ЧАСТЬ I

МЕХАНИКА

Глава 1. Кинематические представления механики

Пространство, время, движение

Кинематика материальной точки

Преобразования Галилея

Преобразования Лоренца

Глава 2. Динамические принципы механики

Состояния

Уравнения движения

Виды взаимодействий и силы

Потенциальная энергия

Глава 3. Законы сохранения

Происхождение законов сохранения

Закон сохранения импульса в классической механике ....

Закон сохранения энергии в классической механике

Закон сохранения момента импульса в классической механике .

Глава 4. Движение частицы в различных силовых полях

Движение заряженной частицы в электромагнитном поле ...

Нерелятивистское движение частицы в центральном поле ・..

Движение в кулоновском поле

Глава 5. Столкновения#.

Упругие и неупругие столкновение

Сеченне рассеяния

Глава 6. Движение абсолютно твердого тела

Кинематика движения твердого тела ...

Уравнения движения твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела

Глава 7. Колебания и волны

Одномерный гармонический осциллятор

Одномерный осциллятор с трением. Затухающие и вынужденные колебания ...

§§§§§§§§91 8 о 1 291 8 о 1 29 9427 5 5951 в 8075 5 530 о 0 12 2 3 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 ю2 2222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2239 9427 5 5951 в 8075 5 530 о 0 12 2 3 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 ю2 2222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2236 6 3 9 3 30303131326 6 3 9 3 30303131323232666 3 2 42 3 4 53 3 3 36 3 2 42 3 4 53 3 3 336136119 4 26 6 7 83 3 3 319 4 26 6 7 83 3 3 3

§§§§

§§§§

91 8 о 1 2

91 8 о 1 2

9 9427 5 5951 в 8075 5 530 о 0 12 2 3 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 ю

2 2222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 223

9 9427 5 5951 в 8075 5 530 о 0 12 2 3 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 ю

2 2222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 223

6 6 3 9 3 3030313132

6 6 3 9 3 3030313132

32

32

6

6

6 3 2 4

2 3 4 5

3 3 3 3

6 3 2 4

2 3 4 5

3 3 3 3

361

361

19 4 2

6 6 7 8

3 3 3 3

19 4 2

6 6 7 8

3 3 3 3

3. Колебания в системах с несколькими степенями свободы ..

Эффекты сложения волн

ЧАСТЬ п

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАТЕРИИ

Глава 8. Макроскопические состояния

1. Тепловое движение ...

Макроскопические параметры

Уравнение состояния , ♦.

Внутренняя энергия ♦,，，

Глава 9. Статистические распределения

Вероятность и флуктуации

Распределение Больцмана ..............

Распределение Максвелла ,

Распределение Гиббса

Глава 10. Основы* термодинамики

. Тепловые процессы , <

Первое начало термодинамики ............

Энтропия

4. Второе начало термодинамики

Г лава 11. Явления переноса ...,

Общая характеристика явлений переноса

Диффузия и теплопроводность ............

Вязкость

Глава 12. Фазовые превращения

Фазовые диаграммы .

Критическая точка^

Метастабильные состояния ...

Тройная точка

Глава 13. Кристаллическое состояние

Строение кристаллов ....

2 Дефекты кристаллов

Механические свойства твердых тел

Тепловое движение r твердых телах

Глава 14. Звук . *

Скорость звука

2. Физические характеристики звука

3. Ударные волны

Предметный указатель

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга является Первым ^ОмОм курса физики для втузов, рассчитанного на стандартную продолжительность обучения в три учебных семестра. Отправной точкой к его созданию послужила экспериментальная программа, разработанная десять лет назад на кафедре физики Московского Горного института (МГИ). На основе эт碱 программы в МГИ осуществлялся поиск путей дальнейшего улучшения преподавания физики. Данный курс является обобщением накопленного опыта.

В первом томе изложены основы классической механики и кинетической теории материи. Содержанием второго тома будет классическая физика электрических и магнитных явлений. Вопросам квантовой физики отводится третий том курса. Автором первого тома является А. В. Астахов. Авторам瓜 последующих томов будут А. В. Астахов и Ю. М. Широков.

Основная цель курса заключается в изложении физики как единой науки, опирающейся на небольшое число фундаментальных законов, обобщающих колоссальное множество опытных фактов^

В современных условиях быстрого и все возрастающего темпа развития науки и техники инженеру все чаще приходится сталкиваться с качественно новыми для него областями физических явлений. Поэтому мы убеждены в том, что для будущего инженера важно не столько описательное ознакомление с обширным кругом различных физических явлений, сколько усвоение иерархии физических законов и понятий, позволяющее эффективно использовать их в конкретных ситуациях.

Стремление подчеркнуть единство и внутреннюю логику физики повлияло на отбор материала, а также на порядок и методику его изложения. В частности, в первый том включен ряд вопросов, обычно рассматриваемых в последующих частях курса (основы теории относительности, движение заряженных частиц в электромагнитных полях, понятие о спине, некоторые экспериментальные методы исследования строения вещества и свойств элементарных частиц и др.).

В отношении методики особое внимание уделялось точности и конкретности определений, систематическому указанию пределов применимости законов и понятий, подчеркиванию значимости фундаментальных понятий, в част* ности таких, как состояние физической системы и ее уравнения движения.

Уже опыт первого тома показал, что последовательное выполнение отмеченных методических установок ведет не только к изменению частных формулировок, но и к коренной перестройке изложения. Наиболее существенной и

особенно мучительной для автора и редактора перестройке подвергнуты важ* нейшие разделы об основах механики. Традиционные способы изложения в значительной мере базируются на законах Ньютона в их первоначальной форме. В этих способах изложения механика получается оторванной от остальных разделов физики. С развитием теории электромагнитного поля и квантовой теории выяснилось, что законы Ньютона имеют сложную структуру и составлены из совокупности самостоятельных законов, имеющих различные области применимости. Попытка выделения такой системы элементарных (в смысле не составных) законов и сделана в настоящем томе.

Мы сознаем, что принятая система изложения имеет свои недостатки и трудности. Но у нее есть и свои преимущества. Во-первых, все понятия и за* коны, выходящие за рамки классической механики (например, законы сохра* нения), излагаются сразу в должной степени общности, позволяющей избежать дублирования в следующих томах. Во-вторых, наличие общих законов дает возможность выявить общие черты, связывающие в единую науку механику, электромагнетизм и квантовую физику.

Во всех томах курса большое внимание будет уделяться оценкам поряд* ков физических величин. Умение быстро и уверенно производить такие оценки особенно важно для активного использования физических знаний при решении новых технических проблем. Действительно, если физик старается выделить интересующий его процесс в «чистом» виде, то инженер, как правило, имеет дело со сложными системами, в которых протекает множество разных физических процессов, играющих различную роль по значимости и полезности.

Книга написана с учетом изменения школьных программ по физике и математике. И, конечно, мы рассчитываем, что читатель освоил простейшие физические понятия. Например, ему хорошо известно, какое движение тела является поступательным. Петит применяется для изложения относительно громоздких расчетов и вопросов повышенной трудности.

На различных этапах работы, завершением которой является данный курс, нам оказали большую помощь О. И. Завьялов, Н. А. Розанов, А. Д. Суханов, М. Л. Харахан, а также другие сотрудники кафедры физики МГИ. Оттачиванию методических установок курса во многом способствовали неоднократные обсуждения на пленумах научно-методического Совета Минвуза СССР, на различных конференциях и совещаниях. Особенно ценными для нас были критические замечания рецензентов книги Я. М Гельфера, А. И. Елькина, В. Ф. Киселева и А. А. Склянкина, а также обсуждения на семинарах и совещаниях у А. С, Ахматова, И. В Савельева, Б М Яворского. Мы при» носим глубокую благодарность всем отмеченным лицам и коллективам.

А В. Астахов Ю. М. Широков

ВВЕДЕНИЕ

Что такое физика

Развитие техники базируется на достижениях физики. Поэтому четкое понимание логики постановки и решения физических вопросов необходимо для плодотворной деятельности современного инженера. Современная физика — обширная и разветвленная наука, но ее разделы имеют много общих черт. Знание характерных черт физики как науки облегчает ее освоение и помогает эффективно использовать ее методы и концепции.

Физика — наука опытная. Современные физические теории (например, квантовая механика) выглядят как сложные абстрактные математические конструкции. Однако все эти теории опираются на опыт, и только опыт является критерием их правильности. Следует подчеркнуть, что далеко не всякое измерение является физическим опытом.

Физическим опытом, или физическим эксперимента 4f, является только такое измерение, в котором все воздействия на исследуемую систему поддаются учету.

Важнейшим свойством физического эксперимента является его воспроизводимость. Повторение физического эксперимента в другой лаборатории с измерительными приборами других конструкций должно дать те же результаты, что и в первом опыте. Для пояснения проанализируем смысл привычной фра-' зы: «Сегодня в тени двадцать градусов, а на солнце — тридцать два». Очевидно, что здесь говорится о двух измерениях- Но только первое из них является физическим экспериментом, в котором измерена определенная физическая величина — температура окружающего воздуха. Измеряя температуру в разных местах затененного пространства термометрами разных конструкций, мы будем получать одно и то же значение. Во втором измерении термометр не находится в тепловом равновесии с окружающим воздухом. Материал термометра поглощает энергию солнечного излучения и постепенно передает ее окружающему воздуху. Температура термометра зависит от

множества причин, таких как прозрачность атмосферы, цвет шкалы, конструктивные особенности термометра, скорость ветра и т. д. Учет всех этих влияний крайне сложен. Поэтому понятие «температуры на солнце》 не является физиче^ ской величиной, а ее измерение не есть физический эксперимент.

Далеко не все физические явления воспроизводимы в лабораторных условиях. Так, в лаборатории нельзя воссоздать условия, в которых вещество находится на поверхности Солнца, не удается получить искусственную шаровую молнию. Для изучения таких явлений приходится пользоваться не контролируемыми экспериментами, а природными наблюдениями.

Прогресс науки и техники непрерывно расширяет области физики, доступные исследованию с помощью контролируемых опытов.

Все физические измерения производятся с ограниченной точностью. Ограничение точности ставит предел степени подробности информации, получаемой из опыта. Поэтому при каждом физическом измерении указывается не только его результат, но и точность, с которой этот результат получен. Только в пределах точности измерений можно сравнивать результаты разных опытов друг с другом и с соответствующими предсказаниями теории.

Разные величины доступны измерению с различной точностью. Одним из самых точных опытов является измерение смещения энергии гамма-кванта на долю в 10-" под действием силы тяжести при подъеме на три метра.

Повышение точности измерений расширяет возможности познания окружающего мира и поэтому является важнейшей научной и технической проблемой.

На основе результатов физических экспериментов формулируются физические законы. Каждый из них в конечном счете является обобщением некоторой совокупности опытных фактов. Физический закон формулируется так, чтобы он был в согласии с имеющимися опытными данными и давал возможность предсказывать результаты новых опытов и даже существование новых физических явлений.

Опытные факты, использованные для получения определенного физического закона, всегда ограничены как по точности проведенных измерений, так и по области измерения физических величин (ограниченные интервалы температур, давлений, размеров и т. д.). Поэтому каждый физический закон имеет определенную область применимости. Область применимости физического закона задается: а) указанием допустимых пределов изменения физических величин, входящих в формулировку закона; б) наивысшей допустимой точностью измерения этих

величин; в) обширностью круга физических явлений, для которых закон имеет смысл. Внутри своей области применимости закон выполняется для любых физических явлений.

Области применимости разных законов сильно отличаются друг от друга. Например, закон сохранения импульса на сегодняшний день является универсальным, т. е. выполняется для •всех известных физических явлений при измерениях с наивысшей доступной точностью. Закон Кулона для электростатического взаимодействия двух зарядов имеет огромную, но все же ограниченную область применимости. Он выполняется от сколь (угодно больших расстояний до внутриядерных. На расстояниях, превышающих межатомные, закон выполняется практически абсолютно точно (т. е. отклонения не обнаружимы существующими методами), на расстояниях порядка межатомных |(10~10 м) возникает отклонение на 10~4%, которое доходит до [10-2% на расстоянии 10~13 м и меньше.

Наконец, область применимости законов сухого трения крайне ограничена. Эти законы выполняются в узком (для физики в целом) интервале температур и скоростей, при определенней обработке трущихся поверхностей и с точностью, не превышающей нескольких процентов. Кроме того, законы сухого трения имеют смысл для узкого круга явлений. Действительно, закон Кулона действует во всех веществах, поскольку все вещества составлены из заряженных частиц — атомных ядер и электронов. Законы же сухого трения имеют смысл только при скольжении одного твердого тела по поверхности другого. Для газов, жидкостей, потоков элементарных частиц законы сухого трения теряют какой бы то ни было смысл.

Физические законы, имеющие наиболее обширные области применимости, называются фундаментальными. Например, фундаментальными являются закон сохранения энергии, законы Ньютона, закон Кулона. Одно из величайших достижений фи^ зики состоит в том, что небольшого количества наиболее фундаментальных законов в принципе достаточно для получения почти всех остальных законов и вообще для объяснения и предсказания хода почти любых физических процессов. Исклю- меняем являются те новые разделы физики, для которых фундаментальные законы еще не установлены. Главным из этих исключений является физика элементарных частиц сверхвысоких энергий. С этими исключительными ситуациями, не охватываемыми фундаментальными законами, не только инженеры, но И большинство физиков не сталкиваются.

Многие законы частного (в масштабах физики в целом) характера действительно прямо выводятся из фундаментальных. Так, излагаемые в главе 4 части I законы Кеплера Для движения планет вокруг Солнца можно вывести из

фундаментального закона всемирного тяготения. Законы, непо-* средственно выводимые из фундаментальных, называются законами фундаментального происхождения.

Однако большинство физических законов, используемых физиками и инженерами, не могут быть выведены из одних* только фундаментальных законов без использования дополнительных частных предположений. Например, фундаментальные законы, определяющие взаимодействие электронов со всеми частицами, из которых составлен металл, хорошо известны. Но, пользуясь только фундаментальными законами, не удается получить закон Ома. Такая задача может быть математически сформулирована и несомненно имеет решение. Но это решение невероятно громоздко и недоступно даже всем существующим ЭВМ, вместе взятым.

В таких случаях широко используются различные модели.

Моделью называется абстрактная система, являющаяся упрощенной копией исследуемой реальной физической системы. При этом модельная система должна: а) иметь область применимости, в которой свойства модели с заданной точностью совпадают со свойствами реальной системы; б) допускать достаточно простое математическое описание.

Модель тем лучше, чем шире ее область применимости и чем проще ее описание. Например, замечательной моделью является концепция абсолютно твердого тела, используемая в механике. В этой модели реальное тело, имеющее сложнейшую атомную структуру и обладающее многочисленными свойствами, — механическими (пластичность, прочность, ...), тепловыми (теплоемкость, тепловое расширение, ...), электрическими и другими (горючесть, цвет, ...), — заменяется на абсолютно твердый монолит вещества, не имеющий никакой внутренней структуры и никаких свойств, кроме плотности и абсолютной твердости. И такая сверхупрощенная модель имеет обширнейшую область применимости. Можно сказать, что почти вся тео« ретическая механика основана на двух моделях: материальной точки и абсолютно твердого тела.

Во многих задачах механики, однако, приходится учитывать упругие деформации тел. В этих случаях модель твердого тела заменяется на более сложную, но и имеющую большую область применимости модель абсолютно упругой среды. Область применимости этой модели исключительно обширна, хотя, конечно, тоже ограничена: деформации должны быть достаточно малыми, чтобы соблюдался закон пропорциональности между силой и деформацией.

Здесь полезно подчеркнуть два обстоятельства, общие для всех моделей. Во-первых, общим свойством всех моделей является наличие эмпирических констант. Например, модель

упругой среды содержит неизвестный параметр ——множитель пропорциональности между силой и деформацией. Величина этого параметра определяется из опыта. Для таких подгоночных модельных параметров используется несколько терминов: эмпирические коэффициенты, опытные константы и др. Смысл этих терминов одинаков. Во-вторых, из самой модели нельзя получить пределы ее применимости. Эти пределы могут быть установлены либо опытным путем, либо с помощью более общей модели (или точной теории). Так, пределы применимости модели абсолютно твердого тела определяются через коэффициент пропорциональности в законе Гука для модели абсолютно упругого тела. Пределы применимости закона Гука определяются опытным путем по измерению отклонений от этого закона.

Кроме моделей, в физике, особенно прикладной, часто используются эмпирические или, как их часто называют, феноменологические закономерности. Эмпирической закономерностью называется любая систематизация опытных данных, обычно в виде формул или графиков, не претендующая на объяснение механизма исследуемого физического процесса, структуры исследуемых физических объектов и т. д. Типичной эмпирической закономерностью являются законы сухого трения.

Часто эмпирическая закономерность выражается некоторой формулой с неизвестными коэффициентами, значения которых подбираются по опытным данным. Так, например, эмпирически найдено, что сила лобового сопротивления воздуха для дозвуковых самолетов пропорциональна квадрату скорости. Коэффициент пропорциональности определяется опытным путем.

Подавляющее большинство эмпирических закономерностей (особенно устанавливаемых в прикладных исследованиях) имеют крайне узкую область применимости и тем самым крайне ограниченную предсказательную силу.

Наибольшей предсказательной мощью обладают фундамен* тальные законы, которые поэтому занимают гл а венствующее положение в физике. Для прикладных отраслей физики, одна< ко, ценность закона определяется не только степенью фундат ментальности, но и тем, как часто этот закон фактически ис- пользуется. Так, для электротехники самым важным является закон Ома, который далеко не фундаментален.

Для количественного описания физических явлений ис- пользуются различные физические величины. Используемая фи^ зическая величина должна иметь четкое определение. Каждое такое определение должно содержать либо количественный метод (хотя бы принципиальный) измерения этой величины, либо ее выражение через другие величйны, считающиеся

известными. Словосочетания типа: «температура есть степень нагретости тела》или «сила является мерой механического воз-* действия материальных тел» являются качественными пояснен ниями, но не количественными определениями физических величин. В определении необходимо также указывать, что именно характеризует определяемая величина: процесс, состояние и т. д.

Следует помнить, что само понятие физической величины, как правило, имеет ограниченную область применимости. Так, килограмм воды имеет определенную температуру, но температуры трех молекул воды не существует.

Физические величины, подобно физическим законам, раз« личаются по степени фундаментальности, т. е. по области применимости. Наиболее важны для физики фундаментальные константы, входящие в формулировки фундаментальных физических законов. Этих констант восемь: скорость света в пустоте; постоянная Планка; заряд электрона; массы электрона, протона, нейтрона; гравитационная постоянная и постоянная слабого взаимодействия. Решая фундаментальные уравнения, в принципе можно выразить через эти восемь констант любую другую физическую величину — электропроводность диода данной марки, плотность такого-то раствора, интенсивность химической реакции, период радиоактивного распада и т. д. Практически в физике и особенно в технике приходится использовать огромное число нефундаментальных, эмпирических величин, имеющих узкую область применимости.

Для выражения количественных закономерностей в физике широко применяется математический аппарат. При этом использование того или иного раздела математики в конечном счете диктуется опытными фактами. Так, опытный факт непрерывности пространства и времени привел к необходимости использования дифференциального исчисления: большинство физических законов выражаются дифференциальными уравнениями. Точно так же опытный факт эвклидовости пространства привел к использованию векторной алгебры, и т. д.

Каждая формула, встречающаяся в физике (даже в промежуточной выкладке), имеет четкий физический смысл. Чаще всего формула имеет смысл либо как закономерность, либо как определение физической величины. Нередки и комбинированные ситуации. Например, формула закона Ома U = RR выражает и закон, и определение. Закон Ома состоит в том, ч-то в определенных условиях ток линейно зависит от разности потенциалов. В области применимости этого закона та же формула служит определением новой физической величины — сопротивления R. При таком комбинированном толковании формул надо следить за тем, чтобы не возникал «порочный круг».

Общие физические понятия

Первой и часто главной трудностью, встающей при решении конкретной физической задачи (возникшей в реальной обстановке, а не взятой из задачника), является вопрос о том, какие из многочисленных явлений и свойств необходимо учи^ тывать и какими явлениями и свойствами можно пренебречь, чтобы сделать формулировку задачи решаемой и вместе с тем достаточно точно описывающей реальную ситуацию. Тем самым возникает вопрос о том, какие физические величины малы или велики.

Надо отчетливо понимать, что в физике не бывает величин просто больших или просто малых. Каждая конкретная величина мала или велика лишь по отношению к другой, характерной для данной задачи величине (конечно, той же размерности). Например, длина волны красного света ничтожно мала по сравнению с размерами человека. Именно поэтому в светотехнике пренебрегают волновыми свойствами света, считая, что он распространяется по прямолинейным лучам. Напротив, по сравнению с отдельным атомом длина волны красного света огромна. Поэтому при рассмотрении взаимодействия света с атомом часто принимают, что амплитуда световой волны в каждый момент одинакова во всех точках атома.

Другой пример. Температура 20 000 ℃ почти во всех обла^ етях техники является высокой. Но в термоядерных исследованиях плазма этой температуры считается низкотемпературной.

Подчеркнем, что понятия бесконечно большого и бесконечно малого в физике иные, чем в математике. Бесконечно большой является величина, достаточно большая по сравнению с величиной, характерной для данной задачи, а бесконечно малой——величина, достаточно малая по сравнению с характерной.

Более того, нередки случаи, когда бесконечно малая физическая величина оказывается ограниченной не только сверху, но и снизу. Например, при выводе уравнения, описывающего звуковые волны в среде, рассматривают состояние бесконечно малого объема, размеры которого малы по сравнению с длиной звуковой волны, но велики по сравнению с межатомными расстояниями. Тем самым полученное уравнение применимо лишь тогда, когда можно удовлетворить обоим нера-« венствам.

Характер физических явлений существенно зависит от размеров изучаемых объектов и вообще от размера области пространства, в которой происходит явление. В табл. 1 дана шкала масштабов различных величин, исследуемых современ^ ной наукой.

Таблица I

Метры

1026 Размер Ьидимой части Вселенной

/尸

Расстояние междц галактиками

Размеры галактик

/〃 8 L

/5 Межзбездные расстояния

Размер Солнечной системы

/0“ Размер Земли

Ю3Высота большиегорнаЗемле

/Размерчеловека

//Г’Размерпесчинки

/О"'Пределразрешенияобычного

микроскопа

Размер бируса

厂

川_/2 Размер атома

川 ~'5 Размеры атомных ядер

10T° Исследуемая структураэлементарных частиц

Самой главной для физики характеристической величиной этой шкалы является размер атома, имеющий порядок 10~10 м. Этим масштабным размером все физические явления разде

ляются на макроскопические и микроскопические.

Макроскопическими называются явления, происходящие с очень большим количеством атомов или молекул s областях, превышающих размеры атомов 〃 молекул на несколько и более порядков, т. е. примерно от 10-8——10~7 м. Микроскопическими называются явления, происходящие в областях, сравнимых с атомными размерами и меньших.

Каждое макроскопическое явление имеет микроскопический механизм. Например, макроскопическое давление пара на поршень обусловлено микроскопическими явлениями ударов отдельных молекул воды по поверхности поршня. Понимание микроскопического механизма макроявлений является, пожалуй, главным направлением современной прикладной физики.

Именно на этом пути лежат возможности получения новых Материалов с заданным комплексом свойств. Например^ полупроводниковый диод нельзя было получить методом проб. Возможность создания таких диодов сначала была предсказана теоретически на основе понимания микроструктуры полупроводниковых материалов.

Все окружающие нас физические тела состоят из элементарных частиц трех сортов — протонов, нейтронов и электронов. Тем не менее мы говорим, что газ состоит из молекул, дом — из кирпичей и т. д. Понятие «состоит из ...» в физике является Относительным.

Общее правило тут таково. Элементарной составной частью тела можно считать такую его структурную единицу, которая в рассматриваемом круге явлений не разрушается и не деформируется заметным образом.

Например, нейтроны и протоны в атомных ядрах настолько прочно «сцементированы» друг с другом, что никакие химические реакции, электрические разряды и другие макроскопические воздействия практически не влияют на ядра. Поэтому § атомной и макроскопической физике ядра считают бесструк* турными заряженными материальными точками.

Для прикладной физики важен вопрос о микроскопическом составе макроскопических тел. Газы состоят из атомов или молекул. Вопрос о составе жидкостей и твердых тел более сложен.

Обычно он решается так. Электроны в каждом атоме расположены по слоям, называемым оболочками. Предельно воз можное число электронов в каждой оболочке строго фиксировано. Оболочка, целиком заполненная электронами, называется замкнутой. Замкнутая оболочка отличается высокой прочностью Она не только не разрушается, но даже не деформируется заметным образом при соединении атомов в молекулы, в жидкость или в твердое тело и при макроскопических процессах (механических, химических, тепловых, электрических). Электроны наружной оболочки связаны с атомом менее прочно. При соединении атомов в молекулу или твердое тело такие электроны могут отодвигаться и даже уходить от атома. Поэтому электроны внешних оболочек обычно рассматриваются как отдельные частицы^ а ядро вместе с электронами замкнутых оболочек рассматривается как единое целое, называемое Вонннм остовом или просто ионом.

Таким образом, молекулы, жидкости и твердые тела в большинстве случаев следует считать состоящими из ионных остовов 呼 электронов наружных оболочек. Например, кристалл поваренной соли состоит из ионов (не атомов!) натрия и хлора.

Жидкий натрий состоит из ионов натрия и свободных злек^ тронов.

Типичной задачей физики является ответ на вопрос о том. как будет вести себя исследуемая физическая система в дан“ ных условиях. Для того чтобы сформулировать и решить такую задачу, необходимо задать для исследуемой системы ее состоя-* ние и уравнения движения.

Состояние физической системы определяется набором независимых друг от друга физических величин. Например, состоя* ние макроскопической материальной точки определяется ее положением и скоростью. Состояние составной системы определяется через состояния ее составных частей. Уже здесь видно, что задание состояния часто само является непростой задат чей: если считать тело состоящим из очень многих составных частей, то состояние будет описано очень точно, но математические уравнения окажутся непреодолимо громоздкими. Если же ограничиться «крупноблочным» описанием состояния, то можно «упустить» исследуемый эффект.

Например, если считать металлическую медь состоящей из атомов меди, то ее электропроводность получится, в против。- речии с опытом, ничтожно малой, как бы точно ни вести дальнейший расчет. Более того, даже приняв, что металлическая медь состоит из ионов меди и электронов внешних оболочек, мы не получим нужного значения электропроводности, если будем считать, что состояние каждого электрона определяется его положением и скоростью. Здесь нас подстерегает один из самых трудных моментов современной физики: в микромире описание состояния изменяется коренным образом в соответствии с законами квантовой механики. И только на основе квантового метода описания состояния электронов удастся получить удовлетворительное теоретическое описание электропроводности меди.

Уравнения движе>ния описывают изменение состояния во времени. Если состояние системы задано, то выписывание уравнений дв1иженрия сводится к применению известных физических законов той или иной степени фундаментальности.

Распространено мнение, что после выписывания уравнений решение задачи — дело вычислительной математики, которое при наличии достаточно мощной электронной вычислительной машины ни с какими трудностями не связано. На практике это мнение редко оказывается верным. В подавляющем больший- стве случаев машинное решение сколько-нибудь нетривиаль* ной физической задачи требует глубокого физического осмысливания для выбора разумных приближений и эффективной методики решения..

6・ В книге в основном используется Международная система единиц, называемая сокращенно СИ. Эта система утверждена в 1960 г. XI Генеральной конференцией по мерам и весам и рекомендована согласно ГОСТ 9867-61 для предпочтительного применения в СССР во всех областях науки, техники, народного хозяйства, а также при преподавании. Как исключение, будут использоваться некоторые традиционные для физики внесистемные единицы, такие как, например, ангстрем. Для чтения физической литературы инженер должен знать и гауссову систему СГС, которая широко используется в физике, как более удобная и естественная.

ТО. М Широков

ЧАСТЬ I

МЕХАНИКА

ГЛАВА 1

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МЕХАНИКИ

Пространство, время, движение

Мир изученных к настоящему времени материальных явлений характеризуется очень широким диапазоном расстояний, промежутков времени и скоростей движения. Так, размер части Вселенной, доступной для наблюдений с помощью современных приборов, составляет величину порядка 1026 м. Время существования Вселенной оценивается в 10——12 миллиардов лет, т. е. примерно в 1018 сек. Эти цифры дают представление о том, что физики сейчас называют самыми большими расстояниями и временами.

Очень малые расстояния и времена характеризуются такими цифрами. Размеры атомных ядер по порядку величины равны 10~15 м. В опытах на крупнейших ускорителях структура элементарных частиц исследуется до расстояний 5-10-18 м. Комбинированными радиотехническими методами удается измерять времена жизни нестабильных элементарных частиц до 10"*11 сек.

Естественным масштабом скоростей в природе является скорость распространения света в вакууме

с = 2,998 ・ 108 м/сек ^ 3 • 108 м/сек.(1.1)

Ее фундаментальное значение определяется тем, что

скорость 2,998-108 м/сек является предельно высокой скоростью движения любого материального объекта. Поэтому ее называют универсальной или мировой постоянной. Если скорость движения V пренебрежимо мала по сравнению со скоростью с, так что (и/с)2& 1, то движение является нерелятивистским. В противном случае движение носит релятивистский характер.

Опыт свидетельствует о том, что законы нерелятивистских и релятивистских движений отличаются качественно. Так, законы кругового движения протона, завершающего цикл ускорения в дубненском синхрофазотроне и обладающего на этом этапе скоростью около 0,99 с, совсем иные, чем законы обра-

щения спутника вокруг Земли (при скорости спутника и ^ ^ 8-103 м/сек отношение (и/с)2 ^ 7• 10-10 <С 1).

Характер законов движения качественно различен также для движений в малых и больших пространственно-временных масштабах (микромир и макромир). Так, движения электронов вокруг ядер в атомах и планет вокруг Солнца имеют совершенно различный характер. Напомним (см. Введение), что к макроскопическим относятся тела, размеры которых намного превышают атомные. Порядок линейных размеров атомов составляет 10-10 м. Линейный размер в 10-10 м, как характеристический, принят в качестве специальной единицы измерения длины. Эта единица называется ангстремом и обозначается символом А. Все макроскопические тела состоят из микроскопических. К последним относятся, например, атомы и атомные частицы (электроны, протоны, нейтроны), а также другие микроскопические частицы, со свойствами которых мы познакомимся в томе III.

Движения макроскопических тел подчиняются классическим (неквантовым) законам. Движения микрочастиц подчиняются законам, качественно отличным от классических, если хотя 6bl одна из характерных для движения величин размерности кг-м2/сек оказывается сравнимой с постоянной Планка Й):

Й= 1,054- 10~34 кг-м2/сек. (1.2)

Такие движения называются квантовыми. Наряду со скоростью света, постоянная Планка также является универсальной константой, с которой связано разграничение законов физики на квантовые и классические.

Поясним, почему квантовые закономерности, как правило, проявляются на малых расстояниях. Произведение mvr массы частицы на ее среднюю скорость и на размер области, в которой происходит движение, имеет размерность постоянной Планка. Согласно только что приведенному критерию движение частицы будет иметь классический характер, если mvr》h, и квантовый, если mvr порядка Й. Отсюда видно, что при заданной массе частицы и при фиксированной средней скорости квантовые закономерности проявятся лишь при достаточно малых г. При m = 10-30 кг и V = 0,01 с (электрон в атоме водорода) движение будет квантовым при г а 10~10 м (размер атома водорода).

Многочисленные геодезические и астрономические измерения, а также экспериментальные данные о явлениях микромира Позволяют утверждать, что вплоть до очень больших масштабов, за исключением лишь сравнимых с масштабом наблюдаемой

части Вселенной, геометрия мирового пространства с высокой' точностью является эвклидовой. Однако на расстояниях, сравнимых с величиной 1026 м, эвклидовость пространства нару^ шается. На таких расстояниях оно оказывается искривленным^

С月С月Рис. 1.2. а+0 + у=18О。； а‘ + У + 十 Y’，180。；(АВ)2 + (ДС)2 = (ЗС)2;(4'8')2十(гc)，(8'e‘)2.Рис. 1.2. а+0 + у=18О。； а‘ + У + 十 Y’，180。；(АВ)2 + (ДС)2 = (ЗС)2;(4'8')2十(гc)，(8'e‘)2.

С月

С月

Рис. 1.2. а+0 + у=18О。； а‘ + У + 十 Y’，180。；(АВ)2 + (ДС)2 = (ЗС)2;

(4'8')2十(гc)，(8'e‘)2.

Рис. 1.2. а+0 + у=18О。； а‘ + У + 十 Y’，180。；(АВ)2 + (ДС)2 = (ЗС)2;

(4'8')2十(гc)，(8'e‘)2.

что, как оказалось, является результатом действия сил гравии тационного притяжения между телами, заполняющими области пространства столь больших размеров.

Нарушение эвклидовости мирового пространства на больших расстояниях подобно изменениям в геометрических свойствах, которые наблюдаются при переходе от плоскости к поверхности сферы. Эти изменения выражаются, например, в том, что на сфере кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется дугой большого круга, проведенного через данные точки. На плоскости расстояние измеряется отрезком прямой (рис. 1.1). В сферическом треугольнике, в отличие от плоского, сумма углов не равна 180°, и для сферических прямоугольных треугольников не выполняется теорема Пифагора (рис. 1.2). Эвклидовость мирового пространства в не слишком больших масштабах подобна геометрическим свойствам малых участков сферической поверхности, которые с высокой точностью МОЖ-1 но считать плоскими (рис. 1.3), Подобно радиусу сферы, характеризующему степень ее искривленности, искривленность мирового пространства характеризуется радиусом крн^

визны Вселенной. В настоящее время считается, что он не мо-. жет быть меньше 1026 M.

Вблизи очень больших масс искривление пространства на^ блюдается и на меньших расстояниях. Так, луч света, проход

дящий от звезды к Земле около края Солнца, отклоняется на 1,75〃・

По современным представлениям механика, цель которой заключается в изучении законов перемещения тел в пространстве, подразделяется на классическую и квантовую, и в пределах каждой из них на релятивистскую и нерелятивистскую. Релятивистские и квантовые представления носят более общий характер по сравнению с нерелятивистскими и классическими (неквантовыми) законами. Законы нерелятивистской механики вытекают из релятивистских (но не наоборот!) в пределе малых скоростей, т. е. при (и/с)2《1・ Этот переход осуществляется, если в релятивистских уравнениях с-> оо. Законы классических /движений являются предельным случаем квантовых при 力一>0.

Свойства пространства и времени с учетом существования предельной скорости с рассматриваются в теории относительности, которая подразделяется на специальную и общую. Общая теория отличается от специальной учетом эффекта искривления мирового пространства, обусловленного силами тяготения.

Нерелятивистская механика значительно проще релятивистской, а неквантовая несравненно проще квантовой. Поэтому всюду, где это допустимо, стараются пользоваться нерелятивистской классической механикой, которую, следуя традиции, мы часто будем называть просто механикой.

В части I будут рассмотрены основы классической механики, включая главные положения специальной теории относительности. Знакомство с общей теорией относительности будет ограничено разъяснением содержания ее главного исходного положения —принципа эквивалентности.

Законы классической механики являются теоретической основой многих технических наук (сопротивления материалов, технической механики, гидравлики и технической гидродинамики и т. д.) и небесной механики, изучающей движение разнообразных небесных тел, включая звезды, их скопления и межзвездный газ. Законы квантовой механики составляют базу разнообразных наук, изучающих свойства вещества и разрабатывающих методы целенаправленного их изменения и использования. К их числу относятся атомная и ядерная физика, х^мия, материаловедение и т. д. Основы квантовой механики будут изложены в третьем томе курса.

Понятие перемещения в пространстве или движения имеет строго определенное содержание только при указании, относи- тельно каких именно тел перемещается рассматриваемый объект. В этом заключается фундаментальное свойство природы, состоящее в том, что всякое движение относительно. Поэтому описание движения возможно только при наличии системы отсчета^

Системой отсчета называется совокупность прибора для отсчета времени (часов) и некоторого набора те%, по отношению 及 которым движение рассматривается. При этом тела и часы считаются неподвижными.

Подчеркнем, что в этом определении понятие «часы» имеет более широкий смысл, чем тот, который ему придают в житейских условиях. Именно, для отсчета времени можно использовать любой периодический процесс, период которого задает единицу измерения времени. Необходимость в таком широком понимании очевидна. Например, процессы, протекающие на Солнце, естественно рассматривать из системы отсчета, жестко связанной с Солнцем. Но часов в обиходном смысле на Солнце, конечно, нет. Отсчет же времени можно осуществлять и там, используя в качестве единицы измерения, например, период вращения Солнца вокруг своей оси.

Системы отсчета необходимы для фиксации точки зрения на движение. Поэтому в системах отсчета как физических телах абстрагируются от всего, что связано с их конкретным строением и внутренними свойствами. Важным является только то, как выглядит по отношению к ним пространство и как течет время. Опытным фактом является трехмерность мирового пространства и его эвклидовость на расстояниях, малых по сравнению с радиусом кривизны Вселенной. Поэтому систему отсчета изображают трехмерной прямоугольной системой координат, оси которой жестко связаны с набором тел, образующих совместно с неподвижными относительно них часами систему отсчета. Сами тела при этом не изображаются. Точка пересечения координатных осей %, у, z называется началом системы отсчета. В тех случаях, когда необходимо будет подчеркнуть, что системой отсчета является не

Q)только набор неподвижных тел, но и покоя

щиеся относительно них часы, производящие отсчет времени /, в изображение системы отсчета мы будем вводить элемент, указывающий на это обстоятельство, в виде кружка к-ан с буквой / внутри, так, как это показано на

рис. 1.4.

Рис- 14Подчеркнем, наконец, что поскольку про*

странство и время всегда рассматриваются с точки зрения какой-либо системы отсчета, то пространство и время относительны, так же как относительно движение.

Системы отсчета можно связывать с различными телами. Особо важный класс тел составляют свободные, тела.

Свободным называется тело, настолько удаленное от всех остальных, что их воздействие на движение данного тела пренебрежимо мало.

Представление о свободном теле связано с общим свойством всех наблюдаемых взаимодействий. Оно заключается в том, что по мере увеличения расстояния между телами их взаимодействие ослабевает, стремясь к нулю. Не существует ни одного опытного факта, противоречащего этому положению. Поэтому； достаточно удаленные друг от друга тела движутся практически независимо.

Для свободных тел справедлив принцип инерции Галилея, называемый также первым законом Ньютона. Он является обобщением известных в настоящее время опытных фактов и утверждает, что

существуют системы отсчета, в каждой из которых свободные тела могут двигаться равномерно и прямолинейно. Такие системы называются инерциальными.

В области явлений классической физики под равномерным и прямолинейным подразумевается только поступательное движение свободного тела. При переходе к микромиру квантовых явлений конкретизация принципа инерции изменяется.

Частным случаем равномерного и прямолинейного движения является состояние покоя. Поэтому любая инерциальная система связана с некоторой совокупностью покоящихся друг от* носительно друга свободных тел. Вследствие принципа инерции Галилея различные инерциальные системы движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно и в частном случае могут покоиться.

Принцип инерции фундаментален. Его область применимости охватывает всю физику.

Естественной для земного наблюдателя инерциальной си- стемой отсчета является система, связанная со звездами. Современные приборы не в состоянии зафиксировать ускорение звезд даже при наблюдениях, непрерывно производимых в течение нескольких сотен лет. Поэтому с точностью, определяемой существующими средствами наблюдений, можно считать, что одиночные звезды являются свободными телами. Инерциальную систему образуют три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в центре Солнца, совместно с неподвижными от* носительно этого центра часами. При этом координатные оси должны быть ориентированы по трем одиночным звездам. Из-за крайней медленности перемещения звезд друг относительнб друга можно даже не добавлять, что все четыре звезды (Солнце и три остальных) должны находиться в состоянии относительного покоя. Даже если его и нет, то разориентация осей будет столь медленной, что этим эффектом вполне можно пренебречь.

Такая система, однако, не очень удобна для рассмотрения Движений в околоземном пространстве, составляющих подавляющую часть всех видов движения, с которыми приходится

сталкиваться в различных практических задачах. В этих случаях более естественной является система отсчета с началом в центре Земли и с осями, направленными на три одиночные звезды. Еще более удобной была бы система с координатными осями, жестко связанными с Землей. Однако в этих системах отклонения от инерциальности уже поддаются обнаружению.

Эти отклонения обусловлены двумя причинами. Во-первых, центр Земли обращается (а не движется прямолинейно) вокруг Солнца. Во-вторых, Земля вращается вокруг своей оси. Центростремительное ускорение при вращении Земли вокруг Солнца составляет около 6-10~3 м/сек2. Центростремительное ускорение Земли при вращении вокруг собственной оси равно приблизительно 3-10-2 м/сек2. Первое из них на четыре, а второе на три порядка меньше ускорения свободного падения, близкого у поверхности Земли к величине 9,8 м/сек2. Поэтому влияние центростремительных ускорений обращения Земли вокруг Солнца и ее вращения вокруг собственной оси проявляется в малых изменениях силы тяжести. В тех ситуациях, когда этими малыми поправками можно пренебречь, системы отсчета, связанные с Землей, можно считать инерциальными.

Инерциальные системы отсчета являются выделенными по сравнению с другими, неинерциальными системами. Это обстоятельство связано с одним из самых фундаментальных свойств природы, которое выражается принципом относительности. Так же как и принцип инерции Галилея, принцип относительности является обобщением всех известных экспериментальных фактов и гласит, что

все законы физики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Другими словами, все инерциальные системы физически эквивалентны друг другу и понятия абсолютного покоя и абсолютного равномерного прямолинейного движения лишены смысла. Областью применимости принципа относительности является вся физика в целом, включая квантовую физику и теорию относительности.

Этот фундаментальный закон выражает тот опытный факт, что два любых опыта, поставленных одинаковым образом в двух разных инерциальных системах, дают одни и те же результаты.

Физические законы формулируются одинаковым образом только в инерциальных системах. В различных неинерциальиых системах отсчета они выглядят по-разному. Поэтому физические явления естественно изучать с точки зрения инерциальных систем отсчета. В дальнейшем везде, где это не оговорено особо, мы будем использовать именно инерциальные системы.

Физические законы формулируются как количественные соотношения ме冰ду различными физическими величинами» т. е.

записываются в виде математических уравнений. Поэтому принцип относительности выражается в неизменности вида этих уравнений при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Неизменность вида уравнений при каких-либо преобразованиях в математике называется инвариантностью урав« нений относительно этих преобразований. В этих терминах принцип относительности формулируется следующим образом:

Физические законы, инвариантны относительно перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Принцип относительности в его общей формулировке включает в себя не один, а несколько различных законов. Для их получения перечислим сначала возможные инерциальные системы.

Если какая-то система отсчета инерциальна, то инерпналь- ными будут системы, у которых относительно исходной: а) начало координат сдвинуто на любое расстояние в любом на-> правлении; б) начало времени сдвинуто на любой промежуток; в) тройка координатных осей повернута на любой угол вокруг оси, ориентированной в любом направлении; г) начало отсчета движется равномерно с любой скоростью (меньшей скорости света в вакууме!).

Принцип относительности утверждает, что любое физическое явление выглядит одинаково в каждой системе отсчета, полученной из исходной одним из перечисленных выше преобразований (а)——(г). Образно говоря, один и тот же опыт (прове- денный с такой точностью, что систему отсчета, связанную с Землей, можно считать инерциальной) даст тот же результат, будучи воспроизведен в другом городе, в другой день, в повернутой установке или в установке, смонтированной в поезде (едущем достаточно плавно и равномерно).

Кинематика материальной точки

Для описания структуры физических объектов в механике используются различные модельные представления. Наиболее простыми из них являются понятия материальной точки или частицы и абсолютно твердого тела.

Материальной точкой или, что то же, частицей называют тело в тек случаях, когда изучается только поступательное дви^ 掘ение тела как целого, при условии, что размеры, форма и другие его структурные свойства, а также протекающие в нем процессы в пределах точности измерений *) не влияют на дви^ ^ение тела,

Например, траекторию будильника, выпавшего из окна пятого этажа, можно рассчитать в модели материальной точки с точностью порядка rlh ^0,1%, где г — размер будильника, h ——высота окна над грунтом. Для оценки же изменения хода будильника в период падения модель материальной точки не пригодна. Здесь уже необходимо учесть возможное вращение будильника и его конструктивные особенности.

Абсолютно твердым называется физическое тело в тех слу- чаях^ когда еао отдельные части остаются неподвижными друг относительно друга.

Раздел механики, в котором нерелятивистские классические движения рассматриваются в рамках моделей материальной точки и абсолютно твердого тела, выделился в самостоятельную науку, называемую теоретической механикой. В теоретической механике используются также модели идеальных нитей, идеальных шарниров и др. Соответствующие определения читатель может дать сам в качестве упражнения.

Сплошное тело (причем не только абсолютно твердое) в рамках механики можно мысленно разбить на достаточно мелкие части, каждую из которых можно трактовать как частицу. Тем самым задача о движении любого тела может быть сведена к задаче о движении системы частиц.

Если известно, каким образом изменяется со временем положение каждой частицы тела, то говорят^ что определен закон движения тела.

Необходимо иметь в виду, что в классической механике частицы должны быть классическими телами. Это означает, что хотя их размер как реальных физических объектов и может считаться малым, тем не менее их движение в условиях, в которых они находятся, должно быть классическим, а не квантовым. Например, в состав любого тела входят электроны, являющиеся составными частями атомов, образующих тело. Однако эти очень маленькие по своим размерам частицы нельзя считать материальными точками классической механики, поскольку движение электронов в атомах носит квантовый характер.

Отметим, что материальными точками могут считаться тела весьма внушительных размеров. Так, при описании движения Луны вокруг Земли Луну можно считать материальной точкой. В самом деле, по условию задачи интерес представляет изменение взаимного расположения Луны и Земли, расстояние между которыми равно примерно 3,8- Ю8 м. Диаметр же Луны составляет около 3,5-106 м, т. е. менее процента расстояния между Землей и Луной. Очевидно, что при этом пространственыой протяженностью Луны вполне можно пренебречь. Это, конечно, не означает, что так можно поступать

всегда. Например, в задаче о распределении массы вещества Луны в объеме этого небесного тела считать Луну материальной точкой было бы абсурдным.

Описать движение физической системы значит в каждый

момент времени указать положение всех ее частей в пространстве по отношению к выбранной системе отсчета. Для этого

необходимо задать какое-то число параметров, характеризующих положение тела в пространстве в каждый момент Бремени.

Минимальное число параметров, задание которых полностью определяет положение физической системы е пространстве, называется числом ее степеней свободы.

Положение материальной точки в пространстве однозначно определяется тремя ее координатами х, у, г по отношению к системе отсчета (рис. 1.5). Поэтому положение частицы описывается радиус-вектором. Ра

(1.3)(1.3)диус-вектором у называется вектор, проекции которого на оси системы отсчета равны координатам частицы х, у, г:

(1.3)

(1.3)

г = {х, У, %}•

Согласно этому определению число степеней свободы частицы равно трем. Если тело состоит из N частиц и все они могут

перемещаться друг относительно друга во всех направлениях, то оно обладает ЗА/ степенями свободы.

Если на взаимные перемещения частиц наложены ограничения, называемые связями, то число степеней свободы будет меньше. Его конкретное значение зависит от числа наложенных связей. Так, для задания положения абсолютно твердого тела в пространстве необходимо указать положения трех его частиц, не лежащих на одной прямой. В этом случае положения всех

Остальных частиц, жестко связанных с этими тремя, будут определены автоматически. Это иллюстрирует рис. 1.6, на ко- гором изображено абсолютно твердое тело и указаны три выделенные точки Л, В и С. Если их положения известны, то тем самнм однозначно определено положение любой точки 2

Положения точек А, В и С определяются девятью координатами хл, у а, 2а,・，•, ％с, Ус, 2с・ Однако из этих девяти величин независимыми являются только шесть, поскольку существуют три ограничения, обусловленные требованием сохранения трех расстояний ЛВ, АС и ВС. Поэтому число степеней свободы абсолютно твердого тела равно шести.

При движении радиус-вектор частицы изменяется. Он может удлиняться и укорачиваться, может изменять свою ориентацию в пространстве. Это означает, что он является функцией времени £:

r = r(/) = {x(Z), у(0, z(/)}・

Эта функция определяет закон движения классической частицьь При движении частицы конец радиус-вектора описывает в пространстве линию — траекторию частицы.

Подчеркнем, что траектория является исключительно клао сическим понятием. Квантовые частицы движутся не по траекториям.

Для важного частного случая вращательного движения су- шествует еще и другой способ описания. Любой поворот полностью определяется указанием оси /夕 вращения и угла поворота А(р относи、 / тельно этой оси. Если поворот осуществляется на малый угол А(р (такой, что Аф <С 2л), то можно ввести 〈(понятие вектора угла поворота Аф

(рис. 1.7). Он определяется так. Век- 丿〉тор А(р направлен вдоль оси враще- /Уния, т. е. перпендикулярен плоскости,

/в которой вращение происходит.

И^zОриентация этого вектора определяет

ся правилом буравчика. При враще- Рнс 17нии буравчика, ориентированного пер

пендикулярно плоскости вращения, в направлении движения перемещение его оси указывает направление △屮.Абсолютное значение вектора Аф равно углу поворота А(р・

Для того, чтобы величина была вектором, она должна не только иметь направление и абсолютное значение, но и удовлетворять правилу сложения векторов. Мы оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения доказать, что для величин А屮 векторный закон сложения соблюдается лишь с точностью Д(р/2л и, следовательно, только с этой точностью Дф можно считать вектором.

Так же как и радиус-вектор, вектор угла поворота является функцией времени: А(р = Д(р(/). Изменение его направления ха^

рактеризует изменения как ориентации плоскости вращения в пространстве, так и направления вращения частицы вокруг какого-либо центра. Изменение его абсолютного значения опре^ деляет угловое смещение частицы.

3. Величиной, характеризующей изменение положения частицы, является скорость (рис. 1.8). Скоростью v называется вектор, равный производной радиус- вектора по времени, т. е.

0(f)= lim

Очевидно, что мени скорость

=иm普=*■(1，4) Д/->0

в каждый момент вре* ориентирована по каса

тельной к траектории.

Через vXl %, vz будем обозначать компоненты скорости, определяющие проекции вектора а на координатные оси системы отсчета: а = {%, %, %}.

В компонентах, определяющих проекции скорости на коор* динатные оси, векторное равенство (1,4) эквивалентно трем соотношениям:

=粤，0山)=*，以⑴=粤，

Наряду со скоростью и для характеристики вращательного движения вводится понятие угловой скорости, которую обычно

обозначают

символом о. Угловой скоростью называется век-

тор со, направление которого определяет ориентацию плоскости вращения и, по правилу буравчика, направление вращения. Абсолютное значение вектора g равно производной от угла поворота по времени, так что

(1.5)

Угловая скорость, в отличие от угла поворота, является точным вектором. Действительно, предел

lim 粤=(о

АЗО

конечен, а отклонение от векторного закона lim —-==0.

Поэтому можно складывать векторно не только малые, но и большие угловые скорости.

Выбрав начало координат на оси вращения, скорость v дви-

жения щения Пусть

частицы можно выразить через угловую скорость вра

G)

за

и радиус-вектор частицы г. Обратимся к рис. 1.9. бесконечно малое время dt частица смещается на бесконечно малый вектор ". Очевид

z

но, что он

лежит в плоскости враще-

ния, т. е. перпендикулярен вектору d^. Вектор dr вследствие его малости можно считать перпендикулярным вектору р = у —R, где R — радиус- вектор центра окружности вращения. Величина вектора dr равна p・d(p, где d(p — угловое смещение частицы за время dt, а р ——радиус окружности вращения, равный абсолютному значению вектора р. Эти свойства вектора dr выражаются формулой

dr = [dq • р] = 口屮(г — /?)].

но векторы R н d(p параллельны (рис. 1.9). Поэтому векторное произведение [d(p・R] = 0. Следовательно,

(1.6)(1.6)dr = [dcp • г]——[d(p • R] = [d(p •川.

(1.6)

(1.6)

Разделив (1.6) на dt и учитывая (1.5), находим:

(1・7)(1・7)

(1・7)

(1・7)

Помимо скорости очень важной величиной в классической механике является ускорение. Ускорением а называется вектор, равный производной от скорости по времени:

(1.8)(1.8)dv d2r

(1.8)

(1.8)

a =诉=而.

Через &,旬，az обозначим компоненты ускорения, определяющие проекции вектора а на координатные оси системы отсчета: a = {% 旬，电}.

Между компонентами ускорения, скорости и радиус-вектора существуют следующие соотношения:

dvx (/) d4 (/)dvy (/)d2y (/)

以-di~ = 由2 ，0 -dt-，

以dt -川.

В отличие от скорости, ускорение может иметь любую ориентацию по отношению к направлению движения частицы.

Приведем пример. Тело, брошенное на Луне под углом к горизонту, будет двигаться по параболе (если высота подъема пренебрежима по сравнению с радиусом Луны). Из-за отсутствия на Луне атмосферы ускорение тела в течение всего времени движения будет одним и тем же — ускорением свободного падения на Луне g^, ориентированным к центру Луны (рис. 1.10), хотя направление движения тела все время изменяется.

Так как в общем случае ускорение имеет проекции как в направлении движения, так и перпендикулярно ему, то различают тангенциальное at и нормальное ап ускорения. Тангенциальным ускорением называется проекция ускорения на направление скорости. Нормаль

ным называется проекция ускорения на плоскость, перпендикулярную скорости. Согласно этому определению

(1.9)(1.9)a = at • п + ап* т,

(1.9)

(1.9)

длины: \п\ = \т\ = 1. Первыйдлины: \п\ = \т\ = 1. Первыйгде пит ——ортогональные друг другу векторы единичной

длины: \п\ = \т\ = 1. Первый

длины: \п\ = \т\ = 1. Первый

из них направлен вдоль и, а второй лежит в плоскости, перпендикулярной скорости (рис. 1.11).

Смысл разделения ускорения на тангенциальную и нормальную части таков: тангенциальное ускорение характеризует изменение абсолютного значения скорости, а нормальное ——изменение направления скорости.

Действительно, за малый промежуток времени А/ приращение скорости частицы Аи равно

толькотолькоАи = а • А/ = % А/ • п + an\t • т. Допустим, что ап = 0. Тогда Ди = at\t n, т. е. Ди направлено

только

только

вдоль скорости и. Поэтому при ап =0 будет изменяться величина скорости. Ее направление будет неизменным.

Если же at = 0, то Av = an^t-m. Найдем в этом случае квадрат абсолютного значения скорости по истечении времени А/. Сама скорость будет равна и + Аи = и + а九А/・/и = —vn -\~ an^t m. Мы представили скорость v в виде v = vns

2 А. В. Астахов

где V — ее абсолютное значение. Интересующая нас величина будет равна скалярному произведению:

(9 + Av) •(V + An)) = ((ип + art А/ • m) • (уп + апМ * т))=

=и2 (п • п) + 碌 А/2 (т • m) + 2van А/ (п • m) = v2 + 碎 Д/2.

При этом мы учли, что по определению (n-n) = n2 = (m-m)= —m2 _ j и (九.加)=0 Так как А/ предполагалось малой величиной, то с точностью до величины второго порядка малости абсолютные значения скоростей v и v 4* А^ равны, Следовательно, при @t = 0 скорость изменяется только по направлению.

Найдем выражения для нормального и тангенциального ускорений. Записав скорость v в виде v = ип, имеем:

(1.10)/г, так(1.10)/г, такdv d (un) dv . dn0=而=~^ = 7T也+ "万・

(1.10)

/г, так

(1.10)

/г, так

Сбратим внимание, что вектор dn/dt ортогонален вектору как их скалярное произведение равно нулю:

(〃 • 49=4^(” • “)=4方⑺=4 ^■⑴=。・

Поэтому

(1.Н)dn(1」2)(1.Н)dn(1」2)Из (1.9) следует, что (п・а) =的.Таким образом, dv

(1.Н)dn

(1」2)

(1.Н)dn

(1」2)

С учетом (1.11) из (1.9) и (1.10) вытекает, что апт =

Разделив это равенство на v2f получим:

где dr = V dt ——абсолютное значение смещения частицы за время dt. Умножим соотношение (1.12) скалярно на вектор т. Так как он имеет единичную длину, то

加)=爱=(加.霁).

Вспомним, что величина вектора п также постоянна. Поэтому dn/dr характеризует лишь изменение направления скорости. Следовательно, вектор dn/dr направлен по вектору т. Это

Рис. 1.12.Рис. 1.12.равна d^'dr. Последняя производная определяет кривизну траравна d^'dr. Последняя производная определяет кривизну траV2V2(1.14)(1.14)

Рис. 1.12.

Рис. 1.12.

равна d^'dr. Последняя производная определяет кривизну тра

равна d^'dr. Последняя производная определяет кривизну тра

V2

V2

(1.14)

(1.14)

означает, что произведение ^т •霹) равно абсолютному значению вектора dn/dr. Найдем его.

Обратимся к рис. 1.12. На нем изображена траектория ча

стицы и два положения частицы, одно из которых получается

из другого при смещении вдоль траектории на расстояние dr. При этом направление скорости изменяется на dn и скорость поворачивается на угол de. Ввиду малости d0 абсолютную величину вектора dn можно принять равной длине дуги окружности единичного радиуса, на которую опирается центральный угол de, т. е. \dn\ = dB. Следовательно, длина вектора dn/dr

ектории, т. е. насколько траектория искривляется при смещении на единичное расстояние. Так как d0/dr имеет размерность обратной длины, то ее представляют в виде

(1.13)(1.13)d® — 1不"=天

(1.13)

(1.13)

R имеет размерность длины и называется радиусом кривизны траектории 6 данной точке. Он имеет смысл предела радиуса окружности, проведенной через три точки кривой при неограниченном приближении этих точек к данной. Для произвольной кривой радиус кривизны различен в разных участках кривой. Он имеет постоянное значение лишь для окружности.

Суммируя изложенное, находим, что ajv2 = 1/R, т. е.

_do _ d / cf(p \ d2屮_do _ d / cf(p \ d2屮(1.15)(1.15)Наконец, для характеристики вращательных движений существует понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется вектор е, равный производной по времени от угловой скорости (О：

_do _ d / cf(p \ d2屮

_do _ d / cf(p \ d2屮

(1.15)

(1.15)

С чисто кинематической точки зрения круг величин, характеризующих движение, можно было бы расширять неограниченно. Помимо скорости и ускорения (угловой скорости и углового ускорения) можно было бы рассматривать более

высокие производные радиус-вектора (угла поворота). Однако сказывается, что в этом нет необходимости. Как будет выяснено в следующей главе, для систем классических материальных точек ускорения выражаются через координаты и скорости, т. е. не являются независимыми величинами.

§ 1.3. Преобразования Галилея

Равноправие инерциальных систем отсчета дает возможность в каждом конкретном случае подбирать систему координат, наиболее удобную для решения рассматриваемой задачи. Проследим, как производится выбор нужной системы отсчета н какие задачи приходится при этом решать.

Сначала необходимо установить инерциальность какой-то одной системы отсчета. После этого можно выбирать наиболее удобную систему путем изменения а) начала отсчета времени, б) начала координат, в) ориентации координатных осей, а также г) путем перехода к системе координат, движущейся поступательно с некоторой постоянной скоростью.

При переходе от одной системы отсчета к другой координаты частиц, компоненты их скоростей и другие величины изменяются. Поэтому возникает задача о переходе от одной системы отсчета к другой, т. е. о выражении величин, заданных в одной системе отсчета, через те же величины в другой системе. В случаях (а), (б), (в) такие преобразования очевидны и однозначны.

При смещении отсчета времени на промежуток 力 и начала координат на вектор г0 время f и радиус-вектор г в исходной системе отсчета связаны с временем Р и радиус-вектором к в новой системе соотношениями (рис. 1.13)

Z = f' + /o,尸=产 + 小・ (1.16)

При повороте координатных осей, например, на угол ф в плоскости ху исходные координаты выражаются через новые по формулам, известным из аналитической геометрии (рис. 1.14):

х = Xх cos ф — y'sin(p, у = %'sinq)+ y'cosq). (1.17)

Переход к движущейся системе координат более сложен и даже неоднозначен, если не принять дополнительных физических допущений о связях между пространством и временем. Эти допущения, конечно, должны базироваться на опытных фактах. Ниже будет видно, что одно из таких допущений ведет к нерелятивистской теории, а другое ——к релятивистской.

Прежде чем переходить к получению преобразований перехода к движущимся системам отсчета, следует отметить, что эти преобразования достаточно получить для простейшего слу-

яая, когда исходная система (назовем ее системой К) с координатными осями %, у, z и временем t считается покоящейся, а но- 販ая система ^, с координатами %', у\ z‘ и временем f движется

со скоростью 丿，направленной вдоль оси х (рис. 1.15). Любое другое преобразование перехода к движущейся системе отсчета сводится к комбинации только что указанного с преобразованиями смещений и поворотов.

Из опытных фактов следует, что с точностью до (V/c)2, где с ——скорость света, ход часов не меняется при переходе к движущейся системе координат. Для всех тел, размеры которых намного превышают атомные, (V/c)2 <^ 1. И действительно, Часы, покоящиеся на Земле, идут так же, как и часы в летящем Самолете или спутнике. Произведем оценку. Скорость искусственного спутника Земли,——одна из самых больших, которой •мы можем воспользоваться в целях непосредственной проверки влияния движения на ход времени,——равна 8-103 м/сек (первая

космическая скорость). Отсюда следует, что относительное изменение хода часов, установленных на спутнике, составляет (8-103/3-Ю8)2 а 7・ IO-。.

Поэтому для нерелятивистской скорости V можно, ссылаясь на опыт, утверждать, что в системах К н К' время течет одинаково. В частности, если ход часов в этих системах был синхронизирован в тот момент, когда координатные оси систем К и К' совместились, то и в дальнейшем показания часов будут совпадать. Это означает, что

течение времени носит абсолютный характер во всех инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга с нерелятивистскими скоростями*.

f =，•

Теперь выясним вид преобразований, связывающих пространственные координаты систем К и К', предполагая синхронизацию хода часов осуществленной в момент совмещения систем К и ^,.

Пусть в момент времени /, определенный по часам системы К, произошло некоторое событие в точке с координатами %, у, 2, например, в этой точке была зафиксирована какая-то частица (рис. 1.15). Наблюдатель, связанный с системой К', при принятом способе синхронизации часов систем ^ и ^, зафиксирует то же самое событие по своим часам в момент а = /. Штрихованные координаты этого события будут следующими: у' = у; 2’ = z, а координата л/ будет меньше х на величину пути, который к моменту времени /= У будет пройден началом О' системы отсчета К' по отношению к началу О системы ^. Этот путь равен Vt (рис. 1.15). Таким образом, связь между системами К и К' оказывается такой:

xz = х — V/, (1.18)

У‘ = У， 2‘ = 2・

Эти соотношения называются преобразованиями Галилея.

Преобразования Галилея выражают нерелятивистские представления о пространстве и времени. Требование инвариантности физических законов относительно преобразований Галилея называется принципом относительности Галилея или требованием галилеевой инвариантности. Оно распространяется только на нерелятивистские (е том числе и квантовые) движения.

Помимо абсолютного течения времени, к важным следствиям преобразований Галилея относятся также следующие.

Преобразования Галилея оставляют неизменным расстояние между двумя точками. Это свойство выражает тот опытный факт, что в нерелятивистской области размеры тел не зависят от их движения.

В самом деле, пусть в одно и то же время t в системе отсчета К зафиксированы два события в точках с координатами “1, у】,21 и %2, U2,之2・ Вследствие абсолютного характера течения времени эти же два события произойдут одновременно и с точки зрения наблюдателя системы К' в момент времени 片=f. При этом по отношению к системе ^, координаты точек, в которых эти события будут наблюдаться, согласно преобразованиям (1.18) будут равны

X^X^Vt, *=%, 2；=马

И

% = %2 — У，施=%， 2；=马・

По отношению к системе К расстояние между точками, в которых наблюдаются события, будет равно

/12 = “ (%2 — %1)2 + &2 — У1)2 + (& — 21)2 ・

Расстояние, измеренное в системе К', составит величину

% = "(勾一乂y +例一弘У 十❷一 "户 =

="施一Yf 一修+ 八产十匂2 - Di)2 +⑵一图产 =厶2.

Если скорость движения в одной системе отсчета равна V, а в другой и', то

v = v/ + V,(1.19)

если вторая система отсчета движется относительно первой со скоростью V.

В этом заключается содержание классического закона сложения скоростей. Его можно применять только к нерелятивистским движениям и в этой области он подтверждается многочисленными фактами. Так, скорость движения парохода относительно берегов реки (одна система отсчета) складывается из скорости парохода относительно воды (другая система) и из скорости течения воды (скорости относительного движения систем отсчета). Скорость любой подвижной части двигателя автомобиля относительно земли складывается из ее скорости Относительно корпуса автомобиля и из скорости движения автомобиля относительно земли. Число подобных примеров неограниченно велико, однако все они относятся к медленным, нерелятивистским движениям.

Последовательный вывод нерелятивистского правила сложения скоростей из преобразований Галилея достаточно провестн “ля частного случая двух инерциальных систем отсчета, изо* браженных на рис. 1.15.

Предположим, что наблюдается перемещение частицы в %- направлении. Это означает, что скорость частицы имеет отличной от нуля только одну х-компоненту. Пусть положения частицы по отношению к системе ^ определяются координатами %(/), а по отношению к системе К — координатами %'«)• Следователь- но, скорость частицы будет равна % = 产 в системе К и Vx — —^7-^- в системе К'. Если воспользоваться преобразованиями Галилея (1.18), то

vx=^^ = ^[x\f) + Vt]^^^ +

= о； + И. (1.20>

Как видно, этот результат является частным случаем закона (1.19).

Все тела по отношению к различным инерциальным системам отсчета движутся с одинаковыми ускорениями.

Действительно, дифференцируя по времени равенство (1.19) с учетом первого из преобразований (1.18) и постоянства V, получаем:

dv dp' dvr

что и требовалось доказать.

Исторически именно закон сложения скоростей явился пробным камнем, на котором были установлены пределы применимости представлений о времени и пространстве, вытекающих из опытных данных о свойствах медленных движений. Ограниченность галилеевых представлений о свойствах про странства и времени вытекает из следующего опытного факта:

Скорость света в различных инерциальных системах отсчета имеет одно и то же значение.

Очевидно, этот факт находится в резком противоречии с законом сложения скоростей (1.19). Согласно этому закону по отношению к системе отсчета, догоняющей свет, скорость света должна быть меньше, чем по отношению к покоящейся системе. На самом деле этого не наблюдается.

Впервые постоянство скорости света было обнаружено в опытах А. Майкельсона и Е. Морли, поставленных в период с 1880 по 1887 г. В этих опытах в качестве движущейся системы отсчета использовалась Земля, которая движется по околосолнечной орбите со скоростью 3-104 м/сек. Скорость света вдоль

направления движения Земли сравнивалась со скоростью света поперек этого направления. Измерения велись в разное время года, так что направление вектора скорости Земли менялось от опыта к опыту. Было обнаружено, что в пределах ошибок эксперимента (составляющих приблизительно 7б орбитальной скорости Земли) «поперечная» и «продольная» скорости света всегда равны друг другу. Это означает, что движение Земли не •оказывает влияния на скорость распространения световых сигналов.

Другим фактом, указывающим на ограниченность нерелятивистских представлений о свойствах пространства и времени, •явилась неинвариантность относительно преобразований Галилея законов, описывающих электромагнитные явления. Эти законы выражаются уравнениями Максвелла, которые будут рассмотрены в томе II. Из них также вытекает постоянство скорости света. Делались попытки видоизменить уравнения Максвелла так, чтобы законы электромагнетизма стали галилеево инвариантными. Однако следствия, вытекающие из «подправленных» уравнений Максвелла, противоречили опыту.

§ 1.4. Преобразования Лоренца

В 1905 г. А. Эйнштейн предложил отказаться от поиска объяснений, почему скорость света во всех инерциальных системах отсчета оказывается одинаковой. Им была высказана смелая мысль о том, что постоянство скорости света является фундаментальным свойством природы, которое нужно констатировать как «опытный факт.

Требование постоянства скорости света во всех инерциальных системах отсчета известно под названием постулата Зйн- штейна. Этот постулат входит е число наиболее фундаментальных законов природы, Его область применимости до настоящего времени является всеобъемлющей.

Постулат Эйнштейна требовал коренного пересмотра ело- лившихся представлений. Новые, согласующиеся с этим постулатом представления о свойствах пространства, времени и дви- хення составили содержание специальной теории относительности Эйнштейна.

Чтобы глубже осознать последствия, к которым приводит Постулат Эйнштейна, рассмотрим следующий наглядный пример. Представим себе, что движущейся системой отсчета является поезд. Пусть в момент, когда хвостовой вагон поезда поравнялся с телеграфным столбом, из этого вагона послан ■световой сигнал машинисту; через время А片 машинист его регистрирует. Обозначим длину поезда через А/'. Тогда скорость света с = А/'/АР. Предположим, что за тем же самым процессом-

наблюдает стрелочник, стоящий на насыпи. Чтобы определить скорость света, стрелочник также должен разделить путь, пройденный светом, на время прохождения. Обозначим время, отсчитываемое стрелочником, через Af. Что же касается нута, пройденного светом, то с точки зрения стрелочника он состоит из длины поезда А/ и расстояния, на которое за время Af хвостовой вагон успеет отъехать от телеграфного столба. Если скорость поезда 丿，то это расстояние равно V At Кажется очевидным, что при этом должны выполняться «естественные» равенства Д/ = АГ и Д/ = АУ. Однако не будем торопиться с выводами.

Итак, для скорости света с точки зрения стрелочника мы получим выражение —— = — + ^- Согласно же постулату Эйнштейна оно также должно быть равно с = ^г. Очевидно, что равенство ^гп^ + и несовместимо с «естественными» условиями АГ = А/; АР = АЛ Нужно либо считать, что А/ V А1, т. е. с точки зрения стрелочника поезд стал «короче», либо допустить, что время в движущейся системе отсчета идет медленнее, чем в неподвижной. Как мы увидим ниже, имеет место и то, и другое одновременно.

Оказывается, что постулат Эйнштейна не вносит изменений в нерелятивистские представления о пространственных соотношениях в направлении, перпендикулярном движению.

Размеры тела в направлении, поперечном движению, совпадают с соответствующими размерами покоящегося тела.

Прежде всего заметим, что в любом направлении, перпендикулярном скорости, изменение размеров (если оно есть) со скоростью должно быть одинаковым, так как ни одно из —этих направлений не выделено перед другими. Так, покоящее—-ся круговое кольцо при пере

ходе к системе отсчета, движущейся перпендикулярно плоскости кольца, в принципе может только сжаться или расшириться, но сохранит круговую форму и останется перпендикулярным скорости. Рас

смотрим теперь два одинаковых соосно расположенных кольца (/ и 2 на рис. 1.16). Пусть теперь первое кольцо покоится, а второе кольцо стало двигаться вдоль оси навстречу первому. Если размер движущегося кольца стал меньше покоящегося, то

второе кольцо пройдет внутри первого. Но тогда в системе покоя второго кольца, наоборот, первое кольцо пройдет внутри второго. Согласно же принципу относительности факт нахождения одного кольца внутри другого не может зависеть от выбора системы координат (кольца, например, могут поцарапать друг друга). Возникшее противоречие разрешается единственным образом: поперечный размер колец не может изменяться в зависимости от того, движутся кольца или покоятся.

Постулат Эйнштейна сказывается только на представлениях о временных соотношениях и о пространственных соотношениях в направлении движения.

Движущиеся часы идут медленнее покоящихся. Если промежуток времени между какими-либо двумя последовательными событиями по покоящимся часам равен А/, то по движущимся часам он будет меньше и равен

А/ = Д/ Vl - (V/cf < Д/, (1.21)

где V — скорость относительного движения часов, с — скорость света. Этот эффект называется лоренцевым сокращением промежутков времени и свидетельствует о том, что течение времени не является абсолютным и зависит от движения.

Для доказательства рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К'・ Систему К будем считать покоящейся, а систему К'——движущейся со скоростью V. Предположим, что в системе К' находятся часы специальной конструкции. Они состоят из неподвижных относительно системы ^, источника света и системы двух параллельных зеркал, расположенных так, как показано на рис. 1.17. Свет включается на короткое время и

производится инжекция света в пространство между зеркалами. После этого свет движется вверх и вниз, попеременно отражаясь от верхнего и нижнего зеркал. В таких часах качающимся маятником является луч света.

Рассмотрим один из полупериодов, когда свет движется сверху вниз. Пусть с точки зрения наблюдателя системы К'

свет от верхнего зеркала до нижнего движется в течение времени АУ. Тогда расстояние между зеркалами равно с АУ, причем оно является поперечным по отношению к движению системы ^,. Поэтому и по мнению наблюдателя системы К расстояние между зеркалами также будет равно с А，. Однако, в отличие от наблюдателя системы К', он будет видеть наклонное- распространение света (рис. 1.18). При этом скорость света согласно постулату Эйнштейна также будет равна с. Предположим, что время прохождения света от источника до оси х, которое измеряет наблюдатель системы К (естественно, по часам' этой системы), равно А/. Тогда с его точки зрения-

ксвет пройдет наклонный путь с А/(рис. 1.18), при-

cAtr\\c^tчем расстояние, на которое светбудет снесен за

> \это время вследствие движениясистемы ^,, со: \ставит величину V Af. Применяя теорему Пифаго-

; \ ра к треугольнику, изображенному на рис. 1.18, & получаем:

V厶土(сМУ + (У Д/)2 = (с Д/)2.

Рис. 1.18 Аналогичное соотношение будет выполняться и. для другого полупериода, когда свет идет снизу вверх. Из полученного равенства следует связь промежутков времени в двух системах отсчета. Легко видеть, что она имеет вид (1.21).

Свойства пространственных соотношений в направлении движения формулируются следующим образом:

Размеры тел 6 направлении движения сокращаются. Есл« размер покоящегося тела в некотором направлении равен /, то при движении тела в этом направлении со скоростью V он уменьшается до величины

lr = / V7=7VM < I,(1.22>

где с — скорость света. Этот эффект называется лоренцевьм сокращением длины и свидетельствует о зависимости пространственных соотношений от движения.

Для доказательства рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К'. Однако теперь в систему отсчета ^, поместим стержень, ориентированный в направлении оси %', т. е. в направлении относительного движения систем отсчета К' и К (рис. 1.19). Предположим, что относительно системы К' стержень покоится. Обозначим его длину в этой системе через 厶 В качестве процедуры ее измерения выберем следующую. На левом конце стержня поместим источник света, посылающий узкий пучок параллельных лучей в направлении к правому концу. Там же поместим приемник света. На правом конце поместим зеркало. Посылая световой сигнал, зафиксируем по ча-

сам системы отсчета ^, время А/, за которое свет пройдет расстояние от левого конца стержня до правого и вернется назад. Его возвращение будет фиксироваться приемником света (рис. 1.19). Тогда

/ = (с・")/2・ (1.23)

Посмотрим теперь, как воспринимается эта процедура измерения наблюдателем системы К. Предположим, что с его точки зрения за время Д/i свет идет от левого конца к правому, а за

время Д/2 возвращается обратно, так что полное время измерения составляет интервал А/ = A/j + Д^ (он отсчитывается по часам системы ^). Время прямого и обратного распространения света в системе К будет разным (см. рис. 1.20). На первом этапе свет догоняет уходящий от него правый конец стержня.

На втором он движется навстречу левому концу. В первом случае ему приходится пройти путь, на V ДЛ больший по сравнению с длиной стержня (V A/i определяет смещение отражающего зеркала за время 厶九 относительно системы отсчета К). Во втором случае свет пройдет путь на V А^ меньший по сравнению с длиной стержня (V Д?2 равно смещению левого конца стержня навстречу свету за время Д/2) (рис. 1.20). Обозначим длину стержня относительно системы отсчета К через /'. Тогда

с ^t\ = lf V А/], с А" = Y —丿加2,

ибо и в системе К согласно постулату Эйнштейна свет распространяется со скоростью с. Определяя из этих равенств Д/i и

厶必 найдем:

с(г)

Принимая во внимание (1.21), выразим Af через А，. Тогда

展岑(1.24)

С учетом (1.23) формула (1.24) эквивалентна (1.22), что и требовалось доказать.

Необходимо иметь в виду следующее важное пояснение. Эффекты лоренцева сокращения были установлены с помощью специальных мысленных устройств, в которых важную роль играло распространение света. Тем не менее эти эффекты не являются специфическими только для оптических явлений.

Лоренцево сокращение промежутков времени и длин является проявлением всеобщих свойств пространства и времени.

Этот вывод следует из принципа относительности. Действительно, рассмотрим, например, двое покоящихся друг относительно друга часов. Одни из них являются световыми, а другие——обычными, употребляемыми в быту. Пусть в системе отсчета, в которой часы покоятся, они идут одинаково. Допустим теперь, что ход обычных часов от движения не зависит. Тогда по отношению к системе отсчета, движущейся относительно первой, обычные и световые часы будут идти по-разному, что противоречит принципу относительности.

Формулы (1.21) и (1.22) подтверждают высказанное в § 1.1 положение о том, что скоростей движения, превышающих скорость света с, не существует. Действительно, при V > с входящие в эти формулы корни являются мнимыми числами и соот- яошения (1.21) и (1.22) становятся физически абсурдными. Для медленных движений, т. е. при (V/c)2《1, эти корни отличаются от 1 на малую величину порядка (V/c)2. Если она недоступна измерению, то эффекты лоренцева сокращения не проявляются и мы приходим к галилеевым представлениям о пространстве и времени. В этом заключается одно из подтверждений более общего характера релятивистских представлений, которые содержат нерелятивистские в качестве предельного случая, о чем уже упоминалось в § 1.1.

Время, отсчитываемое покоящимися часами, называется собственным. Собственными называются также размеры тела в системе отсчета, в которой тело покоится. Вследствие эффектов

Рис. 1.21.

лоренцева сокращения течение собственного времени является наиболее медленным, а собственные размеры являются максимальными.

Релятивистское замедление времени не только наблюдается на опыте, но и используется в ускорительной технике для получения пучков нестабильных элементарных частиц, таких как заряженные пионы и каоны. Эти частицы имеют время жизни порядка т = 10~8 сек. За такой промежуток времени частица успевает пройти расстояние, не превышающее ст = 3 м. Но т—- собственное время, отсчитываемое часами, движущимися вместе с частицей. Поэтому, если пионы и каоны образуются со скоростями, скажем, порядка 0,995с (для Серпуховского синхрофазотрона эта величина — далеко не предел!), то лабораторное время жизни частицы окажется порядка-^====== ^10 сек. За это время частица успевает-пройти уже 30 м. Такое расстояние уже достаточно для того, чтобы отделить пучок нужных частиц от множества других, образующихся в мишени, и расположить громоздкую измерительную аппаратуру (рис. 1.21).

Установим вид преобразований координат и времени при переходе из покоящейся инерциальной системы отсчета в движущуюся, принимая при этом во внимание постулат Эйнштейна. Их вывод проделаем для частного случая тех же самых систем отсчета X и К', которые были рассмотрены ранее.

Предположим, что наблюдатель системы К' в момент времени ，фиксирует некоторое событие в точке с координатами xz, у\ zf. Пусть то же самое событие наблюдатель системы К видит в точке с координатами х, у, г в момент времени f. Рассмотрим координату Xх. Она измеряется длиной отрезка, который изображен жирной линией в левой части рис. 1.22. Поскольку этот отрезок ориентирован вдоль направления движе-

ния системы ^,, то с точки зрения системы К его длина будет меньше и равна хг ^\ — V2/c2. При этом к моменту времени f его левый конец будет находиться на расстоянии Vt от начала отсчета системы К. Картина, наблюдаемая из системы К, изображена в правой части рис. 1.22. Из нее следует, что х = /д/1 — (I//c)2 + V т. е.

x-Vt

“1 一(V7c)2

Координаты у' и 2’ измеряются отрезками, перпендикуляр-

ными движению. Поэтому длина

©темах ^ и ^, будет одинаковой (рис. 1.23). Следовательно, 夕=у, i = г.

Полученные соотношения задают правила перехода от координат и времени системы К к координатам системы ^,.

Остается определить вид преобразований моментов времени / н £ С этой целью рассмотрим обратный переход от системы ^, к системе К・ Перемена ролей систем ^ и ^,

каждого из этих отрезков в си-каждого из этих отрезков в си-формально выражается заменой в уже полученных соотношениях х, у, г, / соответственно на %', у', z‘，，и V на — V. В част

каждого из этих отрезков в си-

каждого из этих отрезков в си-

ности, отсюда следует справедливость равенства

<1 一 V21c2

Из него можно выразить t' через х н %'. В свою очередь %’ выражается через % и / (см. выше), так что в конечном счете # оказывается зависящим от / и х. Вид этой зависимости, как показывают несложные алгебраические выкладки, таков:

/ - хУ/с^

Объединяя найденные соотношения, получаем следующие праОбъединяя найденные соотношения, получаем следующие правила перехода:вила перехода:X —X — / - хУ/с2Vt. / - хУ/с2Vt.(1.25)(1.25)~7 —"二 У /Л % —之"1 — V21c2， J~7 —"二 У /Л % —之"1 — V21c2， JV1 -片小

Объединяя найденные соотношения, получаем следующие пра

Объединяя найденные соотношения, получаем следующие пра

вила перехода:

вила перехода:

X —

X —

/ - хУ/с2

Vt.

/ - хУ/с2

Vt.

(1.25)

(1.25)

~7 —"二 У /Л % —之

"1 — V21c2， J

~7 —"二 У /Л % —之

"1 — V21c2， J

Они называются преобразованиями Лоренца. Эти преобразования существенно отличаются от преобразований Галилея только в релятивистской области. При (Р/с)2《1 (1.25) переходят в (1.18).

Преобразования Лоренца выражают релятивистские пред- ставленая о пространстве и времени, е основе которых лежит постулат Эйнштейна. Требование инвариантности физических законов относительно преобразований Лоренца называется принципом относительности Эйнштейна. Он является более общим по сравнению с принципом относительности Галилея, но существенно отличается от последнего только для релятивистских движений 〃 только s этой области приводит к качественно иным следствиям.

Перечислим некоторые из них.

а) Течение времени зависит от движения и абсолютным не является.

Этот эффект непосредственно вытекает из вида преобразований (1.25), в которых 片，％. Одним из его проявлений является лоренцево сокращение времени. Кроме того, оказывается, что

понятие одновременности является относительным. Оно имеет смысл только при указании системы отсчета.

В самом деле, предположим, что по отношению к одной из рассмотренных выше систем отсчета, например, по отношению к системе К, в одно и то же время 九=友=£ произошли два события в точках с координатами %】，у】,Z\ и х2, у2, г2 соответственно. Воспользуемся преобразованиями Лоренца и перейдем в систему ^,. Тогда первое событие (то, которое в системе К произошло в точке с координатами %】，/л,之，по часам системы К' произойдет в момент времени

父一九一%]1//С2 _ f - %2/m

j 一 V1 -(У/c/ — * 一 (V/c)貝， а второе ——в момент

2 — Vi - (Vic/ — “1 — (У/c声'

Как следует из этих формул,

% 一% 一_ (%i — %2)V/с2_-(力声_ (%i — %2)V/с2_-(力声，0,，0,

% 一

% 一

_ (%i — %2)V/с2

_-(力声

_ (%i — %2)V/с2

_-(力声

，0,

，0,

если %i #= %2, т. е. по отношению к системе отсчета ^, события произойдут в разные моменты времени.

Пространственные расстояния при преобразованиях Ло^ ренца изменяются.

Это проявляется, например, в эффекте лоренцева сокращения длины. Формальную проверку несовпадения

/12 = "(修一%2)2 十(У1 一汝)2 + 31 一 &产

И

/="(%一项2 + (以一m)2+0 一考)2,

где штрихованные и нештрихованные координаты связаны преобразованиями (1.25), мы оставляем читателю в виде упражнения. Проделав его, он сможет убедиться также в неизменности (инвариантности) при преобразованиях Лоренца величины

S12 ="経a一%)2-彳2・

Она называется интервалом между двумя событиями, пространственное расстояние между которыми равно /12 и которые происходят в моменты времени 介 и /2.

В релятивистской механике интервал играет ту же роль, какую в нерелятивистской теории играет расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве. Последнее сохраняется при преобразованиях Галилея. Интервал же сохраняется при преобразованиях Лоренца. Он даже по внешнему виду несколько схож с обычным расстоянием. Тот же квадратный корень, который извлекается из комбинации квадратов некоторых величин. Правда, в этой комбинации есть члены с отрицательными знаками и, кроме того, она содержит моменты времени. Это и не удивительно, поскольку преобразования Лоренца «смешивают» пространство и время. Так, в формулу, определяющую преобразование моментов времени, входят пространственные координаты. По этой причине было введено представление о четырехмерном множестве пространственных координат и моментов времени. Оно называется четырехмерным пространством —— временем или пространством Минковского в честь математика, впервые предложившего это понятие. В этом пространстве время является дополнительным измерением, равноправным с обычными пространственными измерениями, а расстояние между двумя четырехмерными точками определяется интервалом.

Для релятивистских движений закон сложения скоростей отличается от классического. В частном случае, когда движение рассматривается из двух систем отсчета с параллельной ориентацией одноименных осей, релятивистский закон сложения скоростей формулируется так:

Пусть в одной системе отсчета скорость частицы равна R = {u“，vy, Uz}. Тогда по отношению к другой системе отсчета

компоненты скорости частицы и' равны

工工(1.26>(1.26>

工

工

(1.26>

(1.26>

если вторая система отсчета движется относительно первой 8 х-направлении со скоростью V, сравнимой со скоростью света с.

Для доказательства рассмотрим уже известные нам системы К и К'. Предположим, что в системе ^/ за время dtf частица смещается на вектор dr' = ｛dx‘，dy\ dz'｝. Следовательно, в этой системе скорость частицы равна

U = ｛工，叽吆｝ = ｛祭，备，务｝.

Согласно преобразованиям Лоренца (1.25) и с учетом постоянства V

上-dt —-上一 -=dt 上…- “1 - V21c2V1 - V2lc2 7\ -Y“d

d.Vdt -d一P人山…V 1 - p2/e2 一 * 一 — / “1 - 1/2/m

d/ = dy, dz' = dz.

Здесь dx, dy, dz — компоненты перемещения dr частицы за время d厶 каким оно представляется наблюдателю системы К. С его точки зрения скорость частицы равна

г( dx du dz Л

0 = ｛勿，Uy, %｝ = (万，n，后卜

Составляя отношения -77г, ^7^， приходим к преобразованиям (1.26).

В нерелятивистской области закон (1.26) совпадает с классическим. В самом деле, в пределе (l^/c)2fo соотношения (1.26) совпадают с равенствами 也=厶一V; и；=旳；vfz = v2. С учетом направленности переноса системы последние формулы эквивалентны векторному равенству 。= 。’ + V.

Замечательным свойством преобразований (1.26) является то, что они никогда не приводят к скоростям, превышающим скорость света с, и не меняют величины скорости, если она равна скорости света с. Тем самым они, в отличие от классиче-

ского правила сложения скоростей, не противоречат постулату Эйнштейна и еще раз подчеркивают тот факт, что скорость- света является максимально возможной.

Действительно, допустим, что по отношению к системе отсчета К свет распространяется вдоль х-направления. Следовательно, и = {ух, Ug, Uz} = {с, 0, 0}. Подставляя эти значения компонент скорости движения света в (1.26), найдем, что

%1 - (Vc/c2)%1 - (Vc/c2)с.с.°； = % = 0.°； = % = 0.

%1 - (Vc/c2)

%1 - (Vc/c2)

с.

с.

°； = % = 0.

°； = % = 0.

Мы видим, что скорость в новой системе отсчета К' остается равной с при любом значении и любом знаке скорости Р, в полном соответствии с постулатом Эйнштейна.

Ускорения тел по отношению к различным движущимся друг по отношению к другу инерциальным системам отсчета 兄е одинаковы.

Убедиться в этом мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

ГЛАВА 2

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

Состояния

Общей целью механики (а с небольшими оговорками ——и всей физики) является создание методов решения задач типа: дана определенная физическая система в определенных внешних условиях; найти, что произойдет с этой системой через какой-то промежуток времени. Решение этой задачи распадается на а) установление величин, описывающих состояние физической системы, б) составление уравнений движения, описывающих изменение состояния во времени, и в) нахождение физических величин, опытное измерение которых дает возможность судить о том, что происходит реально с исследуемой системой.

Начнем с установления понятия состояния простейшего объекта механики — частицы. Из опыта следует, что

в классической физике состояние частицы полностью определяется ее координатами %, у, z 〃 компонентами ее скорости vXl ©у、vz 6 заданный момент времени, т・ е, радиус-вектором частицы г и ее скоростью v.

Это определение состояния частицы является фундаментальным законом классической физики. Он действителен во всех случаях, если

mvr》Й,

где m — масса частицы, и ——средняя скорость ее движения, г характеризует линейный размер области движения, а 力——постоянная Планка (1.2).

При нерелятивистских скоростях состояние любой системы частиц полностью определяется совокупностью состояний всех частиц системы и имеет поэтому чисто механическую природу.

Состояние системы N нерелятивистских классических частиц описывается радиус-векторами гь ..., rN： и скоростями Z4, ..., vN всех частиц в заданный момент времени.

Для такой системы полное число величин, определяющих состояние, равно 6N. Заметим, что число степеней свободы здесь равно 3^, т. е. в два раза меньше.

Классическое понятие механического состояния кажется простым и очевидным. Между тем эта проблема фактически была поставлена и решена только Ньютоном. Аристотель уднвлялся” почему топор, опущенный с размаха, легко раскалывает полено, а приставленный к полену даже не оставляет зарубки. Сейчас ответ прост: в момент соприкосновения с деревом в обоих случаях положения топора одинаковы, однако значения его скорости разные. Поэтому неудивительно, что разные состояния топора в начальный момент ведут к разным результатам.

Из определения механического состояния следует, что все” величины, характеризующие свойства любой системы классических нерелятивистских частиц, являются функциями положений и скоростей этих частиц.

