ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Явлением дифракции в широком смысле слова называется поведение волн в некоторой области, имеющей границу с теми или иными свойствами. Теория дифракции, рассматривающая волновые движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями в частных производных с линейными же краевыми условиями, занимает между физикой и прикладной математикой некоторое промежуточное положение, сдвигающееся с течением времени к последней.

Как стационарные (для установившихся во времени гармонических колебаний), так и нестационарные задачи дифракции возникают, и решения их используются в тех разделах физики, которые имеют дело с волновыми движениями, т. е. в акустике, оптике, радиофизике, динамической теории упругости, гидродинамике и других. К дифракционным относятся выходящие за рамки геометро-оптических вопросы распространения разного рода волн в условиях, осложненных природными (неоднородная атмосфера, море, земля) или техническими (неоднородные волноводы) обстоятельствами, огибание волнами различных препятствий, проникновение сквозь отверстия, решетки или прозрачные препятствия, отражение и поглощение волн различными объектами, в частности рассеяние волн на плазменных объектах, а также рассеяние нуклонов высоких энергий на атомных ядрах, излучение волн поверхностями (антенны), возбуждение поверхностных волн и другие вопросы. Отсюда видно, что с точки зрения приложений теория дифракции близка к физике.

С другой стороны, теория дифракции как наука ближе к математике. Действительно, любая задача дифракции независимо от ее отношения к тому или иному разделу физики может быть математически сформулирована в стационарном случае как краевая задача для уравнения эллиптического типа (или для системы таких уравнений); в нестационарном же случае — как смешанная задача с начальными и краевыми условиями для уравнения гиперболического типа (или системы таких уравнений). Оба типа задач, для широкого класса которых доказаны теоремы о существовании решения, как известно, рассматриваются в математике. С математической точки зрения целью теории дифракции является, во-первых, разработка аналитических и вычислительных методов нахождения решений таких задач для волновых уравнений с постоянными или переменными коэффициентами в областях различной формы при разных граничных условиях и, во-вторых, изучение и классификация свойств решений этих задач — свойств, отражающих поведение волн в различных условиях, т. е. явления дифракции. Однако выбор конкретных задач теории дифракции и появление новых направлений часто обусловливаются не внутренней логикой развития теории, а потребностями вышеуказанных разделов физики. Поэтому разработкой дифракционных проблем в настоя-

щее время занимаются как физики, так и математики, роль которых в развитии теории непрерывно возрастает. Так, например, достигнутые за последние годы большие успехи в теории дифракции нестационарных волн, стимулированные потребностями механики сплошных сред, обусловливаются в основном активным участием математиков.

Теория дифракции развивается в настоящее время настолько быстро, что монографическая литература как у нас, так и за границей не успевает отражать это развитие. Пока не имеется книги, всесторонне охватывающей методы и результаты современной теории дифракции. Помимо сложности обобщения не одной тысячи журнальных статей, это объясняется трудностью систематического описания методов в условиях, когда почти ежегодно появляются решения или исследования свойств решений таких задач, которые на протяжении десятков лет казались непреодолимо трудными для математического рассмотрения.

По этой причине не удивительно, что книгу Хёнла, Мауэ и Вест- пфаля «Теория дифракции», представляющую собой раздел авторитетного энциклопедического издания Handbuch der Physik, несмотря на свои большие размеры и широкий круг затронутых вопросов, все же нельзя считать энциклопедией по дифракции.

Если исключить несколько обобщающих замечаний в последней главе, в книге рассматриваются только стационарные краевые задачи для скалярного и векторного уравнения Гельмгольца (эквивалентного уравнениям Максвелла) с единственным постоянным во всей области волновым числом при нулевых граничных значениях для искомой функции или ее нормальной производной в скалярном случае и нулевой тангенциальной составляющей электрического поля в векторном случае.

Основное внимание уделено дифракции на препятствиях и отверстиях, в особенности случаю бесконечно тонких экранов и отверстий в них, когда в формулировку векторной задачи входит известное условие Мейкснера на остром ребре экрана. Более полное и разностороннее, чем в какой-либо иной книге, изложение этого важного вопроса делает данную книгу особенно интересной для читателя, тем более что развитие теории дифракции на тонких экранах многим обязано авторам книги.

В книге проведено сравнение различных методов решения таких задач, начиная от классических упрощенных методов Кирхгофа и Рубиновича и кончая строгим методом интегральных уравнений, систематически, хотя и кратко, изложенных в гл. III. В качестве примеров использования парных интегральных уравнений приводится впервые рассмотренная советским физиком Л. А. Вайнштейном задача о дифракции в волноводах с открытым концом, а также о дифракции на решетке из лент. Большим методическим достоинством является систематически проводимое параллельное рассмотрение задач для скалярных и векторных уравнений. Интерес представляет также изложение вариационных методов в теории дифракции, недостаточно освещенных в нашей литературе.

В гл. V рассматривается теория дифракции на гладких выпуклых телах, в частности на круглом цилиндре и сфере. При этом особый акцент со ссылками на работы В. А. Фока, М. А. Леонтовича и других авторов ставится на асимптотических представлениях решений для случая коротких волн. В этой главе, так же как и в гл. I, уделяется много внимания различным интерпретациям, которые не всегда точны и потребовали от редактора перевода внесения в книгу нескольких подстрочных примечаний. Здесь мы ограничимся замечанием по поводу поверхностных токов, которые при рассмотрении дифракции в области тени автор называет

ползущими токами (а соответствующие им поля — ползущими волнами) .

В стационарной теории дифракции, как и вообще в краевых задачах, иногда вместо рассмотрения непосредственно полей в области оказывается проще сначала отыскать с помощью интегрального уравнения краевые значения функции или ее производной (в частности, сводящиеся к поверхностным токам) только на самой граничной поверхности и лишь затем, если это необходимо, по найденным краевым значениям определять само поле в области посредством довольно сложной операции, используя подходящее интегральное тождество (например, формулу Грина). В связи с чисто математическими косвенными подходами такого типа в литературе довольно широко распространились попытки предсказывать и интерпретировать свойства волнового поля, не прибегая к его вычислению, по свойствам функции распределения краевых значений этого поля (например, поверхностных токов). Однако вследствие сложности внутреннего механизма интегральных тождеств их наглядная интерпретация иногда оказывается затруднительной и приводит к ошибочным суждениям.

Ошибочным является, в частности, представление о том, что поверхностные токи якобы обязательно должны рассматриваться как первопричина поля в области, а также что преимущественное влияние на поле в некоторой точке Р, расположенной вне поверхности, оказывает поверхностная плотность токов в окрестности ближайшей к Р точки поверхности. Примером является опущенное в данном издании подстрочное примечание авторов к п. 141, где утверждается, что если в области тени за выпуклым цилиндром удаляться от поверхности вдоль линии, нормальной к направлениям распространения (т. е. к дифрагированным лучам), то поле ползущей волны убывает по экспоненциальному закону. В действительности имеет место обратное: с удалением от поверхности цилиндра в таком направлении поле не убывает, а возрастает. Правильная интерпретация поведения волн в области тени за выпуклым цилиндром легко получается при рассмотрении поперечной (по отношению к лучам) диффузии амплитуды поля, происходящей на эвольвентообразных фронтах распространяющихся волн и направленной к поверхности цилиндра (см. статью «Дифракция волн», Физический энциклопедический словарь, т. 1, М., 1960). В таком истолковании внешнее поле является первопричиной поверхностных токов, а не наоборот. Заметим попутно, что при аналитическом отыскании асимптотического решения задачи методом поперечной диффузии получить непосредственно решение во всей рассматриваемой области над выпуклым цилиндром не сложнее, чем на самой поверхности.

Другим пунктом, нуждающимся в комментариях, является общая формулировка стационарной задачи дифракции в гл. I книги. Для формулировки условия в бесконечности автор использует принцип излучения Зоммерфельда и в то же время рассматривает такие области [например, уходящий на бесконечность произвольно искривленный экран с отверстием (см. фиг. 106)], для которых принцип излучения не приводит к математически формулируемому условию. Следовательно, в противоположность утверждению авторов общая формулировка стационарной задачи дифракции в книге отсутствует. .

Можно было бы сформулировать задачу единым образом для произвольной области (внешней, внутренней или обладающей границей, уходящей на бесконечность) с помощью принципа погашаемости, используя аналитическую зависимость решения от волнового параметра к (см. вышеупомянутую статью в «Физическом энциклопедическом словаре»),

однако автор затрудняет себе эту возможность, устранив заменой переменных параметр к из уравнений Гельмгольца.

При всем сказанном нужно отметить, что данное замечание, сделанное главным образом для того, чтобы побудить читателя к осторожности при обобщениях, относится в гораздо большей степени к формулировке самой по себе, чем к основному содержанию книги, поскольку в ней преимущественно рассматривается дифракция или на препятствиях конечного размера, когда имеет место обычное условие излучения, или на конечных отверстиях в экранах, хотя и бесконечных, но плоских и тонких, с простейшими краевыми условиями, когда задачу опять же можно свести к случаю конечного препятствия.

Перевод книги выполнен Н. Г. Вахитовым (введение, главы I и II), В. И. Ивановым (главы III и V) и М. П. Сахаровой (глава IV).

Книга будет полезна научным работникам, аспирантам, преподавателям вузов, а также студентам старших курсов, специализирующимся во всех тех разделах науки и техники, которые имеют дело с волновыми движениями, в особенности акустикам, радиофизикам и радиотехникам. Она может также помочь ориентировке математиков, занимающихся волновыми задачами или вообще интересующихся приложениями краевых задач дифференциальных уравнений эллиптического и гиперболического типов.

Г. Малюжинец

Введение

Исторический обзор. В развитии теории дифракции можно различать три этапа:

Традиционная теория дифракции света является, как известно, одним из крупнейших достижений Френеля (1818 г.), связавшего впервые принцип Гюйгенса (1690 г.), который до этого рассматривался чисто геометрически (построение огибающей), с юнговским принципом интерференции.

Принцип Гюйгенса — Френеля дает фактически полное объяснение исторически известных дифракционных явлений. Этот этап развития завершается работой Шверда (1835 г.) [1], в которой теория Френеля характеризуется следующим образом: «волновая теория предсказывает дифракционные явления так же надежно, как теория тяготения — движение небесных тел». Такое сравнение теории Френеля с теорией тяготения Ньютона кажется очень метким и с нашей сегодняшней точки зрения. В самом деле, хотя основы теории дифракции, так же как и теории тяготения, были тогда еще недостаточно ясны, в обоих случаях было достигнуто хорошее совпадение с опытом.

Строгую формулировку принципа Гюйгенса впервые дал Гельмгольц (1859 г.). Он показал, что принцип Гюйгенса приводит к интегральной формуле (как и в теории потенциала), позволяющей вычислять значение поля у в точке Р по значениям поля (и его нормальной производной dvldn) на некоторой вспомогательной замкнутой поверхности, охватывающей точку Р:

Кирхгоф применял эту формулу, которую в немецкой литературе (вопреки истории) часто называют «принципом Гюйгенса — Кирхгофа»1), к задачам дифракции на произвольных телах (1882 г.). При этом он сделал ряд дальнейших произвольных, теоретически недостаточно обоснованных допущений, так что его теория, хотя и охватывала теории дифракции как Френеля, так и Фраунгофера, тоже носила лишь приближенный характер. Практически теория дифракции Кирхгофа не идет далее френелевской теории.

Метод Кирхгофа состоит, как известно, в следующем: вспомогательная поверхность (замыкающаяся в бесконечности) плотно облегает тене-

х) Кирхгоф в своей теории дифракции рассматривал волновые явления с произвольной временной зависимостью, в то время как Гельмгольц исследовал стационарные волновые поля. Поэтому у Кирхгофа принцип Гюйгенса определяется более сложной формулой, чем у Гельмгольца.

вую сторону дифрагирующего тела; интегрирование в (1.1) распространяется на освещенную часть («отверстие») этой поверхности в предположении, что значения г? о и dv^ldn определяются на ней только падающей волной независимо от дифрагирующего тела. Формула Кирхгофа, таким образом, основана на двух предположениях: во-первых, что значения d и dvidn на теневой стороне тела близки к нулю и, во-вторых, что влияние дифрагирующего тела на распределение поля в точках «отверстия» несущественно. Эти допущения, однако, противоречивы (из первого, например, уже следует равенство нулю d во всем пространстве); они не воспроизводятся полученной формулой, т. е. значения поля на поверхности интегрирования, вычисленные из интеграла Кирхгофа, не совпадают с исходными. В связи с этим возникает вопрос о том, какой физической задаче соответствует решение волнового уравнения, представляемое интегралом Кирхгофа (независимо от эвристического способа вывода, данного Кирхгофом). Рубинович (1917 г.) указал, что решение Кирхгофа соответствует не краевой задаче, а задаче с заданным разрывом. При этом разрыв геометро-оптического поля на границе тени компенсируется противоположным по знаку разрывом в интеграле Кирхгофа, распространенном на конус тени. Аналогично Котлер (1923 г.) характеризует решение Кирхгофа как задачу с заданным разрывом, причем считается заданной величина разрыва при прохождении через бесконечно тонкий «черный экран»1). Однако как в акустике, так и в теории электромагнитных волн наличие дифрагирующего тела правильно описывается только некоторой краевой задачей.

Необходимо, далее, подчеркнуть, что теория Кирхгофа (в предельном случае коротких волн) применима только для определения поля на достаточно больших расстояниях, но и то лишь вблизи границы тени. Неприменимость теории вблизи дифрагирующего тела связана с тем, что кирх- гофовское решение можно интерпретировать в юнговском смысле (1801 г.), т. е. его можно представить как суперпозицию сферических волн, исходящих из точек края отверстия (Маджи, 1888 г.; Рубинович, 1917 г.). Поэтому краевая линия действует в методе Кирхгофа как дополнительный источник излучения, что приводит к недопустимым особенностям поля.

В последнее время Келлер (1953 г.) развил геометрическую теорию дифракции, в которой геометрическая оптика дополняется эвристической концепцией «дифрагированных лучей». Эта теория позволяет корректировать геометро-оптическое поле дифракционными членами, соответствующими асимптотическому разложению решения краевой задачи для малых длин волн. Теория Келлера тесно связана с предложенным Браунбеком (1950 г.) улучшением теории Кирхгофа.

Строгая формулировка принципа Гюйгенса, аналогичная формуле Гельмгольца (1.1), после работ Лармора (1903 г.) и Котлера (1923 г.) стала возможной и для электромагнитных волн.

Только благодаря работам Пуанкаре (1892 г.) и Зоммерфельда (1896 г.) стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных волн речь идет об обычной краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решения уравнений Максвелла, удовлетворяющего определенным краевым условиям. К этому надо добавить «условие излучения» (Зоммерфельд, 1912 г.), состоящее в том, что вся энергия, излучаемая источником (расположенным на конечном

9 Более подробное изложение теории Кирхгофа можно найти в книге Бекера и Копсона [2], а также в книге Рубиновича [3].

или бесконечном расстоянии), должна уходить в бесконечность. При этом, конечно, не учитывается возможное поглощение на поверхности дифрагирующего тела, имеющее место при конечной проводимости о. Если поверхность дифрагирующего тела имеет острые края (ребра), то постановка задачи должна быть дополнена еще «условием на ребре» (Мейкснер, 1948 г.), необходимым для того, чтобы энергия излучалась только заданным источником и не было дополнительного «излучения» от ребер. Дифрагирующее тело может иметь любую форму и состоять из любого материала, характеризуемого константами е, рс, о. Краевая задача, сформулированная таким образом, позволяет рассматривать единым методом такие явления, как отражение, рассеяние, поглощение и дифракция.

Что касается круга обсуждаемых задач, то в настоящей работе мы ограничимся «идеальными проводниками» (су —> со), на поверхности которых обращается в нуль тангенциальная составляющая напряженности электрического поля. Эта идеализация, являющаяся весьма рациональной в рамках теории Максвелла, очень хорошо передает свойства некоторых металлов (например, меди) при частотах, обычных для микроволновой техники. Правда, в области собственно оптических частот даже в очень хороших проводниках наблюдаются такие явления, которые могут быть объяснены только с учетом конечной проводимости (как это сделано, например, в теории Ми цветовых явлений в коллоидных растворах). Как в исторически возникших дифракционных задачах, так и в современной антенной технике представляют особый интерес бесконечно тонкие «экраны», которые в рамках теории Максвелла могут быть охарактеризованы как поверхности разрыва поля. Кроме того, мы не будем касаться задач о собственных колебаниях в полостях и волноводах, хотя при наличии отверстий в таких устройствах (щелевые антенны) также возникают дифракционные явления, тесно примыкающие к рассматриваемым здесь).

В отношении формулировки краевой задачи в строгой теории дифракции можно выделить в основном три различных подхода.

я) Метод поверхностных токов. Идея метода принадлежит Пуанкаре; ее можно сформулировать следующим образом: падающая волна индуцирует на поверхности дифрагирующего тела поверхностные токи, которые со своей стороны обусловливают возникновение вторичного дифракционного поля. При этом распределение токов определяется как падающей волной, так и вторичным полем, обусловленным всеми элементами поверхности. Такой подход приводит к интегральному уравнению для нахождения распределения поверхностных токов (Мауэ, 1949 г.). Если известно это распределение, то суммарное поле может быть представлено, согласно строгому смыслу принципа Гюйгенса, интегралом по поверхности дифрагирующего тела. Это соответствует представлению дифракционного поля как суперпозиции вторичных сферических волн, излучаемых каждым элементом тока (принцип Гюйгенса — Пуанкаре)). Собственно математическая задача в этом методе состоит, таким образом, в определении поверхностных токов.

Воспользовавшись математическим аппаратом теории линейных операторов и опираясь на физическую концепцию поверхностных токов, Мюллер [8] смог довести до определенной завершенности общую теорию дифракции, т. е. доказать теоремы существования и единственности решения. Благодаря этому теория дифракции поля по своей внутренней замкнутости стала сравнимой с теорией потенциала, чего нельзя, однако, сказать об имеющихся методах нахождения строгих явных решений конкретных задач.

Для определения индуцированного поверхностного тока можно воспользоваться рядом по возрастающим степеням параметра 8 — ка (к — волновое число, а — характерный размер тела). В качестве нулевого приближения удобно при этом взять предельный статический случай (когда длина волны велика по сравнению с размером а). При этом методе соответствующий электростатический потенциал используется для нахождения решения динамической задачи методом последовательных приближений (Баукамп, 1949 г.). Первый шаг в построении такого метода возмущений восходит к Рэлею (1897 г.).

Метод, позвляющий перекрыть более широкий диапазон частот, связан с возможностью формулировки вариационной задачи, для которой экстремалью является поверхностный ток (Левин и Швингер, 1948 г.). В связи с этим для теории дифракции могут оказаться очень плодотворными приближенные методы вариационного исчисления (в особенности метод Ритца). Далее существенно, что амплитуда поля на больших расстояниях может быть приведена к «стационарной форме», так что при относительно произвольном выборе поверхностных токов получается качественно правильная фраунгофер ова дифракционная картина для всего диапазона частот. В количественном отношении точность метода зависит от точности определения поверхностного тока.

Для малых длин волн (е > 1) можно, исходя из интегрального уравнения для поверхностного тока, рассчитать поправки к геометро-оптическому полю. При этом речь идет о представлении решения краевой задачи асимптотическим рядом по убывающим (дробным) степеням 8. Эти разложения для плоских экранов (Левин, 1955 г.; Вестпфаль,1959 г.) имеют иной характер, чем для выпуклых тел (Фок, 1946 г.;Франц, Депперман, 1952 г.). В последнем случае дифракционное поле можно интерпретировать как результат тангенциального излучения «ползущего тока», затекающего вдоль поверхности тела в область геометрической тени.

Метод Фуръе. Другой подход к строгому рассмотрению задач дифракции (развивавшийся до сих пор главным образом применительно к плоским экранам) связан с использованием фурье-представления функции, описывающей волновое поле. Компоненты Фурье при этом можно рассматривать как амплитуды идущих из разных направлений плоских волн (включая и неоднородные волны) «фраунгоферова дифракционного поля» (Клеммов, 1951 г.; Хёнл, 1952 г.). Система парных интегральных уравнений для определения амплитуд Фурье, получающаяся с помощью краевых условий и условия непрерывности, имеет при этом исключительно простой вид (как для скалярных, так и для векторных полей). Можно показать математическую связь этого метода с методом Пуанкаре. Для этого достаточно в формулах для поверхностного тока и сферической волны перейти к их трансформантам Фурье, причем компоненты поверхностного тока дают непосредственно поле в зоне Фраунгофера.

Знаменитое зоммерфельдовское решение задачи дифракции на полуплоскости (являющееся исторически первым примером точного решения

дифракционной задачи) было также получено с применением интеграла Фурье. Правда, амплитуды Фурье в этой задаче определяются из требования однозначности решения на двухлистной римановой поверхности; краевые условия на поверхности экрана выполняются тогда на основании зоммерфельдовского принципа зеркального отражения. Зоммерфельд нашел свое решение эвристическим путем, в то время как метод парных интегральных уравнений позволяет систематически подойти к цели.

Метод разделения переменных и метод Винера — Хопфа. «Классический» метод решения краевых задач (также восходящий к Фурье) состоит в том, что вводится криволинейная система координат, в которой поверхность дифрагирующего тела совпадает с одной из координатных поверхностей. Этот метод, однако, может применяться только в тех случаях, когда в новой системе координат, выбранной в соответствии с поверхностью тела, возможно разделение переменных в дифференциальном уравнении. (Для этого необходимо, чтобы координатные поверхности представляли собой семейство поверхностей второго порядка.) В общем случае метод приводит к рядам по трансцендентным функциям с возрастающими индексами. Получение числовых результатов зависит тогда от наличия таблиц данных функций. Число необходимых членов ряда определяется порядком величины s — ка (ряды по восходящим степеням s сходятся гораздо хуже). Для рассмотрения предельного случая, охватывающего геометрическую оптику, ряды удается преобразовать так, что они очень быстро сходятся как раз для 8 > 1 (преобразование Ватсона, 1918 г.); это приводит снова к упомянутым выше «ползущим волнам».

Очень плодотворным для дальнейшего развития теории краевых задач оказалось применение метода разделения переменных в сочетании с предложенным Винером и Хопфом методом теории функций. Именно таким путем удалось рассмотреть задачи, связанные с полубесконечными цилиндрическими поверхностями второго порядка, основания которых лежат в плоскости, перпендикулярной к образующим цилиндра. Простейший пример, относящийся сюда,— это полуплоскость (задача, допускающая полное разделение переменных). В качестве более сложных примеров можно назвать задачи о двух параллельных или круглых волноводах (с бесконечно тонкими стенками), имеющих один открытый конец. При этом существенно, что краевое условие задается лишь на некоторой части одной из координатных поверхностей; на остальной же части этой поверхности должно выполняться условие непрерывности. Метод, о котором идет речь, был развит Швингером и Копсоном (1946 г.) и состоит в следующем: вместо искомой функции рассматривается некоторое ее интегральное преобразование; для определения этой новой функции из краевых условий и условия непрерывности служит функциональное уравнение, которое может быть разрешено методом Винера и Хопфа). (Этот метод можно рассматривать и как метод решения интегрального уравнения для поверхностного тока в случае открытых волноводов.)

В первой части излагаются (по мере возможности с единой точки зрения) основные положения и общие методы теории дифракции).

Вторая часть посвящена конкретным задачам дифракции. Из большого числа дифракционных задач, описанных в литературе, в нее вклю-

чены лишь некоторые более или менее простые задачи, которые в то же время являются наиболее типичными. К таковым относятся задачи дифракции на полуплоскости, на щели, на круглом диске, на круглом цилиндре и сфере).

ЛИТЕРАТУРА

S с h w е г d F. М., Die Beugungserscheinungen aus den Fundamentalgesetzen der Undulationstheorie entwickelt, Mannheim, 1835.

В a k e г В. В., С о p s о n E. T., The Mathematical Theory of Huygens Principle, 2 ed., Oxford, 1950.

R u b i n о w i c z A., Die Beugungswelle in der Kirchhoffschen Theorie der Beugung, Warschau, 1957.

Markuvit z N., Waveguide Handbook, New York, 1951. (См. перевод: «Справочник по волноводам», М., 1952.)

Z u h г t Н., Elektromagnetische Strahlungsfelder, Berlin, 1953.

В о r g n i s F., Papas C., Randwertprobleme der Mikrowellenphysik, Berlin, 1955. (См. также: Handbuch der Physik, Bd. XVI, Berlin, 1958.)

G о u b a u G. Elektomagnetische Wellenleiter und Hohlraume, Stuttgart, 1955.

M u 1 1 e r CL, Grundlagen der mathematischen Theorie elektromagnetischer Schwingungen, Berlin, 1957.

Noble B., Methods based on the Wiener-Hopf-Technique for the Solution of Partial Differential Equations, London — New York — Paris — Los Angeles, 1958. (См. перевод: Б. H о б л, Метод Винера — Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1962.)

В a t m a n Н., Elektrical and Optical Wave Motion, Cambridge, 1915.

Epstein P., Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften, Bd. V, Leipzig, 1919.

Frank Ph., Mises R., Die Differential - und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Bd. 2, Aufl. 1 u. 2, Braunschweig, 1927 u. 1934. (См. перевод: Ф. Ф p а н к и P. M и з e с, Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, М.— Л., 1937.)

Sommerfeld A., Vorlesungen uber theoretische Physik, Bd. 4, Wiesbaden, 1950. (См. перевод: А. Зоммерфельд, Оптика, ИЛ, 1953.)

W о 1 f s о h n G., в книге Handbuch der Physik, Bd. XX, Berlin, 1928, Кар. 7.

Stratton J. A., Electromagnetic Theory, New York, 1941. (См. перевод: Дж. Стрэттон, Теория электромагнетизма, М.— Л., 1948.)

Т о г а 1 d о di Francia G., Electromagnetic Waves, New York, 1955.

Franz W., Theorie der Beugung elektromagnetischer Wellen, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1957.

В о r n M., Wolf E., Principles of Optics, London -— New York — Paris — Los Angeles, 1959.

К i n g R. W. P., W u T. T., The Scattering and Diffraction of Waves, Cambridge (Mass.), 1959. (См. перевод: P. К и н г, У T а й-ц з у и ь, Рассеяние и дифракция электромагнитных волн, ИЛ, 1962.)

Bouwkamp С. J., Progr. Phys., 17, 35 (1954).

1

часть

ОСНОВНЫЕПОЛОЖЕНИЯИ ОБЩИЕ МЕТОДЫ

ГЛАВА 1

Основные положения

§ 1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА, КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯИ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Уравнения Максвелла и краевые значения. Естественно начать наше изложение с электродинамических уравнений Максвелла:

rot @div 55=0,j\

rot§ —® = j,div®=Q;

смысл векторов (5, 55, @, ® известен, а зависимость между плотностями тока и заряда (уравнение непрерывности) имеет вид

p4-divj = 0.(2.2)

Будем полагать, что волновое поле является монохроматическим, как это общепринято в оптике, т. е. имеет место чисто периодическая временная зависимость, описываемая множителем ехр (— йо£), который в дальнейшем мы опустим; тогда из (2.1) при использовании соотношений S) = 8@, $ = ц^, j=o@ следует

rot@— /соц^, rot^— —M08@+j.(2.1a)

Условия (2.1) для дивергенций в системе с учетом (2.2) удовлетворяются при этом автоматически.

Далее предполагается, что в пространстве, заполненном средой с постоянными скалярными параметрами — магнитной проницаемостью Цо и диэлектрической проницаемостью 80, — расположены «идеальные» (электрические) проводники (а—> со) произвольной формы. Внутри такого идеального проводника (в дальнейшем называемого дифрагирующим телом) поле должно равняться нулю; в противном случае имело бы место j—> оо. (Поэтому имеет смысл говорить об «идеальном отражении».) Из этого следует, что на поверхности (5) проводника имеет место краевое условие

[П@] = 0 на (8),(2.3)

где п — внешняя нормаль к поверхности.

Идеальный проводник при необходимости можно также характеризовать значениями 8—> оо, а—>0 (а не только через а—> оо). По аналогии с этим можно чисто формально говорить о теле с противоположными свойствами, т. е. о теле, у которого 8—>0, ц—> оо (идеальный «магнитный» проводник); на его поверхности (Z) будет иметь место краевое условие (фиг. 1)

[п^] = 0 на (Z).(2.3а)

Надо заметить, что в то время как при не очень высоких частотах металлические тела достаточно близки к идеальному электриче- 2 Заказ №13

скому проводнику, осуществить идеальный магнитный проводник еще не удалось.

При изложении этой общей части целесообразно измерять все линейные размеры в единицах длины волны X, соответствующей частоте со:

(2.4)(2.4)к =(0^60^0=-^-»

(2.4)

(2.4)

где к — волновое число, (еоЦо)-1^ — скорость распространения в данной среде. Далее мы устраним ненужные коэффициенты, воспользовавшись

Фиг. 1. Идеальный электрический (5) и идеальный магнитный (L^ проводники в электрическом поле.Фиг. 1. Идеальный электрический (5) и идеальный магнитный (L^ проводники в электрическом поле.преобразованием кх —> V (г — радиус-вектор), а под § будем понимать напряженность магнитного поля, умноженную на «волновое сопротивление»: ]/ц0/80 ^ —> ^; векторы ® и ^ имеют теперь одинаковую размерность и уравнения (2.1) принимают простой вид [(1/ае0) j—»j]:

Фиг. 1. Идеальный электрический (5) и идеальный магнитный (L^ проводники в электрическом поле.

Фиг. 1. Идеальный электрический (5) и идеальный магнитный (L^ проводники в электрическом поле.

rot (S = Z^, rot ^ = —- № + ф

Относительно плотности тока j следует заметить, что ее мы считаем заданной и она играет роль источ

ника излучения, т. е. источника

вектора Пойнтинга, усредненного по времени [divS =—1/з^е (i®^)^ см- п. 16]. Плотность заряда определяется из уравнения непрерывности div j — ^q = 0. В теории дифракции в качестве источников чаще всего рассматриваются особые точки в бесконечности или на конечном расстоянии (плоские или сферические волны). Поэтому мы можем положить j—0 (если нет другого условия), но считать, что поле имеет особые точки (являющиеся источниками энергии).

Величина разрыва. Если вдоль некоторой поверхности (с нормалью п) задано распределение тангенциальных компонент вектора поля, то с помощью уравнений Максвелла всегда можно определить нормальные компоненты. В дальнейшем нам часто придется пользоваться этим. Из соотношений

[п®] = £, [n@] = 3, (3.1) где 8 и 3 — произвольные непрерывные векторы на поверхности, т. е. векторы, лежащие в плоскости, касательной к поверхности в рассматриваемой точке, и определенные только для точек этой поверхности, и уравнений (2.16) следует

(п®) - г (и [V^]) - - Z (V [п^]) = - г div 3, (3.2а) поскольку [Vn] — 0. Последнее условие выполняется в том случае, когда нормаль п непрерывна, т. е. поверхность не имеет изломов или кромок. Соответственно получаем

(п^)= г div 8. (3.26)

Символом div обозначена здесь операция поверхностной дивергенции, при выполнении которой рассматриваются лишь точки поверхности, лежащие в окрестности точки с нормалью и (см. ниже).

Аналогичным образом можно рассматривать поверхности, при переходе через которые векторное поле претерпевает разрыв (фиг. 2). Будем различать в дальнейшем положительную и отрицательную стороны поверхности (под положительной подразумевается сторона, из которой

Ф и г. 2. Поверхности разрыва, образованные бесконечно тонкими электрическим (5) и магнитным (L) проводниками.Ф и г. 2. Поверхности разрыва, образованные бесконечно тонкими электрическим (5) и магнитным (L) проводниками.выходит нормаль). Тогда разрыв электрического вектора может быть записан как @+ —@- (аналогично для @. Если теперь заданы величины разрыва тангенциальных компонент

Ф и г. 2. Поверхности разрыва, образованные бесконечно тонкими электрическим (5) и магнитным (L) проводниками.

Ф и г. 2. Поверхности разрыва, образованные бесконечно тонкими электрическим (5) и магнитным (L) проводниками.

[п, @+-@-] = 8,[и,

(3.3)

то, как и выше, с помощью (2.16) мы можем получить величину разрыва нормальных компонент

(n, @+-@_)=-idivS, а(3.3а)

(п, £+ — ^-)= idiv£.

В частности, тангенциальная компонента ^ при переходе через поверх-

ность идеального проводника претерпевает разрыв, равный [П^]+=3 (так как поле внутри идеального проводника равно нулю; см. фиг. 1); 3, согласно уравнениям Максвелла (2.16), представляет собой поверхностный электрический ток, поскольку [п^] есть поверхностный ротор, в который вырождается ротор поля ^. Тангенциальная компонента @, как видно из (2.3), непрерывна; то же, следовательно, справедливо и для нормальной компоненты ^. Нормальная же компонента @, согласно (3.3а), претерпевает разрыв (п@)+= —£div3, равный по величине поверхностному заряду щ связанному с 3 уравнением непрерывности div 3— гц — 0. Соответственно этому по поверхности магнитного проводника течет «магнитный поверхностный ток» 8—[ng]+j так что имеется распределение «поверхностных магнитных зарядов») (п@)+ = = г div й.

Если сплющить тела, изображенные на фиг. 1, так, чтобы они свелись к поверхностям, показанным на фиг. 2, то получим «экраны» (5) или (А), по которым текут поверхностные токи [п, ^+— ^-]—3 или [п, ®+ — @_] — 8. Такие экраны можно понимать, следовательно, как ограниченные поверхности, на обеих сторонах которых должны выполняться краевые условия [п@] — 0 или [п^] = 0. Практически свойствами экрана (5) обладает тонкая металлическая фольга (толщина которой мала по сравнению с длиной волны), отверстия же в плоской металлической фольге обладают в известном смысле свойствами экрана (А) [см. п. 26; обозначения (5) и (А) относятся соответственно к экрану и отверстию] ). Заметим еще, что разрыв тангенциальных компонент ©

или § можно связать с поверхностной намагниченностью m и поверхностной электрической поляризацией р:

[и, ®+ — 6-1 = мп, [и, §+ —^_]=—?р.(3.36)

Ниже мы будем придерживаться следующих обозначений: радиус- вектор точки наблюдения всюду будем обозначать через г, а точек интегрирования — через г'. Радиус-вектор точки некоторой поверхности с нормалью и будем обозначать через г (г' —соответственно радиус- вектор точки поверхности с нормалью п')« Элементы объема и поверхности будут обозначаться соответственно через dr и dr (иногда также через dr и do, если не выписываются переменные интегрирования). Далее, проекцию произвольного вектора 31 на плоскость, касательную к некоторой поверхности в точке г, будем обозначать через 31; очевидно, (пЙ) — 0. Наряду с трехмерным символическим вектором V (набла) будем также пользоваться двумерным оператором V; он удовлетворяет соотношению (nV) ~0. Соответственно все двумерные дифференциальные выражения, образованные с помощью оператора V, будем снабжать крышкой (д); например, (V^^div^- Наконец, будем пользоваться сокращенной записью

§ 2. ПЛОСКИЕ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ) ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИИ РАЗДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Плоские (цилиндрические) задачи. Пусть дифрагирующее тело представляет собой цилиндр с образующими, параллельными оси у декартовой системы координат. Будем рассматривать только источники, создающие поля, которые не зависят от координаты у (т. е. цилиндрические волны или плоские волны, распространяющиеся параллельно плоскости х^. В этом случае все перпендикулярные оси у плоскости физически равнозначны и вектор волнового поля не зависит от у (д/ду =0). Тогда уравнения Максвелла распадаются на две независимые системы уравнений соответственно для компонент (S^, ^ ^ и ^, @х, ®z- Таким образом, компоненты поля, поляризованные параллельно или перпендикулярно оси у (т. е. обладающие соответствующей ориентацией электрического вектора), не зависят друг от друга и могут рассматриваться отдельно. Эти два случая поляризации мы будем в дальнейшем называть р- и s-случаями.

Для р- и s-случаев из (2.16) (в декартовой системе координат) следует

^-случай: @ = (0, и, 0),°-

s-случай: @=(0, и, 0),О-М

и «черные экраны». Для описания их прежние теории дифракции прибегали к очень неопределенной с физической точки зрения задаче с заданным разрывом (см. п. 29 и 30), тогда как краевая задача имеет четкий физический смысл. Об импедансных краевых условиях см. работы [2 — 5, 28]. (См. также работы [71 — 78].— Прим. ред.)

где х) в обоих случаях удовлетворяет волновому уравнению

= «=(4.2)

\ ох2 1 dz2 /\7

Краевое условие (2.3) для ^-случая принимает вид

^ = 0 на"(5),(4.3/?)

а для s-случая записывается как

£=0 на (5);(4.3s)

последнее вытекает из (4.1s). Здесь (5) есть линия пересечения дифрагирующего цилиндра с плоскостью xz, а п—ее внешняя нормаль. Из краевого условия (2.3а) следует, что d*ojdn = 0 или у = 0, т. е. р- и s- случаи меняются местами.

Таким образом, плоскую электромагнитную задачу дифракции можно свести к скалярной акустической задаче [6]. Краевые условия у = 0 и dDjdn^O соответствуют условиям на поверхности «акустически мягкого» или «акустически жесткого» тела. При изложении скалярной теории мы будем иногда касаться и пространственных задач, т. е. будем рассматривать решение уравнения

А у и — 0 (А —9)(4.4)

1\ ох2 1 оу2oz2 у4

при краевых условиях (4.3/?) или (4.3s), где (5) может быть поверхностью любого тела. Для краткости мы по-прежнему будем говорить о р- и s-случаях, хотя теперь различаются не направления поляризации, а краевые условия для волновой функции у (потенциала скорости).

Таким образом, задача о дифракции электромагнитных волн произвольной поляризации сводится к нахождению двух независимых скалярных функций, удовлетворяющих волновому уравнению, что существенно упрощает математическое разделение. Это разделение (имея в виду разделение компонент и в краевых условиях) мы и назовем разделением уравнений Максвелла.

как другой вектор можно найти по формуле — г rot® или ® = Zrot^. Отсюда следует, что задача нахождения электромагнитного дифракционного поля в общем случае сводится к определению трех скалярных функций (которыми являются три декартовы компоненты ® или ^), удовлетворяющих уравнению (4.4). В общем случае эти функции не являются независимыми, а связаны между собой соотношениями (5.2а), а также краевым условием.

Связь через краевое условие можно устранить, если выбрать систему координат так, чтобы одна из координатных поверхностей совпала с поверхностью (5) дифрагирующего тела. Пусть три семейства координатных поверхностей определены параметрами ^ (^ = 1, 2, 3), а поверхность тела (5) задана как ^ — const — ^0. Тогда радиус-вектор г является функцией этих параметров: r = r(^, g2> £з)- Пусть gb в частности, есть взаимно ортогональные координаты

(«)(5-3)

Векторы dr/d^z- в каждой точке пространства образуют ортогональный репер, и соответствующие компоненты ®z вектора ® могут быть записаны в виде

(5.4)

Краевое условие (2.3) принимает теперь простой вид

@2 = ®з=0 для ^ = ^0-(5.5)

Если теперь уравнения Максвелла для компонент ®z- и ^t записать в координатах ^ то в общем случае нельзя получить дифференциальное уравнение, содержащее только 6/ или только ^. Устранение связи в краевом условии приводит, таким образом, к неизбежному появлению связи в самом дифференциальном уравнении.

Бромвич [7] (см. также работу Ламонта [8]) показал, однако, что если ограничиться рассмотрением координатных систем, удовлетворяющих условию

т(х>0'

то можно ввести два независимых скалярных потенциала nf и П2, удовлетворяющих обобщенному волновому уравнению

Га—^^-+1)пь2 = 0(5.7)

и связанных с решением уравнений Максвелла (2.16) соотношениями: ^=0,■’

£<П =(5‘8а) d2 *з д^з 2*2 9^3^х

л<1>($:<!) =Ь 92П1

Зз ~ s2 Э^2 ’^«з с«3 ’

L dg3 V s3 dy у 1 d^2 \ s2 3^2 у J 1

A=А , (5.86)

%^3^1^2 ’3^2^2 *

Полное поле определяется отсюда по формулам

@ = ^^ + ^\Q = ^ + ^.(5.9)

Дифференциально-геометрические свойства систем координат, допускающих бромвичское разделение уравнений Максвелла, т. е. удовлетворяющих условию (5.6), были исследованы Мюллером [9] (см. также *[10, 11]). Обнаружилось, что координатные поверхности ^ = const представляют собой или сферы, или параллельные плоскости. Условию (5.6) удовлетворяют, таким образом, только сферическая и цилиндрическая системы координат. Разделение уравнений Максвелла в цилиндрических координатах мы уже рассматривали выше (см. п. 4). Аналогичный упрощенный подход возможен, таким образом, еще в случае дифракции на сфере (и только в этом случае). Этот метод применил впервые Ми [12] при рассмотрении световых явлений в коллоидных растворах (рассеяние круглыми микроскопическими частицами). Потенциалы П4 и П2, упомянутые здесь в связи с методом Бромвича, были введены Дебаем (дебаевские потенциалы, см. ниже).

Мёглих [13] показал, что уже для эллипсоида разделение уравнений Максвелла в общем случае невозможно (см. также п. 153).

При решении волнового уравнения тоже возникают трудности, связанные с необходимостью удовлетворять краевым условиям. Эти трудности можно преодолеть, если волновое уравнение в свою очередь допускает разделение переменных в координатах ^, т. е. после подстановки и (L, ^2. ^з) = Ф1 (^j) Ф2 (£2) Фз (Ь) уравнение, записанное в координатах ^, распадается на три обыкновенных дифференциальных уравнения для ФД^)- Это имеет место, как известно, только для поверхностей второго порядка, включая и вырожденные случаи (например, для круглого диска).

Потенциал Дебая. Пусть имеется некоторое поле, обладающее тем свойством, что в сферической системе координат г, й, <р радиальная компонента ^т магнитного поля тождественно равна нулю. Тогда на основании (2.16) имеем rotr@ = 0, т. е.тангенциальные компоненты вектора 6, лежащие на сферических поверхностях, могут быть определены через некоторый потенциал

®танг= gradTaHr[76(6*1)

Введем вектор (вектор Герца)

3 = ® + gradZ7.(6.2)

Тогда, принимая во внимание уравнение (5.1), рассматриваемое поле будет описываться соотношениями

@ = rotrot3, ^=—Zrot3-(6.3)

Вектор 3, как видно из (6.1), направлен радиально. Теперь мы, не ограничивая общности, можем ввести некоторую скалярную функцию П

и записать соотношения (6.3) в виде

@ = rot rot (гП),$= — Zrot (Ш).(6.4)

При подстановке выражений (6.4) в уравнения Максвелла (2.16) второе из них тождественно удовлетворяется; из первого следует

rot rot rot (гП) = rot (гП),(6.5)

или, что равнозначно,

rot rot (гП) = гП + grad У,(6.6)

где У— произвольная функция. Если выбрать У в следующем виде:

У = div (гП) —2П,(6.7)

то уравнение (6.6) переходит в волновое уравнение

АП + П-0.(6.8)

Такой же метод рассмотрения с обменом ролей электрического и магнитного полей применим и в том случае, когда равна нулю радиальная компонента электрического вектора. В общем случае электромагнитное поле может быть представлено только с помощью двух скалярных функций:

6 = rot rot (гП^ + i rot (гП2),§ = — Z rot (гП^ + rot rot (гП2), (6.9)

где Hi и П2— потенциалы Дебая, удовлетворяющие волновому уравнению

ДПг + П; = 0(Z=l, 2).(6.10)

Потенциал Дебая [14] находит применение (см. п. 152) в теории дифракции на сфере) и круглом диске [21].

Вектор Герца для плоских экранов. В методе Бромвича векторы дх!д^г полагались непрерывными. Но если координатная поверхность, соответствующая поверхности тела, имеет ребра, то направления векторов дг/д^ на этих ребрах испытывают разрыв. Поэтому, когда дифрагирующее тело имеет ребра, возникают дополнительные трудности, связанные с тем, что краевая задача для уравнений Максвелла может иметь теперь не одно, а множество решений, отличающихся друг от друга характером особенности на ребре. Однако можно показать, что решение определяется однозначно, если потребовать существования интеграла от плотности энергии вокруг ребра (условие на ребре Мейкс- нера, см. п. 22). Рассмотрим с помощью вектора Герца (6.3) дифракцию на плоском экране произвольной формы (ограниченный участок плоскости), не затрагивая пока более детально вопроса об условии на ребре. Для этого случая вектор Герца может быть выбран параллельным плоскости экрана и будет иметь только две компоненты. Это достигается, если вектор-потенциал, который, согласно (6.3), фактически совпадает с вектором Герца, представить с помощью известного метода как интеграл от распределения тока (см. п. 53). При этом дифракционное поле создается током на поверхности тела, а падающая волна —- бесконечно удаленным электрическим диполем, направление колебаний которого предполагается параллельным плоскости экрана.

Рассмотрим краевое условие на экране (5). Пусть экран расположен в плоскости ху. Вектор Герца имеет отличные от нуля компоненты За и ^у, т. е. 3 = (3х, 3?/> 0)- Введем для сокращения записи функцию Ф, определив ее следующим образом:Рассмотрим краевое условие на экране (5). Пусть экран расположен в плоскости ху. Вектор Герца имеет отличные от нуля компоненты За и ^у, т. е. 3 = (3х, 3?/> 0)- Введем для сокращения записи функцию Ф, определив ее следующим образом:^ + ^+Ф = 0.дх ду 1^ + ^+Ф = 0.дх ду 1(7-1)(7-1)Исходя из (6.3) и учитывая также, что 3 удовлетворяет волновомуИсходя из (6.3) и учитывая также, что 3 удовлетворяет волновомууравнениюуравнениюА3 + 3 = о,А3 + 3 = о,(7.2)(7.2)получаем, что краевое условие @танг = 0 принимает теперь следующий вид:получаем, что краевое условие @танг = 0 принимает теперь следующий вид:ех = 3х-^ = о, ох~3дФ п®у- Зу57-0ех = 3х-^ = о, ох~3дФ п®у- Зу57-0на (5).на (5).(7.3)(7.3)Исключив Зх 11 3?/ из (7-1) и (7.3), получаем краевое условие для Ф:Исключив Зх 11 3?/ из (7-1) и (7.3), получаем краевое условие для Ф:52ф | 92ф дх2 1 ду252ф | 92ф дх2 1 ду2t ф= 0 на (S).t ф= 0 на (S).(7.4)(7.4)

Рассмотрим краевое условие на экране (5). Пусть экран расположен в плоскости ху. Вектор Герца имеет отличные от нуля компоненты За и ^у, т. е. 3 = (3х, 3?/> 0)- Введем для сокращения записи функцию Ф, определив ее следующим образом:

Рассмотрим краевое условие на экране (5). Пусть экран расположен в плоскости ху. Вектор Герца имеет отличные от нуля компоненты За и ^у, т. е. 3 = (3х, 3?/> 0)- Введем для сокращения записи функцию Ф, определив ее следующим образом:

^ + ^+Ф = 0.

дх ду 1

^ + ^+Ф = 0.

дх ду 1

(7-1)

(7-1)

Исходя из (6.3) и учитывая также, что 3 удовлетворяет волновому

Исходя из (6.3) и учитывая также, что 3 удовлетворяет волновому

уравнению

уравнению

А3 + 3 = о,

А3 + 3 = о,

(7.2)

(7.2)

получаем, что краевое условие @танг = 0 принимает теперь следующий вид:

получаем, что краевое условие @танг = 0 принимает теперь следующий вид:

ех = 3х-^ = о, ох

~3дФ п

®у- Зу57-0

ех = 3х-^ = о, ох

~3дФ п

®у- Зу57-0

на (5).

на (5).

(7.3)

(7.3)

Исключив Зх 11 3?/ из (7-1) и (7.3), получаем краевое условие для Ф:

Исключив Зх 11 3?/ из (7-1) и (7.3), получаем краевое условие для Ф:

52ф | 92ф дх2 1 ду2

52ф | 92ф дх2 1 ду2

t ф= 0 на (S).

t ф= 0 на (S).

(7.4)

(7.4)

Функция Ф имеет, таким образом, значение скалярного потенциала. Уравнение (7.1) есть условие Лоренца. С помощью уравнений (7.1) — (7.4) осуществляется разделение уравнений Максвелла для рассматриваемого случая плоского экрана; однако задача пока поставлена не однозначно, так как не сформулировано краевое условие для Ф на ребре экрана. Условие на ребре подробнее обсуждается ниже (см. п. 25 и 54).

При рассматривавшемся до сих пор методе разделения искомое поле определялось как частное решение одного или нескольких дифференциальных уравнений, удовлетворяющее определенным дополнительным условиям (краевое условие, условие излучения, условие на ребре). При прямом подходе к решению задачи мы должны найти сначала общее решение дифференциального уравнения, а затем согласовать его с дополнительными условиями. Такой прямой подход, конечно, не может нас удовлетворить, так как приходится определять все множество решений дифференциального уравнения, из которых в конечном счете только одно представляет интерес для данной дифракционной задачи. Этот недостаток полностью или частично устраняется, если дифракционную задачу сформулировать с помощью интегрального, а не дифференциального уравнения (см. гл. III). Интегральное уравнение полностью или частично содержит в себе дополнительные условия, так что в дальнейшем пли приходится иметь дело только с одним решением, или по крайней мере резко уменьшается число решений, которые необходимо рассматривать.

Несмотря на указанный недостаток, прямой метод решения имеет большое значение по ряду причин. Во-первых, отыскивать решения дифференциального уравнения в принципе легче, чем искать решение интегрального уравнения. Во-вторых, имеется целый ряд дифракционных задач, которые удается рассмотреть только прямым методом. В-третьих, в тех случаях, когда необходимо довести задачу до числовых результатов, существенное значение имеет возможность пользоваться таблицами специальных функций, а все известные специальные функции определены как решения дифференциальных уравнений.

§ 3. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА И ИНТЕГРАЛ КИРХГОФА

Одним из замечательных свойств решения уравнений Максвелла или волнового уравнения является то, что значение волновой функции в некоторой регулярной точке г может быть представлено интегралом по произвольной замкнутой поверхности, охватывающей эту точку. Это свойство лежит в основе строгой формулировки гюйгенсовского принципа элементарных волн.

а. Скалярная теория

Принцип Гюйгенса. Введем в рассмотрение вектор Грина, определив его соотношением

® (г, г') = у (г') grad'G (г — t') — grad'y (г') G(r — г');(8-1)

здесь v (г) — любое регулярное решение волнового уравнения (4.2) или (4.4), a G(r — г') — функция Грина для свободного пространства, обладающая свойством

(А + 1) G(r —г') = —б (г —г'),(8.2)

где трехмерная функция Дирака для любой области Т определяется соотношениями

Сf 1 для г внутри Т,

б (г — г') = 0 для г Ф V, \ 6 (г — г') dr' = п(8.2а)

т(0 для г вне 7 . х

Функция G (г — г') симметрична относительно точек г и г'; она зависит только от расстояния |г — г'|=7? между этими точками. Точка г = г' соответствует «единичному источнику», т. е. имеет место соотношение, эквивалентное (8.2а) [в сочетании с (8.2)]:

£(grad'G(r-r')n')d? = -1,/ .(8.26)

где интеграл берется по некоторой произвольной замкнутой поверхности, охватывающей точку г и стягивающейся к г; п— внешняя нормаль к этой поверхности. В явной форме функция Грина, удовлетворяющая принципу излучения, в трехмерном случае, когда г=(х, у, z) (см. п. 17), имеет вид

Т7=?т-<8-3>

где

|r —f |=7? = ]/(х —х')2 + (у —/)2 + (z —z')2;

в цилиндрическом случае, когда г = (ж, z), где

| г — г' | = 7? = V(^ — ^')2 + (^"2')2.

Эти функции соответствуют сферической и цилиндрической волнам, исходящим из точки г' (точечный или линейный источники). Диверген-

(8.4)(8.4)ция вектора Ж, согласно (8.1) и (8.2), записывается как div' S3 (г, г') = уД'С —GA'y = — у (г) 6 (г —г').

(8.4)

(8.4)

Если проинтегрировать (8.4) относительно г' по некоторой области, ограниченной поверхностью (S) с внутренней нормалью п (фиг. 3), предполагая, что внутри (5) функция у не имеет ни особенностей (источников), ни разрывов (дифрагирующее тело), то па основании теоремы Гаусса получаем

or^W^—^СЛх-т>ах (8-5)

(штрихом отмечены все величины и операторы, относящиеся к точке

означает,означает,Ф и г. 3. К принципу Гюйгенса для конечной не имеющей источников области, ограниченной поверхностью (5).Ф и г. 3. К принципу Гюйгенса для конечной не имеющей источников области, ограниченной поверхностью (5).интегрирования г'). Формула (8.5), записанная в таком виде,

означает,

означает,

Ф и г. 3. К принципу Гюйгенса для конечной не имеющей источников области, ограниченной поверхностью (5).

Ф и г. 3. К принципу Гюйгенса для конечной не имеющей источников области, ограниченной поверхностью (5).

что поверхностный интеграл принимает значения и (г) или 0 в зависимости от того, лежит ли точка г внутри или вне поверхности (S). Чтобы можно было применить теорему Гаусса, сначала предполагается, что d-функция представляет собой непрерывную функцию, имеющую вид очень узкого зубца, ширина которого устремляется к нулю только после выполнения интегрирования.

Формула (8.5) является строгим определением принципа Гюйгенса1). Поле у (г) в любой регулярной области может быть представлено суперпозицией сферических волн (еш/Н) с «плотностью распределения источ-

ников» — ди (t^ldn и «дипольных волн» [{д/дп) (еш/Н^ с плотностью распределения у (г), исходящих из точек замкнутой поверхности, охватывающей точку наблюдения г (но в остальном произвольной). Вопрос, таким образом, обстоит сложнее, чем это следует из элементарного (френелев

ского) представления принципа Гюйгенса. Вне поверхности (S) «вторич

ные волны» гасятся.

Выбор поверхности (5) топологически весьма произволен. В частности, она может состоять из двух" замкнутых поверхностей (S) и (S), из которых внешняя (S) охватывает внутреннюю (S). Поверхность (S) должна в свою очередь охватывать все имеющиеся источники и дифрагирующие тела. Если устремить поверхность (5) по всем направлениям к бесконечности (что в пределе дает сферическую поверхность радиусом г—> со), то интеграл по ней в силу условия излучения будет равен нулю (см. п. 17). Формула (8.5) при этом остается справедливой с тем лишь изменением, что интеграл по поверхности (S) принимает значение у (г) для внешних точек и 0 для внутренних, причем нормаль теперь направлена наружу от поверхности (S). Наконец, поверхность (5) также может быть устремлена к бесконечности, но при соблюдении условия, что поверхность (5) по-прежнему отделяет область Г", содержащую источники и дифрагирующие тела, от области Т*, свободной от таковых. Нормаль к поверхности должна оставаться все время направленной

!) Она была впервые получена Гельмгольцем [22]; Кирхгоф [23] обобщил ее па случай волновых полей с произвольной временной зависимостью.

Фиг. 4. К принципу Гюйгенса для неограниченной не имеющей источников внешней области, ограниченной изнутри поверхностью (5).Фиг. 4. К принципу Гюйгенса для неограниченной не имеющей источников внешней области, ограниченной изнутри поверхностью (5).наружу от области Т , содержащей источники (фиг. 4). При переходе через границу (5) из области, свободной от источников, в область с источниками значение интеграла (8.5) претерпевает разрыв, равный у (г), так как в области Т" интеграл обращается в нуль. При этом значение нормальной производной (8.5) также имеет разрыв, равный ду ^!дп.

Фиг. 4. К принципу Гюйгенса для неограниченной не имеющей источников внешней области, ограниченной изнутри поверхностью (5).

Фиг. 4. К принципу Гюйгенса для неограниченной не имеющей источников внешней области, ограниченной изнутри поверхностью (5).

Функциональная зависимость между краевыми значениями. Так как регулярное решение у (г) волнового уравнения в некоторой области, ограниченной поверхностью (5), однозначно определяется произвольно заданными на (5) значениями у (г) или ду (г)/дтг (см. п. 20), то должна существовать общая функциональная зависимость между краевыми значениями у (г) и ду (г) i^n. Чтобы определить эту зависимость, устремим в интеграле (8.5) точку г к поверхности (5). При этом мы можем приближаться к поверхности (5) как с положительной, так и с отрицательной стороны. В соответствии с этим будем пользоваться обозначением limr—>г + 0 (обозначения приведены на фиг. 3 и 4). Интеграл (8.5) является решением волнового уравнения, обращающимся в нуль в области Т~ тогда и только тогда, когда у (г) и ди ^fdn зависимы между собой и являются значениями какого-либо регулярного в области Т* решения у (г) волнового уравнения и его нормальной производной dy(r)/dn при г, стремящемся к поверхности (5). В области Т* интеграл равен тогда у (г). Введем сокращенные обозначения

у+4) = ф(г),(9.1)

и запишем (8.5) в виде

У ^ Щ^ {ф^'^ ~ W)}—(9.1а)

где значения у (г) и 0 берутся соответственно для областей Т* и Т . Вычислим вначале краевое значение

(9-2)(9-2)Нт ф(?) ^-G (г — г') dV,r->r±O g

(9-2)

(9-2)

причем, не уточняя пока смысла ф(г), будем полагать поверхность (5) такой, что в каждой точке к ней может быть проведена касательная плоскость. Рассмотрим сколь угодно малый участок (50) вокруг некоторой точки г поверхности. На этом участке при г—>г функцию Грина G (г — г') —ехр(г[г— г'|)/4л]г— г'| можно заменить ее «статическим

значением» 1/4л|г— г'|. Используя это, получаем

^ ф (?) ^ G (г — ?) dV =

r->r±O х 7 dn' х 7 S

=^ Hm S ^Э^л^7^'+ S ^'^G^-^^’- (9‘2')

r->r±0 goI 1 s-S0

Здесь во втором члене предельный переход lim г —> г + 0 может бытьЗдесь во втором члене предельный переход lim г —> г + 0 может быть= dto (г, г')= dto (г, г')(9.3)(9.3)= ± 2лф (г0),= ± 2лф (г0),(9.3')(9.3')так как производнаятак как производнаяФиг. 5. К определению телесного'угла.Фиг. 5. К определению телесного'угла.выполнен непосредственно под знаком интеграла, dG/dn' всюду непрерывна и конечна. Чтобы вычислить предельное значение первого члена, заметим, что выражение

Здесь во втором члене предельный переход lim г —> г + 0 может быть

Здесь во втором члене предельный переход lim г —> г + 0 может быть

= dto (г, г')

= dto (г, г')

(9.3)

(9.3)

= ± 2лф (г0),

= ± 2лф (г0),

(9.3')

(9.3')

так как производная

так как производная

Фиг. 5. К определению телесного'угла.

Фиг. 5. К определению телесного'угла.

Итак, интеграл (9.1а), согласно (9.2") и (9.4), имеет следующее предельное значение:

lim ^{. ..^&= ±у <р(г)+ ^ {фО')^ — ^(гО} G(r —?)&',(9.5а)

r-»riO gg

Ит if?-^^' = ±4^?Н^ f {ф(?)^~Ф(?)}с(£-?Ж. (9.56) r->f±O gg

В соответствии co сказанным выше приравняем предельное значение Инн—»г —0 нулю, а предельное значение limr—>r + 0 выражению (9.1). Тогда получим

(9.6)(9.6)1 ф (г) = ^Ф (?) -^- — ф (?) J G (£— ?) с??, S

(9.6)

(9.6)

^^ = У {ф ^(?)} G (£-?)

S

Это и есть искомая общая функциональная зависимость между краевыми значениями решений волнового уравнения и их нормальными производными.

При решении краевой задачи (внешней или внутренней) поверхность (S) должна совпадать (изнутри или снаружи) с такой поверхностью, на которой на основе физических соображений заданы краевые значения. Из (9.6) теперь видно, что произвольно может быть задана только одна из величин ф (г) и ф (г), а другая связана с заданной интегральным преобразованием (9.6). Пусть, например, произвольно задана функция ф(г) = фо(г) (краевая задача Неймана); тогда для определения ф(г) получаем из (9.6) или неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

— уф(? + ^ф(?)^с (r~ С)^С = ^ф0(?)С(г —?)&', (9.7а) " ss

или интегро-дифференциальное уравнение

-^ f Ф (?) -^г G (г — ?) й? = | Фо W + ^ Фо (?) ^ ^ (£ — ?) ^?- (9.76) S

Знак дифференцирования д[дп здесь нельзя вносить непосредственно под знак интеграла, так как при этом подынтегральное выражение приобретает такую сильную особенность, что интеграл перестает существовать. Производя интегрирование по частям, можно, однако, отнести дифференцирование только к ф; см. п. 48 и 76. Таким образом, принцип Гюйгенса применим для решения краевой задачи только совместно с решением некоторого интегрального уравнения.

Если замкнутая поверхность (S) вырождается в ограниченный (имеющий две стороны) участок поверхности («экран»), то подлежит рассмотрению только уравнение вида (9.76) (см. п. 47). В теории дифракции чаще всего идет речь об однородных краевых условиях (у или dv/dn на поверхности тела обращаются в нуль); при этом допускается наличие особенности поля в рассматриваемой области (источник падающей волны).

Задача с заданным разрывом. Если в интеграле (9.1а) подставить вместо ф(г) и вместо ф (г) произвольные значения ф0 (г) и ф0(г), то придем к некоторому решению волнового уравнения, имеющему вид

у (г) = ДсМ?) -^ —Ыг')}^—(101)

Этот интеграл ввиду его большого значения в теории дифракции Кирхгофа (см. гл. II, § 1) будем называть интегралом Кирхгофа. Здесь ф0 п гр0 уже не являются краевыми значениями функции у и ее нормальной производной, которые достигаются при приближении к поверхности (S) с положительной стороны; кроме того, функция у не обращается в нуль на отрицательной стороне (S) (а следовательно, и во всей области Г"), так как произвольно заданные величины ф0, ф0 уже не связаны между собой функциональной зависимостью (9.6).

Из формул (9.2") и (9.4) непосредственно видно, что при прохождении через поверхность (S) с положительной стороны на отрицательную решение у и его нормальная производная претерпевают теперь разрыв, равный соответственно ф0 и гр0:

Фо(г)=Ю+-(0-> М^=(^\-(^)_. (10.2)

Фиг. 6. Исключение поверхности разрыва из рассматриваемой области.Фиг. 6. Исключение поверхности разрыва из рассматриваемой области.Нетрудно заметить, что поверхность интегрирования (S) в формуле (10.1) может быть также и незамкнутой произвольной поверхностью (фиг. 6). Если вдоль такой поверхности задано

Фиг. 6. Исключение поверхности разрыва из рассматриваемой области.

Фиг. 6. Исключение поверхности разрыва из рассматриваемой области.

распределение разрыва (10.2), причем функция у всюду, кроме точек этой поверхности, регулярна и удовлетворяет в бесконечности условию излучения, то при интегрировании тождества (8.4) по всему пространству к границе области надо добавить обе стороны поверхности разрыва (S). С другой стороны, интегрирование по бесконечно удаленной части границы области даст нуль в силу условия излучения. Интегрирование тождества (8.4) при использовании теоремы Гаусса приводит, таким образом, непосредственно к (10.1). Далее, решение волнового уравнения, обладающее заданным разрывом (10.2) при переходе через некоторую поверхность (S) (а в остальных точках всюду регулярное и удовлетворяющее в бесконечности условию излучения), определяется этими условиями однозначно. Действительно, предположим, что у(1) и у(2) представ-

ляют собой два различных решения, удовлетворяющих одним и тем же условиям (10.2) и условию излучения; тогда их разность w= у(1)— у(2) регулярна во всем пространстве и тоже удовлетворяет условию излучения. Поэтому если положить в тождестве (8.4) v = w и проинтегрировать по всему пространству, то получим w = 0.

Заметим, что в отличие от краевой задачи задача с заданным разрывом является легко разрешимой «задачей суммирования» заданных функций. При этом значения разрыва (10.2) самой функции и ее нормальной производной могут быть заданы как на одной и той же поверхности (5) одновременно, так и на разных поверхностях, причем интеграл Кирхгофа (10.1) воспроизводит эти значения.

Наоборот, чтобы выразить решение у краевой задачи через его краевые значения у (г) или ду (т)/дп на поверхности (S) (такое решение воспроизводит любые заданные краевые условия), необходимо знать функцию Грина первого или второго рода [24], соответствующую данной поверхности. Эта функция имеет такую же особенность, что и функция Грина для свободного пространства (8.2) — (8.3а), но, кроме того, на поверхности (5) она должна удовлетворять однородным краевым условиям. Явные выражения этих функций являются решениями дифракционной задачи.

Связь между краевой задачей и задачей с заданным разрывом. Чтобы вкратце осветить вопрос о связи между краевой задачей и задачей с заданным разрывом, рассмотрим подробнее функцию Грина второго рода для внешней задачи, т. е. решение волнового уравнения (А-И)Дг) =—6 (г — Го), удовлетворяющее на внешней стороне замкнутой гладкой поверхности краевому условию dv/dn = 0 и в бесконечности условию излучения [г0— любая точка вне (S)]. Эта функция имеет в точке г0 такую же особенность, как и функция Грина для свободного пространства (сферическая волна), которую мы обозначим через у0(г). Воспользуемся интегральной формулой (9.1а), взяв за свободную от источников область 7'+ пространство вне поверхности (5) за вычетом маленькой сферы, охватывающей точку г0- Поскольку интеграл по поверхности этой сферы равен у0 (г) и ф (г) = ^дх)!дп^ = 0, получаем

у (г) = v0 (г) 44 Ф (г') G (г - г ) dr', щ Л) S

где п'— внешняя нормаль. Величина ф(г) = У+(г) определяется здесь, согласно (9.5а), из интегрального уравнения Фредгольма

4ф№ —^ф^^G^—t'W = u0(rY (И 2)

которое будет рассмотрено подробнее в гл. III. Поле, определяемое формулой (11.1), внутри поверхности (S) тождественно обращается в нуль; ф (г) —разрыв функции у при переходе через поверхность (S) с внешней стороны на внутреннюю. -

Если интегральное уравнение (11.2) решать методом последовательных приближений (ряд Неймана), то в нулевом приближении получаем ф° (г) 2у0 (г). Другими словами, неизвестную величину разрыва ф = у+— и_ полагают равной 2у0 и таким образом с помощью (11.1) получают решение соответствующей задачи с заданным разрывом. Нулевое приближение имеет, следовательно, вид кирхгофовского решения; см. п. 30.

Первоначально в этой теории краевая задача заменялась задачей с заданным разрывом: и+ — у_ = у0 или (ду/дп)+—(<9y/dn)- — дщ/дп при переходе через (S). Кроме того, значения разрыва задавались не на всей поверхности (S), а лишь на той ограниченной ее части ^S'Y которая «освещается» (в смысле геометрической оптики) падающей волной у0 (фиг. 7). Кирхгофовское решение, таким образом, имеет вид

Рк (г) = Vo (г) 4" 5 {м44г-^4^}С(г'~*')с^'- (11 3)

S'

Поскольку речь идет по существу о потоке вектора с нулевой дивергенцией (см. п. 30), то эта формула может быть записана также в виде

У к (г) = ^ (г) +^о(г')-^—^^} G(r~г')с?г',(11.3')

где (S")— любая поверхность, полученная путем деформации (S') при

закрепленных краях (см. фиг. 7). Далее, у^ (г) = vQ (г) для точек г, лежащих вне области, ограниченной поверхностями (S') и (S"), и^'(г) = 0

для точек внутри этой области. В этой внутренней области функцию у0 (т) можно, воспользовавшись формулой Гельмгольца (8.5), представить поверхностным интегралом по поверхностям (S') и (S"), считая нормаль направленной внутрь области. Тогда интеграл по (S') сокращается с соответствующим интегралом в (11.3), так как нормали направлены противоположно; в результате в (11.3') остается только интеграл по (S"). Кирхгофовское решение (11.3), таким образом, не имеет никакого отношения к первоначальной краевой задаче (11.1) и (11.2). Однако из него можно получить решение для предельного геометро-оптического случая, а именно если (S") деформировать до совпадения с границей тени (Sg), то у' (г) дает распределение поля, соответствующее геометрической оптике. Поверхностный интеграл в (11.3') тогда представляет собой поправку, которая компенсирует разрыв поля у' и обеспечивает непрерывность и гладкость, требуемые волновым уравнени-

Ф и г. 7. К сопоставлению краевой задачи и задачи с заданным разрывом.Ф и г. 7. К сопоставлению краевой задачи и задачи с заданным разрывом.ем. При прохождении через границу тени этот интеграл претерпевает разрыв, как раз равный у0 (г) и соответственно ди0 ^^п.

Ф и г. 7. К сопоставлению краевой задачи и задачи с заданным разрывом.

Ф и г. 7. К сопоставлению краевой задачи и задачи с заданным разрывом.

б. Электромагнитная теория

Принцип Гюйгенса для векторных полей. Так как в векторных задачах речь идет о нахождении решения системы векторных дифференциальных уравнений, то по аналогии с (8.1) надо образовать «тензор Гюйгенса» Ф(г, г'), тензорная дивергенция которого всюду равна нулю, за исключением точки г—^г', в которой расположен единичный источник. Но мы не будем с самого начала следовать этой общей схеме [25, 26], а подойдем к ней окольным путем, используя векторное исчисление г). В соответствии с этим образуем вместо тензора вектор

$8 (г, г') = [(^ (г — гz) rot' ® (г')] — [6 (г') rot' ® (г — г')] +

+ ® (г —г') div' @ (г') — @ (г') div' ® (г —г').(12.1)

х) Мы придерживаемся в основном работы Стрэттона [27].

3 Заказ №13

Здесь (5— некоторое регулярное решение уравнений Максвелла (2.16) или векторного волнового уравнения (5.1). Далее,

® (г — г') = aG (г — г'),(12.2)

где a— некоторая произвольная вспомогательная векторная константа, G — скалярная функция Грина для свободного пространства [см. (8.2)]. Подставляя (12.2) в (12.1), и принимая во внимание (2.16), получаем с помощью известных правил

28 = г № G- (a^'G + a(O'G)- @^fG\(12.1')

Дивергенция вектора 28 определяется формулой

div' 28 = (5 rot' rot' ® — ® rot' rot' ® — (6V') div' S, (12.3) которая легко получается, если использовать тождества

div [31®] = (^ rot 91) — (91 rot ®),(V31) $ = & div 31 + (91V) Ж

и учесть, что div (5 = 0. Далее из (8.2) следует

rot' rot' ® = ^VG-a^G = (aV') V'G + aG + aS (r-V\(12.4)

div'Вычислим проекцию 28 гdiv'Вычислим проекцию 28 гПодставив (12.4) и (5.1) в (12.3), получаем окончательно

div'

Вычислим проекцию 28 г

div'

Вычислим проекцию 28 г

SB (г, V) - (а@ (г)) 6 (г- г').(12.3')

Фиг. 8. К формулировке принципа Гюйгенса в электромагнитном случае.Фиг. 8. К формулировке принципа Гюйгенса в электромагнитном случае.ia направление нормали и к некоторой поверхности (S), по которой ниже будет производиться интегрирование. Из (12.1') следует (n28)--(a, 4n^] + [[n®]V']+(n6)V')G. (12.5) Интегрируя (12.3') по некоторой пространственной области, ограниченной упомянутой поверхностью (S) с внутренней нормалью п при условии, что поле (5 не имеет источников внутри (S), получаем, используя теорему Гаусса,

Фиг. 8. К формулировке принципа Гюйгенса в электромагнитном случае.

Фиг. 8. К формулировке принципа Гюйгенса в электромагнитном случае.

(а® (г)) р v ?= -dt(n'28(r, rz))^r',(12.6)

s

Поверхность (5), как и ранее, можно деформировать в широких пределах; важно только, чтобы она всегда отделяла область Т+, свободную от источников, от области Т-, содержащей источники (фиг. 8), а нормаль всегда была направлена внутрь области Г+. Верхнее или нижнее

значение в левой части (12.6) соответствует тогда принадлежности точки г к области Т* или Т". Так как с помощью (12.5) интеграл в правой части также может быть записан в виде скалярного произведения с той же векторной константой а, то после сокращения на эту константу получаем

]ааААА

п 1 = ^ {ifn'^OOJ+Kn'SOOJV'J + ^VCr'^V'JGO —г')Л' (12.6') и а 3 s

соответственно для г, лежащих внутри или вне (S). Оператор^?' относится только к G, поэтому мы можем заменить его на —V и вынести

за знак интеграла:

i ^ V^ (г')] G (г— г') dx' + rot ^ [п'@ (г')] G(x — x') dx' — ss

— grad ^(n'S (r')) G(x — x'^dx'(12.6a)

s

п = <? {-i [п'@ (г')] + [Щ'^ (r')J V'] М (г')) V'} G(г-V) dV,J 8S (г) 1рАА АрАА А|[n'® (r')]G (г — г') dx' + rot ф [n'^ (г')] G (г — г') dx' —ssп = <? {-i [п'@ (г')] + [Щ'^ (r')J V'] М (г')) V'} G(г-V) dV,J 8S (г) 1рАА АрАА А|[n'® (r')]G (г — г') dx' + rot ф [n'^ (г')] G (г — г') dx' —ssсоответственно для x внутри или вне (S). Точно так же для магнитного вектора получается уравнение

п = <? {-i [п'@ (г')] + [Щ'^ (r')J V'] М (г')) V'} G(г-V) dV,

J 8

S (г) 1рАА АрАА А

|[n'® (r')]G (г — г') dx' + rot ф [n'^ (г')] G (г — г') dx' —

ss

п = <? {-i [п'@ (г')] + [Щ'^ (r')J V'] М (г')) V'} G(г-V) dV,

J 8

S (г) 1рАА АрАА А

|[n'® (r')]G (г — г') dx' + rot ф [n'^ (г')] G (г — г') dx' —

ss

(12.7)

— grad ^(n'^ (г')) G (г — г') dx\(12.7а)

8

соответственно для х внутри и вне (S).

@(г)О^С)о@(г)О^С)оУравнения (12.6'), (12.6а) и (12.7), (12.7а) можно рассматривать как векторную формулировку принципа Гюйгенса: поле S(r), ^(г) может быть представлено поверхностным интегралом по некоторой произвольной охватывающей точку т замкнутой поверхности (5), на которой задано распределение нормальных и тангенциальных компонент поля. Поскольку нормальные компоненты могут быть выражены через тангенциальные (см. п. 2.), то первые можно исключить из уравнений (12.6) и (12.7). С этой целью заметим вначале, что если подействовать оператором trot на (12.7) и проинтегрировать по частям, а также воспользоваться уравнениями Максвелла для величин, входящих под интеграл, то получим правую часть равенства (12.6'). При интегрировании по частям используется теорема Стокса; криволинейный интеграл при этом не появляется, так как поверхность (5) замкнута. Соответственно оператор — i rot переводит уравнение (12.6') в (12.7). Поле, описываемое уравнениями (12.6х) и (12.7), удовлетворяет, таким образом, уравнениям Максвелла. Если теперь образовать роторы от выражений (12.6а) и (12.7а), то градиенты обратятся в нуль и мы получим в результате

@(г)О

^С)о

@(г)О

^С)о

8= rot ^ [п'^ (г')] G (г —S8= rot ^ [п'^ (г')] G (г —Sг') dx' + г rot rot dp [п'^ (?)] G (г — г') dx\

8

= rot ^ [п'^ (г')] G (г —

S

8

= rot ^ [п'^ (г')] G (г —

S

У) dV — i rot rot ^ [it'S (r')] G(x — x') dx' s

соответственно для x внутри или вне (5).

В этой симметричной форме представления принципа Гюйгенса нормальные компоненты поля, как мы видим, под интеграл не входят. К этому же результату можно прийти непосредственно, применяя формализм тензора Грина, что будет рассмотрено лишь схематически (см. работы[20,25, 29— 31]). Сначала заметим, что оператор rot rot, стоящий перед поверхностным интегралом в (12.8), можно заменить на grad div —Н 1. [Поскольку rot rot = grad div — А, а интегралы удовлетворяют волновому

уравнению (А+ 1) . . . = О, если точка г не лежит на (А).] Этот оператор можно записать символически как тензор W -|- 1 (где первый член означает диадное произведение двух векторов V, а 1 — единичный тензор). Вводя этот оператор под знак интеграла, получаем так называемый тензор Грина для свободного пространства

Г (г, г') =- (VV + l)G(r- г') = -Л_ (7?+ 1)^^.(12.9)

d его помощью (12.8) можно записать в виде

■^^^^{[«'©(r'n-rotr^, гЭ-Ии'^С'^-Г^,?)}^'(12.8а)

соответстенно для г, лежащих внутри или вне (5). Правильность второго члена была показана выше;^для преобразования первого члена .использовалось соотношение

91-rot Г = [91 grad б?] = -rot(2lG),(12.10)

где 01 — произвольный постоянный "вектор. Это соотношение легко получается, если (12.9) умножить векторно на V; так как [W] = О, то

rot Г = [VI] G = [grad G1]

и, следовательно,

21 • rot Г — [21 grad G].

Кроме того, в (12.8а) заменим /^ на rot @« В результате получаемrot Г = — rotT,

®-^ 1 = ^ (го1/ г (Г; ;'). [n'g (£')] _ [П' rot' g (^)]. г (г, Г')} <&(12.86)

О J s

соответственно для г внутри или вне (5).

Полученная формула означает, что любое не имеющее источников внутри (5) решение однородного уравнения

rot rot @ — ®=0

может быть представлено через значения тангенциальных компонент векторов (5 и rot @ на поверхности (5). Таким образом, формула (12.86) полностью аналогична формуле Гельмгольца (8.5), относящейся к соответствующей скалярной задаче.

Формулу (12.86) можно также получить нижеследующим более прямым путем (в точности соответствующим приведенному выше выводу формулы Гельмгольца). Тензор Гюйгенса

Ф (г, г') - [@ (г') Г (г, г')] - [rot' @ (г') Г (г, г')](12.11)

имеет дивергенцию

7'-Ф(г, f)-S(r)6(r-f),(12.12)

обращающуюся в нуль всюду, кроме точки г=г', где имеется 6-особенность. Это следует, как легко установить с помощью уравнения rot rot ® —@ = 0, из дифференциального уравнения для тензора Грина:

rot rot Г (г, г') —Г (г, г'Н — 16 (г — г')«(12.13)

[В силу симметричности тензора Грина (12.9) дифференцирование по г можно заменить дифференцированием по г', изменив при этом знак на противоположный.]

Дифференциальное уравнение

(А 4-1) Г (г, rz) = (VV-f-1) 6 (г^—-г')(12.13а)

при вытекающем из (12.13) дополнительном условии

7-Г(г, г')-V6(r —г')(12.136)

равнозначно уравнению (12.9). В самом деле, легко показать, что (12.9) является удовлетворяющим условию излучения решением уравнений (12.13а) и (12.136).

Если проинтегрировать (12.12) относительно г' по некоторому объему, ограниченному поверхностью (5), то, используя теорему Гаусса, непосредственно получаем формулу (12.86), так как вектор п -Ф идентичен подынтегральному выражению в (12.86).

£ (г)О£ (г)ОВектор ^, удовлетворяющий вместе с @ [см. (12.86)] уравнениям Максвелла (2.16), получается из соотношения ^ — —irotE:

£ (г)О

£ (г)О

= ^ {[n'jg (г')] • rot Г (г, г') + г [п'@ (?)] • Г (г, ?)} dr' =

(12.8в)(12.8в)S

(12.8в)

(12.8в)

= ^{rot' Г (г, Г'Нп'§(г')] — [и'rot'^ (г')]-Г(г, г')} dr', S

где верхнее и нижнее значения в левой части берутся соответственно для внутренних и внешних точек.

Физический смысл тензора Грина состоит в том, что он устанавливает зависимость между объемным элементом тока j(r')dr' в точке г' и напряженностью электрического ноля

d@(r) = -^(г')-Г(г, г') dr'(12.14)

в точке г или соответственно между поверхностным элементом тока 3 (г') dr' и напряженностью электрического поля

d($ (г) = — ^З(г')-Г(г, г') dr'.(12.14а)

Для магнитного поля имеем

d^(r)= j(г')-rot Г (г, г') dr', d^(r) = 3(t/)*rotr(t, г') dr'.(12.146)

Вытекающее из (12.9) соотношение симметрии

г (г, г') = Г (г', г)=Г1(г, г') = гДт', г)(12.15)

(где Г* есть тензор, сопряженный с Г) содержит принцип взаимности для электромагнитных полей.

Функциональная зависимость между краевыми значениями тангенциальных компонент @ и ^. Так как решение уравнений Максвелла определяется однозначно, когда на границе (5) заданы краевые значения тангенциальных компонент либо S, либо ^ (см. п. 20), то между этими двумя величинами должна существовать функциональная зависимость. Эта зависимость получится, если в (12.8) устремить точку г из Т* или Т~ к поверхности (S) (11m г —> г ^ 0; см. фиг. 8). Введем сокращен-

(13.1)(13.1)пые обозначения [n@(<-£W,[n£(< = 3W

(13.1)

(13.1)

@(t)l0 jS (r) 1 0 J@(t)l0 jS (r) 1 0 Jи перепишем интегралы (12.8) в виде

@(t)l

0 j

S (r) 1 0 J

@(t)l

0 j

S (r) 1 0 J

rot^S (г') ^(г — г') dx' + ^rotrot ^3 ОП G^x — x'^ dx , (13.2) ss

rot^ 3 (r') G(r — г') dx' — г rot rot ^ £ (r') G (r —-r') dx'. ss

Вычислим сначала краевое значение выражения

■[nrot ^ 3(r')G(r— т') d? ] = |^ n [ V ^ 3 G dr' ] ] =

= V ("n J 3G d?) -(nV) ^ 3$ dr'(13.3)

SS

при г—>г±0; здесь и — нормаль к поверхности (5) в точке г, 3(г,)"“ вначале произвольный непрерывный вектор, определенный в точках поверхности (5) и параллельный касательной плоскости поверхности (5) в точке х'. Рассмотрим малую окрестность (50) точки поверхности х. Для г, близких к г, легко оценить вклад, вносимый в интеграл окрестностью (So). Для этого выберем область (50) столь малой, чтобы ее можно было заменить соответствующей областью касательной (в точке г) плоскости. Так как вектор 3 лежит в этой плоскости, а нормаль п, наоборот, перпендикулярна ей, то первый член в правой части (13.3) при интегрировании по области (So) обращается в нуль. Вклад области (50) во второй член был определен выше [см. (9.3')], так что получаем

lim Г rt rot X 3(?)G(r- r^dr'l

r->r±0 L gJ

= ± 4 9(r) + [nrot-^ 3(?)G(r —r')dr'J =" s

= ± 4 S C) — 4 [ n (3 (Г) grad G (r — r')J ] dr', (13.4) s

причем интеграл опять надо понимать в смысле главного значения. Далее заметим, что пределы lim rot rot \ 3 (,^')G (г — г') dx' (если они r±0

существуют) равны друг другу (на этом мы остановимся подробнее в п. 54, 55 и 77). Для краткости будем обозначать эти пределы через РАААА

— rot -у [3(r/)grad G (г — r')W. С помощью найденных предельных знат чений (13.4) получаем из (13.2) как при lim г—>г + 0, так и при lim г—>г — 0 [принимая также во внимание (13.1)] искомую общую функциональную зависимость между значениями тангенциальных компонент (13.1) электрического и магнитного векторов (связанных уравне-

ниями Максвелла) на произвольной замкнутой поверхности (£):

у £ (г) = — ^ [И [8 (г') grad G (г —г')]] dV— s

— i [и rot ^ [3 (?) grad G (г — г')] d ?], s

(13.5)

у 3 (г) = — [п [3 Д) grad G (г— г')]] dt' +

-5 i [и rot ^ [£ (г') grad G (г — r^Jd г']. s

Соотношения (13.5) справедливы для любого электромагнитного поля, не имеющего источников внутри (5), т. е. в области Т. Полученный результат можно интерпретировать еще и таким образом: любое электромагнитное поле S (г), ^(г), не содержащее в области Т+ источников, может быть представлено как излучение распределенных вдоль (5) поверхностных электрических и магнитных токов, связанных соотношениями (13.5). Во внешнее по отношению к (S) пространство, т. е. в область Т" эти токи ничего не излучают. Следует отметить, что такая интерпретация приобретает конкретный физический смысл лишь в том случае, когда поверхность (S) совпадает с поверхностью некоторого заданного тела.

Задача с заданным разрывом в случае электромагнитной теории. Из соотношений (13.5) мы опять видим, что на поверхности (5) можно задать произвольно только одну из величин: [и®] или [п^]. Если считать, что векторы £ и 3 в (13.2) принимают на поверхности (5) не зависящие друг от друга заданные значения £0 (г) и Зо W [векторы £0 (г) и Зо (г) параллельны плоскости, касательной к поверхности (5) в точке г], то решение уравнений Максвелла можно представит]) в виде

6 (г) = rot ^ £0 (г') G (г — г')Л' -ф г rotrot ^ Зо (?) G (г — ?) dV.

88

(14.1)

(г) =rot ^ Зо (г') G (г —г') A' —trot rot ^ £0 (?) G (г — ?) dr',88

или, используя тензор Грина, в виде

@(г) = ^ (£о (?) rot Г (г, ?) — Z3o (?) Г (г, V^dV, s

(14.Г)

§ (? = [Зо (?) rot Г (г, ?) + j£0 (?) Г (г, ?)] dr'.

8

В этих формулах поверхность (5) не обязательно должна быть замкнутой. В самом деле, воспользовавшись преобразованием

rotrot f З^бфг —?)dr/^ (grad div + 1) \ 3 (?) G (r — ?) dr'.

можно легко показать, что (14.1) и (14.1') являются решением уравнений Максвелла (2.16) и для незамкнутых поверхностей. Величины So и Зо теперь не являются краевыми значениями, а представляют собой разрыв тангенциальных компонент электрического и магнитного векторов при переходе через поверхность (5) с положительной на отрицательную сторону [если бы £0 и Зо были связаны соотношением (13.5), это означало бы, что интеграл по области Т" равен нулю]:

So« = [n, @+-@_], Зо(г) = [п, &-£_]. (14.2)

В этом можно убедиться непосредственно, вычислив с помощью (13.4) предельные значения выражения (14.1) по обе стороны от поверхности (5).

С помощью принципа Гюйгенса (12.8) — (12.8в) можно легко показать, что задание обоих значений разрыва (14.2) и условия излучения, сформулированного для случая векторных полей (см. п. 18), однозначно определяют решение уравнений Максвелла. Поверхность разрыва (S) в этом случае также исключается из рассматриваемой области поля с помощью охватывающей (5) и неограниченно близко прилегающей к ней с обеих сторон оболочки. Таким образом, формулы (14.1) и соответственно (14.1') представляют собой точную электромагнитную аналогию интеграла Кирхгофа (10.1) (см. [32, 33]).

История развития электромагнитных задач с заданным разрывом. Развитие теории задач с заданным разрывом для электромагнитного случая не шло прямым путем (см. [34]). Векторный принцип Гюйгенса в форме (12.8) был сформулирован Лоренцем [35], опиравшимся на свою теорему взаимности, а затем получен Лармором [36] из физических соображений. Позднее Тедон [37] представил принцип Гюйгенса в форме (12.6') и (12.7)1) [1].Однако с помощью этих формул, всегда приводимых в литературе (см.[38, 39]), трудно получить решение задачи с заданным разрывом для ограниченной поверхности; при этом могут быть заданы только разрывы тангенциальных компонент векторов S и .§ (обозначенных выше через So и Зо), а разрывы нормальных компонент определяются с помощью уравнений Максвелла (см. п. 3). Далее, поверхностные интегралы в правых частях формул (12.6') и (12.7), записанные применительно к ограниченным поверхностям, не удовлетворяют более уравнениям Максвелла. В самом деле, с помощью теоремы Стокса легко убедиться, что применение оператора trot к (12.7) приводит к выражению (12.6') лишь с точностью до некоторого криволинейного интеграла, взятого по контуру, ограничивающему поверхность (5). При этом подразумевается, что [nS] и [п^] теперь заменены соответственно заданными разрывами So и Зо, а (п(£) и (п§) —вычисленными в п. 3 значениями разрывов — t div Зо и г div So-

Поэтому, чтобы получить решение уравнений Максвелла в случае ограниченных поверхностей, необходимо к (12.6') и (12.7) добавить соответствующие криволинейные интегралы. Котлер [40] (см. также [41]), впервые получивший эти интегралы, объяснял их наличием распределенных вдоль контура «электрических и магнитных линейных зарядов». Найденные Котлером криволинейные интегралы можно с помощью теоремы Стокса преобразовать в поверхностные, что опять приводит,

т) Тедон рассматривал задачи с произвольной временной зависимостью, тогда как мы здесь рассматриваем только чисто периодический случай.

как показал Франц [42], к формулам (14.1). Однако выделять криволинейные интегралы в формулах (14.1) в общем случае нецелесообразно, так как при этом затушевывается то характерное свойство поверхности (5), что она является поверхностью разрыва тангенциальных компонент поля.

Если же считать, что величины £0 и Зо являются тангенциальными компонентами какого-либо частного решения ®0, ^0 уравнений Максвелла йо^^^о] и Зо=[п^оГ то поверхностные интегралы в (14.1) полностью преобразуются в криволинейные интегралы, так как тензор Ф фактически не имеет источников (см. п. 32). Хотя это позволяет дать наглядную интерпретацию (принцип Юнга), возникает вопрос о том, как реализовать поверхность разрыва, обладающую указанными свойствами. Поверхностью разрыва для ' тангенциальной компоненты магнитного вектора является идеально проводящий (бесконечно тонкий) экран или поверхность идеально проводящего тела (поверхностный ток; см. гл. Ill, § 1, б, и 4, а). Выделение криволинейных интегралов (которые расходятся при г, стремящемся к точке ребра) приводит к некоторому общему ограничению, накладываемому на распределение поверхностного тока (условие на ребре; см. п. 55).

Резюмируя все сказанное выше, подчеркнем еще раз, что формула Гельмгольца (8.5) и формулы (12.8), (12.86) и (12.8в), являющиеся ее аналогами в электромагнитной теории, представляют собой строгую математическую формулировку принципа Гюйгенса. С другой стороны, интеграл Кирхгофа (10.1) [в электромагнитном случае (14.1) и (14.1')] является решением волнового уравнения (уравнений Максвелла), имеющим на некоторой заданной поверхности заданные распределения разрыва самой функции и ее нормальной производной или соответственно тангенциальных компонент векторов @, ^. Решение, удовлетворяющее условию излучения (см. п. 18), в обоих случаях единственно.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ, УСЛОВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ, УСЛОВИЕНА РЕБРЕ

Если рассматривается поле в конечной области, ограниченной со всех сторон проводником (полый проводник), то при однородных краевых условиях имеют место собственные колебания; иными словами, краевая задача имеет решение лишь для дискретной последовательности значений частоты со или волнового числа к. Эти собственные решения можно интерпретировать как стоячие волны, возникающие в результате отражения от границ области.

Если же поле простирается во все стороны до бесконечности, как это и имеет место в дифракционных задачах, то необходимо еще потребовать, чтобы не было отражения («эха») от бесконечности. В данном случае недостаточно одного только условия обращения поля в нуль на бесконечности (как в теории потенциала); необходимо, чтобы вся энергия, излучаемая источником, расположенным на конечном расстоянии, уходила в бесконечность (условие излучения) и исключалась возможность излучения из бесконечности. Таким образом, плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) на больших расстояниях от источника и дифрагирующего тела должна быть направлена наружу. Дальше мы увидим, что это эвристическое физическое требование является необходимым и достаточным условием для общего математического доказательства единственности решения.

Обсуждение квадратичных величин поля. При рассмотрении плотности потока энергии 3 = [6^] или плотности энергии w =^ ^ (@2 + §2) появляются произведения и квадраты компонент поля, так что возникает необходимость представлять эти величины в вещественной форме. Однако нас будут интересовать только усредненные по времени значения этих величин, для определения которых можно воспользоваться следующими правилами, позволяющими проводить вычисления с комплексными величинами. Пусть 2lv = ! Sv | exp [t (Ov— co^)]— некоторая комплексная компонента поля, 3lv = I Sv I cos (Ov— co^)— ее вещественная часть (вещественная компонента поля). Тогда усредненное по времени значение произведения вещественных компонент поля 3lv и Ш^ определяется следующим образом:

? Йу31и dt | 2lv 11 $У ? cos (Ov —(0^)005(0^—со^)^=’

о0

^IlSlvil^lcosCOv-O^) - 4 Re {ад},(16.1)

где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная величина. Обозначив это вещественное среднее значение через 3lv3y можно написать

07=1 Re {ад}.(16.2)

Если @ и § — комплексные векторы (с временной зависимостью е~7цй1^ то в соответствии с принятой формой записи получаем

© = та = J Re №1 = f {№1 +1®*©1>,(16.3)

где ® и w— усредненные по времени значения соответственно плотности потока энергии и плотности энергии. Из уравнений Максвелла (2.16) следует

divS = ^0,(16.4)

где^о— —VaRe (j®*)—средняя (по времени) энергия, излучаемая источником (током). Для электромагнитного поля, не имеющего источников (j = 0), среднее по времени значение плотности потока энергии также не имеет источников, как это и должно быть.

В двумерном случае (д/ду = 0) среднее значение плотности потока энергии, согласно (4.1р) и (4.1s), определяется (как для ^-случая, так и для s-случая) соотношением

© = —(^ grad у* — у* grad у) = у Im {у* grad у}.(16.5)

Так как у и у* удовлетворяют волновому уравнению (4.2), то легко установить, что ©ив этом случае не имеет источников. Средняя плотность энергии определяется соотношением

w = А (| v |2+ | grad у |2).(16.6)

Формулы (16.5) и (16.6) имеют определенный смысл (модифицированный применительно к акустике) и в трехмерном случае (Э/ду^О).

а. Условие излучения

После сделанных предварительных замечаний перейдем к формулировке условия излучения; при этом будем придерживаться предложенной Зоммерфельдом [43] наглядной трактовки, связанной с принципом Гюйгенса.

Условие излучения в скалярной теории. Рассмотрим скалярную задачу. Пусть в формуле (8.5) поверхность интегрирования состоит из двух замкнутых поверхностей (5) и (5), таких, что поверхность (5) охватывает все источники (источники вектора Попптинга) и дифрагирующие тела, а поверхность (S) представляет собой сферу, радиус которой г' стремится к бесконечности [начало координат находится в области, охватываемой поверхностью (5)]. Исследуем, каким условиям должна удовлетворять функция о, чтобы поверхностный интеграл по (5) обращался в нуль (бесконечность не должна вносить вклада в поле):

lim Oo('r')G (г — Г) t'MkV = 0;(17.1)

г' со I 9?‘ 9г

здесь dm'— элемент поверхности сферы единичного радиуса. Подставляя вместо G (т—г') ее выражение (V4n) (exp iR)/R [см. (8.3)], где/?— “ | г— г' | —> гЗ получаем

lira ^^ т' Q-^r— сгг'£Йо'+ ^лю^'^(17.1а)

" °° 88

Таким образом, достаточно потребовать выполнения двух условий:

lim fo^=0(17.2)

И

г|у|<оо при г—>оо.(17.2а)

Соотношение (17.2) называют (следуя Зоммерфельду) условием излучения, а условие (17.2а) — условием ограниченности. Оба условия должны выполняться при любых полярных углах й и ф. Как показал Реллих [44], условие (17.2а) в качестве дополнительного требования является излишним, так как оно автоматически вытекает из условия (17.2). Интегрируя (17.2) с помощью (17.2а), получаем асимптотически

у (t) —> А (й, ср) при г —> со,(17.26)

где амплитуда А (й, ф) может быть любой (константа интегрирования). Условие излучения гласит, таким образом, что любое поле на бесконечности должно иметь вид уходящей сферической волны [exp i (г — tot)\/r (направленность которой необходимо определить для соответствующей задачи).

В двумерном случае функция Грина для свободного пространства имеет вид (Z/4)//o(7?) [см. (8.3а)]; асимптотически она описывается выражением G (г—г') —~ exp (tr'^V г' • Используя последнее и проводя

г | п| < со при г—>оог | п| < со при г—>оовычисления, аналогичные сделанным выше, получаем условие излучения в двумерном случае:

г | п| < со при г—>оо

г | п| < со при г—>оо

(17.3)

ИЛИ

(17.3а)(17.3а)егг

(17.3а)

(17.3а)

У (г) —> Л (ф)-—- ДЛЯ Т—>ОО.

V г

Условие излучения в векторной теории. Ниже мы установим связь между плотностью потока энергии и условием излучения, но сначала сформулируем это условие для электромагнитного случая. При этом

Фиг. 9. К доказательству теоремы единственности.Фиг. 9. К доказательству теоремы единственности.

Фиг. 9. К доказательству теоремы единственности.

Фиг. 9. К доказательству теоремы единственности.

вновь будем исходить из векторного принципа Гюйгенса (12.6х), (12.7). Как и выше, рассмотрим область, ограниченную поверхностями (5) и (5), и потребуем, чтобы интеграл по поверхности (5) обращался в нуль. Прежде всего из (8.3) при г' —>оо асимптотически следует

V'G(r-r')—Г) е'С(г-т'),(18.1)

где е—внешняя нормаль к (S) (фиг. 9). Следовательно, интеграл по поверхности (5) в выражении (12.6х) преобразуется к виду

^{i[e'£] + [[e'®]ez] (i —+ (е'@) е' (г —р)}с(г — ?)</? =

= ^ ^ [е'61 + ^—~r^) ®J G (г — г') dr'. (18.2) s

Этот интеграл должен обращаться в нуль при г'—>оо:

lim ^ ^ т\^^\ + ®) e^dco' — ^ ^e^'d^' J = 0;

Т88

для этого достаточно потребовать, чтобы

lim г (@ + [е^]) =: 0, г|©|<оэпри г—>оо.(18.3)

Точно так же из (12.7) получаем•

limr(^—[е($]) =0, г | ^ | < оо при г—>со.(18.3а)

Эти условия, сформулированные в таком виде Мюллером [45] (см. также [46]), и составляют электромагнитное условие излучения. Из них прежде всего следует, что нормальные компоненты (е@) и (е@ (е— единичный вектор в направлении г) асимптотически убывают быстрее, чем тангенциальные компоненты, т. е. дальнее поле является чисто поперечным; тангенциальные компоненты электрического и магнитного векторов имеют одинаковые абсолютные величины. Интегрируя выражения (18.3) и (18.3а), описывающие условие излучения, получаем

@(гНД[е$(е)] + [е[е^(^|

4 для г —> оо.(18.4)

ir I

(г) —>{[е[еф (е)]] —[едуг (е)]}[

Электромагнитное поле на больших расстояниях имеет, таким образом, вид, допускающий интерпретацию его как излучения некоторого мультиполя. Векторы ^ (е) и gji (е) зависят только от полярных углов (й, ф) и определяются спецификой рассматриваемой задачи.

Поток энергии в бесконечности. Закон Реллиха. Вычислим теперь средний поток энергии через бесконечно удаленную поверхность (5). Для скалярного случая из (16.5) и из условия излучения (17.2) следует

^ (eS) йс= -^^ ^ ^у* "t?) ^^ “ 4 ^ у^^^-(19.1)

sss

В электромагнитном случае аналогичная формула получается из (16.3) и «электромагнитного условия излучения» (18.3), (18.3а):

(еЗ) ^ = 4 f {([е®1 £*) - (®* [е©])> г2 <7® = А ^ {(@@*) -L (<§^*)} г3 dto =

888

= 4 $ (®®*)?'2 dto = ^ $ №^ ^ d®- (19.2) 88

Как видно из этих формул, условие излучения фактически обеспечивает выполнение требования, что на бесконечности поток энергии всегда должен быть направлен наружу (положительные величины под интегралом) s

Из формул (17.26) и (18.4) следует, что поле убывает с расстоянием как 1/г. Физический смысл этого состоит в том, что поток энергии, определяемый соотношениями (19.1) и (19.2), через любую сферическую поверхность г = const должен быть одинаковым. Действительно, если эти поверхности охватывают все источники и дифрагирующие тела, то между двумя такими поверхностями энергия не может ни возникнуть, ни исчезнуть. Из формул (17.26) и (19.1) или (18.4) и (19.2) непосредственно видно, что асимптотическое выражение для потока энергии не зависит от г. Поэтому в волновых явлениях поле вообще не может убывать быстрее, чем 1/г (в отличие от статических задач). Любое

поле, убывающее быстрее, чем 1/г, тождественно равно нулю во всем пространстве.

Рассмотрим эту теорему Реллиха [44] более подробно математически. Обратимся вновь к интегралу Гельмгольца (8.5). Примем на поверхности дифрагирующего тела краевое условие у = 0 и выберем поверхность интегрирования (5) так, чтобы она плотно облегала это тело. Будем считать, как и прежде, что рассматриваемая область ограничена в бесконечности поверхностью (5) (см. фиг. 9), интеграл по которой равен нулю (в силу условия излучения); тогда

у (r) = -^^glG(r-?jd?.(19.3)

S

Здесь G можно разложить в ряд

(19.4) go = e-i(e?) ,

где коэффициенты gv не зависят от г. Этот ряд сходится равномерно и абсолютно при любых г, при которых все источники и дифрагирующие тела находятся внутри сферы г = const. Подставив этот ряд в (19.3), получим

" М S А '(19-3а)

ГДе

/ \1 £ ди (?),чА,

=x^dx-

S

С помощью волнового уравнения (4.2) можно получить рекуррентные формулы для определения величин yv(e), зависящих от угла [47, 48]. Из этих формул следует, что если и0 обращается в нуль, то обращаются в нуль и все yv. Это как раз и есть теорема Реллиха.

В электромагнитном случае для граничного условия [п($] = 0 на (5) из формул Франца (12.8) получаем таким же способом

@ (г) = i rot rot ^ [nz^ (г)] G (г — г') df,

.(19-5)

^(г) = rot J [п'^ (г')] С (г —г') АЛ

S■

Воспользовавшись снова разложением (19.4), получим ряд вида (19.3а), члены которого могут быть отличны от нуля только в том случае, когда отличен от нуля первый член. Таким образом, при увеличении расстояния электромагнитное поле также не может стремиться к нулю быстрее, чем 1/г. Это следует также и из того, что все декартовы компоненты поля удовлетворяют волновому уравнению (4.4).

Совершенно аналогично можно показать, что поля, удовлетворяющие двумерному волновому уравнению (4.2), должны убывать не быстрее, чем 1/]/г, таг; как в этом случае поверхностями, общий поток энергии через которые остается постоянным, являются цилиндры (с длиной окружности 2лг).

Доказательство единственности. Классификация дифракционных задач. После того как мы с помощью условия излучения установили энергетические соотношения в бесконечности, доказательство единственности решения дифракционной задачи не вызывает затруднений. Оно может быть получено непосредственно из закона сохранения энергии.

В скалярном случае мы ищем функцию и, удовлетворяющую:

Волновому уравнению Аи-Оу^О при источнике с производительностью РИ0 в точке г0, так что плотность производительности источников есть divS = PF06(r — г0).

Краевому условию и — 0 или dvldn = Q на (5).

Условию излучения (17.2).

Если проинтегрировать теперь плотность источников divS, где S определяется выражением (16.5), по области, ограниченной поверхностями (aS) и (aS) (см. фиг. 9), то на основании теоремы Гаусса и соотношения (19.1) получаем

РЕ0 = 4 lim £ пу*г2 dto.(20.1)

Г->ОО _

_S

Наличие тела, на котором происходит дифракция, в этой формуле явно не отражается, так как интеграл по его поверхности (aS) в силу краевого условия обращается в пуль. Это вполне попятно, так как тело не излучает и не поглощает энергию. Предположим, что имеются два решения и(1) и и(2), удовлетворяющие условиям I— III. Тогда для их разности и=ит— п(2) производительность 1Г0 равна 0, поэтому равен нулю и интеграл в правой части (20.1). Это возможно лишь в том случае, когда функция и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/г. Поэтому, согласно теореме Реллиха, функция и должна обращаться тождественно в пуль. Этим доказана единственность: с/п = У2).

