5s
о —L_L ОсиоОхое состояние атома.
о —L_L ОсиоОхое состояние атома.
055
055
6
6
0,30
0,30
0,25
0,25
020
020
0,10
0,10
О
О
0,05
0,05
О
О
£
£
е^
е^
Нижний лазерный уроьень
Нижний лазерный уроьень
*
-/ о
*
-/ о
^5
S 5.
^5
S 5.
5 ^
7У 8
5 ^
7У 8
8^5
8^5
^7= =
^7= =
X8
X8
Лазерная 8f5X\d^ccyj?
Лазерная 8f5X\d^ccyj?
§^^1
§^^1
5
5
ч—§ ^z—I '== ^
ч—§ ^z—I '== ^
у
у
S
S
Основное состояние молекулы
Рис.
Основное состояние молекулы
Рис.
Основное
С0СЛ10Я№е молекулы
Основное
С0СЛ10Я№е молекулы
236а.
236а.
колонны. Поскольку волны отражаются по нескольку раз от зеркал, то в благоприятных условиях находится лишь свет, целое число длин волн которого укладывается вдоль длины колонны.
Газовые лазеры, в которых подкачка энергии происходит электрическим разрядом, конструировались чуть ли не для всех эле- 500
ментов. Было получено лазерное излучение с длиной волны от 0,2 до 133 мкм.
Большое распространение получили лазеры, веществом которых является смесь неона и гелия. Чаще всего создается близкий инфракрасный свет с длиной волны 1,13 мкм.
Смеси газов используются в лазерах по следующей причине. В некоторых случаях газовым разрядом проще возбудить частицу Д, которая соударениями передаст возбуждение частице В, чем непосредственно возбудить частицу В.
Мы опишем более или менее детально механизм работы наиболее мощного из известных сейчас лазеров, а именно лазера, работающего на углекислом газе.
Основная идея использования молекулярных газов заключается в возможности существенно повысить максимальную эффективность, используя в качестве верхнего и нижнего лазерных уровней колебательные уровни основного электронного состояния. Сравнение в этом отношении атомного и молекулярного лазеров иллюстрирует схема рис. 236а.
Виды колебаний молекулы СО2 были рассмотрены нами выше (рис. 231). Любое колебательное состояние характеризуется тремя квантовыми числами Pi^ai У1 относится к симметричному колебанию (а), у2 — к колебанию (в) и у3 — к линейному асимметричному колебанию (б).
Прежде всего исследователь должен выяснить времена жизни молекулы в разных состояниях. Эти времена могут отличаться на несколько порядков. Далее крайне существенны вероятности перехода на тот или иной уровень под действием ударов электронов.
Оказалось, что со всех точек зрения в качестве верхнего лазерного уровня пригоден уровень 001, а в качестве нижнего— 100 или 020. С этих уровней молекула переходит на уровень 010, а затем уже возвращается в основное состояние. Схема этих переходов показана на рис. 2366, вращательные уровни не показаны, чтобы не загромождать чертеж. Как видно из схемы, лазер обладает высокой максимальной эффективностью 40 и 45% для излучений 10,6 и 9,6 мкм.
Но велика не только абсолютная, но и практическая эффективность этой системы, так как электроны газового разряда в основном переводят молекулы на уровни 00о3. Замечательно удобным обстоятельством является то, что возбуждения на любой уровень 00у3 одинаково пригодны. Напомним, что колебательные уровни являются равноотстоящими. Поэтому столкновение молекул в состояниях 00у3 и 000 дает молекулы в состояниях 00(у3 — 1) и 001. То есть в конечном счете возникают нужные молекулы, находящиеся на верхнем лазерном уровне.
Несмотря на то, что возбуждения на любой из уровней дают положительный вклад в действие лазера, все же электроны тратят большую энергию на ионные возбуждения молекул. Возбуждение
становится значительно более селективным при добавлении к СО2 молекул азота.
Азот обладает колебательным уровнем при у=1 основного электронного состояния при значении энергии, равном энергии 001 молекулы СО2. Это возбужденное состояние весьма долговечно, и молекула азота опускается на нулевой уровень в основном лишь одним способом, отдавая свою энергию молекуле СО2 в состоянии ООО (см. схему на рис. 2366). Равноотстоящие колебательные уровни азота делают эффективными все его колебательные состояния (основного электронного уровня).
Рассуждения, подобные вышеприведенным, не являются вполне строгими — слишком много факторов определяет практическую эффективность лазера. Однако они демонстрируют методологию поисков лазерных веществ. Все в конечном счете решает опыт. Скажем, если освобождение нижнего лазерного уровня происходит очень медленно, то целесообразно подмешивать другие газы. Поиск этих примесей в основном эмпирический, а результаты могут оказаться очень существенными. Например, при давлении газа 1 мм рт. ст. молекулы СО2 в чистом виде испытывают примерно 100 соударений в секунду, освобождающих уровень. Соответствующие цифры при наличии гелия и воды — 4 000 и 100 000 соответственно.
До сих пор мы ничего не говорили о том, как влияет на мощность СО2-лазера ротационная структура колебательных уровней. Если бы в излучении лазера участвовали переходы между всеми вращательными подуровнями, то излучение не было бы строго монохро- матичным. Использованием одного тонкого эффекта, к описанию 502
которого мы переходим, удается заставить лазер работать на переходе между определенными подуровнями. Обычно используется 20-й уровень Р-ветви перехода (001) — (100), что дает пучок фотонов с длиной волны 10,5915 мкм.
При комнатной температуре средняя кинетическая энергия молекулы СО2 равна 0,025 эВ. Расстояние между колебательными уровнями больше этой величины, а расстояние между вращательными уровнями меньше ее. По этой причине переходы молекул из-з а тепловых столкновений с одного вращательного уровня на другой много чаще (10 миллионов в секунду) переходов между колебательными уровнями (1000 в секунду). Соответственно время жизни колебательного состояния 10-3 с, а вращательного 10~7 с. Таким образом, внутри вращательных этажей каждого колебательного уровня успевает установиться распределение Больцмана, соответствующее тепловому равновесию.
При этих условиях достаточно настроить колонну на определенный переход, чтобы сделать его доминирующим. Действительно, допустим выбран переход Р (22), т. е. переход с 21-го вращательного подуровня (001) на 22-й подуровень (100). По мере освобождения 21-го подуровня другие молекулы будут переходить с других вращательных подуровней на 21-й, чтобы сохранить распределение Больцмана. Таким образом поставленный в выгодные условия переход выигрывает соревнование с другими возможными переходами.
Эта особенность СО2-лазера определяет его большие достоинства, способствуя высокой монохроматичности и позволяя также, хотя и в небольших пределах (9—11 мкм), варьировать по желанию длину волны стимулируемого излучения.
Рис. 236в.
Большое время жизни колебательных состояний позволяет перевести СО2-лазер в импульсный режим. Для этой цели одно из двух стационарных зеркал заменяется вращающимся зеркалом. Лазер приходит в действие каждый раз, когда вращающееся зеркало становится в нужное положение по отношению к стационарному зеркалу.
Если лазер дает постоянную мощность 50 Вт, то в импульсном режиме он способен давать 50 кВт вспышками продолжительностью 150 нс при скорости 400 вспышек в секунду.
СО2-лазер изготовляют обычно в виде двухметровых трубок, через которые пропускают ток газа. Схема лазера показана на рис. 236в.
Возможности описанного лазера уже граничат с фантастикой. Фокусировка когерентного инфракрасного излучения лазера на площадь 0,001 см2 дает интенсивность 106 Вт/см2 при постоянном режиме и 109 Вт/см2 в импульсном. Тонкий лазерный луч, способный распространяться на большие расстояния, мгновенно прожигает дерево, в течение секунд проходит через сталь.
Лазерный луч может создать поля порядка 106 В/см, коренным образом меняющие свойства вещества. С открытием лазеров возник ряд новых направлений физических и технических исследований. Большой интерес представляет изучение взаимодействия света с длиной волны 10—11 мкм с полупроводниками, которые прозрачны для этой области спектра. О некоторых применениях лазеров мы говорили на других страницах книги.
Совершенно новые возможности для коммуникации с помощью лазеров составляют предмет специальных дисциплин и выходят за рамки учебника физики.
ГЛАВА 30
АТОМНОЕ ЯДРО
Экспериментальные методы ядерной физики
Изучение строения атомного ядра неразрывно связано с рассмотрением явлений самопроизвольного или вынужденного распада атомного ядра и ядерных частиц. Исследуя осколки разрушившегося атомного ядра, прослеживая судьбу этих осколков, мы получаем возможность делать заключения о структуре ядра и о ядерных силах.
Вполне естественно, что вначале были детально изучены явления самопроизвольного распада ядер, т. е. радиоактивные явления. Параллельно с этим началось изучение космических лучей — радиации, обладающей исключительной проникающей силой и приходящей к нам из космического пространства. Взаимодействуя с веществом, частицы космического излучения играют роль частиц-снарядов. Долгое время исследование космических лучей было важнейшим способом изучения взаимопревращаемости элементарных частиц и даже в какой-то степени методом изучения атомного ядра. В настоящее время основное значение приобретают исследования разрушений атомного ядра бомбардировкой потоками частиц, создаваемых в ускорителях.
Экспериментальные методы, о которых пойдет сейчас речь, одинаково применимы к изучению космических лучей и частиц, возникающих в результате ядерной бомбардировки тех или иных мишеней.
Следовые камеры. Первым прибором, позволяющим видеть след (трек) частицы, явилась камера Вильсона. Если через камеру, содержащую пересыщенные водяные пары, пролетит быстрая частица, создавшая на своем пути ионы, то за такой частицей остается след, весьма похожий на «хвост», который иногда остается в небе после самолета. Этот след создан сконденсировавшимся паром. Ионы, отмечающие путь частицы, являются центрами конденсации пара — в этом причина возникновения хорошо видимого следа. След частицы можно и наблюдать непосредственно, и фотографировать.
Чтобы регулировать состояние пара в камере, объем камеры меняют движением поршня. Быстрым адиабатическим расширением пар приводится в состояние пересыщения.
Если следовая камера помещена в магнитное поле, то по кривизне траектории можно определять либо скорость частицы при известном отношении е!т, либо, наоборот, elm при известной скорости (ср. формулы на стр. 406).
Камера Вильсона уже принадлежит истории. Поскольку камера заполнена газом, столкновения редки. Очень велико время «очищения» камеры: фотографии могут сниматься лишь через 20 секунд. Наконец, след живет время порядка секунды, что может привести к смещению картин.
В 1950 г. была предложена пузырьковая камера, которая играет большую роль в физике элементарных частиц. Веществом камеры является перегретая жидкость. Заряженная частица образовывает ионы, а около ионов создаются пузырьки, которые и делают след видимым. В такой камере можно получать 10 фотографий в секунду. Самым большим недостатком камеры является невозможность управлять ее включением. Поэтому зачастую нужны тысячи фотографий, чтобы отобрать одну, фиксирующую исследуемое явление.
Большое значение имеют искровые камеры, основанные на ином принципе. Если на плоский конденсатор наложить высокое напряжение, то между пластинами проскочит искра. Если в зазоре имеются ионы, то искра проскочит при меньшем напряжении. Таким образом, ионизующая частица, пролетающая между обкладками, создает искру.
В искровой камере сама частица включает высокое напряжение между обкладками конденсатора на миллионную долю секунды. Однако достоинства в отношении возможности включения в нужный момент ослабляются недостатками: видны лишь частицы, образующие угол нс более 45° с пластинками, след очень короток и не все вторичные явления успевают проявить себя.
Недавно советские исследователи предложили новый тип следовой камеры (так называемой стримерной камеры), уже нашедшей широкое применение. Блок-схема такой камеры показана на рис. 237. Частица, попадающая между пластинами, расположенными, в отличие от искровой камеры, на большом расстоянии друг от друга, обнаруживается счетчиком. Электронно-логическое устройство
различает первичные события и выбирает то, которое интересует экспериментатора. В этот момент высокое напряжение на короткое время подается на пластины. Ионы, образовавшиеся на пути прохождения частицы, образуют черточки (стримеры), которые и фотографируются. Путь частицы обрисован этими черточками. Если
Рис. 237.Рис. 237.
Рис. 237.
Рис. 237.
фотография снята вдоль направления черточек, то путь частицы выглядит, как пунктирная линия.
Успех работы стримерной камеры зависит от правильной корреляции образования электронной лавины от первичного иона с параметрами импульса высокого #напряжения. В смеси 90% неона и 10% гелия при расстоянии между пластинами 30 см хорошие
результаты получаются при напряжении 600 000 В и времени импульса 10“10 с. При этом импульс должен накладываться не позже чем через 10“6 с после первичного акта ионизации. Следовая камера этого типа представляет собой сложную дорогую установку, которая ушла так же далеко от камеры Вильсона, как современные ускорители частиц от электронной трубки.
Ионизационные счетчики и ионизационные камеры. Ионизационное устройство, предназначенное для работы с излучением, большей частью представляет собой цилиндрический конденсатор, наполненный газом; одним электродом является цилиндрическая обкладка, а другим — нить или острие, идущие по оси цилиндра (рис. 237а). Напряжение, прикладываемое к конденса
тору, и давление газа, заполняющего счетчик, должны быть подобраны специальным образом в зависимости от постановки задачи. В распространенной разновидности такого устройства, называемой счетчиком Гейгера, к цилиндру и нити прикладывают напряжение пробоя. Если через стенку или через торец такого счетчика в него попадет
ионизующая частица, то через конденсатор пойдет импульс тока, продолжающийся до тех пор, пока первичные электроны и созданные ими электроны и ионы самостоятельного разряда не подойдут к положительной обкладке конденсатора. Этот импульс тока можно усилить обычными радиотехническими методами и фиксировать прохождение частицы через счетчик либо щелчком, либо световой вспышкой, либо, наконец, цифровым счетчиком.
Такое устройство может считать количество частиц, поступающих в прибор. Для этого необходимо лишь одно: импульс тока должен прекратиться к моменту, когда в счетчик поступает следующая частица. Если режим работы счетчика подобран неправильно, то счетчик начинает «захлебываться» и считает неверно. Разрешающая способность ионизационного счетчика ограничена, но все же достаточно велика: до 10 000 частиц в секунду.
Можно понизить напряжение и добиться такого режима, при котором через конденсатор проходил бы импульс тока, пропорциональный числу образованных ионов (пропорциональный счетчик). Для этого нужно работать в области несамостоятельного газового разряда. Первичные электроны, двигаясь в электрическом поле конденсатора, набирают энергию. Начинается ионизация ударом, создаются новые ионы и электроны. Созданные влетевшей в счетчик частицей начальные п пар ионов превращаются в кп пар ионов. При работе в режиме несамостоятельного разряда коэффициент усиления к будет постоянной величиной и пропорциональные счетчики не только установят факт прохождения частицы через счетчик, но и измерят ее ионизующую способность.
Разряд в пропорциональных счетчиках, так же как и в описанных выше счетчиках Гейгера, гаснет с прекращением ионизации. Отличие счетчика Гейгера заключается в том, что в нем влетевшая частица действует наподобие спускового механизма и время пробоя не находится в связи с первоначальной ионизацией.
Так как пропорциональные счетчики реагируют на ионизующую способность частицы, то режим работы счетчика может быть подобран так, чтобы он отмечал только частицы определенного сорта.
Если прибор работает в режиме тока насыщения (чего можно добиться, снижая напряжение), то ток через него является мерой энергии излучения, поглощаемой в объеме прибора за единицу времени. В этом случае устройство называют ионизационной камерой. Коэффициент усиления к равняется в этом случае единице. Преимуществом ионизационной камеры является большая устойчивость работы. Конструкции ионизационных камер могут значительно варьировать. Наполнение камеры, материалы стенок, число и форма электродов меняются в зависимости от цели исследования. Наряду с крошечными камерами с объемом порядка кубического миллиметра приходится иметь дело с камерами объемом до сотни метров. Под действием постоянного источника ионизации в камерах возникают токи в пределах от 10~17 до 10-7 А.
Сцинтилляционные счетчики. Метод счета вспышек флуоресцирующего вещества (сцинтилляций) как средство счета элементарных частиц был впервые применен Резерфордом для его классических исследований строения атомного ядра. Современное воплощение этой идеи мало напоминает простенький прибор Резерфорда.
Частица вызывает световую вспышку в твердом веществе — фосфоре). Известно весьма большое число органических и неорганических веществ, обладающих способностью преобразовывать энергию заряженных частиц и фотонов в световую энергию. Многие фосфоры обладают весьма малой длительностью послесвечения, порядка миллиардных долей секунды. Это позволяет строить сцинтилляционные счетчики с большой скоростью счета. У ряда фосфоров световой выход пропорционален энергии частиц. Это даст возможность конструировать счетчики для оценки энергии частиц.
В современных счетчиках фосфоры комбинируют с фотоумножителями, имеющими обычные фотокатоды, чувствительные к видимому свету. Электрический ток, создаваемый в умножителе, усиливается и далее направляется на счетное приспособление.
Наиболее часто применяемые органические фосфоры: антрацен, стильбен, терфенил и т. д. Все эти химические соединения принадлежат к классу так называемых ароматических соединений, построенных из шестиугольников углеродных атомов. Для применения в качестве сцинтилляторов надо брать эти вещества в виде монокристаллов. Так как выращивание крупных монокристаллов несколько затруднительно и так как кристаллы органических соединений весьма хрупки, то существенный интерес представляет применение пластических сцинтилляторов,— так называют твердые растворы органических фосфоров в прозрачных пластмассах — полистироле или другом аналогичном высокополимерном веществе. Из неорганических фосфоров применяются галогениды щелочных металлов, сернистый цинк, вольфраматы щелочноземельных металлов.
Счетчики Черенкова. Еще в 1934 г. Черенковым было показано, что при движении быстрой заряженной частицы в совершенно чистом жидком или твердом диэлектрике возникает особое свечение, принципиально отличное как от свечения флуоресценции, связанного с энергетическими переходами в атомах вещества, так и от тормозного излучения типа рентгеновского сплошного спектра. Излучение Черенкова имеет место в том случае, если заряженная частица движется со скоростью, превышающей фазовую скорость распространения света в диэлектрике. Основная особенность излучения состоит в том, что оно распространяется вдоль конической поверхности вперед по направлению движения частицы. Угол конуса определяется формулой:
cos ,
где 6 есть угол образующей конуса с направлением движения частицы, V — скорость частицы, и — скорость света в среде. Таким образом, для среды с данным показателем преломления п существует критическая скорость V=v=cfn, ниже которой излучения не будет. При этой критической скорости излучение будет параллельно направлению движения частицы. Для частицы, движущейся со скоростью, весьма близкой к скорости света (у=с), будет наблюдаться максимальный угол излучения 0 = arccos(l/n). Для циклогексана /1=1,437 и 0=46°.
Спектр излучения Черенкова, как показывают опыт и теория, располагается в основном в видимой области.
Излучение Черенкова — явление, похожее на образование носовой волны от корабля, движущегося по воде; в этом случае скорость корабля больше, чем скорость волн на поверхности воды.
Рис. 2376.Рис. 2376.Рис. 2376 иллюстрирует происхождение излучения. Заряженная частица движется вдоль осевой линии и по пути электромагнитное
Рис. 2376.
Рис. 2376.
Рис. 237в.
поле, следующее за частицей, временно поляризует среду в точках траектории частицы. Все эти точки становятся источниками сферических волн. Имеется один-единственный угол, при котором эти сферические волны совпадут по фазе и образуют единый фронт.
Рассмотрим две точки на пути заряженной частицы (рис. 237в). Они создали сферические волны, одна в момент времени /, другая в момент времени ^+т. Очевидно, т есть время, которое затратила частица на прохождение пути между этими двумя точками. Для того чтобы эти две волны распространялись под каким-то углом 0 в одной фазе, необходимо, чтобы время хода первого луча было больше времени хода второго луча на время т. Путь, пройденный частицей за время т, равен Vt. Волна пройдет за это же время расстояние ут. Отсюда мы и получаем приведенную выше формулу: cos 9=у/У.
Излучение Черенкова используется в последнее время весьма широко как способ регистрации элементарных частиц. Счетчики, основанные на этом явлении, называются черепковскими счетчиками. Светящееся вещество соединяется, так же как и в сцинтилляционных счетчиках, с фотоумножителями и усилителями
фотоэлектрического тока. Существует множество конструкций счетчиков Черенкова.
У счетчиков Черенкова имеется множество преимуществ. К ним относятся быстрая скорость счета и возможность определения зарядов частиц, движущихся со скоростью, весьма близкой к скорости света (мы не сказали, что световой выход резко зависит от заряда частицы). Только при помощи счетчиков Черенкова могут решаться такие важные задачи как прямое определение скорости заряженной частицы, определение направления, в котором движется ультрабыстрая частица, и т. д.
Размещение счетчиков. Для того чтобы изучать различные процессы превращения и взаимодействия элементарных частиц, необходимо иметь возможность не только отметить появление частицы в данном месте, но и проследить дальнейшую судьбу этой же частицы. Подобные задачи решаются с помощью специальных расположений счетчиков с обобщенной счетной схемой. Например, можно электрические схемы двух или нескольких счетчиков соединить таким способом, чтобы счет происходил лишь в том случае, если разряд во всех счетчиках начинается в точности в одно и то же время. Это может служить доказательством прохождения одной и той же частицы через все счетчики. Такое включение счетчиков называется «включением^ на совпадение».
Метод толстослойных фотографических эмульсий. Как известно, фоточувствительным слоем фотопластинок служит желатиновая пленка, в которую введены микрокристаллики бромистого серебра. Основой фотографического процесса является ионизация этих кристалликов, в результате которой происходит восстановление бромистого серебра. Этот процесс происходит не только под действием света, но и под действием заряженных частиц. Если через эмульсию пролетит заряженная частица, то в эмульсии возникнет скрытый след, который можно увидеть после проявления фотопластинки. Следы в фотоэмульсии рассказывают много подробностей о вызвавшей их частице. Сильно ионизующие частицы оставляют более жирные следы. Так как ионизация зависит от заряда и скорости частиц, то уже один только вид следа говорит о многом. Ценные сведения дает величина пробега (трека) частицы в фотоэмульсии; измеряя длину следа, можно определить энергию частицы.
Исследования при помощи обычных фотопластинок с тонкими эмульсиями мало пригодны для целей ядерной физики. Такие пластинки фиксировали бы только те частицы, которые движутся строго вдоль пластинки. Мысовским и Ждановым, а также через несколько лет Пауэллом в Англии были введены в обиход фотопластинки с толщиной эмульсии, близкой к 1 мм (у обычных пластинок толщина слоя в сто раз меньше). Фотометод ценен своей наглядностью, возможностью наблюдать сложную картину превращения, происходящего при разрушении какой-либо частицы.
На рис. 238 приведена характерная фотография, полученная этим Методом. В точках Р и S произошли ядерные превращения.
В последнем варианте этого метода в качестве среды, в которойВ последнем варианте этого метода в качестве среды, в которойфиксируются треки частиц, значительного объема.
В последнем варианте этого метода в качестве среды, в которой
В последнем варианте этого метода в качестве среды, в которой
Методы анализа наблюдений. При помощи описанных приборов ис- следовател ь по л уч ает возможность определить все важнейшие константы элементарной частицы: скорость и энергию, электрический заряд, массу; все эти параметры могут быть определены с достаточно высокой точностью. При наличии потока частиц можно, кроме того, определить значение спина элементарной частицы и ее магнитного момента. Это делается тем же опытом расщепления пучка в магнитном поле,который был описан на стр. 171.
Следует помнить, что непосредственно наблюдаются лишь заряженные частицы. Все данные о нейтральных частицах и о фотонах получаются косвенно изучением характера действия этих невидимых частиц на заряженные. Данные, получаемые о невидимых частицах, обладают, тем не менее, большой степенью достоверности.
применяют эмульсионные камерыприменяют эмульсионные камерыимеем дело с быстрыми частицами, то, применяя закон сохранения энергии, необходимо учитывать возможное изменение массы.имеем дело с быстрыми частицами, то, применяя закон сохранения энергии, необходимо учитывать возможное изменение массы.Существенную роль при исследовании всякого рода превращений элементарных частиц играет применение законов сохранения импульса и энергии. Так как мы
применяют эмульсионные камеры
применяют эмульсионные камеры
имеем дело с быстрыми частицами, то, применяя закон сохранения энергии, необходимо учитывать возможное изменение массы.
имеем дело с быстрыми частицами, то, применяя закон сохранения энергии, необходимо учитывать возможное изменение массы.
Предположим, что на фотографии наблюдается след частиц в виде «вилки». Первая частица превратилась в две частицы: вторую и третью. Тогда должны выполняться следующие соотношения. Во- первых, импульс первой частицы должен равняться векторной сумме импульсов возникших частиц:
а=а+а-
Далее, между кинетическими энергиями частиц должно существовать соотношение
T^^ + ^ + A^,
где А^=с2Ат, а km — разность масс (m2+m3) — тг.
Весь опыт ядерной физики показывает, что законы сохранения выполняются неукоснительно при любых превращениях элементарных частиц. Это позволяет воспользоваться этими законами для выяснения свойств нейтральной частицы, не оставляющей следа в фотографической эмульсии и не ионизующей газа. Если на фотопластинке наблюдаются два расходящихся трека, то исследователю ясно: в точке, откуда эти следы расходятся, произошло превращение нейтральной частицы. Определяя импульсы, энергии и массы возникших частиц, можно сделать уверенные выводы о значении параметров нейтральной частицы. Так был открыт нейтрон, такими способами мы судим о нейтрино и нейтральных мезонах, о которых будет рассказано ниже.
Частицы, входящие в состав ядра
Атомные ядра элементов построены из протонов и нейтронов.
Основными характеристиками протона, как, впрочем, и всякой элементарной частицы, являются его заряд, масса, спин и магнитный момент. Протон несет на себе положительный элементарный электрический заряд, т. е. заряд его равен заряду электрона по абсолютной величине, но обратен по знаку. Масса протона равняется 1,6725-10"24 г, т. е. в 1836 раз больше массы электрона. Спин протона равен 1/2, а магнитный момент 1,41 • 10-33 ед. СГС.
Масса нейтрона несколько больше массы протона, а именно, равна 1,6748-10"24 г. Спин нейтрона также V2. Магнитный момент нейтрона антипараллелен спину и равен 0,966-10~23 ед. СГС.
Нейтрон не несет на себе электрического заряда и не оставляет следов в камере Вильсона и на фотопластинке. Основным способом исследования свойств нейтрона является изучение его столкновений с другими ядрами. Зная массу и скорость ядра, в которое попал нейтрон, можно определить скорость ин и массу Мн нейтрона. Действительно, по законам упругого удара (см. стр. 56)
2МНу —иуЯ Мн+М/«’
где Л4Н и ун — неизвестные для нас величины. Исследуя соударения нейтронов с различными ядрами, можно определить Мн, разумеется, 512
не претендуя на особую точность, поскольку приходится предполагать равными начальные скорости нейтронов ун при различных соударениях. Точное значение Мн найдено с помощью ядерных реакций по значениям дефекта массы (см. ниже).
Спин и магнитный момент нейтронов были непосредственно определены весьма интересными измерениями потока нейтронов, проходящего через намагниченное железо. Мы не будем на этом останавливаться.
Масса и энергия атомного ядра
Характеристикой ядра, определяющей химическое наименование элемента, является число протонов Z. Порядковый номер атома в таблице Менделеева как раз определяется числом протонов Z.
У каждой химической разновидности атомов возможно существование нескольких изотопов, отличающихся друг от друга числом нейтронов в ядре. Изотоп данного элемента характеризуется массовым числом М, равным общему числу протонов и нейтронов атомного ядра ). Таким образом, число нейтронов в ядре равно М — Z.
Химически простые природные вещества являются смесью изотопов. Изотопный состав природных веществ обычно неизменен и является, таким образом, характеристикой химического элемента. Нередко один из изотопов резко преобладает в смеси. Например, водород встречается в природе в виде обычного водорода Н1 и дейтерия H2 D, первый в количестве 99,98%, второй — в количестве 0,02%. Изотоп кислорода О16 содержится в естественном кислороде в количестве 99,76%. Основной изотоп урана U238 содержится в природном уране в количестве 99,28%.
Обозначим через Л40 массу изотопа углерода С12. Величина -^ Мо называется атомной единицей массы. В этих относительных единицах и принято выражать атомные веса А изотопов и элементов.
Точными измерениями установлено, что одной атомной единице массы соответствует масса 1,6604-10"24 г. Абсолютное значение массы любого изотопа А (в граммах) определяют по формуле
МА= 1,6604-10“24 А.
Масса электрона в 1836 раз меньше массы протона. Масса атома и масса его ядра почти совпадают. Однако при современной точности измерений эта разница в ряде случаев, в особенности для легких атомов, может быть уловлена и должна учитываться.
Очевидно, между массой ядра Мй и массой атома Ма элемента А будет существовать соотношение
Л1Я — Ма — Zm.
В атомных единицах массы т—5,486-10-4 ). Таким образом, различия Мя и УИд лежат в сотых, а для тяжелых атомов — в тысячных долях процента.
Относительные атомные веса изотопов близки к массовым числам, но не равны им. Например, масса Н1 равна 1,00807, масса D2 равна 2,01463, масса Ne20 равна 19,9972 и т. д.
Изучая внимательно таблицы масс изотопов, можно прийти к следующему важному выводу: масса ядер меньше суммы масс элементарных частиц, образующих ядро. Например, масса нейтрона 1,00888, масса протона 1,00807; масса двух нейтронов и двух протонов равна 4,0339. В то же время масса атома гелия, который состоит из двух нейтронов и двух протонов, не равна этой цифре, а равна 4,0038. Таким образом, масса ядра гелия меньше суммы масс, составляющих ядро частиц на величину 0,0301 атомной единицы, в тысячи раз превосходящую точность измерений.
Разность масс элементарных частиц, составляющих ядро, и массы ядра является важнейшим примером дефекта массы. Каждому ядру соответствует определенный дефект массы.
Одним из важнейших выводов теории относительности является принцип эквивалентности массы и энергии (стр. 385). Этот принцип гласит: если система приобретает или теряет количество энергии А^, то масса этой системы соответственно возрастает или уменьшается на величину \т=\<§1с\ Дефект массы ядра (с точки зрения этого принципа) получает естественное истолкование: он является мерой энергии связи ядерных частиц.
Поясним, что означает это утверждение. Под энергией связи в химии и физике понимают ту работу, которую надо затратить для того, чтобы эту связь полностью нарушить. Если бы удалось разделить ядро на элементарные частицы, то, как сказано выше, масса системы возросла бы на величину дефекта массы Ат; это значит с точки зрения закона Эйнштейна, что ядру была подведена энергия А^—с2Дт, которая и есть не что иное как энергия связи. Отсюда находим, что изменение массы на одну атомную единицу массы эквивалентно изменению энергии на 1,6604-10“24-9- 1020 эрг—1,496 X К 10"3 эрг-931,8 МэВ (1 эВ-1,602- 10"12эрг, 1 МэВ-106эВ). Пользуясь этими цифрами и зная величины дефекта массы, можно без труда рассчитать энергии связи атомных ядер.
На рис. 239 изображена кривая энергии связи ядра, отнесенной к числу частиц ядра, т. е. величина с^Кт/М. По оси абсцисс отложено массовое число. Кривая показывает, что энергия связи на одну ядерную частицу сначала быстро, но не вполне закономерно возрастает, далее останавливается примерно на 8 МэВ и, наконец,
слегка опускается для последних элементов Менделеевской таблицы. Факт постоянства числа 8 МэВ истолковывается следующим образом. Так как энергия связи, рассчитанная на одну частицу, не зависит от общего числа частиц в ядре, то взаимодействие в ядре имеет место лишь между ближайшими частицами. Отсюда, в частности, следует вывод о действии ядерных сил лишь при непосредственном сближении частиц (см. ниже).
Величину 8 МэВ поучительно сравнить с энергиями химической связи молекул. Эти последние равны обычно нескольким электронвольтам на атом. Значит, для расщепления молекулы на атомы надо затратить энергию в несколько миллионов раз меньшую, чем для расщепления ядра.
О ядерных силах будет речь ниже. Однако уже из приведенных примеров ясно, что эти силы достигают при разрушении ядра огромных значений. Очевидно также, что ядерные силы представляют собой новый класс сил, так как они способны сцеплять частицы, заряженные одноименным электричеством. Ядерные силы нс сводимы к электрическим.
. Спин и магнитный момент ядра
Нуклоны, составляющие ядро, обладают спином, а значит, и магнитным моментом. Таким образом, наличие спина у электрона не является особым свойством. Элементарные частицы могут обладать спином; наглядная интерпретация этого факта не только не нужна, но и неверна; мы уже предупреждали читателя, что образ вращающейся около своей оси частицы является совершенно условным, так как спин частицы не имеет классической интерпретации.
Вращательный импульс любой частицы, а значит, и атомного ядра может быть представлен формулой
и проекция спина на выделенное направление может пробегать 2s+I значение, от s до —s. Обычно спином называют не написанное выше выражение, а определяющее его число s.
В соответствии с законами квантовой механики разность 2s между наибольшим и наименьшим значением спина должна равняться целому числу или нулю. Поэтому спин частицы может равняться О, %, 1, 3/2,...
Спины нейтрона и протона, как и спин электрона, равны
Просматривая таблицы значений спинов различных атомных ядер, мы обнаружим ряд интересных закономерностей. Прежде всего, у ядер, содержащих четное число протонов и четное число нейтронов, спин ядра равен нулю (Не, С12, О16). Число нуклонов, кратное четырем, вообще играет, видимо, большую роль. Во многих случаях (но далеко не во всех) спин атомного ядра может быть получен следующим образом: отбрасываем ближайшее к М число, кратное четырем, и умножаем оставшуюся разность на V2. Например: у Li6 спин равен 1 =2Xх/2, у Li7 — 3/2, у В10 — 1, у В11 — 3/2..
Правилом без исключения является довольно очевидное обстоятельство: у ядер с четным М спин — целый или равен нулю, у ядер с нечетным М — кратен V2.
Спины атомных ядер определяются по сверхтонкой структуре оптических спектров. Расщепление энергетических уровней, хотя и крайне незначительное, измеряется вполне уверенно. Расщепление происходит по той причине, что разным взаимным ориентациям спина электрона и спина ядра будет соответствовать разная энергия.
Рассмотрение материала о спинах ядер приводит к заключению о применимости принципа Паули к протонам и нейтронам в ядре. Две тождественные частицы могут расположиться на одном уровне энергии лишь при условии антипараллельности спинов. Так как протон и нейтрон — разные частицы, то на одном уровне могут быть два протона и два нейтрона. В этой компактной группе со спином, равным нулю, мы узнаем ядро атома гелия (а-частицу).
Наличие спина означает наличие магнитного момента. Между вращательным импульсом L и магнитным моментом М должна существовать прямая пропорциональность. При этом магнитный момент может быть либо параллелен, либо антипараллелен спину.
Если спин частицы (сложной или простой) равен s, то магнитный момент ее может быть записан в виде
М = gps, где р — элементарный магнетон, равный ^~ , tn — масса частицы, a g — безразмерный множитель. Это равенство является обобщением обсужденного на стр. 464 соотношения для электрона. Для этой частицы s^1^ и g надо положить равным 2, чтобы получить совпадение с опытом.
Разные частицы (не только сложные, но и элементарные) имеют разные значения g. Так, например, g-фактор нейтрона равен 3,8206, протона — 5,5791.
В элементарный магнетон входит масса частицы. Однако принято пользоваться лишь двумя значениями магнетонов: магнето- 516
ном Бора для легких частиц и ядерным магнетоном (магнетоном, подсчитанным для протона) цяд=(1/1836) цб для тяжелых. Приведенные выше значения g-фактора вычислены для цяд.
Теории g-факторов и магнитных моментов, связывающей эти свойства ядра с его структурой, не существует.
. Силы взаимодействия нуклонов
Основные сведения о ядерных силах можно получить, изучая рассеяние частиц. Уже из первых опытов Резерфорда по рассеянию ос-частиц можно было сделать вывод о весьма малом радиусе действия ядерных сил. Опыты Резерфорда объяснились количественно в предположении, что отклонение ос-частиц является электрическим отталкиванием одноименно заряженных частиц. При этом теория совпадала с опытом и тогда, когда ос-частица проходила почти вплотную около рассеивающего ядра. Значит, достаточно двум ядерным частицам быть на самом небольшом расстоянии друг от друга, чтобы между ними действовали лишь электрические силы, а ядер- ные уже не чувствовались бы.
Болес непосредственный результат дают опыты по рассеянию нейтронов протонами. Для этого пучок нейтронов пропускают через водород, находящийся в газообразном состоянии. Опыт показывает, что лишь небольшая часть нейтронов встречается с^ядрами атомов водорода. Что же касается рассеянных нейтронов, то они распределены равномерно по углам. Этот результат коренным образом отличается от картины рассеяния а-частиц, т. е. от рассеяния, происходящего благодаря электрическим взаимодействиям, где отклонение есть всегда, но малое, когда а-частица проходит далеко от ядра, и большое, когда путь ее лежит вблизи рассеивающего ядра. Картина, наблюдающаяся при рассеянии нейтронов протонами, приводит нас к признанию весьма малого радиуса действия ядерных сил. Значение порядка 2-Ю"13 см уверенно выводится из этого опыта.
Изучение рассеяния протонов протонами приводит к такому же значению радиуса действия. Опыты и расчеты здесь несколько затруднительны, так как надо «вычесть» из рассеяния то, что обусловлено чисто электрическим взаимодействием. Однако наблюдения при высоких энергиях и под большими углами позволяют произвести это вычитание. К сожалению, нельзя поставить прямые опыты по рассеянию нейтронов нейтронами. Однако ряд косвенных обстоятельств нс позволяет нам сомневаться, что и в этом случае свойства ядерных сил остаются теми же. Вот пример такого рассуждения: можно сравнить энергию связи и поведение при соударениях трития (изотопа водорода с массой 3) и изотопа гелия той же массы. В первом случае ядро состоит из двух нейтронов и одного протона, во втором— наоборот. Энергия связи гелия больше ровно на такую величину, которую даст электрическое взаимодействие между двумя протонами. Все эти опыты и рассуждения приводят к заключению
о независимости ядерных сил, действующих между нуклонами, от электрических зарядов взаимодействующих частиц.
Опыты по рассеянию нуклонов приводят также к заключению об обменном характере взаимодействия. Этот термин применяется в том случае, когда встретившиеся частицы меняются своими свойствами: частица, бывшая протоном, превращается в нейтрон, и
наоборот. Необходимость такого обстоятельства следует из эксперимента по рассеянию протонами пучка нейтронов весьма больших энергий (в десятки раз превосходящей потенциальную энергию взаимодействия протонов с нейтронами). В таком опыте мы ожидали бы, что большинство нейтронов пройдет через водород и без рассеяния. На самом же деле рассеянный вперед пучок составлен из одинакового числа нейтронов и прото
нов.
Проблема ядерных сил весьма осложняется их зависимостью от расположения спинов ядер. Ядерные силы теряют из-за этого свой центральный характер (т. е. сила не действует вдоль линии, соединяющей центры частиц).
Тем не менее, усредняя эту зависимость, можно охарактеризовать ядерные силы потенциалом взаимодействия такого же типа, который обсуждался для молекул. На рис. 240 показана такая кривая для двух нуклонов (общее название протона и нейтрона). Энергия взаимодействия отложена в МэВ, а расстояние — в ферми (1 ферми^Ю'13 см). На расстоянии 4 ферми ядерные силы уже не действуют. Для сравнения с электростатическим взаимодействием на рисунке проведена пунктирная кривая. Это электростатический потенциал двух разноименных зарядов величины 3,3 заряда электрона. На расстоянии 2 ферми энергии взаимодействия одинаковы. Аналогии между кривыми, конечно, нет.
Кривые подобного типа построены на основании опыта для разных ядер. Ординаты и абсциссы потенциальных ям колеблются в небольших пределах (5—20 эВ, единицы ферми).
§ 212. Нуклоны в ядре
Нет сомнения в том, что нуклоны расположены весьма плотно внутри атомного ядра. В разумном согласии с рядом экспериментальных данных находится следующая формула «радиуса»
5К
ядра:
/? = fe3/M.
Здесь М — массовое число, ай=1,5- 10"13см. Формула установлена для тяжелых ядер, но нет сомнения в ее пригодности и для легких ядер. Если радиус ядра пропорционален кубическому корню из числа частиц, то объем ядра будет пропорционален первой степени числа частиц. Это обстоятельство заставляет полагать, что по крайней мере в грубом приближении нуклоны упакованы в ядре с однородной плотностью.
Разумеется, мы не можем построить геометрическую модель атомного ядра и определить траектории нуклонов в ядре, так как нуклоны имеют волновую природу.
В каком-то приближении можно представить себе, что каждый нуклон движется в поле всех остальных. У такого нуклона будет система энергетических уровней, которые можно заполнять последовательно, идя от легких ядер к более тяжелым. Наиболее низкий уровень, так же как и в случае электронов, не должен обладать вращательным импульсом. В соответствии с принципом Паули на этом самом низком уровне можно расположить два нейтрона и два протона, каждая пара с противоположными спинами, т. е. а-частицу. Рассматривая аналогичным образом более тяжелые ядра, удается выделить и на следующих уровнях устойчивые группы частиц. Оболочечная модель ядра оказалась очень полезной для определения ряда свойств ядер и для объяснения степени распространенности изотопов.
Рассматривая состав атомных ядер, начиная от легких и идя к тяжелым, мы обращаем внимание на то, что число нейтронов в атомном ядре растет быстрее числа протонов и у весьма стабильного элемента свинца на 82 протона приходится 126 нейтронов. Это возрастание числа нейтронов объясняется необходимостью уравновесить все возрастающее электрическое отталкивание протонов.
Разумеется, нарушение равенства протонов и нейтронов в ядре несет за собой не только преимущества, но и недостатки. Действительно, при соблюдении этого равенства мы могли бы заполнять низкие уровни энергии максимальным числом частиц — ведь в одно состояние можно поместить два нейтрона и два протона согласно принципу Паули. Однако, поступая таким образом, мы слишком увеличили бы электрическое отталкивание и суммарная энергия не была бы минимальной. Очевидно, реальный случай представляет собой компромиссное решение, продиктованное двумя тенденциями. Явления 0-распада, столь широко наблюдаемые у искусственно радиоактивных элементов, представляют собой выбор ч оптимальной ситуации в указанном смысле. Если в ядре много протонов или много нейтронов, то положение дела поправляется излучением электрона или позитрона.
Спектры атомных ядер
С точки зрения квантовой механики любая система взаимодействующих частиц может быть охарактеризована совокупностью энергетических уровней. Атомное ядро может занимать наиболее низкий уровень (как это имеет место для ядер всех стабильных элементов, находящихся в обычных земных условиях), но может под воздействием соударений с другими частицами переходить на возбужденный уровень. Существование на возбужденном уровне
всегда непродолжительно, и ядро «опускается вниз», отдавая лишнюю энергию.
Ядра атомов радиоактивных веществ обычно либо находятся в возбужденном состоянии, либо переходят в возбужденное состояние после выбрасывания а-ча- стицы (см. ниже).
Разности энергии между уровнями в ядрах порядка сотен тысяч электрон-вольт (вместо единиц электрон-вольт для электронных уровней в атоме). По этой причине в обычных условиях ядра совершенно инертны. Энергетические переходы в ядрах изучаются в деталях их бомбардировкой в ускорителях,рассчитанных на миллионы электронвольт.
На рис. 240а показаны систе
мы энергетических уровней двух ядер 5ВИ и бСп. Энергетические уровни резкие и измеряются с большой точностью. Величины энергий даны на рисунке. Пара ядер с одинаковым общим числом нуклонов, и притом такая пара, у которой число нейтронов (протонов) в одном ядре равно числу протонов (нейтронов) в другом, называется «зеркальной» парой. Очевидно, что различие в ядрах сводится к электростатической энергии, которая невелика. Картина уровней оказывается очень близкой, что еще раз иллюстрирует общность нуклонного взаимодействия.
В каждом из возбужденных состояний ядро обладает некоторой совокупностью свойств. Разным уровням соответствуют, вообще
говоря, разные спины, а также четности и различные изоспины. Изоспины — это числа, которые нумеруют уровни в каждом изо- спиновом мультиплете. Об этом квантовом числе пойдет речь ниже, когда будут обсуждаться спектры нуклонов. Четность — свойство частицы, связанное с ее винтовой симметрией (см. стр. 550). Два варианта (левый винт, правый винт) обозначаются знаками +, —.
Переходя на более низкий уровень, атомное ядро может отдать свою энергию двумя способами. Первый из них тот же, который является единственно возможным в случае излучения атома,— это испускание фотона. Поскольку разность энергии Е^ — Ег очень велика, то возникают «жесткие» фотоны, называемые обычно у-лучами. Однако возможны переходы с излучением так называемой пары лептонов. Этой парой является либо электрон и антинейтрино, либо позитрон плюс нейтрино (ср. § 225).
Картина переходов между уровнями ядра, состоящего из 12 нуклонов, показана на рис. 2406 (числа указывают спины состояний, знаки — четность).
На нем изображены уровни трех ядер. Но это лишь формально три ядра. На самом же деле мы должны их рассматривать как единую систему, между которыми возможны переходы. Вертикальные (пунктирные) линии показывают у-переходы. Сплошными линиями показаны переходы с излучением пары лептонов. Линия, идущая слева направо вниз, соответствует выбрасыванию электрона и антинейтрино, линии справа налево вниз — выбрасыванию
позитрона и нейтрино. При выбрасывании пары лептонов вследствие закона сохранения заряда протон превращается в нейтрон или нейтрон в протон.
Разность энергетических уровней при излучении пары лептонов должна быть не меньше энергии, соответствующей массе электрона, т. е. 0,51 МэВ (масса покоя нейтрино равна нулю). Избыток, если он есть, пойдет на образование кинетической энергии лептонов.
Нейтрино бета-распада
Энергетический переход с выбрасыванием пары лептонов носит название 0-распада. Обнаружение нейтрино является сложной экспериментальной задачей, решенной лишь в последнее десятилетие. Первоначально переходы, подобные изображенному на рис. 2406, описывали как превращение (распад) одного ядра (радиоактивного) в другое (устойчивое) с выбрасыванием электрона. Однако еще задолго до обнаружения нейтрино необходимость его существования стала очевидной.
Было трудно, лучше скажем невозможно, сомневаться в справедливости законов сохранения вращательного импульса и закона сохранения энергии. Действительно, нейтрон, протон, электрон и позитрон — все эти частицы имеют спин 1/2. Как мы сказали, 0- распад меняет в атомном ядре протон на нейтрон или наоборот. Так как число нуклонов в ядре остается неизменным, то 0-распад никак не может изменить четный спин на нечетный. А именно это и было бы необходимым, если бы при 0-распаде выделялся один лишь электрон, уносящий с собой спин х/2. При допущении существования нейтрино — частицы, обладающей спином х/2,— это противоречие снимается и одновременно устраняются трудности истолкования непрерывного спектра 0-частиц.
Если бы 0-распад заключался в выбрасывании лишь электрона, то этот электрон должен был бы обладать вполне определенной энергией. Действительно, начальный и конечный уровни энергии, т. е. энергии первичного ядра и нового ядра, вполне определенные, значит, и энергия вылетающего электрона должна быть вполне определенной. На самом же деле наблюдается непрерывный спектр электронов, от некоторой максимальной скорости до нуля. Такая картина вполне естественна, если считать, что при распаде из ядра выбрасываются две частицы по уравнению n^p+e+v. Энергия распределяется между электроном и*нейтрино по закону случая. Обнаружение нейтральной частицы, обладающей ничтожной массой (сейчас известно, что масса нейтрино меньше 0,002 массы электрона), является исключительно сложной задачей. Она была разрешена лишь в 1956 г. Заметим, что частица, получившая название нейтрино, в дальнейшем при открытии закона антисимметрии элементарных частиц оказалась антинейтрино и получила обозначение v (см. §§225, 226). Большое число актов распада нейтронов должно происходить в ядерном реакторе, где непрерывно образуется
огромное число ядерных осколков, богатых нейтронами. Поток частиц v, если они существуют, должен выходить из реактора. Если нейтрино v попадет в протон, то должна произойти реакция v + + р->е++п, т. е. при встрече нейтрино с протоном образуются позитрон и нейтрон. Такие реакции должны наблюдаться в мишени, содержащей большое число атомов водорода (т. е. протонов) и расположенной вблизи ядерного реактора. Эта реакция должна происходить крайне редко (несколько раз в час) из-за исключительной проникающей способности нейтрино. В то же время вблизи реактора происходит огромное число других ядерных реакций. Трудности обнаружения нейтрино очевидны.
Их преодоление возможно путем выделения специфических черт этой реакции. Возникают позитрон и нейтрон. Нам известно, что позитрон немедленно аннигилирует с электроном любого из атомов мишени и дает два фотона. Что же касается нейтрона, то он совершит какой-то путь в мишени, а затем поглотится атомами примеси (кадмий), которые можно специально ввести в мишень. Мы можем рассчитать среднее время его торможения до поглощения — оно равно примерно 5 мкс. При поглощении нейтрона кадмием также возникает у-излучение. Задача экспериментатора заключается в том, чтобы из всех событий средствами современной измерительной техники выделить последовательность явлений: одновременное возникновение двух фотонов и следующий через 5 мкс более сильный импульс у-излучения. Эта задача была успешно выполнена, и таким образом, доказано существование нейтрино.
Общие закономерности химических и ядерных превращений
Мы остановимся сейчас на некоторых общих энергетических соображениях, одинаково применимых как для химических реакций, так и для превращений атомных ядер или других частиц.
Превращение частиц может произойти только тогда, когда эти частицы сблизятся вплотную. Так как для того, чтобы превращение произошло, частицы должны принести с собой некоторую кинетическую энергию, то термин «столкновение» вполне оправдан. Не каждая встреча частиц ведет за собой превращение. Механизм превращений как химических, так и ядерных очень трудно изучать. Непосредственные наблюдения здесь невозможны и приходится ограничиваться предположениями, справедливость которых можно проверять по следствиям.
В случае химических превращений большую роль должно играть взаимное расположение молекул при столкновении. Чтобы реакция произошла, надо, чтобы молекулы подошли друг к другу в положении, удобном для перегруппировки атомов.
Для каждого превращения, осуществляемого в массовых масштабах (как это обычно и бывает в химических и ядерных
реакциях, где сталкиваются миллиарды молекул или ядер в короткие промежутки времени), можно в принципе указать число А, которое будет, грубо говоря, характеризовать долю встреч частиц в «удобной» для превращения ситуации.