В релятивистской области определенное выше понятие состояния применимо без дополнительных ограничений только для свободных классических частиц. При наличии взаимодействия возникают довольно жесткие ограничения, из-за которых область применимости классической релятивистской механики исчерпывается движениями заряженных частиц в не очень сильных электромагнитных полях. В самом деле, в настоящее время известен единственный способ разгонять частицы до релятивистских скоростей ——это воздействовать на них электромагнитными полями. Нарушение механического характера движения заряженной релятивистской частицы проявляется в том, что частица начинает излучать электромагнитные волны. Они в свою очередь влияют на движение частицы, и это влияние называется реакцией излучения. Интенсивность излучения зависит от ускорения частицы, которое определяется силой внешнего поля. Следовательно, только при достаточно слабом внешней поле можно пренебречь излучением и его реакцией. Подробнее^ этот вопрос будет рассмотрен в следующем томе курса.

В системе из двух и более заряженных релятивистских частиц механическое понятие состояния теряет смысл из-за эффекта запаздывания взаимодействия. Он связан с тем, что частицы взаимодействуют друг с другом через электромагнитное поле. Каждая частица создает вокруг себя поле, а это поле уже действует на другую частицу. Со времен Фарадея известно> что процесс создания поля частицей протекает путем близко- действия. При перемещении в новое место частица сначала создает поле в ближайшей к заряду области пространства. Изменение поля в этой области порождает изменение поля в соседней области, и так далее. Это изменение поля распространяется в пустое пространство со скоростью света с (согласно- постулату Эйнштейна быстрее оно распространяться не может). Поэтому в момент 力 на вторую частицу будет действовать поле»

созданное первой частицей в более ранний момент /—, где

R ——расстояние между частицами, взятыми в разные моменты времени (рис. 2.1). Говорят, что воздействие первой частицы на вторую запаздывает на время R/c.

Следовательно, зная положения и скорости обеих частиц в момент /, мы еще не можем определить, как действуют эти частицы друг на друга. Для этого необходимо еще знать положения и скорости в более ранние моменты времени. Это и озна

чает, что в этом случае приведенное выше понятие механического состояния теряет смысл. Лишь при условии и/с《1, где и — скорость частицы, ее смещение Аг = и? за время запаздывания будет ничтожно малым по сравнению с R,

В этом случае взаимодействие можно считать мгновенным. Только при

этом условии можно говорить о состояниях так, как это было определено выше. В противном случае необходимо учитывать как динамический объект поле, переносящее взаимодействие.

Вопрос о состоянии электромагнитного поля будет рассмот

рен в следующем томе курса.

Уравнения движения

Согласно изложенному в предыдущем параграфе, для полного описания механического состояния ускорения частиц задавать не надо. Это означает, что для системы любого числа N частиц ускорение каждой частицы является функцией радиус- векторов и скоростей частиц системы:

d2r.

« =-^-=色(门，..•, Tn；力,•.•, vN)=

=勿(门,...，一V；粤，…，^-)； ‘= 1，2,…，M (2.1)

Вид функций в правой части системы (2.1) должен определяться свойствами частиц, а также внешними условиями, в которых они движутся. Если эти условия меняются со временем, го в правых частях (2.1) добавится явная зависимость от времени f・

Соотношения (2.1) называются уравнениями движения классической механики.

Разъясним это название. Рассмотрим, например, одну частицу. Соотношение

является дифференциальным уравнением второго порядка относительно неизвестной векторной функции г(/). Она находится путем двух интегрирований выписанного уравнения и определяет закон движения частицы. При каждом интегрировании возникает неопределенная постоянная ——постоянный вектор. Поэтому для однозначного выделения закона движения следует уравнение движения дополнить двумя условиями, определяющими эти постоянные. Эти условия фиксируют, задавая состояние частицы в какой-то (обычно в начальный) момент времени, т. е. указывая значения радиус-вектора и скорости при / = 0:

г(0) = г0, а (0) = v0.

Этот пример отражает характерные черты процедуры отыскания решений любых задач механики:

Общее решение может быть найдено, если, во-первых, известны уравнения движения 〃, во-вторых, если задано состояние в начальный момент времени или、что одно и то 宛е, определены начальные условия.

Здесь следует подчеркнуть, что для физики более важной является задача отыскания вида функций в правой части систем типа (2.1) для конкретных физических ситуаций. Решение- же составленных уравнений в большей степени дело математиков, чем физиков.

Для составления механических уравнений движения в физике разработаны достаточно простые и общие методы. Для их изложения нам понадобится ввести несколько дополнительных, понятий и придать уравнениям движения иную, более удобную- форму.

Одним из важных является представление об изолированной, или замкнутой, системе. Это представление есть обобщение понятия свободного тела. Когда говорят о теле, то обычно имеют в виду нераспадающийся на отдельные части объект. В системе же отдельные части могут расходиться друг от друга на сколь угодно большие расстояния.

Система частиц называется изолированной, если каждая из частиц системы не взаимодействует ни с какими внешними телами.

Например, с высокой точностью изолированной является Солнечная система, включающая в себя Солнце, планеты, их естественные и искусственные спутники, астероиды.

В этом и последующем пунктах будет рассматриваться только нерелятивистская механика.

Рассмотрим некоторую изолированную систему. Допустим, что она состоит из N частиц, скорости которых обозначим через Ri, ..., vN. Опытным путем установлено, что для такой системы выполняется следующий закон. Частицы системы характеризуются определенными константами т】,...,mN такими, что

N

У mq = const.(2.2)

Каждая из констант т называется массой частицы. Масса не зависит от взаимодействий, в которых частица участвует. Ъектор

p = nw(2.3)

называется импульсом частицы, а сумма

Р = Z Pi = Е 罐 £(2.4)

t = li = 1

определяет полный импульс системы.

Постоянство полного импульса изолированной системы является фундаментальным свойством природы. Закон, его выражающий, называется законом сохранения импульса.

На будущее отметим, что под сохранением мы будем всегда понимать независимость физических величин от времени.

Кроме того, вспомним (об этом уже говорилось во Введении), что в физике формула нередко играет двойную роль — и закона, и определения новой физической величины. Сейчас это уместно в связи с соотношением (2.2). Оно несет двойную «нагрузку» и содержит не только закон сохранения импульса, но и определение массы. Проверим последнее, т. е. покажем, что соотношение (2.2) дает возможность определять массы частиц, если массу одной из частиц принять за эталонную.

Припишем частице-эталону массу т^ что будет соответствовать выбору системы единиц. Для нахождения массы m другой частицы рассмотрим процесс столкновения этой частицы с эталоном. Детальным ходом процесса столкновения можно не интересоваться. Будем только считать, что массы частиц при столкновении не изменились и что в начальном и конечном состояниях частицы находятся достаточно далеко друг от друга, чтобы каждую из них можно было считать свободной. Пусть 硏)и и — скорости эталонной и исследуемой частиц до столкновения, а еб

и d — их скорости после столкновения. Согласно (2.2)

tn^Q + mv = m^ + Перегруппировав слагаемые, получимtn^Q + mv = m^ + Перегруппировав слагаемые, получимmv・mv・ОтсюдаОтсюдаm = mQm = mQ壮一% I壮一% IТаким образом, измерив скорости, мы можем получить значение m массы исследуемой частицы.Импульсы можно использовать для описания состояния частиц. Действительно, при заданной массе импульс однозначносвязан со скоростью, поэтому состояние частицы полностью* определено, если задать ее радиус-вектор г и импульс р. Такое- модифицированное определение состояния на первый взгляд кажется тривиальной заменой переменных. В дальнейшем мы постепенно убедимся, что переход от скоростей к импульсам имеет глубокий физический смысл.3. Рассмотрим одну частицу. Предположим, что она не изолирована. Тогда ее импульс будет зависеть от времени. Производная импульса частицы по времени называется силой, действующей на частицу со стороны ее окружения. Обозначив силу через 尸，приведенное определение выразим формулойТаким образом, измерив скорости, мы можем получить значение m массы исследуемой частицы.Импульсы можно использовать для описания состояния частиц. Действительно, при заданной массе импульс однозначносвязан со скоростью, поэтому состояние частицы полностью* определено, если задать ее радиус-вектор г и импульс р. Такое- модифицированное определение состояния на первый взгляд кажется тривиальной заменой переменных. В дальнейшем мы постепенно убедимся, что переход от скоростей к импульсам имеет глубокий физический смысл.3. Рассмотрим одну частицу. Предположим, что она не изолирована. Тогда ее импульс будет зависеть от времени. Производная импульса частицы по времени называется силой, действующей на частицу со стороны ее окружения. Обозначив силу через 尸，приведенное определение выразим формулой雰=尸・at雰=尸・at(2.5>(2.5>Очевидно, что именно сила характеризует воздействие окружающих тел на движение частицы, которое и проявляется в изменении импульса частицы. Из определения следует, что сила полностью охарактеризована, если заданы ее величина и направление, а также указано, на что и со стороны чего сила действует.Соотношение (2.5) выражает один из фундаментальных законов классической физики, названный вторым законом Ньютона. Разъясним, почему казалось бы простое определение (2.5) оказывается фундаментальным физическим законом. Причина заключается в том, что из (2.5) следует очень важный вывод二Сила является функцией состояния системы.Действительно, подставив (2.3) в (2.5), получим:Очевидно, что именно сила характеризует воздействие окружающих тел на движение частицы, которое и проявляется в изменении импульса частицы. Из определения следует, что сила полностью охарактеризована, если заданы ее величина и направление, а также указано, на что и со стороны чего сила действует.Соотношение (2.5) выражает один из фундаментальных законов классической физики, названный вторым законом Ньютона. Разъясним, почему казалось бы простое определение (2.5) оказывается фундаментальным физическим законом. Причина заключается в том, что из (2.5) следует очень важный вывод二Сила является функцией состояния системы.Действительно, подставив (2.3) в (2.5), получим:dp — d (mv)dp — d (mv)dtdtdv=/п -^j- = ma =dv=/п -^j- = ma =(2.6>(2.6>т. е. с точностью до постоянного множителя т уравнение типа (2.1). Отсюда прямо следует, что сила является функцией механического состояния.Подчеркнем, что этот вывод базируется на двух положениях, каждое из которых имеет очень широкую область применимости^т. е. с точностью до постоянного множителя т уравнение типа (2.1). Отсюда прямо следует, что сила является функцией механического состояния.Подчеркнем, что этот вывод базируется на двух положениях, каждое из которых имеет очень широкую область применимости^

tn^Q + mv = m^ + Перегруппировав слагаемые, получим

tn^Q + mv = m^ + Перегруппировав слагаемые, получим

mv・

mv・

Отсюда

Отсюда

m = mQ

m = mQ

壮一% I

壮一% I

Таким образом, измерив скорости, мы можем получить значение m массы исследуемой частицы.

Импульсы можно использовать для описания состояния частиц. Действительно, при заданной массе импульс однозначносвязан со скоростью, поэтому состояние частицы полностью* определено, если задать ее радиус-вектор г и импульс р. Такое- модифицированное определение состояния на первый взгляд кажется тривиальной заменой переменных. В дальнейшем мы постепенно убедимся, что переход от скоростей к импульсам имеет глубокий физический смысл.

3. Рассмотрим одну частицу. Предположим, что она не изолирована. Тогда ее импульс будет зависеть от времени. Производная импульса частицы по времени называется силой, действующей на частицу со стороны ее окружения. Обозначив силу через 尸，приведенное определение выразим формулой

Таким образом, измерив скорости, мы можем получить значение m массы исследуемой частицы.

Импульсы можно использовать для описания состояния частиц. Действительно, при заданной массе импульс однозначносвязан со скоростью, поэтому состояние частицы полностью* определено, если задать ее радиус-вектор г и импульс р. Такое- модифицированное определение состояния на первый взгляд кажется тривиальной заменой переменных. В дальнейшем мы постепенно убедимся, что переход от скоростей к импульсам имеет глубокий физический смысл.

3. Рассмотрим одну частицу. Предположим, что она не изолирована. Тогда ее импульс будет зависеть от времени. Производная импульса частицы по времени называется силой, действующей на частицу со стороны ее окружения. Обозначив силу через 尸，приведенное определение выразим формулой

雰=尸・at

雰=尸・at

(2.5>

(2.5>

Очевидно, что именно сила характеризует воздействие окружающих тел на движение частицы, которое и проявляется в изменении импульса частицы. Из определения следует, что сила полностью охарактеризована, если заданы ее величина и направление, а также указано, на что и со стороны чего сила действует.

Соотношение (2.5) выражает один из фундаментальных законов классической физики, названный вторым законом Ньютона. Разъясним, почему казалось бы простое определение (2.5) оказывается фундаментальным физическим законом. Причина заключается в том, что из (2.5) следует очень важный вывод二

Сила является функцией состояния системы.

Действительно, подставив (2.3) в (2.5), получим:

Очевидно, что именно сила характеризует воздействие окружающих тел на движение частицы, которое и проявляется в изменении импульса частицы. Из определения следует, что сила полностью охарактеризована, если заданы ее величина и направление, а также указано, на что и со стороны чего сила действует.

Соотношение (2.5) выражает один из фундаментальных законов классической физики, названный вторым законом Ньютона. Разъясним, почему казалось бы простое определение (2.5) оказывается фундаментальным физическим законом. Причина заключается в том, что из (2.5) следует очень важный вывод二

Сила является функцией состояния системы.

Действительно, подставив (2.3) в (2.5), получим:

dp — d (mv)

dp — d (mv)

dt

dt

dv

=/п -^j- = ma =

dv

=/п -^j- = ma =

(2.6>

(2.6>

т. е. с точностью до постоянного множителя т уравнение типа (2.1). Отсюда прямо следует, что сила является функцией механического состояния.

Подчеркнем, что этот вывод базируется на двух положениях, каждое из которых имеет очень широкую область применимости^

т. е. с точностью до постоянного множителя т уравнение типа (2.1). Отсюда прямо следует, что сила является функцией механического состояния.

Подчеркнем, что этот вывод базируется на двух положениях, каждое из которых имеет очень широкую область применимости^

Во-первых, в его основе лежит определение механического состояния, применимое во всех случаях, в которых пренебрежимо малы квантовые эффекты и релятивистские эффекты реакции излучения и запаздывания взаимодействия. Во-вторых, мы исходили из закона сохранения импульса. В следующей главе мы увидим, что этот закон имеет область применимости, превышающую область применимости классического понятия механического состояния.

Свойство силы быть функцией состояния превращает второй закон Ньютона в мощный инструмент исследования классических механических движений. Почему это так, будет разъяснено в следующем параграфе. А сейчас мы продолжим рассмотрение тех свойств сил, которые всегда используются при составлении уравнений движения. Одно из них определяется третьим законом Ньютона. Рассмотрим изолированную систему двух частиц. Дифференцируя по времени полный импульс системы Р=р1-|~р2 и учитывая закон сохранения импульса, получим:

需+鲁=。■ (2・7)

Согласно (2.5)

dt dt —尸 21,

где 尸i2 ——сила, с которой вторая частица действует на первую, а 尸21 ——сила действия первой частицы на вторую. Силы Г12 и 尸21 называют силами действия и противодействия. Таким образом, из равенства (2.7) следует третий закон Ньютона:

尸 12 =—尸 21・ (2.8)

Отметим, наконец, что для изолированной частицы первый закон Ньютона, т. е. принцип инерции Галилея, является просто законом сохранения ее импульса.

Еще одно важное свойство сил является фундаментальным законом, независимым от изложенных выше:

Сила, с которой одна частица действует на другую, зависит голько от радиус-векторов и скоростей только этих двух частиц. Присутствие других частиц на эту силу не влияет. Это свойство называется законом независимости действия сил или законом парности взаимодействия. Область применимости этого закона охватывает всю классическую механику.

В квантовой области закон парности взаимодействия ) выполняется с ограниченной точностью. Например, при движении электронов в атоме он справедлив с точностью около 0,01%.

Из закона независимости действия сил следует, что в сложной системе сила, действующая на данную частицу, равна векторной сумме сил, действующих со стороны каждой из остальных частиц:

-^-=尸 12 + 尸 13 + …，"^- =尸21 + f23 + …0 T. A.

Рис. 2.2.Рис. 2.2.Для сил между протяженными телами закон парности взаимодействия может нарушаться. Приведем пример. Рассмотрим -силу, действующую на незаряженный

Рис. 2.2.

Рис. 2.2.

шарик со стороны отрицательно заряженного (рис. 2.2). Механизм возник- 0- новения этой силы известен из курса 纟 средней школы. Электрическое поле заряженного шара поляризует незаряженный шар, в котором раздвигаются

положительные и отрицательные заряды. При этом положительные заряды концентрируются на поверхности, обращенной к заряженному шару. Так как абсолютная величина действия одного заряда на другой падает с расстоянием, то сила притяжения

44以以Рис. 2.3.Рис. 2.3.z~ ~ -6—z~ ~ -6—изображенных на рис. 2.2 положительных зарядов превысит силу отталкивания отрицательных зарядов. В результате возникает суммарная сила притяжения 尸⑵ Если же рядом с отрицательно заряженным шаром 2 поместить такой же шар 3 (рис. 2.3), то сила, действующая на нейтральный

4

4

以

以

Рис. 2.3.

Рис. 2.3.

z

~ ~ -

6—

z

~ ~ -

6—

шар, увеличится более чем в два раза. Действительно, заряд шара 3 увеличит поляризацию нейтрального шара, так что каждая из сил f(2, f% по величине станет больше силы F^

Из закона сохранения импульса в форме (2.4) можно вывести два важных следствия, которые называются законом сохранения центра инерции и законом аддитивности массы.

Центром инерции системы частиц с радиус-векторами 片，/*2,…называется точка с радиус-вектором

(2.9)(2.9)X miri

(2.9)

(2.9)

-Хе

где суммирование производится по всем частицам системы.

Закон сохранения центра инерции формулируется так:

Центр инерции изолированной системы частиц движется равномерно и прямолинейно.

Для доказательства вычислим производную V вектора R по времени:

у — d& d i———2

—dt — dt Е% —£— £ 吗 £ 勺俏，

где m — X ^i, a P = X Pi = S ^/^/ "~ полный импульс системы. Так как для изолированной системы Р = const, то V = =const. Это и есть закон сохранения центра инерции.

Так как скорость центра инерции определяется полным импульсом физической системы, то движение центра инерции называют движением этой системы как единого целого. Очевидно, что это движение тождественно с поступательным движением системы.

Данное определение согласуется с принципом инерции Галилея в применении его к изолированному (т. е. свободному) протяженному телу. Действительно, между частицами тела могут действовать любые силы, тело может вращаться, но согласно закону сохранения центра инерции при отсутствии внешних воздействий центр инерции тела будет двигаться равномерно и прямолинейно.

Законом сохранения центра инерции удобно пользоваться при решении многих задач механики. Например, в задаче о движении двух частиц, взаимодействующих только друг с другом, уравнения движения пишутся для радиус-векторов Г\ и г2- Если же перейти к новым векторным переменным R и г,

Rd 若*,(2.10)

то при любом виде взаимодействия имеем H(t) = Vot + RQ, где Ro, Ro ——радиус-вектор и скорость центра инерции частиц в начальный момент. Тем самым исходная система из шести дифференциальных уравнений для компонент ri (/) и 丿2(方)сводится к системе трех уравнений для компонент г(/), характеризующих относительное положение частиц.

Обратим внимание на то, что импульс центра инерции связан со скоростью центра инерции так же, как импульс и скорость одной частицы. При этом коэффициент пропорциональности т между импульсом и скоростью центра инерции равен сумме масс отдельных частиц и, очевидно, имеет смысл массы всей системы. В этом выражается закон аддитивности массы.

Аддитивностью вообще называется свойство, состоящее 6 том, что величина, характеризующая систему 8 целом, склады-

вается из величин того же рода, характеризующих каждую часть системы.

Если система не изолирована, то

(2.11)(2.11)dP

(2.11)

(2.11)

而一尸，

Здесь Р ——полный импульс системы, а 尸 ——сумма всех сил, действующих на систему извне. Эти силы называются внешними. Уравнение (2.11) по виду совпадает со вторым законом Ньютона для одной частицы (2.5) и называется уравнением посту- нательного движения системы как единого целого.

Убедимся в справедливости (2.11). Имеем:

dPdpi

Zdt 1

где pi — импульсы частиц системы. Согласно второму закону Ньютона сумма, стоящая справа, равна сумме всех сил, действующих на каждую частицу, в которой по третьему закону Ньютона силы взаимодействия частиц друг с другом взаимно компенсируются и остается только сумма внешних сил.

(2.3), а(2.3), аПерейдем к релятивистским движениям. Напомним, что в рамках классической механики могут быть рассмотрены только свободные движения и движения одной частицы в электромагнитном поле. Закон сохранения импульса действует и в релятивистской механике. Поэтому релятивистское уравнение движения частицы также имеет вид (2.5). Однако релятивист

(2.3), а

(2.3), а

ский импульс зависит от скорости не по формуле иначе.

Импульс релятивистской частицы массы m равен

(2.12)(2.12)mv

(2.12)

(2.12)

叫e2《1叫e2《1Обратим внимание, что в нерелятивистском пределе

叫e2《1

叫e2《1

(2.12) переходит в (2.3). При этом содержание закона (2.12) является более богатым, что подчеркивает большую общность релятивистских представлений. Так, из (2.12) следует возможность существования безмассовых частиц. Действительно, при m = 0 импульс конечен, если скорость v = с. При этом условии в (2.12) возникает неопределенность типа 0/0, которая может быть любой конечной величиной. Частицы с m = 0 действительно обнаружены. Ими являются кванты света (фотоны).

Чтобы убедиться в справедливости (2.12), рассмотрим процесс лобового упругого столкновения двух частиц в системе отсчета с нулевым суммарным импульсом и с осью х, направленной по линии движения частиц. Закон

сохранения импульса вдоль оси х в такой системе (рис. 2.4) имеет вид

о】 + р2 = — pi — р2 = 0

Частицы в результате столкновения изменяют направление движения на обратное, сохраняя при этом абсолютные значения импульсов. В нерелятивистском случае, переходя к скоростям, получим

mj s + m2v2 = - mB[-加2力=0.(2.13>

В системе отсчета, движущейся вдоль оси х со скоростью — V, это соотношение согласно закону сложения скоростей (1.19) перейдет в равенство

mi(S + V) + 俏2 (。2 + Р) = /и】(—s + Р) + 俏2 (— v2 + V) = (/и】+ 俏2)У

Именно этого и надо было ожидать: импульсы до и после столкновения остались равными, а суммарный импульс стал равным произведению массы

*_ 磔:主

v^Oi p^O u2<0； p2<0

-u-f<0}~pf<0-u2>0—p2>0

Рис. 2.4.

системы в целом на ее скорость. Но если подставить в (2.13) скорости, преобразованные по релятивистскому закону (1.26), то равенство импульсов до и после столкновения нарушится. Тем самым мы придем в противоречие с принципом относительности. Этого не произойдет, если, переходя к скоростям, мы воспользуемся формулой (2.12). Действительно, в этом случае вместо (2.13) будем иметь

俏 m —/2S=?1S m2s_ = n

“1 -叫 c2“1 一部 2“]一行"2“1一呦/

Перейдем теперь в систему отсчета, которая движется со скоростью — V, но уже с помощью релятивистских преобразований (1.26), согласно которым

士 r

士％ ] 土 ％ Р/с*'' = 1,2.(2.15)

При этом учтем тождество

/1 (士％+ V)厂—

% 1 N (1 土 uy/c2)21 士 QU庐•

С этой вспомогательной формулой подстановка (2.15) в первое из равенств (2.14) дает:

(5 + Р)俏2 ®2 + U) “ 1 —喟с2 V1 — V2/c2“ 1 — vlfc2 V1 — V2/c2

=g (— Oj 4~，) .俏2 (—後 + Q _

“ 1 —叫経 V 1 — V2/c2«\ — v"c? V1 —卜2/江

=7===—=- 二.h,(2.1G)

V1 - УЧс“1 —片/底

где введено обозначение

他(2.17) V1—叫巒у 1—〃；//

Разберемся в трех знаках равенства в цепочке (2.16). Первый знак равенства является утверждением, сделанным на основании принципов относительности: закон сохранения импульса должен соблюдаться во всех инерциальных системах отсчета. С помощью (2.14) легко убедиться, что этот знак равенства действительно соблюден. Это означает, что выражение (2.12) для релятивистского импульса написано правильно. Второй знак равенства получен использованием равенства нулю выражений (2.14). Наконец, третий знак равенства равносилен определению (2.17). Оно интересно вот в каком отношении: стоящее в конце цепочки (2.16) выражение Р =—广一加卩 являет- 一 w

ся импульсом системы в целом и вместе с тем имеет форму (2.12). Что касается скорости V, то она, конечно, есть скорость системы в целом, поскольку в исходной системе отсчета суммарный импульс равнялся нулю, так что система в целом покоилась. Поэтому мы вынуждены принять т за массу системы двух частиц. Согласно этой формуле в теории относительности закон аддитивности массы нарушается ).

Отметим также, что закон сохранения центра инерции для релятивистских частиц соблюдается, но определение центра инерции видоизменяется.

Величины, входящие в физические законы, измеряются в определенных единицах. Измерить физическую величину означает сравнить ее с величиной того же рода, условно принятой

за единицу. Физические законы определяют условия, накладываемые на размерности входящих в них величин. Поэтому существует ограниченное число единиц измерения, которые можно выбирать произвольно. Единицы измерения, устанавливаемые произвольно, называются основными. Зависимые от них единицы измерения называются производными.

В системе СИ в качестве основных единиц выбраны единицы длины, времени, массы, силы электрического тока, температуры и силы света. Поскольку единица массы является основной, то вопрос о размерностях и единицах измерения физических величин мы рассматриваем в этом параграфе, тем более, что после формулировки уравнений движения необходимо установить размерности и единицы измерения таких важных характеристик, как импульс и сила.

В СИ длина измеряется в метрах (м), время в секундах (сек), масса в килограммах (кг), сила электрического тока в амперах (А). Мы упоминаем о единице измерения силы тока уже теперь, поскольку в следующем параграфе среди прочих будем обсуждать силы электромагнитной природы и говорить об электрических зарядах. Для этого нужно знать, в частности, единицы измерения электрического заряда. В СИ единица измерения электрического заряда в число основных не входит и является производной. В этой системе размерность электрического заряда определяется как А/сек и 1 А/сек называется кулоном (Кл). Соотношение единиц измерения заряда в СГС и СИ таково:

1 ед. СГС = g・ 10-9 Кл・

В СИ компоненты радиус-вектора частицы измеряются в метрах, скорость в м/сек, ускорение в м/сек2. Единицей измерения импульса является 1 кг• м/сек. Единица измерения силы равна 1 кг-м/сек2 и называется ньютоном (Н). В СГС те же величины измеряются: компоненты радиус-вектора ——в сантиметрах, скорость в см/сек, ускорение в см/сек2, импульс в г-см/сек. Единица измерения силы 1 г-см/сек2 называется даной (дин). При этом

1 дин = 10"5 Н.

Помимо ньютона и дины часто, особенно в технических расчетах, применяется специальная внесистемная единица 1 кило^ грамм-сила (кгс). Сила в 1 кгс определяется как сила притя^ жения к Земле массы в 1 кг на уровне моря на широте в 45°з

§ 2.3. Виды взаимодействий и силы

Главный результат предыдущего параграфа состоит в том, что уравнения классической механики всегда представимы в виде

r dt и1 尸i('1, • • • ＞，n； о】，・..，Rn)， (2.18)

где 门,.…,rN —- радиус-векторы, pi, ..., pN, S， .. •, ^n — импульсы и скорости частиц изучаемой системы (предполагается» что число частиц в системе равно N). Функция состояния Гг (гь ..., Гу； и】,...,vN) определяет силу, приложенную кга- стице с номером i, и описывает закон действия этой силы. Таким образом, для составления уравнений движения необходимо знать законы действия сил. В основе этого знания всегда лежит опыт.

Схематически это можно пояснить следующим образом. Предположим, что экспериментальное изучение позволило установить законы действия сил в некоторой системе. Но область применимости найденных законов никогда не исчерпывается только одной физической системой. Эта область всегда значительно шире и включает в себя множество других систем. Таким образом, оказывается, что для каждой такой системы имеется возможность составить уравнения типа (2.18) с уже известными правыми частями. А это означает, что в нашем распоряжении оказывается некоторая система уравнений, решив которую мы можем проанализировать все свойства данной системы. Именно это имелось в виду, когда в предыдущем параграфе мы говорили о том, что второй закон Ньютона является мощным инструментом исследования классических механических движений.

Поясним сказанное примером. Исторически закон всемирного тяготения был установлен Ньютоном путем изучения движения Луны и планет Солнечной системы. Однако силы тяготения действуют во многих других случаях. Например, они действуют внутри звезд, в звездных скоплениях и больших скоплениях газа в мировом пространстве, между искусственным спутником и Землей и т. д. Поэтому закон всемирного тяготения позволяет объяснить свойство многих систем, подчас совсем внешне не похожих на Солнечную систему.

Одну и ту же силу часто можно описывать законами, имеющими разные степени фундаментальности, т. е. разные области применимости. Рассмотрим, например, поведение куска парафина под действием силы сжатия (рис. 2.5). Со всех сторон, за исключением одной, с которой давит поршень, парафин Находится в абсолютно твердой оболочке. В первом прмближе- 阳нн изменение линейного размера А/ парафина в направлении

сжатия будет пропорционально сжимающей силе. Измерив коэффициент пропорциональности 例 мы получим закон действия

в виде

F ==——

归• А/・

(2.19)

Им можно пользоваться для определения силы при не слишком больших деформациях. Коэффициент 山 называется коэффициентом упругости тела (в данном случае парафина).

Закон (2.19) прост, но зато имеет весьма узкую область при

менимости. Он пригоден для определения силы по степени сжа-

I I J I I

ill I；」」］＞

1."」.；；二纟

Рис. 2.5.

тия (или наоборот) при небольших А/. Этот частный закон можно вывести из значительно более фундаментального закона сил межмолекулярных взаимодействий (см. ниже), действующих между двумя молекулами парафина. Зная этот закон (т. е. зависимость сил от расстояния между молекулами), можно получить не только соотношение (2.19), но и рассчитать значение постоянной 瓦 а также определить область применимости соотношения (2.19). Более того, по закону действия сил

между молекулами в принципе можно рассчитать все константы, характеризующие механические и тепловые свойства парафина.

Но закон действия сил между молекулами парафина еще не самый фундаментальный. Область его действия ограничена молекулами, имеющими не слишком большие скорости. Закон действия сил между молекулами парафина также не позволит ничего сказать о силах между молекулой парафина и молекулой иного вида, о процессах возбуждения и разрушения молекул при их столкновениях с большими импульсами и т. д. Это связано с тем, что закон межмолекулярных сил очень грубо учитывает структуру молекул и составляющих их атомов. Ответ на все эти вопросы, по крайней мере в принципе, может быть получен на основе квантовой теории взаимодействия атомных ядер и электронов друг с другом. Эта теория фундаментальна. С ее помощью в принципе возможен расчет почти любого свойства или явления, связанного со структурой атомов, молекул и тел в различных агрегатных состояниях. Однако практически такой расчет удается осуществить далеко не всегда. Поэтому на практике используются законы разной степени общности.

В настоящее время установлены фундаментальные взаимодействия, к которым в конечном счете сводятся силы любой прнт роды, и получены законы сил, которые не являются фундамент тальными, но имеют достаточно большую область применимо-* сти и эффективно используются в физике и технике.

По современным представлениям все многообразие явлений, наблюдаемых во Вселенной, обусловлено четырьмя видами фундаментальных взаимодействий: гравитационными, слабыми^ электромагнитными и сильными или, что то же самое, ядер- ними взаимодействиями.

Самым слабым является гравитационное взаимодействие. Оно осуществляется между любыми массами и проявляется в форме сил тяготения. Роль сил тяготения возрастает при переходе к большим массам. В микромире силы тяготения практически никакой роли не играют. Их роль является определяющей только в крупномасштабных явлениях. (Сила притяжения тел Землей играет определяющую роль в геофизических и других явлениях на поверхности Земли, таких как горообразование, течение рек, ходьба человека и т. д. Силы тяготения поддерживают существование Солнечной системы и различных звездных скоплений.)

Слабые взаимодействия, в отличие от гравитационных, не способны создавать устойчивые состояния вещества, наподобие, например, Солнечной системы. Они обусловливают нестабильность многих микроскопических частиц, приводя к их распадам, и характерны только для определенного круга микроскопических квантовых процессов.

Электромагнитные взаимодействия осуществляются между телами, в состав которых входят электрически заряженные частицы. Эти взаимодействия обусловливают существование ста- бильных атомов, связывают атомы в молекулы, являются при* чиной действия сил между частицами газов, жидкостей, твердых тел, плазмы и играют основную роль во всех физико-химических и биологических процессах. Именно к электрическим взаимодействиям сводятся практически все силы нефундаментального характера.

Сильные взаимодействия являются наиболее мощными. Онн осуществляются между частицами из групп так называемых мезонов (за исключением мюона) и барионов — микрочастиц, обусловливающих процессы ядерной физики высоких энергий. Именно эти взаимодействия связывают протоны и нейтроны в атомных ядрах. Характерной особенностью сильных взаимодействий является их малый радиус действия. Они проявляются только в том случае, если расстояние между сильно взаимодействующими частицами по порядку величины не превышает 10~15 м.

В классической механике все силы имеют гравитационную 〃 электромагнитную природу, Слабые взаимодействия играют роль в специфических микроскопических явлениях существенно квантовой природы. Сильные взаимодействия также не могут быть включены в схему классической механики, так как

действуют только на очень коротких расстояниях, т. е. опять- таки существенны для микроскопических квантовых явлений. Ниже мы опишем наиболее важные силы классической механики.

Гравитационные взаимодействия подчиняются закону всемирного тяготения. Его нерелятивистская формулировка: любые две частицы притягиваются друг к другу с силой, направленной вдоль линии, соединяющей частицы; величина силы пропорциональна произведению масс частиц и обратно пропорциональна квадрату расстояния между

7|户@ними. Коэффициент пропорциональности

у называется гравитационной постоянной. В СИ

f/丫 = 6,672 • 10~n H- м2/к"

GПусть одна из частиц с массой mi на° ходится в точке с радиус-вектором 门,

Рис. 2.6.а положение другой частицы с массой 俏2

характеризуется радиус-вектором ?2・ Обозначим силу, которая действует на массу mi со стороны массы 团2, через 尸 12. Тогда закон всемирного тяготения выражается формулой

где Ir2 ~ r*i I обозначает длину вектора 尸2 — 了1，а

Ir2 一川

—единичный вектор в направлении вектора 尸2——门，характеризующий направление действия силы 尸 12 (рис. 2.6). По определению м2 = 1.

Силы тяготения между телами, с которыми человеку приходится иметь дело в повседневной жизни, очень малы. Так, два тела с массами по 104 кг (масса железнодорожного вагона) на расстоянии в 1 м притягиваются с силой порядка 10-2 Н. Эта сила находится на пределе возможностей современной измерительной техники. С другой стороны, спадание силы тяготения с расстоянием сравнительно медленное. Поэтому при доста^ точно больших массах силы тяготения могут проявляться и действительно проявляются на очень больших расстояниях, вплоть до астрономических.

Замечательным свойством силы (2.20) является ее пропори циональность массам взаимодействующих частиц. Поэтому за^ кон всемирного тяготения дает возможность принципиально иного, гравитационного измерения масс. Определенные именно

таким образом коэффициенты g и m2 в законе (2.20}, которые можно назвать гравитационными массами, могли бы и не совпадать с массами частиц, измеренными по методу, описанному в предыдущем параграфе. Так измеренные массы называют инертными. Однако инертные и гравитационные массы удивительным образом совпадают. Это является экспериментальны л фактом, установленным Р. Этвешем в 1894 г.

Суть опытов Этвеша заключается в следующем. Любое тело на Земле участвует в движении Земли. Поэтому ускорение тела всегда имеет составляющую ап, имеющую смысл нормального ускорения, обусловленного вращением Земли. Таким образом, ускорение тела в любых условиях на Земле должно записываться в виде 。+。九，где а ——ускорение, вызванное действием на тело какой-либо силы. В условиях опыта тело является нерелятивистской частицей. Тогда, если она испытывает действие

IIРис. 2.7.Рис. 2.7.только силы тяготения, то уравнение ее движения будет иметь вид

I

I

Рис. 2.7.

Рис. 2.7.

т(а + %) = F,

где m — инертная масса частицы, а 尸 ——сила тяготения. Из этого уравнения видно, что ускорение а можно рассматривать как результат действия двух сил: силы тяготения F и фиктивной силы —man. Сила 尸 направлена к центру Земли, а сила —тап направлена от оси вращения Земли (рис. 2.7). Эти силы совпа-

дают по направлению только на

экваторе. На всех остальных широтах эти силы не параллельны. Поэтому направление суммы сил F и ——тап зависит от отношения инертной массы т к гравитационной массе частицы, входящей в выражение для 尸.Если бы это отношение менялось от тела к телу, то направления ускорений а различных тел слегка отличались бы друг от друга. Однако проведенные Этвешем измерения с точностью до 10~9 не обнаружили такого отклонения. Недавно В. Б. Брагинский довел точность этого опыта до Ю-11.

Следовательно, гравитационная и инертная массы пропори циональны друг другу. При соответствующем выборе коэффи^ циента в законе всемирного тяготения (гравитационной постоян， ной у) они будут одинаковыми.

Из равенства гравитационной и инертной масс следует, в частности, что одна и та же сила тяготения сообщает одинако

вое ускорение всем телам, независимо от того, какова их масса* Это связано с тем, что в уравнении движения каждой частицы

произвольной системы (произвольного тела), испытывающей действие только сил тяготения, масса частицы никакой роли не играет. Она входит коэффициентом и в левую (через импульс), и в правую (через силу) части уравнения движения и таким образом может быть сокращена.

Отмеченная особенность гравитационных сил позволяет про вести следующую аналогию. Рассмотрим систему свободных тел с точки зрения какой-либо неинерциальной системы отсчета, т. е. системы отсчета, движущейся с некоторым ускорением относительно инерциальной системы. Очевидно, что относительно неинерциальной системы все тела также будут обладать одинаковыми ускорениями, т. е. будут вести себя так, как если бы появились силы тяготения. С другой стороны, возможно и обратное рассуждение. Связав с телом, находящимся под действием гравитационных сил, движущуюся вместе с ним неинерциальную систему отсчета («лифт Эйнштейна»), мы получаем возможность «избавиться» от тяготения, поскольку в этой системе тело будет вести себя как свободное. Следовательно, из равенства инертной и гравитационной масс вытекает всеобщий фундаментальный закон, называемый принципом эквивалентности:

Переход к неинерциальной системе отсчета эквивалентен появлению гравитационных сил, 〃， наоборот, гравитационные силы 8 любой достаточно малой области пространства ^выключаются^ переходом к подходящей неинерциальной системе отсчета.

Принцип эквивалентности является законом, положенным А. Эйнштейном в основу теории тяготения, известной под названием общей теории относительности.

Основным фундаментальным законом сил, создаваемых электромагнитными взаимодействиями, является закон Кулона, Он определяет силу взаимодействия двух неподвижных или медленно движущихся друг относительно друга *) заряженных частиц. Кулоновская сила направлена вдоль линии, соединяющей частицы. Величина силы пропорциональна произведению зарядов частиц и обратно пропорциональна квадрату расстоя・ ния между ними. В СИ коэффициент пропорциональности ра^ вен 左=9・1。9 Н・м2/Кл. В СГС он равен 1. Заряд частицы яв-* ляется физической величиной, зависящей только от вида ча< стицы и не меняющейся в присутствии внешних сил.

Если частица с зарядом 夕〔находится в точке с радиус-век^ тором Г], а частица с зарядом 勿 находится в точке с радиус^ вектором 厂2, то сила 尸亶 действия второй частицы на первую

согласно закону Кулона записывается так:

々万罟露制 (2.21)

〃 обозначает единичный вектор, который теперь определен как 门一尸2

丨力■- Г2 I

Сила тяготения всегда является силой притяжения. Кулоновская сила может быть и силой отталкивания. Это означает, что заряд может быть как положительным, так и отрицательным, а также равным нулю. В последнем случае частица называется нейтральной. Как видно из (2.21), притяжение осуществляется только для разноименных зарядов, т. е. при условии 夕1夕2 V 0. Одноименно заряженные частицы, для которых 91^2 > 0, отталкиваются.

Закон Кулона дает возможность измерять заряды частиц, т. е. содержит определение заряда. Напомним, что единица измерения заряда в СГС как раз и устанавливается с помощью закона Кулона.

Область применимости закона Кулона превосходит область применимости самой классической механики и простирается от самых больших расстояний до 10-13 м. На еще меньших рас- стояж^ях он также применим, но уже с точностью 10~4. В области квантовых явлений (например, для электронов в атомах) закон Кулона формулируется в ином виде.

Интенсивность кулоновских сил чудовищно велика. Для иллюстрации сравним гравитационные и кулоновские силы между двумя протонами. Масса протона равна 1,7 • 10-27 кг, так что величина их гравитационного притяжения на расстоянии г составляет (1,9- 10-66)/г2 ньютонов. Электрический заряд протона равен 1,6-10-19 К〃・ Следовательно, сила электрического отталкивания протонов на том же расстоянии г составит (2,3・ 10一3°)"2 ньютонов. Как видно, кулоновская сила превосходит гравитационную в 1036 раз!

Подобно гравитационным, кулоновские силы имеют практически неограниченный радиус действия. Грамм протонов, находящихся на Солнце, притягивает грамм протонов, находящихся на Земле, с силой в 50 ньютонов.

Во многих случаях приходится сталкиваться с системами электрически заряженных частиц, движущихся в электромагнитных полях, созданных сторонними источниками. Так, в ускорителях ускорение заряженных частиц и стабилизация их траекторий движения осуществляется с помощью электрического и магнитного полей. Режим движения электронов в электронно-лучевой трубке телевизора и осциллографа также определяется электрическим полем. Движение зарядов, т. е.

электрический ток в проводнике, к которому приложено напряжение, вызывается электрическим полем. Список подобных примеров, указывающих на практическую значимость и важность взаимодействия заряженных частиц с внешним электромагнитным полем, очень велик. Несмотря на различие в конструкции, форме и габаритах систем, в которых это взаимодействие играет основную роль, общим для всех них является фундаментальный закон действия силы со стороны электромагнитного поля на заряженную частицу. В СИ этот закон имеет следующий вид:

F = qE + q[vB]9(2.22а)

где ^ —заряд частицы, а и ——ее скорость. В (2.22а) Е и В обозначают электрическое и магнитное поле ) соответственно, a [vB] — это векторное произведение v и В. Силу (2.22а) называют силой Лоренца, При этом ее составляющую qE называют электрической, а составляющую ^[vB]——магнитной силой Лоренца. Легко видеть, что последняя действует только на движущуюся частицу. При ” = 0 частица испытывает лишь де让二 ствие электрического поля.

В СГС сила Лоренца имеет несколько иной вид, а именно:

р ^дЕ + ±^в^(2.226)

где с — скорость света в вакууме.

Свойства электрического и магнитного полей будут рассмотрены в следующем томе курса. В настоящем же томе там, где нам придется встретиться с полями Е и В, мы будем считать их заданными, т. е. известными величинами.

Напомним единицы, в которых поля Е и В измеряются. В СИ электрическое поле измеряется в вольтах, отнесенных к метру (В/м), а магнитное поле — в теслах (Тл). Из закона (2.22а) следует, что

1 В/м = 1 Н/Кл, 1 Тл = 1 Н - секДКл • м).

В СГС единицей измерения поля Е является дина, отнесенная к единице измерения электрического заряда в этой системе:

1 ДНН =IO""' Н = 3 ・]04 旦

ед. СГСЭ 7з- 10~9 Клм *

Поле В измеряется в гауссах (Гс): 1 Гс = 10-4Тл,

Отметим, наконец, что законы (2.22) применимы всюду, где справедливо классическое понятие механического состояния, и более того, они обобщены на квантовые частицы.

Помимо заряженных частиц очень широко распростра^ йены в целом электронейтральные системы заряженных частиц. Таковы, например, атомы и молекулы, в которых суммарные заряды ядер и электронов равны по абсолютной величине. Такие системы взаимодействуют друг с другом посредством электромагнитных полей, создаваемых электрически заряженными компонентами систем.

Так, законы сил, действующих между атомами и молекул лами, совсем не похожи на кулоновский, хотя силы эти в конечном счете имеют электрическое происхождение. Точный вид закона взаимодействия частиц такого рода очень сложный. В частности, сила их взаимодействия оказывается зависящей не только от расстояния между взаимодействующими частицами, но и от их взаимной ориентации. Однако в подавляющем большинстве случаев достаточно знать силу взаимодействия, усредненную по всем их возможным ориентациям. Закон действия усредненной таким образом силы оказывается сравни^ тельно простым. Его характерными свойствами являются еле- дующие.

Сила направлена по линии, соединяющей частицы, и зависит от расстояния между ними. На малых расстояниях действует сила отталкивания, величина которой очень быстро возрастает по мере уменьшения расстояния между частицами. В этом выражается сопротивление частиц взаимопроникновению. На больших расстояниях действует сила притяжения. С увеличением расстояния сила притяжения сравнительно медленно убьь вает (но значительно быстрее кулоновской, примерно как г~7), стремясь асимптотически к нулю. При некотором расстоянии сила обращается в нуль. Это расстояние называется равновесным и составляет величину порядка нескольких ангстрем.

Если, например, два нейтральных атома находятся в точках с радиус-векторами 片 и г2, то сила F% действия второго атома на первый имеет вид:

尸】2 = f(l 门一尸2l)・〃， (2.23) где f (I ri — r21)—функция расстояния между атомами, харак^ тер которой изображен на рис. 2.8;М= 1. На

I — Г2 I

рисунке равновесное расстояние обозначено через г°. При г V「о функция f характеризует силу отталкивания (левая часть рис. 2.9). При г > го функция f характеризует силу притяжения (правая часть рис. 2.9*

Закон взаимодействия электронейтральных частиц хотя и менее фундаментален, чем закон Кулона, но все же близок к границе, разделяющей фундаментальные и нефундаментальные законы. Область его применимости охватывает все явле

ния, в которых атомы и молекулы принимают участие, не разрушаясь. В эту область входят свойства газов, неэлектролитических жидкостей и твердых тел типа парафина, состоящих из отдельных молекул. Большинство твердых тел составлены по-иному. Например, поваренная соль составлена не из атомов, а из ионов натрия и хлора.

Точный вид зависимостей сил взаимодействия электронейтральных частиц от расстояния может быть получен из более фундаментальной теории

взаимодействия ядер и электронов. Но практически такие вычисления неосуществимы из-за их громоздкости. Поэтому закон сил взаимодействия атомов и молекул подбирают, исходя

СХОО=ь==5=о

/2/%2

l"-ck 小\n-r2\> r0

Рис. 2.9.

из опытных данных с привлечением модельных соображений о распределении зарядов в атомах и молекулах. Вследствие этого расчеты с применением этих сил обычно имеют невм сокую точность.

Силы межатомных и межмолекулярных взаимодействий действуют между микрочастицами. За ними в иерархии законов сил идут уже совершенно не фундаментальные силы, действующие между телами или между частями тел, содержащими очень много частиц. Наиболее часто используются три типа сил такого рода: а) упругие силы и б) контактные силы, подразделяющиеся на реакции опор и силы трения.

В первую очередь рассмотрим силу упругости, определяемую законом Гука\ сила сопротивления деформированию твердых тел пропорциональна величине деформаций при условии их малости.

Различные типы деформаций будут описаны в гл. 13. Здесь мы ограничимся рассмотрением простейшей деформации ——уже

знакомого нам одностороннего сжатия (рис. 2.5, стр. 68). Для такой деформации закон силы имеет вид (2.19).

Как известно, твердые тела имеют кристаллическое строение. Частицы, составляющие кристалл, стремятся занять так называемые равновесные положения, в которых сила, действую- пхая на каждую частицу, равна нулю. Предположим, что частицы кристалла являются нейтральными атомами. Тогда, поскольку они взаимодействуют друг с другом по закону (2.23), они стремятся расположиться друг от друга на равновесных расстояниях г。. Если тело деформируется, то расстояния между частицами становятся либо больше, либо меньше г。. Однако если смещения частиц, которые мы обозначим через Аг, малы по сравнению с г0 (это и означает, что деформации являются малыми), то в малой области около точки「о поведение функции f(г), где 广=|门一q|, можно аппроксимировать прямой линией —А-Дг, изображенной на рис. 2.10 пунктиром. Если в направлении деформирования

тело содержит N частиц, то каждая из них в этом направлении будет оказывать сопротивление, измеряемое силой —々・Аг. Следовательно, сила сопротивления деформированию со стороны всего тела будет равна —hN・Nr. Очевидно, что А/= 2•△厂 определяет полное изменение размеров тела в направлении деформирования. Тогда сила сопротивления будет равна ——左•△/. Так как А/ характеризует величину деформации, то тем самым мы убеждаемся в справедливости сформулированного выше закона Гука в форме (2.19).

Мы видим, что закон Гука может быть выведен из более фундаментального закона (2.23) и, таким образом, может быть установлена область его применимости (разумеется, для тел. состоящих из нейтральных молекул).

Можно поставить и обратную задачу: по постоянной закона Гука — коэффициенту упругости 左一получить информацию о силах между молекулами. При этом оказывается, что для достаточно твердых тел, таких, например, как алмаз и даже пен варенная соль NaCl, силы между микрочастицами, составляющими кристалл, на порядок и даже более превосходят силы (2.23). Это свидетельствует о наличии иных, более сильных

типах связей в к , сталлах. На этом вопросе мы остановимся позднее, в 二…© £!± курса.

Рис. 2.11.Рис. 2.11.В дальнейшем нам не раз придется встречаться с деформациями типа изображенной на рис. 2.11. Пусть пружина ориен^ тирована в х-направлении и обладает коэффициентом упругости k. Если она, например, сжата так, что ее конец сместился на расстояние J относительно того положения, которое он занимав до ^ деформирования, то в этом случае закон Гука можно записать в форме

Рис. 2.11.

Рис. 2.11.

F = {-^, 0, 0}・（2.24）

Контактными называются силы, возникающие при соприкосновении двух тел и действующие со стороны одного тела на другое. Эти силы важны для расчета прочности подшипников, зубчатых передач и др. Мы ограничимся рассмотрением этих сил, предполагая твердые тела абсолютно твердыми. В этом случае контактные силы сводятся к силам реакции опор и трения.

Сила реакции опоры, которую испытывает тело, приведенное в контакт с другим, направлена по нормали к поверхности кон

такта в сторону от тела, являющегося источником реакции опо

ры. Для пояснения мы приводим рис. 2.12, на котором изобра

жены два контактирующих тела / и 2. Вектор R12 изображает силу реакции опоры, которую испытывает тело / со стороны тела 2. При этом, согласно третьему закону Ньютона, сила /?21, действующая со стороны тела / на тело 2, по абсолютной величине равна R12 и противоположно направлена: R21 = —Ri2・

Сила реакции опоры является предельным частным случаем упругой силы.

Область применимости силы реакции ограничена ситуациями, в которых можно пренебречь дефор

мациями тел.

Механизм трения заключается в следующем. Если одно тело приведено в движение относительно другого и при этом находится с ним в контакте вдоль некоторой поверхности, то на- стицы тел, расположенные вблизи этой поверхности, начинают друг за друга цепляться. В этом и заключается природа тор-* мозящего действия. Такие силы пока не поддаются точному расчету на основе микроскопических представлений о строении

тел. Поэтому законы их действия устанавливаются опытным путем. Основными из них являются следующие.

Сила сухого трения между двумя контактирующими твер« дыми телами направлена в сторону, противоположную движению тела, на которое она действует. Ее абсолютное значение не зависит от скорости относительного движения тел и пропорционально силе реакции опоры. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения. Он определяется зко периментально.

"自2£ J 一 仁Рис. 2.13."自2£ J 一 仁Рис. 2.13.Рис. 2.13 поясняет этот закон. На нем изображены два тела / и 2, причем первое движется относительно второго со скоростью и. Вектор 尸 12 изображает силу трения, действие которой испытывает тело /, вектор R% — сила реакции опоры со стороны тела 2;

"自2

£ J 一 仁

Рис. 2.13.

"自2

£ J 一 仁

Рис. 2.13.

尸12=阳2 亠 （2.25）

где 模一коэффициент трения. Значение коэффициента ц зависит не только от соприкасающихся материалов, но и от многих свойств поверхностей соприкосновения: их обработки, загрязненности и т. д.

Подчеркнем, что, во-первых, от скорости не зависит только абсолютная величина силы трения. Если скорость относительного движения тел изменяет направление, то меняет свое направление и вектор силы трения. Во-вторых, постоянство абсолютного значения силы трения между твердыми телами несколько нарушается при малых скоростях, где наблюдается

(ё2)工

l

Рис. 2.14.

некоторое увеличение силы трения. И то, и другое замечание иллюстрирует рис. 2.14. На нем представлено, как меняется х-компонента силы трения от скорости для движения, изображенного на рис. 2.13. При стремлении скорости к нулю значение силы трения по абсолютной величине несколько возрастает.

Однако при и = 0 сила трения ——она называется силой тремя покоя ——однозначно не определена. Ее значение может быть любым в пределах отрезка, выделенного на графике (рис. 2.14) вертикальной жирной линией.

На тело, движущееся в жидкости или газе, действует сила сопротивления окружающей тело среды. Так же как и сила

трения, сила сопротивления ориентирована противоположно

Рис. 2.15.Рис. 2.15.

Рис. 2.15.

Рис. 2.15.

скорости тела. Абсолютное значение силы зависит от того, каким образом вещество среды обтекает тело, что в свою очередь определяется величиной его скорости. Если скорость тела невелика (критерий малости будет установлен в § 11.3), то возникающие в среде течения носят ламинарный характер (рис. 2.15). При ламинарном течении сопротивление определяется законом Стокса: сила сопротивления пропорциональна скорости движения тела,

F = — av. (2.26)

Коэффициент пропорциональности а является постоянной, значение которой зависит от размеров тела и от вязких свойств среды.

Рис. 2.16.Рис. 2.16.

Рис. 2.16.

Рис. 2.16.

При больших скоростях закон сопротивления имеет другой вид. С возрастанием скорости течение среды из ламинарного превращается в турбулентное (рис. 2.16). При турбулентном те- чении и скоростях движения, не превосходящих скорости звука в среде, сопротивление определяется законом Ньютонам сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения-

тела,тела,F = — 6标-~ = — 00 . “F = — 6标-~ = — 00 . “(2.27)(2.27)

тела,

тела,

F = — 6标-~ = — 00 . “

F = — 6标-~ = — 00 . “

(2.27)

(2.27)

Коэффициент р является постоянной, значение которой зависит от размеров и формы тела, а также от плотности среды.

Законы Стокса и Ньютона будут подробно обсуждаться в § 11.3, где будет приведено их микроскопическое обоснование.

Мы перечислили, конечно, не все феноменологические, нефундаментальные силы. Например, остались нерассмотренными силы поверхностного натяжения. Можно, однако, сказать, что перечисленных сил достаточно для решения многих практических задач о движении, которое не сопровождается полным или частичным разрушением тел.

Потенциальная энергия

Очень важной величиной, характеризующей свойства движения частицы под действием силы, является работа, которую

сила производит. Остановимся на определении этой величины.

Из курса физики средней школы известно, что если на частицу, движущуюся по прямой линии, действует постоянная сила Г, направленная под углом а к движению, то работа силы при

перемещении частицы на вектор Аг

Рис. 2.17.Рис. 2.17.равнаz

Рис. 2.17.

Рис. 2.17.

А4 =尸 Ar cos а.

В векторных обозначениях эта формула записывается так:

ДА = (Г-Дг). (2.28а)

Здесь (F-Дг) обозначает скалярное произведение векторов 尸 и Аг.

При этом 1 эрг =,При этом 1 эрг =,Напомним, что в СИ работа измеряется в джоулях (1 Дж == 1 Н • 1 м), а в СГС — в эргах (1 эрг = 1 дин -1 см). =IO' дж

При этом 1 эрг =,

При этом 1 эрг =,

Формула (2.28а) справедлива только в случае постоянной силы и прямолинейного движения частицы. Если эти у слови ;i не соблюдаются, то правило вычисления работы определяется следующим образом. Рассмотрим бесконечно малый участок траектории произвольного вида, заключенный между бесконечно близкими точками с радиус-векторами У и У + ”' (рис. 2.17). Предположим, что в точке г' на частицу действует сила F. Вследствие малости участка мы можем пренебречь изменением силы, считая ее постоянной во всех точках участка и равной 尸.

82динамические Принципы механики{гл 2

Кроме того, сам участок можно считать практически не отличающимся от вектора dr\ полагая тем самым, что частица движется прямолинейно вдоль вектора dr'. К такому бесконечно малому перемещению уже можно применить формулу (2.28а):

dA = (F-drfY(2.286)

Здесь dA называется элементарной работой силы, производи^ мой при перемещении частицы из точки У в положение с радиус-вектором r' + df (рис. 2.17).

Работа, производимая в единицу времени, называется мощностью. Если перемещение dr' осуществляется за время d/, то мощность равна

p=將=(，%)=(f•砚 (2・2!)

где V = drfldt — скорость частицы.

В СИ мощность измеряется в Дж/сек. Единица 1 Дж/сек называется ваттом (Вт):

1 Вт = 1 Дж/сек.

В СГС мощность измеряется в эрг/сек,

1 эрг/сек= IO' Вт.

Работа на любом конечном участке траектории, заключенном между точками г0 и г, определяется суммой всех элементарных работ, производимых при данном перемещении. Эта сумма равна

А4 = , dA =卜尸• dk)

и называется интегралом от силы вдоль данного участка траею тории.

Поскольку работа получается суммированием по многим точкам, т. е. по многим состояниям, то в общем случае работа зависит от того, как меняется состояние.

Любое изменение состояния называется процессом.

Таким образом, в общем случае работа является функцией процесса. Иными словами, работа, совершаемая при перемете^ нии частицы, зависит от формы ее траектории.

Существуют, однако, силы, работа которых определяется только начальным и конечным состояниями частицы и форма траектории на величину работы не влияет. Такие силы назьь ваются потенциальными или консервативными. Все остальные относятся к силам непотенциальным или неконсервативным.

Поясним сказанное на рис. 2.18. На нем изображены участ^ ки ЛСВ и ADB двух траекторий, соединяющих одни и те же

точки А и В. Если интеграл от силы вдоль участка АСВ совпадает с интегралом от силы вдоль участка ADB, то сила потенциальна. Если это не так, то сила относится к числу непотенциальных. Примеры как тех, так и других будут приведены ниже.

Согласно определению интеграл от потенциальной силы зависит только от пределов интегрирования. Если они определяются радиус-векторами г0 и г, то для потенциальной силы работа является функцией только 尸о и г:

d4=kf・dQ =(D(Q, г).

Эта функция обладает двумя очевидными свойствами. Во- первых,

lim ①(Q,p)=0, r->r0

ибо при отсутствии перемещения работа не совершается. Во-вторых,

①(r, У•)=①(%,产)+①(к，f),

где rz ——радиус-вектор любой промежуточной точки на данном участке траектории. Действительно, сумма работ на двух по-

Рис. 2.18.Рис. 2.18.силы может быть пред-силы может быть пред-следовательных участках траектории определяет работу при перемещении от начала первого участка до конца второго. При любом законе действия потенциальной силы функция ①(у(), г) будет обладать указанными свойствами только в одном случае, а именно тогда, когда она имеет вид разности значений в точках г0 и г одной и той же функции U положения частицы в пространстве: Ф(r0, r)= U(г0) — 0(г). Таким образом, работа потенциальной ставлена в виде

Рис. 2.18.

Рис. 2.18.

силы может быть пред-

силы может быть пред-

А/ = , d/ =，(尸• dr) = U (%) - U (г).(2.30)

Функция U положения частицы в пространстве называется потенциальной энергией частицы. Она всегда имеет смысл энергии взаимодействия с объектами, создающими данное силовое воздействие на частицу. Работа потенциальной силы всегда (равна со знаком минус изменению потенциальной энергии частицы при ее перемещении из одного положения в другое. Если 5ке начальное положение частицы фиксировано, то работа по- ггенциальной силы зависит только от конечного состояния частицы.

Потенциальная энергия измеряется в тех же единицах, что и работа.

Потенциальная энергия частицы как функция радиус-вектора точки пространства зависит от трех переменных х, у, г — координат радиус-вектора. Оказывается, что если эта функция U(r)= U (х, у, г) задана, то компоненты силы, действующей на частицу в точке с радиус-вектором г, определяются формулами

dU (г)_dU （x,厶之）дхдх'dU (г) _dU (х, у, z)дуdy 5尸2 =dU(r) _ OndU (爲 у, 2) dz *dU (г)_dU （x,厶之）дхдх'dU (г) _dU (х, у, z)дуdy 5尸2 =dU(r) _ OndU (爲 у, 2) dz *(2.31)(2.31)

dU (г)

_dU （x,厶之）

дх

дх'

dU (г) _

dU (х, у, z)

ду

dy 5

尸2 =

dU(r) _ On

dU (爲 у, 2) dz *

dU (г)

_dU （x,厶之）

дх

дх'

dU (г) _

dU (х, у, z)

ду

dy 5

尸2 =

dU(r) _ On

dU (爲 у, 2) dz *

(2.31)

(2.31)

В правых частях равенств (2.31) фигурируют частные производные U(х, у, z) по переменным 務 у, г. В математике вектор

(dU dU dU )工

с компонентамиj называется градиентом функ

ции U и обозначается либо символом grad U, либо символом VU. В этом томе мы будем пользоваться первым обозначением. Таким образом, в векторной форме равенства (2.31) записываются так:

(2.32)(2.32)尸=—grad U.

(2.32)

(2.32)

Докажем справедливость (2 31). Для этого предположим, что начальное н конечное положения частицы отличаются на бесконечно малый вектор "= ={dx, dy, dz} Тогда с одной стороны работа равна (F • dr) = Fxdx + Fvdy+ + Fzdz, а с другой стороны она же может быть определена в виде

U (г) — U (г + dr) = U (尤，у, z) — U (% + dx, “ + dy,之 + 衣)=

dU л OU 丿 dU / =— dx— dy

dx dy dz

Сравнение этих выражений и доказывает справедливость (2.31).

Обратим внимание на следующую важную особенность. Если к потенциальной энергии добавить постоянную величину, то сила от этого не изменится, поскольку ее вычисление связано с дифференцированием потенциальной энергии. Следовательно, потенциальная энергия определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной, и прибавление этой постоянной не меняет картины силового взаимодействия. Обычно произвольную постоянную выбирают таким образом, чтобы значение потенциальной энергии частицы, далеко удаленной от источника силы и потому не испытывающей действия силы, было равно нулю.

Из (2.31) следует, что действующая на частицу потенциальная сила и потенциальная энергия частицы могут зависеть только от координат точки пространства, в которой находится частица. Поскольку каждой точке пространства отвечает определенный вектор силы, то значения силы во всех точках характеризуют силовые свойства окружающего частицу пространства. В этом случае говорят, что задано потенциальное силовое поле, в котором движется частица.

Заметим, что рассмотренные в предыдущем параграфе силы тяготения, взаимодействия зарядов, взаимодействия нейтральных атомов и молекул, сила упругости зависят только от координат частиц. Рассмотрим сначала три первые силы. Для них можно ввести единое обозначение, а именно:

f12 =屮(丨%一注 1).〃・

Y〃21他2Ri -r2\2Y〃21他2Ri -r2\2Здесь 门——радиус-вектор частицы, испытывающей действие силы со стороны другой частицы, являющейся источником силы и занимающей точку с радиус-вектором г2. Для силы тяготения

Y〃21他2

Ri -r2\2

Y〃21他2

Ri -r2\2

屮（丨г1 一/I）=一屮（丨г1 一/I）=一,для кулоновской СИЛЫф(| гх—г21)=

屮（丨г1 一/I）=一

屮（丨г1 一/I）=一

=й 1—如也 |2, а для силы межатомного или межмолекуляр- I * 1 一 了2 |

ного взаимодействия 屮(| 门 —— 砲 |) = f (| 门 ——Q |).

Отметим, что силовое поле тяготения и электрического действия зарядов принято называть кулоновским. Своим происхождением это название обязано тому, что, с точностью до постоянных коэффициентов, законы действия сил тяготения и Кулона одинаковы.

Зафиксируем положение источника силы 尸12, т. е. радиус- вектор г2- Выберем такую систему отсчета, в которой источник силы находится в начале координат. В этой системе *2 = 0・ Поскольку эта переменная теперь будет отсутствовать, то в целях упрощения записи радиус-вектор гх переобозначим на г. Тогда

f12 =尸12⑺=屮(6 )/ =屮("jf12 =尸12⑺=屮(6 )/ =屮("j(2.33)(2.33)

f12 =尸12⑺=屮(6 )/ =屮("j

f12 =尸12⑺=屮(6 )/ =屮("j

(2.33)

(2.33)

Индексы у силы мы сохранили, чтобы подчеркнуть, что она действует со стороны одной частицы на другую.

Существует специальная терминология, применяемая к силам вида (2.33) и к соответствующим полям. Сила, закон действия которой имеет вид (2.33), называется центральной. Соответствующее силовое поле называется центрально-симметричным, а место расположения источника силы ——силовым центром.

Центральная сила направлена по прямой линии, соединяющей частицу с силовым центром, о абсолютное значение силы зависит только от расстояния до силового центра.

Именно этими свойствами и обладает выражение (2.33).

Вектор F12 направлен вдоль (или против, если 屮 V 0) радиус- вектора г. Абсолютное значение силы равно ср (г). Во всех точках сферы радиуса г оно одинаково (рис. 2.19).

Проверим непосредственно, что работа сил вида (2.33) не зависит от формы траектории частицы. Интеграл от силы 尸卜

вдоль участка любой траектории, соединяющего точки го и г, равен

△% = \(F|2. dr') = \ <р (г') « •,). Воспользуемся тождеством (г，・ dr')= =-|-^ (产• rz) = у "2=/ dr- где rz обозначает абсолютное значение вектора У. Согласно этому тождеству

ДА = \ 屮(「') dr'・

Здесь уже фигурирует обычный одномерный интеграл по переменной У. Пределы интегрирования, очевидно, определяются абсолютными значениями векторов 尸。и г, т. е. равны г。 и 「•】 Следовательно,

г

Го

где ——U(r)——первообразная функции 屮(г). Тем самым установлено, что силы тяготения, взаимодействия между заряженными частицами, взаимодействия между нейтральными атомами и молекулами являются потенциальными.

Функция U(г) определяет потенциальную энергию частицы в поле действия силы вида (2.33). Мы получили, что эта энер^ гия зависит только от модуля радиус-вектора точки пространства и не зависит от его направления. Именно так и должно быть, поскольку в центрально-симметричном поле все точки на любой сфере, центр которой совмещен с источником силы, фи^ зически эквивалентны.

Потенциальная энергия частицы в кулоновском поле, удов« летворяющая требованию обращения в нуль при бесконечно большом удалении частицы от силового центра, равна

(2.34)(2.34)и&) = $

(2.34)

(2.34)

Если же силовой центр занимает точку с радиус-вектором 尸2, а частица, потенциальная энергия которой рассматривается, находится в точке с радиус-вектором гь то потенциальная

энергия определяется формулой

(2.35)

В (2.34) и (2.35) в случае тяготения а = —丫团1团2, а в случае кулоновского взаимодействия а = kqiq2. Мы остановимся только на доказательстве (2.34). Формула (2.35) является три виальным обобщением (2.34). Справедливость (2.34) устанавливается непосредственным вычислением. Рассмотрим, напри-

дЦ dxдЦ dx= -a±G) = -a^G) fe= -a±G) = -a^G) fe—a dr—a dr

дЦ dx

дЦ dx

= -a±G) = -a^G) fe

= -a±G) = -a^G) fe

—a dr

—a dr

Однако 厂=«%2 + 犷十乞2. Поэтому — — — х—

дх V%2 十 у2 + 22г

Следовательно,

_0и _ , 土

1 дх ~ г2 * г *

Аналогичным образом легко установить, что

GU _ a 且0U ― _a_ 三

—dy 一 3 • "Г，dz —产.г °

Эти равенства можно объединить в одно векторное соотпо шение:

—grad U = ^" (9 ・

Его правая часть при a = —ут}т2 определяет силу тяготения, действующую на массу mi со стороны массы 勿频，расположенной в начале координат. При a = kqiq2 мы приходим к кулоновской силе взаимодействия зарядов qi и ,2 при аналогичном их расположении. Следовательно, (2.34) и (2.35) действительно определяют потенциальную энергию в этих случаях.

Рассмотрим подробнее потенциальную энергию тела массы m в поле тяготения Земли. Обозначим радиус Земли через R, а се массу через М. Пусть частица массы m находится на высоте h над поверхностью Земли (рис. 2.20). Тогда согласно (2.34) потенциальная энергия частицы равна *)

тМтМ

u(3 = _ Y丽不=_Y飞(「不而方，

Если /i《R, то h/R《1, и в этом случае с очень большой той- “остью J灰=1 —у. Тогда

тМ /. A \. тМ х

[7(Й) = —v-一页)=_ Y * +Y丁九

школы. Обозначив для потенциальнойшколы. Обозначив для потенциальнойПервый член является постоянной величиной и, следовательно, несуществен. Второй член хорошо знаком из курса средней с 'yM/R2 = g, мы получим знакомую формулу

школы. Обозначив для потенциальной

школы. Обозначив для потенциальной

энергии в поле тяжести Земли: U(/i)= mgh.

Тем самым величина g является ускорением свободного падения.

Из проделанного вывода следует, что эта формула имеет область применимости, ограниченную неравенством h W R.

Соотношение g = yM/R2 позволяет оценить массу Земли. Принимая g ^ ^ 9,8 м/сек2, R ^ 6,4・ 106 м, получим: М = =gR2/y ^ 6- 1024 КГ.

Вид потенциальной энергии сил межатомного и межмолекулярного взаимодействий мы можем охарактеризовать только качественно. Потенциальная энергия U частицы, находящейся в поле силы (2.23), изменяется в зависимости от расстояния г до центра по закону, изображенному на рис. 2.21. На равновесном расстоянии 广° потенциальная и(г)\ энергия имеет экстремум, поскольку сила (компоненты которой с точностью до знака равны производным потенциальной энергии) в этой точке равна нулю. Этот экстремум с необходи- мостью должен быть минимумом. Только в этом случае при смещении влево от равновесного положения мы получим силу отталки-必皿^ вания, а при смещении вправо―рис 221

силу притяжения.ис, ' *

Действительно, при условии минимума в точке г。потенциальная энергия при г V 「о с увеличением г° уменьшается. Это значит, что dU/dr < 0. Взятая с обратным знаком, эта производная характеризует силовое воздействие на частицу в радиальном направлении. Следовательно, —dU/dr > 0 определяет силу, направленную от силового центра, т. е. силу отталкивания FOtt (рис. 2.21). Аналогичным образом нетрудно установить, что при г > го на частицу будет действовать сила притяжения 尸叮)(рис. 221).

Наглядно направление силы по виду потенциальной кривой можно определять так. Сила в данной точке действует в ту

сторону, в которую покатится шарик, положенный на горку в форме этой кривой (рис. 2.21).

(2.36)(2.36)Действительно, 尸dU%=一曲=一Действительно, 尸dU%=一曲=一Рассмотрим теперь силу упругости. Она также является потенциальной. Если эта сила действует вдоль х-направления (рис. 2.11), то ей соответствует потенциальная энергия

(2.36)

(2.36)

Действительно, 尸dU

%=一曲=一

Действительно, 尸dU

%=一曲=一

SU口 OU С п ди n

存=一健；项= 一而=°；色=一^=°，

что согласуется с формулой (2.24).

Помимо рассмотренных, к числу потенциальных относятся силы, действующие со стороны постоянного во времени электрического поля любой конфигурации на заряженную частицу. Потенциальность взаимодействия зарядов с постоянным (или, как его часто называют, электростатическим) полем является следствием потенциальности кулоновской силы.

Несмотря на зависимость магнитной силы Лоренца от скорости, ее можно отнести к числу потенциальных. Ее работа от формы траектории частицы не зависит просто потому, что всегда равна нулю. Действительно, согласно (2.22) магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы V. Следовательно, в любой точке траектории она перпендикулярна направлению перемещения частицы. А сила, пер^ пендикулярная смещению, работы не производит.

В отличие от рассмотренных сил, силы трения, сопротивления среды, так же как силы действия на заряженные частицы со стороны переменных электрических полей, к числу потенциальных не относятся.

Рассмотрим работу сил трения. По определению она направлена строго против движения. Следовательно, (尸・dr)=' =—IFI . I dr I = —Fdr, где dr определяет длину элементарного смещения. Для простоты рассмотрим случай силы трения, постоянной по величине:尸=const. Работа этой силы равна

А/ = [ (F ・公)=—,尸厶=-&,

где I ——длина пройденного участка траектории. Очевидно, что при заданном начальном и конечном положениях / зависит от формы траектории. Следовательно, тем же свойством будет обладать и работа А4

Подчеркнем, Что свойство работы сил трения быть функцией процесса обусловлено тем, что действие этих сил всегда сопровождается выделением тепла. Особенности этих явлений будут рассмотрены в следующей части этого тома. Переменные электромагнитные поля будут рассмотрены в следующем томе

ГЛАВА 3

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Происхождение законов сохранения

Так же как и принцип относительности, законы сохрани ния импульса, энергии и ряда других величин выделяются среди всех физических законов своей всеобщностью, т. е. высшей степенью фундаментальности. Принцип относительности и законы сохранения соблюдаются в нерелятивистской и релятивистской физике классических и квантовых явлений.

Сначала принцип относительности и законы сохранения были установлены опытным путем, как обобщение огромного количества экспериментальных фактов. Значительно позже пришло понимание глубокой взаимосвязи этих законов, позволившее не только осмыслить их всеобщность, но и предсказать, в каких условиях тот или иной закон сохранения может нарушаться или видоизменять свою форму.

Своим происхождением законы сохранения обязаны свойствам симметрии природы. Эти свойства выражаются в неизменности вида физических законов, т. ?・ 6 их инвариантности, при некоторых преобразованиях. Последние называются преобразованиями фундаментальной симметрии.

Подчеркнем, что речь идет о свойствах законов, а не предметов. Симметрия кристаллов, корпуса корабля, архитектурного ансамбля, колец Сатурна, Галактики и т. д. — это не те свойства, которые мы здесь будем рассматривать.

В конце § 1.1 были определены пространственно-временные преобразования фундаментальной симметрии. Остановимся бен лее подробно на физическом содержании симметрии по отноше-* нию к каждому из них.

Симметрия по отношению к сдвигу начала координат, или, как говорят, свойство однородности пространства, означает, что все точки физического пространства эквивалентны. Эта эквивалентность выражается в том, что явление, произошедшее в одной области пространства, повторится без изменений, если будет вызвано в другом месте. При этом необходимо перенести

в новое место всю совокупность факторов, существенно обу- словливающих явление.

Например, два одинаковых лазера, выведенных на один и тот же режим работы в Москве и Ленинграде, будут давать одно и то же излучение. Если же в пределах точности измерений что-либо после переноса в пространстве не воспроизводится, то это означает, что что-то существенное для данного явления либо забыли, либо не смогли перенести, либо то и пру- гое вместе. Так, ход настенных часов с маятником может из- меняться при их переносе из одной точки на Земле в другую. Причина ——изменение ускорения свободного падения ——обусловь лена неравномерным распределением массы вещества Земли. Отметим, что именно благодаря однородности пространств? можно сравнивать результаты одинаковых экспериментов, по* ставленных в разных лабораториях.

Симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета вре« мени, или свойство однородности времени, проявляется в физической эквивалентности разных его моментов. Разные моменты времени эквивалентны в том смысле, что любой физический процесс протекает одинаковым образом независимо от того, когда он начался. При этом условия, существенные для процесса, в будущем должны быть такие же, как и в прошлом.

Например, с точки зрения свойств пучка протонов безраз^ лично, в какой день и час запустить Серпуховский ускоритель протонов. Характеристики будут одинаковыми, если только ускоритель будет работать в одном и том же режиме. Свойство однородности времени позволяет сравнивать результаты опытов, проделанных в разное время.

Симметрия по отношению к повороту координатных осей, или свойство изотропности пространства, есть физическая эквивалентность разных направлений в пространстве. Она вырат жается в том, что в повернутой установке, агрегате, лаборато-« рии и т. д. все процессы протекают точно так же, как и до поворота. При этом повороту должно быть подвергнуто все, определяющее течение процесса.

Так, работа черно-белого телевизора не изменится от того, что он будет поставлен на бок. Однако если положить на бок открытый сосуд с водой, то вода из сосуда выльется. Неэквмва- лентность двух положений (вертикального и горизонтального), выражающаяся в том, что в одном случае вода в сосуде покоится, а в другом выливается, не свидетельствует об отсут- ствии изотропии пространства. Для воды в сосуде существенной является взаимная ориентация ускорения свободного падения g и боковых стенок сосуда (фактор, не существенный для те- левизора). Если одновременно с поворотом сосуда также

развернуть g (что, увы, не в наших силах!), то с водой ничего не случится.

Симметрия по отношению к переходу от покоя к состоянию равномерного и прямолинейного движения, или свойство галилеевской (нерелятивистские скорости) или лоренцевскои (релятивистские скорости) инвариантности, заключается в физической эквивалентности покоя и равномерного прямолинейного движения. В любой системе все происходит независимо от того, покоится система или движется равномерно и прямолинейно, если только переход от одного состояния к другому осуществляется со всем существенным окружением.

Так, любой опыт, проведенный в вагоне поезда на прямолинейном участке железной дороги, на котором скорость поезда постоянна, ничем не будет отличаться от такого же опыта, поставленного в лабораторном корпусе.

В этом месте нам придется принять на веру вывод, вытекающий из исходных положений квантовой механики:

Каждому преобразованию фундаментальной симметрии соответствует закон сохранения определенной физической величины.

Классическая механика является предельным случаем квантовой. Поэтому указанная связь законов сохранения с фундаментальной симметрией существует и в классической механике ).

Укажем для перечисленных выше симметрий соответствующие им законы сохранения.

Однородность пространства, т. е. симметрия по отношению к преобразованию сдвига [см. (1.16)],夕=产 + 小，приводит к закону сохранения импульса.

Закон сохранения импульса соблюдается только для изолированных систем. Действительно, если исследуемая система помещена во внешнее силовое поле, то для такой системы разные области пространства будут физически неэквивалентными. Внешнее поле в этих областях будет разным. Однако если исследуемую систему дополнить всеми физическими объектами, являющимися источниками воздействия на систему, то будет сохраняться импульс расширенной таким образом системы. Такая система уже «чувствует» фундаментальное свойство однородности пространства.

Отметим, что закон сохранения импульса может выполняться частично для неизолированных систем. Если внешние условия

однородны е каком-либо одном направлении, то будет сохраняться компонента импульса вдоль этого направления. Например (в пренебрежении сопротивлением воздуха), при полете камня сохраняется горизонтальная составляющая его импульса. Вертикальная компонента меняется, так как с высотой изме^ няется потенциальная энергия камня в поле тяготения Земли, которое по отношению к камню является внешним.

Однородность времени, т. е. симметрия по отношению к преобразованию f =片 + % [см. (1.16)], приводит к закону сохранения энергии. Этот закон выполняется для систем, нахо^ дящихся в неизменных во времени внешних условиях. Такие условия создаются только потенциальными внешними полями и называются стационарными.

Действительно, выбор начала отсчета времени несуществен, если только неизменны во времени внешние условия, в которых находится система. Приведем пример из школьного курса. Энергия частицы в поле тяготения 泻=賢^ + rngh сохраняется потому, что поле тяготения со временем не изменяется. Потен-< циальная энергия mgh зависит только от высоты частицы h над поверхностью Земли (т и и — масса и скорость частицы).

Изотропность пространства, т. е. симметрия по отношению к поворотам, т. е. к преобразованиям вида (1.17), приводит к закону сохранения момента импульса. За одним исключен нием (см. ниже), закон сохранения момента импульса соблюдается только для изолированных систем.

Момент импульса классической системы будет определен в § 3.4. Необходимость изолированности системы для сохранения ее момента импульса ——того же свойства, что и для сохранения ее импульса. Исключением, о котором упоминалось выше, является движение частицы или системы частиц в центрально-симметричном внешнем поле. Очевидно, что по отношению к такому силовому центру пространство будет изотропным. Поэтому момент импульса частицы или системы частиц в центральном силовом поле сохраняется.

Симметрия относительно перехода к движущейся системе отсчета, т. е. по отношению к преобразованиям Галилея в нерелятивистском случае и по отношению к преобразованиям Лоренца в релятивистском, приводит к закону сохранения центра инерции. Он выполняется только для изолированных систем. Справедливость этого закона была установлена в § 2.2 на примере системы нерелятивистских частиц.

Напомним весьма существенное обстоятельство: закона сохранения им* пульса недостаточно для обоснования закона сохранения центра инерции. Необходимо знать связь между импульсом и скоростью. Эта связь устанавлн-

92 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ {ГЛ 3 вается только с привлечением требований галилеевской (нерелятивистские движения) или лоренцевской (релятивистские движения) инвариантности, т. е. с использованием фундаментальной симметрии относительно переходов от состояния покоя к равномерному прямолинейному движению.

Отметим, наконец, что

для изолированной системы выполняются все перечисленные выше законы сохранения, что является следствием принципа относительности.

Действительно, изолированная система《чувствует》все виды фундаментальной симметрии. Это означает независимость ее свойств от выбора инерциальной системы отсчета, т. е. эквивалентность всех инерциальных систем, провозглашаемую принципом относительности.

Важным является вопрос о зависимости сохраняющихся величин друг от друга и от иных переменных. Вид этих зависимостей во многих случаях определяется на основе исходных положений квантовой механики ). Ряд зависимостей будет выявлен в следующих параграфах. Здесь мы сформулируем один из важнейших выводов квантовой теории, который также придется принять без доказательства.

Энергия любой изолированной системы 若 зависит от ее импульса Р = {Рх, /\, /\} таким образом, что между 鋁，Р и скоростью центра инерции системы V = {匕，％,匕} существует универсальная связь:

昨咐(3.1)

Однако в классической механике (3.1) выполняется не только для изолированных систем. В этом мы убедимся в § 3.3.

Закон сохранения импульса в классической механике

Проиллюстрируем связь однородности пространства с законом сохранения импульса в области применимости классического понятия механического состояния, т. е. в классической механике. Для упрощения вычислений ограничимся рассмотрением изолированной системы двух частиц, способных перемет щаться только в одном х-направлении. Обозначим их координаты через %i и %2, а потенциальную энергию их взаимодействия через U(%i,%2)・ Однородность пространства выражается в том, что при изменении координат частиц на одну и ту же величину xQ = const (рис. 3.1) потенциальная энергия U(%i, х2) не

изменяется:

и U1 + %0； %2 + %0)= U (%1, %2)・

При любой функции U это равенство возможно только в том случае, если U зависит не от двух переменных %i и %2 порознь, а только от их разности х = 修 一电

и (%1, %2)= U(%1 — %2)= U (%)・

При этом условии силы, действующие на каждую частицу, соответственно равны

口dU (%i, х2)dU (х)dU (x) dxdU

12 -0%1 一 dx 0%1 dx '

尸 — dU (%ь х2) — dU (%) — — GU (%) дк — dU 21 —d%2—0%2ох дх2 дх

Мы получили не что иное, как третий закон Ньютона:尸恵― =—尸2i・ Складывая теперь уравнения движения частиц

dp1 "П —"

k =-^-=尸21 — 一尸⑵

где pi и p2 — импульсы частиц, получаем:

嗡十樂=方(Pi + Р2)= 0・

Следовательно, полный импульс системы Р = р、+ р? сохраняется,

尸=Pi + Р2 = const *).

Это соотношение показывает, что импульс аддитивен.

гк^>1 I

—04——о«J—

0弓*2?2Z, +与 T2 +%;

Рис. 3.1.

Это свойство выполняется для системы произвольного числа N нерелятивистских частиц: сохраняющийся импульс равен сумме импульсов частиц системы,

N

Р==Р1 + ・・・ + PN=X pi = const.(3.2)

Отметим, что в такой формулировке закон сохранения импульса справедлив и в квантовой области. Формулировка закона сохранения импульса претерпевает изменение лишь в тех случаях, когда существенной частью физической системы оказывается поле. В этих случаях сохраняется только суммарный импульс частиц и поля. Сумма импульсов одних только частиц постоянной во времени уже не является. Это наблюдается, например, в системах, в состав которых входят электрические заряды. Известно, что заряды могут излучать электромагнитные волны и в свою очередь испытывать действие со стороны таких волн. В этих случаях необходимо учитывать импульс электромагнитного поля, переносимый электромагнитными волнами. Импульс поля будет рассмотрен в следующем томе курса.

В некоторых случаях закон сохранения (3.2) справедлив и в релятивистской области: суммарный импульс изолированной системы релятивистских частиц сохраняется в состояниях, в которых частицы очень удалены друг от друга. Причина ясна: на большом расстоянии частицы перестают взаимодействовать и становятся свободными. Поле — переносчик взаимодействия —■ исчезает. Такие состояния реализуются, например, при осуществлении ядерных реакций. Ядерными называются реакции, возникающие при столкновении атомных ядер и элементарных частиц. Состояния, к которым можно применять законы сохранения импульса в форме (3.2),——это состояния частиц задолго до и спустя много времени после столкновения. Эти состояния принято называть асимптотическими.

Важным обстоятельством является следующее:

Универсальной формулы для импульса, пригодной во всех случаях, не существует.

Так, в нерелятивистской теории импульс частицы р выражается через ее скорость z и массу m по формуле р = mv. Импульс р релятивистской частицы зависит от ее скорости уже по иному закону:

Р = —

Рассмотрим еще примеры. Бесконечный (т. е., разумеется, достаточно большой!) идеально выращенный монокристалл часто в хорошем приближении можно считать однородной средой, в которой могут свободно двигаться электроны проводимости, а также различные, как их называют, квазичастицы. Типичным примером квазичастицы является квант звука ——фонон. Физическую сущность квазичастиц мы объясним в томе III, поскольку для этого необходимы квантовые представления. Однако

мощь современного подхода к законам сохранения проявляется в том, что многие свойства квазичастиц можно понять, даже не зная, как они устроены. Из-за строгой периодичности кристалл переходит сам в себя при смещении на любое расстояние, кратное периоду решетки. Поскольку период решетки очень мал (порядка 10~10 м), то кристалл «почти» однороден относительно пространственных смещений. Это означает, что как электроны проводимости, так и квазичастицы обладают «почти» сохраняющимися импульсами. Но движущийся кристалл явно физически не эквивалентен покоящемуся. Поэтому уравнения движения для электронов проводимости и квазичастиц не инвариантны относительно преобразований Галилея. А это означает, что импульс свободной частицы внутри кристалла не обязан иметь привычный вид; и действительно, импульс фонона вообще не зависит от абсолютной величины скорости. Импульс же электрона проводимости р во многих металлах имеет форму, похожую на (2.3):

р = m*v,(3.3)

но величина т*, называемая эффективной массой электрона, может быть даже отрицательной, а по абсолютному значению может отличаться от массы свободного электрона на порядок и более в обе стороны.

《Почти》сохранение импульса для частиц в кристалле проявляется в том, что отдельные столкновения сопровождаются процессами 《переброса》 части импульса от частиц кристаллу в целом или наоборот. При этом величина перебрасываемого импульса является строго определенной и зависит только от геометрических характеристик кристаллической структуры.

Закон сохранения энергии в классической механике

Рассмотрим систему ^ классических частиц, находящуюся в стационарных внешних условиях. Ее состояние определим заданием положений 门,...,rN и импульсов pi,..・,р^ всех частиц. Следовательно, от этих переменных зависит энергия системы: / =冒(门，...,Yn； pi, •••, Pn)・ В аналитической механике и теоретической физике энергия как функция координат и импульсов называется функцией Гамильтона. Обычно функция Гамильтона обозначаётся через Н, В этом томе такое обозна^ чение использоваться не будет.

В отношении энергии справедливо следующее замечательное утверждение:

Задание энергии как функции координат и импульсов частиц полностью определяет динамику системы. При этом уравнения

4 А. В< Астахов

движения имеют б〃0:

dx.

d器

dy.

筋

。鋁

R =

(3.4)

山

3歩 dq

dPtu

=—

а/

也=_ dt 一

d冒

(3.5)

/=1, 2, ..., М

и в этом виде называются уравнениями Гамильтона,

Разъясним математический смысл функции и уравнений Гамильтона. Энергия 吝 частиц зависит от 6% переменных

*1，外，勺；•“•； "n，У2 之兩 P\x' Ply' ^1г* * * ** Pnx‘ Pn『Pn%‘

т. e. является функцией многих переменных. По каждой переменной ее можно дифференцировать. Каждая из производных снова будет функцией координат и импульсов частиц. Эти функции как раз и стоят в правых частях равенств (3 4) и (3,5). Теперь вспомним, что координаты и импульсы сами являются функциями времени. Их можно дифференцировать по времени. Эти производные стоят в левых частях равенств (3.4) и (3.5). Из сказанного следует, что, во-первых, энергия является сложной функцией времени. Во-вторых, производные по времени переменных, от которых зависит энергия, выражаются через некоторые функции тех же переменных. Это означает, что уравнения (3.4) и (3 5) являются дифференциальными уравнениями первого порядка относи- юльно неизвестных

*1，91，汨•♦•； x^^ ^^» 之炉 ％%，％夕 Plz； •…；Pnx、Pnt Pnz。

Уравнения Гамильтона приводят к закону сохранения энер- гии. Чтобы избежать излишних вычислений, убедимся в этом на примере системы двух классических частиц, находящихся в стационарных внешних условиях и способных перемещаться только в х-направлении. Тогда радиус-векторы и импульсы ча^ стнц имеют отличными от нуля только х-компоненты:

h = 3,0,0}； pi = {plx, 0, 0); /== 1, 2.

Следовательно, в этом случае функция Гамильтона зависит всего от четырех переменных:

冒=醫(%1, x2; pg出)。

Продифференцируем эту функцию по времени. По правилу дифференцирования сложной функции

d/ —彦 dx\ J d 醫 d%? I 幅 dpi 尤 J d^ dp^xdt 一 d.q ~Й * dx2 ~27 dpiX dt* d〃％ df

Легко видеть, что правая часть (3.6) обращается в пуль, и, следовательно, энергия сохраняется, если справедливы уравнения Гамильтона. Для рассматриваемой системы они имеют вид dx\ _潴dx2_潴.

