Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Предлагаемый задачник является заключительной частью задачника-практикума по общей физике. Он предназначен для проведения семинарских занятий и самостоятельной работы студентов по разделам «Термодинамика и малекуляр- ная физика».
Сборник задач разделен на параграфы, соответствующие темам курса общей физики, изучаемого на физико-математических факультетах педагогических институтов. Каждому параграфу предпослано небольшое теоретическое введение, в котором приводятся основные законы и соотношения между физическими величинами. Затем предлагается ряд вопросов для студентов, ответы на которые требуют предварительного внимательного изучения темы по учебной литературе. Далее приводятся примеры решения задач с подробным анализом всех этапов решения. Заканчивается параграф задачами для самостоятельного решения. В конце задачника помещены необходимые таблицы физических величин и ответы к задачам.
Предлагаемое пособие несколько лет апробировалось на занятиях со студентами-физиками Московского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Зна- мени Государственного педагогического института им. В. И. Ленина.
Все критические замечания авторами будут приняты с благодарностью.
§ 1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона —Менделеева):
PV _ m PoVom 夕
久,Tjit 「°卩
где р, К Т (давление, объем, температура) — макроскопические параметры состояния газа; m — масса газа,卩一молярная масса; R — универсальная газовая постоянная, ро= 1,013-105 Па—■ нормальное давление; То^273 К — нормальная температура; Ко=22,4 м3/кмоль ——объем одного киломоля газа при нормальных условиях.
Связь между температурой / по шкале Цельсия и температурой Т по шкале Кельвина:
Т= (/+273,15)К« (/+273)К.
Закон Дальтона: давление р смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений pi газов, входящих в смесь:
Р = ^Ря.
Вопросы
Сравните число молекул, находящихся в 6 г водорода (Н2) и в 32 г кислорода (Ог). Какую модель вещества принято называть идеальным газом?
На координатных осях р, V (давление, объем) изобразите изотермическое сжатие массы газа m при температуре Г. Как изменится вид графика, если изотермическое сжатие той же массы газа будет происходить при более высокой температуре 「1? Как изменится вид графика, если при той же температуре Т в процессе будет участвовать большая масса газа mi?
На графике (рис. 1) представлен изобарический переход газа из состояния / в состояние //. Какому из этих состояний отвечает более высокая температура? Как изменится вид графика, если взять большую массу газа при том же начальном объеме?
На рисунке 2 изображен график изохорического перехода идеального газа из состояния / в состояние //. В каком из этих состояний температура газа выше? Как изменится график, если взять большую массу газа при том же начальном давлении?
На рисунке 3 даны графики пяти изопроцессов в координатах р, V, Начертите графики этих же процессов в координатах р, Т в Т, V.
Некоторая масса идеального газа переведена из состояния / в состояние 2 (рис. 4). В каком из этих состояний газ обладает большим объемом?
Идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 (рие. 5). В каком из этих состояний объем газа больше?
Начертите график зависимости плотности газа р от температуры Г при изотермическом, изобарическом и изохориче* ском процессах.
Примеры решения задач
В узкой запаянной с одного конца стеклянной трубке находится возДух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути длиной 九=2 см Когда трубка расположена вертикально открытым концом вниз, длина воздушного столба Zi=0(39 м; когда же трубка расположена вертикально,
открытым концом вверх, длина столба воздуха /2 = 0,37 м. Определите атмосферное давление, если температура воздуха / = 5℃.
Решение. Закрытая часть трубки, отделенная столбиком ртути, заполнена воздухом и насыщающими парами ртути, но при температуре / = 5℃ давление насыщающих паров ртути Ррт = 26・10~5 мм рт. ст., и им можно пренебречь по сравнению с давлением атмосферного воздуха. Будем считать, что воздух, находящийся в трубке, подчиняется уравнению состояния идеального газа и что при изменении положения трубки температура и масса воздуха остаются постоянными.
Когда столбик ртути неподвижен, давление воздуха в трубке равно внешнему давлению. Если трубка достаточно широкая, то давлением, вызванным кривизной поверхности ртути, можно пренебречь.
Найдем параметры состояния воздуха, когда трубка расположена отверстием вниз и когда она расположена отверстием вверх, т. е. найдем величины pi, Vi и р2, Кг：
Pl = PaTMipg 瓦 3 = S/i,Р2 = Ратм+рд%, % = S/2,
где р — плотность ртути и S — площадь поперечного сечения канала трубки. Из уравнения состояния идеального газа получаем для изотермического процесса:
Р1%="2%・
Из этих равенств выражаем атмосферное давление;
〃&TM = Pg 九•■■"■•
Подставляя значения величин, приведенные в условии задачи, получаем:
Ратм =1,0Ь105Па.
В теплоизолированном цилиндре под поршнем находится 20 г гелия. При бесконечно медленном перемещении поршня газ переводится из состояния, которому отвечают объем 1^l = 32- 10~3 м3 и давление "1 = 4・1。5 fja, в состояние, при котором объем lZ2=9 -10~3 м3 и давление 〃= 15,5• 105 Па. Какова будет наибольшая температура газа при этом процессе, если давление газа является линейной функцией объема (рис. 6)?
Решение. Так как процесс расширения происходит медленно, каждая точка прямой /——II соответствует определенному состоянию газа, параметры которого удовлетворяют уравнению Клапейрона——Менделеева:
(1)
Связь между давлением и объемом в процессе, график которого представлен на рисунке 6, описывается уравнением
р=ро—а 匕 (2)
где начальное давление р。 изображается отрезком на оси давлений, отсекаемым продолжением /—//, и о — постоянная, имеющая размерность Н/м5.
Уравнение (1) можно переписать так;
(pQ+aV)V= — RT-
Отсюда получаем зависимость темпе
ратуры газа от его объема:
7=表（^+。吟
Для нахождения объема газа при максимальном значении температуры приравняем нулю производную — ：
dV
*=*(內一2叫=0. dV mR
Отсюда:
2q
Из уравнения (2) находим давление рм при максимальной тем* пературе:
e "0
рm=
Максимальную температуру определяем, воспользовавшись уравнением состояния газа (1):
mR
Значение а найдем из графика (рис. 6):
〃—Р2—Р1
Для нахождения р0 воспользуемся зависимостью давления от объема:
Pi=Po—0%,
Р2=Ро—“％•
Решая эти уравнения совместно, находим:
Ро=Ро=P2Vl~Pl ^2必一修P2Vl~Pl ^2必一修
Ро=
Ро=
P2Vl~Pl ^2
必一修
P2Vl~Pl ^2
必一修
Подставляя данные, приведенные в условии задачи, получаем:
а = 5-107 Н/м5; ро=2О-1О5 Па.Рм=10бЦа; VM=2.10-2 м3 и Тм=480К.
Задачи для самостоятельного решения
Цилиндрическая трубка, длина которой / = 30 см, погружается в ртуть на 1/3 своей длины. Затем трубку сверху закрывают пальцем и вынимают из ртути; при этом часть ртути вытекает. Какова длина столбика ртути, оставшейся в трубке, если атмосферное давление р0= 1,05-105 Па?
Объем баллона электрической лампы V = 500 см3. Лампа наполнена азотом при давлении р==0,8-105 Па. Какой объем воды войдет в баллон ламп班 если его опустить под воду на малую глубину и обломить кончик? Атмосферное давление Ро= 1,05* 105 Па.
Для определения плотности газа поступили следующим образом. Большой стеклянный баллон был наполнен газом при давлении 卩=1000 мм рт. ст. и взвешен; его масса т{ — 505,91 г. Затем часть газа была выпущена, и баллон снова взвесили. Новая масса m2 = 504,2 г. При этом давлений в баллоне упало до 「2 = 800 мм рт. ст. Какова плотность газа при атмосферном давлении, если объем баллона И=5 • 10-3 м3? Считать температуру газа во всех случаях одйо*й и той же.
Стеклянная, запаянная с одного конца трубка открытым концом опущена в сосуд со ртутью. После подъема трубки уровни ртути в сосуде и трубке совпадают. При этом длина части трубки, занятой воздухом, / = 100 см. Затем трубку поднимают на 10 см. Какой будет после этого высота уровня ртути в трубке, если атмосферное давление pQ=]fi5-105 Па? (Капиллярными явлениями пренебречь.)
В двух сосудах объемом 匕=5л и 丫2 = 7厶 находится воздух под давлением 〃 = 2 атм и р2= 1 атм. Температура в обоих сосудах одинакова. Какое давление установится, если сосуды соединить между собой? Температура воздуха не меняется.
В баллоне емкостью V=20 л находятся 5 г водорода и 10 г азота при температуре /=17℃. Определите: а) давление в баллоне； б) молярную массу и плотность смеси газов.
Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд делится на две части подвижным поршнем. Каково будет положение поршня, если одну часть сосуда заполнили кислородом, а другую часть такой же массой водорода? Длина сосуда 85 см.
Цилиндрический сосуд длиной /=84 см, расположенный горизонтально, разделен на две равные части теплонепроницаемым поршнем. В обеих половинах сосуда находятся одинаковые массы газа при температуре 存=27℃ и давлении р0= Ю5 Па. На какое расстояние от середины сосуда сместится поршень, если газ в одной из половин нагреть до /1 = 57℃? Какое давление установится при этом в цилиндре? Считать, что в другой половине сосуда температура не изме
няется.
Какова плотность воздуха в сосуде, емкость которого 2 л, если сосуд откачан до 10~3 мм рт. ст., если температура воздуха 15℃? Как изменится плотность воздуха в сосуде, если добавить в него 5-10~8 кг воздуха? Какое давление установится в сосуде? Считать процесс изотермическим.
В баллоне, емкость которого 20 л, находится 150 г смеси водорода и азота. Давление газовой смеси 106 Па, темпера， тура в баллоне 17℃. Каковы массы азота и водорода в баллоне?
В сосуде объемом 20 л. содержится 10 г азота и 20 г углекислого газа при температуре 300 К. Определите: а) молярную массу смеси; б) давление в сосуде; в) давление после нагревания смеси до 400 К.
В баллон, емкость которого 450 л, нагнетают воздух при помощи компрессора. При каждом ходе поршня захватывается 4 л воздуха при атмосферном давлении и при температуре 7℃. Температура внутри баллона 27℃. Предохранительный клапан, прикрывающий отверстие площадью 1,5-10~4 м2, удерживается силой 100 Н. Сколько качаний можно сделать, пока клапан не начнет пропускать воздух? Какова при этом будет плотность воздуха в баллоне? Массой воздуха, находившегося в баллоне первоначально, можно пренебречь.
Некоторая масса кислорода очень медленно переводится из одного состояния в другое, в котором плотность кислорода меньше в два раза по сравнению с первоначальной. Пе* реход осуществлялся с помощью процессов, изображенных на графике (рис. 7). Наибольшее давление при этом переходе Рм=5〃о (где ро — первоначальное давление). Определите: а) какие процессы использованы при переходе из первого состояния во второе; б) наибольшую температуру.
В сосуде находятся 10 г кислорода. При некотором бесконечно медленном процессе функциональная связь температуры газа и его объема определяется формулой: Т = (4,8 V— -—1,2-102 V2) • 104. Определите: а) давление и объем, соответ-
ствующие наибольшей температуре (рм, VM) ； б) давление и температуру при объеме %=-^~.
В закрытом сосуде содержится сметь газов, состоящая из 100 г углекислого газа и 150 г азота. Определите плотность смеси при температуре / —27℃ и давлении р = 760 мм рт. ст. Как изменится плотность смеси, если температура увеличится до 77℃?
В сосуде объемом 10~3 м3 находится сухой воздух при нормальных условиях. В этот сосуд ввели некоторое количество бутана (С4Н10), после чего давление в сосуде возросло до 1500 мм рт. ст. Какая масса бутана была введена в сосуд? Какова молярная масса получившейся смеси? Считать температуру в сосуде постоянной.
В цилиндре под поршнем находится 500 г воздуха. Этот воздух бесконечно медленно переводят из одного состояния в другое. Определите наибольшую температуру, которой достигнет воздух, если зависимость давления от объема задана уравнением р = 2 • 106 (7—V2), где объем V выражен в кубических метрах, а давление р в Паскалях.
Три баллона емкостью 3, 7 и 5 л наполнены соответственно: кислородом(Р1 = 2.1О5 Па), азотом (р2=3-105 Па) и углекислым газом (р3 = 6-104 Па) при одной и той же температуре. Каково будет давление смеси газов, если баллоны соединить между собой? Процесс считать изотермическим.
Топочный газ имеет следующий состав (по массе): СО? —21,4%, Н2О — 6,8%, № — 71,8%. Определите удельный объем этого газа при давлении 105 Па и температуре 500 К.
Сухой атмосферный воздух состоит из азота (78,09% от общей массы), кислорода (20,95%), аргона (0,93%) и углекислого газа (0,03%). Пренебрегая ничтожными примесями других газов, определите: а) среднюю молярную массу атмосферного воздуха и б) парциальные давления составляющих газов. Давление воздуха р= 105 Па.
Закрытый сосуд объемом 2 л наполнен воздухом при нормальных условиях. В этот сосуд ввели диэтиловый эфир (С2H50c2H5). После испарения эфира давление в сосуде стало 1050 мм рт. ст. Определите: а) массу эфира в сосуде; б) плотность смеси; в) молярную массу смеси. Температуру считать постоянной.
Идеальный газ массы т0 находится в состоянии, характеризуемом параметрами: объем Vo, давление ро и температура Г。. Затем он последовательно подвергается следующим воздействиям: его расширяют изотермически до объема 2 Vo, затем расширяют изобарически до объема 3 1/0 и далее нагревают изохорически, пока его давление не станет равным начальному (ро)・ После этого в сосуд вводят дополнительную
массу газа 2 门紀，температура и объем при этом не меняются. Наконец, газ изотермически расширяют так, что его давление уменьшается в 2 раза.
Изобразите графически все эти процессы, откладывая по оси абсцисс 上-,а по оси ординат 丄-• Определите отношение 几ро
начальной и конечной температур.
§ 2. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Давление идеального газа на стенки сосуда:
р== —X riitniVi2,
3 или
Р = ~
где “° ——концентрация молекул, Шг — масса молекулы, W — средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну молекулу.
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы:
где k — постоянная Больцмана.
Средняя квадратичная скорость молекул:
где т ——масса молекулы газа, k ——постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура.
Средняя внутренняя энергия произвольной массы газа т:
Вопросы
При каком условии можно при решении задач считать газ идеальным?
Числами какого порядка выражаются следующие величины:
число молекул газа в 1 м3 при нормальных условиях;
средняя квадратичная скорость молекулы газа при нормальных условиях?
Какие допущения делаются относительно движения молекул газа при расчете давления идеального газа?
Как связаны средняя квадратичная скорость молекул газа и его плотйость?
Как связана средняя квадратичная скорость молекул газа со скоростью распространения звука в этом газе?
Средняя квадратичная скорость движения молекул в верхних слоях атмосферы соответствует температуре 7=1000 К. Однако термометр в этих слоях показывает очень низкую температуру. Как объяснить этот факт?
При движении сосуда с газом относительно некоторой системы отсчета средняя скорость движения молекул газа относительно этой системы отсчета будет больше, чем в случае, когда сосуд неподвижен. Не повлечет ли за собой движение сосуда увеличение температуры газа?
Газ заключен в сосуде, температура стенок которого отличается от температуры самого газа. В каком случае давление газа на стенки сосуда будет больше: когда температура стенок выше температуры газа или когда она будет ниже температуры газа?
Примеры решения задач
В сосуде, объем которого V=5 л, находится кислород массой /и = 4 г при температуре / = 13℃. Определите внутреннюю энергию газа и давление газа на стенки сосуда.
Решение. Считая в данной задаче кислород идеальным газом, можно принять его внутреннюю энергию равной средней кинетической энергии всех молекул газа. Для каждой молекулы идеального двухатомного газа средняя кинетическая энергия определяется формулой:
哈条⑴
Число молекул в данной массе газа равно:
т
п— —Az0,
где ^o — число Авогадро, ~—число молей газа. Поэтому сред- няя кинетическая энергия всей массы газа будет равна:
甯=ЗтК Nq.(2)
Подстановка в уравнение (2) числовых данных задачи и величин 卩,No,也 взятых из таблиц, приводит к результату:
Ж=296 Дж.
Давление газа на стенки сосуда зависит от температуры и от концентрации молекул газа:
р = ПикТ, или
р= -— -^- feT.
俨V
Подстановка числовых данных дает результат:
р = 5,93・104 Н/м2.
Некоторая масса азота заключена в сосуде, емкость которого 2 л< Температура азота 27℃, давление газа на стенки сосуда р=10~б мм рТв ск Определите: сколько молекул азота содержится в сосуде, массу азота в сосуде, внутреннюю энергию данного газа.
Решение. Зная связь между давлением идеального газа, его температурой и концентрацией молекул, можно определить концентрацию молекул:
〃о=〃о=1?1?
〃о=
〃о=
1?
1?
Помножив концентрацию молекул на объем, занимаемый газом, получаем общее число молекул:
几=价1/=^匕(1)
Подстановка числовых данных приводит к следующему результату:
枕=6,43・]01з”岭”.
м3
Число молекул данного газа можно связать с числом молей и с числом Авогадро:
Отсюда легко находится масса газа:
пг=
Подставляя числовые данные задачи, получаем:
т = 3-10~12 кг.
Энергия азота, заключенного в сосуде, выражается так:
W=n^-kT.
Учитывая уравнение (1), получаем:
Подстановка числовых данных величин р и V дает:
沥=6,65・ IO' дж
Скорость упорядоченного движения молекул относительно земли 〃, концентрация молекул По, масса каждой молекулы т Перпендикулярно к скорости молекулярного пучка поставлен экран. Экран движется навстречу молекулам с постоянной относительно земли скоростью и. Газ и экран имеют одинаковую температуру.
Определите, насколько уменьшится давление, производимое на экран, если экран остановится и упорядоченное движение молекул прекратится.
Решение. Если и=а=0, то давление на экран определяется только хаотическим движением молекул и зависит от температуры Т и концентрации молекул 儿о. При наличии упорядоченного движения импульс силы, действующей на экран, увеличивается. Это у&еличение нмпульса за время А/ определяется изменением импульса А^ каждой молекулы и числом ударов АМ
尸・А/=△机АМ(1)
Выберем за тело отсчета землю. За положительное направление оси координат примем направление движения экрана. Тогда до соударения скорость молекулы будет —и и скорость экрана V. Считая, что соударение молекул и экрана абсолютно упругое, воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Учтем, что масса экрана несоизмеримо велика по сравнению с массой одной молекулы. При этом допущении скорость экрана останется без изменения, а скорость молекулы станет равна 2и+〃. Тогда изменение импульса одной молекулы равно:
АК = -2〃2 0+〃)・(2)
Знак 《——》показывает, что сила F, действующая на экран, на^ правлена в сторону, противоположную движению экрана.
Так как экран движется навстречу молекулам, то за время А/ до стенки дойдут только те молекулы, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем △%=(。丄〃)• А/. Поэтому число молекул, ударяющихся о единицу площади экрана вследствие упорядоченного движения, равно:
:"=〃o(u+〃)Af.(3)
Из равенств (1), (2) и (3) находим ту часть давления, которая обусловлена упорядоченным движением как молекул, так и экрана:
△p= "^" = "^ ^^ =2及0/73 (u + 〃)2.
Отсюда видно, что увеличение давления на стенку зависит от скорости относительного движения молекул и стенки.
Задачи для самостоятельного решения
Рассчитайте: а) температуру Т, при которой 丸7=1 эВ; б) величину kT в электрон-вольтах при комнатной температуре / = 20℃.
В сосуде, объем которого 3 л, находится кислород при температуре 17° С. Давление газа 10-3 мм рт. ст. Определите: а) сколько молекул кислорода имеется в сосуде; б) среднюю внутреннюю энергию газа.
Какое количество молекул содержится в 1 г: а) водорода; б) кислорода; в) водяного пара?
При нормальных условиях 1 л газа имеет массу 加=1,429・10-3 кг. Определите: а) плотность газа; б) его молярную массу; в) число молекул в данной массе газа.
В баллоне емкостью 0,5 л содержится смесь газов, состоящая из 1015 молекул кислорода, 4-1015 молекул азота и 3,3- Ю~7 г аргона. Определите: а) давление смеси; б) молярную массу смеси; в) среднюю энергию поступательного движения молекул смеси. Температура смеси 127°С.
При температуре /=27℃ и давлении р= 1,1 • 105 Па плотность смеси кислорода и азота рсм=1,3 кг/м3. Определите концентрацию молекул азота и кислорода в смеси.
Сосуд разделен теплопроницаемой перегородкой на две равные части. В одной из них находится один моль гелия, а в другой ——один моль аргона. Через некоторое время температура газов выравнивается. В какой части сосуда давление после этого будет большим? Каким станет среднее давление газа, если перегородку убрать и дождаться установления равновесного состояния?
В стеклянной сферической колбе радиусом 10 см содержится некоторое количество газа, давление которого составляет 0,1 мм рт. ст. При комнатной температуре (/= 17℃) можно считать, что стенки сосуда покрыты мономолекулярным слоем газа. Как изменится давление внутри сосуда, если сосуд прогреть до 300℃? Принять, что при таком нагреве все адсорбированные молекулы газа перейдут со стенок в сосуд и что каждая адсорбированная молекула занимает на поверхности площадь S = 10~19 м2.
В замкнутом сосуде находится смесь водорода и азота при температуре 27℃ и давлении 1,05 Па. Как изменится дав-
ление смеси, если температуру- повысить до 150℃? Десорбцию молекул со стенок сосуда не учитывать.
Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул, содержащихся в 1 г азота, и энергию вращательного движения молекул при температуре 300 К.
Какую долю составляет кинетическая энергия вращательного движения молекул от полной кинетической энергии молекул одноатомного, двухатомного и многоатомного газа?
В сосуде содержится 0,05 кг водяных паров при температуре 400 К. Каковы полная кинетическая энергия молекул пара и кинетическая энергия вращательного движения молекул?
Плотность газа при давлении р = 735 мм рт. ст. и температуре /=17℃ равна р = 8,2-10_2 кг/м3. Определите: а) молярную массу газа; б) концентрацию молекул газа; в) среднюю квадратичную скорость молекул газа.
В сосуде, объем которого 1 л, содержится 5 г идеального газа под давлением 0,5-105 Па. Определите среднюю квадратичную скорость молекул газа.
Кислород находится при температуре 47℃. Определите: а) кинетическую энергию одной молекулы; б) среднюю квадратичную скорость молекул.
Плотность некоторого многоатомного газа при давлении 4-103 Па составляет 5-10~2 кг/м&. Определите среднюю квадратичную скорость молекул газа и среднюю кинетическую энергию молекул в единице объема этого газа.
В опыте Штерна расстояние между наиболее плотными участками следа пучка атомов серебра при вращении цилиндра в противоположных направлениях s=9,6 мм. Число оборотов цилиндра /г = 50 об/с. Радиус цилиндра г= 10 см можно считать большим по сравнению с радиусом нити накала и расстоянием до диафрагмы. Определите температуру серебряной нити, натянутой по оси цилиндра.
В сосуде находится смесь газов, состоящая из аргона и гелия. Каковы отношения средних квадратичных скоростей молекул этих газов.
Идеальный газ находится в цилиндре, закрытом поршнем. Газ занимает объем V= 10 м3 при температуре Г=250 К и давлении 9,8-104 Па. При переходе газа в новое состояние давление повысилось до 1,0- 105Па, а объем увеличился до 10,5 м3. Во сколько раз изменилась при этом средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул и какой она стала?
Некоторая масса азота (Af2) находится при температуре Т=300 К и давлении 105 Па. Запас средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа составляет ТГ=6,3 Дж. Найдите число молекул газа, его массу и объем.
В баллоне емкостью 25-10~2 м3 содержится смесь углекислого газа и паров воды. Число молекул углекислого газа 刀i = 6,6・ IO?* число молекул паров воды /г2==9-1020. Определите давление газа на стенки сосуда р и среднюю энергию поступательного движения молекул смеси, если температура газа 7=600 К.
2・22・ Молекулярный пучок падает на экран и упруго отражается от него. Концентрация молекул в пучке п, масса каждой молекулы т. Какое давление оказывает пучок на экран, если: а) модуль скорости молекул в пучке относительно земли V и эта скорость составляет угол а с нормалью к экрану, а сам экран неподвижен; б) экран движется со скоростью 〃 в ту же сторону, что и молекулы пучка?
В цилиндре, наполненном одноатомным идеальным газом, очень медленно перемещается поршень; при этом объем, предоставляемый газу, увеличивается. Скорость и движения поршня предполагается малой по сравнению со средней скоростью 行 молекул газа. Покажите, что в этом процессе давление и объем газа связаны соотношением:
5
pH = const.
(теплообмен с окружающей средой отсутствует).
§ 3. СТАТИСТИКА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
-竺一pnqNf,献(％-n)【-竺一pnqNf,献(％-n)【Pn,uPn,uПри осуществлении ^ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность положительного исхода события равна р, вероятность того, что событие наступит п раз, определяется биноминальным законом распределения (распределен нием Бернулли):
-竺一pnqNf,献(％-n)【
-竺一pnqNf,献(％-n)【
Pn,u
Pn,u
где q=l—p ——вероятность отрицательного исхода события.
При биноминальном законе распределения среднее значение (математическое ожидание) числа положительных исходов случайной величины в ^ независимых испытаниях выражается так:
n=Npt
среднее квадратичное отклонение — формулой:
и=У Npq,
а дисперсия —
G?=Npq.
Распределение молекул газа по компонентам скоростей описывается нормальным (Гауссовым) законом. Максвеллов-
17172 Заказ № 6280
17
17
ская функция распределения молекул газа по компонентам скоростей (плотность вероятности случайной величины v) имеет вид:
т
〃ч / m、з/2 — — (^2+^у2+^2)
\2nkT /
где m — масса молекулы, Т — абсолютная температура, k ——постоянная Больцмана.
Максвелловская функция распределения молекул газа по модулю скорости (плотность вероятности случайной величины и) имеет вид:
mv2
F(u)=4nu2(^戸,
Наиболее вероятная скорость Ов, средняя скорость v и среднеквадратичная скорость с молекул газа при максвелловском распределении соответственно равны:
Зависимость концентрации молекул от их потенциальной энергии U во внешнем силовом поле (формула Больцмана) выражается формулой:
_Un = nQe kT '
где 〃о — концентрация молекул при 17=0.
Вероятность того, что отдельная молекула газа из данной совокупности находится в состоянии с полной энергией £ (каноническое распределение), выражается формулой:
_e
p(e)=c「市，
где С ——постоянный множитель, определяемый из условия, что вероятность обнаружить молекулу в любом из возможных состояний равна 1 (условие нормировки).
Вопросы
Чему равны вероятность достоверного события и вероятность невозможного события?
Начертите график функции распределения молекул f(ух) по значениям компонента скорости их (и^ и vz при этом могут иметь произвольные значения). Как, пользуясь этим графиком, найти число молекул, у которых vx лежит между vx и vx-\-dvXt если полное число молекул равно N?
