Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый задачник является продолжением задачника-практикума по разделам: «Механика» и «Электричество. Электромагнетизм». Он предназначен для проведения семинарских занятий по разделам курса общей физики《Оптика》и «Атомная физика», а также для самостоятельной работы студентов.
Сборник задач разделен на параграфы, соответствующие темам курса физики. Каждому параграфу предпослано небольшое теоретическое введение с указанием основных законов и формул. Далее следуют вопросы и качественные задачи, приводятся примеры решения задач с подробным анализом и задачи для самостоятельного решения.
Условия задач и ответы к ним даны в СИ. В конце задачника-практикума помещены необходимые таблицы физических величин.
Кроме оригинальных задач, сборник содержит и задачи, заимствованные из следующих задачников: Д. И. Сахаров «Сборник задач по физике», А. Н. Волохов, А. А. Воробьев, М. С. Федоров, А. Г. Чертов «Задачник по физике», Л. Г. Гурьев, А. В. Кортнев, А. Н. Куценко и др. «Сборник задач по общему курсу физики».
ФОТОМЕТРИЯ
Визуальная световая мощность в узком интервале длин волн: d(D^V(^W^ dK
где V 仇)一функция видности; W (X) — мощность в единичном интервале, или функция распределения энергии; d 入一интервал длин волн.
Световой поток, оцениваемый по зрительному ощущению: ф= |и(х)1^(х)а.
Световая энергия (количество световой энергии за время /): ф
Q = J①或，о
или при стационарном потоке
Q =①/.
Сила света — величина светового потока, приходящегося на единицу телесного угла:
.d①
/ =・
do
Яркость источника — отношение светового потока, посылаемого в данном направлении единицей видимой поверхности внутрь малого телесного угла, к величине этого телесного угла:
L _d①
① S cos(pd(o '
где S ——видимая поверхность источников; ф ——угол между выбранным направлением и нормалью к поверхности.
Светимость ——световой поток, испускаемый единицей поверхности:
M
d① НСП
dS •
Для источников, подчиняющихся закону Ламберта (сила света пропорциональна косинусу угла между направлением излучения и нормалью), светимость
Освещенность — световой поток, падающий на единицу поверхности:
月=d①пад月=d①падdS •dS •
月=d①пад
月=d①пад
dS •
dS •
Для длины волны X = 550 нм энергетический поток в 1 Вт, попадающий в глаз, воспринимается как световой поток в 620 лм.
ВОПРОСЫ
Точечный источник имеет силу света 10 кд. Какой полный световой поток создает этот источник? Что произойдет со световым потоком, если источник поместить в шаровой светильник; цилиндрический?
Лампа силой света / укреплена на потолке комнаты. Каков суммарный световой поток, падающий на стены и пол комнаты? Как меняется величина потока при перемещении лампы по потолку?
Для чтения считается нормальным освещение в 50 лк. На какой минимальной высоте над столом следует повесить лампу в 50 кд, чтобы обеспечить такую освещенность в точках поверхности стола, лежащих непосредственно под лампой?
Зависит ли яркость раскаленного шара от расстояния до него?
Почему у электрических ламп накаливания большой мощности стеклянные колбы большого размера?
Для некоторого источника сила света пропорциональна косинусу угла между направлением излучения и нормалью. Что можно сказать о светимости источника?
В полдень во время весеннего и осеннего равноденствия Солнце стоит на экваторе в зените. Во сколько раз в это время освещенность поверхности Земли на экваторе больше освещенности в Ленинграде? Широта Ле
нинграда 60°, рассеянием света в атмосфере можно пренебречь.
Кривая видности v (九) для средних яркостей (чувствительность нормального глаза к световым волнам разной длины) имеет вид, показанный на рисунке 1.1. Во сколько раз должна быть больше мощность синего излучателя (Хх = 450 • 107 м) по
сравнению с мощностью зелено-желтого 価。=550-10~9 м), чтобы зрительное ощущение, даваемое им% было одинаковым?
Примеры решения задач
1. Спираль электрической лампочки силой света в / = 103 кд заключена в матовую сферическую колбу диаметром d = 20 см. Найдите: а) светимость и яркость этого источника света; б) освещенность, светимость и яркость экрана, на который падает 10% светового потока, излучаемого этим источником света. Коэффициент отражения света поверхностью экрана 论=0,8. Площадь экрана S9 = 2,5 м2.
Решение
Светимость М характеризуется величиной светового потока, испускаемого единицей площади светящегося тела.
М = ^£Н_.
dS
Спираль можно считать точечным источником, поэтому световой поток, испускаемый ею и равный Ф = 4л/, полностью проходит через сферическую колбу.
Учитывая, что поверхность сферической колбы S = jid?, получаем для светимости источника выражение
м = %⑴
Яркость источника определяется потоком световой энергии, излучаемой единицей светящейся площадки в направлении нормали к ней, в пределах единицы телесного угла:
L =・
ds・dS
По условию, точечный источник находится в центре сферической поверхности, следовательно, сила света в направлении нормали к поверхности равна / = —, а видимая площадь светящейся d(o
поверхности. Учитывая это, получаем яркость сфериче
ского светильника
Освещенность характеризуется величиной светового потока, падающего на единицу поверхности.
На экран падает световой поток ①i = 0,1 Ф. Освещенность эк* рана:
尸 0,1，4л//л\
Так как светимость экрана обусловлена его освещенностью, то
Mi = kE.(4)
Поверхность экрана рассеивает свет по закону Ламберта, поэтому яркость экрана
(5)
Подставляя числовые данные в формулы (1) — (5), получаем:
М == 105 лм/м2, L == 3,18 • 104 кд/м2;
£ ^ 5 • 102 лк, Л!】=4 • 102 лм/м2,厶=1,3 • 10? кд/м?.
Задачи для самостоятельного решения
Для освещения улицы применяются лампы силой света / = = 300 кд, подвешенные на столбах на высоте 九 = 3 м. Расстояние между столбами % = 28 м. Определите освещенность поверхности Земли посредине между столбами.
Над полусферой на высоте 九=2 м, равной диаметру полусферы, находится точечный источник света S силой / — 50 кд (рис. 1.2). Определите: а) световой поток, попадающий в полусферу; б) освещенность в той точке поверхности полусферы, в которую лучи падают под углом а = 35°.
Прожектор ближнего света установлен на высоте 15 м над освещаемой площадью. В некоторой точке освещенность горизонтальной поверхности равна 10 лк, а освещенность вертикальной плоскости — 20 лк. Определите силу света прожектора по направлению к этой точке.
Для получения светового ощущения, вызываемого световым потоком в 1 лм с длиной волны 550 нм, соответствующей максимуму чувствительности глаза, необходима мощность 0,0016 Вт. Для длины волны 650 нм функция видности численно равна 0,107, для длины волны 550 нм — 1,000 (см. рис. L1). Какую мощность должен иметь источник, дающий излучение в красной части спектра, чтобы вызвать ощущение одинаковой яркости с источником, дающим световой поток в 100 лм в желто-зеленой части спектра?
Электрическая дуга ежесекундно потребляет 500 Дж электроэнергии, а лампа накаливания в 23 кд — 52,5 Дж. Дуга и лампа дают одинаковую освещенность плоскости, если дугу расположить
на расстоянии 90 см, а лампу на расстоянии 15 см от плоскости. Считая источники точечными, определите, какой источник света более экономичен.
Освещенность, необходимая при чтении, составляет Е = = 30 лк. Свет от электрической лампочки без светильника, находящейся на расстоянии 九=1 м, падает на рабочее место под углом а = 60°. Какой минимальной мощности следует взять лампочку, если ее световая отдача п = 12,5 лм/Вт?
На высоте 九=5 м над центром спортивной площадки висит лампа. Принимая лампу за точечный источник, определите, на каком расстоянии от центра площадки освещенность площадки в два раза меньше, чем в центре.
Считая, что почернение фотографической бумаги определяется произведением освещенности на время экспозиции, определите, во сколько раз придется увеличить экспозицию при увеличении расстояния копировальной рамки от источника света втрое.
В киноаппарате установлена лампа с силой света / = =2000 кд. Свет лампы проходит через конденсор и затем попадает в объектив аппарата. Объектив проецирует изображение освещаемой поверхности конденсора на экран в пятидесятикратном увеличений. На каком расстоянии от лампы находится проецируемая поверхность конденсора, если освещенность центра экрана равна Е = =100 лк, а в оптической системе аппарата теряется 37,5% света?
При фотографировании объекта, освещенного 100-ваттной лампой, расположенной на расстоянии 厶 = 1 м от него, требуется экспозиция f = 8 с. Какова должна быть продолжительность экспозиции при освещении двумя 100-ваттными лампами, находящимися на расстояниях /2 = 3 м и /3 = 4 м, если общее количество энергии, попавшей на светочувствительную пластинку, должно быть таким же? Считать световую отдачу для всех ламп одинаковой.
Источники света с яркостью свыше 16 сб вызывают болезненное ощущение в глазу. Чтобы глаз не подвергался действию яркого света источников, применяют различные светильники. Какого наименьшего размера следует сделать светильник в виде шара из молочного стекла для спирали лампы мощностью 500 Вт? Потери энергии в стенке шара составляют 1,5%, излучение, не воспринимаемое глазом, составляет 90%.
Определите освещенность, светимость и яркость киноэкрана, равномерно рассеивающего свет во всех направлениях, если световой поток, падающий на экран из объектива проекционного киноаппарата (без киноленты), равен 1800 лм. Размеры экрана 5x3,6 м, коэффициент отражения 0,75.
Вычислите и сравните между собой силы света раскаленного добела металлического шарика яркостью 3-106 кд/м2 и шарового светильника яркостью 3-103 кд/м2, если радиусы шарика и шарового светильника соответственно равны 1 мм и 10 см.
Солнце, находясь вблизи зенита, создает на горизонтальной поверхности освещенность, приблизительно равную 105 лк. Диаметр Солнца виден под углом 32\ Определите по этим данным видимую яркость Солнца.
Прожектор ближнего освещения диаметром 1 м дает пучок света в виде широкого конуса с плоским углом при вершине, равным 24°. Световой поток, создаваемый прожектором, равен 3500 лм. Принимая, что световой поток распределен внутри конуса равномерно, определите: а) силу света прожектора; б) освещенность в центре площадки, находящейся на расстоянии 500 м от прожектора.
Шар и куб излучают с постоянной яркостью по всей поверхности. Какое тело имеет большую среднюю силу света, если: а) их поверхности одинаковы; б) тела однородны и их массы одинаковы?
Источник света заключен в цилиндр, боковая поверхность которого непрозрачна, а дно прозрачно и рассеивает свет по закону Ламберта (рис. 1.3). Яркость источника L = 8000 кд/м2, площадь светящей поверхности S = 100 см2.
На какой высоте й надо поместить источник света, чтобы точки горизонтальной поверхности, отстоящие от проекции центра лампы на расстоянии Ь = 70 см, имели наибольшую освещенность? Какова эта освещенность?
Какова наибольшая освещенность стены, отстоящей от центра источника на расстоянии / = 1,5 м?
Определите светимость волоска электрической лампы, если излучаемый световой поток равен 400 лм, длина волоска / 二 = 60 см и диаметр его d = 0,04 мм.
Лампа дневного света мощностью Р = 10 Вт, излучение которой подчиняется закону Ламберта, имеет форму цилиндра диаметром d = 2,5 см и длиной I = 40 см. На расстоянии г = 5 м в направлении, перпендикулярном оси лампы, освещенность, создаваемая лампой, равна £ = 2 лк. Определите: а) яркость; б) светимость; в) световую отдачу и коэффициент полезного действия лампы дневного света. Считать, что излучение лампы соответствует средней длине волны 550 нм.
Сквозь отверстие в ставне в комнату падает пучок солнечных лучей, освещающих лист белой бума
ги, лежащей на полу.
Площадь светового пятна на листе бумаги S = 80 см2, освещенность Е。= Ю4 лк, коэффициент отражения бумаги 论=0,8. Определите: а) освещенность потолка комнаты над листом бумаги, если высота комнаты " = 4 м; б) освещенность стены на высоте й == 2 м, если стена отстоит на расстоянии Ь = 3 м от светового пятна на листе бумаги.
§ 2・ ЛУЧЕВАЯ ОПТИКА
Законы распрост ранения света. Оптические приборы
Законы отражения:
угол падения равен углу отражения;
лучи падающий, отраженный и нормаль, восставленная из точки падения луча к отражающей поверхности, лежат в одной плоскости.
Законы преломления:
nz sin iL = const,nz sin iL = const,отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для данных двух сред есть величина постоянная и равная отношению скоростей света в двух данных средах; это отношение называют показателем преломления второй среды относительно первой:
nz sin iL = const,
nz sin iL = const,
или
где c — скорость света в вакууме; ^ и п2 — абсолютные показатели преломления первой и второй сред;
лучи падающий, преломленный и нормаль, восставленная из точки падения луча к преломляющей поверхности, лежат в одной плоскости.
Законы лучевой оптики справедливы при условии: &《1,丄《1,
Р г
где X — длина волны используемого света; р — радиус входного отверстия оптического прибора (оптического стекла); г — радиус волнового фронта.
Формула сферического зеркала (для параксиальных лучей, т. е. лучей, образующих малый угол с осью зеркала):
(здесь f — расстояние от зеркала до источника света;卜—расстоя
ние от зеркала до изображения; R — радиус зеркала).
Увеличение вогнутого зеркала:
Н] |R —fj丁 一 1RTI，где % — поперечные размеры изобра-жения; Н — размеры предмета.
Формула призмы (рис. 2.1):
6 = % + % — 4
где аА — угол падения луча на грань призмы; а2 — угол выхода; /4 ——преломляющий угол призмы; 6 — угол отклонения луча призмой.у
6 = бмнн，если 匕=у? н если % = с^ = а, 6МИН = 2a — А, откуда
.力 + °мннsin2
(здесь п — показатель вещества призмы относительно окружаю- щей среды).
Мера дисперсии вещества:
Ам =几с — як,
где пс и пк — показатели преломления вещества для определенных длин волн в синей и красной частях спектра.
Преломление света на сферической границе раздела двух сред (для параксиальных пучков) происходит в соответствии с(|юр- мулой:
/1/
(здесь & — радиус сферической границы раздела; “ 一 расстояние от границы раздела до светящейся точки; f — расстояние от границы раздела до изображения точки;九】н 九金—показатели преломления сред).
Правило знаков: все отрезки отсчитывают от границы раздела; по ходу луча отрезки считают положительными, против хода луча — отрицательными.
Формула тонкой линзы:
где /1 — расстояние от линзы до предмета; /2 — расстояние от линзы до изображения; % в R? — радиусы кривизны поверхностей, ограничивающих линзу; ———показатель преломления вещества линзы относительно окружающей среды; D ——оптическая сила линзы.
Правило знаков для отсчета отрезков то же, что в предыдущем пункте.
Поперечное увеличение линзы:
(здесь 九2 н 九1 — поперечные размеры изображения и предмета;片 и /1 — их расстояния от линзы).
И. Продольное увеличение линзы:
прод
где df2 — перемещение изображения, вызванное перемещением предмета вдоль оптической оси.
Продольное и поперечное увеличения связаны формулой:
Оптическая сила центрированной системы двух тонких линз:
О = — 60a,
где 6 —— расстояние между задним фокусом первой линзы и передним фокусом второй (по ходу светового луча), или
D = D] + D? — dDxD2,
где d — расстояние между линзами.
Освещенность изображения, создаваемого объективом:
Е = kLd^ 仔『=kLdca^
где L ——яркость объекта; k — коэффициент прохождения, зависящий от свойств оптической системы; d(ot ——телесный угол, под которым видна линза объектива с площадки 厶工,являющейся объектом; do)2 ——телесный угол, под которым видна линза с площадки 由2，являющейся изображением.
Светосила объектива фотоаппарата:
где d ——диаметр отверстия линзы;尸一фокусное расстояние объектива.
Угловое увеличение лупы:
a tga L tg % 尸' где а и а0 — соответственно углы, под которыми рассматривают предмет с лупой и без лупы; L — расстояние наилучшего зрения; 尸一фокусное расстояние лупы.
Угловое увеличение микроскопа:
tga LA
р ==,
tga。&尸2
где Fy и F2 ——фокусные расстояния объектива и окуляра; А — расстояние между фокусами объектива и окуляра.
Угловое увеличение телескопа:
0 =里生=区，
tg a0尸 2
где Ft и F2 ——фокусные расстояния объектива и окуляра.
ВОПРОСЫ
Используя принцип Гюйгенса, получите законы преломления света на границе двух сред.
Получите при помощи принципа Ферма закон отражения света от границы раздела двух сред.
Какой физический смысл имеет относительный показатель преломления?
Может ли возникнуть явление полного отражения, если свет проходит из воды в стекло?
Как будет меняться положение изображения предмета, если сам предмет будет перемещаться из бесконечности к вершине: а) выпуклого зеркала; б) вогнутого зеркала?
Если смотреть на отражение уличного фонаря от слоя воды, покрытого рябью, то оно нам кажется более вытянутым, чем отражение от гладкой поверхности. Как объяснить это явление?
Можно ли сфотографировать мнимое изображение предмета, полученное с помощью рассеивающей линзы?
Несимметричная тонкая линза дает изображение точечного объекта на своей оси. Изменится ли положение изображения, если линзу перевернуть, т. е. преломляющие поверхности поменять местами?
На рисунке 2.2 показан ход луча на границе двух сред. В какой из этих сред скорость света больше?
Светящаяся точка перемещается вдоль оптической оси собирающей (рассеивающей) линзы из бесконечности к линзе; как перемещается изображение точки?
И. Выведите связь между продольным и поперечным увеличением линзы.
На собирающую линзу падает пучок лучей из точки S, расположенной в фокальной плоскости линзы (рис. 2.3). Как пойдут эти лучи после линзы?
На рассеивающую линзу падает пучок лучей из точки S, расположенной в фокальной плоскости линзы (рис. 2.4). Как пойдут эти лучи после линзы?
На собирающую линзу падает пучок лучей, ограниченный лучами 1 и 2 (рис. 2.5). Где получится изображение источника света?
На собирающую линзу падает пучок, ограниченный лучами 3 и 4 (рис. 2.5). Где соберутся эти лучи после линзы?
При падении на плоскую границу раздела двух сред луч частично отражается и частично преломляется. Как связан с оптическими свойствами сред угол падения луча, при котором отраженный луч перпендикулярен преломленному?
Каково минимальное расстояние между предметом и экраном, при котором возможно получение действительного изображения предмета с помощью собирающей линзы, имеющей оптическую силу D?
Примеры решения задач
Какой высоты нужно взять выпуклое зеркало радиусом R, чтобы человек видел себя во весь рост? Высота человека Я, расстояние, на котором он находится от зеркала, d.
Решение
Человек увидит себя в зеркале в полный рост, если после отражения от зеркала в его глаз попадут лучи, дающие мнимое изображение головы и ног.
Луч 1 (рис. 2.6), идущий от глаза человека так, что после отражения от зеркала его продолжение попадает в центр зеркала, отразится обратно в глаз человека.
Для построения изображения точки А берем произвольный луч 2 и, используя свойство побочной оптической оси, найдем его направление после отражения. Изображение точки Л (точка 厶') получится на пересечении продолжений отраженных лучей 1 и 2. Лучи, идущие из точки В (ноги человека), тоже после отражения должны попасть в его глаз. Пусть оптическая ось делит предмет пополам, тогда луч 3, падающий на вершину зеркала, после отражения попадет в точку А, т. е. человек видит и свои ноги.
Для построения изображения точки В можно опустить перпендикуляр из точки Д7 на оптическую ось, и его пересечение с продолжением отраженного луча 3 дает изображение точки В (точку В').
Пренебрегая малой кривизной зеркала, из подобия △AO^ и AMON, в которых АК =
=р MN= й, KO=d, ON = R、
получим
2/1 R
万=R+『 откуда
2 R+d
Оптическая ось зеркала, светящаяся точка S и ее действительное изображение S' расположены так, как показано на рисунке 2.7. Найдите построением положение вершины зеркала и его центра.
Решение
Так как изображение светя- Рис. 2.8 щейся точки S' действительное и
располагается ближе к оптической оси, чем сама точка, то, следовательно, изображение точки получено в вогнутом зеркале, вершина которого расположена правее точки и ее изображения.
Для определения положения центра зеркала воспользуемся тем свойством, что всякий луч, падающий на зеркало так, что он или его продолжение проходит через центр зеркала, отражается в том же направлении.
Проводим прямую SS'; точка пересечения прямой с оптической осью даст нам положение центра зеркала О. Чтобы определить положение вершины зеркала, применим закон отражения. Если на вершину зеркала из точки S падает луч под некоторым углом к оптической оси, то отразится этот луч под таким же углом и обязательно попадет в точку S'. Для построения опускаем из точки S перпендикуляр на оптическую ось и симметрично точке S на перпендикуляре наносим вспомогательную точку А. Проводим прямую через точки Л и S\ ее пересечение с оптической осью (точка В) и есть вершина зеркала.
Человек, стоящий на берегу пруда, смотрит на камень, находящийся на дне. Глубина пруда А = 1 м・ Определите, на каком расстоянии 九'от поверхности воды находится кажущееся положение камня, если луч зрения составляет с нормалью к поверхности воды угол i = 60°. Показатель преломления п = 1,33.
Решение
Так как лучи, идущие от камня к глазу человека, на границе вода — воздух претерпевают преломление, а глаз не может следить за ломаным ходом лучей, получается кажущееся смещение предмета ——он как бы приближается к глазу наблюдателя. Поясним это на чертеже (рис. 2.9). Для того чтобы в глазу человека получилось
изображение какой-либо точки, необходимо два луча, идущие от данной точки под малым углом и попадающие в глаз человека: их пересечение и создает в глазу изображение точки.
Пусть от точки 4 идут два луча под углом Аг друг к другу. На границу раздела вода — воздух они попадают под углами г и г + Лг и выходят в воздух под углами i и i + Дс Наблюдателю же будет казаться, что лучи, попадающие к нему в глаз, выходят не из точки Л, а из точки в которой пересекаются
продолженияглаз, т. е. ему будет казаться, что точка Лпродолженияглаз, т. е. ему будет казаться, что точка Лбине 儿 а на глубине 九‘.Для определения 九‘ найдем сначала ВС:бине 儿 а на глубине 九‘.Для определения 九‘ найдем сначала ВС:лучей, попавших в находится не на глу
продолжения
глаз, т. е. ему будет казаться, что точка Л
продолжения
глаз, т. е. ему будет казаться, что точка Л
бине 儿 а на глубине 九‘.
Для определения 九‘ найдем сначала ВС:
бине 儿 а на глубине 九‘.
Для определения 九‘ найдем сначала ВС:
BI [tg (i + до-tg 口 = 4-3^--器卜
Проделав элементарные математические преобразования и учитывая, что угол Д/ мал, т. е. что cos Ai ^ 1, a sin Ai ^ Д/, получаем:
ВС =汇
cos2 i
С другой стороны,
ВС = й [tg (г + Аг) — tg г] = Л —^-.
cos2 г
Следовательно,汇=力丄竺Y⑴
Ai cos2 г*
На основании закона преломления запишем:
sin t sin (i + ЛО
几==
sin r sin (г + Дг)
илиилиsin，+ cos 込i sin 广 + cos rAr sin i + cos 込i■-:sin，+ cos 込i sin 广 + cos rAr sin i + cos 込i■-:sin г + cos /*Дгsin г + cos /*Дг]+ cos 厂 Ar —[卜 cos iAi sin rsin i]+ cos 厂 Ar —[卜 cos iAi sin rsin isin i cos М/ 〃 cos гДгsin i cos М/ 〃 cos гДгПомножив числитель и знаменатель формулы (1) на cos i cos г, получаем:Помножив числитель и знаменатель формулы (1) на cos i cos г, получаем:hf = hhf = hcos2 込丿 cos f cos гcos2 r Ai cos i cos rcos2 込丿 cos f cos гcos2 r Ai cos i cos r厶COS3 £1Л=九.一=--cos3 rn九厶COS3 £1Л=九.一=--cos3 rn九COS3 jsin2 i\-TCOS3 jsin2 i\-Tоткуда после математических преобразований получим:
или
или
sin，+ cos 込i sin 广 + cos rAr sin i + cos 込i■-:
sin，+ cos 込i sin 广 + cos rAr sin i + cos 込i■-:
sin г + cos /*Дг
sin г + cos /*Дг
]+ cos 厂 Ar —[卜 cos iAi sin rsin i
]+ cos 厂 Ar —[卜 cos iAi sin rsin i
sin i cos М/ 〃 cos гДг
sin i cos М/ 〃 cos гДг
Помножив числитель и знаменатель формулы (1) на cos i cos г, получаем:
Помножив числитель и знаменатель формулы (1) на cos i cos г, получаем:
hf = h
hf = h
cos2 込丿 cos f cos г
cos2 r Ai cos i cos r
cos2 込丿 cos f cos г
cos2 r Ai cos i cos r
厶COS3 £1Л
=九.一=--
cos3 rn九
厶COS3 £1Л
=九.一=--
cos3 rn九
COS3 j
sin2 i\-T
COS3 j
sin2 i\-T
Рис. 2.10Рис. 2.10Вычисления дают 汇=0,215 м.
Рис. 2.10
Рис. 2.10
Проанализируем полученный результат
加j吧_•
л
если угол /, под которым рассмат-
ривают предмет, лежащий на дне, увеличивается, то кажущаяся глубина уменьшается и предмет как бы приближается к поверхности воды. И наоборот, если угол i
уменьшается и в пределе стремится к нулю, т. е. когда луч, попадающий в глаз, перпендикулярен поверхности воды, то кажущаяся глубина становится максимальной:力‘=丄.
л
При каких условиях луч, падающий на первую грань стеклянной призмы в плоскости, перпендикулярной ребру преломляющего угла 力,проходит сквозь вторую грань (рис. 2.10). Рассмотреть случаи: а) А》2г0 (г。一 предельный угол для стекла); 6) А = %; b) 4 V %.
Решение
Свет пройдет через вторую грань призмы лишь при условии, что угол падения на эту грань меньше %・ Для всех случаев справедливо соотношение А =厶 + %・
А》2ro.