Однако требование надлежащей ориентировки, разумеется, нс исчерпывает условия превращения. Поскольку частица устойчиво существует и, следовательно, обладает минимумом потенциальной энергии, необходимо подвести к ней при столкновении некоторую энергию, достаточную для подъема молекулы на борт потенциальной ямы, в которой она находится. Эта минимально необходимая энергия носит название энергии активации. На рис. 241
изображена кривая потенциальной энергии. Частица устойчиво существует при г=0, где г — некоторый параметр. Для того чтобы произошла реакция, надо сообщить энергию активации ^; в случае, показанном на рисунке, реакция идет с выделением тепла.
К столкновениям между мо, лекулами или между ядрами (в аналогичных условиях) мы можем применить закон Больцмана и положить число встреч, приводящих к превращению, пропорциональным е-8^7, где
^— энергия активации.
Очевидно, скорость превращения можно представить в виде произведения Ае-8^7, в котором первый множитель учитывает
«геометрические» условия встречи, а второй — энергетическую
сторону дела.
Принято особо рассматривать две столкнувшиеся частицы в тот
момент, когда потенциальная энергия находится в максимуме. Такой активированный комплекс (так говорят в химии) или промежуточное ядро (так говорят при изучении ядерных превращений) существует недолгие мгновения. Образовавшаяся система может обратно «свалиться» в потенциальную яму, но может и «перевалить» через борт. В последнем случае превращение произошло и возникла новая система, обладающая новой потенциальной энергией.
Как при химических, так и при ядерных превращениях образовавшаяся система может быть одной новой частицей (реакция присоединения); может также произойти образование двух новых частиц из двух старых.
Если потенциальная энергия образовавшихся частиц будет больше потенциальной энергии исходных частиц (глубина кратера вулкана глубже подножия горы), то превращение идет с поглощением энергии. Поглощенное тепло будет равно разности энергии ак-
тивации и энергии продуктов реакции (рис. 242). Если энергия образовавшихся частиц будет меньше энергии исходных, то затрата небольшой энергии активации приведет к выделению большой
энергии.
И в химии, и в ядерной физике мы сталкиваемся с превращениями обоих типов. Реакции, идущие с выделением тепла, называются экзо
термическими, с поглощением тепла — эндотермическими.
Зачастую превращения (и химическое, и ядерное) сопровождаются излучением. Однако, как правило, основной энергетический
эффект реакции заключается в превращении потенциальной энергии расположения атомов в молекуле (нуклонов в ядре) в кинетическую энергию частиц. Поэтому, грубо говоря, превращения, в которых выделяется тепло, представляют собой такие превращения, в которых встречаются две медленные частицы, а расходятся две другие быстрые. Разумеется, обратное соотношение имеет место в эндотермических реакциях.
Формула скорости превращения, содержащая температуру в экспоненте, де
лает понятной крайне резкую чувствительность химических превращений к изменению температуры. Чем выше температура, тем сильнее удары сталкивающихся частиц. Роль температуры для химических превращений хорошо известна. Из-за огромных вели
чин энергии связи роль изменения температуры для ядерных превращений не бросается в глаза. Действительно, энергии активации атомных ядер суть величины порядка нескольких МэВ. Повышение же температуры на 3000° увеличит энергию атомного ядра всего лишь на 0,4 эВ.
Ядерные превращения могут быть убыстрены лишь повышением температуры не на тысячи, а на миллионы градусов (см. ниже).
§216. Радиоактивность
Радиоактивный распад является простейшей ядерной реакцией. Он заключается в выбрасывании из атомного ядра а-частицы.
Так как а-частица состоит из двух протонов и двух нейтронов, то ее символ изображается 2Не4 и схема ot-распада может быть записана следующим образом:
^л^ = 7_2ЭлЛ1-4 + 2Не4,
где Эл — символ какого-либо химического элемента. Эта реакция распада, как и другие ядерные реакции, которые мы рассмотрим на стр. 530, подчиняется закону сохранения заряда (сумма нижних индексов в правой части равенства должна равняться Z) и закону сохранения массового числа (сумма верхних индексов).
И начальное, и конечное ядра могут находиться в возбужденном состоянии. Поэтому а-распад может сопровождаться энергетическими переходами как с излучением фотонов, так и с образованием лептонных пар.
По историческим причинам 0-распад рассматривается на тех же правах, что и другие ядерные реакции. Если забыть про нейтрино (существование которого для химика роли не играет), то можно сказать, что 0-распад заключается в выбрасывании из ядра обычного отрицательного электрона 0” или положительного 0+ (позитрона). Напомним, что массы, а также величины их зарядов, одинаковы. Выбрасывание из ядра легкой электрически заряженной частицы приводит к превращению внутри ядра протона в нейтрон или нейтрона в протон. Это превращение обеспечивает сохранение электрического заряда при распаде.
Схемы 0-распада записываются в следующем виде:
тЭл^ = 7+1Эл^ + 0-1, ^Эл^ = £_1Эл^ + 0+1.
Таким образом, при 0“-распаде нейтрон ядра превращается в протон (число протонов возросло); обратное превращение имеет место при 0+-распаде.
" При 0"-распаде могут также испускаться у-лучи. а-радиоактив- ность наблюдается лишь у тяжелых элементов (начиная с висмута), 0“-радиоактивность встречается значительно более часто, чем 0+- радиоактивность.
Если радиоактивное вещество может быть найдено в природе, то оно называется естественно радиоактивным, если оно получено при помощи ядерных реакций, то оно называется искусственно радиоактивным.
Если при распаде ядер радиоактивного элемента из него образуется другой элемент, а из второго — третий и т. д., то последовательность таких элементов называется радиоактивным рядом. Известны четыре радиоактивных ряда, начинающихся с U238, Th232, U235 и U233 *).
Радиоактивный распад происходит по закону
N = Noe-^;
здесь No — количество ядер в начальный момент времени /=0, a N — количество оставшихся (не распавшихся) ядер в момент t; X называется радиоактивной постоянной и является константой для данного элемента.
Нетрудно видеть, что время Т, в течение которого распадается половина наличного количества атомов, равно
т In 2 _0,693
~ X ~.
Время Т называется периодом полураспада, или просто периодом, радиоактивного элемента.
У родоначальников естественных радиоактивных рядов периоды лежат в пределах 108 — 1010 лет. С другой стороны, промежуточные продукты распада, а также искусственные радиоактивные элементы могут иметь периоды, составляющие ничтожные доли секунды.
Количество радиоактивного вещества можно было бы, разумеется, выразить в граммах. Однако проще и удобнее характеризовать массу радиоактивного вещества его активностью — числом актов распада в одну секунду. Исторически возникшая единица измерения 1 кюри соответствует 3,7-1010 распадам в секунду. Для лабораторной практики эта единица велика и часто пользуются ее тысячной долей, 1 милликюри. Имеет распространение и другая единица, 1 резерфорд, равный 10б распадов в секунду. Следовательно, 1 мкю- ри=37 резерфорд.
Если период Т известен, то нетрудно подсчитать начальную радиоактивность вещества. Доля вещества, распадающегося за 1 с, равна
1—I—е*
или, так как X — малое число,
. N ,0,693
nq ~ Т •
Если речь идет об m граммах вещества с атомным весом А, то его активность найдется по формуле
0,693 m распадов -'Т"' * Л.1,66- ю-24 с •
Принято считать, что за сто дней работы ядерного реактора (см. ниже) в нем образуются радиоактивные продукты в количестве 1 кюри на 1 Вт. Количество продуктов распада равно примерно 500 г на 500 000 кВт, т. е. 10~6 г на 1 Вт. Средний атомный вес продуктов деления примем за 100; тогда по написанной выше формуле найдем средний период распада радиоактивных продуктов равным 105 с, т. е. около суток.
Указания периода и активности еще недостаточно для описания свойств радиоактивного вещества. Необходимо указать, является ли вещество а- или (3-излучателем, сопровождается ли распад у- излучением. Для еще более точной характеристики нужны данные об энергии выбрасываемых из ядра частиц и выделяющегося излучения. Свойства а-частиц, излучаемых различными радиоактивными материалами, колеблются в незначительной степени. Их начальные скорости лежат в пределах 15 000—20 000 км/с; число пар ионов, образуемых а-частицей в воздухе, лежит в пределах (14-2)-105. Энергии (3-частиц, выбрасываемых при распаде, непрерывно распределены в пределах от нуля до сотен или тысяч килоэлектрон-вольт. Энергия у-лучей также различна у разных радиоактивных веществ, однако порядок величины этой энергии одинаков для всех элементов.
Альфа-распад представляет собой просачивание сх-частицы через потенциальный барьер с последующим электростатическим отталкиванием. Вид потенциальной кривой ядра изображен на рис. 243. Имеется потенциальная яма, барьер, а за барьером спад электростатической потенциальной энергии по гиперболическому закону. Для одного из радиоактивных элементов было доказано опытами
по рассеянию а-частиц ядрами этого элемента, что высота потенциального барьера во всяком случае выше 9 МэВ. В то же время
частицы, имеющие энергию всего лишь 4 МэВ, вылетают из ядра путем туннельного перехода.
Рис. 243.Рис. 243.Указанная картина делает понятной огромные вариации во времени полураспада различных радиоактивных элементов. Достаточно незначительного изменения разницы между энергией сх-частицы в ядре и высотой потенциального барьера, чтобы вероятность просачивания сх-частицы резко возросла (ср. формулу на стр. 452).
Рис. 243.
Рис. 243.
Картины а- и Р-распада без труда согласуются с формулой распада во времени: N^Noe*4. Действительно, распад каждого ядра является самостоятельным собы
тием, никак не отражающимся на поведении других ядер. Все ядра обладают одинаковыми вероятностями распада. Положим, что через время / половина ядер распалась. Но оставшаяся половина находится в тех же условиях, что и первоначальное собрание атомов, и, следовательно, половина от оставшейся половины распадается за то же самое время. Независимость распада каждого отдельного ядра от поведения его соседей приводит к утверждению: в данный промежуток времени А/ будет всегда распадаться одинаковая доля от наличного количества атомов АМ/М.
Это утверждение записывается в виде
kN 1
что после интегрирования и дает экспоненциальный закон распада.
Полезно запомнить, что столь частые встречи в курсе физики с экспоненциальным законом и происходят по той причине, что он представляет собой математическое выражение убывания по распространенному правилу: при одинаковых изменениях аргумента функция убывает на одинаковые доли своей величины.
§ 217. Ядерные реакции
Опытные данные о ядерных реакциях весьма значительны. Число изученных ядерных реакций достигает нескольких тысяч.
В настоящее время известны следующие типы реакций (не говоря о радиоактивном распаде, который можно рассматривать как реакцию ядерного разложения): реакция захвата, заключающаяся в объединении двух встретившихся частиц; реакция обмена, заключающаяся в захвате одной частицы и выбрасывании другой; реакция деления или расщепления ядра под воздействием энергии, полученной ядром в той или иной форме. Ядерные реакции, происходящие под действием жестких у-лучей, называют фотоядерными.
При помощи ядерных реакций можно получить как стабильные естественные изотопы элементов, так и неустойчивые радиоактивные изотопы, не встречающиеся в природе. Среди последних удалось синтезировать элементы, вообще не имеющие стабильных изотопов (например, элемент с порядковым номером 43 — технеций), а также трансурановые элементы.
Особенно внимательно изучались реакции, происходящие при бомбардировке ядер различных элементов а-частицами, протонами и нейтронами.
При соударении а-частицы с ядром происходят наиболее часто реакции двух типов: первая состоит в захвате а-частицы и выбрасывании протона (р), вторая — в захвате а-частицы и выбрасывании нейтрона (п). Эти реакции обозначают символами (а, р) и (а, п).
Уравнение (а, р)-реакции имеет вид
2Эл^ + 2а4—z+^+3 + lPl.
Уравнение (а, п)-реакции имеет вид
+ 2а4 -*z+^^+3 + oil1.
Приведем примеры реакций а-частиц:
(а, р): 7^ + ?а4->3О^ + 1Р1;
13Al” + 2a4->14Si30 + 1P4;
(а, п): 4Ве9 + 2а4-*6С13 + 0п1;
5В10 + 2а4 —^^„п1.
Первая из указанных реакций (а, п) имеет большое практическое значение: смесь радия (источник а-частиц) с бериллием является употребительным источником нейтронов.
При соударении с протонами удается осуществить широкий класс реакций; сюда относятся реакции (р, а), т. е. захват протона с последующим выбрасыванием а-частицы, например
9Р* + 1Р1^8О*б + 2Не\
а также реакции с выбрасыванием нейтронов (р, п).
Известны реакции захвата, не сопровождающиеся выбрасыванием частицы. Избыток энергии выделяется при этом в виде
^-лучей; поэтому такие реакции обозначаются (р, у), например gLi’ + iP1-*^8.
Широко изучались реакции с дейтонами (D). Наблюдаются реакции (D, р) и (D, п). При бомбардировке дейтонами тяжелого водорода (т. е. опять-таки дейтонов) наблюдаются реакции образования радиоактивного изотопа водорода — трития:
Однако реакция частично идет и по схеме (d, п):
iD2 + 1D^->2He3 + 0n\
Реакции с нейтронами играют очень большую роль в ядерной технике по той причине, что они интенсивно протекают внутри ядер- ного реактора. Имеют место реакции (п, а); (п, р); (п, 2п) и (п, у). Кроме того, под действием нейтронов происходит реакция деления тяжелых ядер (см. ниже).
Азот дает с нейтронами реакции двух типов:
(П, ^^N^ + oii^^ + iP1;
(п,++
Первая из этих реакций дает долгоживущий изотоп углерода (с периодом больше 5000 лет), играющий большую роль в биохимических исследованиях.
Почти все изотопы способны захватывать нейтрон (реакция (п, у)), образуя, таким образом, изотоп того же элемента с массой на единицу больше. Обычно возникают радиоактивные изотопы и притом обладающие Р-радиоактивностью.
Как и в химии молекул, в ядерной химии возможно протекание экзотермических и эндотермических реакций. Определение величины и знака теплового эффекта реакций может быть проведено при помощи закона эквивалентности массы и энергии.
Если из ядер с массами Mt и Мг образуются ядра с массами Л13 и М^ то
^ + Л12 = Af3 + Л14 + Ат.
Если Ат>0, т. е. ядра продуктов реакции имеют меньшую массу, чем исходные ядра, то реакция экзотермична. При Ат-< 0 реакция эндотермична. Выделяющуюся или поглощаемую при реакции энергию подсчитывают по формуле <£=с2Ат. Результаты расчетов всегда безукоризненно точно совпадают с измерениями.
Для большинства ядерных реакций значения тепловых эффектов составляют мегаэлектрон-вольты (в расчете на пару реагирующих ядер). Это в миллионы раз больше соответствующих величин для химических реакций.
Пример расчета:
4Be9 + 1Pi^3Li6 + 2^.
Из справочных таблиц берем значения масс: тве—^»01464; mv—1,00807; ти= —6,01671; т^—4,00372. Отсюда Ат=0.00227, т. е. А/п>0, следовательно, реакция экзотермична. Так как единица атомного веса соответствует 931,8 МэВ, то величина теплового эффекта равна 0,00227-931,8=2,12 МэВ или примерно 8Х Х10"и кал (1 МэВ=3,827-10-14 кал).
§ 217а. Реакции деления тяжелых ядер
Ядра атомов, более тяжелые, чем ядра атомов олова, способны делиться на две части, близкие по массе. Для того чтобы произошло деление, ядру надо сообщить значительную энергию активации, уменьшающуюся с увеличением массового числа изотопа. Для ядер урана, тория, палладия эта энергия близка к 5 МэВ. Реакция деления этих ядер экзотермична; выделяющаяся энергия значительно больше энергии активации.
Деление может быть вызвано протонами, дейтонами, а-части- цами и у-излучением. Однако особое практическое значение имеет деление, происходящее при попадании в тяжелое ядро нейтрона.
Рассмотрим деление под действием нейтронов изотопа урана-235. При захвате нейтрона образуется изотоп с массой на единицу больше:
^U^ + on^^U236.
Деление произойдет в том случае, если энергия активации деления U236 меньше энергии, доставленной нейтроном. Захваченный нейтрон приносит ядру энергию, равную энергии связи плюс кинетическая энергия его движения. В случае U235 энергия, доставленная даже нейтроном, движущимся с тепловой скоростью, достаточна для производства деления.
Для деления ядер U238 нужна большая энергия, и ядра этого изотопа делятся лишь под действием быстрых нейтронов.
Деление ядер U235 происходит на два различных осколка. Ядро делится произвольным образом и дает различные первичные продукты. Кривая выхода осколков деления урана-235 в зависимости от их массы дана на рис. 244. Как видно из кривой, наименее вероятен случай деления пополам. Чаще всего массы осколков относятся примерно как 2 к 3, скажем Sr95 и Хе139. Эти ядра обладают огромными энергиями: легкое — порядка 100 МэВ, тяжелое — около 65 МэВ. Многообразие продуктов деления объясняется не только различными вариантами расщепления ядра на части, но и тем, что возникшие радиоактивные ядра-осколки, распадаясь, создают еще ряд продуктов.
Ядра, образовавшиеся при делении, обладают ненормально большим количеством нейтронов. Путем цепочки превращений радиоактивные ядра переходят в нормальное стабильное состояние. Например,
1137.Хр137 Гс137. Rfll3?
30 сек.3,4 мин33 года
Под стрелками указаны времена полураспада. Ясно, что по времени распада практическим продуктом этой цепи превращений является лишь Cs137.
Среди наиболее важных продуктов деления урана-235, кроме Cs137, можно назвать стронций-90 (см. ниже).
Деление ядра урана-235 сопровождается выделением огромной энергии: 1 г урана дает столько же энергии, сколько получается' при сжигании 2,5 т угля, т. е. 22 000 кВт-ч. Основная доля энергии выделяется в виде кинетической энергии осколков деления; примерно 10% энергии приходится на излучение.
. Цепная реакция
Реакция, происходящая с ураном-235, известна в деталях. Уран-235 является единственным естественным изотопом, позволяющим осуществить выделение энергии в промышленных количествах.
Так как для реакции деления нужны нейтроны, а нейтронного газа в природе не существует, то выделение энергии в больших 532
количествах может быть осуществлено лишь при одном условии — образовании цепной реакции, в процессе которой непрерывно создавались бы новые нейтроны. Именно так и происходит деление ядер урана-235. При каждом делении освобождается несколько нейтронов; при этом число выбрасываемых нейтронов может быть различным. В среднем на одно деление приходится 2,5 нейтрона. Если нейтроны, образующиеся при делении одного ядра, будут способны делить ядра других атомов урана, то цепная реакция осуществится.
Так как нейтроны имеют значительную длину свободного пробега, то образовавшиеся при делении ядра урана-235 нейтроны имеют большие шансы покинуть вещество, не произведя деления других ядер. Кроме того, следует учесть, что не всякая встреча нейтрона с ядром урана-235 приведет к делению.
Развитие цепной реакции зависит от коэффициента размножения нейтронов. Теоретически можно рассчитать значение этого коэффициента Ко для случая системы бесконечно больших размеров. Для расчета надо иметь сведения о размножении числа нейтронов за счет деления на медленных и быстрых нейтронах, а также о вероятностях захвата нейтронов ядрами неделящихся веществ.
Значение коэффициента Ко, большее единицы, указывает, насколько следующее поколение нейтронов многочисленнее предыдущего.
Однако реактор имеет конечные размеры. Поэтому коэффициент размножения нейтронов для реактора должен быть записан в виде /<=АГо(1 —р), где р— вероятность вылета нейтрона за пределы реактора. Чтобы реактор начал работать, необходимо, чтобы коэффициент К был больше единицы. Во время работы реактора коэффициент размножения К должен в точности равняться единице.
Размеры системы, содержащей ядерное горючее, называются критическими, если коэффициент размножения для нее равен единице.
Можно регулировать коэффициент размножения на основе следующих соображений. Вероятность встречи нейтрона с другим ядром до вылета из вещества можно увеличивать, собирая вместе большие количества ядерного горючего. Необходимо также довести до минимума число атомных ядер, обладающих способностью поглощать и, таким образом, выводить из реакции нейтроны. Увеличение вероятности захвата может быть достигнуто за счет замедления нейтронов. При делении из ядра вылетают быстрые нейтроны, в то время как ядро урана-235 лучше всего захватывает медленные, так называемые тепловые нейтроны.
Особенность урана-235 заключается в том, что его ядра делятся как под действием быстрых (хотя и с меньшей вероятностью), так и под действием медленных нейтронов. Если ядра какого-либо вещества делятся под действием одних лишь быстрых нейтронов, то осуществление с ними цепной реакции становится невозможным: нейтрон, вышедший из разделившегося ядра и испытавший незначительное замедление благодаря одному-двум случайным,
не приведшим к делению столкновениям, уже выходит из цепной реакции.
В настоящее время к ядерным горючим относятся, прежде всего, такие вещества, которые позволяют осуществить цепную реакцию с медленными нейтронами. К таким веществам относится единственный изотоп уран-235 и два искусственных элемента: плутоний-239, получающийся из урана-238, и уран-233, получающийся из тория-232.
Для того чтобы цепная реакция началась, нужно лишь собрать в ограниченном объеме количество ядерного горючего, превосходящее некоторый минимум. О первом нейтроне заботиться не приходится: благодаря космическому излучению в атмосфере всегда имеется незначительное количество нейтронов. Кроме того, надо иметь в виду явление так называемого спонтанного (т. е. происходящего под действием внутренних сил, самопроизвольного) деления, открытое советскими исследователями Флеровым и Петржаком; оказывается, что изредка деление ядра урана-235 может происходить и без захвата нейтрона. Наконец, радиево-бериллиевая смесь может также служить источником начальных нейтронов.
§ 217в. Принципы действия ядерного реактора
Если внутри некоторого объема ядерного горючего цепная реакция началась и если она неуправляема, то результатом ее будет взрыв, так как число нейтронов, а вместе с ним и количество выделяющейся энергии в каждый последующий момент будет больше, чем в предыдущий. Количество энергии, выделенной за ничтожные доли секунды, будет столь велико, что последует взрыв.
Для того чтобы выделять энергию в постоянном или, во всяком случае, в регулируемом количестве, нужно создать такую установку, которая позволяла бы управлять коэффициентом размножения нейтронов. Эти установки называются ядерными реакторами или котлами. В такой установке мы должны иметь возможность начать цепную реакцию с коэффициентом размножения, незначительно превышающим единицу. Тогда концентрация нейтронов внутри котла, а вместе с ней и мощность реактора начнут расти. Доведя мощность до желательной, надо иметь возможность сделать коэффициент размножения точно равным единице. Реакция станет самр- поддерживающейся: число нейтронов и выделяемая в единицу времени энергия будут неизменными.
Каждый реактор должен быть сконструирован таким образом, чтобы выделяющиеся при делении нейтроны использовались наиболее эффективно. Однако эффективное использование нейтронов не означает использования их исключительно для деления ядер и выделения энергии. В котел могут быть введены вещества, ядра которых могут поглощать нейтроны. При помощи реакций с нейтронами можно получить большое количество нужных искусственных радиоактивных изотопов и, что крайне важно, искусственное ядерное 534
горючее. Таким образом, ядерный реактор является установкой не только для производства энергии, но и для получения искусственных изотопов.
Нейтроны, выделяющиеся при делении, обладают скоростью в десятки тысяч километров в секунду. Тепловая скорость нейтронов порядка 1 км/с (0,025 эВ). Наиболее эффективными в смысле деления являются тепловые медленные нейтроны.
Большие достоинства имеют ядерные реакторы, работающие на естественной или обогащенной смеси урана-235 и урана-238.
Уран-238 обладает свойством резонансного поглощения нейтронов. Сильное поглощение имеет, например, место при энергии 7 эВ. В случае, если в реактор загружается смесь изотопов, замедление нейтронов до энергии, меньшей этой величины, становится совершенно необходимым.
Из сказанного следует, что основными элементами конструкции любого реактора являются: горючее, замедлитель нейтронов, поглотитель нейтронов (необходимый для регулировки коэффициента размножения) и защита, предохраняющая окружающих от потока нейтронов и от у-излучения, выделяющегося при ядерных превращениях, происходящих в реакторах.
Имеется значительное число работающих ядерных реакторов и проектов этих установок. Они могут отличаться друг от друга во многих отношениях: 1) материалом, при помощи которого вводится горючее (чистое ядерное горючее, обогащенное горючее, природный уран в виде металла или химических соединений); 2) расположением горючего (объемная решетка, решетка стержней, однородное распределение горючего в растворе или извести); 3) замедлителем (тяжелая или легкая вода, графит, бериллий); 4) типом охлаждения (вода, газ, жидкий натрий или отсутствие охлаждения). Реакторы могут быть спроектированы на любые мощности, начиная от долей киловатта и кончая сотнями тысяч киловатт. В зависимости от типа и количества замедлителя реакторы могут работать на медленных (тепловых) и на быстрых нейтронах.
Управление реакторами полностью автоматизировано. Контроль работы осуществляется с помощью нейтронных детекторов, расположенных в стенах реактора и способных измерять нейтронные потоки в пределах от 1 до 5-Ю10 нейтронов/(см2-с). В детекторах материалом, чувствительным к нейтронам, служит бор-10 или уран- 235, наплавленный на электроды ионизационной камеры, или газ — фтористый бор (BF3), заполняющий камеру. В первом случае камера заполняется аргоном, азотом, гелием или воздухом при давлении в две атмосферы.
Очень большая ответственность лежит на различного типа усилителях ионизационного тока в релейных механизмах, передаю-, щих показания нейтронного детектора на приводы, управляющие движением контрольных стержней, а также стержней безопасности.
В процессе работы реактора положение контрольных стержней должно, очевидно, изменяться. Дело в том, что по мере накопления
продуктов распада количество вещества, поглощающего нейтроны, возрастает. Эти «отравляющие» вещества могут в некоторых случаях удаляться из котла автоматически (например, в том случае, если это газообразные продукты). Однако постепенное выдвижение контрольных стержней является необходимым условием для поддержания плотности нейтронов на неизменном уровне. Через некоторый срок, порядка 5—20 месяцев, «отравление» реактора станет настолько значительным, что дальнейшая его работа будет невозможной. Должны последовать очистка котла от продуктов распада, загрузка свежего горючего. К продуктам деления, сильно поглощающим нейтроны, относятся рутений-103, ксенон-131 и 135, неодимий-143, самарий-149 и 151, европий-151, 152 и 155, гадолиний-155.
Разумеется, изменение коэффициента размножения происходит из-за образования искусственного горючего.
Если кроме ядерного горючего в реакторе имеется какое-то количество урана-238 или тория, то такой реактор наряду с выделением тепла производит искусственное ядерное горючее — плутоний из урана-238 и уран-233 из тория.
Реактор называется воспроизводящим {бридерным) в том случае, если количество делящегося материала в нем возрастает или по крайней мере остается неизменным. Воспроизводящий реактор может быть осуществлен лишь для таких расщепляющихся материалов и при таких условиях, когда среднее число нейтронов, возникающих при делении, больше двух. Для того чтобы создать условия воспроизводства горючего, надо рассчитать реактор таким образом, чтобы сделать по крайней мере равными число делящихся в секунду атомов и число атомов урана-238 (тория), превращающихся в секунду в плутоний (уран-233).
Для того чтобы превратить выделяющееся тепло в электрическую энергию, поступают совершенно таким же образом, как и на теплоэлектроцентралях, работающих на угле. Однако забор тепла надо производить в несколько приемов. В проектируемых в США реакторах на 1 млн. киловатт предполагается пропускать через реактор поток жидкого натрия, затем в теплообменнике передать это тепло второму натриевому циклу и отвести тепло в теплообменник водяным паром, который уже пойдет в турбину.
§ 217г. Искусственные радиоактивные продукты
Наиболее значительное количество радиоактивных продуктов получается в ядерных реакторах. Управлять этим процессом в сторону получения желательных продуктов мы не можем, и каждый час работы реактора приносит определенное количество продуктов деления атомных ядер. К числу таких «обязательных» продуктов деления с относительно большим (достаточным для практического использования) периодом полураспада относятся Кг85, Sr89, Sr90, I129, I131, Хе133, Cs137, Ва140 и некоторые другие.
В настоящее время радиоактивные продукты деления применяются в научно-исследовательских работах, в технике для контроля производственных процессов и качества продукции, для лечебных целей и в других случаях.
Интересной областью применения радиоактивных изотопов является радиография. Рентгеновские аппараты заменяются в области дефектоскопии металлов кобальтом-60 и цезием-137.
Чтобы получить определенный радиоизотоп, имеются две возможности: использование ядерного реактора и использование ядер- ной бомбардировки при помощи ускорителей частиц.
Помещая любое вещество в реактор, мы подвергаем его действию нейтронов. Реакции с нейтронами осуществляются наиболее легко и позволяют получить радиоактивные изотопы почти всех химических элементов. Поэтому в производстве радиоизотопов применение ядерных реакторов играет основную роль.
Радиоизотопы образуются в реакторе либо благодаря захвату нейтронов, либо в результате выбивания нейтронами из бомбардируемых ядер протонов или (реже) а-частиц.
Следует отметить, что ядерный реактор не может производить такой разнообразный ассортимент изотопов, как циклотрон. Эго вполне понятно, так как в реакторе условия бомбардировки атомных ядер ограничены сортом частицы (нейтрон) и диапазоном энергий. Однако и в получении больших количеств, например, изотопа С14 применение реакторов имеет недостатки. Вводимый для получения С14 исходный материал сильно поглощает нейтроны, и поэтому его нельзя вводить в реактор в больших количествах. Таким образом, ускорители частиц занимают вполне определенное самостоятельное место в производстве радиоизотопов.
Производительность ускорителя определяется энергией и количеством ядер, выбрасываемых из него в единицу времени. Число это нетрудно подсчитать по данным о среднем ионном токе, сила которого равна 10“11 А. Зная заряд иона, легко найдем, что за 1 с циклотрон дает 108 ядер, т. е. для дейтерия 2-Ю*16 г.
Если эти данные известны, то для расчета скорости, с которой под действием пучка ядер будет образовываться то или иное радиоактивное вещество, надо знать еще «эффективное поперечное сечение» реакции. Эта величина измеряется в квадратных сантиметрах, обозначается о и имеет следующий смысл. Если S — площадь бомбардируемого образца, то o/S есть вероятность попадания ядра-снаряда в ядро-мишень и осуществления соответствующей реакции. Обычно значения о близки по порядку величины к 10-24,см2.
Резко увеличенное поглощение имеет место у некоторых ядер при определенных скоростях нейтронов. Например, кадмий сильно поглощает медленные нейтроны с энергией 0,18 эВ: эффективное поперечное сечение этой реакции порядка 7000-10~24 см2.
Поперечное сечение существенно зависит от энергии налетающей частицы. Если кривая зависимости поперечного сечения от
энергии падающей частицы имеет резкий пик, то говорят о резонансном сечении.
Радиоактивные элементы, получаемые в реакторах, так же как и в циклотронах, имеют широкое применение в качестве индикаторов (отсюда название «меченые атомы») почти во всех отраслях науки и техники.
Из изотопов, имеющих наиболее широкое применение, можно отметить следующие. Кобальт-60, Р~-радиоактивен с периодом полураспада 5,2 года; сильное у-излучение обеспечивает ему широкое применение для целей просвечивания и облучения. Углерод С14, радиоактивен с периодом полураспада 6360 лет; широко используется в биологической химии, геохимии, а также при изучении кинетики химических реакций. Широко применяются Р32 и S35 с периодами 14,3 дня и 87 дней. Оба изотопа 0“-радиоактивны. Одно из распространенных применений — в сельском хозяйстве для изучения усвоения удобрений растениями.
§ 218. Термоядерные реакции
Теоретические расчеты показывают, что атомные ядра почти всех элементов могут в принципе быть источниками энергии. Оказывается, любое ядро, более тяжелое, чем ядро атома серебра, обладает большей энергией, чем части, на которые его можно разделить. Все тяжелые ядра выделяют энергию при расщеплении. Чем тяжелее ядро, тем больше величина этой энергии. Поэтому уран является предельно «удачным» ядерным горючим.
Однако и легкие ядра могут служить источниками энергии. Теория показывает, что ядро, полученное слиянием двух легких ядер, будет обладать меньшей энергией, чем исходные частицы. Следовательно, при слиянии легких ядер происходит выделение энергии. И здесь тем больше выделяется энергии, чем дальше мы отходим от середины Менделеевской таблицы. Наибольшую энергию можно получить при слиянии ядер атома водорода.
При каких условиях можно осуществить реакции слияния легких ядер? Ядерная бомбардировка не может привести к успеху ввиду сильного торможения заряженной частицы в веществе. Единственная возможность — это повышение температуры. Легко подсчитать необходимые температуры, которые надо придать атомным ядрам, чтобы они могли приблизиться друг к другу вплотную, преодолев электрическое отталкивание.
В центре Солнца, по расчетам астрономов, имеет место температура в 20 миллионов градусов. Зная, что на одну степень свободы приходится Ч^кТ энергии, находим среднюю кинетическую энергию, которую будет иметь частица при этой непредставимо высокой температуре. Энергия будет равна всего лишь 3000 эВ. Подсчитаем теперь по формуле потенциальной энергии электрического взаимодействия U=q4r, на какое расстояние удастся подвести друг к другу два протона. Оказывается, расстояние будет 5-Ю"11 см. Как 538 '
!мы знаем, радиус ядра существенно меньше. И все же термоядерные реакции, т. е. реакции, идущие при высокой температуре, возможны в недрах Солнца. Расчет, учитывающий туннельный эффект, а также то, что во всяком газе, в том числе и в газе ядерных частиц, имеются частицы со скоростями, существенно большими ' средней, показывает, что в течение года одному атому из миллиона удается принять участие в реакции слияния ядер. Этого малого 1 процента оказывается достаточно для обеспечения деятельности I Солнца.
В земных условиях такие высокие температуры создавались уже неоднократно при испытании водородных бомб. Температуры в десятки миллионов градусов создаются при взрыве урановой бомбы. Если в зону этого взрыва будет помещено вещество, ядра которого способны соединяться с выделением энергии, то возникает термоядерная реакция, энергия которой во много раз больше энергии урановой бомбы, играющей в этом случае роль запала.
Приведем примеры наиболее легко осуществимых реакций, выделяющих большую энергию:
D^H^He3, Li7 + H1-2He4, Н3 + № = Не4, С13 + №^№4.
Термоядерные реакции могут возникнуть лишь при таких температурах, которые дадут ядрам тепловую скорость, достаточную для преодоления с заметной вероятностью кулоновского потенциального барьера.
Наибольший интерес представляют реакции в дейтерии и в смеси дейтерия и трития — в этом случае нужна наименьшая энергия. Температура, необходимая для получения одного нейтрона в секунду в грамме дейтерия (по реакции 1D2+iD2=2He3+0nl)> равна 200 000 °C. В сильно разреженном газе для той же цели нужна еще более высокая температура, порядка 500 000 °C. При такой температуре дейтерий (или другое вещество) будет представлять собой плазму из ядер и электронов. Для перевода дейтерия в это состояние требуется совсем небольшая энергия, порядка нескольких киловатт-часов. Однако трудность состоит не в сообщении дейтерию энергии, а в тепловой изоляции плазмы, т. е. в сохранении ядрами дейтерия соответствующей кинетической энергии в течение длительного времени (см. § 178а).
ГЛАВА 31
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
. Термин «элементарная» частица
Вопрос о структуре тел относится к числу решенных. Тела состоят из электронов и ядер, ядра состоят из протонов и нейтронов. Таким образом, достаточно достоверным и точным будет утверждение: тела построены из трех типов частиц — электронов, протонов
и нейтронов. Вероятно, было бы справедливо удержать термин «элементарные» только для этих частиц.
Задачи, связанные со свойствами тел неживой и живой природы, сводятся к законам взаимодействия электронов и ядер. Мы знаем эти законы природы, и все физические явления могут быть ими объяснены, т. е. поведение тел может быть предсказано. Если количественные предсказания не удаются, то это означает лишь то, что из-за большого числа факторов явление не поддается математическому описанию.
Область физики, связанная с объяснением свойств тел через взаимодействия электронов, протонов и нейтронов, отчетливо отделяется от области, которую называют физикой элементарных частиц.
Изучение столкновений между частицами в космических лучах и ускорителях привело к открытию примерно 200 частиц, различающихся зарядом, массой и другими свойствами. В отличие, однако, от электронов и ядер, элементарные частицы этого типа обладают коротким сроком жизни и способностью к сложной цепи превращений.
Представляется, что рассмотрение с одной и той же точки зрения всех частиц является неверным. Элементарные частицы, за исключением трех «кирпичей» целесообразнее представлять как возбужденные состояния нуклона (общее название протона и нейтрона, которым мы уже пользовались). Для таких состояний принят термин — барион. Многие частицы и пары частиц аналогичны световым фотонам; они являются материальным выражением энергии, выделяющейся при возвращении системы из возбужденного в основное состояние. Мы видели в § 213, что излучение ядра может происходить не только в виде фотона, но и в виде пары электрон — антинейтрино. Ниже мы установим, что возбужденные нуклоны переходят в основное состояние еще большим числом способов, а именно излучением фотона, пары электрон — нейтрино, пары мюон — нейтрино, излучением пиона и излучением каона.
Надо думать, термин «элементарная частица» в том смысле, в каком он применялся до сих пор, существенно устарел. Мы сохраняем его, однако, не боясь недоразумений. В прилагательное «элементарный» уже давно не вкладывается содержание этого слова.
Ряд общих идей, касающихся взаимодействия частиц, изложен в первых параграфах этой главы. Познакомившись с ними, мы рассмотрим вид барионного спектра и изложим вкратце интересную схему кварков, помогающую изящно описать спектры барионов и мезонов.
220. Взаимодействие быстродвижущихся электронов
Если электроны движутся медленно, то силы взаимодействия определяются расположением зарядов в тот момент времени, когда мы определяем взаимодействие. Поэтому для медленных электронов не играет роли факт существования электромагнитного поля; 540
не существенно, что передача взаимодействия происходит через поле.
Иначе обстоит дело при рассмотрении быстродвижущихся частиц. Здесь необходимо учитывать запаздывание взаимодействия, происходящее из-за конечной скорости распространения электромагнитного поля. Взаимодействие в момент t определяется расположением зарядов в момент t — rlc. Теперь обойтись без рассмотрения поля нельзя. Как же учесть квантовую природу поля при сохранении схемы взаимодействия: частица — поле — частица? Этим вопросом занимается квантовая электродинамика — область теоретической физики, еще далекая от завершения. Опыт вынуждает нас при рассмотрении взаимодействия быстрых частиц полагать, что это действие заключается в передаче частицей полю кванта энергии с дальнейшей передачей этого кванта второй частице.
Если величина передаваемого кванта энергии равна ^, а время передачи кванта от частицы к частице есть т, то, согласно принципу неопределенности (ср. стр. 446)
<§т ~ h.
Если частицы находятся близко друг к другу, т мало и частицы могут обмениваться квантами /rv малых и больших частот. При возрастании расстояния между частицами т растет и обмен энергией становится возможным лишь малыми квантами. Из подобных соображений теория позволяет вывести формулу силы взаимодействия между частицами.
Многие авторы пользуются следующей образной терминологией, описывая квантовое взаимодействие частицы через посредство поля. Чтобы передать полю квант энергии §, частица «одалживает» эту энергию на короткое время Т. Принцип неопределенности регулирует зависимость срока займа от количества одолженной энергии. Получается так, как если бы закон сохранения энергии был «нарушенным» на время Т, т. е. на время займа. Принцип неопределенности показывает, на какой срок может быть «нарушен» закон сохранения энергии, чтобы это «нарушение» не имело физического смысла.
Эта точка зрения может быть развита и дальше, но она приводит к следующей трудности. Не существует ограничения в поглощении и излучении фотонов, поэтому при обмене фотонов возникают бесконечно большие изменения в значении собственной энергии частицы.
Интересно, что такое положение дел возникает при любом подходе к оценке собственной энергии электрона или другой заряженной частицы. Мы видели на стр. 219, что бесконечной энергией обладает точечная частица. В то же время нельзя считать, что частица имеет конечный размер. Действительно, абсолютно твердая частица конечного размера невозможна с точки зрения теории относительности,, которая не допускает существования абсолютно твердых тел (через такие тела взаимодействие распространяется мгновенно).
Если же считать электрон деформируемой частицей, то встает вопрос о структуре электрона. Решение вопроса не найдено до сих пор.
Своеобразной особенностью новой теории является то, что она способна привести к ряду новых весьма интересных результатов, несмотря на явную противоречивость фундамента и отсутствие в теории логической стройности.
. Мезонная теория взаимодействия нуклонов
В предыдущем параграфе мы говорили, что взаимодействие электрически заряженных частиц происходит посредством электромагнитного поля и при этом квантовым путем. Электрическая частица отдает электромагнитному полю квант энергии, который затем передается полем другой частице. Если полагать наличие поля у ядерных сил и считать, что это поле также имеет квантовый характер, то можно взаимодействие нуклонов описать следующим образом: каждый нуклон окружен полем, нуклон передает квант энергии этому полю, а поле возвращает этот квант другому нуклону.
Теоретическое исследование возможности такого объяснения ядерных сил было предпринято Юкавой. Оказалось, что теория может быть построена, если принять, что поле, через посредство которого нуклоны взаимодействуют, обладает квантами с массой покоя, не равной нулю. Взаимодействие нуклонов было сведено, таким образом, к обмену частицами, обладающими некоторой массой т^О. По причинам, которые будут ясны ниже, эта частица получила название мезона. Мезон является квантом мезонного поля, окружающего нуклоны.
Остановимся на некоторых выводах теории. Прежде всего, попытаемся оценить радиус действия ядерных сил.
Энергия мезона, передаваемого нуклонами при взаимодействии, не может быть меньше, чем т^, где т0 — масса покоя мезона. Время передачи мезона по порядку величины должно быть не более hlm^c2 (на основании соотношения §x^h, где §— количество передаваемой энергии, ат — время, затрачиваемое на эту передачу). Так как мезон движется со скоростью не выше с, то расстояние, на которое мезоны могут быть переданы, не превышает Мтйс. Эта постоянная величина должна характеризовать радиус действия ядерных сил.
К такому выводу пришел Юкава. Учитывая известный в то время радиус действия ядерных сил, Юкава увидел, что теория совпадает с опытом, если масса покоя мезона т0 в 200—300 раз превышает массу электрона.
Изложенная теория допускает с одинаковым успехом нейтральные, электрически отрицательные или положительные мезоны, что позволяет в рамках этой теории легко интерпретировать любые взаимодействия между нуклонами. Обозначая мезон Юкавы через л и условливаясь индексом отмечать знак мезона, мы можем записать 542
взаимодействие между двумя нейтронами или двумя протонами как процессы обмена нейтральным мезоном,
Р^р + л°,П^п4-Л°.
Обменное взаимодействие протона и нейтрона требует отрицательного или положительного мезона в соответствии с уравнениями р^п + л+, nZ^p + л”.
Теория Юкавы была создана до открытия мезонов. В настоящее время написанные формулы — это запись явления, наблюдающегося на опыте.
Мезоны
Названием «мезоны» (от греческого «mesos» — средний, промежуточный) подчеркивается, что речь идет о частице, промежуточной по массе между электроном и протоном. Опыты показывают, что существует не один сорт мезонов, а несколько. Впервые мезоны (электрически заряженные) наблюдались в космических лучах. В настоящее время мезоны производятся в ускорителях: они возникают при столкновении нуклонов.
Однако мы не считаем, что все эти разные мезоны играют одну и ту же роль во взаимодействиях между нуклонами. Мезоном Юкавы является л-мезон, или пион. Как уже указывалось выше, существуют положительные, отрицательные и нейтральные пионы. По последним измерениям масса пиона равна 273 т^ (те— масса электрона).
В космических лучах первоначально были найдены р-мезоны — мюоны (положительные и отрицательные), масса которых равна 207 те. Лишь через 10 лет после открытия мюонов было показано, что они являются продуктами распада пионов. Причина того, что исследователи легко наблюдали мюоны и не замечали пиона, заключалась в различии их времен жизни. Если средний срок жизни мюона равен примерно 10~6 с, то для пиона время жизни измеряется в сто раз меньшими числами: оно порядка 10~8 с.
Показать это превращение можно при помощи фотографий. На многих из них можно найти случай замедления пиона (замедление легко узнается по виду трека частицы: он становится более жирным по мере замедления, так как медленная частица создает на своем пути больше ионов), заканчивающийся остановкой частицы. При этом от точки остановки начинается новый след. Расчет показывает, что новая частица обладает весьма большой энергией, что может быть объяснено лишь допущением, что в кинетическую энергию обратилась часть энергии покоя пиона. При этом превращении пиона в мюон закон сохранения импульса требует предположения об одновременном создании нейтральной частицы очень малой массы. Здесь мы опять встречаемся с нейтрино, но это уже другое нейтрино. Тонкими исследованиями удалось показать, что пионы
превращаются в фотоны или в лептонную пару по схемам
л+—>p+ + vg, л+—>ve + e+, л“—>e~ + ve, л“—>p~ + v^.
Таким образом, существуют два сорта нейтрино и два сорта антинейтрино.
Масса покоя пиона около 150 МэВ. Значит, произвести пион можно при ядерной бомбардировке снарядами с энергиями, большими этой цифры. На самом деле нужна энергия, большая 300 МэВ. Ядерная бомбардировка частицами с такой энергией сопровождается появлением большого числа мезонов.
Доказать появление нейтральных пионов исключительно сложно, так как их время жизни оказалось равным 10~15 с. За время своей жизни эти частицы успевают пройти тысячную долю миллиметра.
Мы не останавливаемся на перечне других мезонов, обнаруживаемых во все возрастающем числе по мере роста возможностей ускорителей. Пионы можно рассматривать как основное состояние всего семейства мезонов, которое нам удобно будет рассмотреть после изучения спектра барионов.
Релятивистская теория электрона
Выше (§ 180), рассматривая уравнение Шредингера, мы не пользовались соотношениями теории относительности, молчаливо предполагая, что скорость частиц по отношению к скорости света мала.
Совершенно невозможно обойтись без этих поправок при рассмотрении электронов больших энергий, а именно порядка миллионов электрон-вольт. Электроны таких больших скоростей встречаются в радиоактивном излучении, в рентгеновских трубках, работающих на напряжении в миллионы вольт, бетатронах и т. п.
Если мы хотим описывать электроны таких скоростей правильной волновой функцией, то нам придется учесть то соотношение между энергией и импульсом, которое дает теория относительности.
Если масса покоя задана, то между энергией тела и скоростью, а также между импульсом и скоростью имеется непосредственная зависимость. Значит, можно и энергию связать с импульсом. Возводя в квадрат выражения
8 = тос= т^и
ср Ki —Р2
и вычитая, получим
-^r = P l-m^-
Связь энергии и импульса выражается уравнением
± eV р^А-т^?
(см. рис. 245). При /7—0 ^ —+ш0с2—две ветви нарисованной кривой отсекают по оси отрезки, равные энергии покоя частицы.
Долгое время на вторую — отрицательную — ветвь кривой не обращали внимания. Казалось невозможным существование частиц, которые вели бы себя по законам отрицательной ветви. Действительно, частица, обладающая отрицательной энергией покоя и уменьшающая свою энергию при увеличении импульса, должна вести себя весьма странно. Она будет§
похожа на частицу с отрицательной мае- \/
сой, а это значит, что при действии силы \/
на такой «электрон» частица будет полу- чать ускорение против направления дей- ствия силы. Если мы попытаемся при-/
тянуть такую частицу, она отдалится.1
Представим себе, что рядом находятся/
два электрона: обычный и необычный, ведущий себя по закону нижней кри- вой. Между частицами должно возник- нуть отталкивание.Нормальный электрон будет двигаться прочь от необычного. НоРис* 245-
необычный «электрон» под действием отталкивающей силы будет притягиваться и, следовательно, будет придвигаться к обычному электрону. Возникнет совместное ускоренное движение этой пары, при этом возрастание положительной кинетической энергии обычного электрона будет сбалансировано возрастанием отрицательной энергии необычной частицы.
Что же это за частица, существует ли она? Прежде всего, необходимо ответить, что с точки зрения квантовой механики это вовсе не другая частица. Отрицательную ветвь кривой энергия — импульс следует трактовать как самый низкий энергетический уровень одной и той же частицы, т. е. электрона. Наряду с обычными уровнями энергии электрон может находиться и на уровнях с отрицательной энергией. Переход с более высокого на более низкий уровень должен происходить, как и в других случаях, с излучением энергии.
Правда, при таком переходе излучение не может ограничиться одним фотоном. Это ясно из следующего соображения. При переходе электрона из состояния^, pY верхней кривой в состояние ^2, рй нижней кривой выделяется энергия, равная
^1 — ^2 = С (Kpi + ОТоС2 + V рХ + п^,
т. е. во всяком случае большая c(pL-rp2). Если при этом энергия передается одному фотону, то должно быть ^х— ^2=hv, a рх+ -Vpe=lw/c, т. е. изменение импульса фотона ^рх антипараллельнор2) равняется ftv/c. Но <§х— ^3 не равно c^pvVp^, а больше этой величины. Удовлетворить одновременно законам сохранения энергии и импульса в случае одного фотона невозможно, однако это всегда удастся, если выделяются два фотона.
Нас не смущает то, что нижнее состояние отвечает отрицательной энергии и что частицы с ^< 0 ведут себя очень странно. Затруднительным является другое обстоятельство: на нижнем уровне (ввиду того, что он простирается на все возможные значения импульсов) сколько угодно места. Почему все нормальные электроны не перешли на этот уровень? Затруднение, с которым мы сталкиваемся, заключается в том, что набросанная картина предусматривает существование одних лишь «необычных» электронов. Обычные электроны должны были бы существовать краткие мгновения наподобие возбужденных атомов.
Рождение и аннигиляция пар частиц
Релятивистская теория электрона была создана Дираком в 1928 г. Описание электрона в этой теории существенно иное, нежели в теории Шредингера. Поведение электрона описывается уже не одной волновой функцией, а четырьмя. Из теории Шредингера не следует существования спина электрона. Напротив, спин электрона является необходимым следствием теории Дирака. Успехи этой теории в описании многих явлений доказывают справедливость ее основных идей. Мы остановимся лишь на трактовке этой теорией противоречия, о котором мы сказали в предыдущем параграфе. Как объяснить существование множества обычных электронов? Как понять «нежелание» электронов переходить на более низкий уровень отрицательной энергии?
Принцип Паули не позволяет электрону переходить на более низкий уровень, если этот уровень заполнен двумя электронами с противоположными спинами. Привлечем этот принцип к интересующей нас проблеме. Решение будет получено, если мы предположим, что все состояния с отрицательной энергией заняты. Значит ли это, что все пространство заполнено сплошь электронами в состоянии с отрицательной энергией? Такой вывод как будто неизбежен. Теория Дирака привела к новому представлению о вакууме. Пустота получает в этой теории физические свойства. Она заполнена электронами в состоянии с отрицательной энергией и при этом заполнена ими беспредельно, поскольку нет предела уменьшения энергии к отрицательной бесконечности.