Какова вероятность того, что компоненты vXt vyf 。工 скорости v молекул газа находятся соответственно между vx и vx+dvXt vy и Vy+dvy, vz и 以+dUz?
Какова вероятность того, что модуль скорости лежит между V и 叶du?
Начертите график функции распределения молекул F(v) по модулям скоростей. Как изменится этот график с увеличением температуры газа? Каков физический смысл площади, ограниченной графиком этой функции распределения и осью абсцисс?
Как распределились бы значения скорости одной молекулы, если бы их измеряли через равные промежутки времени?
В опыте Штерна определяется скорость атомов серебра по формуле:
и=，
где(о — угловая скорость вращения цилиндра, на стенках которого осаждаются атомы серебра, R — радиус цилиндра, / — расстояние от диафрагмы до стенки цилиндра, s — длина полоски атомов серебра, осевших на стенке цилиндра. О какой скорости атомов идет речь?
Как зависят флуктуации: а) концентрации молекул от плотности газа; б) плотности от объема одной и той же массы газа?
Примеры решения задач
По нити, натянутой в трубке с высоким вакуумом, идет электрический ток. При этом происходит эмиссия электронов. Вероятность испускания электронов нитью в течение некоторого малого промежутка времени Д/ равна р.
Определите: средний заряд Q, испущенный нитью за время 力 дисперсию заряда (А©?) за это же время, отношение дисперсии тока (А*) к среднему току 7, стандартное отклонение тока.
Решение. Средний заряд Q, испущенный нитью, зависит от заряда электрона е и среднего числа электронов, покинувших нить за время /:
Q—en.
С хорошим приближением можно считать, что испускание одного электрона никак не влияет на вероятность испускания других электронов, т. е. что испускание электронов — события статистически независимые. Вероятность испускания одного электрона за малый интервал времени Д/ очень мала (р《1). Вероятность испускания одновременно двух электронов тем более мала: она равна р2. Следовательно, этими событиями можно пренебречь. Тогда вероятность испускания электрона в
п случаях из ^ независимых испытаний описывается биноминальным законом распределения.
Полное число независимых событий (испускание электрона или неиспускание электрона) равно числу интервалов времени А/, т. е. ^=—^-. Тогда, по определению, среднее число элект- ронов, покинувших нить, определится формулой:
n—Np = p-^—.
и, следовательно, средний заряд — формулой:
Q = ep — .(1)
Дисперсия заряда зависит от дисперсии числа осуществившихся событий испускания электрона с вероятностью р и неис- пускания электрона с вероятностью «=1——р:
(^)2 = ^_©2 = е2(乙亢 2)=g2Npq.
Так как р«1, то можно принять «=1. Поэтому
(AQ)2 = e2 ~^~Р・(2)
Найдем отдельно средний ток 7 и дисперсию тока Д/2.
7十7十Исходя из определения тока и используя (1), получаем для значения среднего тока выражение
7十
7十
史9=с(3)
t Nt
Учитывая найденную дисперсию заряда (2), получаем для дисперсии тока:
可=±资・(4)
Разделив (4) на (3), приходим к следующему результату: & =£
Стандартное отклонение тока, по определению, равно:
Д/=/京
Используя (4) и (3), находим, что
Это значит, что ток испытывает тем большее отклонение от среднего значения (флуктуацию), чем меньше полное число электронов, участвующих в эмиссии.
Концентрация молекул идеального газа п0, температура газа 7\ масса молекул т. Газ находится в тепловом равновесии. Определите число молекул газа, ударяющихся в единицу времени об единицу поверхности сосуда.
Решение. О выбранную единицу поверхности сосуда ударяются те молекулы, проекции скорости которых на направление, перпендикулярное к поверхности, не равны нулю. Пусть ось х перпендикулярна к рассматриваемой поверхности. Число молекул dnx в единице объема, проекция скорости которых заключена в интервале между vx и vx+dvXt равно:
2也7 加.2也7 加.
2也7 加.
2也7 加.
Из этого числа молекул только те достигнут за единицу времени поверхности сосуда, которые расположены от нее не далее расстояния, численно равного vx. Число этих молекул
равно:
Полное число молекул, которые за единицу времени достигнут единицы поверхности сосуда, равно:
Введем обозначение: -—=а. Тогда формула (1) перепи*
шется так:
N=TУлN=TУл
N=T
Ул
N=T
Ул
Учтя, что средняя скорость молекул
получаем:
4
Определите долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре / = 27℃ лежат в интервале от Pi = 1898 м/с до 北=1903 м/с.
Решение. Интервал скоростей Аи = О2——力=5 м/с доста- точрю мал по сравнению с самими скоростями. Поэтому для определения искомой доли молекул можно воспользоваться распределением Максвелла по модулям скоростей:
"2 U 2
⑵⑵—-=〃()4口и2 e2" Au.
⑵
⑵
几\2nkT/
Наиболее вероятная скорость молекул водорода при заданной температуре Т равна:
Учитывая это, перепишем уравнение (1) так:
и2и2ДпДп4Ул4Улее44Ду.Ду.
и2
и2
Дп
Дп
4
Ул
4
Ул
е
е
4
4
Ду.
Ду.
Обозначим отношение средней скорости в заданном интервале к наиболее вероятной скорости при данной температуре через у:
Тогда уравнение (2) запишется так:
НоНо力===力===п Улп УлДи—4Ди—4у2^2\у.у2^2\у.⑶⑶=1,57 ・ 103 м/с,=1,57 ・ 103 м/с,
Но
Но
力===
力===
п Ул
п Ул
Ди—4
Ди—4
у2^2\у.
у2^2\у.
⑶
⑶
=1,57 ・ 103 м/с,
=1,57 ・ 103 м/с,
Подставив эти значения р и Ау в выражение (3), получаем:
竺=2,45・ 1О-з=о,245%・п
Задачи для самостоятельного решения
В ящике лежат тщательно перемешанные шары, отличающиеся друг от друга только цветом: 60 красных, 50 белых, 90 синих. Какова вероятность вынуть белый шар?
Имеется идеальная система из N = 5 спинов при отсутствии внешнего магнитного поля. Предположим, что через равные промежутки времени происходит фотографирование этой системы. В какой части фотографий будет п спинов, направленных 《вверх》？ Рассмотрите случаи, когда n=0, 1, 2, 3, 4, 5.
Монету бросили вверх N раз. Во сколько раз вероят-
ность того, что «герб» выпадет — раз больше, чем вероят
ности выпадения «герба» ——раза? Рассмотрите случаи:
6
а) ^=6; б) N=24.
В сосуде объемом V=1 см3 находится идеальный газ под давлением р=1 • 10~9 Па. Какова вероятность того, что при температуре Т=273 К все молекулы газа займут объем на 1 мм3 меньший объема сосуда?
В сосуде объемом V находятся N молекул. Какова вероятность того, что все эти молекулы будут находиться только в одной из половин сосуда? Произведите вычисления для ^l=2, “2=6, М=10, ^4=20.
Магнитный момент спина |i0 может быть направлен по полю с вероятностью р и против поля с вероятностью q = l—р. В первом случае проекция момента на направление поля равна 卩，во втором она равна —卩卜 Определите среднее значение 卩 магнитного момента спина и среднее квадратичное 卩? значение этой величины.
В магнитном поле с индукцией В вероятность того, что магнитный момент отдельного спина направлен по полю, равна р = 0,51. Определите отношение стандартного отклонения магнитного момента системы спинов АЛ1 к его среднему значению М, если число спинов N. Рассмотрите случаи: а) ^ = 100, б) ^= 1024 (порядок числа Авогадро).
Идеальный газ, состоящий из N молекул, в рабновес- ном состоянии находится в сосуде объемом Vo. В части этого объема V находится п молекул. Определите: а) среднее число молекул 万 в объеме V; б) отношение стандартного отклонения А〃 к среднему числу молекул 亢(проанализируйте полученный результат для У《% и V-> Vo).
Вычислите стандартное отклонение анодного тока А/ в двухэлектродной вакуумной лампе, если среднее значение тока 7=1 мкА. Рассмотрите случаи, когда время наблюдения равно: а)九=10-2 g; б)勾=103 с.
Масса одной молекулы газа т, температура газа 7. Вычислите среднее значение компонента скорости vx и среднее значение абсолютной величины компоненты скорости \vx\ этих молекул в газе.
Наивероятнейшая скорость молекул некоторого газа vB—1820 м/с. Какой это газ? Каковы средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости молекул, если температура газа 127℃?
На рисунке 8 приведен график, соответствующий закону распределения молекул газа по модулям скорости (и — модуль скорости молекул, п — общее число молекул).
Каков физический смысл площади заштрихованной криволинейной трапеции? Что собой представляет абсцисса максимума графика? Чему соответствует площадь, ограниченная левой частью кривой и ординатой максимума? Чему численно равна площадь, ограниченная всей кривой?
Как изменится абсцисса и ордината максимума кривой, ес
ли температура возрастет в 4 раза по отношению к первоначальной? Как изменится при этом площадь, ограничиваемая кривой?
У =У =На рисунке 9 по горизонтальной оси отложены значения отношения скоростей и движения молекул к наивероятнейшей скорости %:
У =
У =
По вертикальной оси отложены значения отношения числа молекул 〃沙,скорости которых превышают заданное значение у, к общему числу молекул 几。в единице объема. Приведен гра* фик зависимости 凸 от у. Как объяснить тот факт, что максимум функции приходится на нуль приведенной скорости?
Определите, какая часть молекул некоторого идеального газа обладает скоростями от Ов до 2 ^в. Какая часть молекул обладает скоростями, большими 1/4 0в? Какая часть молекул азота при температуре 150℃ обладает скоростями, лежащими в интервале от s = 300 м/с до 迎=800 м/с?
Определите, какая часть молекул азота при температуре /=27℃ обладает скоростями, модули которых лежат в интервале от 210 до 215 м/с.
Температура кислорода 208℃. Определите отношение числа молекул этого газа, модули скоростей которых лежат в интервале 798 м/с — 802 м/с, к числу молекул, модули скоростей которых лежат в интервале 398—402 м/с. Объясните, почему получается такое соотношение.
Пользуясь распределением Максвелла по модулям.скоростей, определите: а) наиболее вероятную скорость; б) среднюю арифметическую скорость.
Какую часть от общего числа молекул некоторого газа составляют молекулы, модули скоростей которых отличаются не более чем на 0,5% от наиболее вероятной скорости? От средней квадратичной скорости? Как изменится результат при увеличении температуры газа в 2 раза?
Покажите, что доля молекул, скорости которых лежат в интервале скоростей от средней скорости до средней квадратичной, не меняется при изменении температуры.
Температура водорода 550 К. Определите отношение числа молекул этого газа, компоненты скоростей которых лежат в интервале от 3000 до ЗОЮ м/с, к числу молекул, компоненты скоростей которых лежат в интервале от 1500 до 1510 м/с.
Температура водорода 300 К. Определите, какую часть от общего числа молекул составляют молекулы, модули скоростей которых отличаются от наиболее вероятной не больше чем на 5 м/с.
Определите отношение числа молекул газа, скорости которых отличаются от наиболее вероятной скорости не больше чем на 5 м/с при температуре 7\, к числу молекул того же газа, скорости которых отличаются на ту же величину от наиболее вероятной скорости, но при температуре 72=27，1.
Показания барометра на вершине горы «Пик Ленина» на Памире составляют 43% от показания барометра у подножия горы. Определите высоту этой вершины, если температура воздуха 10℃.
Пользуясь установкой, подобной установке Перрена, можно определить число микроскопических частиц краски, взвешенных в воде, наблюдая их распределение в поле тяжести.
Определите объем частицы, используя данные одного опыта: среднее число частиц, одновременно наблюдаемых в поле зрения при фокусировке микроскопа на нижний слой 〃i = 3; после подъема тубуса микроскопа на 40 микрон число частиц в поле зрения стало равным п2=2. Плотность растворенной краски рк= 1650 кг/м3, температура окружающей среды / = 20℃.
Считая, что воздух на поверхности Земли находится при нормальных условиях, определите отношение давления воздуха на высоте 2 км к давлению на дне шахты глубиной 2 км. Считайте, что температура воздуха от высоты не зависит.
Считая, что температура воздуха и ускорение свободного падения не зависят от высоты, определите, на какой высо-
те плотность воздуха уменьшится в е раз по сравнению с плотностью воздуха на уровне моря (е — основание натуральных логарифмов). Температура воздуха Т=300 К.
Определите вес цилиндрического столба воздуха, основание которого равно 1 м2, а высота его равна высоте Останкинской телебашни (530 м). Считайте, что температура воздуха 300 К, давление у поверхности Земли 760 мм рт. ст.
Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращается с угловой скоростью s вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Длина цилиндра /, площадь его основания S. Определите зависимость числа молекул в единице объема внутри цилиндра от расстояния х до оси вращения. Начертите график изменения давления газа по длине сосуда.
В некотором объеме находится ^ молекул идеального газа. Каково среднее значение числа молекул, кинетическая энергия которых лежит в интервале между 8 и е+^в?
Газ находится в тепловом равновесии в поле силы тяжести. Определите процент молекул, у которых потенциальная энергия £@ больше их средней кинетической энергии поступательного движения.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Внутренняя энергия идеального газа является функцией только температуры Г:
U=—RTf
2勃
где i ——число степеней свободы молекул газа, R — универсальная газовая постоянная.
Первое начало термодинамики:
6Q=dU+M,
где 6Q — элементарное количество теплоты, сообщенное системе, dU — изменение внутренней энергии, M=pdV — работа, совершаемая системой при бесконечно малом изменении объема,
Молярная теплоемкость газа при изохорическом процессе:
停)I r
где i — число степеней свободы молекул газа.
Молярная теплоемкость при изобарическом процессе: 第fi+R・
Работа при изобарическом процессе:
4 = р(%-%)・
Работа при изотермическом процессе:
А=巴RTln匕
7« Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона): pVv=const,
Работа при адиабатном процессе:
4=也 Су ⑺―「2).仇
Уравнение политропического процесса:
pV^ = const,
Здесь 〃= С—Q , где С — теплоемкость, соответствующая поли« С—Cv
тропическому процессу.
Работа при политропическом процессе:
Рис. 10Рис. 10
Рис. 10
Рис. 10
Вопросы
Почему в термодинамических задачах нужно рассматри-, вать процессы, как протекающие бесконечно медленно, хотя реальные процессы протекают с конечной скоростью?
Как запишется первое начало термодинамики для изохорического, изотермического, изобарического и адиабатного процессов?
Какова теплоемкость газа при изотермическом и адиабатном процессах?
Чем объяснить зависимость молярных теплоемкостей (Ср и Cv) для многоатомных газов от температуры?
Состояние газа может быть представлено точкой, на координатной плоскости Р, V. Какой физический смысл имеет площадь, ограниченная кривой /—// (рис. 10), соответствующими ординатами и осью абсцисс?
Уравнение политропического процесса pV« = const, (где n =
Какая разница между процесса?Какая разница между процесса?Каким изопроцессам отвечают значения С=0, Cf оо, C=Cv и С=С@? Какие значения соответствуют этим случаям?Почему нельзя изобразить неравновесный процесс непрерывной линией на термодинамической диаграмме?Возможно ли, чтобы Ср = = Су? Может ли величина Ср или Су иметь отрицательное значение или быть равной нулю?функцией состояния и функциейКаким изопроцессам отвечают значения С=0, Cf оо, C=Cv и С=С@? Какие значения соответствуют этим случаям?Почему нельзя изобразить неравновесный процесс непрерывной линией на термодинамической диаграмме?Возможно ли, чтобы Ср = = Су? Может ли величина Ср или Су иметь отрицательное значение или быть равной нулю?функцией состояния и функцией
Какая разница между процесса?
Какая разница между процесса?
Каким изопроцессам отвечают значения С=0, Cf оо, C=Cv и С=С@? Какие значения соответствуют этим случаям?
Почему нельзя изобразить неравновесный процесс непрерывной линией на термодинамической диаграмме?
Возможно ли, чтобы Ср = = Су? Может ли величина Ср или Су иметь отрицательное значение или быть равной нулю?
функцией состояния и функцией
Каким изопроцессам отвечают значения С=0, Cf оо, C=Cv и С=С@? Какие значения соответствуют этим случаям?
Почему нельзя изобразить неравновесный процесс непрерывной линией на термодинамической диаграмме?
Возможно ли, чтобы Ср = = Су? Может ли величина Ср или Су иметь отрицательное значение или быть равной нулю?
функцией состояния и функцией
Примеры решения задач
Один моль одноатомного идеального газа переходит из состояния / в состояние 2 одним из четырех путей, показанных на рисунке 11:
Процесс /—3—2. Объем газа уменьшается при постоянном давлении от накального значения до конечного, а затем при постоянном объеме газу сос^бщают некоторое количество теплоты, в результате чего давление газа возрастает от начального значения до конечного.
Процесс /—4—2. Вначале газу сообщают некоторое количество теплоты при постоянном начальном объеме, а затем газ сжимают изобарически до конечного объема.
Процесс 7—2 (/). Уменьшение объема и передача газу теплоты происходят так, что давление меняется с изменением объема линейно.
Процесс 1—2 (〃)• Изменения объема и давления газа происходят при его тепловой изоляции. Начальные и конечные значения объема и давления газа даны на рисунке.
Считая процессы во всех четырех случаях квазистатическими, подсчитайте: работу, производимую газом; количество теплоты, полученное газом; изменение внутренней энергии газа.
Решение. Внутренняя энергия газа есть функция состояния, и ее изменение зависит только от начальной и конечной температур; при всех переходах изменение внутренней энергии одинаково и равно:
△и=Су(Т2-Т1).
Начальная и конечная температуры газа могут быть найдены из уравнения состояния:
R
з雙1.R
Кроме того, Cv=— R (газ одноатомный и его масса равна массе одного моля). Работа во всех случаях равна:
f dA= I pdV.
Для перехода /—3—2 имеем:
4="1(修一匕)=-7.102 дж，
(работа совершается внешней силой).
Для перехода /—4—2:
4="2(%一%)=一22,4・103 дж.
В этом случае совершается большая работа, чем в предыдущем случае, так как сжатие газа происходит при более высоком давлении.
При переходах /—4 и 3—2 работа не совершается, и все подводимое тепло идет на увеличе^ше внутренней энергии.
Работа при переходе /—2 (/) рассчитывается графически (рис. 12):
4=善(〃一"1)'(%—匕)=一 10,8 • 1 Оз дж.
При переходе /—2 (〃)
у4 = сУ(т]-72)=—(01%一p2%)=3,6• 103 Дж.
Работа при адиабатическом процессе идет на увеличение внутренней энергии: А — —\и.
Количество теплоты, подводимое к газу, подсчитывается по формуле
△Q = CAT,
где C — теплоемкость того или иного процесса.
Для перехода 1—3—2:
Q = Cp (7з —Ti) +Су (「2—7з) •
Температуры определяются из уравнений состояния ( Т= ^^ 35
Кроме того, Cv— — R и Ср= —
Поэтому
Qu^Sl%一卩1 %)+ ^" ("2%-01%)=
35
="1%+万p2V2~P1 Vi,
Q = 2,9・103 дж.
△ U=7・102 дж+2,9-103 Дж = 3,6・10з д*.
Для перехода /—^—2：
Q = C《l71)+5(72一74)=
=(02%-%%)4—(p2%—P2V1) = — 1,88* 104 Дж.
Это количество теплоты было отдано газом.
При переходе /—2 (/)
Q = ^U-A9Q = —7,2-Ю3 Дж.
За счет работы внешних сил в этом случае происходит повышение внутренней энергии, а часть теплоты выделяется.
Система по условию теплоизолирована, и Q=0. Повышение внутрерней энергии происходит только за счет работы внешних сил.
Два моля кислорода очень медленно переводятся из состояния / в состояние 2. Какое количество теплоты необходимо подвести к газу, если в координатах pV процесс изображается прямой линией (рис. 13)? В состоянии 7 газ характеризуется параметрами Pi = 1 атм, Vi = 24,6 л, Г1 = 300 К, а в состоянии 2 — параметрами「2=3卩1, %=2%.
Решение. Количество теплоты Q, необходимое для перевода газа из первого состояния во второе, определяется по первому началу термодинамики:
Q=AU+4
где AU — изменение внутренней энергии газа, Л — работа газа.
Изменение внутренней энергии зависит только от изменения температуры и не зависит от характера перехода из первого состояния во второе:
^U=vCv-^Tt где
Су= -~~ R.
зо
Температура газа, соответствующая состоянию 2, неизвестна. Но ее легко определить, пользуясь уравнением состояния газа:
Р1 %02%
откуда:илиоткуда:или7Г=元
откуда:
или
откуда:
или
т2=тх^-
т2=Л 迎二空1=6Т1・P1V1
Кислород (О2)——газ двухатомный, и, следовательно, его молекулы .имеют пять степеней свободы. Тогда изменение внутренней энергии определится следующим образом:
AU=_|»vR(67\—7】)= ^ vRTi.(1)
Работа, совершаемая газом, зависит от того, каким образом совершается переход газа из одного состояния в другое. Подсчитать работу для данной задачи возможно двумя способами.
Первый способ. Работа при элементарном изменении объема газа выражается так:
64 = pd 匕
В данной задаче между объемом и давлением существует линейная зависимость:
p = b-\-aV,где а и b — постоянные величины. Поэтому
&4=(力+aQd 匕(2)
Интегрируя выражение (2), получаем:
4 = 6(172-%)+/a"22-%2).
Постоянные а и b находим из следующей системы уравнений:pi = b+aVh02 = 6 + @%.
Решая эту систему, получаем:
а= ,力=—pi.
Поэтому
Л =2p»i・
Второй способ решения — графический. Площадь, ограниченная линией перехода и крайними ординатами, численно равна совершенной работе:
4 = 0,591+〃)(%一%) =20匕.
Полное количество теплоты, которое получил газ, очевидно, равно сумме изменения внутренней энергии и совершенной газом работы:
Q=^U+At или
Q=^ vRT.+ip.V^
Подставляя значения величин, получаем:
Q = 674・102 дж.
Углекислый газ (СОг), начальная температура которого 360 К, йдиабатически сжимается до 1/20 своего первоначального объема. Определите изменение внутренней энергии и совершенную при этом работу, если масса газа 20 г.
Решение. Адиабатический процесс происходит без тепло обмена, и изменение внутренней энергии происходит за счет работы внешних сил.
При этом
Q = 0,AU=—А
Изменение внутренней энергии определяется так:
AU= &СМТ= —СУ(Т2-Л).
22
Так как молекулы углекислого газа — трехатомные, то молярная теплоемкость этого газа при постоянном объеме равна: С『=~^~R = 3R.
Из уравнения Пуассона
определяем температуру газа после сжатия:
Срс7Срс7
Срс7
Срс7
Отношение теплоемкостей 丁 =
свободы i трехатомной молекулы
находим, зная число степеней «=6)：
Тогда:
Следовательно, изменение внутренней энергии газа выразится формулой:
Подставляя значения величин, получаем:
]Л| = |Д(/|=7,05 Дж.
Политропический процесс может быть представлен прямой линией, продолжение которой проходит через начало косГрдинат на плоскости р, У (рис. 14). Начальные объем и давление газа равны： Vi = 10~3 м3, pi = 4>W Па# Масса газа равна 1 моль. В результате расширения газа его объем увели* чился в 3 раза.
Определите: показатель политропы п, изменение внутренней знер<* гни AU, работу газа Я и молярную теплоемкость.
Решение. 1. Уравнение политропы имеет вид:
夕 17n = const,
где показатель политропы п может принимать любые значения от —оо до +оо.
По условию задачи
piVln=p2y2n^ или
Отсюда:
С другой стороны, из графика на рисунке 14 видно, что
〃2Pi〃2Pi% _ 3% _ 3⑵⑵
〃2
Pi
〃2
Pi
% _ 3
% _ 3
⑵
⑵
Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получаем! 3~п = 3. Отсюда 〃= —1.
Изменение внутренней энергии газа можно рассчитать так:
AU=CM7=C 卩6一口).
33333 Заказ № 6280
33
33
Величины 丁2 н Ti могут быть определены из уравнения состояния идеального газа:
n=咄1 и ?2=吗RR
Тогда для изменения внутренней энергии газа получаем;
△ U=(p2V2—piVi) = piVi,
или
△ U= -^1Zl_ =967 Дж.
1,33-1
Работа при политропическом процессе равна:
4=亠宣1-y
几一1 нТV2n-l /
ИЛИ
4=4pi%=160 Дж.
Молярную теплоемкость газа в рассматриваемом процессе можно определить из соотношения между показателем политропы и теплоемкостью
пС—С@
П——.
С—Су
Отсюда:
С=竺U =3,5R・m-1
Задачи для самостоятельного решения
Вычислите отношение теплоемкостей у=-^-для смеси Су
3 моль аргона и 5 моль кислорода.
Отношение молярных теплоемкостей для двухатомного газа у=1,4. Определите удельные теплоемкости: а) кислорода; б) азота.
Для трехатомного газа, имеющего удельную теплоемкость при постоянном давлении, Ср = 725 Дж/(кг-К), определите: а) молярную массу этого газа; б) отношение молярных теплоемкостей.
Для некоторого политропического процесса, в котором участвует многоатомный газ, показатель политропы 〃=1,7. Какова молярная теплоемкость газа в этом процессе?
Влажный воздух содержит 20% водяного пара. Принимая сухой воздух за двухатомный газ с молярной массой 29- 10~3кг/моль, определите: а) удельную теплоемкость влажного воздуха при постоянном объеме; б) отношение молярных теплоемкостей у.
Баллон емкостью 10 л с кислородом при давлении 8- Ю6 Па и температуре 7℃ нагревается до 15,5°С. Какое количество теплоты при этом поглощается газом?
На сколько больше теплоты нужно сообщить 12 г кислорода (О2), чтобы нагреть его от 20 до 70℃ при постоянном давлении, чем для нагрева этой массы кислорода при постоянном объеме?
Смешано /П1 = 40 г водорода (Н2) с т2=32 г кислорода (。2)・ Удельные теплоемкости этих газов соответственно равны: с0H2 = 14,2• 103 дж/(кг-К) и сРо2=912 Дж/(кг-К). Определите: а) потерю тепла при охлаждении смеси на Д/ = 30℃ при постоянном объеме; б) удельную теплоемкость смеси Су.
При постоянном давлении нагревают 200 г азота от 20 до 100℃. Определите: а) количество поглощаемой теплоты: б) прирост внутренней энергии; в) работу, производимую газом.
Какая часть количества теплоты, подводимой к нде~ альному газу при изобарическом процессе, расходуется на увеличение внутренней энергии газа и какая часть ——на работу, совершаемую газом при расширении, если газ: а) одноатомный; б) двухатомный; в) многоатомный?
Расширяясь, 1 моль водорода совершил работу, равную 10 Дж. Какое количество теплоты было подведено к газу, если газ расширялся: а) изобарически; б) изотермически?