В этом случае G + %》2%, и, для того чтобы г2 был меньше г0, нужно, чтобы г】 был больше г0, но это невозможно, так как для
.Следовательно, если прелом.Следовательно, если преломэтого нужно, чтобы & был больше ^
.Следовательно, если прелом
.Следовательно, если прелом
ляющий угол призмы Л》2%, то ни при каком угле падения & не может быть выхода луча через вторую грань.
4 = %•
Так как Д = rt + г2 == %, то, чтобы г2 был меньше %, угол 厶 должен удовлетворять условию: 0《/j《rQ.
Это возможно в том случае, если 0 ^ ii ^ ^(ii — угол паде
ния на первую грань). Область изменения угла показана на рисунке 2.11 (штрихами).
А =厶 + % V %•
Пока угол падения на первую грань q будет меняться от — до
0, угол г】 будет меняться от г。до 0, а г2 не будет превышать г0 (рис. 2.12). Затем падающий луч переместится по другую сторону перпендикуляра и выход через вторую грань будет возможен до тех пор, пока % не станет равным % (это предельный случай). Тогда в треуголь-
Рис. 2.11
нике ОВС угол % + ^ будет внешним и г0+ -~- = А + -^ +
+ гъ 人=% — 4
Угол падения i】может быть найден из закона преломления: Sin h = п Sin &,
sin h = п sin (% — Л), откуда & = arcsin [n sin (% — Л)]. Следовательно, угол падения на первую грань может меняться от у до {——arc sin [n sin (% ——Л)] (знак «минус» соответствует переходу луча по другую сторону перпендикуляра).
С помощью тонкой собирающей симметричной линзы с показателем преломления пх = 3/2 получено действительное изображение на расстоянии 10 см от линзы. После того как предмет и линзу поместили в воду, не меняя расстояния между ними, изображение предмета получилось на расстоянии 60 см от линзы. Найдите оптическую силу линзы в воздухе, если показатель преломления воды 〃2 н %，
Решение
Оптическая сила тонкой линзы в воздухе и в воде может быть представлена соответственно выражениями:
Из этих соотношений можно определить Л — расстояние от предмета до линзы: = 0,9 м.
Тогда D = 1,1 дптр.
Солнечные лучи, падая нормально на экран, создают освещенность £\ = 104 лк. Перед экраном на расстоянии а == 20 см от не-
心—心—d(尸+ ")d(尸+ ")
心—
心—
d(尸+ ")
d(尸+ ")
го помещают тонкую линзу с оптической силой D = —2 дптр. Определите освещенность экрана в тени от линзы и в светлом кольце вокруг тени. Поглощением света в линзе можно пренебречь.
Решение
На линзу падает параллельный пучок лучей, который после линзы становится расходящимся, а продолжения лучей, вышедших из линзы, собирают
ся в ее фокусе (рис. 2.13).
Освещенность линзы, очевидно, такая же, как и экрана в отсутствие линзы, т. е.
Тогда световой поток, приходящийся на линзу, равен Ф = £\冗—;этот поток распределяется на экране на площади, ог
раниченной конусом лучей, вышедших из линзы.
Диаметр этого круга 厶 можно выразить через диаметр линзы d:
где 尸一фокусное расстояние линзы.
Следовательно, освещенность в тени линзы:
Е _①• 4 _ е1.冗犷产.4 _e/2
2 = n片 =-4^2(f+炉=(F +报
Вычисления дают f2 = 5000 лк.
Вокруг《тени》от линзы будет существовать светлое кольцо, где освещенность создается и теми лучами, которые прошли линзу, и лучами, идущими непосредственно от Солнца, т. е.
£3 = £*г 4- Е2 = 15 • 103 лк.
Оптическая система состоит из собирающей и рассеивающей линз; на рассеивающую линзу падает луч / (рис. 2.14). Найдите построением направление этого луча после собирающей линзы.
Решение
Продолжим луч до пересечения с фокальной плоскостью рассеивающей линзы и проведем через точку пересечения побочную ось (рис. 2.15); луч / из рассеивающей линзы выйдет параллельно этой оси (луч 2).
Через точку пересечения луча 2 с фокальной плоскостью собирающей линзы 戶;проведем побочную ось. После собирающей линзы луч 3 пойдет параллельно этой оси.
Труба Кеплера с оптической силой объектива Dr = 2 дптр установлена на бесконечность. Какое увеличение дает труба, если
оптическая сила окуляра О2 = 10 дптр? Как следует передвинуть окуляр трубы, чтобы можно было видеть предметы, находящиеся на расстоянии 50 м?
Решение
Зрительная труба, как и все оптические приборы, работающие с глазом, служит для увеличения угла зрения. Увеличение tg а w = ——, где а и а0 — соответственно углы, под которыми рас- tg ао
сматривают предмет с помощью оптического прибора и без него.
Для трубы Кеплера имеем: ^ = — == 5.
А
Чтобы отчетливо увидеть предмет, находящийся на расстоянии 50 м от трубы, следует окуляр отодвинуть так, чтобы изображение, даваемое объективом, попало в фокальную плоскость окуляра. Значит, изображение должно находиться от объектива на расстоянии
& =尸1 + А@・
Пользуясь формулой линзы
1 I11
卜
определим Да: Аа .
Вычисления дают: Ла = 5-10~3 м.
Задачи для самостоятельного решения
Плоское зеркало и некоторый предмет АВ расположены так, как показано на рисунке 2.16. Где должен располагаться глаз наблюдателя, чтобы предмет был виден целиком?
Точечный источник S освещает поверхность M^. Как изменится освещенность в точке Л, находящейся непосредственно под источником, если сбоку на таком же расстоянии, как освещаемая поверхность, поместить зеркальце г, плоскость которого составляет
с поверхностью угол в 45° (рис. 2.17)? Коэффициент отражения принять равным единице.
Луч света, отраженный от зеркальца гальванометра, падает на центральное деление шкалы, расположенной на расстоянии 1,5 м от зеркальца перпендикулярно к направлению падающего луча. При пропускании тока через гальванометр светлое пятно переместилось на 2 см. На какой угол повернулось зеркальце?
Два зеркала поставлены под углом а = 60° друг к другу; на одно из зеркал падает луч, лежащий в плоскости, пер пенди ку л яркой к ребру двугранного угла, образованного зеркалами. Какой угол составляют падающий луч и луч, отраженный от обоих зеркал?
Небольшой предмет расположен между двумя плоскими зеркалами, поставленными под углом а = 32°, на расстоянии г = 10 см от линии пересечения зеркал ближе к одному из зеркал.
На каком расстоянии х друг от друга находятся первые мнимые изображения предмета в зеркалах?
Как сместится середина отрезка прямой, соединяющей два изображения предмета, если предмет сдвинуть на / = 2 см так, чтобы его расстояние от линии пересечения зеркал осталось неизменным?
Ось сферического зеркала, светящаяся точка S и ее изображение S' расположены так, как показано на рисунке 2.18. Найдите построением положение вершины зеркала и его центра.
Найдите построением изображение точки, лежащей на оптической оси выпуклого зеркала.
Постройте изображения предметов АВ и CD в вогнутом зеркале (рис. 2,19).
Найдите направление отраженного от зеркала луча 2, если известен ход луча 1 (рис. 2.20, а, б).
Сходящийся пучок лучей падает на вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 60 см так, что их продолжения пересекаются на оси зеркала на расстоянии 20 см от его вершины. На каком расстоянии от зеркала сойдутся эти лучи после отражения от него?
На вогнутое зеркало радиусом 40 см падают лучи от точки S, расположенной на оптической оси на расстоянии “ = 3 см от вершины зеркала. На каком расстоянии от вогнутого зеркала
следует расположить плоское зеркало, чтобы лучи после отражения от зеркал снова вернулись в точку S?
Каков радиус вогнутого зеркала, если человек, находящийся на расстоянии & = 20 см от зеркала, видит изображение своего лица в 1,5 раза большим, чем в плоском зеркале, находящемся на том же расстоянии от него?
Изображение предмета в вогнутом зеркале получилось вдвое большим, чем сам предмет; расстояние между предметом и изображением I = 15 см. Определите оптическую силу и радиус кривизны зеркала.
Точечный источник света находится на расстоянии 30 см от выпуклого сферического зеркала радиусом 60 см. Найдите освещенность на расстоянии 60 см от поверхности зеркала, если на расстоянии 120 см она равна 200 лк.
Освещенность изображения Солнца, полученного на оптической оси вогнутого зеркала, в k раз больше, чем экрана, на который непосредственно падают солнечные лучи. Определите площадь зеркала, если его фокусное расстояние 尸，угловой диаметр Солнца В? (Экран небольших размеров расположен перпендикулярно оптической оси.)
В центре вогнутого сферического зеркала радиусом Ri = 80 см находится вершина выпуклого зеркала с фокусным расстоянием F2 = 40 см. Между фокусом и центром вогнутого зеркала на расстоянии 50 см от его вершины расположен предмет высотой 2 см перпендикулярно оптической оси. Определите положение и величину изображения в выпуклом зеркале, создаваемого лучами, отраженными от вогнутого зеркала.
Два одинаковых вогнутых зеркала радиусом 80 см имеют общую оптическую ось и их фокусы совпадают. На расстоянии 60 см от вершины одного из них помещен точечный источник света. Где получится изображение после отражения лучей от обоих зеркал?
На поверхностях плоскопараллельной стеклянной пластинки толщиной А=3 мм нанесены метки. Пластинку рассматривают в микроскоп так, что отчетливо видна метка, нанесенная на верхней поверхности. Чтобы отчетливо видеть метку на нижней поверхности, тубус
микроскопа пришлось переместить на 2 мм. Определите показатель преломления стекла.
Предмет находится на расстоянии / = 15 см от плоскопараллельной стеклянной пластинки. Наблюдатель рассматривает его через пластинку, причем луч зрения нормален к ней. Найдите расстояние между изображением предмета и ближайшей к наблюдателю гранью. Толщина пластинки Л = 4,5 см; показатель преломления стекла п = 1,5.
Определите угол между красными и фиолетовыми лучами, получившимися при разложении белого света стеклянной призмой, преломляющий угол которой А = 60°, если угол падения белого света на призму ^ = 45°. Показатели преломления для красного и фиолетового света соответственно равны пкр = 1,610, пф = 1,632.
Оптическая сила тонкой двояковыпуклой симметричной линзы в воздухе £\ = 5 дптр; в некоторой жидкости £>2 = —1,65 дптр. Определите радиус кривизны поверхностей, ограничивающих линзу, и показатель преломления жидкости.
Фокусное расстояние объектива микроскопа 尸】=3 мм, фокусное расстояние окуляра 尸2 = 5 см. Предмет находится перед объективом на расстоянии ^ = 3,1 мм. Определите увеличение микроскопа.
Каково кажущееся уменьшение глубины реки для человека, смотрящего на лежащий на дне предмет, если угол, составляемый лучом зрения с нормалью к поверхности воды, равен 70°. Показатель преломления воды п = 1,333.
Водолаз находится на дне водоема на глубине 八=15 м. На каком расстоянии I от водолаза расположены те участки дна, которые он видит наиболее яркими благодаря отражению света от поверхности воды?
Луч падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной /г = 3 см под углом i = 70°. Определите смещение луча внутри пластинки. (Смещение считать по перпендикуляру к направлению падающего луча.)
Световой луч падает на квадратную стеклянную пластинку (рис. 2.21). Каким должен быть показатель преломления стекла, если полное отражение происходит от вертикальной грани?
Определите смещение луча плоскопараллельной стеклянной пластинкой толщиной h = 10 см вдоль ее
Рис. 2.21Рис. 2.21грани, если угол падения луча i = 70°.
Рис. 2.21
Рис. 2.21
Каков преломляющий угол стеклянной призмы, если угол наименьшего отклонения равен преломляющему углу?
Показатель преломления стекла для света данной длины волны п = 1,6. Каким должен быть наибольший угол падения этого луча на призму, чтобы при выходе луча из призмы не наступило явление полного отражения?
В каких пределах может меняться угол отклонения 6, который может дать стеклянная призма с преломляющим углом Л = 60°?
Призма с преломляющим углом А — 50° дает угол наименьшего отклонения бмин = 35°. Каким будет этот угол, если призму погрузить в воду?
Тонкостенная полая призма из прозрачного плексигласа с преломляющим углом А = 60° находится в воде. Определите угол наибольшего отклонения.
Как следует расположить две одинаковые стеклянные призмы с преломляющим углом Л, каждая из которых дает угол наименьшего отклонения 6МИН, чтобы после прохождения луча через две призмы он отклонился бы на угол 2бмин?
В сосуд с жидкостью опущена стеклянная призма так, что ее основание лежит на дне сосуда. Что произойдет с лучом белого света, входящим в призму параллельно ее основанию (рис. 2.22, а)? (Кривые зависимости показателя преломления от длины волны для стекла и для жидкости показаны на рисунке 2.22, 6.)
Тонкостенная равносторонняя призма наполнена жидкостью, при этом она дает угол наименьшего отклонения 6МИН = =23°16'・ Какой экстремальный угол даст эта призма, будучи пустой, если ее поместить в жидкость, которая в первом случае заполняла ее? Определите показатель преломления этой жидкости.
На тонкостенную сферическую колбу, наполненную жидкостью, падает параллельный пучок лучей света, диаметр сечения которого значительно меньше диаметра колбы. На противоположной стороце колбы пучок света освещает кружок, диаметр которого- в два раза меньше диаметра пучка, падающего на колбу. Определите показатель преломления жидкости.
Тонкая вогнуто-выпуклая стеклянная линза имеет оптическую силу 0 = 4 дптр. Определите радиусы поверхностей, ограничивающих линзу, если известно, что один радиус больше другого в 2 раза.
Тонкая стеклянная линза имеет в воздухе оптическую си・ 〃У Di = 5 дптр. Какова будет оптическая сила этой линзы, если ее погрузить в воду?
а
2・39・ С помощью линзы, оптическая сила которой D = 4 дптр, получено изображение свечи в натуральную величину. На какое расстояние нужно отодвинуть свечу от линзы, чтобы изображение уменьшилось в пять раз?
Предмет находится на расстоянии 90 см от экрана. Между предметом и экраном перемещают тонкую собирающую линзу. При одном положении линзы на экране получается увеличенное изображение, при другом — уменьшенное.
Определите фокусное расстояние лин- 3bL если линейные размеры первого изображения в 4 раза больше размеров второго?
Как изменится освещенность бумаги солнечными лучами, если на ней при помощи тонкой линзы с оптической силой 0 = 4 дптр и диаметром оправы d = 6 см получить изображение Солнца (поглощением света в линзе пренебречь)?
Найдите построением ход произвольного луча после тонкой собирающей линзы (рис. 2.23).
Найдите построением ход луча 2 после Тонкой линзы, если известен ход луча 1 (рис. 2.24).
Постройте изображение точки Л, находящейся на оптической оси рассеивающей линзы (рис. 2.25).
Найдите построением ход луча 2 после тонкой рассеивающей линзы, если известен ход луча 1 (рис. 2.26).
Рис. 2.26Рис. 2.26На рисунке 2.27, а, б показаны положения оптической оси тонкой линзы MN, точки S и ее изображения S'・ Найдите построением положения центра тонкой линзы и ее фокусов.
Рис. 2.26
Рис. 2.26
Известно положение предмета АВ и его увеличенного изображения А'В' (рис. 2.28). Найдите построением, где расположен центр линзы, ее фокусы и главная оптическая ось.
Задан предмет и его уменьшенное изображение (рис. 2.29). Определите: а) какая линза; б) положение центра
•s'а•s'м ・s/у5Рис. 2.27•s'а•s'м ・s/у5Рис. 2.27линзы и ее фокусов; в) положение главной оптической оси линзы.
•s'
а
•s'
м ・s/у
5
Рис. 2.27
•s'
а
•s'
м ・s/у
5
Рис. 2.27
На рисунке 2.30 показана линза и мнимое изображение 48' предмета. Найдите построением положение предмета.
На рисунке 2.31 показана линза и мнимое изображение AfBf предмета. Найдите построением положение предмета.
Собирающая и рассеивающая линзы расположены так, как показано на рисунке 2.32. Найдите построением ход луча 1 в этой системе линз.
Средняя часть рассеивающей линзы заклеена черной бумагой. Найдите построением изображение предмета АВ (рис. 2.33).
Постройте изображение предмета АВ (рис. 2.34).
2・54・ Фокусные расстояния объектива и окуляра микроскопа соответственно равны Fi = 1 м и % = 3 см. Расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра А == 15 см. Какое увеличение дает микроскоп?
Галилеева труба 9-кратного увеличения имеет длину / = 60 см. При замене объектива и окуляра трубы собирающими линзами ее увеличение не изменилось. Определите фокусные расстояния 尸1 объектива и 尸2 окуляра галилеевой трубы, а также фокусные расстояния
Рис. 2.30
Рис. 2.31
Рис. 2.34Рис. 2.34尸， и FJ тех линз, которыми заменили окуляр и объектив трубы.
Рис. 2.34
Рис. 2.34
Как следует расположить две тонкие линзы с оптическими силами Dx = 5= =5 дптр, чтобы оптическая сила системы была равна £) = 8 дптр?
Расстояние между двумя тонкими линзами, образующими телескопическую систему, равно 12 см, а увеличение системы равно 5. Какова будет оптическая сила системы этих линз, если их сложить
вплотную?
Какое увеличение дает лупа, состоящая из двух линз с фокусными расстояниями Fx = 5 см и F2 == 7 см? Линзы сло
жены вплотную.
Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива 尸工=50 см установлена на бесконечность. На какое расстояние надо переместить окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы, удаленные на 50 м?
Зритель с нормальным зрением смотрит на сцену, находящуюся на расстоянии L = 15 м, через бинокль. Фокусные расстояния линз бинокля соответственно равны F* = 20 см,尸2 = 5 см. Какое расстояние должно быть между линзами, чтобы зритель наиболее ясно видел сцену?
Тонкая плоско-вогнутая линза опущена в воду вогнутой поверхностью вниз, так что пространство под ней заполнено воздухом (рис. 2.35). Радиус вогнутой поверхности R = 15 см. Определите фокусное расстояние этой системы.
Тонкая двояковыпуклая линза положена на плоское зеркало. Где нужно поместить точечный источник света, чтобы изображение его, даваемое этой системой, было действительным и совпадало с самим источником?
Оптическая система состоит из вогнутого зеркала, радиус кривизны которого R = 20 см, и собирающей линзы с оптической силой D = 5 дптр. Точечный
максимумами (ши-максимумами (ши-
максимумами (ши-
максимумами (ши-
источник расположен на оптической оси системы на расстоянии 40 см от линзы, зеркало находится на расстоянии 30 см по другую сторону линзы. Определите положение изображения источника и выполните соответствующие графические построения.
§ 3. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Расстояние между интерференционными рина полос интерференции)
Ду = — л,
если экран расположен перпендикулярно оси X (параллельно прямой, соединяющей источники), и
если экран перпендикулярен оси У и прямой, соединяющей источники (рис. 3.1; указано положение первых интерференционных максимумов).
В этих формулах Df и D — расстояния от источников колебаний до экрана; 2八——расстояние Между источниками колебаний; X —— длина волны, излучаемой источниками колебаний; М ——число длин волн, укладывающихся на расстоянии между источниками колебаний (2/i = m九).
Число различимых полос интерференции при излучении источником колебаний интервала длин волн А% =九丄一Х2:
Допустимые размеры источника колебаний:
As < — • — или As V у ctg “，
где D ——расстояние от источника колебаний до экрана; 2斤 ——расстояние между источниками колебаний; 2〃 一угол, под которым видны источники колебаний из центра интерференционной картины.
Полосы равного наклона наблюдаются при отражении или при прохождении света через прозрачный слой постоянной толщины. Разности хода интерферирующих лучей (в длинах волн):
△2〃1 Д 2Л ! 1
—=—л cos f — —, или — = —|< 九2 — [ — —*X X2
при А = /и% (где m — целое число) — максимум, при А = =(加 +-~^Х ——минимум.
В формулах Л — толщина слоя; i ——угол падения; г — угол преломления; п — относительный показатель преломления вещества слоя по отношению к среде.
Разность хода для темных полос равной толщины при отражении света от слоя переменной толщины (при малых углах падения):
—=—п—1 = (2Л—1)1.
X X 2'‘2
Радиусы темных колец Ньютона при наблюдении в отраженном свете:
р = ]/R尼九(R — радиус кривизны линзы).
Коэффициент отражения энергии при нормальном падении света на границу раздела двух сред:
Для «просветления» оптики стекло с показателем преломления п0^покрывается диэлектриком с показателем преломления
ВОПРОСЫ
Покажите, что при сложении некогерентных колебаний интерференция не наблюдается.
Если рассматривать вертикально расположенную мыльную пленку, то верхняя часть ее кажется черной, а нижняя прозрачной, в промежутке между этими частями наблюдаются радужные полосы. Как это объяснить?
Почему по мере испарения мыльной пленки расстояние между полосами растет?
Как объяснить появление темного и светлого пятен в центре колец Ньютона при наблюдении в отраженном и проходящем свете?
В чем состоит явление «просветления» оптики?
Как, пользуясь интерферометром Жамена, определить показатель преломления газа и его зависимость от давления и температуры?
Что называют «длиной когерентности»?
В интерферометре Майкельсона при небольшом наклоне одного из зеркал наблюдаются интерференционные полосы, причем если работа ведется с белым светом, то в центре картины видна черная полоса. Как объяснить ее происхождение?
Й
9. В том же интерферометре при работе с белым светом наблюдается всего 5—7 интерференционных полос, а при введении фильтра все поле зрения перекрывается темными и светлыми полосами. Объясните это явление.
В опыте Юнга одна из щелей закрыта синим све- Рнс 3 2 тофильтром, а вторая ——красным. Будет ли при таких с， ' условиях наблюдаться на экране интерференционная картина?
Можно ли наблюдать интерференционную картину при помощи линзы, средняя часть которой заклеена черной бумагой (рис. 3.2)?
Почему при наблюдении интерференционной картины с помощью бипризмы Френеля считают, что мнимые изображения источника лежат в той же плоскости, что и сам источник?
В опыте с бипризмой Френеля изображения источника получаются мнимыми. Как можно измерить расстояние между ними?
Почему при наблюдении колец Ньютона следует выбирать линзу с большим радиусом кривизны?
Призеры решения задач
1. Угол между зеркалами Френеля а == 10'. На зеркала падает свет от щели, находящейся на расстоянии 10 см от линии пересечения зеркал. Длина световой волны источника 九=600 нм. Отраженный от зеркал свет дает интерференционную картину на экране, расположенном на расстоянии Z = 270 см от линии пересечения зеркал. Определите:
расстояние между интерференционными полосами на экране;
как изменится интерференционная картина на экране, если щель сдвинуть на расстояние d = 2 мм в таком направлении, что ее расстояние от линии пересечения зеркал не изменится;
как изменится картина, если расстояние от щели до линии пересечения зеркал увеличить в два раза;
наибольшую ширину щели, при которой интерференционная картина еще может наблюдаться;
сколько интерференционных полос можно видеть на экране.
Решение
При отражении света от двух зеркал на экран падают два световых пучка (рис. 3.3). Так как эти пучки идут от одного и того же источника, то они когерентны и, перекрываясь, дают на экране интерференционную картину. Мнимые изображения источника в зеркалах играют роль когерентных источников.
Ширина интерференционной полосы на экране может быть рассчитана по формуле:
Дх = л —2&
Рис. 3.3Рис. 3.3
Рис. 3.3
Рис. 3.3
где D — расстояние от источников до экрана; 2Л — расстояние между когерентными источниками; D = 0女 + ОА (04 = L). Определим 0К・ Угол S20sl между прямыми, соединяющими мнимые изображения с точкой пересечения зеркал, равен 2a. Тогда ОК = г cos а и, следовательно,
D = L + г cos а,
где г — расстояние между источником и линией пересечения зеркал.
Расстояние между мнимыми изображениями
2й = 2г sin а
и ширина интерференционной полосы
2r sin а
Вычисления дают: Ах = 2,9 • 10~3 м (мы приняли, что cos 10' ^ 1, a sin 10' = 0,0029).
Анализируя полученное выражение, легко заметить, что расстояние между источниками (в данном случае это расстояние между мнимыми изображениями источника) должно быть малым, чтобы интерференционные полосы были доступными для наблюдения. А так как в установке с зеркалами Френеля расстояние между источниками определяется sin а, где а ——угол между зеркалами, то а должен быть малым ——порядка нескольких минут. Если угол а будет составлять несколько градусов (например, 3°), а остальные данные задачи останутся прежними, получим значение Ах = =1,6・10一7 м; полоса такой ширины недоступна наблюдению.
Если щель переместить на расстояние d, не меняя ее расстояния от линии пересечения зеркал, то ширина полос на экране не изменится, так как она не зависит от положения источника по отношению к плоскости зеркал, но точка К (середина расстояния между мнимыми изображениями) перейдет в точку К' (рис. 3.4). Тогда центральная интерференционная полоса на экране переместится на величину АА\ Следовательно, и вся картина переместится на экране на АА\
КК' = d cos а (это следует из подобия треугольников SOS' и КОК), а
Подставляя числовые данные задачи, получаем АА' = 5,4 х X IO""? м.
Если расстояние щели от линии пересечения зеркал увеличить в два раза, то изменится ширина интерференционных полос,
причем расстояние между источниками увеличится в два раза (2" = 4r cos а), а расстояние от источников до экрана почти не изменится, так как в выражение Ax’ = X 丄 + 2г со好 2尸 cos。входит 4r sin а
как слагаемое и, кроме того, 2r cos а《厶.Следовательно, ширина полос уменьшится в два раза.
Допустимая ширина щели может быть определена из условия
^, tg« 2〃
Рис. 3.4где и — апертурный угол интерфе
ренции, т. е. угол между крайними лучами, участвующими в интерференции (〃 = 2а, см. рис. 3.1). Подставляя числовые данные, получаем: As = 5,2- 10~б м.
Ширина всей интерференционной картины ММ' определяется величиной апертурного угла:
MM' = 2L tga.
Число полос на экране
N =Дх
Вычисления дают ^ « 5 полос.