Если вместо однородного краевого условия II задано более общее краевое условие:

Па. и — фо или ^ = Фо на (aS),

где фо, ф0 —известные функции, то разность у(1) —у(2) должна удовлетворять краевому условию II. Отсюда так же, как п выше, легко доказывается единственность решения, удовлетворяющего условиям I, На, III, что мы уже использовали в п. 9.

Векторная задача дифракции определяется условиями:

Г. ©, S удовлетворяют уравнениям Максвелла (2.16) при заданной плотности производительности div S — РЕ0 д (г — г0) (или заданной плотности тока j).

® удовлетворяет краевому условию [п®]— 0 па (aS) (или § краевому условию [п^]=0).,

ПГ. (I, ^ удовлетворяет условию излучения (18.3) и (18.3а). Применяя к вектору S, определенному соотношением (16.3), теорему Гаусса и используя (19.2), получаем

wo = 1 lim J {(№*) + ^*^ г2 дю.(20.2)

s

Так как разность двух возможных решений, удовлетворяющих условиям I' — ПГ, и в этом случае не имеет особенностей, то из (20.2) непосред-

ственно следует единственность. Действительно, электромагнитное поле не может убывать в бесконечности быстрее, чем 1/г, поэтому разность должна тождественно обращаться в нуль. Более глубокий вопрос о существовании решения поставленной дифракционной задачи был рассмотрен Вейлем и Мюллером с помощью теории интегральных уравнений; см. п. 77, 81 и 82.

Непосредственно ясно, что в задачах дифракции не может быть таких решений однородного волнового уравнения или уравнений Максвелла, которые не имеют особенностейJ), а также не может быть собственных колебаний в дифрагирующем устройстве ) (в противоположность краевым задачам в ограниченных областях, например задаче о полости в проводнике). В дифракционных задачах энергия поля, определяемая соотношением

W -^ ^ (| и |2 + | grad у |2) dr, или И = -^ ^ (®@* + §.§*) йт

(интегрирование проводится по всей области, занимаемой полем), бесконечно велика. Это видно из того, что правые части соотношений (19.1) и (19.2) асимптотически не зависят от г (скажем, начиная от г—г). Поэтому если проинтегрировать правую часть (19.1) или (19.2) по г от г до оо (с тем чтобы определить вклад, вносимый в энергию дальним полем), то интеграл будет расходящимся. Бесконечную энергию можно представить себе как накопившуюся в результате бесконечно долго длившегося колебательного процесса, предшествовавшего установлению рассматриваемого нами стационарного состояния.

До сих пор мы рассматривали поля, простирающиеся до бесконечности во все стороны. Если же часть пространства занята дифрагирующим телом, также простирающимся до бесконечности (полутрубы), то условие излучения должно быть соответственно видоизменено применительно к части пространства, не занятой дифрагирующим телом. Реллих [44] и Джонс [49] ввели критерии для форм полутруб в бесконечности, позволяющие различать задачи с непрерывным спектром (W —> со), когда существует только решение типа излучения при любых значениях частоты о или волнового числа к, и задачи, где имеют место также собственные колебания (W < со), (для . которых допустимые значения волнового числа к образуют дискретный спектр).

Чтобы упростить способ описания, будем далее различать следующие два случая:

«Рассеяние»: дифрагирующее (рассеивающее) тело имеет конечные размеры (фиг. 10а).

«Дифракция»: дифрагирующее тело частично простирается в бесконечность (фиг. Юб), однако спектр собственных частот непрерывен (собственные колебания при этом исключаются из рассмотрения).

Ф и г. 10а. Расположение проводников в случае «рассеяния».Ф и г. 10а. Расположение проводников в случае «рассеяния».Фиг. 106. Расположение проводников в случае «дифракции».Фиг. 106. Расположение проводников в случае «дифракции».

Ф и г. 10а. Расположение проводников в случае «рассеяния».

Ф и г. 10а. Расположение проводников в случае «рассеяния».

Фиг. 106. Расположение проводников в случае «дифракции».

Фиг. 106. Расположение проводников в случае «дифракции».

В случае плоских экранов, которые нас главным образом интересуют, задача рассеяния и дополнительная к ней дифракционная задача связаны между собой теоремой Бабине (см. п. 24).

Если источник находится в бесконечности, то условие излучения необходимо видоизменить, чтобы учесть падающую в заданном направлении плоскую волну (см. Джонс [50]).

б. Условие на ребре

Выше мы молчаливо предполагали, что поверхность дифрагирующего тела не имеет ребер (т. е. линий, вдоль которых направление нормали к поверхности терпит разрыв). Если же имеются ребра, то следует ожидать, что поле в точках, лежащих на этих линиях, будет иметь особенность аналогично тому, как электростатическое поле имеет особенность на острие.

Наиболее острые ребра имеют, в частности, дифрагирующие экраны, которые можно рассматривать как бесконечно тонкие ограниченные поверхности. Баукамп [51] первым показал, что задача дифракции на экране имеет множество решений, удовлетворяющих всем условиям I — III и отличающихся друг от друга по существу характером особенности на ребре экрана).

Фиг. U.K формулировке условия па ребре.Фиг. U.K формулировке условия па ребре.

Фиг. U.K формулировке условия па ребре.

Фиг. U.K формулировке условия па ребре.

Значение условия на ребре. В действительности приведенный выше метод доказательства единственности нельзя без дополнительных оговорок распространять на случай, когда тело имеет ребро. Однако

нетрудно установить дополнительное требование, необходимое для обеспечения единственности и в этом случае. Формулы (20.1) и (20.2), из которых следует, что вся поступающая от источника, энергия полностью излучается в бесконечность, получены на основании теоремы Гаусса, справедливой только в случае полей, не имеющих особых точек. Поэтому следует окружить ребро объекта, на котором происходит дифракция, поверхностью в виде тонкого кольцеобразного валика (фиг. 11), с тем чтобы после применения теоремы Гаусса устремить к нулю

радиус р этого валика. При q —> 0 должен устремиться к нулю и интеграл, взятый по такой вспомогательной поверхности. В про

тивном случае в формулах (20.1) и (20.2) появился бы еще один член, обусловленный наличием ребра, который означал бы, что ребро излучает энергию (уходящую в бесконечность вместе с энергией источников РГ0)

искомого решения задачи и, естественно, что без дополнительного требования, определяющего это поведение, еще нет однозначной формулировки задачи. В качестве такого дополнительного требования Зоммерфельд еще в конце прошлого века в своей известной скалярной задаче о дифракции па полуплоскости использовал условие непрерывности поля в принадлежащей рассматриваемой области вместе с ее границей окрестности ребра. Давно известно также, что требование непрерывности поля только на самой поверхности тола (включая ребро), вообще говоря, недостаточно для единственности. Даже в простейшем случае задачи Дирихле (в частности, для краевого условия и~0), как было продемонстрировано известным примером Лебега, помимо непрерывности граничных значений в окрестности ребра, нужно еще требовать независимости предельного значения в точке ребра от пути приближения к этой точке изнутри области. Впрочем, последнее требование может оказаться обязательным для обеспечения единственности и в случае гладкой границы. Действительно, задача определения в полупространстве 2 > 0 функции v^x, у, z), удовлетворяющей уравнению Дг-|-к2г = 0, условию излучения (дгй/дй) — ikvR = 0 (егкд/й) при Л-»со и краевому условию и (х,у, 0) — 0, при дополнительном требовании, что г -> 0 в любой точке границы независимо от пути подхода, обладает единственным решением г = 0. Между тем стоит отбросить последнее требование, чтобы появился еще, например, целый континуум решений вида

Я3/2 (^) z

(с — произвольное число). Любопытный, хотя и не адекватный физическому смыслу задачи дифракции пример поведения поля в окрестности ребра в том случае, когда в этой окрестности требование непрерывности не налагается, представляет известная «задача о скачке» Коттлера (1923 г.), решение которой в самой точке ребра оказывается линейной функцией угла, характеризующего то направление, по которому приближаются к ребру изнутри области. —Прим. ред.

Фиг. 12. Локальная система координат для элемента ребра.Фиг. 12. Локальная система координат для элемента ребра.векторов поля. Разложимвекторов поля. Разложим

Фиг. 12. Локальная система координат для элемента ребра.

Фиг. 12. Локальная система координат для элемента ребра.

векторов поля. Разложим

векторов поля. Разложим

или поглощает ее (так что в бесконечность излучается только разность между Wo и этой поглощенной энергией). Оба эти случая должны быть исключены. При этом дополнительном требовании (условие на ребре) формулы (20.1) и (20.2) остаются в силе и для объектов, имеющих ребра. Поэтому в данном случае единственность дифракционной задачи может быть доказана точно так же, как и выше.

Таким образом, приходим к выводу, что к условиям I—III или Г — ИГ необходимо добавить еще одно условие:

IV. у или @, ^ должны удовлетворять условию на ребре.

Это условие, как будет показано, математически можно записать по-разному, однако мы не будем делать между ними различия и любое условие, относящееся к ребру дифрагирующего объекта и обеспечивающее единственность, будем называть условием на ребре.

При математической формулировке условия на ребре рассмотрим лишь случай края тонкого экрана, когда мы имеем дело с наиболее острым ребром. При этом направление нормали на ребре экрана при переходе с верхней стороны (+) на нижнюю (—) меняется скачком на величину л. Заметим вначале, что нормальная (к вспомогательной поверхности в виде кольцевого валика) компонента вектора Пойнтин- га © в пределе при g—>0 может иметь особенность, но более слабую, чем д"1: limgSn = 4- Ит б {№] + [@*^]Ь = 0, (21.1) р—>04 р->0

в противном случае ребро будет излучать (элемент вспомогательной поверхности как раз пропорционален д).

Остается выяснить, как эта особенность распределена между компонентами

векторы поля на компоненты, параллельные и перпендикулярные ребру экрана; для этого построим в каждой точке ребра ортогональный репер из трех единичных векторов (фиг. 12), а именно: вектора t, касательного к линии ребра (С), который мы примем за ось 'у; вектора п, нормального к плоскости экрана в окрестности рассматриваемого элемента ребра (ось г), п f — [tn] (ось х) (см. фиг. 12). Компоненты поля можно записать теперь в виде

^ = (Ш (^ = (Ж @z=(n@) или @п-^ 6±-(^@z);(21.2)

соответственно для ^. Ниже мы покажем, что параллельные компоненты ©|| и ^ц всегда ограниченны (или равны нулю). Перпендикулярные компоненты ®£ п 6± имеют тогда в соответствии с условием на ребре (21.1) особенность порядка д~а, где а<1.

Условие на ребре в форме Мейкснера. Вместо условия (21.1),. состоящего в том, что ребро не должно излучать (т. е. поток энергии через поверхность тонкого окружающего ребро кольцеобразного валика толщиной р в пределе яри g —> 0 должен стремиться к нулю), Мейкснер [21] потребовал, чтобы плотность энергии w была пространственно

интегрируема в окрестности ребра (конечная энергия в конечной области). Так как элемент объема содержит множитель Q, то отсюда следует, что квадрат напряженности поля должен иметь на ребре особенность типа Q"2a, где а<1. Из этого условия для компонент поля получаются те же соотношения, что и выше.

Величину показателя степени а, по Мейкснеру [52], можно определять следующим образом: компоненты поля разлагаются в окрестности ребра в ряды по степеням Q и эти ряды подставляются в уравнения Максвелла. Из краевого условия для идеально проводящего экрана (@танг —0) следует, что в эти ряды могут входить только члены с полу- целыми степенями. Отсюда получается, что введенный выше показатель а равен Vs- Далее оказывается, что по отношению к углу ф (измеряющему обход вокруг ребра) поле имеет период 4л, т. е. поле принимает исходные значения лишь после двукратного обхода вокруг ребраV- Этот результат можно интерпретировать также следующим образом: для удовлетворения краевым условиям на поверхности бесконечно тонкого, идеально проводящего экрана необходимо иметь двузначное решение уравнений Максвелла. Этот подход был введен в теорию дифракции Зоммерфельдом [53, 54] (см. п. 28)»

Ф и г. 13. Локальная система координат в плоскости, перпендикулярной элементу ребра.Ф и г. 13. Локальная система координат в плоскости, перпендикулярной элементу ребра.Рассмотрение, основанное на теории потенциала. Приведенные выше результаты могут быть получены более простым путем, если следовать методу, предложенному Мауэ [55]. Рассмотрим малую окрестность произвольной точки ребра, такую, что экран в пределах этой окрестности можно считать плоским, а линию ребра — прямой линией; кроме того, размеры выделенной области должны быть малы по сравнению с длиной

Ф и г. 13. Локальная система координат в плоскости, перпендикулярной элементу ребра.

Ф и г. 13. Локальная система координат в плоскости, перпендикулярной элементу ребра.

волны. Внутри этой малой области

мы можем ограничиться рассмотрением поведения поля в плоскости, перпендикулярной ребру, пренебрегая изменением поля в направлении, параллельном ребру, и, наконец, вместо волнового уравнения или уравнений Максвелла можем вос

пользоваться уравнением Лапласа Nd — 0. Таким образом, задача сводится к рассмотрению плоской статической задачи.

Пусть экран совпадает (локально) с плоскостью ху, а ребро — с осью у. Геометрические соотношения в плоскости хт» приведены на фиг. 13. Запишем краевое условие II для р- и s-случаев в полярных координатах Q, ф, определенных в плоскости чертежа (ф ~ 0, 2л):

(23.1/0(23.1s)(23.1/0(23.1s)дфдф= 0.= 0.D — 0,

(23.1/0

(23.1s)

(23.1/0

(23.1s)

дф

дф

= 0.

= 0.

х) Под полем здесь подразумевается функция, представляющая решение стационарной задачи дифракции на плоском идеально проводящем экране и продолженная как решение уравнений Максвелла сквозь обе стороны экрана на всю вещественную область, куда возможно такое продолжение.—Прим. ред.

Общие решения [удовлетворяющие краевым условиям (23.1)] уравнения Лапласа с произвольной пока что особенностью в нуле имеют в этих же координатах вид

ОО

п= 2 OvQv/2 + M~v/2) sin ^- ,(23.2р)

у = 2 (av6v/2 + 6VQ-V/2) cos ^- + a0 + b0 In q.(23.2s)

Представим себе на время, что значения у (для /?-случая) или dy/^Q (для s-случая) заданы также вдоль некоторой произвольной окружности, охватывающей начало координат и образующей вместе с экраном замкнутую область (показанную на фиг. 13 пунктирной линией). Пусть в этой области, имеющей, по предположению, сначала закругленное, а затем, в пределе, интересующее нас острое ребро, функция у определяется однозначно1) (краевая задача теории потенциала первого или второго рода). Чтобы удовлетворить краевым условиям на окружности (предполагается, что эти краевые условия представлены рядом Фурье), достаточно коэффициентов av в рядах (23.2). Члены с коэффициентами Ъ^ мы отбрасываем ввиду их сингулярности, т. е. полагаем 6V тождественно равными нулю. В противном случае решение было бы неединственным. Поведение функции у вблизи ребра определяется первым отличным от нуля членом разложения (23.2)

y^Qi/2Sin-^|(23.Зр)

} при Q —> 0.

v ~ const + Q1^ cos-— I(23.3s)

Высшие члены разложения (23.2) не имеют значения, так как замена волнового уравнения уравнением Лапласа все равно справедлива лишь с точностью до первого члена. Соотношения (23.3) представляют условие на ребре для скалярной задачи дифракции на ограниченной поверхности (экране). Несколько упрощено это условие можно понимать как требование ограниченности функции у на ребре (см. ниже); в этой формулировке оно справедливо и для ребра клина.

Обращаясь к случаю электромагнитного поля, мы разбиваем это поле локально (в окрестности рассматриваемой точки) на два поля с разной поляризацией (р- и s-случаи в смысле п. 4). В первом случае параллельно ребру (т. е. в соответствии с обозначениями, принятыми в п. 21 и на фиг. 12 и 13, параллельно оси у) колеблется электрический вектор, во втором — магнитный вектор, так что задача сводится снова к отысканию скалярной функции у. Поэтому мы можем воспользоваться непосредственно условиями на ребре (23.3) и записать их, принимая во внимание (4.1р) и (4.1s), в виде

&у ~ Q1/2 sin -у , ^~ const + 2^2 cos-|-, при 2~>0.(23.3а)

Отсюда для поля в плоскости, перпендикулярной ребру, получаем, используя уравнения Максвелла (2.16), или, точнее, соотношения (4.1/?)

х) В s-случае с точностью до константы.

и (4.1s),

6Х, ^z Q"1/2sin-|-, @z^x^ Q"1/2COS-E- , при Q 0.(23.36)

Как видим, нормальные компоненты поля имеют на ребре особенность вида q-1^ и терпят бесконечно большой разрыв (вследствие угловой зависимости), если пересекать ребро в плоскости экрана. Распределение поверхностных токов на экране определяется разрывом тангенциальных компонент магнитного вектора

3x~Q1/2, 3y~Q--lh при Q—>05(23.4)

т. е. перпендикулярная и параллельная ребру компоненты плотности тока обращаются на ребре соответственно в нуль и бесконечность (см. также п. 55)г).

Остановимся еще раз на скалярной двумерной задаче. Условие (21.1) с помощью (16.5) можно записать в форме

lim q (у grad у* — v* grad у) = 0.(23.5а)

р—>0

Легко заметить, что условие (23.5а) идентично следующим двум условиям:

Функция у всюду ограничена и непрерывна, включая и точки ребра экрана(23.56)

и

lim g grad у = 0.•(23.5в)

р->0

Выше мы видели, что ребра экранов являются линиями ветвления решения дифракционной задачи. В двумерном случае речь идет о точках ветвления, в которых разветвленное решение может быть представлено рядом

у A^J^/^ (q) в ,

v=0.

где /v/p — функция Бесселя индекса v/ц (этот ряд аналогичен ряду Пюизё для окрестности точки ветвления, используемому в теории аналитических функций)..

При этом предполагается, что точка ветвления (^ = 0; ребро) является местом склейки ц римановых листов и функция у там ограниченна. Функция Бесселя J^ изменяется при малых р как pv/^, так что функция У при р —» 0 остается ограниченной (как и предполагалось), а ду/др стремится к бесконечности, но так, что условие (23.5в) не нарушается [47]. Таким образом, условие (23.5в) является следствием требования ограниченности у, и его можно не рассматривать как дополнительное требование. Число римановых листов, склеенных в точке ветвления, не определяется из общего условия на ребре (23.5а); лишь после использования краевых условий для идеально проводящего экрана оказывается, что ц = 2(см. выше). Эти рассуждения можно распространить и на случай трехмерных скалярных задач [54].

!) Математическая формулировка условия па ребре в акустическом и электромагнитном случаях рассмотрена достаточно подробно в работах Джонса [56, 57]; см. также работы Копсона [58], Мейкснера [59], Гейнса и Силвера [46, 60].

Условие на ребре и разделение переменных. Выясним в заключение взаимосвязь рассмотренных вопросов с методом разделения переменных (см. п. 5). С этой целью обратимся вновь к двумерной потенциальной задаче, характеризующей соотношения вблизи ребра. Введем

Ф п г. 14. Параболические координаты в окрестности элемента ребра.Ф п г. 14. Параболические координаты в окрестности элемента ребра.

Ф п г. 14. Параболические координаты в окрестности элемента ребра.

Ф п г. 14. Параболические координаты в окрестности элемента ребра.

в плоскости, перпендикулярной ребру (на фиг. 13 плоскость ^), параболические координаты £, ц (фиг. 14), связанные с декартовыми координатами соотношениями

222 = ^,2 = ^,(24.1)(24.1)

2

2

2 = ^,

2 = ^,

(24.1)

(24.1)

где g и .ц могут меняться в интервале

(24.2)

На поверхности экрана ^ = 0, на ребре ^ = ц = б. Запишем уравнение Лапласа и краевое условие II в новых координатах:

а^и а^и п

"—~ 9* —(24.3)

у = 0(для ^-случая) и -||- =0 (для 5-случая) при £ —0.(24.4)

Сделав в (24.3) подстановку

v(g, П) =/1©/г(1]),(24.5)

придем к двум уравнениям с разделенными переменными:

А'+М^о,/:-х/2=о.(24.6)

Коэффициенты обоих дифференциальных уравнений не имеют особенностей, так что их решения можно представить рядами по степеням £ иТт]. Решение и поэтому имеет следующий общий вид:

' у = const + a^ + Ьц ф- ...(24.7)

Отсюда, используя краевые условия (24.4), получаем при ^ = ц = 0

у— ^ (^-случай), y^const + p (s-случай). (24.4а)

Мы пришли к результатам (23.3), поскольку параболические и полярные координаты связаны между собой соотношениями

= р1^ sin-^-, р = gV2 cos-^ -(24 Л а)

Условие на ребре выполняется, таким образом, автоматически.

Это положение на первый взгляд противоречит нашим прежним утверждениям о том, что дополнительно к краевому условию необходимо задавать условия на ребре. Эта необходимость отпадает или когда дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных в некоторых координатах §, ц, выбранных в соответствии с формой дифрагирующего тела, или когда искомое решение строится из таких частных решений, которые в отдельности заведомо удовлетворяют условию на ребре. Если мы при решении скалярной дифракционной задачи поступаем указанным образом, то специальное оговаривание условий на ребре действительно становится излишним.

Условие на ребре для вектора Герца в случае плоского экрана. Условие для вектора Герца на ребре плоского экрана (см. п. 7) также получается из рассмотрения окрестности некоторой точки ребра. Поведение поверхностного тока 3 вблизи ребра определяется формулами (23.4). Зная распределение токов, можно известным образом получить вектор-потенциал, или вектор Герца (см. п. 53). Так как мы интересуемся только характером особенности (полуцелыми степенями р) на ребре, то можно не рассматривать распределение токов на удаленных от ребра участках, поскольку они дают только регулярный вклад (целые положительные степени р) в вектор-потенциал. Тогда получаем

Зх— р3/2 sin-^ + Регулярные члены, I

: при р —> 0.(25.1)

Зу sin -?- + Регулярные члены I

Условие на ребре (25/1) может быть записано в более простом виде без указания угловой зависимости. Обозначим снова, чтобы не быть связанными с определенной системой координат, перпендикулярные и параллельные ребру компоненты 3 соответственно через Зр и 3ih и запишем (25.1) в виде

31 ~ Q3/2 + Регулярные члены, 31| ^ р17^+ Регулярные члены31 ~ Q3/2 + Регулярные члены, 31| ^ р17^+ Регулярные членыпри р —при р —0.0.(25.2)(25.2)

31 ~ Q3/2 + Регулярные члены, 31| ^ р17^+ Регулярные члены

31 ~ Q3/2 + Регулярные члены, 31| ^ р17^+ Регулярные члены

при р —

при р —

0.

0.

(25.2)

(25.2)

При использовании параболических координат £, ц, лучше всего соответствующих форме края экрана, соотношения получаются иного вида. Путем разделения, переменных в волновом уравнении или уравнении Лапласа получаем опять для 31 и Зи РЯДЫ по степеням £, ц, аналогичные (24.7). Так как ^ и ц, согласно (24.1а), пропорциональны рР2, то члены с четным числом сомножителей и ц соответствуют регулярной части выражения (25.2), а с нечетным числом — сингулярной части. Тем самым второе соотношение в (25.2) выполняется само собой. Теперь надо добиться того, чтобы в первом соотношении отсутствовал член рт/2, т. е. не было линейных (в координатах £, ц) членов. Таким образом, для выполнения условия на ребре должно выполняться соотношение

^==^ = ° Для s = n = O.^==^ = ° Для s = n = O.(25.3)(25.3)

^==^ = ° Для s = n = O.

^==^ = ° Для s = n = O.

(25.3)

(25.3)

§ 5. ТЕОРЕМА БАБИНЕ

Ф и г. 1э. К обсуждению рассеяния на плоском экране.Ф и г. 1э. К обсуждению рассеяния на плоском экране.Если в пространстве каким-либо образом выделена некоторая плоскость, то решения уравнений Максвелла, так же как и волнового уравнения, обладают простыми свойствами симметрии. Плоскость симметрии имеется, например, если часть (5) плоскости 2 = 0 покрыта бесконечно тонким, идеально проводящим экраном. Остальную часть плоскости 2 = 0, дополнительную к (S), будем называть отверстием (L). Пусть на экран (S) со стороны 2 < 0 падает волна п0, или ®0, §0 (т. е» поле имеет особенность в полупространстве 2 < 0). Здесь, как и в и. 20, прежде всего надо различать два случая.

Ф и г. 1э. К обсуждению рассеяния на плоском экране.

Ф и г. 1э. К обсуждению рассеяния на плоском экране.

рассеянием. Пусть и ость нормальрассеянием. Пусть и ость нормальРазличие между задачами дифракции и рассеяния в случае плоских экранов, а) Экран (S) имеет конечные размеры. В этом случае ноле на больших расстояниях от экрана (по обе стороны от него) фактически определяется падающей волной. Действие экрана можно описать как некоторое добавочное возмущение, обусловленное обеими сторонами экрана. Это возмущение будем называть

рассеянием. Пусть и ость нормаль

рассеянием. Пусть и ость нормаль

к поверхности экрана (направленная в сторону положительных 2, как показано на фиг. 15). Разложим радиус-вектор г на параллельную плоскости 2 = 0 компоненту г и перпендикулярную ей (112), так что г — г + №. Соответственно должны быть разложены и векторы поля. Поскольку рассеяние носит симметричный (относительно плоскости 2=0) характер, к решению задачи можно подойти следующим образом:

p-случай; у=0 на (S):

и (г) = v0 (т) + vs (г, ±2), 2^0;(26.Ip)

s-случай; ду/^2=0 на (S):

v (г) = У0 (r) ± Vs (т, ±2), 2^0;(2G.ls)

электромагнитный случай; [п@]=0 на(5):

@ (г) = @0 (г) Ч- @8 (Г, ± z), ± (^ ^ ± о, | S (г) = So (г) + Ss Д, ± z) + Sa (Г, Г z), j

Член с индексом S, соответствующий полю рассеянной волны, можно рассматривать как функцию, определенную только в полупространстве 2 > 0. Поле рассеянной волны в полупространстве 2 < 0 может быть получено посредством зеркального «отражения» в плоскости 2 = 0. В р-случае, когда имеет место краевое условие у= 0, рассеянное поле симметрично относительно 2, в s-случае при краевом условии 9^2 = О' поле антисимметрично. Наконец, в электромагнитном случае, разложгш векторы поля на параллельные и перпендикулярные экрану компоненты..

Ф п г. 16. Отражение векторов поля в случае симметрии относительно плоскости z = 0.Ф п г. 16. Отражение векторов поля в случае симметрии относительно плоскости z = 0.

Ф п г. 16. Отражение векторов поля в случае симметрии относительно плоскости z = 0.

Ф п г. 16. Отражение векторов поля в случае симметрии относительно плоскости z = 0.

получаем, что 6g вследствие краевого условия [пё] = 0.отражается как полярный вектор, а @g— как аксиальный вектор (фиг. 16)1).

Так как рассеянное-поле, согласно волновому уравнению или уравнениям Максвелла, должно быть непрерывным на отверстии (L), то из

(26.1р) или (26.2) следует р-случай:

^ = 0,(26.3/?)

s-случай:

»sA = 0,^(L); (26.3s)

электромагнитный случай:

@s (г) = ^8 (г) = о, г € (L). (26.4)

При переходе через экран не нужно требовать непрерывности, так как уравнения поля неприменимы в точках экрана. Разрыв поля при переходе через (S) определяется из (26.1р\ (26.1s) и (26.2):

/ ^^ A< ^^ Л Г dus

V dz Л V az V az

(26.5р)

у+ — V- = 2 (ys)+,(26.5s)

(n, е+-@-)=2 №)+,

[п, .^+- ^]=2[пШ+- (?

Его можно интерпретировать как поверхностный электрический ток или как поверхностный электрический заряд, обусловливающий рассеянное поле (см. гл. Ill, § 1).

Из (26.Зр) и (26.3s) следует, что рассеянное поле на (L) удовлетворяет «противоположному» краевому условию, чем суммарное поле на (5). На основании (26.4) можно далее сказать, что отверстие (L) по отношению к рассеянному электромагнитному полю является как бы идеальным магнитным проводником (см. п. 2). Условия непрерывности (26.Зр), (26.3s) и (26.4) справедливы и для суммарного поля (26.1р), (26.1s) и (26.2) и могут быть записаны в форме

р-случай:

ди (г)_

dz

(26.3»

s-случай:

у (г) =

Уо,r£(L);

(26.3's)

электромагнитный случай:

(П®) = (П®о),

[n^] = [n^ol на (L).

(26.4')

^ При краевом условии [п§] = 0 на (S) (5 отображался бы как аксиальный лектор, а § — как полярный.

Тангенциальные компоненты магнитного вектора и нормальные компоненты электрического вектора имеют на отверстии (L) те же значения, что и в падающей волне.

б) Отверстие (L) имеет конечные размеры. В этом случае целесообразнее исходить из такого (невозмущенного) поля, которое существовало бы в отсутствие отверстия в экране, т. е. из поля, являющегося суммой падающей и отраженной (при соответствующем краевом условии на всей плоскости 2=0) волн (фиг. 17). Отверстие (L) вызывает

Фиг. 17. К обсуждению дифракции на плоскомэкране.Фиг. 17. К обсуждению дифракции на плоскомэкране.

Фиг. 17. К обсуждению дифракции на плоском

экране.

Фиг. 17. К обсуждению дифракции на плоском

экране.

возмущение этого поля, которое мы будем называть дифрагированной волной и которое снова будет обладать соответствующими свойствами симметрии относительно плоскости 2=0. Учитывая сказанное, примем ^-случай; у=0 на ^SY

+ z) + @|(r, + z), z>0,@ (г) = (. .1 @0(г) + ®°(г) + @в(Г,— z) — ^в(г, — z), z < 0;+ z) + @|(r, + z), z>0,@ (г) = (. .1 @0(г) + ®°(г) + @в(Г,— z) — ^в(г, — z), z < 0;электромагнитный случай; [п(£] = 0 на (S);электромагнитный случай; [п(£] = 0 на (S);(26.7)(26.7)

+ z) + @|(r, + z), z>0,

@ (г) = (. .

1 @0(г) + ®°(г) + @в(Г,

— z) — ^в(г, — z), z < 0;

+ z) + @|(r, + z), z>0,

@ (г) = (. .

1 @0(г) + ®°(г) + @в(Г,

— z) — ^в(г, — z), z < 0;

электромагнитный случай; [п(£] = 0 на (S);

электромагнитный случай; [п(£] = 0 на (S);

(26.7)

(26.7)

'У (г) = ■

Ув (г, у0 (г) — у° (г) + у в (г,

+z), z: — 2),

>о,

<0;

(26.6/>)

^-случай; Oujdz^

0

на (S):

У в в,

4-2),2^

> 0,

(26.6s)

У (г) = |

Уо (г) + У0

(г) — У в (г,

— 2),2<

: 0;

^в (г, + z) + ^ (г, + z), z > 0, §0 (г) 4- $° (т) — ^в (г, — г) + £в(г, — z),z<0;

при этом мы ввели «отраженные волны»

у0 (г) = у» в, — z)(26.8)

ИЛИ

@°(r)= -®о & -г) + бМ -г),б

£°(r)=g0(r, -z)-^l(r, -z),

которые вместе с падающей волной удовлетворяют на всей плоскости 2=0 краевым условиям v0 — f°=0, (d/dz) (у0 + ^°) = 0 или [и, ©о + й0] — — (и, ^о + ^°)"О. На отверстии (L) дифракционное поле (соответствующие члены отмечены индексом В) удовлетворяет следующим условиям (в данном случае тоже достаточно рассмотреть задачу в верхнем полупространстве z > 0):'

р- случай:

=^(26.10 р>

дада дах '

s-случай:

У (t) = vB (г) = v0,r^(L);(26.10s)

электромагнитный случай:

(П@) = (п@в)= (п@о), [П$] = [п^в] = 1«Ы на (£)(26.11)

Эти условия опять возникают в связи с вытекающим из уравнений поля требованием непрерывности при прохождении через отверстие (L). Между «дифракцией« и «рассеянием», разумеется, нет принципиальной разницы. Промежуточным случаем, который можно с равным успехом отнести к любому из этих типов задач, является, например, дифракция (или рассеяние) на полуплоскости.

Теорема Бабине. Рассмотрим теперь по отдельности два экрана (51) и (52), дополняющих друг друга до полной плоскости z = 0, т. е. таких, что отверстие (Li) конгруэнтно экрану (S^, а отверстие (Л2)

(L;)(S^(1/)

^2) (1гУ (S2)

Ф и г. 18. К теореме Бабине в случаеплоских экранов (а и Ъ — дополнитель-ные экраны).

конгруэнтно экрану (51), как показано на фиг. 18. Нетрудно убедиться, что решения этих двух дополнительных задач вытекают простейшим образом одно из другого. Пусть в скалярном случае на экране (51) имеет место краевое условие dv/dz = 0, а на (52) — условие v = 0; в электромагнитном же случае [п®] = 0 на (51) и [п^] = 0 на (52) (падающая волна в обеих задачах должна быть одинаковой). Решения этих задач обозначим соответственно y^si\ и^ и. @(S1), ^(S1); ^S2\ ^S2\ Нижний индекс указывает на s- или ^-случаи, а верхний относится к экрануу на котором заданы соответствующие краевые условия.

В скалярном случае на основании краевых условий имеем

О на (SO, y<ps^ = 0 на (SO,(27.1)

а из условий непрерывности (26.3'/?), (26.3's), (26.10/?) и (26.10s) получаем

^-% на (Л2), у^ = у0 на (£0-(27.Г)

Так как (5^ и (L0, а также (S0 и (L0 конгруэнтны, то, складывая и вычитая соответствующие соотношения в условиях (27.1) и (27.1'), приходим к простым смешанным краевым условиям для полей, представляющих собой суммы или разности исходных полей:

y(Si) + y(s2) ^ уо На (S0-

Совершенно аналогично для векторного случая находим краевые условия:

[п, ®(S1) ± @(S2)] = ± [п@0] на №),(27 3)

[n, £(S1)±g(S2)j =[п@0] на №).

Решения (у^81) ± у^2)), {@(S1) + ($<S2>) и {^(S1) ± §(Sa)} соответствующих .дифференциальных уравнений с краевыми условиями (27.2) и (27.3) могут быть написаны сразу и имеют вид

y(Si) . y(S2) — у

° s гУр и0’(27.4)

у(®1) — У^2) = У0

ИЛИ

@(Si) + g(s2) = @о,<g(S1) + ^(S2) = g0,

(27.о) g(Sl) - @<S2) = @0,^l) _ ^№) = ^0?

где у0 и ©°, ^° по-прежнему означают отраженные волны, определяемые формулами (26.8) или (26.9). Найденные таким образом решения являются единственными, если они удовлетворяют условию излучения, условию на ребре и имеют заданную особенность.

Если, как принималось выше, первичная волна у0 или 60, ^)0 падает со стороны 2 < 0, то первое из решений (со знаком плюс) в формулах (27.4) или (27.5) справедливо только для полупространства г > 0, так как при 2 < 0 оно имеет особенность в два раза большую, чем в падающей волне. Соответственно второе решение (со знаком минус) применимо только к области z < 0 и непригодно в области z > 0 из-за наличия здесь особенности волны (в то же время отраженная волна в полупространстве 2 < 0 не имеет никаких особенностей, как это и должно быть для разности решений дополнительных задач).

Если предположить, что каждое из решений удовлетворяет условию на ребре и условию излучения, то отсюда однозначно следует

У(/1) + У^82) = У0,2 > 0,

y(Si)— у(8г) — у°?2 < о(27.4 )

и соответственно

®(S1,+F2) = €o- 2>о, (27 5,}

@(81) _ @<Й2) = go, ^(81) _ g(S2) = go, z < Q

Формулы (27,4х) или (27.5х), связывающие решения «дополнительных» краевых задач друг с другом, представляют собой теорему Бабине).

Теорема под таким названием известна уже в эвристической теории Френеля — Кирхгофа, однако там она относится к случаю дифракции на двух произвольно изогнутых экранах, взаимно дополняющих друг друга до полной замкнутой поверхности, и носит тривиальный характер, так как дифракцию в рамках этой теории можно рассматривать как чисто краевой эффект (отвлекаясь от геометро-оптических членов; см. по этому поводу п. 32 и 33). Выведенная же выше теорема относится к строгим решениям краевых задач для дополнительных областей некоторой плоскости. Ее можно обобщить и получить «теорему эквивалентности» для большого числа плоскостей, если воспользоваться методом отражения Шварца (для аналитического продолжения в области с общей прямолинейной границей [67]).

Формула (27.4') непосредственно применима к интересующим нас здесь краевым задачам, тогда как решение ^s^\ ^s^ для экрана (S2), являющегося «идеальным магнитным проводником», не представляет интереса. Однако можно воспользоваться подстановкой

@(S2) = — ^(®\ ^^^ (27.6).

[поскольку уравнения Максвелла (2.16) инвариантны по отношению к замене ($—>§, ^ —> — @] и перейти к другому решению уравнений Максвелла, которое будет удовлетворять на (S2) представляющему физический интерес краевому условию [n(S] = 0. Ясно, что ^S2\ g(S2)" представляет решение этой краевой задачи с «замененной» падающей волной @0 = — ^0, ^о™®о- (Для плоской линейно поляризованной падающей волны такая замена означает поворот направления поляризации на л/2.) Из теоремы Бабине следует теперь с учетом (27.6)

@<Sl> + §<S2) = eoi ^(S1)_^(S2) = ^1 z>0, @(S1)_gts^go, ^(S1) + @(S2) = ^o, z < 0. (27-5 )

Так как (SJ и (S2) являются дополнительными областями плоскости z = 0, то, следуя терминологии, принятой в п. 26, одна из соответствующих краевых задач представляет собой дифракционную задачу, а другая—задачу рассеяния.

Условимся, что (Si) имеет конечные размеры, и будем отмечать, отступая от принятых обозначений, соответствующее решение задачи рассеяния верхним индексом (S), а решение «дополнительной» дифракционной задачи верхним индексом (L). Эти индексы должны означать «экран» или «отверстие», причем (S) и (L) являются уже не дополнительными, а конгруэнтными плоскими областями. Теорема Бабине

(27.4') и (27.5"), устанавливающая теперь связь между решениями задачи рассеяния и дополнительной дифракционной задачи, принимает вид

ЫЪ) = у2 > О,

=z < 0;(27-?>

@(SM ^ = ®0, ^S)-iw = ^, z>o,

(Z/.8) @(S) _ ^L) = go, ^(S) + g(L)=^0)z<0

Обратим внимание на то, что представление решения задачи рассеяния в виде падающей и рассеянной волн [см. (26.1/?), (26.1s) и (26.2)] автоматически приводит, согласно (27.7) и (27.8), для «дополнительной» задачи дифракции к такому виду выражения для поля, который мы выше нашли целесообразным. Именно, в полупространстве 2 < О поле разбивается на падающую, отраженную и дифрагированную волны, а в полупространстве 2 > О имеется только одна дифрагированная волна [см. (26.6р), (26.6s) и (26.7)].

Таким образом, если известно удовлетворяющее условию излучения рещение задачи рассеяния, то с помощью теоремы Бабине (27.7) и (27.8) определяется непосредственно удовлетворяющее условию излучения решение дополнительной дифракционной задачи. Несмотря на это, мы в дальнейшем часто будем рассматривать обе задачи параллельно, чтобы выявить некоторые физические особенности.

§ 6. МЕТОД РАЗВЕТВЛЕННЫХ РЕШЕНИИ ЗОММЕРФЕЛЬДА

Зоммерфельд [24, 53]х) показал, что в теории дифракции можно использовать применяемое в теории функций понятие многолистного риманова пространства.

Отражение разветвленных решений волнового уравнения и уравнений Максвелла. Рассмотрим двулистное риманово пространство, листы которого склеены между собой в пределах некоторого участка (S) плоскости 2 = 0 так, что из верхнего (2 < 0) или нижнего (2 > 0) полупространства одного листа можно через (5) перейти в нижнее или в верхнее полупространство другого листа. Один из этих листов мы отождествляем с действительным «физическим» пространством, другой будем называть «математическим» пространством. Контур (С) поверхности склейки (5) есть линия разветвления.

Пусть и^х, у, 2) есть двузначное (т. е. однозначное на двулистном римановом пространстве) решение волнового уравнения А^+у = 0, описывающее волновое поле, создаваемое расположенным в точке Q «физического» пространства источником и удовлетворяющее в бесконечности на обеих листах условию излучения. Посредством отражения и в плоскости (S) мы можем получить новое решение и волнового уравнения, соответствующее источнику в точке Q математического пространства, являющейся отображением точки Q). Если известны и и и, то через

них можно непосредственно выразить решение у дифракционной задачи, характеризуемой наличием экрана (5) и источника Q. Оно дается {разрезанной вдоль (5)] «физической» ветвью выражений и — и или и-\-и в зависимости от того, задано ли на (5) краевое условие у = 0 или dvldn — 0, и имеет только одну особую точку Q, так как точка Q лежит вне «физического» пространства. Сохранение излучаемой энергии внутри •«физического» пространства обеспечивается тем, что часть энергии источника ^, излучающаяся через (5) в «математическое» пространство, компенсируется излучением источника Q в «физическое» пространство.

Метод применим также и к электромагнитным волнам. Двузначное решение ®, @, описывающее электромагнитное поле расположенного в «физическом» пространстве источника Q, переходит после отражения плоскостью (5) в @, £. В частности, принимая во внимание аксиальный характер вектора ^, имеем

@х (ж, у, z) = @ж (ж, у, — z), .gx (ж, у, z) = — ^х (х, у, — Z), @У (ж, У, z) = @у (ж, у, — z), ^у (ж, у, z) = — ^у (ж, у, — z), @z (ж, у, z) = — @z (ж,у, — z), ^z (ж, y,z) = £z (ж, у, — z).

Таким образом, «физическая» ветвь решения ®, $ соответствует «математической» ветви решения ®, jg, и наоборот. «Физическая» ветвь разности этих решений @ —@, @ —§ является решением задачи дифракции на идеально проводящем экране с краевым условием = 0.

Особое внимание следует обратить на характер особенности разветвленного решения волнового уравнения или уравнений Максвелла на линии ветвления (С). Пусть решение определяется с помощью краевых условий (в частности, для упомянутых выше решений и и ®, ^ путем задания источника Q и условия излучения в бесконечности). Тогда предположение о наличии такой особой линии в противоположность всюду регулярному и однозначному решению) приводит к неопределенности, которую надо устранить, чтобы решение было единственным. Таким дополнительным условием является условие на ребре (см. п. 21), которое накладывает ограничение на характер особенности и исключает излучение этой особой линии. Оно состоит в требовании ограниченности и на (С) или интегрируемости ® и ^ и их квадратов в окрестности (С). Если q есть расстояние некоторой точки от кривой (С), то, говоря точнее, поведение решения должно подчиняться условиям (23.3), (23.3а) и (23.36):

и, ®1Н @11 < const, @£, @х ^ 6“1/2 Для Q-^О» '

Индексы || и J_ относятся к компонентам @ и ^, соответственно параллельным и перпендикулярным кривой (С) в рассматриваемой ее точке.

Многократно разветвленное решение. Для полноты следует упомянуть и о решениях волнового уравнения в многолистном — в общем случае /2-листном — римановом пространстве (то же относится и к уравнениям Максвелла в случае электромагнитных волн, для которых про-

веденное ниже рассмотрение также справедливо). Пусть отдельные листы склеены между собой на некотором участке поверхности (5); каждый лист склеен с последующим, а последний —с первым. Пусть ир есть /9-значная волна, излучаемая источником Q, расположенным в первом («физическом») листе, и пусть и^ (f=l, ..., р) есть отдельные ветви этой волны. Волна ир обладает простым свойством

U^p -[- U^ - JF ^р° ~ ^ь

где ^ — однозначное решение, а именно сферическая волна, исходящая из Q. Этот результат следует из того, что сумма в левой части однозначна, регулярна при переходе через (5) и имеет единственную особенность в точке Q. Кроме того, предполагается, что контур (С) не излучает, т. е. ир удовлетворяет условию на ребре. Из условия на ребре получаем поведение решения вблизи (С) (включая и электромагнитный случай) .

и. (£и, const, (®д_, ^Ср/23""1 для >0.

Волна и^р может быть использована при рассмотрении дифракции на «черном экране» (5), целиком поглощающем падающую волну [68—70]. Переднюю и обратную стороны «черного экрана» можно интерпретировать при этом как отверстие, ведущее из «физического» пространства в (р — 1)- листное «математическое» пространство, что напоминает физическую реализацию «черного тела» как отверстия в объемном резонаторе. Такая интерпретация не является, разумеется, строгой, поскольку свойство «черноты» тела нельзя представить с помощью граничных условий, а поэтому постановка задачи остается в большой степени* неопределенной.

В рамках строгой теории дифракции на плоских экранах разветвленные решения при р > 2 не играют никакой роли, однако они находят применение в задаче дифракции на клине (см. п. 114).

ЛИТЕРАТУРА1)

Muller CL, Grundlagen der mathematischen Theorie elektromagneti- scher Schwingungen, Berlin, 1957.

Grunberg G. A., Phys. Rev., 63, 185 (1943).

В a z e r J., К a r p S. N., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-46 (1952).

F r i e d man B., Williams W. E., N. Y. Univ. Res., Rep., No. EM-99 (1954).

Kar p S. N., К a r a 1 F., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-116 (1958); No. EM-124 (1959).

Handbuch der Physik, Bd. XI, Berlin, 1961.

Bromwich T. J. I., Phil. Mag., 38, 143 (1919).

L a m о n t R. L., Wave Guides, London, 1942, p. 17ff.

Muller CL, Abh. math. Sem. Hamburg, 16, 95 (1949).

S p e n c e D. E., Journ. Appl. Phys., 22, 286 (1951).

M о r s e P. M., F e s h b a c h H., Methods of Theoretical Physics, New York, 1953. (См. перевод: Ф. M. M о p с, Г. Ф e ш б a x, Методы теоретической физики, т. 1, ИЛ, 1958; т. II, ИЛ, 1959.)

М ie G., Ann. d. Phys., 25, 377 (1908).

M о g 1 i c h F., Ann. d. Phys., 83, 609 (1927).

Debye P., Ann. d. Phys., (4) 30, 57 (1909)..

Frank Ph., Mises R., Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, 2 Aufl., Braunschweig, 1935. (См. перевод: Ф. Фран к,

Р. Мизес, Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, М.— Л., 1937.)

Hanson Е. Т., Phys. Rev., 47, 139 (1935).

Hanson Е. Т., Physics. 7, 460 (1936).

Н a n s о n Е. Т., Journ. Appl. Phys., 8, 284 (1937).

N i s b е I A., Proc. Roy. Soc., A231, 260 (1955).

Franz W., Theorie der Beugung elektromagnetischer Wellen, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1957, Zf. 9.

Meixner J., Zs. Naturforsch., 3a, 506 (1948).

Helmholtz FL, Journ. Math., 57, 7 (1859).

К i r c h h of f G., Ann. d. Phys., 18, 663 (1883).

Sommerfeld A., Vorlesungen iiber theoretische Physik, Bd. IV, Wiesbaden, 1950. (См. перевод: A. 3 о м м e p ф e л ь д, Оптика, ПЛ, 1953.)

Franz В. W., Zs. Naturforsch., За, 500 (1948).

Levine Н., Schwinger J., Comm.Pure Appl. Math., 3, 355 (1950).

Stratton J. A.,Electromagnetic Theory,New York — Toronto— London, 1941. (См. перевод: Дж. Стрэттон, Теория электромагнетизма, М.—Л., 1948.)

К а г р S. N., К а г а 1 F., N. Y. Univ. Res., Rep., No. EM-146 (1960).

Severin H., Zs. f. Phys., 129, 426 (1951).

В о r g n i s F. E., P a p a s С. H., Randwertprobleme der Mikrowellenphysik. Berlin, 1955, S. 251.

К о d i s R. D., Journ. Soc. Industr. Appl. Math., 2, 89 (1954).

Franz W., Proc. Phys. Soc., 63, 925 (1950).

D e Broglie L., Problemes de propagation guides des ondes electromagnetiques, Paris, 1951. (См. перевод: Л. д e Бройль, Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах, ИЛ, 1948.)

Baker В. В., Copson Е. Т., The Mathematical Theory of Huygens’ Principle, Oxford, 1950.

L о r e n t z H. A., Nederl. Akad. Wet., Verslag Afd. Natuurk., 4, 176 (1884).

L a rm о r J., Proc. Lond.Math. Soc., 1, 1 (1903).

T e dо n e O., Atti Accad.Naz. Lincei, Rend., Ser.V,26,286(1917).

I g na t о w s k у W., Ann.d. Phys., 23, 875 (1907;) 25,99 (1908).

Bouwkamp C. J., Progr. Phys., 17, 35 (1954).

К о t t 1 e r F., Ann. d. Phys., 71, 457 (1923).

Stratton I. A., C h u L. L, Phys. Rev., 56, 99 (1939).

Franz W., Zs. f. Phys., 125, 563 (1949).

Sommerfeld A., Jber. der deutsch. Math.-Ver., 21, 309 (1912).

R e 1 1 i c h F., Jber. der deutsch. Math.-Ver., 53, 57 (1943).

Muller CL, Abh. der deutsch. Akad. Wiss., Nr. 3 (1950).

Heins A. E., Silver S., Proc. Cambr. Phil. Soc., 51, 149 (1955).

Sommerfeld A., Vorlesungen uber theoretische Physik, Bd. VI, Wiesbaden, 1947. (См. перевод: A. 3 о м м e p ф e л ь д, Дифференциальные уравнения в частных производных физики, ИЛ, 1950.)

Magnus W., Jber. der deutsch. Math.- Ver., 52, 177 (1942).

Jones D. S., Proc. Cambr. Phil. Soc., 49, 668 (1953).

J о n e s D. S., Proc. Cambr. Phil. Soc., 48, 733 (1952).

В о u w k a m p C. J., Physica (Haag), 12, 467 (1946).

Meixner J., Ann. d. Phys., 6, 2 (1949).

Sommerfeld A., Math. Ann., 47, 317 (1896).

Sommerfeld A., Proc. Lond. Math. Soc., 28, 395 (1897).

M a u e A. W., Zs. f. Phys., 126, 601 (1949).

Jones D. S., Quart. Journ. Meeh. Appl. Math., 3, 420 (1950); 5, 363 (1952).

Jones D. S., Proc. Lond. Math. Soc., (3) 2, 440 (1952).

С о p s о n E. T., Proc. Roy. Soc., A202, 177 (1950).

M e i x n e r J., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-72 (1954).

Heins A. E., Silver S., Proc. Cambr. Phil. Soc., 54, 131 (1958).

Bouwkamp C. J., Dissertation, Groningen, 1941.

В о оk e rH.G., Journ. Inst. Electr. Eng., Pt. Ill,A93,620(1946).

С о ps о nE.T., Proc. Roy. Soc., 186, 100 (1946).

С о ps о nE.T., Proc. Roy. Soc., 202, 277 (1950).

Meixner J., Zs. Naturforsch., 1, 496 (1946).

M a ue A. W., Zs. Naturforsch., 4a, 393 (1949).

К a rp S.N.,W i 1 1 i a m s W. E., N. Y. Univ.Res.Rep.,No.EM-83 (1955).

Voigt W., Kompendium der theoretischen Physik, Bd. 2, Leipzig, 1896, S. 768.

Voigt W., Gottingen Nachricht., 1 (1899).

Sommerfeld A., Zs. Math. Phys., 46, 11 (1901).

71*. Леонтович M. А., в сб. «Исследования по распространению радиоволн», II, Изд-во АН СССР, 1948.

72*. Леонтович М. А., Изв. АН СССР, сер. физич., 8, 16 (1944).

73*. Гринберг Г. A., Journ. of Phys. (СССР), 6, 185 (1942).

74*. Гринберг Г. А., Ф о к В. А., в сб. «14сследования по распространению радиоволн», Изд-во АН СССР, 1948.

75*. Малюжинец Г. Д., ДАН СССР, 60, 367 (1948).

76*. Малюжинец Г. Д., ДАН СССР, 78, № 3 (1951).

77*. Малюжинец Г. Д., ДАН СССР, 121, № 3 (1958)

78*. Старовойтова Р. И., Бобровников М. С., К и с л ицина В. Н., Радиотехника и электроника, 7, вып. 2, 250 (1962).

79*. Пистолькорф А. А., ЖТФ, 14, № 12, 693 (1944).

80*. Леонтович М. А., ЖЭТФ, 16, вып. 6, 474 (1946).

81*. Ф е л ь д Я. Н., ДАН СССР, 60, № 7, 1165 (1948)..

ГЛАВА II

Эвристические методы

ВВЕДЕНИЕ

Строгая общая теория дифракции исходит из принципа Гюйгенса в сочетании с интегральным уравнением, характеризующим краевую задачу. В гл. III мы осуществим эту программу в той мере, в какой это возможно в настоящее время. Современное состояние теории дифракции, однако, таково, что на практике не удается отказаться от привлечения эвристических методов, исходящих из физических представлений, строгое обоснование которых пока отсутствует, а в ряде случаев (как, например, в теории дифракции Кирхгофа) едва ли будет когда-либо сделано.

Наиболее старый из этих методов, восходящий еще к Кирхгофу, настолько широко известен, что мы ограничимся здесь рассмотрением его в самых общих чертах (см. § 1 настоящей главы). Согласно этому методу, краевая задача заменяется задачей с заданным разрывом, причем поверхность разрыва может деформироваться в широких пределах. Благодаря этому метод чрезвычайно гибок; о справедливости метода можно судить только на основании сопоставления результатов с экспериментом или с точными решениями, имеющимися в особо простых случаях. Теорию Кирхгофа можно интерпретировать как учет краевого эффекта, что соответствует принципу Юнга1), высказанному много раньше.

. В последнее время применительно к плоским экранам была развита модифицированная теория Кирхгофа, состоящая в том, что смешанная краевая задача (для всей плоскости) заменяется двумя другими краевыми задачами (Дирихле или Неймана; см. п. 35). Ошибку, возникающую при этом, можно уменьшить, применяя предложенный Францем метод последовательных приближений (см. п. 37). При этом, правда, остается открытым вопрос о сходимости из-за особенности на ребре (см. п. 38).

Метод Франца может быть применен для улучшения кирхгофовского приближения также и в случае тел произвольной формы.

Чтобы с самого начала учитывать условие на ребре, Браунбек предложил изменить кирхгофовские краевые условия таким образом, чтобы вблизи ребра они соответствовали точному зоммерфельдовскому решению для полуплоскости (см. гл. IV, § 1). Но это допустимо лишь в тех случаях, когда кривизна ребра экрана всюду велика по сравнению с длиной волны (для тела произвольной формы ребру экрана соответствует в известной степени линия границы геометрической тени на поверхности дифрагирующего тела). Метод, Браунбека дает первый член асимптотического разложения точного решения для коротких волн.

В самое последнее время Келлер развил «геометрическую теорию дифракции», которая дополняет геометрическую оптику с ее системой

!) См. примечание на стр. 79.—Прим. реЭ»

падающих, преломленных и отраженных лучей концепцией «дифрагированных лучей» (см. § 3 настоящей главы). Геометрия этих лучей определяется обобщенным принципом Ферма), состоящим в том, что длина оптического пути между источником и точкой наблюдения вдоль дифрагированных лучей должна иметь экстремальное значение. Последние отличаются от отраженных лучей тем, что они, по определению, имеют не общую точку с поверхностью дифрагирующего тела, а общую линию и, таким образом, могут попадать и в зону геометрической тени» Для тела с непрерывной кривизной экстремальным (кратчайшим) является путь вдоль луча, касающегося поверхности тела, идущего затем по геодезической линии и отрывающегося от тела вновь по касательной, проведенной из точки наблюдения. Таким образом, граница геометрической тени на поверхности тела оказывается местом выхода дифрагированных лучей. В случае плоских экранов дифрагированные лучи выходят только из ребра экрана, а именно каждая точка кромки является вершиной конуса лучей, полураствор которого определяется углом между падающим лучом и касательной к данной точке ребра. Геометрическая теория дифракции является, следовательно, некоторым эвристическим усовершенствованием и количественным дополнением концепции Юнга (рассеяние на ребре). Изменение интенсивности (или амплитуды) вдоль лучей определяется законом сохранения энергии, который позволяет установить простые соотношения для двух произвольных сечений трубки, образованной лучами. Вид этой трубки в свою очередь можно определить из каустических свойств системы лучей. С помощью некоторых дальнейших простых предположений об изменении фазы вдоль луча можно установить значение волнового поля в каждой точке луча, если известно поле в какой- нибудь (характерной) точке луча. Такой характерной точкой может являться, например, точка падения луча на тело. Значение поля в ней может быть найдено, например, приближенно из строгого решения другой, по возможности простой краевой задачи, геометрия которой в малой окрестности рассматриваемой точки соответствует данному телу (в случае точек ребра можно, следуя Браунбеку, воспользоваться задачей о дифракции на полуплоскости). В тех случаях, когда это целесообразно, в качестве характерной точки можно взять и любую другую точку (например, фокус). Общее поле определяется суммированием полей всех лучей, проходящих через данную точку.

Метод в особенности удобен благодаря тому, что он без дополнительных изменений применим и к лучам, которые имеют две и более общих с ребром точек (при том же дополнительном требовании, что расстояние между источником и точкой наблюдения должно быть экстремальным), т. е. к многократно дифрагированным лучам. Келлер показал, что для однократно дифрагированных лучей геометрический метод приводит в точности к такому же результату, как и (при асимптотической оценке) метод Браунбека (за исключением окрестности ребра, границы геометрической тени, а также окрестностей фокусов и каустик, в которых при геометрическом методе возникают недопустимые особенности). Учитывая многократно дифрагированные лучи, можно рассчитать члены более высокого порядка. Это особенно важно при вычислении коэффициентов

рассеяния и прохождения (с помощью мнимой части комплексной амплитуды дальнего поля в направлении падающей волны; см. п. 100 и 102), так как при этом вклад от просто дифрагированных лучей равен нулю.

Очевидно, все описанные эвристические приближенные методы применимы только в тех случаях, когда общие размеры тела велики по сравнению с длиной волны. Этот случай, соответствующий классическим экспериментам по дифракции, имеет значение и с точки зрения современной практики ввиду быстрого развития техники ультракоротких волн. Сопоставление результатов, получаемых методом Браунбека и Келлера (для однократно дифрагированных лучей), с точными решениями для отдельных специальных случаев показывает, что эти методы дают первый член асимптотического разложения строгого решения по убывающим степеням волнового числа, за исключением, конечно, поверхностей, линий и точек, обладающих свойствами каустики, в которых характер этого разложения меняется (см. п. 44).

§ L ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ КИРХГОФА

Традиционное изложение теории дифракции обычно включает метод Кирхгофа [1—3]. Метод исходит из строгой формулировки принципа Гюйгенса в скалярной форме (см. п. 8) и состоит в том, что при применении интегральной формулы оба фигурирующих в ней краевых значения заменяются некоторыми простыми, разумным образом выбранными величинами. В результате, как указали впервые Рубинович [4—7] и Котлер [8] (см. также [9, 10]), метод приводит к задаче с заданным разрывом (см. п. 10), которая не имеет ничего общего с исходной краевой задачей, соответствующей физике явления. Несмотря на это, результаты, полученные методом Кирхгофа, в предельном случае, когда линейные размеры дифрагирующего тела велики по сравнению с длиной волны, в дальней зоне хорошо согласуются с опытом; напротив, этод метод совершенно не пригоден вблизи ребра, так как там кирхгофовское решение имеет особенность, не согласующуюся с условиями на ребре.

Действительно, в инструментальной оптике используется в основном кирхгофовская теория дифракции1) (не выходящая практически за рамки френелевской теории, известной с 1818 г.). Вместе с тем, теория Кирхгофа уже не может удовлетворить потребностям микроволновой техники. Но именно в этом диапазоне частот имеется наиболее благоприятная возможность для сравнения результатов строгой теории дифракции (сформулированной как краевая задача) с экспериментом. Именно в микроволновом диапазоне понятие идеально проводящих тел и экранов более близко к действительности, чем в оптике. Кроме того, в широких пределах можно варьировать отношение длины волны к размерам тела.

Аналитическая зависимость между кирхгофовской задачей с заданным разрывом и краевой задачей ограничивается лишь тем, что на больших расстояниях решение краевой задачи для коротких (т. е. малых по сравнению с размерами тела) длин волн асимптотически переходит в решение кирхгофовской задачи с заданным разрывом. Правда, такое соответствие имеет место только в малой угловой области, которую можно охарактеризовать как окрестность границы геометрической тени или как окрестность

г) О многочисленных применениях теории дифракции Френеля — Кирхгофа в инструментальной оптике см. книгу Борна и Вольфа [И], а также книгу [12].

направления падения волны (если падает плоская волна). Далее, это асимптотическое соответствие не должно зависеть от краевых условий, заданных на поверхности тела. Ниже мы подтвердим справедливость этих утверждений, общее доказательство которых пока отсутствует (см. об этом п. 44), на примерах дифракции на полуплоскости (см. п. 116), на щели (см. п. 124) и круглом диске (см. п. 134). Еще одно подтверждение вытекает из рассмотренного в п. 39 приближения Браунбека, которое в окрестности направления падения совпадает с кирхгофовским решением. Отметим попутно уже здесь, что приближение Браунбека совпадает с асимптотическим решением краевой задачи во всей области.

Решение Кирхгофа. Рассмотрим дифрагирующее или рассеивающее тело (фиг. 19, а и б) в поле точечного источника Q. Резкая граница

Фиг. 19. а — к кирхгофовской теории рассеяния на теле ограниченных размеров; б — к кирхгофовской теории дифракции на экране конечной толщины.

тени (5g) (в смысле геометрической оптики) касается поверхности тела по линии (С). Представим себе, что на эту линию опирается некоторая произвольная поверхность (L) [в случае рассеяния (С) есть внутренний край поверхности (L), которая может замыкаться за источником Q на конечном расстоянии или в бесконечности]. Поверхность (L) образует вместе с «неосвещенной» частью (S") поверхности тела замкнутую поверхность (S") + (£), которая разбивает пространство на область 7+, не содержащую источников, и область Т-, содержащую источники. Согласно геометрической оптике, в области Т^ имеет место следующее распределение поля: в области Тg, ограниченной поверхностями (£) и (Sg), мы имеем невозмущенное поле го, соответствующее источнику Q; вне этой области поле обращается в нуль. Такое соответствующее геометрической оптике распределение поля Vg, согласно принципу Гюйгенса (8.5), можно пред-

ставить интегралом по поверхности конусообразной области (г^^) yg to = {Л^ = $ й0(г, r')ch',(30.1)

Sg+L

где

?)= {м^^^}G(r- ?);(30.1а)

поверхностный интеграл имеет значение у0 для точек г, лежащих внутри области Tg1 и обращается в нуль для г вне Т g. Для дальнейшего использования представим подынтегральное выражение й0 в форме

(30.16)(30.16)й0 (г, ?)= (п'2?о(г, г')),

(30.16)

(30.16)

где

$0 (г, г') = {у0 (г') V' — V'Уо (г')}G (г — г').

Функция 230(г, г'), являющаяся аналогом функции 93 в (8.4), не имеет источников нигде, кроме двух точек, для которых

волна, исхо-волна, исхо-div'^ (г, г') = у0 (г) {6 (г — г') — 6 (г0 — г')},(ЗОЛв)

волна, исхо-

волна, исхо-

здесь г0 — радиус-вектор источника Q, ц0 (г) — сферическая дящая из точки Q:

у0 (г) = G (г — г0)у0 (г) = G (г — г0)14 л | г — r0 I *14 л | г — r0 I *

у0 (г) = G (г — г0)

у0 (г) = G (г — г0)

1

4 л | г — r0 I *

1

4 л | г — r0 I *

Принимая точку источника Q за начало координат (г0 ~ 0) и подставляя в (30 Л б) вместо С и у0 их развернутые выражения, получаем

гг'1R1Rгт'

16л930 = —— Vх гR■ Rг-

где

^ = г' — г.

Поле, описываемое формулой (ЗОЛ), испытывает при переходе через границу тени (Sg) с положительной па отрицательную сторону (см. фиг. 19, а и б) разрыв, равный

«регуляризованное» решение:

«К (г) = Ug (г) — ^ Qo (г, г') dr' = Qo (г, ?) dr' (гЕТ*).(30.2)

SgL

Это и есть кирхгофовское решение1), которое можно интерпретировать еще и следующим образом: волновое поле в области Т* представляет суперпозицию элементарных волн, исходящих из точек отверстия (L) в соответствии с представлениями Гюйгенса — Френеля. В частности, поверхность (L) можно деформировать так, чтобы она облегала «освещенную сторону» (S') поверхности тела. При этом, однако, поверхность «повисает» на особой точке Q, т. е. в поверхность интегрирования нужно еще включить малую сферу, окружающую точку Q. Интеграл ^ й0 do по этой сфере оказывается как раз равным ^0(г)- Следовательно, (30.2) можно записать в форме

Ук (Г) = у0 (г) + ^ Йо (г, t) dV (г е Г+).(30.2')

S'

Областью Т* является теперь все пространство, за исключением тела и источника.

В кирхгофовское решение входит только линия тени (С), а форма отбрасывающего тень тела в целом, так же как и форма поверхности (L), при закрепленных краях не играет роли. Это является непосредственным следствием отсутствия источников у 9$0. Далее будем представлять себе рассеивающее (или дифрагирующее) тело «сплющенным» так, что оно превратилось в бесконечно тонкий экран (5) (фиг. 20, а и б). Линия границы тени (С) будет совпадать тогда с ребром экрана.

Продолжим решение (30.2) непрерывно в соответствии с волновым уравнением через отверстие в область Т- так, чтобы в Т" оно имело такую же особенность, как и и0. С этой целью заметим, что, согласно (8.5), имеет место соотношение

Q0(r, r')dr'= [yo(r)(30 3)

S+LI 0(гС^~)«

С его помощью (30.2) можно записать в виде

^к (t) = уо to — ^ Йо (^ ^) ^'-(30.2")

s

2) Как известно, Кирхгоф пришел к этой формуле, взяв в принципе Гюйгенса (8.5) за поверхность интегрирования поверхность (S")toto и сделав относительно входящих в него краевых значений более или менее правдоподобные допущения:

у = у0, на to, у = = 0 на (S").’ On on on

При использовании этих допущений получается формула (30.2). Основанный на них «вывод» решения (30.2), который приводится во всех учебниках по оптике, является, однако, противоречивым. Так как краевые значения у и до/дп любого решения волнового уравнения должны быть связаны между собой функциональной зависимостью (9.6), то нельзя произвольно задавать их одновременно. На это обстоятельство, а также на вытекающий из него факт, что решение (30.2) не воспроизводит принятых Кирхгофом краевых значений, указал впервые Пуанкаре [13]. Приведенный здесь вывод не опровергает подобной критики, однако ясно показывает, что кирхгофовское решение не имеет ничего общего с краевой задачей.

То же самое можно получить, если в (30.2) поверхность (L) деформировать так, чтобы она облегала поверхность (5) с отрицательной стороны [см. (30.2')]. Интеграл по поверхности экрана (5) не имеет разрыва при переходе через отверстие (L) в отличие от решения (30.2),

Фиг. 20. а — к рассеянию на бесконечно тонком экране (по Кирхгофу); б — к дифракции на отверстии в бесконечно тонком экране (по Кирхгофу).Фиг. 20. а — к рассеянию на бесконечно тонком экране (по Кирхгофу); б — к дифракции на отверстии в бесконечно тонком экране (по Кирхгофу).

Фиг. 20. а — к рассеянию на бесконечно тонком экране (по Кирхгофу); б — к дифракции на отверстии в бесконечно тонком экране (по Кирхгофу).

Фиг. 20. а — к рассеянию на бесконечно тонком экране (по Кирхгофу); б — к дифракции на отверстии в бесконечно тонком экране (по Кирхгофу).

с которым (30.2") совпадает только в области Т\ а в области Т” решение (30.2") имеет такую же особенность, как и у0. Таким образом, формула (30.2") представляет собой искомое продолжение интеграла (30.2) из Т" в Т-. Наконец, с помощью (30.3) решение (30.2") можно записать в форме

«К (г) =«К (г) =(30.2'")(30.2'")^ Ц (г, г') dr' (гС Т*у L

«К (г) =

«К (г) =

(30.2'")

(30.2'")

^(гН ^ ^о (г, 7) dr' (г€?ЛL

Из формул (30.2") и (30.2"') видно также, что кирхгофовское решение ик представляет такое решение волнового уравнения, которое в области Т~ имеет ту же особенность, как и у0, и при переходе через экран (5) претерпевает разрыв

(30.4)

В формуле (30.2"') это выражается в том, что падающая волна и0 при переходе в Т^ «отрезается» вдоль экрана (5).

Таким образом, в кирхгофовской теории дифракции «дифракционный эффект» состоит в «сглаживании» (в соответствии со смыслом волнового уравнения) разрывов, имеющих место при геометро-оптическом распределении поля. Сглаженное решение и к можно при желании рассматривать как суперпозицию элементарных волн, исходящих из точек «отвер-

стия» (L) или «экрана» (5) [см. (30.2'") и (30.2")]. В частности, второе представление позволяет понять (по крайней мере качественно) взаимосвязь кирхгофовского решения с краевой задачей, соответствующей физике явления. Элементарные волны, излучаемые элементами поверхности экрана (S), в (30.2") совершенно независимы между собой. [Поверхностная плотность зарядов определяется разрывом (30.4).] Другими словами, идущая от источника волна, попавшая на некоторый элемент поверхности, распространяется дальше в соответствии с характеристикой направленности до точки наблюдения, не взаимодействуя с другими элементами поверхности. [Характеристика направленности определяется скалярным произведением нормали к поверхности па выражение в фигурных скобках в (30.1г).]

Иначе обстоит дело, когда задача дифракции формулируется как краевая задача. Здесь распределение плотности зарядов на поверхности (поверхностный ток) регулируется, с одной стороны, падающей волной, с другой — суммарным действием вторичных волн, излучаемых всеми элементами поверхности, таким образом, что на экране устанавливается соответствующее краевое условие. Проведение этой концепции приводит к интегральному уравнению [см. (11.2)], на чем мы подробнее остановимся в гл. III.

Кирхгофовское решение с# есть решение задачи с заданным разрывом (30.4), имеющее такую же особенность, как и г’о. В соответствии с волновым уравнением оно может быть продолжено в бесконечнолистное риманово пространство. Экран (5) является «разрезом», а его ребро (С1)—линией ветвления. По этому «разрезу» «физическое» пространство склеивается с «математическим» пространством. Падающая волна и0, проходящая через «разрез» из физического пространства в математическое, целиком затухает в последнем. Такое математическое условие, согласно Котлеру, может служить определением «черного экрана». По поскольку бесконечно разветвленное решение волнового уравнения может быть сконструировано отнюдь не единственным образом (например, поведение волновой функции в математическом пространстве может варьироваться в широких пределах), то это определение не будет однозначным. (См. также п. 29; введенные там разветвленные решения при р—> оо отличаются от рассматриваемого здесь бесконечно разветвленного решения тем, что с^ не удовлетворяет условию на ребре, так что ребро обусловливает дополнительное излучение.)

Эксперименты показывают, что кирхгофовское решение правильно передает поведение дальнего ноля в окрестности границы тени в случае физически реальных экранов (описываемых краевыми условиями). В связи с этим возникает предположение, что это решение является первым приближением в методе последовательных приближений, который дает результат, быстро сходящийся при малых длинах волн X к решению краевой задачи. Этот метод должен привести тогда к аппроксимации точного решения степенным рядом по возрастающим степеням X. Для нахождения второго приближения предлагалось (см. Борн [14]) значения ик и dv^ldn на поверхности (S) -j- (L), вычисленные по формуле (30.2"), подставить в формулу Гельмгольца (8.5). Этот путь, однако, не приводит к цели, так как в соответствии со сказанным в п. 8 он дает снова кирхгофовское решение ик (t). Методы улучшения кирхгофов- ского решения мы обсудим в § 2 и 3 настоящей главы. Отметим, однако, что кирхгофовское решение в общем случае не является первым членов упомянутого выше ряда.

Обобщение на векторный случай. Соответствующие рассуждения справедливы и для электромагнитного аналога кирхгофовского решения. В этом случае должны быть заданы разрывы [п@0 (г)] и [п§0 (г)] тангенциальных компонент векторов поля при прохождении через экран (S). Тогда с помощью (14.1) получаем

г е Т”, г € т\г е Т”, г € т\(31.1а)(31.1а)@к (г) = rot ^ [nz@o (?)] G (г — г' )dr' + L

г е Т”, г € т\

г е Т”, г € т\

(31.1а)

(31.1а)

-Н rot rot ^ [п'^о (r^Gfr —?) Л' +

L

^к (г) = rot [п^о (г')] G (г — г') du' —

L

(31.16)(31.16)— г rot rot f [n'®0 (r')l G (г — r') dV + [ ^° ^

(31.16)

(31.16)

a v 7 v 7О г с Т

здесь @0, ^о означает падающую на экран волну. Формулы (31.1а) и (31.16) представляют такое решение уравнений Максвелла, в котором тангенциальные компоненты электрического и магнитного векторов при прохождении через экран (S) меняются скачком на величину соответственно [п@о] и [п^0]«

Принцип Юнга в рамках кирхгофовской теории. Кирхгофовс- кое решение обладает еще одним интересным аналитическим свойством, которое, с одной стороны, допускает красивое физическое толкование, с другой — отчетливо выявляет принципиальную недостаточность этой теории. Мы имеем в виду возможность преобразования этого решения в криволинейный интеграл по контуру (С) отверстия (L). Это приводит, как будет показано, к выдвинутому еще в 1802 г. Юнгом представлению о дифракции, согласно которому дифракция возникает в результате интерференции волн, исходящих из точек края отверстия, с полем, распространяющимся в смысле геометрической оптики. Строгую математическую формулировку этого представления в рамках теории Кирхгофа впервые дал Маджи [15] в 1888 г., а затем более наглядно — Рубинович [4 — 6] в 1917 г. (см. также [8, 16 — 20]). В последующем изложении мы будем придерживаться более поздних работ Рубиновича [7, 21]. Возможность преобразования поверхностного интеграла в линейный следует из того, что поверхностный интеграл есть поток свободного от источников вектора (теорема Стокса).

Математически здесь имеют место соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям теории линейных стационарных токов. Экран (S), являющийся в теории Кирхгофа поверхностью разрыва, соответствует магнитному листку Ампера, поставленному на пути тока. Если понимать ток как линейную особенность поля, то мы приходим к представлению Био и Савара. Согласно Маджи и Рубиновичу, этому соответствует в кирхгофовской теории представление поля через линейный интеграл по контуру экрана. Что касается физической сути явлений, то надо заметить, что линейный стационарный ток следует рассматривать как источник магнитного поля. Наоборот, в теории дифракции единственной особенностью поля, откуда поступает энергия, является лишь заданный точечный источник Q, «светящееся» же ребро, действую-

щее как дополнительный источник энергии, в рамках краевой задачи невозможно (оно устраняется условием на ребре).

Будем исходить из того, что вектор ®0 в формуле (30.16) не имеет источников [см. (30.1в)]. Поэтому

®о (г, r') = rot 'Uo (г, V)

при условии, что г' не совпадает ни с жен источник (Q —начало координат), жение (30.1г), получаем дифференциальное уравнение относительно «вектора- потенциала» 110, определенного с точностью до некоторого градиента. Для его решения заметим, что вектор 93О всегда лежит в плоскости, проходящей через г' и 31 (фиг. 21). Это условие обеспечивается, если вектор-потенциал Uo всегда перпендикулярен указанной плоскости. Поэтому положим

Г, ни с точкой Q, где располо- Подставляя в левую часть выра-Г, ни с точкой Q, где располо- Подставляя в левую часть выра-ио=[г'31]Ф(г', 31),ио=[г'31]Ф(г', 31),(32.2)(32.2)откуда следует

Г, ни с точкой Q, где располо- Подставляя в левую часть выра-

Г, ни с точкой Q, где располо- Подставляя в левую часть выра-

ио=[г'31]Ф(г', 31),

ио=[г'31]Ф(г', 31),

(32.2)

(32.2)

rot'Uo - V {2 + (31V')}Ф - 3t{2 + (г^'ДФ.

(32.3)

С помощью тождества

{2+(г'V')} Ф = ДФ) =(г'2Ф)

и соответствующего преобразования с перестановкой 91 и г' можно также написать

(32.3')

Сравнивая последнее с (30.1г) и при-

Ф и г. f21. гофовскогоФ и г. f21. гофовскогоК преобразованию кирх- интеграла (по Рубиновичу).К преобразованию кирх- интеграла (по Рубиновичу).равнивая коэффициенты при 3^ и г', получаемравнивая коэффициенты при 3^ и г', получаемД<л,ф)=Д<л,ф)=ег(г' + В) / . t к 16Л2

Ф и г. f21. гофовского

Ф и г. f21. гофовского

К преобразованию кирх- интеграла (по Рубиновичу).

К преобразованию кирх- интеграла (по Рубиновичу).

равнивая коэффициенты при 3^ и г', получаем

равнивая коэффициенты при 3^ и г', получаем

Д<л,ф)=

Д<л,ф)=

Д <r'+R) / i 1\16Л2 Vr^-^)

(32.1)(32.1)(32.4)(32.4)Здесь второе уравнение вытекает из первого, если V и 91 поменять местами. Поэтому функция ф должна быть симметрична относительно аргументов г' и 31, и мы можем рассматривать только одно из этих уравнений. Первое уравнение в (32.4) будет решено, если проинтегрировать его правую часть по г'. Будем интегрировать по частям, для чего напишем

(32.1)

(32.1)

(32.4)

(32.4)

гдегде(32.5)

где

где

(32.6)

Из (32.6) следует

ди и2

dr' R3 ’

поэтому

dr' V и ) " В? *-

Подставляя этот результат в (32.5), получаем

Подставив в свою очередь это тождество в правую часть верхнего уравнения (32.4), получим (с точностью до некоторой зависящей только от R произвольной функции, которая, однако, обращается в нуль в силу условия симметрии)

г(г'+Н)ф =.

16 л2г'2t£

Если теперь ввести в (32.2) это выражение, предварительно заменив в нем и развернутым выражением (32.6), то получим окончательно

16л2И — ег(г+й)[r^(32 7)

Входящий сюда «коэффициент направленности» имеет величину |[r^]|_ sina am

/^+(1^)l + cosa“~tg2’

где a — угол между г' и 91 (см. фиг. 21). Теперь поверхностный интеграл в (30.2'") можно преобразовать с помощью теоремы Стокса:

jj (I1XW = ф(U0A),(32.9)

LС

где di— векторный элемент дуги контура (С). При этом надо иметь в виду, что вектор-потенциал Uo, согласно (32.8), имеет особенность на линии, соединяющей начало координат с точкой наблюдения, так как на ней a = л. Поэтому точку пересечения Q0 этой линии с поверхностью (Л), натянутой на кривую (С), мы должны исключить при применении теоремы Стокса, окружив ее сколь угодно малым замкнутым контуром. Однако проще провести поверхность (£) (при закрепленных краях) выше точки наблюдения; тогда вектор Uo регулярен всюду на (£) и справедливо преобразование (32.9). Но при деформировании (L) в поверхность, расположенную над точкой наблюдения, в силу (30.1в) возникает член и0 (г). Таким образом, (30.2"') окончательно принимает вид

щ (г) = (г) -| ф Ио (г') G (г — г')=

- °- W + Лг ф 4| ЛЛ >1 G’ (32Л0>

где vg (г) есть геометро-оптическое распределение поля, т. е.

’(32.11)

130;

здесь верхнее или нижнее значение берется в зависимости от того, находится ли г внутри или вне освещенной (в смысле геометрической оптики) области. Освещенной является вся область перед экраном (если смотреть со стороны источника), тогда как за экраном освещено пространство, внешнее по отношению к конусу, вершина которого совпадает с источником, а образующие проходят через контур (С) отверстия (L). Остальное пространство за экраном находится в тени.

В формуле (32.10) выявляются характерные черты нового понимания явления дифракции. Действительно, суммарное поле складывается из геометро-оптического поля ug и дополнительного поля, создаваемого сферическими волнами, исходящими из точек края отверстия (криволинейный интеграл), которые мы будем называть юнговскими волнами. Это определение в точности соответствует представлениям Юнга [22]). Мы можем

здесь говорить об элементарных волнах, излучаемых отдельными элементами края. При этом появляется угловой множитель [последний член в подынтегральном выражении в (32.10)], зависящий от положения элемента относительно источника и точки наблюдения. Характерно, что здесь опять отсутствует взаимодействие между элементами.

Форма элементарных волн определена неоднозначно, так как функция Но известна только с точностью до некоторого градиента. Вычисление криволинейного интеграла значительно облегчается при применении метода стационарной фазы. Существенный вклад в интеграл дают только те точки контура, для которых величина г'-\-Н, определяющая фазу, остается постоянной при продвижении вдоль края. Вклады всех остальных точек будут взаимно гаситься при интерференции между соседними точками, поскольку фаза быстро меняется. Фаза постоянна в тех точках, в которых выполняется «условие отражения»

cos (г', I) = —cos (31, t). (32.12)

Так как функция ^к(г), удовлетворяющая волновому уравнению, непрерывна на границе тени и имеет непрерывные производные, то разрыв геометро-оптического поля на границе тени должен компенсироваться соответствующим разрывом криволинейного интеграла. Это действительно имеет место и обусловлено тем, что при приближении точки наблюдения г к границе тени (с любой стороны) в некоторой определенной точке края величина r'7? + (r'3t), стоящая в (32.7) в знаменателе, стремится к нулю.

В заключение подчеркнем еще раз, что исходным пунктом кирх- гофовской теории является не реальный физический экран, определяющий краевые условия, а фиктивная поверхность разрыва, совпадающая с границей геометрической тени. В последовательной теории краевой задачи такой разрыв должен получаться лишь в предельном случае X—>0, притом независимо от типа краевого условия на экране, а не служить исходным пунктом для построения теории1).

Проведенное преобразование позволяет, кроме того, выявить еще один принципиальный недостаток теории Кирхгофа. Действительно, кри-

рые для краевых волн являлись уже зонами Фраунгофера (где диффузия исчезает из-за малости градиента амплитуды на расширившихся фронтах и господствуют уже геометро-оптические законы локально-плоских волн). Поэтому Юнгу не обязательно было каждый раз возвращаться к объяснению диффузионного механизма возникновения краевых волн — объяснению, не вызывавшему благожелательного отношения или интереса у большинства слушателей. Чаще Юнг ограничивался упоминанием, что краевые волны «как бы» излучаются краями экрана. Иногда для умиротворения приверженцев корпускулярной теории света он даже соглашался на интерпретацию происхождения краевых волн в корпускулярном духе (притяжение краем экрана проходящих мимо лучей, которые, разбрасываясь от этого веером, попадают в область тени). Потом находились люди, утверждавшие на этом основании, что Юнг «как будто» отказывается от своих волновых взглядов, хотя в действительности речь шла лишь о проявлении вообще присущей Юнгу чрезвычайной деликатности. Впрочем возможно, что, если бы Юнг проявил больше твердости в отстаивании и пропаганде понятого им диффузионного механизма дифракции, эта мысль не осталась бы па столь долгий срок скрытой от потомства. — Прим. ред.

*) Вопреки мнению авторов, последовательное построение строгой теории, в которой заданный разрыв на границе геометрической тени является одним из исходных пунктов, не представляет дополнительных затруднений, простейшим примером чего является задача дифракции на клипе. Иногда такой подход особенно удобен, например при решении альтернирующим методом задач дифракции на многоугольниках или многогранниках (см. Боровиков [99, 100]).— Прим. ред.

во линейный интеграл, представляющий юнговскую волну, имеет в точках края отверстия такую особенность (а именно логарифмическую), что условие на ребре не соблюдается. Поэтому юнговская волна, исходящая из края отверстия, может существовать в лучшем случае асимптотически в дальней зоне (как это можно показать, например, с помощью строгого решения в случае дифракции на полуплоскости; см. п. 114)). Точно так же является недопустимой особенностью разрыв функции ик вблизи ребра при обходе вокруг него (см. п. 38).

Наконец, упомянем, что принцип Юнга можно обобщить и на случай векторных уравнений (31.1а) и (31.16). При этом исходят из того, что поверхностный интеграл может быть представлен как поток некоторого (свободного от источников) тензора Ф^ (г, г')> являющегося в свою очередь ротором некоторого другого тензора; тогда опять можно применить теорему Стокса (соответствующие расчеты приведены в работе Лапорта и Мейкснера [23]). |

Теорема Бабине. В теории Кирхгофа два экрана (54) и (52) называются «дополнительными», если один из них «непрозрачен» там, где другой имеет отверстие, и наоборот; вместе они, таким образом, образуют замкнутую поверхность (5). Пусть и^ есть поле за экраном (64) (если смотреть со стороны источника), найденное по формуле (30.2), и^— поле за экраном (S2). Тогда у№) + у№) = Уо, 1ак как интеграл в (30.2) теперь берется по замкнутой поверхности (6^ 4 (52) = (5) и, согласно принципу Гюйгенса (8.5), его значение должно равняться падающей волне у0. В этом и состоит теорема Бабине в теории Кирхгофа). На основании (32.10) и (32.11) ее можно также сформулировать еще следующим образом: юнговские дифракционные волны дополнительных экранов равны с точностью до знака.

Функция Грина для полупространства, ограниченного плоскостью. Если в формуле (10.1) за поверхность интегрирования взять плоскость 2 = 0, то разрыв (10.2) в силу симметрии распределится поровну между обеими сторонами поверхности 2 = 0. Это означает, что справедлива следующая формула:

— Jim X(r')G(r —г^Л'= Ит Х(г') G (г —г') dxf = 2->±0

± 4С $ € (5),

= z (34.1) о е <l\

Здесь (5) и (L) — произвольные («дополнительные») плоские области, дополняющие друг друга до полной плоскости 2 = 0; % (г)— любая, определенная на (5) функция, которую можно продолжить на (£) как % = 0 (нормаль и направлена вдоль положительной оси 2).

Из (34.1) следует, что формулы

и(г) = + 2 ^ у^^^-^Дг —г')^', z ^ О,(34.2)

и'

■v^_ ^ 2^±^^g^-VW, 2^0(34.3)

(в которых интеграл берется по всей плоскости 2 = 0) воспроизводят при подходе к плоскости 2 = 0 с положительной или отрицательной стороны любую функцию v (г) или du^/dz, входящую в их правые части. Это основано на том, что для полупространства, ограниченного плоскостью 2 = 0, функции

24-g^-^=-!^gw (г к)

И

2G (r-?) = G(2)(r|?)

связаны с функциями Грина первого и второго рода

G^12) (г | г') — G(r | г', г') + G(r | г', —

которые можно построить из функций Грина для свободного пространства, используя метод отражений [24].

Модифицированная теория Кирхгофа для плоских экранов. Рассмотрим сначала скалярную задачу дифракции на плоском экране

Фиг. 22. Смешанные краевые условия для плоского экрана (s-случай).Фиг. 22. Смешанные краевые условия для плоского экрана (s-случай).Ф и г. 23. Смешаные краевые условия для плоского экрана (^-случай).Ф и г. 23. Смешаные краевые условия для плоского экрана (^-случай).

Фиг. 22. Смешанные краевые условия для плоского экрана (s-случай).

Фиг. 22. Смешанные краевые условия для плоского экрана (s-случай).

Ф и г. 23. Смешаные краевые условия для плоского экрана (^-случай).

Ф и г. 23. Смешаные краевые условия для плоского экрана (^-случай).

(5), расположенном в плоскости 2 = 0, при краевом условии du/dz = O для s-случая (фиг. 22; соответствующие обозначения для ^-случая показаны на фиг. 23). Из п. 26 мы знаем [см. формулу (26.3's)], что на отверстии (L) функция у строго равна у0. Таким образом, при дифракции на плоских экранах имеет место так называемая смешанная краевая задача: у = у0 на (£) и 6^/92 = 0 на (5). Для применения формул (34.2) или (34.3) необходимо, однако, чтобы значения у или dv/dz были заданы на всей плоскости 2 = 0.

Будем считать, что источник падающей волны у0 находится в полупространстве 2<0; тогда для 2>0 с помощью принципа Гюйгенса

(8.5) получим

у(0 = § {уо(г')-^г^/Д^ G(r—r'W +

L

+ $ уДД^^-Д^'-&5As)

С другой стороны, из формул (34.2) и (34.3) для поля за экраном (z > 0) в нашем случае следует

и (г) = 2 ^ ?;0 (И ~^^ (г —г') ^'+2 ^ и+ ОО”^" ^ (г —г') AV (35.2s) кs

и соответственно

у (г) = - 2 ^ ^Д G (г-Д dr'.(35.3s)

L

Формулы (35.2s) и (35.3s) построены так, что условия у=у0 на (£) и du/dz = O на (S) в силу (34.1) выполняются автоматически. Теперь остаются неизвестными у+ на (5) и dv/dz на (£), тогда как для йриме- нения формулы (35.1s) необходимо знать одновременно обе величины. Формула (35.1s) есть просто среднеарифметическое от (35.2s) и (35.3 s). При определении соответствующих неизвестных величин используются линейные интегральные уравнения, для получения которых к уравнению (35.2s) применяется условие ^/Sz = O на (S), к уравнению (35.3s) — условие у = Уо на (£), тогда как в (35.1s) должны использоваться оба этих требования одновременно (см. гл. Ill, § 1).

Оставив пока в стороне вопрос о методах решения этих интеграль-* ных уравнений, сделаем правдоподобные допущения, а именно, следуя Кирхгофу, положим в (35.2s) у+ = 0 на (5). Таким путем мы получим некоторое приближенное решение, которое должно давать хорошую точность в отверстии, так как внутри (£) оно удовлетворяет истинному условию у = у0,; на поверхности же экрана оно удовлетворяет не истинному, а ошибочному краевому условию у+ = 0. С другой стороны, если в (35.3s) положить dv (v)/dz = dv0 (r^/dz на (£), то мы приходим к другому приближенному решению, которое удовлетворяет истинному краевому условию dv/dz = 0 на (5), но ошибочному условию на отверстии. Таким образом, для плоских экранов наряду с кирхгофовским решением (z > 0)

У к (г) = J (у0 {Д~^—G (г - И(35.1а)

можно рассматривать еще два приближенных решения:

у к (г) = 2 у0 (г') Д/г G(r — ?) dr-' = у0 (г) — 2 ^ у0 (г') -^ G (г — г') dr' (35.2а) LS

И

. У^’(г)= -2 ^ ^Д-С (г - ?) dr' = Уо (г) + 2 J 9"ДДс (г-Д d,?, (35.3а)1) LS

1) Вторая форма волны и0 (г) для z > 01) Вторая форма волны и0 (г) для z > 0(35.2а) и (35.3а) получена путем представления падающей с помощью выражений (34.2) и (34.3) соответственно.

1) Вторая форма волны и0 (г) для z > 0

1) Вторая форма волны и0 (г) для z > 0

при ЭТОМ

2^=^Ч<.

(35.4)

Поскольку, далее, функция G симметрична относительно 2, a dG/dz', наоборот, антисимметрична, то и^ или Ук представляют собой удвоенную соответственно симметричную или антисимметричную части ик (относительно z). Поэтому и(к и и(к можно также рассматривать соответственно как симметричную и антисимметричную части рубиновиче- ского линейного интеграла (32.10).

Вопрос о пригодности приближений (35.2а) и (35.3а) был рассмотрен Мейкснером и Фритце [25] путем сравнения с точным решением краевой задачи на примере круглого отверстия (или круглого экрана, решение для которого связано с первым теоремой Бабине). Северин и Штарке [26] исследовали эти вопросы экспериментально (см. также реферат Баукампа [27]).

Векторная задача. Приведем теперь формулы, аналогичные (34.2) и (34.3), для электромагнитного случая:

(36.1)(36.1)(36.2)(36.2)® W — ± 2 rot ^ [п® (г')] G (г — г') dr'

(36.1)

(36.1)

(36.2)

(36.2)

^ (г) — -4- 2i rot rot \ [tt® (г')] G(r — r')<7r'

® (г) = j- 2i rot rot ^ [n^ (r')] G (r — r') dV (r) = T 2 rot ^ [n§ (r')] G (r — r') dV

Интеграл берется, как и выше, по всей плоскости z = 0; нормаль п направлена вдоль положительной оси z. Формула (36.1) воспроизводит на плоскости z — О любое подставленное в нее значение [и®], а (36.2) — соответственно любое значение [11^]. Это легко установить с помощью формулы (13.3). Из (36.1) следует, например,

[п®] = ± 2V (Ч jj [n®] G di'^ =F 2 (nV) ^ [n®] G di', г ^ 0;

первый член справа здесь обращается в нуль, поскольку и = const, а второй член дает, согласно (34.1), значение [п®], если приближаться к плоскости 2 = 0 сверху или снизу.

Если в плоскости z = 0 помещен идеальный проводящий экран (5) с отверстием (L), как показано на фиг. 24, то имеет место строгое условие [п®]=0 на (5), [п^] = [п^0] на (£) 1СМ- (26.4')]. Но, к сожалению, для применения формулы (36.1) [или (36.2)] нам необходимо знать [П®] или [п^] на всей плоскости 2 = 0, т. е. на (S) + (£). Принимая кирхгофовские допущения [и®] = [п®0] на (£) или [п^]+ = 0 на (5), получаем приближенные решения типа (35.2а) и (35.3а), а именно (2>0):

©к1) (г) = 2^ rot rot [п^о] G(r — г') dV,L

^п (г) = 2 rot [n^ol G (г — V) dr',

L

^ (г) = 2 rot ^ [п@0] G (г — Г) dV,

(36.2а)(36.2а)L

(36.2а)

(36.2а)

S^k ^ = —2/rot rot ^ [n@0] G(r — г') dV.

L

Эти формулы, полусуммы которых ГзГ^ + екД, ^{^k^ + Sk^} сновасовпадают с первоначальным кирхгофовским решением (31.1а) п (31.16),

п(S)п(S)

п

(S)

п

(S)

[rr@]=o [п^]_

Ф и г. 24. Смешанные краевые условия для плос-кого экрана (электромагнитный случай).

могут быть полезны в тех случаях, когда наряду с распределением поля необходимо получить первое представление и о характере поляризации дифракционного поля. Справедливость эвристического метода снова проверяется путем последующего сравнения получаемых результатов с точным решением для тех простейших случаев (круглый диск), когда это точное решение удается получить, или с результатами экспериментов [27 — 31],

§ 2. МЕТОД ИТЕРАЦИИ ФРАНЦА И МЕТОД БРАУНБЕКА

В методе Кирхгофа краевая задача заменяется некоторой другой, более просто решаемой задачей (задачей с заданным разрывом или краевой задачей с ошибочными краевыми условиями). Возникающую при этом ошибку трудно оценить аналитически. Мы рассмотрим ниже два метода, позволяющих уменьшить эту ошибку.

Метод итерации Франца [34, 35]. Ограничимся рассмотрением лежащего в плоскости z = О плоскогох) экрана (5) с отверстием (L). Далее, будем исходить из краевого условия ди,дп-=0 на (5) [т. е. будем обсуждать s-случай (см. п. 4); краевое условие у —О рассматривается аналогично] и обсудим по отдельности задачу рассеяния, когда (А) имеет конечные размеры, и задачу дифракции, когда (L) имеет конечные раз-

ных поверхностей.ных поверхностей.т) Сам Франц [34, 35] обобщил свой метод и па случай произвольно искривлен

ных поверхностей.

ных поверхностей.

меры (см. и. 26). Пусть волна у0(г) падает из полупространства z < 0; за нулевое приближение возьмем

в случае дифракции:

I Уо + У°,

2 > 0,

2 < 0,

(37.1а)

где у° — отраженная волна [см. (26.8)];

(37.16)(37.16)в случае рассеяния:

(37.16)

(37.16)

^ = ^0,2 ^ 0.

Функция (37.1а) удовлетворяет краевому условию, но не удовлетворяет на (L) волновому уравнению, так как испытывает здесь разрыв

— 2у0.

Наоборот, функция (37.16) всюду непрерывна, но не удовлетворяет краевому условию dv^} Idz — dvjdz.

2^0.2^0.(37.2а)(37.2а)Устранив разрыв с помощью интеграла Кирхгофа [см. (10.1) и (10.2)], получим первое приближение, которое для случая дифракции имеет вид

2^0.

2^0.

(37.2а)

(37.2а)

у^ =+ 2 Уо do' = у^ + ^п,

1 о 11 и ихи 1 и 7

В случае рассеяния первое приближение получается путем прибавления к (37.16) некоторого решения, принимающего на (5) значение —dvQ/dz [см. (34.3)]:

v® = С ± 2 ( ^- G da' = и® т <\ z ^ 0.(37.26)

8

Теперь решение (37.2а) не удовлетворяет краевому условию dv^.'dz = = dw^idz, а решение (37.26) разрывно на отверстии: (у^)*— (у(12))_ = —2w^. Возникает необходимость в получении второго приближения. Действуя аналогично, находим

в случае дифракции:

==z^0;(37.3а)

S

в случае рассеяния:

у® = у^ + 2 ^ w^ ^г do' = и® + w^, z ^ 0.(37.36)

L

Этот прием можно повторять сколько, угодно, каждый раз удовлетворяя то краевому условию, то волновому уравнению (т. е. требованию непрерывности решения в отверстии). Таким образом, получаем итерационный метод, для произвольного шага которого в случае дифракции справедливы следующие формулы (соответственно для членов, полученных в четном и нечетном приближениях):

y2v = ^2v—1 ± 2 \ —G d<j' = У^-! + ^v-l, 2^0,

S(37.4a)

^2v+l — ^2v + \ ^2v —1OG — y2v "1" ^2v> 2

L

Здесь значения нормальных производных на плоскости 2 = 0 определяются по формулам

dzdzd^J1} , д^2Т) ।dz 1 dz Гоd^J1} , д^2Т) ।dz 1 dz Го+ на (L), на (5),+ на (L), на (5),(37.5а)(37.5а)

dz

dz

d^J1} , д^2Т) ।dz 1 dz Г

о

d^J1} , д^2Т) ।dz 1 dz Г

о

+ на (L), на (5),

+ на (L), на (5),

(37.5а)

(37.5а)

(^)+ — (^)- = —(^)+ — (^)- = —^’ (37.6а)^’ (37.6а)ИЛИИЛИMv+ldz'Mv+ldz'Г дт^ dw^I dz ‘ dzГ дт^ dw^I dz ‘ dz^vdzdz^vdzdzна (L),на (L),(на 5)(на 5)ии[о(УгАА| 2уо + 2да<1> + 2<> + ..Аналогично в случае рассеяния[о(УгАА| 2уо + 2да<1> + 2<> + ..Аналогично в случае рассеянияна (А), 2^-1 на (5).на (А), 2^-1 на (5).y2vy2v^-2 ^7 ЙО' = V2v-1 + ^2v-l,^-2 ^7 ЙО' = V2v-1 + ^2v-l,(37.7a)(37.7a)(37.8a)(37.8a)7,(2)^2v+l7,(2)^2v+l9w^-x p 7 ,(2) — .(2)—^p G tiO = ^2v + ^>2v?9w^-x p 7 ,(2) — .(2)—^p G tiO = ^2v + ^>2v?(37.46)(37.46)8Значения нормальных производных при 2 = 0:8Значения нормальных производных при 2 = 0:dzdzdu^ , dw^ . dw^ , dz dz dzdu^ , dw^ . dw^ , dz dz dzMy-tdzdzMy-tdzdzна (5)на (5)на (A);на (A);значения разрыва при прохождении череззначения разрыва при прохождении черезплоскостьплоскость2 = 0:2 = 0:2^2) 4-2^2)+ • • • +2^-2 на (5),2^2) 4-2^2)+ • • • +2^-2 на (5),00илиилина (L),на (L),(37.56)(37.56)(37.66)(37.66)ииdv^^ (—9uo I dwi2> I 8аи^ II dz ' dz 1 dzdv^^ (—9uo I dwi2> I 8аи^ II dz ' dz 1 dzна (5),—на (L) dzx ’на (5),—на (L) dzx ’(37.76)(37.76)(^+,).-fe+,L--|2w„Ha w(^+,).-fe+,L--|2w„Ha w(37.86)(37.86)

(^)+ — (^)- = —

(^)+ — (^)- = —

^’ (37.6а)

^’ (37.6а)

ИЛИ

ИЛИ

Mv+l

dz'

Mv+l

dz'

Г дт^ dw^

I dz ‘ dz

Г дт^ dw^

I dz ‘ dz

^vdz

dz

^vdz

dz

на (L),

на (L),

(на 5)

(на 5)

и

и

[о

(УгАА| 2уо + 2да<1> + 2<> + ..

Аналогично в случае рассеяния

[о

(УгАА| 2уо + 2да<1> + 2<> + ..

Аналогично в случае рассеяния

на (А), 2^-1 на (5).

на (А), 2^-1 на (5).

y2v

y2v

^-2 ^7 ЙО' = V2v-1 + ^2v-l,

^-2 ^7 ЙО' = V2v-1 + ^2v-l,

(37.7a)

(37.7a)

(37.8a)

(37.8a)

7,(2)

^2v+l

7,(2)

^2v+l

9w^-x p 7 ,(2) — .(2)

—^p G tiO = ^2v + ^>2v?

9w^-x p 7 ,(2) — .(2)

—^p G tiO = ^2v + ^>2v?

(37.46)

(37.46)

8

Значения нормальных производных при 2 = 0:

8

Значения нормальных производных при 2 = 0:

dz

dz

du^ , dw^ . dw^ , dz dz dz

du^ , dw^ . dw^ , dz dz dz

My-t

dz

dz

My-t

dz

dz

на (5)

на (5)

на (A);

на (A);

значения разрыва при прохождении через

значения разрыва при прохождении через

плоскость

плоскость

2 = 0:

2 = 0:

2^2) 4-2^2)+ • • • +2^-2 на (5),

2^2) 4-2^2)+ • • • +2^-2 на (5),

0

0

или

или

на (L),

на (L),

(37.56)

(37.56)

(37.66)

(37.66)

и

и

dv^^ (

—9uo I dwi2> I 8аи^ I

I dz ' dz 1 dz

dv^^ (

—9uo I dwi2> I 8аи^ I

I dz ' dz 1 dz

на (5),

—на (L) dzx ’

на (5),

—на (L) dzx ’

(37.76)

(37.76)

(^+,).-fe+,L--|2w„Ha w

(^+,).-fe+,L--|2w„Ha w

(37.86)

(37.86)

а значения разрыва при переходе через плоскости z— 0 — по формулам

2^-i на

2у0+ 2t< + 2uy'n + . . • + 2^-1 на

Нетрудно заметить, что этот итерационный метод можно рассматривать и как метод аппроксимации (последовательными приближениями) нормальной производной dv/dz в отверстии или разрыва функции у+ — у_ при переходе через экран (поверхностный ток; см. п. 46).

Условие на ребре и сходимость. При исследовании сходимости метода возникают значительные трудности. Вследствие симметрии или антисимметрии (относительно z) интегралов

\ G ас или \ w do

J OZJ OZ

SL

можно снова рассматривать их как симметричную или антисимметричную часть интеграла вида

S, L

Однако последний интеграл можно (понимая его как поток свободного от источников вектора) преобразовать по теореме Стокса в криволинейные интегралы по контуру отверстия (см. п. 32). Тем самым к каждому отдельному приближению в методе Франца строго применим принцип Юнга, что, согласно п. 32, означает нарушение условия на ребре. Кроме того, это означает, что приближения высоких порядков ведут к расходящимся интегралам.

Особенность на ребре обусловлена интегралами вида

Ф = \ ф do ,} dz

L

так как значение этого интеграла изменяется скачком на величину ф при переходе через (А). Этот разрыв при обходе края (А) непрерывно выравнивается за счет Ф. Чем меньше радиус р круга, по которому обходится край, тем скорее происходит это непрерывное изменение с углом обхода, а именно быстрота его обратно пропорциональна длине окружности. Градиент Ф меняется в направлении касательной к кругу как р"1. Поэтому значения Ф оказываются различными в зависимости от того, по какому направлению приближаются к ребру (в худшем случае логарифмическая особенность1). Таким образом, условия на ребре (23.56) и (23.5в) нарушаются. Это видно также и из того, что энергия поля (16.6) в окрестности ребра не интегрируема, так как она содержит член ^ р"2р dp (обусловленный членом с | grad у |2), что приводит к логарифмической особенности.