Одноатомный газ занимает объем 4 м3 и находится под давлением 8-105 Па. После изотермического расширения этого газа установилось давление 1 атм. Определите: а) работу, совершенную газом при расширении; б) какое количество теплоты было поглощено газом в процессе расширения; в) на сколько изменилась при этом внутренняя энергия газа.
В цилиндре под поршнем находится в замкнутом пространстве воздух. Какая работа должна быть произведена, чтобы поднять поршень на h} = 10 см, если начальная высота столба воздуха 九0=15 см и наружное давление р0=Ю5 Па? Площадь поршня 5=10 см2. Весом поршня можно пренебречь. Температура газа в цилиндре остается неизменной.
Некоторая масса азота при давлении 105 Па имела объем 5 л, а при давлении 3-105 Па — объем 2 л. Переход из первого состояния во второе был совершен в два этапа: а) сначала по изохоре, затем по изобаре; б) сначала по изобаре, затем по изохоре. Определите изменение внутренней энергии, количество отданной или полученной теплоты и произведенную работу в обоих случаях. Почему результаты для рассмотренных двух переходов различны?
Некоторая масса двухатомного газа подвергается ежа- тию: один раз изотермически, другой раз адиабатно. Начальные температура и давление сжимаемого газа оба раза одинаковы. Конечное давление оба раза в п раз больше начального.
Найдите отношение работ сжатия при адиабатном и изотермическом процессах. Рассмотрите случаи: а) 〃 = 2; б) п= 100.
Кислород, занимавший объем 1 л при давлении 12-105 Па, адиабатически расширился до объема 10 л. Определите работу расширения.
Некоторая масса азота при давлении 1,01 • 105 Па имеет объем 5 л, а при давлении 3-105 Па ——объем 2 л. Переход от первого состояния ко второму был произведен в два этапа: а) сначала по адиабате, затем по изохоре; б) сначала по изохоре, затем по адиабате. Определите изменение внутренней энергии, количество полученной или отданной теплоты и произведенную работу.
При изотермическом расширении одного моля кислорода, имевшего температуру 27℃, газ поглотил 1740 Дж теплоты. Во сколько раз увеличился при этом объем газа?
Какое количество теплоты выделится, если 1 г азота, взятого при температуре 0℃ под давлением 1,0- 105Па, изотермически сжать до давления 106 Па?
Углекислый газ находится в баллоне емкостью У=20,5 л при температуре /=0℃ и давлении р—5-105 Па. Определите температуру и давление, если газ получит 1,25-104 Дж теплоты.
Двухатомный газ первоначально имеет объем 50 л и его давление равно 3-105 Па. Газ нагревают изохорически до тех пор, пока давление не удвоится. После этого газ изотермически расширяют до начального давления и, наконец, его изобарически охлаждают до первоначального объема. Определите в каждом процессе: а) работу, производимую газом; б) изменение его внутренней энергии; в) количество теплоты, получаемое газом.
При изобарическом расширении некоторой массы двухатомного газа, находящегося под давлением 105 Па, внутренняя энергия его изменилась на 500 Дж. Определите увеличение объема газа.
Некоторое количество азота, заключенного в цилиндре под поршнем, бесконечно медленно переводят из состояния с параметрами 匕 н 〃 в состояние с параметрами V2= -у, 〃2=4pi. На графике зависимости давления газа от объема процесс изображается прямой линией. Определите: а) изменение внутренней энергии газа; б) работу, совершаемую над газом; в) выделяется ли в этом процесс теплота или газ поглощает теплоту.
При изобарическом расширении 1 моль некоторого газа, занимавшего объем Р=12 л при давлении 2-105 Па, было подведено к газу 2750 Дж теплоты, при этом газ совершил работу 1100 Дж. Определите: а) параметры газа в конечном состоянии; б) из какого числа атомов состоят молекулы газа.
Определите температуру воздуха в воздушном огниве (прибор служит для демонстрации нагревания воздуха при адиабатическом сжатии) при быстром уменьшении объема в 10 раз, если начальная температура /= 15℃.
Горючая смесь в двигателе Дизеля воспламеняется при температуре 800℃. Начальная температура смеси 70℃. Во сколько раз нужно уменьшить объем смеси при сжатии, чтобы она воспламенилась? Сжатие считайте адиабатическим, примите у= 1,4.
Воздух, находившийся под давлением 1 атм, был адиабатически сжат до давления 106 Па. Каково будет давление, когда сжатый воздух, сохраняя объем неизменным, охладится до первоначальной температуры?
Принимая, что процесс распространения звука в воздухе является адиабатическим, Лаплас для определения скорости звука получил формулу и= "р/^ А_(где 丫 =空,р — давление, р — плотность воздуха). Докажите: а) что скорость распространения звука в идеальном газе является только функции ей температуры; б) что скорость звука в воздухе при температуре 0℃ равна 331,63 м/с; определите скорость звука при температуре 22,5℃.
При политропическом расширении 1 моль идеального одноатомного газа его температура уменьшается на 1 К・ Показатель политропы 九=1,5. Определите: а) молярную теплоемкость газа в этом процессе; б) количество теплоты, отданной или полученной газом; в) работу, совершаемую газом.
Одноатомный газ сжимается политропически от начального объема У\ = 4・10-з мз до конечного V2= Ю-3 м3, а его давление при этом увеличивается от pi==105 Па до р2^ =8-105 Па. Начальная температура газа 7\ = 300 К・ Определите: а) показатель политропы; б) молярную теплоемкость газа при этом процессе; в) изменение внутренней энергии газа; г) какое количество тепла получил или отдал газ.
Для движения торпеды используется двигатель, работающий на сжатом воздухе. Определите максимальную полезную работу, производимую двигателем, если объем сжатого воздуха 匕= 6,2 м3, давление сжатого воздуха pi = 2-107 Па. Торпеда отрегулирована на движение в воде на глубине 3 м. Температура сжатого воздуха и воды Г=280 К. Считая движение торпеды равномерным, определите силу тяги двигателя, если радиус действия торпеды 2 км.
При нагревании некоторой массы газа на А7=1 К, давление газа на стенки сосуда изменилось на — часть 340 первоначального давления, а объем газа оставался неизменным. Найдите начальную температуру газа.
Рис. 15Рис. 15Газ изотермически расширяется до объема, который в 6 раз больше первоначального. Во сколько раз работа полного расширения больше работы на первой половине расширения при увеличении объема только в 3 раза?
Рис. 15
Рис. 15
При адиабатическом увеличении объема кислорода в 10 раз его внутренняя энергия уменьшилась на 42 кДж. Начальная температура кислорода Ti = 280 К. Найдите массу кислорода.
го газа, первоначального газа, первоначальноНекоторая масса одноатомно- занимавшая объем Vo—3-10~3 м3 при
го газа, первоначально
го газа, первоначально
давлении ро—О,5-104 Па, политропически расширяется до объема Vi = 6-10~3 м3. При этом давление газа изменяется, как показано на графике, приведенном на рисунке 15. Определите: показатель политропы 几，молярную теплоемкость С газа в этом процессе, изменение внутренней энергии AU и работу Д, совер
шаемую газом.
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Изменение энтропии при любом элементарном процессе:
т
Круговым процессом, или циклом, называется такая совокупность термодинамических процессов, после которых рабочее тело возвращается в исходное состояние. Работа〉совершаемая рабочим телом при круговом процессе, равна
4 = Qi—Q2,
где Qi — количество теплоты, полученное рабочим телом, Q2 — количество теплоты, переданное рабочим телом холодильнику.
Свободная энергия:
F=U-TS,
где U — внутренняя энергия тела, Г — температура, S — энтропия.
Энтропия S системы связана с числом доступных состояний системы Й соотношением
S = ^ In Q,
где k — постоянная Больцмана.
Абсолютная температура системы 7 определяется из условия
1 d In QkT = дЕ '
где k — постоянная Больцмана, Q — число доступных состояний системы в малом интервале энергий от £ до E*dE.
Вопросы
Поясните следующее определение энтропии: «Энтропия есть мера неупорядоченности системы».
Каковы границы применимости первого и второго начал термодинамики?
Каким должен быть циклический процесс, чтобы получить максимальный коэффициент полезного действия при данной разности температур нагревателя и холодильника?
Какими значениями свободной энергии и энтропии характеризуется термодинамическая система в равновесном состоянии?
Изобразите и объясните принципиальную схему охлаждения воздуха в камере домашнего холодильника.
Как доказать, что абсолютный нуль температуры недостижим?
На рисунке 16 изображены циклы ABCD и EFKD двух тепловых машин. Площади, охватываемые двумя изотермами и двумя адиабатами, одинаковы. Какая машина имеет больший КПД? Какая машина совершает большую работу?
На рисунке 17 представлены три пути (а, 6, в) перехода газа из состояния / в состояние //. При каком переходе система получает большее количество тепла? В каком случае будет большим изменение энтропии?
Теплоизолированный сосуд с идеальным газом подвешен на нити в поле силы тяжести. Из-за действия силы тяжести плотность газа внизу сосуда больше, чем наверху. Нить пережигают. Как при свободном падении изменится температура
Рис. 16Рис. 16Рис. 17Рис. 17
Рис. 16
Рис. 16
Рис. 17
Рис. 17
газа, если считать, что за время падения успевает установиться термодинамическое равновесие?
Начертите в системе координат Т, S (температура, энтропия) графики изотермического, адиабатического, изохорического и изобарического процессов.
В системе координат Г, S изобразите: а) цикл Карно; б) цикл, состоящий из двух изохор и двух изотерм; в) цикл, состоящий из двух изохор и двух адиабат. Для последних двух случаев используйте полулогарифмическую бумагу.
Примеры решения задач
В медном калориметре массой т\ = \ кг содержится вода при температуре /1 = 7℃. Масса воды т2 = 3 кг. В калориметр погрузили кусок алюминия массой тз = 0,5 кг, имеющий температуру 办=77℃. Найдите изменение энтропии системы при установлении равновесной температуры.
Решение. Так как энтропия — величина аддитивная, то общее изменение энтропии системы взаимодействующих тел равно сумме изменений энтропии этих тел:
AS = ASi+AS2AS似
В данной задаче взаимодействуют три тела: сосуд калорнмет- ра, вода и алюминиевое тело. Поэтому
AS = AS1+AS2+AS3.
Известно, что элементарное изтиенение энтропии
Поэтому
^S= /孚
(интеграл берется в пределах от начального до конечного значения температуры процесса).
Сосуд калориметра и вода нагреваются от начальной температуры 7\ до температуры теплового равновесия системы тел 0, а алюминиевое тело охлаждается от температуры Т2 до температуры 0. Следовательно,
a5=国+停+惇 (1)
Т, X т2
Но
dQ\ — C\m\dT, dQ^—c^^dT, dQs=c3m3dTr
где 加i,加2, 〃‘з и с】, с?, Сз — соответственно, массы рассматриваемых трех тел и удельные теплоемкости меди, воды и алю： миния.
Конечную температуру процесса 0 находим из уравнения теплового баланса:
Ш\С\ (в—Т1)+аИ2c2(®—「1) н=^3禽(T2-®) •
Решая это уравнение относительно 0 и подставляя приведенные в условии задачи значения физических величин, а также табличные значения удельной
теплоемкости меди, воды и алюминия,Рис 18
получим: 0=282,3 К. После подста
AS=(с血1+С2啕也AS=(с血1+С2啕也言+Мe普.言+Мe普.новки выражений для dQi, dQ?, dQ3 в уравнение (1) получаем!
AS=(с血1+С2啕也
AS=(с血1+С2啕也
言+Мe普.
言+Мe普.
Произведя вычисления, находим: AS =—5,58 Дж-К""1.
Рабочим телом в цикле Карно является воздух, масса которого т = 7,25 кг. Состояние / (рис. 18) характеризуется параметрами Pi = 21 • 105 Па и 71 = 505,4 К, а состояние 3—параметрами рз=2,67 • 104 Па и Тз=252,7 К. Определите: а) полезную работу, совершаемую за 1 цикл; б) изменения энтропии нагревателя и холодильника; в) коэффициент полезного действия.
Решение. Цикл Карно — квазистатический процесс, в котором систему приводят в тепловой контакт с нагревателем и холодильником, имеющим постоянные температуры Tj и Т3.
Работа, совершаемая рабочим телом в тепловой машине, определяется выражением
4 = QlQ2,
где Qi — количество теплоты, полученное рабочим телом от на* гревателя, Q2 ——количество теплоты, отданное холодильнику.
При работе машины по циклу Карно рабочее тело на участ* ке 1——2 (при изотермическом расширении) Получает теплоту
Q尸旦RAE与(1)
а на участке 3—4 (при изотермическом сжатии) отдает теплоту
Q2= — RT3 1n 旦.(2)
ц匕
Работа газа за 1 цикл равна:
4= q»R(7\ln* —Тз1п 隐).(3)
Найдите объемы газа в узловых точках цикла.
Для состояний / и 3 даны по два параметра — давление и температура. Используя уравнение состояния газа
pV=SRT, находим:
%=0,5 mв %=19,8 m3.
Используя уравнения Пуассона для процессов адиабатического расширения газа (2—3) и адиабатического сжатия (4—/), получаем:
Т1%，-1 = Тз 匕 т-1,
Отсюда находим: %=3,5 м3,匕=2,83 м3.
Подставив в (3) значения всех величин, вычисляем работу: 4 = 1021,8 кДж.
Перейдем теперь к определению изменения энтропии нагревателя и холодильника. Процессы 2—3 и 4—/ являются изо- энтропийными. Изменение энтропии нагревателя равно по модулю и противоположно по знаку изменению энтропии газа при изотермическом процессе /—2:
ASHarp^1R If! *2” •
Аналогично находим изменение энтропии холодильника:
Произведя расчеты, получаем:
А5нагр=5Х0л=4043,6 Дж/К.
Коэффициент полезного действия тепловой машины
Q匸鱼=1①
QiQi *
Для цикла Карно, учитывая (1) и (2), находим:
"=1厶_=0,5, Или 刀= 50%.
Камень массой 10 кг упал с высоты 20 м на землю. Температура камня и окружающей среды 20℃. Определите изменение энтропии системы камень — Земля.
Решение. Падение камня — процесс необратимый. Изменение энтропии в этом процессе можно найти, используя первое начало термодинамики
\Q = \U+A.
Так как
AQ = TAS, то
T^S = ^U+A.
По условию задачи температура, а следовательно, и внутренняя энергия не изменяются (Д[7 —0). Работа же 4 равна изменению потенциальной энергии системы камень — Земля:
4 ^ AjE'uot = mgh.
Поэтому
TAS = 〃电〃.
Отсюда:
AS=甯，AS = 6,688 Дж/К.
При изменении состояния кислорода в прлитропическом процессе удельная теплоемкость этого газа сп——0,3 кДж/(кг-К). Масса кислорода т = 4 кг. Определите изменение внутренней энергии, изменение энтропии и совершенную работу, если начальные параметры кислорода pi = 5-105 Па и Г1 = 350 Кив рассматриваемом процессе к газу было подведено 100 кДж теплоты.
Решение. Изменение внутренней энергии газа определяется формулой:
Д{/=—СуДТ,
卩
где m — масса газа, ц ——молярная масса, Су——молярная теплоемкость при постоянном объеме. Для кислорода 卩=32 и cV=5/代.
Изменение температуры газа АТ находим из уравнения!
где Сц ——молярная теплоемкость газа в данном процессе. Мен лярная теплоемкость всегда равна удельной теплоемкости, умноженной на молярную массу:
Сц ~— Сц%
Следовательно,
HQ — mc^T.
Решая это уравнение относительно АТ и подставляя значения физических величин из условия задачи, получаем:
АТ=—83,3 К.
Подставляя это значение АТ в формулу для изменения внутренней энергии газа, приходим к следующему результату:
AU=-216,5 кДж.
Найдем теперь изменение энтропии при политропическом процессе.
Так как в политропическом процессе газ обменивается энергией е окружающей средой, то согласно первому началу термодинамики
dQ=CvdT+pdV.
Но теплоемкость газа в политропическом процессе равна:
G dQ
dT
Следовательно,
Cn=Cv+p^.
al
Чтобы найти — , продифференцируем уравнение политропы: dT
TVn-i=const v^dT^T(n-\)小-2di/=0・
Отсюда: dV = 卄 万——T5T・
Заменив отношение -у- отношением -^-, получим:
dT p(n-lj
Теперь подставим это выражение для — в формулу тепло- dT
емкости газа в политропическом процессе:
Сц=Су— —. S-l)
Так как R = C「一Cv и Cp=yCvt то
С“=Су 工
Поскольку изменение энтропии
AS=j 筝
и dQ = CndTt то
AS = C111rl J
или
as=c，Fe 二
Отсюда видно, что показатель политропы равен:
Си—уСуСп — Су
Но Сц=Сцк. Следовательно,
“и—Су
После подстановки значений величин получаем: 〃=1,27.
Для температуры Г2 имеем:
「2=71+47=276,7 К.
Наконец, подставляя значения n, Ti, Т2, Су и у в формулу изменения энтропии, получаем:
AS = 277 Дж・К7.
Работа, совершенная газом, находится так:
4 = AQ—А(ЛЛ =316,5 кДж.
В баллоне объемом 500 л находится воздух под давлением 50• 105 Па, температура воздуха в баллоне равна температуре окружающей среды /=20°С. Какую максимальную работу может совершить сжатый воздух при его изотермическом расширении? Атмосферное давление 105 Па.
Решение. Согласно первому началу термодинамикиdQ = dU+pdV.
Но
dQ = TdS.
Следовательно,
TdS = dU+pdV.
Здесь pdV — работа, затраченная на вытеснение атмосферного воздуха, a TdS ——энергия, полученная газом от окружающей среды при его изотермическом расширении. Так как процесс изотермический, то dU=0. Для полной работы газа при изотермическом расширении можно записать:
dA = TdS-pdV,
или, переходя к конечным приращениям, ДЛ = Т AS一рД V.
Но
AS=jRln
Учитывая, что
RA
получаем:
a6=上必111上一.Л Р2
Предварительно вычислив приращение объема
%=叱 =25 м3, AV=24,5 м3,
Р2
находим значение работы газа:
4 = TAS-"AV=8245 кДж.
Сосуд объемом У° разделен перегородкой на две части с объемами
В большей части находится 0,1 моль идеального газа;
в меньшей же создан высокий вакуум. Определите изменение энтропии
при удалении перегородки.
Решение. Удаление перегородки не меняет энергии газа, но увеличивает доступный каждой молекуле объем в -^раз.
Число доступных молекуле состояний пропорционально объему сосуда; поэтому число доступных одной молекуле состоя- пий возрастает в раз. Так как в сосуде ^ молекул, то чис- ло доступных всем молекулам состояний увеличится в (~^')" раз. Таким образом конечное число доступных состояний Qo связано с начальным числом доступных состояний С】 соотно
шением:
⑴
Поскольку число молекул велико, то из уравнения (1) следует, что даже, если новый объем Vo незначительно больше прежнего объема 匕，имеет место соотношение Qo》Qi.
Энтропия системы связана с числом доступных состояний формулой Больцмана:
S=^ In Q.
Изменение энтропии равно:
AS=So-Si=^(ln Qq-Ih Qi) =k\n ^ .(2)
Из (1) и (2) следует, что
ASiln = In
Подставляя в эту формулу значения величин 々== 1,38-10-23 Дж/К и N = 0,l, 7Vo=6,O2-1022 моль— получаем:^S = kN In-|- = 0,33 Дж/К.
Таким образом, удаление перегородки является примером необратимого процесса, приводящего к увеличению числа доступных состояний и, следовательно, к увеличению энтропии^
Задачи для самостоятельного решения
Сравните термические коэффициенты двух циклов Карно. В первом цикле к рабочему телу теплота подводится при температуре 500 К и отводится при температуре 300 К, а во втором теплота подводится при температуре 400 К и отводится при температуре 200 К.
Цикл Карно осуществляется в интервале температур Т] = 600 К и 丁2=200 К. Давления в конце изотермического расширения и в конце адиабатического сжатия одинаковы и равны р=2-105 Па. Рабочим телом является воздух. Определите параметры точек цикла и полезную работу, совершаемую одним килограммом воздуха за цикл.
Коэффициент полезного действия цикла Карно т] —ОД При изотермическом расширении газ получил от нагревателя 取=200 Дж энергии. Определите работу, совершаемую при изо
термическом сжатии.
Температура нагревателя в 3 раза выше температуры холодильника. Какую часть энергии, полученной в цикле Карно от нагревателя, газ отдает холодильнику?
При совершении цикла Карно газ получил от нагревателя 16,77 кДж энергии и совершил 5,59 кДж работы. Во
сколько раз температура нагревателя выше температуры холодильника?
Некоторое количество идеального газа совершает цикл, состоящий из двух изобар /——2 и 3——4 при давлениях pi и /?2 и двух изотерм при температурах Ti и Т2 (рис. 19). Докажите, что КПД этого цикла меньше, чем
Рис. 19Рис. 19цикла Карно.
Рис. 19
Рис. 19
Докажите, что цикл из двух изохор при объемах % и V2 и двух изотерм при температурах Г1 и Т2 (рис. 20) имеет КПД меньший, чем КПД цикла Карно.
Холодильная машина, работающая по циклу Карно поддерживает в камере температуру Ti = 260 К. За каждый цикл машина отводит из холодильной камеры Qi= 40 кДж энергии и передает эту энергию окружаю-
ppРис. 20Рис. 20Рис. 21Рис. 21
p
p
Рис. 20
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 21
щей среде, имеющей температуру Т2=300 К. Определите мощность, потребляемую холодильной машиной, если продолжительность цикла /= 1,5 с.
Домашний холодильник потребляет из электрической сети 200 Вт. Температура окружающей среды (воздух в комнате) То=293 К. Определите температуру в камере холодильника 7\, если количество отведенного тепла в 5 раз превышает количество затраченной энергии. Холодильник работает по циклу Карно.
На рисунке 21 изображен цикл двигателя Отто, состоящий из двух изохор /—4 и 2——3 и двух адиабат /——2 и 3—4. Известен коэффициент сжатия рабочего тела 亠-—п, % Определите коэффициент полезного действия цикла.
На рисунке 22 изображен цикл, состоящий из изобары 2——3, изохоры 4——/ и двух адиабат /—2 и 3—4 (цикл двигателя Дизеля). Известны коэффициент адиабатического сжатия 九=-^-н коэффициент изобарического расширения 论=J^t.
Определите коэффициент полезного действия цикла.
На рисунке 23 изображен цикл, состоящий из двух изобар /—2 и 3—4 и двух адиабат 4—1 и 2—3 (цикл прямо-
Рис. 22Рис. 22Рис. 23Рис. 23
Рис. 22
Рис. 22
Рис. 23
Рис. 23
I。二mI。。『，I。二mI。。『，
I。二m
I。。『，
I。二m
I。。『，
точного воздушно-реактивного двигателя). Известен коэффициент адиабатического сжатия 〃 = -^-・ Определите коэффициент полезного действия цикла.
Определите число заданных распределений девяти частиц газа по трем равным частям объема (термодинамическую вероятность). Случаи распределения указаны на рисунке 24.
Найдите значения термодинамической вероятности для заданных на рисунке 25 способов распределения двенадцати Настин газа по четырем равным частям объема.
Докажите, что при смешении двух одинаковых количеств воды с различной температурой энтропия системы возрастает.
Резиновый шнур, жесткость которого й = 3-103 Н/м, под действием груза удлинился на Д/=20 см. Считая процесс растяжения шнура изотермическим и происходящим при температуре Т=27°С, определите изменение энтропии.
Два сосуда, емкости которых V\ = i,6 л и У2=3,4 л, содержат соответственно mj = 14 г окиси углерода (СО) и 加2=16 г кислорода (。2)・ Температуры газов одинаковы. Сосуды соединяют, и газы перемешиваются. Определите прираГце- ние энтропии-при этом процессе.
Два сосуда, емкости которых 匕 и %, содержат по 1 кмоль идеального газа. Давления в обоих сосудах одинаковы. Температуры газов различны и равны соответственно 7\ и 丁2・ Определите, какое произошло изменение энтропии, когда сосуды соединили и система пришла в термодинамическое равновесие.
В политропном процессе энтропия одного килограмма азота увеличилась на 140 Д*/К； при этом температура газа изменилась от Zi = 20℃ до /2= 120℃. Определите показатель политропы.
В процессе политропического расширения воздуха к нему было подведено 90 кДж тепла, и все же его температура снизилась от 乙=25℃ до /2=—37°С. Масса воздуха т = 4 кг,
49494 Заказ № 6280
49
49
начальное давление воздуха pi = 4-105 Па. Определите изменение энтропии в этом процессе.
Найдите изменение энтропии 1 кг воздуха, если его давление увеличилось от 2-105 Па до 106 Па, а температура понизилась от 327℃ до 127℃.
Какую работу можно получить от сжатого воздуха при его расширении? Воздух находится в баллоне, и его давление р0= 150-105 Па. Емкость баллона Vo=O,O4 м3. Температура воздуха в баллоне Го=ЗОО К. Параметры окружающей среды: Р1 = 105 Па, 71 = 300 К, объем безграничен (атмосфера). Воздух считать идеальным газом.
Какую максимальную работу могут совершить продукты сгорания на воздухе 1 кг топлива? Теплота сгорания топлива ^=20 000 кДж-кг-1. Температура продуктов сгорания топлива ?!= 1300℃. Параметры окружающей среды (воздуха): Ро= Ю5 Па, То = 293 К. Теплоемкость продуктов сгорания считать постоянной.
Определите, какую максимальную работу могут совершить продукты сгорания на воздухе 10 кг топлива. Теплота сгорания топлива ^ ==25-103 кДж-кг-1. Температура продуктов сгорания 7\ = 1500℃・ Температура воздуха 7о=2О℃.
Определите изменение энтропии при самопроизвольном изотермическом сжатии 7 • 10~6 кг азота на 1 • 10-6 часть первоначального объема газа %.
Определите изменение энтропии при изотермическом сжатии 1 моль кислорода от объема & до объема % %.
Опыт показывает, что 1 моль любого идеального газа при комнатной температуре и нормальном атмосферном давле,- нии (105 Па) занимает объем М=22,4 л. Используя этот результат, определите величину kT при комнатной температуре в электрон-вольтах. Воспользовавшись определением абсолютной температуры, найдите процентное увеличение числа состояний, доступных такой системе, при возрастании ее энергии на 10-3 эВ.
Макроскопическая система поглощает ДЕ= 10~20 Дж энергии. При этом число доступных состояний системы увеличивается на 10%. Какова была температура этой системы?
§ 6. СТОЛКНОВЕНИЯ МОЛЕКУЛ И ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Среднее число столкновений одной молекулы в единицу времени:
Z=V2avn0, где а — эффективное поперечное сечение молекулы, d — средняя по модулю скорость молекул, “о — концентрация молекул. 50
Средняя длина свободного пробега молекул:
¥2 d2m0
где d — эффективный диаметр молекул, 〃о — концентрация молекул.
Масса вещества dM, диффундирующая через элемент площади dS за время dt в направлении оси X, определяется законом Фика:
dM=-D 曳 dS dt,dx
где D — коэффициент диффузии, ^градиент парциальной дх
плотности.