Посмотрим, какие явления способна объяснить и предсказать эта теория.
Если все состояния с отрицательной энергией заняты, то их существование удастся обнаружить лишь после того как благодаря полученной значительной порции энергии, во всяком случае большей 2т0с2, электрон перейдет с нижнего уровня отрицательной энергии на верхний уровень. Такой процесс возможен с затратой двух фотонов. Возможен и другой вариант: один фотон, проходящий мимо атомного ядра тяжелого атома (которое обладает сильным электрическим полем), может отдать свою энергию на подъем 546
электрона с отрицательного на положительный уровень. Роль атомного ядра заключается в придании необходимого импульса.
В обоих этих случаях электрон «рождается». Но наряду с появлением, электрона возникает «дырка» в состояниях с отрицательной энергией. Уход электрона, т. е. отрицательного заряда, приводит к тому, что дырка получает равный по величине положительный заряд. С другой стороны, отсутствие частицы с отрицательной энергией означает возрастание энергии. Следовательно, энергия дырки тем выше, чем больше се импульс. Мы приходим к выводу, что «дырки» должны вести себя так, как положительно заряженные электроны с положительной энергией. За исключением знака заряда, поведение положительного электрона (позитрона) нс должно чем-либо отличаться от поведения и законов движения обычного электрона.
Позитрон и электрон «рождаются» в виде пары за счет энергии фотонов. Возможен и обратный процесс — аннигиляция, заключающийся в превращении встретившихся электрона и позитрона в два фотона или в один фотон, если аннигиляция происходит вблизи тяжелого атомного ядра.
Понятно, почему позитроны не живут долго; они притягиваются электронами и при встрече пропадают. Но почему же не пропадают электроны? Просто по той причине, что их имеется избыток.
Может быть, возможно существование систем, где в избытке имеются позитроны и, следовательно, электроны неустойчивы? В таком предположении не содержится ничего бессмысленного.
Рождение пары и аннигиляция являются процессами, которые превосходно и в неограниченном числе наблюдаются в лаборатории. Если у-лучи с энергией больше 1 МэВ проходят через тонкую металлическую фольгу, то легко наблюдать выбрасывание из фольги электронов, отклоняющихся в магнитном поле в противоположные стороны. Наблюдая за позитроном (о средствах наблюдения заряженных частиц см. § 207), мы обнаружим в некоторый момент его пропажу. Здесь позитрон соединился с электроном. При помощи современных счетчиков фотонов можно строго доказать, что одновременно из этого места в противоположные стороны направятся два фотона с энергиями порядка Мс-^ эВ каждый.
Частицы и античастицы
Не было никаких оснований предполагать, что существование позитрона, или, как лучше сейчас его назвать, антиэлектрона, является особенностью малых частиц. Несмотря на ряд специфических особенностей, теория взаимодействия между нуклонами развивается по тем же линиям, что и теория взаимодействия электронов. В большинстве теоретических работ предполагается, что нуклоны должны описываться уравнениями, вполне подобными уравнениям Дирака для электронов. Если так, то для нуклонов надо ожидать существования античастиц, находящихся в таком же взаимоотно-
шении к протону и нейтрону, в котором находятся позитрон и электрон. Опыт показал, что именно так и обстоит дело для протона. Незначительно позднее был открыт и антинейтрон, который отличается от нейтрона направлением магнитного момента (у нейтрона
Рис. 246.
магнитный момент и вектор вращательного импульса антипарал- лельны, а у антинейтрона — параллельны).
Открытие антипротона показывает справедливость общей идеи — неразрывной связи поля с частицами. Так же как пара позитрон —
электрон, пара протон — антипротон может возникнуть путем перевода нуклона из состояния отрицательной энергии в состояние с положительной энергией. Для этой цели требуется энергия не меньше, чем 2Л4с2. Это — огромная энергия, в 1840 раз большая той энергии, которая нужна для создания пары электрон — позитрон. Нужны были ускорители на миллиарды электрон-вольт, для того чтобы открытие антипротона стало возможным.
При встрече протона с антипротоном они будут аннигилировать. Поскольку нуклоны передают энергию через посредство мезонного поля, то при аннигиляции их масса и энергия будут отдаваться квантам этого поля — мезонам.
Не представляет сомнения, что этот процесс будет детально изучен в ближайшие годы.
На рис. 246 показана фотография аннигиляции протона и антипротона. Процесс наблюдался в пузырьковой камере, наполненной жидким пропаном. Схема процесса изображена слева вверху.
Соображения о необходимости существования античастиц применяются и к нейтрино. «Зеркальное» изображение называется антинейтрино. Различие частиц, составляющих дублет, такое же, как у нейтрона и антинейтрона.
В виде дублета встречаются и мюоны, а также и другие элементарные частицы, о которых мы не говорили.
Мюоны представляют собой триплет: мюон встречается в виде разновидностей с зарядами плюс и минус, а также с зарядом, равным нулю. В отличие от нейтрона и нейтрино,нейтральный мюон, лишенный спина, не может обладать античастицей (можно также сказать: совпадает со своей античастицей). Еще одной частицей, не имеющей «отражения», является фотон.
Асимметрия элементарных частиц
Взаимодействие нуклонов осуществляется испусканием и поглощением мюонов. Это наиболее сильное взаимодействие элементарных частиц (его длительность 10“33 с) ответственно за силы, связывающие нуклоны в атомном ядре. Электромагнитное взаимодействие, сводящееся к обмену фотонов, длится 10~21 с; электромагнитные силы примерно в сто раз слабее ядерных. Эти два типа взаимодействия условились называть сильными в противоположность слабому взаимодействию, имеющему место при таких превращениях частиц, в которых участвуют нейтрино. К последним относится превращение нейтрона в протон с излучением и поглощением нейтрино и электрона ([5-распад, о котором шла речь выше), распад л- и р- мезонов, происходящий по схемам
л—^p + v, р—^e + v + v.
Время слабого взаимодействия порядка 10~9 с, силы взаимодействия в подобных процессах будут примерно в 10“14 раз слабее
ядерных. Разумеется, оценка силы взаимодействия временем процесса должна производиться при прочих равных условиях.
В последнее время были найдены исключительно интересные факты, касающиеся слабых взаимодействий. Было обнаружено, что слабые процессы происходят асимметрично по отношению к «правому» и «левому» вращению. Так, например, было показано, что при 0-распаде ядер атомов кобальта, поляризованных при низких температурах с помощью магнитного поля (поляризация частиц заключается в ориентировке их магнитного момента и спина вдоль определенного направления), угловое распределение электронов асимметрично в направлениях «вперед» и «назад». Такие же факты были обнаружены при распаде р-мезонов относительно их направления движения.
Теория этого явления была предложена Ли и Янгом, а также советским ученым Ландау. Явления, о которых идет речь, могут быть объяснены двояко: либо внутренней асимметрией частиц, либо асимметрией пространства. Сущность первого объяснения, которым мы ограничимся, состоит в предположении, что элементарные частицы по своим свойствам симметрии подобны винту. Такие асимметричные частицы хорошо известны физике; к ним относятся правые и левые оптические антиподы молекул, о которых подробно рассказывалось на стр. 376. Понятно, что асимметричная элементарная частица, ориентированная своей осью вдоль какого-то направления, полярна, на что и указывает эксперимент.
Чтобы объяснить наблюдающуюся асимметрию в опыте с пучком мюонов, можно воспользоваться гипотезой Ландау, в которой он связывает асимметрию частицы с се зарядом. Как обсуждалось в предыдущем параграфе, все частицы, кроме фотона, встречаются в природе в виде зарядовых пар. Ландау предположил, что если какая-либо частица обладает симметрией правого винта, то античастица обладает симметрией левого винта. Отражение в зеркале переводит правую руку в левую, правый винт в левый. Согласно высказанной гипотезе «отраженная в зеркале» частица представляет собой античастицу.
Какое же отношение имеет это обстоятельство к опыту с пучком мюонов? Можно показать, что частицы, лишенные массы, должны ориентироваться своим спином в направлении движения. Масса нейтрино, очевидно, равняется нулю. Поэтому все нейтрино «продольно поляризованы». Различие между нейтрино и антинейтрино сводится к следующему: у нейтрино спин направлен вдоль движения, а у антинейтрино — против. Мюоны получаются распадом пионов. Но спин пиона равен нулю, поэтому спин мюона должен быть параллелен спину нейтрино, т. с. мюоны в таком пучке будут продольно поляризованы, что делает понятным асимметрию распределения электронов при дальнейшем распаде мюонов.
Про частицы, обладающие в своем движении симметрией правого и левого винта, говорят как о частицах разной четности и обозначают их знаками (+) и (—).
КО
§ 226а. Барионный спектр
При столкновении с другими частицами нуклоны возбуждаются и переходят в большое число различных квантовых состояний. Нуклон в возбужденном состоянии называют барионом.
Наши сегодняшние представления о системе барионных уровней и переходах между ними показаны на схеме рис. 246а, предложенной американским физиком Виктором Вейскопфом. Жирные горизонтальные линии указывают обнаруженные на опыте энергетические уровни бариона. Шкала энергий дана слева. Для уровней энергии атомных ядер, которые мы обсуждали в предыдущей главе, понадобилась шкала в сотни тысяч раз более крупная, чем для атомов.
При переходе к спектру барионов нам нужно увеличить масштаб еще в тысячу раз. Мы видим, что разности энергий между уровнями измеряются уже в единицах ГэВ (гигаэлектрон-вольт). Уже одна эта шкала показывает, в чем смысл постоянного наращивания мощностей ускорителей частиц: выполнить этот рисунок стало возможным лишь благодаря позднейшим работам на ускорителях, придающих частицам-снарядам энергии, достаточные для возбуждения бариона.
Весь рисунок надо понимать как картину спектра одной частицы, основное состояние которой (нуклон) является дублетом. Различие между компонентами этого дублета — протоном и нейтроном, равное 1,2 МэВ, не видно на шкале обсуждаемого рисунка.
Для наглядности уровни бариона разбиты по столбцам, различающимся значениями двух квантовых чисел — изоспина / и странности S.
Как было только что сказано, различие в зарядах смещает уровень на величину, незаметную в масштабе нашего рисунка. Опыт показывает, что некоторые состояния встречаются в одной зарядовой разновидности — это синглеты. В третьем столбце слева (а также на последнем) изображены синглетные уровни. Наиболее низкий синглетный уровень бариона носит название лямбда-частицы. Л-частица электрически нейтральна.
Над основным дублетным протон-нейтронным уровнем (первый столбец слева) собраны другие дублеты. Во втором столбце слева изображены квартеты. Наиболее низкий уровень этого семейства — дельта-частица (А) — встречается в четырех зарядовых разновидностях А"", Д°, Д+ и А+ + . Четвертый столбец — триплетный, пятый и шестой — дублетный и синглетный соответственно.
Состояниям одной и той же мультиплетности приписывается изо- спиновое число / (крайне неудачный термин, поскольку к вращательному спину это число не имеет никакого отношения). Оно выбирается таким образом, чтобы 27+1 равнялось мультиплетности. 1
2/
2,0
2,4
2,2
?
2,0-
1
/,2
to
Ml
W
W*
JKacca St
p,n
^+ %T 0^" 3/2'
сЛСасса, т^
I=v/^1-^/2.1^/2
2)ублежы ^йрлгемы Сияглехы /^риплелгьь 2)р<5лехы
Рис. 246а.
и- пере ходьь 9C- или ^- т?ерехоЫ — Сла^ ^заидодги- стбия^.з)),^^), _ (слабиг
р- промок ^ 71- к-еймрок 4 - делима.
Л - ля^Оа, Е- сигма, Я - леи Й* омега.
^
1-0 Сикгхгмьг
Уровни разбиты по столбцам также в зависимости от странности S. Странность S=Y — Л, где А —барионное число. Для обсуждаемой таблицы Л = + 1. У всех антибарионов А = —1. У мезонов Л—0.
Барионное число атомных ядер равно числу ядер. Величина Y равна удвоенному среднему заряду мультиплета:
первый столбец Y = 2 • ~ (0 + 1),S = 0;
второй столбец Y = 2 • ~ (— 1 + 1 + 0 Ц- 2), S = 0;
третий столбецУ = 2 •• 0,S =— 1;
четвертый столбецУ = 2 • -^ (— 1+ 0 + 1),S —— Iе,
пятый столбецУ = 2 • ~ (—1+ 0),S ——2;
шестой столбецУ = 2 • (—1),S=— 3.
Энергетические уровни одного и того же столбца (с одинаковыми S и /) отличаются значениями спинов и четности.
Рассмотрим теперь переходы между уровнями. На рисунке показаны л-переходы (сплошные линии), К-переходы (штриховые линии) и переходы с выбрасыванием лептонной пары (сплошные жирные). Эмиссия фотонов на рисунке не показана. Обычно фотоны выделяются при пионных переходах, если только нет изменения заряда. Переходы возможны от каждого члена одного мультиплета к каждому члену другого; чтобы не загромождать чертеж, мы ограничились одной линией.
Пионные переходы возможны только между уровнями с одинаковым значением S. Именно эта странность в поведении барионов и послужила основанием для введения числа S.
Если приписать всем пионам странность, равную нулю, а в случае каонов положить S= + l для К+ и К ° и S=—1 для К0 и К“ (черта сверху обозначает античастицу), то будет иметь место закон сохранения странности.
Если изоспин пиона равен 1, а изоспин каона V2, то при переходах сохраняется и изоспиновое число.
Несмотря на то, что в этой схеме мезоны рассматриваются как своеобразные кванты излучения, оказывается целесообразным рассмотреть все семейство мезонов как возбужденное состояние пиона. Однако надо помнить о существенном отличии пиона от нуклона. Пион неустойчив и превращается в фотоны или лептонные пары: л° превращается за 10"16 с в фотоны, заряженные л-мезоны через 10"8 с — в лептонные пары.
Схема мезонного спектра изображена на рис. 2466. Ее удается организовать по тому же принципу, что и барионный спектр. Эта
схема все же не столь красива, как предыдущая. Мы видим, что каоны и эта-мезоны способны исчезать, не проходя через пионное состояние.
тг-хереходбгЖрхфотокяы-е 7t j-mLOx а)-омега
Ж-илиж- переходи переходы ^ дС^-лаол р-ро "— —-” 2ть- переходыСлабые "бзаимодей- п * эта а-* фи.
елгбггя (epOjp.v), , (слабые п)
Рис. 2466.
Мюоны, естественно, не фигурируют на этой схеме, так как они являются членами лептонной пары.
§ 2266. Кварки
Спектры атома и атомного ядра объясняются динамикой и взаимодействием их составных частей — электронов и ядра в случае атома, протона и нейтрона в случае атомного ядра.
Можно думать, что этим же объясняются барионный и мезонный Спектры. Если бы удалось показать, что нуклоны и мезоны сделаны 554
из каких-то более элементарных частиц, если бы оказалось возможным через взаимодействие этих субэлементарных частиц объяснить системы уровней бариона и мезона, то физика элементарных частиц приобрела бы законченность квантовой механики.
Пока эта задача далека от решения. Однако совсем недавно была предложена простая схема строения барионов и мезонов, которая так удачно описывает наблюдаемые энергетические уровни, что трудно эту удачу считать случайной. Экспериментальных подтверждений описанная гипотеза пока не имеет. Либо они будут получены в будущем с помощью новых ускорителей, превосходящих по мощности существующие, либо гипотеза окажется несостоятельной.
Даже в отсутствие экспериментальных подтверждений схема кварков останется полезной как метод классификации энергетических уровней барионов и мезонов. Для объяснения спектров вводится три типа кварков: р (заряд + 2/3, странность 0), п (заряд —V3, странность 0) и Z (заряд —V3 и странность —1). Нужны также соответствующие античастицы, получающиеся заменой знаков S и заряда на обратные. Спин каждого из кварков равен
Приведенные на предыдущих двух рисунках барионный и мезонный спектры объясняются непредвзято. Для объяснения надо предположить, что барион состоит из трех кварков, а мезон из двух (кварк+антикварк). Нетрудно проверить, что правильные значения странности, заряда и спина получаются сразу же, если
нейтрон = 2п + р
Ш
протон = 2р + П
Ш
Д~ —Зп
ш
A" = p + 2n
ш
А+ =2р + п
Д++=:Зр
ш
Л = р-4-X+n
ш
Пионы придется построить из пар р+пН(л+), р + р~или п+пН (л °) и п+р (л") и т. д. При помощи этой схемы хорошо описывается не только строение, но и переходы между уровнями.
Разумеется, введение кварков, даже если оно и окажется удачным, решает лишь часть проблем физики «элементарных» частиц. В целом эта область знания не получила еще стройности и ясности такой, которой обладают другие разделы физики.
Г Л А В А 32 -
АТОМНОЕ СТРОЕНИЕ ТЕЛ
Поликристаллическое вещество и монокристаллы
Рост кристаллов из расплава или раствора начинается, как правило, из весьма большого числа центров. Если не приняты специальные меры, то кристаллизация приведет к образованию не монокристалла, а поликристаллического вещества. Под микроскопом
скапливается на границах зерен.скапливается на границах зерен.Рис. 248.Рис. 248.Рис. 247.Рис. 247.
скапливается на границах зерен.
скапливается на границах зерен.
Рис. 248.
Рис. 248.
Рис. 247.
Рис. 247.
(рис. 247) такое вещество кажется состоящим из отдельных зерен. Каждое зерно — это кристалл, принявший неправильную случайную форму, поскольку его дальнейшему росту воспрепятствовали соседние кристаллики. Большинство тел, с которыми нам приходится иметь дело, и прежде всего металлы и камни, являются поликристаллическими веществами.
Граница между зернами легко выявляется травлением в подходящем растворителе. Это объясняется тем, что большинство загряз
нении, имеющихся в веществе, Межкристаллитная прослойка отлична от «тела» зерна нс только потому, что в ней имеются чужеродные атомы; она обладает особыми свойствами и по той причине, что ее
атомы расположены в нарушенном (переходном) порядке. Особая структура стыков зерен хорошо видна в электронном микроскопе в виде своеобразных гладких «дорожек». Обычные размеры зерен в металлах и камнях — это 10“4—10"5 см.
Можно найти в природе или искусственно вырастить одиночный кристалл (монокристалл) любого кристаллического вещества. Монокристалл характеризуется правильностью своей формы: плоскими гранями, прямыми ребрами и симметрией, т. е. соразмерностью своих частей. Эта правильная форма выражает внутренние свойства кристалла, позволяющие рядом бесспорных опытов отличить кристалл от куска вещества, которому такая форма придана искусственно. Также нетрудно узнать кристалл и в том случае, если его специфические признаки подавлены. Можно выточить шар из большого кристалла каменной соли. Если его растворять в воде, то удаление вещества происходит неодинаково быстро во всех точках поверхности шара и случайная форма стремится перейти по мере раст-
Рис. 249.Рис. 249.
Рис. 249.
Рис. 249.
ворения в форму многогранника, естественного для этого вещества. Совершенно однозначно можно отличить монокристалл от поли
кристалла методом рентгеновского анализа.
Итак, естественно образовавшийся кристалл имеет форму многогранника. Как и всякий многогранник, кристалл имеет некоторое число граней р, ребер г и вершин е. Эти числа связаны соотношением р+е=г+2. Например, у куба 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
Грани на кристаллах располагаются поясами или зонами. Зоной называется система граней, пересекающихся по параллельным ребрам. Направление этих ребер называется осью зоны.
Кристаллы одного и того же вещества могут довольно сильно отличаться по форме, но уже очень давно известно, что для данного вещества характерными являются углы между гранями и ребрами (в зависимости от случайных обстоятельств одна часть кристалла могла развиться больше другой; видимая соразмерность частей может от этого нарушиться). Это важное правило, которое иногда называют законом постоянства углов, иллюстрируется рис. 248, на котором изображены четыре различных кристалла горного хрусталя
(SiO2). Мы видим, что число граней и их относительные размеры различны у разных образцов, но углы между соответственными (т.е. связанными одним и тем же элементом симметрии и обозначенными на рисунке буквой а) гранями и ребрами остаются неизменными.
§ 228. Пространственная решетка
В основу исследований кристалла кладется следующее фундаментальное утверждение: распределение вещества в кристалле может быть представлено трехмерной периодической функцией.
На рис. 249 изображен рисунок обоев. Имеется некоторый элемент этого рисунка, повторяющийся в двух направлениях. Выберем любую точку А рисунка, назовем ее узлом. Можно провести на рисунке систему линий, проходящих через выбранные узлы. Элемент рисунка, повто-
рением которого строится он весь, заключается в ячейке возникшей сетки. Очевидно, зная ячейку, можно построить весь рисунок при помощи параллельных переносов на величину векторов ячейки а и Ь.
Кристалл представляет собой не плоскую, а пространственную решетку. Элементом, строящим кристалл, является параллелепипед, построенный на трех векторах переноса (трансляциях) а, Ь, с, которые, вообще говоря, могут быть выбраны бесчисленным количеством способов. Этот параллелепипед мы будем называть элементарной ячейкой, векторы а, Ь, с — основными векторами, или основными трансляциями, а их длины а, Ь, с — основными периодами повторяемости или идентичности решетки. Решетка описывается в системе координат, за оси которой приняты направления основных векторов. Различные способы выбора основных векторов, т. е. элементарной ячейки, иллюстрируются для двумерного случая
0000 е е 0 0
рис. 250. Элементарная ячейка в общем случае представляет собой косоугольный параллелепипед с ребрами а, Ь, с и углами а^Ь, с*, р—с, а; у^а, Ь. Шесть величин а, Ь, с, а, р, у, однозначно характеризующие элементарную ячейку, называются се параметрами. Поскольку задание элементарной ячейки определяет всю решетку, эти величины иногда называют параметрами решетки.
Ячейку в виде косоугольного параллелепипеда называют триклинной*, если а=у=90°, то ячейку называют моноклинной. Ячейка в виде прямоугольного параллелепипеда называется ромбической, а если вдобавок а^Ь, то тетрагональной. Если а=Ь^с и а=р=90°, а у=120о, то ячейку называют гексагональной. Простейшие ячейки имеют форму куба. Если один из узлов выбран за начало отсчета, то радиус-вектор любого другого узла можно представить:
Rmnp = ma-VnbA-рс,
где т, п, р — целые числа, нумерующие узлы по соответствующим осям и называемые индексами узлов. Совокупность трех индексов, характеризующих узел, называется символом узла и записывается в виде ПтпрП.
Существует бесчисленное количество узловых плоскостей и узловых прямых. Как узловые прямые, так и узловые плоскости представлены в решетке бесконечными параллельными семействами.
Переход от одной прямой к другой прямой того же семейства или от одной плоскости к другой происходит параллельным переносом (трансляцией) вдоль любого вектора, соединяющего два узла этих прямых или плоскостей. Каждое семейство узловых прямых характеризуется периодом идентичности вдоль узловой прямой и направлением, т. е. наклоном к выбранным осям координат. Для описания семейства выбирается прямая, проходящая через начало координат. Узловая прямая однозначно характеризуется индексами и, v, w первого узла, лежащего на этой прямой. Индексы этого узла называют индексами прямой и обозначают 1ииш]. Если индекс отрицателен, то минус пишется над цифрой. Символ [100] соответствует оси а решетки, [010] — оси b и [ООП — оси с. Прямые [011] и [0111 представляют собой две плоские диагонали, лежащие в грани Ьс. Разумеется, [ОН] и [ОН] — это одна и та же прямая. Различение этих обозначений имеет смысл лишь в том случае, если мы хотим подчеркнуть полярность направления. Пространственные диагонали ячейки получают символы [111], [111], [1111 и [Ш]. Их четыре в соответствии с наличием восьми квадрантов; другие четыре символа укажут на те же прямые обратной полярности. Скажем, [Ill] антипараллельно [ИТ] и т. д.
Пространственная решетка может быть построена следующим образом. Двумя трансляциями строится бесконечная сетка — узловая плоскость; третьей трансляцией, не лежащей в этой плоскости, строится решетка. Пространственная решетка кристалла может быть представлена семействами узловых плоскостей бесчисленным количеством способов. Всякое семейство узловых плоскостей состоит из параллельных плоскостей, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Для данной решетки исчерпывающей характеристикой семейства узловых плоскостей будет указание межплоскостного расстояния и ориентации одной из этих плоскостей относительно выбранных осей координат. Достаточно также задать ориентацию плоскости, наиболее близкой к началу координат, по отношению к выбранным осям. Расстояние этой плоскости от начала координат будет равно межплоскостному расстоянию рассматриваемого семейства.
Пусть эта ближайшая к началу плоскость отсекает на осях решетки доли основных периодов идентичности ЫН, Ык и сП. Числа h, к, Ц характеризующие ориентацию плоскости, назовем индексами плоскости. Нетрудно видеть, что h, k, I — целые числа. Это следует хотя бы из такого рассуждения. Рассмотрим плоскость семейства, проходящую через начальный узел, и другую, сдвинутую на период а. Это показано на рис. 251. Между этими узловыми плоскостями будут проходить и другие, но они должны быть расположены на равных расстояниях друг от друга. Следовательно, периоды идентичности вдоль выбранных осей будут делиться узловыми плоскостями на целое число частей.
Ближайшая к началу координат плоскость, отсекающая по осям координат значения l/h, 1/k, \Н периодов идентичности, характери-
зуется совокупностью трех индексов (чисел) /г, к и /, называемых символом плоскости.Символ плоскости заключают в круглые скобки: фН\ Например, плоскость (236) отсекает по осям отрезки az2,
е \ \ * \ \ Р \ \ р \ \ ^ \ Ц \ \ *
\ \ \ V \ \ \ \ \Л \. \ \ \ \ \ \ ' \ х\ \ \ \\\ \ \ /\ \ ' \ \ \ \ \\ \ \ \\\ \ \Д \ \\ ' '
-^-^ \ и ^ & \ Ц V t \ \т*5 ц\ \ \ \ \\\/\\\'Д\\\\ \ \ \ \ \ \ \ у\ \ \\ \ V *
\ \ \ \ \ \ \ \ \Д \ ' \ \ \ \ \ И b\\$\\^-'p\\V Л\\^
Рис. 251.
ЫЗ и с/6. К этому семейству принадлежит любая плоскость, которая отсекает по осям отрезки, в целое число раз большие приведенных.
Так, в нашем случае плоскости, следующие за ближайшей к началу координат, будут отсекать такие отрезки по осям: а, %'3Ь, 1Лс; 3/2ti, b, Va с и т. д.
Если плоскость отсекает по осям отрицательные отрезки, то это отмечается знаком минус над соответствующим индексом. Очевидно, 560
что плоскости (to/) и (h к Г) принадлежат к одному и тому же семейству. Поэтому можно у индексов плоскости менять все знаки на обратные.
Если плоскость параллельна оси координат, то соответствующий индекс равен нулю. Таким образом, (110) есть плоскость, параллельная оси с, (001) есть плоскость ab решетки (рис. 252), (010) есть плоскость ас, (100) есть плоскость be. Плоскости, проходящие через одну из осей и одну из диагоналей, имеют индексы с двумя единицами и одним нулем. Например, плоскость (101) представляет собой плоскость, параллельную оси b и проходящую через ту из диагоналей ас, которая не проходит через начало координат и проходит через концы векторов +а и ~с. К тому же семейству принадлежит плоскость (101), проходящая через концы векторов — а и — с. Плоскость (101), или ее «обратная сторона» (101), также параллельна оси Ь, но идет через ту диагональ ас, которая не начинается в нулевом узле решетки и проходит через концы векторов +а и —с и соответственно —а и +£.
Символ с тремя единицами относится к плоскостям, проходящим через три диагонали. Эти же плоскости проходят через концы всех трех векторов решетки. Скажем, плоскость (ТТ1) проходит через концы векторов —а, —b и +г.
Индексы семейства узловых плоскостей решетки являются одновременно индексами граней кристалла. Две параллельные грани получают индексы (to/) и Qr к /).
§ 229. Выбор ячейки. Симметрия кристалла
Для описания решетки могут быть приняты различные тройки векторов а, b и с. Если внутри элементарной ячейки нет узла, то такая ячейка называется примитивной.
Различные способы выбора примитивной элементарной ячейки показаны на рис. 253. На каждый узел решетки приходится
Рис. 253.
одинаковый объем. Это объясняется периодичностью пространственной решетки. Объем, приходящийся на один узел, равен объему примитивной элементарной ячейки, независимо от способа выбора
561
ее. Действительно, каждый из восьми узлов, находящихся в вершинах такой ячейки, «поделен» между восемью ячейками, т. е. принадлежит каждой из них на 1/8. Таким образом, на каждую ячейку приходится один узел. В ряде случаев целесообразен выбор элементарной ячейки большего объема, чем примитивная.
Желая отразить в выборе ячейки максимальную симметрию кристалла, зачастую вместо примитивной элементарной ячейки выбирают элементарную ячейку, у которой дополнительные узлы находятся в центрах граней или в центре объема. Три случая являются распространенными.
Объемно-центрированная ячейка. Дополнительный узел находится в точке пересечения пространственных диагоналей ячейки. На каждую ячейку приходятся узлы: [[ООО]] и ^^- ~ у] J . Один узел (в центре) целиком принадлежит ячейке; восемь узлов вершин параллелепипеда принадлежат каждый восьми ячейкам, т. е. данной ячейке каждый из таких узлов принадлежит на V8.
Транецентрированная ячейка. Дополнительные узлы находятся в центрах одной из пар граней, например ab. На каждую ячейку приходится два узла: [[ООО]] и Ц~ у о] J.
Всесторонне центрированная ячейка. Дополнительные узлы находятся в центрах всех граней. Каждой ячейке принадлежат четыре узла: [[00011, [|о 11]], [[4 0 4]]- [[4 4 °]]'
Обычно пользуются следующими обозначениями: Р — примитивная ячейка; А, В, С — ячейки, центрированные в гранях Ьс, ас и ab; F — всесторонне центрированные ячейки и / — объемно- центрированные.
Как это было подчеркнуто ранее, узел решетки — это определенным образом выбранная, но произвольная ее точка. Следующий узел отстоит от выбранного на расстоянии периода решетки. Таким образом, на примитивную ячейку приходится один узел.
Можно сказать, что всю совокупность атомов примитивной ячейки мы заменяем узлом. Большей частью за узел решетки принимается точка пересечения элементов симметрии.
В примитивной ячейке может находиться много атомов. Структуру, где в ячейку входит много атомов, характеризуют координатами атомов в элементарной ячейке.
Все опытные факты безупречно объясняются представлением о кристалле как о пространственной решетке. Ребра и грани кристалла трактуются как узловые прямые и плоскости. Углы между гранями и ребрами кристаллов у всех кристаллических объектов данного химического соединения одинаковы.
Все симметрические особенности строения кристалла также вытекают из представления о пространственной решетке.
Кристаллы различных веществ обладают разной симметрией. Если кристалл хорошо образован, то симметрия его бросается в 562
глаза. Видно, что через кристалл можно провести определенным образом плоскости и оси симметрии.
Внешняя симметрия кристалла объясняется его внутренним строением — симметрией пространственной решетки.
К элементам симметрии, встречающимся в кристаллах, кроме осей симметрии, относятся зеркальная плоскость и центрJн
инверсии (другой термин — центр симметрии). Об опера-/ _
циях, совершаемых этими./ /
элементами симметрии, напо- у77—у7—
минает рис. 254.у~V у
Уже давно было известно,;I z
что в кристаллах не встреча- ются оси симметрии выше ше-'тт
стого порядка*) и отсутствуютРис. 254.
оси симметрии пятого порядка. Исходя из этого, А. В. Гадолин показал, что возможно существование лишь 32 классов симметрии среди кристаллических тел.
До создания теории пространственной решетки оставалось неясным, почему оси пятого, седьмого и т. д. порядков не встречаются среди кристаллов. Эту и другие особенности симметрии кристаллов можно доказать, исходя из теории пространственной решетки.
Рис. 255.
Рассмотрим поворот одной плоскости решетки. Повороты, невозможные для плоскости, будут тем более невозможными для всей решетки.
Пусть ось и-го порядка проходит через узел решетки В и ближайшая к ней идентичная — через узел решетки А (рис. 255). Поворот около оси В переводит узел А в узел А’, поворот около А переводит В и В'. Согласно построению В'А'=АВ (1+2 cos а). Однако расстояние между узлами А' В* должно быть кратно периоду идентичности АВ, ибо АВ параллельно А'В'. Следовательно, 2 cos а
должно равняться целому числу. Из этого условия следуют для cos а только лишь такие возможные значения: 0, +1/2 и + 1, т. е. углы поворота 60°, 90°, 120°, 180° и 360°. Как и следует из определения закрытой симметрической операции, все углы поворота равны частному от деления 360° на целое число. Таким образом, в кристалле возможны поворотные оси симметрии шестого, четвертого, третьего, второго и первого порядков.
Рис. 256.
Можно легко доказать, что ось симметрии является узловой прямой и нормальна к узловой плоскости.
Симметрия пространственной решетки определяет симметрию кристалла. Однако следует иметь в виду, что симметрия решетки значительно богаче. Если существуют 32 класса симметрии кристалла, то у пространственных решеток существуют, как было впервые показано основателем структурной кристаллографии Е. С. Федоровым, 230 видов симметрии — федоровских групп.
Более богатая симметрия решетки объясняется тем, что наряду с закрытыми операциями симметрии она содержит элемент симметрии, невозможный для тела,— трансляцию. Действительно, симметрическая операция — это перемещение, переводящее тело в положение, не отличное от исходного. Всякое перемещение на период идентичности вдоль той или иной узловой прямой будет поэтому симметрической операцией для бесконечной решетки.
Трансляция позволяет осуществить в решетке следующие новые элементы симметрии: 1) комбинацию поворота с трансляцией — винтовые оси, 2) комбинацию отражения с трансляцией — плоскости скольжения (рис. 256). На правом рисунке показана винтовая ось четвертого порядка; каждая из точек 2, 3, 4 и 5 возникает из предыдущей поворотом на 90° и сдвигом вдоль оси на величину /, равную ~ периода. На левом рисунке треугольники связаны отражением в плоскости Q и скольжением вдоль линии А Д' на у периода.
Упаковка частиц в кристалле
Укладывать, упаковывать можно фигуры, которым свойственны определенный объем и форма. Далеко не очевидно, в какой степени справедлива подобная процедура для атомов. Здесь, прежде всего, существенно следующее: будет ли приписанная атому или группе атомов форма хотя бы в самом грубом приближении соответствовать минимуму на потенциальной кривой взаимодействия частиц вдоль
Рис. 257.
данного направления и, далее, в какой степени охватывает приписанный атому или группе атомов объем все электроны (включая валентные), принадлежащие этому атому или атомной группе. Если окажется, что ограничение атома или молекулы определенным контуром имеет физическое содержание, то одновременно выяснится, в чем проявляется эта форма при построении кристалла из частиц.
Характер взаимодействий, связывающих атомы в кристалл, бесконечно разнообразен. Однако могут быть выделены некоторые крайние случаи: чисто йонных связей, чисто гомеополярных связей, металлической связи и случай кристалла, построенного из молекул. Структуры каменной соли, сернистого цинка, железа и органического вещества дикетопиперазина выбраны в качестве примеров (рис. 257). В первых трех случаях характерным является отсутствие какой-либо тесной группы атомов. В кристалле каменной соли мы не можем выделить молекулу. Каждый атом натрия имеет шесть
вполне равноценных соседей — атомов хлора. Нет молекулы и в других двух соединениях — представителях гомеополярной и металлической связи.
В ионных кристаллах все частицы представляют собой положительные и отрицательные ионы, притягивающиеся по законам электростатики. Все сказанное об|ионной связи в молекулах справедливо и для ионного кристалла. Характер ионных структур неплохо передается, если изображать ионы шарами определенного ионного радиуса. При этом значения ионных радиусов, наблюдающихся в ионных молекулах, незначительно отличаются от ионных радиусов в кристаллах.
В кристаллах с гомеополярной связью каждые два атома связаны парой электронов. Этим способом каждый атом цинка связан со всеми окружающими его атомами серы, а каждый атом серы — со всеми окружающими его атомами цинка. Если считать признак гомеополярной связи признаком молекулы, то придется сказать, что весь такой кристалл является единой молекулой. Представление структур гомеополярных кристаллов в виде соприкасающихся шариков лишено физического содержания. Свободные атомы серы и цинка имеют значительно больший размер, чем расстояние между ними в сернистом цинке. Гомеополярная связь приводит атомы в тесное соприкосновение, обобщает области существования электронов у этих атомов. Если бы мы построили структуру сернистого цинка из соприкасающихся шариков, то оставили бы вне этих шаров существенную часть электронной плотности, заполнили бы шарами лишь 25% объема.
О металлической связи пойдет речь в гл. 37. Однако несколько слов можно сказать сейчас. В металлах и сплавах внешние электроны обобществлены и образуют электронный «газ». Решетка металлического соединения строится из атомных остатков (положительных ионов), «цементированных» электронами. Изображение структуры в виде соприкасающихся шаров также нс имеет физического содержания, несмотря на то, что формально структуры некоторых металлов можно изобразить плотными упаковками шаров.
В кристаллах типа дикетопиперазина мы находим отдельные молекулы. Мы узнаем их без труда по той причине, что межмолекулярные расстояния существенно больше внутримолекулярных. Изучая расположение молекул в кристаллах, удалось подобрать межмолекулярные радиусы, ограничивающие молекулу частями сферических поверхностей. Модель молекулы, построенная из срезанных шаров межмолекулярного радиуса, есть следствие анализа кристаллических структур. Подобное* геометрическое изображение кристаллов, построенных из молекул, вполне оправдано тем, что вся существенная доля электронного облака заключена внутри контуров молекулы.
Мы приходим к заключению, что представление строящих кристалл частиц в виде геометрических фигур имеет смысл в двух случаях: в ионных и молекулярных кристаллах. Наоборот, представ- 566
ление такого рода для гомеополярных кристаллов и металлических соединений лишено полезного содержания.
Теперь мы должны задать такой вопрос: в чем проявляется форма ионов и молекул при построении кристалла? Ответ будет такой: в плотной упаковке частиц. Опыт показывает, что молекулы упаковываются всегда таким образом, чтобы «выступ» одной молекулы пришелся на «впадину» другой. Имеется ярко выраженная тенденция принять в кристалле такую взаимную ориентировку, чтобы объем элементарной ячейки был по возможности меньшим. Аналогично обстоит,дело в ионных кристаллах. Создается такая шаровая укладка, при которой самые крупные шары заполняют пространство плотнейшим способом, а маленькие шары — ионы залезают в пустоты основной кладки.
При выбранном способе изображения ионов шарами, а молекул объемными фигурами доля «пустого» пространства оказывается равной 25—35%.
Наличие плотной упаковки в молекулярных и ионных кристаллах является основным доказательством того, что форма и объем атома и молекулы являются содержательными понятиями.
Молекулярный кристалл
Разумеется, утверждение, что в молекулярном кристалле молекулы связаны межмолекулярными силами, является чистой тавтологией. Что же входит в это понятие, что можно сказать о происхождении межмолекулярных сил?
Следует отличать полярные молекулы от неполярных. Полярные молекулы обладают заметным дипольным моментом, который возникает по той причине, что электронная плотность оказывается сдвинутой в какую-то одну сторону. Неполярные молекулы можно рассматривать как совокупность нейтральных атомов. Полярные молекулы можно представить себе как наложение сравнительно небольших зарядов на атомах на неполярный остов молекулы. Соответственно с этим в общем случае взаимодействие молекул превосходно описывается взаимодействием нейтральных частиц плюс электростатическое действие.
Опыты и расчеты показывают, что основную часть энергии взаимодействия молекул составляют взаимодействие электрически нейтральных частиц. Это следует, например, из того факта, что значения теплоты сублимации (которая является хорошей мерой взаимодействия молекул) неполярного бензола и полярного нитробензола весьма близки друг к другу.
Таким образом, все молекулы следует рассматривать как системы электрически нейтральных атомов. Энергия взаимодействия молекул с достаточно хорошим приближением складывается из энергий взаимодействия атомов (принцип аддитивности).
Кривая потенциальной энергии взаимодействия двух атомов, принадлежащих разным молекулам, выражается, разумеется,
кривой общего типа (как для валентно связанных атомов (стр. 473) так и для атомных ядер), имеющей крутой подъем в сторону малых расстояний, пологий подъем с асимптотическим приближением к нулю в сторону больших расстояний и минимум (потенциальная яма) для некоторого равновесного расстояния. Абсцисса этого минимума и есть межмолекулярный радиус, при помощи которого окантовывается форма молекулы.
Если абсцисса дна ямы для валентно связанных атомов лежит при 1 —1,5 А, а глубина ямы измеряется многими десятками Дж/моль, то для атомов разных молекул эти цифры будут 2—4 А и десятые доли Дж/моль.
Нейтральные атомы все равно являются электрическими системами. Поэтому мы должны постараться объяснить вид кривой невалентного взаимодействия в терминах электронной структуры атома.
Прежде всего, откуда берется притяжение? Квантовомеханическое объяснение этих сил, которые получили название дисперсионных, было дано Лондоном. Грубо говоря, дело сводится к тому, что в каждое мгновение электрически нейтральная частица является диполем, поскольку в данный момент центр тяжести электронов и ядер не совпадает. Дисперсионные силы возникают благодаря притяжению этих мгновенных диполей.
На коротких расстояниях начинают заметно действовать силы отталкивания. Взаимному перекрыванию электронных оболочек (квадратов волновых функций) препятствует отталкивание электронов. Но главную роль играет не электростатическая сила, действующая между одноименными зарядами, а принцип Паули, который запрещает третьему электрону приблизиться к области, занятой парой электронов с противоположными спинами.
Формула энергии притяжения была выведена Лондоном. Эта энергия (она, конечно, отрицательна) обратно пропорциональна г6. Строгий вывод энергии отталкивания не удается сделать, но ее свойства неплохо передаются экспонентой. Таким образом, энергия взаимодействия двух нейтральных атомов, принадлежащих разным молекулам, может быть записана в виде
и = — 4 +
где А, 6, а — константы, имеющие разное значение для разных пар атомов.
Если надо знать энергию взаимодействия молекул, то надо просуммировать ее по всем парам атомов.
Выражение для силы взаимодействия, если оно нужно, получится по общей формуле
г dU
Геометрическая модель молекулы упрощает картину взаимодействия. Говоря о молекуле, имеющей жесткую форму, мы по сути дела заменяем описанный потенциал прямоугольным, как это 568
как плотнейшую упаковку плотнейших слоев. Можно встретить два типа плотнейших слоев (рис. 258). Ячейка одного из них обладает наименьшей симметрией, другой тип слоя имеет прямоугольнуюкак плотнейшую упаковку плотнейших слоев. Можно встретить два типа плотнейших слоев (рис. 258). Ячейка одного из них обладает наименьшей симметрией, другой тип слоя имеет прямоугольнуюРис. 258.Рис. 258.
как плотнейшую упаковку плотнейших слоев. Можно встретить два типа плотнейших слоев (рис. 258). Ячейка одного из них обладает наименьшей симметрией, другой тип слоя имеет прямоугольную
как плотнейшую упаковку плотнейших слоев. Можно встретить два типа плотнейших слоев (рис. 258). Ячейка одного из них обладает наименьшей симметрией, другой тип слоя имеет прямоугольную
Рис. 258.
Рис. 258.
показано на рис. 257а. Для ряда целей такое упрощение вполне оправдано. Оказывается, что форма молекулы определяет не только межмолекулярные расстояния, но и характер упаковки молекул. Полярность молекул или другие особенности сил притяжения не только не меняют межмолекулярных нарушить тенденции к плотной упаковке молекул. Таким образом, практически во всех случаях минимум энергии достигается плотной упаковкой молекул. Строгое подчинение молекулярных кристаллов принципу плотной упаковки приводит к исключительно малому разнообразию структурных типов и симметрии этих кристаллов.
Упаковку молекул в кристаллах целесообразно представлять себе
ячейку. В этом последнем случае (более 90% органических кристаллов построены из подобных слоев) молекулы укладываются характерным зигзагообразным рисунком. Ряды молекул, образующих слой, связаны между собой винтовой осью второго порядка 2^ Это значит, что один ряд молекул может быть переведен в соседний поворотом на 180° и сдвигом на полпериода вдоль оси.
В плотнейших слоях каждая молекула имеет шесть ближайших соседей. При наложении слоев к молекуле подходят обычно три соседние молекулы сверху и три снизу. Число ближайших соседей становится равным 12.
В мире молекулярных кристаллов редко встречаются кристаллы с высокой симметрией. Упаковка несимметричных молекул в симметричные кристаллы никогда не может быть произведена плотно.
Если молекула обладает симметрией, то это совсем не значит, что и кристалл будет обладать такой же симметрией.
Молекула нафталина обладает высокой симметрией: через нее можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости зеркальной симметрии (рис. 259). Если бы упаковка молекул строилась
без каких бы то ни было жертв вбез каких бы то ни было жертв вс сохранением этих элементов симметрии, то она не могла бы быть достаточно плотной. Поэтому, образуя кристалл, молекула «теряет» те элементы симметрии, которые мешают повысить плотность упаковки. Оказывается, что сохранение центра инверсии возможно отношении плотности упаков-
без каких бы то ни было жертв в
без каких бы то ни было жертв в
ки молекул. Обычно молекулы, содержащие этот элемент симметрии, теряют при вхождении в кристалл остальные элементы симметрии и сохраняют центр инверсии.
И в других случаях исход конкуренции между тенденциями к симметричному и плотному расположениям можно уверенно предсказать.
Типичная для молекулярных кристаллов упаковка иллюстрировалась выше (рис. 257) примером-дикетопиперазина. Молекулы обладают высокой симметрией, но сохраняют в кристалле лишь центр инверсии. Разумеется, молекула не перестает быть с достаточной Точностью высокосимметричной оттого, что ее элементы симметрии не принадлежат кристаллу.
Плотные упаковки шаров
Весьма значительный класс ионных кристаллов может быть представлен плотными упаковками шаров.
Большей частью анионы крупнее катионов. В этих случаях кристаллы представляют собой плотную упаковку шаров-анионов, между которыми размещаются катионы. Именно таким образом построены все силикаты, одни из наиболее распространенных в природе неорганических веществ. В силикатах катионы размещаются в пустотах плотной кладки кислородных анионов.
Рассмотрим законы плотной упаковки шаров — основы множества кристаллов. Единственный возможный плотнейший слой шаров показан на рис. 260. У каждого шара шесть соседей. Шары второго слоя для создания плотнейшей упаковки должны быть помещены в лунки нижележащего. Заполнить все лунки шарами того же самого размера нельзя: лунки заполняются через одну (на чертеже отметим крестиками лунки первого слоя, заполненные шарами второго слоя, и черными точками — лунки, оставшиеся пустыми).
Рис. 260. одинаково плотных шаровыхРис. 260. одинаково плотных шаровых
Рис. 260. одинаково плотных шаровых
Рис. 260. одинаково плотных шаровых
Плотная упаковка из двух слоев также существует лишь одна. Положение меняется, когда мы переходим к третьему слою. Чтобы получить плотнейшую упаковку, мы должны укладывать шары третьего слоя в лунки второго. Но при этом шары третьего слоя
могут быть размещены двумя способами: чтобы центры этих шаров лежали над центрами шаров первого слоя или чтобы их центры лежали над лунками, помеченными точками. Две трехэтажные постройки обладают одинаковой плотностью упаковки, но существенно отличаются одна от другой. При наложении четвертого слоя мы еще более увеличим число возможных упаковок: из двух трехслойных упаковок мы можем сделать четыре четырехслойные. Пятислойных будет уже восемь, и т. д. Ясно, что число различающихся между собой
упаковок при увеличении числа слоев крайне велико.
Теперь нам надо проследить связь между кристаллической решеткой и шаровой упаковкой. Кристалл должен представлять собой такую упаковку атомов-щаров, в которой положение слоев строго повторяется через определенное число слоев. Если это повто
рение начинается, например, с четырнадцатого слоя, то это значит, что в высоту ячейка состоит из тринадцати слоев. Тогда четырнадцатый слой находится над первым, пятнадцатый — над вторым, шестнадцатый — над третьим и т. д.
Самая простая упаковка—двухслойная: третий слой лежит над первым, четвертый — над вторым и т. д. (рис. 261, справа). Это — так называемая гексагональная плотнейшая упаковка. На рисунке справа внизу показана ее ячейка; кружками и крестиками обозначены положения центров шаров.
Очень большое распространение имеют трехслойные кристаллы, в которых четвертый слой повторяет первый, пятый — второй, и т. д. (рис. 261, слева). На рисунке слева внизу, где отмечены лишь центры атомов, показано, что в такой упаковке можно выбрать кубическую элементарную ячейку, центрированную по всем граням. Плотные слои расположены здесь перпендикулярно к пространственной диагонали куба. Такую структуру называют кубической плотнейшей упаковкой.
Рассматривая упаковки шаров одинакового размера, мы видим, что в упаковках сохраняются пустоты; легко подсчитать, что их объем составляет около V4 общего объема. Пустоты эти бывают двух видов: одни из них окружены четырьмя шарами, центры которых размещены в вершинах правильного четырехугольника — тетраэдра (рис. 262, а); другие окружены шестью шарами, причем
центры этих шаров образуют правильный восьмигранник — октаэдр (рис. 262, 6). Первые меньше по своим размерам, а число их вдвое больше, чем вторых.
Можно подсчитать, что в любой плотной упаковке одинаковых шаров на каждый шар приходятся одна большая и две меньших
Рис.Рис.
Рис.
Рис.
Рис. 2Ь2.Рис. 2Ь2.
Рис. 2Ь2.
Рис. 2Ь2.
пустоты. Маленькие шары размещаются в этих пустотах; если же
они несколько велики для пустот и не помещаются там, то раздвигают соседние крупные шары, разрыхляя плотную упаковку.
То обстоятельство, что упаковки могут быть построены из раз- ногр числа слоев и «узор» заполнения пустот маленькими шарами
может быть также различен, ведет к величайшему многообразию структур ионных кристаллов.
Кристаллы поваренной соли представляют собой плотную трехслойную упаковку крупных ионов хлора (светлые шары на рис. 257); ионы натрия (темные шары) заполняют все большие пустоты, поэтому каждый ион натрия ок
ружен шестью ионами хлора. Сернистое железо (пирротин) представляет собой двухслойную упа
ковку крупных ионов серы; меньшие ионы железа заполняют все крупные пустоты. В кристалле окиси лития, где по химическому составу на один атом кислорода приходятся два атома лития, плотную упаковку образуют крупные ионы кислорода, а маленькие
ионы лития заполняют все малые пустоты; поэтому у каждого иона лития имеются четыре соседа — ионы кислорода. В кристалле хлористого кадмия (химический состав его — два атома хлора на один атом кадмия) плотная упаковка образована крупными ионами хлора; ионы кадмия заполняют большие пустоты, но не все, а через два слоя ионов хлора. Это, конечно, лишь простейшие «узоры» запол-- нения пустот плотной упаковки.