Интегралы вида

S

непрерывны и удовлетворяют условию на ребре. Далее, интегралы вида

S

также расходятся логарифмически вследствие вклада граничной полосы. Эти особенности устраняются только в том случае, если ф при подходе к ребру непрерывно стремится к нулю. Поэтому Франц [36] предложил тем или иным способом устремить к нулю за отверстием (т. е. на экране) значения w^-2 и ^v-i, вычисляемые в четных и нечетных

Ч Такого рода недопустимые особенности на ребре содержатся в результатах Ильина [101].—Прим. ред.,

приближениях итерационного процесса, и распространить интеграл Ф на экран (5). Если бы заставить величину Ф убывать произвольным образом до нуля уже внутри отверстия (А) при подходе к ребру, то это привело бы к уменьшению поправки, вносимой Ф на отверстии (А) вблизи ребра. Тогда сходимость вблизи ребра сразу же оказалась бы под вопросом. Если же функция ф убывает произвольным образом до нуля при удалении от ребра, то распространение интегрирования на экран (5) не приводит ни к каким дополнительным неприятностям, поскольку Ф и без того нарушает краевое условие на (5). Таким образом, необходимо искать следующие приближения. Итак, метод содержит момент произвола, и поэтому невозможно указать, в каком математическом смысле получаемая таким путем последовательность сходится к строгому решению краевой задачи (если сходится вообще).

Метод Браунбека. Вопрос о том, как целесообразнее выбрать ф на экране в первом приближении, был рассмотрен Браунбеком [37]. Он исходил из формулы (35.2s) и заменил в ней кирхгофовское значение у+— О на (5), которое приводит к особенности на ребре, функцией у+. Эта функция внутри некоторой окружающей отверстие полосы шириной порядка нескольких длин волн непрерывно убывает от строгого значения у = ^о на ребре экрана до нуля (если удаляться вдоль экрана в направлении, перпендикулярном его ребру). Предполагая, что радиус кривизны ребра экрана всюду много больше длины волны, Браунбек выбрал функцию у+ (г) на поверхности экрана так, чтобы она совпадала с зоммерфельдовским точным решением задачи дифракции на полуплоскости (см. п. 117). В рассматриваемом методе, таким образом, каждый элемент ребра, который представляет собой полосу, имеющую ширину

Таблица 1s

Краевое значение в s-случае

у+(г)

Эу(г)

Экран (S)

Отверстие (Б)

Экран (8)

Отверстие (L)

Строгое

(ДН-1) ^ [^+ (О—уо1х S

Л°^ г ) dr —2 dz

у0

0

С би (rOА А А1

\- X , ■ G(r—r')dr'=——к0

J oz2

L

По Р^ирх- гофу

0

У0

0

dv0 dz

По Браун- беку

Г Г 4' dr

9 У лт р

уо

0

Ni Ju-L.

- /X

\ —

Э У ЛТ)

Р

v (Г)

(г') \

\ dz) +

Экран (S)

Отверстие (L)

Экран (8)

Отверстие (L)

Строгое

0

(Д + О j f(t')G(r —r')dr'— 2 д® т,

S

8у0 dz

По Кирхгофу

0

0

Ovq dz

По Браунбеку

0

°° ^(^“г)

1 J У лт3

р

со <(т— £-)4(РК)

М Г С е 4 ,«4 1

^ U/та иГ /^ )

Эу0 dz

Краевое значение в р-случае

Таблица 1р

6 (Г)

6+ (г)

Экран (S)

Отверстие (L)

Экран (S)

Отверстие (L)

Строгое

0

(graddiv4-l) ^ [пб (г')] G (г — ?) dV ~^ §о L

(graddiv+l) ^[п, §+(?) —§0] G(r —?) Л'=/®о S

Фо

по Кирхгофу

0

0

Фо

По Браунбеку

0

,“че^Р+^

®°V-y /s? dTJ 1■

“ 4(тК) - {(рК)

а ( е/7те

So

Краевое значение в электромагнитном случае

Таблица 2

в несколько длин воли и бесконечно малую длину вдоль ребра, заменяется касательной полуплоскостью, для которой задача дифракции строго разрешима, а затем производится суммирование по всем элементам.

Аналогично, можно исходить из формулы (35.3s) и подставить под интеграл вместо кирхгофовских приближенных значений dvQ/dz значения, получающиеся для отверстия из зоммерфельдовского решения после замены элемента ребра касательной полуплоскостью.

В табл. 1s сопоставлены краевые значения и и dv/dz на поверхности экрана z = 0 для s-случая VNdn^O на (5)]. В первой строке указано строгое краевое значение, если оно известно непосредственно (см. фиг. 22), или в противном случае его определение через интегральное уравнение [интегральные уравнения будут получены в п. 50; для введенного там поверхностного тока имеет место зависимость — и_ = 2 (и+ — у0)]. В следующей строке даны приближенные значения по Кирхгофу. В нижней строке приведены приближенные значения, полученные методом Браун- бека из строгого решения задачи дифракции на полуплоскости (см. п. 117): они справедливы только для случая перпендикулярного падения плоской волны у0(г) = Аегг. Величина р означает расстояние от ребра по нормали.

Совершенно аналогично построена табл. \р для ^-случая [у = 0 на (5); см. фиг. 23]. Относительно браунбековских значений остаются в силе те же ограничения, что и в s-случае. Интегральные уравнения, определяющие строгие значения у и (^/^)+, будут получены в п. 46 и 47. Кроме того, необходимо иметь в виду соотношение

Соответствующее дифракционное поле определяется тогда с помощью формул (34.2) или (34.3) в зависимости от того, пользуемся ли мы значениями (г) или ди ^Idz, приведенными в таблице.

В табл. 2 даны соответствующие краевые значения для общего электромагнитного случая, т. е. для [п@]=0, на (5), когда имеют место формулы (36.1) или (36.2); через 6, и ($0, ^0 обозначены параллельные плоскости экрана компоненты соответствующих векторов.

Если строгие краевые значения непосредственно не заданы краевыми условиями или не могут быть найдены с помощью теоремы Бабине [см. (26.4'), а также фиг. 24], то они определяются из интегро- дифференциального уравнения, как это будет подробно рассмотрено в п. 53 и 56. Кирхгофовские приближенные значения, указанные во второй строке табл. 2, мы применяли уже в формулах (36.1а) и (36.2а); браунбековские значения (см. также [38, 39]) снова справедливы только для случая перпендикулярного падения плоской произвольно поляризованной электромагнитной волны @0, ^0 (значок А над (50 и ^0 здесь может быть опущен). Наконец, бор и ^oj_ означают компоненты падающего поля, перпендикулярные ребру в плоскости экрана (р— снова расстояние от ребра по нормали).

Как можно видеть из табл. Is, 1р и 2, браунбековская поправка к кирхгофовским приближенным значениям убывает при больших р как 1/]/р и имеет быстро меняющуюся фазу. В связи с этим можно предполагать, что заметный вклад в интегралы (34.2), (34.3) или (36.1), (36.2) вносят только те точки, в которых фаза стационарна, т. е. где р = 0

(см. также п. 44). Таким образом, браунбековские значения следует использовать только в узкой полосе вдоль ребра экрана, где приближенно имеют место зоммерфельдовские соотношения для полуплоскости. В п. 134 мы рассмотрим этим методом дифракцию на круглом диске.

Строгое обоснование. Для строгого обоснования браунбековских краевых значений следует исходить из интегрального уравнения и попытаться решить его асимптотически для случая, когда радиус кривизны ребра всюду много больше длины падающей волны). До сих пор это удавалось лишь в некоторых частных случаях [40—42]. Эти случаи дают основание предполагать, что браунбековское приближение дает главный член такого асимптотического разложения.

Представим себе, что метод Браунбека применяется к задаче дифракции на бесконечно длинной щели; тогда это соответствует суперпозиции полей двух зоммерфельдовских полуплоскостей, на каждую из которых падает волна (взаимодействие полуплоскостей не учитывается). Однако это приближение в точности соответствует первому приближению итерационного метода Шварцшильда [43]. В этом методе в следующих приближениях учитывается излучение каждой из полуплоскостей, образующих щель (путем рассмотрения в первом, во втором и т. д. приближениях текущих по ним поверхностных токов; см. п. 122). В этом случае Шварцшильд строго доказал, что решение, полученное его методом, представляет собой не асимптотическое разложение для широких щелей, а ряд, сходящийся при любых ширинах щелей. Однако в п. 122 мы покажем, что первый член шварцшильдовского решения совпадает с главным членом асимптотического разложения для широких щелей.

Отметим далее, что оба браунбековских приближения, которые получаются при использовании правой или левой части приведенных выше таблиц, дают один и тот же главный член асимптотического разложения). Это обстоятельство является дальнейшим указанием на то, что метод Браунбека дает главный член асимптотического разложения строгого решения краевой задачи.

Рассмотрим только s-случай; подставив браунбековские краевые значения, приведенные в правой или левой части табл. 1s, в формулу (35.2s) или (35.3s) (для 2 > 0, и0 = егг\ получаем

• ,, со .

ив' (г) = УЙ* + $ dt' \ dq' \ dx G (г — г') (1 + rXj ) (40.1s)

О р' г

или

I <{^&-^}е(1_г,(1. ^).

(40.2s)

Здесь первые члены есть кпрхгофовские решения (35.2а) и (35.3а); далее в членах, представляющих браунбековскую поправку, при интегрировании по экрану (5) или отверстию (А) мы ограничиваемся узкой полосой вдоль ребра. Введем новую систему координат р, где t~ длина дуги вдоль ребра, Q —расстояние от ребра по нормали (фиг. 25).

Тогда каждая точка г рассматриваемой полосы, ширина которой всюду меньше радиуса кривизны Qo (£) ребра, однозначно определяется координатами (С р), а элемент поверхности запишется в виде dr ~ [1 + ±p/po(OJ^^Q’ гДе верхний знак берется в том случае, когда лежащие на поверхности экрана нормали к ребру расходятся, а нижний—когда они сходятся. Если ребро пред

ставляет собой замкнутую выпуклую линию, Ф и г. 25. Ортогональные кото в формуле (40.2б) верхний знак отно- ординаты вблизи ребра, сится к «рассеянию», а нижний —к «ди

фракции» (см. п. 20). Интегрирование по t ведется по всей длине ребра, в то время как при интегрировании по р верхний предел не задается, поскольку подынтегральное выражение дает существенный вклад только вблизи нижнего предела р = 0.

Интегралы в формулах (40.1s) и (40.2s) могут быть теперь разложены в асимптотические ряды с помощью метода стационарной фазы (в частности, для точек наблюдения, лежащих далеко от ребра); точки, в которых фаза стационарна, как показали Келлер и др. [46, 47], лежат на ребре на максимальном или минимальном расстоянии от точки наблюдения (блестящие точки).

Далее, как мы у?ке указывали в п. 35, кпрхгофовские члены ^к и ^к могут быть вычислены как антисимметричная (относительно z) или симметричная части контурного интеграла (32.10), полученного Рубиновичем. Этот интеграл тоже (как у?ке упоминалось) может быть вычислен асимптотически методом стационарной фазы [5, 7]. Однако поверхностные интегралы (35.2а) и (35.3а) могут быть вычислены непосредственно с помощью того же метода стационарной фазы, обобщенного на двумерный случай1). При этом получают точки стационарной фазы, лежащие как внутри, так и на краях отверстия. Внутренние точки дают геометро-оптическое распределение поля vg1 так же как и в преобразовании Рубиновича [см. (32.10)], а точки на ребре обусловливают краевой эффект в смысле принципа Юнга. Это имеет место также и в приближении Браунбека, но в отличие от теории Кирхгофа только для дальнего поля, как и следовало ожидать. К этим формулам мы вернемся снова в п. 44 при рассмотрении геометрической теории дифракции. Главные члены в асимптотических разложениях интегралов (40.1s) и (40.2s) совпадают.

0 См. [46, 47]. О методе стационарной фазы для поверхностных интегралов см. также [48—56].

Итак, браунбековское решение дает главный член асимптотического разложения строгого решения (в том числе и вблизи ребра; условие на ребре выполняется), в то время как кирхгофовское решение не удается простым образом математически связать с точным решением. Следовательно, метод Браунбека предпочтительнее в тех случаях, когда желательно рассматривать поле не только вблизи направления падения (т. е. не только вблизи границы тени), где оба метода для дальнего поля дают одинаковые результаты, тем более что сложность вычислений примерно одинакова. К этому заключению пришел также и Андреевский [33, 57], который сравнивал результаты браунбековского метода со строгим решением для случая круглого диска.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ КЕЛЛЕРА

Келлер [58—60] пытался получить асимптотическое решение краевой задачи, используя на первый взгляд совершенно иной эвристический подход. Обычно эффект дифракции понимается как отклонение от законов геометрической оптики; однако его можно учесть и асимптотически путем некоторого простого обобщения этих законов. Геометрическая оптика оперирует понятиями фазовых, или волновых поверхностей (описываемых уравнением эйконала) и перпендикулярных им траекторий—лучей (определяемых принципом Ферма как кратчайший оптический путь). Эта концепция вытекает как некоторое приближение из волнового уравнения, если радиусы кривизн волновых поверхностей всюду очень велики по сравнению с длиной волны. (Такое представление уже не справедливо вблизи фокусов или каустик, а также вблизи сильно искривленных участков поверхности тела.)

Ограничимся рассмотрением кусочно-однородных сред; тогда лучи, идущие от источника к точке наблюдения, являются кусочно-линейными и имеют с поверхностями раздела сред одну или несколько дискретных общих точек, не лежащих на возможных ребрах граничной поверхности. Так задается система одно- и многократно переломленных и отраженных лучей, приводящая к образованию резкой границы тени (через которую не проходит ни один луч).

Дифрагированные лучи. Предположим, что среди лучей, оптический путь вдоль которых одинаков, возможны и лучи, имеющие с граничной поверхностью общий кусок гладкой кривой, или, в случае наличия ребер, —любое число общих точек. Такие лучи будут проникать и в область тени. Будем называть их, следуя Келлеру, дифрагированными лучами. Рассмотрим эту идею более подробно на примере плоского экрана с отверстиями произвольной формы. Дифрагированные лучи исходят в этом случае только из краев отверстий1). Кратчайший путь между источником Q и точкой наблюдения Р, имеющий общую точку с ребром, состоит из двух полулучей, проходящих через Q и Р (падающий и дифрагированный лучи). Эти полулучи пересекаются в некоторой точке ребра таким образом, что образуют равные углы с касательной к ребру в данной точке. Полулучи лежат по разные стороны от плоскости, проходящей через данную точку ребра и имеющей своей нормалью касательную к ребру в данной точке

х) Здесь мы будем следовать работам Келлера [61, 62]; см. также [63—65, 98].

(закон дифракции на ребре). Таким образом, каждый падающий луч,

попадающий на некоторую точку ребра, обусловливает целый конус дифрагированных лучей, исходящих из этой точки; осью конуса является касательная к ребру, а его полураствор равен углу между падающим лучом и касательной (фиг. 26). В случае перпендикулярного

падения конус вырождается в плоскость. Число дифрагированных лучей, проходящих через какую-нибудь точку наблюдения Р, теперь легко определить на основании закона дифракции на ребре.

Пусть, например, плоская волна падает перпендикулярно поверхности экрана, ребро которого представляет гладкую замкнутую линию; тогда в каждую точку наблюдения Р (не лежащую на ребре) приходят два дифрагированных луча, исходящих из точек ребра, лежащих на наибольшем и наименьшем расстояниях от Р. Далее, через каждую точку, лежащую перед экраном, проходит один падающий луч и (в данном случае) один отраженный луч, тогда в точки за экраном падающий луч при

ходит только в том случае, если они не лежат Фиг. 26. Конус дифра- в области геометрической тени. (Если линия гированных лучей в методе ребра экрана имеет центр симметрии, то точки,Келлера,

лежащие на оси симметрии, требуют особого

рассмотрения, в частности точки на оси симметрии круглой каустики.)

Если однократно дифрагированный луч встречает еще одно ребро, то соответствующая точка этого ребра становится местом выхода двукратно дифрагированных лучей, по отношению к которым однократно дифрагированный луч можно рассматривать (в случае косого падения) как падающий луч. Соответствующим образом можно рассмотреть многократно дифрагированные лучи. Если падающий луч попадает в точку ребра, где оно имеет излом, то описанный закон дифракции необходимо модифицировать (дифракция на угле), но мы на этом останавливаться не будем.

Поле, создаваемое лучами. Дифракционное поле является результатом интерференции лучей, проходящих через данную точку наблюдения Р указанным выше образом. Чтобы описать этот эффект, мы должны каждому лучу приписать некоторое поле. Для этого воспользуемся идеей Лунеберга [66, 67], которую будем излагать здесь в сочетании с методом Келлера [61—65, 98].

Обозначим через s расстояние некоторой произвольной точки Р на луче от другой надлежащим образом выбранной точки Р' на том же луче (расстояние мы будем считать положительным в направлении распространения света); тогда каждому лучу можно приписать поле вида т) и^Р', Р) = A (s) exp [^Ф(^)]. В тех случаях, когда необходимо учитывать также и поляризационные эффекты, вещественную амплитуду A (s) можно считать векторной величиной; однако мы ограничимся здесь скаляр-

х) В настоящем пункте мы не пользуемся своими безразмерными обозначениями, так как в данном случае использование соотношений, в которые явно входит длина волны Х = 2л/Л, дает некоторые преимущества.

Фиг. 27. Негомоцентрический пучок лучей с двумя фокальнымиФиг. 27. Негомоцентрический пучок лучей с двумя фокальнымиЛИНИЯМИ.ЛИНИЯМИ.имеет видимеет вид

Фиг. 27. Негомоцентрический пучок лучей с двумя фокальными

Фиг. 27. Негомоцентрический пучок лучей с двумя фокальными

ЛИНИЯМИ.

ЛИНИЯМИ.

имеет вид

имеет вид

ным случаем. Примем, что фаза Ф определяется следующим образом:

(42.1)(42.1)Ф(5) = ф' 4-5,

(42.1)

(42.1)

где Ф' есть фаза в точке Р' (это допущение можно обосновать с по

мощью уравнения эйконала).

Для определения амплитуды образуем вокруг рассматриваемого луча трубку из бесконечно близких соседних лучей (элементарная трубка) сечением do' в точке Р' и do в точке Р. Энергию, протекающую через эти сечения за единицу времени, будем считать пропорциональной

Л2 do. Вследствие закона сохранения энергии (для непоглощающей среды) эта величина должна оставаться постоянной вдоль всей трубки. Поэтому имеет место соотношение A^do^ Л'2 do', где Л7— амплитуда в точке Р'. Сечения являются бесконечно малыми участками соответствующих волновых фронтов. Последние должны (в общем, не гомоцентрическом случае) где-либо вдоль рассматриваемых лучей стягиваться в две взаимноперпендикулярные фокальные линии [14]. Если обозначить через gi и g2 соответственно расстояния точки Р' от этих фокальных линий, то на основании лучевого закона имеем (фиг. 27)

do'2122 /zp

do" (21 + Л(22+^) 9V }

причем здесь элемент поверхности элементарной трубки считается прямоугольнымЦ Для амплитуды в точке Р на основании закона сохранения энергии получаем

Л (s) = А* V . ^^ . V •(42.3)

г (е1+$)(ег+$)-7

Тогда поле в точке Р, согласно (42.1) и (42.3),

и (Г', Р\ = А' V-7—Л^-г-теи(ф'+8)-(42.4)

v 7 V (21 + s) (224-5)v 7

Если обе фокальные линии элементарного пучка лежат на конечном расстоянии, то поле в бесконечности (при s—>оо) ведет себя как сферическая волна e^/s (в противном случае будут иметь место цилиндрические или плоские волны в зависимости от того, находится ли в бесконечности только одна фокальная линия или обе). С другой стороны, в точках фокальной линии (s—> —gi или s—>"^2) поле имеет особенность, как и следовало ожидать в рамках геометрической теории.

Выше мы видели, что системы дифрагированных лучей состоят из конусов с вершинами на ребре экрана. Таким образом, ребро экрана тоже является фокальной линией (принцип Юнга). Целесообразно выбрать «начальную точку» Р' системы дифрагированных лучей на ребре

х) Это соотношение можно получить, естественно, и из дифференциально-геометрических свойств волновой поверхности; gt и р2 тогда будут главными радиусами кривизны волновой поверхности в точке Р', которые мы будем считать положительными, если центр кривизны лежит перед волновым фронтом.

экрана. Хотя при этом Л', как мы видели выше, становится бесконечно большим, но величина Л^^Л']/^ остается при ^"^О конечной, как можно видеть из (42.3), где р2 есть расстояние точки Р' от фокальной линии, являющейся ребром экрана. Для поля, создаваемого однократно дифрагированными на ребре лучами, получаем из (42.4) при р2—>0

у™ ^Р', Р) = А" VТ(^ е^ <Ф'+«), (42.4')

где s — расстояние точки наблюдения Р от точки ребра Р\ откуда исходит луч, a Qi-— расстояние от точки Р' до другой фокальной линии данной системы лучей.

Чтобы определить рь необходимо рассмотреть подробнее систему лучей, исходящих из ребра. С этой целью введем длину дуги t вдоль ребра (отсчитываемую от какой-либо надлежащим образом выбранной начальной точки). Пусть линия ребра описывается вектором $(/), и пусть ^ есть радиус-вектор произвольной точки конуса, образованного дифрагированными лучами, с вершиной в £(£)• Если падающий на ребро луч образует с касательной к ребру j(^) угол оф), равный углу полураствора конуса дифрагированных лучей, то уравнение этого конуса запишется теперь в виде (так как £2 = 1)

Е —Е<А Е(01 = Д-$(0|СО8а((). (42.5) Огибающая этого однопараметрического семейства конусов одновременно представляет собой каустическую поверхность системы дифрагированных лучей. Чтобы получить уравнение этой огибающей, продифференцируем (42.5) по t. Получаем

О —15 $)—г2= — «|9 —$1 Sina —

Г^—^(9 —?> $),(42.6) Фиг. 28. К выводу уравнения

19$ Iконуса лучей.

или в силу (42.5)

(у — у, $ 4~a tga$) = 1 — cos2 a.(42.6')

Так как t есть длина дуги вдоль ребра, то из элементарных правил дифференциальной геометрии следует $=t, £=§/Qo, гДе t--тангенциальный единичный вектор ребра, § — нормаль к ребру и р0 —радиус кривизны ребра (фиг. 28). Поэтому с помощью (42.6') и (42.5) уравнение каустической поверхности дифрагированных лучей можно записать в форме

(9 — Ъ § + 6о« tg a ■ t) = Qo sin2 a, (42 7) (9 — $- t) = |9 —jjcosa.

Введем, наконец, угол P между дифрагированным лучом и нормалью (§) 7 Заказ № 13

к ребру; тогда

cosp^to^)(428)

и уравнение (42.6) можно записать в виде

11) — $ | (cos р + роа sin a) = q0 sin2 a.(42.6")

Расстояние Qj от каустики (42.7) до ребра ^экрана вдоль дифрагированного луча, образующего угол р с нормалью (§), равно (ц = — 11) — $ [

Фиг. 29. К выводу уравнения огибающей конусов лучей.Фиг. 29. К выводу уравнения огибающей конусов лучей.

Фиг. 29. К выводу уравнения огибающей конусов лучей.

Фиг. 29. К выводу уравнения огибающей конусов лучей.

(фиг. 29; каустика лежит здесь за точкой Р\ поэтому радиус pt следует считать отрицательным). Из (42.6") вытекает

б1 =eosin^a .(429)

cos p + poa sin a

Подставляя (42.9) в (42.4'), получаем

(42.10)(42.10)дп^гк (Ф' + s)

(42.10)

(42.10)

cos р + роа sin aQosin2a

Прежде чем перейти к определению последней в (42.10) неизвестной величины Л"^Ф', обсудим формулу (42.7) на одном простейшем примере. Рассмотрим случай перпендикулярного падения плоской волны; тогда а(0 = л/2, так что a(f) = 0. Поэтому из (42.7) получаем следующее урав

нение для каустической поверхности дифрагированных лучей:

§)=6о,(М.‘)=0.(42.7')

Таким образом, каустической поверхностью в рассматриваемом случае является прямой перпендикулярный плоскости экрана цилиндр, сечение которого есть эволюта линии ребра экрана. В случае рассеяния, например, она обнаруживается на экране, помещенном за рассеивающим экраном, в виде светлой линии в зоне тени. Аналогичные линии наблюдаются и в случае дифракции [68, 89]. Если экран представляет собой круглый диск, то каустика стягивается в линию, совпадающую с осью симметрии диска, так что в центре тени от диска имеется светлое пятно (пятно Пуассона)*

Коэффициент дифракции. Для определения «начального значения» величины А,ге4кф' в (42.10) сделаем достаточно близкое к истине допущение, что оно пропорционально полю падающей волны в точке ребра Р'. Положим, что падающая волна имеет вид у0 = Аое*фо (при этом соответствующие падающие лучи задаются линиями, ортогональными поверхностям Фо = const); тогда

A”eiW =ВА^кф<>.(43.1)

Введенный здесь коэффициент пропорциональности В (так называемый коэффициент дифракции) зависит от краевого условия на экране, от направлений падающих и дифрагированных лучей, а также от длины волны. (В тех случаях, когда необходимо учитывать поляризационные эффекты, надо считать Ао вектором, а В соответственно тензором [61 — 65].) Для определения В рассмотрим малую (по сравнению с длиной волны) окрестность точки ребра Р'. В пределах этой окрестности, предполагая, что ребро не имеет углов, будем пользоваться соотношениями, полученными из зоммерфельдовского решения для полуплоскости. Задача о дифракции на полуплоскости строго рассмотрена в гл. IV, § 1, правда, только для случая перпендикулярного падения плоской волны. Однако обобщение на случай произвольного направления падения не встречает трудностей [11, 69, 70].

Разлагая строгое решение задачи дифракции на полуплоскости в асимптотический ряд для дальнего поля, получаем выражения, в точности соответствующие выражениям (42.4') и (43.1), если эти последние преобразовать для случая прямолинейного ребра (при этом через каждую точку проходит только однократно дифрагированный луч и нет никаких многократно дифрагированных лучей). Таким путем для определения В получаем формулу

гл/4л / лл ■

■<43-2>

КI COS8Ш —

где й (или й0)— угол между проекцией дифрагированного (или падающего) луча на плоскость, перпендикулярную ребру, и нормалью и к плоскости экрана (фиг. 30). Верхний знак в (43.2) берется для краевого условия и—0 на (5), а на нижний —для условия ди(дп = 0 на (S).

Будем считать, что коэффициент дифракции В, найденный таким путем, применим и для произвольно искривленного ребра (конечно, только в том случае, когда радиус кривизны р0 ребра всюду много больше длины волны); тогда из (42.10) и (43.1) после подстановки в них

(43.2) получаем

Х^Р', Р) =

г/t (Фо+зЭ+'-т- Ле

2

1 —s

cos

P4~Qoa sin а\ Qq sin2 а )

1sin а

1

й —й0 cos —-—-

. й + й0

(43.3)

Итак, каждый однократно дифрагированный луч, приходящий в точку Р. дает вклад в суммарное поле, определяемый формулой (43.3). Все входящие в эту формулу величины относятся к точке "ребра Р*, откуда исходит дифрагированный луч.

44. Суммарное поле. Чтобы получить суммарное поле, необходимо построить все проходящие через точку Р дифрагированные лучи. (Их легко определить, пользуясь законом дифракции на ребре; в случае гладкого замкнутого выпуклого ребра через каждую точку наблюдения44. Суммарное поле. Чтобы получить суммарное поле, необходимо построить все проходящие через точку Р дифрагированные лучи. (Их легко определить, пользуясь законом дифракции на ребре; в случае гладкого замкнутого выпуклого ребра через каждую точку наблюденияФиг. 30. К определению уг- Фиг. 31. Луч, однократно дифрагированный точ- лов *0* и -йд в плоскости, перпен- кой Р' в точку наблюдения Р (по Келлеру), дикулярной ребру.Фиг. 30. К определению уг- Фиг. 31. Луч, однократно дифрагированный точ- лов *0* и -йд в плоскости, перпен- кой Р' в точку наблюдения Р (по Келлеру), дикулярной ребру.

44. Суммарное поле. Чтобы получить суммарное поле, необходимо построить все проходящие через точку Р дифрагированные лучи. (Их легко определить, пользуясь законом дифракции на ребре; в случае гладкого замкнутого выпуклого ребра через каждую точку наблюдения

44. Суммарное поле. Чтобы получить суммарное поле, необходимо построить все проходящие через точку Р дифрагированные лучи. (Их легко определить, пользуясь законом дифракции на ребре; в случае гладкого замкнутого выпуклого ребра через каждую точку наблюдения

Фиг. 30. К определению уг- Фиг. 31. Луч, однократно дифрагированный точ- лов *0* и -йд в плоскости, перпен- кой Р' в точку наблюдения Р (по Келлеру), дикулярной ребру.

Фиг. 30. К определению уг- Фиг. 31. Луч, однократно дифрагированный точ- лов *0* и -йд в плоскости, перпен- кой Р' в точку наблюдения Р (по Келлеру), дикулярной ребру.

могут проходить только два однократно дифрагированных луча, как упоминалось выше.) Кроме того, необходимо учитывать падающий и отраженный лучи. В точке наблюдения Р за экраном падающие лучи, проходящие через отверстие, дают поле yg [см. (32.11)]. Поэтому поле за экраном, создаваемое падающими и дифрагированными лучами, определяется выражением

tP(P) = vg(P)tP(P) = vg(P)егл/42/2лЛегл/42/2лЛ^гМФо+s)^гМФо+s)cos Р + роа sin а\ ро sin2 а у1cos Р + роа sin а\ ро sin2 а у1Й —Й0 c°s-2^Й —Й0 c°s-2^sinsinЙЛЙ'о 2~ЙЛЙ'о 2~(44.1)(44.1)

tP(P) = vg(P)

tP(P) = vg(P)

егл/4

2/2лЛ

егл/4

2/2лЛ

^гМФо+s)

^гМФо+s)

cos Р + роа sin а\ ро sin2 а у

1

cos Р + роа sin а\ ро sin2 а у

1

Й —Й0 c°s-2^

Й —Й0 c°s-2^

sin

sin

ЙЛЙ'о 2~

ЙЛЙ'о 2~

(44.1)

(44.1)

где суммирование ведется по всем точкам Р' ребра, из которых выходят однократно дифрагированные лучи, проходящие через Р (фиг. 31).

Для точек перед экраном rg нужно заменить на ro+ г^ где ^— поле, создаваемое лучами, отраженными (в геометро-оптическом смысле) от экрана. Таким образом, система падающих и отраженных лучей делит пространство на три области I, II, III (фиг. 32), резкие границы которых (S') и (S") размываются вследствие наличия дифрагированных лучей. Этого, правда, нельзя увидеть непосредственно из формулы (44.1). Более того, на границе геометрической тени (S') (й = л + йо) и на границе отраженных лучей (S") (й = — йо) эта формула содержит особенности, потому что здесь обращается в бесконечность коэффициент дифракции (43.2), полученный из асимптотического разложения строгого решения задачи

Фиг. 32. Разбиение на области согласно геометрической оптике и однократно дифрагированные лучи.

дифракции на полуплоскости. Таким образом, это асимптотическое разложение перестает быть справедливым в окрестности указанных границ и должно быть заменено другим разложением (см. п. 114), из которого уже можно получить коэффициент дифракции, регулярный на границах.

Далее, выражение (44.1) имеет особенность в точке ребра Р' (s = 0) такую, что нарушается условие на ребре. Этого и следовало ожидать, так как вся концепция строится на соотношениях для дальнего поля, для которого ребро является светящейся линией (фокальная линия дифрагированных лучей). Наконец, (44.1) имеет особенности в точках каустики, определяемой уравнением (42.7).

Чтобы устранить особенности на каустиках, надо отыскать строгое решение волнового уравнения в узкой окрестности вдоль каустики и с его помощью устранить источнигш. Для фокусов и фокальных линий такие решения были получены Дебаем [7111). Это решение на расстоянии многих длин волн от каустики асимптотически может быть связано с системой лучей рассмотренного выше вида. Вместе с тем это решение можно интерпретировать как модифицированную геометрическую теорию дифракции, которая не приводит к особенностям на каустиках [61, 72—74].

Как и следовало ожидать, асимптотические оценки формул (40.1s) и (40.2s), полученных методом Браунбека, совпадают с (44.1) (для s-случая

См. также [24]. Дальнейшее развитие теории дифракции на фокусе см. в книге Борна и Вольфа [И].

Фиг. 33. Луч, двукратно дифрагированный точками Р' и Р" в точку наблюдения Р (по Келлеру).Фиг. 33. Луч, двукратно дифрагированный точками Р' и Р" в точку наблюдения Р (по Келлеру).

Фиг. 33. Луч, двукратно дифрагированный точками Р' и Р" в точку наблюдения Р (по Келлеру).

Фиг. 33. Луч, двукратно дифрагированный точками Р' и Р" в точку наблюдения Р (по Келлеру).

берется нижний знак) [46, 47]. С другой стороны, в окрестности упомя

нутых выше особых точек геометрическую теорию можно дополнить с помощью соответствующей модификации браунбековского интеграла. На основании сказанного выше по поводу браунбековской теории можно

рассматривать формулу (44.1) как главный член асимптотического разложения строгого решения краевой задачи (за исключением окрестностей

каустик и границ тени, где асимптотическое разложение носит инои характер). Таким образом, геометрическая теория позволяет получить в явной форме главный член асимптотического раз-

ложения из простых геометрических соображений, не прибегая, как в методе Бра- унбека, к интегрированию. Эта теория, несмотря на свою элементарность, оказалась чрезвычайно продуктивной (тем более, что ее удается распространить указанным выше образом и на окрестности каустик) и соответствующей физическим представлениям1).

Более того, теория позволяет без дополнительных предпосылок получить приближения более высокого порядка, принимая во внимание многократно дифрагированные лучи. Поле, соответствующее двукратно дифрагированным лучам (геометрия которых дается двукратным применением закона дифракции на ребре), получается, если рассматривать (43.3) как падающую волну, соскользнувшую с первой точки

ребра, и провести аналогичные рассужде

ния для второй точки на ребре (фиг. 33). Таким путем можно также учесть взаимодействия между отдельными элементами, что невозможно в теории Браунбека и тем более в теории Кирхгофа. Отдельные случаи такого подхода также были рассмотрены в работах Келлера (например, дифракция на щели и круглом диске). Так как поле, создаваемое однократно дифрагированными лучами, согласно (43.3), зависит от частоты как &—]/2, то для двукратно дифрагированных лучей поле пропорционально к-1. Можно предположить, что это поле при определенных условиях представляет собой уже полный следующий член асимптотического разложения строгого решения. Окончательно решить этот вопрос можно, только получив асимптотическое разложение с помощью теории интегральных уравнений. Такой подход используется в работах Левина [40, 41] по дифракции на круглом отверстии, в которых выявляются все основные черты геометрической теории (см. п. 134).

Геометрическая теория для выпуклых тел. Для выпуклых тел, не имеющих ребер, геометрическую теорию можно построить совершенно так же. В этом случае дифрагированные лучи проникают в область геометрической тени по геодезическим линиям поверхности тела [59, 75—78]. Они в точности соответствуют «ползущей волне», которую Франц и Деп-

т) Интересно отметить, что геометрическая теория дифракции допускает без каких-либо дополнений корпускулярную интерпретацию в отличие от традиционного понимания дифракционных явлений только на основе волнового представления.

перман получили асимптотически из теории интегральных уравнений для случая тел с постоянной кривизной поверхности (см. гл. III), таких, как круговой цилиндр [39, 79] и сфера [80]). Количественно геометрическая концепция [59, 75—78] в этом случае снова приводит к главному члену асимптотического разложения строгого решения краевой задачи; для тел, не имеющих ребер, это удается установить (по крайней мере качественно) с помощью метода возмущений (обобщенный метод Лунеберга — Клайна) [64, 82, 88, 90, 91]. Для дифракции на круговом цилиндре, сфере и эллиптическом цилиндре результаты геометрической теории удается подтвердить, применяя преобразование Ватсона к явному решению [39, 92—97]. Мы остановимся подробнее на этом вопросе в гл. IV, § 1, 2.

ЛИТЕРАТУРА

Kirchhoff G., Sitzgsber. Berl. Akad. Wiss., 641 (1882).

Kirchhoff G., Ann. d. Phys., 18, 663 (1883).

Kirchhoff G., Vorlesung uber mathematische Physik, Bd. 2, Leipzig, 1891.

RubinowiczA.,Ann.d.Phys.,53, 257 (1917).

RubinowiczA.,Ann.d.Phys.,73, 339 (1924).

RubinowiczA.,Ann.d.Phys.,81, 170 (1926).

RubinowiczA.,DieBeugungswelle in der Kirchhoffschen Theorie der

Beugung, Warschau, 1957.

Kottler F., Ann. d. Phys., 70, 405 (1923).

Franz W., Zs. Naturforsch., 3a, 500 (1948).

Schelkunoff S. A., Comm. Pure Appl. Math., 4, 43 (1951).

И. В о r n M., Wolf E., Principles of Optics, London — New York — Paris — Los Angeles, 1959.

Fran gon M., в книге Handbuch der Physik, Bd. XXIV, Berlin, 1956.

Poincare H., Theorie mathematique de la lumiere, Paris, 1892, p. 2, 187.

Born M., Optik, Berlin, 1933. (См. перевод: M. Б о p п, Оптика, Харьков, 1937.)

Maggi G. A., Ann. di Math., 16, 21 (1888).

Ramachandran C. N., Proc. Ind. Acad. Sci., A21, 165 (1945).

Kathavate Y. V., Proc. Ind. Acad. Sci., A21, 177 (1945).

I n g a r d e n R. S., Acta phys. polon, 14, 77 (1955).

M a r t i n L. C., Proc. Phys. Soc., 55, 104 (1943).

Martin L. C., Proc. Phys. Soc., B62, 713 (1949).'

Rubinowicz A., Acta phys. polon, 12, 225 (1954).

Young Th., Phil. Trans. Roy. Soc., 20, 26 (1802).

Laporte O., Meixner J., Zs. f. Phys., 153, 129 (1958).

Sommerfeld A., Vorlesungen fiber theoretische Physik, Bd. IV, Wiesbaden, 1950. (См. перевод: А. Зоммерфельд, Оптика, ИЛ, 1953.)

M e i x n e r J., F r i t z e U., Zs. angew. Phys., 1, 535 (1949).

Severin H., Starke C., Acustica (Akust. Beih.), 2, 59 (1952).

Bouwkamp J. C., Progr. Phys., 17, 35 (1954).

Severin H., Zs. Naturforsch., la, 487 (1946).

SeverinH., Zs. angew?Phys.,2, 499 (1950).

SeverinH., Zs. f. Phys., 129,426 (1950).

E h r 1 i c hM. J., Thesis,Univ.California, 1951.

V a s s e u rJ. P., Ann. dephys.,7, 506 (1952).

Andrejewsky W., Dissertation. Aachen, 1952.

Franz W., Zs. f. Phys., 125, 563 (1949).

Franz W., Proc. Phys., Soc., A63, 925 (1950).

Franz W., Zs. f. Phys., 128, 432 (1950).

Braunbek W., Zs. f. Phys., 127, 381 (1950).

Frahn W., Diplomarbeit, Aachen, 1951.

Franz W., Theorie der Beugung elektromagnetischer Wellen, Berlin, 1957, S. 103.

L e v i n e H., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-84 (1955).

Levine H., Techn. Rep., 51, 61, Appl. Math. Stat. Lab., Stanford Univ., 1956/57.

Westpfahl K., Ann. d. Phys., 4, 283 (1959).

Schwarzschild K., Math. Ann., 55, 17 7 (1902).

В raunbek W., Zs. f. Phys., 127, 405 (1950).

Braunbek W., Zs. f. Phys., 138, 80 (1954).

Keller J. B., Lewis R. M., S e с к 1 e r B. D.. N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-96 (1956).

Keller J. B., L e wi s R. M., S e с к 1 e r B. D., Journ. Appl. Phys., 28, 570 (1957).

Van KampenN. G.,Physica (Haag), 14, 5 75 (1949).

Van KampenN. G.,Physica (Haag), 16, 817 (I960).

Luneberg R.K., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-15(J949).

F о с к e J., Verh. sachs. Akad. Wiss., 101, 1 (1954).

К о п т о р о в и ч М. И., Муравьев Ю. К., ЖТФ, 12, 394 (1952).

В г е m m е г Н., Physica (Haag), 18, 469 (1952).

Braun G., Acta phys. Austr., 10, 8 (1956).

J ones D. S.,K 1 ine M, N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-100 (1956).

Jones D. S., К 1 i n e M., Journ. Math. Phys., 37, 1 (1958).

Andre jewsky W., Zs. angew. Phys., 5, 179 (1958).

К e 1 1 e r J. B., Symposium on Microwave Optics, Eaton Electronic Research Laboratory, Montreal, 1953.

KellerJ.B., N. Y.Univ. Res.Rep.,, No. EM-1 15(1958).

К e 11 erJ.В., в книге Calculusof Variations andits Applications, ed. L. M.

Graves, New York — Toronto — London, 1958.

К о 11 erJ.B., N. Y.Univ. Res.Rep., No. EM-92 (1956).

К e 11 eгJ.B., Journ.Appl. Phvs.. 28, 426 (1957).

К e 1 1 e r J. B., Lewis R. M., S e с к 1 e r IL D., N. Y. Univ. Res. RepS9 No. EM-81 (1955).

К e 1 1 e r J. B., L e w i s R. M., S e с к 1 e r B. D., Cornm. Pure Appl. Math., 9, 207 (1956).

Karp S. N., Keller J. B., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-143 (1959).

Luneberg R. K., Mathematical Theory of Optics, New York, 1944.

Luneberg R. K., Propagation of Electromagnetic Waves, New York, 1948»

С о u 1 s о n J., В e с к n e 11 G. G., Phys. Rev., 20, 594 (1922).

CarlslawВ. H.S., Proc. Lond. Math. Soc., 30, 121 (1899).

G1 e m mо wP. C.,Proc.Roy. Soc., A205, 286 (1951).

Debye P., Ann. d. Phys., 30, 755 (1909).

Кa у J.,К e1 1 e rJ. B.,N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-55(1953).

Кa у J.,К e1 1 e rJ. B.,Journ. Appl. Phys., 25, 876 (1954).

Kay J., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-138 (1958).

К e 1 1 e r J. B., Trans. IRE, AP-4, 312 (1956).

Keller J. B., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-94 (1956).

L e v у В. R., К e 1 1 e r J. B., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-109 (1957).

Friedlander F. G., Proc. Cambr. Phil. Soc., 38, 383 (1942).

Franz W., D eppermann K., Ann. d. Phys., 10, 361 (1952).

D eppermann K., Franz W., Ann. d. Phys., 14, 253 (1954).

Фок В., Journ. of Phys. (СССР), 10, 130, 399 (1946).

Friedlander F. G.,Keller J.B., Comm. PureAppl.Math., 8, 387 (1955)..

Friedlander F. G.,Proc. Cambr.Phil. Soc., 43,284(1946).

Luneberg R. K., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-14 (1950).

Kline M., Comm. PureAppl. Math.,4, 225 (1951).

Kline M., Comm. PureAppl. Math.,8, 595 (1955).

В r e m m e r H., Comm. Pure Appl. Math., 4, 419 (1951).

С о p s о n E. T., Comm. Pure Appl. Math., 4, 427 (1951).

Coulson J., Вески ell G. G., Phys. Rev., 20, 607 (1922).

M i r a n к e r W. L., N. Y. Univ. Res. Rep., No. BR-21 (1956).

Lewis R. M., N. Y. Univ. Res. Rep., No. MME-8 (1957).

Franz W., Zs. Naturforsch., 9a, 705 (1954).

Imai, Zs. f. Phys., 137, 31 (1954).

В r e m m e r H., Terrestrial Radio Waves, New York — Amsterdam — London— Brusseles 1949.

Friedman B., Comm. Pure Appl. Mach., 4, 317 (1951).

Levy B., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-121 (1958).

К e 1 1 e r J. B., Levy B. R., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-147 (1959).

В u c h a 1 R. N., Keller J. B., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-131 (1959).

99*. Боровиков В. А., ДАН СССР, 144, № 4, 743 (1962).

*. Боровиков В. А., в сб. «Дифракция и распространение волн», Изд. ЛГУ, Ленинград, 1964.

101*. Ильин В. А., ДАН СССР, 97, 217 (1954), 99, 47 (1954).

ГЛАВА Ш

Строгие методы(теория интегральных уравнений)

СВЕДЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ К ИНТЕГРО- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНОГО ТОКА (ПЛОСКИЕ ЭКРАНЫ) ,

Математически говоря, принцип Гюйгенса позволяет свести трехмерную исходную задачу к двумерной. В дальнейшем это обстоятельство будет охарактеризовано точнее. Ограничимся сначала плоским экраном (5) с отверстиями (Z) в плоскости 2 = 0.

а. Скалярная задача

Сначала сформулируем трехмерную задачу. Пусть в полупространстве 2 < 0 находится источник, который создает невозмущенное поле у0. Ищется функция у, для которой соответственно в р- и s-случаях имеем (см. п. 4 и 26, а также фиг. 22 и 23):

Ау + ^ = 0,2^0,(I)

и+—= 0на (Z),(1а)

что эквивалентно в s-случае условию у —у0 на (£);

(-£)+-(^)-=° ™ W(16)

что эквивалентно в ^-случае условию до/дг= ди0/дг на (Z);

у=0 или соответственно -||- = 0 на экране (5) (краевое условие); (II/2s) у удовлетворяет условию излучения (17.2) пли соответственно (17.3)*); (III)

и удовлетворяет условию на ребре (23.5а) — (23.5в).(IV)

Согласно п. 20, по этим данным функция и определяется однозначно. Условия (1а) и (16) представляют собой дополнение к уравнению (I) при 2=0 на (£); они обеспечивают непрерывность и гладкость продолжения решения волнового уравнения сквозь отверстие.

Рассмотрим сначала ^-случай. При этом будем различать две задачи, указанные в л. 26: задачу рассеяния и задачу дифракции.

Задача рассеяния. Будем искать решение в виде [ср. (26.1^) и фиг. 34 и 35, где приведены обозначения, используемые при рассмот-

Б Если г0 представляет собой плоскую волну, то необходимо видоизменить условие излучения так, чтобы облучение из бесконечности поступало только в направлении падения (ср. [1]).

рении рассеяния на плоских экранах]:

(46.1/?)(46.1/?)у (г) = у0 W — ^ Ф (V) G (г — г') dV, 20,

(46.1/?)

(46.1/?)

(S)

Выражение (46.1р) для широкого класса функций ф удовлетворяет всем вышеуказанным требованиям, кроме краевого условия (II/)). Действительно, оно представляет собой не что иное, как интеграл Кирхгофа (10.1) (при ф=0); следовательно, функция у (г) удовлетворяет вол

новому уравнению (I) и условиям непрерывности (1а) и (16). Как мы уже указывали в п. 38, этот интеграл удовлетворяет условию на ребре (IV). Выполнение условия излучения (III) следует из того факта, что этому условию удовлетворяет функция G.

Разрыв нормальной производной функции у на (5) [ср. (10.2)]:

i6№'

с электродинамической точки зрения имеет смысл поверхностного электрического тока. Действительно, рассмотрим, например, двумерный /7-случай. Тогда, согласно п. 4, у = @у, и, следовательно, в соответствии с формулами (4.1/?) получаем

(3 = Ш, ^+-о-(46.1»

Таким образом, мы имеем поверхностный электрический ток, текущий параллельно краю экрана (вдоль оси ?/); он создается падающей волной и сам создает рассеянную волну. Это наглядное истолкование дифракционных явлений было дано Пуанкаре [2]. Математическую формулировку для скалярного случая дал Рэлей [3]. Правда, Рэлей исследовал сразу более общий трехмерный акустический случай, где функция ф имеет иной, акустический смысл1).

Таким образом, трехмерная задача сводится к двумерной, которая состоит в определении функции ф. Для ее решения используем невы-

Э В теории Рэлея функция ф представляет собой нормальную компоненту скорости.—Прим. ред.

полненное пока требование (II/?) (краевое условие); тогда имеем

^ ф (г') G (г — г') dV = у0 (г), г € (5).(46.2/?)

s

Мы.получили неоднородное интегральное уравнение первого рода для функции ф.

Согласно условию на ребре (23.4), функция ф (или Уу в плоском случае) должна изменяться на краю экрана как q-^ (где q — расстояние от ребра экрана). Однако нам не нужно требовать заранее выполнения этого условия; оно обеспечивается само собой при решении уравнения (46.2/?)х).

Отметим, что уравнения (46.1/?) и (46.2/?) пригодны и для произвольных кривых экранов (5), так как и в этом случае ф имеет на (5) такой же разрыв. Метод Рэлея знаменует начало нового этапа в развитии теории дифракции, поскольку в нем вместо более или менее правдоподобных предположений о поверхностном токе (Кирхгоф) используется точное уравнение для тока.

Задача дифракции. В принципе задачу дифракции также можно решать с помощью уравнений (46.1/?) и (46.2/?). Однако экран в этом случае имеет как бы два края, а именно ребро экрана и бесконечность.

Поэтому для задачи дифракции проще избрать такую формулировку, в которой вместо бесконечного экрана (5) рассматривается отверстие конечных размеров (L). (Обозначения, используемые при рассмотрении дифракции на отверстии в плоском экране, показаны на фиг. 36 и 37.) Для плоских экранов мы достигнем этого, используя выражение (34.2), удовлетворяющее краевому условию, и учитывая формулу (26.6/?):

и(г)= ± 2 ^ ф^^^С^ — г') d? + ! . , °’.Z>°’(47.1/))

1[y0(r) —у°(А z<0;

здесь верхний знак относится к 2 > 0, нижний — к 2 < 0. Выражение (47.1/?) принимает на (5), согласно равенству (34.1), значение у = 0, т. е. удовлетворяет краевому условию (II/) на (5); на отверстии (£) выражение (47.1/) равно ф; таким образом, оно непрерывно на (Z). Итак, величина ф имеет смысл поля в отверстии [в двумерном случае функция ф представляет напряженность электрического поля в отверстии: Ф=@у на (L)]. Необходимо удовлетворить еще условию непрерывности dvldz на (£) [т. е. условию (16)] и условию на ребре (IV); последнему условию выражения вида (47.1/), вообще говоря, не удовлетворяют (ср. п. 38). Очевидно, что условие излучения (III) выполняется.

Итак, для расчета поля ф в отверстии в нашем распоряжении имеются условия (16) и (IV). Сначала из условия (16) получаем

Это соотношение гарантирует непрерывность dvldz в отверстии. Математически оно несколько сложнее, чем уравнение (46.2/): здесь дифференцирование по z не может быть проведено непосредственно под знаком интеграла, так как тогда «ядро» (d^/dzdz^G (г — г7) при г — будет иметь настолько сильную особенность, что поверхностный интеграл разойдется; поэтому мы будем называть уравнение (47.2/) псевдо- интегральным уравнением.

Эту трудность можно преодолеть различными способами. Сначала вынесем операцию дифференцирования d/dz из-под знака интеграла (заменив d/dz' на — д/dz). Тогда вместо уравнения (47.2/) получим

(А + 1) $ ф(Э£(г-Н^ = у ^^

ь(47.Зр)

(А = div grad = £ + 5) ■

Здесь было учтено, что функция ^ фбйг при г + г' удовлетворяет волновому уравнению (Д+1)... и что оператор Д действует только на координаты г; следовательно, предельный переход z —> + 0 в функции G(r — r') можно осуществить после преобразования. Теперь мы можем разбить уравнение (47.3/) на дифференциальное уравнение

(Д + 1)У(;)+^+,<УДр^

и интегральное уравнение первого рода

^ ф(г7)С(г — г7) dV = Y (г), г б (L),(47.5/)

L

правую часть которого можно определить, только решив дифференциальное уравнение (47.4/). Чтобы иметь возможность однозначно определить решение уравнения (47.4/), необходимо иметь еще граничное условие для функции Y (г). Оно должно, очевидно, вытекать из условия на ребре (IV), которое, таким образом, автоматически учитывается.

Преобразования с использованием условия на ребре. В п. 38 мы уже указывали (в дальнейшем это будет обосновано точнее), что интеграл в выражении (47.1/) приводит к недопустимой особенности на ребре, поэтому функция ф должна при приближении к краю экрана

(С) непрерывно уменьшаться до нуля. Итак, мы должны во всяком случае потребовать

Ф = 0 на (С).(47.6р)

Согласно условию на ребре (23.3/?), величина ф должна убывать как р1/2 (где р — расстояние от ребра). Так как функция у, согласно краевому условию (II/?), обращается в нуль на (5), то мы можем определить функцию ф на (5) как ф = 0 и интерпретировать тогда (47.6/?) как условие непрерывности функции ф при переходе через (С). Вместо того чтобы формулировать условия на ребре для величины У, мы можем разрешить дифференциальное уравнение (47.4/?) с точностью до произвольного решения соответствующего однородного уравнения, далее с помощью полученного решения определить функцию ф(г) из уравнения (47.5/?) и уже потом найти оставшееся неопределенным решение однородного уравнения (47.4/?) с помощью условия (47.6/?). Этим путем шли Левин и Швингер [4] в задаче о круглом отверстии и Зоммерфельд [5] в задаче •о бесконечно длинной щели1) (см. гл. IV, § 2 и 3).

Заметим еще, что в цилиндрическом электромагнитном случае величину У (г) можно рассматривать как вектор Фицджеральда; он параллелен плоскости экрана и перпендикулярен ребру экрана (ср. п. 53).

Другой метод исследования уравнения (47.3/?) состоит в преобразовании его с помощью однократного интегрирования по частям [6]. Вычислим сначала grad У (г) при 2 ^ 0 и преобразуем его с помощью теоремы Стокса для плоского куска поверхности (Z) (в символической форме):

^ V . . . do = ^§ . . . dt;(48.1)

LС

здесь § — единичный вектор в направлении внутренней' нормали к краю отверстия (С) (ср. фиг. 35); dt — элемент длины дуги края экрана. При этом получаем

grad ^ ф (rz) G (г — г') dx' = — ^ V' (фб) dx' + ^ GV^ dx = LLL

~ — ^§'ф6 dt' + ^G graded/.(48.2)

CL

Однако здесь криволинейный интеграл расходится, когда точка наблюдения г приближается к краю экрана. С целью устранения этой расходимости мы должны потребовать, чтобы функция ф на (С) обращалась в нуль. Таким образом, мы еще раз сталкиваемся с необходимостью выполнения требования (47.6/?). В результате получаем

А ^ ф(г,)С(г — T)dV= ^ (grad G(r —г') grad' ^(V^dx'.(48.3)

LL

Теперь можно совершить предельный переход >±0 (при этом второй несобственный интеграл должен быть определен как главное зна-

Э Левин и Швингер, а также Зоммерфельд не входили в рассмотрение связи с условием на ребре.

чение) и получить из (47.3/))

{ф (г') G (г — г') 4_ (grad' ф (?) grad G (г — г'))} йт' =

Уравнение (48.4/)) представляет собой интегро-дифференциальное уравнение для функции ф, к которому добавляется еще краевое условие ф — 0 (47.6/)). Итак, если при решении задачи дифракции исходить иа уравнения (48.4/)), то (47.6/)) нужно рассматривать как условие на ребре.

Наконец, можно было бы попытаться устранить условно сходящийся интеграл посредством вторичного интегрирования по частям^ т. е. путем применения теоремы Стокса (48.1) (опять положим сначала z Ф 0);

(grad' ф (г') grad G (г — г')) dr' = — ^ (V', С7'ф)йг' +

+ ^ СД'ф*'= -^^Gat'-V J GA^d?. (48.5) LСL

Здесь опять криволинейный интеграл расходится, если точка наблюдения приближается к краю экрана. Если же все-таки попытаться устранить эту особенность с помощью требования дф/ds —0, то мы придем к противоречию с условием на ребре (23.3/)), а именно, согласно условию (23.3/)), ф^р1^^ следовательно, d^/ds^ р~1/2. Далее, на краю экрана Аф^р~3/2, поэтому поверхностный интеграл в правой части уравнения (48.5) тоже расходится.

Чтобы пойти дальше, вспомним, что край экрана играет роль линии ветвления для функции ф (см. п. 22, 23 и 28).

Разобьем интегрирование по поверхности в левой части равенства (48.5) в окрестности края экрана на интегрирование в направлении, перпендикулярном краю (интегрирование по р), и интегрирование в направлении, параллельном краю. Интегрирование по q должно проводиться до точки ветвления р — 0, однако мы можем обойти точку р = О на комплексной плоскости р и заменить интеграл по р половиной интеграла по петле вокруг точки р = 0. Если интегрирование в правой части равенства (48.5) разбить таким же образом на интегрирование по р и s, то интеграл по краю экрана обратится в нуль, так как теперь путь интегрирования замкнут, и мы получим вместо уравнения (48.4/))

^(A'+i)V(?)G(^-?)d? = l^,(48.6р>

L

Этот интеграл следует понимать в указанном выше смысле (контурный интеграл вокруг линии ветвления). Уравнение (48.6/)) также является интегро-дифференциальным уравнением для ф, в которое входят вторые производные функции ф [в отличие от уравнения (48.4/)), куда входят только первые производные]. К уравнению (48.6/)) присоединяется еще краевое условие (47.6/)).

Для удобства анализа разобьем уравнение (48.6/)) на два уравнения — интегральное и дифференциальное, полагая Дф+ Ф = V.

Для К получим интегральное уравнение

(48.7/?)

L

Разрешив это уравнение, найдем ф из дифференциального уравнения

(Д + 1)фМ Г (г), ^W,(48.8/7)

с краевым условием (47.6/7)'

Ф = 0 на (С).

Итак, двумерная задача о нахождении поля ф в отверстии сведена теперь к уравнению (48.7/7) и (48.8/7). Формально они очень похожи на уравнения (47.4/7) и (47.5/7) [только там нужно было сначала решить первую краевую задачу для неоднородного волнового уравнения, а затем — неоднородное интегральное уравнение первого рода с симметричным ядром G(r— г'), а здесь наоборот]. Заметим, что решение ф уравнения (47.5/7) на краю экрана должно быть пропорционально q1/2, откуда следует, что функция V пропорциональна q—3/а [Ср. (48.8/7)].

Краевая задача для неоднородного волнового уравнения имеет однозначное решение [если исключить собственные значения области (£)]. С другой стороны, как доказал Магнус [7], решение интегрального уравнения (48.7/7) также единственно (а именно, однородное уравнение имеет только тривиальное решение У=0). Решение задачи дифракции с помощью формулы (47.1/7) особенно удобно применять в тех случаях, когда размеры отверстия (L) малы по сравнению с длиной волны. В этом случае можно разложить функцию Грина по степеням г~г\ что представляет удобный способ разложения решения по обратным степеням длины волны (см. § 6 настоящей главы; напомним, что координаты измеряются в длинах волн). Конечно, применять формулу (47.1/7) к задаче дифракции можно только в случае плоских экранов; для кривых экранов нужно рассматривать функцию Грина для поверхности (S^ + ^L).

Сложность уравнения (46.2/7) и [соответственно (47.3/7)] заключается, очевидно, в том, что оно справедливо только на экране (5) [соответственно только на (L)] и не относится ко всей плоскости z = 0. Если же распространить эти уравнения на всю плоскость, то они примут вид в случае рассеяния:

^ip(?)G(r-rW = J ?^’ .а^’(48.9/?)

sу0(г) —ф(г), г 6 (А);

в случае дифракции:

f 1 dv0 ! 1 , /А\ А / о\

А р А А А Л I 2 dz"+ 4 ^М’ Г^^)>

(Д + 1) \ <p(r')G(r-rW = ) t 9v -A (48.10p)

Уравнения (48.9/7) и (48.10/7) применимы для одной и той же задачи, если рассматривать ее и как задачу дифракции, и как задачу рассеяния и установить, кроме того, аналитическое соответствие между функциями ф(г) и ф(г). При этом, чтобы полностью решить задачу, достаточно знать одну из двух функций.

Цилиндрическая задача. Приведем в явном виде важнейшие формулы для того случая, когда д)ду~ 0 [цилиндрическая задача; г = (ж, s)]; они понадобятся нам в дальнейшем (см. гл. IV, § 1 и 2). Как мы уже говорили, только в этом случае скалярная теория непосредственно применима к электромагнитной теории дифракции. Рассмотрим плоский экран, ограниченный прямыми, параллельными оси у

Ф п г. 38. К обсуждению рассеяния Ф и г. 39. К обсуждению дифракции на плоской полосе.на щели.Ф п г. 38. К обсуждению рассеяния Ф и г. 39. К обсуждению дифракции на плоской полосе.на щели.

Ф п г. 38. К обсуждению рассеяния Ф и г. 39. К обсуждению дифракции на плоской полосе.на щели.

Ф п г. 38. К обсуждению рассеяния Ф и г. 39. К обсуждению дифракции на плоской полосе.на щели.

(полуплоскость, щель, решетку и т. п.). Пусть ($) —линия пересечения этого экрана с плоскостью жг, (L) — остальные части оси х.

Для случая рассеяния (фиг. 38) получим из (46.1 р) с помощью (8.3а)

у(т) = о0(г) —тz^°

S(49.1р)

Здесь функция ф определяется из интегрального уравнения [ср. (46.2р)] ф (У) Н™ (| х - х' |) dx* = - 4iy0 х € (S).(49.2р)

Выражение (47.1/?) для решения задачи дифракции принимает вид (фиг. 39)

Нх^^^Х^^'У^нучн^х-Ц °Z^’ (49.Зр)

z £I уо (?) " ^° Ц), 2 < О,

а уравнение (47.3/?) превращается в

(^К1) $ Ф^^ОЛ-Н)*^ -^^ir’ х^ХУ (49.4р)

Это псевдоинтегральное уравнение для ср можно разделить на дифференциальное уравнение

(49.5р)(49.5р)(49.5'/?)(49.5'/?)^--Ь14УЦ) = -21-^, x^XYdx^ 7 хdz

(49.5р)

(49.5р)

(49.5'/?)

(49.5'/?)

и интегральное уравнение

^ ф (ж') Я^ (| ж — ж' |) Ах' — У (ж), х б (L), L

причем нужно иметь еще в виду условие ф = О для краевых точек (L).

Можно также преобразовать уравнение (49.4/?) в интегро-дифференциальное уравнение

$ {фМяоД 1ж-^)-^т^#Ик--ж'!)} ^ = -2i%, х^ьу

(49.6/0

Здесь второе слагаемое интеграла следует понимать в смысле главного значения Коши, а краевое условие имеет вид ф = 0.

Избавившись от условно сходящихся интегралов, получим интегро- дифференциальное уравнение

$ (J^^WW№-X'\W'= -21^, ^(L). (49.7/9)

Краевые точки отверстия (L) здесь снова являются точками ветвления двузначной функции ф(ж); интеграл следует считать равным половине значения контурного интеграла по петле (на комплексной плоскости ж') вокруг точек ветвления. Уравнение (49.7/?) можно, как и раньше, разделить на интегральное уравнение

^V (x^H™(\x-x'\)dx'=-21%, x^Ly (49.8/>) и дифференциальное уравнение

при ф = 0 в краевых точках (L).(49.9/?)

Уравнения (48.9/?) и (48.10/?) принимают вид в случае рассеяния:

— 4^о,— 4^о,sв случае дифракции:Г—+1 к, dx»sв случае дифракции:Г—+1 к, dx»— 4Z[y0 — фМ], x^(L);— 4Z[y0 — фМ], x^(L);(49.Юр)(49.Юр)x^S),

— 4^о,

— 4^о,

s

в случае дифракции:

Г—+1 к, dx»

s

в случае дифракции:

Г—+1 к, dx»

— 4Z[y0 — фМ], x^(L);

— 4Z[y0 — фМ], x^(L);

(49.Юр)

(49.Юр)

ГГII

Г

Г

I

I

-ф^ + ФСг)], x^sy

-21%,х№.

s-случай. В s-случае будем представлять поле [ср. соответственные выражения (26.1s) и (26.6s)] в виде

в случае рассеяния:

у (г) = у0 (г) + ^ ф (г') -^у G (г — г') dt\ z^0;(50.1s)

s

в случае дифракции:

а а [0,Z>0,

у(г) = + 2 \ ф(г')С(г — г') Л'4-n (50.2s)

v г\уо(г)+уо(г), х < 0.

[Первое представление (50.1s) пригодно и для произвольных кривых экранов, если заменить х на yV; второе — только для плоских экранов.]

8 Заказ №13

Правая часть выражения (50.1s) удовлетворяет условиям (I) —(16) и (III), а правая часть выражения (50.2s) — условиям (I) и (16) —(IV). При этом выполняются соотношения

у+-^ = ф(г), г 6(G),(50.2's)

=(50.2"s)

В цилиндрическом случае (д!ду = 0), когда и — ^у) функция ф имеет смысл электрического тока, текущего перпендикулярно краю экрана: ^х" "^+ —^-)у С другой стороны, согласно (4.1s), ф ~ dv/dz — №х; следовательно, ф имеет смысл тангенциальной компоненты электрического поля в отверстии (последняя перпендикулярна краю экрана: 6У = 0). Функция ф при приближении к краю экрана должна изменяться как р-1^ [р — расстояние от края; ср. (23.36)]. Однако это условие не является дополнительным, а должно непосредственно следовать из решения задачи. Применяя краевое условие (Ils) к выражению (50.1s), получаем

•(Д + 1) J ф(?)С(^-?)*'= --^, ^(S);(50.3s)

s

сюда добавляется еще требование ф = 0 на краю экрана (5), выражающее условие на ребре (IV) [согласно которому функция ф должна убывать на ребре как qV2; ср. (23.4)].

Псевдоинтегральное уравнение (50.3s) можно преобразовывать дальше точно так же, как и уравнение (47.Зр). С другой стороны, применяя условие (1а) непрерывности поля и в отверстии к выражению (50.2s), получаем

^ ф (г') G (г — rz) dV — — -| ^о GO, ^ 6 ^L\(50.4s)

L

Из интегральных уравнений (50.3s) и (50.4s) удобно также исходить, чтобы получить разложение решения по убывающим степеням X.

Если рассматривать одну и ту же задачу и как задачу рассеяния, и как задачу дифракции, то уравнения (50.3s) и (50.4s), распространенные на всю плоскость 2 = 0, примут вид

в случае рассеяния:

„I —+t€(L),

(A + 1)U(?)G(^-?)*' = <.(50.5s)

в случае дифракции:

p A A fr6(£),

? ф (r') G(r — r') dV = -(50.6s)

LI ——^€(5).

В цилиндрическом случае представления (50.1s) и (50.2s) имеют вид в случае рассеяния:

х) (г) = у0 (г)—^ Ф to) Н^ (7?) dx', 2^0 (R — V^ — x'P + z2); (50.7s)

s

в случае дифракции:

У(г)= ^4 ^M^1) (^)^' + {°’z>0

LI М*)+^°М> ^<0.

Уравнения (50.5s) и (50.6s) принимают вид в случае рассеяния:Уравнения (50.5s) и (50.6s) принимают вид в случае рассеяния:ж€(Ь)’ (50.9s)ж€(Ь)’ (50.9s)

Уравнения (50.5s) и (50.6s) принимают вид в случае рассеяния:

Уравнения (50.5s) и (50.6s) принимают вид в случае рассеяния:

ж€(Ь)’ (50.9s)

ж€(Ь)’ (50.9s)

2^0,x£(L),I [2у0 + ф (^)], х 6(5).2^0,x£(L),I [2у0 + ф (^)], х 6(5).(50.10s)(50.10s)в случае дифракции:

2^0,x£(L),

I [2у0 + ф (^)], х 6(5).

2^0,x£(L),

I [2у0 + ф (^)], х 6(5).

(50.10s)

(50.10s)

^ ф (ж') Н(р (| х — х' |) dx' —

Векторная задача

ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод сведения трехмерной краевой задачи к двумерному интегральному уравнению (псевдоинтегральному уравнению), развитый выше для скалярной задачи, может быть распространен и на векторные задачи» Рассмотрим опять идеально проводящие бесконечно тонкие плоские экраны (5) с отверстиями (L) в плоскости 2 = 0. Пусть возбуждение возникает в области 2 < 0 в виде первичного поля @0, ^)0. Сформули

руем условья для векторов поля @, ^ (см. п. 20 и 26):

rot@ = Z^, rot^— — №,2^0,(Г)

[и, @+-@-] = 0 на (L),(Га)

[и, §+ — @-1 = 0 (что эквивалентно условию [п^] = [п^0]) на (L), (Гб) [п@] = 0 на (5) (краевое условие),(1Г)

@, ^ удовлетворяют условию излучения (18.3), (18.3а),(ПГ)

®, § удовлетворяют условиям на ребре (23.3а), (23.36);(IV')

здесь и — единичный вектор в направлении положительной оси 2t (ср. фиг. 24). Условия (Га) и (Гб), как и раньше, дополняют условия (Г) так, чтобы они распространялись и на точки отверстия (L) (требование непрерывности поля в отверстии). Условиям (Г)— (IV'), так же как и в скалярной задаче, можно частично удовлетворить, используя два различных представления, которые оказываются удобными соответственно в случае рассеяния либо в случае дифракции. В силу теоремы Бабине (см. гл. I, § 5) эти представления внутренне связаны друг с другом.

Случай рассеяния. Идеально проводящий (не обязательно плоский) экран является поверхностью разрыва тангенциальной компоненты магнитного поля. Как уже говорилось выше, следуя Пуанкаре, можно интерпретировать это так, будто первичная волна индуцирует на экране поверхностный ток 3 = [^ ^+ — ^-Ъ создающий такое рассеянное поле, 8*

которое в сумме с первичным полем удовлетворяет на экране краевому условию. Чтобы математически выразить эту идею, будем исходить из формулировки (14.1) задачи с заданным разрывом, помня при этом, что тангенциальная компонента 6 непрерывна на (£) вследствие краевого условия (1Г). Выражения

@ (г) = @0 (г) + i rot rot 3 (r') G (r — r') dV, '

г. л2^0,(51.1)

^И = ^о (r) + rot 3(r')G(r — V^dV,

s'

удовлетворяют, очевидно, условиям (Г) — (Гб) (т. е. уравнениям поля и условию непрерывности в отверстии) и условию излучения (ПГ). Применяя краевое условие (1Г), получаем уравнение

lim Гп, rotrot ^ 3(г')С(г-Г)йГ1-i[n@0], т^(8).(51.2)

Однако отсюда еще нельзя определить ток 3 00, потому что при выполнении операции rot rot под знаком интеграла предел расходится (псев- доинтегральное уравнение). Прежде чем перейти к устранению этой трудности с помощью условия на ребре (IV'), рассмотрим задачу дифракции.

Случай дифракции. В случае дифракции целесообразно снова рассмотреть поле в отверстии (L), так как по сравнению с экраном (5) в этом случае получаются более простые соотношения. Для плоских экранов задача упрощается, поскольку известен тензор Грина для полупространства. Именно, используя выражения (36Л) и учитывая краевое условие (1Г), а также представление (26.7), получаем

@(г) =@(г) =W) =W) =0 @О(Г)+@°(Г)0 @О(Г)+@°(Г)0^о(г)+^°(г)0^о(г)+^°(г)± 2 rot j £ (Г) G (г — ?) dr\ 20,ь(52.1)2i rot rot ^ £ (Г) G (г — Г) dV, 2^0, L± 2 rot j £ (Г) G (г — ?) dr\ 20,ь(52.1)2i rot rot ^ £ (Г) G (г — Г) dV, 2^0, L

@(г) =

@(г) =

W) =

W) =

0 @О(Г)+@°(Г)

0 @О(Г)+@°(Г)

0^о(г)+^°(г)

0^о(г)+^°(г)

± 2 rot j £ (Г) G (г — ?) dr\ 20,

ь(52.1)

2i rot rot ^ £ (Г) G (г — Г) dV, 2^0, L

± 2 rot j £ (Г) G (г — ?) dr\ 20,

ь(52.1)

2i rot rot ^ £ (Г) G (г — Г) dV, 2^0, L

где мы положили £ — [п®]. Вектор @ принимает в плоскости 2 = 0 краевое значение [п@] = 0 на (S) и [п@] = £ на (G), удовлетворяя, таким образом, краевому условию (1Г) и условию непрерывности (Га) [уравнения поля (Г) и условие излучения (ПГ) также, очевидно, выполнены]. Из условия (Гб) непрерывности тангенциальной компоненты § вытекает псевдоинтегральное уравнение

lim Г и, rot rot £ (г') G(r — г') dr'1 = г 6(G). (52.2) z->±0 L l J

Соотношения (51.2) и (52.2) различаются с аналитической точки зрения только тем, что они относятся к дополнительным областям. В тех случаях, когда размеры экрана (S) или отверстия (G) малы по сравнению с длиной волны, уравнения (51.2) или (52.2) могут быть использованы для разложения’ решения по убывающим степеням X (см. § 6 настоящей главы).

Соотношение [п^] = [n^ol на №, полученное в п. 26 из соображений симметрии, легко может быть выведено и из соотношений (51.1) и (52.1). Из (51.1) следует

[n^] = [n^0]+[n[v ^ 3GW J ] =[n$0]+V ^ (nS)Gdr' —(nV) ^ 3Gd?. sss

Первый интеграл обращается в нуль, поскольку (п^) — 0, второй обращается в нуль на (£) в силу (34.1).

Из второго соотношения (52.1) рассматриваемое соотношение получается непосредственно с помощью (52.2). Нормальная компонента электрического поля в отверстии (L) также получается сразу с помощью равенства (3.2а):

(n@) = -ЦЧ №1) = i (и [VO - (п@0) на (Z)(52.3)

так как @0, ^0 удовлетворяют уравнениям Максвелла (2.16).

Векторы Герца и Фицджеральда. Выражение (51.1) есть не что иное, как представление рассеянного поля с помощью вектора Герца (параллельного плоскости 2 = 0):

3s(r) = z ^ 3(r')G(r — х')*1т', z^O, (53.1) s

в обычной форме

(53.2)(53.2)@ = @0 + rotrot3s, 1

(53.2)

(53.2)

^ = ^0 — i rot 3s, J Z

С другой стороны, выражение (52.1) является представлением дифрагированного поля с помощью вектора Фицджеральда (также параллельного плоскости 2 = 0):

(53.1а)(53.1а)0,0,(53.2а)(53.2а)2 < 0.2 < 0.^в (г) = 21 ^ £ (rz) G (г — ?) dV, L

(53.1а)

(53.1а)

0,

0,

(53.2а)

(53.2а)

2 < 0.

2 < 0.

в форме

г о,® = + 1Г°1^+к+@°.

( о,

@ = т rot rot $В + L ,

Очевидно, при решении векторной задачи дифракции можно было бы исходить из выражений (53.1) и (53.2) или (53.1а) и (53.2а). В этом случае мы также пришли бы к псевдоинтегральным уравнениям (51.2) и (52.2), из которых нужно определить соответственно величины $ и В.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЯ НА РЕБРЕ

Перейдем к обсуждению уравнений (51.2) и (52.2), действуя так же, как и при преобразовании соответствующего скалярного уравнения (47.2р\ Сначала используем тождество rot rot = grad div — А и учтем

соотношение

А ^ $Gdr' = — ^ $GdV, т. е. A3s + 3s = 0, ss

вытекающее из волнового уравнения (8.2), а также тот факт, что 3S не имеет ^-компоненты. Таким образом, из (51.2) следует

[nV] div f WM)d^ ^(т^С^-^т'-Цк^ Ш8\ (53.3) ss

По сравнению с (51.2) это уравнение имеет то преимущество, что дифференцирование перед первым интегралом относится только к г (а не к z), так что можно осуществить предельный переход и—>±0. Уравнение (53.3) можно еще несколько упростить, умножая его векторно на и, разлагая двойные векторные произведения и учитывая, что вектор

^(^IG^ — r^dV не зависит от z и не имеет ^-компоненты:

s

(graddiv + 1) ^ 3(r')G(r — x^dx = z@0 (г), r€(S).(А)

s

Здесь @0 означает параллельную экрану компоненту первичного электрического поля (см. п. 3). Далее, знак Л над операторами div и grad означает, что дифференцирование по z опускается [используя наши сокращенные обозначения (см. п. 3), мы можем также написать grad div = VV].

Хотя последнее указание и излишне, потому что величина ^ 3 ОО G (г — г') dr все равно не зависит от z, однако оно позволяет s.

отчетливее показать, что в уравнении (А) мы имеем дело с двумерной задачей, и установить аналогию между уравнением (53.3) и скалярным уравнением (47.3/?).

Метод вектора Герца. Разобьем сначала уравнение (А) на дифференциальное уравнение

(graddiv + l)3s(r) = ®oM, г 6 (5),(54.1)

для вектора 3s (г), лежащего в плоскости экрана [т. е. для вектора Герца на (S)], и интегральное уравнение

§ 5 (?) G (г — ?) di' = iQs (г), г 6(5),(54.2)

S

для поверхностного тока 3 [правая часть этого уравнения определяется из дифференциального уравнения (54.1)]. К уравнению (54.1) следует добавить краевое условие, которое должно быть получено из условия на ребре (IV'). Если мы вместо параллельной экрану компоненты электрического поля @0 первичной волны введем вектор Герца Зо первичной волны (предполагая, что Зо не имеет компоненты, перпендикулярной экрану), то получим, как и прежде, выражение

®oW = — (graddiv+ 1)3о(?-(54.3)

Тогда уравнение (54.1) можно записать в форме

(grad div + 1) {Зо (г) + 3S (Г/ = °>№)■(54-4)

Применяя к уравнению (54.4) оператор rot, найдем, что вектор Во 00 +3s (г) потенциальный (см. п. 7):

3oW+8s(r) = gradO(r), rg (5).(54.5)

Учитывая (54.5), можно записать (54.4) в виде

(Д + 1)Ф(т) —О, ^(Я(54.Г)

ИЛИ

div (30 3s) + Ф = 0,

(условие Лоренца).

Итак, мы должны найти скалярный потенциал Ф из однородного волнового уравнения (54.1'), к которому необходимо добавить краевое условие, связанное, как и прежде, с условием на ребре. Затем следует определить плотность поверхностного тока с помощью интегрального уравнения (54.2), которое с учетом (54.5) принимает вид

^ 3 (У) G (г — У) dV = i grad Ф (г) — Z3o (r)> т € (Я (54.2') s

Относительно формы условия на ребре (25.1) для вектора Герца заметим, что сейчас мы рассматриваем поле на экране (где ср = 0), т. е. нас интересует поведение функции 3 ПРИ приближении к ребру только вдоль поверхности экрана. Здесь поведение 3 описывается регулярными членами.

Не обращаясь к условию на ребре для вектора Герца, можно найти решение уравнения (54.1) [или (54.1z)l сначала с неопределенными коэффициентами, которые затем должны быть найдены с помощью условия на ребре (23.4) для плотности поверхностного тока 3- Формулировки, эквивалентные уравнениям (54.1) и (54.2), были впервые даны Бете [8] (см. также [9]) и Копсоном [10] (см. также [11 — 13, 169]).

Сведение к интегро-дифференциальному уравнению. При вычислении тока 3 в векторном случае (как и в скалярном) можно идти другим путем, а именно получить сначала интегро-дифференциальное уравнение. Для этого внесем в уравнении (А) дифференцирование по г под знак интеграла и заменим его дифференцированием по г', так чтобы стало возможным интегрирование по частям. Сначала получим (я ^ 0) div J3 (?) G (г — ?) d? = - ^j (Г, 3G) dV J G (V'S) dV =

sss

= - G dt'+ ^ GdAV^dV(55.1)

cs

[здесь мы применили к первому интегралу справа теорему Стокса (48.1)]. Криволинейный интеграл опять расходится, если точка наблюдения г

приближается к краю экрана. Этого можно избежать, только если положить

(§3) = 0 на (С)(55.2)

(согласно формуле (23.4), величина (§3) на ребре, т. е. при Q—>0, должна стремиться к нулю как Q1/2]. Равенство (55.2) свидетельствует, что поверхностный ток 3 на ребре (С) не может иметь отличной от нуля нормальной компоненты; это очевидно и без доказательств. Учитывая условие (55.2) и подставляя выражение (55.1) в уравнение (А), получаем в пределе при z —>±0

j {div'3 (?). grad + 5 (г')} G (г — ?) d? = г@0 (г), г 6 (5).(55.3)

8

Это интегро-дифференциальное уравнение было получено Мауэ [6], который распространил его и на случай кривых экранов (G) [для которых тоже применимо представление поля в виде (51.1); ср. п. 77]. Первый интеграл в уравнении (55.3) сходится лишь условно; его нужно понимать в смысле главного значения (точка г должна быть исключена из области интегрирования, для чего вокруг нее проводится окружность исчезающе малого радиуса). Таким образом, при формулировке двумерной задачи для поверхностного тока 3 в форме интегро-дифференциального уравнения (55.3) мы получили необходимое условие на ребре в физически очевидной форме (55.2).

Метод Магнуса. Для устранения условно сходящегося интеграла можно провести второе интегрирование по частям. Рассматриваемый ниже метод состоит во вторичном применении теоремы Стокса (48.1) в форме

div'3 (г') grad G (г — г') dr' = — ^ V' (G div' 3)^r' + ^ ^V' div'3 dr' = 888

,= — ^^'G div'3 dt' 4- ^ G grad' div'3 dr'. (56.1)

C8

Однако при этом мы сталкиваемся с теми же трудностями, о которых говорилось в связи с уравнением (48.5): для устранения расходящегося криволинейного интеграла (в случае, когда точка наблюдения расположена на краю экрана) потребовалось бы дополнительное условие div 3 = 0, которое противоречит условию на ребре (23.4). Согласно этому условию div3 ^ Q~1/2 и, далее, grad div 3 ~ Q~3/2, откуда следует, что поверхностный интеграл в правой части формулы (56.1) (при интегрировании по вещественному пути) расходится. Это обстоятельство опять можно устранить, если заменить интегрирование в направлении, перпендикулярном краю экрана (интегрирование по р), комплексным интегралом по петле, охватывающей точку р = 0. (Могущие воспрепятствовать такой замене регулярные члены разложения функции поверхностного тока 3 в окрестности точки q = 0 отсутствуют, поскольку 3 определяется как разность тангенциальных компонент магнитного поля на обеих сторонах экрана, а, следовательно, возможные регулярные члены ^ взаимно уничтожаются.) Тогда при интегрировании по частям

криволинейный интеграл обратится в нуль и мы получим интегро-дифференциальное уравнение Магнуса [7]х)

(grad'div'+1) $ (г^ G (г ~ rQ dr'= г^ г С (5).(56.2)

8

Разобьем уравнение (56.2), следуя Магнусу, на чисто интегральное и дифференциальное уравнения, для чего введем вектор

$ (г) = 3 + grad div 3,$ (г) = 3 + grad div 3,(56.3)(56.3)

$ (г) = 3 + grad div 3,

$ (г) = 3 + grad div 3,

(56.3)

(56.3)

лежащий в плоскости 2 = 0, и определим его так, чтобы выполнялось соотношение

J^(5).(56.4)

8

(56.5)(56.5)Если решить это интегральное уравнение для 83, то поверхностный ток 3 определится из уравнения (56.3) с точностью до градиента (grad) поверхностного заряда т]=—t'div^ (ср* п. 3). Поверхностный заряд находится из дифференциального уравнения

(56.5)

(56.5)

(А + 1)ц(г) = — г div 83, г £ (5), с краевым условием

на (С).

Уравнение (56.5) получаем, образовав дивергенцию divS:

(V83)=V2(V3) + (V3),

а нормальная компонента 83 равна [см. (55.2)]

(^)Н^)(7$Ш^)-(56.6)

Формально сведение трехмерной задачи (Г) —(IV') к двумерной задаче (56.4) и (56.5) осуществляется весьма просто, однако мы должны указать здесь на следующую трудность. Как уже отмечалось выше, величина (§83), согласно условию на ребре (23.4), должна при приближении к ребру возрастать как q~3/2 [интегрирование по q в (56.4) должно пониматься в смысле комплексного интеграла по петле]. Таким образом, краевое условие для ц [вторая строка в (56.5)] не имеет смысла. Поэтому следует сначала удовлетворить краевому условию dp/ds = — i (§83) на некоторой кривой (Со), расположенной внутри (S), а затем уже произвести предельный переход (Со)—>(С).

!) Магнус рассматривал, правда, только вещественный путь интегрирования и накладывал наряду с условием (55.2) краевое условие div 3 = 0. Однако тем самым было предписано определенное поведение на ребре поверхностного заряда Ц = —г div 3 (что противоречит условию на ребре). Поэтому Магнус оказался вынужденным допустить особенность т] в некоторой внутренней точке экрана, что бессмысленно с физической точки зрения.

Рассмотрим теперь вкратце псевдоинтегральное уравнение (52.2) для плотности «магнитного поверхностного тока» £ ~ [пй]*) и запишем его сначала аналогично уравнению (А) в форме

(grad div+ 1)^ S(r')G(r — г') cZr'=у §0 (г),г€(£).(В)

L

Оно распадается на дифференциальное уравнение

(graddiv + l)$B(r) = ^0(r),r€(L),(56.7)

и интегральное уравнение

£ (г') G (г — г') dt' = у фв (г), г 6 (В).(56.8)

С другой стороны, уравнение (В) можно преобразовать в интегро-дифференциальное уравнение

{div'S (г')-grad+ 2 (r')}G(r — ?) dV = ^ ^0№> ^€ (Ь),(56.9)

L

с дополнительным условием

(§2) = 0 на (С),(56.10)

причем несобственный интеграл определяется как главное значение. Согласно условию (23.3а), величина (§£)——(№;) [t — единичный касательный вектор к граничной кривой (G); см. п. 21 и фиг. 12] прир—>0 опять должна стремиться к нулю как р1/2.

Наконец, можно снова определить интегрирование в направлении, перпендикулярном краю, как комплексный интеграл по петле; тогда после вторичного интегрирования по частям, нужного для обеспечения сходимости интеграла, получаем

(grad'div'4-1) 2 (r') G ( г — г') dr'—-^-^0 (^), т Е (L).(56.2а)

L

Это интегро-дифференциальное уравнение для 2 опять можно разбить на интегральное уравнение

^ 58 (г') G (г — г') dx -^- §о М, X € (£),(56.4а)

L

для вектора

58 (г) = 2— Zgradp, где r] = £div2,(56.3а)

и дифференциальное уравнение для «плотности магнитного заряда» т]

(А +1) г] (г) = г div 58, гЕ(^Х(56.5а)

!) Такое название оправдывается тем обстоятельством, что тангенциальная компонента электрического поля для дифракционного члена в выражении (52.1) при переходе через плоскость отверстия претерпевает разрыв £.

с краевым условием

% = W на (С).

Таким образом, сведение к двумерной задаче осуществлено и в случае дифракции [при этом следует иметь в виду сделанное выше замечание по поводу краевого условия (56.5)].,

Соотношения на ребре. Первоначальный смысл условия на ребре, обеспечивающего единственность решения для трехмерной задачи (см. п. 21), заключался в исключении возможного излучения энергии самим ребром. Этот же смысл, но теперь более замаскированный, сохраняется и при сведении трехмерной задачи к двумерной. Здесь мы встречаемся с условием на ребре в виде

mm - а, те.)-о на (С).

Это равенство справедливо, если мы приближаемся к ребру в плоскости 2 — 0, двигаясь вдоль экрана. Кроме того, здесь в силу краевого условия (1Г) имеем [п@] = (п^) — 0. С другой стороны, компоненты (§, ^+ — @_) = (t3) и (п, @+ — @Д = т] = — г div 3 при приближении к ребру, согласно (23.36), изменяются как q~V2 (поведение величины ц на краю экрана известно из электростатики). При вышеизложенной формулировке теории дифракции нет необходимости в дополнительных условиях, ограничивающих эту особенность; при решении она автоматически получается нужного порядка величиных), так как задача в данной формулировке имеет уже единственное решение.

Если же приближаться к ребру со стороны отверстия (в плоскости я = 0), то нам достаточно использовать только условие на ребре вида

(§8) = — (t@) = 0 на (С).

Остальные компоненты поля в окрестности ребра будут автоматически иметь нужный порядок величины.

Упомянем еще соотношение ц = г div 2 = (п§) [ср. (3.26)], которое является непосредственным следствием уравнения Максвелла. Чтобы продемонстрировать замкнутость излагаемого метода, убедимся попутно в том, что предыдущее соотношение вытекает непосредственно из второго равенства (52.1). Для этого из равенства [п, 60 + ®°] — 0 с помощью формулы (3.26) получим (п, ©о+^°) = О- Далее из выражений (52.1) вытекает

(п£)=+2г(п [V [V J SGd? ] ]) =

L

= ^2г (v [n [V J £Gd? ] ])= ±2i{(nV)(v ^ SCd?')-LL

.-V2(n 8Gd?)}.

,L‘

Последний интеграл здесь равен нулю вследствие условия (nS) = 0,

Ч Имеется в виду, что не требуется, например, заранее задавать значение величины а в разложении вида т] — а2~1//2-|-... . —Прим, ред-

в то время как величину V j SG dx' с помощью теоремы Стокса (48.1) L

и требования (§£) —О можно преобразовать в ^ G div' SdV. Таким об- L

разом, с помощью формулы (34.1) получйм доказываемое равенство

lim (п^) = ± 2^ lim (nV) div' £ (г') G (г — г') dV = I ^v ^ (r)’ г ^’2_±0z->±o а(0, T^S\

Если приближаться к краю со стороны отверстия, то (t®)—>0. Кроме того, известны также компоненты [п^] и (пй), которые принимают, согласно п. 26, соответственно значения [п§0] и (п@0)- Компоненты (§@)=z(t£) и р = (n©) = i div £ снова изменяются как q-1^ [ср. соотношения (23.36); первое соответствует «эффекту острия» в электростатике], однако налагать заранее специальные ограничения на эту особенность не требуется (см. выше).

Компонента (§©) при приближении к ребру со стороны экрана обращается в нуль (в силу краевого условия она обращается в нуль всюду на экране); следовательно (как уже упоминалось в п. 23), она является разрывной при переходе через ребро в плоскости 2 = 0 (с бесконечным разрывом). Аналогичное утверждение справедливо и для компонент (£^), (пй) и (п^). Наоборот, компоненты (t®) и (t@) при переходе через ребро остаются непрерывными.

ДОПОЛНЕНИЯ

Электродинамические потенциалы. Для систематичности изложения стоит еще упомянуть, что, используя уравнения (А + 1) 3s "0 и (А+ 1)2)^ = 0, можно записать (53.2) и (53.2а) в виде

@ = @o + i®s —gradФs, 1.

~, 4М} z^O,(58.1)

где

«s (г) = - iBs (г) = - J 3 4') G (r - ?) ^?,

s

Фз (r) = — div3s = i ^ div'3 (?) G (r — r') dV =(58.2)

s

= ц (r')^ (x — T^dV, div 2ls — ^Фв — 0,

s

и соответственно

[02>0,

@=±rot2ls-Hj @о + @о>z<0.(58.1a)

§ = +i^B±grad Фд +

0

&+^0,

z > 0,

z < 0,

где

яв(г)= -г?)в(г) = 2 ^ £ (?)G (г-?)*', z ^0,

L

Фв (г) = — div ^в = — 2i ^ div '£ (?) G (г — г') dr' =(58.2а)

= — 2 ^ ц (?) G (г — f) dV, div Мв — ^Фв = 0. L

Это обычная форма записи с помощью векторного и скалярного потенциалов. Отметим, что сюда не входят криволинейные интегралы, которые означали бы наличие линейного распределения электрических зарядов вдоль края (С) экрана (S) [или магнитных зарядов вдоль края отверстия (L)]. Это является следствием условия (55.2) [или соответственно (56.10)], т. е. следствием условий на ребре.

Укажем еще на одну взаимосвязь. Применим формулу (12.6а) к замкнутой поверхности, состоящей из бесконечно большой сферы и поверхности, тесно прилегающей с обеих сторон к произвольному кривому идеально проводящему экрану (5). Обозначив разрыв тангенциальной компоненты магнитного поля и нормальной компоненты электрического поля через [и, ^+ — § J = 3 и (и, ^ — ©J^t], получим

® (г) = ©о (г) + i ^ 3 (?) G (г — rz) dr' — grad ^ ц (rz) G (г — ?) d Vss

в соответствии с выражениями (58.1) и (58.2). Действительно, если возбуждение приходит из бесконечности (плоская волна), то интеграл по сфере дает вследствие условия излучения (см. п. 18) первичную волну ®0. Если же возбуждение представляет сферическую волну, то ее источник следует исключить из области интегрирования с помощью малой сферы, которая снова вносит в интеграл вклад ®0. Учитывая еще общее соотношение (3.3а): (и, ®+— ®_) = р =—i div 3, получаем

@ (г) = ®0 + ^ ^ {3 (?) G (г — ?) + div'3 (?) grad G (г — г')} dV.

Краевое условие [и®] — 0 приводит тогда непосредственно к интегро- дифференциальному уравнению

[и, 3(?)^(r- ?) + div'3 (г') grad G (г — x^\dV = П^®оЬ r£(S), s

(58.3) которое для плоских экранов в точности совпадает с условием (А). Однако определяемая через 3 функция @ (см. выше) вместе с функцией

@ (г) = @0 + rot ^ 3 (?) G (г — ?) dVs

удовлетворяет уравнениям Максвелла в том и только том случае, когда (§3)^0 вдоль края (С) экрана (А).

Теорема Бабине. В заключение рассмотрим задачу рассеяния волны ®0, ^0 на плоском экране (А) с отверстиями (L), к которой мы

применим формулы (51.1) и (51.2); наряду с ней рассмотрим задачу дифракции волны @0 — — ^0> ^0 = g0 На дополнительном экране (Z) с отверстиями (5) с помощью формул (52.1) и (52.2). Обозначим через ^s\ $№ решение первой задачи, через ^L\ Sq^ решение второй; тогда, сравнивая оба представления, непосредственно получаем (вследствие их однозначности) соотношение ^ — 22, откуда

z > 0, 2 < 0; z > 0, z < 0.z > 0, 2 < 0; z > 0, z < 0.(59.1)(59.1)

z > 0, 2 < 0; z > 0, z < 0.

z > 0, 2 < 0; z > 0, z < 0.

(59.1)

(59.1)

Это —теорема Бабине, которую мы уже получили в п. 27 из общих соображений симметрии [ср. (27.8)].

§ 2. СВЕДЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ К ПАРНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМУРАВНЕНИЯМ ДЛЯ ПОЛЯ В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ (ПЛОСКИЕ ЭКРАНЫ,МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ)

Метод, развитый в § 1, можно охарактеризовать как использование разложения решения нашей краевой задачи по сферическим волнам (в трехмерном случае) или по цилиндрическим волнам (в двумерном случае), исходящим из точек отверстия (в случае дифракции) или экрана (в случае рассеяния). Коэффициенты разложения имеют смысл значений поля в отверстии или поверхностного тока на экране.

С другой стороны, можно разложить решение по плоским волнам. Получающиеся при этом коэффициенты Фурье также имеют наглядный физический смысл — они описывают зависимость поля в зоне Фраунгофера от угла дифракции (диаграмму излучения).

При изложении этого метода мы ограничимся в скалярном случае двумерными задачами, а распространение на трехмерный случай проведем в рамках векторной теории.

а. Скалярная теория

Вывод интегрального уравнения для амплитуд Фурье. Будем исходить из разложения Фурье цилиндрической волны [14]

Шр^Ну^СД ехр{1[(я —^a+|z —z'Щ1—а2]}у=|^ .(60.1)

Точки ветвления! +1 и — 1 обходятся по малым полукругам соответственно в нижней или верхней полуплоскости а, как показано на фиг. 40; корень ]/1 — а2 при |а|<1 следует считать положительным. Обращаясь сначала к p-случаю, запишем представления поля (49.1р) и (49.Зр) с помощью формулы (60.1) в следующем виде

в случае рассеяния:

и (х) = у0 (г) —А- Г тЯ^Г ехР [i (аж + /1 - а21 z |)] da, z 0;(60.2/?)

в случае дифракции:

! ? -- f 0, z > О,

и а=2 ф ^ ехр tz ^х+у 1 - «21 z di ^ + |Уо (r) _ у0 w> z < 0>

(бО.Зр) где

V (а) = ^ 'Ф (^) e~te dx,(60.4р)

s

ср (а) = ^ ф (ж) е-^36 dx(60.5р)

L

— амплитуды Фурье, к определению которых и сводится теперь задача. Величина ф W имеет (с точки зрения электродинамики; см. п. 46 и 47)

t

Плоскость а I

( i i

I

Фиг. 40. Контур интегрирования приразложении функций Ханкеля в интегралФурье.

смысл трансформанты Фурье для поверхностного тока на экране, а Ф (а) — смысл трансформанты для поля у в отверстии. Для вычисления этих величин имеем уравнения (49.Юр), которые можно переписать с помощью формулы (60.1) в виде

в случае рассеяния:

(60.6р)(60.6р)ф (а), J -4л/у0,x^(S),

(60.6р)

(60.6р)

у 1 —а2[ — 4ш [у0 — <р (ж)], ж 6 Ц);

в случае дифракции:

^ ]/1 — а2 <р (a) eiax da =^ ]/1 — а2 <р (a) eiax da =— ni [2 -^- + Ф(ж)] ,-2га4гАOZ— ni [2 -^- + Ф(ж)] ,-2га4гАOZЖ € (5),(60.7^)x^XYЖ € (5),(60.7^)x^XY

^ ]/1 — а2 <р (a) eiax da =

^ ]/1 — а2 <р (a) eiax da =

— ni [2 -^- + Ф(ж)] ,

-2га4гА

OZ

— ni [2 -^- + Ф(ж)] ,

-2га4гА

OZ

Ж € (5),

(60.7^)

x^XY

Ж € (5),

(60.7^)

x^XY

Из (60.4/?) и (60.6/?) следует система совместных интегральных урав-

нений для функции ф (а) в случае рассеяния:

ф (a) eiax da — 0, х g (L),

Ю’(60.8/?)

elax da = — 4niy0, х g (5),

а для функции ф(а) в случае дифракции из (60.5/?) и (60.7/?) получается

ср (а) da — 0, х g (5),

-(60.9/?)

^ ]/1 — а2 ф (а) ^ах da = — 2ш -^-, x^(L).

Каждое из интегральных уравнений систем (60.8/?) и (60.9/?) относится только к одной из дополнительных частей (5) или (L) оси х; они называются обычно парными интегральными уравнениями [15, 16]. Их можно получить также непосредственно, используя для решения задачи дифракции представление Фурье (60.2/?), (60.3/?) и потребовав непрерывности dy/dz на (Л) и равенства у нулю на (5). Этим путем шли Букер и Клеммов [17, 18], а также Хёнл [19].

Связь между задачами рассеяния и дифракции. Условие на ребре. Оба представления Фурье (60.2/?) и (60.3/?) и вытекающие из них интегральные уравнения являются в отличие от представлений (49.1/?) и (49.3/?) (которые относятся к дополнительным областям интегрирования) почти идентичными, поэтому между функциями ф и ф должна существовать простая связь. Ее легко получить посредством преобразования Фурье выражений (60.6/?) и (60.7/?) (черта сверху означает всюду в дальнейшем переход к трансформанте Фурье):

^^=^^2г yoe-iax dx — 2г ф (ж) dx = 2г (г?0-“ф) (61.1/?) и соответственно

1/1 — П2 ф = — £ \ е-гах ДхL_ С ф М е-гах Дх — j ^01 ф,

rтJ dz2 J т2 т

— СО8

■(61.2^)

Оба эти уравнения идентичны; действительно,

^-=iVT=X?u0,(61.3)

так как у0 является решением волнового уравнения. Искомая зависимость имеет вид

(61.4/?)(61.4/?)ф (а) = — 2г ]/1 —- а2 [у0 ^ " Ф (а)1-

(61.4/?)

(61.4/?)

Формула (61.4/?), связывающая трансформанты Фурье для поля в отверстии и для поверхностного тока, приводит к простым аналитическим соотношениям, выявляющим различие между задачами рассеяния и дифракции. Именно, в том случае, когда у0 представляет плоскую волну, трансформанта ^0 имеет 6-образный характер; таким образом, согласно (61.4/?), либо ф, либо ср также имеет 6-образную особенность. Но в случае рассеяния ф, а в случае дифракции ф не имеют особенно" стей (в то время как ф в случае рассеяния и ф в случае дифракции имеют 6-образные особенности).

Далее, выражение (61.1/?) с произвольной функцией ф (^) представляет общее решение второго (неоднородного) интегрального уравнения (60.8/?), а выражение (61.2/?) с произвольной функцией ф (х) представляет собой общее решение второго интегрального уравнения (60.9/?). Подставив эти решения в соответствующие однородные интегральные уравнения, мы снова придем к интегральным уравнениям Рэлея (49.4/?) и соответственно (49.2/?). Точно так же мы придем к этим уравнениям, если будем рассматривать выражения (60.4/?) и (60.5/?) соответственно как общие решения первых (однородных) интегральных уравнений (60.8/?) и (60.9/?) и подставим их в неоднородные уравнения. Действительно, тогда можно провести интегрирование по а (после изменения порядка интегрирования); оно дает в точности «ядро Ханкеля» Н^(\х —-ж'|) или соответственно {d^jdx2 +1) Н^ (| х — х' |) [20].

Однако трудность решения системы (60.8/?) [или (60.9/?)] состоит как раз в том, что оба интегральных уравнения для ф [или ф] должны удовлетворяться одновременно. При выводе уравнений (60.8/?) и (60.9/?) краевое условие явно не учитывается; поэтому сразу возникает вопрос, единственные ли решения имеют эти системы интегральных уравнений. Неявно мы, конечно, сделали некоторые ограничивающие предположения относительно поведения функций ф и ф при а—>оэ, чтобы обеспечить сходимость соответствующих интегралов и оправдать возможность проведенного изменения порядка интегрирования, законность которого мы молчаливо предполагали. Поведение амплитуд Фурье ф и ф при | а |—>со определяет характер возможных особенностей величин ф и ф. Но в п. 46 и 48 мы видели, что функция ф при приближении к краю экрана (при Q—>0) должна возрастать как q—V2, а функция ф —убывать как р1^. Особенности порядка р-1^ при р—^0 соответствует убывание трансформанты Фурье ф пропорционально а-1^ при |а| —> оо, в то время как функция ф в соответствии с соотношением (61.4/?) должна убывать как а~3/2. Хёнл и Мауэ [21] доказали, что однородные системы интегральных уравнений, соответствующие системам (60.8/?) и (60.9/?), не имеют решений, не удовлетворяющих условию на ребре. Таким образом они показали, что на функции ф и ф не нужно налагать никаких ограничивающих условий. Тем самым была косвенно доказана единственность решений неоднородных систем, так как рассматриваемая нами задача имеет единственное решение, удовлетворяющее условию на ребре.

Связь между амплитудой Фурье и характеристикой излучения. Чтобы физически наглядно представить смысл величин ф и ф, возьмем точку наблюдения очень далеко от экрана (отверстия) и поместим начало координат на (5) [соответственно на (£)]. Всегда будут иметься 9 Заказ № 13

такие точки, координаты которых велики как по сравнению с размерами экрана (или отверстия), так и по сравнению с длиной волны (дальняя зона). Рассмотрим сначала еще раз представление рассеянного (или соответственно дифрагированного) поля с помощью цилиндрических волн, испускаемых экраном (или отверстием). Величину R = [(х -»2 + + z2]1^ в дальней зоне можно разложить в ряд

R = г — a/sin $ + . . ., ”<1, (62.1)

где г, й — полярные координаты точки наблюдения (причем О представляет собой угол дифракции, отсчитываемый от положительной оси z; см. фиг. 38 и 39). В силу предположения г > 1 для цилиндрических волн (функций Ханкеля) Н^ (/?) можно использовать аппроксимацию Ханкеля

(62.2)

4- Н« (Д) —> i VА AL cos ^е-^ш».

dz 0 х 7 V т уг

Подставив эти выражения в представления поля (49.1/?) и (49.3/?), получим в случае рассеяния:

и (г) —» Уд (г)и (г) —» Уд (г)ie^r Рie^r Рz 0, r—> со; (62.3/?)z 0, r—> со; (62.3/?)