др\х *必—Gp2K，

dp】％ —d 冒dp2K—d/

dt —0%i * dt一0%2

и обращают в нуль сумму членов в правой части (3.6).

Теперь легко понять физический смысл уравнений Гамильтона. Уравнения (3.4) дают выражения скоростей через координаты и импульсы частиц. Уравнения же (3.5)——просто уравнения Ньютона, причем для сил, действующих на соответствующие частицы, из сравнения уравнений (3.5) и (2.18) получаем:

Л(/*1, rN\ рь pyV) = | —^―, — ~^p —五卜(3.7)

Возникает вопрос, что нового дает гамильтонова форма классической механики? Уравнения Гамильтона содержат большую информацию о физической системе, чем уравнения движения Ньютона. В частности, из факта существования функции Гамильтона можно получить приведенную в начале этой главы связь между законами сохранения и симметрией пространства—— времени. Не имея возможности остановиться на этих глубоких вопросах, поясним отличие ньютоновской формулировки от гамильтоновой на примере уравнения движения частицы, перемещающейся вертикально внутри жидкости. Направим ось z системы отсчета по вертикали. Тогда уравнение движения Ньютона запишется в виде:

В правой части записаны сила тяжести и сила сопротивления Стокса. Но не зависящей явно от времени функции Гамильтона, приводящей к такому уравнению, просто не существует! Это видно уже из того, что энергия частицы не сохраняется, так как действует сила трения. В результате ее действия механическая энергия частицы превращается в тепло. Таким образом, гамильтонов метод, в отличие от ньютоновского, «чувствует» коренное отличие силы сопротивления среды от силы тяжести и ей подобных.

Наконец, отметим (и это крайне важно), что уравнения Гамильтона допускают обобщение на квантовые движения. Причина заключается в том, что сила является классической величиной, не имеющей квантового аналога. Энергия, существование которой связано с однородностью времени, определяется и в

квантовом случае. Поэтому существует квантовый аналог клао сических уравнений движения в форме Гамильтона.

Определим, как зависит энергия классической системы от координат и импульсов составляющих систему частиц. Для этого воспользуемся уравнениями Гамильтона, выполнение ко- торых, как мы знаем, гарантирует сохранение энергии.

Рассмотрим изолированную систему, состоящую всего из одной частицы. Такая частица, очевидно, является свободной. Выберем систему отсчета так, чтобы частица перемещалась только вдоль оси %. Это означает, что радиус-вектор частицы у = {х, 0, 0}, а ее импульс р == {рх, 0, 0}. Уравнения Гамильтона в данном случае имеют вид

(3.8)(3.9)(3.8)(3.9)_儲

(3.8)

(3.9)

(3.8)

(3.9)

dt — dpx *

dpx _ d 苏

dtдх

где 咨——функция Гамильтона частицы. Импульс свободной частицы сохраняется: dpjdt = 0. Тогда из (3.9) находим, что dS/дх = 0, т. е. энергия свободной частицы от ее положения не зависит:罟=/ (рх).

Рассмотрим теперь уравнение (3.8) [отметим, что оно яв- ляется частным случаем общего закона (3.1)]. Предположим, что частица может двигаться с любой скоростью, в том числе и с близкой к скорости света с. Поэтому воспользуемся релятивистским соотношением между скоростью частицы 5c = dx/dt и импульсом рх = ―—~. Из этого равенства путем про-»

стых преобразований находим:

dx Р/

Подставляя это выражение в (3.8), получаем уравнение

d^ ркС

V^+pT*

Записывая его в виде d若=-^?吗曜? и интегрируя, полу^ чаем: 器=а + с д/р^ 十/и2c2, где а — постоянная интегрировав ния. Обычно ее полагают равной нулю, чем просто фиксируют, начало отсчета по шкале энергий. Замечая также, что в рассмотренной задаче р = {рх, 0, 0}, окончательный результат

представим следующим образом:

齒(р) = с д/р? + 病怔・(3.10)

В таком виде, в котором под р следует понимать абсолютное значение импульса (Р2 = Р^ + Ру + PL где рх, ру, pz —компоненты импульса р), он справедлив для свободной частицы, движущейся в любом направлении. Формула (3.10) определяет энергию свободной релятивистской частицы.

Если масса частицы равна нулю, то в этом случае из (3.10)' следует, что

^ {р) = ср = с \ р\.(3.11)

Теперь легко проверить, что частица с m = 0 может двигаться только со скоростью света. Действительно, направим ось % системы отсчета по импульсу частицы. Тогда р = рх н / = срх. На основании уравнения Гамильтона (3.8) получаем:

dx О"” dt дрх

Полагая в (3.10) р = 0, находим, что энергия покоящейся частицы равна

尚(0) =瓦(3.12)

Энергия /о так и называется ——энергия покоя частицы. Разность

Т(р) = ^ (р) — /о = с “户 + 俏2c2 —瓦 (3.13) определяет энергию движения и называется кинетической энергией релятивистской частицы.

Найдем нерелятивистский предел функции Гамильтона (3.10). При малых скоростях движения v импульс р == mv. Поэтому первое слагаемое под радикалом в (3.10) намного меньше второго, ибо и《с. Представим функцию Гамильтона в виде:

为(р) = me2 V1 + (р/тс)2 = тс2 [1 + (р/тс)2]1/2

п воспользуемся разложением бинома Ньютона

(l+^_l+^+^ZJlX2+

Применив его к [1 +{plmc)2Y12, найдем:

/ (р) = тс2 Г1 + 4-— 4"4 + .. .1 •

L 2 т2c26 /п4 c4 » j

Так как р《тс, то в скобках можно пренебречь всеми членами, за исключением первых двух. Тогда находим:

/(Р)= 〃2С‘ +後.(3.14)

Формула (3.14) определяет энергию нерелятивистской свободной частицы. Величина

(3.15)(3.15)Т(Р)="£

(3.15)

(3.15)

называется кинетической энергией нерелятивистской частицы.

(3.16)(3.16)Найдем теперь энергию фонона. В предыдущем параграфе указывалось, что скорость фонона а постоянна и не зависит от его импульса. По величине она равна скорости звука и ориентирована в направлении его распространения. Выберем ось х в этом направлении и воспользуемся уравнением (3.8), положив в нем dx/dt = и = const. Тогда %器=и dpx. Интегрируя это уравнение, получим:

(3.16)

(3.16)

/ = ир% = и|р|,

так как в выбранной системе отсчета импульс фонона р = —{Рх, 0, 0}, причем рх = I р I.

Рассмотрим частицу, находящуюся в стационарных внешних условиях. Для простоты ограничимся случаем, когда сила внешнего поля, действующая на частицу, ориентирована в одном направлении и движение также происходит только в этом направлении. Назовем его х-направлением. Обозначим потенциальную энергию частицы во внешнем поле через 〃(％). Уравнениями движения частицы являются уравнения Гамильтона (3.8) и (3.9). В отличие от свободной частицы, импульс частицы в стационарных внешних условиях изменяется. Поэтому согласно (3.9) энергия частицы во внешнем поле зависит от координаты х частицы: / = /(尤,卩尤).Учитывая результаты, полученные в предыдущем пункте, а также связь силы, действующей на частицу, с потенциальной энергией,

== 一 W(%)

—dt — дх

прямой подстановкой легко убедиться, что уравнениям (3.8)' и (3.9) удовлетворяет функция Гамильтона

因(招也)e «或+m2c2 + U (x).

Если внешнее поле изменяется по всем трем направлениям в пространстве, т. е. 17= U(г), где г — радиус-вектор частицы, то в этом случае

冒=/(3 р) = с “^Г^7 十 и(г). (3.17)

Формула (3.17) определяет энергию релятивистской частицы во внешнем поле.

В нерелятивистском пределе

吝==/&, р) = т,2+ 爲+。⑺.(3.18)

Продифференцируем (3.18), например, по рх, учитывая при этом, что Р?=応 + % + 能.Получаем:

Это равенство ——частный случай закона (3.1). Мы видим, что он выполняется не только для свободной частицы.

Обобщением, формулы (3.18) на систему произвольного числа N нерелятивистских взаимодействующих частиц с массами 加】,...,团双 является функция Гамильтона

NN ?

器=3 (门，・• •，尸档 Pi, •・•，Pn) = ^ md + £ 蔡 +

+ ^ (^i,^^)•(3.19)

Выражение (3.19) определяет энергиьо системы ^ взаимодей^ ствующих нерелятивистских частиц. В нем U6, ..., rN)——потенциальная энергия взаимодействия частиц друг с другом и с внешним полем. Первое и второе слагаемые в правой части (3.19) определяют соответственно суммарную энергию покоя и суммарную кинетическую энергию частиц системы. Проверку сохранения величины (3.19) мы оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Отметим, что энергия взаимодействующих частиц не аддитивна. Свойство аддитивности нарушается из-за присутствия в (3.19) потенциальной энергии U. Последняя при наличии взаимодействия частиц не может быть представлена суммой членов, каждый из которых характеризует только одну частицу. Так, при 2 = 2

u^uir^ ^-ajrO + ^C^ + ^^b r2).

Слагаемые(Л6) (i=l, 2) определяют потенциальные энергии частиц во внешнем поле, а член Ui2(Fi,尸2)—энергию их взаимодействия друг с другом, которая зависит от состояния сразу двух частиц.

Часто энергию выражают не как функцию импульсов, а через скорости. Подставляя в (3.10) p = nwl7 I — v21c\ получим выражение для энергии свободной релятивистской частицы:

V1 — b/c“

Отсюда, кстати, следует, что импульс частицы представим в виде

Р = *и・(3.21)

Кинетическая энергия релятивистской частицы равна

T(°)= /[VT^T]・(3.22)

Для нерелятивистской частицы

冒(?)=团廿 + 粤，т ® =等•(3.23)

Для релятивистской и нерелятивистской частицы в стационарных внешних условиях, соответственно,

冒=游 6 и) =+ U (г),(3.24)

醫=з(匕 u) = me2+ 喂+и⑺.(3.25)

Для системы нерелятивистских частиц

匿=冒(门，・・•，5； Ui,・・・，Un) = Е 加炉 +

N mv2

+ >+ U (门,…，rn)・ (3.26)

Так как составной частью энергии системы является потеин циальная энергия взаимодействия составляющих систему частиц, то ясно, что энергия измеряется в джоулях (в СГС—- в эргах).

В заключение отметим, что в тех случаях, когда существен- ной составной частью системы оказывается поле (например, системы релятивистских взаимодействующих частиц), энергию уже нельзя рассматривать как функцию определенного ранее механического состояния. Необходимо учитывать энергию поля. Вопрос об энергии электромагнитного поля будет рассмотрен в следующем томе курса.

Одним из важных приложений закона сохранения энергии является вопрос о границах движения нерелятивистской частицы в потенциальном поле. Он решается с помощью (3.25). Опу^ стим в (3.25) энергию покоя тс2. Это означает, что начало о『 счета энергии выбирается на уровне 罟。=тс?. Так как кине-*

тическая энергия частицы V2^v2 ^ 0, то во всех точках, в которых частица может находиться,

[/&)《/ = const. (3.27)

Следовательно, если в некоторой области значение потенциальной энергии превосходит величину 齒，то эта область оказывается 《запретной》для частицы. В частности, если полная энергия 齒 меньше значения потенциальной энергии частицы в очень удаленных областях пространства, то частица может перемещаться только в ограниченной области.

Движение частицы в ограниченной области называется финитным. Если частица способна удаляться на любое, сколь угодно большое расстояние от начала системы отсчета, то движение частицы называется инфинитным. Примером финитного движения является движение планет Солнечной системы. Инфинитным является движение заряда в поле другого заряда того же знака.

Отметим, что правило запрета, о котором мы только что говорили, действует только в классической механике. В квантовой механике, как будет показано в томе III, частица может проникать сквозь области, «запретные^ по классическим представлениям.

Рассмотрим некоторые свойства финитного движения на примере одномерного движения частицы в потенциальном поле. Направление движения будем считать х-направлением. Пусть график функции U(х) имеет вид, изображенный на рис. 3.2<

Такая кривая потенциальной энергии обычно называется потенциальной ямой. Это название связано с тем, что, как будет показано ниже, при некоторых условиях частица с такой потен- циальной энергией ограничена в перемещении. Она оказывается словно попавшей в яму.

Предположим, что полная энергия частицы отрицательна и равна 疗1Vo (рис. 3.2). В этом случае неравенство (3.27) выполняется лишь на отрезке между точками % = а и х — Ь.

Поэтому частица все время будет находиться внутри потенциальной ямы и ее движение будет финитным. Кроме того, оно будет повторяться во времени, т. е. будет периодическим. Точки о и 6, в которых выполняется равенство U = /i, задают границы движения. Они называются точками поворота. Графически эти точки определяются координатами мест пересечения горизонтальной прямой ^] = const с графиком функции U (х){ (рис. 3.2). Их положение задают корни уравнения U(%) = ^i. В точке поворота, например в точке а,

畠= (7(а) =萼+ и(а).

Следовательно, в точках поворота скорость частицы и обращается в нуль.

Если изменить полную энергию частицы, то прямая, изображающая закон сохранения энергии 罟=const, либо опустится, либо поднимется. Поэтому изменятся точки пересечения этой прямой с графиком функции U(x), т. е. изменятся точки поворота. Следовательно, размер области, в которой движется частица, зависит от значения ее полной энергии. В частности, если окажется, что ё =药2 > 0 (рис. 3.2), то,движение частицы станет инфинитным.

Особого внимания заслуживает точка с (рис. 3.2). В ней потенциальная энергия частицы минимальна. Поскольку действующая на частицу сила равна —dU/dxf то в точке с сила

равна нулю, а при смещении частицы и влево, и вправо от точки с частица испытывает действие возвращающей силы F = = —dU/dx, Поэтому точка минимума потенциальной энергии определяет положение устойчивого равновесия частицы.

Рассмотрим рис. 3.3. Потенциальная яма, расположенная между точками 例 и 仇，отделена здесь от правой части рисунка

горбом функции U (х), который обычно называют потенциальным барьером. Поэтому движение частицы с полной энергией 齒 1 внутри потенциальной ямы будет финитным с точками поворота Qi и &ь Однако если частицу перенести правее барьера, то ее движение станет инфинитным с единственной точкой поворота &2- С другой стороны, движение частицы, обладающей полной энергией 格2 (рис. 3.3), является инфинитным во всей области от。2 до 4-оо. Точка s представляет собой точку устойчивого равновесия. Отметим, что в точке С2, где потенциальная энергия U(x) максимальна, действующая на частицу сила также равна нулю. Однако при смещении из точки。2 появляется сила F = —dU]dx (рис. 3.3), стремящаяся еще дальше отодвинуть частицу. Поэтому & называется точкой неустойчивого равней весия.

Поскольку энергия любого тела включает энергию покоя, то любое уменьшение массы должно сопровождаться выделением энергии. Оценим порядок величины энерговыделения.

Определим, например, энергию покоя одного грамма вещества. По определению она равна

1 г X Ю17 м2/сек2 = 10~3 кг X Ю17 м2/сек2 = 1014 Дж

(1017 м2/сек2 — это порядок квадрата скорости света с2). Энергии в 1014 Дж достаточно, чтобы поднять груз в десять миллионов тонн на высоту около одного километра! Как показывает эта оценка, вещество содержит огромные запасы энергии.

Существуют процессы, в которых часть этой энергии выделяется. К их числу относятся, например, некоторые ядерные превращения. Одним из них является распад ядер изотопа урана U235, активированных медленными нейтронами (энергия од1T ного нейтрона составляет величину около 4-10-21 Дж). Уран-235 является ядерным топливом в атомных реакторах. Эта способность активированных ядер U235 обусловлена тем, что суммарная масса продуктов распада каждого ядра меньше массы ядра. Поэтому часть энергии покоя ядра превращается в энергию движения продуктов распада. Действительно, пусть до распада ядро покоилось и его масса равна т. Обозначим массы продуктов распада через mi и 從.Разность

Ат == т! + т2 — т (3.28)

называется дефектом массы. Для рассматриваемого превраще-* ния она отрицательна: Am V 0. Полная энергия до распада совпадала с энергией покоя ядра тс2. После распада эта же энергия (энергия сохраняется!) перераспределяется следующим образом. Часть ее, равная т\С2 + т2с2, составляет энергию покоя продуктов распада. Так как Mi ＜； 0, то должна

выделяться еще положительная энергия А歩.Она реализуется в виде кинетической энергии разлетевшихся продуктов распада.

Существуют и обратные процессы, в которых кинетическая энергия частиц превращается в энергию покоя. К таким процессам относятся реакции рождения элементарных частиц, которые часто встречаются в ядерной физике. Например, при столкновении протона и нейтрона помимо исходных частиц может образоваться еще и новая частица, например, положительно заряженный пион. При этом появляется дополнительная масса покоя ——масса пиона. Следовательно, энергия покоя продуктов реакции оказывается больше энергии покоя исходных частиц. Это увеличение идет за счет уменьшения кинетической энергии: кинетическая энергия исходных частиц оказывается больше кинетической энергии продуктов реакции на энергию покоя пиона.

Мы уже отмечали, что при действии сил трения механическая энергия тел не сохраняется. Говорят, что силы трения не гамильтоновы. Однако это не означает, что мы сталкиваемся с нарушением закона сохранения энергии. Специфика систем с трением заключается в том, что в них всегда выделяется тепло. В таких системах механическое движение тел и тепловое движение составляющих тела частиц не являются независимыми. При этом механическая энергия упорядоченного движения тел, т. е. движения по строго определенным траекториям, необратимо превращается в энергию беспорядочного теплового движения. (Природа необратимости будет выяснена в § 10.4.) Таким образом, полной энергией любой замкнутой или находящейся в постоянном внешнем поле системы, между составными частями которой действуют силы трения, является сумма энергии механического и теплового движений, которая всегда сохраняется.

§ 3.4. Закон сохранения момента импульса в классической механике

В классической механике моментом импульса частицы на- зывается векторное произведение

l=［咽，(3.29)

где г и р — радиус-вектор частицы и ее импульс. Согласно опре^ делению момент импульса имеет размерность постоянной План^ ка力.

Рассмотрим свободную частицу. Это частный случай изолированной системы. Согласно закону сохранения момента для!

изолированной частицы £ = const. Проверим это. Дифференци** руя (3.29) по времени, получаем:

% =[黑P] +卜相]

Первое слагаемое в правой части равно нулю, так как ско* рость dr/dt и импульс р коллинеарны. Второе слагаемое рав^о нулю, поскольку сохраняется импульс изолированной частицы: dpldt = 0. Таким образом, dL/dt = 0 и £ действительно является постоянным вектором.

Если частица движется в силовом поле, то上票]=[咱拊 =7^=0, где F ——действующая на частицу сила. Величина

M = [rF](З.ЗЭ

называется моментом силы, действующей на частицу. Таким

(3.31)(3.31)образом, для несвободной частицы

(3.31)

(3.31)

dt

Из (3.30) и (3.31) вытекает сохранение момента импульса частицы в центральном поле. Действительно, в этом случае

сила коллинеарна радиус-вектору г. Следовательно,

^ = M=[rF] = 0.

Рассмотрим изолированную систему нескольких нерелятивистских вз а и модействующих друг с другом частиц. Для простоты ограничимся двумя частицами. Пусть U (гь г2) 一 потенциальная энергия взаимодействия частиц, где г^ = {%厶 у^, zj — радиус-векторы частиц (i=l, 2). Из однородности пространства следует, что U может зависеть только

пространства наклады- может быть функцией г. Только при условиипространства наклады- может быть функцией г. Только при условииот 尸=片 —— 尸2・ Свойство изотропности вает дополнительное ограничение: U

пространства наклады- может быть функцией г. Только при условии

пространства наклады- может быть функцией г. Только при условии

только абсолютного значения вектора

U = U{\г\ —尸2|) = U(r) потенциальная энергия не будет из-

меняться при поворотах системы как единого целого (рис. 3.4). Тогда силы, действующие на частицы, равны

Убедимся в этом. Найдем, например, х-компоненту силы 尸⑵ действующей на первую частицу со стороны второй:

Так как Г = N(/一打产+ (勿-勿尸 十(肖 一？2尸,то dr-—王

d%lM(打一%2)2 +(力一у6? + (?1 - ?2)2 Г，

где х = Xi —尤2 и определяет х-координату вектора г. Следовательно,

… еи X GU(г\ (尸由*=一方一 方 u丿/

Аналогичные равенства получатся для остальных компонент силы F^ а также компонент силы F2i, что и доказывает справедливость (3.32).

Согласно (3.30) моменты сил 尸 12 и 尸21 равны:

m=上倒2]=一；參["】，

M2 = [r2F2i] = ^[r2r].

Складывая эти равенства, находим:

м. + м2 =м. + м2 =I■參{卜甘］一卜2r!}=I■參{卜甘］一卜2r!}=1 GU1 GUдгдг["]=0.["]=0.

м. + м2 =

м. + м2 =

I■參{卜甘］一卜2r!}=

I■參{卜甘］一卜2r!}=

1 GU

1 GU

дг

дг

["]=0.

["]=0.

С другой стороны,С другой стороны,частиц. Ре-частиц. Ре-(3.33)(3.33)

С другой стороны,

С другой стороны,

частиц. Ре-

частиц. Ре-

(3.33)

(3.33)

»< 1 n* dL\ I dL? dL

M + M2=m + b = r

где L — Li J- £2, a Li и £2 ——моменты импульсов зультат таков:

,器=6

т. е. суммарный момент со временем не меняется, L ^^ 七1 + 七2=== const.

Это и есть закон сохранения момента импульса для изо-* лированной системы двух взаимодействующих нерелятивистт ских частиц. Соотношение (3.33) указывает также, что момент импульса является аддитивной величиной.

Эти свойства справедливы для изолированной системы лю» бого числа N нерелятивистских частиц. Момент импульса из。-

лированной системы нерелятивистских частиц р. вен сумме моментов импульсов частиц и сохраняется:

七=厶+・・・+加=Z厶=const. (3.34)

Как и закон сохранения импульса, закон (3.34) справедлив лишь в нерелятивистской области и для систем невзаимодействующих релятивистских частиц.

Предположим, что система частиц не является изолированной. Обозначим через 尸？ силу внешнего поля, действующую на частицу системы с номером l Суммарный момент импульса L системы во внешнем поле не сохраняется. При этом

牛 T®、= t*g(3・35)

где

м = 2 "j(3.36)

i=i

——суммарный момент только внешних сил (г^ где i= 1, 2,...

...,乂, обозначают радиус-векторы частиц системы). Суммарный момент внутренних сил взаимодействия частиц друг с другом равен нулю. В противном случае при 尸？ = 0 (г — 1, 2,

...,^), т. е. для изолированной системы, dL/dt ^ 0, что противоречит закону сохранения момента.

Момент импульса обладает важным свойством:

Момент импульса в целом покоящейся системы может быть отличен от нуля. Момент импульса при нулевом значении полного импульса системы называется собственным.

Собственный момент обозначим через S. Полный момент связан с собственным так:

L=[RP] + S,(3.37)

где R ——радиус-вектор центра инерции системы, а Р — ее суммарный импульс. Первое слагаемое в правой части (3.37) определяет момент импульса, обусловленный движением системы как единого целого. В системе отсчета, в которой начало координат находится в центре инерции, имеем R = 0 и Р = 0. Следовательно, в этой системе L = S.

Убедимся в существовании собственного момента на примере системы двух частиц. В этом случае

£ = £j + ^2 ~ lr 1Р1] + 卜2P2】・

Перейдем в систему отсчета, в которой центр инерции системы частиц покоится и в которой, как уже установлено ранее, L = S.

В этой системе 他=—pi・ Поэтому

S = [pi (门一r2)] #= 0.

Хорошо всем знакомой системой, обладающей собственным моментом, является волчок, вращающийся на одном месте (рис. 3.5).

Рис. 3.5.Рис. 3.5.Физический смысл выделения из полного момента импульса собственного момента состоит в следующем. Момент [RP] характеризует поступательное движение системы. Собственный момент с поступательным движением не связан и является характеристикой происходящих в системе вращений.

Рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Замечательно, что собственный момент изолированной системы всегда сохраняется. Действительно, импульс изолированной системы сохраняется: Р = const. Поэтому

糸 №]=[嘗 Р] = [УР] = 0,

поскольку скорость центра инерции У и импульс Р коллинеарны. Следовательно, [RP]—

и const. Так как полный момент L тоже сохраняется, то сохраняется и собственный момент S.

Найдем уравнение, определяющее изменение собственного момента системы, на которую действуют внешние силы. Из (3.37) с учетом коллинеарности векторов dRIdt = V и Р следует, что

矍=*一条便吁告-篇耳-[r圖=券十圖・

Пользуясь уравнением поступательного движения системы (2.11), находим:

Так как 尸=2 尸八 то на основании (3.35) и (3.36)

^f N 飞 N

穿=1＞匐一R2吊(3・38)

Выражение“

—R)Fj](3.39)

рпределяет суммарный момент внешних сил в системе отсчета, начало которой находится в центре инерции системы^ или. как

говорят, относительно центра инерции. На рис. 3.6 эта система изображена пунктиром. Следовательно,

(3.40)(3.40)dS

(3.40)

(3.40)

В заключение отметим, что не только система частиц, но и отдельные частицы могут обладать собственным моментом. Соб- частиц называется спином. Так,В заключение отметим, что не только система частиц, но и отдельные частицы могут обладать собственным моментом. Соб- частиц называется спином. Так,F = Ms・

В заключение отметим, что не только система частиц, но и отдельные частицы могут обладать собственным моментом. Соб- частиц называется спином. Так,

В заключение отметим, что не только система частиц, но и отдельные частицы могут обладать собственным моментом. Соб- частиц называется спином. Так,

Рис. 3.6.Рис. 3.6.ственный момент элементарных абсолютное значение спина электрона, протона, нейтрона равно -^― Л, где Й ——постоянная Планка. Природа спина квантовая, на что указывает пропорциональность спина 九 В рамках классических представлений существование спина объяснить нельзя. Действительно, для одной частицы ее радиус-вектор и радиус-век-

Рис. 3.6.

Рис. 3.6.

тор центра инерции ——это одно и то же, а импульс центра пнер- ции есть просто импульс частицы. Поэтому в этом случае L =* =[RP] и, следовательно, S = 0.

На этом закончено рассмотрение наиболее общих представлений механики. Областью применимости некоторых из них (второй закон Ньютона, зависимости между различными величинами, например, между импульсом и скоростью, между энергией и импульсами и координатами частиц и т. д.) является классическая физика. Другие же (принцип относительности, за^ коны сохранения) справедливы и в квантовой области. В еле- дующих главах будет показано, как развитые представления позволяют проанализировать свойства некоторых систем, представляющих непосредственный практический интерес. Главным Образом будут рассмотрены классические движения. Однако ряд вопросов (гл. 5 «Столкновения») выходят за рамки классической физики,,

ГЛАВА 4

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В РАЗЛИЧНЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЯХ

Движение заряженной частицы в электромагнитном поле

1・ Согласно § 2.3 при применении единиц измерения СИ движение классической заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле обусловлено силой Лоренца (2.22а). Поэтому оно описывается уравнением движения

需=* + 巾5]. (4.1)

В общем случае поля Е и В могут зависеть от координат точки пространства и от времени. Практически уравнение (4.1) используется только в применении к элементарным заряженным частицам и к некоторым ядрам и ионам.

Движения заряженных частиц в электромагнитных полях носят разнообразный характер в зависимости от вида полей Е, В, а также от начального состояния движения частиц. Закон действия силы Лоренца таков, что работу может производить только электрическая компонента силы. Магнитная компонента работы не производит. Таким образом, электрическое поле способно увеличивать или уменьшать абсолютное значение скорости движения, а магнитная сила влияет лишь на направление скорости. Эти свойства широко используются. Так, электрические поля применяют для ускорения и замедления заряженных частиц в ускорителях. При этом управление направлением движения частиц осуществляется с помощью магнитного поля.

Ниже мы рассмотрим закономерности движения частиц в электромагнитном поле наиболее простого вида. Будем считать поле, во-первых, постоянным во времени и, во-вторых, однородным, т. е. одинаковым во всей области пространства, в которой движется частица. Все это выражается такими равенствамиз £ = const и В = const. Электрическое поле, однородное с высокой точностью, можно создать, например, с помощью плоского конденсатора, а однородное поле В реализуется в катуш-.

ке постоянного тока (рис. 4.1). Если отношение расстояния между пластинами d к их линейному размеру /, а также отношение радиуса витков катушки г к ее длине I будут намного меньше единицы, то в центральных областях этих устройств поля будут однородными с точностями, соответственно, d/l и 〃厶

Плоскость, в которой лежитПлоскость, в которой лежитV I+ + + + ,:二 + 丁 + + + 亠 + j q £ I 3 3 wV I+ + + + ,:二 + 丁 + + + 亠 + j q £ I 3 3 wРассмотрим движение заряженной частицы в однородном электрическом поле. В таком поле траектория частицы является кривой, которая целиком может быть расположена в некоторой плоскости (плоская траектория), траектория, проходит через вектор начального импульса частицы и вектор Е.

Плоскость, в которой лежит

Плоскость, в которой лежит

V I+ + + + ,:二 + 丁 + + + 亠 + j q £ I 3 3 w

V I+ + + + ,:二 + 丁 + + + 亠 + j q £ I 3 3 w

Действительно, при 3 = 0 уравнение движения (4.1) имеет вид

% = qE・ (4.2)

八вРис. 4.1.八вРис. 4.1.Так как Е ——постоянный вектор, то за любой промежуток времени dt импульс частицы получает приращение dp, лежащее в пло

八в

Рис. 4.1.

八в

Рис. 4.1.

скости, в которой находятся вектор Е и импульс частицы в момент начала отсчета времени df. Следовательно, частица движется в плоскости, ориентация которой в пространстве определяется направлением поля Е и направлением движения частицы в начальный момент времени.

Выберем систему отсчета так, чтобы траектория частицы лежала в координатной плоскости ху, а по оси у было направлено поле Е = {0, £, 0}. Начальный импульс частицы в этой системе будет равен р0 =仇》, ро〃，0}. Кроме того, начало отсчета выберем так, чтобы в начальный момент времени 才=0 частица находилась в начале координат: г(0) = {0, 0, 0} = 0.

В компонентах уравнение (4.2) имеет такой вид:

Так как £ = const, то

厶(')=& = const, ру (/) = qEt + С2.

Постоянные Ci и С2 определяются из начальных условий:

Рх (0) — Рох — ^li Ру (0) = Роу = С*2.

Следовательно, решение уравнений (4.3) имеет вид

Рх (0 = Рох, Ру (0 = qEt 十 Рм・(4.4)

В нерелятивистском случае

Рх(0 =加％ ⑺=加 ^р*.&⑴=mvy (f)=俏^^.

где m — масса частицы, v = {vx, vyf 0} — ее скорость, а %(/) и у (/)—координаты частицы в момент времени f. Поэтому (4.4) определяет систему дифференциальных уравнений относительно искомых функций %(/) и у(/):

团_^^ = %%, tn^^ = qEt + %g・(4.5)

Ее решенне, удовлетворяющее начальному условию г(0) = 0, определяется соотношениями

%(/) =畑厶у〃)=喧(4.6)

'丿 т ‘' ) tn 2 1 in、丿

Проанализируем это решение. Если рОх = 0, т. е. если в начальный момент частица перемещается в направлении поля Е,

то это направление ее движения сохранится и во все последую

щие моменты: x(f) = O при рОх = 0. Следовательно, в этом случае частица будет перемещаться по прямой вдоль оси у. Если же “к =И= 0, то, исключив

2臘2臘也%.Рох也%.Рохиз (4.6) время 玄 получим уравнение траектории

2臘

2臘

也%.

Рох

也%.

Рох

Графиком такой зависимости является парабола. Оба случая (рох = 0 и Рох ¥= 0) изображены на рис. 4.2.

Остановимся подробнее на случае р0 = 0, когда в начальный момент времени частица покоится в начале

координат. В этом случае она будет двигаться вдоль оси у. При этом из (4.4) следует, что 即(/)= qEt、или

%«)==嗚九(4.7)

Таким образом, скорость частицы будет неограниченно возт растать со временем. Мы знаем, однако, что скоростей, превьь шающих % не существует. Это означает, что зависимостью (4.7) можно пользоваться только до тех пор, пока 少沙(/)《с, т. е. до моментов времени f《mc/qE. При рассмотрении движения на

временах большей длительности необходимо применять релятивистские законы. В релятивистской механике

& "1-吟/У '& "1-吟/У 'если Рох = Род = 0・если Рох = Род = 0・

& "1-吟/У '

& "1-吟/У '

если Рох = Род = 0・

если Рох = Род = 0・

В этом случае из (4.4) получаем:

Отсюда находим:Отсюда находим:V1 + (qEt/mc)2 V1 + (mc/qEt)2V1 + (qEt/mc)2 V1 + (mc/qEt)2(4.8)(4.8)

Отсюда находим:

Отсюда находим:

V1 + (qEt/mc)2 V1 + (mc/qEt)2

V1 + (qEt/mc)2 V1 + (mc/qEt)2

(4.8)

(4.8)

Мы видим, что скорость частицы по-прежнему возрастает. Однако, в отличие от скорости (4.7), она никогда не превосходит с, поскольку корень в знаменателе (4.8) все время остается больше единицы. Этот результат согласуется с требованиями теории относительности. Зависимость скорости частицы от времени для случая ро = 0 изображена на рис. 4.3.

Вычислим расстояние уг, на котором покоящаяся вначале релятивистская частица приобретает заданную кинетическую Энергию Т. Воспользуемся законом сохранения энергии. Постоянной силе qE соответствует потенциальная энергия частицы

U = -qEy.(4.9)

Поэтому полная энергия частицы в однородном электрическом поле равна

0 = / 二一=-十 U =—尸==：=.『qEy = const.

V 1 — V2/C2V1 — J2/c2

Значение константы можно определить из начальных условий. По предположению в начальный момент времени частица

покоилась в начале координат. Следовательно, при f = 0 имеем: у = 0 и и = 0. Отсюда получаем, что / = тс2. Таким образом, мы можем записать равенство

〃ZC 2V1 — и2c〃ZC 2V1 — и2cqEy = тс2.qEy = тс2.

〃ZC 2

V1 — и2c

〃ZC 2

V1 — и2c

qEy = тс2.

qEy = тс2.

Отсюда для уТ получим:

^宀一团巒卜贵^宀一团巒卜贵(4.Ю)(4.Ю)

^宀一团巒卜贵

^宀一团巒卜贵

(4.Ю)

(4.Ю)

Зависимость (4.10) используется, например, для оценки параметров линейных ускорителей электронов — установок, в которых сгустки электронов разгоняются до скоростей, близких к с. По заданной энергии электронного пучка на выходе ускорителя и напряженности ускоряющего поля можно оценить длину ускорителя. Пусть требуется, чтобы под действием поля порядка 104 В/м ускоренные электроны достигли скорости около 0,9 с (заряд электрона равен 1,6-10-19 Кл). Тогда согласно (4.10) они должны пройти в поле путь длиной порядка 103 м.

Перейдем к рассмотрению задачи о движении заряженной частицы в однородном магнитном поле. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы магнитное поле В было направлено по оси 2：

В = (0, 0, В).

Рассмотрим случай, когда в начальный момент времени частица обладает скоростью, перпендикулярной полю В. Тогда в выбранной системе отсчета а (0) = а。= {и。© и°д, 0}. Релятивистское уравнение движения частицы получается из (4.1) при Е = 0:

也=旦(怨 = q [vB]. (4.11)

Магнитная сила Лоренца перпендикулярна вектору В. Следовательно, за любой промежуток времени dt импульс частицы получает приращение dp = q [vB] dt, лежащее в той же плоско^ сти ху, что и начальная скорость и。. Следовательно, вся траек« тория частицы является плоской и лежит в плоскости ху. Перт пендикулярность магнитной силы Лоренца скорости частицы означает, что частица будет обладать только нормальным ускорением, а величина ее скорости будет оставаться неизменной: и2 (/) = Vq = Vqx + v^ = const. Поэтому корень в (4.11) можно вынести за знак производной. В результате получаем:

dv g “1 — и2/с2

о =ub =о =ub =&5・&5・(4.12)(4.12)

о =ub =

о =ub =

&5・

&5・

(4.12)

(4.12)

где а — ускорение частицы. Его абсолютное значение равно

R =R =то。то。=const,=const,(4.13)(4.13)

R =

R =

то。

то。

=const,

=const,

(4.13)

(4.13)

Здесь мы воспользовались взаимной перпендикулярностью векторов V и В и равенством v = ио- Как отмечалось выше, величина (4.12) должна быть равна нормальному ускорению частицы. Следовательно, согласно (1.14),

Отсюда находим, что радиус кривизны траектории равен

8=苓=哈小一闻8=苓=哈小一闻(4.15)(4.15)

8=苓=哈小一闻

8=苓=哈小一闻

(4.15)

(4.15)

где Ро — абсолютная величина импульса релятивистской частицы. В нерелятивистском случае, т. е. при vQ/c《1,

(4.14)

В этой формуле ро ——абсолютная величина нерелятивистского импульса. Плоское движение по траектории постоянной кривизны и с постоянной по величине скоростью является равномерным вращением по окружности. Следовательно, траектория дви-* жения заряженной частицы в однородном магнитном поле сz八

начальной скоростью, направ* ленной перпендикулярно по-小 %3/^

лю, является окружностью f>Q 丿三№

(рис. 4.4).

Очевидно, что (4.13) и

(4.14) определяют радиус

окружности, соответственно, вРис, 44

релятивистском и нереляти

вистском случаях. Этот радиус называется циклотронным или гироскопическим.

Определим угловую скорость ① частицы. Воспользовавшись

% = sR, получим:

(4.16)(4.16)

(4.16)

(4.16)

В нерелятивистском случае (и。《с) угловая скорость вращения не зависит от и。и равна

со = qB[m.

Угловая скорость вращения заряженной частицы в однородном магнитном поле, определяющая частоту и период обращения Т = 2п/з, называется циклотронной или гироскопической частотой.

Независимость угловой скорости нерелятивистской частицы в магнитном поле, а следовательно, и периода ее обращения Т = 2л/(о от скорости движения сыграла решающую роль в открытии в 1932 г. Э. Лоуренсом и М. Ли- заряженных частиц. Ускоритель, действующий на этом принципе, был назван циклотроном.

Мы приводим выдержку из оригинальной статьи Э. Лоуренса и М. Ливингстона, сопровождая ее поясняющим рисунком 4.5.

《…Метод состоит в следующем. Полукруглые полые пластины, похожие на дуангы электрометра, установлены в вакууме в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости этих пластин, таким образом, что их диаметральные края находятся близко друг к другу. К этим пластинам, служащим электродами, подводится колеблющееся напряжение высокой частоты, создающее колеблющееся электрическое поле в зазоре между их диаметральными краями. В результате в течение одной половины периода электрическое поле ускоряет ионы, образовавшиеся в диаметральном зазоре и направляющиеся во внутреннюю полость одного из электродов, где под действием магнитного поля они движутся по круговым траекториям и в конце концов опять попадают в зазор между электродами.

Магнитное поле задается таким образом, чтобы время, необходимое для прохождения полуокружности по траектории внутри электрода, равнялось полупериоду колебаний. Вследствие этого, когда ионы возвратятся в зазор между электродами, электрическое поле изменит свое направление, и, таким образом, ионы, входя внутрь другого электрода, приобретут еще одно приращение скорости. Поскольку радиусы траекторий внутри электродов пропорциональны скоростям ионов, время, необходимое для прохождения таким ионом полуокружности, не зависит от его скорости. Поэтому, если они затрачивают 1 очно половину периода на первую половину своего оборота, то они будут двигаться и дальше в таком же режиме и, таким образом, будут описывать спираль с периодом обращения, равным периоду колебаний электрического поля, до тех пор, пока они не достигнут наружного края прибора. Их кинети«

ческие энергии по окончании процесса ускорения будут больше энергии, соответствующей напряжению, приложенному к электродам, во столько раз, сколько они совершили переходов от одного электрода к другому».

Как видно из текста, Лоуренс и Ливингстон использовали нерелятивистские закономерности движения заряженных частиц в магнитном поле. Поэтому они смогли добиться успеха только потому, что разгоняли достаточно тяжелые частицы, такие, например, как протоны и ионы гелия. Из-за сравнительно большой массы эти частицы, завершая ускорение, все же не достигают скоростей, сравнимых со скоростью света с. Например, протоны, которые Лоуренсу и Ливингстону удалось разогнать до кинетических энергий порядка 10~ Дж, обладали скоростями движения, отношение которых к скорости тс?

света было порядка 0,1. (Эта оценка получается из равенства -~/“=—

V1 — У2/с2

—.me2 = 10~13 Дж, где т ——масса протона, по порядку величины она равна 10-27 кг.)

Если бы вместо протонов использовались, например, электроны, которые приблизительно в 10-4 раза легче протонов, то циклотрон Лоуренса и Ливингстона не мог бы работать. Являясь более легкими, электроны сравнительно быстро достигали бы скорости, сравнимой со скоростью света. В этом случае, как показывает формула (4.15), циклотронная частота начинает зависеть от скорости, уменьшаясь по величине. При этом период обращения возрастает. Следовательно, для того, чтобы в зазорах между электродами электроны ускорялись, необходимо изменять частоту переменного электрического поля, ускоряющего частицы, что в установке Лоуренса и Ливингстона не предусматривалось. Частота определялась по формуле (4.16). Для поля В = 1 Тл и для протонов она равна

qB 1,6 - 10~19Кл- 1 Тл ,八8

(о ==г= 弋 10 сек = 10 Гц.

ш1,2- 10~27кг

Заряд протона равен 1,6 • 10-19 Кл, его масса составляет величину 1,2 • 10~27 кг.

Отметим, наконец, преимущества циклотрона перед методами однократного ускорения заряженных частиц электростатическим полем. При использовании таких методов для получения частиц высокой энергии необходимо создавать ускоряющие разности потенциалов очень большой величины. Так, для получения протонов с той же кинетической энергией, какую впервые получили Лоуренс и Ливингстон, необходимо приложить ускоряющее напряжение порядка 106 В. При высоких напряжениях возрастает угроза электрического пробоя, которая и лимитирует возможности прямых методов. Циклотронный метод ускорения от этого недостатка свободен.

магнитная сила Лоренца будет зависеть только от скорости vt: F = q [vB] = q [(б + 办)• 5】=9 ®15] + q [v2B] = q 旧田],

так как [v2B] = 0 вследствие коллинеарности векторов v2 и В. Поэтому магнитное поле не будет влиять на движение частицы вдоль поля. В этом направлении скорость частицы будет со

храняться, оставаясь равной 〃。2, где и。？——составляющая начальной

скорости частицы вдоль поля. Следовательно, в этом направлении частица будет двигаться равномерно и прямолинейно. Составляющая движения, связанная со скоростью Vi, будет равномерным вращением по окружности. Сумма этих движений приводит к перемещению по винтовой линии. При этом радиус винтовой линии и частота обраще-

Рис. 4.6.ния будут определяться соответ

ственно формулами (4.13) и (4.15)| [в нерелятивистском случае ——формулами (4.14) и (4.16)], в ко

торые вместо и。нужно подставлять vQl — абсолютное значение

скорости 0(и・

Движение пучков заряженных микрочастиц в электромагнитных полях широко используется в науке и технике. Область физики, в которой изучается структура пучков заряженных частиц в электромагнитных полях, называется электронной оптикой. В основе всех применений лежит а) способность электрического и магнитного полей изменять направление движения заряженных частиц, б) способность электрического поля осуществлять ускорение заряженных частиц. Благодаря этому удается разделять частицы в пучке или, наоборот, собирать, т. е. фокусировать их в малой области пространства, а также получать потоки заряженных частиц высоких энергий.

Остановимся на некоторых применениях электромагнитного

поля.

В анализаторе или спектрометре импульсов происходит ирсн странственное разделение заряженных частиц в зависимости от величины их импульса. Принцип работы этого устройства осно”

ван на зависимости, определяемой формулой (4.14). Разделение частиц схематически изображено на рис. 4.7. Частицы, влетающие в область однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости рисунка, движутся затем по окружностям, радиусы которых зависят от абсолютных значений импульсов частиц и от их зарядов. Если скорости частиц одинаковы, то их разделение будет происходить в зависимости от отношения mjq (т ——масса частицы, q ——ее заряд). В этом заключается идея масс-спектрометрического анализа пучков заряженных частиц (обычно ионов).

Создавая электромагнитные поля определенных конфигураций, удается решать обратную задачу — не разделения, а ф°- кусировки пучка заряженных частиц в малое пятно. Эта за- дача похожа на фокусировку света линзами. Поэтому выполняющие ее устройства называются электромагнитными линзами. Они имеются, например, в телевизионных трубках, электроннолучевых трубках осциллографов и электронных микроскопах.

Фокусировка имеет особо важное значение для электронной микроскопии, ибо от фокусировки зависит разрешающая способность. Приведем некоторые цифры.

Две точки, находящиеся перед объективом оптического микроскопа, будут неразличимы, если расстояние между ними 6 по порядку величины меньше 入/sin 0, где 九——длина волны света, которым эти точки освещаются. Угол О показан на рис. 4.8. Для лучших оптических микроскопов 0 приближается к предельному зна-—J

чению в 90°. Поэтому 6 приблизительно равно X,Объем mud

Которое в свою очередь составляет величину по-i

рядка нескольких тысяч ангстрем.、|

Квантовая природа электронов проявляет-

ся в том, что они также обладают волновыми'、、I /

свойствами. Например, электроны с энергией 勿以勿勿勿冰乎彩勿勿勿勿勿 8• IO* дж обладают длиной волны всего лишьт

0,05 А! Поэтому если бы для объектива электрон-Рис. 4.8.

ного микроскопа 20 было равно хотя бы 30°, го

можно было бы различать объекты размером порядка десятых долей ангстрема. Атомы в молекулах находятся на расстоянии всего лишь 1—2 А. Следо- вательно, можно было бы фотографировать молекулы!

Это очень сложная задача, ибо очень трудно создать электронную «линзу, фокусирующую в одном и том же месте электроны, идущие близко и далеко от оси линзы. Такая расфокусировка называется сферической аберрацией. Вследствие этого явления только недавно на лучших современных электронных микроскопах удалось различить детали размером в несколько ангстрем.

Наконец, в ускорителях заряженных частиц используется как ускоряющее, так и стабилизирующее траекторию пучка

действие электромагнитного поля. В этих устройствах получают пучки высокоэнергичных протонов, электронов, дейтронов (ядра тяжелого изотопа водорода), а-частиц. Все ускорители делятся на две основные группы: линейные и циклические. В линейных ускорителях используется либо принцип однократного ускорения электростатическим полем, либо принцип увлечения частиц волной электрического поля. Циклические ускорители работают по принципу, который уже обсуждался в связи с рассмотрением циклотрона. В этих системах частицы ускоряются, многократно проходя через сильное электрическое поле. А на своей орбите во время ускорения они удерживаются магнитным полем. К такому типу относится один из самых мощных в мире ускорителей протонов, созданный в СССР в 1968 г. (г. Серпухов), на котором получают пучки протонов с энергией порядка 10~8 Дж. Напомним, что на первом циклотроне был получен пучок протонов с энергией в 105 раз меньшей.

Нерелятивистское движение частицы в центральном поле

Как в классической, так и в квантовой механике очень важной является задача двух тел, в которой рассматривается движение изолированной системы из двух взаимодействующих друг с другом частиц. Для физики эта задача важна тем, что система двух тел ——простейшая, в которой проявляются силы взаимодействия между телами. Поэтому именно на таких системах устанавливаются и проверяются фундаментальные законы сил. Важность задачи двух тел для приложений обусловлена тем, что к ней могут быть сведены многие вопросы, представляющие практический интерес. Приведем примеры.

Планеты Солнечной системы взаимодействуют с Солнцем и друг с другом. Однако масса Солнца на несколько порядков больше массы любой из планет. Общая масса всех планет составляет примерно 1/700 часть массы Солнца. Поэтому сила гравитационного притяжения каждой планеты к Солнцу на* много превосходит силу притяжения планеты к другим планетам Солнечной системы. Это означает, что законы движения планет Солнечной системы в основном определяются силой тяготения Солнца. Силы взаимодействия планет друг с другом приводят лишь к незначительным возмущениям движения, обусловленного тяготением Солнца. Следовательно, закон движения каждой планеты с большой точностью может быть определен как решение уравнений движения системы двух тел — Солнца и планеты.

Движение искусственного спутника Земли в основном определяется силой тяготения Земли. Это обусловлено тем, что рас-

стояние от спутника до Земли неизмеримо меньше расстояния от спутника до любого небесного тела. А ведь сила тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния! Поэтому характер движения спутника также с высокой точностью может быть выяснен из рассмотрения задачи двух тел: спутник—Земля.

В газах молекулы сталкиваются друг с другом. Как мы увидим в части II, столкновения молекул определяют многие свойства газов. При этом основную роль играют парные столкновения. Одновременные столкновения сразу трех и большего числа молекул происходят крайне редко и не существенны. По、 этому многие свойства газов могут быть поняты из рассмотрев ния задачи двух тел — задачи о движении двух молекул, взан- модействующих друг с другом через силы （2.23）.

В подавляющем большинстве представляющих практический интерес задач двух тел силы взаимодействия являются центральными. Перечисленные примеры иллюстрируют этот факт. Поэтому ниже мы рассмотрим общую формулировку классической задачи двух тел с центральными силами взаимодействия и выясним те общие свойства движения тел, которые не зави- сят от конкретного вида закона действия центральной силы.

Рассмотрим две нерелятивистские частицы с массами 俏工 и m2. Если вторая частица действует на первую с силой 尸（门——尸2）, то по третьему закону Ньютона сила действия пер^ вой частицы на вторую будет равна —尸（门一歹2）・ Через 片 и 〃 обозначены радиус-векторы частиц по отношению к выбранной инерциальной системе отсчета. Уравнения движения замкнутой системы двух частиц имеют вид

用 卷＞=f（门一Q）, ①2誉"=一尸（门一0）• （4.17）

Сила 尸（门—— &） предполагается центральной, т. е. коллинеарной вектору 门一о Вместо переменных 勺 и Q гораздо удобнее использовать переменные

加1+加2

[см. （2.10）]. О целесообразности перехода к переменным R н г уже говорилось в § 2.2. Здесь это тем более уместно, что сила взаимодействия зависит только от г. Выражая у】и 夕2 через R и 忆 находим:

Подставляя эти выражения в левые части уравнений （4.17）, убеждаемся в том, что эти уравнения сводятся к закону

наянаямасса вдвое меньшемасса вдвое меньшесохранения центра инерции d2Rldt2 = 0 и к одному нетривиальному уравнению

ная

ная

масса вдвое меньше

масса вдвое меньше

/и 祭=9(4.19)

где

Ш1Ш2m =:

g + m2

Эта величина называется приведенной массой задачи Оерх тел.

Окончательный вывод оказывается следующим: задача двух тел эквивалентна задаче о движении одного тела с приведенной массой в центральном силовом поле.

Решив уравнение (4.19), т. е. найдя зависимость г(0, можно по формулам (4.18) восстановить законы движения частиц. Так, например, в системе отсчета, называемой системой центра инер- “ связано с центром инерции частиц (в ней 7? = 0), частицы будут двигаться по подобным траекториям. При этом соединяющая их прямая все время проходит через начало координат, а абсолютные величины радиус-векторов обратно пропорциональны массам частиц (рис. 4.9):

厂/r2 =优2/团1 .

Подчеркнем, что СЦИ является инерциальной, так как центр инерции изолированной системы движется равномерно и прямолинейно.

Заметим, что если тщ = т2» то m = mx/2 = m2/2; приведен- сы каждой частицы. Если же одна из масс намного больше другой, например mi》m2, то

mi + m2 1 + (т2/Ш1)2

В этом случае приведенная масса практически совпадает с меньшей массой.

Так как частица с приведенной массой движется в центральном поле, то ее момент импульса будет сохраняться (см. § 3.4):

£ = [гр] ==m[rv] — const,(4.21)

где р = mv и V = dr/dt^

Отсюда вытекают два важных следствия. Во-первых, траек^ тории движения в центральном поле частиц с приведенной массой т и массами 团】и 俏2 в СЦИ являются плоскими.

Действительно, согласно (4.21) радиус-вектор г перпенди^ кулярен постоянному вектору L. Следовательно, в любой момент времени он находится в плоскости, перпендикулярной L. А это и означает, что траектория движения частицы с приведенной массой является плоской, а следовательно, плоскими

являются и траектории частиц с массами mi и т2.

Вторым важным следствием сохранения момента является постоянство векториальной скорости, Секториальной скоростью называется площадь, заметаемая радиус-вектором в единицу времени. В центральном поле секториальная скорость частицы

с приведенной массой т, так же как и секториальные скорости частиц с массами 〃“ и т2, не изменяются. Этот закон назы

вается вторым законом Кеплера,

Рассмотрим сначала частицу с приведенной массой 俏.Пусть S (/) обозначает площадь, заметаемую ее радиус-вектором к моменту времени / с начала движения. На рис. 4.10 эта площадь выделена штриховкой. Для движения в центральном поле

Рис. 4.10.Рис. 4.10.изображенная картина является плоской вследствие плоского характера траектории. г(0) —это радиус- вектор частицы в начальный момент времени / = 0. Секториальной скоростью является величина

Рис. 4.10.

Рис. 4.10.

8 =需• (4.22)

Рассмотрим, насколько к моменту времени t + dt изменится площадь S (/). Обозначим это изменение через dS. Из рис. 4.10 видно, что dS равно площади треугольника ОАВ. В нем АВ = dr — величи-

на вектора смещения частицы dr за

время dt. Очевидно, что dr = v(t) - dt, где v(t) — величина скорости частицы в момент времени f. Если принять сторону ОА ~; =厂(/) за основание треугольника ОАВ, то высотой будет являться отрезок ВС = АВ sin 屮=dr sin 屮=v (/) dt • sin гр. Следо-* вательно,

dS = ^ О A • 8C = 厂(Z) • и ") • sin 屮力=

где L ——абсолютное значение момента импульса. Так как момент импульса сохраняется, то

* =管=去=8"，

что и требовалось доказать.

Сохранение секториальных скоростей частиц с массами т\ и 加2 следует из пропорциональности в СЦИ их радиус-векторов fi и /*2 радиус-вектору г.

Рассмотрим вопрос о границах движения в задаче двух тел с центральным взаимодействием, т. е. найдем, в каких пределах может меняться расстояние между частицами (переменная г = |г|). Из § 3.3 мы знаем, как решается такая задача в случае одномерного движения по прямой. В нашем случае движение происходит в плоскости, т. е. является двумерным. Однако эта двумерная задача может быть сведена к одномерной»

Уравнению движения (4.19) соответствует полная энергия

/ = ■£ +U 6 = const,(4.23)

где U(г)—потенциальная энергия, отвечающая центральной силе F(r)・ Выберем такую инерциальную систему отсчета, начало которой в рассматриваемый момент времени совпадает

вдоль радиус-вектора,вдоль радиус-вектора,с положением массы т. При этом ее ось у направлена вдоль радиус- вектора г, а ось х ему перпендикулярна и лежит в плоскости движения. Эта система изображена на рис. 4.11. В точке О находится центр силы F(r)? а п ——единичный вектор в направлении ее действия. Обозначим проекцию импульса на ось у через 加，а его проекцию на ось % — через р(р. Этими обозначениями подчеркивается, что компо

вдоль радиус-вектора,

вдоль радиус-вектора,

а компонента р①——к движению в пер-а компонента р①——к движению в пер-нента рг относится к движению

а компонента р①——к движению в пер-

а компонента р①——к движению в пер-

пендикулярном направлении, т. е. к вращению. Согласно (4.21),

абсолютная величина момента равна

L = rp^t(4.24)

Пользуясь этой формулой и учитывая, что р? = р： + р^, (4.23), можно преобразовать к виду

/=期+词+川什丽/=期+词+川什丽А2А2+ 1^ + 1/^ = 001181:-+ 1^ + 1/^ = 001181:-

/=期+词+川什丽

/=期+词+川什丽

А2

А2

+ 1^ + 1/^ = 001181:-

+ 1^ + 1/^ = 001181:-

Величина L2/2mr2 называется центробежной энергией^ а сумма

U^r) = U{r) + ^(4.25)

一 эффективной потенциальной энергией.

Выражение (4.25) получено при выборе специальной системы отсчета. Но входящие в него величины L2 и г2 являются скалярами. Поэтому 03$4(「)—также скаляр, т. е. имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, во всех инерциальных системах полная энергия 器 равна

冒=乐+"摊(Г).(4.26)

Так как она зависит только от импульса частицы в направлении г и от I г I = г, то задача о трехмерном движении частицы в центральном поле сводится к одномерной задаче движения частицы в радиальном направлении с эффективной потенциальной энергией. Поэтому границы движения можно найти так же, как в одномерном случае.

Физическая причина отличия t/зфф—U от нуля заключается в следующем. Выделяя переменные, характеризующие радиальную составляющую движения, мы исключили составляющую р@ импульса, описывающую вращение частицы вокруг силового центра. Ввиду сохранения момента импульса согласно (4.24) уменьшение г должно приводить к увеличению 「①.Добавочный член L2/2mr2 в эффективной потенциальной энергии одномерной задачи как раз этот эффект и учитывает. Название этого члена—центробежная энергия — отражает тот факт, что при приближении к силовому центру скорость вращательной компоненты движения частицы возрастает и вследствие этого возрастает центробежный эффект отбрасывания частицы от силового центра.

Эффективная потенциальная энергия совпадает с энергией взаимодействия U (г) в единственном случае, когда L = 0. При £ #= 0 поведение (7Эфф (г) может существенно отличаться от U(г) в области малых г, т. е. вблизи силового центра. Это различие особенно заметно в случае притяжения к силовому центру (притяжения между частицами с массами Ш\ и 团2)・ Пусть энергия взаимодействия U (г) ведет себя так, как это изображено На рис. 4.12 пунктирной линией. Такой потенциальной энергии отвечает сила 尸= —dU]dr V 0, направленная к силовому центру, т. е. сила притяжения. Если U (г) убывает недостаточна быстро при О, так что

\и{^\<Щ2тг\(4.27)

5г А. В~ Астахов-

то при г > г* функция {/эфф (г) имеет вид потенциальной ямы, а при г < г* — потенциального барьера. На рис. 4.12 график (7Эфф(^) изображен сплошной линией. При выполнении условия

(4.27) центробежная энергия U!2mr2 как бы создает потенциальный барьер около силового центра, который препятствует падению массы 依 на центр притяжения, , Так, на рис. 4.12 при лк> ' бой полной энергии / отвечающая ей горизонтальная линия / = const пересекается с графиком ^эфф (厂). Следовательно* возникает точка поворота ГдУп и запретная для частицы с массой иг зона от нуля до 「mm・ Это означает, что в этом случае 加2 не могут сблизиться досуществует только одна точ- при ^ > 0 движение инфи-^(4.27) центробежная энергия U!2mr2 как бы создает потенциальный барьер около силового центра, который препятствует падению массы 依 на центр притяжения, , Так, на рис. 4.12 при лк> ' бой полной энергии / отвечающая ей горизонтальная линия / = const пересекается с графиком ^эфф (厂). Следовательно* возникает точка поворота ГдУп и запретная для частицы с массой иг зона от нуля до 「mm・ Это означает, что в этом случае 加2 не могут сблизиться досуществует только одна точ- при ^ > 0 движение инфи-^исходные частицы с массами 仆 и расстояний, меньших「mm.

(4.27) центробежная энергия U!2mr2 как бы создает потенциальный барьер около силового центра, который препятствует падению массы 依 на центр притяжения, , Так, на рис. 4.12 при лк> ' бой полной энергии / отвечающая ей горизонтальная линия / = const пересекается с графиком ^эфф (厂). Следовательно* возникает точка поворота ГдУп и запретная для частицы с массой иг зона от нуля до 「mm・ Это означает, что в этом случае 加2 не могут сблизиться до

существует только одна точ- при ^ > 0 движение инфи-^

(4.27) центробежная энергия U!2mr2 как бы создает потенциальный барьер около силового центра, который препятствует падению массы 依 на центр притяжения, , Так, на рис. 4.12 при лк> ' бой полной энергии / отвечающая ей горизонтальная линия / = const пересекается с графиком ^эфф (厂). Следовательно* возникает точка поворота ГдУп и запретная для частицы с массой иг зона от нуля до 「mm・ Это означает, что в этом случае 加2 не могут сблизиться до

существует только одна точ- при ^ > 0 движение инфи-^

Если полная энергия 岁 > 0, то ка поворота z*min・ Следовательно, нитно. При 宕 V 0 (нижняя горизонтальная линия на рис. 4.12) возникают две точки поворота Гтщ и Ппах. В этом случае движение финитно. При этом расстояние частицы с массой т от центра или расстояние между частицами с массами mi и т2 периодически изменяется в пределах от rmin Д。Гтах・

Заметим, однако, что это еще не означает, что движение является периодическим. Действительно, мы пока рассматривали только раднальт ную составляющую движения. Вращательная компонента

Рис. 4.13.Рис. 4.13.движения — движения в направлении, перпендикулярном ра-* диус-вектору г,——может быть такой, что, приблизившись на мн“ нимальное расстояние к центру, удалившись затем на макси-

Рис. 4.13.

Рис. 4.13.

мальное от него расстояние и вновь вернувшись на минимальное [расстояние, масса т будет обладать радиус-вектором, поверну- гтым уже по-другому. В этом случае ее траектория не замкнется и периодичности, разумеется, не будет (рис. 4.13). Условие периодичности состоит в том, что за время одного цикла изменения расстояния между массой т и силовым центром (от rmin до Гшах и обратно) частица повернется на угол, кратный 2л. Например, в кулоновском поле притяжения это условие всегда выполняется. В этом мы убедимся в следующем параграфе, в котором задача двух тел с взаимодействием, происходящим по закону U(г) = a/厂, будет рассмотрена подробно.

Движение в кулоновском поло

Кулоновское поле является важнейшим частным случаем центрального поля, поскольку кулоновскому закону подчинены два вида фундаментальных сил ——электростатические и гравитационные. Потенциальной энергии U(г) = a/厂, как мы видели

в § 2.4, отвечает сила F = ar/г3. При а = —|a|V0 кулоновский силовой центр является центром притяжения. График 34b фективной потенциальной энергии при а < 0 и L，0 изобрат жен сплошной линией в левой части рис. 4.14. Здесь Го ——это точка минимума 1/эфф(^). Она определяется из условия

и равна

энергии, составляет%фф (%) = (^эфф)т1п = ^mln= — г0энергии, составляет%фф (%) = (^эфф)т1п = ^mln= — г0Значение эффективной потенциальной энергии в этой точке, которое, очевидно, определяет и минимальное значение полной

энергии, составляет

%фф (%) = (^эфф)т1п = ^mln= — г0

энергии, составляет

%фф (%) = (^эфф)т1п = ^mln= — г0

В точке г* эффективная потенциальная энергия — Ч°б-»

，* 2тг*

ращается в нуль:

一 2еа — 2/n I а I — 2 *

При а > 0 кулоновский центр является центром отталкивания. График 1Афф(г) при а>0 и L #= 0 изображен в правой части рис. 4.14.

Как во всяком центральном поле, в кулоновском поле ча-* стица движется в неизменной плоскости с постоянной секто- риальной скоростью. Кроме того, движение в этом поле обла- дает рядом других закономерностей. Рассмотрим их.

Специфической особенностью движения в кулоновском поле является сохранение вектора

и=開 + 唄. (4.28)

Убедимся в этом. При дифференцировании по времени выражения (4.28) учтем сразу сохранение момента. Тогда

［黑小［黑小та dr mar drта dr mar dr

［黑小

［黑小

та dr mar dr

та dr mar dr

a r r n , ma dr mar d . 、儿

0 专 r (广• p) - P (尸.尸)} + £p - "9

==号("р) — *产十——于(，р) = о.

При выполнении этих преобразований мы использовали соотношения "»,「1dp аг

т—А = Р，2 = [гр], уравнение движения -^-=产 и векторное тождество г [гр]] = 了 &•") — "•产.

Сохранение вектора с дает возможность полного решения задачи о движении частицы в кулоновском поле. Выберем специальную систему координат, изображенную на рис. 4.15. Вр ось у направлена вдоль вектора [pL], а ось % лежит в плосте- сти движения и направлена вдоль вектора р. Это означает, во-первых, что г лежит в координатной плоскости ху. Во-вторых, как это следует из (4.28), ей же -принадлежит и вектор и. Та« как векторы р и L ортогональны, то абсолютное значение

вектора [р£] равно pL. Поэтому (рис. 4.15)

%％ =РL + 卓l, % = 0.(4.29)

Следовательно,

。2 =應 + ¥ =(号)2 炉 + (箒)2 外 + " + 2pL =

=疗必+p2L2+岑马〃〃

Учтем теперь, что ^ = г sin р, a L — гр sin р (рис. 4.15), так что ру = L. Поэтому

G2==m2Q2 + p2L2+L2^_ =

=疗公 + 2mL2 (蚩 + £)=加2a2 + 2俏/厶2= const. (4.30)

Найдем, как меняется величина радиус-вектора частицы в зависимости от угла ср, который г составляет с постоянным вектором с (рис. 4.15). Эта зависимость и определит уравнение

траектории движения. Соглас^ но (4.29)

Рис. 4.15.Рис. 4.15.((；・/•) = охх + %у =_ 尤2 +

Рис. 4.15.

Рис. 4.15.

十号 У2 + pLy = mar + L2;

с другой стороны, та же величина равна or cos ср. Отсюда окончательно находим:

ГН下片丽，(4・31) где

s =—, е =—, (4.32)

тата ，、 丿

причем постоянная о определяется выражением (4.30). При £ =# 0, т. е. s #= 0, в зависимости от значений s и « уравнение (4.31) описывает одно из следующих конических сечений *) з а) эллипс и как частный случай эллипса ——окружность, б) гиперболу, в) параболу. Постоянная s называется фокальным параметром, а е — эксцентриситетом конического сечения. Не вникая в детали, относящиеся к курсу аналитической геомет* рии, ограничимся графическими пояснениями к только что сказанному.

В случае притяжения (а V 0) все возможные виды траек* торий частицы с ненулевым моментом импульса изображены на рис. 4.16. Фокусы каждой из кривых (для эллипса — один из фокусов) находятся в начале координат, т. е. там, где

Гщах =厂几，а ==『_ 圆 ь =声三^； для окружности: £ > 0, ^ = ^min> S х^ 0, е「▲ 0, /*min '亠 Гщак 二二 S ■—~ Q ——• b♦Гщах =厂几，а ==『_ 圆 ь =声三^； для окружности: £ > 0, ^ = ^min> S х^ 0, е「▲ 0, /*min '亠 Гщак 二二 S ■—~ Q ——• b♦Рис. 4.16в.厶>0,疗=0, s > 0, в = 1 Гmin ~ s/2.Рис. 4.16в.厶>0,疗=0, s > 0, в = 1 Гmin ~ s/2.

Гщах =厂几，а ==『_ 圆 ь =声三^； для окружности: £ > 0, ^ = ^min> S х^ 0, е「▲ 0, /*min '亠 Гщак 二二 S ■—~ Q ——• b♦

Гщах =厂几，а ==『_ 圆 ь =声三^； для окружности: £ > 0, ^ = ^min> S х^ 0, е「▲ 0, /*min '亠 Гщак 二二 S ■—~ Q ——• b♦

Рис. 4.16в.厶>0,疗=0, s > 0, в = 1 Гmin ~ s/2.

Рис. 4.16в.厶>0,疗=0, s > 0, в = 1 Гmin ~ s/2.

расположен кулоновский силовой центр. В подписях приведены области значений энергии и эксцентриситета, а также указаны характерные для каждой из кривых размеры.

В случае силы отталкивания (а > 0) при L =# 0 движение может происходить только по гиперболической траектории. Она изображена на рис. 4.17. Эллиптическая и параболическая траектории невозможны. Причина заключается в следующем. При а > 0 функция и?фф(г) не имеет потенциальной ямы

(рис. 4.14). Поэтому при любом значении энергии под действием силы отталкивания частица будет уходить от силового центра сколь угодно далеко. Параболическое движение может

осуществиться только в том случае, если энергия частицы 罟=0. При а > 0 существует единственное состояние с таким значением /. Это — состояние частицы, бесконечно удаленной от силового центра (гт 8), с импульсом р — 0. Очевидно, что к центру отталкивания такая частица приближаться не может. Она не будет также от него и удаляться, поскольку на бесконечности кулоновская сила обращается в

нуль. Следовательно, частица не

может получить ускорения. Поэтому она будет пребывать в

покое на бесконечном удалении от центра сколь угодно

долго.

Для подтверждения того, что уравнение (4.31) действительно описывает траектории, изображенные на рис. 4.16 и 4.17 с теми значениями характерных параметров, которые там приведены, проведем выборочную проверку*

Заметим, во-первых, что знаменатель выражения (4 31) при любых конечных значениях энергии 醫 й момента L, т. е. конечных значениях е, является величиной ограниченной. Поэтому г никогда в нуль не обращается. Таким свойством обладают все траектории, изображенные на рис. 4.16 и 4.17.

Теперь рассмотрим случай силы притяжения (а < 0).

Предположим, что 0 V е V 1. Тогда 1 +ecosq * 0 при всех значениях <р. Это означает, что г — величина ограниченная, что характерно для эллипса. Очевидно, что г = гЮ1п при cos ф = 1 и г = rmax 叫и cos ф =——1. В этих случаях из (4.31) следует, что, соответственно,「min J s/(l + е), a「max =」 = s/(l — е). Эти значения как раз и приведены в пояснении к рис. 4.16а. При ф = 士冗/2 уравнение дает для г значение г — s, что также указано »а

этом рисунке.

Если е = 0, то согласно тому же уравнению г = s = const при всех углах ф. Это означает, что эллипс вырождается в окружность радиуса s, которая также показана на рис. 4.16а.

Если е>1, то в этом случае знаменатель выражения (4.31) обращается 2 нуль при значениях полйрных углов

(4.33)(4.33)ф-оо = — arccos ~, 屮+g = arccos у.

(4.33)

(4.33)

Следовательно, при этих углах г -> оо. Удаление частицы на бесконечность как раз характерно для траектории, изображенной на рис. 4.166. При ф = 0 знаменатель выражения (4.31) принимает максимальное значение 1+0^

Следовательно, при этом значении ф имеем г = rmin == у ^, g , что и отмечено йод рис. 4.166.

Проверим, наконец, значения rmm для гиперболического движения в случае силы отталкивания (а > 0). С учетом того, что в этом случае е V —1 й 6 V 0, (4.31) можно преобразовать к виду

-|s||s|_ ・

1 — I е I cos ф I e I cos <p — 1

Это выражение будет иметь минимальное значение при 屮=0, которое как раз и указано под рис. 4.17.

Суммируя все вышеизложенное, сформулируем закон, на^ зываемый первым законом Ке%力ера. Траектория движения ча-* стицы в кулоновском поле является коническим сечением. В поле притяжения частица с ненулевым моментом импульса может совершать как финитное движение по гиперболической или круговой орбите, так и инфинитное движение по гиперболической или параболической траектории. В поле отталкивания осуществимо только движение по гиперболе. Во всех случаях частица с ненулевым моментом импульса проходит на конечном расстоянии от силового центра. Расстояние наибольшего сближения с центром называется перигелием орбиты, а наибольшего удаления—ее афелием.

Перигелий гтщ и афелий гтах орбит определяются из условия 为=иэфФ ⑺=攵红 + £ = const.

Эллиптическое движение отличается от всех остальных своей периодичностью. Обозначим период обращения через Т. Определим его, используя для этой цели второй закон Кеплера. За время dt радиус-вектор частицы заметет площадь dS = ~^ dt. Интегрируя это равенство в пределах от 0 до Т, получим:

S = U，(4・34)

где S — площадь эллипса, которая, как известно, равна

S == тшЬ.(4.35)

В (4.35) а и & — большая и малая полуоси эллипса, выражения для которых приведены в подписи к рис. 4.16а. Подставляя их значения и учитывая (4.32), из равенства выражений (4.34)； и (4.35) находим:

Т = 2冗。*2 Nу^-・(4.36)

Это равенство выражает третий закон Кеплера*, квадрат периода обращения по эллиптической орбите пропорционален кубу ее линейных размеров.

Исторически законы Кеплера были открыты эксперимент тальным путем. Они были сформулированы Кеплером в 1609 г” как обобщение опытных данных Тихо Браге о движении планет Солнечной системы. Открытие Кеплера позволило Ньютону сделать вывод о том, что силы тяготения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния и что законы Кеплера являются следствием кулоновского характера поля тяготения Солнца.

Экспериментальные данные, которыми располагал Кеплер, были не настолько точны, чтобы можно было зарегистрировать небольшие возмущения движения планет, вызванные их взаим-< ным притяжением. Эта неполнота картины, как это ни парадоксально, сыграла благотворную роль, так как позволила Кеплеру отыскать простые эмпирические закономерности. Если техника экспериментальных наблюдений была бы более развитой, чем это было в то время на самом деле, то скорее всего Кеплер запутался бы в массе мелких деталей и не смог сформулировать свои законы. А это надолго задержало бы открытие одного из фундаментальных законов — закона всемирного тяготения — и развитие механики в целом.

В настоящее время в составе Солнечной системы известны девять больших планет и около полутора тысяч малых планет, называемых астероидами. Так как масса Солнца примерно в 700 раз больше остальных тел Солнечной системы, то центр инерции Солнечной системы находится достаточно близко к центру Солнца. Поэтому с высокой степенью точности систему отсчета, связанную с Солнцем, можно считать инерциальной. По этой же причине (об этом мы уже упоминали в § 4.2) можно пренебречь силами взаимного притяжения планет. Таким образом, силовое поле, в котором движется каждая планета, можно считать кулоновским и приведенная масса системы Солнце — планета почти совпадает с массой планеты. Поэтому все полученные выше соотношения для эллиптического движения приведенной массы с очень хорошей точностью могут быть применены к движению любой из планет. При этом под массой ш следует понимать массу планеты, а под г ——ее радиус-вектор, отсчитываемый от начала системы координат, в котором нахсь дится центр Солнца.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орби-* там, параметры которых приведены в таблице 2. Длины боль^ ших полуосей выражены в астрономических единицах длины (а. е.). Эта единица определяется как полусумма расстояний от афелия и перигелия Земли до Солнца и равна 1*495・10口 м.

Таблица 2

Длина большой полуоси орбиты, а. е.

Период обращения» сек

Эксцентриситет

Угол наклона орбиты

Масса планеты, кг

Меркурий

0,387

7,60 - 10б

0,205

7。00‘

3,28, [(Я

Венера

0,723

1,94 • IO?

0,006

3。23‘

4,83 • 1024

Земля

1,000

3,16-107

0,016

0

5,98 • 13

Марс

1,523

5,94 • IO?

0,093

1°51‘

6,37 ・ 1023

Юпитер

5,202

3,74 - 108

0,048

1°18‘

1,9 - 1027

Сатурн

9,554

9,3 • 108

0,055

2。29‘

5.67 • 1026

Уран

19,218

2,66 • 109

0,046

0。46‘

8,80- 1025

Нептун

30,109

5,20 • 109

0,008

1。46‘

1,03- 1028

Плутоп

39,60

7,82 • 109

0,246

177

5,4 • 1 g

Эксцентриситеты орбит очень малы, и по своей форме орбиты мало отличаются от круговых. Исключение составляют Меркурий и наиболее удаленная от Солнца планета Плутон, имеющие довольно вытянутые орбиты. Любопытно, что в настоящее время за счет значительного эксцентриситета орбиты Плутон находится ближе к Солнцу, чем предпоследняя планета таблицы 2 — Нептун. Эта картина будет существовать вплоть до 2009 г.

Плоскости вращения различных планет очень близки друг к другу. И здесь исключением является Плутон, орбита кото・ рого наклонена примерно на 18° к ллоскости вращения Земли. Все планеты движутся в одну сторону — против часовой стрел^ ки, если смотреть на Солнечную систему со стороны Полярной з 晒 дя.

Таблица 2 позволяет проверить, насколько точно движение планет Солнечной системы подчиняется законам Кеплера. На^ пример, для проверки третьего закона сравним орбиту Урана с орбитой Земли. Куб отношения длин больших полуосей равен (19,22)3: 1 ^ 71,0*102. Отношение квадратов периодов составляет (84-2)2 ^ 70,9-102. Как видно, обе цифры совпадают с трчностью до 1 %.

Рассмотрим некоторые приложения теории движения в кулоновском поле. Начнем с того, что определим первую и вторую космические скорости.

Первой космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности Земли, чтобы превратить его в искусственный спутник. Второй космм- песков скоростью называется минимальная скорость, двигаяс^ с которой тело покидает Землю, перемещаясь по незамкнутой орбите.

Очевидно, первой космической скоростью и' обладает спут^ ник, движущийся по круговой орбите в непосредственной бли-*

зости к земной поверхности. В этом случае эксцентриситет равен нулю и тело движется по окружности, радиус которой равен радиусу Земли R. Воспользуемся тем, что радиус круговой орбиты равен фокальному параметру, и применим формулу (4.32):

R=；^「(4・37)

Так как масса спутника ничтожно мала по сравнению с массой Земли, то приведенная масса m системы Земля ——спутник практически совпадает с массой спутника. |а| = утМ, где М — масса Земли. Эта величина может быть выражена через величину ускорения свободного падения g у поверхности Земли по фор« муле утМ = gmR2 (см. § 2.4). Учтем, наконец, что L = p^R = =mv'R. Тогда

п加 2t/2r2/—--

R = —7——, откуда О = V gR。

、 m (gmR2)， Jv ь \

Полагая g = 9,8 м/сек2, 7? = 6,4-106 м, получаем:

vf ^ 8 • 103 м/сек.

Как установлено выше, в поле притяжения движение ста« новится инфинитным при достижении энергии / = 0. Следовав тельно, вторая космическая скорость и〃 должна определяться из этого условия. В частности, на уровне земной поверхности

п〃2п〃2ytnM — mv1ytnM — mv1RR22утМутМ

п〃2

п〃2

ytnM — mv1

ytnM — mv1

R

R

2

2

утМ

утМ

где р〃 =加卩〃——импульс тела, обладающего второй космической скоростью и〃. Приравнивая S нулю, находим:

o〃 = “2yM/R =“2gR11,2 • 103 м/сек.

Рассмотрим теперь, какой угол составляют друг с другом скорости частицы при времени /—► —оо и f 4~оо в случае двнт жения по гиперболической траектории. Эта задача имеет важнейшее значение для изучения столкновений заряженных частиц 1(этой теме посвящена следующая глава). Искомый угол обозначим через 0. При /—► +оо частица движется бесконечно далеко от центра. Так как кулоновская сила убывает с расстоянием, то при /一 土оо состояния частицы являются асимптотическими, т. е. частица движется равномерно и прямолинейно.

Рассмотрим, например, гиперболическое движение в поле Притяжения. Асимптоты к гиперболе на рис. 4.18 изображены пунктиром. Показанные на рисунке углы

<P+oo = arccos~,屮一8 = — arccosy,

в чем легко убедиться с помощью (4.31). При указанных зна电 чениях ф частица уходит на бесконечность, г —> оо. По абсолют-* ным значениям углы (р+оо и (р_оо равны. Учитывая симметрию

гиперболы относительно оси абсцисс, с помощью рис. 4.18 наг ходим:(р+8 + а = л и 0 + 2а = л. Отсюда следует, что искомый угол 0 = 2(р+оо — л. Учитывая (4.30) и значение е из (4.32), получаем:

.01 та

Sin у = — COS 屮+8 = ~ у =—=

"他七2+2他君厶2"i + （2贵7?/加出）

Обратим внимание, что значение (4.38) не зависит от знака а. Следовательно, углы рассеяния в полях кулоновского притяжения и отталкивания с одним и тем же абсолютным значением а одинаковы при одних и тех же значениях / и L2. Отметим также, что при переходе на параболическую траекторию (^f 0) угол рассеяния стремится к л.

ГЛАВА 5

СТОЛКНОВЕНИЯ

Упругие и неупругие столкновения

Во многих случаях взаимодействие частиц носит характер столкновений.

Столкновением частиц называется процесс, 6 котором 6 начальный момент частицы настолько удалены друг от друга, что каждая из них является свободной. При этом импульсы частиц ориентированы так, что со временем частицы начинают взаимодействовать друг с другом ) (рис. 5.1).

Сталкивающиеся частицы могут быть как элементарными (например, протоны), так и имеющими внутреннюю структуру (атомы, молекулы, биллиардные шары и т. д.). После столкновения частицы разлетаются настолько, что каждая из них снова становится свободной. При этом частицы в конечном состоянии по своим внутренним свойствам могут отличаться от частиц в начальном состоянии. В связи с этим столкно

вения подразделяются на упру-Рис. 5.1.

гие и неупругие.

Упругим называется столкновение, в результате которого внутреннее состояние частиц не меняется. Если внутреннее состояние изменяется, то столкновение называется неупругим.

Столкновениями обусловлены многие явления, важные для науки и техники. Остановимся на некоторых примерах. Прежде всего столкновения играют основную роль в структуре и пина~ мике газов. Действительно, в газе среднее расстояние между

молекулами намного превосходит радиус действия межмолекут лярных сил. Каждая молекула время от времени сталкивается со своими соседями. Такие процессы, как передача тепла в га-» зах, диффузия газов, способность газов оказывать сопротивле-* ние движущемуся в газе телу, определяются свойствами столк” новений молекул друг с другом. Химические реакции в газовой фазе происходят вследствие неупругих столкновений молекул реагирующих веществ. Способность тел проводить электричек ство, т. е. свойство электропроводности, зависит от столкнове， Hifii электронов проводимости с частицами, составляющими тело.

Рис. 5.26.Рис. 5.26.Рис. 5.2в.Рис. 5.2в.

Рис. 5.26.

Рис. 5.26.

Рис. 5.2в.

Рис. 5.2в.

Особо важное значение столкновения имеют для изучения микроскопической структуры вещества. Свойства атомов, атомных ядер и элементарных частиц можно исследовать единственным способом, анализируя их столкновения с различными частицами. Эти частицы слишком малы, чтобы их свойства можно было《прощупать》иными методами исследования. Так, на атом нельзя «посмотреть». Длина волны видимого света (она порядка нескольких тысяч ангстрем) огромна по сравнению с этими частицами. А свет меньших длин вдлн сам, как оказывается, становится потоком квантовых частиц — фотонов. В этом Смысле метод наблюдения объектов микромира с помощью электромагнитного излучения равноправен с другими способами зондирования микроскопической структуры вещества потоками частиц любой другой природы.

Процессы столкновений имеют два важных свойства, выходящих далеко за рамки классической механики. Во-первых, довольно детальную информацию о таких процессах можно получить из законов сохранения. А так как эти законы справедливы не только в классической, но и в квантовой физике, то результаты, полученные из законов сохранения, применимы к столкновениям квантовых частиц — молекул, атомов, ядер и даже элементарных частиц. Во-вторых, задача о полном описании столкновений формулируется в терминах сечения — понятия,

§5 4} УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 143 имеющего смысл как в классической, так и в квантовой области (оно будет определено ниже, в следующем параграфе).

Еще одно общее замечание касается выбора системы отсчета при анализе столкновений. Система отсчета, в которой столкновение изучается опытным путем, называется лабораторной (ЛС) (рис. 5.2а). Бывает так, что в этой системе одна из частиц может считаться покоящейся (рис. 5.26). В этом случае она называется мишенью, а налетающая на нее частица ——снарядом, Теоретический анализ столкновений удобнее проводить в другой системе — системе центра инерции (СЦИ) (рис. 5.2в), В этой системе исключается движение центра инерции частиц и сумма их импульсов равна нулю, так что импульсы сталкивающихся частиц равны по величине и обратны по направлению.

Законы сохранения дают возможность получить ту часть информации о столкновении, которая не зависит от конкретного вида взаимодействия между частицами. Рассмотрим роль законов сохранения импульса и энергии.

Упругое столкновение двух частиц. Очень распространенный процесс. Он осуществляется, например, в газах (столкновение молекул), в макроскопических ситуациях (столкновение биллиардных шаров), в ядерных реакциях (например, столкновение нейтрона с протоном). За исключением ядерных реакции высоких энергий, упругие столкновения относятся к нереляти- вистским процессам. Для каждого из них законы сохранения импульса и энергии выражаются уравнениями

Pi + р2 = Р； + &， В)

2。］T 2加2 2加1 T 2G2 ' " 丿

в которых 加1 и 团2 — массы сталкивающихся частиц, pf =т^. н р〔 = пг步;(i= 1, 2)—импульсы частиц, а % н “(i = 1, 2)— их скорости соответственно до и после столкновения. Из (5.2) видно, что закон сохранения энергии сводится к постоянству суммарной кинетической энергии. Это следствие того, что при упругом столкновении массы частиц не изменяются.

Скорости частиц в ЛС можно выразить через скорость их центра инерции У и скорости их относительного движения 0_g и v+oo соответственно до и после столкновения, т. е. в асимптотических состояниях. Для этого нужно воспользоваться преобразованиями (4.18). Дифференцируя их по времени и устрем” лян затем время к —оо и 4-оо, с учетом закона сохранения

центра инерции -^- = У = const находим:

(5.3)(5.3)%="乃kj % =展7^7^入，

(5.3)

(5.3)

* = y+而％%8,吗=u一而%%8.

Здесь и_8 и v+oo — скорости относительного движения частиц в асимптотических состояниях (до и после столкновения). Найдя с помощью (5.3) импульсы частиц, прямой подстановкой легко убедиться в том, что (5.1) обращается в тождество. Это озна^ чает, что в (5.3) закон сохранения импульса учтен.

Перейдем теперь в СЦИ. В ней V = 0. Поэтому в этой системе

■ = m.v. =：е 2 = mv м；

口 1 1 mi + m2 -°0-°°

m\tn2

% =色% = 一 •而干府叱 8 = _ mu_8 = 一 Pp

W = %К =石端7耳8 =m%8；

Здесь 加=加1加2/(加1 + 加2)—приведенная масса частиц. Подставляя значения импульсов в СЦИ в (5.2), получаем:

e2义8 .m入2… ^2 /^1 +m2\m^

2色 丁 2m22、他1恤丿一002

田吸8 . 川吮8 = 川(g +m2 ] 21吸8

一 2/n] 2生一 2 \ tnim2 丿"+00 -2。

Следовательно, u_g = v^, т. e. в результате столкновения скорость относительного движения изменяет только свое направление, а по абсолютному значению остается постоянной. Таким образом, в СЦИ картина столкновения выглядит так, как это изображено на рис. 5.3. Здесь 0 — угол рассеяния частиц в этой системе и на его значения ограничений нет: он может быть любым. В ЛС картина значительно сложнее, что и подтверждает преимущество СЦИ для анализа столкновений.

Столкновение слипающихся частиц. В результате частицы не разлетаются, а образуют новую единую частицу. Примером может служить столкновение метеорита с Землей.

Пусть в ЛС одна из частиц покоится, т. е. является ми- тенькк Обозначим ее массу через 加2・ Массу и импульс снаряда обозная* соответственно через т^ш р. Массу частицьк воз@

никшей в результате значим через т, а ее сохранения импульса

слипания первоначальных частиц, обо- импульс — через q (рис. 5.4). По закону р = д. Закон сохранения энергии при

условии, что движение является нерелятивистским, выглядит так:

打"c2 + m2c2 4

р2

2mj

q2 .2

而+幅

—Ь тс2, е а(5.4) 3

8,厂

Очевидно, что

это соотно-

шение несовместимо с равенством т = т\-\- т2- Следовательно, до и после столкновения масса системы разная, т. е. различное значение имеет внутренняя энергия системы в началь-

А=-Л ^

I用工阳二川二齒

Рис. 5.3.

ном и конечном состоянии.

Обозначим через Q изменение внутренней энергии: Q =(т —佗一恤)戍 Из (5.4) следует, что

Q=p2(*-i0=* (誥

1)・

Эта энергия для частицы макроскопических размеров выде< ляется в виде тепла. Если измерить Q, то, зная первоначальный

Рис. 5.4.Рис. 5.4.

Рис. 5.4.

Рис. 5.4.

импульс, можно найти т. В нерелятивистских столкновениях отличие т от mi + m2 — очень малое по сравнению с массамк mi и 恤.Оно заметно лишь в комбинации (т — mi — т2)с так как с?——очень большая величина, порядка 1017 м2/сек2. Та* ким образом, можно записать:

m = mi + /п2 + Am, причем Д/n <С т^ “ = 1,2)・

Так как последнее выражение для Q не содержит с?, то с вьн сокой точностью

е) Неупругие столкновения двух частиц без слипания. Примером может служить одна из самых важных термоядерных; реакций, в которой два дейтрона (тяжелый изотоп водорода, 1Н2) превращаются в нейтрон л и изотоп гелия 2Не3:

1Н2+1Н2->п + 2Не3.

Ограничимся опять нерелятивистским случаем. Вследствие неупругого характера столкновения массы частиц в начальном состоянии mi и т2 не равны массам т； и т； частиц в кон” ном состоянии. Пусть частица с массой т2 является мишенью. Обозначим импульсы остальных частиц через рр р； и р；・ Тогда в ЛС закон сохранения энергии будет иметь вид

2戸产

+許=加炉+m炉+廿+券. (5，5)

Пусть

mjc2 + m^c2 — /с?——/п/2 = q.(5.6)

Тогда (5.5) преобразуется так:

2/2/2

f =六 +令+ Q・(5.7)

2 叫2/И]2m2

Энергия Q может быть как положительной, так и отрицав тельной. Если Q > 0, то столкновение называется эндотермическим. Такой процесс осуществляется не всегда. Действительно, если кинетическая энергия снаряда р；/2/П] < Q, то процесс невозможен, так как в этом случае нарушается закон сохранения энергии (5.7). Поэтому говорят, что Q определяет порог реакции. Порогом называется минимальная кинетическая энергия снаряда, которой достаточно для рождения продуктов реакции с нулевыми импульсами. Для эндотермических столкновений кинетическая энергия частиц в конечном состоянии меньше кн- детической энергии начального состояния.

При Q V 0 столкновение называется экзотермическим. Для него характерен переход части внутренней энергии в кинетическую энергию продуктов столкновения: кинетическая энергия конечного состояния превосходит кинетическую энергию начального состояния.