Коэффициент диффузии в газах:
D= — XfJ,
3
где 九一средняя длина свободного пробега, и — средняя по модулю скорость молекул газа；
Разность концентраций молекул Д/г при нестационарном процессе в газах убывает с течением времени по закону
А〃=А〃ое ° ,
где А〃о — начальная разность концентраций, т — время релаксации (зависит от геометрических размеров и формы сосудов).
Время релаксации при течении газа по цилиндрической трубке длиной /, площадью поперечного сечения S, соединяющей между собой два объема V{ и 14, равно:
T 1 / T = ,
D %+% S
где D — коэффициент диффузии.
Количество теплоты %Q, протекающей через элементарную площадь dS за время 〃力 определяется законом Фурье:
dQ = —хdS dtt
где 乂 — коэффициент теплопроводности,градиент темпе- дх
ратуры.
Коэффициент теплопроводности для газов.
1 十
Х= — pvkCVi
где р — плотность газа, v — средняя по модулю скорость моле* кул,入一средняя длина свободного пробега, су — удельная теп^ лоемкость.
Сила внутреннего трения dF между двумя слоями площадью dS, движущимися с различными скоростями, равна: dF=n g-dS,
где г) — коэффициент внутреннего трения (вязкость), —гра* дх
диент скорости.
Коэффициент вязкости для газов:
где /г。一концентрация молекул, Л — средняя длина свободного пробега, т — масса молекул, и — средняя по модулю скорость молекул.
Вопросы
Чем объяснить, что все явления переноса протекают медленно, хотя все они происходят благодаря быстрым движениям молекул?
Начертите ход графика зависимости произведения 入р (длина свободного пробега на давление) от изменения давления газа р.
Что следует знать для определения среднего числа столкновений всех молекул, происходящих в 1 с в единице объема, если известно среднее число столкновений одной молекулы в 1 с?
В теплоизолированном сосуде находятся два газа с одинаковой температурой, разделенные непроницаемой перегороди кой. Как будут меняться энергия и энтропия при удалении перегородки?
Давление газа увеличилось в 2 раза. Как изменилась при этом средняя длина свободного пробега молекул, если: а) температура осталась без изменения; б) температура увеличилась в 2 раза?
Как меняются коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости при изменении давления, если газ находится: а) в состоянии, далеком от технического вакуума; б) в состоянии технического вакуума?
Как меняются коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости при изменении температуры, если газ находится: а) в состоянии, далеком от технического вакуума; б) в состоянии технического вакуума?
Один из методов разделения смеси газов на компоненты состоит в использовании диффузии через пористую перегородку. Какие свойства молекул используются при этом?
На рисунке 26 показана схема опыта. Внутри пористого сосуда Д (из неглазурованной керамики) находится воздух 52
при атмосферном давлении. Объясните, почему из трубки С начинает выливаться вода, если под колпак В, накрывающий пористый сосуд, впустить водород.
Опыт Милликена, в котором впервые был измерен заряд электрона, заключается в сравнении электрической силы, действующей на малую заряженную каплю масла, с силой тяжести. Опыт производится в воздухе при атмосферном давлении, так что средняя длина свободного пробега молекул во много раз меньше диаметра капли. От чего зависит конечная (постоянная) ско
скоростьскоростьрость падения капли? Как будет изменяться конечная
скорость
скорость
капли, если температура воздуха возрастает?
Почему при изготовлении сосудов Дьюара (колб для термосов) на время откачки воздуха из пространства между стенками сосуды помещают в печь с температурой 300—400℃?
Металлическая нить натянута по оси цилиндрической трубки, разделенной непроницаемой перегородкой на две ча
сти, в которых находится один и тот же газ при различном давлении. Если пропускать ток по нити, то она в одной части трубки светится, а в другой нет. В какой части нить светится?
На рисунке 27 показана принципиальная схема манометра Мак-Леода. Манометры, предназначенные для измерения давлений в различных диапазонах, отличаются главным образом объемом баллона Д, который определяет постоянную манометра. Как по размеру баллона Д выбрать манометр, обеспечивающий большую точность измерения? Объясните, как измеряют давление таким манометром.
Примеры решения задач
Вероятность того, что молекула, пройдя без столкновения путь 方, испытывает соударение на отрезке x+dx, равна w(x)=Ae 入 dx (где А — по* стоянный коэффициент, X — средняя длина свободного пробега). Определите относительное число молекул, длина свободного пробега которых меньше 0,5 X.
Решение. Относительное число молекул, имеющих длину свободного пробега в интервале от %i до %2, определим суммированием вероятностей 侬(％)・ Если N — полное число молекул, то
Постоянный коэффициент 4 определим из условия нормировки:
『Ае 入 dx= 1, о
Относительное число молекул, длина свободного пробега которых меньше 0,5 X, находим так:
А"А"NN0,5入0,5入入dx,入dx,AN~7ГAN~7Г= 1—е-°,5= 1一0,61 =0,39.= 1—е-°,5= 1一0,61 =0,39.
А"
А"
N
N
0,5入
0,5入
入dx,
入dx,
AN~7Г
AN~7Г
= 1—е-°,5= 1一0,61 =0,39.
= 1—е-°,5= 1一0,61 =0,39.
С помощью окулярного микрометра ведут наблюдение за изменением размера капли воды, находящейся достаточно большой промежуток времени в комнате при температуре 20℃. Вначале радиус капли бы-л равен rj = 1,48-10~3 м; через промежуток времени т = 25 мин он стал 「2= 1,31 "О-з м> Определите: а) плотность паров воды на расстоянии 2rl от центра капли; 6) коэффициент диффузии молекул воды в воздухе.
капли про-капли про-Решение. Предполагаем, что внешние силы на молекулы воды не действуют и температура воды и воздуха одинакова.
капли про-
капли про-
При этом можно считать, что уменьшение размеров исходит из-за диффузии молекул воды в воздух.
Поверхность капли окружена прилегающим к ней слоем насыщенного водяного пара, из которого этот пар медленно диффундирует в окружающий воздух.
При малом размере капли ее можно принять за шар. Начало координат выбранной системы отсчета совместим с центром капли. Поскольку диффузионный поток направлен вдоль радиуса, то единственной координатой, от которой зависит плотность паров воды р (или концентрация молекул воды), является радиус г. По закону Фика, количество вещества, перенесенное в 1 с в результате диффузии, равно:
⑴⑴Дт = -О 也 AS = -Q 妲・4”2.drdr
⑴
⑴
Через каждую сферическую поверхность, концентричную поверхности капли, должно проходить одинаковое количество
вещества (вещество нигде вне). Из уравнения (1)
dp =—
не расходуется и не появляется нз~
A/n dr
4лП * г2
⑵
ДтДт⑶⑶При r—r{ плотность пара равна плотности насыщенного водяного пара при температуре 20℃ (р = рн,п). После интегрирования уравнения (2) получаем:
Дт
Дт
⑶
⑶
Очевидно, что при г->оо можно принять р-> 0. Учитывая это, находим из уравнения (3) значение для коэффициента диффузии О:
D=….-.
4лрн ПГ1
(5)(5)Подставив полученное значение D в уравнение (3), получаем зависимость плотности паров воды от расстояния до центра капли:
(5)
(5)
Р = Рн.цГ 1 二-.
Отсюда видно, что плотность паров воды убывает обратно пропорционально расстоянию от центра капли (рис. 28).
Плотность паров воды на расстоянии 2 гь от центра капли, как видно из формулы (5), вдвое меньше плотности насыщающего пара:
1
Р = Ерн.п・
Согласно таблице XII температуре /=20℃ соответствует плотность насыщающего водяного пара ры.п=17,3-10~3 кг/м3. Поэтому на расстоянии 2尸i плотность пара р=8,65* 10^3 кг/м3.
Для определения коэффициента диффузии найдем количество вещества Дт, диффундировавшего за время т.
Элементарное изменение массы капли жидкости плотностью рж равно йт = рж.4лг2б/г. При уменьшении радиуса капли от гх до г2 масса уменьшится на
т =—^п^ j r2dr— —4 лрж —(Г2—-г?)-
Используя формулы приближенных вычислений для нахождения (r2~d) и учитывая, что 厂2=尸1—Аг, получаем:
〃1 = А/72/г=4лр擦厂 J2 A匚(5)
Определив из этого уравнения Am и подставиз в уравнение (4), находим коэффициент диффузии:
D^^L.(6)
После подстановки в формулу (6) значений величин из условия задачи и таблиц, получаем:
О = 8,7 ・ 10-5里с
Цилиндрический сосуд с двойными стенками наполнен льдом. Радиус внешней стенки「2=5 см, внутренней А=4 см, высота сосуда Н—20 см. Давление воздуха, находящегося между стенками до заполнения сосуда льдом,卩=1,3・10一2 Па. Температура окружающего воздуха Т2=293 К.
Определите время, в течение которого в сосуде растает т = 100 г льда.
Решение. При стационарном состоянии (температура стенок не меняется) количество тепла, получаемое внутренней стенкой от внешней благодаря ^теплопроводности воздуха, идет на плавление льда. Чтобы установить, каким образом происходит перенос энергии, вычислим среднюю длину свободного пробега молекул воздуха, заключенного между стенками сосуда.
Если средняя длина свободного пробега окажется меньшей расстояния между стенками сосуда, то переносимую энергию можно найти, пользуясь законом Фурье.
Если же средняя длина свободного пробега больше расстояния между стенками или равна ему, то соударениями молекул можно пренебречь и учитывать только удары молекул о стенки сосуда. Для расчета средней длины свободного пробега примем температуру воздуха между стенками сосуда равной средней температуре стенок 7= ^^=283 К, а эффективный диаметр молекул воздуха, состоящего главным образом из азота, примем равным d=3,6-10~10 м (см. табл. III). При этих условиях для средней длины свободного пробега получаем:
г kT
Л=
y2 rd2P
или (после подстановки значений величин)
九=5,2 м.
Расстояние между стенками сосуда г2~^1=0,01 м. Следовательно, при давлении р = 1,3-10~2 Па длина свободного пробега равна расстоянию между стенками. В этом случае в пространстве между стенками имеются как бы два встречных потока молекул: один поток образует молекулы, имеющие среднюю энергию, соответствующую температуре более горячей стенки, а другой поток — молекулы, обладающие средней энергией, соответствующей температуре холодной стенки.
Для расчета теплоты, получаемой холодной стенкой, найдем энергию, передаваемую этой стенке молекулами, пришед- 56
шими от горячей стенки. Примем, что от стенки к стенке движется i/б всех молекул и что все молекулы, летящие от стенки, имеющей температуру Ть обладают энергией W=5/2 kT.
Энергия, отдаваемая одной молекулой при ударе о холодную стенку, равна:
左(72-八).⑴
Число ударов, испытываемых холодной стенкой за время Д/, равно:
где т — время между последовательными ударами молекул о холодную стенку, ^ — общее число молекул.
Учитывая, что молекулы подлетают к холодной стенке со скоростью ^2 и отражаются со скоростью 。1, получим следующее выражение для времени между последовательными ударами молекул:
T = + = 4 .
Поэтому энергия, получаемая холодной стенкой за время Af, равна:
ди7=дго — —Д/.(3)
6 /(У1+и2)
Эта энергия идет на плавление льда:
\W=qm,(4)
где 9=3,33-105 Дж/кг — удельная теплота плавления льда и т — масса льда.
Учитывая зависимость средней скорости молекул от тем< пературы, имеем:
Од > , Y8RT1T2(5}
s+力 一 y丽 yf；+¥元).
Общее число молекул между стенками сосуда N=nQn(r^—r^)H, а концентрация молекул
Следовательно, N=-^n(r^r^)H.(6)
Подставив выражения (1), (4), (5), (6) в формулу (3), най^ дем время, необходимое для плавления льда:
A/ =A/ =QqmT^ii
A/ =
A/ =
5〃"(]/冗一门 i)(q+门) 1/2/7/
Производя вычисления, получаем: А/=6,9・107 с.
Задачи для самостоятельного решения
Баллон емкостью V= 10 л содержит т=1 г водорода. Определите: а) среднюю длину свободного пробега молекул; б) отношение средней длины свободного пробега к эффективному диаметру молекул.
Определите: а) плотность водорода, если средняя длина свободного пробега молекул Х=1 см; б) отношение найденной плотности к плотности водорода при нормальных условиях.
Современные вакуумные насосы позволяют понижать давление газа в сосуде почти до 10^10 Па. Сколько молекул содержит 1 мм3 азота при таком давлении и температуре 27°С? Какова при этих условиях средняя длина свободного пробега молекул азота и среднее время между двумя столкновениями?
При температуре 0℃ средняя длина свободного пробега молекул кислорода равна 9,5- 10~б см. Каково число столкновений молекул в 1 с при той же температуре, но при давлении, уменьшенном в 10 раз?
Вероятность того, что молекулы, пройдя без столкновения путь х, испытывают соударение на отрезке dx, равна
w (%) =Ае 一 Т dx (где Л ——постоянный коэффициент, X — средняя длина свободного пробега). Определите: а) относительное число молекул, длина свободного пробега которых больше 2 九； б) отношение числа молекул, имеющих длину свободного прей бега в интервале от 九 до 2 九八 к числу молекул, имеющих длину свободного пробега больше 2 九.
Какая часть всех молекул азота, находящегося при температуре 0℃ и давлении 1,8・16-2 мм рт. ст., имеет длину свободного пробега, лежащую в интервале от 2,5 до 3,5 мм? (Используйте условие задачи 6.5.)
При температуре 273 К и давлении 105 Па длина свободного пробега молекул азота (N2) равна 6・10一6 см. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул азота при той же температуре равна 1 мм? Во сколько раз при этом давлении средняя продолжительность свободного пробега больше, чем при давлении 105 Па? Каково полное число столкновений между молекулами, которые произойдут в течение 1 с в 1 см3 газа при нормальных условиях?
Рис. 29Рис. 296・8・ Поток атомов серебра, испаряющихся из нагретой пластины Л, проходит через узкую диафрагму В и выходит из нее вверх в виде резко очерченного атомного пучка (рис. 29). На пути пучка поставлены 4 экрана с круглыми отверстиями. О числе атомов серебра, прошедших через каждое отверстие, судят по плотности осадков серебра на квадрантах, вершина которых совпадает с центром отверстия (на рисунке квадрант изображен отдельно и заштрихован). Квадранты повернуты друг относительно друга
Рис. 29
Рис. 29
на 90°. Почему плотность осадка на квадрантах различна? Как меняется число атомов, дошедших до квадрантов, при уменьшении давления в сосуде? Какова средняя длина свободного пробега атомов серебра при данном давлении газа, если плотность осадков на квадрантах, отстоящих от диафрагмы В на расстояниях %i и %2, равна соответственно Qi и °2?
Сосуд, откачанный до высокого вакуума, разделен пористой перегородкой на две части, отношение объемов которых равно %. В меньшую часть сосуда введена смесь водорода и азота при давлении pi== 1,5-105 Па. Через некоторое время, в течение которого температура газа в сосуде не менялась, давление газа уменьшилось до р2=105 Па, а затем оставалось постоянным. Определите: а) отношение масс водорода и азота в смеси; б) давление, установившееся в другой части сосуда.
Во сколько раз изменится масса диффундировавшего газа при стационарном процессе, если абсолютная температура газа уменьшится в 3 раза, а время диффузии возрастет в 2 раза?
Два сосуда, объемом V—1 л каждый, соединены трубкой длиной 1= 10 см и площадью поперечного сечения S=1 см2. Один сосуд наполнен влажным воздухом, а другой — сухим воздухом. Приняв коэффициент диффузии паров воды в воздухе при атмосферном давлении равным 0=0,23 и пренебрегая с вязкостью, определите, через сколько времени разность концентраций паров воды уменьшится в е раз.
В двух одинаковых сосудах, объемом V каждый, находится один и тот же газ. Температуры в обоих сосудах одинаковы, но давление в одном сосуде р, а в другом 2 р. Когда сосуды соединили между собой цилиндрической трубкой длиной I и сечением S, давления в них уравнялись. Приняв коэффициент диффузии газа равным D и пренебрегая вязкостью, определите установившееся давление и время выравнивания давлений.
Во сколько раз отличаются наибольшие воз* можные скорости падения шарика диаметром d=0,5 мм в водороде и азоте, если температуры и давления в обеих средах одинаковы?
единицуединицуВ опыте по определению коэффициента внутреннего трения пространство между двумя коакси-* альными цилиндрами Л и В (рис. 30) заполнено воздухом при температуре 27℃. Цилиндр А радиусом П = 8 см насажен на ось и приводится во вращение с частотой 10 об/с. Цилиндр В подвешен на нити С и при установившемся движении цилиндра А неподвижен. Расстояние между цилиндрами равно d=0,2 см. Считая движение воздуха между цилиндрами ламинарным, определите силу, действующую на поверхности цилиндра В, и коэффициент внутреннего
единицу
единицу
трения воздуха.
Диск подвешен на упругой нити над другим вращающимся диском на расстоянии h= 1 см. Частота вращения нижнего диска 8 об/с, радиусы дисков R=10 см, модуль кручения нити N=K)-5 н，м/рад, коэффициент внутреннего трения воздуха п = 1,8・10-5 Н・м~2・с. Определите угол поворота верхнего диска. Краевыми эффектами пренебрегите. Движение воздуха между дисками считайте ламинарным.
Вязкость некоторого газа определяется методом измерения силы трения между пластинами. Слой газа между пластинами имеет толщину d=0,9 мм. При давлении 〃=幺,8 Па вязкость газа равна r)i = 0,8-10~5 Н• м~2• с, а при давлениях 卩2=10,9 Па и рз=16 Па вязкость равна г)2=1,9-10~5 Н• м~2• с. Какова приблизительно средняя длина свободного пробега молекул этого газа при нормальном давлении и той же температуре?
Коэффициент внутреннего трения кислорода при нормальных условиях равен т] —1,92-10~5 Н • м~2• с. Определите: а) длину свободного пробега, молекул; б) кинематическую вязкость; в) эффективный диаметр молекул.
Как изменится коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость) двухатомного газа, состояние которого далеко от вакуума, при уменьшении объема в 2 раза, если процесс перехода был: а) изотермическим; б) изобарическим; в) адиабатическим?
Для расчета отопительной системы рассчитывают потерю теплоты через 1 м2 поверхности стен здания в течение суток. Толщина кирпичной стены d=40 см, температура стены внутри и снаружи здания соответственна равна ^ = 18℃ и /2=—20℃. Определите потери энергии через 1 м2 поверхности кирпичной стены. Какой толщины должна быть деревянная стена, чтобы потеря теплоты была такой же? Начертите график изменения температуры внутри кирпичной и внутри деревянной
стен от расстояния до внутренней стены. Коэффициенты теплопроводности кирпича 乂i =0,70 Вт/(м-К), дерева хг = =0,175 Вт/(м・К)・
Вода в пруде имеет температуру Л = 0℃. Температура окружающего воздуха /2= —10℃. Какой слой льда образуется за одни сутки, считая с момента начала замерзания воды? Коэффициент теплопроводности льда 乂=2,51 Вт/(м«К).
Антикатод рентгеновской трубки выполнен в виде медного стержня длиной 2=25 см и диаметром d= 1,5 см. Определите разницу температур между горячим и холодным концом стержня, если через боковую поверхность стержня тепло не проходит, а холодный конец омывается проточной водой. Вода нагревается на 3℃ при расходе Д/п=1 кг/мин. Коэффициент теплопроводности меди х=3,185-102 Вт/(м・К).
Определите минимальное давление, при котором теплопроводность воздуха, заключенного между двойными стенками сосуда, еще не зависит от давления. Расстояние между стенками /=5 мм, температура газа /= 15℃.
Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами, радиусы которых г^^б см и г2=2 см, заполнено азотом. Внутренний цилиндр равномерно нагревается спиралью, по которой проходит ток /=1 А. Сопротивление спирали, приходящееся на 1 см длины цилиндра, равно R=0,l Ом. При установившемся процессе температура внутреннего цилиндра /1==93℃, а внешнего /2=0℃. Давление азота составляет несколько десятков миллиметров ртутного столба, поэтому конвекцией можно пренебречь. Определите коэффициент теплопроводности азота. Начертите график изменения температуры между цилиндрами от расстояния до оси цилиндров.
Определите, как изменяется температура Г в пространстве между двумя концентрическими сферами с радиусами Ri и R2 от расстояния г до центра сфер. Постройте график 7=f(r)・ Пространство между сферами заполнено проводящим тепло однородным веществом, температуры сфер постоянны и равны соответственно Т{ и Тг.
Давление воздуха между стенками сосуда Дьюара шаровой формы при комнатной температуре /=20℃ равно и=10~з мм рт. ст. Площадь внутренней поверхности сосуда S=600 см2, расстояние между стенками d=0,5 см. Определите массу жидкого воздуха, испарившегося за час из этого сосуда, если удельная теплота парообразования воздуха д=2,02 • 1()5 Дж/кг, а его температура 丁2=80 К.
Средняя длина свободного пробега атомов гелия при нормальных условиях Х= 1,8-10~7 м. Определите коэффициент гы диффузии, внутреннего трения и теплопроводности.
Азот находится при давлении р—105 Па и температуре 10℃. Определите коэффициенты диффузии, внутреннего трения и теплопроводности.
Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при некоторых условиях равны соответственно О=1,4・10-4 мз/с и т)= 8,5-10-6 нс/м2. Определите: а) число молекул водорода в 1 м3 при этих условиях; б) коэффициент теплопроводности.
Кислород и азот имеют одинаковые температуру и давление. Определите для этих газов: а) отношение их коэффициентов внутреннего трения; б) отношение их кинематических вязкостей; в) отношение коэффициентов теплопроводности.
На рисунке 27 изображен манометр Мак-Леода для измерения малых давлений. Трубка С соединяет манометр с откачиваемым сосудом. Сосуд 力 имеет объем V=130 см3. Внутренние диаметры капилляров Ki и К2 равны d= 1,1 мм. Как работает такой манометр? Каково давление газа в откачиваемом сосуде, если в тот момент, когда уровень ртути в капилляре К2 совпадает с концом капилляра 及卜 разность уровней ртути в капиллярах Ай = 23 мм?
Каково минимальное сечение S капилляра в манометре Мак-Леода, если этим манометром измеряют давления до р=13,3 Па? Объем сосуда манометра не превышает У = 150 см3, а длина капилляра не превышает Z=20 см.
6・32・ Масляный насос за каждый оборот откачивает по AV=10 см3 воздуха. Частота оборотов лопастей насоса п=5 об/& Через сколько времени насос откачает сосуд емкостью V=200 см3 до давления р=1,4 Па, если первоначальное давление равнялось ро = 1()5 Па?
Можно ли считать давление р=1,3-10~4 Па техническим вакуумом, если оно создано в колбе диаметром d=20 см, содержащей кислород при 0°С? Какова средняя продолжительность свободного пробега молекул при этих условиях?
Через какое время т насос Ленгмюра откачает двухлитровый баллон с воздухом от давления р0 до р, если баллон соединен с насосом трубкой длиной I и диаметром О? Температура воздуха Т. Скорость откачки К остается постоянной.
Указания. 1. Скоростью откачки К насоса называется значение объема газа, откачиваемого насосом в 1 с; откачиваемый объем газа рассматривается при том давлении, которое имеется в данный момент времени в насосе.
Масса газа, протекающая ежесекундно по капилляру, на концах которого имеются давления pi и р2, в случае, когда газ в сосуде настолько разрежен, что длина свободного пробега молекул в откачиваемом сосуде велика по сравнению с диаметром капилляра Д, определяется выражением:
dm pi—Р2dt 一① '
где со — постоянная для данного газа величина, зависящая от Т,厶 О.
§ 7. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Уравнение состояния реального газа (уравнение Ван-дер Ваальса) для — молей газа:
2
(V-—力=—RT, n‘h(V-—力=—RT, n‘h
(V-—力=—RT, n‘h
(V-—力=—RT, n‘h
где V — объем сосуда, р — давление, R — универсальная газовая постоянная, Г — абсолютная температура, а и & — постоянные, зависящие от свойств газа.
. Поправка & на объем молекул 1 моль газа определяется объемом молекулы v й числом Авогадро Ма：
2
& = 4vAfA= — ла3Л^А,
где о — эффективный диаметр молекулы.
Параметры 1 моль газа в критическом состоянии определяются постоянными а и bi
т 8aкр_ 27bRт 8aкр_ 27bR吸 р=ЗЬ; р^=-~吸 р=ЗЬ; р^=-~
т 8a
кр_ 27bR
т 8a
кр_ 27bR
吸 р=ЗЬ; р^=-~
吸 р=ЗЬ; р^=-~
Уравнение состояния для 1 моль реального газа в приведенной форме:
гдегде『кр『кртт
где
где
『кр
『кр
т
т
Изменение температуры при дросселировании реального газа в объем с небольшим давлением:
АТ= R7］匕 —2a 一
—(Vi-6)Cp ~ 匕今'
где 「1, 1Л ——начальная температура и начальный объем газа, а и & — постоянные уравнения Ван-дер-Ваальса, Ср — молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.
Вопросы
Какой физический смысл имеют величины 6, V—д, ^, входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса?
Для двух различных газов, взятых в равных количествах и имеющих одинаковые объемы и температуры, рассчитали давления по уравнению Ван-дер-Ваальса. Результат сравнили с давлением идеального газа с такими же параметрами. Оказа-
лось, что давление одного газа больше давления идеального газа, другого — меньше. Чем объяснить полученные отличия в давлениях?
Зависимость давления от объема, полученная при решении уравнения Ван-дер-Ваальса, изображена на рисунке 31, а. Экспериментальная кривая показана на рисунке 31,6. Чем объясняется различие в графиках? В каком агрегатном состоянии находится вещество, если его состояние на графике определяется точками /, 2, 3? Какому физическому состоянию соответствуют участки ab, bd, dl кривой? Что можно сказать о значениях заштрихованных площадей на рисунке 31, а? Как с увеличением температуры вещества меняется ход графиков, приведенных на рисунке 31? Укажите на графиках точки, которым соответствует исчезновение различия между жидкостью и газом. Изменится ли экспериментальная кривая, если наблюдения будут вестись при этой же температуре, но с другим газом? Пользуясь приведенными графиками, сравните коэффициенты сжимаемости жидкости и газа.
Предположим, что в цилиндре под поршнем находится жидкость под давлением насыщенного пара с температурой 7. Закрепив поршень, нагревают жидкость, пока ее давление не станет выше критического. Затем, положив на поршень постоянный груз, продолжают нагревать вещество и, наконец, закрепив поршень при объеме, большем первоначального, охлаждают вещество до первоначальной температуры. Изобразите указанные процессы на координатной плоскости pV. Какие превращения происходят при каждом процессе? В какой фазе находится вещество в цилиндре после всех описанных процессов?
На рисунке 32 показан характер зависимости потенциальной энергии £п и полной энергии Е двух молекул от расстояния между ними. Как, пользуясь этим графиком, определить максимальное сближение молекул? Как это расстояние связано с эффективным диаметром молекул? Меняется ли это расстояние с увеличением температуры? Как меняется кинетическая энергия системы с увеличением расстояния между молекулами?