и (г) —» Уд (г)

и (г) —» Уд (г)

ie^r Р

ie^r Р

z 0, r—> со; (62.3/?)

z 0, r—> со; (62.3/?)

в случае дифракции:

У (г) —> + --L^-- COS Ф \ ф (» e-^'sin^ Д^

++- у 2л/ У гJ

+

+

(62.4^)(62.4^)0, z>OJ* г —

(62.4^)

(62.4^)

у0 (г) — у0 (г), 2 < 0,]

Эти выражения имеют вид расходящихся волн, удовлетворяющих условию излучения (17.3а). Запишем их следующим образом:

в случае рассеяния:

у(г)—>у0(г)4-Лр(й)4^-, z§0, гсо;(62.3»

в случае дифракции:

егт [0Z > 0,1

у(г)^±Ур(А)4^+_Jr->OD, (62.4»

/ Г (Уо (г) — У0 (г), z < 0J’ v

(62.5/))(62.6/>)(62.5/))(62.6/>)где в случае рассеяния:

(62.5/))

(62.6/>)

(62.5/))

(62.6/>)

Лр(й) —ф (xf) e~ix'ain^ dx; 2 у 2к1

ф (ж') e-M'sin» Дх' ,ф (ж') e-M'sin» Дх' ,в случае дифракции:

ф (ж') e-M'sin» Дх' ,

ф (ж') e-M'sin» Дх' ,

Bp W = -7=г cos 1»

2Лг

Величины Лр(й) и Вр(й) описывают угловое распределение поля в дальней зоне (дифракционное поле Фраунгофера).

Сравнивая распределения (62.5/?) и (62.6/?) с определениями трансформант Фурье (60.4/?) и (60.5/?), получаем

в случае рассеяния:

—9Ф(8Ш^);' (62.7р)

2L У 2зт i

в случае дифракции:

Вр^ = -7^=-созйф(зтй).(62.8/?)

у 2та‘

Итак, величины ф(эшй) и ср (sin й) соответствуют (при |а[<1) дифракционному полю Фраунгофера. Следовательно, характеристика излучения в дальней зоне определяется трансформантой Фурье от поверхностного тока (или соответственно от поля в отверстии). Это важное соответствие можно получить и непосредственно из представления поля в виде интеграла Фурье (60.2/?) и (60.3/?), применив для вычисления интеграла в дальней зоне метод перевала. Здесь лучше всего ввести полярные координаты ^ = г8шй, з = гсо8Й, а = sinx, ]/1 — а2 = cos %; тогда показатели экспонент в выражениях (60.2/?) и (60.3/?) примут вид ±ir cos (й^х) (z^0, й^л/2). Точкой перевала является точка х~ = ± й (mod л, | X | < л/2). Медленно меняющиеся множители ф и ф можно вынести из-под знака интеграла, причем следует считать а = = sin й и ]/ 1 — а2 = + cos й. Этот метод, очевидно, применим лишь в тех случаях, когда вблизи точки перевала нет полюсов множителей ф или ф [18]. Эти полюсы представляют, вообще говоря, отраженную (в смысле геометрической оптики) волну. Если ее учесть с самого начала в исходном представлении поля (ср. различие в представлении поля для задач рассеяния и дифракции), то полюсов не появится (правда, при дифракции на полуплоскости нельзя избавиться от полюса ни у функции ф, ни у ф, так как этот случай является промежуточным между случаями дифракции и рассеяния; см. п. 115).

Выражения (62.3/?) и (62.4/?) согласуются с обычными представлениями о том, что дифракционное поле Фраунгофера является суперпозицией плоских волн, испускаемых в направлении й отдельными точками экрана (или соответственно отверстия)).

С другой стороны, следует указать на то, что ф и ф при [а| > 1 имеют смысл амплитуд неоднородных плоских волн, затухающих с ростом |z|. Это непосредственно вытекает из выражений (60.2/?) и (60.3/?), потому что при | а | > 1 множитель с | z | в скобках в показателе экспоненты становится положительно мнимым. Впрочем, такие неоднородные плоские волны появляются и при разложении цилиндрической волны (60.1) в интеграл Фурье, поэтому не следует думать, что они играют роль поверхностных волн, распространяющихся вдоль экрана.

Сведение интегральных уравнений к алгебраической задаче» Парные интегральные уравнения (60.8/?) и (60.9/?) до сих пор удалось решить в замкнутой форме только в случае полуплоскости (см. п. 115)»

(63.1)(63.1)Поэтому в общем случае приходится искать приближенные методы. Напрашивается следующий метод [16, 23]. Рассмотрим для примера случай рассеяния (60.8/?) и построим ортонормированную систему функций фv (а) в форме

(63.1)

(63.1)

фv (а) = фv (ж) e™iax dx.s

По существу это выражение является представлением функций ф¥ (а) в виде интеграла Фурье по ограниченной области (5) (экран). В качестве ф¥ (ж) можно выбрать произвольную систему функций, ортогональную на (5); ее всегда можно построить с помощью метода ортогонализации Шмидта (см. [24]). Тогда получим (при соответствующей нормировке)

^v (а) Фв (а) ^ — 2л

^v(^) ФцМ ^^ 6vn:

(63.2)

где фц означает величину, комплексно сопряженную с ф^; функции фv (re) мы предполагаем вещественными. Разложим функции eixa и и^х, 0) в области (S):

егха 2д ^ ф^ (и) Фv М, v=0

— 4л^у0(ж, 0)= 2 cvфv(ж)

V—О

и представим ф(п) в виде

ф (а) = 2 a^v (а). v=C

на (S)

(63.3)

(63.4)

Каждый член выражения (63.4) удовлетворяет первому интегральному уравнению (60.8р), так как в равенстве (Е3.1) интегрирование ведется только по области (5). Подставляя (63.4) во второе уравнение (60.8/?) и учитывая разложения (63.3), получаем .

2 2 ^£\’р,ф|1 (^)2 СрФр (^Ь

V—0 ц=0Ц=0

(63.5)

где

00 —~*

CV|1 = 2n ( M^^-da.

(63.6)

Сравнивая коэффициенты при фу(ж) в обеих частях равенства (63.5), получаем бесконечную систему линейных уравнений для коэффициентов разложения av.

У ^С%-ц = сц, ц = 0, 1, 2, ....(63.7)

V—0

С ее помощью мы получим решение парных интегральных уравнений (60.8/?) в форме (63.4) и одновременно решение интегрального уравнения

(63.8)(63.8)Рэлея (49.2р), сведенного к (60.4р\ в виде

(63.8)

(63.8)

Ф (^) = S M^V (^).v=0

В общем случае решение системы (63.7) можно провести лишь приближенно, обрывая ее на v = р = N и вычисляя из полученной таким образом конечной системы первые Лт коэффициентов а^. В п. 107 мы еще вернемся к этому вопросу и к примыкающим сюда вопросам единственности и сходимости. Выбор системы функций фу (а) и соответственно фу (.г) в (63.1) обсуждается также в п. 95. Решение уравнений (60.9/) проводится по такой же схеме, только в этом случае нужно потребовать для функций фу (ж) [ортогональных в области (Л)] выполнения краевого условия фу = 0 на концах (L) (ср. п. 49 и 120).

Преобразование интегральных уравнений для амплитуды поля в дальней зоне. Развитый выше метод решения можно рассматривать и как метод Ритца решения некоторой вариационной задачи (см. п. 107).

Рассмотрим теперь еще один метод определения амплитуд Фурье ф и ф, а именно итерационный метод [23, 25]. С этой целью несколько иным образом применим преобразование Фурье к интегральному уравнению Рэлея, полученному в п. 49. Сначала заметим, что величины ф (поверхностный ток) и ф (поле в отверстии) определены соответственно лишь в области (5) или (L). Мы утверждаем, что вне этих областей они равны нулю, что отражено уже в уравнениях (60.4/) и (60.5/). Это обстоятельство можно учесть, введя разделяющие операторы

[ 1,e'w“| О, l№V<6«>

и

[ 0, х б (Л),к (ж) = 1 - 6L (ж) =(64.1а)

Тогда получим соответствие

0ьф = 0 —> 05ф = ф,0S ф = 0 ■—> 0ьф = ф.(64.2)

Теперь соотношения (49.10/?), относящиеся к плоскости z = 0, можно написать в более простой форме

ф ^х^ Н^ (| х — х |) Ах' = — 41 [у0 — ф (х)],

”(64.3^)

(^+1)Нж'= —I [.2^+ф(ж)] ,

где первое соотношение относится к случаю рассеяния, второе — к случаю дифракции. Вследствие «условий дополнительности» (64.2) эти соотношения справедливы для всей области — оо<ж<оо. Преимущество этого способа записи состоит в том, что теперь интегралы в левых частях уравнений суть интегралы типа свертки (в смысле преобразований

Фурье). Применяя обычное обозначение для свертки

Цх'^ g <х-~ х) dx' = f*g = g*L(64.4)

можно записать (64.3/?) в виде

ф*Я = —4f(^0 — ф),

(£ + 1)(2 ^т») ,(64.5,)

где'

Н^-Н^ЧИ).(64.6)

Будем исходить, как и прежде, из преобразования Фурье в форме 7(а)^ ^ / (ж) e~iax dx,

,(64.7)

j (^) — — \ у (а) eiax da

и используем следующие правила, непосредственно вытекающие из определения (64.4):

где(64.7а)

^ = 2F $ 7 (a') g (a-a') da'.

Воспользуемся равенством

^a)=F=r’<64-8)

вытекающим из (60.1), а также общим правилом

которое справедливо при условии, что / и д]/дх обращаются в нуль при х—> ± со, и применим к уравнениям (64.5/?) преобразование Фурье. При этом мы непосредственно снова получим уравнения (61.1р) и (61.2/?) соответственно, а значит, и интегральные уравнения (60.6/?) и (60.7/?) для трансформант Фурье ф (а) и ф (а).

Однако, чтобы подойти к вопросу с иной точки зрения, умножим уравнения (64.5/?) соответственно на 0g и 0ь- Тогда, учитывая соотношения (64.2), получаем

05(ф*Я) = ф°,■

(64.10/?)

0ч£+1)(ф*я)=4ф0’

где

ip° = — 4i6syo. ф°=—V^^‘■(64.10»

Применяя преобразование Фурье (теорему свертки) и учитывая правила (64.7а) и «условия дополнительности» (64.2), получаем в случае рассеяния

©ь*(Я гр) = гр°,•

(64.11/?) 0s*ip = гр

и соответственно в случае дифракции [учитывая (64.8) и (64.9)] ©ь*(Н1(^) = ф°,

,(64.12/?)

©ь*ф = ф-

Таким образом, мы получили для гр (и соответственно для ф) два совместных интегральных уравнения типа свертки, эквивалентных парным интегральным уравнениям (60.8/?) [или соответственно уравнениям (60.9/?)]. Записывая уравнения (64.11/?) и (64.12/?) подробно с помощью формул (64.7а) и (64.8), получаем

в случае рассеяния:

— ( J ™ 0s (а — а') da = гр° (а),

°°.(64.11»

—1 г — , —

Ф(а)-^Г \ ^(а ) ®s(a~ а)

в случае дифракции:

А- ^ »а»/1-а'2 ОДа-а'^а^фДа),

(64.12»

V^^-TS" ^ ф(а')^(а — а') da'.

Уравнения (64.11'/?) и (64.12'/?) можно получить и непосредственно из уравнений (60.8/?) и (60.9/?), умножая их на ехр(—1ха') и интегрируя (по ж) по области (L) или (S), в которой справедливо соответствующее уравнение ^

Для функций 0S (а) и ©и (а), входящих в уравнения (64Л1/?) и (64.12/?), выполняются соотношения [(5) и (Z) суть дополнительные области]:

0S*0L — 0,0S + 0L = 1 = 2л6 (а),

_ __ L __k h(64.13)

©8*©S = ©S?©L *©L ~ ©L i

которые получаются непосредственно, если подвергнуть преобразованию Фурье очевидные равенства

©S0L=O, ©s + ©l"-=1, 0S0S = ©S, 0L0L=0r.

Следовательно, в случае рассеяния 0^ имеет 6-образный характер, в то время как в случае дифракции это справедливо для функции 0S. Подставляя второе из уравнений (64.Ир) [или соответственно (64.12р)] в первое, получаем для ф (или соответственно для ср) одно интегральное уравнение

(0в*ф) = ф° (рассеяние),

_(64Л4р)

©L *Я 1 (0L *ф) = ф° (дифракция).

Эти интегральные уравнения можно с помощью «повторных ядер»

к,0, (« - с") es (а- -,

:(64.15?)

Я/, (а, а') = -g^- ^j ©ь(п — а") ©l (а" — а') V 1—а"2 ^а"

представить в виде

^ ф(а')Я5(а, а') du' = ф° (а), f ср (а') KL (а, а') du' ср0 (а); (64.14'р)

правда, теперь они уже не будут простыми уравнениями типа свертки. Кроме того, ядра (64.15р) являются довольно сложными функциями. Хотя функции ©s и ©L имеют сравнительно простой вид (например, 0L = 2 sin 6а/а для щели шириной 26), однако интегралы (64.15р) не выражаются, вообще говоря, через элементарные функции вследствие наличия двузначной функции p^l—а2 (исключение составляет случай полуплоскости).

Метод итераций в применении к решению Кирхгофа. К интегральным уравнениям (64.11'/?), (64.12'р) мы еще вернемся в § 3 настоящей главы. Для приближенного же решения этих уравнений можно предложить следующий метод, который мы изложим в применении к уравнению (64.Пр).

В качестве нулевого приближения ф0 возьмем

Яф0 — ф°.(65.1р)

Впрочем, это приближение удовлетворяет первому уравнению (64.Ир) точно, так как используя равенства (64.10'р) и (64.13) и учитывая, что для свертки справедлив ассоциативный закон, мы получаем 08*ф° — ф°. Высшие приближения можно вычислить последовательно с помощью обоих интегральных уравнений (64.Ир) по такой схеме:

^2n =^° +^27,-1+ @S*^2n-l,П>\,

__(65.2/>)

■фгп+i = ©s*%n.п>0.

Первая строка (65.2/?) получена из первого уравнения (64.11/?), которое с помощью равенств (64.13) формально можно представить в виде

Н ф — ф° + 0^ *Яф.(65.3/?)

Таким образом, интегральное уравнение первого рода 0в*Нф = ф° преобразовано в интегральное уравнение второго рода (65.3/?), однако это преобразование имеет пока лишь формальный характер, так как 0L в случае рассеяния имеет 6-образный вид. Вторая строка (65.2/?) получается непосредственно из второго уравнения (64.11/?). Последовательность итераций (65.2/?) удовлетворяет попеременно то первому, то второму интегральным уравнениям (65.3/?). Эти интегральные уравнения в их первоначальной форме (60.8/?) обеспечивают непрерывность поля в отверстии или соответственно выполнение краевого условия на экране. Фо^ мулы (65.2/?) в точности соответствуют методу итераций Франца (смс п. 37), однако здесь они приспособлены для непосредственного определения амплитуды поля в дальней зоне ф, для которой вопрос об особенностях на ребре (см. п. 38) не вызывает опасений1).

Итерационному методу (65.2/?) можно придать другую форму, если исключить нечетные члены последовательности [подставив второе уравнение (65.2/?) в первое]:

ф2п = Фо + Й8ф2п-2,п>1;(65.2'/?)

здесь под Qs понимается оператор

О« - s Це, («-«•)- i l/T"^ f <“ - “■) 8Ц^' *“•}

(65.3)

Формула (65.2'/?) представляет не что иное, как правило образования итераций для решения интегрального уравнения

ф-фо + ^ф,(65.3'/?)

которое получается, если подставить второе уравнение (64.11/?) в (65.3/?). Таким образом, интегральное уравнение (65.3'/?) эквивалентно уравнению (64.11/?), однако в отличие от (64.14'/?) оно является уравнением второго рода, для которого можно дать простой итерационный метод (65.2'/?). После v-кратного итерирования решение при v—>оо имеет вид

ф = lim 2 ^s^o = (1 — ^s) 1‘Фо-(65.4/?)

v->oo n=0

Выражение (65.4/?) представляет собой не что иное, как ряд Неймана для интегрального уравнения (65.3'/?). Этот ряд, если только он сходится, действительно является решением уравнения, в чем можно убедиться, записав уравнение (65.3'/?) в форме (1 — й8)ф —ф°.

Совершенно аналогичным образом систему уравнений (64.12/?) для задачи дифракции можно решить с помощью ряда Неймана

.ф = 2 Ql фо = (1 — ^l )“’ фо,(65.5/?) '

0 О сходимости этого метода ничего не известно. В частности, он не дает разложения по возрастающим степеням длины волны X.

гдегде

где

где

(65.6р)(65.6р)Фо = 7Уф°,

(65.6р)

(65.6р)

А- ( 0L(а - а") 1/1 - а"2 0L(а" - а') da"\ • • • da'. (65.7/>) 2л у 1—аг J х'')v

Как видно уже из указания на аналогию с методом Франца (см. п. 37), наши итерационные формулы (65.4/?) и (65.5/?) дают последовательное уточнение приближения Кирхгофа для фраунгоферова поля в дальней зоне1). Фактически величины ф0 и ср0 представляют собой кирхгофовское приближение для поля в дальней зоне соответственно в случаях рассеяния и дифракции. Действительно, вычислим амплитуды поля, определяемые равенствами (62.7/?) и (62.8/?), в нулевом приближении, даваемом формулами (64.10'/?) и (65.1/?) или (65.6/?); тогда получим (а — = siii^&, й— угол дифракции)

в случае рассеяния:

-^Т- COS Й @s*U0)-^Т- COS Й @s*U0)(65.8/9)(65.8/9)4>($) = ±1

-^Т- COS Й @s*U0)

-^Т- COS Й @s*U0)

(65.8/9)

(65.8/9)

в случае дифракции:

s,(»)=±i//e1.|«, I

Но эти выражения идентичны с приближением теории Кирхгофа. Так, например, при перпендикулярном падении плоской волны у0 — егг на щель (в плоскости ху) шириной 25

-^=2ni6(a), 0L (a) = 2 -—- ;

для z > 0 получаемдля z > 0 получаемтаким образом, из формулы (65.8/?)

для z > 0 получаем

для z > 0 получаем

в« <») = //в« <») = //sin (6 sin й)sin йsin (6 sin й)sin й

в« <») = //

в« <») = //

sin (6 sin й)sin й

sin (6 sin й)sin й

т. е. известное выражение Кирхгофа для фраунгоферова дифракционного поля (следует иметь в виду, что все расстояния измеряются в длинах волн).

Дополнение относительно s-случая. Получив решение для р-случая, мы в силу теоремы Бабине нашли решение и для дополнительного s-случая. Однако мы приведем важнейшие формулы для s-случая, которые понадобятся нам в дальнейшем (см. гл. IV, § 2). Здесь пригодны представления (50.7s) и соответственно (50.8s), которые

Ц Ценность метода, однако, сильно снижается тем, что о его сходимости ничего не известно.

с помощью формулы (60.1) могут быть переписаны в виде

в случае рассеяния:

1 v(t) = Uo (г)± ^

в случае дифракции:

11• (66.1s)• (66.1s)гдегдеф (а) =ф (а) =0,М*) + ^° (г),0,М*) + ^° (г),Ф (^) e-;i0DC dx,Ф (^) e-;i0DC dx,ф (а) = \ ф (х) е-^ dxф (а) = \ ф (х) е-^ dxz > 0,2 < 0,z > 0,2 < 0,(66.2s)(66.2s)г^) = +^ $ у^^Г-6^^ (ет + ЫУ1-а:

1

1

• (66.1s)

• (66.1s)

где

где

ф (а) =

ф (а) =

0,

М*) + ^° (г),

0,

М*) + ^° (г),

Ф (^) e-;i0DC dx,

Ф (^) e-;i0DC dx,

ф (а) = \ ф (х) е-^ dx

ф (а) = \ ф (х) е-^ dx

z > 0,

2 < 0,

z > 0,

2 < 0,

(66.2s)

(66.2s)

представляют собой трансформанты Фурье (поле в зоне Фраунгофера). Для них справедливы соотношения (50.9s) и (50.10s), которые теперь принимают вид

]/1 — а2 Ф (а) ^ах da =]/1 — а2 Ф (а) ^ах da =4л; Г ^-L024л; Г ^-L02ЯН^)] , ж€(О,ЯН^)] , ж€(О,(66.3s)(66.3s)

]/1 — а2 Ф (а) ^ах da =

]/1 — а2 Ф (а) ^ах da =

4л; Г ^-L

02

4л; Г ^-L

02

ЯН^)] , ж€(О,

ЯН^)] , ж€(О,

(66.3s)

(66.3s)

(66.4s)(66.4s)Г (“) ргах Да - I 2Л^°’ж € СО,

(66.4s)

(66.4s)

1/1-«2 I Л1[2у0 + ф(О1, x^Sy

Здесь величины ф и ф должны быть определены из парных интегральных уравнений

^ Ф (a) eiax da — 0,х g ^L\

Т(66.5s)

^ "1^1 — а2 Ф (а) е^х da = 4nf -^- , х £ (S)

и соответственно

(66.6s)(66.6s)ф (а) е^ da = 0,х ^ (5),

(66.6s)

(66.6s)

—е^х da — 2л/у0, х g ^LY/1—«20 v 7

Эти уравнения, выражающие теорему Бабине, в значительной степени

аналогичны соответствующим уравнениям для /7-случая.

б. Векторная теория О

Интегральные уравнения для трансформанты Фурье от плотности поверхностного тока. В векторном случае тоже возможно так изменить формулировку задачи рассеяния (или задачи дифракции), данную в § 1,6 настоящей главы, чтобы в нее входила только трансформанта Фурье от плотности поверхностного электрического тока на экране (или соответственно от «плотности магнитного поверхностного тока» на отверстии). Физически это снова означает переход от плотностей токов, определенных соответственно только на (5) или (L), к угловой зависимости поля в дальней зоне. Благодаря такому переходу условия на ребре, налагаемые на поверхностные величины, уже не будут использоваться явно. В качестве вспомогательного математического метода будет использовано разложение Фурье тензора Грина для свободного пространства (или полупространства, ограниченного плоскостью), т. е. разложение на совокупность плоских волн.

Разложение Фурье функции Грина свободного пространства для трехмерного волнового уравнения [27] имеет вид

G(t —Г)=~;;£для 2 ^ 0;(67.1)

v 7 4л |г —Г |8л2 JУб)

здесь $± — единичный вектор,

Ь = О. Р, ±Т)=Ц?, ±Y)(67.2)

(верхний знак берется для 2 > 0, нижний — для 2 < 0), f —вектор, параллельный плоскости 2 — 0 [f — (а, р, 0)], а у имеет следующее значение:

Y(t) =Y(t) =pi-Г,pi-Г,если Р если Ресли Р если Р(67.3)(67.3)

Y(t) =

Y(t) =

pi-Г,

pi-Г,

если Р если Р

если Р если Р

(67.3)

(67.3)

(берется положительное значение корня). В (67.1) под dt подразумевается dad^t, а интегрирование ведется по всей области —оо < а, р < со. С помощью соотношения

(67.4)(67.4)^±’ г)(f±, г) при

(67.4)

(67.4)

получим разложение Фурье для тензора Грина (12.9)

Г (г - с') = 8^ $ <f±f± - >е"<$±’ Г"Г-) ^) ПРИ 2 °-(67-5)

В дальнейшем удобнее оперировать не с тензором Грина (67.5), а с векторами Герца или Фицджеральда, введенными в п. 53. Подставляя разложение (67.1) в выражения (53.1) и (53.1а), получаем соответственно 3^r)=--^3(f)ei($±-r)^L при z0,(67.6)

9s (9 = - 4^2 J $ (0 (!±’г) ^ при z0,(67.6а)

где 3 и 8 - трансформанты Фурье от поверхностной плотности электрического тока на экране или «магнитного тока» в отверстии

3(f) = ^3 (г) е"<ШS

8(f) =dr.(67.7а)

L

Подставив (67.6) в (53.2), получим с помощью (67.4) 6(r)=(£0(r) + 8M[f±[f±. З]]^-)^, ]

> при 2^0. (67.8)

§ (г) = ф0 (г) —-^ J [f±, 3] ег^-r)j

Отсюда, разложив рассеянное поле на компоненту, перпендикулярную экрану (нормаль п), и компоненту, параллельную ему [согласно определению (67.7), 3 не имеет 2-компоненты], получим для случая рассеяния (при 2^0)

® (г) = @0 (г) + ^ П (й) Г) аг-Л- J {$ ($3) _ з} е^'г)-^ ,

(67.9)

ф (г) = ф0 (г) + -Ж- и ^ (n [f3D ei(I±’r) ^у + -g^r 5 ["31 Г> dt

Точно так же, подставляя (67.6а) в (53.2а), находим для случая дифракции

; (Ч |й|)

+ ! “ при

4л2 J 1@о + @° при z < 0;

1 Р -д1+ Г)(67-9а)

Ф (г) = — n j (fS) е ± аг +

1 е -— HfL.ti м f 0 при z > 0,

+ ~ j{f(f8)-S)e_2<0.

Мы получили фурье-представления векторов поля, которые для произвольных векторных амплитуд 3(f) и 2(f) удовлетворяют уравнениям Максвелла всюду, за исключением плоскости 2 = 0. Амплитуды Фурье определяются с помощью краевого условия и условия непрерывности на плоскости 2 = 0. Сначала из выражений (67.9) получаем разрыв тангенциальной компоненты магнитного поля и нормальной компоненты электрического поля

[и, ф+-ф_] = Лг (^^аг,

1 Р _..(67.10)

(п, @+— @_) = ^-г ^ ($3) ег («) dl = — idiv[n, ф+ —Ф-].

Из выражений (67.9а) получим для этих разрывов соответственно

Щ, ф+ - ф_] = - 2 [пф0] - Ж- ( {[nf] (fS) - [п2]} W ,

(П, @+-@_)= -2(n@o)-2^ $ ("№)ei(W^-=(67.10a)

= — idiv[n, ф+—Ф-].

Второе уравнение (67.10) [и соответственно второе уравнение (67.10а)] является следствием первого уравнения и уравнений Максвелла, справедливых с обеих сторон от плоскости 2 = 0 [ср. (3.3а)].

Применяя краевое условие [равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля на (5)] и условие непрерывности [отсутствие разрыва магнитного поля, т. е. электрического тока, на (£)], непосредственно получаем парные интегральные уравнения

в случае рассеяния:

Г (!) 3 (!) W di = - 8 л2@0(г), г е (5), р _(67.11)

\dt = 0,rE(L);

в случае дифракции:

S^eH^^o,г 6 (^),

. J _(67.11а)

\ T(f)S (!) № dl^ - 4л2§0 (г),г € (L).

Здесь мы для упрощения записи ввели тензор

который по существу (с точностью до компонент, нормальных к экрану) является трансформантой Фурье от тензора Грина (67.5). Неоднородные интегральные уравнения (67.11) и (67.11а) представляют не что иное, как псевдоинтегральные уравнения (51.2) и (52.2), переписанные соответственно для трансформант 3 и 8 с помощью формулы (67.1); соответствующие им однородные интегральные уравнения (67.11) и (67.11а) получаются простым преобразованием Фурье соотношений (67.7) и (67.7а). С переходом к трансформантам Фурье исчезают трудности, связанные с особенностью функции Грина, которые раньше устранялись с помощью условий на ребре (см. п. 55, 56).

В нашу теперешнюю формулировку задачи условие на ребре явно не входит. Особенности величин 3 и 8 на ребре влияют на поведение трансформант 3 и 8 в бесконечности на плоскости f. При этом должно выполняться условие сходимости интегралов в уравнениях (67.11) и (67.11а).

Связь между Задачами рассеяния и дифракции. Если решать одну и ту же задачу и как задачу рассеяния, и как задачу дифракции, то можно распространить неоднородные интегральные уравнения (67.11) и (67.11а) на дополнительную область следующим образом:

(68.1)(68.1а)(68.1)(68.1а)Г(!)3(!)е^> d!-]

(68.1)

(68.1а)

(68.1)

(68.1а)

I — 2[п£] —2(g0 r£(L),

_[ 4^31 — ^0 гб^),

Г(1)-£(1)е^)<Й = {

(— & г € СО-

Отсюда после преобразования Фурье получаем

г(0-зго= -2{[пад+@0}>

--1(68.2)

Последние выражения суть два различных написания одного и того же соотношения, существующего между трансформантами Фурье 3 и 2.

Если предположить, что падающая волна плоская, то трансформанты Фурье @0 и §0 имеют характер 6-функции, а величины 3 в случае рассеяния и 2 в случае дифракции не имеют особенностей (особенности величин 2 в случае рассеяния и 3 в случае дифракции по-прежнему связаны с геометро-оптическими особенностями этих задач).

Поле в дальней зоне. В векторном случае трансформанта Фурье от плотности электрического (или соответственно «магнитного») поверхностного тока также тесно связана с характеристикой излучения в дальней зоне Фраунгофера для соответствующей задачи излучения. Если вблизи экрана плоские волны, с помощью которых мы описываем явление дифракции, обычно в результате суперпозиции дают весьма сложное ближнее поле, то в дальней зоне они разделяются на компоненты, распространяющиеся в определенных направлениях. Это физическое обстоятельство находит свое математическое отражение при применении метода перевала к интегралам (67.5), (67.6) и (67.6а). Но еще проще перейти к полю в дальней зоне, исходя из представлений (53.1) и (53.1а) для векторов Герца и Фицджеральда. Так как

i г—г'11

с(69.1)

х 7 4л гJ

(е —единичный вектор в направлении точки наблюдения: г —ег), то из названных формул следует

при 2^0, г —>оо.(69 2)при 2^0, г —>оо.(69 2)3s М 5 ^6-1 (w) ^*' s

при 2^0, г —>оо.(69 2)

при 2^0, г —>оо.(69 2)

L

Подставив сюда соответственно (67.7) и (67.7а), получим

8s (г)—3(e),8s (г)—3(e),при 2^0, Г —>ОО.при 2^0, Г —>ОО.(69.2а)(69.2а)

8s (г)—3(e),

8s (г)—3(e),

при 2^0, Г —>ОО.

при 2^0, Г —>ОО.

(69.2а)

(69.2а)

Сами векторы поля в дальней зоне найдем с помощью формул (53.2) и (53.2а)

в случае рассеяния:

@(г)-^@о

7р^т

i^e)]]^, )

W)->&)+4^[e3(e)]-^

при 2^0, г —>оо;(69.3)

г—> со(69.3а)г—> со(69.3а)

г—> со(69.3а)

г—> со(69.3а)

в случае дифракции: @(r)->±^[eS(e)]^ +

W)->± Т^ [e[eS (е)]]^

О при z > О, @о + ®° ПРИ 2 < 0. Г 0 при z > 0. I *8о4-^° при z < 0.

Эти выражения удовлетворяют электромагнитным условиям излучения (18.4). В случае рассеяния можно разложить величину 3, описываемую выражением (67.7), в ряд по убывающим степеням длины волны X (разлагая множитель e-i <ег\ характеризующий запаздывание) и получить для поля (69.3) в дальней зоне ряд, отдельные члены которого можно интерпретировать как излучение соответствующих электрических и магнитных мультиполей распределения тока 3- Первым членом будет поле электрического диполя с моментом^ 3(г)Л. Соответствующее разло- s

жение для дифракционного поля (69.3а) начинается с поля магнитного диполя с моментом ^ £ (г) Л.

L

Сведение к алгебраической задаче. Парные интегральные уравнения (67.11) [и (67.11а)] при помощи подходящей системы функций можно опять свести к линейной системе алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных. Поясним этот метод на примере задачи рассеяния.

Введем ортонормированную систему функций Sv (f), которые можно представить в виде

Sv (f) = Sv (г) dr.(70.1)

s

Представление Фурье (70.1) можно обратить

Sv^^X^^ <й,(70.1а)

причем

^ (^v ^) dt - 4л2 J (ад) dr - 6W.(Ж2)

s

Для г С (5) тензор Г(?)е£<!г) можно разложить по нашей ортонормиро- ванной системе функций

Г (!) е* W = 4л2Г (!) § S* (!) Sv (^, г € (5),(70.3)

где 93v^v означает диадное произведение двух векторов. Разложение (70.3) легко проверить, умножив его скалярно на ®jl (г), проинтегрировав по г по области (5) с учетом соотношения ортогональности (70.2). Аналогично получим разложение

-2($оМ= У CvSvM, г €(5).(70.3а)

v=0

(70.4)(70.4)В силу соотношения (70.1) каждый член выражения

(70.4)

(70.4)

3(f) = У аМ)v=0

удовлетворяет однородному интегральному уравнению (67.11). Если же подставить выражения (70.3) и (70.4) в неоднородное интегральное уравнение 2 (67.11) (переставив в них множители Г и 3), то, приравнивая коэффициенты при 25v (г) в правой и левой частях получающегося соотношения, приходим к системе

У avCvtl = cu (н=0, 1, 2,(70.5)

v=0

где

(»VT^) df = 5 {(f®v) № - (ВД)} ^ ,p \(70.6)

cv = — 8л2 \ (@0$v) dt.s

Таким путем мы и в векторном случае осуществили сведение к алгебраической задаче. При практических расчетах обычно приходится удовлетворяться вычислением первых N коэффициентов, полагая CVJX = 0 при v, р > N. Применимость этого приближения существенно зависит от того, [насколько удачно выбрана система функций 35v. Последняя, в частности, должна быть выбрана так, чтобы выполнялось условие

(70.7)(70.7)(70.4а)(70.4а)(§Sv)=0 на (С),

(70.7)

(70.7)

(70.4а)

(70.4а)

поскольку при этом плотность поверхностного тока

3 (г) = У a^v (г)v=0

удовлетворяет условию на ребре (§3)=0 (см. п. 55). Далее можно использовать то обстоятельство, что плотность тока на ребре Зц изменяется как р-1^ [ср. (23.4)]. Таким образом, этот метод оказывается особенно удобным в статическом предельном случае, когда весь экран (или соответственно все отверстие) можно рассматривать как краевую зону (ср. также^п. 95).

Переход ^интегральным уравнениям типа свертки. Итерации, построенные на основе решения Кирхгофа. Попытаемся теперь, как и ранее в скалярном случае, заменить парные интегральные уравнения (67.11) [или соответственно (67.11а)] одним эквивалентным неоднородным уравнением Фредгольма, чтобы иметь возможность представить решение в виде ряда Неймана. Для этого умножим интегральное уравнение, относящееся к области (L), на «разделяющий» оператор, определяемый равенством (64.1) (обобщив его на случай двух измерений):

a f 1,е^1 о.

Ю Заказ № 13

а уравнение, относящееся к области (5),—на оператор а { О,

0sto = l-©L(r)=]. с(71.1а)

I 1,гб^).

Тогда получим в случае рассеяния:

£ Г (f) 3 (?) ©S (г)_ 4Л23О

.(71.2)

J 3 (f) {1 - ©s (г)} е{№)^ = 0;

в случае дифракции:

t 2(f) {l-0L(r)}ei№Af = O,

J _(71.2а)

\ Г (f) £ (f) 0L (г) е1 <й> dt = 4л22° (г),

где

3°М = - 2<9S to @0 (г),3

S°to=-©^(гИоМ.

Преимущество этого способа записи заключается в том, что теперь интегральные уравнения (71.2) и (71.2а) справедливы на всей плоскости 2 = 0, т. е. для всех г. Следовательно, к этим интегральным уравнениям можно применить двумерные преобразования Фурье; тогда они запишутся в более прозрачном виде в случае рассеяния:

АД г(Г)3(П@8 (г-ги' = з°да, ?1-(71 -4)

3(f) = ip(f') ©s (f-n at';

в случае дифракции:

S(f) = ™ Ч S(n©L(f-n^z, 4 с_(71.4а)

А ^ г (2) 2 to) ©L(f-n^, = 8°

Как ив скалярном случае, (71.4) и (71.4а) представляют собой системы двух интегральных уравнений типа свертки, которые должны удовлетворяться одновременно; они эквивалентны парным интегральным уравнениям (67.11) и (67.11а). Используя обозначение свертки, интегралы, входящие в (71.4) и (71.4а), можно записать сокращенно [включая множители(2л)-2]. Тогда (71.4) и (71.4а) принимают вид в случае рассеяния:

§е*Г5=3"'_(71.4-)

в случае дифракциизв случае дифракцииз3 = ©s*3;

в случае дифракцииз

в случае дифракцииз

(71.4а')(71.4а')0L*r.2 = 2°,

(71.4а')

(71.4а')

2 = ©ь*2.

Эти системы интегральных уравнений снова легко преобразовать в одно интегральное уравнение Фредгольма первого рода, подставив однородное интегральное уравнение системы (71.4') [или соответственно (71.4а')] в неоднородное. При этом получаем в случае рассеяния:

(71-5)(71.5а)(71.5')(71.5а')(71.6)(71-5)(71.5а)(71.5')(71.5а')(71.6)0s*f-(0s3)-3°;

(71-5)

(71.5а)

(71.5')

(71.5а')

(71.6)

(71-5)

(71.5а)

(71.5')

(71.5а')

(71.6)

в случае дифракции:

Запишем эти интегральные уравнения в развернутом виде:

J KSa n*3(ndr-3'o(^

где Ks (f, Г) и Kl(1, Г) — повторные тензорные ядра:

^s (f, П = ^4 $ @s (f - О Г (П ©s (Г - f') dt',7b(f,n = i^i J 0L(i-nT(r)0L(r-F)dt".

Для приближенного решения интегральные уравнения (71.4) и (71.4а) обладают еще и том достоинством, что с помощью несложного искусственного приема их можно превратить в интегральные уравнения второго рода, эквивалентные уравнениям (71.5') и (71.5а'). Для этого запишем первые (неоднородные) интегральные уравнения систем (71.4') и (71.4а') формально в виде

Г-3 = 3° + 9ь*Г.З,(71.7)

F£-£°+0s*f-£.(71.7а)

Подставляя в них соответствующие однородные уравнения систем (71.4') и (71.4а'), будем иметь

З-Г-^ + Т'Ч^ГД^(71.7')

£ = FW + Г’1 • [0s*r • (0ь*£)Ь(71.7а')

Мы получили интегральные уравнения второго рода соответственно для трансформант 3 и 8; с помощью операторов

4л2 Jх 7

X J ©S (1 - Г') Г (Г) ©S (Г -1') ^") • • • dV, (71.8)

X J @1.(Г-ПГ(Г)®ь(Г-П^"} ••• civ (71.8a) их можно представить в виде

3 = r-1^° + 12s3 (в случае рассеяния),(71.9)

.£ = Г-1£° + 12^ (в случае дифракции).(71.9а)

Здесь мы использовали соотношения 0L = 1 — 0S, 1 — 4л6 (f), 0S = 1 ~ 0L, потому что в случае рассеяния 0g, а в случае дифракции 0L не имеют 6-особенностей.

Последовательно применяя к интегральным уравнениям (71.9) и (71.9а) итерационный процесс

Зо-Г”1^0, ---(71.10)

Sv = Зо + Ss3v-1,V > 1,

и соответственно

й0 —Г-1-й°,

„__(71.10а)

Sv = Йо ^lSv-i, v 1,

получаем опять ряды Неймана

3=2 ФзЗо = (1 —ФзРЗо (в Случае рассеяния), (71.11) v=0

8=2 Й1£о = (1 —йь)-180 (в случае дифракции). (71.11а) v=0

Используя выражения (71.3) и первые из уравнений (71.10) и (71.10а), находим первые члены этих рядов:

Зо- -гг1^©^), йо= -гЧ@ь*1о).(71.12)

Выражение (71.12) опять представляет в сущности приближение Кирхгофа для поля Фраунгофера. Поле в дальней зоне, описываемое выражениями (69.3) и (69.3а), с помощью тензора е (е) = ее — 1 (е — единичный вектор в направлении наблюдения) можно представить в виде

в случае рассеяния:

(71.13)(71.13)(71.13а)(71.13а)@(г)->@0-^^е-3(е), )^(r)-^^0-^^[ee].3(e)J

(71.13)

(71.13)

(71.13а)

(71.13а)

в случае дифракции:

if 0,2 > 0.

г<0

7 /Лт> 0,

®(г)^±^^«'«(г)+|& + в»,г<0;

Подставляя сюда соответственно ряды (71.11) и (71.На) и учитывая равенства (71.12), получаем

в случае рассеяния:

@s(к)—> — ■^г~у{— 20s*@o+c • П$3о + £ • П^Зо + • • • h^e ПРИ ^^0, т >о°?

(71.13')

в случае дифракции:

^в^)—> ± ^ “{ — ©ь*@о + е-й^йоЧ" е-й1йо + • • -Ь^е прии^О, г—>оо.

(71.13а')

Если взять здесь в качестве (@0, ^0) плоскую волну, то трансформанты @0 и §0 будут представлять собой 6-функции; таким образом, в первом члене выражений (71.13) и (71.13а') опять нетрудно узнать приближение Кирхгофа для поля в дальней зоне.

§ 3. МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА И МЕТОД СИНГУЛЯРНЫХИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

К интегральным уравнениям для плоских экранов (см. § 1 настоящей главы) и к эквивалентным им парным интегральным уравнениям (см. § 2) применимы теоретико-функциональные методы, которые в простейшем случае (полуплоскость) позволяют получить решения в замкнутой форме. В более сложных случаях эти методы служат удобным исходным пунктом для построения приближенных решений.

Область применимости этих методов нс ограничена плоскими экранами, а охватывает значительно более широкий класс дифракционных задач, к которым относится преяще всего задача об излучении из открытого волновода, обрезанного перпендикулярно образующим. На эти задачи можно обобщить метод парных интегральных уравнений, из которых удобно исходить при применении теоретико-функциональных методов. Обсудим кратко, как производится такое обобщение, поскольку это поможет понять область применимости метода. При этом мы остановимся лишь на самом существенном и ограничимся рассмотрением скалярной задачи с краевым условием у^=0. Подробности можно найти в указанной ниже литературе.

Применение теоретико-функциональных методов, о которых идет речь («факторизация», аналитическое продолжение, теорема Лиувилля), к интегральным уравнениям определенного класса восходит к работе Випера и Хопфа [28]

Сведение интегральных уравнений с помощью преобразования Фурье (в комплексной области) к функциональным уравнениям, к которым применим метод Винера — Хопфа, может быть упрощено, если трансформировать волновое уравнение еще до наложения краевого условия. Тогда краевое условие и условие непрерывности непосредственно приводят к функциональному уравнению [32]).

С другой стороны, парные интегральные уравнения могут быть сведены также к сингулярным интегральным уравнениям типа Коши. Теория этих уравнений систематически развивалась в последнее время в работах Мусхелишвили и его школы [33 — 35]. Лежащий в основе этой теории метод интеграла Коши содержит в себе метод Винера — Хопфа как частный случай (ср. [36]). Ниже мы вкратце рассмотрим применение этого метода к задачам дифракции [25, 31, 37, 38].

К теории дифракции на открытом конце волновода. Сформулируем сначала задачу дифракции для прямого открытого (срезанного перпендикулярно образующим) волновода, бесконечно тонкие стенки которого могут состоять из произвольного числа отрезков некоторого цилиндра (фиг. 41). Сечение этого цилиндра, которое мы пока считаем

т) См. также работы [15, 29, 30]. Подробный разбор многочисленных применений (преимущественно к теории дифракции) дан Ноблом [31].

произвольным, может быть как односвязным, так и многосвязным. Ребра (края срезов) должны лежать в параллельных плоскостях, перпендикулярных образующим цилиндра (плоскости срезов). По числу плоскостей срезов мы будем различать задачи о волноводах с одним

Ф и г. 41. Разрезанный волновод с тремя плоскостями среза.Ф и г. 41. Разрезанный волновод с тремя плоскостями среза.

Ф и г. 41. Разрезанный волновод с тремя плоскостями среза.

Ф и г. 41. Разрезанный волновод с тремя плоскостями среза.

Фиг. 42. Разделяющая системаФиг. 42. Разделяющая системакоординат в плоскости поперечного сечения волновода.координат в плоскости поперечного сечения волновода.

Фиг. 42. Разделяющая система

Фиг. 42. Разделяющая система

координат в плоскости поперечного сечения волновода.

координат в плоскости поперечного сечения волновода.

или многими (криволинейными) ребрами. Например, в случае открытого

волновода, неограниченного с одной стороны, мы имеем задачу о вол

новоде с одним ребром (простейший частный случай — полуплоскость).

Случай простирающегося в бесконечность в обе стороны цилиндра с разрезом произвольной ширины (перпендикулярным его образующим) представляет задачу о волноводе с двумя ребрами (сюда относится также задача о щели в плоском экране). Такую же задачу представляет цилиндр, открытый с обеих сторон (волновод конечной длины). На фиг. 41 показан волновод с тремя ребрами. Два открытых волновода, дополняющих друг друга до полного (простирающегося в обе стороны до бесконечности) цилиндра, будем назы-

вать дополнительными.

Пусть образующие цилиндра парал

лельны оси х\ число плоскостей среза

сначала предполагается произвольным. Отдельные части цилиндра будем обозначать через (5V), весь волновод — через (5) = 2 (^v)- В плоскости поперечного сечения (т. е. плоскости уг^ введем ортогональные криволинейные координаты (ц, £) так, чтобы линия const = £0 совпадала с сечением цилиндра плоскостью yz (фиг. 42). В цилиндрических координатах х, ц, £ можно написать

|r —f i = ]/Ц —жТ+х(п, £')•(72.1)

Элемент длины в координатах ц, £ имеет вид ds2 = gn dp2 + g^ d£2, а элемент поверхности волновода (см. фиг. 41) запишется как dr^Vg^^dx. Решение краевой задачи

(A + l)y(r) = 0,r<(S),

и (t) = 0,г 6 (Я( J

удовлетворяющее условиюудовлетворяющее условиюизлучения (см. п. 17) и условию на ребре

удовлетворяющее условию

удовлетворяющее условию

(см. п. 23), можно, как и в п. 46, представить в виде

и (г) = у0(г) — ^ ф (г') G (т —г) dV.(72.3)

s

Используя краевое условие, получаем интегральное уравнение для поверхностного тока гр (г)

гр (К) G (г — г') dG = п0 (г), г € (5).(72.4)

Здесь п0 (г) -- падающая волна, относительно которой мы предполагаем, что значения п0(т) на цилиндре не зависят от ур Это справедливо, например, в том случае, когда и0 представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси х, т. е. и0 — eix. Кроме того, п0 может быть также одной из собственных воли (должным образом выбранной), которые могут распространяться в неограниченном с обеих сторон, неразрезанном волноводе [39, 40]. Не вдаваясь в детали, положим для дальнейшего

и0(г)=Мж, Л, ^ = t^Y

Будем предполагать далее, что гр (г) не зависит от ц, т. е. гр (г) = гр (ж). Таким образом, в рассматриваемом случае величина

^(т-т'^УХа^а'^К^-х^(72.5)

не зависит от гр Здесь интегрирование проводится по всей области изменения ц'; для 6 (г — г'), согласно формуле (72.1), имеем

q /^К) =СХР 0 х )2-(-% (тр £; 1] , ^р)}/^2 0\

4л V^—'^^-A-x^ I; йЗ U

(см. нижеследующие примеры). С помощью выражения (72.5) уравнение (72.4) можно записать в виде

^ гр (ж') К (х — х'^ dx' = / (rr), х С (8).(72.4')

8

Здесь отрезки оси х, соответствующие частям цилиндра (5V), тоже обозначены через (5V). Остальные части оси х мы опять обозначим через (L). Если представить К (х) в виде интеграла Фурье

J L (a) eira da(72.7)

и ввести трансформанту Фурье от поверхностного тока

ф (и) = ^ г]) (ж) e~iax dx,(72.8)

s

то уравнение (72.4') превратится в систему «парных» интегральных уравнений

-^ L (a) ф (а) eiaxda = / (ж), ^6(5),

_(72.9)

ф (а) eiax da ~ 0, х g ^L\

формально совпадающую с системой (60.8р\ Применяя тот же прием, что и в п. 64, перейдем к интегральным уравнениям типа свертки, эквивалентным уравнениям (72.9). Для этого умножим уравнения (72.9) на е-;1а,х и проинтегрируем по соответствующим областям оси х [ср. (64.11'7?)]:

■^^(«^^(«^^(а —а') с/а'= /(«),

ф (a') ©l (а — a') da' = 0,

где.

0S (а) = ^ e~iaxdx,s

0L (а) = ^ в"^х dx = 2л6 (а) - 05 (а),(72.9")

L

/ (а) = ^ / (х) e~iax dx.s

По сравнению с уравнениями (72.9) эти уравнения обладают тем преимуществом, что здесь переменные а и а' имеют одинаковый физический смысл (волновое число).

Примеры), я) Плоский волновод. Пусть волновод состоит из частей двух параллельных плоскостей, линии пересечения которых с плоскостью 2/z параллельны оси 2/ и описываются уравнениями 2 — ± е (расстояние между плоскостями равно 2с, как показано на фиг. 43)). Используя (8.3а) и (60.1), запишем (72.5) в виде

К (ж - ж') = £ G (i - ?) dy' = ^ ^о” (1^ ~ П) + уоп (1W + (я - X')2)) =

= f 1 + ехр^2^1-а2) ^^

4л 3 у i_O2’ v '

следовательно,

L (а) = — ГЕ5У1(^Ы21^!1L (а) = — ГЕ5У1(^Ы21^!1у 1—а2у 1—а2(73.2)(73.2)

L (а) = — ГЕ5У1(^Ы21^!1

L (а) = — ГЕ5У1(^Ы21^!1

у 1—а2

у 1—а2

(73.2)

(73.2)

Для вывода соотношения (73.1) нужно взять интеграл по ?/' в пределах— — oo<z/'<oo и при этом учесть наличие двух членов, содержащих

| г —г' | = рг(ж —Ж')2+ (у —/)2+ (z ± 8)2.

При этом получается выражение

f G (г - ?) dy' = 4 VH^ (У(я-яТ + (2-е)г) 4-н^ У (Г^Т + УТО2)} = =+ J 4р ^ Й1-а2 | Z - 8 |] 4- ехр [г У ГГ? |> 4- е |]} ^^з^” da- (73.1') откуда при 2= ±8 следует формула (73.1).

Ф и г. 43. Плоский волновод с шестью ребрами (три плоскости среза).

Умножая (73.1') на ф(ж') и интегрируя по области х' 6 (^), получаем представление полного поля (72.3) с помощью трансформанты ф(н) в форме интеграла Фурье:

у (ж,= и0 (ж, 2) — — fх

4л J 1/1— а2

X [exp [г ]/1 — а21 2 —8 |] + exp [j У1 — а2| 2 + 8 |]} e^da.(73.Г')

Для решения краевой задачи (72.2) можно с самого начала непосредственно использовать представление Фурье для поля в форме (73.1"), удовлетворяющее волновому уравнению. Тогда, потребовав выполнения краевого условия у = 0 при 2—4 8, ж £ (5), и условия непрерывности для dv/dz при 2= 4е, х £(L\ сразу получим парные интегральные уравнения (72.9). Соответствующие формулы справедливы и для волновода, образованного большим числом параллельных плоскостей.

Круглый волновод. Введем цилиндрические координаты ж, р, ср, в которых линия пересечения цилиндра с плоскостью рф описывается

уравнением р —8 (фиг. 44). Тогда формула (72.5) примет следующий вид [41]:

К (ж — ж') = 5 G (т — г') 8 dtp' =

84 л84 л2ло2лоexp {t У ^х— a/)2-j-2s2 U — c°s (ф — ф') 1}у (x — x'^-VZe^ [1 —cos (ф —ф')]exp {t У ^х— a/)2-j-2s2 U — c°s (ф — ф') 1}у (x — x'^-VZe^ [1 —cos (ф —ф')]dy =dy =

8

4 л

8

4 л

2л

о

2л

о

exp {t У ^х— a/)2-j-2s2 U — c°s (ф — ф') 1}у (x — x'^-VZe^ [1 —cos (ф —ф')]

exp {t У ^х— a/)2-j-2s2 U — c°s (ф — ф') 1}у (x — x'^-VZe^ [1 —cos (ф —ф')]

dy =

dy =

Фиг. 44. Круглый волновод (с тремя плоскостями среза).Фиг. 44. Круглый волновод (с тремя плоскостями среза).

Фиг. 44. Круглый волновод (с тремя плоскостями среза).

Фиг. 44. Круглый волновод (с тремя плоскостями среза).

= _^ ^ /„(еД-а^ДеД-а)^^')^; (73.3)

здесь Jo — функция Бесселяздесь Jo — функция Бесселянулевого порядка, а относительно значения

здесь Jo — функция Бесселя

здесь Jo — функция Бесселя

корня y i — а2 справедливо замечание, сделанное к формуле (60.1). Таким образом,

(73.4)(73.4)£(а) = ЛД70 (е]/1-а2)/7'п(е]/1-а2).

(73.4)

(73.4)

2^8, (73.332^8, (73.33i 8 С 1 / \i 8 С 1 / \QSE. (73.3")QSE. (73.3")В этом случае мы опять можем представить поле (72.3) непосредственно через трансформанту ф(а) [см. (72.8)], если выполним сначала интегрирование по у*.

2^8, (73.33

2^8, (73.33

i 8 С 1 / \

i 8 С 1 / \

QSE. (73.3")

QSE. (73.3")

непосредственно в виде суперпозиции таких частных решений; тогда, используя краевое условие у = 0 при Q—8, х£ (5), и условие непрерывности величины dv/dq при Q—8, х^^Ь\ мы опять получим парные интегральные уравнения (72.9) |42, 43, 170]. Аналогичные рассуждения можно провести п для волновода, поперечное сечение которого состоит из двух (или нескольких) концентрических кругов [44].

Задачи о волноводах более общего сечения могут быть решены рассматриваемым методом лишь в тех случаях, когда в цилиндрических координатах х, ц, £ переменные в волновом уравнении разделяются [43, 170]!).

В рассмотренных выше примерах волноводы отличались поперечными сечениями. Перейдем теперь к задачам, отличающимся числом плоскостей среза.

<?) Задача о волноводе с одним ребром. Пусть волновод простирается от л = 0 до х^со (плоскость среза х=0). Интегральное уравнение для поверхностного тока

гр (х') К^х — х') Дх' = / (х), х > 0,(73.5)

о

является уравнением типа Винера — Хопфа [15, 28 — 31]. Эквивалентные ему парные интегральные уравнения имеют вид

L (а) гр (а) eiax Да — / (ж), х > 0,

_(73.6)

гр (а) е^^ Да = 0; х < 0.

Чтобы перейти к уравнениям (72.9х), умножим уравнения (73.6) на е-га'х и проинтегрируем их соответственно по областям 0<ж<оо и — со < х < 0. После изменения порядка интегрирования интеграл по х будет сходится, если считать, что а имеет положительную (или соответственно отрицательную) мнимую часть. Этого мы можем добиться, несколько смещая в первом интегральном уравнении (73.6) путь интегрирования по а в верхнюю полуплоскость комплексной переменной а, а во втором уравнении (73.6), наоборот, в нижнюю. После выполнения интегрирования по х мы можем снова совместить контур интегрирования по а с вещественной осью, однако при этом нужно иметь в виду, что полюс а^а' (возникший при интегрировании по z) должен быть обойден ио полуокружности бесконечно малого радиуса, лежащей в верхней (или нижней) полуплоскости. Мы будем обозначать этот обход соответствующей дугой на знаке интеграла.

Таким образом, уравнение (73.6) примет вид

ТЛ И=

ю(73.7)

9 Эллиптические сечения рассмотрены Блассом [40].

где

/ (а) = ^ / (ж) е-гах dx.(73.7')

о

Можно использовать и обычный способ обозначения:

0S (а) = ^ е-гах дх „ 2лб_ (а) = лб (а) + Р -^ >

_ °о(73.8)

@L (а) = ^ е-гах дх — 2 л 6+ (а) = л 6 (а) — Р -~.

Сингулярные интегралы, возникающие при подстановке выражений (73.8) в уравнения (72.9'), следует понимать в смысле главного значения Коши (на что и указывает символ Р). Однако в дальнейшем более удобно применять интегралы (73.7) с обходом полюса, которые можно обозначать иначе:

0s(a' — a) = ^=^ , 0L(a'-a) == 0g (a - a')(73.8')

(дуга под a указывает, с какой стороны должен обходиться полюс а' — а при интегрировании по бесконечно малой полуокружности на комплексной плоскости а'). Сингулярные интегральные уравнения для задачи о волноводе с одним ребром (73.7) подробнее будут рассмотрены в п. 74.

г) Задача о волноводе с двумя ребрами. Пусть плоскостями среза являются плоскости х =+8. Здесь следует различать два дополнительных случая, когда интервал —8<ж<8 занят либо волноводом (5), либо разрезом (L). Первый случай соответствует открытому с обеих сторон волноводу длиной 28, второй —волноводу, не ограниченному с обеих сторон и имеющему разрез шириной 28. Парные интегральные уравнения (72.9) в случае волновода длиной 2s принимают вид

? — .

-к- \ L (a) гр (a) ete da = f (х), | х | < 8,

гр (a) eia3C da — 0, | х | > 8.

Используя уравнения (72.9') и соотношения

■©s(a) = 2^5, 0ь(а) = 2лб(а)-2^ДД(73.10)

запишем уравнения (73.9) в виде

— \ L(a)ip(a)—J_ ^ =/(а),

ю(73.9а)

гр (а)—— \ гр (а')—2^^az —о

где

г8

ф (а) = ^ ^ ^ e"te ^> / (а) = ^ / (х) e“to dx.— 8—8

(73.11)

Для дополнительной задачи о волноводе с разрезом шириной 2е получаем аналогично

^- L (а) ф (а) е^х da = / (ж), | х | > 8,

(73.9')

И

где

8

L (а) ip (а)--Г J L (а') ip (а') sm ®,(1а --= / (а),

J 1 а' —а’

(73.9'а)

— 8

/(а) — ^ ^ + ^ ^ / (х)e~iaxdx.

Подстановкой

(73.1Г)

<р (а) = L (а) ф (а)

уравнения (73.9'а) приводятся к виду

ф(а') sin е (a' —а) ^, = Q

L (д')д' — д’

/ \/ ,х sin 8 (д' — д) ? , т/ х

ф^“У i ф(а)a'-a da =/(«)•

(73.9"а)

Если не рассматривать правые части, то эти уравнения получаются из уравнений (73.9а) при замене в них L(a) на L"1(a). Аналогичное утверждение справедливо и для общего уравнения (72.9'), если записать его для двух дополнительных задач.

Можно более четко выявить роль взаимного влияния двух частей волновода, разделенных плоскостями среза (или соответственно двух дополнительных частей открытого волновода). С этой целью рассмотрим уравнения (73.9') и разложим амплитуды поля в дальней зоне ф(а)

и / (а) на две части, соответствующие двум частям волновода:

-Ye-^dx, _\ ve-^dx,

А(а) J V^ JА(а) J Д/Ю J (73.11")

гр (а) = гр! (а) + гр2 (а), / (а) =71 (а) + 7s (а)-

С помощью этих величин можно представить уравнения (73.9х) в виде

-^ ^ L (а) гр (а) e^da^-j (ж), х > 8,

(73.12a)

^ гр! (а) da = 0, х < 8,

и

гр2 (а) eVax da — 0, х > —- 8,

оз-(73.126)

— ^ L (а) гр (а) eiax da = / (х),х<—е«

Эти уравнения по форме аналогичны уравнениям (73.6) для задачи о волноводе с одним ребром. Поэтому их можно преобразовать к виду, подобному уравнениям (73.7):

।_—^геЩ'-ос)

L (а') {% (а') + ^г (а')} -а'_"о da' = ~/i (а),

(73.12'a)

з _2 80S'

j1

И

а' — аа' — аdaf = О,daf = О,

а' — а

а' — а

daf = О,

daf = О,

da? /2 («)•da? /2 («)•(73.12'6)(73.12'6)

da? /2 («)•

da? /2 («)•

(73.12'6)

(73.12'6)

4 р——-ге(а-а)

2^7 ^ (а') (гр2 (а') + ^ (а')} а,_о

Таким образом, для функций грх и г|)2 получаются такие же задачи, как для волновода с одним ребром, но связанные друг с другом за счет взаимодействия двух частей волновода.

74. К теории сингулярных интегральных уравнений. Сингулярные интегральные уравнения (73.7) для задачи о волноводе с одним ребром можно решить с помощью теоретико-функциональных методов, разработанных в связи с сингулярными интегральными уравнениями типа Коши [33 — 35]:

(74.1)(74.1)Л ^ Т И + 2S £ ^Йгг1 da' = ^’

(74.1)

(74.1)

где 4(a), 5(a) и / (а) — заданные функции, а ср (а) — неизвестная функция. Чтобы кратко изложить эти методы, рассмотрим интеграл типа Коши в форме

Ф (а) =Г -Ц^а',(74.2)

vе) а — av 7

где Ф (а) — функция, голоморфная как в верхней полуплоскости S+, так и в нижней полуплоскости S" комплексной переменной а [включая при соответствующих предположениях относительно функции ср (а) и бесконечно удаленную точку]. Функция Ф (а) имеет различные предельные значения в зависимости от того, приближается а к вещественной осн из полуплоскости 5+ или из полуплоскости №:

ф+ (а) = к—.ФД-^А da' =4 Ф (а) +4 Л^-^ da',(74.3+)

х 72л^Jа' — а2 1 х 7 1 2mJ а — а ’v 7

’ Ф" (а) = -1- 4 -9^1 da' = — 4- Ф (а) +4 da. (74.3")

х 7 2ж 3 а' —а2 1 v 7 1 2tu J а'~ а х 7

Здесь справа интеграл с черточкой означает главное значение в смысле Коши. Таким образом, Ф (а) является кусочно-голоморфной функцией, которая при переходе через вещественную ось испытывает разрыв

Ф+ (а) — Ф (а) = ф (а)Ф+ (а) — Ф (а) = ф (а)(74.4)(74.4)

Ф+ (а) — Ф (а) = ф (а)

Ф+ (а) — Ф (а) = ф (а)

(74.4)

(74.4)

(а — вещественная переменная). Вместе с тем, любая аналитическая функция с такими свойствами отличается от функции Ф (а) [см. (74.2)] лишь на константу [так как разность двух кусочно-голоморфных функций, обладающих свойством (74.4), представляет собой функцию, голоморфную па всей плоскости а]. Следовательно, функция (74.2) является решением задачи о разрывах (74.4) кусочно-голоморфной функции.

Ф (a') da' (а'~а) (а"~а') *Ф (a') da' (а'~а) (а"~а') *Для двойных интегралов типа Коши (74.2) справедлива следующая формула изменения порядка интегрирования:

Ф (a') da' (а'~а) (а"~а') *

Ф (a') da' (а'~а) (а"~а') *

£ ^а'Щ"А £4^4^ = \ da"tp(a") £

J а --а 3 а — aj 1 х 7 J

(74.5)

ф («')а' — аф («')а' — а(а")а" — а'(а")а" — а'da"—da"—ф (a') da'(а' —а) (а" —а') ‘ф (a') da'(а' —а) (а" —а') ‘

ф («')а' — а

ф («')а' — а

(а")

а" — а'

(а")

а" — а'

da"—

da"—

ф (a') da'

(а' —а) (а" —а') ‘

ф (a') da'

(а' —а) (а" —а') ‘

Интегралы справа, отмеченные двумя скобками, следует вычислять так, чтобы обходить оба полюса а' = а и а' = а" на вещественной оси с той стороны, с какой предписывают скобки. При изменении порядка интегрирования скобки следует «перевертывать». Если необходимо изменить порядок интегрирования в интегралах Коши с одинаковыми скобками, то сначала следует «перевернуть» одну скобку с помощью соотношения (74.5).

Запишем теперь интегральные уравнения (73.7) для задачи о волно- воде^с одним ребром в несколько более общей форме:

Ю „(74.6)

27Г

Очевидно, они разрешимы лишь в том случае, если функции / (а) и g (а) голоморфны в полуплоскостях 5+ и S" [так как это имеет место для левых частей уравнений (74.6)]. Поэтому в силу теоремы Коши мы можем записать уравнения (74.6) в форме

ю,(74.6')

J {ф(«')-Ла')} а^а =0.

—ОО

[К этому же виду легко сводится и уравнение (74.1).] Эти уравнения показывают, что выражения в фигурных скобках в уравнениях (74.6') должны представлять в силу теоремы Коши голоморфные функции соответственно в полуплоскостях S* и 5":

£(а)ф(а) + /(а) = Ф*(°)»,

Ф (а) — g (а) = Ф~ (а).' ’ '

Здесь Ф+ (а) и Ф“ (а) обозначают пока произвольные функции, голоморфные соответственно в полуплоскостях 5+ и S". На вещественной оси оба уравнения ^(74.7) должны удовлетворяться одновременно; отсюда, исключая ф(а), получаем

Ф+ (а) - L (а) Ф“ (а) = / (а) + L (а) g (а),(74.7')

где а — вещественная переменная. Мы можем рассматривать (74.7') как функциональное^ уравнение для кусочно-голоморфной функции

f Ф+ (а), а g б1*, ф(а)=(74.8)

I Ф («), a^S ,к 7

краевые значения которой должны удовлетворять соотношению (74.7') (задача Гильберта в теории функций1)). Ее решение сводится к задаче представления функции L(a) в виде

<-9>

(т. е. к «задаче факторизации»), причем функции I? (а) и U (а) должны быть голоморфными соответственно в полуплоскостях S* и S' и не иметь

там нулей. С этой целью образуем выражение

(74.9')(74.9')In L (ct) = In I/ (ct) — In L" (а),

(74.9')

(74.9')

где а — вещественная переменная, a In обозначает какую-нибудь ветвь логарифма. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что функция L (а) при вещественных а не имеет ни нулей, ни полюсов и что функция In L (ct) однозначна. Точнее говоря, функция L (а) должна быть голоморфной в некоторой сколь угодно узкой полосе, содержащей вещественную ось, и не иметь там нулей, так чтобы удовлетворялось

условие arg In L (а) | = 0. Допустим, что функция

Г(а) = {Г(а) = {In I/ (а),In L~ (а),In I/ (а),In L~ (а),ct g ctg5“,ct g ctg5“,(74.10)(74.10)

Г(а) = {

Г(а) = {

In I/ (а),

In L~ (а),

In I/ (а),

In L~ (а),

ct g ctg5“,

ct g ctg5“,

(74.10)

(74.10)

построенная с помощью аналитического продолжения, является кусочно- голоморфной. Тогда, согласно равенству (74.9'), имеем (для вещественных ct)

ГДа)-Г (а)= 1пГ(а).ГДа)-Г (а)= 1пГ(а).(74.9")(74.9")

ГДа)-Г (а)= 1пГ(а).

ГДа)-Г (а)= 1пГ(а).

(74.9")

(74.9")

Эта задача о разрывах имеет в силу равенств (74.2) и (74.4) решение (с точностью до несущественной постоянной)

(74.10z)(74.10z)Г(а) = -Ц V ]п£(а')—ДА

(74.10z)

(74.10z)

х 7 2га а 7 a — a

где ct — комплексная переменная. Тем самым определены искомые функции Z/ (а) и L” (ct):

V (а) == expIn L (а'),

Т(74.11)

L" (а)== exp 4 InL(a')—^—1 с

х 71 (2лi 3' 7 а' — a J

Относительно поведения функций 7/ (а) и L~ (а) в бесконечности

в областях S+ и 5" предположим, что

L^a)^O(aVi), £~(а) = У(аУ2) (|а| —>оэ),(74.12)

где

— 1 < Y1, з < 1

[не обсуждая дополнительных условий, накладываемых при этом на L(ct)1)]. После осуществления «факторизации» решение задачи Гильберта (74.7') не представляет трудностей. Действительно, записав уравнение (74.7') с помощью выражения (74.9) в виде

(74.13)(74.13)Ф+ (а) _ Ф" (а) ___ / (а). g (а)

(74.13)

(74.13)

(a) L" (a) L+ (а) L™ (а) ’

кусочно-голоморфнойкусочно-голоморфнойгде а — вещественная переменная, получим для функции

кусочно-голоморфной

кусочно-голоморфной

(74.14)

т. е. задачу с заданным разрывом типа (74.4), которая имеет, согласно (74.2), решение

Q(a) = _K F (удд +—нс,(74.14')

. v 3 2ш J VL (а )^ (а ) J а—а4

где а — комплексная переменная. Подставляя функции (74.14') и (74.14) в (74.7), получаем решение исходного уравнения (74.6). Это решение можно записать в виде

ф(а)=-Д1ДГ Ы + 174.15) т 4 3 J L (а') а' —а 1 J L (а ) а'—а J х 3 3

Здесь второй член с произвольной константой С, очевидно, представляет решение однородного интегрального уравнения (74.6). Действительно, при подстановке этого члена в уравнения (74.6) подынтегральное выражение первого (второго) интеграла будет голоморфным в полуплоскости 5+ (соответственно 5"). Если замкнуть путь интегрирования в бесконечности в верхней или нижней полуплоскости соответственно, то интеграл по замкнутому контуру обратится в нуль. Интеграл по замыкающей полуокружности равен нулю, если Z7 (а) и L~ (а) в бесконечности стремятся к нулю [сколь угодно медленно, т. е. при любых Yi < 0 и у2<0; см. (74.12)]. Однако, как легко показать, первый член выражения (74.15) является решением уравнений (74.6) и в том случае, когда функции Z/(a) и (или) L~ (а) в бесконечности растут медленнее, чем первая степень а (т. е. при 0<уЬ2<1). При этом необходимо положить С — 0; решение уравнений (74.6) является тогда единственным.

Выражение (74.15) представляет общее решение задачи для волновода с одним ребром. В качестве простейшего примера рассмотрим дифракцию на полуплоскости [в этом случае в формуле (73.2) нужно положить 8 — 0]. Для функции

Р4Л6)

факторизация (74.9) осуществляется непосредственно:

L* (а) =L* (а) =y^i+a 7y^i+a 7LT (а)= ]/1 — а .LT (а)= ]/1 — а .(74.16')(74.16')

L* (а) =

L* (а) =

y^i+a 7

y^i+a 7

LT (а)= ]/1 — а .

LT (а)= ]/1 — а .

(74.16')

(74.16')

в требованиях сходимости интегралов и возможности изменения порядка интегрирования. Решение уравнений (73.7), согласно (74.15), имеет вид

WI ЙТ+а7'7■(74-17)

Если, в частности, рассматривается плоская падающая волна, направление распространения которой перпендикулярно краю экрана и составляет угол й0 с осью ж, то [со5Й0=а0; ср. (73.8')]

/ (ж) = etao-x —> / (а) = —(74.18)

и из формулы (74.17) следует

(а) = F КЙЕЩГ _ _. (74.i9) 72л1 J (а — а0) (а — а)а — а0v 7

Ниже, в гл. IV, § 1, мы еще раз получим и обсудим это решение. Более сложные и подробно разобранные примеры можно найти в указанной выше литературе.

Для решения задачи о волноводе с двумя ребрами будем исходить из сингулярных интегральных уравнении (73.12'а) и (73.12'6). Перенеся в уравнении (73.12'а) член с ф2 (а), описывающий взаимодействие ребер, в правую часть, получим для функции фу (а) уравнение вида (74.6). Согласно (74.15), его решение (единственное при 0 < у1? 2 < 1) имеет вид

Т / \е~г£аЬ~ (а) о da'

ЮО” 2лг У (а' — а)Ч* (а) А

X (а') + -У Z L (а")(а") ^Д . (74.20)

^&а L L tJMt * ” Mt I

Здесь можно применить формулу изменения порядка интегрирования (74.5) и вычислить внутренний интеграл с помощью теоремы вычетов, учитывая оценки (74.12). Преобразовав аналогично и уравнения (73.12'6), получим

L~ (а)/ 2л1 3 [ £ (а') Щ (а') J а'—а’

■(74.20')

e-1£aL* (a) ip2 (а) = - ~Щ (а')(а') -17 (а') /2 (а')} ^^ da'.

Это система сингулярных интегральных уравнений типа (74.1). Входящий сюда множитель е^аЕ типичен для задач с двумя ребрами. Он затрудняет применение теоретико-функциональных методов, потому что в * бесконечности имеет существенно особую точку, а контур интегрирования уходит в бесконечность. Чтобы избавиться от особенности, поступим следующим образом. С помощью величин

аДав „_

th («) = ТЛхУ1 («)> ^2 (a) = е-18"!/ (a) ip2 (а)(74.21)

И*

' И

/ \^ с 71 (а') ^г£а' 7 /

gi (а) = — —- Алda ,

° х ’/кг а L (а ) а—а ’

со.(74.22)

isos

уравнения (74.20') можно записать в виде

(а) —Ф? (аЭ 7= £1

7 1кг J V (а ) (а ) х 7 а—а51

% И 1р2,двух сла-другое —% И 1р2,двух сла-другое —ю,(74.20")

% И 1р2,двух сла-другое —

% И 1р2,двух сла-другое —

Множители, стоящие в подынтегральных выражениях перед с помощью (74.2) — (74.4) можно представить в виде суммы гаемых, одно из которых голоморфно в полуплоскости 5+, а в полуплоскости 5":

e2i8a _ 1 f е _ Р 1е2гга/ _ da'

2Д (а) £~ (а) ~ 2л£ ф 33 J V (а') L' (а') а'— а ’

е-27еа£+ (а) L (а)е-27еа£+ (а) L (а)ST И - $ } «-и“-Ь-(а-)Ь-<а'>ST И - $ } «-и“-Ь-(а-)Ь-<а'>da'а/— аda'а/— а(74.21a)(74.21a)

е-27еа£+ (а) L (а)

е-27еа£+ (а) L (а)

ST И - $ } «-и“-Ь-(а-)Ь-<а'>

ST И - $ } «-и“-Ь-(а-)Ь-<а'>

da'

а/— а

da'

а/— а

(74.21a)

(74.21a)

Далее, из уравнений (74.20') следует, что функция фд (а) голоморфна в области 8"^ а функция ф2 (а) — соответственно в S + (так как голоморфны стоящие справа интегралы). Следовательно, при подстановке выражений (74.21а) в уравнения (74.20") можно опустить в подынтегральном выражении первого интеграла (74.20") член, голоморфный в полуплоскости 8\ а во втором интеграле (74.20") — член, голоморфный в 8". Тогда уравнения (74.20") примут вид

^1(аЫ'2ЙГ J АО'ПгСа')-^^- =gj(a),

Тz(74.20'")

(°) + i f ^2 (а^ ^‘ V^-a = ^2 (а)1

где

..1 f е2геа'^а/

1 2ni i) L"v (a') L” (а') а' — а ’

'7(74.2Г)

Уравнения систем (74.20w) и (74.20") относятся к тому же типу, что и уравнение (74.1). Коэффициенты (74.21') [в отличие от функций (74.21а)] регулярны в бесконечно удаленной точке (или по крайней мере растут

там как алгебраические функции; ср. пример, разобранный в п. 122). Общий метод решения уравнений типа (74.20"') до сих пор не найден. Лишь в предельном случае 8 > 1 сравнительно легко получить асимптотическое решение уравнения (74.20'"). Это будет показано в гл. IV, § 2,6, на примере дифракции на щели1).

Так как функции г^ (а) и g^ (а) голоморфны в полуплоскости 5~, а функции ф2(а) и g2(^)~в полуплоскости 5+, то уравнения (74.20'") можно переписать в форме, аналогичной уравнениям (74.6'):

А (“') - А («') $2 («') - gi («')}= °>

7,(74-20а)

f Ыз (а') ifi (а') + ^2 (а') - g^ (а')} аГ« = °-

Аналогично задачу о волноводе с п ребрами можно свести к п урав- ниям вида

2 А.Да)<рДа) + А- ^ Sv(a')cpv(a')-^--=/v(a) (v = l, 2, . .., n) .U=l— CO

(74.23)

или к эквивалентной им системе

$ {2 л^(а') Фн (а')(а')}°-

о, п(74.23')

$ {2 [АДа'Нб^ДДа'^фДа')-/^')} д^ =°

— ОО g=l

(у — 1, 2, . . . , п).

§ 4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ДЛЯ НЕ ИМЕЮЩИХ РЕБЕР ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛ КОНЕЧНОГО ОБЪЕМА

Введение. До сих пор мы рассматривали главным образом задачи дифракции на бесконечно тонких, в частности плоских, экранах. Рассмотрим теперь тела конечного объема, которые по-прежнему будем считать идеальными проводниками. Метод разделения переменных, изложенный в п. 5, приводит к цели лишь в тех случаях, когда решение разделенного волнового уравнения содержит табулированные трансцендентные функции.

Более наглядным и общим методом, известным из теории потенциала, является сведение краевой задачи к интегральному уравнению для значений искомой функции на поверхности тела. Изложим здесь этот метод в применении к теории дифракции; теория возмущений

Э Более сложные задачи теории волноводов можно найти в литературе (см. [31], гл. V).

для приближенного решения полученных интегральных уравнений (метод Рэлея) будет развита в § 5 настоящей главы С одной стороны, для поверхностного электрического тока можно получить интегральное уравнение первого рода, которое совершенно аналогично уравнению, найденному в § 1 для тонкого экрана. С другой стороны, в случае идеально проводящей поверхности с замкнутой границей поверхностный ток можно определить также с помощью интегрального уравнения второго рода. Совершив переход к этому типу интегральных уравнений, мы на основании теории Фредгольма — Гильберта можем ожидать существования нетривиальных решений соответствующего однородного интегрального уравнения. В нашем случае возможны такие поверхностные токи, которые соответствуют собственным колебаниям замкнутой внутренней области, ограниченной проводящей поверхностью. При этом видоизменяется и постановка задачи для внешней области, так как при наличии «собственных токов» внешнее поле уже не может быть описано с помощью одних только электрических поверхностных токов. Чтобы обеспечить существование решения интегрального уравнения с произвольной правой частью, нужно добавить излучение магнитных поверхностных токов; при этом электрические токи должны быть построены определенным образом из собственных функций.

а. Вывод интегрального уравнения для поверхностного тока

Скалярная задача. В скалярных задачах по-прежнему будем

различать р- и s-случаи, какразличать р- и s-случаи, какФиг. 45. К краевой задаче для тел конечного объема.Фиг. 45. К краевой задаче для тел конечного объема.в п. 4. Будем предполагать, что тела, на которых происходит дифракция, не имеют ребер. Итак, необходимо найти функцию у, однозначно определяемую условиями:

различать р- и s-случаи, как

различать р- и s-случаи, как

Фиг. 45. К краевой задаче для тел конечного объема.

Фиг. 45. К краевой задаче для тел конечного объема.

Ау + у=0 снаружи и внутри (5), (I)

у —О или соответственно = 0 на (SY дпх 7

(11^)

у удовлетворяет условию излучения (17.2) или (17.3).(III)

Условия (II/?s) обеспечивают отсутствие поля в области внутри поверхности (5) [у = 0 внутри (5)], даже если она не вся заполнена идеально проводящим ма

териалом. При этом предполагается, что параметр к в соотношении (2.4) не является собственным значением области, заключенной внутри поверхности (5); как известно, в этом и только в этом случае внутренняя задача (I), (II/?s) однозначно разрешимах). Не будем пока рассматривать собственные колебания или резонансные эффекты внутренней области. Таким образом, в /7-случае функция у при переходе через поверхность (5) является непрерывной, а производная dvldn испытывает разрыв. Обозначим этот разрыв через ф; следо-

1) Так как источник излучения (особенность поля) находится, очевидно, во внешней области, единственным решением для внутренней области является в этом случае у = 0.

вательно, ф = (до/д/2)+, так как (^/5п)„ = О (фиг. 45). Тогда с помощью принципа Гюйгенса (8.5) в ^-случае получим

у (г) = и0 (г) — ^ ф (rz) G(r—-г7) dV.(76.1 р)

s

[При этом мы учли вклад первичного поля у0, имеющего особенность в источнике, который необходимо исключить из области интегрирования с помощью малой сферы (ср. п, 11).]

С другой стороны, с помощью совершенно аналогичных соображений получим для s-случая

У М^УоМ + ^Ф^) ^G (г —г7) dr7.(76.1s)

S

Здесь ф = гц обозначает разрыв функции у при переходе через поверхность (5). С точки зрения электродинамики величины ф и ф имеют смысл поверхностных электрических токов. В самом деле, в двумерном случае эти величины означают разрыв тангенциальной компоненты магнитного поля. Ради краткости, мы будем и в трехмерном случае называть величины ф и ф поверхностными токами, хотя, строго говоря, при этом величины ф и ф имеют лишь акустический смысл. По аналргии с теорией потенциала можно также сказать, что выражение (76.1р) является представлением поля с помощью «простых источников» с поверхностной плотностью ф, а выражение (76.1s) — представлением с помощью «дипольных источников» с плотностью ф.

Интегральное уравнение первого рода для поверхностного тока. Выражения (76.1^) и (76.1s) удовлетворяют условиям (I) и (III); применяя же к ним краевое условие (lips), получаем соответственно уравнения

^ ф (г7) G (г — г') dV = v0 (г),(76.2р)

s

lim I- 5 ф (г') G (г — г7) dV = — ^^ .(76.2s)

л оп о r х ' On \/опх /

г-»г4-0 g

Предельный переход г—^гф-0 означает, как и прежде, приближение точки наблюдения г к точке г на поверхности (5) по внешней нормали и (с положительной стороны). Этот предельный переход приводит к расходящемуся интегралу, если внести производную д(дп под знак интеграла. Однако с помощью преобразования

= (nV) (n'V') = - (tin') А - ([n'VI [nV])(76.3)

дифференцирование по нормали к поверхности можно превратить в дифференцирование по касательной, как это уже было проделано в п. 48:

^) ^ = $ (пп') Ф (Р G (г — ?) cZ? - sS

- £ Ф (гЭ([ПЛVэ [nV]) G (г — ?) dr'; (76.4)

S

здесь мы использовали также волновое уравнение (А +1) G = 0. Во втором интеграле можно с помощью теоремы Стокса перенести операцию дифференцирования на ф [при этом криволинейный интеграл не появ-

ляется, так как поверхность (5) замкнута]; тогда получаем

^ Ф ?') ^ G (г - ?) dx' = ^ (пп') <р (?) G (г - ?) dx' + S8

+ ^ ([nV ф(?)Нп?<Ж-?)])*'• (76.5) S

Теперь в уравнении (76.2s) можно произвести нужный предельный переход:

{(пп') ф (г') G (г — г') + ([и' grad' ф (г')] [п grad G (г — г')])} dr' = —*

s

(76.2's)

Итак, для вычисления ф нужно решить неоднородное интегральное уравнение первого рода (76.2/?), между тем как ф определяется из интегро-дифференциального уравнения (16.2's). Таким образом, рассмотрение проводится здесь совершенно аналогично тому, как в п. 48 для бесконечно тонких экранов.

Интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В рассматриваемом случае тел с замкнутой поверхностью возможно в отличие от случая тонких экранов конечных размеров получить для функций ф и ф неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода (о чем мы уже говорили в п. 11).

Действительно, применяя условия (ду/5п)„ = 0, (5у/5и)+ = ф к уравнению (76.1/?), с помощью обоих равенств (9.4) получаем

L^^^^^^GCx-x'^dx’= 8-^^ .(76.6/>)

S

Это — интегральное уравнение Фредгольма второго рода для поверхностного тока ф (интеграл здесь следует понимать как главное значение). При его выводе нам совсем не пришлось явно использовать краевое условие (II/?); оно выполняется автоматически, если функция ф удовлетворяет уравнению (76.6/?). Действительно, подставляя (76.6/?) во второе равенство (9.4) (с нижним знаком), получаем \до/дп)_ — О, откуда следует, что у = 0 внутри поверхности (5) (в случае, если к не является собственным значением). Таким образом, у_ = 0 на поверхности, откуда в силу непрерывности выражения (76.1/?) при переходе через (5) получаем, что у+ = 0 на поверхности (5).

Применяя к уравнению (76.1s) соображения, аналогичные приведенным выше для уравнения (76.1/?), и используя формулы предельного значения (9.2") и условия и„ = 0, у+ = ф, получаем

уф?) — ^Ф?') ^G ?-t') dx' = у0?)-(76.7s)

s

В силу равенства (76.7s) предельное значение функции у_, определяемой соотношением (76.1s), при подходе изнутри равно нулю, откуда опять следует у ™ 0 внутри (5) [если исключить собственные колебания, которые возможны в области внутри (S) при дискретных значениях к и которые мы пока не рассматриваем]; следовательно, и (ду(дп)_ = 0. В силу выражения (76.1s) это значение нормальной производной непрерывно переносится на внешнюю сторону (5), чем гарантируется выполнение краевого условия (Ils): (dy/dn)+= 0.

Уравнение (76.7s) для ф представляет собой интегральное уравнение такого же вида, как и уравнение (76.6р); отличаются они не только правыми частями, но и «ядрами»:

K.G. V), --^6(;-?) = ^^(;i;-?i-i)e1'^ (76.7-,)

так как в них входят нормали к поверхности в разных точках, а именно и —и (г) и п' ~п(г'). Эти ядра несимметричны, причем для «транспонированных» ядер справедливо соотношение

(76.872s)(76.872s)Кр (rz, г) = — Ks (г, ?).

(76.872s)

(76.872s)

Электродинамическая задача. Электродинамическая задача заключается в определении векторного поля @, §, удовлетворяющего следующим условиям:

rot@ = ^, rot ^ — — № снаружи и внутри (5),(!')

[п®] = 0 на (5),(1Г)

@, ^ удовлетворяют условиям излучения (18.3) и (18.3а). (ПГ)

Если исключить собственные колебания, то решение должно быть таким, чтобы внутри поверхности (5) поле было равно нулю. Тангенциальная к (5) компонента электрического поля @ при переходе через (5) непрерывна, а тангенциальная компонента магнитного поля ^ испытывает разрыв, меняясь от значения [п^]_ = 0 до [п^]+ = 3- Поэтому можно представить искомое поле с помощью выражений (14.1), которые в нашем случае имеют вид

6 (г) = @о (г) + г rot rot ^ 3 (г') G (г — г") dr',

8(77.1)

§ (г) = @0 (г) + rot (j> 3 (rz) G (г — ?) dr'.s

Эти выражения совпадают по форме с выражениями (51.1), полученными для тонких ограниченных экранов. Наложение краевого условия (1Г) приводит здесь, как и в п. 51, к псевдоинтегральному уравнению

lim [п, rot rot ^ 3 (г') G (г — г') dt'\ = i [п@0].(77.2)

^+rs

G помощью тождества rot rot = grad div — А, волнового уравнения (A + l)G = 0 и тождества VG — — VG уравнение (77.2) после интегрирования по частям можно преобразовать в интегро-дифференциальное уравнение

[П, 3 (П G (г— г') -гdiv' 3 (?) grade (г — ?)] dr' = г [и@0 (?]• (77.3)

Оно совпадает с уравнением (58.3), которое было выведено для ограниченных бесконечно тонких экранов (5). В рассматриваемом сейчас случае можно опять получить для тока 3 чисто интегральное уравнение второго рода. Действительно, вычислим тангенциальную компоненту

магнитного поля из второго выражения (77.1); тогда с помощью формулы предельного значения (13.4) и условия [п§]+ = 3 получим для поверхностного тока 3 интегральное уравнение Фредгольма второго рода

4 3 (г) + f [п [3 (V) grad G (r — r')]]d? = [n@0 (r)b (77.4) s

Это интегральное уравнение можно записать в более прозрачном виде 4 3 W + $ 3 (г') • к (г, г') dr' = [п^о (г)1,(77.4/)

s

где «тензорное ядро» К определяется формулой

К (г, г') = 1 (и grad G(r — г'))^grad G (г —- г')(77.5)

(второй член следует понимать как диадное произведение векторов и и gradG). Здесь

grad G (г - ?) = ,- 1 г — Г' [ — 1) е4.(77.5')

4л | г — г |3

Уравнение (77.4) обеспечивает выполнение краевого условия (1Г) для @, ибо при подстановке уравнения (77.4) во второе равенство (13.4) (взятое с нижним знаком) получаем [п^]-"0, что эквивалентно равенству ^ = 0 внутри (5) (собственные колебания исключаются). Но отсюда следует @ —^rot^ — О внутри ^8\ а значит, и [п®]- —0. В силу непрерывности тангенциальной компоненты 6 в выражении (77.1) это граничное значение переносится на положительную сторону поверхности (5).

Интегральные уравнения (76.6р), (76.7s) и (77.4) для электрического поверхностного тока, а также уравнения, получающиеся при эквивалентном представлении поля с помощью магнитного поверхностного тока (о которых мы еще будем говорить ниже), рассматривались многими авторами [6,46 — 60]. Мюллер [46 — 49, 61] (см. также [62]) исследовал более общий случай тел с произвольной диэлектрической и магнитной проницаемостью (в котором приходится одновременно рассматривать и электрический и магнитный поверхностные токи) Исходя из теории Фредгольма— Гильберта, он подробно обсудил вопросы существования и единственности, на чем мы здесь останавливаться не будем. В. А. Фок [50 — 53] получил приближенные решения для случая, когда главные радиусы кривизны поверхности очень велики по сравнению с длиной волны. Ниже, при исследовании дифракции на цилиндре и сфере (см. п. 145 и 150), мы будем использовать аналогичный метод, развитый Францем и Депперманом [63]. Влияние ребер было исследовано Мауэ [6].

б. Значение собственных колебаний внутренней области для внешней задачи

Хотя задача о собственных колебаниях замкнутых объемов и не относится к рассматриваемой теме, мы должны вкратце остановиться на той роли, которую играют эти собственные колебания для внешней задачи. Как уже было показано, краевую задачу для внешней области

можно однозначно свести к интегральному уравнению второго рода для поверхностного тока только в том случае, когда внутренняя область не имеет собственных колебаний на рассматриваемой частоте. Само наличие интегрального уравнения второго рода прямо указывает на возможность существования «собственных токов» (т. е. решений транспонированного однородного уравнения), и мы сейчас увидим, что эти токи связаны с собственными колебаниями внутренней области. Далее будет показано, что эти собственные токи «излучают» поле всегда только во внутреннюю область, а во внешней области излученные волны гасятся вследствие интерференции. В связи с этим внешняя задача всегда однозначно разрешима т) (как это и должно быть в силу теоремы единственности решения; см. п. 20), хотя на первый взгляд кажется, что при наличии «собственных токов» она должна иметь решения, согласно альтернативе Фредгольма, лишь в тех случаях, когда правые части соответствующих интегральных уравнений (76.6/?) или (76.7s) «ортогональны» этим собственным токам. В действительности указанное ограничение справедливо только для внутренней задачи; при этом оно означает, очевидно, что вынужденные колебания с частотой собственных колебаний (без резонансной катастрофы) возможны только в том случае, когда полная работа, производимая источниками, равна нулю. Будем ограничиваться в основном скалярной задачей, придерживаясь, однако, электродинамической интерпретации (которая возможна, строго говоря, только в двумерном случае).

Связь между внутренней и внешней задачами. Электрические собственные токи. Приведем сначала еще раз результат для внешней задачи, который мы получили в предыдущем параграфе, исключив резонансный случай (когда внутренняя задача не имеет единственного решения) [ср. (76.1/?) с (76.6/?), (76.1s) с (76.7s)]

/?-случай:

(г) = у0 М — Ф фа (?') G(r — г') йх’ (электрическое поле),

S(78.1/9)

4" Фа W + ^ Фа (Ф) Кр (т, V) d< = ~l^ (электрический поверхностный ток); S

s-случай: ААА

и (г) = уо (г) + д)фа (Г) 5^7 G (г — г') d,V (магнитное поле),^

АрАА АА

"2 Фа М + ф фа (г') Кs (г, г') dx' = у0 (электрический поверхностный ток). s

Для задачи о внутренней области, ограниченной поверхностью (5), с помощью совершенно аналогичных соображений получаем однозначным образом (опираясь на существование во всех без исключения случаях единственного решения внешней задачи):

х) По этому поводу см. замечания редактора на стр. 224.— Прим. ред.

/7-случай:

у (г) = у0 (г) — ф фг (У) G (г — У) did (электрическое поле),

s(78. Гр)

—2 ^^r^ f ^(^^(Г ГЭ= -^- (электрический ток); s

s-случай:

и (г) ~ у0 (г) + л ф? 0^) G (г — г') dV (магнитное поле),

! А . SA AAA(78Л^)

— -^ фг (г) + ф? (И Ks (г, Г) dV = у0 (электрический ток).

S

Указанная в скобках электродинамическая интерпретация относится к двумерному случаю (ср. п. 4).

Эти представления пригодны для обеих задач во всем пространстве; соответствующие поверхностные токи фа, ера (или ф^ фО должны получиться (из определяющих их интегральных уравнений) такими, чтобы поле во внутренней (соответственно во внешней) области исчезало вследствие интерференции.

Умножим в /7-случае интегральное уравнение (78.1р) на произвольную пока функцию Ф(г) и проинтегрируем по поверхности (5); тогда изменяя в двойном интеграле порядок интегрирования и подставляя значение транспонированного ядра (76.8ps), получаем

^ фа (г) | — у Ф (г) + ^ Ф (Г) Кs (г, V) ^ } dr — — ^Ф (г) dx. sSS

Если однородное интегральное уравнение для собственного электрического тока в s-случае

— — Ф (г) Ф f Ф (г') Кs (г, г) dV = 0(78.2s)

имеет нетривиальные решения, то неоднородное интегральное уравнение (78.1р) разрешимо, очевидно, только в том случае, когда его правая часть dvQ/dn ортогональна к собственным функциям Ф (альтернатива Фредгольма). Уравнение (78.2s) представляет не что иное, как интегральное уравнение внутренней однородной задачи для s-случая. Собственными функциями уравнения (78.2s) являются те самые токи, которые соответствуют собственным колебаниям внутренней области в s- случае («собственные s-токи»). В случае /-кратного вырождения собственной частоты tov существуют / независимых собственных функций Фф. Ф^ф Ф^\ которые мы можем считать взаимно-ортогональными и нормированными. Итак, условие разрешимости интегрального уравнения (78.1/7) в случае s-резонанса на собственной частоте (ov имеет вид

$<Цфг)4фг = 0 (Z = l, 2,(78.3/>)

Если существуют собственные s-токи, то, вообще говоря, внешнее поле не может быть представлено с помощью электрического поверхностного тока фа, определяемого уравнением (78.1р) [случай собственных

^-колебаний мы были вынуждены исключить при выводе уравнения (76.6/?)]. Внешнее поле можно выразить через поверхностные токи только в том случае, когда функция dv^dn ортогональна ко всем собственным функциям Ф^\

Точно так же и в s-случае решение внешней задачи, вообще говоря, не может быть представлено с помощью электрического поверхностного тока сра, определяемого уравнением' (78.1s), если существуют «собственные р-токи» ТА, являющиеся решениями транспонированного однородного интегрального уравнения, соответствующего уравнению (78.1s):

-Д' (б + $чЩ)7Гр(г, ?) А' = 0.(78.2/9)

Функция у0 должна быть ортогональна собственным функциям Ч7^ $ Ч7^,0 (v) у0 <й = О (Z = l, 2, ...,/).(78.3s)

Экранирующее действие идеального проводника. Легко видеть, что собственный ток, текущий по поверхности (5), не создает поля излучения во внешней области. Другими словами, поверхность (5), рассматриваемая как бесконечно топкая оболочка, на которой выполняется краевое условие л = О (или dujdn — 0), полностью экранирует поле собственных колебаний внутри (5). Действительно, поле излучения собственных s-токов равно

ГЖН -$Ф(г')-^С(г-гЯг;(79.1s)

S

используя (9.2"), получаем

Ит У5(г)= =р А ф (г) ж^ ф (г^/Д (г, г') cW«(79.Vs)

r->r±Og

Так как собственные s-токи удовлетворяют однородному интегральному уравнению (78.2s), то (1Д)+ = 0 па внешней стороне (А), откуда в силу теоремы единственности для внешней задачи (см. п. 20) можно заключить, что ТД еее 0 во внешней области. Таким образом, из условия непрерывности нормальной производной поверхностного интеграла (79.1s) следует (дУ51дп)± = 0, а формула (79.Ts) приводит к равенству (|/s)_ = = Ф(г). Следовательно, выражение (79.1s) в действительности описывает собственные s-колебания внутренней области, полностью экранированные от внешней области. Резюмируя, напишем

(7А = ф, (К)+ = о, (АЮ)± = о.(79.ГА

Аналогично для собственных колебаний в p-случае имеем

Ю(Ч = рЫГ)С(г-г')Л'-(79.1/))

Отсюда с помощью формулы предельного значения (9.4), однородного интегрального уравнения (78.2р) для собственного /?-тока и теоремы единственности для внешней задачи, а также в силу непрерывности V р

при переходе через поверхность (5) получим

(79-1»

Необходимо еще выяснить, что означают найденные выше условия разрешимости внешних задач (78.3/?) и (78.3s), так как доказательство теоремы единственности в п. 20 было проведено без подобных ограничений. Забегая вперед, отметим, что необходимость этих условий является, как и при решении внешней задачи Дирихле в теории потенциала [64], чисто иллюзорной; она возникает вследствие представления поля в виде поля излучения электрических поверхностных токов, определяемых из интегрального уравнения второго рода. Если продолжать придерживаться интегральных уравнений второго рода, то в тех случаях, когда условие (78.3/) [или соответственно (78.3s)] нарушено, необходимо добавить слагаемое, которое нужно интерпретировать как поле излучения магнитных поверхностных токов на (д’).

Собственные магнитные токи. Для дальнейшего важно отмстить то обстоятельство, что при отсутствии собственных колебаний поле снаружи и внутри поверхности (5) можно представить с помощью одних только магнитных поверхностных токов. Это ясно из следующих соображений: если представить поле для р- и s-случаев в виде

и (г) = г0 СО + ^ Ф (О) -^т G (г — г') dV (электрическое поле), (80.1/) s

v (г) = г0 (г) — ^ ф (f) G (г — г') dV (магнитное поле),(80.1s)

то из краевого условия г = 0 (или соответственно ди/дп = 0) с помощью формул (9.2") и (9.4) получим для магнитных поверхностных токов ф и ф соответственно уравнения

(80.2/)(80.2s)(80.2/)(80.2s)+4 м+^ (?)к$ й ?)йх'=уо,

(80.2/)

(80.2s)

(80.2/)

(80.2s)

Т у Ф W + $ Ф (?) Кр (? ?) 4' = -^-,

S

причем верхний знак относится к внешней, а нижний —к внутренней задаче (электродинамическая интерпретация величин по-прежнему относится к двумерному случаю).

При наличии собственных колебаний внешняя задача в этом случае будет разрешима, если выполнено условие

(80.3/)(80.3/)Ф^} (г) г0 dr = 0

(80.3/)

(80.3/)

s

или соответственно

(80.3s)

где «собственные магнитные р- и s-токи» представляют собственные функции однородных интегральных уравнений

Ар /-"А АА АА

2-Ф(г)-ЬфФ(г,)7Гр(г, г')(собственный магнитный s-ток), (80.4s)

s'*

.—А Ар ^-А АА АА

Y V (г) + ф V (г') Кs (г, г') dV = 0 (собственный магнитный р-ток). (80.4р)

s

Эти собственные токи снова соответствуют собственным колебаниям внутренней области. С помощью соотношения (76.8ps) легко установить, что уравнения (80.4s) и (80.4р) представляют собой просто транспонированные уравнения (78.2s) и (78.2р\ Таким образом, уравнения (78.2s) и (80.4s), а также уравнения (78.2р) и (80.4р) имеют одни и те же собственные значения, а именно собственные частоты внутренней области соответственно для s- ц p-случаев. Таким образом, переход к представлению поля с помощью магнитного поверхностного тока математически означает не что иное, как переход к транспонированному интегральному уравнению. Необходимо подчеркнуть, однако, что выражение поля через магнитные токи (80.Ips) в отличие от представления с помощью электрических токов (76.1р) и (76.2s) пригодно не во всем пространстве, а справедливо либо только во внутренней, либо только во внешней области, так как в дополнительной области пространства эти выражения не обращаются в нуль.

Взаимодействие электрических и магнитных поверхностных токов в резонансном случае. Если при наличии собственных колебаний внутренней области выполнено условие (80.Зр) [или (80.3s)], то решение интегрального уравнения (80.2р) [или (80.2s)], взятого с верхним знаком, определено лишь с точностью до произвольной линейной комбинации решений однородного уравнения, т. е. с точностью до собственного тока Ф(/) [или Ч^^], определяемого уравнением (78.2s) [или (78.2р)]. (Теперь мы будем опускать индекс v, так как все дальнейшие расчеты относятся к одной и той же резонансной частоте <ov.) Но, как мы видели, эти токи не излучают волн во внешнюю область, так что представление поля оказывается однозначным.

Это справедливо и в том случае, когда отброшены ограничения (80.Зр) и (80.3s). Чтобы показать это, рассмотрим p-случай и напишем вместо условия (80.Зр)

^Owu0dr = Ab (81Лр) S

где Аг — произвольное число; Аг ^ 0. Вместо (80.1р) используем представление

v (г) = и0 (г) + ^ $ (V) g^r G (г — V) dt' — 2 ®z ^ Ф<г> Й) G (г — V) dV, (81.2^) s1=1 s

т. е. суперпозицию полей излучения магнитного поверхностного тока ф — у+ — у_ и электрического тока

У ,„ф« = ( УЛ -(УУ).

\ дп J +\ дп J „

1=1

который мы будем строить специальным образом из собственных функций тока Фа\ Определим выбор этой линейной комбинации, наложив на выражение (81.2р) краевое условие ^ = 0 (г —> г + 0):

— yW) + + (r')Xs (г, У) dy = и0 — ^сц^Ф^ (У^С^ — У^х' (81.3/?) sz=i s

и определив коэффициенты at так, чтобы правая часть

v0 — 2 а А^') G(t — V) dy

1=1 s

этого уравнения была ортогональна ко всем функциям Ф(/) (Z — 1, 2, ...,/).

Тогда, используя (81.1/), получаем систему уравнений

tiavClv=Al (Z = l, 2,(81.4)

V=1

где

Си- = ^ dx Ф(!> (г) G (х - У) Ф(Г> (С УУ .(81.5/?)

S S

Можно показать, что детерминант | CV | системы уравнений (81.4) всегда отличен от нуля [65]2). Таким образом, коэффициенты опре-

х) В цилиндрическом случае вместо ф и ^ Я;Ф(^ имеем соответственно

^ Методически более простое доказательство дано в работе Мюллера [66]. Аналогичные разложения даны в книге Купрадзе [35], где изложение основано на одной из его работ, опубликованной в 1943 г.

Величины Сц' Вейль называет коэффициентами емкости поля излучения по аналогии с электростатикой, где энергия W поля / проводников с заданными зарядами ^z G=+ 2, ..., /) может быть представлена в виде РГ^1^ ^^ivQiQv • хи

Здесь С^г, — статические коэффициенты емкости:

J J 4л [-rz_rr |

где тц (г) — равновесная плотность распределения единичного заряда на поверхности Z-ro проводника (в отсутствие остальных проводников); функции ц/ (г) определяются из однородного интегрального уравнения второго рода, аналогичного нашему уравнению для собственных функций тока (ср. [64]). Следует, однако, указать, что в нашей динамической задаче индекс Z нумерует собственные функции, соответствующие вырожденному /-кратному собственному значению сщ для внутренней области, в то время как в статической задаче Z нумерует отдельные изолированные друг от друга проводники. Следовательно, в первом случае существование / линейно независимых собственных функций основывается на /-кратном вырождении собственного значения, а во втором — на том, что область интегрирования

деляются из системы (81.4) однозначно; следовательно, и поверхностный ток ф находится из уравнения (81.3/?) с точностью до произвольной линейной комбинации решений однородного уравнения (78.2s). Но эти решения не дают вклада при вычислении поля (81.2/?) во внешней области. Впрочем, можно показать, что ток ф тоже можно определять однозначно, выбирая линейную комбинацию так, чтобы функция ф была ортогональна всем собственным функциям Ф<0.

