Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В АТМОСФЕРЕ
Дж. Стробен
Настоящая книга посвящена проблеме распространения ла” зерных пучков в атмосфере. В частности, здесь рассматривается распространение волн в пределах прямой видимости. В этих условиях при отсутствии атмосферы на приемник приходила бы неискаженная волна. (Примером распространения вне пределов прямой видимости может служить случай, когда приемник и передатчик разделены горой, и для передачи сигнала используется рассеяние волн облаками.) Книга в основном посвящена воздействию среды на характеристики принимаемого сигнала. При классификации явлений воздействия среды на распространение волн можно выделить четыре крупные проблемы: 1) распространение в турбулентной среде; 2) распространение в замутненной среде; 3) поглощение; 4) взаимодействие мощного лазерного излучения со средой. В настоящей книге рассматриваются явления, относящиеся к первой и последней проблемам.
Распространение в турбулентной атмосфере характеризуется условиями, когда атмосфера прозрачна, но в ней присутствуют очень слабые флуктуации показателя преломления. Эти флуктуации показателя преломления, величина которых обычно равна 10-6, связаны в основном с малыми вариациями температуры (порядка 0,1—1 ℃), которые в свою очередь вызваны тypбyлeнт^ ным перемешиванием воздуха в атмосфере. Сведения о флуктуациях показателя преломления и связи последних с турбулентностью атмосферы содержатся в главе 2. Несмотря на то что от， клонение показателя преломления от среднего значения очень мало, обычно в условиях, представляющих интерес для практики, лазерный пучок проходит через большое число неоднородностей, и, следовательно, становятся существенными эффекты многократного рассеяния. Это обстоятельство является настолько существенным, что пять из последующих шести глав посвящены обсуждению этого вопроса. Небольшие отклонения показателя преломления первоначально вызывают случайные искажения фазы оптической волны, которые в свою очередь приводят к флуктуациям угла прихода, или блужданиям пучка, флуктуациям интенсивности, или мерцаниям, а также ушире^ нию пучка.
При распространении в замутненной среде волна проходит через большое число дискретных рассеивателей или аэрозольных частиц (например, дождь, туман или пыль), вызывающих сильное рассеяние излучения. Хотя в теории возможен единый подход к описанию распространения излучения в турбулентной и замутненной средах, основные закономерности явлений настолько различны, что развивать его вряд ли имеет смысл. Заметим, однако, что оба этих явления рассматривались с единых позиций Исимару [1.1, 2]. В тесной связи друг с другом находятся проблема рассеяния волн на частицах аэрозоля [1.3] и проблема использования лазеров для контроля за состоянием атмосферы [1.4].
Основные различия между распространением волн в турбулентной атмосфере и замутненной среде состоят в следующем: 1) в замутненной среде вариации показателя преломления велики, порядка единицы, в то время как в турбулентной среде они малы, порядка 10~6; 2) в замутненной среде дискретные частицы приводят к резким изменениям показателя преломления на расстояниях порядка длины волны, в то время как в турбулентной среде изменения показателя преломления описываются плавной, непрерывной функцией координат пространства.
Вследствие этих различий в замутненной среде одна частица вызывает сильное рассеяние оптической волны. При этом рассеяние происходит во всех направлениях (включая направление назад), становятся существенными эффекты деполяризации и средняя интенсивность пучка значительно ослабляется. В противоположность этому в турбулентной среде на отдельной неоднородности излучение рассеивается слабо, рассеяние назад и эффекты деполяризации пренебрежимо малы, излучение, рассеянное вперед, концентрируется в области малых углов (порядка нескольких миллирадиан) вблизи основного направления распространения, а средняя интенсивность существенно не ослабляется. Еще одно различие заключается в том, что при распространении в замутненной среде временные изменения поля волны обычно малосущественны, в то время как в турбулентной среде временные вариации сигнала резко выражены.
В данной книге вопросы распространения волн в замутненной среде не рассматриваются. Заинтересованным читателям мы рекомендуем обратиться к исчерпывающему изложению этих во。 просов в книгах Зуева [1.5, 6] и работах Исимару [1.1, 2].
К третьей группе явлений относится поглощение. При этом имеется в виду прямое поглощение энергии оптической волны атмосферными газами. Применительно к распространению лазерного излучения в атмосфере этот вопрос детально рассмотрен Зуевым [1.5, 6] и Гуди [1.7] и не включен в данную книгу. 1
Четвертая группа вопросов связана с явлением распространения мощного излучения в атмосфере. Под распространением мощного излучения имеется в виду такая ситуация, при которой энергия лазерного пучка достаточно велика, чтобы существенно изменить свойства среды. Эту группу вопросов можно разбить на ТрИ подгруппы. К первой группе относятся вопросы распространения лазерного пучка через чистую атмосферу, обладающую слабым поглощением, благодаря которому часть энергии оптического излучения поглощается атмосферными газами. Нагревание атмосферы лазерным пучком приводит к изменению показателя преломления среды и, следовательно, условий распространения волны В наиболее простом случае, когда интенсивность пучка имеет максимальное значение в центре, наибольший нагрев среды также возникает в центре пучка, а более слабый ——на краях. Это неоднородное распределение температуры приводит к неоднородным по сечению пучка вариациям показателя преломления, что вызывает дополнительное угловое уширение по сравнению с распространением в свободном пространстве. Это явление обычно носит название теплового расплывания пучка. Оно подробно рассмотрено в главе 7, где впервые в открытой литературе дан обзор этой проблемы.
Существуют и другие представляющие интерес эффекты, сопровождающие распространение мощного лазерного излучения, но они не были включены в эту книгу. Одной из интересных проблем при исследовании распространения мощного лазерного излучения в замутненной атмосфере является проблема воздействия лазерного излучения на частицы аэрозоля. В частности, при распространении в дожде или тумане лазерное излучение вызывает испарение или взрыв капель воды, что изменяет условия распространения [1.8, 9]. Испарение или взрыв капель в зависимости от условий может приводить к уменьшению или увеличению поглощения энергии оптической волны. Наконец, если интенсивность лазерного пучка достаточно велика, он может вызвать ионизацию среды или пробой. Эта проблема также не включена в книгу, но рассмотрена в работе [1.10].
Коротко говоря, настоящая книга посвящена влиянию турбулентности [1.11, 12] и теплового расплывания на распространение лазерного излучения.
LL Краткая история
Одна из интересных особенностей истории работ по распространению лазерного излучения в турбулентной атмосфере заключается в том, что большая теоретическая и экспериментальная работа прежде всего в СССР 6н】а выполнена до того, как в 1960 г. появилось сообщение о первом работающем лазере
[1.13]. Две первые монографии в этой области, Чернова [1.14] и Татарского [1.15], были опубликованы в СССР до 1960 г. и переведены и изданы в США в 1960 и 1961 г. соответственно. Причина появления этих первых работ заключается в том, что проблема распространения лазерного излучения в атмосфере в действительности является частью более общей проблемы, а именно распространения волн в средах со случайными неоднородностями. Эта общая проблема включает в себя ряд практически важных приложений, таких, как распространение излучения звезд в атмосфере, распространение звуковых волн в атмосфере и океане, микрорадиоволн в атмосферах планет и радиоволн в ионосфере и межпланетном пространстве. Появление монографий Чернова и Татарского было обусловлено в основном первыми двумя приложениями. Хотя данная книга в первую очередь посвящена вопросам, имеющим важное значение для распространения лазерного излучения, большая часть материала должна представлять интерес для исследователей, работающих в указанных выше областях. Вследствие большого взаимного проникновения различных областей знаний трудно провести определенную границу между результатами, соответствующими той или иной области.
Очевидно, наиболее широко известным эффектом, обусловленным атмосферной турбулентностью, является мерцание звезд, которое прямо связано с изменениями яркости их изображений. В начале 50-х годов научный интерес к проблеме мерцания и дрожания изображения звезд в телескопах существенно возрос, и появился ряд публикаций по этому вопросу. Первые экспериментальные работы по мерцанию были выполнены Май- киселлом и др. [1.16] и рядом других авторов [1.17—21]. Дрожание, обусловленное флуктуациями углов прихода падающей на телескоп волны, сводится к случайным изменениям положения изображения звезды. Итоги экспериментальных исследований по этой проблеме были подведены Колчинским [1.22, 23]. Более современные направления исследований, связанные с анализом спекл-картин, рассмотрены Дейнти [1.24].
Интерес к рассеянию звуковых волн турбулентностью возник еще в 1941 г. [1.25], и с тех пор эта проблема интенсивно изучалась. Красильников [1.26,27] использовал приближение геометрической оптики, тогда как Минцер [1.28—30], подобно Обухову [1.31] и Татарскому [1.32], для описания распространения акустических волн применял теорию дифракции. Более сов^менные работы по этому вопросу рассмотрены
Как и следовало ожидать, в ранних работах по этой проблеме использовались методы геометрической оптики [1.26, 27, 33, 34]. Границы применимости данных методов обсуждались Эллисо-
ном [1.35] н Татарским [1.36]. Другой подход к использованию методов геометрической оптики в случайно-неоднородной среде, предложенный Черновым [1.37], приводит к функции плотности вероятности углового распределения лучей, которая удовлетворяет уравнению Эйнштейна ——Фоккера ——Колмогорова. В этом подходе распространение луча описывается подобно непрерывному марковскому процессу.
Поскольку пределы применимости приближения геометрической оптики существенно ограничивают длину трассы, например в случае оптических волн, и решения применимы только на рас* стояниях порядка нескольких десятков метров, то в скором времени значительное внимание стало уделяться методам волновой оптики или методам теории дифракции [1.28—32]. Методы как геометрической, так и волновой оптики были основаны на теории малых возмущений. При этом предполагалось, что флуктуации, возникающие в волне, должны быть малы по сравнению со средними значениями соответствующих величин. Первую попытку преодолеть это ограничение предпринял Обухов [1.31], использовавший метод Рытова [1.38], в котором теория малых возмущений применяется к логарифму поля. Применение метода малых возмущений к обычному волновому уравнению (уравнению Гельмгольца) соответствует борновскому приближению. Прп переходе от поля к его логарифму волновое уравнение преобразуется в уравнение Рикатти. Использование метода малых возмущений на этом этапе приводит к методу, который в советской литературе называется методом плавных возмущений (МПВ), а в западной — методом Рытова. Возможности этих методов вызвали в литературе большую дискуссию, вероятно большую, чем они заслуживают. Этот вопрос частично рассмотрен в главе 2.
Новый существенный шаг в развитии исследований по распространению волн в турбулентной атмосфере был сделан в 60-е годы, когда Грачева и Гурвич [1.39, 40] экспериментально обнаружили, что основные теоретические результаты для дисперсии флуктуаций логарифма интенсивности становятся не применимы в случае длинных трасс.
Третья глава посвящена попыткам построить теорию для трасс такой длины, где метод малых возмущений становится неприменимым. Обзор последних достижений по рассматриваемым вопросам приводится также в соответствующих гл а* вах.
Проследить историю развития исследований по тепловому расплыванию более сложно, поскольку первые работы в этой области не публиковались в открытой печати. Уолш и Ульрих опн^ сывают некоторые результаты этих исследований в главе 7.
1.2. Структура книги
Содержание книги разделено на шесть глав. Во второй главе Клиффорд описывает классическую теорию распространения волн в атмосфере. В первой части главы обсуждаются свойства атмосферы, имеющие важное значение для распространения лазерного излучения. В частности, рассмотрены характеристики турбулентных флуктуаций показателя преломления и обсуждается применимость этих характеристик к описанию атмосферы Земли. В разд. 2.2 на основе классического метода малых возмущений получены выражения для корреляционных функций и спектра флуктуаций амплитуды и фазы плоской волны, распространяющейся в турбулентной атмосфере. В разд. 2.3 проводится сравнение результатов экспериментальных работ и расчетов классической теории.
В третьей главе Стробен рассматривает и сравнивает современные теории, описывающие явление распространения в условиях сильных флуктуаций интенсивности, когда теория малых возмущений становится неприменимой. На практике результаты классической теории не выполняются в случае длинных трасс или при наличии сильной турбулентности в атмосфере. Такие условия наиболее часто встречаются на приземных трассах в теплые летние дни. Хотя ни одна из существующих теорий не решает полностью проблему сильных флуктуаций, однако в этом направлении достигнут значительный прогресс. В главе обсуждаются четыре метода: 1) диаграммный метод, 2) приближение марковского случайного процесса, 3) локальный метод малых возмущений, 4) эвристические теории. Первые три метода эквивалентны друг другу и приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям в частных производных для различных моментов поля, например среднего поля, функции взаимной когерентности или функции корреляции флуктуаций интенсивности. В разд. 3.5 описан менее строгий математический, но, по-ви- димому, более наглядный с физической точки зрения метод решения проблемы сильных флуктуаций. В разд. 3.6 представлены результаты, полученные путем решения дифференциальных уравнений для среднего поля, функции взаимной когерентности и спектра флуктуаций интенсивности. Отмечены также результаты для законов распределения вероятностей флуктуаций интенсивности.
В четвертой главе помещена переведенная и переработанная в соответствии с требованиями данной книги статья Грачевой и Гурвича с соавторами, опубликованная в 1972 г. В этой статье наиболее полно представлены современные результаты экспериментальных исследований по распространению лазерного излучения в турбулентной атмосфере в случае длинных трасс. Здесь
приведены интересные экспериментальные данные для вели- чинь1 характерных масштабов флуктуаций интенсивности, зако^ нов распределения и дисперсии флуктуаций интенсивности в слу” чае длинных трасс или сильной турбулентности. Кроме того, 3деСь содержатся результаты измерений спектров и корреля。 ционных функций флуктуаций интенсивности.
Почти во всех работах, составляющих содержание глав 2—4, предполагается, что распространяющаяся волна является плоской или приближается к плоской. Однако в большинстве слу” чаев, представляющих интерес для практики, используются nyq， кн конечной ширины в поперечном направлении, коллимирован' ные или сфокусированные в плоскости приемника. Исимару в главе 5 обсуждает проблему распространения пространственно ограниченного пучка в условиях как слабых, так и сильных флуктуаций. Во второй части пятой главы он рассматривает проблему зондирования турбулентности оптическими методами. В большинстве приложений в системах связи и передачи инфор* мации атмосферная турбулентность, вызывая искажения сигнала, приводит к ухудшению технических характеристик соответствующих систем. В то же время в системах дистанционного зондирования искажение сигнала обеспечивает возможность определения параметров атмосферы. В частности, Исимару описывает способ, позволяющий благодаря флуктуациям принимаем мого сигнала определять усредненное вдоль трассы распространения луча значение поперечной составляющей скорости ветра. Более общее изложение этой проблемы дано в работах [1.4, 44].
В шестой главе Шапиро рассматривает влияние атмосферного канала распространения на характеристики систем формирования изображения и связи. В разд. 6.1 приводятся основные характеристики, описывающие распространение волн. Эти данные в значительной степени основаны на результатах предыду* щих глав, но здесь также введены и некоторые новые подходы к решению задачи, такие, как разложение по нормальным модам в канале распространения передатчик — атмосфера — приемник. Раздел 6.2 посвящен системам формирования изображения, включая использование некогерентных источников, идеальной тонкой линзы, интерферометрических методов формирования изображения и системы, применяющей фазовую компенсацию. Последняя часть этого раздела посвящена важной проблеме оптимального формирования изображения. В разд. 6.3 рассматривается работа оптических линий связи, включая анализ канала распространения Земля — космос, построение статистических характеристик оптического детектора, исследование работы приемника с дифракционным разрешением и приемников с пространственным разносом. Глава завершается рассмотрением вопроса о взаимности точечных источников и приемников. Дополнительны^
сведения по проблеме оптического детектирования содержатся в [ 1.42—44].
Седьмая глава посвящена совершенно новому вопросу — тепловому расплыванию пучка в атмосфере. Это явление возникает вследствие высокой мощности лазерного пучка, нагревающего среду и вызывающего изменение ее показателя преломления. Данная глава является одним из первых наиболее полных обзоров по этой важной проблеме. В разд. 7.1 дана общая характеристика проблемы, разд. 7.2 содержит уравнения электромагнитного поля, описывающие это явление, в разд. 7.3 даны соответствующие гидродинамические уравнения. В разд. 7.4 обсуждаются приближенные аналитические решения электромагнитных и гидродинамических уравнений, полученные в приближении геометрической и волновой оптики, а также в фазовом приближении. Седьмая глава завершается (разд. 7.5) обзором численных методов решения задачи с помощью ЭВМ и анализом некоторых численных результатов.
Литература
Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media, Academic Press, New York, 1977.
Исимару А. ТИИЭР, 65, 46, 1977.
Marlow W. H. (ed.). Aerosol Dynamics, Topics in Current Physics (Springer, Berlin, Heidelberg, New York) (in preparation).
Hinkley E. D. (ed.). Laser Monitoring of the Atmosphere, Topics in Applied Physics, Vol. 14 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1976). (Имеется перевод: Хинкли E. Д. Лазерный контроль атмосферы — М.: Мир, 1979.)
Зуев В. £ Прозрачность атмосферы для видимых и инфракрасных лучей, Советское радио, М., 1966.
Зуев В. Е Распространение видимых и инфракрасных волн в атмосфере, Советское радио, М , 1970.
Goody R. М. Atmospheric Radiation, Vol. 1, Theoretical Basis (Oxford University Press, Oxford, England, 1964). (Имеется перевод: Гуди P. M. Атмосферная радиация, ч 1. Основы теории. — М.: Мир, 1966.)
Mullaney G. Z., Christiansen W. "., Russell D. A Appl Phys. Lett., 13, 143, 1968
Lowder J. E, Kleiman "., O'Neil R. W. J. Appl. Phys, 45, 221, 1974.
Райзер Ю. П. Лазерная искра и распространение разрядов, Наука, М., 1974.
Lumley 丄 L., Panofsky //. 4 The Structure of Atmospheric Turbulence (Interscience, New York, 1964). (Имеется перевод: Ламли 〃阳，Панов- ский Г Структура атмосферной турбулентности.——М • Мир, 1966.)
Bradshaw Р. (ed.). Turbulence, Topics in Applied Physics, Vol 12, 2nd ed. (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1978).
13. Maiman T. Я Nature 187, 493, 1960.
Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными неоднородностями, Изд-во АН СССР, М, 1958.
Татарский В Я Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере, Изд-во АН СССР, М” 1959.
Mikesell А. "., Hoag А. 4, Hall J. S. J. Opt. Soc. Amer., 41, 689, 1951.
[17. Nettlebald F. Observatory 71, 111, 1951.
fl8. Butler H. E. Proc.,Roy. Inst. Acad. A54, 321, 1954.
；19. Ellison M. 4, Seddon H. Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 112, 73,
'1952
Butler H. E. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 80, 241, 1954
1*21 Protheroe W. M. Preliminary report on stellar scintillation, Contrib. Perkins Observ., Ser. 2, 127, 1955
Колчинский И. Г. Астроном, журнал, 29, 350, 1952.
Колчинский И. Г Астроном журнал, 34, 638, 1957.
Dainty J. С. Laser Speckle and Related Phenomena, Topics in Applied Physics, Vol. 9, Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1975.
Обухов A. M ДАН СССР, 30, 611, 1941.
Красильников В. А. ДАН СССР, 47, 486, 1945.
Красильников В. Л ДАН СССР, 58, 1353, 1947.
Mintzer D. J. Acoust. Soc. Am. 25, 922, 1953.
29. Mintzer D. J. Acoust Soc. Am. 25, 1107, 1953.
. Mintzer D J. Acoust. Soc. Am. 26, 186, 1954.
. Обухов A M. Изв АН СССР, сер геогр. и геофизическая, 2, 155, 1953.
. Татарский В И. ЖЭТФ, 25, 74, 1953.
Bergman Р. G. Phys. Rev., 70, 486, 1946.
Красильников 8. А. Изв. АН СССР, сер геогр и геофизическая, 13, 33 1949
35 Ellison Т. Н J. Atmos Terr. Fiz , 2, 14, 1951.
36 Татарский В И. ЖЭТФ, 25, 84, 1953.
Чернов Л. Л ЖЭТФ, 24, 210, 1953
Рытое С М Изв АН СССР, сер физич , 2, 223, 1937.
. Г ранее а М. Е, Гурвич А. С Изв ВУЗов, сер Радиофизика, 8, 717, 1965.
. Грачева М. Е Изв ВУЗов, сер Радиофизика, 10, 775, 1967.
41. Baltes Н. Р. (ed ) Inverse Source Problems in Optics, Topics in Current Physics (Springer, Berlin, Heidelberg, New York (готовится к печати).
Keyes R. / (ed ). Optical and Infrared Detectors, Topics in Applied Physics, Vol 19, Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1977.
Saleh 8. Photoelectron Statistics, Springer Series in Optical Sciences, Vol. 6, Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1977.
Kingston R. H. Detection of Optical and Infrared Radiation, Springer Series in Optical Sciences, Vol. 10, Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1978.
Глава 2
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН
В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ
С. Ф. Клиффорд
Конфигурация оптического пути имеет важное значение при описании распространения лазерного излучения в атмосфере. При определенной схеме распространения оптической волны влияние различного вида рассеивателей часто оказывается достаточно сильным. Например, неоднородности показателя преломления атмосферы, которые в основном и будут рассматриваться в данной работе, рассеивают главным образом в направлении вперед и дают ничтожно малый вклад в рассеяние назад. В этой книге мы ограничимся рассмотрением проблемы, известной как проблема распространения в пределах прямой видимости. В этом случае приемник находится полностью в поле зрения передатчика так, что в отсутствие атмосферы интенсивность принимаемого излучения должна быть постоянной во времени и ее величина должна определяться геометрией передатчика и дифракционными эффектами в вакууме. Случайные вариации показателя преломления атмосферы вдоль трассы распространения волны вызывают пространственные и временные флуктуации интенсивности, фазы, угла прихода и частоты принимаемого излучения.
Эту проблему следует отличать от проблемы рассеяния излучения в условиях, когда рассеивающий объем удален как от передатчика, так и от приемника и когда в отсутствие флуктуаций показателя преломления, изменяющих направление распространения части энергии падающей волны, принимаемый сигнал будет равен нулю. При распространении в пределах прямой видимости передатчик или приемник или оба одновременно помещены в турбулентную среду, и флуктуации показателя преломления существенно искажают параметры волны, соответствующие распространению в вакууме.
Существуют две области исследований, где результаты данной схемы распространения находят непосредственное применение. С одной стороны, распространение оптических волн изучают в связи с попытками использования широкой полосы пропускания оптических систем при решении проблем связи. В этом случае шум, обусловленный атмосферой, ухудшает эффективность
работы системы и является фактором, который необходимо устранять. С другой стороны, данная схема распространения изучается в связи с потенциальной возможностью ее использования для дистанционного зондирования параметров атмосферной турбулентности. В этом случае флуктуации, вызванные атмосферой, являются сигналом, в котором содержится полезная информация.
В данной главе речь идет о влиянии флуктуаций показателя преломления, обусловленных турбулентностью атмосферы, на оптическую волну. Как будет видно из дальнейшего, эти флуктуации возникают в основном вследствие малых флуктуаций температуры, переносимых турбулентностью атмосферы. Вариации оптического сигнала за счет поглощения или рассеяния молекулами атмосферных газов или аэрозолями обсуждаться не будут. Вызванные флуктуациями температуры вариации показателя преломления обычно являются непрерывными случайными функциями положения и времени. Чтобы наглядно представить влияние флуктуаций показателя преломления, области увеличения и уменьшения его значений рассматривают в виде вихрей, которые действуют подобно линзе. При таком подходе атмосферу можно рассматривать в виде совокупности большого числа случайных линз, имеющих случайную форму и размеры и случайным образом перемещающихся в пространстве. При этом следует считать, что внутри вихря показатель преломления непрерывно изменяется.
В земной атмосфере взаимодействие электромагнитной волны с отдельной неоднородностью показателя преломления или отдельным вихрем является очень слабым. В первом приближении изменения амплитуды в области вихря отсутствуют и происходит только изменение фазы, обусловленное вариацией скорости распространения небольшого участка волнового фронта, пересекающего вихрь. Так как флуктуации фазы в разных точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, неодинаковы, то они могут приводить к эффектам фокусировки и дефокусировки, локальному изменению направления распространения волны и в конечном итоге благодаря ин- герференции к флуктуациям интенсивности в точке приемника. Поскольку вихри не имеют резких границ, отражением волны можно пренебречь. Аналогично предполагается, что граничные поверхности флуктуирующего объема также не имеют резких разрывов, и рассматривается только дифракция волны на случайных неоднородностях. Как будет видно из гл. 3, хотя воздействие отдельного вихря на волну достаточно слабо, совокупное влияние многих вихрей может оказаться очень силь* ным.
Характеристики атмосферы
Показатель преломления атмосферы
Показатель преломления воздуха в оптическом диапазоне длин волн приближенно определяется выражением
我一 1 =77,6(1 +7,52 - 10-3г2)仍/7)ю-6,(2.1)
где Р — атмосферное давление в миллибарах, Т — температура в кельвинах,入一длина волны в мкм. Поэтому величина 也= =п ——1 определяет меру отклонения показателя преломления от значения, соответствующего свободному пространству, и на уровне моря типичное значение этой величины равно 3 • 10~4. В формуле (2.1) мы пренебрегли слагаемым, которое зависит от давления водяного пара. Над сушей вклад этого зависящего от влажности слагаемого значительно меньше 1 %. (Для более детального анализа оптического показателя преломления с использованием формул, выполняющихся с точностью до 10~7, см. работу Оуэнса [2.1].) Веселый и Алкараз [2.2], а также Фриш и др. [2.3] установили, что третьим слагаемым в выражении (2.1) является произведение температуры и влажности, и это слагаемое может существенно влиять на величину показателя преломления на надводных трассах. Здесь мы ограничимся применением формулы (2.1) и оставим в стороне более тонкие эффекты, описанные в [2.2].
Роль атмосферной турбулентности
Флуктуации показателя преломления, рассматриваемые нами, возникают в результате случайных вариаций скорости ветра в потоках, называемых турбулентными. Описание процессов турбулентности составляет обширную область знаний, по-вп- димому лучше всего изложенную в [2.4—7]. Ниже будут приведены краткие сведения о турбулентных процессах в атмосфере.
Поскольку турбулентность является случайным процессом, ее следует описывать статистически. Безнадежно пытаться предсказать скорость выделенного элементарного объема воздуха, ибо он хаотически перемещается в свободной атмосфере. Осуществить полный статистический анализ почти невозможно, поэтому мы обратимся к более простому описанию. Колмогоров [2.8], рассматривая изменение во времени разности скоростей в двух точках пространства, разнесенных на величину вектора г, установил, что средний квадрат разности скоростей можно описать универсальной зависимостью в довольно широкой области
пространственных масштабов движения. Его так называемый структурный тензор в общем случае определяется формулой
2/ (г)=〈【S (门 + г) — 力(ri)] [vf (r1 + г)—力(门)]〉，(2.2) где Ui и Vj — разные компоненты скорости, а угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю. Следующие два предположения существенно упрощают формулу (2.2). Первым является предположение о локальной однородности, которое означает, что статистические свойства разности скоростей зависят только от вектора разноса г. Второе предположение касается локальной изотропности. Оно означает, что существенное значение имеет только модуль вектора г. Термин «локальный» используется в связи с тем, что рассматриваются разности скоростей в двух точках, а поэтому здесь проявляются только такие масштабы, которые сравнимы с величиной разноса (компоненты скорости с масштабами, превышающими величину разноса, будут отфильтрованы при вычитании).
Применение этих предположений к формуле (2.2) позволяет записать D^ в виде
Du (г) = [Drr (г) — 口计⑺]电•必 + Dtt ⑺ 6〃，(2.3)
где 8ц = I при i = /, 6订=0 при 力 * а 几，——компоненты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором г. Величины Du и £>〃 一 это структурные функции компонент скорости ветра, параллельных и перпендикулярных вектору г соответственно. Вводя следующее предположение о несжимаемости турбулентной жидкости, которому соответствует равенство V・v = 0 [2.4], мы можем выразить Dtt через О”，т. е. записать a尸击 ^(产％)•(2/)
Основной результат анализа, приводящего к формулам (2.3) и (2.4), состоит в том, что статистическую структуру турбулентности можно описать одной структурной функцией Drr, где
Drr =〈[勿(门 + г) — vr (ti)]2\(2.5)
Колмогоров [2.8] установил, что, до тех пор пока разнос г находится внутри так называемого инерционного интервала турбулентности, функция Drr описывается универсальной зависимостью вида
Drr = С『/з,(2.6)
где Су — структурная постоянная скорости, характеризующая общее количество энергии турбулентности. Эта зависимость справедлива для значений г, заключенных между внутренним /0 и внешним 厶 о масштабами турбулентности. Внутренний
масштаб соответствует такому размеру вихря, начиная с которого вследствие вязкости становится существенной диссипация энергии в вихре. Внешний масштаб соответствует наибольшему из размеров, до которого вихри можно считать изотропными. (Вблизи земли /о по порядку величины равно нескольким миллиметрам, a Lo — нескольким метрам. Обе величины возрастают с высотой.) Если приведенный выше результат верен, а он надежно подтвержден экспериментами [2.9], [2.10], то формула (2.6) содержит все сведения, необходимые для изучения распространения оптических волн в атмосфере.
Модель турбулентных флуктуаций показателя преломления
Мы по-прежнему основываем модель турбулентности на формуле для показателя преломления (2 1) Следующим этапом является рассмотрение концепции консервативной и пассивной примеси [2.11, 12]. Консервативные величины обладают следующим свойством: если выделить элементарный объем воздуха с фиксированным значением данной величины, то это значение не будет изменяться независимо от положения объема в пространстве. Строго говоря, температура не является консервативной примесью. Произвольное вертикальное перемещение объема вызывает изменение температуры, поскольку на заданной высоте объем будет стремиться выравнять свое внутреннее давление с тем, которое здесь существует. Такое изменение давления вызывает адиабатическое изменение температуры, поэтому если ввести новый параметр, равный разности абсолютного значения температуры Т и приращения температуры с высотой, обусловленного адиабатическим градиентом, то мы получим величину, являющуюся консервативной примесью. В связи с этим будем анализировать флуктуации потенциальной температуры 0 = =Г — 丫必 где Ya = 9,8 ℃/км, и свяжем статистику величины 0 со статистикой флуктуаций скорости. Пассивные примеси не влияют на динамику турбулентности, т. е. при внесении их в турбулентную среду они не изменяют ее статистических свойств, так что закон 2/з, описываемый формулой (2.6), можно применять к флуктуациям скорости. Коррзин [2.13] впервые показал, что консервативные пассивные примеси также подчиняются закону 2/з. Тем самым была найдена универсальная структурная функция вариаций потенциальной температуры, которая в инерционном интервале имеет вид
%(尸)=喝产3.(2.7)
(Величина инерционного интервала в случае флуктуаций температуры меньше [2.11, 12], чем в случае флуктуаций скорости,
н0 эТо не имеет существенного значения для данного рассмо” трения.) Для того чтобы построить статистическую модель показателя преломления, т. е. установить для него закон 2/3, необходимо связать эту величину с той или иной консервативной пас» си в ной примесью.
Равенство (2.1) определяет величину и через температуру Т и давление Р. Чтобы вычислить структурную функцию для п, необходимо знать, как связаны изменения показателя преломления с изменениями давления и температуры. Мы установим ЭТо путем дифференцирования выражения (2.1):
配=学•(譽一毕).10-6.(2.8)
При выводе формулы (2.8) величина X в (2.1) полагалась равной длине волны красного света X ^ 0,6-10~6 м. Если рассмотреть флуктуации давления в фиксированной по отношению к поверхности земли точке, то они оказываются относительно малыми. Следовательно, наблюдаемые вариации показателя преломления обусловлены только флуктуациями температуры, и слагаемым 6Р/Р можно пренебречь. Из определения потенциальной температуры 0 можно увидеть, что вариации показателя преломления 6п на фиксированной высоте будут зависеть только от 60, так что
М = —79P券• I。-、(2.9)
Наконец, поскольку 60 ——консервативная примесь, то и 6п является таковой, и мы можем записать закон 2/3 для флуктуаций показателя преломления
Dn(r) = C^.(2.10)
Теперь, воспользовавшись формулой (2.9), выразим структур ную характеристику Сп непосредственно через 鑑：
徹=(賢' • Ю~6^ С|.⑵ 11)
Таким образом, мы показали, что флуктуации показателя преломления обладают такими же статистическими свойствами, т. е. структурная функция подчиняется тому же закону, что и скорость турбулентных движений, и что изменения показателя преломления обусловлены вариациями температуры. Формула (2.11) связывает структурную характеристику флуктуаций показателя преломления и флуктуаций температуры с параметром, который зависит только от средних значений атмосферного давления и температуры. В дальнейшем в тексте, следуя установившейся традиции, мы будем использовать значения С^ вмес-
то Се, при этом имея в виду, что сама структурная характеристика потенциальной температуры является важной физической величиной.
В заключение отметим, что в действительности структурная характеристика изменяется как во времени, так и в пространстве. Фактически она представляет собой коэффициент, который характеризует интенсивность турбулентных пульсаций показателя преломления. При определении этой характеристики в эксперименте необходимо проявлять осторожность в вопросах, связанных с временным усреднением. Специалисты по распространению оптических волн используют различные временные интервалы усреднения при определении величин Ст или С«.
Стационарные случайные функции
Частотный спектр зависящего от времени детерминированного сигнала, например импульса, можно определить, вычислив его преобразование Фурье. Если функция р(£) описывает импульс, то W (со) определяется выражением
W^)=~ \ dtp (/)e-^t (2.12)
где(о = 2л/, a f ——частота в Гц. Если мы хотим восстановить функцию /?(/), то для этого достаточно обратить соотношение (2.12):
р (/)= \ d^W (со) е叫 (2.13)
При этом обеспечивается точное восстановление временного сигнала p(f). Это оказывается возможным благодаря тому, что в общем случае значения W (со) являются комплексными величинами, определяющими не только относительные амплитуды различных частот, но и сдвиг частот относительно друг друга по фазе. Именно это позволяет определить заданную временную функцию.
Аналогично стационарную случайную функцию p(f) можно представить в виде преобразования Фурье — Стилтьеса [2.14]
Р(/)= \ d〃®)eS (2.14)
Равенство (2.14) выражает связь между заданной реализацией случайного процесса и его спектром в том же самом смысле, что И равенство (2.13) для детерминированной функции. Однако
в последнем случае функции р«) и dH(co) являются случайными функциями и поэтому принимают новые значения для каждой реализации случайного процесса. Функция dH (®) выполняет та- куЮ же роль, что и функция W(со) Ло в формуле (2.13). Действительно, если Я(ю)— дифференцируемая функция, то, записав dH2= Н，g)d@, можно получить точный аналог формулы (2.13). Специальным образом определенная величина d白(з) позволяет применять формулу (2.14) даже в том случае, когда спектр случайного процесса не является дифференцируемой (функцией. Например, формула (2.14) может служить полезным обобщением для случайных процессов, состоящих из ограниченного числа случайных гармонических колебаний.
Понятие стационарности представляет собой временную аналогию понятия пространственной однородности, обсуждаемого в разд. 2.1.2. Стационарность означает, что статистические характеристики, такие, как среднее значение и дисперсия, не изменяются во времени. Например, если найдено среднее значение процесса в момент времени 力，то оно должно совпадать со значением, найденным в момент / + %. Указанное среднее является средним по ансамблю, или математическим ожиданием величины, которое мы обозначим угловыми скобками. Усреднение проводится по различным реализациям случайного процесса. К сожалению, у нас нет ансамбля идентичных атмосфер, доступных для наблюдения. Обычно имеется одна временная реализация, скажем флуктуаций температуры атмосферы, и для получения оценок средних значенрш по ансамблю необходимо привлекать предположение об эргодичности процесса. Эргодическим случайным процессом является такой процесс, для которого усреднение по бесконечному промежутку времени совпадает с усреднением по ансамблю. Если есть основания ввести такое предположение, то все средние по ансамблю можно заменить средними по времени. Это, однако, приводит к новой проблеме. Проводить усреднение бесконечно долго, как этого требует гипотеза эргодичности, невозможно. Остается рассчитывать на то, что процесс обладает ограниченной полосой частот и требуемое время усреднения будет конечным. Как долго следует усреднять и каково фильтрующее действие на результаты измерений длины интервала усреднения, длины записи н скорости снятия отсчетов? Эти вопросы составляют содержание целой отрасли науки —временного анализа рядов. Для более подробного знакомства с этой интересной и содержательной областью знаний можно рекомендовать работы [2.15——17], а применительно к атмосферным процессам — работу [2.18]. Здесь речь идет о возможности качественно измерять статистические характеристики, которые будут рассмотрены в последующих разделах. Интересно, что понятие структурной функции, введенное в
разд. 2.1.2, возникло как раз в связи с ответом на данный вопрос. Вследствие использования операции вычитания, как будет показано ниже, структурная функция, подобно высокочастотному фильтру, исключает влияние медленно меняющихся крупномасштабных флуктуаций, величина которых примерно одинакова в обеих точках наблюдения. Структурная функция обеспечивает более высокую стабильность статистических данных, чем соответствующая ей корреляционная функция.
С применением соотношения (2.14) связаны некоторые математические трудности, часть которых уже рассматривалась в данном разделе. Трудность заключается в том, что в выражении (2.14) и соответствующем ему обратном преобразовании нарушаются по крайней мере два необходимых для существования преобразования Фурье условия: во-первых, абсолютная интегрируемость и, во-вторых, ограниченность числа максимумов и минимумов. Поэтому применение формулы (2.14) к случайным функциям менее обосновано, чем применение точных соотношений (2.12, 13) к детерминированным функциям в физике. Эти математические трудности удается преодолеть при рассмотрении усредненных по ансамблю характеристик случайного процесса. Примером служит корреляционная функция, определяемая равенством
В(/, f +t) =〈「(/"(+)〉， (2.15) где звездочка обозначает комплексное сопряжение. После подстановки (2.14) в (2.15) получаем формулу
8(/, f + t)=， J е1Ы^^)((lHMdH\^ (2.16)
где мы сочли возможным изменить порядок интегрирования и усреднения. Из рассмотрения понятия стационарности процесса известно, что если р(£)—стационарная случайная функция, то соответствующая ей корреляционная функция не должна зависеть от времени f. Функция В (/, / + т) только тогда перестает зависеть от переменной 厶 когда величина {dH (o)i)d//* (со2)) принимает вид
{dH (si)d/r®2)〉= 6®i — S2)P(Si)dsi,ds2, (2.17) где 6(coi — о)2)—дельта-функция Дирака. В итоге выражение (2.16) записывается в форме
b (/, / + T) = в (T) ==，4/3卢-加叩(0)1). (2.18)
Функция Р(оп) называется спектральной плотностью функции р«). Важный результат, содержащийся в (2.18), заключается в
том, что в предположении о коррелированное™ только спектральных амплитуд с равными частотами a)i = о)2 вся фазовая информация о функции р(£) теряется Зная только функцию р((о), мы не можем полностью восстановить функцию p(t). функция Р(®) содержит информацию о том, какое количество мощности процесса приходится на единицу частотного интервала. Заметим, что поскольку [p(t)p*(t)] определяет мгновенную мощность, то величина 8(厶 /) в силу равенства (2.15) дает ее среднее значение
В 也 /) =〈р (/)「*(» (2.19) которое выражается в форме
(р (/) р* (/))= j P®)dco・ (2.20)
Так как левая часть (2.20) является средней мощностью, то функция ^((0)^(0 должна характеризовать мощность, содержащуюся в интервале частот от s до з + dco.
В конечном итоге достаточной характеристикой спектра стационарного случайного процесса является спектральная плотность его мощности. Но в отличие от детерминированных функций, допускающих точное восстановление временной функции по известному фурье-образу, спектральная плотность мощности не позволяет точно восстановить случайный процесс из-за отсутствия информации о фазе.
Спектральная плотность мощности флуктуаций показателя преломления
В разд. 2.1.3 мы кратко рассмотрели пространственную структуру флуктуаций показателя преломления. В разд. 2.1.4 были рассмотрены временные характеристики случайного процесса с кратким изложением некоторых вопросов анализа временных рядов. Чтобы воспользоваться этими результатами в рассматриваемой физической модели атмосферы, введем пред< положение «замороженной турбулентности», которое означает, что временные вариации метеорологических параметров в точке пространства обусловлены не изменениями самих параметров, а переносом пространственной картины средним потоком [2.11, 12]. Такой подход устанавливает полное соответствие между пространственными и временными флуктуациями. Например, если поместить точечный датчик температуры в атмосферу, записать его показания и найти спектральную плотность мощности Р(з), то вследствие гипотезы замороженной турбулентности, зная среднюю скорость ветра и。，можно прямо перейти к одно Мерной спектральной плотности, выраженной в единицах
пространственного волнового числа К. Для заданной временной частоты ① пространственное волновое число равно К =①细 В данном разделе мы будем рассматривать в основном пространственные статистические характеристики, переходя к временным характеристикам указанным выше способом при известной скорости ветра. (Более подробное изложение гипотезы «замороженной турбулентности» и границ ее применимости дано Татарским [2.12].)
Запишем поле показателя преломления в виде суммы среднего значения и флуктуационной части
忆(г) =〈п(г)〉+ 〃1 (г),(2.21)
где〈©(『)〉=0 по определению. (Заметим, что такое определение величины П1 мало отличается от определения, приведенного в разд. 2.1.1.) Случайное поле ni (г) можно разложить в трехмерный интеграл Фурье — Стилтьеса
勿(г) = \dN(K)MK・r,(2.22)
где К = (К%, Ку, Kz) —трехмерное пространственное волновое число, a dN — случайная спектральная амплитуда (аналог величин со и dH в равенстве (2.14) соответственно). Следуя ана- лизу, проведенному в разд. 2.1.4, рассмотрим ковариационную функцию поля показателя преломления в двух точках пространства, разнесенных на вектор г:
Вп (□ + г, ri) =〈〃1 (г + ri) П1 (гО).(2.23)
Если выражение (2.22) подставить в формулу (2.23), то получим пространственный аналог соотношения (2.16):
Bn(ri + г，г「3 e^^^{dN (К) dAT ”)〉•(2.24)
Из введенного понятия статистической однородности известно, что статистические характеристики однородного случайного поля не зависят от положения точки наблюдения. Это означает, что при переносе датчиков из одной части пространства в другую и выполнении аналогичных измерений должен быть получен прежний результат. Применяя указанное предположение к формуле (2.23), приходим к равенству 反(门 + г, rj = 8〃(г). Чтобы двойной интеграл в выражении (2.14) зависел только от вектора г, как этого требует свойство однородности, величина, заключенная в угловые скобки, должна удовлетворять соотношению
@N (К) dW (К)〉= 6 (К — К')①〃 (К) d3Kdзр,(2.25)
где 6 обозначает трехмерную дельта-функцию Дирака, а ①扭(К)——трехмерную спектральную плотность флуктуаций пока。
зателя преломления. Подставляя (2.25) в (2.24) и выполняя интегрирование по К', получим хорошо известную связь через преобразование Фурье между спектральной плотностью и ковариационной функцией:
3%(г)=\0Ке，кма)%(К)・(2.26)
Применяя обратное преобразование Фурье к равенству (2.26), получим
①九闿=击 \ dhBn(r)e-^.(2.27)
Такие же соотношения можно получить в случае одномерного и двумерного пространств [2.11, 12]. При этом вывод формул совпадает с выводом соотношений (2.18) или (2.26). В последующих разделах мы будем применять двумерные разложения. Следующим приближением, которое хотелось бы использовать при описании турбулентных флуктуаций показателя преломления, является изотропность. Понятие изотропности означает, что статистические характеристики, например ковариационная функция, должны зависеть только от расстояния между точками наблюдения, а не от ориентации соединяющего их вектора. Математически это свойство выражается равенством ^^(г) = Вп(г\ а из обратного преобразования Фурье формулы (2.26) следует соотношение ①〃(К) =(Р〃(К). Если подставить последний результат в (2.26) и перейти к сферическим координатам К = =(К, 0, ср) и d3K = К2 sin Qd 0d cpd К, то интегрирование по угловым переменным дает
Вп ⑺=手，dKKA (К) sin (К)(2.28)
о
Аналогично в выражении (2.27), проинтегрировав по угловым координатам, можно получить
①九(К)= ^J^ \S) sin (Кг)・(2.29)
о
Как только мы предположили однородность и изотропность модели турбулентной среды, так сразу появилась возможность получить выражения для 5〃 (г) и Ф«(7<), соответствующие закону Колмогорова для структурной функции О〃(г)・ Сначала представим выражение для изотропной структурной функции
Dn ①=(hi (门 + r) 一 "1 (口)]2)(2.30)
в виде трех слагаемых и учтем, что приближение однородности требует выполнения равенств〈齿(г 】十 г)〉=〈〃式г» =〈&〉= Вп (0)
и (^! (г + r^ пх (rj)^ = Вп (г). В результате находим
区(0)一 旦⑺=% 4⑺.(2,31)
Вывод соотношения, связывающего функции ①枕(К) и D〃(r), более сложен. Из формулы (2.28) после вычисления предела при『f 0 н подстановки выражения для 8〃(0) в (2.31) получим формулу, определяющую структурную функцию через спектральную плотность Фи в виде
Dn (г) = 8л \ dKK2①〃 (К) [1 — ^1^] •(2.32)
о
Из (2.32) видно, что функция D〃(r), как отмечалось выше, слабее зависит от крупномасштабных флуктуаций показателя преломления. Множитель [1—(Кг)-1 sin (Кг)] в формуле (2.32)' значительно ослабляет пространственные частоты в области К V 厂* т. е. в области масштабов, превышающих величину пространственного разноса точек наблюдения. Заметим, что в определении ковариационной функции 8〃(г) в виде равенства (2.28) такая фильтрация пространственных частот отсутствует. Далее, чтобы выразить ①九(К) через Dn, необходимо обратить формулу (2.32), но такое преобразование невозможно осуществить так же просто, как это делается при обычном преобразовании Фурье. Решим эту задачу, применяя производные от функции Dn(r) [2.19], [2.12]:
①九(k) = 422 \ S器Р条卜^以⑺]"(2，33)
о
Теперь можно найти спектральную плотность Фп, соответствующую колмогоровской модели инерционного интервала:
4⑺= 0*3； %《『《%・(2.34)
Подставляя (2.34) в (2.33) и проводя соответствующие вычисления, получим
①%代)=备恵7〕3,公sin (к尸)广吗(2.35)
/л
Если распространить пределы интегрирования в (2.35) от 0 до оо, то после вычислений находим
О)%(К) = 0,033С^Г"/з；(2.36)
при этом следует учесть, что формула (2.36) справедлива для частот 2冗厶丁i《K《2n/『. Соотношения (2.34) и ⑵36) дают
эквивалентное описание турбулентных флуктуаций показателя преломления.
В литературе используют также более общие представления для ①力 обеспечивающие непрерывность спектра на границах инерционного интервала, в отличие от формулы (2.36)，которая предполагает здесь разрывы. При размерах вихрей, не превышающих величины внутреннего масштаба турбулентности /0, вследствие вязкости энергия турбулентных движений превращается в тепло. Хотя строгое выражение для спектра в этой области не установлено, ясно, что здесь он должен убывать существенно быстрее по отношению к закону ^11/3. Модель, учитывающая это обстоятельство, была предложена Татарским [2.12]:
Ф« (К) = О,ОЗЗС^-11/3 ехр (一 №М),(2.37)
где Кт = 5,92//о・ Аналогично для размеров вихрей, превышающих величину £о, энергия в вихрях должна быть меньше того значения, которое предсказывает теория Колмогорова. Эта зависимость в определенной степени может быть описана спектром фон Кармана (Татарский [2.11])
ф„ (K) = ；F；T W〃-⑸〉А(1 + 不/K旷"Т(2.38)
где К。= 2冗/上0, а 〈6^〉——дисперсия флуктуаций показателя преломления, связанная с С« соотношением С；1,9〈6力 К紀 Такой
спектр правильно описывает поведение функции только в инерционном интервале, t. e.①九 (ю=/^-"厶 для 2立丁1《к《2就U Вне этого интервала, в частности, в области малых значений К, обоснованная физическая теория флуктуаций показателя преломления отсутствует, поэтому модели спектра следует использовать только для оценки влияния параметров /0 и Lo на статистические характеристики флуктуаций поля оптических волн, которые будут рассматриваться в следующих разделах. Если же статистические характеристики сильно зависят от внутреннего /о или в особенности от внешнего & масштаба турбулентности, то изучение распространения волн требует более точной информации о флуктуациях атмосферы по сравнению с существующей.
2・1・6. Поведение 欧 в свободной атмосфере
Определяющая роль структурной характеристики показателя преломления С； станет отчетливо видна в следующих разделах пРи расчете статистических характеристик флуктуаций параметров оптической волны, распространяющейся в турбулентной
атмосфере. В этом разделе мы приведем некоторые современные сведения о поведении С^ как функции высоты и времени суток.
На рис. 2.1 показан типичный пример поведения °^ в течение 24-часового временного интервала на высоте 2 м над под» стилающей поверхностью. Эти данные получены в условиях равнины с подветренной стороны Скалистых гор вблизи г. Болдер шт. Колорадо, где растительный покров и неровности подстилающей поверхности не превышали 0,3 м. Структурная характеристика показателя преломления определялась по значениям Ср с использованием формулы (2.11). Значения Ст рассчитывались из измерений среднего квадрата разности показаний двух
15июш 1971 г
Рис. 2.1. Изменение структурной характеристики флуктуаций показателя преломления в течение суток при ясном солнечном дне.
проволочных термометров [2.20] путем деления этой величины в соответствии с формулой (2.7) на величину разноса в степени 2/3.
Дневной цикл С„, показанный на рис. 2.1, типичен для поведения этой величины в приземном слое (приблизительно нижние 30—100 м). Интенсивность температурных флуктуаций (следовательно, и величина С«) оказывается малой ночью и в ранние утренние часы до тех пор, пока нагрев солнцем подстилающей поверхности не приводит к возникновению конвекции [2.21]. Конвективный поток вызывает флуктуации температуры на заданной высоте следующим образом. Нагретая солнцем поверхность передает тепло тонкому прилежащему к ней слою воздуха. Когда отдельные объемы воздуха из слоя поднимаются вверх, то они оказываются более теплыми, а следовательно, менее плотными и более легкими, чем окружающий их воздух. Поэтому они продолжают двигаться вверх с ускорением. Перемешивание восходящих теплых объемов воздуха с нисходящими холодными приводит к появлению неоднородностей температуры. Этот процесс, вызывая увеличение С〃, продолжается до тех пор, пока после полудня не уменьшается поток солнечного тепла, в результате чего Сп убывает. Типичный диапазон изменения значений С^ в летний день на высоте 2 м над подсти-
〔八一17 —2/3 j лающей поверхностью определяется неравенством 10 м < < С^ < 10~12 м~2/3. На рис. 2.1 глубокие замирания значений С« в промежутке между 14.00 и 16.00 обусловлены переменной облачностью. Солнце нагревает только верхний слой подстилающей поверхности. Поэтому, когда облака временно закрывают солнне, поверхность быстро охлаждается, температура в приле- жащем слое воздуха быстро выравнивается и величина Сп резко убывает. 2
С целью определения пространственных вариаций 以 былгг проведены многочисленные измерения. В исследованиях применялись датчики микропульсаций температуры, установленные'
Рис. 2.2. Высотно-временное распределение интенсивности акустических эхо-сигналов.
на мачте [2.22], самолете [2.20, 23, 24] и поднимаемые с помощью шара-зонда [2.25]. Началом дистанционного зондирования С?М вероятно, следует считать измерения мерцаний звезд с целью определения значений С« на больших высотах [2.26]. В настоящее время прогресс этого направления обусловлен применением акустических локаторов для целей дистанционного определения Ст и, следовательно, С« [2.22, 27]. Датчики, установленные на самолетах и перемещаемые по высоте с помощью шаров-зондов, дали первые сведения о сложном характере изменения С^ с высотой. Фактически именно эти измерения яви- лизь основной причиной перехода от экспоненциального профиля [2.261 к более реалистичной статистической модели [2 28].
Данные акустической локации дают наиболее полную картину пространственной структуры С^ в пограничном слое атмосферы толщиной около 1 км. Хотя большинство ранее полученных результатов локационных измерений были качвствен- ннми, недавно был достигнут прогресс в количественном подтверждении достоверности локационных данных путем сопостав- 力ення значений С^, измеренных одновременно акустическим методом и с помощью температурных датчиков, размещенных На мачте [2.22]. На рис. 2.2 изображено высотно-временное
распределение акустических эхо-сигналов. Атмосфера зондировалась с помощью акустического импульса длительностью 20 мс, излучаемого вертикально вверх. Приемник детектировал эхо- сигналы с вертикальным пространственным разрешением, примерно равным 3— 4 м. Высотно-временные области сильного эхо-сигнала (темные пятна) соответствуют интенсивным турбу» лентным флуктуациям тем-
Рис. 23 Зависимость параметра 酸 от пературы, тогда как участо высоты в пограничном слое атмосферы слабого эхо-сигнала (свег” по данным акустического зондирования. лые области) соответствуют слабым температурным флуктуациям. (На начальном участке высотой 34 м данные отсутствуют, так как требуется конечное время для переключения лидара с передачи на прием.) Из представленных данных хорошо видно, что даже в течение 60-минутного отрезка времени, показанного на рисунке, пространственная структура Ст (следовательно, и С„) чрезвычайно изменчива. Темные вертикальные
всплески в нижней части записи обусловлены термиками, представляющими собой области восходящего теплого воздуха и характеризующиеся большим перепадом температур. Светлые участки между термиками соответствуют термически однородным областям нисходящего холодного воздуха.
Количественные сведения о значениях Ст представлены на рис. 2.3. Каждая точка на этом рисунке определялась путем обращения соотношения, определяющего эффективное сечение рассеяния акустических волн. (Согласно теории [2.11, 12], поперечное сечение обратного рассеяния пропорционально С^・ Для более подробного знакомства с методикой измерений и приближениями, применявшимися при построении графика на рис. 2.3, см・ работу Неффа [2.22].) Приведенные на рис. 2.3 данные усреднены за отрезок времени с 09.00 до 09.50. Исходная запись эхо- сигнала для этого же временного интервала изображена на рис. 2.2. Из данных, представленных на рис. 2.3, видно, что величина Ст заключена в интервале 10~3 м~2/3 °C2 < Ст < V IO* м~2/3℃2. Приближенно это соответствует значениям структурной характеристики показателя преломления
°Ю487产70-号°Ю487产70-号3 2W миюз_ 岳3 2W миюз_ 岳
°Ю487产70-号
°Ю487产70-号
3 2
W миюз_ 岳
3 2
W миюз_ 岳
Рнс. 2.4. Зависимость С^ от высоты, измеренная с помощью датчиков температуры, расположенных на самолете.
Ю~15 м~2/3 < С« < 10-14 м-2/з. (Данные акустического зондирования сравнивались qo значениями Ст, измеренными на мачте, на высоте 92 м. Результаты измерений совпали с точностью 50%.) Сплошной линией изображено убывание С* с высотой, соответствующее закону г-4/3, что совпадает с теоретическим предсказанием поведения Ст в приземном слое в дневное время [2.23], [2.29]. Расширение области, в которой выполняется закон минус 4/3, на высоты более 100 м ранее отмечалось Цван- гом. Теоретическое обоснование возможности применения закона убывания Ст в приземном слое в случае больших высот до сих пор отсутствует, хотя Фриш и Оке [2.30] показали, что закон минус 4/3 должен описывать убывание С* в слое, достигающем 20% толщины конвективного слоя. В утренние часы т?』щина конвективного слоя увеличивается, а после полудня, когда конвекция полностью развивается, она достигает величины 1—2 км. Для данных, представленных на рис. 2.3, толщина слоя составляла около 700 м. Единственная теоретически предсказанная особенность поведения Ст в приземном слое ночью заключается в том, что величина Ст должна убывать с высотой более медленно, чем по закону г~2/3.
Для высот, превышающих несколько сотен метров, теорети- теское описание поведения С« отсутствует. На рис. 2.4 показано сложное поведение высотной зависимости С« до высоты 3, 2 км. Приведенная кривая представляет результат усреднения дан« НЬ1Х за три последовательно взятых дня, при этом единичные
высотные профили были получены в дневные часы (Оке нЛоу、 рейс [2.24]). Три профиля были усреднены, а затем к полученной кривой применялось скользящее усреднение с интервалом 100 м. (Каждая экспериментальная точка соответствует среднему значению за одну минуту.) Даже после усреднения ход кривой указывает на сильную изменчивость значений С«. Если бы отсутствовала общая тенденция в убывании значений Сп с высотой, то поведение кривой имело бы совершенно случайный характер. Другие данные, полученные с использованием датчиков, расположенных на перемещаемом по высоте шаре-зонде (Баф- тон и др. [2.25]), также обнаруживают случайный характер изменения С« с высотой до высот порядка 15 км, сопровождающегося убыванием среднего значения. Типичные вариации С« в интервале высот 100—200 м как в данных Окса и Лоуренса, так и в данных Бафтона, не подвергавшихся сглаживанию, превышают порядок самой величины. Это свидетельствует о том, что вместо непрерывной высотной зависимости, предполагавшейся в ранних моделях, имеет место существенная слоистость структуры турбулентности с толщиной слоев порядка 100——200 м. Бафтоп с соавторами установил проявление орографических эффектов (турбулентность, связанная с горными волнами) в области высот 3—7 км, убывание С« до минимальных значений в интервалах 7—9 н 9—15 км и существование области острых всплесков, наложенных на относительно постоянное фоновое значение Сд. Возрастающую изрезанность профиля авторы связывают с высокой слоистостью структуры турбулентности в данной области и указывают на этот факт как на подтверждение теорий, предсказывающих увеличение 或 вблизи тропопаузы. Исключая наличие выраженной слоистости, особенно вблизи тропопаузы, Бафтон с соавторами получил качественное согласие данных с ранней моделью Хафнагеля и Стенли [2.26].
В последнее время, обобщив данные работ [2.24, 25] и оптических измерений [2.31—33], Хафнагель [2.28] предложил новую модель, обладающую особенностями, которые не были учтены в его предыдущей работе. Основываясь на результатах указанных экспериментальных наблюдений, он предложил для С« следующую зависимость:
爲={[(2,2. 10-53"1。(呼/27)2]0-用/1003+ io"6ei/i5oo}exp г仇3，
(2.39)
где h—- высота в метрах над уровнем моря. Модель справедлива для 3 км V 々V 24 км. Переменная г является случайной гауссовой величиной с нулевым средним и ковариационной функ-
цией, определяемой выражением
〈Г他 +仙，/ + T)T(а, ?)〉= /(%/100)2~5+4 他/2000)0一璘0,(2.40)
ГДеh/L I, \h\<Lt
= {0 вовне(2・41)
(Время т измеряется в минутах.) Из (2.40) следует, что (г2) = 2, а 〈ехр(г)〉= е ^ 2,7. Чтобы получить далее выражение для среднего профиля, следует вычислить 〈С^〉, используя (2.39), н подставить в полученный результат эти величины. Наконец, функция W в (2.39) является корреляционным множителем, равным
厂「20 KM1/2
Г = (1/15 км) \ У2 (Л) dh ,(2.42)
L5 KM-
где V ——скорость ветра на высоте h. Параметр W, равный среднеквадратическому значению скорости ветра в интервале высот 5—20 км, в 60% случаев оказывается ответственным за изменения данных Майкиселла по мерцанию звезд. [Данные для v (h) определялись из радиозондовых профилей, получаемых Национальной службой погоды США.] Отметим, что величина W является случайной функцией времени, и Хафнагель на основе данных из Мериленда установил, что значения этой функции распределены по нормальному закону со средним значением равным 27 м/с, и стандартным отклонением 9 м/с. Чтобы включить в данную модель область, прилегающую к подстилающей поверхности, модель необходимо дополнить высотной зависимостью С* в пограничном слое, например зависимостью вида 之-4/з для дневного времени суток. Кроме того, необходимо учесть орографические эффекты, наличие инверсионных слоев, которые могут влиять на локальные значения С*. (Дополнительные сведения по этому вопросу содержатся в работе Хафнагеля [2.28].)
Необходимо отметить, что новая модель, будучи эмпирической и основанной на ограниченном объеме данных, в то же время является, по-видимому, лучиюй из существующих в настоящее время. В определенной степени эта модель противоре- □нва, и поэтому важно отметить приближения, допущенные при ее разработке. Прежде всего, когда параметр С« был первоначально определен в формуле (2.10), то предполагалось, что он характеризует среднюю величину. Затем в формуле (2.39) он использовался как случайная величина. Суть вопроса заключается в том, что в экспериментах по распространению оптиче- 管нх волн обычно проводят усреднение за относительно неболь- ие временные интервалы, измеряемые, в частности, секундами
или минутами. Поэтому оптики обычно рассматривают значения Сп как средние за эти временные интервалы. В формуле для Сп вида (2.39) параметры г и W следует считать медленно меняющимися функциями с временными масштабами порядка нескольких часов или дней. При такой интерпретации модель (2.39) является непротиворечивой и полезной для практики. В эту модель для Сп можно также включить параметры, связанные с сезонными, суточными и географическими вариациями.
В заключение рассмотрим статистические свойства флуктуаций, используя данные, полученные тремя различными способами. Основываясь на соотношении, полученном Обуховым [2.35], Каллистратова и Тимановский [2.34] определяли С„ из вертикальных профилей средней скорости ветра и температуры, измеренных с применением мачты высотой 12 м. По их наблюдениям в дневное время (11.15—15.15), 84% значений структурной характеристики попадает в интервал5,4 • 10~14 м~2 3 < С« < 5,4 X X Ю~13 м~2/3, в то время как ночью 59% значений находится в интервале 5,4 • 10"15 м"2/3 < С„ < 5,4 • 10"14 м~2/3 Эти наблюдения также обнаружили существенно больший разброс данных для ночи, чем для дня. Нефф [2.22], анализируя значения С«, измеренные на мачте и с помощью акустического локатора, установил, что эти данные характеризуются логарифмически-нор- мальным распределением со средним значением〈С力〜7Х X Ю~16 м-2/з и стандартным отклонением порядка 1,5-10~15 м~2/3 в ранние утренние часы — с 5 ч 10 мин до 10 ч местного времени. После полудня данные отклонялись от логарифмически-нормаль- лого распределения и имели среднее значение 〈穿〉〜3,0 X X 10一15 м-2/з и стандартное отклонение 2,0-10-14 м~2/3. Нефф не анализировал результаты ночных измерений, поэтому провести сравнение с данными Каллистратовой и Тимановского для этого промежутка времени не представляется возможным. Однако если, воспользовавшись законом 4/з, пересчитать дневные значения Сп Неффа с высоты 92 м на высоту 12 м, соответствующую измерениям Каллистратовой и Тимановского, то эти величины попадут в интервал наиболее вероятных значений С^, установленный советскими учеными. Учитывая полное различие способов измерений, применявшихся в этих экспериментах, такое совпадение следует считать хорошим. Оба эксперимента дают све* дения о Сп, соответствующие летним месяцам. Для других сезонов года аналогичные исследования, по-видимому, не проводи* лись.
В данном разделе мы кратко рассмотрели некоторые совре・ менные результаты экспериментальных наблюдений и попытки
строения модели высотной зависимости структурной характе- П(1стики показателя преломления в свободной атмосфере. Зна- ния высотных зависимостей параметра С« совершенно необхо- ймн. Справедливость этого утверждения станет ясна в следую- щем разделе, где будет установлено определяющее влияние флуктуаций показателя преломления на распространение опти* ческих волн в атмосфере.
«Классическая» теория распространения оптических волн
По вопросам теории распространения волн в пределах прямой видимости в атмосфере и других случайно неоднородных средах имеется обширная литература. В ранних работах Чернова [2.36] и Татарского [2.11] волновое уравнение решалось с использованием методов возмущений. Позднее Ли и Харп [2.37], используя физический подход, основанный на модели слабого фазового экрана, еще раз получили эти классические результаты, но более простым путем, чем в работах Чернова и Татарского. Фантэ [2.38] обосновал возможность применения теории переноса для описания распространения пучков в турбулентной плазме. Этот подход может быть также использован при решении проблемы распространения оптических волн в атмосфере, причем в случае ограниченного пучка он, по-видимому, обладает определенными преимуществами.
Поскольку данная глава содержит в некотором смысле историю вопроса, получим основные соотношения теории из уравнений Максвелла, применяя метод возмущений, который, по-види- мому, лучше всего изложен в ранних работах Татарского [2.11,2.12]. Чтобы упростить выкладки и следовать работе Татарского, рассмотрим плоскую волну, падающую на случайно неоднородную среду, и будем интересоваться только флуктуациями амплитуды и фазы. Другие характеристики, такие, как флуктуации разности фаз и углов прихода, рассмотрены в работах Ли и Харпа [2.37], Лоренса и Стробена [2.39] и Фантэ [2.40]. Здесь приведен обзор наиболее важных работ в этой области и содержится обширная библиография. Общий случай волнового пучка будет детально рассмотрен в гл. 5.
Волновое уравнение распространения оптических волн
Предположим, что атмосфера обладает равной нулю электрической проводимостью и равной единице магнитной проницае- ℃тью，а электромагнитное поле характеризуется гармонической
временной зависимостью, определяемой функцией 心'. (Приводимые ниже результаты измерений применимы также в случае импульсного излучения при длине импульсов более 100 пс [2.40].) Статистические характеристики амплитуды и фазы коротких импульсов определяются путем разложения распределения поля источника в спектр по плоским волнам. (К данному вопросу относятся работы [2.41, 2.47].) При сделанных выше предположениях уравнения Максвелла принимают следующий вид:
V ♦ Н = 0,(2.43)
УХЕ=/Н,(2.44}
V X Н = — /*е,(2.45)
V・(*e)= o,(2.46)
где £ = “——1, k =(о/c ——волновое число излучения,①一угловая частота, с — скорость света в свободном пространстве. Оператор V является векторной производной d/dxt д/ду, д/dz. Величины Е и Н — векторные амплитуды электрического и магнитного полей, зависящие только от положения точки наблюдения в пространстве. Предполагаемая гармоническая временная зависимость полей содержится в волновом числе k. Показатель преломления атмосферы и (г) является случайной функцией точки наблюдения. Статистические свойства этой функции были определены в разд. 2.1.
Чтобы перейти к более простому волновому уравнению для векторной амплитуды электрического поля, применим оператор ротора к равенству (2.44) и после подстановки полученного результата в равенство (2.45) получим
—WE + V (V • Е) = fe2n2E. (2.47)
Разрешим уравнение (2.46) относительно величины V-E и подставим результат в (2.47), после чего имеем векторное волновое уравнение
V2E + fe2n2E + 2v(E • log n) = 0. (2.48)
В формуле (2.48) использовано выражение для градиента натурального логарифма величины Vn/n.
Последнее слагаемое в левой части равенства (2.48) связана с изменением поляризации волны при распространении. Различные авторы [2.19, 2.48—2.52] детально исследовали вклад этого слагаемого и пришли к выводу, что он пренебрежимо мал при 九,《/о. Клиффорд [2.52] показал, что влияние атмосферы на состояние поляризации волны мало даже тогда, когда длина волны 九 превышает величину внутреннего масштаба /0. Это позволяет пренебречь последним слагаемым, после чего уравнение (2.48) принимает вид
V2E + ^2/e = o. (2.49)
п ^„e чем приступить к решению уравнения (2.49), сделаем замечания. Во-первых, из равенства (2.44) видно, что век- % Н связан с вектором Е. Поэтому любые результаты, полу- ^ные при решении уравнения (2.49), применимы к вектору Н. Во-вторых, поскольку уравнение (2.49) распадается на три скалярных уравнения для каждой из компонент вектора электри- «ческого поля, то можно решать одно скалярное уравнение, не учитывая векторный характер поля волны, до момента получе- ^и只 конечного результата. Учитывая сказанное, будем применять
(2.50)(2.50)уравнение
(2.50)
(2.50)
V2£ + ^W = 0,
「де е ——электрическое поле в случае линейной поляризации или одна из векторных компонент при произвольной поляризации лоля.
Результаты метода малых возмущений
Метод малых возмущений основан на разложении поля Е в ряд
Е = Ео + Е1+(2.51)
члены которого убывают как степени некоторого малого параметра. Согласно предположению, каждое слагаемое Ет имеет порядок малости (/л)俏.Если последующие слагаемые малы по сравнению с предыдущими |七俏+11 « |£俏|, то конечное число членов ряда будет достаточным для описания поля волны. К сожалению, такая ситуация имеет место не во всех случаях, п члены ряда могут возрастать. Физически это связано с увеличением относительного вклада членов ряда, ответственных за многократное рассеяние. Нулевой член ряда описывает падающую или невозмущенную волну, слагаемое первого порядка ~ однократно рассеянное поле, второго порядка ——двукратно рассеянное и т. д. Многократное рассеяние, как правило, становится существенным при возрастании интенсивности флуктуаций показателя преломления либо за счет возрастания 枕卜 либо увеличения толщины слоя. Последнее приводит к тому, что интегральное изменение показателя преломления вдоль трассы становится большим. В данной главе мы не будем рассматривать Эти вопросы и рассмотрим задачу в приближении однократного рассеяния, отложив детальный анализ слагаемых более высоКого порядка до гл. 3. При этом, однако, следует иметь в виду, ЧТо Результаты, полученные в приближении однократного рассеяния, применимы к широкому классу практических задач.
Решение уравнения (2.50) методом малых возмущений мож* ° осуществить следующим образом. Подставим выражение
вида Е = Ео + Ei в это уравнение и приравняем нулю по отдельности группы слагаемых одинакового порядка малости по Иь Это приводит к двум уравнениям:
72£о + Ж = О, (2.52)
▼В +炉旦+ 2々勿咼=U. (2.53)
В уравнении (2.53) мы пренебрегли слагаемыми вида ni£i, поскольку поле £：, как отмечалось выше, имеет порядок Hi, и, следовательно, произведение П\Е\ порядка /г；. Следуя Татарскому [2.11, 2.12], предположим, что падающая волна является плоской волной, имеющей единичную амплитуду и распространяющейся вдоль оси г, £0 = exp[ife]. Заметив, что это выражение удовлетворяет уравнению (2.52), подставим его в уравнение (2.53), где Ео выполняет роль источника. Полученное уравнение имеет вид
W旦+必e1 = 一 2火及e丝 (2.54)
Основное достоинство метода возмущений состоит в том, что уравнение (2.50), которое является однородным дифференциальным уравнением в частных производных со случайными зависящими от точки пространства коэффициентами, оказалось преобразованным в неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами (2.54). Однако при выводе уравнения (2.54) строгая постановка задачи была принесена в жертву достигнутой простоте. Уравнение (2.50) невозможно решить строго, не конкретизируя вид функции ni, в то время как решение уравнения (2.54) можно записать в общем случае. Это решение записывается в виде свертки функций, одна из которых является функцией источника в правой части уравнения, а другая ——функцией Грина уравнения
田(г) = (4л)-1 \ &з/ :二77T [2仍％ (r‘) e^']・ (2.55)
Равенство (2.55) показывает, что поле рассеянной волны, наблюдаемое в точке г, обусловлено сферической волной, излучаемой из точки г', а именно |г —「[—ехр(炭|г — г[). Амплитуда сферической волны пропорциональна произведению локального значения флуктуационной части показателя преломления 〃i(r‘) и напряженности поля падающего излучения, а фаза определяется общим числом длин волн, укладывающихся на пути от источника до рассеивателя и далее до приемника. Вклады всех точек г', находящихся в объеме рассеяния V, суммируются.