§ 233. Примеры кристаллических структур
Наиболее обширной группой кристаллов являются тела, построенные из молекул. Достаточно представителей имеют и ионные соединения. В этих случаях, как мы уже говорили, представление о кристалле как о плотно уложенных частицах вполне оправдано. Однако необходимо остановиться на тех структурах, где направленности связей между атомами, отклонение электронного облака от
Рис. 263.
сферической симметрии и прочее являются причиной образования структур, которые не могут уже рассматриваться столь просто. К таким исключениям принадлежат структуры атомов, связанных общими электронами.
У большого числа металлов наблюдаются структуры с объемно- центрированной кубической ячейкой. В этих кристаллах каждый атом будет иметь восемь соседей, а не двенадцать, как в плотнейшей упаковке шаров. Так ведут себя, например, атомы железа (рис. 257). Решетка железа — кубическая; атомы железа расположены в вершинах и центрах кубов. Такой же структурой обладают литий, калий, цезий и ряд других веществ.
На рис. 263 структура кристаллической ртути сравнивается с идеальной кубической плотнейшей упаковкой. Легко видеть, что характер расположения центров атомов одинаков, но в структуре
ртути расстояния между слоями уменьшились, а расстояния между атомами одного слоя возросли, как будто бы мы плотно упаковали слегка сплющенные шары.
Рис. 265.Рис. 265.Примеров таких в большей или меньшей степени «испорченных» плотнейших упаковок очень много. Например, в случае льда (рис. 264) родство с шаровой упаковкой теряется полностью. Связь между каждой парой атомов кислорода осуществляется одним атомом водорода. В этих четырех связях каждый атом водорода приходится на два атома кислорода — противоречия с химической формулой воды изображенная на рис. 264 структура, конечно, не имеет. Для наглядности «водородная» связь на рисунке изображена в виде «перешейка». Структура льда очень рыхлая, на рисунке заметны большие «дыры». Если мысленно продолжить структуру
Рис. 265.
Рис. 265.
Рис. 264.
каналы, пронизывающие структуру. Структура льда — важное исключение из общего правила. Это не значит, что редкими являются случаи, когда уподобление кристалла плотной упаковке частиц теряет свой смысл.
Как мы уже говорили выше, полностью теряется аналогия с плотной упаковкой шаров в случае кристаллов, построенных из атомов, связанных общими электронами.
Структура сульфида цинка, показанная выше на рис. 257, очень характерна. Так же выглядят и структуры некоторых элементов: углерода (алмаз), кремния, германия, олова (белого).
Возможны случаи, когда гомеополярные связи образуют слои и цепи атомов.
На рис. 265 изображена структура графита. Атомы углерода в графите образуют слоевую структуру. Но это не слои плотнейшей упаковки. Построить слой графита из соприкасающихся сфер нельзя. У графита слои сильно связанных атомов — плоские. Мышьяк и фосфор также дают слоистые в этом смысле структуры, но атомы слоя расположены не в одной плоскости. В качестве примера струк-
туры, состоящей из цепочек сильносвязанных атомов, можно привести серый селен. Каждый атом этого вещества крепко связан лишь с двумя соседями. У серого селена атомы образуют бесконечную спираль, навивающуюся на прямую линию. Расстояния между атомами соседних спиралей значительно больше расстояния между ближайшими атомами, входящими в одну и ту же спираль.
Черный матовый мягкий графит, которым мы пишем, и блестящий прозрачный твердый, режущий стекло алмаз построены из одних и тех же атомов — из атомов углерода. На этом примере с исключительной отчетливостью видно, как резко определяются свойства кристаллов взаимным расположением атомов. Из графита делают огнеупорные тигли, выдерживающие температуру до 2000— 3000 °C, а алмаз горит при температуре выше 700 °C; удельный вес алмаза 3,5, а графита 2,1; графит проводит электрический ток, алмаз — нет, и т. д.
Эта особенность образовывать разные кристаллы присуща не только одному углероду. Почти каждый химический элемент в кристаллическом состоянии и любое вещество существуют в нескольких разновидностях. Нам известно шесть разновидностей льда, девять разновидностей серы, четыре разновидности железа.
При комнатной температуре атомы железа образуют кубическую решетку, в которой атомы занимают места по вершинам и в центре кубов; каждый атом имеет восемь соседей. При высокой температуре атомы железа образуют плотнейшую упаковку: каждый атом имеет двенадцать соседей. Железо с числом соседей восемь — мягкое, железо с числом соседей двенадцать — твердое. Закалка стали фиксирует при комнатной температуре плотнейшую кубическую упаковку, устойчивую при более высоких температурах.
Уже из примеров углерода и железа видно, что разновидности кристаллов одного и того же вещества совершенно не похожи друг на друга по структуре. То же относится и к другим веществам.
Так, например, желтая сера образует в кристалле гофрированные кольца из восьми атомов. Иначе говоря, в кристалле видна молекула серы из восьми атомов. Красная сера тоже состоит из таких колец, однако повернуты они друг к другу совсем иначе.
Желтый фосфор дает кубическую структуру с числом ближайших соседей, равным восьми. Черный фосфор — слоистая структура типа графита.
Серое олово имеет структуру такую же, как алмаз. Белое олово можно мысленно получить из серого, если сильно сжать алмазную структуру вдоль оси куба. В результате этого сплющивания число ближайших соседей у атома олова становится равным шести вместо четырех.
У органических веществ также часто встречаются кристаллические разновидности. Те же самые молекулы располагаются по- разному одна по отношению к другой.
§ 234. Тепловые колебания в кристалле
С точки зрения энергии идеальный кристалл является своего рода противоположностью идеальному газу.
В идеальном газе энергия взаимодействия частиц много меньше средней энергии теплового движения кТ. Напротив, в кристалле частицы связаны сильно и энергия взаимодействия много больше кТ. Поэтому тепловое движение в кристаллах не может разрушить связь между атомами и приводит к малым колебаниям атомов около положений равновесия.
В любом кристалле каждый атом совершает колебание около положения равновесия. Для большинства кристаллов амплитуда колебаний есть величина порядка 0,1 А и составляет, таким образом, незначительную долю расстояния между о ближайшими атомами (которое, как мы знаем, порядка 1,5—2 А).
Характер этого колебания может быть весьма сложным. За период атом опишет около положения равновесия сложную траекторию. Дело в том, что атом связан разными силами со своими соседями и поэтому колебания его будут носить анизотропный характер. Во всяком случае всегда возможно разложить колебания атома по трем осям. Очевидно, атомы кристалла будут обладать 3N степенями свободы (W — число атомов).
Если в кристалле отчетливо выделяются молекулы, то имеет смысл говорить о колебаниях молекулы и о колебаниях атомов внутри молекулы. Поскольку молекулы связаны между собой значительно менее жестко, то частоты их колебаний будут меньше. В молекулярных кристаллах движение молекулы как целого играет определяющую роль. Молекула совершает поступательное колебание около положения равновесия, а также крутильные колебания. В редких случаях возможно, видимо, и полное вращение молекул около центра тяжести. Например, вероятно такое вращение молекул в твердом метане СН4.
Полная энергия каждой колеблющейся частицы складывается из -потенциальной и кинетической энергий. При этом средние значения этих энергий за период колебания одинаковы. Как известно, в газе средняя кинетическая энергия атома равна ^/2kT. Естественно допустить, что на колеблющийся атом, обладающий вдвое большей средней энергией при той же температуре, придется ЗкТ единиц тепловой энергии. Один моль кристаллического вещества должен тогда обладать энергией 3RT и молярная теплоемкость должна равняться ^=3/?^6 кал/моль^24,93 Дж/моль.
При высоких температурах эта формула превосходно оправдывается. Оказывается, что теплоемкость кристаллических тел меняется в зависимости от температуры так, как показано на рис. 266. Начиная от нуля, теплоемкость растет, при какой-то температуре достигает 6 кал/моль и далее остается неизменной. По оси абсцисс отложено отношение температуры к константе 6, о которой речь в следующем параграфе.
При высоких температурах величина кТ существенно больше расстояния между энергетическими уровнями колебаний и квантовый характер распределения колеблющихся атомов по энергетическим уровням не сказывается на значении средней энергии колебания. При таких условиях элементарный подсчет средней энергии вполне правомочен, и строгое вычисление, учитывающее распределение атомов по энергиям в соответствии с законом Больцмана, полностью его подтверждает.
Когда кТ становится сравнимым с расстоянием между энергетическими уровнями, закон Больцмана теряет свою применимость,
он должен быть заменен квантовым законом распределения (см. стр. 654). Соответствующий подсчет показывает, что теплоемкость должна убывать с уменьшением температуры. Расчета мы приводить не будем, однако обратим внимание на то, что качественно убывание су с температурой вполне понятно. Чем меньше кТ, тем меньше число энергетических переходов, которые способна совершать система, а это значит, что возможности теплообмена с уменьшением кТ падают и в пределе стремятся к нулю. Предельная ситуация может быть объяснена так: подводя к телу энергию ничтожно малыми толчками величины кТ, мы не можем передать энергию этому телу, хотя бы и нанесли ему бесконечное число «толчков» со сколь угодно большой суммарной энергией. Энергию нельзя передать, так как одного «толчка» не хватает для перевода системы с нулевого уровня энергии на ближайший.
Энергетические переходы, соответствующие изменению состояния движения молекул в кристаллах, лежат, как показывает опыт, в области длинных инфракрасных волн. Примем для ориентировочного подсчета, что такие переходы соответствуют длине волны, равной 1 мм.
1 Приведем значения кТ для нескольких температур и сопоставим их с квантами энергии, соответствующими длине волны 1 мм. Для этой длины волны т^З-Ю11 с"1, т. е. /iv=200-10"17 эрг.
При температуре 500 Кпри » 100 Кпри » 10 Кпри » 1 КПри температуре 500 Кпри » 100 Кпри » 10 Кпри » 1 КкТ ^ 7000-10"17 эрг; кТ 1380-Ю'17 эрг; £7^138- 10~17 эрг;кТ ^ 14. 10"17 эрг.кТ ^ 7000-10"17 эрг; кТ 1380-Ю'17 эрг; £7^138- 10~17 эрг;кТ ^ 14. 10"17 эрг.
При температуре 500 Кпри » 100 Кпри » 10 Кпри » 1 К
При температуре 500 Кпри » 100 Кпри » 10 Кпри » 1 К
кТ ^ 7000-10"17 эрг; кТ 1380-Ю'17 эрг; £7^138- 10~17 эрг;
кТ ^ 14. 10"17 эрг.
кТ ^ 7000-10"17 эрг; кТ 1380-Ю'17 эрг; £7^138- 10~17 эрг;
кТ ^ 14. 10"17 эрг.
Мы видим, что еще при 100 К энергия тепловых колебаний значительно превышает расстояние между энергетическими уровнями молекулы в кристалле. При 10 К эти величины уже одного порядка, а при 1 К тепловые колебания не будут в состоянии вызвать переход с одного уровня на другой.
§ 235. Тепловые волны
Интересной особенностью тепловых колебаний в кристалле является то обстоятельство, что они осуществляются в виде тепловых волн. Действительно, колебания атомов не могут происходить независимо. Один отклонившийся от положения равновесия атом тянет за собой следующий.
Поскольку кристалл есть ограниченное тело, то в нем образуются стоячие волны. Как и при любых собственных колебаниях, макси- равна удвоенному размеру тела. Границы кристалла должны быть узлами стоячей волны.
Рис. 267.Рис. 267.В свое время (стр. 119) мы изучали упругие колебания твердых тел, рассматриваемых как сплошная среда. Было показано, что в ограниченном твердом теле возникает множество стоячих волн с различными направлениями и частотами. Картина существенно осложняется при учете атомного строения твердого тела. Теоретическое рассмотрение возможных колебательных движений атомов в монокристалле показывает, что тепловое движение в кристалле
Рис. 267.
Рис. 267.
можно представить как результат наложения 3sN волн, где N — число ячеек, as — число атомов в ячейке. Число возможных волн равно числу степеней свободы системы атомов, образующих кристалл. Откуда же берутся и что представляют собой эти 3sN волн? Ограничимся рассмотрением цепочки атомов, т. е. «одномерного кристалла». На рис. 267 изображена такая цепочка атомов, «ячейка» которой содержит два атома, отмеченных черными и белыми круж-
ками. На рисунке не изображено реальное тепловое движение атомов кристалла, имеющее весьма сложный характер, а показаны «элементарные» волны, на которые можно разложить это движение. Теория показывает, что результирующее колебание всегда можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Так же как и в случае сплошного стержня, в одномерном кристалле возникнет серия волн различной длины. Если цепочка состоит из тысячи ячеек с периодом а, то возникнет N волн длиной 2000 а, 1000 а, (2000/3) а, 500 а, 400 а и т. д. Самая короткая волна имеет длину 2а.
Однако этим не исчерпывается многообразие волн. Каждая из возможных длин волн будет осуществляться в s вариантах. Два типа волн одной и той же длины показаны на рисунке. В одном случае решетка атомов совершает колебание как целое. Такая волна называется акустической. Остальные s — 1 волн совершенно иные: в них атомы разного типа совершают сложное движение друг по отношению к другу, а на синусоиду в каждое мгновение попадают лишь атомы одного типа. Такие колебания называются оптическими, их имеется s — 1.
На рисунке изображены те волны, которым соответствует колебание атомов в каком-то одном направлении.
Колебания атомов можно всегда разложить на два поперечных и одно продольное. Поэтому волна, идущая в данном направлении и имеющая определенную длину, будет иметь 3 волны акустического типа и 3(s— 1) оптические. Из всех 3sN волн акустических будет 3N — две поперечных и одна продольная для каждого направления и каждой длины волны. Сказанное в полной степени справедливо для трехмерного кристалла.
Хотя длины и частоты волн дискретны, можно приближенно воспользоваться рассуждениями, приведенными на стр. 120, и записать число акустических колебаний с частотами меньше v в виде 4ли 3
Здесь о — объем кристалла, ас — скорость волны. Скорости продольной и поперечной волн различны. Поэтому полное число волн, равное 3N, надо писать так:
v3 -ЗА/,макс *
где ct — скорость без труда находим Соответствующая ,где ct — скорость без труда находим Соответствующая ,продольной, a ct — поперечной волны. Отсюда t значение максимальной частоты колебаний vMaKC. длина волны
где ct — скорость без труда находим Соответствующая ,
где ct — скорость без труда находим Соответствующая ,
19*19*X = Cl = умакс умакс по порядку величины равна, как и должно быть, периоду ячейки. Если скорость распространения акустических волн в кристалле известна, то можно вычислить vMaKC, значение которой во многом определяет поведение кристалла.
19*
19*
579
Как уже говорилось выше, поведение теплоемкости зависит от соразмерности энергетической ступеньки /iv и энергии теплового толика кТ. Если ^макс<^^Г, то теплообмен возбуждает любые колебания и волны в кристалле, все квантовые переходы возможны и благодаря этому квантовый характер теплообмена не заметен. Про такой кристалл говорят: его характеристическая температура б^^макД много меньше температуры опыта, О^Г. Напротив, если ^макс^>^7, т. е. характеристическая температура О^Г, то у кристалла возбуждены лишь колебания с малыми частотами; большие энергетические ступеньки не могут быть преодолены тепловыми «толчками».
Примеры характеристических температур (в кельвинах) ряда кристаллов:
РЬ Бензол Ag NaCl Be Ее Алмаз
90 150 215 280 1000 450 1860
Для таких веществ как свинец и бензол комнатная температура является «высокой». Эти кристаллы дают поэтому уже горизонтальный участок кривой теплоемкости (^=6 кал/моль, ср. рис. 266). С другой стороны, для бериллия и алмаза комнатные температуры являются низкими. Тепловые колебания этих веществ возбуждены незначительно и теплоемкость их существенно меньше 6 кал/моль.
Приведенные значения характеристических температур 9 позволяют вычислить значение максимальной частоты колебаний vMaKC= =Шк:
РЬ Бензол Ag NaCl Be Ее Алмаз 1,88-1012 3,13-Ю12 4,47-1012 5,84-1012 20,8-1012 9,3-1012 38,8-1012
Видно, что предельные частоты тепловых колебаний, как это и было предположено в примере на стр. 578, лежат на границе между инфракрасным и радиодиапазонами (^МИн>-10"2 см).
Тепловое расширение
Каким образом объяснить, что среднее расстояние между соседними атомами растет с температурой? Ответ на этот вопрос дает форма кривой потенциальной энергии взаимодействия атомов (молекул) (рис. 268). Каковы бы ни были особенности взаимодействия частиц, потенциальная кривая всегда асимметрична: в сторону уменьшения расстояния она идет круто вверх, в сторону увеличения расстояния у потенциальной ямы должен существовать борт. Такая картина потенциальной энергии отражает простые факты: два атома практически могут быть сближены на ограниченное расстояние. Напротив, отдалению атомов предела нет, при больших расстояниях произойдет разрыв связи между атомами (молекулами).
На потенциальной кривой можно отметить крайние расстояния, до которых будут доходить колеблющиеся атомы. Среднее положение атома гг соответствует середине этого отрезка. При увеличении 580
Рис. 269.Рис. 269.
Рис. 269.
Рис. 269.
температуры от Т\ до Т2 энергия колеблющейся частицы возрастет и частица перейдет на другой энергетический уровень (см. рис. 268). Ввиду того, что потенциальная кривая асимметрична, среднее положение атома г2 сдвинется вправо. Поэтому среднее расстояние между атомами будет не равно равновесному расстоянию между покоящимися атомами (г, соответствующее минимуму потенциальной ямы), а будет больше этого расстояния. При возрастании температуры среднее расстояние между атомами растет. В* этом и заключается причина теплового расширения.
Тепловое расширение кристалла анизотропно. В разных направлениях коэффициент линейного расширения а будет иметь разное значение. Указывая значение а, надо задать кристаллографическое направление, представляющее интерес.
Если имеется необходимость описать тепловое расширение кристалла достаточно детально, то для этого пользуются фигурами расширения. Пример такой
фигуры дан на рис. 269 для кристалла нафталина; а, Ь, с — оси кристалла, А^ Ли и Лш — оси симметрии фигуры расширения.
Длина радиуса-вектора, проведенного из начала координат и заканчивающегося в точке поверхности, дает значение а в данном направлении.
Форма фигуры расширения и ее расположение по отношению к осям ячейки соответствуют симметрии кристалла. Иначе и быть не
может, так как в направлениях, связанных операциями симметрии, физические свойства должны быть тождественными.
При измерении коэффициента линейного расширения нужно обеспечить наибольшую точность определения весьма малых смещений. Приборы для измерения теплового расширения называются дилатометрами (по-гречески — измеритель расширения). Интерференционные методы (см. стр. 323) могут обеспечить наивысшую необходимую чувствительность (сотые доли микрона и лучше), но при практическом их применении возникают трудности из-за очень сложной подготовки образцов, которые должны быть идеально отшлифованы. Интерференционные дилатометры очень чувствительны к вибрациям.
Коэффициенты линейного расширениянекоторых тел
t, °C
а-104, к-»
Алюминий
0—100
0,238
Гипс
12—25
0,025
Кварц, || оси
40
0,0781
Кварц, | к оси
40
0,1419
Лед
— 10—0
0,507
На практике часто используются дифференциальные кварцевые дилатометры. В этих приборах измеряемый образец помещается в цилиндрический держатель из кварцевого стекла, на дне держателя установлена опорная призма. Образец опирается на эту призму нижним торцом, а на верхний поставлен кварцевый стержень, передающий удлинение образца к измерительному концу прибора. Смещение конца стержня измеряется при помощи микроскопа или поворотного зеркала. При нагревании расширяется не только образец, но и держатель, поэтому прибор регистрирует разность коэффициентов расширения образца и кварца. Тепловое расширение кварца хорошо изучено в широком интервале температур, поэтому могут быть введены достаточно точные поправки.
Наиболее точное измерение фигур расширения производится методом рентгеноструктурного анализа — измерением смещений дифракционных пятен.
Дефекты кристалла
Блочная структура. Реальный кристалл существенно отличается от идеальной пространственной решетки. Это следует из множества фактов, в том числе из непосредственных электронно-микроскопических наблюдений. Однако основные представления о дефектности кристалла внутри его объема возникли, прежде всего, из измерений прочности: кристалл разрушается при напряжениях, в сотни раз меньших тех, которые мы ожидали бы для идеального объекта. О деформациях и разрушении кристалла будет речь в гл. 34. Сейчас мы изложим существующие в настоящее время представления о дефектности кристалла.
Основным фактом является следующее положение: монокристалл не представляет собой единой решетки, а состоит из огромного числа мельчайших блоков, слегка (в пределах секунд или минут дуги) дезориентированных друг по отношению к другу. Размеры 582
блоков могут варьировать в достаточно широких пределах. Скорее всего, они лежат в пределах 10"6 — 10-4 см. Вероятно, в кристалле существует некоторое распределение по размерам блоков.Расположение частиц, строящих кристалл, на границе двух блоков представляет большой интерес. Имеются все основания полагать, что весьма близкой к истине моделью может служитьблоков могут варьировать в достаточно широких пределах. Скорее всего, они лежат в пределах 10"6 — 10-4 см. Вероятно, в кристалле существует некоторое распределение по размерам блоков.Расположение частиц, строящих кристалл, на границе двух блоков представляет большой интерес. Имеются все основания полагать, что весьма близкой к истине моделью может служитьповерхность жидкости, покрытая мыльными пузырями.Внимательно изучая картину, показанную на рис. 270, мы увидим, что атомные ряды «переламываются» вблизи центра модели. Кусок «структуры», изображенный на рисунке, пожалуй, можно представить себе в виде четырех блоков с общим углом в центре модели. В центре мы отчетливо видим наличие дефекта — верхние «атомы» попали в неверные места, не вошли в пустоты плотной упаковки. Эта ошибка и привела к разбиению кристалла на блоки.Таких ошибок — мы будем называть их дислокациями — имеется весьма много. Они расположены беспорядочно иповерхность жидкости, покрытая мыльными пузырями.Внимательно изучая картину, показанную на рис. 270, мы увидим, что атомные ряды «переламываются» вблизи центра модели. Кусок «структуры», изображенный на рисунке, пожалуй, можно представить себе в виде четырех блоков с общим углом в центре модели. В центре мы отчетливо видим наличие дефекта — верхние «атомы» попали в неверные места, не вошли в пустоты плотной упаковки. Эта ошибка и привела к разбиению кристалла на блоки.Таких ошибок — мы будем называть их дислокациями — имеется весьма много. Они расположены беспорядочно ивтотададетехй^^Гедвтотададетехй^^ГедРис. 270.могут поворачивать атомный ряд тоРис. 270.могут поворачивать атомный ряд то
блоков могут варьировать в достаточно широких пределах. Скорее всего, они лежат в пределах 10"6 — 10-4 см. Вероятно, в кристалле существует некоторое распределение по размерам блоков.
Расположение частиц, строящих кристалл, на границе двух блоков представляет большой интерес. Имеются все основания полагать, что весьма близкой к истине моделью может служить
блоков могут варьировать в достаточно широких пределах. Скорее всего, они лежат в пределах 10"6 — 10-4 см. Вероятно, в кристалле существует некоторое распределение по размерам блоков.
Расположение частиц, строящих кристалл, на границе двух блоков представляет большой интерес. Имеются все основания полагать, что весьма близкой к истине моделью может служить
поверхность жидкости, покрытая мыльными пузырями.
Внимательно изучая картину, показанную на рис. 270, мы увидим, что атомные ряды «переламываются» вблизи центра модели. Кусок «структуры», изображенный на рисунке, пожалуй, можно представить себе в виде четырех блоков с общим углом в центре модели. В центре мы отчетливо видим наличие дефекта — верхние «атомы» попали в неверные места, не вошли в пустоты плотной упаковки. Эта ошибка и привела к разбиению кристалла на блоки.
Таких ошибок — мы будем называть их дислокациями — имеется весьма много. Они расположены беспорядочно и
поверхность жидкости, покрытая мыльными пузырями.
Внимательно изучая картину, показанную на рис. 270, мы увидим, что атомные ряды «переламываются» вблизи центра модели. Кусок «структуры», изображенный на рисунке, пожалуй, можно представить себе в виде четырех блоков с общим углом в центре модели. В центре мы отчетливо видим наличие дефекта — верхние «атомы» попали в неверные места, не вошли в пустоты плотной упаковки. Эта ошибка и привела к разбиению кристалла на блоки.
Таких ошибок — мы будем называть их дислокациями — имеется весьма много. Они расположены беспорядочно и
втотададетехй^^
Гед
втотададетехй^^
Гед
Рис. 270.
могут поворачивать атомный ряд то
Рис. 270.
могут поворачивать атомный ряд то
вправо, то влево. Поэтому в среднем все кристаллографические направления тянутся через весь монокристалл с большой точностью. Дислокации создают блочную, или, как еще говорят, мозаичную, структуру монокристалла. Разумеется, наличие случайных микротрещин или пустот размерами в несколько атомов также способствует образованию блочной структуры.
Пробегая взглядом вдоль «атомных» рядов модели, мы видим, что причину нарушения порядка можно сформулировать и так: существуют два соседних ряда, число частиц в которых отличается на единицу: в один из рядов «влез» лишний атом.
Дислокации. Рис. 270 дает двумерную модель кристалла. Каждый ряд является как бы проекцией атомного слоя, идущего перпендикулярно к чертежу. Сильно испорченному месту, которое видно на схеме, в трехмерном кристалле будет соответствовать линейная область, перпендикулярная к чертежу. Это место и называется ядром дислокации. Последнее слово в переводе на русский язык означает «смещение». Термин указывает, что дефект произошел из-за «смещения» одной части кристалла по отношению к другой.
Картина дислокаций объясняет не только блочное строение кристалла, но и много других явлений. Поэтому стоит изучить эти своеобразные искажения кристалла подробнее.
Существуют два типа дислокаций: простая дислокация и спиральная. Простая — это та, с которой мы познакомились
кристалл на две части; онокристалл на две части; оной)й)сПсПРис. 271.Рис. 271.
кристалл на две части; оно
кристалл на две части; оно
й)
й)
сП
сП
Рис. 271.
Рис. 271.
на пузырьковой модели. Схематически простая дислокация изображена на рис. 271, а; ее ядро обозначено перевернутой буквой Т. Искажение максимально вблизи плоскости дислокации, разделяющей
быстро рассасывается при отходе от линии дислокации в обе стороны. На этом же рисунке (271, б) показан вид сверху на две атомные плоскости, примыкающие с обеих сторон к границе блоков. Верхняя (сжатая) плоскость, которая показана сплошными линиями, содержит одним рядом больше, чем нижняя (пунктир).
Аналогичные схемы для так называемой спиральной дислокации показаны на рис. 272. Решетка разбита на два блока, один из которых своей частью как бы соскользнул на один период по отношению к соседнему (рис. 272, аУ Наибольшие искажения сосредоточены на оси, показанной на рисунке. Область, примыкающая к этой оси, и называется спиральной дислокацией. Мы лучше поймем, в чем сущность искажения, если рассмотрим схему, изображающую две
соседние атомные плоскости по одну и другую сторону границы блоков (рис. 272, б\ По отношению к трехмерному рисунку это вид
на плоскости справа. Показана ось спиральной дислокации, та же, что и на трехмерном рисунке. Сплошными линиями показана плоскость правого блока, пунктирными — левого блока. Как видно из схемы, спиральная дислокация представляет собой иной тип искаже-
ния, отличный от простого. Лишнего ряда атомов здесь нет. Искажение состоит в том, что вблизи оси дислокации атомные ряды меняют своих ближайших соседей, а именно, изгибаются и подравниваются к соседям, находящимся этажом ниже.
Почему эта дислокация называется спиральной?
Рис. 273.Рис. 273.
Рис. 273.
Рис. 273.
Дело в том, что при обходе оси дислокации, совершаемом вдоль узловых плоскостей решетки, мы, начав с самой нижней плоскости, после каждого оборота будем попадать этажом выше и в конце концов выйдем на верхнюю поверхность кристалла так, как если бы шли по спиральной лестнице. На нашем рисунке подъем снизу происходил против часовой стрелки. Если бы сдвиг блоков был обратным, то обход происходил бы по часовой стрелке.
В одном и том же объекте могут встретиться одна за другой спиральные дислокации одного направления вращения. Если же в одной и той же плоскости лежат две дислокации разного направления вращения, то возникает более сложное искажение.
Дефекты внутри блока. Кристаллическая решетка состоит из блоков, внутри которых также имеются дефекты. В решетке могут быть дефекты в виде пустых мест, а также в виде примесей чужеродных атомов. Пустот и примесей может быть совершенно незначительное количество, а искажения от их присутствия могут быть не малыми.
Рис. 273 передает характер этих искажений. На нем показано влияние чужеродного атома (а), заменившего один из атомов основной решетки, атома, внедрившегося между атомами основной решетки (б), и «пустого» узла решетки (в). Такие влияния могут сказываться на расстояниях в 5—10 периодов решетки во все стороны. Но 10 периодов во все стороны — это уже 1000 ячеек. Поэтому примесь порядка 0,1% может фундаментально изменить свойства кристаллического вещества. Правда, надо оговориться, что влияние примесей не сводится к заметным искажениям решетки. Мы еще остановимся (§ 272) на случае полупроводников, где примеси порядка одного атома на миллиард могут изменить электрические свойства тела.
Ближний порядок. Жидкости
Мы выяснили в начале главы, что очень многие твердые тела представляют собой плотные упаковки шаров. Доля свободного пространства в плотнейших упаковках составляет 26%.
К таким кристаллам относится, например, медь. Расплавим кусок меди. Как представить себе строение расплава? Опыт показывает, что объем вещества возрастает при плавлении примерно на 3%. Это возрастание происходит за счет свободного объема. Он равен теперь уже не 26%, а 29%. Шары получили немного свободного места, они-могут отходить от своих «правильных» положений, расстраивая идеальный порядок, свойственный кристаллу.
В результате теплового движения шары в основном колеблются около своих положений равновесия в окружении тех же соседей."Изредка, когда случайно около шара создается пустота такого же объема, как шар, может произойти смена соседей. Из-за тесноты в расположении частиц в жидкости возникнет специфический так называемый ближний порядок. В модели из шаров к данному шару не может подойти другой на расстояние меньше диаметра шара. Это отклонение от идеального беспорядка есть и в газах, но оно играет малую роль из-за того, что ближайшие молекулы в газе в среднем находятся друг от друга на расстоянии, в 10 раз большем размера молекулы.
Поставим какую-либо молекулу жидкости в центр внимания и построим около нее две концентрические сферы с радиусами, равными одному и трем радиусам кружка, изображающего молекулу. Сколько ближайших соседей имеет в среднем рассматриваемая молекула? Ближайшими соседями называются молекулы, центры которых попадают в ближайшую очерченную нами область. Приведем 586
данные для меди. На один атом расплавленной меди приходится объем всего лишь на 3% больше собственного объема. Расчетом устанавливаем, что на объем ближайшей области приходится в среднем 11,6 атома. Итак, имеется примерно 12 ближайших соседей, центры которых находятся от данного атома на расстоянии его диаметра. Более близких соседей нет.
Очевидно, что ближний порядок скажется не только на ближайших соседях, но и на следующих. Поэтому ближний порядок принято характеризовать средней плотностью радиального распределения атомов.
Выберем атом (для простоты полагаем, что речь идет об одноатомной жидкости) и проведем около него сферы с радиусами г и r+dr. Объем этого шарового слоя будет ^nr^dr. Число центров атомов, попадающих внутрь этого слоя, можно записать, как
U (г)-4лг2 dr.
где U (г) носит название плотности радиального распределения
атомов.
Пример U (г) (кривая для аморфного мышьяка) приведен на рис. 274. Максимумы кривой показывают, что некоторые межатомные расстояния приобретают более значительный «вес», выделяются среди остальных. Происхождение последующих максимумов совершенно такое же, как и первого. Плотность упаковки позволяет
в весьма узких пределах колебаться числу ближайших соседей данного атома, в несколько больших пределах варьирует число соседей, ближайших к ближайшим. По мере удаления от центрального
Рис. 274.Рис. 274.шара беспорядочное расположение выступает все более и более ясно. Кривая U (г) стремится к пределу. Ближний порядок размывается и непрерывно переходит в беспорядок. Значения U (г) удобно нормировать так, чтобы U (г) = 1 при г-^оо. Этот своеобразный порядок в отношении ближних соседей, размывающийся по мере отдаления от рас-
Рис. 274.
Рис. 274.
сматриваемого атома или молекулы, и есть ближний порядок.
Характерный только для кристаллов порядок в расположении частиц называют дальним. Имеется в виду, что трехмерная периодичность, свойственная кристаллу, нс размывается на дальних расстояниях. Атомы, расположенные вдоль узловой прямой, регулярно по
вторяются тысячи и миллионы раз.
Обсуждая строение кристаллов, мы узнали, что далеко не всегда атомы ведут себя, как шарики. Это сказывается и на структуре жидкостей.
В идеальном случае ближний порядок в атомной жидкости должен был бы привести нас к числу ближайших соседей, близкому к двенадцати. Что же дает опыт? Металлы, кристаллические структуры которых представляют собой плотные шаровые упаковки,
сохраняют после плавления такой же ближний порядок: среднее число ближайших соседей очень близко к двенадцати.
Каждый атом лития, натрия и калия в кристалле имеет, как указывалось выше, восемь ближайших соседей. Тот же ближний порядок сохраняется в жидкости; но все же среднее число ближайших атомов становится несколько большим восьми.
Иным образом ведут себя те простые вещества, у которых в кристаллическом состоянии атомы были прочно связаны с малым числом соседей. При плавлении эти связи разрушаются и число ближайших соседей у каждого атома жидкости становится большим, чем в кристалле.
Аморфные тела
Слово «аморфный» означает «лишенный формы». Аморфные твердые тела противопоставляются кристаллам, которые имеют форму правильного многогранника. Однако поликристаллическое тело не имеет правильной формы, хотя и не является аморфным. Каков же тогда основной признак кристаллов и мелкокристаллических тел? Этим признаком, прежде всего, является наличие резко выраженной температурной точки плавления. Если подводить тепло к кристаллическому телу, то температура его будет повышаться до тех пор, пока тело не начнет плавиться. После этого подъем температуры прекратится и весь процесс плавления будет происходить при температуре плавления.
Одним из представителей аморфных твердых тел является обычное стекло. При подогревании стекло размягчается и с увеличением температуры непрерывным образом переходит в жидкое состояние.
Это поведение аморфных тел объясняется особенностями их строения, заставляющими нас причислить эти тела скорее к жидкостям, нежели к твердым телам. Как мы видели, кристаллические тела обладают дальним порядком в расположении частиц. Аморфные тела обладают лишь ближним порядком в расположении частиц и этим не отличаются от жидкостей.
На рис. 275, а изображена схема строения кварца (окись кремния), а на рис. 275, б — схема строения кварцевого стекла. Одно и то же в химическом отношении вещество может быть получено как в кристаллическом, так и в аморфном видах. Сходство и различие этих двух состояний вещества отчетливо видны на рисунке. Мы видим, что аморфное тело — это «испорченный» кристалл. Как в кристаллическом, так и в аморфном телах число и характер окружения ближайшими соседями одинаковы. Возможно, что для групп SiO2 особую энергетическую выгоду представляет пятичленный цикл. Так как симметрия оси пятого порядка не может создать периодическую структуру (стр. 563), то поэтому и возникает аморфное стекло.
Отсутствие дальнего порядка, характерного признака кристаллических тел, является непосредственной причиной отсутствия 588
выраженной точки плавления. В точке плавления совершается такой переход, при котором дальний порядок исчезает и остается лишь ближний порядок в расположении атомов.
В аморфных телах характер расположения атомов при повышении температуры не меняется. Изменяется лишь подвижность атомов, увеличиваются колебания атомов. Сначала очень немногие,
Рис. 275.
потом большее число атомов приобретают возможность выскальзывать из своего окружения, меняя своих соседей. Наконец, число таких перемен в секунду становится таким же большим, как и в воде.
Легкость, с которой данная молекула может менять своих соседей, связана с важным свойством жидкости — ее вязкостью. Чем реже меняются соседи в жидкости, тем более густой, вязкой она является. Естественно, что возрастание температуры, увеличивающее размах колебаний молекулы, приводит к уменьшению вязкости. Вполне понятно также, что при одинаковых температурных условиях более вязкой будет жидкость, молекулы которой обладают сложной формой. Многие жидкости затвердевают раньше, чем вязкость их станет значительной. Большая вязкость клея, меда, жидких смол и масел связана со сложной формой их молекул.
Обмен молекул практически прекращается, когда жидкость твердеет.
Дальний и ближний порядок расположенияатомов в сплавах
При совместной кристаллизации двух или более веществ они могут в некоторых случаях образовать общую кристаллическую решетку. Произойдет или нет образование такого смешанного кристалла — это зависит от соотношения энергии взаимодействия
однородных и разнородных частиц. Если однородные частицы притягиваются сильнее, чем разнородные,® то смешанный кристалл не образуется. .
Примером смешанных кристаллов являются металлические сплавы — вещества, имеющие широкое распространение в различных отраслях промышленности. Структура сплавов поможет отчетливо представить понятия дальнего и ближнего порядка.
В простейшем случае двухатомных сплавов мы можем столкнуться с вполне упорядоченными структурами, в которых можно выделить определенную ячейку и описать вещество как кристалл соединения, имеющего определенную формулу АкВт. Однако такое положение дел не всегда имеет место, и в ряде случаев атомы А беспорядочно замещают атомы В в их решетке или беспорядочно внедряются (если они малы) между атомами В.
Мы остановимся лишь на примере сплава замещения железо — кобальт (рис. 276). Этот сплав имеет простую структуру объемно- центрированной решетки. Каждый атом — все равно, железа или кобальта,— имеет восемь ближайших соседей. В отношении взаимного расположения центров атомов кристалл сплава всегда вполне упорядочен — центры атомов образуют при всех условиях одну и ту же объемноцентрированную решетку. Иначе обстоит дело в отношении распределения атомов железа и кобальта по местам. Условно можно разбить узлы решетки кристалла на вершины и центры кубов. При полном порядке все вершины заняты, скажем, атомами железа, а все центры — атомами кобальта (рис. 276, а). Идеальный дальний порядок такого кристалла может постепенно портиться, если начнут появляться атомы, сидящие в «чужих местах». Однако до тех пор, пока число атомов, находящихся в «своих» местах, отлично от числа атомов, находящихся в «чужих» местах (рис. 276, б), мы имеем право говорить о наличии в кристалле хотя и «испорченного», частичного, но все же дальнего порядка. Дальний порядок исчезает тогда, когда стирается различие между «чужими» и «своими» местами: половина атомов находится в своих, а половина — в чужих местах (рис. 276, в).
• Важным обстоятельством является то, что при нагревании кристалла, построенного вполне упорядоченным образом, порядок постепенно нарушается, т. е. процент атомов, сидящих в «чужих» местах, растет. Существует температура, выше которой дальний порядок, даже «испорченный», т. е. частичный, существовать не может. Эта температура называется лямбда-точкой (название греческой буквы X). Для сплава железо — кобальт Х-точка находится при 770 °C. Переход от порядка к беспорядку означает, что тепловое движение взяло верх над «стремлением» атомов располагаться с сохранением дальнего порядка.
Имеется много общего между процессом стирания различий между «чужими» и «своими» местами и процессом плавления. Оба эти процесса заключаются в исчезновении дальнего порядка. Однако при плавлении исчезает дальний порядок в расположении центров атомов, а при переходе через Х-точку — лишь порядок в расположении атомов различных элементов.
Основной же особенностыЪ строения сплавов типа железо — кобальт является возможность существования частичного дальнего порядка. Такой частичный дальний порядок может существовать только в отношении распределения атомов железа или кобальта, но не в отношении расположения центров атомов.
Так же как и в случае плавления, уничтожение дальнего порядка не означает исчезновения порядка вообще — ближний порядок остается.
Ближний порядок в отношении распределения атомов у кристаллов железо — кобальт заключается в «стремлении» атомов кобальта окружить себя атомами железа (и наоборот). Если взять любой атом и перечислить его восемь ближайших соседей, то окажется, что число атомов другого элемента не будет равно половине общего числа, т. е. четырем. В зависимости от совершенства ближнего порядка атом железа может быть в среднем окружен пятью, шестью или семью атомами кобальта.
Исследования сплава меди с золотом показали, что ближний порядок в нем весьма совершенный и сказывается не только на числе ближайших соседей, но и на числе ближайших к ближайшим и т. д. Если провести ряд сфер около любого атома золота, то окажется, что в первой сфере будут находиться практически лишь одни атомы меди, во второй — лишь одни атомы золота. Далее совершенство ближнего порядка начнет постепенно нарушаться, но будет чувствоваться предпочтение к атомам определенного элемента даже на десятой сфере!
Очень тонкими исследованиями, производимыми при помощи рентгеновских лучей, удалось показать, как происходит «рождение» дальнего порядка в кристаллах сплавов. Опыты на сплавах кобальт — платина показали, что области дальнего порядка растут в беспорядочном кристалле, как зародыши кристалла растут в жидкости. Эти зародышевые области располагаются вполне определенным образом по отношению к осям кристалла.
§241. Жидкие кристаллы
Представителей жидких кристаллов надо искать средн органических и биоорганических веществ. Молекулы веществ, образующих жидкие кристаллы, обладают всегда удлиненной формой. Жидкие кристаллы встречаются среди вирусов; дают их липоиды — вещества, входящие в состав живых тканей.
Вещество, образующее жидкие кристаллы, существует в таком виде в определенном интервале температур. Если нагреть жидкий кристалл, он превратится в обычную жидкость, если охладить — станет кристаллом.
Свое название эти вещества получили по той причине, что они причудливым образом сочетают в себе свойства жидкости и кристалла. Они обладают текучестью и образуют капли. Однако капли эти могут иметь нс шарообразную, а удлиненную форму. Каждая капелька несколько похожа на кусочек желе. Подробное исследование показывает, что расположение молекул в капле обладает порядком, несвойственным обычным жидкостям.
Обнаружены два типа жидких кристаллов. В первом из них расположение молекул обладает ближним порядком, однако все молекулы располагаются параллельно друг другу. Еще более своеобразен порядок расположения молекул в другом типе жидких кристаллов. В них молекулы располагаются слоями. Каждый слой состоит из параллельных молекул, расположенных одна по отношению к другой в ближнем порядке. Сказанное поясняет схема на рис. 277.
Рис. 277.
Жидкие кристаллы образует растворенное в воде мыло. Те качества мыла, которые делают его моющим средством, непосредственно связаны с его способностью образовывать жидкие кристаллы. Молекула мыла имеет палочковую форму (поперечный размер около 4 А, длина 30—40 А). На одном конце молекулы сосредоточен отрицательный электрический заряд. Этот полярный конец тяготеет к молекулам воды.
Мыльный раствор является жидким кристаллом; он состоит из большого числа двойных слоев молекул, отделенных слоями воды рис. 278). В двойных слоях полярные концы молекул обращены наружу — к воде. /Молекулы мыла внутри слоя расположены гесно, но в ближнем порядке. Если в воде немного мыла, то двойные слои мыльных молекул разделены большими слоями воды. Продолжая растворять мыло в воде, мы99Q99
будем создавать все большее число двой-I[TIT
ных слоев. Раствор станет насыщенным,III II
когда толщинао водяного слоя станет равнаIIIII
примерно 20 А. Двойные слои, образую-аАоАА
щие жидкий кристалл, обладают большой °° __
подвижностью. Когда мы моем руки, слои ^Е^^^-з^^т^т-з^
легко скользят один по отношению к другому и вдоль кожи. Полярные концы молекул забирают грязь с рук и отдают ее воде.
Полимерные вещества
Своеобразной структурой обладает большое число органических веществ, построенных из гигантских молекул (состоящих из многих тысяч атомов). К таким веществам
принадлежат пластмассы, капрон, искус-^
ственный шелк. Молекулы этих веществРис. 278.
состоят из повторяющихся вдоль цепи групп
атомов (отсюда и название «полимер»). Часто расположение атомов внутри молекулы обладает дальним порядком.
Высокополимерные вещества с боковыми химическими связями между цепями существенно отличаются по своим свойствам от так называемых линейных полимеров, в которых такие связи отсутствуют. Полимеры с боковыми химическими связями между цепями представляют собой жесткую систему. Атомы расположены довольно рыхло и в расположении атомов нет никакой правильности.
Пластмассы такого сорта идут на изготовление пуговиц, посуды, арматуры и т. д. Для физического исследования значительно больший интерес представляют линейные полимеры, обладающие любопытными свойствами. Хотя до сих пор имеется ряд неясностей, все же основные черты структуры этих веществ можно считать установленными.
При затвердевании расплава или непосредственно в химическом процессе длинные молекулярные цепи располагаются параллельными пучками/ Так как отвердевание (или возникновение) начинается одновременно из огромного числа мест, то образуется множество пачек цепей, которые сталкиваются при росте, обходят друг друга и в конце концов могут принять достаточно причудливые, запутанные формы. Роль пачки в линейном полимере в какой-то
степени аналогична роли кристаллика в поликристаллическом веществе.
Однако отличие пачки от кристаллика весьма существенно. Дело в том, что степень упорядоченности группы параллельных цепей, образующих пачку (этих цепей тысячи или десятки тысяч), может быть самой различной. На рис. 279 показаны три варианта азимутальной упорядоченности: а) кристаллический, в котором оси цепей образуют правильную решетку и азимуты цепей упорядочены;
б) газокристаллический — оси цепей образуют решетку, а азимуты беспорядочны; в) аморфный или жидкостный, в котором решетка (дальний порядок) отсутствует. Следует также учесть, что сдвиги цепей вдоль своей длины друг по отношению к другу также могут быть как беспорядочными, так и упорядоченными. Поскольку пачка цепей обладает большой длиной (в состав цепи могут входить сотни тысяч и миллионы атомов) и может представлять собой ломаное образование, очевидно, что она и при идеальном порядке в расположении цепей не является целиком кристаллической. Кристаллическим может быть только участок пачки, на котором параллельные цепи идут прямолинейно. Это значит, что в случае идеального порядка каждая пачка цепей состоит из последовательности кристаллических областей (кристалликов).
Растяжение линейных полимеров заключается в разворачивании пачек цепей. Подобный механизм удлинения способен объяснить растяжения вплоть до 1000%, встречающиеся у некоторых естественных и искусственных высокополимерных веществ.
К наиболее известным линейным полимерам относятся каучук и политен. Такого же типа структурой обладают высокопо- лимерные вещества, идущие на изготовление искусственного волокна.
§ 242а. Биологические макромолекулы
Молекулы, ответственные за жизнедеятельность организма, являются также линейными молекулами, состоящими из сотен тысяч и миллионов атомов.
В состав ядра клетки входит молекула дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК), являющаяся носителем наследственности. Эти молекулы существуют в виде двойных спиралей. К основной цепи атомов, составляющей костяк спирали, прикрепляются в некотором порядке молекулярные радикалы четырех сортов. Порядок их следования вдоль цепи кодирует генетическую информацию. Цепь содержит порядка 106 радикалов. Число различных перестановок четырех элементов в таком миллионном ряду непредставимо огромно. Понятно, какую богатейшую информацию несет на себе длинная макромолекула и что не только особенности биологического вида, но и все особенности индивидуума могут быть зашифрованы кодом порядка следования радикалов в молекуле ДНК.
При делении клетки двойные спирали расплетаются и, переходя к потомству, передают ему наследственные черты кодом последовательности молекулярных радикалов.
Двойные спирали ДНК могут быть выделены, и структура их может быть исследована. Однако в настоящее время мы умеем определять порядок следования атомов и атомных групп лишь в упорядоченных кристаллических структурах. Молекула ДНК в принципе неупорядочена, и поэтому физическими методами (спектральными и, главным образом, рентгеновскими) удалось лишь установить принципы ее построения. Разработка методов установления последовательности радикалов в ДНК для данного организма, т. е. объективного описания наследственных признаков на молекулярном уровне, дело будущего.
Клетка — основной кирпичик живого — является фабрикой белковых молекул, выполняющих разнообразные жизненные функции. Производство белковых молекул осуществляется, так сказать, под руководством молекулы ДНК. Белковые молекулы строятся из 20 сортов аминокислот. При этом порядок их соединения, строго определенный для белка данного сорта, диктуется молекулой ДНК- Молекула ДНК играет роль линейной совокупности сотен и тысяч матриц, печатающих разные белковые молекулы. Некоторые из них одинаковы для данного биологического вида, другие несут на себе отпечаток особенностей индивидуума.
Молекулы белков могут быть выделены и кристаллизованы. Кристаллы белков, несмотря на то, что их молекулы содержат тысячи атомов, удается изучить методами рентгеноструктурного анализа и установить их структуру. Задача эта исключительно сложна, и не удивительно, что к настоящему времени известна структура лишь шести белков.
Поразительным является сам факт образования кристаллов молекулы такой сложности. Причудливо разветвленное следование
нескольких тысяч атомов полностью тождественно во всех миллиардах молекул, образующих белковый кристалл. Все молекулы расположены в одной-двух ориентациях в узлах регулярной трехмерной решетки.
Замечательным свойством белкового кристалла является то, что молекулы, из которых он построен, соприкасаются друг с другом лишь незначительной частью своей поверхности. Большая же часть межмолекулярного пространства заполнена водой. При осторожном высушивании белкового кристалла он терпит превращения, меняющие взаимное расположение молекул. Большую часть воды можно удалить, сохранив кристалличность белка.
ГЛАВА 33
ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
Диаграмма состояния
Возможно лишь одно газовое состояние и одно жидкое. Что же касается кристаллических состояний (а также жидко-кристаллических и газо-кристаллических), то их может быть несколько.
Газовое и жидкое состояния вещества характеризуются беспорядком в расположении частиц. В газе соотношение между кинетической энергией движения частиц и потенциальной энергией их взаимодействия таково, что силы связи не могут удержать частицы и молекулы разлетаются настолько, насколько это позволяет сосуд, в котором находится вещество. Жидкому состоянию свойственна определенная форма, поскольку силы сцепления делают невозможными независимые свободные пробеги молекулы). При больших давлениях различие между газом и жидкостью пропадает.
Так как нет двух беспорядочных расположений частиц, отличающихся друг от друга принципом построения, то каждое вещество имеет одно жидкое и одно газовое состояние. Кристалл характеризуется определенным взаимным расположением частиц, поэтому для одного и того же вещества в принципе возможно любое число различных кристаллических фаз. И действительно, мы наблюдаем для одного и того же химического соединения, почти как правило, несколько различных кристаллических модификаций (алмаз и графит, белое и серое олово, красная и желтая сера и т. д.).
Каждое вещество находится в том или ином фазовом состоянии в зависимости от внешних условий, а именно, в зависимости от температуры и давления. Вместо того чтобы описывать условия существования фаз данного вещества при помощи таблицы, принято пользоваться для этой цели диаграммой в координатах давление — температура. Эта диаграмма носит название диаграммы состояния.