Столкновения тел, размеры которых намного превышают размеры элементарных частиц, чаще всего являются эндотермическими. Экзотермические столкновения больших тел всегда необычны и должны быть специальным образом подготовлены. К числу столкновений такого тапа относится удар бойка по

взрывчатому веществу. В результате взрыва запасенная во взрывчатке химическая энергия переходит в энергию движения продуктов взрыва. Экзотермические столкновения характерны для ядерных реакций. Например, к их числу относится упомянутая выше термоядерная реакция. Для нее Q =——5,3 • 10-13 Дж* При этом реакция идет с наибольшей легкостью в том случае, если кинетическая энергия дейтрона-снаряда составляет сотые доли процента его энергии покоя. Это означает, что в этом случае скорость дейтрона является нерелятивистской и мы вправе применять к этой реакции соотношение (5.7).

Рассмотрим распады нестабильных частиц. Эти процессы часто встречаются в микромире. Они родственны неупругим столкновениям. Их отличие от ранее рас-

смотренных процессов заключается в том,夕

что в начальном состоянии присутствует#口

всего одна частица. Пусть ее масса рав-/

на m и импульс равен р. Предположим, 2 人 人纟 что частица распадается на две частицы、、賜

с массами mi и т2, обладающими им-<

пульсами pi и р2 (рис. 5.5). Процессы

распада на две частицы часто ветре-2

чаются в физике элементарных частицРис. 5.5,

высоких энергий. При этом продукты

распада даже в СЦИ часто разлетаются с весьма высокими скоростями движения. Поэтому в этих случаях законы сохранения следует записывать в наиболее общем релятивистском виде:

р = Pi + р2,(5,8)

С “加十加％2 = С，Р；牛喈” + С д/р； + 喚2 •(5：9)

Именно с помощью этих уравнений была открыта нестабильная частица лямбда-гиперон А0 по ее распаду на протон р и отрицательно заряженный пион лг. Произошло это следующим образом. Электрически заряженные частицы научились наблюдать в специальных устройствах, таких, как, например, камера Вильсона, пузырьковая камера, а также с помощью фотоэмульсий. Во всех этих устройствах заряженные частицы, к числу которых относятся р и 冗一,оставляют следы в виде треков. В одном из таких устройств было зарегистрировано следующее событие. Некоторая заряженная частица оставила след с изломом. На рис. 5.6 он изображен ломаной линией АОВ. По соседству с точкой О начинались два других следа О'С и ОФ., Выяснилось, что их оставили р и л". Было сделано предполот жение, что они возникли в результате распада в точке О' не- которой нейтральной частицы, родившейся в точке О. На

рис. 5.6 направление ее движения отмечено пунктиром. Измерения позволили определить углы 01 и 02, а также величины импульсов л-мезона pi и протона р2・ Тогда, проектируя векторное уравнение (5.8) на направление 00\ нашли величину импульса неизвестной частицы:

р = pi cos 0j + p2 cos 02.

Подставив затем это значение в за-

по-по-кой сохранения энергии (5.9),

по-

по-

лучили уравнение относительно массы т неизвестной частицы. Решив его, выяснили, что

т及 ^ 2180/Пе,

где me—масса электрона. Так была определена масса А°-ги- перона и открыта сама эта частица.

§ 5.2. Сечение рассеяния

В физических применениях чаще всего приходится иметь дело со столкновениями не одной частицы, а с рассеянием потока частиц мишенью.

Рассеянием называется процесс столкновения потока одинаковых частиц, имеющих параллельные импульсы, с мишенью при условии, что каждая частица-снаряд независимо взаимодействует не более чем с одной из частиц мишени、называемых рассеивающими центрами (рис. 5.7а).

Оговаривающее условие означает, в частности, что мишень должна быть достаточно тонкой, чтобы был малым вклад два® ного и вообще многократного взаимодействия с мишени (рис. 5.76), и что радиус действия сил, обусловливающих рассеяние, должен быть меньше расстояния между соседними рас- Сбивающими центрами мишени.

Поток падающих частиц называют пучком. Обычно опыт по рассеянию стараются ставить так, чтобы падающие частицы имели не только параллельные импульсы, но и одинаковые энергии. В этом случае пучок называют моноэнергетическим. Рассеивающие центры мишени обычно тоже являются одинаковыми. Моноэнергетические пучки широко используются в атомной и ядерной физике. Их направляют на различные мишени с целью получить сведения о строении микрообъектов по результатам наблюдаемых столкновений.

Ввиду важного значения процессов рассеяния необходимо определить понятия, удобные для их описания. Все процессы столкновений описываются с помощью сечений. Для разъяснен ния физического смысла сечения рассмотрим моноэнергетиче^ ский пучок частиц, с импульсом р у каждой, падающий на силовой центр. В результате столкновения с силовым центром частицы-снаряды отклоняются от первоначального направления своего движения. Пусть dN — число частиц, рассеиваемых в единицу времени в малый телесный угол dQ. На рис. 5.8 он

показан заштрихованной площадкой на сфере единичного ра« диуса с центром в месте расположения центра рассеяния. Величина телесного угла dQ равна sin 0 d0 d(p. Углы 0 и ф меняются в пределах 0&6《冗；0《(р《2 л. Очевидно, что dN будет пропорционально телесному углу dQ, а также плотности №тока частиц в падающем на силовой центр пучке, которую мы обозначим через /о. Плотностью потока называется число частиц, пересекающих в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную направлению движения частив

(5.10)(5.10)Единичный акт столкновения частицы-снаряда с рассеивающим центром, в результате которого частица отклоняется в те-« лесный угол »Q, будет характеризоваться отношением

(5.10)

(5.10)

"0 = 丁・

Именно оно и определяет величину, удобную для описания процессов рассеяния. Эта величина называется дифференциальным поперечным сечением рассеяния в телесный угол dQ. Из (5.10) и определений dN и /0 следует, что сечение имеет размерность площади.

Поскольку dN пропорционально dQ, то этим же свойством обладает и Коэффициент пропорциональности записывают в виде do/dQ, так что

^ =(黑)他 (5.11)

По определению d"/dQ равно числу частиц, рассеиваемых в единицу времени в единичный телесный угол в направлении, которое задается углами 0 и ср. Следовательно, dN/dQ описывает угловое распределение рассеянных частиц (т. е. их распределение по углам б и ф). Из сравнения (5.10) и (5.11) получаем:

备 T(需)• (5.12)

Таким образом, угловое распределение рассеянных частиц полностью характеризуется величиной do/dQ. Оно имеет смысл дифференциального сечения рассеяния в единичный телесный угол в направлении, заданном углами 0 и <р (рис. 5.8).

Помимо дифференциального сечения, существует понятие полного сечения рассеяния. Полное сечение и определяется интегрированием дифференциального сечения по всей области изменения углов 0 и ф：

Я 2Л

。="0=，(黑)源=卜也8矶(黑)加.(5.13) о о

Если рассеивающий центр является источником центральносимметричного силового поля, то рассеяние полностью характеризуется дифференциальным сечением рассеяния в заданный интервал углов (0, 0 + dQ). Действительно, на частицу-снаряд действует сила центрального характера, поэтому распределение рассеянных частиц будет зависеть только от 0 и не будет зависеть от угла 屮(рис. 5.8). Это означает, что do/dQ не зависит от ф. Дифференциальное сечение рассеяния в интервал углов (0, 0 4- с/0) определяется отношением числа частиц, рассеянных

в единицу времени в интервал углов (0, 0 + d8) при всех углах ср, к плотности потока частиц в падающем пучке. Обозначим это сечение через ~^-dQ, Очевидно, что оно является интегралом от (5.11) по всем углам ср, при вычислении которого следует учесть, что do/dQ от 屮 не зависит. Поскольку d0 = =sin 0 d8 d^, то

囁 de=\ d(p (-^) sin 0 do = 2л sin 0 de (^) .(5.14)

о

Это соотношение определяет связь между do/d9 и do/dQ〉

黑=2冗 sin® 需.(5.15)

Величина do/d8 имеет смысл дифференциального сечения рассеяния в единичный интервал значений 0 в заданном направлении.

Существенно, что

понятие сечения не опирается на классическое определение состояния. Для определения сечений достаточно знать только импульсы частиц, Координаты части” знать не обязательно. Поэтому понятие сечения не теряет смысла е квантовой области и действительно используется для исследования столкновений микрочастиц.

Выбор единиц измерения сечений обычно связывают с характерным пространственным масштабом рассматриваемых столкновений. Так, в ядерной физике используется единица, величина которой составляет 10-24 см2. Эта единица называется барном. Ее выбор связан с тем, что геометрические сечения атомных ядер имеют порядок величины 10~24 см2.

В классической физике для детального описания рассеяния вводится величина, называемая прицельным параметром. Он обычно обозначается через р. Прицельный параметр равен наикратчайшему расстоянию, на котором части ца-снаряд прошла бы от центра рас- э匚 сеяния в том случае, если взаимодей-р

ствие с ним было бы выключено @—：

Рис. 5.9.Рис. 5.9.(рис. 5.9).

Рис. 5.9.

Рис. 5.9.

Рассмотрим рассеяние на сфериче^

ски симметричном рассеивающем

центре. Ясно, что каждому интервалу углов рассеяния (0, 0 + dO) соответствует свой диапазон значений прицельного параметра (р, p + dp). Это означает, что между р и 0 существует функциональная связь: р = р(0). При этом р является убывающей функцией 0: чем ближе к центру летит частица-

ское содержание рассмотренных имеет смысл площади, затеняемойское содержание рассмотренных имеет смысл площади, затеняемойРис. 5.11.Рис. 5.11.

ское содержание рассмотренных имеет смысл площади, затеняемой

ское содержание рассмотренных имеет смысл площади, затеняемой

Рис. 5.11.

Рис. 5.11.

снаряд, тем на больший угол она рассеивается. Таким образом, можно утверждать, что из всех падающих в единицу времени на центр частиц только dN = /()・2jipdp частиц попадут в интервал углов (0, 0 + d8) (рис. 5.10). Поэтому

do =箒=2冗р dp = 2лр (8) I 黑 J d0. (5.16)

В последнем выражении знак модуля необходим, так как по определению do величина положительная, a dp/d6 V 0. В результате имеем:

寫= 2пр (矶削，(5.17)

а полное сечение равно о = \ do =

=2冗、p(e)|^|j0. (5.18) о

Вывод формул (5.16), (5.18) вскрывает физиче- величин. Полное сечение о центром рассеяния в направо

лении падения пучка. Частицы-снаряды, нацеленные в эту тень, будут рассеяны центром. Дифференциальное сечение — часть площади о. В случае сферически симметричного рассеивающего центра она имеет вид кольца. Частицы, нацеленные в кольцо,

рассеиваются в определенный интервал углов, который соо仲 ветствует значениям прицельного параметра между внутренним и внешним радиусами кольца (рис. 5.11).

Отметим, наконец, что существуют также сечения неупругих столкновений, в результате которых может происходить рожде-

ние новых частиц и поглощение мишенью частиц-снарядов. Се- чения неупругих столкновений также имеют размерность пло- щади. Частицы-снаряды, нацеленные внутрь сечения, связанного с мишенью, вызывают соответствующий неупругий процесс. Так, например, сечение рождения нейтрального пиона л° при столкновении протона р с нейтроном п имеет смысл площадки а, связанной спи ориентированной перпендикулярно направлен нию движения р. Нейтрон при этом считается мишенью, а прсь

тон — частицей-снарядом. Если то его столкновение с п приведет к образованию пиона.

Получим сечение упругого рассеяния нерелятивистской частицы на неподвижном твердом шаре радиуса R (рис. 5.12). Из реальных систем, для которых эта задача имеет значение, укажем, например, на газы. Напомним, что силы отталкивания резко возрастают при сближении молекул газа, а силы притяжения намного меньше сил от-

р нацелен внутрь площади а,р нацелен внутрь площади а,Рис. 5.12.Рис. 5.12.г </?, г > R,г </?, г > R,(5.19)(5.19)талкивания. Поэтому взаимодействие между молекулами можно моделировать следующим образом:

р нацелен внутрь площади а,

р нацелен внутрь площади а,

Рис. 5.12.

Рис. 5.12.

г </?, г > R,

г </?, г > R,

(5.19)

(5.19)

где U(г)——потенциальная энергия взаимодействия двух молекул на расстоянии г. Приближение (5.19) учитывает действие очень больших сил отталкивания на расстоянии, меньшем некоторого критического значения R. Поэтому по смыслу R характеризует наименьшее расстояние между двумя молекулами, т. е. является суммой их радиусов. Закон взаимодействия (5.19) не учитывает действие сил притяжения между молекулами. Он соответствует удару частицы о поверхность твердого шара радиуса R.

Обозначим через р_оо и р+оо импульс частицы-снаряда в начальном и конечном состояниях, а через т ——ее массу. Тогда из закона сохранения энергии Р^оо/2ап = pjg/Zzn следует, что 歹_8 = р+8 = pg. Вследствие центрального характера взаимодействия (5.19) траектория частицы-снаряда будет плоской. Сила 尸 действует на частицу-снаряд в момент ее соприкосновения с поверхностью шара и направлена по радиусу. Поэтому составляющая импульса частицы, лежащая в плоскости,

касательной к поверхности шара в точке удара, сохраняется. Следовательно, р* sin а == ₽«> sin а = р+8 sin р = р» sin В (рис. 5.12). Таким образом, угол падения а равен углу отражения § и угол рассеяния 0 = л — а—р = л —2а. Поэтому прицельный параметр равен

Следовательно,Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

Reos 万.Reos 万.

Reos 万.

Reos 万.

(5.20)(5.20)о 号-\ sin 8 d6 = nR2.оо 号-\ sin 8 d6 = nR2.о(5.21)(5.21)

(5.20)

(5.20)

о 号-\ sin 8 d6 = nR2.о

о 号-\ sin 8 d6 = nR2.о

(5.21)

(5.21)

Подставляя эти выражения в (5.17) и (5.18), находим:

do jtR2 .

4r = 丁S1现

Формула (5.21 J иллюстрирует геометрический смысл сечения. Выражение (5.21) определяет площадь круга радиусом R,： т. е. действительно определяет площадь поперечного сечения тени, отбрасываемой шаром.

Найдем сечение рассеяния частицы с массой m в поле кулоновского центра. В этом случае, так же как и в предыду* щем пункте, закон сохранения энергии приводит к равенству абсолютных значений импульсов частицы-снаряда в начальном и конечном состояниях: р_8 = р+оо =i —= pg. Теперь вы разий

―[包乞^-a абсолютное значение мо- —мента импульса L через

прицельный параметр р (рис. 5.13). Для этого заметим, что ввиду сохра- нения момента импульса достаточно знать его значение в одном каком-то состояние будет начальным. Так как

L = [гр], то L равно произведению величины импулься частицы на величину проекции ее радиус-вектора на направление, пер- пендикулярное импульсу. Из рис. 5.13 (он соответствует кулоновскому полю притяжения) видно, что эта проекция равна при^ цельному параметру р. Таким образом,

L = РР-8 = P/V

Подставляя значение L, а также 醫=р^^т в (4.38), находим!

• е

V1 +(P2pt/ 例2a2)V1 +(P2pt/ 例2a2)sm2

V1 +(P2pt/ 例2a2)

V1 +(P2pt/ 例2a2)

Отсюда следует, что

2Pdp =—2Pdp =—加 2a2 ctg (0/2)p：‘以产①⑵加 2a2 ctg (0/2)p：‘以产①⑵

2Pdp =—

2Pdp =—

加 2a2 ctg (0/2)p：‘以产①⑵

加 2a2 ctg (0/2)p：‘以产①⑵

ПоэтомуПоэтому(5.22)(5.22)

Поэтому

Поэтому

(5.22)

(5.22)

—加2a2cos (C/2)

—2心• sir?*

и дифференциальное сечение в кулоновском поле равно

dG —/ та \2 cos （0/2）

而一口（7Г丿飞山3一（昵）

Полученный результат называется формулой Резерфорда,

В отличие от рассеяния на твердом шаре, кулоновское диф< ференциальное сечение зависит от энергии (импульса) частицы-* снаряда и очень сильно меняется в зависимости от угла рассеяния 0. Угловая зависимость дифференциального сечения показана на рис. 5.14.寤代 При малых углах рассеяния do/d6 неогра- I ниченно возрастает. Эта особенность куло-i

невского рассеяния обусловлена законом\

изменения потенциальной энергии части-\

цы U в зависимости от расстояния г до \ центра: U(r)~ 1/г. Так как потенциальная энергия довольно медленно уменьшается с 〃 工^

увеличением г, то частицы даже с очень большими прицельными параметрами все Рнс. 5.14. же претерпевают отклонение от первоначального направления движения. Именно поэтому дифферент циальное сечение рассеяния на малые углы оказывается очень большим. С увеличением угла рассеяния дифференциальное се-« чение быстро уменьшается, стремясь к нулю при 0 —► л. Этот эф-« фект обусловлен тем, что отклонение на большие углы возмож^ но лишь для частиц с очень малыми прицельными параметрами. А в соответствии с (5.17) do/d8 уменьшается с уменьшением р・

cos (8/2) de sin3(е/2)-cos (8/2) de sin3(е/2)-яяооооПолное сечение рассеяния на кулоновском центре бесконечно велико:

cos (8/2) de sin3(е/2)-

cos (8/2) de sin3(е/2)-

я

я

оо

оо

Расходимость интеграла обусловлена резким возрастанием do в области малых 0, которое происходит там по закону 1/63 и связано со слабым убыванием кулоновской потенциальной энергии с расстоянием. Поэтому заряженная частица является по отношению к другой заряженной частице мишенью с бесконечно большой поперечной площадью.

В томе III мы узнаем, что с формулой Резерфорда связано одно из величайших открытий XX века ——открытие ядерного строения атомов.

Дифференциальные сечения столкновений измеряют эко периментально по величине (5.12). Если плотность потока частиц в падающем пучке известна, то тем самым можно определить do/dQ. Сечение зависит от характера взаимодействия

частицы-снаряда с мишенью. В этом мы уже убедились выше. Так, зависимость (5.20) дифференциального сечения рассеяния на твердом шаре от угла рассеяния 0 совсем не похожа на формулу Резерфорда (5.22). Поэтому, измерив сечение, можно ста* вить вопрос: какие силы приводят к процессу с наблюдаемым сечением? Именно таким образом изучаются взаимодействия между микроскопическими частицами и исследуются свойства микромира.

Через полное сечение о выражаются такие важные величины, как коэффициент поглощения ц и длина свободного пробега Z. Последняя будет рассмотрена в части II. Здесь мы остановимся на коэффициенте поглощения.

Пусть пучок частиц падает на мишень, представляющую слой некоторого вещества малой толщины dx *). Предположим, что плотность потока частиц в падающем пучке равна /, а после

♦) Критерий малости будет рассмотрен в следующей части, в § 9.1.

прохождения слоя составляет I — di (рис. 5.15). Относительное изменение плотности потока равно dl/I и является величиной отрицательной. Это обусловлено тем, что в результате взаимодействия с частицами мишени некоторые из частиц-снарядов либо изменят направление своего движения, либо вообще ис-* чезнут, если столкновения неупругие (в этом случае появятся новые частицы). Рассмотрим часть мишени с поперечной по отношению к падающему потоку площадью, равной S. Пусть плотность частиц вещества, с которыми происходят столкновения, равна 拉.Тогда в рассматриваемой части мишени будет n-dx-S частиц. Для частиц-снарядов они будут затенять суммарную площадь an-dx-S, где о——полное сечение. Очевидно, что отношение этой площади ко всей площади рассматривае-» мой части мишени будет равно относительному изменению плотт ности потока частиц-снарядов:

一半=0九厶.(5.23)

Интегрируя это уравнение, получим:

/ = /ое-з,(5.24)

где То — плотность потока частиц-снарядов при % = 0, / — плот^ ность потока частиц, проникших на глубину %, а

N=/zcr・(5.25)

Эта величина называется коэффициентом поглощения. Формула (5.24) показывает, что этот коэффициент и, следовательно, полное сечение о можно измерять экспериментально. Если определены плотности потока частиц-снарядов, падающих на мишень (при х = 0) и прошедших ее (при некотором заданном значении х), т. е. величины / и /0, то

ГЛАВА 6

ДВИЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 6.1. Кинематика движения твердого тела

При решении разнообразных вопросов технической механики приходится рассматривать тела, размерами которых пренебрегать нельзя. Таковы, например, задачи о движении различных узлов станков, машин и механизмов. Очень часто отдельные детали таких устройств можно считать неизменными по объему и форме, т. е. абсолютно твердыми телами (в пределах, гарантирующих нормальную работу). Движения такого рода объектов описываются механикой абсолютно твердых тел. Для сокращения в этой главе такие тела мы будем называть просто твердыми, а подчас будем опускать и это прилага- тельйое.

Задача описания движений твердых тел значительно упрощается, если представлять их состоящими из отдельных материальных точек, разделенных пространственно. Другими словами, такой подход предполагает, что тело имеет дискретную структуру. Мы увидим, что различные характеристики таких образований выражаются суммами по местам сосредоточения точечных! масс составляющих частиц. На практике чаще всего твердые тела удобно рассматривать как сплошные среды, т. е. такие, -в которых распределение массы вещества можно считать непрерывным. Переход к формулам для сплошных твердых тел осуществляется заменой суммирования по дискретным точкам: интегрированием по объему тела. При этом в сплошном теле роль Массы дискретной точки играет элементарная масса dm вещества, заключенного в бесконечно малом объеме dV тела. Если масса единицы объема вещества в данном месте, т. е. плотность массы, равна р, то dm = р dV. Поэтому для сплошь ных тел аналогом дискретных сумм вида

2 (・・•) тП1

где 优1, •一，тп — массы частиц тела с дискретной структурой являются интегралы по объему тела

,(•>.) d/п ===,(.・.)р dP •

Пользуясь этим правилом, мы будем выписывать формулы для сплошных тел без дополнительных разъяснений, сразу же после получения соответствующих выражений для тел с дискретным строением.

В § 1.2 было установлено, что абсолютно твердое тело является системой с шестью степенями свободы. Поэтому число уравнений движения твердого тела должно быть равно шести. Для выяснения, какие именно уравнения характеризуют двип жение твердых тел, рассмотрим их кинематику.

Подчеркнем, что имеет смысл обсуждать только нерелятивистское движение. Действительно,, в абсолютно твердом теле смещение любой группы частиц в одной из частей тела должно мгновенно привести к такому же смещению частиц во всех остальных частях. В противном случае произойдет изменение расстояний между частицами тела и тем самым тело уже не будет абсолютно твердым. Мгновенная реакция одних частей твердого тела на изменения, происходящие в других его частях, является движением с бесконечно большой скоростью. В этом и заключается причина несовместимости _ модели абсолютно твердого тела с реляти- /^\,/：^Х

вистскими принципами.//

Произвольное бесконечно малое пере- /IdR^^f，

мещение твердого тела является результа* / о~ том двух движений (рис. 6.1). Одно из / W/< / них — это параллельный перенос тела, при /;(j^y 窗

котором центр инерции (ЦИ) тела сме- }; /

щается на некоторое бесконечно малое рас- '，'，

стояние dR без изменения ориентации тела Рис. 6.L в пространстве. Это поступательная составляющая его движения. Другое движение осуществляется в виде малого поворота тела вокруг ЦИ. Эта составляющая является вращательным движением тела и характеризуется вектором угла бесконечно малого поворота &р.

Радиус-вектор любой точки твердого тела г представим суммой

г = Я + а,(6.1)

где R ——радиус-вектор ЦИ тела, а вектор а определяет рао положение точки относительно ЦИ (рис. 6.2). В абсолютно твердом теле \а\~ а = const, т. е. вектор а может только вращаться. Поэтому, согласно (1.6), da = [^ф • а], где d屮 ——вектор

угла бесконечно малого поворота. Итак,

dr = dR + da = dR+ [d(p ・ а].(6.2)

Если перемещение dr произошло за время d/, то скорость рассматриваемой точки равна

。=黑=*+等。]=u+的词・I")

如如ииииРис. 6.2.Рис. 6.2.Здесь V — скорость ЦИ тела, а ® ——угловая скорость его вращения относительно ЦИ. Согласно (6.3) скорость любой точки твердого тела выражается через скорость ЦИ (скорость поступательного движения) и угловую скорость (скорость вращения). Поэтому уравнения движения твердого тела должны определять, как происходит изменение скоростей V и сэ, т. е. шести величин

如

如

ии

ии

Рис. 6.2.

Рис. 6.2.

｛九，乙，叭｝ = V и

Существенно, что угловая скорость (о является абсолютной характеристи

кой вращения твердого тела в том смысле, что она не зависит от того, относительно какой точки вращение рассматривается. Это означает следующее. В разложении (6.1) R характеризует положение ЦЙ тела. Вместе с тем допустимы и другие разложения у = R' + а', где R' — радиус- вектор любой точки тела, не совпадающей с ЦИ, а а' характеризует относительное расположение точек с радиус- векторами г и Rf (рис. 6.3). Предположим, что R‘ = R + а。. Тогда из рис. 6.3 видно, что а。=。一 а'. Рассуждая так же, как при выводе (6.3), получим:

V — -^- = Vz + [^)^],(6.4)

где / = dR'Idt определяет скорость точ-Рис- 6.3.

ки с радиус-вектором R‘，а s' — угловая

V’ = V + [<оа()].V’ = V + [<оа()].скорость вращения относительно этой точки. Положим г = R- При этом а =亚(рис. 6.3) н и = d力dt = dRIdt = V'. В этом случае из (6.3) следует, что

V’ = V + [<оа()].

V’ = V + [<оа()].

Подставляя это выражение в (6.4), находим: y^V+M + l^].

Так как а^ = а — % то это выражение преобразуется к виду:и = У + 心•(а —废)]+ [о/а] = У + [❿词 + [(о/ —❿)• а].

Сравнивая его с (6.3), приходим к выводу:

т. е. действительно угловая скорость не зависит от выбора точ^ ки, относительно которой рассматривается вращательная составляющая движения.

Уравнения движения твердого тела

Обычно центр вращения выбирают в ЦИ тела. Одно из преимуществ именно такого выбора (другие выяснятся в дальнейшем) заключается в том, что перемещение ЦИ является поступательным движением тела как единого целого и уравнение этого движения известно. Им является уравнение (2.11). В нем теперь следует понимать под Р импульс тела, т. е. сумму импульсов составляющих его частиц, а под 尸一сумму всех внешних сил, приложенных к телу. Так как движение твердого тела является нерелятивистским, то это уравнение может быть записано в форме

где m — масса тела, V и R — соответственно скорость и ра^ диус-вектор ЦИ тела. Отметим, что если для определения силы, действующей на частицу, достаточно указать величину, направление силы и со стороны чего она действует, то сила, действующая на твердое тело, имеет еще одну характеристику: точку приложения. Точка приложения определяется радиус-век^ тором частицы тела, на которую действует данная сила.

Из (6.5) следует, что уравнение поступательного движения твердого тела имеет вид уравнения движения нерелятивистской частицы с массой m под действием силы F. Поэтому специфические особенности движения твердого тела связаны только с вращениями. Сконцентрируем внимание на этом виде движения, избрав за центр вращения ЦИ тела.

Рассмотрим собственный момент импульса тела

s = £ Ln = £ 卜прп\ ~ 2 ^п I/卢К = 2 俏门• ппft九

Здесь через rn обозначены радиус-векторы частиц тела относительно ЦИ: гп = {хп, Уп, гп}. Отметим, что при вращении

6 А} В《Астахов

сумма 尤^ + y^+z^=r； остается постоянной. Через тп обо значены массы частиц. Скорости частиц тела равны vn= [®Гп], где о ——угловая скорость вращения. Направление этого вектора определяет ориентацию оси вращения, которая при сделанном выборе центра вращения проходит через ЦИ тела. Применяя к произведению [гп [<о^п]] векторное тождество [а [&с]]= =b(a・c)——c(a・b), преобразуем выражение для S к виду

« = Етл{®吸—％® ・ ％)}•(6.6)

Как видно, S зависит от(о. Поэтому dS/dt зависит в том числе и от углового ускорения е = dg/df. С другой стороны, согласно (3.40) dS/dt можно выразить через момент внешних сил относительно ЦИ. Отсюда следует, что

уравнения вращательного движения твердого тела имеют вид

dS%dS〃dSz小

R = Ms#，— = MSZi(6.7)

zde S — собственный момент импульса тела, а М§ — суммарный момент всех приложенных, к телу сил, определенный относительно ЦИ тела.

Выпишем выражения для компонент S. Учитывая, что (①・Гп)= Зх%п + со心几 十 s*n, из (6.6) получаем:

Sx = /&х + /黑①g +偿①z,

Sy - /妝Ox + 威旬 + 處Sz,(6.8)

Sz =虐①X + /纵Oy +虔①

где

偿=X % & -唠)；呦=-2 "%匕％; /0 = -X他炉病〃；

%=%%=E加"(*一喲；係=- ? %吟 (6.9)

型=喈 /界=%偿=?电d一喻

Величины (6.9) называются моментами инерции тела, опре^ деленными относительно 〃//. Последнее подчеркнуто в обо-* значениях верхним индексом (0).

Из (6.9) следует, что моменты инерции зависят от распре^ деления масс и, вообще говоря, изменяются при изменении ориентации тела относительно координатных осей. (Напомним, что при вращении хп> “几,гп изменяются со временем.). Для

сплошного тела (непрерывное распределение массы) моменты инерции определяются согласно правилу, сформулированному в начале §6.1. Например,

Соотношения (6.7) образуют систему сложных дифференциальных уравнений. Это говорит о том, что вращения твердых тел не относятся к категории простых движений. Даже вращение свободного тела может быть весьма замысловатым. Свободно вращающимся называется тело, которое в начальный момент обладает угловой скоростью и на которое не действуют

внешние силы.

Действительно, для тела произвольной формы S и о, вообще говоря, направлены по-разному, на что указывают формулы (6.8). Из них, например, следует, что Sx зависит не только от сох, но и от со^ и g)z・ Кроме того, в общем случае моменты инерции изменяются со временем. Вследствие этого сох,⑴小 Sz

оказываются переменными во времени величинами, даже если на тело и не действуют внешние силы. При свободном вращении закон изменения сох, со^, coz определяется условием постоянства S%, Sy, Sz. Из всего сказанного следует, что в общем случае ось вращения свободного тела меняет свою ориентацию в пространстве, а также может меняться и темп свободного вращения. И все это будет происходить без каких-либо внешних воздействий!

Например, свободное вращение тела конической формы происходит так, как это показано на рис. 6.4. Тело вращается вокруг собственной оси. При этом ось

вращения (она направлена вдоль о) обращается вокруг направления вектора S. Такое движение получило название регу

лярной прецессии.

В ряде случаев вращение твердых тел носит простой характер. Рассмотрим эти случаи.

寸у”о.寸у”о.Простым является вращение однородных тел сферической формы. В этом случае

寸у”о.

寸у”о.

Действительно, рассмотрим, например, шар с однородным распределением массы. ЦИ такого шара совпадает с его геометрическим центром. Тогда каждой частице с координатами

招 У、г всегда можно сопоставить другую частицу с той же массой, но с координатами, например,居 у, —г (рис. 6.5). Поэтому сумму £т几％九2九 можно разбить на пары слагаемых, которые будут отличаться друг от друга только знаком 2-координат. По величине они будут одинаковыми. Это означает, что их сумма будет равна нулю и, следовательно, 偿=燈=0. Аналогично доказывается, что Iyx = Ixy=lyz = =爲=0・ Кроме того для одно* родного шара

£ "X = X тпу1 = Z m経合 ппп

поскольку свойства шара по всем направлениям, исходящим из его геометрического центра, одинаковы. Но

£ %& + у1 + ^ = ^ 优元・

Следовательно,

X тл=2也成=2 容=!£他元.nnn〃

Это означает, что

虔=滥=僅=/(0) = у ^ m湍=const.

Величина /(°)называется просто моментом инерции шара относительно его центра инерции. Расчет дает:

严=乳内(6.10)

где R — радиус шара, am — его масса.

Формула (6.10) получается так. Предположим, что распределение массы является непрерывным. Тогда

/(°)~ -|- ^ 产р dV.

Интегрирование выполняется следующим образом. Рассмотрим шаровой слой бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г (рис. 6.6). Вклад в интеграл от этого слоя равен массе слоя, умноженной на г2. Плотность массы

4冗产办 • -^—寸R3слоя на г2 и4冗产办 • -^—寸R3слоя на г2 иинтегрируяинтегрируя

4冗产办 • -^—

寸R3

слоя на г2 и

4冗产办 • -^—

寸R3

слоя на г2 и

интегрируя

интегрируя

(величина(величинар = -г• Следовательно, масса слоя равна

(величина

(величина

4”2〃 определяет объем слоя). Умножая массу

полученное выражение по г в пределах от О до R, получим (6.10).

Для однородного шара Sx = /(①⑴黑, Sy = /(。①，Sz = /9)3z, т. e.

9 S = /(o)s = ~ mR2(a.

Следовательно, уравнение вращательного движения шара имеет вид:

2=/(。*^2需=也，

где Af$ — суммарный момент внешнихРис. б.б・

сил, действующих на шар, определен

ный относительно его центра. В частности, если шар свободно вращается, т. е. если Ms = 0, то ds/df = 0. Это означает, что

ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и

вращение является равномерным.

К числу простых относятся вращения твердых тел вокруг закрепленных осей. Движения такого типа происходят в меха

низмах, конструкция которых предусматривает вполне опреде

ленное расположение осей вращения различных узлов.

Пусть твердое тело вращается относительно закрепленной оси, ориентированной вдоль координатной оси z (рис. 6.7). При этом ось вращения может и не проходить через ЦИ тела. Именно этот наиболее общий случай мы и рассмотрим. Аналогично тому, как были получены формулы (6.8), нетрудно рассчитать

компоненты момента импульса. Рассмотрим компоненту Lz. С учетом того, что угловая скорость может быть направлена только вдоль оси г, т. е. о)= i= {0, 0, coj, получим:

厶=厶何， (6」i)

где для тела с дискретной структурой

厶2 = ?力〃储一0,

Рис. 6.8.Рис. 6.8.G=\p/2dV = \^/2sd/=^.оG=\p/2dV = \^/2sd/=^.о(6.14)(6.14)Учитывая постоянство /22, уравнение движенияУчитывая постоянство /22, уравнение движениятела с за、тела с за、крепленной осью -^^ =私 можно преобразовать к видукрепленной осью -^^ =私 можно преобразовать к виду(6.15)(6.15)

Рис. 6.8.

Рис. 6.8.

G=\p/2dV = \^/2sd/=^.о

G=\p/2dV = \^/2sd/=^.о

(6.14)

(6.14)

Учитывая постоянство /22, уравнение движения

Учитывая постоянство /22, уравнение движения

тела с за、

тела с за、

крепленной осью -^^ =私 можно преобразовать к виду

крепленной осью -^^ =私 можно преобразовать к виду

(6.15)

(6.15)

а для сплошного

2 = \ p (产一力dV.

Величина /2Z называется моментом инерции тела относительно закрепленной оси вращения. Подчеркнем, что момент инерции /22 отличается от /^. Теперь координаты точек тела Хп, f/n, 2п (для сплошного тела ——％, у, z) отсчитываются от начала координат, не совпадающего с ЦИ тела. Из рис. 6.7 видно, что 容一容=碌 +成=2，где ln — расстояние точки тела до заданной оси вращения. Очевидно, что для любой точки тела

это расстояние со временем меняться не будет. Поэтому

Izz = X mn/^ = const. (6.12)

Для сплошного тела

G= \ Р22 dlz = const.(6.13)

Приведем пример. Пусть однородный сплошной стержень вращается в

плоскости ху относительно оси 2, проходящей через один из концов стержня (рис. 6.8). Ось г перпендикулярна плоскости рисунка. Пусть масса стержня равная, а его длина L. Плотность стержня р = mlLS, где S — поперечное сечение стержня. Элемент объема стержня dV = S dZ (рис. 6.8). Следовательно, для стержня

Величина Mz называется суммарным моментом внешних сил относительно закрепленной оси, а соотношение (6.15)——уравнением вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси,

Рассмотрим подробнее величину Mz. Для простоты предположим, что на тело действует одна внешняя сила 尸.Без огра^ ничения общности можно считать, что она направлена перпендикулярно оси вращения. Действительно, составляющая силы вдоль закрепленной оси может привести только к сдвигу тела

вдоль этой оси. Поэтому эта составляющая не оказывает влияния на вращение.

Рассмотрим рис. 6.9, на котором изображена картина в плане. Ось г перпендикулярна плоскости рисунка и направлена

на читателя. Пусть точка приложения силы имеет координаты %, у, г. Тогда

Mz-=[rF]z==xFy — yFx\ x = /cosa, у = /sina;

尸％ =—尸 cos p, Fy = P sin p.

Поэтому

應=

=IF (cos asinp + sin a cos B)=

=ZFsin(a 十 6).

Ho a + В =冗 ——у. Следовательно, / sin (a + p) = / sin у = =儿 где h ——расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила. Эта величина называется плечом силы. Таким образом,

(6.16)

Заметим, что сила 尸 заставляет тело вращаться против часовой стрелки. Если бы она была направлена так, что вызванное ею вращение происходило бы в обратном направлении, то формула для Mz отличалась бы от выражения (6.16) знаком.

Таким образом, величина момента силы относительно закрепленной оси равна произведению величины силы на ее плечо. Момент силы положителен, если он вызывает вращение против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора угловой скорости. В противном случае момент силы отрицательный.

Если на тело действует несколько сил, то правая часть уравнения (6.15) содержит алгебраическую

сумму моментов сил. Знак каждого слагаемого определяется по только что сформулированному правилу.

Подсчитаем, наконец, какую работу производит сила 尸，вращающая тело вокруг закрепленной оси. Пусть под действием

силы тело повернулось на малый угол d(p (рис. 6.10). Точка приложения силы при этом сместится на расстояние dl = ld&> где / ——расстояние от точки приложения силы до оси вращения. Совершенная силой работа будет равна

dA = F dl cos ^ = Fld^ cos 屮.

Вследствие малости d(p угол между направлением смещения точки приложения силы и направлением на эту точку можно считать равным л/2. Поэтому 屮=冗一(冗/2) — 丫 =(冗/2) — у (рис. 6.10). Следовательно, / cos” = / sin у = h. Таким образом, dA = Fhd^ = Mz dtp.

Если действующая сила является потенциальной, то dA = ———dU、где dU ——малое изменение потенциальной энергии тела при повороте на угол d(p. Следовательно, dU =——Mzd^ и 也=一*.(6.17)

Эта формула позволяет определить момент силы относительно заданной оси, если потенциальная энергия тела известна как функция угла поворота.

Кинетическая энергия твердого тела

Вычислим кинетическую энергию твердого тела. Скорость любой точки тела запишем в виде (6.3), считая V скоростью ЦИ тела. Тогда в этой записи а будет радиус-вектором точки относительно ЦИ. Переобозначим а па г. Тогда скорость точки с номером 〃 будет равна

Следовательно, кинетическая энергия тела будет равна пп

=；)у?+Е”九(卩•【8%】)+^ £ 佃汽 \ n /nn

При выбранном разложении движения

2 俑 ”•麻М ) = 0.

Действительно,

£ 〃％ (V=(V •[ 8 £ ГПпГп^.

Разделив 2 m九y〃 на массу тела т — ^ тп, получим выраже- ние, определяющее радиус-вектор ЦИ тела. Однако гп по определению—это радиус-векторы точек твердого тела в СЦИ. Поэтому (^ fn^^/m = 0, так как определяет радиус-вектор ЦИ относительно самого себя.

Таким образом, оказывается, что кинетическая энергия распадается на сумму двух членов:

Т = & + 7\р, где

= Твр =4 2 佃(®卜 (6.18)

Величина 丁口 определяет кинетическую энергию поступательного движения твердого тела. Величина Твр, зависящая от угловой скорости, определяет кинетическую энергию вращения твердого тела относительно ЦИ. В том, что кинетическая энергия оказывается суммой энергий двух независимых движений ——поступательного и вращательного, заключается еще одно преимущество выбора центра вращения в ЦИ тела.

Рассмотрим энергию Гвр. Воспользуемся векторным тождеством

(®Н • [cd]) = (a・c)(b・d) — (a・d)(b・c).

Полагая а = с =(^ и b = d = гп, получаем:

([%])』([%]•[%]) = з储 一 з •乙 У・

Подставляя сюда % =% + 成 + 戏 h з •%)=吗乙 + %% + s/出 после несложных вычислений преобразуем (6.18) к виду

T即=；(再偿+ %圖+*増+ 2叫%/*+ ^z^ + 23严J》.

(6.19)

В этом выражении моменты инерции определяются формулами (6.9).

В тех случаях, когда уравнения вращательного движения имеют простой вид, упрощается и выражение для кинетической энергии Гвр. Так, для однородных тел сферической формы, для которых 7^ = lyz = 1x1 = 0, а 1хх = 1{уу = /zz == /(0), имеем:

% = $ W И + +(6.20)

где(о ——величина угловой скорости. Например, для однородного шара массой т, радиус которого равен R [см. (6.10)],

Твр =書 mR2<^t

Получим кинетическую энергию вращения тела вокруг закрепленной оси. Обсудим общий случай, когда ось не проходит через ЦИ. Тогда энергия Твр по-прежнему будет определяться выражением вида (6.19), однако с другими моментами инерции, которые мы условились обозначать буквой / без верхнего индекса (0). Пусть ось вращения совпадает с координатной осью 2. Тогда ю = {0, 0, o)z}・ Следовательно, в этом случаеПолучим кинетическую энергию вращения тела вокруг закрепленной оси. Обсудим общий случай, когда ось не проходит через ЦИ. Тогда энергия Твр по-прежнему будет определяться выражением вида (6.19), однако с другими моментами инерции, которые мы условились обозначать буквой / без верхнего индекса (0). Пусть ось вращения совпадает с координатной осью 2. Тогда ю = {0, 0, o)z}・ Следовательно, в этом случае(6.21)(6.21)Например, энергия однородного стержня длиной L и массой т,Например, энергия однородного стержня длиной L и массой т,вращающегосявращающегосявокруг закрепленной оси, проходящей через один из концов стержня (рис. 6.8), равнавокруг закрепленной оси, проходящей через один из концов стержня (рис. 6.8), равнаТврТврПри этом мы (6.14).3. ВышеПри этом мы (6.14).3. ВышеmL2 ° mL2 9丁色=丁①2mL2 ° mL2 9丁色=丁①2воспользовались формулойвоспользовались формулойнеоднократно подчеркива-неоднократно подчеркива-лось, что моменты инерции зависят от того, какая точка выбрана за центр вращения и где проходит закрепленная ось. Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе оси вращения. При этом ограничимся случаем, когда оси являются закрепленными.Пусть тело вращается вокруг закрепленной оси г, которая не проходит через ЦИ и удалена от него на расстояние алось, что моменты инерции зависят от того, какая точка выбрана за центр вращения и где проходит закрепленная ось. Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе оси вращения. При этом ограничимся случаем, когда оси являются закрепленными.Пусть тело вращается вокруг закрепленной оси г, которая не проходит через ЦИ и удалена от него на расстояние а

Получим кинетическую энергию вращения тела вокруг закрепленной оси. Обсудим общий случай, когда ось не проходит через ЦИ. Тогда энергия Твр по-прежнему будет определяться выражением вида (6.19), однако с другими моментами инерции, которые мы условились обозначать буквой / без верхнего индекса (0). Пусть ось вращения совпадает с координатной осью 2. Тогда ю = {0, 0, o)z}・ Следовательно, в этом случае

Получим кинетическую энергию вращения тела вокруг закрепленной оси. Обсудим общий случай, когда ось не проходит через ЦИ. Тогда энергия Твр по-прежнему будет определяться выражением вида (6.19), однако с другими моментами инерции, которые мы условились обозначать буквой / без верхнего индекса (0). Пусть ось вращения совпадает с координатной осью 2. Тогда ю = {0, 0, o)z}・ Следовательно, в этом случае

(6.21)

(6.21)

Например, энергия однородного стержня длиной L и массой т,

Например, энергия однородного стержня длиной L и массой т,

вращающегося

вращающегося

вокруг закрепленной оси, проходящей через один из концов стержня (рис. 6.8), равна

вокруг закрепленной оси, проходящей через один из концов стержня (рис. 6.8), равна

Твр

Твр

При этом мы (6.14).

3. Выше

При этом мы (6.14).

3. Выше

mL2 ° mL2 9

丁色=丁①2

mL2 ° mL2 9

丁色=丁①2

воспользовались формулой

воспользовались формулой

неоднократно подчеркива-

неоднократно подчеркива-

лось, что моменты инерции зависят от того, какая точка выбрана за центр вращения и где проходит закрепленная ось. Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе оси вращения. При этом ограничимся случаем, когда оси являются закрепленными.

Пусть тело вращается вокруг закрепленной оси г, которая не проходит через ЦИ и удалена от него на расстояние а

лось, что моменты инерции зависят от того, какая точка выбрана за центр вращения и где проходит закрепленная ось. Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе оси вращения. При этом ограничимся случаем, когда оси являются закрепленными.

Пусть тело вращается вокруг закрепленной оси г, которая не проходит через ЦИ и удалена от него на расстояние а

(рис. 6.11). Кинетическая энергия такого движения будет равна

где со — величина угловой скорости, a /2Z — момент инерции тела относительно заданной оси. Вращение вокруг оси г можно представить как поступательное перемещение твердого тела со скоростью его ЦИ и вращение вокруг оси 2‘，проходящей через ЦИ и параллельной оси 2± При этом, вследствие абсолютного хараю

тера угловой скорости, вращение вокруг оси 2’ будет приисхо^ дить с той же угловой скоростью, что и вращение вокруг оси z. Такое разложение вращения вокруг оси г схематически изображено на рис. 6.12. На нем представлена картина в плане.

Кинетическая энергия поступательного движения ЦИ равна m 1/2/2, где т — масса тела. При этом V — это скорость, с которой движется ЦИ, вращаясь вокруг оси г. Следовательно, V == за. Кинетическая энергия вращения твердого тела относительно оси z‘, проходящей через ЦИ, равна /^? • со»?. Таким образом,

/2го? mV1 /熙21 / °с、、。

тBр = -2= ~212~~ ~ "2 (团a2 + /??)①•

Отсюда получаем:

&=偿+m片(6.22)

Эта формула определяет искомую связь между моментом инерции относительно произвольной оси и параллельной ей оси, проходящей через ЦИ тела. Расстояние между осями равно а. Формула (6.22) показывает, что из всех моментов инерции нан- меньшим является момент, определенный относительно оси, проходящей через ЦИ тела.

ГЛАВА 7

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Одномерный гармонический осциллятор

Колебания являются широко распространенным видом движения и наблюдаются в системах самой разнообразной природы. Колебания относятся к процессам, точно или приблизительно повторяющимся через одинаковые промежутки времени. При механических колебаниях повторяются, например, изменения положений и скоростей тел. Электрические колебания ——это повторяющиеся изменения напряжений и сил токов в электрических цепях, изменения электрического и магнитного полей вокруг этих цепей. Существуют также «смешанные» колебания. Они происходят, например, в электроакустических преобразователях —устройствах, преобразующих энергию механических колебаний в электрическую и наоборот. Примерами таких устройств являются громкоговорители и микрофоны.

Несмотря на разную физическую природу,

в колебаниях обнаруживаются одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами.

Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той функции времени f, которая описывает изменение той или иной физической величины при колебаниях. Наиболее важными (в этом мы вскоре убедимся) являются гармонические колебания. Гармоническое колебание описывается периодическим законом

自⑴(/) = a cos (со/ + 瓦).(7.1)

Здесь ^(t) характеризует изменение какой-либо физической величины при колебаниях. Например, ^(t) может быть смещением маятника от положения равновесия, мгновенным значением заряда на конденсаторе в электрическом колебательном контуре, плотности воздуха в поле звуковой волны, напряженности электрического поля в электромагнитной волне и т. д.

Система, закон движения которой имеет вид (7.1), называется одномерным классическим гармоническим осциллятором

или сокращенно классическим осциллятором. Его характеризуют следующие величины. Циклическая частота з определяет период колебания, т. е. время одного колебания. Если Т — период колебания, то

Т=^.(7.2)

Легко проверить, что функция (7.1) удовлетворяет условию периодичности: ^(t + Г) = ^(/) (рис. 7.1).

ний в единицу времени. Эта величина называется частотой колений в единицу времени. Эта величина называется частотой колеОчевидно, что отношение v = 1/Т определяет число колеба

ний в единицу времени. Эта величина называется частотой коле

ний в единицу времени. Эта величина называется частотой коле

баний и она равна

ТТ・(7・3)

Размах колебаний определяется амплитудой а. Амплитуда равна абсолютному значению наибольшего отклонения.

колебаний, а 0о = const — начальной фазой. Фаза однозначноколебаний, а 0о = const — начальной фазой. Фаза однозначноАргумент косинуса 0 = =(о/ + 0о называется фазой

колебаний, а 0о = const — начальной фазой. Фаза однозначно

колебаний, а 0о = const — начальной фазой. Фаза однозначно

определяет значение колеблющейся величины.

Частота v измеряется в сек-1. Частота v = 1 сек"1 называется герцем (Гц). Кроме этой единицы широко употребляются килогерц (кГц) и мегагерц (МГц): 1 кГц = 103 Гц, 1 МГц = =106 Гц.

В технических приложениях всегда говорят о частоте v. Именно ее имеют в виду, говоря, например, что радиопередача ведется на частоте 1 МГц. При теоретическом рассмотрении удобна циклическая частота з, которую в дальнейшем сокращенно мы будем именовать просто частотой, хотя на самом деле она в 2л раз больше той, о которой говорят инженеры. Об этом надо постоянно помнить!

Дифференцируя дважды по времени (7.1), находим:

出患=-国a cos ®/+ 60)=-掇自①(/).

Уравнение

-^^ + ^(0=0(7.4)

называется уравнением одномерного классического гармонического осциллятора с частотой(о. Важным свойством этого уравнения является линейность. Оно содержит функцию g(o(f) и ее вторую производную по времени в первой степени. Для линейных уравнений справедлив принцип суперпозиции. Он гласит,

что если Е^)(/) и ^} (/) — два решения линейного уравнения, то решением является также и любая линейная комбинация

C^(i) + C^(t\

где Ci и G — произвольные (в том числе и комплексные!) постоянные. Кроме того, если Ез(/)—решение уравнения, то и С&з(£), где С = const, также является решением.

Уравнение (7.4) имеет второй порядок. Поэтому у него есть два независимых решения. Одно из них — это функция (7.1). Другим независимым решением является a sin((o/ + 0о), в чем легко убедиться прямой подстановкой. Следовательно, согласно принципу суперпозиции решением уравнения (7.4) будет любая линейная комбинация

&q cos (①/ + 00) + С2a sin (со/ + %)•

Часто полагают, что Ci = 1, С2 = —— i^ Тогда ока

зывается, что решением уравнения (7.4) является функция

办(/) = a cos (о/ + 0О) — ia sin (со/ + %), которая согласно формуле Эйлера e-E = cosx——i sin x можег быть записана в виде

Wg (0 = ae-‘(竝+仇).(7.5)

Такой формой записи закона гармонического колебания широко пользуются. Это связано с удобством проведения вычислений с выражениями вида (7.5), что обусловлено простыми свойствами экспоненциальной функции. Так, экспоненциальная зависимость сохраняется при дифференцировании и интегрировании. Разумеется, наблюдаемые значения каждой физической величины вещественны. Нетрудно видеть, что наблюдаемый закон гармонических колебаний (7.1) легко получить из представления (7.5). Именно, первый является вещественной частью второго. Это записывают так:

Ез (0 = Re % (/), где Re — часто употребляемый символ для обозначения вещественной части комплексной величины.

Принцип суперпозиции не накладывает ограничений на величину амплитуды колебаний. Однако они все же есть и обусловлены областью применимости гармонического приближения к колебаниям. Эта область исчерпывается только малыми колебаниями. Разъясним, что это означает.

Осциллирующие системы достаточно широко распростра-* йены. Этим они обязаны следующему свойству. Оказывается, что потенциальная энергия многих систем имеет «провалы»

типа потенциальных ям. Например, именно такова энергия взаимодействия нейтральных атомов и молекул (см. рис. 2.22). А как мы знаем (см. § 3.3), в этих случаях возможны периодические движения, к числу которых относятся и колебания.

Ограничимся рассмотрением одномерного движения в некоторой потенциальной яме. Она изображена на рис. 7.2, и на нем %о обозначает положение равновесия частицы. Потенциальную энергию частицы U (х) можно представить степенным рядом:纲

U (х)=ап (х — %о)" = £ а点“.\ т 占 /

% в °П = 0р \ ^ >{ у

Здесь I = х — хо — смещение частицы ] <|?

от положения равновесия, а ап — по-~\/

стоянные коэффициенты. Прямым вы- п числением нетрудно убедиться в том, * j что

1 d〃U IРис. 7.2.

Заметим теперь, что в точке х = х0 потенциальная энергия U (х) имеет минимум (рис. 7.2). Поэтому

dV I"% 丄=оdV I"% 丄=о=0.=0.

dV I

"% 丄=о

dV I

"% 丄=о

=0.

=0.

Таким образом, оказывается, что

u⑴=u(喲+ 4•罢書и’6)

Предположим, что отклонения g от положения равновесия малы. Критерием является незначительность изменения при этом потенциальной энергии. Тогда в разложении (7.6) можно пренебречь всеми членами, за исключением первых двух. В этом случае получаем, что с высокой точностью

Следовательно, действующая на частицу сила равна

dU = dU = d2U J

и уравнение движения частицы имеет вид

т

d2x (/) _d产

=F

d2U

Ix = Xq

где т — масса частицы. Легко видеть, что уравнение (7.7) приводится к виду уравнения движения осциллятора с частотой

з 1f = лА 請 L。 (7・8)

Это приведение осуществляется путем подстановки в левую часть уравнения % =三十工。и простых алгебраических преобразований.

Таким образом, мы действительно убедились в том, что при малых отклонениях от положения равновесия движение в одномерной потенциальной яме носит характер гармонических колебаний. Кроме того мы установили, что частота таких колебаний зависит только от свойств самой системы. Именно поэтому ее часто называют собственной частотой системы.

Если отклонения от положения равновесия не являются малыми в указанном выше смысле, то в разложении (7.6) уже нельзя ограничиваться только первыми двумя членами. Тогда уравнение движения будет уже нелинейным. Например, при сохранении в правой части (7.6) первых трех членов получаем:

г， du dUd2U I ?1 成u I ..2

В этом случае уравнение движения частицы приводится к виду 礬+喷=击需69)

Уравнение (7.9) содержит ^2 и поэтому является нелиней^ ньш.

Колебания, описываемые нелинейными уравнениями, называются ангармоническими. Для таких колебаний принцип суперпозиции уже не выполняется. Например, заменив g на eg, где с ——произвольная постоянная, мы увеличим левую часть уравнения (7.9) в с, а правую — в с? раз и равенство (7.9) нарушится.

Общим, т. е. справедливым для колебаний любой природы, является следующее важное положение:

применимость гармонического приближения 〃 принципа суперпозиции к колебаниям ограничена областью малых колебаний, энергии которых с высокой точностью квадратично зависят от отклонений от равновесных состояний.

Рассмотрим некоторые из осцилляторов.

Движение частицы под действием силы упругости. Эта система изображена на рис. 7.3. Предполагается, что силы трения малы и ими можно пренебречь. Согласно (2.36) потенциальная энергия частицы, смещенной на g от положения равно-

весия, равна U =左廿/2, где 力一коэффициент упругости пружины. Следовательно,

d2〃 I d2U I 厶

и

з = “必九(7.10)

К задаче рассмотренного типа сводятся задачи о колебаниях атомов в двухатомных молекулах. Каждая молекула является

无无

无

无

Рис. 7.4.Рис. 7.4.

Рис. 7.4.

Рис. 7.4.

I Одень хорошая iсмазнаРис. 7.3.

системой двух тел и характеризуется приведенной массой т — =优巾2/(团1 + 团2), где mj и 团2 — массы атомов. Масса т и определяет частоту колебаний. Например, для молекулы NaCl 加=2,33・10一26 кг, а наблюдаемая частота со = 7,16-1013 сек-】.

По этим данным с помощью (7.10) можно оценить коэффициент

упругости 右，характеризующий, насколько жесткой является связь атомов в молекуле NaCl: k = =120 Н/м2.

Математический маятник. Им называется система, изображенная на рис. 7.4. Она состоит из частицы массой т, подвешенной в поле тяжести к определенной точке на невесомой нити или невесомом стержне длиной L. Невесомость означает, что масса нити или стержня намного меньше т.

При отклонении на малый угол ф от положения равновесия потенциальная энергия маятника равна

U (ф) — ^g无=mgL (1 ——cos ф)=

=2mgL sin2 у 生；零4.屮2,

поскольку при малых ф можно положить sin (q)/2) ^(р/2. В данном случае роль смещения играет длина дуги & = £屮，так что

U⑹=赛已

Отсюда находим, что

#0J _ mg

Подставляя это значение в (7.8), находим математического маятника:

s = “g/L・

собственную частоту

(7.П)

8)Физический маятник. Его образует шенное в поле тяжести на закрепленной

твердое тело, подве- горизонтальной оси,

которую примем за ось 2 (рис. 7.5). Уравнением движения тела является соотношение (6.15). Так как (ог = =d&]dt, то (6.15) представимо в виде

Мы видим, что оно подобно уравнению одномерного движения частицы. В нем роль массы частицы играет момент инерции тела %, роль координаты частицы—угол отклонения ф, роль силы — момент силы Mz. Это означает, что мы вправе воспользоваться формулой (7.8), заменив в ней массу на (z и найдя вторую производную потенциальной энергии тела U по углу <р при ф = 0. Эту производную найдем с помощью

(6.17):

dqp2 I”。 d^ I”。

Момент Mz он равен

создается силой тяжести (рис. 7.5), и при малых ср

Мг — — mgh =——mga sin 屮 ^ ——mgaqp,

где а — расстояние от центра инерции тела до оси подвеса, а m — масса тела. Таким образом,

=mga.

Окончательный результат таков: собственная частота физи-* ческого маятника равна

8="雯，(7•⑵

Формула (7.12) показывает, что колебания возможны лишь в том случае, когда ось подвеса не проходит через центр инер- ции тела. Если известно значение момента инерции 朗 отно< сительно оси, проходящей через центр инерции тела, то на

основании (6.22) формулу (7.12) можно записать в виде

ззmga吧+ m?mga吧+ m?(7.13)(7.13)

з

з

mga

吧+ m?

mga

吧+ m?

(7.13)

(7.13)

Характерной чертой гармонического осциллятора является следующая:

Средние значения кинетической и потенциальной энергии гармонического осциллятора равны друг другу 〃 каждое из них составляет половину полной энергии {отсчитываемой от значения энергии покоя).

ттттПодтвердим это примером. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 7.3. Учитывая периодичность движения, средние значения определяют как сумму всех мгновенных значений за один период Г, отнесенную к его длительности. Обозначая средние значения потенциальной и кинетической энергии через 々廿/2 и mv2/2, получаем:

тт

тт

Воспользуемся формулой (7.1). Тогда

и =警=祭=—as sin (з/ + 瓦)，

Г2n/a)

硅2 — 1 f ka2 cos2 (sf + 0O) - — co f ka2 cos2 ®f + Oo)片

丁 = У J2 或=后 J2 或，

о0

т2л/(о

my2 — 1 £ та?^ Sjn2 (皿十 00)丿 8 f ma2a)2 sin2 (cof + 60)

=T J2 或=GT J2

00

Интегрируя и учитывая (7.10), находим:

店三2 俏标 巾出0)2 _2~ = -4~ ,

Полная энергия осциллятора (без учета энергии покоя) равна

/=^ + _^ = #sin2®/ + e°) + ^C0s2(3/ + a)= "*

(7.14)

Следовательно,

^2

ши2 歩

2

2

2 *

Одномерный осциллятор с трением. Затухающие и вынужденные колебания

Все рассмотренные в предыдущем параграфе осциллирующие системы являются идеализированными, поскольку не принимались во внимание силы трения. В реальных системах они всегда действуют. Рассмотрим, к чему это приводит.

Пусть осциллятором является частица массы т, закрепленная на пружине (рис. 7.3). Предположим, что частица движется вдоль оси х в вязкой среде ——жидкости или газе, которая оказывает сопротивление, описываемое законом Стокса (2.26). Тогда помимо силы упругости F =——々己 на частицу будет действовать сила трения

/dxd±

где v ——скорость частицы. Поэтому уравнение движения осциллятора с трением имеет вид

или

窑+2Y鲁十脸=0,(7.16)

где со2 = klm н у = а/2т. Уравнение (7.16) однородно и его решение имеет вид еи. Действительно, подставляя е&* в (7.16), получаем равенство

0"，(入2 + 2Y九 + co2) = 0.

Оно справедливо при всех f, если

炉十2Y九十①2 = 0.

Корнями этого уравнения являются

储,2 = —Y 士 “Y‘一①幺

Следовательно, вид общего решения уравнения (7.16) таков:

自=自⑺=施入"+ Be% = e-Y，｛/e"7^，+ 庆一"讨1(7.17)

где А и В ——произвольные постоянные интегрирования.

Соотношение между у и со определяет характер движения. При у》з движение является апериодическим. Это случай так называемых больших сил трения (напомним, что у пропорционально коэффициенту сопротивления а). В этом случае положение частицы монотонно приближается к равновесному. Действительно. при у > со показатели экспонент, стоящих в фигурных

скобках выражения (7.17), являются вещественными числами. Вещественными должны быть А и В. Иначе смещение g будет комплексным, что физически абсурдно. Так как при y ^ о величина —у 土 “у? — со? V 0, то W(f) будет монотонно убываю^ щей по величине функцией времени. Ее график при 4 4"В>0 изображен на рис. 7.6. Физическая причина такого поведения заклю-§(9八

чается в том, что большая сила тре-木卜

ния не позволяет развиться колеба- | к тельному процессу. Сила трения 4+8 столь «успешно конкурирует» с си- I

лой упругости, что со временем ско- "- 7

рость частицы только монотонно

убывает. Положение частицы изме-Рис, 7-6-

няется тоже монотонно, прибли

жаясь к равновесному. Никаких колебаний при этом не возникает. Этот эффект используют в различных демпфирующих устройствах.

При у V со движение частицы носит характер затухающих колебаний с частотой

— у2.(7.18)

Действительно, в этом случае “у? —a)2 = io/・ Тогда (7.17)' определяет функцию

" =自 0) = L {Ae^ft + 反一"、

(7.19)(7.20)(7.19)(7.20)которая преобразуется к виду

(7.19)

(7.20)

(7.19)

(7.20)

£(/) = 〃") cos(o// + 0О), где

а (/) = aQe~^

и 的 и 0о — постоянные. Таким образом, при условии у Vs закон движения носит периодический характер. Движение заключается в колебаниях с частотой о/, но с амплитудой, убывающей во времени (рис. 7.7). Закон убывания определен формулой (7.20) и на рис. 7.7 изображен пунктиром.

Докажем справедливость (7.19). Смещение g является вещественной ве* личиной. Это означает, что g = g*, где звездочкой обозначено комплексно сопряженное значение. Условие g = Е* будет выполнено, если

4е'з" + Вет®" = (Ае^^ + 灰一心々)* = {、一加” + В*/"'.

Отсюда следует, что А = 8*, 4* = В. Поэтому

+ Ве~~ 心't = 4W + 力*叱

Представим комплексное число А в тригонометрической форме 4=Т-е'"°, где ао/2 — модуль комплексного числа Д, а 0о — его аргумент. Тогда

f 力 + АЧ~^4f 力 + АЧ~^4/(g-+他 _6-心'力一出。

f 力 + АЧ~^4

f 力 + АЧ~^4

的2= a0 cos ®'f + 备).

При апериодическом и периодическом затухающем движении закон затухания зависит от значения у. Поэтому постоянная Y называется коэффициентом затухания.

Остановимся более подробно на затухающих колебаниях. Как показывает формула (7.18), частота осциллятора с трением меньше частоты гармонического осциллятора (о・ Следовательно, период затухающих колебаний

Причина очевидна: трение тормозит движение. Если, од^ нако, 丫《з, то различием ме

жду ①‘ и со, а также между Т‘ и Т можно пренебречь. В этом случае с точностью до величин второго порядка малости s' = wt 厂=Г.

Очевидно, что при наличии трения энергия осциллятора будет уменьшаться, превращаясь в тепло, выделяющееся в среде, в которой происходят колебания. Величиной, характеризующей энергетические потери такого рода, является добротность.

Добротностью называют умноженное на 2л отношение запасенной энергии к величине средней энергии, теряемой за один период колебаний. Добротность безразмерна.

В качестве примера в таблице 3 мы приводим значения доб^ ротности некоторых осцилляторов.

Таблица 3

Осциллятор

Добротность

Сейсмические колебания

Скрипичная струна

Колебания электронов в атомах

Лазер

Колебания в возбужденном атомном ядре FeS7

25-1400

103

107

1012

3-1012

e~-Y «+「)_ 0-丫£e~-Y «+「)_ 0-丫£e-中e-中=1=1-1 "一陪《L-1 "一陪《L

e~-Y «+「)_ 0-丫£

e~-Y «+「)_ 0-丫£

e-中

e-中

=1

=1

-1 "一陪《L

-1 "一陪《L

При достаточно малых потерях добротность выражается через частоту со и коэффициент затухания у по формуле

Q = со/2у.(7.21)

Докажем (7.21). Для этого рассмотрим, как изменяется со временем среа“ нее за один период значение энергии затухающего колебания в том случае, когда потери можно считать малыми, т. е. при у《(о. Среднее за период значение энергии равно

方=/г \醫曲где醫=-^- +号-=号（М +時2）. о

Подставляя сюда (7.19) и (7.20), а также

V = -^- = -^ (аgе~^ cos of)=——"0Yё一y' cos ①/ -的①0-?' sin sf

(для упрощения начальную фазу 0О мы положили равной нулю), получим сумму четырех интегралов. Заметим теперь, что в каждом из них еТ‘ можно с высокой точностью считать постоянной величиной. Действительно, при Y《со относительное изменение этого множителя за один период Т = 2л/з равно

2ЛY

=е~уТ — 1 = е s — 1 =

Здесь мы воспользовались представлением е* = 1 + % 十…

Таким образом, в интегралах, определяющих 齒，множитель е7 можно вынести за знак каждого интегрирования. Выполняя уже после этого интегрирование, получим:

(7.22)(7.22) 2co2

(7.22)

(7.22)

疗⑺=囲(0)- e~^t где 吝(0) = —~

Из (7.22) следует, что в единицу времени среднее значение энергии затухающих колебаний изменяется на величину

喀二-2Y项

Уменьшение же энергии за каждый период будет происходить на величину

?.嘗"=2Y而=包評

Отсюда следует, что добротность равна

2Я-|5&| 2丫

что и требовалось доказать.

Так как в реальных системах происходят потери энергии, то для поддержания колебаний необходимо извне пополнять энергию осциллятора. Особенности движения в этом случае таковы. Рассмотрим, например, частицу, способную совершать одномерное движение вдоль оси %. Пусть помимо силы упругости и трения на нее действует еще внешняя или, как ее часто называют, вынуждающая сила R, изменяющаяся по гармоническому закону:

R = R (/) = Ro cos Q/.

Величина Q называется частотой, а R。——амплитудным значением вынуждающей силы. Уравнение движения для частицы массой т, испытывающей действие всех перечисленных сил, имеет следующий вид:

m吃^ =尸+尸’ + R =一魅一а嚼■+R0cos Q/.

Перепишем его иначе:

器 + 2丫 崇 + 国己=「° cos Qf,(7.23)

где

у = a/2/и, со2 = h[m, r0 = RJm.

Полученное соотношение является неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение является суммой общего решения однородного уравнения (7.16) и частного решения неоднородного уравнения. Решение уравнения (7.16) было найдено в предыдущем пункте. Оно описывает затухающее движение. Поэтому по истечении достаточно большого промежутка времени решение уравнения (7.23) будет совпадать с частным решением. Описываемый им режим движения называется установившимся режимом вынужденных колебаний. Найдем закон этого движения.

Восполозуемся следующим приемом. Величина cos С/ является вещественной частью e'Q' = cos Qf + i sin Cf. Поэтому решим сначала уравнение

募 + 2Y * + 心屮=m也(7.24)

Потом по известному 屮=屮(£) найдем закон движения по фор； муле 自=自(f) = Re гр⑴.

Ищем решение уравнения (7.24) в виде

w(0 =w0ё出".

Подставляя его в уравнение (7.24), получаем равенство

““Wo { — Q? + 2/yQ +(о2} = rQeiQt.

(7.25)(7.25)Следовательно,

(7.25)

(7.25)

屮о — d — Q2 十 2iyQ •

(7.26)части часто(7.26)части частоУмножив числитель и знаменатель этого выражения на —Q2 一 2iyQ, получим:

(7.26)

части часто

(7.26)

части часто

. —Го (со2 — 02 — 2/yQ)—(О2 Q2 — 2/yQ

屮° =(心—Q2 + 2,yQ) (d — Q2 - 2，yQ) = Г° (Q2 - 0)2)2 + 4y2Q2 •

Теперь легко найти действительную (Re 屮。)и мнимую комплексной величины 屮°. Для обозначения последней

используется символ Im. Это обозначение примем и мы. Из (7.26) следует, что

п…—(o2-R2т~ I.2yQ

Ke 屮。r0 (Q2 -炉产 + 4y2Q2 * ]m 中0 =—r0 (Q2 - d产十 4y2Q2 -

Определим теперь модуль а0 и аргумент 0о комплексного числа 5：

的=а0 (◎) = “(Re Фо)2 + (Im 5)2 = / 产 ：：2；，不=*О-27)

V(QJ — 0)2)2 + 4y2Q2

00 = 90 (Q) = arctg ^ ^° = arctg ^2 2^О2 •(7.28)

Через них 屮。выражается так: г])0 = aQeie°. Поэтому

2 (0 = WoC’Q" = a。(Q) c"Q£+e。&)】，

и решение уравнения (7.23) имеет вид

自=& С) = Re 屮⑺=& (Q) cos 倒 + e0 (Q)].(7.29)

Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, причем амплитуда колебаний зависит от частоты Q. Величина e°(Q) опре^ деляет разность фаз смещения 自«) и вынуждающей силы R«).

Рассмотрим эти зависимости. Из (7.27) следует, что a0(Q), имеет максимум. Точка максимума является точкой минимума

выражения (Q2 — со2)2 + 4у2й2 и определяется из условия 詣{(Q2 一 喲2 + 4y2Q2} = 4Q (Q2 一 心 + 2产)=0

Это равенство выполняется при Q = 0 и Q = Q" = «g)2 — 2y.

Если (0<丫“2, то второе значение является мнимым и физического смысла не имеет. В этом случае максимальное зигрение амплитуды достигается при С = 6, т. е. в отсутствие колебаний. При Q = 0 на частицу действует постоянная внешня兌 сила, равная Ro, которая смещает частицу на расстояние ^o(0)cos 0о (0) = а()(0) = г0/о)2. Если Q =И= 0, то с увеличением частоты а()(0) монотонно уменьшается. Это означает, что при £2 У= 0 движение носит характер гармонических колебаний, раз

мах которых плавно уменьшается с возрастанием частоты вы

нуждающей силы. Такой характер носит движение при доста

точно большом трении (очень вязкие среды).

Качественно иной характер движение имеет при малом трении. В этом случае a0(Q) достигает максимального значения при Q = QP = = «0)2—2丫2(рИ& 7.8). В случае очень слабого трения, когда y/о)《1, значение Qp практически совпадает с собственной частотой осциллятора (О.

Явление резкого возра

стания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей

силы к частоте Qp называется резонансом. Частота Qp называется резонансной, a a0(QP) = ар называется амплитудой коле- баний в резонансе.

ГоГоПри 丫《1При 丫《12у V(o2 — 丫2 2уо/2у V(o2 — 丫2 2уо/ар = г()/2уз・ар = г()/2уз・(7.30)(7.31)(7.30)(7.31)Амплитуда в резонансе равна [см. (7.27)]

Го

Го

При 丫《1

При 丫《1

2у V(o2 — 丫2 2уо/

2у V(o2 — 丫2 2уо/

ар = г()/2уз・

ар = г()/2уз・

(7.30)

(7.31)

(7.30)

(7.31)

При установившемся движении энергия осциллирующей системы остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает от источника внешней силы энергию, которая вос< полняет потери, расходуемые на преодоление трения. Найдем, чему равна средняя энергия, поглощаемая в единицу времени^

При смещении частицы на dx = dg внешняя сила совершит ра« боту R dx = R dg. Работа, совершенная в единицу времени, будет равна R^ = Rvt если dt — время, за которое произошло смещение. Следовательно, среднее значение поглощаемой в единицу времени энергии будет равно

г

о

Здесь усреднение производится по одному периоду колебаний Т = 2n/С. Подставляя в этот интеграл выражение для R и для dt/dt. которое согласно (7.29) равно —а0(^) -Q sin[Q/ + 0о(Й)], получаем:

г

0 =夕⑼=一 RoQa。(Q) у- J cos Qf • sin 倒 + 60 (Q)J 必.

0

После интегрирования находим:

0 = 0 (Q) = —^ /?о^^о (Q) sin 90 (Q).

Согласно тождеству sinarctgx = х/V^ + ^2 имеем:

sin 0O (Q) = sin arctg—2?", .….12y身=

& Q2 一①2"(Q2 -d尸+4Y」/

=—2丫叫二у =(Q).

r0V(^2-w-)2 + 4Y2^ r0

Поэтому с учетом равенства 厂о = RJm получим:

勿=夕(Q) = _ 丫团[Qa0 (Q)]2.(7.32)

Таким образом, поглощаемая в единицу времени энергия зависит от частоты Q.

Так как a0(Q) имеет резонансный пик — максимум, то 0(C) имеет резонансный пик — минимум (рис. 7.9). Поэтому измерения зависимости поглощенной энергии от частоты позволяют обнаружить резонансные явления и установить собственные частоты осциллирующих систем.

Приведем пример. В инфракрасной области спектра частот наблюдается поглощение электромагнитной энергии кристаллами поваренной соли. Максимум поглощения приходится на частоту V = 4,91 • 1012 Гц. Ширина полосы поглощения имеет такой же порядок. Механизм этого явления заключается в следующем. Кристалл поваренной соли «сконструирован» из по“ ложительно заряженных ионов Na и отрицательно заряженных

ионов С1. Эти частицы совершают тепловые колебания. Попав в поле электромагнитной в<>лны, ионы Na и С1 приходят в режим вынужденных колебаний. Наличие поглощения в указанной выше области частот говорит о том, что среди колебаний частиц поваренной соли имеются такие, частоты которых груп-

Рис. 7.9.Рис. 7.9.пируются около значения 4,91 • IO】？ Гщ

Рис. 7.9.

Рис. 7.9.

Отметим, что на частотах инфракрасного диапазона спектра, выходящих за пределы отмеченного интервала, поглощение отсутствует. В свое время это обстоятельство было использовано при создании ла« зеров (оптических квантовых генераторов), излучающих электромагнитную энергию на частоте порядка 3-1013 Гц. Из кристаллов NaCl изготовля

лись окна, через которые осуществлялся вывод электромагнитной энергии из рабочего объема лазера.

Рассмотрим поведение разности фаз 0О(Й). График функции (7.28) изображен на рис. 7.10. Он показывает, что смещение

W(f) отстает по фазе от вынуждающей силы. При резонансе отставание близко к л/2 и в случае очень малой силы трения, т. е. при у/з《1, с очень большой точностью равно л/2. Такое отставание по фазе в резонансе объясняется следующим образом. При y/(d《1 закон движения в резонансе имеет вид

& (/)=旬 cos(Q/ —= % sin Qf.

Следовательно,

? = % =祭=0咫05 Qf.

Сравнивая эту величину с R(f), видим, что в резонансе фаза внешней силы совпадает с фазой скорости. Иначе и быть не

может! Только в этом случае должен резко возрастать размах колебаний, ибо частица получает толчки в надлежащие моменты времени и в надлежащих положениях. Например, когда положение частицы нулевое, то скорость максимальна и именно в этот момент в направлении движения частицы действует максимальная сила R。.

Следует иметь в виду, что к наблюдаемым резонансным явлениям установленные выше соотношения применимы в области применимости гармонического приближения. Действительно, в основу было положено уравнение движения (7.23). Вид его левой части записан в предположении, что при отсутствии трения и внешней силы система является гармоническим осциллятором. Для реально происходящих явлений это условие часто нарушается. Возникают существенно нелинейные эффекты, которые могут приводить даже к разрушению системы. Напомним популярную историю о рухнувшем мосте, по которому мерным шагом с резонансной частотой проходил полк солдат.

Колебания в системах с несколькими степенями свободы

Рассмотренные в двух предыдущих параграфах закономерности являются простейшими в том смысле, что они характеризуют свойства изолированного колебания. Такие колебания происходят в системах с одной степенью свободы. Именно к числу таких систем относятся все ранее рассмотренные осцилляторы. Частица в поле силы упругости, способная перемещаться лишь в одном х-направлении, имеет только одну степень свободы, которая описывается х-координатой частицы. Математический и физический маятники, колеблющиеся в заданной плоскости, также имеют одну степень свободы. Она характеризуется углом отклонения ср.

Переход от одного осциллятора к системе с несколькими степенями свободы приводит к качественному изменению.

В системе с несколькими степенями свободы, возможны колебания с разными частотами. Их совокупность образует частотный спектр системы.

Поясним сказанное примером одномерной цепочки двух частиц, изображенной на рис. 7.11. Пружины предполагаются одинаковыми с коэффициентом упругости k и равновесной длиной а. Силами трения будем пренебрегать. При малых отклонениях от равновесия силы, действующие на частицы, будут пропорциональны изменению длин соответствующих пружин. В этом отражается общее свойство малых возмущений! Сила, действующая на первую частицу, равна

8 =一碣+碌一砲=万&-2&),

а на вторую

& =-施2 +砲一魅2 =々倡-2自2).

Переменные 邑 и & описывают две степени свободы системы, и ее движение описывается системой линейных уравнений

加装 =归怎2 - 20 团需=々因一 2騎 (7.33)

(масса частиц предполагается одинаковой и равной т).

У этой системы есть два гармонических решения. Исполь-* зуя для них запись в виде комплексных величин, перейдем от & к обозначениям R:

电=的 2一心‘ (/= 1, 2).

Убедимся в том, что функции такого вида удовлетворяют системе (7.33). Подставляя их в (7.33), после дифференцирования, сокращения на е-'®' и перегрупппировки членов получим однородную алгебраическую систему уравнений относительно “^ (i=l,2):

(2fe — mo?) s —也& = 0»— ka{ + (2fe — m^) a2 = 0.

Она имеет решение, если равен нулю определитель коэффициентов системы, т. е. при условии

(2fe - mo?)?一公=0.

Отсюда находим, что в системе двух связанных осцилляторов колебания могут происходить уже с двумя частотами:

©! = V А/m,他=V 3 殖П・

С увеличением числа частиц (числа степеней свободы осциллирующей системы) увеличивается и число возможных частот колебаний. Частотный спектр становится богаче. Факт же лн- нейности уравнений движения от числа частиц не зависит. Это означает, что любая линейная суперпозиция возможных гармонических колебаний есть один из возможных видов движения осциллирующей системы. В этом заключается физическое со-держание принципа суперпозиции колебаний в системах с несколькими степенями свободы»

В осциллирующей системе с несколькими степенями свободы каждое из допустимых движений, вызванных малыми возмуще- ниями, является некоторой линейной комбинацией гармонических колебаний со значениями частот из частотного спектра системы, чем и определяется особая важность гармонических колебаний.

Обнаруженное свойство проявляется в следующем. Допустим, что в системе одновременно возбуждаются разные колебания. Тогда движение системы является результатом простого наложения возбужденных колебаний. Для иллюстрации здесь мы рассмотрим только один пример, отложив обсуждение ряда важных эффектов сложения колебаний до следующего параграфа.

Допустим, что частица может совершать колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Такая частица обладает двумя степенями свободы. Предположим, что частоты независимых колебаний одинаковы и равны（о. Частоту, одинаковую для независимых колебаний, называют вырожденной.

Выберем систему отсчета так, чтобы ее оси хну были ориентированы в направлении возможных колебаний, а начало отсчета совпало с положением равновесия частицы. Отсчет времени условимся производить так, чтобы законы колебания вдоль осей % и у были бы законом косинуса соответственно с нулевой начальной фазой и начальной фазой 0о. Если амплитуда колебаний вдоль оси % равна а, а вдоль оси у равна 仇 то значения радиус-векторов частицы при каждом из колебаний будут определяться следующим образом:

г{ = {a cos со/, 0, 0}, & = {0, b cos （з/ + 0О）, 0}.

Если оба колебания возбуждены одновременно, то, согласно принципу суперпозиции, результирующее движение частицы будет описываться законом

г = r{ + r2 — {a cos со/, b cos （（о/ + 0О）, 0}.

Он показывает, что частица движется в плоскости ху по траектории, уравнение которой имеет вид

轰 + 方一^- cos Oo = sin2 0O.

Из аналитической геометрии известно, что это соотношение определяет уравнение эллипса. Ориентация осей эллипса по отноше- нию к координатным осям, а также величина осей эллипса за- висят от значений а, 6 и 0о.

Справедливость сказанного устанавливается следующим образом. Обозначим ненулевые координаты г через к и у: х = a cos sf и g 三 6 cos（（of + 9о）・

Следовательно, cos со/ = %/а? a sin со/ = V1 ~ (%/。产 Кроме тогэ,

-у = cos (①/ + Оо) = cos ①/ • cos Oo — sin co/ • sin Oo =

=~- cos 0q — /^^ 1 — ( sin Oo, или

£ _ T COS 仇=_ “1 —(T)2 sin 0o>

Возводя последнее равенство в квадрат, получим выписанное выше уравнение эллипса.

В качестве упражнения мы предлагаем читателю убедиться в справедливости следующих утверждений.

При 0о = 0 и 0о = 土冗 эллипс вырождается в отрезки прямых, изображенных на рис. 7.12. В каждом из этих случаев

движением является гармоническое колебание частицы вдоль соответствующего отрезка, происходящее с частотой (о и амплитудой, равной д/^2 + 优

При 9о = 土冗/2 частица движется по эллипсу с полуосями, равными а и b н ориентированными вдоль осей % и у соответственно. При Оо =冗/2 движение происходит по часовой стрелке, а при 0О = =—л/2 — в обратном направлении (рис. 7.13).

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы,

то характер результирующего движения частицы оказывается более сложным. Частица описывает кривые, вид которых может быть весьма запутанным. Эти

кривые называются фигурами Лиссажу. Оказывается, что чем ближе к 1 отношение частот складываемых колебаний, тем сложнее фигура Лиссажу. Для примера на рис. 7.14 мы приводим фигуру Лиссажу при отношении частот 4/3 и 8о =冗/2.

Помимо богатого частотного спектра возможных колебаний, системы со многими степенями свободы обладают еще одним замечательным свойством: в них наблюдаются явления передачи различных возмущений от одних частей системы к другим. Эти процессы обусловлены взаимодействием между различными частями системы.

Распространение s пространстве различных видов возмущения вещества и поля, проявляющееся 8 переносе энергии возмущения, называется волновым процессом или волной.

Примерами такого типа движений являются звук и электромагнитные волны. Звук может распространяться только в веществе. Имея атомно-молекулярную структуру, вещество в макроскопических масштабах является системой с очень большим числом степеней свободы. Электромагнитные же волны есть не что иное, как распространяющиеся возмущения электромагнитного поля. А оно, как мы об этом узнаем в следующем томе курса, обладает бесконечно большим числом степеней свободы.

Ниже мы рассмотрим свойства волн, пренебрегая их затуханием ). Реально это означает, что оно столь мало, что в течение достаточно большого времени энергия волны мало изменяется.

Случается так, что возмущения бывают малыми. И эти случаи совсем не редки. В этих ситуациях решающую роль в понимании происходящих явлений играет закон, установленный ранее. Мы имеем в виду принцип суперпозиции, позволяющий свести вопрос о свойствах такого движения к рассмотрению гармонических колебаний, определенным набором которых можно составить любое малое возмущение. Пока мы ограничимся именно такими возмущениями. Следовательно, закономерности их распространения могут быть поняты из рассмотрения не- редачи гармонических колебаний от одних мест пространства к другим. На этом вопросе мы и сосредоточим внимание в дальнейшем. Соответствующие волны принято называть монохроматическими.

В первую очередь обратим внимание на то, что ориентация колебаний может быть различной относительно направления их распространения. Такая картина наблюдается, например, в мо^ цокристаллах. Другой пример: в волне на поверхности жидкости колеблющиеся частицы совершают круговые движения

(рис. 7.15J. В этом легко может убедиться каждый, бросивший в реку легкий предмет в погожий день. Если ориентация не меняется беспорядочно относительно направления распространения! волны, то говорят, что волна определенным образом поляризо^ вана. Бывает так, что колебания происходят строго перпендикулярно направлению распространения волны или вдоль этого

распространения дольы

Рис. 7 15.

направления. В первом случае волну называют поперечной, а во втором — продольной. Поперечными являются, например, волны в упругих струнах и электромагнитные волны. Звук же в газах и жидкостях относится к числу продольных волн.

Важнейшей характеристикой волны является скорость ее распространения. Общим свойством рассматриваемых здесь волн (малые возмущения) является

независимость скорости распространения от амплитуды колебаний, Скорость каждой монохроматической волны зависит、 только от свойств среды, 6 которой волна распространяется ).

Подробно это свойство будет рассмотрено в гл. 14 на примере звуковых волн.

Рассмотрим волну, распространяющуюся только в одном на< правлении. Такую волну называют плоской. Разъясним этот термин. Пусть частота возбуждающего волну колебания равна о. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы это колебание оказалось локализованным в начале координат, а ось х указывала бы направление распространения волны. Запишем закон колебательного движения в начале координат в виде

丸(°, /) = ae-mt,

где а = const ——амплитуда колебаний. Записью аргумента функции 屮① в виде (0, /) мы подчеркиваем то обстоятельство, что речь идет о колебании в начале координат. Очевидно, что по сравнению с ним колебания в произвольной точке г = {х, у, z} будут запаздывать. Обозначим закон колебательного движения в точке г через ^w(r, t). Поскольку волна распространяется

только в х-направлении, то время запаздывания будет равно t = %/и (рис. 7.16), Следовательно,屮⑴卜,2 + т)=屮《＞(0,/) или, что одно и то же,

^ 8, 0 = % (。, / — 0 = % (о, / — *) •

Отсюда следует, что при данном выборе системы отсчета

нацию / — x/v:нацию / — x/v:也/) = ас ° ° ) = ае也/) = ас ° ° ) = ае左=①/u.左=①/u.— imt + ikx(7.34)— imt + ikx(7.34)(7.35)(7.35)3(/*,/) зависит только от х-координаты вектора г через комби

нацию / — x/v:

нацию / — x/v:

也/) = ас ° ° ) = ае

也/) = ас ° ° ) = ае

左=①/u.

左=①/u.

— imt + ikx

(7.34)

— imt + ikx

(7.34)

(7.35)

(7.35)

где

Эта величина называется волновым числом.

Функция (7.34) определяет закон движения в каждой точке пространства. Часто для сокращения функцию, характеризующую дви-

жение в волновом поле, называют

просто волной. Таким сокращением будем пользоваться и мы. Ввиду этого выражение (7.34) в дальнейшем будет именоваться плоской монохроматической волной, распространяющейся в х-направлении.

Напомним, что выше мы задались целью разъяснить термин «плоская волна». Он связан со свойством аргумента функции (7.34) быть постоянным при каждом фиксированном времени t на любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т. е. в данном случае оси %. Этот аргумент называют фазой волны. Обозначим его через 9(0(%, f):

0О (х, /) = со/ — kx.

Отсюда прямо видно, что при фиксированном t фаза 6(o(x,/)= =const при % = const. Последнее равенство есть не что иное, как уравнение некоторой плоскости, перпендикулярной оси х (см. рис. 7.16). Обнаруженное свойство фазы означает, что во всех точках любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, колебания происходят одинаковым образом. Именно поэтому волну и назвали плоской.

Рассмотрим теперь вопрос об описании плоской монохроматической волны, распространяющейся в произвольном направлении. Для его решения заметим, что закон (7.34) можно переписать иначе. Введем единичный вектор n (n2 = 1), указывающий направление распространения волны. Очевидно, что

7*

в рассмотренном выше случае п = {1,0,0} и, следовательно, % равно скалярному произведению (r-п) (рис. 7.16). Через век* тор п определяется так называемый волновой вектор, равный

左—k • л.

Физический смысл 々 заключается в том, что его ориентация указывает направление распространения волны, а абсолютное значение равно волновому числу. С учетом этих определений закон (7.34) можно записать в виде

ас-ikx —尼(抬•г)一方8еr)

Рис. 7,17.Рис. 7,17.Заметим теперь, что скалярное произведение (々・г*), как всякое число, является величиной, не зависящей от ориентации координатных осей. А это и означает, что плоская монохроматическая волна, распространяющаяся в произвольном относительно данной системы отсчета направлении (произвольна ориентация п по отношению к координатным осям), описывается законом, вид которого мы только что установили:

Рис. 7,17.

Рис. 7,17.

也(г, /) = ае-庙宀伊•「).(7.36)

В этом случае плоскости, в точках которых колебания происходят одинаково, как перпендикулярные вектору А, имеют наклонное положение (рис. 7.17). Фаза же волны равна。①土，/)= mt — (k-r).

Зависимость фазы рассматриваемой волны и от времени, и от пространствен* ных координат означает, что каждое дан

ное значение фазы распространяется в пространстве. И это неудивительно, ибо рассматривается процесс распространения колебаний. Найдем скорость перемещения фазы. Эта величина называется фазовой скоростью. То, о чем было только что сказано, наводит на мысль, что фазовая скорость должна быть равна скорости распространения волны. И это действительно так. В самом деле, пусть в некоторой точке г в момент времени t значение фазы равно С, т. е. 0Ш (г, /) = С, В последующий момент времени 力 + df то же значение фазы возможно только в другой точке r* + d/\ т. е. 00 (г + ^Г f + df) = С. Отсюда ясно, что dr/dt определяет фазовую скорость.

Из условия 0(о(г -\-dr, dt) = 00(r, t) находим:

(0 山一(左• dr*) = 0.

Это равенство возможно лишь в том случае, если

Действительно, отсюда следует, что dr = vn dt. Поэтому

(о Л — (fe • dr) = Л • [о -— и (fe • n)] = dt (о — kv),

что согласно (7.35) тождественно равно нулю. Таким образом, наша догадка оказалась верной: фазовая скорость имеет направление распространения волны, а ее абсолютное значение равно скорости волнового процесса.