Таким образом, мы показали, что и в случае существования собственных колебаний внутренней области метод интегральных уравнений второго рода приводит для внешней краевой задачи к единственному решению1). Правда, для этого приходится использовать более общее представление поля в виде суммы полей электрического и магнитного поверхностных токов (это не имело места, как мы видели в п. 76,а, при использовании интегральных уравнений первого рода).

Изложенный метод с самого начала связан с предположением, что поверхность тела в каждой точке имеет единственную касательную плоскость (т. е. ребра исключаются)2).

С помощью этого метода мы выяснили вопрос о том, каким должно быть распределение тока на поверхности (5) для того, чтобы оно не создавало поля излучения во внешней области («собственные токи»). Этот вопрос впервые был поставлен Магнусом [7], который смог решить его только для случая плоских ограниченных экранов (когда, естественно, не существует собственных токов), так как он рассматривал только интегральные уравнения первого рода.

Векторные поля. Методы и результаты решения скалярной задачи можно почти без изменений перенести на трехмерные электродинамические задачи [61, 67, 68]. Ограничимся лишь сопоставлением важнейших формул. Прежде всего здесь, как и раньше, краевую задачу (Г) — (ПГ) можно решать, вводя магнитный поверхностный ток 2. Тогда вместо представления (77.1) имеем

6 (г) = @о (?) + rot ^ 2 (г') G (г — г') dr\

s(82.1)

§ (г) _ §0 (г) — t rot rot ^ 2 (г') G (г —- г') dr.

S

состоит из / не связанных друг с другом частей. Доказательство Мюллера основано на применении формулы Грина (для внешней области) к функции

vs (г) =^ Ф (rz) G (г— г') dV.

8

и к ее комплексно сопряженной величине, причем учитываются краевые значения

S и условие излучения

r->oo V dr

Это важно с математической точки зрения, так как вопросы существования решения нашей краевой задачи могут быть выяснены только с помощью интегральных уравнений второго рода (см. [35, 65, 66]).

О телах, имеющих ребра, см. работу Мауэ [6],

12 Заказ №13

При этом краевое условие [пё]±=0 вместе с формулой предельного значения (13.4) дает

+ |£М+^£ (т'ук^, tW = №(82.2)

S

где верхний знак берется для внешней, а нижний — для внутренней задачи; представление (82.1) также справедливо соответственно лишь во внешней или во внутренней области. Если существуют нетривиальные решения однородного интегрального уравнения, соответствующего уравнению (82.2), то последнее для внешней задачи, вообще говоря, уже не будет иметь решения и необходимо взять более общее представление, чем (82.1):

Й (г) = @о (г) + rot ^ 2 (г') G (г — г') dr' + S

+ г rot rot 2 аг ^ ^ ^^ ^ (Y " V) ^ ’ (82.1') s'

где 3^)" собственные функции однородного интегрального уравнения - 4 S W + ^ К* (< ? • 3 (?) d? - 0,(82.3)

s

соответствующие /-кратно вырожденной собственной частоте cov (звездочка означает комплексно сопряженную , величину). Коэффициенты а^ опять определяются однозначно из того условия, что правая часть интегрального уравнения.

— у 2 (г) + ^ 8 (г') • К (г, г') dr' =

's

= [ n, @о + i 2 ai $ ^(0 (гЭ G (r — r') + div' 3 (r') grad G (r — r)} Ax' J , (82.2')

получающегося из уравнения (82.1') с помощью краевого условия [п(£] = 0, ортогональна ко всем собственным функциям ^1^. Тогда «магнитный ток» 2 (г) определяется из уравнения (82.2') однозначно, если потребовать дополнительно, чтобы функция 2 была ортогональна всем / функциям, комплексно сопряженным собственным функциям однородного интегрального уравнения (82.2):

=(82.4)

S -

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХРАССЕИВАЮЩИХ ТЕЛ

Введение. Хотя в предыдущем изложении мы оставляли открытым вопрос о числе «рассеивающих» или «дифрагирующих» тел, но фактически имели’ в виду только простейший случай одного тела. Теперь предположим, что одновременно имеется несколько (одинаковых или различных)

тел (или отверстий). Дифракционное поле каждого отдельного тела (рассматриваемого изолированно) будем предполагать известным. Интересно выяснить, как дифракционное поле отдельного тела входит в общее дифракционное поле всех тел. (Обычныйпринцип суперпозиции здесь, очевидно, не пригоден, так как поле отдельного тела удовлетворяет краевому условию только на этом теле.) В рамках теории Кирхгофа (особенно для поля в дальней зоне Фраунгофера) на этот вопрос ответить нетрудно [69]: в случае дифракции на нескольких одинаковых объектах поле каждого тела входит в рассматриваемое общее поле как «формфактор». Аналогичная задача была рассмотрена и в рамках строгой теории; при этом применялось несколько разных подходов.

Взаимодействие двух рассеивающих тел было впервые рассмотрено Шварцшильдом [70] в связи с задачей дифракции на щели. При этом было учтено излучение обеих щек щели, каждую из которых можно рассматривать как полуплоскость Зоммерфельда, а решение задачи Зоммер- фельда о дифракции на полуплоскости хорошо известно (см. гл. IV, § 1 и п. 122). При наличии нескольких рассеивающих (или дифрагирующих) тел метод Шварцшильда, опирающийся на функцию Грина отдельного тела, оказывается не очень удобным и может быть заменен более простым методом, использующим только функцию Грина для свободного пространства и основанным на непосредственном применении принципа Гюйгенса. Последний метод можно также весьма наглядным образом применить к обычной теории дифракции на решетке или к случаю непериодического распределения системы тел. В заключение будет несколько подробнее рассмотрена задача об излучении двух рассеивающих цилиндров при перпендикулярном падении на них плоской волны.

а. Метод Шварцшильда для двух тел

Вывод интегральных уравнений. Дадим сначала, следуя Бекеру и Копсону [71], общую формулировку скалярной задачи взаимодействия

Фиг. 46. К рассмотрению итерационного метода Шварцшильда для расчета взаимодействия двух тел.Фиг. 46. К рассмотрению итерационного метода Шварцшильда для расчета взаимодействия двух тел.двух тел. Пусть даны два тела (фиг. 46) с поверхностями (Si) (радиус-вектор rj и (S2) (радиус- вектор г2); требуется найти решение волнового уравнения (A + l)v = 0, удовлетворяющее на (Si) и (S2) граничному условию dv/dn = 0 (s-случай), а также условию излучения и условию на ребрах (если таковые имеются). Допустим, что соответствующие решения для каждого отдельного тела известны.

Фиг. 46. К рассмотрению итерационного метода Шварцшильда для расчета взаимодействия двух тел.

Фиг. 46. К рассмотрению итерационного метода Шварцшильда для расчета взаимодействия двух тел.

Предполагается, что падающее излучение является сферической

волной у0 (г) = ^ 1$-го1/4л | г — Го|? исходящей из точки г0, а решения

мы обозначим СДг, г0) (^ = 1, 2). Таким образом, Gt есть не что иное, как функция Грина (второго рода) для поверхности (St), так как она удовлетворяет дифференциальному уравнению (А + 1) Gt (г, г0) = — 6 (г — г0) и краевому условию ^dGjdn^ — 0 на (S^ (а также условию излучения

и условиям на ребрах). Согласно теории функций Грина (см. п. 9 и 34), выражение

и, (г) = У <Pz (ri) Gi (г — Tf) dxtSi

представляет регулярное вне поверхности (St) решение волнового уравнения, производная которого по нормали диг!6пг принимает на (5?) заданное значение фг.

Обозначим производную функции v0 по нормали на поверхности (8^ через фо(^г) и рассмотрим две функции:

Л (г) = — рф2 (Т1) + Фо (ti)] Gt (г, Ы Л1;

51 Л А А А(84.1$)

у2 (г) = — ^ [ф1 (г2) + фо (г2)] с2 (г, г2) Л2,

82

где ф2 (ri) — значение производной по нормали функции v2 на поверхности (51), а Ф1(г2)~то же самое для функции vt на (52). Следовательно, имеем

Ф1 (г2) = — ^ [ф2 (ti) + фо (ri)] ^ Gi (r2, ti) dXi, ■

2

Л. А. д ЛАЛ(84-2$)

ф2 (Г1) = - ^ [ф1 (г2) + фо (r2)] g^ G2 (гь r2) dx2.

Далее, функция ^ = ^ + ^2 удовлетворяет на (5^ краевому условию dv^/dn^ — фо Ой), а на поверхности (52) условию dvs/dn2 — —фоС^)- Таким образом, решение волнового уравнения

У (г) = v0 (г) + Vs (г) = Vo (г) + V1 (г) + v2 (г)(84.3)

удовлетворяет краевому условию диЮп^О одновременно и на (5J, и на (52), а также условию излучения и условию на ребрах. Следовательно, выражение (84.3) представляет искомое решение нашей дифракционной задачи при наличии обоих тел. Однако при этом предполагается, что разрешена система интегральных уравнений (84.2s); она состоит из двух неоднородных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Чтобы показать это, запишем систему (84.2s) в виде

Ф1 (г2) = Ф1 (г2) — 5 ф2 (Г1) К12 (г2, Г1) dxv

..Л АЛА(84.2'$)

ф2 (Г1) = Ф2 (ti) — \ Ф1 (r2) K2V (Г1, г2) Л2,

s2

где

Ф1 (r2) = — j( Фо (Г1) кtt (г2, Г1) dXi,

АЛАЛЛ(84-4$)

Ф2 (ti) = — ) фо (г2) #21 (tl, г2) Л2,

«2

а ядра

к и (r2, r1) = ^-G1 (r2, гА

. ./. .(84.5s)

^21 (Гь Г3) = ^ G2 (ti, г2).

Подставим теперь второе уравнение (84.2's) в первое; при этом мы получим неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода для одной только неизвестной ф1? имеющее «повторное» ядро

^12 (r2, ti)^21 (п, r2') <hv(84.6)

81

По найденной функции ф± другая неизвестная ф2 определяется из второго уравнения системы (84.2's) простой квадратурой.

С помощью этого метода можно решить также и задачу о двух бесконечно тонких экранах, если известны функции Грина для каждого экрана в отдельности. Преимущество этого метода заключается в том, что каждое интегральное уравнение относится только к одному телу (51) или (52), что упрощает геометрические соотношения. Однако это упрощение достигается ценой значительно большей сложности повторного ядра (84.6).

Итерации. При решении системы (84.2's) естественно взять в качестве нулевого приближения функции

Ф?° = Ф1,Ф(20) = Ф2(85.1)

и подставить их в правые части уравнений (84.2's). Тогда получим первое приближение ф^ и ф^; повторяя эту операцию, можно получить высшие приближения по схеме

фГ’ (г2)=Ф1(г2)— ^ фг'”-0 (Г1)^12 (r2, ti)^,

а А 81 а а А а(85.2)

фГ"1 М = Ф2 (и) — Ф^ П (r2) ^2i (ti, т2) dx2.

82

В принципе это тот же самый итерационный метод, который применил Шварцшильд [70], решая задачу дифракции на щели, причем функции Грина для каждой из двух полуплоскостей используются в указанном выше смысле, поскольку они определенным образом входят в первую ступень итерационного процесса.

В своих более физических рассуждениях Шварцшильд исходил из того, что функция ф10) [нулевое приближение (85.1)] соответствует волне, возникающей при рассеянии первичной волны у0 на поверхности (5J без учета поверхности (52); аналогично ф(20) описывает лишь рассеяние на (52) без учета поверхности (5J. Действительно, решением задачи дифракции на одной поверхности (5^ является функция

(г) = у0 (г) — ^ Фо (ti) Gx (г, ti) dv^,(85.3s)

Si

а аналогичной задачи для поверхности (S2) —функция

у(20) (г) = Уо (г) — фо (г2) G2 (г, r2) dr2.(85.3's)

S2

Следовательно, функция Ф1(г2) см. [(84.4s)] представляет производную по нормали к поверхности (S2) от рассеянной волны нулевого приближения— <Ро(Т1)С1(г, гО Л1 (аналогичное утверждение справедливо и для

Si

функции Ф2). Таким образом, нулевое приближение для рассеянного поля представляет наложение двух полей, создаваемых телами (8^ и (S2) по отдельности. Тогда первое приближение описывает рассеяние на теле (52), если рассматривать в качестве «падающей» волну, рассеянную на (S^ в нулевом приближении (и наоборот), и т. д.

Изложенные соображения позволяют установить, при каках условиях несколько первых приближений дают достаточно хороший результат. Это имеет место в том случае, когда рассеивающие тела удалены друг от друга настолько, что амплитуда волны, рассеянной одним телом, в месте расположения второго тела мала по сравнению с амплитудой падающей волны. Шварцшильд доказал, что последовательность итераций в его методе сходится. Однако сходимость оказывается настолько медленной, что этот метод не приобрел до сих пор большого значения в практических расчетах. Иначе обстоит дело, если среда, в которой расположены тела, является поглощающей (т. е. волновое число к имеет положительную мнимую часть), поскольку в этом случае волны, рассеянные телами, экспоненциально затухают с увеличением расстояния от тел [72].

б. Непосредственное применение принципа Гюйгенса к задаче рассеяния на многих телах

Рассмотрим задачу двух тел с иной точки зрения, которая является более плодотворной и имеет большее практическое значение (ср. [73]). Ограничимся здесь для простоты задачей рассеяния в /9-случае.

Метод итераций для расчета взаимодействия двух тел. Будем сначала считать число рассеивающих объектов произвольным. Как в случае бесконечно тонких экранов с ребрами (см. § 1 настоящей главы), так и в случае тел конечного объема (см. § 4) возникающее поле можно представить в форме

у(г)=:у0(г) — 2 ^ 'ФЛгОС^ — x^dtt (86.1/?) г Si

[ср. (46.1/9) или (76.1/9)]; здесь величины фг (г?) суть поверхностные токи, индуцируемые на телах (St).

При вычислении поверхностных токов фг- ограничимся для простоты случаем двух параллельных цилиндров (или щелеобразных отверстий), зеркально симметричных относительно некоторой плоскости Е (фиг. 47). Будем предполагать, что первичная волна у0 является либо плоской волной, фронт которой перпендикулярен плоскости Е и параллелен образующим цилиндра, либо цилиндрической волной, особая линия которой лежит в плоскости Е и параллельна образующим. Тогда токи в зеркально симметричных точках ti и г2 обоих цилиндров будут равны в силу симметрии. Однако эти токи, конечно, не равны тому току.

который индуцируется на одиночном цилиндре, возбуждаемом той же самой первичной волной, а определяются суммарным излучением обоих цилиндров. Это изменение поверхностного тока (по сравнению с токами на бесконечно удаленных друг от друга цилиндрах), которое, естественно, не учитывается теорией Кирхгофа, мы будем определять с помощью теории возмущений. [Предполагается, что электрический вектор

Ф и г. 47. К расчету взаимодействия двух зеркально симметричных цилиндров методом итераций.

($у = у колеблется параллельно образующим цилиндра (/9-случай). В формуле (86.1/?) G (г — » означает функцию Грина свободного пространства, т. е. в двумерном случае G (г —Г;) = (f/4) Н^ (|r — Vi |); ср. (8.3а).]''

Поверхностные токи ф/ являются решениями интегральных уравнений

^ Ф1 (и) G (г — it) Лц + ^ ф2 (r2) G (г — г2) йг2 = у0 (г), г g (S J или г g (52), SiS2

-(86.1»

которые получаются непосредственно из краевого условия у —0 [ср. (46.2/9) и (76.2/9)]. Если вектор а соединяет две зеркально симметричные точки ri и г2 сечений цилиндров (SJ и (52), то для точки г, лежащей на (S^, можно написать | г — r21 — | г —ii + <i|>6, где 6 —наименьшее расстояние между двумя точками, одна из которых лежит на поверхности (SJ, а другая —на (52) (см. фиг. 47). Следовательно, вместо уравнений (86.1'р) имеем

5 'ФиЩбЩ — rO + G^ — t! + а)} ^4 = Уо(г), xtAS^,(86.Г»

81

так как ф1 » = ф2 (г2) — ф (г^; при этом предполагается, что точка г может перемещаться только вдоль поверхности ^S^. Если же точка г лежит на (52), то из уравнения (86.Г» следует

Ф (Гг) (G (г —r2) + G (г —r2 + a)}dr2 = уо (Й> г € №), s2

что идентично с уравнением (86.1"/?) в силу симметрии..

Пусть теперь цилиндры настолько удалены друг от друга, что взаимодействие между ними за счет излучения можно рассматривать как малое возмущение; тогда уравнение (86.1'» можно решить с по-

мощью метода итераций. Действительно, если расстояние между цилиндрами b велико по сравнению с длиной волны (которую мы используем как единицу длины): 6 > 1, то аргумент второго члена в фигурных скобках всегда велик по сравнению с единицей; следовательно, этот член имеет порядок l/^b < 1 (приближение Ханкеля) и очень мал по сравнению с первым членом, аргумент которого может обращаться в нуль (тогда функция Ханкеля имеет логарифмическую особенность).

Для большей наглядности записи введем два интегральных оператора

Qo= \ G (г — г'). • -dx',

(86.2)

Qi = ^ G (г — г' + а)... dV,

Si

тогда уравнение (86.V’p^ можно представить в виде

(Йо -р^Ф^о,(86.1»

причем в символической форме имеем й0 ^ йР

Применим теперь теорию возмущений, разложив функцию ф в ряд:

^=2^,(86.3)

относительно членов которого предположим, как обычно, что функция фу настолько же мала по сравнению с фv_l, насколько й4 мало по сравнению с Qo. Тогда, подставляя ряд (86.3) в интегральное уравнение (86.V'p) и приравнивая величины одного порядка в обеих частях этого уравнения, получаем

йофо = ^0,

О0ф1^ — Q^o,(86.4)

йдфу —Й1фу_1.

Таким образом, можно последовательно вычислить члены ряда фу, причем для разных фу имеем интегральные уравнения с одним и тем же ядром G(r —ri) [ср. (86.2)], но с различными правыми частями (они все более усложняются с ростом v). Здесь Qo —тот же оператор, который встречается в задаче о рассеянии на отдельном цилиндре. Действительно, первое уравнение (86.4) есть не что иное, как интегральное уравнение для тока ф0, текущего по поверхности отдельно взятого (уединенного) тела, решение которого предполагается известным.

Остальным величинам, входящим в формулы (86.4), тоже можно дать наглядное истолкование. Например, член —Q^o представляет, очевидно, ту рассеянную волну, которая падает на (St), если на (S2) течет поверхностный ток ф0 [это следует из второй формулы (86.2), если учесть, что рассеянная волна имеет вид — ^ ф(г2) G (г — г2) ^Т s2

Эта волна индуцирует на (Si) поверхностный ток фр Такой же ток фь текущий по поверхности (S2), создает рассеянное поле, величина которого на (S^ равна —Q^i; оно наводит на (Si) поверхностный ток ф2

и т. д. Таким образом, с помощью ряда (86.3) процесс дифракции представлен как последовательность воздействий, оказываемых попеременно обоими телами друг на друга (многократное рассеяние). Мы получаем такие же соотношения, как и в п. 85, однако формулы настоящего пункта более удобны для расчетов.

О сходимости. Как уже упоминалось выше, Шварцшильд рассмотрел вопрос о сходимости для частного случая ряда типа (86.3), члены которого определяются из системы уравнений (86.4). В общем случае полезно представлять себе, что ряд (86.3) можно рассматривать и как решение интегрального уравнения второго рода

Ф(т)Но(г)-^(0^(1-гЖ г6 (50(87.1)

в форме ряда Неймана. Здесь ядро F (г, гц) является решением интегрального уравнения

7'(г,, г() <7(г! — rO^ = G (г, — г2), Г16№), Ггб^г). (87.2) Si

Таким образом, функция F (r2, щ) представляет собой поверхностный ток, который индуцируется в точке ту на (S^, если на эту поверхность падает цилиндрическая волна С(г — г2), где т^^У Чтобы пояснить наше утверждение, введем оператор

^(^ ?) ... dr/(87.3)

Si

и запишем уравнение (87.1) в виде (1 + 6) ф = ф0. Решение этого интегрального уравнения в форме ряда Неймана можно символически записать в виде

I|) = (bh6r1^= У (-1T6V(87.4)

v=0

С другой стороны, решение уравнения (86.V"p) можно также представить в символической форме:

= (1 + CV^T1 й;Ч = X ( - l)v (^Й^ йо^о- (87.5) V— 1

Однако в силу первого уравнения (86.4) имеем Qj1^ — Фо 11 О — Q^Q [в чем можно убедиться, сравнивая выражения (86.2), (87.2) и (87.3)]. Таким образом, выражения (87.4) и (87.5) совпадают [а ряд (87.5) представляет собой не что иное, как ряд (86.3), в который подставлены функции фv из (86.4)]. Поскольку на основании физических соображений можно предполагать, что поверхностная плотность тока ^(т2? ti) ограничена, сходимость ряда Неймана может быть доказана обычным методом (см., например, [24]).

Рассеяние на двух цилиндрах. Рассмотрим подробнее практическое применение метода, изложенного в п. 86 ^ По-прежнему будем

!) Высшие приближения вычислены в работе [74].

считать, что цилиндры расположены зеркально симметрично относительно плоскости уг, ось у направлена параллельно образующим цилиндра, а возбуждение осуществляется плоской волной, распространяющейся в направлении положительной оси z (фиг. 48). Допустим, кроме того, что наименьшее расстояние между цилиндрами велико по сравнению с длиной волны и что поперечное сечение одного цилиндра видно под малым углом, если рассматривать его из любой точки другого цилиндра.

Фиг. 48. К задаче рассеяния на двух зеркально симметричных цилиндрах.

Если мы будем отсчитывать ^-координату точки г от некоторого начала отсчета О1 внутри поверхности (Si), а х-координату точки г2—в зеркально отраженном (т. е. в противоположном) направлении от точки О^ зеркально симметричной точке 0^ то получим приближенно в случае, когда точка г лежит на (Si),

I — r21 = ci — х (s) — х (s2) + • • • •(88.1)

Здесь s и s2 — длины дуг кривых (Si) и (S2) соответственно до точек г и г2 или какой-либо другой подходящий параметр (см. фиг. 48). Вводя ради краткости обозначения G (г (s) — ri (sj) = G (s, sA) и аналогично для точки г2, получим для функции Грина G(s, s2) приближение Ханке л я

G(s, s2) =^ (»)+«(«г)]_(88.2)

2 У 2л У а

При этом мы использовали выражение (88.1), а медленно меняющийся множитель |г —г^-1^ заменили на а_1/2, что оправдано в тех случаях, когда линейные размеры поперечного сечения цилиндра в направлении оси х малы по сравнению с а. Если сделать это новое предположение, то от ряда (86.3), как мы сейчас увидим, останутся только два первых члена [в приближении, даваемом формулой (88.2)]. Интегральное уравнение (86.Г» с помощью (88.2) можно записать в виде

^^(s')G(s, s') ds' = у0 (s) А-Ае-гх^\ sE^iX (88.3/?) Si

где

A = eф (s)(s) ds.(88.4)

Таким образом, присутствие второго цилиндра сказывается на поверхности (5J лишь в том, что в правой части уравнения к первичной волне у0 — егг^ добавляется плоская волна Ае-^^, идущая от другого цилиндра. Амплитуда этой волны А представляет собой амплитуду рассеянного излучения тела (£2), если по его поверхности течет общий ток ар. Вследствие линейности уравнения (88.Зр) можно решить его с помощью подстановки ф = ф0 + Афь где

Фо (s') G (s, s') ds' = ^iz (s\

?(88.3»

\ ^i(s')^(s, s3 ds' =

Si

Чаким образом, поверхностный ток представляет сумму двух слагаемых: во-первых, тока, индуцированного падающей волной ег\ и, во-вторых, тока, индуцированного плоской" волной Ае~гх. Амплитуда А получается после подстановки функции ф^фо + Аф! в выражение (88.4) в виде

гдеЗЯг/4 гагдеЗЯг/4 гаА о —7~== —\2 у 2л у a JS1А о —7~== —\2 у 2л у a JS1ds,ds,Ai —Ai —,-ЗлЦ4 еш,-ЗлЦ4 еш(Ж4Г)(Ж4Г)2 /2л У а2 /2л У аФ1 (s) е-'^5) ds.Ф1 (s) е-'^5) ds.

где

ЗЯг/4 га

где

ЗЯг/4 га

А о —7~== —\

2 у 2л у a J

S1

А о —7~== —\

2 у 2л у a J

S1

ds,

ds,

Ai —

Ai —

,-ЗлЦ4 еш

,-ЗлЦ4 еш

(Ж4Г)

(Ж4Г)

2 /2л У а

2 /2л У а

Ф1 (s) е-'^5) ds.

Ф1 (s) е-'^5) ds.

зависящие толькополя, созданногоПосле разрешениязависящие толькополя, созданногоПосле разрешенияот формытоками ф0интеграль-от формытоками ф0интеграль-Ао и At (множители,амплитуды рассеянногоуединенном цилиндре.Ао и At (множители,амплитуды рассеянногоуединенном цилиндре.Таким образом, цилиндра) суть или ф! на одном ных уравнений (88.3^) (относящихся к одному цилиндру) поверхностные токи на взаимодействующих цилиндрах получаются в виде

зависящие толькополя, созданногоПосле разрешения

зависящие толькополя, созданногоПосле разрешения

от формытоками ф0интеграль-

от формытоками ф0интеграль-

Ао и At (множители,амплитуды рассеянногоуединенном цилиндре.

Ао и At (множители,амплитуды рассеянногоуединенном цилиндре.

^ы=^о (s)+Аз^ ь о)-<88-5)

Аналогичные методы можно развить для большего числа рассеивающих цилиндров и для более общего их распределения в пространстве (например, для нескольких компланарных экранов), а также для второго краевого условия (s-случай) и для пространственной электродинамической задачи.

N-1

где а0 = cos $0, a S обозначает экран 5= ^ S^ состоящий из У полос v=0

5V( —^ + v6 < ^ < а + ^6). Как и прежде, перейдем к трансформантам Фурье

a+vb

ipv (cl) = ^ ipv (^) e~iaxdx,(89.2)

— Cl+vb

из которых поле в дальней зоне Фраунгофера получается суммированием

Фиг. 49. К теории дифракции па решетке из плоских полос.

вкладов от отдельных полос:

_ ЛГ-1 _

^(а)= 2 ^(«)

v=0

(89.2')

(ср. п. 62). Для функции ipv («) получим, следуя методу п. 60, с помощью формулы (60.1) парные интегральные уравнения

N—i co

V, ^xAaL_ da = —-x^(SY

J /1 — a2

(89.3)

ipv (а) е?ах da = 0 (^ ^ Sv; v = 0, 1, ..., JV —1).

Умножив эти уравнения на e-;ia'x и проинтегрировав первое по области x£S^ второе по области x^S^ (ср. п. 64), получим систему уравнений, которую можно записать в следующем виде:

jMa9_ ^ba, sin а (а'-а) ^, = _ ^^ъа sina(a-a0) }/1 —a'2a' —aa —a0

co N-l _

Г у(894)

J i/’i_a'2a —av /

— oo д=0 v H^V

i|)v (a) eivba — — ( ibv (a') eivba' ^2_Д^—Да' = 0

TV/ л J K 7a — a

(v = 0, 1, . . ., У-1).

Система (89.4), если отбросить в ней в правой части первого уравнения член, содержащий сумму, совпадает с той системой интегральных уравнений, которая получается для амплитуды волны, рассеянной отдельной

(уединенной) полосой (ср. п. 64 и 118) (множитель е^Ьос означает, что у-я полоса смещена вправо на расстояние v6). Таким образом, взаимодействие отдельных элементов решетки друг с другом выражается с помощью члена, содержащего сумму).

Аналогичные соображения можно применить и к решетке, образованной цилиндрами произвольного сечения. Если предположить, что постоянная решетки велика по сравнению с длиной волны, то можно показать, что поле в дальней зоне может быть представлено в виде суперпозиции полей, рассеянных отдельными (невзаимодействующими) элементами решетки; однако при этом наряду с первичной плоской волной необходимо рассматривать и скользящую вдоль решетки плоскую волну, которая учитывает взаимодействие цилиндров). Здесь мы не можем сделать ничего более, как указать литературу [77 — 117], в которой отражены успехи в попытках строго учесть влияние формы отдельного элемента решетки и взаимодействие элементов друг с другом.

ПРИБЛИЖЕНИЕ РЭЛЕЯ И СООТВЕТСТВУЮЩИЙЕМУ МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ

Введение. Если длина волны велика по сравнению с размерами искажающего поле объекта (тела или отверстия), то геометро-оптическая граница тени полностью стирается, а теория Кирхгофа (см. гл. II, § 1) становится неприменимой даже для поля в дальней зоне. Это предельный случай Рэлея (к—>оо), прямо противоположный предельному случаю Кирхгофа (X—>0).

В этом случае дифрагирующие тела находятся в почти статическом (в их области) поле, лишь медленно изменяющемся со временем. Рэлей [3, 118] вычислил рассеяние такими телами, определив статическое распределение поля в их окрестности и получив отсюда с помощью принципа Гюйгенса поле в дальней зоне. Такой метод обеспечивает получение почти точного распределения поля, удовлетворяющего граничным условиям, в некоторой малой (по сравнению с длиной волны) окрестности рассеивающего тела (в частности, выполняется условие на ребре, как это было показано в п. 23 при рассмотрении статического предельного случая).

Таким образом, в случае рассеяния необходимо решить статическую задачу для рассеивающего тела, в то время как в случае дифракции (отверстие конечных размеров в плоском экране) следует рассматривать плоскость отверстия как бесконечно тонкий идеальный) магнитный проводник (ц—> со, е—>0; см. п. 2, а также п. 26), влияние которого на заданное статическое поле и надлежит исследовать.

Рэлей решал статическую задачу обычными методами теории потенциала. Покажем, что квазистатическое решение является первым членом некоторого решения, получаемого с помощью теории возмущений, которая может быть применена в обычной форме к решению интегральных уравнений, полученных в § 1 и 4. Метод возмущений, который, насколько

нам известно, был впервые применен Баукампом [119]) при решении акустической задачи о дифракции на круглом отверстии (см. гл. IV, § 3, б), позволяет получить сходящееся решение, естественно, лишь в том случае, когда линейные размеры рассеивающего объекта малы по сравнению с длиной волны. Соответственно параметром разложения является отношение линейных размеров объекта к длине волны, которое мы считаем малым по сравнению с единицей (здесь мы ограничимся всего одним таким параметром).

Пусть 8 — отношение одного из характерных размеров рассеивающего объекта к длине волны. Будем считать, что в интегральных уравнениях, приведенных в § 1 и 4 настоящей главы, выполнены преобразования г—> er, dr —> 8 dr, причем 8 < 1, а | г | во всей области не превосходит по порядку величины единицу.

а. Скалярная задача для плоских экранов

Схема расчета по теории возмущений. Рассмотрим р-случай (к s-случаю можно перейти с помощью теоремы Бабине2)), различая задачу рассеяния и задачу дифракции (см. п. 26). Будем исходить соответственно из интегрального уравнения (46.2р) или псевдоинтеграль- ного уравнения (47.2р), записав их в новых переменных в виде

в случае рассеяния:

(91 ;1)(91 ;1)(91.1а)(91.1а)(91.2)(91.2)ф (er') G (е | г — |) dr = D ^Y г £ (S'); s

(91 ;1)

(91 ;1)

(91.1а)

(91.1а)

(91.2)

(91.2)

в случае дифракции:

ГААЛАЛА

Пт \ ф (er') G (е | г — г' |) dr' = F (er), г 5 (^),

д(ег) = Г^), F^ = -A-^gLд(ег) = Г^), F^ = -A-^gLгде

д(ег) = Г^), F^ = -A-^gL

д(ег) = Г^), F^ = -A-^gL

G (8 I г-г'I)G (8 I г-г'I)। еге | г- г' |4л 8 | r _ ^ ;

G (8 I г-г'I)

G (8 I г-г'I)

Нашей целью является получение разложения решений этих уравнений в степенной ряд по е:

^(8Г)=4"2 eV^(V) (Г),

v=°(91.3)

ф(ег) = 8 2 с^ф^^т).

v=0

Для этого разложим сначала «ядро» G и правые части уравнений (91.1) и (91.1а) в такие степенные ряды1):

G (е [ г — г' I) = -|- 2 ^^^ (г ~ т') =

1 ( 14ле(| г —?।1 ( 14ле(| г —?।А АА А4А АА А4(91.4)(91.4)

1 ( 1

4ле(| г —?।

1 ( 1

4ле(| г —?।

А АА А4

А АА А4

(91.4)

(91.4)

£> (е г) = j- ^ (г) + eDm (г) + е2Л<2> (г) + . ..},

F (er) = Fw (г) + sFm (г) + е28<2) (г) + ... .

Подставляя разложения (91.3) и (91.4) в уравнения (91.1) и (91.1а) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 8 в обеих частях получившихся уравнений, получаем систему

(?) G№ (t - ?) dx' = Dw (г) - 2 $ ^(V-M) (^^ (^ ~ ^ dG’

S .Ц=1 s

v = 0, 1, 2, . ..; x^S\ (91.5)

или соответственно

lim ф(^ (r') Gw (r — r') dV =

L

= FwG) - lim 5 2 $^4^ - ?) ri?, v = 0, 1, 2,r6(L).

(91.5a)

Подставив в уравнения (91.5) выражения для G(v)(r —г') из (91.4), получим

( -^4—тг^- dx' = 4nD^ (г) — 2 Д \ ^-в) (г') | г — ? |^-1 dx' f(v) (г),

v = 0, 1, 2. г6(5),(91.5')

х) При разложении функций D и F мы имеем в виду прежде всего плоскую волну и0 (er) = exp {is (едг)}, так что для D разложение начинается с члена е—2, а для Fс члена 8°; /)(0) —1; р^——/(пео)/^ (ед — единичный вектор в направлении падения, п — нормаль к экрану). Этим определяются степени множителей, стоящих в разложениях (91.3) перед знаком суммы.

или в подробной записи (рассеяние, /7-случай)

С _2^2Ц£1_ д^' — 4л/)(0) (г), g |г —г' |

(91.5")(91.5")(= 4nDw (£) + Sw,

(91.5")

(91.5")

ssP -ф< > (r) ^, _ ^qW ^ gM + Г C ^(v—2) (£') | r — r' I dr' + L ^ -ф<^-3>(г)! r—? \2 dr'+5 Ф^бД^-гТ-1 d?,

s

s

Г €(5).

Здесь для краткости введены константы

Sw = -i^ ^-^W,sSw = -i^ ^-^W,sv > 0.v > 0.(91.6)(91.6)

Sw = -i^ ^-^W,s

Sw = -i^ ^-^W,s

v > 0.

v > 0.

(91.6)

(91.6)

Если же подставить в уравнение (91.5а) выражения (91.4) для (;^1) ^ __ ^^ то в правой части его в силу равенства 4лС(1) — i член с р — 1 обратится в постоянную; следовательно, при дифференцировании по 2 он исчезнет. Используя соотношение

-^-| r-т'ГЧМ |r-rJg~3 + (H-l)(H-3)z2|r~r'|’l_5, (91.7)

можно упростить остальные члены:

lim^G(M)(r-?) = ^-^|гА-?Г3-(91-8)

Мы смогли поменять местами дифференциальный оператор lim(d2/dz2) z->0

и оператор интегрирования в правой части уравнения (91.5а), так как получающиеся при этом интегралы сходятся при р > 2. Однако в левой части уравнения (91.5а) это не имеет места. Здесь возникают те же трудности, с какими мы столкнулись при преобразованиях уравнения (47.2/>); таким образом, они характерны также и для статического предельного случая. В действительности интеграл в левой части уравнения (91.5а) удовлетворяет уравнению Лапласа А...=0, поэтому можно заменить d^/dz2 через — А; тогда с помощью равенства (91.8) получим

Аdr' = —(г) + 2 т ™г —3

Jr — г' ILl! Jх / ii

L 11ц=2 Г L

= g(v)(Ar)> v=0. 1, 2, ...;r^(L\(91.5'а)

В подробной записи эта система имеет вид (дифракция, /2-случай)

А \= -4^(0)(r),

j Ir-r'l

Adx' ~ — 4л7?(1) (r),

. . . .(91.5"a)

A। dx/^ — 4nF(v)(t) ——^-dxf — у ф(Л7-3) (r') dV +

£ I r —rz I। r_ry2

+ y ^ Ф<-4) (У) I r — x' | dx' + ... + ^ yi"1 ^ (p(0) (r') | r — r' |v“3 dx',

v>2, x 6 (L).

Левые части уравнений (91.5'a) и (91.5"a) можно преобразовать таким же образом, как мы это уже делали для уравнения (47.3/2). Здесь нам приходится иметь дело не с чисто интегральным, а с интегро-дифференциальным уравнением, так как «ядро» А (1/| г — г' |) не интегрируемо. Поэтому только из уравнений (91.5'а) и (91.5"а) неизвестные ф^) определяются неоднозначно; они должны еще удовлетворять условию на краю (С) отверстия (L) [ср. (47.6/2)]

фМ = 0 на (С).(91.9)

В этом можно убедиться непосредственно, если исходить из уравнений (47.4р) и (47.5/2), эквивалентных уравнению (47.2/2). В новых переменных эти уравнения имеют вид

(А + е2) Y (ег) = — 82^(er),(91.16)

^ Ф (ex') G (е |г — х/ |) dx = ^Y (er).(91.1в)

L

Если подставить сюда разложение

У(ег)-е2 2 eYYw ^(91.3а)

и соответствующие ряды (91.3) и (91.4), то, приравнивая коэффициенты, получаем

ау(0)(;)= -^(0)w,

ДУ(1)(^)= -Fw(t),(91.56)

Ay(v) (^) = - F№ (£) - y(v-2) (г), v > 2,

И

^ ^1 ^ dr' = 4ny(v) (г) — У Д- \ cp(v~^>(r') |t —г'|ц-1 dr* =

а | г—г' |. 1X1 г

L 11L

= y(^fy, v = 0, 1, 2,г€(Д,(91.5в)

13 Заказ № 13

или подробнее

\ V^dr' = 4nYw(r), £ I г —г' |

-2—9- dr' = 4 л У™ (г) — i ^ ф<0) (t') d¥,lt-r'|£

(91.5'в)

^—^Д dr = 4ny(v) (г) — i cp(v-1) (г') dr'A- |г —г'I>

+ T $ ^ 2) (t') 11 — У! dr' + 4f § <p(v-3) (У) | x — r' I2 dr' + ... — L* L

—-~T ^ Ф(0) (^') I^“~^T 1 dr', v>l, r€(L). L

Здесь сначала нужно вычислить вспомогательные величины Y^ из дифференциальных уравнений Пуассона (91.56) (это можно сделать с точностью до произвольного решения уравнения Лапласа А ... = О, поскольку краевые условия для Y^ неизвестны), а затем последовательно определить величины (p(v) из интегральных уравнений Фредгольма первого рода (91.5'в). Оставшаяся неопределенной гармоническая функция должна быть найдена из краевого условия (91.9) для функций <p<v\

Роль статических решений. Системы уравнений (91.5') и(91.5'а) или (91.56) и (91.5в) дают искомую вычислительную схему теории возмущений. Начав с фО) и ср(0), можно вычислить последовательно ф^) и q/v\ причем для этого каждый раз имеем одно и то же простое интегральное уравнение (91.5') или (91.5в) со статическим ядром 1/|г — г' Ь только стоящие справа возмущения все более усложняются с ростом v. Таким образом, при решении «невозмущенной» задачи мы имеем дело с некоторой краевой задачей теории потенциала. Действительно, первое уравнение (91.5") можно рассматривать как интегральное уравнение для определения такой плотности электрического заряда ф<°) (г) на экране (S), которая создает электрический потенциал, имеющий на (5) заданное значение D(0)(r). В большинстве приложений рассматривается плоская падающая волна; в этом случае величина Dw постоянна (Z)(0) = l), так что функция ф(0) представляет просто плотность заряда на идеально проводящем экране, имеющем потенциал D(o) (относительно бесконечности). Аналогично функцию ср(0) можно интерпретировать как плотность распределения диполей на двойном слое (А), которые создают такой электростатический потенциал, что его производная по нормали на (L) принимает заданное значение 7^(0) (г) [ср. уравнение (91.5а) для v = 0].

Дальнейшие преобразования. Будем предполагать, что статическая задача решена, т. е. будем считать собственные функции Фц (г) и Тц (г) ядра 1/1 г — rz j для плоской области (А) [или соответственно (D)]

известными. Эти функции являются решениями интегральных уравнений Фредгольма второго рода

фц(г) = <} t av(93.1)

ИЛИ

^(г) = СЦ ^2-dr', '(93.1а)

Л |t-t' |•

так что ядро 1/|г —г'| может быть представлено в виде

’ ^(Я), г €(5),(93.2)

|и=0

или

a azL) , r€(^)> г € w)-(93.2а)

Функции Фц и Ч^ предполагаются нормированными: ^Ф^г’)Фи(г)й-6^,(93.3)

J ЧЧ Ч) Тц (г) dr = 6VU.(93.3а)

L

Подставляя в интегральные уравнения (91.5') и (91.5'а) [или (91.5в)] разложение ядра (93.2) [или соответственно (93.2а)], [а также представления

(Г) = S а^^к W>(93.4)

ц=0 ‘

<P(V)A= § W^r),(93.4а)

Jl=:0

в силу условия ортогональности (93.3) [или (93.3а] получаем уравнение

00

2 т^уФД^^/^Ч)(93.5)

и соответственно

А 00

д 5 Тол ^ ^ =^(93-5а>

или

2(93-56)

ц=0 И

Из уравнения (93.5) непосредственно получаются искомые коэффициенты разложения а^ в виде коэффициентов Фурье

<^^^^Ч^^ v, р = 0, 1, 2,.(93.6)

8

Вычисление коэффициентов 6^), напротив, формально производится не так уж просто, однако практически оно в общем не вызывает затруднений (ср. гл. IV, § 2,6 и 3,6).

Роль условия на ребре. При расчете коэффициентов Ь^ один из них (при фиксированном v) остается неопределенным; он должен быть определен затем из краевого условия (91.9). Это следует из того, что решения псевдоинтегральных уравнений (91.5'а) не единственны. Действительно, однородное уравнение [т. е. уравнение (91.5'а) при gW = 0] имеет нетривиальные решения, одним из которых является распределение «плотности заряда» ф0 на идеально проводящем листке (Л), имеющем постоянный потенциал [эта плотность заряда определяется из интегрального уравнения ^ [ф0 (г')/1 г — г' |] d/ — Vo = const, применив

L

к которому оператор А, получим как раз однородное уравнение (91.5'а))]. Таким образом, решение неоднородного уравнения (91.5'а) будет единственным с точностью до слагаемого типа плотности заряда ф0, однако такие слагаемые исключаются с помощью условия на ребре (91.9). Действительно, плотность зарядов на краю идеально проводящего тонкого листка, как известно, бесконечно велика (она растет как р-1^, где р — расстояние от края), тогда как функции ф^>, согласно условию (91.9), должны на краю обращаться в нуль.

С другой стороны, из равенства (93.56) имеем

b№= XW J у^> (г) Ч^ (г) dx.(94.1)

L

Здесь следует иметь в виду, что функции Y^\ через которые определяются функции </v) [см. (91.5в)], могут быть получены лишь с точностью до произвольной гармонической функции. Она опять должна быть определена так, чтобы решения типа ф0, не удовлетворяющие условию на ребре, были исключены.

Дополнения. С помощью коэффициентов, определяемых по формулам (93.6) и (94.1), мы можем в принципе получить строгие решения наших интегральных уравнений (91.1) и (91.1а) (в предположении сходимости метода ), если только известны собственные функции

Фр, и Тц, статического ядра. Так как разложения функций f^ и -у^\ входящих в формулы (93.6) и (94.1), содержат, согласно их определениям (91.5') и (91.5в), коэффициенты а^ и 6^ с р < у, то для коэффициентов а^ и fe^ можно получить рекуррентные формулы, которые мы здесь рассматривать не будем. В силу этих рекуррентных формул схема вычисления коэффициентов tz^ и Ь^ получается, вообще говоря, «треугольной», так как в ней величины а^ и &^ с ц < v исчезают (ср. примеры в гл. IV, § 2,6 и 3,6).

В заключение заметим еще, что собственные функции Ф^ (или Ч^) образуют ортогональную систему функций, что позволяет свести задачу рассеяния (или соответственно задачу дифракции) к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, как это описано в п. 63. Если подходить с этой точки зрения, то коэффициенты а^, из выражения (63.8) равны ^=2 8VauV)- Приведенный в п. 63 метод позволяет в принципе непосредственно рассчитать (без вспомогательного разложения по степеням 8) коэффициенты а^. Но, не говоря уж о том, что величины а^ определяются из бесконечной линейной системы уравнений (63.7) (что в общем' случае все равно удается сделать лишь приближенно), на практике вычисление интегралов С^ (63.6) возможно в общем случае лишь в виде степенного ряда по 8 (ср. п. 120), так что и здесь коэффициенты а^ определяются в форме 2 г^а^ (применимой только при малых е). ‘

Разложение амплитуды поля в дальней зоне по параметру возмущения. Наиболее интересным для приложений является угловое распределение поля в дальней зоне, которое можно представить в виде

в случае рассеяния:

Ргти (г) -> у0 (г) + Л (е) —,Ргти (г) -> у0 (г) + Л (е) —,z ^ 0;z ^ 0;(96.1)(96.1)

Ргт

и (г) -> у0 (г) + Л (е) —,

Ргт

и (г) -> у0 (г) + Л (е) —,

z ^ 0;

z ^ 0;

(96.1)

(96.1)

в случае дифракции:

р (г) —> ±(е)——1-(°’2 > °’(96 1а)

'Ьо(г)-^(г),z<0,

где е —единичный вектор в направлении точки наблюдения (г = ег). Амплитуды поля в дальней зоне определяются следующим образом:

А ^ = - -^ ^ т|) (г) е-^«) dr,(96.2)

S

В (е) = (не) ^ ф (г) tH <е^ dr,(96.2а)

где п —нормаль к экрану. Эти формулы получаются, если заменить в представлениях поля (46.1р) или (47.1р) функцию Грина G(r —г') ее асимптотическим значением (eiT/4^r) е~^^ (о двумерной задаче см. п. 62). Переходя к новым координатам г—>ег и подставляя в (96.2)

и (96.2а) разложение (91.3) и аналогичное разложение для множителя е-г^^ характеризующего запаздывание, получаем

в случае рассеяния:

Л(е)=8 2^(v)(e),

(96.3)

V

^(v) (е) = - ^ 2 ^Г" $ (er^^-^ (г) dr;

в случае дифракции:

■5(е) = (пе)83 2 sv5(v) (е),

v=0(96.3а)

BW ^ ^ 2 ^ $ (ег^ч^-^ Д dr.

Таким образом, коэффициенты разложения имеют вид «моментов высших порядков» для «распределений зарядов» ф(^> и ф(^). Следует заметить, что при краевом условии у —О излучение, рассеянное экраном, при 8 < 1 значительно интенсивнее, чем излучение, прошедшее через отверстие такой же формы (а именно в 82 раз; ср. зависимость амплитуд Л и В от е). Для краевого условия dy/dz —О в силу теоремы Бабине имеет место обратное положение. Амплитуда Л(0) не зависит от направления рассеяния. В случае плоской первичной волны величина 4лЛ(0) равна статической емкости С экрана (5) (относительно бесконечности). Этот результат, впервые полученный Рэлеем, следует из того, что функция ф(0), как это отмечено в п. 92, представляет плотность заряда на экране, если его потенциал равен D(m — 1.

б. Скалярная задача для тел конечного объема

Метод теории возмущений, развитый выше для плоских экранов, может быть непосредственно перенесен и на тела конечного объема. Если поверхность (5) является, как мы будем предполагать, замкнутой и всюду гладкой (так что условие на ребре становится излишним), то при этом получаются даже более простые соотношения, чем в случае плоских экранов. Как мы видели в п. 76, в этом случае можно решать задачу с помощью интегральных уравнений второго рода, для которых мы несколько разовьем теорию возмущений Рэлея. Невозмущеными задачами, к которым мы здесь приходим, являются задачи Дирихле (в ^-случае) или Неймана (в s-случае) теории потенциала, сформулированные обычным образом с помощью интегральных уравнений второго рода (Нейман, Пуанкаре) [64].

Схема расчета. Рассмотрим ^-случай (или соответственно s-случай) с помощью поверхностного магнитного тока ф (или ф), текущего по поверхности (5), который для внешней задачи определяется из интегрального уравнения (80.2/?) [или (80.2s)]. В наших новых координатах

уравнения (80.2р) и (80.2s) имеют соответственно вид

(97.1)(97.1)(97.1a)(97.1a)|^ Ар ^ ААААА

(97.1)

(97.1)

(97.1a)

(97.1a)

-g^F"Ф(е0 +$Ф (sr'^Ks (er, er )dr = D(er), 8

1ApAAAAA

2^- ф (er) — ф (er ) Ks ^F, er) dF = F (er),

8

где для правых частей получающихся уравнений использованы сокращенные обозначения D и F. Здесь мы учли то обстоятельство, что ядра Ks и Кр, согласно равенству (76.8ps), транспонированы по отношению ДРУГ к другу (с точностью до знака). Из выражения (76.7's) получим

Кs (er, ег') ——LLi r n егг I i =

X4Л82|г—r'l

Итак, функции ф(Л?) определяются последовательно из следующих интегральных уравнений второго рода

2л?10’ (? + <6 f°> (?) (n; rTr' - d,V = - 4л£><0) (?,

J|r —r'l3

2лф(1) (r) -4- <6 ф(1) (r') -^4^4^- AV = — ^tiD<u (r),

1 о | r — |3

• ; (97.5')

2лф(^ (r) + 5 ip(v) (r7) -^44-^4^- AV = — 4^Z)(v) (r) — о—i3

—ц ^(v-2) (r7) ^n V"^ AV — 4- ф^-3) (r7) (n7, r — r7) AV + . . .

...-4 iv-—ф(0) (r7) (n7, r —- V) | r — V |v~3 AV, v>2.

’ s

Аналогичная система уравнений для функций cp(v> получается из системы (97.5'), если заменить в ней п7 на п, a № на F^\

Связь с теорией потенциала. Интегральные уравнения, полученные здесь для функций ф(0) и ф(0), появляются и в теории потенциала соответственно при решенди внешних задач Дирихле и Неймана, т. е. первой и второй краевых задач теории потенциала [64]. Там функция ф(0) представляет плотность такого двойного слоя на поверхности (5), который создает во внешней области потенциал

4л J Y к 7 ап' ।1- ’

принимающий на (5) заданное значение — 7)(0) (г). Высшие приближения ф^) можно трактовать как плотности таких двойных слоев, которые создают потенциалы, принимающие на (5) значения (комплексные) /(v)(r). Функция ф(0), с другой стороны, является плотностью такого простого слоя, распределенного на поверхности (5), потенциал которого

4-4

4л J।।

имеет на (5) заданное значение производной по внешней нормали — jF(0) (г).

Относительно полученных нами интегральных уравнений (97.5) и (97.5а) для функций ф^) и ф(л?> справедливы следующие теоремы, известные из теории потенциала:

Однородное уравнение (97.5) имеет одну собственную функцию, причем 1/2л является собственным значением ядра (п7, г —г7)/1 г —г713. Произведение этого ядра на элемент поверхности AV имеет, согласно п. 9, смысл пространственного угла ^со, под которым виден этот элемент (с нормалью и') из точки поверхности т:

-^Ц-^1^ AV = Ato (г, г7).

|г' —Г I3

Поэтому функция ф^^ = const является решением однородного уравнения (97.5) (причем, как можно показать, единственным). Таким образом, неоднородное интегральное уравнение (97.5) имеет бесчисленное множество решений.

Однородное уравнение (97.5а) не имеет нетривиальных решений; поэтому неоднородное уравнение (97.5а) всегда имеет только одно решение.

Следовательно, задача Неймана всегда однозначно разрешима; фактически это справедливо также и для задачи Дирихле (несмотря на теорему «а»), на чем мы здесь не можем, однако, останавливаться1). Используя схему, аналогичную вышеописанной, методы теории возмущений, связанные с приближением Рэлея, можно применить и к векторным электродинамическим задачам [8, 10, 125 — 127, 169]. Мы вернемся еще к этому вопросу при исследовании рассеяния электромагнитной волны на круглом диске (см. п. 132).

КОЭФФИЦИЕНТЫ РАССЕЯНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ

Определения. При доказательстве теоремы единственности в п. 20 мы рассматривали энергетические соотношения в задачах излучения. В отличие от полной энергии статических полей полная энергия поля в задаче излучения всегда бесконечна (вследствие постоянства

Фиг. 50. К определениям поперечного сечения рассеяния и коэффициента рассеяния.Фиг. 50. К определениям поперечного сечения рассеяния и коэффициента рассеяния.Фиг. 51. К определениям поперечного сечения прохождения и коэффициента прохождения.Фиг. 51. К определениям поперечного сечения прохождения и коэффициента прохождения.

Фиг. 50. К определениям поперечного сечения рассеяния и коэффициента рассеяния.

Фиг. 50. К определениям поперечного сечения рассеяния и коэффициента рассеяния.

Фиг. 51. К определениям поперечного сечения прохождения и коэффициента прохождения.

Фиг. 51. К определениям поперечного сечения прохождения и коэффициента прохождения.

усредненного по времени потока энергии монохроматического источника излучения). В стационарных задачах большой теоретический и практический интерес представляет усредненный по времени полный поток энергии излучения, рассеянного на препятствии; его отношение к плотности потока энергии в падающей волне называется поперечным сече-

х) См. книгу Франка и Мизеса [64].

нием рассеяния Q этого препятствия. Это удобно для описания рассеяния на теле конечных размеров (ср. п. 20 и 26). В случае дифракции на отверстии конечных размеров (см. там же) соответствующей величиной является поперечное сечение прохождения Т, представляющее отношение усредненного по времени полного потока энергии излучения, прошедшего через отверстие, к плотности потока энергии в падающей волне. Практически при расчетах приходится иметь дело главным образом с задачей рассеяния и дифракции плоских волн; в этом случае величины o — Q/S', T—TlL' называются соответственно коэффициентом рассеяния и коэффициентом прохождения [через S' и U обозначены соответственно проекции рассеивающего тела (5) и отверстия (Л) на плоскость, перпендикулярную направлению распространения первичной волны, как показано на фиг. 50 и 51]. Таким образом, коэффициент рассеяния (прохождения) равен отношению усредненного по времени полного потока энергии излучения, рассеянного телом (прошедшего через отверстие), к потоку энергии, падающему на тело (отверстие), согласно геометрической оптике.

В данных выше определениях фигурирует лишь рассеянная или дифрагированная волна; весь же поток энергии через сферу бесконечно большого радиуса зависит только от заданной мощности источника, расположенного на конечном расстоянии (в случае плоской первичной волны он равен нулю).

Поперечные сечения рассеяния или прохождения являются величинами, характерными для данного рассеивающего тела и легко поддающимися измерению. Коэффициенты рассеяния и прохождения обладают такими же минимальными свойствами, как и электрическая полная энергия в статических задачах (см. § 8 настоящей главы).

а. Скалярная задача

Случай рассеяния. В случае рассеяния как для ограниченных бесконечно тонких (плоских или кривых) экранов, так и для тел конечного объема можно представить поле в виде

у (г) = ^(еог> +(г), (100.1) причем в ^-случае [у — 0 на (5)]

us (г) = — ^ ф (г') G (г ~r') dr, (100. Г/?) s

а в 5-случае \ди,8п = 0 на (5)]

Уз (г) = ^ ср (?) ^ G (г — г') dr' (100.1's) s

[см. (46.1т?), (76.1р) и (50.1s), (76.15)]. В качестве первичной волны у0 мы взяли здесь плоскую волну, падающую в направлении е0 (6^=1), а для рассеянной волны us написали ее представление с помощью принципа Гюйгенса. Интегрирование здесь должно проводиться по площади экрана или по внешней поверхности тела (5). Полный поток энергии, уносимой рассеянной волной, равен потоку вектора Пойнтин- га Ss [который описывается формулой (16.5) с ^ = ^1 через любую поверхность, охватывающую (8). Форма и положение поверхности несущественны, так как вектор Пойнтинга не имеет источников во всем

пространстве вне (5). Далее, поток энергии первичной волны | So| равен 1/2; таким образом, для поперечного сечения рассеяния поверхности (5) получим

<? = ^-^(е®8)^ = 1т^8^^,(100.2)

где е —нормаль к охватывающей поверхности, do—-элемент площади (см. фиг. 50). Рассмотрим два различных положения этой поверхности, для которых интегрирование в формуле (100.2) проводится особенно просто.

Охватывающая поверхность совпадает с внешней поверхностью рассеивающего препятствия; в случае ограниченного бесконечно тонкого экрана она должна вплотную прилегать к экрану с обеих сторон. На поверхности (5) в силу краевого условия имеем us= —у0 = ~ei(eor> в /7-случае и соответственно dx)s!dn — — dt^/dn — — i (пе0) е^г^ в s-случае (и —нормаль к экрану или внешняя нормаль к поверхности тела; см. фиг. 50). Далее, для тонкого экрана в /2-случае ф = ^dy^dn^ — (dvs/dn)^ [(т. е. функция ф равна разрыву производной dvs[dn при переходе через (5) (ср. п. 46)], а для тела конечного объема (см. п. 76) ф = = {dvsldn)+~Y dv^dn на поверхности (5). Для топкого экрана в s-случае имеем ф = (ys)+— (ys)_ (разность значений функции ys с противоположных сторон поверхности экрана; см. п. 50); а для тела конечного объема ср = (Ув)++ у0 (см. п. 76). Тогда из (100.2) получим для р- и s-случаев соответственно

Qp — — Im^ е~йео^) ф (Д dT,(100.3/?)

s

Qs — — Re ^ (ne) е-^еог) ф (д A(100.3s)

s

[здесь (5) означает поверхность экрана или внешнюю поверхность тела]. Мы учли здесь то обстоятельство, что в случае тела конечного объема имевшийся вначале член Im^ у* (du^dn) d о обращается в нуль, так как вектор So — 1/2 Im (у0 grad у*) не имеет источников (кроме заданной особой точки, которая в нашем случае находится в бесконечности).

Охватывающая поверхность представляет собой сферу бесконечно большого радиуса. В этом случае мы можем в формуле (100.2) заменить функцию ys ее асимптотическими выражениями, которые получаются из формул (100.Гр) и (100. Vs):

us (Д —> — ^ф (г') dV, гсо,(100.4/?)

ys (Д^е) Ф (r') c-^er^ dx\ г —> со.(100.4s)

s

Мы использовали здесь асимптотические выражения

Д — Г | —> т — (ег'),)

I(100.5)

^C(r-?)^-^4(n-=)E--»'). J

где е — единичный вектор в направлении наблюдения: г = ег. Представим выражения (100.4) в форме расходящейся сферической волны с амплитудой Л(е), зависящей от направления распространения (поле Фраунгофера):

t>s (г) > А (е), г—>оо,(100.6)

где

Ар (е) = — ^^ ф (г') е~^е£О tfe',(100.1р}

s

As (с) = — -^ ^ (п'е) ф (г') dV е(100.7s)

s

Подставляя (100.6) в формулу (100.2), получаем) [ср. (19.1)]

Q = ^ А (е) А* (е) dw,(lOO.Bps)

где dm означает элемент поверхности единичной сферы, а интегрирование ведется по всем направлениям е.

Весьма интересно; что можно вообще избежать интегрирования^ проводимого в формуле (100.Bps). Действительно, сравнивая выражения (100.3/?) и (100.3s) с (100.7/?) и (100.7s), мы видим, что величину Q можно записать следующим образом:

Q = 4л Im А (е0).(lOO.S^s)

Таким образом, для определения поперечного сечения рассеяния Q можно вместо интегрирования квадрата абсолютной величины амплитуды поля в дальней зоне А (е) по всем направлениям просто взять мнимую часть амплитуды поля (в волновой зоне), наблюдаемой за препятствием в направлении распространения первичной волны (см. фиг. 50), умножив ее на 4л. Это соотношение, имеющее значение и для экспериментального определения величины Q, было впервые установлено Левином и Швингером [4]) и обычно называется оптической теоремой.

Можно пояснить этот неожиданный результат с помощью следующих соображений. Полный усредненный по времени поток энергии через сферу бесконечно большого радиуса определяется заданными источниками излучения (т. е. особыми точками поля); в случае плоской первичной волны он равен нулю, так как эта волна не имеет источников в конечной области пространства:

(е@) do = ^ (eS0) do = 0.(100.9а)

Если представить вектор S в виде

S-So + Sos+Ss,(100.96)

то из формулы (100.9а) вытекает, что член J (eSos) ^Ф описывающий взаимодействие, равен взятому с обратным знаком члену ^ (eSs) do, описывающему рассеяние, т. е. [ср. (16.5) и (100.2)]:

^K^^+^-ir)^ ~Mus9-£d°= -^■ (1оо-9в)

Если подставить в левую часть равенства ^ = £^0*), а вместо Ug — асимптотическое выражение (100.6) и заменить Q по формуле (100.8'ps), то получим, учитывая, что do = r2dto:

lim Re ^ ^[i-(eoe)]r [(еое) ц тд ^ d^ = — 4л Im А (е0).(100.9г)

В справедливости этого равенства можно убедиться и непосредственно, применив к интегралу в его левой части принцип стационарной фазы, который дает при г —> со его точное значение. Тот факт, что в члене, описывающем взаимодействие, вклады от различных направлений взаимно уничтожаются (кроме направления распространения первичной волны), свидетельствует о том, что первичная и рассеянная волны в бесконечности не интерферируют друг с другом ни в одном направлении, кроме направления падающей волны.

Плоские экраны. Для плоских экранов вместо (100.7/?) и (100.7s) можно написать

А>(е)=(101.1/?)

и соответственно

А(е)= -^(пе)ф(е),(101.1s)

где величины*

ф (е) — ф (г) (er> dx,

Га..(10L2)

Ф (е) = \ ф (г) e-i (er> dxs

представляют собой трансформанты Фурье поверхностных токов ф(г) и ф (г) на экране [ср. (60.4/?) и (60.5/?)]. С помощью этих величин и учитывая (lOO.S'ps), поперечное сечение рассеяния можно представить в виде

Ур = — 1тф(е0),(101.3/?)

Qs = — (пе0) Re ф (е0).(101.3s)

Если же задача является двумерной (плоский экран с краями, параллельными оси ?/; d/dy—ty, то вместо (100.3/?) и (100.3s) получим

QP = — Im^ ф (ж) б-^sin-O'o Дх,(101.4/?)

s

Qs— —-cos^Re J ф (x) e~ix sin ^dx,(101.4s)

s

где Фо--угол падения, отсчитываемый от оси г (т. е. от нормали к экрану). С другой стороны, для поля в дальней зоне имеем теперь ys (г)Л (»)^ , г—><х>,(101.5)

где

АР w = 9 v^-' ^ ^(ж)е-“8™й^ = г^=-ф(81п0),(101.6р)

As (й) = -^UL- ? ф (ж) e~ix sin ^d;r = —(101.6s) 2 у 2л1 g2 у 2ni

[ср. (62.Зр) и (62.7р)]. Таким образом, из (101.4р) (101.4s), и (101.6р)г (101.6s) следует

2Л

Q = ^ Л(О)Л*(О)с/О= -2/2^ Re(e^/M(^(101.7)

6

или

Qp = — Im гр (sin й0)(101.8р)

и соответственно

Qs — — cos й0 Re ф (sin й0).(101.8s)

Случай дифракции. В случае дифракции при расчете поперечного сечения прохождения Т можно использовать теорему Бабине (см. п. 27). Согласно этой теореме, решение задачи рассеяния на плоском экране (5) для р- и s-случаев является одновременно решением задачи дифракции на отверстии (Л) [той же самой формы, что и (5)] в бесконечном плоском экране соответственно для s- и p-случаев. Следовательно, усредненный по времени поток энергии, проходящий через отверстие (Л), равен половине общего потока энергии, рассеянного в оба полупространства на экране (5) — (L) (рассеянная волна yg симметрична либо антисимметрична относительно плоскости экрана), если заменить p-случай на s-случай или наоборот.

Таким образом, для дополнительных задач имеем

2TP)S = QS,P)(102.1)

причем Т выражается через дифрагированную волну Ув (см. п. 27):

Т = С (^в\ do = Im t и*в do.(102.2)

| ©о I J} дп

Здесь интегрирование должно проводиться либо по отверстию (Л), либо по полусфере (бесконечно большого радиуса), расположенной в полупространстве, не содержащем источников (см. фиг. 51). Тогда получим [ср. (100.Зр) и (100.3s)]

Тр = — (пе0) Re ^ ф (г) е-4 ^ dx= — (ne0) Re ф (е0)(102.Зр)

L

И

Тs — — Im ^ гр (г)(e°r) dr — — Im гр (е0).(102.3s)

Здесь ф обозначает поле у в отверстии (£), а гр —его производную ^ — dDld^ на (L) (см. п. 47 и 50). Эти величины составляют как раз

половину от соответствующих «поверхностных токов», которые текут по дополнительному экрану. Представив асимптотически дифракционное поле в виде

(102.4).(102.4).(102.5).(102.5).Вв (г) —>В (е) — ,2 > 0,г—>оо,

(102.4).

(102.4).

(102.5).

(102.5).

найдем

Т = ]) В (е) В* (е) йю = 2л Im 5 (е0),

причем интегрирование должно проводиться по половине единичной сферы. Соответствующие формулы для двумерного случая имеют вид

Тр^ — cos^0Re ^ ср (ж) g-^sin^o dx = — cos $0Re ф (sin $0),(102.6/?)

L

— Im ip (ж) e~ix sin ^o dx = — Im ф (sin d0)(102.6s)

L

и

»B(r)->S(fl)-?-, z > 0, r—>00,(102.7)

V r•

л/2

T= ^ B^B*^d^ = -V^Refe^74^^)},(102.8)

— Л/2

где й —угол дифракции, отсчитываемый от нормали к экрану, а #0- угол падения плоской волны у0 = ехр г (х sin 'О'о + 2 cos d0).

б. Векторные задачи

Все вышеизложенное может быть перенесено и на векторные задачи. Формально получающиеся при этом выражения будут даже проще, так как здесь исчезает различие между р- и s-случаями, кроме того, становится очевидным электродинамический смысл входящих величин.

тела [см. (51.1) и (77.1)]:

@5 (г) = i rot rot ^ 3 (*0 G (г — 1/) б?г',

S

£s (т) = rot ^ 3 (?) С (г — ?) dV.

8

(103.3)(103.3)Пусть в формуле (103.1) охватывающая поверхность совпадает с поверхПусть в формуле (103.1) охватывающая поверхность совпадает с поверхностью рассеивающего объекта;ностью рассеивающего объекта;Фиг. 52. К выводу «оптической теоремы» о поперечном сечении рассеяния для электромагнитной волны.Фиг. 52. К выводу «оптической теоремы» о поперечном сечении рассеяния для электромагнитной волны.тогда, используя значение поверхностного тока 3 (СР- п- 51 и 77) и краевое условие ©s W = — @о (г), получаем

(103.3)

(103.3)

Пусть в формуле (103.1) охватывающая поверхность совпадает с поверх

Пусть в формуле (103.1) охватывающая поверхность совпадает с поверх

ностью рассеивающего объекта;

ностью рассеивающего объекта;

Фиг. 52. К выводу «оптической теоремы» о поперечном сечении рассеяния для электромагнитной волны.

Фиг. 52. К выводу «оптической теоремы» о поперечном сечении рассеяния для электромагнитной волны.

Q = Re ^ (n03 (г)) e-j («ой d? (103.4) S

Так как рассеянное поле в пространстве вне рассеивающего объекта не имеет источников [div Sg = 0], мы можем опять переместить охватывающую поверхность в бесконечность (фиг. 52). Там справедливы асимптотические выражения [ср. (69.3)]

Мг)->-4^[е[еЗ(е)П-^,

.I -Г—>со,

^(г)->^[еЗ(е)1^,

(103.5)

где е — единичный вектор в направлении г (г = ег), а 3 обозначает величину

3(e) = ^3(r)e-i("^r, (103.6)

S

которая в случае плоского экрана имеет смысл трансформанты Фурье от поверхностного тока. Используя (103.6), можно записать формулу (103.4) в простом виде

(? = Re(no3(eo)). (Ю3.7)

Этот результат составляет содержание электродинамической теоремы, аналогичной теореме Левина и Швингера [13, 131 — 133]; она устанавливает связь между поперечным сечением рассеяния и полем в дальней зоне Фраунгофера (103.5) в направлении первичной волны е0. Таким образом, формула (103.7) снова представляет результат интегрирования по всем направлениям е в выражении (103.1), если подставить туда асимптотические выражения поля (103.5) [ср. (19.2)]:

Q = да № (е) 3* (е)) - (еЗ ?)) ?3* (е))} dto.

Случай дифракции. В задачах дифракции нас интересует поперечное сечение прохождения

T=-L- ( (eS£)do = Re ^ (е [®s@b]) do.(104.1)

| ©0 МJ

Здесь интегрирование должно проводиться либо ио плоскости отверстия (£) (тогда вместо с следует подставить нормаль к плоскому экрану и, направленную в сторону z > 0, поскольку падающая волна приходит из полупространства z<0), либо по бесконечно большой полусфере в полупространстве z > 0. Согласно теореме Бабине в ее электродинамической формулировке (см. □ . 27), существует простое соответствие между задачей дифракции и дополнительной к ней задачей рассеяния, а именно, чтобы получить электрическую и магнитную напряженности (последнюю — с точностью до знака) дифрагированного поля в полупространстве z > 0, следует лишь поменять ролями электрический и магнитный векторы рассеянной волны. При этом, конечно, необходимо поменять ролями электрический и магнитный векторы первичной волны (причем первый —с изменением знака на противоположный). Однако эти замены совершенно не влияют на величину векторов Пойп- тинга он и So. Таким образом, и в этом случае снова существует простая связь между поперечным сечением прохождения и сечением рассеяния дополнительных плоских экранов:

2T = Q.(104.2)

Таг? как в точках отверстия (£), согласно (26.11), выполняется соотношение [пЬщ?] [п£oL то 113 формулы (104.1), интегрируя ио плоскости отверстия и заменяя $0 значением [еопо] <7 (е°Ф получаем

7-Re ^ ([сщ0]£ (г))е~^есю^5(104.3)

L

где величина £ — [пС] — |п®л] представляет значение тангенциальной составляющей электрического поля в отверстии (как и выше в и. 52). С другой стороны, поле в дальней зоне в силу сказанного в п. 69 можно записать в виде

6в (г) -> ±[с£ (e)J Т 1

._г г — er, г—>оо,(104/*)

6в(г)->±^[с [с£ (с)]]-^ , J

где

£ (с) = ^ £ (^(^ dr(104.5)

представляет собой трансформанту Фурье от «магнитного поверхностного тока» £ (г) в отверстии (£). Сравнивая выражения (104.3) и (104.5), получаем следующее простое соотношение между поперечным сечением прохождения и полем в дальней зоне:

7-Ве([еопо]£(ео)).(104.6)

поля и поля первичной волны,поля и поля первичной волны,Фиг. 53. КФиг. 53. Квычислению попереч-вычислению попереч-ного сечения рассеяния в приближении геометрической оптики.ного сечения рассеяния в приближении геометрической оптики.для поперечного сече- получаем, согласнодля поперечного сече- получаем, согласно(X —>0),(105.1)экрана. Итак, в рас-(X —>0),(105.1)экрана. Итак, в рас-ливо также для любого тела сливо также для любого тела с

поля и поля первичной волны,

поля и поля первичной волны,

Фиг. 53. К

Фиг. 53. К

вычислению попереч-

вычислению попереч-

ного сечения рассеяния в приближении геометрической оптики.

ного сечения рассеяния в приближении геометрической оптики.

для поперечного сече- получаем, согласно

для поперечного сече- получаем, согласно

(X —>0),(105.1)

экрана. Итак, в рас-

(X —>0),(105.1)

экрана. Итак, в рас-

ливо также для любого тела с

ливо также для любого тела с

Рассмотрим плоский экран (S) с площадью 5. В предельном случае геометрической оптики поток энергии, рассеянный в нижнее полупространство при отражении от передней стороны экрана (фиг. 53), равен

<£ (eSs) do = (ne0) | ®01 S'.

Так как, по определению, поперечное сечение рассеяния выражается через рассеянное поле во всем пространстве, равное разности полного

то область геометрической тени позади экрана тоже вносит свой вклад в сечение рассеяния. В этой области рассеянная волна в скалярном случае приблизительно равна v^ =-- — у0 (так как в тени Уо + ^^О)- Следовательно, поток энергии, рассеянный в верхнее полупространство, равен

J (e@s) do = (ne0) | g01S.

Таким образом, ния рассеяния (100.2),

С = 2 По) $

где 5 — площадь

сматриваемом предельном случае поперечное сечение рассеяния . равно удвоенной площади проекции экрана на плоскость, перпендикулярную направлению распространения первичной плоской волны е0. Иными словами, в предельном случае X —> 0 коэффициент рассеяния экрана стремится к 2. Коэффициент прохождения стремится в этом случае к 1. Это утверждение справед- кривой поверхностью [134—138] как в

скалярном, так и в векторном случае. Выражение (105.1) можно рассматривать как главный член асимптотического разложения поперечного сечения рассеяния по степеням длины волны. Влияние краевых условий на экране и поляризации сказывается только на следующем члене разложения, причем краевые условия определяют характер зависимости от длины волны. Для плоского экрана конечных размеров этот член проще всего получить (при некоторых условиях) с помощью геометрической теории дифракции Келлера [139, 140], учитывая вклады многократно дифрагированных лучей (см. п. 44). Как приближение Кирхгофа, так и приближение Браунбека (см. гл. II, § 1 и 2) дают только геометрический главный член (105.1) (Излишнее увлечение вычислением асимптотических разложений для этих приближений приводит к неверным дополнительным членам.) Строгое рассмотрение высокочастотного предельного случая X —> 0 (вместе с высшими приближениями) на основе теории интегральных уравнений будет дано во второй части для щели [25] (см. п. 124) и круглого диска [141, 171] (см. п. 134); о телах конечного объема см. [142, 143], а также и. 146 и 151.

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ЛЕВИНА И ШВИНГЕРА)

Общие замечания. В заключение рассмотрим еще один метод расчета дифракционных нолей, занимающий промежуточное положение между эвристическими и строгими методами теории дифракции. Речь идет о методе стационарного представления Швингера г). Первоначально Левин и Швингер [4, 146] развили его применительно к задаче расчета коэффициента прохождения через круглое отверстие.

С математической точки зрения метод основан на известной связи между теорией линейных интегральных уравнений и вариационным исчислением. Эта связь состоит в том, что решение линейного интегрального уравнения можно определить иначе как экстремаль некоторой вариационной задачи для функционала, в который варьируемая функция входит билинейно. Тогда для приближенного определения этой экстремали можно применить метод Ритца, использовав для экстремали подходящее представление в виде функции от некоторых параметров, которые определяются затем из условия стационарности функционала. Однако практическое значение метода стационарного представления определяется не столько этой возможностью, сколько возможностью построения таких стационарных функционалов, которые сами имеют непосредственный физический смысл.

(106.1)(106.1)Аналогичное положение в электростатике известно под названием теоремы Томсона. Согласно этой теореме, заряд на поверхности проводника распределяется так, что полная электростатическая энергия W достигает экстремума (здесь — минимума). Для наглядного пояснения метода рассмотрим одну задачу, которая тесно связана с теоремой Томсона, но которую легко можно обобщить и переформулировать применительно к теории дифракции. Как и в теореме Томсона, задача будет заключаться в разыскании распределения заряда ц на замкнутой поверхности (А), однако задан будет не общий заряд, а электрический потенциал ср (относительно бесконечности) поверхности (5). [В частности, если ср = const, то в области внутри (S) поле отсутствует; среду внутри (S) можно считать проводящей.] Энергию поля W можно представить в виде билинейного функционала относительно ц

(106.1)

(106.1)

Для этого подставим в выражение для энергии поля

(106.2)(106.2)И7 = П С) Ф W

(106.2)

(106.2)

S

значение потенциала ф, создаваемого на (5) распределением заряда ц:

Ф^ = г? 5пЙо^‘(106-3)

1) Предварительные замечания к этому методу см. в работе Липмана и Швингера [144]. См. также книгу Боргниса и Папаса [145], где с помощью этого метода рассмотрено много примеров.

Вычитая получаем

из (106.1) величину 2Ж, найденную по формуле (106.2),

S

^^^Ц^ dV — 8л ц (г) ф (г)}

(106.4)

Покажем теперь, что это выражение энергии Ж через плотность рас

пределения зарядов р представляет «стационарный» функционал, т. е. что W в первом приближении не меняется, если распределение заряда

X), установившееся на поверхности (5), изменить на бесконечно малую

произвольную величину др (г). Действительно, для вариации функционала (106.4) имеем

— 4л6И7[ц] — dxр dx? — 4лф (t)j- 6ц (г),(106.5)

а этот интеграл равен нулю, так как функция ц удовлетворяет, согласно (106.3), интегральному уравнению

88I Г — V II Г — V Idx' = 4-Лф (г).dx' = 4-Лф (г).(106.6)(106.6)

8

8

I Г — V I

I Г — V I

dx' = 4-Лф (г).

dx' = 4-Лф (г).

(106.6)

(106.6)

Вместо (106.4) можно ввести функционал, однородный относительно ц, который тоже имеет своими экстремалями плотности зарядов,, определяемые интегральным уравнением (106.6). Он также имеет смысл полной энергии поля Ж. Этот функционал, легко получаемый из выражений (106.1) и (106.2), имеет вид

Ж[ц] = 2лЖ[ц] = 2л> ц (г) ц Ж)> ц (г) ц Ж)(106.7)(106.7)

Ж[ц] = 2л

Ж[ц] = 2л

> ц (г) ц Ж)

> ц (г) ц Ж)

(106.7)

(106.7)

i s ' lr"?i

Здесь опять можно легко показать, что функционал (106.7) стационарен относительно изменения ц, если функция ц удовлетворяет интегральному уравнению (106.6) (см. об этом ниже).

Однородные функционалы вида (106.7) типичны для теории стационарного представления; в задачах теории дифракции, так же как и в вышеизложенной задаче электростатики, они представляют непосредственный физический интерес. В этом случае роль поверхностного заряда играет поверхностный ток, роль энергии поля — коэффициент рассеяния (или коэффициент прохождения). Эти величины можно представить как мнимую часть поля в дальней зоне в направлении распространения первичной плоской волны (ср. п. 100 и 102). Поэтому можно полагать, что поле в дальней зоне в произвольном направлении тоже имеет некоторое стационарное представление. И это действительно оказывается справедливым. Отсюда следует, что поле в произвольной точке может быть представлено в виде однородного функционала (от поверхностного тока), «не чувствительного» в первом приближении к отклонениям поверхностного тока от его точного распределения, которое определяется интегро-дифференциальными уравнениями § 1 настоящей главы. Такие функционалы можно построить в виде членов, описывающих взаимодействие искомого поля с соответствующим образом выбранными вспомогательными полями.

Представление физических величин в виде стационарных функционалов от поверхностного тока имеет также большое практическое значе-

ние, поскольку при подстановке даже грубых приближений для поверхностного тока получаются удивительно хорошие приближения для рассматриваемых величин, представленных такими функционалами. Конечно, в общем случае невозможно заранее оценить точность каждого такого приближения; более того, она может быть установлена в большинстве случаев лишь задним числом после сравнения с точным решением или с экспериментом. Кроме того, не существует непосредственного способа последовательного улучшения полученного приближения. Действительно, для такого улучшения необходимо более точное значение поверхностного тока, но последнее можно получить только в результате более точного решения интегро-дифференциального уравнения.

Таким образом, при повышенных требованиях к точности расчета в конце концов все равно не удается избежать решения интегро-дифференциального уравнения. С другой стороны, метод Швингера обладает тем достоинством, что он (при правдоподобных предположениях относительно поверхностного тока) позволяет во всей области частот качественно правильно определить поведение величин, представленных стационарными функционалами. Причина этого заключается как раз в представлении этих величин в виде стационарных функционалов от поверхностного тока, поскольку при этом особенности поведения функций не имеют большого значения. В этом отношении преимуществом обладают однородные функционалы, которые не зависят от абсолютной величины поверхностного тока. Стоит еще упомянуть, что в общем случае неизвестно, максимума или минимума достигает рассматриваемый функционал при экстремальном распределении поверхностного тока, так что до сих пор неясно, выше или ниже экстремального значения лежит приближенное значение функционала, вычисленное с помощью приближенной функции (см. работу Джонса [147 J).

Общий метод построения стационарных функционалов X [ц] от функции ц(г), удовлетворяющей линейному однородному интегральному уравнению первого рода с симметричным ядром К (г, г') и правой частью / (г)

ц (г') К (г, г') dr' — /Jr),(106.8)

s

заключается в следующем. Пусть некоторую величину X можно представить в виде

X = ^ f (г) ц (г) dV.(106.9)

s

Тогда в силу интегрального уравнения (106.8) эту величину можно представить также в виде

— X [ц] = ^ Дщ (г) /^ К (г, г') ц (?) dV 2/ (г)|(106.10)

883

или в однородной форме

{f n (г) / (г) rfr)-2

х 1111 = тг/ —”—;—г •(Юб.и)

У dx у Д (г) К (г, ?) Д (?) dV 88

Легко показать, что оба функционала (106.10) и (106.11) стационарны в первом приближении относительно произвольных бесконечно малых изменений функции ц, определяемой уравнением (106.8). Действительно, образуя вариацию функционала (106.10) и учитывая симметрию ядра К^х, х^ получаем

(106.10')(106.10')-/w} 6т) (г).-/w} 6т) (г).— 6Х [ц] = 2 ^ dx ^ ц (г') К (г, х^ dx*

(106.10')

(106.10')

-/w} 6т) (г).

-/w} 6т) (г).

S S

а это выражение равно нулю в силу уравнения (106.8). Аналогично вычисляется вариация функционала (106.11) из равенства

6Х [ц] ^ dx ^ ц (г) К (г, г') ц (г') dxf = S 8

=2 ^ dx ^Х ^ ц (г')К (г, х'^ dx' — / (г) ^ ц (г') / (г') dxf^ 6ц (г).(106.12)

SS" S

Здесь правая часть также обращается в нуль, так как множитель в фигурных скобках при / (г), согласно (106.9), равен X, а функция ц должна удовлетворять интегральному уравнению (106.8).

В дальнейшем нам придется иметь дело не только с интегральным уравнением (106.8), но также и с интегро-дифференциальным уравнением подобного вида (см. § 1 настоящей главы). В этом случае также можно построить функционалы [аналогичные функционалам (106.10) и (106.11)], стационарный характер которых доказывается с помощью равенств, аналогичных (106.10') и (106.12), но при этом необходимо еще провести однократное интегрирование по частям. Тогда в случае ограниченных кусков поверхности (экранов) придется позаботиться о том, чтобы вышедший из-под интеграла член обращался в нуль. Это обеспечивается условием на ребре.

а. Стационарное представление скалярных дифракционных полей

При исследовании скалярной задачи для плоского бесконечно тонкого экрана (5) с отверстиями (L) можно ограничиться только р-слу- чаем (т. е. краевым условием у = 0; см. п. 4), так как тогда в s-случае (т. е. в случае краевого условия dv!dn = 0) решение сразу получается с помощью теоремы Бабине (см. и. 27). Однако для удобства изложения применительно к каждой из двух возможных геометрических конфигураций будем опять различать случай рассеяния [экран (S) лежит в конечной области пространства] и случай дифракции [отверстие (L) лежит в конечной области]. При этом (5) и (L) должны взаимно дополнять друг друга до полной плоскости z = 0 (ср. п. 26). Напомним сначала представления поля с помощью электрического поверхностного тока на (5) или соответственно «магнитного поверхностного тока» на (L) (ср. п. 46 и 47)

в случае рассеяния:

u(r) = u0(r)+ys(r),)

Уз (?) = — ^ ^ (?') G (г — г') dx', } 2 ^ 0;(Г

8J

в случае дифракции:

[ О, 2>О, и (г) = ив (г) +

( у0 (г) - yJ (г), 2 < О,

Ув (г) = ± 2 ^ ср (г') -^т- G(r — г') йт', z О.

L

При этом «электрический поверхностный ток» ф (г) на экране (S) определяется из интегрального уравнения [ср. (46.2/))]:

^ Ф(г')С(г —r')dr' = y0W> rE (S),(Ш)

а для определения «магнитного поверхностного тока» ср (г) на отверстии (L) будем использовать интегро-дифференциальное уравнение (48.4/)):

^ {ф (?) + grad' ф(?) grad} G (г -?) ск'=: (--^Мг), г€(Ц, (IV)

учитывая условие на ребре: ф = 0 на контуре (С), ограничивающем отверстие (£).

Метод Ритца. Покажем сначала, что величины ф и ср соответственно являются экстремалями вариационных задач

^(г) ^ G (г — г') ф (г') dr' — 2у0 (r)J = Extr (107.1)

'88

И

С ' Г С-АXXАА

ат | \ с/гЧф^Оф^') —grad(p(r)grad/cp(r')]G(r-r') —

L L

- ф (г) ™ Уо (г)} = Extr. (107.2)

Необходимым условием этого является обращение в нуль вариаций функционалов (107.1) и (107.2) относительно произвольных изменений функций ф и ср. Вычислив эти вариации, получим вследствие симметрии функции Грина G (г — г') = G (г' —- г)

^ { ^ Ф (И ^ (г г') ^'уо (r)j $Ф (г) ^ = 0(107.Г)

S 8

и соответственно

^ dr {2 \^ [ср (?) бф (г) — grad' ф (г') grad бф (r)]G (г — г') dr' — ~~/—■ 6ф (г)

= dr ^2 ^ [ф (г') -1- grad" ф (г') grad] G (г — г') — —^— | бф (г) = 0.

L L(107.2')

Здесь переход от первой ко второй строке в равенстве (107.2') соответствует обычному преобразованию с помощью интегрирования по частям, причем для устранения члена, вышедшего из-под знака интеграла, необходимо привлечь условие на ребре: ф = 0 на (С). Интегралы

в левых частях равенств (107.1') и (107.2') должны обращаться в нуль для произвольных вариаций 6ф и бф; следовательно, выражения в фигурных скобках должны равняться нулю. Это и приводит к уравнениям (III) и (IV).

Итак, вариационные задачи (107.1) и (107.2) эквивалентны соответственно интегральному уравнению (III) и интегро-дифференциальному уравнению (IV). Для приближенного определения экстремалей представим их, следуя методу Ритца, в виде

ANN,

ф(г) = 2 ^v^vW’ И ф (г) = 2 ^V^v (г),(107.3)

v=lv=l

используя произвольное число N функций Ipv И фv из подходящим образом выбранной последовательности функций [функции фv должны обращаться в нуль на краю (С) отверстия (£)]. При этом целесообразно использовать информацию, даваемую условием на ребре, согласно которому функции ф и ф имеют на краю порядок соответственно р”1^ и qv2 [р — расстояние от края экрана (5) или отверстия (L); см. п. 23]. Это особенно важно в тех случаях, когда весь экран (или отверстие) фактически представляет собой краевую зону (т. е. когда размеры экрана или отверстия имеют порядок длины волны или менее). Если подставить выражения (107.3) в функционалы (107/1) и (107.2), то соответствующие вариационные задачи примут вид

NN

6 У а, (У a^-2cv)= 0,(107.4)

V=iо,—1

NN"

6 У bv [ У b11Dvll-2d^ = 0,(107.5)

v=iц—1

где константы С\^ cv, DVIU dv имеют следующий смысл:

dxdr'ipv (г) G(г — г')(г'),'

С f А А(Ю7.6)

\ Уо (г)ф^ (г) dx

я

и соответственно

\dx \ dx' {qv(x)q^')—g™A^^

I I(107.7)

dv = 2 2^21 Vv (г) dx.

VJ1 — Сц, v—1VJ1 — Сц, v—1ц = 1, 2, N.ц = 1, 2, N.(107 8)(107 8)В формулах (107.4) и (107.5) варьируются коэффициенты ^v и bv; вариация должна равняться нулю при произвольных 6&v и 66v. Отсюда получаем системы уравнений для определения коэффициентов а^ и 5V

VJ1 — Сц, v—1

VJ1 — Сц, v—1

ц = 1, 2, N.

ц = 1, 2, N.

(107 8)

(107 8)

N

2 bvDv^ = d^, v~l

С системой уравнений такого вида мы уже встречались в п. 63 при приближенном решениии «парных» интегральных уравнений (60.8р), эквивалентных интегральному уравнению (Ш) (там мы ограничивались двумерным случаем). Легко показать также, что введенные там коэффициенты (63.3) и (63.6) совпадают с коэффициентами, определяемыми формулами (107.6) (с точностью до несущественного множителя — 8лЛ'). В совпадении выражений (63.6) и (107.6) для CVJ1 можно убедиться, подставляя в формулу (107.6) разложение функции Грина в интеграл Фурье

6(1— i <107-9)

[ср. (8.3а) и (60.1)], меняя порядок интегрирования и учитывая соотношения

фг, (а) ^ ipv (ж) dx

[функции xpv (^) мы будем считать, как и в п. 63, вещественными]. Аналогичное утверждение справедливо для величин cv. Следует, однако, отметить, что при выводе уравнений (107.8) из вариационного принципа нигде не использовалась ортогональность или полнота систем- функций xpv ИЛИ ф^

Известный недостаток метода Ритца состоит в том, что значения коэффициентов а^ и Ь^ не являются окончательными, т. е. коэффициенты с индексами v < N изменяются, если в представлении Ритца (107.3) добавляются последующие члены tpv или фу (v > Ny Однако- если размеры рассеивающего или дифрагирующего объекта малы по сравнению с длиной волны, то это изменение заключается в том, что появляются высшие степени отношения характерного размера рассеивающего объекта к длине волны). Магнус [123, 150, 151] исследовал при 7V—> со алгебраические свойства системы уравнений (107.8), получающейся в случае круглого отверстия при специальном выборе последовательности функций фv, удовлетворяющих условию на ребре). Он показал, что система уравнений (107.8) имеет единственное решение, если 8 = ка < 1 {к — волновое число, а — радиус отверстия); в этом случае для коэффициентов 6V получаются сходящиеся ряды по возрастающим степеням 8. В общем случае Джонс [147] показал, что только с помощью «статических» функций ipv и фv (см. п. 93) удается строго рассмотреть рэлеевский (длинноволновый) предельный случай (см. об этом п. 123 и 135).

Стационарное представление сечений рассеяния и прохождения. В дальнейшем будем считать первичную волну плоской волной, распространяющейся в направлении е0 (^ = 1); можно нормировать ее амплитуду на единицу:

^о(г)-еВеог). (108.1)

Выпишем еще раз уравнения (III) и (IV), конкретизировав в них вид правой части с помощью (108.1):

.^(е0, r'^G^-t^dr'= ^^\ ^^(108.2)

8

и соответственно

( (<р (е0, г') 4- grad' ф (е0, г') grad} G (г — г') dV = L

= ^(neo)ei(eoO(108.3)

где it— нормаль к экрану. Мы добавили здесь в качестве второго аргумента функций ф и ф (поверхностный ток) направление распространения первичной волны е0, чтобы подчеркнуть, что речь идет о том поверхностном токе, который наводится на (5) [или соответственно на (£)] плоской волной, распространяющейся в направлении е0. Для поперечных сечений рассеяния и прохождения в ^-случае справедливы соответственно следующие представления [ср. (100.3/?) и (102.3/?)]:

Qp (е0) — — Im ф (е0, г) е”Иеог) dr,

s(108.4)

7V(eo) = — (neo)Re ^ ф (е0, t) е-1 ^dr.

Путем простого обобщения формализма, изложенного выше [см. (106.8) — (106.12)], получим для величин @ и Т с помощью (108.2) и (108.3) однородные стационарные представления. Для Q получается непосредственно

*J ф (е0, г) е-г (e°r) dx J ф( — е0, x^e^^dx

'Qp (е0) = - Im s v-^.——;,(108.5)

^ dx ^ б/r'гр ( — е0, г) G (г —г') ф (е0, г') s s

причем в силу (108.2) второй интеграл в числителе равен знаменателю. Чтобы получить аналогичное представление для Т, умножим сначала уравнение (108.3) на ф( — е0, г) и проинтегрируем по области (L):

(пе0) ^ ф ( — е0, г) <е(А dr =

= — 2Z ^ dr ^dr^( —е0, г){ф(е0, г') + grad'ф (е0, г') grad} G (г — г') = L

= —2^ ^ dr ^dr'{ф( —е0, г)ф(е0, г') —

l L

— gradф ( — е0, r)grad^(e0, r')}G(r —г').(108.6)

Здесь в последнем выражении мы провели интегрирование по частям и учли^ что в силу условия на ребре функция ф равна нулю на краю отверстия (Z). С помощью соотношения (108.6) можно теперь представить

величину Тр [см. формулу (108.4)) в виде

^(ео)=-^Х

У Ф (е0, г)е“г (e°r) dr \ Ф (~ е0, г) ег (e°r) dr

X Im.каак. (108.7)

$ di I dr' {ф(-е0, г)ф (е0, ?)-grad ф(-е0, r)grad^(e0, ?)} G(r — Р)

L L

В силу (108.6) второй интеграл в числителе выражения (108.7) равен знаменателю [с точностью до множителя f/2(ne0)]. Опять легко показать, что функционалы (108.5) и (108.7) стационарны относительно произвольных независимых бесконечно малых отклонений поверхностных токов ф (е0, г) и ф( — е0, г) [и соответственно ф (е0, г) и ф( —е0, г)] от их точного распределения, определяемого уравнениями (108.2) и (108.3). Таким образом, довольно сложные представления (108.5) и (108.7) имеют преимущество в тех случаях, когда, не решая уравнений (108.2) и (108.3), нужно получить приближенные значения поперечных сечений Q и Т, заменяя в стационарных представлениях функции ф и ср приемлемыми приближенными значениями.

В гл. IV (см. п. 123 и 135) мы применим метод стационарного представления к задачам дифракции на щели и на круглом диске. Большое число других приложений можно найти в литературе [40, 91, 96, 128, 141, 145, 152-167]. <

4ле2 {^' ф° (г) dr }484ле2 {^' ф° (г) dr }48Qp - 272Qp - 272(108.8)(108.8)Если разложить все величины, входящие в формулы (108.5) и (108.7), в ряды по степеням 8 (s —отношение характерного размера экрана или отверстия к длине волны), как это уже делалось в п. 91, то получатся степенные ряды для величин Q и Т, первые члены которых равны соответственно (ср. [146])

4ле2 {^' ф° (г) dr }4

8

4ле2 {^' ф° (г) dr }4

8

Qp - 272

Qp - 272

(108.8)

(108.8)

f <h Г av WWl8s'I r'| r

(108.9)

Таким образом, они представляют собой значения Q и Т в предельном случае очень длинных волн (в приближении Рэлея). Здесь мы указали также значения, относящиеся к дополнительным (в смысле теоремы Бабине) задачам [см. (102.1)]. Как мы видели уже в п. 92, ф° представляет не что иное, как статическую плотность заряда, которая устанавливается на экране (S), если он заряжается до некоторого постоянного потенциала. Отсюда с помощью (106.7) и соотношений ф = 1; И7 ~ (С/2) ф2 — С/2 получим -

^р = 2П = £, (108.10)

где С представляет собой электростатическую емкость экрана (5)1).

0 При сравнении выражений (108.8) и (106.7) следует учитывать, что в них переменные интегрирования г отличаются друг от друга множителем е.

Формула же (108.9) описывает типичную (V4) зависимость интенсивности излучения, рассеянного на малом препятствии, от длины волны (Рэлей)4).

Амплитуда поля в дальней зоне в стационарном представлении. Рассмотрим амплитуды поля в дальней зоне (т. е. поля Фраунгофера), которые в случаях рассеяния и дифракции имеют соответственно вид

^р Оо, е) = - ~ ф (е0, г) е~г (ei) dr,

•%. • - .U09-1)-

ВР 'е°*) ^ (е°’ г) е 2 ^ йх

L

[ср. (96.2) и (96.2а)]. Стационарные представления этих амплитуд получаются совершенно так же, как и для поперечных сечений рассеяния и прохождения:

^ ф (е0) i) eL (er) dx- ^ ф (е, г) с1 ^^dx

е' 4л ^ dx' j (/г"ф (е0, г') G (V — г") ф (е, г")(109.2)

s s

(п —нормаль к экрану, е —единичный вектор в направлении точки наблюдения: г = ег) и соответственно

? ф (ео* r) e% ^ dx J ф (е, г) ег ^eQ^ dx

Xг,аа~ •(109.3/

^ dx’ \ dx" {ф (е0, г') ф (е, х") — grad' ф (е0, г') grad" ф (е, г")} G (г' —г")

L L

Эти выражения, как и прежде, стационарны относительно первых вариаций функций ф (е0, г) и ф (е, г) и соответственно ф (е0, г) и ф (е, г), если сами эти функции удовлетворяют интегральным уравнениям (108.2) и (108.3). Здесь функция ф (е0, г) обозначает ток, который наводится на (5) плоской волной, распространяющейся в направлении е0, а ф (е, г) представляет собой ток, индуцируемый волной, идущей в направлении наблюдения е. Направления падения и наблюдения входят сюда совершенно симметрично. Физически это означает перестановочность направлений падения и наблюдения. Действительно, из выражений (109.2) и (109.3) вследствие симметрии функции Грина следуют «соотношения взаимности»

Ар(е, -е0)=Лр(е0, -е),

Вр(е, -с0) = 5р(е0, -с).''

Если мы снова разложим амплитуду по степеням е, то из выражения (109.2) в нулевом приближении получим, например, для случая рассеяния [ср. (106.7)]

г) Зависимость от линейных размеров объекта а и длины волны X имеет вид а6Х™4.

88\ dxЭто — известный результат между амплитудой поля в экрана в том случае, когда волны (см. и. 96).\ dxЭто — известный результат между амплитудой поля в экрана в том случае, когда волны (см. и. 96).( \ ''V0 (0 <h [8 С£ ^, гГ° (г) t|.-o (г') 4л "j С— i'l( \ ''V0 (0 <h [8 С£ ^, гГ° (г) t|.-o (г') 4л "j С— i'l(109.5)(109.5)Рэлея [3, 118], устанавливающий связь дальней зоне и статической емкостью С его размеры малы по сравнению с длинойРэлея [3, 118], устанавливающий связь дальней зоне и статической емкостью С его размеры малы по сравнению с длиной

8

8

\ dx

Это — известный результат между амплитудой поля в экрана в том случае, когда волны (см. и. 96).

\ dx

Это — известный результат между амплитудой поля в экрана в том случае, когда волны (см. и. 96).

( \ ''V0 (0 <h [

8 С

£ ^, гГ° (г) t|.-o (г') 4л "

j С— i'l

( \ ''V0 (0 <h [

8 С

£ ^, гГ° (г) t|.-o (г') 4л "

j С— i'l

(109.5)

(109.5)

Рэлея [3, 118], устанавливающий связь дальней зоне и статической емкостью С его размеры малы по сравнению с длиной

Рэлея [3, 118], устанавливающий связь дальней зоне и статической емкостью С его размеры малы по сравнению с длиной

Стационарные представления произвольных линейных полевых величин. Любую другую линейную полевую величину также можно представить в виде однородного стационарного функционала, на что впервые обратил внимание Эрдепи [168]. В такие функционалы наряду с поверхностным током, индуцируемым падающей волной, входит вспомогательный ток, который необходимо выбрать соответствующим образом. Поясним это на примере стационарного представления поля в произвольной точке. При этом ограничимся случаем рассеяния; первичную волну и0 будем считать произвольной, как и в формуле (I) на стр. 214. Рассеянное поле, определяемое формулой (I), можно представить следующим образом:

.ф (?) G(x — ?) dxr \ ф0 (г, ?) е() (?) dxf

VS(4 = - ё ®X„.(110.1)

J dV ( dx" ф (г') G (г' — г") ф0 (г, г")

А

Здесь ф (г) — поверхностный ток, индуцируемый па (5) первичной волной п0, определяемый уравнением (III), а ф0 (т, г) — поверхностный ток, который обусловлен точечным источником, помещенным в точке наблюдения г (т. е. наводится исходящей из точки г сферической волной). Функция фо (г, г) определяется, следовательно, интегральным уравнением, аналогичным уравнению (III):

J 4о (г, ЛС(т' -i'W = G(r-O(110.2)

8

Тождественность выражения (110.1) и второ!! строки соотношений (I) вытекает из того, что второй интеграл в числителе выражения (110.1) в силу уравнения (III) равен знаменателю. Однако выражение (110.1) в отличие от (I) стационарно относительно произвольных независимых вариаций функций ф и ф0, если сами эти функции удовлетворяют интегральным уравнениям (III) и (110.2). Таким образом, для приближенного вычисления рассеянного поля us (г) вместо обоих поверхностных токов ф (г) и фо (г, г) следует подставить подходящим образом выбранные приближения.

Если, в частности, взять в качестве и0 (г) исходящую из точки г9 сферическую волну и0 (г) = G (г — г0), то из (110.1) получается такое

представление:

$ Ф(г0, ?)G(x — ?)(/?. J ф(г, ?) G (r0 — ?) dV

(110.Г)(110.Г)(110.3)(110.3)Vs (to, г) = — Xтааа

(110.Г)

(110.Г)

(110.3)

(110.3)

} dx' ) ^г"ф(г0, х') G (г' — г") ф (г, х")

88

из которого вытекает общее соотношение взаимности

Уз (г, г0) = ^(г0, г).

В предыдущем изложении мы ограничивались плоскими экранами, но это ограничение несущественно. Аналогично можно рассмотреть рассеяние на телах конечного объема. В ^-случае для задачи рассеяния можно даже непосредственно применять для таких тел полученные выше формулы, заменив в них поверхность экрана (5) на поверхность рассеивающего тела.

б. Векторные поля в стационарном представлении

Изложенные выше соображения можно непосредственно применить к пространственным электродинамическим задачам. При этом можно ограничиться задачей рассеяния, так как, согласно теореме Бабине, задача дифракции является дополнительной к ней задачей (см. п. 27 и 59).

Поверхностные токи как экстремали некоторой вариационной задачи. Покажем сначала, что поверхностный ток, определяемый интегро-дифференциальным уравнением (55.3)

^ {3 (г') -г div' 3 (*') grad}G (г — ?) dr' — Йо (г),(111.1)

s

является экстремалью вариационной задачи

dr ^ dr' [3 (г) 3 (г')—dlv3 (г) div' 3 (т')1 G (г — r') + 2t @0 (г) 3 (г) J = Ex tr.

(111.2)

Действительно, образовав вариацию этого функционала от функции 3, получим

^ ^r { ^ [3(r') + div'3(?)grad]G(r —г') —1@0М^^(111.3)

S ‘ S

Здесь мы проделали обычное преобразование с помощью интегрирования по частям и учли, что член, вышедший из-под знака интеграла, обращается в нуль, если рассматривать только такие функции сравнения 3, которые удовлетворяют условию на ребре 3± — О на краю (С) экрана (5). Выражение (111.3) должно обращаться в нуль для произвольных (в остальном) вариаций 63; отсюда следует, что выражение в фигурных скобках должно равняться нулю. Таким образом, мы приходим к уравнению (111.1). Тем самым показано, что задачи, сформулированные в уравнениях (111.1) и (111.2), эквивалентны. .

Для нахождения экстремалей будем исходить опять из линейных комбинаций Ритца

ANА

■3 (г)= 2 а^ (г),(111.4)

где $v (г) — подходящим образом выбранная последовательность функций, удовлетворяющих условию на ребре ^± = 0 вдоль (С). Тогда вариационная задача (111.2) опять примет вид

'6 § av{2 ^CV[l-2cv} = 0,(111.5)

V=1 Ц=Я•

где

Сх^^ dr dr' {Sv (г) S^r') —div Sv^div'Sp, (r')} G (г — г'),

s s(111.6)

Cv = f $v (r) ®0 (r) dr.

s•

Варьируя коэффициенты a^, получаем систему уравнений для этих коэффициентов

N

= ц = 1, 2, N.(111.7)

Эта система снова совпадает с системой (70.5), оборванной при v — N. Действительно, с помощью фурье-представления функции Грина G(r-r') [см. (67.1)] легко показать, что коэффициенты, определяемые формулами (70.6), совпадают с коэффициентами (111.6) [с точностью до несущественных множителей; функции Sv предполагаются вещественными]. При сведении к вариационной задаче опять нигде не использованы ортогональность или полнота системы функций Sv.