Три таких диаграммы показаны в качестве примера на рис. 280. Слева вверху изображена диаграмма состояния идеального вещества, имеющего только одну твердую фазу. Поле диаграммы разбито на три области: одна из них указывает условия существования кристалла, другая — жидкого состояния и третья — газовой фазы. Естественно, газовая фаза лежит внизу справа, т. е. при меньших
Рис. 280.
давлениях и больших температурах. Твердая фаза занимает область наименьших температур и наибольших давлений. Такая диаграмма весьма удобна: интересуясь, в каком состоянии находится тело при давлении р и температуре Г, мы строим соответствующую точку на диаграмме состояния и получаем немедленный ответ.
Справа вверху изображены условия существования различных фаз серы. Это вещество обладает двумя кристаллическими модификациями и поле разбивается на четыре участка. Наконец, внизу
Приведена диаграмма состояния воды. Ее трудно в линейном масштабе изобразить на одном чертеже, поэтому мы показываем эту диаграмму с помощью логарифмического масштаба по шкале давлений. Как видим, лед существует не в одной, а в пяти различных модификациях. Они обозначаются цифрами I, II, III, V и VI, так как фаза, названная ранее IV, была указана ошибочно. Малоизвестные фазы льда существуют при более высоких давлениях.
На диаграмме состояния физический смысл имеют не только точки, попадающие в поля диаграммы, но и линии раздела между фазами. При давлении и температуре, соответствующих точкам линий раздела, две граничные фазы существуют совместно. Для воды это будет соответствовать условию, при котором лед плавает в воде и при этом лед не плавится и вода не замерзает. Линии раздела можно назвать кривыми фазового равновесия.
Подчеркнем, что имеются кривые, а не точки фазового равновесия. Это значит, что равновесие двух фаз может быть осуществлено при разных температурах, если соответственно менять давления. Можно то же самое сказать иными словами: температура фазового равновесия является функцией давления или, с таким же успехом, давление фазового равновесия является функцией температуры.
Фазовые превращения
Кривые фазового равновесия можно также назвать кривыми фазового превращения, так как переход одной фазы в другую происходит при пересечении изображающей точки этой кривой.
Кривая, разделяющая твердое тело и жидкость,— это кривая плавления или кристаллизации; кривая, разделяющая жидкость и пар,— это кривая кипения или конденсации. Кривая, разделяющая твердое тело и пар, носит название кривой сублимации или возгонки. Кривые, разграничивающие две твердые фазы, называются просто кривыми превращения.
Процессы изменения состояния также удобно изображать на диаграмме состояния. Большей частью мы имеем дело с превращениями, которые совершаются при постоянной температуре, либо с превращениями, которые происходят при неизменном давлении. Эти процессы изобразятся вертикальными или горизонтальными линиями на диаграммах.
На приведенных выше диаграммах состояния (рис. 280) показано несколько примеров изменений состояния тела, проходящих через фазовые превращения. Линия 2—1 на диаграмме состояния серы представляет собой процесс охлаждения серного газа, который ведется при нормальном давлении. При температуре 444,5 °C серный газ сгущается в жидкость, при температуре 110,2 °C обращается в одну кристаллическую модификацию серы и, наконец, при температуре 95,5 °C — в другую модификацию. На той же диаграмме процесс 3—4 представляет собой сжатие серного газа. И здесь, повышая давление, мы последовательно проходим превращение газа в жид- 598
кость, а затем, выше точки 4, при весьма высоких давлениях, и в твердое тело.
Необходимо обратить внимание на существование единственных условий, при которых могут совместно существовать три фазы. Эти точки называются тройными. У серы три тройные точки: первая, в которой одновременно существует серный газ, жидкость и желтая сера; вторая, в которой одновременно существует газ, жидкость и красная сера, и, наконец, третья тройная точка, в которой жидкость существует в равновесии с обеими кристаллическими фазами.
Можно показать чисто термодинамическими рассуждениями, ч.то существование четверной точки невозможно. Таким образом, не существует условий, при которых, например, две модификации кристалла существовали бы в равновесии со своими жидкостью и паром.
Каждое фазовое превращение характеризуется температурой перехода при данном давлении. Говорят о температуре плавления (кристаллизации), кипения, сублимации и т. д. Если не указывается, о каком давлении идет речь, то обычно имеется в виду нормальное атмосферное давление.
Важной характеристикой превращения является теплота перехода. Хорошо известно существование скрытых теплот кипения и плавления. Однако существование теплоты перехода является общим правилом. Любое превращение, идущее при нагреве, требует тепла. В соответствии со вторым началом термодинамики теплота превращения должна быть однозначно связана с изменением энтропии:
AQ = TAS.
Здесь Т — температура перехода. Отсюда ясно, что любое фазовое превращение, идущее при нагреве, сопровождается возрастанием энтропии.
Температура перехода (плавления, кипения) может быть вычислена по формуле
т1 " AS
как частное от деления скрытой теплоты перехода на прирост энтропии. Однако это утверждение носит чисто теоретический характер — скачок энтропии при фазовом превращении практически невозможно предвычислить. Наоборот, зная из опыта температуру перехода и теплоту перехода, можно точно оценить величину прироста энтропии.
Фазовый переход лед I — лед III происходит при температуре /=—20 °C иод давлением р=2103 атм. Этот переход происходит с выделением тепла; на каждый грамм льда выделяется AQ=5,6 кал. Следовательно, изменение энтропии
Д5=^=^-=0,022 кал/К.
/200
§ 244а. Диаграмма состояния и свойства гелия
Гелий заслуживает отдельного описания по той причине, что только этот элемент обнаруживает два исключения из общих правил. Диаграмма состояния гелия (изотоп 4) показана на рис. 280а. Оказывается, что существуют две твердые фазы. Объемно-центрированная решетка гелия устойчива в очень узкой области температура— давление. В основной области гелий имеет гексагональную
Рис. 280а.Рис. 280а.плотную структуру (см. стр. 571), а при очень высоких давлениях, не показанных на чертеже, приобретает структуру гранецентрированной кубической решетки.
Рис. 280а.
Рис. 280а.
Первая особенность, которая бросается в глаза, это то, что устойчивой фазой при нуле давлений и нуле температуры является жидкая, а не твердая фаза. Вторая особенность состоит в
том, что жидкий гелий может существовать в двух состояниях, между которыми проходит четкая фазовая граница.
Причина этих особенностей гелия заключается в сочетании малой массы атомов с очень слабыми силами взаимодействия. До
статочно сказать, что глубина потенциальной ямы на кривой взаимодействия двух атомов гелия в десять раз меньше, чем у аргона. В ре
зультате оказывается, что нулевая энергия гелия, т. е. кинетическая энергия в наинизшем состоянии настолько велика, что без приложения внешнего давления атом гелия не может находиться (как другие атомы) в потенциальной яме, созданной взаимодействием с соседями, и ограничиться в своем движении одними лишь колебаниями
около положения равновесия.
Самое поразительное свойство гелия II — это открытая П. Л. Капицей в 1938 г. сверхтекучесть, т. е. полное отсутствие вязкости.
Для наблюдения сверхтекучести изготовляется сосуд, в дне которого имеется очень узкая щель — шириной всего лишь в полмикрона. Обычная жидкость почти не просачивается сквозь такую щель; так ведет себя и гелий при температуре выше 2,19 К. Но едва только температура становится ниже 2,19 К, скорость вытекания гелия скачком возрастает по крайней мере в тысячи раз. Через тончайший зазор гелий II вытекает почти мгновенно, т. е. полностью теряет вязкость. Сверхтекучесть гелия приводит к еще более странному явлению. Гелий II способен сам «вылезать» из стакана или пробирки, куда он налит.
На рис. 2806 показана схема проведения этого опыта. Пробирку с гелием II помещают в дьюар над гелиевой ванной. Гелий подни-
мается по стенке пробирки в виде тончайшей, совершенно незаметной пленки и перетекает через край; с донышка пробирки капают капли.
всякой жидкости,всякой жидкости,Благодаря капиллярным силам молекулы смачивающей стенку сосуда, взбираются вверх по этой стенке и образуют на ней тончайшую пленку, ширина которой по порядку величины равна одной миллионной доле сантиметра. Эта пленочка незаметна для глаза, да и вообще ничем себя не проявляет в случае обычной вязкой жидкости.
всякой жидкости,
всякой жидкости,
Картина совершенно меняется, если мы имеем дело с лишенным вязкости гелием. Узкая щель не мешает движению сверхтекучего гелия, а тонкая поверхностная пленка — все равно что узкая щель. Лишенная вязкости
жидкость течет тончайшим слоем. Через край стакана или пробирки поверхностная пленка образует сифон, по которому и переливается гелий.
Понятно, что у обычной жидкости мы не наблюдаем ничего похожего. При нормальной вязкости «пробраться» через сифон ничтожной толщины жидкость практически не может. Такое движение настолько медленно, что перетекание длилось бы миллионы лет.
Итак, гелий II лишен всякой вязкости. Казалось бы, отсюда с железной логикой следует вывод, что твердое тело должно в такой жидкости двигаться без трения. Поместим в жидкий гелий диск на нити и закрутим нить. Предоставив свободу этому несложному приспособлению, мы создадим нечто вроде маятника — нить с диском будет колебаться и периодически закручиваться то в одну, то в другую сторону. Если трения нет, то мы должны ожидать, что диск будет колебаться вечно. Однако через сравнительно короткое время, примерно такое же, как и для обычного нормального гелия I (т. е. гелия при температуре выше 2,19 К), диск останавливается. Вытекая через щель, гелий ведет себя как жидкость без вязкости, а по отношению к движущимся в нем телам — как обычная вязкая жидкость.
Понять поведение жидкого гелия можно только с точки зрения квантовой механики. Попытаемся дать представление о том, как теория, данная Л. Д. Ландау, объясняет поведение жидкого гелия.
Оказывается, каждая частица жидкого гелия участвует одновременно в двух движениях: одно движение сверхтекучее, не связанное с вязкостью, а другое — обычное.
Гелий II ведет себя таким образом, как будто он состоит из смеси двух жидкостей, движущихся совершенно независимо «одна через другую». Одна жидкость нормальна по поведению, т. е. обладает обычной вязкостью, другая является сверхтекучей.
Когда гелий течет через щель или перетекает через край стакана, мы наблюдаем эффект сверхтекучести. А при колебании диска, погруженного в гелий, останавливающее диск трение создается
благодаря тому, что в нормальной части гелия трение диска неизбежно.
Способность участвовать в двух разных движениях порождает и совершенно необычные теплопроводящие свойства гелия. Как уже говорилось, жидкости вообще довольно плохо проводят тепло. Подобно обычным жидкостям ведет себя и гелий I. Когда же происходит превращение в гелий II, теплопроводность его возрастает примерно в миллиард раз. Таким образом, гелий II проводит тепло лучше, чем самые лучшие обычные проводники тепла — такие, как медь и серебро.
Дело в том, что сверхтекучее движение гелия в передаче тепла не участвует. Поэтому, когда в гелии II есть перепад температур, то возникают два течения, идущие в противоположных направлениях, и одно из них — нормальное — несет с собой тепло. Это совершенно не похоже на обычную теплопроводность. В обычной жидкости тепло передается ударами молекул. В гелии II тепло течет вместе с обычной частью гелия, течет, как жидкость. Такой способ передачи тепла и приводит к огромной теплопроводности.
В справедливости сказанного можно убедиться непосредственно на следующем простом по своей идее опыте.
В ванне с жидким гелием находится дьюар, также целиком заполненный гелием. Сосуд сообщается с ванной капиллярным отростком. Гелий внутри дьюара нагревается электрической спиралью, но тепло не переходит к гелию в ванне, так как стенки дьюара не передают тепло.
Напротив капиллярной трубки находится крылышко, подвешенное на тонкой нити. Если тепло течет, как жидкость, то оно должно повернуть крылышко. Именно это и происходит. При этом количество гелия в сосуде не изменяется. Как объяснить это явление? При нагревании возникает поток нормальной части жидкости от нагретого места к холодному и поток сверхтекучей части в обратную - сторону. Количество гелия в каждой точке не меняется, но так как вместе с переносом тепла движется нормальная часть жидкости, то крылышко поворачивается благодаря вязкому трению этой части и остается отклоненным столько времени, сколько продолжается нагрев.
Из того, что сверхтекучее движение не переносит тепла, следует и другой вывод. Выше говорилось о «переползании» гелия через край стакана. Но «вылезает» из стакана сверхтекучая часть, а остается нормальная. Тепло связано только с нормальной частью гелия, оно не сопровождает «вылезающую» сверхтекучую часть. Значит, по мере «вылезания» гелия из сосуда одно и то же тепло будет приходиться на все меньшее количество гелия — остающийся в сосуде гелий должен нагреваться. Это действительно наблюдается при опыте.
Массы гелия, связанные со сверхтекучим и нормальным движением, не одинаковы. Отношение их зависит от температуры. Чем ниже температура, тем больше сверхтекучая часть массы гелия.
При абсолютном нуле весь гелий становится сверхтекучим. По мере повышения температуры все большая часть гелия начинает вести себя нормально, и при температуре 2,19 К весь гелий становится нормальным, приобретает свойства обычной жидкости.
Условия устойчивого состояния фазы
При одних условиях тело — жидкое, при иных — твердое. От чего это зависит? Имеются две тенденции, которые определяют характер состояния при данных внешних условиях. Это, во-первых, стремление тела иметь наименьшую энергию и другое стремление — иметь наибольшую энтропию. Первое стремление является следствием того, что система молекул в отношении энергии ведет себя, как любая система материальных точек, подчиняющаяся законам механики Ньютона, а механическая система, как мы знаем, стремится к минимуму потенциальной энергии. Второе стремление следует из второго начала термодинамики.
При переходе от газа к жидкости и к твердому телу внутренняя энергия уменьшается. Действительно, энергия газа выше, чем энергия жидкости, поскольку для перехода от жидкости к газу надо затратить работу на преодоление сил сцепления между молекулами. Энергия кристалла ниже энергии жидкости по той причине, что упорядоченное расположение взаимодействующих частиц всегда устойчивее беспорядочного расположения. Это можно показать строго, но мы не будем приводить доказательства. Положение кажется в достаточной мере очевидным. Представим себе, например, правильную решетку шариков, связанных пружинками. Любое смещение любого шарика требует некоторой работы. Значит, упорядоченному расположению соответствует минимум энергии.
Обратное поведение имеется у энтропии. Грубо говоря, энтропия тела будет тем больше, чем больше свобода движения у составляющих его частиц. Нарушение порядка влечет за собой увеличение энтропии, отдаление частиц также связано с возрастанием энтропии.
Таким образом, выгодное для данных давления и температуры состояние устанавливается в виде компромисса между энтропией и энергией. Однако это утверждение не может нас удовлетворить. Желательно придать ему количественный характер. Можно сделать это, руководствуясь вторым началом.
Представим себе, что тело помещено в «чужие» условия, т. е. лед в условия существования воды или вода в условия существования пара и т. д. В этом случае начнется необратимое фазовое превращение — плавление, испарение и пр. Оно будет происходить в соответствии со вторым началом термодинамики, а именно: прирост энтропии тела будет больше, чем подводимая к нему приведенная теплота,
dS>^-.
Воспользовавшись первым началом термодинамики, перепишем неравенство в виде
^>^7+^ и dU_TdS + pdv< 0.
Учитывая, что фазовое превращение идет при неизменной температуре, получим:
d(U — TSHpdv<0.
Если процесс идет при неизменном объеме, то переход к равновесному состоянию идет при d^U — TS)<0, т. е. с уменьшением величины F=U — TS. Эта функция носит название свободной энергии. Мы показали, что самопроизвольное фазовое превращение идет с понижением свободной энергии, иначе, что свободная энергия устойчивого состояния должна быть минимальной.
Если процесс идет при постоянном давлении, то переход к равновесной фазе идет при d(U — TS+p^^O» т. е. с уменьшением величины Ф = и — TS+po. Эта функция носит название термодинамического потенциала. Таким образом, при постоянном давлении фазовое превращение идет с уменьшением термодинамического потенциала, а значит, при равновесии термодинамический потенциал будет иметь минимальное значение.
Конкуренция энтропии и внутренней энергии прекрасно видна в этих утверждениях: уменьшение энергии и увеличение энтропии приводят к уменьшению свободной энергии или потенциала. В законах стремления F и Ф к минимуму эти две тенденции получили количественное выражение.
Сформулированное условие равновесия фаз имеет многочисленные приложения. Решим; например, следующий вопрос: от чего зависит крутизна кривой фазового равновесия?
Отметим на кривой две точки при внешних условиях Тг, рх и Т2, р^. Условия равновесия для этих точек имеют вид
Ф1(Л, p^=^ATv pJ и Ф^Л, р2) = ф2(Т2, рА
Индексы у Ф относятся к находящимся в равновесии фазам. Вычитая первое уравнение из второго, получим:
Ф1(Л> Р2)-Ф1(Л, Р^Ф^Т,, Р^-ФЛТг, Pi).
Предположим, что взятые точки близки друг к другу. Тогда с помощью формулы приращения функции двух переменных последнее равенство преобразуется к виду
- MT + ^dp-^dT + ^dp.
Подставляя значения производных функции Ф = и — TS+pv, а именно, дФ/дТ=—S и дФ/др^о, получим:
dp 5;—^ _ AS dT — их — у2 У1~у2 ’
Ho AS=AQ/T, следовательно,
4ё- = -г / ~~л (уравнение Клапейрона — Клаузиуса). al 1 — и2/
Таким образом, наклон кривой ^производная ~~^ определяется скрытой теплотой плавления AQ, температурой фазового перехода Т и разностью объема фаз. Если AQ положительно, то это значит, что индекс 1 относится к высокотемпературной фазе.
Применим уравнение Клапейрона — Клаузиуса к случаю плавления льда. При плавлении из 1,091 см3 льда получается 1 см3 воды. Изменение объема ut—и2= =—0,091 см3 (объем уменьшается). ^Q в этом случае будет теплотой плавления, равной 80 кал/г. Температура Т=273 К. Тогда
dT _ Т.Ди_273.( — 0,091)_ 0 31 К-см3 dp AQ 80 ’ кал
Размерность полученного результата несколько затемняет его смысл. Перейдем от калорий к атмосферам, вспомнив, что 1 кал=42,7 кгс-см^ 42,7атм-см3. Получим
Таким образом, повышение давления на 1 атм понижает точку плавления льда на 0,0075 градуса.
Метастабильные состояния
Некоторые факты остались за пределами приведенного нами термодинамического объяснения явлений фазовых переходов. Действительно, с точки зрения термодинамики при данных р и Т возможно единственное состояние (речь идет о точке поля диаграммы состояния), при котором свободная энергия (или термодинамический потенциал) принимает минимальное значение. Однако рядом могут существовать графит и алмаз, при условиях существования льда можно получить воду (переохлажденная вода). Можно привести еще множество примеров, нарушающих описанные термодинамические закономерности. Дело заключается в том, что наряду с устойчивыми, стабильными при данных внешних условиях состояниями возможно существование так называемых метастабильных состояний.
Метастабильное состояние не обладает минимумом свободной энергии, однако переход из этого состояния в состояние с минимумом энергии затруднен. Степень устойчивости метастабильного равновесия может быть самой разной. Иногда для перехода к «правильному» состоянию нужен легчайший толчок, в других случаях практическая устойчивость метастабильного состояния может быть ничуть не меньше, чем у «правильного» состояния.
Следует отметить, что возможны не всякие задержки фазовых превращений. Так, воду можно переохладить, т. е., скажем, при нормальном давлении иметь воду с температурой ниже 0 °C; воду также можно и перегреть — поднять ее температуру выше 100 °C
без кипения. Можно также получить пар при несвойственных ему условиях, а именно переохладить,— такой пар называется пересыщенным. Всегда возникают задержки превращений в твердой фазе, т. е. кристалл одной модификации задерживается превращением в кристалл второй модификации, хотя находится в условиях стабильности второй модификации.
Выделяется' одно превращение — плавление. Ни при каких условиях не удается задержать плавление; таким образом, не существует кристалла в условиях, при которых стабильна жидкость.
Особенно часто приходится иметь дело с переохлажденными жидкостями. Некоторые жидкости (глицерин) значительно увеличивают свою вязкость при переохлаждении и могут пребывать в аморфном состоянии месяцами и годами. Примером переохлажденной жидкости является и стекло.
Для того чтобы убедиться в наличии метастабильного состояния, надо привести в соприкосновение жидкость и кристалл. Если жидкость переохлаждена, то немедленно начнется кристаллизация. При сильном переохлаждении эффект будет исключительно бурным. Если переохладить воду и бросить в нее снежинку, то с огромной быстротой с разных сторон по воде пробегут ледяные иглы и через несколько мгновений превращение закончится по всему объему.
Особенно интересны задержки превращений кристалл — кристалл. Здесь задержка может быть осуществлена, так сказать, в обе стороны. Желтая сера должна при 95,5 °C превращаться в красную. При быстром нагревании эту точку превращения можно «проскочить» и довести серу до температуры плавления 113 °C. Теперь начнем охлаждать расплав. При 113 °C вырастут кристаллики красной серы. Охлаждение не приводит к превращению не только при 95,5 °C, но и при комнатной температуре мы можем порядочное время располагать красными кристалликами. Однако, хотя и медленно, превращение идет и за сутки закончится — мы обнаружим желтый порошок.
И здесь метастабильность состояния проще всего обнаружить, приводя в соприкосновение кристаллики.
В некоторых случаях мы имеем дело с такими фазами вещества, которым полагалось бы жить совсем при других температурах. Пример — белое олово, которое превращается в серое при понижении температуры при 13 °C. Мы обычно имеем дело с белым оловом и знаем, что зимой с ним ничего не делается. Переохлаждения в 20— 30 • градусов превосходно выдерживаются белым оловом, лишь в условиях суровой зимы белое олово начинает превращаться в серое. (Незнание этого факта погубило экспедицию Скотта на южный полюс. Жидкое топливо, взятое экспедицией, находилось в сосудах, паянных оловом. При больших холодах белое олово превратилось в серый порошок — сосуды распаялись, и топливо вылилось из сосудов.)
Чтобы понять причины задержки превращений, надо подумать над различием превращений жидкость — кристалл и кристалл — 606
кристалл, с одной стороны, и кристалл — жидкость,— с другой. В последнем случае дальний порядок в расположении атомов исчезает, в первых двух создается наново. Исчезновение дальнего порядка не требует больших усилий. Плавление начинается с поверхности; атом за атомом отрывается от своих соседей, выходит из строгого строя.
При кристаллизации ближний порядок переходит в дальний. Процесс начнется с поверхности и должен идти внутрь вещества. Атомы (молекулы) «вынуждены» установить строгий порядок при условии крайней тесноты. Необходимы согласованные движения, чтобы порядок установился. Тем более трудна задача перестройки атомного порядка, требующая, как мы видели, от атомов «организованных» смещений от одних положений к другим.
Превращение в твердом состоянии начинается всегда на границах зерен, блоков, на дислокациях, в пустотах, короче, там, где посвободнее. Если только несколько десятков атомов заняли положение, соответствующее новому порядку, то дальше происходит ориентированный рост зародыша, к которому один за другим начинают переходить атомы от старого, менее удобного порядка или (при кристаллизации) от беспорядка. В этом же направляющем влиянии заключается и действие кристаллика — затравки, который всегда ликвидирует переохлаждение.
Превращения газ ^± жидкость
Испарение состоит в отрыве от поверхности жидкости быстрейших молекул. Отсюда сразу очевидны две закономерности: испарение растет с возрастанием температуры и испарение требует подвода тепла. Если испаряющиеся молекулы все время отводятся от поверхности, то процесс испарения будет продолжаться до полного превращения жидкости в пар.
Рассмотрим испарение, происходящее внутри закрытого сосуда. В этом случае наряду с явлением отрыва молекул от поверхности жидкости возникает и обратный процесс — возвращение молекул пара в жидкость. Процесс испарения будет продолжаться до тех пор, пока не установится подвижное равновесие, характерное для данной температуры. Разумеется, жидкость может испариться полностью, так и не дойдя до равновесия с пэром.
Если равновесие достигнуто, то говорят о насыщенном паре. Давление насыщенного пара в соответствии с кривой фазового равновесия будет функцией температуры. Изменяя температуру, мы будем испарять дополнительное количество жидкости в сосуд или, наоборот, конденсировать некоторое количество пара. При этом будет меняться давление пара.
Вполне понятно, почему плотность и давление насыщенного пара растут с увеличением температуры. При увеличении кинетической энергии движения молекул резко возрастает число молекул, выходящих из жидкости. В то же время число молекул,
возвращающихся в жидкость, почти не зависит от температуры, поскольку для перехода молекулы пара в жидкость энергии не требуется.
Плотности насыщенных паров при одной и той же температуре резко различны для разных веществ. При комнатной температуре плотность насыщенных паров воды равна 13 мм, а плотность насыщенных паров ртути — всего лишь 0,005 мм.
Ясное представление о процессах перехода газа в жидкость
мы получим, рассматривая изотермическое сжатие газа — «верти
кальные» процессы на диаграмме состояния. Чтобы увидеть объемные изменения, которые не отображаются диаграммой состояния, построим дополнительный график, на котором будем откладывать изменение давления в функции объема (рис. 281).
Если сжатие газа происходит при достаточно низкой температуре, то рано или поздно мы дойдем до точки пересечения с кривой фазового равновесия. В этот момент давление увеличится до величины, равной давлению насыщенного пара при температуре опыта. Появятся первые капли жидкости. Пока не закончится превращение пара в жидкость, у сжимающее движение поршня не будет сопровождаться изменением давления, поскольку как в
начале, так и в конце конденсации мы находимся в одной и той же
точке диаграммы состояния. Что же касается кривой на диаграмме давление — объем, то она будет идти горизонтально до конца кон
денсации.
Точки прямолинейного отрезка на этом графике имеют ясный смысл: они характеризуют двухфазную систему вода — пар. При этом каждой точке прямолинейного отрезка соответствует определенное процентное содержание фаз, которое легко найти правилом «рычага». Действительно, обозначим через ух объем жидкости, а у2 — объем пара. Если доля вещества, находящегося в жидком состоянии, есть х, то объем смеси равен
^ = ^ + (1 —х) У2.
Отсюда
У 9 У
Х“у2~у7
что и даст правило «рычага».
После того как конденсация закончилась, кривая идет круто кверху, так как сжимаемости жидкостей весьма невелики.
Увеличим теперь температуру опыта и построим на том же графике следующую изотерму. Она будет почти такой же, однако мы отметим и одно существенное различие: конденсация начнется позже, поскольку при более высокой температуре давление насыщенного пара больше. Кроме того, конденсация и закончится раньше, так как из-за теплового расширения жидкости поршень не дойдет до предыдущего положения.
Повышая и далее температуру опыта, мы построим серию изотерм, у которых будут становиться все короче горизонтальные отрезки двухфазной системы. В конце концов этот отрезок исчезнет вовсе. Уменьшение горизонтального отрезка есть явление сближения удельных объемов жидкости и пара. При некоторой критической температуре эти объемы станут равными и изотерма потеряет горизонтальный участок. На диаграмме давление — объем критическая точка определяется без особого труда как вершина очерченной пунктиром двухфазной области. На диаграмме состояния критическая точка есть место обрыва кривой фазового равновесия жидкость — пар.
Изотермы для более высоких температур будут все меньше напоминать кривые с изломом и приближаться к гиперболам идеального газа.
Факт существования критической точки доказывает сделанное выше утверждение об отсутствии принципиального различия между газом и жидкостью. Мы видим, что возможен непрерывный переход из жидкого состояния в газообразное (в обход критической точки) без какого бы то ни было фазового превращения.
Сжижение газов
Если сжимать вещество, температура которого выше критической, то мы не сумеем получить жидкость. При высоком сжатии удастся получить вещество с весьма высокой плотностью, удастся привести молекулы в соприкосновение. Тем не менее мы не сможем получить жидкость в том обычном смысле, который придается этому слову. Мы не получим жидкости, которую можно налить в стакан, не получим того состояния вещества, которому свойствен объем. Все это является следствием того, что при сжатии не была пересечена кривая фазового равновесия. Отсутствие такого пересечения показывает, что мы не можем получить двухфазной системы жидкость — газ. А это и означает невозможность получения жидкости, занимающей * определенный, а не весь предоставляемый ей объем.
Для того чтобы произвести сжижение газов, нужно вести процесс сжатия при температурах ниже критической точки. Дело обстоит несложно, если такие температуры можно осуществить путем теплообмена с холодными телами. Однако у кислорода, азота, 20 А. И. Китайгородский 609
водорода критические температуры лежат очень низко. Для сжижения этих газов приходится прибегать к охлаждению, достигаемому процессом Джоуля — Томсона, или к адиабатическому охлаждению.
При охлаждении первым способом газ сжимают в компрессоре и пропускают через холодильник. Далее газ поступает в спираль и, вытекая через отверстие, которое играет роль перегородки в опыте Джоуля — Томсона (см. стр. 153), расширяется до атмосферного давления. При этом газ охлаждается, поднимается кверху и охлаждает спираль; таким образом, следующая порция вытекающего газа будет холоднее предыдущей. В конце концов газ превращается в жидкость.
Другой способ сжижения газа заключается в использовании детандера (расширителя). В поршневом детандере газ адиабатически расширяется, совершает работу по подъему поршня и выходит охлажденный из цилиндра. Заставляя первую порцию газа охлаждать последующую, можно довести этим способом температуру до —150 °C. Дальнейшее охлаждение затруднено отсутствием подходящих смазочных средств, позволяющих осуществить движение поршня по стенкам цилиндра с малым трением. Выход из положения был найден П. Л. Капицей, разработавшим холодильную турбину— турбодетандер. Турбина приводится во вращение газом, поступающим из компрессора. Газ адиабатически расширяется, охлаждается и охлаждает следующую порцию газа. Трудности со смазкой избегаются просто по той причине, что подшипники, которые надо смазывать, могут быть вынесены за пределы холодного пространства.
Превращения газ ^ кристалл
Когда говорят «вещество испаряется», то обычно подразумевают, что испаряется жидкость. Испарение твердых тел называют возгонкой. Один из наиболее знакомых примеров испарения твердых тел — это возгонка нафталина.
Всякое пахнущее твердое вещество возгоняется в значительной степени. Запах создается молекулами, оторвавшимися от вещества и достигшими нашего органа обоняния. Болес часты случаи, когда вещество возгоняется в незначительной степени, иногда даже в такой, которая не может быть обнаружена очень тщательными исследованиями. Однако в принципе любое твердое вещество (именно любое, даже железо или медь) испаряется. Если мы не обнаруживаем возгонки, то это значит лишь, что плотность насыщенного пара совершенно незначительна. Последнее обстоятельство кажется весьма естественным: движения атомов и молекул твердого тела очень упорядочены и маловероятны случайности, которые могут оторвать молекулу от поверхности твердого тела.
Плотность насыщенного пара, находящегося в равновесии с твердым телом, растет с увеличением температуры. Можно убедиться в том, что ряд веществ, имеющих острый запах при комнатной тем- 610
пературе, теряет его при низкой температуре. Существенно увеличить плотность насыщенного пара твердого тела в большинстве случаев нельзя по простой причине: вещество раньше расплавится.
Получение кристаллов из паров часто используют как способ приготовления очень чистых кристаллов. Для этой цели заставляют, например, пар осаждаться на слегка охлаждаемое стекло.
Превращения жидкость ^ кристалл
Переход из жидкого состояния в твердое (кристаллизация) обратный переход (плавление) состоят в фундаментальной перестройке частиц. При плавлении исчезает дальний порядок в расположении молекул или атомов.
При данном давлении плавление происходит при строго определенной температуре. Колебания атомов или молекул становятся при этом столь значительными, что поддержание дальнего порядка становится невозможным.
Если задержать подвод тепла при температуре плавления, то жидкость и кристалл могут находиться в состоянии равновесия так же точно, как это имеет место в случае жидкости и насыщенного пара. Кристалл не будет ни расти, ни плавиться.
Внешнее давление меняет температуру плавления. Как правило, температура плавления растет с увеличением давления, т. е. плавление затрудняется. Имеется, однако, небольшое число исключений из этого общего правила. К их числу принадлежит лед. Плавление льда облегчается увеличением давления. Если возвратиться к диаграммам состояния, то нормальное и аномальное поведение тел можно кратко описать так: обычно-^->0, т. е. кривая равновесия идет под острым углом к оси температур. В случае аномалии-^- < 0 и кривая образует тупой угол с осью абсцисс. Странное поведение льда связано с другой его аномалией: в отличие от большинства твердых тел лед легче воды. Связь этих двух »dp
аномалииследует из выведенного выше уравнения: =
=Очевидно, что при таких условиях давление, создаю
щее уплотнение, должно способствовать плавлению. Связь между двумя аномалиями вполне естественна. Представим себе находящиеся в состоянии фазового равновесия жидкость и кристалл. Повысим давление, не меняя температуры. Атомы должны сблизиться. Если твердое тело плотнее, то жидкость перейдет в кристалл. Если плотнее жидкость, то имеет место обратный переход.
Аномалии воды играют огромную роль в нашей жизни. Благодаря ей реки не промерзают до дна. Аномалии льда (и других аномальных в этом отношении тел) связаны в свою очередь с его структурой. Кристаллы льда не подчиняются закону плотной упаковки 20*611
частиц. Поэтому нарушение дальнего порядка приводит не к уменьшению (как обычно), а к увеличению плотности.
Вернемся к рис. 264 (стр. 574). Широкие каналы льда могут, слегка расширившись, вместить молекулу воды. При плавлении льда молекула «проваливается» в этот канал. Конечно, при таких условиях плотность будет возрастать. Ввиду зависимости от очень многих структурных факторов не существует теории, при помощи которой можно было бы предсказывать теплоты или температуры плавления. Проще, конечно, первое, поскольку температура плавления есть частное от деления теплоты плавления на энтропию плавления.
■ Характеристикой сил связи между молекулами или атомами твердого тела является, конечно, теплота возгонки (энергия, необходимая для разрыва межмолекулярных связей), но не теплота плавления (энергия, необходимая для разрушения дальнего порядка).
Как говорилось выше, плавление кристалла происходит без задержки. Напротив, кристаллизация может быть задержана, а иногда и не происходит вообще. Для того чтобы началась кристаллизация в жидкости, должен появиться зародыш — система из
Рис. 282.
десятков атомов или молекул, принявших расположение, имеющее место в кристалле. Далее, в жидкости должны существовать условия, способствующие росту этого зародыша. У большинства жидкостей существенно задержать процесс образования зародышей не удается. Во всяком случае, чтобы добиться этой задержки, необходимо охлаждение в очень осторожных условиях: нельзя допустить попадания в жидкость пылинок, необходимо устранить всякие механические помехи — колебание, дрожание сосуда и пр.
При достаточно больших пересыщениях избежать самопроизвольного образования зародышей, т. е. стабилизации удобных для кристаллизации атомных или молекулярных групп, вероятно, нельзя. Однако может произойти другое. При понижении температуры может столь сильно уменьшиться подвижность частиц, что скорость роста кристаллических зародышей станет практически равной нулю. В этом случае и возникают стекла. Рост кристаллов будет происходить всегда, если в жидкости, находящейся в условиях термодинамического равновесия с кристаллом, находятся небольшие кристаллики (затравки). При помощи затравок выращивают кристаллы для промышленных целей.
Если отвод тепла происходит весьма медленно (доли градуса в сутки) и если затравка вращается в жидкости, то кристалл растет по небольшому числу своих возможных граней. Растут, естественно, тс грани, которые обладают наименьшей поверхностной энергией. Это всегда грани, индексы которых выражаются простыми числами. Весьма часто образуются грани, поверхностная плотность заполнения которых атомами или молекулами — наибольшая. Какие именно грани кристалла будут расти — решить заранее трудно, тем более, что это зависит от многих побочных обстоятельств (кроме того,
Рис. 283.
мы не обсуждаем роста кристаллов из растворов, обладающего некоторыми особенностями). Однако можно утверждать, что кристалл, находящийся в равновесии с расплавом (также и раствором), должен принять такую форму, чтобы поверхностная энергия его была минимальна.
Механизм роста кристалла заключается в подходе каждой следующей частицы к тому месту кристалла, где силы сцепления будут
наибольшими и, следовательно, потенциальная энергия — наименьшая. На рис. 282 показаны три возможности подхода атома к строящемуся кристаллу. В положении А действующие на атом притягивающие силы больше, чем в положении Б, а в Б — больше, чем в В. Поэтому молекулы или атомы будут всегда с большей легкостью застраивать уже начавшую строиться плоскость, нежели начинать строить новую.
Подсчеты показывают, что в некоторых случаях начало постройки новой плоскости связано с преодолением столь значительных трудностей, которые делают непонятным сам факт роста кристалла. В этом случае на первый план выходит спиральный механизм роста. Как это очевидно из схемы, показанной выше на рис. 272, спиральный рост продолжается сколь угодно долго и новые атомы и молекулы все время поступают в энергетически выгодные места. Таким образом, не приходится начинать застройку нового слоя. Начало спиральному росту дает ошибочное построение, называемое спиральной дислокацией. Возникновение такой «ошибки» может произойти скорее всего благодаря мельчайшему постороннему включению. Участок поверхности кристалла, выросший спиральным путем, показан на рис. 283.
Превращения кристалл 7-* кристалл
Превращение в твердой фазе — это переход одного дальнего порядка в другой, также дальний порядок. Большой интерес представляет изучение механизма подобных превращений.
Наиболее проста картина превращения друг в друга твердых фаз простых веществ, если структура обеих фаз принадлежит к числу плотных шаровых упаковок. Так, кобальт и таллий встречаются как в виде кубической упаковки, так и в виде гексагональной упаковки. Перемещая слой, можно перевести слой из «гексагонального» положения в «кубическое» и обратно.
При превращениях этого типа из одного кристалла кубической фазы удалось даже вырастить одиночный кристалл гексагональной фазы. Обычно это не удается: рост кристаллов новой фазы начинается одновременно из многих центров; монокристалл превращается в мелкокристаллическое вещество. Чаще кристалл рассыпается при превращении. Иногда внешняя «оболочка» сохраняется и мелкокристаллическое вещество занимает строго правильный симметричный объем многогранника, свойственного бывшему монокристаллу.
Причина трудности понятна. Кристаллы новой фазы могут начать расти из разных мест. Но ведь плотнейших слоев в кубической гранецентрированной упаковке можно провести четыре системы. Вернемся к рис. 261 (стр. 572); в показанном на рисунке кристалле плотнейшие плоскости перпендикулярны к пространственным диагоналям, а их всего четыре (у куба восемь вершин). Если так, то из кристалла с кубической упаковкой могут вырасти 514
гексагональные кристаллы с четырьмя разными ориентировками.
Начало изучению перестройки атомов при фазовых превращениях было положено работой Г. В. Курдюмова, посвященной превращениям железа и стали. При высоких температурах железо существует в виде плотной кубической упаковки атомов. При низких температурах атомы железа располагаются в объемно-центрированной решетке. Это превращение (его называют «мартенситным»)
Рис. 284.
имеет огромное значение для металлургии ) и заслуживает поэтому подробного рассмотрения.
Что же происходит при увеличении температуры? Ответ на этот вопрос дают схемы, показанные на рис. 284. Слева изображена еще раз плотная кубическая упаковка, а справа — объемно-центрированная упаковка, изображенная в несколько необычном виде, а именно, показана проекция расположения атомов, какой она нам представится, если смотреть вдоль диагонали грани куба. Между этими рисунками, казалось бы, мало общего. Левая постройка — трехэтажная, правая — двухэтажная (треугольнички — второй этаж); это — главное различие. Другое менее существенное различие — это разница в углах ромбоц (мы не показываем ее на чертеже). По мере нагревания колебания атомов возрастают и менее плотная объемноцентрированная упаковка при температуре 906 °C становится невыгодной. Двухэтажная постройка переходит в трехэтажную попеременным сдвигом слоев, отмеченных треугольничками. Скажем, нечетные слои сдвигаются влево, а четные вправо. Этот сдвиг происходит вдоль диагонали ромба, одновременно меняется угол ромба.
При фазовом превращении железа кристаллики новой фазы могут быть ориентированы в 24 различных направлениях. Число 24
получается следующим образом. В кубическом гранецентрированном кристалле имеется четыре плотнейших плоскости, а кристалл новой фазы, как можно без труда показать, растет на плотнейшем слое в шести разных ориентировках.
Нет сомнения в том, что в переходе порядка в другой порядок упорядоченные, закономерные процессы играют важную роль. При такой перестройке порядка атомам не приходится обмениваться местами, происходит лишь некоторое организованное перемещение атомов. Таково мартенситное превращение, носящее бездиффузи- онный характер. Однако в других превращениях в твердом теле большую роль могут играть явления диффузии.
Диффузия в твердых телах
Диффузия чужеродных атомов в твердое тело уже давно известна техникам. Поверхностный слой стали можно насытить углеродом (цементация), азотом, бором. Диффузия происходит на большую глубину и проследить ее не представляет особого труда. При температуре 200—300 °C серебро в заметных количествах проникает в свинец на глубину в несколько сантиметров за один час.
Однако в кристалле могут перемещаться не только чужеродные атомы. Атом железа может перемещаться по кристаллу железа, медь перемещается в меди. Если к обычной меди прижать кусок радиоактивной меди, то через короткий срок обнаружится, что обычная медь «заразилась» радиоактивностью. Метод меченых атомов позволяет изучать диффузию «своих» атомов с таким же успехом, как и диффузию «чужих».
Диффузия возможна благодаря тепловым колебаниям. В момент, когда один атом отошел от своего положения равновесия, сосед проходит на его место. Возвращающийся обратно атом занимает освободившееся место. Так атомы обмениваются местами. Конечно, такой обмен произвести нелегко, если в нем примут участие лишь два атома. В диффузии атомов в твердом теле — в обмене двух атомов местами — принимает участие целая группа атомов. Атом проскальзывает вперед лишь тогда, когда тепловые колебания многих атомов случайно создадут для этого благоприятную обстановку.
Несомненно, очень большую роль в явлении диффузии играют всякого рода дислокации, пустоты и трещины, всегда имеющиеся в кристалле. Наличие пустого места поможет атому шаг за шагом двигаться по решетке «отодвигая» в пустоту атом, мешающий продвижению.
Если чужеродный атом имеет небольшой размер, то он может перемещаться по решетке и без обмена местом. Дождавшись благоприятных условий, такой атом может проскользнуть из одной пустоты плотной шаровой упаковки в соседнюю.
Диффузия является встречным эффектом. Если мы прижали цинковую пластинку к медной, то атомы цинка будут проникать в 616
медь, а атомы меди — в цинк. Правда, скорость этих встречных потоков может сильно различаться.
Диффузия атомов через кристалл зависит от очень многих причин. Интересен следующий факт: быстрее всего идет процесс диффузии, когда «чужой» атом во всех отношениях не похож на атомы кристалла, по которому он движется. Наиболее медленно идет диффузия атомов в «своем» кристалле, а также в кристалле, который состоит из атомов того же столбца периодической системы Менделеева.
Как мы уже говорили, наличие трещин и искажений облегчает диффузию. Поэтому вполне понятно, что в деформированном металле диффузия проходит более быстро.
Скорость диффузии исключительно резко зависит от температуры. Это и понятно, так как коэффициент диффузии (напоминаем, что это коэффициент пропорциональности между потоком вещества и градиентом концентрации) всегда может быть представлен выражением типа
Ае-и^кТ,
где U — высота потенциального барьера, который приходится преодолевать атому в элементарном диффузионном акте. Необходимость такого соотношения довольно очевидна, поскольку коэффициент диффузии должен быть пропорционален числу атомов, энергия которых достаточна для того, чтобы перешагнуть через потенциальный барьер.
Высоты этих барьеров достаточно велики. Для случая самодиф- фузии они лежат обычно около 1—2 эВ. Напомним, что кТ при комнатной температуре равно ^0,03 эВ. Число атомов с энергиями, столь превышающими среднюю, будет ничтожно; диффузия практически отсутствует. Иная картина будет при температуре порядка 1Q00 °C.
В предыдущем параграфе мы обсуждали превращения кристалл— кристалл, происходящие организованно, без явления диффузии. Не следует, конечно, думать, что все фазовые переходы совершаются таким способом. Напротив, при достаточно высокой температуре явления обмена местами начнут играть весьма важную роль и организованный характер переходов будет осуществляться на малых участках, а может быть и вовсе будет затемнен явлениями обмена атомов местами.
Если превращение в твердом состоянии носит диффузионный характер, то оно идет со скоростью того же порядка, что и процессы самодиффузии. Высоты потенциальных барьеров, преодолеваемые атомами при перестройке, того же порядка, что и при явлениях самодиффузии.
Что же касается организованных перемещений атомов типа мартенситного превращения, то здесь при малых температурах превращение имеет десятикратный перевес в скорости по сравнению с процессами диффузионного характера.
ГЛАВА 34
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ
Упругие свойства
У любого твердого тела существует предельное напряжение, вплоть до которого это тело испытывает только упругие деформации. Это значит, что после снятия напряжения, меньшего предела упругости, тело возвращается в исходное состояние.
Упругие деформации, как и вообще любые деформации, связаны с перемещениями атомов (молекул). Если тело упруго растягивается, то межатомные расстояния возрастают; при сжатии атомы сближаются.
Особенностью упругой деформации является то, что она нс нарушает межатомных связей и не создает новых.
При упругой деформации кристалла все атомы сохраняют своих соседей. Например, при упругом сдвиге скашивается вся решетка кристалла как целое. При этом каждый атом не меняет своего окружения. Это обстоятельство и обеспечивает возвращение в равновесное состояние после снятия внешней силы.
Изменение межатомных расстояний, которого можно достигнуть при упругом растяжении (сжатии), очень невелико. Предельное относительные удлинения упругого характера, как правило, не превосходят 0,001. Это значит, что при межатомных расстояниях порядка 2 А удается сдвинуть положения равновесия атомов на величину не более 0,002 А. Такие изменения периода решетки хотя и невелики, но могут быть обнаружены методами рентгеновского анализа по сдвигу дифракционных линий на рентгенограммах. Для обнаружения эффекта прибегают к съемке линий с большими углами О', так как (см. стр. 356) только при таком условии могут быть обнаружены малые изменения в межплоскостных расстояниях.
Совсем иной характер носит упругая деформация полимеров, в том числе каучука и резины. Механические свойства каучука коренным образом отличаются от свойств кристаллических веществ. Основное различие лежит в величине упругого удлинения. Каучуки некоторых сортов могут быть растянуты в 10—15 раз без перехода предела упругости. Различие более чем в 10 000 раз по сравнению с металлом говорит само за себя. Не менее разительной является величина модуля упругости у каучука. Если стальная проволока сечением 1 мм121 растягивается под действием груза в 1 кГс на одну двадцатитысячную долю длины, то каучуковая нить такого же сечения растянется в два раза.
При растяжении полимеров происходят два процесса. Во-первых, спутанные пачки молекул разворачиваются. Одновременно с этим происходит аккуратная упаковка некоторых участков развернувшихся пачек цепей в трехмерном порядке. Сам факт кристаллизации при растяжении играет, видимо, второстепенную роль, так €18
как при устранении внешнего воздействия новые упорядоченные области не закрепляются, а исчезают и пачки молекул сворачиваются.
Процесс свертывания пачек молекул — явление, идущее с возрастанием энтропии (увеличивается степень беспорядка). Оказывается, что внутренняя энергия при упругой деформации каучука и ему подобных полимеров практически не меняется. Поэтому работа растяжения, равная, согласно основным законам термодинамики, dA=dU — TdS, в этом случае равна просто — TdS, т. е. прямо пропорциональна температуре. (Напоминаем, что работу внешних сил над системой мы считаем отрицательной.) В этом отношении упругая деформация каучука имеет ту же природу, что изотермическое сжатие газа (ср. стр. 155).
Что же касается общности между упругими деформациями кристалла и каучука, то оба процесса не приводят тело в новый минимум потенциальной энергии. В случае кристалла этого нс происходит по той причине, что мы не выходим из той же потенциальной ямы, а в случае каучука — потому, что мы вообще нс меняем энергии.
Пластические свойства
Скольжение. Упругая деформация кристалла заключается в изменении межатомных расстояний при сохранении каждым атомом своих соседей. Напротив, пластическая деформация, не исчезающая после снятия внешнего воздействия, протекает путем таких процессов, при которых атомы, преодолевая потенциальный барьер, переходят в другие «потенциальные ямы», т. е. меняют своих соседей. Основным механизмом пластической деформации является скольжение одной атомной плоскости по другой. Элементом такого скольжения является перемещение всех атомов на один период. Такое скольжение обнаруживается невооруженным глазом в виде так называемых полос скольжения. Скольжение происходит по наиболее слабым местам (там, где были трещины или иные дефекты) и кристалл разбивается на слои, называемые пачками скольжения. Толщины пачек случайны, по порядку величины они близки к десятым долям микрона. Сдвиг атомных плоскостей с разными индексами требует различной силы. Обычно легче всего сдвиг происходит по плоскостям, наиболее плотно заполненным атомами. Однако индексы плоскостей скольжения могут измениться от температуры, примесей, а также и в процессе самой деформации. У алюминия плоскостью скольжения является плоскость (111).
Скольжение происходит в данной плоскости и в данном направлении. Обычно это направление наиболее густо усажено атомами (например, [101] во всесторонне центрированной кубической решетке) .
Начало сдвига требует некоторого минимального напряжения; его называют критическим скалывающим напряжением. Это очень
маленькая величина, доходящая в ряде случаев до нескольких граммов на квадратный миллиметр. Разумеется, измеряя критическое напряжение, надо учесть, как ориентирована плоскость скольжения по отношению к внешней силе.
Упрочнение. Монокристалл цинка можно без труда согнуть пальцами. Однако разогнуть его обратно таким же способом нс удастся. Произошло упрочнение.
По мере деформации сопротивление сдвигу растет. Поэтому пластические сдвиги в данной полосе скольжения нс заканчиваются разрывом материала, а, напротив, прекращаются, когда упрочнение достаточно, чтобы противостоять внешней силе, и перекидываются на другие плоскости. Таким образом, число полос скольжения растет и, естественно, толщина пачек скольжения падает.
Если кристалл, подвергавшийся пластическому деформированию, подвергнуть заново воздействию, то пластическая деформация начнется, конечно, с того значения силы, на котором она прекратилась из-за упрочнения в первом опыте. Можно сказать поэтому, что упрочнение повышает предел упругости, и притом во много раз.
В чем причина упрочнения? Одна из точек зрения связывает упрочнение с нарушением правильности (искажением) кристаллической решетки. С этой точки зрения вполне естественно, что упрочнение растет с увеличением скорости деформации и падает с ростом температуры.
Иначе рисуется картина с точки зрения теории дислокаций, о которой мы говорили выше.