Существует несколько более простых форм выражения (2.55), связанных с характерными особенностями распространения лазерного излучения. Монохроматичное излучение, рассеянное ела。
бнмн крупномасштабными флуктуациями показателя преломле- ния, концентрируется в узком конусе вблизи направления рас- сеянИЯ вперед. Согласно законам дифракции, угол рассеяния имеет максимальное значение для наименьших из рассматривае- МЬ1Х вихрей, размер которых равен внутреннему масштабу турбулентности. При этом угол рассеяния по порядку величины равен х//о И для типичных значений (Л = 0,6-10~6 м и /о = 2Х X Ю~3 м) составляет 3-10-4 рад. Поэтому максимальный размер области пространства в перпендикулярном к оси z направлении, пз которой рассеянное излучение попадает на приемник, обычно оказывается много меньше продольного расстояния от рассеивателя до приемника. Если длина пути между рассеивателем и приемником равна z — г7 и смещение с оси г составляет р ——р1，то между этими величинами выполняется неравенство г — /|》|р — pl, которое позволяет осуществить замену г ——г'|т|之 ——z[ в знаменателе выражения (2.55).
С аргументом экспоненциальной функции следует обращаться более осторожно, поскольку здесь важны не столько относительные величины поперечного и продольного разносов, сколько число длин волн, укладывающихся в этих расстояниях. Здесь необходимо сохранить слагаемые, которые могут изменить аргумент более чем на 2冗 рад. Разлагая выражение k\r ——г[ в биномиальный ряд, получим
左I г — г'I =左(z _ z')[l + 屍三皆•一信笠 + ...]. (2.56)
Если считать, что максимальный поперечный разнос равен приблизительно XL//o, а г — 2’ 〜L, где L — общая длина трассы, то второе слагаемое в выражении (2.56) имеет порядок CL]F、 Следовательно, прн/()《 д/九上 это слагаемое велико и должно быть оставлено. В частности, при длине волны 九=0,6 X Ю~6 м иля трассы длиной в 1 км, когда радиус первой зоны Френеля 〃九£ = 2,5 см, считая Zo = 0,2 см, находим, что второе слагае- мое необходимо сохранить. (По этой же причине третье и следующие слагаемые малы. Например, третье слагаемое имеет по- Рядок 九з厶〃j. Эта величина мала при указанных выше значе- ?ях физических параметров задачи.) В итоге в знаменателе формулы (2.55) следует удержать только величину 2 —У, а в показателе экспоненты — два первых члена ряда (2.56) / Это приводит к выражению
% (г)=皆严 ехр ｛嗽二*Т ｝言鼻.(2.57)
При использовании приближения Френеля (2.56) интеграл (2.55), содержащий функцию Грина и описывающий рассеянное поле, переходит в так называемую дифракционную формулу Френеля (2.57). Формула (2.57) является точным решением уравнения диффузии с источником вида —-2k2n\ [2.11]. Другая интересная особенность формулы (2.57) заключается в том, что ее экспоненциальный множитель содержит уравнение для определения положения интерференционных полос на расстоянии а в плоскости наблюдения, возникающих за счет взаимодействия падающей плоской волны с рассеянной сферической волной, пе- реизлученной из точки (р‘， У). Именно эти полосы приводят к флуктуациям амплитуды и фазы, наблюдаемым при распространении оптического излучения в атмосфере.
В данной задаче нас будет интересовать следующий вопрос: какова величина флуктуаций амплитуды или интенсивности по отношению к значениям этих величин в свободном пространстве? Иными словами, как сильно будет флуктуировать амплитуда принимаемого излучения вследствие взаимодействия с атмосферой и какова величина флуктуаций фазы относительно фазы невозмущенной волны? Следуя Татарскому [2.11, 2.12], воспользуемся приемом, который в предположении слабого рассеяния позволяет упростить вывод соотношений, связывающих флуктуации амплитуды и фазы с полем £\. Согласно определению, Е = =Ео + Ei・ Тогда, используя понятия амплитуды и фазы, запишем
含=1 +^ = ^expR(s — So)]; (2.58)
где Е = A exp(is) и £0 = /оехр(Ао). Логарифмируя равенство (2.58), получим
log(l +^-) = log(l +^+i(s-SQ)f (2.59) где 4i ——амплитуда поля £i. Поскольку выполняются неравенства |Ei/Eo|《1 и XiMo « 1, то логарифм можно разложить в степенной ряд и удержать только первый член ряда, после чего формула (2.59) примет вид
瓦 才 + / (s — So). (2.60) Эта формула показывает, что отношение амплитуд можно определить из вещественной части формулы (2.57), а флуктуации фазы ——из мнимой части. Чтобы реализовать такой подход, нормируем равенство (2.57) на поле £0. После чего можем записать
生 =旦I■也(Lni (г，)
4 2a r cos [Т(Г^ТЗ(2 一 * (2・b】)
ИИ(s — So)=器，d3" sin ［第三号］Т^Уг •@62)
И
И
В соотношениях (2.61) и (2.62) мы воспользовались тем, что < нкцпя 〃i(「/) является вещественной величиной, т. е. затуха- поля волны при распространении отсутствует. Введем обо- знаиення % = Е (力/%о) = %1/"о и s — s0 = sb В дальнейшем всЮду будет рассматриваться величина %, равная логарифму амплитуды, поскольку именно она часто измеряется в экспери- менте. При этом, однако, следует иметь в виду, что в прибли- *енш1 слабого рассеяния величина % совпадает с величиной от- носительиых флуктуаций амплитуды 41/Л0.
До сих пор мы не использовали особенности граничных условий задачи для упрощения расчетных соотношений. В частности, поскольку падающая волна является плоской, то можно ожидать, что флуктуации амплитуды и фазы в плоскости z = const будут статистически однородными. Это утверждение становится неверным, если точка наблюдения перемещается вдоль направления оси г, так как с ростом а ожидается увеличение флуктуаций х и s. Поле показателя преломления /г】 (У) удобно разложить в двумерный интеграл Фурье — Стилтьеса:
(2.63)(2.63)ni (/) = , dv (К, %') е’ко.
(2.63)
(2.63)
dv (К, 2‘)(2 一 2‘)dv (К, 2‘)(2 一 2‘)w2PsM ｛為［知弯］｝, (2.64)w2PsM ｛為［知弯］｝, (2.64)Здесь разложение показателя преломления проведено только в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, и случайная амплитуда dv зависит от переменной 2‘. Соотношение (2.63) в принципе совпадает с соотношением, рассматривавшимся в разд. 2.1.5; в частности, оно подобно трехмерному разложению (2.22). Если выражение для 勿 подставить в формулы (2.61) и (2.62) и поменять местами порядок интегрирования по переменным dv и d^v\ то эти формулы запишутся в виде
dv (К, 2‘)(2 一 2‘)
dv (К, 2‘)(2 一 2‘)
w2PsM ｛為［知弯］｝, (2.64)
w2PsM ｛為［知弯］｝, (2.64)
о
где использовано соотношение d3r = d2^dz\
〃 Интеграл по р‘ легко вычисляется после замены переменных Р = Р‘ 一 р. Поскольку величины в фигурных скобках зависят только от модуля вектора р〃, удобно ввести полярные коорди- 胃ты р" =(р〃，8) и проинтегрировать по угловой переменной 0.
с〃и внутренние интегралы в формуле (2.64) обозначить через 1,2» то будем иметь
2л
2("2("jy］｝, deMp〃cos(e-叫(2.65) о
2("
2("
Вектор К в последнем сомножителе определен в виде К = = (К, гр). В результате вычисления внутреннего интеграла возникает функция Бесселя 2п/о(Кр〃) [2.53], после подстановки которой в формулу (2.65) получаем интеграл
厶,2 = 2冗е" \ dp〃p"° (КР〃) {靠 АЛ } • (2.66) о
Интеграл в формуле (2.66) совпадает с преобразованием Хан- келя от множителя в фигурных скобках ([2.54] и [2.53]). После интегрирования формула (2.66) записывается в виде
厶,2 = ^^1 «кр { ^ , ⑵67)
а формула (2.67), подставленная в соотношение (2.64), дает окончательный результат
• (2.68)• (2.68)
• (2.68)
• (2.68)
Это выражение, подобно (2.63), можно рассматривать как двумерное преобразование Фурье, считая, что множитель в круглых скобках выполняет такую же роль, как и величина dv(K, zr} в формуле (2.63). Поэтому данный множитель следует рассматривать как величину, характеризующую случайные спектральные амплитуды амплитудных и фазовых флуктуаций.
Подобно тому как это принято при описании случайных процессов, следует найти статистические характеристики, которые наблюдаются в эксперименте. В связи с этим рассмотрим двумерные корреляционные функции Вх (р) и 8s (р). (Первые моменты флуктуаций логарифма амплитуды % и фазы s】，т. е. величины 〈％〉и〈s〉равны нулю, поскольку по определению <^i> = 0.) Этот результат обусловлен сохранением в исходном выражении для поля только слагаемого первого порядка малости Ei. Если удержать слагаемые второго и более высоких порядков, то величины 〈％〉 и 〈s〉 будут незначительно отличаться от нуля. Применение двумерных корреляционных функций обусловлено статистической однородностью флукту^ни宓 амплитуды и фазы в плоскости г — const. Функции В% (р) и 3s (р) обычно вычисляются в плоскости приема, расположенной на расстоянии z = L：
% (@, г) =〈％ (б + р,力 %* (рь z)〉. (2.69)
Аналогичное выражение можно записать для В$(р, z). При подстановке формулы (2.68) в (2.69) получим четырехкратный ин-
теграл вида22
僵^卜炉""设：[竿宀х
X :*『2yq ｝〈厶(к,公)甫(к； 2")〉.(2.70)
В разд. 2.1.5 приведены свойства величины, стоящей в угло^ вых скобках в (2.70). В частности, для двумерных случайных амплитуд выполняется равенство
〈外(к,父)内)"，2")〉=6 (k - Kz) Fn (К,2’ 一 z") d2Kd2k・(2.71)
Функция Fn(K\zf — z") характеризует двумерную спектраль-^ НуЮ плотность флуктуаций показателя преломления, 。口реде~ ляемую выражением
Fn (К, 2’ 一 2〃)= \ dKz①九(к‘，KJ cos 陷 3 — И], (2.72)
где ①〃 —трехмерный спектр показателя преломления. Подставляя выражение (2.71) в формулу (2.70) и проводя интегрирование по векторной переменной К', преобразуем формулу (2.7°) к виду
[挑;Н*ехрКРХ
(2.73)
Поскольку преобразования Фурье от величин, заключенных в круглые скобки, совпадают с корреляционными функциями, то сами эти величины должны определять двумерные спектраль- ные плотности флуктуаций % н s. В соответствии с обозначе- ниями, принятыми в формуле (2.72), обозначим эти сцектры через /(К,0) иЛ(К,0).
Формулу (2.73) можно существенно упростить, используя рвойства функции Fn и учитывая пространственные масштабы, характеризующие условия распространения оптической волны. (Необходимые здесь преобразования подобны преобразованиям, проведенным детально в работах [2.11,2.12].) Во-первых, как Зидно из формулы (2.72), спектральная плотность Fn (К, zz — zH) ависит только от разности %'——z〃； следовательно, выполняет- равенство
Fn，(К, 2’ 一 2〃) = Fn (К, 2〃 一 2‘)・(2.74)
Во-вторых, функция Fn определяет корреляцию значений величины 及 1 в двух плоскостях, разнесенных вдоль оси г. Очевидно, что заметный вклад в корреляцию будут вносить только те неоднородности показателя преломления, размер которых 2tcK-i сравним или превышает величину разноса плоскостей 之‘一z〃. Более мелкие вихри, которые одновременно не пересекаются обеими плоскостями, слабо влияют на уровень корреляции. Учет этого обстоятельства и предположение об изотропности турбулентности, выражаемое равенством 凡(К, а‘一 z〃)= =Fn(K, z‘ ——z〃), позволяют считать, что функция Fn быстро убывает при K|z‘一之〃|> 1. Чтобы воспользоваться этим свойством, введем замену переменных 自=之‘ 一а〃，2刀=/ + а〃. Учитывая, что якобиан замены равен единице, а спектральная плотность Fn является четной функцией по переменной £, спектр амплитудных и фазовых флуктуаций можно записать в следующем виде:
厶LY/2°
电縉]=炉)侬，仁)\s (要户cos (+1)1 о自/2
(2.75)
В силу предположения об изотропности спектра Fn в формуле (2.75) векторные обозначения опущены. Вместо переменной вдоль трассы распространения z использована длина трассы в среде L. Для дальнейшего упрощения соотношения (2.75) воспользуемся тем обстоятельством, что, как отмечалось выше, 尸〃一при & > К-】. Поэтому область, существенная для интегрирования в (2.75), определяется условием ^ ^ Кгх. Это означает, что аргумент первого косинуса в (2.75) удовлетворяет неравенству /<2g/(2Z?) ^ K/^k. Поскольку справедлива оценка Ктах 〜2冗/)* где /о ——внутренний масштаб турбулентности, то отношение К/2归 имеет порядок величины К/10, много меньший единицы, в соответствии с ранее сделанным предположением. Следовательно, в области, существенной для интегрирования по переменной 占，функция cos [Л?三/(2力)]близка к единице. Далее, если предположить, что 自《厶，то пределы интегрирования по переменной п не зависят от & Это приближение оправданно, так как в области, существенной для интегрирования, справедливо g W К""】，а максимальное значение величины К-】 для колмогоровского спектра равно &/(2п). Отсюда следует соотношение J W £о・ Таким образом, если выполняется условие £о《Л, то при интегрировании по переменной т) зависимостью от Е можно пренебречь. Для этого требуется, чтобы длина трассы во много раз превышала величину внешнего масштаба турбулентности. Так как вблизи поверхности земли L。〜1 м, 3To требование выполняется для всех представляющих интерес
ическИх трасс. В результате сделанных приближений ин- °егралы в формуле (2.75) стали независимыми. В случае Lo《厶 интегрирование по переменной g легко выполняется, поскольку и Lq верхний предел интегрирования с малой погреш- н^сТЬЮ^можно заменить на бесконечность. Окончательное вычисление интеграла осуществляется с учетом равенства
J dgFJK,日=皿〃(0, К),(2.76)
о
следующего из соотношения (2.72). Кроме того, для изотропной турбулентности следует считать Фп(0, ^) — Фп(/<). Интегрирование по переменной п легко выполняется, и окончательное выражение для спектра флуктуаций амплитуды и фазы записью вается в виде
й梭雜=冗叫1干(矗)sin (早)］我(K)・⑵77)
Ковариационные и структурные функции для модели турбулентности Колмогорова — Обухова
Формула (2.77) определяет спектральную плотность мощности флуктуаций амплитуды и фазы плоской оптической волны, распространяющейся в случайной среде, спектр флуктуаций показателя преломления которой определяется функцией ①〃(К). Первый сомножитель в выражении (2.77) определяет оптическую передаточную функцию атмосферы. В случае спектра логарифма амплитуды (знак минус) передаточная функция убывает до нуля при К->0・ Это свидетельствует об отсутствии влияния крупномасштабных неоднородностей показателя преломления на флуктуации логарифма амплитуды. Напротив, для спектра флуктуаций фазы (знак плюс) эта функция при 女~>О стремится к постоянному значению и не подавляет влияние крупномасштабных неоднородностей.
При использовании спектра Колмогорова — Обухова (2.36) в формуле ⑵77) ширина спектра флуктуаций логарифма амплитуды будет ограничена снизу значением К ~ 2冗(九七厂“药 как спектр флуктуаций фазы будет сильно зависеть от больших масштабов и принимает максимальные значения при f ~2兀厶鼠L Отсюда видно, что флуктуации логарифма ампли- У"Ь1 в основном обусловлены вихрями размерами порядка 30НЬ1 Френеля “九厶，а флуктуации фазы — вихрями наиболь- масштабов. Благодаря этому обстоятельству более пред- стр ИТельно по отношению к корреляционной функции измерять ' "ктурную функцию фазы, так как в этом случае происходит
пространственная фильтрация, которая устраняет влияние вихрей больших размеров. Трудность прямого измерения ковариационной функции фазы заключается в том, что для получения надежных и стабильных значений этой статистической характеристики при больших разносах точек наблюдения требуются большие временные интервалы усреднения. При этом данные измерений искажаются за счет нестационарности процессов турбулентности в атмосфере.
Используя соотношение (2.77), можно получить формулы для ковариационной функции логарифма амплитуды и структурной функции флуктуаций фазы, которые применяются на практике. Связь между спектром Fz (^, 0) и ковариационной функцией Вх (р) определяется двумерным преобразованием Фурье (2.73). Поскольку было сделано предположение об изотропности спектра 尸％ относительно векторной! переменной К, то формулу (2.73) можно упростить, переходя от декартовых переменных К = (К%, Ку) к полярным координатам К н 8. Затем, как это было сделано в соотношениях (2.28) и (2.29), можно вычислить интеграл по угловой переменной и получить выражение вида
8%, s (Р) = 2冗，dKK/o (Кр) F* $ (К, 0),(2.78)
о
где /о(Кр)——функция Бесселя нулевого порядка первого рода, определяемая формулой
2л
/о (Кр) = А-，акр cos о de.(2.79)
о
Подставив формулу (2.77) в (2.78), получим
3%,s(p) = 2兀2冲厶,dKK/o(Kp)[l 千(鳥)sin (毕〃①/,(К)・ (2.80) 0
Поскольку измерить функцию & (р) почти невозможно вследствие сильного влияния больших пространственных и временных масштабов, важной физической характеристикой является структурная функция, определяемая по аналогии с соотношением (2.31):
&(р) = 2["(0) — &(р)]・(2.81)
Подстановка формулы (2.80) в (2.81) дает выражение
Ds(Р)= 4冗2奴厶，dKK [1 + (•^•) sin ^-^1)] [ 1 一 /о (Кр)]①拉(К).
(2,82)
Ьх（Р）
Рис. 2.5. Коэффициент ковариации флуктуаций логарифма амплитуды как функция разноса точек наблюдения, отнесенного к радиусу первой зоны Френеля.
Теперь имеется все необходимое для нахождения явного вида функций В% (р) и О$(р) путем подстановки спектра Колмогорова ——Обухова для ①九 и последующего интегрирования. Используя формулу (2.80), вычислим вначале дисперсию флуктуаций логарифма амплитуды сг^ = 8兀(0). После выполнения интегрирования [2.11, 2.12] и использования предположения /()《 <VXZ получим
域=0,31勿6广1/6 徹(2.83)
Как будет видно из следующих разделов, применимость этой формулы нарушается в случае длинных трасс и сильной турбулентности. Поэтому необходимо тщательно оценить условия применимости метода возмущений.
На рис. 2.5 изображено поведение коэффициента ковариации 乙(Р)=与(р)/@ в плоскости приема z = L. Как видно из ри- сунка, масштабом пространственной ковариации является ра- аиус первой зоны Френеля д/九L. Наличие отрицательных зна- ченпй функции Ь%(р) в области больших разносов свидетель- ствует об ограниченности полосы частот пространственного спектра флуктуаций. Одновременно это означает, что для двух произвольных точек в плоскости наблюдения, разнесенных на расстояние, равное радиусу первой зоны Френеля, в среднем 察а из точек будет находиться в области, освещенность кото-
ВЬ1Ше среднего уровня, а другая — в области с освещен- Жен^ю ниже среднего уровня. (Немногим более сложные выра- я Д/я величины BJ%、содержащие гипергеометрическпе
УНкинн, получены в работе Лоренса и Стробена [2.39].)
Наконец, подставив спектр Колмогорова — Обухова в формулу (2.82), можно получить степенную зависимость для структурной функции фазы. В случае когда величина разноса р удовлетворяет условию
/0<Р< “辽, согласно [2.11, 2.12], имеем
О5(р)=1,46СЖр5/3. (2.84)
При условии “九L《p《厶о формула для £>$(р) приобретает вид
R(p) = 2,92C/2 厶俨. (2.85) Поведение функции &(р) при р》厶о неизвестно, поскольку спектр ①九 определен только в инерционном интервале. Особенности поведения Ds при больших значениях р зависят от конкретного вида спектра ①几 в области малых пространственных частот. Поведение спектра в этой области, по-видимому, не описывается универсальным законом.
Вышеуказанные формулы для статистических характеристик флуктуаций логарифма амплитуды и фазы были получены с использованием борцовского приближения (2.55). Область применимости этого приближения определяется условием малости поля рассеянной волны по сравнению с полем невозмущенной волны, т. е. условием вида |Ei| <С \Eq\- В своих ранних работах, выполненных в 50-х годах, Татарский [2.11], используя метод, впервые предложенный Рытовым [2.55], получил совпадающие результаты, по-видимому, при более слабых условиях, требующих лишь малости градиента комплексной фазы рассеянной волны по сравнению с градиентом фазы невозмущенной волны. На первом этапе считалось, что такой подход дает для флуктуаций амплитуды и фазы результаты с более широкой областью применимости (в смысле вариаций значений С„ и длины трассы), чем борновское приближение. Советские ученые Писарева [2.56], Фейнберг [2.57], Татарский [2.58], а позднее и американские ученые Хафнагель и Стенли [2.26], Браун [2.59] поддерживали мнение о более широкой области применимости метода Рытова. В настоящее время надежно установлено, что оптимистичные оценки области применимости этого метода не подтвердились, и принято считать, что результаты, полученные этим методом, справедливы только при «&0,3. Это ограничение обусловлено тем обстоятельством, что метод Рьь това не учитывает полностью эффекты многократного рассеяния волн.
Из экспериментальной работы [2.60], в которой измерения были выполнены в условиях сильной интенсивности турбулентности на трассе, следует, что результаты для флуктуаций фазы
(2 84) и (2.85) и других близких величин, например флуктуа- углов прихода [2.48], имеют более широкую область применимости, чем статистические характеристики флуктуаций ло- гарифма амплитуды [2.40]. По-видимому, можно утверждать, ЧТ0 статистические характеристики флуктуаций фазы, измерен- нне после полудня на длинной трассе, где ожидается значение величины(^ > 0,3, будут находиться в хорошем согласии с теоретическими результатами, полученными в первом приближе- ^ин метода возмущений, в то время как для амплитудных флуктуаций согласие будет отсутствовать.
2.24 Качественная интерпретация результатов теории однократного рассеяния
На рис. 2.6 схематично изображено взаимодействие плоской оптической волны с турбулентностью атмосферы. Волна, имеющая в плоскости Л плоский фазовый фронт, на пути от Л к В встречает неоднородности показателя преломления. По мере приближения к плоскости В в волне возникают изменения фазы,, обусловленные ускорением или замедлением скорости распространения различных участков волнового фронта. Изрезанность волнового фронта в плоскости В вызывает отклонение локальных нормалей к волновому фронту от первоначального направления волны. В итоге различные участки фронта будут интерферировать, что приведет к флуктуациям интенсивности (мерцаниям) в плоскости С. Наблюдаемые при этом флуктуации логарифма амплитуды имеют дисперсию, выраженную формулой (2.83), а пространственная структура флуктуаций описывается ковариационной функцией, изображенной на рис. 2.5.
Некоторые особенности явления флуктуаций интенсивности
можно установить путем простого несса распространения волны. На рис. 2.7 изображена неоднородность показателя преломления радиуса /, расположенная на оси а и освещаемая плоской волной. Приемник, расположенный на расстоянии фиксирует картину измене- ния интенсивности, вызванного неоднородностью. Способность данного вихря создавать флук- ууэции интенсивности в точке определяется величиной раз- 乎ти оптических длин путей
качественного анализа про-качественного анализа про-Рис. 2.6. Условное изображение взаимодействия плоской оптической волны с неоднородностями показателя преломления атмосферы.Рис. 2.6. Условное изображение взаимодействия плоской оптической волны с неоднородностями показателя преломления атмосферы.'yqax AL и ZL. Ясно, что
качественного анализа про-
качественного анализа про-
Рис. 2.6. Условное изображение взаимодействия плоской оптической волны с неоднородностями показателя преломления атмосферы.
Рис. 2.6. Условное изображение взаимодействия плоской оптической волны с неоднородностями показателя преломления атмосферы.
Рис, 2.7. Схема определения размера неоднородности 厶 расположенной в точке г оптической трассы общей длиной 厶 и вносящей наибольший вклад в флуктуации интенсивности.
данная неоднородность будет вносить значительный вклад в флуктуации, если разность оптических путей, соответствующих лучам AL и ZL, по крайней мере достигает половины длины волны. При этом возникает заметная интерференция волн в точке L. Из схемы, изображенной на рис. 2.7, видно, что это требование сводится к равенству / = “九(厶—— Z). Оказывается, что найденный масштаб порядка радиуса первой зоны Френеля совпадает с размером неоднородностей, которые вносят наибольший вклад в флуктуации интенсивности. Более мелкие вихри, расположенные в плоскости а, вносят меньший вклад, так как в соответствии с законом Колмогорова — Обухова им соответствуют меньшие значения флуктуационной части показателя преломления и, следовательно, меньшая доля рассеянной энергии, величина которой пропорциональна величине п\. Более крупные вихри не оказывают заметного влияния на флуктуации в точке L, так как рассеивают волну в конусе углов, который не захватывает эту точку. Неоднородность размера / рассеивает свет на угол X//, в то время как рассеянный свет достигает точки наблюдения в плоскости z = L лишь в том случае, если он сосредоточен в конусе с углом //(L — а). Учитывая, что размер неоднородности превышает радиус первой зоны Френеля и, следовательно, выполняется неравенство 入//V 〃(厶——а), находим, что рассеянное излучение не попадает в точку наблюдения. Поэтому на основании результатов теории (2.77), подтвержденных качественным рассмотрением, можно утверждать, что размер неоднородностей, вносящих существенный вклад в флуктуации интенсивности, равен радиусу первой зоны Френеля на расстоянии между неоднородностью и приемником.
Так как неоднородности показателя преломления освещаются плоской волной, то масштаб создаваемых ими возмущений поля волны будет иметь порядок размера неоднородностей. Следовательно, в пространственной структуре картины флуктуаций будет преобладать масштаб, равный радиусу первой зоны Френеля на длине трассы. Именно этим объясняется то обстоите ль-
qTO универсальным 貶Штабом ковариационной дикции (рис. 2.5) является Радиус первой зоны ①рене・ % а неоднородности дру- гИ^ масштабов спектра флуктуаций показателя преломления оказывают более
слабое влияние.
Пунктирной кривой на рис. 2.8 изображена зависимость размера неоднородности, вносящей наибольший вклад в флуктуации, от ее положения на трассе. Отметим, что крупномасштабная и мелкомасштабная структуры картины флуктуаций обусловлены участ
Рис. 2.8. Пунктирная кривая определяет размер неоднородностг! (в радиусах первой зоны Френеля “九厶)，вносящей наибольший вклад в флуктуации интенсивности на расстоянии £, в зависимости от положения неоднородности на трассе; сплошная кривая определяет величину относительного вклада в флуктуации интенсивности различных участков трассы.Рис. 2.8. Пунктирная кривая определяет размер неоднородностг! (в радиусах первой зоны Френеля “九厶)，вносящей наибольший вклад в флуктуации интенсивности на расстоянии £, в зависимости от положения неоднородности на трассе; сплошная кривая определяет величину относительного вклада в флуктуации интенсивности различных участков трассы.ками трассы, прилежащими
Рис. 2.8. Пунктирная кривая определяет размер неоднородностг! (в радиусах первой зоны Френеля “九厶)，вносящей наибольший вклад в флуктуации интенсивности на расстоянии £, в зависимости от положения неоднородности на трассе; сплошная кривая определяет величину относительного вклада в флуктуации интенсивности различных участков трассы.
Рис. 2.8. Пунктирная кривая определяет размер неоднородностг! (в радиусах первой зоны Френеля “九厶)，вносящей наибольший вклад в флуктуации интенсивности на расстоянии £, в зависимости от положения неоднородности на трассе; сплошная кривая определяет величину относительного вклада в флуктуации интенсивности различных участков трассы.
соответственно к передат
чику и приемнику. Проведем далее анализ вклада различных участков трассы в флуктуации интенсивности. Поскольку проводимый расчет является одномерным, воспользуемся одномерным спектром Колмогорова — Обухова вида 长一腸 口 口。入 ставим наиболее эффективный размер вихря 1 = ^X{L — z) в это выражение. В результате получим оптическую фильтрующую функцию флуктуаций в форме W 〜[(厶一之“眺.Эта функ-
нпя, характеризующая величину относительного вклада отдель- нмх участков трассы в суммарную картину флуктуаций, изобра- 冰ена сплошной кривой на рис. 2.8. Отметим, что наибольший вклад в флуктуации вносит начальный участок трассы, в то время как участок, прилегающий к приемнику, влияет очень слабо. Определяющая роль неоднородностей размерами порядКа радиуса первой зоны Френеля обусловлена особенностями процесса распространения волны, связанными с длиной трассы, а не тем фактом, что неоднородности показателя преломления с такими размерами преобладают в атмосфере.
2・3. Первые экспериментальные исследования
нн『ервне экспериментальные исследования по распростране- Зе оптических волн в пределах прямой видимости вдоль при- [2^? трасс, по-видимому, были выполнены Татарским и др.
* 11 и Гурвичем и др. [2.62]. Известны были также многоцис-
ленные экспериментальные исследования по измерению мерца^ ний звезд, предшествовавшие указанным работам, например [2.63——2.67]. Однако возможности последних измерений в смысле прямого сопоставления с теорией были ограничены. Преимущество измерений на горизонтальной приземной трассе состоит в том, что здесь можно точно определить длину трассы и, что наиболее важно, непосредственно измерить значение Сц с помощью датчиков температуры.
Татарский и др. [2.61] и Гурвич и др. [2.62] получили до-, статочно хорошее совпадение с теоретическими результатами для дисперсии (2.83) и коэффициента корреляции (рис. 2.5) флуктуаций логарифма амплитуды. Они также установили экспериментально, что флуктуации интенсивности распределены по логарифмически-нормальному закону, т. е. показали, что логарифм интенсивности является нормальной, или иначе гауссовой, случайной величиной. Их метод позволял измерять флуктуации логарифма интенсивности а2 = (1g///0)2, а при проверке теории использовалось соотношение а2 = 4^* Неудивительно, что в этом эксперименте было получено хорошее согласие с результатами теории однократного рассеяния, поскольку максимальное значение дисперсии мерцаний использовавшегося в эксперименте теплового источника составляло сг^ 〜0,1. При таких малых значениях о； эффекты многократного рассеяния еще не проявляются. Последующие эксперименты показали, что режим многократного рассеяния наступает при а^ ^ 0,3.
Вслед за предсказаниями теории советские ученые Грачева и Гурвич [2.68] первыми наблюдали так называемое явление насыщения дисперсии флуктуаций. Оказалось, что с увеличением длины трассы или параметра С^ дисперсия флуктуаций логарифма амплитуды сначала возрастает в соответствии с формулой (2.83), а затем рост прекращается и происходит насыщение при ^L^^Cn > 1. Дальнейшие исследования этого явления были выполнены в СССР [2.69, 2.70], а позднее в США [2.73, 2.74]. Некоторые авторы отмечали даже уменьшение значений а^ при дальнейшем увеличении интенсивности турбулентности на трассе, когда становится выполненным условие 狂/6小6度》1.
На рис. 2.9 представлены некоторые последние данные, от* носящиеся к явлению насыщения [2.75]. Здесь приведены результаты одновременных измерений значений о% в течение 24 ч на четырех трассах различной длины: 50, 310, 500 и 1000 м. Кроме того, на этом рисунке приведены соответствующие этому же временному интервалу значения С几,полученные из измере* дий Ст с помощью проволочного термометра. Из формулы (2.83)
Рис. 2.9. Изменение среднеквадратичного отклонения значений логарифма амплитуды о% на четырех трассах различной длины в сопоставлении с изменениями структурной характеристики флуктуаций показателя преломления С九. следует, что величина о% пропорциональна Сп. Это хорошо видно в случае 50-метровой трассы, где наблюдается полная корреляция между значениями Сп и и%. На более длинной трассе увеличение структурной характеристики не приводит к соответствующему увеличению ах. Действительно, на 1000-метровой трассе увеличение структурной характеристики Сп в интервале между 8.00 и 14.00 дня сопровождается уменьшением среднеквадратичного отклонения о%. Зависимость ах от длины трассы, определяемая формулой ⑵83), согласно которой % 〜L”"?, не объясняет эти данные. Кроме того, следует отметить, что среднеквадратичное отклонение флуктуаций логарифма амплитуды при увеличении длины трассы перестает увеличиваться, стремится к постоянному уровню и даже слегка убывает.
Интересно, что, согласно большинству экспериментов, плот- ность распределения вероятностей флуктуаций интенсивности остается логарифмически-нормальной даже тогда, когда усло- вия применимости теории слабого рассеяния нарушаются. Это особенно удивительно сейчас, когда экспериментально надежно Установлено, что в условиях сильной турбулентности структура Двумерной картины флуктуаций в соответствии с поведением ковариационной функции существенно отличается от резуль- 『та теории возмущений (рис. 2.5). Таково было состояние теории начале 60-х годов. Наряду с этим существовали серьезные
сомнения относительно условий применимости теории слабого рассеяния, и особенно приближения Рытова [2.19]. Все это стимулировало появление большого количества теоретических работ, как чисто математических, использующих методы квантовой электродинамики для решения волнового уравнения (2.50), так и работ, направленных на создание новых физических моделей с целью установления соответствия между результатами теории и данными эксперимента. Более подробно эти результаты будут рассмотрены в гл. 3 и 4.
Литература
Owens /. С Appl. Opt, 61, 51, 1967.
Wesely М. L, Alcaraz Е У J Geophys Res, 78, 6224, 1973.
Friehe С. Д., LaRue 丄 C., Champagne R 〃.，Gibson C. //., Dreyer C. F. J. Opt. Soc Amer, 65, 1502, 1975
Batchelor G K. The Theory of Homogeneous Turbulence, Cambridge University Press, London 1953 (Имеется перевод: Дж Бэтчелор. Теория однородной турбулентности. — М.: ИЛ, 1955.)
Lumley /. L, Panofsky Н. A The Structure of Atmospheric Turbulence, Interscience, New York, 1964. (Имеется перевод: Дж. Ламли, Г. Панов- ский. Структура атмосферной турбулентности.——М.: Мир, 1966)
Монин 4 С., Яглом Л. М Статистическая гидромеханика Механика турбулентности, т I,《Наука》，М, 1965, 1967.
Tennekes Н, Lumley 丄厶，A First Course in Turbulence (MIT Press, Cambridge, Mass 1972)
Колмогоров A H. In Turbulence, Classic Papers on Statistical Theory, ed by Friedlander S К, Topper L, Interscience, New York, 1961, p. 151.
Myrup L О Tellus 21, 341, 1969
Kaitnal 丄 C., Wyngaard / C, Izumi У., Cot6 O. R., Quart /. Roy. Me- teorol Soc., 98, 563, 1972
Татарский 8 И Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере, Изд. АН СССР, М, 1959.
Татарский В И. Распространение волн в турбулентной атмосфере, Изд-во《Наука》，М., 1967; Распространение коротких волн в среде со случайными неоднородностями в приближении марковского случайного процесса, Препринт ООФАГ АН СССР, М, 1970.
Corrsin S J Appl. Phys., 22, 469, 1951.
Яглом А М УМН 7, вып 5, 51, 1952.
Wiener М Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series, with Engineering Applications (Wiley and Sons, New York 1949).
16 Blackman R. В, Tukey J. W The Measurement of Power Spectra, from the Point of View of Communications Engineering, Dover, New York, 1958.
Jenkins G M , Watts D. G. Spectral Analysis and Its Applications, Holden-Day, San Francisco 1968. (Имеется перевод. Г Дженкинс,厶 Ватте, Спектральный анализ и его приложения — М : Мир, 1971 )
Pasquill F. Atmospheric Diffusion, The Dispersion of Windborne Material from Industrial and Other Sources, Van Nostrand, New York, 1962.
2 19. Стробен Д ТИИЭР, 56. 8, 46, 1968
2.20 Lawrence R S, Ochs G R, Clifford S E J Opt Soc Am , 60, 826, 1970. 2 91 Hess S / Introduction to Theoretical Meteorology, Holt, New York' 1959. 2 22 Ne疗呼 D NOAA Tech Rept, FRL 322-WPL 38, 1975.
23 Цванг 〃 P. Radio Sci„ 4, 1175, 1969.
nrhs q R., Lawrence R. S. NOAA Tech. Rept. ERL 251-WPL, 22, 1972. 2空J 厶.，Minott P. °., Fitzmaurice M.呪，Titterton P. /. J. Opt. Soc.
2比黑％・,62, 1068, 1972
A E, Stanley N. R. J. Opt. Soc Amer., 54, 52, 1964
2•絹 Reran D 呼・，Hooke 旣 〃.，Clifford S.尸.Boundary-Layer Meteorol, 4, ]зз, [973
Hufnasel R. E. «Proc. Topical Meeting on Optical Propagation Through * Turbulence», Boulder, Colo., 1974
0 ^unsaard J. C., Izumi У., Collins S 4 J Opt Soc. Amer., 61, 1646, 1971.
Frisch A. S., Ochs G. R. J. Appl. Meteorol., 14, 415, 1974.
Mikesell 4 Я Publ. U. S. Naval Obs, 2nd Series 17(4), 137, 1955.
驾9 Демидова A. H. Изв. Глав. Астроном. Обе., 21 (6), 2, 1960
；33 Bufton /. L NASA Tech. Rept, TR-R-369, 1971.
34 Каллистратова M. 4 , Тимановский Д. Ф. Изв. Ан СССР, сер. «Физика 'атмосферы и океана», 7, 73, 1971.
35. Обухов А М. Изв. АН СССР, 13, 96, 1949.
2 36・ Чернов Л, 4 Распространение волн в среде со случайными неоднородностями, Изд-во АН СССР, М., 1958.
37. Ли D, Харп Д. ТИИЭР, 57, № 4, 7, 1969.
38 Fante R L. IEEE Trans., АР-21, 750, 1973.
39 Лоуренс Р・，Стробен Д. ТИИЭР, 58, № 10, 130, 1970.
.40. Фантэ Р ТИИЭР, 63, № 12, 43, 1975.
.41. S〃 Н., Plonus М. J. Opt. Soc. Amer., 61, 256, 1971.
2：42 Ishimaru A IEEE Trans AP-20, 10, 1972.
2：43 Pickering L.呼，McIntosh R E IEEE Trans AP-20, 528, 1972.
.44 Plonus M, Su H, Gardner C. IEEE Trans AP-20, 801, 1972.
.45 Gardner C, Plonus M J Opt Soc. Amer, 64, 68, 1974.
.46 Sreenivasiah /, Ishimaru A. EE Dept. Univ. Wash., AFCRL-TR-74-02045,
1974
.47. Liu C, Wernik A , Yeh K. IEEE Trans., AP-22, 624, 1974.
48. Strohbehn / Г, Clifford S F IEEE Trans, AP-15, 416, 1967.
Saleh A. A. IEEE J. QE-3, 540, 1967.
Татарский 8 И. Изв ВУЗов. Сер Радиофизика, 10, 1762, 1967
Кравцов Ю. А Изв ВУЗов Сер Радиофизика, 13, 281, 1970.
Clifford S 尸 PhD Thesis, Dartmouth Coll, Hanover, N. H., 1969.
Градштейн И. С., Рыжик И. М Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений, «Наука», М, 1971.
. Erdelyi A. Tables of Integral Transforms, Vol. 2, ed by A Erdelyi, McGraw-Hill, New York 1954 (Имеется перевод: Г. Бейтмен^ А. Эрдейи, Таблицы интегральных преобразований, Т 2. — М : Наука, 1969.) Рытое С. М. Изв. АН СССР, Сер физич., 2, 223, 1937.
Писарева 8 8. Акустич. журнал, 6, 87, 1960
Фейнберг Е. Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности, Изд. АН СССР, М., 1961.
• {атарский В. И. Изв. ВУЗов Сер. Радиофизика, 5, 490, 1962.
3黑 ^rown 呪尸工 Opt. Soc. Amer., 56, 1045, 1966.
Гурвич А С., Каллистратова M А., Тиме И. С. Изв ВУЗов Сер. Pa~ диофизика, H, 771, 1968.
т атарский В.勿.，Гурвич 4 С., Каллистратова М А , Терентьева Л. 8. ^троном, журнал, 35, 623, 1958
R4 1^ич 4 С・，Татарский В. И., Цванг 〃. Р. ДАН СССР, 123, 655, 1958. 气 ％ Astron J., 54, 155, 1949.
presell А Н, Hoag А 4, Hall /. S. J Opt Soc Amer., 41, 689, 1951.
66 用 4, Seddon H. Monthly Notices Roy Astron. Soc., 112, 73, 1952.
2 67〃“ И. Г. Астроном, журнал, 34, 638、1957.
'• MacuAbutiKOB В. 4 ДАН СССР, 65? 291, 1949,
Грачева М. Е, Гурвич А. С. Изв. ВУЗов. Сер. Радиофизика, 8, 717, 1965. 2.69. Грачева М. Е. Изв ВУЗов. Сер. Радиофизика, 10, 775, 1967.'
Гурвич А С., Каллиагратова М. 4, Тиме Н. С. Изв ВУЗов. Сер. Радиофизика, 11, 1360, 1968.
Deitz Р. 〃.，Wright N /. Ballistic Res. Labs, Aberdeen Proving Ground Md. BAL-Memo-Rept.-1941-Rev., 1968
Mevers G. E, Fried D. L., Keister M. P. J. Opt. Soc. Amer., 55, 1575, 1965, Abstract
Ochs G. R, Lawrence R. S. J. Opt. Soc Amer., 59, 226, 1969.
Грачева M E, Гурвич 4 С, Каллистратова M А. Изв ВУЗов Сер. Радиофизика, 13, 56, 1970.
Clifford S.尸” Ochs G. R., Lawrence R. S. J. Opt. Soc. Amer., 64, 148 1974.'
Глава 3
СОВРЕМЕННЫЕ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ
4 А Стробен
Во второй главе Клиффорд подробно рассмотрел классичесКИй подход к описанию распространения электромагнитных волн в турбулентной среде, включая использование различных моделей атмосферной турбулентности. Кроме того, он показал, чт0 результаты ряда экспериментов обнаруживают, что классические теории, основанные на том или ином методе возмущений, не способны объяснить некоторые данные измерений. В этой главе мы рассмотрим современные теории, каждая из которых создана для того, чтобы объяснить различие между -классической теорией и экспериментом, в частности, так называемый эффект насыщения, показанный на рис. 2.9.
В этой главе мы дадим обзор нескольких теоретических подходов, укажем их общность и различия и приведем результаты, которые они способны предсказать. Когда писалась эта глава, автор считал необходимым отметить, что в данное время не существует строгой теории, которая адекватно объясняет все экспериментальные данные. В этой области сейчас существуют два основополагающих направления. Большое число исследователей пыталось развить здесь строгую математическую теорию. Многие из них, используя различные подходы, пришли к одинаковым уравнениям, описывающим моменты поля оптической волны. Однако к настоящему времени строго решены только самые простые из этих уравнений, в то время как урав- нення, представляющие наибольший интерес, решены лишь приближенно. Правильность этих решений еще исследуется как теоретически, так и экспериментально. Другой подход, кото- рнй был недавно предложен рядом исследователей в США, представляет собою попытку понять физический смысл основНых наблюдаемых явлений и развить некую эвристическую теорию для объяснения этих явлений. Этот подход оказался достаточно успешным, и сейчас требуется более строгое математиЧеское обоснование некоторых принятых здесь допущений.
3」.Обзор
з За последние годы опубликовано несколько прекрасных об- D Р°в, в особенности обзоры Барабаненкова и др. [3.1], Прохо-
а н “Р・[3.2] и Фантэ [3.3]. В этой главе мы попытаемся
дать представление о некоторых теоретических подходах, срав^ нить результаты различных теорий и показать их соответствие экспериментальным данным.
Суть проблемы, которую мы пытаемся решить, связана с решением стохастического волнового уравнения. Естественно, как и в любой задаче, связанной со случайными величинами, ставится цель найти некоторые усредненные величины, такие, как средняя интенсивность излучения, структурная функция фазы, дисперсия угла прихода или средняя ширина пучка. Задача состоит в том, чтобы с помощью стохастического волнового уравнения найти представляющие интерес усредненные величины. Заметим, что необходимо решить уравнение, которое содержит произведение неизвестной функции на случайную величину, характеризующую свойства среды. Как показано Клиффордом (см. разд. 2.2.1) [2.19, 48—51], члены, описывающие деполяризацию в волновом уравнении, пренебрежимо малы при распространении оптической волны в земной атмосфере. Поэтому, если считать волну монохроматической, а временные изменения случайной диэлектрической проницаемости e(r, /) достаточно медленными, так что можно использовать квазиста- ционарное приближение* то волновое уравнение принимает вид
V2£(r, /) + ^8 (г, /)Е(г, /) = 0, (3.1)
где Е(г,/)е心'一мгновенное электрическое поле. Трудность решения такого уравнения заключается в случайной природе функции е(「，/), которая является сомножителем при искомой функции. Заметим, что решение намного упростилось бы, если бы случайный член входил как независимый источник в правой части. И в классическом методе возмущений, т. е. борновском приближении, и в методе плавных возмущений (МПВ) приближенное решение получается путем введения нового уравнения
V2〃(r, /) +胪〃 (г, /) = 〃г,/), (3.2) в котором случайная диэлектрическая проницаемость содержится в виде сомножителя у функции f (г, /). Методы решения этого уравнения хорошо известны и рассматриваются во второй главе. Так как точные методы решения уравнения (3.1) не известны, то задача решается приближенными методами. Эти методы обычно основываются на разложениях, в которых один физический параметр задачи оказывается малым по сравнению с другим. Существует несколько способов выбора малого параметра, каждый из которых определяет метод приближенного решения. Прежде всего известно, что в земной атмосфере флуктуирую-
I Ряд авторов исследовали это приближение [3.4—6].
часть диэлектрической проницаемости много меньше ее ^еднего значения. Если мы запишем
8 (г, 0 = е0 (г) + 81 (г, 0,(3.3)
тогда 侬(г, /)〉《*(「)• Для простоты будем считать, что среда однородна и eg (г) = 1. Следующее важное соотношение состоит в том, что длина волны излучения очень мала по сравнению с характерным размером диэлектрической неоднородности 8i(r). Зто означает, что большая часть излучения будет рассеиваться на Малый угол около первоначального направления. Другое существенное соотношение заключается в том, что обычно трасса распространения велика по сравнению со всеми другими линейными параметрами, например длиной волны, размерами неоднородностей или диаметром первой зоны Френеля.
При попытке классифицировать различные методы решения уравнения (3.1) обнаруживается, что это можно сделать различными способами и любой метод может быть комбинацией ряда других методов. Например, мы можем начать со скалярного волнового уравнения (3.1) или сразу же положить
£ = ехр(Ф). (3.4)
Эта подстановка преобразует волновое уравнение в уравнение Рикатти
W① + vo . vo + 々2g = °,(3.5)
основное преимущество которого по отношению к исходному уравнению состоит в том, что оно имеет непараметрическую форму. Однако при этом необходимо иметь дело с нелинейным уравнением, строгие методы решения которого неизвестны. Не имеет значения, какое уравнение используется в качестве исходного, оба уравнения можно упростить, выбрав определен- ное направление распространения волны. Пусть первоначаль- ное направление распространения совпадает с осью г, имеет место равенство
Е (г, /) = 〃 (г, /) exp (ikz)
и вьшолняется соотношение \d2u/dz2\ < 2k\du/dz\. Тогда урав- ненне (3.1) приближенно запишется в виде
2“"嗡 + 6〃 + *81〃 = 0,(3.6)
泰,3.6) известно как параболическое или квазиопти- еПрио；1ижение волнового уравнения (3.1). Аналогично, оложить ①=屮 + 做 и считать выполненными неравен-
ства \d^/dz^\ и \d^)/dz\2 <С 2k\d^/dz\, то уравнение (3.5) запишется в виде
2義碧 + V帥 + (%4)2 = 一 奴汨(3.7)
Уравнение (3.7) впервые получено Рытовым при решении задачи дифракции света на ультразвуке L
Уравнения (3.6) и (3.7) основаны на одном и том же физическом предположении. Математически это предположение имеет вид 九《/, где 九——длина волны, а /——характерный размер неоднородности. Физическая сущность предположения состоит в том, что угол рассеяния волны около первоначального направ- ления распространения является малым и обратное рассеяние отсутствует. Поэтому в интегральных представлениях решений уравнений (3.6) и (3.7) необходимо интегрировать только от z = 0 до 2 = Z, где L — положение приемника, как это сделано в (2.55), (2.57) или (2.68).
При условии |ei|《£o (или для статистических средних 嗚《喷 метод возмущений можно применить к следующим четырем уравнениям. Если разложить поле Е в уравнении (3.1) в ряд по степеням величины |ei| и удержать первый член разложения, то получим приближение однократного рассеяния, или, как его называют в квантовой механике, борновское приближение. Аналогичное разложение можно применить и для функции Ф в уравнении (3.5), но, насколько это известно автору, такой подход не используется Поскольку уравнения (3.6) и (3.7) проще и почти эквивалентны уравнениям (3.1) и (3.5), то более удобно применять метод возмущений к этим уравнениям. Если соответствующее разложение применить к уравнению (3.7), то получится метод плавных возмущений, который детально рассмотрен в монографиях Татарского [3.8, 9].
Знание области применимости различных методов возмущений, конечно, является решающим при использовании полученных с их помощью результатов. Как правило, определение области применимости приближения сравнительно трудная задача. Единственным надежным методом проверки приближенного решения является его сравнение с точным решением. Однако если точное решение известно, то приближенное не представляет интереса. Более того, когда мы определяем область применимости приближенного решения, необходимо отдельно рассматривать искомые величины. Например, хорошо известно, что при распространении оптического излучения через турбулентную атмосферу решение геометрической оптики для амплитудных флуктуаций ограничивается неравенством “九£《/о,
、Д — длина трассы, /0 ——наименьший масштаб неоднородно- Это условие ограничивает длину трассы расстояниями от • [00 м при различных значениях /0. В то же время решение * флуктуаций фазы совпадает с точностью до множителя 2 “ пешением, полученным методом волновой оптики, для значи- :е^ьно больших трасс и, возможно, является хорошим приближением даже в области насыщения флуктуаций интенсив
ности.
Состоялась дискуссия относительно области применимости МГ1В п сравнения ее с областью применимости борновского приближения. Кратко суммируя итоги этой дискуссии, отметим, что имеется различие между этими двумя методами, но в рассматриваемых здесь проблемах они не очень существенны. 6о- лее точно, выражение для дисперсии флуктуаций интенсивности 吟 полученное в борновском приближении, не имеет больших различий в области применимости с выражением для дисперсии флуктуаций логарифма интенсивности。3，полученным в приближении МПВ. Однако имеется один экспериментальный результат, который отдает предпочтение МПВ. В области слабых флуктуаций плотность распределения флуктуаций интенсивности, согласно почти всем экспериментальным данным, очень близка к логарифмически-нормальному распределению. Этот результат согласуется с выводами, основанными на применении МПВ, но противоречит борновскому приближению, которое
предсказывает плотность распределения вероятностей Рэлея или Райса — Накагами.
Следующим существенным моментом, который необходимо учитывать при получении статистических средних величин, является выбор последовательности усреднения. В уже упомянутых методах возмущений используется подход, при котором находится приближенное решение дифференциальных уравнений в частных производных для мгновенного поля. Средние величины определяются из полученных решений. Альтернативный подход состоит в том, чтобы попытаться найти дифференциаль- НЬ1е Уравнения для интересующих нас средних величин. Почти все усилия, направленные на описание поля оптической волны в области многократного рассеяния, были сконцентрированы на отыскании дифференциальных уравнений в частных производ- :bix или интегральных уравнений для таких величин, как сред- ее п°〃е，функция взаимной когерентности и моменты высших °рядков. К сожалению, оказалось невозможным получить уравнения для этих величин непосредственно из урав- нен*6) или (3.7), так как при усреднении этих урав- И для конкретного момента всегда появляются более высокие моменты.
Исторически первой была попытка найти решения уравнения (3.1), используя метод функции Грина. Если мы запишем (3.1) в форме
^Е + ^Е=-^Е (3.8)
и обозначим через g(r, У) функцию Грина для однородной среды, то уравнение (3.8) можно записать в интегральной форме
£ (г) = Во (г) 一胪 \ g (г, *) 81 (И Е (У) d", (3.9)
где Ео(г)—поле при ei(r) = 0, a g(г, rz) = —exp(tfe|г — —rz I) /4л I г — rz I. Решение уравнения (3.9), полученное методом итераций, имеет вид
Е (г)=区(г)-胪 \ g (г, У) £] (1)瓦(У) М +
+ 公 V g(「' г')勺(С g (匕 *) &(*)Е。(r〃)d»dr〃 一 ・・・• (3.10)
Отметим, что формула (3.10) дает выражение для мгновенного поля и является результатом последовательного применения метода возмущений. Однако выражение (3.10) нельзя использовать для практических расчетов без введения дополнительных упрощений. В частности, если в (3.10) удержать два члена, то получается борновское приближение. Подход, который впервые применил Бурре [3.31, 32] к исследованию рассеяния волны в среде с медленными изменениями диэлектрической проницаемости, использует метод графических диаграмм Фейнмана [3.33, 34]. В итоге были получены уравнения Дайсона [3.35] для среднего поля и уравнение Бете — Солпитера [3.36] для функции взаимной когерентности. Эти интегральные уравнения в основном имеют тот же вид, что и (3.9), но не для мгновенного поля, а для средних значений.
Поскольку развитые Бурре методы использовались многими исследователями, обсудим ниже некоторые конкретные результаты. Несмотря на то что эти уравнения выглядят проще, их решения удается найти только с помощью приближенных методов.
Второй способ нахождения уравнений для статистических моментов поля состоит в прямом усреднении исходных уравнений. Этот метод наиболее часто применяется к параболическому уравнению (3.6). Если усреднить (3.6), чтобы найти уравнение для среднего поля, то получим
-2/ ^^ + V式"〉+ 岳(5(r)" (г))= 0. (3.11)
Возникающая при этом подходе трудность сразу же обнаружил аеТСЯ. Уравнение (3.11) содержит не только среднее поле, ко- iopoe мы пытаемся найти, но и другую неизвестную величину ,£；(「)〃(「)〉. Следовательно, выражение (3.11) является урав- нением с двумя неизвестными, и задача состоит в том, как определить величину〈3 (г) 〃(「)〉. Если уравнение (3.6) умножить на функцию 61 (г) и усреднить, то вновь получим уравнение с двумя неизвестными величинами 〈&[(г)〃(г)〉и 〈е；(г)〃(г)〉・ Та- ким образом, основная задача заключается в том, чтобы замкнуть данную систему уравнений в математическом смысле. Татарский и Кляцкин [3.9, 37——40] сделали это строго с помощью изящного метода, предположив, что флуктуации диэлектрической проницаемости некоррелированы в направлении распространения. Эти два предположения, а именно аппроксимация волнового уравнения параболическим и дельта-коррелирован- ность диэлектрической проницаемости в направлении распространения (г), составляют суть приближения марковского случайного процесса в проблеме распространения оптического излучения и позволяют получить замкнутые уравнения для моментов поля и. Этот подход будет обсуждаться в разд. 3.3.
Другой подход к проблеме замыкания системы уравнений известен как «локальный метод малых возмущений» (ЛММВ) [3.2, 41——47]. В этом методе случайная среда делится на тонкие слои, ориентированные перпендикулярно направлению распространения, а различные слагаемые в усредненных уравнениях исследуются так же, как при распространении волн через одиночный слой. Например, в случае уравнения (3.11) в приближении прохождения волны через одиночный слой рассматривается величина 〈&1 (「)〃(「)〉. При соответствующих условиях этот член можно аппроксимировать выражением, равным произведению дисперсии флуктуаций диэлектрической проницаемости н среднего поля. При этом уравнение (3.11) становится замкнутым. Аналогичные приближения можно ввести в случае моментов более высоких порядков. Полученные таким образом результаты совпадают с уравнениями, найденными в приближе- нии^аРковского случайного процесса.
Можно получить другим способом статистические моменты, :с“и на访тн среднее значение функционала от поля и определить оменты, используя этот функционал. Данный подход приме- няли ФуруТцу [3.48] и Кляцкин [3.49].
н прежде чем приступить к детальному изложению различ- ра п°Дходов в теории многократного рассеяния, имеет смысл зую，°треть четыре основных приближения, которые исполь- всех методах, хотя это иногда происходит в неявной
• Четыре приближения, каждое из которых оказывается
существенным при распространении лазерного излучения в тур, булентной среде, заключаются в следующем:
деполяризация отсутствует,
обратным рассеянием можно пренебречь,
волновое уравнение (3.1) можно аппроксимировать пара- болическим уравнением (3.6),
корреляционную функцию флуктуаций диэлектрической проницаемости можно считать дельта-коррелированной в направлении распространения.
Первые два приближения следуют из одного и того же предположения, что характерный размер неоднородностей диэлектрической проницаемости намного превышает длину волны. Эти предположения в определенной степени обсуждаются Татарским [3.8,9] при выводе уравнений МПВ. Однако подобные аргументы применимы и в области многократного рассеяния волн. Из простых соображений ясно, что существенное обратное рассеяние возникает, когда имеет место изменение диэлектрической проницаемости на расстоянии по крайней мере одного порядка по сравнению с длиной волны. Такая ситуация не возникает в прозрачной турбулентной атмосфере. Математическое упрощение, даваемое этим предположением, заключается в том, что отпадает необходимость интегрировать по всему пространству и можно ограничиться интегрированием по области, заключенной между излучателем и приемником. Кроме того, можно использовать функцию Грина, соответствующую рассеянию только вперед.
Третье приближение, которое позволяет заменить уравнение (3.1) на (3.6), также основано на использовании неравенства 九 & / для всех масштабов неоднородностей. Это вновь приводит к рассеянию на малые углы, и, следовательно, в области, представляющей интерес, функция Грина в уравнении (3.9) может быть заменена на функцию Грина вида
G £ ")二 4М^ ехр / “ 一霊竺汇外]-(3.12)
где ось а совпадает с направлением распространения. Это при* ближение детально рассмотрено Татарским [3.9] как для слабого, так и сильного рассеяния волн.
В то время как первые три приближения обычно формулируются ясно, последнее, которое обычно рассматривается как марковское приближение, часто используется в неявном виде. Татарский и Кляцкин в своей последней работе [3.37, 40] сформулировали это приближение в явном виде. Предположим, что ковариационная функция флуктуации диэлектрической прони-
цаемости имеет вид
®(门)时(Т2)〉=凡(k一Г2|) =
=J 卩①е (乂) exp [汉•(门一Г2)] d3x, (3.13)
и затем приближенно представим величину 8^( |「i — i^l) в Ф°РМе 伉(I 口 一 R I) ^ 6 ⑵ 一 &) 4 (I Pi — p2|),(3.14)
где р =(居 У)• Здесь
4(IP1-P2l)= \ 筑 H(ph 21) —(@2, 22)丨]"& =
=2л 、、①е (乂，0) exp (ix • p) d2%,(3.15)
瑞П备工3川9'*-° Z2川""=
= 'B：(0) j Be(p)rfp^/1, (3.16)
где /1 определяется как интегральный масштаб L Это прпбли- жение основывается на предположении, что масштаб 厶 много меньше, чем любой представляющий интерес масштаб в направлении распространения. В частности, масштаб корреляции поля u(r) в продольном направлении намного превышает 厶. Это приближение является основным при замыкании уравнений Для моментов, однако оно применяется разными авторами различными способами. Фактически это приближение уже исполь- зурся в методе плавных возмущений при получении выраже- ннй，которые содержат величину Ф(хх, 乂办 0).
32 Диаграммный метод
Как упоминалось в разд. 3.1, одним из первых методов, применяющихся для учета эффектов многократного рассеяния, был графический или диаграммный метод Фейнмана [3.33, 34], ко- н"мй Бурре [3.31,32] впервые применил к задаче распростра- д ^ия ропн в непрерывных случайных средах. С этого времени _НЬ1И подход использовался многими авторами в различных
Как в ：W：“* что * может обозначать (хх, Ху), как в (3.15), или 'z)& 'Это должно быть ясно из смысла самих выражений.
вариантах. Татарский подробно рассмотрел этот метод в работе [3.9]. Здесь мы применим его только при выводе уравне， ния для среднего поля, отсылая заинтересованного в детальном знакомстве читателя к цитируемой литературе.
Обычно все диаграммные методы или методы теории возмущений содержат одни и те же основные этапы. Различия заключаются в типах исходных уравнений или в приближениях, ко* торые применяются для получения конечных решений. Запишем исходное уравнение в форме
侬(г) = g (г) + \ G (г, ri) m (п) w (门)ds (3.17)
где ,dri = , dzx ^dxidyXi если эта величина не определяется 0 —оо
особо. Уравнение (3.17) эквивалентно уравнению (3.9), в кото ром ш(г) = E(r)f G(r, ri) = g-(r, ri) — функция Грина волнового уравнения для свободного пространства, а /и(「) =—々2^1 (г). Уравнение (3.17) использовалось в качестве исходного многими авторами [3.31, 32, 50——54]. Если исходным является параболическое уравнение (3.6), то ш (г) соответствует 〃(「)，а функция Грина имеет вид
G(〕，门)= -l?T^yexpa^f^], (3.18)
и интегрирование вдоль оси г производится от 0 до г. Такой подход использовался Шишовым [3.55]. Подход Брауна [3.52, 53] несколько отличался тем, что он осуществил переход в область пространственных частот, и, следовательно, форма уравнений оказалась несколько отличной, хотя суть осталась прежней. Молинэ [3.54] использовал уравнение (3.1); следовательно, наша функция 侬(г) представляет его функцию Е(г), но затем он применил преобразование, аналогичное (3.6), чтобы получить новое уравнение, в котором 侬(г) = 〃(г), а
G (г, п) = ехр [— ik(2 — 2i)] g (г,门).(3.19)
Решая уравнение (3.17) методом итераций, получим бесконечный ряд
(г) = Е 吗(г),(3.20)
九=0
где
侬/1 ⑺=\ G (г, го 他(口)5〃(口)打匕(3.21)
или
侬(г) = g (г) +，G (г, Г1) m (门)g (门)dr{ +
+ H G(r, r)他(ri)Gg 3)m(3)g(r2)厶1*2+，U ....(3.22)
Из этих уравнений необходимо получить статистические моменты функции 侬(г). Уравнение для среднего поля 〈5(г)〉получить легко, второй момент 〈з(г)5*(г)〉 требует несколько больших усилий, а получение уравнений для высших моментов сопряжено со значительными трудностями.
На выбранном пути потребуется сделать ряд приближений. Первое приближение состоит в том, что поле /п(「)является статистически однородным и изотропным. Поскольку в большинстве постановок задач m(r) не равно нулю только в полупространстве z > 0, то это предположение, строго говоря, не верно. Однако, поскольку длина трассы много больше, чем масштаб корреляции, то влияние области вблизи z = 0 не существенно для конечного результата.
Предположим также, что m(r) является гауссовой случайной функцией. Это предположение также нельзя считать совершенно строгим, поскольку величина /и(г) = й281 (г) может быть больше величины —^2ео(г), поскольку гауссова случайная переменная не ограничена. Однако если учесть неравенство °^1《〈团〉2， то моделирование поля m(r) гауссовой случайной величиной является оправданным. Более подробно этот вопрос рассмотрен в работах [3.9, 56].
Эта аппроксимация для /и (г) существенно упрощает математические выкладки, поскольку любой момент гауссовой случайной величины /и (г) можно выразить через вторые моменты. Независимо от постановки задачи при выводе уравнения (3.17) будем считать <т(г)> = 0. Воспользуемся также следующими свойствами гауссовых случайных переменных:
〈加(ri) m (г2) ... m (，)〉= 0, k — нечетное, (3.23) 〈团(口)m (r2) m (r3)加(г0〉= (m (门)tn (&)〉〈/n (r3) m (r4)> +
+〈m (r, m (r3)> (m (r2) m (门)〉+ (m (h) m (rj〉〈/n (r2) m (r3)). (3.24) Обобщение на четные моменты высшего порядка является очевидным. Эти моменты равны сумме всевозможных комбинаций произведений вторых моментов. В общем случае момент порядка 2и содержит (2п—1)!!=(2 九一1) (2п — 3) ... 3-1 слагаемых; например, 6-й момент содержит 15 слагаемых. Положим
〈俏(门)m (r2)) = c4R (I 口 一 г? I), (3.25) Так как предположение об изотропности позволяет считать, что Функция <т(Г1)^(г2)> зависит только от |п — г2|.
%(8) R2%(8) R2Рис. 3.2. Представление последнего интеграла в выражении (3.26) в виде диаграммы.Рис. 3.2. Представление последнего интеграла в выражении (3.26) в виде диаграммы.
%(8) R2
%(8) R2
Рис. 3.2. Представление последнего интеграла в выражении (3.26) в виде диаграммы.
Рис. 3.2. Представление последнего интеграла в выражении (3.26) в виде диаграммы.
Рис. 3.1. Диаграммные символы для среднего поля: а —〈5 (г)), б — wQ (г), "G(r[, г2),吁唸q卜1一г2|).
Если мы усредним выражение (3.22), то прямым путем 110r лучим среднее значение функции ау (г):
3 (г)) = % (г) + 吟 V G (г, rj G (г» г2) &2% (“)仆1 公2 +
+ a-SSSSG(r> r^G & %) G (r2, r3) G (r3, r4) X
X ^0 (「4)(R12R34 + R13R24 + R14R23) dr〔 dr? dR dj (3.26) где R" = R(|rj — г； I). Запись членов более высоких порядков становится очень громоздкой, и поэтому необходимо принять краткую графическую форму записи. На рис. 3.1 определены символы, которые мы будем использовать для этой цели. Правила записи интегрального уравнения по диаграмме и наоборот сравнительно наглядны. Запишем диаграмму для последнего интеграла в (3.26), который фактически состоит из трех слагаемых. Каждому слагаемому поставим в соответствие точки или вершины, представляющие различные пространственные координаты, в данном случае 尸，гь г2,尸з и г^. Вершины соединим в соответствии с диаграммами, изображенными на рис. 3.1. Интегрирование проводится по всем внутренним вершинам диаграмм; следовательно, на рис. 3.2 интегрирование проводится по гь「2, Гз, Г4. В результате мы представили выражение (3.26) так, как показано на рис. 3.3. Многочисленные слагаемые, пред^ ставленные на рис. 3.3, можно разбить на два основных типа. Если слагаемое можно разделить на две части, разорвав только одну сплошную линию, то оно называется слабо связанным, в противном случае слагаемое называется сильно связанным. На рис. 3.4 приведены примеры слабо и сильно связанных диаг* рамм. Представим сумму всех сильно связанных диаграмм пер- вым символом, показанным на рис. 3.5, который обозначим через Q(r,г?). Выписывая слагаемые, можно убедиться, что все слабо связанные диаграммы, состоящие из двух сильно сва-
Рис. 3.3. Уравнение в диаграммах для среднего поля〈5 (г)〉.Рис. 3.3. Уравнение в диаграммах для среднего поля〈5 (г)〉.Рис. 3.4. Примеры: а) слабо связанных и 6) сильно связанных диаграмм.Рис. 3.4. Примеры: а) слабо связанных и 6) сильно связанных диаграмм.
Рис. 3.3. Уравнение в диаграммах для среднего поля〈5 (г)〉.
Рис. 3.3. Уравнение в диаграммах для среднего поля〈5 (г)〉.
Рис. 3.4. Примеры: а) слабо связанных и 6) сильно связанных диаграмм.
Рис. 3.4. Примеры: а) слабо связанных и 6) сильно связанных диаграмм.
занных диаграмм, выражаются с помощью двух сомножителей Q, разделенных сомножителем G, как это показано на рис. 3.6, а. Все слабо связанные слагаемые, состоящие из комбинаций трех сильно связанных членов, приведены на рис. 3.6,6. Поэтому среднее поле, представленное на рис. 3.3, можно выразить так, кзк это сделано на рис. 3.7, а или, более компактно, на рис. 3.7, б. Аналитически диаграмму на рис. 3.7, а можно записать в виде
〈з(г)〉= @о(г) + \\ G(г, rJQ(口，г?)侬(『2)〉d% dr?、 (3.27) Уравнение (3.27), известное как уравнение Дайсона [3.55], является линейным，интегральным уравнением, и его можно ре- Шить, если известна функция Q (ri, 1*2)• Однако функция Q (Гь Г2) пРедставляет собою бесконечный ряд, состоящий из сильносвя- занных слагаемых, просуммировать который фактически невоз- можно. Как вняснилн Барабаненков и др. [3.1], если бы мы смогли просуммировать ряд для Q, то получили бы значение Q в виде функционала от <пу (г)>, и, следовательно, в деистви-
CZ^S 4+二V>■二:，+二 e '・+/w， e； 、■
Рис. 3.5. Сумма всех сильно связанных диаграмм.
О~О 0-0-0 о-о-о-о
(d)(6)
Рис. 3.6. Диаграммы для различных слабо связанных слагаемых: а — второго порядка, 6 — третьего порядка, в — четвертого порядка.
Г=二 C=Z + ―О= + —'ОО=，
г:_ 1 = с= +С^Х^
Рис. 3.7. Компактное решение уравнения, изображенного на рис. 3.3.
тельности мы имеем нелинейное уравнение. Значение этого уравнения состоит в том, что оно является точным и позволяет более тщательно рассмотреть свойства сходимости или применимости отдельных приближений. При определенных дополнительных предположениях можно получить линейные интеграла ные уравнения. С привлечением большего количества аналитических выкладок уравнение (3.27) получено в [3.9].
Простейшее нетривиальное приближение, которое можно еде* лать в уравнении (3.27) или на рис. 3.7, состоит в аппроксима* ции функции Q(ri,「2) первым членом на рис. 3.4 (см. рис. 3.8, а). Следовательно, уравнение (3.27) принимает вид (рис. 3.8, б)
〈侬(г)〉。％ (г) +(4 V G (г, г) G (г】，7)R (I - - %|) X
X〈5 (&)〉公1 心2・(3.28)
Несмотря на то что Q аппроксимируется только одним членом, тем не менее при этом, как очевидно из рис. 3.8,6, в некоторой степени учитываются эффекты многократного рассеяния. Решение этого уравнения подробно обсуждалось многими авторами
0，4
七=冬=+ —^к= + —-「■ _—и + _—「％「.…
рЙС 3.8. Приближенное решение уравнения, изображенного на рис. 3.7.
『3.1,9]. Обычно предполагается, что 侬о(「) является точечным источником, поэтому〈5(г)〉становится средней функцией Грина 〈G(r,「о)〉. Решение для средней функции Грина имеет вид
〈G(r, г。)〉= 一包為绯L(3.29)
Где R = |r — r01，а 屏一эффективное волновое число. Однако этот результат получен в предположении kl С 1, где значение I порядка внешнего масштаба турбулентности. Ясно, что это условие нарушается для оптических волн в атмосфере. Второе, более слабое условие имеет вид о證卩《1; но даже оно редко выполняется в атмосфере. В то время как в литературе часто встречаются дискуссии теоретиков о среднем поле, в основном в силу того, что оно наиболее доступно для расчета, нам не известны экспериментальные попытки измерить эту величину и, следовательно, сравнить с теоретическими выводами.