О
Рис. 31
идеального газа.идеального газа.6565
идеального газа.
идеального газа.
65
65
На рисунке 33 показано межмолекулярное потенциальное поле гелия (Не) и двуокиси углерода (СО2). В каком газе силы притяжения между молекулами больше? В каком газе критн- яеская температура ниже?
Запаянную ампулу, емкость которой равна критическому объему находящейся в ней жидкости, нагревают от температуры ниже критической до температуры выше критической. Во время эксперимента ведут наблюдения за теневой проекцией трубки. Что наблюдается в момент наступления критического состояния вещества?
В замкнутом сосуде, содержащем некоторое вещество в двух фазах, поддерживается постоянное давление. Температура
постепенно повышается от значения, меньшего критического, до значения, большего критического. Начертите на координатной плоскости V, Г примерные графики процесса для случаев: а) давление равно критическому; б) давление больше критического; в) давление меньше критического. Считайте, что при температурах, больших критической, вещество имеет свойства
Чем объясняется, что в процессе дросселирования при
комнатной температуре водород нагревается, а кислород ох
лаждается?
Каков в опыте Джоуля —Томсона знак приращения внутренней энергии газа? антропинЕ тепловой функции (энтальпии)?
И. Расширение 1 моль газа в опыте Джоуля ——Томсона производится от начального состояния, характеризуемого параметрами То, Vo, до сильно разреженного состояния, в котором газ можно считать идеальным. График изменения состояния газа изображается в плоскости Т, V (рис. 34)
5 Заказ № 6289
кривой, которая делит эту плоскость на две области: в одной области ATV0 (газ охлаждается), а в другой АТ>0 (газ нагревается).
Каков физический смысл отмеченных на рисунке температуры Ti и объема V\? Как меняется температура газа при дросселировании, если в начальном состоянии газ имеет: а) параметры точки /; б) параметры точки 2?
Примеры решения задач
В цилиндре 1 моль углекислого газа занимает объем Y=2 м3 при температуре Г1 = 50℃. До какого объема следует изотермически сжать газ для превращения его в жидкость? При какой наибольшей температуре можно получить жидкую углекислоту? Какова при этой температуре наибольшая упругость насыщенных паров? Каково давление насыщенных паров углекислоты при температуре 72=20℃?
Решение. Газ можно превратить в жидкость, если его температура ниже критической. Для углекислого газа Гкр=31℃. Следовательно, изотермическим сжатием при температуре Ti = Bo℃ нельзя получить жидкую углекислоту.
Наибольшей температурой, при которой можно получить жидкость, является критическая температура. Давление (упругость) насыщенного пара при этой температуре называется критическим давлением. Из таблицы X находим для углекислоты: рКр=73-105 Па. Изотермическое сжатие при критической температуре приводит к образованию особого состояния, называемого критическим. В плоскости р,У (рис. 35) это состояние определяется точкой перегиба на критической изотерме.
Жидкость можно получить, сжимая газ изотермически при температуре ниже критической. В этом случае наибольшее давление газа соответствует участку АВ изотермы (жидкость находится в динамическом равновесии со своим паром).
Для нахождения давления насыщенного пара при температуре Гг воспользуемся уравнением состояния реального газа в приведенной форме. Выберем состояние газа с параметрами 1‘2=»кр， 丁2， Р2 (точка С на рисунке 33). Приведенные параметры соответственно равны:
и= — = 1, т= 2Х = 0,96, у=—.
%рТкрРкр
Уравнение состояния имеет вид:
卜+ £~ ) (Зи—1)=8т.
Из этого уравнения
После подстановки приведенных параметров в уравнение (1) и соответствующих расчетов получаем: у=0,85.
Следовательно, искомое давление
Р2== УРкр == 62 • 1 О' Па.
На рисунке 36 представлена полученная на опыте кривая зависимости плотности жидкого азота и его насыщенного пара от температуры. Определите параметры 1 г азота в критическом состоянии, наибольший объем жидкости и наименьший объем газа при температуре —160℃, а также объем, при котором число молекул, находящихся в жидкости, в 2 раза больше числа молекул в насыщенном паре.
Решение. При критической температуре исчезает различие между жидкостью и ее паром: их плотности становятся одинаковыми. Из графика, приведенного на рисунке 36, видно, что плотность жидкого азота с повышением температуры уменьшается, а плотность его насыщенного пара растет. При температуре —147℃ плотности пара и жидкости одинаковы. Следовательно, эта температура и является критической:
Гкр=~147℃=126 К.
При критической температуре, как видно из того же графика, плотность азота р = 0,3-103 кг/м3. Следовательно, при этой температуре удельный объем азота Vх = —=3,3-10-3 м3/кг, р
объем 1 г азота V=3,3-10~6 м3/г, объем 1 моль азота VKP= =『卩=3,3 • 10-з ・ 28 • 10-3=92 • 10-6 м3/моль.
Для нахождения давления газа в критическом состоянии воспользуемся зависимостью параметров 1 моль газа в крнтн- ческом состоянии от постоянных а и & в уравнении Ван-дер- Ваальса:
"кр=3力 р«р= ”9泰2~・(О
IИспользуя эти соотношения, полу-
Iчаем:
為二告二细， ⑵
Уравнение (2) одинаково для всех 〈с §реальныхгазов.Решивэто уравне-
“ I1~Кние относительнорКри используя по-
IIлученныезначенияVKpи ГКр полу-
о II1~Iчаем:
рКр=42,4-105 Па.
Рис. 37
Найденное значение не совпадает со значением, приведенным в таблице X. Это объясняется тем, что в действительности критический коэффициент 左кр зависит от рода вещества и всегда превышает вандерваальсово значение, что лишний раз свидетельствует о неточности уравнения Ван-дер-Ваальса.
Для нахождения наибольшего объема жидкости и насыщенного пара при температуре —160℃ опять воспользуемся графиком, приведенным на рисунке 36. По этому графику плотность насыщенного пара при указанной температуре рг= = 0,05-103 кг/м3 и плотность жидкости рж=0,6-103 кг/м3.
При изотермическом сжатии газа происходит постепенное увеличение его плотности, пока газ не приобретет плотность насыщенного пара. В этом состоянии 1 г азота занимает объем Vr=20-10~6 м3 (рис. 37, точка 8).
При дальнейшем сжатии начинается конденсация газа; объем газа уменьшается за счет его перехода в жидкое состояние, а давление остается постоянным. На графике, приведенном на рисунке 37, этот процесс соответствует горизонтальному участку изотермы. Когда газ полностью сконденсируется, объем полученной жидкости будет равен:
Уж= — = 1,67-10-6 мз.
Рж
При дальнейшем уменьшении объема давление быстро будет увеличиваться, так как жидкость обладает малым коэффициентом сжимаемости.
Насыщенный пар существует при изменении суммарного объема от У「до 1/ж. Однако при разных объемах соотношение между количеством жидкости и количеством пара различно. Пусть при общем объеме V отношение объема насыщенного пара к общему объему равно х; а соответственно отношение объема жидкости к общему объему равно 1——х.
Поэтому
V=xVr+(l-x) Уж.(3)
Из уравнения (3)
Отсюда отношение объема пара к объему жидкости равно:
a=上=匕也.(4)
По условию задачи а= у. Решая уравнение (4) относи-
тельно V, получаем:
甯•=1228 мз.
Этот объем части АС и и пара.Этот объем части АС и и пара.делит участок изотермы АВ, равный 匕——丫出，на СВ, обратно пропорциональные массам жидкости
Этот объем части АС и и пара.
Этот объем части АС и и пара.
Задачи для самостоятельного решения
В баллоне емкостью 2,24-10~2 м3 находится 0,7 кг азота при температуре 273 К. Определите: а) давление газа на стенки баллона; б) внутреннее давление; в) собственный объем молекул.
Давление кислорода, имеющего плотность р=100 кг/м3, составляет 7-106 Па. Определите внутреннее давление и температуру газа-, пользуясь уравнениями Ван-дер-Ваальса и Клапейрона —Менделеева.
В сосуде объемом У=8 л находятся т=0,3 кг кисло- рода при температуре 27℃. Какую часть давления газа составляет давление, обусловленное силами притяжения молекул? Какую часть объема сосуда составляет собственный объем мо лекул?
В двух сосудах, емкостью V=20 л каждый, при температуре /=27℃ находится по v = 50 моль газа. В одном сосуде—углекислый газ, в другом — водород. Определите давление в каждом сосуде, считая газ: а) реальным; б) иде- альным.
При температуре 200℃ подвергается изотермическому сжатию 1 кмоль водяного пара. Определите: а) наибольшее давление пара; б) наибольший объем воды; в) наименьший объем ненасыщенного пара; г) объем, при котором жидкая вода составляет 0,5 кмоль. Тепловым расширением воды пренебречь. Удельный объем насыщенного пара при температуре 200℃ равен Vn=0,126 м3/г.
Определите для 1 моль воды внутреннее давление при 4℃ и плотность в критической точке.
Зная, что касательная к изотерме Ван-дер-Ваальса в критической точке идет горизонтально [(书)т=о] и что кри-
тическая точка является точкой перегиба ^^"j =0 j, выразите для 1 моль вещества ркр, VKp и ГКр через постоянные а, Ь.
Установите связь между давлением, объемом и температурой в критической точке для 1 моль вещества, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса.
Определите критические давление и температуру для: а) кислорода; б) водяного пара. Используйте для этого значения постоянных а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса.
В сосуде содержится 1 моль газа. Его давление в 20 раз больше критического давления, а объем равен половине критического объема. Определите отношение температуры этого газа к критической температуре.
Для аргона критическое давление. рКр=48-105 Па и критическая температура Гкр= —122℃. Определите для аргона: а) постоянные а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса; б) критический объем 1 моль аргона.
При температуре 7=310 К 1 кмоль азота занимает объем У=2,5 м3. Используя критические параметры азота, определите давление и эффективный диаметр молекул азота.
Для демонстрирования критического состояния употребляют прибор русского физика Авенариуса, в котором производится нагревание запаянной ампулы с этиловым эфиром. Какую часть объема ампулы должен занимать эфир при температуре 20℃, чтобы при достижении критической температуры весь объем трубки был заполнен эфиром в критическом состоянии? Молекулярная масса эфира равна 林=74・10一3 кг/МОль. Критические температура и давление эфира равны Ткр = 467,0 К и ркр=36,0-105 Па. Плотность эфира р = 0,714-103 кг/м3.
При температуре 27℃ происходит изотермическое расширение 1 кмоль кислорода от объема Vi = 1 м3 до объема 1%=5 м3. Определите приращение внутренней энергии газа, работу, совершенную газом, и количество поглощенной теплоты, считая газ: а) идеальным; б) подчиняющимся уравнению Ван-дер-Ваальса.
При изотермическом расширении 10 г кислорода объем газа увеличивается от 1 до 5 л. Считая газ подчиняющимся уравнению Ван-дер-Ваальса, определите: а) работу внутренних сил при расширении газа; б) приращение энтропии.
Два баллона, емкости которых V\= V= 1 л, соединены между собой трубкой с краном. В одном объеме воздух находится под нормальным атмосферным давлением, а другой объем откачан до предельного вакуума. Считая, что воздух подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, а баллоны и трубки теплоизолированы, определите изменение температуры при установлении в баллонах единого давления. Начальная температура Г=290 К, для воздуха а = 0,135 Н-м4/моль2.
Определите для газа, подчиняющегося уравнению Ван-
дер-Ваальса: а) молярную теплоемкость Су при постоянном объеме; б) разность молярных теплоемкостей Cp—Cv.
Какую энергию надо подвести к v молям газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в пустоту от объема Vi до объема V2* а) его температура не изменилась; б) его давление осталось постоянным.
В цилиндре 0,5 кмоль некоторого газа занимают объем Vi = 1 м3. При расширении газа до объема %=1,2 м3 работа против сил взаимодействия молекул равна 5,8-103 Дж. Критический объем газа VKp=0,12 м3/кмоль. Определите: а) постоянные а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса; б) эффективный диаметр молекул.
Определите начальную температуру водорода, при которой он дросселирует без изменения температуры для случая небольшого перепада давления, т. е. давления, при котором выполняются условия:
—<1,—《1.
V RTV
Каково соотношение между этой температурой и критической температурой водорода? Какова температура водорода после дросселирования в пустоту, если начальная температура и начальное давление соответственно равны 7\ = 300 К и pi = 10FIa?
В одном баллоне находится азот, а в другом ——гелий при начальной температуре Т=300 К. В обоих баллонах газы сильно сжаты до молярных объемов V= 100 см3/моль. При дросселировании они расширяются до атмосферного давления (при атмосферном давлении газы можно считать идеальными). Используя постоянные а н b в уравнении Ван-дер-Ваальса, определите для каждого из этих газов температуру инверсии и изменение температуры при дросселировании.
При какой температуре гелий и ксенон в опыте Джоуля——Томсона будут охлаждаться? Критические температуры этих газов соответственно равны 5,3 К и 290 К.
§ 8. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
Коэффициент поверхностного натяжения ——величина, численно равная силе, действующей на единицу длины границы раздела поверхности жидкости:
о=•
I
С другой стороны, коэффициент поверхйостного натяжения —— величина, численно равная изменению свободной энергии пленки жидкости при изменении ее площади на единицу:
Добавочное давление Ар, производимое на жидкость поверхностным слоем произвольной формы, определяется формулой Лапласа:
М="М+訂
где Ri и /?2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости в рассматриваемой точке. Радиус кривизны считается положительным, если центр кривизны находится внутри жидкости, и отрицательным, если центр кривизны находится вне жидкости.
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке определяется формулой:
九 2。cos еpgR
где о—коэффициент поверхности натяжения, 0 — краевой угол, R — радиус канала трубки, р — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.
Вопросы
Молекулы жидкости, подобно частицам твердого тела, совершают колебания около некоторых положений равновесия. В чем же отличие в поведении молекул жидких тел от поведения молекул в газах и в твердых телах?
Каким дифференциальным уравнениям подчиняются явления диффузии, теплопроводности, внутреннего трения в неоднородных жидкостях?
Уравнение Ван-дер-Ваальса является уравнением состояния жидкой и газовой фазы. Учтя соотношение между давлением пара и внутренним давлением, запишите уравнение состояния жидкости, находящейся под давлением собственного пара при температуре много меньшей критической (ГсГкр). Как, пользуясь этим уравнением, объяснить расширение жидкостей при повышении температуры?
На графике, приведенном на рисунке 38, показана потенциальная энергия взаимодействия молекул в зависимости от их расстояния до поверхности жидкости. Какого порядка толщина % переходного (поверхностного) слоя? Каким состоянием вещества соответствуют участки графика, расположенные слева и справа от участка %, соответствующего переходному слою? Пользуясь этим графиком, начертите график изменения си-
лы, действующей на молекулу, в зависимости от ее расстояния до поверхности жидкости.
А. И. Бачинский показал, что вазкость многих жидкостей определяется формулой n= -Q- (где Сь С2 — постоянные,
V—Ci
зависящие от природы жидкости, V ——удельный объем жидкости). Как, пользуясь этим уравнением, объяснить зависимость вязкости жидкостей от температуры?
В чем причина малой сжимаемости жидкостей и особых свойств поверхностного слоя?
Если концы S-образной картонной пластинки потереть мылом и положить в воду, то пластинка начинает вращаться. Почему?
Почему струйка воды, вытекающая из водопроводного крана, постепенно делается тоньше и наконец распадается на отдельные капли?
В две одинаковые горизонтальные стеклянные трубки, расширяющиеся к одному концу, ввели различные жидкости. При каком условии капли жидкости в трубках перемещаются в противоположные стороны?
Вертикальная капиллярная стеклянная трубка подвешена к коромыслу весов и уравновешена гирями. Что произойдет с весами, если под капиллярную трубку осторожно поднести сосуд с водой так, чтобы кончик капилляра коснулся ее поверхности?
В опыте Плато капля оливкового масла помещается в смесь спирта с водой такой плотности, что капля масла находится во взвешенном состоянии. Какова форма капли масла?
Два конца Д и В стеклянного тройника (рис. 39) опускают в раствор мыльной воды и вынимают. Через отросток С выдувают два мыльных пузыря разных размеров. Как с тече нием времени после этого будут изменяться размеры пузырей.
Воду, находящуюся в стакане, вылили на пол. Как при этом изменилась энтропия воды?
Мыльную пленку адиабатически растягивают (увеличи вают ее поверхность). Как при этом меняется ее температура^
Рис. 39
Рис 40
Примеры решения задач
Сужающийся вверх конический капилляр (рис, 40) в нижней части имеет внутренний радиус Го в угол при вершине 2 а. Этот капилляр располагают вертикально и опускают на ничтожную глубину в смачивающую жидкость. Определите: а) высоту поднятия жидкости в капилляре при наличии устойчивого равновесия; б) плотность жидкости, для которой имеется одно положение равновесия.
Решение. Так как смачивание полное, то свободная поверхность жидкости в капилляре является частью сферической поверхности. Радиус этой поверхности /?=」一(где г — радиус COS а
капилляра на той высоте, до которой поднимется жидкость).
Если о — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, то над вогнутой сферической поверхностью давление в жидкости меньше атмосферного на величину
⑴⑴2о — 2g cos а — 2о cos а
⑴
⑴
Rг仆一/i tg а
При установившемся уровне жидкости это давление уравновешивается гидростатическим давлением:
⑵⑵Pr=pg/L
⑵
⑵
Приравняв правые части формул (1) и (2) и решив полученное уравнение относительно /г, получаем:
无hz^2无hz^2pg「0土 / (pg尸o)2—8pgG sin a2Pg tg apg「0土 / (pg尸o)2—8pgG sin a2Pg tg a⑶⑶
无hz^2
无hz^2
pg「0土 / (pg尸o)2—8pgG sin a2Pg tg a
pg「0土 / (pg尸o)2—8pgG sin a2Pg tg a
⑶
⑶
При pgfo2<8n sin a находим для h два значения, соответствующие равновесию жидкости. Высоту, соответствующую устойчивому равновесию, найдем, пользуясь графиком. Начертим в координатной плоскости р, Л графики зависимости гидростатического давления рг и добавочного давления рл от высоты подъема жидкости h (рис. 41). График зависимости /?2 от Л —
прямая линия, проходящая через начало координат, а график зависимости pi от й — кривая, пересекающая ось давлений при р] = 2° °空色.Точки пересечения этих двух графиков соответствуют положениям равновесия жидкости в капилляре (在i и Л2)« Определим, какое из этих положений равновесия является устойчивым. Пусть при 仇 уровень жидкости по каким-то случайным причинам немного повысился (九>厶2). b этом случае Рл
увеличится больше, чем рг и уровень жидкости будет продолжать повышаться до верхней границы капилляра. Если же h случайно уменьшится (点V力2), то рг будет больше, чем рл, и уровень жидкости будет продолжать уменьшаться до Ль значит, состояние, соответствующее высоте уровня жидкости 九2, не является устойчивым.
Пусть теперь высота 用 уровня жидкости случайно станет меньше Ль При этом рл увеличится меньше, чем р「，и поверхность жидкости опустится, вернувшись к уровню /и・ Если же 力 случайно уменьшится (用＜九1), то р「станет меньше рл и уровень жидкости поднимется опять до йь Это значит, что положение равновесия, при котором
& =后=& =后=8о sin а pg8о sin а pg2tga2tga⑷⑷
& =后=
& =后=
8о sin а pg
8о sin а pg
2tga
2tga
⑷
⑷
является устойчивым.
При pgr о=8а sin а уравнение (3) имеет только один корень, соответствующий равновесию жидкости. Им является высота 九3 (см. рис. 39). В этой точке графики рл и р「касаются. Такой случай может иметь место, если плотность жидкости удовлетворяет условию
(5)(5)8о sin а
(5)
(5)
Капля ртути массой w=1,36 г введена между горизонтальными параллельными стеклянными пластинками. Какую силу F следует приложить для того, чтобы расплющить каплю до толщины /1 = 0,1 мм? Считайте, что ртуть абсолютно не смачивает стекло.
Решение. Капля ртути на стекле под действием сил поверхностного натяжения принимает почти шаровую форму (небольшая сплюснутость образуется за счет действия силы тяжести).
Сдавленная капля ртути примет вид тонкого диска с выпуклой боковой поверхностью. Возникающее вследствие кривизны поверхности дополнительное давление Ар определяется формулой Лапласа:
где о ——коэффициент поверхностного натяжения, Ri ——средний радиус кривизны поверхности ртути в плоскости, параллельной
стекляннымстекляннымпластинкам (рис. 42), R2—^——радиус кривизны
стеклянным
стеклянным
поверхности ртути в плоскости, перпендикулярной стеклянным пластинкам. Оба радиуса кривизны положительны, так как центры кривизны поверхностей при соответствующих сечениях
Рис. 42Рис. 42尸=0尸=0⑷⑷
Рис. 42
Рис. 42
尸=0
尸=0
⑷
⑷
лежат внутри ртути. Это дополнительное давление уравновешивается внешним давлением, создаваемым действием силы F:
A吋?, ⑵
где S — площадь соприкосновения капли ртути со стеклом.
Пренебрегая выпуклостью боковой поверхности диска, можно принять, что о т
S=【(3)
где р — плотность ртути.
Решая совместно уравнения (1), (2), (3), получаем:
Подставляя в формулу (4) данные из условия задачи и величины, взятые из таблиц (р=13,6-103 кг/м3, о=0,49 Н/м), находим значение силы:
尸=10 Н.
Какую работу надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь радиусом г = 5 см? Коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды а = = 0,04 Н/м. Считайте процесс выдувания изотермическим,
Решение. При изотермическом процессе искомая работа А определяется свободной энергией W и работой Ас по сжатию воздуха в объеме пузыря от атмосферного р()до давления р внутри пузыря, определяемого формулой
Р="о+ у- •
⑴⑴Можно записать следующее равенство: A = W+AC.
⑴
⑴
Свободная энергия W, затрачиваемая на образование поверхности пузыря, выражается так:
⑵⑵W^oS,
⑵
⑵
где о — коэффициент поверхностного натяжения, S — сумма площадей внутренней и внешней поверхности пленки.
Так как пленка очень тонкая, то можно принять S—8 лг2. Работа при изотермическом сжатии газа выражается так:
Ac=pV In —/Po+ -— ) —■ "3 In(1 + 竺).(3)
Po \「丿 3\
Учитывая, что 丄《1, раскладываем натуральный логарифм в ряд. Тогда：
\ гр0 / “о
Решая совместно уравнения (1), (2) и (3), окончательно получаем：
А—8пг2а (〔 +告)
Проведя расчет, находим:
4=4,2.10-3 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
Определите плотность р2 масла в гидравлической системе пресса при давлении р2=5-107 Па, если плотность масла при /=20℃ и давлении pi = l,013-105 Па равна pi=910 кг/м3. Коэффициент сжимаемости х=6-10~10 м2/Н.
Каков бы ни был вид зависимости "=/(匕 Т), можно показать, что
=T
\дТ)Р \dV)T \dp)v
Пользуясь этим уравнением, найдите зависимость изменения давления (при постоянном объеме), вызванного изменением температуры на 1 градус, от коэффициента объемного теплового расширения и коэффициента сжимаемости.
Считая, что у стекла коэффициент объемного расширения значительно меньше, чем у ртути, определите, насколько изменится давление на стенки капилляра, целиком заполненного ртутью (например, в случае перегретого ртутного термометра), если для ртути коэффициенты объемного расширения и сжатия соответственно равны: а=1,8-10~4 1/К, х=—3,9・10-6 м2/Н.
деляют вес капли.деляют вес капли.В одном из методов определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости по теневой проекции измеряют диаметр шейки капли в момент ее отрыва от капилляра и опре
деляют вес капли.
деляют вес капли.
Нарисуйте несколько последовательных
форм поверхности воды от начала образования до отрыва капли. Измерения при температуре /0 дали следующие результаты: диаметр шейки капли d=0,7 мм, масса п=300 капель воды, 〃丄=5 г. Определите: а) коэффициент поверхностного натяжения воды; б) радиус капли после повышения температуры на А/= 80 К. Примите, что плотность жидкости постоянна и зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры имеет вид:
也1 =_2,1・10-7 dT也1 =_2,1・10-7 dT
也1 =_2,1・10-7 dT
也1 =_2,1・10-7 dT
где р — плотность жидкости,卩一ее молярная масса.
Алюминиевое кольцо, внутренний диаметр которого 山= =50 мм, внешний диаметр d2= =52 мм и высота а= 10 мм, подвешено на пружине. Коэффициент жесткости пружины 々 = 9,1 Н/м. Кольцо приводят в соприкосновение с жидкостью, смачивающей алюминий, а затем посредством пружины поднимают вверх.
Нарисуйте несколько последовательных форм поверхности жидкости, получающихся при движении кольца вверх. В какой момент натя
жение пружины максимально?. Что произойдет, если движение кольца вверх продолжается после этого момента? Определите коэффициент поверхностного натяжения жидкости, если
отрыв кольца происходит при растяжении пружины на Д/ = = 4,7• 10-3 м (по отношению к недёформированной пружине). Плотность жидкости р = 0,77-103 кг/м3.
В методе Кантора ——Ребиндера для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости трубка К (рис. 43) оканчивается капилляром, который опускается в исследуемую жидкость, находящуюся в сосуде В. Этот сосуд соединен с распиратором Л и манометром М. Под влиянием разности давленн访 в капилляре и сосуде пузырьки воздуха продуваются через жидкость. Разность давлений в момент отрыва
пузырька от капилляра отсчитывают по спиртовому манометру. Внутренний диаметр капилляра di = 0,6 мм, внешний d2= 1,4 мм. Жидкости в сосуде можно менять. Определите: а) коэффициент поверхностного натяжения жидкости, смачивающей стекло, если разность уровней в манометре в момент отрыва пузырька равна △无=19 мм; б) максимальную разность уровней в манометре при опускании капилляра в ртуть (а=490 Н/м).
Горизонтальный капилляр с внутренним диаметром d】 = 2 мм и внешним диаметром d2=4 мм наполнен глицерином. Длина столба глицерина в капилляре /=4 см. После того как капилляр поставили вертикально, из него вылилось т=77 мг жидкости. Считая смачивание полным, определите коэффициент поверхностного натяжения.
Расширяющийся вверх конический капилляр с углом при вершине 2a в нижней части имеет внутренний радиус г。. Этот капилляр в вертикальном положении опускают на ничтожную глубину в смачивающую жидкость. На какую высоту поднимется жидкость в капилляре?
В медицинском термометре между баллоном, в котором находится ртуть, и капилляром, прикрепленным к шкале, имеется сужение. При увеличении температуры ртуть поднимается
по капилляру, и для ее возвращения в баллон термометр ветра， хивают. Определите ускорение, которое следует сообщить термометру при встряхивании, если длина столбика ртути над сужением капилляра 用=4 см и диаметр самой узкой части сужения равен d=10-2 см.
В спирт опущена на ничтожную глубину трубка с диаметром внутреннего канала d=0,5 мм. Каков вес вошедшего -в нее спирта? Как изменится высота поднятия жидкости в трубке, если ее поднимать вместе с сосудом вверх с ускорением S=g? Если ее опускать вниз с ускорением a2 = %g?