Пластическая деформация как перемещение дислокаций. Рассмотрим детальнее процесс сдвига одной атомной плоскости по другой. Если в полосе скольжения дислокаций нет, то придется перекатить друг через друга все ряды атомов, расположенные в плоскости сдвига. Совершенно иначе обстоит дело при действии силы сдвига на кристалл с дислокациями.
На рис. 285 показана плотная упаковка шаров (показаны только крайние шары атомных рядов), содержащая простую дислокацию. Для простоты положим, что область дислокации захватывает минимальное число рядов. Тогда можно сказать, что наличие дислокации
сводится к тому, что между двумя рядами верхней (растянутой) плоскости, примыкающей к границе раздела блоков, имеется линейная пустота. Что же касается нижней (сжатой) плоскости, примыкающей к границе раздела блоков с другой стороны, то в ней имеется лишний ряд атомов. Внедрение этого лишнего ряда приводит к тому, что два ряда атомов, находящихся как раз над линейной пустотой, чрезмерно сжаты. Начнем теперь сдвигать вправо верхний блок по отношению к нижнему. В какой-то исходный момент «трещина» была между рядами 2 и 3; сжатыми были ряды 2' и 3'. Как только подействует сила, ряд 2 сдвинется в «трещину», шар 3' восстановит форму, а Г сожмется. Вся дислокация передвинулась влево, и ее движение будет таким же образом продолжаться до тех пор, пока дислокация не «выйдет» из кристалла. Иными словами, сдвиг состоит в перемещении линии дислокации вдоль плоскости сдвига. Нс приходится доказывать, что для такого сдвига требуются много меньшие силы. .
Произведенные расчеты показали, что прочность кристалла в предположении сдвига без наличий дислокаций в сто раз больше значения прочности, наблюдаемой на опыте. Наличие незначительного числа дислокаций способно уменьшить прочность в значительное число раз.
Как это ясно из рисунка, приложенная сила «выгоняет» дислокацию из кристалла. Значит, по мере увеличения степени деформации кристалл должен становиться все прочнее, и, наконец, когда последняя из дислокаций будет удалена, кристалл должен стать примерно в сто раз прочнее, чем идеально правильный кристалл. Таким способом непринужденно объясняется упрочнение. Правда, для получения количественного согласия теории с опытом приходится допустить, что сдвиг кристалла может происходить с помощью нс только простых, но и спиральных дислокаций.
Хорошим подтверждением теории является возможность выращивания в идеальных условиях бездефектных кристаллов с прочностью, близкой к теоретической для идеального кристалла.
Предел прочности .
Линейное возрастание деформации с увеличением напряжения имеет место вплоть до некоторого предела (предел упругости). Далее начинается пластическая деформация и из-за упрочнения кривая идет кверху более круто. Наконец, наступает разрыв.
Предел прочности является до некоторой степени условной константой материала. Дело в том, что для характеристики деформации тела надо указывать нс только величину силы, но и время ее действия. При больших временах действия предел прочности падает. Цифры, приводимые в общетехнических справочниках, относятся обычно к быстрым испытаниям. Зависимость предела прочности от времени испытания говорит о том, что в медленных процессах поведение твердого тела зависит от протекающих внутри него
диффузионных процессов. Можно предполагать, например, что действие даже малых сил способно создать преимущественное направление для процессов обмена атомов местами.
Предел прочности идеальных кристаллов, рассчитанный теоретически, в несколько сотен раз превосходит наблюдаемые на опыте величины. Таким образом, роль дефектов кристалла является основной. У монокристалла каменной соли теоретическое значение сопротивления на разрыв равно 200 кГс/мм2. В обычных условиях стержни разрываются при нагрузке 0,5 кГс/мм2.
Роль трещин была доказана известными опытами А. Ф. Иоффе, который исследовал разрыв стержней каменной соли в воде. Вода растворяет стержень с поверхности и «залечивает» образующиеся при растяжении микротрещины. В результате сопротивление на разрыв каменной соли становится большим 100 кГс/мм2, т. е. подходит к теоретическому значению.
Роль дефектов сводится к уменьшению фактической поверхности разрыва. В конечном счете сила, действовавшая в момент разрыва, определяется числом разорванных межатомных связей.
Оцененная таким образом прочность различных материалов будет колебаться в небольших пределах, и окажется, что разрыв текстильной или каучуковой нити должен иметь место при напряжениях того же порядка, что и у стальной проволоки.
Механические свойства поликристаллического материала
В начальной, упругой стадии деформации зерна кристаллического вещества деформируются по-разному, так как они различно ориентированы по отношению к линии действия силы. В силу этого упругие свойства поликристаллического вещества будут иными.
Однако еще более значительно может отличаться поведение поликристаллического материала от поведения монокристалла того же вещества в пластической области. Поликристаллический материал оказывает большее сопротивление внешней силе. Это и понятно, так как развитие пластических сдвигов в одном зерне будет тормозиться соседними зернами, в которых плоскости скольжения ориентированы совсем иначе по отношению к действующей силе.
Кроме того, в поликристаллическом материале возникает совершенно специфическое явление: поворот зерен и образование текстуры. Поворот зерен при волочении, прокате и других деформациях определяется тенденцией каждого зерна установиться так, чтобы скольжение было облегчено. Для этого зерну надо повернуться так, чтобы плоскость скольжения стала параллельно действующей силе. Если плоскостей скольжения несколько, то зерно установится так, чтобы действие этих плоскостей скольжения было максимальным. Например, у большинства металлов, имеющих кубическую 622
всесторонне центрированную ячейку, зерна стремятся расположиться так, чтобы направления [111] совпали с осью волочения.
Еще одно новое явление заключается в скольжении зерен друг по отношению к другу вдоль межкристаллической прослойки. Такое перемещение отличается от кристаллического сдвига и скорее напоминает вязкое течение в густых жидкостях.
Разрыв поликристаллического материала может произойти при иных напряжениях, нежели разрыв соответствующего монокристалла. В некоторых случаях материал разрывается так, что зерна остаются целыми. Это происходит в случае слабых механических свойств у межкристаллической прослойки. Можно считать общим правилом увеличение прочности материала с уменьшением величины зерна.
Влияние поверхностно-активных веществ на деформацию
Всякое твердое тело содержит в себе множество дефектов структуры ультрамикроскопических размеров, возникающих как в результате тепловой подвижности атомов, так и из-за наличия посторонних примесей и механических повреждений. Эти дефекты распределены по всему объему твердого тела, и многие из них могут рассматриваться как зародышевые микротрещинки исчезающе малых размеров. Основным свойством таких зародышевых микротрещинок является способность к развитию в процессе деформации твердого тела.
Под воздействием внешних сил размеры микротрещинок увеличиваются, у их краев возникает концентрация напряжений, что в свою очередь облегчает дальнейшее развитие микротрещин. У хрупкого тела такое развитие микротрещин в процессе деформации приводит к преждевременному его разрушению, а у тела пластичного, каким обычно является металл, приводит к образованию пластических сдвигов. В объемно-напряженном состоянии тела эти микрощели имеют клиновидное сечение и характеризуются раскрытыми участками поверхности —устьями и тупиками, в которых щель сохраняет зародышевый характер. Реальные щели заканчиваются в тупиках как бы острым лезвием с весьма большой кривизной, с радиусом кривизны порядка постоянной решетки. При снятии деформирующих усилий (в области упругих деформаций) все микрощели постепенно «залечиваются», т е. обратимо смыкаются от тупика к устью.
П. А. Ребиндер показал, что влияние окружающей среды на механические свойства твердых тел не исчерпывается химическим действием типа коррозии или растворения. Любая свободная поверхность твердого тела всегда покрыта тончайшей пленкой какого- либо вещества, содержащегося в окружающей среде и обладающего наибольшим сродством к данному твердому телу. Такими веществами могут быть различные газы или пары воды, обычно находящиеся в воздухе, а также специально вводимые в окружающую
среду вещества. Молекулы веществ, покрывающих поверхность твердого тела, или, как говорят, адсорбированных твердым телом, обладают способностью двигаться по этой поверхности и перемещаются из мест, где их избыток, в места, где их недостаточно для полного покрытия поверхности. Стремление адсорбированного слоя занять всю доступную ему поверхность твердого тела объясняется тем, что в результате адсорбции происходит понижение поверхностной энергии тела. Вещества, которые могут адсорбироваться на поверхности твердого тела, называются поверхностно-активными. Для металлов сильными поверхностно-активными веществами являются различные органические спирты и кислоты, а также соли этих кислот, т. е. мыла.
Адсорбция поверхностно-активных веществ вызывает понижение прочности твердого тела. Если разрушать твердое тело в среде, содержащей даже очень малые количества поверхностно-активных веществ (например, в растворе олеиновой кислоты в чистом вазелиновом масле), то усилия, необходимые для разрушения, снижаются. Особенно наглядно это проявляется при дроблении хрупких горных пород, а также при длительных или переменных воздействиях на металлы.
Воздействие адсорбированных молекул на прочность твердого тела объясняется следующим образом. Адсорбированные на внешней поверхности тела молекулы проникают внутрь микрощелей вследствие своей подвижности и стремления занять всю доступную им свободную поверхность адсорбента. Движущей силой при втягивании в микрощели адсорбированных слоев является вызываемое таким проникновением понижение поверхностной энергии твердого тела. Если на пути адсорбционного слоя, стремящегося занять еще не занятую поверхность твердого тела, поставить препятствие, то на него адсорбционный слой будет оказывать давление. Внутри микрощелей таким препятствием является собственный размер молекул, не позволяющий им проникнуть далее в глубь микрощели. Следовательно, в том месте, где создается граница адсорбированного слоя внутри микрощели, возникает давление, направленное в сторону дальнейшего развития щели в глубь твердого тела. Адсорбированные слои ведут себя как клинья, загоняемые в микротрещинки. Таким образом, проникновение адсорбирующихся молекул в устья микрощелей создает дополнительные раздвигающие усилия, что эквивалентно некоторому увеличению внешних деформирующих сил. Поэтому и разрушение твердого тела в присутствии адсорбирующихся веществ происходит при меньших напряжениях.
Разрушение материалов под действием потока частиц
Эта проблема приобрела большое значение в связи с конструкцией ядерных реакторов. Материалы, из которых сделан реактор, само ядерное горючее, замедлители, стены, приборы и пр. подвергаются действию нейтронов, осколков деления ядер, электронов 624
и т. д. Рассмотрим те действия потоков частиц, которые будут носить остаточный характер.
Это, прежде всего, встречи частиц, в результате которых со своего места выбрасывается тот электрон, который осуществлял химическую связь между атомами. В этом случае ионизация приводит к разрыву связи. Эта связь не обязательно восстановится. Напротив, образовавшиеся ионы или радикалы могут соединиться иначе. Поэтому в молекулярных веществах ионизация под действием радиационного излучения приводит к разрушению одних и созданию других молекул.
Наряду со смещением со своих мест электронов возможны смещения со своих мест атомных ядер. При этом сбитое со своего места атомное ядро потащит за собой свою электронную оболочку. Вполне законно поэтому говорить не о смещении ядер, а о смещении атомов как целого. Подобный эффект действия излучения почти всегда будет необратимым.
Порча материалов под действием излучения, или, короче, радиационная порча, происходит благодаря смещению атомов со своих мест и благодаря разрушению химических связей. Смещение атомов происходит под действием тяжелых заряженных частиц и быстрых нейтронов. Разрушение химических связей происходит под действием медленных нейтронов, у-лучей и электронов.
Рассмотрим подробнее те своеобразные явления, которые возникают при смещении атомов твердых тел со своих мест. Процесс смещения атомов носит цепной характер. Это значит, что первый отброшенный в сторону атом в свою очередь сместит другой атом, попавшийся ему по дороге; этот второй способен сбить со своего положения третий атом, и т. д. В результате подобного цепного процесса уже одно быстрое ядро-снаряд способно создать значительные искажения в кристаллической решетке твердого тела. Вид искажений может быть самый различный. Кристаллическая решетка может быть разрушена полностью. Чужеродные атомы способны внедриться между атомами первичной решетки. Возможны также процессы замещения атомов первичной решетки атомами- снарядами. Число смещений на одну заряженную частицу довольно мало различается для разных элементов. Альфа-частица с энергией 5 МэВ, а также протон с энергией 20 МэВ сбивают со своих мест 60—80 частиц.
Уже отсюда мы видим, что чем частица тяжелее, тем больше бед она приносит. Действительно, аналогичные цифры для осколков деления ядер урана-235 или плутония-239 носят значительно более неожиданный характер. Такая пара осколков образует, например, в уране 25 тысяч смещенных атомов, а в графите 8000 смещенных атомов.
Так же далеко не безболезненно для материалов проходит процесс замедления нейтрона от начальной скорости до тепловой. Замедление нейтрона смещает в бериллии 450 атомов, в графите 1900 атомов, в алюминии 6000 атомов.
Из этих цифр ясно, что мы должны ожидать существенных изменений свойств, происходящих благодаря смещению атомов со своих мест в кристаллической решетке. Основной интерес представляют металлы. Причина та, что в металлах смещение атомов является, по сути дела, единственным остаточным действием излучения.
Наибольшее внимание уделялось действию нейтронов и осколков деления. Это естественно, так как исследования такого рода тесно связаны с атомной промышленностью. Детальные исследования производились при дозе 1019 нейтронов/см2. Это — небольшая доза. Грубо говоря, действию такого потока нейтронов материал, находящийся в ядерном реакторе, подвергнется за сутки его работы. Однако уже и при этой небольшой дозе обнаруживаются серьезные изменения свойств металлов; эти изменения близки к тем, которые терпит металл при холодной обработке. Это значит, что под действием нейтронов и осколков деления увеличивается хрупкость металла, уменьшается ковкость, увеличивается твердость, меняются также и электромагнитные свойства металла.
Если у металлов основным источником радиационной порчи является смещение атомов со своих мест, то в органических веществах, в которых атомы связаны химически, основные изменения происходят благодаря ионизации, разрушающей связи между атомами.
Органические вещества разрушаются под действием излучения исключительно быстро. Доза нейтронов порядка 1019 на 1 см2 практически губит органическое вещество. Парафины, олефины, полифенилы портятся на 25% при пребывании в реакторе в течение нескольких часов.
Большей частью превращение органического вещества состоит в выделении газа и полимеризации. Однако тут же интересно отметить, что высокополимерные вещества в некоторых случаях деполимеризуются под действием радиации.
Устройство кристаллической решетки таково, что можно ожидать разной легкости прохождения заряженной частицы в различных кристаллографических направлениях.
На первый взгляд может показаться, что попасть в решеточный туннель заряженной частице не так-то просто. Нетрудно подсчитать, что движение протона по прямой линии без «задевания» по пути атомов для тончайших кристаллов должно быть осуществлено с точностью 0,01 дугового градуса. Однако проделанные недавно опыты с монокристаллами показали, что туннелирование наблюдается без особого труда. В 5—10 раз возрастает сила протонного тока, когда направление пучка частиц совпадает с осями кристаллов. Подробное исследование явления показало, что туннелирование является своеобразным процессом с обратной связью. Когда протон отклоняется от пути следования вдоль атомного ряда, электростатические силы возвращают его на прямую траекторию.
626 '
ГЛАВА 35
ДИЭЛЕКТРИКИ
Связь между диэлектрической проницаемостьюи поляризуемостью молекулы
В ряде случаев, и прежде всего в газах, межмолекулярное взаимодействие отсутствует и электрические свойства вещества определяются средним поведением одной молекулы. Межмолекулярное взаимодействие отсутствует и во многих разбавленных растворах. Иногда взаимодействие молекул играет второстепенную роль и в конденсированной фазе.
Поэтому значительный интерес представляет рассмотрение электрических свойств вещества, состоящего из большого числа невзаимодействующих молекул.
Дипольный момент единицы объема диэлектрика Р определяется диэлектрической проницаемостью 8 и напряженностью поля Е по формуле (см.* стр. 228)
4л
С другой стороны, вектор поляризации Р равен сумме дипольных моментов в единице объема диэлектрика: Р = ^р, или
P = Np,
где N — число молекул в единице объема, а р — «доля», вносимая в вектор поляризации каждой молекулой. Если Е'— напряженность поля, действующего на молекулу, то
Р = ^Е',
где Р есть поляризуемость молекулы.
Казалось бы, этим и дается связь между Р и 8, е=1+4лЛф. Однако это неверно, и мы не случайно отметили штрихом символ напряженности, фигурирующий в последней формуле. В уравнениях, связывающих Р и Е и р и Е', фигурируют действительно разные напряженности. Е — это сила, действующая на пробный единичный заряд, не искажающий существующего поля. Е'— это поле, действующее со стороны всех молекул на данную; в Е' не входит поле той молекулы, действие на которую определяется.
На стр. 233 мы говорили о том, что поле внутри диэлектрического шара ^внутр связано с внешним полем, в котором находится этот шар, уравнением
внутр •'-'внеш з *
Понятно, что поле внутри шаровой полости, вырезанной в диэлектрике, можно записать, изменив знак у Р\
4
^внутр ~ ^внеш + "д' ^^«
Можно строго доказать, что поле £', действующее со стороны всех молекул на данную в случае газов, равноценно полю внутри шаровой полости. Таким образом,
E'^E-V улЛ
Теперь мы можем найти связь между Р и е. Приравниваем приведенные выражения для Р:
e-^-E = Np=N£E';
подставляя сюда Е' = Е + у л • уу- Е, находим так называемую формулу Клаузиуса — Мосотти:
е + 2.3 р
Если обе стороны равенства умножить на М/р, где М — молекулярный вес, ар — плотность, то полученное выражение будет зависеть только от поляризуемости р. Действительно, NM/p=NA=6,02x X Ю23 (число Авогадро).
Величину
8—1 М ^ v О___ = _л^р
называют молекулярной поляризацией. Для определения молекулярной поляризации измеряют диэлектрическую проницаемость вещества, как отношение емкостей конденсатора, заполненного исследуемым веществом и пустого. Одним из основных методов, при помощи которых измеряется емкость, является способ емкостного мостика. Этот мостик применяется в области частот от 30 Гц до 300 000 Гц. Возможны конструкции мостиков, позволяющие измерять емкость вплоть до частот 40 МГц.
Число различных конструкций диэлькометров (приборов для измерения е) весьма велико. Они отличаются высокой чувствительностью и точностью. В частности, можно получать превосходные результаты, работая с газами даже до давления порядка 1 мм рт. ст.
Пользуясь формулой е=я2 (см. стр. 296), уравнение, аналогичное формуле для молекулярной поляризации, можно записать и для показателей преломления:
п л2 —1 м 4л
r = ^T=tn^’
эта характеристика молекулы называется молекулярной рефракцией.
Измеренные R и Р для разных частот электромагнитных колебаний могут существенно отличаться друг от друга.
Несмотря на то, что строгий вывод этих формул справедлив для газов, межмолекулярное взаимодействие, видимо, мало меняет дело. Во всяком случае формулы R и У широко применяются и при исследовании разбавленных растворов.
Примеры. Рассмотрим бензол СбН6 (8=2,28; р=0,88 г/см3; Л!=78) и воду (8=81; р=1 г/см3; Л! = 18). Пусть в эти жидкости погружены пластины плоского конденсатора, который создает электрическое поле £=300 В/см=1 ед. СГС.
Вычислим поляризацию (электрический момент единицы объема диэлектрика) бензола и воды:
Рбенз=^£=У|^ • 1=0,1 ед. СГС; РВОДЫ = 6,4 ед. СГС.
Доля, вносимая в вектор поляризации каждой молекулой, будет p—P/N, где N=N^p/M — число молекул в единице объема;
Рбенз= 1,5-Ю-23 ед. СГС; рВОды = 19,4-Ю-23 ед. СГС.
Найдем величину Е' напряженности электрического поля, действующего со стороны всех молекул на данную:
^бенз = £ + у ^бенз = 1,43 ед. СГС; £^=27,8 ед. СГС,
т. е. внутреннее поле в воде в 28 раз (!) больше наложенного. Теперь можно найти поляризуемости молекул бензола и воды:
Рбеиз = -^=1,05-10-23; 0ВОДЫ —0,7-10-^3.
Из измерений 8 на диэлькометре можно рассчитать молекулярную поля- ризацию вещества г/=’
/Рбенз = 26,6 ед. СГС; <£РВ0Ды= I7,3 ед. СГС.
Измерения показателя преломления п на рефрактометре дают я бенз— = 1,5014; л ы= 1,330. Отсюда рассчитаем молекулярную рефракцию и2-1 М
пЧ2 р ’
^бенз = 26Л еД- СГС; /?воды = 3,6 ед. СГС.
Видно, что для бензола ^^ R, а для воды ^ и R сильно различаются. Причина этого будет объяснена в следующем параграфе.
§ 260. Поляризация полярных и неполярных молекул
Существуют две причины поляризации вещества под действием электрического поля. Первая состоит в смещении центра тяжести электронной оболочки (собственно поляризуемость). Вторая заключается в ориентирующем действии поля, которое может повернуть молекулы, обладающие постоянным (как иногда говорят, жестким) дипольным моментом, ближе к направлению поля. Принято поэтому разбиение поляризуемости на две части: а — собственно поляризуемость и b — ориентационная поляризуемость.
Ориентирование диполя требует поворота молекулы как целого. Вследствие инерции молекулы этот поворот требует некоторого времени. При быстрых электромагнитных колебаниях жесткий диполь не может следовать за полем. Поэтому для световых волн ориентационная поляризуемость b отсутствует.
Итак,
Измеряя показатель преломления, мы получаем возможность найти поляризуемость молекулы а. Если, кроме того, измерено и 5\ то вычитание даст значение ориентационной поляризуемости Ь.
Величина ориентационной поляризуемости непосредственно связана с жестким дипольным моментом р молекулы. Покажем, что
Молекулы газа разбросаны в пространстве с произвольными ориентировками из-за теплового хаотического движения. В отсутствие поля дипольный момент р молекулы с равной вероятностью имеет любую ориентацию. Если наложено поле Е, то положение дел меняется. Потенциальная энергия диполя равна ^(ф+—ф_), где Ф+ и ф_— потенциалы поля в местах концов диполя, т. е.
— е^-I = —рЕ — —рЕ cos 6,
где 9 — угол между векторами поля и дипольного момента. Минимальной энергией обладает диполь, установившийся вдоль поля, его энергия будет — рЕ. Тепловое движение препятствует тому, чтобы все диполи заняли положение с минимумом энергии. Устанавливается некоторое компромиссное распределение: уравновешиваются стремления к максимальной энтропии и к минимуму энергии (ср. стр. 603). Закон Больцмана выражает этот компромисс. Вероятность того, что энергия молекулы лежит между U и U-VdU, пропорциональна e~u^kTdU. В нашем случае U=—рЕ cos 0, поэтому dU=pE sin 9 dB. Доля молекул, у которых направления дипольных моментов заключены между углами 9 и 9+^9, будет e(pE/hT) cos6sfn 0^0.
Для обычных температур pE<^kT. Даже для самых сильных полей порядка 105 В/см отношение pEIkT будет порядка 0,01 (дипольные моменты суть величины порядка 10-18 ед. СГС). Поэтому можно ограничиться приближением ех^Ц-х, и искомая доля молекул будет равна
cos9 ) sin9d9.RlJcos9 ) sin9d9.RlJconst • ^ 1
cos9 ) sin9d9.
RlJ
cos9 ) sin9d9.
RlJ
Интеграл этого выражения по 9 от 0 до л по смыслу понятия вероятности должен равняться единице, так как у любой молекулы направление р лежит где-нибудь между Ойл. Тогда, как легко проверить, const=V2, и доля молекул, вектор поляризации которых лежит в интервале от 9 до 9+^9, будет равна
¥ (1 + IF cos 0) sin 6 ^*
Проекция дипольного момента на направление поля есть р cos 9. Если N — число молекул в единице объема, то доля, которая будет 630
внесена в вектор поляризации молекулами, наклоненными под углом 0 к полю, будет равна
у Np ^ 1 + -^- cos 0^ sin 0 cos 0 d9.
Вектор поляризации Р найдется интегрированием этого выражения от 0 до л. Получим:
и, следовательно, ориентационная поляризуемость выразится формулой
Связь молекулярной поляризации с температурой выражается формулой
Это заключение теории превосходно подтверждается опытом. Измеряя ^ в функции от Г, нетрудно из хода этой зависимости вычислить оба параметра, характеризующих электрические свойства молекулы: поляризуемость и «жесткий» дипольный момент р.
Таким образом, данные, полученные из рефракции R (в отношении а^ могут быть сопоставлены с измерениями поляризации 5s.
Опыты показывают, что в некоторых случаях взаимодействие диполей соседних частиц может привести к существенным изменениям диэлектрической проницаемости по сравнению с величиной е для системы невзаимодействующих молекул. Такого рода наблюдения можно сделать, измеряя е жидкости и газа, построенных из тех же молекул.
Взаимодействие частиц сказывается и на величине диэлектрической проницаемости кристаллов.
В кристаллических телах, как правило, электрическая поляризация происходит только за счет деформации электронной оболочки и сдвигов ионов. Ориентационная поляризация отсутствует: повороты молекул в кристалле большей частью невозможны.
Во многих ионных кристаллах квадрат показателя преломления значительно меньше величины диэлектрической проницаемости (например, у каменной соли соответственно 2,37 и 6,3, двуокиси титана 7,3 и 114, углекислого свинца 4,34 и 24 и т. д.). В таких кристаллах под действием статического поля деформируется не только электронная оболочка, но и ионы сдвигаются как целое. Напротив, установлено, что в молекулярных кристаллах диэлектрическая проницаемость не отличается от квадрата показателя преломления, что доказывает наличие поляризации исключительно за счет деформации электронной оболочки.
Так как ориентационная поляризация отсутствует, то у кристаллов имеет место слабая зависимость диэлектрической проницаемости от температуры.
Мы уже сказали вскользь, что при быстропеременном поле ориентационная поляризация отсутствует и молекулярная поляризация становится равной рефракции. Важно знать, какие колебания поля следует считать быстрыми. Это определяется временем релаксации. Если время релаксации т намного превышает период колебаний, то ориентационная поляризация отсутствует.
О времени релаксации т было сказано на стр. 144. Если диэлектрик находится в постоянном поле, его диполи примут некоторое равновесное распределение по ориентациям, характерное для данной температуры. Если поле выключить, то произойдет дезориентация диполей. Однако она происходит не мгновенно, а порядок спадает по экспоненциальному закону. Быстроту этого спада и характеризует время релаксации т — время, за которое поляризация уменьшится в е раз. Если т много больше периода колебаний, то прежде чем ориентация диполей изменится, переменит свое направление внешнее поле. Действие столь быстрого поля вообще не скажется на поведении диполей. Если же т<^7\ то каждое мгновенное состояние будет равновесным и поляризация будет послушно следовать за полем. Для большинства диэлектриков времена релаксации имеют порядок 10"12 — 10"13 с.
Прим еры. 1. Найдем величины собственно поляризуемости а и ориентационной поляризуемости b для бензола и воды, используя результаты предыдущего примера (стр. 629): й=3^/(4л^); отсюда Ябенз=Ю“23 еД- СГС; аВоды=0»14х ХИН3 ед. СГС.
С другой стороны,
а + Ь = Зу>К4тсМА\ (й + 6)бенз=Ю-23 ед. СГС;
(^ + ^)воды = 0,7-Ю-23 ед. СГС.
Отсюда видно, что ориентационная поляризуемость бензола
^бенз"0, а 6В0ДЫ —0,7-10”23 —0,14-10-23 = 0,56-Ю”23 ед. СГС.
Это значит, что молекулы бензола не обладают жестким дипольным моментом, а у молекул воды он есть.
Найдем жесткий дипольный момент молекулы воды р = УЗкТЬ. Поскольку измерения молекулярной поляризации ^ и молекулярной рефракции R производятся при комнатной температуре (Т=300 К),
р = V3-1,38-10-16-300.0,5-10-23 = 0,8-10-18 ед. СГС.
Результаты этого расчета близки к опытным значениям.
Довольно часто при задании дипольных моментов используется единица 1 дебай—10™18 ед. СГС. Единица названа по имени немецкого ученого Дебая, развившего теорию дипольных моментов.
§261. Аддитивность молекулярной рефракции
Значение молекулярной рефракции R представляет собой молекулярную постоянную. R не зависит от плотности, от фазового состояния вещества (так показывает опыт) и температуры.
Удобным свойством рефракции R является ее аддитивность. Если удается составить таблицу инкрементов) какого либо свой
ства для всех атомов и величина этого свойства молекулы равна сумме инкрементов, то такое свойство называется аддитивным. Аддитивность R может быть использована для аналитических и идентификационных целей; следует заметить, что эта аддитивность не имеет теоретического обоснования и выполняется в ряде случаев с существенными отклонениями.
Огромные количества наблюдений обрабатывались многими исследователями. Их трудами составлены таблицы инкрементов 7? (чаще всего RD; это значит, что измерения показателя преломления производились для так называемой Ь-линии — желтой линии натрия). Например, для атомов С, Н, С1 инкременты равны соответственно 2,418; 1,100 и 5,967. Пользуясь только этими цифрами, можно предсказать величины молярной рефракции множества соединений:
метан СН4:7?= 2,418 + 4-1,100;
хлороформ СНС13:R = 2,418 + 1,100 + 3-5,967;
четыреххлористый углерод СС14: R = 2,418 + 4-5,967,
и т. д. Рефракции могут быть измерены с большой точностью и при необходимости можно отмечать самые небольшие различия.
Имея в виду явления аномальной дисперсии, которые, как мы выяснили, имеют место при значениях частот, близких к собственным частотам поглощения, следует предпочесть измерения рефракции в области, далекой от полос поглощения.
Измерения показателя преломления для вычисления рефракции производятся с помощью рефрактометров. Наиболее распространенные рефрактометры измеряют угол преломления светового луча, идущего из исследуемого вещества и падающего на поверхность призмы из стекла с более высоким п.
Если на границу исследуемого вещества со стеклом падает пучок лучей с углом падения от 0 до 90°, то преломленные лучи будут лежать в пределах от нулевого угла преломления
до некоторого предельного угла а, си- рис 2g6 нус которого будет равен отношению
показателей преломления исследуемого вещества и стекла призмы (рис. 286). Предельный угол можно наблюдать в виде резкой границы в фокальной плоскости трубы.
Для измерения показателя преломления жидкости образуют на поверхности призмы слой толщиной около 0,5 мм. Твердые тела должны быть плотно пригнаны к поверхности призмы. Оптический контакт достигается помещением капли подходящей жидкости между поверхностями призмы и исследуемого тела. Определение коэффициента преломления порошков возможно погружением порошка в жидкость и подбором жидкости с таким же показателем преломления, что и у порошка.
§ 262. Пиро- и пьезоэлектрики
Целый ряд интересных свойств может появиться у кристаллов, не содержащих центр инверсии в числе элементов симметрии. Такие кристаллы могут обладать электрическим моментом (вектором поляризации) при отсутствии внешнего поля.
Остановимся, прежде всего, на кристаллах, поляризующихся при однородной деформации). Обладающие таким свойством кристаллы — это пьезоэлектрики; о них уже шла речь в § 45.
Возникновение поляризации при сжатии, растяжении и т. п. показывает, что однородная деформация приводит к созданию в кристалле особенного (т. е. единственного, не размножающегося элементами симметрии) направления. Понятно, что подобное поведение
невозможно при наличии у кристалла центра инверсии. Действительно, однородная деформация не может лишить кристалл центра инверсии. В то же время наличие центра инверсии не совместимо с существованием особенного направления, каким является направление вектора поляризации. Пьезоэлектрическими свойствами может обладать любой кристалл, у которого нет центра симметрии. Тем не менее у многих кристаллов этого вида мы не находим пьезоэлектрических свойств, возможно, за счет недостаточной чувствительности аппаратуры. Впрочем, можно представить себе нецентросимметричную структуру, в которой любая однородная деформация не смещает друг по отношению к другу центры тяже
сти положительного и отрицательного зарядов. Подробное рассмотрение показывает, что в одном из нецентросимметричных классов симметрии пьезоэлектрический эффект не
возможен.
Наиболее известным пьезоэлектриком является кварц. На рис. 287 изображен кристалл кварца и показано, каким способом из этого кристалла вырезаются пьезоэлектрические пластинки.
О характере перемещений атомов позволяет судить рис. 288. Структуру кварца можно представить себе как плотную упаковку кислородных ионов, в пустотах которой размещены атомы кремния (на рисунке атомы кремния изображены в виде черных шариков, атомы кислорода — в виде светлых шариков). Ионы кислорода несут на себе отрицательный заряд, ионы кремния — положительный. Атом кремния находится между четырьмя атомами кислорода. Электризация кварца происходит при давлении в направлении полярных осей. Давление вдоль осей, лежащих в плоскости чертежа, приводит к смещению положительных и отрицательных зарядов друг по отношению к другу. Давление вдоль оси третьего порядка (неполярное направление, перпендикулярно к плоскости чертежа) неэффективно.
Смещения атомов нельзя показать на рисунке. Эти смещения очень малы. Действительно, пьезоэлектрическая постоянная квар
ца, т. е. величина вектора поляризации при единичном давлении, равна 6,5-10-8 ед. СГС. Объем элементарной ячейки кварца равен 112-10~24 см3, на ячейку приходится три молекулы SiO2, следовательно, число молекул в единице объема равно 2,7-1022, а значит, дипольный момент при единичном давлении, приходящийся на одну молекулу, равен 2,4-10-30 ед. СГС. Заряды, создающие молекулу, равны 14+2-8=30 зарядам электрона. Следовательно, смещение центров тяжести положительного и отрицательного зарядов равно 10"*18 см, что дает 0,1 А при давлении в 1000 атм.
Среди пьезоэлектриков следует выделить группу кристаллов, называемых пироэлектриками. Это — такие кристаллы, которые обладают естественной поляризацией при обычных условиях температуры и давления. Обычно этот эффект замаскирован свободными поверхностными электрическими зарядами, скапливающимися на границах этого кристалла, и обнаруживается при нагревании кристалла. Отсюда и происходит название («пиро» — огонь).
Представителей пироэлектриков мы найдем среди еще более ограниченных в отношении симметрии кристаллов. Пироэлектриком может быть лишь кристалл, содержащий особенную ось. Таким образом, условия отсутствия центра симметрии здесь уже недостаточно. Вполне понятен смысл этого условия. Наличие естественной поляризации указывает на то, что в пироэлектрике имеется такое особенное направление, в то время как у пьезоэлектрика оно лишь появляется под действием механической деформации. К наиболее известным пироэлектрикам относится турмалин.
Внутреннее электрическое поле пироэлектрика очень сильно. Поэтому наложение внешнего поля ничего не изменит в поляризации такого кристалла: ее нельзя ни увеличить, ни уменьшить, ни обернуть. Такой кристалл поляризован до насыщения — дипольные моменты всех частиц параллельны. В теории ферромагнетизма
(см. ниже § 266, с которым целесообразно познакомиться при чтении этой страницы) область, в которой магнитные моменты атомов параллельны, носит название домена. Этот же термин используется для области, в которой параллельны электрические дипольные моменты всех частиц. Кристаллы пироэлектриков большей частью представляют собой один домен.
§ 262а. Сегнетоэлектрики
Большое значение для техники имеет класс пироэлектриков, обладающий следующей особенностью: повышение температуры приводит к исчезновению пироэлектрических свойств. При температуре превращения (точке Кюри) наблюдается максимум диэлектрической проницаемости. Температурная зависимость е удовлетворяет закону 8 = 7^279’ гДе ® — температура Кюри.
Таким образом, в сегнетоэлектриках (название происходит от сегнетовой соли — типичного представителя этого класса веществ)
имеет место переход из поляризованного упорядоченного состояния
в неполяризованное.
Поведение сегнетоэлектриков аналогично поведению ферромагнетиков. Так же, как и ферромагнетики, эти интересные диэлектрики обладают огромными значениями диэлектрической проницаемости (сотни и тысячи единиц), обнаруживают отчетливые гистерезисные явления, обладают точкой Кюри. Наряду с сегнетоэлектри
ками, в доменах которых все диполи параллельны, существуют антисегнетоэлектрики, в которых направления диполей чередуются.
Нет нужды повторять все рассуждения, проводимые в~§ 266; они полностью применимы и здесь. Все сказанное о влиянии поля, о поляризации путем смещения границ доменов, о причинах дроб
ления кристалла на мелкие домены справедливо и для сегнетоэлектриков.
В настоящее время известно более сотни различных веществ, обладающих сегнетоэлектрическими свойствами. Различные кристаллы могут обладать несколько отличными механизмами поляризации.
Довольно хорошо изучены явления, происходящие в семействе веществ с формулой
е^а r GO О TL АВО3 — так называемых «перовскитов». К ним Рис 289 относится и наиболее известный сегнетоэлек- '* трик ВаТЮ3—титанат бария.
На рис. 289 изображена структура титаната бария. Точка Кюри титаната бария лежит при 120 °C. При температурах выше 120 °C это вещество обладает простой элементарной ячейкой. Ячейка — кубическая, в центре находится атом титана, в вершинах куба — атомы бария, а в центрах граней — атомы кислорода. Структура центросимметрична, и кристаллы выше 120 °C не относятся к пиро-
электрикам. При понижении температуры происходит фазовый переход и структура меняется: одно из ребер куба становится на 1 % длиннее, чем два других, кристалл становится тетрагональным. При этом превращении происходит сдвиг атома титана в сторону одного из кислородных атомов. Это направление теперь станет особенным, и вдоль него будет направлен вектор поляризации. Ясно, что у кристалла титаната бария имеется не одно направление легкой поляризации, а три, так как сдвиги вдоль трех о(;ей куба вполне равноценны.
При охлаждении ниже точки Кюри (120 0 С для кристалла титаната бария) разные области кристалла могут превратиться в разноориентированные домены. Приобретая доменную структуру, кристалл становится механически напряженным: одни участки кристалла сжимаются, другие расширяются. Доменный кристалл, собственно говоря, не является монокристаллом: трехмерный дальний порядок вдоль всего кристалла теряется.
При дальнёйшем понижении температуры титанат бария терпит еще одно фазовое превращение примерно при +10 °C, однако не перестает быть сегнетоэлектриком.
Рассмотрим подробнее искажения симметричной кубической структуры, наступающие при охлаждении ниже температуры 120 °C. Нейтронографическими измерениями показано, что деформация, отсчитываемая по отношению к решетке ионов бария, состоит в сме- щенияхо ионов титана на +0,05 А и ионов кислорода на —0,10 А и —0,05 А. Неравные смещения ионов кислорода и показывают, что одно из ребер куба становится при сегнетоэлектрическом превращении особенным, в соответствии с тем, что кубическая сингония меняется на тетрагональную.
Между отрицательно заряженными ионами кислорода и положительным ионом титана образуется плечо диполя. Если спроектировать все заряды на особенное направление, полагая, что атомам Ва и Ti недостает соответственно 2 и 4 электронов, а атомы кислорода имеют два лишних электрона, то на элементарную ячейку придется электрический диполь 0,15-10-8-4^+0,05- 10"8-2е=0,7- 10“8-е=3,5х X Ю"18 ед. СГС. Так как элементарная ячейка имеет объем 64 А3, то вектор поляризации будет равен 54-^21'3,5-10"18= 5-104 ед. СГС. Непосредственное измерение вектора поляризации дает в пределах ошибок опыта ту же величину.
ГЛАВА 36
МАГНЕТИКИ
Три класса магнетиков
Известно, что в отношении магнитных свойств вещества делятся на диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Значения отрицательных восприимчивостей диамагнетиков лежат обычно в пределах от ~13* 10"6 для висмута до —0,8-10“6 для меди. Парамагнит-
ные тела характеризуются положительными значениями, например 0,4-10”6 для калия и 320-10“6 для хлористого железа. Ферромагнитные тела резко выделяются значениями магнитной проницаемости, в сотни и тысячи раз превосходящими величины р для других тел. Какими же структурными особенностями можно объяснить проявление столь различных магнитных качеств у веществ, зачастую весьма сходных в остальных своих свойствах?
Как мы сейчас увидим, универсальным свойством, имеющим место всегда, в любом теле, поскольку оно состоит из электронов, является диамагнетизм. Из приведенных выше цифр видно, что диамагнитные свойства слабее парамагнитных и, тем более, ферромагнитных. Мы наблюдаем диамагнитные свойства лишь при полном отсутствии у тела качеств, приводящих к положительному магнетизму. У пара- и ферромагнитных тел диамагнитные свойства имеются, но они «забиты» более сильным положительным парамагнетизмом.
Итак, диамагнетизм имеет место для любой системы, состоящей из электронов. Что же касается положительного магнетизма, то он возникает лишь в тех телах, атомы которых обладают магнитным моментом. Явление парамагнетизма весьма похоже на процесс электризации диэлектрика, который состоит из жестких диполей, обладающих постоянным магнитным моментом.
Наличие магнитного момента у атомов является непременным условием возникновения и ферромагнитных свойств. Однако выдающиеся особенности этих тел обязаны их совершенно специфическому свойству: образованию внутри тела больших областей — доменов, внутри которых миллиарды атомов выстроены параллельно друг другу своими магнитными моментами.
Диамагнетизм
Диамагнетизм — непосредственное следствие свойства электрона описывать окружность в магнитном поле.
В магнитном поле с индукцией В свободная заряженная частица описывает окружность с частотой т=еВ1(тс). Можно строго показать, что влияние магнитного поля на электрон, движущийся в центральном поле, в частности, в поле атомного ядра, сведется к аналогичному влиянию: электрон будет описывать круговую «траекторию» около силовой линии, но с частотой в два раза меньшей, еВ!^тс\
Это движение накладывается на другие движения, которые может совершать электрон: на хаотическое движение частиц, входящих в состав электронного газа, или на движение электрона около атомного ядра.
Элементарные соображения, приведенные на стр. 460, показали, что движение такого рода эквивалентно круговому электрическому току. При включении магнитного поля все электроны начинают вращаться около магнитного поля и каждый из них образует 638
м =м =j уе ею 2лг 2л 'j уе ею 2лг 2л 'элементарный токэлементарный токлылыУмножая на площадь движении около силовой момента, создаваемого оУмножая на площадь движении около силовой момента, создаваемого о
м =
м =
j уе ею 2лг 2л '
j уе ею 2лг 2л '
элементарный ток
элементарный ток
лы
лы
Умножая на площадь движении около силовой момента, создаваемого о
Умножая на площадь движении около силовой момента, создаваемого о
руга, описываемого электроном при его инии, мы получим значение диамагнитного им электроном:
с 2л4лтс2
Знак минус, показывающий, что момент действительно направлен против поля, вполне очевиден из рис. 290.
Если система состоит из большого числа электронов, то написан
ное выражение надо просуммировать по всем электронам:
Алте2, jL^ 1
Так как по определению (см. стр. 260) магнитная восприимчивость есть отношение магнитного момента единицы объема (или единицы массы или моля) к индукции, то
у =^Ly S-. л 4лтс2 1
Если N — число Авогадро, то / есть молярная диамагнитная восприимчивость (при сопоставлении с § 108, стр. 260 надо иметь в виду, что%=х/р,).
Таким образом, / выражено через площади, описываемые элек
тронами благодаря дополнительному движению в магнитном поле. В принципе это вычисление может быть произведено, если известна волновая функция системы, т. е. в конечном счете электронная плотность. Практически вычисления слишком громоздки и значения
диамагнитной восприимчивости определяются на опыте.
Важно подчеркнуть, что диамагнитная восприимчивость определяется электронной структурой системы и не зависит (во всяком случае для атомов и молекул) от внешних условий, в том числе и
от температуры.
Диамагнитная восприимчивость обладает тем же свойством, что и молекулярная рефракция: она аддитивна. Если отнести диамагнитную восприимчивость к одному молю вещества, то всегда оказывается возможным с хорошей точностью представить восприимчивость х молекулы в виде
% = 2«лХд.
где пА — число атомов сорта А в молекуле, а Ха — инкремент для данного атома. Для иллюстрации можем воспользоваться тем же примером । (стр. 633), который мы привели для рефракций. Для
атомов С, Н и С1 инкременты имеют значения (даны %А-106) 7,4; 2,0 и 18,5. Таким образом получим для метана 15,4 для хлороформа 64,9, для четыреххлористого углерода 81,4 (в хорошем согласии с опытом).
Смысл этой аддитивности заключается, вероятно, в слабом влиянии внешних электронов на диамагнитную восприимчивость. С той точностью, с которой аддитивность выполняется, диамагнитная восприимчивость является атомным, а не молекулярным свойством.
Как было сказано в предыдущем параграфе, диамагнитной восприимчивостью обладают вещества, атомы и молекулы которых не обладают постоянным магнитным моментом. К таким частицам относятся прежде всего атомы и ионы с заполненными оболочками — ионы F", С1~, Na+, атомы благородных газов. Также диамагнитны все атомы и ионы, которые сверх заполненной оболочки содержат еще два s-электрона с антипараллельными спинами, например Zn, Be, Са, Pb++ и т. д.
Класс диамагнитных молекул несравненно более широк, чем класс парамагнитных молекул. Последние являются скорее исключением. Это объясняется тем, что подавляющее большинство молекул содержит валентные связи, образованные парой электронов с антипараллельными спинами. Обычно у подобных молекул равен нулю не только суммарный спиновый момент, но и суммарный момент движения около ядра. Таким образом, диамагнитными являются тела, построенные из атомов и ионов, примеры которых мы привели, и почти все тела, строительными камнями которых являются молекулы, следовательно, почти все органические вещества.
Диамагнитная восприимчивость характеризует электронную оболочку молекулы. Если распределение электронов в молекулу обладает сильной анизотропией, то такую анизотропию покажет и магнитная восприимчивость. Особенно ярко проявляется анизотропия диамагнитной восприимчивости у молекул ароматических соединений. Например, у бензола молярная диамагнитная восприимчивость в направлении, лежащем в плоскости бензольного кольца, равна % ц=—37-10”6 см3/моль, а в направлении, перпендикулярном к плоскости кольца, %±=—91-Ю-6 см3/моль; у нафталина %ц = =40-10-6 см3/моль, а %± =—190-10~6 см^моль. Анизотропию обнаруживают измерениями в кристаллах, по-разному ориентированных в поле. Измерения в порошках, жидкостях и газах дают усредненную по ориентациям магнитную восприимчивость.
Парамагнетизм
Парамагнитные свойства наблюдаются у вещества в том случае, если атомы, ионы или молекулы, из которых оно построено, обладают магнитным моментом. Магнитный момент вызывается либо некомпенсированными спинами электронов, входящих в атомную систему, либо движением электронов около ядер, либо обеими причинами одновременно.
Как было выяснено ранее (см. стр. 465), магнитный момент спинового происхождения связан с вращательным импульсом формулой
р5 2рв ]/ s (s 1),
а магнитный момент, обязанный движению электронов около ядра, соотношением
Hl ~ Ив V ^ (^ + О-
Здесь р,в — магнетон Бора, a s и L — суммарный спиновый импульс и суммарный вращательный импульс для движения около ядра, взятые для атома или молекулы в целом, s и L выражены, как и ранее, в единицах /г/(2л). При наличии парамагнетизма, обусловленного обеими причинами, формула магнитного момента атома или молекулы имеет вид
U + 1).
где J — квантовое число полного вращательного импульса, представляющего собой векторную сумму L и s, a g — так называемый фактор Ланде, зависящий от всех трех квантовых чисел. Кстати говоря, близость g к 1 или к 2 (установленная опытом) является превосходным суждением о происхождении магнетизма у данного вещества.
К числу парамагнитных атомов и ионов относятся частицы, имеющие один электрон сверх заполненной оболочки (например, атомы щелочных металлов), атомы переходных элементов, ионы редкоземельных элементов с незаполненными электронными оболочками и т. д.
Как мы говорили, большинство молекул диамагнитно. К парамагнитным молекулам относятся кислород и сера. В виде исключения эти молекулы обладают суммарным спином, равным L Магнитный момент, наблюдающийся на опыте, может быть вычислен по формуле
~ ^Нв V2
в хорошем совпадении с опытом.
Наличие у молекул парамагнетизма представляет доказательство вхождения в состав молекулы неспаренных электронов. Это обстоятельство делает измерение магнитных свойств молекул крайне интересным для химиков. Парамагнитными свойствами обладают так называемые свободные радикалы — химические соединения с одним неспаренным электроном. Свободные радикалы возникают в ряде случаев во время химических реакций, и измерение магнитной восприимчивости является одним из возможных способов изучения хода химических реакций.
Каким же образом связано значение парамагнитного момента молекулы с магнитной восприимчивостью? В парамагнитных телах, находящихся вне магнитного поля, магнитные моменты распределены беспорядочно по направлениям и суммарный магнитный
21 А. И. Китайгородский 641
момент вещества равняется нулю. При наложении поля атомы (молекулы) будут стремиться повернуться так, чтобы их магнитный момент совпал с направлением поля. В результате устанавливается равновесие между двумя тенденциями: упорядочивающей силой поля и стремлением к тепловому беспорядку. Мы можем полностью применить к этому случаю аналогичные рассуждения, использованные на стр. 630 для вывода значения поляризуемости вещества, составленного из жестких электрических диполей. Поэтому, как и в том случае, связь между магнитным моментом атома (молекулы) и парамагнитной восприимчивостью атома дается выражением
^ат ~ ЗкТ *
В отличие от диамагнитной восприимчивости парамагнетизм вещества зависит от температуры. Правда, дело обстоит здесь несколько сложнее чем у диэлектриков. Дело в том, что постоянный электрический момент молекулы является константой, в то время как магнитный момент молекулы (атома) может существенно меняться с температурой. Парамагнитный момент связан с квантовыми числами, а распределение молекул по состояниям может весьма сильно зависеть от температуры. Поэтому простой закон: магнитная восприимчивость обратно пропорциональна температуре (закон Кюри), может не соблюдаться для парамагнетиков.
§ 266. Ферромагнетизм
Домен. Заметными (с помощью грубых средств наблюдения) магнитными свойствами обладает небольшое число веществ. К ним
принадлежат: железо, кобальт, никель, гадолиний, соединения этих элементов, а также некоторые соединения марганца и хрома. Так
Рис. 291.Рис. 291.как железо в этом семействе играет главную роль, то вещества получили название ферромагнитных.
Рис. 291.
Рис. 291.
Атомы ферромагнетиков обладают магнитным моментом и притом спинового происхождения (во всяком случае в основном). Однако не это является особенностью, выделяющей их среди парамагнетиков. Главная особенность ферромагнетиков — их доменное строение. Домен — это область, намагниченная до насыщения, т. е. такая
область, внутри которой все атомы выстроены параллельно своими магнитными моментами. Линейные размеры доменов бывают обычно порядка 0,01 мм, поэтому домены можно видеть в обычном микроскопе.t
, Домены в ферромагнетике существуют и при наличии, и при отсутствии поля. Чтобы увидеть домены, на полированную поверхность ферромагнитного монокристалла наносят каплю коллоидной суспензии — тщательно раздробленного ферромагнитного вещества типа магнетита (Fe3O4). Коллоидные частички концентрируются вблизи границ доменов, так как вдоль этих границ существуют сильные магнитные локальные поля (как у любого стержневого магнита); они и притягивают порошинки магнетита (рис. 291).