Молинэ [3.54] отмечает, что выражение (3.28) можно свести к дифференциальному уравнению в частных производных при условии, что выполнены четыре приближения, которые обсуждались ранее. В частности, в выражении (3.28) три последних приближения (см. стр. 68) приводят к следующим заменам:
G(rb г2) = — 9p (决 1口一Е组忆 4л I r1 — r21G(rb г2) = — 9p (决 1口一Е组忆 4л I r1 — r21I Pl ~ P2 Pl4л(21 -22)I Pl ~ P2 Pl4л(21 -22)(3.30)(3.31)(3.30)(3.31)
G(rb г2) = — 9p (决 1口一Е组忆 4л I r1 — r21
G(rb г2) = — 9p (决 1口一Е组忆 4л I r1 — r21
I Pl ~ P2 Pl
4л(21 -22)
I Pl ~ P2 Pl
4л(21 -22)
(3.30)
(3.31)
(3.30)
(3.31)
明R ( I Г1r2 I )=公纥(I h — J I ) Q 公6 Q —马)4 ( I Pl — % I )•
(3.32)
У”тем также соотношение
黑,{-:吸施粕（3.33）
Подставляя формулы (3.30—3.32) в выражение (3.28) и проводя интегрирование по г2, получим
3 (г)> =叫(г) + ^ 公,dzi \ dpi \ dp2 X 9
X石";£21 J)2Г S(P1 p2)4(P1 一 p2)3 ⑵,02)〉.
Выполняя интегрирование по р2, находим
〈侬(г)〉=叫(г) + ~ ^Аг (0) \ dzi \ dpi4冗(；!5ff^ 侬(h)〉・
о
(3.34)
Заметим, что первые два приближения дают
g (Г) 一 /，dpi ——荻諄7户一P 3/(335)
где P(pi)——начальное поле при г = 0. Как показал Молинэ [3.54], выражения (3.34) и (3.35) удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных
2/ 旦翁d + 密〈侬(г)〉+ Т 依4 (0) (w (г)) = 0,(3.36)
где
3(о, р)> = р(р).
Уравнение (3.36) представляет собой искомое уравнение для среднего поля. Отметим, что оно хорошо изучено в математике. Его решение легко получить, и оно обсуждается в разд. 3.6. Применяя этот метод, можно получить аналогичные уравнения для функции взаимной когерентности [3.9,31,32,50——53], или моментов более высокого порядка [3.54, 55]. Вместо того чтобы получать эти уравнения, мы обсудим другие подходы, которые приводят к идентичным уравнениям более простым способом.
В заключение заметим, что изящная математическая техника квантовой механики, в частности метод диаграмм и метод перенормировок, могут привести к точным интегральным уравнениям для различных моментов поля. Однако ядра этих уравнений являются суммами бесконечных рядов, которые в свою очередь необходимо аппроксимировать, чтобы найти решение в явном виде. Хотя такой подход приводит к разумным результатам для среднего поля и функции взаимной когерентности, эти результаты были получены ранее с применением других методов. Уравнения для представляющих большой интерес высших мо-
ов поля становятся чрезвычайно громоздкими, и только %qac приступают к их детальному изучению. Основное значе- эТИХ уравнений состоит в том, что они являются точными н следовательно, позволяют определять погрешность аппрок- имаций. Однако в действительности такие исследования крайне с v^Hbi, за исключением моментов низшего порядка. Второе поеимущество данного подхода состоит в том, что даже при са- м匕х простых приближениях для ядра интегрального уравнения в определенной степени учитывается многократное рассеяние.
Марковское приближение
Татарский и Кляцкин [3.9, 37—40, 57] начиная с 1969 г. в серни публикаций предложили новый подход при выводе уравнений для моментов поля. С точки зрения основных исходных посылок их метод прямо противоположен диаграммному методу. В диаграммном методе вначале были получены точные уравнения, а затем найдены соответствующие приближенные уравнения или решения. В работе Кляцкина и Татарского вначале явно формулируются приближения, которые используются затем для получения замкнутой системы дифференциальных уравнений в частных производных. Получаемые таким образом уравнения совпадают с уравнениями, найденными Брауном, Шишовым и Молинэ, которые применяли диаграммный метод. Этого следовало ожидать, поскольку оба подхода существенно используют четыре приближения, обсуждавшихся в разд. 3.1. Подробное изложение данного метода, который мы будем называть марковским приближением, содержится в монографии Татарского [3.9]. Так как этот метод является одним из наиболее важных этапов развития теории, то мы приведем его краткое изложение и некоторые основные результаты, отсылая заинтересованного читателя к монографии [3.9]. В этом разделе используются два математических определения, которые необходимо уяснить. Во-первых, понятие вариационной произвол- н。百，во-вторых, связь между случайной функцией f(r) и функционалом 山[/(「)] от функции f. Оба этих понятия определены в [3.9, 3.57, приложение 1].
В своих выкладках Татарский и Кляцкин используют параболическое уравнение (3.6). Как уже отмечалось, это сразу же предполагает наличие трех приближений, обсуждавшихся в Разд. 3.1, т. е. считается, что деполяризация, обратное рассеяние и рассеяние на большие углы не существенны. Во-вторых, они Редполагают, что процесс распространения волны может рас- н атРИваться как марковский случайный процесс. Это приближе- внрансается в виде дельта-коррелированности флуктуации лектрической проницаемости в направлении распространения.
Используя данные приближения, они смогли найти полностью замкнутые уравнения для моментов поля. Кроме того, в большинстве своих выводов они предполагали, что диэлектрическая проницаемость является гауссовым случайным пронес- сом, хотя и получили результаты для случая негауссовых флуктуаций [3.8, 3.9]. Мы рассмотрим вывод уравнений для среднего поля, функции взаимной когерентности и момента четвертого порядка.
Вывод уравнения для среднего поля
Если усреднить уравнение (3.6), то получим выражение вида 减 ^J^ + %〈“ 3, z)〉+ 奴 & (p, %) “ (p,力〉=0. (3.37) Как отмечалось, это уравнение нельзя использовать из-за при- сутствия члена《&1〃〉. Поэтому задача заключается в том, чтобы получить выражение для〈&1〃〉，не содержащее других неизвестных величин. Такая задача была решена Фурутцу [3.58] и Новиковым [3.59]. Они показали, что для гауссова случайного процесса /(г) с нулевым средним выполняется соотношение
〈f (г)①行(Е)]〉= \〈f (г) f (「')〉〈圖鬪"匕 (3.38)
где 6Ф/6/ ——вариационная производная \ Поскольку 〃(「) определяется выражением (3.22), в котором w (「)，следует заменить на 〃(r), a m(r) на fe^Jr), то ясно, что величина 〃(「) является функционалом от ei (г); при этом 81 (г) считается гауссовой случайной величиной с нулевым средним. Далее, так как обратное рассеяние не учитывается и при 2Vo среда однородна, то функция 〃(р, z) зависит от £1(р‘, а'), определенной на отрезке 6 W N W z・ Отсюда следует
*,：； ?，)= 0, если z V 0 или z‘ > z. (3.39)
В итоге, используя (3.38), находим
(ei (р, 2)” (@, 2)〉用 dz'，\ d@‘ ® (d %)勺 3', У)〉〈誥信%〉• 0 —оо
(3.40)
Согласно формулам (3.13) и (3.14), марковское приближение дает
® (@, %) si (рх, О〉= 6 3 — У) % (I @~ I),
Обозначение ①[f(£)] подразумевает, что Ф зависит от функции /(「)， определенной во всем пространстве.
о ПрИ последующей подстановке в выражение (3.40) и после интегрирования по z‘ приводит его к виду
®(р, 2)〃(р，2)〉= ^U“P'4U@-P'D〈-^^y"〉・ (3.41)
Множитель % возникает в результате интегрирования от 0 до 2 дельта-функции 6 (а—— У) и четности корреляционной функции поЛЯ £](「)，которая удовлетворяет этому предположению из-за четности дельта-функции.
Найдем теперь выражение для 5〃/5ei, которое можно полу。 чить, обратившись к параболическому уравнению для и. Если проинтегрировать уравнение (3.6) по г от нуля до г, получим 2欣[и (р,力一〃 3, 0)] +
+ V* \ 〃 (@, z〃) dz" + 眇 \ 5 (р, 2〃) 〃 (р, z") dz" = 0.(3.42)
оо
Возьмем вариационную производную по ei((/,2‘)от выражения (3.42), считая выполненным неравенство 6Vz' V ?・ Используя соотношения
^^(р 7)6(1),色®4)= "亚也
из работ [3.9, 57], получим
2/ ^^т + % \ ^^Т 厶〃 + 必6 3 - р) 〃 (р, гэ + о
+ 叫 5 3, N")紹修厶〃 =°- (3.43) о' '
Учитывая (3.39), можно нижний предел интегрирования заме- нить на г\ Кроме того, величину производной 6〃(р, 2)/6ei(p,, гх) ну*н。 знать при z = z‘. Следовательно, проводя замены
\=0, вместо формулы (3.43) получим выражение
0 w 2
謂储)=岑6g一2〃(@，z)・(3.44)
當丁 賢Реднить равенство (3.44). получим искомое выражение 代〃/也〉Подставляя усредненное выражение (3.44) в
и интегрируя по р‘，имеем
® (@,力 〃 (р, а)〉=牛 4 (0)〈〃 (р, z)〉・(3.45)
Используя равенство (3.45) в формуле (3.37), получим замкнутое уравнение для среднего поля〈〃〉：
2/ 旦嘿包 + %〈〃〉+ i^A& (0)〈“ (р, z)〉= 0,(3.46)
〈〃®, 0)〉= 〃(@, 0).
Оно совпадает с уравнением (3.36), найденным Молинэ с помощью метода диаграмм при идентичных приближениях. Решение уравнения (3.46) хорошо известно и будет приведено в разд. 3.6. Основным исходным моментом, обеспечившим замыкание уравнения (3.37), было выражение (3.45) для 〈£1〃〉. При выводе равенства (3.45) было сделано два основных приближения. Первое состояло в предположении о гауссовом характере случайного поля &(「)， что позволяет использовать формулу Фурутцу — Новикова и выразить величину〈修辽〉через ковариационную функцию поля 81 и вариационную производную поля и по 81， Второе приближение состоит в использовании параболического уравнения для вычисления вариационной производной. Если бы мы не приняли марковского приближения, то невозможно было бы проинтегрировать выражение (3.40), и уравнение (3.46) превратилось бы в интегральное уравнение.
3.3.2 Вывод уравнения для функции взаимной когерентности
Вывод уравнения для функции взаимной когерентности аналогичен выводу уравнения для среднего поля. Определив функцию когерентности в виде F(pi, р2；之)三〈〃(pi, z) «*(р2> г)>, положим в уравнении (3.6) р =仍，и, умножив его на 〃*(偿,z), получим
2/图鄒2)〃*(@2,z)+ 洋"(@1一)〃*(@2, 2)+
+ ^81 (pl, N)〃 (@1, г) и (р2, 2)= о. (3.47)
Если взять уравнение, комплексно-сопряженное (3.6), положить в нем р = р2 H умножить на 〃(pi, г), то получим
—2iku (рр г)。“ 農 “)+ V” (@i，z) 〃* @, %) +
+ 居S(02,之)〃 (pl, 2)U (p2> 2)= 0.(3・48)
1ЧИТая (3.48) из (3.47), объединяя члены, содержащие d/dzt н усредняя, находим
2欣吟""+(吟-喲Г+
+ 依〈①(@1, N)— 81(Р2,引 ”(Pl, 2)〃* (@2, N)]〉=。・(3.49)
Здесь снова необходимо получить иное представление для по- сяеднего члена, чтобы уравнение стало замкнутым. Положим в'равенстве (3.38) f(「)= &i(r) и Ф — ии*, а затем используем выражения (3.13) и (3.14). В итоге находим
®(Р1, 2〉〃(Р1，2)〃*(02, 2)〉=
=4 口 加4 (Pl Р乂 立叫1•(3.50)
Известно, что выполняются соотношения
/ д [и (рь г) и (р?, ^)] \ _ / 6〃(Р】，之)八、I
+〈 “(6, 2)需» 型〉=等[6 (@L N) - 6(P2 — 胤 Г(Р1, р2; г),
1 '(3.51)
причем последнее из них следует из равенства (3.44). Подстановка выражения (3.51) в (3.50) дает
®(Р1, 2〉〃(Р1,力 〃* (@2, 2)〉=牛[4 (0) — ле 31 — р2)] Г (рь р2; г).
(3.52)
Выражение для <8i (р2, z) и (рь г) w* (р2, г) > совпадает с (3.52), если i заменить на ——i. Подстановка полученных формул в (3.49) приводит к уравнению
2质+ (吟-v汾Г + 牡4(0)-4(M-@JF=0. (3.53)
Начальное условие для уравнения (3.53) имеет вид Г(рь р2； 0)= 二"(Р1, О)а*(р2, 0). Данное уравнение совпадает с уравнением, бученным Молинэ с помощью диаграммного метода. Как по- B『a』H Долин [3.60] и Татарский [3.9], с помощью преобразо- ан；"Я ①УРье уравнение (3.53) можно преобразовать к виду,
ЛогичномУ уравнению переноса излучения. Решение этого здесНеНИЯ бУАет Детально рассмотрено в разд. 3.6.2. Заметим =〈；；ЧТо при pi = р2 функция когерентности F(pi,p2；z) =
'(Pi,n)〉совпадает со средним значением интенсивности.
3.3.3 Вывод уравнений для высших моментов
Чтобы рассмотреть моменты высших порядков, удобно немного изменить принятые обозначения. Определим т, n-й момент в виде
串），（3.54）串），（3.54）%%（力 =〈%…":…成〉=〈直"i
串），（3.54）
串），（3.54）
“i = 〃（Pp N）,若=“*（Р/, N）・
Татарский [3.9] получил выражения для высших моментов с помощью характеристического функционала
也 Е v*] =〈exp（z&）〉=
= （exp{i V【〃°，2）v（P‘） + 〃*（P‘，NW3）]dp'}〉・（3.55）
Следуя предложенному Новиковым способу [3.59], он получил уравнение, аналогичное уравнению Эйнштейна ——Фоккера —— Планка для ^）z[yt v*], из которого затем следуют дифференциальные уравнения в частных производных для Гт> и. Данный способ подробно изложен Татарским и приводится, в частности, в последних обзорных работах [3.49, 61]. Метод характеристического функционала использовал также Фурутцу [3.48]; полученные им результаты будут рассмотрены ниже. Хотя метод характеристического функционала является изящным инструментом, для наших -ограниченных целей мы воспользуемся обобщением процедуры, применявшейся в случае первых двух моментов. Это приводит к идентичным уравнениям для моментов поля, но более прямым путем.
Чтобы найти уравнение для Fm, % применим вновь параболическое уравнение （3.6）. Запишем m уравнений вида
2/ @j 口 "j 口 uj ^Tkuk Ц % 口 "/ +
+ 必5（p^‘ 2） R % П 吗=°-（3.56）
i=i gi
Аналогичным образом находим и уравнений вида mПQuШП'
—2" И И~dz~ + 口 ％ Ц 〃； Г》Мс +
m n
+ 也（脸 z）山田 〃；=0.（3.57）
mz tn九、九/ ^九、+£ 喷(п 〃,必)-七 % / (n 〃；)+々==1、= 1/ —1/Z = 1\j = l/=1/mz tn九、九/ ^九、+£ 喷(п 〃,必)-七 % / (n 〃；)+々==1、= 1/ —1/Z = 1\j = l/=1/пычитая (для / от 1 до п) из суммы m уравнений вида (3.56) 多мму (для fe от 1 до m) п уравнений вида (3.57), получим
mz tn九、九/ ^九、
+£ 喷(п 〃,必)-七 % / (n 〃；)+々==1、= 1/ —1/Z = 1\j = l/=1/
mz tn九、九/ ^九、
+£ 喷(п 〃,必)-七 % / (n 〃；)+々==1、= 1/ —1/Z = 1\j = l/=1/
2加一di
г mпТ m n
+火 2 5(@炉 0 - 2 *(* 2)пA II %=о- ем
L^ = l2 = 1」Z = 1 / = 1
Усредняя выражение (3.58), находимУсредняя выражение (3.58), находим(3.59)(3.59)
Усредняя выражение (3.58), находим
Усредняя выражение (3.58), находим
(3.59)
(3.59)
Чтобы получить замкнутое уравнение для F俏几,рассмотрим последнее слагаемое
/ бП«/П«* \(3.60)/ бП«/П«* \(3.60)
/ бП«/П«* \
(3.60)
/ бП«/П«* \
(3.60)
Вариационную производную от произведения можно представить в виде
681 (р, г)681 (р, г)m пm ппт ппт п6〃；6〃；П % П 〃；+£ П % II “; б~ е, 2)• / = 1/«1l — \ i = lj = l，耍々*П % П 〃；+£ П % II “; б~ е, 2)• / = 1/«1l — \ i = lj = l，耍々*(3.61)(3.61)
681 (р, г)
681 (р, г)
m п
m п
пт п
пт п
6〃；
6〃；
П % П 〃；+£ П % II “; б~ е, 2)• / = 1/«1l — \ i = lj = l
，耍々*
П % П 〃；+£ П % II “; б~ е, 2)• / = 1/«1l — \ i = lj = l
，耍々*
(3.61)
(3.61)
Подставляя затем чимПодставляя затем чимравенство (3.44) в (3.61) и усредняя, полу-равенство (3.44) в (3.61) и усредняя, полу-
Подставляя затем чим
Подставляя затем чим
равенство (3.44) в (3.61) и усредняя, полу-
равенство (3.44) в (3.61) и усредняя, полу-
Учитывая формулу (3.62) в выражении (3.60), находим
/шп\
\ei(p^ г)П^П^/=
'1=1 /=1 /
п-
儿(@左 一 @卩-》 4 (Р/「*)「m力(3.63)
Получая аналогичное выражение для последнего слагаемого в (3.59), имеем
/ /пп \
2柒 * + ( £v九 一 £ % J，忆 + 等 Qm= 0，(3.64)
где m "
Qw=?[ S [4 (源一pj-4 (@々一 p7)-4 (%-%)+ 4 (d一吟].
=-(3.65)
Уравнения (3.63) и (3.64) совпадают с уравнениями (66.16) и (66.17) в работе Татарского [3.9], полученными с использованием характеристических функционалов. В случае tn = п = 2 имеем функцию когерентности четвертого порядка
Г22(рр Р2； 〃，&) =〈〃(@1，之)〃(。2, N)〃*(〃，2”* (% %)〉•(3.66)
Эта функция представляет особый интерес, поскольку при р[ = р； и @2 = @； она сводится к корреляционной функции флуктуаций интенсивности
「22(@1, @2； Р1, @2)=〈/(@1, N)/ (р2, N)〉・(3.67)
Уравнение для четвертого момента имеет вид
2z% 0Mp嶋产吆红 +(马| + %? _ %y — v%) Г22 + 4 Q22r22 = 0,
(3.68)
Q22 =2 [24(0)+ 4 (@ 2 — Pi) + 4(% — pi) — 4 (@i — Pi)—
一儿(@i - @0_儿(@2 一 儿) 一 4 (% 一唠](3.69) с начальным условием
?22(@1' @2； @J @3 °) = Р(@1)Р(@2)Р*®)Р*(Р。.
Строгое решение этого уравнения не найдено; различные при； ближенные решения будут рассмотрены в разд. 3.6.3. Татарский провел анализ точности аппроксимаций, использовавшихся при выводе уравнений для статистических средних величин, вклю-
приближение марковского процесса, использование парабо- ского уравнения и влияние негауссовой случайной среды. 関 мнруя его выводы, можно сказать, что марковское прибли- ^ние применимо для среднего поля, если выполнены условия
a) z > Lo, 6)九《％, в) kL^《1,
й дЛЯ функции взаимной когерентности, если справедливы неравенства
a) I Pi — Р2 丨6) р《Lo, в)炉р2》1,
г)虐店/з《1, д)鑑才0c 1 и е)以2厶將「冤2《i.
Приведенные выше условия почти всегда выполняются для оптических волн в турбулентной атмосфере. Аналогичные исследования применимости параболического приближения не приводят к каким-либо новым ограничениям.
Локальный метод малых возмущений (ЛММВ)
Совершенно отличный подход к выводу уравнений для моментов поля был назван «локальным методом малых возмущений» (ЛММВ). В своем замечательном обзоре Прохоров и др. [3.2] проследили историю возникновения этого метода, изложили вывод уравнений и затем привели соответствующие решения для ряда представляющих интерес задач. По-видимому, этот метод впервые предложил Чернов в 1964 г. [3.41] и затем использовал Шишов в 1967 г. [3.42] при выводе уравнения для функции когерентности четвертого порядка. К сожалению, эти работы появились в непереведенных публикациях и, следовательно, не были оценены должным образом в США. Параллельно с исследователями в СССР [3.41—44] в сущности тот самый метод использовал Беран в США [3.45—47, 62, 63]. В этом разделе, следуя ЛММВ, мы повторим вывод уравнений и “окажем, что получающиеся результаты совпадают с результатами, приведенными в разд. 3.2 и 3.3.
Исходные данные в этом выводе совпадают с теми, которые использовались в марковском приближении в предыдущем раз- “еле. Поэтому будем считать исходным уравнение (3.59). Это означает, что деполяризация и обратное рассеяние считаются пренебрежимо малыми и мы воспользовались параболическим Уравнением (3.6). Различие между методом, основанным на Риолижении марковского случайного процесса, и ЛММВ за- к)чается в самой процедуре получения замкнутого уравнения, ^Ругими словами, в способе вычисления последнего слагаемого сл^Рав?ении (3.59). В случае марковского приближения по- “ннн член в (3.59) вычисляется в предположении дельта-
коррелированности диэлектрической проницаемости. Здесь этот член рассматривается более детально, и по существу обосновьь вается предположение о дельта-коррелированности. Чтобы вьь числить его, рассмотрим, что происходит, когда поле распро. страняется между двумя плоскостями, одна из которых распо* ложена при г0, а другая при г0 + Дг. Считаем, что величина 厶之 велика по сравнению с наибольшим масштабом неоднородностей, представляющих интерес, например /，о, но достаточно мала в том отношении, что можно использовать метод возмущений для вычисления поля при его распространении от г0 до го + Да. Рассмотрим выражение'
\ % (久，N)U 〃 G，N)П 〃* ®, 2)/ •(3.70)
Предположим, что в пространстве между плоскостями г0 и г0 + Дг справедливо равенство
%.=畔)+ 〃兴(3.71)
где 4°)обозначает поле между плоскостями а。и а。+ Az в отсутствие между ними турбулентной среды, а 〃?) является добавкой к полю, вычисленной в первом приближении метода возмущений и обусловленной турбулентным слоем между плоскостями г0 и г0 + Аа. Мы собираемся далее применить метод малых возмущений локально в окрестности точки z. Уравнение (3.6) можно решить для случая е】=0. В результате имеем
心(Р“ Z)= 2砌上二方，J "р'ехр ［嘿与上］«(@‘，z。). (3.72)
Первое приближение метода возмущений записывается в виде
(拆,z)=亲 i S S df/exp「器二 牙］ 5(M 吟"叫M ‘°(3.73)
Подставляя (3.71) в (3.70), получим
〈圻(久,2)г)П^0)П^0)7 +
N)喈n衅)中产)N)階*中?)g暇｝ (3.74)
Здесь были опущены слагаемые вида 片〃?)〃，)*〃？)〃^)*, как имею* щие более высокий порядок малости. Покажем вначале, что
слагаемоеслагаемое/m п \《3, 2）鼻哨瞰））/m п \《3, 2）鼻哨瞰））
слагаемое
слагаемое
/m п \
《3, 2）鼻哨瞰））
/m п \
《3, 2）鼻哨瞰））
н0 Нулю. Заметим, что комплексные амплитуды 〃（°） обу- Р вленн неоднородностями, расположенными в области z V No, :то время как функция &1（р丸,а） задана в плоскости г, нахо- ящейся на расстоянии Дг от а。. Поэтому если Дг оказывается /ног。больше, чем масштаб неоднородностей, то величины 〃（°） и £] должны быть независимыми （заметим, что обратное рассеяние считается несущественным）. Таким образом, имеет место равенство
Оставшиеся в （3.74） слагаемые имеют в основном один и тот же вид, поэтому будем рассматривать только одно из них, например tnп
齿&,2）碌）II噌n〃产i=l /==1i耍a
*…罔用］义
/m n \
（3.75）（3.75）X/ 5（奥，n）5（N,父）〃（o）（p‘，У） П 〃（?П4°）* ）・
（3.75）
（3.75）
^Вначале рассмотрим интеграл по р'・ Значение показатель- но百 функции осциллирует очень быстро в зависимости от р‘ по сравнению с величиной, заключенной в угловые скобки. По- 9ToMу, применяя метод стационарной фазы, находим
m
%（n,N）吧П 4s
m п \
%@，N）5（Pa，孑"叫久，吟 П 嚟口衅）* ） .（3.76） i#a/
*皆вь учтем, что £1（рн а） статистически не зависит от 〃⑼.Да- （z {&зо§ьем интеграл по V на две области （г0, zQ + а） и 、° 十 Q，z）, где а имеет порядок размера наибольшей неодно^
родности поля 81, например Ао. В первой области £i(p®z) й 81 (ра, n‘)независимы, и, следовательно, подынтегральное выра. жение равно нулю. Для второй области 勺(卩々，а) и ei (ра, гх) не зависят от величины 〃(°), поэтому угловые скобки равны
/ ш п \
〈圻(％ 2)£](@а，О〉〈”)(@а，О П 〃哂
Однако это слагаемое также близко к нулю в области (г0, г0 + + а) и, следовательно, может быть использовано для всей области интегрирования в выражении (3.75). Наконец, отметим, что Дг мало по сравнению с продольным масштабом корреляции поля 〃(°), и поэтому мы заменим 〃⑼(ра,2‘)на 〃⑼(ра,%)・ Следовательно, используя (3.13——3.14), получим
G，2)吧 П 呼 П**) =
=4 嗨，纥[I (久，N)一 伍，吟 11^ = 4喝4 (久 一 @)(3.77)
Чтобы завершить выкладки, учтем, что Дг много больше масштаба корреляции функции Ве, а сама корреляционная функция Зе является четной относительно переменной г ——гх. Эти свойства позволяют интегрировать от ——оо до оо и использовать соотношение (3.15). Последний член в выражении (3.74) будет совпадать с формулой (3.77), в которой следует заменить i на ——/. Наконец, заметим, что в слое толщиной Дг функция Гтп должна измениться слабо, поэтому мы заменим г!°« на Гт.
Если затем подставить выражение (3.77) в (3.74), а результат этой подстановки в (3.59), то получим выражение (3.64), что совпадает с результатами, следующими из марковского приближения и метода перенормировки.
Эвристические теории для области насыщения
Как указывалось в разд. 3.1, основная задача новых теорий распространения оптических волн заключается в объяснении явлений, возникающих в области насыщения дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды. Хорошо известно, что в этой области важны эффекты многократного рассеяния и что обычные методы теории возмущений здесь не применимы. Цель математических теорий, изложенных в предшествующих трех разделах, заключалась в том, чтобы найти решения, которые бы удов* летворительно объяснили экспериментальные данные. Исключая среднее поле и функцию взаимной когерентности, теория
оДИТ к таким результатам, как дифференциальные уравне- 叩 в частных производных или интегродифференциальные н авнения, которые крайне сложны и решения которых в форме, Уу езной для сравнения с экспериментом или обеспечивающей п дСКа3ание новых результатов, до настоящего времени не айдены. Некоторые из этих результатов рассмотрены в ^а3д з.б・ Следует заметить также, что такого вида анализ не поиводит к более глубокому пониманию основных физических причин, ответственных за процесс насыщения.
у Недавно несколько исследователей в США предложили эвристический подход к проблеме насыщения флуктуаций. Хотя получающиеся результаты не являются математически строгимИ> но они основываются на разумных физических предположениях и приводят к выводам, которые согласуются с экспериментом. Наиболее значительный вклад в этой области сделали Клиффорд и др. [3.64,65] и Юра [3.66—69]. Следует заметить, что первые попытки в этом направлении были предприняты Татарским [3.9] и Янгом [3.70].
Во всех упомянутых выше работах конечной целью было объяснение наблюдаемого явления с физической точки зрения, и, следовательно, полученные в них результаты являются качественными. По этой причине будем в дальнейшем пренебрегать множителями порядка единицы. Вначале мы изложим первоначальные идеи Татарского, который ограничился приближением геометрической оптики и теориями слабого рассеяния, а затем рассмотрим обобщение этих идей Клиффордом, Янгом и Юрой Для объяснения явлений многократного рассеяния.
〈厶济(р)> =〈 [〃 до —八◎ + р)]2〉；~С//3(р%)2,р</0;〈厶济(р)> =〈 [〃 до —八◎ + р)]2〉；~С//3(р%)2,р</0;〜e*〜e*/о《р《Lq./о《р《Lq.(3.78)(3.79)(3.78)(3.79)Начнем с эвристической модели случайной среды, описывающей атмосферу. Для этого будем считать, что атмосфера состоит из случайных вихрей или шаров, обладающих различной диэлектрической проницаемостью и разными размерами: от минимального размера /0, называемого внутренним масштабом турбулентности, до максимального размера Lo, являющегося внешним масштабом турбулентности. В определенной сте- пенн правильно считать, что вихрям большего размера соответствуют большие вариации диэлектрической проницаемости. Статистическая изотропность среды также предполагает, что эти ВИхРи должны быть близки по форме к сферам. В геометриче- ск°й оптике чаще используется показатель преломления, а не Диэлектрическая проницаемость, и поэтому при моделировании :Pe^bi воспользуемся соотношениями для структурной функции °казателя преломления (Дп = УгАе):
〈厶济(р)> =〈 [〃 до —八◎ + р)]2〉；~С//3(р%)2,р</0;
〈厶济(р)> =〈 [〃 до —八◎ + р)]2〉；~С//3(р%)2,р</0;
〜e*
〜e*
/о《р《Lq.
/о《р《Lq.
(3.78)
(3.79)
(3.78)
(3.79)
Эти соотношения являются следствием хорошо известной mq. дели турбулентности Колмогорова — Обухова [3.9].
Необходимо заметить, что, хотя в определенном смыслу флуктуации амплитуды и фазы неразрывно связаны, тем не ме・ нее между ними имеется существенное различие. Флуктуации фазы возникают благодаря тому, что показатель преломления является случайной функцией в пространстве и времени, а это приводит к флуктуациям скорости распространения волны в соответствии с простой формулой V = с/п. Из-за случайной cкo^ роста эффективный путь распространения волны между пере- датчиком и приемником становится случайной величиной, что приводит к случайным вариациям фазы. Отсюда ясно, что раз、 ность фаз между двумя параллельными лучами пропорциональна разности показателей преломления вдоль двух параллельных лучей. Неоднородности, размеры которых примерно равны расстоянию между лучами, вносят основной вклад в разность фаз. Неоднородности большего размера будут оказывать примерно равное воздействие на оба луча и, следовательно, внесут малый вклад в разность фаз. Неоднородности, размер которых меньше расстояния между лучами, дают некоррелированные вклады, сумма которых близка к нулю. Учитывая сказанное, разделим трассу на отрезки длиной р, где р ——расстояние между лучами. Разность фаз на элементарном отрезке равна А* 〜力рА〃(р). Так как <Дп(р)> = 0, то 〈А$1〉=0. Структурная функция 〈As； (р)〉имеет вид 〈As；(p)〉~zV〈A〃2(p)〉・ Используя выражение (3.79), получим (д^) ^Сп р8/3 Для /0 < 《р《厶.При усреднении по всему лучу следует учесть ^ отрезков, где ^ = L/p. Предположим, что разности фаз на различных отрезках не коррелированы, тогда средний квадрат разности фаз будет пропорционален ^, т. е.
(Д/ (р)}〜N As： (р)〜彦欧厶小3, /о《р《厶. (3.80)
С точностью до постоянного множителя это выражение совпа： дает со структурной функцией флуктуаций фазы, вычисленной в приближении геометрической оптики или в первом приближении МПВ.
Для разносов р ^ /0 ситуация меняется, так как наименьшие неоднородности имеют размер /0- В этом случае трассу следует разделить на отрезки длиной /0, т. е. ^= L/友. Тогда, используя равенство (3.78), для <Дп2(р)> находим
(As2 (р)}〜丛с泣/储 р V h (3.81) Несмотря на то что приведенные выше рассуждения по своей сути очень просты, насколько нам известно, они приводят к удовлетворительным результатам даже в области многократ，
рассеяния. Это означает, что вариации фазы, обусловлен- процессами многократного рассеяния, оказываются малыми йЫ сравнению с влиянием изменения скорости вдоль луча всре- п0 g частности, расчет дополнительных изменений в фазе, вы- ^анных тем, что лучи в среде являются случайными траекто- 3® мИ)а не прямыми линиями, показывает, что этот дополнительный член не существен. (В то же время Татарский показал 『3 71], что учет этого эффекта при расчете амплитудных флук- приводит к эффекту насыщения.) Данные выводы под- тверждают применимость приближения малых углов, рассмот- енН0Г0 в разд. 3.1. Более детально флуктуации фазы в области насыщения будут исследованы в конце этого раздела.
Несмотря на то что амплитудные флуктуации являются пря- мнм следствием вариаций фазы, этот процесс имеет гораздо бо- лее сложную природу, чем сами флуктуации фазы. Прежде всеГо амплитудные флуктуации возникают вследствие распространения волны на некоторое расстояние. Так, например, вариации фазы в некоторой плоскости а приводят к существенным применениям в амплитуде только на определенном расстоянии У > а. Если обратиться к нашей модели случайной среды, состоящей из вихрей или шаров, показатель преломления которых изменяется, то можно представить себе эти шары в виде случайных линз. Пусть линзы случайно распределены в пространстве, имеют случайный размер и форму (оставаясь приближенно сферами) и случайно изменяются во времени. При таком подходе среда действует на волну так, как если бы она представляла собой случайный телескоп. Рассмотрев влияние одной линзы, а затем большого числа случайных линз, можно добиться физического понимания многих изучаемых процессов.
Возьмем линзу с диаметром / и показателем преломления А孔=〃一1. Фокусное расстояние такой линзы будет равно
(3.82)(3.82)尸 ^ //Ап.
(3.82)
(3.82)
Если Дп > 0, то точка фокуса расположена за линзой и линза м°冰ет фокусировать свет. Если Дп < 0, то за линзой находится мнимый фокус и свет, прошедший линзу, дефокусируется. Так в принятой модели I 〜1° —尻〜10-3— 1 м и A/г 〜10~6 — J то фокусное расстояние имеет порядок 103— 108 м. Та- :нм образом, рассматриваемые линзы являются слабыми и меют очень большие фокусные расстояния. Используя геомет- Рическую оптику, можно вычислить вариации амплитуды, вы- анные такими линзами. Предположим, что плоская волна плВ'ет На линзу, расположенную на расстоянии а от начальной р скости- Будем рассматривать амплитудные флуктуации на стояннн L. Имея в виду осевую симметрию, учитывая
Рис. 3.9. а — амплитудные флуктуации, вызываемые одной линзой в приближении геометрической оптики: 厶一расстояние от начальной плоскости до приемной,尸——фокусное расстояние линзы, г ——радиус пучка на расстоянии (L ——а) от линзы; 6 ——дифракционные эффекты от простой линзы: / — диаметр линзы, /с = /2/Л —— расстояние, на котором применима геометрическая оптика, 6 =厶"——угол дифракционной расходимости.
построения, изображенные на рис. 3.9, а, и применяя закон сохранения энергии, находим
Ло(//2)2 = Л2А(3.83)
где 4о — амплитуда волны перед линзой, Л — амплитуда на расстоянии 厶，а величина г показана на рис. 3.9, а. Полагая 6А = =Л —Ло, имеем
% = (£ 一 1) 4 = т^+г %。-(3・84)
Из построений на рие. 3.9, а находим //2Г=尸/(尸一l + 之)・ Учитывая, что, согласно приведенным выше оценкам, величина 厶一2 обычно много меньше 尸，получим
果•(3.85)
Рассмотрим далее влияние турбулентной среды, заполненной такими линзами, имеющими случайные фокусные расстояния и положение в пространстве. Для этого необходимо установить связь величины F с экспериментально наблюдаемыми величинами. Согласно (3.82), запишем F = Z/An. Кроме того, из равенств (3.78) и (3.79) ясно, что〈А* (/)〉〜。幫言， где /1 = / в случае "《/《厶о н 厶=广/原 когда /《/q. Полагая Дп ~ Сд/}/3, на-
ходим 尸= 〃(с//з). Учитывая полученную формулу, запишем
/о ~ Z仏N)・
(3.86)
Для
типичных двух случаев имеем
学〜以公2/3（厶一*
У/о；
(3.87)
孚〜以广2/3亿一力，
%《/《£о・
(3.88)
Так
как выполняется закон /-2/3, то
неоднородности
порядка /о
вызывают более сильные флуктуации амплитуды, чем неоднородности, большие /0. Следовательно, амплитудные флуктуации на отрезке трассы порядка /0 равны
На трассе длиной 厶 число неоднородностей размера /0 равно N = L/h Отсюда флуктуации амплитуды для всей трассы запишутся в виде
〈(第
где (L — а)2 означает среднее (L — г)2 по всем неоднородностям, расположенным вдоль трассы. С точностью до множителя порядка единицы (L — г)2 〜L2; следовательно,
〈(筹У〉〜С""”*(3.89)
Этот результат соответствует приближению геометрической оптики, так как он был получен при учете вариаций амплитуды за счет фокусировки или дефокусировки лучей случайной линзой, а дифракционные эффекты при этом не учитывались. Как мн увидим, дифракция ослабляет эффект фокусировки случай- ннмн линзами.
На рис. 3.9,6 показаны основные параметры, необходимые ПРИ учете явлений дифракции. Расстояние, на котором приме- ннмо приб. ижение геометрической оптики, равно
зLg(/) = /2/九(3.90)
а угол дифракционной расходимости коллимированного пучка записывается в виде
0 = X//.
рассмотренной модели атмосферы, состоящей из случайных "нз, величина / соответствует размеру различных неоднород-
ностей, которые изменяются в пределах от /0 до 厶°. Величина /0 имеет порядок 10^2 — 10~3 м, а расстояние Lg(/o) примерно равно 2——200 м в случае видимого света, в то время как для внешнего масштаба Lo》1 м расстояние 厶g(Lo)》Ю6 м велико. Отсюда видно, что для типичных оптических трасс длиной от 1 до 10 км влияние крупных неоднородностей можно моделировать, используя геометрическую оптику, в то время как для меньших неоднородностей необходимо учитывать дифракционные эффекты. Так как формула (3.89) была получена с учетом влияния наименьших неоднородностей, то это выражение не применимо для типичных трасс в земной атмосфере. В случае длин трасс, больших чем 党/九，неоднородности можно разделить на две группы: 1) неоднородности, для которых необходимо учитывать дифракционные эффекты; 2) неоднородности, для которых выполняется приближение геометрической оптики. Критерием такого деления является масштаб ^ ~ “九厶• Для вихрей, удовлетворяющих неравенству / > /с, применима геометрическая оптика, а в случае / V /с необходимо учитывать дифракцию. Основное влияние дифракции состоит в расширении пучка независимо от того, был ли вначале пучок сфокусирован или расфокусирован неоднородностью. Эффект дифракционного расширения противодействует фокусировке света. Однако угол дифракционной расходимости ограничен значением 0 ^ K/Iq = =0,5 • 10-3 рад, и, следовательно, дифракция не вызывает значительных изменений амплитуды. Поэтому будем считать, что неоднородности, рассеивающие в дифракционном режиме, не вызывают существенных изменений амплитуды, и рассмотрим только влияние тех неоднородностей, для которых / > /с. Для этих неоднородностей можно использовать приближение геометрической оптики. Поэтому воспользуемся выражением (3.89), зчитая основными неоднородностями такие, размер которых определяется зоной Френеля 厶=“九£, а не внутренним масштабом /0. В итоге мы заменяем /о на “％L в формуле (3.89). Осуществляя эту подстановку и заменяя V1 на 汽 для дифракционной области получим выражение
((果))〜脸叱叱 /。 < 〃汀.(3.91)
Эта формула совпадает с точностью до постоянного множителя с более строгим выводом, рассмотренным Клиффордом во второй главе. Ясно, что проведенное выше рассмотрение соответствует приближению однократного рассеяния, хотя оно и учитывает дифракцию. Причина в том, что мы не рассматриваем влияние последовательного рассеяния на линзах, ограничившись рассеянием на отдельной линзе.
В работе Юры [3.66] изложены аналогичные результаты привлечением более строгих количественных расчетов, п своем анализе он исходил из того, что среда состоит из сфе- пически симметричных турбулентных вихрей, показатель преломления которых изменяется по гауссову закону в зависимости от положения линзы. Он утверждает, что это предположение не существенно, но дает возможность получить выражение для флуктуаций амплитуды, вызванных одиночным вихрем. Так, в ^дуЧае вихря радиусом /, расположенного в плоскости 2, поле ПрИ z =厶 записывается в виде
% (p) q "А)(与9 exp (邮){ 1 - 對0 + (-^--)2]} X
X(" + -^7^) ^p {— 2%?+(f*)2/(:?2]卜 (3.92)
где 力=尼厶 + у^Г^Г'广〜〃厶八，Р——но/о^енпе вихря в слое, расположенном в плоскости %. Так как величина 6Д максимальна при р = 0, то
(3-93)
Сравнивая выражения (3.93) и (3.85), находим, что в области геометрической оптики, т. е. при “XL《/, они совпадают. В области, где существенны дифракционные эффекты, при V九厶》/, выражение (3.93) приводится к виду
1明:〜筈•(3.94)
Учитывая, что 尸=Z/Дп и Дп - С普住, перепишем формулу (3.93) в виде
|6Д I2 尊(L-2)2 户/3卜+(导)T_
〜C讃严，"汇》/.
р ^олУченные выражения справедливы для отдельной неодно- все Н°СТИ, Расположенной в точке г. Чтобы определить влияние Bbi； неоднородностей заданного размера на трассе, умножим
Ряжение (3.95) на число неоднородностей, которое имеет
€^< Т75一€^< Т75一
€^< Т75一
€^< Т75一
Рис. ЗЛО. Относительный вклад вихрей разных размеров в флуктуации ам плитуды: сплошная линия соответствует точному решению длинные штрихи — приближению геометрической оптики; короткие штрихи ——дифракционному приближению.
порядок отношения £//, и положим (L — г)2 ^ ZA В результате получим
品「ёШ _(3-96)
〜比/Л-* “灰《/,(3.96а)
〜e标2厶产， "灰》厶(3.966)
Нг рис. 3.10 приведены значения величины | 6Л/Л01； в зависимости от 1/1с, где 厶=“Z/K・ Кривые, изображенные сплошной линией, удлиненными штрихами и короткими штрихами, соответствуют решению для неоднородностей гауссова профиля (3.96), приближению геометрической оптики (3.96а) и дифракционному приближению (3.966). Случай 7TL《卜 показан на рис. 3.11,£. Так как здесь ширина зоны Френеля много меньше, чем /о®辽《/о), то применимо приближение геометрической оптики, и внутренний масштаб оказывает заметное влияние на
；1 приближение ае殲勿-；1 приближение ае殲勿-КолмогоровскийКолмогоровскийоптикиоптикирис. 3.11. а — случай ^XL < Zo： применимо приближение геометрической оптики и флуктуации определяются неоднородностями масштаба /0； 6 — случай V%Z > Zo： дифракционные эффекты существенны и флуктуации определяются неоднородностями масштаба д/^«рис. 3.11. а — случай ^XL < Zo： применимо приближение геометрической оптики и флуктуации определяются неоднородностями масштаба /0； 6 — случай V%Z > Zo： дифракционные эффекты существенны и флуктуации определяются неоднородностями масштаба д/^«
；1 приближение ае殲勿-
；1 приближение ае殲勿-
Колмогоровский
Колмогоровский
оптики
оптики
рис. 3.11. а — случай ^XL < Zo： применимо приближение геометрической оптики и флуктуации определяются неоднородностями масштаба /0； 6 — случай V%Z > Zo： дифракционные эффекты существенны и флуктуации определяются неоднородностями масштаба д/^«
рис. 3.11. а — случай ^XL < Zo： применимо приближение геометрической оптики и флуктуации определяются неоднородностями масштаба /0； 6 — случай V%Z > Zo： дифракционные эффекты существенны и флуктуации определяются неоднородностями масштаба д/^«
флуктуации интенсивности. Если длина трассы возрастает, то размер первой зоны Френеля д/~^ увеличивается и масштаб VII становится определяющим, как это видно из рис. 3.11, б. Приближение геометрической оптики для флуктуаций амплитуды следует из формулы (3.96а) при / = /0. Формула (3.91), учитывающая дифракцию, получается из выражения (3.96) при
Проведенный анализ, результаты которого изображены на рнс. 3.10 и 3.11, предполагает, что падающая волна является плоской и когерентной на размере неоднородности. Однако по мере распространения волны возникают флуктуации фазы, ко- торне описываются выражениями (3.80) и (3.81). Если флуктуации разности фаз на расстоянии, сравнимом с размером неоднородности, малы, то волна по-прежнему может рассматриваться как плоская, и приведенные выше результаты остаются в силе. Если флуктуации фазы становятся большими по сравне- :ню с величиной 2л, то на неоднородность падает некогерентная о』на，и приведенные выше результаты следует пересмотреть, а^я ситуация показана на рис. 3.12. Ясно, что чем сильнее Уроулентность в пространстве между излучателем и рассмат- 2 ваемой неоднородностью, тем больше потери когерентно- q Определим понятие когерентности количественно, считая,
ПРИ Условии <As2(p)> ^> л2 волна теряет пространственную
Рис. 3.12. Влияние турбулентности на фокусирующие свойства вихря.Рис. 3.12. Влияние турбулентности на фокусирующие свойства вихря.
Рис. 3.12. Влияние турбулентности на фокусирующие свойства вихря.
Рис. 3.12. Влияние турбулентности на фокусирующие свойства вихря.
когерентность. Будем также считать, что при потере когеренъ ности волна не может эффективно фокусироваться или расфо. кусироваться неоднородностью. Поэтому размер неоднородно, сти, которая еще оказывает влияние на флуктуации пнтенснв、 ности, следует определять из условия
(3.97)(3.97)〈А$2 (р)〉< 冗2,
(3.97)
(3.97)
где р = /—размер вихря.
Обозначим через / = р0 наибольший размер вихря, для ко* торого волну можно рассматривать когерентной; тогда из фор< мул (3.80) и (3.97) получим
Ро^1У儉 2c汕)]3/5.(3.98)
Более строгий расчет функции взаимной когерентности приво дит к выражению
Г (р,力=ехр(— р2/р2),%《р《％,(3.99)
где
Рс = (1,45С 讃厶厂叱(3.100)
Видно, что значения радиусов когерентности, определяемые формулами (3.100) и (3.98), согласуются по порядку величины. Отметим значимость радиуса когерентности р0. Результаты, соответствующие формулам (3.89), (3.91) и (3.96) и показанные на рис. 3.10 и 3.11, применимы для неоднородностей, размер которых меньше ро. При / > р0 неоднородности фактически не вызывают флуктуаций интенсивности. На рис. 3.13 показана такая ситуация при условии “九Е〉". Если радиус когерентности оказывается больше радиуса первой зоны Френеля р0 > V^ то величина последнего совпадает с размером неоднородностей, вносящих основной вклад во флуктуации интенсивности. Эта ситуация соответствует—формулам (3.91) и показана на рис. 3.11, б. При Ро < д/^^ неоднородности с масштабом “入厶 уже не вызывают флуктуаций и размер наиболее существенных неоднородностей! совпадает с ро. В этом случае можно положить /〜Ро и, подставляя формулу (3.98) в выражение
(3.966)(3.966),получить 6Д,получить 6Д"о"о2Ро2Ро~叫闺3T "~叫闺3T "(3.101)(3.101)
(3.966)
(3.966)
,получить 6Д
,получить 6Д
"о
"о
2
Ро
2
Ро
~叫闺3T "
~叫闺3T "
(3.101)
(3.101)
Зтот результат объясняет эффект насыщения дисперсии флуктуаций интенсивности. Действительно, когда радиус коге* пентности ро оказывается меньше радиуса первой зоны Фре- Теля, флуктуации интенсивности определяются главным обра- 30M неоднородностями с размером порядка р0 и дисперсия пере・ стает зависеть от интенсивности турбулентности и длины трассы в полном соответствии с данными, представленными на рис. 2.9 и 4.5.
Проведенный качественный анализ позволяет установить основные масштабы ковариационной функции флуктуаций амплитуды или интенсивности. При распространении плоской волны основной масштаб ковариационной функции может совпадать по порядку величины с масштабом основных неоднородностей, вызывающих флуктуации. Следовательно, в области геометрии ческой оптики поперечный масштаб должен иметь порядок /о, в области, где существенны дифракционные эффекты, он дол* жен иметь порядок радиуса первой зоны Френеля д/九厶，и, наконец, в области многократного рассеяния поперечный масштаб должен иметь порядок радиуса когерентности ро. Данный вьь вод хорошо подтверждается в дифракционной области, где поперечный масштаб флуктуаций возрастает с увеличением длины трассы. В области насыщения дисперсии флуктуаций интенсивности, как это следует из формулы (3.98), радиус когерентности Ро уменьшается с ростом параметров 財 С„ и L. Этот результат качественно согласуется с экспериментальными данными Гра-
т^^^1' “ — Ро > “九厶一случай когерентного рассеяния, при котором флук。 случай 0пРеделяются неоднородностями размера '~ “九厶 6 —■ р° V V〃'一 Размеро^е'^еРентн"。рассеяния, при котором флуктуации определяются
чевой и др. (см. рис. 4.8), Окса и др. [3.72], Клиффорда и дп [3.64]. 卩
Проведенный выше анализ позволяет также понять, почему флуктуации разности фаз не насыщаются и не изменяются существенно при переходе в область многократного рассеяния волн. При выводе формулы (3.80) отмечалось, что основной вклад в разность фаз вносит изменение фазовой скорости вдоль луча. При таком подходе соотношение между радиусом когерентности и размером неоднородностей несущественно. Среда по-прежнему вызывает заметные флуктуации фазы волны. Поэтому эффекта насыщения флуктуаций разности фаз здесь ожидать не следует. Несмотря на то что по флуктуациям фазы получено меньше экспериментальных данных по сравнению с флуктуациями амплитуды, однако измерения Гурвича и Кал- листратовой [3.73] флуктуаций углов прихода в области насыщения дисперсии флуктуаций интенсивности подтверждают эту оценку. Борн и др. [3.74] недавно сообщили об измерениях фазы в области насыщения и в основном подтвердили существующие для расчетов флуктуаций фазы соотношения, заметив при этом некоторые другие эффекты, например разрушение фазового фронта.
В работе Юры содержится более детальный вывод формулы (3.101). В частности, он более строго доказал одно из используемых здесь приближений. Применяя в зоне дифракции обобщенный метод Гюйгенса — Френеля [3.75,76], он установил, что угловое уширение пучка радиуса I имеет вид
02 !——
где р^ определено формулой (3.98). Это выражение справедливо, когда неоднородность / находится на расстоянии г в случайно-неоднородной среде. Падающая на неоднородность волна оказывается частично когерентной, и формула (3.102) описывает увеличение угла рассеяния вследствие потери когерентности. Если величина р乳z) становится много меньше /2, то угловое уширение пучка целиком определяется рассеянием в среде. Для оценки углового уширения можно неоднородность размера / заменить неоднородностью с эффективным размером /^, величина которого определяется из формулы
При распространении волны от линзы или неоднородности Д° приемной плоскости в соответствии с взаимностью [3.77] будут наблюдаться аналогичные эффекты. По этой причине добавим
(3.103)(3.103)в формуле для 1е дополнительное слагаемое
(3.103)
(3.103)
弓产р気2)р気厶-N)
паЛее заменим в формуле (3.95) выражение [(L — а)/砌2 на 竹厶—2)/班/2, поскольку это слагаемое описывает угловое угпн- ренИе за счет дифракции, оставляя без изменения другие вели- содержащие /. В итоге имеем
(3.104)(3.104)I дЛ |2 С^Д2 (1 - г/Д)2 /2/3
(3.104)
(3.104)
h2〜[产JL2(1^严口
где 厶 находится из формулы (3.103). Выражение (3.104) описывает флуктуации амплитуды, вызванные неоднородностью размера /, расположенной на расстоянии а от границы неоднородного слоя, перпендикулярного направлению распространения. Чтобы учесть влияние всех неоднородностей, умножим выражение (3.104) на dz/l и проинтегрируем от нуля до L. Множитель dz/l дает вклад слоя толщиной I в суммарные флуктуации. Полагая n = 1 —z/厶, получим
I дД 2 _ гС汕3Tl2厂 1/3I дД 2 _ гС汕3Tl2厂 1/3(3.105)(3.105)
I дД 2 _ гС汕3Tl2厂 1/3
I дД 2 _ гС汕3Tl2厂 1/3
(3.105)
(3.105)
Наконец, чтобы найти мерцания, вызываемые неоднородностями всех размеров, проинтегрируем выражение (3.105) по dl от /о До%
吸(厶)竺(3.106)
I Л0 / /2]口2+分2做]I丿
Используя далее формулу (3.103), получим
о 公(
内后卄+志［俨+…严］｝).
приближенную замену К ~ 1/厶 выражение °*но записать в спектральной форме
Qi0
1+代2口+q汽哨］
(3.107)
(3.107)
(3.108)
где Qm(L/^)i/2K — волновое число, нормированное на вели， чину, обратную радиусу первой зоны Френеля,
Qg = M^(D],
(3.109)(3.109)Qo(n) = Qoh6/5 + (i-n)6/5l
(3.109)
(3.109)
Q尸"精]吗
q2 =[〃娥]吗
Юра привел полученные выражения к форме, удобной для сравнения с классическими результатами метода плавных возмущений. Он получил, что
гдегдеJ 亿)〜Q&/3 ,①九(Q)〃(Q)QdQ,Qig(Q) = Qf/3,1^(Q)=Qi?WQ^J 亿)〜Q&/3 ,①九(Q)〃(Q)QdQ,Qig(Q) = Qf/3,1^(Q)=Qi?WQ^(3.110)(3.110)(3.111)(3.111)
где
где
J 亿)〜Q&/3 ,①九(Q)〃(Q)QdQ,Qi
g(Q) = Qf/3,
1^(Q)=Qi?WQ^
J 亿)〜Q&/3 ,①九(Q)〃(Q)QdQ,Qi
g(Q) = Qf/3,
1^(Q)=Qi?WQ^
(3.110)
(3.110)
(3.111)
(3.111)
—амплитудная фильтрующая функция, которая определяет вклад неоднородности, соответствующей волновому числу Q, в дисперсию флуктуаций амплитуды. Заметим также, что величина Q^ = c/7/6j/6 совпадает с дисперсией флуктуаций логарифма амплитуды, вычисленной с помощью МПВ. Рассмотрим область насыщения дисперсии. Считая приближенно Q^(n)~Q； и проводя интегрирование в выражении (3.111), получим
厶(Q) _ Q2 + Q^ ( ] Q(Q^ 十 Q2)U2 — (3・1 12)
Подставляя данный результат в формулу (3.110) и используя условие Qo》1, Юра нашел значение дисперсии в области насыщения (j2(厶)〜 冗，которое согласуется с выражением (3.101).
Юра провел обобщение формулы (3.110) в двух направлениях. Несмотря на то что выражение (3.110) было получено для конкретной формы спектра неоднородностей ①九(К), он предположил, что оно справедливо для любого спектра ①拉(К)・ Он также ввел предположение, и это более важно, что полученная формула может быть использована для расчета кова«
иационной функции флуктуаций амплитуды Вд(р)=
<Д1(р1)^1(р1 + Р)Х где Д1 =Л(р)—<Д>. Известно, что ковариационная функция для слабых флуктуаций определяется выражением (2.80):
5а(Р)= \ 尸厶(K"o(Kp)KdK,
о
откуда следует 吟=ВА (0) = \ 广厶(К) К dK・ Считая, что эти о
формулы верны также для сильных флуктуаций, получим
ВА (Р) ~ Q泸 \ ①九(Q) fA (Q)/0(Qpn) Q dQ,(3.113)
Qi
где р” = р/(厶信)吗 Выражение (3.113) соответствует физической модели, показанной на рис. 3.13. Случайные линзы размером / > Ро не оказывают сильного влияния на рассеяние и, следовательно, не влияют на вид ковариационной функции. В результате ковариационная функция Вд (р), как и дисперсия, зависит от неоднородностей, масштаб которых меньше чем р0, что, действительно, соответствует одной и той же фильтрующей функции. Из рис. 3.13,6 видно, какие изменения вида ковариационной функции следует ожидать. Радиус корреляции в этом случае определяется не размером первой зоны Френеля «九厶，а радиусом когерентности р0; поэтому ковариационная функция убывает с расстоянием р быстрее при возрастании интенсивности турбулентности.
.Следует отметить, что Юра проводит вычисления флуктуа： Unfit амплитуды, в то время как обычно измеряют дисперсию ^флуктуаций логарифма интенсивности 唸/ или относительную Дисперсию флуктуаций интенсивности р2 = <(/ — 7)2>/72. Несмотря на то что закон сохранения энергии требует, чтобы флуктуации амплитуды насыщались, он не накладывает ограничений На значения а^^ или 俨.применяя изложенный выше эвристи- 'ескнй подход, можно получить аналогичные формулы для ве- личиныа2п/.
♦ Решение задачи Клиффордом и др. [3.64] было проведено методом, аналогичным изложенному. Кроме того, вместо учета сияния пространственной когерентности на характеристики Ч^уктуаций, создаваемых неоднородностями или случайными q они применили свертку корреляционной функции, полу- л нои для слабых возмущений, с модифицированным распреде- ием интенсивности. В итоге они получили ковариационную
функцию флуктуаций уровня амплитуды в виде
1ОО
в^п,哨=2,95货 W〃 [〃 (1 -吩5可 dy 曠 X о0
Хехр{— aj[u (1 — u)flQf (у)} /0 [(y^z^ ) ； Р J (3.114) где
〃力= 7,02*/б J ^Г8/3Ц-/о(Ю],0,7g
0； = 0,124々7/6l"/6e^9=胪"(1一")上/(2尼).
Сравнение результатов, выраженных формулами (3.113) и (3.114), проведем в следующем разделе.
Результаты
Полученные к настоящему времени уравнения для статистических моментов поля совпадают по форме, так как, несмотря на некоторое различие в способах их нахождения, различные авторы по существу использовали одинаковые приближения. В этом разделе будут рассмотрены результаты, которые следуют из этих уравнений, в частности для среднего поля, функции взаимной когерентности и функции когерентности четвертого порядка. В последнем случае удается вычислить спектр и ковариационную функцию флуктуаций интенсивности. Обсуждаются результаты, полученные исследователями для этих величин. В заключительном разделе рассматривается плотность распределения вероятностей флуктуаций интенсивности. Затрагиваются результаты, относящиеся только к плоской и сферической волнам (случай волнового пучка см. в главе 5).
Среднее поле и (г)
Уравнения (3.36) и (3.46), полученные соответственно с использованием метода перенормировки и в приближении марковского случайного процесса или ЛММВ, совпадают и записываются в виде
2洪”」》+ W〈“〉+ 岑 4 (0)〈“ (p, z)〉= 0,(3.36)
〈〃(P, 0)〉= 〃(p, 0).
Осуществляя замену
〈〃(г)〉= ехр [— 气У^г), находим решение уравнения (3.36) в виде
〈“ (Г)> = ехр[-竺嚟]〃о (г),(3.115)
где 〃о(г) — поле волны, распространяющейся в свободном про странстве. Выражение (3.115) дает окончательный результат дЛЯ среднего поля. Отсюда видно, что среднее поле совпадает с полем в свободном пространстве, испытывая затухание в на* правлении распространения за счет добавочного сомножителя, имеющего постоянную затухания вида
а = ^^- = 4^2。乳.(3.116)
В случае локально-однородной и изотропной турбулентности, описываемой рассмотренным в гл. 2 спектром, например (2.38), в соответствии с [3.3] имеем
a = 0,391胪厶瞪，*⑵庚. (3.117) о
Совпадающие результаты были получены с помощью диаграммного метода. В частности, Бурре [3.31, 32] и Браун [3.52, 53] использовали функцию Грина скалярного волнового урав- нения и не переходили к параболическому уравнению. В итоге они пришли к выводу, что для расчета среднего поля необходимо заменить функцию Грина свободного пространства на функцию Грина вида
〈G(r)〉= _f"停丄 (3.118)
(3.119)(3.119)где ke — эффективное волновое число для среднего поля. Бурре нашел, что волновое число ke при kl》1 равно
(3.119)
(3.119)
ke^k—i必片/.
В полученной им формуле / является масштабом корреляцион- ной функции, выбранной в виде экспоненты. Заметим, что мни< :ая часть 々^ определяет коэффициент затухания. Браун полу- Ил аналогичный результат, в котором величина I являлась 口等масштабом. К такому же результату пришел Кел- 『3号 喧78—80], не используя диаграммного метода. В работах g' * 51， 53] исследовалась область применимости найденных тов 6 ВЬ1Ражений для коэффициента затухания. Из результа-
ЭТИх работ следует, что они применимы при условии
Qg&2/2《1. Хотя это условие, несомненно, выполняется для многих представляющих интерес практических задач, в случае силь ной турбулентности оно может нарушаться.
Функция взаимной когерентности
Значительное внимание в теории было уделено функции взаимной когерентности
Г(Р1, р2； N)=〈〃(@I, %)〃*(Р2, N)〉・
Уравнение для этой величины, полученное в разд. 3.3.2, имеет следующий вид:
2 汤窑 + (玲一优2)г + 岑【4 (0)— 4 (m — @2)] F = 0,
Г(рь Р2； 0) = 〃(Р1, 0)〃*(р2, 0)・
равенство когерент-равенство когерент-Функция взаимной когерентности имеет прямое практическое значение в случае волнового пучка, где она дает, например, распределение средней интенсивности в поперечном сечении. По этой причине Исимару детально обсуждает решение этого уравнения в разд. 5.2.1. Для плоской волны имеет место (%1 —— %2)Г = 0, и решение уравнения для функции ности принимает вид
равенство когерент-
равенство когерент-
卜卜Гр(Р1, р2； 2)= /о ехр {—学[4 (0) — Ле(Р! — р2)]}=
卜
卜
—/о ехр—/о ехр一冗2奴之 j dK [ 1 — /о (К I Pl — Р2 I)] KR (К о
—/о ехр
—/о ехр
=/о ехр {— }[乌(I pi — Р21) + & (I @i — @21)]} ♦(3.120)
Выражения для структурных функций логарифма уровня амплитуды 。式р) и фазы D$(p) приведены в гл. 2 в виде (2.80— 2.82).
Формулу (3.120) можно получить разными способами. В ча* стности, этот результат был получен Хафнагелем и Стенли [3.15] в 1964 г., Бераном [3.45] в 1966 г. с помощью ЛММВ, в то время как Браун [3.52] использовал для этого метод перенормировки и лестничное коротковолновое приближение. Стробен [3.25] показал, что данный результат нетрудно получить, применяя метод плавных возмущений, предполагая, что флуктуации логарифма амплитуды и фазы распределены по нор” мальному закону.
Используя формулу (2.85) для структурной функции Ds(p), выражение (3.120) можно привести к виду
Гр (р； г) = /оехр(— 1,47С^%р5/з),
(3.121)(3.121)302《р《&・
(3.121)
(3.121)
фантэ учел влияние внешнего масштаба и получил для функ・ цИИ когерентности следующее выражение:
Fp(p； z) = /°exp{— 1,47СМр5/3[1 一 0,805(p/L0)1/3]}. (3.122)
Функция когерентности четвертого порядка
Как уже отмечалось, функция когерентности четвертого порядка интересна для практики тем, что позволяет найти корреляционную функцию флуктуаций интенсивности, а ее фурье-преобразование дает спектр флуктуаций интенсивности. Интегральное уравнение для этой функции имеет слишком громоздкий вид и поэтому не приводится. Дифференциальное уравнение в частных производных для функции когерентности четвертого порядка было получено Шишовым [3.55], Молинэ [3.54], Брауном [3.81], которые использовали для этой цели диаграммный метод перенормировок. Татарский и Кляцкин (см. разд. 3.3) применили приближение марковского случайного процесса, а Шишов [3.42] (разд. 3.4), Беран и Хоу [3.63] использовали ЛММВ.
Уравнение (3.68) для функции когерентности четвертого порядка представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных в пространстве 9 переменных. В случае начальной плоской волны путем замены переменных [3.9,82] иисло независимых можно уменьшить до пяти. Однако на пути решения этой задачи возникают значительные трудности при использовании как численных, так и аналитических методов.
Первыми достигли существенного прогресса в решении этой 3аДачи Гочелашвили и Шишов [3.83—3.85]. Прекрасный обзор атнх работ содержится в статье Прохорова и др. [3.2]. В последнее время результаты, очень близкие к полученным в ука- 工ннь>1х выше работах советских авторов, были опубликованы ①антз [3.3, 86, 87]. В случае слабых флуктуаций интенсивности в большинстве работ вычислялась дисперсия флуктуаций логарифма амплитуды, в то время как в случае сильных флук- уации чаще принято вычислять так называема访 индекс мер- ц^и^т°пРеДеляемый как нормированная дисперсия флуктуа- тенснвностн俨三弋萨.(3.123)
Классическая теория (гл. 2) дает следующее выражение для индекса мерцаний р2 в области слабых флуктуаций:
用=1,23С#”и/б.(3.124)
На основе решения дифференциального уравнения для функции когерентности четвертого порядка (3.68) показано, что, если структурная функция фазы, вычисленная для разноса, равного радиусу первой зоны Френеля, удовлетворяет условию ^[д/^] < V 1, имеет место равенство 俨=財.В противоположном случае D [Vz/k] > 1 Гочелашвили и Шишов [3.85] получили следующую формулу:
俨=1+0,85(聞)-2/5.(3.125)
Фантэ получил аналогичную зависимость с коэффициентом 0,99 вместо 0,85. Это выражение получено при выполнении условия (々А/z)《1, которое для обычных значений длин волн и параметров турбулентности требует, чтобы длина трассы составила не менее 1 км. Можно сравнить это выражение с результатом, полученным Клиффордом и др. для сферической волны [3.64], который имеет вид
俨〜0,92+ 1,44(財『а(3.126)
Татарский в работе [3.9] получил для относительной дисперсии выражение вида
俨~ 1,36- 0,907(用)T/5,饱》i.(3.127)
Несмотря на то что функциональная зависимость от параметра Ро в выражении (3.127) остается прежней, но из-за знака минус перед вторым слагаемым оно не дает эффекта перенасыщения, наблюдаемого в экспериментах и присутствующего в выражениях (3.125) и (3.126).
Интересно сравнить все эти результаты с асимптотической зависимостью, которую можно найти из выражений Юры [3.66]. В частности, основываясь на его выражении для дисперсии (3.110), можно исследовать зависимость этой величины от параметра Qo, используя формулу (3.112). Заметим прежде всего, что (arctgx)/x является монотонно убывающей функцией! от 勺 Отсюда следует, что в формуле для дисперсии, полученной Юрой, отсутствует эффект перенасыщения, а именно когда параметр 6^ возрастает (6^ = Q^3), то дисперсия стремится к постоянному значению снизу, а не сверху. Несмотря на то что в полученную Qpo访 формулу входят несколько параметров, она дает зависимость дисперсии от параметра 用 в виде (玲) ‘
Время как в результатах других авторов получается зависимость (凱
спектраспектраФе(^) = ЛС^-11/3Фе(^) = ЛС^-11/3На而ти выражение для ковариационной функции оказалось значительно труднее. Грачева и др. (см. гл. 4), основываясь на 3ооТношениях подобия, показали, что для чисто степенного
спектра
спектра
Фе(^) = ЛС^-11/3
Фе(^) = ЛС^-11/3
имеется два характерных для задачи физических масштаба: продольный масштаб £「=(冗％。^々‘*)①"и поперечный масштаб / =(厶〃①"2 =(冗4С^左з) • Дисперсия флуктуаций интенсив- ностн или индекс мерцаний должны быть функцией величины (z/Lt), где z ——длина трассы, £г ——продольный масштаб. Так как ®2 = 3(n/Lt)"/6, то рассмотренные выше зависимости согласуются с этим утверждением. Кроме того, они показали, что ковариационная функция флуктуаций интенсивности должна зависеть от масштабов £г и /т, хотя и не привели для нее явные выражения. Эта функция была определена ими экспериментально. Подробно эти результаты обсуждаются в следующей главе.
Гочелашвили и Шишов [3.2, 84, 85] получили следующее выражение для ковариационной функции флуктуаций интенсивности при г》£т：
В/ (Р,力〃；=exp [^D (р)] + 0,6 S [“丽]Г"' X
义[瓦(g*p) + b2(p/p*)],(3.128)
где
厶=1“ = 3[“荻(У “潘= 2,923'5(сУ 户*/5,(з 129) ^ = {D ["莓]} Ye У/ = 2,92-3/5 (不)-3/5 々一6吗-3/5,
D(p) = 2,92CW/3.(3.130)
Отметим, что здесь Q(p) является структурной функцией фазы, вычисленной в приближении геометрической оптики. Величины 厶 и р* связаны с параметрами подобия, полученными Грачевой и ар・，следующим образом:
(=1/g* = 3,225 ⑵“严办， (3.131)
p* = 0,31(z/Lr)~3/5/r. (3.132)
Заметим, что масштабы, полученные Гочелашвили и Шишовым, отличаются от масштабов, указанных Грачевой и др., хотя те н Другие удовлетворяют требованиям теории подобия. СущНость зтпх различий станет более ясной при обсуждении резульТатов измерений спектров флуктуаций интенсивности. Приве-
денные в работе [3.85] формулы для функции 仇⑺)и 历⑺) имеют вид
仇(叫=号l(7/5)2Q[7/5, 2/3； 5А. 5a] x
1оо
X \ d厶2 \ 值4叫(n) exp [— 或空5/3 (1 一 |. 0],(3.133)
оо
灰⑺=^l(75)2吊僚,2/з； 5/з； %] 3/厶产5 X
1
X，dg \ rfnn-11/3{l - COS [n ・(n + 党)⑵厶)f 円} X
X exp — I " + 應X exp — I " + 應(3.134)(3.134)
X exp — I " + 應
X exp — I " + 應
(3.134)
(3.134)
где 厶=(2,92cM厂"/6 = 0,345厶.
Как видно из этих выражений, функция Ь\ зависит только от поперечного масштаба п，в то время как функция 力2 зависит от параметров п и z/Ls и вносит поправку в ковариационную функцию, когда параметр z/Ls становится большим. Гочелашвили и Шишов [3.85] выполнили численный расчет для 仇，но не проделали соответствующих вычислений для функции %2・ Функции 瓦(р) и 力2(р) при р = 0 равны единице, а при р ^ /« функция bi (р) спадает до значений, близких к нулю, в то время как b2(p) = 1 при р = 0. Чтобы сравнить теоретические результаты Гочелашвили и Шишова [3.85] с экспериментом Грачевой и др. (см. гл. 4), было найдено грубое приближение функции 匕2(刀)， которое использовалось в выражении (3.128) при вычислении значений 8/(р, а). Результаты этого расчета приведены на рис. 3,14, а и б соответственно для р^ = 4 и 6^=36. На этом рисунке сплошной линией изображены экспериментальные данные Грачевой и др., а короткими штрихами — результаты приближенных вычислений выражения Гочелашвили и Шишова [3.85]. Другие кривые, приведенные на этом рисунке, будут рассмотрены позднее. Хотя полного соответствия между теорией и экспериментом здесь не получено, тем не менее характерные особенности поведения экспериментальных и расчетных зависимостей совпадают. В частности, видно, что при увеличении параметра Р^ ковариационная функция спадает быстрее, но приобретает более длинный «хвост». Однако, в эксперименте наличие 《хвоста》оказывается более выраженным. По-видимому, приближенный расчет функции &2(Л)занижает значения коэффициента ковариации 5/(р). Несмотря на наблюдающееся раз。
Рнс. 3.14. Сравнение экспериментальных данных Грачевой и др. (i^・ 4) (сплошная линия) с теоретическими работами разных авторов: Q — Во = 4, 61% = 36.