Плоско-выпуклая линза положена на стеклянную пластинку, причем вследствие попадания пыли между линзой и пластинкой нет контакта (рис. 3.5). Диаметры пятого и пятнадцатого темных колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете, соответственно равны 0,7 и 1,7 мм. Определите радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если система освещается светом с длиной волны X = 581 нм.
Решение
Если на систему, состоящую из линзы и пластинки, падает свет (для простоты будем считать, что свет падает нормально к поверхности пластинки), то происходит следующее: в точке А световой пу・ чок частично отразится, а частично пройдет в воздушный зазор между линзой и пластинкой и отразится от поверхности пластинки. В точке Л обе части пучка встречаются, имея разность хода Д = 2力 + ^ (九—толщина зазора, соответствующего точке 4) и в зависи
мости от того, равна ли эта разность нечетному числу полуволн или четному, в точке А получается минимум или максимум света.
Исходя из этого для толщины зазора, при котором наблюдается минимум света, получаем:
"3 〃"%么力力"3 〃"%么力力Рис. 3.5Рис. 3.5Радиус р темного кольца для случая отсутствия оптического контакта можно выразить из формулы:
"3 〃"%么力力
"3 〃"%么力力
Рис. 3.5
Рис. 3.5
2R — (Л — х) 一 р
pа 一%
где R — радиус кривизны поверхности линзы (рис. 3.5).
{h — х) мало по сравнению с 2R (八——х), и этим членом можно пренебречь, тогда формула примет вид:
p2 = 2R(/z —х)・
Подставляя значение h для темного кольца, получаем:
В условии задачи известны радиусы двух темных колец р^ и
рj = R 但九一2%) и р： = R (认一2х)・
Взяв разность р* и 吟 можно исключить неизвестную величину зазора х:
Р： — Р； =RM& — О»
откуда
Подставляя числовые данные задачи, получаем R = 0,102 м.
От узкой щели при помощи бипризмы Френеля с преломляющим углом 20’ получают на экране интерференционную картину. Щель расположена на расстоянии d = 25 см от бипризмы, а экран на расстоянии 厶=100 см. Определите длину волны света, освещающего щель, если ширина интерференционных полос на экране А% = 0,55 мм.
Решение
От щели на бипризму падают лучи под всевозможными углами и среди них имеются лучи, которые падают на верхнюю и нижнюю половинки бипризмы под такими углами, что углы отклонения для них будут минимальными.
Кроме того, следует учесть, что, так как преломляющий угол бипризмы очень мал (порядка нескольких минут), мнимые изображения щели и сама щель расположены практически в одной плоскости (рис. 3.6).
Учитывая малость преломляющего угла призмы Л, можно записать:
бмнн = 4("一1),
九=d tg 6МИН> или просто h — б/6мнн・
Тогда расстояние между мнимыми источниками: 2/i = 2dбмнн = 2d4 (м — 1).
А%А%Ширина интерференционной полосы
А%
А%
откуда искомая длина волны:
а Дх • 2Л Ах • 2dA (п — 1)a ==
d + L4 + L
Вычисления дают 九=638 нм.
Задачи для самостоятельного решения
Тонкая собирающая линза разрезана на две половины, которые раздвинуты на расстояние d = 1 мм. По одну сторону от линзы находится источник монохроматического света (накаленная нить с фильтром), а по другую — экран, на котором получаются интерференционные полосы (рис. 3.7).
Объясните происхождение полос.
Определите ширину интерференционных полос, если источник света находится на расстоянии a = 20 см от разрезанной линзы, а экран на расстоянии 厶=450 см. Фокусное расстояние линзы 尸=10 см. Длина световой волны, пропускаемой фильтром,九=
500 нм.
Каким должен быть диаметр нити, чтобы наблюдалась интерференционная картина?
Сколько интерференционных полос видно на экране?
Мыльная пленка, расположенная вертикально, освещается зеленым светом с длиной волны 九=546 нм. При наблюдении в отраженном свете на поверхности пленки видны темные и светлые полосы, причем на протяжении Z = 2 см насчитывается пять темных полос. Считая, что свет падает на поверхность пленки нормально, опре-
делите угол между поверхностями плен-
ки.ки.Показатель преломления мыльной
ки.
ки.
воды м -—■ 1,33.
Найдите длину волны монохроматического излучения, если в опыте Юнга расстояние первого интерференционного максимума от центральной полосы yi = 0,05 см, расстояние между отверстиями 2九=0,5 см, экран расположен на расстоянии L = 5 м от отверстий.
длиной / = 2 см.длиной / = 2 см.На пути одного луча в опыте Юнга поставлена трубка с плоскопараллельными стеклянными основаниями
длиной / = 2 см.
длиной / = 2 см.
При заполнении трубки хлором вся интерференционная картина на экране смещается на 府=20 полос. Вычислите показа
тель преломления хлора, считая, что показатель преломления воздуха 拉в = 1,000 276, длина волны света, даваемого источником, 九=589 нм.
В опыте Юнга зеленый светофильтр заменили красным. Как при этом изменилась ширина интерференционных полос на экране (九з = 5 • 10-7 м, Хк = 6,5 • 10~7 м)?
При освещении зеркал Френеля монохроматическим светом с длиной волны X = 486 нм на экране, отстоящем на расстоянии 厶=1 м от линии пересечения зеркал, наблюдают интерференционные полосы, ширина которых Ах = 1 мм. Источник света находится на расстоянии г = 10 см от линии пересечения зеркал. Определите угол между зеркалами.
Определите расстояние между центральной и пятой светлой полосой, если угол между зеркалами Френеля а = 20'. Источник, дающий свет с длиной волны X = 589 нм, находится от линии пересечения зеркал на расстоянии г = 10 см, а экран на расстоянии L = 1 м.
Из линзы с фокусным расстоянием 尸=50 см вырезали центральную часть шириной d (см. рис. 3.7) и обе половины сдвинули до соприкосновения. Линзу поместили между точечным источником монохроматического света (X = 6-10~7 м) и экраном, на котором наблюдают интерференционные полосы шириной Ах = =0,5 мм. Постройте изображения источника и определите ширину вырезанной части линзы. Расстояние от источника до линзы а = 100 см, от линзы до экрана L = 20 см.
Двояковыпуклая тонкая линза с оптической силой 0 = 5 дптр разрезана пополам и половинки линзы раздвинуты на расстояние d = 1 мм. Источник монохроматического света 仇= =5-10~7 м) расположен на расстоянии а == 40 см от линзы. Определите размеры интерференционной картины и ширину интерференционных полос на экране, отстоящем от линзы на расстоянии £ = 540 см.
Определите тупой угол бипризмы 9 (см. рис. 3.6), если при расстоянии от источника до бипризмы d = 50 см и при расстоянии от бипризмы до экрана L = 150 см интерференционные полосы на экране имеют ширину А% = 0,2 мм. Показатель преломления данного сорта стекла для света, даваемого источником (入=500 нм), равен м = 1,52.
На мыльную пленку падает белый свет под углом 45°. При какой наименьшей толщине пленка будет казаться желтой (Хж = 6・ К)-? м), если наблюдение ведется в отраженном свете? Показатель преломления мыльной воды 拉=1,33.
Мыльную пленку, расположенную вертикально, наблюдают в отраженном свете через красное стекло (Хк = 6,31 • 10~7 м). Расстояние между соседними темными полосами получилось равным 3 мм. Затем эту же пленку наблюдают через синее стекло (九© = 4 • 10— м). Найдите новое расстояние между соседними темными полосами. (Считать, что за время измерений форма пленки не изменилась.)
На стеклянный клин падает нормально пучок света (入=5,82・ IO— м). Угол клина <р = 20". Какое число темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла и = 1,5.
Какова наименьшая толщина мыльной пленки, если при наблюдении ее в отраженном свете она представляется зеленой, когда угол между нормалью и лучом зрения равен а = 35°? Показатель преломления мыльной воды 拉=1,33, 2i3 = 500 нм.
На изображении натриевого пламени (X = 589 нм), наблюдаемом на вертикальной мыльной пленке, видны темные горизонтальные полосы (рис. 3.8). Расстояние между серединами темных полос равно А% = 5 мм. Коэффициент преломления мыльной воды 拉=1,33. Определите угол между поверхностями мыльной
пленки.
В очень тонкой клиновидной пластинке в отраженном свете при нормальном падении лучей наблюдаются интерференционные полосы. Расстояние между соседними темными полосами Дх = 5 мм. Зная, что длина световой
Рис. 3.8Рис. 3.8волны X = 580 нм, а показатель преломления пластинки п = 1,5, найдите угол а между гранями пластинки.
Рис. 3.8
Рис. 3.8
Определите расстояние Д/2 между двадцатым и двадцать первым светлыми кольцами Ньютона, если расстояние между вторым и третьим светлыми кольцами А/】= 1 мм, а кольца наблюдаются в отраженном свете.
Найдите фокусное расстояние 尸 плоско-выпуклой линзы, при
мененной для получения колец Ньютона, если радиус третьего темного кольца р3 = 1,1 мм, п = 1,6, X = 589 нм. Кольца наблю
даются в отраженном свете.
Найдите радиус ?】первого темного кольца Ньютона, если между линзой и пластиной налит бензол (п = 1,6). Радиус кривизны линзы R = 1 м. Показатели преломления материала линзы и пластинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном натриевом свете (X = 589 нм).
Кольца Ньютона получаются между двумя плоско-выпуклыми линзами, прижатыми друг к другу своими выпуклыми поверхностями. Выразите радиус рт темного кольца номера 加,если длина световой волны 1, а радиусы кривизны выпуклых поверхностей линз соответственно равны R и R. Наблюдение ведется в отраженном
свете.
Наблюдатель отсчитывает ширину 10 колец Ньютона вдали от их центра. Она оказывается равной 0,7 мм. Ширина следующих 10 колец оказывается равной 0,4 мм. Наблюдение проводится в отраженном свете с длиной волны 589 нм. Определите радиус кривизны поверхности линзы.
Коэффициент отражения света от сухого стекла почти в 1,7 раза больше, чем от влажного. Почему?
При освещении плоскопараллельной слюдяной пластинки монохроматическим светом от источника S (рис. 3.9) на экране получены чередующиеся темные и светлые полосы.
Объясните происхождение полос. Какова их форма?
Определите ширину полос, если толщина пластинки d = 0,2 мм, расстояние от экрана Эг до пластинки D = 4 м, источник дает свет с длиной волны X = 500 нм и расположен вблизи пластинки.
С помощью установки, описанной в предыдущей задаче, на экране 当 получены полосы, ширина которых Ах = 15 см при расстоянии от экрана D = 3 м.
Определите: а) толщину пластины d, если источник дает свет с длиной волны X = 600 нм; б) форму и ширину интерференционных полос, если они получены от двух когерентных источников, расстояние между которыми равно удвоенной толщине пластины, а экран Э2 расположен параллельно прямой, соединяющей источники. (力=D; Ах / А%' = 40.)
В интерферометре Жамена две одинаковые трубки длиной 15 см наполнены воздухом. При замене одной из них такой же трубкой, наполненной кислородом, интерференционная картина сместилась на 6
полос при длине волны падающего света X = 5-10~7 м. Определите показатель преломления кислорода, если показатель преломления воздуха 拉=1,000292.
Интерферометр Майкельсона был применен для определения длины световой волны. Для этой цели измерялось расстояние, на которое необходимо передвинуть одно из зеркал для того, чтобы сместить интерференционную картину на 100 полос. Это расстояние оказалось равным / = 2,94 • 10~ мм. Определите длину световой волны.
§ 4. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Дифракция Френеля
Площадь любой зоны Френеля, построенной на ограниченном сферическом фронте волны (дифракция на круглом отверстии):
S
nabK = a + b
где а ——расстояние от источника света до фронта волны; Ь — расстояние от вершины волнового фронта до точки наблюдения дифракционной картины (до экрана); X — длина волны, излучаемой источником света.
Радиус внешней границы fe-ой зоны Френеля: 鼻城、⑵
Г a + b
При радиусе отверстия %, много меньшем расстояний а и 6, в нем строится k зон:
Ар = 'оАр = 'оsin2 匕 sin 屮V d sln ^sin2 匕 sin 屮V d sln ^(4)(4)Дифракция Фраунгофера (дифракция от щели в параллельных лучах)
Ар = 'о
Ар = 'о
sin2 匕 sin 屮
V d sln ^
sin2 匕 sin 屮
V d sln ^
(4)
(4)
где /0 — интенсивность света в центре дифракционной картины.
Угловое положение fe-ro максимума интенсивности дифракционной картины определяется уравнением:
.,2/г + 1 X
sm以 = 土丁行
(5)
Дифракционная решетка
Угловое положение fe-ro минимума интенсивности дифракционной картины от решетки определяется уравнением:
sin 屮也 мнн = ±*(6)
где Ь — ширина щели дифракционной решетки.
Угловое положение й-го главного максимума интенсивности картины от решетки определяется уравнением:
sin屮々маке =⑺
где d — период решетки.
Интенсивность света fe-ro главного максимума:
/々=№/(₽,(8)
где ^ — число щелей решетки; /ф — интенсивность, создаваемая в направлении угла <р одной щелью.
Кроме минимумов, определяемых условием sin(pftMHH = 土 曳， b
между двумя соседними максимумами располагаются ^ ——1 добавочных минимумов. Угловые направления добавочных минимумов определяются условием:
sin(p = ± —X;(9)
々 имеет все целочисленные значения, кроме 0, ^, 2^, ..., kN.
Угловая дисперсия дифракционной решетки:
где 々一порядок спектра.
Разрешающая способность дифракционной решетки:
R = * =々м⑴)
Угловое расстояние между двумя точками, разрешаемыми телескопом:
Аср =1,22 今(12)
где D — диаметр объектива телескопа.
Расстояние I, разрешаемое объективом микроскопа:
/ >0,61 А •丄，(13)
n sin и
где X ——длина волны света; и ——показатель преломления среды, заполняющей пространство между предметом и объективом
микроскопа; 〃 一 половина угла между лучами, идущими от предмета к краям объектива микроскопа.
Дифракцию рентгеновских лучей получают на кристаллических решетках. Дифракционные максимумы определяются условием (формула Вульфа — Брегга):
(14)(14)2d sin 6 = 土 也、
(14)
(14)
где 0 — угол скольжения (угол, дополнительный к углу падения).
ВОПРОСЫ
Какое дополнение в принцип Гюйгенса ввел Френель?
Как определяется радиус любой зоны Френеля? В каком соотношении находятся площади этих зон?
Поясните следующие определения дифракции:
дифракция Френеля — дифракционное изображение препят
ствия;
дифракция Фраунгофера — дифракционное изображение ис
точника света.
Поясните следующее утверждение: «Когда источников (колебаний) мало, например два, то результат их совместного действия называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о дифракции».
Начиная с какого соотношения между радиусом отверстия г и расстоянием от экрана до точки наблюдения b свет в точке наблюдения при увеличении b не будет сменяться темнотой?
Как, пользуясь методом векторных диаграмм, показать, что, если в отверстии вмещается четное число зон Френеля, в точке наблюдения будет минимум освещенности, а при нечетном числе зон — максимум?
Что будет наблюдаться на экране при дифракции на одной
щели в параллельных лучах, если ширина щели равна длине волны света?
Чем отличаются дифракционные картины на экране (рис. 4.1),
если:
в экране 3丄 одно отверстие?
в экране 3工 много беспорядочно расположенных отверстий одинаковой величины?
力％9. Какими параметрами ха-
Рис. 4.1Рис. 4.1рактеризуется дифракционная решетка в качестве спектрального прибора?
Рис. 4.1
Рис. 4.1
Как изменяется разрешающая способность дифракционной решетки при изменении наклона пучка лучей, падающих на решетку?
Как изменится дифракционная картина, полученная с помощью решетки, если:
увеличить постоянную решетки, не изменяя общего числа штрихов;
увеличить общее число штрихов, не изменяя постоянной решетки;
увеличить ширину щелей, оставив неизменным постоянную решетки и число щелей?
Примеры решения задач
Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта г4 = 3 мм. Определите радиус двенадцатой зоны из той же точки наблюдения.
Решение
Первый способ. Сделаем чертеж по условию задачи (рис. 4.2):
АВ — фронт плоской волны; С — точка наблюдения; СО =
CD = b + k-\ DO ==- rk.
Очевидно, что
r[ = [b+ 々^；一b2 = klb + 胪个；
так как X мала, членом 出—пренебрегаем, следовательно,
4
rk = kbK,
Запишем условие задачи в виде двух уравнений:
广： = 4伏，4= 12 从.
Поделим почленно уравнения друг на друга:
丄，или = 3.
斗 3
Отсюда
応=3d
Подставим значение г^ получаем г12 = 3 У^З мм.
Второй способ. Преобразуем формулу (2): разделим числитель А и знаменатель подкоренного выра-
На круглое отверстие радиусом R = 2 мм в непрозрачном экране падает параллельный пучок света с длиной волны X = = 0,5 мкм. На каком максимальном расстоянии от отверстия на экране в центре дифракционной картины будет наблюдаться темное пятно?
Решение
В центре дифракционной картины получится темное пятно, если число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, четное. Число зон убывает по мере удаления от отверстия.
Максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно, это расстояние, при котором в отверстии укладываются две зоны Френеля.
При решении предыдущей задачи мы получили формулу зависимости радиуса ^-ой зоны от длины волны, расстояния от точки наблюдения и номера зоны:
rk = kbk
Выразим из этой формулы 匕：
/ё九
так как 左=2, % = R, то b = 4 м.
При нормальном падении света на решетку длиной / = 2 см на экране с помощью линзы с фокусным расстоянием F == 1 м получено несколько спектров. Красная линия (X = 630 нм) в спектре третьего порядка видна под углом ф = 20° относительно направления падающего на решетку света. Найдите: а) постоянную решетки; б) разрешающую способность решетки в спектре третьего порядка; в) линейную дисперсию решетки D.
Решение
Для определения постоянной решетки воспользуемся формулой (7), из которой найдем
а =.
sin ф
Вычисления дают d = 5,525 мкм.
Разрешающая способность решетки R = hN.
Так как
N =丄，то R =处，R = 10894.dd
Линейной дисперсией дифракционной решетки называют величину, численно равную £)* = — F, где 尸一фокусное расстояние линзы, проецирующей спектр на экран.
Дифференцируя уравнения максимума для решетки (d sin 屮= = feX), получаем:
d cos 中• d(p = ЫХ, откуда
dtp — h
认d cos <p*
Так как d =丄，то 丝=豎？ и О* =止・
sin 中d 九？IX
Подставляя числовые значения, получаем Q* = 57,8 • 105. Это число показывает, во сколько раз изменился бы в данной установке (с данной линзой) тангенс угла отклонения (угла дифрагирования), если бы длина волны изменилась на 1 м.
На шпиле высотного здания укреплены одна под другой две красные лампочки (X = 640 нм). Расстояние между лампочками / = 20 см. Здание рассматривают ночью в телескоп с расстояния 厶 =15 км. Определите наименьший диаметр объектива телескопа, при котором можно видеть раздельные дифракционные изображения лампочек.
Решение
Угловое расстояние между двумя точками, разрешаемыми телескопом, Д(р = 1,22 -^.
Дф — это угол между двумя лампочками, видимыми с расстояния в 15 км, т. е. Д(р =
Следовательно, --- = 1,22---, откуда D = !，^^・
Вычисляя, получаем D = 0,06 м.
Диаметр зрачка человеческого глаза при средней яркости рассматриваемого предмета 0 = 3 мм. Определите: а) минимальное угловое расстояние между отдельными точками рассматриваемого предмета; б) минимальное расстояние между этими точками, рассматриваемыми с расстояния наилучшего зрения нормального глаза (L = 25 см).
Решение
Глаз человека наиболее чувствителен к свету, длина волны которого 九 = 55 • 10-8 м. При решении задачи используем это значение длины волны.
Угловое расстояние между двумя точками, находящимися на расстоянии / друг от друга, А(р =—.
Разрешающая способность человеческого глаза определяется выражением
a=丄=3
А(р 0,61 X
Следовательно,
А(р = ^^, Д(р = 560 • 10-7 рад — зГ;
из равенства Д(р = ~ находим:
/ = L • Л(р, I = 0,042 мм.
Задачи для самостоятельного решения
Расстояние от экрана с отверстием до точки наблюдения 1 м. Экран освещают монохроматическим светом с длиной волны 九=5 • 10-7 м. Вычислите радиус пятой зоны Френеля, если: а) источник света точечный и расстояние между ним и экраном а = 0,5 м; б) волновой фронт, падающий на экран, плоский, падение света нормальное.
Экран находится на расстоянии L = 40 м от точечного монохроматического источника света (九=5 • 10~4 мм). На расстоянии 〃 =20 м от источника света помещен экран с ирисовой диафрагмой. При каком радиусе отверстия диафрагмы центр дифракционного изображения отверстия будет: а) наиболее темным; б) наиболее светлым?
Точечный источник света (X = 550 нм) находится на расстоянии L = 11 м от экрана. Между источником света и экраном на расстоянии & == 5 м от экрана помещена ширма с круглым отверстием, диаметр которого d = 4,2 мм. Как изменится освещенность в точке, находящейся в центре дифракционной картины, если ширму убрать?
На щель нормально падает параллельный пучок монохроматического света. Длина волны падающего света укладывается в ширине щели 8 раз. Какова ширина нулевого максимума в дифракционной картине, проецируемой линзой на экран, отстоящий от линзы на расстоянии / = 1 м?
На непрозрачную пластинку с узкой щелью нормально падает монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующий второй светлой дифракционной полосе, равен Г. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?
На расстоянии 2 м от точечного монохроматического источника света (九=5 • 10-7 м)находится экран. Посредине между источником и экраном расположена непрозрачная ширма с отверстием радиусом 1 мм. Ширму перемещают к экрану на расстояние 0,75 м. Сколько раз при ее перемещении будет наблюдаться темное пятно в центре дифракционной картины на экране?
Каково наибольшее значение числа k (номер дифракционного максимума) для желтой линии натрия (九=589 нм) при нормальном падении лучей на щель шириной 2 мкм? Сколько всего наблюдается максимумов?
На решетку с периодом 6 • 10~5 м нормально падает монохроматический свет. Разность углов дифрагирования для максиму-
мов второго и первого порядков равна 4°36'・ Определите длину световой волны.
Длина волны монохроматического света 九=590 нм. Определите наибольший порядок максимума, который можно получить с помощью решетки, имеющей 500 штрихов на миллиметр, если: а) свет падает на решетку нормально; б) свет падает на решетку под углом 30°.
На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на 1 мм, нормально падает белый свет. Непосредственно за решеткой помещена линза с фокусным расстоянием 2 м, проецирующая спектры на экран. Диапазон длин волн видимого спектра Хф— 400 нм, Хк = 700 нм.
Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядка?
Во сколько раз спектр второго порядка на экране длиннее спектра первого порядка?
Какова разность углов отклонения конца первого и начала второго спектров?
На дифракционную решетку, имеющую 200 штрихов на 1 мм, нормально падает свет от разрядной трубки с водородом. Под каким наименьшим углом дифракции максимумы линий 九工=410,2 нм и 12 == 656,3 нм совпадают?
Ширина решетки / = 15 мм, период решетки d = 5 мкм. В спектре какого наименьшего порядка получаются раздельные изображения двух спектральных линий с разностью длин волн 2- 10-10м, если линии принадлежат диапазону крайней красной части видимого спектра (780 нм 十 700 нм)?
На щель шириной 10 мкм нормально падает монохроматический свет с длиной волны X = 6 • 10~7 м. Определите значения интенсивностей первого, второго и третьего максимумов, приняв интенсивность нулевого максимума за единицу.
Дифракционная решетка, имеющая 4000 штрихов на 1 см, используется в спектрографе. Вычислите линейную дисперсию спектрографа при объективе с фокусным расстоянием 1 м в спектре третьего порядка для длины волны 5 • 10~7 м.
Диаметр зеркала телескопа равен D = 2,6 м. Какой должна быть минимальная длина / отрезка на Луне, чтобы его изображение можно было бы отличить от изображения точки?
Диаметр Марса D = 3400 км. Минимальное расстояние между Землей и Марсом L = 78- 10е км. Может ли человек с нормальным зрением видеть Марс в виде диска? Каким должно быть минимальное угловое увеличение телескопа, чтобы изображение Марса можно было отличить от изображения звезды?
Угол раскрытия объектива (угол, под которым падают лучи от объекта на объектив) микроскопа 厶 2〃 = ^・ Определите: а) наименьшее расстояние между двумя точками объекта, рассматриваемого в микроскоп; б) наименьшее расстояние между двумя точками объекта, если пространство между объектом и объективом
заполнить иммерсионной жидкостью с показателем преломления п = 1,515 (кедровое масло).
Монохроматическое рентгеновское излучение длиной волны X = 0,0712 нм отражается от грани кристалла поваренной соли NaCl. Дифракционный максимум первого порядка наблюдается при угле скольжения 7°18'・ Определите расстояние между слоями кристаллической решетки NaCl (атомными плоскостями).
§ 5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА, ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ
Закон Малюса:
/ = /0 cos2 а,
где / — интенсивность света, прошедшего через анализатор и поляризатор; /0 — интенсивность света, вышедшего из поляризатора; а — угол между главными плоскостями анализатора и поляризатора (отражение от анализатора не учитывается).
Закон Брюстера:
tg а = 1/^2 = Ла
где а — угол падения светового луча на диэлектрик, при котором отраженный луч перпендикулярен преломленному；包 一относи- тельная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, на границе которого происходит отражение; ~ — относительный показатель преломления диэлектрика.
Формулы Френеля при отражении света от диэлектрика:
Е丄=(&))Е丄=(&))sin (а — у) sin (а + у)sin (а — у) sin (а + у),七|| = (EJii,七|| = (EJiitg (а — Y) tg(a + Y)'tg (а — Y) tg(a + Y)'
Е丄=(&))
Е丄=(&))
sin (а — у) sin (а + у)
sin (а — у) sin (а + у)
,七|| = (EJii
,七|| = (EJii
tg (а — Y) tg(a + Y)'
tg (а — Y) tg(a + Y)'
Здесь 七丄 ——составляющая напряженности электрического поля в отраженном свете, перпендикулярная плоскости падения; (Ео)± — составляющая напряженности электрического поля в падающем свете, перпендикулярная плоскости падения; £ц и (^ц —составляющие напряженности £, лежащие в плоскости падения; а —— угол падения света; у — угол преломления.
Разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, выходящими из кристалла, если направление падающего пучка перпендикулярно оси кристалла:
(P = 子也(% 一 叫
где X — длина волны в вакууме; п0 и пе ——соответственно показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей; h —— толщина кристалла.
Угол поворота плоскости поляризации света в оптически активных кристаллах
ср —■ а/, где а — удельное вращение, зависящее от природы вещества, температуры и длины волны света в вакууме; I —путь света в кристалле.
Угол поворота плоскости поляризации света в растворах
<р = а。，
где а — удельное вращение, зависящее от природы оптически актнв~ ного вещества и растворителя; /—толщина слоя раствора; С — концентрация оптически активного вещества.
Разность показателей преломления анизотропной жидкости для необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света в направлении, перпендикулярном вектору напряженности электрического поля
Ап =牀 Е2,
где X ——длина волны света в вакууме, k — постоянная Керра, зависящая от природы вещества, длины волны и температуры.
Угол поворота плоскости поляризации при прохождении света через оптически неактивное вещество, находящееся в однородном магнитном поле индукции В,
Ф = VIB,
где V — постоянная Верде, зависящая от природы вещества и длины волны света; I — длина пути света в магнитном поле.
ВОПРОСЫ
Интенсивность естественного света /0. Каковы средние значения интенсивностей и амплитуд колебаний электрического вектора во взаимно перпендикул я р ных плоскостях, содержащих луч.
Какова интенсивность отраженного луча, если на изотропный диэлектрик падает под углом Брюстера луч плоскополяризованного света с электрическим вектором: а) перпендикулярным плоскости падения; б) лежащим в плоскости падения?
На рисунке 5.1 представлены графики, выражающие зависимости отношений потоков энергий в отраженной и падающей волнах от угла: / — свет поляризован в плоскости падения; II — свет поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.
Как, пользуясь таким графиком, определить угол Брюстера? Как изменится график при отражении света от среды с большим показателем преломления?
На пути пучка естественного света стоит поляризатор. Как будет меняться интенсивность света, падающего на экран, при вращении поляризатора вокруг направления луча? Как будет меняться интенсивность, если перед экраном поставить анализатор и его вращать вокруг луча, оставляя поляризатор неподвижным?
Как отличить естественный свет от света, поляризованного по кругу, или от смеси естественного света с кругополяризованным?
Как поляризован свет, падающий на анализатор, если при любом положении анализатора поле зрения оказывается просветленным?
Каким образом можно превратить плоскополяризованный свет в поляризованный по кругу и наоборот?
В некоторых установках, предназначенных для анализа поляризованного света, пучок света пропускают через равномерно вращающийся николь, а затем направляют на фотоэлемент. На какую частоту должен быть рассчитан усилитель фототока, если никоя ь вращается с угловой скоростью со?
Тонкая двоякопреломляющая пластинка помещена между двумя призмами Николя. Почему при рассматривании пластинки через николь-анализатор ее поверхность кажется окрашенной? При каком положении анализатора относительно кристаллической пластинки цветное окрашивание не наблюдается?
На рисунке 5.2 изображена установка, где S — источник монохроматического света; Wx и У2 — николи; К — пластинка одноосного кристалла. Что будет наблюдаться на экране Э при вращении кристалла вокруг луча, если оптическая ось кристалла: а) перпендикулярна направлению распространения света; б) совпадает с направлением распространения света?
Почему не наблюдается интерференция лучей, вышедших из пластинки двоякопреломляющего кристалла, настолько тонкой, что она не дает заметного разделения лучей? Что следует сделать для наблюдения интерференции?
Рис. 5.3Рис. 5.3На рисунке 5.3 представлена в виде полярной диаграммы зависимость мощности Р потока поляризованного света, прошедшего сквозь призму Николя, от угла а между направлением короткой
Рис. 5.3
Рис. 5.3
Рис. 5.2
диагонали и плоскостью, в которой происходят колебания электрического вектора £0 в свете, падающем на призму. Какая существует аналитическая зависимость между мощностью Р° поляризованного потока, падающего на призму, и мощностью Р потока, прошедшего призму? Какова амплитуда электрического вектора Е, вышедшего из призмы, если а = 60°? Изобразите полярную диаграмму, показывающую такую же зависимость для света, частично поляризованного. Как, пользуясь аналогичной диаграммой для эллиптически поляризованного света, определить направление и отношение полуосей эллипса?
Какими способами можно получить из оптически изотропного вещества анизотропное?
Предположим, что зонная пластинка сделана из поляроида. Во всех четных зонах поляроид имеет одну ориентацию, во всех нечетных ориентация перпендикулярна четным зонам. Сравните действие такой пластинки с обычной зонной пластинкой.
Плоско-выпуклая стеклянная линза с малой кривизной сферической поверхности лежит на плоской металлической поверхности. Будут ли наблюдаться кольца Ньютона, если на линзу под углом Брюстера падает свет, поляризованный: а) в плоскости падения; б) перпендикулярно плоскости падения?
В оптических приборах поверхности оптических деталей покрывают тонкой пленкой, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла. Для чего это делают?
Ячейка Керра в сочетании со скрещенными поляризатором и анализатором используется в скоростной фотосъемке в качестве быстродействующего светового затвора. В этом случае на конденсатор ячейки Керра подаются периодически повторяющиеся прямоугольные импульсы напряжения (рис. 5.4). Длительность каждого импульса т0 = 10一8 с. Объясните действие такого затвора. Какова продолжительность экспозиции при съемке? Какова частота киносъемки?
Примеры решения задач
ииООПод каким углом должен падать пучок света из воздуха на поверхность жидкости, чтобы при отражении от дна стеклянного сосуда (拉I = 1,5), наполненного водой (п2 = 1,33), свет был полностью поляризован?
и
и
О
О
Решение
На границу воздух — вода падает естественный свет (/) под углом §・ Здесь он частично отражается (2), частично
преломляется (3) (рис. 5.5). Пучки лучей 2 и 5 света частично поляризованы: в пучке 2 электрический вектор преимущественно лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, в пучке 3 электрический вектор лежит преимущественно в плоскости падения.
По закону преломления
sin ₽ = nx sin а.(1)
На границу вода — стекло падает частично поляризованный свет под углом а. Здесь он частично отражается (4), частично преломляется (5).
Пучок лучей 4 должен быть полностью поляризован (электрический
л. т;л. т;вектор лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости па
л. т;
л. т;
а ——угола ——уголдения), при этом угол между пучками света 4 и 5 равен
а ——угол
а ——угол
полной поляризации.
По условию Брюстера, тангенс угла полной поляризации равен показателю преломления второй среды относительно первой:
tga = &,Л2tga= 1,125, а = 48°24-
Из уравнения (1) находим 0:
sin§ = 1,33, sin 48°24, = 0,994, р = 84°.
Для сравнения яркости освещения двух поверхностей одну из них рассматривают непосредственно, а вторую через два николя. Каково отношение яркостей, если освещение обеих поверхностей кажется одинаковым при угле между николями 70°? Каждый никоя ь поглощает 10% проходящей через него энергии.
Решение
Естественный свет интенсивностью /0 при переходе через поверхность призмы Николя разделяется на две световые волны (рис. 5.6): в направлении АН распространяется необыкновенная волна интенсивностью у и в направлении АО — обыкновенная волна интенсивностью —?
2
В месте склейки канадским бальзамом обыкновенная волна претерпевает полное отражение, а необыкновенная проходит, претерпев небольшое преломление.
Через первую призму Нико- / 47V^ 丿“乙不~712 ля проходят только колебания,Н‘、/、у/ »
лежащие в плоскости чертежа, z причем 0,1 проходящей энергии'
поглощается николем.рис 5 6
Интенсивность света, прошедшего через первый николь, А = 0,5 • 0,9 "у
По закону Малюса интенсивность света, прошедшего через второй николь (анализатор), пропорциональна интенсивности линейно поляризованного света, падающего на него, и квадрату косинуса угла между направлениями колебаний, падающих и пропускаемых анализатором.
Учитывая поглощение света вторым николем, получаем интенсивность прошедшего света:
/2 = 0,9 /г cos2 а = 0,5 • 0,81 • /； cos2 а.
При прохождении через два николя интенсивность света уменьшилась в ~ == 21 раз. Следовательно, яркость поверхности, наблюдаемой через два николя, в 21 раз больше.
Частично поляризованный свет проходит через николь. При повороте николя на 60° от положения, соответствующего максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в 2 раза. Пренебрегая поглощением света в николе, определите: а) отношение интенсивностей естественного и плоскополяризованного света; б) степень поляризации пучка.
Решение
При первом положении николя, соответствующем максимальной яркости, через николь проходит весь ранее поляризованный свет интенсивностью /п и поляризованный свет, интенсивность которого составляет половину интенсивности естественного света.
Интенсивность прошедшего света равна:
r=/"+0,5 厶.(1)
При втором положении николя прошедший свет имеет интенсивность:
/〃 = /п cos2600 + о,5/е=+ /е・(2)
42
По условию задачи /' = 2/".
Используя соотношения (1) и (2), получаем:
/п + 0,5/е = 2^7п + 0,5/еу откуда
/n =厶•
Следовательно, отношение интенсивностей естественного и плоскополяризованного света равно единице.
Степень поляризации определяется отношением интенсивности поляризованного света к общей интенсивности света, или отношением:
1S — I ри минимальная интенсивности в двух направлениях.1S — I ри минимальная интенсивности в двух направлениях.А где к и 1р — максимальная взаимно перпендикулярных
1S — I р
и минимальная интенсивности в двух направлениях.
1S — I р
и минимальная интенсивности в двух направлениях.
Максимальная интенсивность света, пропускаемого николем, 厶= /' = /“ +0,5/е =|/п.(4)
При этом положении плоскости поляризации николя и падающего света параллельны. При повороте николя на 90° свет, ранее поляризованный, не пройдет, а на экран будет падать свет с минимальной интенсивностью:
(5)
Используя определение степени поляризации (3) и уравнения (4) и (5), получаем:
А — 0,5.
Сложный объектив состоит из двух линз, одна из которых сделана из стекла с коэффициентом преломления 几丄=1,52, а другая ——из стекла с коэффициентом преломления и2 = 1,6. Во сколько раз уменьшатся в объективе потери света из-за отражений, если склеить линзы канадским бальзамом с коэффициентом преломления 拉з = 1,6? Определите потери света в склеенном объективе. Углы падения света на поверхности линз считать малыми.
Решение
В случае нормального падения света на границу двух сред с относительным показателем преломления м отношение потоков энергии Wf и W в отраженной и падающей волне для света, поляризованного как параллельно, так и перпендикулярно плоскости падения, одно и то же и равно:
吟=(1)
W (и+1)а
Учитывая, что по условию задачи угол падения на отражающую поверхность мал, получим, что от первой отражающей поверхности
отразится энергия
(/0 — интенсивность света, падающего на объектив).
Через первую поверхность пройдет энергия f2 = 0,957 /0. Эта энергия падает на вторую границу раздела двух сред. Энергия, отражающаяся от этой границы,
'з = 0,957 /0р2 = 0,957/0^ ^ °，
(Z)
т. е. на границе стекло — канадский бальзам отражения практически нет. Следовательно, склеивание канадским бальзамом ведет к уменьшению числа отражающих поверхностей в 2 раза и уменьшению потерь в результате отражения тоже в 2 раза.
Энергия /2 падает на границу стекло — воздух и частично отражается. Отраженная энергия
/ =/=0,053.
2 (п2+1)2
Через объектив пройдет свет интенсивностью
/5 = 0,947/2 = 0,947 • 0,957 • /0 = О,9О6/о.
Потери энергии при отражении во всем объективе составляют 0,094 /0 или 9,4% падающей энергии.
Задачи для самостоятельного решения
Определите угол полной поляризации при отражении света: а) от стекла; б) от границы лед — вода.
Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были бы наиболее полно поляризованы?
Определите коэффициент преломления: а) непрозрачной эмали, для которой угол полной поляризации при отражении оказался равным 58°; б) прозрачного вещества, для которого предельный угол полного отражения равен углу полной поляризации.
Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный сосуд, и отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при падении его на дно сосуда под углом 42°37,. Определите: а) показатель преломления жидкости; б) угол, под которым должен падать на дно сосуда луч света, идущий в этой жидкости, чтобы наступило полное отражение.
Определите угол полной поляризации для луча, отраженного от поверхности черного стекла (п = 1,65). Под каким углом к отраженному лучу нужно поставить второе такое же стекло (диэлектрическое зеркало), чтобы уменьшить интенсивность луча еще в 2 раза?
Каким должен быть преломляющий угол у стеклянной призмы, чтобы углы входа и выхода луча из призмы были углами полной
Рис. 5.7Рис. 5.7поляризации? Чему равен при таком преломляющем угле угол наименьшего отклонения?
Рис. 5.7
Рис. 5.7
Естественный луч 1 света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку. Угол падения равен углу полной поляризации. При таком угле падения на стекло интенсивность отраженного луча составляет около 0,1 от интенсивности падающего естественного света. Определите интенсивность естест
венного и поляризованного света в лучах 1, 2, 3, 4 (рис. 5.7), приняв интенсивность падающего луча за единицу. Поглощением света в пластинке можно пренебречь.
5・8. Естественный свет падает на стекло (拉—1,54) под углом полной поляризации. Пренебрегая потерями света, определите: а) коэффициент отражения; б) степень поляризации отраженных лучей и лучей, прошедших в стекло.
Пользуясь формулами Френеля, определите коэффициент
отражения света при нормальном падении света на границу раздела вакуум — диэлектрик. Выразите этот коэффициент через показатель
преломления диэлектрика.
Естественный свет проходит сквозь плоскопараллельную стеклянную пластинку (拉=1,5), падая на нее под очень малым углом. Пренебрегая потерями света, определите интенсивность
света, вышедшего из пластинки.
В некотором оптическом приборе естественный свет проходит последовательно через две линзы, сделанные из стекла с показателем преломления п* = 1,6. Считая углы падения света на линзы малыми, определите долю света, прошедшего через прибор. Во сколько раз изменятся потери энергии из-за отражения при нанесении на поверхность линз прозрачного слоя из материала, имеющего показатель преломления п2 = 1,3?
При падении света на границу воздух ——стекло (п = 1,6) под углом 58° отражается 8,3% падающей энергии. Какова степень поляризации отраженного и прошедшего в стекло света?
Главные плоскости двух призм Николя образуют между собой угол в 30°. Как изменится интенсивность прошедшего света, если главные плоскости поставить под углом 45°? Чему равен угол между главными плоскостями двух николей, если после прохождения через них света его интенсивность уменьшилась в 4 раза?
Поглощение света в николе таково, что наибольшая ин
тенсивность поляризованного света, прошедшего сквозь николь, составляет 90% интенсивности поляризованного света, падающего на него. Во сколько раз уменьшится интенсивность, если свет пройдет последовательно через три николя, расположенные так, что плоскости поляризации первого и третьего совпадают, а плоскость поляризации второго образует с этими плоскостями угол 63°?
5Л5. Поляроид пропускает частично поляризованный свет. Какова степень поляризации, если известно, что отношение минимальной и максимальной амплитуд колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях равно 0,2?
На пути светового пучка стоят два поляроида с параллельными плоскостями поляризации. Во сколько раз изменится интенсивность света, прошедшего через поляроиды, при повороте одного из них на 90°, если каждый поляроид пропускает свет со степенью поляризации 0,9?
Частично поляризованный пучок света проходит через николь. Интенсивность пучка увеличивается вчетверо, если повернуть николь на угол 60° от положения, соответствующего минимальной интенсивности. Какова степень поляризации пучка?
Пучок естественного света, длина волны которого в пустоте 589 нм, падает нормально на пластинку исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси. Толщина пластинки h = =0,03 мм; п0 = 1,658; пе = 1,486. Определите длину волны в кристалле обыкновенного и необыкновенного лучей, разность хода лучей, прошедших через пластинку. Какой наименьшей толщины нужно сделать пластинку, чтобы для этого света она была «четвертьволновой»?
Постройте, пользуясь принципом Гюйгенса, направление преломленных волн в одноосном положительном кристалле для следующих случаев: а) оптическая ось перпендикулярна к плоскости падения и параллельна поверхности кристалла; б) оптическая ось лежит в плоскости падения параллельно поверхности кристалла; в) оптическая ось лежит в плоскости падения под углом 45° к поверхности кристалла.
Пластинка кварца толщиной h = 1 мм, вырезанная перпендикулярно к оптической оси и помещенная между двумя параллельными николями, поворачивает плоскость поляризации на угол а = 20°. При какой толщине кварцевой пластинки свет этой же длины волны не будет выходить из второго николя?
Какой толщины пластинку кварца нужно поместить между скрещенными николями, чтобы поле зрения стало максимально светлым? Как в этой пластинке должна проходить оптическая ось? Опыт производится в монохроматическом свете 仇=500 нм). Удельное вращение кварца для этой длины волны 29,°7 на 1 мм.
Какова концентрация сахара в растворе, если угол поворота плоскости поляризации желтого света при прохождении его через трубку с раствором сахара равен 20°? Длина трубки 15 см. Удельное вращение сахара равно 66,°5 дм'1 при концентрации 1 г/см3.
На рисунке 5.8 показана схема демонстрационного опыта русского физика Н. А. Умова. Свет от монохроматического источника S проходит сквозь поляризатор 尸,а затем сквозь слегка замутненный раствор сахара в стеклянном сосуде В. В сосуде видна винтообразно расположенная темная полоса.
Рис. 5.8Рис. 5.8Рис. 5.9Рис. 5.9Рис. 5.10Рис. 5.10
Рис. 5.8
Рис. 5.8
Рис. 5.9
Рис. 5.9
Рис. 5.10
Рис. 5.10
Какова длина шага темного винта в растворе при следующих условиях: раствор содержит р = 650 г сахара на 9 = 1 л воды, плотность раствора D = 1,32 г/см3, освещение раствора производится светом с длиной волны 九=521 нм, для которого постоянная вращения равна а = 87° дм*"1.
Как изменится наблюдаемая картина, если пользоваться источником белого света?
Монохроматический свет 仇=404,7 нм) проходит сквозь поляроид Р (рис. 5.9) и падает на кварцевую пластинку К, имеющую форму клина, угол между гранями которого равен 0 = 7°48‘. Направление оптической оси в кварце показано штриховкой. Свет проходит в кварце пути порядка нескольких миллиметров. Постоянная вращения для указанной длины волны рав
на а = 48°9' мм"1. Почему наблюдатель, смотрящий через поляроид Л, видит полосы? Каково расстояние между ними?
Параллелепипед, вырезанный из плексигласа с линейными размерами а = 2Ь = 3d = 0,5 см, сжимается силой 尸 в направлении оси Z (рис. 5.10) и освещается плоскополяризованным монохроматическим светом (1 = 500 нм) в направлении оси X. Плоскость колебаний падающего света составляет с осью анизотропии угол 45°. Коэффициент фотоупругости плексигласа С = 2-10-11 м2/Н. При какой силе давления 户 свет выйдет из плексигласа поляризованным по кругу? Как в этом случае при поворотах анализатора Л относительно луча меняется освещенность экрана? Как будет меняться освещенность экрана при поворотах анализатора, если перед анализатором поставить «четвертьволновую» пластинку?
Между скрещенными николями помещена пластинка кварца, вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось пластинки составляет угол 45° с главными направлениями николей. Рассчитайте минимальную толщину пластинки, при которой одна линия водорода (九工=656,3 нм) будет сильно ослаблена, а другая 仇2 = 410,2 нм) будет обладать максимальной интенсивностью. Разность показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей этих длин волн в кварце Ап = 0,009.
В установке для наблюдения эффекта Керра плоский конденсатор с длиной пластин Z = 10 см заполнен нитробензолом и помещен между поляроидами. Через систему проходит монохроматический свет. Вектор напряженности электрического поля составляет с главным направлением поляризатора угол а = 45°. Определите постоянную Керра для нитробензола, если наименьшее значение напряженности электрического поля, при котором положение анализатора не влияет на поле зрения, равно Е^ = 106 В/м. Какова наименьшая напряженность поля конденсатора, если при скрещенных поляризаторе и анализаторе поле зрения имеет наименьшую освещенность? Изменится ли освещенность поля зрения, если, не изменяя напряженности, заменить светофильтр?
Ячейка Керра с расстоянием между электродами d = 1 мм заполнена нитробензолом и помещена между двумя скрещенными николями. Направление электрического поля в конденсаторе образует с главными направлениями николей угол а = 45°. Через систему проходит монохроматический свет с длиной волны, для которой постоянная Керра /< = 2,2- Ю"12 м/В2. Определите длину пути света в конденсаторе, если минимальное напряжение между пластинками конденсатора, при котороц интенсивность света, прошедшего через ячейку, при вращении николя-анализатора не меняется, равно U = 1 кВ.
Некоторое вещество помещено в продольное магнитное поле соленоида, расположенного между двумя поляроидами. Длина трубки с веществом Z = 30 см. При противоположных направлениях магнитного поля напряженностью " = 56,5-103 А/м углы поворота плоскости поляризации составляют q^ = +5° 10' и(р2 =——3°20'・ Определите постоянную Верде для вещества в трубке. При каком угле между поляроидами свет может проходить только в одном направлении, т. е. система служит оптическим вентилем? Какова при этом минимальная напряженность магнитного поля?
§ 6. СКОРОСТЬ СВЕТА. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА.
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Скорость света в изотропной непоглощающей среде:
U = ИЛИ。= JУфп'
где с — скорость света в вакууме (с = 3-108 м и4); 8 — относительная электрическая проницаемость среды;卩 ——относительная магнитная проницаемость среды; п — показатель преломления вещества.
Фазовая скорость:
О = — =
Групповая скорость (скорость распространения энергии): и = v— X— (формула Рэлея).
В области нормальной дисперсии 〃 V %
в области аномальной дисперсии 〃 > и, но всегда и < с.
Эффект Доплера
где v0 ——частота колебаний источника; v ——частота, воспринимаемая наблюдателем; 卩=—;и — относительная скорость наблюдателя и источника колебаний.
При малых Р V = v0 (1 土
Зависимость показателя преломления от длины волны в области нормальной дисперсии выражается формулой Коши:
где Л, В, С, ... — постоянные величины, определяемые для каждого вещества опытным путем; Хо ——длина волны в вакууме. Обычно в формуле Коши ограничиваются двумя первыми членами.
Электронная теория дисперсии дает зависимость показателя преломления от частоты колебаний вектора £:
2- N或 1
n2 = 1 Не0^ 若—
где £()——электрическая постоянная; N — концентрация электронов; т и е — соответственно заряд и масса электрона;①。—собственная частота колебаний электронов среды;①一частота колебаний излучения.
При(о ^ соо формула неприменима (область поглощения). Область частот со ->соо — область аномальной дисперсии.
Масса частицы с нулевой массой покоя (фотона):
£
т =—,с2
где Е =加(力一постоянная Планка; Л = 6,62,10~34 Дж-с). Импульс этой частицы
p ——・
Закон сложения скоростей в специальной теории относительности:
1+下
где и!—относительная скорость; и — переносная скорость; 〃一 абсолютная скорость.
ВОПРОСЫ
Какие методы определения скорости света вам известны?
Какие экспериментальные методы позволяют определить величину показателей преломления различных газов и зависимость показателя преломления данного газа от давления?
Распространение какого параметра колебаний характеризуется фазовой скоростью волны?
Какую величину называют групповой скоростью?
Объясните, почему все экспериментальные методы определения скорости света дают значения групповой скорости.
Каким соотношением связаны групповая и фазовая скорости?
В каком случае групповая и фазовая скорости равны?
Какую величину принято называть средней дисперсией вещества в диапазоне длин волн от 九工 до Х2?
Какую величину называют дисперсией вещества для данной длины волны?
Как групповая скорость связана с дисперсией вещества?
Почему аномальная дисперсия наблюдается в области поглощения и вблизи от нее?
Как экспериментально обнаруживаются области аномальной дисперсии среды?
Начертите примерный график зависимости показателя преломления от длины волны в области полосы поглощения.
При каких условиях применимы формулы преобразования Галилея и когда следует применять формулы преобразования специальной теории относительности?
Как сказывается быстрое движение тела на плотности вещества этого тела?
Примеры решения задач
Установка для измерения скорости света, предложенная Фуко, состоит из линзы (рис. 61), зеркала qq, вращающегося вокруг перпендикулярной чертежу оси С, неподвижного зеркала Л и источника света S, находящегося в фокальной плоскости линзы. Какое значение скорости света получили, если зеркало аа вращалось с угловой скоростью со = 1600 л c~i; расстояние между вращающимся и неподвижным зеркалами / = 4 м, фокусное расстояние
линзы 尸=1 м и смещение изображения источника света х = 0,28 мм?
Решение
Так как лучи после преломления в линзе и после отражения от вращающегося зеркала идут параллельными пучками, то источник света S и его изображение S' находятся на пересечении фокальной плоскости линзы и оптических осей OS и OS'. Следовательно, угол поворота пучка лучей
при этом зеркало повернулось на угол
Такой поворот зеркала произошел за время / =—.
Значит, за это время свет прошел расстояние, равное 2/. Скорость света
222/(о4/(о4 辽 со
u —===.
Zаф х
Вычисления дают “ = 2,87-108 м/с.
Найдите зависимость между групповой скоростью 〃 и фазовой скоростью V для следующих законов дисперсии:
а) и = ；р^; 6) и = bk\ в) и
где а, b, с — некоторые постоянные;儿瓦 со ——соответственно длина волны, волновое число и циклическая частота.