Коленами вертикально расположенной U-образной трубки являются капилляры с радиусами г】=3,6 мм и 『2=0,5 мм. В трубку налита ртуть. Высота столба ртути в широком колене Л1=21,2 см. Краевой угол q)= 138°. Определите: а) разность уровней ДЛ ртути в коленах; б) максимальное давление ртути.
В стеклянную трубку с внутренним диаметром di=2 см вставлена стеклянная палочка диаметром d2=l,8 см так, что просвет в канале везде одинаков. Нижний конец трубки с палочкой поместили в сосуд с водой. Определите высоту поднятия воды в канале.
В цилиндрической стеклянной трубке большого ради* уса имеются несколько сужений, расположенных друг от друга на расстоянии I. Внутренний диаметр d сужений очень мал. Трубку в вертикальном положении опускают в жидкость плот* ностью р и коэффициентом поверхностного натяжения о, а затем медленно поднимают со скоростью и. На одних осях координат начертите графики зависимости перемещения уровня жидкости в трубке и самой трубки от времени. Начало отсчета времени совместите с моментом перехода жидкостью узкой части трубки. Временем перехода жидкости из широкой в узкую часть трубки пренебрегите.
Стеклянную капиллярную трубку, внутренний диаметр которой 山=1,5 мм, а длина /=20 см, опускают в горизонтальном положении в ртуть. При этом имевшийся в трубке воздух полностью остается в ней. Какова длина столбика воздуха в трубке после ее погружения в ртуть на глубину h= 10 см? Краевой угол а=138°. Давление воздуха нормальное.
Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные пластины частично погружены в спирт. Расстояние между пластинами d = 0,2 мм, их ширина I—19,0 см. Считая смачи^ ванне полным, определите высоту подъема сцирта между пластинами и силу притяжения пластин друг к другу.
Две вертикальные стеклянные пластины, расположенные под малым углом а друг к другу, опущены на небольшую глубину в частично смачивающую их жидкость. Определите высоту подъема жидкости между пластинами.
Две вертикальные стеклянные плаетины шириной по 10 см помещают в воду и ведут наблюдение за линией границы жидкости на них. Вначале линия границы горизонтальна. Потом вода между пластинами поднялась над уровнем в широком сосуде. В точке, равноудаленной от ребер пластин, высота подъема оказалась равной 也=2 см. Когда одну пару вертикальных ребер пластин соединили, высота подъема жидкости в указанной точке осталась прежней. Какова линия границы жидкости на стекле? Каков угол между пластинами? Считайте смачивание полным.
Каким должен быть наибольший диаметр стальной иголки, чтобы, смазанная жиром, она могла держаться в горизонтальном положении на поверхности воды?
Капля ртути массой т=0,5 г помещена между двумя горизонтальными пластинами. Какую силу F надо приложить к верхней пластине, чтобы эта капля приняла форму круглой лепешки с радиусом R=2,5 см? Краевой угол(р= 130°.
Капля воды с массой /и=0,1 г введена между двумя параллельными горизонтальными пластинами. Какова сила притяжения между пластинами, если они находятся на расстоянии 九= 10-4 см?
Считайте смачивание полным. Температура капли воды /=20℃.
Какова плотность воды в капле, радиус которой г=10~4 м при температуре /=4℃, если коэффициент сжимаемости воды 0 =—迎- =—2-10~5 м2/Н.
Vdp
Мыльный пузырь имеет диаметр d=0,012 м. Определите: избыточное давление воздуха внутри пузыря; свободную энергию его поверхности; работу, совершаемую при выдувании пузыря, считая процесс изотермическим. Примите коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды о=0,043 Н/м.
Какую работу нужно произвести, чтобы, каплю масла с массой т—\ г раздробить внутри воды на капельки с диаметром d = 2-10~6 м, если процесс дробления происходит изотермически? Примите поверхностное натяжение на границе вода——масло о=18-10~3 Н/м и плотность масла р = 900 кг/м3.
Две капли ртути радиусом г=2,5 мм сливаются в одну. Считая процесс изотермическим и происходящим при температуре /=20℃, определите изменение свободной энергии п энтропии поверхностного слоя при этом слиянии.
Мыльный пузырь выдут через цилиндрическую трубку € внутренним радиусом г=1 мм и длиной 1= 10 см. В тот момент, когда радиус пузыря достигает значения RQ= 10 см, выдувание прекращают и воздух из пузыря начинает выходить через трубку. Через какое время, считая с этого момента, пу- Знрь исчезнет? Примите плотность воздуха постоянной, и=5・10-2 н/м, 1}=1,8-10~5 Н-с/м.
§ 9・ ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ. РАСТВОРЫ
Удельный термодинамический потенциал 屮(р, 7) определяется путем интегрирования выражения:
d(p=—SdT + Vdp,
где S — энтропия, Т — абсолютная температура, V и р — объем и давление.
Уравнение Клапейрона ——Клаузиуса для фазовых превра-* щений, сопровождающихся выделением или поглощением тепла:
dpg
Т(%- %)'
гДе q ——удельная теплота фазового перехода, V\ и V2 — удельные объемы первой и второй фаз, Т — абсолютная температура перехода при давлении р.
Давление насыщенных паров pi над вогнутой поверхностью жидкости меньше, а над выпуклой — больше, чем давление ро над плоской поверхностью. Добавочное давление
Аp-pi—,
где p — плотность жидкости, р0 — плотность насыщенных паров, R — радиус кривизны поверхности жидкости.
Осмотическое давление р раствора определяется уравнением Вант-Гоффа:
p = CRT,
где С = — =—число молей растворенного вещества в еди-
科0 Na
нице объема раствора (молярная концентрация) в отсутствие диссоциации, %а — число Авогадро, ^ — число-молекул растворенного вещества в единице объема, R—универсальная газовая постоянная, Т ——абсолютная температура раствора.
Вопросы
Жидкость переходит в пар той же температуры. Как при этом меняются удельный термодинамический потенциал, энтропия, внутренняя энергия?
Открытый сосуд частично заполнен жидкостью. Этот сосуд герметически закрыли. Сравните термодинамические потенциалы системы, когда сосуд открыт, и через достаточно большой промежуток времени после ею закрытия.
Начертите изотерму реального газа для температуры ниже критической. Покажите точки, соответствующие состояниям с одинаковыми удельными термодинамическими потенциалами.
В замкнутом пространстве помещены один выше другого два открытых сосуда с одной и той же жидкостью. Если тем-
81816 Заказ № 6280
81
81
пературы жидкости в обоих сосудах в начальный момент одинаковы, то через некоторое время температура жидкости в нижнем сосуде повышается, а в верхнем понижается. Почему?
Согласно закону распределения Больцмана по энергиям отношение числа молекул в газовой фа^е к числу молекул в
жидкой фазе приближенно равно е kT (где е — средняя потенциальная энергия молекулы в жидкости). Что можно сказать о характере изменения давления паров с изменением температуры? Почему е приближенно можно считать теплотой испарения одной молекулы?
Под колпак воздушного насоса поставили часовое стекло с налитой на него водой и сосуд с серной кислотой (для поглощения паров воды). При откачивании воздуха вода на часовом стекле вначале закипает, потом на ее поверхности образуется ледяная корка. Объясните это явление.
На рисунке 44 показана зависимость давления насыщенного пара от температуры для этилового эфира и этилового спирта. Определите температуру кипения этих жидкостей при нормальном атмосферном давлении.
При исследованиях в области ядерной физики и физики частиц высоких энергий для регистрации быстрых частиц используют камеру Вильсона и пузырьковую камеру. На чем основано использование этих приборов? В чем преимущество пузырьковой камеры?
Изобразите на плоскости р, Т кривые испарения, плавления и возгонки. Покажите области, в которых вещество находится в твердом, жидком и газообразном состояниях. В какой точке три фазы вещества находятся в равновесии? Покажите точки, соответствующие одинаковым значениям удельного термодинамического потенциала.
В плоскости р, Т (рис. 45) показан график изменения давления насыщенного пара чистой жидкости с изменением температуры. Имеет ли эта кривая начало и конец? Каким состояниям вещества соответствуют на рисунке точки 1, 2, 3? Какие точки характеризуют состояния с одинаковыми удельными тер-
модинамическими потенциалами? Как изменится кривая фазового равновесия, если в этой жидкости растворить какое-либо вещество? В каком соотношении находятся температуры кипения чистой жидкости и раствора при одинаковом атмосферном давлении? Поясните ответ, пользуясь графиком.
На кусок льда, лежащий концами на неподвижных опорах, накинули проволочную петлю с тяжелым грузом. Через некоторое время проволока прошла через лед, но кусок льда остался целым. Объясните этот опыт.
Ведется наблюдение за испарением маленьких и больших капель жидкости, находящихся рядом. Почему маленькие капли уменьшаются в размере, а большие увеличиваются?
Животный пузырь, наполненный спиртом, при погружении в воду увеличивает свои размеры, а наполненный водой при погружении в спирт уменьшает свои размеры. Как объяснить эти наблюдения?
Глиняный сосуд, обработанный особым образом, наполнен раствором сахара. Сосуд закрыт пробкой, в которую вставлена длинная вертикальная трубка. При погружении сосуда в чистую воду в трубке появляется жидкость. Какова особенность стенок сосуда, приводящая к увеличению давления внутри сосуда? Будет ли высота подъема уровня жидкости в трубке пропорциональна времени наблюдения?
Примеры решения задач
В сосуде под высоким давлением длительное время находился кусок льда. Давление в сосуде понизили на Ар —105 Па. Как после этого понизится давление насыщенного водяного пара, если температура поддерживается постоянной и равной t ———23℃. Удельный объем льда 16 = 1,1 см3 - г-1. Сжимаемостью льда пренебрегите.
Решение. Так как лед длительное время находится в сосуде, то, кроме него, в сосуде будет насыщенный водяной пар и воздух. При термодинамическом равновесии удельные термодинамические потенциалы льда и пара одинаковы. Изотермическое уменьшение давления на Др уменьшает удельный тер- мод»намический потенциал льда на
Дфл= ^лДр. (1)
(изменением объема льда пренебрегаем).
Чтобы равновесие двух фаз не нарушилось, на столько же должен уменьшиться удельный термодинамический потенциал насыщенного пара: Д(рп= VnApn. Объем пара Vn найдем, пользуясь уравнением Клапейрона ——Менделеева:
Дфп-—(2)
где Ри — давление пара до его изотермического понижения.
Приравняв правые части формул (1) и (2), получаем:
"n RT
Подставляя в эту формулу значения величин, приведенные в условии задачи, получаем, что давление насыщенного пара уменьшилось на 0,96%. Следовательно, часть водяного пара перешла в твердую фазу.
Определите удельную теплоту испарения воды при / = 200℃, пользуясь первым началом термодинамики и параметрами воды в критическом состоянии (ТКр = 647 К, рКр = 217-105 Па). Какая часть найденной энергии идет на работу против внешних сил? Изменение плотности воды с изменением температуры не учитывайте.
Решение. Согласно первому началу термодинамики энергия, подводимая к системе для испарения 1 моль воды, расходуется на увеличение внутренней энергии системы вода — пар и на работу расширения против внешнего давления:
q = \U+A. (1)
Изменение внутренней энергии при одной и той же температуре воды и получившегося пара определяется работой, совершенной против сил взаимодействия молекул:
где Уж, Vn — молярные объемы жидкости и пара, а ——поправка на силы притяжения в уравнении Ван-дер-Ваальса.
Работа по расширению пара против внешнего давления определяется формулой
A = Pu(V^V^.(3)
Молярный объем жидкости равен Уж= 18-10~6 м3/моль. Для нахождения молярного объема пара воспользуемся таблицей ХШ. Из этой таблицы находим, что давление насыщенного пара при температуре /=200,0℃ равно рп= 16,21 • 105 Па. Хотя температура значительно отличается от критической, молярный объем найдем по уравнению Клапейрона ——Менделеева:
=2,42・10-з мз/моль. 16,21 • 105 моль
Поправку а определим по параметрам вещества в критическом состоянии:
2必圾=0,556 Н ・ м4/моль2.64ркр
Замечая, что ^<Vn, получим из формул (1), (2) и (3) следующее:
q— — +pnVn=3,48-104 Дж/моль.
Удельная теплота парообразования воды равна:
9о=— =1,92.10б Дж/кг. 卩
Этот результат хорошо совпадает с экспериментальным значением удельной теплоты парообразования воды, приведенным в таблице XIII (^，о== 1,95-106 Дж/кг).
Как уже было выяснено, для единицы массы воды на совершение работы против внешнего давления нужна энергия
Af=pnV^ — RT.
Эта энергия составляет определенную часть удельной теплоты парообразования:
— ==0,113.
Таким образом, на работу против ^внешнего давления тратится небольшая часть теплоты парообразования. С уменьшением температуры испаряющейся воды эта часть уменьшается, но не пропорционально температуре 7, так как теплота парообразо- вания, как видно из таблицы XIII, при этом увеличивается.
В замкнутом сосуде емкостью V= 10~3 м3 находится т=1 г воды и пара. Определите: количество воды и пара в сосуде при температуре 厶= = 20℃; температуру, при которой сосуд наполнен одним насыщающим паром, и энергию, затрачиваемую для получения этой температуры.
Решение. Так как сосуд замкнут, то в нем между водой и паром устанавливается термодинамическое равновесие.
Согласно таблице XIII плотность пара при температуре /1 = 20℃ равна 0,0173 кг/м3, а плотность воды можно считать 103 кг/м3. Понятно, что объемом воды в сосуде можно пренебречь и считать объем пара равным объему сосуда. Тогда масса пара тп= 17,3-10~6 кг, а масса воды тв=982,7 • 10~6 кг.
Сосуд будет заполнен одним паром, если температура такова, что удельный объем пара равен объему сосуда. Это будет при плотности пара р=1 кг/м3. Снова, пользуясь таблицей XIII, находим, что насыщенный пар приобретает такую плотность приблизительно при температуре /2=116℃.
При этой температуре пар обладает энергией приблизительно равной
92=e加2+%他=2700 Дж,
где с — удельная теплоемкость воды (ее увеличением при повышении температуры пренебрегаем), ?0=2,22-106 Дж/кг — удельная теплота парообразования при температуре £?・
При температуре Л, пар и вода обладают энергией, приблизительно равной
?i =cmB^i+?o^n=122 Дж, где ^о=2,45-106 Дж/кг.
Следовательно, для перевода всей воды в пар нужно подвести энергию, приблизительно равную
0=仇—«1* 2583 Дж.
Пользуясь уравнением Клаузиуса — Клапейрона, определите: наклоны кривых фазового равновесия вода — лед и вода — пар на диаграмме р,Т близ тройной точки; изменение давления насыщенного пара воды близ нормального атмосферного давления при нагревании на 1 К.
Решение. Кривые испарения, плавления и возгонки делят плоскость р,Т на три области 7, 2, 3 (рис. 46). Точкам области / соответствует газообразное состояние, области 2 — жидкое, области 3—твердое состояние вещества.
Наклоны кривых испарения 2, / (вода — пар) и кривых плавления 3, 2 (лед — вода) определяются уравнением Клаузиуса —Клапейрона:
⑴⑵⑴⑵如 1,2 —91,2
⑴
⑵
⑴
⑵
2)d〃2,3 —92,3
^F- = 7也一匕)
где 0i,2 и 夕2,3 — соответственно удельная теплота плавления и парообразования, Т — температура, при которой рассматривается процесс, Уь 丫2, Уз — соответственно удельные объемы па* ра, воды, льда. Для воды тройная точка лежит примерно на 0,008 К &ыше точки плавления при нормальном атмосферном
давлении. Так как температура тройной точки очень мало отли
чается от 0℃, то все величины, входящие в уравнения (1) и (2), мы определим для температуры 0℃ (нлн273К).
Удельный объем пара % = = 206 м3/кг (см. таблицу XII), удельный объем воды ]?2=1Ьт м3/кг (см. таблицу IV), удельный объем льда 匕=1,1・10-3 мз/кг (см. таблицу IV). Удельная теплота плавления льда ,2,3 = 334 кДж/кг (см. таблицу VIII), удельная теплота парообразования воды 91,2=2498 кДж/кг (см. таблицу XIII).
Подставив необходимые величины в формулу (1), найдем наклон кривой фазового равновесия вода ——пар:
如1,22498dT = 273 • 206如1,22498dT = 273 • 206工=44・ КН Па/К. К工=44・ КН Па/К. К
如1,22498
dT = 273 • 206
如1,22498
dT = 273 • 206
工=44・ КН Па/К. К
工=44・ КН Па/К. К
Аналогично найдем наклон кривой фазового равновесия лед вода:
d"2,3d"2,3334334ПаПа273-0,1-10-3 К273-0,1-10-3 К=-12-103 Па/К.=-12-103 Па/К.
d"2,3
d"2,3
334
334
Па
Па
273-0,1-10-3 К
273-0,1-10-3 К
=-12-103 Па/К.
=-12-103 Па/К.
Отсюда следует, что кривые фазового равновесия для воды на диаграмме р, Т имеют наклоны в противоположные стороны: кривая 3,2 наклонена влево, а кривая 2,1 — вправо. Кроме того, кривая 3,2 составляет с осью Т угол, в 106 раз меньший, чем кривая 2,1 (на рис. 43 кривая 3,2 — пунктирная линия).
Для большинства других веществ, у которых удельный объем в твердом состоянии меньше удельного объема в жидком состоянии (^2>Уз), обе кривые фазового равновесия наклонены вправо, но кривая фазового равновесия твердое состояние — жидкое состояние (кривая 3,2) идет гораздо круче.
Переходим теперь к нахождению изменения давления насыщенного пара воды при нагревании на 1 К близ нормального атмосферного давления.
Для воды при нормальном атмосферном давлении температура кипения ^373 К, удельная теплота парообразования 91,2=2257,4 кДж/кг (см. табл. XIII). Температура кипения в этом случае далека от критической. Но можно допустить, что 丫2》丫1 и к irapy применимо уравнение Клапейрона — Менделеева. При этих допущениях перепишем уравнение (1) так:
d"l,2 _ 41,2 仅％,2 С
* TV1 — R72，
ИЛИ
d"l,2 1 =卩九2 ⑶ р dT 一 RD I 丿
В правую часть равенства (3) входят постоянные величины, относящиеся к рассматриваемому веществу (в данном случае к воде). Подставив значения этих величин, получаем:
唸=0,035 кт RT?
Отсюда следует, что при нагревании на один градус давление насыщенного пара воды возрастает на величину, составляющую 0,035 от исходного давления:
纪=0,035,(3,5%).
Задачи для самостоятельного решения
В металлический чайник налили холодную воду. Температура воздуха в комнате /=20℃, относительная влажность 70%. При какой температуре воды чайник перестанет запотевать?
При атмосферном давлении р= 105 Па воздух имеет температуру f = 29°C и относительную влажность 60%. Определите: а) плотность атмосферного воздуха при этих условиях; б) давление сухого воздуха; в) массу воды в 1 м3 воздуха.
При температуре /=30℃ водяной пар, масса которого т=0,2 г, занимает объем V= 10 л. Какова в этом объеме относительная влажность? Какое количество пара сконденсируется, если изотермически уменьшить объем вдвое?
Относительная влажность воздуха, находящегося в сосуде при температуре 乙=15℃, равна 70%. Какой станет относительная влажность, если температуру повысить до 30℃ и объем при этом уменьшить в 2 раза?
В сосуде под поршнем находится вода. Над ней — смесь воздуха и насыщенного пара. Начальное давление на поршень равно нормальному атмосферному. Затем давление на поршень увеличивают в 2 раза. Пренебрегая сжимаемостью воды, определите, на сколько процентов изменится давление насыщенного водяного пара в цилиндре, если температура (Г=300 К) поддерживается постоянной.
Используя уравнение Клаузиуса ——Клапейрона, установите зависимость давления насыщенных паров от температуры для температур значительно меньших критической. Удельную теплоту парообразования считайте постоянной.
Упругость насыщенных ртутных паров при температурах ^i = 100℃ и ^2= 120℃ равна соответственно 〃 = 37,4 Па и р2=101 Па. Определите среднее значение удельной теплоты парообразования ртути в указанном интервале температур. Удельным объемом жидкой ртути по сравнению с газообразной пренебрегите.
Разность удельных объемов льда и воды при 0℃ приблизительно равна Д V=9J • 10~2 см3 L. Используя уравнение Клаузиуса — Клайперона, определите изменение точки плавления льда при увеличении давления на Др= Ю5 Па.
Определите, до какого предельного давления можно откачать сосуд при помощи ртутно-диффузионного насоса, работающего без ртутной ловушки, если температура водяной рубашки насоса /2= 15℃. Упругость насыщенных ртутных паров при температуре 厶= 0°С равна р=1,6-10-4 мм рт. ст., удельную теплоту парообразования ртути в интервале температур 0——15℃ примите равной ^ = 3,18-105 Дж/кг.
При 厶=0℃ удельный объем равен V=207 м3/кг и давление p\ = Q* 103 Па. Принимая близ этой температуры
空》=44,1 Н/(м2-К), определите удельную теплоту испарения dT
при температуре 0℃ и давление насыщенного водяного пара при температуре /2=5℃. Удельным объемом пара пренебрегите, удельную теплоту парообразования считайте постоянной.
Кусок льда помещен в адиабатическую оболочку при температуре 0℃ и атмосферном давлении. Как изменится температура льда, если его адиабатически сжимать до давления р= 107 Па? Какая доля льда при этом расплавится?
Внутри сосуда Дьюара, плотно закрытого пробкой, находится электрический нагреватель, опущенный в воду. Воздух и пары воды откачиваются водоструйным насосом. Степень разрежения контролируется манометром. Масса сосуда (со всем содержимым) за время /=20 с работы насоса при постоянном давлении "1=2・1小 На в сосуде уменьшилась на Дт=5 г. Напряжение на нагревателе (7=220 В, ток, потребляемый нагревателем, / = 2,75 А. Температура воды поддерживалась по- стоянной.
Определите по результатам опыта: а) удельную теплоту парообразования воды при полученном давлении; б) поправку на силы притяжения между молекулами в уравнении Вав-дер- Ваальса.
В закрытом сосуде емкостью У=2 л находятся 1 г воды и воздух. При температуре 14℃ давление в сосуде 1,013-105 Па. Определите давление при температурах: а) 93℃; б) 100℃.
В закрытый сосуд емкостью У=6 л, содержащий насыщенный пар при давлении 2,02-105 Па, впрыскивается некоторое количество воды при температуре 10℃. Давление в сосуде при этом понижается до 105 Па. Какое количество воды введено в сосуд?
Определите изменение внутренней энергии при превращении в пар спирта во время его кипения при нормальном давлении, если масса образовавшегося пара 他=4 г. Удельный объем паров спирта при этом давлении У=0,607 м3/кг, удельная теплота парообразования спирта д=862 кДж/кг.
Определите изменение энтропии при нагревании 2 кг воды от 介=0℃ до /2= Ю0℃ и обращении этой массы воды при температуре 100℃ в пар.
Удельная теплота парообразования бензола (СбНб) при температуре / = 77℃ и нормальном давлении равна д = = 398 кДж/кг. Какая часть удельной теплоты испарения идет на увеличение внутренней энергии? Чему равны изменение вну・ тренней энергии и изменение энтропии при испарении т=20 г бензола при этой температуре? Температура кипения бензола при нормальном давлении равна 80,2℃.
Насыщенный водяной пар при давлении р[= = 14,18・1()5 па адиабатически расширяется до давления
P2 = 0,2- IO5 Па. Какая часть пара конденсируется при этом? (Воспользуйтесь табл. XIII.)
Капелька воды, радиус которой г=5* 10~6 см, находится в воздухе при нормальном атмосферном давлении и температуре 10℃. Определите: дополнительное давление в капельке воды, давление водяных паров вблизи капельки. При решении задачи учтите, что поверхностное натяжение воды при повышении температуры на 1° уменьшается на 0,15* 10"3 Н/м.
В 1 м3 охлаждающегося воздуха находится 8,3 г водяных паров. Определите: а) температуру, при которой начнется конденсация, если центрами конденсации являются пылинки в форме шариков диаметром 10~5 см; б) температуру, при которой начнется конденсация в пористом материале, смачиваемом водой, если диаметр каналов в нем 10~~5 см.
0.21. Камера Вильсона заполнена водяным паром, который в результате адиабатического расширения оказался пересыщенным. Температура пара Г. Давление его в п раз больше давления насыщенного пара над плоской поверхностью воды при той же температуре. Плотность воды р, коэффициент поверхностного натяжения о. Каков равновесный радиус капель воды, образующихся при прохождении а-частиц через камеру Вильсона? Что происходит с каплями меньшего радиуса?
Туман состоит из капелек воды диаметром(1—10~6 м. На сколько должен быть пересыщен водяной пар в окружающем пространстве при температуре 10℃, чтобы капельки были в равновесии с паром? Воспользуйтесь таблицей XII. Учтите, что изменение коэффициента поверхностного натяжения при изменении температуры измеряется величиной 1,5* 10~4 Дж/м2 на 1℃. Будет ли равновесие устойчивым?
При растворении 100 f сахара (С12H22О11) в 0,5 л воды осмотическое давление раствора равно 1,52-106 Па. Диссоциация молекул сахара отсутствует. Какова температура раствора? Чему равно давление насыщенных водяных паров над раствором?
На сколько градусов следует нагреть раствор, чтобы, не изменяя его концентрации, полупить такое же увеличение осмотического давления, какое получается при увеличении концентрации раствора в 1,2 раза? Начальная температура раствора 0℃.
На дно сосуда с двумя литрами водного раствора глюкозы (СбН^Об) опущен узкий цилиндр с полупроницаемыми стенками. При температуре 20℃ вода, налитая в цилиндр, находится в равновееии, если ее уровень на 37 см ниже уровня рас* твора. Какое количество глюкозы находится в растворе?
§ 10. ОСНОВЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Элементы кристаллографии
Постоянная кристаллической решетки кубической системы определяется формулой
где k — число одинаковых атомов в формуле химического соединения, 〃一число одинаковых атомов в элементарной ячейке, р — плотность кристалла, ^A — число Авогадро,卩一относительная молекулярная масса вещества.
Равновесное расстояние между соседними атомами в крин сталлических решетках:
кубической гранецентрированной —
d=
2
кубической объемноцентрированной —
2
П. Тепловые свойства твердых тел
Закон Дюлонга и Пти:
Cv=^Rt
где С? — килоатомная теплоемкость твердого тела, R——универсальная газовая постоянная.
Коэффициент теплопроводности 乂 связан с теплоемкостью с единицы объема кристалла, средней скоростью Оф фонона и средней длиной свободного пробега фонона А соотношением:
1 . а
Средняя скорость движения фонона определяется формулой:
%1，44/ 2E65+gi‘5%1，44/ 2E65+gi‘5
%1，44
/ 2E65+gi‘5
%1，44
/ 2E65+gi‘5
Линейный коэффициент расширения твердого тела связан с модулем Юнга и равновесным расстоянием между частицами кристалла соотношением
У丄)
2 г^Е
где k — постоянная Больцмана.