Продолжим рассмотрение свойств этого процесса. Важнейшим из них является его периодичность в пространстве. Она обусловлена двумя факторами: периодичностью колебаний во времени и их распространением. Пространственный период называется длиной волны и имеет смысл расстояния между ближайшими точками, в которых фаза колебаний одинакова. Обозначим его через 九 и найдем, используя закон движения (7.34). С этой целью запишем условие пространственной периодичности 屮з (х 十九，f)=屮® (x, /), которое приводит к равенству eik(x+k)= eikx.eikk = eikxt Последнее выполняется при условии 々九=2冗(имеем в виду, что е?^ — cos 2зт + i sin 2冗=1). Таким образом, находим, что

九=2砒(7.37)

или с учетом (7.35)

九= 2ги/со.(7.38)

С помощью (7.2) последнее выражение преобразуется к виду

九=иТ,(7.39)

где Т ——период колебаний.

Характерным признаком плоской волны является постоянство направления ее распространения и постоянство амплитуды колебаний. Далеко не все волны обладают такими свойствами. Однако очень часто произвольные (не плоские) волны можно считать почти плоскими в каждой малой области пространства. Условием применимости такого приближения является малость изменения амплитуды и направления волны на расстояниях порядка длины волны. В этом приближении волны классифицируют по строению их волновых поверхностей.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек 8 пространстве, в которых колебания происходят в одинаковой фазе.

Так, для плоской волны волновыми поверхностями являются плоскости, перпендикулярные направлению распространения волны. Часто приходится сталкиваться со сферическими и цилиндрическими волнами. Для сферической волны волновыми поверхностями является семейство концентрических сфер. Легко сообразить, что в их общем центре расположен излучающий

волну источник (рис. 7.18). Источники цилиндрических волн имеют форму очень длинных цилиндров. В этом случае волнсн вы ми являются поверхности цилиндров, соосных с цилиндром ' источником излучения (рис. 7.19). И в том, и в другом случае волны распространяются по радиальным направлениям.

Распространяясь от источника, волна проникает во всё более отдаленные области. Очевидно, что в каждый момент времени всегда можно указать поверхность, отделяющую в данный момент область пространства, в которой волновой процесс уже развился, от остальной, невозмущенной области. По форме эта поверхность будет волновой. Однако ее отличительным свой^ ством является перемещение со скоростью распространения волны (рис. 7.18, 7.19). Эта движущаяся пограничная поверхность называется волновым фронтом.

Скорость распространения волны может изменяться в зависимости от частоты колебаний. Это явление наблюдается, например, при прохождении электромагнитных волн через вещество. В некоторых случаях оно наблюдается и для звуковых волн. В гл. 14 будут приведены соответствующие примеры, относящиеся к звуку.

Зависимость скорости распространения волны от частоты называется дисперсией.

Дисперсия приводит к нарушению простой линейной связи между частотой з и волновым числом 应[см. формулу (7.35)]. Зависимость s = s(^) называется дисперсионным уравнением или законом дисперсии. Вид этого закона является важнейшей характеристикой, отличающей одни волны от других. Волны с разными законами дисперсии обладают разными свойствами.

Одно из различий （о других мы узнаем по мере того, как будем с ними сталкиваться） заключается в следующем. При отсутствии дисперсии распространение волн может быть описано на основе волнового уравнения. При наличии дисперсии это уже не так. Волновым называется уравнение вида

дх2 」d〃2 ' dz2 и2 dt2 ， 〈・ J

в котором v ——скорость распространения волны, а 屮 ——функция, описывающая закон волнового движения. Она зависит от врел мени / и от координат %, у, z точки пространства, определяющих место интересующих колебаний.

В справедливости （7.40） проще всего убедиться на примере одномерного волнового движения, которое мы будем предполагать происходящим в х-направлении. Начнем с монохроматических волн. Возможны две такие волны,

屮±）（X, /） = ae-i（nt + ikx и 屮^~） （%, /） = ae-i®t-ihx、

Первая распространяется вдоль оси % слева направо, другая ■ в обратном направлении. Прямой подстановкой нетрудно уста« новить, что при условии （7.35） и та, и другая волна удовлетво^ ряют одномерному волновому уравнению

疗 dt2 " =

Вспомним теперь, что согласно принципу суперпозиции про извольная плоская волна, распространяющаяся в х-направле- нии, может быть представлена линейной комбинацией волн 党）И晴）：

2 （х, Q =营｛С ①岬^（鸠 /）+ ^Ч4（%，/）｝-

Здесь через。沪 обозначены коэффициенты этой комбинации, а суммирование распространяется на весь частотный спектр той системы, в которой наблюдается данный волновой процесс. Те« перь нетрудно установить, что если и не зависит от ①，то 屮（工，t） также удовлетворяет одномерному волновому уравнению:

2｛以+）（絮-*绰）十以7（得一艮亭）｝=0 =

=% 2 ｛*屮+С『吟卜- ％崇2 к片時）十*）時）｝=

（О（ОCO

（О

（О

0%2

中力2

Все представленные здесь преобразования недействительны, если и = и(з).

Частота не является инвариантной характеристикой волны. Мы имеем в виду здесь то обстоятельство, что частота волны изменяется при переходе из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой. Это явление называется эффектом Допплера.

Рассмотрим, как это происходит.

Пусть закон волнового движения в системе К имеет вид屮①(％, /) =心f+注力.Пусть закон волнового движения в системе К имеет вид屮①(％, /) =心f+注力.Ограничимся областью только нерелятивистских движений (например, звуковые волны). Пусть в покоящейся системе отсчета К частота плоской бегущей в х-направлении волны равна (о. Определим, какую частоту будет воспринимать наблюдатель, находящийся в движущейся системе отсчета К'・ Эту частоту мы обозначим через о/. Предположим, что скорость системы К' равна V, причем ориентация осей систем К в К' одинакова, а движение системы К происходит в х-направлении.

Пусть закон волнового движения в системе К имеет вид屮①(％, /) =心f+注力.

Пусть закон волнового движения в системе К имеет вид屮①(％, /) =心f+注力.

Воспользуемся теперь преобразованиями Галилея (1.18) и перейдем в систему К'・ Тогда получим такой закон движения:

—аС—»(of' + iE (x' + V7‘)— ас—i [co — kV] tr-\-ikxr

Мы видим, что наблюдатель системы К будет регистрировать волновой процесс с иной частотой

о/ =(о — kV

и волновым числоми волновым числомkf = k.kf = k.

и волновым числом

и волновым числом

kf = k.

kf = k.

Так как 力=о)/и, где и — скорость распространения волны в системе К, то

(7.41)(7.41)(0, = (0 ( 1

(7.41)

(7.41)

Отметим, что противоречия между изменением частоты и неизменностью волнового числа нет. Действительно, скорость распространения волны в системе ^, равна и' = и——V, где v — скорость волны в системе К. Поэтому

v-V

При этом мы воспользовались соотношением (7.41).

Формула (7.41) позволяет оценивать, насколько регистрируемая приемником волны частота Sup отличается от частоты колебаний источника волны (оИСт, если приемник и источник движутся друг относительно друга.,

Предположим, что источник волны покоится, а приемник удаляется от него со скоростью V (рис. 7.20). Тогда в (7.41) со —• о)ист, а з‘ ==(Оцр. Поэтому

®пр ==:①нет ( I " "у*) V 8нст・

При изменении направления движения приемника на обратное меняет знак скорость V. Следовательно, в этом случае

①ир === &НСТ ( 1①ир === &НСТ ( 1+ 工)> 8нст・+ 工)> 8нст・

①ир === &НСТ ( 1

①ир === &НСТ ( 1

+ 工)> 8нст・

+ 工)> 8нст・

Предположим, что движется источник волн, а приемник покоится (рис. 7.21). Тогда в (7.41) о/=① 11cт, а(о =(опр и, следовательно,

8нст 、 — 1 — u/厂，8нст・

Если источник удаляется от приемника, то изменяется знак V. В этом случае

①ист®ip< &нст・

Эффект Допплера находит широкое применение, так как благодаря ему существует возможность изменять частоту волны,

Рис. 7.20.Рис. 7.20.Рис. 7.21.Рис. 7.21.

Рис. 7.20.

Рис. 7.20.

Рис. 7.21.

Рис. 7.21.

меняя, например, скорость движения излучателя. Именно таким способом во многих случаях добиваются резонансного поглощения энергии волны различными осциллирующими системами. Например, протоны и нейтроны в атомном ядре совершают колебания. Если на ядро направить электромагнитную волну, то, меняя скорость ее излучателя, можно добиться совпадения частот электромагнитных колебаний и колебаний частиц в атомном ядре. При этом произойдет резонансное поглощение электромагнитной онергии ядром.

§ 7.4. Эффекты сложения волн

Принцип суперпозиции волн утверждает, что движение, вызванное распространением сразу нескольких волн, есть снова некоторый волновой процесс. Таким процессом является； например, звучание оркестра. Оно возникает от одновременного

возбуждения звуковых колебаний воздуха отдельными музыкальными инструментами. Замечательно, что при наложении волн могут возникать особые явления. Их называют эффектами сложения или, как еще говорят, суперпозиции волн. Среди этих эффектов наиболее важными являются следующие.

Интерференция ——явление устойчивого во времени перераспределения колебаний в пространстве, в результате которого в одних местах колебания усиливаются, а в других ослабляются. Это явление возникает при сложении волн с сохраняющейся во времени разностью фаз. Для монохроматических волн это требование сводится к условию равенства частот.

Наиболее ярко интерференция проявляется в оптике. Именно там мы и рассмотрим детали этого явления. Здесь же мы ограничимся обсуждением только одного, но очень важного интерференционного эффекта, который заключается в образовании стоячих волн. Предварительно сделаем одно замечание. По давно сложившемуся обычаю интерференцию большого числа волн именуют дифракцией. Мы просим читателя запомнить, что принципиального различия между интерференцией и дифракцией нет. Природа этих явлений одна и та же.

Рассмотрим стоячие волны. Каждая стоячая волна облагает следующими свойствами. Вся область пространства, в которой возбуждена волна, может быть разбита на ячейки таким образом, что на границах ячеек колебания полностью отсутствуют. Точки, расположенные на этих границах, называются узлами стоячей волны. Фазы колебаний во внутренних точках каждой ячейки одинаковы. Колебания в соседних ячейках (ими являются ячейки с общей границей) совершаются навстречу друг другу, т. е. в противофазе. В пределах любой ячейки амплитуда колебаний изменяется в пространстве и в каком-то месте достигает максимального значения. Точки, в которых это наблюдается, называются пучностями стоячей волны. Наконец, характерным свойством стоячих волн является дискретность спектра их частот. В поле стоячей волны колебания могут совершаться только со строго определенными частотами и переход от одной из них к другой происходит скачком.

Необходимым условием образования стоячих волн является наличие границ, отражающих падающие на них волны. При этом условия на границах со временем меняться не должны (в таких случаях математики говорят о постоянных во времени граничных условиях). Стоячие волны образуются в результате сложения падающих и отраженных волн. Явления такого рода встречаются довольно часто. Так, каждый тон звучания любого музыкального инструмента возбуждается стоячей волной. Эта волна образуется либо в струне (струнные инструменты), либо в столбе воздуха (духовые инструменты). Отражающими гра-

видами в этих случаях являются точки закрепления струны и поверхности внутренних полостей духовых инструментов. Пси лости, в которых образуются стоячие звуковые волны, назы^ ваются акустическими резонаторами, В замкнутых полостях можно создавать и стоячие электромагнитные волны. Такие волны образуются, например, в рабочем объеме каждого ла^ зера. Стоячие волновые процессы очень распространены в мн< кромире. Они очень специфичны по природе, ибо связаны с ве~ роятностыо. Об этих волнах будет рассказано в последнем томе курса.

Рассмотрим простой пример стоячей волны. Предположим, что струна ограниченной длины L натянута вдоль оси %. Допу^ стам, что концы струны жестко закреплены, причем левый ксн нец находится в начале координат. Тогда координата правого конца будет равна 厶(рис. 7.22). Вообразим теперь, что в струне удалось возбудить монохро

巾3)(%，0 = ae-ist+注芳, 彳 y распространяющуюся вдоль n = 〃巾3)(%，0 = ae-ist+注芳, 彳 y распространяющуюся вдоль n = 〃x =厶x =厶матическую волну戏 у

巾3)(%，0 = ae-ist+注芳, 彳 y распространяющуюся вдоль n = 〃

巾3)(%，0 = ae-ist+注芳, 彳 y распространяющуюся вдоль n = 〃

x =厶

x =厶

оси % слева направо. От

правого конца струны вол-7-22

на отразится. Предположим,

что это произойдет без потери энергии. В этом случае отраженная волна будет иметь ту же амплитуду и ту же частоту, что и падающая. Поэтому отраженная волна должна иметь вид

"ё- is' - »々*+〃6 ^

Ее фаза содержит некоторую постоянную 0, определяющую изменение фазы при отражении. Ее значение будет установлено ниже.

Поскольку отражение происходит на обоих концах струны и без потерь, то в струне будут одновременно распространяться волны одинаковых частот. Поэтому при сложении 噁^)и 時) должна возникнуть интерференция. Посмотрим, как она выглядит. Для этого найдем результирующую волну:

九（/ 0 =吟）（%，0 + 時）（％ f）=中（Х）e一‘叫

Здесь в последнем выражении

Ф (х) = a (eikx + е~^х+/е).

% (х, t) = a (х) с—［就- а (叽% (х, t) = a (х) с—［就- а (叽Как всякую комплексную величину,(р(х) можно представить в виде: ср(х) = а{х)е^х\ где а(х) и а(х) являются, соответ^ ственно, модулем и аргументом 屮(％)• С учетом этого представления имеем;

% (х, t) = a (х) с—［就- а (叽

% (х, t) = a (х) с—［就- а (叽

Мы видим, что в каждой точке струны происходят колебания с частотой со. При этом амплитуда колебаний в точке 尤 равна "(%). Очевидно, что а2(х) = ср(х)(р*(х), где (р*(х) — величина, комплексно сопряженная (р(%) и равная п(е~^х + eihx-iQy От^ сюда получаем:

a2 (*) = a2 (С/% + e一泣% 十»ё)(ё一/% + e访%一舟-

“2 (2 ^2ikx— /0 + c—2/x+i6)

=q2 [2+cos (2归％—6)+i sin(2fcr—6) + cos(2fcv—9)—£sin(2^%—8)]=

=2〃2 [1 + cos (2々％ — 0)] = 4a2 cos2 (々％ — ^)，

илиилиа (%) = 2aleos (々工一^) |.а (%) = 2aleos (々工一^) |.

или

или

а (%) = 2aleos (々工一^) |.

а (%) = 2aleos (々工一^) |.

Так как концы струны закреплены, то там колебания отсут-^ ствуют. Из условия а(0) = 0 следует, что 6 = л. Поэтому окончательно находим, что

а (%) = 2a |cos (々% —专)| = 2а | sin kx |.

Теперь ясно видно, что в точках, в которых sin 力％ = 0, колебания отсутствуют вовсе. Эти точки и являются узлами стоячей волны гр(о(х, /). Там же, где | sin kx \ = 1, амплитуда колебаний максимальна и притом вдвое больше амплитуд складываемых волн 屮决)и 屮^). Эти точки являются пучностями стоячей волны. В появлении пучностей и узлов как раз и заключается интерференция: в одних местах колебания усиливаются, а в других прекращаются совсем.

Расстояние Дх между соседними узлом и пучностью находится из очевидного условия: kx = л/2. Так как k = 2л/Х, где 九——длина волны, то оказывается, что Дх == Х/4. Расстояние между соседними узлами равно 2Ax =入/2.

Найдем теперь а (%). С этой целью преобразуем выражение для(р(х) следующим образом:

ф (х) = а ©&% 十《-*%+m)= а (е‘々” 一《-/%)==

=а (cos kx + i sin kx ——cos kx + i sin kx) == / 2a sin fex.

При этом мы учли, что 0 = л.

Рассмотрим точки из интервала 0 W % W Х/2. Для них sin kx = sin(2nx/A) ^ 0, и поэтому в этой области

(р(х) = / • 2a*sinkx — i2a[si^kx\^iaM = einl2 q(x)

(卢/2 = cos 专 + i sin £~ = i) • Следовательно, для 0 & % W A/2 имеем: a(x) = const = л/2 и

屮①住 t) = a(x)e 2).

Перейдем теперь к точкам струны, находящимся в интервале ☆ &%&%• Здесь sin kx = sin(2лх/А) ^0, и, следовательно,

<р (%) = Z 2а sin kx = — i 2а \ sin kx \ == — i а (%) = e^inI2 a (x).

Таким образом, для ^&工 &九 имеем: a (%) = const = —~- и

интервалов, мы видим, колебаний одинаковы+ 专.Разность жезначению равна л. Этоинтервалов, мы видим, колебаний одинаковы+ 专.Разность жезначению равна л. ЭтоСравнивая законы колебаний в точках двух рассмотренных

интервалов, мы видим, колебаний одинаковы

+ 专.Разность же

значению равна л. Это

интервалов, мы видим, колебаний одинаковы

+ 专.Разность же

значению равна л. Это

что в пределах каждого из них фазы и равны, соответственно,皿——g- и этих фаз постоянна и по абсолютному и означает, что колебания в одном из

интервалов совершаются навстречу, т. е. в противофазе, колебаниям в другом.

Свойства, которые мы сейчас обнаружили у волны x|)w(x, /) на участках струны 0《％&-^ и у ^х ^Х, повторяются с периодом А для всех последующих участков длины 入/2. Мы предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.

Таким образом, рассмотренный пример показывает, что путем сложения падающей и отраженной волн 屮精)и 屮^~) дей^ ствительно можно получить картину волнового движения, охарактеризованную в начале настоящего пункта. При этом ячейками, о которых там говорилось, в одномерном случае являются отрезки, заключенные между соседними узлами и имеющие длину А/2.

Убедимся, наконец, в том, что рассмотренная выше волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний. Это обстоятельство следует из условия отсутствия колебаний на правом конце струны: а(%) = 0 при х — L. О『 сюда получаем, что sin kL = 0. Это равенство возможно, если kL = п-п, где /г ——произвольное положительное число. Отрицательные /г исключаются по смыслу волнового числа. Итак, оказывается, что 万，а следовательно и частота з, связанная с k соотношением (7.35), могут принимать только следующие строго

определенные значения:

k = kn = ^-, 3 =(0九=^£^ (n = 0, 1, 2, ,..).(7.42)

Еще раз подчеркнем, что дискретность спектра частот является типичным свойством всех стоячих волн, резко выделяющимся в классической физике, в которой, казалось бы, все обречено изменяться непрерывным образом. Отметим, что именно эта «аномалия» сыграла выдающуюся роль в разгадке природы квантовых явлений.

Еще одним важным эффектом суперпозиции волн являются биения. Это явление заключается в периодическом во времени усилении и ослаблении колебаний, возникающих при сложении волн близких частот. Это явление можно наблюдать, например, таким образом. Предположим, что имеются два камертона, частоты колебаний которых достаточно близки. При одновременном возбуждении камертонов возникают две звуковые волны близких частот. В результате их сложения слышимое звучание периодически то затухает, то усиливается. Это и есть биения, в данном случае биения звука. Отметим, что биения наблюдаются и при сложении отдельных колебаний с близкими частотами.

Рассмотрим образование биений на примере двух волн с почти равными частотами з〔 и о)2・ Допустим, что обе волны распространяются в одном и том же направлении, вдоль которого и ориентируем ось х. Тогда

2&)(х, /)=。戸一沁"‘左叱 *ф^(х, /) = а^^^1кгХ.

В результате сложения этих волн возникает движение, которое описывается законом

,ф (X, f)=吧?(%, 0 + ,Ф^ (х, /) = %6一加"+®" + 自g-必"+‘无匕

Введем величины

G)G)3] + СЙ2 .~2—，3] + СЙ2 .~2—，А(О = а)1 ——О)2； 々=夙 ^L” ； Аа =々1 一 々2・А(О = а)1 ——О)2； 々=夙 ^L” ； Аа =々1 一 々2・

G)

G)

3] + СЙ2 .

~2—，

3] + СЙ2 .

~2—，

А(О = а)1 ——О)2； 々=夙 ^L” ； Аа =々1 一 々2・

А(О = а)1 ——О)2； 々=夙 ^L” ； Аа =々1 一 々2・

Из-за близости частот ①i и ①2 имеем: з》А① и 左》А厄 Поэтому закон 2(居 /) преобразуется так:

2(%, %)=①6-心f+/3(7.43)

где

qp = qp/) = a^e 22+ &е 22•

Последняя величина изменяется со временем с очень малой частотой. Поэтому движение, происходящее по закону (7.43), обладает такими свойствами. В каждой точке % происходят

колебания с большой частотой со (большой в сравнении с Аз). Их амплитуда определяется модулем комплексной величины 屮. Обозначив эту амплитуду через а (%, /), находим:

а? (%, /)=屮(х, /)屮* (%, /)=

а伶 22+ 研2} х

0俗 22 +的e 22

= а： +遞 + а% кт= а： +遞 + а% кт△s・/+i Д^-х 一卜 gi Аз"—i △月•％}二=△s・/+i Д^-х 一卜 gi Аз"—i △月•％}二=

= а： +遞 + а% кт

= а： +遞 + а% кт

△s・/+i Д^-х 一卜 gi Аз"—i △月•％}二=

△s・/+i Д^-х 一卜 gi Аз"—i △月•％}二=

=a； +。： + ay? {cos (As • / — AA • %) — i sin (Aco • / — A左•大)-卜

十 cos (Д(о • f — A^ •尤)+ i sin (As • f — A^ ・ x)}=

=a； + a；十 а%% cos (As • / — A^ ♦ x)・(7.44)

Мы видим, что квадрат амплитуды колебаний в каждой точке меняется с малой частотой Асо. С такой же частотой будут происходить и колебания энергии. Напомним, что энергия про-» порциональна квадрату амплитуды. Это и есть как раз тот эффект, который проявляется в опыте с двумя камертонами. Заметим, что так как квадрат амплитуды, а, следовательно, и энергия колебаний зависят и от времени, и от координаты %, то это означает, что каждое значение энергии перемещается в пространстве. Дальнейшая логика рассуждений такая же, как и при выводе выражения для фазовой скорости. Только теперь речь идет о скорости распространения энергии. Эта величина называется групповой скоростью. Обозначим ее через и「р. Ясно, что если за время dt некоторое значение энергии [или квадрата амплитуды (7.44)] переместилось на расстояние dx, то игр — =dx/dt. Величины dt и dx связаны условием

(7.45)(7.45)△①•山一△& • d% = 0.Из него находим:dx Асо ds

(7.45)

(7.45)

Последнее выражение записано ввиду малости Д(о и △尼.

Если дисперсия отсутствует, то групповая скорость совпадает с фазовой. Действительно, в этом случае з =々и, причем v не зависит от(о. Тогда игр = dsldh = и. При наличии дисперсии положение меняется. В этом случае

^ = "S'=言饮® 喇=。(3)+ ^F^ =

Решая полученное уравнение относительно и「р, находим:

内「内「“(з)—V (со)du (з) —со dv (з)“(з)—V (со)du (з) —со dv (з)=0= и (co).=0= и (co).

内「

内「

“(з)—V (со)

du (з) —со dv (з)

“(з)—V (со)

du (з) —со dv (з)

=0= и (co).

=0= и (co).

В случае трехмерного волнового движения групповая скот рость определяется соотношением

и 也也也)(7.46)

办рt dkx » dky * dkzr—

где kXi ky, kz ——компоненты волнового вектора k. Это соотношение является обобщением одномерного закона (7.45).

Обращает на себя внимание сходство соотношений (3.1) и (7.46). Они подобны: скорости и「р соответствует скорость V центра инерции системы, частоте со — энергия системы /, волновому вектору 月——импульс системы Р. Более того, если частоту и волновой вектор умножить на постоянную Планка Й, то получим величины, которые имеют, соответственно, размерность энергии и размерность импульса. Это подобие отнюдь не случайно и имеет глубокий смысл, открытый с созданием квантовой физики. Подробно об этом речь пойдет в томе III. Здесь лишь отметим, что Л(о и hk ——это действительно энергия и импульс особых частиц ——квантов волны (фотонов для электромагнитных волн, фононов для звука), a vrp — скорость их движения. Оказалось, что все материальные объекты обладают и свойствами частиц, и свойствами волн. В одних случаях в большей мере проявляются волновые свойства (например, электромагнитные волны не слишком высоких частот — не более 1018 Гц), в других — свойства частиц (электроны, протоны, атомы, молекулы и т. д.). Поэтому неудивительно, что,, изучая законы волновых движений, мы обнаруживаем свойства, которые привыкли относить только к частицам»

ЧАСТЬ II

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАТЕРИИ

ГЛАВА 8

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ

§ 8*1. Тепловое движение

Представление об атомном строении вещества существует давно. Впервые оно было выдвинуто в древней Греции еще за 400 лет до нашей эры. Однако только на рубеже XIX и XX столетий оно получило прямое экспериментальное подтверждение. Трудность заключалась в том, что атомы, как оказалось, имеют весьма малые размеры. Их радиусы не превышают нескольких ангстрем (см. § 1.1). Поэтому увидеть их непосредственно очень трудно. Средства наблюдения были разработаны сравнительно недавно. К их числу относится, например, прибор, называемый ионным проектором, который позволяет получать фотографии отдельных атомов. На рис. 8.1 изображена его схема и полученная с его помощью фотография поверхности вольфрама при увеличении в 4* 106 раз.

Ионный проектор представляет собой сферический сосуд диаметром примерно 10 см. В центр сосуда вставлена вольфрамовая игла. Игла делается максимально острой, такой, как это только допускает современная обработка. Сосуд заполнен гелием под давлением около 1 мм рт. ст. Внутренняя поверхность оболочки сосуда покрывается пленкой. На оболочку подается отрица* тельный потенциал, на иглу — положительный. Внутри сосуда возникает электрическое поле. У острия иглы его напряженность максимальна. Сталкиваясь с острием, атомы гелия отдают ему электроны, превращаясь при этом в положительные ионы. Каждый ион, отталкиваясь от одноименно заряженного острия иглы, летит к отрицательно заряженной оболочке. В результате к стен- кам сосуда направляется поток ионов, который оставляет след, фиксируемый на пленке. Каждый атом вольфрама образует на поверхности острия микроскопический 《бугор». На этих 《буграх» ионизация гелия максимальна. Поэтому и пленка сильнее всего чернеет в тех местах, куда входят силовые линии электрического поля, начинающиеся на «буграх». В этом и состоит фотографирование атомов. Получаемое на ионном проекторе увеличение имеет порядок 10е.

Все окружающие нас тела состоят из атомов 92 видов. Вещества, построенные из атамов одного сорта, называются

химическими элементами. Элементами являются, например, во дород, гелий, углерод, железо, золото и т. д. При сближении в результате действия сил взаимного притяжения атомы могут объединяться в устойчивые группы, образуя связанные состоя- пия. Связанные состояния небольшого числа атомов *) называются молекулами. Вещество, образованное из одинаковых мен лекул, состоящих из разных атомов, называется соединением^

Рис. 8.1а.Рис. 8.1а.Рис. 8.16.Рис. 8.16.

Рис. 8.1а.

Рис. 8.1а.

Рис. 8.16.

Рис. 8.16.

К числу соединений относятся, например, вода Н2О, метан СН4, поваренная соль NaCl и т. д. Мельчайшую составную часть вещества мы в этой части будем называть частицей. Частицей может быть как атом, так и молекула ).

Все непосредственно наблюдаемые нами тела являются макроскопическими, т. е. состоят из громадного числа частиц. Очень большим является такое число 府,для которого InN》L В физике среди всех больших чисел особо важная роль выпала

на долю числа Авогадро

忙4 = 6,02252 • KF. (8.1)

Число Авогадро равно отношению молекулярной массы вещества ), выраженной в граммах, к массе одной молекулы. В настоящее время введена единая шкала, в которой молекулярные массы определяются по отношению к молекулярной массе изотопа углерода С12. Последняя принимается равной 12. С числом Авогадро связана единица измерения количества вещества. Она называется молем. Моль — это такое количество вещества, в котором содержится Na частиц. В СИ за единицу измерения принят киломоль: 1 кмоль = 103 молей. Так, масса одного киломоля углерода С12 равна 12 кг.

Измерение числа Авогадро относится к числу особо важных событий по той причине, что это число прямо связано с существованием атомного строения вещества. Число Авогадро связывает микроскопический масштаб с макроскопическим, ибо моль любого вещества обычно составляет тело привычных для нас размеров. Так, при атмосферном давлении и 0℃ моль любого газа занимает объем 22,4 л.

С одной стороны, макроскопические тела и их составные части (также макроскопические) могут перемещаться друг относительно друга упорядоченным образом. Закономерности таких перемещений называются динамическими и рассматриваются в механике. С другой стороны, макроскопические тела обладают свойствами, которые невозможно объяснить на основе только законов механики {в том числе и квантовой). Своим происхождением эти свойства обязаны атомному строению вещества и обусловлены движением его микроскопических частиц. Этот вид движения обладает качественно новым свойством — беспорядочностью. Закономерности движений такого рода называются статистическими. Беспорядочность присуща движению частиц вещества каждого макроскопического тела по той причине, что их необозримо много. Поэтому невозможно проследить за всеми деталями движения частиц, и все происходящее с ними выглядит как цепь случайных событий.

Беспорядочное движение частиц, составляющих макроскопические тела, называется тепловым. Тепловое движение определяет внутреннее состояние каждого макроскопического тела.

За исключением особых случаев, которые мы рассматривать не будем, тепловое движение является нерелятивистским.

Фундаментальным свойством теплового движения является его способность «заставлять» вещество макроскопических тел «забывать» свое начальное состояние. Это свойство проявляется

всегда при соблюдении только одного условия: должны быть исключены меры, специально направленные на поддержание начального состояния. Образно говоря, в этих случаях макроскопические тела ведут себя как «склеротические» системы.

Разъясним сказанное следующим примером. Предположим, что в прозрачную воду падает капля окрашенной жидкости. В начальный момент вещество этой жидкости будет сконцен-* трировано у места падения. Однако со временем вещество краски равномерно распределится по всему объему. При этом окон- нательное состояние смеси будет одинаковым, независимо от того, в каком месте появилось окрашенное вещество в начальный момент (рис. 8.2). Это и означает, что данная система

Рис. 82

в конце концов совсем забывает о своем начальном состоянии.

Разумеется, начальное состояние можно сохранить, но об этом нужно специально позаботиться. Например, это можно сделать так. Сразу же после падения капли обернуть ее непроницаемой пленкой. Если при этом будет обеспечена герметичность, то окрашенное вещество можно будет удержать в заданном месте сколь угодно долго.

Природа «внутреннего склероза», развивающегося в макроскопических системах, будет установлена в гл. 10. Здесь нам достаточно знать лишь о факте его существования.

Предположим, что макроскопическое тело помещается в условия, которые со временем не меняются. Тогда, каким бы ни было внутреннее состояние тела до его помещения в данные условия, в конце концов это состояние будет 《забыто». Вещество тела перейдет в новое состояние, которое по причине постоянства внешних условий со временем меняться не будет. Такие состояния называются стационарными. Однако в стационарном состоянии вовсе не исключается, что через границы тела не будет осуществляться перенос вещества, энергии, импульса, электрического заряда.

Рассмотрим два примера. Предположим, что между двумя пластинами помещается газ. Пусть одна из пластин разогрета больше другой, но температура каждой пластины поддержи-

вается постоянной. Тогда независимо от того, что было с газом до его помещения в данные условия, в конце концов он придет в состояние с неизменным во времени распределением температуры. Именно, вблизи каждой из пластин температура газа будет равна температуре пластины. В объеме газа температура будет изменяться, убывая от большего значения у горячей пластины до меньшего значения у холодной. Однако в таком стационарном состоянии все время происходит перенос энергии. Действительно, участки газа с пониженной температурой будут отбирать энергию от более нагретых участков. Для сохранения заданной разности температур на пластинах этот процесс переноса необходимо постоянно поддерживать. Осуществляют это путем ввода энергии в форме тепла через пластину с повышен* ной температурой (одна из границ системы) и отвода энергии из системы через пластину с пониженной температурой (другая граница).

Рассмотрим другой пример. В металлическом проводнике, подключенном к источнику постоянного напряжения, возникает постоянный электрический ток. За счет выделения джоулева тепла проводник будет разогреваться. Однако его температура будет изменяться до тех пор, пока не установится равенство между количеством джоулева тепла, выделяющегося в проводнике за единицу времени, и количеством тепла, которое проводник за тот же промежуток времени отдает окружающим телам. После этого состояние проводника перестанет изменяться (конечно, при условии, что состояние окружающей среды остается неизменным). Однако в этом стационарном состоянии через проводник осуществляется перенос электрического заряда, что другими словами называют электрическим током.

Разбирая эти примеры, мы говорили о физических величинах (температура, количество тепла, джоулево тепло, напряже^ ние, электрический ток), которые в данном курсе не были еще определены. Здесь мы рассчитываем на то, что читатель имеет о них представление из школьного курса физики.

Бывает так, что макроскопическое тело помещается в неизменные во времени условия и при этом еще исключается перенос вещества, энергии, импульса, электрического заряда через границы тела. Такое тело называется термодинамически изолированной системой. Примерами таких систем являются газ, помещенный между пластинами с одинаковой температурой, и Хтроводник, не подключенный к источнику напряжения. В тер、 модинамически изолированных системах также действует механизм, приводящий к «склеротическим явлениям». Но в этом случае он приводит к состояниям, получившим название состояний теплового или термодинамического оавновесия. Сокращенно их называют просто равновесными.

Состоянием теплового равновесия является стационарное сот стояние термодинамически изолированной системы.

Приближение к равновесному состоянию называется релакс сацией, а длительность этого процесса ——временем релаксации^ До истечения времени релаксации состояние термодинамически изолированной системы является неравновесным. Неравновес- ным является также любое состояние системы при отсутствии термодинамической изолированности.

Вернемся к рис. 8.2. У изображенной системы равновесным является состояние с равномерным распределением вещества окрашенной жидкости в воде. Начальные состояния / и 2, так же как и все промежуточные состояния, проходимые при уста^ новлении равновесного распределения окрашенного вещества, являются неравновесными. Время релаксации определяет дли- тельность перехода в равновесное состояние.

Процессы установления равновесного состояния бывают быстрыми и медленными. Примером быстрого процесса является выравнивание давления в газе, если в начальном состоянии оно было не одинаковым в разных частях газа. Этот процесс проно ходит со скоростью звука. К числу медленных процессов относится выравнивание температуры. Так, если неоднородность в распределении давления в воздухе имеет размер порядка 1 м, то она исчезает за время порядка 10~3 сек. Без принудительного перемешивания температурная неоднородность такого же размера рассасывается за время порядка 105 сек.

Макроскопические параметры

Независимость поведения частиц тела, находящегося в равновесном состоянии, от начальных условий означает, что точный вид закона движения каждой частицы теряет всякое значение. (Напомним, что закон движения определяется уравнениями движения и начальными условиями.) Другими словами, состоянию теплового равновесия присущ полный хаос в движении частиц.

Поэтому

свойства равновесного состояния не зависят от деталей дпи~ жения отдельных частиц 〃 определяются поведением всего их коллектива. Это поведение характеризуется небольшим числом величин, названных макроскопическими параметрами. Установившийся характер равновесного состояния проявляется в постоянстве во времени макроскопических параметров.

Макроскопические параметры характеризуют общие тенденции в поведении очень большого числа частиц нлх, другими словами, определяют усредненную картину их движения. Iio-

этому они имеют смысл средних значений физических величин, описывающих движение частиц тела.

Средние значения определяются следующим образом. Рассмотрим какую-либо из физических величин. Обозначим ее через & Например, Е может быть скоростью частицы, ее энергией и т. д. В результате теплового движения переменная g будет изменяться, причем ее изменения будут носить случайный характер. Среднее значение переменной 邑 которое обозначим через I, определяется как среднее арифметическое всех значений, которые она принимает вследствие теплового движения. Это среднее арифметическое вычисляется с помощью вероятности. Смысл и свойства вероятности будут обсуждаться в следующей главе. Здесь мы ограничимся только формулировкой правила вычисления средних значений.

Как подчеркивалось выше, изменения 自 носят случайный характер. При этом одни значения Е будут встречаться чаще, а другие реже. О первых говорят как о более вероятных, а о вторых ——как о менее вероятных. Количественной мерой частоты появления того или иного значения как раз и является вероятность. Пусть вероятность обнаружить значение физической величины в малом интервале & 自 + 羯 равна 壮取传).Тогда

冒=\自w⑶.(8.2)

Интеграл вычисляется по всей области возможных значений 自 Правило (8.2) предполагает, что физическая величина изменяется непрерывно. В квантовой области физические величины могут изменяться скачкообразно, принимая только дискретный ряд значений. Если 自卜 占2,.…，^ ——возможные значения физической величины, причем Wi ——вероятность обнаружения значения Е», то в этом случае среднее значение вычисляется по правилу

(8.3)

Рассмотрим важнейшие из макроскопических параметров. Одним из них является плотность вещества. Плотностью называется количество вещества, приходящееся в среднем на единичный объем тела. Это количество можно определять по-разному. Если речь идет о числе частиц, то говорят о плотности частиц. Эту величину условимся обозначать буквой п. В СИ она измеряется в м-3. Если имеется в виду масса вещества, то вводят плотность массы. Ее будем обозначать через р. В СИ р измеряется в кг/м3. Между р и п существует связь. Так, если тело состоит из частиц одного сорта, то

р = тп, где m — масса одной частицы.

Плотности известных в настоящее время веществ составляют весьма широкий диапазон значений (см. табл. 4).

Т а б л и ц а 4

Вещество

р, кг/м3

Вещество

р, кг/м3

Вгществоатомного

ядра

Сжатые газы в центре самых плотных звезд Золото

Ртуть

Сжатое железо в ядре

Земли

Сталь

Алмаз

Алюминий

Человеческое тело

10】7

108

1,93 - 104

1,36- 104

1,2 - 104 (7,6-7,8)-103 3,53- 103

2,7 - 103 1,07- 103

Вода

Жидкий водород

Воздух у поверхности

Земли

Воздух на высоте 20 км

Наивысшийискус

ственный вакуум

Газы межзвездного пространства

Газы межгалактического пространства

1,00- 103

0,07- 103

1,2

9 • к ю~13

ю~26

Примечательно, что, независимо от степени сжатия, плотности жидких и твердых тел лежат в весьма узком интервале значений. Плотности же газов варьируются в весьма широких пределах. Причина заключается в том, что как в твердых телах, так и в жидкостях частицы вплотную примыкают друг к другу. В этих средах расстояние между соседними частицами составляет величину порядка 1 А и сравнимо с размерами атомов и молекул. По этой причине твердые и жидкие тела обладают очень малой сжимаемостью, чем и обусловлено малое различие в их плотности. В газах положение иное. Среднее расстояние между частицами газа значительно превышает их размеры. Например, для воздуха у поверхности Земли оно составляет 102 А. Вследствие этого газы обладают большой сжимаемостью, а их плотность может изменяться в очень широких пределах.

Внутреннюю структуру твердых, жидких и газообразных тел схематически иллюстрирует рис. 8.3. На этом рисунке частицы вещества изображены кружками.

Во всех частях однородного тела, находящегося в равновесном состоянии, плотность одна и та же. Однородным называют тело, все части которого состоят из одного и того же вещества. Из всех однородных тел исключение составляют газы, находящиеся во внешних полях. Внешнее поле приводит к перераспределению частиц газа, в результате чего частицы концентрируются по-разному в разных местах. Это явление будет подробно рассмотрено в следующей главе. В принципе внешние поля должны приводить к перераспределению частиц также и в твердых телах, и в жидкостях. Однако вследствие чрезвычайно

малой сжимаемости твердых тел и жидкостей для них этот эффект оказывается ничтожно малым.

Внутри макроскопических тел действуют силы. В жидкостях и газах они характеризуются одной скалярной величиной ——давлением. Давлением называется абсолютное значение средней силы, действующей со стороны вещества газа или жидкости на каждую из поверхностей помещенной в них единичной пло-

Обычно давление обозначается через Р (или р). В СИ оно измеряется в Н/м2 (эта единица называется паскалем, сокращенно Па). Часто используются специальные, внесистемные еди^ ницы измерения давления: бар, техническая атмосфера (ат), нормальная атмосфера (атм), миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.):

1 бар = 105 Н/м2;

1 ат = 1 кгс/см2 = 9,81 • 104 Н/м2 = 0,981 бар;

1 атм = 1,033 ат =1,013- 105 Н/м2 =1,013 бар;

мм рт. ст. = 1,333 • 102 Н/м2 = 1,333 • 10~3 бар.

Для жидкостей и газов справедлив закон Паскаля*.

В состоянии теплового равновесия сила давления, приложенная к любому элементу поверхности, находящейся 6 контакте с веществом газа или жидкости, пропорциональна площади элемента и ориентирована к нему по нормали.

Действительно, эта сила возникает в результате теплового движения, которое заставляет частицы вещества газа или жидкости сталкиваться с поверхностью. Очевидно, что в заданный промежуток времени соударений будет тем больше, чем обширнее обстреливаемая площадь. Таково доказательство первой половины закона Паскаля.

Заметим теперь, что согласно второму закону Ньютона приложенная к данному элементу сила равна импульсу, котовый

передает этому элементу в единицу времени вещество газа или жидкости. Из требования же равновесности его состояния следует, что среднее значение энергии вещества не должно изменяться. В противном случае его состояние будет неустановив- шимся, т. е. неравновесным. Отсюда вытекает, что соударения частиц вещества с любой площадкой в среднем носят упругий характер. А при этом условии импульс передается площадке только в нормальном к ней направлении (см., например, § 5.2, п. 2). В этом заключается обоснование второй половины закона Паскаля.

Силы, действующие внутри твердых тел, более разнообразны. Они определяются набором физических величин, называемых механическими напряжениями. В отличие от давления, напряжения не являются скалярными величинами. Они имеют более сложную геометрическую природу. Величины такого рода называются тензорами. В твердых телах сила, действующая на каждую поверхность любой площадки внутри тела, ориентирована произвольно. Эту силу можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых действует вдоль, а другая ——перпендикулярно площадке. Первая приводит к так называемому касательному, а другая ——к нормальному на- пряжениям. Более подробно эти величины будут рассмотрены в гл. 13.

А сейчас вернемся к давлению. Этот параметр обладает следующим важным свойством:

3 жидкости или газе, не находящихся во внешнем поле, давление всегда одинаково во всех участках среды, если только ее вещество достигло равновесного состояния.

В противном случае различные части среды придут в движение под действием нескомпенсированных сил. Это движение не будет установившимся. Оно будет происходить до тех пор, пока давление в различных частях среды не станет одинаковым. После этого оно прекратится. Такую картину можно наблюдать, например, в газе, разделенном на две части подвижным поршнем. Если давление по обе стороны поршня не одинаково, то поршень будет перемещаться в ту сторону, в которой давление меньше. Это будет происходить до тех пор, пока давление, оказываемое на поршень с разных сторон, не станет одинаковым.

Остановимся на содержании понятия нагретости тела. Его степень характеризуется макроскопическим параметром, названным температурой. Температура характеризует интенсивность теплового движения частиц тела. Если движение частиц тела носит классический характер, то температура связана со сред.- ней кинетической энергией поступательного движения одной частицы. В этом Ълучае средняя кинетическая энергия поступа-

тельного двио^сения одной частицы тела пропорциональна температуре Т:

где m — масса одной частицы, a v — ее скорость. Температура 7 называется абсолютной. Коэффициент пропорциональности k называется постоянной Больцмана. В СИ

А? = 1,38- 10~23 Дж/град,(8.5)

а в системе СГС

1,38 • 10"16 эрг/град.(8.6)

Наиболее общее определение температуры, справедливое н в квантовой области, будет дано в гл. 10.

Температура измеряется в градусах. Температурная шкала, связанная с определением (8.4), называется абсолютной или шкалой Кельвина. Она не содержит отрицательных значений температуры, ибо согласно (8.4) температура пропорциональна положительно определенной величине — среднему значению ки* нетической энергии частицы. Значение Т = 0 называется абсолютным нулем температуры.

Помимо шкалы Кельвина широко распространена шкала Цельсия. Температура по шкале Цельсия обычно обозначается буквой /. Между абсолютной температурой Т и температурой / по Цельсию существует линейная связь:

7。=尸 + 273,160.

Соотношение между шкалами Кельвина и Цельсия иллюстрирует рис. 8.4.—

Из (8.4) следует, что № = З^Т/дп. Величина

Рт=7в=(8-7)

называется тепловой скоростью частиц массы т. В теле, нагретом до температуры Т, частицы движутся в среднем со скоростями порядка vT. Например, молекулы водорода при комнатной температуре движутся со скоростями около 2-103 м/сек, а молекулы кислорода ——со скоростями около 470 м/сек.

Свойством равновесного состояния является равенство температуры различных частей тела,

В противном случае непременно будет осуществляться не- редача энергии от одних частей тела к другим. Там, где

температура больше, частицы движутся быстрее. Сталкиваясь с медленными, они передают им энергию. В результате быстрые частицы замедляются ), а медленные начинают двигаться быстрее. Это означает, что характер коллективного поведения частиц изменяется, т. е. тело нельзя считать достигшим равно? веского состояния. Отметим, наконец, что в неравновесном состоянии разными температурами могут обладать не только разные участки тела, но и его разные компоненты в одном и том же объеме. Так, в плазме нередко возникают состояния, в которых температура электронов на несколько порядков выше температуры ионов.

Согласно (8.4) при Т = 0 полностью прекращается тепловое движение. Это, однако, не означает, что движение исчезает вообще. При низких температурах классические представления о движении теряют свою силу. В этой области действуют квантовые законы. Согласно им движение вообще остановить нельзя, даже понизив температуру до абсолютного нуля. О том, почему это так, мы расскажем в последнем томе курса.

Плотность (или объем, обратно пропорциональный плотности), давление (или напряжения) и температура не исчерпывают всего множества макроскопических параметров. Так, состояния тел, находящихся в электромагнитных полях, описываются с помощью специальных величин, с которыми мы познакомимся в следующем томе. Системы, в которых протекают химические реакции, характеризуются концентрациями соответствующих веществ. Концентрация — это отношение числа частиц данного вещества к числу частиц какого-то другого вещества.

Однако какой бы природы ни был тот или иной макроскопический параметр, он описывает внутреннее состояние тела с точностью до флуктуаций. Флуктуациями называются случайные отклонения физической величины от ее среднего значения. Флуктуации в равновесном состоянии всегда очень малы. Именно поэтому макроскопические параметры с очень высокой точ^ ностью характеризуют внутреннее состояние макроскопического тела.

Например, в газе из 1019 частиц, достигшем равновесного состояния, величина силы, действующей на единичную площадку, в результате флуктуаций отклоняется от своего среднего значения, т. е. от давления, не более чем на 10-10 %!

Флуктуации имеют статистическую природу, которая будет рассмотрена в следующей главе. Причина их малости в равновесном состоянии будет установлена в гл. 9.

§ 8.3. Уравнение состояния

Различные макроскопические параметры не являются независимыми. Закон, выражающий зависимость между парамет-» рами, называется уравнением состояния тела.

Рассмотрим однородные газообразные и жидкие тела. В равновесном состоянии их свойства описываются плотностью п или объемом V, давлением Р и температурой Т (с точностью до малых флуктуаций). Если, например, при заданном объеме V повышать температуру Т газа, то возрастет его давление. Это свидетельствует о том, что между этими тремя величинами существует зависимость, которую в общем виде можно записать так:

F(P, V, Т) = 0・

Установление вида функции F, т. е. уравнения состояния, на основе представлении об атомном строении вещества является чрезвычайно сложной задачей, точно разрешенной только в одном случае, а именно, для идеального газа,

Представление об идеальном газе возникло при изучении свойств разреженных газов. В движении каждой частицы любого газа всегда можно различить две фазы: свободное движение и столкновение. Некоторое время частица движется настолько далеко от остальных, что ее движение можно считать свободным. Среднее время т такого движения называется временем свободного пробега. Путь /, который частица в среднем проходит за это время, называется длиной свободного пробега. По истечении времени порядка t частица сближается с какой-то другой и начинает с ней взаимодействовать. Среднее время т/ взаимодействия двух частиц называется временем столкновения.

Идеальным называется газ, в котором

t%《L (8.8)

При этом условии свойства газа, достигшего равновесного состояния, практически не зависят от взаимодействия частиц друг с другом. Поэтому их не учитывают вовсе. '

Необходимо, однако, иметь в виду следующее. Время свободного пробега должно быть намного меньше времени, за которое частица газа проходит расстояние порядка размеров сосуда, в котором газ заключен. Это означает, что длина свобод- и ого пробега намного меньше этих размеров. Если это условие не выполнено, то газ называется сильно разреженным или газом Кнудсена. Давление кнудсеновских газов — менее 10-7—10~8 бар (10~4—10-5 мм рт. ст.).

При давлениях, близких к атмосферному, условие (8.8) выполняется для газов, молекулы которых имеют простое строе-

ние, например для кислорода, водорода, углекислого газа. Мо* лекулы этих газов при нормальных условиях движутся со скоростями порядка 102—103 м/сек, и для них отношение вре^ мени одного столкновения ко времени свободного пробега составляет около 10~3. Если же молекулы газа имеют сложное строение (органические соединения), то столкновения происходят гораздо чаще, что обусловлено относительно большим размером молекул. С ростом давления такие газы (например, пары спирта) перестают быть похожими на идеальный гораздо быстрее, чем газы, состоящие из молекул простого строения.

Получим уравнение состояния идеального газа. С этой целью рассмотрим на поверхности сосуда, в который газ заключен, малую площадку S. Вслед^ ствие малости ее всегда можно считать плоской. Выберем систему отсчета с осью %, направленной перпендикулярно S (рис. 8.5). Тогда скорость сближения каждой частицы с площадкой будет равна их (%>0)・ Напомним, что в равновесном состоянии соударения частиц газа со стенками сосуда носят упругий характер. Следовательно, при каж/ передаваться импульс

mvx _ (- mvx) = 2加%,

где т — масса одной частицы газа. Примем на время, что все подлетающие к площадке S частицы имеют одну и ту же скорость ух. Из условия идеальности следует, что до соударения со стенкой сосуда каждая частица газа движется свободно. Это означает, что их = const. Поэтому за время Af с площадкой S столкнутся только те частицы газа, которые к началу отсчета времени Д/ находились от площадки на расстоянии, не превьь шающем vx А/, и занимали объем Svx Д/. Это рассуждение сира- ведливо для реально существующих разреженных газов на временах Af《т. Если плотность газа равна 〃，то в указанном объеме в среднем будет находиться nSvx Д^ частиц. Столкнув- щись с площадкой, все эти частицы передадут ей импульс

△Р* = "S% • А/ • 2加% = 2mn^S Д/.

Предположение, что все частицы газа имеют скорости с одной и той же компонентой и%, действительности, конечно, не соответствует. Вспомним, однако, что нам необходимо оценить только коллективный эффект, возникающий от столкновений с,

площадкой большого числа частиц газа. Этот эффект описывается средним значением полученного выше выражения. Усредняя это выражение по и%, примем во внимание, что не все частицы с одним и тем же значением 吮 сталкиваются с площадкой. Столкновение претерпевают лишь те из них, у которых vx > 0. Частицы с Ur V 0 движутся в обратном направлении и встретиться с площадкой не могут.

Учтем теперь, что в равновесном состоянии движение частиц является полностью беспорядочным. Поэтому число частиц, летящих к площадке S и от нее, в среднем одно и то же. Это означает, что среднее значение и： для и^ > 0 вдвое меньше среднего значения и^ для всех и*. Таким образом, оказывается, что за время А/ площадка S со стороны газа получит импульс, в среднем равный

А9% —忆 * fnv^S Д/.

Следовательно, на данную площадку газ действует с силой, среднее значение которой равно

戸=• S.

Отсюда получаем, что давление газа равно

Р = п • т咚(8.9)

Теперь учтем, что беспорядочное движение в среднем одина-

ково по всем направлениям. Это означает, что

理=吟=吟

(8.10)

Поскольку 力=證 + и； + 唸 то

?2 = ?* + % +吗=3破.

(8.11)

Из (8.9) и (8.11) следует, что

Р = ^ пти" = -|-п-^-・

(8.12)

Используя теперь (8.4), находим:

Р — nkT.

(8.13)

Это соотношение и является уравнением состояния идеального газа. "

Существует несколько других форм записи этого уравнения. Они таковы. По определению плотнюсть 几=N/Vt где N — число частиц газа, а V —его объем. Следовательно, (8.13^ мошкх

переписать так:

pv = NhT・

(8.14)

Часто используется и такая запись:

PV = NkT =- • N/归• Т = vRT.

(8.15)

В ней V = NINа определяет число молей газа. Величина

R = Na・ h

(8.16)

называется универсальной газовой постоянной. В СИ

R = 8,31 • I® Дж/кмоль.

(8・17)

Число молей газа можно определить через его массу М: NmNМ

NamN aN .

Здесь 卩=mNA — масса одного моля газа. Таким образом, уравнение состояния идеального газа можно преобразовать к виду py = *RT.(8.18)

В такой записи оно известно под названием уравнения Клапейрона ——Менделеева.

Из уравнения состояния идеального газа вытекает ряд важных следствий.

Закон Авогадро: в равных объемах разных газов, находящихся при одинаковых давлениях и температурах, содержится одинаковое число молекул.

Действительно, так как N = PV/kT, то для разных газов при одних и тех же Р, V и Т значения N будут одинаковыми. В частности, в 1 см3 любого идеального газа при 伊=0℃ и давлении в 1 атм содержится 2,7 • 1019 молекул. Это число называется числом Лошмидта.

Закон Дальтона-, в состоянии теплового равновесия давление в смеси идеальных газов равно сумме давлений каждой компоненты смеси.

Пусть смесь состоит из I газов, причем частиц первого газа М, второго — № и т. д. В равновесном состоянии температура каждой компоненты смеси одна и та же. Допустим, что она равна Т. Тогда выполняются соотношения

PW = N—hT, p2V = N2-kT, ..., PN =N「kT,каждое из которых является уравнением состояния одной изкомпонент смеси. 尸卜 夕2， ••・，户z — это давления первой, вто*рой, третьей и т. д. компонент. Эти давления называются

8 А, В* Астахов

парциальными. Сложим теперь выписанные выше равенства. В результате йолучим:

Сумма в правой части ——это полное число частиц в смеси. Следовательно, давление смеси равно

p = Z 匕，

что и требовалось доказать.

Известные из средней школы законы Бойля ——Мариотта, Шарля и Гей-Люссака получаются, например, из (8.14) при постоянстве, соответственно, Т, V и Р.

По мере увеличения плотности газ становится все менее похожим на идеальный. Все большее значение приобретают взаимодействия частиц газа друг с другом. Эти взаимодействия обусловлены силами, описанными в § 23 Напомним, что на малых расстояниях эти силы являются силами отталкивания, а на больших — силами притяжения.

Получение уравнения состояния газа, в котором было бы точно учтено взаимодействие частиц друг с другом, является очень сложной задачей, которая навряд ли будет когда-нибудь решена. Приближенный и довольно грубый учет основных особенностей этого взаимодействия приводит к уравнению состояния Ван-дер-Ваальса.

Оно может быть получено так. Из уравнения состояния идеального газа следует, что при конечных температурах давление становится неограниченно большим только при сжатии газа в точку. Для реальных газов давление должно резко возрастать при конечном объеме, равном по порядку величины объему всех частиц газа. Примем, что сжатие газа до меньшего объема невозможно. Этот минимальный объем запишем в виде Nb, где 匕——объем одной частицы, а ^ ——их число. Следовав тельно, грубый учет сил отталкивания между частицами, дей^ ствующих на малых расстояниях и проявляющихся в резком возрастании давления уже при конечном объеме, приводит к следующей корректировке уравнения состояния идеального газа:

г — V - Nb'

Действие сил притяжения между частицами проявляется в уменьшении давления газа по сравнению с приведенной веЛи-* чиной. Это уменьшение обусловлено тем, что на каждую ча^ стицу, находящуюся у стенки сосуда, действует сила, направо

ленная внутрь сосуда. Она вызвана притяжением со стороны частиц газа, находящихся в его объеме. В грубом приближении эту силу можно принять пропорциональной плотности газа и = N/V. Заметим, что давление уже само по себе пропорционально плотности. Следовательно, эффект уменьшения давления будет пропорционален n2 = №/V2. Коэффициент пропорциональности обозначим через а. Таким образом, учитывая действие сил притяжения, мы должны перейти к соотношению

которое в форме

{Р + ^а) (V-Nb) = NkT(8.19)

называется уравнением Ван-дер-Ваальса. Коэффициенты а и Ь — это постоянные Ван-дер-Ваальса, учитывающие, соответственно, действие сил притяжения и отталкивания при взаимодействии частиц газа друг с другом.

В настоящее время еще не найдено надежных уравнений жидкого состояния. Хотя и существует ряд приближенных теорий жидкости, однако все они носят еще предварительный характер, и пока трудно оценить степень их точности. Несколько лучше обстоит дело с уравнением твердого состояния. Однако и здесь исчерпывающего ответа еще не найдено. С простейшим уравнением твердого состояния мы познакомимся в гл. 13. Ввиду серьезных трудностей, стоящих на пути получения уравнений жидкого и твердого состояний на основе микроскопических представлений, наиболее перспективным является установление вида уравнений состояния опытным путем.

§ 8.4. Внутренняя энергия

Важнейшей характеристикой внутреннего состояния макроскопического тела является его внутренняя энергия. Эта величина определяется как среднее значение полной энергии всех частиц тела. При этом обычно внутреннюю энергию отсчитывают от суммарной энергии покоя всех частиц. В дальнейшем внутренняя энергия будет обозначаться через Е. Так, если тело состоит из 乂 классических материальных точек, то

Здесь 各一точное значение полной энергии системы N частиц (за вычетом энергии покоя),检 и Vi — соответственно масса и

скорость i-й частицы, U — энергия взаимодействия частиц друг с другом и с внешним полем. Черта обозначает усреднение.

Внутренняя энергия обладает следующими свойствами.

В состоянии теплового равновесия частицы макроскопического тела движутся так, что их полная энергия все время 〃 с высокой точностью равна внутренней энергии тела*.咨=咨= =Е,

Данное свойство следует из общего положения о малости флуктуаций в состоянии теплового равновесия. Другими словами, это свойство можно сформулировать так: флуктуации энергии в равновесном состоянии ничтожно малы. Например, в газе, количество которого равно 0,01 моля, относительное отклонение энергии от среднего значения, т. е. от внутренней энергии, в среднем составляет всего 10一".

Внутренняя энергия тела является функцией его макроскопического состояния, т. е. зависит от макроскопических параметров тела.

Из предыдущего параграфа известно, что в отсутствие внешних электромагнитных полей состояние теплового равновесия газов и жидкостей можно характеризовать всего двумя параметрами, например объемом и температурой. При этом давление однозначно определяется через уравнение состояния. Поэтому внутренняя энергия однородных газов и жидкостей зависит только от двух величин, за которые можно выбрать объем V и температуру Т (ниже, в § 10.3, будет выяснено, что этот выбор ——не самый удачный). Зависимость от Т обусловлена движением частиц тела, т. е. наличием у них кинетической энергии. Зависимость от V связана с взаимодействием частиц друг с другом. С изменением V меняется плотность п и, как следствие, среднее расстояние между частицами. В зависимости от этого меняется и средняя энергия их взаимодействия. Для твердых тел внутренняя энергия зависит еще и от их формы.

Действительно, частицы жидкости и газа могут занимать любые пространственные положения, поскольку они не ограничены в своих перемещениях. С этим как раз и связано свойство газов и жидкостей не сопротивляться изменению формы. Это в свою очередь определяет их способность передавать давление во все стороны одинаково (закон Паскаля). В твердых телах положение иное. Частицы твердого тела локализованы на своих местах в кристаллической структуре. Кристаллическая структура оказывает сопротивление не только сжатию и растяжению. Она противодействует и изменению своей формы, даже если объем тела сохраняется. Следовательно, внутренняя энергия твердого тела будет меняться и при изменении его формы. С этим, кстати, связано то обстоятельство, что действующие в твердых телах силы нельзя описать одной скалярной величи-

ной—давлением и требуется введение набора величин более сложной математической природы ——напряжений.

Отметим, наконец, что именно благодаря свойствам (а) и (б) удалось развить подход к рассмотрению внутренних свойств макроскопических тел, принципиально отличный от механического. В рамках последнего энергия макроскопического тела зависит от необозримо большого числа величин. Так, если тело состоит из N классических частиц, то энергия такой системы зависит от 3/V координат частиц и 3N компонент их скоростей или импульсов. Чрезвычайное обилие этих переменных практически исключает возможность описания свойств макроскопических тел в рамках чисто механического подхода.

Внутренняя энергия обладает свойством аддитивности, т. е. внутренняя энергия системы тел равна сумме внутренних энергий каждого тела.

Обозначим внутреннюю энергию системы тел через Е, а внутреннюю энергию тела с номером i ——через Е*. Тогда свойство аддитивности внутренней энергии выражается равенством

Е = 2 Е，・i

В его справедливости убеждают следующие рассуждения. Энергия Е может отличаться от Z& лишь на величину энергии взаимодействия тел. Допустим теперь, что в теле с номером i содержится Ni частиц. Тогда по порядку величины число частиц на поверхности тела равно В самом деле, характерный линейный размер тела, содержащего ^^ частиц, пропорционален Nd Поверхность же тела пропорциональна квадрату этого размера. Отношение числа частиц на поверхности тела ко всему числу частиц по порядку величины составляет №卜1 Ni = N；\ Очевидно, что именно это отношение характеризует относительный вклад взаимодействия тела с номером i с остальными телами во внутреннюю энергию системы тел. Так как Ni ——макроскопически большая величина, то отличие Nf" от нуля ——чисто теоретическое. В этом и заключается причина того, почему взаимодействием тел можно пренебречь.

Рассмотрим идеальный газ, находящийся в равновесном состоянии. Найдем внутреннюю энергию газа.

Заметим, что частицы газа помимо поступательных обладают еще и внутренними степенями свободы. Так, если частицами газа являются атомы, то внутренние степени свободы обусловлены наличием в атомах электронов. Если же частицами газа являются молекулы, то помимо электронного движения возможно вращение молекулы как единого целого и колебания входящих в состав каждой молекулы атомов. Поступательное

230 МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 8 движение частиц газа является классическим, а их внутренние движения могут носить квантовый характер. Лишь при выполнении определенных условий, которые будут сформулированы ниже, внутренние степени свободы можно считать классическими.

Проявление квантовых свойств существенно влияет на величину внутренней энергии тела. Поясним это.

Отличительной чертой квантовых движений является скачкообразный характер изменения энергии. Поэтому для возбуждения квантового движения необходимо сообщить конечную порцию энергии А/. Эту величину мы назовем энергетической щелью. Частица газа может получить эту энергию только в результате столкновения с какой-то другой частицей. При столкновении энергия поступательного движения частиц может быть частично или полностью израсходована на возбуждение внутренних движений. Согласно (8.4) энергия поступательного движения частиц по порядку величины равна 儿Т, где Т ——температура газа. Следовательно, энергетической щели А/ отвечает характеристическая температура

При температурах порядка То или превышающих это значение возбуждается движение, характеризующееся щелью А/. При этом общей закономерностью является следующая: с ростом температуры внутреннее движение быстро приобретает классический характер.

Для электронных движений в атомах по порядку величины А鋁=10-18 дж и г^л = Ю5°К. Поэтому, электронные степени свободы возбуждаются при весьма высоких температурах: 7》爲"=1()5 к При более низких температурах электронные степени свободы «заморожены» и их учитывать не надо. Отме- тим, что электронные возбуждения сопровождаются ионизацией частиц газа (см. рис. 8.4, стр. 220). При температурах Г ^ ^ 105°К возникает плазма. В плазме важную роль играют дальнодействующие кулоновские силы. Поэтому при температурах порядка 105 °К и выше газ перестает быть идеальным.

Для подавляющего числа молекул энергетическая щель, отвечающая колебательным степеням свободы, по порядку величины равна А/к°л = 10~20 Дж. Следовательно, характеристическая температура возбуждения колебаний в молекулах Ткол имеет порядок 103°К. Например, для кислорода О2 7о°л = 2230°К. Таким образом, колебания возбуждаются при температурах Т^Т^Л= 103°К. У сравнительно небольшого числа молекул, например таких, как HgCl2, Hgb, SnCl4, некоторые из колебаний возбуждаются при сообщении энергии по-

рядка 10-21 Дж. Такие колебания возникают при меньших температурах, Т> 102°К.

Наконец, энергетическая щель А^вр для вращательных движений молекул не превосходит величины 10~21 Дж. Поэтому характеристическая температура Т；*, отвечающая этому виду движений, не превышает 102°К и, как правило, составляет величину в несколько градусов Кельвина или величину порядка 10°К- Например, для кислорода ?оР = 2,07 °К. Только у молекул Н2 и Do (D ——тяжелый изотоп водорода) Т^ имеет аномально большие значения, равные, соответственно, 85°К и 43°К・ У всех молекул, кроме Н2 и D2, ГоР значительно меньше температуры конденсации соответствующих газов. Поэтому в газах, состоящих из молекул, вращательные степени свободы всегда возбуждены. При этом при обычных условиях, как правило, соблюдается неравенство Т > 7黑，так что вращения молекул можно считать классическим движением.

Для вычисления внутренней энергии идеального газа воспользуемся законом равнораспределения энергии по классическим степеням свободы:

8 состоянии теплового равновесия на каждую классическую степень свободы движения частиц тела приходится кинетическая энергия^ 6 среднем равная «7/2, где Т — температура тела. Классической называется степень свободы, которой отвечает движение, подчиняющееся законам классической механики.

Этот закон имеет статистическое обоснование, изложение которого выходит за рамки данного курса. Поэтому мы ограничимся иллюстрацией, подтверждающей его справедливость. Рассмотрим газ, молекулы которого можно считать классическими частицами. Если он находится в равновесном состоянии и масса каждой частицы газа равна т, то согласно (8.10), (8.11) и (8.4)

mv^. my^ 〃感 1 mu2 kT

В этой цепочке равенств первые три величины ——средние значения кинетических энергий, приходящихся на каждую поступательную степень свободы частицы. Как видно, они равны между собой и каждое из них равно 丸7/2, что и утверждает закон равнораспределения энергии.

Пусть частицами газа являются отдельные атомы. Тогда вплоть до температур Т = 7片=105°К их можно считать материальными точками. Следовательно, каждый атом обладает только тремя поступательными степенями свободы. Поэтому каждый атом будет обладать в среднем кинетической энергией з/2^Т. Следовательно, если газ состоит из N частиц, то его

внутренняя энергия равна

E = N ・^kT 分NhT.(8.20)

Рассмотрим идеальный газ, состоящий из молекул. Пусть их число также равно М Вклад во внутреннюю энергию от поступательных степеней свободы молекул вычисляется так же, как и для газа, состоящего из отдельных атомов. Этот вклад составляет величину £пост = ^j2NkTt Если температура газа меньше Т о°л, то помимо поступательных степеней свободы вклад во внутреннюю энергию дают только вращательные степени свободы молекул. Напомним, что при обычных и более высоких температурах вращательные движения молекул можно считать классическими. Для определения величины Евр необходимо знать число а вращательных степеней свободы. Это число может иметь два значения: а = 2 и а = 3. Для линейных молекул, к числу которых относятся, например, молекулы Н2, N2, О2, имеем а = 2. Для таких молекул энергия затрачивается на вращение вокруг осей, не совпадающих с линией расположения атомов в молекуле (рис. 8.6). Каждое из них допускает разложение на два

независимых вращения вокруг двух взаимно перпендикулярных осей. Эти оси перпендикулярны линии расположения атомов (рис. 8.6). Для прочих молекул а = 3, поскольку в этом случае число независимых вращений равно 3. На рис. 8.7 для примера изображена структура молекулы метана СН4 и указаны три независимых вращения.

На основании закона равнораспределения энергии находим, что каждая молекула обладает энергией вращательных движений? в среднем равной а亏，а вклад во внутреннюю энергию

идеального газа от этих степеней свободы равен

(8.21)(8.21)蔺 kT NkT

(8.21)

(8.21)

£ p = Na -2- = a ——斤

При приближении температуры к Т；°" начинают возбуждаться колебательные степени свободы молекул. Вклад Екол ог колебательных степеней свободы во внутреннюю энергию газа оценивается следующим образом. После достижения температуры Т^л и вплоть до температур порядка 104°К, при которых начинается диссоциация молекул, колебания атомов в молекулах являются гармоническими, с высокой точностью подчиняющимися классическим законам. Каждое колебание обладает как потенциальной, так и кинетической энергией. В § 7.1 было показано, что средняя кинетическая и средняя потенциальная энергия гармонического колебания равны. Поэтому согласно закону равнораспределения энергии на одну колебательную степень свободы будет приходиться в среднем энергия kT. Следовательно, одна молекула с р колебательными степенями свободы будет обладать энергией колебаний, в среднем равной 6^Т・ Вклад Е^ол этого вида движений во внутреннюю энергию газа составит величину

尸 °л = N^kT = p^^Г. (8.22)

Число § определяется следующим образом. Если одна молекула состоит из 厂 атомов, то она имеет Зг степеней свободы ―- при условии, что электронные степени свободы «заморожены»в Из Зг степеней свободы три приходятся на поступательное движение, а a ——на вращательное. Следовательно, В = 3厂 ——3 ——a.

Мы видели, что вклад во внутреннюю энергию идеального газа от различных степеней свободы пропорционален температуре газа. Их суммарный вклад принято записывать в виде

Значение у зависит от числа возбужденных степеней свободы. Так, для газа, состоящего из атомов, у = 5/3. Это значение получается путем сравнения (8.20) с (8.23). В гл. 10 будет показано, что у легко определяется экспериментально. Именно по этой причине внутреннюю энергию газа и записывают в виде (8.23).

Измерения зависимости у от температуры дают возможность устанавливать температуры возбуждения различных внутренних степеней свободы молекул. Допустим, например, что каждая молекула газа состоит из двух атомов. Полное число степеней свободы каждой такой молекулы равно 6. Три из них являются поступательными, две — вращательными и одна — колебательная: a = 2 и р = 1. Тогда в соответствии с (8.20) и (8,21) при

температурах, при которых колебательная степень свободы еще «заморожена»,

£ = £пост + ?вр = _| NhT + NkT = ~ NkT.

Сравнивая это выражение с (8.23), находим, что при Т <Т^Л ¥ = 7/5. Если же Т > Т^°\ то колебательная степень свободы «размораживается». В этой области

Е = ЕПОСТ + £ВР + £кол = NhT + NkT + NkT =讶 NkT

и y = 9/7. График изменения у с температурой изображен на рис. 8.8. По положению излома графика и определяют Т》°"・

Подчеркнем, что зависимость энергии идеального газа только от температуры обусловлена отсутствием взаимодействия между его частицами. Если этим взаимодействием пренебрегать нельзя, то появляется еще и зависимость внутренней энергии от объема газа.

ГЛАВА 9

СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Вероятность и флуктуации

В предыдущей главе отмечалось, что отличительным свой-* ством внутреннего движения макроскопических тел является его случайный характер. Так, нельзя быть уверенным в том, что при измерении числа частиц в какой-либо части тела оно окажется равным некоторому заданному значению. Производя измерения несколько раз, в каждом случае будем обнаруживать разные значения. Аналогично, невозможно точно предсказать, с какой скоростью будет двигаться та или иная частица тела, какой она будет обладать энергией, моментом импульса и т. д. Подобная неопределенность характерна для микроскопического подхода к внутреннему движению. В этих условиях имеет смысл постановка лишь одного вопроса: какова вероятность того, что какая- либо физическая величина будет иметь то или иное значение?

Понятие вероятности является первичным. Оно не сводится к ишям, более простым, и по существу постулируется. Вероятность дает наиболее правдоподобную оценку доли случайные событий с данным исходом при большом числе их повторений 6 одних и тех же условиях и является величиной безразмерной.

Разъясним, что это означает, на двух примерах.

Во многих детских играх набор очков производится с помощью игральной кости. При ее бросании выпадение какого- либо числа очков является случайным событием (рис. 9.1). Если материал, из которого сделана кость, однороден и по своей форме она является кубом, то нельзя отдавать предпочтение выпадению какого-либо определенного числа очков. Все они равновероятны. Следовательно, вероятность выпадения данного числа очков, как наиболее правдоподобная оценка доли исходов с определенным результатом, будет равна %•

Рассмотрим другой пример. Пусть вещество, сосредоточенное в слое малой толщины d% и с поперечным сечением S, подвергается облучению потоком каких-либо частиц (см, рис, 5.15

на стр. 156). Малость dx означает, что это расстояние ничтожно в сравнении с длиной свободного пробега частицы-снаряда в веществе мишени. Каждое столкновение частицы-снаряда с частицей-мишенью является событием случайным. Найдем вероятность dW столкновения на пути длиной dx. Предварительно отметим, что подобного рода столкновения наблюдаются довольно часто. Они имеют место при взаимодействии: космического излучения с атмосферой и различными породами Земли; пучка выведенных из ускорителя заряженных частиц с поставленной на пути пучка мишенью; нейтронов в атомных реакторах с материалом конструкций этих установок и в ряде других случаев. Отметим, что взаимодействие частиц газа друг с другом также

осуществляется путем столкновений. Любая частица газа время от времени бомбардирует все прочие его частицы.

В § 5.2 указывалось, что столкновения характеризуются сечениями, каждое из которых имеет смысл тени, отбрасываемой частицей-мишенью в направлении потока частиц-снарядов. Там же было показано, что вещество мишени, сосредоточенное в слое толщины dx и площади S, затеняет площадь on dxSf где о — сечение столкновения, а п ——плотность вещества мишени. Отсюда следует, что при достаточно длительном облучении наиболее правдоподобная оценка доли попаданий частицы-снаряда в частицу вещества мишени при прохождении в этом веществе пути dx будет даваться отношением площади тени on dxS ко всей площади обстрела S. Следовательно, dW = on dx.

Зная эту величину, можно оценить длину свободного пробега I частицы-снаряда. Действительно, на пути, равном Z, частица испытает в среднем одно столкновение. Поэтому dx/l = dW = =on dx. Отсюда находим:

Мы видим, что средняя длина свободного пробега зависит от плотности вещества мишени /г и от характера взаимодействия частиц-снарядов с частицами мишени, что определяется сечением

о. В обычных молекулярных газах средняя длина свободного пробега при нормальных условиях составляет около 10~7 м, что намного превышает размеры молекул и сравнимо с длиной волны видимого света.

Вероятность случайного события и экспериментально наблюдаемая доля исходов, когда событие осуществляется,——это не одно и то же. Если, например, измерять долю случаев, когда при бросании игральной кости выпадает, скажем, шесть очков, то оказывается, что строго определенного значения эта доля не имеет. На рис. 9.2 представлена ее зависимость от общего числа

оыпааений тести owo6

бросаний для конкретной серии испытаний. Как видно, резуль-* таты наблюдений отличаются от оценки в 】/б. Эти результаты группируются вблизи i/б ——и только. Нет никаких гарантий, что экспериментальная кривая при увеличении числа испытаний будет стремиться к значению 】/б. Более того, может произойти (и действительно наблюдается) резкое отклонение от 7б. Характерным свойством каждой экспериментальной кривой является наличие случайных отклонений от наиболее правдоподобной оценки. Именно такого рода отклонения происходят в любых макроскопических системах, и именно они и обуславливают, флуктуации.

В теории вероятностей устанавливается, что с увеличением числа испытаний N доля наиболее правдоподобных или, как говорят, наиболее вероятных флуктуаций уменьшается по закону \ 17N. Наиболее вероятными являются малые флуктуации. Такие случаи, когда, например, при бросании игральной кости много раз подряд выпадает одно и то же количество очков, к числу наиболее вероятных не относятся. При достаточно большом N суммарная вероятность всех флуктуаций, превышающих любую сколь угодно малую (но конечную) величину, стремится к нулю. Это следует из закона больших чисел, доказанного в теории вероятностей П. Л. Чебышевым. Именно закон больших чисел объясняет, почему макроскопические законы, полученные

на основе статистических представлений о движении частиц вещества, оказываются точными. «Секрет» заключается в том, что число частиц в любом макроскопическом теле очень велико. Поэтому вероятность отклонения от наиболее правдоподобной оценки всегда оказывается ничтожно малой и отсутствие отклонения можно считать практически достоверным. Например, вероятность найти (при однократном наблюдении) относительное отклонение энергии 0,01 моля газа от своего среднего значения порядка 10~6 является поразительно малой величиной ^ 10~3，1°15.

Перечислим и поясним нужные для дальнейшего основные законы теории вероятностей.

Вероятность нескольких взаимоисключающих событий равна сумме вероятностей каждого из них.

Предположим, что в результате N испытаний осуществились события Л, В, С и т. д., причем если произошло одно из них, то в то же время все остальные события исключаются. Например, если при каком-то бросании игральной кости выпало 5 очков, то при данном испытании ни 2, ни 3 и т. д. очка появиться уже не могут. Пусть из N испытаний в Na случаях осуществилось событие Л, в ^в случаях ——событие В и т. д. Тогда доля случаев, в которых осуществилось, например, либо событие Л, либо событие В, равна

Каждое из отношений в правой части этого равенства определяет долю исходов с соответствующим результатом ——либо событие /, либо событие 8. На этом основании требуют, чтобы и вероятность обладала аналогичным свойством.

Важным следствием свойства (а) является условие нормировки： сумма вероятностей всех возможных событий равна 1.

Действительно, такая сумма дает оценку доли случаев, в которых осуществляется любое из возможных событий. Но при любом испытании это происходит непременно. Так, при каждом бросании игральной кости обязательно выпадает какое-то число очков. Отсюда следует, что интересующая нас оценка должна даваться единицей.

Вероятность одновременного осуществления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них.

Пусть одновременно происходят два независимых события: Л[Л2, З182, С]С2 и т. д. С такой ситуацией мы сталкиваемся, например, бросая сразу две игральные кости. Каждое из пары независимых событий — это выпадение определенного числа очков на одной из костей (рис. 9.3). Обозначим через N44 число исходов, когда одновременно осуществляются события А】н 42d

Например, на одной из костей выпадает 4 очка (событие 40, а на второй——1 очко (событие А2). Доля этих случаев составит величину Na、aJN、где ^ ——полное число испытаний. Пусть Na и ^л2 определяют число исходов, в которых происходят соответственно либо событие 41, либо событие 力2・ При этом сопут^ ствующее каждому из них другое независимое событие может быть любым. Так, при бросании двух игральных костей можно подсчитать число случаев, когда, например, первая кость дает четыре очка при любом числе очков на второй. Тогда из Na*

случаев лишь доля, равная NAJN, приведет к результату, когда одновременно с Л i осуществится и другое независимое событие Л2. Таким образом, Nа、а『Nа「(Nа」№・ Следовательно,

33N&N&NN必2N・必2N・

3

3

N&

N&

N

N

必2

N・

必2

N・

Из этого равенства вытекает, что доля случаев одновременного осуществления двух независимых событий представляется произведением. Его сомножителями являются доли случаев осуществления каждого события. В этом и заключается причина, по-» чему аналогичное требование предъявляется к вероятности неза、 висимых событий.

Распределение Больцмана

При тепловом движении изменения в положении каждой частицы тела носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружения частицы в том или ином месте, т. е. вероятности обнаружения значений ее радиус- вектора в той или иной области. Подчеркнем, что по размерам эта область должна намного превышать характерный размер микроскопического строения тела, которым является для газов средняя длина свободного пробега его частиц, для жидкостей ц

твердых тел — среднее расстояние между соседними частицами Иными словами, область должна вмещать макроскопически большое число частиц. Только при этом условии движение каждой частицы в данной области проявит черты случайного процесса, ибо на нее будет оказано гигантски большое число воздействий со стороны ее окружения.

В дальнейшем мы неоднократно будем прибегать к понятию малой (бесконечно малой) области или участка тела, вкладывая в него следующий смысл: малой (бесконечно малой) называется область (или участок) макроскопического тела, по размерам

ничтожная в сравнении с размерами всего тела, но все же намного превосходящая характерный размер его микроскопического строения. Каждая такая область или участок содержат

макроскопическое число частиц и поэтому часто называются макроскопически малыми.

Рассмотрим вероятность dW обнаружить частицу в области, определяемой малым интервалом значений радиус-вектора ча-

Рис. 9.4.Рис. 9.4.стицы (г; г + dr), считая, что тело достигло равновесного состояния. Векторный интервал (г; г + dr) эквивалентен трем координатным (х; % + dx), (У； У + dy),(2；2十九)и измеряется объемом dV = dx dy dz параллелепипеда, изображенного на рис. 9.4. Так как равновесное состояние является установившимся, то dW не будет меняться со временем

Рис. 9.4.

Рис. 9.4.

и может определяться только Положением интервала (г; г + dr), т. е. dW = dW(r). Очевидно, что чем больше объем, тем вероятнее обнаружить в нем Частицу. Для малого объема это выражается в том, что вероятность оказывается пропорциональной объему, так что мы можем записать равенство

ВеличинаВеличинаdW (г) = f (г) dV.dW (г) = f (г) dV.№)=№)=dW (г)-dVdW (г)-dV

Величина

Величина

dW (г) = f (г) dV.

dW (г) = f (г) dV.

№)=

№)=

dW (г)

-dV

dW (г)

-dV

называется плотностью вероятности или функцией распределен значений радиус-вектора г. Она имеет смысл предела отно-* тения вероятности обнаружить частицу в некотором объеме к величине объема при стягивании последнего в точку с радиус* вектором г

Условие нормировки накладывает ограничение на f(г). Очевидно, что нахождение суммарной вероятности обнаружить частицу в любом возможном месте сводится к интегрированию dW(г) по всему объему тела V, Отсюда следует, что функция распределения f (г) должна удовлетворять равенству

f ⑺ dP = l.

Найдем функцию распределения f (г) для идеального газа классических частиц. Пусть газ занимает объем V и находится в равновесном состоянии с температурой Т. При отсутствии внешнего поля все положения любой частицы равновероятны. Именно поэтому газ распределяется по всему доступному объему с одинаковой плотностью. В этом случае f (г) = f = const. Значение постоянной находится из условия нормировки

У ⑺ di/ = \ f dV = f \ dV =『展 1, VVV

откуда следует, чтооткуда следует, чтоNN

откуда следует, что

откуда следует, что

N

N

где ^ — полное число частиц газа, а п ——его плотность.

Таким образом, оказывается, что в отсутствие внешнего поля вероятность dW(г) обнаружить частицу газа в заданном объеме dV не зависит от места расположения dV и равна

Картина меняется, если частицы газа испытывают действие внешнего поля. В результате происходит пространственное перераспределение частиц и f(r) =# const. Плотность и давление газа оказываются в различных местах разными. Они приобретают смысл локальных (т. е. определенных в точке) величин. Значением плотности п(г) в точке г называется предел отношения Д^ДV, где Д^ ——среднее число частиц в объеме ДУ, при стягивании АУ в точку г. Давлением Р(г) в точке г называется предел отношения AF/AS, где AF——абсолютное значение средней силы, действующей на площадку AS, при стягивании AS в точку г.

Определяя эти величины, мы должны помнить, что они являются макроскопическими параметрами. Поэтому стягивание в точку следует понимать как доведение AV и AS до столь малых значений, что они могут считаться бесконечно малыми в смысле, разъясненном в предыдущем пункте.

Пусть силы внешнего поля являются потенциальными. Для простоты предположим, что они действуют только в одном на< правлении. Выберем систему отсчета так, чтобы ее ось z была ориентирована в этом направлении (см. рис. 9.4). При равновесии сумма всех сил, действующих на частицы газа в объеме dVv должна быть равна нулю. Этими силами являются силы давления газа, окружающего о.бъем dV, и силы внешнего поля. Силы давления, действующие на боковые грани объема dU, должны быть скомпенсированы. Ъ противном случае они вызовут поток газа в направлении, перпендикулярном оси 2, что противоречит предположению о равновесности его состояния. Внешнее поле не может воспрепятствовать возникновению потока, поскольку силы поля действуют только вдоль оси 2. По этой же причине силы давления, действующие через верхнее и нижнее основания объема dV, не могут быть равны друг другу. Их разность должна компенсировать действие сил внешнего поля, приложенных к частицам, находящимся в объеме dV. Эти силы в сумме дают величину

dF = nG dV = nG dx dy dz, где G ——сила, действующая на одну частицу, п ——плотность газа в месте расположения объема dV. Если разность давлений на верхнем и нижнем основаниях параллелепипеда составляет dP, то dF должно быть равно dP dx dy. Из этого условия следует, .что

dP = nG dz.

Обозначим потенциальную энергию частицы газа во внешнем поле через U. Тогда согласно (2.31) G =—dU/dz. Следовательно,

dP =——n ^- dz — — n dU・

Поскольку в равновесном состоянии температура газа везде одинакова, то согласно уравнению состояния идеального газа (8.13) мы можем записать следующее равенство:

dP = — hT dn.

Из двух последних равенств следует, что

~ = d (In /г)=—备 dU, или

Постоянную интегрирования мы записали как In п0. Очевид^ но, что Ио определяет плотность в том месте, где U = 0.

Таким образом, оказывается, что в состоянии теплового равновесия плотность газа, подверженного действию внешнего поля, изменяется по закону

(9.2)

Это соотношение называется формулой Больцмана.

Закону (9.2) отвечает функция распределения

f⑺=屮=号「(9・3)

Вероятность обнаружить частицу газа в объеме d匕 расположенном у точки г, равна

U (г)

dW (г) = f(r)dV = ^e」k・(9.4)

Этот закон называется распределением Больцмана.

Для идеальных газов давление отличается от плотности постоянным множителем kT (Т = const). Поэтому для таких газов

и⑺

Р (г) = Ро е 々т , где Ро = n^kT.

Рассмотрим поле земного тяготения. Вблизи земной поверхности потенциальная энергия частицы газа на высоте z равна U = mgz, где m — масса частицы. Уровень 2 = 0 считается совпадающим с поверхностью Земли. Поэтому, если газ находится в равновесном состоянии и обладает температурой Г, то изменение его давления с высотой происходит по закону

产.(9・5)

Эта формула называется барометрической. Ее можно применять и для достаточно разреженной смеси газов. В этом случае компоненты смеси практически не взаимодействуют друг с другом. Поэтому каждую компоненту можно рассматривать отдельно и применять барометрическую формулу к парциальному давлению каждой из них. В частности, согласно барометрической формуле для земной атмосферы оказывается, что чем тяжелее газ, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты должна все более обогащаться легкими газами. Например, плотность кислорода должна падать быстрее, чем плотность азота.

Хотя такая тенденция наблюдается в действительности, тем не менее, применяя барометрическую формулу к земной атмосфере, необходимо соблюдать осторожность. На самом деле

атмосфера не находится в равновесном состоянии. Ее темпера-* тура с высотой меняется. Поэтому при использовании баромет* рической формулы правильные количественные оценки можно получить лишь в том случае, если применять ее к участкам, на протяжении которых изменениями температуры можно пренебречь.

Неравновесность атмосферы обусловлена тем, что гравитационное поле Земли не может удержать атмосферу вблизи планеты. Атмосфера непрерывно рассеивается. Этот процесс идет тем быстрее, чем слабее поле. В частности, земная атмосфера рассеивается очень медленно. За все время существования Земля потеряла очень малую часть своей атмосферы. Что же касается, например, Луны с ее гораздо более слабым полем тяготения, то к настоящему времени она практически полностью лишилась своей атмосферы. Плотность газа у лунной поверхности приблизительно в 1012 раз меньше средней плотности земного воздуха.

В неравновесности земной атмосферы легко убедиться следующим образом. Допустим, что атмосфера пришла в равновесное состояние и имеет везде одну и ту же температуру Т. Применим к атмосфере формулу Больцмана. Рассматривая атмосферу в целом, мы обязаны пользоваться для потенциальной энергии каждой ее частицы точным выражением, следующим из закона всемирного тяготения:

Мт

где у ——гравитационная постоянная, М ——масса Земли, г ——расстояние частицы газа с массой m от центра планеты. Так как U = 0 при г оо, то формула Больцмана должна быть записана в виде

1VMАНn (厂)=九8 e kTr .

Здесь /гоо обозначает плотность газа на бесконечном расстоянии от Земли. Положив 厂=R, где R ——радиус Земли, находим；

% = n (R) е 盯尺•

Следовательно,几竺 #= 0. Однако количество вещества атмосферы конечное. Поэтому оно не может быть распределено по бесксь нечному объему с нигде не исчезающей плотностью. Это против воречие обусловлено исходным предположением о возможности установления состояния теплового равновесия в земной атмосфере.

Распределение Максвелла

В § 8.2 мы отмечали, что в состоянии теплового равнове

сия частицы макроскопического тела движутся в основном со скоростями, близкими к значениям тепловой скорости От.

Выражением《в основном» подчеркивается, что тепловая ско< рость характеризует картину движения частиц только в среднем. Разные частицы движутся, конечно, с разными скоростями, В ряде случаев, однако, необходимо знать распределение частиц по скоростям. Этот вопрос возникает всякий раз, когда рассматривается явление, характер которого определяется видом такого распределения. Например, скорость рассеивания земной атмосферы определяется числом молекул, скорости которых превы

шают вторую космическую.

Приведем еще пример. Как известно, атомы могут излучать электромагнитную энергию. При этом вследствие эффекта Допплера частота излучения зависит от скорости движения атома. Поэтому, если источниками излучения являются атомы газа, то распределение интенсивности излучения по частотам определяется распределением излучающих атомов по значениям ско^ рости их движения.

Найдем вид распределения частиц тела по скоростям,

предполагая, что тело находится в состоянии теплового равновесия и движение его частиц подчиняется законам классической механики. Задача заключается в отыскании вероятности обнару^

жить частицу, значение скорости которой заключено в любом заданном интервале. Выберем этот интервал малым. Обозначим его через (V； V + dv). Он определяется тремя интервалами (их; vx + dvx), (vy; vy + duy\ (%;% + 也)компонент ско

рости. Мерой его являетсярис 95.