Решение
Воспользуемся формулой
а)券а)券a dvU = V — Л —.Л.3I130大 22a dvU = V — Л —.Л.3I130大 223 尸;3 尸;в) ив) и2nb 0 =2nb 0 =4л2у24л2у2—2期t, 〃 = 2u; dA>—2期t, 〃 = 2u; dA>1 и = — и.31 и = — и.3Н、иН、и£7£7113. Показатель преломления воздуха при для желтой линии натрия (入=5893-10~10 м)3. Показатель преломления воздуха при для желтой линии натрия (入=5893-10~10 м)нормальных условияхнормальных условиях% = 1,0002918.% = 1,0002918.делите показатель преломления п2 воздуха при температуре и давлении 3-106 Па.делите показатель преломления п2 воздуха при температуре и давлении 3-106 Па.Опре- 30℃Опре- 30℃
а)券
а)券
a dvU = V — Л —.
Л.3I13
0大 22
a dvU = V — Л —.
Л.3I13
0大 22
3 尸;
3 尸;
в) и
в) и
2nb 0 =
2nb 0 =
4л2у2
4л2у2
—2期t, 〃 = 2u; dA>
—2期t, 〃 = 2u; dA>
1 и = — и.
3
1 и = — и.
3
Н、и
Н、и
£
7
£
7
1
1
3. Показатель преломления воздуха при для желтой линии натрия (入=5893-10~10 м)
3. Показатель преломления воздуха при для желтой линии натрия (入=5893-10~10 м)
нормальных условиях
нормальных условиях
% = 1,0002918.
% = 1,0002918.
делите показатель преломления п2 воздуха при температуре и давлении 3-106 Па.
делите показатель преломления п2 воздуха при температуре и давлении 3-106 Па.
Опре- 30℃
Опре- 30℃
Решение
Области поглощения в спектрах азота кислорода и натрия не совпадают, поэтому для решения задачи используем уравнение
(1)(1)1 +丝・一叫 s；
(1)
(1)
Полагая, что концентрация электронов прямо пропорциональна концентрации молекул или массе единицы объема вещества, а масса пропорциональна плотности, можем записать:
⑵⑵N\ = Pi.“2 Р2
⑵
⑵
Циклическая частота обращения электронов в атоме не зависит от температуры вещества, так что 5 = const.
Отношение 迎 определим из системы уравнений Клапейрона —— Ра
Менделеева для двух состояний газа:
PlPl于А，"广弋跖，于А，"广弋跖，
Pl
Pl
于А，"广弋跖，
于А，"广弋跖，
откуда
Pi = PiA
ps p$7\
Уравнение (1) также используем для составления системы уравнений двух состояний газа:
откуда
П2 — 1“2 Р2 Р2Tl
Разрешая полученное уравнение относительно п2, получаем:
(九；一1)"271 I ] 一晒一・
Вычисления дают: n2 = 1,00793.
4. Показатель преломления прозрачного вещества для небольшого интервала длин волн, вдали от линий поглощения, связан с длиной волны соотношением
(1)
Определите: а) дисперсию вещества; б) фазовую скорость; в) групповую скорость.
Решение
Дисперсия т) показывает зависимость изменения показателя преломления 拉 от изменения длины волны X:
Дифференцируя (1), получаем:
28л3
следовательно, дисперсия нормальная.
Фазовая скорость света в веществе
V == —,V ==V == —,V ==或2或2в) Групповая скоростьв) Групповая скоростьa dv и = V —— Л 秋a dv и = V —— Л 秋
V == —,V ==
V == —,V ==
或2
或2
в) Групповая скорость
в) Групповая скорость
a dv и = V —— Л 秋
a dv и = V —— Л 秋
ду — 2kcB— с"(4М— 8)
加=(4炉+8产" (仆+ B)；
С какой скоростью удаляется от Солнечной системы некоторая туманность, если линия водорода 九=434 нм в ее спектре смещена в сторону длинных волн на 13 нм?
РешениеСмещение спектральной линии ДоплераРешениеСмещение спектральной линии Доплерапроизошло вследствие эффектапроизошло вследствие эффектаV1 + — сV1 + — суу(1)(1)Так какТак как』％ упрощая』％ упрощаяподкоренное выражение, соот-подкоренное выражение, соот-ношение (1) запишем в виде:ношение (1) запишем в виде:
Решение
Смещение спектральной линии Доплера
Решение
Смещение спектральной линии Доплера
произошло вследствие эффекта
произошло вследствие эффекта
V
1 + — с
V
1 + — с
у
у
(1)
(1)
Так как
Так как
』％ упрощая
』％ упрощая
подкоренное выражение, соот-
подкоренное выражение, соот-
ношение (1) запишем в виде:
ношение (1) запишем в виде:
九+A% X с + j 〈入十 АХ / с + и
Разрешая последнее уравнение относительно о, получаем:
\ X + ЛХ /
Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,89 с, испустил фотон в направлении своего движения. Определите скорость фотона относительно ускорителя.
Решение
Применим формулу релятивистского сложения скоростей
и =〃
ufv
Фотон — квант света, его скорость с (скорость света), тогда
0,89с+с — J.
0,89 с-с
Скорость света в вакууме не зависит от скорости источника света и одинакова во всех инерциальных системах отсчета (2-й постулат Эйнштейна).
Задачи для самостоятельного решения
При определении скорости света по способу Физо зеркало отстояло от зубчатого колеса на расстоянии / = 8633 м. Колесо имело N = 720 зубцов и столько же промежутков. Для
наблюдателя свет исчезает впервые при v = 12,6 об/с. Какое значение скорости света было получено при этих условиях?
Каким должно быть смещение % изображения источника света в опыте Фуко (см. рис. 6.1), если расстояние между неподвижным и вращающимся зеркалами / = 10 м, зеркало аа делает 500 об/с, фокусное расстояние линзы F = 1,25 м? Путь между зеркалами свет проходит в воде (п =4/»). Скорость света принять равной 3-108 м/с.
Насыщающие пары бензола (С6Н6) для света, длина волны которого % = 5893-10*"10 м (желтая линия натрия), при температуре 40° С и давлении 7,6 мм рт. ст. имеют показатель преломления «! = 1,001812, Чему равен показатель преломления этого газа при температуре 400° С и давлении 60,6 мм рт. ст?
Показатель преломления некоторого прозрачного вещества при длине волны света 1Х равен nlt а при длине волны 入？ равен 力2 (入 1 > 九2，拉 1 < 九2). Определите отношение групповой и фазовой скоростей света в этом веществе для света с длиной волны 入—从 —%2
-~2—,
Показатель преломления сероуглерода для света, длина волны которого соответственно равна 九工=589 нм, Х2 == 527 нм и Х3 = 656 нм, имеет следующие значения:拉】=1,629, п2 = 1,642, 〃з = 1,620. Определите соотношение между средней фазовой и средней групповой скоростью в интервалах длин волн 九】一Х3 и 九 1 — Х2. В каком из этих интервалов дисперсия больше?
Коэффициент преломления воды в интервале длин волн от 546 до 589 нм меняется от 1,33447 до 1,33300. Определите среднюю фазовую и среднюю групповую скорости света для этого интервала длин волн.
Вычислите групповую скорость для различных законов дисперсии, если фазовая скорость: a)以=а; 6)。2 =匕/九； в) & = с», где а, Ь, о — некоторые постоянные; k — волновое число.
6・8・ С какой скоростью по направлению к Земле должен лететь космический корабль, чтобы луч лазера, направленный с Земли на корабль (длина волны рубинового лазера Хо = 694,3 нм), показался наблюдателю, находящемуся на корабле, зеленым (九=555 нм)?
Каково доплеровское смещение А九 линии водорода Hj (九=486,1 нм) при наблюдении вдоль пучка водородных каналовых лучей, имеющих среднюю скорость и = 1,3-108 см/с?
При помощи приемника радиолокационной станции определяют скорость приближения самолета по частоте биений между частотой сигнала передатчика и частотой отраженных от самолета сигналов. На какой длине волны должен работать радиолокатор, чтобы приближающийся со скоростью и = 800 км/ч самолет дал частоту биений Av = 400 Гц?
§ 7. КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТИКЕ
Энергия и импульс фотона соответственно равны:
七=И (О, р =—,
где со — циклическая частота излучения; h — постоянная План- ка: ft =—.
2л
Закон сохранения энергии при фотоэффекте: 力①=4 + ^ ти^акс = 4 + е〃，
где Л — работа выхода электрона из металла.
Максимальная кинетическая энергия электрона может быть определена через запирающее напряжение на фотоэлементе:
7^макс = «4 ・
Световое давление, возникающее за счет передачи фотонами импульса при соударении с преградой:
р = (1 +R)N 也= /1±^,
где — — импульс фотона; ^ — число фотонов, падающих на единичную площадку в единицу времени; R — коэффициент отражения (по энергии); / ——световой поток, падающий на единичную площадку в единицу времени.
Эффект Комптона — изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на свободных электронах:
ДХ = —(1—cosp),
где В — угол рассеяния; = Л — комптоновская длина волны (Л = 0,00242 нм).
ВОПРОСЫ
Изобразите вольт-амперную характеристику вакуумного фотоэлемента при освещении его монохроматическим светом. Как изменится вид вольт-амперной характеристики, если, не меняя велишь ны светового потока, изменить длину волны падающего света?
Как изменится вольт-амперная характеристика фотоэлемента, если, не меняя длину волны падающего света, увеличить световой поток?
Начертите график, показывающий зависимость величины запирающего напряжения U3 от циклической частоты со падающего на некоторый металл излучения. Здесь же покажите, как
зависит 〃‘з от со для металла, имеющего большую работу выхода. Как при этом изменилась «красная граница» фотоэффекта? Как, пользуясь таким графиком, определить постоянную Планка?
Как интенсивность монохроматического светового потока связана с энергией фотонов, входящих в состав данного потока?
Как объясняется возникновение светового давления с волновой точки зрения?
Эффект Комптона наблюдается при рассеянии фотонов на свободных электронах. Какие электроны в веществе можно считать свободными?
Почему эффект Комптона не наблюдается при рассеянии видимого света?
Примеры решения задач
Световой поток, состоящий из п = 5- W фотонов света, обладающих энергией, соответствующей длине волны X = 300 нм, падает на фоточувствительный слой, чувствительность которого 々=4,5 mA/Вт. Найдите количество фотоэлектронов, освобождаемых таким импульсом света.
Решение
Чувствительностью фотоэлемента принято называть величину фототока, вызванного световым потоком единичной мощности
Р
Время облучения фотокатода светом и время протекания фототока одно и то же (процесс безынерционный).
Энергия импульса, содержащего 拉 квантов:
Е == пй2л 工・
Мощность, переданная этим импульсом фотокатоду,
где / — время облучения.
Заряд, переносимый ^ электронами, вырванными импульсом света с катода, q = Ne.
Этот заряд создает фототок
. Ne
где f — то же время облучения; е — заряд электрона.
Следовательно, чувствительность фотоэлемента может быть выражена так:
tnh g • 2ntnh g • 2n九力■ 2не九力■ 2неh- Ne %/ 一N 永
tnh g • 2n
tnh g • 2n
九力■ 2не
九力■ 2не
откудаоткудаNNknh • 2«cknh • 2«c
откуда
откуда
N
N
knh • 2«c
knh • 2«c
Подстановка числовых данных приводит к результату:
^ = 930.
Поверхность металла освещается светом с длиной волны 九 = 350 нм. При некотором задерживающем потенциале фототок становится равным нулю. При изменении длины волны на 50 нм задерживающую разность потенциалов пришлось увеличить на 0,59 В. Считая постоянную Планка и скорость света известными, определите заряд электрона.
Решение
Явление фотоэффекта описывается уравнением Эйнштейна, выражающим закон сохранения энергии для одного фотона и электрона:
где Лео ——энергия фотона; Д ——работа выхода для данного металла; —кинетическая энергия электрона.
Энергия электрона — может быть заменена выражением ell^ где U3 — разность потенциалов между катодом и анодом, полностью задерживающая фототок.
Если при изменении длины волны света, вызывающего фототок, пришлось увеличить запирающий потенциал, значит, длина волны уменьшилась.
Дважды записываем уравнение Эйнштейна:
人人 — а 人
откуда иоткуда и
откуда и
откуда и
Вычисления дают: е = 1,6-10*19 Кл.
Определите давление лучей Солнца: а) на поверхность черного тела, помещенного на таком же расстоянии от Солнца, как и Земля; б) на поверхность тела, отражающего все лучи; в) на поверхность стеклянной пластинки, отражающей 4% энергии солнечных лучей и поглощающей 6% этой энергии. Угол падения лучей во всех случаях равен нулю, интенсивность солнечной радиации /0 = 1,35・ 10Т Д*・м-2・ст.
Решение
Световое давление на поверхность тела с коэффициентом отражения R рассчитывают по формуле:
p，(l+R),
где / — интенсивность светового потока; с — скорость света.
2)Ра =—；
Рб =
Давление на стеклянную пластинку возникает в результате отражения и поглощения света; свет, проходящий через пластинку, давления не создает.
Следовательно,
Рв =Pi + %
где pi — давление, оказываемое при отражении света, а 厶—давление, оказываемое при поглощении света.
% = 2厶，где 厶=4 • К)-?/。и р2 = —, где /2 = 6 • 1О-2/о.
Вычисления дают:凸=6,3-10'7 Н/м2.
Длина волны рентгеновского излучения, падающего на вещество со свободными электронами, Хо = 0,003 нм. Какую энергию приобретает комптоновский электрон отдачи при рассеянии фотона под углом 60°?
Из закона сохранения энергии следует:
е9а = Я • 2冗 力• 2Л -—-—
%% +А入
Эффект Комптона описывается формулой:
АХ = Л(1 — cos Р),
откуда А九=0,0024-0,5 нм = 0,0012 нм.
После вычислений имеем: £эл = 120 кэВ.
Покажите, что свободный электрон при движении в вакууме не может полностью поглотить фотон и не может излучать энергию.
Решение
Свободный электрон не может поглотить фотон и не может излучать энергию; это утверждение вытекает из законов сохранения энергии и импульса.
Закон сохранения энергии для фотона и свободного электрона:
力(0 =加卢2( у(]^_ — 1), где р = .・(1)
Закон сохранения импульса:
遍二瀛二или(2)
сУ ]_ 俨 С /1 -Р2'
(так как эти импульсы антипараллельны).
Совместное решение уравнений (1) и (2) дает два значения для Р : р = 0 и р = 1 (после раскрытия неопределенности). Но электрон не может приобрести скорость, равную скорости света, % обладая импульсом, не может иметь скорость, равную нулю, следовательно, оба значения лишены физического смысла.
Для излучающего электрона закон сохранения энергии выглядит так:
ноноm = , ?=> mn, ]/Г—伊 0m = , ?=> mn, ]/Г—伊 0m0c2 = тс2 + Ло, следовательно, предположениеm0c2 = тс2 + Ло, следовательно, предположениео возо воз
но
но
m = , ?=> mn, ]/Г—伊 0
m = , ?=> mn, ]/Г—伊 0
m0c2 = тс2 + Ло, следовательно, предположение
m0c2 = тс2 + Ло, следовательно, предположение
о воз
о воз
можности излучения свободным электроном энергии также лишено смысла.
Задачи для самостоятельного решения
Селеновый фотоэлемент имеет чувствительность по току, равную 200 мкА/лм. Принимая, что такая чувствительность имеет место при освещении фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны 550 нм, определите число фотонов, приходящихся на 1 электрон, участвующий в фототоке.
Определите энергию одного фотона: а) для красного света (九 = 600 нм); б) для жестких рентгеновских лучей (Z = 0,1 А).
Средняя длина волны излучения лампочки накаливания X = 12-102 А. Найдите число фотонов, испускаемых 200-ваттной лампочкой в единицу времени (считать, что вся потребляемая мощность идет на излучение).
Найдите массу фотона: а) монохроматического света (入=5-10-7 м)； б) рентгеновских лучей (九=0,025 нм); в) гамма- лучей (X = 1,24-10'3 нм).
Какова длина волны света, масса фотона которого равна массе покоящегося электрона?
Найдите импульс фотона (九=500 нм). Сравните его с импульсом молекулы водорода при комнатной температуре. Массу молекулы водорода считать равной 2,35-10~27 кг.
При какой длине волны импульс фотона будет равен импульсу молекулы водорода при комнатной температуре?
Монохроматический пучок параллельных световых лучей падает нормально на щель и создает на экране дифракционную картину. Найдите энергию и импульс фотонов светового потока, если ширина щели b = 5 мм, а первый минимум возникает в направлении угла ф = 6°.
На дифракционную решетку с постоянной d = 3- Ю"6 м падает нормально плоский монохроматический световой поток. Углы дифракции, отвечающие двум соседним максимумам на экране, соответственно равны ⑶几=23°35, и (рп+1 = 36°52'・ Вычислите энергию фотонов данного светового потока.
Чему равны максимальные скорости фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цезия и платины излучением с длиной волны: а) % = 185 нм; б) Х2 = 422,7 нм?
«Красная граница» фотоэффекта для калия соответствует длине волны 10 == 577 нм. Вычислите минимальную энергию кванта, необходимую для освобождения фотоэлектрона из данного металла.
«Красная граница» для цезия Хо = 6,6-10*~7 м. Найдите: а) работу выхода электронов из цезия; б) максимальную скорость и энергию электронов, вырываемых из цезия излучением с длиной волны X = 220 нм.
Медный шарик, удаленный от других тел, облучают монохроматическим светом с длиной волны X = 2-10~4 м. До какого максимального потенциала зарядится шарик, теряя фотоэлектроны?
Плоскую цинковую пластинку освещают излучением со сплошным спектром, коротковолновая граница которого соответствует длине волны 九=30 нм. Вычислите, на какое максимальное расстояние от поверхности пластинки может удалиться фотоэлектрон, если вне пластинки имеется задерживающее однородное электрическое поле с напряженностью £ = 10 В/см?
7・15・ Фотоэффект у некоторого металла начинается при частоте падающего света v0 = 6- Ю14^1. Определите частоту света, при которой освобождаемые им с поверхности данного металла электроны полностью задерживаются разностью потенциалов в 3 В. Найдите работу выхода для данного металла.
При освещении некоторого металла излучением с длиной волны % = 279 нм задерживающий потенциал равен 0,66 В, при длине волны Х2 = 245 нм задерживающий потенциал становится равным 1,26 В. Считая заряд электрона и скорость света известными, определите постоянную Планка и работу выхода электрона из данного металла.
Квант света длиной волны Л = 232 нм освобождает с поверхности платинового электрода фотоэлектрон. Определите импульс, сообщаемый при этом электроду, если известно, что фотоэлектрон вылетает навстречу падающему кванту.
Интенсивность параллельного монохроматического светового потока / = 30 Дж/(м2-с). Определите, пользуясь квантовыми п редставлени я ми, импульс, переносимый данным потоком за время t = 5 с через площадку S = 100 см2.
Найдите величину нормального давления на плоскую поверхность при отражении параллельного светового потока с интенсивностью / = 3,5-103 Дж/(м2-с), если коэффициент отражения R = 0,6, а угол падения i = 60°.
Часть стенки колбы электролампы накаливания, представляющей сферу радиусом /• = 4 см, посеребрена и является зеркально отражающей. Лампа потребляет мощность 50 Вт, из которых 90% идет на излучение. Что больше: давление газа в колбе (IK мм рт. ст.) или световое давление на посеребренную часть стенки?
Поверхность площадью 100 см2 каждую минуту получает 63 Дж световой энергии. Найдите световое давление в случаях, когда поверхность: а) полностью отражает все лучи и б) полностью поглощает все падающие на нее лучи.
Прибор Г1. Н. Лебедева для исследования светового давления на твердые тела состоял из легкого подвеса на тонкой нити, к которому были прикреплены тонкие и легкие крылышки, имевшие форму кружка диаметром 5 мм. Одно из крылышек было зачернено, а другое оставалось блестящим. Подвес помещался в откачанном сосуде, образуя весьма чувствительные крутильные весы. Определите силу светового давления на зачерненный кружок, если каждую минуту падает на него поток лучистой энергии 步= =6,3 Дж.
Прибор П. Н. Лебедева для измерения светового давления (см. предыдущую задачу) был снабжен зеркальцем, которое служило для зеркального отсчета угла закручивания нити подвеса. В одном из опытов отклонение зайчика по шкале, удаленной от зеркальца на расстояние 1,2 м, было равно 76 мм. Диаметр кружка 5 мм, расстояние от центра кружка до оси вращения 9,2 мм. Коэффициент отражения света от блестящего кружка R = 0,5. Постоянная кручения нити А = 2,2- Ю"11 Н• м/рад. Определите: а) световое давление на блестящий кружок; б) интенсивность падающего света.
Найдите световое давление на зачерненный кружок, если угол поворота нити в приборе П. Н. Лебедева (см. задачи 7.22 и 7.23) составил 10\
Длина волны света, падающего на вещество со свободными электронами,九=0,003 нм. Какую энергию приобретут электроны отдачи при рассеянии кванта под углом § = 60°?
При облучении вещества со свободными электронами рентгеновыми лучами с длиной волны 九=0,01 нм было обнаружено под углом р по отношению к первоначальному излучению излучение с длиной волны 九 = 九 + 0,0024 нм. Найдите угол рассеяния § и энергию, переданную электронам отдачи.
О
При облучении вещества фотонами с длиной волны 0,05 А рассеяние фотонов происходит под углом 0 = 20°. Каков импульс электрона отдачи?
Первоначальная длина волны падающего излучения А = 0,003 нм, скорость электрона отдачи равна 0,6 о (о — скорость света). Определите изменение длины волны и угол рассеяния фотона.
Найдите длину волны, соответствующую фотону, если известно, что энергия рассеянного фотона и электрона отдачи равны между собой при угле <р = 90° между направлениями их движений.
В одном из опытов по наблюдению комптоновского рассеяния было обнаружено, что угол рассеяния фотона § = 60* а электрон отдачи описал окружность радиусом р = 1,5 м в магнитном поле с индукцией В = 2-10~2 Тл, Найдите длину волны, соответствующую падающему фотону, если магнитное поле перпен* дикулярно плоскости движения электрона.
Какова энергия рассеянного фотона, если рассеяние произошло под углом В = 120° и энергия падающего фотона была 250 кэВ?
§ 8. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
(ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ)
Закон Кирхгофа:
М = а7Иг>
где М — интегральная энергетическая светимость1 с поверхности тела, имеющего температуру Т; а — коэффициент поглощения данного тела при температуре Т (коэффициент серости); 乂丁 一 интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела при температуре Т.
Закон Стефана — Больцмана: М = аоТ*
где аТ4 = Мт — интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела при температуре Т; а — поглощательная способность данного тела (коэффициент серости), о — постоянная Стефана — Больцмана (о = 5,67- Ю"8 Вт-м~2- К"4).
Спектральная энергетическая светимость абсолютно черного тела, являющаяся функцией температуры и длины волны (частоты), вычисляется по формуле Планка:
4几2С2力以7 2 Л无с ，
м(е — 1)
где с — скорость света в вакууме; й ——постоянная Планка;々—— постоянная Больцмана.
При подстановке численных значений постоянных (я, с, А,左) формула Планка принимает вид:
仙(е " — 1)
где q = 3,74 10~16 Вт-м2, % = 1,44-Ю"2 м-К.
丄 Интегральной энергетической светимостью называется поток энергии всех длин волн, излучаемых с единицы излучающей поверхности.
Первый закон Вина:
X ='，макс т，
где 九макс — длина волны, на которую приходится максимум спектральной светимости тела; Ьх ——первая постоянная Вина (% = =2,89 IO- м・К)・
Второй закон Вина:
小丁 макс =匕2『
где '仃макс — максимальная монохроматическая интенсивность излучения абсолютно черного тела (максимальная спектральная светимость); Ь ——вторая постоянная Вина (Ь? = 1,3 • 10~5 Вт-м~3х х КТ，
Закон Бугера:
где 1Х — интенсивность света, прошедшего в поглощающей среде путь х; /0 ——начальная интенсивность света в поглощающей среде; k — коэффициент поглощения.
ВОПРОСЫ
В чем основное отличие теплового излучения от других видов излучений: фото люминесценци и, хемилюминесценции, электролюминесценции, катодолюминесценции?
Можно ли Солнце считать абсолютно черным телом?
Как величина светового потока данного спектрального интервала связана с излучательной способностью тела?
Какой физический смысл имеет универсальная функция Кирхгофа?
Два одинаковых тела имеют одну и ту же температуру, ио одно из них находится в окружении более холодных тел, чем другое. Будут ли при этих условиях равны мощности излучения этих тел?
Объясните последовательность изменения цвета твердого тела при его нагревании.
Как изменится длина волны, соответствующая максимуму излучения абсолютно черного тела, если это тело окружить абсолютно поглощающей оболочкой с большей поверхностью, чем у тела, но излучающей такую же мощность, как и тело?
Какое предположение ввел Планк в рассмотрение задачи об обмене энергией излучения между телами?
Какой физический смысл имеет постоянная Планка?
В каком случае квантовый характер обмена энергией между телами переходит в классический?
Какой физический смысл имеет коэффициент поглощения k в формуле Бугера?
Зависит ли коэффициент поглощения 々 в формуле Бугера от длины волны? Приведите примеры.
Примеры решения задач
Найдите отношение энергетических светимостей электрических ламп накаливания, если температуры нитей накала соответственно равны: а) угольной ——7\ = 2100 К; б) вольфрамовой вакуумной —7\ = 2400 К; в) вольфрамовой газонаполненной ——Т3 = 2900 К; г) специальной фотографической ——7\ = 3200 К.
Считать, что мощности, потребляемые лампами от сети, равны; энергетическую светимость газонаполненной лампы можно принять за единицу.
Коэффициент серости угля а = 0,8, коэффициент серости вольфрама взять из таблицы IV.
Решение
Воспользуемся законом Стефана — Больцмана:
% = 77,8 - 10п Вт・м-2. 检=96,2 • 1(?】 Вт・м-2. М3 = 219,3 • 1011 Вт・м-2. 2И4 = 356.5 - 1011 Вт・м-2.% = 77,8 - 10п Вт・м-2. 检=96,2 • 1(?】 Вт・м-2. М3 = 219,3 • 1011 Вт・м-2. 2И4 = 356.5 - 1011 Вт・м-2.a) Mt = 01T：о (% = 0,8). б)此=а??!。(а2 =0,29). в) М3 = сХз^зО (а3 = 0,33).