личие между теорией и экспериментом, учитывая сложность в теории и трудности получения надежных экспериментальных Данных, согласие следует считать удовлетворительным.
В работах [3.3, 86—89]①антз пришел к выражению для ковариационной функции, очень близкому к формуле Гочелашвили н Шишова [3.85]. Полученные Фантэ выражения [3.3, 86, о J
имеют следующий вид:
BИР； z) = exp(- 11,2用№3)+碍 , [各][(随3/UR"
(3.135) где R = р/(九a) i/2 и
1ОО
f (s)= 1,43 \ dyy-'R、d〃2/5exp [— /(4,26 — 2,66y)]/° (3,54代/5//~匕)， о0(3.136а)
g 侬)=0,27 j 成广8/3(1 一 cos /)j ds exp (- © J。(2,43/8%-з/%).
00(3.1366)
Фантэ показал [3.87], что его результаты, найденные в первом приближении, эквивалентны полученным ранее Гочелашвили и Шишовым, несмотря на то что в своих вычислениях они пользовались не совпадающими выражениями для спектра флуктуаций показателя преломления. В частности, экспонента и слагаемое bi(q*p) в выражении (3.128) соответственно согласуются с экспонентой и слагаемым в /[^/(₽q)3/5] в формуле (3.135). На рис. 3.14 показаны результаты вычислений Фантэ [3.90], основанные на формулах (3.135) и (3.136). Точками & отмечены результаты вычислений, которые Фантэ называет первым приближением и получает при g(p)=0 в выражении (3.135). Точки & соответствуют второму приближению Фантэ, учитывающему величину g в выражении (3.135).
Выражения для ковариационной функции (3.114) и (3.113), полученные соответственно Клиффордом и др. [3.64, 65] и Юрой [3.66], существенно отличаются от результатов Гочелашвили и Шишова [3.85], а также от соотношений подобия, предложенных Грачевой и др. (см. гл. 4). В их формулы входят параметры 2/Ьт и р/(九Л)"? вместо z/LT и p/卜. Учитывая, однако, что параметр ^(а^ у Клиффорда и др.) является безразмерным, можно считать, что в соотношениях подобия величина р/(九А)"? может быть заменена параметром р (XL)'1/2 (₽q)y, где 解〜脸〃6厶叫
Если ПОЛОЖИТЬ у = 3/11, получим
что согласуется с параметрами подобия Грачевой и др.
В своей работе Клиффорд и др. провели сравнение расчетных формул с экспериментальными данными, полученными для трасс длиной 500 и 1000 м. Обнаружено хорошее качественное
совпадение результатов, но, к сожалению, авторы не привели количественных значений для введенных ими параметров на- сушения, что сделало невозможным количественное сравнение теоретических и экспериментальных кривых. Кроме того, Клиффорд и др. вычисляли и измеряли ковариационную функцию флуктуаций логарифма амплитуды, в то время как Грачева и др. определяли ковариационную функцию флуктуаций интенсивности, что затрудняет прямое сравнение их результатов. Отмеченные знаком С точки на рис. 3.14 представляют данные Клиффорда и др. для ковариационной функции флуктуаций логарифма амплитуды. Обнаруживается, что кривые Клиффорда и др. спадают медленнее, чем это наблюдалось в эксперименте Грачевой и др. Однако, как отметил Клиффорд, если предположить нормальную плотность распределения вероятностей флуктуаций логарифма амплитуды, то удается вычислить ковариационную функцию флуктуаций интенсивности по известной ковариационной функции флуктуаций логарифма амплитуды. Полученная таким образом ковариационная функция флуктуаций интенсивности спадает значительно быстрее и лучше согласуется с экспериментальными данными, а также расчетом Гочелаш- вили и Шишова [3.85] и Фантэ [3.90]. Наконец, на рис. 3.14 точками Y показаны данные, приведенные на рис. 5 из работы Юры [3.66]. Эти данные относятся к ковариационной функции флуктуаций логарифма амплитуды и согласуются с измерениями Клиффорда. В заключение отметим, что в данное время разными авторами получены выражения для ковариационной функции, которые дают разумное согласие с экспериментом. Однако полученные зависимости у разных авторов имеют некоторые отличия, и поэтому необходимо провести в дальнейшем более тщательное сравнение теоретических и экспериментальных работ, чтобы понять происхождение этих различий.
Спектр флуктуаций интенсивности и ковариационная функция связаны преобразованиями Фурье. Как правило, вначале получают выражение для спектра, а затем вычисляют ковариационную функцию. Запишем уравнение (3.68) для четвертого момента поля £(р, z), используя преобразование [3.9] координат：
@i = R +亠卡0+扌@, % = R - *一专"+ } P, 〃 =R + JI 貓工丄—4 @； = R —立y^~ - } @，@i = R +亠卡0+扌@, % = R - *一专"+ } P, 〃 =R + JI 貓工丄—4 @； = R —立y^~ - } @，R = ； (@i + P2 + P： + P0， h = ® —。2 + P； — K)， Г2 = 4 (@1 — @2 — 〃 + ")， @ = Pl + @2 — P； — P；R = ； (@i + P2 + P： + P0， h = ® —。2 + P； — K)， Г2 = 4 (@1 — @2 — 〃 + ")， @ = Pl + @2 — P； — P；(3.137)(3.137)
@i = R +亠卡0+扌@, % = R - *一专"+ } P, 〃 =R + JI 貓工丄—4 @； = R —立y^~ - } @，
@i = R +亠卡0+扌@, % = R - *一专"+ } P, 〃 =R + JI 貓工丄—4 @； = R —立y^~ - } @，
R = ； (@i + P2 + P： + P0， h = ® —。2 + P； — K)， Г2 = 4 (@1 — @2 — 〃 + ")， @ = Pl + @2 — P； — P；
R = ； (@i + P2 + P： + P0， h = ® —。2 + P； — K)， Г2 = 4 (@1 — @2 — 〃 + ")， @ = Pl + @2 — P； — P；
(3.137)
(3.137)
где функция。22(@1，「2, “，Р，； z) заменена на I\(R, 口，门，р;之)。
Тогда уравнение (3.68) принимает вид
川必畿乌更」」^ aR% + %网)q _与尸(门,r2, p, г)г4, (3.138)
где 尸(Г[, “，P； z)=尸(@i，@2, Pp P； z)・
Разложение в спектр Фурье этой функции записывается в форме
尸(гь r2, @； %) = 4л，j d2K①& (К, 2)[1 + cos (К •门)cos (К • г2)—
—cos (К • ri) cos (^j^) — cos (К • r2) cos ("^^)]・(3.139)
В случае плоской волны статистическая однородность в плоскости г = const означает, что Vr?4 = 0 и можно считать R = 0. В итоге уравнение (3.138) принимает вид
学=亍%m2г4 一岑尸(г1, r2, p； "4；(3.140)
где
「4 (0, П,『2, @； О) = 1〃о|4.
Также отметим, где переменная р в уравнение (3.140) входит как параметр и ее можно приравнять нулю, получив выражение Г4(о, гь г2> 0; z) =〈£ ("Ц^，2)Е( —"Ц^，2)Х
X 尸(У，2)?Л，》
Полагая 實=0, имеем второй момент интенсивности
Г4(0, гь 0, 0；z)=(/(号)/(一^»(3.141)
Отсюда ковариационная функция флуктуаций интенсивности запишется в виде
В/ (г, 2)= {/ (г, 2)/ (— Г, 2)〉一 (/(Г, 2)〉〈/ (— Г, 2)〉=
= Г4(0, г, 0, 0; 2)— 1贺0, 0; г).(3.142)
Определим преобразование Фурье функции 口 в форме
М(К, I； z)=号产 Н 厶2『4(0, 5 №, 0； г) exp (/К • r2)(3.143)
подставив его в уравнение (3.140), после преобразований на-
ходим2
吗户+ ^VMK, г; а) + 弯・"(г,胃)М(К, г; z)=
^几必 A dK@JK, %) [1 — cos (К •叨М (К — К, г; z),(3.144)
Н Е 力=2 V d2K①& (К, z) [1 — cos (К • г)],(3.145)
М(К, г, О) = |〃о|4б(к).(3.146)
Татарский [3.9] преобразовал это уравнение к интегральному уравнению вида
М(К, г, а)=n
= М(К, r-昭, о)ехр｛一岁車扌 +
+ jexp｛一哈3"齿2口党卜
X G [к, Г - КЗ鼠簿,"%,(3.147)
где
G (К, Г, N)=林2 H 废七值(К； N) [1 — cos (К J Г)] М (К — К', г, г).
-8(3.148)
Уравнение (3.147) совпадает по форме с интегральным уравнением переноса излучения. Так как величина G(K,「, а) зависит 0T М(К,「, z), то уравнение (3.147) не дает окончательного решения задачи.
Как ясно из сказанного, главная проблема заключается в отыскании решений уравнений (3.140) и (3.144) или (3.147), каждое из которых описывает одну и ту же физическую задачу. Наряду с интегральными уравнениями (3.144) и (3.147), кото- РЬ1е были найдены Татарским [3.9], Гочелашвили и Шишов 卩84] также получили эквивалентную (3.144) интегральную Форму уравнения. Строгие аналитические решения этих урав- не?нй в настоящее время не известны, и в то же время пока не найдены эффективные численные методы их решения. Поэтому в большинстве работ для нахождения спектра флуктуаций интенсивности применяют итерационные методы. Попытки решить
уравнения (3.144) и (3.147) предпринимались Татарским [3.9] Гочелашвили и Шишовым [3.84, 85], Фантэ [3.86]. И во всех случаях применялась итерационная процедура решения. Татар, ский [3.9] вычислил так называемое приближение однокраъ ного рассеяния уравнения переноса излучения. Гочелашвили Шишов [3.85] и Фантэ [3.86] получили более строгое решение. Как показал Фантэ [3.87], их результаты эквивалентны с точностью по крайней мере до первого приближения. Следуя работам [3.86, 3.87] и рассматривая случай плоской волны имеем '
(D(K)eM(K； 0, г)=
г
= б(Ю + 诚2 \ dz，Q (К, N’)[1 — COS △其/門 X
О
又ехp{一哈口戶m一岑JН[『闾"+ + ^r\dzf^\^^\ ^И [ ^^^ * U}y(K,N,i), (3.149)
где функция "(г, z) определяется выражением (3.145):
У (К,爲 У) = V 醫21 区(4 У) )2 ехр 修・ г2) х
X {я т2 一 4r吗,z[ + " [r2 + К (丁) , " 一 2" [r2,打}.
(3.150)
В случае колмогоровского спектра для расстояний, удовлетворяющих условию /о V 广 V 厶о, функция Н (г, а) равна
〃(р) = 0,47*/з.
Если величина о； оказывается достаточно большой, находим
У (К, 2,公)^ 2〃 产尸,г]^б/2г|Г2 (г, i) |2ехр «К - г),
гдеz
1「2(г, ^)1 = ехр [―亭、"(Г, ◎/]•
Рис. 3.15. Качественный вид двумерного спектра насыщенных флуктуаций интенсивности [3.2, 85].
Гочелашвили, Шишов [3.84, 3.85] и Фантэ [3.86, 87] показали, что в низкочастотной области (Х2г/^)《 1 имеет место равенство
Afi (К, 2)^6 (К) + 备①s (К, 2)\ 血‘ 3 — У)2 х о
Хехр[-.^ (警 z)(l -4)5/3(1т + 1)]'(3.151)
где ①s(K, 2)——спектр флуктуаций фазы на расстоянии г, вычисленный в приближении геометрической оптики
R(K,力=岑①g(K)・(3.152)
Они показали также, что в высокочастотной области спектр записывается в виде
"九(К, z)=《е* «dr exp [— -у 兴之日(г, z)] exp «К • r)・(3.153)
г На рис. 3.15, заимствованном из работы Прохорова и др. W・2], показано качественное поведение спектра Af (К, г). На атом рисунке приняты следующие обозначения:
К* =[(0,73严(程严庐5J/5]二
к** = г [In(0,43С^7/3г11/3)]3/5,(3.154)
(p*)T = 0,83(0/々6/523/5.
Рис. 3.16. Зависимость экспериментальных частотных спектров флуктуаций интенсивности от безразмерной частоты и параметра 0°: а ——нормированная частота йт ^ ①厶例；б — нормированная частота Qc = со/с/у±. / —仇=0,95, 2 — 阮=1,6; 3-ро = 2,8; 4— 仇= 4,9; 5-8о = 7,6;6- Во = 27,7;7-Во = 35.
Фантэ также вычислил [3.90] спектр с учетом второго приближения и получил три максимума спектральной плотности на частотах
8=（或）-3%-吗.8/5,旦产0,41 （程严鄕，k九=1,11储）3/5 或5产5.
Отметим, что верхняя и нижняя частоты, указанные Фантэ, согласуются со значениями, содержащимися в работе Прохорова и др. [3.2].
Грачева и др. [3.91] сравнили применимость высокочастот- ного масштаба (р*)~〔 или ^, предложенного в работе Прохо” ова и др. [3.2] и в работе Фантэ, с масштабом，(гл. 4) и пришли к выводу, что масштаб I彳、значительно лучше согла- сеется с экспериментальными данными. Этот результат показан рис. 3.16. На рис. 3.16, а отложен логарифм безразмерной частоты Qt, где Qr = со/г/у±, а 办=(0,033лСей3), в то время
каК на рис. 3.16, б по оси абсцисс отложен lg Qc, где ①= пзр^/и丄.Из сравнения результатов, представленных на этих рисунках, видно, что нормировка частоты на масштаб /г дает лучшее сближение кривых по отношению к нормировке на р*. Однако сейчас ясно, что здесь необходимы дальнейшие теоретические и экспериментальные работы, чтобы окончательно ре- шить вопрос об основных масштабах флуктуаций. Дальнейшее обсуждение этой проблемы содержится в работе [3.92].
Плотность распределения вероятностей флуктуаций интенсивности
Изучение плотности вероятностей флуктуаций интенсивности представляет значительный интерес как в эксперименте, так и в теории, особенно в области насыщения дисперсии флуктуаций. Стробен и др. [3.93] недавно провели обзор состояния ис- следованн访 по этому вопросу, и в данном разделе мы будем следовать во многом этой работе. Вначале будут рассмотрены физические соображения, приводящие к различным плотностям распределения, а затем изложены методы и результаты теории, относящиеся к этому вопросу.
Пусть электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении z, имеет вид Е = 〃ехр (应z). Когда волна проходит через среду со случайным полем показателя преломления, то дасть энергии рассеивается, при этом вид функции плотности распределения вероятностей определяется механизмом рассея- ния. В качестве простого примера рассмотрим модель, показан- ную на рис. 3.17, а, в которой принимаемый сигнал испытывает однократное рассеяние на большом числе случайных неоднородностей. В этом случае можно записать
u = vd + vr + ivh (3.155)
где vd—среднее поле, а и，и s ——случайные переменные. Если °’产 5 — компоненты поля, получающегося суммированием по- ен, рассеянных на большом числе случайных неоднородностей, 0, согласно центральной предельной теореме, величины vr и Vi лжны быть распределены по нормальному закону. Более того, ""сав борновское приближение для поля “ в предположении
1Ш09 IsotnomQC1Ш09 IsotnomQCHnHWBn^HnHWBn^Рис. 3.17. рассеяния.Рис. 3.17. рассеяния.многократногомногократного
1Ш09 IsotnomQC
1Ш09 IsotnomQC
HnHWBn^
HnHWBn^
Рис. 3.17. рассеяния.
Рис. 3.17. рассеяния.
многократного
многократного
слабого рассеяния, можно показать, что величины vr и Vi не коррелированы и имеют равные дисперсии. Обозначим через Л амплитуду волны и, считая величину va действительной, имеем
A = \E\ = (vl + 2%% + ^ + 哨 0(3.156)
Можно показать, что амплитуда А подчиняется распределению вероятностей Райса ——Накагами [3.94, 95] вида
Р(屮)心)，(3/57)
где а2 =〈и^〉+〈и：〉= 2〈и；〉, /0 — модифицированная функция Бесселя. Выражение для средней интенсивности записывается следующим образом:
〈/〉=〈42〉=嗚 + a2.
При условии Ud = 0 плотность распределения (3.157) сводится к распределению Рэлея'
р ⑷=寮 ехр (— Л?/а2),(3.158)
Рис. 3.18, Интегральная функция для плотности распределения вероятностей Райса — Накагами.Рис. 3.18, Интегральная функция для плотности распределения вероятностей Райса — Накагами.
Рис. 3.18, Интегральная функция для плотности распределения вероятностей Райса — Накагами.
Рис. 3.18, Интегральная функция для плотности распределения вероятностей Райса — Накагами.
Обычно рассматривается не амплитуда, а интенсивность, и рэ* леевскому распределению для амплитуды соответствует экспоненциальное распределение интенсивности
Р（/）=*ехр（—〃炉）・Р（/）=*ехр（—〃炉）・（3.159）（3.159）
Р（/）=*ехр（—〃炉）・
Р（/）=*ехр（—〃炉）・
（3.159）
（3.159）
На рис. 3.18 изображены распределения Райса — Накагами для различных значений параметра а = v^/a2. По осям координат На 9ToM рисунке отложены величины, которые совпадают с при- 霁тнми способами представления экспериментальных данных. П。оси ординат здесь отложены значения величины （In / — ~〈1п/〉）/Зп/, а масштаб по оси абсцисс выбран так, чтобы интегральное распределение вероятностей интенсивности, соответствующее логарифмически-нормальному закону, изобража- Лос^ прямой линией.
Рассмотренная выше простая модель рассеяния более всего рименима в тех случаях, когда приемник находится на некото- & м расстоянии от рассеивающей среды. Когда приемник на- ^ Дится в самой рассеивающей среде （именно такая схема рас- с^^тРанени只 неявно предполагалась во всей этой главе）, то родственную роль играет многократное рассеяние, при кото- во』на последовательно рассеивается на неоднородностях.
Эту ситуацию можно промоделировать, рассматривая турбу. лентную среду, составленную из большого числа независимых слоев (см. рис. 3.17,6). Пусть слои ориентированы перпендику. лярно направлению распространения, а толщина каждого слоя велика по сравнению с внешним масштабом турбулентности Тогда принимаемое рассеянное поле представляется в виде пр。： изведения начального поля на некоторое число независимых сомножителей. В этом случае имеем
"=耳m"0,(3.160)
где Mi ——независимые случайные величины. Логарифмируя выражение (3.160) и применяя центральную предельную теорему, получим, что распределение вероятностей поля и подчиняется логарифмически-нормальному закону. Принимая во внимание, что МПВ является методом возмущений, применяемым к логарифму исходного поля, и, следовательно, частично учитывает эффекты многократного рассеяния, находим, что получаемый в этом приближении результат должен соответствовать лога- рифмически-нормальному распределению вероятностей.
Положим в этом случае
и = ехр (х + Xi + iS + Si),(3.161)
где через % и S обозначены соответственно логарифм амплитуды и фаза, через 又 и S ——средние значения этих величин, а через %1 и Si — их флуктуации, имеющие нулевые средние значения. Логарифм интенсивности равен
1п/ = 21п Л = 2х + 2хь(3.162)
а логарифмически-нормальное распределение для и предполагает, что величина %】 распределена нормально. Учитывая сказанное, запишем
°(山"=ехр [- (In / - Ш?/2唸 j(3.163)
p ⑺=而丁£兀叫[一 (E / - йt/?/2唸 J(3.164)
Для плоской волны, распространяющейся в среде без поглощения, в отсутствие обратного рассеяния закон сохранения энергии требует выполнения равенства </> = const, при этом обычно полагают константу равной единице. Отсюда следует
而7=一^啥戈=一吟 (3」65)
В выбранных на рис. 3.18 координатах логарифмически-нор- ьному распределению соответствует прямая линия. Это оз- qaeT, что такое логарифмически-нормальное распределение является частным случаем распределения Райса ——Накагами, реализующимся при a = vya2-> оо.
Ванг и Стробен [3.96—98] показали, что в области насьь тення дисперсии флуктуаций интенсивности, а также при ма- 〃нх и промежуточных значениях параметра р^ ни логарифми- чески-нормальное, ни рэлеевское распределения вероятностей не выполняются строго для флуктуаций амплитуды, так как эти законы приводят к требованию, чтобы дисперсия флуктуаций принимала отрицательные значения. Биссонетти [3.99] пришел К выводу, что в предположении логарифмически-нормального распределения дисперсия флуктуаций интенсивности должна асимптотически стремиться к бесконечности. Ванг и Стробен [3.98] предложили распределение вероятностей, являющееся комбинацией распределений логарифмически-нормального распределения и распределения Райса — Накагами, и показали, что оно не противоречит экспериментальным данным для дисперсии.
Рассмотренные выше модели являются эвристическими и основываются по существу на правдоподобных аргументах. В то же время существуют некоторые более строгие методы решения этой задачи, которые позволяют получить плотность распределения вероятностей поля, распространяющегося в случайно-неоднородной среде. Укажем здесь на возможность при-- менения центральной предельной теоремы, метода моментов, определения характеристического функционала и использование метода проб и ошибок.
Центральная предельная теорема уже использовалась для доказательства применимости некоторых распределений, полу-
чаемых на основе правдоподобных рассуждений. Заметим в то Же время, что в математической статистике существует много теорем, накладывающих ограничения на применение центральной предельной теоремы. Все эти теоремы трудно применить к задачам распространения волн, поэтому они мало применяются "а практике. Вполне аргументированный подход использовался :Работах [3.8, 9] для области слабых флуктуаций, где он при- Лл к неплохим результатам, а также для области сильных флуктуаций [3.64, 100, 101], но здесь он дал более противоре- результаты.
определения плотности распределения со- вначале вычислить статистические моментыопределения плотности распределения со- вначале вычислить статистические моментыПрямой способ В Т°М, ЧТОбы
определения плотности распределения со- вначале вычислить статистические моменты
определения плотности распределения со- вначале вычислить статистические моменты
“многих случаях по известным моментамна自ти характеристическую функцию Ф（（о）, используя“многих случаях по известным моментамна自ти характеристическую функцию Ф（（о）, используяР^Ределения. Во
“многих случаях по известным моментам
на自ти характеристическую функцию Ф（（о）, используя
“многих случаях по известным моментам
на自ти характеристическую функцию Ф（（о）, используя
разложение
①®)=〈施，〉= 1 +»(о/+ "^-私 + ■^-m3 + …，(3.166) где Мп = {1п). По известной характеристической функции можно определить плотность распределения вероятностей с помощью преобразования Фурье
。(/)=盡 \ Ф (®) ехр (— zo/) rfo. (3.167)
Однако для применения этого метода необходимо, чтобы моменты удовлетворяли определенным условиям сходимости. Например, в случае распределения Райса ——Накагами моменты записываются в виде
〈/“〉= ехр(—圖吟項嶋 仇+ i, i； z),(3.168)
где 2 = и〃о2. Для распределения Рэлея они записываются в виде
1п} = п\ аЧ(3.169)
Наконец, в случае логарифмически-нормального распределения моменты выражаются формулой
〈1〉= ехр [м (Ы7 + у паи /)], которая для плоской волны сводится к виду
〈1〉= ехр[呉仇 一1)啥 J(3.170)
Хейд [3.102] показал, что логарифмически-нормальное распределение не всегда однозначно определяется через моменты. Это возможно, только когда моменты удовлетворяют условию Карлемана [3.103]
001
£〈尸九〉2〃 = ОО.(3.171)
/г=1
Используя приведенные выше выражения для моментов, легко показать, что распределение Рэлея подчиняется условию Кар， лемана, тогда как в случае логарифмически-нормального распределения это условие нарушается.
Попытки использовать метод моментов для определения плотности распределения предпринимались во многих работах [3.100, 103—107]. В частности, де Вольф использовал для этой цели метод перенормировок, рассмотренной! в разд. 3.2. Такой подход оказался математически очень сложным из-за большого числа приближений, которые необходимо допускать в процессе
вычислений. В одной из своих первых работ [3.104] де Вольф рйщел к заключению, что флуктуации амплитуды подчиняются S' ределению вероятностей Райса — Накагами, но затем в по- них работах получил логарифмически-нормальное распределение не только в области слабых флуктуаций, но и в области ласыщения дисперсии флуктуаций при выполнении следующих условий:
У(〃叫)0；《1
o^K^kLC^(3.172)
Если выполняется неравенство
(Ltkl^^X,
то, согласно де Вольфу, имеет место распределение Рэлея. Отметим, что первый вывод де Вольфа противоречит результатам Ванга и Стробена [3.97], а поведение полученных им моментов, по-видимому, не согласуется с экспериментальными данными Грачевой и др. (см. гл. 4). Следует отметить вывод Ванга и Стробена о том, что даже малые отклонения от логарифмиче- ски-нормального закона могут оказать очень существенное влияние на моменты. Кляцкин [3.103] также вычислял моменты при больших значениях параметра 0^ и получил асимптотическое выражение вида
lim〈一 (L, р)〉= 〃・(3.173)
В работе [3.2] Прохоров и др. отметили ошибочность этого результата, который приводит к отрицательным значениям выражения
о% =〈产〉一〈冷2 = 2〃 一济(3.174)
пРи п>2.
В заключение отметим, что, несмотря на привлекательность Метода моментов с точки зрения общей теории, его конкретная Реализация оказывается очень трудной и иногда приводит к не- ®ерньш результатам.
Третий из указанных выше методов основан на использова- характеристических функционалов. В задачах о распростра- ннн волн его применил Фурутцу [3.48]. Он определил харак- Ристический функционал в виде
Z = (ехр {,公国(г) E(r) + fj*(r) Е* (г)]}〉(3.176)
и находил плотность распределения вероятностей по формулу (3.167), в которой Ф((о) определяется выражением
〈①®)〉= (exp[/Е (г) Е*(г)]) = ехр{"[6/6»(г)][6/6if (г)]} Z 叫』.
(3.176)
Фурутцу рассчитал таким способом плотность распределения вероятностей для гауссова коллимированного пучка и квадра. тической структурной функции флуктуаций показателя преломления 〃(г)〜产.Его результаты подробно обсуждались фу, руямой и др. [3.108], но оказались непригодными для случая плоской волны. Возникающие здесь трудности были рассмотрены Стробеном и др. [3.93].
Последний из рассматриваемых метод проб и ошибок в математическом отношении менее изящен. Сущность этого метода состоит в том, что исходя из непротиворечивых посылок выбирается некоторое распределение вероятностей, а затем проводятся конкретные вычисления с целью установления согласия выбранного распределения с экспериментальными данными. К задаче распространения волн этот метод применили Ванг и Стробен [3.96—3.98]. Они показали, что если плотность распределения вероятностей является логарифмически-нормальной или подчиняется закону Райса ——Накагами, то функцию когерентности четвертого порядка можно выразить через среднее поле〈〃〉，функцию взаимной когерентности 〈必〉и величину 〈〃〃〉. Так как уравнения для первых двух моментов решены аналитически, а дифференциальное уравнение для 〈〃〃〉 поддается численному анализу, то, используя эти результаты, можно найти дисперсию логарифма амплитуды в виде
<4 ⑵=^~ Re [In〈〃 (0, z) 〃* (0, »〉] — 2Re [In〈〃 (0, z))].
В области насыщения полученная величина становится отрица* тельной, что доказывает непригодность логарифмически-нор- мального распределения. В работе Кляцкина [3.109] сделан по* добный вывод при аналогичном рассмотрении.
Обобщая сказанное, можно утверждать, что в настоящее время наиболее адекватные модели законов распределений ве” роятностей флуктуаций интенсивности следует ожидать из зкс” периментальных данных.
Литература
.1. Барабаненков Ю. Я., Кравцов Ю. 4, Рытое С. М, Татарский В. 〃• УФН, 102, 1, 3, 1970.Н
Прохоров А. М, Бункин Ф. 8., Гочелашвили К. С Шишов В. 〃，
9, 413, 1974; ТИИЭР, 63, 3, 4, 1975.
S J 2S J 23.4.S6.Z&9.0.L234567.&OSSL2C6 1J11111222222222233B3С63.3.333.33.С63.3.3.3.&3.&3.&С63&3.4.S6.Z&9.0.L234567.&OSSL2C6 1J11111222222222233B3С63.3.333.33.С63.3.3.3.&3.&3.&С63&S6Z&kSL Z34S6"8M 3333344 4 44 44 444 3.&&а&зс63.3.3.3.&&3・3S6Z&kSL Z34S6"8M 3333344 4 44 44 444 3.&&а&зс63.3.3.3.&&3・3
S J 2
S J 2
3.4.S6.Z&9.0.L234567.&OSSL2C6 1J11111222222222233B3
С63.3.333.33.С63.3.3.3.&3.&3.&С63&
3.4.S6.Z&9.0.L234567.&OSSL2C6 1J11111222222222233B3
С63.3.333.33.С63.3.3.3.&3.&3.&С63&
S6Z&kSL Z34S6"8M 3333344 4 44 44 444 3.&&а&зс63.3.3.3.&&3・3
S6Z&kSL Z34S6"8M 3333344 4 44 44 444 3.&&а&зс63.3.3.3.&&3・3
фантэ Л ТИИЭР, 63, 12, 43, 1975.
plonus 加 А , Su Н. "., Gardner С. S. IEEE Trans. АР-20, 801, 1972.
Pickering L. McIntosh R. E. IEEE Trans. AP-20, 528, 1972.
Gardner C. S., Plonus M. A. J. Opt. Soc. Am, 64, 68, 1974.
Рытое С M. Изв АН СССР, сер Физика, № 2, 223, 1937.
Татарский В. И. Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере. Изд-во АН СССР, 1959.
Татарский В. И Распространение волн в турбулентной атмосфере — М.: Наука, 1967; Распространение коротких волн в среде со случайными неоднородностями в приближении марковского случайного процесса, препринт ООФАГ АН СССР, М., 1970.
Широкова Т. А. Акуст. журнал, 5, 485, 1959.
Писарева 8. В. Акуст журнал, 6, 87, 1960.
Фейнберг Е. Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности, Изд-во АН СССР, М., 1961.
Писарева В. В. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 4, 376, 1961
Татарский В. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 5, 490, 1962.
Hufnagel R. £., Stanley N R. J. Opt Soc. Am. 54, 52, 1964.
de Wolf D 4 J. Opt. Soc. Amer., 55, 812, 1965.
Coalman С. E. J. Opt. Soc. Am.. 56, 1232, 1966.
Brown 取 P J. Opt. Soc. Am., 56, 1045, 1966.
Fried D 厶 J Opt. Soc Am, 57, 268, 1967.
Taylor L. S. Radio Sci. 2, 437, 1967.
de 取。"D 4 J. Opt. Soc. Amer, 57, 1057, 1967.
Heidbreder G. R. J. Opt Soc. Am, 57, 1477, 1967.
Brown W. P. J. Opt Soc. Am., 57, 1539, 1967.
Strohbehn 丄 W. J. Opt. Soc. Am., 58, 139, 1968.
Стробен Д. 8 ТИИЭР, 56. 8, 46, 1968
Yura ". T. J. Opt Soc Am., 59, 111, 1969.
Keller / 8 J. Opt. Soc. Am , 59, 1003, 1969.
Сансер M., Варватис А ТИИЭР, 58, 2, 88, 1970
Мано К ТИИЭР, 58, 8, 151, 1970.
Мано К ТИИЭР, 58, 9, 115, 1970.
Bourret R С. Nuovo Cimento 26, 1, 1962.
Bourret R. C. Can J Phys. 40, 782, 1962.
Feynman R. P. Phys. Rev., 76, 749 (1949). [Имеется перевод: Фейнман P.——В сб: Новейшее развитие квантовой электродинамики Под ред. Иваненко Д Д -— М : ИЛ, 1954, с. 138]
Feynman R. Р., Phys. Rev., 76, 769 (1949) [Имеется перевод: Фейн- маи Р.——В сб : Новейшее развитие квантовой электродинамики. Под ред. Иваненко Д Д. — М.: ИЛ, 1954, с. 161 ]
Dyson 尸 Phys Rev., 75, 1736, 1949.
Salpeter E. E, Bethe H. 4 Phys. Rev., 84, 1232, 1951.
Татарский 8. И. ЖЭТФ, 56, 2106, 1969.
Кая屮В. И. ЖЭТФ, 57, 952, 1970
Кляцкин В. И., Татарский В. И. ЖЭТФ, 58, 618, 1970.
Кляцкин В. И. Изв ВУЗов, сер. Радиофизика, 13, 1069, 1970.
Чернов 〃. А Ш Всесоюзный симпозиум по дифракции волн, Рефераты докладов. — М.: Наука, 1964, с. 224.
В И Труды ФИАН им П. Н Лебедева, 38, 171, 1967.
3。〃〃月 Л. С. Изв ВУЗов, сер Радиофизика, И, 840, 1968.
Чернов Л. А Акуст. журнал, 15 554, 1969.
喪ап М / J Opt Soc Am, 56, 1475, 1966.
M И. IEEE Trans. АР-15, 66, 1967.
M / J. Opt. Soc Am, 58, 431, 1968.
俏К J Opt Soc Am., 62, 240, 1972.
кляцкин В. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 16, 1629, 1973.
OL2-3-Л^К^А^7^0^о^л^1к 9^Q^4^R^fi^7^0^Q^D^LO^3-4^ rn^ A^ 7^ o^ 5555555 方 566 66666666777 7 7777733 о^о^ззо^о^о^о^ о^о^зо^о^о^о^о^о^о^о^ 3OL2-3-Л^К^А^7^0^о^л^1к 9^Q^4^R^fi^7^0^Q^D^LO^3-4^ rn^ A^ 7^ o^ 5555555 方 566 66666666777 7 7777733 о^о^ззо^о^о^о^ о^о^зо^о^о^о^о^о^о^о^ 3
OL2-3-Л^К^А^7^0^о^л^1к 9^Q^4^R^fi^7^0^Q^D^LO^3-4^ rn^ A^ 7^ o^ 5555555 方 566 66666666777 7 77777
33 о^о^ззо^о^о^о^ о^о^зо^о^о^о^о^о^о^о^ 3
OL2-3-Л^К^А^7^0^о^л^1к 9^Q^4^R^fi^7^0^Q^D^LO^3-4^ rn^ A^ 7^ o^ 5555555 方 566 66666666777 7 77777
33 о^о^ззо^о^о^о^ о^о^зо^о^о^о^о^о^о^о^ 3
Татарский В. И., Герценштейн М Е. ЖЭТФ, 44, 676, 1963
Татарский 8. И ЖЭТФ, 46, 1399, 1964.
Brown 尸 IEEE Trans. АР-15, 81, 1967.
Brown W. P. In «Modern Optics», ed. by J. Fox, Polytechnic Inst Press Brooklyn 1967, pp, 717— 742.'
Molyneux /. J. Opt Soc Am, 61, 248, 1971.
Шишов В. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 11, 866, 1968.
Molyneux / J Opt. Soc Am, 58, 951, 1968.
Татарский В. Я. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 17, 570, 1974
Furutsu К. J. Res. Nation. Bur. Stand. 67D, 303, 1963.
Новиков E. А. ЖЭТФ, 47, 1919, 1964.
Долин Л. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 11, 840, 1968.
Кляцкин В. И., Татарский В. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 15, 1437, 1972.,
Но Т. L, Beran М. /. J. Opt. Soc Am, 58, 1335, 1968.
Beran M. Но Т. J. Opt Soc. Am 59, 1134, 1969.
Clifford S. A, Ochs G. R, Lawrence R. S. J. Opt. Soc. Am., 64, 148, 1974
Clifford S. E, Yura ". T. J. Opt. Soc. Am., 64, 1641, 1974.'
Yura HT.J. OptSoc.Am., 64,59, 1974.
Yura H.T.J. OptSoc.Am, 64,1526, 1974.
Yura H.T.J. OptSocAm., 64,357, 1974.
Yura H.7.J. OptSoc.Am., 64,1211, 1974.
Young A. T. J. Opt. Soc Am , 60. 1495, 1970
Татарский В. И. Изв ВУЗов, сер Радиофизика, 10, 1, 1967.
Ochs G. R., Bergman R. R., Snyder /. R. J. Opt, Soc. Am, 59, 231, 1969.
Гурвич А. С., Каллистратова M А. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 11, 66. 1968.
Born G. К. et al. Appl. Opt. 14, 2857, 1975.
Lutomirski R E, Yura H T. Appl. Opt., 10, 1652, 1971.
Yura ". T. Appl. Opt, 10, 2771, 1971.
Fried D. L., Yura H. T. J. Opt. Soc. Am., 62, 600, 1972.
Keller /. В In «Proceedings of the 13th Symposium in Appl. Math.》, American Mathematical Society, Providence, 1962, p. 227. [Имеетея перевод: Келлер Дж. Б ——В сб.: Гидродинамическая неустойчивость. — М.: ИЛ, 1962, с. 265.]
Keller 工 В. In «Proceedings of the 16th Symposium in Appl. Math.》, American Mathematical Society, Providence, 1964, p. 145.
Karal 尸 C., Keller /.及 J. Math. Phys. 5, 537, 1964.
Brown W. P. J. Opt. Soc. Am., 62, 45, 1972.
Brown W. P J. Opt. Soc. Am., 62, 966, 1972.
Gochelashvily K. S., Shishov V / Opt. Acta, 18, 313, 1971
Gochelashvily ^. S., Shishov V. / Opt. Acta, 18, 767, 1971.
Гочелашвили К. С, Шишов 8 И ЖЭТФ, 66, 1237, 1974.
Fante R. L. Radio Sci., 10, 77, 1975.
Fante R. L. Radio Sci., 11, 215, 1976.
Fante R. L. J. Opt. Soc Am., 65, 548, 1975.
Fante R. L. IEEE Trans. AP-23, 382, 1975.
Fante R. L. Частное сообщение.,
Грачева М. Е, Гурвич А. С., Кашкаров С. С., Покасов 8〃. 8.丈31 ①， 67, 2035, 1974.
/卯N〃4 А. С., Татарский В. И. Radio Sci., 10, 3, 1975.
Strohbehn /. IT, Wang T.-/., Speck 上 P. Radio Sci., 10, 59, 1975.
Beckmann P. Probability in Communication Engineering, Harcourt, Brace and World, New York, 1967, p. 511.
Norton К 4 et al. Proc. IRE, 43, 1354, 1955.
Strohbehn J. %, Wang T」.J. Opt. Soc. Am., 62, 1061, 1972.
T.-L, Sirohbehn /. W. J. Opt. Soc, Am., 64, 583, 1974.
步兀人 Strohbehn /. W. J. Opt. Soc. Am., 64, 994, 1974.
Bissonnette L. R. Log-normal probability distribution of strong irra- diance fluctuations: an asymptotic analysis, Paper 183 AGARD Conf, on Optical Propagation in the Atmosphere, Copenhagen (27—30 Oct., 1975), « Wolf D. A, J. Opt. Soc. Am., 64, 360, 1974.
料 де Вольф Д. ТИИЭР, 64, 3, 82, 1976.
о П9* Heyde С. C. J. Roy. Statis. Soc., B25, 392, 1963.
кЛцкин А И. ЖЭТФ, 60, 1300, 1971.
tdeWolfD.4 J.Opt. Soc. Am., 58,461, 1968.
tdeWolfD4 J.Opt. Soc. Am., 59, 1455, 1969.
qdeWolfD.4 J.Opt. Soc. Am., 63,171, 1973.
3107； deWolfDA. J.Opt. Soc. Am., 63,1249, 1973.
3*108* Furuhama У. et al.. Electron. Commun. Jap., 56-B, 50, 1973.
3：］09： Клячкин В, И. Изв ВУЗов, сер. Радиофизика, 4, 540, 1972.
Глава 4
СООТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ И ИХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ПРИ СИЛЬНЫХ ФЛУКТУАЦИЯХ ИНТЕНСИВНОСТИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
М. £ Грачева, 4 С. Гурвич, С. С. Кашкаров, В, В. Покасов
Предисловие
Настоящая работа впервые вышла в свет более семи лет назад [1] и сыграла роль в систематизации и обобщении накопленного к тому времени экспериментального материала по сильным флуктуациям лазерного излучения. Дальнейшее развитие теории [2—5] подтвердило основные положения, выдвинутые в [1], и внесло определенность в тех пунктах, где соображения размерностей не указывали на однозначный выбор масштабов. Поэтому при подготовке русского перевода настоящей книги в какой-то мере учтены эти новые результаты.
.1. Введение
Сильные флуктуаций интенсивности лазерного излучения, возникающие из-за атмосферной турбулентности, наблюдаются на приземных трассах протяженностью уже в несколько сотен метров. После их экспериментального обнаружения [6] появилось значительное число работ, посвященных этому вопросу (см. обзоры [2, 7] и монографию [8]). В работах [9—14] были получены уравнения, пригодные для описания сильных флуктуаций интенсивности. Для плоской и сферической падающей волны в ряде работ найдены асимптотические решения для вторых и более высоких моментов интенсивности в области насыщения флуктуаций (см. [15—18] и обзор [2,3]). Одновременно был выполнен целый ряд экспериментальных исследований сильных флуктуаций (см., например, [1], [19—21], [8]). Что касается точных решений уравнения для четвертого момента поля, т° аналитически его удается получить только в виде континуального интеграла [5]. Поскольку точные решения еще не ?°"У： чены, возникает необходимость в определении соотношений 叱: добия, которые позволили бы обобщить экспериментальные 贈；： ные и получить результаты, пригодные для практических "Р ' ложений и оценок.
2. Вывод соотношений подобия
Соотношения подобия для функций когерентности
* второго порядка
Сначала рассмотрим вывод соотношений подобия на при- мере уравнения для функции когерентности второго порядка:
2，％ 堂 +(& 一 厶2)3 + 嗒"(居 Pi — Р2) Г2 = 0.(4.1)
Здесь % —координата в направлении распространения невозму- Шенной волны 〃(0, р)= 〃о(р)； векторы р/ лежат в плоскости, перпендикулярной направлению оси %; k = 2лЛ-1, X ——длина волны излучения, Г2(х, pi, р2) =〈〃(х, pi)〃* (%, р2)> ——функция когерентности второго порядка, Ab 2 = У画з 2 + d2/dz\, 2；
"(%, @) = 2 \ Ф8 (х, х) [1 — cos хр] d2x#
Если среда локально-однородна и изотропна, то трехмерный спектр флуктуаций диэлектрической проницаемости Фе(0, х) имеет вид [23]
Фе (х) = АС^-{{1^Т (乂％, Рг),(4.2)
где Рг ——число Прандтля, 乂 ——волновое число турбулентных неоднородностей среды,刀々——колмогоровский масштаб турбулентных пульсаций, Л = (2冗)-2 Г (8/з) sin (л/3) = 0,033, Се — структурная характеристика поля флуктуаций диэлектрической проницаемости е. Для первоначально плоской волны граничное условие в уравнении (4.1) имеет вид: Г2(0, рь р2) = | ^0|2.
Уравнение (4.1) решено [24] и поэтому имеется возможность представить, что удается получить из соотношений подобия, не решая при этом уравнения. Введем в (4.1) замену переменных
% =葭自；Р$ = /сП1；@2 =/с”2,(4.3)
8 которой Lc ——продольный, 1с — поперечный масштабы. Под- ставляя (4,3) в (4.1), получим уравнение
「d iL
ООГ
Х 5 Р~31^т (Ж, Pr) (1 ~ /о (Р I Л! - Л21) rfp Г2 = о. (4.4) о.
Полагая
4 =々% l^^ac^yw9(4.6)
получим из (4.4) уравнение
[击 一。1 - %) +
+，p-8/з①т (龙，pr^ (I — /0(р| ц{ —-Т|21)) dp \ Г2 = 0,(4.6)
0°J
которое содержит единственный параметр
a=±=叮£"叱a=±=叮£"叱(4.7)(4.7)
a=±=叮£"叱
a=±=叮£"叱
(4.7)
(4.7)
если считать, что универсальная функция 屮丁 определена. Из (4.6) и граничных условий следует, что для плоской волны 1圖=1
「2(尤，Р1,卩2)= ^2 (Е，^' ^с)，P = I Pl — Р2 I- (4.8)
Рассмотрим случай p/厶》％/4 = °；* что соответствует большим значениям волнового параметра DC) определенного формулой (4.7). Переход к чисто степенному спектру получим, устремляя п左 к нулю и соответственно Dc к бесконечности. При 9ToM можно положить фГ = 1 и спектр примет вид
①е(х)〜乂т/з. (4.9)
Для такого спектра из уравнения (4.6) исчезают все пара， метры. Масштабы Lc и /с, определенные в (4.5), являются единственными, при которых из уравнения (4.1) или эквивалентного ему (4.4) исчезают все параметры. Решение (4.4) имеет, следовательно, универсальный вид
Г2(X, Рь 02)=修(号，地工经1)=r2怎1m一小1)。(430)
Г2 (х, р) = ехрГ2 (х, р) = ехр"圖p）成"圖p）成Точное решение уравнения (4.1) для плоской волны известно
Г2 (х, р) = ехр
Г2 (х, р) = ехр
"圖p）成
"圖p）成
(4.11)
При условиях Т]尼 f О И р》п也，когда для спектра пульсаций ①е(х) применима аппроксимация (4.8), оно имеет вид
「2 (%, Рь Рг) = ехР I—「2 (%, Рь Рг) = ехР I—const (亡)(亡)5}const (亡)(亡)5}
「2 (%, Рь Рг) = ехР I—
「2 (%, Рь Рг) = ехР I—
const (亡)(亡)5}
const (亡)(亡)5}
const = j p-8/3 [1 一 /0 (p)] dp・
Отметим, что масштабы L% 1с имеют определенный физиче- 宓 смЫсл:厶с ——дистанция, начиная с которой перестает быть Спименимым первое приближение МПВ; 1С — такой масштаб несения точек наблюдения, что на дистанции Lc в них за- %но падает когерентность поля, т. е. /с порядка радиуса ко- гепентности на этой дистанции. Соответственно волновой пара- 蟲 De есть отношение радиуса когерентности на расстоянии 厶 к колмогоровскому масштабу турбулентности rj积
'Если колмогоровский масштаб имеет конечную величину и p/lc^Dc\ то следует отдельно рассмотреть случай 刀左/厶》1, qT0 соответствует малым значениям волнового параметра Dc. функция 屮丁 играет существенную роль при вычислении "(р) арИ р w т)а Рассматривая р《外女 и учитывая свойства функции 屮丁("4々，Рг), разложим cos[х(pi——рг)] в степенной ряд при вычислении Я(р) в (4.1). После замены переменных
% =厶0自， Pl = ^041 >@2 =/с(УП2
и простых преобразований при 刀々》厶。，|П1 —— П2|《1 получаем уравнение
[专一豈(4一 4) + OWAClk^ x
X /*со("1 - %) J р-2/з(рт (", Pr) dp\ f2 = 0.(4」2)
Полагая
4o =嶋，4o = 0,25n2XC^n-V3 j фг (p, pr)p-2/з dp, (4.13) о
можно также исключить все параметры из (4.12). Следова- тельно, для плоской волны и р 々刀々 выражение для Гг имеет вид
「2 (%, Ph Р2)=「2 (%/LcO, Р4с0)・(4.14)
Пз точного решения (4.11) получаем для р《/々
3(%, Pb Р2)= exp {_*(*)?・
ga6op масштабов Lc0 и 厶о, определяемых (4.13), является един- Р^^^м，ПРИ котором из уравнения (4.12) исчезают все па- лск?°Рму〃Ь1 (4.8), (4.10) и (4.14) выражают соотношения по- йсп я "ля Г2. Из вывода формул (4.8), (4.9) и (4.14) видно, что, УМе}^ Их ПРИ обработке экспериментальных данных, можно ' ьшнть число параметров, необходимых для описания
результатов измерений, выделить характерные параметры дЛя различных условий проведения эксперимента и обобщить результаты измерений, даже не зная точного решения уравнения (4.1), определяющего Г2.
Соотношения подобия для функции когерентности четвертого порядка
Для четырехточечной функции когерентности
「4 (%, pl, Р2)=〈〃(%, @0〉〃*(%, @о+Р1)Х
Х〃*(%, @0 + @2)〃(％, Ро + Р1 + @2)〉 поля плоской волны U(х, р), распространяющейся в направлении 0% в турбулентной среде (р — двумерный вектор, лежащий в плоскости х = const), может быть записано следующее уравнение [25]:
需=%%%臬 一芈尸(内，@2"4(4.15)
с граничным условием Г4(0, pi, р2) = | «0|. Функция 尸(рьр?) выражается через трехмерный спектр флуктуаций диэлектрической проницаемости Фе (0, х)
尸(б, Р2)= 4 \ Фе (0, х) [ 1 — cos (хР1)] [ 1 — cos (хр2)] d2x.
Для локально-изотропной среды имеет место равенство Фе (О, X)= Фе(X).
Рассматривая спектр турбулентности вида (4.2), в который входит колмогоровский масштаб 刀总 или эквивалентный ему внутренний масштаб /0 [26], имеет смысл выделить два предельных случая: первый, когда внутренний масштаб /0 значительно меньше 1 всех возможных характерных поперечных масштабов задачи, и второй, противоположный первому, когда /о велико. Под характерными масштабами задачи следует понимать, помимо /о, еще и радиус первой зоны Френеля, радиус когерентности для Г2 и т. д.
Рассмотрим сначала исчезающе малый внутренний масштаб. Это допущение заключается в том, что функция Г4(х, pi,(>2), непрерывная в окрестности точки рь р2, меняется незначительно при изменении рь р2 в пределах О W pi, Р2 W /о：
I時銅明 т|《1； 0&6，Р2%(4.16)
0з самой постановки задачи при выводе уравнения (4.15), основанном на
_ использовании параболического уравнения Леонтовича,
—предположении о локальной изотропности турбулентной ср吧「раненом условии Г1 (0, рь р2)、=|〃о|4, соответствующем плоской' волне, следует, что должно существовать по крайней мере два сильно отличающихся по величине характерных масштаба — продольный 厶丁 и поперечный 1т・ Определим эти мае- штабы исходя из уравнения (4.15). Преобразуем для этого уравнение (4.15), введя замену переменных
Y =厶心p1 =徒1， p2 = ^?2,厶Г=々俘 (4.17)
н, считая I «о14 == 1, получим следующее уравнение для Г4:
岩= %%Л陶 f)L(4・18)
X ，乂一山3[1 - cos 依&)]" —cos(Yg2)]5隽，Pr)d2x, (4.19) где волновой параметр 。丁 =，々一‘厶丁刀^乙 Если определить LT как
厶т =(冗 4С/б)-б「(4 20)
то из уравнения (4.18) исчезают все размерные величины и решение его может быть представлено в следующем виде:
「4(招 Pi, 22)=r4(_^_，"^"» "^，D4(р?).(4.21)
Если T^f о, ТО От》1 и, исходя из свойств функции 9т, можно считать, что в (4.19) зависимость от волнового параметра Dr н конкретного вида функции 屮丁 проявляется Лишь при малых значениях &, ^2 < Dt \ т. е. при таких pi, р2 ^/о, при которых справедливо (4.16). Следовательно, есть основания полагать, при DT > 1 существует предельное решение уравнения (4」5) вида
Г4(X, 6, 02)=T4(亡，芒，先)(4.22)
Пе；乎"с^^ее ни от D— ни от конкретного вида функции 屮九 бовеИТИ к пределу в (4.19) при 0丁一> оо и одновременно тре- ать, чтобы существовало всюду аналитическое решение урав-
нения (4.18), нельзя, так как для существования аналитиче. ского решения необходима ограниченность выражения
\^F^v ^\<^(4.23)
при всех gi,自2. В свою очередь для этого достаточно, чтобы при оо выполнялось условие
х4Фе (х)->0(4.24)
и, естественно, существовала производная структурной функции диэлектрической проницаемости QZ ⑺ при г = О'
De (г) |г=о = 0.(4.25)
Без существенного ущерба для дальнейшего изложения можно принять, что поле флуктуаций диэлектрической проницаемости £(%, у,а) удовлетворяет более жесткому, чем (4.24), но физически более ясному требованию, а именно для поля £(%, У，а) должен существовать исчезающе малый, но конечный внутренний масштаб /0. При этом выполняется не только (4.24) и (4.25), но и остается конечной вторая производная структурной функции поля е
(4.26)
обратно пропорциональная /о. Ограниченность D& (г) |г=0 озна・ чает, что функция е(%, у, z) дифференцируема [27].
В переходе от (4.21) к предельному решению (4.22) и обосновании этого перехода можно усмотреть аналогию с переходом к степенному спектру Фе(х) в решении, полученном в первом приближении МПВ [26]. Использование чисто степенного спектра Ф8 (х) в приближении МПВ возможно в результате предельного перехода в полученных выражениях, например, для двумерных спектров флуктуаций уровня и фазы [26]. Причина этого заключается в том, что получаемое при /°f 0 предельное решение соответствует недифференцируемой случайной функции комплексной фазы: вторая производная соответствующей структурной функции в нуле при /0->0 обращается в бесконечность. Тем не менее предельное решение, получаемое при /о = °， в первом приближении МПВ хорошо согласуется с экспериментом, разумеется, при слабых флуктуациях интенсивности, когда вообще имеет смысл использование МПВ.
Чтобы выяснить роль масштабов 厶丁 и /г, введенных формулами (4.17) и (4.20), рассмотрим общий случай чисто степенного спектра вида
R (х) = &僚 их~(3+ю,0 V 卩 V 2・(427)
Спектр (4.27) при 卩=2/3 совпадает с колмогоровским, если 乂刀々《1. Для значений 卩，удовлетворяющих требованию
1 < |1 < 2,
одняется условие (4.24) и, следовательно, (4.23). Поэтому [＜卩＜：2 для существования решения уравнения (4.15) аномально нет необходимости учитывать влияние молекуляр- @ вязкости и теплопроводности турбулентной среды, приводя- %цх к более быстрому убыванию при 乂刀左》L н можно считать ^ектр Фе(^) чисто степенным. Вводя аналогично (4.17), (4.20) масштабы2〔
厶T = (冗&鑑,"3；办=(冗儿优心必)"+3, (4.28)
легко убедиться, что из уравнения (4.15) после замены (4.17) и (4.28) исчезают все параметры, кроме, разумеется, ц. Следует подчеркнуть, что в таком смысле это единственный возможный внбор масштабов LT и 1т =宙厂仅 для чисто степенного спектра, Решение (4.15) для спектра (4.27) является универсальной функцией безразмерных координат и параметра 卩：
「4(%, Pi, @2)= m亡，皆，学，以)，1＜卩＜2, (4.29)
「4 (%, О, О)「4 (%, О, О)—1《1—1《1и это указывает на особую роль масштабов 厶 и /г. Поскольку 世 входит в уравнение (4.15) только как параметр и, кроме того, при условии
「4 (%, О, О)
「4 (%, О, О)
—1《1
—1《1
методы возмущений дают непрерывную зависимость Г4 от ц при 0 ＜ ц ＜ 2, то разумно ожидать, что (4.29) непрерывно по 卩 не только для 1 之卩 V 2, но н для всех возможных значений 0 V V 卩 V 2, также и при сильных флуктуациях интенсивности. По・ этому есть все основания полагать, что (4.29) при ц = 2/3 совладает с предельным решением (4.22), и тем самым распространить вывод об особой роли масштабов lT и LT и на случай колмогоровского спектра.
Разумеется, приведенное выше рассмотрение ни в коей мере не мсжет заменить строгих доказательств существования предельных решений (4.22) или (4.29) при ц = 2/3. Однако выска^ занные соображения являются веским обоснованием для предположения о наличии таких предельных решений.
Формулы (4.21), (4.22) и (4.29) являются выражением со- 謂”еннй подобия для четырехточечной функции когерентно- g * бтметнм, однако, что для уравнения (4.15) можно ввести 3Topазмерные переменные также и другими способами, при нов； в Уравнении появятся иные безразмерные параметры. Ос- ПредВаясь только на соображениях подобия, нельзя высказать Херц^Очтения той или иной замене и найти однозначно харак-
У 1е масштабы и определяющие параметры задачи. Тем не
менее при степенном спектре (4.27) и фиксированном ц == 2д исчезновение всех параметров при замене (4.17)? (4.20) д4aет основание для того, чтобы при дальнейшем изучении свойств Г4 обратить внимание на важную роль масштабов Lt и /г, и указывает путь для обобщения экспериментальных данных с целью получения оценок универсальной функции (4.22).
В приближенных решениях [15,27] для корреляции флук. туаций интенсивности Ь/ (х, р) при 解》1 получен второй корреляционный масштаб 苏，характеризующий, по-видимому, расстояние между яркими пятнами в плоскости наблюдения. Масштаб 1т может быть оценен величиной
= 0,52曙/55%= 0,52曙/55%(4.30)(4.30)(U8S^『侬階"211/5 (Зл2)6/П [Г (11/6)]3/55
= 0,52曙/55%
= 0,52曙/55%
(4.30)
(4.30)
Отметим, что в [28] из приближенного решения (4.15) для поля флуктуаций интенсивности следует наличие двух масштабов корреляции, совпадающих с точностью до несущественного численного множителя с /? и Z*. В [15] авторы приходят к выводу, что масштаб 〃 =(0,365c讃%) (с точностью до численного множителя) является малым корреляционным масштабом поля флуктуаций интенсивности. Несмотря на то, что замена (4.17) использовалась в ряде работ, только в [1] было обращено внимание как на то, что /「и являются единственными масштабами, используя которые можно при степенном спектре турбулентности избавиться от всех параметров при исследовании поведения Г4, так и на физический смысл этих масштабов.
Физический смысл масштабов LT и 1т
Подставляя х = L「в выражение для расчета относительной дисперсии флуктуаций интенсивности в первом приближении МПВ [26]
銀(%) = 4% (%) = 0,31С 訴 7/6%ii/6, (4.31)
получаем, что масштабу Lt соответствует расстояние, на котором 怨= 3,0. На этом расстоянии нарушается применимость расчета по МПВ, что и подтверждается экспериментами [6]. На расстоянии L「 размер первой зоны Френеля с точностью П° постоянного множителя совпадает с радиусом когерентности поля alk (х = Lr) — (лЛСей3) '" = /7. Продольный и поперечный масштабы в уравнениях (4.11) и (4.15) вводятся одинаковым образом и в случае исчезающе малого внутреннего масштаба тождественно равны Lc s LT,厶三方・ Можно поэтому предпо-
ложить, что характерные масштабы для「2(х,р) и Г4(х в 9ToM случае одинаковы.
Волновой параметр D =«厶个为 есть не что иное, как от* ношение Dt = /т/^・ В рассматриваемом случае исчезающе малого внутреннего масштаба Dt》1, что лишний раз свидетельствует о существенной роли дифракционных эффектов при возникновении сильных флуктуаций интенсивности.
Сравнение с экспериментальными результатами
Формула (4.22) является основой для проверки экспериментальных результатов на подобие по масштабам LT и 1Т. От- метим, что уравнение (4.15) целесообразно использовать для описания сильных флуктуаций, когда неприменимы методы возмущений и, следовательно, масштабы LT и /г разумно применять при решении задачи о «сильных флуктуациях», когда x/Lt > 1. При слабых флуктуациях %/Lt《1 решение уравнения (4.15) методом возмущений приводит к тем же результатам, что и первое приближение МПВ [25].
В наших исследованиях из эксперимента получались значения относительной дисперсии флуктуаций р2:
= 口 (%, 0, 0) — j(4 32)
и корреляционная функция интенсивности a w _「(mp, 0) -(「2(，0))2伍
比⑹一Г4(%70, 0) 一 (f2(以0))? ,(4.33)
Частотный спектр и(з) =(оИ7((о) в предположении «замороженной турбулентности» связан с пространственным xV(x) следующим образом:
3卧⑹=%厂仇).(4.34)
В свою очередь пространственный спектр xV(x) опреде- 订兄ется через корреляционную функцию
乂，(乂)= * \ 6i (р) cos (хр) dp. о
(4.35)
”3 формул
(4.22) и (4.35) следует ожидать, что 俨=% (%/厶т),
匕/(Р)= fb (%/厶т, Р/?т),
U (①)=f и Е 厶、®ljv J,
(4.36)
(4.37)
(4.38)
j нормальная к лучу составляющая скорости ветра, уни-
функции 足 ％, fu подлежат определению
из экспе-
риментальных данных при х/厶т》1,刀々 +0. Для x/LT <С 1 ВИд функций (4.36), (4.37), (4.38) может быть установлен из при- ближенных решений, полученных, скажем, в первом прибли- жении МПВ. При дополнительном допущении о нормальном распределении комплексной фазы получается выражение дЛя
步= 3,0(%/“尸6三编 解《1.
Коэффициент корреляции bi при этом зависит только от комбинации безразмерных параметров (р/G)(尤/丄丁)-"? == р (x/fe)'1/2 и совпадает с выражением, которое дает МПВ [26].
Д〃，я сравнения с предыдущими экспериментами удобнее нс、 пользовать вместо безразмерной длины x/LT параметр р0：
秆(Е7謠ег)伝Г=з，。伝Г⑷39)
и учитывать очевидную связь между масштабами 1Т и (x/fe)l/2:
沙=1,35歸6/11(%信)1/2.(4.40)
Отметим, что масштаб когерентности поля Ik связан с /丁 простым соотношением
lk = (4 0,73СеЛ)~3/5 = 0,53₽736/5%.(4.41)
Соотношения подобия для функций когерентности более высоких порядков
Для исчезающе малого внутреннего масштаба представляет интерес рассмотреть и функции когерентности порядка 2〃 вида
^2n^Mntn = {u(xt pi)... 〃(招 рп)и*(x, pi) ... н*(х, p0・(442)
Если воспользоваться полученным в [22,27] уравнением Д^я
дМ„ “ i
a J-=[А + • • • + Дд — А{—・・・ 一 An] Mnt n —
一 ^Q小(4・43)
е А/, Д/ — поперечный лапласиан по координатам р/, р/, 吐].'・.，几 соответственно, а
Q п = Л Е [”(@/ — @/) — 〃 (@/ — Р；) + "(Р； — &)—
8-"(РЕ)]，
"(р) = 2 、口 一 cos (乂 ・ р)] Фе (х) d2x,
провести в нем замену переменных
% ="自，@了 = /自，@7 =/蜀
и формально перейти к чисто степенному спектру фе (х)= гяДСех"п/3, то уравнение (4.43) не будет содержать никаких па・ раметров. В свою очередь для случая, когда все точки р〃 р； сливаются в одну,
Г2п==П^ (^ Р)ГХ Р/ = Р： = Р・(4.44)
Для плоской волны и локально-изотропной турбулентности <[/(х, р)]л> не зависит от р, и, таким образом, есть основания полагать, что все моменты для относительных флуктуаций интенсивности света (4.44) зависят только от безразмерной длины 尤/厶7 и, следовательно, распределение вероятностей для случайной величины /(х) определяется единственкым параметром x/Lr.
Соотно^1ения подобия при большом внутреннем масштабе турбулентности
Рассмотрим теперь другой крайний случай — большой в нут* ренний масштаб турбулентности. Не составляет труда убедить* с见 что этот случай не сводится к распространению в среде с одним масштабом корреляции для флуктуаций диэлектрической проницаемости, рассмотренному в [29]. В этой работе показано, что^ дисперсия фазы, рассчитанная по формулам геометриче- ^°н оптики, является одним из основных параметров задачи. ^ Днако в турбулентной среде дисперсия фазы не имеет смысла, Ли не вводить в рассмотрение внешний масштаб.
Для большого внутреннего масштаба D = ^L^k^42 < 1 и
屮丁 играет существенную роль в интеграле (4.19). По- Вйд У Необходимо преобразовать выражение для 尸(pi,(>2) к У， более удобному для дальнейшего анализа. С этой целью
в интеграле
尸(pi, @2)= 4 \ Фе (х) [ 1 — cos (х • рМ [1 — cos (乂 • р2)]片乂
целесообразно ввести замену переменных 乂 = ^£力，затем раз. ложив cos (р ~^~) и cos (р^~) в ряд и перейдя к полярным Ко. ординатам, выполнить интегрирование по углу. Подставляя по>
лученное выражение для 尸 в (4.15) и проводя замену ных
% = LtoW, P1 = /toG1, @2 = GoJ,
「ОО-| — 1/3
丁 =咻=[^Q『3,開3%(〃 Pr)dp]
перемен-перемен-(4.45)(4.45)получаем уравнение для Г4 в следующем виде:
перемен-
перемен-
(4.45)
(4.45)
(4.46)
где
2 = [^ + 2佃电)2]一学居篱+ 4 (审J]期+③X
+…+…，pl0/3qpr (p, Pr) dp
+…
+…
\ р4/3фг(р, Pr)dp
о
——знакопеременный ряд, в котором коэффициенты пропорциональны четным степеням малого волнового параметра £>то = П「4/；&-"2. Решение уравнения (4.46) может быть запи
сано в виде
г4 (%, @1,「2)= ?4
(4.47)(4.47)11/3 р4/3(Рт (р, Pr) dp ;]3/1111/3 р4/3(Рт (р, Pr) dp ;]3/11Продольные масштабы £то и 厶，равно как и значения волнового параметра Dto и。丁，связаны между собой простыми соотношениями
(4.47)
(4.47)
11/3 р4/3(Рт (р, Pr) dp ;
]3/11
11/3 р4/3(Рт (р, Pr) dp ;
]3/11
штабы Lt и Lto имеют одинаковый физический смысл. Действительно, в приближении МПВ для 0； получим [26]
用=等 С^^ J р^т (р, Pr) dp^^ (煮：(4.49)
подстановка % =厶。в (4.49) приводит к значению 用=%• Следовательно,厶то так же, как и LTf есть то расстояние, на котором относительные флуктуации становятся сильными, и пер- BOg приближение МПВ не дает правильного результата.
Можно показать также, что £го по порядку величины совпадает со среднеквадратичным радиусом кривизны фазового фр0НТа (рассчитанного в первом приближении МПВ) в турбулентной среде при 第4 1, т. е.厶丁。 есть «фокусное расстояние» эквивалентной линзы.
Ограничиться приближением, учитывающим не содержащие Ото члены ряда S в (4.46), нельзя, поскольку
%品工混+ 2%.货]=16&闯，
и, следовательно, с ростом (ti •匕2) нарушается условие (4.23). Поэтому, чтобы обеспечить существование решения уравнения (4.46), необходимо удерживать весь бесконечный ряд 2.
В общем случае, когда pi*0 и р2 =# 0, уменьшить число параметров в решении (4.47) при Dtu《1 на основе каких-либо простых соображений не удается. Однако для дисперсии относительных флуктуаций интенсивности
俨=俨=「4 (招 О, О)「4 (招 О, О)I «о hI «о h_I_I
俨=
俨=
「4 (招 О, О)
「4 (招 О, О)
I «о h
I «о h
_I
_I
можно получить соотношение подобия, удобное для обобщения экспериментальных данных. Действительно,俨 Не зависит от поперечных параметров, и поэтому на основе формул (4.21), (447), (4.39), (4.48), (4.49), зафиксировав 屮丁，можно считать, что ₽2 является универсальной функцией значений 6工 вычисляемых по формулам первого приближения МПВ, и волнового параметра среды DTq (или эквивалентного ему Dr)：
俨=俨(回，。?0).(4.50)
Отметим, что 喏 для степенного спектра Фе (%) с точностью Ао^ множителя совпадает со структурной функцией комплекс- Ои Фази, вычисленной в первом приближении МПВ на маепервой зоны Френеля А (%, “%/山)，и используется в в качестве продольного параметра. Однако это совпаде- г тем самым связь с когерентностью комплексного поля ' ‘(4」1) ] имеет место лишь при исчезающе малом внутреннем
масштабе турбулентности. В противоположном случае такого совпадения нет:
D\ (х, д/%/山)=constРо/3Отю, Dtq《1,
где const зависит от вида функции 屮丁. Поскольку для большого внутреннего масштаба DTo <С 1, то вполне возможна малая ст& пенькогерентности комплексного поля, например D^ (х, д/痴)》 > 1 при слабых флуктуациях интенсивности 0^《1. Вполне очевидно, что по этой причине не существует аналогии между масштабами Lc0 и 厶丁。，определяемыми соответственно (4.13) и (4.45).
Формулы, аналогичные (4.22), (4.36), (4.37), (4.38), могут быть получены и для исходной сферической волны. Для этого достаточно воспользоваться уравнением для Г4 из [30]. Однако при проведении экспериментов не реализуются, строго говоря, предельные случаи плоско访 или сферической волны. Всегда приходится иметь дело с ограниченными пучками. Как показывает уравнение (4.15), в число параметров, от которых зависят функции когерентности, из граничных условий войдут дополнительно характерный начальный радиус пучка а。， его расходимость a0/F0 и т. п. [8]. Для пучков, особенно для узких, отсутствует локальная изотропность флуктуаций интенсивности.
Экспериментальное исследование такой многопараметрической задачи для ограниченных пучков сильно осложняется. Однако можно ожидать, что в достаточно широких коллимированных пучках, для которых волновой параметр/^ = д/х/^а^《1 и турбулентное уширение пучка мало по сравнению с его диаметром в однородной среде [2], ограниченность пучков не будет значительно сказываться на результатах, если измерения флуктуаций производятся на оси пучков. Для расходящихся и особенно сфокусированных пучков необходимо провести специальное исследование.
Для пучков, которые моделируются следующим граничным
условием:условием:"。⑹ iexP{ _ *0 —普)}"。⑹ iexP{ _ *0 —普)}(4.51)(4.51)
условием:
условием:
"。⑹ iexP{ _ *0 —普)}
"。⑹ iexP{ _ *0 —普)}
(4.51)
(4.51)
раметров:раметров:^^f^x/Lr> %, %/凡)・^^f^x/Lr> %, %/凡)・(4.52)(4.52)и спектр пульсаций 8 дан выражением (4.9), нетрудно показать, что наиболее простая характеристика — значение 俨 на оси ограниченного пучка — зависит от трех безразмерных па
раметров:
раметров:
^^f^x/Lr> %, %/凡)・
^^f^x/Lr> %, %/凡)・
(4.52)
(4.52)
Предсказать теоретически, насколько существенна ограниченность пучка для флуктуаций интенсивности в области ок°'°
оси, невозможно, не решив соответствующего уравнения. 北。£е внутренний масштаб турбулентности /0 не является исчезающе малым, то значение 俨 На оси будет зависеть также от соотношения /о/2ао [8, 58].