Стационарное представление поля вектора Герца в дальней зоне. Получим стационарное представление для амплитуды вектора Герца в дальней зоне [ср. (53.1), (69.2) и (69.2а)]

3s (г) = ^ 3 (?) G (? — г) dr',■

s

3s (г) —^ 3 (г) е~4 (er> dr (г = ег, г—со), (112.1) s

т. е. для величины

3(e) = ^ 3 (г) dr.(112.2)

s

Здесь (iS) может быть произвольным (плоским или искривленным) бесконечно тонким ограниченным экраном или поверхностью тела произвольной формы. Однако в дальнейшем мы ограничимся лишь случаем плоских экранов; тогда 3 будет представлять собой трансформанту Фурье поверхностного тока 3 (ср. п. 67). В случае искривленных поверхностей следует лишь помнить, что нормаль к поверхности и не является уже постоянной и, следовательно, должна быть введена под знак интеграла. Рассеянное поле в дальней зоне выражается через 3 следующим образом [ср. (103.5)]:

(112.(112.г — ег,г — ег,®s (г)-^-^[е[еЗ(е)]]?Д

(112.

(112.

г — ег,

г — ег,

^(т)-*^ [еЗ (е)]е^ ,

Возьмем теперь в качестве первичной волны плоскую волну ©0 (г) = = пое^ <еог), линейно поляризованную в направлении п0 и распространяющуюся в направлении е0, так что поео = О. Тогда уравнение (111.1) примет вид

{3 (е0, ?) + div' 3 (е0, ?) grad} G (г — г') dr' = г [[nn0] n] е (е°г), г £ (5).

s

.Для величины 3, определяемой равенством (112.2), получается следующее представление [здесь опять в аргументе необходимо указывать направление падения первичной волны, т. е. писать 3 (^о, е) вместо 3(^)3-

(П13(е0,-е))-(п03(е, — с0)) =

i J (поЗ (е, г)) ег ^^ dx^ (щЗ (е0, г)) сг ^ ах —.;х.—,(112.5)

J Л' ^ rfr" {3 (е, Г')3(ео, г") —div'S (е, г') div" $ (е0, r")}G(r'-r") s s

где Hi обозначает направление поляризации, соответствующее направлению с, согласно формулам (112.3). Совпадение с формулой (112.2) снова следует из того факта, что первый интеграл в числителе (112.5) с множителем I равен знаменателю. Это можно показать с помощью интегро-дифференциального уравнения (112.4), выполняя соответствующее интегрирование по частям и используя условие на ребре Зр — 0. Аналогично предыдущему можно показать, что функционал (112.5) опять стационарен относительно независимых вариаций токов 3 (е0, т) и 3(е, г), если сами эти токи удовлетворяют уравнению (112.4).

(112.6)(112.6)Отсюда с помощью формулы (103.7) получим стационарное представление для поперечного сечения рассеяния Q (е0), подставив (112.5) в соотношение (ср. [13])

(112.6)

(112.6)

<2 (е0) = Re (п0 3 (ео, е0)).

ЗАМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА

В ряде мест книги для случая идеальных (непоглощающих) границ области подробно обсуждается различие между задачами о колебаниях во внутренней (ограниченной) и во внешней (бесконечной) областях. При этом подчеркивается, что во внешних областях в отличие от внутренних невозможны собственные колебания, а поэтому задача о вынужденных колебаниях, возбуждаемых заданным источником в такой области, для любой частоты со и соответствующего волнового числа к —to)с всегда однозначно разрешима. Однако авторы не отмечают, что данное утверждение справедливо лишь для всех вещественных значений к. Действительно, в случае внешней задачи с условием излучения па бесконечности имеется (наряду с непрерывным) дискретный спектр комплексных собственных значений к и соответствующие собственные функции, неограниченно растущие с расстоянием от дифрагирующего тела. Они соответствуют затухающим с течением времени колебаниям во внешней области, аналогичным тем, которые могут существовать внутри конечной области с поглощающей, например импсдапсовой, границей. Аналогию легко попять, если учесть фактическую эквивалентность условия излучения Зоммерфельда и краевого условия 3-го рода (drv)dr) — ikgrv — о (с кг/г) на бесконечно удаленной сферической поверхности г ->оо для того частного случая, когда безразмерный импеданс 1/g равен единице, что соответствует поверхности, полностью поглощающей нормально падающие плоские волны.

ЛИТЕРАТУРА

Jones D. S., Proc. Cambr. Phil. Soc., 48, 733 (1952).

Poincare II., Compt. Rend., 113, 519 (1891).

Rayleigh W., Phil. Mag., 43, 259 (1897).

Levine IL, Schwinger J., Phys. Rev., 74, 958 (1948).

Sommerfeld A., Vorlesungen uber theoretische Physik, Bd. IV, Wiesbaden, 1950. (См. перевод: А. Зоммерфельд, Оптика, ИЛ, 1953.)

Майе A. W., Zs. f. Phys., 126, 601 (1949).

Magnus W., Jber. der deutsch. Math. Ver., 52, 177 (1942).

В e t h e H. A., Phys. Rev., 66, 163 (1944).

Luneberg R. K., Mathematical Theory of Optics, Brown Univ., 1944.

С о p s о n E. T., Proc. Roy. Soc., 186, 100 (1946); 202, 760 (1950).

T о r a 1 d о di Francia G., Nuovo Cimento, 7, 967 (1950).

В о u w к a m p C. J., Progr. Phys., 17, 35 (1954).

Levine H., Schwinger J., Comm. Pure Appl. Math., 3, 355 (1950).

W a t s о n G. N., Theory of Besselfunctions, Cambridge, 1944. (См. перевод: Г. H. Ватсон, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949.)

Т i t с h m а г s h Е. С., Theory of Fourier-Integrals, Oxford, 1937. (См. перевод: E. T и т ч м а р ш, Введение в теорию интегралов Фурье, М., 1948.)

Tranter С. J., Integral Transforms in Mathematical Physics, London — New York, 1956. (См. перевод: К. Дж. T p а н т e p, Интегральные преобразования в математической физике, М., 1956.)

В о о k е г Н. G., Clemmow Р. С., Proc. Inst. Electr. Eng., 97, 11 (1950).

Clemmow P. C., Proc. Roy. Soc., 205, 286 (1951).

Honl H., Zs. f. Phys., 131, 290 (1952).

Groschwitz E., H 6 n 1 H., Zs. f. Phys., 131, 305 (1952).

H 6 n 1 H., M a u e A. W., Zs. f. Phys., 132, 569 (1952).

S c h e f f e r s H., Ann. d. Phys., 42, 211 (1942).

W e s t p f a h 1 K., Zs. f. Phys., 141, 354 (1955).

Hamel G., Integralgleichungen, 2 AufL, Berlin, 1949.

W e s t p f a h 1 K., Ann. d. Phys. (7), 4, 283 (1959).

Мандельштам Л. И., festschrift H. Weber, Leipzig — Berlin, 1912. (Cm. также: Л. И. Мандельштам, Сочинения, т. 1, Изд-во АН СССР, М., 1948.)

Weyl Н., Ann. d. Phys., 60, 481 (1919).

Wiener N., Hopf E., Sitzgsber. Berl. Akad. Wiss., 696 (1931).

P a 1 e у R., W i e n e r N., Fourier Transforms in the Complex Domain, New York, 1934.

Фок В. А., Математический сборник, 1, 14 (1944).

N о b 1 e В., Methods based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of Partial Differential Equations, London, 1958. (См. перевод: Б. Нобл, Метод Винера — Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1962.)

Jones D. S., Quart. Journ. Math. (Oxford), 3, 189 (1952).

Мусхелишвили H. И., Сингулярные интегральные уравнения, М., 1962.

Михлин С. Г., Усп. матем. наук, III, 3 (25), 29 (1948).

Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения, М., 1950.

Sparenberg А., Коп. Nat. Akad. Wet., А59, 29 (1956).

Levin L., Advanced Theory of Waveguides, London, 1951. (См. перевод: Л. Л e- в и н, Современная теория волноводов, ИЛ, 1954.)

Morse Р. М., Feshbach Н., Methods of Theoretical Physics, Vol. II, New York — Toronto— London, 1953, Ch. 11.4. (См. перевод: Ф. M. Mope, Г. Ф e ш 6 a x, Методы теоретической физики, т. II, ИЛ, 1959.)

Goubau G., Elektromagnetische Wellenleiter und Hohlraume, Stuttgart, 1955.

Marcuwitz N., Waveguide Handbook, New York, 1951. (См. перевод: «Справочник по волноводам», М., 1952.)

Magnus W., Oberhettinger F., Formein und Satze fiir die speziellen Funktionen der mathematischen Physik, Berlin, 1948.

Вайнштейн Л. А., Изв. АН СССР, серия физич., 19, 911 (1949).

Karp S. N., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-25 (1950).

В a i 1 i n L. L., Journ. Res. Nat. Bur. Stand., 47, 315 (1951).

Blass J., Thesis, Polyt. Inst. Brooklyn, 1951.

M u 1 1 e r CL, Abh. deutsch. Akad. Westberlin, No. 3 (1945/46).

Muller CL, Arch. Math., 1, 296 (1948/49).

Muller CL, Math. Ann., 123, 345 (1951).

Muller CL, Comm. Pure Appl. Math., 8, 635 (1955).

ФокВ.A.,Journ. of Phys. (СССР), 10, 130, 399 (1946).

ФокВ.А.,Изв. АН СССР, серия физич., 10, 171 (1946).

2. Фок В. A., Phil. Mag., 39, 149 (1948).

ФокВ.А.,Усп. физич. наук, 43, 587 (1950).

В а г г а гИ.В., Dolph С. L., Journ. Rat. Meeh. Anal., 3, 726 (1954)

Lax P. P., Comm. Pure Appl. Math., 7, 633 (1954).

Sternberg W., Comp. Math., 3, 254 (1936).

15 Заказ MIS

Freudenthal FL, Comp. Math., 6, 221 (1938).

К у п p а д з e В. Д., Математический сборник, 41, № 4 (1934).

К упрадзе В. Д., ДАН СССР, 10, 7 (1936); 16, 165 (1937).

Купрадзе В. Д., Comp. Math., 6, 228 (1938).

Muller CL, Grundprobleme der mathematischen Theorie der elektromagnetischer Schwingungen, Berlin, 1957.

Saunders W. K., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38, 342 (1952).

Franz W., Deppermann K., Ann. d. Phys., 10, 361 (1952); 14, 253 (1954).

Frank Ph., Mises R., Die Differential- und Integralgleichungen der Mecha- nik und Physik, Bd. I, Braunschweig, 1925.

Weyl FL, Math. Zs., 55, 187 (1952).

Muller CL, Math. Zs., 56, 80 (1952).

M tiller CL, Math. Zs., 56, 261 (1952).

Weil FL, Math. Zs., 56, 105 (1952).

Born M., Optik, Berlin, 1933. (См. перевод: M. Б о p н, Оптика, Харьков, 1937.)

Schwarzschild К., Math. Ann., 55, 177 (1902).

Baker В. В., С о р s о n Е. Т., The Mathematical Theory of Huygens’ Prin-

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

ciple, Oxford, 1950.

Fox E. N., Phil. Trans. Roy. Soc., A241, 71 (1948); A242, 1 (1949).

Karp S. N., Symposium on Microwave Optics, Montreal, Canada, 1953.

Z i t г о n N., К a r p S. N., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-126 (1959).

Baldwin G. L., H e i n s A. E., Math. Scand., 2, 103 (1954).

Karp S. N., W i 1 1 i a m s W. E., Proc. Cambr. Phil. Soc., 53, 683 (1957).

Lamb H., Proc. Lond. Math. Soc., 29, 523 (1898).

Rayleigh W., Proc. Roy. Soc., A79, 399 (1907).

Rayleigh W., Theory of Sound, Vol. II, London, 1926, § 272. (См. перевод:

P э л e и, Теория звука, M., 1955.)

Schafer C., R e i c h e F., Ann. d. Phys., 32, 577 (1910); 35, 817 (1911).

Voigt W., Gottinger Nachrichten, 41 (1911); 385 (1912).

Ignatowsky W., Ann. d. Phys., 44, 369 (1914).

Gans R., Ann. d. Phys., 61, 447 (1920).

Wolfsohn G., в книге Handbuch der Physik, Bd. 20, Berlin, 1928, Кар. 7.

Fano U., Ann. d. Phys., 32, 393 (1938).

Wessel W., 'Hochfrequenztechn., 54, 62 (1939).

A r t m a n n K., Zs. f. Phys., 119, 529 (1942).

McFarlane C. G., Journ. Inst. Electr. Eng., 93, 1523 (1946).

Carlson J. F., H e i n s A. E., Quart. Appl. Math., 4, 313 (1947); 5, 82 (1948).

Honerjager R., Ann. d. Phys., 4, 25 (1948).

Miles J. W., Quart. Appl. Math., 7, 45 (1949).

Franz W., Zs. angew. Phys., 1, 416 (1949).

Heins A. E., Quart. Appl. Math., 8, 281 (1950).

Sakurai T., Journ. Phys. Soc. Japan, 5, 203 (1950).

Hui then E., Ark. Fys., 2, 439 (1950).

Shmoys J., Journ. Opt. Soc. Amer., 41, 324 (1951).

т т т т т т т

w е w е

w

AV W

WT

e e e e e

г г г г

r r

s S

S S

S S

S

k k k k k k k

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

(1955). Karp S. S о 1 1 f r e

У У У У У У У

V., Journ. Appl. Phys., 22, 825 (1951).

V., Journ. Acoust. Soc. Amer., 24, 42 (1952).

V., Journ. Appl. Phys., 23, 407, 1099 (1952).

V., Journ.

Opt. Soc. Amer., 42, 855 (1952).

V., Journ. Appl. Phys., 24, 659 (1953); 25, 859 (1954).

V., N.Y. Univ. Ros. Rep., No. EM-59 (1953).

V., Electr. Def. Lab. Mountain View, Calif. Eng., Rep. EDL-E5

N., Phys. Rev., 86, 586 (1952).

у W., Shmoys J., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-41 (1952).

Lewis E. A., Casey J. P., Journ. Appl. Phys., 23, 605 (1952).

R e i c h e F., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-61 (1953).

Groves W. E., Journ. Appl. Phys., 24, 845 (1953).

Trentini G., Zs. angew. Phys., 5, 221 (1953).

Trentini G., Journ. Opt. Soc. Amer., 45, 883 (1955).

Muller R., Zs. Naturforsch., 8a, 56 (1953).

Wait J. R., Canad. Journ. Phys., 32, 571 (1954).

S t о r r e r J. E., S e v i c k J., Journ. Appl. Phys., 32, 571 (1954).

Karp S. N., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-85 (1955).

Messerschmidt W., Optik, 12, 298 (1955).

Вайнштейн Л. А., ЖТФ, 25, 847 (1955).

Karp S. N., R a d 1 о w J., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-90 <1956).

Rayleigh W., Proc. Roy. Soc., 89, 194 (1913); Sci. Papers, 4, 283 (1903);

161 (1920).*

В о u w к a m p G. J., Physica, 16, 1 (1950).

Miles J. W., Acoustica, 2, 287 (1952).

Miles J. W., Journ. Acoust. Soc. Amer., 24, 324 (1952).

Muller R., W e s t p f a h 1 K., Zs. f. Phys., 134, 245 (1953).

Magnus W., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-80 (1955).

Jones D. S., Comm. Pure Appl. Math., 9, 713 (1956).

С о p s о n E. T., Proc. Roy. Soc., 202, 277 (1950).

В о u w к a m p C. J., Phil. Res. Rep., 5, 401 (1950).

7. Stevenson A. F., Journ. Appl. Phys., 24, 1134 (1953).

Storer J. E., S e v i с к J., Journ. Appl. Phys., 25, 369 (1954).

Feenberg E., Phys. Rev., 40, 40 (1932).

Lax M., Phys. Rev., 78, 306 (1950).

Van de H u 1 s t H. C., Physica, 15, 740 (1949).

T о r a 1 d о di Francia G., R. C. Accad. naz. Lincei Roma, 8, 359 (1950),

Jones D. S., Phil. Mag., 46, 957 (1955).

Brillouin L., Journ. Appl. Phys., 20, 1110 (1949).

W ergeland H., Arh. Norske Vidensk., Akad. math.-naturwiss. KL, 1^ No. 9, Oslo, 1945.

Van de H u 1 s t H. G., Optics of Spherical Particles, Amsterdam, 1946.

Sinclair D., Journ. Opt. Soc. Amer., 37, 475 (1947).

Шифрин К. С., Изв. АН СССР, серия физич., 14, 64 (1950).

Keller J. В., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-92 (1956).

Karp S. N., Keller J. B., N.Y. Univ. Res. Rep., No EM-143 (1959).

Levine H., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-84 (1955).

Jones D. S., Proc. Roy. Soc., A239, 338 (1957); A240, 206 (1957).

Jones D. S., Whitham G. B., Proc. Gambr. Phil. Soc., 53, 691 (1957).

Lippman B. A., Schwinger J., Phys. Rev., 79, 469 (1950).

Borgnis F. E., Papas С. H., Randwertprobleme der Mikrowellenphysik^ Berlin, 1955.

Levine H.,Schwinger J., Phys. Rev., 74, 1212 (1948); 75, 1423 (1949>

Jones D. S., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-78 (1955).

De Hoop A. T., Appl. Sci. Res., B4, 151 (1954).

De Hoop A. T., Proc. Acad. Wet. Amsterdam, B58, 401 (1955). '

Magnus W., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-32 (1951).

Magnus W., Quart. Appl. Math., 11, 77 (1953).

Miles J. W., Journ. Acoust. Soc. Amer., 17, 259, 272 (1946).,

Miles J. W., Phys. Rev., 75, 695 (1949).

Miles J. W., Journ. Appl. Phys., 20, 760 (1949).

Blatt J. M., Jackson J. D., Phys. Rev., 76, 18 (1949).

Kato T., Phys. Rev., 80, 475 (1950).

Kato T., Progr. Theor. Phys., 6, 295 (1951).

Levine H., Journ. Acoust. Soc. Amer., 22, 48 (1950); 23, 307 (1951),

Papas С. H., Journ. Appl. Phys., 21, 318 (1950).

Levine H., Papas С. H., Journ. Appl. Phys., 22, 29 (1951).

Gliner A. A., Polytechn. Inst. Brooklyn, 1951.

S e v i с к J., S t о г e r J. E., Cruft Labor., Harvard Univ. Techn. Rep., No. 149 (1952).

Sheingold L. S., Journ. Appl. Phys., 24, 415 (1953).

T a i С. T., Journ. Appl. Phys., 20, 1076 (1949); 23, 909 (1952).

L e v i t a s A., L a x M., Journ. Acoust. Soc. Amer., 23, 316 (1951).

Rub in ow G. J., Phys. Rev., 96, 218 (1954).

S о 1 1 f г e у W., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-11 (1949).

E r d elyi A., Atti Accad. Sci. Torino, 87, 281 (1952/53).

В о u w к a m p C. J., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-50 (1953).

Karp S. N., Comm. Pure Appl. Math., 3, 411 (1950).

Levine PL, Techn. Rep. 51, Appl. Math, and Stat. Lab., Stanford Univ., 1956,

2

часть

ЧАСТНЫЕ

ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ

Вводные замечания

Применим теперь рассмотренные в части I общие методы к решению частных задач дифракции; таким образом, мы сможем яснее представить себе сущность этих методов. Не стремясь полностью охватить здесь все виды задач дифракции, ограничимся рассмотрением самых простых и известных примеров1). В частности, мы не будем обсуждать многочисленные работы по дифракции на объектах сложной геометрической формы, например работы, появившиеся в связи с развитием техники СВЧ (задачи о полых проводниках). Вместо этого рассмотрим подробно несколько специально выбранных задач. Некоторые из этих задач будут решены с помощью разных методов, что позволит установить связь между различными способами решения. В дальнейшем ограничимся случаем, когда излучающий источник расположен в бесконечности, т. е. будем полагать, что падающее поле имеет вид плоской волны. В некоторых из рассматриваемых примеров возможно непосредственное обобщение формулировки задачи на случай точечного или линейного источника, расположенного на конечном расстоянии от объекта (падающая сферическая или цилиндрическая волна). Однако такое обобщение методически не дает ничего существенно нового.

В гл. IV мы рассмотрим дифракцию на плоских экранах, в гл. V — дифракцию на трехмерных объектах. В методическом отношении обе главы мало отличаются друг от друга, однако, как мы увидим дальше, для задачи гл. IV имеется больший выбор методов решения.

х) Ссылки на новую литературу по теории дифракции имеются в неоднократно цитировавшихся работах Баукампа [1], Франца [2], Нобла [3].

ГЛАВА IV

Дифракция на плоских экранах

-§ 1. ДИФРАКЦИЯ НА ПОЛУПЛОСКОСТИ

Строгое решение задачи дифракции, которое может быть представлено в замкнутой форме с помощью интеграла Френеля, раньше всего было получено для дифракции на полуплоскости. Эту задачу можно рассматривать как частный случай дифракции на параболическом цилиндре, когда волновое уравнение, записанное в параболических координатах, допускает разделение переменных). Однако существуют различные методы, позволяющие непосредственно решить задачу дифракции на бесконечно тонкой полуплоскости. С помощью эвристического метода Зом- мерфельд впервые (1896 г.) построил разветвленное решение волнового уравнения, однозначное на римановой поверхности с одной точкой ветвления (см. п. 113). Применяя метод отражения (см. гл. I, § 6), этим же способом наряду с задачей для полуплоскости можно решить также краевую задачу для клина (см. п. 114). В последнее время для систематического обоснования результата Зоммерфельда (см. п. 115) был применен метод Винера — Хопфа и метод сингулярных интегральных уравнений (см. гл. III, § 3). С физической точки зрения сравнительно простой вид решения объясняется тем, что в задаче не содержится длин, сравнимых с длиной волны (протяженность полуплоскости бесконечно велика, радиус кривизны края бесконечно мал). В дальнейшем будут приведены примеры существенно более сложных решений, получающихся в тех случаях, когда размеры дифрагирующего тела сравнимы с длиной волны.

Зоммерфельдовский метод разветвленного решения, а") Построение разветвленного решения. Пусть плоский экран (ж > О, z = 0), ограниченный с одной стороны прямым ребром (х = 0, z = 0), совпадающим с осью у. расположен в плоскости ху (фиг. 54). Пусть излучение падает из бесконечности нормально к ребру; тогда пространственная задача сводится к двумерной задаче дифракции в плоскости жг, а электромагнитная задача — к скалярной задаче дифракции (см. п. 4). Применяя плоские полярные координаты г, ф в плоскости ^z, можно зайисать падающую в направлении фо плоскую волну (см. фиг. 54) в виде

у0(л ф) = ехр [ —^гсо8(ф —ф0)Ь(113.1)

Для решения задачи применим, следуя Зоммерфельду [17 — 20]), метод разветвленного решения, развитый в п. 28. Дополним однолист-

ную плоскость хъ до двулистной римановой поверхности, добавляя к «физическому» листу 0 < ф < 2л «математический» лист —2л < ф < 0. Теперь необходимо рассмотреть решения волнового уравнения А^ + -p&2y_Q, периодические по ф с периодом 4л.

Фиг. 54. К дифракции па полуплоскости.Фиг. 54. К дифракции па полуплоскости.Двузначное решение для случая, когда источник света расположен в бесконечно удаленной точке физического листа (см. и. 28), можно получить путем соответствующего изменения однозначного решения у0 [см. (113.1)]. Для этого сначала преобразуем выражение (113.1). Пусть Л 0 (z)—некоторая комплексная функция, имеющая в точке я —0 простой полюс с вычетом, равным 1/2лй Тогда на основе теоремы Коши вместо (113.1) можно написать

Фиг. 54. К дифракции па полуплоскости.

Фиг. 54. К дифракции па полуплоскости.

у0 = ^о Ф - Фо) охр [ — ikr cos (ф — Р)1 dp,

•2) где замкнутый контур интегрирования охватывает точку р — ф0. Положим, в частности,

л0(2)=Ж_Ж^. (113.3)

Делая подстановку р = у + ф и вводя обозначение ф— ф0 = ф, приводим (113.2) к виду

= Ло (у + ф) exp (— ikr cos у) d^, (113.4) с

где замкнутый контур интегрирования охватывает точку у = — ф. Деформируя контур интегрирования, получаем показанный на фиг. 55 контур, состоящий из четырех частей. В заштрихованных областях плоскости у показатель экспоненты (— ikг cos у) имеет отрицательную вещественную часть; следовательно, в бесконечно удаленных точках этих областей подынтегральная функция обращается в нуль, так что путь интегрирования можно провести в бесконечность, как показано на фиг. 55. Вследствие периодичности подынтегрального выражения интегралы вдоль путей D^ и D2 взаимно уничтожаются, и в результате преобразования остается только интеграл по контуру С, состоящему из двух ветвей, что уже отражено при записи выражения (113.4).

Искомое двузначное решение запишем по аналогии с (113.2) и (113.3) в виде

и (г, ф)=^ ? Л (р —ф0)ехр[ —^гсо5(ф —р)]с?р,(113.2а)

где

4л е^/2 — 1 '4л е^/2 — 1 '(113.3а)

4л е^/2 — 1 '

4л е^/2 — 1 '

Выражение (113.2а) удовлетворяет волновому уравнению при любом выборе пути интегрирования. Сделав подстановку р = у + ф, зададим путь интегрирования, а именно будем считать, что интегрирование производится по тому же контуру С, что и в выражении (113.4):

и = Л (у + ф) exp (— ikr cos у) d\. с

Очевидно, функция и периодична по ср с периодом 4л. Далее нужно показать, что волна и испускается источником, расположенным в бесконечно удаленной точке «физического» листа, и, кроме того, удовлетворяет условию на ребре и условию излучения.

Ф и г. 55. Контур интегрирования в комплексной плоскости у, используемый в зоммерфельдовском представлении плоской волны; см. (113.4).Ф и г. 55. Контур интегрирования в комплексной плоскости у, используемый в зоммерфельдовском представлении плоской волны; см. (113.4).Ф и г. 56. Контур интегрирования, используемый в выражении (113.4а). На ветвях Dj и 1)2 направление обхода изменено по сравнению с фиг. 55.Ф и г. 56. Контур интегрирования, используемый в выражении (113.4а). На ветвях Dj и 1)2 направление обхода изменено по сравнению с фиг. 55.

Ф и г. 55. Контур интегрирования в комплексной плоскости у, используемый в зоммерфельдовском представлении плоской волны; см. (113.4).

Ф и г. 55. Контур интегрирования в комплексной плоскости у, используемый в зоммерфельдовском представлении плоской волны; см. (113.4).

Ф и г. 56. Контур интегрирования, используемый в выражении (113.4а). На ветвях Dj и 1)2 направление обхода изменено по сравнению с фиг. 55.

Ф и г. 56. Контур интегрирования, используемый в выражении (113.4а). На ветвях Dj и 1)2 направление обхода изменено по сравнению с фиг. 55.

Ф и г. 57. Контур интегрирования, полученный после подстановки р = у 4= л.Ф и г. 57. Контур интегрирования, полученный после подстановки р = у 4= л.

Ф и г. 57. Контур интегрирования, полученный после подстановки р = у 4= л.

Ф и г. 57. Контур интегрирования, полученный после подстановки р = у 4= л.

Исследуем поведение функции при г—> оо. Для этого деформируем контур С так, чтобы он состоял из двух ветвей Dt и /)2 (фиг. 56), направление обхода которых противоположно показанному на фиг. 55. Эти ветви целиком лежат в заштрихованных обла-

стях, и поэтому при г—> оо интегралы по ним обращаются в нуль. Если полюс у = —ф функции А расположен между —лил, то сюда добавляется еще обход вокруг полюса, который с учетом вычета в полюсе дает выражение для падающей волны у0. Следовательно, необходимо различать два случая, для которых в качестве предельных значений и при г —> оо получаем

( у0 для | ф [ < л «освещенная область», U°° I 0 для | ф | > л «область тени»,

(113.5)

Таким образом, как и требовалось, волна у0 падает только в направлении ф = ф0 (ф = 0), принадлежащем «физическому» листу, в то

время как соответствующее направление Ф = Фо±2л (ф=2Е2л), принадлежащее «математическому» листу, относится к области тени.

Используя параллельный сдвиг у = ц4=л, можно объединить ветви D1 и D^ в путь интегрирования D (фиг. 57) с направлением обхода сверху вниз. Используя обозначение

Ф(ц) = ™ л (р —л + ф)+Л (р + л + ф) = —(113.6) х 17 х ‘ 1 । \ । । 1т/ 4Kl cos [(т]-|—гр)/2] ’ х 7

получаем выражение

(113.7)(113.7)и = Uoo + ^ Ф(р) exp (i?^r cos р)

(113.7)

(113.7)

D

эквивалентное выражению (113.4а). Поведение интеграла в (113.7) при т —> со можно исследовать, применяя метод перевала в окрестности точки перевала р = 0. При этом получаем

Ф (0) егкт ^ ехр ^ — ikr ^^ ^т] = Ф (О)ехр £ I ^кг—^ J J у/^ .(ИЗ.8)

Это выражение характеризует уходящую цилиндрическую волну в соответствии с условием излучения. Используя (113.6)— (113.8), можно определить асимптотическое поведение функции и:

для г—>со; (113.9)для г—>со; (113.9)—ехр Г г Г кг ф- ~ Л 12 ^2лкг cos (ф/2) L V У J

для г—>со; (113.9)

для г—>со; (113.9)

здесь — ее предельное значение. Соотношения (113.7) и (113.9) не применимы на границах тени | ф | = л, так как здесь cos (ф/2) — 0. Тем не менее функция и регулярна и в этих направлениях, что можно видеть из выражения (113.4а).

Наконец, мы можем установить, что выполняется и условие на ребре, согласно которому функция и должна быть ограничена при г—>0. Очевидно, как следует из соотношения (113.6), интеТрал в (113.7) сходится и при г = 0, так что функция и действительно остается ограниченной при г —> 0.

б) Представление через интеграл Френеля. Функцию и можно преобразовать в интеграл Френеля. Рассмотрим сначала область тени |ф|>л и используем выражение (113.7), положив там и^ = 0. При отражении относительно точки ц — 0 верхняя половина пути D переходит в нижнюю; используя соотношение

Ф(т])^;-Ф( —т])=^УФ(т])^;-Ф( —т])=^Ут) фCOS COSCOS Г| —|- COS фт) фCOS COSCOS Г| —|- COS ф(113.10)(113.10)

Ф(т])^;-Ф( —т])=^У

Ф(т])^;-Ф( —т])=^У

т) ф

COS COS

COS Г| —|- COS ф

т) ф

COS COS

COS Г| —|- COS ф

(113.10)

(113.10)

и выделяя плоскую волну у0 в качестве множителя, получаем следую- щее^представление:

1 У Г'cos^-^n

и = иЛ (г, ф),/ = —- cos\ ехрр’Ат (cos и + cos ф)] ;— .

W ЧvCOST]-;- COS ф

6

■(Г13Л1)

Дифференцируя, находим

‘— ~~ cos ( exp \ikr (cost] ф- cos ф)] cos di\. (113.12^

и Г ЗТ232

о

Этот интеграл можно вычислить, используя соотношение cos т] ф- cos ф = = 2 [cos2 (ф/2) — sin2 (т]/2)] и вводя подстановку (1 ф- г) V^r sin (т]/2) = z: ^/i003!6^ (2^гсо^|-ф) .(113.13)

Чтобы выполнить интегрирование по г, введем замену переменной т = = 2]/Лг/л cos (ip/2); тогда получим

~гЛ/4 £./ = -—\ егЛт2/2 ЙТ, /2 J~гЛ/4 £./ = -—\ егЛт2/2 ЙТ, /2 Jкг фе = 2И ^cosir-кг фе = 2И ^cosir-(113.14)(113.14)

~гЛ/4 £.

/ = -—\ егЛт2/2 ЙТ, /2 J

~гЛ/4 £.

/ = -—\ егЛт2/2 ЙТ, /2 J

кг ф

е = 2И ^cosir-

кг ф

е = 2И ^cosir-

(113.14)

(113.14)

Постоянная интегрирования определяется из условия, что в области тени функция / должна обращаться в нуль при г—>со, т. е. при р—>—со, поскольку |ф|>л. Таким образом, из (113.11) получаем следующее окончательное выражение для волны и:

и (г, ф)и (г, ф)1 ехр /211 ехр /21— i 1 кг cos— i 1 кг cos(ф-ф0) + ^}](ф-ф0) + ^}]е(гл/2)т2 ^е(гл/2)т2 ^

и (г, ф)

и (г, ф)

1 ехр /21

1 ехр /21

— i 1 кг cos

— i 1 кг cos

(ф-ф0) + ^}]

(ф-ф0) + ^}]

е(гл/2)т2 ^

е(гл/2)т2 ^

римановой поверхности. Вримановой поверхности. ВУ^'^оУ^'^оG\G\ср^п*ср0ср^п*ср0Ф и г. 58. Разбиение пространства около полуплоскости на области границами тени G и G для падающего и отраженного экраном излучений.Ф и г. 58. Разбиение пространства около полуплоскости на области границами тени G и G для падающего и отраженного экраном излучений.\М\Мв II, (114 1)в II, (114 1)

римановой поверхности. В

римановой поверхности. В

У^'^о

У^'^о

G\

G\

ср^п*ср0

ср^п*ср0

Ф и г. 58. Разбиение пространства около полуплоскости на области границами тени G и G для падающего и отраженного экраном излучений.

Ф и г. 58. Разбиение пространства около полуплоскости на области границами тени G и G для падающего и отраженного экраном излучений.

\М

\М

в II, (114 1)

в II, (114 1)

(113.15)

Выражение (113.15) является аналитической функцией ф на всей

частности, из этого выражения можно получить совпадающие с выражением (113.5) предельные значения для и при г—>оо не только в области тени (р—>—оо), ио и в освещенной области (р—> оо).

Обсуждение решения и обобщения. На фиг. 58 наглядно представлена геометро-оптическая картина дифракции на полуплоскости. Границы тени G и G для падающего и отраженного экраном излучения разбивают физическое пространство на три области: I, II и III. Области / п // освещены, область /// является областью геометрической тени.

Чтобы найти решение задачи дифрак- щии, напишем выражение для отраженной от экрана (5) волны и, которое можно получить из выражения для и, если заменить там угол +ф на —ф (см. п. 28). Тогда решением будет сумма у = и Т и. Верхний (или нижний) знак относится к граничному условию на экране и = О (или dvjdz = 0), т. е. соответствует направлению электрического вектора (см. п. 4), параллельному (или перпендикулярному) ребру.

Будем исходить из выражения (113.7) для волны и, выделив в виде отдельного члена соответствующую геометрической оптике плоскую волну ^оо, которая имеется только в освещенной области. Этот член объединим с соответствующим членом в отраженной волне и и полученное выражение обозначим через Ug, так что

' ехр [ — ikr cos (ф — ф0)] Т ехр [ — ikr cos (ф + ф0)] в /,

Ug (г? ф) = ехР [ " ^Г C0S (ф " Фо)]

О

в

III.

Объединяя члены Ф(ц) [см. (113.6)] и Ф(ц), получаем

Ф(п)ТФ(г1)=7^ГГ+ 'V (114.2)

v 7 4"Ч-Ир—Фоп—ф—Фо '’

где функция Ф (ц) получена из Ф (ц) путем изменения знака у ср. Так как путь интегрирования D (см. фиг. 57) расположен симметрично относительно нуля, а экспоненциальный множитель в подынтегральном выражении (113.7) является четной функцией тр во втором члене выражения (114.2) можно заменить ц на —ц и после несложных вычислений получить решение для обоих случаев поляризации:

у(г, ф) = м+M = yg(r, ф) + —-с0Д "2" )х

X $ exp(^rcos4)S™(^)^^^(114.3)

Используя (113.9), получаем соответствующим образом важные для экс

перимента асимптотические соотношения

у (г, ф) -» yg (г, ф)у (г, ф) -» yg (г, ф)_ ехр['(^^^ j 1 т 1

у (г, ф) -» yg (г, ф)

у (г, ф) -» yg (г, ф)

2/2лАг | Рпч Ф—ФоГГ1Ч ф + фо

ДЛЯ Т—> СО.ДЛЯ Т—> СО.(114.4)(114.4)

ДЛЯ Т—> СО.

ДЛЯ Т—> СО.

(114.4)

(114.4)

Второй член в (114.3) и (114.4) представляет собой дифрагированную волну. В освещенных областях 1 и // она интерферирует с волной у^ (принцип Юнга; см. п. 32). В области геометрической тени III дифрагированная волна существует изолированно от других волн, поэтому она наиболее доступна для экспериментального исследования. Действительно, здесь ее можно наблюдать1); при этом обнаруживаются и ожидаемые поляризационные эффекты. Незначительные расхождения результатов эксперимента и теории объясняются тем, что в эксперименте недостаточно точно выполняются предположения относительно бесконечно малой толщины (острый край) и идеальной проводимости экрана.

Исследуем поведение дифрагированной волны при т—^со. или, точнее, при кг > 1. Согласно выражению (114.4), ее интенсивность сильно возрастает вблизи границ тени ф — л ± ф0. Здесь основной вклад в решение дает только одно из двух слагаемых. В частности, вблизи границы тени G, где и дает пренебрежимо малый вклад в выражение для у, членом и можно пренебречь по сравнению с и. Поэтому на границе тени G поляризация уже не играет роли. Путем замены ф = л + ф0 + 6 введем угол 6, отсчитываемый от границы тени G; тогда угловая область вблизи G описывается неравенством |6|<1. Если, кроме того, |6|^1/]//сг, то выражение (114.4) становится непригодным. Поэтому используем для описания переходной области между освещенной областью II и областью

Фиг. 59. Кривые постоянной фазы для случая нормального падения плоской волны снизу на полуплоскость (по Браунбеку и Лаукину).

Фиг. 60. Кривые постоянной амплитуды для случая нормального падения плоской волны (по Браунбеку и Лаукину).

тени III точное выражение (113.15) для и, пренебрегая членом и. Выразив здесь ср через 6, получим

(114.5)

В рассматриваемой области этот результат совпадает с приближением Кирхгофа (см. п. 116).

Из выражения (114.5) следует, что дифракционная картина в окрестности границы тени не зависит от выбора граничных условий, поэтому можно предположить, что она не зависит и от свойств материала экрана. Это подтверждается экспериментально [69].

Интересные изображения суммарного поля у для случая дифракции на полуплоскости приведены в работе Браунбека и Лаукина [70],

Ф иг. 61. Линии потока энергии для случая нормального падения плоской волны (липин ортогональны кривым постоянной фазы) (по Браунбеку и Лаукину).*

из которой взяты фиг. 59 — 61. Воспроизведенные здесь кривые относятся к случаю нормального падения идущей снизу плоской электромагнитной волны, магнитный вектор которой параллелен ребру экрана (граничное условие dv/dz = 0; у— напряженность магнитного поля), и характеризуют область размером около одной длины волны вокруг ребра экрана. На фиг. 59 и 60 представлены кривые постоянной фазы и постоянной амплитуды магнитного поля, па фиг. 61—линии среднего по времени потока энергии. Линии потока энергии и фазовые кривые взаимно ортогональны.

Как видно из фиг. 59 — 61, в левой, не заслоненной экраном части пространства падающая волна лишь незначительно искажается расположенным справа экраном. За экраном излучение имеет вид выходящей из края цилиндрической волны, интенсивность которой убывает по мере продвижения слева направо и по радиусу. Интересно отметить, что эта картина четко выражена на таком незначительном расстоянии от края, хотя край в действительности не излучает. Перед экраном конфигурация поля определяется в основном суперпозицией падающей и отраженной волн; чрезвычайно своеобразны при этом линии среднего по времени

потока энергии.

Теория дифракции на клине является обобщением приведенных выше

рассуждений). В этом случае «физическое» пространство, совпадающее с пространством вне клина фиг. 62 и имеющее угол раствора ^ (в случае полуплоскости он равен 2л), также

Фиг. 62. К дифракции на клине.Фиг. 62. К дифракции на клине.отражается относительно своих границ (ср = 0, £) вместе с расположенным в нем источником. Но в противоположность случаю полуплоскости два возникающих при этом пространства и источники теперь уже не совпадают друг с другом. Поэтому процесс отражения должен быть продолжен до тех пор, пока новые возникающие «математические» прост

Фиг. 62. К дифракции на клине.

Фиг. 62. К дифракции на клине.

ранства не образуют вместе с «физи

ческим» пространством многолистное риманово пространство. Если угол

раствора g есть рациональное кратное от л, то многолистное риманово пространство образуется после конечного числа отражений. При £ — (р/т^к получается р-кратное риманово пространство, составленное из 2т частей пространства, имеющих раствор и содержащих один источник в каж

дой части.

Интересен случай р = 1 (угловое зеркало с раствором л/m; т — 1, 2, 3, ...). Эта задача может быть рассмотрена в однолистном пространстве, поскольку поле при этих условиях образуется только путем интерференции плоских волн, а дифрагированная волна отсутствует.

Математически переход от двузначного решения к р-значному не представляет трудности. Преобразование двузначного выражения для волны (113.2а) в интеграл Френеля соответствует представлению р-знач- ного выражения в виде конфлюэнтной гипергеометрической функции [97].

Непосредственное решение интегральных уравнений для амплитуды Фурье. Исходное выражение (113.2а) в зоммерфельдовском методе решения представляет собой трансформанту Фурье разветвленного решения и. Такое представление решения приводит к тому, что вместо и в качестве новой неизвестной функции рассматривается волновая амплитуда Л. Функция А была найдена Зоммерфельдом эвристически. Здесь мы укажем еще один путь, приводящий к систематическому определению амплитуды Фурье. Этот способ применяется также для решения более сложных задач дифракции на объектах, имеющих одно ребро

(метод Винера —Хопфа). В гл. III, § 3, мы уже обсуждали этот метод с общей точки зрения. Приведенное ниже решение можно рассматривать как элементарный пример применения изложенной там теории. Ограничимся рассмотрением /7-случая (краевое условие у = 0).

Согласно (49.1 р), решение краевой задачи можно представить в следующем виде (принцип Гюйгенса):

и (х, z) — exp ук (а0.т + У"1 —aoz)l — ^ ^ Ф (^') Н(^ (к V^ — £')2 т^2) dx'

б

(115.1)

(а0= — cos фо, ]/1 — «о= — sin фо).

Тогда поверхностная плотность ф (ж) определяется из интегрального уравнения

ф (х') Я^ (к U - х' |) dx' = - z^k^x > о),(115.2)

о

полученного из краевого условия. Это интегральное уравнение типа Винера —Хопфа (см. и. 73); его решение было найдено Копсоном [98] (см. также [25])х) с помощью метода Винера — Хопфа. Первый шаг этого метода состоит в применении к решению преобразования Фурье, что физически означает представление решения в виде суммы плоских волн. Такое представление уже рассматривалось в п. 60. Используя формулу (60.1), можно записать выражение (115.1) в следующем виде:

и ^х, z) = exp \ik (аож + ]/1 — a2z)] —

~Тл y==-exp[i/£(a.r + pl-a2|z|)]da.(115.Г)

Для определения трансформанты Фурье

ф (а) = ^ ф (ж) e~ikax dxо

служат теперь вытекающие из (115.2) [см. (60.8р)] парные интегральные уравнения

^1-- eikax da =—4ше^а0х (х > 0),_J ]/1 —a2к '

._(И5.2')

ф (а) еШах da = 0(х < 0).

Опи построены таким образом, что представление поля (115.1') удовлетворяет краевому условию на экране (х > 0) и вместе со своей производной по z остается непрерывной функцией при переходе через отверстие (х < 0). Физически величина ф(а) представляет собой фраунгофе- рово дальнее поле (см. п. 62). Простой метод решения, который непо-

!) Другой метод решения применил Магнус [99]; см. также [100].

16 Заказ № 13

средственно исходит из парных интегральных уравнений (115.2), был разработан Клеммовом [46]^ Еще более непосредственным является выбранный нами метод сингулярных интегральных уравнений [103]. Эти уравнения получаются при умножении уравнения (115.2') на и последующего интегрирования по соответствующей области изменения

х (см. и. 73). В результате получаем

-интегральные уравнения

ф (а') da' 4лД

S"

i

S* ! Плоскость а

"|/"1 —а'2 а'—аа—ао ’

(115.2")

Ф и г. 63. Контур интегрированияв плоскости а для выражения(115.Г).

где величины а, а' и а0 имеют определенный физический смысл. Например, величина а является направляющим косинусом плоских волн, суперпозиция которых [см. (115.1')] вместе с неод

нородными волнами (а > 1) дает решение задачи дифракции. Полюс а' = а подынтегрального выражения (115.2") должен обходиться в комп

лексной плоскости а' так, как показывает дуга на знаке интеграла (применяемые в дальнейшем пути обхода точек ветвления а' = ± 1 показаны на фиг. 63).

Для решения сингулярных интегральных уравнений (115.2") прежде всего заметим, что, по теореме Коши, их можно записать в виде

(115.3)(115.3)

(115.3)

(115.3)

£ f ^(а')

J 1/1—а'2

21 da'

а'—a0J а'—а

Подынтегральные выражения этих интегралов, согласно теореме Коши,

должны иметь видФ (а) ।2должны иметь видФ (а) ।2у 1 —а2а —а0у 1 —а2а —а0- Ф+ (а)- Ф+ (а)(115.4)(115.4)ф (а) = Ф~ (а)ф (а) = Ф~ (а)(а 6 5").(а 6 5").

должны иметь вид

Ф (а) ।2

должны иметь вид

Ф (а) ।2

у 1 —а2а —а0

у 1 —а2а —а0

- Ф+ (а)

- Ф+ (а)

(115.4)

(115.4)

ф (а) = Ф~ (а)

ф (а) = Ф~ (а)

(а 6 5").

(а 6 5").

При этом Ф+(а) есть (пока произвольная) функция, голоморфная в верхней полуплоскости 5+, а Ф" (а) — соответственно функция, голоморфная в нижней полуплоскости 5".

На вещественной оси оба равенства (115.4) должны удовлетворяться одновременно, поэтому, исключая из обоих уравнений функцию ф(а),

получаемполучаемФ~(а) ।2У1„а2 а — а0Ф~(а) ।2У1„а2 а — а0— Ф+(а),— Ф+(а),

получаем

получаем

Ф~(а) ।2

У1„а2 а — а0

Ф~(а) ।2

У1„а2 а — а0

— Ф+(а),

— Ф+(а),

г) См. также книгу Борна и Вольфа [27] и работу Джонса [102], а также книгу Нобла [3], в которой проводится подробное сравнение методов Колсона, Клеммова и Джонса.

ИЛИ

Ф" (а) = V 1 + а {(а - а0) Ф" (а) - 2}.(115.4')

V 1 — а-

Здесь мы разложили корень У"1"а2 на Два множителя У1 -|- и и У 1- а, которые являются голоморфными функциями соответственно в 5+ и в S". Разрезы на комплексной плоскости а, выходящие из точек ветвления ± 1 (см. фиг. 63), проведены так, чтобы удовлетворялось условие излучения (см. п. 60).

Таким образом, левая часть уравнения (115.4') является голоморфной функцией в 5“, а правая часть — голоморфной функцией в 5+, поэтому одна часть уравнения является аналитическим продолжением другой» Следовательно, обе части уравнения определяют функцию, голоморфную во всей комплексной плоскости а, которая, согласно теореме Лиувилля, должна быть постоянной. Величину этой постоянной можно определить из (115.4'), положив там а=а0; она оказывается равной —2]/1-[-а0. Тогда находим

2-

v 7 а —а0 V1 + « у

2 JEEiJZH®.а — а0 ’

таким образом, согласно (115.4),

Найденное таким методом решение интегральных уравнений (115.2") единственно. Действительно, если повторить еще раз только что проведенный ход рассуждений для однородных интегральных уравнений (115.2"), то оказывается, что упомянутая выше постоянная должна обращаться в нуль, так как в противном случае нижний интеграл в (115.2") расходится. Дополнительное условие на ребре таким образом оказывается излишним (см. п. 61 и 74). По найденной трансформанте (115.5) определяется и сама поверхностная плотность/

Ф 4- «О<К(45.6)

удовлетворяющая уравнению (115.2). Подставляя выражение (115.5) в представление для поля (115.Г), получаем решение нашей краевой задачи в виде

Joo УНа(а"ао)

(115.7) Остается еще показать, что решение (115.7) совпадает с результатом Зоммерфельда. Сравнение проще всего провести, сопоставляя выражения (114.3) (p-случай, верхний знак) и (115.7). Если, в частности, мы рассмотрим угловую область II (см. фиг. 58), то здесь совпадающие друг с другом первые члены обоих выражений представляют собой падающую волну у0, так что сравнивать нужно только интегральные члены»

Ограничимся в дальнейшем случаем z > 0; тогда справедливо неравенство л — фо < ф < л- Подстановка

а = cos Р, ]/1 — а2 = sin р, da = — sin Р dp

переводит отрезок вещественной оси ( —1, +1) в комплексной плоскости а в отрезок (0, л) плоскости р, если учесть, что здесь предполагается ]/1 — а2 > 0. Далее, для величин, положительных в рассматриваемой области, имеют место следующие соотношения:

(115.8)(115.8)У1 + а0 = ]/ 2 sin -^-, У1 + а = У"2 cos -|-.

(115.8)

(115.8)

Контур интегрирования (см. фиг. 63) переходит в плоскости Р в контур, изображенный на фиг. 64. В результате замены переменных ^--гсозф, 2 = г8Шф выражение (115.7) принимает вид

sinsin-y^p

^ = ^oj:— \ exp [ZArcos (6 —ф)]—5-;.(115.9)

Л^ J rcos p-|-COS фоx 7

Если далее сделать подстановку Р — ф= т], то этот интеграл с точностью до знака совпадает с интегралом в выражении (114.3) (верхний знак).

Фиг. 64. Контур интегрирования в плоскости р для выражения (115.9).Фиг. 64. Контур интегрирования в плоскости р для выражения (115.9).Ф и г. 65. Контур интегрирования в плоскости т], соответствующий контуру, изображенному на фиг. 57.Ф и г. 65. Контур интегрирования в плоскости т], соответствующий контуру, изображенному на фиг. 57.

Фиг. 64. Контур интегрирования в плоскости р для выражения (115.9).

Фиг. 64. Контур интегрирования в плоскости р для выражения (115.9).

Ф и г. 65. Контур интегрирования в плоскости т], соответствующий контуру, изображенному на фиг. 57.

Ф и г. 65. Контур интегрирования в плоскости т], соответствующий контуру, изображенному на фиг. 57.

Контур интегрирования при этом переходит в контур, изображенный на фиг. 65. Поскольку л — ф0 < ф < л, путь интегрирования уходит в бесконечность в заштрихованной полосе, а полюс р — л — ф0 — ф подынтегрального выражения лежит слева от точки ц=0. Поэтому контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он совпал с контуром D, изображенным на фиг. 57. Поскольку направление обхода контуров, изображенных на фиг. 65 и 57, противоположно, знаки у интегралов в (115.9) и (114.3) совпадают.

Этот метод может быть применен соответствующим образом для решения задачи дифракции упругой волны на полуплоскости [104, 105].

Кирхгофовское решение. Рассматриваемая задача, допускающая строгое решение, представляет возможность исследовать важный для практического применения приближенный метод Кирхгофа (см. гл. II, § 1). Для этого мы прежде всего должны найти решение задачи по методу

гргрФиг. 66. К кирхгофовской теории дифракции на полуплоскости.Фиг. 66. К кирхгофовской теории дифракции на полуплоскости.Кирхгофа. Ограничимся рассмотрением дальнего поля (кг > 1), так как приближение дает хороший результат только в этой области; в остальном при решении задачи будем использовать способ решения Франца [106, 107] (см. также [25, 26, 108-112]).

гр

гр

Фиг. 66. К кирхгофовской теории дифракции на полуплоскости.

Фиг. 66. К кирхгофовской теории дифракции на полуплоскости.

С у dGLС у dGL^G^do'. дп у^G^do'. дп у(116.1)(116.1)Итак, рассмотрим задачу дифракции плоской волны на полуплоскости (фиг. 66). Точка наблюдения Р расположена на расстоянии г от края и на угловом расстоянии 6 от границы тени. Согласно Кирхгофу [см. (30.2'")], поле в точке Р можно представить в виде интеграла по отверстию (Ly

С у dG

L

С у dG

L

^G^do'. дп у

^G^do'. дп у

(116.1)

(116.1)

Если интегрирование распространить по замкнутой или неограниченной поверхности, то значение этого интеграла, согласно выражению (8.5), будет равно либо у0, либо нулю в зависимости от того, расположена точка наблюдения и источник по одну или по разные стороны поверхности. Первый результат получается при интегрировании по всей плоскости, в которой расположен экран, т. е. по (А) + (5), второй —при интегрировании по поверхности (Ь)Л-(8'У где (5') означает полуплоскость, не содержащую точку наблюдения [см. фиг. 66, направление нормали п' к (L) соответствует второму случаю; в выражении (116.1), однако, используется противоположно направленная нормаль]. Поэтому равенство (116.1) можно заменить следующим:

иК= - ^ ^Gdo'.(116.2)

S'

При этом мы воспользовались тем, что dG/dn' =0 на (6")-

Если г —расстояние точки интегрирования Р' от края, то падающую волну (113.1) на (5') можно представить в виде

у0 = ехр( — ikr cos бу ^- = — ifoosin6.(116.3)

Вместо функции Грина (8.3а) для двумерной задачи используем ее асимптотическое представление:

0=4(кН) —> РУУ- eihR для кН^Х. (116.4)

44 у лкН

Тогда, заменяя R^r-Vr и используя выражение у0 = exp (ikr cos 6) для падающей волны в точке наблюдения Р, получаем

иК —> у0 Цу^ sin 6 ^ j/^-^~ exp \ikR (1 —cos 6)] dR.(116.5)

Вводя новую переменную интегрирования

/

2kR ,.Q /kR . д/алрр\

— (l-cos6)= -2 у —silly,(116.6)

е-гл/4д7т— COS-77/22е-гл/4д7т— COS-77/22имеем окончательно

е-гл/4д

7т— COS-77

/22

е-гл/4д

7т— COS-77

/22

еглт2/2 ^т дЛЯ /у у

(116.7)

о Г кг . де= ~2 V Tsm2-

Выражение (116.7) совпадает со строгой формулой (114.5) в области применимости последней |6| < 1 и так же, как (114.5), правильно описывает отклонения в поведении дальнего поля от законов геометрической оптики в малой угловой области в окрестности границы тени. Вне этой угловой области кирхгофовское приближение не применимо хотя бы потому, что здесь существенную роль начинает играть поляризация, т. е. вид краевых условий на экране, что не учитывается в кирхгофовской теории.

Поле в плоскости экрана. Исследуем теперь степень применимости кирхгофовских приближенных значений для и и dv/dz в плоскости экрана, ограничиваясь случаем перпендикулярного падения волны. Приближенные значения для поля имеют тогда вид (см. п. 30 и 39)

в отверстии, за экраном.в отверстии, за экраном.(117.1)(117.1)

в отверстии, за экраном.

в отверстии, за экраном.

(117.1)

(117.1)

Точное решение, согласно п. 114, состоит из двух слагаемых ими. Величины и и du/dz представим, используя выражение (113.15), и будем считать в отверстии координату ср равной л, а за экраном ф = 2л. Если ф0 = л/2 (перпендикулярное падение), то ф— фо = л/2 (соответс твенно за экраном ф —ф0 ^ Зл/2). Выражение для отраженной волны и можно получить из выражения для и, изменяя знак у ф, так что в выражении (113.15) для и надо положить — ф —ф0= — Зл/2 (соответственно за экраном — ф — ф0— —5л/2). Объединяя и м и м производя несложные вычисления с использованием обозначений

получаем для краевого условия v = 0 следующие выражения в плоскости экрана:

для ПОЛЯ

_ ( 1-Ф(^г) у = м— и = |Q

в отверстии, за экраном,

(117.Зр)

ду (^

в отверстии, за экраном,

(117.4р)

а для краевого условия ду/дп = 0

- [ 1

У = ы + м= _.

[ Ф (&г)

в отверстии, за экраном,

(117.3s)

[ -^{^ф^+^^г)}

CZ ” [0

в отверстии, за экраном.

(117.4s)

Нулевые значения для v и dv/dz за экраном в равенствах (117.3р) и (117.4s) следуют из краевых условий. Выражения (117.4р) и (117.3s) для поля за экраном и в отверстии совпадают с выражением (117.1) (это совпадение следует уже из общих соображений, приведенных в п. 26, и имеет место для плоских экранов любой формы). В случаях косого падения волны выражения (117.1) становятся справедливыми только на расстояниях нескольких длин волн от края, где Ф^кг^ и Т* (Ат) практически равны нулю. Следовательно, вблизи края кирхгофовские приближенные значения (117.1) не применимы и даже ошибочны, так как

Ф(х) —>£~1/2, Ф(^)—-Т(^)—> ж-3/2 при х—>оо; (117.5)

ошибка для dv/dz получается на порядок меньше, чем для V. Вследствие непригодности кирхгофовских приближенных условий вблизи края кирхгофовское решение (116.1) на краю экрана имеет особенность, которая соответствует излучению от края (см. п. 32). Несмотря на это, как мы уже видели, дальнее поле в решении Кирхгофа вблизи границы тени совпадает со строгим решением.

Модифицированные приближения Кирхгофа v^k и ^к получаются, согласно п. 35, как симметричные или антисимметричные части функции vK- Франц [106, 107] улучшил это приближение с помощью своего метода, изложенного в п. 37, и получил вне окрестности геометрической тени более хорошее приближение к строгому решению. Но, конечно, и в приближениях более высокого порядка имеются рассмотренные в п. 38 особенности у края.

§ 2. ДИФРАКЦИЯ НА ЩЕЛИ И ПОЛОСЕ

Задача дифракции на бесконечно длинной прямой щели в бесконечно тонком плоском идеально проводящем экране и дополнительная задача дифракции на полосе принадлежат к классу задач с разделяющимися переменными (см. гл. I, § 2). Действительно, в этом случае волновое уравнение допускает разделение переменных в координатах эллиптического цилиндра, что приводит к дифференциальным уравнениям для функций Матьё1). Так как функции Матьё образуют полную

!) Таким же образом можно рассмотреть щель, края которой имеют гиперболическое сечение, и цилиндр эллиптического сечения при произвольном показателе преломления в обоих случаях. -

систему, решение краевой задачи (для любого вида падающей волны) можно разложить по этим функциям. Этот ряд сходится для всех значений характеристического параметра 8 — Ла (Л — волновое число, 2а — ширина щели или полосы), однако с ростом 8 сходимость становится хуже, так как число членов, которые необходимо учитывать, имеет тот же порядок величины, что и 8. Не останавливаясь подробно на том. как получить решение задачи в виде разложения по функциям Матье (которое в дальнейшем ради краткости будем называть строгим решением), укажем на соответствующие работы [113 — 124]. Эти работы появлялись параллельно с развитием теории функций Матьё (см. Мейкснер и Шефке [125]). Строгое решение, разумеется, можно найти и с помощью метода интегральных уравнений (см. гл. Ill, § 1, а также [126, 127]). (Здесь функции Матьё являются собственными функциями ядра интегрального уравнения.)

В дальнейшем мы будем пользоваться методом интегральных уравнений для рассмотрения предельных случаев 8 < 1 и 8 > 1. Сравнение формул, полученных с помощью метода интегральных уравнений, с численными оценками строгого решения показывает, что эти формулы справедливы (по крайней мере в случае перпендикулярного падения) почти во всей области изменения 8.

Вывод интегральных уравнений. Пусть экран расположен в плоскости ху; края экрана совпадают с прямыми х — ± а (ширина

Ф и г. 67. К дифракции на щели.Ф и г. 67. К дифракции на щели.

Ф и г. 67. К дифракции на щели.

Ф и г. 67. К дифракции на щели.

(118.1)(118.1)(118.2)(118.2)

(118.1)

(118.1)

(118.2)

(118.2)

щели 2а), как показано на фиг. 67. Направление распространения падающей плоской волны перпендикулярно краям щели и составляет с осью х угол й^:

v0 = exp\ik (аох + ]/1 — о^ 2)] = exp \гкг cos (й — $0)]

(a0 = cos^o,•

Обозначим решение краевых задач

(А + ^2)у(ж, z) = 0,

у (ж, ± 0) = О и -^ у (ж, ± 0) = 0(| ж | > а)

через Уц и и^. Тогда решение задачи дифракции для электромагнитного поля, поляризованного параллельно (соответственно перпендикулярно) краям экрана, может быть представлено в следующей форме (в декартовых координатах):

®=(0, VI], 0),= О'(Ив-З/?)

И

71ди Л

о, -^). ^-(о.^.о).(И8.3»)

где

здесь со—-круговая частота, е0 — диэлектрическая проницаемость, р0 — магнитная проницаемость однородной среды, окружающей экран. (В п. 4 эти направления поляризации обозначены соответственно как р- и s-случаи.)

Интегральные уравнения Рэлея. Решения задач (118.2) можно представить в иде

у и (ж, z) = ^| 'х, z) ф 7^ фц (^') ^ (^ ГУ — ЖТ + z2) dx' (z 0),

(118.5/?)

u_£ (х; z) = у^} (ж, z) т ~ ^ <р^ (xf^ Н} (& V (х — xfy^-z^ dx' (z ^ 0)

(118.5s)

[см. (49.Зр) и (50.8s), случай дифракции; мы полагаем ф = фц и соответ-

ственно ф = ф_|_]. При этом величины

(ех,0(2>0),

и^(ж, z)=(118.6/7)

Уо (ж, z) — Уо (ж, — z)(z < 0),

ч fо(z > 0),

у^^ж, z)=;(118.6s)

uQ(x, г) + и0(х, —z) (z < 0)

представляют распределение поля в отсутствие щели. «Поверхностная плотность» ф(ж) имеет значения

<Р|1И = Ы^ ±0)(\х\<а\(118.7р)

Ф1У) = ^у±У, ±0)(|ж|<а),(118.7s)

что можно проверить, используя соотношение

Ит ^- ( <р(ж') Я5 ^к ]/(ж-ж')2 + г2) dx' =[ ~ ^^ (I ж I < А (Ц8.7')

2_>;eo'9zJv;(0(|ж|>а),

справедливое для любых ф((г). Требование непрерывности поля и

его производной по z при переходе через отверстие приводит

к интегральным уравнениям для ф(а) [см. (49.4/?) и (50.10s)]

(^2 + ^) ^ ^ ^ ^ Н^к\х — хг |) dx — 2к ]/1 — a2 eika^ (| ж |<а), (118.8/?)

Фд, (4) Ну {к | х — х' |) dx = 2^^^ (|ж|<<з).(118.8s)

Парные интегральные уравнения. Используя фурье-представленпе

Н^к У(х-х'У + У =Х ехр ^гк \а(х-х'НУ1 -aa|z|]j ^4=-,

(118.9)

поле (118.5) можно записать еще и в таком виде [см. (60.3/?) и (66.1s)]:

А|(а, z) = ^(ж, 2) + ^ ^ Фц^ехр {i& (огг 4-]/1 —-a2|z|)} da

(118.10/?)

У1(х, г) = иУ(х, z) + АУ1(х, г) = иУ(х, z) + АА=4-ехр {?& (ах + Ц1 — а21 z |)} da (zsO).

У1(х, г) = иУ(х, z) + А

У1(х, г) = иУ(х, z) + А

(118.10s)

(118.11)(118.11)Для обоих случаев поляризации мы ввели здесь функции

(118.11)

(118.11)

ф(а)= \ ф(ж)е”^азс^ж,— а

для которых, используя уравнение (118.8/?) или соответственно (118.8s), можно получить парные интегральные уравнения [см. (60.9/?) и (66.6s)]

]/ 1 — а2 ф|। (a) eikax da =]/l — a2 eika^x (| x | < a),

ro _(118.12/?)

? Фи (a) eikax da — 0 (| x | > a)

—A" ----- eikax da = 2n,ieikctox (1^1 < a), oo(118.12s)

f ф_И (a) eikax da — 0 (| x | > a).

Эти уравнения обеспечивают выполнение соответствующих краевых условий для функций (118.10/?) и (118.10s) и их непрерывность вместе с производными по 2 при переходе через отверстие.

Умножая уравнения (118.12) на e~ika,x и интегрируя по соответствующей области изменения х (см. п. 64), получаем интегральные уравнения типа свертки ^г — ка\

тsin 8 (а' — а) 7 ,2 ч г до sine (а — ап)

ллУ 1 — а 2 фп (а )da1 — а2

л

л

(118.12»(118.12»(118.12's)(118.12's)V\ / а' —ак v 0а —а0

(118.12»

(118.12»

(118.12's)

(118.12's)

— / х 1 С - z х sin е (а' —а) 7 , п

ФпС")”^ \ VllW а7—аdo- ==0

и

— , х 1 С — , ,х sin е (а' — а) , ', л ф± (а) - » \ Ф1 (а ) -^Д—da = °-— , х 1 С — , ,х sin е (а' — а) , ', л ф± (а) - » \ Ф1 (а ) -^Д—da = °-1 С (Pj_ (а ) sin е (а'—а»а' 2»п 8 (а—ао) л j у 1 а'2 а' — аа — а0

— , х 1 С — , ,х sin е (а' — а) , ', л ф± (а) - » \ Ф1 (а ) -^Д—da = °-

— , х 1 С — , ,х sin е (а' — а) , ', л ф± (а) - » \ Ф1 (а ) -^Д—da = °-

Для дальнейшего целесообразно перейти к такому представлению поля, в котором явно выделен член, характеризующий взаимодействие между обеими краями щели (т. е. рассматривать задачу о щели как «задачу рассеяния»). Выполним сначала преобразование Фурье для поля. Согласно (61.4/?), искомое представление можно получить, введя амплитуду Фурье поверхностного тока на краях щели посредством соотношений

(118.13/7)(118.13/7)трц (п) = — 2^ ]/1 — а2 (2л6 (а — а0) — &фц (а)},

(118.13/7)

(118.13/7)

-)"Т»1г-(118.13s)

Тогда парные интегральные уравнения (118.12) переходят в следующие:

ярц (a) eikax da = 0(| х | < а\

оо J°°(118.12'»

с (а)..

\ —егках da — — 4к1егка^х (I х I > а)

До•

и

ipj_ (а) eikax da = 0(| х | < а\

оо(118.12»

^ ]/1 — а2 ipj_ (а) е^ках da — — ^- ]/1 — а^ etkaox (| х j > а)

[см. (60.8/?), где необходимо положить яр = яр ц, и соответственно (66.5s), где необходимо положить ф_грД. В уравнениях (118.12") можно выделить члены, характеризующие взаимодействие обоих краев щели. Для этого с помощью подстановки

^р (а) = ф(1) (а) +^(2) (а)(118.14)

введем дальние поля, создаваемые поверхностными токами на каждой отдельной полуплоскости (для обоих случаев поляризации). Тогда уравнения (118.12") можно представить в следующем виде:

__ —4nieikGCox (х > aY

(iV8A5p)

} (а) eikax da = 0(х < а)

и

ф^ (a) e^da - 0(^ > - а),

(118.16^

Г 4jегках ^а —4шегка^х (х < — ClY

или соответственно

]/1 — а2 {фД (а) + ф Д (а)} eikax da — —~ ]/1 — а2 ^к(хох (х > а),

(118.15.?

фД (a) eikax da = ОфД (a) eikax da = Оии^ ф2} (а) е^ах с1^ = ^^ ф2} (а) е^ах с1^ = ^(х < а)

фД (a) eikax da = О

фД (a) eikax da = О

и

и

^ ф2} (а) е^ах с1^ = ^

^ ф2} (а) е^ах с1^ = ^

(х >—а)3

(118.16^

^ ]/1 — а2 {фД (а) + Ф± (а)} eikax da — — ^- V1 — а2 eika^x (х < — а).

Очевидно, уравнения (118.15) написаны теперь для амплитуды дальнего поля ф(1)(а), которое возникает при дифракции плоской волны на правой полуплоскости а < х < со; при этом имеется еще член с ф(2)(а), который характеризует взаимодействие с левой полуплоскостью — ос < х < —а [см. соответствующие формулы (115.2') для дифракции на полуплоскости]. Соответственно уравнения (118.16) относятся к дифракции на левой полуплоскости. Это можно выразить еще отчетливее, если для обоих направлений поляризации посредством уравнений

ip(1) (а) — ^ гр(1) (ж) е™гках dx,

а__а(118.14')

тр(2) (а) — ^ ф(2) (ж) eikax dx

ввести поверхностные токи ф(1) (^) [соответственно ф(2) (ж)], текущие на правой (левой) полуплоскости. Они удовлетворяют интегральным

уравнениям

(^ ф(1|’ (ж') + ^ ФТ (ж')) Нд(к | х—х' \^dx'= —Heikaox ([ж | > а), (118.13»

(^ к^ | ^ Ф± (ж') + фГ (ж'))я„ (к | х— х' |) dx' = — ^kV — ао eikaox —ооа

(\x\>d)(118.13's)

[см. (49.2р) и (50.9s)]. После простых преобразований получаем

{фТ (ж')^(А:|ж—ж' |) +

а

<х>а^ (118.13'»<х>а^ (118.13'»(x>a). (118.13»(x>a). (118.13»+ Ф^} (— х3 Н[ (к Iх + х' I)} йх — — 4^^^,

<х>а^ (118.13'»

<х>а^ (118.13'»

(x>a). (118.13»

(x>a). (118.13»

5 W (— ж') Я1 (^ I ж — ж' I) +

О,

+ ФТ (х') H^k\x-V Xf I)} dx' — — 4fe-ika0x>

и

(£ + ^2) 5 ^ ^ Н» ^ I ж - ж'()+ a

+ Ф± ( — x'^ ^o (^ | X + x' I)} dx' ~ — 4& j/l — Hq eifeaox?

(£+fc2) $ <Ф± (-^')#i№—ж'|н

+ Ф± (ЖЭ Н^(к\х -к xf |)} dx' = — 4k ]/l — «у e-ifeao^

В этих уравнениях взаимодействие правой и левой полуплоскостей описывается вторыми членами.

Сингулярные интегральные уравнения. Если умножить уравнения (118.15) и (118.16) на е-^'^ и проинтегрировать по соответствующей области х, то так же, как и в п. 73 [см. (73.12'а) и (73.12'6)], получаем уравнения

фТ (aQ+фТ («') егЕа/ I 2da' = о

$ ФТ («Э^^йа^О$ ФТ («Э^^йа^О(118.15'/))(118.15'/))(118.16»(118.16»-|<l__a'2a'-aoja'-a ’

$ ФТ («Э^^йа^О

$ ФТ («Э^^йа^О

(118.15'/))

(118.15'/))

(118.16»

(118.16»

р —.-геа'

j' ФТ (“') 17^7 da'= °’

фТ (аО+фТ (a') e_iEa, _ 2 е ге“° 1 da' = дl^l-a'aд'—а0 J а' —а

или соответственно

{/1 _ а<2 (^ (а') 4- <> (а')] е^' -^V\- < ^А} ^ = О,

_„геа'

И

f ^(О-^г^'-о,

$ {Щ — a'a[^a)+ipf (а')]е^^2_1 J А1_= о.

(118.1GS)

Из этих уравнений особенно наглядно видно, что щель можно рассматривать как систему двух связанных полуплоскостей [см. (115.2")]. Так как нам известно решение задачи дифракции на каждой отдельной полуплоскости для произвольного вида падающей волны, уравнения (118.15) и (118.16) можно разрешить относительно ф(1) и ф(2 (смешанный член в этих уравнениях нужно понимать как «добавочную падающую волну»).

Этот способ решения мы уже обсуждали в п. 74. В данном случае решение проще всего получается следующим образом. Прежде всего разложим корень ]/1—а2 на два множителя:

]/1-а2 = ]/1+« /1- а .]/1-а2 = ]/1+« /1- а .(118.17)(118.17)

]/1-а2 = ]/1+« /1- а .

]/1-а2 = ]/1+« /1- а .

(118.17)

(118.17)

Множитель 1^1+а является голоморфной функцией в верхней полуплоскости 8\ множитель ]/ 1 — а — голоморфная функция в нижней полуплоскости S- плоскости а (факторизация; см. расположение линий разреза на фиг. 40). Поэтому можно сказать теперь, что в уравнениях (118.15'/?) подынтегральные выражения верхнего и нижнего уравнений должны быть голоморфными функциями соответственно в полуплоскостях 5Н и 5" (теорема Коши). Не нарушая этого свойства, мы можем умножить подынтегральные выражения соответственно на ]/1 -|- af и 1/]/1 — а. Тогда вместо (118.15'/?) получим

^р? («э+^Т («э^р? («э+^Т («э/1 — а'/1 — а'giea'^ 2]/1 + а'-ЛL = Q,1! а—а0 J а' —аgiea'^ 2]/1 + а'-ЛL = Q,1! а—а0 J а' —а-фН («Э ]/1— а'-фН («Э ]/1— а'?£а' а' — а?£а' а' — аДа' = 0.Да' = 0.(118.15»(118.15»

^р? («э+^Т («э

^р? («э+^Т («э

/1 — а'

/1 — а'

giea'^ 2]/1 + а'-ЛL = Q,1! а—а0 J а' —а

giea'^ 2]/1 + а'-ЛL = Q,1! а—а0 J а' —а

-фН («Э ]/1— а'

-фН («Э ]/1— а'

?£а' а' — а

?£а' а' — а

Да' = 0.

Да' = 0.

(118.15»

(118.15»

Вычтем одно уравнение из другого, произведем такие же операции с остальными уравнениями (118.15') и (118.16') и введем новые

величины:t II * (а) = уу^ tT (а)>1Н’ (а) = Е 1 а е<Еа,ф™ (а),величины:t II * (а) = уу^ tT (а)>1Н’ (а) = Е 1 а е<Еа,ф™ (а),

величины:

t II * (а) = уу^ tT (а)>

1Н’ (а) = Е 1 а е<Еа,ф™ (а),

величины:

t II * (а) = уу^ tT (а)>

1Н’ (а) = Е 1 а е<Еа,ф™ (а),

tT(«) = А=<(а),(118.18^)

фр (а) = ]/1 + а е-^8^^ (а). (118.18s)

В результате мы приходим к системе уравнений, которую можно записать в виде

til ’ («) - 2^ 1 / ГАГ ^'^ (°') а'»Г = - 2 /1 + «о ^^,

•T"(118.19/))

a4 ri4 *acl z/p ^SCZq

4-+ 4 j v, м -2 v1 - »

И

) а-^ A V —-—ге2г8аф|Ца) ——— a0,

1(118.19s)

^ (a) + J-7 ^fe-2iea,^4a^"^—™ -^-]/l + a0—.

tA \1 2лг J V 1 —av 7 a —aik v 1 u a — a0

Таким образом, мы получили систему связанных сингулярных интегральных уравнений типа Коши (см. п. 74). Заметим, что в силу свойства симметрии имеем

(118.20)(118.20)тр(2)(а, а0) =^(1)( — а, -а0).

(118.20)

(118.20)

Это соотношение справедливо для обоих направлений поляризации.

Чтобы исключить лежащую на пути интегрирования существенно особую точку множителя e±2i8a подобно тому, как это сделано в п. 74 для уравнения (74.20'), уравнения (118.19) можно представить в виде

^’(а, «о)+ Л f Л11 (a9tT(~a^—«о)^^= -2/1+ao^z^-,

(118.19»

<(«. “о)+^(«')<(-«', -“0)^7^=

(118.19's)

Здесь мы использовали равенство (118.20) и ввели величины

ZvJls tj у 2 t4 L4

(118.21s)(118.21s)A 1 (a) =Z V1.

(118.21s)

(118.21s)

А v 2ni/l+a_^a

Переход от уравнений (118.19) к уравнениям (118.19') производится путем разложения множителей e2i8a/]/l—а и e2i8a]/l—а на функции, голо-

морфные соответственно в полуплоскостях 8+ и 8“ с помощью равенства (74.11). Кроме того, отметим, что функция ф^) голоморфна в 8~, а функция ф(2) голоморфна в 5+.

Строгое решение этих интегральных уравнений в замкнутой форме до сих пор получить не удалось. Наша задача в последующем будет состоять в отыскании приближенных решений для малых и больших значений параметра 8.

а. Решение для узкой щели

Легко реализуемый на опыте тот случай дифракции, когда длина волны велика по сравнению с размерами щели (| 8 < 1 |), мы будем рассматривать с помощью метода Рэлея [128,129] (см. также [1, 2, 24, 130, 131, 133]), который описан в гл. III, § 6. Попутно коснемся метода решения парных интегральных уравнений (см. п. 63) и вариационного метода (см. п. 107).

Решение рэлеевских интегральных уравнений. В случае 8 < 1 удобнее всего исходить из интегральных уравнений (118.8). Уравнение (118.8р) можно рассматривать как дифференциальное уравнение для входящего туда интеграла; оно имеет следующее общее решение:

р9^гяао5с

(И<«)- (119.1)(И<«)- (119.1)Фц (ж') Яд (Д | х—х' |) dx cos kx-YB sin кх + -

(И<«)- (119.1)

(И<«)- (119.1)

Постоянные А и В сначала являются неопределенными; решив интегральное уравнение (119.1), их можно найти из условия на ребре

Ф1! («) = Фн ( — «) = 0.(119.2)

Ограничимся в дальнейшем случаем нормального падения (а0 =-0). Тогда из соображений симметрии следует фц (— ^) = фц(^); таким образом, левая часть уравнения (119.1) также будет симметричной относительно х. Отсюда следует, что В = 0; теперь необходимо решить два интегральных уравнения для малых 8:

Фн (х^Щ {k I х — х' I) dxr = -|-(1 + A cos Дж) (М < &\ (119.3/?)

^ Фд_ (ж') Яд (к [ х — х |) dx' = 2i (| ж | < a).(119.3s)

—а

Произвольную постоянную А можно тоже, вообще говоря, исключить из уравнения (119.3/?), полагая ж = 0. Подставляя найденное таким образом значение А в (119.3/?), получаем

Фи (^) № (Д | ж — ж' |) — cos кхН} (к | х |)} dx' = у (1 — cos Дж); (119.3'/?) — а

при этом симметрия ядра, конечно, теряется.

§ 2. ДИФРАКЦИЯ НА ЩЕЛИ И ПОЛОСЕ

257

При помощи подстановки

Ж = ПСО8^,ж'=HCOS^',

(119.4)

а также

tsin^^a cos У = мц (?)

(119.5/?)

или соответственно

a sin g(pj_ (a cos g) = и^ (£)

(119.5s)

уравнения (119.3) приводятся к следующему виду:

^ ^ ?<(£') Я’ (е 1 cos g — cos £' I) d^ = 1 + A cos (s cos g), b

(119.6p)

■^- ^± (Г) Нг0 (e I cos £ — cos ?' I) d^' = 1.

(119.6s)

о

Метод разложения. Чтобы получить решения интегральных уравнений (119.6р) и (119.6s) в виде ряда по возрастающим степеням 8 (см. гл. III, § 6,а), будем исходить из ряда [134]

5 W h1) + (in В -+ ..., (119.7)

где In у = 0,5772. ..—постоянная Эйлера. Таким образом, ядро рассматриваемых уравнений можно разложить в ряд

^ ^ (е | cos ? - cos ^ I) = Ко а, Г) + ^К2 а, £') + ^к, £, Г) + ..., (119.7')

где

v)=^b(3icoS?-cos?'Q,

к2 (L V) = (cos ? - cos ?'Г (1 - пК0 а, ?')},

№ ^ = ^(cos?-cos^ {nZf0(?, П-у} ■

Следовательно, как видно из (119.7), для двумерных задач дифракции не получается чистого разложения по возрастающим степеням 8, так как коэффициенты разложения содержат еще медленно меняющуюся функцию 1п(уе/29 (в противоположность пространственной задаче, см. п. 91). Так как правые части уравнений (119.6) являются четными функциями относительно 8, то в ряде для Иц (g) могут содержатся только нечетные, а в ряде для иj_ (£) — только четные степени е:

^ ® = SU^ ® + 83< ® + ^< (^) + . . .,(119.8/)

n±a) = nTO+^W.(119.8s)

Подставляя ряды (119.7') и (119.8) в уравнения (119.6), разлагая в ряд правые части по 8 и приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней е, получаем последовательную, систему уравнений для определения коэффициентов в (119.8). При этом нужно учитывать, что постоянная А в (119.6/?) зависит от s:

А = -1 + еМ2 -+ еМ4 + 86Л6 + . ..;(119,8')

17 Заказ №13

Первый член этого ряда получается из условия, что правая часть уравнения (119.6р) не должна содержать члена с 8°. Таким образом, имеем системы:

$ «'Ио^ ^W^ + yCOS^,

о

\ ^>(ДОо& D^^^i-^-COS^-^COS^- ^’(^(^W, Оо

(119.9/?)

$ 4’(£')ад ^d^' = Ав-^ cos^ + ^-cos^ + ^cos6^-

О’о

и

$ u^k^iw

$ u^k0^w=-V^ sw,(119,9s)

оо

5 ^’(№(^W = -$ и^^к^, £W- р^'ИЖ П^'.

Статическая, задача. Все написанные выше интегральные уравнения для последовательного вычисления функций и^ (^) содержат «статическое ядро» KQ^ ^Y для которого легко найти собственные функции [135]. Именно, используя разложение

In | cos | —cos £'| = -1П2-22,(119.10)

можно получить ряд

К.6.(119.10')

где

-. уе т vs Ki^ = 1п^г=1п-т-т-

Следовательно, функции cos v^ являются собственными функциями ядра KQ(^, ^) (см. п. 93). Действительно, вследствие условия ортогональности

1f 1 (v = p, = 0),

- Jcosvgcos^^ = j^ (и + ^0)

справедливы следующие равенства:

л5 coSv^0a ^w= ол5 coSv^0a ^w= орcosv£Vърcosv£Vъ(v = 0),(V > 0).(v = 0),(V > 0).(119.10")(119.10")

л

5 coSv^0a ^w= о

л

5 coSv^0a ^w= о

р

cosv£

Vъ

р

cosv£

Vъ

(v = 0),

(V > 0).

(v = 0),

(V > 0).

(119.10")

(119.10")

в видев видеТогда интегральные уравнения (119.9), которые мы запишем теперь

в виде

в виде

л

— и(бИп(^|соа£ —cos £'Q<^'= /(£),(119.11)

о

можно разложить по этим собственным функциям, т. е. представить в виде ряда Фурье по косинусам» Решение (119.11) можно выразить и в замкнутой форме [135]

и(£) = —- *\ ^1—|Р^-.^'+ — ^ Ж№ (119.1Г) л ) cos g —cos g x'x '

о0

и±(У=2 axv)cos2vg,v=0и±(У=2 axv)cos2vg,v=0гдегде(119.12s)(119.12's)(119.12s)(119.12's)Однако в s-случае для дальнейшего удобнее использовать разложение вида

и±(У=2 axv)cos2vg,v=0

и±(У=2 axv)cos2vg,v=0

где

где

(119.12s)

(119.12's)

(119.12s)

(119.12's)

’ 4(0

аТ J^. , а^ = _ 2vf^ (v > 0),

так как в этом случае для и получается оборванный ряд Фурье. При этом величины f^ суть коэффициенты разложения в ряд по косинусам функции /д_(У. Эта функция представляет собой правую часть уравнений (119.9s), а ее ряд Фурье содержит только члены вида cos2v^. В /-случае, имея в виду условие на ребре (119.2) и равенство (119е5/)? целесообразно представить решение в виде

и\\ © = у 2 a|2v+1) (cos 2vg — cos (2v + 2) £} =

v=° ю(119.12p)

= sing 2 ^2v+1) sin(2v + l)^.

Тогда, используя (119.10"), можно получить "для коэффициентов а^+1> следующие соотношения:

М р ’(119.12»

а<2V+1) = o(2v-1) _ 4v/(2v)(v > 0).

Здесь величины Д2^ опять являются коэффициентами разложения в ряд по косинусам функции /(J (g), которая представляет собой правую часть уравнений (119.9/?); ряд Фурье также содержит только члены вида cos 2v^. Для первого приближения и^ ^ из первого уравнения

(119.15s)(119.15s)

(119.15s)

(119.15s)

(119.9р) с учетом (119.12/?) и (119.12'/?) находим следующие значения коэффициентов:

<==d|±L,< =(119.13^)

Так как все ^^+9^ кроме afp, обращаются в нуль, имеем

“iP (У = 4 (1 —'cos 2У = sin2 g,(119.14р)

А=^9(119.13»

Из первого уравнения (119.9s) соответственно получаем с учетом (119.12s) и (119.12's)'

и^ =1.(119.14s)

Приближения высших порядков. Интегралы в правых частях уравнений (119.9), необходимые для определения более высоких приближений, легко вычислить, разлагая ядра «более высоких порядков» К^ К4, . . . в ряд Фурье по косинусам. Для этого подставим ряд (119.10') для Ко в (119.7') и запишем степени косинусов и их произведения в ином виде, используя соотношение

2 COS V^ COS |l£ = COS (ц + v) ^ + cos (ц — v) g.

Тогда получаем разложения

^(1, g')=-5-^-(cos2g + cos2g')-

—Т^л (cos 2g —4 cos 4g) ^cos2^' —4 cos 4g') + .. .,

I ) = 256л ^P-^ + 192л C0S ^ + -5i2ncos 4g 4™ - * - •

Здесь выписаны только те члены, которые нам понадобятся при вычислении и\^\ u(f и и(^. Если взять сумму первых трех приближений в разложении (119.8), то, решая дальнейшие интегральные уравнения (119.9), приходим к следующим выражениям для коэффициентов Фурье в ряде по косинусам (119.12):

(119.15/?)

Найденные решения (119.12) определены, таким образом, с погрешностью порядка е7 в ^-случае и с погрешностью порядка е6 в s-случае; разумеется, мы ничего не можем сказать о сходимости рядов (119.8) и и (119.15). До настоящего времени оценить пригодность полученных приближений можно лишь путем сравнения с точным решением (см. п. 124).

Поле в отверстии. Возвратимся, используя соотношения (119.4) и (119.5), к первоначально введенным величинам (118.7) для поля в отверстии; в этом случае вместо разложения ряда по косинусам (119.12) получается представление поля через полиномы Чебышева. Используя обозначения (119.4), получаем сначала соотношения

sin (2v + 1) 5 = sin ^ (2v + 1) arc cos ™ J ™

(119.16)

cos 2v£ = cos ^2v arc coscos 2v£ = cos ^2v arc cosIv cos ( 2v arc sinIv cos ( 2v arc sin

cos 2v£ = cos ^2v arc cos

cos 2v£ = cos ^2v arc cos

Iv cos ( 2v arc sin

Iv cos ( 2v arc sin

где 7» и U^ означают полиномы Чебышева степени 2v соответственно первого и второго порядков, a U^ —функция Чебышева второго порядка (см. [134]). Подставляя соотношения (119.16) в ряды (119.12) и учитывая равенство (119.5), получаем (»<»

<PflOO = -I /1-(ДУ 2 «^^(т) ’ (119.17^)

Используя значения коэффициентов (119.15), а также явное выражение для полиномов Чебышева, находим из (119.17) выражения для фц и ф^ с точностью до членов порядка соответственно е3 и е)

(119.17»

(119.17»(119.17»

(119.17»

(119.17»

Таким образом, здесь мы снова пришли к выражению, характеризующему поведение поверхностной плотности при приближении к краю экрана, которое уже дискутировалось в п. 23.

120. Дальнее поле. Метод Фурье, а) Дальнее поле. Значение дальнего поля за щелью представляет еще больший физический интерес, чем величина поля в отверстии. Его можно найти из асимптотической оценки решения (118.5), используя выражения (см. п. 62)

У»— ^')2+z2—>Г— ж" COS Й (г—>ОО, -0 < л),

k^ (&г+л/4)р

у II (г, И) —> ———=- sin Ф \ ф ц (» ехр (— гкх' cos О') dx' =

к i (Ьг+Л/4)_

= • sin ^ II <cos ^(120.1/?)

I V 2лкг

(г> ^)у2^ ^=— j Ф1 (» ехР (— ^х' cos О) dx' =

ег (Ьг+л/4) _

-^^-Ф^со,»).

(120.1s)

Подставим вместо функций ф функции и^Е) согласно соотношениям (119.5), выразив их в виде рядов Фурье (119.12). Тогда получим

у II е, ^->

£2

ei(krW4) .

—r sin й • e >. a || ’x

V 2nkr

v=0

(120.1»

\ {cos 2v^ — cos (2v + 2) ^} exp (— Ze cos й cos ^) dt, о

ег (^г4-л/4)]/2лЛ7

^ аДД^ ^cos2v^exp( — Ze cos О cos g) dL (120.Ts)

v=0

О

Используя интегральное представление функции Бесселя

л

^ cos 2v^ ехр (ix cos ^) d^ = ( — l)v л72v (^) о

и рекуррентную формулу

J2V (^) 4" J2V+2 (^) ~ 2"1— J2v+1 (^)5

(120.2)

(120.3)

находим

^e1(№4) sin 2 (- l)v (2v +1) a<2v+i) ^v£|^ , v=0

(120.Г»

г (кгЧ-И/4) е

2 (-l)v a^V^e costi). (120.1"s) v—О

Подставляя вместо коэффициентов пенные ряды (119.15) и разлагая

tt(2v+D и д^) соответствующие сте- функции Бесселя в ряд по возра-

стающим степеням 8, находим

р2-р2-

р2-

р2-

sin д' у [ 2р —у-Ч-соз^ j +

- -|-^ cos2 д Ч~ у cos4 д ^ Ч- • • • J >(120.4р)

е

Г32 I 2

Ниже мы еще что сравнение ложениям для

13

4р 8

!— И +4 sin2 6-

Р I 4

-|-^ cos2 ^ — ^ со§4

(120.4s)

возвратимся к этим формулам, а пока отметим только, выражений (120.1) и (120.4) приводит к следующим раз- ФИ (а) и Ф1(а):

Ф||(“)=2Ге

,4,4

,4

,4

, 84

Ф± («) =

1

4д

(120.5s)

б) Решение парных интегральных 'уравнений. Покажем коротко, как можно непосредственно определить величины фл и ф^ путем решения парных интегральных уравнений (118.12) [137 — 139]. Это может служить для пояснения метода, изложенного в п. 63. В случае нормального

падения (ао=О) уравнения (118.12) можно записать, используя симметрии ср( —а) =ср(а), в следующем виде (^=ац):

условия

м

} 1 — а2 фц (а) cos (есщ) da — ^ о

ФЛ (а) cos (sap) da — 0 о

С Ф i (а)

\ —cos (вал) da— пъ

J /1-а2 v м

о к

ф^ (а) cos (еац) da = 0

о

Согласно методу, описанному в п. 63, прежде

(п > !)•

1),

1),

(120.6/7)

(120.6s)

всего необходимо выбрать

некоторую ортогональную систему функций, которая почленно удовлетворяет однородным интегральным уравнениям (120.6) (т. е. может быть представлена интегралом Фурье в области |ц|<1). Эти функции таковы:

Jv (8а)(еа)^.

Л-ц

1

Г—JL1

) е“а11 ^7i С1 — ^Ф” /2 ^(120.7)

(0<pi<v.v=0, 1, 2, ...),

где множитель при е18^ в подынтегральном выражении может быть сведен к одному из полиномов Чебышева, система которых в интервале |т| |<1 является полной и ортогональной [134], что существенно для дальнейшего. Таким образом, будем исходить из разложений

^«) = 52(-№+1Цад)»),(120.8р)

(120.8s)(120.8s)v=0

(120.8s)

(120.8s)

Ф1 (а) == л 2 ( — 1/ а^ 72v (еа), v=0

которые удовлетворяют условиям симметрии и условию на ребре. (Введенные здесь добавочные множители удобны для дальнейших вычислений.) Согласно п. 61, при |а|—>оо функция фц(а) должна убывать как а™3/2, а функция Ф_р (п)— как ст» поскольку только при этих условиях поверхностные плотности ф|») и ф»ж) дают нужную особенность- у ребра. (В анализе Фурье характер особенности волнового поля определяется поведением трансформанты Фурье при |а|—>оо.) Можно также показать в явном виде, что разложения (120.8) почленно удовлетворяют однородным интегральным уравнениям (120.6). Это можно сделать, используя выражения для преобразованных надлежащим образом интегралов Сонина — Шафхейтлина [134]:

ооГ

$««S (=™1) 4ч-51 = ^ u,w W (0 ■

°0(Ч>1),

<n< 1),

(120.9p)

ооГ

( 72v(ea)cos(вац) da = ! .c<>s (2v arcsin ц) =(_ 1)V ^J^(0 .

J[8 ]/ 1 — Г528 J/ 1 — T)2

vо(P>1).

< n < 1),

(120.9s).

С помощью интегралов (120.9) и соотношений ортогональности

Av+i (s^) Ajx+i (8а)~4?+2

(120.9»(120.9»о

(120.9»

(120.9»

f ^2v+l 01) »-И (П)S

и

^ 72v(eaV2v(8a)^=^y (v + ^^O), b^ 72v(eaV2v(8a)^=^y (v + ^^O), bby (P) Ьв (P)by (P) Ьв (P)<7т) = < £ о( 2 °vb<7т) = < £ о( 2 °vb(И = v = 0), (И v * °)(И = v = 0), (И v * °)(120.9's)(120.9's)

^ 72v(eaV2v(8a)^=^y (v + ^^O), b

^ 72v(eaV2v(8a)^=^y (v + ^^O), b

by (P) Ьв (P)

by (P) Ьв (P)

<7т) = < £ о

( 2 °vb

<7т) = < £ о

( 2 °vb

(И = v = 0), (И v * °)

(И = v = 0), (И v * °)

(120.9's)

(120.9's)

можно одновременно получить разложение функции cos(ear|) по функциям 72у+1(еа)/а [соответственно по 72v(ea)] или по C/2v+i(p)

[соответственно по Т^ (ц)] в интервале (0 < р < 1, — оо < а < оо):

(120Л0р)(120Л0р)cos (еатй = 2 У (- l)v (2v +1) _^±1М. Ь^.^8 1/1— ^2 а

(120Л0р)

(120Л0р)

cos (еац) =/0 (еа) + 2 ^ (—1/^(1]) Av (еа).(120.10s)

Подставим теперь разложения (120.8) и (120.10) в неоднородное интегральное уравнение (120.6) и правую часть также разложим по функциям ^v+i^) или соответственно по Т^^; тогда, сравнивая коэффициенты разложения, получаем

У а^’МГЧо-(120.11^).

V—0

У а/^С^^б^,(120.11s):

v=0

где

^vn) = _2L(2v_l1)(_.1)v ^ J2v+1(8a)Z^+1 (ea) -^"2-^, (120.12/0 6

С^» =-q-l)vp2v(6a)J^^(120.12s),

Таким способом решение парных интегральных уравнений (120.6) в принципе для любого е сводится к системе линейных уравнений (120.11) для коэффициентов а^Х Правда, решение этой системы пока удалось получить только для 8 < 1. В этом случае можно разложить интегралы (120.12) в степенные ряды по 8 [140, 141]. Разложим величины а^ в степенные ряды по 8 и сравним коэффициенты; тогда, если ограничиться некоторой степенью 8, получаем оборванную систему уравнений для коэффициентов разложения. Такой способ решения снова приводит к выражениям (119.15) для коэффициентов [142]. Используя вариационный принцип (см. п. 107), выражения (119.17) с помощью метода Ритца можно привести к системе уравнений (120.11) и (120.12) (см. [142]). Если сравнивать методы в отношении их сложности, то описанный вначале метод возмущений Рэлея, безусловно, имеет то преимущество, что он оперирует только с элементарными функциями. Производить оценку интегралов (120.12) несравненно труднее [140, 141].

в) Решения интегральных 'уравнений (118 12'). Несколько проще проводится рассмотрение интегральных уравнений (118.12') при а0 —0. В этом случае они имеют вид

1 С т» — , /х sin е (a7--a) 7 ,2 sin sa

-/l-a^фl|(a)—,

(120.13/7)

VllW-V \ Ф||(а)аЧ^га" da =°

И

1F1FTjL (а') sin е (а' — а) ^,^ 8^п 8аУ1—а'2а'—а" аTjL (а') sin е (а' — а) ^,^ 8^п 8аУ1—а'2а'—а" а(120.13s)(120.13s)

1F

1F

TjL (а') sin е (а' — а) ^,^ 8^п 8а

У1—а'2а'—а" а

TjL (а') sin е (а' — а) ^,^ 8^п 8а

У1—а'2а'—а" а

(120.13s)

(120.13s)

— , х 1 С — , sin к (а'—а) 7 , п ф±(«)-^\ Ф1(а)^а =°-

Однородные уравнения (120.13) известны в литературе как интегральные уравнении Бейтмана (см. [143]). Используя соотношение

£ Г /v(ea') sin е (a'-a) da, = 7V (sa) (0<p,<v, v = О, 1, 2),(120.14)

л J а^ a —aaP-

общее решение этих уравнений можно представить как линейную комбинацию решений вида (120.7). Учитывая условие на ребре, в качестве исходного выражения мы можем снова взять разложения (120.8) в виде рядов Неймана, которые почленно удовлетворяют однородным уравнениям (120.13). Подставляя ряды (120.8) в неоднородные уравнения (120.13), получаем

2(-l)v (2у + 1)а^+1)Х v=0

X F /1^2 ^У±1(ео2 sin^(£-a) da, = 2. sine^^ 2Q л 3? }

j raa'—a]a v

V (_C ^v (^ sin 8 (a' -a)= 2 ■ sinea 12Q 13

vj т/1„а/2 a —aa x7

V=0—oo F

Умножая верхнее уравнение па J211+1 (8«)М а нижнее на АД8»), интегрируя по всем а( —00 < а< оо) и учитывая соотношения (120.14), приходим к следующим уравнениям:

ООСО '

5 (- l)v (2v +1) аГ+ ° $ ^У Av+i (ea) J2g+i (ea) ^ = ^ 6ц0, v—О0

5 (" Э"а^ У 2^ (е«) J2ц (ва) "^^-g = ^ixo- v=00Г Ct

которые совпадают с системой уравнений (120.11) и (120.12).

11а—аа—а(121.1)(121.1)Коэффициент прохождения. Отношение среднего по времени значения потока энергии, проходящего через щель (на единицу длины), к среднему по времени потоку энергии, вычисленному по законам геометрической оптики (коэффициент прохождения), для обоих случаев поляризации дается выражением (см. п. 102)

1

1

а

—а

а

—а

(121.1)

(121.1)

Из представления поля (118.5) с учетом (118.7) п (118.8) следуют соотношения

Уц (£, ± 0) = фц (ж),-^-Уц(ж, ± 0) ~ 1к 1^1 — a-Qeika^ (|л;|<и),(121.2/?)

у± (ж, ± 0) = е^Ч А у± (ж, + 0) = ф± (ж) (| ж | < ж).(121.2s)

Подставляя эти соотношения в (121.1) и применяя преобразование (118.11), получаем следующие значения коэффициентов:

(121.3/?)(121.3/?)Ч ^ Re ^ ф!1 ^ е~№а°Х dx = "^ Rc Vil (“о)’ — Cl

(121.3/?)

(121.3/?)

Im (ж)-4=^-Im ф 1 (а0). (121.3s)

2е/1-а2,)28^1-^/

Интегралы в (121.3) легко вычислить, если использовать подстановку (119.4) и (119.5), а для функции и^ взять ее представление в виде ряда Фурье (119.12). Тогда для нормального падения (ао = О) имеем

О = ф-Ьп ^ «„ ^а^= Л-1тя(^= -^Нефц (0),(121.3'р)

о

ч = уе 1т $ ч (£) ^ = аг1т "1 = i1т ф-~ (°)-(121 -3'$)

О"

Подставляя сюда разложения (119.15) или (120.5), находим

т.-ЧЧЧСЧЧч---}.«‘я-ад

ч =ч =?41Ц2^+Л2^ 8V 4 1 у?41Ц2^+Л2^ 8V 4 1 у/ 1 Ye 41пт4 1112> Я2/ 1 Ye 41пт4 1112> Я2(121.4s)(121.4s)

ч =

ч =

?41Ц2^+Л2^ 8

V 4 1 у

?41Ц2^+Л2^ 8

V 4 1 у

/ 1 Ye 41пт

4 1112> Я2

/ 1 Ye 41пт

4 1112> Я2

(121.4s)

(121.4s)

Интересно,что для с < 1 пропускание щели для электромагнитной волны, поляризованной пе])пендикулярно ее краям, значительно больше (приблизительно в 8~4 раз), чем для волны, поляризованной параллельно краям. Поэтому при любом промежуточном направлении поляризации падающего поля дифрагированная волна поляризована почти перпендикулярно щели.

Асимптотическое решение, а) Метод Шварцшильда. В случае широкой щели естественно исходить из принципа сложения дифракционных полей от полуплоскостей, образующих края щели, и учитывать взаимодействие обеих полуплоскостей с помощью метода возмущений. Таким путем шел Шварцшильд [144]), который применил метод итераций в сочетании с зоммерфельдовским решением для полуплоскости (см. § 1 настоящей главы) и показал, что полученное его методом решение сходится для всех е. Можно достигнуть значительного упрощения, применяя метод Шварцшильда для определения амплитуды дальнего поля [103, 148]. Задача сводится к тому, чтобы получить решение интегральных уравнений (118.19) путем итераций в виде ряда Неймана. Из (118.19), учитывая (118.20), имеем

^^(а, а0) — 2 <o(v)'(a, а0),(122.1)^

v=0

где

< (а, а0) = - 2]/1 + «о^т^ ,(122.2^)

«^(а, а0) = А- £ ]/r^e2iea4v-1)(~a'. ~Мс/Та (v >0), (122.3/))

< (а, а0) = — -А ]/Т — а0 ,(122.2s)

«о)=2^£(v > 0). (122.3s)

Нулевое приближение фактически представляет собой амплитуду дальнего поля падающей волны, дифрагированной на правой полуплоскости [без учета взаимодействия; см. (115.5)]. В этом приближении поверхностные токи, текущие по одной из полуплоскостей, образующих щель, обусловливают поле, которое в свою очередь дифрагирует на другой полуплоскости. Такая вторичная дифракция учитывается первым приближением (122.3) и т. д. Затем для ряда (122.1) воспользуемся шварцшильдовским, доказательством сходимости. Заметим, что последовательные приближения в шварцшильдовском процессе не приводят к разложению в ряд по отрицательным степеням 8. Такой ряд является, по всей вероятности, асимптотическим, т. е. расходящимся, однако он чрезвычайно удобен для представления поля в случае 8 > 1.

Асимптотическое решение. Чтобы получить асимптотическое разложение решения [148]), проще всего исходить из интегральных уравнений (118.19') и разложить в асимптотический ряд функции А (а) для е > 1 (см. ниже):

А || (^^е-^зА^аЭ + е"/^^ (а) + . ..,(122.4/?)