Килаатомная теплоемкость кристалла по теории Дебая находится так:
Здесь ®d ——характеристическая температура Дебая. Она выражается так:
力3 макс
где Омаке — максимальная частота упругих колебаний в кристалле, 左—постоянная Больцмана. Интеграл
J e^— 1，
в котором х=— , представляет собой величину, связывающую kT
среднюю энергию квантового осциллятора и функцию распределения частот. В зависимости от пределов интегрирования интеграл имеет следующие значения:
Еф= =^^((3л;2〃)：Еф= =^^((3л;2〃)：В области низких температур T<C0d получаем предельную фор мулу Дебая:
Еф= =^^((3л;2〃)：
Еф= =^^((3л;2〃)：
Уровень Ферми:
где т*—эффективная масса электрона, 孔一концентрация электронов в кристалле.
Теплоемкость электронного газа по теории Друде: Cv= — ZR J
2
где Z ——число свободных электронов, приходящихся на один атом вещества, Гф —температура ①ермн (几=?}
Средняя энергия электрона:
Электрические свойства твердых тел
Классическая теория электропроводности металлов Дру- де — Лоренца
Удельная электропроводность:
仪"九
?=,
2tnv
где e — заряд электрона, п ——концентрация электронов, X — средняя длина свободного пробега электрона,加一масса электрона, V — средняя скорость теплового движения электронов.
Квантовая теория электропроводности 6 металле
Вероятность заполнения энергетического уровня £ элект* ронами (функция распределения Ферми — Дирака):
〃£)= —匕一Сф
Распределение Ферми по энергиям для свободных элект^ ронов:
Е% dEЕ% dEd〃3)=嘉d〃3)=嘉£—ЕфkT +1£—ЕфkT +1при 7=#0
Е% dE
Е% dE
d〃3)=嘉
d〃3)=嘉
£—Еф
kT +1
£—Еф
kT +1
при 7=0 и Е<сЕф
dn(E)= -~
где dn(E)—число электронов в интервале энергий от Е до 启+dE и 2巾——энергия Ферми.
Ферми контактирующих металлов,Ферми контактирующих металлов,Контактная разность потенциалов между металлами: Д(р=跑 L 二纱 2.,
Ферми контактирующих металлов,
Ферми контактирующих металлов,
где 七фа и Еф2 — энергии е — заряд электрона.
Постоянная Холла:
Rh——,еп
где е — заряд электрона; п — концентрация электронов.
Зависимость средней длины свободного пробега электронов от температуры представлена на графике, приведенном на рисунке 50.
Полупроводники. (Собственная проводимость).
Концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне:
J露
где m * — эффективная масса электрона, А — постоянная Больцмана; Д£ —— ширина запрещенной зоны.
Подвижность носителей заряда в полупроводниках:
ЗУ2пт*АТ
где и ——подвижность носителя заряда, е ——заряд электрона, Л — средняя длина свободного пробега носителя заряда, т* — эффективная масса носителя заряда, & — постоянная Вольц- мана.
Удельная электропроводность полупроводников: у=еп(ип+ир).
Постоянная Холла для полупроводников:
R Зд 〃рUn
8е 几(4р+汉Q '
где ир и ип ——подвижность дырок и электронов, п — концентрация носителей заряда одного знака.
Постоянная Холла для полупроводников проводимости типа р (или л):
D 3冗 1
久Н=о еп
6. Средняя длина полупроводнике:6. Средняя длина полупроводнике:Л=Л=8RhYЗл8RhYЗлСвободного пробега носителей заряда в
6. Средняя длина полупроводнике:
6. Средняя длина полупроводнике:
Л=
Л=
8RhYЗл
8RhYЗл
Вопросы
Каков физический смысл понятия твердое тело?
Как доказать, что свинец — кристаллическое, но не аморфное тело?
Какие эксперименты подтвердили предположение о существовании кристаллических решеток твердых тел?
Какие специфические свойства кристаллов связаны с их симметрией и анизотропией?
Железо, медь, алюминий и другие металлы являются твердыми телами. Почему же практически не наблюдаются явления, объясняемые анизотропией этих тел?
Как принято классифицировать кристаллы по типам сил связи частиц в кристалле?
Как зависит энергия связи частиц в кристалле от типа сил связи?
Реальный кристалл не имеет идеальной структуры кристаллической решетки. Перечислите и дайте схемы точечных и одномерных дефектов кристаллической решетки.
Какие физические свойства монокристалла зависят от числа дислокаций в единице объема, а какие не зависят?
Что называется: а) пироэлектрическим эффектом; б) пьезоэлектрическим эффектом; в) магнитострикцией?
Чем отличаются свойства олектронного газа》в металле от свойств классического идеального газа?
Каков физический смысл значения энергии Ферми?
Каков физический смысл характеристической температуры Дебая?
Что такое фонон?
Каким закономерностям квантовой механики подчиняется фонон?
Почему в кристалле расщепление энергетических уровней в энергетическую зону для электронов, находящихся в близких к атомному ядру оболочках (внутренних), не велико, а расщепление энергетических уровней валентных электронов (внешних) велико?
Чему равно число энергетических уровней в различных зонах (зоне Л, зоне L, зоне 曲)для одного киломоля металлов первой группы периодической таблицы Менделеева?
Какой смысл с точки зрения квантовых представлений имеет термин «дырка»?
Что такое запрещенная зона? Какие физические свойства твердого тела зависят от ширины запрещенной зоны?
В чем основное различие между собственной и примем ной проводимостями полупроводников?
Примеры решения задач
Сколько молекул NaCl входит в элементарную ячейку кристалла поваренной соли?
Решение. Взаимное пространственное расположение ионов натрия и хлора изображено на рисунке 47 (черные точки —Na+, белые кружки — С1~).
Каждый ион натрия, находящийся а вершине куба, принадлежит еще семи ячейкам, так как каждая из вершин данного куба является вершиной восьми кубов. Следовательно, одной ячейке принадлежит только Vs данного иона натрия. Так
仪 как таких ионов натрия 8, то одной ячейке принадлежит один вершинный ион натрия.
Ион натрия, расположенный в центре грани куба, также принадле* жит одной ячейке только наполовину. А так как таких ионов шесть, то одной ячейке принадлежат еще три иона натрия. Всего ионов натрия в одной ячейке четыре. Каждый из двенадцати ионов хлора, расположенных по серединам ребер куба, принадлежит еще четырем элементарным ячейкам, так что данной ячейке принадлежит 〔倉 часть каждого из этих ионов. Всего в одну ячейку входит три иона хлора.
Но ион хлора, находящийся в центре куба, целиком принадлежит только данной элементарной ячейке. Поэтому всего ионов хлора тоже четыре.
Таким образом, элементарная ячейка образована четырьмя молекулами NaCl.
Какая энергия выделится при охлаждении кубического дециметра натрия от Ti = 0d до Т2^(0п—1К)? Характеристическая температура Дебая для натрия ®d —180 К. Плотность натрия p = 0,97d03 кг-м"3.
Решение. Изменение внутренней энергии тела при изменении его температуры выражается формулой
⑴⑴AQ = cmA/,
⑴
⑴
где с — удельная теплоемкость вещества, т — масса тела. Масса кубического дециметра Натрия равна
加=Yp,(2)
где р — плотность натрия.
Удельная теплоемкость определяется отношением молекулярной (атомной) теплоемкости к молекулярной (атомной) массе:
⑶
Атомная теплоемкость зависит от температуры и может быть вычислена по уравнению Дебая:
C=3R
12
о
з岑 粤-1
(4)
Так как ATrI К, то нужно искать значение интегпала~*
в пределах от нуля до единицы; в этом случае значение интеграла равно 0,225.
С=3R[ 12 • (1) з • о,225—^^С=3R[ 12 • (1) з • о,225—^^Выражение (4) приобретает вид：
С=3R[ 12 • (1) з • о,225—^^
С=3R[ 12 • (1) з • о,225—^^
2,87 R.
Используя полученное значение С и уравнение (3) и (2), получаем для AQ выражение:
卩
Производя вычисления, получаем: AQ= 1004,4 Дж；
Сколько свободных электронов находится в зоне электронных уровней от Еф—АЕ до Еф при Т=0? Для данного металла Е@=5,5 эВ, В ==0,2 эВ.
Решение. Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов при Г==0 имеет вид:
,._.1/ 2т \ 3/а EdE
d"⑹-曰】，⑴
e4-1
Заполнение энергетических уровней электронами задается функцией Ферми;
При 7=0 все уровни энергии, лежащие ниже уровня Ферми, заполнены (七<方曲).Следовательно,
七一上巾с kl +1
В этом случае выражение (1) принимает вид: d〃(E)匸出請产浓
Интегрируя левую часть этого уравнения от нуля до п, а правую от £ф—АЕ (электронов с энергией £>Еф нет) до Еф，по
ручаем:
£%d££%d£项一 △Е项一 △Е
£%d£
£%d£
项一 △Е
项一 △Е
9797
97
97
7 Заказ № 6280
Рис. 49
Подстановка числовых значений приводит к следующему результату:
и==56« 101бм~3.
Задачи дна самостоятельного решения
ЮЛ. На рисунке 48 изображена структура кристалла хло* ристого цезия (CsCl). Сколько молекул CsCl входит в элементарную ячейку кристалла? Чему равна постоянная кристаллической решетки CsCl? Чему равно равновесное расстояние между частицами в кристалле? Плотность цезия p=lr9-103 кг• м~3. Атомная масса цезия Л = 133.
На рисунке 49 изображена структура кристалла меди (Си). Сколько атомов меди входит в элементарную ячейку кристалла? Чему равна постоянная кристаллической решетки меди? Чему равно расстояние между двумя соседними атомами меди в кристалле? Плотность меди р = 8,94-103 кг• м~3. Атомная масса меди 4 = 64.
Определите постоянную кристаллической решетки для приведенных в таблицах химических элементов: а) с гранецентрированной кубической структурой
Элемент
Атомная масса
Плотность, кг・м
Никель
59
8,9-103
Серебро
108
10,5.10s
Платйна
195
21,4-103
б) с юбъемноцентрированной кубической структурой
Элемент
Атомная масса
Плоигость, кг*м
Литий
7
0,53-103
Ванадий
51
5,96-103
Рубидий
85
1,53-103
Постоянная кристаллической решетки поваренной соли (NaCl) 0=5,64,10-1° м. Определите плотность монокристалла NaCl.
Вычислите плотность кристалла лития. Постоянная кристаллической решетки лития а = 3,53・ 10一1° м. Структура решетки ——объемноцентрированный куб, Лы=7.
Определите атомную массу ванадия (V). Кристалл ванадия ——объемноцентрированный куб. Постоянная кристаллической решетки а=3,04・ 10一】° м, плотность ванадия р = =5,96 • 103 кг・м-з.
Элементарная ячейка кристалла меди — гранецентрированный куб. Найдите линейный коэффициент теплового расширения монокристалла меди, если модуль Юнга Е=12,3・101° Н・м-2 и плотность р = 8,9-103 кг• м~3.
Объемный коэффициент теплового расширения железа р = 36- Ю-6 Кг4. Модуль Юнга железа E—2Q-1010 Н• м~2. Найдите величину равновесного расстояния между атомами железа.
Вычислите удельные теплоемкости с кристаллов натрия (Na), никеля (Ni) и свинца (РЬ) при температуре Т=2 К, применяя закон Дюлонга и Пти и квантовую теорию теплоемкости Дебая. Необходимые справочные данные возьмите из таблицы.
При температуре Т=20 К килоатомная теплоемкость меди 0=983,6 Дж/(катом»К). Найдите максимальную частоту колебаний осцилляторов кристалла меди.
Характеристическая температура Дебая для алюминия 0р=418 К. Найдите килоатомную теплоемкость алюминия при этой температуре.
Найдите значение максимальной энергии фонона в кристалле алюминия. Характеристическая температура Дебая для алюминия ❷d=418 К.
Найдите минимальную длину волны фонона в кристалле меди. Необходимые данные возьмите из таблицы IE
Определите длину волны фонона в серебре, соответствующую частоте v=0,5 Vmhkc.
Коэффициент теплопроводности серебра х= = 490 Вт/(м2-К). Определите среднюю длину свободного пробега фононов. Удельная теплоемкость серебра с= = 237 Дж/(кг-К).
При какой температуре килоатомная теплоемкость электронного газа в кристалле золота становится равной кило- атомной теплоемкости кристаллической решетки? Число свободных электронов принять равным числу атомов.
Теплоемкость кристаллической решетки металлов при комнатной температуре (T=30U К) можно вычислять по закону Дюлонга и Пти. Какую долю общей теплоемкости алюминия составляет теплоемкость электронного газа в нем? Полагать,
свободных электроновсвободных электроновчто на каждый атом алюминия приходится три свободных электрона.
свободных электронов
свободных электронов
Концентрация свободных электронов в кристалле п = =2-1025 м~3. Вычислите температуру Ферми Тф.
Вычислите энергию и тем* пературу Ферми для серебра и меди. Примите число свободных электронов равным числу атомов.
Найдите концентрацию
при Т=0. Сколько свободных электро
нов приходится на один атом металла, если его атомная масса А — 108, плотность р = 10,5-103 кг-м-3.
Найдите средние значения кинетической энергии и скорости свободного электрона в кристалле калия при Т=0 К. Энергия Ферми для калия £ф=2,14 эВ.
Какова вероятность заполнения электронами энерге^ тических уровней, расположенных на 0,02 эВ выше и соответственно ниже уровня Ферми в натрии при Т=300 К, если для натрия Еф=3,12 эВ?
Вероятность заполнения в металлическом кристалле некоторого уровня энергии электронами при температуре Тх равна 0,6. На сколько отличается энергия электрона, находящегося на данном уровне, от энергии электрона, находящегося на уровне Ферми? При решении задачи примите за единицу энергии величину kT.
Какая часть свободных электронов в металле при температуре Т=0 К обладает энергией, большей 3/4 Тф?
Вычислите значение полной энергии электронного газа, занимающего объем V=10~3 м3 в кристалле натрия при 7=0 К. Энергия Ферми для натрия Еф=§,12 эВ.
Сравните среднюю длину свободного пробега электрона в меди при Тн«30 К, вычисленную по классической теории Друде — Лоренца и найденную по графику, приведенному на рисунке 50. Принять п=5-1028 м~3, у=3-107 Ом-^м-1 (при Г ==30 К).
Определите удельное сопротивление алюминия. Постоянная Холла для алюминия /?н=0,3-10~10 м^-А-1*^1, подвижность электронов 〃=12・10-4 m2・Втет.
Медная пластинка размерами L=5 см, 6 = 2 см, а==0,1 см (рис. 51) помещена в магнитное поле, индукция которого 8=0,1 Т. По пластинке параллельно ребру 厶 течет ток /==8,5 А. Между точками А и В возникает разность потен、 циалов Д(рн=5-10~8 В. Определите концентрацию и0 свободных электронов в меди и их подвижность 〃.
Вычислите абсолютное значение постоянной Холла (Rh) для цезия, если энергия Ферми для цезия £ф=1,5 эВ.
Чему равна контактная разность потенциалов, возникающая при контакте алюминия и серебра? Энергия Ферми для этих металлов: Е巾ai=11,9 эВ, ^Ag=5,5 эВ. Какой из этих металлов заряжен положительно?
Контактная разность потенциалов пары медь — бериллий Дф=7,5 В. Найдите отношение концентраций свободных электронов в этих металлах, если Ефве>£фСи и Ефси=7,1 эВ.
Найдите концентрацию электронов в зоне проводимости и концентрацию дырок в валентной зоне беспримесного кристалла германия при Т=300 К. Ширина запрещенной зоны германия АЕ=0,76 эВ.
Германий с примесью мышьяка, являющийся полупроводником 〃-типа, обладает проводимостью у=7。мТОмТ Постоянная Холла /?н=7-10~3 м^Кл"1. Определите подвижность электронов в зоне проводимости.
Определите сопротивление беспримесного монокристалла германия, имеющего форму стержня круглого сечения, если длина стержня L= 10 см, радиус сечения г=1,5 см. В данных условиях концентрация свободных носителей зарядов п=2-1021 м~3, а их подвижности 〃乳= 0,4 м2・ВТ・с-】и ар = =0,2 м2・В-1・с-1.
При Т=400 К удельная проводимость германия Y=120 m-i・Om-i. Постоянная Холла при этой температуре Кн=2,4・10~з мЗКлТ Определите среднюю длину свободного пробега электронов.
Удельное сопротивление образца кремния с дырочной проводимостью р=0,01 м・Ом. Определите концентрацию дырок и их подвижность, если постоянная Холла для данного образца Rh=§,5・10-4 м-Кл—
Полагая, что подвижность носителей заряда при небольшом изменении температуры полупроводника остается неизменной, найдите отношение проводимостей беспримесного кристалла германия при температурах 7\=300 К и Т2=320 К. Ширина запрещенной зоны германия Е=0,72 эВ.
Ширина запрещенной зоны серого кристаллического селена Д£=0,8 эВ. Найдите красный порог селенового фото* элемента.
Приложение
Некоторые физические постоянные
Объем моля идеального газа при нормальных условиях Уо== 22,4207 л9
Универсальная^ газовая постоянная
R=8,314 Дж/(моль-'-К""1).
Число Авогадро
Na=6,02209 • 10器 мольУ
Число Лошмидта
по=2,68719-1О25 м~3.
Постоянная Больцмана
々=1,38066・ 10-23 дж/к=0,86-104 эВ/К.
Постоянная Планка
Л=6,62617.10-34 Дж-с,
力=与= 1,0545・10-з4 дж.с.
II. Физические параметры некоторых твердых тел
Название
Массовое число, А
Плотность, р, х唠 кгм""
Модуль Юнга, Е
ХЮ10Н/м2
Модуль сдвига, е, ХЮ10Н/м2
Характе* ристиче- ская температура Дебая, %
Энергия Ферми, 气， эВ
Алюминий
27
2,7
6,8
2,6
390
11,9
Бериллий
9
1,83
1100
14,6
Ванадий
51
5,96
Золото
197
19,27
8
2,8
170
5,5
Калий
39
0,86
100
2,14
Литий
7
0,53
4,72
Медь
64
8,94
12,3
4,5
320
7,1
Натрий
23
0,97
150
3,12
Никель
59
8,9
20,2
7,7
410
Платина
195
21,5
16,8
6,1
229
Рубидий
85
1,53
Свинец
207
11,37
1,62
0,56
88
Серебро
108
10,5
7,9
2,86
165
5,5
Цезий
133
1,87
1,53
Ill. Молярная масса газов и средний эффективный диаметр молекул
Газ
Молярная масса^ ХЮ""' кг-моль~
Средний эффективный диаметр молекул, ХЮ~10 м
Азот
28
3,6
Водород
2
2,2
Водяной пар
(Н2О)
18
2,6
Воздух
29
3,6
Гелий
4
2,0
Кислород
32
2,7
Углекислый газ
44
4,0
(СО2)
IV. Плотность некоторьж веществ 1
Вещество
Плотность, кг-м
Азот Алюминий Вода Водород Воздух Водяной пар Гелий Глицерин Керосин Кислород Лед Ртуть Спирт (этиловый) Сталь Углекислый газ
1,25 2,69-103 0,998-103 0,09
1,29 0,0048
0,18
1,23-103 0,78-103
1,43
0,9 • 103
13,6-108 0,77-Ш3
7,85* К?
1,98
，Для твердых тел и жидкостей — при температуре 20℃; для газов — при нормальных условиях.
V. Удельная теплоемкость твердых и жидких веществ
Вещество
Удельная теплоемкость, -1 Дж-кг ・К
Алюминий
8,96 • IO?
Вода
4,18103
Глицерин
2,43 • IB
Керосин
2,14-Ю3
Лед
2,09-103
Ртуть
1,38-102
Спирт
2,43 • 103
Сталь
4,69-102
VI. Удельная теплоемкость газов
Газ
Удельная теплоемкость, Дж-кг-К
с〃 1%
Азот Водород Водяной пар Воздух Гелий Кислород Углекислый газ
1 040741
1 4091 000
1 820：1380
1 020728
2 0801 250
912649
847653
VII. Коэффициент поверхностного натяжения
Жидкость
Коэффициент поверхностного натяжения при 20°С； ХЮ~2Н-м^
Вода
7,28
Глицерин
6,6
Керосин
2,4
Ртуть Спирт
49,0
2,2
VIII. Температура плавления и удельная теплота плавления
Вещество
Температура плавления, ℃
Удельная теплота плавления, Х105 Дж-кг""1
Алюминий
658,7
3,22
Лед
0
3,34
Ртуть
—39,8
0,117
Сталь
1300
0,837
IX. Температура кипения и удельная теплота парообразования при температуре кипения 1
Вещество
Температур кипения,
Удельная теплота парообразования ,при температуре кипения, Х10* Дж-кг-"1
Азот Вода Водород Воздух Глицерин Кислород Ртуть Спирт Углекислый газ
-195,8 100
-252,7
— 193 290
-183
356,7
78,3
-78,5
2,01
22,6
4,61
2,09
2,14
2,88
8,46
5,95
X. Критические параметры и поправки Ван-дер-Ваальсадля реальных газов
Ггз
Критические величины
Поправки Ван-дер-Ваальса}
ХЮ^Па
т
а, 4一2
Н*м4*моль
ХЮ5 мя<моль
Азот
33,9
126,1
0,133
4,0
Водород
12,9
33,0
0,024
2,6
Водяной пар
217,7
547
0,547
3,0
Воздух
37,6
132,5
0,131
3,8
Гелий
2,26
5,0
0,0033
2,3
Кислород
49,7
154,2
0,137
3,0
Углекислый газ
73,8
304,0
0,36
4,3
XI. Коэффициент теплопроводности
Вещество
Коэффициент теплопроводности при нормальных условиях,
Азот
Алюминий
Водяной пар
Водород
Воздух
Гелий
Кислород'
Лед
Сталь
Углекислый газ
2,37.10-2 2,01 • 102 1,58-10-2 1,68-10-1 2,37-10-2 1,41 • 10-2 2,39 • 10-2 2,51
4,6Ы0 2,32 • 10-2
XII. Давление и плотность насыщенного водяного пара
°C
р, мм рт・ ст.
г/м3
°C
р»
ММ рт. ст.
г/£р
—23
0,58
0,66
12,79
12,8
0
4,58
4,84
13,63
13,6
1
4,93
5,22
14,53
14,5
2
5,29
5；60 5,98
15,48
15,4
3
5,69
16,48
16,3
4
6,10
6,40
17,54
17,3
5
6,54
7,01
6,84
18,65
18,3
6
7,30
19,83
19,4
7
7,51
7,80
21,07
20,6
8
8,05
8,30
22,38
21,8
9
8,61
8,80
23,76
23,0
10
9,21
9.40
25,21
24,4
11
9,48
10,0
26,74
28,35
25,8
12
10,52
10,7
27,2
13
11,73
П,4
30,04
28,7
14
11,92
12,1
31,82
30,3
XIII. Насыщенный водяной пар
Температура, °C
Давление, Р, Х105 Па
Плотность, р, кг・м—3
Удельная теплота парообразования, г, кДж-кг-"1
0
0,00608
0,004843
2498,3
10
0,01228
0,009398
2468,1
20
0.02824
0.01730
2446,3
30
0.04246
0.03037
2425,0
40
0,07375
0,05118
2403,2
50
0.12337
0,08320
2378,1
60
0.19888
0,13026
2356,7
70
0.3 И 36
0,1982
2332,5
80
0.47336
0,2936
2307,3
90
0.70098
0.4219
2281,8
100
1.01332
0.5974
2257,4
110
1,43245
0,8254
2228,8
120
1.98505
1,122
2213,5
130
2, 70064
1,497
2169,6
140
3,61226
1,968
2139,0
150
4,76787
2,547
2109,3
160
6.16207
3,253
2079,2
170
7,91495
4,114
2049,9
180
9,83065
5,141
2018,9
190
12,53794
6,353
1997,5
200
16*21737
7,770
1955,3
210
19.05422
9,443
1920,9
220
23,26319
11,38
1884,9
XIV. Физические параметры некоторых полупроводников
Название
Массовое число, А
Плотность, р，3 КГ・м7
Ширина запрещенной зоны, △Е, эВ
Подвижность, м，В—1.С-1
электронов
дырок
Германий
73
5,47-103
0,72
0,39
0,19
Кремний
28
2,3-10*
1,09
6,12
0,05
Селен
79
4,5-103
0,8
XV. Соотношения между некоторыми единицами
1 мм рт. ст.=0,01316 атм== 133,3 Па
1 атм = 760 мм рт. ст.*= 1,013-10б Па
1 7Ък=0,239 кал=6,242-1018 Эв
1 эВ я» 1,602-10-19 Д* =« 4,45 • low кВтт
I атм-л= 101,3 Дж = 24,1 кал.
Ответы
Ро+р^— у Ро2+ (pg/) ?+ ^- PoPg/
х=gpj弋8 см.
匕=120 см3.
%(此一m2)V(P1~P2)
==1,3 кг/м3.
%=4,4，10-2 m.
р= 1,42-10s Па.
р==3,45. Ю5 Па; jxcm=5,25• IO— кг/моль; р=0,75 кг/м3.
Длина части цилиндра, занятой кислородом, составляет 5 см; водоро* дом — 80 см.
Смещение поршня % = 2 см; р2= 1,05« 105 Па.
р1 = 1,6・ 10一6 кг/м3； р2 = 2,66- 10~5 кг/м3；夕2=1,66・10一2 мм рт. ст.
/пы2 = 144,2 г;加口2 = 5,8 г.
а) Асм=37• 10-3 кГ/Моль; б) pi== 1,01 • 105 Па;
в) 冬==~^"； Р2 = Р1~~Г； Р2=1>34-1О5 Па.
п — 800 качаний; р = 8,95 кг/м3.
Гм = 10 Го. Первый процесс изохорический, второй ——изобарический.
a) VM=2-10~2 м3; 7м=480 К; Рм = 6,24-104 Па; б)「1 = 360 К； pi—9,37» 104 Па.
Плотность смеси при изменении температуры не изменится. р2 = Р1；р=1,33 кг/м^.
m = 3,53- IO-3 кг; Асм^45• 10-3 Кг/моль.
1.17. 7\=2070 k.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
р = 2 • 10s Па.
m2 m3 \
% = —3^1,42 м3/кг.
pm
卩 в=28,8 • IO— кг/моль.
m=2,51 • IO-3 кг; p = 2,54 кг/м3; pi=41 • 10~3 кг/моль.
7\=3 To.
a) T=l,16-104 K； 6)仃=2,53・10-2 эВ>
n—1017, ш==6,25-1015 эВ.
ян2=3,01 • 1023; no2 = 1,88* 1022; Лн2о = 3,35' 1022.
a) p= 1,429 кг/м3; 6) g=32« 10~3 кг/моль; в) n=2,68-1022.
a) p= 10,5* 10"2 Па; б) ц = 3-IO""3 кг/моль;
3
в) w= ~kT (几1+几2+—~№)；近=8,1 • IO— дж>
2"з
的»= 1,68• 1025 м-3； “оо^ = 9,8。1024 м-3.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10. 2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21. 2.22.