малый объем dr=dvxdvydvz

в пространстве скоростей (рис.9.5). В этом пространстве по ки«

ординатным осям откладываются компоненты скорости их, и?,。中 Вероятность обнаружить частицу в интервале (u;u + du) 060、 значим через dW(v). Она зависит только от положения интервала, т. е. от и. Во времени эта величина постоянна, так как равновесное состояние является установившимся. Вероятность dW(V) будет пропорциональна dF, ибо чем больше интервал (V； V + ^), тем вероятнее обнаружить частицу со значением скорости в пределах этого интервала. Таким образом, можно записать, что dW(v) = f (v)dr.

Величина

называется плотностью вероятности или функцией распределения по скоростям. Она имеет смысл предела отношения вероятности обнаружить частицу со скоростью в некотором объеме пространства скоростей к величине этого объема при стягивании его в точку, определяющую скорость v.

Функция f (и) должна удовлетворять условию нормировки:

+ оо+оо+8

“(0)dF= \ dvx \ dvy \ d%・f(u)=l・— ОО—ОО—ОО

Это соотношение выражает требование: вероятность обнаружить частицу с любым значением скорости должна равняться единице.

Если тело в целом покоится, то все направления движения его частиц равноценны. Беспорядочный характер движения частиц в покоящемся теле не позволяет отдать предпочтение какому-либо одному направлению их движения. Следовательно, функция распределения не должна зависеть от направления скорости. Она может меняться лишь при изменении абсолютного значения скорости |и|=и. Как будет видно из дальнейшего, ее удобно рассматривать как функцию и2, т. е. f(u) =屮(^2).

Для определения ф(и2) рассмотрим покоящийся в целом газ, считая, что все его частицы одинаковы и имеют массу т. Проследим за двумя сталкивающимися друг с другом частицами газа. Предположим, что до столкновения они двигались со скоростями, значения которых не выходили за пределы двух интервалов (и】； ui + 如)и ⑵；v2 + dv2). Предположим также, что столкновение является упругим. Пусть в результате скорости

частиц изменяются так, что их значения оказываются в предел лах двух интервалов («; и； + du；) и (%;吗 + d%) (левая часть рис. 9.6). Число таких соударений будет пропорционально вероятности dW[y^ v2) обнаружить две частицы газа со скоростями в пределах интервалов ®； s+ds) и ⑶；後 + 包).До столкновения частицы движутся независимо. Поэтому согласно

правилу вычисления вероятности независимых событий

dW （%, %） = dW （q） dW （%） = ф （齊）ср （唠 d「d% где dP] d?[x du]g du^z, dF?=== du?% du2y d?2z・

Кроме рассмотренных столкновений, которые мы условно назовем прямыми, происходят и обратные столкновения. В этом случае две сталкивающиеся частицы до соударения имеют скорости в интервалах （所；и： + dvf^ （吗；％ + d吟,а после столкновения их значения оказываются соответственно в интервалах （ui； Vi + dvi） и «2； v2 + dv2） （правая часть рис. 9.6）. Число обратных столкновений пропорционально вероятности dW （и；; ”）обнаружить две частицы газа со скоростями в пределах интервалов （и：; а； + du；）, （а；; ◎； + du；）, которую по тем же причинам, что и выше, можно записать в виде

dW （% 吗）=dW ®） dW （吟=屮（d）（p （才）叫 dr；, где dV\ = dv\xdv\y dv\zi dr^ = dvr2x dvf2y du\z.

Примем теперь во внимание основное свойство равновесного состояния газа: в этом состоянии число прямых и обратных столкновений одинаково. Действительно, в противном случае вероятность обнаружить частицу со скоростью, например, в интервале （и】； Ui Idui） будет со временем меняться. Число таких частиц будет либо уменьшаться, либо увеличиваться в зависимости от того, каких столкновений больше — прямых или обратных. А как уже отмечалось, в равновесном состоянии этого быть не может. Из сказанного следует равенство dW （vp и J = =dW （% 吗），или

①（齊）①（呜）％ rfr2 = <p （<2）①（%）八:dF,. Оказывается, кроме того, что dFi dl^ = dF； dfl・ В результате мы приходим к функциональному уравнению

①（哨①（呜）①（0:）①（喲.（9.6）

Его решением, удовлетворяющим условию нормировки, является функция распределения

屮（絞）=f （а）=（盡f）厂丽'，（9.7）

где Т ——температура газа, k ——постоянная Больцмана, a m — масса одной частицы.

Поясним сначала, почему dV{ dX2 = dF： dF；

Заметим, во-первых, что систему двух сталкивающихся частиц газа можно считать замкнутой. Это обусловлено тем, что в газе тройные столкновения чрезвычайно маловероятны и ими всегда можно пренебречь. Следовательно, если какие-либо две частицы газа сближаются, то все остальные находятся настолько далеко, что практически не влияют на процесс соударения.

Далее, вместо скоростей a】，v2, &J 0； столкновение двух частиц можно описать в других переменных, используя скорости движения центра инерции частиц до столкновения V = (vf + v2)/2 (частицы одинаковые!) и после столкновения У = °； + 吩/2, а также скорости относительного движения частиц до столкновения и_8 = и】一v2 и после него 卩十 ^ = а； — и；. Пусть dV^dVxdVydVz. ”dj8s“Uf dV ^dVfxdVry ^, “ = =^у^оох dv+(xy dv^OQZ—малые объемы в пространстве скоростей, измеряющие интервалы

(V；V+dV^ (^^； ^^ + ^,^, (^；^ + ^)，«оо； ^oo + ^oo)，

в которых заключены соответственно значения скоростей центра инерции и относительного движения до и после столкновения. Согласно закону сохранения центра инерции V = V'. Следовательно,dF = dF'. При упругом соударении скорость относительного движения меняет только свое направление. Ее величина остается неизменной (см. §5 1). Поэтому объем в пространстве скоростей dy' есть просто повернутый объем dy. Значит, dy = dY‘ и, следовательно, d「dy = dF‘ dy‘. Очевидно, что не имеет принципиального значения, какой набор переменных — V, v_OQt У’， а；^ или а” а^ ^р ^ — используется для описания столкновения. Оба набора равноправны. Поэтому, если для набора V, 0_g, У’, 0；0G имеем dF dy = d1Vd丫‘, то и для переменных &], v2, v[, и； должно выполняться аналогичное равенство: tZF] dl^ = dF； dF；.

Перейдем к решению уравнения (9.6). Вследствие сохранения полной энергии системы двух сталкивающихся частиц и для прямого, и для обратного столкновений и； + о； = и； + ?j ・ Поэтому (9.6) можно переписать так: 中@)中(唠=中(才)<p (行+吗一不).

Положим в этом равенстве о； = 0 н продифференцируем его по $. Получим: 虱吩竺(具二，(0)上ф 二屮(0)空(金).

Переобозначая о】 на и и устремляя и? к нулю, приходим к уравнениюПереобозначая о】 на и и устремляя и? к нулю, приходим к уравнениюdtp (吟_dv2 —dtp (吟_dv2 —-a(p (标)，где-a(p (标)，гдеa =一a =一10屮(吩lim —屮(0) s~»o dug10屮(吩lim —屮(0) s~»o dug=const.=const.(9.8)(9.8)

Переобозначая о】 на и и устремляя и? к нулю, приходим к уравнению

Переобозначая о】 на и и устремляя и? к нулю, приходим к уравнению

dtp (吟_

dv2 —

dtp (吟_

dv2 —

-a(p (标)，где

-a(p (标)，где

a =一

a =一

10屮(吩

lim —

屮(0) s~»o dug

10屮(吩

lim —

屮(0) s~»o dug

=const.

=const.

(9.8)

(9.8)

Решением уравнения (9.8) является функция

Ф (у2) = 4е-а”，(9.9)

где Д——постоянная интегрирования Легко видеть, что постоянная а должна быть положительной, ибо только в этом случае (р(и2) ->0 при и2 -> оо. По* следнее условие физически очевидно: вероятность обнаружить частицу с бесконечно большой скоростью движения должна быть равна нулю. В (9.9)'

А ^ (а/出з/2.(9.10)

Это значение получается так. Применим к (9.9) условие нормировки^

4-004-00十8

Л \ dvx \ dvy \ dvz е~^2 =Л \ dvx \ dvy \ dvz е~^2 =

Л \ dvx \ dvy \ dvz е~^2 =

Л \ dvx \ dvy \ dvz е~^2 =

Следовательно,Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

+ 8

4 = [/(а)]-з, ме / (а) = \ е~减Z自

[в (9.11) роль переменной $ поочередно играют и© vy и у2]. Вводя новую переменную интегрирования х = | Va, выражение для / (а) представим в виде

"а)=去"а)=去+ 0О+ 0О

"а)=去

"а)=去

+ 0О

+ 0О

Интеграл в правой части является числом, равным VJT. Поэтому

/ (а) = Vл/а,(9.12)

и для 4 получаем значение (9.10).—

\ dvz 務-а"=\ dvz 務-а"=Постоянная а определяется из требования, чтобы “и? было равно vT = 〃^77^, где среднее значение у2 вычисляется по правилу (8.2):

\ dvz 務-а"=

\ dvz 務-а"=

у2 = j v2dW (v) = ^ и2 ф (у2)б/Г == (~*у/2 \ do% \ dvy

Интеграл в фигурных скобках в правой части полученного равенства мы уже вычисляли ранее. Он равен /3(а), где /(а) определяется формулой (9.12). Поэтому

/ а \з/2 d /冗、з/2 з

Приравнивая эту величину * = 3hT[т、получаем:

a = m/2^r.(9.13)

Из (9.9), (9.10) и (9.13) следует справедливость (9.7).

Хотя мы рассматривали газ, тем не менее полученный результат справедлив для любого тела, находящегося в состоянии теплового равновесия, если только к движению его частиц применимы законы классической механики. В этом мы убедимся в следующем параграфе. Оказывается, что вид распределения частиц тела по скоростям их движения не зависит от того, как частицы взаимодействуют друг с другом. Он определяется лишь одним фактором — способностью частиц обмениваться энергией в процессе установления равновесного состояния. Закон заключается в том, что в состоянии теплового равновесия вероятность

обнаружить частицу со скоростью в пределах интервала (и; и + 彰)равна

то*

d步 9) = (备)(9.14)

Этот закон называется распределением Максвелла. Справедливость распределения Максвелла ограничена областью применимости законов классической нерелятивистской механики к тепловому движению.

仿仿Распределение Максвелла позволяет рассчитать вероятность dW(и) обнаружить частицу тела с абсолютным значением малого интервала (и; u + du). Область применимости результата расчета совпадает с областью применимости распределения Максвелла.

仿

仿

В системе координат, по осям которой откладываются компоненты скорости, интервал (и; ° + du) изображается сферическим слоем ~^ (рис. 9.7). Величина радиуса внутренней сферы равна и, внешней — V + dv.

События, заключающиеся в том, что частица движется с различными скоростями, являются взаимоисключающими: частица не может

двигаться сразу с двумя различными скоростями! Поэтому по правилу сложения вероятностей 壮呼(^) должна быть равна сумме вероятностей dW(v) событий, каждое из которых состоит в том, что частица движется со скоростью, лежащей в пределах одного из элементарных интервалов, на которые можно разбить сферический слой (и; v + dv). Для примера на рис. 9.7 изображены два таких интервала. По абсолютным значениям и】и и? находятся в пределах слоя (и; u + du). Однако эти векторы принадлежат различным элементарным интервалам (5；办 + 曲1) и (a; v2 + dv2).

Согласно (9.7) функция распределения Максвелла зависит только от величины скорости. Поскольку толщина слоя (и; V + dv) предполагается малой, то при суммировании вероятностей dW(V)в пределах сферического слоя (и; u + du) функцию распределения Максвелла можно считать неизменной. Тогда суммирование сведется к подсчету суммарного объема всех элементарных объемов сферического слоя. Последний равен объему слоя 4nu2 dv.

Окончательный результат таков: для тел, находящихся в состоянии теплового равновесия, вероятность обнаружить частицу

тела со скоростью движения, абсолютное значение которой находится в пределах заданного малого интервала (6; и + du), равна

dW(v)^4n〃2«~毎 du・ (9.15)

Это выражение называется распределением Максвелла 〃о абсолютным значениям скоростей. Оно характеризуется плотностью вероятности или функцией распределения

屮(и) = 4л (•黑 т”)％2。一所. (9.16)

а ж dW(v)

Зта функция имеет смысл предела отношения —— вероятности обнаружить частицу с абсолютным значением скорости в пределах некоторого интервала при стягивании его в точку, определяющую значение v.

Распределение (9.15) позволяет оценить долю частиц тела, скорости движения которых по своей величине лежат в пределах любого интервала (°卜 и2). Эта доля равна

,dV(S = 4几(為)吗。七翡九

Здесь интеграл определяет сумму вероятностей, каждая из которых является вероятностью обнаружения частицы с абсолютным значением из интервала (и; o + du), принадлежащего об* ласти значений от s до и2. Согласно правилу сложения вероятностей эта сумма определяет вероятность обнаружить частицу тела с абсолютным значением скорости из интервала(5,。2)・

Из (9.15) можно получить распределение по значениям кинетической энергии частицы. Ниже кинетическая энергия обозначена через 若，а вероятность обнаружить частицу с кинетической энергией из интервала (^; ^ + d^) — через dW^). Так как ё = ти2/2, то 2。du = d (絞)=^ d歩 и v = л/2^Im. Поэтому из (9.15) следует, что

dW (歩)=-^= /% е~帥т d/・ (9.17)

Распределение Гиббса

Распределения Больцмана и Максвелла экспоненциально зависят от энергии (первое от потенциальной, а второе — от кинетической энергии частицы). Эта общая их черта не является случайной. В ней проявляется самый фундаментальный и самый

важный для практики закон статистической физики, открытый Д. Гиббсом в 1901 г. В этом законе используется понятие о числе состояний. Остановимся на его содержании.

С точки зрения классической механики состояние системы ^ частиц задается 6^ переменными ——координатами и, например, компонентами импульсов всех частиц. Значения этих переменных можно откладывать по осям абстрактной 6^-мepнoй системы координат. Вводимое таким образом пространство получило название фазового. В нем по классическим представлениям каждому состоянию системы отвечает одна точка. С созданием квантовой механики выяснилось, что на каждое состояние приходится не точка, а фазовая ячейка с объемом (2冗力)％ где 力一 постоянная Планка (1.2) (см. § 1.1), a q ——число степеней свободы системы.

Пусть система состоит из N точечных частиц. Рассмотрим состояния, энергии которых не выходят за пределы малого интервала (罟，/ + d/). Обозначим число таких состояний через 甘)d甘.Этим состояниям в фазовом пространстве отвечает некоторая область. Допустим, что ее объем равен dA(/). Поскольку в данном случае q = 3^, то, учитывая сказанное выше, находим:

a(萌熔=欣赤"А (勢.

Поясним изложенное примером. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор (q=l). Его состояние можно задать импульсом р и смещением от положения равновесия &. Для такой системы фазовое про- 勺странство двумерно и в нем

IРис. 98IРис. 98каждая фазовая точка характеризуется двумя координатами р н Полная энергия осциллятора равна

I

Рис. 98

I

Рис. 98

что можно записать и так:

石语十2//々

На фазовой плоскости, т. е. в осях р и g, полученное соотношение определяет эллипс с полуосями а = "2m歩 н b = «= V2^/fe (рис. 9.8). При разных ^ будут получаться разные эллипсы. Эллипсы, отвечающие интервалу (齒,离+ d齒),заполнят некоторый слой. Он будет заключен между двумя эллипса* ми, полуоси которых определяются граничными энергиями 格,

齒 + d/. На рис. 9.8 этот слой показан штриховкой. Для дан< ного случая dA(/) равно площади этого слоя, a R(/)d/ = =dA (/)/2冗方.

Закон, открытый Д. Гиббсом, состоит в следующем:

В состоянии теплового равновесия вероятность обнаружить любое состояние частиц макроскопического тела определяется только 〃х полной энергией. Вероятность обнаружить состояние с полной энергией из интервала (齒，/ + d/) равна

dW (/) = } е-帥「Q (/) d况 (9.18)

Это распределение вероятностей было названо распределен наем Гиббса или каноническим. В нем k ——постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура; Z ——не зависящий от знер« гии коэффициент, величина которого определяется условием нормировки:

J dW (<Г) = 4-$ с」?俱т Q (/) d格=1 ・

В статистической физике классических систем Z называется статистическим интегралом. Как следует из условия нормировки, он равен

Z=^e~^kTQ^) dS. (9.19)

Здесь интегрирование производится по всем возможным энергиям системы.

Для систем квантовых частиц распределение Гиббса имеет вид, подобный (9.18). Однако в этом случае энергия меняется скачком, а не непрерывно. Поэтому вместо интегрирования приходится суммировать дискретные значения ). В связи с этим в квантовой статистической физике Z получило название ста- тистической суммы.

В распределении Гиббса величина

определяет плотность вероятности или функцию распределения Гиббса. Она имеет смысл предела отношения вероятности обнаружить состояние с энергией в некотором интервале около значения / к величине этого интервала при стягивании его к значению

Часто интересуются вероятностью того, что положения и импульсы частиц лежат в малых интервалах

(片;r^dr^ (^; rN+drN); ("]； pi + dp】),・・・,(р%; pN+dpN)

(через 门 обозначены радиус-векторы, а через pi — импульсы частиц; массы частиц будем предполагать одинаковыми и равными т). Обозначим эту вероятность через dW, Энергия рассматриваемых состояний будет равна

+ U （门，…，?N）+ U （门，…，?N）

+ U （门，…，?N）

+ U （门，…，?N）

Здесь U(门,.*., rN)—потенциальная энергия взаимодействия частиц друг с другом и с внешним полем, если оно есть. При этом значения 门 и pi необходимо брать из соответствующих интервалов (а; Гг + dfi) и (рг； Рг + dp。； i = 1, 2, ..,, М Согласно закону, установленному Д. Гиббсом, dW с множителем

1111(2л 力)3Nz(2л 力)3NzL省信ТL省信Т

1

1

1

1

(2л 力)3Nz

(2л 力)3Nz

L省信Т

L省信Т

будет равно числу состояний, приходящихся на область фазового пространства, задаваемую интервалами (门； 门 十 dr\) и (Pn Pi + dpi); i = i,2, ..., N. Объем этой области равен

dA = dV\ ・・・ dVn • d®i ... d(oAr,

где dVi = dxi dy^ dz,——объем, приходящийся на интервал (%;门 + "t), a dg = dpix dpiy dpiz — объем, приходящийся на импульсный интервал (%; pi + dpi).

Отметим, что ранее введенная величина dA(B) и dA не совпадают, что подчеркнуто отсутствием у последней аргумента.

Таким образом, находим, что

心备 fxp{-2 広 W + 4M(9・20)

Перебирая все фазовые точки, мы получим вероятности всех возможных состояний. Сумма этих вероятностей, которая подсчитывается интегрированием по всему фазовому пространству, по условию нормировки должна быть равна единице. Отсюда находим, что статистический интеграл можно представить и так:

Из (9.20) следует, что для тел, движение частиц которых подчиняется законам классической механики, выполняется еле-

дующий закон: в состоянии теплового равновесия положения и импульсы частиц статистически независимы. При этом распределение по значениям импульса каждой частицы является максвелловским. Распределение частиц по различным положениям в пространстве носит больцмановский характер.

Действительно, из (9.20) следует, что dW представимо в виде произведения

dW = dW{rXi rN)dW{p^ dW (р^), где

dW(pi)==be~'p^2mkT d^L (/= 1,2, ..2)・

В этих выражениях а и & ——постоянные коэффициенты, связанные лишь единственным условием:

—(2冗自严 z・

Ясно, что d伊(г】,...,/*n) определяет вероятность обнаружить частицы в интервалах (г】； ri + dr", (^; rN + drN), а каждое из dW(pi)——вероятность обнаружить импульс частицы с номером i в интервале (%; Pi + dp^. Тот факт, что dW есть произведение этих вероятностей, свидетельствует о статистической независимости положений и импульсов частиц (см. в § 9.1 правило умножения вероятностей). Как видно, d呼 имеет больцмановский вид, а каждое из dW(рг) является соответствующим максвелловским распределением. В последнем легко убедиться, выразив импульсы через скорости: Pi = mVi，Тогда

da” = dpix dp{y dpiz = /г?也以 dviy dviz = m3 dl\ и dW(p^ преобразуется:

№ 色)=6倣一吟Qr d口.

Постоянная bm3 определяется условием нормировки и оказывается равной (zn/2冗左Т)%. Таким образом, распределение по импульсам каждой частицы действительно максвелловское.

Распределение Гиббса дает полное описание состояния теплового равновесия любого тела. Это означает, что оно позволяет определить все макроскопические параметры и установить связь между ними, т. е. найти уравнение состояния, а также определить флуктуации. Конечно, речь идет о принципиально» возможности, ибо в большинстве случаев расчеты не удается довести до конца из-за чисто вычислительных трудностей. Однако в том, что нужно проделать, ясность имеется полная. Например, для системы N классических частиц любая физическая

величина g есть функция состояния системы, т. е. зависит, вообще говоря, от N радиус-векторов частиц и N их импульсов:

自 自('1，• • •，，N； Pl, • • • , P/V)・

Согласно общему правилу вычисления средних (8.2) и с учетом вида распределения (9.20) различных состояний системы среднее значение 己 равно

& =瓦加目自eхp｛一亲［g嘉+0(门,…,Гм)］卜A.

Ранее уже отмечалось, что в состоянии теплового равновесия флуктуации ничтожно малы. Это свойство обусловлено следующей особенностью распределения Гиббса:

Распределение Гиббса имеет очень острый максимум при значении энергии, равном внутренней энергии тела.

Действительно, входящее в распределение Гиббса число состояний Q(/)d/ является монотонно возрастающей функцией энергии. Так, для гармонического осциллятора это выражается в том, что с ростом / (при фиксированном d晋)увеличивается площадь эллиптического кольца, изображенного на рис. 9.8. Общая закономерность состоит в том, что чем больше энергия, тем обширнее множество состояний, обладающих данной энергией. Таким образом, оказывается, что распределение Гиббса содержит произведение монотонно убывающей и монотонно возрастающей функций энергии. Ими являются а~^да и Q (器)d/ А произведение таких величин всегда имеет экстремум.

Количественно острота пика характеризуется следующим образом. Вводится величина, которую называют полушириной пика. Ее часто обозначают через 6 и

определяют как расстояние по оси энергии между двумя точками. Одной из них является значение внутренней энергии, т. е. точка максимума распре* деления Гиббса. Другой является точ* ка, в которой вероятность уменьшается в е раз по сравнению с максимальным значением (рис. 9.9). Оказывается, что для системы ^ частиц отношение 6/Е составляет ничтожно малую величину порядка “1/М。Здесь умест

но вспомнить пример, приведенный в

§ 8.4. Относительное отклонение энергии 0,01 моля газа от своего

среднего значения составляет поразительно малое число порядка 10-". Но уже для возбужденных тяжелых атомных ядер, которые содержат сравнительно небольшое число частиц и к кото-

рым тоже пытались применять статистические методы расчета, отклонения от средней энергии порядка 10%, т. е. вовсе не малы.

Наличие необычайно острого максимума у распределения Гиббса прямо следует из закона больших чисел и говорит о том, что в равновесном состоянии не только энергия, но и другие физические величины практически не отличаются от значений в тех состояниях, энергии которых равны внутренней энергии. В этом коренится причина малых флуктуаций в равновесном состоянии ——свойства, сформулированного в § 8.3.

Убедимся в наличии максимума при значении / = Е на примере идеального газа N материальных точек. Энергия такой системы совпадает с кинетической энергией всех частиц （предполагается, что внешнее поле отсутствует）:

/=X嘉=2+（脸+脸+脸）.

Этому выражению можно сопоставить геометрический образ. В абстрактной системе координат 3N измерений, по осям которой откладываются компо* ненты всех импульсов 〃*, piy, piz, ..., pNx, pNy, Pnz, при фиксированном значении 齒 выписанное уравнение определяет сферу радиуса R = 72т君.Соответственно, число возможных состояний частиц газа с полной энергией в пределах интервала （鋁，^ + d^） будет пропорционально объему сферического слоя, заключенного между сферами с радиусами

R = "2〃彦и R + dR = ，2他苏 + ^^~2.

Он, очевидно, равен площади сферы радиуса R, умноженной на dR.

Зависимость площади многомерной сферы от радиуса легко установить из соображений размерности. Любая поверхность в пространстве любого числа измерений имеет на одно измерение меньше по сравнению с числом измерений самого пространства. Отсюда следует, что площадь Замерной сферы пропорциональна R3N-\ =（?т君）（3n-\r объем сферического слоя пропорционален

&3N-1 dR = （2/〃冒）（3N—i）/2

22что относится и к числу состояний dQ（/）. Сохраняя зависимость только от энергии и учитывая, что ^ очень велико （тогда 戶"『丄 а^-）, по*

2

2

лучаем, что dQ他）~ 格з“/2d君 и

dW （＜Г）-用3N/2e-WM ^e

詣修3N/2产m)=(粤疗粵一詣修3N/2产m)=(粤疗粵一Максимум функции, стоящей в правой части этого соотношения коэффициентом при d格,достигается при значении 咨,для которого

詣修3N/2产m)=(粤疗粵一

詣修3N/2产m)=(粤疗粵一

Из последнего равенства находим, что это значение равно 3NkT/2. Согласно

оно совпадает с внутренней энергией газа.

В качестве упражнения читатель может проверить, что 6/Е 3s У2/3М：

9 Ai В. Астахов

ГЛАВА 10

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Тепловые процессы

При изменении внешних условий состояние тела также изменится. При этом, если после изменения внешних условий тело снова окажется термодинамически изолированным, то по истечении времени релаксации оно снова придет в состояние теплового равновесия, вообще говоря, отличное от исходного, С микроскопической точки зрения при изменении внешних условий изменяется характер теплового движения частиц тела.

Всякое изменение хотя бы одного из макроскопических параметров тела называется тепловым или термодинамическим процессом. Законы тепловых процессов составляют предмет раздела физики, называемого термодинамикой.

Все тепловые процессы разделяются на равновесные и неравновесные.

Процесс называется равновесным, если состояние тела в каждый момент времени с требуемой точностью является равновесным, Происходит только последовательная смена во времени одних равновесных состояний другими.

Равновесный процесс может происходить только при достаточно медленном изменении внешних условий. Условие медленности состоит в том, что за время релаксации изменение условий, в которых находится тело, должно быть пренебрежимо малым. Например, пусть тело нагревается с поверхности (одинаково на всех ее участках) и ее температура изменяется на некоторую малую величину за время t. Условием медленности является неравенство

где t ——время температурной релаксации.

Важнейшим свойством всякого равновесного процесса является его обратимость во времени. Обратимость означает возможность возвращения тела в первоначальное состояние через те же промежуточные состояния, которые в процессе были прой^ дснъ^

Например, газ, нагретый равновесным образом, можно снова довести до первоначальной температуры медленным охлаждением. При этом газом будут пройдены те же состояния, что и при нагреве, но только в обратном порядке.

Так как при равновесном процессе в каждый момент времени тело находится в состоянии теплового равновесия, то такой процесс можно изобразить графически. Действительно, если ввести систему координат, по осям которой откладывать значения не

системе координат равновес-системе координат равновес-Рис. 10.1.Рис. 10.1.зависимых параметров, то в этой ный процесс изобразится кривой. Точки этой кривой отвечают промежуточным состояниям. Графическое изображение равновесного процесса называется диаграммой состояний.

системе координат равновес-

системе координат равновес-

Рис. 10.1.

Рис. 10.1.

Для примера на рис. 10.1 изображена PV-диаграмма состояний, которые газ проходит при равновесном расширении от объема % до объема %, в результате чего давление газа падает от значения Р{ до значения Р2- Кроме РУ-диаграммы можно рас-

сматривать РТ- и VT-диаграммы (диаграммы давление ——температура, объем — температура).

Если процесс не является медленным в том смысле, который был отмечен выше, то он является неравновесным.

Неравновесным называется процесс, при котором хотя бы

одно из состояний, проходимых телом, является неравновесным. Неравновесные процессы необратимы.

Так, во время быстрого нагрева тела, когда не выполняется условие т/t <С 1, ни одно из промежуточных состояний не будет равновесным. В каждом из них температура у поверхности тела будет выше, чем в глубине. При обратном процессе картина будет иной: температура у поверхности будет ниже температуры в глубине тела. Как показывает этот пример, необратимость неравновесных процессов связана с тем, что при изменении условий в обратном порядке промежуточные состояния тела не будут

совпадать с теми, которые тело проходило при прямом процессе.

В отличие от равновесных, неравновесные процессы графически изобразить нельзя. Неравновесное состояние не может быть однозначно охарактеризовано значениями параметров, относящихся ко всему телу в целом. Так, нельзя сказать, что неравномерно нагретое тело имеет определенную температуру Т・ Поэтому неравновесному состоянию нельзя сопоставить точку,

а неравновесному процессу — кривую.

Может случиться так, что в результате теплового процесса тело возвращается в исходное состояние. Процесс, в результате которого тело возвращается в исходное состояние, называется круговым или циклическим. Для сокращения такие процессы часто называют циклами. На любой диаграмме состояний рав^ новесный цикл изображается замкнутой кривой.

Ряд тепловых процессов выделяют в группу изопроцессовЛ В этих процессах один из параметров остается неизменным. Изотермическим называется процесс, протекающий при постоянной температуре. Процессы, протекающие при неизменных давлении и объеме, называются соответственно изобарическим и изохорическим. Особое место занимает так называемый адиабатический процесс. Этот процесс будет охарактеризован ниже.

Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия макроскопических тел качественно отличается от механической энергии системы составляющих тело частпц. Это отличие проявляется в существовании двух форм изменения внутренней энергии ——работы и тепла. Первая известна нам уже из механики. Работа совершается в тех случаях, когда в результате взаимодействия частиц данного тела с окружающими его объектами возникают какие-либо упорядоченные движения. Например, данное тело заставляет перемещаться другие тела. Существование теплопередачи прямо связано с тем, что внутренняя энергия является средним значением полной энергии составляющих тело частиц. Поэтому на внутренней энергии сказывается и изменение распределения вероятностей различных значений энергии этой системы. Изменение внутренней энергии, происходящее по этой причине, и измеряется количеством тепла.

Поясним сказанное на примере. Рассмотрим газ, температура которого увеличивается, а объем сохраняется неизменным. В этом случае газ работы не производит, ибо для Того, чтобы вызвать перемещение контактирующих с газом тел, его вещество должно либо сжаться, либо расшириться. Однако внутренняя энергия газа все же возрастает, поскольку с ростом температуры увеличивается скорость теплового движения. Это как раз и происходит в результате сообщения газу энергии в форме передачи тепла.

Закон сохранения энергии, формулировка которого учитывает особую форму ее передачи путем теплообмена, является фундаментальным законом физики и называется первым началом термодинамики. Этот закон гласит, что

в тепловых процессах любое изменение внутренней энергии состоит из приращения количества тепла 〃 совершенной работы.

Областью применимости первого начала термодинамики являются все тепловые процессы. Для бесконечно малых изменений этот закон записывается так:

dE = 6Q — 6A, (10.1)

где dE — малое изменение внутренней энергии, 6Q — количество переданного при этом тепла, 6Л ——совершенная работа.

Количество тепла 5Q считается положительным или отрицав тельным, если оно, соответственно, сообщается телу или у него отбирается.

Процесс, в котором 5Q = 0, называется адиабатическим. Адиабатический процесс всегда сопровождается изменением температуры тела. Так, при адиабатическом расширении тело совершает работу только за счет своей внутренней энергии. При этом скорость теплового движения частиц уменьшается, т. е. понижается температура тела.

Знак работы 6Л определяется в зависимости от того, совершается ли работа телом или она совершается над данным телом другими телами. В первом случае М > 0, а во втором 54 V О, Расстановка знаков в (10.1) определяется тем, что при 3Q > 0 (<5Q V 0) внутренняя энергия тела увеличивается (уменьшается) ,а при 6Л > 0 (64 <0), наоборот, уменьшается (увеличивается).

Равенство (10.1) можно рассматривать как определение количества тепла. Именно, количество тепла равно изменению внутренней энергии тела, если при этом не совершается работа.

Как составные части изменения внутренней энергии, количество тепла и работа измеряются в единицах энергии, т. е. в СИ——•в джоулях. Однако по исторически сложившейся традиции количество тепла часто измеряют в специальных внесистемных единицах—~ калориях (кал) или килокалориях (ккал);

1 кал = 10 ~3 ккал = 4,19 Дж.

Хотя количество тепла и работа являются составными частями изменения внутренней энергии, тем не менее между dE с одной стороны, и 6Q и 6Л, с другой, имеется принципиальное отличие, важность которого подчеркнута различием в обозначениях (d и 6) приращений. Внутренняя энергия является функ^ цией состояния тела. Поэтому ее изменение зависит только от начального и конечного состояний тела. Работа и количество тепла зависят не только от этих состояний, но и от способа проведения процесса. Говорят, что количество тепла и работа являются функциями теплового процесса (а не функциями со- стояния!) *).

Для разъяснения этого утверждения выразим величины 54 и 6Q через параметры, характеризующие состояние системы, и через их приращения. Начнем с работы. При этом ограничимся частным, но важным случаем, когда состояние рабочего тела может быть охарактеризовано только объемом и давлением. Такими телами являются газы и жидкости, не находящиеся в электромагнитных полях. В этих случаях работа совершается только при изменении объема вещества рабочего тела и про-

изводится силами давления.

Пусть цилиндрический сосуд с поперечным сечением S пере^

крыт с одной стороны подвижным поршнем так, как это указано на рис. 10.2. Предположим, что поршень очень медленно сме^ щается и заставляет равновесно расширяться газ, заключенный в сосуде. При малом смещении dx газ совершит работу 6Л — =F dx, где F = PS — сила, с которой газ действует на поршень, Р — давление газа в начале пути dx. Следовательно,

гдегдение объема газа. Если работание объема газа. Если работа5A = PSdx = PdV, (10.2) dV = S dx — малое измене-

где

где

ние объема газа. Если работа

ние объема газа. Если работа

связана с конечным изменением объема, то она определяется суммой элементарных работ на всех этапах процесса. Обозначим эту работу через АЛ (в дальнейшем все конечные изменения будем обозначать значком А). Тогда

А4=\ M^^PdV,А4=\ M^^PdV,(10.3)(10.3)

А4=\ M^^PdV,

А4=\ M^^PdV,

(10.3)

(10.3)

Пределы интегрирования определяются объемом тела в начальном и конечном состояниях. Отмеченное в конце предыдущего пункта свойство работы быть функцией процесса выражается в том, что величина интеграла в правой части (10.3) зависит не только от пределов интегрирования, но и от формы кривой, изображающей процесс на PV-диаграмме, по которой производится интегрирование.

Действительно, предположим, что тело может перейти из состояния А в состояние В в результате двух различных равновесных процессов. Пусть на PV-диаграмме, изображенной на рис. 10.3, первому из них соответствует кривая АСВ, а второму—кривая ADB, В первом случае

A』i = \ PdV•(АС8)

При этом Р меняется вдоль кривой АС В, что отмечено соответствующим значком под знаком интеграла. Этот интеграл численно равен площади под кривой АСВ. Во втором случае

ДЛ2= \ PdV.

под кривой ADB. Разностьпод кривой ADB. Разность(/WB)

под кривой ADB. Разность

под кривой ADB. Разность

из рис. 10.3, она численноиз рис. 10.3, она численноЭта работа измеряется площадью работ АЛ2 АЛ 1 =/= 0. Как видно

из рис. 10.3, она численно

из рис. 10.3, она численно

Рис. 10.3.Рис. 10.3.равна площади, покрытой двойной штриховкой, что и доказывает за- Р висимость работы от способа проведения процесса.

Рис. 10.3.

Рис. 10.3.

Отметим также правило, которое попутно выяснилось: работа сил давления при равновесном процессе численно равна площади под кривой, изображающей процесс на РИ-диаграмме состояний.

Поскольку изменение внутренней энергии не зависит от способа

проведения теплового процесса, а

цией процесса.В частности, при любом внутренней энергии ДЕ = 0,цией процесса.В частности, при любом внутренней энергии ДЕ = 0,работа этим свойством не обладает, то согласно первому началу термодинамики количество тепла также является функ

цией процесса.

В частности, при любом внутренней энергии ДЕ = 0,

цией процесса.

В частности, при любом внутренней энергии ДЕ = 0,

циклическом процессе изменение так что совершенная телом за один цикл работа равна количеству полученного тепла: АД = AQ.

Убедимся прямым расчетом в зависимости работы от способа проведения процесса. Пусть ра- бочим телом является идеальный газ. Рассмотрим два равновесных перехода из состояния с давле- нием Pi и объемом % в состояние 尸2, 丫2，Эти переходы изображены на рис. 10.4, на котором начальному состоянию отвечает точка 4, а конечному — точка В.

Один из переходов является ^изотермическим расширением, происходящим согласно изотерме АВ. Другой состоит из двух процессов. Первым является адиабатическое расширение, которое описывается кривой АС. Второй ——изохорическим процессом, которому на диаграмме состояний отвечает участок ВС. На этой стадии давление должно обязательно возрастать； ибо

адиабата АС спадает с ростом объема быстрее, чем изотерма АВ. Действительно, при отсутствии теплопередачи с увеличением объема будет уменьшаться температура, что по сравнению с изотермическим процессом является дополнительным фактором, ускоряющим падение давления.

Так как на участке ВС (рис. 10.4) работа не совершается, то работа второго перехода будет равна работе адиабатического расширения ДДад. Работу первого перехода обозначим через ДЛИЗ()Т. Для расчета ДЛад необходимо знать зависимость давле-* ния от объема. Допустим, что температурные изменения в данном процессе таковы, что внутреннее состояние частиц газа остается неизменным. Это означает, что у в выражении (8.23), определиюи^ем внутреннюю энергию газа, остается неизменным. Тогда на основании (8.23) и (8.14) получаем:

,/ NhT 、< Y — 1 丿,/ NhT 、< Y — 1 丿Y — 1 — у —]Y — 1 — у —]

,/ NhT 、

< Y — 1 丿

,/ NhT 、

< Y — 1 丿

Y — 1 — у —]

Y — 1 — у —]

Y — 11у — 1

Сравнивая последнее выражение с (10.1) и учитывая (10.2), находим:

6Q =6Q =U " + уР W—у ~ 1U " + уР W—у ~ 1

6Q =

6Q =

U " + уР W

—у ~ 1

U " + уР W

—у ~ 1

Следовательно, при равновесном адиабатическом процессе

V dP -[- уР dV = 0. Разделив обе части этого равенства на 夕匕

получим уравнение

dP , dV 八

-р- +Y—= 0-

Интегрируя его, находим: In Р + у In V ™ In (PI/y) = const, откуда следует, что искомая зависимость имеет вид

(Ю.4)(Ю.4)PVY = const.

(Ю.4)

(Ю.4)

Это соотношение называется уравнением Пуассона,

Очевидно, что const = P\V^. Таким образом, Р = Р\У}/У^. Подставляя это значение в (10.3) и интегрируя, находим, что при равновесном адиабатическом расширении от объема 匕 до объема % газ совершает работу

V,%

\ PdV ^PiV} \ ~y =

=若片一尸〉皆[「⑶口 "5)

При изотермическом расширении согласно (8.14) давление меняется в зависимости от объема по закону Р = NkT/V = =Р\ %/К Тогда

u2丿2

АЛИЗОТ= \ PdV=PxVx \ § = 2%Е*.(10.6)

Сравнивая (10.5) и (10.6), видим, что ДЛад # ДЛИЗОт.

Различные тела, обладающие одной и той же массой, нагреваются по-разному при сообщении им одного и того же количества тепла. Говорят, что они различаются теплоемкостями.

6Q6QС = limДТ->0С = limДТ->0AQAQ(Ю.7)(Ю.7)Теплоемкостью тела называется количество тепла, которое телу необходимо сообщить, чтобы его температура изменилась на Г.

6Q

6Q

С = lim

ДТ->0

С = lim

ДТ->0

AQ

AQ

(Ю.7)

(Ю.7)

Теплоемкость можно отнести к единице массы, одному молю и единице объема тела. Соответственно этому теплоемкость называется удельной, молярной и объемной.

Единицами измерения теплоемкости являются в СИ 1 Дж/град и внесистемная единица 1 кал/град или 1 ккал/град. Удельную, молярную и объемную теплоемкости в СИ измеряют соответственно в Дж/кг-град, Дж/моль-град и Дж/м3-град. Внесистемными единицами являются 1 кал/кг-град, 1 кал/моль-град, 1 кал/м3-град или 1 ккал/кг-град, 1 ккал/моль-град, 1 ккал/м3-град.

Поскольку количество тепла является функцией процесса, то значение теплоемкости зависит от условий теплопередачи. Однако если условия теплопередачи фиксированы, то теплоемкость выражается через функцию состояния тела. Так, различают теплоемкость при постоянном объеме Cv и теплоемкость при постоянном давлении СР. В первом случае нагревание (или охлаждение) осуществляется при неизменном объеме тела. Во втором случае поддерживается постоянным давление.

Теплоемкость Cv определяется через внутреннюю энергию тела:

* =(筹)厂(1。・8)

Теплоемкость СР определяется через функцию состояния

W==E + pVj

где Е — внутренняя энергия тела, V — его объем, а 尸一давление:

备=(窘)..(Ю.9)

Функция W называется энтальпией.

Значки V и Р в (10.8) и (10.9) означают, что производные являются частными. Первая из них вычисляется при постоянном объеме, вторая ——при постоянном давлении. Определения (10.8) и (10.9) являются следствиями первого начала термодинамики в предположении, что работа производится только силами давления. Действительно, при неизменном объеме работа не совершается, т. е. 6Л = 0. Поэтому согласно (10.1) d£ = 3Q, что и приводит к (10.8). При Р = const имеем = d£ + 6Л = —dE -\- Р dV = d(E -У PV), так что оказывается справедливой формула (10.9).

Отметим, наконец, что СР > Cv. Причина заключается в том,

что при нагревании с сохранением давления часть энергии в форме тепла расходуется на расширение тела. Только предоставив телу возможность расширяться, можно при нагревании сохранить давление неизменным.

Вычислим теплоемкости идеального газа, предполагая, что ? = const. Тогда из (10.8) и (8.23) следует, что для газа, состоящего из ^ частиц,

/ NkT \

rИ丿—Nh

\dTdT — у —「

Согласно (8.14) энтальпия

W = E + PV = E + NkT =+ NkT = ^^ -

Подставляя это выражение в (10.9), находим:

八 Nk、С р = .

, Таким образом, теплоемкости идеального газа Cv и СР пе зависят от температуры в тех областях, где у = const. Кроме того,

= у, Ср — Су — Nk.

на возможность этого достаточно эта возможностьна возможность этого достаточно эта возможностьПервое из этих соотношений указывает экспериментального определения числа у. Для измерить СР и Cv теплоемкости газа. Именно

на возможность этого достаточно эта возможность

на возможность этого достаточно эта возможность

имелась в виду в § 8.4. Второе подтверждает общий вывод 6 том, что Ср > Ср.

Первое начало термодинамики указывает на возможность получать работу за счет перераспределения тепла. Такое превращение может происходить при циклических процессах, в которых, как мы знаем, совершенная работа равна количеству тепла, полученного рабочим телом. Если цикл осуществляется так, что в конечном счете тело получает некоторое количество тепла,

т. е. если AQ > 0, то тело совершит положительную работу. На этом явлении основано действие всех тепловых двигателей, в которых рабочее тело меняет свое состояние по замкнутому циклу. Цикл, при совершении которого тело производит положительную работу, называется прямым. В противном случае он называется обратным.

Среди всех циклических процессов особо важная миссия вьь пала на долю цикла Карно. Исторически с его изучением свя- зано открытие одного из фундаментальных законов физики—* второго начала термодинамики, который будет рассмотрен позд^ нее. Здесь мы остановимся только на характеристике равновесного цикла Карно. Им является круговой процесс, состоящий из последовательно чередующихся двух равновесных изотермических и адиабатических переходов.

Прямой процесс начинается с изотермического расширения. Пусть температура рабочего тела на этом участке равна 丁2・ На этой стадии рабочее тело получает некоторое количество тепла △Q2 > 0 от внешней системы, называемо访 нагревателем или тепловым резервуаром. При равновесном процессе температуры рабочего тела и нагревателя одинаковы. Поэтому Т2 называют температурой нагревателя. Изотермическое расширение затем сменяется адиабатическим. В это время прерывается контакт нагревателя с рабочим телом и температура последнего начгь нает уменьшаться. По достижении некоторого значения「1 адиа^ батическое расширение прекращается и рабочее тело приводится в контакт с другой внешней системой с той же температурой 7\. После этого начинается изотермическое сжатие тела. На этой стадии оно отдает некоторое количество тепла AQi V 0 внешней системе. Поэтому эта внешняя система называется холодильником, а 「1 ——температурой холодильника. Наконец, изотермическое сжатие прерывается и сменяется адиабатическим, возвращающим тело в первоначальное состояние.

Энтропия

Хотя количество тепла является функцией процесса, тем не менее при равновесных процессах его можно выразить через изменение функции состояния, называемой энтропией. Понятие энтропии впервые было введено Р. Клаузиусом в 1862 г. Оказывается, что при равновесной теплопередаче при температуре Г малое количество тепла равно

BQ = TdS, (10.10)

где dS — малое изменение энтропии тела.

Из (10.10) следует, что энтропия измеряется в единицам теплоемкости. Подставив (10.10) в (10.1) и предположив^ что

работа производится только силами давления, т. е. измеряется величиной (10.2), первое начало термодинамики можно записать в виде

dE = TdS — PdV・ (10.11)

Энтропия является столь же полноправной величиной, характеризующей состояние физической системы, как и ее соседи в формуле (10.11) Е, I/, Т и Р. Однако, в отличие от них, понятие энтропии не используется в повседневной жизни. Поэтому с ним не связаны интуитивные представления, всегда облегчающие понимание. Нам и без точных определений понятно, что такое высокое давление, малый объем или низкая температура. Но далеко не каждый сможет определить, например, в какую сторону отличается энтропия ведра с водой от энтропии окружающего воздуха.

Понятие энтропии имеет двоякое истолкование: макроскопическое и микроскопическое. Соотношение (10.10) является макроскопическим определением энтропии. Если в исходном равновесном состоянии тела с температурой Ti и давлением 尸】энтропия равна Si, то согласно (10.10) для определения энтропии S2 в любом другом состоянии с температурой Т2 и давлением 尸2 надо перейти в это состояние из исходного путем любого равновесного процесса, непрерывно измеряя количество тепла 3Q, передаваемого при каждой температуре Т. Тогда энтропия S? вычисляется по формуле

S2 = S] + \"^~, (10.12)

в которой интеграл является криволинейным и вычисляется вдоль кривой, изображающей процесс. Поскольку энтропия является функцией состояния, то интеграл в (10.12) не зависит от формы этой кривой и его значение определяется только начальным и конечным состояниями, т. е. пределами интегрирования. Свойство энтропии быть функцией состояния будет рассмотрено ниже.

Рассмотрим свойства энтропии, которые следуют из ее определения (10.10). Прежде всего, энтропия является аддитивной величиной:

Энтропия системы из нескольких тел является суммой энтропий каждого тела.

Действительно, в состоянии теплового равновесия температура и давление всех тел одинаковы,

Т1=・・・=Tj= ... = Т; Р[= ... =Р/=・.・=Р.

Поэтому первое начало термодинамики для каждого из тел и всей их системы выражается, соответственно, уравнениями

dEi = Т dSt — Р dVi. i = 1,2,・・.；

dE = TdS-PdV.

В них Eif Siy Vi — соответственно внутренняя энергия, энтропия и объем тела с номером i, а £, S, V ——те же величины, но относящиеся уже ко всей системе тел. При этом £ = ^ £. и V = X ^i*

Легко видеть, что приведенные соотношения совместны лишь при выполнении условия

s = £ Sj.

Отметим, что свойство аддитивности выполняется и при отсутствии теплового равновесия, что будет показано ниже.

Второе свойство энтропии состоит в том, что

6 равновесных процессах без передачи тепла энтропия не меняется.

Поэтому равновесные адиабатические процессы называют также изэнтропическими. Это' свойство прямо следует из определения (10.10).

Третье свойство энтропии выражается в том, что

при постоянном объеме энтропия является монотонно возрастающей функцией внутренней энергии тела.

Действительно, при dV = 0 имеем: 6Q — dE、так что dS =' =dE/T. Но температура Г всегда положительна. Поэтому приращения dS и dE имеют один и тот же знак, что и требовалось доказать.

И, наконец,

энтропия определяется только с точностью до произвольной постоянной.

Действительно, согласно (10.12) измеримой является лишь разность энтропий в двух состояниях. Эта разность не изменяется от добавления к энтропии произвольной постоянной.

Из четырех величин Р, 1‘, Т и S только две независимы. Мы уже знаем, что Р, V и Г связаны уравнением состояния F(P, V, 7)=0. Но уравнение состояния еще не дает полного описания свойств равновесного состояния. Так, два разных идеальных газа, например газ, частицами которого являются атомы, и газ, состоящий4 из такого же числа молекул, подчиняются одному и тому же уравнению состояния, но «им£к?工 разные внутренние энергии — (8.20) и (8.23) с 丫 =‘友.’

Для полной макроскопической характеристики равновесного состояния тела необходимо задать уравнение, связывающее энтропию с остальными параметрами. Вместо этого обычно

поступают иначе, именно, задают внутреннюю энергию £ как функцию объема V и энтропии S.

Задание внутренней энергии как функции объема и энтропии Е = Е(V, S) полностью определяет термодинамические свойства однородного тела.

Действительно, согласно правилу дифференцирования функции двух переменных

=(詛十(W )s

Индексы у скобок указывают величины, остающиеся при дифференцировании постоянными. Сравнив это соотношение с (10.11), получим:

7 =(翳)厂(1。」3)

Эти равенства определяют температуру и давление по внутренней энергии, если последняя задана как функция объема и энтропии.

Отметим, что первое из равенств (10.13) является самым общим определением температуры, справедливым как для классических, так и для квантовых систем. Разрешив его относительно S, найдем зависимость S = S(U, Т) энтропии от объема и температуры. А подставив выражение S” Т) во второе из соотношений (10.13), получим уравнение состояния.

Проиллюстрируем сформулированные выше свойства на энтропии идеального газа. Чтобы найти ее, заметим, что согласно (10.1) и (10.2)

6Q dE^PdV= -у- =т.

Дифференцируя (8.14), убеждаемся в том, что

PdV NkdT J dP NkdT NkdP

Вычисляя dE с помощью (8.23) и считая у = const, находим:

Интегрируя это равенство, получаем:

S = Na + Nk In Т — ％々 In Р =

[№+^m(+)=小+^(県)}.

Здесь через Na обозначена постоянная интегрирования, причем а не зависит ни от температуры, ни от давления. Получен-

ная формула показывает, что энтропия является функцией состояния газа, которое определяется температурой Т и давлен нием Р.

Представим, что газ состоит из двух частей, одна из которых содержит ^l частиц, а число частиц в другой равно №• Так как обе части находятся в равновесии друг с другом, то температура и давление в них одинаковы и равны, соответственно, Г и Р, Следовательно, энтропия каждой части газа будет равна

jZ^Y/(Y-1)\ )

=+(―,2).

Очевидно, что М 十 № = М Поэтому Si + S2 = S.

Таким образом, мы убедились в свойстве аддитивности эн“ тропии.

Как показывает результат вычислений, в выражение для эн< тропии идеального газа входит величина у, отсутствующая в уравнении состояния. Поэтому измерение энтропии дает допол< нительную информацию о свойствах газа. В частности для газа, состоящего из отдельных атомов (у = 5/з), при постоянном давлении энтропия меняется в зависимости от температуры по за« кону 1п(Г5/2). Для газа, состоящего из двухатомных молекул, эта зависимость иная. Так, при Т < Т^°" величина у = 7/s и, следом вательно, закон изменения энтропии с температурой имеет вид E(j)・

Убедимся теперь в справедливости соотношений (10.13). Про" верим первое из них. Проверку второго оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Из выписанного выше выражения для S следует, что

i = Pexp{MAa)}.

Заменив Р на NkT/V и решая затем получившееся уравнение относительно Т, находим, что

Подставляя эту величину в (8.23), получаем:

E=(Y •，爲 t exp{中得-a».

Следовательно,

что и должно получиться в соответствии с общим правилом (10.13),

Отметим, нако!нец, что выражение для S можно записать' и так:'

Отсюда видно, что при постоянном объеме энтропия является возрастающей функцией внутренней энергии Е.

Рассмотрим микроскопический смысл энтропии. Л. Больцманом было установлено, что для любых состояний, равновесных и неравновесных,

S=々InQ(E).(10.14)

Здесь k ——постоянная Больцмана, a Q (Е)——число микроскопических состояний частиц тела, каждое из которых в макроскопическом масштабе воспринимается как наблюдаемое макроскопическое состояние с внутренней энергией Е. Другими словами, ◎ (E) —это число микроскопических способов, какими данное Макроскопическое состояние может быть получено. Отсюда прямо следует, что энтропия является функцией макроскопического Состояния тела. Величина С(Е) называется статистическим ве- 匕。也 макроскопического состояния.

Зависимость (10 14) следует, например, из распределения Гиббса. Убедимся в этом и гем самым докажем справедливость (10.14) для равновесных состояний.

Пусть движение частиц тела подчиняется законам классической механики. Тогда в состоянии теплового равновесия внутренняя энергия тела равна

Е= \ dW^Y

где dW(^) задается распределением (9.18). Рассмотрим малое и равновесное изменение внутренней энергии, выбрав для его обозначения символ 6:

dE = 6 { \ 3 dK @) }=卜停 dIF (/)} = ^ d^ JIF(^)+ ^d {dW 停)}.

Окончательный результат получен на основании обычного правила вычисления малого изменения произведения двух величин, в данном случае / и dW(^). Мы уже отмечали, что изменение энергии через теплопередачу связано с изменением вероятностей различных состояний. Следовательно, количество тепла равно

6Q=)甘6{dW @)}.

Представим 6 {dW 他)} в виде 6 {歩 dW 停)} — 6苏 dW (苏).Тогда с учетом 小…получим:

6Q = \ 6 停 d步(/)} — 1

)6& dW (苏)=6 {、冒 dUZ 停)} -^6^ dW 停)=

ПdE - } ) 6/eтm Q 停)d咨.(10.⑸

Воспользуемся тождеством

6 { \ e^lkTQ 停)d^^

=一备，6/ё-名図Q他)d咅+济，苏ё-省mQ (歩)d贫(10.16)

Оно получается в результате применения обычных правил дифференцирования (напомним, что 6 обозначает малое изменение) к выражению \ e-ZM Q (苏)d^. При этом в нем переменными считаются энергия частиц 备] и температура 7. Число же состояний ◎(各)d/ с энергией в заданном интервале, как характерную для каждого тела величину, мы должны считать постоянным. Выражая из (10.16) \ 6甘。一名/" R 停)d/ и подставляя резуль* тат в (10.15), получим:

一号"• ； \ 苏e-g/SQ 侈）d序一号"• ； \ 苏e-g/SQ 侈）d序6Q = dE + kT •—6Q = dE + kT •—6{\产/也TQ他)d器

一号"• ； \ 苏e-g/SQ 侈）d序

一号"• ； \ 苏e-g/SQ 侈）d序

6Q = dE + kT •—

6Q = dE + kT •—

=dE + hT 专-—斗 E = dE + hT 6 (W Z) - E6 (In T) = kT6 {备十 In Z }.

(10.17)

При этом было учтено (9.19).

Вследствие существования у распределения Гиббса чрезвычайно острого максимума в точке 各=Е подавляюще большой вклад в статистический интеграл (9.19) дают состояния системы составляющих тело частиц с энергией ^ — Е. Поэтому Z практически не отличается от значения e~^^rQ (£), где ◎ (E)—число состояний с полной энергией, совпадающей с внутренней энергией тела Е. При этом относительная ошибка, которую мы совершаем, заменяя Z величиной e~E/kTQ(E), порядка 】/<N, где N ——число частиц тела. Для макроскопических тел, у которых N ——колоссально большое число, ее отличие от нуля чисто умозрительное. Подставляя Z =。一七信勺(Е) в (10.17), получаем:

g = m {含g = m {含+ In (e~E/kT^ (Е))} = ^Гд {In Q (£)} = Td {k In Q (E)}. (10.18)

g = m {含

g = m {含

Отсюда следует, что действительно справедлива зависимость (10.10), при- чем энтропия определяется законом (10.14). В (10.18) мы в конце концов значок малого изменения 6 изменили на d, поскольку 々InQ (各) является функцией состояния.

Заметим, что и (10.Г8) определяет энтропию с точностью до произвольной постоянной. Ее добавление к k In Q(^) не нарушает равенства (10.18). В этом отношении микроскопическое определение энтропии не добавляет нн« чего нового по сравнению с макроскопическим.

Рассмотрим энтропию равновесного состояния. Мы уже знаем, что энтропия является возрастающей функцией

внутренней энергии. Следовательно, с уменьшением последней энтропия должна убывать. Заметим, что при фиксированном объеме обеспечить уменьшение внутренней энергии можно только путем охлаждения тела. При абсолютном нуле энергия принимает наименьшее значение. Оказывается, что равновесное состояние с такой энергией может быть реализовано единственным способом, т. е. при Г —>0 будет С—> 1. Так, с классической точки зрения такое единственное состояние достигается только при условии прекращения движения всех частиц. При этом они должны занять строго определенные положения в пространстве, отвечающие минимуму энергии их взаимодействия друг с дру- юм, образуя таким образом кристаллическую структуру.

Из (10.14) следует, что при Й —► 1 энтропия S —> 0. Таким образом, при температуре абсолютного нуля энтропия любого тела, достигшего равновесного состояния, обращается в нуль. В этом заключается содержание закона, названного в честь открывшего его ученого теоремой Нернста. Этот закон называется также третьим началом термодинамики.

Строго говоря, справедливым является лишь утверждение о достижении при абсолютном нуле только минимума энтропии. Это обусловлено тем, что энтропия может содержать произвольную отличную от нуля постоянную. Однако выбором начала отсчета энтропии на уровне, определенном этой постоянной, последняя всегда может быть исключена. Тогда будет справедлива теорема Нернста в приведенной выше формулировке.

Отметим, что ряд опытных фактов противоречил теореме Нернста. Однако в конце концов выяснилось, что у веществ, с которыми экспериментировали (например, Н2О, аморфные тела, сплавы), время релаксации быстро возрастает с понижением температуры. Поэтому их переход в равновесное состояние при приближении температуры к абсолютному нулю резко замедлялся. Следовательно, эти вещества просто не годились для проверки теоремы Нернста, которая справедлива лишь при условии достижения равновесного состояния.

Из (10.14) следует, что аддитивность является свойством энтропии, не зависящим от характера состояния. Действительно, рассмотрим, например, систему двух тел с разными температурами. Состояние такой системы является неравновесным^ Пусть Cj ——статистический вес состояния вещества тела с номером i (Z =1,2). Очевидно, что статистический вес состояния системы двух тел будет равен a = Q「Q2・ Применяя теперь (10.14) к этой системе и к каждому входящему в ее состав телу, получаем:

S = /? In Q = ^ In (Qi * Q2) ^ ^ In ^1 + ^ 1П ^2 = ^! 4- S2.

Здесь Si — энтропия тела с номером L Мы видим, что и в не< равновесном состоянии энтропия является аддитивной вел ip чиной.

Второе начало термодинамики

В § 10.1 отмечалось, что равновесными или обратимыми являются процессы, протекающие с очень малой (строго говоря, с бесконечно малой) скоростью. Все реальные процессы протекают с конечной скоростью. Поэтому они являются обратимыми только с определенной точностью. Наоборот, необратимость является характерным свойством, вытекающим из самой природы тепловых процессов. В этом законы тепловых явлений принципиально отличаются от законов механики. В отличие от тепловых процессов, любое механическое движение можно обратить. Так, камень, брошенный под углом к горизонту, может двигаться по той же траектории в обратном направлении. Для этого после падения камня на землю ему нужно сообщить соответствующую скорость 咄 а именно |%| = |%1,6 = а

(рис. 10.5). Если заснять движение с начальной скоростью и。на кинопленку и затем, начи

ная с конца, пленку пустить电/>^6ч%

в обратном направлении, то弋

мы увидим фильм об истин- X

ном обратном движении с'(、，…

начальной скоростью о$. Со

всем по-другому дело об

стоит, если на кинопленкуРис,

заснять какой-либо тепло

вой процесс. Например, пусть снят фильм о том, как разливается капля чернил в сосуде с водой. При прокручивании пленки в обратном направлении мы увидим процесс, который реально никогда не происходит. Равномерно распределенные по всему объему с водой чернила никогда самопроизвольно не собираются в малую каплю.

Проявления необратимости могут быть различными. Так, при остывании горячего чайника происходит необратимый процесс выравнивания температуры воды в чайнике и окружающего воздуха. При растворении щепотки соли в стакане воды происходит необратимый процесс образования однородной смеси молекул воды, ионов натрия и ионов, хлора. При зажигании спички происходит необратимый процесс окисления, выделения тепла с последующим выравниванием температуры, с рассасыванием образовавшихся газов.

Подчеркнем, что в физике и в обыденной жизни представлен пия о необратимости разные. Так, с обыденной точки зрения из

перечисленных выше процессов необратимым является только последний, поскольку чайник можно снова нагреть, соль — выпарить, а в стакан опять налить воды. В физике процесс осты， вания чайника был бы обратимым, если чайник, 《не сходя с мет ста》，без посторонней помощи смог бы самостоятельно нагреться, остудив при этом окружающий воздух. Процесс растворения соли был бы также обратим, если ионы натрия и хлора в воде могли бы самопроизвольно собираться в кристаллики поваренной соли. Различие обыденного и физического представлений обусловлено тем, что в физике под обратимостью понимают не просто воспроизводимость начального состояния, а воспроизво^ димость через те же промежуточные состояния, но расположенные в обратной последовательности ).

Решающий шаг к количественной формулировке свойства нет обратимости тепловых процессов был сделан французским инженером С. Карно в 1824 г., задолго до установления закона сохранения энергии. Окончательная макроскопическая формулировка была дана Р. Клаузиусом, который ввел понятие энтропии и показал, что изменениями этой и только этой величины определяются свойства необратимости любых макроскопических процессов. Этот замечательный по глубине, общности и обширности применений вывод называется вторым началом термодинамики. Он применим ко всем макроскопическим телам, за исключением Вселенной в целом.

Далее в этом параграфе для сокращения термодинамически изолированные системы будут называться просто изолированными.

Современная формулировка второго начала термодинамики известна под названием закона возрастания энтропии и гласит, что

6 каждой изолированной макроскопической системе изменение энтропии AS при любом реальном процессе удовлетворяет неравенству

AS》0.

При этом с точностью, с которой процесс является обратимым (равновесным),

AS = 0.

Для необратимых неравновесных процессов

AS>0.

Необратимые процессы приводят к установлению равновесного состояния. В этом состоянии энтропия изолированной системы

достигает максимума. Никакие макроскопические процессы в га・ кой системе невозможны. Величина изменения энтропии являет* ся количественной характеристикой степени необратимости про^ цесса.

Часто бывает так, что изучаемое тело не является изолиро* ванным. В таком случае закон возрастания энтропии применяется к системе, состоящей из данного тела и некоторого набора других тел, для которой условие изолированности оказывается выполненным.

К Вселенной закон возрастания энтропии неприменим по следующей причине. При рассмотрении поведения вещества на очень больших расстояниях порядка 1026 м (см. § 1.1) существенную роль играют силы гравитации. Согласно общей теории относительности эти силы определяют свойства пространства и времени. При этом пространство и время являются своеобразными внешними условиями, в которых находится вещество Вселенной. Оказывается, что эти условия отнюдь не являются стационарными. Они изменяются. В этом смысле Вселенная подобна любому привычному для нас телу, которое подвергается внешним воздействиям. Следовательно, ее нельзя считать изолированной системой и закон возрастания энтропии к ней неприменим. И действительно, не наблюдается никаких признаков приближения Вселенной к состоянию теплового равновесия или, по словам Р. Клаузиуса, состоянию тепловой смерти, которому присущ наивысший хаос во всем.

Закон возрастания энтропии имеет два следствия, которые исторически были первыми формулировками второго начала термодинамики. Первая из них, данная впервые Р. Клаузиусом» такова:

Невозможен процесс, при котором тепло самопроизвольно переходит от тел менее нагретых 及 телам более нагретым.

Рассмотрим изолированную систему двух тел. Допустим, что вещество каждого тела находится в состоянии теплового равновесия, однако равновесия между телами нет, т. е. система в целом находится в неравновесном состоянии. Пусть это выражается в том, что температуры тел различны и равны соответственно Ti и 力2・ Предположим, что объемы тел % и V2 остаются неизменными. Обозначим энтропии и энергии тел через S^ и 品 (i=l, 2). Полная энергия и энтропия системы равны Е = =£*1 + £2, S = Si + S2. Вследствие изолированности системы изменение внутренней энергии системы равно нулю: dE = =dEi + dE? = так что dE2 = —dE、. Согласно закону возрастания энтропии

"S =呢+呢=(盡%幅+ (謐)片dE2> 0.

Здесь мы использовали то свойство, что при неизменных объе- мах У1 и V2 энтропия каждого тела является только функцией его внутренней энергии. Так как каждое из тел предполагается находящимся в равновесном состоянии, то можно воспользоваться первым из равенств (10.13). Тогда с учетом того, что d?2 = —d£i, получаем:

dE1 %一击)> 0-

Пусть Ti < ?2. Тогда из полученного неравенства следует, что d£\ > 0. Это означает, что первое тело получает энергию от более нагретого второго тела. При неизменном объеме это осуществляется только путем теплопередачи. Следовательно, тепло всегда переходит только от более нагретого тела к менее нагретому. Именно в таком теплообмене заключается механизм

установления равновесного состояния в системе нескольких тел, температуры которых различны.

Другой формулировкой второго начала термодинамики, предложенной Д. Том- соном, является принцип запрета вечного двигателя второго рода:

Невозможно получить работу за счет систематического охлаждения одного тела без каких-либо изменений во есех других телах.

рис ЮбРассмотрим замкнутую систему трех

' • •тел (рис. 10.6). Предположим, что одно

из них, скажем, первое, является объектам, над которым производится только работа по перемещению этого тела в пространстве. Внутреннее состояние тела при этом не изменяется. Второе тело является только источником тепла, т. е. тепловым резервуаром. Его объем остается неизменным. Предположим, что вещество теплового резервуара находится в состоянии теплового равновесия и обладает внутренней знер- гией £*2, энтропией S? и имеет температуру 7v Третье тело является рабочим. Его состояние изменяется по замкнутому циклу. Следовательно, внутренняя энергия и энтропия этого тела как функции состояния не дают вклада в изменение внутренней энергии и энтропии всей системы. Назначение этого тела состоит в том, чтобы, отобрав от теплового резервуара некоторое количество тепла, превратить его в работу по перемещению первого тела. Следовательно, изменение энтропии всей системы будет равно изменению энтропии теплового резервуара. Тогда

согласно закону возрастания энтропии

as2 > о,

где А& — изменение энтропии теплового резервуара за один цикл. При этом изменение энергии теплового резервуара будет равно

А £2== — А Л,

где АЛ ——работа, совершенная над первым телом. Как источник энергии, тепловой резервуар должен обладать большими энергетическими запасами (в виде энергии теплового движения частиц его вещества). За один цикл рабочему телу будет передана относительно малая часть этих запасов. Следовательно, температура резервуара практически не изменится и останется равной 丁2, а сам процесс теплопередачи можно считать равновесным. Поэтому согласно первому началу термодинамики при % = const

Из выписанных соотношений и положительности Т? следует, что

ДД = — NE? = — G AS? < 0.

Это неравенство показывает, что никакой положительной работы только за счет тепла, изымаемого из теплового резервуара, осуществить нельзя. Так, например, нельзя создать двигатель, который бы работал, отбирая лишь тепло у мирового океана *). Более того, при неравновесном процессе (неравновесный цикл рабочего тела) должна быть произведена дополнительная ра- бота над самой системой. Она равна нулю только при условии равновесности всех превращений.

Наконец, еще одним важным следствием закона возрастания энтропии является следующее условие:

Работа, получаемая при тепловом процессе, максимальна, если процесс обратим.

Чтобы иметь возможность произвести работу, к системе, изображенной на рис. 10.6, необходимо добавить четвертое тело, которое отбирает некоторое количество тепла от рабочего тела, т. е. является холодильником. Пусть вещество холодильника находится в состоянии теплового равновесия и обладает внутренней энергией £i, энтропией S】и температурой 7】V 丁2・ Его объем Vi не изменяется. Тепловой двигатель, изображенный на рис. 10.7, осуществляет цикл Карно, описанный в конце § 10.2, Для него будут выполняться следующие условия:

AS] + AS2》0

(здесь знак равенства относится к равновесному процессу),

А£\ + А£*2 = — А4

Рис. 10.7.Рис. 10.7.зервуара, т. е. равнозервуара, т. е. равноботы АЛ, то отношениеботы АЛ, то отношение5=1 一云5=1 一云72一&72一&

Рис. 10.7.

Рис. 10.7.

зервуара, т. е. равно

зервуара, т. е. равно

боты АЛ, то отношение

боты АЛ, то отношение

5=1 一云

5=1 一云

72一&

72一&

Эти соотношения учитывают, что, во-первых, энтропия всей системы изменяется в результате изменений энтропии теплового резервуара и холодильника, и, во-вторых, работа производится также за их счет. Предполагая равновесность (обратимость) не- редачи тепла рабочему телу и учитывая, что % — const и 廿2 =1

=const, из первого начала термодина^ мики находим: NS、= NE{T\； AS?= =А£2/Г2. Следовательно,

Выражая AEj через А?2 и ДД и принимая во внимание положительность 7卜 из последнего неравенства получаем:

△/0(-Ae2)(1 - 条) •

Тем самым доказано, что работа будет максимальной в том случае, если состояние рабочего тела будет меняться обратимым образом.

Так как —А& равно энергии, поступившей в рабочее тело из теплового реэнергии, затраченной на совершение ра

определяет КПД двигателя Карно. Величина

равна наибольшему значению КПД, которое достигается только в обратимых двигателях. Замечательной особенностью Птах является его независимость от свойств рабочего тела и от конструкции двигателя. Значение Птах определяется только температурами теплового резервуара и холодильника. Следовательно, двигатели, имеющие различные конструктивные решения и различные рабочие тела, но работающие по равновесному циклу Карно с одинаковыми температурами 八 и Г2, равноценны по КПД.

Закон возрастания энтропии ——статистический закон. Он выражает следующее фундаментальное свойство природы:

Все макроскопические процессы обладают односторонней на- правленностъю. Переход между двумя макроскопическими состояниями возможен только в том случае, если конечное состоя^

ние является более вероятным, чем начальное. В этом заключается природа необратимости тепловых процессов, которая проявляется в стремлении всех макроскопических тел перейти 6 равновесное состояние.

Разъясним сказанное. Заметим, что согласно (10.14) энтропия является возрастающей функцией статистического веса. Поэтому закон возрастания энтропии можно переформулировать в закон возрастания статистического веса: при необратимые неравновесных процессах статистический вес изолированной системы возрастает. Существенно, что это свойство и энтропии, и статистического веса обусловлено единственной причиной ——фактом неравновесности процесса. Ведь энергия изолированной системы не изменяется! Оказывается, что чем больше статистический вес состояния, тем более оно вероятно. Следовательно, тем чаще оно должно встречаться. А это означает, что если возможны два состояния с разными статистическими весами и в какой-то момент времени изолированная система оказалась в состоянии с меньшим статистическим весом, то наиболее вероятным последствием теплового движения является переход в будущем в состояние с большим статистическим весом. Именно в этом заключается смысл понятия односторонней направленности макроскопических процессов. Психологически это свойство воспринимается как неумолимое течение времени только в одну сторону от прошлого к будущему.

Из этих рассуждений следует и такой вывод: равновесное состояние является наиболее вероятным. Именно поэтому мы повсеместно наблюдаем стремление всех тел перейти в это состояние. После этого в изолированных системах прекращаются всякие макроскопические процессы, а энтропия и статистический вес достигают своих предельно высоких значений.

Поясним на простом примере, почему состояния с большим статистическим весом оказываются более вероятными. Пусть изолированной системой является идеальный газ. Его изолированность может быть обеспечена абсолютной жесткостью стенок сосуда, в котором газ находится, при

условии, что стенки совсем не проводят тепло. Разделим мысленно сосуд на две одинаковые части (рис. 10.8) и оценим вероятности различных распределений частиц.

Предположим, что всего частиц N. Очевидно, что вероятность пребывания каждой частицы в любой из частей сосуда равна 1/2

0，m(修 +必)!0，m(修 +必)!^!^!(при беспорядочном движении пребывание частицы как в одной, так и в другой части сосуда ——события равновероятные). Перенумеруем частицы. Картину пребывания частиц с определенными номерами в одной части сосуда, а остальных ——в другой назовем определенной пространственной конфигурацией частиц. Вследствие статистической независимости частиц мне- ального газа вероятность обнаружить любую пространственную конфигурацию будет равна произведению вероятностей пребывания каждой частицы в соответствующей части сосуда. Для № частиц это произведение равно 1/2%. Обозначим через 呼(М,М)： вероятность пребывания любых N、частиц в левой, а остальных TV? = 2 ——N\ частиц в правой частях сосуда. События, состоящие в реализации разных конфигураций с одним и тем же числом М частиц слева и N? частиц справа, являются взаимоисключающими. Поэтому W(A^i, N2) определяется суммой вероятностей всех возможных состояний, в которых %2 каких-то частиц находятся справа, а 儿1 оставшихся частиц — слева. Эта сумма равна произведению 1/2^ на число таких состояний. Обозначим это число через Q(^], 7V2). Очевидно, что Q(N\, NQ является статистическим весом состояния, в котором N\ любых частиц будут в одной части сосуда, а ^2 оставшихся ——в другой. Легко сообразить, что С(М,М) равно числу перестановок между М и % частицами:

0，m(修 +必)!

0，m(修 +必)!

^!

^!

Следовательно,

Отсюда видно, что W(^l, ^2) тем больше, чем больше статистический вес Q(M,№)・

Покажем теперь, что переход от менее вероятных состояний к более вероятным, т. е. в направлении, определяемом законом возрастания энтропии, приводит к равномерному распределению частиц по всему сосуду. Именно такая картина свойственна газу, достигшему равновесного состояния. Для этого найдем In Q^i, ^2)• Согласно замечательной формуле Стирлинга, которая провозглашает асимптотическое равенство In х! = %1п х, справедливое с высокой точностью при больших %,

In Q (М,必)=In -川謂丁 = In ^! — In NJ — In №!=

=Nin N — M In M — № In 必・

Напомним, что в газе N\ и № — макроскопически большие числа. Пусть ^2》"1, так что весь газ в основном находится в правой части сосуда. Тогда lnQ(Mi, №) ничтожен в сравнении с ln2^

(например, при N、= G、N? = N будет In Q = 0. Детальный анализ поведения In Q при %2》"i мы предлагаем читателю осуществить самостоятельно). Итак, при N?》N、число Q《2上 а следовательно,场(Ni,N2)^0 (卜 $ 1!). Таким образом, резко неравномерное распределение газа обладает небольшим (в сравнении с 2N) статистическим весом и поэтому маловероятно.

Допустим теперь, что по порядку величины ^l = Д/2 = N/2. В этом случае с высокой точностью

EQ(M, N》= NEN 一与5与-?Е? = 1п2"・

Следовательно, по порядку величины Q (N\, N2) = 2N. Это очень большое число. Такому статистическому весу отвечает вероятность, очень близкая к единице. Таким образом, состояние с равномерным распределением газа по всему сосуду является наиболее вероятным. Именно поэтому изолированный газ всегда приходит в это состояние и оно является для него равновесным.

Как всякий статистический закон, закон возрастания энтро* пии выполняется с точностью до флуктуаций. Однако в макроскопических системах они столь незначительны, что закон возрастания энтропии практически можно считать точным законом. Для иллюстрации подсчитаем, какое время необходимо газу, чтобы он самопроизвольно вышел из равновесного состояния таким, например, образом, чтобы с вероятностью 0,9 все его ^ частиц оказались только в правой части сосуда (рис. 10.8).

Вероятность обнаружить при одном измерении ^ частиц в одной части сосуда равна, как мы знаем, 1，2^. Тогда вероятность того, что при одном измерении в другой части вообще не окажется частиц, составит 1——(1/2^). Следовательно, вероятность при п независимых измерениях не найти в левой половине сосуда ни одной частицы, согласно правилу умножения вероятностей будет равна [1 — (l/2N)]n. Поэтому вероятность Wn(N)] того, что после п измерений все N частиц газа окажутся только в правой части, будет равна

叭(%) = 1 —(1 — •

Положив %(М) = 0,9 и прологарифмировав записанное выше равенство, найдем:

〃lg(l —击) = lgO,I = — 1

(здесь логарифмы являются десятичными). Поскольку N очень велико, то 备《1. Как известно, 1п(1 ——％) ^ ——％ при малых 力" Поэтому 1g (1 — *~) = 1п(1 —gpge 口° 口叩只八КУ велшнны

равен — 1/2N. Тогда оказывается, что

Если измерения производятся через каждые А/ сек, то все N молекул газа с вероятностью 0,9 соберутся только в правой части сосуда через время

т =九• А/ = 2» ・ А/.

Если, например, Д/ = 1 сек, то т = 2^ сек и чрезвычайно быстро растет с увеличением числа частиц:

5

10

100

105

1019

т, сек

32

1024

1032

2105

2Ю19

Из этой таблицы видно, что для макроскопически больших ^, например таких, как N = 1019, время т очень велико. Поэтому о возможности самопроизвольного перехода всей массы газа в одну из частей сосуда, т. е. самопроизвольного макроскопического процесса с понижением энтропии, говорить не приходится. Наблюдаемыми проявлениями самопроизвольного отклонения от равновесного состояния являются только малые флуктуации различных физических величин около своих средних значений.

ГЛАВА II

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Общая характеристика явлений переноса

Всякий необратимый процесс вызывается внешними условиями, в которых состояние тела оказывается неравновесным. Если течение процесса со временем не изменяется, то процесс называется стационарным. В противном случае процесс называется нестационарным.

Стационарные необратимые процессы возможны только в стационарных внешних условиях. Таким процессом является, например, установившийся теплообмен в газе, помещенном между пластинами, нагретыми до разных, но постоянных во времени температур (см. § 8.1). Подчеркнем, что при стационарных необратимых процессах одна величина все же со временем изменяется. Ею является энтропия, возрастание которой обусловлено вторым началом термодинамики. При любом, даже стационарном, но необратимом процессе всякое тело непрерывно производит энтропию. В этом мы вскоре убедимся непосредственно.

Нестационарные необратимые процессы могут протекать как в стационарных, так и нестационарных внешних условиях. В стационарных внешних условиях нестационарный необратимый процесс развивается в том случае, если начальное состояние тела не является стационарным, соответствующим данным условиям.

Приведем пример. Допустим, что между пластинами, о которых мы уже говорили выше, помещается газ, в начальный момент одинаково разогретый по всему объему. Такое состояние газа не является стационарным в данных условиях. В результате теплового движения в такой системе развивается необратимый процесс теплообмена, который протекает в два этапа. На первом этапе теплообмен носит нестационарный характер. При этом происходит перераспределение энергии таким образом, что в результате возникает стационарное состояние: в объеме газа температура плавно меняется и у каждой пластины ее значение совпадает с температурой пластины. На втором атапб

процесс теплообмена продолжается, но он уже является стат ционарным (см. выше).

В любой термодинамически изолированной системе необратимые процессы всегда нестационарны. Они возможны только в том случае, если начальное состояние системы не является равновесным, и направлены на установление этого состояния.

Раздел физики, изучающий необратимые процессы, назьь вается физической кинетикой, а сами эти процессы часто называют кинетическими. Свойства каждого кинетического процесса определяются внешними условиями, в которых находится вещество, и зависят от внутренних свойств вещества. Особенно важной является зависимость от закона действия снл между частицами вещества. Поэтому изучение кинетических процессов позволяет получить дополнительные сведения о силах взаимодействия между частицами вещества.

Каждый кинетический процесс приводит хотя бы к одному из явлений переноса, которые называются диффузией, теплопроводностью, вязкостью, электропроводностью. Первые три явления будут описаны в этой главе. Электропроводность будет рас* смотрена в следующих частях курса.

Диффузия (перенос вещества), теплопроводность (перенос энергии в форме тепла), вязкость (перенос импульса) являются необратимыми процессами, возникающими самопроизвольно вследствие теплового движения при отклонении вещества от равновесного состояния. Это отклонение должно выражаться, соответственно, 6 неоднородном распределении вещества, его температуры, 6 различии скоростей движения макроскопических частей среды.

Подчеркнем, что в чистом виде, т. е, как следствие исключительно лишь одного теплого движения, эти процессы наблюдаются только при отсутствии принудительного перемешивания среды.

Отметим, что под диффузией обычно понимают взаимопроникновение вещества в различных смесях. Примером диффузии является процесс рассасывания вещества окрашенной жидкости в чистой воде, приведенный в § 8.1. Специфическим случаем диффузии является самодиффузия, т. е. перемешивание молекул одного сорта. Для наблюдения этого процесса часть молекул необходимо каким-то способом пометить. Существует только один такой способ: включить в часть молекул меченые атомы, включающие ядра другого изотопа. Так, если в обычную воду Н2О капнуть каплю сверхтяжелой воды Т2О (или наполовину сверхтяжелой ТНО), где Т ——тритий ——сверхтяжелый изотоп водорода, то начнется самодиффузия воды. Процесс рассасывания можно наблюдать, регистрируя радиоактивное излучение атомов трития.

Чаще всего встречаются неравновесные состояния, доста« точно близкие к состоянию теплового равновесия. Их называют состояниями локального равновесия.

В состоянии локального равновесия вещество каждой малой части тела находится 6 состоянии теплового равновесия, однако равновесия между различными частями еще нет. 8 связи с этим состояние теплового равновесия тела называют также состоянием полного равновесия.

Причина возникновения локально равновесных состояний состоит в том, что при стремлении к равновесному состоянию последнее быстрее достигается в областях с относительно небольшим числом частиц (легче «уравнять шансы» среди небольшого числа частиц, чем у всех частиц сразу!). Напомним, что оценка малости должна производиться только по сравнению с полным числом частиц тела. По значению малое число частиц должно оставаться макроскопическим, чтобы к малой части тела можно было применять макроскопическое понятие состояния теплового равновесия.

Описание кинетических процессов, протекающих в условиях локального равновесия, дается в разделе физической кинетики, который называется термодинамикой необратимых процессов.

Законы термодинамики необратимых процессов применимы во всех случаях, когда любая неоднородность, обусловленная “е- равновесностью состояния, имеет размер, намного превышающий характерный размер микроскопического строения вещества (средний свободный пробег для газов, среднее расстояние между ближайшими частицами для жидкостей и твердых тел).

Так, законы термодинамики необратимых процессов неприменимы к переносу энергии через газ Кнудсена (см. § 8.3).

Для описания состояний локального равновесия используются те же величины, что и для описания состояний полного равновесия. Однако эти величины а) определяются для каждой точки тела, т. е. являются локальными; б) могут изменяться со временем; в) характеризуют свойства тела только совместно с дополнительными величинами, получившими названия кинетических потоков.

Законы термодинамики необратимых процессов допускают локальную формулировку благодаря свойству аддитивности ряда характеризующих вещество величин. Таковы, например, количество вещества, его внутренняя энергия, импульс, энтропия. Упомянем среди них и электрический заряд. Аддитивность позволяет определять значения этих величин для каждого малого (но макроскопического) участка вещества и, следовательно, описывать их распределение по различным участкам, что как раз и необходимо для выявления свойств состояний локального равновесия. Локальные значения каждой аддитивной величины

определяются ее плотностью, т. е. соответствующим количеством, приходящимся в данный момент времени на единичный объем вещества в данном месте. Например, плотностью знтро- пии является то ее количество, которым в данный момент времени обладает единичный объем вещества в интересующем нас месте.

Кинетические потоки являются величинами, дающими количественную оценку переноса той или иной величины.

Потоки диффузии, тепла и энтропии являются векторами. Они указывают, в каком направлении осуществляется перенос вещества, энергии и энтропии. По абсолютному значению каждый из этих векторов равен, соответственно, количеству вещества, энергии и энтропии, которое в единицу времени переносится через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению переноса.

Поток импульса ——величина более сложной геометрической природы, ибо он связан сразу с двумя направлениями: направлением импульса и направлением его переноса. Поток импульса является тензором и определяется как полный импульс, переносимый в единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению переноса.

Все плотности, так же как и все потоки, имеют общее в размерности. Любая плотность измеряется отношением единицы измерения данного количества к 1 м3 (в системе СГС ——к 1 см3). Любой поток измеряется отношением единицы измерения количества переносимой величины к 1 м2-1 сек (в системе СГС — к 1 см2 -1 сек). Например, плотность энергии измеряется в Дж/м3 (в системе СГС — в эрг/см3), а поток тепла — в Дж/м2-сек или во внесистемных единицах кал/м2-сек (в системе СГС — в эрг/см2-сек). Плотность вещества измеряется либо в 1/м3 (плотность числа частиц), либо в кг/м3 (плотность массы), в системе СГС, соответственно, в 1/см3 и в г/см3. Поток диффузии измеряется в 1/м2-сек, кг/м2-сек (в системе СГС — в 1/см2-сек и г/см2-сек).

Учитывая общность в размерности, а также в характере связей изменения во времени плотностей с соответствующими потоками (мы в этом вскоре убедимся), целесообразно ввести единую систему обозначений. Мы будем обозначать плотности через р, а потоки буквой /. В тех случаях, в которых потребуется конкретизация, какие же именно плотности и потоки рассматри* ваются, мы будем это делать с помощью верхнего индекса у р и /. Этот индекс будет буквенным обозначением соответствующей величины. Например, плотности энергии и энтропии и, соответственно, потоки тепла и энтропии будут выглядеть так: р(Е), p(s)и 戸е), j(s). у этого правила будет только одно исключение: поскольку плотность вещества ранее обозначалась через п, то

и теперь мы сохраним за ней это обозначение. Поток диффузии будет обозначаться через jS

Отметим, наконец, что в условиях локального равновесия по аддитивным величинам определяются локальные значения других величин, не обладающих этим свойством. Например, локаль* ное значение температуры вводится так. В момент времени / рассмотрим малый участок вещества, сконцентрированный около точки с радиус-вектором г и занимающий неизменный объем dV. Внутренняя энергия, энтропия этого вещества, а также малые изменения указанных величин будут, соответственно, равны

р(Е) (г, /) dV. p(s)g /)dV и dp® &") dV, dp(s)(r, /) dV.

Здесь плотности энергии и энтропии берутся в данном месте, т. е. в точке г, и в данный момент времени t. В состоянии локального равновесия к каждому малому участку вещества применимо первое начало термодинамики в форме (10.11). Учитывая неизменность объема вещества, получаем:

МыМыd^ (г, f) dU = Т dp(s)(г, /) dVt

Мы

Мы

где Т ~ Т(г, /)—температура данного участка вещества, видим,что

Г (г, /)=Г (г, /)=Ор®", /) dp" (г, f)Ор®", /) dp" (г, f)

Г (г, /)=

Г (г, /)=

Ор®", /) dp" (г, f)

Ор®", /) dp" (г, f)

Это как раз и есть локальное (в точке г) значение температуры в момент времени t. Если состояния частиц вещества можно описывать классическим образом, то в этом случае температура 7 (г, /) пропорциональна средней кинетической энергии частиц в малом объеме, расположенном у точки г.

Рассмотрим, от чего зависит изменение во времени плот* ности р любой из аддитивных величин. Для простоты ограничимся одномерными явлениями переноса. При этом в каждом случае будем выбирать систему отсчета так, чтобы ее ось х была ориентирована в направлении переноса. Тогда поток будет иметь отличной от нуля только х-компоненту, которую, следуя избранной ранее системе обозначений, мы будем записывать через /. Кроме того, и р, и / будут зависеть только от % н 厶

Выделим участок вещества в виде бесконечно малого параллелепипеда. Пусть площадь каждой его боковой грани, перпендикулярной оси х, равна dS, а левая грань проходит через точку 乃(рис. 11.1); толщина параллелепипеда равна dx. В объеме параллелепипеда в момент времени / мерой свойства, описываемого плотностью р, является количество р(х, t)dx dS. Здесь dx-dS ——объем параллелепипеда. Например, количество вещества в этом объеме равно п(х, t)dx dS, энергия, заключенная

10 А, В* Астахов

в том же объеме, равна p^(xj}dx dS и т. д. Скорость изменения количества р(х, t)dx dS равна

4[р(х, t)dxdS]^^^dxdS.

В общем случае это изменение происходит по двум причинам. Во-первых, оно вызывается переносом свойства, описываемого плотностью р. Так, при j > 0 в единицу времени после момента / за счет переноса через левую грань количество р(х, /)dx dS увеличивается на величину /(х, t)dS, а в результате

переноса через правую грань уменьшается на величину j(x 十 dx, f)dS. Суммарное изменение будет равно

1/U, /)-/(% + 5 3dS = — •^^ dxdS.

Во-вторых, в системе может действовать источник. Например, вещество может впрыскиваться извне или каким-то образом удаляться из системы, извне может подводиться энергия или, наоборот, может осуществляться ее отвод из системы. Источник может быть обусловлен внутренними причинами. Именно таким является источник энтропии. Он действует в любом неравновесном состоянии и своим существованием обязан фундаментальному закону природы — второму началу термодинамики. Внутренний источник всегда имеется в системе, в которой рождаются частицы, например, вследствие ядерных превращений.

Пусть в результате действия источника плотность р(х, t) изменяется в единицу времени на <т(х, /). При о > 0 источник называется положительным, а при oVO — отрицательным. В первом случае он заставляет р увеличиваться, а во втором* — уменьшаться. При действии источника количество р(х, t) dx dS в единицу времени изменится на G(x,t)dxdS сверх изменения, обусловленного переносом. Составляя теперь уравнение баланса

и сокращая на объем dx dS, получаем:

dp(x,力 dj (x, /)门 1 n

Как н-еоднократно подчеркивалось выше, источник энтропии представляет особый интерес. Покажем на примере, что этот источник действительно функционирует при отклонении от равновесного состояния. Рассмотрим теплопроводность. В этом случае объем каждого участка вещества следует считать неизменным. Изменяются только внутренняя энергия, энтропия и, как следствие этого, температура. Ранее мы уже определили, как связаны между собой эти величины. Для одномерного случая dp(s)(芻 f) = dp® (х, t)/T(x, f). Отсюда следует, что

Gp(S)(x, /) —1 dp(E)(x, f) ―1d产)(x, t)

dt = T (x, /)^— T (x, 0 dx *

Здесь второе равенство записано на основании (11.1), в котором мы положили р = р(Е), / = j(E), о = (/е) = 0, предполагая тем самым, что источник энергии отсутствует. Применяя теперь известные правила дифференцирования, находим:

d^S} (х, f) = д ( j[E} (%j® (爲 /)dT (招 Q

di7(力Е)丿一d(*,7)5x-.