% = 77,8 - 10п Вт・м-2. 检=96,2 • 1(?】 Вт・м-2. М3 = 219,3 • 1011 Вт・м-2. 2И4 = 356.5 - 1011 Вт・м-2.
% = 77,8 - 10п Вт・м-2. 检=96,2 • 1(?】 Вт・м-2. М3 = 219,3 • 1011 Вт・м-2. 2И4 = 356.5 - 1011 Вт・м-2.
г) М& = а4Г1о (备=0,34).
Отсюда
Mi ：此：此：此=0,36 : 0,44 : 1 : 1,43.
Определите длину волны, соответствующую максимуму энергии излучения лампы накаливания. Нить накала лампы имеет длину / = 15 см и диаметр d = 0,03 мм. Мощность, потребляемая лампой, Р = 10 Вт. Нить лампы излучает как серое тело с коэффициентом поглощения а = 0,3; 20% потребляемой энергии передается другим телам вследствие теплопроводности и конвекции.
Решение
(1)(1)По первому закону Вина
(1)
(1)
統акс —扌■•
Температуру нити находим, используя закон Стефана — Больцмана:
0,8Р = aoTFdZ.⑵
Выразив Т из соотношения (2) и подставив в (1), получим:
Вычисления дают: Хмакс == 1,2 • 10~6 м・
Металлический шар диаметром D и теплоемкостью С с начальной температурой 7。 остывает вследствие лучеиспускания.
Коэффициент поглощения а. Через сколько времени температура шара станет равной 7\?
Решение
Изменение внутренней энергии шара при остывании выражается формулой:
dE = —CdT,
где dT — изменение температуры.
То же изменение внутренней энергии можно выразить черезэнергетическую светимость, площадь поверхности шара и время:dE = MSdt =丄 MnD^dt.
4
Приравняем правые части:
—CdT = 1 Л1л W = LocoT/q2 dL44
Разделяем переменные:Разделяем переменные:«а。》4c«а。》4c或.或.
Разделяем переменные:
Разделяем переменные:
«а。》4c
«а。》4c
或.
或.
Интегрируя, получаем: 1 3戸Интегрируя, получаем: 1 3戸3TOCGD24c3TOCGD24c/ + 4/ + 4где А — постоянная интегрирования.где А — постоянная интегрирования.
Интегрируя, получаем: 1 3戸
Интегрируя, получаем: 1 3戸
3TOCGD24c
3TOCGD24c
/ + 4
/ + 4
где А — постоянная интегрирования.
где А — постоянная интегрирования.
При / = О Г =При / = О Г =ТогдаНаходим отсюда t:ТогдаНаходим отсюда t:
При / = О Г =
При / = О Г =
Тогда
Находим отсюда t:
Тогда
Находим отсюда t:
где гкт ——спектральная энергетическая светимость абсолютно черного тела:
4n2c2用Г % 7 =.
州(e九打-1)
Длина волны Л по условию задачи есть длина волны, соответствующая максимуму излучения, следовательно,
九=Ji。—~- и А九=九1 —九2 = 0,02%).
Используя полученные уравнения, имеем:
Рдх = aS /4.
2几方с25匕4Ес
100b： (e M - 1)I (e "A — 1)
Произведя вычисления, получим:
Рлх = 4,35 • Ют Вт.
Задачи для самостоятельного решения
Энергия излучения Солнца, падающая за пределами атмосферы Земли на 1 м2 поверхности, перпендикулярной солнечным лучам, за 1 с (солнечная постоянная), равна 1,35 • 103 Дж. Принимая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, определите: а) температуру поверхности Солнца; б) длину волны, соответствующую максимуму излучения Солнца. Расстояние от Земли до Солнца 15 • 1010 м. Радиус Солнца 6,96 • 108 м.
Мощность потока энергии, излучаемой из смотрового окошка мартеновской печи, Р = 2,17 кВт. Площадь смотрового окошка S = 6 см?. Определите температуру печи.
Нагретая до 2500 К поверхность площадью 10 см2 излучает в 1 с 6,7- 10а Дж энергии. Чему равен коэффициент поглощения поверхности?
Площадь поверхности вольфрамовой нити накала 25-ваттной вакуумной лампы S = 0,403 см2. Температура накала Г = 2177 К. Во сколько раз эта лампа излучает меньше энергии, чем абсолютно черное тело при тех же значениях поверхности и температуры? Каков коэффициент поглощения вольфрама при этой температуре?
Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током /х= 1 А до температуры 7\ = 1000 К. Какое значение должен иметь ток /2, чтобы температура нити была 7\ = 3000 К? Потерями энергии вследствие теплопроводности и изменениями линейных параметров нити пренебречь.
Термостат потребляет от сети мощность ^ = 0,5 кВт. Температура его внутренней поверхности, определенная по излучению из открытого круглого отверстия диаметром D = 5 см, равна 700 К. Какая часть потребляемой мощности рассеивается внешней поверхностью термостата?
Вольфрамовая нить диаметром d】=0,1 мм соединена последовательно с другой вольфрамовой нитью. Нити накаливаются в вакууме электрическим током, причем первая нить имеет температуру 7\ = 2000 К, а вторая — Т2 = 3000 К. Каков диаметр второй нити?
Мощность излучения абсолютно черного тела Р = 105 Вт. Чему равна площадь излучающей поверхности тела, если длина волны, на которую приходится максимум излучения, 九макс = 7 • 10-7 М?
Вследствие изменения температуры тела максимум его спектральной энергетической светимости переместился с 九丄=2,5 мкм до 九2 = 0,125 мкм. Тело абсолютно черное. Во сколько раз изменилась: а) температура тела; б) интегральная энергетическая светимость?
Максимальная спектральная светимость абсолютно черного тела Г"макс= 4」6 • 1011 Вт -м~2. На какую длину волны она приходится?
В электрической лампе вольфрамовая нить диаметром D = 0,05 мм накаливается при работе лампы до температуры 7\ = = 2700 К. Через сколько времени после выключения тока температура нити упадет до Т2 = 600 К? При расчете принять, что нить излучает как серое тело с коэффициентом поглощения а = 0,3 и энергия передается только излучением.
В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий форму куба, налита вода массой 1 кг при температуре & = 50° С, целиком заполняющая сосуд. Определите время остывания сосуда до температуры /2 = 10® С, если сосуд помещен в черную полость, температура стенок которой близка к абсолютному нулю.
Вычислите спектральную энергетическую светимость черного тела, нагретого до температуры Т = 3000 К для длины волны X = 500 нм.
Принимая положительный кратер электрической дуги за абсолютно черное тело, определите отношение мощности излучения в диапазоне длин волн от 九】=695 нм до Х2 = 705 нм к полной мощности излучения. Температура кратера дуги Т = 40bo К.
Мощность излучения, измеренная в интервале А^ = 0,5 нм вблизи длины волны, соответствующей максимуму излучения 1макс, равна мощности излучения в интервале ЛХ2 вблизи длины волны X = 2%макс・ Определите ширину интервала Д12.
Определите значения спектральных мощностей излучения абсолютно черного тела для следующих длин волн:九】= Хмако 九2 = 0,75 九макс,九9 ^ 0,5%макс,九4 = 0,25 Хмакс. Температура тела Г = 3000 К.
По найденным данным постройте график зависимости спектральной мощности излучения от длины волны.
Сколько фотонов за 1 с будет испускать 1 см2 поверхности абсолютно черного тела, нагретого до Т = 2400 К, если среднюю энергию кванта излучения считать равной 2,75 kT, где/г ——постоянная Больцмана?
Коэффициент поглощения вещества для монохроматического света равен k. Слой какой толщины этого вещества надо взять, чтобы ослабить свет: а) в 2 раза; 6) в е раз (е — основание натуральных логарифмов); в) в 10 раз?
Свет, представляющий собой совокупность двух монохроматических излучений с длинами волн 九^ и Х2, проходит в поглощающую среду. При падении на поверхность поглощающей среды интенсивности /01 и /02 равны, а на глубине е интенсивность света с длиной волны 九】в Z раза больше интенсивности света с длиной волны Х2. На какой глубине интенсивности будут отличаться в 10 раз?
Пластина (пленка) поляроида имеет толщину 0,05 мм. При падении на поляроид монохроматического света с длиной волны X = 500 нм интенсивность вышедшего света составляет 40% от интенсивности падающего света. Чему равен коэффициент поглощения поляроида?
Многие прозрачные для видимого света вещества сильно поглощают более коротковолновые электромагнитные колебания. Так, например, измерено, что поглощается 50% падающего излучения X = 350 нм слоем органического стекла толщиной 10 мм; X = =338 нм слоем толщиной 5 мм; X = 332 нм слоем толщиной 2 мм.
Чему равны коэффициенты поглощения органического стекла для этих трех длин волн?
Точечный монохроматический источник испускает световой поток Ф. На расстоянии / от источника находится плоскопараллельная пластина толщиной d, коэффициент поглощения которой линейно изменяется по толщине от значения kr до й2. Пренебрегая отражением света от поверхностей пластины, найдите интенсивность света, выходящего из нее.
Источник монохроматического света силой / кд находится в среде, коэффициент поглощения которой изменяется с расстоянием от источника света по закону 也 =自 ——а厶 где 瓦 ——коэффициент поглощения света непосредственно около источника, а — постоянный множитель, / ——расстояние от источника света.
Определите интенсивность света на расстоянии R от источника.
§ 9. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ БОРА
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): существуют некоторые стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает энергии.
Второй постулат Бора (правило квантования орбит)： mop =s м/1 (/?> ^1 1, 2, 3，…)，
где Й = —; й ——постоянная Планка; р ——радиус круговой 2л
орбиты; mu — импульс электрона.
Третий постулат Бора (правило частот):
Ер — Еп = 2л/Ь,
где V ——частота излучения при переходе с р-й на n-ю орбиту (р > п); Ер н Er — энергии электрона на этих орбитах.
Частота излучения для водородоподобных атомов
v = Rc呜一口
где Z ——порядковый номер элемента (заряд ядра в единицах элементарного заряда); о — скорость света; R ——постоянная Ридберга; п = 1, 2, §,・..；р = п + 1, п+2
Для водорода постоянная Ридберга Rh = 109677,759 см~* для спектральных линий серии Лаймана (ультрафиолетовая область) п =» 1, для спектральных линий серии Бальмера (видимая область спектра) п = 2, для спектральных линий серии Пашена (инфракрасная область спектра) и = 3.
Полная энергия атома водорода определяется выражением
me482»几2me482»几2
me4
82»几2
me4
82»几2
где m н е — соответственно масса и заряд электрона, 80 — диэлектрическая постоянная вакуума, h — постоянная Планка, п — главное квантовое число (п = 1, 2, 3,...).
Коротковолновая граница 入 сплошного рентгеновского спектра, возбужденного при торможении электрона, определяется из соотношения
где h — постоянная Планка, е — заряд электрона, U — разность потенциалов, приложенная к трубке.
Частота рентгеновского излучения (закон Мозли):
V = Rc (Z — b)2
где b — постоянная экранирования, остальные обозначения те же, что в пункте 2.
Длина волны, соответствующая частице, движущейся со скоростью и, равна:
Л2冗九
Л =,
mv
где m — масса микрочастицы.
ВОПРОСЫ
На рисунке 9.1 показаны траектории движения а-частиц при их рассеянии на тонком слое одного и того же металла. Поче- му а-частицы изменили направление своего движения? Почему изменение направления движения различно, хотя начальные скорости а-частиц одинаковы?
На фотографии спектра (рис. 9.2) некоторого водородоподобного атома различные линии обозначены цифрами. Какая из линий соответствует наибольшей длине волны?
Опыты Д. Франка и Г. Герца по изучению столкновений электронов с атомами газов методом задерживающего потенциала экспериментально подтвердили постулаты Бора. В чем сущность этих опытов? Каким образом, используя результаты опытов, можно рассчитать частоту первой резонансной линии газа?
На рисунке 9.3 представлена схема энергетических уровней атома водорода. Пользуясь ею, определите энергию испускаемых квантов, если свечение атомарного водорода возбуждается электронами с энергией 12,5 эВ. Какие серии излучения наблюдаются при этом?
Сколько s-, р-, d-электронов находится в атоме на первом, втором и третьем энергетических уровнях?
Используя принцип Паули, определите, какое максимальное число электронов в атоме может иметь одинаковые квантовые числа при 孔=2.
В атоме ^-, L-, М-оболочки заполнены полностью. Каково общее число электронов в атоме?
Может ли водород дать рентгеновское излучение?
Как меняется интенсивность рентгеновского излучения, положение максимума излучения и граница излучения в коротковолновой части спектра при увеличении:
напряжения между катодом и антикатодом;
накала нити катода?
Чем отличаются рентгеновские характеристические спектры от оптических спектров испускания?
Почему для получения дифракционной картины от монокристалла пользуются или тормозным рентгеновским излучением, или характеристическим, но тогда вращают кристалл?
По макроскопической шкале времени распад возбужденного атома происходит очень быстро: среднее время жизни возбужденных состояний атомов и молекул имеет порядок 10~8с. Объясните, почему по атомной шкале времени времена жизни возбужденных состояний считают очень большими (учтите, что оптическим фотонам соответствуют частоты Ю1^"1).
Примеры решения задач
Один из возбужденных атомов водорода при переходе в основное состояние испустил последовательно два кванта с длинами волн 九 1 = 128,18 нм и 入2 = 105,57 нм. Какое число спектральных линий можно наблюдать, если все атомы водорода получили одинаковую энергию?
Решение
Число спектральных линий определяется числом термов, из комбинации которых получаются спектральные линии. Каждый терм соответствует определенному главному квантовому числу. Число термов равно числу энергетических уровней, на которых может быть электрон, и определяется главным квантовым числом, соответствующим максимальной энергии возбужденного атома.
Энергия атома водорода в возбужденном состоянии связана с главным квантовым числом п соотношением:
где 1^0 = — ^7= —2,17 • 10~18 Дж — энергия основного состояния.
По Бору атомы излучают при переходе из стационарного состояния с большей энергией в стационарное состояние с меньшей энер-
81814 Заказ 128
81
81
гией. По условию задачи атом переходит в основное состояние, излучив два кванта, поэтому
Wn + г0 = -0,086 • 10Т8 Дж(2)
(Л = 6,62 • 10-34 Дж . с; с = 3 * 108 м/с).
Используя соотношение (1), получим, что главное квантовое число, соответствующее такому возбужденному состоянию, равно
2,17 • ЮТ
=э(3) 0Q86J0T8< 丿
(квантовое число может быть только целым числом).
Если каждый атом получает энергию, достаточную для заполнения пятого энергетического уровня (п = 5), то термов пять. Их комбинация может привести к наблюдению 10 спектральных линий.
Определите выражение для термов водородоподобного атома (заряд Ze) с учетом конечности массы ядра.
Решение
(1)(1)Комбинация спектральных термов дает возможность определить частоты всех линий, входящих в спектр атома. Спектральный терм Тп связан с энергией атома Wn соотношением
(1)
(1)
где h — постоянная Планка.
Как известно, энергия стационарного состояния в атоме водорода вычислена в предположении неподвижного ядра, что имеет место только при бесконечно большой массе ядра по сравнению с массой электрона. В реальном атоме электрон и ядро вращаются вокруг их центра массы. Поэтому энергия стационарного состояния атома слагается из кинетической энергии электрона и ядра (犷‘)и их взаимной потенциальной энергии (ТГ")・
Для вычисления этой энергии предположим, что расстояние между центрами масс ядра и электрона равно Ъ = R г (где R нг— расстояния частиц от центра масс), массы ядра и электрона соответственно равны Л1 и m и их скорости s и %.
Между частицами действуют кулоновские силы, которые каждой частице сообщают нормальное ускорение
⑵⑵Ze2 Mv ； 团圖
⑵
⑵
Отсюда кинетическая энергия частиц равна
3
Потенциальная энергия двух частиц с зарядами Ze и — с равна
4ле064ле06Полная энергия стационарного состояния определяется суммой IT и Г"Полная энергия стационарного состояния определяется суммой IT и Г"8叫b8叫bДля нахождения b воспользуемся вторым постулатом Бора и уравнением (2). Имеем:Для нахождения b воспользуемся вторым постулатом Бора и уравнением (2). Имеем:A4a)2R + mo)v =九厶，A4a)2R + mo)v =九厶，(6)(6)(7)(7)После возведения (6) в квадрат и деления полученного выражения на (7) получаем:После возведения (6) в квадрат и деления полученного выражения на (7) получаем:(MR2+m厂2户=几2胪%旅(MR2+m厂2户=几2胪%旅nZ^nZ^(8)(8)Так как движение ядра и электрона происходит вокруг их центра сMbмассы, то тг = MR и г ==——.Так как движение ядра и электрона происходит вокруг их центра сMbмассы, то тг = MR и г ==——.，т + МУчитывая это, преобразуем уравнение (8) и получаем:，т + МУчитывая это, преобразуем уравнение (8) и получаем:b=九2九2同(m+ m)nZe^mMb=九2九2同(m+ m)nZe^mMПодставим найденное значение в (5).Z204 тW m ・В том случае, когда Z = 1 и М f 8 уравнение (9) дает:Подставим найденное значение в (5).Z204 тW m ・В том случае, когда Z = 1 и М f 8 уравнение (9) дает:叭8叭8те’те’眦冲*眦冲*Последнее совпадает с энергией стационарного состояния атома водорода, полученного в предположении неподвижного ядра (введение, п. 3).Искомая величина равна:Последнее совпадает с энергией стационарного состояния атома водорода, полученного в предположении неподвижного ядра (введение, п. 3).Искомая величина равна:I 叭Il%8lZ2MR8cz*M 东 0l・—U；・— 亠…二U UI I"七 ・■■IE II.I "U三 III 叭Il%8lZ2MR8cz*M 东 0l・—U；・— 亠…二U UI I"七 ・■■IE II.I "U三 IIh —九(zn + M)—语 m +M — Л2h —九(zn + M)—语 m +M — Л2где /?оо = —т~— постоянная Ридберга для атома водорода,где /?оо = —т~— постоянная Ридберга для атома водорода,R — постоянная Ридберга для водородоподобного атома, с — скорость света, 〃 ——главное квантовое число, Z — порядковый номер элемента.R — постоянная Ридберга для водородоподобного атома, с — скорость света, 〃 ——главное квантовое число, Z — порядковый номер элемента.
4ле06
4ле06
Полная энергия стационарного состояния определяется суммой IT и Г"
Полная энергия стационарного состояния определяется суммой IT и Г"
8叫b
8叫b
Для нахождения b воспользуемся вторым постулатом Бора и уравнением (2). Имеем:
Для нахождения b воспользуемся вторым постулатом Бора и уравнением (2). Имеем:
A4a)2R + mo)v =九厶，
A4a)2R + mo)v =九厶，
(6)
(6)
(7)
(7)
После возведения (6) в квадрат и деления полученного выражения на (7) получаем:
После возведения (6) в квадрат и деления полученного выражения на (7) получаем:
(MR2+m厂2户=几2胪%旅
(MR2+m厂2户=几2胪%旅
nZ^
nZ^
(8)
(8)
Так как движение ядра и электрона происходит вокруг их центра сMb
массы, то тг = MR и г ==——.
Так как движение ядра и электрона происходит вокруг их центра сMb
массы, то тг = MR и г ==——.
，т + М
Учитывая это, преобразуем уравнение (8) и получаем:
，т + М
Учитывая это, преобразуем уравнение (8) и получаем:
b=九2九2同(m+ m)nZe^mM
b=九2九2同(m+ m)nZe^mM
Подставим найденное значение в (5).
Z204 тW m ・
В том случае, когда Z = 1 и М f 8 уравнение (9) дает:
Подставим найденное значение в (5).
Z204 тW m ・
В том случае, когда Z = 1 и М f 8 уравнение (9) дает:
叭8
叭8
те’
те’
眦冲*
眦冲*
Последнее совпадает с энергией стационарного состояния атома водорода, полученного в предположении неподвижного ядра (введение, п. 3).
Искомая величина равна:
Последнее совпадает с энергией стационарного состояния атома водорода, полученного в предположении неподвижного ядра (введение, п. 3).
Искомая величина равна:
I 叭Il%8lZ2MR8cz*M 东 0
l・—U；・— 亠…二U UI I"七 ・■■IE II.I "U三 II
I 叭Il%8lZ2MR8cz*M 东 0
l・—U；・— 亠…二U UI I"七 ・■■IE II.I "U三 II
h —九(zn + M)—语 m +M — Л2
h —九(zn + M)—语 m +M — Л2
где /?оо = —т~— постоянная Ридберга для атома водорода,
где /?оо = —т~— постоянная Ридберга для атома водорода,
R — постоянная Ридберга для водородоподобного атома, с — скорость света, 〃 ——главное квантовое число, Z — порядковый номер элемента.
R — постоянная Ридберга для водородоподобного атома, с — скорость света, 〃 ——главное квантовое число, Z — порядковый номер элемента.
Наибольшая длина волны спектральной водородной линии серии Бальмера равна 656,3 нм. Определите по этой длине волны наибольшую длину волны в серии Лаймана.
Решение
Частота излучения атома водорода
В серии Бальмера 〃 = 2, в серии Лаймана п = 1.
Наибольшая длина волны в каждой серии соответствует р = 〃 + 1.
Для наибольшей длины волны в сериях Бальмера и Лаймана можно записать:
广唱一/,⑵
入54(3)
Разделив уравнение (2) на (3), получим 亠=''4 ,
入［36 • 3
откуда 九2 = 1215 • 10~10 м.
Определите длину волны Ка -линии характеристического рентгеновского спектра, получаемого в рентгеновской трубке с молибденовым (42Мо) антикатодом. Можно ли получить эту линию спектра, подав на рентгеновскую трубку напряжение 4-103 В?
Решение
По закону Мозли частота излучения в характеристическом рентгеновском спектре
V = Rc(Z-Ь)2(十-*)⑴
Излучению серии К соответствует значение числа 九 = 1, излучению спектральной линии а соответствует значение числа р = /г + 1 = 2.
Постоянная экранирования для серии К равна 1 (Ь = 1).
Заряд ядра в единицах элементарного заряда для молибдена равен Z = 42. Постоянная Ридберга R = 1,097-107 м*1.
Произведя соответствующие расчеты, получаем: % ^ 0,72 х х КГ】。м.
Чтобы узнать, можно ли получить эту линию характеристического излучения при определенном напряжении на рентгеновской трубке, сравним энергию фотонов ^a-линии молибдена (Е】)с энергией электронов, которую они приобретают в рентгеновской трубке (EJ・
По условию задачи
Ei = hvka = 2,5 • IO-" дж;旦=怨=6,4 ・ l。-^ д*,旦 < 公
Следовательно, при напряжении на рентгеновской трубке U = 4 • 103 в нельзя получить характеристического излучения с /<а-линией. При таком напряжении будет наблюдаться сплошной спектр (спектр торможения).
На узкую щель шириной & = 10~в м направлен пучок электронов, имеющих скорость и = 3,65 • 10е м/с. Определите расстояние между двумя максимумами первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 см от щели и параллельном щели.
Решение
Проходя через щель, электроны рассеиваются и на экране образуют дифракционную картину. Согласно гипотезе де Бройля длина волны, соответствующая частице массы т, движущейся со скоростью о, определяется величиной
九=丄.
mu
Угловое положение R-ro максимума интенсивности дифракционной картины определяется уравнением
.—2/г + 1 А/с、
sin 屮府=十一--,(2)
где fe = 0, 1, 2, 3, ... — порядковый номер максимума, Ь ——ширина щели (см. § 4, введение, п. 5).
Для максимумов первого порядка (友=1) угол 屮 мал, поэтому sin ср = tg ф = ф. Из (2) угловое расстояние между первыми макси- мумамн равно 2(р = 3 —• ь
Линейное расстояние % = 2L tg ср = 2厶屮.Учитывая (1), получим: % = — п 610~б м (й = 6,62 • 10-34 дж . с 加=
bmv
=9J • Ют】 кг).
Задачи для самостоятельного решения
Согласно классической электродинамике электрон, движущийся с ускорением а, излучает в единицу времени энергию Е =— а , где е — заряд электрона; с — скорость света;
3
е0 — электрическая проницаемость вакуума. Исходя из классических представлений и ограничиваясь допущением, что полное ускорение электрона все время совпадает с центростремительным, оцените «время жизни» атома. Начальный радиус орбиты электрона принять равным г = 10~10 м.
9・2・ Пользуясь теорией Бора, определите для первой орбиты в атоме водорода радиус орбиты, скорость и ускорение электрона, энергию основного состояния атома. На одном графике с кулоновским потенциалом постройте систему уровней энергии электрона для трех первых орбит.
Пользуясь теорией Бора, определите для электрона, находящегося на первой и второй орбитах в атоме водорода, отношение: а) радиусов орбит; б) магнитного момента электрона к механическому. На какой орбите и во сколько раз полная энергия электрона больше?
Определите, как изменится орбитальный момент импульса электрона в атоме водорода при переходе электрона из возбужденного состояния в основное с испусканием одного кванта с длиной волны 九=97,25 нм.
Пользуясь теорией Бора, определите для однократно ионизованного иона гелия (Не+): а) радиус первой орбиты; б) скорость электрона на этой орбите; в) потенциал ионизации; г) первый потенциал возбуждения; д) длину волны в спектре, соответствующую переходу электрона со второй орбиты на первую.
Определите (в длинах волн) спектральные диапазоны, принадлежащие сериям Лаймана, Бальмера, Пашена, Бреккета и Пфунда. Изобразите на шкале длин волн их расположение относительно друг друга.
В спектре атомарного водорода интервал между первыми двумя линиями, принадлежащими серии Бальмера, составляет А九=1,71-10~7 м. Определите постоянную Ридберга.
Разница между головными линиями серий Лаймана и Бальмера в длинах волн в спектре атомарного водорода равна ДХ = 534,7 нм. Определите по этим данным постоянную Планка.
Квант света с энергией Е = 15 эВ выбивает электрон из атома водорода, находящегося в нормальном состоянии. С какой относительной скоростью будет двигаться электрон вдали от ядра?