4 3. Схема эксперимента и методика измерений
Измерения в атмосфере в условиях сильных флуктуаций проводились в 1971 г. в Цимлянске на трассах длиной 0,25 и I 75 км, в Звенигороде — 0,65 км; в 1972 г. в Цимлянске — 8‘5 км; в 1973 г. на озере Севан— 16,3 км и в 1974 г. в Цимлянске— 13,5 км. В 1971——1972 гг. измерения проводились с гелий-неоновыми лазерами на длине волны 0,63 мкм [1,31 —— 33], в 1973—1974 гг. к ним был добавлен лазер на двуокиси углерода с рабочей длиной волны 10,6 мкм мощностью 5 Вт [19, 34, 35]. Все лазеры генерировали в режиме осевых колебаний, и для расширения пучков использовались зеркально-линзовые или зеркальные коллиматоры. На всех трассах длиной 1,75 км и больших использовались 50-сантиметровые коллиматоры, за исключением экспериментов, проводившихся с узкими пучками. В качестве приемника на волне X = 0,63 мкм использовалась система с двумя фотоумножителями (рис. 4.1). Входное отверстие приемников равнялось 0,3 мм на трассах короче 13,5 км и 1 мм на длинных трассах.
Для обеспечения надежного приема излучения на длине волны 10,6 мкм излучение СОг-лазера модулировалось механическим модулятором с частотой 2 кГц. Приемником служило фотосопротивление из германия, легированного золотом. Рабочая температура фотосопротивления около 50 К- Перед фотосопротивлением устанавливалась фокусирующая линза из поваренной соли диаметром 25 мм [35]. Для обеспечения линейности детектирования модулированного сигнала при глубоких замираниях использовалась схема синхронного детектора, напряжение для управления которым передавалось по радиоли- ннн с передающего конца трассы.
Ток фотоумножителя после усиления регистрировался на магнитной ленте для последующей обработки на цифровой ЭВМ н одновременно подавался на специализированные аналоговые Устройства, коррелятор и частотный анализатор, которые позвоЛяли непосредственно в полевых условиях получать значения относительной дисперсии р2, коэффициента корреляции Ь/(р) и частотного спектра 呼((0). Для получения устойчивых резуль- измерения проводились с осреднением по интервалу вре- :ни 3,5—4 мин. Хотя формально из (4.35) следует, что изме- д НИя з取(со) и Ь/(р) дают тождественные результаты в пре- А "ах справедливости гипотезы «замороженной турбулентности»?
однако измерения частотных спектров обладают несравненно большей производительностью по сравнению с измерением пространственных корреляционных функций. Действительно, за время одного измерения (в наших условиях 3,5——4 мин) получается частотный спектр (о!Г((о)——целая совокупность результатов и только одно значение 历(р)・ Поэтому нестабильность атмосферных условий гораздо сильнее влияет на точность измерения Ь/(р), чем на W®).
Обработка магнитофонных записей на ЭВМ позволила расширить диапазон измерений спектров в сторону низких частот и получить распределение вероятностей флуктуаций интенсивности.
Для независимого определения величины В； и масштабов Lt, /г, 1с проводились вычисления Се из микрометеорологиче- ских измерений по методике, описанной в [36]. С 1972 г. при измерениях на трассе 8,5; 16,3; 13,4 км Се определялось еще и оптическим методом, близким к предложенному в [37]. Направление и скорость ветра измерялись стандартными метеоприборами. Колмогоровский масштаб 刀尼 оценивался также по измерениям вертикальных профилей скорости ветра и темпера； туры [38] и во всех измерениях не превышал 1,5 мм. Волновой параметр DT = ^[Ьт2^112 во всех измерениях, описываемых в этом и следующем разделе, был более 10, а волновой пара-
метр。=刀[%12厶一"2 — не менее 5. Поэтому по классификации, введенной в предыдущем разделе, условия распространения соответствовали случаю малого внутреннего масштаба турбулентности, и в качестве продольного параметра подобия бралось значение 照，равное
用=0,31q尼7/6川/6.
Результаты измерений и их обсуждение
Распределение вероятности флуктуаций интенсивности
На рис. 4.2 приведен пример гистограммы, полученной обработкой записи флуктуаций интенсивности при 用=25 (% = = 1750 м). На этом же рисунке нанесена плотность вероятности, соответствующая логарифмически-нормальному распределению
W (/)= V^7-eXP[-(lni + T)72H(4.53)
со средним и дисперсией, вычисленными из экспериментальной гистограммы. Прямая на рис. 4.2
з (/) =〈/〉-%хр (— 〃〈/〉)(4.54)
соответствует рэлеевскому распределению амплитуды световой волны. Из графика видно, что распределение (4.54) гораздо хуже согласуется с экспериментальными данными, чем распределение (4.53).
Для более детального сравнения экспериментальных гистограмм с распределениями (4.54) и (4.53) были вычислены отношения тп/(/П1)“, где пгп — момент распределения порядка 〃： 佃=,/%(/)〃(4.55)
Вычисление моментов высокого порядка по конечной выборке приводит к ошибкам, увеличивающимся с ростом номера момента [39]. Графики рис. 4.3, на которых приведены получен^ НЬ1е по экспериментальным данным подынтегральные выражеНИя (4.55), свидетельствуют, что из-за ограниченной выборки вычисленные по экспериментальным данным моменты систематически занижены и для моментов с номера п = 4 значения, по-видимому, недостоверны. Это связано с тем, что вклад редко встречающихся, но больших выбросов в момент порядка п уве^ личивается с ростом п. В табл. 4.1 приведены отношения 加 1)", полученные как из экспериментальных данных 25), так и из законов (4.53) и (4.54),
Рис. 4.2. Пример экспериментально определенной плотности вероятности флуктуаций интенсивности света. Плавная кривая — логарифмически-нормаль- ное, пунктир — экспоненциальное распределение.
Рис* 4.3. Подынтегральное выражение из формулы (4.55), вычисленное из эксперимента.
Таблица 4.1
п
6"（吗严
тпКт\)П (аксп.)
эксп.
логарнфм-норм.
Рэлей
^%/(6])〃 (логарифм-норм )
2
2,18
2,18
2
1,0
3
9,76
10,33
6
0,94
4
79,32
106,71
24
0,74
Из сравнения данных, приведенных в этой таблице, видно, чт0 экспериментально полученное распределение сильно расход дится с формулой (4.54) и с учетом замечаний, высказанных ПрИ обсуждении графиков рис. 4.3, не противоречит логариф- мически-нормальному распределению для моментов с неболь-* шим номером. Отметим, что данные табл. 4.1 хорошо согласуются с теорией, развитой в [57].
Зависимость распределения вероятностей от параметра 的
На сводном графике рис. 4.4 приведены распределения в ве? роятностном масштабе по оси ординат и в логарифмическом по оси абсцисс. В этом масштабе логарифмически-нормальному закону соответствует прямая линия. На рисунке представлены результаты измерений у оси в широких пучках, для которых 4 =，「%『&7,7・ 10-3. На графике представлены усредненные результаты, полученные при малых значениях 財《1, при промежуточных 6^4 1 и при «сильных» флуктуациях В^》1・ Измерения как логарифма интенсивности, так и самой интенсивности позволили получить распределение в интервале изменения //</> на 3 порядка при «сильных» флуктуациях. Из распределений, приведенных на рис. 4.4, видно, что наибольшие отклонения от логарифмически-нормального распределения нмеют место при промежуточных значениях 用 порядка еди- нн“Ь11. При 6^《1 в соответствии с [26] распределение близко к логарифмически-нормальному.
При 銀 >25 и вплоть до Р^= Ю2 распределение снова приближается к логарифмически-нормальному, несколько отлиЧаясь от него лишь в области глубоких замираний. Такое по- веденпе функции распределения сказывается на зависимости относительной дисперсии р2 от параметра ₽□ и будет проанали^ ^ровано ниже.
в f4：]°TKJOHeHHH от логарифмически-нормального распределения отмечались вне связи с условиями распространения.
Рис. 4.4. Усредненные распределения вероятностей Р флуктуаций интенсивности в широком коллимированном пучке. / —留《1 2 —鶴==1 + 4; 3一解=4 + 25; 4 一留 >25.
Следует отметить, что без соответствующей теории делать окончательные заключения о виде функции распределения и ее зависимости от параметра 6^ не представляется возможным из-за анализа конечной выборки в эксперименте. Однако эксперименты не подтверждают ни предположений о рэлеевском распределении при сильных флуктуациях, ни приближенной теории [41], которая приводит к рэлеевскому распределению. Поправки к рэлеевскому распределению, вычисленные в [42], малы, хотя и модифицируют это распределение в сторону лучшего согласия с экспериментом.
Относительная дисперсия §?
На рис. 4.5 представлена зависимость среднеквадратичного значения относительных флуктуаций интенсивности р от 0о, полученная в наших экспериментах. На графике приведены данные, полученные в дневное время, т. е. в условиях развитой турбулентности, на трассах х = 1750 и х = 8500 м. Наибольшие значения р0 = 9,5 удалось получить на трассе 8,5 км. Значения § при малых В。на рис. 4.5 получены на трассе х = 25° м・
Представленная на рис. 4.5 зависимость § от |30 отражает отмеченное ранее явление насыщения среднеквадратичного значения относительных флуктуаций 0 (при р0 ^ 1) и тенденцию
工5 L。
05О
2Р
0,5О
Рнс. 4.5. а — зависимость 卩 от параметра р0: крестики — х = 250 м; точкн — % = 1750 м; / — среднее по эксперименту; 2 — расчет р （卩。）в приближении МПВ. б — зависимость 0 от параметра 阮,％ q 8500 м; / — экспериментальная зависимость.
Рис. 4.6. Зависимость fJ от волнового параметра пучка D@ =。一 女一1/2%1/2 Пучки: а — коллимированные, 6 — расходящиеся, в — экспериментальная кривая, г — расчет по МПВ. Асимптотические значения для 卩 при р0 -> оо： d — по [27], е — по [2]. Номера точек соответствуют номерам строк в табл. 4.2.
к уменьшению его при дальнейшем росте 限 Вместе с этим необходимо отметить и небольшое различие результатов измерений в коллимированном пучке на двух дистанциях (% = 1750 и х = 8500 м). При сопоставлении данных рис. 4.5 необходимо учесть, что измерения на расстояниях х = 1,75 км и х = 8,5 км проводились с одинаковым полуметровым зеркальным коллиматором, поэтому в соответствии с (4.52) для х = 8,5 км хотя и слабо (пучок еще достаточно широк) проявляется зависимость от волнового параметра Da == ^1%^2^-^2.
Наглядное представление о зависимости флуктуаций интенсивности от параметра Da дает рис. 4.6. На нем приведены усредненные результаты измерений § на оси пучков на длине
Таблица 4.2
№
端
Кол-во измер.
Ро
Место измер
Геометрия пучка
1
130
72
2 + 7
1,75
Цимлянск
Коллимирован.
2
26
52
10+40
8,5
》
》
3
2,2
21
4 + 7
16,3
Севан
4
1,35
5
16 + 38
Н,6
Одесса
»
5
0,56
6
4 + 7
16,3
Севан
»
6
0,14
42
4 + 7
16,3
»
7
0,001
31
4 + 7
16,3
》
》
8
130
61
2 + 7
1,75
Цимлянск
Расходящийся
9
2,2
5
4 + 7
16,3
Севан
》
Примечание. Данные строки 4 из работы [43]
во/нн 九=0,63 мкм на дистанциях от 1,75 до 16,3 км при зна- чеНиях Во > 2. В этом диапазоне зависимость § от р0 очень сла- 6а^ при прочих равных условиях. В табл. 4.2 приведены пара- метры пучков, в которых проводились измерения, представлен- нне на рис. 4.6. На зависимости § от параметра Da имеется хорошо заметный максимум при Da 1.
флуктуации в сферической волне Da 》1 несколько больше, qeM в широких пучках (几《1). Отметим, что при раскол Ливадии пучка флуктуации на его оси приближаются к значе- нию, соответствующему сферической волне: в широких пучках при Da《1 они растут, а в узких при Da н 1 они уменьшаются.
Интересно отметить, что зависимость р от Da при сильных флуктуациях качественно противоположна расчету по теории возмущений. Следует упомянуть, что значения 0 остаются прак- -тически постоянными в пределах полуширины пучка, размытого неоднородной средой.
Измерения Р(Ро) в узких пучках Da — lt выполненные Кашкаровым и Погосяном в Цимлянске в 1974 г. на трассе х = =13,5 км на длинах волн 0,63 и 10,6 мкм (рис. 4.7), показали, что зависимость § от р0 для узких пучков аналогична представленной на рис. 4.5 и отличается лишь большими значениями 0 в области максимума. Результаты, представленные на рис. 4.7, объясняют, почему значения р из четвертой строки табл. 4.2 лежат несколько ниже средней кривой на рис. 4.6. Действительно, измерения [43] проведены при столь больших значениях Во, что спад на зависимости р от р0 при фиксированном Da становится заметным (рис. 4.7).
Наличие максимума на зависимости 0 от волнового параметра пучка проявляется на кривых распределения вероятностей. На рис. 4.8 представлены распределения вероятностей Для узких пучков, полученные на трассе %= 16,3 км на озере Севан. Из этих кривых видно, что в узких пучках заметно увеличивается вероятность очень больших выбросов — это видно из сравнений рис. 4.8 и 4.4. Действительно, распределение для Узких пучков отходит от логарифмически-нормального закона в противоположную сторону по сравнению с тем, что имеет место на рис. 4.4.
Если учесть, что соотношение подобия (4.36) было получено плоской волны, то наилучшей оценкой универсальной функ*
В = 6(%), где 開= 0,31С 訥 7/6%ii/6,
является кривая / на рис. 4.5, а, полученная с наибольшим чис- Френеля Q/N В то же время кривая на рис. 4.5,6 может Нть полезна для практических расчетов, равно как и зависим мость р (仇)для узких пучков на рис. 47
Рис. 4.7. Зависимость 卩 от Во для узких пучков, Dql, %= 13,5 км. Точки -~ Л « 10,6 мкм, крестики — Л » 0,63 мкм, сплошная кривая — расчет по МПВ, пунктир — экспериментальная зависимость.
Рис. 4.8. Распределение вероятностей флуктуаций интенсивности на оси узкого пучка: х= 16,3 км,也= 105 см-ь 1Da^27; 2 — Da^ i. Для удобства рас
смотрения кривые разнесены по оси абсцисс: верхняя шкала по этой ℃ соответствует кривой /, нижняя шкала — кривой 2.
Отмеченные выше особенности изменения плотности вероятностей в широких пучках при изменении р0 позволяют сопоста- вйТЬ полученную выше зависимость р(р0) с результатами измерений дисперсии уровня, приведенными в [6]. Из соображений подобия следует, что
4о： = 4<(х —〈%〉)2〉= 4а2 (р0).
На зависимости а(а0) более ярко выражен максимум при промежуточных значениях 1 2o()dl, чем на зависимости В (Во).
Это обстоятельство связано с тем, что в области промежуточных значений 2а0 ^ 1 увеличивается вероятность очень глубоких замираний (рис. 4.4), которые, естественно, заметно уве・ личивают дисперсию логарифма интенсивности и существенно меньше влияют на дисперсию интенсивности. При допущении логарифмически-нормального распределения дисперсия логарифма а2 связана с 俨 формулой
4a2 = ln(l +р2).(4.56)
Если в (4.56) подставить р = 1,25 из графика рис. 4.5, то для 2а получаем значение о = 0,96 при наибольших о。，хорошо согласующееся с полученным в [44] значением о = 0,95. Отметим, что в [44] получено, как это теперь стало ясным, заниженное значение о = 0,8. Это занижение связано с ослаблением флуктуаций за счет усреднения по приемному отверстию, которое в [44] имело диаметр 5 мм.
Коэффициенты корреляции флуктуаций интенсивности
На рис. 4.9 представлены полученные в эксперименте коэффициенты корреляции флуктуаций интенсивности в зависимости от разноса точек наблюдения р. Для наглядности масштаб по ℃и абсцисс растянут для малых значений р. Из полученных Данных видно, что значения Ь/(р) для сильных флуктуаций занимают довольно широкую полосу (рис. 4.9,6). В то же вре- Мя при слабых флуктуациях экспериментальные данные сосредоточены в сравнительно узкой полосе (рис. 4.9, а). Отда- Вая Дань теоретическим оценкам [26] и всем предыдущим Результатам измерений, изобразим значения коэффициентов кор- Ре^нни Ь/ в функции масштаба р/“九х и в зависимости от 碌
Результаты соответствующей обработки представлены на Р"с・ 4.10,。для коллимированного и рис. 4.10,6 для расходящегося
^т°бы подчеркнуть различие между флуктуациями интенсивности и 0о*3)заесь сохраняется разница в обозначениях Oq и 0о； на самом деле
Рис, 4.9. Коэффициенты корреляции флуктуаций интенсивности в зависимости от расстояния между точками наблюдения, а —% = 650 м; б — х == 1750 м.
пучков. Из рис. 4.10, а видно, что для Ро < 1 экспериментальные значения хорошо согласуются с теоретическим расче^ том [26]. Коэффициенты корреляции для коллимированного и расходящегося пучков при увеличении 0^ ведут себя сходным образом: при увеличении ₽о корреляция в близких точках (р<0,5д/%%) уменьшается, но при больших р> “九％ корреляция увеличивается. Это в общем согласуется с оценкой, полученной в [27], что при 0^》1 корреляционная функция интенсивности характеризуется двумя масштабами, один из которых существенно больше д/九％, в то время как другой существенно меньше. Появление крупномасштабных флуктуаций при 窮》1 отмечалось и в измерениях [44]. Однако, как стало ясно из полученных к настоящему времени результатов, уменьшение коэффициента корреляции при р < 0,5 д/^х в области «сильных» флуктуаций осталось незамеченным в измерениях [44] из-за того, что приемная диафрагма была слишком велика — ее диаметр был равен 5 мм, что соответствовало “九х/б. Осреднение мелкомасштабных флуктуаций по такой диафрагме, как показывают численные оценки, приводит к значительному искажению значений bi в области р V 0,5 «九％ ・
На рис. 4.10,6 приведены также корреляционные функции для флуктуаций логарифма интенсивности, полученные в [45] с расходящимся пучком на дистанции 45 км и относящиеся к области сильных флуктуаций. По рис. 4.10,6 можно судить удовлетворительном качественном согласии результатов измерений [45] при сильных флуктуациях на дистанциях, отличающихся в 25 раз.
Рнс，4ЛО. а — коэффициенты корреляции флуктуаций интенсивности в широ- ком коллимированном пучке: / — МПВ, плоская волна,聞《1； 2 — экспери- мент для р§< 1 (х = 650 м); 3- I V聞 V，3; 4 — 8 V 儲 V27; 5 — 27 V 留 V <50(X «= 1750 м); 6 — 10 V 聞 V 75 (% = 8500 м). 6 — коэффициент корреля- флуктуаций интенсивности в расходящемся пучке. / — МПВ, сфериче- волна,聞《「2 - 1 < pg < 5,3; 3 — 8 V 留 V 27; 4 — 27 V 留 V 50 (% = м); 5 — осредненная по четырем кривым из [45] (х = 45 км).
Следует отметить, что измерения Ь/(р) проводились на од. ной длине волны и данных, особенно при малых значениях р, Не так уж много. Для более тщательного исследования корреляционных функций необходимы дополнительные измерения.
Спектры флуктуаций интенсивности
Наиболее подробные данные о структуре поля интенсивности в коллимированном пучке в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, получены из измерений частотных спектров флуктуаций интенсивности. Измерения частотных спектров проводились на двух длинах волн: Z = 0,63 и X = 10,6 мкм. На рис. 4.11 представлены отдельные примеры из общего числа 147 полученных в измерениях спектров 立(s,%). Приведенные примеры дают представление о возможных формах спектральных зависимостей и о частотах, соответствующих максимумам спектров, при изменении длины волны, расстояния и характеристик среды. Следует подчеркнуть, что положения максимумов в шкале частот различаются более чем на три порядка.
Для перехода от частотной шкалы к пространственной использовалась «замороженность» турбулентности. Данные, приведенные на рис. 4.12, показывают, как при переходе к волновым числам % = 2nf/u丄 сближаются спектры, полученные в одинаковых условиях турбулентности (близких 氏)，но при разных скоростях ветра поперек трассы。丄. '
и
」」11」1 I 1」I f I I」1 1 I J I 1 I I I 1 11 I I」I I 1 111 11111 I [ f I I I! 1 1 I JI1 Г I ILL
-/0/231g fm
Рис. 4.11. Примеры частотных спектров, полученных в экспериментах. 九=10,6мкм:/ — % =16,Зкм,оз.Севан,2 —% =13,5км,Цимлянск;
= 0,63 мкм: 3 —% =16,3 км,оз.Севан,4 — 4=13*5км,5—%r&5km,
6 — ％ = 1,75 км, Цимлянск.
Рис. 4.12. Спектры флуктуаций интенсивности света: а — при разных скоростях ветра для значений 16 V 簡 V 36 (/) и при 36 < Pq < 50 (2), [/]==Гц, [乂/2л] = см-1 6 — те же спектры после перехода к волновым числам к = =2冗加丄.
Р"& 4.13. Усредненные спектры флуктуаций интенсивности света в широкомпу^ке, х = 1750 м. / - 50 > 餚 > 30, 2 — 36 > 簡 > 16, 3 - 16 > 时 > 4,工八；>6^>1,7, 5 — 1,7 > pj > 0,5. Сплошная кривая, расчет МПВ,留《1・
На рис. 4.13 показаны усредненные результаты измерений спектров на дистанции х = 1750 м в широком пучке (々唸-』 =130) как функции безразмерной частоты £2 = %д/%/^. Вьь бор такого частотного масштаба позволяет судить о том, при каких значениях имеет место заметное отклонение от расчета в первом приближении МПВ. Из приведенных данных видно что уже при В。〜1 максимум спектра смещается в область 6о： лее высоких частот. Это смещение увеличивается с ростом р0> и одновременно на месте максимума, предсказываемого в пер： вом приближении МПВ, намечается провал. Кроме того, на высоких частотах спектр круто обрывается при §о>1. Срав・ нение результатов измерений спектров флуктуаций интенсив、 ности света на двух длинах волн 0,63 и 10,6 мкм при одинаковых значениях Ро > 1 показывает, что наблюдается одинаково быстрое затухание высокочастотных флуктуаций на обеих длинах волн (рис. 4.11). Это обстоятельство свидетельствует в пользу того, что в исследованном диапазоне частот еще не проявляется влияние внутреннего масштаба турбулентности.
На рис. 4.14 представлены усредненные результаты измерений частотных спектров как функций безразмерной частоты
F12
Рис. 4.14. Усредненные спектры флуктуаций интенсивности как функции безразмерной частоты %•
/ — Цимлянск 1974 г., 2 — оз. Севан 1973 г., 3 — Цимлянск 1971 г., 4》В》— Цимлянск 1972 г.,— Цимлянск 1974 г.,/ — Цимлянск 1974 г., 2 — оз. Севан 1973 г., 3 — Цимлянск 1971 г., 4》В》— Цимлянск 1972 г.,— Цимлянск 1974 г.,
/ — Цимлянск 1974 г., 2 — оз. Севан 1973 г., 3 — Цимлянск 1971 г., 4》
В》
— Цимлянск 1972 г.,
— Цимлянск 1974 г.,
/ — Цимлянск 1974 г., 2 — оз. Севан 1973 г., 3 — Цимлянск 1971 г., 4》
В》
— Цимлянск 1972 г.,
— Цимлянск 1974 г.,
А = 10,6 мкм, 九=10,6 мкм, 九=0,63 мкм,
》》
Л == 0,63 мкм,
Л = 0,63 мкм,
% == 13,5 км, х = 16,3 км, % = 1,75 км,
》
》
х = 8,5 км,
% = 13,5 км.
Во н 2,8;
Во = 1J； ро =。,7 + 2;
Во = 4 + 8;
Во = 2 + 4;
Во = 7;
0о = 14.
Qt = %〃 и параметра р0. Сравнение рис. 4.11 и 4,14 свидетельствует о том, что переход к безразмерной частоте йг существен-' но сближает измеренные спектры, несмотря на разницу в дистанции, длине волны и степени турбулентности.
Систематическая зависимость формы спектров от параметра о в наибольшей степени проявляется в области низких частот. С ростом (Зо увеличивается вклад низких частот и намечается второй максимум при Q п 0,05-j 0,1. Если воспользоваться формулой (4.30) и определить $ = 1力斗,то для 6。= 7 получаем % = 0,076, а для % =14 Q* =0,021. Полученные величины близки к тем частотам, на которых намечается второй максимум в соответствующих спектрах, представленных на рис. 4.14.
Как следствие закона сохранения энергии (} 3(p)pdp = o) отношение U(Qt, 6o)/Qt должно быть ограничено при 0丁~> 0. Это условие хорошо выполняется на экспериментальных спектрах для ро《2. Однако при больших (30 из-за увеличения роли низкочастотных составляющих флуктуаций интенсивности необходимо заметно увеличивать время наблюдения, чтобы проникнуть еще дальше в область низких частот, чем это было в наших измерениях. Но в области таких низких частот, дающих весьма малый (не более 1 %) вклад в дисперсию, влияние различных помех маскирует эффекты, связанные с неоднородностью поля диэлектрической проницаемости.
Наличие минимума в спектре флуктуаций и крутой спад в области высоких частот получаются в результате теоретических расчетов [46], опирающихся на «физическую модель》 [47]. Очень глубокий минимум в спектре флуктуаций дают численные расчеты [48], основанные на обобщении принципа Гюйгенса —Кирхгофа для плавно-неоднородной среды [49]. Применение метода статистических испытаний [50,51] позволяет получить численное решение уравнения (4.15) для трехмерных неоднородностей со степенным спектром [52]. В [52] обнару- 丛ен минимум спектра при малых Q, а также зависимость его величины и положения от параметра 階 Если спектры построить ® зависимости от где частоту С^ определить для масштаба аналогично ◎「, то разброс экспериментальных графиков по ткале частот останется приблизительно таким же. Наиболее :ероятной причиной этого является то, что в измерениях [1] пер- ена^кулярная составляющая скорости ветра определялась в Дной-двух точках трассы. Считалось, что над однородным уча- ком степи или водной поверхности направление ветра одина。 °во в различных точках трассы.
Рис. 4.15. Нормированные одномерные пространственные спектры флуктуаций интенсивности: кривые /, 2, 3 — результат численного расчета для значений параметра Во = 1; 6,7; 15,6; кривые 4, 5, 6 — результат измерений при Во = 1； 6; 18.
В измерениях 1974 и 1976 гг., которые проводились в Цимлянске, делалась запись на магнитофон флуктуаций интенсивности излучения [54] сразу с двух разнесенных фотоприемников (см. рис. 4.1). Определение пространственно-временных корреляций флуктуаций интенсивности позволяло непосредственно определить^ скорость движения дифракционной картины (неоднородностей пространственного распределения интенсивности) в плоскости наблюдения [53]. Измерения проводились на дистанциях 1,75 и 13,5 км в коллимированных световых пучках (九=0,63 мкм) с эффективным диаметром 2ao = 31 см. Во всех измерениях 々硫%т 另 18.
Логарифмический масштаб для представления экспериментальных данных на рис. 4.11—4.14 был необходим, чтобы показать поведение спектров в широком интервале изменения условий распространения. Однако применение логарифмического масштаба скрадывает наглядность распределения мощности флуктуаций по частотам.
На рис. 4.15 спектры U(乂,仇)，полученные в 1974 и 1976「「•， представлены в полулогарифмическом масштабе, который дает наглядное представление о распределении мощности флуктуа*
g п0 спектру. По оси ординат отложено нормированное произведение частоты f на спектральную плотность IF(f), т. е. ве- лйЧйна fW (f)/俨(％)• По оси абсцисс отложен In Qr == In (2nflT/v±), me vl — непосредственно измеренная средняя скорость движе- нйЯ дифракционной картины. В этих координатах площадь под кривой равна единице. В случае выполнения условия «заморо- женности» неоднородностей имеет место соотношение 2冗/7。丄= =х. На том же графике приведены полученные в результате численных расчетов [52] величины W(f)/俨(％) для значений 1； 6,73; 15,6, близких к имевшим место в экспериментах. По сравнению с теоретическими, экспериментальные кривые несколько «размазаны» и поэтому в силу нормировки имеют меньшее значение в максимуме. Это уширение спектров имеет место как для сильных, так и для слабых флуктуаций и, по-види- Мому, возникает из-за флуктуаций скорости ветрового переноса дифракционной картины. В остальном соответствие расчетных и экспериментальных данных вполне удовлетворительное: положения максимумов на шкале частот очень близки; относительная высота и общее взаимное расположение на шкале частот имеют один и тот же характер. Расхождение пространственных спектров в области больших масштабов (малых частот) может быть связано и с ограниченностью пучка и с отклонениями спектра неоднородностей от степенного вблизи внешнего масштаба турбулентности.
Отметим здесь, что численные расчеты [52] при 罔 > 1 хорошо согласуются с результатами [2——5] для функции 历(р), а перестроение спектров, представленных на рис. 4.15 как функции частоты С^ = 2nf/ft/ui приводит к гораздо лучшему сближению как экспериментальных, так и теоретических кривых.
4・4.6・ Сильные флуктуации интенсивности в турбулентной среде с большим внутренним масштабом
При сильных флуктуациях интенсивности света, распространяющегося в турбулентной атмосфере, всегда реализуются ус- "овня, при которых внутренний масштаб турбулентности оказы- вается малым: волновые параметры D = r]~lxl/2k~l/2 и DT = ^口々%-"?厶У? велики. Для того чтобы провести эксперименталь- исследование сильных флуктуаций интенсивности света в тур- °У〃ентной среде с большим внутренним масштабом, т. е. когда волновой параметр Dtq —k~{12L^ невелик, необходимо соз-
"ав?ть в среде существенно большие пульсации диэлектриче- 貰ои проницаемости, чем те, которые имеют место в атмосфере.
качестве среды, в которой возбуждается турбулентность,
удобно использовать жидкости, для которых значение дг/дТ на два-три порядка больше, чем у газов.
Для создания неоднородностей диэлектрической проницаемости использовалась турбулентная конвекция в слое жидкости——воды или этилового спирта, находящемся между плоскими горизонтальными нагревателями и холодильником. Эксперимент проводился в прямоугольной кювете с горизонтальным сечением 34X 25 см [20].
В измерениях использовался коллимированный световой пучок диаметром 3,5 см от гелий-неонового лазера, работавшего в режиме одной поперечной моды. Для увеличения р0 часть измерений была проведена с двойным проходом луча через кювету. При этом пучки раздвигались на расстояние, равное расстоянию между теплообменниками, что позволяло считать турбулентные флуктуации на каждом из паралельных путей независимыми. При измерениях расширение световых пучков за счет турбулентности было значительно меньше их первоначальной ширины, что позволяет относить полученные результаты к случаю распространения неограниченной плоской волны.
Приемная диафрагма диаметром 0,02 мм располагалась внутри жидкости вплотную к выходному окну кюветы, за которым находился фотоумножитель. Средний ток фотоумножителя 〈3〉и средний квадрат тока фотоумножителя 〈夕2〉измерялись аналоговым устройством, использующим для возведения в квадрат термосопротивление. Время осреднения прибора составляло 60 с. Измерения относительной дисперсии флуктуаций сигнала 俨=綜一
при каждом режиме турбулентности в кювете осреднялись за 10 мин.
Во время проведения измерений турбулентный режим варьировался за счет изменения от 5 до 50℃ разности температур АТ между нагревателем и холодильником и расстояния между ними от 4 до 8 см. Измерения относительной дисперсии Р2 проводились на двух расстояниях % = 34 и % = 68 см. Использование воды и этилового спирта, у которых дг/дТ отличается почти в 5 раз, позволило охватить больший диапазон значений 眼
В табл. 4.3 приведены характерные значения параметров турбулентности в использовавшейся модельной установке и для сравнения указаны аналогичные параметры для типичной приземной атмосферной трассы.
На рис. 4.16 представлена полученная экспериментально зависимость р от В。. Результаты, полученные со спиртом и водой, хорошо согласуются между собой. На полученной зависимости
Рис. 4.16. Экспериментальная зависимость дисперсии флуктуаций интенсивности от параметра р0 по измерениям в этиловом спирте и воде: / — р = н“ехр0?— 1, §0《1 (область слабых флуктуаций); 2 — среднее по измерениям в атмосфере, х = 1750 м; 5 —• среднее по измерениям в модели; 4 — спирт, х = 34 см, 5 — спирт, % = 68 см; 6 — вода, х = 34 см; 7 — вода, % н 68 см.
при Во》1 наблюдается хорошо выраженный максимум, за ко т°рым следует довольно быстрый спад. При анализе зависи- мостн 6(00,。)，приведенной на рис. 4.16, надо иметь в виду, Qto все измерения проведены при значениях волнового пара* метра £>о = дДРг7n泳а , изменявшегося в пределах 0,3 «5 4 R 2,2. Подробности расчета р0 приводятся в [20].
На рис. 4.16 представлена также усредненная зависимость полученная из экспериментов в атмосфере с О》1 и 〃丁》1 (см. разд. 4.4.3, рис. 4.5, а). Сравнение экспериментально полученных зависимостей 8 от продольного параметра показывает, что, несмотря на различие длин трасс — кило- :трн и десятки сантиметров ——и большое различие в значе- 嘗 волновых параметров, эти зависимости имеют сходный хаР ктер. Максимальные значения имеют место примерно при
Габлица 4.3
Параметры турбулентности, реализовавшиеся в модели
Диапазон значений
Среда
Параметр
Этиловый спирт
Вода
Воздух (приземный слой атмосферы)
唸СМ3
(0,4 4- 6,4) • Ю~8
(0,2 + 3,6) • 10-9
10~16— 10~14
Т|А СМ
0,12 + 0,04
0,09 -ь 0,02
0,1
тг|йа^2Рг_1/2, см
0,04 + 0,01
0,05 4- 0,015
D
0,4 — 2,2
0,3 一 1,5
13
Примечание, в таблице указаны крайние значения параметров эксперимента, для воздуха принято е^ = 102 см2/с\ универсальная постоянная а == 2 [20]
одинаковых значениях (Зо п 2, однако при малых значениях волнового параметра относительная дисперсия флуктуаций ннтен。 сивности несколько больше.
При измерениях на конвективной модели турбулентности при наибольших значениях р0 наблюдается выход значений 0 на постоянный уровень, близкий к единице. В связи с этим представляет особый интерес получить распределение вероятностей флуктуаций интенсивности и сравнить его с экспоненциальным, соответствующим рэлеевскому для флуктуаций амплитуды.
Большой для лабораторных условий разброс экспериментальных точек на рис. 4.16, по-видимому, объясняется тем, что принятое время усреднения (10 мин) недостаточно для определения дисперсии флуктуаций при логарифмически-нормальном законе распределения последних, при характерной частоте флуктуаций порядка 1——5 Гц. Аналогичные результаты в лабораторных условиях получены в [55, 56].
Заключение
Приведенные в работе результаты экспериментальных данных с лазерным пучком подтверждают соотношения подобия, которые были получены как следствие уравнений, описывающих функции когерентности четвертого и более высоких порядков для неограниченной плоской волны.
В дополнение к асимптотическому анализу и численным расчетам удалось исследовать зависимость флуктуаций интенсивности от геометрии пучка и влияние внутреннего масштаба турбулентности. Тем не менее представляет несомненный интерес
дальнейшее экспериментальное исследование влияния началь- 々bix параметров светового пучка, а также характерных масшта- бов и вида турбулентного спектра на флуктуации интенсивности излучения. 。
Полуденные эмпирические зависимости могут в дальнейшем использоваться для оценок дисперсий флуктуаций, корреляций й частотных спектров и дают возможность использовать эти оценки для анализа флуктуационных помех.
Литература
Грачева М. £, Гурвич А. С„ Кашкаров С. С., Покасов В В. ЖЭТФ, 67, '6(12), 2035, 1974.
Порохов 4 М., Бункин Ф. 8., Гочелашвили К. С., Шишов В, И. УФН, 114, № 3, 415—456, 1974.
Prochorov 4 М, Bunkin F. К, Gochelashvlly К. S., Shishov V. /. Laser irradiance propagation in turbulent media. Proc. YEEE, 63, № 3, 790, 1975.
Якушкин И. Г Изв ВУЗов, Радиофизика, 18, № 11, 1660, 1975
Заворотный В. У., Кляцкин В. Я., Татарский В. И. ЖЭТФ, 73, вып. 2(8), '481, 1977
Грачева М Е., Гурвич А С. Изв ВУЗов, Радиофизика, 8, № 4, 718, 1965.
Gurvich 4 S, Tatarskii У / Radio Science, 10, № 1, 3, 1975.
. Гурвич А С., Кон А И., Миронов 8 〃.，Хмелевцов С. С. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере. — М : Наука, 1976.
. Шишов 8 И Изв ВУЗов, Радиофизика, 11, № 6, 866, 1968
. Татарский 8 И ЖЭТФ, 57, 952, 1969.
. Чернов Л. 4 Акустический журнал, 15, 594, 1969.
. Кляцкин 8 И ЖЭТФ, 57, 952, 1969
. Beran М, Но Т J Opt Soc Am, 59, N 9, 1134, 1969.
Molyneux У E. J Opt Soc. Am., 61, N 2, 248, 1971.
Gochelashvlly К S, Shishov V. / Optica Acta, 18, № 10, 767, 1971.
Гочелашвили К С, Шишов 8 И. ЖЭТФ, 66, 1237, 19 74.
Шишов 8 И Изв ВУЗов, Радиофизика, 15, № 6, 904, 1972.
Гочелашвили К С, Певгов 8 「.， Шишов 8. И. Квантовая электроника, 1, № 5, 1156, 1974
. Гурвич А С, Казарян Р. 4, Ломадзе С О., Погосян К. П., Покасов 8. В. Изв. ВУЗов, Радиофизика, 18, № 4, 610, 1975
2°. Гурвич А. С, Каллистратова М 4, Мартвель Ф. 3., Изв. ВУЗов, Радио- с Физика, 20, № 7, 1020, 1977.
Dunphy У. R., Kerr У. R. J. Opt Soc. Am., 63, № 8, 981, 1973.
Татарский В И Распространение света в среде со случайными неодно* родностями показателя преломления в приближении марковского случай- ного процесса ЖЭТФ, 56, вып. 6, 2106, 1969 Batchelor G К J Fluid Meeh, 5, № 1, 113, 1959.
Долин 〃. С Изв ВУЗов, Радиофизика, 7, № 2, 380, 1964.
Татарский 8 И. Распространение коротких волн в среде со случайными неоднородностями в приближении марковского случайного процесса. Г1ре・ принт ООФАГ АН СССР, М, 1970
翁 Шишов В. И Труды ФИАН СССР, 38, 175. 1967.
татарский 8 И Распространение волн в турбулентной атмосфере.——Мд х Наука, 1967.
и?1 ^"加 R L. Radio Science, 10, № 1, 77, 1975
[^г[^^анская 〃• "i Шишов В, И, Изв. ВУЗов, Радиофизика, 13, № 1,
Шишов В. И. Изв. ВУЗов, Радиофизика, 15, № 6, 904, 1972.
Гурвич А. С., Покасов В. В. Изв. ВУЗов, Радиофизика, 16, № 6, 913 1973.'
Грачева М. Е, Гурвич А. С., Хрупин А. С. Изв ВУЗов, Радиофизика, 17 № 1, 155, 1974.'
Грачева М. £., Гурвич А. С., Ломадзе С. О, Покосов 8 В, Хрупин Д с Изв ВУЗов, Радиофизика, 17, № 1, 105, 1974.
Гурвич А. С., Кашкаров С. С. Изв. ВУЗов, Радиофизика, 18, № 1, 69 1975.'
Гурвич А. С., Казарян Р. 4 , Ломадзе С. О., Погосян К. 〃.，Покасов 8 8 Препринт. ИФА АН СССР — ИФИ АН АрмССР, Москва — Ереван, 1974
Каллистратова М. 4, Тимановский Д.⑦.АН СССР, ФАО, 7, № 1, 73
1971.'
Артемьев А. А Радиотехника и электроника, 14, № 4, 675, 1964.
Гурвич А. С. Изв АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, 55, 1965 39 Алексеев 8 Г. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 6, 171, 1970 4 0 Hohn D Н Appl Opt, 5, № 9, 1427, 1966.
Furutsu К. У. Opt Soc Am, 62, № 2, 240, 1970.
Гочелашвили К. С., Шишов 8 И ЖЭТФ, 74, № 6, 1974, 1978.
Беленький М С., Жуков 4. Ф, Миронов 8 Л., Цвык Р. Ш. II Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере. Тезисы докладов, Томск, 1973, с. 271.
Грачева М. Е. Изв ВУЗов, Радиофизика, 10, 6, 775, 1967.
Ochs G. R., Bergman R. R., Snyder У. R. Y Opt. Soc Am., 59, № 2, 231 1969.
Yura H. T. Y. Opt Soc. Am., 64, № 3, 357, 1974.
Yura H. T. Y. Opt Soc Am., 64, № 1, 59, 1974.
Банах В Л , Миронов В. Л Квантовая электроника, 2, № 10, 1777, 1975.
Кравцов Ю. А., Фейзулин 3. И Изв. ВУЗов, Радиофизика, 12, № 6, 886, 1969.
Марчук Г. И, Михайлов Г. Л , Назаралиев М А , Дарбинян Р. 4 , Каргин Б А., Елепов Б. С. Метод Монте-Карло — Новосибирск- Наука, 1974.
Орлов 8 8, Марчук Г. И. К теории сопряженных флуктуаций. — В сб: Нейтронная физика. — М/ Атомиздат, 1961, с 30
Гурвич А С., Елепов 8 С, Покосов В В, Сабельфельд К К, Татарский В. И. Изв ВУЗов, Радиофизика, 22, № 2, 198, 1979
Безверхний 8 4, Гурвич Л С, Покасов 8 В Изв АН СССР, ФАО, 13, № 1, 1978
Бовшеверов В. М, Ким Е. К., Ломадзе С. О Препринт ООФАГ, ИФА АН СССР, М, 1974.
В is sonnet ie L R. Appl. Opt. 16, № 8, 1242, 1977.
Elliot R A , Kerr У. R, Pincus P. A Appl Opt, 18, № 12, 3315, 1979
Furutsu K. J. Math. Phys., 17. № 7, 1252, 1976.
Банах 8 4, Бороноев 8 及，Гомбоев Н. 〃.，Зубрицкий Э. В., Миро нов В. Л„ Цыдыпов 7. Ц. Распространение оптических волн в случайнонеоднородной атмосфере. Ред. Зуев В. Е. — Новосибирск: Наука, 1979, с. 23.
「лава 5
ВОЛНОВОЙ ПУЧОК
М ДИСТАНЦИОННОЕ ЗОНДИРОВАНИЕ
4 Исимару
На процесс распространения оптического пучка в земной атмосфере сильно влияют случайные флуктуации показателя преломления, вызываемые турбулентным движением воздуха. Воздействие атмосферы проявляется в расширении пучка и соответствующем уменьшении интенсивности, мерцаниях принимаемой интенсивности, уменьшении пространственной и временной когерентности, блуждании пучка.
Взаимодействие световых пучков с турбулентной атмосферой следует учитывать в астрономии при изучении мерцаний звезд и формировании изображений. Оно также влияет на полосу когерентности, время когерентности и другие характеристики систем оптической связи в земной атмосфере. Взаимодействие светового пучка со средой, в которой он распространяется, можно использовать для дистанционного зондирования структуры и динамики атмосферы. В этой главе мы рассмотрим последние достижения в изучении распространения волновых пучков и их использовании для целей дистанционного зондирования.
Оптический пучок, распространяющийся в земной атмосфере, часто можно приближенно считать плоско访 или сферической волной. Например, лазерный луч, переданный с космического корабля, ведет себя как плоская волна, когда достигает земной атмосферы, а лазерный луч, излученный малой апертурой в атмосфере земли, ведет себя как сферическая волна. Было выполнено много исследований по флуктуационным характеристикам плоской и сферической волн в турбулентной атмосфере. Изучались дисперсия амплитудных и фазовых флуктуаций, корреляционные и структурные функции, временные частотные спектры н плотности распределения вероятностей. Все эти величины за- внсят только от дистанции, длины волны и турбулентных характеристик.
?пнако во многих практических случаях приближения пло- скон и сферической волн не достаточны для того, чтобы предсказать свойства флуктуаций распространяющейся волны, осо- енно тогда, когда излучающая апертура велика. Необходимо ринимать во внимание размер пучка, а также его параметры Ф°кусировки или расходимости. При описании оптического пучка
будем предполагать, что его амплитудное распределение является гауссовым и, следовательно, может быть описано одним параметром 1FO — размером пучка. Дополнительно предположим, что фокусировку или расходимость можно описать параболическим фазовым фронтом с фокусным расстоянием &. fe этой главе для описания пучка используются только параметры Wo и Ао. Следует заметить, однако, что на практике всегда встречается апертура конечного размера, а не идеальное гауссово распределение. Кроме того, фазовый фронт может также отличаться от параболического.
В последние годы было выполнено большое количество теоретических и экспериментальных работ по влиянию параметров Wq и R。на флуктуационные характеристики. Пучок может быть коллимированным (Ro-> оо), сфокусированным (R。> 0) или расходящимся (/?0 < 0). Было показано, что расходящийся и коллимированный пучки имеют флуктуационные характеристики, аналогичные характеристикам плоской и сферической волн, в то время как характеристики сфокусированного пучка существенно отличаются от них. Было обнаружено также большое расхождение между теоретическими расчетами и экспериментальными результатами для флуктуационных характеристик сфокусированного пучка.
Теоретические работы по распространению волнового пучка принято классифицировать по признаку слабых или сильных флуктуаций. Теория слабых флуктуаций обычно использует метод Рытова, который также называют методом плавных возмущений, или МПВ. Этот метод дает сравнительно простые математические выражения для различных величин, таких, как дисперсии, корреляционные функции, структурные функции и спектры. Так как метод применим только для случая слабых флуктуаций, то он имеет естественное ограничение, заключающееся в том, что дисперсия флуктуаций не должна превышать определенный уровень. Обычно это ограничение формулируется для логарифма амплитуды %. Считается, что дисперсия ^ должна быть значительно меньше значения 0,2 〜0,5. Это условие пригодно для коллимированного и расходящихся пучков, тогда как для сфокусированных пучков, как показали теоретические и экспериментальные работы, оно является необходимым, но недостаточным. В настоящее время окончательно область применимости МПВ для сфокусированного пучка не уста； новлена, и в этой главе мы надеемся внести ясность в данный вопрос.
Теории сильных флуктуаций используют следующие три подхода: 1) решение интегральных уравнений Дайсона и бете — Солпитера; 2) принцип Гюйгенса ——Френеля; 3) применение параболического уравнения. Эти три подхода тесно связаны ДРУГ
с ПРУГ°м， и в случае второго момента поля можно показать, чт0 они эквивалентны друг другу при определенных допуще- ни只х. Заметим, что хотя формальное решение для второго мо- мента получено в интегральной форме, из него часто невоз- можно получить простые выражения для различных статиста- чесКих величин и необходимо прибегать к численному анализу. В случае четвертого момента, который необходим при изучении флуктуаций интенсивности, имеющиеся решения еще менее удовлетворительны, чем полученные для второго момента.
В последние годы были выполнены тщательные экспериментальные исследования как в США, так и в СССР. В некоторых случаях они подтвердили выводы существующих теорий и одновременно показали значительное расхождение некоторых данных, указывающее на необходимость уточнения теорий.
Следует отметить, что недавно появились очень важные обзорные работы [5.3—9], которые дополняют хорошо известные монографии [5.1,2], и читателю настоятельно рекомендуется внимательно их изучить.
Прежде чем рассмотреть в деталях воздействие турбулентного поля показателя преломления на волновой пучок, рассмотрим его распространение в свободном пространстве, чтобы иметь здесь ясную картину.
Пусть волновой пучок Uo(「) распространяется в свободном пространстве в направлении оси а. В плоскости передающей апертуры (г = 0) волна имеет гауссово амплитудное распределение с размером % и фазовый фронт с радиусом кривизны R» Размер пучка % равен радиусу, при котором амплитуда уменьшается в «-】раз по сравнению с амплитудой на оси пучка; положительные или отрицательные значения R。соответствуют сходящемуся или расходящемуся пучку. Учитывая сказанное, запишем
"(0, @) = ехр 卜缁+ с•金)р2], (5.1)
Где 々 = (2兀)/入一-волновое число в свободном пространстве, % —— Длина волны и р ——радиус-вектор, отсчитываемый относительно ℃и %. Для удобства запишем выражение (5.1) в виде [5.10, 11]
4(0, @) = ехр[—(%)^ар2], (5.1а) где
°В произвольной точке свободного пространства (р, z) волно- в°н путок запишется в виде
4(Р，N)= ехр \ikz — 4 不餐]・(5.2)
Это выражение применимо [5.10] для дистанций а, удовлетворяющих условию
z《一戸一， (5.2а)
которое выполняется практически для всех трасс, встречающихся на практике. Интенсивность /0(р, ^) в свободном пространстве определяется выражением
/о(Р, %) = I Uo (@, а)卩=箒 exp (―备), (5.3) где
步=%[(1一a2力2+(昨)2]1/2
есть радиус пучка на расстоянии г от излучающей апертуры. Полная мощность пучка не зависит от г и определяется соотношением
匕=\/о(@, z)d@ = ^I^. (5.4)
Отметим также, что в случае коллимированного пучка следует считать R()f оо и аг = 0. Если пучок сфокусирован в точку наблюдения (n = Ro), то имеет место равенство а2^ = 1.
Разд. 5.1 и 5.2 посвящены соответственно флуктуационным теориям слабого и сильного взаимодействия атмосферной турбулентности с рассмотренным выше волновым пучком.
В разд. 5.3 дан обзор опубликованных в последнее время работ по оптическому дистанционному зондированию. Дистанционное зондирование атмосферных параметров становится в последнее время актуальной проблемой, так как этот метод является полезным инструментом для изучения структуры и динамики атмосферы. В частности, такие наблюдения необходимы для прогноза погоды и воздействия на климат, изучения загрязнений, службы оповещения об ураганах и обеспечения безопасности воздушного транспорта. В этой части мы рассмотрим последние работы по дистанционному зондированию интенсивности турбулентности, описываемой структурной характеристикой флуктуаций показателя преломления С„, и скорости ветра. Отметим, что таким способом можно зондировать только структурную характеристику флуктуаций показателя преломления^; структурная характеристика турбулентного поля флуктуаций скорости может быть получена отсюда косвенным образом благодаря наличию сильной корреляции этих величин.
Мы рассмотрим две стороны проблемы дистанционного зондирования. Во-первых, необходимо измерять средние величины вдоль трассы распространения. Несмотря на то что в этой области было опубликовано несколько успешных теоретических
Притео-Притео-й экспериментальных работ, все они находятся на ранней ста- дйИ развития, и проблема в целом нуждается в дальнейшей разработке. Отметим также, что большинство проведенных до настоящего времени исследований использует теорию слабых флуктуаций, в то время как на больших расстояниях или сильной турбулентности необходимо применять результаты рИИ сильных флуктуаций поля волны.
Притео-
Притео-
5・1・ Теория слабых флуктуаций
При слабой турбулентности или коротких дистанциях распространения можно ожидать, что флуктуации поля волны будут слабыми и можно использовать приближенные методы решения задачи. Теория флуктуаций поля волнового пучка в этом случае была развита на основе метода Рытова, детально изложенного Татарским [5.1, 2]. Первую попытку в этом направлении сделали Кон и Татарский для коллимированного пучка. [Пмельтцер [5.13], Фрид и Зайдман [5.14], Киношита [5.15] выполнили обширные исследования как для коллимированного, так и сфокусированного пучков. Исимару [5.10, 11] использовал спектральное представление для поля и получил корреляционные и структурные функции в случае локально однородной и изотропной турбулентности. Гебхардт и Коллинз [5.16] рассмотрели среднее значение логарифма интенсивности, используя результаты Шмельтцера. В этом разделе мы изложим в общих чертах теорию, развитую Исимару [5.10]. Здесь используется метод спектральных разложений и найденные таким способом результаты сводятся к результатам Шмельтцера, Кона и Татарского, Фрида и Зайдмана.
Пусть поле (7(г) удовлетворяет скалярному волновому уравнению
{W + 依[]+ 2© (г, 3 } U (г, /) = 0,(5.5)
в котором флуктуации показателя преломления 及i(r,/) предполагаются малыми по сравнению с единицей. Решение в прибли- *еннн МПВ записывается в виде
° (г, /) = UQ (г) ехр 屮 1 (г, /) = % (г) ехр [% (г, /) + iS{ (г, /)],(5.6)
屮№，?)= 爲内0("/)4(У)图*^丄"，(5.7)
интегрирование проводится по области 0 W a' W а. Вещественная % и мнимая Si части комплексной фазы г|)1 описывают соответственно флуктуации логарифма амплитудь! и фазы.
Введем поперечную к трассе скорость ветра Р и будем счи- ать，что изменения поля показателя преломления в данной точке
обусловлены главным образом поперечным переносом неоднородностей, а не эволюцией самой структуры турбулентности. В результате можно записать
П1 (г, /) = ^(г — V/, 0). (5.8)
Это предположение называется «гипотезой замороженности Тейлора» и является хорошим приближением при распространении оптического излучения в атмосфере.
Предположим, что флуктуации показателя преломления локально однородны и изотропны и, следовательно, могут быть представлены в виде спектрального разложения
勿(г, 0)=修(@, z, 0) = zii (0, z, 0) +
+，[1 一 ехр (汉・ р)] dv (х,力， (5.9)
где х и р ——соответственно двумерные волновой и поперечный векторы, а случайная амплитуда dv (х, г) удовлетворяет условию
(dv (х, z) dv* (乂‘, z')〉= Fn (x, z — z‘) 6 (x — 乂') dx dx‘.
Угловые скобки означают усреднение по ансамблю. Функция 尸％ (х, z) представляет собой двумерный спектр флуктуаций показателя преломления и связана с трехмерным спектром Ф« (х, х3) соотношением
，Fn (х, г) dz = лФп (х, 0), о
где хз — волновое число в направлении оси On. Используя приведенные выше соотношения, получим выражения для корреляционной и структурной функций флуктуаций логарифма амплитуды и фазы
ВХ = ВХ (рь @2, N, t) =〈％(@i, N, /)%(@2, N, f+力〉， 殳=殳(@1, @2, 2, t) =〈Sl(@l, 2, %)Si(@2, %,，+ 磅，(5.Ю) % =乌(@1, @2, N, t) =〈W(@i, N, /) —%(p2, %, ? + *『〉，
DS = DS (pb p2, N, t) =〈5(@i, N, /) —S1(@2, 2, / + 工)产〉・
В случае однородной и изотропной турбулентности функции 8% и Bs имеют вид
务Bs务Bsо оо о=2n2 \ dn £ d"” Re [厶(乂尸)I" |2 士 厶(％Q) 〃2]①九(м 哨.
务
Bs
务
Bs
о о
о о
(5.11а)
Дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды и фазы полу- ча1отся из (5.11а) при Р1 = р2 = р:
= 2л2 {對 \ dHH Re [/0 (2Yf%p)| Я |2 ± (炉)]Фп (х, П),(5.116)
где /0(г)= /о(^) — модифицированная функция Бесселя.
Для локально однородной и изотропно访 турбулентности имеем L оо
)} = 4冗2 \ dn \ dxx Re { [-| /0 (2урФ1) + ^h (2丫岬2)— 4 ("Р)]Х
Х|Я|2±[1-/о (乂 Q)]炉]仇仇，叫・(5.12)
В приведенных выше выражениях верхние и нижние знаки соответствуют верхним и нижним функциям. Здесь использовались также следующие обозначения:
I 〃 p =依 eхp [- Y叫"一")可，"2 = _ 奴 ехр [- i "，" X2],
V == % - %' P1 =(注 + 折)R P2 =(墙 + 飨d (5・ 13)
Р={ [(Y修一Y*%2 +乙力2 + (询一Y次 +乙明}吟
Q = { [Y (修一%2)+乙寸2 + [? (川-汝)+卜阀2}吗
В случае плоской волны область применимости МПВ для флуктуаций логарифма амплитуды обычно определяется следующим неравенством:
&V 0,2 〜0,5。(5.14)
Считается, что первое приближение МПВ для дисперсии фазы аз применимо даже в области сильных флуктуаций. Мы пока< 水ем в разд. 5.1.3, что условие (5.14) применимо также для дисПерсии флуктуаций логарифма амплитуды коллимированного пУчка, в то время как в случае сфокусированного пучка оно оказывается недостаточным.
5」・1・ Дисперсия флуктуаций логарифма амплитуды
будем считать, что атмосферная турбулентность описывается спектром Колмогорова — Обухова, модифицированным в области малнх волновых чисел фон Карманом:
叫(明 П) = 0,033J (叫《2 + y^yП/6 ехр (—詛，(5.15)
где 乂次=5,92//°,厶°,/о——внешний и внутренний масштабы тур. булентности. Структурная постоянная С« (т]) может зависеть от положения точки наблюдения вдоль трассы распространения. Дисперсию флуктуаций логарифма амплитуды ст； получим, под» ставив формулу (5.15) в (5.12).
Заметим, что подынтегральная функция в (5.12) пренебрежимо мала при 乂 V 2л/Л0, если выполняется неравенство V^ V 厶。・ Кроме того, влияние внутреннего масштаба оказывается также относительно небольшим. В итоге можно считать Л^1 = /0 —0. Предположим также, что интенсивность турбулентности однородна вдоль трассы распространения, т. е. будем считать величину С« постоянной.
При этих предположениях получим4”，р) = *(о,оззс力[—「(一•!)] 々7/6*
X Re \對{ [iy{L 一 n)产一旧亿一哨产日(一 * 1；第)卜 о
=2J76C彩7/6J/6 恤[g(叫]一g2 (心 p)},(5.16)
где
/г、6 .5/6 匸(51117 iaL \
gi(叫= TT" 2尸 V; T; 1 + ZaL ) *
g2 (哈 p) = ^[(a©2+：：-a2Z)2 r 典(一 "I，1 ；答)’
2尸1 (a, &; c;之)——гипергеометрическая функция, а i尸i (a, &; г) — функция Куммера. Заметим, что для случаев плоской ®Lf ->0, «2厶一6) и сферической (aiLf 8, azLf 0) волн функция g2 обращается в нуль и дисперсия о^ точно совпадает с результатами, полученными Татарским:
о^р (L) — 0,307С«й7/6Л11/6 — плоская волна, ① ⑺ 或s(L) = 0,124c次'б/?"' — сферическая волна.
Для коллимированного пучка (a2L-> 0) дисперсия о^ при-, ближается к значению о^р, когда c^Lf 6, и к величине ^5_ когда a，f оо. Если a^ « 1, то величина g2 становится за меткой и дисперсия о^ оказывается несколько меньше, чем °；s Такое поведение дисперсии впервые было предсказано Фридом и Зайдманом [5.14], а экспериментально проверено Хмелевцо- вым и Цвыком [5.17] (рис. 5.1). Заметим, что Хмелевцов и Цвык использовали трассу с отражением, в то время как выражение (5.16) записано для прямой трассы.
В случае сфокусированного пучка величины gi и g2 вычитаются друг из друга и дисперсия 彳 в фокусе (出丄=1) очень
сильно уменьшается. Это особенно заметно, когда нз- лучающая апертура велика (&[厶《1). Чтобы устано- вить уменьшение дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды, предсказанное теорией, были проведены несколько экспериментов [5.17,18]. Однако эксперименты показали либо полное отсутствие этого уменьшения флуктуаций, либо невозможность его обнаружения [5.19]. В частности, оказалось, что эксперимен-
Рис. 5.1. Зависимость дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды от R = =1/312)= лГ^/(Лг).Рис. 5.1. Зависимость дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды от R = =1/312)= лГ^/(Лг).тальное значение дисперсии
Рис. 5.1. Зависимость дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды от R = =1/312)= лГ^/(Лг).
Рис. 5.1. Зависимость дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды от R = =1/312)= лГ^/(Лг).
для сфокусированного пучка находится ближе к дисперсии коллимированного пучка, чем к величине, вычисленной по формуле (5.16) [5.17]. Позднее Керр и Эйс [5.19] указали на трудность установки приемника точно в фокусе пучка, чем можно объяснить в какой-то мере различие между теорией и экспериментом. Несмотря на это, в настоящее время применимость теории слабых флуктуаций для сфокусированного пучка подвергается серьезным сомнениям. Этот вопрос будет рассмотрен в следующем разделе. Прежде чем сделать это, мы займемся в целом проблемой распространения сфокусированного
пучка.
5.12 Средняя интенсивность и уширение пучка
Рассмотрим среднюю интенсивность </(А, р)> пуика. Записав поле (/(г) в виде
U (г) = % (г) ехр 仇 + z§), представим〈/(厶，р)〉в форме
〈/亿，р)〉= /°(厶 р)〈ехр(2%»
волновоговолнового(5.18)(5.18)「4е /0(Л, р) = I /70(г) |2 — интенсивность в свободном стве, определяемая выражением (5.3). В формуле пользовались обозначения %/ и St для значений флуктуаций ло- :ари$ма амплитуды и фазы в отличие от приближенного реше- п器обознаиаемого через % и Si и описываемого форму-
волнового
волнового
(5.18)
(5.18)
простран-(5.18) ис-простран-(5.18) ис-Имеются достаточные экспериментальные доказательства '「°, что по крайней мере при определенных условиях [5.17, 18]
простран-
(5.18) ис-
простран-
(5.18) ис-
распределение вероятностей флуктуаций интенсивности приближенно подчиняется логарифмически-нормальному закону. При этом предположении находим
〈/(" р)〉= /о(厶 Р)ехр[2〈м〉+ 2〈8-〈％〉)2〉]・(5.19)
Первое приближение МПВ (5.7) дает среднее значение〈％〉+ + i (51)ьравное нулю. Поэтому логарифм амплитуды, вычисленный в этом приближении, должен приближенно совпадать с величиной %/ ——〈％»〉. Отсюда ясно, что первое приближение МПВ (5.7) не дает результата для среднего значения уровня 〈％，〉. Было сделано несколько попыток [5.7, 16, 20] получить выражения для 〈％/〉в случае волнового пучка, используя высшие приближения МПВ. Обозначим полученные в приближении МПВ решения для <%/> и 〈(％/ —〈％/〉)？〉 соответственно через 〈％〉 и а^. Тогда для интенсивности в приближении МПВ имеем еле， дующее выражение:
〈/ (L, р)〉/0 (厶，р) ехр(2 ⑨ + 2唠.(5.20)
Предположим далее, что средняя интенсивность в поперечном сечении пучка распределена по гауссову закону
〈/(厶,р)〉= ^ехр(^|),(5.21)
в котором для интенсивности, соответствующей свободному пространству, введена, согласно (5.1), нормировка вида /о(0,0)= =1. Полная мощность
Pt=\<I(L, p)>dp(5.22)
должна быть равна излученной мощности, определяемой формулой (5.4).
Следовательно, уширение пучка за счет атмосферной турбулентности выразится в виде
1
〈/ (L 0)〉
Используя формулу (5.19), получим
步2
— ехр [— 2 仇〉一 2〈仇一 8〉У]р«=о・(5.24a)
В итоге уширение пучка, определяемое формулой (5.20), в приближении МПВ запишется в виде
蒜 а ехр ( — 2 ⑺ 一(5.246)
Бункин и Гочелашвили [5.20], используя результаты работы [Цмельтнера, вычислили величины〈%〉и 咤 содержащиеся в
условии коллимн-условии коллимн-формуле (5.246). Гебхардт и Коллинз [5.16] проделали анало- ^ЧНые вычисления для коллимированного и сфокусированного пучков. Бункин и Гочелашвили [5.20] пришли при 0^сФер)《1 к следующим выражениям для уширения рованного пучка:
условии коллимн-
условии коллимн-
(5.25)(5.25)(left =届 + 1,6不庐3加3L8/3,q》1,
(5.25)
(5.25)
гдегде4ff = ^ka^ + 1 fiCna^,3L\ Q《1,
где
где
2c^ff=Wbi 2а； = Го， Q =(。也尸・
При таком подходе неявно предполагалось, что приближения МПВ для〈启〉и〈(％£——〈％〉产〉применимы для любых значений р #= 0, закон сохранения энергии (5.22) выполняется, а значения <%/> и <(%/ ——〈％/〉)？〉 при р = 0 определяют параметр уширения пучка W^W^ Действительно, области применимости МПВ для коллимированного и расходящегося пучков почти совпадают с областями, соответствующими плоской и сферической волнам, в то время как область применимости МПВ для сфокусированного пучка оказывается существенно более ограничена. Последнее будет ясно из следующего рассмотрения.
Область применимости МПВ для флуктуаций логарифма амплитуды плоской и сферической волн определяется условием
痂=0,307C^7/6Lll/6《1.(5.26)
Реально величина может достигать значений 0,2 ~ 0,5. Предположим, что в случае волнового пучка область применимости МПВ для флуктуаций логарифма амплитуды также определяется условием
片亿,Р)< 1,(5.27)
「Де величина @(厶 р) определена формулой (5.16).
Рассмотрим случай, когда расстояние от оси пучка удовлетворяет условию р《Тогда функцию 因伍，Ь;а) в выражеНии (5.16) можно приближенно заменить на 1 +{a/b)z, что Дает
片(厶p)4片亿,0) + f爲.(5,28)
где
Для коллимированного пучка а2 — 0, а для расходящегося а2 V 0, следовательно, величина f не превышает 唸 При р W «. Отсюда видно, что условие (5.27) всегда выполняется если выполняется условие (5.26).'
Противоположная ситуация имеет место для сфокусированного пучка (他厶=1). В этом случае функция 厶 содержащаяся в (5.28), в фокальной плоскости становится равной
f = 1,36С^7/6Л11/6 (а，)-&£ = 0^28Cnk2LW^(5.29)
Поэтому условие (5.27) принимает вид
总(厶 0) +(0,428c證厶胱/з)無《i.(5.30)
Хорошо известно, что в фокальной плоскости величина о^(厶，0) мала, но второе слагаемое в формуле (5.30) может принимать большие значения на расстоянии, для которого условие (5.26) выполняется. Отсюда следует, что область применимости МПВ для сфокусированного пучка должна определяться условием / = О,428СЖ^о/3< 1.(5.31)
В итоге на основании формул (5.20), (5.22), (5.246), (5.28) можно сделать вывод, что средняя интенсивность для пучка определяется формулой
〈/(厶")〉= ^ехр(—青｝
% = 7^，刃2 =步狂包也产+ (1 一a2l沟， (5.32)
где f приближенно определена выражением (5.28). Аналогичный результат был получен Исимару [5.10]. Хмелевцов отметил, что в случае коллимированного пучка выражение (5.32) согласуется с формулой (5.25).
Как будет следовать из выражения (5.666), формула (5 32) согласуется с решением, полученным для функции взаимной когерентности в случае слабых флуктуаций, за исключением несущественной разницы в значении и поэтому формулу (5.32) можно считать обоснованным приближением для расчета уширения пучка при слабой турбулентности.
Бак [5.21] провел измерения уширения пучка, сфокусированного в плоскость наблюдения. Он показал, что на фиксированном расстоянии при заданной длине волны размер пучка Wb в фокальной плоскости в начале уменьшается при увеличении передающей апертуры Wq, достигая минимума, а затем в°з“ растает. Этот эффект легко объясняется с помощью формулы (5.32). В частности, в фокальной плоскости 92七=1) при Уве*
ичении W7。величина W уменьшается как W^ \ но при этом сла・ аемое (1—f尸 возрастает. Бак заметил также, что размер уика Wb увеличивается с расстоянием 厶 по закону, несколько превышающему линейную зависимость. Этот факт также следует из формулы (5.32).
Недавно Керр и Данфи провели тщательный эксперимент pg 18] со сфокусированным пучком в области слабых флуктуаций интенсивности. Они отметили, что в фокальной плоскости мгновенный размер пучка почти равен размеру в свободном пространстве, но сам пучок блуждает вблизи фокуса. Так как рассмотренное выше уширение пучка учитывает как блуждания ПуЧКа, так и мгновенное уширение, то рассчитанный размер ПуЧКа Wb в этом случае должен быть сравним с размером радиуса блужданий пучка. Эксперимент показывает также, что радиус корреляции флуктуаций интенсивности в фокальной плоскости сравним с размером пучка в свободном пространстве. Так как радиус корреляции можно рассматривать в качестве мгновенного размера пучка, то этот последний факт доказывает, что при слабой турбулентности пучок сохраняет свой мгновенный размер. При переходе к сильным флуктуациям пучок распадается на множество мелких пятен. Это явление будет рассмотрено в следующем разделе.
Угол прихода
Кон и Татарский [5.12] получили выражения для угла прихода Да в случае слабых флуктуаций интенсивности. Если волна распространяется под углом Да относительно оси %, то разность фаз ASi в двух точках, разнесенных на расстояние р в плоскости г, приближенно запишется как ASi 々рАа. Поэтому Дисперсия флуктуаций угла прихода определяется выражением
《Аа)2〉=理[^^],(5.33)
Me Ds(p) = <(ASi)2> — структурная функция фазы. Теоретические результаты Кона и Татарского проверялись экспериментально Борисовым и др. [5.22].
瓦1.4・ Временные частотные спектры
Временные частотные спектры слабых флуктуаций интенсив- плоской и сферической волн были получены Татарским 电1'2] и Клиффордом [5.23]. Обобщение этих результатов на ?лУчай волнового пучка было сделано Исимару [5.24]. Рассмот* РНм временной спектр флуктуаций логарифма амплитуды 呼式①) в т°чке наблюдения, расположенной на оси пучка. Он опреде-
ляется выражением
о
cos сот dr,
(5.34)
где временная корреляционная функция определяется равенством (5.10) при р! — р2 = 0. Выполнив интегрирование по 工, получим'
叭⑹=陪I 儿 W Ф« (%)(5.35)
о
где
L
底(乂) = \ 而 Re (I /гf—俏，力=exp [- / ? "誌"外 о
% = (/2 + 猾 У .
Спектр флуктуаций фазы 呼s (①)также определяется выражением (5.35), в котором следует заменить % на %, определив последнюю величину в виде
fs(x)= ^n Re(\h^ + h^).(5.36)
о
Аналогичным образом находим взаимный спектр флуктуаций логарифма амплитуды и фазы W^St заменяя в равенстве (5.35)友 на функцию f%St определенную выражением
7s (乂)=，曲 Im (— I 们2 —力2).(5.37)
о
Используя затем спектр атмосферной турбулентности ①拉(*) с учетом внешнего масштаба (5.15), получим
L
% (①))f一 (0,033以))dn Re (G1+ G2),
$J(5.38)
/cs (①)=岁■(0,033欧)\ 對 Im (一 G[ - G2),о
G尸呼e-* 传，一^； AC^ e-A^f
5=哼— ^； ВС2”4叫
G；z)—вырожденная гипергеометрическая функция, кото- 北兄 не"зависит от функции Куммера iFi(a,力；г). Детальные тео- ?еТические и экспериментальные исследования временных спект- %ов флуктуаций интенсивности оптических пучков до сих пор опубликованы.
5 2. Теория сильных флуктуаций
Как отмечалось в разд. 5.1.3, теория слабых флуктуаций применима, если дисперсия логарифма амплитуды удовлетворяет условию (5.26). Когда оно не выполняется, флуктуации считаются сильными. Было предложено несколько методов в -теории сильных флуктуаций интенсивности. Сюда относятся диаграммный метод [5.2,6, 25, 26], в частности полученные этим способом интегральные уравнения, включая уравнения Дайсона и Бете — Солпитера [5.26—5.28], метод параболического уравнения [5.2, 29——34] и, наконец, локальный метод малых возмущений [5.8,20]. Здесь применялся также феноменологический подход, использующий обобщенна访 метод Гюйгенса ——Френеля [5.35——42] как для слабых, так и сильных флуктуаций интенсивности. Так как в третьей главе эти методы уже обсуждались, то здесь мы рассмотрим только вопросы, имеющие прямое отношение к случаю волнового пучка.