С другой стороны, согласно (11.1)

Op'S)(%，/)— — 0/⑻(％，⑻

dt ~0* 十 ° '

где o(s)——источник энтропии. Сравнивая два последних равенства, находим:

Во-первых, обратим внимание на соответствие связи между потоками 户Е)н 广S)первому началу термодинамики: при неизменном объеме изменение внутренней энергии с коэффициент том, равном температуре, пропорционально изменению энтропии- Во-вторых, мы видим, что при Т 片 const непрерывно производится энтропия, ибо 。⑻〉0. Действительно,小風 и дТ/дх всегда имеют разные знаки. Например, если с увеличением % темпера-* тура возрастает, т. е. дТ/дх > 0, то 戸風 V 0, поскольку тепло может передаваться только от более нагретых участков к менее нагретым. Следовательно, f 靠 > 0 н тем самым и о($)》0・ Знак равенства имеет место только при Т = const, т. е. в ссн стоянии теплового равновесия.

При о = 0

Это соотношение называется одномерным уравнением непрерывности. Если процесс переноса стационарен, то в этом случае

需=0・ (Н.З)

Следовательно, при одномерном стационарном процессе j = =const.

Если перенос осуществляется по всем трем пространственным измерениям, то уравнение непрерывности модифицируется. Трехмерное уравнение непрерывности будет рассмотрено в следующем томе.

Помимо состояний локального равновесия, хотя и редко, но все же встречаются состояния, очень далекие от равновесных. Они называются сильно неравновесными, существуют, как пра* вило, очень короткое время и «приготавливаются» в специальных условиях. Здесь мы не имеем в виду биологические (живые) системы, для которых как раз типичным является пребывание в сильно неравновесных состояниях за все время жнзне- деятельности. Что же касается физических систем, то, например, сильно неравновесным является состояние электронов на выходе ускорителя. Столкнувшись с мишенью, в течение некоторого времени электроны «помнят» свое начальное состояние. Однако в результате случайных столкновений с частицами вещества мишени электроны об этом состоянии скоро «забывают», быстро приближаясь к состоянию теплового равновесия с веществом мишени.

Вместе с тем существуют физические системы, состояние которых все время значительно отличается от равновесного и вследствие этого их нельзя описывать в рамках термодинамики необратимых процессов. Одну из таких систем образуют нейтроны в ядерном реакторе. Они рождаются с высокой энергией, которой соответствует температура порядка 1010 градусов, в результате деления ядер вещества, называемого ядерным топливом. Затем нейтроны замедляются до тепловых скоростей в веществе, которое называется замедлителем. При тепловых скоростях нейтроны поглощаются. В работающем реакторе устанавливается стационарный режим. Нейтроны рождаются быстрыми и, замедлившись, поглощаются. При этом состояние системы нейтронов сильно отличается от равновесного вследствие того, что среди них заметную долю составляют нейтроны с высокой энергией. При этом на расстояниях, сравнимых с рас-

стоянием между соседними нейтронами, встречаются нейтроны и высокой, и тепловой энергии. Это означает, что энергия резко меняется на расстояниях, сравнимых с характерным размером микроскопического строения среды.

Диффузия и теплопроводность

В термодинамике необратимых процессов потоки диффузии и тепла определяются, соответственно, законами Фика 〃 Фурье. Согласно закону Фика

产=产(/0=一0^^1, (11.4)

где п(х, /) —плотность диффундирующего вещества. По закону Фурье

j(E)= j(E)(%, /)= 一 乂 巫箱), (11.5)

где Г(х, 0 —температура неравномерно нагретого тела.

В формулах (11.4) и (11.5) D и х называются, соответственно, коэффициентом диффузии и коэффициентом теплопроводности. Они положительны и зависят от свойств тела. Первый из них характеризует скорость переноса вещества, а второй — скорость переноса тепла. В соответствии с (11.4) и (11.5) козф« фициент D измеряется в единицах отношения ^/~ ,т. е. в СИ — в м2/сек (в системе СГС — в см2/сек), а х — в единицах отно шения /(")/黑， т. е. в СИ в Дж/(м • сек• град) = Вт/м • град (в системе СГС — в эрг/см・ сек град).

Законы Фика и Фурье отражают свойства, установленные опытным путем. Оказывается, что потоки диффузии и тепла возрастают с увеличением степени неоднородности в распределении плотности и температуры. Степень неоднородности характеризуется производными дп/дх и дТ/дх, и опыт свидетельствует, что потоки им пропорциональны. Знак минус в правых частях (11.4J； и (11.5) учитывает свойство потоков всегда быть ориентированными противоположно направлению возрастания плотности и температуры. Вскоре мы убедимся в справедливости законов Фурье и Фика для газов, рассматривая микроскопический механизм диффузии и теплопроводности, и попутно выясним микроскопическую природу коэффициентов D и к.

Вспомним, что по количеству тепла, сообщенного телу, мож* но найти изменение температуры. Для этого количество тепла нужно отнести к теплоемкости. При теплопроводности оценка температурных изменений должна производиться с помощью теплоемкости Ср, ибо если давление меняется, то перенос энер、

гии будет осуществляться не только за счет теплового движения. Его будет вызывать и механическое перемешивание вещества, возникающее в результате различия давлений в разных частях среды. Таким образом, скорость температурных изменений при теплопроводности характеризуется отношением

Х = х/СР.(Н.6)

Эта величина называется коэффициентом температуропроводности вещества, В (1L6) СР — теплоемкость при постоянном давлении единицы объема вещества. Следовательно, в СИ % измеряется в м2/сек (в системе СГС — в см2/сек), т. е. по размерности совпадает с, коэффициентом диффузии. Это свидетельствует о том, чтс при наличии в теле одной лишь температурной неоднородности коэффициент температуропроводности выполняет роль коэффициента диффузии энергии.

Положим в (11.1) р(х, /) = n(x, /); j(%, f) = jS)(%, f) и воспользуемся законом Фика (11.4). Тогда получим дифференциальное уравнение

e/,丿)=?(d加f，力)+ 0⑺.

Оно называется уравнением одномерной диффузии и в нем 瓜磔一это источник вещества.

Если вещество диффундирует в однородной среде, то в этом случае коэффициент диффузии не зависит от %. Если к тому же нет источников, то и о<п)= 0. Тогда уравнение диффузии упрощается и принимает вид

дп (х,力 _ 门 d2n (xt f)di~ = и ~~ •

Его решение определяет закон изменения плотности n(x, t) во времени и в пространстве.

Предоставляем читателю самому убедиться в том, что одномерная теплопроводность описывается дифференциальным уравнением

dt дх I 九。* 丿 т Ср，которое при % = const и о(е)= 0 принимает виддТ (х, /) _ д2Т (х, /)dt~~~ *

Если процесс диффузии или теплопроводности не является стационарным, то, решив соответствующее уравнение диффузии или теплопроводности, можно определить диффузионное время релаксации тп и время релаксации при теплопроводности тт (за время tn и тг выравниваются, соответственно, плотность диф-

фундирующего вещества и температура тела). Однако по порядку величины эти времена можно оценить гораздо проще из соображений размерностей. Действительно, тп и т「могут определяться только характером распределений в начальный мо- ,мент и свойствами тела. Начальные условия определяют размер области, в которой либо плотность вещества, либо температура в начальный момент были распределены неравномерно. Пусть соответствующий характеристический линейный размер равен L. Свойства тела по отношению к диффузии и теплопроводности определяются, соответственно, коэффициентом диффузии D и коэффициентом теплопроводности 乂 или температуропроводности х- Из этих величин можно составить только две комбинации, имеющие размерность времени. Ими являются UjD и L2/%. Следовательно, по порядку величины

厶2/а .и/%. (11.7)

Примеры с численной оценкой значений тп и тт будут даны в следующем пункте.

Рассмотрим диффузию газов с микроскопической точки зрения. Пусть в смеси двух газов давление Р и температура Г везде одинаковы, а состав меняется в х-направлении. Обозначим через /г0 полное число частиц обоих газов в единице объема, а через 〃(％,/)——плотность одного из них. Поток диффузии /(九) определяется избытком числа частиц, проходящих в единицу времени в положительном направлении оси х через перпендикулярную ей единичную площадку, над избытком тех же частиц, проходящих через эту же площадку в отрицательном направлении. Оценим и то, и другое число по порядку величины, считая, что координата площадки равна х. Каждое из них равно

Рис. 11.2.

числу частиц, занимающих объем параллелепипеда высоты vT, где vT ——тепловая скорость частиц, с основанием единичной площади (рис. 11.2). Объем такого параллелепипеда численно равен vT- Число же частиц в этом объеме по порядку величины равно произведению vT на плотность, значение которой нужно

брать в том месте, где частицы испытали последнее столкновение перед тем, как пересечь единичную площадку. Для частиц, пересекающих площадку в положительном направлении оси х, этим значением будет /г(% —— /<), а для частиц, пересекающих площадку в отрицательном направлении, — величина n(x~\- l,t), где / ——средняя длина свободного пробега частиц (рис. 11.2). Таким образом, по порядку величины

产=уг • п (х ~ /, /) — vr • п (х + Z, /)・

По определению в состоянии локального равновесия плотность п меняется слабо на расстояниях, сравнимых с /. Поэтому по порядку величины

п(х~/, /)~п(х + Л /)=~/縹2父・

Следовательно,

产)=一0"@^.

Сравнивая это выражение с законом Фика (11.4), находим, что с точностью до численного множителя порядка единицы

D === и у/.

Вспоминая (9.1), окончательно находим:

D = vT/nQ(j.(11.8)

Остается уточнить, к каким частицам смеси относятся величины vT и о. Этот вопрос несущественен, если частицы двух газов мало отличаются друг от друга, как, например, при само- диффузии. Если же различие заметное, то, как показывает детальный анализ, под vT следует понимать большую из скоростей, т. е. тепловую скорость частиц наименьшей массы, а под а ~ наибольшее из эффективных сечений (в смеси происходят столкновения частиц каждого газа друг с другом и столкновения разных частиц).

Зависимость (11.8) раскрывает микроскопический смысл коэффициента диффузии газов. Она показывает, что скорость переноса вещества в газовой фазе зависит от характера взаимодействия частиц, который сказывается на величине о. Кроме того, формула (11.8) определяет зависимость коэффициента диффузии от состояния газа. Так, с повышением температуры при постоянном давлении величина D увеличивается, так как возрастает тепловая скорость 。丁 и падает плотность по. При постоянной температуре с увеличением давления коэффициент диффузии уменьшается, так как при этом увеличивается плот* ность.

Для достаточно разреженных газов (но не для газа Кнудсена!) можно предсказать с довольно высокой точностью, как именно это происходит. Воспользуемся уравнением состояния (8.13). При этом, конечно, мы делаем приближение, которое будет тем точнее, чем более разреженным газ является. Из (8.13) следует, что при постоянном давлении плотность обратно пропорциональна температуре Г. Согласно (8.7) vT пропорциональна “7\ Поэтому для разреженных газов коэффициент диффузии возрастает с температурой примерно по закону Т%“ Наблюдаемые небольшие отклонения от этого закона объясняются тем, что при изменении Г незначительно уменьшается сечение о. С ростом давления при постоянной температуре ко^ эффициент диффузии уменьшается по закону К, так как со^ гласно уравнению состояния (8.13) плотность пропорциональна давлению.

Значения коэффициентов диффузии некоторых газов при нормальном давлении и температуре 0℃ представлены в табт лице 5. Таблица показывает, что по порядку величин козффн、 циенты диффузии различных газов совпадают.

Таблица 5

Диффундирующее вещество

Основной компонент

D, м:/сек

Бром Бром Аммиак Пары воды Углекислый газ

Аргон Метан Воздух Воздух Углекислый газ

0,86 • 1(Г ： 0,15- 0,19-

0,23 • КГ’ 0,1 • к

Оценим теперь диффузионное время релаксации в газах. Рассмотрим, например, диффузию брома в аргоне. Предположим, что линейный размер первоначальной неоднородности распределения брома составляет 0,1 м. Тогда согласно (11.7) эта неоднородность исчезнет за время порядка тп = =0,01 м2/ (0,86-10~5 м2/сек) ^ 103 сек. Эта цифра показывает, что диффузионное перемешивание в газах является довольно медленным процессом.

(11・9)(11・9)Выше мы убедились в том, что коэффициент температурой проводности имеет смысл коэффициента диффузии энергии неравномерно нагретого тела. Поэтому по аналогии порядок коэффициента температуропроводности газов также равен

(11・9)

(11・9)

% i—^ Of / === Ut/〃O*・

Здесь п — плотность газа. По тому же сходству диффузии и теплопроводности можно заключить, что теплопроводность в газах также является медленным процессом.

Определим порядок величины коэффициента теплопроводности газов. Из (11.6) и (11.9) следует, что с точностью до численного множителя порядка единицы

乂 = С р〃т/.

При плотности газа п в единице объема содержится n!NА молей газа. Поэтому

С几 х>МОЛЬ

где С"。"'— теплоемкость одного моля при постоянном давлении. Итак, окончательно получаем:

工 СрNa

Если газ достаточно разрежен, то можно воспользоваться приближением идеального газа. Напомним, что теплоемкости газов остаются постоянными в очень широком диапазоне температур. Так как скорость vT пропорциональна д/?\ то оказывается, что для разреженных газов закон изменения коэффициента теплопроводности в зависимости от температуры близок к Т”. Отклонения от этого закона обусловлены тем, что, во-первых, у, входящее в выражение для Ср, хотя и слабо, но все же с температурой изменяется. Во-вторых, с увеличением температуры несколько уменьшается эффективное сечение о. Согласно (11.10) коэффициент теплопроводности разреженных газов не зависит от плотности и давления.

В табл. 6 в качестве примера приведены значения коэффициентов теплопроводности некоторых газов при 0℃.

Таблица 6

Вещество

X, Дж/м -сек-град

Вещество

х, Дж/м«сек-град

Хлор Углекислый газ

0,72 • КГ? 1,45- 10'2

Воздух Водород

2,41 ・10-；

16,8 • IO—

Микроскопические механизмы диффузии и теплопроводности в жидкостях и твердых телах существенно отличны от рас*

смотренного выше, так как в этих средах взаимодействие частиц не носит характера столкновений.

Диффузия в жидкостях происходит значительно медленнее, чем в газах.

Для сравнения приведем значение коэффициента диффузии поваренной соли NaCl в воде: он равен 1,1 • 10~9 м2/сек, т. е. на четыре порядка меньше, чем у газов.

Диффузия происходит и в твердых телах. Характер этого процесса определяется дефектами кристаллической структуры твердых тел и существенно зависит от температуры. Более подробно об этом будет сказано в гл. 13. Здесь только отметим, что при обычных температурах диффузия в твердых телах яв« ляется очень медленным процессом. Однако ее скорость резко возрастает при увеличении температуры. Так, при комнатной температуре коэффициент диффузии золота в свинец равен 4-10-14 м2/сек, а при 300℃ его значение увеличивается на пять порядков и становится равным Ю-9 м2/сек. Это явление но пользуется, например, для отжига металлов. Для достижения однородности сплава его длительное время выдерживают при высокой температуре.

Явление теплопроводности в жидких и твердых диэлектриках обусловлено колебаниями частиц среды, образующими волны сверхвысоких частот. В квантовой теории таким волнам сопоставляются квантовые частицы ——фононы. Движением фононов и обусловлен перенос энергии. В твердых и жидких ди* электриках этот процесс осуществляется гораздо быстрее, чем в газах. Например, коэффициент теплопроводности воды 允= =0,6 Дж/м-сек-град, а у кварца 乂 = 93,2 Дж/м-сек-град. Первое значение на порядок, а второе на четыре порядка выще значений, характерных для газов (см. табл. 6). Более высокие по сравнению с газами скорости переноса тепла обусловлены интенсивным взаимодействием частиц в твердых и жидких ди< электриках.

В проводящих средах эта скорость может быть еще больше# Так, у меди х = 380 Дж/м-сек-град. Высокие значения коэф* фициентов теплопроводности металлических проводников объясняются тем, что в Н'их тепло проводится главным образом элек* тронами проводимости, которые очень подвижны. Более деталь-» но теплопроводность в твердых телах будет рассмотрена в томе III.

Коэффициенты теплопроводности жидкостей подчиняются го^ раздо более сложным закономерностям, чем коэффициенты теп-* лопроводности газов. В отличие от газов, коэффициенты теплое проводности жидкостей с увеличением температуры уменьшают* ся. Это вызвано тем, что увеличение температуры делает менее заметным влияние сил притяжения между частицами жидкости.

Эффективно это выражается в ослаблении связи между ними, что затрудняет перенос энергии. Данных о влиянии давления еще очень мало. Известно лишь, что до 30——40 бар оно ничтожно мало.

Вязкость

Рассмотрим газ или жидкость, которые находятся с одной стороны от бесконечной плоской поверхности и занимают полупространство х > 0 (рис. 11.3). Допустим, что поверхность движется со скоростью, которая лежит в плоскости поверхности и имеет величину 〃(0). Частицы газа или жидкости, примыкающие к поверхности, будут вовлечены в движение силами притяжения к частицам поверхности. Поэтому возникнет течение граничащего с поверхностью слоя газа или жидкости. Его скорость будет также равна 〃(0). По мере удаления от поверхности скорость течения будет убывать, обращаясь в нуль при %—оо. Это означает, что скорость течения является убывающей функцией расстояния до поверхности, “ = = 〃(％), и перенос импульса будет

осуществляться в направлении оси х. Так же как при диффузии и теплопроводности, в термодинамике необратимых процессов поток импульса 户？) (рис. 11.3) зависит от скорости изменения в пространстве скорости течения, и в одномерном случае (рис. 11.3) эта зависимость имеет вид:

卅黑.(Н.П)

Коэффициент 刀 называется динамической вязкостью среды. Он является положительной величиной, характеризующей скорость переноса импульса в результате теплового движения, и определяется свойствами среды. Динамическая вязкость измеряется в кг/сек-м. Широко употребляется и единица измерения системы СГС. Она равна 1 г/сек-см и названа пуазом (Пз) в честь французского ученого Ж. Пуазейля, впервые в середине прошлого столетия исследовавшего течение вязкой жидкости.

Импульс единицы объема газа или жидкости равен произведению плотности массы р на скорость его перемещения. Поэтому помимо потока импульса рассматривают еще поток скорости течения, определяя его так:

”)=小叫p.

Согласно этой формуле в СИ поток скорости измеряется в м2/сек2. С учетом (11.11) его можно представить в виде

Коэффициент

v = n/p (11.12)

называется кинематической вязкостью. В СИ он измеряется в м2/сек, а в системе СГС в см2/сек. Единица 1 см2/сек имеет специальное название — стокс (Ст), в честь английского физика середины прошлого века Дж. Стокса.

Размерность кинематической вязкости позволяет заключить, что эта величина играет роль коэффициента диффузии или тем< пературопроводности для скорости течения. Отсюда, по аналогии с диффузией и теплопроводностью, можно сделать три вывода. Первый из них относится к времени вязкой релаксации. Предположим, что в начальном состоянии пространственная неоднородность скорости течения среды имеет размер Л. Если эта неоднородность не поддерживается внешними силами, то вследствие вязкости движение затормозится. Порядок величины времени вязкой релаксации тв определяется равенством

(11.13)

Второй вывод касается микроскопической оценки коэффи* циентов вязкости газов. По порядку величины

(11.14)(11.14)1 mvT

(11.14)

(11.14)

V = vTl, т] = ри— = tnnvT — = -j—

где m ——масса одной частицы газа. Остальные величины нам уже знакомы по предыдущему параграфу. Согласно (11.14) динамическая вязкость не зависит от давления газа. Она изменяется только при изменении температуры по закону, близкому к 7% (по этому закону изменяется vT). Отклонения от этого закона обусловлены небольшими изменениями эффективного сечения о с температурой.

Третьим является вывод о том, что выравнивание скоростей макроскопического движения различных частей газа вследствие вязкости является медленным процессом.

В отличие от газов, динамическая вязкость жидкостей с уве^ личением температуры уменьшается. Причиной является возра« стание с ростом температуры скорости теплового движения частиц жидкости. Их перемещения становятся более свободными и внутреннее трение уменьшается. При понижении температуры динамическая вязкость жидкостей возрастает. В ряде случаев она становится настолько большой, что жидкость затвердевает

без образования кристаллической решетки. В этом заключается механизм образования аморфных твердых тел. Примером их могут служить стекла.По существу аморфное твердое тело есть не что иное, как жидкость с аномально высокой вязкостью.

В табл. 7 в качестве примера приведены значения коэффициентов вязкости некоторых газов и жидкостей при температуре 20 ℃.

Таблица 7

Вещество

", кг/сек «м

■V, м，/сек

Вещество

", кг/сек-м

V, м2/сек

Водород Воздух Бензол

0,88- 10-^

1,8・1（Г；

6,5 • 10

0,95- 10"4 0,15- 10"4 0,72 • 1L

Вода Ртуть Глицерин

1,55- 10"

1,5

1,4・

1,2 • IL

Свойства течения вязкой среды зависят от плотности ее глассы р, динамической вязкости п или кинематической вязкости V. Они определяются также характерными для данного течения скоростью V и линейным размером г. Например, для течения, вызванного движением шара, характерным линейным размером является радиус шара, а характерной скоростью ——скорость движения шара. Для течения жидкости по трубе характерным линейным размером является диаметр трубы, а характерной скоростью——средняя скорость потока. Во многих случаях среду можно считать несжимаемой. Так, сжимаемость жидкостей, как известно, очень мала. При движении таза изменения давления существенно сказываются на плотности газа только при скоростях, сравнимых со скоростью звука. При дозвуковых скоростях газ ведет себя практически как несжимаемая среда. Учитывая сказанное, в дальнейшем будем считать р = const.

Из величин р, т| или v, г и и можно образовать безразмерную комбинацию, которая называется числом Рейнольдса и обозначается через Re:

ReTT （И.15）

Число Рейнольдса является одной из важных характеристик течения вязкой среды. От его значения зависит характер течения, которое может быть ламинарным и турбулентным.

Для каждого вида течения существует такое критическое значение Re0, что при Re V Reo возможно только ламинарное течение. При Re > Re0 течение турбулизуется.

Так, для течения, вызванного движением тара, Reo порядка 103. Для жидкости» протекающей в трубе, Re。=230.

Ламинарное течение носит слоистый характер. Ему свой^ стоенно отсутствие перемешивания вещества соседних слоев. Специфика турбулентности заключается в вихреобразном движении среды, при котором, наоборот, происходит интенсивное перемешивание вещества в макроскопических масштабах (см. рис. 2.15 и 2,16, стр. 80). Размеры турбулентных вихрей под-, час бывают сравнимыми с некоторыми характерными размерами самой среды и даже больше их. Так, в земной атмосфере могут возникать гигантские вихри с радиусом в сотни и даже тысячи километров, что намного превышает толщину самой атмосферы.

Каждый турбулентный вихрь претерпевает со временем следующие изменения. Он дробится на вихри меньших размеров. Те в свою очередь разбиваются на еще более мелкие, и т. д. Этот процесс длится до тех пор, пока масштаб турбулентных неоднородностей не станет равным некоторому минимальному значению. После этого турбулентное движение превращается в ламинарное и запасенная в турбулентном потоке энергия в результате вязкого трения в среде выделяется в виде тепла. Минимальный масштаб турбулентности в атмосфере составляет величину порядка 10-3 м.

С помощью числа Рейнольдса формулируется также критерий подобия течений. Оказывается, что

течения вязкой среды подобны, если числа Re для них одинаковы, Подобными называются движения, которые отличаются только масштабом всех своих характеристик.

Подчеркнем, что физическое понятие подобия шире геометрического. В физике говорят о подобии, если подобны все характеристики движения, а не только геометрические свойства участвующих в движении тел. Например, кроме расстояний должны быть подобны скорости, энергии, силы и т. д. Так, в поле тяготения большой и маленький шар, сделанные из одного и того же материала, подобными не являются. Действительно, пусть отношение радиусов шаров равно 2. Тогда отношение абсолютных значений сил тяготения, действующих на шары, будет равно уже 8. Ускорения же шаров в ноле тяготения будут одинако- выми.

Подобные физические явления встречаются не так-то часто. Вязкая среда является одной из редких систем, в которой возможны физически подобные явления. С другим примером физического подобия мы встретимся еще в § 12.2. Существование подобных течений имеет огромное практическое значение. Например, можно выяснить поведение потока воздуха при обтекании крыла самолета с определенным Re, не строя самого самолета. Вместо этого можнб сделать модель и провести ее испытание в аэродинамической трубе со скоростью воздушного

потока, которая дает то же самое Re. Результаты будут применимы к настоящему самолету.

Установим, с какой силой вязкая среда действует на движущееся в ней тело. Как уже отмечалось, в этом случае характерным является размер тела г, а характерной скоростью —— скорость движения тела а Из анализа размерностей следует, что единственной комбинацией, имеющей размерность силы, является р^2产.Поэтому закон действия силы сопротивления F может иметь единственный вид:

尸= pR2 貿｛^),(11.16)

где f(Re)—некоторая функция Re. Допустим, что скорость о мала. Критерием малости является условие

Re《1,

поскольку Re пропорционально скорости и и безразмерно. При малых числах Рейнольдса течение среды ламинарное. В этом случае сила сопротивления обусловлена переносом импульса. В самом деле, потоки концентрируются вблизи поверхности тела, исчезая на больших от него расстояниях. Вследствие этого возникает поток импульса от тела к среде. Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса в единицу времени есть сила. Поэтому наличие потока импульса непосредственно у поверхности тела означает, что на среду со стороны тела действует сила. Противодействующая ей сила, приложенная к телу, и является силой сопротивления. Поскольку поток импульса пропорционален вязкости, то при малых скоростях движения шара сила сопротивления должна быть пропорциональна коэффициенту вязкости. Это условие будет выполнено в том случае, если функция f в (11.16) будет иметь вид

f(Re)= ^ =科

где С — некоторая постоянная. При этом условии мы получаем закон сопротивления Стокса

F = Стрг,

о котором речь уже шла в первой части (§ 2.3). Более детальный анализ позволяет в каждом случае определить значение постоянной С. Например, для шара С = 6л и

F = 6冗2Г， где г — радиус шара.

При турбулентном течении закон действия силы сопротивления иной. В этом случае вязкость практически никакой роли не играет. Механизм вязкости заключается в молекулярном пере” мешивании, обусловленном тепловым движением. При тур бу

лентности перемешивание является макроскопическим. Поэтому в этом случае (т. е. при больших Re) сила сопротивления не будет зависеть от вязкости вообще. Из (1.15) и (1.16) следует, что это может быть лишь в том случае, если f(Re) = D = const. Следовательно, при больших скоростях (но меньших скорости звука!)

尸=DpM户.

Мы получили закон сопротивления Ньютона, также упоминавшийся ранее в § 2.3. В полученном выражении коэффициент D очень сильно зависит от формы тела. Сила сопротивления Ньютона оказывается минимальной только при определенной форме тела, которая называется хорошо обтекаемой. Тело хорошо обтекаемой формы должно быть закруглено спереди и удлинено сзади, плавно заостряясь к концу.

ГЛАВА 12

ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ

Фазовые диаграммы

Среди макроскопических процессов особую группу составляют фазовые превращения или переходы.

Фазовым превращением называется процесс, в результате которого свойства тела меняются скачком. Состояния, между которыми осуществляется переход, называются фазами.

Удивительность существования фазовых переходов ускользает от нашего внимания только потому, что мы с детства к ним привыкли. А ведь на самом деле картина очень загадочна. Дей* ствительно, начнем охлаждать воду. Охлаждаем на градус, десять градусов ——никаких видимых изменений не происходит. И вдруг, при охлаждении на ничтожнейшую долю градуса, вода переходит в совершенно иное состояние льда.

Фазовые превращения бывают двух типов. Фазовым превращением первого рода называется процесс, при котором скачком изменяются плотность, внутренняя энергия, энтропия тела. При этом выделяется или поглощается энергия, называемая теплотой фазового перехода.

Примером фазовых превращений первого рода являются изменения агрегатного состояния вещества. Превращение жидко^ сти в газ и обратный процесс называются, соответственно, испарением и конденсацией. Переход твердого состояния в жидкое называется плавлением, а обратный переход ——кристаллизацией. Превращение твердого тела в газ называется сублимацией или возгонкой.

Различные агрегатные состояния — газообразное, жидкое и твердое ——являются разными фазами. При этом твердым считается только кристаллическое состояние. Аморфное твердое состояние на самом деле является жидкостью с аномально боль-* шой вязкостью (см. § 11.3 в предыдущей главе). Поэтому такие тела приобретают свойство текучести не скачком, а путем постепенного уменьшения вязкости, которое вызывается повышением температуры.

При всех агрегатных превращениях выделяется или поглощается энергия. Например, для превращения килограмма воды в пар необходимо затратить энергию 2,3-106 Дж. Эта энергия необходима для преодоления сил притяжения, действующих между молекулами воды. Металлы начинают плавиться только тогда, когда начинает разрушаться их кристаллическая решетка, на что также необходимо затрачивать энергию. К числу фазовых превращений первого рода относятся и некоторые переходы твердого тела из одной кристаллической модификации в другую. Эти превращения называются полиморфными. Кристаллы раз^ ной модификации состоят из одного и того же вещества и отли- чаются друг от друга лишь строением кристаллической решетки. Примером являются кристаллы графита и алмаза, построенные из одного и того же элемента — углерода.

Некоторые вещества способны образовывать особое, четвертое агрегатное состояние вещества. Оно называется жидким кристаллом ). Как видно из названия, это состояние по своим свойствам занимает промежуточное место между жидкостью м обычным кристаллом. %°° Жидкокристаллической фазой обладает, например, соедине

ние, молекула которого изо-Рис. 12.1.

Сражена на рис. 12.L Это ве

щество называется параазоксианизол. На рисунке шестиугольники изображают бензольные кольца. При нормальном давлении параазоксианизол является жидким кристаллом в диапазоне температур 114—1S5℃.

Жидкие кристаллы схожи с обычными жидкостями по своим механическим свойствам: они текучи. Вместе с тем они обладают упорядоченной структурой, что роднит их с кристаллами. Жидкие кристаллы образуются из молекул, обладающих вытянутой линейной неразветвленной формой. Именно такой структурой обладает молекула, изображенная на рис. 12.1. У таких веществ возможны состояния, в которых молекулы могут свободно перемещаться поступательно в продольном направлении. Однако поворачиваться они не могут, так как мешают друг другу. Схематически структура жидкого кристалла изображена на рис. 12.2. В жидкокристаллическом состоянии наблюдается строгая упорядоченность ориентации молекул в макроскопических объемчиках. Каждый из таких объемчиков является ма- леньким кристалликом.

之人华必空^之人华必空^Рис. 12.2.Рис. 12.2.Вещества, существующие в жидкокристаллическом состоянии, имеют также и обычные твердокристаллическую и изотрон- ную жидкую фазы. При этом последовательность образования фаз следующая. При низких температурах вещество находится в твердокристаллическом состоянии. При повышении температуры возникает жидкокристаллическая фаза, которая затем переходит в обычную жидкость. Как и все агрегатные превращения, переходы, в которых одна из фаз является жидким кристаллом, сопровождаются поглощением или выделением энергии. Однако теплота плавления жидких кристаллов мала по сравнению с теплотой плавления твердых тел. Так, теплота перевода

之人华必空^

之人华必空^

Рис. 12.2.

Рис. 12.2.

1 кг жидкого кристалла параазоксианизола в обычную жидкость равна 3,3-103 Дж, теплота плавления 1 кг свинца составляет 2,1 • 104 Дж.

Фазовым превращением второго рода называется процесс, в результате которого скачком изменяется зависимость свойств тела от температуры и давления. При этом плотность, внутренняя энергия и энтропия скачка не испытывают. Поэтому при фазовых превращениях второго рода энергия не выделяется и не поглощается.

12.3.12.3.К фазовым превращениям второго рода относится, например, переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние. При температуре выше 2,2°К гелий ведет себя как обыкновенная вязкая жидкость. Так, при течении в трубе он испытывает действие силы вязкого трения. Однако при температуре 2,2°К его вязкость скачком падает до нуля. Это явление было открыто П. Л. Капицей в 1938 г. Первое объяснение этого явления было дано Л. Д. Ландау в 1941 г. Последовательная математическая теория сверхтекучести было построена Н. Н. Боголюбовым в 1947 г.

12.3.

12.3.

Сверхтекучесть проявляется, например, в эффекте образования 《ползущей пленки». Если жидкий гелий налить в два сосуда,

разделенные перегородкой, то со.

самопроизвольно выравняются (рис. 12.3). Причина заключаетсй в том, что гелий начинает перетекать по очень тонкой, толщиной в несколько сотен ангстрем, пленке, играющей роль сифон%

В отличие от обычных жидкостей, в которых из-за вязкости образование и распространение жидкой пленки происходит очень медленно, движение пленки сверхтекучего гелия происходит очень быстро. Ее скорость достигает десятков сантиметров в секунду.

Разными фазами гелия являются вязкий и сверхтекучий ге^ лий. При этом их агрегатное состояние одинаковое. Обе фазы являются жидкими.

Другим примером фазовых превращений второго рода яв- ляется переход проводников в сверхпроводящее состояние. Сверхпроводимость была открыта Г. Камерлинг-Оннесом на ртути в 1911 г. Микроскопическая теория сверхпроводимости создана Д. Бардиным, Л. Купером и Д. Шриффером в 1956 г. Значительный вклад в развитие последовательной математической теории этого явления был сделан Н. Н. Боголюбовым. Суть самого этого явления заключается в том, что вблизи абсолютного нуля сопротивление некоторых проводников электрическому току скачком падает до нуля. При этом их агрегатное состояние не меняется. Проводники по-прежнему остаются твердыми телами той же кристаллической структуры. Различными фазами являются обычный и сверхпроводящий проводник.

К фазовым переходам второго рода относятся полиморфные превращения особого типа, при которых скачком изменяются свойства симметрии кристаллической структуры.

В дальнейшем будут рассмотрены только равновесные фазовые превращения первого рода, происходящие в отсутствие внешних полей. Это означает, что температура и давление во всех частях тела, испытывающего превращение, одинаковы.

При заданном давлении фазовое превращение всегда происходит при строго определенной температуре. Поэтому изотермический фазовый переход одновременно является изобарическим процессом.

Таблица 8

Вещество

Температура перехода,

Вещество

Температура перехода, ℃

Водород Кислород Этиловый спирт Эфир этиловый Ртуть Свинец

—259,2

-219 — 117

-116

-38,6

327

Алюминий Поваренная соль Серебро Медь Железо Кварц

660

804

961

1083

1535

1728

Температуры превращений твердое тело — жидкость некоторых веществ при атмосферном давлении приведены в табл. 8. Эти значения называются точками плавления при данном давлении.

При изменении давления изменяется и температура фазового превращения. На РТ-диаграмме эта зависимость изображается кривой фазового перехода Р =尸(Т). Здесь Г обозначает точку плавления при давлении Р・ По названию превращений говорят о кривых испарения — конденсации, плавления — кристаллизации и т. д. Кривые фазовых переходов могут иметь как пoлoжи^ тельный, так и отрицательный наклон. Например, приведенные

на рис. 12.4 кривые плавления железа и никеля имеют положительный наклон, а приведенные на рис. 12.5 кривые плавления висмута и галлия — отрицательный. Причина разного наклона будет объяснена ниже.

Кривая фазового превращения разделяет плоскость РТ на две области. Точки внутри каждой области соответствуют однофазным состояниям. Точки, лежащие на кривой фазового пре- вращения, отвечают состояниям, в которых обе фазы нрнсут- ствуют одновременно и находятся в равновесии друг с другом- Поэтому кривую фазового превращения называют также кривой равновесия фаз.

Фазовые превращения можно изображать не только на РТ< диаграмме, но также и на PV- и TV-диаграммах состояния. Гра- фическое изображение фазового превращения на одной из диа-* грамм состояния называют фазовой диаграммой. Фазовые диаграммы на плоскостях РТ и PV существенно отличаются друг от друга. Это отличие обусловлено тем, что в процессе самого перехода постоянны и температура, и давление, в то время как удельный объем изменяется.

Удельным называется объем,, приходящийся в среднем на одну частицу вещества. Если тело из N частиц имеет объем 匕

то удельный объем равен

где п — плотность вещества. Так как при фазовом превращении плотность меняется скачком, то такой же характер имеет и изменение и.

Рассмотрим процесс изотермического сжатия вещества. Предположим, что в начальном состоянии существует только одна фаза / с удельным объемом % температурой То и давлением Ро. Пусть на РГ-диаграмме состояний этому состоянию Соответствует точка Л (рис. 12.6), а на Ру-диаграмме — точка а

Рис. 12.6.Рис. 12.6.Рис. 12.7.Рис. 12.7.

Рис. 12.6.

Рис. 12.6.

Рис. 12.7.

Рис. 12.7.

(рис. 12.7). На РГ-диаграмме процесс изотермического сжатия вещества изобразится прямой АВС, а на диаграмме Pv ——изотермой арь Форма последней определяется тем, что с увеличением давления удельный объем фазы / будет уменьшаться. Сначала уменьшение будет происходить плавно. Однако так будет до тех пор, пока вещество не придет в состояние, которому на РГ-диаграмме соответствует точка В (рис. 12.6), а на Р^-диа- грамме — точка Pi (рис. 12.7). После этого начнется образовав ние новой фазы 2 с удельным объемом 。2 V 6. Из-за скачка плотности и? отличается от s на конечную величину. С этого момента состояние вещества станет двухфазным.

При образовании новой фазы с меньшим удельным объемом будет выделяться энергия. Количество вновь образовавшейся фазы зависит от величины выделившейся энергии. Например, при замерзании воды количество образовавшегося льда определяется количеством тепла, отобранного у воды. Изменение среднего удельного объема и двухфазной системы с увеличением доли х фазы 2 (О W % & 1) будет определяться законом

V — xvi + (1 —х) Ур (12.1)

На рис. 12.7 ему соответствует прямолинейный участок 仇02, параллельный оси и, так как при заданной температуре Го

фазовый переход происходит только при давлении Рх (рис. 12.6). Точке р2 отвечает снова однофазное состояние с удельным объемом и?. При дальнейшем увеличении давления состояние вещества будет меняться уже непрерывно в пределах фазы 2 согласно прямолинейному участку ВС на РТ-диаграмме и изотерме 俄丫 на Ру-диаграмме.

Таким образом, существенное отличие фазовых РТ- и Ру-диаграмм состоит в том, что при заданной температуре двухфазному состоянию на РТ-диаграмме соответствует точка, а на Ру-диаграмме ——отрезок. По РГ-диаграмме нельзя определить количественное соотношение фаз в двухфазной системе; Pv- диаграмма позволяет получить ответ на этот вопрос. Например, пусть состояние двухфазной системы на Pt^-диаграмме изображается точкой В' (рис. 12.7). Ей соответствует удельный объем и'. Зная его величину, а также s и ^2, из (12.1) легко найти х.

Кривой фазового перехода на РТ-диаграмме (рис. 12.6) на Ру-диаграмме соответствует заштрихованная область (рис. 12.7), Эта область разделяет две другие, отвечающие однофазным состояниям. Действительно, при изменении температуры изменяется и давление. Следовательно, отрезок PiP2 на Ри-диаграмме (рис. 12.7) либо поднимается, либо опускается, заметая на Ру- плоскости целую область. При этом отрезок может укорачиваться и удлиняться. Это зависит от значений удельных объемов разных фаз, которые определяются величиной давления в системе.

Установим, от чего зависит наклон кривой фазового пере

хода. С этой целью рассмотрим циклический процесс, изобра

женный на Ру-диаграмме (рис. 12.8). На участке ар фаза / с удельным объемом vi при давлении Р полностью переходит в фазу 2 с удельным объемом 口2・ Напомним, что этот процесс не только изобат рический, но и изотермический. Далее, фаза 2 претерпевает бесконечно малое изменение, в

Рис. 12.8.результате которого давление

увеличивается на dP. Этот переход изображен участком 0у. Затем совершается обратный изотермический фазовый переход по прямой уб. Наконец, при бесконечно малом переходе 6а система возвращается в исхода

ное состояние.

Этот круговой процесс можно считать равновесным циклом Карно. Во-первых, участки Ру и 6а бесконечно малы, так что теплопередачей на них можно пренебречь. Во-вторых, участки

а₽ и уб являются изотермами. Величина работы за один цикл численно равна площади фигуры аРуб. Так как цикл является бесконечно узким, то эта площадь равна \v-dP, где Au = Vi—v2. На совершение этой работы энергия затрачивается только на участке 丫6, на котором удельный объем возрастает. Обозначим теплоту этого перехода через AQ. Тогда КПД цикла будет равен Au・dP/AQ. С другой стороны, он же равен dT/T, где dT — раз* ность температур на изотермах уб и ар, Г — температура на изо терме уб (см. § 10.4). Следовательно,

°Р AQ /1 п л\

Это соотношение называется уравнением Клапейрона — Клаузиуса. Оно и определяет наклон кривой фазового перехода.

Так, при испарении и сублимации кривая фазового перехода имеет положительный наклон. Действительно, в этих случаях тело поглощает энергию: AQ > 0. Кроме того, Аи > 0, так как удельный объем газа всегда больше удельного объема жидкости и твердого тела. Тогда согласно (12.2) dP/dT > 0.

При плавлении кривая фазового перехода обычно имеет положительный наклон. Для большинства веществ удельный объем жидкой фазы больше объема твердой фазы: Аи > 0. Поэтому для них, так же как и в случае испарения, dP/dT > 0. Однако у ряда веществ, получивших название аномальных, Au V 0. К их числу относятся вода, висмут, германий, некоторые сорта чугуна. Для них dP/dT <； 0 и кривая плавления имеет отрицательный наклон.

Отметим, наконец, что кривые плавления идут круче кривых испарения и сублимации. Это связано с тем, что при испарении и сублимации изменение удельного объема намного превышает изменение объема при плавлении. Приведем пример. Для понижения точки кипения воды на 1° необходимо уменьшить давление на 3,6-10-2 бар. Добиться такого же эффекта для льда можно, лишь увеличив давление на 1,3-102 бар.

Критическая точка

Кривая испарения ——конденсации Р = Р(Т) обладает замечательным свойством: она не уходит в бесконечность, а имеет конец, за которым различие жидкой и газовой фаз исчезает. Этот конец называется критической точкой. Ее координаты 7K и /\ называются, соответственно, критическими температурой и давлением. Так, на рис. 12.9 критической является точка К. На нем области, на которые кривая 尸(Т) разделяет плоскость РГ, сопоставлены однофазным жидкому и газообразному состояниям

по очевидному признаку: при одной и той же температуре давление в жидкости всегда больше, чем в газе.

В качестве примера в табл. 9 приведены значения критических значений температуры и давления некоторых веществ.

Т а б л ид а 9

Вещество

% °к

Рк，бар

Вещество

% °к

Ру бар

Вода Спирт Эфир

647,2

516,6

467,0

221,4

63,9

35,9

Углекислый газ Кислород Водород

304,2

154,4

33,2

73,9

50,3

12,9

Достижение критического состояния практически определяют

по исчезновению поверхности раздела фаз в двухфазной системе — жидкость и газ, образовавшийся в результате испарения

Рис. 12.9.Рис. 12.9.плотности насыщенногоплотности насыщенногонекоторой части жидкости. Если этот газ находится в равновесии с жидкостью, то его называют насыщенным паром. Давление такого газа также имеет особое название. Об этом давлении говорят как об упругости насыщенного пара. Если суммарный объем жидкости и насыщенного пара остается постоянным, то с увеличением температуры упругость насыщенного пара будет возрастать, так же как будет возрастать и его плотность. Наконец наступит такой момент, когда пара и жидкости сравняются. Это и

Рис. 12.9.

Рис. 12.9.

плотности насыщенного

плотности насыщенного

означает, что система достигла критического состояния. В этом состоянии исчезает межфазная граница (поверхность раздела фаз). В нуль обращается также и теплота испарения.

На Ру-диаграмме приближение к критической точке проявляется в сближении удельных объемов газа и жидкости. При 7 = Гк и Р — Рк они становятся одинаковыми. Это общее их значение мы обозначим через ик. На плоскости Pv область двухфазных состояний имеет вид, изображенный на рис. 12.10, на

котором она заштрихована. г

С существованием критической точки связана возможность непрерывного перехода жидкости в газ и наоборот. На рис. 12.9 и 12.10 один из таких процессов изображен пунктирными кривыми. При переходе из состояния / в состояние 2 вдоль этих кривых никакого скачка наблюдаться не будет и теплота пре-

вращения будет равна нулю. Возможность непрерывного превращения жидкости в газ свидетельствует об отсутствии принципиального различия между ними. Строго говоря, пользоваться терминами《жидкость》или《газ》можно лишь в том случае, если существует двухфазная система с поверхностью раздела между жидкой и газовой фазами. При этом «опознание» жидкости и газа производится по свойствам наблюдаемого состояния: плот

ности, сжимаемости, вязкости и т. д.

В критическом состоянии вещество обладает особыми свойствами. Так, в этом состоянии неограниченно большой оказывается сжимаемость вещества. Эта величина определяется производной (dV/dP)Tt вычисляемой при постоянной температуре (это обстоятельство отмечено индексом Т в обозначении производной). Сжимаемость характеризует способность вещества изменять свой объем при изотермическом изменении давления. При этом условии изменение объема, возникающее при изменении давления на 6Р, равно 6V ~ (dV/dP)T ^Р- Неограниченное увеличение сжимаемости при приближении к критической точке определяется формой кривой, ограничивающей область двухфазных состояний на Ру-диаграмме (рис. 12.10). В критической точке ^

(雾L 2 (需)т ="(筹)т = °*

В этой цепочке равенств ^ ——число частиц вещества. Следовательно, в критическом состоянии (dP/dV)T = 0 и поэтому (dV/dP)T-^oo.

В критической точке обращаются в бесконечность также коэффициент термического (теплового) расширения и теплоемкость СР вещества. Коэффициентом термического расширения " называют производную (dV/dT)P, вычисляемую при постоянном Рк давлении (значок Р в обозначении производной указывает на это обстоятельство). Эта производная характеризует способность вещества изменять свой объем при изобарическом изменении температуры. Именно, если в таких условиях температура изменилась на дТ, то изменение объема составит величину 61/ =

= (dV/dT)p6T. Обращение в бесконечность теплоемкости Ср связано с неограниченным возрастанием (OV[dT)р. Действительно, согласно (10.9)

Сp =懵)Р =(霁)p + р (黑)p

где Е и 步——соответственно энергия и энтальпия вещества. Да-

лее,лее,懵)p = 4 得)Р "(券)p懵)p = 4 得)Р "(券)p

лее,

лее,

懵)p = 4 得)Р "(券)p

懵)p = 4 得)Р "(券)p

(^ ——число частиц вещества). Стремление (dV/dT)P к бесконеч

ности при Т-＞「к видно из рис. 12.11. На нем область двухфазных состояний заштрихована, а К — это критическая точка. Убе-

Рис. 12.11.Рис. 12.11.диться в том, что фазовая иГ-днаграм- ма для испарения — конденсации действительно имеет вид, изображенный на рис. 12.11, мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Рис. 12.11.

Рис. 12.11.

Наконец, в критическом состоянии исчезает поверхностное натяжение Г жидкости, поскольку жидкость становится неотличимой от пара.

Резкое увеличение сжимаемости и

коэффициента термического расширения вещества вблизи критического состояния приводит к тому» что весьма большими становятся флуктуации его плотности. Это является причиной резкого возрастания рассеяния света

веществом — явления, названного критической опалесценцией.

Отметим, наконец, что в смесях двух веществ могут быть две критические точки. Примером является смесь вещества, называемого гексаметиленимином, и воды. Область его двухфазных состояний ограничивается замкнутой кривой, изображенной на рис. 12.12. По оси абсцисс отложено процентное содержание гекса- метиленимина. Критическими являются точки К・

Рассмотрим, в какой мере закономерности испарения и конденсации отра

к видук видужаются уравнением состояния реальных газов — уравнением Ван-дер-Ваальса (8.19). Для этого сначала преобразуем его

к виду

к виду

уз — (мь + 等”2+ 嘗 у —2^_ = 0.

Разделив это равенство на №、получим:

炉 + 3+等)m + £0一号=0.(12.3)

При каждом фиксированном значении температуры соотношение (12.3) определяет зависимость 尸=Р(^). Каждая такая зависимость называется изотермой Ван-дер-Ваальса. Некоторые из них изображены на рис. 12.13.

Нумерация изотерм на ри- р сунке соответствует убывав нию температуры.

Форма изотерм Ван-дер-Ваальса объясняется следующим образом. При фиксированных Р н & Т (12.3) является уравнением третьей степени относительно и. Оно имеет три корня. При этом либо все они вещественны и положительны, либо один корень вещественный и положительный, а два других — комплексные числа, сопряженные друг другу. Отрицательными вещественные корни быть не могут. При и V 0 все слагаемые в левой части (12.3) отрицательны и поэтому в сумме не могут дать нуль. Комплексные корни появляются только при достаточно больших значениях Т. Физический смысл имеют только вещественные корни. Они являются

абсциссами точек пересечения изотермы Ван-дер-Ваальса с прямой Р = const® Поэтому либо изотерма монотонно спадает (один корень), либо у нее есть

Рис. 12.14.Рис. 12.14.впадина и горб (три корня). На рис. 12.13 к числу первых относятся изотермы /, 2, 3, ко вторым — изотермы 4, 5, 6.

Рис. 12.14.

Рис. 12.14.

Выясним физический смысл различных участков изотермы Ван-дер-Ваальса, у которой есть впадина и горб (рис. 12.14). Участки api и р2Р описывают однофазные состояния, соответственно, газа и жидкости. В двухфазной обла^

сти изотерма имеет участок

6：В] на котором с ростом давления объем увеличивается. Та

ких изотермических процессов в действительности не существует. Следовательно, уравнение Ван-дер-Ваальса не описывает свойств двухфазных систем. Для этого оно оказывается слишком грубым. Несмотря на это, уравнение Ван-дер-Ваальса предсказывает существование критической точки. Действительно, с повышением температуры впадина и горб изотермы уменьшаются,

стягиваясь в точку К на изотерме 3 (рис 12.13). Эта точка и является критической. Вблизи этой точки уравнение Ван- дер-Ваальса передает особенности поведения реальных газоз и жидкостей.

Отметим, наконец, что уравнение Ван-дер-Ваальса приводит к закону соответственных состояний, который утверждает, что вид уравнения состояния, ааписанного в приведенных величинах, одинаков для всех веществ. Приведенными называются отношения

Р* = Р/Рк, Т* = Т"к,炉="%・

Закон соответственных состояний выражает подобие свойств различных веществ. Например, из этого закона следует, что уравнение кривой испарения ——конденсации должно иметь одинаковый для всех веществ вид

戸/РкПЖк).

Пределы применимости закона соответственных состояний определяются пределами применимости уравнения Ван-дер-Ваальса.

Для обоснования закона соответственных состояний выраэим критические величины 0к, Тк к Рк через постоянные Ван-дер-Ваальса а н Ь. Так как в критической точке все три корня уравнения (12.3) равны и% то

产一 Q+管)分+至° 一普=e-%у=川一3几k+3。%一。：.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и, находим:

Ь += 至=3唸管=吟

Решая эти уравнения относительно Ок, Рк, Тк, получим:

% = 3儿 рк = М， 7K =朝•

Отсюда, принимая во внимание определение приведенных величин, нетрудно преобразовать уравнение Ван-дер-Ваальса к виду

Зи*? — (1 + 8 -^г^ и*? + 9 \^ = 0.

В это уравнение уже не входят постоянные а н Ь, зависящие от природы газа. Следовательно, в такой форме уравнение состояния справедливо для всех газов. Это и есть закон соответственных состояний^

Метастабильные состояния

Как было только что установлено, в области перехода жидкость ——пар реальная изотерма резко отклоняется от ван- дер-ваальсовской кривой, превращаясь в прямую линию. Неемсв тря на это, нанесенные на рис. 12.14 сплошной линией участки А% и р2₽2 имеют физический смысл. Каждый из них описывает особые состояния, которые называются метастабильными.

Метастабильным называется равновесное состояние с ограни^ ченной устойчивостью. При отклонении от этого состояния вещество не стремится к нему обратно, а легко переходит 6 другое, устойчивое состояние. Метастабильные состояния сущест^ вуют ограниченное время.

Фазы, отвечающие участкам。咼 и 住％ называются соответ^ ственно переохлажденным паром и перегретой жидкостью. Эти названия отражают следующие свойства. Рассмотрим, например, участок 6]Р； (рис. 12.14). После достижения состояния, которому сопоставляется тачка Рь должна начаться конденсация газа в жидкость. Однако это случается не всегда. Конденсация может начаться только при наличии в газе инородных к притом смачиваемых включений.

Если они есть, то околю каждого такого включения начинают концентрироваться часпщы газа. Напомним, что смачиваемость означает преобладание сил притяжения между частицами газа и включения над силами взаимного притяжения между части* цами газа. Именно поэтому и начинается группирование частиц газа около включения. Они образуют вокруг последнего очень тонкую пленку жидкости, толщина которой обычно колеблется в пределах 10-9—10-7 м. Включение совместно с образовавшейся вокруг него пленкой является центром конденсации. Когда при заданной температуре давление достигает значения, лежащего на кривой испарения — конденсации, то каждый такой центр провоцирует процесс бурного присоединения к себе частиц окружающего вещества, пребывающего с ним по соседству в газовой фазе. В макроскопическом масштабе этот процесс выглядит как скачкообразное превращение газа в жидкость.

Если же газ является абсолютно чистым, то положение су- ществегао меняется. В таком газе с самого начала отсутствуют злродыши жидкой фазы, а самопроизвольно они образоваться не могут, и вот почему. Предположим, что в результате флуктуации плотности в газе самопроизвольно образовалась капля жидкости (рис. 12.15). Если состояние вещества не является близким к критическому, то большие флуктуации плотности исключены. Поэтому самопроизвольно образовавшаяся кайля не может быть больших размеров. Поверхность же капли

цаходится под напряжением, вызванным поверхностным натяжением. На рис. 12.15 выделен участок сферической поверхности капли и стрелками указаны действующие на него силы поверхностного натяжения. Складываясь, эти силы дают суммарную рилу 尸，направленную внутрь капли. С ростом кривизны поверхности величина 尸 возрастает. Для маленьких капель F достигает

Рис. 12.15.Рис. 12.15.значительной величины. Таким образом, оказывается, что внутреннее давление капли превосходит давление окружающей среды. Поэтому сразу же после образования такие капли быстро разрух шаются.

Рис. 12.15.

Рис. 12.15.

Следовательно, в газе без инородных включений нет условий для образования жидкой фазы даже тогда, когда достиг^ нуто состояние, которому отвечает точка на кривой фазового перехода (точка ® на рнс. 12.14). Более того, конденсация не начинается и при более высоких давлениях (точки участка pipj)» при кото-

рых газ уже «вторгается» в область жидкой фазы. Такой газ Н называется переохлажденным, так как при достигнутых значениях давления и температуры он «обязан» был бы превратиться в жидкость, но с ним, однако, этого не произошло. Очевидно, что такое состояние является весьма неустойчивым. Пен явление в переохлажденном газе смачиваемых инородных ча^ стиц сразу же приведет к его конденсации. В реальных условиях необходимы специальные меры предосторожности для того, чтобы не допустить засорения газа. Поэтому получить газ в переохлажденном состоянии довольно трудно.

Механизм образования состояния, называемого перегретой жидкостью, сходен с механизмом образования переохлажденного пара. На изотерме, изображенной на рис. 12.14, состояниям перегретой жидкости отвечают точки участка 伪02・ Перегретой мо жет быть только очень чистая жидкость, в которой нет зародьь щей газовой фазы. Как правило, они всегда присутствуют в виде Мельчайших пузырьков газа на стенках содержащего жидкость сосуда или на взвешенных в жидкостях пылинках. Поэтому для получения состояния перегретой жидкости необходимо прово-* дить тщательную предварительную очистку жидкости и стенок сосуда.

Метастабильные состояния переохлажденного пара и перегретой жидкости используются в различных целях. Например, переохлажденный пар является рабочим веществом в камере Вильсона. Это устройство является старейшим следовым репь стратором заряженных частиц. Она была создана в 1912 г»

В следовых регистраторах заряженные частицы оставляют следы, называемые треками, которые, как правило, фотографируются с целью дальнейшего их изучения.

Типичная схема камеры Вильсона изображена на рис. 12.16. Объем камеры наполнен нейтральным газом, обычно гелием или

аргоном, в который добавлено необходимое количество паров воды в смеси с парами спирта. С помощью поршня меняют давление в камере и таким образом создают состояние переохлажденного пара. Если заряженная частица влетает в камеру, когда

в ней находится переохлажден- р ный пар, то она становится центром конденсации и оставляет в камере след из капелек тумана. Этот процесс возникает вследствие того, что на поверхности возникающих заряженных капель действуют электростатические силы отталкивания. Они компенсируют силы поверхностного на

тяжения и уменьшают давлениег

в капле. Такие капли уже не раз-Рис. 12.17.

рушаются. Различие между ней

тральной и заряженной каплей иллюстрирует рис. 12.17. По оси ординат отложено давление в капле, а по оси абсцисс —— радиус капли. Кривые характеризуют зависимость давления от радиуса для заряженной и нейтральной капель.

Камера Вильсона работает следующим образом. Вначале давление в камере таково, что пар не пересыщен, но близок

11 А. В~ Астахов

к насыщению. При этом в камере создают довольно сильное (порядка 103 В/м) постоянное электрическое поле, отсасывающее случайно возникшие в камере (за счет космических лучей и других причин) ионы. Перед самым началом работы отсасывающее поле выключается. Иначе оно бу

Рис. 12.18.Рис. 12.18.дет размазывать треки. Рабочий цикл начинается быстрым расширением газа примерно на 20%. Пар становится пересыщенным. На траекториях частиц, прошедших через камеру, образуются треки из тумана. Треки освещаются и фотографируются. На рис. 12.18 представлена фотография треков, оставляемых а-частицами. Видно, что одна из а-частиц претерпела столкновение.

Рис. 12.18.

Рис. 12.18.

Отметим, что камеру почти всегда помещают в сильное магнитное поле (П. Л. Капица, 1923 г.; Д. В. Скобельцын, 1923 г.). Это позволяет по кривизне треков определять знак заряда и импульс частиц (см.

§ 4.1).

Перегретая жидкость является рабочим веществом в следовой камере, которая называется пузырьковой (Д. Глэзер, 1952 г.). В пузырьковой ка

мере трек заряженной частицы образуется пузырьками пара. Запускается пузырьковая камера резким сбросом давления,

переводящим жидкость в метастабильное перегретое состояние.

Механизм образования пузырьков пара точно не известен. Видимо, главными факторами являются электростатические силы и локальный перегрев жидкости вдоль трека. Как и в камере Вильсона, в пузырьковой камере требуется высокая чистота жидкости. Жидкость, конечно, должна быть прозрачной, чтобы треки можно было фотографировать. Чаще всего используются жидкий водород, пропан, ксенон.

Размеры пузырьковых камер такие же, как и камер Вильсона. Они

варьируются от десятков сантимет

ров до двух метров. Однако эффективный объем пузырьковой камеры на 2—3 порядка больше, чем камеры Вильсона, так как жидкости гораздо плотнее газов. Поэтому пузырьковая камера является уникальным инструментом исследования цепей рож де-

ния и распадов частиц высокой энергии. В качестве примера мы приводим расшифровку фотографии, на которой была впервые зафиксирована элементарная частица й~-гиперон (рис. 12.19). Огромный эффективный объем здесь был нужен для того, чтобы иметь на снимке не только трек самого £2~-гиперона, но и треки различных заряженных частиц, возникающих при распаде й~-ги- перона.

Тройная точка

В однокомпонентном веществе только кривая испарения — конденсации имеет конец (критическую точку). Кривые плавления—кристаллизации, а также кривая переходов между кристаллическими состояниями разной структуры могут только

либо уходить в бесконечность, либо заканчиваться в тройных точках.

Тройной называется точка на РГ-плоскости, в которой возможно равновесие трех фаз однокомпонентного вещества. Равновесие четырех и большего числа фаз однокомпонентного вещества, как оказывается, вообще невозможно.

Например, система лед, вода, пар может находиться в равновесии только при давлении 6,09-10-3 бар и температуре 0,01℃ (рис. 12.20). На рис. 12.21 изображена часть фазовой диаграммы воды с одной тройной точкой, в которой находятся в равновесии три разных модификации льда. Эти фазы льда условно обозначены как лед I, лед II и лед III. При этом обычно наблюдаемым является лед I.

Тройная точка равновесия трех агрегатных состояний — газ, жидкость, твердое тело — существует у всех веществ, за исключением гелия. На рис. 12.22 изображена фазовая диаграмма гелия в области низких температур. Ее исключительной особенностью является отсутствие пересечения кривых плавления и испарения. Кривая плавления пересекает ось давлений при

Р = 24,5 бар. Гелий остается жидким даже при 0°К, если давление не превышает указанной величины. При этом для изотопа Не4 область жидкой фазы состоит из двух частей. В области / (рис. 12.22) Не4 ведет себя как обычная вязкая жидкость. В области // он находится в сверхтекучем состоянии. Поведение ге

лия при низких температурах является квантовым эффектом, в связи с чем низкотемпературный гелий называют квантовой жидкостью.

Отсутствие конца типа критической точки у кривых плавления говорит о том, что жидкая и твердая фазы принципиально отличаются друг от друга. Главное в этом отличии заключается в том, что жидкости изотропны, в то время как характерным свой

ством кристаллов является их анизотропия. Когда о среде говорят, что она изотропна или анизотропна, то имеют в виду либо одинаковость, либо отличие ее свойств по различным направлениям.

Рис. 12.23.Рис. 12.23.Анизотропия кристаллов обусловлена различным характером упорядочения частиц в кристаллической решетке по разным направлениям. Поэтому в любых условиях кристалл всегда можно отличить от жидкости. Следствием этого и является отсутствие критической точки у кривой плавления.

Рис. 12.23.

Рис. 12.23.

Фазовые диаграммы, как правило, имеют несколько тройных точек. Это связано с наличием нескольких кристаллических модификаций вещества. В качестве примера на рис. 12.23 приведена полная фазовая диаграмма воды. На диаграмме цифрами 1, 2, 3, 4, 5 отмечены различные модификации льда.

Область / описывает состояния обычно наблюдаемого льда. На

рис. 12.23 область пара не изображена, поскольку она соответствует столь малым давлениям, что в масштабе рисунка оказывается незаметной.

Переходы между различными кристаллическими модификациями часто сопровождаются образованием метастабильных состояний типа переохлажденного пара и перегретой жидкости. В отличие от метастабильных газовых и жидких состояний, которые образуются только в достаточно чистых системах, мета- стабильные кристаллические состояния встречаются сплошь и

рядом, причем часто оказываются практически устойчивыми. •Объясняется это тем, что в кристалле частицы весьма ограничены в своих перемещениях. Поэтому перестройка кристаллической структуры из одной модификации в другую затруднена, особенно при низких и умеренных температурах, при ко- popbix скорости теплового движения частиц невелики. В связи с этим процессы перестройки кристаллической решетки обычно стимулируют нагреванием.

Рассмотрим пример. На рис. 12.24 изображена фазовая диаграмма углерода. Из вида диаграммы следует, что при обычных давлениях и температурах устойчивой модифика

цией является только графит. Однако хорошо известно, что в этих условиях и алмаз, и графит ведут себя как вполне устойчивые кристаллы. Этот полиморфизм связан с большими различиями в строении их решеток. Требуются весьма существенные изменения для превращения одного кристалла в другой. Так, если алмаз нагреть до температуры порядка 1700 °К, то юн быстро рассыпается в порошок графита (разумеется, нагревание следует осуществлять в вакууме во избежание сгорания алмаза). Обратный же процесс может происходить только при очень высоких давлениях. Область устойчивости алмаза лежит выше 104 бар. Одновременно необходима и высокая температура, чтобы процесс протекал с достаточной скоростью. Оптимальная область давлений и температур определяется значениями

4,9 • 104 бар V Р V 105 бар и 1500°К <Т< 3000 °К, причем необходим еще металлический катализатор (например, железо, кобальт, никель).

Первые сообщения о синтезе алмазов появились в 1955 г. В Советском Союзе первый искусственный алмаз был получен группой исследователей под руководством Л. Ф. Верещагина.

ГЛАВА 13

КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ

§ 13.1. Строение кристаллов

Качественное отличие свойств кристаллов от свойств га* зов и жидкостей обусловлено их различным строением.

Кристаллом называется тело, обладающее периодической атомной, молекулярной или ионной структурой.

Здесь под периодичностью подразумевается повторяющееся упорядоченное расположение вещества в трехмерном пространстве.

Отметим, что в жидкостях также наблюдается упорядоченность в расположении частиц. Однако размеры областей упорядоченности по порядку величины не превышают нескольких расстояний между соседними частицами жидкости. При этом группы частиц с упорядоченным строением неустойчивы во времени. Они распадаются и возникают вновь, концентрируясь около разных частиц. В связи с этим жидкости относят к так называемым системам с ближним порядком в отличие от кристаллов, которые являются системами с дальним порядком.

Механизм образования кристаллического состояния таков. При понижении температуры уменьшается скорость теплового движения частиц. В конце концов наступает момент, когда кинетической энергии не хватает, чтобы преодолеть действие сил притяжения между частицами. Частицы переходят в режим тепловых колебаний около определенных положений равновесия, отвечающих минимуму потенциальной энергии взаимодействия частиц друг с другом. Эти положения образуют упорядоченную и повторяющуюся в пространстве систему точек, т. е. кристаллическую структуру. Таким образом, возникновение кристаллической структуры связано с превалирующим влиянием энергии взаимодействия частиц друг с другом ниже точки плавления и сублимации.

В основе физики твердого тела лежит представление об идеальном кристалле. Кристалл называется идеальным в тех случаях, когда для рассматриваемого круга явлений несущест-

венны любые отклонения от правильности кристаллической структуры. Другими словами, кристалл идеален, если его можно считать правильным монокристаллом, не имеющим никаких посторонних примесей или иных нарушений его макро- и микроструктуры.

Из сказанного не следует, что идеальный кристалл ——абстрактная модель, не имеющая реальной области применимости. Напротив, можно сказать, что основная масса твердого вещества земного шара находится в монокристаллическом состоянии. Например, размер частичек мелкодисперсной глины составляет около 5 • 10~6 м, а толщина поверхностного слоя этих частичек имеет порядок 5-10-10 м. Поэтому даже в глине около 99,99% атомов находятся внутри монокристаллов.

Идеальный кристалл совмещается сам с собой при трансляциях. Трансляциями называются параллельные переносы в определенных направлениях и на определенные расстояния. Точки кристалла, совпадающие при трансляциях, называются эквивалентными. Множество эквивалентных друг другу точек образует кристаллическую решетку Браве. Эквивалентные друг другу точки называются узлами кристаллической решетки. Наименьший по объему параллелепипед, повторением которого можно составить весь кристалл, образует элементарную ячейку кристалла. Величины и направления ребер элементарной ячейки задают векторы, которые называются основными векторами кристаллической решетки.

Подчеркнем, что эквивалентные точки могут быть «пустыми» и находиться где-то между частицами, образующими кристалл. Однако в дальнейшем мы будем 《прнвязы- вать》эквивалентные точки к положениям равновесия частиц. Так, в кристалле NaCl (рис. 13.1) эквивалентными являются точки Л, В и С. Эквивалентными являются также

центры всех ионов С1. Структура NaCl совершенно одинакова относительно этих точек. Все положения равновесия ионов С1 образуют решетку Браве кристалла NaCl. Элементарной ячейкой является куб, в каждой вершине которого имеется ион С1. Векторы а, 6 и с являются основными векторами решетки.

Решетка Браве представляет всю трансляционную симметрию кристалла, г. е. всю ее периодичность.

Подчеркнем, что решетка Браве вовсе не обязана исчерпывать положения всех частиц кристалла. Проиллюстрируем это

Рис. 13.2.Рис. 13.2.на двумерном аналоге реальных кристаллов. На рис. 13.2 изображена плоская структура частиц, которые могут занимать позиции Л и В. При этом частицы могут быть и одинаковыми, и разными. В данном случае элементарной ячейкой является заштрихованный параллелограмм (одинарная штриховка), основными* векторами — векторы а и 6. Как видно, при выбранной элементарной ячейке частицы, занимающие позиции В, не входят в число узлов решетка Браве.

Рис. 13.2.

Рис. 13.2.

шетка геометрически ничем нешетка геометрически ничем неВ связи с этим говорят, что в общем случае кристалл представляет собой несколько решеток Браве, вдвинутых одна в другую. Так, на рис. 13.2 позиции В образуют другук> решетку Браве. Однако эта ре- _отличается от первоначальной.

шетка геометрически ничем не

шетка геометрически ничем не

В этом проявляется общая закономерность. Все решетки Браве- кристалла геометрически тождественны. При этом число частиц^ приходящихся на одну элементарную ячейку, равно числу различных решеток Браве, составляющих кристалл. В этом также- легко убедиться с помощью того же рис. 13.2. На заштрихованный на рисунке параллелограмм приходится две частицы: одна^ занимающая позицию В, и еще одна частица, занимающая позицию Л. Все остальные частицы, находящиеся в вершинах параллелограмма, необходимо относить к соседним ячейкам.

Разделение кристалла на элементарные ячейки всегда неоднозначно. Эту неоднозначность также демонстрирует рис. 132 На нем двойной штриховкой выделен параллелограмм, который также можно принять за элементарную ячейку. При таком выборе основными векторами будут а! = а, Ь‘ ：/= 6.

Несмотря на неоднозначность, при любом выборе элементарной ячейки она всегда содержит одинаковое число частиц 卄 имеет один и тот же объем.

Действительно, рассмотрим частицы одного сорта и одинакового расположения. Тогда в каждой ячейке должно быть по одной такой частице. Следовательно, в объеме V кристалла число ячеек всегда равно числу /п таких частиц, находящихся в этом объеме. Поэтому объем ячейки равен V/m. Следовательно, он не зависит от способа выбора. Эту независимость* также иллюстрирует рис. 13.2. Очевидно, что площади параллелограммов с одинарной и двойной штриховкой равны.

Помимо пространственной периодичности, кристаллические- решетки обладают симметрией относительно поворотов на опре-

деленные углы и отражений в некоторых плоскостях. В этом отношении они обладают симметрией некоторых многогранников. Эти вопросы, имеющие специальный интерес, мы рассматривать не будем.

Реальные кристаллические вещества обычно встречаются ® виде поликристаллов. Каждый поликристалл является сово

нескольких минут, разориентированы друг относительно друга,нескольких минут, разориентированы друг относительно друга,купностью маленьких монокристаллов, называемых зернами или кристаллитами. Размеры зерен варьируются в широких пределах. Решетки зерен ориентированы беспорядочно друг относительно друга. В свою очередь зерна состоят из более мелких единиц ——блоков. Размеры блоков колеблются в пределах 10~5——10-7 м. Решетки соседних блоков очень слабо, в пределах

нескольких минут, разориентированы друг относительно друга,

нескольких минут, разориентированы друг относительно друга,

ство является вторичным и не исключает анизотропии отдельство является вторичным и не исключает анизотропии отдельтак что каждое зерно часто можно рассматривать как монокристалл. В масштабах, превосходящих размеры зерен, поликри- сталлическое вещество оказывается изотропным. Но это свой

ство является вторичным и не исключает анизотропии отдель

ство является вторичным и не исключает анизотропии отдель

ных зерен.

Отличие строения реальных твердых тел от идеального ограничивает область применимости модели идеального кристалла. Перечислим некоторые из важных свойств твердых тел, которые объясняются в рамках модели идеального кристалла. К их числу относится анизотропия свойств монокристаллов. Например, опытным фактом является способность кристаллов раскалы-

ваться только по строго определенным плоскостям, которые называются плоскостями спайно-

中中ст〃. Причина этого явления заключается в том, что силы сцепления между частицами зависят ют расстояний между ними, которые в кристаллической структуре в разных направлениях не одинаковы.

中

中

Например, графит обладает слоистой структурой (рис. 13.3). Расстояние между соседними слоями в 2,3 раза превосходит расстояние между соседними ато-

мамн углерода внутри слоя.рис 133

В этом и заключается причина'

легкого расслоения графита

(вспомните, как быстро стирается карандаш!). А вот другой пример. Сопротивление магния электрическому току зависит от взаимной ориентации структуры этого кристалла и направления, в котором приложено напряжение. Объяснение этого

:явления состоит в том, что узлы решетки магния занимают

положения вершин правильной шестиугольной призмы с относительно вытянутыми ребрами. Отсюда и возникает анизотропия свойств, которая, в частности, проявляется в том, что в направлении боковых ребер призмы сопротивление оказывается в 1,28 раза меньше сопротивления в перпендикулярном направлении. Наиболее ярко анизотропия монокристаллов проявляется в оптических явлениях, которые будут рассмотрены в следующем томе курса.

К числу свойств поликристаллических тел, которые можно объяснить на основе представлений об идеальном кристаллическом строении, относятся и те, которые обусловлены взаимодействием частиц в зернах. Оно определяет, например, теплоту плавления. Очевидно, что эта величина связана с энергией связи частиц в кристаллической структуре, которая, в свою очередь, зависит от ее строения. Последнее влияет на самые разнообразные свойства ——упругие, тепловые, электрические, магнитные и другие. Мы неоднократно будем возвращаться к этим вопросамг по мере изложения курса.

Главная трудность опытного изучения микроскопического строения твердых тел заключается в том, что характерным мае* штабом кристаллических структур является малая длина порядка 1 А. Поэтому наблюдать детали кристаллического строения с помощью обычных оптических методов невозможно, так как длина волны видимого света имеет порядок 103 А ^> 1 А.

Для исследования микроструктур пользуются двумя группами методов. К первой группе относятся методы прямого наблюдения, использующие коротковолновые излучения, у которых длина волны меньше межатомных расстояний. С этой целью используются, например, потоки электронов, которые можно направлять и фокусировать с помощью электрических и магнитных полей. Это методы электронной микроскопии. Мы уже отмечали в гл. 4, что с возрастанием энергии микрообъектов начинают проявляться их волновые свойства. Но если энергия электронов имеет порядок от 10-19 Дж до 10~18 Дж, то длина связанной с электроном волны будет намного меньше расстояний между соседними частицами в кристалле. Предел чувствительности электронных микроскопов удалось довести до 2——3 А, что позволило различать отдельные атомы. В качестве примера на рис. 13.4 приведена электронно-микроскопическая фотография кристалла вируса мозаичной болезни табака. Другим прибором, позволяющим непосредственно наблюдать отдельные атомы, является ионный проектор, описанный в начале § 8.1 (см. рис. 8.1).

Вторую группу составляют дифракционные методы. Полу* ние излучений с длиной волны порядка межатомных расстояний проще получения более коротковолновых излучений. С их помо-

щью получают дифракционную картину, возникающую после прохождения излучения через кристалл. Сам кристалл при этом играет роль дифракционной решетки. Среди дифракционных методов исследований наиболее распространены электронография, рентгенография, нейтронография. В них используется явление дифракции волн различной природы — электромагнитных, электронных, нейтронных. Основная трудность этих методов заключается в том, что получается информация не об отдельных

Рис. 13.4.

атомах, а обо всей кристаллической структуре просвечиваемого участка. Поэтому отдельные детали на дифракционной картине не видны (см. рис. 13.6).

Общие свойства дифракции на кристалле таковы, а) Отдельная частица рассеивает падающие на нее волны во все стороны. Резко выделенных направлений рассеяния нет. б) Идеальный кристалл рассеивает очень избирательно. Если имеется, например, направленный пучок монохроматических лучей, то на случайно ориентированном кристалле, как правило, дифракции не будет. Она возникает только при определенной ориентации кристалла, причем дифрагированный луч является остро направленным. Это происходит вследствие того, что волны, рассеянные разными частицами, гасят друг друга в результате интерференции.

Существует несколько разновидностей дифракционных методов. К их числу относится, например, метод Лауэ. В этом

методе монокристалл освещается немонохроматическим потоком〉 т. е. потоком частиц с различными длинами волн. При этом монокристалл определенным образом ориентирован (рис. 13.5)宀

Рис. 13.5.Рис. 13.5.

Рис. 13.5.

Рис. 13.5.

Дифрагированные волны попадают щееся дифракционное изображение Лауэграмма состоит из отдельныхДифрагированные волны попадают щееся дифракционное изображение Лауэграмма состоит из отдельных

Дифрагированные волны попадают щееся дифракционное изображение Лауэграмма состоит из отдельных

Дифрагированные волны попадают щееся дифракционное изображение Лауэграмма состоит из отдельных

на фотопленку. Получаю- называется лауэграммой^ пятен, по которым можно

определить структуру кристалла. На рис. 13.6 представлена лауэграмма кристалла кремния.

Выбор вида излучения определяется целью структурного ис^ следования. Перечислим особенности различных видов излучения.

Рентгеновские лучи. В основном взаимодействуют с электронами вещества. Поэтому рентгенограмма дает информацию о распределении электронов внутри： кристалла. Рентгеновское излучение является проникающим. Поэтому оно позволяет получить от« ражение от большого числа плоскостей. Недостаток заключает*

рнс [3 6ся в том, что сечение рассеяния

рентгеновских квантов сильно зависит от порядкового номера атомов вещества. Поэтому, если в кристалле есть легкие и тяжелые атомы, то на фоне тяжелых атомов рентгеновские лучи не «замечают» легких.

Пучки электронов. Так как электроны заряжены, то электроны пучка сильно взаимодействуют с электронами и электростатическим полем ядер ве-

щества. Поэтому электронная дифракция позволяет выяснить расположение атомов в кристалле. Сечение рассеяния электронов слабо зависит от порядкового номера атомов. Поэтому электронограммы позволяют выделить легкие атомы на фоне тяжелых.

Пучки нейтронов. Обладают колоссальной проникающей способностью, существенно большей, чем у рентгеновских лучей. Рассеяние происходит на ядрах. Поэтому нейтронограмма дает информацию о расположении ядер, т. е. центров атомов. Сечение рассеяния нейтронов на всех ядрах примерно одного порядка. Поэтому нейтронная дифракция позволяет разделять легкие и тяжелые компоненты, а также соединения. Одним из главных недостатков является радиоактивное загрязнение, в частности появление вторичной (наведенной) радиоактивности.

Дефекты кристаллов

Реальные твердые тела, как правило, отличаются от идеальных. Отличия порождаются условиями образования кристалла и внешними воздействиями на уже образовавшийся кристалл и проявляются в дефектах. Дефектами называются области с нарушенным порядком расположения частиц, занимающие малую часть объема монокристалла.

В основу классификации дефектов положен геометрический признак. Дефекты подразделяются на нуль-мерные, т. е. расположенные в отдельных точках кристалла, одномерные, т. е. расположенные вдоль некоторых линий, и двумерные, занимающие некоторые поверхности. При этом размеры точечных дефектов, так же как толщина линий и поверхностей, являются микроскопическими. Они сравнимы с расстояниями между соседними частицами кристалла, т. е. имеют величины около нескольких ангстрем. Точечные дефекты в свою очередь подразделяются на два типа: решеточные и электронные. Электронные типы дефектов будут рассмотрены в томе III.

Дефекты качественно меняют свойства кристаллов. Даоюе 8 очень малых количествах дефекты сильно влияют на те фазические свойства, которые совсем или почти отсутствуют в идеальном кристалле. Являясь, как правило, ^энергети чески невыгодными^, дефекты создают вокруг себя области повышенной физико-химической активности.

Наука о дефектах в кристаллах сравнительно молода. Только в середине тридцатых годов XX века стало ясно, что теория идеальных кристаллов не может объяснить целого ряда так называемых структурно-чувствительных свойств твердых тел. К таким свойствам относятся, например, поведение твердых тел под нагрузкой, явления роста кристаллов, диффузия в твердых телах и ряд других. Например, в модели идеального кристалла диффузия практически невозможна. Связи между частицами>

занимающими узлы идеальной кристаллической решетки, настолько сильны, что частицы не в состоянии их преодолеть и перенос вещества невозможен. Однако на опыте он наблюдается. Такое явление переноса, как теплопроводность, которое может быть описано в рамках модели идеального кристалла, не может быть объяснено во всех деталях, если учитывать только тепловые колебания решетки. Для этого необходимо принимать в расчет дефекты.

Решеточные дефекты подразделяются на вакансии, атомы внедрения и примесные атомы.

Вакансией называется незанятый частицей узел кристаллической структуры. Если пустой узел образуется в результате удаления частицы из объема кристалла на его поверхность, то вакансия называется дефектом по Шоттки. Если частица перемещается из узла в междоузлие, то такое нарушение правильности решетки называется дефектом по Френкелю (рис. 13.7).

"十一十十十十 «一По ФренкелюРис."十一十十十十 «一По ФренкелюРис.一十十一十十-十-十一По Шоттми13.7.一十十一十十-十-十一По Шоттми13.7.

"十一十十十十 «一

По Френкелю

Рис.

"十一十十十十 «一

По Френкелю

Рис.

一十十一十十-十-十一

По Шоттми

13.7.

一十十一十十-十-十一

По Шоттми

13.7.

Дефекты по Шоттки снижают плотность вещества кристалла. Дефекты по Френкелю на величину плотности практически не влияют.

Встречаются также вакансии более сложного вида. Например, в ионных кристаллах нередко образуются связанные пары вакансий, образованные удалением двух ионов противоположного знака. Рождение такой пары вместо одиночной вакансии может оказаться более выгодным, так как при этом не нарушается электронейтральность кристалла.

Дефекты по Шоттки чаще встречаются в кристаллах с достаточно плотной упаковкой частиц близких размеров. В этих случаях в междоузлиях кристаллической структуры нет места для лишних частиц. Дефекты по Френкелю, наоборот, свойственны кристаллам с неплотными упаковками и с частицами, заметно отличающимися по своим размерам.

В любом кристалле обязательно есть некоторое количество равновесных вакансий, обусловленных тепловым движением. Участвуя в тепловом движении, частицы обмениваются энергией. Некоторые из них могут получить энергию, достаточную для преодоления сил, удерживающих частицы в узле решетки. Минимальное значение энергии, при сообщении которой частица покидает узел, называется энергией активации. Значения энергий активации составляют величины порядка 10~19 Дж. Согласно Гиббсу, равновесная доля вакансий должна быть пропорцно- нальна еГЕ^кт, где Еа — энергия активации, а Т — температура кристалла. При комнатной температуре Г = 300 °К отношение EJkT порядка 40. Следовательно, при комнатной температуре равновесное число вакансий составляет очень малую величину порядка с-’。#； 10-16 Однако с ростом температуры равновесное число вакансий быстро увеличивается, достигая 1——2% от общего числа частиц вблизи точки плавления.

К числу точечных дефектов относятся также и примесные атомы. К ним относятся атомы, чужеродные по отношению к тем, которые образуют идеальный кристалл. Примесные атомы либо замещают атомы основных компонентов, либо располагаются в междоузлиях. Кристаллы с дефектами первого типа называются твердыми растворами замещения, а с дефектами второго типа — твердыми растворами внедрения.

Так, раствором замещения является сплав ZnCu с преобладающим содержанием одного из компонентов. Примером твердого раствора внедрения являются растворы углерода в железе, образующие различные марки чугуна и стали. В этих растворах атомы С оказываются в междоузлиях решетки, образованной атомами Fe.

Точечные дефекты определяют многие свойства твердых тел. Остановимся на некоторых из них.

Точечные дефекты играют основную роль в процессах диффузии в твердых телах. Так, в твердых растворах внедрения диффузия осуществляется путем перехода внедренных атомов из одного междоузлия в другое. В растворах замещения с ненарушенной решеткой все узлы заняты частицами. Поэтому в таком кристалле диффузия должна была бы происходить путем одновременного обмена местами пары различных частиц. Однако в реальных кристаллах всегда есть вакансии. Вследствие этого фактически диффузия осуществляется путем перехода на вакантные места частиц из занятых узлов решетки.

В § 11.2 отмечалось, что коэффициент диффузии в твердых телах быстро увеличивается с температурой. Причина заключается в следующем. Каждая частица кристалла постоянно движется в силовом поле. Для осуществления единичного перескока из одного места в другое при любом механизме миграции

частиц необходимо преодолеть потенциальный барьер, высота которого определяется энергией активации £а. Число частиц, кинетические энергии которых достаточны для преодоления барьера, пропорционально e~E^kT. Поэтому коэффициент диффузии в твердых телах зависит от температуры по закону

D=D©Ea/kT,

где Do = const. Отсюда следует, что D является резко возрастающей функцией температуры ). Кроме того, этот закон указывает на то, что преобладающим механизмом диффузии будет тот, для которого энергия активации наименьшая.

Точечные дефекты оказывают влияние на теплоемкость твердых тел при высоких температурах, особенно вблизи точки плавления. В этой области температур теплоемкость кристалла с точечными дефектами оказывается заметно больше теплоемкости идеального кристалла. Вызвано это тем, что с ростом температуры увеличивается число дефектов. При этом на создание каждого из них затрачивается энергия в пределах от 10~18 до 10-19 Дж. В связи с этим возрастает внутренняя энергия кристалла, а, следовательно, и его теплоемкость.

На механические свойства точечные дефекты, если только их не слишком много, влияют слабо. При очень высокой плотности вакансий кристалл становится более хрупким. Это обусловлено взаимодействием точечных дефектов с одномерными дефектами, которые будут рассмотрены ниже.

Отметим, наконец, что в природных и искусственных кристаллах число дефектов не остается неизменным. Под влиянием внешних воздействий оно может изменяться. Например, дефекты могут образовываться при облучении быстрыми частицами (нейтронами, протонами, электронами, у-квантами и т. д.). При этом обычно возникают дефекты по Френкелю. Появляющееся при этом изменение кристаллической структуры называется радиационным повреждением. Изучение этих явлений имеет большое практическое значение для тех областей науки и техники, в которых часто приходится иметь дело с взаимодействием потоков различных частиц с разными материалами. Таковы, например, реакторостроение и космическая техника.

Часто дефекты создают намеренно с целью получения материалов с новыми нужными свойствами. Так, различия в прочности между железом, различными марками стали и чугуном обусловлены разным содержанием в этих материалах углерода ——всего в несколько процентов.

Одномерные дефекты кристаллической решетки называются дислокациями. Дислокации нарушают правильное чередование кристаллических плоскостей. Число дислокаций в теле характеризуется числом дислокационных линий, пересекающих единичную площадку, расположенную внутри тела. Это число колеблется в пределах от 106——107 м~2 в наиболее совершенных монокристаллах до 1015——1016 м~2 в сильно деформированных металлах. На рис. 13.8 представлена фотография фронта трещины в кристалле KCL На фотографии ясно видны петли дислокаций.

Рис. 13.8.

Простейшими дислокациями являются краевые и винтовые. Представление о краевой дислокации дает рис. 13.9. Такая дислокация возникает от «лишней» кристаллической плоскости, вдвинутой в кристалл, край которой оканчивается в объеме кристалла. Этот край и образует дислокацию, которая на рисунке обозначена значком 丄.Искажение кристаллической решетки при наличии винтовой дислокации изображено на рис. 13.10. В этом случае кристалл напоминает сплющенный винт мясорубки. Лопасть винта ——это искаженная кристаллическая плоскость, а его ось ——винтовая дислокация. На рис. 13.10 она изображена пунктирной линией. Если в кристалле имеется винтовая дислокация, то его правильное строение нарушено только в окрестности оси винтовой поверхности.

Краевая и винтовая дислокации ——это частные случаи дислокации общего вида. В случае краевой дислокации линия дислокации параллельна нарушенной плоскости (плоскости, край которой оканчивается в объеме кристалла). В случае винтовой

Рис. 13.9.Рис. 13.9.

Рис. 13.9.

Рис. 13.9.

дислокации ее линия перпендикулярна нарушенным плоскостям. В общем случае дислокации ее линия может находиться под любым углом к нарушенным плоскостям.

Рис. 13.11.Рис. 13.11.

Рис. 13.11.

Рис. 13.11.

Дислокация либо образует замкнутую линию (рис. 13.8), либо оканчивается на поверхности кристалла. Концы дислокаций на поверхности наблюдают с помощью травления поверхности специальными реагентами. Поверхность разрушается легче в местах нарушенной структуры. Это приводит к образованию»

видимых ямок травления в местах, где линии дислокаций выходят на поверхность кристалла. В качестве примера на рис. 13.11 приведена фотография поверхности кристалла LiF (увеличение в 500 раз). Каждая ямка травления определяет место выхода дислокации на поверхность кристалла.

В прозрачных кристаллах дислокации наблюдаются путем •образования пересыщенных твердых растворов определенных веществ. Атомы примеси стремятся выпасть в виде коллоидных частиц, причем их рост происходит преимущественно в местах нарушения структуры. Поэтому коллоидные частицы примеси концентрируются вдоль линий дислокаций, делая их визуально наблюдаемыми.

Значение дислокаций определяется их главным свойством, отличающим дислокации от остальных дефектов:

во многих кристаллах, особенно металлических, дислокации сравнительно легко перемещаются и размножаются.

Перемещение дислокаций иллюстрирует рис. 13.12. Пусть к кристаллу приложены отмеченные стрелками силы. Частица Л

Рис. 13.12.

находится почти посередине. Ее нужно совсем немного пододвинуть влево, чтобы дислокация переместилась из положения / в положение 2. Таким образом дислокация смещается к краю кристалла.

Рис. 13.13.

Дислокации могут взаимодействовать друг с другом, с точечными дефектами и с поверхностью кристалла. Так, параллельные краевые дислокации одинаковой ориентации отталкиваются, а разных ориентаций ——притягиваются (рис. 13.13). Механизм

размножения дислокаций обусловлен их взаимодействием друг с другом и с другими дефектами. В результате взаимодействия движение дислокаций может быть приостановлено.