А± (а) —> г-^А^ (а) + е-^А^ (а) + . . . .(122.4s)

(122.5/>)(122.5s)(122.5/>)(122.5s)^Соответственно необходимо представить решение в виде W (°) —> хТ («)е~1/2хТ (°)+s^x'ii ’ («)+..., Ф± (а) Х± («) -и e-^xf (а) + g-^f («)+...,

(122.5/>)

(122.5s)

(122.5/>)

(122.5s)

причем в дальнейшем мы будем ограничиваться первым членом, учитывающим взаимодействие краев щели. Подставляя разложения (122.4) и (122.5) в интегральные уравнения (118.19') и сравнивая коэффициенты при отрицательных степенях е, получаем системы уравнений

Чл (а, «о) = - 2 Щ + «о сГ=^ ,

ю ~(122.6/»)

X?(«. ао) = f ^Т (“') Xii’ (-- «о)

Х±(а, ао) = ^1- f ^(a^X^t-a', -а0)-^-

Таким образом, мы можем, не решая интегральных уравнений, вычислить взаимодействие краев щели в квадратурах (это справедливо и для более высоких приближений). Кроме того, как мы сейчас увидим, интегралы можно легко вычислить при помощи теории вычетов. Чтобы разложить выражения (118.21) в асимптотический ряд для в > 1, рассмотрим сначала интеграл

(122.7)(122.7)(122.7')(122.7')(122.8)(122.8)л1 е е2ге(^-а)^

(122.7)

(122.7)

(122.7')

(122.7')

(122.8)

(122.8)

Л (а) ~ — у ——=,

х 7 >Кг о /1—а' а —а

В частности, для 8 = 0 находим, применяя теорию вычетов,

Л=1М-

.Дифференцирование интеграла (122.7) по е дает

02— гоо

9 А1 Г e2iB <«'-“) 7 ,2 Г e-2ie(V'-V)

\ —7=— ни = — \ д=ay ,

58 л /1—а'л Э у/ 1

где в правой части сделаны подстановки 1—a = y, 1 —а'= у', а путь интегрирования деформирован так, чтобы он совпадал с обоими берегами разреза для функции ]/у' в нижней полуплоскости у'. Используя подстановку 2у'е = о2, <7у' = ]/2у'/е do, с учетом равенства

шриводим выражениешриводим выражение^ е- ^do = '^" е± ijr/4> о(122.8) к следующему виду:ЭА _ 1 /” 1 [2s(i ” a)"Tj, de V ле"^ е- ^do = '^" е± ijr/4> о(122.8) к следующему виду:ЭА _ 1 /” 1 [2s(i ” a)"Tj, de V ле"(122.9)(122.9)(122.8')(122.8')

шриводим выражение

шриводим выражение

^ е- ^do = '^" е± ijr/4> о

(122.8) к следующему виду:

ЭА _ 1 /” 1 [2s(i ” a)"Tj, de V ле"

^ е- ^do = '^" е± ijr/4> о

(122.8) к следующему виду:

ЭА _ 1 /” 1 [2s(i ” a)"Tj, de V ле"

(122.9)

(122.9)

(122.8')

(122.8')

Таким образом, для интеграла (122.7) имеем

л«)= V 4~ел«)= V 4~ее2гШ ™а)е2гШ ™а)(122.7")(122.7")

л«)= V 4~е

л«)= V 4~е

е2гШ ™а)

е2гШ ™а)

(122.7")

(122.7")

при этом нижний предел интегрирования выбран так, что при 8 = 0 интеграл имеет значение (122.7'). Производя подстановку 2у^ = а2, d^, = ]/2£/у do, приходим для Л (а) к интегралу Френеля:

/28 (1 - а)

Л(а)=-^—=\ e^do.(122.7"')

При 8 = 0 это выражение переходит [с учетом равенства (122.9)] в (122.7'). Интегрируя (122.7") по частям, получаем для 8 > 1, а ^ 1 (или для |а|>1, а£5“) асимптотическое разложение [134]

W‘48 а-1168* (а-1)2 f

~(122.10)

Имеющая здесь место особенность при а = 1 является для строгого решения (122.7) точкой ветвления, а не существенно особой точкой, как это можно было бы предположить по виду (122.10) [асимптотическое представление (122.10) непригодно в окрестности точки а — 1]. Исходя из вышесказанного, после некоторых преобразований с учетом (122.9) приходим к выражению

/2s (1 - а)

-bbl^Vb [l+^d—)^..- ]}• (122Л0-)

Следовательно, используя выражение (122.10) для случая 8 > 1, мы должны обходить точку а=1 в нижней а-полуплоскости S”, где функция Л (а) голоморфна. С помощью величины Л (а) интегралы (118.21) можно представить следующим образом:

(122.11/?)(122.11/?)(122.11s)(122.11s)Л || (а) = V 1 + а e2iea Л (а),

(122.11/?)

(122.11/?)

(122.11s)

(122.11s)

Аг(28 + л/4)

Л ] (а) — -—= е2г8а^ /а\ _|-■— _=

уЛф-а]/2л8]/1+а

Выражение (122.11s) получается с помощью преобразования

ООООп ,03О /

РРg2i8CZdvdСg2l80C

£V^-a' е^6"-’ --А— = (1—а)£/ --=\,. -: da

Jа — а v 7 J у 1 —а' а а J V1—а'

при учете равенств (122.8) и (122.8'). Последний член в (122.11s) можно опустить, так как он представляет собой голоморфную функцию в S* и при подстановке выражения (121.11s) в уравнение (118.19's) не вносит никакого вклада. [Функция ф^ ( — а, — а0) также голоморфна в 5*.]

Подставляя разложение (122.10) в (122.11), приходим к следующему асимптотическому разложению [е > 1, а 4 1 (или |а| > 1, аб^)]-

г (28+

А ■ (") ->' 4 <122'11»

Л, (а)с—= —™ (1 + 4 + ■ • 4 (122.H's)

7 4s/2ns /1+а(а—1) I 48 а^1 J V

В этих формулах усложняющий аналитическую ситуацию множитель е± 2гга уЖе отсутствует, так что при | а | —> оо величины А „ (а) и Aj (а) ведут себя как алгебраические функции. Таким образом, в разложении (122.4) нужно положить

(122.12р)

(122.12s)

Подставив (122.12) в (122.G), находим

хНа> ао) =хНа> ао) =irt У 2лirt У 2лУ1 —аоеУ1 —аоегесб0V ыа' Да'.) » —1) (а'—а0) (а'—а)гесб0V ыа' Да'.) » —1) (а'—а0) (а'—а)

хНа> ао) =

хНа> ао) =

irt У 2л

irt У 2л

У1 —аое

У1 —аое

гесб0V ыа' Да'

.) » —1) (а'—а0) (а'—а)

гесб0V ыа' Да'

.) » —1) (а'—а0) (а'—а)

= - 2 У 4’(122.13р)

|/л (а—1)(а0—1) v ' '

1 (2е+т)03

-- У1+^ иа»=

4ni ]/2л4J V\-Ya'ка' — 1) (а'—«о) (а/—а)

г (28+^)

(122.13s)(122.13s)4/14 «о в"г£К°

(122.13s)

(122.13s)

4/л/с (а —1)(а0 —В

Аналогичным образом с небольшой затратой труда мо^кно определить и остальные члены разложения (122.5).

Если с помощью соотношений (118.18), (118.14) и (118.20) перейти к величинам,

~ ае''г8а'фу1)(а, а0) 4/1 + ^ е18^0 (—- а, —-а0), (122.14/?)

'PlW^y^t--4 (а> ao) + -j^=-tL-“о)’(122.14s)

(122.14»(122.14's)(122.14»(122.14's)используя два уже вычисленных члена разложения (122.5) для ф(1), то для асимптотического решения получаются с учетом (122.G) и (122.13) выражения

(122.14»

(122.14's)

(122.14»

(122.14's)

^1 (а) —> ^Р («) т е-1^0 (а) + . .. ,^1 (а) ФР (а) + е-3^^} (а). .

Здесь члены, не учитывающие взаимодействие, суть хГ , -ге(а-а0)ге(а-а0) ]

<}(а)= -2 |/(1-а)(1+а0) е——/(1 + а)(1-а0) 5—— U

— — 4ш уЧ — а2 6 (а — а0) —

- 2 Щ(1-а)(1+а0) - ]/(1+а)(1-а0)} ^^«о)+

+ 2г (И(1-а)(1+а0) + ]/(1+ «)(!-«о)}^"-^ ’(122.15р)

^(а) =^(а) =2 f /1-а0 е-$в(а-ао) _ ik I г 1—аа — а02 f /1-а0 е-$в(а-ао) _ ik I г 1—аа — а014-а0 е^^"^l-j-а а—а014-а0 е^^"^l-j-а а—а02 Г Г 1-~аоI / ^ао 1 cose (а —а0)ik XL Г 1 — аГ 1+« J а—а02 Г Г 1-~аоI / ^ао 1 cose (а —а0)ik XL Г 1 — аГ 1+« J а—а0Г 1/^+ао ] sins (а—а0)]L г 1 —а 4 г 1 + а Jа— а0)*Г 1/^+ао ] sins (а—а0)]L г 1 —а 4 г 1 + а Jа— а0)*При этом мы воспользовались соотношениемПри этом мы воспользовались соотношением1а—а01а—а02шб (а —- а0).2шб (а —- а0).6(а-а0)-(122.15s)(122.16)6(а-а0)-(122.15s)(122.16)

^(а) =

^(а) =

2 f /1-а0 е-$в(а-ао) _ ik I г 1—аа — а0

2 f /1-а0 е-$в(а-ао) _ ik I г 1—аа — а0

14-а0 е^^"^l-j-а а—а0

14-а0 е^^"^l-j-а а—а0

2 Г Г 1-~аоI / ^ао 1 cose (а —а0)

ik XL Г 1 — аГ 1+« J а—а0

2 Г Г 1-~аоI / ^ао 1 cose (а —а0)

ik XL Г 1 — аГ 1+« J а—а0

Г 1/^+ао ] sins (а—а0)]

L г 1 —а 4 г 1 + а Jа— а0)*

Г 1/^+ао ] sins (а—а0)]

L г 1 —а 4 г 1 + а Jа— а0)*

При этом мы воспользовались соотношением

При этом мы воспользовались соотношением

1

а—а0

1

а—а0

2шб (а —- а0).

2шб (а —- а0).

6(а-а0)-

(122.15s)

(122.16)

6(а-а0)-

(122.15s)

(122.16)

Поправка на взаимодействие дается следующими членами:

6ге(а+а0)УЛ + а) (1+«о)6ге(а+а0)УЛ + а) (1+«о)(122.17/0(122.17/02i/28+^Ие-^^^а^

6ге(а+а0)

УЛ + а) (1+«о)

6ге(а+а0)

УЛ + а) (1+«о)

(122.17/0

(122.17/0

—— е4 ! —•- —

^л[ К(1 — о) (1— а0)

1 /28 I \

‘ ^Уяк 1 —а (1—а)(1 —а0) ^а (1~Н) (1 + «0) J’ (122.17s)

Этот результат обсуждается в п. 124. Появление в выражении (122.15) 6-функции соответствует тому, что задача о щели рассматривалась как «задача рассеяния» [см. и. 61 и уравнения (118.13)].

Решение Кирхгофа. Стационарное представление. Сравним теперь асимптотическое решение краевой задачи с двумя приближенными решениями, первое из которых получается с помощью теории Кирхгофа (см. п. 30), авторов — методом стационарного представления (см. п. 109).

Решение Кирхгофа. Теория Кирхгофа позволяет свести краевую задачу к следующей задаче с заданным разрывом: необходимо найти решение волнового уравнения Ок^ имеющее ту же самую особенность, как падающая волна у0, и испытывающее при переходе через экран разрывы:

при переходе же через отверстие функции г)к и dv^/dz остаются непрерывными. (Эти условия вместе с условием излучения определяют функцию ик единственным образом.) Решение указанной задачи (в данном случае двумерной), которое выражается в виде интеграла Кирхгофа

а

Ук (Ж, z)= {pj — -4- j {уоЧ + ^} ^(/cj/^-^'^ + z2) dx' (z^O),

(123.1)

можно представить также аналогично выражению (118.10) в виде интеграла Фурье:

Ук (X, z) = { ° } У {фк (а) ±ф^ (а)} охр Vik (аж 4 Щ-а21 z |)]

(2 ^0). (123.Г)

Используя написанные выше значения разрывов и условие непрерывности, получаем для амплитуд Фурье фк п ф^ следующие соотношения:

фк1)(а) ег!<ах da = I • elhaax zi^Ta) (123.2)

\e^da. =.'(123.2')

У1—a2(nie^^(j ж | < a).'

Отсюда, применяя формулу обращения ФурьеДнаходим

фа>(а) = А1^^=^,

(123.2")

q^ (а) = i ]/1—a2'

Вытекающее из этих формул выражение для дальнего поля, соответствующего задаче с заданным разрывом, мы сравним в п. 124 с тем, которое получается из асимптотического решения краевой задачи.

Стационарное представление. Ранее было получено выражение (109.3), дающее такое представление дальнего поля через величины поля в отверстии, которое стационарно относительно малых отклонений этих величин от их точных значений. Такое же представление можно написать п для величин ф,;(а) и фд (а), которые связаны с дальним полем соотношениями (120.1). Следуя пути, указанному в п. 109, мы имеем

«Рн (- a, a0) =-■ Р ]/ 1 — а2 х

Ф^ (ж, а0) егках dx ( ф^ (х, а) егксс,зХ dx

Г / f^Рц (^, а0) d<y^ (х', а) л

dx' dx ^фр С', «о) фр а)^J Нг0 (^| х— х'\)

(123.3^)

Ф±(~а, а0) =

) ф_у (^, аР) егках dx J фф (ж, cz) егка°х dx

= 21.(123.3s)

J dx ^ dx'<y^p\ арНоССж — ЖТ) ф_]_ (^3 а)

Эти представления в противоположность выражению (118.11) стационарны, т. е. нечувствительны по отношению к малым отклонениям величин 18 Заказ Кз 13

фцф£ и от их точных значений, определяемых из интегральных уравнений. [Вторая независимая переменная в выражениях (123.3) представляет собой косинус угла падения плоской волны, входящей в правую часть интегральных уравнений (118.8).]

Вычислим теперь коэффициент прохождения с помощью формулы (121.3), ограничиваясь здесь случаем нормального падения (а0—0). Например, в s-случае он равен

{

а12

J ф_р М dec 1

ч = тпе—«;—"j• <123-N

J dx j dx4pj_ (x) H^ (k |‘x — x' I) ф^^')

— a—a

Входящая сюда величина ф^(х) определяется выражениями (119.17s) h(119.17's); она имеет особенности на краях щели и осциллирует около некоторого среднего значения. Преимущество стационарного представления (123.4s) заключается в том, что для приближенного определения величины t_l не обязательно знать точное распределение величины фj_ (ж). Поэтому величину т_£ будем оценивать с помощью очень грубого приближения, принимая для ф_]_ постоянное значение по всему отверстию. Так как г 'ледствие однородности выражения (123.4s) величина этой постоянной несущественна, положим Ф1(^1. Тогда получается [161] следующее выражение для коэффициента прохождения:

28

J Л)(У

Ч = —й™ ’ (123-5s>

{ J 7о (У (2е)У + { (У (2е)}2

Оо

где величины J и N в правой части представляют собой функции Бесселя и Неймана. Численное сравнение выражения (123.5s) со значением коэффициента, найденного с использованием строгого решения, показывает, что они качественно согласуются во всем интервале изменения е (см,, п. 124).

Результаты. Обсуждение. В заключение настоящего параграфа сформулируем и обсудим важнейшие результаты, сделав при этом некоторые добавления.

Результаты. В полярных координатах представление поля (118.10) записывается в следующем виде:

Mr’ $) =Mr’ $) =0

Mr’ $) =

Mr’ $) =

yl (r, $)yl (r, $)™"2л" ] ф[| (со$ $3 ехР t^r cos ($' + $)! 8^п(Ф^л),(124.1 р)D°1 -exp \ikr cos (Ф — й0)] + exp [ikr cos (й* -(- ^о)1 J™"2л" ] ф[| (со$ $3 ехР t^r cos ($' + $)! 8^п(Ф^л),(124.1 р)D°1 -exp \ikr cos (Ф — й0)] + exp [ikr cos (й* -(- ^о)1 Jexp Vi^ cos (О1 — й0)] — ехр \ikr cos (О1 + $0)] к С —

yl (r, $)

yl (r, $)

™"2л" ] ф[| (со$ $3 ехР t^r cos ($' + $)! 8^п(Ф^л),(124.1 р)

D

°1 -

exp \ikr cos (Ф — й0)] + exp [ikr cos (й* -(- ^о)1 J

™"2л" ] ф[| (со$ $3 ехР t^r cos ($' + $)! 8^п(Ф^л),(124.1 р)

D

°1 -

exp \ikr cos (Ф — й0)] + exp [ikr cos (й* -(- ^о)1 J

+ 2^4 Т1 (cos дЭ ^^^(dsn).(124.1s)

D

Путь интегрирования D в плоскости д' совпадает с путем интегрирования, изображенным на фиг. 64. Из этого выражения при г—> со и д < л методом перевала получается выражение для дальнего поля

'О) —> ~sin д фн (cosd, cosd0), (124.2/?)

1i )/ 1ккг

у, (r, d) —>у, (r, d) —>•и -АйГ'^(с”в' с”ад•и -АйГ'^(с”в' с”ад(124.2s)(124.2s)

у, (r, d) —>

у, (r, d) —>

•и -

АйГ'^(с”в' с”ад

•и -

АйГ'^(с”в' с”ад

(124.2s)

(124.2s)

[см. (120.1); в качестве второй переменной берется косинус угла падения д0]. Амплитуды Фурье ф^ и ф^ в выражениях (124.1) и (124.2) определяются из интегральных уравнений (118.12) и (118.12'). Решение этих интегральных уравнений записывается в виде

для с« 1 [см. (120.5)] ^

cos d = a, cos д0 = а0cos d = a, cos д0 = а0^/? = In ^- — -^ ,8 = ка,

cos d = a, cos д0 = а0

cos d = a, cos д0 = а0

ф,, (а, а0)= — Щ -а»8 {* + ~Г [т~2/)" а2 + а0а —а2] +

+ (|--£Ы(8-Л)а^аг + />а0а3 —^](124.3s)

для 8 > 1 [см. (122.15), (122.17) и (118.13)]:

w { V -тЕ5-- V А«- Л;

е8~1/2 f ei£(a+ao)е-28(а+а0)

Ф±(а, а0)—»f]/(l — а) (1 +а0) eis(«~«o) — ]/(1 +а)(1—а0) e-ieta-ao)!^...1 .. +

! £__g-3/2J ^^ а^ ^ а°^ ^i8(tz+a0) JLCl£iEHAlh^lp~i8(a+ao)lщ

8/л I (1 + а)(1 + МГ (1-а)(1-а0) 6

(124.4s)

Для дальнего поля позади щели получаем из (124.2) выражение

для е < 1:

Уц (г, 4) —> — у j/" ^г е^^ 4 sin О sin Фр X

X е2 (1 + -^ |"-|-" 2/> — cos2 $0 + cos Фр cos Ф — cos2 Ф ] 4-

, e4 Г 7 । „2 bp ( p A X 2 a , cos4 tip

+ «L16 + /,”T+U ЗУ oH 12 +

+ ^^-СОдфрсозФ — ^ (^"P — 4cos2^o) cos2$ —

— -I cos Фо cos3 Ф 4- -^Ij—^ ^ ^P^

УдАг,УдАг,л Xkr+i) । ®2 г sin2^°

УдАг,

УдАг,

' p V 2krt ' 2 L 2

о n cos2 О 1 e4 Г P 11

-дсо8Фосо8Ф2-J-I6 [T~8F~TX

X—3 cos2 Фо 4" cos4 dp^—f-00®2 ^o +

+ 2/? A 4- p 4- cos^-—^) со8Ф0со8Ф4-^-|- — -y-V^p — 1)соз2Ф0) x

X cos2 Ф 4- Д cos O0 cos3 Ф — co^ - j 4* • • •) .(124.5s)

для 8 > 1:

sin 8 (cos О — cos O0)cos О — cos O’Osin 8 (cos О — cos O0)cos О — cos O’OX COS 8 (cos O' — COsO0) . - / ^ + ^0 \ cos O' — cos O0Sln < J

sin 8 (cos О — cos O0)cos О — cos O’O

sin 8 (cos О — cos O0)cos О — cos O’O

-{8-1/2 Г cos ( ^ - 9 -°Л coss(cos^4-cosO'0) —

у л sin 0* sin Oo *- x /

— i cos ^-^™^^) sin 8 (cos O' + cos O'o)J + . . . |,(124.5'/?)

y± (r, ^)У> + X) ( - Sin (_

x x 7 V ukr( V 2/ cos O’ — cosO0

— l sin— l sin7 0 Oo tgT!g-f7 0 Oo tgT!g-fsin 8 (cos 0 — cosO0)e 4COS 0 —cos Oo32~/лsin 8 (cos 0 — cosO0)e 4COS 0 —cos Oo32~/л0 Oocos— cos0 Oocos— cosexp [j8 (cos O' + cos O'O)] +exp [j8 (cos O' + cos O'O)] +. O' . Ooctg-ctg —. O' . Ooctg-ctg —. 0 . Oosm^sm —. 0 . Oosm^sm —exp [ — ie (cos O' + cosexp [ — ie (cos O' + cos(124.5's)(124.5's)

— l sin

— l sin

7 0 Oo tgT!g-f

7 0 Oo tgT!g-f

sin 8 (cos 0 — cosO0)e 4

COS 0 —cos Oo32~/л

sin 8 (cos 0 — cosO0)e 4

COS 0 —cos Oo32~/л

0 Oo

cos— cos

0 Oo

cos— cos

exp [j8 (cos O' + cos O'O)] +

exp [j8 (cos O' + cos O'O)] +

. O' . Ooctg-ctg —

. O' . Ooctg-ctg —

. 0 . Oosm^sm —

. 0 . Oosm^sm —

exp [ — ie (cos O' + cos

exp [ — ie (cos O' + cos

(124.5's)

(124.5's)

Наконец, используя (123.2"), находим для решения Кирхгофа выражение

i(fcr+

Ук (г, Я) _ tL (sin +sin а0) siE^^^M (124 51

V^akr vcos d—cos dpv '

Вычисляя квадрат абсолютной величины дальнего поля, определяем интенсивность дальнего поля 7ц и Zj_. Ограничиваясь главными членами, имеем

для е < 1: '

/|| = -^ sin2 d sin2 d0 X

X (1 +-у ( у — 2 In —■ — cos2 d0 + cos d0 cos d — cos2 d J + ...) , (124.6p) 2л

ln2^ + ^ кт

X -(1 + -y- ^sin2d0 — 2 In ^~ cosd0 cosd — cos2d J + . .. J ; (124.6$)

для 8 > 1 (если не учитывать членов, описывающих взаимодействие, то для обоих случаев поляризации интенсивности совпадают):

Zi 2 f . Q. а Г Sin 8 (cos $ — COS #0) 1 2 ,1.)

7| I лАт L°L COS#—COS #0 J+) j

.(124.6'//$)

для решения Кирхгофа:

(Siu»+si,.ад

Для более удобного рассмотрения влияния поляризации запишем отношение дальних полей для обеих поляризаций в следующем виде:

—> Легб;

тогда из (124.5) и (124.5х) в первом приближении имеем для 8 < 1:

А =у^4 In2-^-+ л;2 sin # sin й0, tg 6 —А =у^4 In2-^-+ л;2 sin # sin й0, tg 6 —л .4л .4(124.7)(124.7)

А =у^4 In2-^-+ л;2 sin # sin й0, tg 6 —

А =у^4 In2-^-+ л;2 sin # sin й0, tg 6 —

л .

4

л .

4

(124.7)

(124.7)

для е>1:

Л = 1,Л = 1,+ . 6tg 2 "+ . 6tg 2 "tg s (cos d — cos d0).tg s (cos d — cos d0).(124.7')(124.7')

Л = 1,

Л = 1,

+ . 6

tg 2 "

+ . 6

tg 2 "

tg s (cos d — cos d0).

tg s (cos d — cos d0).

(124.7')

(124.7')

Проницаемость щели характеризуется коэффициентом прохождения, кото-рый проще всего вычисляется с помощью соотношения (121.3). При этом

(124.8р)(124.8р)1-

(124.8р)

(124.8р)

Т[1 = 2^- Re <рп («о, а0),

— = syesr1ш“”)‘— = syesr1ш“”)‘(124.8$)(124.8$)

— = syesr1ш“”)‘

— = syesr1ш“”)‘

(124.8$)

(124.8$)

Используя (124.3) и (124.4), получаем для 8 < 1:

^69 31:2I Q 1п2 Т8In Ч (2п2^7 2 ;1

964 АП 4 П 4 V2^а° )16 а° +12 ао J + • J »

(124.9/?)

ЧЧ1+^[1™2а02] +1+^[1™2а02] +Л2

Ч

Ч

1+^[1™2а02] +

1+^[1™2а02] +

'4 1п2-^-+л2^ /1^2 g

е432е432282821п^44 In2 "У»л2421п^44 In2 "У»л24+ (4 In2 -^ + л2 — 3^) а= + За*+ (4 In2 -^ + л2 — 3^) а= + За*(124.9$)(124.9$)

е4

32

е4

32

2

8

2

8

21п^

4

4 In2 "У»л2

4

21п^

4

4 In2 "У»л2

4

+ (4 In2 -^ + л2 — 3^) а= + За*

+ (4 In2 -^ + л2 — 3^) а= + За*

(124.9$)

(124.9$)

для е » I1):

з/2 cos |^28(1— оу)^-j cos [ 2е (1 + а0)—^*

2 Ул V1—«о1 —«о1 + «о

гЗл "1

,_5/9 (cos 2е(3 —а0)т~

, _2 cos 4е _ е /2[4 J ,

1 2л У1 — а2 ^~ 4 У л У1—а2 2л (1— а0)1

cos |^2е (3—|-сс0) —

2л (14-а0)

(124.9»(124.9»/2.L_A sin [28(1+а^~Т] I ,х 8 l-j-ag уl-p^o j ’

(124.9»

(124.9»

e-/2 [ /T+^-sin [28(4—ao)-^'J16 /^(^ ^“o(l-«o)2+

, /r=»sml2e(1+au) ^1| ,+ Г 14-a0(l+a0)2 j r

, Зе"7/2 j /i»y / 11 \

+ 32/пР l-a0 <8 ' l-.a07(l-a0)2 Г (124.9'$)

r 1 + cio \ 8 lH-«o у(l + ^o)2[ 1

-4 COS 48

’^Зл/^а2

Согласно теореме Бабине (27.4'), для дополнительной задачи рассеяния на полосе шириной 2а получаем, учитывая решение (124.1),

следующее представление:

и и (г, й) = exp \tkr cos (й — й0)] +'

+ 2^ ^ фд (cos й') exp \ikr cos (й 'щ й)] с№? ($^л),(124.10/9^

D

и^(г, ^) — ехР [ikr cos (й —-й0)] ±

^^5 ^П (C0S$3exP l^cos($' щ й)] зтй'оДГ (й^лф (124.10s) Ь

Решения ^ц и и^_ соответствуют двум направлениям поляризации (р- и s-случаи), а величины фц и ф^ имеют тот же смысл, что и в решении для щели. Коэффициент рассеяния для полосы получается из коэффициента прохождения для щели следующим образом:'

Оц =2tj_, сгд = 2т||.(124.11)

Обсуждение. Дифракционное поле щели в случае малых и больших 8 имеет принципиально различный характер.

Для малых 8 щель оказывает сильное поляризующее действие, так как из-за множителя е4 она пропускает волны, поляризованные параллельно ее краям, хуже, чем волны, поляризованные перпендикулярно. Поэтому в дифракционном поле позади узкой щели переменное электрическое поле направлено почти перпендикулярно краям щели (как это было .уже упомянуто выше в связи с рассмотрением коэффициента прохождения). Это явление, которое наблюдал еще Герц) при прохождении микроволн через проволочную решетку, обусловлено краевыми условиями, в силу которых в волне с параллельной поляризацией поле @у вблизи края обращается в нуль, а в волне с перпендикулярной поляризацией поле @x имеет особенность [для 8 < 1 можно считать, что все отверстие представляет собой как бы краевую зону; см. (119.17')].

Для больших 8 оба случая поляризации в пулевом приближении (без учета взаимодействия краев щели) различаются только фазой полей в дальней зоне, в то время как их амплитуды равны. Вследствие этого линейно поляризованное излучение, проходя сквозь щель, становится, вообще говоря, эллиптически поляризованным; естественный же свет вообще но поляризуется. В направлении падения й = й0 дальние поля в пулевом приближении для обоих случаев поляризации почти совпадают друг с другом, а также с кирхгофовским решением. [Точнее говоря, при й = й0 совпадают мнимые части угловых распределений дальнего поля, которые имеют порядок s; для вещественных же частей, если таковые имеются, получается порядок 8°; см. (124.5') и (124.5").] Более отчетливо это видно при сравнении интенсивностей дальнего поля: первый член в выражении (124.6'/?s) при й = й0 точно совпадает с выражением (124.6"), но, так как этот член при й=й0 имеет порядок в, второй член в выражении (124.6'795) по сравнению с ним можно не учитывать (он дает лишь очень слабый фон, который добавляется к кирхго- фовской интерференционной картине). Хорошее совпадение кирхгофовской теории с экспериментом для малых углов дифракции2) объясняется

совпадением дальнего поля в задаче с заданным разрывом и главного члена асимптотического решения обеих краевых задач вблизи направления падения.

Влияние краевых условий (поляризации) на члены в выражениях (124.5'), учитывающие взаимодействие краев щели, проявляется в различных порядках величин этих членов относительно 8 (если пренебречь при этом различной угловой зависимостью). Множитель ехр р (^2е ± ± ^^ ^ /р2е у этих поправочных членов можно интерпретировать как указание на то, что взаимодействие между краями щели осуществляется

через цилиндрические волны, расходящиеся от этих краев.

Промежуточную область между случаями узкой и широкой щели можно исследовать численно, используя упомянутое выше строгое решение в виде ряда по функциям Матьё. На фиг. 68 и 69 представлены кривые, характеризующие зависимость коэффициента прохождения от 8/л, вычисленные с помощью строгого решения Морсом и Рубенштейном [170] при различных углах падения для области 0<е<5. Некоторые из этих кривых снова воспроизведены на фйг. 70 — 74 (сплошные линии; а рядом с ними пунктирными и штрих-пунктирными линиями показаны кривые, вычисленные по приближенным формулам (124.9) и (124.9')). Для нормального падения в /^-случае имеется, кроме того, таблица численных значений строгого решения для области значений 0<Щ?<10 (см. [119, 171]). Эти табличные данные использованы при построении кривых на фиг. 70. Как видно из кривых, представление коэффициента в виде ряда (124.9) по возрастающим степеням 8, состоящего из трех членов (рэлеевское приближение), пригодно только в области 0<8< 1. Оно не изменится существенно и при вычислении следующих членов ряда [в s-случае сумма первых двух членов в разложении (124.9s) дает лучшее совпадение со строгим значением коэффициента, чем если бы мы учитывали еще третий член разложения порядка 84]. Что касается асимптотических разложений (124.9'), то они дают очень хорошее совпадение со строгим значением коэффициента (в особенности для случая нормального падения). Совпадение становится хуже при уменьшении угла падения. Это объясняется тем, что формулы (124.9') неприменимы в случае скользящего падения (см. п. 122). Несколько видоизменив метод, описанный в п. 122, Левин [156, 157] получил следующее асимптотическое представление для эффективного сечения прохождения щели Т^ = 2а ]/1 — ПуТ_р (на единицу длины; см. п. 99) для случая скользящего падения (а0 = 1)):

т га 8-3/2 I 38-5/2 I 6-7/2 15 sm(4e+r) _±-/2S(8 + 25664 [64/2 л .

_8-8/фб25 ?1С°8(48+т)]>(124.12)

1024 [256/2 л

В случае же параллельной поляризации при скользящем падении щель совершенно непроницаема (Тц^О).

Фиг. 68. Зависимость коэффициента прохождения t для щели (для д>-случая) от 8 Ы для различных углов падения (по Морсу и Рубенштейну).

Ф п г. 69. Коэффициент прохождения т^ для щели для s-случая(по Морсу и Рубенштейну).

Фиг. 70. Коэффициент прохождения для щели в случае падения по нормали; краевое условие у = 0.

Пунктирная кривая — рэлеевское приближение (124.9р); штрих-пунктирная кривая —асимптотическое приближение (124.9'р); сплошная кривая — строгое решение (поСкавлему).

Фиг. 71. Коэффициент прохождения для щели при различных углах падения; краевое условие у = 0.

Обозначения кривых те же, что и на фиг. 70.

Ф иг. 72. Коэффициент прохождения для щели (см. подпись к фиг. 71).

Фиг. 73. Коэффициент прохождения для щели при различных углах падения; краевое условие dvjdz = 0.

Ф иг. 74. Коэффициент прохождения для щели (см. подпись

Фиг. 75. Коэффициент прохождения для щели; краевое условие dv/dz = 0.

Пунктирная кривая вычислена методом стационарного представления с использованием постоянной функции ф (по Эрдейи и Папасу); сплошная — по строгой формуле (по Морсу и Рубенштейну).

На фиг. 75 кривая для коэффициента прохождения, вычисленного по формуле (123.5s) (стационарное представление), сравнивается со строгим

Ф и г. 76. Диаграмма направленности для щели при различных углах падения (краевое условие у = 0).Ф и г. 76. Диаграмма направленности для щели при различных углах падения (краевое условие у = 0).

Ф и г. 76. Диаграмма направленности для щели при различных углах падения (краевое условие у = 0).

Ф и г. 76. Диаграмма направленности для щели при различных углах падения (краевое условие у = 0).

решением [161, 174]. Отсюда видно, что, несмотря на грубое приближение, используемое для значения поля в отверстии, стационарное представление дает качественно верное значение коэффициента во всей области

различных углах паденияразличных углах паденияФиг. 77.Фиг. 77.Диаграмма направленности для щели при (краевое условие dy/dz = 0).Диаграмма направленности для щели при (краевое условие dy/dz = 0).

различных углах падения

различных углах падения

Фиг. 77.

Фиг. 77.

Диаграмма направленности для щели при (краевое условие dy/dz = 0).

Диаграмма направленности для щели при (краевое условие dy/dz = 0).

изменения е. На фиг. 76 и 77 представлено угловое распределение дальнего поля для обоих направлений поляризации при различных углах падения и различной ширине щели (по Морсу — Рубенштейну).

§ 3. ДИФРАКЦИЯ НА КРУГЛОМ ДИСКЕ И КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ

Задачу дифракции на круглом диске как в скалярном (акустическом), так и в векторном (электромагнитном) случаях можно решить методом разделения переменных, если волновое уравнение записано в вырожденной эллиптической системе координат. Решение задачи в этом случае получается в виде некоторого ряда по сфероидальным функциям (см. п. 125—129). Для определения коэффициентов этого ряда оказывается существенным условие на ребре (см. гл. I, § 4, б). Точный вид ряда, представляющего решение задачи, а также его численные оценки были получены сравнительно недавно (Баукампом в 1941 г. для акустического случая, Мейкснером и Андреевским в 1950 г. для электромагнитного случая). Ряды сходятся для всех 8 = ка (к — волновое число, а — радиус диска), хотя число членов, которое необходимо учитывать, имеет величину порядка параметра 8 (ср. в гл. V соответствующие решения в виде рядов в задачах дифракции на цилиндре и сфере). Численные оценки рядов по сфероидальным функциям пока проведены лишь для области 0 < 8 < 10.

Для предельного статического случая 8 < 1 (и для примыкающих к нему случаев изменения 8 вплоть до 8 ^ 1) удобно использовать представление решения в виде ряда по возрастающим степеням 8. Хотя это разложение можно получить из ряда по сфероидальным функциям, однако с помощью интегрального уравнения для поверхностной плотности (см. гл. Ill, § 1) первый член разложения гораздо проще вычислять непосредственно, используя метод возмущений (см. п. 130—132), как и в рэлеевском предельном случае (см. гл. III, §6).

Предельный случай высоких частот (е > 1) пока еще не поддается анализу с помощью ряда по сфероидальным функциям. Другими словами, из ряда нельзя получить асимптотическое разложение по убывающим (дробным) степеням 8 для геометро-оптического предельного случая. Аналитическим вспомогательным средством для этого могло бы служить преобразование Ватсона (см. гл. V, § 1 и 2), однако требуемое для этого асимптотическое представление сфероидальных функций для произвольных индексов до сих пор в достаточно полном виде не известно. В п. 133 и 134 предельный случай 8 > 1 будет рассмотрен прежде всего с помощью эвристического метода Браунбека (см. п. 39). Результат можно получить посредством асимптотического решения интегральных уравнений для поверхностного тока или амплитуды дальнего поля (см. гл. III, § 2), которое можно дополнить приближениями более высоких порядков. Благодаря этому устанавливается связь с численной оценкой ряда по сфероидальным функциям для 8 = 10.

Подставляя «статическое» значение поверхностной плотности (см. п. 130—132) в стационарное представление дальнего поля (см. гл. III, § 7) и производя (по существу необоснованную) оценку этого представления для любых 8, получаем для коэффициента рассеяния зависимость, которая совпадает (по крайней мере качественно) с коэффициентом, вычисленным с помощью строгого решения во всей области изменения е (см. п. 135 и 136).

Строгое решение

Волновое уравнение в вырожденной эллиптической системе координат. Сфероидальные функции. Задачу о круглом диске удобно рассматривать в вырожденной эллиптической системе координат [134]

^ ц, ср (показанной на фиг. 78). Они связаны с декартовыми координатами следующими соотношениями:

х = aV(1 + £) (1 — р2) cos ф,

(125.1)(125.1)У = aV(1 + g2) (1 — Т]2) sin Ф,

(125.1)

(125.1)

значений определяется неравенствамизначений определяется неравенствамиа область изменения иха область изменения ихФ и г. 78. Система координат, используемая в задаче дифракции на круглом диске.Ф и г. 78. Система координат, используемая в задаче дифракции на круглом диске.2 = а^Ч>

значений определяется неравенствами

значений определяется неравенствами

а область изменения их

а область изменения их

Ф и г. 78. Система координат, используемая в задаче дифракции на круглом диске.

Ф и г. 78. Система координат, используемая в задаче дифракции на круглом диске.

О < g < со,

-1 <р< 1,(125.2)

О < ф < 2л.

Поверхности ^ — const представляют собой эллипсоиды вращения, | р | = const — гиперболоиды вращения. Они вырождаются в предельном случае £— 0 в круглый диск, а в случае р = 0—в круглое отверстие радиусом а. Диск и отверстие дополняют друг друга до полной плоскости ху. Линия 1 р I — 1 есть ось вращения (ось z). Координаты р на круглом диске меняют свой знак скачкообразно. На боль

шом расстоянии от диска вырожденные эллиптические координаты переходят в сферические г, й, ф согласно предельным условиям

Г —(2^, С08Й=р, ф —ф при £—>оо.(125.3)

Волновое уравнение Ау + &2у — 0 в нашей системе координат запишется

так:

Ч ~<S= + Ч1) » - О, (125.4)

где 8 — ка. Для разделения переменных представим у в виде

У = /! ^ ^ (р)т-0, ±1, ±2, ...,(125.5)

получаем обыкновенные дифференциальные уравнения

(125.6а)(125.66)(125.6а)(125.66)- [(1 + I2) ЛГ + { - Л - е2 (1Ч g2)} /1 = О,

(125.6а)

(125.66)

(125.6а)

(125.66)

[(1—л2)/;]' +

для функций /1 и /2 с параметром разделения X. Решениями этих уравнений являются сфероидальные функции1), свойства которых мы вкратце опишем.

Дифференциальное уравнение (125.66) обладает особыми точками ц—±1, в окрестности которых оно ведет себя как дифференциальное уравнение для присоединенных функций Лежандра. Уравнение (125.66)

переходит в это уравнение при 8 = 0. Как и для присоединенных функций Лежандра ^(ц), используемых в задаче дифракции на сфере, собственные значения (п = | т |, |mj+l, |m|4-2, . ..) параметра разделения Л определяются из требования конечности решения в точках ц = ± К Решение уравнения (125.66) обозначается через ps™ (ц, — 82) и нормируется так, чтобы было справедливо соотношение

МГОй 0) = ^(ц). (125.7)

Так как уравнение (125.66) но изменяется при изменении знака у тр его решения ps являются попеременно то четными, то нечетными функциями ц. Как и для соответствующей сферической функции, они четны или нечетны в зависимости от четности или нечетности числа п-\- т.

При решении дифференциального уравнения (125.6а) параметр X™ считается заданным. Единственной особой точкой дифференциального уравнения в области изменения переменной g является предельная точка |=оо. Для ^—> оо уравнение (125.6а) сводится к уравнению

№ + ^2/i = 0 (125.8)

с двумя решениями гег

(125.9)

представляющими собой, согласно условиям (125.3), расходящуюся или сходящуюся сферическую волну. Соответствующие решения уравнения (125.6а) с собственными значениями Х = Х™ обозначаются через S^^H-^ ^) и $™^Н-^ ie); эти функции нормируются:

S™ <3'4) (-ig, i8)->(+0"+!^- при |->оо.(125.10)

Разделяя функции на вещественные и мнимые части

5^ (3,4) = gm (1) + ^т (2),(125.11)

получаем два вещественных решения S™ (1>2) ( — 1^ Ze), которые ведут себя асимптотически как стоячие сферические волны. Если заменить в уравнении (125.66) переменную ц на ± 1^, то оно станет тождественным с уравнением (125.6а), поэтому функция ps™( — Z^, — е2) является также решением уравнения (125.6а). Она совпадает с функцией — i^, Ze) с точностью до постоянного множителя. Отсюда следует, что разложение в степенной ряд функций S™^), так же как и разложение функций ps™, содержит только четные или нечетные степени g в зависимости от того, четна или нечетна сумма п^т. В частности, справедливы следующие равенства:

’— Ze) = О для нечетных п-^т,

(125.11а)

— ZO, Ze) = О для четных п-тт.

Здесь штрих означает дифференцирование по первой переменной — Z^. Чтобы обеспечить однозначность функций S™, определяемых равенствами (125.10) и (125.11), будем считать, что разрез в комплексной плоскости — Z^ проведен между особыми точками — Z^ = ^b 1. Поэтому в аргументе функции S™1^ в равенстве (125.11а) написано — Z0 вместо просто 0.

Выражение (125.5) для пространственной волны, в которое входят рассмотренные выше специальные сфероидальные функции, вообще

Фиг. 79. Геометрическое расположение и обозначения, используемые в задаче дифракции на круглом диске.Фиг. 79. Геометрическое расположение и обозначения, используемые в задаче дифракции на круглом диске.(126.2)(126.2)44~ie)vs-^O для ^со.44~ie)vs-^O для ^со.(126.3)(126.3)

Фиг. 79. Геометрическое расположение и обозначения, используемые в задаче дифракции на круглом диске.

Фиг. 79. Геометрическое расположение и обозначения, используемые в задаче дифракции на круглом диске.

(126.2)

(126.2)

44~ie)vs-^O для ^со.

44~ie)vs-^O для ^со.

(126.3)

(126.3)

говоря, испытывает разрыв при переходе через диск, так как координата 1] меняется здесь скачкообразно. Во всех остальных точках пространства оно является непрерывным и однозначным. При суперпозиции этих волн получается суммарная волна с теми свойствами, которые нам необходимы для рассмотрения задачи дифракции на круглом диске. Для дальнейшего нам понадобится разложение падающей плоской волны v0. Пусть ^z представляет плоскость падения, а а — угол падения (фиг. 79), тогда плоскую волну можно записать так:

Уо = ехр \1к (х sin а 4-2 cos а)]. (125.12) Разложение выражения (125.12) по сфероидальным функциям имеет вид

у»=2 2 (2n+ ^ ‘n+2m х

71—0 т=—п

X 5^(0 ( — ^, 18) р8™ (Ц, — 82) X

X ps~m (cos а, — 82) е^тФ. (125.13)

Акустическая задача рассеяния. Разложим общее волновое поле у на падающую и отраженную волны:

У = Vo + Vs. (126.1)

Предположим, что диск является абсолютно жестким, так что поле

рассеяния, удовлетворяющеерассеяния, удовлетворяющееволновому уравнению (125.4), должно

рассеяния, удовлетворяющее

рассеяния, удовлетворяющее

удовлетворять и краевым условиям

4<uo + vs) = O для ^ = 0.

Кроме того, справедливо условие излучения, которое с учетом (125.3) записывается в виде

В качестве исходного общего выражения для рассеянной волны, учитывая представление (125.10), можно взять разложение

ys=2 2 А^3Ч-а, ie)^n(n, -82)А(126.4)

n=0 т——п

Выражение для коэффициентов получается из (126.2) с использованием разложения (125.13)

« =-==).(126.5)

На больших расстояниях от диска дифрагированная волна, согласно (126.4), (125.10) и (125.3), принимает вид

2 ^П ("'0n+1 P^T(C0S-&, — 82)^m<p для г—> ОО.(126.6)

n=0 w=—п

Условия на ребре в наших рассуждениях учтены неявно. (См. п. 24; эллиптические координаты вблизи ребра с точностью до множителя 1/]/а непосредственно переходят в используемые там параболические координаты.)

13 случае абсолютно мягкого диска вместо краевого условия (126.2) надо использовать краевое условие у0^-уд — 0 при Н —0; вычисления в этом случае проводятся аналогичным образом. Далее, теорема Бабине (см. п. 27) позволяет по известному решению задачи о круглом диске написать решение задачи дифракции на круглом отверстии в плоском экране. С задачей рассеяния тесно связана задача об акустическом излучении круглой мембраны, колеблющейся заданным образом. Рассеянной волне Уд соответствует в данном случае излученная волна Уд. Краевыми условиями здесь, как и в (126.2), являются условия для dvg/dt на плоскости круга ^ —0. Проще всего решается задача об излучении колеблющейся жесткой круглой пластинки, так называемой поршневой диафрагмы. Аналитически эта задача идентична с задачей рассеяния при нормальном падении волны. Этот частный случай многократно рассматривался и обсуждался с помощью численных методов (см. работы [176- 195]).

Отметим еще, что приведенные выше вычисления нетрудно обобщить на случай рассеяния на сплюснутом эллипсоиде вращения с поверхностью = ^о- Формулы остаются теми же, только в равенстве (126.5) нужно заменить 0 на g0. Переход от сплюснутого эллипсоида вращения к вытянутому осуществляется путем замены — ^—>^, — ^0—>^0, z8—>8. Последний случай также был рассмотрен численно [196].

Электромагнитная задача рассеяния). Будем считать геометрическое расположение (см. фиг. 79) и координаты такими же, как в акустическом случае. Пусть электрическое поле падающей волны дается выражением (125.12):

Ео = exp ^к (.^ sin a Az cos а)],(127.1)

которое можно разложить в ряд (125.13). Тогда для декартовых компонент электромагнитного поля справедливы следующие соотношения:

а) @0 = (0, Ео, 0), х^0 = (—- Ео cos а, 0, Ео sin а),

(127.Г) *б) g0 = (Ео cos а, 0, — ^sina), х$0 = (0, Ео, 0),

первое из которых соответствует электрическому вектору, перпендикулярному плоскости падения, а второе — параллельному ей.

Для решения задачи дифракции воспользуемся методом вектора Герца 3, причем мы мо?кем считать, что этот вектор параллелен плоскости, в которой расположен экран (см. п. 7). Тогда, согласно (6.3),

О По этому вопросу см. работы [197 — 201].

суммарное электромагнитное поле можно представить в виде . (£ — rot rot 3? x® _ —tk rot 3,

(к = м KsoPo,

здесь co —круговая частота, a e0 и p0 —параметры однородной среды, окружающей экран. Падающую волну (127.Г) можно представить через вектор Герца с помощью соотношений

а) 3^ = 0, 3S = >.б)3^*^, 3^ = 0.(127.3)

(П и использовании формул, приведенных в первой части, нужно учитывать, что там мы принимали к — 1. Поэтому эти формулы для соблюдения размерности следует дополнить множителем к.^

Будем искать рассеянное ноле с помощью вектора Герца 3s, который в сумме с падающей волной Зо образует полное дифракционное поле

3 = 3o + 3s, 3 = (8х, 3„ 0). (127.4)

Оно должно удовлетворять следующим условиям.

Волновому уравнению (7.2):

(Д + ^З^О.(127.5)

2.2.3.3.Граничным условиям (7.3) и (7.4):О — ^Ф О — ^Ф Эх ?ду 1\дх2 1уУсловию излучения (126.3):Граничным условиям (7.3) и (7.4):О — ^Ф О — ^Ф Эх ?ду 1\дх2 1уУсловию излучения (126.3):для £ = 0.для £ = 0.(127.6)(127.6)

2.

2.

3.

3.

Граничным условиям (7.3) и (7.4):

О — ^Ф О — ^Ф Эх ?ду 1

\дх2 1у

Условию излучения (126.3):

Граничным условиям (7.3) и (7.4):

О — ^Ф О — ^Ф Эх ?ду 1

\дх2 1у

Условию излучения (126.3):

для £ = 0.

для £ = 0.

(127.6)

(127.6)

(127.7)(127.7)4.4.Условию над дт] ,Условию над дт] ,ребре (25.3):ребре (25.3):(31S) cos ф + 3^ sin ф) = 0 ДЛЯ g = p = O.(31S) cos ф + 3^ sin ф) = 0 ДЛЯ g = p = O.(127.8)(127.8)

(127.7)

(127.7)

4.

4.

Условию на

д дт] ,

Условию на

д дт] ,

ребре (25.3):

ребре (25.3):

(31S) cos ф + 3^ sin ф) = 0 ДЛЯ g = p = O.

(31S) cos ф + 3^ sin ф) = 0 ДЛЯ g = p = O.

(127.8)

(127.8)

— г'Е ) Зх, у-^0 для £—>оо.

Применяя условие (25.3), мы, как и раньше, учитываем то, что вблизи края эллиптические и параболические координаты фактически совпадают. Условиям (127.5) и (127.8) удовлетворяет, вообще говоря, общее поле 3, но так как им удовлетворяет и падающая волна Зо’ т0> следовательно, удовлетворяет и 3s-

Условия (127.5) — (127.8), налагаемые на поле 3s, симметричны относительно изменения знака z и соответственно тр Поэтому рассеянная волна» имеет один и тот же вид на передней и на задней сторонах экрана; это обстоятельство упрощает обсуя^дение результатов (см. п. 128).

Для решения задачи разделим выражение для рассеянной волны на две части:

(127.9)(127.9)3s = 31+ З2,

(127.9)

(127.9)

каждая из которых удовлетворяет требованиям (127.5) и (127.7); поэтому их по аналогии с (126.4) можно представить как расходящиеся волны:

3*’2)±i8^2)= 2 2 A™&2)S^34-i^ps™(^ ^^(127.10)

n=0 m=—71

Поле 3i определяется из краевого условия

Во+ 31-0 для ^0;(127.11)

п\ Дт И) — (±)и £2б) Л”(У=1 n&2содап\ Дт И) — (±)и £2б) Л”(У=1 n&2содатогда коэффициенты Лп(±) можно вычислить из разложения (127.10), используя равенства (127.3), (127.1) и (125.13):

п\ Дт И) — (±)и £2

б) Л”(У=

1 n&2сода

п\ Дт И) — (±)и £2

б) Л”(У=

1 n&2сода

С7П(1)/ .Q • х

* (2тг+ 1) 1^т PSnm (cos a, - s2).

(127.12)

Теперь уже граничному условию (127.6) удовлетворяет только поле Зг- Если написать общее решение двумерного волнового уравнения для функции Ф в плоских полярных координатах Q, ср на диске, выразив его через функции Бесселя Jm и неопределенные постоянные Um:

ф (б> Ф) = 2 UnrJm (ко)(127.13)

то из краевого условия (127.6) с заменой 3 на 3(2) получим ЗР-^МЗ^з Ф««-

= 1к 2 R.T1 i"Vmдля $ = 0. (127.14)

т——со

Здесь мы использовали рекуррентную формулу для функций Бесселя

Jm ^ ^j^)^ jm^ ^у(127.15)

Теперь от полярных координат (р, ср) на диске перейдем к эллиптическим (ц, ср) и от функций Бесселя —к сфероидальным функциям. Для этого положим в равенствах (125.12) и (125.13) z — 0 и соответственно £ = 0 и, принимая a = л/2, получим справедливое на диске разложение плоской волны егк\ Сравнивая это разложение с известным представлением плоской волны

(127.16)(127.16)

(127.16)

(127.16)

находим

•MkQ)= 2 (2п^Г) i^S^' H-lM^ 71 = 1 771 !.

(127.17)

Подставляя (127.17) в разложение (127.14), получаем краевое условие для второй части рассеянной волны, из которого можно вычислить

коэффициенты А™^ исходного разложения (127.10):

д” (2) _ Тт (2) тт

S <=> = (4 (2» + 1)* *?V<127 1S>

■n (—18)

Остается определить постоянные Um. Введем сокращенные обозначения

,^(Ln)= 2 Am#ViUW-^.

п=\т\(127.19)

Ят& п) = 2 <№S^(34-i^ is) ^™(ii, -е2); п—| т |

тогда разложение (127.10) можно записать в более простом виде:

3x)±i,3y) = 2 L^e^, ^±i$? = 2 ит^го^. (127.20) m=—oom——oo

Таким образом, с учетом равенства (127.9) имеем с точностью до множителя ^ следующее разложение выражения 3^S) cos ф + ^и^ sin ф, содержащегося в условии на краю (127.8):

(3^ +е-^+ (3xS) -=

'= JB J^+l+b»-l Wm+l+^VOt^ (127.21)

Ряды (127.19) в силу равенств (1^7.12), (127.18) и (125.11а) содержат слагаемые, соответствующие только четным значениям п + т, и являются поэтому четными функциями гр Таким образом, второе условие (127.8) удовлетворяется автоматически. Первое условие (127.8) должно удовлетворяться для любого ф и дает искомое уравнение для определения постоянных Um

^ (Lm-vv + Lm_^ + "Lт ^| (A^?n+1 + N т_^ = 0 для £ = ц = 0е (127.22)

Следовательно, задача рассеяния в принципе решена»

Обсуждение электромагнитной задачи рассеяния. Электромагнитная задача рассеяния на идеально проводящем круглом диске, а также дополнительная задача о круглом отверстии, которая решается одновременно с этой задачей с использованием теоремы Бабине, была решена Андреевским [202 — 204] (см. также [205 — 207]) с помощью численных методов. Ряды по сфероидальным функциям в общих формулах были численно просуммированы с помощью таблиц сфероидальных функций, которые частично вычислил Андреевский. Число членов ряда, которые необходимо учитывать, зависит от параметра 8 = ка, равного длине окружности диска, деленной на длину волны, и для больших значений этого параметра примерно равно 8. Таким образом, речь идет о вычислительном процессе, который особенно быстро сходится для больших длин волн. Однако и для относительно малых длин волн можно обойтись не слишком большим числом членов ряда. Этим метод выгодно отличается от рэлеевского приближенного метода (см. п. 130 — 132), который также дает приближенные представления для больших длин волн, но где вместо рядов по сфероидальным функциям используются очень плохо сходящиеся степенные ряды.

Метод, основанный на использовании сфероидальных функций, позволяет рассмотреть при не слишком трудоемких расчетах область 8<10. Особенно подробно исследован случай 8 = 10, который еще доступен для непосредственного вычисления и поэтому наиболее интересен. Как показано ниже, в случае 8 = 10 точное решение смыкается с асимптотическим решением, справедливым для малых длин волн (т. е. с кирхгофовским решением для дальнего поля, применимым в узкой окрестности направления падения); таким образом, перекрывается область средних значений длин волн (см. также п. 133 и 134).

Фиг. 80. Коэффициент рассеяния o' для круглого диска (или коэффициент прохождения т = о/2 для круглого отверстия) в электромагнитном случае (по Андреевскому).Фиг. 80. Коэффициент рассеяния o' для круглого диска (или коэффициент прохождения т = о/2 для круглого отверстия) в электромагнитном случае (по Андреевскому).С^каС^каФиг. [81. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае; индекс р соответствует краевому условию dy/dz = 0 (по Баукампу и по Сторрусту и Вергеланду).Фиг. [81. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае; индекс р соответствует краевому условию dy/dz = 0 (по Баукампу и по Сторрусту и Вергеланду).

Фиг. 80. Коэффициент рассеяния o' для круглого диска (или коэффициент прохождения т = о/2 для круглого отверстия) в электромагнитном случае (по Андреевскому).

Фиг. 80. Коэффициент рассеяния o' для круглого диска (или коэффициент прохождения т = о/2 для круглого отверстия) в электромагнитном случае (по Андреевскому).

С^ка

С^ка

Фиг. [81. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае; индекс р соответствует краевому условию dy/dz = 0 (по Баукампу и по Сторрусту и Вергеланду).

Фиг. [81. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае; индекс р соответствует краевому условию dy/dz = 0 (по Баукампу и по Сторрусту и Вергеланду).

Рассмотрим прежде всего коэффициент рассеяния о круглого диска, который характеризует отношение общего потока энергии рассеянной волны к потоку энергии невозмущенной падающей волны, попадающему на диск (см. п. 103). В предельном случае геометрической оптики а = 2, так как рассеянная волна складывается из двух частей: волны, отраженной от экрана, и волны, которая взаимно погашается при сложении с падающей волной, создавая область тени позади экрана (см. п. 105). Зная коэффициент рассеяния, мы сразу же, согласно теореме Бабине, определяем коэффициент прохождения т = а/2 круглого отверстия, который в предельном случае геометрической оптики равен 1. Зависимость коэффициента т = а/2 от 8 представлена на фиг. 80. Отсюда видно, что для случая, когда длина волны X меньше поперечных размеров диска 2а (т. е. когда 8 > л), коэффициент а/2 практически равен 1. Для больших значений длин волн величина н/2 значительно отклоняется от единицы, а для очень больших длин волн приближается к нулю. Следовательно, в этом предельном случае круглое отверстие непроницаемо для электромагнитного излучения. Идеальная проводимость экрана препятствует образованию электрического поля не только в самом экране, но и в отверстии. Для малых 8 справедливо разложение г)

■(128л>

!) См. [200, 201, 208, 209]. Первые два члена этого разложения получены в п. 132.

Для сравнения на фиг. 81 приведены коэффициенты рассеяния ор и os для скалярного (акустического) случая [179, 186] (индекс р относится к краевому условию у = 0 на круглом экране, индекс 5 —к краевому условию вх11Э^ = О^. Коэффициент прохождения для круглого отверстия, согласно теореме Бабине, связан с этими величинами следующими соотношениями:

Tp = yOs, rs = yOp. (128.2)

Для малых е справедливы выражения (см. [179, 211, 212], а также и. 130 и 131)

На фиг. 82 приведена в виде полярной диаграммы функция углового

распределения интенсивности рассеяния

(128.4)(128.4)г2 Is (й, ф)

(128.4)

(128.4)

2^210

на больших расстояниях от круглого диска для случая 8 — 10. Здесь Is (Ф, ф) = | ®s I есть средняя по времени величина радиально направленного вектора Пойнтинга для дальнего поля рассеянной волны и /0 = | @0 | — среднее по времени значение плотности потока энергии невозмущенной волны. На фиг. 82 представлены плоские сечения, проходящие через ось диска параллельно направлению колебания магнитного вектора (слева) и электрического вектора (справа). Угол Ф отсчитывается от оси диска. Различие между диаграммами обусловлено влиянием поляризации. Однако это различие мало и полностью исчезает при уменьшении масштаба (см. среднюю диаграмму, справедливую для любого осевого сечения диска). Незначительность влияния поляризации показывает, что уже для 8 = 10 длину волны с точки зрения теории дифракции следует рассматривать как малую величину. Это согласуется с тем обстоятельством, что среднюю диаграмму можно получить, опираясь на векторное обобщение теории Кирхгофа (см. п. 31), которая, в частности, дает правильное числовое значение 12,5 для максимальной интенсивности (см. также соответствующую диаграмму излучения для шара, п. 153).

Фиг. 83 — 87 относятся к распределению общего поля (сумма падающей и рассеянной волн). На фиг. 83 для 8 = 10 представлено распределение отношения средней по времени плотности магнитной энергии на диске к средней по времени плотности магнитной энергии падающей волны [т. е. величина ^^),^0^А; это отношение мы в дальнейшем кратко будем называть относительной ^-интенсивностью. В центре изображены линии равной интенсивности (слева —для освещенной, справа —для теневой стороны экрана). Чтобы получить полную картину на всем диске, изображенные здесь полукруги нужно симметрично продолжить. Электрический вектор в падающей волне колеблется горизонтально. Графики, расположенные по бокам и сверху, характеризуют распределение относительной ^-интенсивности вдоль горизонтального

Фиг. 82. Диаграмма распределения вектора Пойптинга для круглого диска в электромагнитном случае для 8 = 10 (по Андреевскому),

Слева—сечение плоскостью ^0; справа — плоскостью (go.

Фиг. 83. Средняя по времени плотность магнитной энергии в задаче дифракции на круглом диске (^-интенсивность) для е = 10 (по Андреевскому).

Слева — освещенная сторона: справа — теневая сторона.

и вертикального диаметров диска. Для освещенной стороны диска масштаб по оси ординат в 10 раз мельче, чем для теневой стороны. На фиг. 84 соответственно представлено распределение относительной ©-интенсивности в плоскости круглого отверстия. Электрический вектор в падающей волне колеблется здесь вертикально. На графиках сверху и слева рядом с теоретическими кривыми (s = 10) нанесены штрих-пунктиром экспериментальные кривые для 8 = 9,42, полученные Эндрюсом [213, 214]т). Совпадение исключительно хорошее.

Ф и г. 84. Средняя по времени плотность электрической энергии в круглом отверстии в бесконечном экране (©-интенсивность) для 8=10 (по Андреевскому). Штрих-пунктиром представлены экспериментальные кривые, полученные Эндрюсом.

Фиг. 83 и 84 показывают, в частности, что интенсивность на краю, вообще говоря, становится бесконечной [см. (23.36)].

Фиг. 85 характеризует поля в центре круглого диска и круглого отверстия. Здесь приведены зависимости от 8 относительной ^-интенсивности (и соответственно ©-интенсивности) для освещенной и теневой сторон; для сравнения нанесена экспериментальная кривая, полученная Северином [229]. Незначительное отклонение экспериментальной кривой от теоретической можно объяснить тем, что используемое в эксперименте излучение было неполностью поляризованным. Общий ход кривых не особенно нагляден. Характерен минимум двух кривых при 8 = 2л, соответствующий ^ = я; он имеется и на аналогичной диаграмме для акустической задачи. На фиг. 86 приведена величина [у | в центре круглого диска для скалярного волнового поля, удовлетво-

Э Последующие экспериментальные результаты взяты из работ [215 — 226]. Соответствующие результаты для акустического случая см. в работах [227, 228].

е-ка

Ф и г. 85. Зависимость от е средней по времени плотности электрическойэнергии в центре отверстия в бесконечном экране и средней плотностимагнитной энергии в центре круглого диска на освещенной и теневойсторонах (по Андреевскому).

Штрих-пунктиром изображена экспериментальная кривая, полученная Северином;

Фиг. 86. Зависимость поля в центре круглого диска на освещенной и теневой сторонах от е; краевое условие dv/dz = о (поМейкснеру и Фритце).Фиг. 86. Зависимость поля в центре круглого диска на освещенной и теневой сторонах от е; краевое условие dv/dz = о (поМейкснеру и Фритце).

Фиг. 86. Зависимость поля в центре круглого диска на освещенной и теневой сторонах от е; краевое условие dv/dz = о (поМейкснеру и Фритце).

Фиг. 86. Зависимость поля в центре круглого диска на освещенной и теневой сторонах от е; краевое условие dv/dz = о (поМейкснеру и Фритце).

8 = ка

Ф иг. 87. Зависимость средней по времени плотности электрическойэнергии па оси круглого отверстия от расстояния z, измеряемогоот центра отверстия для области перед экраном (слева) и для областиза экраном (справа).

1— теоретическая кривая для £=10 (по Андреевскому); 2—экспериментальная кривая(по Эндрюсу) для е = Зл; з — экспериментальная кривая (по Северину) для е = 4л.

ряющего на диске краевому условию д^дк^О [187], причем падающее поле имеет вид ехр гкк. На фиг. 87 дается распределение относительной ©-интенсивности на оси по обе стороны круглого отверстия. Рядом с теоретической кривой, вычисленной для е —10, расположены две экспериментальные кривые для 8 = 3л и е = 4л.

Фиг. 88 наглядно поясняет влияние условия на ребре на решение дифракционной задачи. На ней представлено распределение интенсивности вдоль диаметра круглого отверстия; для устранения поляризационных эффектов падающее излучение здесь имеет круговую поляризацию. Здесь же приведена интенсивность звука для аналогичной акустической задачи (краевое условие у = 0 на экране Q<a); эта кривая

Фиг. 88. Аксиальное сечение поверхности, характеризующей распределение средней по времени плотности электрической энергии в круглом отверстии для падающей волны, поляризованной по кругув

1 — результат вычисления по строгой теории; 2 — распределение относительной интенсивности звука в акустическом случае (для е = 10); 3 — кривая, полученная Мёглихом.

очень близка к первой кривой. Наконец, для сравнения показана кривая интенсивности для соответствующей электромагнитной задачи, которая была рассмотрена Мёглихом [197] без учета условия на краю. Полученная им кривая не согласуется с этим условием. Значительное отклонение последней кривой от остальных показывает, что условие на краю существенно влияет на поле дифракции не только непосредственно вблизи края, как это может показаться, но и вдали от него.

Обобщения. Описанный в п. 127 метод можно без- изменения применять для решения всех задач, в которых падающее электромагнитное поле можно выразить через вектор Герца, колеблющийся параллельно диску. Обобщая метод путем добавления третьей компоненты 3z вектора Герца, можно рассмотреть общую задачу для случая заданной падающей волны произвольного вида. Используя теорему Бабине (см. п. 27), одновременно с задачей рассеяния на круглом диске мы решим дополнительную задачу дифракции на круглом отверстии.

Частным случаем такой общей задачи является случай расположенного на конечном расстоянии точечного источника, представляющего собой электрический или магнитный диполь. Путем дифференцирования по декартовым координатам источника можно далее получить решение задачи для излучающего мультиполя. Мейкснер [230] (см. также [231 —235]) рассмотрел случай произвольно ориентированного

-электрического диполя в задаче о круглом диске (полученное решение одновременно является решением для случая магнитного диполя в задаче о круглом отверстии). Электромагнитная задача дифракции на эллипсоиде в противоположность соответствующей акустической задаче (см. п. 126) до сих пор еще в общем случае не решена. Трудность заключается здесь в разделении переменных для поля (см. п. 5). Мейкснер получил решение для частного случая аксиально симметричного падающего поля, когда ® (или ^) не имеет азимутальной компоненты, в то время как у ^ (или 6) отлична от нуля только азимутальная компонента (см. п. 153). Для дифракции на эллиптическом отверстии или диске разработан только подход к решению краевой задачи [155, 181, 184, 185, 236-—239, 274]; экспериментальные результаты см. в работе [224].

Приближенное решение для случая больших длин волн

Рэлеевский предельный случай. Особенно простые соотношения для характеристик поля получаются в том случае, когда длина волны падающего излучения велика по сравнению с радиусом а дифрагирующего круглого диска (te = 8<l). Тогда поле падающей волны в окрестности дифрагирующего объекта можно считать пространственно постоянным и медленно меняющимся во времени. При этом задача вычисления дифракционного поля будет фактически статической задачей. Такая задача была уже решена Рэлеем [128, 240, 241]1), поэтому мы ■будем называть ее рэлеевским предельным случаем. В гл. III, § 6, мы познакомились с методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается статическое решение. Обсудим теперь подробно этот предельный случай.

Будем использовать те же самые геометрические соотношения и обозначения, что в п. 125 — 129 (см. фиг. 79), и рассмотрим сначала акустический случай. Согласно п. 10, можно вычислить дифрагированную волну ^s, зная значение разрывов у и dy/dz на круглом диске (5):

(130.1)

S

Z\4 pikRА

(ф^-1)б)м 6 = ^^, 7? = |r —г'|-(130.2)

s

Если учесть, как и раньше, оба краевых условия

У = 0,(S) 5 = 0 на (S),(130.3)

то выражение (130.2) упрощается и принимает вид

(р) ^s = — ^ ^Gdo\ (s) ys= ^ ф |^ do'. (130.4) ss

Для точек наблюдения r=(r, й, ф), расположенных на больших расстояниях от диска (5), можно считать G и соответственно dGjdz' посто-

г) Рэлей рассматривал как акустический, так и электромагнитный случаи.

янными величинами (так как 8 < 1) и вынести их за знак интеграла, пренебрегая величиной г' по сравнению с г:

(?) Уз-*(?) Уз-*1 е^4л г1 е^4л г(s) us—*(s) us—*ik cos О е^1'4л гik cos О е^1'4л г^ ф^О^ ф^О(130.5)(130.5)

(?) Уз-*

(?) Уз-*

1 е^

4л г

1 е^

4л г

(s) us—*

(s) us—*

ik cos О е^1'

4л г

ik cos О е^1'

4л г

^ ф^О

^ ф^О

(130.5)

(130.5)

(130.6)(130.6)Остается вычислить величину разрывов гр и ф. Ограничимся случаем перпендикулярного падения излучения; тогда для падающей волны имеем в соответствии с (125.12)

(130.6)

(130.6)

у0= е1Кг

Искомое решение у задачи дифракции существенно отличается от а0) только в некоторой окрестности диска (S). Поскольку а <К можно- положить здесь вместо (130.6) просто

^о= 1^о= 1(130.7

^о= 1

^о= 1

и волновое уравнение заменить уравнением для потенциала

Ду = 0.(130.8)

Для ^-случая теперь необходимо искать такое решение уравнения (130.8), которое на диске имеет значение 0 и асимптотическое значение у0~1. Это одна из простейших задач теории потенциала. Мы будем решать ее непосредственно в эллиптических координатах. Тогда уравнение (130.8) [т. е. уравнение (125.4), где 8 = 0] можно записать в виде

4- Г(1+52)4-1 +4- Г(1-п2)-41 +(130-9)

Его нужно решить со следующими краевыми условиями:

-у = 0 при 5 = 0, ю —>1 при 5—>оо.(130.10)

Пусть функция у зависит только от 5- Тогда уравнение (130.9) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение. Искомое решение имеет вид

'' y=^-arctg£.(130.11)

Отсюда, используя (130.1) и учитывая условие симметрии, получаем

(130.12)(130.12)4 dv \2 ди I4

(130.12)

(130.12)

V ^2 у+" а | ц | д^ — ап |т] | *

В s-случае дополним выражение для у0 следующим членом:

у0 = 1 + ^.(130.13)

Потенциал скорости (130.13) описывает однородный поток вдоль оси z. Рассматриваемая задача для потенциала является теперь задачей обтекания круглой пластинки, поставленной перпендикулярно оси х. В эллиптических координатах эта задача формулируется так: необходимо решить уравнение (130.9) с краевыми условиями

—- —0 для 5 — 0, у—>1 + ^^ Для 5—>°°-(130.14)

Полагая

получаем

и = 1 + ^-(1 +6arctg£)r]|(130.16)

отсюда, согласно (130.1), имеем

ф == у+——-^ | ц |.(130.17)

Вычислим теперь по формулам (130.5) асимптотическое выражение для дифрагированной волны. Используя равенство а | г) | = ]/ а2 — Q2 (где у — радиальное расстояние от средней точки диска), находим сначала значения интегралов

ф^ст — 8а,^ ср do — —^- •(130.18)

Отсюда следует для рассеянной волны

GO(130.19)

Вычислим полную интенсивность рассеяния, беря квадрат модуля этого выражения и интегрируя его по сферической поверхности:

Ю js = ™, (S) Js=^-.(130.20)

Полная интенсивность волны, падающей на диск, равна

J0 = a2n.'(130.21)

Таким образом, для коэффициента рассеяния o — Jg/Jo получаем

(/О=0) ^ = 2^рЛ-(130-22)

В /о-случае коэффициент о не зависит от X и лишь немного меньше предельного значения, равного 2, которое соответствует случаю «геометрической акустики», т. с. малым X (см. п. 128). В s-случае коэффициент О’ пропорционален величине (н/Х)1 и с ростом длины волны становится сколь угодно малым. Согласно теореме Бабине, выражение (130.22) дает одновременно коэффициент прохождения т = о/2 для круглого отверстия. При этом в выражениях (130.22) р- и s-случаи меняются местами.

Рассмотрим теперь электромагнитную задачу. Пусть электрический вектор в падающей плоской волне, распространяющейся перпендикулярно диску, колеблется в направлении х, так что

е^х^-^ч(130.23)

В предельном случае больших длин воли можно считать, что оба поля @0> ^о в окрестности диска являются однородными, статическими и равными величине

(130.24)

Из двух полей — электрического и магнитного — искажается за счет проводящего диска только электрическое поле. Исследование этого искажения представляет собой, как и ранее, простую задачу теории потенциала. Электрическое поле (130.24) можно выразить через электрический потенциал

(130.25)(130.25)у0 = — х — — a 1/(1В2) (1 — Ц2) cos ф.

(130.25)

(130.25)

Будем искать новый потенциал у, который при £ —> оо переходит в у0, а при ^ — 0 обращается в нуль, так как у = const на (5). Полагая

(130.26)(130.26)У — / (£) ]/1 — Ц2 COS ф,

(130.26)

(130.26)

получаем из (130.9) обыкновенное дифференциальное уравнение

(1 + g2) 1(1 + g2) ГУ ™ (1 + 2Г) / - о,(130.27)

решением которого является функция

/(S)=-^(-=X= + Kl+£3arctg£).(130.28)

Для малых g она ведет себя как — 4а^/л. В соответствии с (130.12) приходим далее к выражению для поверхностной плотности заряда со на экране

^ @z — @z = — 2 ( —=j.г р 1 — П2 COS ф, 80V dz у + а | ц | д^ |^=о л | ц К 1 Т

.(130.29)

или, записывая его в полярных координатах q, ф,

(130.30)(130.30)(О 8 Q COS ф

(130.30)

(130.30)

£о^ р^а2-—р2

Зная плотность заряда (130.30), можно вычислить рассеянное поле на больших расстояниях. Распределение заряда со соответствует электрическому моменту .

jp| = f сох da — е0 у а3, )з — ео^^3@о- (130.31)

Асимптотическое поле в точке (г, О', ф) имеет вид поля колеблющегося электрического диполя

ЪЗ, кт

|6s|=x|^s|->^-|p|]/l - sin^cos^y^-. (130.32)^JLCQа/

Выполняя операции, аналогичные тем, которые производились при переходе от (130.19) к (130.22), отсюда можно получить полную интенсивность рассеяния (среднюю по времени величину потока энергии; см. п. 16) ^-^'-S^п30-33)

а также коэффициент рассеяния (полная интенсивность поля, падающего на диск, равна 2х70 —м2)

"-Sr«‘-(130.34)

Последний совпадает с первым членом разложения (128.1).

Приближенные методы для акустического случая. Ограничимся здесь и в дальнейшем случаем нормального падения и рассмотрим краевое условие (130.3) для s-случая (жесткий круглый диск). Будем исходить из интегрального уравнения задачи рассеяния, которое уже рассматривалось в гл. III, § 1,а. Это уравнение можно использовать различным образом для решения задачи о круглом диске. В дальнейшем мы будем придерживаться в основном изложения Баукампа [211, 212]т)

х) Другие приближенные методы для малых ка см. в работах [242—247].

и лишь упомянем более ранние работы Кинга [248], Зоммерфельда [249, 250] и других исследователей [251—253]1). Интегральное уравнение можно получить из выражения (130.4) для s-случая, заменяя дифференцирование по У (точка интегрирования) дифференцированием по z (точка наблюдения), что приведет к перемене знака, и требуя выполнения краевого условия dv$!dz = — dv^dz на (5) (см. п. 50):

lim ™ cpGdo' — ik на (5).(131.1)

Для решения этого уравнения (см. п. 91) нужно разложить функции ср и G в ряд по степеням к, положив

Ф = ik {ф0 + ф! • ik + ф2 G&)2 + • • •}>(131.2)

е-^{т+а + т« + '--}-<13L3>

Тогда вместо уравнения (131.1) получаем следующую систему уравнений:

lim™ z->°2

ф0 ао = 4л,

(131.4)

г 52 Г

^1ГП dz2 \

(ф1 4+ Фо) <^' = 0,

(131.5)

г 52 V lim\

(ф2 4-+ф1+фо4) ^'=°-

(131.6)

Вторые слагаемые в интегралах выражений (131.5) и (131.6) не зависят от координат точки наблюдения, поэтому при дифференцировании по z они обращаются в нуль. Третий член в интеграле (131.6) можно продифференцировать под знаком интеграла. Первые члены всех трех написанных выше интегралов являются решениями уравнения потенциала. Учитывая цилиндрическую симметрию задачи, можно записать это уравнение в цилиндрических координатах q, ф, z в следующем виде: ДУ = ^ + -2- = 0,.(131.7)

гдеПоэтому для указанных первых членов в инте

гралах (131.4) — (131.6) можно заменить операцию д2/^2 операцией — D. После этих преобразований можно провести предельный переход z —>0. Теперь систему уравнений можно записать так [Д = ]/(ж — ^')2 + (У " VYA*

D ^ ф0 4-^0”' = — 4л,(131.8)

s R

D ф^ A do' = 0,(131.9)

D J ф2 4 do'= -А ^ фо 4 do'.(131.10)

s Rs R

Точка наблюдения и точка интегрирования лежат на диске (S).

!) В работах Майлса [252, 253] рассмотрен случай наклонного падения плоской волны.

При последовательном решении интегро-дифференциальных уравнений правые части этих уравнений можно считать известными. Левые части имеют один и тот же вид и содержат неизвестную функцию. Представим фп(о) следующим образом:

<Pn(Q)= 2 апт (а2 — е2)”*+1/2.(131.11)

т=0

Выбор такого вида функции фп, помимо требования нужного свойства четности, явствующего из ее поведения вблизи Q — 0, определяется тем

Фиг. 89. Система координат на круглом диске, используемая для оценки интеграла (131.13).

обстоятельством, что функция срп на краю экрана Q — а должна вести себя как (а —р)1^ согласно условию на ребре (23.3) для s-случая. При использовании преобразования (131.11) нам понадобятся интегралы вида

7m(Q)= J (a2-Q'TW^dO'. (131.12) S

Для вычисления этих интегралов введем плоские полярные координаты 7?, % с центром в точке наблюдения г, как показано на фиг. 89 (г'— точка интегрирования). Тогда, производя замену р'2 = р2 + R^ -г + 2^q cos % и do' = R dR d%, получаем

(Q) ™ (a2 — p2 — R2 — г^рсозх)^1^^. (131.13) о о

Верхний предел й = ЯМакс(х) здесь устанавливается из требования обращения в нуль подынтегрального выражения при q' = а (см. фиг. 89). Если разбить интеграл на два интеграла в точке % —л и во втором интеграле сделать замену % —л = /', R= — R/, то после суммирования обеих частей получится тот же самый интеграл (131.13) с измененными

пределами интегрирования: % изменяется от 0 до л, Д пробегает все отрицательные и положительные значения между обеими точками ветвления (нулевыми точками) подынтегрального выражения. Интеграл по R можно заменить интегралом по контуру в комплексной плоскости R, охватывающему обе точки ветвления:

/т(д) = А J dx ^a2-Q2-R^-2RQ cos x)mW»dR. (131.14) . " о

Далее нужно оттянуть контур интегрирования в бесконечность и взять вычет в точке А—со. Проведем вычисления для т = 0 и m — Y. Для больших R справедливы соотношения

(а2 - q2 - R2 - 2Де cos %)V2 = i ^ + q cos X - ±^|^(131.15)

(a2_e2_^2-2^QCOsx)3/2=(r3+ ... +^!zL|^i2i202+ ...

(131.16)

Беря вычеты и выполняя второе интегрирование, находим

Л(е) = ^$ («2-е2зт2х)^ = ^^а2--^ J'(131.17)

о

Q2sir?z)2d^. (131.18)

о

Для вычисления левых частей уравнений (131.8) —(131.10) нам понадобятся следующие выражения:

DJ^— л2,2а24-3д2).(131.19)

После этих предварительных вычислений можно решить интегральные уравнения. Прежде всего из уравнения (131.9) следует, что дд —0. Уравнения'(131.8) и (131.10) с учетом равенств (131.11) и (131.12) можно записать в виде

2 a6mDJm^= -4л,(131.20)

т=0

2 aimDJm^ = ~ 2 Wm(e).(131.21)

?n—0т—0

Эти уравнения служат для вычисления коэффициентов апт. Из первого уравнения получаем с учетом соотношения (131.19)

^00-—, ^от^О для т>\.(131.22)

Во втором уравнении слева остаются два слагаемых. Это уравнение с учетом (131.19), (131.22) и (131.17) записывается в виде

-л2а20 + ^-(-2а2 + 362)а21 = л(«2--^-) ;(131.23)

20 Заказ №13

отсюда путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях р находим

(131.24)

В результате получаем

фо = 4^а2~е2’ Ф1 = 0’ ^ = — ^- {« / а2 — е2 + у (а2 - б'Т2} •

(131.25)

Нулевое приближение, согласно (131.2), совпадает с ранее приведенной формулой (130.17). Баукамп провел вычисления до седьмого члена разложения. Мы приводим его результаты в наших обозначениях:

(ж+2жз+"^)’

г /2240ХЛ (131.26)

"1260л" [ 0 ~ "9л2) ж4-5ж + Зж + -у ] ,

ф? = ~ И^2 (323ж + 266ж3 + 35z5)’

где х — уТ^Др2/^?). Вместо разложения (131.11) Баукамп использовал ряд по сферическим функциям с нечетными индексами от аргумента х, что, очевидно, приводит к тем же выражениям, хотя для вычисления более высоких приближений способ Баукампа имеет некоторые преимущества. Однако, поскольку нас здесь больше интересует принципиальная сторона приближенного метода, мы уклонились от использования аналитического аппарата, связанного со сферическими функциями (см. Баукамп [254]). Для дальнейшей дискуссии ограничимся приближением, даваемым равенствами (131.25).

С математической точки зрения интересно отметить, что однородное интегро-дифференциальное уравнение (131.9) имеет отличное от нуля решение ф1 = 1/]/а2—р2. Поэтому решение уравнений (131.8) —(131.10) не является единственным, и только учет условия на ребре (конечность функций у и ср на краю экрана), которое мы использовали в наших вычислениях, введя разложение (131.11), обеспечивает единственность. Неоднозначность решения уравнений (131.8) — (131.10) связана с тем, что эти уравнения являются не чисто интегральными, а интегро-дифференциальными.

В качестве применения теории вычислим угловое распределение рассеянного излучения и коэффициент рассеяния в рассмотренном нами приближении и ограничимся при этом результатами, полученными в п. 130. Кроме того, исследуем поведение рассеянной волны ys на больших расстояниях от дифрагирующего объекта. Для вычисления поля ys в точке со сферическими координатами г, О, 0 воспользуемся формулой (130.4) для s-случая. Полярные координаты точки интегрирования будем обозначать через р', ф'. Из (130.2) имеем для г—> со .

Вычисляя интеграл (130.4) с помощью соотношений (131.2), (131.25),. (131.28) и замены do' = 2лр' dq', находим выражение для рассеянной волны

которое в нулевом приближении совпадает с выражением (130.19) для s-случая. Теперь найдем коэффициент рассеяния, написав выражения, соответствующие (130.19) — (130.22); в нашем приближении получим

(131.30)(131.30)16 4. 8 2\

(131.30)

(131.30)

as-27л2е V "^25 8 У

Приближенные методы для электромагнитного случая. Рассмотрим, как и в акустической задаче дифракции, случай нормального падения волны на экран. Геометрические соотношения, а также обозначения координат и переменных оставим такими же, как и в п. 131. Выражение для падающей волны запишем в виде

(132/1) тогда на круглом диске будут справедливы равенства

@о = (1, 0, 0),х^0 —(0, 1, 0) на (5).(132.2)

Искомая рассеянная волна @s, ^s на экране удовлетворяет следующему условию:

(@о + @8)танг = О на (5).(132.3)

Представим рассеянную волну через вектор Герца 3s (см. п. 53):

@s = rotrot3s, ^^s^ — rot 3s-(132.4)

Поскольку функция 3s удовлетворяет волновому уравнению, вместо первого равенства (132.4) можно написать

@s = grad div 3S +(132.5)

Вектор Герца, вообще говоря, тождествен вектору-потенциалу и может быть выражен через поверхностный ток 3~[к,— ^-1-

3s = G^da'.(132.6)

Тогда из краевых условий (132.3) с учетом равенств (132.2), (132.5) и (132.6) вытекает двухкомпонентное векторное уравнение (см. п. 54)

- (grad div + &2) ^ Су<1о'=^®0 = ~(1, 0) на (5).(132.7)

S

В уравнении (132.7) содержатся только производные по ж и у, а производная по 2 отсутствует. Поэтому перед проведением дифференцирования можно положить здесь г — ^ — 0. По этой же причине в дальнейшем все дифференциальные операторы будем считать не пространственными, а плоскими операторами, действующими только на функции переменных ж, у или соответственно х , у', и отмечать их сверху значком G) (см. гл. Ill, § 1, б). Координаты 2 и соответственно z'при дифференцировании будем считать постоянными даже в тех случаях, когда придется считать (для удовлетворения условия сходимости), что 2 ^

В нашем приближенном методе будем исходить из интегро-дифференциального уравнения (132.7) для поверхностного тока 3- Образуя ротор .правой и левой частей, из него можно получить другое уравнение

rot G3 ^су'= 0 на (5).(132.8)

s

Решение этого уравнения по сравнению с акустическим случаем осложняется тем обстоятельством, что в. электромагнитной задаче отсутствует осевая симметрия. Поверхностный ток и соответственно его декартовы компоненты Зх и Зу зависят теперь уже не только от Q, но и от угла ср (q и ср—-плоские полярные координаты). Что касается зависимости от ср, то соотношения получаются значительно проще, если вместо величины тока ввести в качестве неизвестных функций плотность источников и плотность вихревого слоя:

g = div3, W = rot3 (to = п^, и = нормаль к экрану). (132.9)

В этих выражениях, как покажут дальнейшие вычисления, можно выделить множитель, зависящий только от угловой координаты ср:

g = /(Q)coscp, w = g (q) sin ф.(132.9а)

Для использования величин q и w в качестве неизвестных вместо Зх и Зт/ необходимо, разумеется, выполнить соответствующее преобразование уравнений (132.7) и (132.8), а также сделать еще несколько замечаний общего характера. Однако эти усложнения искупаются значительным упрощением решения интегрального уравнения.

Для преобразования интегрального уравнения воспользуемся следующими соотношениями:

div ^ G^ do' = ^ Gqdo\ rot ^ G3 do1 = ^ Gto do\ (132.10) ssss

Эти соотношения получаются путем введения операции дифференцирования под знак интеграла, последующего дифференцирования по х', у' вместо х, у и, наконец, интегрирования по частям. Согласно условию на ребре (23.4), параллельный ребру поверхностный ток при приближении к ребру (q—>а) растет как (а—q)-1/2, вследствие чего плотность вихревого слоя растет как (а — q)-3/2. Поэтому поверхностный интеграл в правой части второго соотношения (132.10) расходится; то же самое относится и к берущемуся вдоль ребра экрана криволинейному интеграду, возникающему при интегрировании по частям [в соотношении (132.10) этот интеграл опущен]. Расходимость интегралов устраняется следующим образом. В поверхностном интеграле, как и в интеграле (131.14), интегрирование в радиальном направлении можно заменить интегрировав нием в комплексной плоскости по замкнутому контуру, выходящему из точки q' = 0, затем огибающему точку ветвления q' = а и опять возвращающемуся в точку р' = 0; при этом необходимо добавить перед интегралом множитель ^2- Тогда при интегрировании по частям можно не опасаться расходимости интегралов; поверхностный интеграл остается конечным, криволинейный интеграл не появляется. В таком смысле мы будем понимать в дальнейшем все интегралы по площади экрана, не заботясь при интегрировании по частям о трудностях, связанных с расходимостью и криволинейными интегралами.

После этих замечаний сделаем очень важное предположение (которое выполняется и в действительности) о поведении поверхностного тока вблизи края экрана. Чтобы выразить через q и w второе слагаемое в левой части уравнения (132.7), введем функцию

в

F^=R=VFmiF?y. (132.11)

о

удовлетворяющую дифференциальному уравнению

^=(^ + 4^^^ = 4-Л (R~^ = G(RY (132.11а) V дх^ diF ) R dR X dR d ' ? Х

Тогда можно написать

^ G^ do' = А ^ F^ do' = (grad div — rot rot) ^ F^ do'; (132.116) 888

путем преобразований, подобных сделанным в соотношениях (132.10), получаем

G3 do' = grad Fq do'S8G3 do' = grad Fq do'S8Ли do'.Ли do'.(132.11b)(132.11b)

G3 do' = grad Fq do'

S8

G3 do' = grad Fq do'

S8

Ли do'.

Ли do'.

(132.11b)

(132.11b)

С учетом равенств (132.10) и (132.Ив) интегральные уравнения (132.7) и (132.8) преобразуются к виду

(132.12a)(132.126)(132.12a)(132.126)grad ^ (G^k^F) q do' — A:2 rot ^ Fto do' = ~ (1, 0), 88

(132.12a)

(132.126)

(132.12a)

(132.126)

^ Gw do' = 0.

8

Первое из этих уравнений служит для определения q, из второго определяется w. Так как интегральное уравнение (132.126) однородно, функция w определяется с точностью до постоянного множителя. Чтобы устранить этот произвол, рассмотрим соотношения

Эх do,Эх do,(132.13)(132.13)qxdo = — Зх do, ^ wy do ~

Эх do,

Эх do,

(132.13)

(132.13)

8888

которые мы находим при интегрировании по частям левых частей с использованием соотношений (132.9). Складывая оба равенства, получим условие интегрируемости

(132.14)(132.14)^ t^qx + wy) do = 0, s

(132.14)

(132.14)

которому должны удовлетворять функции q и w, если существует соответствующее распределение тока, конечное в центре диска и имеющее заданное поведение на краю экрана. Это условие играет роль дополнительного требования, налагаемого на решения интегральных уравнений (132.12а) и (132.126).

Перейдем теперь к приближенному решению интегральных уравнений и положим аналогично разложениям (131.2) и (131.3)

q = ^ l9o + qdk + q2 kW + • • • L

ik(132.15)

.^ = — [^0 + ^1^ + ^2 (^) + • • • ]

/'-ё,(132.16)

б+№-^[^+«'~4™,+---]-

Тогда система уравнений (132.12а) и (132.126) распадается на ряд уравнений, позволяющих находить последовательные приближения. Поправочные члены к первому приближению qis w± обращаются в нуль по той же причине, что и в акустическом случае, поэтому мы их сразу же опускаем. Для нулевого и второго приближений имеем уравнения

do'^O,(132.17а, б)do'^O,(132.17а, б)

do'^O,(132.17а, б)

do'^O,(132.17а, б)

1г ^ 1г<L)

'дх I р41 дх I ри IА

V \ 92А.^' = 1 g ^ 5o^.^J ^«Rto, (132.18а) ' ду j ^I 5г/ J ^l"^^j ^

^ w^-^-do^ — ^ Woods'.(132.186)

s Rs

К ним нужно добавить условия интегрируемости, вытекающие из соотношений (132.14) и (132.15):

^ {qn^ + ^y) do = 0,^ = 0, 2.(132.14а)

s

Далее в соответствии с (132.9а) запишем величины qH) wn в виде разложений

qn = X 5 апт (a2 — Q2)m-3/2,(132.19а)

wn = У S Ъпт (а2 — Q^m-3H,(132.196)

-пг=0

соответствующих разложению (131.11). Первая сумма начинается с т — 1, вторая — с т = 0, что представляет собой реализацию условий на ребре, согласно которым функция q при приближении к краю экрана должна расти как (а — р)-1/2, a w — как (а — q)-3/^. Используя разложения (132.19а)

и (132.196), можно вычислить интегралы (132.14); при этом приходим к выражению

со

6»0= 2 (2m4-1) (2m —1) ^nm &nn^’(132.146)

m—1

которое представляет собой другую форму условий интегрируемости.

Для дальнейших вычислений нам понадобятся интегралы следующего типа:

(132.20)(132.20)Ктр(х, У) = J ^-^-^х'Н^ао',8

(132.20)

(132.20)

Lmp (х, У>=^ (a2 — e'2)m-3/2 y'RV-i do';

8

они переходят друг в друга, если поменять местами х и у. Эти интегралы вычисляются так же, как и интеграл (131.12) [см. выражения (131.12) — (131.18)]. При этом целесообразно использовать соотношение, вытекающее из фиг. 89:

= Rcos (<р + %), У* — У = ^8ш(ф + %).(132.21)

В результате имеем

^оо = О,^02 = 4ж’

Kto = ^x,Kto=---^x(a2-^-y (132.22)

Кю = ^х(а2 — ^-q2) , Lmp^x, у) = Кгор(у, х).

Рассмотрим сначала уравнение (132.17а). После интегрирования по х оно записывается в следующем виде:

\ qo do' = 4лж.(132.23)

s R

Используя соотношения (132.19а) и (132.22), можно найти решение

(,32-24)

(132.25)(132.25)Для функции ^0, используя соотношения (132.176), (132.196) и (132.22), находим следующее выражение:

(132.25)

(132.25)

®0 = Ьоо—gy- .(а2—Q2)3/2

Коэффициент &Оо определяется из условия интегрируемости (132.146) с единственным отличным от нуля коэффициентом а01 = 8/л. При этом из (132.146) получаем

6оо = ^а2. (132.26)

Перейдем к следующему приближению и вычислим правую часть уравнения (132.18а). Используя соотношения (132.24)—-(132.26) и (132.20),

а также (132.22), находим

Интегрируя затем по х и у, приведем уравнение (132.18а) к виду

j.(132.28)

S

Сохраняя в разложении для д2 (132.19а) два члена, можно представить левую часть (132.28) в виде

^21^10 “F ^22-^202" ^ ^21 + ^22^21^10 “F ^22-^202" ^ ^21 + ^22q2)J .(132.29)q2)J .(132.29)3_

^21^10 “F ^22-^202" ^ ^21 + ^22

^21^10 “F ^22-^202" ^ ^21 + ^22

q2)J .(132.29)

q2)J .(132.29)

8 Из сравнения коэффициентов следует

«22 =«21=-^»(132"30)

и для ^2 получается выражение

(132.31)

Мы не будем вычислять дальнейшие приближения. Используя уже полученные результаты, можно вычислить поправку к асимптотическому выражению дальнего поля (130.32) и к выражению для коэффициента рассеяния (130.34). Чтобы поле в любой точке можно было выразить через q и w, надо прежде всего обобщить преобразование уравнения (132.11в). Написав вместо равенства (132.11)

F ^ = J_ Сdr,(132.32)

получим дифференциальное уравнение

(^~Лг = 44( ft^^G^R),R = V д2 + з2, (132.33)

соответствующее уравнению (132.11а). Преобразование уравнений (132.116) и (132.Ив) производится фактически тем же образом.

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение вектора Герца 3s, выражение для которого можно написать, используя (132.6), (132.Ив) и (132.32):

3s = ""^{^ ^айР-дДо'— ^ [grad/1, Ю] do'| .(132.33а)

При этом, как мы условились выше, градиент должен вычисляться при фиксированном z. Согласно равенству (132.32), имеем (Д, ф, z —цилиндрические координаты с центром в точке г; см. фиг. 89)

= g ===(132.34)

Для точек наблюдения, расположенных на больших расстояниях г от дифрагирующего объекта в направлении е = (й, ф), это равенство запи-

сывается в виде

Af = 0'(132.34а)

Вводя обозначения

Q(e) — £ e-lk&^ qdo\ W(e)= ( e-^^wdo' (132.35)

и используя соотношение (132.33а), вектор Герца можно записать в виде

(S) xQ е^^ л

г —> ОО .г —> ОО .(132.36)(132.36)'^ ~ 4лЛ2 sin ^ г ' I

г —> ОО .

г —> ОО .

(132.36)

(132.36)

,(S) _ W егМ । ПрИ

4лА2 sin д' г J

Согласно равенству (132.5), асимптотическое значение рассеянного поля выражается через компоненты вектора Герца, перпендикулярные напра

влению излучения:влению излучения:@^ = ^3^ = ^2003^3^@^ = ^3^ = ^2003^3^(132.36а)(132.36а)

влению излучения:

влению излучения:

@^ = ^3^ = ^2003^3^

@^ = ^3^ = ^2003^3^

(132.36а)

(132.36а)

Для вычисления интегралов воспользуемся соотношением

(r'e) = sin 6- (х' cos ср + ?/' sin ф);(132.37)

кроме того, разложим в ряд экспоненту под интегралом, а также вычеркнем в разложениях (132.19а) и (132.196) все члены, которые из-за наличия множителей х или ?/ обращаются в нуль в силу симметрии задачи. При этом находим

Q = — ik sin Ф cos ф х

X Ц qxr do' — sin2 $ qx кх'г cos2 ф + Зу'2 sin^) do’ + . . Л ,

IJJ (132.35а)

W — — i к sin -О sin ф X

X | wV do' — ^- sin^ wy (Зя/2 соз2ф + у'2 sin2 ф) do' + . . Л .

Используя условие интегрируемости (132.14) в выражении для W, мы избавляемся от необходимости вычисления второго приближения для ш. Интегрирование после подстановки в интеграл выражений (132.15) и (132.24) —(132.26), а также (132.31) проводится элементарно, и мы получаем

е^^811^008? (1+^s2-^s2sin2^) *

16 82Z 81Л (132-356)

И7 = У-^ sin 11 sin ср ( — 1— ^ е2 + у е2 sin2 е ) .

(132.38а)(132.38а)Полная интенсивность рассеянного поля находится подстановкой выражений (132.36а), (132.36) и (132.356) в формулу

(132.38а)

(132.38а)

2x7s = £(| @(^|2+i^S)|2) do.

Поделив полученное выражение на полную интенсивность падающего на диск излучения Вх/о^^2^ и проинтегрировав по сфере, определим во втором приближении коэффициент рассеяния [см. (128.1)]

"-SO+S6’)'<13М86)

Несмотря на то что для получения результата (132.386) нам не понадобилось определять непосредственно распределение тока 3, ради полноты изложения найдем и эту величину. Распределение тока 3 в нулевом приближении можно получить, интегрируя соотношения (132.9):

. а2^22_

^ ^621к 8 хуИ

X ЗяX Зя -j/^2ZZ^2 *1* 7

Вообще говоря, общую интенсивность рассеяния и коэффициент рассеяния можно найти не только из выражения для дальнего поля, но и из выражения для ближнего поля, а именно из выражения рассеянного ближнего поля @s, ^g (см. п. 103). Так как рассеянное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла, то получаемый в бесконечности поток энергии, идущий от дифрагирующего объекта, может быть вычислен путем интегрирования нормальной компоненты вектора Пойнтинга по обеим сторонам диска. При этом тангенциальная компонента рассеянного электрического поля на экране имеет значение @^S)— — @^= — 1, т. е. однородна и имеет нулевой порядок относительно к. Для вычисления магнитного поля используется разность тангенциальных компонент на обеих сторонах диска, т. е. величина поверхностного тока, так как в этом случае следует принимать во внимание обе стороны диска. Эта величина, согласно равенствам (132.9) и (132.15), имеет первый порядок относительно к и с точностью до второго приближения является чисто мнимой, т. е. сдвинута по фазе на 90° по сравнению с электрическим полем. Таким образом, поверхностный ток является чисто реактивным и не создает уходящего потока энергии. Только в третьем приближении в выражении для поверхностного тока получается вещественная часть порядка к4, за счет которой появляется первый член в выражении (132.386).'

Бете [255] (см. также [256]) первым использовал метод интегральных уравнений для решения рассматриваемой электромагнитной задачи дифракции. Затем этот метод получил систематическое развитие в работах Баукампа [140, 208, 254]т), который нашел приближения более высоких порядков. Как и при рассмотрении акустического случая, Баукамп исходил непосредственно из первоначального интегро-дифференциального уравнения (132.7), а также (132.8), в то время как Маркувитц2) действовал в два приема, а именно рассматривал сначала дифференциальное уравнение и после этого решал чисто интегральное уравнение. Здесь при решении задачи мы шли в некотором смысле обратным путем, так как для определения функции 3 п0 известным величинам q и w нам еще потребовалось решать дифференциальное уравнение (132.9).

2) См. приложение к работе Баукампа [131].2) См. приложение к работе Баукампа [131].х) См. также обзор Баукампа [131]. Экспериментальные результаты содержатся в работах [258 — 260].

2) См. приложение к работе Баукампа [131].

2) См. приложение к работе Баукампа [131].

в. Приближенное решение для малых длин волн

Решение Кирхгофа. Приближенный метод решения для случая малых длин волн уже давно разработан Кирхгофом (см. гл. II, § 1). Однако известно, что этот метод в своем первоначальном виде дает правильные результаты только в дальней зоне вблизи границ геометрической тени, как мы уже убедились при решении задачи дифракции на полуплоскости (см. п. 116) и на щели (см. п. 124). В противоположность этому описанный ниже модифицированный приближенный метод Браунбека (см. п. 39) дает дифракционное поле во всем пространстве.

Рассмотрим акустический случай и сохраним геометрические обозначения и соотношения, использованные выше (экран в плоскости ху, волна падает со стороны отрицательных г). Согласно интегральной формуле Гельмгольца (8.5), поле и за плоскостью экрана (S)+ (£)[(£) обозначает экран, (Л) —отверстие], т. е. для z > О, можно представить через величины и и dv/dz в этой плоскости:

С / 9G dv 1 fetkR D ।, /Лоо л \

и = \ (—) Йо , G^——, г —г .(133.1)

S-VL

Рассуждения п. 8, приводящие к представлению (133.1), остаются справедливыми, если функцию Грина для бесконечного пространства G(r — г') заменить, функциями Грина для полупространства G(r —г') + + G(rs —г'), где rs = (^, у, — z) — точка, зеркально симметричная точке наблюдения т — ^х, у, z). Таким образом, мы получаем два представления (ср. п. 34):

. у= — 2 ^Gt/o' = 2 v^do',(133.2)

J dzJ dzx 7

S+LS + L

эквивалентных равенству (133.1). В частности, для падающей волны у0 при z > 0 получается представление

у0= —2 t 8^Gdo' = 2 ( v^do'.(133.3)

vJ dzJ u dz47

S+LS+L

Написанные выше формулы являются точными. Из равенств (133.2) можно получить два приближенных в смысле Кирхгофа решения у, интегрируя только по отверстию (L) и заменяя и в интеграле на у0- Вычитая из решения и падающую волну у0, записанную в виде (133.3), получаем два выражения для рассеянной волны Us [см. (35.2а) и (35.3а)]:

уУ’ = 2№с^, t/^=-2 ^‘Уо^с'.(133.4)

J dz > ои dz

SS

Как мы увидим дальше, оба представления дают, вообще говоря, различные результаты. Их совпадение в определенной области может служить некоторым подтверждением справедливости полученных результатов в этой области. Обычное кирхгофовское приближениех), исходящее

Подробные аналитические и численные расчеты для больших, но конечных расстояний (френелевская дифракция), использующие интеграл Кирхгофа, содержатся в работе Ломмеля [165]; численные результаты, полученные с помощью криволинейного интеграла Рубиновича, можно найти в работе Мириманова [262, 263].,

непосредственно из равенства (133.1) вместо (133.2), является средним из обоих приближений (133.4). Будем опять рассматривать случай нормального падения. Тогда, используя обозначение

рРрРФиг. 90. Обозначения, используемые в задаче дифракции на круглом диске (дифракция Пуассона).Фиг. 90. Обозначения, используемые в задаче дифракции на круглом диске (дифракция Пуассона).J = J Gd^'(133.5)

рР

рР

Фиг. 90. Обозначения, используемые в задаче дифракции на круглом диске (дифракция Пуассона).

Фиг. 90. Обозначения, используемые в задаче дифракции на круглом диске (дифракция Пуассона).

и учитывая равенство (130.6), получаем из (133.4)

v^ = 2ikJ, < = 2^.(133.6)

Применим эти формулы к задаче о круглом диске и рассмотрим сначала поле на оси позади диска в зависимости от расстояния z. Используя обозначения, указанные на фиг. 90, получаем после интегрирования

7= 2^(eiftr°-eife2),(133.7)

откуда

1^ егкг0 _ ^кг^ ^) = егкт0 cog ^ _ сгкх.(133.8)

Оба результата совпадают только для малых значений угла й0, т. е. на больших расстояниях от диска.