Обобщенный метод Гюйгенса ——Френеля основывается на приближении, учитывающем флуктуации показателя преломления с точностью до величин второго порядка малости. Это эквивалентно предположению о гауссовом характере распределения флуктуаций логарифма амплитуды и фазы [5.41]. В настоящее время показано, что для второго момента поля все указанные подходы дают эквивалентные результаты. В случае четвертого момента с помощью метода Гюйгенса — Френеля недавно было получено [5.39, 41] относительно простое решение. Кроме того, сейчас получено несколько асимптотических реше^ нн百 для четвертого момента поля, основанных на применении параболического уравнения [5.8, 9, 44]. Опубликовано также несколько численных решений уравнения для четвертого мо- 緖нта и проведено сравнение с экспериментальными данными
5・2・1・ Функция когерентности в условиях сильных флуктуаций интенсивности
Как отмечалось выше, различные способы получения выра- Для второго момента поля в области сильных флуктуа- Н ： эквивалентны [5.43]. Поэтому в настоящем разделе будет °льзовано только решение, основанное на применении пара-
болического уравнения. Недавно было получено обоснование метода параболического уравнения.
Запишем волновое уравнение для скалярного поля U(r).
{V2 + fe2 [ 1 + Ei (г)]} U (г) = 0,(5.39)
где 81 (г) — флуктуации диэлектрической проницаемости. По> следние предполагаются малыми, так что приближенно верно равенство з (г) = 2及i (г).
Пусть волна распространяется в направлении оси г и ее комплексная амплитуда записывается в виде
U(r) = 〃 (г) ехр (/%).(5.40)
Так как комплексная амплитуда 〃(г) медленно меняется в направлении оси г, то, используя это обстоятельство, можно получить более простое дифференциальное уравнение вида
2ik ^^ + V勿(г) + й281 (г) 〃 (г) = 0,(5.41)
где V?——поперечный лапласиан.
Считая 81 (г) гауссовым случайным полем, запишем, согласно [5.2], следующее дифференциальное уравнение для среднего поля:
[2/ ^ + ^ + 1^А (0)]〈辽(г, @)〉= 0,(5.42)
где
Л (р) = 16冗2 \ J。(хр) ?九(х) 乂 dx.(5.43)
о
Решение этого уравнения имеет вид
〈а (р, а)〉= 〃о (@, а) ехр(— аог),(5.44)
где 〃о(р,之)一 поле в свободном пространстве, которое для волнового пучка определяется формул。访(5.2):
的(@，2)= T^? exp [ _ (号)г%}(5，45)
и
а0 = 2冗2炉 ) ①九(4)X dx.(5.46)
о
Для колмогоровского спектра (5.15) имеем
& = 0,033л2С^Ч[1, I； (乂小鬥，(547)
где гр (а, Ь\ г) — вырожденная гипергеометрическая функция,叱 торая не зависит от функции Куммера. Поскольку выполняете
условие 冗俏厶о = [(5,92厶о)//。]》1, то можно использовать приближение
巾@b；z)f Т^4^，RebVl,丨乞丨《1, (5.48) чТ0 дает значение ссо = 0,391 С^2Л05/3. В итоге когерентная составляющая интенсивности определяется выражением
丨①(г))卩=需 exp (一 ^ - 2a户)，(5.49)
которое дает такую же зависимость от поперечных координат, которая наблюдается в свободном пространстве. Затухание когерентной составляющей ехр(——2aoа) зависит главным образом от внешнего масштаба 厶.Заметим, что величина 2ао, отпреде- ляемая формулой (5.46), равна полному поперечнику рассеяния единичного объема турбулентной среды. В турбулентной атмосфере постоянная затухания 2ao велика, поэтому когерентная составляющая интенсивности, определяемая формулой (5.49), становится пренебрежимо малой уже на расстоянии нескольких сотен метров. Следовательно, интенсивность волны в турбулентной атмосфере определяется почти полностью некогерентной составляющей.
Дифференциальное уравнение для функции взаимной когерентности
Г(Р1, @2； z) =〈U(@i, z)U*(P2,力〉(5.50)
имеет вид
{ 2力论备 + (vl — V?2) + -^ [Л(0) — Л (pi — p2)]} Г (pi, @2, z) — 0・ (5.51)
Точное решение этого уравнения было приведено в [5.2]:
「(Pc, Pd, z) —^ М (乂办 @d ^^，°)义
X exp [zx^ • Qc — H (乂力久，z)] d%, (5.52) Me @c = |-(@i + @2), n = P] —@2, а функция M связана с функ- ¥ей взаимной когерентности Г(рс, р^, 0) преобразованием Фурье
М(% @小 0) = £ 卜(@с,僞,0) e"d& 加. (5.53) Функция Н определяется выражением
Н (%,筛,力=44 В (0) —』(@d — 晉夕)]%(6.54)
о
Решение уравнения （5.52） можно записать в другой форме
F （К，Pd，2）=（蟲У 卜К \ d犷（唠壮,0） X
X exp [i J （虱 一 ％）（儿 一 %） 一 "（n，爲，0],（5.55）
где
”（@d，％，N）= 4~ \ { 4 ⑼ _ { [@d _ （@d —壮）W] }"" о
d = @d —（晉）г. В случае волнового пучка имеем следующие представления: F（@c @力 0） = ехр（-萼р；-萼Р^） =
=exp { — 々[出（p^ +|p^） + 沁2久•储]}，（5.56a）
m（Y办 @办 0）=诟^1 旳（一々S* - I£ ：2Pg L）.（5.566）
Чтобы провести вычисление интегралов в формуле （5.52） или （5.55）, необходимо рассмотреть функцию ", определенную выражением （5.54）:
А （0） 一 4 （р） = 16n2 \ [1 — 厶（кр）]①九（乂） 乂 dx・ （5.57）
Интеграл в формуле （5.57） не существует для колмогоровского спектра вида （5.15）. Воспользуемся однако выражением для спектра в следующей форме:
Фп 仇）=0,033С^ （炉 + 咨）-"“exp （— £）=
=①加（X）-①1 （к,厶о）-①2 （х,乙0, /0）.（5.58）
Здесь Фп0 не зависит от внешнего Lo и внутреннего /0 масштабов турбулентности; Ф1 описывает влияние Lo, а ①2 описывает влияние 厶 и /0. Введенные функции Фпо, Фь ①2 определяются следующим образом:
①破仇）= 0,о33ем一叱
Ф1（%,及）=0,033欧卜山3一仔+玄[口，
①2 （匕,L。, /о）二 0,033Сп （乂2 + "^）[1 — exp
Теперь заметим, что функция Ф2 пренебрежимо мала при 乂 V 々％俏 благодаря множителю [1——exp(--x2/xm)], кроме того, масштаб 厶о почти не влияет на значение Ф2. Учитывая сказанное, можно аппроксимировать Ф2 выражением вида
ф2 (%, £о, /о) Q ①2(Х2, /о) = 0,033。靓-"/3 Г 1 — ехр
далее получим выражение для функции Л (0) — Л (р). Вклады, соответствующие слагаемым Фп0, Фь ①2，записываются в форме 16冗2^ [ 1 — J。仇р)]①九(х)xdx = X0(Р)— 4(Р, М) — 4(Р, /о), (5.59) о
Ло(р) = 5,83С^р5/3,
4 (р,厶)=сЦ5,83р5/3 一 3,127/Т 一 з, 109 亿°р严К_5/б (£-)],
Ач (р, /о)=Сд |б,83р5/3 — 17,404x^5/3^iFi (^—|*, 1;宇~)—】]}•
Заметим, что имеют место соотношения 4fo при &->оо и 42fo при /о-^О. Кроме того, функции А{ и Л2 можно разложить в ряды соответственно по степеням (l/厶。)и /0. Анализ выражений (5.59) приводит к следующим простым формулам:
Д(0)~Л (р) = 6,56个爲р</0,(5.60а)
=5,83С^р5/3,/0<р< 厶，(5.606)
= 3,127。"沪，L0<P-(5.60b)
Поскольку в выражении (5.52) содержится множитель ехр (—Н), то существенный вклад в интеграл вносит область, в которой выполняется неравенство "《1. Следовательно, при различных расстояниях можно использовать удобные для анализа приблиЖенные формулы. Рассмотрим, следуя [5.35], три случая:
а) 2》&, б)鋒》z》а。， в) 2c》2,(5.61)
соответствующие выражениям (5.60а) — (5.60в). Величины а, и 互 определены равенствами
а, = (О,39С 储的二
厶=(0,3*讃廓)二
诃=^ +点+ 2,19或6氏3.诃=^ +点+ 2,19或6氏3.(5,62в)(5,62в)
诃=^ +点+ 2,19或6氏3.
诃=^ +点+ 2,19或6氏3.
(5,62в)
(5,62в)
Рассмотрим отдельно каждый из этих трех случаев. Заметим вначале, что в большинстве ситуаций при распространении в ат, мосфере выполняется условие (5.616).
z》刁(5.61а). Этот случай редко встречается при типич. ных атмосферных условиях и соответствует очень большим дли- нам трасс. Подставляя в этом случае выражение (5.60а) в фор. мулы (5.52) и (5.54) и используя выражения (5.55) и (5.56), получим '
Здесь размер пучка W определяется в виде
呼2=胱[q12)2+(1 一a2力马+ 4,38e詬吗*
壶(1+春)+ 阳一1^ 严，L 备尸，(5.626)
戶=¥(1 + 身一 生+ £, 8 = 0,906м>4М
2 \ 丿 2% k
Заметим, что при 2f оо радиус пучка W увеличивается по закону 乞3/2, а радиус корреляции, равный р-1/2, уменьшается как к】/?.
Фейзулин и Кравцов [5.40] рассмотрели уширение и получили следующую формулу для поперечного размера пучка:
Нетрудно показать, что в случае коллимированного пучка (竄2工=0) его размер W2. определяемый формулой (5.626), точно совпадает с выражением (5.62в),если положить IV2 = 2(р2) n皿=2乐.
27》z》勿(5.616). Это условие наиболее часто выполняется на практике. В этом случае функция А (0) — А (р) определяется формул。访(5.606). Подставляя (5.606) в выражение (5.54), получим
г (ре р" z)=粤,d/exp(一 ар2 - &42 + cpd - ^d +，Yd - P. - ")'
(5.63)
c = ^[a任_^ (1 -a22)],"=1,46,々七m尸争/ "，
Отсюда средняя интенсивность <Z (рс, z)〉запишется в виде 〈/(Рс，2)〉=「(@с・爲①=^J ^х/0(%Л)ехр(-Ьн^Н\ (5.64а)
Н = 0,547%炉/328/3咽3.
Еслх пренебречь в показателе экспоненты слагаемым 匕乂^ по сравнению с Н> то интеграл (5.64) можно вычислить при = 0, что дает выражение для интенсивности на оси пучка, полученное Лютомирским и Юрой [5.36].
Используя замену %乂^ =看2, запишем выражение (5.64) в следующем виде:
〈/(£,»〉=響，/d仇(^)ехр[-/2—(1/2)%5/可，(5.646) где
/ = 2 7Грс/Г,Ds = 6,2С/咦8/3旷5/з.
В фокальной плоскости функция Ds становится равной 厶=1,95或必z!卜沪.
Это согласуется с выражением (5.756), полученным Банахом и др. [5.41]. Функцию когерентности при осесимметричном разносе точек наблюдения рс = 0 можно получить из выражения (5.63), и она имеет вид
r(0，Pd，N)=粵，原产d j 妗 exp (- 础-b* + %Pd cos 小一"), 0°(5.65)
где
"=1,46 \ ^C\ 卜产(备乂 J 一 2 备% Pd cos 寸" % о
Выражения (5.64) и (5.65) не удается выразить через извест- НЬ1е Функции, и необходимо проводить численный или асимптотический анализ. Так как в формуле (5.65) использовалось при- олижение (5.606), то внутренние и внешние масштабы не вхо- "ят в решение. Чтобы учесть их влияние, необходимо исполь- зов啓ь выражение (5.59).
На рис. 5.2 показана средняя интенсивность〈/(0,2)〉на оси 追ка как функция расстояния, рассчитанная по формуле (5.64). н РИс- 5.2 видно, что в турбулентной среде средняя интенсив- "JR сфокусированного пучка становится близко访 к интен-
Ости коллимированного пучка на небольшом расстоянии^
Рис. 5.2. Зависимость средней интенсивности коллимированного и сфокусированного пучков от расстояния.
В рассмотренном примере параметр 1/а1 = лТГ^/Л равен 13 км, а дисперсия флуктуаций логарифма интенсивности плоской волны 喙 принимает значение 0,5 на расстоянии 1,92 км.
На рис. 5.3 изображена рассчитанная по формуле (5.64) средняя интенсивность </(рс, г)> коллимированного пучка в зависимости от расстояния до оси рс, нормированная к ее значению при рс = 0. Здесь же приведена рассчитанная по формуле (5.65) функция взаимной когерентности при осесимметричном разносе точек наблюдения (р, = 0) в зависимости от расстояния между точками наблюдения. Соответствующие интегралы вычислялись с помощью ЭВМ. Как видно из рисунка, на короткой дистанции 2 = 0,5 км расширение пучка незначительно, но радиус когерентности уменьшается почти до 1/4 своего значения в свободном пространстве. Действительно, разнос точек наблюдения, при котором функция взаимной когерентности У°ь： вает в о-】 раз уже при г = 100 м, составляет 1/2 величины, с°“
33Q8Q8OfiOfin = 5 кмn = 5 км「优04)「优04)^Л0)^Л0)华华22226 турбулентной атмосфере6 турбулентной атмосфереКоллимированный пучокКоллимированный пучок% = 0,05мX = 0,6 мкм% = 0,05мX = 0,6 мкм 红g/с)? g турбулентной q 色 0)〉атмосфере 红g/с)? g турбулентной q 色 0)〉атмосфере§ свободном пространстве§ свободном пространстве%%Q8Q833q州q州.A名=“S KM.A名=“S KMв свободномв свободном05一:05一:0,0050,005「⑵0，儿/) "-гмо)в Z-0,5 км「⑵0，儿/) "-гмо)в Z-0,5 кмв турбулентнойатмосферев турбулентнойатмосферепространстве турбулентной атмосферепространстве турбулентной атмосфере4加下戸心Рd或 н/0*"%W = 0,05 м 入=Q6 мкм4加下戸心Рd或 н/0*"%W = 0,05 м 入=Q6 мкм
3
3
Q8
Q8
Ofi
Ofi
n = 5 км
n = 5 км
「优04)
「优04)
^Л0)
^Л0)
华
华
22
22
6 турбулентной атмосфере
6 турбулентной атмосфере
Коллимированный пучок
Коллимированный пучок
% = 0,05м
X = 0,6 мкм
% = 0,05м
X = 0,6 мкм
红g/с)? g турбулентной q 色 0)〉атмосфере
红g/с)? g турбулентной q 色 0)〉атмосфере
§ свободном пространстве
§ свободном пространстве
%
%
Q8
Q8
3
3
q州
q州
.A名=“S KM
.A名=“S KM
в свободном
в свободном
05一:
05一:
0,005
0,005
「⑵0，儿/) "
-гмо)в Z-0,5 км
「⑵0，儿/) "
-гмо)в Z-0,5 км
в турбулентнойатмосфере
в турбулентнойатмосфере
пространстве турбулентной атмосфере
пространстве турбулентной атмосфере
4加下戸心Рd
或 н/0*"%
W = 0,05 м 入=Q6 мкм
4加下戸心Рd
或 н/0*"%
W = 0,05 м 入=Q6 мкм
0片
0,02 "04 。06。08 0J0 0Д 少4 016 018 八 сyt^^CiM
Рис. 5.3. Коллимированный пучок. Зависимость нормированной средней интенсивности от расстояния до оси пучка рс и нормированной функции взаимной когерентности от расстояния р~ (ПРИ Р, ^。)・
Сфокусированный пучок
0勿0龙 0/4 血6 0,08 О',10 0” 0,1k 0,16 0J8 住 〃〃〃&，"
Рнс. 5.4. Сфокуси рованный пучок. Зависимость нормированной средней интен- 澀ностн от расстояния до оси пучка р, и нормированной функции взаим- ” когерентности от расстояния между точками р~ (ПРИ Рс = 0)«
ответствующей свободному пространству. На расстоянии 之= =5 км пучок существенно уширяется и одновременно значив тельно уменьшается радиус когерентности. Радиус взаимной когерентности характеризует размер мгновенной спекл-картины флуктуаций интенсивности, и, следовательно, уменьшение ра. диуса когерентности означает, что пучок распадается на отдельные мелкие пятна [5.18].
В случае сфокусированного пучка (рис. 5.4) на расстоянии г = 500 м пучок слегка расширяется, но в отличие от коллимированного пучка радиус когерентности не сильно отличается от величины, соответствующей свободному пространству, что согласуется с экспериментальными данными [5.18]. При г = 5 км сфокусированный пучок расширяется и радиус когерентности становится почти таким же, как и в случае коллимированного пучка. Это означает, что на таком расстоянии фокусировка практически не возможна, а спекл-структуры сфокусированного и коллимированного пучков отличаются незначительно.
Отметим также, что радиус_когерентности поля плоской волны приближенно равен “九2 при слабых флуктуациях. В случае коллимированного пучка (см. рис. 5.3) радиус когерентности на расстоянии 2 = 0,5 км близок к значению д/九乞 = ==0,0173. Однако на расстоянии а = 5 км он оказывается меньше, чем "九а =0,547. Для сфокусированного пучка радиус когерентности значительно меньше, чем "九z даже при z = 0,5 км.
Полезно провести анализ выражения (5.63) в предельном случае слабых флуктуаций и сравнить получаемый результат с результатом теории слабых флуктуаций (5.32). Для слабых флуктуаций в выражении (5.63) можно положить ехр (—〃)二 4 1 —Н. Тогда, выполнив интегрирование, получим
〈/ (仇,Z)〉=厚 - 0,547爆管3 Kv) х
XiQ(*l；—將)]•(566a)
Разложим функцию Куммера i尸i в ряд и, удерживая первые два члена разложения, приближенно совпадающие с экспоненциальной функцией, получим
〈/ (Рс, %)〉= ^(1 - 〃 ехр (- 割，
гдегде『1,63咪吨叫砌帝中产『1,63咪吨叫砌帝中产
где
где
『1,63咪吨叫砌帝中产
『1,63咪吨叫砌帝中产
(5.666)
функция f в выражении (5.666) определена формулой (5.28). Сравнивая формулы (5.666) и (5.32), находим, что они дают одинаковый размер пучка Wb- Наблюдающееся различие между формулами (5.666) и (5.32) при рс = 0 состоит в том, что пер- содержит сомножитель 1 ——fSi в то время как в формулу (5.32) входит сомножитель 1—f. Это различие оказывается несущественным, так как функция fs лишь в 1,2 раза превышает /.
2с》z (5.61в) . При выполнении этого условия влиянием внутреннего масштаба можно пренебречь, в то время как влияние внешнего масштаба оказывается основным. Поэтому в расчете необходимо использовать выражение
(0) — Л (р) = 4 (р) — А[ (р, Lo)=
=片[3,127^/3-3,109 (厶炉6 К 一5/6(仑)}(5.67)
Некоторые расчетные результаты для таких условий были опубликованы недавно в работе [5.46].
Временной частотный спектр [5.46, 47]
Если считать перпендикулярную к трассе компоненту скорости ветра постоянной за время корреляции рассматриваемого процесса, то параболическое уравнение (5.51) для функции когерентности второго порядка можно привести к виду {2欣 ^ + 隱 一 vy + 岑[4 (0) - 4(6 — @2 — V砌} X
口X Г (Рь р2, 2, t) = 0, (5.68)
где
Г (Рь Р2, N, т) =〈U (Рь г, / + т) U* (р2, z, /)〉•
Уравнения (5.68) совпадает с выражениями (5.52) или ；・Ь5)： если в них функцию А (р) заменить на 4(р —Vt). Вре- и ；н°и спектр Wf(z, Q) в точке наблюдения, расположенной на пучка, определяется выражением
吃3, Q) = 2 J Г (0, 0, г, т) e-^^ dr.(5.69)
При выполнении условия а》z》Nc после вычислений полу« чим
吃⑵ R) = ^,d/ , ЙТexp(— b^ — H — ZQt), (5.70)
где
/у = 1,46 \ k2Cn Vt — 乎夕 5/3 dzf.о
Детальное рассмотрение временного частотного спектра Wf(z, Q), за исключением случая плоской волны [5.46], не проводилось.
Двухчастотная функция когерентности
Функция когерентности волновых полей, имеющих разные частоты (々1 = si/с и 々2 = 82/^), удовлетворяет следующему параболическому дифференциальному уравнению:
3 ^ +*%「靑П + 4 {闿4 (0) 十好儿(0)一尼也X
X [4 (Pd — Vt) + & (Pd — VQ]}) Г = 0,(5.71)
где
〈U (Рь N, / + £ 瓦)U* № z, /,局)〉=
=Г (Pi, Р2, а, т,瓦，局)exp [―心1 (/ + 叫 + W],
4 (@) — 16冗2，/о (xp)①九 1 (x) x dx,(5.72)
о
Ф„1 ——спектральная плотность флуктуаций показателя прелом； ления на частоте 々〔.Функция Д2(р) определяется формулой (5.72), в которой следует заменить ФП1 на спектральную плотность Фп2, соответствующую частоте 々2・
Двухчастотная корреляционная функция используется при изучении распространения импульсного излучения, в частности, широкополосных импульсных сигналов [5.48, 49].
Моменты поля четвертого порядка
Параболическое уравнение для высших моментов, полученное разными способами в работах [5.2, 28, 32, 33, 50], имеет один и тот же вид
[2/ -^ + (Ai + ... + A九一Aj - ... - Ю + -^- Fnn^ 1\加 ^^
где
=〈и ®，N)…и 虱，2)и* ®，N)・・• и* (Р；, Z)〉，
a Ai .. - ^ ^ • • • ^т-^ поперечные лапласианы по координатам Pi • • • Р〃，Р； @J соответственно. Функция Fnm определяется выражением
n nn mпт
乙尸自耳"® - Р/)- 2自g *⑼-Р。+ 2 £/ (& -吟・
В настоящее время строгое решение этих уравнений даже в случае четвертого момента не найдено, однако имеется ряд приближенных решений, опубликованных в работах [5.2, 8, 9, 20, 44].
Наряду с другими способами четвертый момент вычислялся с помощью обобщенного метода Гюйгенса — Френеля. При этом оказалось, что в случае сфокусированного пучка [5.31,41] полученные результаты удовлетворительно согласуются с экспериментами.
В методе Гюйгенса — Френеля поле U (р, г) в точке наблюдения выражается через поле Uo(p', 2)на передающей апертуре U(p,力=击 \ 4 (И exp ^kz + 八”世 + 巾(p, g]如‘，(5.74a)
где So ——поверхность излучающей апертуры, *ф(р,(/)——случайная часть комплексной фазы сферической волны, распространяющейся из точки (0, p'j в точку (р, N) и которую можно вычислить, например, с помощью МПВ в виде г|)= % + zSi. Полученное таким образом решение дает хорошие результаты даже в области сильных флуктуаций [5.41]. Однако оно основано на приближении МПВ и его область применимости не установлена. Если бы удалось решить параболическое уравнение для случая волнового пучка, то оно дало бы более адекватное реше- ние・ Однако в настоящее время такое решение не получено.
Запишем второй момент интенсивности /(р, а), используя выражение (5.74а),
〈/ (Pl，N) / (@2, N)〉=〈U (Р1, 2)U* (Pl, N) U(Р2, 2)〃* (「2,力〉・(5.746) Прн вычислении второго момента интенсивности (5.746) предположим, что для сфокусированного пучка флуктуации интенсивности определяются главным образом флуктуациями фазы парннальнмх волн:
屮=% + д§[ ^ iS[,
:е；ам” Флуктуации фазы Si являются гауссовыми случайными ичинами. При этих предположениях в работе [5.41] была
вычислена нормированная дисперсия флуктуаций интенсивности сфокусированного пучка в точке наблюдения
(5.75а)(5.75а)干=舞-1
(5.75а)
(5.75а)
и показано, что она зависит только от структурной функции фазы Ds：
Ds = & (%) = 1,95d必厶呼記(5.756)
Величина в имеет максимум (07 макс = 1,4) при Ds Q 50.
Несмотря на то что эквивалентность метода Гюйгенса — Френеля и решения параболического уравнения установлена для второго момента поля, она отсутствует для моментов четвертого и более высоких порядков. Дальнейшие усилия должны быть направлены на решение параболического уравнения для четвертого момента поля и исследование эквивалентности этого решения с результатами метода Гюйгенса — Френеля.
6.2.5. Уширение пучка при большом и малом времени усреднения
Если поместить фотографическую пластину на пути распространения светового пучка и зарегистрировать его размер, то можно заметить следующее. На короткой дистанции форма пучка в турбулентной среде по существу остается такой же, как и в свободном пространстве, но пятно пучка блуждает около невозмущенного положения из-за случайного характера среды. Поэтому если время экспозиции мало по сравнению с характерным временем блуждания пучка А/ (которое имеет порядок отношения размера пучка к скорости ветра), то зафиксированный таким образом размер пучка будет почти таким же, как в сво бодном пространстве. Такой радиус р$ называют мгновенным. Если время экспозиции много больше А/, то блуждания центра тяжести пучка рс наряду с мгновенным уширением порядка ps внесут свой вклад в зарегистрируемую картину. В этом случае будем иметь полное уширение пучка р^, которое связано с величинами р$ и рс соотношением
®〉= Е〉+〈Р》・(б?®
Математически полное уширение пучка определяется выра-* жением
(5.77)(5.77)卜/ (р, 2)〉р2 dp卜/ (р, z)〉dp
(5.77)
(5.77)
где величина <7(р, г)> = Г(р, г, 0) определена формулой (5.64)< центр тяжести рс пучка определяется выражением
\ / (р, n) Р dp
Рс=7・(6.78)
\〈/ (р, z)〉dp
Следовательно, имеем
\ \(Pi, z) /(Р2, z)〉(Pi • р2)dpi dp?
〈暗二口小吋一•(氏79)
Существует несколько приближенных расчетов этих величин. Заметим, что средний размер пучка IF2 в формуле (5.626) эквивалентен величине 2<р^ при условии г > г.：
〈Р》=-/ [Q瑋У + (1 - а2г)2] + 2,2。訪曉3.(5<80)
В случае 2《z, было показано, что
<Р1> = U [(а向2 + (1 -电2)2] + ^,(5.81)
где ро определяется выражением
р0 = [1,46^2 (3/8)]~3/5.(5.82)
Мгновенное уширение пучка в различных ситуациях рассмотрено в работе Фантэ [5.9].
На больших расстояниях блуждания пучка по отношению к его полному размеру становятся меньше, а пучок распадается на множество случайно расположенных в поперечном сечении пятен. Получающаяся при большой экспозиции картина представляет собой размытый вариант картины, получаемой при короткой экспозиции, однако радиусы пучков примерно совпа- "ают. Из выражения (5.76) видно, что 〈р^〉 для области силь- нмх флуктуаций интенсивности будет много меньше, чем /р?) ИЛИ /р2\
Экспериментально было показано [5.18], что характерное %емя блуждания пучка имеет порядок 1 с. Эти блуждания Р^водят к замираниям в лазерных системах связи, работаю- х в атмосфере, и поэтому являются существенным фактором.
Показано и подтверждено экспериментом [5.51], что блуждания пучка можно устранить, используя быстрое отслеживание излучателем.
Оптическое дистанционное зондирование
Дистанционное зондирование различных параметров атмосферы в последние годы приобретает все большую значимость, так как оно является новым инструментом изучения структуры и динамики атмосферы и может быть использовано для прогноза погоды, целенаправленного воздействия на погоду, контроля загрязнений, предупреждения штормов и обеспечения безопасности воздушного движения [5.52].
Дистанционное зондирование можно разделить на два типа: пассивное и активное. Пассивные системы зондирования основаны на приеме естественного излучения окружающей среды. Им может быть, например, излучение газовых и аэрозольных составляющих атмосферы, излучение Солнца, Луны или планет. Активные системы зондирования основаны на взаимодействии посланного излучателем сигнала с окружающей средой или целью, результаты которого затем наблюдаются и измеряются [5.53, 54]. В качестве примеров приведем радар, лидар, устройство акустического зондирования и методы просвечивания атмосферы.
Атмосферная турбулентность вызывает флуктуации показателя преломления воздуха, которые в свою очередь приводят к флуктуациям амплитуды и фазы распространяющегося волнового пучка. Следовательно, о характеристиках турбулентности можно судить из наблюдений флуктуаций параметров оптической волны. С помощью оптического зондирования можно определять такие характеристики, как интенсивность турбулентности, описываемую структурной характеристикой Сп, и скорость ветра. Дистанционное зондирование этих параметров допускает две возможности. Наряду с определением усредненных по трассе величин можно находить профиль зондируемых характеристик вдоль трассы распространения. Мы рассмотрим эти возможности зондирования в следующих разделах.
В настоящее время работы по методам дистанционного зондирования почти полностью основываются на теории слабых флуктуаций, и поэтому в случае оптического диапазона эти методы применимы только на расстояниях порядка нескольких километров. На больших расстояниях необходимо использовать теорию сильных флуктуаций. По-видимому, в литературе отсутствуют публикации серьезных исследований по дистанционному зондированию в области сильных флуктуаций интенсивности.
• Дистанционное зондирование усредненной
вдоль трассы структурной характеристики Сп
Известно, что в условиях хорошо развитой турбулентности флуктуации скорости имеют колмогоровский спектр. Такие характеристики атмосферы, как потенциальная температура и масса водяного пара, переносятся полем скоростей турбулентного потока как консервативные примеси, и поэтому характеристики Их флуктуаций также описываются колмогоровским спектром (см. гл. 2). В оптическом диапазоне влиянием влажности можно пренебречь, считая, что флуктуации температуры описываются колмогоровским спектром. Поле показателя преломления связа-
Но с температурным полем формулой
(5.83)(5.83)N = (〃一 1) 106 = 7 衅,
(5.83)
(5.83)
где Р ——атмосферное давление в миллибарах, Т — температура в градусах Кельвина. Связь между давлением и температурой определяется процессами теплопереноса в турбулентном потоке. Считая время жизни турбулентных неоднородностей коротким, можно рассматривать процесс переноса тепла как адиабатический. В результате имеем
(5.84)(5.84)6Р _ Y 6Ту- 1 Т
(5.84)
(5.84)
где у = Cp/Cv = 1,4, Cv и Ср — удельные теплоемкости воздуха. Следовательно, структурная функция показателя преломления Dn(r) связана со структурной функцией температуры DT{r) соотношением
a⑺=脸2/3,医⑺=0分2/3, a =代告亲10-6)a.(5.85)
Важно отметить, что при дистанционном зондировании оптическим пучком определяются флуктуации показателя преломления в турбулентном потоке, а не флуктуации поля скоростей. Как отмечалось выше, эти две величины тесно связаны друг с Другом. Тем не менее в некоторых случаях, например при безразличной стратификации температуры в атмосфере могут су- Щес1ж)вать флуктуации скорости при малых оптических эффек-
Структурная характеристика С« турбулентности может быть получена из измерений дисперсии флуктуаций логарифма ин- ；Г^^н℃ти оптической волны при использовании формул
^n z = 1,228fe7/6LH/6C^ (плоская волна),
с (5.86) о；п/= 0,496^7/6〃 1/6* (сферическая волна),
где k = 2л/Х — волновое число, L ——длина трассы. Для волно вого пучка воспользуемся формулой
唸/ = 4皆(L, р), (5.87)
в которой величина а^(L, р) определяется выражением (5.16).
Измерения флуктуаций логарифма интенсивности необходимо проводить приемником с апертурой, малой по сравнению с радиусом пространственной корреляции этих флуктуаций, который приблизительно равен радиусу первой зоны Френеля V^ для плоской и сферической волн. Для коллимированного пучка радиус корреляции также имеет порядок величины "^ в то время как для сфокусированного пучка эта величина мо^ жет оказаться значительно меньше (см. рис. 5.3 и 5.4).
Дистанционное зондирование усредненной по трассе поперечной скорости ветра
Дистанционное зондирование усредненной по трассе поперечной скорости ветра проводилось в последние годы авторами работ [5.24, 55—59]. В этом разделе мы рассмотрим следующие три метода дистанционного зондирования скорости ветра: а) метод, основанный на измерении временного частотного спектра флуктуаций интенсивности поля, б) метод временного запаздывания, в) метод наклона корреляционной функции.
Метод、основанный на измерении временного спектра
Картина флуктуаций интенсивности поля оптического пучка вблизи приемника переносится поперечным ветром, и чем больше скорость ветра, тем быстрее ее перемещение. Поэтому следует ожидать, что с увеличением поперечной скорости ветра частотный спектр флуктуаций амплитуды и фазы будет сдвигаться в сторону высоких частот. Следовательно, можно определить среднюю скорость ветра из измерений спектров этих флуктуаций. Возможны три способа определения скорости ветра: 1) по форме спектра, 2) по отношению спектров на двух частотах, 3) по когерентности составляющих спектров излучения на разных длинах волн.
В соответствии с результатами теории форма спектра флуктуаций логарифма амплитуды имеет следующий вид: на низких частотах спектр почти не изменяется, а на высоких частотах убывает по закону 尸戸(рИС< 5.5).
Для плоской и сферической волн выражения для спектров следуют из формулы (5.38), а асимптотики спектров имеют следующий вид:
Рис. 5.5. Теоретические частотные спектры флуктуаций логарифма амплитуды.Рис. 5.5. Теоретические частотные спектры флуктуаций логарифма амплитуды.плоская волна
Рис. 5.5. Теоретические частотные спектры флуктуаций логарифма амплитуды.
Рис. 5.5. Теоретические частотные спектры флуктуаций логарифма амплитуды.
。2
叭 р f 0,8506 -у-奴”7/3,f о,
e2/ f、一8/3
叭p f 2,192令奴空7/3⑴,f f 8；
сферическая волна
匕s — °, 1905 学奴/з 厶 7/3,f — о,
IT%sf 2,192串眇/3L7/3心)脾，f-8,
(5.88a)(5.886)(5.88a)(5.886)(5.88в)(5.88г)(5.88в)(5.88г)где % = l/ (й/£)1/2/(2л) = 0,4厂/“九厶,V — поперечная скорость ветра. Соотношения (5.88) получены в предположении постоянной вдоль трассы скорости ветра. Скорость ветра Ь, определяемая выражением (5.88), будет близка к средней скорости ветра, ес〃н эта величина слабо изменяется вдоль трассы. Однако если скорость V изменяется вдоль трассы существенно, то необхо- аимо применять более общие формулы [5.24].
(5.88a)
(5.886)
(5.88a)
(5.886)
(5.88в)
(5.88г)
(5.88в)
(5.88г)
Спектры, полученные экспериментально, как правило, совпа- “ают с расчетными кривыми, изображенными на рис. 5.5. ПоЭТОМУ форма спектра и, в частности, значение частоты %, при которой приведенные выше асимптотики пересекаются, позвоЛяют надежно определять скорость ветра. Заметим, что час-
Рис. 5.6. Теоретическое отношение временных частотных спектров для оптических частот k\ и 员.Рис. 5.6. Теоретическое отношение временных частотных спектров для оптических частот k\ и 员.тота, соответствующая точ^ ке перегиба fc равна 1,43 /0 для плоской и 2,6 fо для сферической волн.
Рис. 5.6. Теоретическое отношение временных частотных спектров для оптических частот k\ и 员.
Рис. 5.6. Теоретическое отношение временных частотных спектров для оптических частот k\ и 员.
В изложенном выше методе необходимо измерять флуктуации интенсивностя волны на одной частоте. В то же время частоту fc бывает трудно определить экспериментально. Если применить две волны с разными несущими частотами, то мы получим дополни
видно, чтоивидно, чтоиwM~\kJwM~\kJпри ff 0при ff 0項而一旧丿項而一旧丿При f f 8.При f f 8.(5.89a)(5.896)(5.89a)(5.896)тельные данные, из которых удается извлечь больше информации. Можно сравнить спектры на двух несущих частотах 也 и 局 и вычислить их отношение. Из выражений (5.88а — 5.88г)
видно, что
и
видно, что
и
wM~\kJ
wM~\kJ
при ff 0
при ff 0
項而一旧丿
項而一旧丿
При f f 8.
При f f 8.
(5.89a)
(5.896)
(5.89a)
(5.896)
Поведение этого отношения показано на рис. 5.6. Частоты, соответствующие точкам перегиба 厶 и 反 равны: для плоской волны
力=КЗ 咸)(拿)；f=l,2;(5.90а)
для сферической волны
力= 2,60Цг)ЙТ・』1,2・(5.906)
Следовательно, можно определить скорость ветра по измерению спектров флуктуаций интенсивности на двух длинах волн 良 1 и А. Для этого достаточно построить график зависимости отношения измеренных спектров и определить по нему характерные частоты точек перегиба ft. В настоящее время этот метод используется только в миллиметровом диапазоне [5.24].
Для определения скорости ветра можно использовать также корреляционные характеристики флуктуаций интенсивности на двух несущих частотах. Взаимный спектр флуктуаций логарифма амплитуды на двух несовпадающих несущих частотах (比 и 々2) определяется как обобщение [5.24] формулы (5.38):
% ®，瓦，砌=(空衿)(0,033度"”"7 3伤 (5.91)
где /х определено в работе [5.24] формулой (156).
Квадрат взаимного спектра [叭(со,々1, А) ]2, нормированный на спектры W^, ^i) и 取％(со, fe2),стремится к постоянному значению при(о->°:
[%(со,电，⑸f :
W% (со,々1)呼X (①，A) f
(5.92)(5.92)где 也 < 々2・ Квадрат нормированного взаимного спектра [W\®,k^/[W^ Е)Х
(5.92)
(5.92)
X步局)]
в теории случайных процессов [5.60] называется спектром когерентности.
До определенной частоты,
когерентностькогерентностьРис. 5.7. Теоретическая когерентность флуктуаций амплитуды для оптических частот k{ и 女2・Рис. 5.7. Теоретическая когерентность флуктуаций амплитуды для оптических частот k{ и 女2・зависящей от скорости ветра,зависящей от скорости ветра,спектр когерентности имеет постоянное значение, определяемое выражением (5.92), а при больших частотах спадает, согласно [5.61], до нуля. Типичное поведение спектра когерентности показано на рис. 5.7. Следовательно, измерения взаимного спектра
когерентность
когерентность
Рис. 5.7. Теоретическая когерентность флуктуаций амплитуды для оптических частот k{ и 女2・
Рис. 5.7. Теоретическая когерентность флуктуаций амплитуды для оптических частот k{ и 女2・
зависящей от скорости ветра,
зависящей от скорости ветра,
позволяют определить скорость ветра.
Метод временного запаздывания
Если два приемника расположены перпендикулярно направлению распространения вдоль линии, параллельной скорости ветра (рис. 5.8), то ветер будет вносить запаздывание во флуктуации интенсивности таким образом, что флуктуации в прием- ннке А в момент времени / оказываются идентичными флуктуациям в приемнике В в запаздывающий на т момент времени ' + т. Следовательно, можно ожидать, что при некотором временном запаздывании т флуктуации в приемниках Л и В будут ^льно коррелированы. Такая ситуация показана на рис. 5.8. временное запаздывание максимума корреляционной функции т зависит от скорости ветра и приближенно равно пространственному масштабу корреляции поля, деленному на скорость
ветра. Заметим, что масштаб корреляции приближенно равен
Общее выражение для корреляционной функции флуктуаций логарифма амплитуды % определено формулой (5.11а). Для сферической волны оно имеет вид
Вх(Р,力=8Л%2、曲f 乂加厶g愕一叫卜叫晦評炉叵dп). 00(5.93)
Используя колмогоровский спектр
Фп (% П) = 0,033d (叫 乂т/з(5.94)
и формулу (5.93), можно вычислить корреляционную функцию Вх (р, т), а затем сравнить ее с экспериментальными данными. Определив временное запаздывание максимума функции Вх (р, т), найдем скорость ветра. Отметим, что выражение (5.94) справедливо при условии /。《“九七 《厶о, где /0 и Lo ——внутренний и внешний масштабы турбулентности, так как спектр (5.94) соответствует инерционному интервалу. При этом интенсивность турбулентности описывается структурной характеристикой С^. Отметим, что корреляционная функция 3% является фактически ковариационной функцией, так как в первом приближении МПВ <%> = 0.
В работе [5.56] было показано, что вариации функции С„ (т)) и скорости ветра 卜(п) вдоль трассы вызывают значительное искажение вида корреляционной функции и, следовательно, вносят в измерения существенную ошибку. Более устойчив к этим вариациям, по-видимому, наклон корреляционной функции при т = 0, который также определяется средней скоростью ветра. Следовательно, измерения наклона могут оказаться более предпочтительными при определении среднего ветра.
Рис. 5.8. Измерение скорости ветра на основе методов временного запаздывания и определения наклона корреляционной функции.
Мето。наклона корреляционной функции
j曲\ dxx泞厶(X ?) sin2[史热也乂2]①% (乂,叫.°0(5.95)j曲\ dxx泞厶(X ?) sin2[史热也乂2]①% (乂,叫.°0(5.95)Наклон корреляционной функции при t = 0 определяется выражением 强 I = 8л2^2 Нт к*о
j曲\ dxx泞厶(X ?) sin2[史热也乂2]①% (乂,叫.
°0(5.95)
j曲\ dxx泞厶(X ?) sin2[史热也乂2]①% (乂,叫.
°0(5.95)
Как было показано в работе [5.56], предпочтительно разнести приемники на расстояние p = 0,33“AL, так как при этом обеспечивается более равномерная весовая функция для С^(П) и р(т)) вдоль трассы. В этой же работе было получено хорошее совпадение средней скорости ветра, измеренной оптическим способом, со средней скоростью, полученной из показаний нескольких анемометров, расположенных вдоль трассы.
Дистанционное зондирование профиля структурной характеристики и скорости ветра вдоль трассы распространения
%(P，"=\ dnK (p, q哨以⑺, о%(P，"=\ dnK (p, q哨以⑺, о(5.96)(5.96)До сих пор мы рассматривали дистанционное зондирование усредненных по трассе структурной характеристики и скорости ветра. Поставим задачу — найти профиль структурной характеристики вдоль трассы путем измерения флуктуаций интенсивности волны. Ясно, что для получения этого профиля требуется больше данных, чем в случае определения среднего значения. Как правило, в этом случае должно быть увеличено число приемников. Чтобы обосновать это утверждение, рассмотрим корреляционную функцию, определенную выражением (5.93). Используя формулу (5.94), запишем эту функцию в виде
%(P，"=\ dnK (p, q哨以⑺, о
%(P，"=\ dnK (p, q哨以⑺, о
(5.96)
(5.96)
где
К (р, t, П)= 8 冗2 炉(о,озз)j 乂-8/з/о (%|-^--Кт|)Х о
X sin2 pL
Затем проведем серию измерений и получим М различных зна- “еннй корреляционной функции Вх (р/, rz), где 力=1,2,…，М. Заменим приближенно интеграл (5.96) рядом
4@，%)=耳"g,%宀)g⑴,
(5.97)
где a(pj, %•, %)= U/jK(pi, у, %)， a Wj — соответствующая весо、 вая функция, зависящая от типа квадратурной формулы, но пользуемой для получения ряда (5.97) из интеграла (5.96).
Запишем формулу (5.97) в следующей матричной форме：
g = {f,(5.98)
где g = (gj) — одностолбцовая матрица размером Л1X 1, 4 = =(。订)—прямоугольная матрица размером MXN, / = (%)_ одностолбцовая матрица размером 府 X 1,
gi = 4(P〃 ％)，^ц = ^^(РР 支,％)，力=第(％)・
В выражении (5.98) g, (z = 1,…，М) — данные, полученные из М различных измерений, (а订)一известные элементы матрицы, a fj (/ = 1, ..., N)—неизвестные величины. Существует несколько методов определения неизвестной функции / по измеренным данным g. Сюда относятся: а) оценивание методом наименьших квадратов, б) метод сглаживания, в) метод статистического обращения, г) метод обращения Бэкуса — Гилберта. Ниже эти методы рассматриваются в общих чертах.
Оценивание методом наименьших квадратов
В формуле (5.98) число измерений М должно быть по крайней мере равно числу неизвестных N, а вообще число М должно быть больше чем N.
Процедура оценки методом наименьших квадратов состоит в определении такой функции /, при которой квадрат разности величины (g — Af) минимален, т. е.
I g — 24fl2 = min.(5.99)
Решение уравнения (5.99) хорошо известно [5.62]:
f = (/+4)-Z+g,(5.100)
где 4+ ——матрица, комплексно-сопряженная транспонированной матрице А. Если М = N, то решение (5.100) сводится к обычному обращению
f^A^g.(5.101)
Как будет показано ниже, во многих задачах дистанционного зондирования выражения (5.100) или (5.101) не дают требуемого решения, так как небольшие ошибки измерений вектора g приводят к существенным ошибкам в определении неизвестных величин. Чтобы показать это, рассмотрим выражение (5.100) и будем считать, что некоторая ошибка 5g в определе-
ниИ g вызывает суммарную ошибку 6f в /. Тогда можно записатьг
6/ = (Л+Л) 4+6g・(5.102)
Относительная ошибка величины / определяется выражением % =顆(5.103)
где II川——норма 力 определяемая величиной
"|| = тах|%|・(5.104)
Используя выражение (5.102), получим
% =罟 V 1КЛ+ЛГ1|||Л+||1Ш,(5.105)
где ||Д||—норма матрицы А:
М1| = т：х?||а 订 ||.(5.106)
Следовательно, максимальная ошибка Д/max запишется в виде
Д/тах = 11(Л+Л)"1||||Л+||Дй,(5.107)
где Д^ — относительная ошибка: Ag = 116gli/||g||・
Для многих задач дистанционного зондирования элементы матрицы а〃 отличаются друг от друга несущественно, поэтому норма матрицы || (Л+Л)-1|| может оказаться очень большой, например, порядка величины 1010. Такая ситуация называется неустойчивой, а задача ——некорректно поставленной [5.63].
С проблемой неустойчивости встретился Шэн [5.59]. Чтобы преодолеть ее, он использовал ограниченное количество данных. Однако в более общем случае необходимо разработать метод, который позволяет выполнять устойчивое обращение. Этот во прос будет рассмотрен в следующем разделе.
Метод статистического обращения
Решение некорректно поставленных задач осуществлялось несколькими методами, включая «метод сглаживания (регуляризации) », «статистический метод» и «метод Бэкуса ——Гил- берта》. Метод регуляризации успешно разрабатывался Филлипсом, Тумеем, Тихоновым и др. [5.64—5.68]. Этот метод осноВан на введении определенных дополнительных условий, кото- Р*е обеспечивают 《гладкое》или «устойчивое» решение. ОбычНо он приводит к такой форме решения, которая зависит от параметра (например, параметра регуляризации Тихонова) и тре- Ует разумного выбора его значений. Проблемы, связанные с
этим методом, кратко обсуждены Турчиным и др. в обзоре [5.69].
Для многих задач дистанционного зондирования встречающиеся ошибки являются случайными, и поэтому более естественно рассматривать проблему обращения, учитывая случайный характер экспериментальных ошибок и сопутствующей статистической информации. В этом разделе мы рассмотрим основы метода статистического обращения, следуя работам [5.63, 70, 71]. До настоящего времени этот метод применялся только в задачах микроволнового зондирования [5.70], хотя его можно применять также в задачах зондирования, использующих оптический диапазон волн.
Рассмотрим некорректно поставленную задачу
g = Af.(5.108)
На практике точное значение g никогда не известно, так как всегда имеется некоторая погрешность эксперимента п. Поэтому измеренное значение gd равно
gd = g + 〃，(5.109)
где gd — измеренная МХ1 матрица, а матрица п размером М X 1 дает ошибку эксперимента. Некоторые статистические характеристики матрицы п могут оказаться известными.
Подставляя выражение (5.109) в формулу (5.108), получим
gd = Af + n.(5.110)
Рассмотрим уравнение (5.110) как стохастическое уравнение, а величины gd, f и п как случайные переменные с нулевыми средними значениями:
〈gd〉= 0, 〈f〉= 0, 〈〃〉= 0・(5.110
В этом случае фактические значения g^ f и п для отдельного эксперимента считаются одной реализацией из ансамбля.
Задачу обращения можно сформулировать следующим образом: найти матрицу В размером 右义乂，такую, чтобы мат^ рица Bgd оказалась наиболее близкой к значению неизвестной матрицы /. Математически условие близости может быть определено как задача минимизации среднего значения скалярного произведения вектора 仔一Bgd) и произвольного вектора аь размером NX 1,
(l(f ~ Bgd)* S IУ = min.(5・ 1 ⑵
Решение этой задачи дается в работах [5.63, 70] в виде
3 = &m+ + 丽)(4Rff* + R"+ + ARfn + 年拉)二 61 ⑶
де R" =〈,/+〉一 матрица размером N X N, представляющая собой ковариационную функцию / и называемая «ковариацион- ной》матрицей. Аналогично Rfn = <fn+> является ковариационна матрицей размером NXM; a Rrm = <nn+> — ковариационной матрицей размером МХМ.
Во многих практических задачах ошибки измерений п и неизвестная величина f ——независимые величины, так что Rf〃 = 0, и уравнение (5.113) приводится к виду
В =(RffA+)(ARffA+ + &〃尸・(5.114)
Окончательное решение fa, соответствующее измерениям gd, лается выражением
fd = Bgd.(5.115)
Максимальная относительная погрешность Д/ тах определения неизвестной функции f связана, согласно [5.63, 70], с относительной ошибкой измерений выражением вида
Afmax = MII||B||An,(5.116)
ГДе= 116/11/11 fllt Дп = ||п||/||^||.
Норма матрицы В, определенной в (5.113) или (5.114), обычно мала по сравнению с нормой матрицы %-* и, следовательно, ошибка Afmax сравнима с величиной экспериментальной погрешности. Поэтому такая процедура дает устойчивое решение.
Как можно видеть из формулы (5.114), эффективность этой процедуры зависит от выбора ковариационных матриц R" и Rnm Очевидно, если известна априорная информация о статистических свойствах искомой функции / и ошибках эксперимента, ее можно использовать для построения ковариационных матриц R" и Rw Ясно, что чем больше известно о функции / н ошибках 及,тем лучше можно выбрать матрицы Rff и Rnn) чтобы получить более достоверное решение.
Представим, например, неизвестную функцию f (х) = С^ (%), ° W % & L, случайным рядом Фурье
к
f(%) = f+ £% (%cos^n》+ % sin ,(5.117)
论=0
где f — среднее значение /(%), bk — детерминированные коэффи- чиенты, ak и а； — независимые случайные коэффициенты с ну- "евмми средними значениями и единичной дисперсией. Число 署енов ряда К ограничивает скорость изменения флуктуаций.
3 ВЬ1ражения (5.117) получим элементы ковариационной мат-
рИЦЫ R" = (&/)：
rii =产+ 2或cos [々冗'々=0
〈恥公〉=泣汇，〈3〉= 0.(5.118)
Ковариационную матрицу ошибок выберем в виде
兄九= (*，/)•(5.119)
Соответствующий выбор величин f, bk и о^ можно сделать на основе опыта или надежной теоретической оценки. Некоторые примеры использования этого метода приведены в работе [5.70] в случае СВЧ-диапазона.
Профиль скорости ветра вдоль трассы распространения можно получить, применяя метод, аналогичный изложенному выше. При этом для получения матричного уравнения
gf = ArV(5.120)
можно воспользоваться уравнением (5.95) для производной (O/Ot)%. Здесь g，— значения производной [(0/0т)3/, V — скорость ветра, матрица ЛЛ определяется выражением
4 = (4) 4『 = %К@, %, %)G(%),
где К — производная функции К по т. Способы учета ошибок при определении С« и ошибок экспериментальных данных g‘ рассмотрены в работе [5.70].
Метод обращения Бэкуса — Гилберта
Рассмотренные выше методы обращения предполагают наличие определенной информации о неизвестной функции Д В 1970 г. Бэкус и Гилберт [5.72] предложили метод, который не требует априорных знаний о неизвестной функции f и позволяет оценить разрешение и точность восстановления. Здесь термин разрешение означает размер области, по которой происходит усреднение неизвестной функции, а точность — дисперсию ошибки определения восстанавливаемой функции. Этот метод обеспечивает возможность контроля взаимного влияния между разрешающей способностью и дисперсией. Первоначально метод обращения Бэкуса ——Гилберта был предложен для оценивания геофизических данных, а впоследствии применялся ДлЯ определения распределения частиц по размерам в методах, нованных на рассеянии [5.72—75]. Этот метод обладает некоторыми преимуществами перед другими благодаря возможности
оценки разрешения и точности. Однако необходимо провести дополнительные исследования по его применению в дистанционном зондировании.
Другие методы дистанционного зондирования
Недавно Клиффорд, Оке (Национальное управление океанографических и атмосферных исследований) и Ванг сообщили о развитии метода, предложенного Лоуренсом и др. в работе [5.56]. В этом методе используется естественное освещение окружающих предметов, таких, как, например, склон горы или облако. Здесь не требуется применения активного источника света лазера или прожектора.
В последнее время были предложены два новых перспективных метода дистанционного зондирования профиля структурной постоянной и скорости ветра. Это следующие методы: а) метод пересекающихся пучков; б) апертурный метод пространственной фильтрации. Ниже мы даем их краткое описание.
Метод пересекающихся пучков
Ванг и др. [5.76] предложили использовать два излучателя и два приемника таким образом, чтобы пучки пересекались в некоторой локальной области на трассе. Измеряя взаимную корреляцию между выходными сигналами двух приемников, можно определить турбулентные характеристики в области пересечения пучков. Впервые метод пересекающихся пучков был рассмотрен Фишером и Краусом [5.77].
Апертурный метод пространственной фильтрации
В работе [5.78] Ли предложил использовать излучатели с пространственными фильтрами, которые создают излучение, чувствительное к определенной пространственной частоте, что в свою очередь позволяет селектировать пространственные объ- емн на пути распространения волны. Он провел простые эксперименты, используя линзы Френеля с апертурой от 0,5 до °,6 м, поперек которых были размещены 11-миллиметровые вертикальные полоски из черной бумаги с интервалом 11 м, ко- торне создавали пространственный фильтр. Используя аналогичные линзы для приемной апертуры, он измерил скорость ветра вдоль трассы, при этом его результаты хорошо совпали с показаниями анемометров.
Литература
■ Татарски位 В. И. Теория флуктуационных явлений при распространении 5 2 в турбулентной атмосфере Изд-во АН СССР, М, 1959.
'^т^рский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере.— М・：Наука, 1967; Распространение коротких волн в среде со случайными
неоднородностями в приближении марковского случайного процесса Препринт ООФАГ АН СССР, М„ 1970.'
Стробен Д. ТИИЭР, 56, 8, 46, 1968.
Лоуренс Р., Стробен Д. ТИИЭР, 58, 10, 130, 1970.
Strohbehn Л W. Progress in Optics, vol. IX, ed. Wolf E., North-Holland Amsterdam, 1971, p. 75.'
Барабаненков TO. "., Кравцов Q. 4, Рытое С. M., Татарский 8 勿
УФН, 102, 1, 3, 1970.♦
Khmelevtsov S. S. Appl. Opt, 12, 2421, 1973.
Прохоров A. M., Бункин Ф. 8., Гочелашвили К. С., Шишов В И. У①Н
9, 413, 1974; ТИИЭР, 63, 3, 4, 1975.'
Фанте Р. ТИИЭР/ 6?, 12, 43, 1975.
Ishimaru A. Radio Sci., 4, 295, 1969.
Исимару А. ТИИЭР, 57, 4, 40, 1969.
Кон А. И., Татарский В. И. Изв ВУЗов, сер. Радиофизика, 8, 870, 1965.
Schmeltzer R A. Quart. Appl. Math, 24, 339, 1967.
Fried D. L., Seidman J. 8 J. Opt. Soc Am, 57, 181, 1967.
Kinoshita У., Asakura T., Suzuki M. J. Opt. Soc. Am., 58, 798, 1968.
Gebhardt F. G., Collins S. A. Jr. J. Opt Soc. Am., 59, 1139, 1969.
Хмелевцов С. С., Цвык P. Ш. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 13, 146, 1970.
Kerr J. R., Dunphy J. R. J. Opt. Soc. Am., 63, 1, 1973.
Kerr J. R., Eiss R. J. Opt. Soc. Am 62, 682, 1972.
Бункин ⑦.8., Гочелашвили К. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 13, 1039, 1970.
Buck 4 L Appl. Opt., 6, 703, 1967.
Борисов Б.力.，Сазанович В. М., Хмелевцев С. С. Изв. ВУЗов, сер. Физика, 6, 103, 1969.
Clifford S.尸 J. Opt. Soc. Am, 61, 1285, 1971.
Ishimaru A. IEEE Trans AP-20, 10, 1972.
De Wolf D. A. J. Opt. Soc. Am, 58, 461, 1968.
Frisch U. Wave Propagation in Random Media, in: Probabilistic Methods in Applied Mathematics, ed Baracha-Reid A. T., Academic Press, New- York, 1968.
Brown 呪 P. J. Opt. Soc. Am, 61, 1061, 1971.
Brown 步.P. J. Opt. Soc. Am., 62, 966, 1972.
"。T. £.. Beran M. J. J. Opt. Soc. Am, 58, 1335, 1968.
Beran M. /., Whitman A. M. J. Opt Soc. Am., 61, 1044, 1971.
Dowling /. 4, Livingston P. M. J. Opt. Soc. Am., 63, 846, 1973.
Furutsu K. J. Opt. Soc. Am., 62, 240, 1972.
Шишов В. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 11, 886, 1968.
Whitman А. М, Beran М /. J. Opt. Soc. Am , 60, 1595, 1970.
Lutomirski R. E, Yura H. T. J. Opt. Soc. Am., 61, 482, 1971.
Lutomirski R. E, Yura H. T. Appl. Opt 10, 1652, 1971.
Yura H. T. Appl. Opt, 11, 1399, 1972.
Кон А. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 13, 61, 1970.
Clifford S.尸.，Ochs G R., Lawrence R. S. J. Opt. Soc. Am., 64, 148, 1974.
Фейзулин 3. И., Кравцов Ю. 4 Изв ВУЗов, сер. Радиофизика, 10, 68, 1967.
Банах В. Д , Креков Г. М, Миронов В. Л, Хмелевцов С. С., Цвык 尸・ J. Opt. Soc. Am., 63, 567, 1973.
Yura H. T. J. Opt. Soc. Am., 63, 567, 1973.
Yura H. T. J. Opt Soc. Am, 62, 889, 1972.
Fante R. L Radio Sci„ 10, 77, 1975.
Гурвич А. С, Татарский В. И. Radio Science, 10, 3, 1975.
Fante R. L. J. Opt. Soc. Am., 64, 592, 1974.
^^.^ 眼凯:55.O.1T5U55 段 氏5.S^^.^ 眼凯:55.O.1T5U55 段 氏5.S6-z & 9°- 65 5 5 6 £ s & 及 s6-z & 9°- 65 5 5 6 £ s & 及 s561.5.62.5.63.5.64.5 65.5.66.5.67.5.68569.5.70.561.5.62.5.63.5.64.5 65.5.66.5.67.5.68569.5.70.5.71.5725.735.74.5755.765 776.78.5.71.5725.735.74.5755.765 776.78.Yura Н. Т. J. Opt. Soc. Am., 64, 357, 1974.
^^.^ 眼凯:55.O.1T5U55 段 氏5.S
^^.^ 眼凯:55.O.1T5U55 段 氏5.S
6-z & 9°- 65 5 5 6 £ s & 及 s
6-z & 9°- 65 5 5 6 £ s & 及 s
561.
5.62.
5.63.
5.64.
5 65.
5.66.
5.67.
5.68
569.
5.70.
561.
5.62.
5.63.
5.64.
5 65.
5.66.
5.67.
5.68
569.
5.70.
5.71.
572
5.73
5.74.
575
5.76
5 77
6.78.
5.71.
572
5.73
5.74.
575
5.76
5 77
6.78.
Ishimaru 4, Hong S. T. Radio Sci., 10, 637, 1975.
Hong T., Ishimaru A. Radio Sci., 11, 551, 1976.
Beran M. /., 〃。T. L. J. Opt. Soc. Am., 59, 1135, 1969.
Dunphy /. &., Kerr /. R. J Opt. Soc. Am., 64, 1015, 1974.
Derr V. E. Remote Sensing of the Troposphere (U. S. Government Printing Office, Washington, DC 1972).
Y盛s H. Г. Appl. Opt., 9, 1971, 1970.
Derr V. E., Little C. G. Appl. Opt., 9, 1976, 1970.
Lawrence R S., Remote Sensing by Optical line-of-Sight Propagation, Ref. 4.45 (U. S. Government Printing Office, Washington, DC 1972), Chapt. 25.
Lawrence R. S., Ochs G. R., Clifford S. F. Appl. Opt. 11, 239, 1972.
〃“ P., Харп Д. ТИИЭР, 57, 4, 7, 1969.
Исимару А. ТИИЭР, 57, 4, 40, 1969.
Shen L. IEEE Trans. AP-18, 493, 1970.
Bendat /. S, Piersol A. G. Random Data, Interscience, New York, 1971. [Имеется перевод: Бендат Дж., Пирсол 4 Измерение и анализ случайных процессов. — М.: Мир, 1974.]
Mandies 戶.et al. Radio Sci., 9, 723, 1974.
Franklin /. M Matrix Theory, Englewood Cliffs, NJ Prentice Hall, 1968.
Franklin /. N. J. Math. Analysis and Applications, 31, 682, 1970.
Phillips D. L. J. Ass. Comput. Mach., 9, 84, 1962.
Twomey S. J. Ass. Comput. Mach., 10, 79, 1963.
Тихонов A. H. Докл. АН СССР, 153, 1, 49, 1963.
Stallman F. W. Numer. Math., 15, 297, 1970.
Deschamps G. 4, Cabayan H. S. IEEE Trans. AP-20, 268, 1972.
Турчин 8. Ф., Козлов В. 〃.，Малкевич М. С. УФН, 102, 3, 345, 1970.
Henegham J. AL, Ishimaru 4 IEEE Trans. AP-22, 457, 1974.
Strand O. ^, Westwater E. R. J. Ass. Comput. Mach. 15, 100, 1968.
Backus G., Gilbert F. Philos. Trans. Roy. Soc., (London) A-266, 123, 1970.
Westwater E. R., Cohen A. Appl. Opt., 12, 1340, 1973.
Chow L. C., Tien C. L. Appl. Opt. 15, 378, 1976.
Post M. /. J. Opt. Soc. Am, 66, 483, 1976.
Wang T., Clifford S. E, Ochs G. R. Appl. Opt. 13, 2602, 1974.
Fisher M. /, Krause F. R. J. Fluid Meeh., 28 (4), 705, 1967.
Lee R.呪 J. Opt. Soc. Am., 64, 1295, 1974.
Глава 6
ФОРМИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
И ОПТИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
Д. Г. Шапиро
Микромасштабные флуктуации температуры, обусловленные турбулентным перемешиванием, приводят к случайным изменениям показателя преломления земной атмосферы во времени и в пространстве (см. гл. 2). Хотя абсолютные значения этих флуктуаций, обусловленных турбулентностью, по порядку величины равны 10-6, их влияние на распространение оптических волн в атмосфере оказывается существенным. Случайные изменения показателя преломления, ограничивая разрешающую способность оптических приборов до нескольких угловых секунд, в течение многих лет доставляли много «неприятностей» астрономам. Дальнейшее повышение интереса к проблеме распространения оптических волн в турбулентной атмосфере произошло в связи с быстрым развитием оптической техники, последовавшим за сообщением Маймена [6.1] о первом работающем лазере. Действительно, когда было предложено использовать лазеры для расширения возможностей радиолокации и радиосвязи в атмосфере за счет оптического диапазона, то обнаружилось, что даже при ясной погоде земная атмосфера не является однородным каналом распространения оптического излучения [6.2—8]. В частности, обусловленные турбулентностью случайные искажения фазы оптической волны, ограничивающие астрономическое видение, приводят к существенному нарушению пространственной когерентности поля лазерного пучка, распространяющегося в атмосфере. Потери когерентности ограничивают возможности для фокусировки или коллимации лазерных пучков в атмосфере, а следовательно, и уровень мощности принимаемого сигнала в системах оптической связи и локации. Более того, к потере пространственной когерентности очень чувствительны гетеродинные оптические приемники. Следует также учитывать, что как в системах гетеродинного приема, так и при прямом детектировании наблюдаются сильные замирания сигнала во времени, вызванные связанными с турбулентностью флуктуациями амплитуды оптической волны, которые астрономы называли мерцаниями. В связи с этим стремление ^количественно оценить ограничения, налагаемые атмосферной ТУРЧ булентностью на работу систем связи и передачи изображени ‘
также стремление создать устройства, которые не были бы чувствительны к флуктуациям параметров атмосферы, явились ^щными стимулами для проведения исследований по распространению оптических волн в атмосфере.
Состояние этих исследований, которые все еще расширяются, так или иначе рассматривается во всех разделах этой книги. В настоящей главе дан самостоятельный обзор влияния атмосферной турбулентности на формирование изображений и системы оптической связи. Основы этих исследований были зало* жены Фридом [6.5—7, 9—11], Хафнагелем и Стенли [6.12], Кеннеди и Ховерстеном [6.13], которые вслед за переводом монографии Татарского [6.14] первыми применили методы теории возмущений к проблеме распространения оптических волн для оценки качества работы систем связи и формирования изображений, а также рассмотрели возможности оптимального конструирования таких систем. Работы этих авторов были основаны на приближенной теории Рытова для неограниченной плоской волны. В большинстве современных прикладных работ используется модель распространения [6.15——21], подобная линейной системе (имеется в виду обобщенный принцип Гюйгенса——Френеля), в которой статистические характеристики поля произвольно распределенного источника в плоскости приема выражаются с помощью принципа суперпозиции через статистические характеристики сферической волны (точечный источник). Такой подход к проблеме распространения, который и будет в дальнейшем использован нами, эквивалентен ряду других широко используемых теорий [6.21—23]. Достоинство этого подхода заключается в том, что он позволяет единым образом описать влияние эффектов, возникающих при распространении волн в атмосфере, на процессы формирования изображений и передачи сообщений.
Глава имеет следующую структуру. В разд. 6.1 кратко рассмотрен обобщенный принцип Гюйгенса ——Френеля и его модификации. В разд. 6.2 этот метод использован для анализа ограничений, налагаемых атмосферной турбулентностью на работу систем формирования изображений. Рассмотрена работа систем Как в случае объектов, освещенных некогерентным светом, или самосветящихся объектов (астрономические наблюдения), так объектов, освещенных когерентным светом (локационные наблюдения), начиная с ранних работ по фотографированию на ^"ескопах с большой выдержкой и кончая последними дости- «^ениями в области интерферометрии и компенсации искажений ?азн при формировании изображений. Разд. 6.3 посвящен ат- ^сФеРным оптическим системам связи. Здесь проведен анализ Ростейшей дифракционно-ограниченной системы, которая эф- 屮 ктивно работает в вакууме, и путем строгих математических
расчетов, а также с использованием физических соображений показано, что в присутствии турбулентности эффективность работы системы существенно ухудшается. Здесь же рассмотрены системы, позволяющие ослабить влияние турбулентности с помощью пространственно-разнесенного приема.
Особое внимание в данной главе будет уделено тем физическим эффектам, возникающим при распространении волн, которые оказывают существенное влияние на принципы конструирования и эффективность работы систем формирования изображений и оптической связи. Так как ухудшение технических характеристик рассматриваемых оптических систем часто более существенно, по сравнению с влиянием эффектов, связанных с распространением волн, зависит от принципа работы самих оптических устройств, то многие из изложенных в разд. 6.2 и 6.3 результатов следует рассматривать как прогнозирование принципиально достижимых значений технических характеристик. Чтобы получить такие характеристики на практике, необходимо еще воплотить соответствующие теоретические прогнозы в реально работающие приборы. В известной мере существует заметное различие между техническими характеристиками, реально достигаемыми с помощью имеющейся техники, и принципиальными возможностями, определяемыми процессами распространения волн. Поэтому бывает необходимо совершенствовать технические устройства, чтобы ликвидировать этот разрыв.
Модель распространения
В этом разделе будет рассмотрена модель распространения волн в атмосфере, основанная на обобщенном принципе Гюйгенса——Френеля. Мы ограничимся распространением волн в пределах прямой видимости. Схема такого распространения показана на рис. 6.1. Задача заключается в том, чтобы дать статистическое описание поля оптической волны, излучаемой апертурой Ri (в плоскости г = 0) и принимаемой апертурой R2, отстоящей на расстояние 厶，в условиях когда трасса распространения хотя бы частично проходит через турбулентную атмосферу. Для удобства предположим, что апертуры Ri и R2 параллельны и представляют собой круглые отверстия с диаметрами 必 и 办 соответственно, а их центры пересекаются перпендикуляром к обеим плоскостям, направление которого совпадает с осью 0z декартовой системы координат. Используя соответствующие распределения интенсивности турбулентности вдоль оси 0%, данную схему можно применить к распространению волны в свободном пространстве, вдоль горизонтально приземной трассы, либо вдоль трассы Земля ——космос или кос-
Рис. 6.1. Схема распространения в пределах прямой видимости.
мос — Земля. В этом разделе рассматриваются идеально когерентные во времени и пространстве источники. Распространение волн от некогерентного источника будет рассмотрено в разд. 6.2 как основа для решения задач формирования изображений астрономических объектов.
Обобщенный принцип Гюйгенса — Френеля
Строгое решение поставленной задачи распространения волн требует использовать векторную теорию дифракции. В частности, требуется найти решение уравнений Максвелла в свободном полупространстве z > 0, подчиняющихся материальным уравнениям, устанавливающим связь векторов В и Н и D и Е в атмосфере, и граничным условиям в плоскости z = 0 и на бесконечности. В предположении, что плотность излучаемой мощности мала и тепловыми эффектами в среде можно пренебречь (см. гл. 7), будем считать атмосферу линейным, непоглощающим, изотропным, изменяющимся во времени диэлект- рнком, который характеризуется материальными уравнениями вида
В (г, /) = ц0Н (г, У),(6.D
D (г, /) = § dt，dfЕ (г, / — т)8 (г, /, /) ехр (/2л/т),(6.2)
「Ае в (г, f, f) — зависящая от частоты, точки пространства и вре- Менн, но не зависящая от векторов Е и Н диэлектрическая проницаемость атмосферы. Пространственные вариации в ха*
рактеризуют мгновенный вклад турбулентных неоднородностей Временные изменения е возникают вследствие дрейфа и эволюции турбулентных вихрей. Изменения 8 по частоте характеризуют дисперсию среды. Пространственные масштабы турбулентных неоднородностей изменяются в пределах от нескольких миллиметров до сотен метров [6.14, 24, 25]. Это означает что для всех длин волн от ближней инфракрасной до ультрафиолетовой области углы рассеяния волн настолько малы, чт0 на любых расстояниях от плоскости г = 0 в полупространстве z > 0 волна распространяется в положительном направлении оси Ог [6.21]. При этом граничные условия соответствующей задачи дифракции волн в атмосфере необходимо поставить, определив значения векторов Е(г, /) и Н(г, £) в плоскости 之=0 и потребовав выполнение условия излучения Зоммер- фельда при |г оо, а > 0.