Пусть, например, дислокация встречает два дефекта А и В, которые ее останавливают (рис. 13.14). Однако в промежутках

между дефектами она продолжает двигаться под действием приложенных к кристаллу сил. В результате дислокация начинает вести себя подобно профилю капли воды в кране. Отрыв дислокационной капли приводит к появлению дополнительной дис* локационной петли. Такой генератор дислокаций называется источником Франка ——Рида. На фотографии, приведенной на рис. 13.15, показан источник Франка — Рида, наблюдаемый в кремнии.

Рис. 13.15.

Движение и размножение дислокаций, их взаимодействие друг с другом и другими дефектами определяют многие свойства твердых тел. Здесь мы остановимся на роли дислокаций в процессах кристаллизации. Возникновение кристаллической

фазы, так же как жидкой и газообразной, начинается с образования зародышей. Возникновение нового слоя частиц на идеально правильной поверхности кристалла невозможно путем оседания каждой частицы на поверхность. Частица, имеющая, соседей только с одной стороны, оказывается в невыгодных энергетических условиях. Поэтому на поверхности такие частицы не удерживаются. Например, вероятность того, что па идеальной поверхности кристалла NaCl может удержаться одна частица, имеет порядок 10~16. Если же на поверхность кристалла выходит конец винтовой дислокации, то есть уже готовая ступенька, к которой новые частицы легко присоединяются. Поэтому необходимости в одиночных зародышах нет. Кристалл растет по спирали, так, как это изображено на рис. 13.16.

Рис. 13.16.

Двумерные дефекты образуются границами кристалла. Границы нарушают периодичность строения кристалла. Одним из самых важных дефектов кристаллической структуры является внешняя поверхность твердых тел. Во-первых, именно через поверхность кристалл взаимодействует со своим окружением. Во-вторых, частицы на поверхности связаны с решеткой значительно слабее, чем частицы, находящиеся в объеме. Последние со всех сторон окружены частицами, поверхностные частицы только с одной стороны. Поэтому поверхностный слой имеет избыточную энергию, которая имеет в среднем порядок 10~19 Дж на одну частицу, т. е. около 1 Дж/м2. Поверхностная энергия различна для разных кристаллов. Так, она равна 0,15 Дж/м2 для NaCl и примерно 10 Дж/м2 для алмаза. Смысл поверхностной энергии состоит в том, что она должна быть сообщена кристаллу при увеличении его поверхности, т. е. при дроблении, поскольку разрушение кристалла ——это процесс образования новых поверхностей.

Из-за поверхностной энергии поверхностный слой имеет повышенную активность в отношении различных физико-химических процессов, таких, как адсорбция, адгезия, образование по- верхностных химических соединений (например, окисление поверхностей).

Адсорбцией называется концентрирование вещества двухфазной системы на поверхности раздела фаз. Например, если.

кристалл соприкасается с газом, то на его поверхности плотность газа оказывается повышенной.

Адгезией называется возникновение связи между поверхностными слоями двух разнородных тел, приведенных в соприкосновение друг с другом. Адгезия выражается в прилипании одного тела к другому. Примером адгезии является холодная

сварка металлов.

В поликристаллах существуют внутренние поверхностные дефекты. Они образованы поверхностями зерен. На границах

зерен решетка сильно искажена. Поэтому поверхность внутренней границы, как и внешняя поверхность кристалла, обладает некоторой энергией. При больших углах между зернами атомы на границе расположены хаотично, как в жидкости. Между блоками, а также между зернами при малых углах между ними границу трактуют как упорядоченный ряд дислокаций (рис. 13.17). Такая трактовка

границ позволяет проводить некоторые оценки и давать качественные предсказания. Так, из этой модели следует, что малоугольная граница способна двигаться под действием приложенных к кристаллу сил.

Механические свойства твердых тел

Внешние силы вызывают смещения частиц твердого тела. При изменении взаимного расположения частиц в теле возникают внутренние силы. Говорят, что тело переходит в напряжен- ное состояние. Это состояние характеризуется следующим образом. Выделим бесконечно малый (но макроскопический!) объем вещества в виде куба (рис. 13.18). Обозначим через dS площадь боковых граней куба. Рассмотрим силы, действующие на каждую грань куба со стороны окружающего его вещества. В отличие от газов и жидкостей, эти силы ориентированы, вообще говоря, произвольно. Однако при равновесии

силы, действующие на противоположные грани куба, равны;

равен нулю полный момент всех действующих на куб сил.

Из первого условия следует, что для характеристики напряженного состояния достаточно рассмотреть силы, приложенные только к трем граням с одной общей вершиной, например к граням /, 2, 3 с общей вершиной О (рис. 13.18). На каждой из них указаны компоненты действующих сил. Например, dF\x — это

х-компонента силы df% приложенной к грани 1. Девять величин

dF】x

d尸3%

о% =

dS *

dS '

dS '

dF iy

dF2y

"зу

dS '

dS '

%z =

dS

dF 22

“32

Т2Х =

■"1У，

Xzy

dS '

dS

полностью характеризуют силы, действующие на вещества твердого тела, заключенного в единичном объеме, со стороны

Рис. 13.18.Рис. 13.18.

Рис. 13.18.

Рис. 13.18.

окружающего вещества (рис. механическими напряжениями Его обычно записывают в видеокружающего вещества (рис. механическими напряжениями Его обычно записывают в виде13.18). Они-то и называются (см. § 8.2) и образуют тензор, матрицы13.18). Они-то и называются (см. § 8.2) и образуют тензор, матрицы

окружающего вещества (рис. механическими напряжениями Его обычно записывают в виде

окружающего вещества (рис. механическими напряжениями Его обычно записывают в виде

13.18). Они-то и называются (см. § 8.2) и образуют тензор, матрицы

13.18). Они-то и называются (см. § 8.2) и образуют тензор, матрицы

Из условия (б) вытекает, что из девяти компонент тензора напряжений независимыми являются только шесть. Действительно, рассмотрим, например, силы dF、y и dF2K. Каждая из них стремится повернуть куб относительно оси 2, но в разных направлениях. Ясно, что момент этих сил будет равным нулю, если, d尸旧=d尸2зс・ А это означает, что тху = хух. Аналогично устанав- ЛИВ36ТСЯ, ЧТО Txz == tzK,七” ~" Tzy・

Из рис. 13.18 видно, что компоненты ах, о?, “ в зависимости от знака характеризуют растягивающие или сжимающие усилия. Компоненты ах, о〃, az являются нормальными напряжениями. Напряжения %ху, rxz, tzg действуют в плоскости соответствующих граней и поэтому называются касательными

или скалывающими (рис. 13.18; см. также § 8.2). И те, и другие измеряются в единицах давления.

Смещения частиц твердого тела вызывают его деформацию. Деформации выражаются в изменении как объема, так и формы тела. В зависимости от знака изменение объема при неизменной форме называется всесторонним растяжением или сжатием, Изменение формы при неизменном объеме называется ■сдвигом.

Если внешние силы не превышают определенного предела, то вызванные ими деформации обратимы. Они исчезают при снятии внешних нагрузок. Обратимые деформации называются упругими. Наибольшие напряжения, при превышении которых деформация перестает быть обратимой, определяют предел упругости. Он зависит от природы тела и его предварительной обработки. Так, монокристалл алюминия является упругим телом, если напряжения не превышают 4 бар. Для технического алюминия предел повышается до 103 бар.

При превышении предела упругости деформации приобретают необратимый характер. Необратимость выражается в пластичности и разрушении. Пластические деформации не исчезают при снятии внешних нагрузок, а при разрушении происходит разъединение тела на две или более частей.

Во многих веществах разрушению предшествуют пластические деформации. Они сопровождаются течением вещества без нарушения сплошности материала. Такие материалы называются пластичными. Так, монокристаллы цинка удается растягивать в 10 раз до наступления разрушения. При этом цилиндрический образец вытягивается в ленту.

В развитии пластического деформирования главную роль играет движение дислокаций. Они перемещаются при возникновении сдвиговых напряжений, согласно механизму, обсуждавшемуся ранее (см. рис. 13.12). Если дислокации выходят на поверхность, то это приводит к необратимой деформации. На рис. 13.19 показано, как это происходит.

Рис. 13.19.

Подчеркнем, что сдвиг, приводящий к пластической деформации, может происходить и при приложении к образцу сжимающих или растягивающих сил. Эту возможность иллюстри-

рует схема на рис. 13.20. На ней изображен образец, в котором имеется дислокация, образованная наклонной дополнительной кристаллической плоскостью. Сжимающие образец силы имеют составляющие вдоль направления, отмеченного пунктиром. Эти составляющие осуществляют «косой» сдвиг, который приводит к пластической деформации при выходе дислокации на поверхность. Рассмотренные примеры демонстрируют основное отличие деформации сдвига от деформации растяжения и сжатия. Оно заключается в том, что деформация сдвига обладает неустойчивостью. При сдвиге напряжения могут быть сняты в результате пластического деформирования. В отличие от сдвига, напряжения растяжения и сжатия исчезают только при снятии вызывающих деформацию внешних сил. Причина заключается в том, что при растяжении и сжатии источником увеличения внутренней энергии тела является изменение объема. Такое изменение энергии нельзя устранить никаким перемещением частиц тела.

Из дислокационной природы пластичности вытекает, что наименьшим пре

делом упругости обладаютРк& 13.20.

кристаллы с малой плотностью дислокаций (т. е. они являются наименее прочными). В этом случае дислокации не мешают друг другу передвигаться и пластическая деформация возникает при сравнительно малых напряжениях. Упрочнение таких материалов осуществляется введением примесей, останавливающих движение дислокаций. Например, чистое железо является очень мягким материалом. Однако при добавлении к нему углерода (чугун, различные марки стали) предел упругости значительно увеличивается.

Важным свойством является также следующее: пластическое деформирование приводит к повышению предела упругости. Природа этого эффекта заключается в том, что при деформировании возрастает число вакансий и частиц, находящихся в междоузлиях. Так, при деформации на 10% число точечных дефектов решетки металлов достигает 1024—1025 на 1 м3. Дополнительно возникшие дефекты тормозят движение дислокаций, приводя к деформационному упрочнению. Это явление используется для упрочнения металлов холодной обработкой (наклеп). Упрочнение выражается в том, что при повторном нагружении материала предел упругости будет определяться напряжениями, которые вызвали последнюю пластическую деформацию при предыдущем нагружении.

Поясним сказанное графически. На рис. 13.21 слева изображена типичная зависимость напряжения о от относительного удлинения е при растяжении. (Для убедительности на том же рисунке справа приведена зависимость о от е, выраженного в процентах, для алюминия, снятая при 300°К. Загиб кривой вниз,

б； fOJ5apб； fOJ5ap冤冤552 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7ООРис. 13.21.Рис. 13.21.

б； fOJ5ap

б； fOJ5ap

冤

冤

5

5

2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7

О

О

Рис. 13.21.

Рис. 13.21.

отмеченный пунктиром, обусловлен образованием《шейки》у образца.) Величина о。——это предел упругости. При о > о。 появляется пластическая деформация. Пластическое деформирование описывается участком кривой АВ. Если достигнуто состояние, которому отвечает точка 4, то при снятии нагрузки поведение тела будет описываться уже участком AfO\ параллельным участку АО. Отрезок 00’ измеряет пластическую деформацию: €пл = 00\ Если затем тело снова нагружать, то оно будет деформироваться по закону, который описывается участком OfAf. Только после достижения состояния, которому отвечает точка /', начнется пластическая деформация. Следовательно, при повторном нагружении пределом упругости будет《> о。. При третьем цикле нагружения, которое начинается с состояния с пластической деформацией е^ = 00", предел упругости еще больше увеличится до значения о/ > о； > <т0.

Деформационное упрочнение со временем исчезает. Происходит это потому, что устойчивым состоянием твердого тела является состояние с идеальной решеткой. Поэтому тепловое движение в твердых телах стремится «залечить» дефекты. Это явление называется рекристаллизацией. Процесс рекристаллизации протекает наиболее активно вблизи точки плавления.

Упрочнение не беспредельно. После достижения некоторого предела тело переходит в текучее состояние и ведет себя по-

добно вязкой жидкости. Максимальное значение предела упругости называется пределом текучести. Ни при каких деформациях, за исключением всестороннего сжатия, в теле не могут возникать напряжения, превышающие предел текучести. Однако предел текучести не всегда достижим, поскольку еще до перехода в текучее состояние материал может разрушиться. Разрушение является следствием возникновения в теле мельчайших трещин. Около острых вершин трещин возникают повышенные напряжения, значения которых могут значительно превосходить те, которые соответствуют действующим внешним силам. В результате может произойти разрыв связей между частицами в районе вершины трещины. При этом трещина начинает расти. Если в этот процесс вовлекается сразу много трещин, то это приводит к разрушению тела.

Отметим, что разрушение может произойти и без заметной предварительной пластической деформации. В этом случае разрушение называется хрупким. Однако резкой границы между хрупкими и пластичными телами не существует. Причина заключается в том, что на характер деформирования влияют многие факторы: температура, тип напряженного состояния, скорости деформирования, окружающая среда и т. д. Например, повышение температуры увеличивает пластичность, так как интенсивнее залечиваются точечные дефекты и дислокации становятся более подвижными. Этим широко пользуются при горячей обработке металлов давлением. Наоборот, с уменьшением температуры пластичность уменьшается. А так как пластические- деформации способны заглаживать острия трещин, снижая тем самым концентрацию напряжений, то с понижением температуры хрупкость возрастает. Например, сталь при обычных температурах обладает высоким сопротивлением разрыву, при низких же температурах она становится ломкой. Другой пример, свидетельствующий об отсутствии четкой границы между пластичными и хрупкими материалами: мрамор является хрупким при сжатии или растяжении только в одном направлении, а в， условиях объемно-напряженного состояния проявляет пластические свойства.

Если бы в кристаллах не было дислокаций вообще, то прочность твердых тел была бы максимально возможной. Для идеальных кристаллов пластическое деформирование вообще недоступно. Так, для соскальзывания сразу всей верхней части кристалла относительно нижней (рис. 13.19) требуется затратить очень большую энергию на одновременное перемещение всех, частиц верхней части, лежащих на плоскости скольжения. Кристаллы, близкие по своим свойствам к идеальным, могут быть выращены только при соблюдении особых мер, обеспечивающих образование монокристалла с почти идеальной решеткой^

Такими кристаллами являются тонкие «усы». Каждый кристалл содержит одну винтовую дислокацию, вокруг которой осуществлялся процесс кристаллизации. На рис. 13.22 приведена фотография «усов» железа, выращенных из паров путем восстановления железа водородом из бромистого железа при 710℃.

Рис. 13.22,

Упругие деформации многих материалов подчиняются закону Гука: деформации пропорциональны вызывающим их напряжениям (см. § 2.3). Однако есть и исключения. Существуют материалы, у которых предел упругости лежит достаточно высоко. При приближении к этому пределу начинает проявляться нелинейная зависимость между деформацией и напряжением. Именно так ведут себя, например, поликристаллы чистой меди. При растяжении этого материала на 0,01 % его первоначальной длины (напряжение до 1,5-103 бар) закон Гука выполняется. При растяжении же в пределах от 0,01 % до 0,06% первоначальной длины (область напряжений от 1,5-103 бар до 4,5-103 бар) деформирование остается упругим, но уже является нелинейным процессом.

Областью применимости закона Гука, как правило, являются очень малые деформации. Рассмотрим основные законы линейных упругих деформаций поликристаллических тел.

При всестороннем сжатии (растяжении) напряжение не отличается от давления (рис. 13.23) и вызывает относительное изменение объема тела, равное

€ = Т =У ・

Здесь К ——постоянный коэффициент, называемый модулем все- стороннего сжатия. При сдвиге (рис. 13.24)

(p = t/G,(13.2)

где G ——также постоянный коэффициент, называемый модулем сдвига.

Модули К и G характеризуют упругие свойства материала по отношению к основным видам деформации, являются положительными величинами и измеряются в единицах давления. Положительность К и G обусловливается требованием механической устойчивости твердых тел. Согласно этому требованию знак деформации и знак вызывающих ее напряжений должны быть одинаковыми. Так, при всестороннем сжатии объем тела может только уменьшаться, но не увеличиваться. Это означает, что при oVO изменение объема Ab может быть только отрицательным. Это возможно лишь в том случае, если в (13.1) ^ > 0. Если бы это было не так, то тогда каждое сжимающееся тело являлось бы источником положительной работы, что физически абсурдно. Положительность модуля G доказывается аналогичным образом.

Часто вместо К н G рассматривают модуль Юнга £ и коэффициент Пуассона v. Модули К н G выражаются через £ и v по формулам

^ = W^T' (13・3)

(13.4)

Их справедливость будет доказана позднее.

Модуль Юнга является положительным и измеряется в единицах давления. Коэффициент Пуассона является безразмерной величиной, значения которой не могут выходить за пределы

интервала

—1 < V <

1

(13.5)>

что является следствием положительности К, О и Е. В действительности материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона не наблюдается. Значения, близкие к 1/2, характерны для тел, у которых велик модуль всестороннего сжатия. Примером

является резина.

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона отражают упругие свойства по отношению к деформациям одноосного растяжения или сжатия. Эти виды деформации являются комбинированными, состоящими как из деформации всестороннего растяжения или сжатая, так и из деформации сдвига. На рис. 13.25 появление деформации сдвига при одноосном сжатии иллю* стрируется превращением внутреннего прямого параллелепипеда в ко

с

[4

Рис. 13.25.

сой. При одноосном линейном упругом сжатии или растяжении относительное изменение длины образца е равно

8 = О/Е.

(13.6)

При этом происходит изменение толщины образца (рис. 13.25). Коэффициент Пуассона как раз и определяет относительное поперечное растяжение или сжатие 6 через относительное удли

нение или укорочение е:

6 = -”Е. (13.7) Положительность v для всех известных материалов озна- чгет, что они при удлинении только уменьшаются в поперечном сечении.

Рассмотрим процесс одностороннего сжатия (рас- тяжения). Он реализуется в следующих условиях. Пусть

Рис. 13.26.

вещество твердого тела со

всех сторон, кроме одной, зажато жесткими стенками (рис. 13.26). Пусть на него действует сила, вызывающая напряжение ах. Тогда вследствие реакции жестких стенок появятся сжимающие напряжения аг и 。沙(ось у перпендикулярна плоскости рисунка). Обозначим через ех, &中 ez деформации вдоль соответствующих осей. При этом, конечно, в условиях односто

роннего сжатия &沙=£z = 0. Однако на время забудем об этом. Рассмотрим, например, деформацию е2. Она будет, во-первых, вызвана напряжением о厶 а во-вторых, изменением размеров тела, являющихся поперечными относительно деформирования в х- и 夕направлениях. Поэтому, в соответствии с (13.6) и (13.7),

。2I &% — У 9% + Оу)

е2 = — + ох + о^ =g•

Аналогично находим:

Положив теперь 玩=% = 0, получаем:

Для деформации в х-направлении справедливы те же рас

суждения, поэтомусуждения, поэтомуо% — 1V 9у + 5г)о% — 1V 9у + 5г)

суждения, поэтому

суждения, поэтому

о% — 1V 9у + 5г)

о% — 1V 9у + 5г)

Подставляя сюда найденные1 — V — 2v2Подставляя сюда найденные1 — V — 2v2выше значения с^ и Oz, получим:выше значения с^ и Oz, получим:КоэффициентКоэффициент—£ (1 - v)上(1 一 V)(1 + V)(1 - 2v)—£ (1 - v)上(1 一 V)(1 + V)(1 - 2v)(1 + V)(1 -2v)Е(1 - у)(1 + V)(1 -2v)Е(1 - у)(13.8)(13.8)называется модулем одностороннегоназывается модулем одностороннегосжатия. Равенство (13.8) характеризует процесс упругого продольного сжатия твердого тела.Установим справедливость (13.3) и (13.4). Рассмотрим всестороннее сжатие. В этом случае деформация тела вдоль каждой оси х, у, г (рис. 13.23) будет одной и той же. Обозначим ее через £‘. Рассмотрим, например, деформирование вдоль оси %. Его величина будет складываться из деформации одноосного сжатия вдоль оси х и изменения поперечных размеров тела, возникающих по направлениям у и z. Рассуждая теперь так же, как это было сделано выше при рассмотрении одностороннего сжатия, мы приходим к равенству [см. (13.6) и (13.7)]сжатия. Равенство (13.8) характеризует процесс упругого продольного сжатия твердого тела.Установим справедливость (13.3) и (13.4). Рассмотрим всестороннее сжатие. В этом случае деформация тела вдоль каждой оси х, у, г (рис. 13.23) будет одной и той же. Обозначим ее через £‘. Рассмотрим, например, деформирование вдоль оси %. Его величина будет складываться из деформации одноосного сжатия вдоль оси х и изменения поперечных размеров тела, возникающих по направлениям у и z. Рассуждая теперь так же, как это было сделано выше при рассмотрении одностороннего сжатия, мы приходим к равенству [см. (13.6) и (13.7)]M =着 + 2У =M =着 + 2У =о — 2w(y 1 — 2vо — 2w(y 1 — 2vЕЕ

Подставляя сюда найденные

1 — V — 2v2

Подставляя сюда найденные

1 — V — 2v2

выше значения с^ и Oz, получим:

выше значения с^ и Oz, получим:

Коэффициент

Коэффициент

—£ (1 - v)

上(1 一 V)(1 + V)(1 - 2v)

—£ (1 - v)

上(1 一 V)(1 + V)(1 - 2v)

(1 + V)(1 -2v)Е(1 - у)

(1 + V)(1 -2v)Е(1 - у)

(13.8)

(13.8)

называется модулем одностороннего

называется модулем одностороннего

сжатия. Равенство (13.8) характеризует процесс упругого продольного сжатия твердого тела.

Установим справедливость (13.3) и (13.4). Рассмотрим всестороннее сжатие. В этом случае деформация тела вдоль каждой оси х, у, г (рис. 13.23) будет одной и той же. Обозначим ее через £‘. Рассмотрим, например, деформирование вдоль оси %. Его величина будет складываться из деформации одноосного сжатия вдоль оси х и изменения поперечных размеров тела, возникающих по направлениям у и z. Рассуждая теперь так же, как это было сделано выше при рассмотрении одностороннего сжатия, мы приходим к равенству [см. (13.6) и (13.7)]

сжатия. Равенство (13.8) характеризует процесс упругого продольного сжатия твердого тела.

Установим справедливость (13.3) и (13.4). Рассмотрим всестороннее сжатие. В этом случае деформация тела вдоль каждой оси х, у, г (рис. 13.23) будет одной и той же. Обозначим ее через £‘. Рассмотрим, например, деформирование вдоль оси %. Его величина будет складываться из деформации одноосного сжатия вдоль оси х и изменения поперечных размеров тела, возникающих по направлениям у и z. Рассуждая теперь так же, как это было сделано выше при рассмотрении одностороннего сжатия, мы приходим к равенству [см. (13.6) и (13.7)]

M =着 + 2У =

M =着 + 2У =

о — 2w(y 1 — 2v

о — 2w(y 1 — 2v

Е

Е

где 6’ определяет относительное изменение поперечных размеров при сжатии в у- и г-направлениях. Обозначим длины ребер изображенного на рис. 13.23 параллелепипеда через %, %, Zz. Тогда его объем равен V = lxlvlz^ Следовательно, малое изменение объема можно представить в виде

АЬ = А (/“〃?)= А% * /〃z + lx ^у ' Аг + %%

Отсюда получаем:AVОтсюда получаем:AVА% Му М3 (1 — 2v)

Отсюда получаем:

AV

Отсюда получаем:

AV

—+ ~ + ~ = 38 = ―2—

Сравнивая это выражение с (13.1), приходим к (13.3).

Рис. 13.27.Рис. 13.27.Рассмотрим деформацию сдвига. На рис. 13.27 изображен куб твердого вещества, который показан с конца оси у、перпендикулярной плоскости рисунка. Внутри куба выделен другой, наклонный куб, вершины которого находятся на серединах ребер большого куба. Длину ребер малого куба обозначим через Z. Пусть к граням большого куба приложены скалывающие силы.

Рис. 13.27.

Рис. 13.27.

создающие касательные напряжения т. Для малого куба эти силы будут создавать вдоль направлений %' и 2‘，соответственно, растягивающие и сжимающие нормальные напряжения ах, и azz. Заметим, что сумма двух скалывающих сил, приложенных к граням с общим ребром, по величине в “2 раз больше каждой из скалывающих сил и лежит в одном из диагональных сечений куба. В другом диагональном сечении эта сила будет вызывать нормальное напряжение. Но площадь каждого из диагональных сечений в V 2 раз больше площади каждой грани куба. Поэтому нормальные напряжения в диагональных сечениях, т. е. о%，и а2,, по величине также будут равны т.

В результате сдвига большой куб превратится в скошенный параллелепипед. Две его боковые грани будут ромбами. Малый куб превратится в прямой параллелепипед. Обозначим длины его сжатых и растянутых ребер соответственно через /； и 厶(рис. 13.27). На рисунке отмечены также необходимые для дальнейшего углы. При этом угол ф является малым Из рисунка видно, что

l-tg((p/2) / l+tg(q)/2)

При малых <р

Поэтому С ТОЧНОСТЬЮ ДО ф2

При сжатии /； = / (1 — £，). Деформация ел складывается из деформации сжатия вдоль ^'-направления, равной g^/Е = t/Е, и деформации добавочного сжатия v6x, = з%,]Е = vt/£, возникающего за счет растяжения вдоль оси /:

М = (1 + V)т/Е

Аналогично, /； = Z (1 十 У). Учитывая малость е% с точностью до е" находим:

V- = ——Г * (1 一 Е‘)(1 —吟 а 1 — 2&'・(б)

Сравнивая равенства (а) и (б), получаем:

—2(+)

Сопоставляя это выражение с (13.2), убеждаемся в справедливости (13.4).

При деформировании твердых тел совершается работа. Она запасается в виде упругой энергии. Так, при одноосном растяжении (рис. 13.25) малое изменение удлинения стержня равно Ide. Поэтому малое приращение упругой энергии стержня dU составит величину Fide, где F——абсолютное значение силы, растягивающей образец. Если поперечное сечение образца S, то F = aS, где о — напряжение. Поскольку IS =匕 где V — объем образца, то

dU = У er de = UE& de.

При этом мы воспользовались соотношением (13.6). Упругую энергию недеформированного стержня естественно положить равной нулю. Тогда, интегрируя dU в пределах от нуля до некоторого значения % находим упругую энергию U(e) при деформации Е：

U(£)= U 岑

Отсюда видно, что каждый единичный объем тела обладает упругой энергией

Em

Эта величина называется плотностью упругой энергии одноосного деформирования. С помощью (13.6) она может быть

12 А. В« Астахов

由由При всестороннем энергии равнаПри всестороннем энергии равнарастяжениирастяженииили сжатии плотность упругойили сжатии плотность упругойии№ зQ2=T=0吁亚，№ зQ2=T=0吁亚，

由

由

При всестороннем энергии равна

При всестороннем энергии равна

растяжении

растяжении

или сжатии плотность упругой

или сжатии плотность упругой

и

и

№ зQ2

=T=0吁亚，

№ зQ2

=T=0吁亚，

выражена еще двумя способами:

еа

и^~

где деформация в и напряжение а связаны друг с другом соотношением (13.1). Доказательство последних равенств мы оставляем читателю в виде самостоятельного упражнения.

В заключение приводим таблицу значений различных упругих характеристик ряда веществ (табл. 10).

Таблица 10

Вещество

К, 10е бар

G, 10е бар

Л, 10е бар

V

Железо кованое

1,4

0,7—0,8

1,9-2

0,27

Сталь

1,8

0,7—0,8

1,9—2

0,25—0,33

Латунь

1

0,3

0,9-1

0,34-0,40

Бронза

0,9

0,3

0,8

0,36

Тепловое движение в твердых телах

Рассмотрим внутреннюю энергию твердых тел, обусловленную тепловыми колебаниями кристаллической решетки. Сосредоточим сейчас внимание исключительно на тех условиях, в которых колебания частиц твердого тела можно описывать классическими законами. Для этого оценим область применимости классического рассмотрения. Колебания частиц кристаллической структуры в результате их взаимодействия не являются изолированными. Это означает, что в кристаллах распространяются волны тепловых колебаний. Так как с микроскопической точки зрения кристалл имеет дискретное строение, то по порядку величины длина волны 九 не может быть меньше среднего расстояния между частицами а:

Amin = а・

Из этого ограничения следует, что частота тепловых колеба， ний не может превосходить некоторого критического значения <огаах- Его легко получить с помощью формулы (7.38):

где и — скорость распространения волны.

Волны с большой длиной волны или малой частотой являются обычным звуком (длина волны намного превосходит а!), Для оценки примем, что и для коротких волн (высоких частот) по порядку величины и совпадает со скоростью звука. Аналогично свету, который можно рассматривать как газ особых квантовых частиц ——фотонов, звуковые волны высоких частот представляют собой газ квантов звука ——фононов. Энергия фононов определяется по тому же правилу, что и для фотонов: фонон с частотой сотах обладает энергией

先 а 2лу^ S max = %8тах ==—"，

где й ——постоянная Планка (1.2). Характерная энергия теплового движения на одну степень свободы имеет, как мы знаем, порядок kT, где Т — температура тела. Отсюда следует, что отношение

叁(13.9) k ka ' 丿

определяет характеристическую температуру тела. Она называется температурой Дебая в честь ученого, впервые в 1912 г. объяснившего поведение теплоемкости твердых тел в низкотемпературной области. Обозначим дебаевскую температуру через TD. Тогда критерий применимости классических представлений записывается в виде

Т》％・ (13.10)

Если температура тела становится сравнимой с дебаевской температурой или оказывается ниже ее, то необходимо принимать в расчет микроскопическое строение кристаллов и учитывать квантовые закономерности.

Дадим численную оценку TD. По порядку величины скорость звука V в твердых телах равна 103 м/сек. Расстояние а между соседними частицами по порядку величины равно 10~10 м. Подставляя в (13.9) значения 力 и 6, получаем, что по порядку величины Td=102°K. Из-за «игры» различных коэффициентов, за которыми мы не следили, значение Td может увеличиться до величины порядка 103°К. Таким образом, для различных твердых тел значения Td варьируются в пределах от 102°К до 1()з°к При этом общая тенденция такова: чем жестче материал, тем выше значение Т^. Действительно, из (13.9) следует, что температура пропорциональна скорости звука v. А скорость звука тем выше, чем больше жесткость материала.

В табл. 11 указаны значения дебаевской температуры некоторых кристаллов.

Опыт показывает, что вдали от точки плавления структура кристалла вполне устойчива. Это означает, что колебания

Таблица 11

Кристалл

Та °К

Кристалл

Та °К

РЬ

88

NaCl

281

I

106

Fe

453

Na

172

Be

1000

Ag

215

С (алмаз)

1860

частиц малы. Как малые, они являются гармоническими. Поэтому при выполнении условия (13.10) твердое тело, состоящее из N частиц, является системой 3N классических одномерных гармонических осцилляторов. Увеличение N втрое связано с тем,

что частицы могут колебаться в трех независимых направлениях. Согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы на каждый классический осциллятор приходится в среднем энергия &Т, где Т — температура тела. Следовательно, внутренняя энергия кристалла, обусловленная колебаниями его решетки, равна

E = 3NhT.

Поэтому

R Н(器)尸3N厄

Для одного моля вещества (^ = Na)

Cv = 32а归=3R = 6,3 ккал/гр ад • кмоль = 25-103 Дж/град • кмоль.

Последние формулы выражают закон Дюлонга ——Пти: при температурах выше дебаевской теплоемкость кристаллических

решеток твердых тел постоянна. Ее значение зависит только от числа частиц, составляющих тело. Молярная теплоемкость для всех тел одинакова и равна 6,3 ккал/град-кмоль = =25-103 Дж/град-кмоль.

На рис. 13.28 в качестве примера приведена температурная зависимость молярной теплоемкости серебра. График показывает, что выше дебаевской температуры (см. табл. 11) закон Дюлонга ——Пти выполняется с очень хорошей точностью. Отклонения появляются при 7 V Td・ Они тем значительнее, чем ближе температура к нулю шкалы Кельвина. Поведение теплоемкости при низких температурах будет рассмотрено в томе III. Оно может быть объяснено только в рамках квантовой теории.

Все твердые тела при охлаждении и нагревании изменяют свои размеры. Обычно с повышением температуры размеры тел увеличиваются. Это явление называется тепловым расширением. Его механизм заключается в расталкивании частиц при усилении теплового движения. Качественная сторона этого явления следующая. Тепловое расширение является эффектом, происхождение которого обусловлено ангармоничностью тепловых колебаний. Действительно, при гармоническом колебании среднее положение частицы все время остается неизменным и совпадает с ее положением равновесия. Поэтому гармонический характер тепловых колебаний исключает возможность теплового расширения, которое в действительности наблюдается. Тем самым этот эффект есть следствие отклонения тепловых колебаний от гармонического закона.

Учтем ангармоничность колебаний частицы. Поведение потенциальной энергии U любой частицы отклоняется от параболического закона и имеет вид, изображенный на рис. 13.29 (см. также рис. 2.22). На рисунке пунктиром изображена парабола учитывающая взаимодействие частиц в гармоническом приближении (g обозначает отклонение частицы от равновесного положения). Более точным приближением к истинному поведению потенциальной энергии вблизи равновесного положения является закон

и =喈一gF,

где g ——положительная постоянная. Член с 自3 описывает асимметрию взаимного расталкивания частиц. Этот член мы уже получали в § 7.1.

Среднее смещение Е найдем с помощью распределения Больцмана с указанной выше потенциальной энергией:

dW(^ = e-u^kT А \ е-и^тйЦ .

Это распределение нормировано на единицу: dW (g) = 1. По правилу (8.2) находим:

+ оо

СJ ie-u^kTdi

E=\±d步⑶=^・

J( e-u阳收源

Вычисление интегралов с учетом малости смещения 自 приводит к следующему результату:

| = const(13.11)

Убедимся в справедливости (13.11). Для малых | допустимы следующие приближения:

+,厂〃隽)/打定“1 6.齊信7%

,Е咤 1kT 殿3/依\ 喈/打（1 + 寡）映=

4-004*004-00

=\自。一噌財倉+告］广「階從Т常=务卜3噌以幅

Здесь было использовано действительное для малых 自 приближение

а также учтено обращение в нуль интеграла

т自产打鸣

обусловленное нечетностью подинтегральной функции.

Введем теперь новую переменную интегрирования % = * “с法Т. Тогда получаем следующие равенства:

\阳m询а (⑺%+=* \ 泊dx,

Стоящие в их правых частях интегралы являются числами. Обозначим их через а н Ь. Тогда окончательно находим, что

т. е. соотношение (13.11), в котором const

Из (13.11) следует, что учет ангармоничности тепловых колебаний приводит к линейной зависимости среднего смещения частицы от температуры. Величина а = const •左 называется к。- эффициентом теплового расширения. Он не зависит от температуры и измеряется в град-1.

Свойство а = const выполняется до тех пор, пока колебания частиц можно рассматривать классически. В области низких температур а изменяется, стремясь к нулю при приближении к 0°К. Можно ожидать, что это изменение должно происходить следующим образом. Как известно, kT определяет среднюю энергию одного классического осциллятора 醫.Поэтому выражение (13.11) можно переписать в виде | = const-^ Эта формула подсказывает, что в квантовой области зависимость коэффициента теплового расширения от температуры определяется зависимостью энергии квантового осциллятора от температуры. Вид этой зависимости будет установлен в томе III.

О величине коэффициента теплового расширения в классической области можно судить по таблице 12, в которой приведены значения а некоторых веществ. В монокристаллах вследствие анизотропии коэффициент теплового расширения по разным направлениям может иметь разное значение. Для примера в табл. 12 приведены значения а|( и а丄 для цинка: а(| характеризует тепловое расширение вдоль боковых ребер шестигранных призм, из которых составлена решетка Zn, а丄——в перпендикулярном направлении.

Наконец, ряд веществ с увеличением температуры сжимают-, ся Этим свойством при комнатной температуре обладают, например, кальций и уран. Аномалии теплового расширения

Таблица 12

Вещество

а*106, град""1

Вещество

а-10^, град""1

Ац

Li Na

К

14

56

71

83

КС1 CsCl Zn Zn

100

50

aИ =曾 а 丄=14

объясняются тем, что кривая потенциальной энергии, отвечающая силам притяжения, обладает очень крутым наклоном. Влияние этого фактора иллюстрирует рис. 13.30. Повышение температуры приводит к увеличению энергии частицы: S\ ->S^ При

конах взаимодействияконах взаимодействияэтом границы движения частицы смещаются: «1 ~>а2, Ь\ —> &2- При наличии аномального наклона среднее положение частицы смещается влево:仃一* f&Vci. Это и означает, что происходит тепловое сжатие.

конах взаимодействия

конах взаимодействия

В отличие от газов, уравнение состояния твердого тела нельзя записать в виде, который был бы справедлив для всех твердых тел. Причина заключается в большом многообразии условий, в которых движутся частицы твердых тел (различные формы кристаллических решеток, различия в за- между частицами, разнообразные усло

вия на границах твердого тела и т. д.). Все возможные факторы

точному учету не поддаются. Тем не менее в некоторых случаях эта задача все же разрешима. Например, пусть упругое поли- кристаллическое тело наряду с нагреванием на АТ градусов подвергается одноосному растяжению. В твердых телах роль давления играют напряжения, а роль объема берут на себя де

тела может(13」2)тела может(13」2)формации. Поэтому при одноосном растяжении с одновремен

тела может

(13」2)

тела может

(13」2)

ным нагреванием уравнение состояния твердого быть записано в виде

£ =斎 + а АТ,

где Е — модуль Юнга, а — коэффициент теплового расширения, е ——деформация, о — напряжение; о/Е определяет деформацию одноосного растяжения, а а АТ — удлинение при нагревании на ДГ градусов. Уравнение (13.12) связывает изменение размеров тела, его температуры и действующее в теле напряжение в условиях одноосного растяжения.

ГЛАВА 14

ЗВУК

Скорость звука

В число широко распространенных макроскопических процессов входят движения вещества, объединенные под общим названием звуковые волны или просто звук.

Звук представляет собой макроскопические волны, образованные упорядоченными малыми колебаниями вещества.

Макроскопичность волны означает, что ее длина X намного превосходит характерный линейный размер микроскопического строения среды. Следовательно, в газе 九》Z, где I — длина свободного пробега частиц газа. При нормальных условиях по порядку величины I = 10-7 м, так что X》10~7 м. В жидкостях и твердых телах 九》а, где а — среднее расстояние между соседними частицами среды. Оно является величиной порядка 1 А = IO—。м. Таким образом, для этих сред X》10~10 м.

Ограничения снизу на длину волны приводят к ограничениям сверху на частоту. Их легко установить с помощью формул (7.3), (7.38). При этом под и следует понимать скорость звука. В газах при нормальных условиях скорость звука меняется в пределах от 102 до 103 м/сек (исключением является водород, для которого V > 103 м/сек). В жидких и твердых телах скорость звука почти на порядок выше, чем в газах. Таким образом, на основании упомянутых формул получаем, что частота звуковых колебаний в газах при нормальных условиях

со _ Ю2 м/сек 「

v =——《5——〜IO9 Гц,

2л10-7 м

а в жидких и твердых телах

о 〜 Ю3 м/сек 1〜"Гц-

В настоящее время в твердых телах умеют возбуждать звуковые колебания с частотами примерно до 1010 Гц.

Своим происхождением свойство упорядоченности обязано тому, что звук возникает под воздействием механических колебаний. Так, звуковая волна, распространяющаяся от радиотранслятора, возбуждается колебаниями диффузора. Упорядоченностью звуковые волны отличаются от хаотических движений, например от тепловых колебаний частиц кристалла. Малость колебаний вещества означает, что в звуковой волне отклонения всех величин, характеризующих макроскопические свойства среды, от их равновесных значений незначительны. Например, перепады давления, возникающие в газе при прохождении через него звука, меньше давления газа, не возмущенного волной.

В более узком смысле звуком называются колебания среды в диапазоне частот, воспринимаемых человеческим ухом, т. е. в пределах от 16 Гц до 2-104 Гц. Колебания с частотами ниже 16 Гц называются инфразвуком, а с частотами свыше 2-104 Гц ——ультразвуком. Колебания сверхвысоких частот порядка 1010 Гц называются гиперзвуком. Раздел физики, в котором изучаются звуковые явления, называется акустикой, В связи с этим звуковые волны называют также акустическими.

Макроскопический характер движений в поле звуковой волны позволяет не учитывать микроскопическое строение среды и считать среду сплошной. Для акустических волн в любой среде колеблющейся величиной является каждая компонента достаточно малого смещения Е(г,/) бесконечно малого объема среды АУ от положения равновесия (рис. 14.1).

К физике звуковых явлений относятся следующие вопросы, а) Как зависит скорость звука от свойств среды? б) Какие физические величины характеризуют акустические явления? в) Каковы пределы применимости волнового уравнения к звуковым явлениям и какие важнейшие физические явления возникают вне этих пределов?

Определим скорость звука в газообразной или жидкой среде. Заметим, что в этих средах могут распространяться только продольные волны, ибо ни газ, ни жидкость не сопротивляются изменению формы. Другими словами, в них могут возникать упорядоченные макроскопические колебания вещества только в результате сжатия и растяжения.

Рассмотрим простейший случай одномерных звуковых волн. Они могут быть возбуждены, например, колеблющейся мембраной, помещенной в одном из концов длинной трубы, содержащей газ или жидкость. Волновой процесс будет заключаться в перемещении по среде зон сжатий и разрежений вещества, вызванных колебаниями мембраны. В данных условиях 三 определяет смещение вдоль трубы бесконечно тонкого (но макроскопического!) слоя вещества. Величина смещения зависит от координаты х слоя в невозмущенном состоянии и от времени:自= = Е(х, f) (рис. 14.2). Очевидно, что и плотность, и давление

Рис 14.2.Рис 14.2.

Рис 14.2.

Рис 14.2.

также будут функциями х и Л Давление и плотность в точке 力 в момент времени t обозначим соответственно через Р(х, t) и 〃(％, f). Равновесные значения этих же величин обозначим через Рип (без указания аргументов).

Рассмотрим вещество, заключенное в слое малой толщины dx (рис. 14.2). Оно будет обладать ускорением —*' ・ Масса вещества составит величину тп dx・S = р dx・S, где т ——масса одной частицы, р = тп — плотность массы, aS — поперечное сечение трубы. На выделенную порцию вещества действуют силы давления, приложенные к сечениям, расположенным в точках с координатами % и % + dx (рис. 14.2). Результирующая этих сил равна

F = -[P(x + dx, 0 一尸“，/)] S =-。祟)dx • S・

На основании второго закона Ньютона мы можем записать равенство

pS dx= F = -*仔二厶• S,

尸dt2дх'

которое после сокращения на d%・S выглядит следующим образом:

(14.1)(14.1)。2±(%, /)_ дР (%, f)Р ~~— дх

(14.1)

(14.1)

Это соотношение является уравнением упорядоченного движения заключенного в трубе вещества.

Выразим ―— через 自(％, f). При этом необходимо учесть, что а) распространение звука является адиабатическим процессом и б) звуковые колебания являются малыми.

Адиабатичность распространения звука определяется самой природой звуковых волн. Действительно, звуковые колебания приводят к возникновению в среде температурных неоднородностей. По порядку величины их размеры равны длине волны %. Предположим, что звук распространяется в газе. Согласно (11.7) время рассасывания температурной неоднородности с размерами порядка X равно

九2九2

г % vTl *

где % — коэффициент температуропроводности вещества газа, vT — тепловая скорость движения его частиц, а / ——средняя длина их свободного пробега. Характерным временем волнового процесса является его период 7 =九/и, где и ——скорость звука. Из опыта следует (в этом мы вскоре убедимся непосредственно), что V и vT — величины одного порядка. Так как для звуко* вых волн 九》厶 то по порядку величины

； = 1・

Последнее означает, что звуковая волна проходит расстояния, сравнимые с размером вызываемой волной температурной неоднородности, настолько быстро, что теплообмен между различными участками среды развиться не успевает.

Таким образом, в звуковой волне изменение давления вещества происходит в результате адиабатического изменения его плотности. Так как эти изменения малы, то

АР(%，/)=(需)')，

где Ап (х, t)= п (х, /) — п; АР (х, /)=戶(％, f) — Р, а производную (дР/дп)ад нужно вычислять при условии адиабатичности распространения звука.

Отметим, что давление АР (%, f) называется акустическим.

Найдем Ап (%,/). Очевидно, что вещество, первоначально занимавшее объем dx-S, после возбуждения волны к моменту t будет занимать уже иной объем, равный

[% + 或 + 自(％ + dx, Z) — % —自(％ /)] S =

= [d% + &(% + dx, Z)-H% f)]S=(d% + ^^~d%) S・

Следовательно,

ndx・S = ti(x, /)(1 + ■侈£')"% ・S.

Выражая теперь п(х, /) через Дп(х, /), после сокращения на d%・S в результате простых преобразований получаем:

Ап (х, /) + п •竺柒。+ An (%, f=

= AnU, /) + "彎竺+智也•匿*} = 0.

Так как 《1, а смещение g также мало, то в фигур

ных скобках выписанного равенства можно пренебречь вторым членом, который по сравнению с 0自(％, t)/dx является величиной второго порядка малости. С этой точностью

An(x, /) = i 吨У •

Используя это равенство, проведем следующие преобразования: 啥=备{Р(х, /)-Р} = ^АР(х, 0 =

—\ дп Лд Ох - — 一 \~dtT丿ад * “*

Подставляя окончательный результат в (14.1), получаем одномерное волновое уравнение:

02自(%，f)(dр\-1 д^(旌 а

Отсюда следует, что в жидкой и газообразной среде скорость звука определяется таким равенством:

g"備)小("2)

Эта формула показывает, что скорость звука в газе и жидкости зависит только от свойств среды в состоянии теплового равновесия. Чуть позже мы убедимся в справедливости такого же суждения и относительно твердых тел. (Напомним, что о данном свойстве мы уже упоминали в § 7.3.)

Определим скорость звука в разреженном газе. Для этого воспользуемся адиабатой Пуассона. Разделив (10.4) на (Nт)、, где N― число частиц газа, а т — масса одной частицы, по

лучим:лучим:pyv _ (N/n)Ypyv _ (N/n)Y—=const.—=const.

лучим:

лучим:

pyv _ (N/n)Y

pyv _ (N/n)Y

—=const.

—=const.

Следовательно,

爲)an = COnSt •冲7 = f const . pY = *

Используя теперь уравнение состояния идеального газа (8.13), находим:

I dp 丿адр т

Подставляя этот результат в (14.2), получаем:

u=V^・(14.3)

Из (14.3) следует, что по порядку величины скорость звука в газе совпадает с тепловой скоростью движения частиц газа. В табл. 13 приведены значения скорости звука в некоторых газах при 0℃. Обращает на себя внимание аномально высокая скорость звука в водороде. Это отклонение от 《нормы» обусловлено относительно малой массой молекулы водорода.

Газы, состоящие из одиночных атомов, и газы многоатомных молекул отличаются тем, что в последних наблюдается дисперсия звука. Дисперсия обусловлена объемной вязкостью ——свойством вещества необратимо превращать в теплоту механическую энергию при неравновесной (необратимой) объемной деформации. Механизм этого явления таков. При быстром сжатии (расширении) происходит нарушение равновесного состояния среды и в ней возникают необратимые процессы, стремящиеся восстановить состояние теплового равновесия. Они проявляются в виде вязкого трения в веществе. При сжатии и растяжении зависимость силы вязкого трения от относительного изменения объема определяется с помощью коэффициента объемной вязкости g, который имеет ту же размерность, что и кинематическая вязкость V, и обычно имеет тот же порядок величины, что и v.

Как следствие объемной вязкости, дисперсия звука возникает следующим образом. Звуковая волна непосредственно меняет только поступательное движение молекул газа. Перераспределение энергии по другим, внутренним степеням свободы молекул происходит вследствие их столкновений друг с другом и в пределах каждого периода успевает пройти лишь частично. Для низких частот за время одного периода перераспределение практически завершается. С увеличением частоты появляется диспропорция в распределении энергии по разным степеням свободы молекул, все возрастающая по мере роста частоты. При высоких частотах перераспределение энергии практически не происходит. Поэтому на этих частотах газ многоатомных молекул ведет себя, как одноатомный, так как внутренние степени

свободы не успевают возбуждаться. От того, как распределена энергия по степеням свободы, зависит значение у в (14.3). Это означает, что при разных частотах скорость звука в газах многоатомных молекул разная.

Перераспределение энергии между поступательными и внутренними (вращательными и колебательными) степенями свободы молекул приводит к «дисперсионным скачкам》 скорости звука. Они обусловлены «включением» или «выключением» при изменении частоты различных внутренних степеней свободы. Поэтому исследование дисперсии звука в газах позволяет изучать молекулярные процессы, протекающие в газовой фазе.

В отличие от газов, рассчитать температурную зависимость скорости звука в жидкостях теоретически не удается, так как неизвестно уравнение состояния жидкой среды. Обычно скорость звука в жидкости выражают через ее адиабатическую сжимаемость

0 = _ 严(蕊)

где ?уд=ап/р=1/п — удельный объем жидкости, а производная (0Р/0иУ”)ад вычисляется при условии адиабатичности изменений объема жидкости в звуковой волне. Выражение, определяющее скорость звука в жидкости, имеет такой вид:

и = “而.(14.4)

Эта формула получается из (14.2), если учесть, что ^у” =加/p, и определение 0.

В табл. 14 приведены значения скоростей звука в некоторых жидкостях.

Таблица 13Таблица 14

Гази, м/секАзот334Водород1284■ Воздух331Гелий965Кислород259Углекислый газ268Гази, м/секАзот334Водород1284■ Воздух331Гелий965Кислород259Углекислый газ268ЖидкостьU, м/секАцетон1192Бензол1326Вода1480Керосин2330Ртуть1451Спирт метиловый1123ЖидкостьU, м/секАцетон1192Бензол1326Вода1480Керосин2330Ртуть1451Спирт метиловый1123

Газ

и, м/сек

Азот

334

Водород

1284

■ Воздух

331

Гелий

965

Кислород

259

Углекислый газ

268

Газ

и, м/сек

Азот

334

Водород

1284

■ Воздух

331

Гелий

965

Кислород

259

Углекислый газ

268

Жидкость

U, м/сек

Ацетон

1192

Бензол

1326

Вода

1480

Керосин

2330

Ртуть

1451

Спирт метиловый

1123

Жидкость

U, м/сек

Ацетон

1192

Бензол

1326

Вода

1480

Керосин

2330

Ртуть

1451

Спирт метиловый

1123

Дисперсия звука наблюдается и в жидкостях и также обусловлена объемной вязкостью. Механизм этого явления в некоторых случаях такой же, как и в газах. Например, в сероуглероде, бензоле, четыреххлористом углероде объемная вязкость обусловлена главным образом процессом передачи энергии от поступательных степеней свободы молекул к внутримолекулярным

колебательным. Однако в большинстве случаев механизм объемной вязкости более сложен, чем в газах. Так, объемная вязкость растворов связана с изменением степени диссоциации растворенного вещества. Объемная вязкость может быть обусловлена сольватацией молекул (присоединением молекул растворителя к молекулам растворенного вещества) и рядом других причин. Например, дисперсия звука в морской воде вызвана присутствием в ней растворенной соли MgSO4.

Перейдем к рассмотрению скорости звука в твердых телах. Звуковой волне, распространяющейся по газу или жидкости в трубе, в твердых телах соответствует волна односторонних сжатий и растяжений. Она также является продольной. При этом в твердых поликристаллических телах роль (0Р/0р)аД играет модуль одностороннего сжатия, отнесенный к плотности массы вещества. Действительно, изменениям давления газа или жидкости в твердых телах соответствуют напряжения: АР-* о. Так как плотность изменяется вследствие сжатия и растяжения, то относительному изменению плотности газа или жидкости Др/р в твердых телах отвечает деформация е, т. е. Др/р —* е, или Др —► р8. Следовательно, величине АР/Ар соответствует отношение о/ре, которое согласно (13.8) равно отношению модуля одностороннего сжатия к плотности массы. Таким образом, скорость продольных звуковых волн в поликристаллических твердых телах оказывается равной

S尸 “ • (14・5)

Помимо продольных волн, в твердых телах могут распространяться и поперечные звуковые волны. Они возникают в тех случаях, когда в твердом теле возбуждаются деформации сдвига. Волновой процесс заключается в движении по телу зон с повышенным значением напряжения сдвига, разделенных зонами пониженного напряжения. При этом, в отличие от продольных волн, в поперечной волне колебания могут происходить в двух независимых направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Скорость распрострайения и丄 каждого из двух независимых поперечных колебаний одинакова и зависит от модуля сдвига так:

==2р(1%)・・(14.6)

Здесь мы воспользовались формулой (13.1).

Из (14.5) и (14.6) вытекают два следствия. Во-первых, и и >。丄，так как согласно (13.5)

и 丄/ 1 — 2v~

7Г= А/ 2(1— 2v) < L

Для подтверждения мы приводим табл. 15, в которой указаны @11 и и丄 для некоторых поликристаллических материалов.

Таблица 15

Вещество

叫 м/сек

и 丄，м/сек

Вещество

0|[, м/сек

”丄，м/сек

Алюминий

Железо Никель

6260

5850

5630

3080

3230

2960

Сталь Чугун Лед

6100

4500

3980

3300

2400

1990

Во-вторых, поскольку уII и и丄 пропорциональны Е%, то чем тверже материал, тем больше скорость звука в нем.

Законы (14.5) и (14.6) выполняются для не слишком высоких частот звуковых колебаний. Для гиперзвуковых колебаний начинает сказываться микроскопическое строение твердых тел. Его влияние выражается в дисперсии гиперзвуковых волн.

В монокристаллах волны носят гораздо более сложный характер, что обусловлено анизотропией этих сред. Оказывается, что в монокристалле в каждом направлении могут распространяться три волны с разными скоростями. Эти волны не являются ни продольными, ни поперечными. Колебания частиц в них имеют составляющие как вдоль, так и поперек направления распространения волны.

Так же как и для света, различие в скоростях распространения звука в средах с различной жесткостью приводит к преломлению звуковых волн на границе раздела сред. Поэтому, комбинируя различные материалы и придавая соответствующие формы границам их контакта, можно создавать устройства, подобные оптическим системам, например акустические линзы. Акустические линзы изменяют сходимость звукового пучка. Они применяются для улучшения направленности акустических излучателей и приемников, для создания мощных ультразвуковых пучков, употребляемых при разнообразных применениях ультразвука в химии, биологии, технологии и т. д.

Физические характеристики звука

При прохождении звуковой волны вещество приобретает дополнительную энергию, обусловленную упорядоченными колебаниями среды. Рассмотрим плоскую монохроматическую звуковую волну с частотой ① и амплитудой а. Вспомним, что кинетическая и потенциальная энергии гармонического колебания в среднем равны. Средняя кинетическая энергия единицы

объема вещества равна

(鲁)2=}p

где 己——смещение при колебаниях, а р ——плотность вещества (см. § 7.1, п. 4). Поэтому в единичный объем вещества звук привносит энергию, в среднем равную

齒=у ра2со2.(14.7)

Эта величина называется плотностью звуковой энергии. В СИ она измеряется в Дж/м3.

Распространяясь и вовлекая при этом в колебания всё новые частицы вещества, звуковая волна осуществляет перенос энергии. Этот процесс характеризуется силой или интенсивностью звука. Сила звука определяет поток звуковой энергии, т. е. энергию упорядоченного движения вещества, которая в ёдиницу времени переносится волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Обозначим силу звука через /. Согласно определению

I — vS = ^рио)2о2.(14.8)

Действительно, за время dt через площадку dS, перпендикулярную направлению распространения волны, пройдет вся энергия, заключенная в прямом параллелепипеде, длина боковых ребер которого равна и df, а основанием является dS. Величина этой энергии равна и dt • dS 君.Отсюда следует, что за единицу времени через единичную площадку переносится энергия иМ.

В СИ сила звука измеряется в Дж/м2 • сек = Вт/м2. На практике часто пользуются специальными внесистемными единицами. Основная из них называется белом (б). Широко применяется и десятая доля бела, которая называется децибелом (дб). Эти единицы связаны с логарифмической шкалой измерения интенсивности звука. Своим происхождением эта шкала обязана особенности человеческого слуха, которая заключается в том, что человеческое ухо реагирует не на интенсивность звука, а на логарифм этой величины. Именно по этой причине диапазон воспринимаемых человеческим ухом интенсивностей очень велик. В логарифмической шкале интенсивность /0 — Ю-12 Вт/м2 принята за нулевой уровень. Сила звука такой величины близка к порогу слышимости человеческим ухом звука с частотой 103 Гц. Уровень интенсивности в децибелах определяется как 101g(///0).。

Сила звука связана с акустическим давлением. Найдем эту связь, полагая, что ось х выбрана в направлении распространения волны и звук распространяется в газе. Выражая по фор-

мулам предыдущего параграфа ЛР(х, t) через д^дх и учитывая (14.2), находим, что давление ДР(х, t) отличается от дЦдх на множитель, по абсолютной величине равный v2p, где и ——скорость звука. Воспользуемся комплексной формой закона движения в поле звуковой волны. В связи с этим произведем переобозначение 自 на 2 (см. гл. 7). Тогда от д^/дх мы должны перейти к д^/дх, где

2 = a e-ist+ihx.

Отсюда с учетом формулы (7.35) получаем:

Мы видим, что абсолютная величина коэффициента пропорциональности между акустическим давлением и смещением равна

眸"=изp.

давления(14.9) сопротив-(14.10)давления(14.9) сопротив-(14.10)Эта величина показывает, во сколько раз амплитуда акустического давления отличается от амплитуды колебания среды а. Следовательно, обозначив амплитуду акустического через АР (без указания аргументов!), находим, что

давления

(14.9) сопротив-

(14.10)

давления

(14.9) сопротив-

(14.10)

АР = upas.

Произведение up принято называть акустическим лением среды. Из (14.8) и (14.9) следует, что

/1 АР?

Амплитуда акустического давления может достигать весьма больших значений. Например, в воде при силе звука 10 Вт/м2 имеем АР = 5,9 бар.

При распространении ультразвуковых волн перепады акустического давления происходят на очень малых расстояниях, составляющих половину длины волны. Так, например, в воде при распространении ультразвука с частотой v = 107 Гц это происходит на длине u/2v, которая порядка 10-3 м.

Резкие перепады давления на малых расстояниях приводят к большим сжатиям и разрежениям вещества, т. е. к выходу за пределы применимости волнового уравнения, описывающего только малые колебания среды. Это нарушение проявляется в возникновении явления акустической кавитации. Акустической кавитацией называется образование разрывов сплошности жидкости с последующим захлопыванием полостей при возбуждении в жидкости достаточно интенсивных ультразвуковых колебаний. Полости образуются при разрыве жидкости во время

полупериодов растяжения на так называемых кавитационных зародышах. Кавитационными зародышами являются плохо смачиваемые участки твердого тела, погруженного в жидкость, твердые частицы, частицы с трещинами, заполненными газами, микроскопические газовые пузырьки, ионные образования, возникающие под действием космических лучей. Если амплитуда акустического давления становится выше некоторого значения, называемого кавитационным порогом, то начинается быстрый рост на этих зародышах пузырьков пара жидкости, что и означает появление разрывов ее сплошности. Эти заполненные паром полости захлопываются во время полупериодов сжатия.

Величина кавитационного порога может меняться в очень широких пределах: от величины давления насыщенного пара до десятков и даже сотен бар. В настоящее время кавитационный порог рассчитывать не умеют. Экспериментально установлено, что его величина повышается с увеличением гидростатического давления жидкости, при ее очистке от инородных включений, с увеличением частоты и с уменьшением продолжительности озвучивания. При захлопывании кавитационных полостей развиваются чрезвычайно большие, до нескольких тысяч бар, импульсы давления. Они способны привести к разрушению тел, соприкасающихся с кавитирующей жидкостью. Так, например, в ряде случаев наблюдалось разрушение лопастей быстро вращающихся гребных винтов и турбин, возбуждавших вращением в жидкости интенсивные ультразвуковые колебания.

Помимо дисперсии и акустической кавитации явлением, также выходящим за пределы применимости волнового уравнения, является затухание звука. Напомним, что решениями волнового уравнения являются волны, существующие бесконечно долго (см. гл. 1). Так, одномерное волновое уравнение

严屮(％，力1_》2 (%, /) _ °дх2 V2 dt2 一

имеет решение вида

*(%,/) = “《-心/+/%, где а = const и s = lw.

В каждой фиксированной точке х этот закон описывает незатухающие колебания с частотой со. Затухание звука обусловлено взаимодействием упорядоченных колебаний с неупорядоченным тепловым движением среды. Это взаимодействие разрушает звуковые колебания, переводя энергию упорядоченного движения в тепло. Поэтому волновое уравнение применимо к звуку только для интервалов времени и расстояний, на которых затухание звука незначительно.

Выясним, чем определяется затухание. Уменьшение силь! звука di при распространении на расстояние dx пропорций^

нально dx и интенсивности / в начале этого участка. Поскольку di V 0, то все сказанное выражается таким соотношением:

d/ = 一 2Y/ dx.

Здесь 丫 ——не зависящий от х коэффициент пропорциональности, который называют коэффициентом затухания. В СИ он измеряется в м-1. Множитель 2 введен из соображений удобства, которые станут понятными чуть ниже. Записанное выше соотношение является дифференциальным уравнением относительно интенсивности / = /(%). Решение этого уравнения имеет вид

I = I (х) = IQe~ v;,

где /о ——сила звука в начальной точке % = 0. Поскольку сила звука пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то, обозначив последнюю через о, приходим к такому выводу: амплитуда колебаний на глубине проникновения х равна

а = а (х) = а0 门%.

Мы видим, что, так же как и интенсивность, амплитуда затухает по экспоненциальному закону. При этом показатель экспоненты не содержит численных коэффициентов. В этом и состоит удобство введения коэффициента 2 в уравнение для /(х), о чем было сказано выше.

Существует несколько механизмов затухания звука. Однако их роднит то общее, что в результате энергия упорядоченного волнового движения вещества необратимо превращается в энергию теплового, т. е. беспорядочного, движения его частиц. К этим последствиям приводят теплопроводность, обычная и объемная вязкость.

Теплопроводность развивается в результате колебаний температуры, которые возникают в среде при распространении в ней звука. Напомним, что распространение звука является адиабатическим процессом. А при адиабатическом процессе температура изменяется.

Другой механизм обусловлен обычной и объемной вязкостью. Действительно, звуковые колебания могут приводить к сдвигу одних частей среды относительно других и вызывать растяжения и сжатия вещества. Из сказанного следует, что коэффициент затухания можно представить в виде суммы у = =丫1 + 丫2, где w и 丫2 — это коэффициенты затухания, своим происхождением обязанные, соответственно, теплопроводности и вязкости, как обычной, так и объемной.

Оценим из соображений размерностей порядки величин 丫〔 и 丫2・ Для этого заметим, что искомые величины должны зависеть только от свойств среды и от характеристик звуковой волны. Свойства среды относительно перечисленных необратимых

процессов характеризуются температуропроводностью %, кинематической вязкостью V и объемной вязкостью * Все эти коэффициенты имеют одинаковую размерность. Звуковую же волну характеризуют скорость звука и и частота со. Из перечисленных величин можно составить единственные комбинации, имеющие размерность обратной длины:

Отсюда следует, что по порядку величины

Yi = *% Y2 =*"+ e)■

Важным свойством установленных зависимостей является пропорциональность коэффициентов затухания квадрату частоты звуковых колебаний. Оно означает, что с возрастанием частоты затухание быстро увеличивается. Так, инфразвук свободно проходит даже через земной шар. А звуковые волны с частотой 106 Гц при температуре 20℃ затухают уже на расстоянии порядка 50 м. Особенно сильно затухание звука на очень высоких частотах. Именно это препятствие является основной трудностью на пути получения гиперзвуковых колебаний.

Отметим, наконец, что в газах » и у2 — величины одного порядка, причем объемная вязкость существенна только для газов многоатомных молекул. Для жидкостей » существенно меньше 丫2・ В твердых телах затухание определяется как вязкостью, так и теплопроводностью.

Ударные волны

При взрывах, при движении в газе тел со сверхзвуковыми скоростями, при мощных электрических разрядах, при ударах о преграды происходят сильные возмущения среды. Например, изменения плотности вещества могут оказаться сравнимыми с 11^возмущенной плотностью. В этих случаях скорость распространения возмущения начинает зависеть от его величины и возникает так называемая ударная волна. На рис. 14.3 приведена фотография ударной волны, образованной снарядом, движущимся быстрее звука.

Ударной волной называется распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью узкая переходная область волны сжатия, 6 которой происходит скачок всех величин, характеризующих состояние вещества, — плотности, давления, скорости движения ■вещества, температуры и т. д. Ударные волны образуются во всех средах — газах, жидкостях и твердых телах.

Рассмотрим механизм образования ударной волны на следующем примере. Пусть газ в трубе подвергается сильному сжатию со стороны поршня, который перемещается с очень большой скоростью. В момент времени %, близкий к началу движения, плотность газа будет распределена так, как это показано на рис. 14.4, а. Повышенной плотность будет только в конечной

Рис. 14.3.

области вблизи поршня. Вдали плотность будет иметь невозмущенное значение ро. Распределение давления будет иметь по^ добную форму. Возникшая зона сжатия начнет распространяться по газу со сверхзвуковой скоростью.

Действительно, скорость перемещения зоны сжатия относительно газа и скорость течения газа, вызванного движением поршня, имеют одинаковое направление. Поэтому скорость зоны сжатия относительно стенок трубы будет больше скорости е分 движения относительно газа на величину скорости течения газа. Кроме того, быстрое сжатие всегда является адиабатическим. За время сжатия теплопроводность развиться не успевает. Поэтому температура газа в зоне сжатия повысится, причем тем значительнее, чем выше степень сжатия. Напомним, что скорость звуковых волн в газах увеличивается с ростом температуры по закону 7%. Поэтому, во-первых, скорость распространения зоны сжатия будет выше скорости звука в невозмущенном газе, так как температура несжатого газа ниже температуры сжатого. Во-вторых, скорость слоя Axi зоны сжатия будет превышать скорость слоя Дх2 (рис. 14.4,а). Поэтому слой Ах】 будет догонять слой Ах? и газ у фронта волны сжатия будет уплотняться. В результате, перемещаясь со сверхзвуковой скоростью^ зона сжатия оторвется от поверхности поршня и области тече* ния газа. При этом со временем ее фронт будет становиться все

более крутым (рис. 14.4,б). В конце концов в некоторой точке xq сформируется ударная волна — очень узкая область с размером порядка среднего расстояния между частицами газа. В этой области плотность будет скачком изменяться на конечную ве-

Рис. 14.4.Рис. 14.4.личину Др (рис. 14.4,8), которая называется скачком плотности на фронте ударной волны.

Рис. 14.4.

Рис. 14.4.

На фронте ударной волны вместе с плотностью испытывают разрыв давление, температура газа, скорость его движения. При этом через поверхность разрыва происходит течение газа: он переходит из области с меньшей плотностью в область е большей плотностью.

В табл. 16 приведены значения параметров ударной волны, распространяющейся по возду

ху, который находится при нормальных условиях: Ро = 1,013 бар, Г = 0℃, р0 = =1,29 кг/м3. Обозначения 戶卜 pi, 7\ соответствуют давлению,

плотности и температуре за фронтом; w — скорость ударной волны. Как видно из таблицы, скорость ударной волны стремительно возрастает с увеличением давления за ударным фронтом

и может во много раз превысить скорость распространения звука. Поэтому мощные ударные волны (они образуются, например, при термоядерных взрывах) тем более .коварны, что не предупреждают о своем приближении шумом и обрушиваются совер-

Таблица 16

Pi, бар

Р1/Ро

w, м/сек

北，0k

Р” бар

Pi/Po

叫 м/сек

В, °К

1

1

330

293

1 013

11

9310

14 000

5

2,84

700

482

3019

9,75

15 900

30 000

10,1

3,88

980

705

6 463

8,97

23 300

50 000

50,6

6,04

2 150

2 260

19 440

8,62

40 100

100 000

128

568

8,58

11

3 350

6 970

4 000

10 000

145 771

6,27

114 000

500 000

шенно неожиданно. Так, если бы термоядерный взрыв не сопровождался вспышкой, то узнать заранее о порожденной им ударной волне было бы невозможно.

На формирование ударного фронта требуется время. Оно тем больше, чем меньше степень первоначального сжатия. Во- первых, от нее зависит, насколько в начальный момент газ уплотнен у переднего фронта зоны сжатия. Во-вторых, степень первоначального сжатия определяет, насколько повысилась температура и, следовательно, как быстро будет идти процесс дальнейшего уплотнения. Если бы не действовали механизмы затухания, то с течением времени ударный фронт мог бы развиться из любой волны сжатия, в том числе и из очень слабой. Однако при слабом сжатии волна затухает раньше, чем сформируется ударный фронт, и он образуется только при сильном сжатии. Ударные волны, образующиеся при взрывах, обладают огромной разрушительной силой. При этом чем больше мощ

ность взрыва, т. е. чем выше степень первоначального сжатия, тем дальше распространяется, не разрушаясь, ударный фронт.

Рассмотрим скачки физических величин на ударном фронте в газе. Пусть AS — достаточно малый элемент фронта ударной волны, такой, что его можно считать плоским. Введем

систему координат, жестко связанную с этим участком, и ее ось х направим по скорости фронта (рис. 14.5). Из невозму

щенной области % > 0 за единицу времени через AS пройдет газ, занимавший объем Uo%AS. Масса этого газа равна ро^ох* Д5, где ро — плотность невозмущенного газа, а Уох ——его скорость вдоль оси х. С другой стороны в область % V О позади фронта за единицу времени через AS поступает масса газа pi6%AS, где pi и 63c — плотность и х-компонента скорости газа за ударным фронтом. Вследствие сохранения массы ро^охД5 = pBi%AS, или

Ро^Ох = Р1О1%・

Эти равные количества обозначим через /. Импульс газа, вытекающего в единицу времени из невозмущенной области % > О* равен (ро^о) UoxAS. Импульс газа, втекающего за единицу времени в область х < 0 за ударным фронтом, соответственно составляет (piUi)oikAS. В этих выражениях vQ и 0】обозначают скорости газа в областях х > 0 и х < 0. Таким образом, изменение импульса равно

(PR1) S% AS — (povo) Щх AS = j (s — ％) AS.

378звук(гл. 14

Это изменение вызвано разностью сил давления перед и за ударным фронтом, которая равна (Р。一 P)AS, где Ро и Pi — соответственно давления перед фронтом и за ним. Приравнивая согласно второму закону Ньютона изменение импульса элемента газа действующей на него силе, получим в компонентах:

Pi + 吉=Р2 + 击，/% —脸=0,j ®oz —哨=0・

Последние два равенства обусловлены тем, что сила направлена перпендикулярно площадке AS. Из них следует, что

v\y = vQyi и12 — иОг.

Таким образом, параллельные ударному фронту компоненты скорости газа скачка не испытывают. Скачок претерпевают только нормальные составляющие.

Используем теперь * закон сохранения энергии. Изменение энергии протекающей через AS массы газа должно быть равно работе сил давления, перегоняющих газ через ударный фронт. Кинетическая энергия газа, втекающего в единицу времени в сечение AS из невозмущенной области х > 0, равна

号(Po^ox) AS = g j AS •

Кинетическая энергия газа, вытекающего за фронт волны, равна

W~(P1S%) AS =，j AS.

Внутренняя энергия газа перед и за ударным фронтом: 旦(Ро^ох) AS = E°j AS, Ei (pi^ix) AS = Ej AS

(через Eo и £i обозначены внутренние энергии единицы объема невозмущенного газа и газа за ударным фронтом). Наконец, работа сил давления над единицей массы газа равна

Pi匕一ЛУоа

М — "pi рГ，

где М — масса газа, a Vo и V\ — объемы, которые эта масса газа занимает перед и за ударным фронтом. Приравнивая изменение энергии работе сил давления, после сокращения на / получаем:

I — р0 曦 I - Pi

Итог таков: значения величин, характеризующих состояние газа перед ударным фронтом и за ним, связаны системой ра-

венств, выражающих закон сохранения массы, уравнения дзи- жения и закон сохранения энергии:

Ро%% — Pi 5 % = О,

А — Р + 产｛= 0, п (14.11)

Dog — Sg = “г — % = 0,

皖 + 今｝ (% —元)=°-

Добавляя к этим соотношениям уравнение состояния газа, можно определить значения всех характеризующих газ величин за фронтом ударной волны, если известны значения этих величин перед фронтом, а также скачок любой из величин в ударной волне. Если из уравнений (14.11) исключить скорость газа, то между оставшимися величинами получается соотношение, связывающее их значения по обе стороны разрыва. Это соотношение называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио.

Адиабату Гюгонио можно получить следующим образом. Выразим плотность через удельный объем и исключим иОх и из первого и последнего уравнений системы (14.11). Получим ):

产=事"，2,+*_品_* + ｝产(%一鸣=0.

Исключая из этих равенств 产，находим уравнение ударной адиа* баты:

耳一当 + % (о。一 s) (A + В) = 0.(14.12)

Если газ достаточно разрежен и к нему применимы законы идеального газа, то Е = Pv/(y — 1). В этом случае уравнение ударной адиабаты имеет вид

(14.13)(14.13)s 一 (y+1)Po + (Y-DP

(14.13)

(14.13)

■^— (Y—l) A + (y+DR •

Так как в ударной волне давление только возрастает, то имеет физический смысл лишь та часть адиабаты (14.13), которой соответствует Р\ > R). График адиабаты Гюгонио (14.13) изображен на рис. 14.6. Ее часть, имеющая физический смысл, выделена на рисунке сплошной линией. Если Pi/Po-* °°, то адиабата (14.13) стремится к асимптоте, уравнение которой имеет вид

—у + j •

Из этого уравнения следует, что с помощью ударной волны нельзя достичь беспредельного увеличения плотности. Макси

Рис. 14.6.Рис. 14.6.мально достижимая плотность равна

Рис. 14.6.

Рис. 14.6.

—с Y + 1Pl max = Ро у _ ] •

В этом заключается причина то- го, что отношения pi/p0, приведенные в табл. 16, не проявляют тенденции увеличиваться с ростом давления.

нии в нем тела со сверхзвуковой скоростью. Выясним сначала,нии в нем тела со сверхзвуковой скоростью. Выясним сначала,Рассмотрим образование ударных волн в газе при движе-

нии в нем тела со сверхзвуковой скоростью. Выясним сначала,

нии в нем тела со сверхзвуковой скоростью. Выясним сначала,

в чем заключается разница движений в дозвуковом и сверхзву

ковом режимах.

Если скорость меньше звуковой, то тело излучает вперед еолны сжатия. Они как бы «предупреждают» газ о приближении тела. «Заблаговременно предупрежденный», газ плавно расходится, пропуская тело. Картину газового потока удобно рассматривать из системы отсчета, жестко связанной с телом.

Рис. 14.7.Рис. 14.7.Относительно этой системы вдали от ее начала поток газа является плоскопараллельным. Вблизи начала линии потока плавно искривляются, огибая тело. Если тело имеет хорошо обтекаемую форму, то за ним не возникает завихрений.

Рис. 14.7.

Рис. 14.7.

Сверхзвуковой режим дает совершенно иную картину. Газ не успевает расходиться перед телом. Его настигают волны

сжатия и возникает так называемый головной ударный фронт. У задней кромки тела образуется еще одна ударная волна (рис. 14.7). Она называется хвостовой. Газ, сжатый в головной волне, затем расширяется до давления меньше исходного. Возврат к первоначальному давлению как раз и осуществляется в хвостовой волне. На некотором расстоянии от тела обе волны имеют вид конусов, вложенных один в другой (рис. 14.7).

Уплотнение газа в ударной волне является причиной изменения его показателя преломления. Поэтому ударную волну можно фотографировать (см. рис. 14.3).

Легко понять, что газ в ударной волне должен нагреваться. Так, в выбранной нами системе отсчета поток газа, доходя до

тела, останавливается. Следовательно, кинетическая энергия его упорядоченного движения, т. е. энергия его потока, переходит в иную форму. Она превращается в энергию теплового движения, т. е. во внутреннюю энергию газа. После прохождения ударного фронта газ про

должает нагреваться и доходит до так называемой температуры торможения. При этом может возникнуть свечение газа.

Подчеркнем, что свечение возникает вовсе не от трения тела о газ, как это неверно иногда объясняют. Причиной его возникновения является разогрев газа в ударной волне. Это свечение наблюдается, например, при падении на Землю метеоритов, при полете ракет. Если разогрев газа достаточно велик, то это может привести к плавлению тела. Видимо именно это произошло с тунгусским метеоритом, который тщетно искали много раз.

Тело, движущееся в газе со сверхзвуковой скоростью, затрачивает значительную часть своей кинетической энергии на образование обычных и ударных волн. При этом оно испытывает сопротивление, которое называется волновым. Волновое со

противление имеет иную природу, нежели сопротивление, которое испытывают тела, движущиеся с дозвуковыми скоростями. При сверхзвуковых скоростях последнее значительно меньше волнового. Для уменьшения волнового сопротивления выгодно придавать спереди телу заостренную форму. Тогда на носу образуется коническая ударная волна. Она преломляет параллельные линии набегающего потока. В хвостовой ударной волне они преломляются, переходя опять в параллельный поток (рис. 14.8). Обе эти волны заметны на значительном удалении от тела. Так, громкие хлопки от пролетающих сверхзвуковых самолетов слышны на расстояниях до 20 км и далее. Их источником являются образующиеся ударные волны.

В заключение - отметим, что ударные волны образуются во всех средах: в газах (за исключением ультраразреженных), в жидкостях, в твердых телах, в сверхплотной ядерной материи. В макроскопических количествах ядерная материя встречается, например, в виде нейтронных звезд. Плотность массы в таких образованиях по порядку величины равна 1017 кг/м3.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютно твердое тело 28, 158—171 Аддитивность 62

—внутренней энергии 229

—импульса 95

—массы 61—62

— момента импульса НО—111

—энтропии 268, 274—275

Адгезия и адсорбция 341—342

Акустическое сопротивление 371

Амплитуда 173

Атмосфера (единица) 217

Бар 217

Барн 151

Барометрическая формула 243

Бел 370

Биения 206—207

Вакансии 334—336

Вероятность 215, 235, 238—239, 281—284

Взаимодействия фундаментальные 68—69

Волна 193

—монохроматическая 193

—плоская 194—196

— поперечная, продольная 194

—стоячая 202—203

—сферическая, цилиндрическая 197—198

Волновая поверхность 197—198

Волновое уравнение 199

一 число 195

Волновой вектор 196

—фронт 198

Время 20, 24

—релаксации 214. 295, 364

—свободного пробега 222

—собственное 46

—столкновения 222

Всестороннее сжатие (растяжение) 344

Второе начало термодинамики 267, 275—284

Вязкость 286, 300—302, 373—374

一 объемная 366, 373—374

Газ 216

—идеальный 222

—Кнудсена 222

Гиперзвук 362

Гравитационная постоянная 70

Давление 217-218, 224—227, 243, 363-366, 378—379

—акустическое 364

—критическое 313-

—парциальное 225—226

Движение 23

—в кулоновском поле 131—140

Дгижение заряженной частицы 114—124

—квантовое и классическое 21

—под действием упругой силы 176—177

—релятивистское, нерелятивистское 20

—тепловое 211

—финитное, инфинитное 105

Дефект массы 107

Дефекты кристаллов 333—342

Деформации упругие 344

Джоуль (единица) 81

Диаграмма состояний 259

Динамическая закономерность 221

Дислокации 337—341, 344, 347

Дисперсионное уравнение 198

Дисперсия волн 198

—звука 366—369

Дифракция 202

Диффузия 286, 293—300

Длина волны 197

—свободного пробега 156, 236

Добротность 182—184

Задача двух тел 124—125

Закон Авогадро 225

—возрастания энтропии 276—280

—Гука 76, 77. 348

— Дальтона 225

—Дюлонга — Пти 356

—Кулона 72—73

—независимости действия *снл 60

—Паскаля 217

—равнораспределения энергии 231

—соответственных состояний 318

—сохранения импульса 58, 64—65, 92, 94— 96, 143, 145, 147—148, 153—154

一 —момента импульса 93, 108—113, 126—

128, 132, 163

центра инерции 61—62, 93, 126, 144

энергии 93, 97—104. 143—147, 153—154

—Фика 293

—Фурье 293

Законы Кеплера 127. 136, 137

—Ньютона 25, 59, 60

Звук 361—362

Звука затухание 372— 374

—сила (интенсивность) 370

Изотропность пространства 91

Импульс нерелятивистский 58

—релятивистский 63

—фонона 97

Инвариантность 26—27, 38. 50

Интервал 51

Интерференция 202

Инфразвук 362

Источник Франка — Рида 340

—• энтропии 290—291

Кавитация 371—372

Калория 261

Камера Вильсона 147, 320—322

Колебания 172

—вынужденные 184—189

—гармонические 172, 193

—затухающие 180—183

Коэффициент диффузии 293 и д., 336

—затухания 182, 373

—объемной вязкости 366, 374

— поглощения 156—157

— Пуассона 349—353」

—температурспроводности 294—295,297,

364, 374

—(термического теплового) расширения 315, 359

—теплопрово аности 293—294, 298—299

—упругости 68, 78, 177, 179-184, 189—190

Кристалл 326—330

—жидкий 307, 308

—идеальный 326, 327

Кристаллит (зерно) 329

Кристаллическая решетка Браве 327

Критерий подобия 303

Критическая опалесценция 316

—точка 313—318

Макроскопические параметры 214—221

Масса 58

—гравитационная и инертная 71

—приведенная 126

Миллиметр ртутного столба (единица) 217 Модуль всестороннего сжатия 349, 351—353 —одностороннего сжатия 351 —сдвига 349, 351—353 — Юнга 349, 351—353

Моль 211

Момент импульса 93, 108, 126—139, 165 собственный 111—113, 161—162, 165

-силы 109, 112, 162, 165—168, 178—179

Моменты инерции 162—166, !71, 178—179

Напряжения механические 218, 343—344

Насыщенный пар 314

Ньютон (единица) 66

Одноосное растяжение (сжатие) 350

Однородность времени 91

—пространства 90—91

Опыт Майкельсона — Морли 40—41

—Этвеша 71

Осциллятор гармонический 172—179

—с трением 180—189

Паскаль (единица) 217

Первое начало термодинамики 260—265

Перегретая жидкость 319—320

Переохлажденный пар 319—320

Период колебаний 173

Пластичность 344

Плечо силы 167

Плотность вероятности (функция распределения) 240, 243,246, 247, 253

—вещества 2)5—216

一 потока частиц 149

—упругой энергии 353—354

Поле 55—56, 73—74, 96, 104

—кулоновское 85

—однородное электромагнитное 114

—центрально-симметричное 85

Полиморфные превращения 307, 309, 324—

325

Поляризация волны 194

Порог реакции 146

Постоянная Больцмана 219

—Планка 21

—универсальная газовая 225

Постоянные Ван-дер-Ваальса 226—227

Постулат Эйнштейна 41

Потенциальная яма 105

Потенциальный барьер 107

Поток диффузии 288, 293

—импульса 288, 300

—скорости течения 300—301

一 тепла 288, 293

—энтропии 288, 291

Предел текучести 347

—упругости 344, 346

Преобразования Галилея 38

一 Лоренца 48—50

Принцип инерции 25

—-относительности 26

—• суперпозиции 173—174, 190—192

—эквивалентности 72

Прицельный параметр 151

Процесс 82

—адиабатический 260—261, 364

一 кинетический 286

—круговой (цикл) 260

—неравновесный (необратимый) 258—260

—1 равновесный (обратимый) 258—260

—тепловой 258—260

Пуаз (единица) 300

Пузырьковая камера 147, 322

Пучности стоячей волны 202—204

Работа 81—83, 260-265

Распределение Больцмана 239—243, 358

—Гиббса (каноническое) 251—257, 272—273

—Максвелла 245—251

—угловое 150

Рассеяние 148

—в кулоновском поле 139—140, 154—156

—упругое на шаре 153—154

Резонанс 186—189

Релаксация 214

Свободное тело 24

Сдвиг 344 -345

Сечепие М2—143, 148—153

—дифференциальное 150—152, 154, 155

—полное 150, 152, 154—157, 236, 296—298

301

Сжимаемость 216, 315, 367

Сила 59

一 взаимодействия электронейтральных частиц 75—76

—вынуждающая 184

—действия и противодействия 60

—Лоренца 74

—непотенциальная (неконсервативная) 82,-

—потенциальная (консервативная) 82—84

—реакции опоры 78

—сопротивления Ньютона 80, 305

Стокса 80, 304

—сухого трения 79

—центральная 85

Силовой центр 85

Симметрия трансляционная 327

—фундаментальная 90—94

Система отсчета 24

——изолированная 57

инерциальная 25

лабораторная 113

Система отсчета неинерциальная 26

—термодинамически изолированная 213

—центра инерции 126, 143

Скорость 31

—вторая космическая 138—139

—групповая 207—208

—звука 365—368

—' первая космическая 138—139

—распространения волны (фазовая) 193— 194, 196

—секториальная 127

—• тепловая 219

—угловая 31

Сложение колебаний 191 — 192, 201—208

—скоростей классическое 39 релятивистское 51—52 Сокращение времени 43—44

—длины 44—46

Состояние асимптотическое 96

—локального равновесия 287

—м а крое копич ес кое (внутреннее) 211—214, 221

—метастабильное 319—323

—механическое 54—55, 252

—неравновесное 214, 292—293

—1 теплового равновесия 213, 287

Спектр частотный 189—190, 205—206 Спин ИЗ

Статистическая сумма 253

Статистические закономерности 211 Статистический вес 272—273, 282—283 —интеграл 253 Столкновения 141

—неупругие 141, 144—148

—упругие 141, 143, 153-156, 218

—экзотермические и эндотермические 146

Стокс (единица) 301

Температура 218—221, 270

—Дебая 355

—критическая 313

—характеристическая 230—231

Тепловой резервуар (нагреватель) 267, 278-280

Теплоемкость 265—266, 356—357

Теплопроводность 286, 293—330, 364

Термодинамика 258

—необратимых процессов 287

Течение ламинарное 80. 302—303

—турбулентное 80. 302—303

Точка поворота 106

—приложения силы 161

—тройная 323—325

Траектория 30

Третье начало термодинамики (теорема Нернста) 274

Угол рассеяния 139—140, 149—151

Ударная адиабата (адиабата Гюгонио) 379 一 волна 374—381

Узлы стоячей волны 202, 204

Ультразвук 362

Упругость насыщенного пара 314

Уравнение Ван-дер-Вайльса 226—227, 316—

318

Уравнение вращательного движения твердого тела 162

—Гамильтона 98

—движения 56—57

—диффузии 294

~1 Клапейрона — Клаузиуса 313

—Клапейрона —Менделеева 225

— непрерывности 292

一 поступательного движения системы (твердого тела) 63, 161

—Пуассона 264

—состояния 222, 227, 360

идеального газа 222—225

—теплопроводности 294

Ускорение 32—35

Условие нормировки 238

Фаза 173, 195

Фазовое пространство 252

Фазовые диаграммы 310—312

—превращения (переходы) 306—309

Флуктуации 221, 237, 25A257, 284, 319

Фонон 96—97, 102, 355

Формула Резерфорда 155

Функция Гамильтона 97

—процесса 82, 261—265

—состояния 55, 59, 67, 228

Холодильник, 267, 279—280

Центр инерции 61, 159—165, 168—169

Цикл Карно 267, 279—280

Циклотрон 120—121

Частота вырожденная 191

—гироскопическая (циклотронная) 120

—колебаний 173

—собственная 176

— циклическая 173

Число Авогадро 211

一 Рейнольдса 302

-—состояний 252, 257

—степеней свободы 29, 159, 231—234

Элементарная ячейка 327

Энергетическая щель 230

Энергия активации 335

—безмассовых частиц 101

—внутренняя 227—234, 260—261, 289, 356, 378—379

— идеального газа 232—234

—кинетическая 100—102

—покоя 101

—Потенциальная 83

—一 эффективная 129

—системы частиц 103—104

—твердого тела 168—170

—фонона 102

— центробежная 129

Энтальпия 265

Энтропия 267—275

Эрг 81

Эффект Допплера 200—201, 245

В заключение отметим, что если начальная скорость частицы

0о составляет с полем В угол, отличный от 90°, то в этом слу

чае частица будет двигаться по винтовой линии (рис. 4.6).

В этом легко убедиться следующим образом. Разложим сксн

рость частицы на две составляющие: 0 = 0i + ?2, где вектор иц

АВ Астахов

механика

кинетическая теория материи

7»"＞方

Я N》7 II

КУРС ФИЗИКИ

Под общей редакцией

Ю. М. ШИРОКОВА

ТОМ I

А. В. АСТАХОВ

МЕХАНИКА

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАТЕРИИ

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР 6 качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений

630

А 91

УДК 530

Александр Валентинович Астахов

КУРС ФИЗИКИ, ТОМ 1

Механика

Кинетическая теория материи

М , 1977 г , 381 стр. с илл.

Редактор В. А. Григорова

Техн, редактор И. Ш. Аксельрод

Корректор Л Н. Бороеина

Сдано в набор 31 01 77. Подписано к печати 28,06 77 Бумага бОХЭО1/^ тип. № 1. Физ. печ. л. 24. Условн. печ. л 24. Уч -изд. л. 23,03. Тираж 4 7 530 экз. Цена книги 9Э к Заказ № 490.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 1S8052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

20401 — 104*053 (02)-7720401 — 104*053 (02)-77БЗ-ЗЗ-ЗЗ-77БЗ-ЗЗ-ЗЗ-77© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977

20401 — 104

*053 (02)-77

20401 — 104

*053 (02)-77

БЗ-ЗЗ-ЗЗ-77

БЗ-ЗЗ-ЗЗ-77

7 920^^^n 0S^ ^ ^^^^ и и^^4141435358616817272801 I 11 и и 1* J и и 1* 1 и 1 J7 920^^^n 0S^ ^ ^^^^ и и^^4141435358616817272801 I 11 и и 1* J и и 1* 1 и 1 J

7 920^^^n 0S^ ^ ^^^^ и и^^414143535861681727280

1 I 11 и и 1* J и и 1* 1 и 1 J

7 920^^^n 0S^ ^ ^^^^ и и^^414143535861681727280

1 I 11 и и 1* J и и 1* 1 и 1 J

Предисловие

Введение