Рассмотрим сначала вопросы, возникающие в отношении одного домена, далее остановимся на взаимном расположении доменов в кристаллах и уже после этого изучим процесс намагничения ферромагнетика.
Направления, в которых устанавливаются магнитные моменты атомов, образующих один домен, не являются произвольными: в каждом кристалле ферромагнетика существует одно кристаллографическое направление легчайшего намагничения. В гексагональном кобальте это единственное направление — его гексагональная ось. В кубическом железе этим направлением является ребро куба. Значит, в железе имеются три направления легчайшего намагничения и соответственно три направления магнитных моментов доменов. В кубическом никеле осями легкого намагничения являются пространственные диагонали куба, т. е. имеются четыре возможных направления магнитных моментов.
Почему же в ферромагнетиках атомы выстраиваются параллельно своими магнитными моментами? Причиной является специфическое явление — обмен электронов местами. Как говорилось по поводу химической связи, перекрытие волновых функций влечет за собой понижение энергии. Электроны получают при этом общее пространство и становятся способными обмениваться местами. Стремление обменной энергии к минимуму является причиной стабильности большинства химических соединений. Аналогичную роль играет обменная энергия и в создании домена. В случае химической связи минимальное значение обменной энергии достигается при условии, когда спины обменивающихся электронов антипараллельны. Однако общий вывод квантовой механики более широк: обменная энергия может быть в некоторых случаях минимальна при параллельной, а в иных случаях при антипараллельной ориентации спинов. В ферромагнетиках спины атомов, входящих в состав домена, ориентированы параллельно. Сравнительно недавно открыт новый класс соединений — антиферромагнетиков, в которых устойчивые состояния домена возникают при антипараллельной ориентации спинов.
Измеряя величину намагниченности домена, можно подсчитать число спинов на атом, участвующих в ферромагнетизме. При этом целые числа не получаются (для железа 2,2, для кобальта 1,7, для гадолиния 7,1 и т. д.). Отсюда следует, что в какой-то мере в создании ферромагнетизма принимают участие и электроны, образующие электронный газ. Однако в основном за ферромагнетизм отвечают электроны, связанные с атомами. В железе электроны проводимости
берутся в основном с верхней оболочки 4s, в то время как ферромагнитные электроны находятся на оболочке 3d.
Прямое доказательство отсутствия какой бы то ни было связи между свойствами проводимости и ферромагнетизма дает факт существования замечательных материалов — ферритов. Эти материалы представляют собой полупроводники с удельным сопротивлением на 10—11 порядков большим, чем у железа. Электроны проводимости, разумеется, не играют роли в магнетизме этих веществ. Ферриты представляют собой смешанные окислы, например, феррит марганца — это соединение окислов марганца и железа в пропорции 1 ; 1, феррит никеля — аналогичное соединение окиси железа и окиси никеля. Окись железа содержит два атома железа, а окись никеля — один атом никеля. Кристалл смеси представляет собой плотную упаковку атомов кислорода. В пустоты входят атомы никеля и два атома железа. Мы знаем (см. стр. 572),5 что пустоты плотной, упаковки бывают двух сортов: тетраэдрические и октаэдрические. Атом, попавший в пустоту первого сорта, окружен четырьмя соседями, а атом в октаэдрической пустоте ;—ь шестью соседями. Оказывается, что атомы железа распределяются по пустотам обоих сортов. Магнитные моменты атомов желез# устанавливаются вполне упорядоченно, но моменты атомов железа, сидящих в тетраэдрических пустотах, смотрят в одну сторону, а моменты атомов железа, сидящих в октаэдрических пустотах,— Bi противоположную. В результате действия этих двух систем моментов уничтожаются, и магнитные свойства подобной смешанной окиси обеспечиваются магнетизмом никеля, моменты атомов которого направлены все в одну сторону.
♦ • Наличие обменной энергии делает понятным стремление атомов установиться так, чтобы их спины были параллельны или антИпа- раллельны. Очевидно, обменная энергия взаимодействия у ферромагнетиков выходит на первый план и диктует веществу такое расположение спинов, которое приводит к ее минимальному значению. Видимо, у остальных парамагнитных веществ другие слагаемые энергии взаимодействия не дают проявиться обменной энергии.
Рис. 292.
Дальний порядок в расположении атомов разрушается при некоторой определенной температуре: кристалл плавится. Так же точно влияет температура и на расположение магнитных моментов. На рис. 292 схематически показано, как ведут себя магнитные моменты
атомов при повышении температуры. Сначала колебания в такт, затем начало расстройки и, наконец, «плавление» магнитного порядка. Начиная от некоторой определенной температуры, которая носит название точки Кюри, в честь выдающегося французского ученого Пьера Кюри, порядок в расположении стрелок исчезает и вещество теряет свои магнитные свойства, ферромагнетик становится парамагнитным веществом. У железа точка Кюри лежит при 770 °C, у кобальта при 1115 °C, у никеля при 358 °C, у гадолиния при 15 °C.
В антиферромагнетиках спины атомов стремятся расположйться в, порядке, но антипараллельно. Структура домена окиси марганца, являющейся антиферромагнетиком, изображена на рис.. 293. Стрелочка, символизирующая момент, принадлежит марганцу. Из рисунка видно, что химический период повторения структуры в два раза меньше магнитного. При абсолютном нуле каждый атомный магнит антиферромагнетика окружен атомами с противоположно направленными моментами. Так же как у ферромагнетиков, этот порядок разрушается при определенной температуре Кюри и выше этой температурной точки вещество ведет себя как парамагнетик.
■ Косвенным доказательством антиферромагнитных свойств является установление различных аномалий в поведении свойств тела при прохождении через точку Кюри. Так как точка Кюри есть точка фазового, перехода второго рода, то ряд свойств терпит в ней скачок или излом.
Прямое доказательство стало возможным методами нейтронной дифракции. Рассеяние нейтронов решеткой, показанной на рис. 293, чувствительно не к химическому, а к магнитному периоду повторяемости структуры. . > : .
Расположение доменов в кристалле. Рассматривая описанным выше порошковым методом доменную структуру монокристаллов
ферромагнитных веществ, мы обнаруживаем, что домены никогда не охватывают слишком больших областей, они обычно не превосходят линейных размеров порядка 0,01 мм. Мы находим, кроме того, у кубических ферромагнетиков чрезвычайно симметричные сочетания разнонаправленных доменов. Оба обстоятельства требуют объяснения, поскольку легкость намагничения^ казалось бы,
Рис. 294.
должна была привести к тому, чтобы весь монокристалл превратился в один домен.
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц показали, что доменная структура такого типа, как было представлено на рис. 291, является естественным результатом существования различных форм энергии ферромагнитного тела. Идею теории иллюстрирует рис. 294. Первая из схем соответствует одному домену, он обладает значительной магнитной энергией (1/8л) ^ H2di;. Но уже на второй схеме эта энергия понижена вдвое. В случае N параллельных доменов энергия уменьшится примерно в N раз. Однако процесс деления будет выгоден до известного предела. В конце концов энергия пограничных слоев превысит уменьшение энергии, связанное с делением кристалла на домены. Вполне понятна выгода конфигураций с замыкающими доменами. В этом случае образуется замкнутый магнитный поток и энергия поля вне кристалла равна нулю.
В случае кобальта, имеющего направление намагничения вдоль оси, мы встретимся с доменами, у которых моменты расположены только вдоль гексагональной оси. Нулевой магнитный момент тела в отсутствие внешнего поля будет достигнут тем, что половина 646
доменов будет иметь одно направление, а другая половина — противоположное.
Несколько слов о границе между доменами. Этот пограничный слой схематически представлен на рис. 295: в нем магнитные моменты постепенно меняют свое направление. Толщина слоя определится требованием минимума энергии. Здесь две противоположные
Рис. 295.Рис. 295.
Рис. 295.
Рис. 295.
тенденции. С одной стороны, желательно растянуть невыгодный процесс переворачивания спинов на большую толщину, это будет выгоднее в отношении обменной энергии. С другой стороны, лучше этот процесс провести поскорее, так как в переходном слое спины направлены под углом к легким направлениям намагничения.
Рис. 296.Рис. 296.Теперь рассмотрим, что происходит в ферромагнетике при наложении внешнего поля. За процессом намагничения можно следить с помощью порошкового метода. Оказывается, что основной механизм намагничения заключается в росте домена, смотрящего в «нужном» направлении, путем смещения границ. Домены, ориентированные своим моментом под острым углом к полю, «поедают» домены, ориентированные к полю под тупыми углами. В начальный период намагничения смещение границ доменов носит обратимый характер (когда поле будет убрано, восстановятся домены в прежних границах). Далее смещение границ доменов становится необ
Рис. 296.
Рис. 296.
ратимым. Наконец, при наибольших степенях намагничения начинается переворачивание направления намагничения доменов. Рис. 296 иллюстрирует сказанное.
В поликристаллических веществах дело обстоит совершенно таким же образом (если только кристаллики не очень малы, так как при размерах меньше 10“6 см домены не образуются), каждое зерно может состоять из нескольких доменов. Однако, поскольку кристаллики разбросаны в теле своими кристаллографическими осями как угодно, постольку и магнитные моменты доменов принимают в пространстве любые направления. Таким образом, элементарные картинки намагничения, идущие еще со времен Ампера, правильно рисуют картину в случае поликристаллических веществ.
Гистерезисные явления, свойственные всем ферромагнитным материалам, возникают вследствие необратимого характера смещения доменных границ при намагничении.
ГЛАВА 37
ЭЛЕКТРОННОЕ СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ТЕЛ
Свободные электроны
До сих пор, говоря о строении твердых и жидких тел из атомов, мы не останавливались специально на роли электронов в создании свойств и структуры этих тел. Мы могли это делать по той причине, что электронное строение тел далеко не всегда выходит на первый план. В то же время в ряде вопросов физики невозможно обойтись без учета роли электронов.
Известно, что электроны в теле бывают двух «сортов»: связанные и свободные. Связанные электроны входят в состав определенного атома, иона или молекулы. Свободные электроны принадлежат всему кристаллу или всей жидкости и способны* перемещаться между атомами с большой легкостью.
В молекулярных веществах картина электронного строения особенно отчетлива. В большинстве случаев обобществленные электроны отсутствуют и все электроны не выходят за пределы «контуров» молекулы. Уже менее четко удается провести это разграничение электронов в ионных кристаллах. Даже в классических представителях ионной связи нельзя полагать обмен электронов отсутствующим полностью. Тем не менее в ионных кристаллах электроны, переходящие от иона к иону (обменные электроны), не ведут себя как свободные — их перемещение по кристаллу носит характер передачи электрона одним атомом соседнему. В кристаллах с гомео- полярной связью это видно вполне отчетливо. Алмаз — изолятор, хотя электроны, связывающие атомы углерода, вовсе не привязаны к определенным местам; они передаются от атома к атому эстафетным путем.
От всех перечисленных тел металлы отличаются достаточно резко. В этих телах мы сталкиваемся с электронами, по отношению к которым термин «свободный» вполне оправдан. Электроны металла пере- 648
мещаются в нем так, как частицы газа сквозь трубу, заставленную препятствиями. Роль препятствий играют атомные остатки (ионы), находящиеся в состоянии теплового колебания.
Наличие свободных электронов проявляется, прежде всего, в явлениях проводимости и во всех опытах, связанных с вырыванием электрона из тела. Этот комплекс явлений невозможно понять, если не рассмотреть своеобразного поведения обобществленных электронов.
Было бы, разумеется, неверным полагать, что разделение электронов на связанные и свободные носит абсолютный характер. Напротив, правильнее всего считать представления связанности и свободы крайними идеальными картинами. В твердом теле можно найти электроны всех степеней «освобожденное™». Это было понято особенно отчетливо, когда в физике заняли надлежащее место полупроводники, заполнившие все промежуткй между схемами системы идеально свободных электронов и системы из обменных электронов-иди системы из электронно-изолированных молекул. В настоящее время нам ясно, что любые переходные типы структур возможны.
Следует напомнить, что электрон в твердом теле, так же как и атомный электрон, подчиняется волновой механике. Представление об электроне как о «горошинке» справедливо в тех рамках, которые дает принцип неопределенности. Большей частью всякие соображения о траекториях электрона внутри металла физически бессодержательны. Описание электронного строения тела заключается, прежде всего, в указании распределения электронов по энергиям.
Теория показывает, что представлениями об электронах в теле как об электронном газе можно пользоваться лишь в очень условном смысле. Оказывается возможным рассмотрение электронов металла как газа некоторых фиктивных частиц, обладающих эффективной массой, зависящей от направления движения частицы. Этими замечаниями мы хотим предупредить о крайне поверхностной аналогии между электронным газом и газом молекул.
Энергетические уровни в твердом теле
Мы обсуждали ранее уровни энергии свободного атома. Система энергетических уровней, свойственная атому, находится опытным путем — наблюдением энергетических переходов при испускании или поглощении света. Если атом содержит много электронов, то каждый из них, входя в состав атома, получает разную четверку квантовых чисел; согласно принципу Паули, в данном квантовом состоянии может находиться лишь один электрон. Поэтому энергетические уровни обладают ограниченной вместимостью. В s-состояниях могут находиться два электрона, в /^состояниях — шесть и т. д' Все эти данные могут быть получены из эксперимента, а также как следствия основных законов квантовой механики.
Желая иметь суждение об уровнях энергии в системе,состоящей из большого числа атомов, мы и здесь должны идти обоими путями. Основные теоретические идеи при рассмотрении системы, состоящей из миллиардов атомов, остаются неизменными.Поэтому прежде всего делаем такое заключение: в системе, состоящей из п атомов, число квантовых состояний должно быть в п раз больше, чем у свободного атома. В этом случае принцип Паули может быть удовлетворен: в одном квантовом состоянии будет находиться по-прежнему один электрон.
В любом теле атом никогда не теряет своей индивидуальности полностью. Напротив, спектральные исследования говорят о том, что существенные изменения касаются лишь внешних, валентных электронов, ответственных за взаимодействие между атомами. Таким образом, квантовые состояния твердого тела должны быть тесно связаны с квантовыми состояниями атома. Рассмотрим, например, электроны /(-оболочек, самые близкие к ядру. С одной стороны, очевидно, что их состояние может быть изменено при объединении атомов в тело лишь совершенно незначительно. Однако в то же время принцип Паули не разрешает нам считать все /(-электроны одинаковыми. Приходится допустить, что в теле из п атомов существует не один /(-уровень энергии, а п чрезвычайно близких /(-уровней, на каждом из которых находится пара электронов с противоположно направленными спинами.
Это рассуждение переносится и на другие уровни энергии. Мы предполагаем, что связь квантовых состояний тела и атома дается следующим правилом: тело из п атомов имеет в п раз больше энергетических уровней, чем отдельный атом. При этом расщепление на п частей происходит с каждым уровнем свободного атома. Это значит, что энергетические уровни тела можно рассматривать как систему полос. Каждая полоса — это расщепленный уровень атома; поэтому полосам можно присвоить те же обозначения 1s, 2s, 2р и т. д., которыми мы пользуемся в атомной спектроскопии. Число //г S электронов, энергии ко- Рис. 297.торых составляют поло
су, будет, разумеется, в п раз больше числа электронов на соответствующей оболочке атома. Так, в 1s- и 25-полосах будет по 2л электронов, в 2р-полосе — 6 л электронов, и т. д.
Ширина полосы зависит от сил взаимодействия между атомами. Эта мысль иллюстрируется схемой на рис. 297. На схеме слева 650
показаны энергетические уровни атомов натрия, а справа — расширение уровней в полосы при образовании кристаллической решетки. По горизонтальной оси отложено 1/г. Заметное расширение уровня 1s было бы достигнуто на абсолютно неосуществимых межатомных расстояниях. Полосы 2s и 2р также практически не расширены при обычных условиях (пунктир). Зато полосы 3s и 3/7 расширены настолько сильно, что перекрываются. Это и значит, что взаимодействие между атомами натрия в обычных условиях затрагивает лишь верхние электроны. (У натрия в состоянии Зр электронов нет. Тем не менее нас будут интересовать и незаполненные энергетические уровни, если энергия возбуждения достаточна для перевода электрона на такой уровень.)
Что означает перекрывание полос 3s и 3/7? По сути дела, это означает, что наша схема соответствия энергетических уровней атома и тела отказывает в этом случае. Мы, однако, не будем смущаться этим обстоятельством. Перекрывание полос означает, что свойства волновой функции электрона, находящегося в области перекрывания, отличаются от свойств волновых функций атомного электрона. Так, например, внешний электрон свободного атома натрия является s-электроном. В жидком или твердом натрии полосы 3s и Зр перекрываются; поведение внешних электронов натрия отличается от поведения s-электрона и проявляются некоторые особые, как иногда говорят, гибридные, свойства (т. е. в их поведении смешиваются особенности s и р волновых функций).
Каким же образом можно установить описанные закономерности опытным путем? Это делается спектральными методами. Действительно, чтобы доказать наличие полосы энергии вместо резкого энергетического уровня, надо исследовать переходы электронов с высокой полосы на низкую. То, что для свободного атома привело бы к созданию резкой линии, здесь дает широкую спектральную полосу.
Наиболее удобно вести исследование переходов с полосы энергии на резкий уровень, например в случае натрия изучить переходы на уровень 2р. Возникающая при этом спектральная полоса даст сведения не только о ширине полосы энергий, но и о распределении электронов по энергиям. Чтобы получить эти данные, надо выбивать электроны из 2р-оболочки (для натрия). Возникшие переходы дадут весьма трудные для наблюдения частоты, лежащие в области мягких рентгеновских лучей (сотни ангстрем). Исследования проводятся в специальных рентгеновских трубках; изучаемое вещество служит анодом.
Измеряя интенсивность возникающей спектральной полосы, мы получаем кривую интенсивности в функции частоты v. Но частота v=glh (где ^ есть энергия перехода, т. е. энергия, отсчитываемая по отношению к освобождаемому резкому уровню), а интенсивность для данного v пропорциональна числу электронов, имеющих энергию ^. Эксперимент дает нам кривые /г^) в функции ^, где п^) есть доля электронов полосы с энергией между ^ и S+d<§. Три характерные
кривые показаны на рис. 298. В первом случае опыт указывает на существование полосы энергии, резко ограниченной со стороны максимума. Заполнены все низшие энергетические уровни. Резкий обрыв показывает, что низшие уровни заполнены до предела по два электрона на уровне. Втораякривая типична для повышенных
^^температур; край полосы размы-
'вается, причем ширина размытия
порядка кТ. Это значит, что доля Iэлектронов находится в возбуж-
_ /I денном состоянии и может частично
d' заполнять более высокие уровни.
Весьма интересна третья кривая:
псопсоона показывает наличие двух не- перекрывающихся полос. Нижняя полоса заполнена, верхняя начала заполняться. Между дозволенными полосами энергии существует запрещенная полоса.
псо
псо
Электронный газ
Из предыдущего ясно, что для теории твердого тела представляют интерес лишь верхние энергетические полосы, поскольку электроны, находящиеся на более низких уровнях, практически не при
нимают участия во взаимодействии атомов. Каким образом можно описывать поведение электронов верхних полос? Так как речь идет об огромном числе электронов, то возникает естественное соображение о рассмотрении совокупности электронов методами статистической физики как своеобразного газй.
Состояние каждого электрона газа можно задать точкой в пространстве импульсов (рх, ру» р^. Направление движения электрона совпадает при таком изображении с радиусом-вектором р. Энергия зависит от импульса электрона. В кристалле энергия электрона будет разной для разных направлений движения. Отвлечемся пока от этого обстоятельства и допустим, что электроны ведут себя как свободные частицы. Несмотря на крайнюю грубость такого предположения (т. е. несмотря на пренебрежение потенциальной энергией поля, в котором движутся электроны, а также пренебрежение взаимодействием электронов), следствия из него хорошо характеризуют — по крайней мере качественно -^ поведение электронов твердого тела, образующих полосу энергии.
Если электроны свободны, то связь между энергией и импульсом дается формулой §—рг1^тУ Это значит, что в пространстве импульсов поверхность равной энергии является сферой. Принято называть эту сферу именем итальянского физика Ферми. Как мы видели
в предыдущем параграфе, из опыта можно найти ^макс—максимальную энергию электронов в полосе. Можно сказать поэтому, что состояния электронного газа заключены в сфере радиусармакс= = К2/п^макс. Таким образом, для поверхности Ферми уместно и другое название: поверхность максимальной энергии.
Чтобы проверить качественную справедливость теории, можно оценить число электронов, входящих в полосу, по значению ^макс. Рассуждаем следующим образом. Согласно принципу неопределенности проекция импульса частицы не может быть определена в куске металла линейного размера L с большей точностью, чем h/L. Поэтому понятие точки пространства импульсов должно быть заменено понятием ячейки этого пространства объемом ИМV, где V — объем рассматриваемого куска металла. Одно из основных положений теории состоит в предположении, что такая ячейка представляет квантовое состояние и что в ней может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Если в объеме V в рассматриваемой полосе имеется N электронов, то занято N/2 ячеек, т. е. объем (N/2)(h3/V). Это есть объем сферы Ферми ра- диуса /7макс. Значит,
4—75\з N №
-^-Л 2ш^>макс) -^ -у.
Из уравнения можно найти вполне разумные числа N. Это показывает, что сделанные предположения в какой-то мере отражают истину.
Пример. Опыт дает порядок максимальной энергии в металле ^макс^ ^10эВ=16- 10~12эрг. Отсюда находим Рмакс^ Т^2ш&макс ~ 2-10~19 г-см/с, т. е. максимальная скорость электронов в металле будет иметь порядок
п ~ ^макс 2* Ю-19 _ 0.108 см/с
Умакс т 9-Ю-282 1 0 СМ^С*
Тогда число электронов в единице объема N будет по порядку величины равно = 2 • | л (1<2^7с)8~ Ю23.
Проведенные рассуждения справедливы для температуры абсолютного нуля. При подъеме температуры электроны могут переходить в ячейки пространства импульсов, которым соответствует большая энергия. При этом такой перехрд будет совершаться электронами, расположенными в ячейках вблизи поверхности Ферми (иначе нужна слишком большая энергия перехода, что маловероятно), и границы сферы будут расплываться. Только при очень значительных температурах возбуждение может захватить электроны низких энергий. По мере увеличения температуры происходит уменьшение степени вырождения электронного газа. Электронный газ сильно вырожден, в особенности при низких температурах. Термин «вырождение» означает, что одной и той же энергией обладают разные квантовые состояния.
Можно рассчитать распределение электронов по энергиям для данной температуры. Оно отличается от распределения Больцмана. По закону Больцмана при абсолютном нуле температуры энергия электронов должна равняться нулю. С точки зрения новой теории энергия электронов при абсолютном нуле весьма велика)— к этому нас привел принцип Паули. Учитывая принцип Паули, можно построить новую статистику (статистика Ферми — Дирака), которая вместо функции е"^кт приводит к выражению
1
^макс)/^! ’
где ^макс — максимально возможная при абсолютном нуле энергия электронов. Этот множитель, помноженный на распределение электронов при абсолютном нуле, дает распределение электронов при любой температуре.
На рис. 299 показан ход функции Ферми — Дирака в зависимости от ^ для значений кТ=0, 1 и 2,5 эВ.
Необходимо обратить внимание на наличие разных статистик для разных частиц. Для молекул применяется статистика Больцмана, для фотонов — статистика Бозе — Эйнштейна, для электронов (и других частиц со спином V2) — статистика Ферми — Дирака.
Различие статистических подходов состоит в разных способах распределения частиц по возможным состояниям.
Пусть имеются два возможных состояния, в которых надо разместить две частицы. Тогда в статистике Больцмана, в которой частицы обладают индивидуальностью, надо учесть следующие возможности: 1) две частицы в первом состоянии; 2) две частицы во втором состоянии; 3) первая частица в первом состоянии, вторая —
во втором; 4) вторая частица в первом состоянии, первая — во втором. Всего, таким образом, четыре возможности.
В статистике Бозе — Эйнштейна частицы неразличимы. Поэтому имеются три возможности: 1) две частицы в первом состоянии; 2) две частицы во втором; 3) одна частица в первом и одна во втором.
В статистике Ферми — Дирака учитывается принцип Паули: в одном состоянии может быть одна частица. Число возможных распределений сокращается до единицы: по одной частице в каждом из двух состояний.
Итак, внешние электроны атомов твердого тела ведут себя как электронный газ. Это — весьма своеобразный газ, и частицы его подчиняются статистике Ферми — Дирака.
§ 270. Проводимость
В отсутствие электрического поля состояние электронного газа таково, что число электронов, движущихся справа налево, равно числу электронов, перемещающихся в обратном направлении. При наложении поля возникают силы, заставляющие электроны двигаться вдоль поля. Распределение электронов в прострайстве импульсов теряет симметрию по отношению к началу координат — оно сдвигается по направлению поля. Наряду с хаотическим движением электронов, происходящим с огромной скоростью, возникает упорядоченное движение, создающее электрический ток.
Для того чтобы распределение электронов сдвинулось, необходим, разумеется, переход электронов из состояний с меньшей энергией в состояния с большей энергией. Такой переход всегда возможен, если в энергетической полосе имеются свободные места. Если же энергетическая полоса заполнена, т. е. все ее уровни заняты электронами в соответствии с возможностями, предоставляемыми принципом Паули, то перейти электронам некуда, во всяком случае до тех пор, пока электронам не будет доставлена энергия, необходимая для перехода на следующую полосу.
Если бы не существовало эффекта перекрывания полос, о котором говорилось выше, то можно было бы предполагать, что все элементы, имеющие один валентный электрон, должны быть проводниками, а все элементы с двумя электронами, отданными в общее владение при образовании твердого тела, должны быть изоляторами. Действительно, у натрия имеется один электрон на уровне 3s. При образовании тела из N атомов натрия этот уровень расщепляется на N уровней. На каждом уровне могут разместиться по два электрона с противоположными спинами, т. е. всего 2N электронов. А у нас имеется только N валентных электронов и, значит, половина энергетической полосы свободна. У соседнего по менделеев- ^ской таблице магния два электрона (на один атом) находятся на уровне 3s. Поэтому при образовании магниевого кристалла все уровни были бы заняты, если бы не существовало явление перекрывания энергетических полос.
Исследование вида энергетических полос у разных элементов показывает полную справедливость приведенного объяснения происхождения проводящих свойств. Только в том случае, если верхняя полоса или слившиеся полосы заполнены не полностью, тело может быть отнесено к проводникам.
Распределение электронов в пространстве импульсов у проводящего тела может сдвинуться в направлении поля. Числа электронов, движущихся по полю и против поля, становятся разными, появляется электрический ток. У изолятора все энергетические полосы заполнены целиком. Обычные напряженности поля не могут создать силы, способные перевести электроны на соседнюю, более высокую полосу (если мы будем упорствовать в нашем желании перевести электроны изолятора на соседнюю полосу, то добьемся лишь пробоя этого диэлектрика). Распределение электронов сохраняет свою симметрию в пространстве импульсов, и числа электронов, движущихся влево и вправо, остаются равными друг другу — тока нет.
Вернемся к проводникам и оценим самым примерным образом величину электропроводности тела, у которого имеется п свободных электронов в единице объема. При этом под свободными электронами, или электронами проводимости, понимаются те электроны, которыё находятся в незаполненных энергетических полосах. ' Мы полагаем, что движение электрона под, действием ускоряющей силы еЕ происходит в течение некоторого небольшого промежутка времени т=//у. Здесь и — скорость электрона, / — средня^ длина свободного пробега. Пробег электрона совершается с огромной хаотической скоростью электрона. Скорость упорядоченного движения электронов, создающего электрический ток, на много порядков величины меньше хаотической скорости и поэтому не входит в знаменатель т. Движение с ускорением eElm в продолжение времени т разгонит электрон до скорости (eElm)(llv). Примерно такое значение должна иметь скорость упорядоченного движения электронов, создающего ток, u^eEU^muY'
Плотность электрического тока есть не что иное как количество электричества, проходящего через единицу площади в единицу времени, т. е. j=neu. Подставляя полученное значение и, имеем:
. пеЧ п Е*.
,3 ти
Вспоминая (стр. 274) закон Ома в дифференциальной форме j=eE, получаем выражение для электропроводности:
пеЧа .
nw
Это вычисление следует рассматривать лишь как оценку значения электропроводности. Упрощения, сделанные при этой оценке, столь велики, что в лучшем случае эта формула может дать согласие с опытом лишь по порядку величины. Однако нас интересуют ка- 656
чественные суждения. Мы видим, что проводимость пропорциональна числу свободных электронов. Только эта величина и длина свободного пробега могут меняться от вещества к веществу.
Пример. Если длина свободного пробега электрона в металле 7^10 А= = 10-7 см, а и (см. пример на стр. 653) имеет порядок 108 см/с, то время свободного пробега т = 10-15 с.
Пусть падение напряжения на участке длиной 1 см металлического проводника сечением 1 см2 равно 0,003 В=10-5 ед. СГС. Тогда £=Ю~5 ед. СГС и ско- вЕ1
рость упорядоченного движения электрона и — -^- — 5-10-3 см/с. Плотность тока j=neu—1023*4,8* 10-10* 5* Ю^^ЗО* 1010 ед. СГС=100 А/см2. Это дает вполне разумные значения проводимости:
и-25 -104 ед. СГС -25-104 ед. СГС 28-104 Ом-^см-Ч
Если бы кристалл представлял собой идеальную кристаллическую решетку и температура была близка к абсолютному нулю, то мы не видели бы ограничения длине свободного пробега и вещество не обладало бы электрическим сопротивлением. Пробег электрона ограничен тепловыми колебаниями атомов и наличием у кристалла различного рода дефектов. Оба эти фактора нарушают идеальную периодичность поля, в котором движется электрон, и становятся причинами рассеяния электронов. Отсюда следует, что проводимость тела должна улучшаться по мере снижения температуры и стремиться к некоторому пределу, зависящему от степени совершенства кристаллической решетки.
Понижение сопротивления с температурой наблюдается на опыте для металлов. Это рассматривается как доказательство справедливости теории для металлов. Более того, уменьшение электросопротивления с температурой считается существенным признаком металла. Пластическая деформация металла, нарушение решетки металла путем ядерной бомбардировки, вообще любые явления, увеличивающие дефектность кристалла, сокращают длину свободного пробега и таким образом влекут за собой возрастание электросопротивления.
В части I (стр. 197) рассматривались явления теплопроводности газов. Было показано, что теплопроводность газа пропорциональна длине свободного пробега и выражается формулой x~pulcp. Нельзя ли применить эту формулу к вычислению теплопроводности металлов? Действительно, электроны много легче атомов, и мы вправе предполагать, что передача тепла производится электронами, которые передают энергию от одного атома к другому. Так как мы не знаем длины свободного пробега, то подсчет коэффициента теплопроводности невозможен. Но мы обращаем внимание на то, что отношение коэффициентов электропроводности и теплопроводности не содержит неизвестных параметров и зависит только от универсальных констант и температуры:
~ = const Та
(формула Видемана и,Франца). Сравнение этой формулы с опытом дает неплохие результаты. Для иллюстрации, приводим значения величины ulaT при О °C для ряда металлов.
Металл
Ag
Au
Си
Мо
РЬ
Pt
Sn
Zn
хВт-Ом
оТК2
2,31
2,35
2,23
2,61
2,47
2,51
2,52
2,31
Теоретическое значение этой величины равно 2,45-10 8
§271. Сверхпроводимость
Степень дефектности кристалла всегда значительна, и поэтому обычно остаточное сопротивление достигается при температурах в несколько градусов Кельвина и далее остается неизменным. Однако имеется примерно около десятка металлов, которые ведут себя совершенно своеобразно. При вполне определенных температурах, близких к абсолютному нулю, эти металлы полностью теряют свое электрическое сопротивление. Если путем электромагнитной индукции возбудить в кольце из такого сверхпроводящего металла электрический ток, то такой ток будет проходить через кольцо в течение суток. Таким образом, сопротивление не уменьшилось, а просто обратилось в нуль и притом скачком.
Из чистых металлов наиболее высокой температурой Гк, при которой появляются сверхпроводящие свойства, обладает ниобий (около 9 К). Наиболее низкая температура Тк принадлежит гафнию, около 0,3 К.
Могло бы показаться, что сверхпроводимость является свойством, принадлежащим всем металлам; достаточно еще понизить температуру — и мы обнаружим сверхпроводящие свойства. Это, видимо, не так. Для очень многих веществ, исследованных вплоть до температур 0,03 К, сверхпроводящие свойства не были найдены. В мнении, что сверхпроводящие свойства не универсальны, поддерживает нас и то обстоятельство, что сверхпроводящие металлы занимают определенное место в таблице Менделеева — ее середину.
Наряду с чистыми металлами к числу сверхпроводящих веществ относятся многочисленные сплавы таких веществ между собой и с несверхпроводящими металлами. Впрочем, оказались сверхпроводящими и некоторые химические соединения, такие как, например, сернистая медь, хотя ни сера, ни медь не являются сверхпроводниками. Азотистый ниобий обнаружил сверхпроводящие свойства уже при температуре за 30 градусов до абсолютного нуля.
Исчезновение электрического сопротивления при температуре Тк не является единственной особенностью сверхпроводников. Другим признаком сверхпроводника является его характерное
поведение в магнитном поле, сводящееся, грубо говоря, к тому, что магнитное поле проникает в проводник лишь на глубины порядка 1000 А. Если не говорить о тончайших пленках, поведение которых несколько своеобразно, то можно сказать короче: внутри сверхпроводника магнитное поле равно нулю. ,
Однако такое положение дел имеет место лишь до тех пор, пока значение накладываемого внешнего поля не превзойдет некоторой критической величины Нк. Если напряженность поля выше этого критического значения, то сверхпроводящее состояние исчезает: магнитное поле проникает внутрь тела и восстанавливается электрическое сопротивление.
Величина Нк не постоянна, она зависит от температуры. При температуре, равной Тк, достаточно ничтожного внешнего поля, чтобы уничтожить ^сверхпроводящее состояние. Короче, при Т=ТК критическая напряженность //к=0. С понижением температуры Нк монотонно возрастает и достигает наибольшего значения при температуре абсолютного нуля. Например, для ртути (у ртути Тк^= = 4,2 К) максимальное значение критической напряженности магнитного поля равно 412 Э.
Электрическое сопротивление является результатом рассеяния электронов тепловыми волнами атомов кристаллической решетки. Эти тепловые волны существуют, как нам известно, благодаря наличию нулевой энергии и при абсолютном нуле температуры. Поэтому, казалось’бы, электрическое сопротивление не должно исчезать при сколь угодно низких температурах. Каким же образом возможно сохранение теплового рассеяния электронов с одновременным прекращением сопротивления электрическому току?
Ответ на этот вопрос был получен лишь в 1937 г. Методами квантовой механики было показано, что электроны, энергия которых заключена в тонком слое, примыкающем к поверхности Ферми, благодаря взаимодействию с тепловыми колебаниями кристаллической решетки способны «спариваться». Оказалось, что при низких температурах энергетически выгодным становится такое положение дел, при котором «объединяются» два электрона с равными и противоположными по направлению спинами. Мы ставим в кавычки слова «спариваться» и «объединяться» по той причине, что волновые функции этих электронов простираются, как показали расчеты, на большое расстояние, порядка 10~4 см (размер кристаллического зерна в обычном поликристаллическом металле). Следовательно, образующиеся пары нельзя представить себе как своеобразные «молекулы»; связь осуществляется на большом расстоянии с помощью тепловых волн.
, Из теории следует, что все пары электронов тождественны в том смысле, что они обладают одним и тем же суммарным импульсом.
«Материя», состоящая из таких пар электронов, обладает свойствами сверхпроводника. Спаривание электронов не ликвидирует теплового рассеяния электронов; сверхпроводимость появляется по той причине, что рассеяние электронов, входящих^ в пару, 659
перестает влиять на силу тока. Тепловое рассеяние может лишь разорвать ту или иную пару или, напротив^ образовать новую пару из индивидуальных - электронов. Величина же тока определяется суммарным импульсом электронов, который остается неизменным. ТакиМ образом, в этой схеме тепловое рассеяние может привести лишь к флуктуациям электрического тока, но не к его прекращению. .
Наряду со «спаренными» электронами в сверхпроводнике существует и обычный электронный газ — газ индивидуальных электронов. Таким образом, в сверхпроводнике существуют как бы две жидкости, одна обычная, а другая сверхпроводящая (ср. стр. 601). Если температура сверхпроводника начинает повышаться от нулй градусов, то тепловое движение будет разрывать все большее и большее число пар электронов — доля обычного электронного газа будет расти. Наконец, наступит критическая температура, при которой исчезнут последние спаренные электроны.
Все явления сверхпроводимости, о которых шла речь выше, количественно объясняются новой теорией.
В последние годы явление сверхпроводимости получило техническое применение. Теоретические исследования советских физиков показали, что значения критических полей в так называемых сверхпроводниках второго рода могут достигать значений 300 000 Гс. Создание электромагнитов с такими полями, не требующих затрат энергии, явится событием для многих отраслей техники (обычный электромагнит с таким полем, потребовал бы электрической мощности около 20 млн. Вт — цифра, выражающая потребление электроэнергии городом с 20 тысячами жителей). Подходящими материалами для изготовления обмотки являются Nb3Sn, а также сплавы Nb — Zr и Nb— Ti. Промышленные образцы сверхпроводящих магнитов, работающих в гелиевой «ванне», дают поля свыше 100 000 Гс при исключительной однородности поля (10-6. в см3), которая так важна для многих применений магнитов.
Полупроводники
Свойства. К полупроводникам относится большой класс веществ (элементов и разнообразных химических соединений) с проводимостью; заполняющей широчайший интервал между проводниками и изоляторами. Если напряжение 1 В создаст в кубике металла размером 1 см3 токи в сотни тысяч ампер, то в изоляторах в тех же условиях токи будут порядка 10"10 А. Интервал действительно огромный, и он может быть заполнен различными полупроводниками.
Проводимость этих промежуточных по свойствам веществ обладает характерными особенностями, позволяющими «узнать» полупроводник.
Прежде всего, необходимо отметить обратную по отношению к металлам зависимость электропроводности от температуры. В от- 660
личие от металлов проводимость полупроводников может быстро падать с понижением температуры. При низких температурах полупроводник может стать изолятором. Сопротивление у большинства полупроводников значительно более чувствительно к изменениям температуры, чем у металлов. Полупроводниковые тепловые сопротивления (термисторы) позволяют изготовлять компактные электроизмерители температуры высокой чувствительности.
Рис. 300.
Второй важной особенностью полупроводников является то Обстоятельство, что в ряде случаев эти тела могут обладать как позитивной (р), так и негативной (и) проводимостью. В эти термины вкладывается следующий простой смысл: если перенос тока совершается положительными (отрицательными) зарядами, то проводимость называется позитивной (негативной). Так, металлы обладают негативной проводимостью — ток переносится электронами. В полупроводниках обнаруживают оба типа проводимости. Этот Эффект в свое время5 казался удивительным, поскольку протекание тока по полупроводнику не связано (как в электролитах) с перемещением ионов и вопрос о природе позитивных носителей тока некоторое время оставался открытым.
Знак носителя тока можно обнаружить рядом способов. Остановимся на наиболее убедительном доказательстве, которое основано на исследования сил, действующих на несущие ток частицы со стороны магнитного поля (эффект Холла). Если вдоль пластинки, помещенной поперек магнитных силовых линий (рис. 300), идет электрический ток, то на заряженную частицу е, движущуюся со скоростью и, будет действовать сила F в направлении, перпендикулярном к полю и току. Иными словами (ср. стр. 266), в этом направлении возникает электрическое поле с напряженностью Е= иВ. Между гранями пластины, расположенными перпендикулярно к возникшему электрическому полю, создается разность потенциалов U — uBd. Знак этой разности потенциалов определяется знаком носителей заряда.
Пример. Пусть полупроводниковая пластинка 1Х2Х0у5 см3 помещена в магнитное поле В = 1000 Гс. Пусть проводимость о пластинки равна ЗОм-1-см-1 (для окиси цинка). Если между концами пластинки (на расстоянии 2 см) приложить разность потенциалов 1 В, то по пластинке пойдет электрический ток, плот
ность которого j = oE = 3 • — = 1,5 А/см2.
Опыт показывает, что между боковыми поверхностями пластинки появилась разность потенциалов ^=0,12 мВ. Знак эффекта Холла (см. рис. 300) показывает, что переносчиками заряда являются электроны. Рассчитаем скорость их упорядоченного движения:
UU~ BdUU~ Bd0,1210-з В0,1 ^ • 10-2 мм20,1210-з В0,1 ^ • 10-2 мм2= 0,12= 0,12м/с = 12м/с = 12см/с.см/с.
U
U~ Bd
U
U~ Bd
0,1210-з В
0,1 ^ • 10-2 мм2
0,1210-з В
0,1 ^ • 10-2 мм2
= 0,12
= 0,12
м/с = 12
м/с = 12
см/с.
см/с.
Интересно отметить, что эта скорость более чем в 1000 раз превышает скорость упорядоченного движения электронов проводимости в металле (см. пример на стр. 657). Число электронов проводимости в единице объема полупроводника
//ейей1,5 А/см21,6-10-19 Кл-12 см/с1,5 А/см21,6-10-19 Кл-12 см/с8 1017 см-з.8 1017 см-з.
/
/
ей
ей
1,5 А/см2
1,6-10-19 Кл-12 см/с
1,5 А/см2
1,6-10-19 Кл-12 см/с
8 1017 см-з.
8 1017 см-з.
Малая величина о объясняется тем, что это значение п примерно в 106 раз меньше, чем п для металла.
Наконец, еще одна важнейшая особенность полупроводников — это крайняя чувствительность к загрязнениям, которые не только сильно влияют на величину проводимости (примесь порядка одного процента может изменить проводимость в миллионы раз), но и могут изменить /г-проводимость на /7-проводимость и обратно.
К наиболее интересным полупроводникам, уже имеющим огромное практическое значение, относятся германий, кремний, селен, сплавы сурьмы с индием, кадмием, цинком, окислы меди, окислы титана.
Объяснение свойств. Большинство особенностей полупроводников непринужденно объясняется схемой энергетических уровней, которая рассматривалась выше. У изоляторов имеется заполненная энергетическая полоса. Следующая свободная полоса отделена от заполненной большим энергетическим промежутком. Представим себе, что система уровней вещества такова, что промежуток между этими полосами снижается и энергия теплового движения достаточна для того, чтобы переводить электроны из занятой полосы в свободную. Такое вещество и будет естественным полупроводником.
При данной температуре число электронов, находящихся в верхней полосе, будет определяться условиями подвижного равновесия, устанавливающегося между зонами. Электроны непрерывно переходят с нижней полосы в возбужденное состояние и обратно; равновесным будет такое состояние (как у насыщенного пара), при котором числа электронов, идущих «вверх» и «вниз», сравняются.
При повышении температуры (опять-таки как у насыщенного пара) равновесие сдвигается в сторону верхнего уровня — мгновенная концентрация электронов в верхней полосе растет. Концентра-
ция свободных электронов резко растет с уменьшением щели между полосами. Вероятность преодоления энергетического барьера ширины ^^ дается, как всегда, экспоненциальным множителем. Для примерной оценки концентрации электронов в верхней полосе при температуре Т можно воспользоваться формулой л^1019^-дМ2^).
Если ширина зазора Д^ становится существенно больше кТ, то’ тело уже следует отнести к изоляторам. Для этого достаточно, чтобы встало в 100—200 раз больше, чем кТ. При комнатной температуре кТ^1/40 эВ. Когда Д^ станет меньше 1 эВ, т. е. примерно в 40 раз больше кТ, число электронов в верхней полосе уже будет достаточным для создания измеримых токов. Если Добудет порядка десятых долей эВ, то полупроводник обладает весьма значительной проводимостью.
' Вспоминая формулу электропроводности о ~ne4l(mv), мы видим, что при изменении температуры полупроводников меняются два фактора, от которых зависит о. Прежде всего, растет число свободных электронов п, но по-прежнему падает с ростом температуры свободный пробег /. Опыт показывает, однако, что обычно первый эффект перекрывает второй.
До сих пор мы вели рассуждение о проводящих свойствах верхней, зоны и оставили без внимания нижнюю зону, которая должна была также получить проводящие свойства, поскольку в ней образовались свободные места за счет электронов, перешедших в верхнюю полосу. Эта проводимость может иметь весьма своеобразный характер.
Возникновение проводимости в верхней, частично заполненной полосе можно интерпретировать как сдвиг распределения электронов в пространстве импульсов в направлении поля (вправо на рис. 301, а). Однако это не единственная возможность проявления упорядоченного движения электронов. Представим себе, что общие контуры распределения электронов не меняются (рис. 301, б). Однако то в одном, то в другом месте, близком к поверхности Ферми, выхватываются электроны и в пространстве импульсов образуется
«дырка». В эту дырку под действием поля сразу же переходит соседний электрон слева направо (в том же направлении, что и в ранее рассмотренной схеме). Дырка перемещается справа налево. Теперь в нее переходит другая точка, изображающая электрон в пространстве импульсов, и таким образом дырка передвигается в направлении, обратном тому, в котором движутся электроны. Так как дырки образуются непрерывно, то все время идет «дырочный» позитивный ток.
Итак, в естественном полупроводнике электрический ток можно рассматривать как результат движения не только электронов верхней зоны, но и «дырок» в заполненной полосе. Однако все же главную роль в этих случаях играет движение электронов в зоне проводимости.
Описанная естественная проводимость полупроводников встречается значительно реже, нежели другое явление — полупроводящие свойства под влиянием малых примесей чужеродных атомов.
Рис. 302.Рис. 302.Роль чужеродных атомов или иных дефектов решетки заключается во вносимом ими дополнении к картине энергетических уровней. Зачастую дефекты создают свой уровень — узкую энергетическую полоску между заполненной и свободной зонами.
Рис. 302.
Рис. 302.
Допустим, Что чужеродные атомы приносят с собой «лишние» электроны, которые заполняют узкую полоску, возникшую между зонами. При повышении температуры электроны с уровня примесей переходят в зону проводимости все в большем и большем числе: проводимость растет. Такой полупроводник будет давать ^-прово-
димость. Может случиться (при малой концентрации примеси), что все лишние электроны будут отданы. Дальнейшее повышение температуры уже не приведет к увеличению проводимости — тело будет себя вести, начиная от этого момента, как металл. Такое поведение обнаруживается при введении в решетку четырехвалентного кремния или германия атомов пятивалентных мышьяка или фосфора. На рис. 302 упрощенно изображена кристаллическая решетка кремния. Если один атом кремния заменить на атом мышьяка, то один электрон остается «лишним». Это и будет электрон проводимости
Замечательно то, что примеси могут привести и к /7-проводимости Это будет в том случае, если атом примеси обладает акцепторными свойствами, т. е. способен присоединять к себе электроны. На промежуточный уровень примеси перейдут электроны заполненной полосы, и в ней возникнет дырочная проводимость. Такую проводимость можно наблюдать у кремния с примесью трехвалентного алюминия. Если в ряде мест решетки кремний будет заменен на алюминий, то в кристалле возникнут «места нехватки» электронов После того, как поле наложено, атом алюминия сможет отобрать электрон у соседнего атома кремния; электрон перейдет под дей ствием электрического поля, а «дырка» сдвинется в обратную сто рону.
Надо помнить, что подобные «наивные» картины перемещения электрона имеют в высшей степени условный характер — движение электронов в твердом теле подчиняется законам квантовой механики.
Введение тех или иных примесей позволяет управлять электропроводностью материалов в самых широких пределах. Можно сменить /7-тип проводимости на n-тип. Можно существенно изменять характер температурной зависимости проводимости.
§ 273, Эмиссия электронов
Работа выхода электрона. Электроны, находящиеся в зоне проводимости, ведут себя как своеобразный электронный газ. «Стен
ками» сосуда, в котором находится этот газ, является поверхность
твердого тела. Чтобы выйти за пределы этой поверхности, электрон
должен преодолеть потенциальный барьер, высоту которого обозначим через ^. Как нам известно, при абсолютном нуле электроны обладают граничной энергией IV. В модели электронного газа IV соответствует поверхности Ферми. Это-
энергия электронов, нахо
энергиюэнергиюдящихся при нуле градусов, на самом высоком уровне. Таким образом, для преодоления электроном потенциального барьера ему не нужно сообщать энергию ^, а достаточно придать дополнительную
энергию
энергию
л-е—iv.
Величина А носит название работы выхода, а Л/^=ф можно назвать потенциалом выхода, или работой выхода, выраженной в вольтах (рис. 303).
Выход электрона из металла затрудняют силы притяжения, действующие со стороны положительных ионов, и силы притяжения между электроном и его электрическим изображением. Последняя сила равна е2/(4х2), если электрон находится на расстоянии х от поверхности.. Она способна удерживать электрон на существенном расстоянии от поверхности, образуя, таким образом, слой или облако электронов вблизи поверхности тела.
Если металл находится в_электрическом поле, работа выхода снижается на величину eVеЕ, где е — заряд электрона, а Е — напряженность поля. Чтобы снизить потенциал выхода на 1В, требуется напряженность внешнего поля 0,2-107 В/см. (Мы видим, что в обычных электронных приборах влияние внешнего поля на работу выхода будет незначительным.)
Работа выхода очень резко зависит от свойств поверхности. Оказывается, можно нанести на поверхность катода электрополо-
жительные атомы или ионы (металлы, кислород). При этом могут образоваться слои с обращенными наружу положительными зарядами. Работа выхода при этом может быть сильно понижена, как
это.видно из следующего примера.
Обычным материалом нити накала в электронных лампах является вольфрам, работа выхода которого Л =4,9 эВ. Покрытие поверхности вольфрама слоем окисла щелочноземельного металла (Са, Ba, Sr) снижает работу выхода до 1,5—2 эВ. Это позволяет при более
низких температурах нити накала получать значительно большую эмиссию.
Термоэлектронная эмиссия. Выход электронов из металла при нагревании носит название термоэлектронной эмиссии. Это явление, как известно, лежит в основе действия ламп накаливания. При повышении температуры электроны возбуждаются и некоторые из них могут получить скорости в направлении, перпендикулярном к поверхности тела, достаточные для преодоления потенциального барьера ^.
Электронный газ подчиняется статистике Ферми — Дирака, согласно которой число электронов с энергией ^ пропорционально -1
выражению ■ ^""^^^т• Но нас интересуют энергии ^, которые
существенно больше энергии нулевого уровня W. Поэтому с достаточной точностью написанный множитель заменится на^~^"6)//1Г =
=е-еч)/кТе Таково число электронов с энергией, равной высоте потенциальной ямы. Строго доказывается, что сила тока электронной эмиссии пропорциональна этому выражению. Из формулы очевиден исключительно быстрый рост термоэлектронного тока с температурой.