Несмотря на то что явное решение рассматриваемой задачи дифракции при произвольной функции £(r, f,/) получить невозможно, тем не менее поскольку уравнения Максвелла, материальные уравнения и граничные условия составляют линейную систему уравнений, то решение дифракционной задачи удается выразить через векторную функцию Грина [6.26,27]. В частности, вводя для векторных полей в плоскостях % = 0 н
z = L обозначения
Ez・(@,Z) = E(r,/)lip,"O),(6.3)
Eo(@]) = E(r, Z)|』,…)，(6.4)
Hz(p, /) = Н(г, /) |r=(p>2=0),(6.5)
Ho(j/,Z) = H(r,/)|r=kz〃)，(6.6)
сформулируем основное содержание обобщенного принципа Гюйгенса ——Френеля. Согласно этому принципу, существует такая векторная функция Грина с компонентами GEe, Ge〃，Ghb и G〃〃，что при произвольных граничных значениях векторов Е/ и Н； искомые векторы Ео и Но могут быть выражены в виде следующей суперпозиции волн:
Ео 31 f) = \ dp，dt [Gee (К d Z, т) Е» (。，/ — t) +
+ Geh ®‘，@, /, т) Н, (p, Z — t)], (6・7)
HO(PZ, 0 = ^P ^ dx[GHE (@‘, P, /, т) Е» (p, / —r) +
+ Ghh(@‘，@, Z")Hj(@,—也 (6・8)
Физический смысл выражений (6.7) и (6.8) состоит в том, что отклик атмосферы на воздействие произвольного электро： магнитного сигнала может быть представлен в виде супер"°~
зиции, с соответствующими весами, функций Грина, которые представляют собой отклик атмосферы на воздействие временного 6-импульса, излучаемого точечным источником. Таким образом, проблема распространения излучения произвольного полихроматического источника конечных размеров в принципе сводится к проблеме распространения излучения точечного источника. Но практически в случае произвольных значений E(r,fJ) точное решение для компонент функции Грина в формулах (6.7) и (6.8) получить не удается. Однако путем использования малых или больших параметров, характеризующих турбулентные условия распространения в атмосфере, формулировку обобщенного принципа Гюйгенса — Френеля удается существенно упростить, и в итоге найти статистические характеристики функций Грина.
Эффект деполяризации в турбулентной атмосфере Земли незначителен [6.28—30]. Таким образом, если ограничиться рассмотрением источников с линейной поляризацией или рассмотрением двух независимых ортогонально поляризованных компонент, то можно применять скалярную теорию дифракции. Поскольку магнитное поле линейно-поляризованной волны, распространяющейся преимущественно в направлении оси On, может быть найдено по значениям соответствующего электрического поля, то формулировка обобщенного принципа Гюйгенса——Френеля сводится к дифракционному интегралу для скалярного поля Е следующего вида:
耳(@‘, /) = \ d@ \ dxEi^, / — t) G ((/, р, /, т),(6.9)
где Ei и Ео — скалярные поля в плоскостях n = 0hn = L, а G (р‘, р, /, т)——функция Грина (пространственно-временной импульсный отклик). Она совпадает с полем 6-импульса, излучаемого точечным источником, расположенным в плоскости 2 = 0 (Ej(pi, fi) = 6(pi — p)6(/i — / + т)) и наблюдаемым в момент времени t в точке г = (р[ а = L). Так как можно считать, что none Et(p, £) обращается в нуль при |p|>di/2, а поле в плоскости z = L на выходе приемной апертуры совпадает с Eo(p'，f) при |p'|Wd2/2, то формула (6.9) сводит задачу рас- нростгранения к определению функции Грина G.
Известно [6.21, 25, 31—33], что при распространении в тур- “улентной атмосфере длительность импульса не увеличивается ПРИ условии, что его начальная длина во много раз превышает ^личину порядка нескольких пикосекунд. Таким образом, если поле ^(р, t) имеет ограниченную полосу частот шириной Af &
——1011 Гц в окрестности оптической несущей частоты %, 0 в°〃на распространяется как монохроматическая.
При введении для полей £\ и £0 комплексных огибающих £%(Р, 0 = Re [Ui (р, /) exp (— i2nfQt)]f(6.10)
Eo (M 0 = Re [Uo (pl /) exp (—竺班川(6.11)
обобщенный принцип Гюйгенса — Френеля формулируется [6.15—21] следующим образом:
Uo (р‘, 0 = J dpUt (р, / - L/с)海1(Р‘, Р, /)・(6.12)
Здесь в явной форме учтено, что поле Ui обращается в нуль вне апертуры
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что условие квазимонохроматичности выполнено; следовательно, согласно формуле (6.12), проблема распространения излучения между апертурами Ri и /?2 полностью описывается функцией /z2i (р^ р, t). Функция Грина h2\ (р\ р, /) представляет собой отклик в момент времени t в точке г = ((/, z = L) на воздействие монохроматического (с частотой /о) излучения точечного источника Ui(^t) = =6(pi—р), расположенного в плоскости z = 0. Эта функция связана с полихроматической функцией Грина G(pz, р, /, т) пре， образованием Фурье
A2i (р\ @, /) = \ dxG (р‘，р,力 т) ехр «2л%т)・(6.13)
Отметим еще раз, что для произвольной функции £(「，fjo) точно определить искомую функцию Грина невозможно. Однако, рассматривая поле e(r, f, /0) как случайную реализацию из ансамбля возможных значений, удается найти статистическое описание функции Грина. Такой подход будет рассмотрен в разд. 6.1.2.
В пояснениях к функции Грина, входящей в формулу (6.12), указывается, что волна распространяется из апертуры Ri к апертуре /?2. В системах двусторонней оптической связи, или в случае моностатической системы формирования локационного изображения, когда излучающая и приемная апертуры совмещены, возникает необходимость описывать распространение волны из /?2 в Ri, так же как из Ri в /?2. Предположим, что V/(p\ /)——комплексная огибающая квазимонохроматическои скалярной волны, распространяющейся из R2 в отрицательном направлении оси 0г. Действуя аналогично тому, как была получена формула (6.12), находим, что комплексная огибаются Ро(р,поля в плоскости г = 0 определяется выражением
兄(Р,/)= \ d&fVi^it^Llc)hi2^ р； /),(6•⑷
где Й12 ——функция Грина, соответствующая распространению из R2 в Ri・ В предельном случае, когда апертуры R】и R2 находятся в свободном пространстве, функции Грина удовлетворяют соотношению
力21 31 Р, 0 = Л21(Р, Р‘，0 (6.15)
для всех pwRi, p'wRz,力 Здесь мы сохранили в обозначениях время как параметр, хотя функции Грина свободного пространна от времени не зависят. Соотношение (6.15) носит название теоремы взаимности Гельмгольца [6.34,35]. Оказывается, чт0 эта теорема выполняется также при распространении волн в турбулентной атмосфере [6.17, 18,36]. В частности, если 用21(Р‘，Р，%) и 厶12(р, р‘, f) являются функциями Грина, соответствующими распространению из R в R2 H из & в R в замороженной случайно-неоднородной среде, то они удовлетворяют равенству (6.15). Физически теорема взаимности устанавливает для любого мгновенного состояния атмосферы эквивалентность поля волны, излучаемой монохроматическим точечным источником, расположенным в точке г = (р, z = 0), и наблюдаемой в точке г = ((/, г = L), и поля волны такого же источника, расположенного в точке г =(pz, z — L) и наблюдаемого в точке г = (р, г = 0). Поскольку время когерентности, обусловленное атмосферной турбулентностью, составляет миллисекунды [6.21, 25], то соотношение взаимности играет существенную роль в некоторых методах компенсации турбулентных искажений [6.16, 36—38] (см. разд. 6.3.5)。
Статистические свойства функции Грина
В предыдущем разделе был сформулирован обобщенный принцип Гюйгенса — Френеля для распространения волн в атмосфере в предположении, что диэлектрическая проницаемость среды £ зависит от частоты и является детерминированной функцией пространственных и временных координат. В дальнейшем необходимо, как это обычно делают [6.14, 15, 18—21], перейти к статистическому описанию функции 8 (г, /, /0) и, следовательно, Л2ь Здесь удобно ввести предположение о заморо- 冰енно宓 турбулентности (гипотезу Тейлора), согласно которой зависимость функции &(「，£,%) и, следовательно, /121((/, р, f) от времени определяется только переносом поперечной к трассе составляющей скорости ветра не изменяющихся во времени неоднородностей мимо апертур R и R2 [6.14,39,40]. Гипотеза замороженной турбулентности позволяет свести статистическое °писание распространения излучения к задаче о распростране- ннн монохроматической сферической волны в случайно-неодноРодной не зависящей от времени среде с диэлектрической про-
ницаемостью вида
£ (г) = % [1 + % (r)F,
где п\ (г)—флуктуационная часть показателя преломления, обусловленная атмосферной турбулентностью. Поскольку в данном разделе далее будет рассматриваться не зависящее от времени распределение случайных неоднородностей в атмосфере, то мы пока опустим это обозначение в функции Грина 良2i・ Зависимость от t будет восстановлена в следующих разделах, когда возникнет необходимость сопоставления экспериментальных данных, усредненных по времени, с расчетными, полученными путем усреднения по ансамблю.
Случайная функция Грина h2\ (pz, р) является функцией Грина Рэлея ——Зоммерфельда, которая удовлетворяет стохастическому уравнению Гельмгольца
WU (г) + й2[1+ 勿(r)F U (г) = 0, (6.16)
где k = 2nfo/c — волновое число в свободном пространстве на заданной частоте [6.17]. Обычно предполагается, что функция ni (г) имеет нулевое среднее значение и локально-однородную корреляционную функцию [6.14, 24, 40] вида
〈佝(Г 1)修(3)〉=
=Сп [(21 + &)/2]，duS九(I u I) exp [zu • (n — r2)], (6.17)
где ri =(pi,zi),「2 = (p2, &), угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю неоднородностей, C^(z)——значения структурной характеристики флуктуаций показателя преломления (профиль интенсивности турбулентности) вдоль трассы между апертурой Ri (плоскость а = 0) и апертурой R? (плоскость г = L), 5〃(〃)——нормированный трехмерный пространственный спектр флуктуаций показателя преломления. Дадим краткий обзор статистических характеристик функции 用21, которые были найдены с использованием соотношений (6.16), (6.17).
Сохраняя общность решения задачи, представим функцию Грина в турбулентной атмосфере в виде произведения турбулентного возмущения на функцию Грина свободного пространства (в параксиальном приближении):
用21 (К @) = {exp [ik (L + I pz — р F/2L)]/次L} ехр 仇(К р) + 冲(К Р)】， (6.18)
где 九= c/fo — длина оптической волны, % и ф ——обусловленные турбулентностью флуктуации логарифма амплитуды и Фазь1 волны соответственно. Волна принимается в точке р‘ апертуры R2, распространяясь от монохроматического точечного источ-
ника, расположенного в точке р апертуры Ri. В пределах применимости метода Рытова функции % и 力 являются гауссовыми случайными полями, следовательно, их статистические свойства полностью определяются [6.18—20] средними значениями и ковариационными функциями:
т% =〈У (К @)〉， (6.19)
W =〈3 (М @)〉， (6.20)
G(Р〔 @)=〈仅(Pi + К @i + @) — mJ [х (pl, pi) — “，(6.21) % (К @)=〈К (“ + К Pi + @) - %] [В (% Pi) — %]〉， (6・22) С%, /@‘，@) =〈[% ® + К Pi + @) 一 以][3 ®, Pi) — %]〉・ (6・23)
В соответствии с законом сохранения энергии [6.41] должно выполняться соотношение т% =——С% (0,0). Не теряя общности, положим тф = 0. Тогда основными функциями, которые необходимо найти, являются ковариационные функции. В приближении метода малых возмущений, как показано в [6.15,20], ковариационные функции определяются следующими выражениями:乙
Сх(р\ @) = 4n2炉 j 匠 j duuCn ⑵ Sn (〃) /о (du) sin2 [工之^厂❷], о 0'
l(6.24)
Сф (@‘，p) = 4冗2必 \ dz \ duuCn ⑶ Sn (〃) 70(d〃)cos2[ "*蕊丁土‘]，
°°(6.25)
с^ф (К p) = 2冗2必 \ dz j duud (力 S% (〃)Jo (d〃)sin [〃2(纟二过-], °°(6.26)
где d = |p« + p(L — n)|/L. Эти авто- и взаимно-ковариационные функции являются ковариационными функциями полей Двух сферических волн. Они определяют ковариацию между флуктуациями логарифма амплитуды поля, принимаемого в точке Pi +(/ апертуры £ от точечного источника, помещенного в Точку pi + p апертуры R, и поля, принимаемого в точке р[ апертуры & от другого точечного источника, находящегося в точке pi апертуры R. Структурные функции, соответствую- Wie указанным ковариационным функциям:
刀8)9) 9^ 9- 9^(6.(6.(6.刀8)9) 9^ 9- 9^(6.(6.(6.2(К @) = 2[С%(0, О)-。%，р)],ZW, р) = 2[Сф (0, О)-。”，р)],Ас, ф (@',@) = 2 [С%, ф (0, 0) — Су, ф ((/, р)],
刀8)9) 9^ 9- 9^
(6.(6.(6.
刀8)9) 9^ 9- 9^
(6.(6.(6.
были, в частности, рассчитаны в работе [6.42], где в качестве функции S%(〃) был выбран колмогоровский спектр. Более детальные результаты удается получить при р = 0, когда соотношения (6.24) — (6.26) определяют авто- и взаимно-ковариационные функции флуктуаций логарифма амплитуды и фазы одной сферической волны [6.43, 44].
До сих пор предполагалось, что область а & 厶 соответствует области слабых флуктуаций, т. е. в плоскости z = L режим сильных мерцаний еще не наступает [6.21,40]. При таком ограничении соотношения (6.24)——(6.26) обеспечивают полное статистическое описание функции 用2i(p', р), которая в свою очередь благодаря применению обобщенного принципа Гюйгенса——Френеля для любого распределения Ui(p) определяет статистические свойства поля Uo(p'). Дисперсия флуктуаций фазы Сф (0, 0) практически всегда настолько велика, что выполняются [6.40, 45, 46] соотношения
<^21(^, Р))«0,(6.30)
〈也1 (笛 + Pl Pi + @) %(Р；，Pi)) ^ 0，(6.31)
которые в свою очередь означают, что для произвольного начального поля G(p) имеют место равенства
〈Uo(g〉^O,(6.32)
<^(РЭ^О(Р2))«°-(6.33)
Следовательно, первым не равным нулю моментом поля Uo является функция взаимной когерентности 〈и。(@；) U；(Р；)〉, которую, согласно [6.47], для произвольного начального поля Ui можно рассчитать с использованием функции взаимной когерентности 九21 по формуле
〈4 (吟/@)〉=
=\ dp J 也4 &) и； (%)〈％ (% Р1)居I (脸 Р2)〉・(6.34)
Из приведенных выражений для статистических характеристик, соответствующих режиму слабых флуктуаций, легко показать [6.19, 20], что имеет место равенство
〈闻(％ Pi) % (脸 02)〉= {exp [ik (旧 一 Pi F - © _ %『)/2L — ^^I^IW，(6・35)
где D (p\ p) = D% (pz, p) 4- Оф^\ p) — структурная функция комплексной фазы полей двух точечных источников, определяемая
выражением乙
D3, р) = 2,91 炉 \ dzC^ (z)[| pG + р (厶 一 z)I /厶]5/3(6.36)
о
в случае колмогоровского спектра турбулентности. Расчет функции взаимной когерентности на выходе будет иметь существенное значение при оценке эффективности работы систем формирования изображения в атмосфере. В частности, важно отметить, что применимость соотношений (6.35), (6.36) для расчета функции взаимной когерентности по формуле (6.34), как было показано в [6.23], остается в силе и в области сильных флуктуаций интенсивности, где насыщение мерцаний заметно изменяет поведение ковариационной функции флуктуаций логарифма амплитуды [6.21, 48—50]. За исключением приведенной выше формулы для функции взаимной когерентности, теоретические исследования, относящиеся к области сильных флуктуаций, пока не дали прямых результатов для статистических свойств функций Грина. Вследствие отклонения закона распределения сильных флуктуаций интенсивности от логарифмиче- ски-нормального [6.51,52] применимость формулы (6.18) для описания статистических свойств функции 九21 в этом случае становится не очевидна. Заметим, что при переходе в режим насыщенных флуктуаций интенсивности функция /z2i (р\ р) должна становиться гауссовой случайной величиной [6.50].
Разложение по нормальным модам
При разложении поля в канале распространения между апертурами R и R2 предполагают, что турбулентная атмосфера находится в замороженном состоянии, а излучающая и приемная апертуры образуют пассивный резонатор. При этом входные и выходные поперечные моды (собственные функции) и связанные с ними дифракционные потери (собственные числа) находятся в условиях однократного прохождения трассы волной на несущей частоте. В случае распространения в свободном пространстве разложение по нормальным модам оказалось плодотворным для передачи максимальной мощности и в проблеме аподизации [6.53,54]. Таким же образом удалось выяснить Р°ль шумов при формировании изображений со сверхвысоким разрешением [6.55, 56]. При распространении волн в атмосфере различают режимы ближней и дальней зоны дифракции, для которых, как показано ниже, разложения по нормальным мо- совпадают с соответствующими разложениями, применявшимися в случае свободного пространства [6.57,58]. Эти ре* ультаты будут отражены в последующих разделах.
Разложение по нормальным модам, соответствующее апертурам /?1 и /?2 и функции 用21((/, р), описывающей состояние атмосферы, возможно при наличии полной ортогональной системы собственных функций излучающей апертуры {Ф^ (р): 1《 ^ m < оо, р е /?1}, полной ортогональной системы собственных функций приемной апертуры {力俏((/): 1 W 加 V 8, р е £} и набора собственных чисел {т],и : 1 ^ m < оо}, которые удовлетворяют следующим соотношениям:
，dp2K21 (pl, Р2)Фт (р2)= П/п①/п 31),@1 W R1，(6.37)
叫2九(Р‘)= J dp①/П (р)九21 (М Р), Р‘ 三 R2,(6.38)
где
^21 (pp p2) = \ d。'％ (pl р!)Л21 (p‘，p2).(6.39)
Предполагается, что собственные функции пронумерованы в порядке убывания собственных чисел. Поскольку системы функций {①小} и {фт} являются полными и ортогональными, то в областях их определения любую пару функций Uj(p)pwRi и Uo(P‘)P‘wR2 можно представить в виде обобщенного ряда Фурье (разложение по собственным волнам)
а・з)= Е 〃加①/п(р), рва, ;n^ 1
(6.40)
4。）=它4华加。），@‘三a，
(6.41)
где
zn=l
(6.42)
^7如亿（@'）%ь）■
(6.43)
Если предположить, что 4((/) определяет поле на апертуре R2, прошедшее через атмосферу, характеризуемую функцией ^21 (pz, р), от апертуры R, на которой задано распределение поля &(р), то из соотношений (6.12) и (6.38) следует равенство =К^<оо.(6・44)
Другими словами, использование разложения по нормальным модам заменяет обобщенный принцип Гюйгенса — Френеля эквивалентной системой фиктивных параллельных каналов, из°*
4仞4仞%勿%勿Рис. 6.2. Разложение поля по нормальным волнам при распространении между апертурами R и R2.Рис. 6.2. Разложение поля по нормальным волнам при распространении между апертурами R и R2.
4仞
4仞
%勿
%勿
Рис. 6.2. Разложение поля по нормальным волнам при распространении между апертурами R и R2.
Рис. 6.2. Разложение поля по нормальным волнам при распространении между апертурами R и R2.
браженных на рис. 6.2. Полезно отметить, что в соответствии с теоремой взаимности (6.15) совокупности^^ (pz) ： 1 ^m < оо, @'三 &｝，｛①展(@): 1 <m V 8, о 三 RR 価俏:1 <m < оо) являются системами собственных функций и собственных чисел соответственно для разложения по нормальным модам поля, распространяющегося через среду из апертуры R2 к апертуре Л1 [6.16].
В случае распространения в свободном пространстве решение уравнения Фредгольма (6.37) было получено в работах [6.53,59]. Собственные числа, соответствующие свободному пространству, зависят от числа Френеля DfQ = (ndid2/4XL)2, а собственные функции излучающей и приемной апертур являются сфероидальными волновыми функциями. В дальней зоне дифракции, 力0《1, наибольшее собственное число 川 приближенно равно 力о, а остальные собственные числа пренебрежимо малы. Более того, собственные функции излучающей и приемной апертур, соответствующие Пь можно приближенно записать следующим образом:
Ф1(р) ^ (2/歩/2必)ехр (一询 р |2/2L),@ 三 R,(6.45)
% (@‘)⑵冗 1囹2)exp (/1 jf F/2L),@‘ 三 &•(6.46)
Здесь в выражении (6.46) * опущен множитель, содержащий абсолютную фазу.
В режиме ближнего поля, Ofo》1, отличны от нуля первые 2fo собственные числа. Все остальные близки к нулю. Первые Dfo собственных функций излучающей апертуры, соответствую- ихие собственным числам порядка единицы, можно приближенно представить [6.60] в виде
⑹-(2阿倒)ехр [一 № I @ F/2L + 2冗% • p)],p 三 R,
1 Z П(6.47)
где {fm}——система пространственных частот, значения которых не превышают предела разрешения Рэлея 厶/2入L, которая обеспечивает приближенную ортогонализацию функций.
При распространении волн в атмосфере, состояние которой характеризуется функцией h2\ (pz, р), имеют место режимы дальней и ближней зон дифракции, отличающиеся тем, что мгновенное эффективное число Френеля
Of = \ d@ \ d(/ 也1 (Н @) F (6.48) 凡 R2
оказывается больше либо меньше единицы [6.57]. В частности, при Df《1 имеет место режим дальней зоны дифракции. Наибольшее собственное число r)i в этом случае приближенно равно Df, а все другие близки к нулю. Кроме того, если в режиме дальней зоны дифракции размер апертуры Ri не превышает размера обусловленной атмосферой области когерентности, т. е. выполняется равенство
% (@‘，@) + 珍(@‘，р) ^ %(Р‘，0) + 沖((/, 0), р w Ri, @‘ 三 А, (6.49) то функция ①i(p) приближенно определяется формулой (6.45). Если размер апертуры /?2 не превышает размера области когерентности, то 力 1(р" определяется формулой (6.46).
При Df》1 выполняется режим ближней зоны дифракции. В этом случае отличны от нуля первые Df собственных чисел. Кроме того, в режиме ближней зоны дифракции выполняется приближенное соотношение Df « DfQt а при d\ & d? собственные функции излучающей апертуры в атмосфере, имеющие отличные от нуля собственные числа, приближенно описываются формулой (6.47), полученной для свободного пространства.
Прикладные задачи в проблеме формирования изображений
Атмосферная турбулентность ограничивает разрешающую способность фотографирования с помощью телескопа при большой выдержке вследствие ограниченности площадки пространственной когерентности поля пришедшей от объекта волны [6.10, 12]. Так как поперечный размер площадки когерентности (радиус пространственной когерентности) имеет порядок 10 см при вертикальном распространении, то основные ограничения на разрешающую способность современных телескопов налагает атмосферная турбулентность. Для улучшения качества искаженных атмосферной турбулентностью изображений в последнее время широко используют процедуру предварительного детек” тирования. Она, так же как интерференционные системы, кото-
必仞-Атмосфера f%0)f嬲㈱+纺仞Поле объекта Принимаемое поле Поле изображение
рис 63 Блок-схема типичной системы формирования изображения в атмосфере.
рЬ1е принципиально нечувствительны к атмосферным искажениям фазы [6.61——66], и системы с фазовой компенсацией, в которых компенсация атмосферных искажений осуществляется в реальном масштабе времени [6.67—71], при соответствующих условиях обеспечивает дифракционное разрешение.
В этом разделе мы рассмотрим ограничения, возникающие в различных системах формирования изображений, работающих в атмосфере. При этом будут рассматриваться идеальные, свободные от шума устройства, и основное внимание будет уделено принципиальным ограничениям, обусловленным средой.
Рассматриваемая нами проблема формирования изображения заключается в следующем. Объект, для которого строится изображение, находится в плоскости апертуры Ri и является самосветящимся либо освещается таким образом, что излучаемая им волна является квазимонохроматической скалярной с длиной волны X. Излучение объекта распространяется от плоскости апертуры Ri к плоскости z = £ и принимается входной апертурой R2 системы, формирующей изображение. Назначение приемника, схематично изображенного на рис. 6.3, заключается в том, чтобы используя излучение, принятое через апертуру а, сформировать изображение объекта. Нас будет интересовать среднее качество формирования изображения в зависимости от принципа работы устройства, используемого в приемнике. Однако, прежде чем приступить к анализу конкретных систем формирования изображений, рассмотрим распространение волн, излучаемых некогерентными источниками.
62L Распространение некогерентного излучения
В разд. 6.1 неявно предполагалось, что начальное поле на апертуре R когерентно во времени и в пространстве, т. е. G(p, О является детерминированной функцией своих аргумен- тов. Такая ситуация может часто встречаться в лазерных си- стемах связи, но она не является типичной для систем, форми- Рующих изображение. Например, если поле (//(р, /) в схеме, Изображенной на рис. 6.3, будет создаваться путем переизлуче- :н? апертурой, имеющей равномерную прозрачность и освещен- Ои ВД^ально когерентным лазерным пучком, то можно исполь- °вать результаты, полученные в разд. 6.1. В другой ситуации,
когда поле U,(p, f) создается в результате диффузного рассеяния объектом лазерного пучка, формирующего изображение радара, то оно будет пространственно-некогерентным (здесь возникает хорошо известное явление пятнистости [6.72——75]), хотя временная когерентность поля сохраняется. В этом случае результаты, полученные в разд. 6.1, описывают мгновенное распределение поля, которое, вероятно, можно продетектировать. Однако обычно приходится заниматься анализом поведения полей, усредненных по ансамблю спекл-структур. Наконец, если поле Uj(p,/) является комплексной огибающей излучения, распространяющегося из апертуры R】 от освещенного естественным светом или самосветящегося объекта, то оно будет некогерентно как в пространстве, так и во времени. В этом случае временная когерентность источника (величина, обратная ширине спектра) обычно много меньше собственной постоянной времени или времени интегрирования любого фотографического или фотоэлектрического детектора, так что распределение поля, получаемое с помощью такого прибора, в действительности является статистическим средним по ансамблю случайных функций источника.
Рассматривая распространение квазимонохроматической волны от апертуры Ri к апертуре R2 через мгновенно заморо・ женную атмосферу, запишем
4 (Р‘，0 = \ dpUt (р, / — L/c) Л21 (р\ р, /).(6.50)
Предположим далее, что U?(p,/) определяет комплексную амплитуду поля пространственно-некогерентного источника и характеризуется следующими статистическими моментами:
〃(@,纨=0,(6.51)
〈40\ = Л(Р1)"(PL 啞 (б・52)
(символ ＜〉s обозначает усреднение по ансамблю случайных функций источника). В формуле (6.52) величина 厶(pi) определяет среднее значение интенсивности поля источника [/s(pi) = =〈I а(М，/) |2〉s], а величина As — площадь области когерентности источника (4s^ 九2). Используя стандартные операции статистического усреднения, с помощью соотношений (6.50) — (6.52) получаем следующие выражения для моментов поля на приемной апертуре:
〈4(M/)〉s = 0,(6・53)
〈4®，/)43，，)〉$= \ dp 4，$(р)% ®, р, /)福(р2 Р, ) (6.54)
Заметим, что соотношения (6.53, 54) соответствуют мгновенному состоянию атмосферы, определяемому функций /121((/, р, О» и 口。・ атому формула (6.54) является [6.76] обобщением теоремы ван Циттерта — Цернике.
В свете наших предыдущих замечаний ясно, что при сопо* ставлении формулы (6.54) и экспериментальных данных необходимо проявить внимательность. Предположим, что детектор приемной апертуры R2 определяет значение функции взаимной когерентности, усредненное за время 勿：
J?
尔 \ d%®, t)U；(* t).
F/2
Если время td меньше временного масштаба когерентности, обусловленного атмосферой, и много больше величины, обратной ширине спектра источника, что имеет место при фотографировании астрономических объектов с короткой выдержкой, то усредненное по времени значение функции взаимной когерентности правильно описывается формулой (6.54). С другой стороны, при лазерной локации можно легко достичь значений 勿， которые оказываются много меньше как величины /с, так и величины, обратной ширине спектра источника. В этом случае формула (6.54) определяет только значение функции взаимной когерентности, усредненное по ансамблю.
Формирование изображения тонкой линзой
В этом разделе мы рассмотрим принципы работы общепринятых систем формирования изображения. Поскольку результаты для случая некогерентного освещения с помощью соотношения (6.54) могут быть получены из результатов для когерентного освещения, мы начнем с последнего случая. Предположим, что объект, расположенный в плоскости апертуры Ri, излучает монохроматическую волну, характеризуемую амплитудой Uj(p), и для формирования изображения используется высококачественная тонкая линза, установленная в плоскости апертуры /?2, как показано на рис. 6.4. Пусть распределение излучаемого объектом поля по угловым координатам а = p/L определяется формулой
U7 (а) = ехр (/1 а |2L/2) Ut (aL). (6.55) 3"?cb для упрощения расчетов введен множитель с квадратич- Нои 巾азой. Через 0% (а) обозначим мгновенное угловое распре-
Рис. 6.4. Схема формирования изображения тонкой линзой.
деление поля в изображении, формируемом оптической системой. Можно показать [6.77], что выполняется равенство
&н («2)=，d^Ui («I)pi (а2, «I),(6.56)
Pl («2, а1)=
=九-2，d@‘ exp {%(P‘，％L) + “6 (p- a，) + 々p'・(％ — »i)] }. (6.57)
Иными словами, для мгновенного состояния атмосферы, характеризуемого величинами %(р‘，р) +i#(p', р), изображение когерентного объекта, формируемое линзой, определяется интегралом суперпозиции, содержащим весовую функцию сдвига ■(如,ai).
Анализ систем, формирующих изображение через атмосферу, существенно упрощается, если функция р, приближенно инвариантна относительно сдвига (изопланатична). Это имеет место, если размер апертуры Ri не превышает радиуса когерент* ности поля, обусловленного атмосферой [ср. (6.49)]. Более под* робное обсуждение условий изопланатизма содержится в работах [6.77—80]. Предположим, что благодаря соотношению (6.49) выражение (6.56) превращается в интеграл свертки, т.包 функции Оц и Ui оказываются связаны соотношением
㈢ W) = \ d%U： (%№ (% — ％),(6・58)
где
Л(Q)== V2 \ d^ exp {х ((/, 0) + "6 (р', 0) + 4(/ •闻}・(6$9)
Так как выражение (6.58) является интегралом свертки, преобразования Фурье по угловым переменным приводят к уравнеНию переноса для фурье-трансформант：
。〃⑴= M(f)Tz(f),(6.60)
где ^ — преобразование Фурье поля U', а Л (^—мгновенная передаточная функция для когерентного объекта, которая, согласно (6.59), имеет вид
Ti (f) = ехр [% (瞳，0) + 冲仇f, 0)] circ (2九 | f |/成)，(6.61)
где оператор circ определяется как
(1 для 2九 |f|/d2《l, circ (2% If ^2) = { п
I 0 во всех остальных случаях.
Когда отсутствует турбулентность, выполняется равенство % + »$三0, и соотношения (6.59) и (6.61) сводятся к хорошо известным результатам ([6.8], стр. 110, 111), соответствующим дифракции в вакууме:
ро(a) = d2J\ (л| а I厶/九)/2%I а |,(6.62)
Го (f) = circ (2^|f |/rf2).(6.63)
Таким образом, в области изопланатизма мгновенное влияние турбулентности на формирование изображения когерентного объекта проявляется в виде случайного мультипликативного возмущения, действующего в пространстве угловых частот. Исполь^ зуя результаты разд. 6.1, находим
(6.64)(6.65)(6.66)(6.64)(6.65)(6.66)〈「(f)〉a0,
(6.64)
(6.65)
(6.66)
(6.64)
(6.65)
(6.66)
⑴(L) Т； &)〉= 7。(L) П(М exp [— (% I * - f2 |/Po)5/3/2]， где
T~ радиус когерентности сферической волны в плоскости z =厶. Заметим, что для времени экспозиции, значительно превышаю- 9его время когерентности, обусловленное атмосферой, запись Функции U^ (а) с применением голографии эквивалентна записи ^личины фц (а)). Из формулы (6.64) следует, что фи (а)) = 0. изически искажение голографического изображения в атмо- ®еРе обусловлено флуктуациями фазы (Сф (0, 0) > I). При ре”
гистрации интенсивности поля 0% с большой выдержкой возникает отличное от нуля изображение
<1%(«)|2) =
=卜“成2“色)沙(%)〈乙色)7:⑷〉ехр[/2Л (* 一 %)，叫・@67)
Если имеется синусоидальный объект
Ut (а) = Л cos (2nf0 • а),(6.68)
где |fo| < ^2/2Х, то интенсивность изображения при большой выдержке определяется выражением
<l^/(a)|2> = W2){l +cos(4nf0.a)exp[-^(6.69)
Следовательно, атмосферная турбулентность уменьшает вид- ность интерференционных полос при большой экспозиции за счет сомножителя ехр [— (2Х | f0 |/Ро)5/3/2]. Ясно, что при | fQ | < <р；/九 или a? V Ро уменьшение видности полос составляет самое большое ехр (——22/3) = 0,20. Таким образом, атмосферная турбулентность при длинной выдержке не оказывает заметного влияния на качество изображения когерентного объекта по интенсивности, если все его угловые частоты лежат в пределах разрешения апертуры с размером порядка радиуса когерентности поля или приемная апертура не превышает размера области когерентности поля.
В случае пространственно-некогерентного объекта, характе* ризуемого усредненной по ансамблю интенсивностью % (а), применение обобщенной теоремы ван Циттерта ——Цернике к соотношению (6.58) дает следующий результат:
W=\ d^A^\Pl^^(6.70)
В формуле (6.70) величина Т； определяет усредненное по ансамблю источников значение интенсивности йзображения в угловых координатах, соответствующее мгновенному состоянию атмосферы. Введение преобразований Фурье по угловым переменным приводит к следующему уравнению переноса изображения некогерентного объекта:
E"f) = 〃(f)y(f),(6.71)
где мгновенное значение передаточной функции некогерентного объекта r/(f) получается с помощью функции T/(f), если воспользоваться ([6.81], стр. 113—115) автокорреляционным интегралом
q ⑴=L~2As\ 叫 Т/ (% + f/2) 7；色一f/2).(6.72)
В отсутствие турбулентности подстановка (6.63) в (6.72) приводит к хорошо известной [6.81] формуле предельного дифракционного разрешения некогерентного объекта:
T。⑴=(期/2九2厶2)施“中附2))<
X {arccos 仇I f |他)一 31 f |/rf2)[l-(X|f |/rf2)2]l/2}. (6.73) В турбулентной атмосфере, используя результаты разд. 6.1, можно показать [6.10, 12], что
〈％ ⑴〉=(f) exp [―(九 I f 1/Р05/3/2].(6.74)
Регистрация интенсивности изображения при времени усреднения, существенно превышающем величину, обратную ширине частотного спектра источника, и время когерентности, обусловленное атмосферой, приводит к следующему распределению:
〈方⑷〉=\ d忆⑴ «⑴〉exp 02M • а).(6.75)
Как и в случае формирования изображения когерентного источника с большой выдержкой, изображение некогерентного источника с большой выдержкой существенно искажается турбулентностью, исключая условия, когда выполняется неравенство & < р； или когда все угловые частоты объекта удовлетворяют соотношению | f | < р；/%・
Интерференционные методы формирования изображения
Ограничения, возникающие при формировании изображения с помощью тонкой линзы, при большой экспозиции в атмосфере достаточно серьезны. В оптическом диапазоне величина р[ обычно составляет несколько сантиметров для горизонтальных трасс и десять сантиметров для вертикальных трасс.①пзп- "ескн это ограничение разрешающей способности обусловлено главным образом искажениями фазы волны. Тонкая линза преобразует сферический волновой фронт, расходящийся из точки на объекте, в сферический волновой фронт, сходящийся в соответствующую точку изображения. При & > Р； в атмосфере фа- зовнй фронт волны, приходящей на апертуру /?2, является искаженным, и это приводит к искажению распределения интенсивности в фокусе линзы (рис. 6.5). Естественный выход из соз・ Давшегося положения состоит в том, чтобы использовать систему, которая была бы нечувствительна к искажениям фазы волна. На этом принципе основаны интерферометрические ме- формирования изображения.
Интерферометрические методы формирования изображения к/ioqaioT в себя амплитудную интерферометрию [6.65, 82], спекл-интерферометрию [6.61, 62] и интерферометрию интенсив-
Рис. 6.5. Формирование изображения точечного источника: а — линзовой системой с дифракционным разрешением в вакууме; б ——линзовой системой с разрешающей способностью, ограниченной турбулентностью в атмосфере.Рис. 6.5. Формирование изображения точечного источника: а — линзовой системой с дифракционным разрешением в вакууме; б ——линзовой системой с разрешающей способностью, ограниченной турбулентностью в атмосфере.ностей [6.63,64, 83]. Как будет видно в дальнейшем, эти методы принципиально не чувствительны к искажениям фазы и в простейшем случае формируют скорее изображение автокорреляционной функции объекта, чем самого объекта. Все интерференционные методы требуют, чтобы излучение объекта было пространственно-некогерентно, а интерферометрия интенсивностей дополнительно требует, чтобы величина, обратная ширине спектра источника, превышала постоянную времени детектора.
Рис. 6.5. Формирование изображения точечного источника: а — линзовой системой с дифракционным разрешением в вакууме; б ——линзовой системой с разрешающей способностью, ограниченной турбулентностью в атмосфере.
Рис. 6.5. Формирование изображения точечного источника: а — линзовой системой с дифракционным разрешением в вакууме; б ——линзовой системой с разрешающей способностью, ограниченной турбулентностью в атмосфере.
Вначале рассмотрим метод амплитудной интерферометрии. Предположим, что излучение объекта, расположенного в плоскости апертуры R, является некогерентным и имеет рас-, пределение средней интенсивности в угловых координатах Л （«） Для удобства будем считать, что размер апертуры R\ не превышает обусловленный атмосферой радиус когерентности,что обеспечивает выполнение условия изопланатизма [6.84], а величина, обратная ширине спектра источника, оказывается много меньше постоянной времени детектора, как это имеет место в астрономических наблюдениях. Метод амплитудной интерферометрии проще всего пояснить на примере звездного интерферометра Майкельсона, изображенного на рис. 6.6. В этой оптической системе излучение объекта, изображение которого строится тонкой линзой, пропускается через маску, расположенную в плоскости апертуры R? и непрозрачную всюду, кроме двух точечных отверстий, проделанных в точках @； и 脸 При мгновенном состоянии атмосферы распределение интенсивности в плоскости изображения представляет собой синусоидальную интерференционную картину с угловой частотой, равной （р；——р；）/%・ Комплексная видность интерференционной картины [6.85] следует из формулы （6.54） и имеет вид Ynexp^apn—iaF/qx
Х〈4（% /”；《,》/[〈 |4®,川2〉д〈м（% /）〉у r нехррК®, 0）-小（脸 0）]}4[® - 唠/入 Р（0）・（676）
Искажения фазы волны, вызванные атмосферой, препятствуют прямому определению фазы функции /；[(“ 一
—Р；)/九]из выражения для у при 回一р] > Ро； однако атмосфера не искажает модуль величины ? Исполь
зуя совокупность расположенных на разных расстояниях друг от друга отверстий [6.65,82], методами амплитудной интерферометрии можно осуществить неискаженные измерения величины |/Z(f)2| для всех значений
Рис. 6.6. Звездный интерферометр Майкельсона.Рис. 6.6. Звездный интерферометр Майкельсона.|叶&办/入.Поскольку информация о фазе распределения 7； при такой обработке оказывается , потерянной, то восстановить изображение /； с точ-
Рис. 6.6. Звездный интерферометр Майкельсона.
Рис. 6.6. Звездный интерферометр Майкельсона.
ностью до дифракционного разрешения невозможно. Самое
большое, что здесь может быть с такой точностью получено, это изображение автокорреляционной функции
Г：(«) = \ da/(% + а/2"；(% — а/2)・(6.77)
В частности, поскольку имеется возможность измерять величину I 応(f) I2 circ (Л I f |/rf2), то отсюда получается автокорреляционное изображение
fXa2)=，df I /^ (f) |2 circ (Л I f 网)exp «2冗f ・ a2)=
(6.78) где
pA (a) н 厶乙(2冗 I a I 匐九)/九 I a | (6.79)
—функция рассеяния точечного источника для амплитудного интерферометра. Хотя автокорреляционная функция объекта 「s не определяет величину /《единственным образом, она ока、 зывается полезной при оценке диаметров звезд и расстояний между компонентами двойных звезд [6.86,87]. Предлагалось множество методов для восстановления потерянной информа- 覇:о фазе [6.66, 88—91], но здесь эти методы обсуждаться не
Устройство и принцип работы спекл-интерферометра можно понять непосредственно из рассмотренного нами процесса фор- В"рованпя изображения тонкой линзой. Для пространственно- ^когерентного объекта, который не превышает обусловленного
атмосферой радиуса когерентности, интенсивность изображения 1st (а) при короткой экспозиции определяется из обратного преобразования Фурье от уравнения переноса изображения
几⑴= bf)%(f)，(6.80)
где
口⑴=「А§ \ df I circ (2九巾 一 f/2 |他)circ (2九 | R + f/2 |/统)X
X exp {%【九(L 一 f/2), 0] + У [九(fi + f/2), 0] 一
-i(川九(L-f/2), 0]一川九缶 + "2), 0]}.(6.81)
Здесь мы считаем также, что постоянная времени детектора превышает величину, обратную ширине спектра источника. Усреднение членов, содержащих случайные фазы в подынтегральном выражении в формуле (6.81), позволяет ослабить ограничения, которые налагаются на формирование изображения при длинной экспозиции, когда выполнено условие d^ > р；・ В спекл-интерферометре при измерении величины
〈I 頂⑴卩〉=/⑴ F〈g(f)|2〉(6.82)
удается устранить (хотя и не полностью) чувствительность к искажениям фазы путем последовательной записи изображений с короткой экспозицией и последующего использования оптического преобразования Фурье, а также методов усреднения [6.61, 62]. В формуле (6.82) в пределах применимости метода Рытова эффективная передаточная функция имеет вид
<1 勺⑴『〉=「％ , di{ J 曲 circ (2九 I 力一f/2 |他)X
X circ (2相 L + f/2 財2)circ (2九 | f2 一 f/2 |/d2) circ (2九 | f2 + f/21 他)X
X exp (一 {D (舗，0) +0[九(f 1 一 f2), 0)] 一
-D[K ⑴ 一 f2 + f), 0]/2 一 Q [九(L 一 力 一 f), 0]/2} +
+ 2{Cx[X(f1-f2 + f), 0] + zCx.4X(f1~f2 + f), 0] +
+ C"九(L-f2 — f, 0]-z・C%,em(fi—f2-f), 0]}).(6.83)
Передаточная функция (6.83) была вычислена в работе [6.62] в пренебрежении ковариацией логарифма амплитуды и взаимной ковариацией логарифма амплитуды и фазы. Полученный результат показан на рис. 6.7. Как видно из рисунка, спекл-ин； терферометр сохраняет уровень передаточной функции, близкий к дифракционному пределу, даже при 卷》Ро- Путем компенсации усиленных значений передаточной функции в области низких пространственных частот можно получить автокорреляционное изображение, сравнимое с изображением, создаваемым ам-
id2id2^ ^ ^ю -^ ^юMlxHfie azHhoE碍dau 2qH喜 Odnws-H^ ^ ^ю -^ ^юMlxHfie azHhoE碍dau 2qH喜 Odnws-H10°10°Рис. 6.7. Нормированные передаточные (сплошные кривые) и при формировании (пунктирные кривые) в зависимости от личных значениях d?/p彳(согласно [6.62],Рис. 6.7. Нормированные передаточные (сплошные кривые) и при формировании (пунктирные кривые) в зависимости от личных значениях d?/p彳(согласно [6.62],функции для спекл-интерферометра изображения с длинной экспозицией отношения Xf/d2^k I f [/^2 при раз- рис. 5).функции для спекл-интерферометра изображения с длинной экспозицией отношения Xf/d2^k I f [/^2 при раз- рис. 5).
id2
id2
^ ^ ^ю -^ ^ю
MlxHfie azHhoE碍dau 2qH喜 Odnws-H
^ ^ ^ю -^ ^ю
MlxHfie azHhoE碍dau 2qH喜 Odnws-H
10°
10°
Рис. 6.7. Нормированные передаточные (сплошные кривые) и при формировании (пунктирные кривые) в зависимости от личных значениях d?/p彳(согласно [6.62],
Рис. 6.7. Нормированные передаточные (сплошные кривые) и при формировании (пунктирные кривые) в зависимости от личных значениях d?/p彳(согласно [6.62],
функции для спекл-интерферометра изображения с длинной экспозицией отношения Xf/d2^k I f [/^2 при раз- рис. 5).
функции для спекл-интерферометра изображения с длинной экспозицией отношения Xf/d2^k I f [/^2 при раз- рис. 5).
плитудным интерферометром. Спекл-интерферометр обладает инструментальным преимуществом перед простейшим амплитудным интерферометром с двумя отверстиями, потому что он из^ меряет одновременно все пространственные частоты. О спекл- ；^%6°тке в реальном масштабе времени сообщалось в работе
Термин спекл-интерферометрия определяется природой про- “есса формирования оптического изображения при короткой экспозиции в условиях а?》Р〔・ Для точечного источника, расположенного в плоскости апертуры R, изображение, полученНое с короткой экспозицией, представляет собой случайную кар- т”ну с угловым диаметром пятен 九/&2, находящуюся в области
с угловым размером 九/р； При работе лазерной локационное системы в вакууме диффузный объект, расположенный в плоскости апертуры R, будет излучать некогерентную в пространстве, но когерентную во времени волну; и с помощью расположенного в плоскости апертуры R2 детектора (постоянная времени которого меньше величины, обратной ширине спектра источника) можно наблюдать [6.72——75] спекл-картину, создан* ную шероховатой поверхностью объекта. В интерферометрии интенсивностей эта спекл-картина используется для формирования автокорреляционной функции изображения, которая совершенно не зависит от искажения фазы волны в плоскости апертуры R?・ Суть этого метода, являющегося пространственным аналогом метода Хенбери-Брауна и Твисса [6.92], состоит в следующем. Предполагается [6.72, 73], что объект, расположенный в плоскости апертуры R, излучает квазимонохроматическую волну, комплексная амплитуда которой, равная U^p, /), является гауссовой случайной величиной, статистические моменты которой определяются выражениями (6.51) и (6.52). Путем фотографирования измеряется интенсивность в плоскости апертуры R2. При этом время экспозиции выбирается меньше, чем величина, обратная ширине спектра источника, и обусловленное атмосферой время когерентности. Если размер источника не превышает радиуса когерентности поля волны в атмосфере, то измеряемое значение интенсивности, согласно формулам (6.12) и (6.49), запишется в виде
14 (К /)Р =
：=ехр [2% (К 0)]，d@Q (р, / — L/c) ехр (/1 @’ 一 @ 附2L)/认L 1 (6.84)
Затем для определения величины
\ dp' I UQ (pz, /) I2 exp (— /2лрЛ • f/L) 2
используется оптическая обработка сигнала. В итоге применения обратного преобразования Фурье получается мгновенное значение автокорреляционной функции интенсивности в плоскости апертуры А：
г0(/, t)^(nd^\d^\u.^^i^ Nkg + p”, О|2Х
X circ (2 同一 р72 |/卷)circ(2|p；+ @721/&)・ ⑹眦
Когда величина 办 существенно превышает размер пятна объекта и масштаб корреляции логарифма амплитуды в плоскости ^ = L1 функция Го(р\ /) будет приближенно равна значению
9Tой величины, усредненному по ансамблям случайных реали^ заций источника и турбулентной атмосферы. В итоге находим
「о(Н /) « ^^ [ I /：(0) |2 + I Z^ (pzA) |2] exp [4Сх (р； 0)] X х [arccos(! “色)一(I @"/卷)(1 一 I @‘ 12 磅У2 circ(! pz 阳2)].(6.86) Здесь предполагалось, что % является гауссовой случайной величиной. Если в выражении (6.86) можно пренебречь влиянием ковариационной функции флуктуаций логарифма амплитуды (как это, например, имеет место в случае очень слабой турбулентности) или ввести [6.64, 93] коррекцию этих флуктуаций, то интерферометрия интенсивности позволяет измерить с точностью до дифракционного разрешения угловой спектр объект а |7i(f) I2» который эквивалентен автокорреляционной функции изображения
П (а2) = \ 询匕(а, I「° (а2 — аО |2,(6.87)
где ро(а)——функция рассеяния точечного источника в свободном пространстве.
Формирование изображения с применением фазовой компенсации
В интерферометрическом методе формирования изображения можно достичь дифракционного разрешения путем использования нечувствительных к изменениям фазы способов детектирования. Другой способ формирования изображения с точностью до дифракционного разрешения заключается в измерении и компенсации в реальном масштабе времени флуктуаций фазы, обусловленных турбулентностью. Компенсация фазовых искажений в реальном масштабе времени становится возможна благодаря малой ширине временного спектра флуктуаций фазы волны в атмосфере (^1 кГц) и последним достижениям в области оптической и электронной техники. Общая блок-схема системы, формирующей изображение с использованием фазовой компенсации, показана на рис. 6.8. Она включает в себя корректор волнового фронта (или фазовую пластинку), измеритель фазы (фазо-чувствительную решетку) и обычную систему, формирующую изображение (тонкую линзу). Корректор волнового фронта представляет собой деформируемое зеркало [6.68,94] Или пространственный модулятор фазы [6.69, 95, 96], которые ПРИ выполнении условий изопланатизма устраняют фазовые искажения 力(р‘，0, f), обусловленные атмосферой, используя управляющий сигнал (оценку фазы) $(р‘，0,/), приходящий с измерителя фазы волны. Последние исследования показали, что
искажения фазы волны в атмосфере можно измерять, используя параметры контрастности изображения [6.67], специальную фазовую модуляцию [6.69] или интерферометр сдвига [6.68], и дали некоторое представление о возможностях измерения в условиях слабой освещенности [6.97,98]. В таких исследованиях обычно предполагается, что размер объекта, для которого строится изображение, не превышает области изопланатизма и что флуктуациями интенсивности можно пренебречь. В настоящее время возможности систем фазовой компенсации, работающих в реальном масштабе времени, ограничены главным образом ошибками оценки фазы, обусловленными конечностью отношения сигнал/шум измерителя фазы, и ошибками подстройки, возникающими при ограниченном числе пространственных in・ пов колебаний, восстанавливаемых корректором волнового фронта [6.99]. Следуя поставленной выше цели ——уделить основное внимание эффектам, связанным с распространением волн в среде, будем считать, что измерения фазы и коррекция могут быть выполнены идеально, и обсудим остаточные искажения, вызванные атмосферой. В процессе развития техники она достигнет такого состояния, при котором только эффекты, возникающие при распространении волн, будут ограничивать угловое разрешение изображений ярких источников, формируемых в системах с компенсацией фазы. В настоящее время результаты этого раздела следует рассматривать как прогнозирование принципиально достижимых значений характеристик, с которыми следует сравнивать характеристики реально работающих систем.
Вначале рассмотрим процесс формирования изображения когерентного объекта. Предположим, что объект, находящийся в плоскости апертуры R, излучает когерентную волну, характеризуемую комплексной амплитудой U；(a) [запись ведется в угловых координатах, ср. с (6.55)], и дополнительно к этому имеется поле опорного точечного источника 6(а — а0). (Можно представить себе также локационную схему формирования изображения, в которой в дополнение к полю волны Ui (а), отраженной от диффузного объекта, расположенного в плоскости
Корректор волнового фронта
Рис. 6.8, Блок-схема формирования изображения с фазовой компенсацией»
z = 0, присутствует поле волны, зеркально отраженной от точечного отражателя б(а ——а。).) Предположим, что в плоскости апертуры R2 удается отделить компоненту поля опорного точечного отражателя от компоненты поля диффузного объекта Uo(p')・ Так как опорный источник является ярким, можно выполнить точное измерение фазы 力((/,%)厶)как функции координаты р‘ для мгновенного состояния атмосферы. Измеренное мгновенное значение фазы используется для управления корректором волнового фронта, который расположен в плоскости приемной апертуры, совпадающей с тонкой линзой, формирующей изображение. Для удобства будем считать размер корректора, совпадающим с апертурой R» Такая система формирует мгновенное изображение, которое в угловых координатах [ср. (6.56) и (6.57)] записывается в виде
盘“ О = \ 加№ «J %, («2, «1),(6・88)
где
Рро(а2, «1) = Л"2 \ dp'ехр ｛%((/, а，)+
R2
+ "6 (К。也)一 3 а,国厶)+ kOf • (а2 一 喇｝・(6.89)
Из результатов разд. 6.1 следует, что голографическое изображение с компенсацией фазы при длинной экспозиции определяется выражением
〈&С (吋〉=ехр [- 4 (0, 0)/2 + q ° (0, 0)] X
X \ d%U；(国)Ро «2 - а) ехр ｛一 ％ [0, (% - а°) L]- 一，%/0,(%一&)句｝),(6.90)
где предполагалось, что % и 力一гауссовы случайные величины. Поскольку в режиме слабых флуктуаций имеет место [6.40] равенство
& (0, @»Q(0, р) = (|р|/ро卢з,(6.91)
где
Ро =〔2,91 齡卜2欧(2)(1 —之/厶)[,(6.92)
обусловленный атмосферой радиус когерентности поля в пло- скости z = 0, то соотношение (6.90) означает, что распределе- НИе〈3%〉обеспечивает формирование изображения с точностью "о Дифракционного разрешения той части объекта, которая на- ходится в области с размером порядка радиуса когерентности в плоскости г = 0 и включает в себя опорную точку а〃. За-
метим, что вне области высокого разрешения имеет место приближенное равенство Ф^»0. Такое поведение величины 〈0；рс〉 не вызывает удивления, поскольку рассматриваемая нрми система формирования изображения с опорной компенсацией в сущности является системой, регистрирующей голограмму без- линзового преобразования Фурье [6.100, 101], а такие системы, как известно, имеют ограничение угла по』я зрения (а не предельного разрешения), возникающее вследствие убывания модуляционной передаточной функции [6.102]. В случае безлин- зового преобразования Фурье в вакууме этот спад обусловлен пределом разрешения регистрирующего материала (например, фотопленки). В рассматриваемой системе формирования изображения через атмосферу с использованием фазовой компенсации это ограничение возникает вследствие ограниченности пространственной когерентности поля в плоскости а = 0. Можно показать [6.77,100], что распределение интенсивности изображения 〈|“рс(а)卩〉при длинной экспозиции состоит из изображения, имеющего дифракционный предел разрешения для той части объекта, которая попадает в область когерентности поля, содержащую опорную точку, и окружающего его изображения остальной части объекта, получаемого с плохим разрешением.
Рассмотренная система формирования изображения с фазовой компенсацией и опорным точечным источником может также использоваться в случае, когда излучение объекта является пространственно-некогерентным. В частности, интенсивность изображения, получаемого при времени экспозиции, значительно превышающем величину, обратную ширине спектра источника, и время когерентности поля, обусловленное атмосферой, определяется [ср. с (6.70)] выражением
〈Т/ ®)〉= L^As J dM ⑷〈I р“(％, %)》 (6.93) Поскольку для произвольной комплексной случайной величины V выполняется соотношение
<1 V Р) = |<у) |2 +Var (у), (6.94)
причем Var (у) ^ 0, то отсюда следует, что распределение {Ispc («2)) включает в себя получаемое с точностью до дифракционного разрешения изображение той части объекта, которая находится в пределах области когерентности, содержащей опорную точку [6.77]. Интересно отметить, что для пространственно-некогерентного объекта, который не превышает радиуса пространственной когерентности поля, и имеет величину, обрат” ную ширине спектра, много меньшую времени когерентности,
обусловленного атмосферой, необходимость в опорном точечном источнике исчезает. Для таких объектов можно получить требуемую информацию о фазе волны, распространяющейся в атмосфере, путем интерферометрических измерений [6.68] с короткой экспозицией функции взаимной когерентности в плоскости апертуры R2 Для различных значений | О；——@]：
〈％®, /”；(脸 /)〉尸
= ехр{%(〃，0) + %(р2, 0) + 伊陋，0)-3(@2‘ °)]} X
X「& ехр [ik ( ®『—@ 怜/2句 ps [@ —畸闷.(6.95)
Принцип этого метода основан на том, что вызванные атмосферой искажения фазы в плоскости апертуры /?2 входят в усредненную по источнику функцию взаимной когерентности существенно иначе, чем флуктуации фазы в плоскости апертуры R2, обусловленные самим объектом. В случае когерентного источника света работа системы не возможна с использованием этого же источника в качестве опорного в отсутствие внешней информации, позволяющей различать фазовые множители объекта и атмосферы.
Теория оптимального формирования изображения, использующая разложение по собственным волнам
Из предыдущего анализа следует, что если действие системы формирования изображения с фазовой компенсацией не ограничено за счет конечности отношения сигнал/шум измерителя фазы или аппаратурных ошибок корректора волнового фронта, то принципиальное ограничение возможностей такой системы возникает в связи с конечностью размера области изоплана- тизма. Это означает, что объект не должен превышать размер области пространственной когерентности, обусловленной атмосферой. Имеются отдельные результаты теории [6.80], показывающие, что вклады полей от разных изопланатических элементов большого объекта можно разделить и, выполняя параллельную обработку этих полей, обеспечить дифракционное разрешение изображения. В этом разделе мы воспользуемся разложением полей, распространяющихся в атмосфере, по нормаль- ним волнам, чтобы еще раз подтвердить установленный ранее результат, согласно которому при формировании изображения с использованием фазовой компенсации достигается оптимальное разрешение в пределах, определяемых возможностями апПаратуры и условием изопланатизма.
Рассмотрим идеализированный случай, когда требуется оцеНить изображение когерентного источника, имеющего распре-
деление поля U»(p) в плоскости апертуры Ri. Считается, что поле Uo(p') такого источника после прохождения атмосферы, мгновенное состояние которой характеризуется функцией 九21(р‘，р), измеряется без искажений в плоскости апертуры R?. Будем предполагать априори, что мгновенное значение функции Грина и соответствующее разложение по нормальным модам в плоскости приемника известны. Хотя для любого реального приемника в действительности такая информация отсутствует, эффективность работы системы формирования изображения, использующей такую информацию, будет служить верхней оценкой эффективности работы любой реальной системы. Раскладывая поля (7/(р) и Оо(р') в обобщенные ряды Фурье (6.40) и (6.41) и используя описывающее распространение волн соотношение (6.44), можно показать, что при точном измере・ нии поля Uo(p') в плоскости апертуры /?2 удается восстановить без ошибок поле Uj(p).
В случае распространения волн в свободном пространстве это утверждение включает в себя одно из математических соотношений, встречающихся в теории формирования изображения со сверхразрешением [6.55]. Однако, поскольку собственные числа свободного пространства в ближней зоне дифракций группируются вблизи единицы и нуля с небольшим промежутком между ними, то уравнение
^ = ^1/2^> 1&俏<8， (6.96)
связывающее измеряемые амплитуды мод {Uom} с определяемыми амплитудами мод объекта (仇川}, существенно усиливает любые погрешности измерения амплитуд U^, соответствующих малым собственным числам. Так, исследования, проведенные с использованием белого шума в качестве пространственного шума в процессе измерений, показали, что надежные оценки амплитуд мод объекта можно получить в обычных условиях только для первых DfQ мод, собственные числа которых близки к единице [6.55, 56]. Кроме того, из соотношения (6.47) следует, что эти DfQ мод охватывают область пространственных частот, разрешаемых тонкой линзой, расположенной в плоскости апертуры /?2 [6.60]. Действительно, выражение для амплитуд мод при формировании изображения тонкой линзой в свободном пространстве, согласно [6.58], при отсутствии шума в измерениях имеет вид
Uiml = 5 dp % (p/L) Ф^ (р) = ^Ч. = П^., Km<oo. (6.97)
Это подтверждает предыдущее положение о том, что при формировании изображения тонкой линзой в свободном простран-1
стве точно оцениваются только DfQ амплитуд мод объекта, соответствующих собственным числам, близким к единице.
В турбулентной атмосфере мгновенные значения собственных чисел в ближней зоне дифракции по-прежнему группируются вблизи нуля и единицы. Следовательно, количество мод объекта, для которых можно надежно оценить значения амплитуд, ограничено модами, имеющими близкие к единице собственные- числа. Вследствие флуктуаций фазы и логарифма амплитуды поля в плоскости апертуры R2, вызванных атмосферной турбулентностью, представление вида (6.97) для амплитуд мод на входе тонкой линзы больше не имеет места. Однако благодаря применению рассмотренной в [6.58] системы с согласованным фильтром можно записать
Ufict ⑷=，do” ((/)居](p； «/) = J d^ (at) pcf (%, %), (6.98) a
где
pcf («2, %) = L2K2l (a2L, a也)exp [ikL (I a212 -1 «112)/2]. (6.99》
Для такой системы выполняется следующее соотношение между амплитудами мод:
\ d^Uficf (p/厶)Ф； (р) = П/g 1 & 俏 V 8.(6.100》
Поэтому она принципиально является системой формирования изображения, использующей оптимизацию по известным харак* теристикам распространения волн. Нетрудно показать [6.58]„ что выполняется равенство
<Pcf(«2, «1)) == Ро («2 - «1) ехр {- D [0, (а2 — aj L]/2}(6.101))
и, следовательно, в пределе, когда d2 стремится к бесконечности, усредненная функция рассеяния точечного источника в си^ стеме с согласованным фильтром точно совпадает с дифрак* ционной функцией рассеяния точечного источника р0- Наконец, ес』н предположить, что флуктуации логарифма амплитуды пренебрежимо малы и размер объекта не превышает радиуса когерентности поля, то соотношение (6.99) будет описывать систему формирования изображения с фазовой компенсацией [6.77].
6・3. Прикладные вопросы распространения волн
в проблеме связи
Турбулентную атмосферу можно представить как оптический канал связи с логарифмически-нормальными замираниями сиг-
Этот канал имеет очень широкую полосу пропускания (более 1010 Гц), время когерентности порядка и более 10~3 с и
обладает широкими спектрами шумов по пространственным и временным частотам [6.8,25]. Более детальный анализ показывает, что турбулентное уширение ограничивает минимально достижимую ширину коллимированного пучка в дальней зоне дифракции [6.18,20, 77], а флуктуации угла прихода (фазы) ограничивают способность приемной апертуры сконцентрировать принимаемую мощность в пределах дифракционного разрешения [6.5,77]. Кроме того, флуктуации интенсивности, которые, как было установлено, отрицательно сказываются на работе систем, формирующих изображение, становятся особенно существенными в проблеме связи, так как глубокие замирания сигнала пагубно сказываются на передаче сообщений [6.7, 8, 13]. В этом разделе будет рассмотрено влияние явлений распространения оптических волн на работу различных оптических систем связи в частном случае двусторонней связи на трассе земля ——космос. Аналогичные результаты получены для наземных линий связи, где преобладают условия дальней зоны дифракции.
Рассмотрим двустороннюю оптическую систему связи земля——космос, в которой на каждом конце трассы для передачи и приема используется одна и та же оптика. В частности, будем считать, что апертура R (см. рис. 6.1) расположена на борту космического корабля и является излучающей апертурой на трассе космос — земля (распространение сверху вниз) и приемной апертурой на трассе земля ——космос (распространение снизу вверх). Апертура & находится на наземном конце трассы и является излучающей апертурой при связи снизу вверх или приемной апертурой при связи сверху вниз. Предполагается, что космический корабль находится далеко за слоем атмосферы, так что вся турбулентность на трассе распространения сконцентрирована вблизи апертуры R? (наземный конец трассы). Вследствие такого прилегания слоя турбулентности к апертуре 欠2 сигнал на трассе Земля ——космос проходит большую часть пути 0 三 2VL в вакууме, а турбулентность создает случайный фазовый и амплитудный экран в плоскости излучателя. В итоге распространение снизу вверх сопровождается уширением пучка, тогда как при приеме излучения внизу наблюдаются значительные флуктуации угла прихода. Обе линии связи характеризуются замираниями сигнала, возникающими вследствие флуктуаций интенсивности, однако из-за несовпадения радиусов пространственной когерентности поля в плоскостях z = ° и z — L пространственно-разнесенный прием с целью ослабления замираний возможен только на земле. Начнем анализ проблемы связи с количественного описания отмеченных выше явлений, возникающих при распространении на трассе земля — космос, на основе обобщенного принципа Гюйгенса — Френеля.
L Распространение волн в канале связи земля — космос
При обычно использующихся диаметрах апертур на земле и на космическом корабле и при высотах, равных или превышающих высоту синхронной орбиты, можно считать выполненным неравенство (d； + d?/九厶《1. Кроме того, для трассы земля — космос обусловленные атмосферой радиусы пространственной когерентности поля в плоскостях г = 0 и г = L равны соответственно
Роо— —3/5
Ро= 2,91^2(sec₽)8/3L"5/3 J dhd(h) /i5/3j(6.102)
и -со— —3/5
Ро= 2,91&2secP J dhC^(h) =-= р0Л0secP/L, (6.103)
где р — зенитный угол трассы, соединяющей апертуры Ri и /?2, С^ (力)=С% (L — h sec 6)—— зависимость интенсивности турбулентности от высоты над наземным приемником, а
-.3/5 dhCl(h)-.3/5 dhCl(h)(6.104)(6.104)
-.3/5 dhCl(h)
-.3/5 dhCl(h)
(6.104)
(6.104)
—толщина эффективного турбулентного слоя атмосферы [6.103]. Так как для трасс, близких к вертикальным, и видимого диа^ пазона длин волн величина р； обычно равна 10 см, a hQ имеет порядок 10 км [6.104], то апертура Ri, расположенная на космическом корабле, всегда не превышает обусловленного атмосферой радиуса пространственной когерентности, тогда как на диаметре наземной апертуры R? может укладываться много ра- дйусов когерентности. При таких условиях применение обобщенного принципа Гюйгенса — Френеля соответственно к распространению волн сверху вниз (6.12) и снизу вверх (6.14) для мгновенного состояния атмосферы в дальней зоне приводит к следующим выражениям [6.16, 103] для поля:
/)= ехр 伙 а, 0) +冲 а, 0)] J d^Ui (р, t — Llc)l认L, 0&氐, R(6.105)
и
匕(p，0 = 5 ^ехр[х(р； о)+冲(К 0)]匕(М t-L/c)/ikL9 (6.106)
р巨R,
「Де абсолютное значение фазового множителя опущено. Как н следовало ожидать, влияние турбулентности представляется
в виде случайного мультипликативного возмущения поля на •апертуре & как в случае распространения сверху вниз, так и снизу вверх.
Согласно формуле (6.105), мгновенное значение коэффициента усиления мощности (относительный перенос мощности) определяется выражением
必=，如1仆。，df/\ dpisg, f-〃c)F=
=，\ dp&xp [2% (К 0)] К dp Ui (p, / - L/c) 21 +
+ [J 如 I Ut (p, / 一 L/c) I2 (叫2] .(6. io7)
При произвольном состоянии атмосферы в случае коллимированного пучка имеем
Ui (Р, /) = s(/)circ(2|p|/^),(6.108)
где s(f)——модуляция, содержащая информацию. Для этого пучка, согласно [6.16], достигается максимальное мгновенное значение коэффициента усиления мощности
G% = [M/4(g2] J й/ехр[2%(/, 0)],(6.109)
Средняя величина которого
(G» =(冗心厶/4九厶y= %(6.110)
совпадает с дифракционным коэффициентом усиления в вакууме. Выражение (6.110) подтверждает, что уширение пучка при распространении сверху вниз пренебрежимо мало. Заметим, однако, что флуктуации интенсивности влияют на величину мгновенного коэффициента передачи мощности. Кроме того, в плоскости апертуры 七 возможен пространственно-разнесенный прием, когда d? превышает масштаб корреляции флуктуаций логарифма амплитуды.
При распространении в свободном пространстве оптимального значения коэффициента усиления мощности G^ = Qfo можно достичь, если принимать нормально падающую плоскую волну. В турбулентной атмосфере коэффициент усиления мощности имеющего дифракционное разрешение приемника GdD УД°В" летворяет [6.5] соотношению
GdQ=(山他九£)2 \ dp, exp [% (pz, 0) +冲(p‘，0)] 2 (6.Ш)
Рис. 6.9. Зависимость нормированного среднего коэффициента усиления мощности при распространении сверху вниз от диаметра приемника.
и имеет следующее среднее значение:
〈％〉=
=[豈/2 (U)2] ( dp，{arccos (I - |/厶)一(I /!/d2)[1 - (J H色)2了/2} X
X circ(| pz \ld^ exp [_ (I РЮ*,(6.112)
где Ui — начальное поле коллимированного пучка (6.108). Из сравнения выражений (6.111) и (6.109) следует, что приемник с дифракционным разрешением при распространении сверху вниз имеет коэффициент усиления, равный G^, если размер апертуры & не превышает обусловленного атмосферой радиуса пространственной когерентности. Физически это условие означает, что флуктуации угла прихода практически отсутствуют. При &》Ро на апертуре R? укладывается много радиусов когерентности, и формула (6.112) приводит к полученному в [6.5] результату, который соответствует ограничению коэффициента усиления за счет турбулентности:
〈GQXM%4g2w%,(6.113)
где d； = 3,18p；—— эффективный диаметр приемника (рис. 6.9).
Значения коэффициента усиления по мощности в случае распространения снизу вверх можно получить непосредственно из соотношения (6.106), действуя таким же образом, как в случае распространения сверху вниз. В то же время все результаты 4』я распространения снизу вверх можно получить, если при-
менить разложение по нормальным модам для дальней зоны дифракции в задаче распространения сверху вниз и затем воспользоваться теоремой взаимности [6.16, 77], поменяв местами передатчик и приемник. В частности, мгновенное значение коэффициента усиления мощности при распространении снизу вверх
Gu=\d^\И0(р, /) I2 / J dg 几(К Z-L|c)|2 (6.114) становится максимальным, если начальное распределение поля на апертуре /?2 имеет вид
Vi(^, Z) = s(/)exp[%(d, 0)—冲(@‘，0)]circ(2| pz |/d2) (6.115) и используется приемная апертура Ri, обладающая дифракционным разрешением. Такая система обеспечивает оптимальное мгновенное значение коэффициента усиления мощности при распространении снизу вверх G^ 三 G》・ Однако если выполнено условие а? > Ро> то возникает необходимость применять адаптивный передатчик, корректирующий фазовый фронт волны ехр[%(р\ 0)—i0(p‘, °)] (ср. с разд. 6.3.5). В случае коллимированного пучка, имеющего начальное распределение поля вида
Vi^. f) = s(/)circ(2|(/財J (6.116) коэффициент усиления при распространении снизу вверх оказывается равным Guc = GdD [6.36]. Он достигает значения Guc = G«, когда размер апертуры 欠2 не превышает обусловленного атмосферой радиуса когерентности поля. При d?》Ро уширение пучка в атмосфере ограничивает среднее значение коэффициента усиления мощности коллимированного пучка, распространяющегося снизу вверх, до значения
9"。〉(冗办成/4九厶产三d也 (6.117) где d； = 3」8p；——эффективный диаметр излучающей апертуры. Заметим, что использование приемника, обладающего дифракционным разрешением, в плоскости апертуры Ri всегда оптимально. Разнесенный прием при передаче сообщений снизу вверх не доступен.