Расчет дальнего поля проводится обычным образом. Используя асимптотические значения (131.27) с сохранением введенных там обозначений и учитывая значение интегралов:

.2л

exp (— iko* sin й cos ф') d^r = 2л70 (kq' sin й),

0 а(133.9) '

^о (kq sin й) q' dq' = а о

где Jo и JI — бесселевы функции соответственно нулевого и первого порядков, получаем при г—> со величину интеграла лpikr

а затем и рассеянное поле (е — ка):

<2) «H^ACsin^V-(133.10)

Vs^—^ cos й J sin й 147 кгх '

Поля yg} и и^ совпадают только при малых углах й. Вычислим теперь общую интенсивность рассеяния и коэффициент рассеяния. Так как при 8>1 поле Vs быстро спадает с ростом угла й, начиная с й = 0, оно имеет максимум при малых углах, и в предельном случае 8 —> со обе формулы (133.10) совпадают. Коэффициент рассеяния можно получить, используя оптическую теорему (100.8'ps) (добавляя здесь из соображений размерности множитель к-1\ которая справедлива при строгом подходе только для решения смешанных краевых задач. При этом получается величина коэффициента, имеющая место в предельном

случае геометрической оптики (см. п. 105):

а = 2.а = 2.(133.11)

а = 2.

а = 2.

С помощью выражений (133.9) и (133.10) коэффициент о можно вычислить более точно, предположив, что 8 имеет большую, но конечную величину. Последующие вычисления, проведенные в п. 134, показывают, что при этом мы выходим из области применимости кирхго- фовского приближения, поэтому получаемые результаты не имеют смысла.

Метод Браунбека. Асимптотическое решение. Ниже рассмотрены эвристический и строгий методы исследования высокочастотного предельного случая 8 > 1; эти методы приводят к одинаковым результатам.

а) Метод Браунбека. Неудовлетворительность результатов, получаемых методом Кирхгофа, объясняется тем, что для величин и и dv/dn в плоскости экрана используется слишком грубое приближение. Эти приближенные величины дают верные значения в отверстии, а также на экране на расстояниях нескольких длин волн от края экрана, однако они не верны вблизи края. Браунбек [261, 264]х) учел это обстоятельство, исправив соответствующим образом кирхгофовские приближенные значения (см. п. 39). Он принял для и и dv/dn вблизи края значения из зоммерфельдовского решения задачи о полуплоскости. Для длин волн X < а это сделать можно, так как для таких X можно пренебречь кривизной края экрана.

Для нахождения кирхгофовского решения в равенство (133.2) надо подставить значения

Ук=-у0 = 1>^ = ^ = № на <L\

.(134.1)

ук=0,^ = 0 на (5).

Если рассматривается краевое условие dvjdn = 0 (s-случай), то вместо этих величин надо подставить зоммерфельдовские значения величин у и до/дп [см. (117.3 s) и (117.4 s)], причем в равенстве (117.4 s) надо изменить знаки на противоположные вследствие другого направления падения. В соответствии с этим к величинам (134.1) должны быть добавлены следующие поправки Браунбека:

(134.2)(134.2)6vB = 0,b^^ikV-®^^^^ на (Л),

(134.2)

(134.2)

6ув = Ф(Щ 6^ = 0 на (5),.

где ^ — расстояние от края экрана. Используя (134.2), получаем следующие поправки к рассеянному полю (133.2):

Мп = 2^ ^ [Ф^-ЧД/ОСс/о',

р L(134.3)

s

Э Фран [265] применил метод Браунбека к электромагнитному случаю.

Вводя обозначения

J O(Ag')Gdo', К^ J ^(k^Gde',(134.4)

L, SL

выражения (134.3) можно записать в виде

W-^k^-KY 6^2)=-2^.(134.5)

Вычислим сначала поправку к рассеянному полю на оси диска. Так как заметный вклад в интегралы (134.4) дает только очень узкая полоска вдоль края экрана, мы можем положить, используя обозначения фиг. 90:

do' = 2яа dl', G = EPl^^l^lMl .(134 6)

тогда находим интегралы

J± = Ф №') exp (± tk^' sin d0) ^',

1'(134.7)

К = 4 ^0 ^ Т № expsin d0) d^',

которые могут быть точно вычислены для функций Ф(ж) и Т (ж), определяемых выражениями (117.2). Прежде всего проинтегрируем по частям первый интеграл. После этого оба интеграла берутся. Используя формулу Ф(0) = 1, получаем

j _± 1а Укт"

±2Л-sin do k /l±sind07 ro ’

la e^ro(134.8)

2k ]/!-)--sin й0 r°

Подставляя найденные значения интегралов в равенство (134.5) и учитывая, что а = r0 sin й0, находим

6^1)_ е^г0 (уТ+бйГ^

(134.9) бцз} = егкго (]/1 + sin й0 — cos й0).

При вычислении производной по 2 мы ограничились дифференцированием только быстро изменяющегося экспоненциального множителя1).

С учетом поправки (134.9) кирхгофовское выражение для поля (133.8) теперь принимает вид

ys = у^^ + би^ = ys2> + 6ys2) = е^оУ"! 4-8шй0 —b^z. (134.10)

Первое слагаемое в (134.10) справа представляет собой общее поле у—y0+^s- В частности, в центре диска (г0 = а, й0 = л/2) оно имеет значение у = еиа]/2. Интенсивность поля | у [ в центре на теневой стороне вдвое больше, чем интенсивность в падающей волне (пятно Пуассона). Этот результат согласуется с вычисленной по строгой теории кривой интенсивности поля (см. фиг. 86, нижняя кривая), которая при возрастании

величины 8 = ка, осциллируя, приближается к значению | у | = '|/2. В противоположность этому кирхгофовские формулы (133.8) дают ошибочные значения у = 1 или соответственно у—0.

Рассмотрим теперь дальнее поле1). Элемент поверхности вблизи края диска можно выразить следующим образом:

(134.11)(134.11)da' = ^zdф'd^',

(134.11)

(134.11)

где q' = а±£', ф' —плоские полярные координаты на плоскости диска. Подставляя в формулу (134.4) выражение (131.27) для G и используя значения интегралов (133.9), получаем

/7 Р^Т Г

(134.12)(134.12)— Jф № J« (к (й ± ^sin $) ^'’ о

(134.12)

(134.12)

К = ^ — \ ¥«)70(*(^ + §')sin*)dg'.о

Для дальнейших вычислений предположим, что esinS^ 1. Нам вполне достаточно исследовать только такие значения й, так как для случая малых у правильные результаты дает кирхгофовское приближение. Используя асимптотическое значение функции Бесселя

70 (* (a ± ^ sin70 (* (a ± ^ sin22—:й COSкка sin й—:й COSкка sin й{& (а + ^sinS ——J ,{& (а + ^sinS ——J ,(134.13)(134.13)

70 (* (a ± ^ sin

70 (* (a ± ^ sin

2

2

—:й COS

кка sin й

—:й COS

кка sin й

{& (а + ^sinS ——J ,

{& (а + ^sinS ——J ,

(134.13)

(134.13)

где мы пренебрегаем под корнем величиной £' по сравнению с а, можно вычислить значения интегралов (134.12), пользуясь тем же способом, что и при вычислении интегралов (134.7). При этом находим

± —1УЗле3 sin3 й I х± —1УЗле3 sin3 й I хУ1 ± sin йУ1 ± sin йX У1 + sin й la2 sin й J 1 ' |^8ле3 sin3 й ty i-J-sin йX У1 + sin й la2 sin й J 1 ' |^8ле3 sin3 й ty i-J-sin й|——= expУ1 — sin й|——= expУ1 — sin йexp Г — г (г sin# — у,7Vг (13414)exp [i {Xsintf — y^ ] +. Z ~ пт. X 11 р^тexp Г — г (г sin# — у,7Vг (13414)exp [i {Xsintf — y^ ] +. Z ~ пт. X 11 р^тТогда из (134.5) имеемУ 2л sin3 йТогда из (134.5) имеемУ 2л sin3 йesinS —j —esinS —j —— (]/l — sin'S —1)exp ^ —i ^esinS —^-^) j J ^~-— (]/l — sin'S —1)exp ^ —i ^esinS —^-^) j J ^~-У 2л sin3 SУ 2л sin3 Scos A) expcos A) exp— (|/1 — sin S — cos S) exp ^ — i e sin S —— (|/1 — sin S — cos S) exp ^ — i e sin S —’(134.15)eikr’(134.15)eikr• i) Вычисление поверхностного интеграла (134.4) с помощью метода стационарной фазы проведено в работах [238, 268].• i) Вычисление поверхностного интеграла (134.4) с помощью метода стационарной фазы проведено в работах [238, 268].

± —1

УЗле3 sin3 й I х

± —1

УЗле3 sin3 й I х

У1 ± sin й

У1 ± sin й

X У1 + sin й la2 sin й J 1 ' |^8ле3 sin3 й ty i-J-sin й

X У1 + sin й la2 sin й J 1 ' |^8ле3 sin3 й ty i-J-sin й

|——= expУ1 — sin й

|——= expУ1 — sin й

exp Г — г (г sin# — у,

7Vг (13414)

exp [i {Xsintf — y^ ] +

. Z ~ пт. X 11 р^т

exp Г — г (г sin# — у,

7Vг (13414)

exp [i {Xsintf — y^ ] +

. Z ~ пт. X 11 р^т

Тогда из (134.5) имеем

У 2л sin3 й

Тогда из (134.5) имеем

У 2л sin3 й

esinS —j —

esinS —j —

— (]/l — sin'S —1)exp ^ —i ^esinS —^-^) j J ^~-

— (]/l — sin'S —1)exp ^ —i ^esinS —^-^) j J ^~-

У 2л sin3 S

У 2л sin3 S

cos A) exp

cos A) exp

— (|/1 — sin S — cos S) exp ^ — i e sin S —

— (|/1 — sin S — cos S) exp ^ — i e sin S —

’(134.15)

eikr

’(134.15)

eikr

• i) Вычисление поверхностного интеграла (134.4) с помощью метода стационарной фазы проведено в работах [238, 268].

• i) Вычисление поверхностного интеграла (134.4) с помощью метода стационарной фазы проведено в работах [238, 268].

С другой стороны, приближение Кирхгофа (133.10) для больших е sin й принимает вид

У^ = 1]2i81/2. /. о л \,

-= — Sin ( 8 Sin О’—s И 34 16) y^^COsO J V 2л sin3 $ к4 ) ктW

Складывая (134.15) и (134.16), получаем, наконец,

— ]/1 — вш^ехр ^ — г ^8 sin О —— ^ | ^- .(134.17)

Выражение (134.17) справедливо в области 8sin0>l. С другой стороны, выражение (133.10), двузначность которого исчезает при О< 1, представляет собой приближение, пригодное в этой области. Поправкой Браунбека в выражении (133.10) здесь следует пренебречь. Оба выражения в совокупности позволяют определить дальнее поле во всем интервале углов. В области 1/8<8тй<1 справедливы обе формулы. В этой области они совпадают, в чем можно убедиться, сравнивая формулы (134.16) и (134.17).

Асимптотическое решение. В рассматриваемом случае круглого диска эвристический метод Браунбека можно строго обосновать, если непосредственно искать асимптотическое решение данной краевой задачи [239, 269 — 271]. С этой целью для е>1 будем решать асимптотически соответствующее интегральное уравнение, пользуясь методом, аналогичным изложенному в п. 122. При этом оказывается, что приближенная формула Браунбека представляет собой первый член асимптотического разложения решения краевой задачи по убывающим дробным степеням параметра ка — 8. Кроме того, можно вычислить следующие члены асимптотического разложения. Они понадобятся для вычисления асимптотического значения сечения рассеяния, поскольку приближение Браунбека дает только его геометро-оптическое предельное значение.

Аналитическая ситуация упрощается, если с помощью теоремы Бабине (см. п. 27) перейти от задачи о круглом диске для s-случая к задаче о круглом отверстии для ^-случая. Тогда, кроме краевого условия у = 0 для 2 = 0, q > а, известен также, согласно (26.3^), нормальный градиент в отверстии уг = ък для 2 = 0, Q < а. Подставив эти значения в первый из интегралов в формуле (133.2), получаем для 2 > 0

1к “ с” elhR 1 ГТ eihR

у(е, z) = — ^ ^ dQ'Q' ^ —д-^ф'—^) cW^e')^ -д-^ф'>(134.18)

00а0

где

+0) (е>а);(134.19)

мы используем здесь цилиндрическую систему координат q, ср, 2; задача обладает вращательной симметрией. Из краевого условия находим интегральное уравнение для ф(р):‘

^ЛкН“Ч AkR

\ й^'^'ф(^') \ —— с?ср'=— ik\скУ Qr \ ——ск^(q > а), (134.20)

ао Доо Д

гдегдеR = VQ2 + q'2 — 2qq' cos (ф —ф').

где

где

Прежде чем приступить к решению этого уравнения, вычислим выражение для дальнего поля, используя (134.18). Для этого введем наряду с цилиндрическими координатами еще сферические координаты г, й, ф; тогда, используя представление

eikR егкг

—> -у- ехр [ — ikQ? sin й cos (ф — ф')]

и значение интегралов (133.9), получаем из (134.18) при г-—>со

v(r, ^)-^ —^-{ie^l^—+ & ^ ^Vo^'sin^eW} .(134.21)

Предполагая 8 8шй>1, можно с помощью асимптотического представления цилиндрических функций

^cos 4-т) -/^sin (ж—?) ’ (13422)

приближенно записать выражение (134.21) в следующем виде:

/ ол е1кт Г Sis1^ • < • ч !

и (г. v)—>;—-==Sin 8 SHIV—- -4-

Т = 4 S H^kaRyMWX-^ИТ = 4 S H^kaRyMWX-^И(134.25)(134.25)v kr I V 2л sin3 йV4 у !

Т = 4 S H^kaRyMWX-^И

Т = 4 S H^kaRyMWX-^И

(134.25)

(134.25)

[ветвь корня ]/1—а2 будем выбирать так же, как и в преобразовании Фурье (60.1)] , а также теоремой сложения

H^kaRy ^ е»(т-Ф')H^kaRy ^ е»(т-Ф')1п^ка^ НпЦсаУ Н« (kaQ) Jn (kaQ'~)1п^ка^ НпЦсаУ Н« (kaQ) Jn (kaQ'~)(9 <(9 >(9 <(9 >(134.26)(134.26)

H^kaRy ^ е»(т-Ф')

H^kaRy ^ е»(т-Ф')

1п^ка^ НпЦсаУ Н« (kaQ) Jn (kaQ'~)

1п^ка^ НпЦсаУ Н« (kaQ) Jn (kaQ'~)

(9 <

(9 >

(9 <

(9 >

(134.26)

(134.26)

!) Формулы, используемые в тексте, получаются с помощью соотношения обхода № (e~inx}=—Hl (ж).

21 Заказ № 13

(е' <е)1(9' > 9))(е > а).(134.27)(е' <е)1(9' > 9))(е > а).(134.27)Тогда с использованием (133.9) интегральное уравнение приводится к виду

(е' <е)1

(9' > 9))

(е > а).(134.27)

(е' <е)1

(9' > 9))

(е > а).(134.27)

daу 1—«2daу 1—«2F da-a У^ка^Н^ка^6Q Q J К1 — аа [Я* (Ы/) Jo (Дао)

da

у 1—«2

da

у 1—«2

= Kia ^ J\ (еа) Нг0 (ка^)

daУ 1—«2daУ 1—«2С помощью представлений (134.22) легко установить, что оба подынтегральных выражения экспоненциально убывают в верхней полуплоскости а; поэтому в качестве контура интегрирования можно выбрать путь по берегам разреза, идущего- от точки 1 до 1+Zoo (см. фиг. 40). Для случая е > 1 можно всюду использовать приближенные значения (134.22). Тогда, возвращаясь снова к первоначальному контуру интегрирования в плоскости а, получаем

da

У 1—«2

da

У 1—«2

d^ Vq' ф($') ^ {^(Р-РЭ —.^«(р+рЭ}

= vа £ {eito(p-a) + ;eito(p-w^(Q>a).(134.28)

Первоначально введенный знак модуля для показателя экспоненты Q — q' можно опустить, так как вклад в интеграл по а дает только четная часть экспоненциального множителя; дуга на значке интеграла означает, что полюсы, расположенные на пути интегрирования, совпадающем с вещественной осью, нужно обходить по соответствующей полуокружности в комплексной плоскости а. Используя преобразование Фурье для функции Ханкеля (60.1), можно записать теперь интегральное уравнение (134.28) в виде

^У^-ф(е'){2УИ^1е—^о(^1е+е'|)}^е' = /(е) (9>4 (134.29)

Это уравнение можно интерпретировать следующим образом. Поверхностная плотность ф(^) на экране в первом асимптотическом приближении фактически равна поверхностной плотности на полуплоскости, край которой совпадает с касательной к круглому отверстию [см. (115.2)]. Но это как раз и является исходным пунктом приближенного метода Браунбека. Во втором асимптотическом приближении учитывается взаимодействие двух противолежащих полуплоскостей с параллельными краями, расположенных на расстоянии 2a. Это взаимодействие характеризуется вторым членом в фигурных скобках. Вычисляя следующие члены асимптотического разложения (134.22), можно учесть в приближениях более высоких порядков влияние кривизны края (а также более высокую степень взаимодействия элементов края). ■

Таким образом, задача в рассматриваемом приближении аналогична задаче дифракции на щели [см. (118.13"/))], поэтому мы можем почти без изменений использовать метод решения, описанный в п. 122. Возвратимся прежде всего к уравнению (134.28) и с помощью соотношения

запишем его в виде

ОО

Р_гкар

) {1’(«)-^(—«)} У=^-^а = /(е) (е>«)-(134.30)

Умножая это уравнение на e~iKa/^ и интегрируя по q от а до оо, получаем

J № - Ц. (- «’)] е<« -Vi ' +} --^--^ = 0,

“°°(134.30')

” _tea'

j Ф (°') йа' = °-

Нижнее из этих уравнений показывает, что функция ф (а) е^ голоморфна в нижней полуплоскости а, как это следует из соотношения (134.24). Соответственно верхнее уравнение показывает, что подынтегральное выражение является голоморфной функцией в верхней полуплоскости. Эти свойства обоих подынтегральных выражений сохраняются^ если верхнее подынтегральное выражение умножить на]/1 + а' , а нижнее—на 1/]/1—а'. Вычитая полученные таким образом уравнения одно из другого, получаем [см. (118.19/?)]

_ДбСС4 р — -28a'Л™?

ф(а)—7==- + -^— Ф ф( —а')-—-. —=

7 У1 — a2л аJ уi_a' a —a

(134.31)(134.31)У а р 1-]-/е2геа' da,' 2л/ а у i — а' — а

(134.31)

(134.31)

Вводя обозначение

ф(а)ф(а)У1 — аУ1 — аф(«)ф(«)(134.32)(134.32)

ф(а)

ф(а)

У1 — а

У1 — а

ф(«)

ф(«)

(134.32)

(134.32)

и используя величину Иц (а), определяемую равенством (118.21/?),. запишем уравнение (134.31) в виде

Ф(«)-^- £ tHW)^=f(«)'(134.31')

Нас будут интересовать только первые два члена асимптотического разложения решения (134.31'):

Ф (а) —> ф0 (а) +(«)+... .(134.33)

(Вычислять следующие члены разложения имеет смысл только в том случае, когда интегральное уравнение дополнено членами, учитывающими влияние кривизны края.) Прежде всего мы должны разложить в асимптотический ряд правую часть уравнения / (а). Используя преобразование

(134.34)(134.34)

(134.34)

(134.34)

1р l+?e22Sa'da _1 Л

2л/ а а' у 1 —а' ™ а V

Л2геа,

где величина Л (а) определяется выражением (122.7), легко получить с помощью ряда (122.10) искомое разложение

И2е~)

Ца^-Уа $1(1-(134.35)

</1—а?/2ле(а— 1)'

Подставляя это разложение, а также разложение (122.4/?) [где -^(а) определяется равенством (122.12/?)] в уравнение (134.ЗГ) и сравнивая коэффициенты при 8° и е™1^, находим

(134.36а)(134.36а)

(134.36а)

(134.36а)

1(28—)со—. i(2s-—)

ф. и = /$+4 f * < - “') л“ ^^ = V$■

(134.366)

Переходя с помощью (134.32) к функции ф(а), получаем искомое решение в простейшем виде

ааg-i/2 expt | 8(2 —аV л У —аg-i/2 expt | 8(2 —аV л У —аБ . • - - (134.37)Б . • - - (134.37)

а

а

g-i/2 expt | 8(2 —а

V л У —а

g-i/2 expt | 8(2 —а

V л У —а

Б . • - - (134.37)

Б . • - - (134.37)

Наконец, подставим этот результат в уравнение (134.23) и с помощью теоремы Бабине (27.7) перейдем опять к задаче о круглом диске, тогда для 2 > 0, 8sin$ > 1 имеем

sin A expsin A exp3hr [ pi/2

sin A exp

sin A exp

v^r]/ 2л sin3 S

л ]/"2 sin S

exp у s sinV1 + sin Sexp у s sinV1 + sin SУ* 1 — sin SУ* 1 — sin S+ ... . (134.38)+ ... . (134.38)

exp у s sin

V1 + sin S

exp у s sin

V1 + sin S

У* 1 — sin S

У* 1 — sin S

+ ... . (134.38)

+ ... . (134.38)

Здесь мы объединили член, полученный из ф0? с первым членом выражения (134.23); этот результат точно совпадает с выражением (134.17). Таким образом, метод Браунбека действительно позволяет получить главный член асимптотического разложения решения краевой задачи. При этом поправки Браунбека (134.15) являются величинами того же порядка, что и кирхгофовское решение (134.16). Следующий член в разложении (134.38) в 81/з раз меньше, чем главный член (то же самое справедливо соответственно и для следующих членов).

Чтобы найти поле в окрестности направления падения $ < 1 (усло- ие 8sin,S>l уже не выполняется), вернемся к выражению (134.21). граничимся здесь вычислением коэффициента рассеяния о. Записывая ыражение для рассеянной волны в виде ys—> (1/г) А (й1) ехр кг с помощью авенств (100.8'/?s) и (134.21), находим точное выражение для коэффи- иента а:

о = А^ Im А (0) = 2 + -^ Im ^ (q) q (^q). (134.39)

[Изменение знака по сравнению с (134.21) объясняется тем, что здесь рассматривается дополнительная задача.] В нашем приближении, когда учитываются только такие поправочные члены, порядок которых в s1^ раз меньше, чем порядок главного члена, мы получаем, используя соотношение (134.24),

^ ф(р)рйр —>Va Ф(0).(134.40)

Подставляя сюда разложение (134.37), находим следующее выражение для амплитуды рассеянного поля в направлении падения:

А 4 I<134.41 >

Используя представления «геометрической теории дифракции» (см. гл. II, § 3), можно сказать, что порядок величины этой амплитуды изменяется по сравнению с выражением (134.38) за счет фокусировки дифрагирующих лучей на оси симметрии. При этом первый член в разложении (134.41) соответствует прямому геометро-оптическому лучу, второй — однократно дифрагированному лучу, третий член —двукратно дифрагированному лучу. Интересно отметить, что в окрестности направления падения кирхгофовская амплитуда дальнего поля [первый член выражения (134.41)] в е раз больше поправочного члена Браунбека (второй член), в то время как для других направлений, как мы уже видели, это величины одного порядка. Таким образом, здесь еще раз подтверждается результат, уже полученный при рассмотрении дифракции на полуплоскости (см. п. 116) и на щели (см. п. 124), а именно кирхгофов- ское решение в окрестности направления падения (и только здесь) представляет собой главный член в выражении для дальнего поля в решении краевой задачи.

Если подставить разложение (134.41) в выражение (134.39) для коэффициента о (134.39), то поправочный член Браунбека не дает никакого вклада и мы имеем

os—> 2 —s^n Q 2s -—^-^+... .(134.42s)

Левин и У Тай-цзунь [239] вычислили следующие два члена этого асимптотического разложения для s- и р-случаев:

<^2-^sin(2e-4)-6-«{A-Asin(4e-4)} +

+ w О ~ т)" 4 ™ (бЕ “ 4“- <134.42'

++■(134.42rt

Наконец они нашли коэффициент рассеяния для случая плоской волны, падающей под углом а (s-случай):

(2е-^- J 70 (2е sin а) —(2е-^- J 70 (2е sin а) —94s~3/2 .

(2е-^- J 70 (2е sin а) —

(2е-^- J 70 (2е sin а) —

п„—> 2 —sin л

— 8~2 |у — -|- sin (^48 - ^ 4- 2е sin а^ Jo (е sin2 a)J + ... .(134.43)

Формулы (134.42s) и (134.42р) можно получить также с помощью геометрической теории дифракции, если учитывать двукратно дифрагированные лучи [154, 159] (см. п. 44). Выражение для сечения рассеяния для круглого диска при 8 > 1 близко к соответствующему выражению для задачи о полосе шириной 2а (см. п. 124). Зависимость от длины волны в s-случае для обеих задач фактически одинакова, но р p-случае к выражению для коэффициента рассеяния круглого диска прибавляется монотонно изменяющийся член порядка 8"2.

е^ка

Фиг. 91а. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае. 1 — строгое решение (см. фиг. 81); 2 — рэлеевское приближение (е <^1, по Баукампу); з — асимптотическое решение (е^> 1, по Левину).

построенная по асимптотической формуле (134.42s). Здесь же нанесены кривые, полученные с помощью четырехчленных степенных рядов (128.Зр) и (128.3s) (первые члены которых дают рэлеевское приближение). В этом случае мы имеем почти то же самое, что и в задаче о полосе (см. п. 124); степенной ряд сходится плохо (в p-случае несколько лучше, чем в s-случае), тогда как асимптотическое представление дает очень хорошее приближение для достаточно больших 8. Для электромагнитного случая асимптотическое решение краевой задачи было найдено Сешадри и У Тай-цзунем [272, 273]х). Для коэффициента рассеяния круглого диска (в случае нормального падения линейно поляризованной плоской волны) получается следующее выражение:

° - 2 - у^1 ™ (2« ” г) 4 {1+^™(4«-т)}~

-^{1* Н)+к»('-т)}+ • (*34-44>

На фиг. 916 приведены кривые, построенные по формуле (134.44) при последовательном учете одного, двух или трех поправочных членов,

- х) Исследование предельного случая высоких частот с помощью метода стационарного представления см. в работах [274 — 276].

Фиг. 916. Коэффициент рассеяния ст для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в электромагнитном случае. 1—строгое решение (по Андреевскому, см. фиг. 80); 2, 5, 4 — соответственно первое, второе и третье асимптотические приближения (по Сешарди и У Тай- цзуню); 5 —- измеренные значения (до Хуангу).

а также кривая, соответствующая строгому решению, полученному Андреевским (см. фиг. 80). Кроме того, здесь указаны некоторые экспериментальные значения коэффициента, полученные Хуангом [274]х).

г. Вариационный метод

135. Акустический случай. Левин и Швингер [136, 257, 277 —279]) свели акустическую и электромагнитную задачи дифракции к вариационному принципу и использовали его для решения рассматриваемой нами

х) Фиг. 916 взята из монографии [163].

задачи. Здесь мы ограничимся обсуждением только акустического случая. Будем исходить из интегрального уравнения (131.1), которое относится к краевому условию ^/02 = 0 на диске. Полагая сразу же 2 = 0 и заменяя путем введения параметра и функцию Грина G(R) функцией G (]/7?2 +х2), уравнение (131.1) можно записать в виде

lim ^^^do'^ik на (5).(135.1)

Очевидно, это уравнение может быть выведено из вариационного принципа

6 | lim ? фф' do do' — 2ik С ф do\ = 0,(135.2)

где ф — неизвестная функция. Уравнение (135.2) фактически равнозначно требованию, чтобы величина двойного интеграла в (135.2) при фиксированном значении интеграла ^ ф do была экстремальной. В этой 8

несколько измененной формулировке вариационной задачи множитель — 2ik в уравнении (135.2) играет роль множителя Лагранжа.

Для решения вариационной задачи методом Ритца (см. п. 107) введем два параметра alt а2 и будем искать функцию ф в виде

ф — at Уa2- Q2 + л2 (а2 — Q2)3/2t(135.3)

который подсказывается нам соотношением (131.11). Однако там мы рассматривали приближение для больших длин волн, в то время как здесь параметры должны быть определены таким образом, чтобы решение как можно лучше сходилось для любых заданных длин волн.

Подставляя выражение (135.3) для ф в уравнение (135.2), приходим к интегралам вида

Cnm=lirn ^^^" Q^^^^ — Q'^^^do do\

p(135.4)

Sn= — do

8

и для варьируемой функции (135.2) получаем выражение

В ii^i ЗВ 12^1^2 Ч- В' 22^2 3^ (B|6Zj[ -|- В^^.(135.5)

Использование условий экстремума приводит к уравнениям

С + В12а2 = ikBi, В12^ + В22а2 = ^52.(}

Отсюда находим

л ^ I ^1^12 i п _ ^ I СцВ^ I Г) _ I ^11^12 I d\b2C^\' а* D IC^I’ и I С12с22 Г (1

Таким образом, наша задача в принципе решенах).

х) Если разложить коэффициенты «1, а^ в (135.7) в ряд по г — ка, то получаются величины, точно соответствующие выражениям (131.25). Однако вследствие стационарного характера функции (135.5) можно ожидать, что вычисление коэффициентов (135.7) для произвольного е даст результаты, пригодные в большей обла-

Чтобы получить коэффициент рассеяния as (s-случай), вычислим по формуле (130.4s) рассеянную волну на больших расстояниях г для угла рассеяния й = 0. Учитывая соотношения (135.3) и (135.4), получаем

Vs -> - 57 ^ ^ Ф do = — ^ — фхЧ + В^.(135.8)

S ■

Теперь по формуле (100.8'ps), которую по соображениям размерности следует умножить на Мк, можно найти полную интенсивность рассеяния Js и затем, разделив ее на а2л, определить коэффициент рассеяния:

аз = — ^ут Im [i (В^ + В^А;(135.9)

принимая во внимание равенства (135.7), можно написать также

а<2) ™ jL Jm*(135.10)

Индекс (2) коэффициента рассеяния о^ указывает, что приближенное вычисление проводилось с двучленным представлением (135.3) для функции ф. Если применить для вычислений одночленное выражение, то остаются только интегралы В^ Сц1 а все остальные обращаются в нуль. Тогда вместо (135.10) получается выражение для коэффициента рассеяния в первом приближении

(135Л0а>

Остается сказать еще несколько слов относительно оценки интегралов Вп и Спт. Интегралы Вп вычисляются элементарно:

51=^о3,52 = ^-а5.(135.11)

Для определения интегралов Cnmi в которых da = g dg dф, da' = g' dg' dф/, приведем некоторые соотношения из теории бесселевых функций, а именно формулу Зоммерфельда

«=“ЙЩ!?5 “ к j"х ■ <135л2>

где ]/т2— к^ — — j |/А;2— т2 для т < А, теорему сложения бесселевых функций

Jо (т7?) = 2 (Tg) (xg')R = ]/g2 + g'2 —- 2gg' cos (ф — ф')

V=—oo

(135.13)

и формулу Сонина (см. [134, 283])

Дн-^ы (2) = —— ДДязт t^sin^1 ^cos2^^ d$.(135.14)

2 Г (v-j-1) '

сти 8, чем разложение в ряд по 8 (ср. о^ на фиг. 91а с о^ и Og2^ на фиг. 92). Если дополнить представление (135.3) до бесконечного ряда, подобного ряду (131.11), то вместо соотношений (135.6) получится бесконечная система уравнений, относительно которой имеются подробные исследования [266, 280—282].

Если подставить разложение (135.13) в интеграл (135.12), а затем этот интеграл подставить в (135.4), то при интегрировании по углу все бесселевы функции высших порядков с v ^ 0 обращаются в нуль. Остающиеся интегралы по радиальной координате имеют одинаковый вид (с точностью до индексов п и ту,

2л Jo^C^-Q2)”-1/^^.(135.15)

о

Их можно вычислить с помощью подстановки д = а8шй по формуле (135.14):

зт/2

2ла2п+170 (та sin й) cos2n й sin й d^ =

о

■ =лГ (7г+А^(2а)"+1/2Т-п-1/2/п+1/2(та).(135.16)

Объединяя найденные выражения, получаем, наконец, после дифференцирования по х и предельного перехода х—>0 выражение для Спт(та — = z):

Спт = лГ (и + 4) Г (m + l)2n+m-1a2"+2m-1x■

X /n4-V2(zVm+V212)2-^”^22"^(135.17)

о.

Последний интеграл путем довольно громоздких вычислений можно свести к функциям Бесселя и Струве, а также к простым интегралам от этих функций, после чего можно провести его численную оценку.

Обсуждение результатов. Мы рассмотрели задачу о круглом диске с краевыми условиями д-о/дп — О. Левин и Швингер решили эквивалентную задачу о круглом отверстии в плоском экране с краевым условием У —0. Вычисления в обоих случаях совершенно одинаковы, однако Левин и Швингер соответственно своему несколько иному подходу вместо коэффициента рассеяния рассматривали коэффициент прохождения tp — oJ2 и получили кривую зависимости коэффициента от 8 = Да, приведенную на фиг. 92. Коэффициент os построен здесь по формулам (135.10а) и (135.10), соответствующим первому и второму приближению. Для сравнения на фиг. 92 приведена еще кривая, полученная из строгой теории (см. п. 128). Отличное совпадение результатов, полученных вариационным методом, с результатами строгой теории представляется особенно удивительным, если принять во внимание, что решение методом Ритца было проведено с использованием только двух параметров. Левин и Швингер рассматривали ту же самую задачу, используя второй вариационный метод (см. п. 107), где вместо определяемой на плоскости круга функции ф в качестве неизвестной функции принимается функция ф, определяемая на плоскости экрана вне круга [см. (130.4)]. Вычисления, проведенные с использованием только одного параметра Ритца, позволяют получить кривую коэффициента рассеяния о5, приведенную на фиг. 93. По сравнению с кривыми, приведенными на фиг. 92, совпадение этой кривой с результатами строгой теории для

больших е получается еще лучше, чем на фиг. 92, но зато для малых 8 совпадение не является столь хорошим.

Мы не будем проводить здесь соответствующего решения электромагнитной задачи. Оно приводит к коэффициенту рассеяния, изобра^

Фиг. 92. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) ■ в акустическом случае.1 — стригое решение; 2 — решение, полученное с помощью стационарного представления (по Левину и Швингеру) для области q < а при использовании двучленного выражения для функции распределения; з — решение, полученное тем же методом с одночленным выражением для функции^ распределения.Фиг. 92. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) ■ в акустическом случае.1 — стригое решение; 2 — решение, полученное с помощью стационарного представления (по Левину и Швингеру) для области q < а при использовании двучленного выражения для функции распределения; з — решение, полученное тем же методом с одночленным выражением для функции^ распределения.Фиг. 93. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае.1 — строгое решение; 2 — решение, полученное Левином и Швингером с использованием функции, определенной в областиQ > а.Фиг. 93. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае.1 — строгое решение; 2 — решение, полученное Левином и Швингером с использованием функции, определенной в областиQ > а.

Фиг. 92. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) ■ в акустическом случае.

1 — стригое решение; 2 — решение, полученное с помощью стационарного представления (по Левину и Швингеру) для области q < а при использовании двучленного выражения для функции распределения; з — решение, полученное тем же методом с одночленным выражением для функции^ распределения.

Фиг. 92. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) ■ в акустическом случае.

1 — стригое решение; 2 — решение, полученное с помощью стационарного представления (по Левину и Швингеру) для области q < а при использовании двучленного выражения для функции распределения; з — решение, полученное тем же методом с одночленным выражением для функции^ распределения.

Фиг. 93. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае.

1 — строгое решение; 2 — решение, полученное Левином и Швингером с использованием функции, определенной в области

Q > а.

Фиг. 93. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в акустическом случае.

1 — строгое решение; 2 — решение, полученное Левином и Швингером с использованием функции, определенной в области

Q > а.

женному на фиг. 94 пунктирной кривой [279], которая для 8^2 практически совпадает с кривой для коэффициента о, полученной из строгой теории (сплошная кривая; см. п. 128). Кроме того, здесь приведена

Фиг. 94. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в электромагнитном случае.1 — строгое решение; 2 — стационарное представление (по Левину и Швингеру) при использовании постоянного значения функции распределения; з — рэлеевское приближение, 8 ^ 1 (по Бау- кампу).Фиг. 94. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в электромагнитном случае.1 — строгое решение; 2 — стационарное представление (по Левину и Швингеру) при использовании постоянного значения функции распределения; з — рэлеевское приближение, 8 ^ 1 (по Бау- кампу).

Фиг. 94. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в электромагнитном случае.

1 — строгое решение; 2 — стационарное представление (по Левину и Швингеру) при использовании постоянного значения функции распределения; з — рэлеевское приближение, 8 ^ 1 (по Бау- кампу).

Фиг. 94. Коэффициент рассеяния о для круглого диска (или коэффициент прохождения т для круглого отверстия) в электромагнитном случае.

1 — строгое решение; 2 — стационарное представление (по Левину и Швингеру) при использовании постоянного значения функции распределения; з — рэлеевское приближение, 8 ^ 1 (по Бау- кампу).

штрих-пунктирная кривая, которая вычислена с помощью степенного ряда (128.1). Этот ряд (первый член которого представляет собой рэлеевское приближение) пригоден только в области 8^1, несмотря на то, что он состоит из трех членов.

ЛИТЕРАТУРА

Bouwkamp С. J., Progr. Phys., 17, 35 (1954).

F г a n z W., Theorie der Beugung elektromagnetischer Wellen, Berlin, 1957.

N о b 1 e B., Methods based on the Wiener-Hopf Technique, London — New York, 1958. (См. перевод: В. Нобл, Метод Винера — Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1962.)

Epstein Р. S., Dissertation, Munchen, 1914.

Condelli G., Nuovo Cimento, 11, 277 (1916).

Brillouin J., Compt. Rend., 229, 513 (1949).

Chester W., Quart. Journ. Meeh., 5, 196 (1952).

Chester W., Journ. Acoust. Soc. Amer., 24, 324 (1952).

К a у I., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-53 (1953).

Rice S. 0., Bell. Syst. Techn. Journ., 33, 417 (1954).

И. К e 1 1 e r J. B., Levy В. R., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-147 (1957).

Lamb H., Proc. Lond. Math. Soc., (2), 4, 190 (1906).

Magnus W., Jber. der deutsch. Math.-Ver., 50, 140 (1940).

Magnus W., Zs. f. Phys., 118, 343 (1941).

Hochstadt H., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-89 (1956).

Гринберг Г. А.,Лебедев Н.Н.,Скальская И. П., У ф л я н д И. С., ЖЭТФ, 30, 528 (1956).

Sommerfeld A., Gottinger Nachr., 338 (1894).

Sommerfeld A., Gottinger Nachr., 268 (1895).

Sommerfeld A., Math. Ann., 45, 263 (1894).

Sommerfeld A., Math. Ann., 47, 317 (1896).

E p s t e i n P., Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften, Bd. V, 3, Art. 24, Leipzig, 1919.

W о 1 f s о h n G., в книге Handbuch der Physik, Bd. 20, Berlin, 1928, Кар. 7.

Frank Ph., Mises R., Differential-und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Braunschweig, 1927—1934. (См. перевод: Ф. Ф p а нк, P. M и з e с, Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, М.— Л., 1937.)

Sommerfeld A., Vorlesungen liber theoretische Physik, Bd. IV, Wiesbaden, 1950. (См. перевод: А. Зоммерфельд, Оптика, ИЛ, 1953.)

Baker В. В., Copson Е.Т., The Mathematical Theory of Huygens Principle, 2d ed., Oxford., 1950.

Rubinowicz A., Die Beugungswelle in der Kirchhoffschen Theorie der Beugung, Warschau, 1957, Кар. IV.

Born M., Wolf E., Principles of Optics, London, 1959.

Poincare H., Acta math., 20, 313 (1897).

Sommerfeld A., Proc. Lond. Math. Soc., 28, 395 (1897).

Sommerfeld A.,Zs. Math. Phys., 46, 11 (1901).

Car s 1 awH.,Proc.Lond. Math. Soc., 30, 121 (1899).

Car s 1 awH.,Proc.Edinb. Math. Soc., 19, 71 (1901).

Оse e nC.W.,Ark.Math. Astr. Fys., 7, Nr. 25 (1911).

Lamb H., Proc. Lond. Math. Soc., 8, 422 (1910).

О s e e n C. W., Ark. Math. Astr. Fys., 7, Nr. 34, 40 (1911).

Wiegrefe A., Ann. d. Phys., 39, 449 (1912).

Wiegrefe A., Ann. d. Phys.. 42, 1241 (1913).

Lande A., Ann. d. Phys., 48, 521 (1915).

Macdonald H. M., Proc. Lond. Math. Soc., 14, 410 (1915).

Raman C., Krishnan K., Proc. Roy. Soc., A116, 254 (1927).

Hanson E. T., Phil. Trans. Roy. Soc., A237, 48 (1938).

Friedlander F., Proc. Roy. Soc., A186, 322 (1946).

Friedlander F., Quart. Journ. Meeh. Appl. Math., 4, 344 (1951).

Copson E. T., Proc. Roy. Soc., A202, 277 (1950).

С 1 e m m о w P. C., Quart. Journ. Meeh. Appl. Math., 3, 377 (1950).

С 1 e m m о wP.C.,Proc. Roy. Soc., A205, 286 (1951).

S e n i о rT.B.A.,Proc. Roy. Soc., A213, 436 (1952).

SeniorT.B.A.,Quart. Journ. Meeh. Appl. Math., 6,101(1953).

P e t e r sA.S.,S tо k e r J. J., Comm. Pure Appl. Math.,7,565(1954).

Вандакуров Ю. В., ЖЭТФ, 26, 3 (1954).

Woods В. D., Quart. Journ. Meeh. Appl. Math., 10, 90 (1957).

К a r p S. N., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-108 (1957).

W a i t J. R., Canad. Journ. Phys., 35, 693 (1957).

Wi 11 i a m s W. E., Quart. Journ. Meeh. Appl. Math., 10, 210 (1957).

Will iams W. E., Canad. Journ. Phys., 38, 507 (1960).

Burger A. P., Proc. Roy. Soc., A252, 411 (1959).

G о u у L. G., Compt. Rend., 96, 697 (1883)

G о u у L. G., Compt. Rend., 98, 1573 (1884).

Gouy L. G., Compt. Rend., 100, 977 (1885).

G о u у L. G., Ann. Chim. Phys., 8, 145 (1886).

Wien W., Wied. Ann., 28, 117 (1886).

M a e у E., Wied. Ann., 49, 69 (1893).

J e n t z s c h F., Ann. d. Phys., 84, 292 (1927).

Savornin J., Ann. de pbys., 11, 129 (1939).

Horton C. W., Watson R. B., Journ. Appl. Phys., 21, 16 (1950).

H a r d e n B. N., Proc. Inst. Electr. Engrs., 99, III, 229 (1952).

7. К о d i s R. D., Journ. Appl. Phys., 23, 249 (1952).

Row R. V., Journ. Appl. Phys., 24, 1448 (1953).

McDonald K. L., H a r r i s F. S., Journ. Opt. Soc. Amer., 42, 321 (1952).

BraunbekW., L a u к i e nG.,Optik,9,174(1952).

Ca r s 1 a w H.S., Phil. Mag., 5,374(1903).

Ca r s 1 a w H.S., Proc. bond. Math.Soc., 18,291(1920).

Re i c h e F., Ann. d. Phys., 37,131(1912).

Macdonald H. M., Electric Waves, Cambridge, 1902.

Teisseyre R.» Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. Ill, 3, 157 (1955).

Bromwich T. J. Га, Proc. bond. Math. Soc., 14, 450 (1916).

7. Rubino wicz A., Math. Ann., 96, 648 (192 7).

Sollfrey W., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-45 (1952).

Garnier H. G., Bull. Soc. Roy. Sci., Liege, 21, 119, 207 (1952).

H e r g 1 о t z G., Math. Ann., 124, 219 (1952).

Oberhettinger F., Comm. Pure Appl. Math., 7, 551 (1954).

Teisseyre R., Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. Ill, 3, 523 (1955).

Teisseyre R., Nuovo Cimento, X2, 869 (1955).

T e i s s e у r e B., Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. Ill, 4, 433 (1956).

J о n e s D. S., Pid duck F. B., Quart. Journ. Math., 1, 229 (1950).

F e 1 s e n L. B., McGill Symposium, Montreal, 1953.

S e m i о r T. B. A., Univ, of Michigan, Studies in Radar Cross Section, 25 (1957).

К a r a 1 F. С., К a r p S. N., Comm. Pure Appl. Math., 11, 495 (1958).

К a r a 1 F. G., К a r p S. N., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-123 (1959).

Mа л ioжи н e ц Г. Д., ДАН СССР, 121, вып. 3, № И(1958).

Ма люжинец Г. Д., Ann. d. Phys., 6, 107 (1960).

Williams W. E., Proc. Cambr. Phil. Soc., 55, 195 (1959).

Кa r pS.N., N.Y. Univ. Res. Rep., No. EM-129 (1959).

Кa r pS.N., Кa r a 1 F. C., Comm. Pure Appl. Math.,12,435 (1959).

Karp S. N., К a r a I F. C., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-124 (1959).

Nussenzveig H. M., Phil. Trans. Roy. Soc., A252, 1, 31 (1959).

PaulUW., Phys. Rev., 54, 924 (1938).

С о p s о n E. T., Quart. Journ. Math., 17, 19 (1946).

Magnus W., Zs. f. Phys., 117, 168 (1941).

Schmeidler W., Integralgleichungen, 2. AufL, Leipzig, 1955.

К a r p S. N., Karal F. C., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-145 (1959).

Jones D. S., Quart. Journ. Math., 2, 189 (1952).

H о n 1 IL, Westpfahl K., Planckfestschrift, Berlin, 1958.

M a u e A.-W., Zs. angew. Math. Meeh., 33, 1 (1953).

Wieghardt K., Zs. Math. Phys., 55, 60 (1907).

Franz W., Zs. f. Phys., 125, 563 (1949).

Franz W., Proc. Phys. Soc., A63, 925 (1950).

M aey E., Ann. d. Phys., 49, 69 (1893).

Rubinowicz A., Ann. d. Phys., 53, 257 (1917).

К о t t 1 e r F., Ann. d. Phys., 70, 405 (1923).

I gnatowsky W. v., Ann. d. Phys., 77, 589 (1925).

L о c, van Ph., Compt. Rend., 244, 1470 (1957).

Wien W., Jber. der deutsch. Math. Ver., 15, 42 (1906).

Sieger B., Ann. d. Phys., 27, 622 (1908).

Aichi K., Proc. Tokyo Math. Phys. Soc., 4, 966 (1908).

Strutt M. J. O., Zs. f. Phys., 69, 597 (1931).

Morse P. M., Rubenstein P. J., Phys. Rev., 54, 895 (1938).

P e 1 1 a m R. J., Journ. Acoust. Soc. Amer., 11, 396 (1940).

Ska vie m S., Arch. Math. Naturv., 51, 61 (1951).

М о u 1 1 i n Е. В., Phillips F. М., Proc. Inst. Electr. Engrs. IV, 99, 139 (1952).

Levy B., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-121 (1958).

Kazarinoff N. D., R i t t R. K., Univ, of Michigan, Res. Inst. Rep. No. 5 (1959).

Keller J.B., Levy В. R., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-147 (1959).

McLachlan N. W., Theory and Applications of Mathieu Functions, Oxford, 1947. (См. перевод: IL В. M а к-Л a x л a u, Теория и приложения функций Матье, М., 1953.)

Meixner J., Schafke F. W., Mathieusche Funktionen und Spharoidfunk- tionen, Berlin, 1954.

Miles J. W., Journ. Math. Phys., 28, 223 (1950).

7. Dorr J., Zs. angew. Math. Phys., 3, 42 7 (1952).

Rayleigh, Phil. Mag., 43, 259 (1897).

129/R а у 1 e i g h, Proc. Roy. Soc., A89, 194 (1913).

Muller R., W e s t p f a h 1 K., Zs. f. Phys., 134, 245 (1953).

Bou wkamp C. J., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-50 (1953).

Karp S. N., К a r a 1 F. C., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-146 (1960).

N omura Y., Katsura S., Journ. Phys. Soc. Japan, 12, 190 (1957).

Magnus W., Oberhettinger F., Formein und Satze fur die speziellen Funktionen der mathematischen Physik, 2. Aufl., Berlin, 1948.

Schmeidler W., Integralgleichungen mit Anwendungen in Physik und Technik, 2. Aufl., Leipzig, 1955.

Levine H., Schwinger J.. Phys. Rev., 74, 1212 (1948).

Groschwitz E., H 6 n 1 H., Zs. f. Phys., 131, 305 (1952).

H 6 n 1 H., Z i in m e r E., Zs. f. Phys., 135, 196 (1953).

Tranter C. J., Quart. Journ. Meeh. Appl. Math., 7, 317 (1954).

В о u w k a m p C. J., Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., 53, 654 (1950).

Hoop A. T., Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., 58, 325 (1955).

Hoop A. T., Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., 58, 401 (1955).

T itchmarch E. C., Theory of Fourier-Integrals, Oxford, 1937. (См. перевод: E. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье, М., 1948.)

Schwarzschild К., Math. Ann., 55, 177 (1902).

Fox Е. N., Phil. Trans. Roy. Soc., A241, 71 (1948).

F о x E. N., Phil. Trans. Roy. Soc., A242, 1 (1949).

Fox E. N., Proc. Roy. Soc., A221, 398 (1952).

W e s t p f a h 1 K., Ann. d. Phys., 4, 283 (1959).

Burger A. P., Thesis, Delft, 1955.

T i m m a n R., Trans. IRE, AP-4, 209 (1956).

Imai I., Trans. IRE, AP-4, 323 (1956).

С 1 e m m о w P. C., Trans. IRE, AP-4, 282 (1956).

Karp S. N., R u s s e k A., Journ. Appl. Phys., 27, 886 (1956).

Keller J. B., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-92 (1956).

Keller J. B., Journ. Appl. Phys., 28, 426 (1957).

Levine H., Stanford Univ. Appl. Math. Stat. Lab. Techn. Rep., No. 61 (1957).

Levine H., Journ. Appl. Phys., 30, 1673 (1959).

Millar R. F., Proc. Cambr. Phil. Soc., 54, 479, 497 (1958).

Karp S. N., К e 1 1 e r J. B., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-143 (1959).

Tang C. L., Harvard Univ. Cruft Lab. Techn. Rep., No. 297 (1959).

E г d ё 1 у i A., Papas С. H., Proc. Nat. Acad. Sci., 40, 128 (1954).

Seshadri S. R., Harvard Univ. Cruft Lab. Sci. Rep., No. 17, 20 (1958).

К i n g R. W. P., W u T. T., The Scattering and Diffraction of Waves, Cambridge, Mass., 1959. (См. перевод: P. К и ы г, У Та й-ц з у н ь, Рассеяние и дифракция электромагнитных волн, ИЛ, 1962.)

Hull G. F., Journ. Phys., 17, 559 (1949).

L о m m е 1, von E., Abh. bayer. Akad., 15, 531 (1886).

Hartnagel W., Kappler E., Zs. Naturforsch., 4a, 498 (1949).

Burkhardt H., Abh. bayer. Akad., 64, 1 (1954).

Alldredge L. R., Harvard Univ. Cruft Lab. Techn. Rep., No. 176 (1953).

Hirschfeld J. L., Z j e m a n С. M., Journ. Appl. Phys., 26, 135 (1955).

Morse P. M., Rubenstein P. J., Phys. Rev., 54, 895 (1938).

Karp S. N., Russek A., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-75 (1955).

Seshadri S. R., W u T. T., Harvard Univ. Cruft Lab. Sci. Rep., No. 23 (1958).

Seshadri S. R., W u T. T., Trans. IRE, AP-8, 37 (1960).

Miles J. W., Phys. Rev., 75, 695 (1949).

Stratton J. A., Spheroidal Wave Functions, New York, 1956.

176. Maclaurin R. C., Trans. Cambr. Phil. Soc., 17, 41 (1898).

17 7. Hanson E. T., Phil. Trans. Roy. Soc., A232, 223 (1933).

178.

179.

180.

181.

182.

183.

184.

185.

186.

187.

188.

189.

Hanson E. T., Phil. Trans. Roy. Soc., A232, 223 (1933).

Г у т и н Л., ЖТФ, 4, 404 (1937).

В о u w к a m p C. J., Dissertation, Groningen, 1941.

Spence R. D., Journ. Acoust. Soc. Amer., 20, 380 (1948).

Spence R. D., Journ. Acoust. Soc. Amer., 21, 98 (1949).

Spence R. D., Phys. Rev., 73, 126 7 (1948).

Spence R.D., Leitner A., Phys. Rev., 74, 349 (1948).

Storruste A., Nor. Vid. Selsk. Forb., 21, 84, 88 (1948).

Storruste A., Wergeland H., Nor. Vid. Selsk. Forh., 21, 38, 43 (1948).

Storruste A., W ergeland H., Phys. Rev., 73, 1397 (1948).

Meixner J., F r i t z e U., Zs. angew. Phys., 1, 535 (1949).

Leitner A., Journ. Acoust. Soc. Amer., 21, 331 (1949).

N i m u r a T., Sci. Rep. Tohoku Univ., Bl/2, 381 (1951).

190. N i m u r a T., Watanabe Y., Techn. Rep. Tohoku Imp. Univ. Sendai, 14, 79 (1950).

191.

192.

193.

194.

195.

196.

N i m u r a

T., Watanabe Y., Journ. Acoust. Soc. Amer., 25, 76 (1953).

Wiener F. M., Journ. Acoust. Soc. Amer., 21, 334 (1949).

Wiener

Wiener

F. M., Journ. Acoust. Soc. Amer., 22, 47 (1950).

F. M., Journ. Acoust. Soc. Amer., 23, 697 (1951).

A w a t a n i J., Mem. Inst. Sci. Industr. Res. Osaka Univ., 9, 24 (1952).

Spence R. D., Granger S., Journ. Acoust. Soc. Amer., 23, 701 (1951). 197. M 6 g 1 i c h F., Ann. d. Phys., 83, 609 (1927).

Meixner J., Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, 2, 74 (1946).

~

200.

201.

202.

203.

204.

205.

206.

207.

208.

209.

210.

211.

212.

213.

214.

215.

216.

217.

218.

219.

220.

221.

Meixner

J., Zs. Naturforsch., 3a, 506 (1948).

J., Andrejewski W., Ann. d. Phys., 7, 157 (1950).

F 1 a m m e r C., Journ. Appl. Phys., 24, 1224 (1953).

Meixner

Andre jews к i W. Andrejewski W

Naturwissensch., 38, 404 (1951).

Dissertation, Aachen, 1952.

Andrejewski W., Zs. angew. Phys., 5, 178 (1953).

Schmitt H. J., Harvard Univ. Cruft Lab. Sci. Rep., No. 14 (1957).

N omura Y., KatsuraS., Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ., B10, 1 (1958).

Tang C. С.-H., Harvard Univ. Cruft Lab. Sci. Rep., No. 15 (1958).

Bouwkamp C. J., Philips Res. Rep., 5, 321, (1950).

F 1 a m m e r C., Stanford Res. Inst. Techn. Rep., No. 27 (1952).

В о u w к a m p C. J., Philips Res. Rep., 5, 401 (1950).

Bouwkamp C. J., Phys. Rev., 75, 1608 (1949).

Bouwkamp C. J., Physica, 16, 1 (1950).

A~ T.

A A

n n n

And And And And

drew drew drew

r e w

s s s s

C.

L., Journ. Appl. Phys., 21, 761 (1950).

C. L., Journ. Appl. Phys., 22, 520 (1950).

r e w s r e w s r e w s

L., Phys. Rev., 69, 684 (1946).

L., Phys. Rev., 71, 777 (1947).

L., Phys. Rev., 74, 1231 (1948).

C. C.

C. c. c.

R.

R.

Phys. Rev., 78, 344 (1950).

Amer. Journ. Phys., 19, 280 (1951).

L

L., E., N о b 1 e R. N., Journ. Appl. Phys., 22, 1295 (1951). E., N о b 1 e R. N., Phys. Rev., 85, 732 (1952).

222. В e к e f i G., W о о n t о n G. A., McGrill Univ. Eaton Elec. Res. Lab. Techn.

Houston H о u s t о n

Rep., No. 241 (1952).

Silver S., Ehrlich M. J., H e 1 d G., Univ, of California, Anten. Lab. Rep. No. 185 (1952).

Huang С., К о d i s R. D., Harvard Univ. Cruft Lab. Techn. Rep., No. 165 (1953).

Robinson H. L., Journ. Appl. Phys., 24, 35 (1953).

Ehrlich M. J., Silver S., Held G., Journ. Appl. Phys., 26, 336 (1955).

Primakoff H., Klein M. J., К e 1 1 er J. В., Cartensen E. L.? Journ. Acoust. Soc. Amer., 19, 132, 515 (1947).

Severin H., Starke C., Acustica, Akust. Beih., 2, 59 (1952).

Severin H., Zs. Naturforsch., 1, 487 (1946).

Meixner J., Ann. d. Phys., 12, 227 (1953).

Bardeen J., Phys. Rev., 36, 1482 (1930).

Leitner A., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-19 (1950).

Leitner A., Spence R. D., Journ. Appl. Phys., 21, 1001 (1950).

S torr er J. E., Journ. Appl. Phys., 22, 1058 (1951).

S t о r r e r J. E., Journ. Appl. Phys., 23, 588 (1952).

К о t a n i M., Proc. Phys.-math. Soc. Japan, 15, 30 (1933).

23 7. Huang С., Harvard Univ. Cruft Lab. Techn. Rep., No. 163 (1953).

Keller J. B., Lewis R. M., S e с к 1 e r B. D., Journ. Appl. Phys., 28,

570 (1957).

Levine H., W u T. T., Stanford Univ. Appl. Math. Stat. Lab. Techn. Rep., No. 71 (1957).

Rayleigh, Phil. Mag., 44, 28 (1897).

Rayleigh, Sci. Papers, 4, 283, 305 (1903).

Hart R. W., Montroll E. W., Journ. Appl. Phys., 2, 1275 (1951).

Anders T., Zs. f. Phys., 135, 219 (1953).

Nomura Y., Katsura S., Journ. Phys. Soc. Japan, 10, 385 (1955).

Leitner A., W e 1 1 s С. P., Michigan State Univ. Dept. Math, and Phys. Inter. Techn. Rep., No. 1 (1955).

J о n e s D. S., Comm. Pure Appl. Math., 9, 713 (1956).

В a z e r J., В г о w n A., N. Y. Univ. Res. Rep. No. EM-144 (1959).

King L. V., Proc. Roy. Soc., A153, 1 (1936).

Sommerfeld A., Ann. d. Phys., 42, 389 (1942).

Sommerfeld A., Ann. d. Phys., 2, 85 (1948).

В r a u m a n n H., Zs. Naturforsch., 3a, 340 (1948).

Miles J. W., Acoustica, 2, 287 (1952).

Miles J. W., Journ. Acoust. Soc. Amer., 24, 324 (1952).

В о u w к a m p C. J., Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Amsterdam, 52, 987 (1949).

Bethe H. A., Phys. Rev., 66, 163 (1944).

С о p s о n E. T., Proc. Roy. Soc., A186, 100 (1946).

Levine H., Schwinger J., Phys. Rev., 75, 1608 (1949).

Severin PL, Zs. angew. Phys., 2, 499 (1950).

Severin H., Baeckmann W., Zs. angew. Phys., 3, 22 (1951).

Ehrlich M. J., Thesis, Univ, of California, 1951.

Braunbek W., Zs. f. Phys., 127, 405 (1950).

Мирим а и on P. Г., ДАН СССР, 61, 617 (1948).

Мирима п ов P. Г., ДАН СССР, 67, 65 (1949).

Braunbek W., Zs. f. Phys., 127, 381 (1950).

F r a h n W., Diplomarbeit, Techn. Hochschule, Aachen, 1951.

H о о p A. T., Appl. Sci. Res., B4, 151 (1954).

Braunbek W., Zs. f. Phys., 138, 80 (1954).

Keller J. B., L e v i s R. M., S e с к 1 e r B. D., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-96 (1956).

Levine H., N. Y. Univ. Res. Rep. No. EM-84 (1955).

Levine H., Stanford Univ. Appl. Math. Stat. Lab., Techn. Rep. No. 51 (1956).

Westpfahl K., Ann. d. Phys, (в печати).

S e s h a dr iS. R., W u T. T., Harvard Univ.Cruft Lab. Sci. Rep., No.16(1958).

S e s h a dr iS. R., W u T. T., Trans. IRE,AP-8, 27 (1960).

HuangC.,Harvard Univ. Cruft Lab. Techn. Rep. No. 164 (1953).

HuangС.,К о d i s R. D., L e v i n e H.,Journ. Appl. Phys., 26,151(1955).

Chang H. H., Harvard Univ. Cruft Lab. Sci. Rep. No. 2 (1955).

Levine IL, S c h w in ger J., Phys. Rev., 74, 958 (1948).

Levine H., Schwinger J., Phys. Rev., 75, 1423 (1949).

Levine H., Schwinger J., Comm. Pure Appl. Math., 3, 355 (1950).

Magnus W., N. Y. Univ. Res. Rep. No. EM-32 (1951).

Magnus W., Quart. Appl. Math., 11, 77 (1953).

Magnus W., N. Y. Univ. Res. Rep., No. EM-80 (1956).

Watson G. N., Theory of Besselfunctions, Cambridge, 1944. (См. перевод: Г. H. В а т с о и, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949.)

ГЛАВА V

Дифракция на выпуклых телахбез углов

ДИФРАКЦИЯ НА КРУГЛОМ ЦИЛИНДРЕ

Дифракция на круглом цилиндре, так же как и разобранные в гл. IV три задачи о плоских экранах, представляет задачу с разделяющимися переменными. С помощью разделения переменных в волновом уравнении в цилиндрических координатах г, й краевая задача была впервые решена Рэлеем (1882 г.). Получающиеся при этом решения в виде ряда по тригонометрическим функциям (описывающим зависимость от й) и цилиндрическим функциям целого индекса (описывающим зависимость от г) стали предметом многочисленных исследований. Чтобы установить связь с теорией, изложенной в гл. III, § 4, мы в дальнейшем построим решение с помощью интегрального уравнения для поверхностного тока, что приводит, естественно, к такому же результату, как и разделение переменных.

Ряды сходятся достаточно быстро (для численных расчетов) только в том случае, когда радиус цилиндра а не превосходит существенно длины волны X (при г — ка — 2ла1Х < 1 мы имеем предельный случай Рэлея). Хотя ряды и сходятся для всех 8, однако число членов ряда, которые следует учитывать, имеет тот же порядок величины, что и 8. При большом объеме вычислений (с использованием вычислительных машин) ряды можно вычислять практически, если 8 не превосходит 10 [Лован, Морс, Фешбах, Лакс (1946 г.)]. Отдельные члены ряда можно интерпретировать как излучение соответствующих (линейных) мультиполей. С возрастанием 8 приходится учитывать все больше таких (незатухающих) волн; таким образом, характеристика излучения все более усложняется. Только в предельном случае (при 8 —> оо) устанавливаются простые соотношения геометрической оптики.

Если случай Рэлея (е < 1) соответствует разложению в ряд по возрастающим степеням 8, то в предельном случае геометрической оптики следует искать асимптотические разложения по убывающим (дробным) степеням 8. Согласно Дебаю (1908 г.), такие разложения можно получить, если представить строгое решение в виде двойного интеграла Фурье и вычислить его асимптотическое значение с помощью метода стационарной фазы (или метода перевала). Однако результаты самого Дебая не выходят за рамки предельного случая геометрической оптики. Только недавние исследования [Фок (1946 г.), Франц и Депперман (1952 г.)] показали, что асимптотические разложения для круглого цилиндра, соответствующие предельному случаю геометрической оптики, содержат нечто новое по сравнению с асимптотическими разложениями решения соответствующей задачи для плоских экранов. Именно, в этих разложениях наряду с убывающими степенями 8 появляются еще члены, которые 22 Заказ № 13

можно интерпретировать как некоторого рода собственные волны) [или, лучше, «ползущие волны» (Kriechwellen)].

Это положение вещей можно описать в смысле геометрической теории дифракции [Келлер (1955 г.); ср. гл. II, § 3] следующим образом. «Дифрагированные лучи», идущие вдоль поверхности гладкого рассеивающего тела от границы тени, экспоненциально ослабевают вследствие непрерывного отщепления от них тангенциальных «вторичных лучей». Таким образом, дифрагированному лучу соответствует тем сильнее затухшая (при огибании цилиндра) волна, чем большая дуга этого луча лежит на поверхности цилиндра. (В случае плоских экранов дифрагированные лучи должны огибать лишь ребро с бесконечно большой кривизной, так что они не испытывают затухания.) Выражаясь иначе, можно сказать, что в геометрооптическое распределение поверхностного тока при не очень больших е следует внести поправку на «ползущие токи», текущие по поверхности тела, начиная от границы тени, и экспоненциально затухающие с расстоянием вследствие излучения). Эти «ползущие токи» получаются как решение (соответствующим образом упрощенных) однородных интегральных уравнений для поверхностных токов (см. п. 76). Соответственно имеется бесконечная последовательность констант затухания (не зависящих, естественно, от вида возбуждения). Таким образом, можно говорить о затухающих собственных волнах.

Ползущие волны, излучаемые «ползущими токами» (постоянная затухания которых, пропорциональная е1/, велика при достаточно больших е), уже давно известны в теории распространения радиоволн вокруг сферической Земли как волны, соответствующие «ряду вычетов» («Resi- duenwellen»). Они были получены с помощью метода Ватсона (1918 г.), преобразовавшего ряд, выражающий решение задачи, в интеграл по контуру в комплексной плоскости индекса, который может быть вычислен с помощью теории вычетов (см. п. 140). В случае круглого цилиндра это преобразование Ватсона также представляет прямой аналитический метод исследования ползущих волн на основе разложения в ряд строгого решения [Франц и Имаи (1954 .)]. Ниже мы рассмотрим упомянутые методы и связи между ними несколько подробнее, так как выявляющиеся при этом физические особенности характерны для всех задач дифракции на гладких телах. Тогда мы сможем, используя аналогию, кратко обсудить практически более важную, но и более сложную задачу о сфере.

а. Представление решения в виде ряда

по незатухающим волнам

Решение интегрального уравнения. Пусть на бесконечно длинный идеально проводящий цилиндр радиусом а падает плоская волна, направление распространения которой перпендикулярно оси цилиндра, т. е. оси 2 цилиндрических координат г, й, 2 (фиг. 95):

у0(г, й) = ехр (—• ikr cos й).(137.1)

(137.3)(137.3)Фиг. 95. К дифракции на круглом цилиндре.Фиг. 95. К дифракции на круглом цилиндре.(137.4's)(137.4's)

(137.3)

(137.3)

Фиг. 95. К дифракции на круглом цилиндре.

Фиг. 95. К дифракции на круглом цилиндре.

(137.4's)

(137.4's)

Тогда для двух различных направлений поляризации мы должна решить следующие краевые задачи (не зависящие от 2):

(А + ^2)у(г, ^-0"(137.2)

с краевым условием и (а, ^) = 0(72-случай),

^Ц—^ — о(s-случай).

Их решения, согласно (76.1р) и (76.1s), можно представить в виде

для 72-случая:

Уц (г, -О) = ехр'( — ikr cos Ф) —

2 л

-^-^И^^^Т?)^';(137.4р)

о

для s-случая:

у± (г> ^) ~ ехР (“ ^r cos'$) +

2Л

+-г S^ ^ -^ н^ № ^ <137-4$) о

где

R = |г — г' | = У г2 + я2 — 2яг cos (й1 — О').!

(137.5)

Индексы || и ± означают, что электрический вектор электромагнитного поля, выражаемого для р- и s-случаев соответственно формулами

^ — у [$grady[|],(137.4»

@ = - у (8 grad у±],х^ = §у±

направлен параллельно либо перпендикулярно оси цилиндра (ср. п. 4), Здесь § —единичный вектор в направлении оси цилиндра; А = to "j/coPo; х —Уц0/е0; ю —круговая частота, е0— диэлектрическая, ц0 ~ магнитная проницаемости однородной среды, в которую погружен цилиндр. Плотности поверхностных токов ^^ = ^-^^ _ и Ф1 = (^jjr^a следует определить из интегральных уравнений (76.6т?) и (76.7s). Так как^в нашем случае

| г — г' I = 2а | sin -^ |(137.5)

и

{^- {^ н1. <»„.=4 ^ "1 (2« I » D -

= — кН^ (2е | sin- ^^" |) |s™ ~у^' [ (^ = е},

(137.6)

22*

то эти уравнения принимают соответственно вид 2л

фц W+ir j t^')^! Q2e |sin^~2a I) jsin^^^-i^'^

— — 2ik cos й exp (— te cos й),

2л

Ф± W—It § ^1(^')^1 (2e |sin~T^"|) | sin 1 tZ»'= -0

= 2 exp (— 1г cos й).

(137.7p)(137.7p)(137.7s)(137.7s)Для решения этих интегральных уравнений Фредгольма второго рода разложим ядро (137.6) в ряд Фурье. При использовании теоремы сложения [1]

(137.7p)

(137.7p)

(137.7s)

(137.7s)

J„(kr") Н^кг') Jn(kr')H^kr)J„(kr") Н^кг') Jn(kr')H^kr)А г')>А г')>(137.8)(137.8)^о(^ Vг2 У г'2 — 2rr' cos ($ — $')) =

J„(kr") Н^кг') Jn(kr')H^kr)

J„(kr") Н^кг') Jn(kr')H^kr)

А г')>

А г')>

(137.8)

(137.8)

т. е.

(137.8')(137.8')Я^2е|8т^|) = 2 ЗДЯ/Де)^-»'),п~—ОО

(137.8')

(137.8')

искомое разложение получает вид

= Т 2 №.(«)ЯА(«) +Л(137.9)

здесь и в дальнейшем штрихом отмечаются производные цилиндрических функций по их аргументам. Разложим решение ф в ряд Фурье

^(6-)= 2 аУе^,(137.10)

п——ОО

а правые части уравнений (137.7/?) и (137.7s) разложим, используя представление плоской волны:

exp (— ikr cos й) — 2 Jn(kr)e ^ 2 ^;(137.10')

тогда, подставляя выражения (137.9) и (137.10) в уравнения (137.7), получаем

а(п) hyJ™^ (е) Hv (8) + Jn ^ Hv (е)]} = [ 2У» (е)’(137л !)

1312/п(е),

где верхний'знак соответствует /7-случаю, а нижний —s-случаю. Отсюда с ^помощью определителя Вронского

^ {/; (8) Н^ (8) - Jn У) HV (£)) = 1(137.12)

находим

(137.13/2)(137.13s)(137.13/2)(137.13s)(137/16)(137/16)

(137.13/2)

(137.13s)

(137.13/2)

(137.13s)

(137/16)

(137/16)

11 ле №п^ ’

-I ле НК (е) '

Для плотности аксиального или азимутального поверхностного тока, текущего по поверхности цилиндра, соответственно имеем

21к 5,

со I» (»-^)

W’>== ^^П^г-(137л4$)

Подставляя эти разложения в (137.4) и используя выражения (137.8) и (137.10'), приходим к представлению поля в виде'

»цМ) = 2(137.15/,)

00. / л \

v±(r, »)= 2 ^^-^ниЦе"^1.(137.15s)

Объединяя эти выражения, будем записывать в дальнейшем эти ряды в форме

« = 2 V"^-"^^^^(137.150

откуда при Q = 1 получается решение для /2-случая, а при Q=d/de — решение для s-случая. Эти разложения представляют ряды Рэлея для строгого решения рассматриваемой дифракционной задачи [2]х).

Коэффициент рассеяния, согласно выражению (101.7) [к которому добавлен множитель к~1/2 из соображений размерности], равен

где А (-6) — амплитуда рассеянной волны в дальней зоне (см. ниже).

С помощью асимптотического выражения для рассеянной волны

МгЛ)-*-^А^=-у — ех 4^^^2-е,(137.17)

!) В этой и в большинстве последующих работ рассматривается более общий случай — цилиндр с произвольным показателем преломления и цилиндрическая первичная волна. Плоская волна, падающая под углом к оси цилиндра, рассматривается в работах [3 — 5] (в работе [3] имеются ошибки). Источник, расположенный на конечном расстоянии, рассмотрен в работах [6, 7].

получающегося из формулы (137.15') при г—>оо, приходим к следующему выражению для коэффициента рассеяния:

^^п (8)ЙЯ1(8) ‘^^п (8)ЙЯ1(8) ‘(137.18)(137.18)

^^п (8)

ЙЯ1(8) ‘

^^п (8)

ЙЯ1(8) ‘

(137.18)

(137.18)

Анализ решения. В работах, последовавших за работой Рэлея), рассматривались главным образом приложения к акустическим задачам, а также задачам, связанным с техникой СВЧ, в которых параметр г — ка имеет порядок единицы; в этих случаях при численных расчетах можно обойтись несколькими первыми членами ряда (137.15). В последнее время, когда появились таблицы функций, представленных рядами (и соответствующих вспомогательных функций), для вычислений стала доступной вся область вплоть до е = 10).

Рассмотрим сначала предельный случай Рэлея (s < 1). Разлагая рассеянную волну (137.17) по степеням 8, получаем в первом приближении

■Р<г. »)-- V <138-1/,)

)

u(.> (г, й)82 Г4- + соз1?+ ... \ (138.1s) J-V ДгСГ\ Ду

где In у = 0,5772 —постоянная Эйлера. Для коэффициента рассеяния по формуле (137.16) находим [при этом в асимптотическом разложении (138.1s) нужно вычислить еще член, содержащий s, так как написанные члены не вносят вклада в коэффициент рассеяния (137.16)]

ан = —^<138'2^

а±=^+....(138.2s)

Таким образом, коэффициент рассеяния круглого цилиндра ведет себя при 8 < 1 аналогично коэффициенту рассеяния полосы шириной 2а [ср. (121.4) и (124.11)]. При произвольной поляризации первичного излучения рассеянное излучение поляризовано почти параллельно оси цилиндра.

Зависимость коэффициента рассеяния от 8 при больших значениях 8, полученная в результате численной оценки ряда (137.18), изображена на фиг. 96. На фиг. 97 изображена интенсивность обратного рассеяния £ точнее, величина -|-|A(0)|2J как функция 8), найденная с помощью

Фиг. 97. Обратное рассеяние идеально проводящего круглого цилиндра для ^-случая (электрическое поле параллельно оси) и для s-случая (поле перпендикулярно оси).Фиг. 97. Обратное рассеяние идеально проводящего круглого цилиндра для ^-случая (электрическое поле параллельно оси) и для s-случая (поле перпендикулярно оси).ix cos a + Zv ( а —ix cos a + Zv ( а —(139.1)(139.1)

Фиг. 97. Обратное рассеяние идеально проводящего круглого цилиндра для ^-случая (электрическое поле параллельно оси) и для s-случая (поле перпендикулярно оси).

Фиг. 97. Обратное рассеяние идеально проводящего круглого цилиндра для ^-случая (электрическое поле параллельно оси) и для s-случая (поле перпендикулярно оси).

ix cos a + Zv ( а —

ix cos a + Zv ( а —

(139.1)

(139.1)

численной оценки ряда (137.17) [30]. Возникающие в s-случае колебания интенсивности обратного рассеяния можно интерпретировать как результат интерференции отраженной волны с обогнувшими цилиндр ползущими волнами (см. п. 146). (В p-случае ползущие волны настолько быстро затухают, что интерференция практически не возникает.)

На фиг. 120 изображена зависимость от 8 отношения полного поля на поверхности цилиндра в s-случае к полю первичной волны, т. е. величины ф^(й) exp (Ze cos й) (см. [34]), причем слева отложена

Фиг. 96. Коэффициент рассеяния идеально проводящего круглого цилиндра для двух направлений поляризаций. оц — электрический вектор параллелей оси цилиндра, o_L —перпендикулярен ей.

величина 20 lg | ipj_ (й) ( (выраженная, как обычно в акустике, в децибелах), а справа —- разность фаз между фдДб’) и и0(а, й), т е. arg {ipj_ (^ exp (Ze cos й1)}. Эти кривые представляют результат численного анализа ряда (137.14s) в области 0<е<10 (0 рассматривается как параметр).

Ниже мы займемся несколько подробнее аналитическим представлением поля в случае высоких частот (е > 1), примыкающем к случаю геометрической оптики. Для "этого представления нам понадобятся некоторые результаты из теории цилиндрических функций.

Об асимптотическом представлении цилиндрических функций. Дадим теперь общее представление о поведении цилиндрических функций с большим (положительным вещественным) аргументом и произвольным (комплексным) индексом. Следуя Дебаю [35, 36] (см. также [37 — 39]), мы получаем асимптотические выражения для цилиндрических функций, применив метод перевала к интегральному представлению Зоммерфельда для цилиндрических функций:

с

При этом получаются функции Н^ (ж), Н^ (ж) или 2Д (ж) в зависимости от того, выберем ли мы в качестве контура интегрирования С

на плоскости а кривые С-^ 64 или Со (фиг. 98) (для обеспечения сходимости интеграла контур С должен уходить в бесконечность в заштрихованных областях, где подынтегральная функция убывает). Обозначим для краткости показатель экспоненты в подынтегральной функции (139.1) через i{a(a) + л/4}, т. е. положим

о (а) 4- -^- = ж cos а-|- v (^а —.(139.2)

Точки перевала as определяются равенством da/da=0, т. е.

(139.3)(139.3)sinas = — , as = аге sin —.

(139.3)

(139.3)

Ж ’X

В полосе 0<Rea<n при любых х и v всегда имеются щве точки перевала; в силу равенства sin (л — as) = sinas они расположены

Фиг. 98. Контуры интегрирования для представления цилиндрических функций по Зоммерфельду (метод перевала).Фиг. 98. Контуры интегрирования для представления цилиндрических функций по Зоммерфельду (метод перевала).

Фиг. 98. Контуры интегрирования для представления цилиндрических функций по Зоммерфельду (метод перевала).

Фиг. 98. Контуры интегрирования для представления цилиндрических функций по Зоммерфельду (метод перевала).

симметрично относительно точки a = л/2. Разложив показатель экспоненты в окрестности точки перевала

(139.24(139.24о (a) = a (as) — -|- cos as (а — as)2 4- . ..

(139.24

(139.24

и вычислив интеграл Лапласа, получающийся при подстановке разложения (139.24 в выражение (139.1), найдем вклад каждой точки перевала в интеграл (139.1):

' (139.4)

Учитывая выражения (139.3), введенные здесь величины

сать в следующем виде:

Q Ы = ]/

2

лж cos as

можно запи-

(139.5а)

(139.56)

Ф и г. 99. Разбиение плоскости as линиями Im о = О [см. (139.7)].Ф и г. 99. Разбиение плоскости as линиями Im о = О [см. (139.7)].

Ф и г. 99. Разбиение плоскости as линиями Im о = О [см. (139.7)].

Ф и г. 99. Разбиение плоскости as линиями Im о = О [см. (139.7)].

х cos as-j- v (^as — у-^ =^ {cos as +

+ ({cis —-^ sin Ц ,(139.6а)

V— v2 — v arccos ^-,(139.66)

— i ^]/v2 — ж2 — v ArCh ^^ =

~ — i (V^2 ~ v lnv 1 "^—— ^.(139.6b)

Здесь надлежит еще установить выбор знака в формуле (139.4) и выбор

ветвей многозначных функций. Верхний знак в показателе экспоненты

в формуле (139.4) выбирается для точки перевала as, нижний— для точки л —as. Таким образом, определяющей является та или другая точка перевала в зависимости от того, положительна или отрицательна мнимая часть o(as) (вклад другой точки перевала экспоненциально мал). Только в том случае, когда Ima(a5) = 0, обе точки перевала дают вклад одного порядка. Линии

Ima(as) =

= 0 —> Im {cos as 4- (^s— 4^sin as{ — 0

(139.7) на комплексной плоскости as изображены на фиг. 99. Исследуем теперь, через какую точку перевала должен быть проведен контур, изображенный на фиг. 98, чтобы он шел от точки перевала вдоль линии быстрейшего спуска и уходил в бесконечность в заштрихованных областях, а также установим, когда этот контур должен быть проведен через два перевала одинаковой высоты (которые лежат на, линии Ima = 0).

Результат (детальное обоснование которого можно найти в работе Дебая, а упрощенное — в работе Франца) мы представим на комплексной плоскости у, правая полу-

плоскость которой получается конформ

ным отображением v = xsinas из полосы 0<Reas< л/2 на комплексной плоскости as. Это изображено на фиг. 100, где приведены асимптотические выражения Дебая для цилиндрических функций, справедливые в различных областях, на которые плоскость v разделена линиями Ima = 0; эти выражения получены вычислением вклада определяющей точки перевала согласно формуле (139.4). В заштрихованных окрестностях линий Im a = 0 для одной из цилиндрических функций следует учитывать обе точки перевала, что приводит к тригонометрическим

асимптотическим выражениям, указанным на фиг. 100. В этих областях и лежат, очевидно, нули соответствующих цилиндрических функций. Асимптотические выражения для левой полуплоскости получаются из выражений для правой полуплоскости с помощью соотношений

(139.8)(139.8)Н^ (ж) = е-*™Н% (ж), Н^ (я) = е^Н^ (ж), 2/v(x) = е-^НLv (ж) + е^н^ (ж).

(139.8)

(139.8)

Далее следует учесть, что при 0<Веа8<л/2 переходу v—>— v соответствует переход а5—> —а5; таким образом, согласно (139.6а), имеем

(139.9)(139.9)о (— v, — а5) = о (v, as) + лv.

(139.9)

(139.9)

Ветви функций в выражениях (139.5) и (139.6) должны быть выбраны так, чтобы для вещественных положительных v в выражениях (139.5а)

Плоскость

Ima <0Ima <01тО <01тО <0i(o+2nv)i(o+2nv)ЛОЛО[та >0[та >0-QeQe1-QeQe1Q»10Q»10НуШ—21 Qel7T sin (a+nvi.НуШ—21 Qel7T sin (a+nvi.Hy(x)*-2iQe1?Tvsm (ыи)Hy(x)*-2iQe1?Tvsm (ыи)lm(a^v)=olm(a^v)=oIm(o+nv)-0Im(o+nv)-0Z®-7°Jvtt)—^el°Z®-7°Jvtt)—^el°H^fm—Qe*0 Н2№—<?ё1° Ju(i)—^ei0H^fm—Qe*0 Н2№—<?ё1° Ju(i)—^ei0H^D—Qe10 H2(x)-Qe"l° Jv(x) — ^el°H^D—Qe10 H2(x)-Qe"l° Jv(x) — ^el°vv1т а >01т а >01та=01та=0ImJ-0ImJ-0Ima <вIma <в[та >0[та >0H£(x)-* -2i QsmaH£(x)-* -2i QsmaHv(x)—2iQ sin aHv(x)—2iQ sin aH^ m — -Qe10 H2№)-Qe'° Jv(x) — ^eioH^ m — -Qe10 H2№)-Qe'° Jv(x) — ^eioH^n — Qe10 H2foi —-Qe10Jv (x) — /7°H^n — Qe10 H2foi —-Qe10Jv (x) — /7°7 777777/ «L.KD—Qcosa, T7ZZ7 777777/ «L.KD—Qcosa, T7ZZH>)Hy(x)JvWH>)Hy(x)JvW'777777}Juto—Qcosa

Ima <0

Ima <0

1тО <0

1тО <0

i(o+2nv)

i(o+2nv)

ЛО

ЛО

[та >0

[та >0

-Qe

Qe1

-Qe

Qe1

Q»10

Q»10

НуШ—21 Qel7T sin (a+nvi.

НуШ—21 Qel7T sin (a+nvi.

Hy(x)*-2iQe1?Tvsm (ыи)

Hy(x)*-2iQe1?Tvsm (ыи)

lm(a^v)=o

lm(a^v)=o

Im(o+nv)-0

Im(o+nv)-0

Z®-7°

Jvtt)—^el°

Z®-7°

Jvtt)—^el°

H^fm—Qe*0 Н2№—<?ё1° Ju(i)—^ei0

H^fm—Qe*0 Н2№—<?ё1° Ju(i)—^ei0

H^D—Qe10 H2(x)-Qe"l° Jv(x) — ^el°

H^D—Qe10 H2(x)-Qe"l° Jv(x) — ^el°

v

v

1т а >0

1т а >0

1та=0

1та=0

ImJ-0

ImJ-0

Ima <в

Ima <в

[та >0

[та >0

H£(x)-* -2i Qsma

H£(x)-* -2i Qsma

Hv(x)—2iQ sin a

Hv(x)—2iQ sin a

H^ m — -Qe10 H2№)-Qe'° Jv(x) — ^eio

H^ m — -Qe10 H2№)-Qe'° Jv(x) — ^eio

H^n — Qe10 H2foi —-Qe10

Jv (x) — /7°

H^n — Qe10 H2foi —-Qe10

Jv (x) — /7°

7 777777/ «L.KD—Qcosa, T7ZZ

7 777777/ «L.KD—Qcosa, T7ZZ

H>)

Hy(x)

JvW

H>)

Hy(x)

JvW

T/ZTZZ-

Фиг. 100. Асимптотические выражения Дебая для цилиндрических функций ^vM (^ > 1) в различных областях плоскости v [см. (139.4) — (139.6)].

и (139.66) мы имели (^с2—v2)-1^ > 0, 0 < arc соб(х/у)<л/2 при v < ж и 0 < as < л/2, а в выражениях (139.56) й (139.6в) имели (v2 —x2)“v4 > 0, ArCh(v/^) > 0 при v > х и Imas > 0. Точки v = ± х являются точками ветвления для асимптотических выражений Дебая; для исключения многозначности разрезы следует провести вдоль линий 1шо = 0. При переходе через разрез изменяется асимптотическое представление той цилиндрической функции, которая на самой линии разреза имеет тригонометрическое представление.

В частности, для вещественных положительных v из фиг. 100 получим, использовав выражения (139.5) и (139.6)*

при у < ж:

Я^1, 2) (ж) —> ^ — (ж2 — v2)-1^ exp -^+ i ^]/^2 — v2 — у arc cos'

(139.10)

Jv (х)1/^ — (^2 — v2)_1/4 cos ( ]/ж2 — у2 — у arc cos — —;

г ЛVя? 4ь У

при у > х:

Н^ ’ 2) (ж) —> Т i j/"-|- (у2 — ж2)~1/4 exp |v In ^12^^ „ ]/ v2 — х^ ,

(139.11)

J^ (г?) —> —1—(V2 — Ж2)-1/4 exp | — ^ V In V + Kv2 —^2 — у v2 ^.2 ^ *

Таким образом, при у < x цилиндрические функции очень медленно меняются по абсолютной величине с изменением у, в то время как при у > х (вследствие того что у In—yv-r>UJ при возрастании v функция 7V убывает быстрее, чем экспонента. Функции Н^'^ при этом возрастают быстрее, чем экспоненциально. Асимптотические выражения для цилиндрических функций при | v | —> оо в различных

Ф и г. 101. Асимптотические выражения цилиндрических функций в бесконечности на плоскости у.

областях комплексной плоскости у, полученные с помощью формул (139.6в) в случае | у | > ж, указаны на фиг. 101 (кроме ближайших окрестностей линий, на которых расположены нули рилиндрических функций; на этих линиях функции убывают как у-1/2).

В дальнейшем нам понадобятся еще нули уп и у^ функции Н^ (ж) и ее производной ЯУ (х) на комплексной плоскости у. Как видно

из фиг. 100, они лежат на линиях 1ша = 0, расположенных симметрично в первом и третьем квадрантах плоскости у [кроме yn, у^, нулями этих функций являются также в силу (139.8) и числа — уп, — 'v^]. Для нахождения нулей имеем, согласно (139.6а), уравнения

sino^O—>x^cosas+^as—i^ sin asJ —— ил, (139.12)

cos а — 0 —> х jcos аs + ^ а5 — -^- ^ sin as J —^- = — (2и +1) 4у-,

(139.12')

где и —целое положительное число; отрицательные знаки в правых частях выбраны для того, чтобы нули лежали в первом квадранте. Так как х> 1, величина [as —л/2| при не слишком больших п должна быть мала: |as — л/2|<1. Если разложить левые части написанных выше уравнений по степеням as —л/2, то первый член будет содержать (as — л/2)3. Извлекая корень и переходя с помощью формулы у = х sin as = = ^{1 — ^(as--л/2)2Н- ,..} к переменной у, получаем

4n = x^^(J^%ini^zm-V^ (п = 1,2, (139.13) Vn = x-v^ (^у/3е^3(4п + 1)2/8 .(« = 0, 1, 2, ...); (139.13')

выбрано так, чтобы уп и у^выбрано так, чтобы уп и у^значение кубического корня должно быть

выбрано так, чтобы уп и у^

выбрано так, чтобы уп и у^

находились в первом квадранте. Первые члены этих бесконечных после

Фиг. 102. Контуры интегрирования для асимптотичес-Фиг. 102. Контуры интегрирования для асимптотичес-кого представления цилиндрических функций в случае, когда аргумент и индекс приближенно равны [см. (139.15)].кого представления цилиндрических функций в случае, когда аргумент и индекс приближенно равны [см. (139.15)].довательностей нулей при не слишком больших х расположены вблизи точки ветвления дебаевского приближения у = ж. Однако при у—>ж (соответственно приа8—>л/2) дебаевское приближение непригодно, так как при as = л/2 обе точки перевала (as и л— as) совпадают и обычный метод перевала приводит к сингулярному выражению [ср. (139.5а) и (139.56)].

Фиг. 102. Контуры интегрирования для асимптотичес-

Фиг. 102. Контуры интегрирования для асимптотичес-

кого представления цилиндрических функций в случае, когда аргумент и индекс приближенно равны [см. (139.15)].

кого представления цилиндрических функций в случае, когда аргумент и индекс приближенно равны [см. (139.15)].

Чтобы избежать этой особенности, необходимо сохранить в разложении (139.2') следующий (кубический) член. В том случае, когда точка перевала лежит вблизи точки a = л/2, удобнее всего разложить функцию

о(а), определенную формулой (139.2), не в самой точке перевала, а в точке а —л/2:

а(а)=(у-л)(а-А^ + ^(а_Л/)з+.

(139.14)

Тогда интеграл (139.1) примет вид

Zv(x)—>-^- ^ exp [/(у — х) ^ а™ 4"^+-^- (a™^)5] ^а’ (139.15) с4

Из-за наличия члена третьей степени в показателе экспоненты рельеф модуля подынтегральной функции при достаточном удалении от точки a = л/2 имеет три долины, разделенные тремя возвышенностями, как это

обозначено на фиг. 102 (долины заштрихованы). Такйм образом, контуры интегрирования С на фиг. 98 могут быть выбраны теперь так: Cv* —сое~г^^t

С2:— coein^—>+ooeiJX/3,(139.16)

Со:—оо—>4-оо.

С помощью одной из трех подстановок, удобных соответственно для одного из контуров / X \х/з / Л X I с *

получим из (139.15)

(139.17)(139.17)я^2)(ж)->4ет<яД|У/3ло)’

(139.17)

(139.17)

Здесь A (q) обозначает интеграл Эйри)

^q^jL ^ eKQT-T3)^T= ^ cos(t3—-^т)с?т,(139.18)

—ооО

аргумент которого q имеет в формулах (139.17) для трех цилиндрических функций соответственно значения

^Т^л/З-1.^Т^л/З-1.(139.19)

^Т^л/З

-1.

^Т^л/З

-1.

Представление (139.17) (называемое также аппроксимацией Ханкеля)) дополняет асимптотические выражения Дебая для окрестности точки v = ж; оно переходит в выражения Дебая, если v лежит не слишком близко к х. Действительно, в этом случае интеграл Эйри можно в свою очередь выразить асимптотически, разлагая показатель экспоненты в обеих точках перевала т8 = ±]/^/3:

(139.18')(139.18')Л(д)_>_^008 (2 Г4У/2-А}.

(139.18')

(139.18')

v (3?)1/4 I V 3 у 4 J

х) В настоящее время вместо функции Эйри А (д), определяемой интегралом (139.18), часто используются более удобные для применений функции Эйри—Фока

Подставляя это выражение совместно с (139.19) в (139.17), получаем асимптотическое выражение Дебая. Формулы (139.17) дают более точное, чем (139.13) г (139.13'), выражение корней vn и v' функций Н^ (х) и Н^ (х):

^==ж+ ,3qnetn/3,

(139.20)

Здесь числа qn и q'n означают нули интеграла Эйри и его производной:

Л(д„) = 0,Л'(^) = 0.Л(д„) = 0,Л'(^) = 0.(139.20')(139.20')

Л(д„) = 0,Л'(^) = 0.

Л(д„) = 0,Л'(^) = 0.

(139.20')

(139.20')

Первые пять нулей приведены в табл. 1 в и. 141.

В качестве первого применения изложенных результатов подставим асимптотические выражения (139.10) и (139.11) в ряды (137.14) для плотности поверхностного тока, имея в виду случай 8>1. Сначала, используя (139.8), запишем эти ряды в виде

,р (^/2)п

til W= "^2 (-М cos^, (139.21/0

п—0

t± (») = "" 2 (2 - М е—^^-cos га».(139.21s)

Обращаясь к формулам (139.10) и (139.11), можно заметить, что члены этих рядов очень медленно меняются по абсолютной величине с ростом п вплоть до п ^ в, в то время как их фаза меняется от члена к члену весьма сложным образом. Только при п > 8 члены начинают быстро убывать с ростом п (быстрее, чем экспонента). Этим и определяется то обстоятельство, что хотя ряды и сходятся при всех 8, но при больших 8 число членов ряда, которые необходимо учитывать, имеет величину порядка е. Аналогичное утверждение справедливо и для остальных рядов, приведенных в п. 137. Таким образом, при 8 > 1 мы должны искать другие представления решения.

б. Представление в виде ряда по затухающим собственным волнам

Преобразование Ватсона. В случае, когда 8 > 1, выйти из положения помогает преобразование ряда, предложенное впервые Ватсоном [40] и недавно примененное Францем [41] и Имаи [42]т) к задаче дифракции на цилиндре.

Преобразование Ватсона заключается в том, что бесконечный ряд вида

у = § Лпе"» ■(140.1)

п=—ОО преобразуется в интеграл

; о Jv(-6—-л)

<140-2)

причем контур интегрирования на комплексной плоскости у охватывает вещественную ось, как изображено на фиг. 103. Действительно, если величина Av не имеет полюсов на вещественной оси, то интеграл (140.2) в силу теоремы Коши равен сумме (140.1), так как множитель при функции Av имеет в точках ч = п (где п — целое число) полюсы первого порядка с вычетами

ResReseiv(^~ л)

Res

Res

v=n л COS лм Лv=n л COS лм Лsin ул

v=n л COS лм Л

v=n л COS лм Л

Если к тому же коэффициент Av если A_V = AV), то из выражения контура интегрирования, лежащей ней полуплоскости, переменную vЕсли к тому же коэффициент Av если A_V = AV), то из выражения контура интегрирования, лежащей ней полуплоскости, переменную v£ COSV^-Л)^ v,) Sin ЛУ£ COSV^-Л)^ v,) Sin ЛУявляется четной функцией v (т. е.(140.2) получим (заменив на части в ниж-на — у)Плоскость у(140.2') ,является четной функцией v (т. е.(140.2) получим (заменив на части в ниж-на — у)Плоскость у(140.2') ,

Если к тому же коэффициент Av если A_V = AV), то из выражения контура интегрирования, лежащей ней полуплоскости, переменную v

Если к тому же коэффициент Av если A_V = AV), то из выражения контура интегрирования, лежащей ней полуплоскости, переменную v

£ COSV^-Л)^ v,

) Sin ЛУ

£ COSV^-Л)^ v,

) Sin ЛУ

является четной функцией v (т. е.

(140.2) получим (заменив на части в ниж-

на — у)

Плоскость у

(140.2') ,

является четной функцией v (т. е.

(140.2) получим (заменив на части в ниж-

на — у)

Плоскость у

(140.2') ,

В качестве контура интегрирования здесь

следует взять прямую, параллельную веще- Ф и г. 103. К преобразова- ственной оси и лежащую в верхней полупло- нию Ватсона: контур пнтегрп- скости (или вести интегрирование по самой рования в формуле (140.2). вещественной оси, обходя целочисленные

значения v таким образом, как это указывает дуга на знаке интеграла). Преимущество, даваемое преобразованием Ватсона, заключается в возможности деформации контура интегрирования.

е-(гЛ/2)УМ^ (8)е-(гЛ/2)У2QHv (8)е-(гЛ/2)УМ^ (8)е-(гЛ/2)У2QHv (8)В рассматриваемом случае речь идет о ряде (137.15'), в котором величина А^ имеет вид

е-(гЛ/2)УМ^ (8)е-(гЛ/2)У2QHv (8)

е-(гЛ/2)УМ^ (8)е-(гЛ/2)У2QHv (8)

{ЙЯ* (8) 7V (Ar) - ЙЛ (8) нх, (к?*)} =

(140.3)(140.3)(ЙЯ(8) Я2 (кг) - ЙЯ2 (8) Щ (кг)}.

(140.3)

(140.3)

В силу (139.8) А^ является четной функцией у, так что можно применить формулу (140.2'). Деформируем теперь контур интегрирования в петлю, охватывающую корни уь уравнения

ЙЯ^(8) = 0,

которые, согласно сказанному в п. 139, лежат в первом квадранте плоскости у, и полуокружность бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (фиг. 104). Зная поведение цилиндрических функций в бесконечности на плоскости у, изображенное на фиг. 101, можно показать, что подынтегральная функция в интеграле (140.2') [где А^ выражается формулой (140.3)] всюду, за исключением окрестности нулей функции ЙЯу (б), убывает быстрее, чем экспоненциально (подробное обоснование можно найти в книге Франца [38]). Точки ys являются полюсами первого порядка для Av; таким образом, мы можем превратить рассматриваемый интеграл в сумму вычетов относительно этих полюсов: и (г, О) = л У 1^^J^^Le-(i«/2)vsIfi ^kry (140.5) 1’ "I (d/Sv) ЙН^ (e) J vssin nvs3 v 7 x 7

Эта формула выражает решение данной задачи дифракции в виде суммы «волн вычетов», которые соответствуют, как мы покажем ниже, затуха-

ющим собственным волнам. Сходимость ряда следует из того факта, что представляемая им функция в точности совпадает с функцией, представляемой рядом Рэлея.

) различии ряда Рэлея (137.15') и ряда рассматривать как разложение решения краевой задачи по азимутальным собственным функциям Н^ (кг) ein^ [целочисленность п обусловлена требованием однозначности; можно говорить также о вынужденных колебаниях, возбуждаемых в начале координат (которое не принадлежит рассматриваемой области)]. С другой стороны, ряд вычетов можно интерпретировать как разложение решения по радиальным собственным функциям H^s (кг) е™8^. Действительно, каждая такая функция удовлетворяет краевому условию в силу (140.4) (а также условию излучения в бесконечности)т). В аналогичном случае сферы Зоммерфельд [44] пока

Сделаем еще одно замечание

Ватсона (140.5). Первый можно

Плоскость у

/

ЙН’(г)=0,

Фиг. 104. К преобразованию Ватсона:деформированный контур интегрирова-ния обходит полюсы vs.

зал, что решение краевой задачи можно непосредственно разложить по радиальным собственным функциям (не обращаясь к преобразованию Ватсона). Конечно, теперь зависимость от угла не является однозначной. При использовании формулы (140.5) следует считать плоскость г, й разрезанной вдоль луча ^ = 0. [Вследствие возникающей при этом особенности можно говорить о вынужденных колебаниях, возбуждаемых на луче й^О; в окрестности этого луча представление (140.5) неприменимо и должно быть заменено другим (см. п. 142).]

Асимптотическое решение для области тени. Преимущество ряда (140.5) состоит в том, что при 8 > 1 он быстро сходится. Чтобы показать это, необходимо получить подходящие представления отдельных множителей. Сначала для обоих направлений поляризации с помощью формул (139.13) и (139.13') напишем приближенные выражения для корней уравнения (140.4) (тригонометрическая аппроксимация): vjf) = e+-^- (^y^s-l)2^’1*73 (s = l, 2, ...),(141.ip)

v^ = e + -^ ^^у/8(4з + 1)2/зе4«/3 (s = 0, 1, 2, . ..).(141.1s)

Более точные выражения получаются с помощью формулы (139.20) (ханкелева аппроксимация):

v<3) = е+ 0у/з^>е^3 = е + U^Y3 (l)^9<s>-(141.1')

0 Поскольку функция Hvs (кг) е^8,9, есть решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям при г = а и г -> оо, то эта функция для области — со < $ <оо, разветвленной вокруг цилиндра, является собственной волной, подобной в математическом смысле поверхностной волне в полупространстве над бесконечной импедансной плоскостью (см. примечание па стр. 338).— Прим. ред.

асимптотического разложения:асимптотического разложения:v{P-8 +v{P-8 +vT = e+(-|-) ^Й’е^3-vT = e+(-|-) ^Й’е^3-(141.1")(141.1")

асимптотического разложения:

асимптотического разложения:

v{P-8 +

v{P-8 +

vT = e+(-|-) ^Й’е^3-

vT = e+(-|-) ^Й’е^3-

(141.1")

(141.1")

Здесь величины q^ означают корни уравнений

(141.2)(141.2)Л (^{|}) = 0 или А' (^) = О

(141.2)

(141.2)

соответственно в р- и s-случаях. Франц [41] нашел следующий член

В выражении (141.1') мы выделили мнимые части, которые можно рассматривать как постоянные затухания. Пять первых нулей функций Л и Л' приведены в табл. 1 вместе со значениями другой функции в этом нуле.

Таким образом определяются первые пять нулей v(s), приведенные в табл. 2. При г > а (точнее, при кг — 8 > s1^) можно применить

Нули интеграла Эйри

Таблица 1 и его производной

Таблица 2

Нули функций Н^ (е) и Н^'(г)

S

9 II

А' (д^)

А (д^)

(vy^e + s1/3 е*^3 а(^

, v^s+e^Se^)

a(s)

“Г

1

3,372134

—1,05905

1,469354

1,16680

1,855757

0,808617

2

5,895843

1,21295

4,684712

—0,91272

3

7,962025

—1,30673

6,951786

0,82862

3,244608

2,578096’

4

9,788127

1,37568

8,889027

—0,77962

4,381671

3,825715

5

11,457423

—1,43078

10,632519

0,74562

5,386614

4,891820

—

6,305263

5,851301

для H\s (кг) асимптотическое представление, пригодное, как указано на фиг. 100, слева от нулей vs:

HxVs<kr)|/^ (г2-«2) 1/4 exp ^(кУУ-а4 -vsarccos 7 — ^-)] •

(141.3)

Сюда нам нужно подставить для vs его значение из (141.1') и провести упрощение. Для вычисления множителя1)

f QH^ (8)_)I (5/dv) Q/Д (s) J vsf QH^ (8)_)I (5/dv) Q/Д (s) J vsе5лг/62 У ле5лг/62 У лб1^б1^(141.4)(141.4)

f QH^ (8)_)

I (5/dv) Q/Д (s) J vs

f QH^ (8)_)

I (5/dv) Q/Д (s) J vs

е5лг/6

2 У л

е5лг/6

2 У л

б1^

б1^

(141.4)

(141.4)

заметим сначала, что с помощью определителя Вронского (137.12) его числитель можно записать при vs = vjf и vs = v® соответственно в форме

(141.5)(141.5)Щ,8 (е) =, Н^ (е) =.

(141.5)

(141.5)

^ieHvg (е)m^H^s (г)

т) Проделанное здесь разбиение на множители удобно для дальнейшего, так как Cs оказывается вещественной величиной.

С помощью асимптотического соотношения, вытекающего из рекуррентной формулы для цилиндрических функций

^у М ^v (х)Г141

дхдчх * /

и ханкелевой аппроксимации (139.17) для множителей С8 в (141.4), находим

С^ = 2 У л 8-V3e-i5 л/6 (^>I ^L.(141.4»

11I (3/5v)^(e) Jv^ 3-6/з(^ t?»}2 V 1Г

С^ = 2 "Уле-^е-45"/6С^ = 2 "Уле-^е-45"/6f ^' (е)|(d2/dvde)fli (е)f ^' (е)|(d2/dvde)fli (е)л3/2б^’ {Л(^>)}2*л3/2б^’ {Л(^>)}2*(141.4»(141.4»