Для измерения термоэлектронного тока используется схема, показанная на рис. 304. Увеличивая напряжения, весьма быстро дойдем до тока насыщения. Выше мы имели в виду именно ток насыщения. Что же касается начального участка кривой термоток — напряжение, то он возникает из-за электронного облака, о котором было сказано выше. Напряжение, отсасывающее электроны, забирает частицы из электронного облака. Катод немедленно пополняет число электронов в облаке до равновесного значения. Это равновесное значение определяется в отсутствие внешнего напряжения эмиссионной способностью и противополем облака. По мере увеличения напряжения электронное облако тает, и эмиссия нарастает до тех пор, пока напряжение не исчерпает электронного облака полностью. Тогда и устанавливается ток насы
щения.
Строгое рассмотрение приводит к такой зависимости плотности термоэлектронного тока от температуры:
; = АТЧ'е^{кт
(формула Ричардсона).,
Для вольфрама А=75 А/(см2*К2), еф=4,5 эВ. Сравним плотности тока термоэлектронной эмиссии из вольфрама при температурах 500 К и 2000 К
При 500 К*
_ 4-5 С6 10-12
/ = 75-25 104 е П38.ю-le-500 _ 10_36 А/см2,
т. е. для получения измеримых токов потребовались бы катоды невероятных размеров, превышающие площадь всей земной суши.
При 2000 К
5,21 Ю4
/ = 75-410в е 2000 ~ 1,6 мА/см2.
Такой ток уже легко измерить, но площадь эмиттирующей поверхности для многих приложений оказалась бы еще слишком большой.
Нанесение на вольфрам цезия меняет картину: теперь А=3,2 А/(см2-К2), но еф=1,36 эВ и при Т=2000 К
•1,57-104
/ = 3,2-4106е2000 я 4,8103 д/см2.
Ясно, что такие плотности тока разрушили бы катод, поэтому нужные на практике значения /^1 А/см2 можно теперь получить при более низкой температуре (—1300 К).
Вторичная эмиссия. Так называется вырывание электронов из металла под действием других электронов. Вторичные электроны могут выходить в направлении первичных электронов. Это показывает, что первичные электроны взаимодействуют со связанными электронами, иначе нарушался бы закон сохранения импульса. Вторичная эмиссия начинается при энергии первичных электронов порядка 10 эВ. Большинство вторичных электронов имеет энергию в несколько электрон-вольт, их распределение по энергиям почти не зависит от энергии первичных электронов.
Первичные электроны вызывают вторичные и, кроме того, упруго рассеиваются. Замечательным обстоятельством, широко используемым на практике (трубка Кубецкого), является то, что один первичный электрон может создать несколько вторичных.
Фотоэлектрический эффект
Внешний фотоэффект. Для изучения этого явления исследуемое вещество используется в форме катода вакуумной трубки. Свет направляется на катод и вырывает из него электроны. Электроны, достигающие анода, создают фотоэлектрический ток, величина которого исследуется в зависимости от внешних обстоятельств.
Характерным для вещества является, конечно, полный ток, снимаемый с катода. Поэтому и здесь работают обычно в режиме тока насыщения. Если к фотоэлементу напряжение не приложено, то через прибор идет слабый ток, создаваемый частью электронов, вылетевших из катода в направлении анода. Слабое ускоряющее
напряжение не соберет еще всех электронов, но при некотором его значении все электроны добираются до анода — устанавливается ток насыщения.
Опыт показывает, что сила фототока строго пропорциональна интенсивности падающего света. Это справедливо для света любой частоты, создающей фотоэффект.
Более того, утверждается, что число выбитых электронов в точности равно числу фотонов. Один фотон может вырвать один электрон. Таким образом, не допускается такой процесс, при котором один фотон, постепенно теряя энергию, вырвал бы из вещества несколько электронов* Это важное положение несколько трудно доказать, изучая внешний фотоэффект, поскольку он всегда может сопровождаться внутренним фотоэффектом (см. ниже) и часть электронов может не выйти, за пределы вещества,
При взаимодействии фотона с электроном должны соблюдаться законы сохранения энергии и импульса. Закон сохранения энергии (уравнение Эйнштейна) имеет вид
, /пи2 , где ф — потенциал выхода электрона из металла (тот же, что и в опытах по термоэлектронной эмиссий). Необходимость соблюдения закона сохранения импульса приводит к заключению, что в процессе взаимодействия^ фотона с электроном должна принимать участие решетка.металла (иначе электроны могли бы двигаться лишь в том же Направлении, что и фотоны).
Любой фотон может произвести фотоэффект, если только его энергия по крайней мере равна работе выхода. Отсюда следует, что Для каждого материала существует своя граница фотоэффекта. Граничная частота равна з^о—(е/й)ф, граничная длина волны Хо в миллимикронах («красная» граница фотоэффекта) равна А^/(^ф)=1236/ф, если ф выражать в вольтах. При облучении вещества светом с большей длиной волны фотоэффект невозможен. «Красная» граница фотоэффекта для Li будет Хо=56О нм (5600 А), т. е. соответствует желтой части видимого спектра; для Си Хо=ЗОО нм (3000 А) — ультрафиолет; для А1 Хо=41О нм (4100 А) — фиолетовая часть видимого спектра.
Если энергия фотона больше работы выхода, то ее излишек идет на кинетическую энергию электрона. Таким образом, жесткое излучение способно создать очень быстрые фотоэлектроны.
Для точного измерения граничной частоты и работы выхода используют метод задерживающего потенциала. Для этого накладывают на фотоэлемент слабое задерживающее напряжение (плюс на фотокатоде) и повышают его до прекращения тока. Этот момент наступает, когда еГ3=ти2/2. Таким образом можно построить опытную зависимость У3 от частоты света'
/IV
v3 = 7—ф.
Должна получиться прямая линия с угловым наклоном, позволяющим вычислить универсальную константу hie. Две характеристики вещества — граничная частота v0 и потенциал выхода ф — получаются как отрезки, отсекаемые прямой на осях (рис. 305).
Пример. Если на медную пластинку (ф=4,1 В) падает мягкое рентгеновское излучение ^=100 А, то задерживающее напряжение прекратит фототок, когда
3- Ю10 1
^3^-еф-6,610^7.__.._ эВ=120 эВ.
Следовательно, задерживающий потенциал будет равен 120 В.
Другая важная характеристика материала фотокатода — это спектральная зависимость фототока. Здесь нет каких-либо простых
закономерностей. Кривая начинается от граничной частоты и во многих случаях довольно монотонно растет; можно сказать, что с энергией фотонов повышается коэффициент их использования. Однако в иных случаях спектральные кривые имеют ясно выраженные максимумы, лежащие в довольно узкой спектральной области.
Фотоэлементы, использующие
внешний фотоэффект, широко рас
пространены. Они применяются в фотореле, телевидении, звуковом кино. В качестве фотокатодов служат серебро, цезий, калий;
распространены сурьмяно-цезиевые катоды.
При употреблении в различных фотореле бывает несущественной пропорциональность фототока интенсивности света; напротив, важна чувствительность фотоэлемента. В этих случаях можно использовать вместо вакуумных фотоэлементов газонаполненные. Чувствительность повышается в десятки раз.
Внутренний фотоэффект. Если действие фотона сводится к перемещению электрона из заполненной зоны на уровень примеси или уровень проводимости, то мы говорим о внутреннем фотоэффекте. В результате этого явления в теле под действием света могут образоваться электроны проводимости и дырки. Они должны образовываться парами. Строго говоря, пара зарядов должна приходиться на один фотон. Явление крайне осложняется протеканием внутри тела вторичных процессов, являющихся следствием рекомбинации электронов и дырок.
Как ясно из сказанного, внутренний фотоэффект есть явление, особенно характерное для полупроводников, но оно наблюдается и в изоляторах.
Полупроводники, обладающие этим эффектом, включаются в цепь тока в качестве так называемых фотосопротивлений. В темноте
такое тело обладает весьма малой (темновой) проводимостью. При облучении светом проводимость растет. Для внутренних переходов электрона бывают достаточны энергии в десятые доли электронвольта. Поэтому порог внутреннего фотоэффекта может лежать в далекой инфракрасной области.
Фотосопротивления широко используются для сигнализации и автоматики всюду, где нужно превратить в действие или зафиксировать слабейшие изменения в интенсивности света.
Запирающие слои
Граница металла и полупроводника, а также граница двух полупроводников может в ряде случаев обладать выпрямляющим действием. Поскольку переход от одного тела к другому при их тесном контакте (сваривании, сплавлении) занимает хотя и очень тонкий, но все же конечный по толщине участок, принято говорить о за- пирающем слое. Такой слой можно создать на границе меди и закиси меди, на границе селена и селенистого кадмия. Исследования показали, что запирающий слой между двумя полупроводниками возникает в том случае, если один из полупроводников принадлежит к ‘p-типу, а другой — к n-типу. Такие запираю- .^ щие слои называют границами р — п.
Рис. 306 иллюстрирует вы-
Рис. 306.прямление, даваемое запираю
щими слоями. На нем приведена типичная кривая зависимости силы тока от напряжения. Правая ветвь кривой называется пропускным током, левая — запирающим. Пропускной ток быстро растет с напряжением, запирающий — почти не меняется, остается все время крайне слабым.
Какое же направление тока является пропускным? Исследования показали, что на р — ^-границе пропускной ток идет от дырочного полупроводника через границу к электронному. Это значит, что дырки стремятся к электронам и, наоборот, электроны продвигаются в сторону повышенной концентрации дырок. Запирающему току соответствует такое направление, при котором дырки и электроны расходятся от границы.
Что же касается границы металл — полупроводник, то там, видимо, дело обстоит следующим образом. Если с металлом граничит полупроводник дырочного типа (медь — закись меди), то пропускным направлением тока является направление от закиси меди к меди. Это представляется естественным: в полупроводнике нет
свободных электронов, в металле они имеются в избытке; электроны переходят из металла в полупроводник.
Свойства запирающих слоев нашли себе широкое применение в промышленности выпрямителей. Уже давно производятся купрокс- ные выпрямители (медь — закись меди), селеновые выпрямители. В последнее время широкое применение получают крошечные выпрямители, сделанные из германия или кремния,— кристаллические диоды. Введением примесей в германий или кремний можно превратить его в проводник p-типа или n-типа. Кристаллический диод представляет собой маленький кристаллик германия (кремния), одна часть которого содержит примеси акцепторного типа, а другая — примеси донорного типа.
^олуи^Юч^^вакуумный три^
Рис. 307.
Интересны также кристаллические триоды, представляющие собой полупроводящую систему типа р — п — р или п — р — п. Если к трем участкам этого крошечного триода (размеры кристаллических «ламп» порядка сантиметра) припаять три провода, то такую систему можно включать в цепь для тех же целей, что и трехэлектродную лампу. На два крайних конца накладывается напряжение — один конец служит анодом, другой — катодом. Третий отвод играет роль сетки. В такой системе полупроводников оказалось два запирающих слоя, включенных друг навстречу другу. Поэтому она и играет роль трехэлектродной лампы. Параллель между работой кристаллического и обычного триодов поясняет рис. 307.
Другое важное использование запирающих слоев — для изготовления фотоэлементов, работающих без источника напряжения. Если на поверхность полупроводника нанесен тонкий слой металла, то создается запирающий слой. Слой металла может быть настолько тонким, что свет свободно пройдет через него. Под действием прошедшего сквозь металл света в полупроводнике происходит внутренний фотоэффект. Ввиду наличия запирающего слоя освободившиеся электроны вынуждены начать направленное движение. Замкнув цепь, мы получим электрический ток.
На этом принципе могут быть изготовлены меднозакисные и селеновые фотоэлементы. У нас с успехом применяются отечественные сернисто-таллиевые фотоэлементы, дающие ток короткого замыкания порядка 10 000 микроампер на люмен. Фотоэлементы такого типа обладают коэффициентом полезного действия превращения световой энергии в электрическую порядка 1 %. И здесь существенный переворот вносят запирающие р — n-слои из кремния и германия. Они позволяют изготовлять фотоэлементы с коэффициентом полезного действия порядка 10%. Открытие этой новой возможности делает вполне реальной задачу технического использования солнечной Энергии. -
Контактная разность потенциалов
Если металлические или полупроводниковые тела приведены в соприкосновение, то между ними возникает разность потенциалов, называемая контактной. Для того чтобы измерить эту величину, надо создать тесный контакт между двумя телами вдоль некоторой поверхности (спаять, сварить, пришлифовать, обеспечив отсутствие ввив» ^■*=86=*» посторонних включений, окисных \1пленок и пр.) и образовать из
л^ этих тел разорванный в одном ме-
u сте контур. Каждое из тел будет иметь определенный потенциал, Рис. 308." одинаковый во всех точках тела.
Поэтому контактную разность потенциалов можно измерить, определяя поле в зазоре. По порядку величины контактная разность потенциалов между двумя телами равна десятым долям вольта.-
Необходимость существования контактной разности потенциалов вполне очевидна — она должна возникать, если только работа выхода электронов у соприкасающихся тел различна. Напомним, что работа выхода А — это существующая при температуре абсолютного нуля разность между энергией электрона на самом высоком уровне внутри металла W и энергией электрона, вышедшего за пределы металла с нулевой кинетической энергией.
Распределение электронов по энергиям у двух приведенных в соприкосновение твердых тел можно изобразить схемой (рис. 308). Верхний уровень одинаков для всех тел. Электроны тела, у которого работа выхода меньше, расположены на более высоком энергетическом уровне. Таким образом создаются условия для перехода электронов из первого тела во второе. Этот переход сопровождается образованием положительного заряда на первом теле и отрицательного — на втором. В месте контакта возникнет электрическое поле, которое будет препятствовать переходу электронов. В конце концов установится равновесие; оно будет осуществляться при строго определенной разности потенциалов, характерной для данной пары металлов.
Картина, которую мы набросали, будет в незначительной степени зависеть от температуры. При повышении температуры распределение электронов по энергиям уже не имеет столь резкой границы. Появятся электроны на более высоких уровнях, однако условия перехода электронов останутся в основном те же из-за слабой зависимости энергии электронов от температуры, о чем мы говорили выше.
Из приведенного описания явления очевидно, что все твердые тела можно расположить в определенный ряд так, чтобы предыдущий член ряда заряжался положительно по отношению к последующему. Такой ряд был составлен еще Вольта, открывшим контактную разность потенциалов. Из приведенного нами объяснения явления очевидно, что ряд Вольта должен быть рядом по восходящим работам выхода: электроны переходят от тел с меньшей работой выхода к телам с большей работой выхода.
Поскольку контактная разность потенциалов ф12 двух тел выражается в виде разностей работ выхода,
Ф12 ^х ^г)>
то очевидно, что разность потенциалов двух тел может быть представлена в виде разности потенциалов этих двух тел с каким-либо третьим:
Ф12~~(^1^2)»Ф13 = ~(^1^з)>
Ф23 ~ “^ (^2^3) ~ Ф21Ф31е
Далее, очевидно, что в замкнутой цепи, составленной из любого числа тел, суммарная контактная разность потенциалов равна нулю: ф12+ф2з+фз1=0- Электрический ток в такой цепи существовать не будет.
Ряд напряжений (нормальный потенциал в растворе электролита, вольты):
Li Са Na Al Zn Fe Ni Pb
— 3,01 —2,84 —2,71 —1,66 —0,76 —0,44 —0,23 —0,12
Cu Hg Ag Pt+ 0,34 +0,70 +0,80 +1,2
§ 276a. Электролюминесценция полупроводников
Электроны ц дырки полупроводника могут комбинировать с излучением фотона. Можно представить себе четыре варианта таких процессов: переход электрона полосы проводимости к дырке валентной полосы и к дырке акцепторного уровня, переход электрона. донорного уровня к дырке валентной полосы и к дырке акцепторного уровня.
Чтобы полупроводник был излучателем света, надо, чтобы его структура благоприятствовала быстрой рекомбинации электронов
67367322 А. И. Китайгородский
673
673
и дырок, а также позволяла вводить электроны в возбужденные состояния. Такие состояния будут получены, если удастся инжектировать электроны в полупроводник, в котором больше дырок, т. е. в р-кристалл. Тот же эффект получится введением дырок в полупроводник я-типа. Наконец, можно также прибегнуть к инжекции в
изолятор дырок и электронов.
Если, пропуская ток через полупроводник, мы осуществим один из этих процессов, то произойдет прямое превращение энергии тока в свет, т. е. будет иметь место электролюминесценция.
Рис. 308а.Рис. 308а.
Рис. 308а.
Рис. 308а.
Наиболее удобными для практического осуществления электролюминесценции оказались р — n-диоды, изготовленные из бинарных полупроводников типа фосфида или арсенида галлия. На рис. 308а дана схема энергетических уровней диода. Между р- и п- областями диода установится, как только что было объяснено, контактная разность потенциалов, уравновешивающая диффузию электронов (черные кружки) в p-область и дырок (светлые кружки) в ^-область (рис. 308а, п)
При наложении поля (рис. 308а, б) барьер понижается, электроны начинают свое движение вправо на нашем чертеже, а дырки влево. В пограничном слое создаются благоприятные усЛовия для рекомбинации всех четырех типов. Энергия образующихся фотонов, грубо говоря, равна зазору между полосами.
Конечно, процесс рекомбинации не обязательно должен сопровождаться излучением. Соответствующая энергия может перейти и в тепло. Если бы удалось осуществить идеальный случай, то выход излучения превосходил бы подводимую электрическую энергию и прибор работал бы как холодильник, черпая тепло в кристалле и окружающей среде.
Все излучение распространяется в плоскости пограничного слоя. Два конца диода, перпендикулярные границе, полируются таким образом, чтобы создалась резонансная полость. При больших токах излучение становится стимулированным со всеми вытекаю- 674
щими отсюда следствиями в отношении остроты направленности поляризации и когерентности.
К настоящему времени удалось создать большое количество полупроводниковых лазеров. Все они относятся к бинарным полупроводникам, комбинирующим элементы II—VI, а также III — V столбцов таблицы Менделеева. В соответствии с ширинами зазоров, колеблющимися в пределах нескольких единиц электрон-вольт, созданы полупроводниковые лазеры, охватывающие диапазон длин волн от ультрафиолета до далекого инфракрасного света.
§ 277. Распределение зарядов в неравномерно нагретом теле
Рассмотрим стержень, вдоль которого падает температура. Разные участки этого стержня будут находиться в разных условиях, и это скажется на поведении свободных электрических зарядов. Там, где температура выше, заряды будут обладать большей энергией; кроме того, и число свободных зарядов может возрасти, если имеется возможность перехода электронов из заполненной зоны в зону проводимости. Обе эти причины приведут к тому, что начнется диффузия свободных зарядов, которая будет происходить до тех пор, пока не создастся противополе, уравновешивающее тенденцию к равномерному распределению. Вдоль етержця возникнет падение потенциала; на одном конце стержня образуется отрицательный, на другом — положительный заряд. Падение электрического потенциала с температурой будет характерным для каждого тела. Быстроту падения потенциала можно описывать производной потенциала по температуре a=d^!dT.
Если на концах стержня поддерживается неизменная разность температур, то это значит, что через него непрерывно передается тепло. Тепло передается свободными зарядами, однако ток в незамкнутом проводнике существовать не может. Непрерывный перенос энергии без переноса заряда обеспечивается разной скоростью движения зарядов, идущих от горячего конца к холодному, при одинаковом числе зарядов, проходящих в обе стороны через сечение в единицу времени. Если носителями тока являются электроны, то их избыточная концентрация имеет место на холодном конце стержня. Если носителями тока являются положительные частицы или дырки, то на холодном конце соберется положительный заряд. Знак возникающей разности потенциалов будет, таким образом, разным в зависимости от знака переносчиков тока.
Будет ли существовать описанный эффект в том случае, если речь идет о полупроводнике, и притом таком полупроводнике, у которого ток переносится и дырками и электронами? Такая двусторонняя диффузия действительно может свести разность потенциалов неравномерно нагретого тела к нулю. Однако разности потенциалов, образованные носителями тока обоих знаков, могут и не скомпенсироваться. Это может произойти благодаря разной подвижности электронов и дырок, а также различия в их концентрациях.
Наблюдение разности потенциалов в неравномерно нагретом проводнике представляет некоторые сложности. Порядок величины возникающего падения потенциала — это 10-4 В на градус. Разумеется, нельзя обнаружить явление,.изготовив замкнутый проводник в надежде измерить электрический ток. Действительно, такой замкнутый проводник мы всегда можем мысленно разбить на две половины: в первой происходит падение потенциала, а во второй — возрастание. В однородном проводнике эти величины будут строго равны и результирующую э. д. с. обнаружить нельзя.
Термоэлектродвижущая сила
Электрический ток можно наблюдать в кольцевом проводе, составленном из двух (или более) различных тел, если только места соединения (спаев) находятся при разных температурах. Это и есть известное явление термоэлектричества, имеющее широкое применение на практике.
Причин появления термоэлектрического тока может быть две. Прежде всего, очевидно, что падение потенциала вдоль обоих проводов, происходящее из-за перепада температуры, может быть разное у этих двух тел (обозначим их 1 и 2), если только их константы a=d^!dT различны.
Действительно, только случайно разности потенциалов ^ a{dT тх т\
и andT могут оказаться равными. Уже этого было бы достаточно т2
для того, чтобы в кольцевом проводе возникла э. д. с., равная разности этих напряжений.
Вторая причина термоэлектрического тока состоит во вполне вероятной зависимости контактной разности потенциалов от температуры. В результате помещения двух спаев в разные температурные условия их контактные разности потенциалов могут оказаться разными. Опять-таки и одного этого условия было бы достаточно для возникновения результирующей разности потенциалов в замкнутой цепи, а значит, и появления тока.
Учитывая оба явления, мы можем записать выражение для термоэлектродвижущей силы в виде суммы падения напряжения в первом проводе, скачка потенциала от первого тела ко второму, падения потенциала во втором теле и скачка потенциала от второго тела в исходную точку обхода контура:
^ —$ #i dT + [q>n (Л)— (PiC^l + j ^п dT + [ср1 (Д) — Фп(Л)]- та
Для упрощения полученного выражения запишем разность Фп^) — Фп(т1) в виде
С ^Фп
3 dT
и так же преобразуем аналогичную вторую разность. Тогда формула для э. д. с. примет вид
Нам удалось таким способом выразить ^ в виде разности двух величин, каждая из которых является характеристикой данного тела. Довольно часто термин «термоэлектродвижущая сила» применяют не к этим интегралам, а к величине э. д. с., отнесенной к одному градусу:
„ ^ФконтUдгр
Эта величина является основной характеристикой термоэлектрических свойств тела. Она не является неизменной константой, а может зависеть от термодинамических условий, в том числе и от температуры. Впрочем, для многих тел эта зависимость не выражена ярко.
Измеряя термоэлектродвижущую силу, можно определить не а, а разность этих величин. Однако, комбинируя разные пары проводников и полупроводников, мы имеем возможность определить значения а по отношению к одному телу, принятому за «начало отсчета». Таким образом можно расположить тела в ряд по их термоэлектродвижущим силам. По вполне понятным после сказанного причинам ряд по термоэлектродвижущим силам не совпадает с рядом по контактной разности потенциалов.
Приведем термоэлектродвижущие силы некоторых металлов по отношению к платине. Если данный металл спаян с платиной, причем один спай находится при О °C, а другой — при 100 °C, то в замкнутом контуре возникает э. д. с. (в мил-
л и вольтах):
Сурьма+ 4,0
Железо+ 1,9
Медь+ 0,75
Никель—1,5
Константан —3,4
Положительный знак означает, что в спае, находящемся при 0°С, ток течет от данного металла к платине.
Беря из таблиц значение констант а, мы сразу же подсчитаем значение термоэлектродвижущей силы, имеющей место при данной разности температур: — а2)(Л — 72). Такой вид будет иметь формула в случае термоэлемента, составленного двумя
металлами или двумя полупроводниками, обладающими одинаковыми по знаку носителями тока. В этом случае разности потенциалов, возникающие в обоих плечах цепи, направлены друг против друга и результирующая э. д. с. представляет собой разность действий обоих проводов, составляющих цепь. Однако картина меняется в том случае, если мы составим цепь из двух полупроводников, один из которых обладает дырочной, а другой — электронной проводимостью. У дырочного проводника на холодный спай направляются дырки, а электроны идут к горячему спаю. У электронного проводника электроны идут к холодному спаю. Оба эффекта усиливают друг друга, и формула имеет вид
Это обстоятельство весьма существенно для практики.
Выделение тепла в электрических цепях
В проводе, по которому течет ток, выделяется джоулево тепло. Кроме того, перемещение зарядов вдоль тела сопровождается еще двумя тепловыми явлениями.
Первое из этих явлений, носящее имя Пельтье, состоит в следующем. Если через спай двух тел проходит электрический ток, то в спае выделяется или поглощается тепло, пропорциональное силе протекающего тока:
С = п/,
где П — коэффициент пропорциональности. Замечательной особенностью этого эффекта является изменение знака у количества тепла при изменении направления электрического тока: в зависимости от направления тот же самый спай будет либо выделять, либо поглощать тепло. Опытом Ленца это было доказано более ста лет назад. В углубление на стыке стержней сурьмы и висмута Ленц поместил каплю воды. Пропуская ток в одном направлении, можно было показать, что капля замерзает. Меняя направление тока на обратное, можно эту же каплю расплавить.
Второе явление имеет место в любом однородном проводнике, если он неравномерно нагрет. Положим, например, что ток идет вдоль стержня, один конец которого находится при одной температуре, а второй конец—при другой. Тогда в этом проводе будет происходить дополнительное выделение тепла, пропорциональное первой степени силы тока (а не ее квадрату, как в эффекте Джоуля). Разумеется, чтобы заметить это явление, надо свести к минимуму джоулево тепло.
Можно хотя бы следующим образом демонстрировать этот эффект (его предсказал на основании термодинамических соображений английский физик Томсон).. В состав цепи тока входят два
стержня, которые располагаются параллельно друг другу (рис. 309). Концы стержней попарно держатся при разных температурах. Сим
метрия расположения, казалось бы, должна привести к тому, что в симметричных точках обоих стержней температура будет одинаковой. Однако в одном стержне ток идет от горячего конца к холодному, а в другом — наоборот. Эффект Томсона приводит к тому, что соответственные точки стержней не будут находиться при равной температуре. Горячее будет точка, расположен- г ная в стержне, где ток идет от горячего конца к холодному.i
Количество выделяющегося за 1 с тепла на участке длиной dx может быть записано в виде
Рис. 309.Рис. 309.dQ —т1 -ч—dx; х дх
Рис. 309.
Рис. 309.
т — коэффициент пропорциональности. Количество тепла тем больше, чем больше градиент температуры. В термоэлектрической цепи существуют одновременно три эффекта: возникновение термоэлектродвижущей силы, явления Пельтье и Томсона. Можно показать, что эти три процесса связаны между собой началами термодинамики. Для слабых токов это не требует доказательства. Поскольку термоэлектрические эффекты пропорциональны первой степени тока, а джоулево тепло — второй, конечно, последним можно пренебречь.
При пропускании по стержню тока /=0,5 мА от горячего конца к холодному благодаря эффекту Томсона в проводнике за единицу времени выделяется теплоПри пропускании по стержню тока /=0,5 мА от горячего конца к холодному благодаря эффекту Томсона в проводнике за единицу времени выделяется теплоПр имер. Концы стержня изнатрия(т=—8,5- 10~6В/К, р=5-10“6 Ом-см) длиной 10 см и поперечным сечением 5 мм^ содержатся при температурах 300 К и 310 К.
При пропускании по стержню тока /=0,5 мА от горячего конца к холодному благодаря эффекту Томсона в проводнике за единицу времени выделяется тепло
При пропускании по стержню тока /=0,5 мА от горячего конца к холодному благодаря эффекту Томсона в проводнике за единицу времени выделяется тепло
дТ
Qt = tI — 1=—8^. 10-е.(-5- ю-4). 1. Ю = 4,24 -108 Дж/с.
Ток взят со знаком минус, так как он направлен противоположно градиенту температуры. Благодаря эффекту Джоуля в проводнике выделится за единицу времени тепло
Qo== /2^ = (5-10—4)2 • 5 •10-6Дж/с,
т. е. примерно в 200 раз меньше томсоновского тепла.
В результате термодинамического рассмотрения оказывается, что между коэффициентами а, П и т существует связь, а именно, дПП
т = -^—а и а =у . Подставляя второе соотношение в первое, по-
-д^г. С помощью этих равенств происходит определение абсолютного значения а.
Явления Пельтье и Томсона имеют те же физические основания, что и возникновение термоэлектродвижущей силы. Последнее явление возникает в конечном счете по той причине, что тепловой поток переносит электрические заряды. Здесь же мы имеем явления, в которых поток электрических зарядов несет с собой тепло.
§ 280. Применения термоэлектрического эффекта
В настоящее время серьезные возможности имеет применение термоэлементов в качестве генераторов электроэнергии. Металлические термоэлементы обладают коэффициентом полезного действия порядка 0,5%, но к. п. д. полупроводникового элемента, составленного из дырочной и электронной ветвей, уже сейчас доходит до 7—8%.
Низкий коэффициент полезного действия объясняется необратимыми потерями на джоулево тепло. Если Ro — сопротивление внутренней части цепи, a R — внешнее сопротивление, то мощность, выделяющаяся на внешнем сопротивлении (полезная мощность), будет равна /р , р v2 для любой электрической цепи; здесь — -г
э. д. с. Подставляя значение термоэлектродвижущей силы, получим для мощности термоэлемента выражение
Электродвижущие силы термоэлемента — это величины порядка десятых долей вольта. Желая получить напряжение, скажем, 120 В, термоэлементы соединяют в батарею (последовательно). Если нужны сильные токи, то элементы надо соединять параллельно.
Вторым интересным применением термоэффекта, также ставшим возможным в связи с развитием техники полупроводников, является использование их в качестве холодильника.
Использование термоэлектрического эффекта для измерения температур хорошо известно, и мы на нем не станем останавливаться.
Важнейшей и давно известной областью применения термоэффекта является использование его для обнаружения ничтожных степеней нагрева. Эти возможности в настоящее время еще более возросли благодаря тому, что полупроводники дают большие термоэлектродвижущие силы. Для этих целей используют последовательно соединенные термоэлементы — так называемый термостолбик. Все четные спаи такого соединения охлаждаются, а нечетные подвергаются нагреву. Термостолбики измеряют мощности до таких малых величин, как несколько эргов в секунду. Однако имеется возможность снизить этот предел до десятых долей эрга в секунду. Это достигается при помощи вакуумных термоэлементов, где потери тепла сведены к минимуму.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица формул электродинамики
Система СГС
Система СИ
Напряженность электрического поля
Дин
Е=—-—
Удин/см5.
V дин-см
Н
Е = —
В/М &
Поверхностная плотность электрического заряда
^ДИН-СМ а =—^_ Удин/см^2
Кл
Кл/м2 ^ м2
Электрическое смещение
Т) = Q — g g0Е
Кл/м2 Кл/м2 Кл/(В-м) В/м
Электрическая индукция
D = 4л о — £ Е
Удин/смУдин/см Удин/см
Электрический поток
N = ^ D cos a dS
УдИН-CMУдиН/CMсм
91 — f Ж cos а dS КлКл/м2м2
Теорема Гаусса— Остроградского
ХУдин/смсм2
У D cos а dS =
внутри поверхности Кл
ф 5) cos <% dS = 2 Qi
'j Кл/м2м2 внутри Кл
поверхности
Электрический потенциал
эрг и ф =—
Удин—5L Vдин-см
Дж и ф == — В я Кл
Напряженность электрического поля точечного заряда
Удин-см
~е г2
УдИН/СМСМ2
Кл
F 1
В/м~4яе ®о г2 в/мКл .
-— м2 В м
Потенциал электрического поля точечного заряда
Удин см ф =——
Кдин 8 см
Кл
В 4л£ £о г Кл
—— м В м
Система СГС
Система СИ
Электрическая емкость
З^дин-см с =—2— СМ ф1 ф2 З^дин
Кл с = —2— Ф Ф1”фа
Энергия электрического поля конденсатора
дин см1
ЭЛ — эрг см
Кл2 у2 W =—— W ЭЛпр
Дж ф
Плотность энергии электрического поля
дин/см2
8 £2
^эл = —о" эрг/сма
^эле0 Е •
♦ Дж/м»2 КлДВ-м) В2/м2
Сила взаимодействия между двумя заряженными плоскостями
дин/см2 г = 2л_»2_5 дин6см2
Электрический дипольный момент
р = _11
КдИНСМ2 3ЛДИН-СМСМ
Вектор поляризации
— =4i* —
З^дин/смЗ^дин/см
Магнитный момент замкнутого тока
^дин-см2
м =
= — /Sn
см/с Гдин'с“/с см!
М =1 Sn
А-м2 А м2
Вращательный момент, действующий на вигок с током в магнитном поле
N =1 _Af, S)
дин-смКдин-см8 Гс
N =[ М, В ] Н-м А-м8 В-с/м8
Потенциальная энергия магнитного момента в магнитном поле
—в _м
эрг ГсЗ^дин-см8
и=— В м ДжВ с/м8 А-м8
Система СГС
Система СИ
Закон Ампера
^дин-см/с
dF=—[dl, В]
динссм Гс
см/с
dF=I [dl, В ] Н Ам В-с/м2
Магнитный поток
Ф = \ В cos a dS
Мкс J Гссм2
ф = С В cos а = dS
В-с J В-с/м2м2
Магнитная масса
т =— Ф МксМкс
т = Ф В-с В-с
Напряженность магнитного поля, созданного элементом тока
Vдин-см/с ГСМ г
э 1 НИ
dH=с
см/с см2
А/м 4ЛГ2 L Л J м2
Связь между В и Н
В = pH
ГсЭ
В = р р0Н
В-с/м2Ом-с/м А/м
(1 Ом-с=1 Г)
Сила взаимодействия двух магнитных масс (закон Кулона)
Мкс Мкс
_ тг т2
динР'
см2
В-с В-с
Ртг т^
Н_ 4лр Ро ^
Г/м м2
Сила взаимодействия двух параллельных токов
Vдин-см/с см см др^^Ц dltdl2
динс2f2
см2/с2 см2
А А мм
,/^/2 dl^ dl^
dF= Цо р -Н;—9—' Н - Г/м4лг2
м2
Закон магнитного напряжения (закон полного тока)
^HdU^ _/
см/с ^динсм/с
^ Hdl=yi
" А/м м ^“ А
Напряженность магнитного поля соленоида
Н = — 2L I 3 см/с см
Н
А/мА
м
Система СГС
Система СИ
Э.д.с. электромагнитной индукции
Мкс
„1 dCb
Гдинсм/с с
В-с
<инд = at с
Магнитная восприимчивость
X =
4л
X = |1 — 1
Вектор намагничения
J— ^*Н
Vдин/ смУдин/см
J = |*о х Н
В-с/м2 Г/м А/м
Уравнения Максвелла
Мкс
Г I дин/см смI УФ
см/с с
£ _Н dl—
/дИН/СМ см Удин см
4л Г -. dN \ см/с 1 дин-см/сс /
В с
<£ Е dl=-^- J В/м м с
Кл § н di=i+^f J А/м м A с
Плотность тока
/дин-см/с
.I
/£
Удин/с-смСМ2
А
А/м2 5 м2
Закон Ома
Удин
АУдин-см/с с^м
/= X Е Удин/с-см С“1 Удин/см
В
А=Т Ом
/ = XЕ
А/м2 Ом-^-1 В/м
Плотность энергии магнитного поля
дин/см2 1Ы Я2 w =—
эрг/см3
Г/м А2/м2
Дж/м32
Вектор Пойн- тинга
эрг/см2-с
к = см/с
=-^~ Г — — 1 ^ L/дИН/СМ /дин/см J
К =[ Е Н ]
Дж/(м2-с) В/м А/м
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная максимальная эффективность лазера 499
— температура 132, 169_
Абсолютно твердое тело 62
— черное тело 396
Абсолютный нуль температуры 132
Авогадро закон 139, 179
— число 1*59
Автоколебания 86
Автофазировка 424
Адиабатический процесс 133, 144, 148
Адсорбция 624
Активность оптическая 372, 374
— радиоактивного вещества 527
Альфа-распад 525, 528
Аморфные тела 588
Ампера закон 237
Аннигиляция 546
Антенна 289, 346
Антиферромагнетики 645
Античастицы 547
Асимметрия элементарных частиц 549
Атомная единица массы 513
Атбмные радиусы 477
Барионы 540
Барионный спектр 551
Барометрическая формула 177
Бета-распад 522, 526
Бетатрон 425
Биения 90
Биологические макромолекулы 595
Больцмана закон (распределение) 175
Вавилова опыты 393
Валентный угол 477
Вероятность состояния 181
Видемана — Франца формула 657, 658
Вильсона камера 505
Вина закон смещения 397
— формула 400
Возгонка 610
Волновая функция 305
Волновое уравнение 305, 307
— число 483
Волны бегущие 95, 99
— стоячие 114
Волчок 74
Вольта ряд 673
Время реверберации 127
— релаксации 143, 632
— собственное 382
Вторичная эмиссия 677
Вторичное излучение 329
Вырожденные состояния 451
Вязкость (внутреннее трение) 187, 189, 589
— кинематическая 105, 192, 194, 196
Газ идеальный, JJO) 165
— ультраразреженный 198
— электронный 652, 666
Газовая постоянная 139, 140
Гармоника (обертон) 91
Гаусса — Остроградского теорема 204
Гейгера счетчик 506
Гелий 600
Гиббса формула 183
Гипотеза де Бройля 440
Гироскоп 73
Гистерезис 230
— магнитный 263
Голография 348
Гомеополярная связь 475, 566
Громкость звука 125
Гука закон 41
Гюйгенса — Френеля принцип 108
Давление газа 169
— звуковое 100, 125
— электромагнитного поля 286
Движение вращательное 62, 67
— по окружности 25
— прямолинейное ускоренное 22
— реактивное 59
Дебай (единица) 632
Декремент логарифмический 80, 81
Дефект массы 385, 514
Дефекты кристалла 582
Деформация упругая 96
Джоуля — Томсона процесс 153
Диаграмма состояния 596
Диамагнетики 256, 638
Диамагнитная восприимчивость 639
Дилатометры 582
Диполь магнитный 247, 257, 289
— электрический 223, 224, 288
Дирака теория электрона 546
Дислокации 583, 613, 620
Дисперсия 297
— аномальная 298
Дифракционная решетка 341
Дифракция 330
— рентгеновских лучей 349
— электронов 439
Диффузия 187, 188, 191
— в твердых телах 616
Диэлькометр 628
Длина волны 100
— свободного пробега 167
Домен 642, 646
Доплера явление 112, 113, 323
Заряд связанный (поляризационный) 228
Зона кристаллографическая 556
Изобарический процесс 144, 147
Изображение электрическое 214
Изомеры оптические 374
Изоспин 520
Изотермический процесс 144, 147
Изотопы 513
Изохорический процесс 144, 146
Импульс 50
— силы 54
— электромагнитного поля 286
Инверсии температура 154
Инверсная заселенность уровней 498
Индексы плоскости 559
— прямой 559
— узла 558
Индуктивность 276
Индукции обобщенный закон 267
Индукция магнитная 235
— электрическая 203
— электромагнитная 252, 266
Интенсивность волны 102, 104
Интерференция 107, 312, 318
Интерферометр Майкельсона 325
— Фабри — Перо 327
Ионизационная камера 507
Ионная связь 473, 565
Иоффе и Добронравова опыт 392
Испарение 607
Испускательная способность 396
Кавитация 130
Квадруполь 224
Квант 136, 295
Квантовые числа 456, 501
Кварки 554
Керра постоянная 372
— эффект 371
Кирхгофа закон 395
Клапейрона — Клаузиуса уравнение 605
Клаузиуса — Мосотти формула 628
— постулат 164
Когерентность 314
Колебания 74
— вынужденные 97, 120
— затухающие 78
— когерентные 314
— многоатомной молекулы 488
— оптические 579
— тепловые 576, 580
— электрические 280
Комбинационное рассеяние 489
Контактная разность потенциалов 672
Коэффициент взаимной индукции 279
— вязкости 190
— давления термический 138, 139
— диффузии 188, 196
— линейного расширения 582
— отражения 112
— — электромагнитных волн 301
— поглощения 105, 128
— преломления 110, 112
— Пуассона 152
— размагничения 263
— самоиндукции 276
— сопротивления 79
— температурного расширения 138, 139
— теплоотдачи 194
— теплопроводности 189
Кристалла элементарная ячейка 350, 352
— элементы симметрий 562,
Кристаллизация 611
Кристаллы белковые 595
— жидкие 592
— молекулярные 567
— оптически отрицательные 363
— — положительные 363
— рацематы 374
— с гомеополярной связью 566
— с ионной связью 566
Кулона закон 224
Кюри (единица) 527
Лазеры 317, 318, 328, 403
— газовые 498—504
Лебедева опыты 287
Ленца правило 268, 269
Линза магнитная 411
— электрическая 410
Лучепреломление двойное 364, 370
Люминесценция 404
Магнетики 637
Магнетон Бора 236, 462
— ядерный 236, 516
Магнитная восприимчивость 258, 259
— защита 262
Майкельсона опыт 379
Макромолекулы биологические 158
Максвелла закон (распределение) 178
— уравнения 272
Масса покоя 383
— приведенная 58
Массовое число 513
Масс-спектрограф 420
Маятник баллистический 57, 159
— математический 77
— физический 78
Мезон 542, 543
Метастабильное состояние 605
Микроинтерферометр Линника 326
Микроскоп электронный 412
Мозли закон 472
Момент дипольный 223
— импульса 69
— инерции 63—65
— магнитный 235, 257
— — атомов 465
— — постоянного магнита 241
— — ядра 480, 515
— силы 67
Намагничение 257
— остаточное 264
Напряжение магнитное 248
— электрическое 205
Напряженность магнитного поля 243
— электрического поля 200
Нейтрино 522
Нейтрон 512
Необратимые процессы 183
Неопределенности принцип 443
Николь 366
Нормальные координаты 488
Нутация 74
Ньютона законы 19
Обратимый процесс 143
Обратная связь 87
Ома закон 274
— — дифференциальный 274
Оптический ход волны 319
Оси вращения свободные 71
Отдача 59, 70
Относительности движения принцип 22, 377
Парамагнетики 256, 640
Параметры состояния 34
Пар насыщенный 607
Паули принцип 459, 464, 516, 519
Пельтье явление 679
Период идентичности решетки 558
— колебания 76, 79
— полураспада 526
— собственный (характеристический) 76
Перрена опыты 177, 178
Пироэлектрики 635
Плавление 611
Плазма 428, 432, 539
Плазма в магнитном поле 434
Планка формула 401
Плеохроизм 366
Поверхностно-активные вещества 624
Поглощательная способность 395
Поглощения света закон 493
Позитрон 547
Показатель преломления 297
Поле вихревое 248
— потенциальное 204
— самосогласованное 459
— сил 19
Полимеры 593
Полосы равного наклона 322
— равной толщины 320
Полупроводники 660
Поляризаторы 366
Поляризация диэлектрика 227
— молекул 629
— света 302, 363
Поляризуемость 229, 359
— молекулы 480, 627
Полярные молекулы 567
Поляроид 367
Порог слышимости 126
Порядок ближний 586, 589
— дальний 587, 589
— спектра 342
Постоянная Больцмана 170
— Планка 136, 295
— Ридберга 454
Постоянства скорости света принцип 377, 378
Потенциал 205
— выхода электрона 665, 668
— ионизации 455, 467
— термодинамический 604
Потенциальная кривая 48, 49, 74
Потенциальный ящик 50, 447
Поток магнитный 240
— тепловой 194
— электрический 202
— энергии 102
Предел прочности 621
— упругости 621
Прецессия 74
Проводимость 655, 661
— газа несамостоятельная 428
Проницаемость диэлектрическая 202
— магнитная 244, 256, 259
Протон 512
Пуаз 190
Пузырьковая камера 505
Пучность стоячей волны 114
Пьезоэлектрики 634
Пьезоэлектрический эффект 122, 230
— — обратный 122
Работа 38, 144
— вращения 67
— выхода электрона 391, 665
Радиационная порча 625
Радиоактивного распада закон 526
Радиоактивность 525
Радиоактивные ряды 526
Радиолокация 309
Радиус действия ядерных сил 517
— ионный 476
— ядра 519
Разрешающая способность микроскопа 412
— — решетки 343
Разряд дуговой 431
— искровой 431
— самостоятельный 430
— тихий 431
—■ тлеющий'431
Распределение молекул по скоростям 178
— статистическое 173
Рассеяние 328
— молекулярное 340
Рацемическая смесь 374
Реактор ядерный 533, 53 4 — 536
Реакции термоядерные 538
— экзотермические 525, 530
— эндотермические 525, 530
— ядерные 529, 531
Реакция цепная 532
Резерфорд (единица) 527
Резонанс 73, 82
— квадрупольный 496
— ядерный 494
Рентгеноструктурный анализ 351, 355, 479
Рефрактометр 633
Рефракция молекулярная 628, 632
Решетки кристаллические 557
Ричардсона формула 667
Рэлея — Джинса формула 400
Самодиффузия 196
Самоиндукция 27-6
Сверхпроводимость 658
Сверхтекучесть 600
Свободные оси вращения 71
Сегнетоэлектрики 229
Сжижение газов 154, 609
Сжимаемость 96, 138
Сила звука 125
— коэрцитивная 264
— Лоренца 239
— термоэлектродвижущая 676
— центробежная 26
— центростремительная 26
Силовые линии 201, 202
Силы гравитационные 17
— дисперсионные 568
— инерции 22, 386
— магнитные 256
— межмолекулярные 567
— потенциальные 46
— электрические 220
— ядерные 19, 517, 542
Синхротрон 426
Синхрофазотрон 425
Синхроциклотрон 424
Система замкнутая 46
— инерциальная 21
Системы единиц 36, 203, 204
Скольжение 619
Скорость истинная 13
— линейная 63
— наиболее вероятная 179
— распространения деформации 96, 97
— средняя 12
— — квадратичная 170, 179
— угловая 63
— центра инерции 52, 58
Сложение колебаний 88, 93, 106
Смещение электрическое 201
Собственная функция 449
Сопротивление волновое (акустическое) 101
— инерционное 23
Соударения 53
Сохранения импульса закон 50, 51, 512
— — вращательного закон 69
— энергии закон 46, 135, 512
Спектр колебания 91—93
— электромагнитный 293
— электронный 492
Спектры атомные 468
— атомных ядер 520
— молекул 482, 485
Спин электрона 463
— ядра 515
Спутник Земли 61
Статистический закон 174
Стационарные процессы 193
Степени свободы 36. 172
Стефана — Больцмана закон 397
Стимулированное излучение 317, 402
Стокса формула 196
Странность 553
Стримерная камера 505
Структура блочная 582
Структуры кристаллические 573
Сфера Ферми 652
Сцинтилляционные счетчики 508
Текстура 358, 622
Температура абсолютная 132
— перехода 599
Температуропроводность 192, 196
Тепловая машина 159
Тепловое расширение 580
Тепловой поток 194
Тепловые волны 578
— колебания 576, 580
Теплоемкость при постоянном давлении 147
— — объеме 146
Теплообмен 131, 198
Теплопроводность 187, 189, 197
гелия 602
Теплота превращения 599
приведенная 155
Термодинамики второе начало 158, 163, 185
первое начало 135
Термодинамическая вероятность состояния
83, 185
Термостолбик 680
Термоэлектронная эмиссия 666
Ток смещения 270
Томсона весы 222
— постулат 163
— эффект 678
Точка критическая 609
Кюри 636, 645
тройная 599
Трансляции 558
Трубка электронно-лучевая 418
Туннельный переход 451
Тяготения закон 18
Удар неупругий 54, 57, 70
упругий 54, 55
Узел стоячей волны 114
Ультразвук 122, 130, 131
Умова — Пойнтинга вектор 283, 284
Упрочнение 620
Уравнение волны 99
— непрерывности 111
— состояния 137
Уравнения состояния реальных газов 141
Уровень громкости 126
Ускорение 16, 17
кориолисово 32
Ускорители частиц 424
Фазовые превращения 597, 604, 606
Фазотрон 424
Ферма принцип 129, 304
Ферми — Дирака функция 654
Ферриты 644
Ферромагнетики 121, 256, 263, 642
Фигуры Лиссажу 65
расширения 581
Хладни 118, 119
Флуктуации 166, 185
светового потока 393
Фотон 388
Фотосопротивления 669
Фотоэлектрический эффект 390, 667, 669
—, красная граница 668
Фотоэмульсии толстослойные 510
Фронт волны 103
Фурье теорема 91
Характеристики звука 123
Химический сдвиг 495
Холла эффект 661
Холодильная машина 160
Цвет неба 340
Центр инерции 28, 51
Цикл Карно 161
Циклические процессы 145, 160
Циклотрон 422
Циолковского формула 60
Черенкова счетчики 508
Четность частиц 520
Число Авогадро 169, 178
— Лошмидта 171
— Рейнольдса 195
Шредингера уравнение 441, 447
Э. д. с. индукции 253
Электролюминесценция полупроводников
673
Электрона радиус 219
Электрон-вольт 41, 404
Электронная плотность 350, 355
пушка 408
Электронный микроскоп 412
Электроны свободные 648
Электрострикция 122, 230
Эмиссия электронов 665
Энергетические уровни 136
— — атома водорода 452, 454
— в твердом теле 649
— молекул 480
Энергия 38
— активации 524
атомного ядра 513
взаимодействия двух токов 279
— зарядов 218
— внутренняя 133, 171, 603
— — газа 171
— заряда собственная 218
— ионизации 455, 467
— кинетическая 40
— — вращения 62, 63
— колебания 79
— магнитная 277, 278
- микроскопических систем 136
полная механическая 46
поля 217
— потенциальная тяготения 44
— — упругости 41, 42, 75
— свободная 604
— связи 385
— электрическая 216, 217
электромагнитная 283
Энтальпия 154
Энтропии принцип возрастания 157
— существования 154
Энтропия 154, 185, 599, 603
Эффективное поперечное сечение реакции 537
Эффективный поперечник (сечение) молекулы 168
Юкавы теория ядерных сил 542
Ядро дислокации 583
Ячейка кристалла 558
1= ГАГВ
• 323
1 Му ’ dH
*} Еще об одном слагаемом энергии молекулы и связанном с ним поглощении энергии см. §211.
16 А. и. Китайгородский
*) В спектроскопии принято наряду с длиной волны пользоваться данными об обратной длине волны (волновое число), т. е. числе длин волн, укладывающихся на длине 1 см.
16*
А. И. КИТАЙГОРОДСКИЙ