3.1.
3.2.
До снятия перегородки давления газа по обе стороны от перегородки одинаковы, и такими же они останутся после снятия перегородки.
Ар= 15,4 Па. “=L,415・105 Па. й>к=2,23-102 Дж; Wb=89 Дж. Для одноатомного газа рк=й^о±т； для двухатомного газа 近哼=0,4 wK\_ для многоатомных газов 孤=0,5 近к. 荻=27,7 кДж,近в= 13,85 кДж.
从=2 кг/кмоль;几()=2,45• 1025 м-з.万=
5= ^/^。^ - =246 м/с.
5 = 500 м/с;步= 4,42 ТО-20 Дж.
0m芈
U = 490 м/с;
7=1854 К.
1880 м/с.
w^=3kTnQ= 12* 103 Дж/м3,
л4 5 6
X 3 о^ 0^
-~- =1,07 раз; й/2=1,6-Ю6 Дж.
W\
2缈
N« 1021j 加=4,7・10一5 кг； V= --~—«=4,2«Ю-5 м3.
Зр
р«250 Па;近=92,7 Дж.
а) 〃 = 2ntnv2 cos2 а; б) р=2пт(ucos а—и)2.
Ро==1/32, Pi = 5/32, "2=10/32, р3= Ю/32, 〃=5/32, р5=1/32.
а) 3,34, б) 255.
р«10-115.
gi = l/4, р2= 1/64^р3« 1 • 10~3, "4^1・10Т
N = P4 (2р—1); M = pj2.
AM ~
б) 1,27 "О-4 A.
3.9.
3.10.
а) 0,4* IO-" А, %=0, I t>x I =
3.11.
'hT
2кт •
Водород, 0 =
= 2050 м/с, t>2=
2240 м/с.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
Абсцисса увеличится в 2 раза, ордината уменьшится в 2 раза. Площадь останется равной единице.
а) 0,52, б) 0,97, в) 0,7.
5,23-10-3.
0,6.
V в ===',V ■— 1 /
F mу 兀加
△пДл
а) =0,83%; б) —— =0,95%; в) не изменится.
也丄=0,012. Дп2
An , 3«20. =0,53%.
3・22・ A = 6900 m.
I/=6,4・！O-2o m*
2г唔用
-^=« RT =0,61.
"2
九==8,75二1о3 m.
卩g
/ 皿］
p=po *5 V—« R，丿=6000 H.
卩CO2尤2
n=nQe 2RT , где n0 — концентрация молекул на открытом конце.
3・28・ г=2冗(лЛТ)-%¥е е 也/ d&
△л
= е-% р 23 %.
丫= (*"^~) =1,47.
2 2,3*4,5,6 7 89 4^ 4 4« 4^ д« 4^ л^ 4^2 2,3*4,5,6 7 89 4^ 4 4« 4^ д« 4^ л^ 4^Для О2: % = 920 Дж/(кг-К)； “《=650 Дж/(кг-К), Для №： ср= 1040 Дж/(кг-К); Су=740 Дж/(кг-К). 910 Дж/(кг*К).
2 2,3*4,5,6 7 89 4^ 4 4« 4^ д« 4^ л^ 4^
2 2,3*4,5,6 7 89 4^ 4 4« 4^ д« 4^ л^ 4^
g = 46 кг/кмоль, y=1,33.
С=1Д /?=13,3»103 Дж/кмоль»К.
"смеси =850 Д*/к「К； Y=»l,38.
Q = 8,5・103 д*.
Qp—Qy = 155 Дж.
Q=-l,27・104 д*； “,см=5,88・1()з Дж/(кг-К)<
Q = l,66-104 Дж.
AZ7=l,18-104 Дж.
/4 = 4,8-103 Дж.
AU А4
4.Ю. а) —- = 0,6, — =0,4;
б) ~Т77=0,71, ~—==0,29;
AUАЛ
В)而=°‘7' 而=°'25・
а) р = const, Q=25 Дж;
Т = const, Q=4 = io Дж;
AU=0, Q=A 5=6,8* 106 Дж.
4вн = —2,33 Д*.
1) AU=250 Дж независимо от пути перехода.
Qm门=—IO? Дж, Ai6〃=—9・1。2 дж,
Q/6〃 = —0,5-102 Дж.
A leu = —3'102 Дж.
4J5・ *=±[1-(管H
Если п=2, то -^— = 0,8; если n= 100, то ~т~ = 1,5. АтА?
4 = 1800 Дж.
AU = 2,5・102 ДЖ.
А«=—5,5« 102 Дж,Q = -»-3* 102 Дж.
4 = -4,61 • 102 дж> Q = -2J1・1O2 дж.
%=2 %.
Q = —186 Дж.
厶=384 К, Р2=7,05-105 Па.
а) 412=0. 423 = 20,7• 103 д*. A3l^-15-W Дж.
Д(/12=37,5.103 Дж.
Аu23=0；-37,5* 103 Дж.
Q12=37,5.103 Дж, Q23 = 20,7- 103 Дж. Q3i = -52,5-103 Дж.
АУ = 2・10-з м3.
AU = 5/6pM, 4 = 5/30%, Q = 2,5pi%・
17,5・10-з м3, 「2 = 420 К, t = 3.
7*2==Ti (~^~)，丁2=723 К・
— =17,3.
рз=5,2・1()5 Па.
02 = 347 м/с, "^
C = -0,5R.
Q=0,5R — газ получает тепло, AU =—1,5R, 4 = 2 R — газ совершает работу.
п — 1,5; С=—0,5 R; AU=600 Дж; Q = —200 Дж; Л =»一800 Дж; за
счет работы внешних сил энергия газа возросла и часть тепла выде
лилась.
И =20,9-106 Дж,尸= 6980 Н.
А = 340 К»
- = 1,631.
1пЗ
4.34.4.34.AUn(Y-I)AUn(Y-I)= 384 г.= 384 г.
4.34.
4.34.
AUn(Y-I)
AUn(Y-I)
= 384 г.
= 384 г.
С== 16,5-103 Дж/(кмоль• К)<
т)]=0,4;“2=0,5; -^ =0,8.
П2
1
2
3
4
г, к 匕m8 〃 口 a
600 0,018 ,9,55 ・L3
600 0,86 2-105
200
13,37
4,29・ 13
200 0,287 2-105
A^—R( Ti ln-тг721n4=441 кДж. N \ 匕匕/
A = 14 Дк
5.5.5.5.5.6.5.6.%3
5.5.
5.5.
5.6.
5.6.
77 =亍
7f
Лдикла5®7"7г~
T + e 2(/ 1—T2)
Rin—
P2
Так как коэффициент полезного действия цикла Карно
л==, ТО, очевидно, 1)цикла<Т)Карно.
Т| —「2.
Т)цнкпа= ：—片:—不*； Пннкла<Т]Карно・
—/2), т
5.8.5.8.5.9.5.9.5.10.5.10.^=4,l кВт.Г = -5-^> = 244,1 К.6МА)】 м-i^=4,l кВт.Г = -5-^> = 244,1 К.6МА)】 м-i5.11.5.11.П = 1П = 17 〃L】仅一1)・7 〃L】仅一1)・5.12.5.12.ПП5.13.5.13.5.14.5.14.0У1—72;g=126; g=504;叫=1260; g = 1680.Значение термодинамической вероятности максимально при равномер» ном распределении частиц.0У1—72;g=126; g=504;叫=1260; g = 1680.Значение термодинамической вероятности максимально при равномер» ном распределении частиц.5.15.5.15.^1 = 2 217 600;协з=57 440;：加1=m2 =m，0 =0<с ，cmdT I^1 = 2 217 600;协з=57 440;：加1=m2 =m，0 =0<с ，cmdT IAS =AS =厂+厂+侬2=831 600;g=33 314.ctnT i-^-cmTi「1+「2侬2=831 600;g=33 314.ctnT i-^-cmTi「1+「22тс0p cmdTI —— =c/n ln(2тс0p cmdTI —— =c/n ln(22(П+厶尸(П+厶尸4Г1Т24Г1Т2
5.8.
5.8.
5.9.
5.9.
5.10.
5.10.
^=4,l кВт.
Г = -5-^> = 244,1 К.
6
МА)】 м-i
^=4,l кВт.
Г = -5-^> = 244,1 К.
6
МА)】 м-i
5.11.
5.11.
П = 1
П = 1
7 〃L】仅一1)・
7 〃L】仅一1)・
5.12.
5.12.
П
П
5.13.
5.13.
5.14.
5.14.
0У1—72;g=126; g=504;
叫=1260; g = 1680.
Значение термодинамической вероятности максимально при равномер» ном распределении частиц.
0У1—72;g=126; g=504;
叫=1260; g = 1680.
Значение термодинамической вероятности максимально при равномер» ном распределении частиц.
5.15.
5.15.
^1 = 2 217 600;
协з=57 440;：
加1=m2 =m，0 =
0<
с ，cmdT I
^1 = 2 217 600;
协з=57 440;：
加1=m2 =m，0 =
0<
с ，cmdT I
AS =
AS =
厂+
厂+
侬2=831 600;
g=33 314.
ctnT i-^-cmTi「1+「2
侬2=831 600;
g=33 314.
ctnT i-^-cmTi「1+「2
2тс
0
p cmdT
I —— =c/n ln(
2тс
0
p cmdT
I —— =c/n ln(
2
2
(П+厶尸
(П+厶尸
4Г1Т2
4Г1Т2
Так как (八+「2)2>4 Т/2, то при Т^Т2 получаем: AS>0.
5.16.5.16.AS= -^=0,2 Д*/К.
5.16.
5.16.
5.17.5.18.5.17.5.18.AS = ASi+AS2=9,87 Дж/К.
5.17.
5.18.
5.17.
5.18.
Возможны два случая.
Сосуды соприкасаются, но не сообщаются; происходит выравннва- ние температуры системы без перемещения газа:
.(e2)2
4TiT2
Ш
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
2. Сосуды сообщаются, и происходит перемещение газов:
△S = Cp /п
(71 + T2产
（八一乃）%
47/
刀2 ymCv-|-ASg In —-
北=-
/пСу+AS卩 In — /1
1,45.
AS=之(7咪T1嚎) л停尸.
Показатель политропы 几 находится из уравнения /ип—V
Q = - Cv——^(厶一м)；AS=0,34 кДж/K.
*〃一1
m丫一nTI
AS= ——Cv ^ In— ; л= 1,33; AS=—55,02 Дж/К*
步I—n/ 2
Д =p0V0 In ——piV0(—) «2400 кДж. m \ Pi /
Указание: 4=》RTAS—p6V.
5・23. d4=dQ(l—^} A = Q—ToAS;
AS=C ln-~-； С» 7 о
A"615Q.
■24. 4 = 16 080 кД*.
Q
Tf
；A = Q 1
Ing) = 12300 кДж)
5.25.
6.26.
&27.
5.28,
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
aS=в in ан—2• io**' Дж/к. д5 = /г1пЙ-~9,3-104 Д*/К・
=^ГГ и0，°4 (4%).
Г = 725 К.
a)%u1,56・10-7 m； 6) - «7,Ы02, a
а) р = 1,56・10-б к"м8； б) 1,75.10-5 /г=24 мм-* Х=7,2-107 м, т= 1,51 10?с. z = 4,5・109L
а) 0,135; б) 1,72.
AN
Р2=6Па;—«=1,67.104; ЛГ = 1,38-10м cmTlL
" 1
In与
6.9.
加%1
忒=R IWOS Па.
口 2
6.11. т
2
VI
万近К6%
6/2.%П諜7；『山竺土毁.旦2丫+$3У 20s6/2.%П諜7；『山竺土毁.旦2丫+$3У 20s6.14.6.14.6.33. Можно; т=4,7・10~4 с.6.33. Можно; т=4,7・10~4 с.
6/2.%П諜7；『山竺土毁.旦
2丫+$3У 20s
6/2.%П諜7；『山竺土毁.旦
2丫+$3У 20s
6.14.
6.14.
6.33. Можно; т=4,7・10~4 с.
6.33. Можно; т=4,7・10~4 с.
z：= 1,3 • 10-5 КГ・М-1・сТ. 3冗例d2N
=中2九了, =2,6. 10-3 h/м2.
6.15.6.15.\\T^nR^ Ф内1比40 . 2hN
6.15.
6.15.
九o=3必红=6・ 10-в мм. p0巾
入=9,6JO-8 M.丄=],35・10-5 M2/c; (y=3Q.iOT。м.
а) Не изменится; б) уменьшится в 1,41 раза; в) увеличится в 1,15 раза.
Q = 5,73• IO。Дж/м2, dg=10 см.
Л= 12 см.
АГ=930 К.
0.22. 1,38 Па.
尤=——С JIn—==2,36-IO-2 Вт/(м・К).
2n(?i—Tz) 门
Т = П — — ] •
(广2-广1)Г /
5(行?一у方)尸5у勇行以/ s賞
km= ZZZZ=6,7，10一8 кг.
0=7,2・ 10-5 m2・c-i, т) = 1,27• 10-6 Н・с・м-2, х«3,96-10~2Вт м^-К-1.
0=1,04"О—м2.с-, т)===1,24・Ю-5 H.MТу 乂=0,92・ 听 Вт мТКГ
n = l,8-1025 M-3, x=0,088 Bt・mTKT
a) 1,9, 6) 1,66, в) 1,66.
0,52 Па.
冷 0,37 мм?.
а) 2,45-10 Па; б) 1,67-10» Па; в) 2,5-10~4 м»
а) б = 1,34 • 106 Па,内=0； 6) А *291 К, 72a 270 K.
6,6%, 0,88%.
"3"3Дид=6,2- 10б Па, PcQ2=^4t7ЛО6 Па, pHae6,5U06 Па.
"3
"3
7.5.
7.6.
а) 1,75-10° Па, в) 2,27.10-Зм*
б) 1,8-10*2 м3;
г) 1,51「амз.
a) 1,68-109 Па; б) 200 кг/м3.
Укр==ЗЬ; Ткр
8а
^* О* 新
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
3
"нр Укр= — КГкр.
а) 5,65-10е Па, 163 К; б) 2,25-107 Па, 650 K.
7.12.
а) а^0,137 Н'М4/моль2, д==3,3* 10*~б м3/моль: б) VKp=9,8 • 10-Б м3/моль.
д« 10,2 ЛО5 Па, б/^ЗЛ-Ю-10 м.
7.15.7.15.7.16.7.16.7.17.7.17.с-卞凡e…=二备不一RWс-卞凡e…=二备不一RW7.18.7.18.AQnUaAQnUaAQ==^/ 1AQ==^/ 1+v2a+v2a'丄一丄).、力%广[(W 君 ”2-"S-( "+可 1 \'丄一丄).、力%广[(W 君 ”2-"S-( "+可 1 \(匕一W) +(匕一W) +АА= 0,138 Нм4/моль2,= 0,138 Нм4/моль2,
7.15.
7.15.
7.16.
7.16.
7.17.
7.17.
с-卞凡e…=二备不一RW
с-卞凡e…=二备不一RW
7.18.
7.18.
AQnUa
AQnUa
AQ==^/ 1
AQ==^/ 1
+v2a
+v2a
'丄一丄).
、力%广
[(W 君 ”2-"S-( "+可 1 \
'丄一丄).
、力%广
[(W 君 ”2-"S-( "+可 1 \
(匕一W) +
(匕一W) +
А
А
= 0,138 Нм4/моль2,
= 0,138 Нм4/моль2,
— =0,26.
Vo
7Л4. а) Д[/«0, А = AQ=4 • IO。Дж;
б) AU «4,1.10s Дж, 4=3,910бДж, AQ^4106 Дж.
4 = (£)%『Ю"，7 A*；
AS = (—)Rln;г—=4,21 Д*・К7
W『管»
АТ = •^-^- = —0,0557 К, число молей v = 0,414.
b=^~ =4-10*"5 м3/моль;
=3,17-10-10 м.=3,17-10-10 м.б) d=б) d=
=3,17-10-10 м.
=3,17-10-10 м.
б) d=
б) d=
—^ =—2,3 • 10-6 к.—^ =—2,3 • 10-6 к.
—^ =—2,3 • 10-6 к.
—^ =—2,3 • 10-6 к.
2a
Ti = -77- =220 К, Г» «6,75 Ткр； АГ== Но
Гелий: а)兀==26,6 К, б) АТ=16К；
Азот: а) А=480 К,б) А7=—38 K.
Г<35,7К (гелий), T<1940K (ксенон).
8.1. p==—^― =938 кг/мз.
1—х-Ар
вдвое;вдвое;8.18.尸呸，=67 h.8.18.尸呸，=67 h.Рис. 52Рис. 52
вдвое;
вдвое;
8.18.尸呸，=67 h.
8.18.尸呸，=67 h.
Рис. 52
Рис. 52
0=2,16。 10-2 h/m, Л=0,19 м.
з=6,О・иН/м.
7—々+/^+8(7 sin a/耳.
一一2tga
4a
a=—=36,8 м/с2.
dpA
a) p== and=3,46 • 10~5 H; б) уменьшится в) увеличится вдвое.
а) №= ^iJr^L=o,96 см. Pg W2”
Ap=pghI+a"-os ①=2,86.104 Па<
厶无= ；— =5,95 см.
pg(di—弘)
4oZ
Af=—-—, 力= —, рис. 52. udpgv
plс
4="；—-—~ =17,8 см.
标+广子)
2a2a2/
a) h=s== 2,9см, 6) 尸= 二~=
dpgpgcP
=0,61 H.
2a cos ср 1
力=,где х — расстояние
pga %
точки от ребра двугранного угла, Ф — краевой угол.
а) Линия границы имеет уравнение гиперболы, б) ф « 48\
8.19.
F= -^^-1,46-104Н.
8.20.
8.21.
p = po 0+6；丿=1,029-IO3 кг/м8.
A"= ~7==28,6 H/m2;
Р«8л/?2а=«3,940-5Дж;
40
4=—^- л/?2а «= 6,5 * 10~б Дж.
3 2 8.
6侬с г
4K—7 «6-Ю-2 Дж.
а) А尸=4冗户0(2一/ 4) -1,6-10~5 Дж;
2m7?04
б) AS=5,45 • КН д尔.кт.
=7,2，103 c.
л.234 区 9 9 9 9 9
6
9.
7.
9.
8.9»
9.9.
о.
9.
f=14℃.
а) 9,86-104 Па; б) р=1,16 кг/м3; в) m == 17,2 г.
66%; А/и = 0,0485 г.
59%.
Др
—=0,073%.
Р
р^Се RT, где С — постоянная величина.
/?中2 In - —=3,19-10s Дж/кг.
(T2一%)"
AT=0,0075 К.
р2==9,15-10-2Па.
q^ ~- ViTi==2,5-10sJ^~, P2==8,46' IO3 Па.
△m
T = -0,9K,—
2
9.
lUt g==2420-103 Дж/кг, Am
必竺=0,006.q
a= (q—pVQ 乙卩2=0,73 Н*м4/моль2 (%, и жидкости).
а) 02 = 2,07 • 105 Ra; б) р2 = 2,32-105 Па.
m=I9,4 г.
AU=zn 仇一〃У) =3,2 кДж.
Уж — удельные объемы пара
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
9.21.
AS==rm 1п~ -}- т-^ ^14,7'Ю5 Дж/К.
0,9, AU=7,2 кДж, AS=22,5 Дж/К.
21%.
а) Др==2,86-10б Па; б) 1,25-103 Па.
а)厶= 7,7℃; б) Ь=8,3℃
9.22.
9.23.
9.24.
9.25.
20н
г= , капли меньшего радиуса испаряются.
(Г#
Ар = 2,7 Па.
7 = 313 К,夕= 8,4 103 “а.
А7 = 55 К.
加:г=；0,53з г*
10.1.10.2.10.3.10.1.10.2.10.3.Одна молекула; 2) а=4,88-10~10 м; 3) d = 4,23-10-10 Mt 1) Четыре атома; 2) а=3,62* Ю-10 м； 3) d==2,56-10~10 м. aNt=3,53*10~10 м, aAg=s4}06« 10-10 м, ар『3,91 • 10т° м, аь 1=3,53-10-10 м, “V =3,04-10~10 м, aRb==5,69- Ю"10 м.
10.1.
10.2.
10.3.
10.1.
10.2.
10.3.
CL^Nri
р= ——~ь «2.14Л03кг-м-3. 4ANa
р == -^~^~ = 0,53• 103 кг-мТ 2Ды
Ду ==50,4.
а=—=3,3 IL к-1.
2Ег^
По закону Дюлонга и Пти:
CNa= 1084,4 Дж/(кг-К); CNi=422,7 Дж/(кг-К)； срь = 120,4 Дж/(кг-К).
По формуле теплоемкости Дебая:
CNa===0,20 Дж/(кг-К);cni=0,0038 Дж/(кг-К);
срь=0」1 Дж/(кг-К).
Так как 毕
「x3dx
1, то I ■ т "~ = 0,225.
J е“一 1 о
10.12.
Следовательно, С=2,87 R = 23 861 Дж/катом • К. ^макс =^©D； ^макс = 57 664«10-25 Дж.
10.13.
87 • 10-12 м.
10.14.
々@d(2E%+G%)%
10.15.
А =
々@d(2E%+C%)%
3 论(2Е%+。％)%
=10,52• IO"4。м・
=3,4 • IO— м.
10.18.10.18.10.19.10.19.10.20.10.20.(2加玲)%m七萨=5,83 •叫(2加玲)%m七萨=5,83 •叫
10.18.
10.18.
10.19.
10.19.
10.20.
10.20.
(2加玲)%m
七萨=5,83 •叫
(2加玲)%m
七萨=5,83 •叫
力2
7小=--(3П2几)% = 312 K.
2mk
^фа&=8,8-10-19Дж, ТфАг==б4.103 К；
ЕФСи= 11,30-^9 Дж, %cu=82・103k.
%ТОМ= -^ = 6,6 • 1026
На каждый атом меди приходится примерно один свободный электрон.
10.21.10.21.3
10.21.
10.21.
^кин —~7"^ф； Екпн= 1,284 эВ,
5
胆•=6,7・105м・сТ胆•=6,7・105м・сТ
胆•=6,7・105м・сТ
胆•=6,7・105м・сТ
10.22.10.22.f(£) = ————.с +11) f(E)^0,32; 2) f(£)=0,68.10.23. E—Еф = —0,406 尼7*.f(£) = ————.с +11) f(E)^0,32; 2) f(£)=0,68.10.23. E—Еф = —0,406 尼7*.%= 0,35125.%= 0,35125.
10.22.
10.22.
f(£) = ————.
с +1
1) f(E)^0,32; 2) f(£)=0,68.
10.23. E—Еф = —0,406 尼7*.
f(£) = ————.
с +1
1) f(E)^0,32; 2) f(£)=0,68.
10.23. E—Еф = —0,406 尼7*.
%
= 0,35125.
%
= 0,35125.
Вероятность заполнения электронами уровня энергии Е определяется функцией Ферми:
1
п
10.24.— 九о
10.25.
»=-^/木=748，］。3"瓜
2m
10.26.
4 M用
1,44-10~10 м; А2=10~6м.
10.27.
Y =
U
10.28.
Кн
IB
= 4-107м-1Юм-1.
17
al\(^16
・ 1029 м-3.
10.29.10.30.10.29.10.30.c3以2力Rh =s .e⑵呜))% £%一备2Дф==c3以2力Rh =s .e⑵呜))% £%一备2Дф==
10.29.
10.30.
10.29.
10.30.
c3以2力
Rh =s .
e⑵呜))% £%一备2
Дф==
c3以2力
Rh =s .
e⑵呜))% £%一备2
Дф==
U= —У；-=34 • IO— m2.B-i.c-1. /pb
=7,49• IO—。мЗ・Кл-〔.
В;
Алюминий зарядится положительно.
n3=ng^—I «7厂 3 = io,6 • 10i8 м-3.
〃=邑^"Y q0,416 m2“BT・cT.
3n
10.34.
10.35.
10.36.
10.37.
10.38.
r= ■~-一-- =0,73 Ом.
e"(〃n+〃p)冗广2 a 2Rjiyf 2mkT y/a
3л
n= ——==0,53 JO23 M-3.
8cRh
1
〃 ==0,012 м2・В-”т.
pen
几i =
П2
А-кр =
2々1 T"。丿=0,4.
2工力，
A£
；Хкр= 1580
нм.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . •・• • •・• 3
Уравнение состояния идеальных газов 4
Молекулярно-кинетическая теория газов・♦・.11
Статистика идеального газа , 17
Первое начало термодинамики • • 26
Второе начало термодинамики38
Столкновения молекул и явления переноса...30
Уравнение состояния реальных гнззи..»63
Поверхностное натяжение71
Фазовые превращения. Paci воры . .，,•・81
Основы физики твердого тела91
Приложение・* i02
О I в е т ы *. Ю7
ИБ № 1712
Ольга Ивановна Горбунова Анна Михайловна Зайцева Сергей Никифорович Красников
ЗАДАЧ НИ К-П РАКТИКУМ
ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
ТЕРМОДИНАМИКА
И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Редактор Г. Р. Лисенкер
Художественный редактор В. М. Прокофьев
Технические редакторы Т. М. Кузьмина, С. Н. Филатова Корректор Р. Б. Штутман
Сдано в набор 16.11.77. Подписано к печати 14.06.78. 60Х90*/1в. Бум. типогр. № 3- Гарн. Литер. Печать высокая. Усл.-печ, л. 7,5. Уч. изд. л. 7,31# Тираж 45 000 экз. Заказ 6280. Цена 20 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитет® Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфия и книжн°й торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Отпечатано с матриц типографии им, Смирнова Смоленского облуправления издательств» полиграфии и книжной торговли, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2 в областной тнп°- гсафнн управления издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского облнсп。”" кома, 153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКАТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
О.И.ГОРБУНОВА А.М.ЗАЙЦЕВА С.Н.НРАСНИНОВ
ЗАДАЧНИК- ПРАКТИКУМ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
Под редакцией проф.
Н. В. Александрова
Допущено Министерством просвещения СССР8 качестве учебного пособиядля студентов физино-математичесних фанультетовпедагогических институтов
МОСКВА „ПРОСВЕЩЕНИЕ^ 1978
530
Г67
Рецензенты:
кафедра общей и теоретической физикиКоломенского педагогического института идоцент Омского педагогического 1шстату1 а
ШТРАПЕНИН 〃. 6.
Горбунова О. И. и др.
Г67 Задачник-практикум по общей физике. Термодинамика и молекулярная физика. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Под ред. проф. Н. В. Александрова. М., «Просвещение», 1978.
120 с. с ил. Перед загл. авт.: О. И. Горбунова, А. М. Зайцева, С. Н. Красников.
Книга- представляет собой учебное пособие для студентов физических и физико-математических факультетов педагогических институтов, составленное по программе курса общей физики для педин* ститутов.
53053060602—661
530
530
31—78
103 (03)—78
© Издательство «Просвещение», 1978 г・