Электрон, имеющий вдали от покоящегося протона скорость V = 1,870- 10е м/с, захватывается последним, в результате чего образуется возбужденный атом водорода. Определите длину волны фотона, который испускается при переходе атома в нормальное состояние.
Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией: а) 12,5 эВ; б) 14 эВ?
Пользуясь теорией Бора, определите для двукратно ионизованного атома лития (Li++) радиус первой орбиты; первый потенциал возбуждения; длину волны резонансной линии (линии, возникающей при переходе из первого возбужденного состояния в основное); потенциал ионизации.
Квант света, возникающий при резонансном переходе в однократно ионизованном атоме гелия (Не+), вырывает фотоэлектрон из атома водорода, который находится в основном состоянии. Определите скорость этого электрона вдали от ядра атома.
При наблюдении спектра атомарного водорода, полученного с помощью дифракционной решетки с периодом d = 2 мк, обнаружено, что одна из спектральных линий серии Бальмера в спектре второго порядка соответствует углу дифракции а = 29°05'・ Определите главное квантовое число энергетического уровня атома, переходу с которого отвечает данная линия.
В качестве экрана от рентгеновского излучения используется пластина свинца толщиной 久=0,5 см. Его коэффициент поглощения равен 卩】=52,5 cm~L Какой толщины нужно взять пластину из алюминия, коэффициент поглощения которого 卩纟= =0,765 cm~i, чтобы она экранировала в такой же степени?
Солнечная радиация при прохождении через слой воды толщиной 10 м теряет 82% энергии, а рентгеновское излучение (X = 10'10 м) слоем воды ослабляется в е раз. Определите коэффициент поглощения воды для этого рентгеновского излучения и сравните его с коэффициентом поглощения солнечной радиации.
Определите наибольшую скорость электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если минимальная длина волны в сплошном спектре рентгеновых лучей равна 1 нм.
9Л8. Длина волны одного из видов у-лучей, испускаемых радием (RaC), равна 1,6・1()т нм. Какую разность потенциалов надо приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить рентгеновы лучи с этой длиной волны?
При напряжении U = 31 кВ, приложенном к рентгеновской трубке, длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра оказалась равной X = 4-10~2 нм. Определите постоянную Планка.
Определите длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если известно, что при увеличении ускоряющего напряжения на трубке в 2 раза длина волны уменьшается на АХ == 5- 10""а нм.
Скорость электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, составляет половину скорости света. Определите: а) длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра; б) ускоряющее напряжение на трубке.
Излучение рентгеновской трубки падает на кристалл кальцита (СаСЮ3). Наименьший угол между плоскостью кристалла и пучком рентгеновых лучей, при котором можно отметить отражение, равез ф = 2°36'・ Постоянная решетки кальцита равна d = 3,04・ 10~8 см. Под каким напряжением работает рентгеновская трубка?
9・23・ Разность длин волн между Ка -линией никеля и коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра равна ДХ = 0,084 нм. Определите напряжение на рентгеновской трубке с никелевым антикатодом.
При увеличении напряжения на рентгеновской трубке от С\ = 10 кВ до U% = 20 кВ интервал длин волн между Ка -ли-
нией и коротковолновой границей увеличился в 3 раза. Определите порядковый номер элемента антикатода этой трубки.
9・25・ Кристалл с постоянной решетки d = 0,281 нм установлен так, что угол скольжения рентгеновых лучей (р = 14°. Постепенно увеличивая напряжение, приложенное к рентгеновской трубке, при напряжении U = 9100 В получили первый максимум. Найдите по этим данным постоянную Планка.
В рентгеновской трубке антикатод сделан из серебра47 Ag. Определите длину волны и энергию кванта для линии Ка (без учета ионной структуры), а также наименьшее напряжение, необходимое для возбуждения /(-серии серебра.
Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра 0,5 нм. Будут ли при этом наблюдаться в спектре /(-линии характеристического излучения алюминия 13А1?
Сравните работу выхода электрона из вольфрама, у которого «красная граница» фотоэффекта соответствует длине волны 276, 0 нм, и работу вырывания электрона с /(-оболочки атома вольфрама. Длина волны Ка -линии характеристического излучения вольфрама равна 0,01782 нм.
Какова максимальная скорость электронов, вырываемых из меди (29Си) характеристическим излучением железа (2eFe)?
Определите длину волны де Бройля: а) электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 103 В; б) молекулы водорода (加=3,4・10一24 「)，движущейся со средней квадратичной скоростью, при температуре 300 К； в) тела массой 1 г, имеющего скорость 1 м/с.
При каком значении кинетической энергии электрона его дебройлевская длина волны равна комптоновской длине волны?
Считая разрешающую способность приборов равной d= % определите для числовой апертуры Л = 0,1 разрешающую способность электронного микроскопа, работающего при напряжении U = 105 В.
9・33・ Пучок электронов падает на естественную грань монокристалла под углом скольжения 0 = 30°. Отраженные электроны наблюдаются под углом, равным углу падения. Постоянная кристаллической решетки d = 0,25 нм. Определите первую и вторую ускоряющие разности потенциалов, при которых наблюдается максимальное отражение электронов.
§ 10. АТОМНОЕ ЯДРО
Закон радиоактивного распада:
где Л/ — число нераспавшихся ядер радиоактивного элемента в момент времени /; ^0 — исходное (начальное) число ядер радиоактивного элемента;九——постоянная радиоактивного распада.
Период полураспада:
т 1п2
1 =•
Среднее время жизни (промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер радиоактивного элемента уменьшилось в е раз):
1
Активность радиоактивного элемента (число ядер, распавшихся в единицу времени):
a = *. = XN =九m0一".
Активность радиоактивного элемента изменяется со временем по закону:
Произведение постоянной распада данного элемента на число нераспавшихся ядер этого же элемента в смеси ряда образующихся один из другого радиоактивных элементов одинаково для всех составляющих смеси, т. е.
九121 = 九2%2 = …=*訳
Если радиоактивный элемент Л с постоянной распада Хл помещен в закрытый сосуд и при распаде этого элемента образуется также радиоактивный элемент В с постоянной распада Хв, то число атомов элемента В к моменту времени t будет:
Nb = Na …(e- %),
где Na ——число атомов элемента А в начальный момент времени.
Ядро атома состоит из нуклонов (протонов и нейтронов). Число нейтронов в ядре
п — А — Z,
где А — массовое число (число нуклонов в ядре); Z ——атомный номер элемента (число протонов в ядре).
Ядро представляет собой устойчивую систему нуклонов, если масса покоя ядра меньше суммы масс покоя нуклонов, входящих в состав ядра. Разность
АМ = [Z/Пр + (Л —Z) т^ —М
называется дефектом массы системы нуклонов.
Энергия связи нуклонов в ядре:
ДЕ = dAM,
где с — скорость света в вакууме; ДМ — дефект массы.
При всех ядерных реакциях выполняются законы сохранения:
закон сохранения массы (или энергии);
закон сохранения электрического заряда;
закон сохранения барионного заряда (массового числа);
закон сохранения механического импульса;
закон сохранения спина.
Энергия ядерной реакции:
где ^Mt — сумма масс частиц, вступивших в ядерную реакцию; ЕЛ1л — сумма масс образовавшихся частиц.
ВОПРОСЫ
При радиоактивном распаде излучаются а-частицы, электроны и фотоны. Всегда ли естественный радиоактивный распад элемента сопровождается излучением такого состава?
Как объясняется появление Р-частиц при радиоактивном распаде ядер?
В чем сходство и в чем различие гравитационных, электромагнитных и ядерных сил?
Поясните смысл выражений:
ядерные силы обладают свойством зарядовой независимости;
ядерные силы обладают свойством насыщения.
Какие представления о свойствах нуклонов в ядре дает капельная модель строения ядра; оболочечная модель строения ядра?
Почему нейтроны наиболее пригодны для получения искусственно-радиоактивных элементов?
Что такое бетатрон, каково его принципиальное отличие от циклотрона?
Какие физические процессы используются для регистрации элементарных частиц?
Что такое античастицы? Какие свойства у частиц и античастиц различны, а какие одинаковы?
Примеры решения задач
1. Масса радиоактивного изотопа натрия п Na равна 0,248 х X IO-' кг. Период полураспада Т = 62 с・ Чему равны начальная активность препарата и его активность через 10 мин?
Решение
Активность препарата
a =九"終一什(1)
Начальную активность определяем, полагая t = 0:
%)=九 N&(2)
Постоянная радиоактивного распада .1п2
Л =.
Количество атомов препарата в начальный момент
где — число Авогадро.
Подставив выражения (3) и (4) в (2), получаем:
% =毕•号Na.
(3)
(4)
Активность препарата изменяется со временем по закону:а = rLt.
(5)
Так как。皿 =2, то
卫.
а = 〃о • 2—_£_
2不
Числовые расчеты дают а。= 66,5-10-17 распадов в секунду или а。= 16,3-107 Ки; а = 16,3-104 Ки.
2. В закрытом сосуде находится радий массой m = 0,1 f. Какое количество радона накопится в сосуде через 24 ч? Период полураспада радия 7\ = 1600 лет, период полураспада радона 7\ =^ =3,8 сут.
Решение
Воспользуемся формулой
Nrm
TV Ra …(6 Ra 6 Rn i.
*RL入Ra
Количество атомов радия
где N{— число Авогадро.
Постоянные радиоактивного
распада:
ЛIn 2 A In 2
ARa =万~, 3n =斤f
Следовательно,
%Rn
也［卢2)-_e产］. &Ra
T\—T；
или
Подставив числовые значения, получим:
32 • 1014 (атомов).
Какая энергия выделится при образовании 1 г гелия ^Не из протонов и нейтронов?
Решение
Ядро атома гелия состоит из двух протонов и двух нейтронов.
Масса атома гелия Мне = 4,00337 а.е.м.
Масса покоя нейтрона тп = 1,00897 а.е.м.
Масса покоя протона тр = 1,00758 а.е.м.
При образовании атома гелия дефект массы
Am = 2 (mp + тл)—財北=0,02923 а. е. м.
Энергия, выделяющаяся при образовании одного атома гелия,
АЕ = А/и • 931,44 э— = 27,126 МэВ.
а.е.м
В 1 г гелия содержится атомов:
^ = —Na = = 1,504 • 1023 (атомов).
ЛНе4
Следовательно, при образовании 1 г гелия выделится энергия
Е = ^EN.
Вычисляя, получим: Е = 40,797-1023 МэВ = 65,275 • 1010 Дж.
При пролете а-частицы в парах воды со скоростью ^ наблюдалось упругое соударение а-частицы с ядром неизвестного элемента. Определите, с ядром какого элемента произошло столк、 новение, если после соударения направление движения а-частицы изменилось на угол ср = 30°. Ядро отдачи вылетело также под углом 30®.
Решение
По закону сохранения импульса (рис. 10.1)
加 £а0 = /Па U + “х，(1)
или в проекциях на оси ОХ и OY
та %о = % % cos ф + т^х cos 屮，(2)
〃1а %t sin ф — ГП^Х sin 屮=0,(3)
加a曦=恤呢+加*吸加a曦=恤呢+加*吸(4)(4)
加a曦=恤呢+加*吸
加a曦=恤呢+加*吸
(4)
(4)
где Ша — масса а~частицы; &с° — скорость а«частицы до соударения; % — скорость а-частицы после соударения; тх — масса ядра неизвестного элемента; vx — скорость ядра неизвестного элемента после соударения его с а-частицей; Ф ——угол между первоначальным и новым направлениями движения а-частицы.
По закону сохранения энергии
(5)(5)⑹(7)(8)⑹(7)(8)
(5)
(5)
⑹
(7)
(8)
⑹
(7)
(8)
Из соотношения (3) получаем:
他/\ =g% ■
Подставляя это значение в (2), получаем:
та %о = 2/па % cos ср,
откуда
2 cos ф
Запишем выражения (4) и (5) в виде
В нашем случае
А£ = ^ [(^Ве + 加丿—(加以 + Wa )]•
Подставив числовые значения величин, получим: ДЕ = 8,6 МэВ.
Найдите энергию, выделяющуюся:
при делении урана 發U (масса урана 1 кг, при каждом акте деления выделяется энергия £0 = 200 МэВ);
при реакции термоядерного синтеза гелия из ядер дейтронов ；Н + ；Н т 々Не (масса получившегося гелия 1 кг).
Решение
Так как в 1 кг урана содержится ядер атомов урана ГПи
N = — Na (N力 ——число Авогадро),
то АЕ] = Ео = 5,13 . 102в МэВ = 8,2 • 1013 Дж.
Воспользовавшись уравнением термоядерной реакции, получим:
Д£2 =炉 ^md — /пне) -^ Na = 34,2 • 10м МэВ = 54,72 • 1013 Дж.
"Не
В циклотроне создано однородное магнитное поле с индукцией В = 1,5 Тл. Диаметр дуантов циклотрона D = 60 см. До какой энергии можно ускорить а-частицы, дейтроны и протоны в этом циклотроне?
Решение
r=4・являетсяr=4・являетсяЧастицы при их ускорении движутся по дугам окружностей
r=4・является
r=4・является
все увеличивающегося радиуса. Максимальный радиус
Силой, обеспечивающей движение по окружности, сила Лоренца.
Следовательно,
(1)(1)радиусу.радиусу.qBu = —•
(1)
(1)
радиусу.
радиусу.
откудаоткудаМаксимальная скорость соответствует максимальному Поэтому уравнение (1) примет вид:
откуда
откуда
qBD
Омаке = 2m
Энергия, полученная в циклотроне,
Е — е^акс — q2B2D%24m *
Для а-частицы Еа = 31,2.10~13 Дж = 19,52 МэВ; для дейтрона Ed= 15,47-10~13 Дж=9,67 МэВ; для протона Е = 31,04- Ю-13 Дж二 =19,4 МэВ.
Задачи для самостоятельного решения
L Единицей радиоактивности изотопа в системе СГС является кюри (Ки)——это активность препарата, численно равная активности 1 г радия, т. е. тому числу распадов, которое происходит в 1 г радия за 1 с. Найдите это число, зная, что период полураспада радия Т = 1620 лет.
Найдите массу и объем радона при нормальных условиях, если радиоактивность его равна 1 Ки.
Фотон у-излучения взаимодействует с ядром атома бериллия и вызывает ядерную реакцию :Be + у -> 2а + п. Чему равна длина волны фотона?
Какая доля атомов радиоактивного изотопа 2goTh, имеющего период полураспада Т = 24,1 дня, распадается за 1 с; за сутки; за месяц?
Крупинка минерала, содержащего радий, находится на расстоянии 1,2 см от флуоресцирующего экрана. Какое количество радия имеется в крупинке, если в течение 1 мин на площади экрана, равной 0,02 см2, видно 47 сцинтилляций? Продукты распада радия быстро отсасываются насосом. Принять, что все выбрасываемые при распаде атомов радия а-частицы вылетают из крупинки.
В человеческом организме 0,36% массы приходится на калий. Радиоактивный изотоп калия 得 К составляет 0,012% от общей массы калия. Какова активность 得К, если масса человека 75 кг? Период полураспада 得К Г = 1,42-108 лет.
Так как свинец, содержащийся в урановой руде, является конечным продуктом распада семейства урана, то из отношения количества урана в руде к количеству свинца в ней можно определить возраст руды. Определите возраст урановой руды, если на каждый килограмм урана 嗡U в руде приходится 320 г свинца Грь.
Заданы исходные и конечные элементы четырех радиоактивных семейств:
.饗Uf 嚙РЬ.2. 2；；Uf 2^Ph
^Th^2sfPb.4. 2^Am->281Bi.
Сколько а и p-превращений произошло в каждом семействе?
10・9・ Какой изотоп образуется из радиоактивного тория ^^Th в результате четырех а- и двух Р-распадов?
Ю. 10. Определите энергию связи нуклонов в ядре дейтерия и у а-частицы.
1°・11・ Найдите энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре атома кислорода 呼О.
Найдите энергию, освобождающуюся при следующих ядерных реакциях:
.汨е + ；Н f *В + п. 2. ?Li + ；Н — 2a.
. jLi + а —> i&B + п.4. гоСа + р f 19К + а.
Неподвижное ядро атома азота ^N бомбардируется а-частицами, кинетическая энергия которых £а = 7,7 МэВ. После реакции появляется протон с кинетической энергией Ер = 8,5 МэВ. Вектор скорости протона составляет угол ф с вектором скорости а-частицы. Напишите я дерную реакцию и определите угол <р.
Протон, обладающий энергией Ер = 2,5 МэВ, попадает в неподвижное ядро лития, при этом происходит ядерная реакция, продуктами которой являются две а-частицы, движущиеся со скоростями и = 2,2 ♦ 107 м/с в направлениях, составляющих одинаковые углы ср с направлением движения протона. Определите угол <р.
На атомной электростанции за год расходуется 19,2 кг урана 2^^U. Полагая, что при каждом акте деления ядра ?^^U освобождается энергия 200 МэВ и коэффициент полезного действия при выработке электроэнергии равен 25%, найдите электрическую мощность атомной электростанции.
Сравните энергии, выделяющиеся при термоядерном синтезе ；Н + 汨一> ^Не и делении ядра урана 崎U (каждый акт деления сопровождается выделением 200 МэВ энергии), если в обоих случаях расходуются одинаковые массы ядерного горючего.
Электрон и позитрон, имевшие одинаковые энергии Е = 0,7 МэВ, при соударении превратились в два одинаковых фотона. Определите длину волны, соответствующую фотону.
Фотон с энергией 3 МэВ в поле тяжелого ядра превратился в пару электрон -позитрон. Определите кинетические энергии этих частиц, если скорости их движения одинаковы.
Дейтроны (；Н) ускоряются в циклотроне до энергии Е = 4 МэВ. Максимальный радиус траектории дейтронов /?макс= =64 см. С какой частотой изменяется потенциал на дуантах циклотрона?
Напряженность магнитного поля в бетатроне возрастает линейно со скоростью по закону\
尸J А/ л \м・с/
Радиус орбиты электронов R = 25 см. Сколько оборотов сделал электрон, ускоренный до энергии £ = 75 МэВ?
Счетчик Гейгера зарегистрировал в 1 мин 4000 Р-частиц, возникших при распаде ядер радиоактивного изотопа 得Na, а через сутки только 1000 распадов в I мин. Определите период полураспада изотопа.
Из ядра радиоактивного изотопа платины ^^Pt при распаде вылетает а-частица, обладающая энергией 4,23 МэВ. Напишите уравнение реакции распада. Определите скорость отдачи ядра ——продукта распада.
Ядро изотопа *°Ро в результате реакции распада превратилось в ядро изотопа свинца 給РЬ, выбросив одну частицу. При этом ядро свинца стало обладать кинетической энергией Е = 0,1 МэВ. Определите полную энергию реакции.
При прохождении через слой свинца толщиной 4 см интенсивность моноэнергетического ^-излучения уменьшилась в 10 раз. Определите толщину слоя половинного поглощения.
Серпуховский синхрофазотрон ускоряет протоны до энергии 70 ГэВ.
На сколько процентов скорость протонов отличается от скорости света в вакууме? Чему равна длина волны де Бройля для ускоренных протонов?
Солнце, находясь в зените, создает на горизонтальной поверхности Земли освещенность Е = 105 лк.
Определите массу, соответствующую световой энергии (видимого света), получаемую освещенной Солнцем поверхностью Земли за сутки.
СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
I. Некоторые физические величины
Постоянная Стефана — Больцмана о= 5,67 • 10-8 Вт/(м2• К4).
Постоянная закона смещения Вина 力= 2,9・10~з м-К.
Заряд электрона
е — 1,601 • 10-19 Кл.
Масса электрона
те =
9,106.10-31 кг.
Масса протона
тр =
1,762.10-27 кг.
Постоянная Планка
左=
6,62• 10-34 дж,Сф
九=
1,054-10-34 Дж-с.
Постоянная Ридберга
R =
1,097-107 м-L
Постоянная Больцмана
k =
1,38-10-23 Дж・Кт.
11. Работа выхода электронов из металлов, эВ
Металл
Металл
А
Алюминий
3,74
Молибден
4,27
Барий
2,29
Натрий
2,27
Вольфрам
4,5
Никель
4,84
Железо
Ртуть
4,52
Золото
Платина
5,29
Калий
Рубидий
2,13
Кальций
Серебро
4,28
«Литий
Уран
3,74
Магний
Цинк
3,74
Медь
Цезий
1,89
Показатели преломления п
(средние для видимых лучей)
Стекло1,52
Вода 1,333
Лед 1,31
Коэффициенты серости аи удельные сопротивления р вольфрамапри различных температурах
Л к
а
Р， Ом.м-104
1000
0,115
25,7
1500
0,194
41,8
2000
0,260
59,1
2500
0,303
77,2
3000
0,334
96,2
3500
0,351
115,7
V. Период полураспада некоторых радиоактивных элементов
Элемент
т
Элемент
т
20^а
164 суток
2恥
1590 лет
缴
20 лет
嚼и
7.Ы08 лет
2恥
138 суток
>
4,5» 109 лет
梵R"
3,82 суток
鬻Ra А
183 с
VI. Масса нейтральных атомов
Элемент
Z
Изотоп
Масса, а. е. м.
Водород
1
；Н
1,00783
徂
2,01410
1Н
3,01605
Гелий
2
師
3,01603
：Не
4,00260
Литий
3
如
6,01513
加
7,01601
Азот
7
号N
13,00574
i；N
14,00307
VIL Масса и энергия покоя частиц
Частиц?
Масса，％
Энергия £0
仃
а. е. м・
Дж
МэВ
Элект рон
9,11 .IO-3】
0,00055
8,16・10-14
0,511
Протон
1,672-10-27
1,00728
1,50.10-1°
938
Нейтрон
1,675・10Н
1,00867
1,51.10-1。
939
Дейтрон
3,35-10-27
2,01355
3,00・10-i°
1876
а-частица
б®」。-*
4,00149
5,96-10-10
3733
ОТВЕТЫ
Е ===2,86 лк.
а)①=л/ = 157 лм; 6) Е = —= 15,3 лк.
Л2 cos а
/ = 2,5 • 104 кд.
1,6 Вт.
Дуга экономичнее.。
4ле"24ле"2=3,85 м.=3,85 м.—w 0,5 м. Е—w 0,5 м. ЕР == 59 Вт.г) cos аР == 59 Вт.г) cos аУказание. Более экономичен тот источник света, который дает больший световой поток при потреблении одной и той же энергии.
4ле"2
4ле"2
=3,85 м.
=3,85 м.
—w 0,5 м. Е
—w 0,5 м. Е
Р == 59 Вт.
г) cos а
Р == 59 Вт.
г) cos а
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
Указание. Считать телесные углы со, в которых распространяется световой поток, малыми.
46 с.46 с.偽4
46 с.
46 с.
г = 6,4 см.
Указание. Воспользоваться кривой видности (рис. 1.1). Считать, тго глаз наиболее чувствителен к желто-зеленой части излучения.
Е = 100 лк, М = 75 л м/м2, L = 23,9 кд/м2.
71 = 9,42 кд, /2 = 94,2 кд.
L = 1,45 • Ю9 кд/м2.
/ = 2,48 • 104 кд, Е = 0,025 лк.
а) /-. = /2; б) /] = 1,24 /2.
LS9LS
1)九=匕，Е] = '4^2 =41 лк; 2)当=16Mm/2 =11,5 лк.
Указание. Воспользоваться правилами определения максимального значения функции, ф
М = —= 5,3 • 10е лм/ма.
ndl
&2
1Л9. a) L = —— = 5 • 103 кд/м2;
dl
M =nt = 1,57 • 104 лм м2;
nMdl
E/Shb几啰十严）2E/Shb几啰十严）2= 0,72 лк.= 0,72 лк.п = —-— = 49,2 лм/Вт; “ = 7,88 %.
E/Shb
几啰十严）2
E/Shb
几啰十严）2
= 0,72 лк.
= 0,72 лк.
а) £= —-— = 1,27 лк; 6) Е = ял2
22 ^ = 1+2(1 ［分 e'12.
tg2 В = 0,0133, 8 = 23'.
6 = 2а.
а) х — 2r sin а = 10,6 см.
сместится в противоположном направлении на расстояние у= / cos а = 1,7 см.
2.9. Указание. Построения в зеркалах следует проводить с использованием вспомогательных лучей, проходящих через центр зеркала.
12 см.
Плоское зеркало должно находиться посредине между точкой S и ее изображением в вогнутом зеркале.
R = 120 см.
£>= 10 дптр, R = 0,2 м.
Е = 1684 лк.
Указание. Освещенность экрана определяется световым потоком, идущим от источника, и потоком, отраженным от зеркала. При идеальном отражении поток, падающий на зеркало, и поток, отраженный от него, равны.
k
S =—・ jt尸2俨.
4
九2 = 8 см; расстояние от вершины выпуклого зеркала до изображения в нем 匕2 = 60 см, а от предмета до изображения в выпуклом зеркале L = 90 см.
Величина изображения /ii = 4 см. Изображение получится в той же точке, где находится источник.
п = 1,5.
Указание. Следует учесть, что каждая пара лучей, идущих от нижней метки и создающих изображение точки в глазу человека, составляет между собой малый угол.
尤=/ + 丄=18 см.
о on ~
2：21： *=0,21 м,九=1,83.
w = 150.
У к a 2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
з а н и е. См. решение задачи
/》32 M.
无=2,02 см.
л > 1,41.
,COS， \
d =九 tg z 1 — —，，=- I =
\Yл2 — sin2 i /
.M — 2
cos A =(n ——показатель
на стр. 15.
8,2 см.
преломления стекла);
А = 80°48‘.
29.30.31.32.33 n^ n^ n^ n^ n^29.30.31.32.33 n^ n^ n^ n^ n^
29.30.31.32.33 n^ n^ n^ n^ n^
29.30.31.32.33 n^ n^ n^ n^ n^
»макс = 10°10'.
39° < 6 < 59。33'.
& = 11°.
Макс ^ 16°.
Под углом Y = / + 6мнн・
3 3 3n^ 9^ 9^3 3 3n^ 9^ 9^2.38.2.39.2.38.2.39. (门 ет 一九 B)_ '—(Пет — 1)九в 一М. (门 ет 一九 B)_ '—(Пет — 1)九в 一М.1,25 дптр.1,25 дптр.F = 20 см.F = 20 см.邑 d2禽也2= —7—, г.диаметр Солнца; — = 660.邑 d2禽也2= —7—, г.диаметр Солнца; — = 660.Кзе — расстояние от Земли до Солнца; dc —Кзе — расстояние от Земли до Солнца; dc —
3 3 3n^ 9^ 9^
3 3 3n^ 9^ 9^
2.38.
2.39.
2.38.
2.39.
(门 ет 一九 B)_ '—(Пет — 1)九в 一
М.
(门 ет 一九 B)_ '—(Пет — 1)九в 一
М.
1,25 дптр.
1,25 дптр.
F = 20 см.
F = 20 см.
邑 d2禽也2
= —7—, г.
диаметр Солнца; — = 660.
邑 d2禽也2
= —7—, г.
диаметр Солнца; — = 660.
Кзе — расстояние от Земли до Солнца; dc —
Кзе — расстояние от Земли до Солнца; dc —
5 макс = 15°44'.
/1=1,33.
Ri = 6,25 см, Ri = 12,5 см.
2.53. Указание. Все построения выполняются с использованием побочных оптических осей.
w = 1250.
Fi = 45 см,尸2 = 5 см, F； = 36 см,尸;=4 см.
На расстоянии 8 см друг от друга.
D = 60 дптр.
w = 8,5.
0,5 см.
15,3 см.
尸=—39,9 см.
В фокусе линзы.
Изображение получится на расстоянии 25 см от линзы.
б) А% = 1,1 мм; в) d《5,5 • IO— см; г) 21.
5Х
tg ф = —-ф = 11".
2出
X = 5 • 10~7 м.
3・4・ пх = 1,000865.
а =崑土。丄 =9Т0〃・ 2г А%
= 2,8 мм.
d = 0,48 мм.
… d(L + 2F)
АА = = 1,45 см, Ax = X = 12,5 • 10"*9 см.
2尸24
© = 178,5°.
мин = 4,8 • 10-2 м.
1,9 • 10-3 м.
N = 2" ：gQ = 6 см—.
Лмин = 3,45 • 10一5 см.
9".
а ~ 8*.
Д^2 = 0,32 мм.
F= p三=1,1 m.
(n — 1) /гл
pi = 0,606 мм.
Pm = ]/&R2m .
3*21. R = 17,5 см.
(1,5—1户(1,5+ 1)2(1,5—1户(1,5+ 1)20,04.0,04.Для сухого стекла
(1,5—1户
(1,5+ 1)2
(1,5—1户
(1,5+ 1)2
0,04.
0,04.
R =
Для влажного стекла
R n Rb3,B + Rb,CT，R = 0,024.
Ах == 20 см.
a) d = 0,24 мм; б) А%' = 3,75 мм.
пк = 1,000272.
X = 588 нм.
а) “ = 9,55 • 10*4 м; 6) % = 15,82 • 10一4 м>
а) г = 3,16 мм; 6) г = 2,24 мм.
Освещенность уменьшится.
Ах = 0,252 мм.
= 143 k
2 раза.
々=5.
X = 4,725 • 10一7 м.
Решение. Для максимума второго порядка sin 屮2 =——;для макси-
d
мума первого порядка sin 屮1 = —•
d
,.• / It .2 入
Фг =(pi + a, sin q)2 = sin (epi + а)=——cos а + sin а cos q)i =—.
dd
— (2 — cos ос)
cos%=]/1f，—-一=]/1一才・
ad
a)也=3; 6)々=5.
a) Спектры не перекрываются; б)齐=3,375; в) 3°10\
TМИН== 12。40‘.I
Линии разрешаются в спектре второго порядка.
444
4」'd=R 6=* % =研.
D = 1,5 мм/нм, 4.15. / u2 98M.
Решение.Решение.ЛфЛф・ Принимаем Х== 55 • 10~8 м (к этой длине
Решение.
Решение.
Лф
Лф
волны наиболее чувствителен глаз человека); А(р = 丁
Нет. Угловое увеличение телескопа должно быть не менее пятикратного.
а) 2 = 3,35 • 10~& см; б) Z = 2,2 • 10Т см.
d = 0,281 нм.
ai = 56°40*; «2 = 45°25'・
В = 37Q.
а) п = 1,6; 6) 〃 = 1,27.
а) м = 1,63; 6)屮=67°.
=58。43'; 6 = 55。06'.=58。43'; 6 = 55。06'.5.5.5.5.8=66。40'; змнн = 46。40'・
=58。43'; 6 = 55。06'.
=58。43'; 6 = 55。06'.
5.5.
5.5.
/1 = (0, %;厶=(0,8)е + (О, % = 0,9; /3 = (0,08)〃； ％ = (0,64), + + (0,18)я == 0,82 (индекс е относится к интенсивности естественного света, индекс л — к интенсивности линейно-поляризованного света).
а) ” 0,083; б) 0,09; 1.
Указание. Коэффициент отражения энергии р =» ―^——.
Для нахождения интенсивности колебаний в плоскости падения / ° и перпендикулярных плоскости падения /丄 следует воспользоваться формулами Френеля.
儿 21 - 1 、2儿 21 - 1 、25.9.5.9.n21 + 1n21 + 1/ = 0,92 /о, где /о — интенсивность света, падающего на стеклянную пластинку.
儿 21 - 1 、2
儿 21 - 1 、2
5.9.
5.9.
n21 + 1
n21 + 1
Указание. Воспользуйтесь результатом решения задачи 5.9.
/ = О,8/о. Уменьшатся в 2,35 раза.
Указание. Следует воспользоваться результатом решения задачи 5.9, учтя при этом, что свет проходит через 4 отражающие поверхности.
1; 0,09.
Уменьшится в 1,5 раза, 45°.
п = 65.
0,92.
—~ =19.
/丄
Указание. По степени поляризации нужно найти отношение интенсивности колебаний в одном из главных направлений поляризатора к интенсивности колебаний в другом. Это отношение является характеристикой поляроида.
0,86.
Хо = 3,55 • 10~7 м,熊=3,95 • 10一？ м, А/ == Л (я0 — nJ = 5,16 X
X 10-Юм;九=丁 仇一“J = 856 • IO*。м.
储=-—=4,5 мм.
1 2а
Л = 3,02 мм; оптическая ось кристалла совпадает с направлением распространения света.
с = 0,2 г/см3.
几(Р + 9)-
/ =—— = 42 см. Винтообразные полосы будут иметь цветную
окраску, л
h =丁 == 2,7 см.
Ka
尸=—=41 H. Освещенность экрана не меняется. Освещенность экрана меняется: за один оборот она становится два раза максимальной.
Л = =0,58 м.
Указание. Интенсивность наименьшая, если колебания, падающие
на анализатор, составляют с главной плоскостью анализатора угол —.
Это будет, если из пластинки выходят колебания в фазе, т. е. разность фаз. Д(р = 2冗儿 伐——целое число). Аналогично рассуждая, нужно найти разность фаз колебаний, вышедших из пластинки. При наименьшей толщине пластинки число 力 наименьшее.
А = = 2,5 • 10~12 м/В2,当== 2 • 10е В/м, изменится.
4 国У 1к
d2
Z = ■=0,13 м.
У =①=3,24 • IO—a-i； угол между поляроидами равен —; 4
л〃мнн=^ =2,78 • 107 А/м.
V = 313274 км/с.
% ^ 69,8 • 10-5 м.
п = 1,000684.
Указание. См. решение задачи 3 (§ 7).
42=1 + + *2)(九2 -九 1)
С
Решение. Фазовая скорость v = —. Для определения п используем понятие средней дисперсии в диапазоне & ——九2：
ТогдаТогдаТак какТак как人2 入］人2 入］откуда n = n,—— 外 仇］—X2).откуда n = n,—— 外 仇］—X2).入2 一入1入2 一入1（入1 —入2）（入1 —入2）dv苏=dv苏=Далее, — можно заменить конечными приращениямиДалее, — можно заменить конечными приращениямиАпЛХАпЛХ九2 — %九2 — %
Тогда
Тогда
Так как
Так как
人2 入］
人2 入］
откуда n = n,—— 外 仇］—X2).
откуда n = n,—— 外 仇］—X2).
入2 一入1
入2 一入1
（入1 —入2）
（入1 —入2）
dv
苏=
dv
苏=
Далее, — можно заменить конечными приращениями
Далее, — можно заменить конечными приращениями
Ап
ЛХ
Ап
ЛХ
九2 — %
九2 — %
〃1 = 0,952 V1, 〃2 = 0,925 з, — = 1,56.
У к а з а н и е. См. решение задачи 2 (§ 6).
V = 2,25 • 108 м/с, и == 2,21 • 108 м/с.
«1 = wi, 〃2 =万 и?, 〃з = З^з (аномальная дисперсия).
6.8. и6.8. илмлм=57 • 103 км/с.=57 • 103 км/с.
6.8. и
6.8. и
лм
лм
=57 • 103 км/с.
=57 • 103 км/с.
А入1 = —3,11 нм, А入2 =2,11 нм.
6.10. Xo = 0,55 см.6.10. Xo = 0,55 см.Решение. ” = %Решение. ” = %7.9.7.9.hehe£ = d(sin(p- sin Ф1)= 2,07 ЭВ£ = d(sin(p- sin Ф1)= 2,07 ЭВ
6.10. Xo = 0,55 см.
6.10. Xo = 0,55 см.
Решение. ” = %
Решение. ” = %
7.9.
7.9.
he
he
£ = d(sin(p- sin Ф1)= 2,07 ЭВ
£ = d(sin(p- sin Ф1)= 2,07 ЭВ
1 + у
Так как и《с, то по формулам при*
1
ближенных вычислений v = v01 1 + — I • Ограничиваясь членами бинома
низшего порядка, получим:
v="+2 — %T А『？宀= _=5,4・”
=4.
72 а)之 2 з В; 6)之 1,25 • 104 э в.
N = 1,21 • 1021 фотонов.
а) 4,4 • 10-36 кг. 6) н 8,8 • Ю-32 кг; в) 1,8 • 10-30 кг.
X = 0,0024 нм.
也=7 • 103.
Рф
X = 0,127 нм.
Е = 2,35 • 10-3 з В; р = 1,27 • 10-30 кг . м/с.
а) иМакс = 1,3 • 10е м/с (цезий), имакс = 7,05 • 10。м/с (платина)} б) %кс = 6,05 • 10б м/с (цезий), из платины электроны не вырываются.
2,15 эВ.
а) А = 1,88 эВ; б) умакс = 1,15 • 106 м/с, Емакс = 3,75 эВ.
he
фмакс = е入—Фвых = 1,72 В.
/макс = 3,76 см.
V = 1,33 - 1015 с-1, Л = 2,48 эВ.
h = 6,55 • 10-3 дж • с, % = 3,74 эВ.
1,38 • 10-25 кг . м/с.
5 • 10-9 кг • м/с.
1,3 • IO— н/м2.
Давление света в 11 раз больше давления газа в колбе.
а) р = 7 • 10-? н/м2; 6) р = 3,5 • 1О~7 Н/м2.
尸=3,5 ・ 10Т° Н.
р = 3,85 - 10е Н/м2, / = 7,7 • IB дж/(м2.с).
р = 3,55 • 10-? Н/м2.
120 кэВ.
л
0 = —, Е = 24 кэВ.
2
Рзп = 1,6 • 10-22 кг • м/с.
АХ = 0,00135 нм, cosB = 1 —竺团吃,8 = 68。20一 Л
入=0,00242 нм.
入=0,013 нм.
Е = 143 кэВ.
а) Т у 5750 К; б) Хмакс = 504 нм.
82 T = /点=2828 К.
0,304.
n = 0,3.
/2 = 7,9 А.
Указание. Следует воспользоваться таблицей IV.
94,66%.
с?2 == 0,055 мм.
Указание. Следует воспользоваться таблицей IV.
S = ——- = 6 • 10-3 м2,
△ = 20П, M2 = 16 • 104 Mi.Miaicc = 1,45 мкм.t= 0,02 c.Решение. Излучаемая нитью энергия равна изменению внутренней енергии нити:△ = 20П, M2 = 16 • 104 Mi.Miaicc = 1,45 мкм.t= 0,02 c.Решение. Излучаемая нитью энергия равна изменению внутренней енергии нити:ао T^nD Idtао T^nD Idt-p* lCdT9-p* lCdT9dTаткуда —dTаткуда ——狰叱 интегрируя, получаем:亠一丄PDCЗт； 37^—狰叱 интегрируя, получаем:亠一丄PDCЗт； 37^4ао4ао
△ = 20П, M2 = 16 • 104 Mi.
Miaicc = 1,45 мкм.
t= 0,02 c.
Решение. Излучаемая нитью энергия равна изменению внутренней енергии нити:
△ = 20П, M2 = 16 • 104 Mi.
Miaicc = 1,45 мкм.
t= 0,02 c.
Решение. Излучаемая нитью энергия равна изменению внутренней енергии нити:
ао T^nD Idt
ао T^nD Idt
-p* lCdT9
-p* lCdT9
dT
аткуда —
dT
аткуда —
—狰叱 интегрируя, получаем:亠一丄
PDCЗт； 37^
—狰叱 интегрируя, получаем:亠一丄
PDCЗт； 37^
4ао
4ао
—-—pDC7:党丿—-—pDC7:党丿12ao12aof = 6,2 ・ IO’ &以т = 1,03 • IO】？ Вт •旷2.п = 0,009.А九2 = 1,225 нм.以卩=315,9 - 1010 Вт • м-2, %т ^ 257 • 10" Вт • м*2, 厶 Г = 63,9 • 10“ Вт • м-2,以 т = 3,15 • 101г Вт • мТ3 8.17. п = 2,1 • 1021.'f = 6,2 ・ IO’ &以т = 1,03 • IO】？ Вт •旷2.п = 0,009.А九2 = 1,225 нм.以卩=315,9 - 1010 Вт • м-2, %т ^ 257 • 10" Вт • м*2, 厶 Г = 63,9 • 10“ Вт • м-2,以 т = 3,15 • 101г Вт • мТ3 8.17. п = 2,1 • 1021.'8.19. х = Z 1п 5 = I • 1609.8.19. х = Z 1п 5 = I • 1609.
—-—pDC
7:党丿
—-—pDC
7:党丿
12ao
12ao
f = 6,2 ・ IO’ &
以т = 1,03 • IO】？ Вт •旷2.
п = 0,009.
А九2 = 1,225 нм.
以卩=315,9 - 1010 Вт • м-2, %т ^ 257 • 10" Вт • м*2, 厶 Г = 63,9 • 10“ Вт • м-2,以 т = 3,15 • 101г Вт • мТ
3 8.17. п = 2,1 • 1021.'
f = 6,2 ・ IO’ &
以т = 1,03 • IO】？ Вт •旷2.
п = 0,009.
А九2 = 1,225 нм.
以卩=315,9 - 1010 Вт • м-2, %т ^ 257 • 10" Вт • м*2, 厶 Г = 63,9 • 10“ Вт • м-2,以 т = 3,15 • 101г Вт • мТ
3 8.17. п = 2,1 • 1021.'
8.19. х = Z 1п 5 = I • 1609.
8.19. х = Z 1п 5 = I • 1609.
к а з а н и е.к а з а н и е.Аналогично дляАналогично для2-104 1п 1,25.月=0,0639 ммт, Л2 = 0,1386 мм-1, 瓦=0,3465 мм~1.2-104 1п 1,25.月=0,0639 ммт, Л2 = 0,1386 мм-1, 瓦=0,3465 мм~1.冬=夕丿也，勿=/%「" 2H /] и /[ получаем:Ю = еИ».冬=夕丿也，勿=/%「" 2H /] и /[ получаем:Ю = еИ».e一仇1一厶）2e一仇1一厶）28.22 18.22 1ФФ4冗（/ +仔4冗（/ +仔0—（瓦 +0—（瓦 +
к а з а н и е.
к а з а н и е.
Аналогично для
Аналогично для
2-104 1п 1,25.
月=0,0639 ммт, Л2 = 0,1386 мм-1, 瓦=0,3465 мм~1.
2-104 1п 1,25.
月=0,0639 ммт, Л2 = 0,1386 мм-1, 瓦=0,3465 мм~1.
冬=夕丿也，勿=/%「" 2H /] и /[ получаем:
Ю = еИ».
冬=夕丿也，勿=/%「" 2H /] и /[ получаем:
Ю = еИ».
e一仇1一厶）2
e一仇1一厶）2
8.22 1
8.22 1
Ф
Ф
4冗（/ +仔
4冗（/ +仔
0—（瓦 +
0—（瓦 +
03Г肌2
Т - (4口年))2-匸一=10一e e.
Указание. Учесть, что излучение за время 成 равно убыли полной энергии взаимодействия протона и электрона: du = —Е (г) d/・
о "2成
г == 0,53 - 10-10 м, и = —- = 2,18 • 10е м/с, а
яте22%九
=8,94 • 10аа м/с2, Е = — -^ = -13,6 эВ.
а) ^0%6)偿卜偿) = 1.
На второй орбите энергия в 4 раза больше.
9.6. Серия Лаймана-0,915 ・ 10Т мсерия Бальмера3,65 • 10~? mсерия Пашена—8,24 ♦10"*? мсерия Бреккета—14,6 • 10-^ мсерия Пфунда—22,5 . 10-2 м9.6. Серия Лаймана-0,915 ・ 10Т мсерия Бальмера3,65 • 10~? mсерия Пашена—8,24 ♦10"*? мсерия Бреккета—14,6 • 10-^ мсерия Пфунда—22,5 . 10-2 мд) л == 30,3 нм.д) л == 30,3 нм.9.7. R = 二-” "=1,09 • 107 м*"1;9.7. R = 二-” "=1,09 • 107 м*"1;^^^^^ 2 5 8 58 о^ло^^л^^^^^^ 2 5 8 58 о^ло^^л^
9.6. Серия Лаймана
-0,915 ・ 10Т м
серия Бальмера
3,65 • 10~? m
серия Пашена
—8,24 ♦10"*? м
серия Бреккета
—14,6 • 10-^ м
серия Пфунда
—22,5 . 10-2 м
9.6. Серия Лаймана
-0,915 ・ 10Т м
серия Бальмера
3,65 • 10~? m
серия Пашена
—8,24 ♦10"*? м
серия Бреккета
—14,6 • 10-^ м
серия Пфунда
—22,5 . 10-2 м
д) л == 30,3 нм.
д) л == 30,3 нм.
9.7. R = 二-” "=1,09 • 107 м*"1;
9.7. R = 二-” "=1,09 • 107 м*"1;
^^^^^ 2 5 8 58 о^ло^^л^
^^^^^ 2 5 8 58 о^ло^^л^
9.4. Уменьшится в 4 раза.
=2,66 • IO-、м;
б) с
Ze2
% =~. = 4,32 • 106 м/с;
2в0Л
9.5・ а) г】—
nmZe2
в) 4 =
耻RZ2
е
=54 В;
г) U
, 3ficRZ2
\==40,8 В;
4е
h = -1/丄5州史=6,6 • 10-弘 Дж • с.
V 704《с
i>s= |/ _1__■И__12- = 7 • 10б м/с (£< — энергия ионизации атома водо- г т
рода).
2йс
入=—г = 1,25 • 10~7 м.
mu2
a) Xi = 103 нм,入2 = 122 нм, Х3 = 660 нм;
все линии спектра.
г = 1,76 нм, Ui = 91,5 В, X = 13,5 нм, U = 122,5 В.
о ® 3,1 • 10® м/с.
я « 4.
&2 =出」=34,3 см. Ра
阳=0,03, 丛* = 15.
о = j/^警=2,09 10 м/с. 械
U = 丁 = 7,8 • 106 в.
9.19.9.19.9.20.9.20.9.219.21eUih = = 6,6 • 10一34 дж . &Х=0,1 нма)入=—^г= 0Q15 нм; 6 U = § (ypt^-leUih = = 6,6 • 10一34 дж . &Х=0,1 нма)入=—^г= 0Q15 нм; 6 U = § (ypt^-l
9.19.
9.19.
9.20.
9.20.
9.21
9.21
eUi
h = = 6,6 • 10一34 дж . &
Х=0,1 нм
а)入=—^г= 0Q15 нм; 6 U = § (ypt^-l
eUi
h = = 6,6 • 10一34 дж . &
Х=0,1 нм
а)入=—^г= 0Q15 нм; 6 U = § (ypt^-l
«= 7,7 * 104 В(B = —, Е° = 0,511 МэВ — энергия покоя электрона\
9.22.9.22.he
9.22.
9.22.
U == 45,6 кВ.
2de sin 屮
U = 18,7 кВ.
9*25* Л = 6,6 ТОН дж . и
Е = 18 кэВ, U = 18 кВ.Е = 18 кэВ, U = 18 кВ.4
Е = 18 кэВ, U = 18 кВ.
Е = 18 кэВ, U = 18 кВ.
九= z к = 0,068 нм, □a (Z — 1
Да.
今=1,5 • Ю4.
4
и = 5,4 • IO? м/с.
а)入=0,039 нм; 6) % = 0,095 нм, X = 6,62 • 10*-22 нм.
Е= 0,21 МэВ.
Указание. Следует воспользоваться определением кинетической энергии в специальной теории относи тел ь ности.
d = *■—广，—= 0,02 нм
4 У 2meU
,U] = 24,2 В, % = 97 В.,U] = 24,2 В, % = 97 В.л2Д2
,U] = 24,2 В, % = 97 В.
,U] = 24,2 В, % = 97 В.
U = ——
2d2 sin2 Вте
N = 3,7 ♦ 1010 распадов в секунду.
m = 5,5 • 10-9 кг, V = 0,66 м®.
X = 27,5 • 10-м м.
1,477 • 10-?; 0,028; 0,578.
/п = 1,9 • 10~и кг.
а = 1,7 • 105 распадов в секунду.
/ = 20,4 . 108 лет.
1) 8a + 60; 2) 7а 十 4卩；3) 6а 十零；4) 8а + 40.
Полоний 2}*。.
Ed = 2,225 МэВ, Е。= 28,296 МэВ.
Ei = 8,05 МэВ.
AEi = 4,36 МэВ, ДЕ3 = —2,8 МэВ, А& = 22,4 МэВ, АЕ& и —1,05 МэВ.
10.13. Уравнение реакции 号N + сс-> ^О + Р, cos <р =
+ АЕ
татр
гия ядерной реакции,屮=g°45'
10.14.屮之 90°.
где АЕ = с? (2^нач — 2 "кон) -энер-
10.15. P = 12,5 • 104 кВт.
10.16.= 7,55.
10.17. X = 17,75 . 10-13 m.
10.18. Ek = 1,5824 • 10-項 “* = 0,99 МэВ.
10.19. V =
:———=107 Гц. 几 Кмакс
10.20. л ==
ЕМ60
：—• 10lB 5 об).
лАН 阿R2© л§ 丿
10.21. 7 =
=0,5 сут.
10.22. ся =
=尸生红 n 3,45-105 мс-1.
10.23. £ =
= 5,13 МэВ.
10.24. / n 1,24 cm.
10.25.入= 52,5 10』
Скорость протона от скорости света в вакууме отличается на 0.06%.
nER2t .,
10.26. т =
二 680c2 =1，76・104кг・
ОГЛА ВЛЕНИЕ
3 4102838465765727888983 410283846576572788898101101Предисловие
3 410283846576572788898
3 410283846576572788898
101
101
Фотометрия
Лучевая оптика
Интерференция света
Дифракция света
Поляризация света. Формулы Френеля
Скорость света. Дисперсия света. Элементы специальной теории относительности
Квантовые явления в оптике
Излучение и поглощение света (тепловое излучение)
Элементарная теория Бора
Атомное ядро Справочные таблицы Ответы
ИБ № 946
Ольга Ивановна Горбунова, Анна Михайловна Зайцева, Сергей Никифорович Красников
ЗАДАЧ НИК-ПРАКТИКУМ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
ОПТИКА. АТОМНАЯ ФИЗИКА
Редактор В. А. Обменяна
Художник обложки П. П. Перевалов
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Е. К. Полукарова
Корректор О. С. Захарова
Сдано в набор 15/VII 1976 г. Подписано к печати 12/VIII 1977 г. 60X 907ie. Бумага тип № I. Печ. л. 7,0. Уч.-изд. 6,77. Тираж 65 тыс. экз. А 03286.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с готовых матриц в типографии им. Смирнова Смолоблуправления издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2. Заказ № 2833.
Цена 20 коп.
1. Интенсивность света в точке, положение которой определя
4. Определите мощность излучения раскаленной вольфрамовой нити с температурой Т = 2000 К в интервале длин волн, отличающихся от длины волны, соответствующей максимуму излучения, на 1%. Площадь поверхности нити S = 1,5 • 10"5 м2.
Решение
Вольфрамовая нить не является абсолютно черным телом. При Т = 2000 К коэффициент поглощения вольфрама а = 0,26 (см. табл. IV).
Мощность излучения в интервале длин волн АХ 尸 ах, = иг кг AAaS,
4 一Аk一殁）
R2 е
О. И. Горбунова,
А. М. Зайцева, С. Н. Красников
ОПТИКААТОМНАЯ ФИЗИКАОПТИКААТОМНАЯ ФИЗИКАЗАДАЧНИК- ПРАКТИКУМ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
ОПТИКА
АТОМНАЯ ФИЗИКА
ОПТИКА
АТОМНАЯ ФИЗИКА
Допущено Минис т ере швом просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов
Под редакцией проф. Н. В. Александрова
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1977
535
Г67
Г 67Г 67Горбунова О. И. и др.
Г 67
Г 67
Задачник-практикум по общей физике. Оптика. Атомная физика. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Под ред. проф. Н. В. Александрова. М., «Просвещение», 1977.
112 с. с ил.
Перед загл. авт. : О. И. Горбунова, А. М. Зайцева, С. Н. Красников.
Книга представляет собой учебное пособие для студентов физических и физико-математических факультетов педагогических институтов, составленное по программе курса общей физики для пединститутог*
535 + 530Л535 + 530Лс 60602 — 394
535 + 530Л
535 + 530Л
Г 28 — 77
103 (03) —77
© Издательство «Просвещение», 1977 г.