Статистические свойства продетектированных оптических сигналов
До сих пор нами рассматривалось детектирование сигнала в отсутствие шума. Дальнейшее использование этого предположения в проблеме связи неизбежно приводит к выводу о том, что возможна передача информации через атмосферу без искажений при произвольно высоких плотностях данных. Поэтому
Рис. 6.10. Оптическая схема прямого детектирования.
необходимо рассмотреть реальные модели шума, встречающиеся при оптическом детектировании. В этом разделе будут приведены статистические характеристики оптических приемников прямого и гетеродинного детектирования.
Основным элементом любого приемника, работающего в оптическом диапазоне, является фотодетектор. На практике применяются в основном следующие фотодетекторы: фотоумножители, полупроводниковые фотодиоды, лавинные фотодиоды, объемные фоторезисторы [6.105—107]. Во всех этих приборах носители заряда создаются в процессе поглощения света в количестве, пропорциональном мгновенному значению мощности оптического излучения, падающего на активную зону детектора. Вследствие принципиально дискретной природы тока, создаваемого таким образом, возникает дробовой шум, наблюдаемый при детектировании слабых световых потоков [6.105, 108]. Дополнительный дробовой шум возникает как вследствие постороннего (фонового) излучения, попадающего на детектор, так и вследствие испускания носителей заряда (темновой ток). В фотоумножителях и лавинных фотодиодах носители заряда, возникающие в результате поглощения света, используются затем в процессе умножения тока в самом приборе, что дает возможность получить сигнал； превышающий уровень теплового шума на выходе детектора. Любое случайное увеличение флуктуаций, возникающее в процессе умножения тока, добавляет так называемый избыточный шум в выходной сигнал.
Рассмотрим идеализированный приемник прямого детектиро- вання, показанный на рис. 6.10. Он состоит из круглого линзо- вого объектива (фокусное расстояние /, диаметр d，)，собираю- 『его и фокусирующего оптическое излучение, оптического фильтра (полоса пропускания А九 в единицах длин волн), ослабляющего фоновую засветку, и фотодетектора (активная зона нм^ет диаметр 厶)，вырабатывающего сигнал, пропорциональ- НЬ1И плотности потока мощности в падающей волне. Мы будем пренебрегать темновым током, тепловым шумом и избыточным 山умом. В результате фототок /(/), обусловленный мгновенным значением потока мощности оптической волны, падающей на фотодетектор, является пуассоновским процессом [6.108, 109].
В частности, предполагая, что на объектив приемника падает квазимонохроматическая волна, характеризуемая комплексной амплитудой (Л(р, f), имеющая центральную частоту % и одновременно с ней фоновое излучение с широкой диаграммой направленности (например, рассеянное солнечное излучение), находим, что число фотонов ^, принятых в интервале времени от 力 до равно
t
N(i)=^ dxq^Kr), Г》/。(6.118)
и является пуассоновской случайной величиной, среднее значение которой (усреднение проводится по ансамблю случайных реализаций дробового шума) имеет вид
t
〈乂 (必=，责卩(т), f > h(6.119)
где
卩(f) = (а/Мо) [(сео/2) \ 吼 circ (21 р2 |/办)X
X J，d@i circ (21 pi |/d「) Us (pi, /) X
X dDJ 1 (ndD I pi — p21/簿)/2九/| Pi — p21J + Рь] (6.120)
——средняя эффективная скорость появления фотона в момент времени / [6.108]. В формулах (6.118) и (6.120) q ——заряд, возникающий в результате поглощения фотона, а ——квантовая эффективность детектора, Рь — средняя мощность фонового излучения, падающего на детектор. Последняя величина определяется формулой
Ръ = Шк А 九(冗 d〃D/4〃)2,(6.121)
где ^x — спектральная плотность фонового излучения [6.1 Ю, 111].
При dD = 4X//ndf система, изображенная на рис. 6.10, имеет поле зрения, ограниченное дифракционным разрешением. В этом случае формулы (6.120) и (6.121) принимают вид
卩(/) * (а/Л/о) [(2с80/л4/2) I \ dp circ (21 р 网)&(Р J)f + %]⑹⑵)
йp方=九2N心(6.123)
соответственно. При достаточно больших значениях величины dp, когда она охватывает весь пространственный угловой спектр
Сигнал, фон 〃 излучение ■ гетеродинаСигнал, фон 〃 излучение ■ гетеродинаU I 中о”而етекторU I 中о”而етекторОптический фильтрОптический фильтр"，＞ Фильтр НЧ"，＞ Фильтр НЧ廿化）廿化）
Сигнал, фон 〃 излучение ■ гетеродина
Сигнал, фон 〃 излучение ■ гетеродина
U I 中о”而етектор
U I 中о”而етектор
Оптический фильтр
Оптический фильтр
"，＞ Фильтр НЧ
"，＞ Фильтр НЧ
廿化）
廿化）
Рис. 6.11. Оптическая схема гетеродинного приема.
поля сигнала, соотношения (6.120) и (6.121) записываются в виде
卩(/)- (а/Мо)[(喚/2) J dp circ (21 рШ | 么(P, 0 I2 + As] (6.124) И Pbs =炉加1A 九(办/必)2, (6.125) где d；《d，一 эффективный диаметр когерентности поля t/s(p, £). В случае когда поле сигнала Us совпадает с полем нормально падающей плоской волны, имеем dr = dr. Следовательно, приемник, имеющий дифракционное разрешение, собирает всю доступную мощность сигнала при минимальной величине фоновой засветки. В противоположном случае, когда d；《drt приемник с дифракционным разрешением собирает малую часть излучения, содержащего полезный сигнал. Действительно, приемник с большим углом поля зрения принимает все излучение, содержащее полезный сигнал, но одновременно с этим пронсхо- Дит существенное увеличение уровня фоновой засветки.
В гетеродинном приемнике фоновое излучение редко вносит заметный вклад в отношение сигнал/шум на выходе детектора. Рассмотрим идеализированный гетеродинный приемник, изображенный на рис. 6.11. По структуре эта схема отличается от схемы, изображенной на рис. 6.10, только тем, что на приемную линзу подается сигнал местного гетеродина {// (р) exp (г2л/1/) и используется фильтр промежуточной частоты (ФПЧ) для выделения фототока на частоте биений в окрестности частоты 厶 「Н [5.108, 109]. Несмотря на сходство систем прямого и гетеродинного детектирования, их шумовые характеристики на выходе детектора существенно отличаются. При гетеродинном приеме мощность гетеродина оказывается достаточно большой, и Дробовой шум гетеродина превалирует над всеми другими Сумами. В итоге здесь наблюдается скорее гауссово, чем пуассоновское распределение вероятностей флуктуаций [5.108, 112]. В частности, в предположении, что на детектор поступает вся мощность гетеродина и фильтр промежуточной частоты не ис*
кажает спектра принимаемого сигнала, получим следующее выражение для нормированного сигнала на выходе гетеродинного приемника:
и (/) = (сео/2)1/2Re[，如 Usg /)щ (p) exp(—，2時①]+ n(/), (6.126) где
% (@) = circ ⑵ p |/d) S (@)/[\ dp circ (2| p l/rfr)| Ut (p) p]"： (6.127) a n(t)——гауссов белый шум с нулевым средним и спектральной плотностью /if。/4a. При использовании гетеродина, излучающего плоскую волну
〃/ (@) =(4/冗£y^circ ⑵ р |/dj (6.128) и выполнении условия dD ^ 4Л//лЛ рассматриваемый гетеродинный приемник имеет поле зрения порядка дифракционного разрешения. Это означает, что приемник регистрирует только нормально падающую компоненту поля плоской волны Us(p, f), и соотношение (6.126) принимает вид
V(о а (С£о/2)"2 Re 口 dp circ (21 p |/备)(4/冗£)"? X
X Us (p, /) exp(—⑵ifW)] + П «)・ (6.129)
Такая система, имеющая дифракционное разрешение, будет собирать всю доступную мощность, содержащую полезный сиг^ нал, в том и только в том случае, если сигнал является нормально падающей плоско访 волной.
Приемники с дифракционным разрешением
Совместное рассмотрение вопросов, затронутых в разд. 6.3.1 и 6.3.2, начнем с линий связи, передающих информацию сверху вниз, в которых применяются приемники прямого и гетеродинного детектирования, имеющие дифракционное разрешение, и используются коллимированные пучки. В отсутствие турбулентности в случае прямого детектирования в таких системах достигаются максимальные значения коэффициента усиления мощности при минимальной величине фоновой засветки. В турбулентной атмосфере эффективность работы системы ухудшается вследствие флуктуаций углов прихода и интенсивности. Некоторое количественное представление об этом процессе можно получить из оценки отношения амплитуды несущей частоты к амплитуде шума. Более глубокое понимание этого явления возникает при количественном анализе ошибок передачи числовых сообщений. Мы рассмотрим оба этих подхода. Вследствие применимости теоремы взаимности в атмосфере представленные
здесь результаты можно использовать также для систем связи снизу вверх, если последние содержат коллимированный! пучок с дифракционным разрешением [6.36, 113, 114].
в видев видеВначале рассмотрим приемник прямого детектирования. Предположим, что с космического корабля посылается немоду- лированный коллимированный пучок, имеющий мощность 尸力，а фототок /(/) на выходе наземного приемника прямого детектирования, обладающего дифракционным разрешением, пропускается через фильтр низких частот с целью ограничения ширины спектра дробового шума. Общепринятое отношение сиг- нал/шум по несущей, выраженное через фототок на выходе фильтра низких частот 4(f), согласно [6.115], записывается
в виде
в виде
CN& =CN& =(6.130)(6.130)［〈〈'（/）〉）一叫。//了《□（£）-〈〈'（/）〉»%〉
CN& =
CN& =
(6.130)
(6.130)
где угловые скобки < >п и < >, как и прежде, обозначают усреднение по ансамблям случайных реализаций дробового шума и турбулентных флуктуаций. В предположении о том, что процесс описывается распределением Пуассона [6.116], из формул (6.111) и (6.122) следует выражение для CNRd, которое имеет
видCNRlвидCNRl匕〈GQa/2砧)Af匕〈GQa/2砧)Af(6.131)(6.131)
вид
CNRl
вид
CNRl
匕〈GQa/2砧)Af
匕〈GQa/2砧)Af
(6.131)
(6.131)
где 2Af ——удвоенная ширина полосы пропускания фильтра, 〈Gd°〉 определяется формулой (6.112), и в условиях слабых флуктуаций интенсивности величина Var(Gdc) определяется выражением [6.44, 117]
V2[(6加=(%/4九厶у，配，此，"% \此X 火2 R2 R? R2
X exp {一 [D(P； 一 % 0) + 0 (第一%, 0)]/2) X
*(exp {- [0(" 一 p4, 0) +0(@， ~ * 0) -0(@；-% 0)-
一0(K 一 心 0)]/2 + 2 ® (" 一% 0) - q ф (d一 脸 0) +
+ e%(Р, -* °)+ ‘4,6(第一 % °)]} - 1)・(6.132)
В отсутствие турбулентности формула (6.131) преобразуется в хорошо известное отношение сигнал/шум по несущей для слуЧая Распространения в свободном пространстве [6.109, 115]:
CNR%CNR%_ PtDfQa/2hfQ Af
CNR%
CNR%
=1 + Р⑺/々"о *
Оба соотношения (6.131) и (6.133) имеют вид
CNRd =CNRd =〈Р） а/2矶饵〈Р） а/2矶饵1 +广】+Var（P「）a/2〈P）研毋1 +广】+Var（P「）a/2〈P）研毋(6.134)(6.134)
CNRd =
CNRd =
〈Р） а/2矶饵
〈Р） а/2矶饵
1 +广】+Var（P「）a/2〈P）研毋
1 +广】+Var（P「）a/2〈P）研毋
(6.134)
(6.134)
где〈2〉и Var (Рг) соответственно равны среднему значению и дисперсии принимаемой мощности (усреднение ведется по флуктуациям самого канала), a 占 ——среднее значение отношения сигнал/шум по фону. Числитель в формуле (6.134) совпадает со значением CNR〃 квантового шума, которое имеет место, когда дробовой шум вносит основное искажение в ток У(/). Знаменатель формулы (6.134) количественно определяет уменьшение эффективности работы системы за счет квантовых явлений дробового шума, вызванного фоновой засветкой, а также избыточного шума, присутствующих во флуктуациях мощности сигнала. Таким образом, согласно формулам (6.131) и (6.133), при распространении в атмосфере значение величины CNR/ соответствующее приемнику с дифракционным разрешением, уменьшается по отношению к распространению в свободном пространстве за счет трех факторов: средняя мощность сигнала уменьшается в {GdD)/Dfo раз [ср. (6.111), (6.113)]; среднее отношение сигнал/фон убывает в (GdD)/DfQ раз; случайные изменения величины GdD вызывают избыточный шум. При d? V Ро выполняется соотношение
GdD Ao exp [2% (0, 0)]. (6.135)
Следовательно, можно записать
CNRlCNRl(6.136)(6.136)PtDha/2hf^f
CNRl
CNRl
(6.136)
(6.136)
1 + 心八/匕乌0 + [exp(4а0 一 1]匕％а/2矶 А/ '
где a^ = C%(0, 0). Физический смысл соотношений (6.135), (6.136) состоит в том, что для приемника, размер которого не превышает радиуса когерентности, основную роль в уменьшении величины CNRrf в атмосфере играют флуктуации интенсивности принимаемой волны. В противоположном случае &》Ро> согласно [6.44, 117], имеем следующие результаты:
〈公力〉5t《D加，(6.137)
y^{GdD)^{Gd^(6.138)
и
「NR 〜 匕力产/2力『° Aj
NRd 〜l + PbD/PtDft + PtDfta/2hfQM( •
При таких условиях флуктуации углов прихода существенно уменьшают как средний уровень сигнала, так и отношение сигнал/фон по сравнению со значениями этих величин для свобод-
НОГо пространства, а природа избыточного шума изменяется вследствие перехода от нормального распределения вероятностей величины GdD к экспоненциальному [6.44, 118, 119].
Проведенные расчеты отношения CNR^ применимы для приема немодулированной несущей, и поэтому они не должны правильно описывать работу системы связи с модулированным источником. Например, согласно равенству (6」39), для произвольных значений Pt имеет место соотношение CNRd W 1, а из выражения (6.136) при а^ > 0,15 следует соотношение 6NRd W 《1. В итоге может создаться убеждение, что атмосфера является существенной помехой для приемника, имеющего дифракционное разрешение, но в действительности это не так. Поскольку помехи, вносимые атмосферой, имеют ширину полосы частот порядка килогерца, то передаваемую информацию можно сохранить, используя модуляцию на поднесущей частоте от мегагерц до гигагерц и устраняя шум, вызванный турбулентными замираниями сигнала с помощью автоматической регулировки усиления (АРУ). В частности, при d? < Р； идеальное устройство АРУ, вырабатывающее сигнал
Г (0 = Вт〉[，(0 一 qaPg% G/, (6.140)
обеспечивает следующее отношение сигнал/шум по несущей:
CNRdAGC 2CNRdAGC 2(6.141)(6.141)eхp(一 4о^)匕02a/2/ A/1 + ехр(8%) PbD/PtDfQ
CNRdAGC 2
CNRdAGC 2
(6.141)
(6.141)
которое близко, согласно (6.133), к значению CNRa, соответствующему свободному пространству. Однако при условии &2》Р〔 автоматическая регулировка усиления вида (6.140) не дает существенного увеличения CNRd, поскольку, когда величина Gd。 распределена экспоненциально, имеет место равенство 〈G粉= оо. Более того, даже при применении системы АРУ, как показывает анализ, наблюдается существенное различие в характеристиках приемника при работе в свободном пространстве и атмосфере. В первом случае уровень шума после приме- нення АРУ не зависит от времени, тогда как во втором случае мгновенный уровень шума после применения АРУ изменяется в противоположную сторону по отношению к атмосферным замираниям. Следовательно, при работе приемника в атмосфере существуют случайные периоды, в течение которых сигнал на выходе АРУ теряется в сильно возросшем уровне шума, хотя в свободном пространстве система с тем же значением CNRd работает всегда удовлетворительно.
Всесторонняя оценка аналоговых систем связи прямого детектирования, работающих через атмосферу, может быть вы-
ОI^т 7ОI^т 7SR)SR)5(土)=隣 sF-mT) im ~0 или 7 = m-й двоичный знак А =(8& 反dje%)%5(土)=隣 sF-mT) im ~0 или 7 = m-й двоичный знак А =(8& 反dje%)%Рис. 6.12. Совокупность сигналов при фазово-импульсной модуляции.Рис. 6.12. Совокупность сигналов при фазово-импульсной модуляции.полнена с использованием теории фильтрации [6.120—122]. Однако мы откажемся от этого нуги вследствие связанных с ним многочисленных математических трудностей. Вместо этого рассмотрим работу простейшей бинарной системы связи с прямым детектированием. Вместо точных методов расчета мы воспользуемся при> ближенными методами, которые позволяют осуществить
ОI
^т 7
ОI
^т 7
SR)
SR)
5(土)=隣 sF-mT) im ~0 или 7 = m-й двоичный знак А =(8& 反dje%)%
5(土)=隣 sF-mT) im ~0 или 7 = m-й двоичный знак А =(8& 反dje%)%
Рис. 6.12. Совокупность сигналов при фазово-импульсной модуляции.
Рис. 6.12. Совокупность сигналов при фазово-импульсной модуляции.
параметрическое сравнение линий связи с дифракционным разрешением, работающих в атмосфере и в свободном пространстве, и обобщить эти результаты на случай разнесенного приема [6.123—125].Дру
гие исследования цифровых линий связи прямого детектирования, работающих через турбулентную атмосферу [6.7, 120, 126—— 129], используют численные методы, которые дают более вы
сокую точность, но менее наглядное представление о сути про
исходящих процессов.
Рассмотрим систему с двоичной фазово-импульсной модуляцией (ФИМ), в которой с космического корабля каждые Т секунд передается один бит информации. При этом используется начальная комплексная амплитуда вида (6.108), где s(f) совпадает с функцией, изображенной на рис. 6.12. Предположим, что время Т меньше обусловленного атмосферой времени когерентности и каждый бит информации представлен нулем или единицей. Одновременно будем считать, что используется приемник с полем зрения порядка дифракционного разрешения и применяется последовательное декодирование сигналов без специальных систем слежения, принимающих решение о наличии бита информации из наблюдений тока /(/). В этом случае оптимальное вероятностное правило принятия решения, обеспечивающее минимальную ошибку, состоит в том, чтобы считать, что в интервале времени (俏一1) Г < / ^ тТ был послан нуль тогда и только тогда, когда выполняется соотношение
(加一1/2)7тТ
\ di;q~4 (т — L/c) ^\ dxq^H (т — L/c).(6.142)
(m-l)T(m-l/2)T
Это означает, что приемник производит счет фотонов на каждом полуинтервале одного двоичного знака и выбирает сигнал,
Рис. 6.13. Показатель экспоненты плотности вероятности ошибки приемника прямого детектирования при фазово-импульсной модуляции в свободном пространстве, согласно формуле (6.143), Рг(е)°&ехр (—几盥°)/2，гДе 日。三 三一2[(1 +打/2-1生°+1.
соответствующий наибольшему числу фотонов [6.120, 129]. Заметим, что оптимальность этого приемника не зависит от турбулентных условий распространения на трассе, тогда как вероятность ошибки чувствительна к интенсивности турбулентности.
Для распространения в свободном пространстве вероятность ошибки Рг(е)。приемника, обладающего дифракционным разрешением и работающего в режиме счета фотонов, выражается, согласно [6.130—132], в виде
Рг(е)°&(ехр{2&/(1 +少2一 1]一 必)/2, (6.143) 「4е nbD = aPdDr/%f0 и n^ = aPtDf^r/2hfQ — среднее число фотонов фоновой засветки и сигнала соответственно, продетектиро- ванных за половину интервала, содержащего бит информации, а 自。=咽拉⑺(рис. 6.13). При 0》1 величина ошибки огранн- иена квантовыми эффектами, и формула (6.143) приводится к вьфажению вида
Рг (е)。< ехр(— п^)/2, (6 Л 44) которое совпадает в пределе при ^°-> оо с точным результатом 〔6」32] При 占° 《1 величина ошибки ограничена фоновой за- светкой, и соотношение (6.143) приводится к виду
Pr (е)^^^п(^/4)/2.
Выражение (6.145) определяет предельное значение ошибки при ^°~>0 и конечном значении 〃嚮[6.132]. При фиксированной средней величине сигнала 及? невыгодно работать в режиме, когда имеются ограничения фоновой засветкой. Резкое уменьшение характеристик линии связи, которое обнаруживается вблизи значения ^° = 1, называется шумовым порогом фонового излучения.
В турбулентной атмосфере соотношение (6.143) можно использовать в качестве верхнего предела вносимой атмосферой условной ошибки при заданном значении величины GdD- Для этого необходимо заменить 及! на nsD — aPtGdDT/2hf^ a g° на nsD/nbD. Верхний предел величины абсолютной ошибки получается после усреднения по случайным реализациям величины GdD [6.123]. Однако, если пожертвовать детальной информацией о величине условной ошибки вблизи порога фонового шума [6.124, 125], то более простые выражения следуют из асимптотических формул (6.144) и (6.145).
Характерно, что при d2 < р； плотность распределения вероятности атмосферной ошибки Р「(е) определяется соотношением
Рг (е) = Fr (〈&d〉，0； %)/2, (6.146) когда выполняется условие 占。=〈几$о〉/〃ь°》1, и изменяет вид:
Рг (е) & Fr [ехр (4唠〈4八〉目/4,0; 2咽/2 (6.147) в противоположном случае 自。《1. Здесь〈及$°) = аР/QfoT/ /2hfo — средний уровень счета сигнальных фотонов,
Fr (а, &; с) = j dyIQ (26а"2//)ехр (— ay2) X о
X ехр [一(Е у + с2)2/2с2]/(2пс2)1/2 у (6.148)
—логарифмически-нормальная плотность функции срыва [6.120, 123]. Из поведения функции Fr(a, 0, с), изображенной на рис. 6.14, видно, что даже при слабой турбулентности ошибка приемника прямого детектирования с дифракционным разрешением и размером, не превышающим радиус когерентности, при использовании двоичной ФИМ оказывается существенно выше значения, соответствующего распространению в вакууме. С другой стороны, при 卷》Ро величина GdD имеет экспоненциальное распределение вероятностей, откуда следует
Рг®& [2(1(6・149) когда 历》1, и оказывается, что
Pr(e)《5/4〈GD〉&D)R (6・150)
рис. 6.14. Границы ошибки прямого детектирования в атмосфере при ФИМ: логарифмически-нормальная плотность функции срыва lnFr(a, 0; с) в зависимости от параметра а при различных значениях с (сплошные кривые); экспоненциальная плотность распределения — In (1 + а) как функция а (пунктирная кривая); (согласно [6.118], рис. 26).
если Е°《1, где 〈Ms。〉一среднее количество сигнальных фотонов, выраженное формулой (nsD)= aPtDftT/2hfQ. Для использования в дальнейшем результаты расчетов по формуле (6.149) отражены на рис. 6.14. В этом месте следует заметить, что при выполнении неравенства d2》р； эффективность работы системы не зависит от размера апертуры d? и выполняется соотношение 〈玲拉《吟 В итоге величина атмосферной ошибки становится незначительной по отношению к ошибкам, соответствующим распространению в свободном пространстве и выраженным формулами (6.144) и (6.145).
Рассмотрим далее приемник с гетеродинным детектированием. Будем считать, что гетеродин излучает плоскую волну, так что поле зрения приемника ограничено дифракционным разрешением, подобно только что рассмотренному нами приемнику прямого детектирования [см. (6.129)]. Вследствие этого гетеродинный приемник работает как приемник прямого детектиро- Ва™я при уровне сигнала, превышающем шумовой порог фоно- во比 засветки (自。》1). Если для связи используется коллимированный пучок, имеющий немодулированную мощность Рв то отношение сигнал/шум гетеродинного приемника, определенное
[6.134] как[6.134] какCNRh =〈【句⑴〉%产〉
[6.134] как
[6.134] как
(6.151)(6.151)NKh-《^⑴ 一m/)%]2%)'
(6.151)
(6.151)
согласно [6.5, 6], записывается в виде
CNRh = aPt 8涼/2仇 А/,(6.152)
C^ = aPtDf0/2hfQ\f.C^ = aPtDf0/2hfQ\f.(6.153)(6.153)где 2Af——полуширина полосы пропускания фильтра промежуточной частоты. При а? V Ро величина, определяемая формулой (6.152), принимает значение, равное значению отношения сиг- нал/шум по несущей в свободном пространстве
C^ = aPtDf0/2hfQ\f.
C^ = aPtDf0/2hfQ\f.
(6.153)
(6.153)
При ^2》р； значение CNRh в атмосфере меньше значения, определяемого формулой (6.153), в Dft/Dfo раз. Как и в случае прямого детектирования, анализ отношения CNRh показывает, что замирания сигнала имеют место только в атмосфере. Поэтому рассмотрим далее величину ошибки гетеродинного приемника с дифракционным разрешением при использовании двоичной ФИМ.
Обратимся вначале к передатчику с двоичной ФИМ, который уже ранее упоминался. Будем считать, что время Т не превышает обусловленного атмосферой времени когерентности, каждый бит информации передается нулем или единицей, используется последовательное декодирование сигналов без слежения. Тогда гетеродинный приемник с дифракционным разрешением будет иметь минимальную вероятность ошибки, если считать, что на интервале (т— i)T V f W /〃Т посылается нуль тогда и только тогда, когда выполняется [6.118, 120] неравенство
[
(иг —1/2)7*-12「(/п —1⑵ Г-12
，div (/ — L/c) cos 2冗川 +， dtv (/ — L/c) sin 2n%Z >
(m-l)7」L(m-i)r」
[
mT-12
\ dtv (/ — £/c) cos 2nf 式 +
[mT-12
(6.154)(6.154)\ dtv (/ — L/c) sin 2лf{t(zn-1/2) T-
(6.154)
(6.154)
Это решающее правило можно реализовать путем подбора соответствующей полосы пропускания фильтров при детектировании огибающей [6.135].
Если распространение происходит в свободном пространстве, то рассматриваемый приемник имеет [6.136] следующее распре-
деление вероятностей ошибки:
Рг (е)。= ехр (— 明 2)/2, (6.155) которое совпадает с распределением вероятностей ошибки ограниченного квантовыми шумами приемника прямого детектироваНИя в свободном пространстве с мощностью передатчика, равной Pt/2. В турбулентной атмосфере формула (6.155) при замене ^ на nsD ^ aPtGdjJI'hfo определяет условное распределение вероятности ошибки. Безусловное распределение вероятности ошибки можно получить путем усреднения по флуктуациям величины Gd〃・ В итоге находим, что распределение вероятности ошибки, обусловленной атмосферой, имеет вид
Pr(e) = Fr(〈&#/2, 0; %)/2 (6.156) при &2 < Ро, где〈九so〉= aPtDfQT/2hfQ. В противоположном случае, когда d2》р；, выполняется равенство
P「(e) = [2(l+〈〃s》2)L， (6.157) где <Msd>= aPtDftT/2hfo, Оба выражения совпадают с предельными значениями вероятностей для системы прямого детектирования с мощностью передатчика Р/2, работающей над порогом шума фоновой засветки.
Пространственно-разнесенный прием
Беглый анализ полученных результатов для линий связи сверху вниз, использующих приемник с дифракционным разрешением, обнаруживает следующие важные особенности. При d2 < Pg даже незначительный уровень флуктуаций интенсивности (сг^ = 0,04) приводит к таким значениям плотности вероятности вызванной атмосферой ошибки, которые оказываются значительно выше вероятностей ошибки для подобных систем в свободном пространстве. Это ухудшение работы линий связи можно в принципе уменьшить путем увеличения мощности передатчика. При 皆=0,25 требуемое увеличение мощности превышает 10 дБ. Другой возможностью является увеличение плоЩади приемной апертуры. До тех пор пока 办 не превышает радиус когерентности р；, десятикратное увеличение площади апертуры эквивалентно по отношению к величинам CNR и Рг(е) Десятикратному увеличению мощности передатчика. Однако вследствие того, что в оптическом диапазоне длин волн для трасс, близких к вертикальной, масштаб р； обычно составляет 1° см, увеличение d2 быстро приводит к ситуации, когда выполняется неравенство d?》pj и, следовательно, характеристики
приемника с дифракционным разрешением перестают зависеть от размера его апертуры. Физически насыщение характеристик приемника с дифракционным разрешением вблизи значения &2 = Р； обусловлено субоптимальной природой коэффициента усиления Gcid, соответствующего приемнику с дифракционным разрешением в линии связи, работающей сверху вниз, когда флуктуации угла прихода превышают величину d^- Поэтому было бы разумно предположить, что для эффективного использования мощности сигнала, приходящего на апертуру приемника, которая значительно превышает обусловленный атмосферой радиус пространственной когерентности поля, необходимо увеличить угол поля зрения приемника, чтобы полностью перехватить угловой спектр приходящей волны (см. разд. 6.3.1). Прямое детектирование с широким полем зрения приемника легко осуществляется, если выбрать диаметр детектора в схеме, изображенной на рис. 6.10, таким образом, чтобы фокальное пятно, формируемое приходящей волной, полностью перехватывалось площадкой детектора. Такой приемник обычно называют апертурным интегратором [6.120, 129, 137]. Гетеродинное детектирование с широким полем зрения невозможно осуществить с помощью гетеродина, излучающего плоскую волну, и одиночного фотодетектора.
Исследователи, работающие в области теории связи, давно установили [6.138——140], что для осуществления надежной передачи сигнала по каналу с замираниями при минимальной мощности передатчика требуется применять разнесенный прием В частном случае линии связи, работающей через атмосферу сверху вниз, при типичных значениях пространственного, временного и частотного масштабов когерентности для уменьшения замираний сигнала, вызванных турбулентностью, необходимо применять пространственно-разнесенный прием [6.8, 13, 120]. С точки зрения систем связи приемник апертурного интегрирования, который мы рассмотрели качественно, привлекая физические соображения, является приемником прямого детектирования с пространственным разносом. Сигнал на выходе такого приемника является суммой фототоков, создаваемых решеткой фотодетекторов диаметром 4订/办 расположенных в пределах фокального пятна диаметром 4九//d；, формируемого падаюшей волной. Существует, конечно, много других возможных способов прямого детектирования с разнесенным приемом, которые используют весовые коэффициенты при сложении фототоков, генерируемых решеткой детекторов. Кроме того, применяются приемники гетеродинного детектирования с разнесенным приемом, которые состоят из одного или нескольких гетеродинов и пространственной решетки детекторов. В этом разделе мы рас-
смотрим характеристики систем с разнесенным приемом в случае линии связи, работающей сверху вниз [6.123—125], включая апертурный интегратор, приемник с согласующим фильтром и приемник с фазовой компенсацией. Детальное и всестороннее обсуждение других вопросов разнесенного приема содержится в работах [6.13, 109, 114, 118, 120, 129, 141, 142].
Апертурный интегратор можно построить, используя схему, изображенную на рис. 6.10, если при d；> р[ выбрать величину ~口 =处“乳必,В случае немодулированного коллимированного пучка мощностью Pt при & > Ро отношение сигнал/шум такой системы равно
где вновь принято, что величина 2Af Гц определяет удвоенную ширину полосы частот на выходе детектора, а величина Var (G^) в режиме слабых флуктуаций интенсивности определяется формулой
Var(G«) = О；。\ d- {exp [4与(p； 0)] - 1} (8/я2^) X
X[arccos(| (/ 阳2)一(I @‘/2)(1 -1 PZ R)l/2]circ() J 1他).(6.159)
Отметим некоторые результаты, следующие из формул (6.158) и (6.159). Оказывается, что средняя принимаемая мощность равна мощности, принимаемой в свободном пространстве, а среднее отношение сигнал/шум по фону gs = PtDf^/Pbs равно отношению сигнал/шум по фону ^D = PtDft/PbD приемника с дифракционным разрешением, работающего в вакууме [см. (6.123) и (6.125)]. Кроме того, при увеличении диаметра апертуры К? избыточный шум убывает до нуля за счет усреднения флуктуаций интенсивности апертурой [6.11, 143].
Для двоичной ФИМ при условиях, которые приводят к формуле (6.142), оптимальное решающее правило заключается в том, чтобы в каждую половину интервала, соответствующего одному биту информации, считать фотоны и по наибольшему количеству фотонов судить о принятом сообщении [6.120]. Итоговая вероятность ошибки при d2 > р；, согласно [6.124, 125, 144, 145], имеет следующий вид:
Pr(e)《Fr(〈％〉，0; а)/2,(6.160)
产н выполнено условие &$》1. В противоположном случае 1) имеем
Pi ©&F"exp(4g〈&〉&/4, 0; 2о]/2・(6.161)
В формулах (6.160) и (6.161) величина <ns>= aPtD^T/2hf^ является средним значением числа сигнальных фотонов, а
a2 = {ln[l +Var(G^)M]}/4 (6.162) представляет собой усредненное по апертуре значение дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды. При выводе этих формул использовалось свойство сходимости сумм логарифмически^ нормальных величин [6.114, 118, 146, 147].
В то время как характеристики приемника с дифракцион- ным разрешением улучшаются при увеличении площади приемной апертуры только в пределах d? < р；, эффективность апертурного интегратора продолжает повышаться с увеличением d? (в том числе при диаметрах, существенно больших значения "〉= Р0 в той мере, в какой за счет усредняющего действия апертуры в формулах (6.160) — (6.162) будет уменьшаться величина 吟 приближаясь к значению 彳^。・ Практически реализовать почти полное усреднение (о； ^ 0) не всегда удается. Например, в режиме насыщенных флуктуаций интенсивности дисперсия флуктуаций логарифма амплитуды при увеличении диаметра приемной апертуры убывает очень медленно [6.142]. Тем не менее полезно получить предельные значения характеристик апертурного интегратора при 丸 ^。・ В этом случае формулы (6.160) и (6.161) приводятся к виду
Рг(е)<ехр(-Ы)/2 (6.163)
При gs = DftlQ/DfQ》1 и
Рг (е) & ехр(-依〉&/4)/2 (6.164) при Es《l. Заметим, что, поскольку выполняется равенство 〈〃$〉= 〃張 формула (6.163) точно совпадает с формулой (6.164), соответствующей характеристике приемника, ограниченного квантовыми шумами в свободном пространстве. Так как выполняется неравенство 占$《自°, то порог шумов фонового излучения возникает при более высоком уровне сигнала приемника, работающего в атмосфере. Поэтому выражение (6.164) по сравнению с (6.145) дает меньший вклад в характеристики приемника, ограниченного шумами фоновой засветки в свободной атмосфере. Эти результаты можно легко интерпретировать физически. Если усредняющее действие приемника достаточно велико, так что флуктуациями интенсивности при распространении сверху вниз можно пренебречь, то при любом состоянии атмосферы выполняется равенство G^ D^ Поэтому характеристики приемников, ограниченных квантовыми шумами, при работе в атмосфере и свободном пространстве совпадают. Однако,
чтобы достичь значения коэффициента усиления в атмосфере, ного g^, необходимо увеличить поле зрения апертурного интегратора намного больше дифракционного разрешения. Следовательно, работающий в атмосфере приемник встречает пороге- вое значение фонового шума при большей мощности сигнала, ием приемник с дифракционным разрешением, работающий в свободном пространстве.
Апертурный интегратор легко построить, и он обеспечивает наиболее полное использование полезной мощности сигнала. В случае когда этот приемник работает над пороговым значением фонового шума, он является оптимальным приемником прямого детектирования при распространении сверху вниз [6.120, 129]. Когда возможности апертурного интегратора ограничены фоновыми шумами, его характеристики при распространении сверху вниз можно улучшить, применяя решетки приемников (прямого или гетеродинного детектирования) [6.120, 129, 142]. Простое предельное значение улучшенных за счет разнесенного приема характеристик линии связи, работающей сверху вниз, можно определить, рассмотрев работу приемника с согласованным фильтром [6.124]. Для такого приемника необходима полная априорная информация о вызванных атмосферой флуктуациях вида exp[%(pz, О)+»0(р', 0), где вектор р，принадлежит апертуре /?2・ Такой приемник, схематично изображенный на рис. 6.15, умножает поле, принимаемое апертурой /?2, на функцию,(冗或/4)В： О, где
Рнс. 6.15. Блок-схема приемника с согласованным фильтром.Рнс. 6.15. Блок-схема приемника с согласованным фильтром.В； 3) = ехр [% (р[ 0)—冲(@‘，0)]^ dp,exp[2%(p,, 0)]} ： (6.165) и принимает затем это преобразованное поле с помощью приемника с дифракционным разрешением (при прямом или гетеродинном детектировании). Так как функция $； является сопряженной по отношению к единственной собственной функции с неравным нулю собственным значением входной апертуры канала связи, работающего сверху вниз, то умножение на приводит к концентрации в той степени, в какой это возможно, всей мощности приходящего сигнала в нормально падающей на приемник с дифракционным разрешением плоской волне. В итоге
Рнс. 6.15. Блок-схема приемника с согласованным фильтром.
Рнс. 6.15. Блок-схема приемника с согласованным фильтром.
Сигнал 〃 фоновая зисветка
в канале связи с двоичной ФИМ при использовании согласованного фильтра в соответствии с [6.124, 125] ошибка запишется в следующем виде:
Pr(e)《Fr(〈&〉，0; о)/2(6.166)
для прямого детектирования при условии 占^ =〈及$〉/〃ьо》1;
Рг (е) & Fr [exp (4的〈％〉麻“4, 0; 2o]/2(6.167)
для прямого детектирования при условии Ес『《1;
Pr(e) = Fr(〈％〉/2, 0; о)/2(6.168)
для гетеродинного детектирования. Здесь величины <ns> и а2 определены так же, как в случае апертурного интегратора.
Из соотношений (6.166) — (6.168) можно сделать следующие выводы. Поскольку выполняются равенства《)= * и ^с/ = ^°, то при достаточном усредняющем действии апертуры (а2 ^ 0) формулы (6.166) — (6.168) совпадают с соответствующими результатами для свободного пространства, выраженными равенствами (6.144), (6.145) и (6.155) соответственно. Использование при прямом детектировании согласующего фильтра приводит к уменьшению шума фонового излучения в Dft/DfQ раз по сравнению со случаем интегрирующей апертуры. В принципе гетеродинный приемник с согласованным фильтром можно осуществить, проводя измерения падающего поля и используя адаптивный гетеродин, создающий поле 〃/(р‘) ^ </ч (р‘) в плоскости апертуры /?2.
Трудности в создании приемника прямого детектирования с согласованным фильтром устраняются только в том случае, если исчезает необходимость одновременно контролировать амплитуду и фазу в плоскости приемной апертуры. В частности, используя фазовую пластину (см. разд. 6.2.4) для умножения поля, падающего на апертуру /?2 приемника с дифракционным разрешением, на функцию 外(@'),| 由(@‘)卜=ехр [—% (@[ 0)], получим приемник с фазовой компенсацией.
Технология передачи информации с фазовой компенсацией по существу идентична формированию изображения с фазовой компенсацией, хотя их цели в некоторой степени различны. При формировании изображения задачей фазовой компенсации является восстановление разрешающей способности системы до дифракционного предела. В системах связи задача фазовой компенсации заключается в том, чтобы ослабить уровень шумов фоновой засветки. В случае идеальной фазовой компенсации (т. е. при отсутствии ошибок измерителя фазы и корректора волнового фронта) распределения вероятностей ошибки при двоичной ФИМ для приемника прямого детектирования с фаз。”
во卤 компенсацией удовлетворяют, согласно [6.124], соотношениям видз
рг (e) 《 Fr [eXр -唠〈生)，0;/]/2,(6.169)
когда g“ = exp(『2f)〈q〉/%D》1, и
рГ (о) 《 Fr [еXp (5心一皆)〈%〉蹤/4, 0; 2/]/2,(6.170)
если &с《1. В формулах (6.169) и (6.170) величина W определяет усредненное за счет конечного размера апертуры значение дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды при использовании фазовой компенсации, которое определяется [6.148] выражением
『2 = In 竹 川(8/歩典)ехр [Сх ((/, 0)] circ(|(/ 网)X
X [arccos(|(/ |佬)—(I @/网)(1 一 丨 p‘ F/喲勺｝ .(6.171)
При выводе (6.171) использованы свойства сходимости сумм логарифмически-нормальных величин. Для достаточно больших значений диаметра приемной апертуры ^ имеем 仃也 ^ 0. Поэтому, если не принимать во внимание ослабление мощности сигнала за счет сомножителя ехр (— а^), то можно считать, что приемник с фазовой компенсацией имеет такие же характеристики в атмосфере, как в свободном пространстве. При условии ^2 < р； находим а，2 — а^, и, следовательно, характеристики приемника с фазовой компенсацией совпадают с характеристиками приемника, имеющего дифракционное разрешение и размер апертуры порядка обусловленного атмосферой радиуса когерентности.
Взаимность точечных источников
В заключение кратко рассмотрим атмосферные оптические линии связи, работающие снизу вверх. Вследствие существующей в атмосфере взаимности результаты разд. 6.3.3, относящиеся к распространению сверху вниз, описывают также характеристики в линии связи, которая работает снизу вверх при использовании коллимированного пучка и приемника с дифракционным разрешением. В частности, вследствие флуктуаций интенсивности и уширения пучка система связи снизу вверх через турбулентную атмосферу работает хуже, чем в свободном пространстве. Улучшение характеристик линии связи, работающей сверху вниз (без увеличения мощности передатчика) можно до- 涉46 путем применения пространственно-разнесенного приема. Однако, как уже отмечалось ранее, осуществить пространстве%
ный разнос приемников при работе снизу вверх невозможно. Ключом к существенному улучшению характеристик линии связи, работающей снизу вверх (при постоянной мощности передатчика) ,является создание адаптивного пространственно- разнесенного передатчика или системы, основанной на взаимности точечных источников и приемников [6.16, 37], принцип работы которой будет описан ниже.
Как следует из разд. 6.3.1, мгновенное значение коэффициента усиления мощности становится максимальным, если начальное распределение поля на апертуре R2 имеет вид
匕•((/, /) = s(/)3；(g, (6.172)
где s(Z) определяет информационную модуляцию, а функция 6： задана соотношением (6.165). Так как время распространения волны в атмосфере сверху вниз и наоборот много меньше обусловленного атмосферой времени когерентности, то информацию о состоянии атмосферы, необходимую, чтобы при d2 > pj иметь соотношение (6.172), можно получить из измерений поля волны, распространяющейся сверху вниз. Это поле пропорционально 01 (р". Комплексное сопряжение поля принимаемой волны физически соответствует изменению ее локального направления распространения [6.16, 36]. Отсюда возникает название точечная взаимность. Отметим, что аппаратура, необходимая для построения приемника с согласованным фильтром в линии связи, работающей сверху вниз, может быть использована также при построении передатчика, основанного на точечной взаимности. Более того, если отсутствуют ошибки измерения фазы и погрешности коррекции, то плотность распределения вероятностей ошибки в линии связи, работающей снизу вверх с использованием двоичной ФИМ и взаимности точечных источников, определяется соотношениями (6.166)——(6.168) и, следовательно, в пределе при а2 « 0 ухудшение характеристик линии связи за счет турбулентности отсутствует.
Наш подход к применению взаимности точечных источников для получения сопряженного поля предполагает, что при управлении передатчиком необходимо знать флуктуации амплитуды и фазы одновременно. Более просто построить систему, в которой используется наземный передатчик с сопряженной фазой вида
兀(К £) = s(/)(4/M疗/2ехр[—»((/, 0)]. (6.173)
Если пренебречь ошибками датчика волнового фронта и ошибками коррекции, то плотность распределения вероятностей приемника, использующего двоичную ФИМ с фазовым сопряжением в линии связи, работающей снизу вверх, определяется со-
отношениями (6.169)——(6.171). Таким образом, как и в случае линии связи с разово访 компенсацией, работающей сверху вниз, минимальное ухудшение ее характеристик имеет место, когда контроль амплитуды отсутствует.
В заключение отметим, что проведенный анализ не учитывает движения космического корабля. Когда ширина пучка, излучаемого апертурой /?2, в дальней зоне в свободном пространстве оказывается много меньше углового упреждения, компенсирующего движение космического корабля, то пучок, излучаемый с Земли, будет распространяться при других атмосферных условиях по сравнению с измеренными на трассе сверху вниз. В первом приближении [6.103] при d? > Р； угловое упреждение уменьшает коэффициент усиления мощности в линии связи, работающей снизу вверх и использующей взаимность источников, в ехр[— (2| vr I L/cp0)5/3/2] раз, где vr — поперечная относительная скорость космического корабля, а величина р0 определена равенством (6.102).
Признательность. При подготовке этой главы мне частично была оказана поддержка Национальным научным фондом (NSF Grant ENG 74-03996-А01). За это я выражаю искреннюю признательность.
Литература
Maiman Т. Н Nature, 187, 493, 1960
Beckmann Р Radio Sci., 69D, 629, 1965.
Голдстейн 〃.，Майлс 〃.，Шабо А. ТИИЭР, 53, № 9, 1333, 1965.
Davis J. /. AppL Opt., 5, 139, 1966.
Фрид Д. ТИИЭР, 55, № 1, 62, 1967.
6. Fried D 厶.IEEE J QE-3, 213, 1967.
Fried D. L., Schmeltzer R. 4, Appl. Opt, 6, 1729, 1967.
Hoversten EV IEEE Inti. Conv.Record, 15 (11), 137, 1967.
69Fried D.LJ.OptSoc.Amer.,55,1427, 1965.
Fried DL.JOpt.Soc.Amer.,56,1380, 1966.
Fried D.L.J.Opt.Soc.Amer.,57,169, 1967.
Hufnagel R E., Stanley M R. J. Opt. Soc. Amer., 54, 52, 1964.
Kennedy R S, Hoversten E. V. IEEE Trans. IT-14, 716, 1968.
Татарский В. И. Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере, Изд-во АН СССР, М., 1959.
Kcw А. Я., Фейзулин 3. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 13, 71, 1970.
Shapiro /. Н. IEEE Trans. СОМ-19, 410, 1971.
Shapiro /. Н J. Opt. Soc. Amer., 61, 492, 1971.
Q.18. Lutomirski R. E, Yura ". T. Appl. Opt., 10, 1652, 1971.
6-19. Yura H, T. Appl. Opt, 11, 1399, 1972.
Lin H. S. «Communication Model for the Turbulent Atmosphere》, Ph D Thesis, Case Western Reserve Univ., 1973.
Фантэ 〃. ТИИЭР, 63, № 12, 43, 1975.
驳2. Yura H. T. J. Opt Soc. Amer., 62, 889, 1972.
翳3Fante R Poirier / L、Appl Opt., 12, 2247, 1973,
b・24. Стробен Д. ТИИЭР, 56, № 8, 46, 196&
5-67-&9-°-lz3-4-•2 2 9^ 9^ 0^ 0^ Q^&5-67-&9-°-lz3-4-•2 2 9^ 9^ 0^ 0^ Q^&s6-7-& л^ n^ L z 0^ 4^5-6-7-&9-°-L z3-生5-&7-&9-°-l2-34- 344444 444 5555555566666 &6R^ R^ &&&66s6-7-& л^ n^ L z 0^ 4^5-6-7-&9-°-L z3-生5-&7-&9-°-l2-34- 344444 444 5555555566666 &6R^ R^ &&&66
5-67-&9-°-lz3-4-
•2 2 9^ 9^ 0^ 0^ Q^
&
5-67-&9-°-lz3-4-
•2 2 9^ 9^ 0^ 0^ Q^
&
s6-7-& л^ n^ L z 0^ 4^5-6-7-&9-°-L z3-生5-&7-&9-°-l2-34- 344444 444 5555555566666 &6R^ R^ &&&66
s6-7-& л^ n^ L z 0^ 4^5-6-7-&9-°-L z3-生5-&7-&9-°-l2-34- 344444 444 5555555566666 &6R^ R^ &&&66
Brookner E. IEEE Trans. COM-18, 396, 1970.
Tai С. T. Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theory, Intext, Scranton, 1971, Chap. 4.
Kong /. A. Theory of Electromagnetic Waves, Wiley — Interscience New York, 1975, Chap. 6.
Saleh 4 A. M. IEEE J. QE-3, 540, 1967.
Fried D. L., Mevers G. E. J. Opt. Soc. Amer., 55, 740, 1965.
Strohbehn /. Г., Clifford S. F. IEEE Trans. AP-15, 416, 1967.
Fried D. L., Appl. Opt., 10, 721, 1971.
Su H. 〃.，Plonus M. A J. Opt. Soc. Amer., 61, 256, 1971.
Gardner C. S., Plonus M. A. J. Opt. Soc. Amer., 64, 68, 1974.
Born M, Wolf E. Principles of Optics, 5th ed, Pergamon Press, Oxford, 1975, p. 381. [Имеется перевод: Борн AL, Вольф Э. Основы оптики.— М.: Наука, 1970.]
Goodman J. W. Introduction in Fourier Optics, McGraw-Hlil, New York, 1968, p. 41. [Имеется перевод: Дж. Гудмен, Введение в фурье-оптику.— М.: Мир, 1970.]
Shapiro /. Н. Optimal Spatial Modulation for Reciprocal Channels, Res. Lab. Electron. Tech. Rept., 476, M I. T., 1970.
Fried D 厶” Yura H. T. J. Opt. Soc. Amer., 62, 600, 1972
Cathey W. T., Hayes C.厶.，Davis W. C., Pizzuro F. Appl. Opt., 9, 701, 1970.
〃〃 P., Харп Д. ТИИЭР, 57, № 4, 7, 1969.
Лоуренс P., Стробен Д. ТИИЭР, 58, № 10, 130, 1970.
Fried D.厶.，Cloud /. D. J. Opt. Soc. Amer, 56, 1667, 1966.
Fante R.厶.J. Opt. Soc. Amer., 66, 74, 1976
Fried D. L., J. Opt. Soc. Amer., 57, 176, 1967.
Massa G. P. Fourth-Order Moments of an Optical Field that has Propagated through the Clear Turbulent Atmosphere, S. M, Thesis, M I T., 1975.
Lutomirski R.尸.，Yura H. T. J. Opt. Soc. Amer., 61, 482, 1971.
Breckinzidge J. B. J. Opt. Soc. Amer, 66, 143, 1976.
Papoulis A. Systems and Transforms with Applications in Optics, McGraw-Hill, New York, 1968, Chap. 10. [Имеется перевод: А. Папу лис, Теория систем и преобразований в оптике. — М : Мир, 1971.] У ига ". Т. J. Opt. Soc. Amer., 64, 59, 1974.
Clifford S.尸.，Ochs G. R, Lawrence R. S. J. Opt. Soc. Amer., 64, 148, 1974.
Fante R. L. Radio Sci., 10, 77, 1975.
Wang T. /., Strohbehn /. W. J. Opt. Soc. Amer., 64, 583, 1974.
Wang T. /., Strohbehn /. W. J. Opt. Soc. Amer., 64, 994, 1974.
Slepian D. J. Opt. Soc. Amer., 55, 1110, 1965.
Borgiotti G. И IEEE Trans., AP-14, 158, 1966.
Rushforth С. K., Harris R. W. J. Opt. Soc. Amer., 58, 539, 1968.
Tor aldo di Francia G. J. Opt. Soc. Amer., 59, 799, 1969.
Shapiro /. H. Appl. Opt, 13, 2614, 1974.
Shapiro J. H. Appl. Opt., 13, 2609, 1974,
Slepian D. Bell Syst. Tech. J„ 43, 3009, 1964.
Pask C. J. Opt. Soc. Amer., 66, 68, 1976.
Labeyrie A. Astron. Astrophys, 6, 85, 1970.
Korff D J. Opt Soc. Amer, 63, 971, 1973.
Deitz P. H. J. Opt. Soc. Amer., 65, 279, 1975.
Greenebaum M. The Residual Effects of Atmospheric Turbulence on a Class of Holographic Imaging and Correlography Systems, oresented at the Opt. Soc Amer. Topical Meeting on Optical Propagation through Turbulence, 1974.
56856867-86 £ £67-86 £ £9-о 1 9^ 3 4^ 6 7 7 7 7 7"9-о 1 9^ 3 4^ 6 7 7 7 7 7"666 z 8 97 7 7 76 &6 z 8 97 7 7 76 &жж2 ed 4 s •8 8 $&2 ed 4 s •8 8 $&8687.8687.&9-0-L 23-OQ--3--& &&66&9-0-L 23-OQ--3--& &&66
5
6
8
5
6
8
67-8
6 £ £
67-8
6 £ £
9-о 1 9^ 3 4^ 6 7 7 7 7 7
"
9-о 1 9^ 3 4^ 6 7 7 7 7 7
"
6
6
6 z 8 9
7 7 7 7
6 &
6 z 8 9
7 7 7 7
6 &
ж
ж
2 ed 4 s •8 8 $
&
2 ed 4 s •8 8 $
&
8687.
8687.
&9-0-L 23-
OQ--3--
& &&66
&9-0-L 23-
OQ--3--
& &&66
Currie D. G Amplitude Interferometry and High Resolution Image Formation, presented at the Opt Soc. Amer Topical Meeting on Optical Propagation through Turbulence, 1974.
Rhodes W 7 , Goodman /. W. J. Opt. Soc. Amer., 63, 647, 1973.
Muller R. A , Buffington A J. Opt. Soc. Amer., 64, 1200, 1974.
Hardy 丄呼，Feinleib 丄，Wyant /. C. «Real-Time Phase Correction of Optical Imaging Systems», presented at the Opt. Soc. Amer. Topical Meeting on Optical Propagation through Turbulence, 1974.
Bridges 步.8, Brunner P 7\, Lazzara S. P., Nussmeier T. 4, O'Meara T. R., Sanguinet / 4., Brown W. P. Appl. Opt., 13, 291, 1974.
Pearson /. E Appl Opt, 15, 622, 1976.
Urtz R. P., Justice / W «Compensated Imaging», presented at the Opt. Soc Amer. Topical Meeting on Imaging in Astronomy, 1975.
Goldjischer L. /. J. Opt Soc. Amer., 55, 247, 1965.
Гудмен Дж ТИИЭР, 53, № 11, 1892, 1965.
Goodman /. W. Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968, p. 132 (Имеется перевод* Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику.— М.: Мир, 1970)
Dainty Л С (ed.). Laser Speckle and Related Phenomena, Topics in Applied Physics, vol 9 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975). Born M., Wolf £. Principles of Optics, 5th ed. (Pergamon Press, Oxford 1975), p. 510.
Shapiro / H. J. Opt. Soc. Amer., 66, 460, 1976.
Korff D., Dryden G, Leavitt R. P. J. Opt. Soc. Amer., 65, 1321, 1975.
Fried D. L Isoplanatism in Predetection compensation Imaging, presented at the Opt. Soc Amer. Topical Meeting on Optical Propagation through Turbulence, 1974.
Shapiro 丄 // J Opt. Soc. Amer., 66, 469, 1976.
Goodman J. W Introduction to Fourier Optics., McGraw-Hill, New York, 1968. (Имеется перевод: Гудмен 〃宛 Введение в фурье-оптику. — М.: Мир, 1970)
Moldon J С. Pattern Recog J, 2, 79, 1970.
Deitz P. "., Carlson F. P. J. Opt Soc. Amer., 63, 274, 1973.
Fante R. L. J. Opt. Soc. Amer., 66, 574, 1976.
Born AL, Wolf E Principles of Optics, 5th ed., Pergamon Press, Oxford 1975, pp. 501—503. (Имеется перевод: M. Борн, Э. Вольф, Основы оптики. — М . Наука, 1970.)
Gezari D У., Labeyrie 4, Stachnik R, V. Astrophys, J., 173, LI, 1972. Schneiderman A. M, Karo D. P The Uses and Limitations of Speckle Interferometry, presented at the Opt. Soc. Amer. Topical Meeting on Imaging in Astronomy (1975).
Knox К T., Thompson B. /., Astrophys. J., 193, L45, 1974.
Deitz P. "., Carlson F. P. J. Opt. Soc. Amer., 64, 11, 1974.
Moldon 丄 C Imaging of Objects Viewed through a Turbulent Atmosphere, Res Lab. Epectron. Tech. Rept. 469, M. I. T., 1969.
Ehn D. C., Nisenson P. J. Opt. Soc. Amer., 65, 1196, 1975.
Hanbury-Brown R., Twiss R. Q. Nature, 161, 777, 1948.
King M., Greenrnbaum M., Elbaum M. Influence of the Atmosphere ol Laser Produced Speckle Patterns, presented at the Intern. Opt. Comp. Conf Zurich, 1974.
Feinleib /., Lipson S. G., Cone P. F. Appl. Phys. Lett., 25, 311, 1974
McDowell G. Q. Pre-Distortion of Local-Oscillator Wavefront for Improved Optical Heterodyne Detection through a Turbulent Atmosphere, Sc D Thesis, M. I.T., 1971
Mahajan V. ^ J Opt Soc Amer, 65, 271, 1975.
Dyson E /. J. Opt. Soc. Amer., 65, 551, 1975.
Robinson S. R. Spatial Phase Compensation Receivers for Optical Communication, Ph. D. Thesis, M 1. T, 1975.
Wyant J. C. «Active Wavefront Compensation for Astronomical Applications», presented at the Opt. Soc. Amer. Topical Meeting of Imaging in Astronomy, 1975
Gaskill Л D. J. Opt Soc Amer., 58, 600, 1968
Yura H. T. Appl Opt, 12, 1188, 1973.
Goodman /. W. Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968, pp. 227—230. (Имеется перевод: Гудмен Дж Введение в фурье- оптику — М.: Мир, 1970.)
Shapiro 丄"J Opt Soc. Amer., 65, 65, 1975.
104. Bufton /. L. Appl. Opt, 12, 1785, 1973.
Pratt W. K. Laser Communication Systems, Wiley and Sons, New York, 1969, Chap. 5. (Имеется перевод: Пратт В. Лазерные системы связи.— М.: Связь, 1972.)
Мелчиор Г, Фишер М , Араме Ф. ТИИЭР, 58, 10, 69, 1970
Yariv A. Introduction to Optical Electronics, Holt, Rinehart, Winston, New York, 1971, Chap. 11.
Gagliard R. M., Karp S. Optical Electronics, Wiley-Interscience, New York, 1976, Chap. 3
Hoversten E. V. Optical Communication Theory, in Laser Handbook, ed. by Arecchi F. T., Schulz-DuBois E. О, North-Holland, Amsterdam, 1972.
Pratt W. K. Laser Communication Systems, Wiley and Sons, New York, 1969., Chap. 6. (Имеется перевод: В. Пратт, Лазерные системы связи.— М.： Связь, 1972 )
111. Kopeika 应 S., Bordogna 丄 Proc. IEEE, 58, 1571, 1970.
Helstrom C. W. J Opt. Soc. Amer., 57, 353, 1967.
Hance H. V., Fried D 厶 J Opt. Soc. Amer., 63, 1015, 1973
Levitt В. K. Variable-Rate Optical Communication through the Turbulent Atmosphere, Res Lab. Electron Tech. Rept, 483, M. I. T., 1971.
115 Gagliardi R. At, Karp S. Optical Communications, Wiley-Interscience, New York, 1976, Chap. 5
Snyder D. L. Random Po;nt Processes, Wiley-Interscience, New York, 1975, Chap. 4.
Shapiro /. H, Massa G P. J. Opt Soc. Amer., 65, 1218, 1975.
Halme S /. Efficient Optical Communication in a Turbulent Atmosphere, Res. Lab. Electron. Tech Rept 474, MIT, 1970.
119. Levitt V. K. Detector Statistics for Optical Communication through the Turbulent Atmosphere, Res. Lab. Electron. Quart. Prog. Rept. 99, pp. 114—123, M. LT, 1970.
Ховерстен E., Харджер Л, Халме С. ТИИЭР, 58, 10, 236, 1970.
Snyder D.厶.Random Point Processes, Wiley-Interscience, New York, 1975, Chap. 6.
Gagliardi R. M, Karp S. Optical Communications, Wiley-Interscience, New York, 1976, pp. 156—159.
Hoversten E V. More on the Performance of Direct Detection Optical Communication Systems for the Turbulent Atmosphere, presented at the IEEE Intern Sympos. on Inform. Theory, Notre Dame, 1974.
124 Shapiro J. "., Tebyani M A Unified Analysis of PPM Error Rates for Optjcal Communication through the Turbulent Atmosphere, presented at the IEEE Intern Sympos on Inform Theory, Ronneby, 1976.
Tebyani M. «Robust Receivers for Optical Communication through Atmospheric Turbulence», S. M Thesis, M I. T., 1976
Peters Г ^, Arguello R. /. IEEE J QE-3, 532, 1967.
Solimeno S, Corti E, Nicoletti B. J Opt. Soc Amer., 60, 1245, 1970.
Webb W. E, Marino 7. T. Jr. Appl. Opt, 14, 1413, 1975.
а 199 a Teich М. С, Rosenberg S Appl. Opt. 12, 2616, 1973
b. Rosenberg S , Teich M. C. Appl. Opt., 12, 2625, 1973
6 Bucher E 4 Appl. Opt, 11, 884, 1972.
* 31 Кеннеди P ТИИЭР, 58, № 10, 264, 1970
6 132. Snyder D L Random Point Processes, Wiley-Interscience, New York, '1975, Chap 2.
6 133 Halme S J, Levitt В К, Orr R. S Bounds and Approximations for some Inteoral Expressions Involving Lognormal Statistics, Res. Lab Electron. Quart Prog Rept, 93, pp 163-175, M. I. T, 1969.
6 134 Gagliardi R M, Karp S Optical Communication, Wiley Interscience, New York, 1976, Chap 6
6 135 Wozencraft / M , Jacobs / M Principles of Communication Engineering, Wiley and Sons, New York, 1965, pp 517—519.
6.136 Pratt 步 ^ Laser Communication Systems, Wiley and Sons, New York, 1969, Chap. 12 (Имеется перевод: Пратт 8. Лазерные системы связи.— М• Связь 1972 )
6 137 Kennedy R S, Karp S (eds), Optical Space Communication, NASA Rept SP-217, 1969
6 138 Wozencraft / AL, Jacobs /. M. Principles of Communication Engineering, Wiley and Sons, New York, 1965, pp. 533—550
6 139 Kennedy B. S Fading Dispersive Communication Channels, Wiley-Inter- science, New York, 1969.
6 140 Van Trees Я L Detection Estimation and Modulation Theory, Part III, Wiley and Sons, New York, 1971, Sect 113
6.142 McIntyre C M , Kerr J R., Dunphy /. R Practical Diversity Receivers in Turbulence- Experimental Performance and Relationship to Rigorous Likelihood Systems, presented at the IEEE Telecommun Conf. New Or- leans [975
6.143 Homstad G E, Strohbehn /. W. Berger R. H, Heneghan / M. J. Opt. Soc Amer., 64, 162, 1974
6.144 Bucknam，N Direct Detection of Optical Signals in the Presence of Atmospheric Turbulence, S M Thesis. MIT, 1969.
6.145 Humblet P A Two-Way Adaptive Optical Communication through the Clear Turbulent Atmosphere, S M Thesis, M I T., 1975.
6.146 Mitchell R 厶 J. Opt Soc Amer, 58, 1267, 1968.
6.147 Barakat R J Opt Soc Amer, 66, 211, 1976
6.148. Fante R. L. J Opt. Soc Amer, 66, 730, 1976.
Глава 7
ТЕПЛОВОЕ РАСПЛЫВАНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В АТМОСФЕРЕ
Дж, Уолш, 77. 6. Ульрих
Основные черты явления теплового расплывания лазерного пучка можно представить себе на следующем простом примере. Пусть лазерный пучок распространяется в среде, которая является идеальным газом, поглощающим свет на лазерной длине волны. Если среда первоначально находится в тепловом равновесии, а лазерный луч включается в момент времени f = 0, то вследствие поглощения произойдет локальный нагрев, который, в свою очередь вызовет малое повышение давления. Затем газ расширяется со скоростью звука, так как происходит выравнивание давления, что приводит к некоторому снижению плотности среды. При этом локальный коэффициент преломления будет уменьшаться пропорционально локальному изменению плотности. Если интегральное влияние этих изменений коэффициента преломления достаточно велико, то можно ожидать изменение формы профиля лазерного пучка по мере его распространения от источника.
Чтобы представить, как эти изменения могут повлиять на распространение лазерного излучения, рассмотрим пучок, в котором интенсивность имеет максимальное значение на оси пучка и спадает до нуля на его краях. Профиль нагрева в этом случае будет иметь максимум на оси лазерного пучка, а соответствующий ему профиль коэффициента преломления будет иметь минимум. Таким образом, фазовый фронт пучка, который первоначально был перпендикулярен его оси, теперь движется с большей скоростью в центре пучка и приобретает наклон в сторону его границы. Лучи пучка, представляющие собой нормали к фазовым фронтам, отклоняются от их первоначального параллельного оси пучка направления к краям. Пучок «расплывается» как целое, т. е. его поперечный размер увеличивается по мере нагрева среды. Такого типа явления теплового расплывания лазерного пучка изучаются в настоящей главе.
Первой публикацией по данной проблеме является работа Лейта и др. 1964 г. [7.1]. Авторы этой работы использовали эффект расплывания для измерения малых коэффициентов поглощения в некоторых жидкостях и твердых телах. В нх опытах образец вещества помещался внутрь резонатора гелип-неоно-
воГО лазера и измерялось увеличение размера светового пятна на зеркале резонатора, вызванное возникающими тепловыми линзами.
Тепловое расплывание лазерного пучка как предмет исследования находится на стыке нескольких традиционных научных направлений. Для изучения этого явления необходимо привлекать механику жидкостей и газов, теорию распространения волн в жидкостях и газах, а также основы геометрической и физической оптики. Кроме того, поскольку многие практически важные задачи аналитически неразрешимы, мы считаем, что при решении конкретных задач необходимо широко применять численные методы решения взаимосвязанных уравнений гидромеханики и уравнения распространения оптических воли. Материал данной главы доступен студентам старших курсов и выпускникам высших учебных заведений. От читателя для его чтения не требуется обширной предварительной подготовки по обсуждаемым вопросам. В начале каждого раздела приведены необходимые для дальнейшего изложения сведения, которые придают главам определенную степень самостоятельности. Чтобы раскрыть физическую сущность изучаемых процессов, приводятся простые аналитические решения идеализированных задач. Однако мы не пытались получить все возможные аналитические решения.
Следует упомянуть о порядке заимствования материала из первоисточников. Как правило, мы старались изложить проблему в учебном, а не в историческом плане. Поэтому мы не приводили полного списка использованной литературы. Вместо этого помещены только те ссылки, которые являются полезными при изложении материала. Для тех, кто интересуется более полной библиографией, может быть рекомендована работа Ульриха [7.2].
Обзорная часть
Оценка по порядку величины
Начнем изложение с простой оценки по порядку величины теплового расплывания лазерного пучка в идеальном газе. Рассмотрим сфокусированный лазерный пучок непрерывного излу- □ення с полной мощностью Р, излучаемый апертурой радиуса а в воздухе при давлении в 1 атм. Пусть интенсивность пучка максимальна на его оси и спадает до нуля на расстоянии а от ℃и. Запишем формулу для числа длин волн N, укладывающихся На отрезке длиной L вдоль оси пучка. Величина N имеет вид
n =(厶")/儿 (7.1)
где /г ——показатель преломления и X — длина волны излучения в вакууме. При включении лазерного пучка показатель преломления будет изменяться с течением времени за счет нагрева среды пучком. Изменение N выражается равенством
6% = (/Д)М・ (7.2)
Ниже будет показано, что условие 8N ^ 1 является критерием начала теплового расплывания лазерного пучка. Это естественно, так как набег фазы на величину, соответствующую длине волны, связан с возниковением многих явлений в оптике.
Для воздуха в широком диапазоне значений температуры, давления и напряженности электрического поля показатель преломления п можно выразить соотношением
(拉 一 1)=加， (7.3)
где р — плотность и k ——постоянная Гладстона ——Дейля. В стандартных условиях (及——1) 3・ 10-4.
Если плотность меняется на малую величину 6р, то соответствующее изменение показателя преломления может быть получено из (7.3). В результате имеем
где р0 и 枕о — это начальные равновесные значения величин, s — относительное изменение плотности. Данное равенство может быть записано в более компактном виде
М =(4)—l)s. (7.5)
Получим теперь формулу для относительного изменения плотности 6р, вызванного нагревом при поглощении энергии лазерного луча. Воспользуемся для этого некоторыми свойствами идеального газа [7.3]. Уравнение состояния газа имеет вид
"=从也 (7.6)
где р ——давление, V ——объем, занимаемый 卩 молями газа, Т — абсолютная температура и R ——универсальная газовая постоянная. Из этого уравнения не сложно получить соотношение для коэффициента теплового расширения 0:
(7.7)
Наконец, мы должны рассмотреть повышение температуры, обусловленное нагревом, при постоянном давлении. Введем показатель адиабаты у, определяемый через отношение молярных
(7.8)(7.8)удельных теплоемкостей ср и с@, которые соответствуют постоян- ннм значениям давления и объема. Тогда
(7.8)
(7.8)
% =十R
Если медленно вводить небольшое количество тепла dQ на один моль идеального газа и допустить, что газ свободно расширяется при постоянном давлении, то из равенств (7.7) и (7.8) можно найти следующее выражение для относительного изменения плотности:
衿 Т 唱一号 &Q.(7.9)
Теперь выразим приращения dp и dQ через малые величины s и з
dQ = ^q„(7.10)
где ро —окружающее давление, a qv ——энергия нагрева, приходящаяся на единицу объема. Наконец запишем
% = а〃о,(7.11)
где а — коэффициент поглощения лазерного пучка, I — интенсивность излучения в интересующей нас точке и /0 ——время нагрева. Используя равенства (7.7—7.11), получим выражение для относительного изменения плотности в произвольной точке г пучка в результате нагрева в течение времени 力：
s(r) = -^a/(r)h7-12)
Ясно, что выражение (7.12) предполагает отсутствие движения воздуха через пучок и постоянство интенсивности в рассматриваемой точке в течение всего времени нагрева /0- Рассмотрим случай, когда имеется движение потока воздуха со скоростью V перпендикулярно оси пучка. Величина нагрева порции воздуха, проходящей через пучок, изменяется в зависимости от распределения интенсивности в его сечении. Тем не менее можно получить оценку по порядку величины для относительного изменения плотности из равенства (7.12), положив величину /(г) равной максимальной интенсивности и заменив /0 выражением
/о =砲，(7.13)
「Ае а ——характерный поперечный размер пучка.
Объединяя равенства (7.2), (7.5), (7.12) и (7.13), получим
6"=-(饱-1)与1^_矶^,(7.14)
где /0 — максимальное значение интенсивности в пучке. Для завершения оценок необходимо соответствующим образом задать длину пути L. Чтобы оценить нижний порог, при котором появится размытие пучка, желательно выбрать 厶 как можно большим. Положим
(7.15)(7.15)厶 ^ (2⑨2/А,
(7.15)
(7.15)
что совпадает с расстоянием Рэлея. Это такое расстояние, за пределами которого первоначально коллимированный пучок начинает расходиться за счет дифракции. Наконец, запишем соотношение между полной мощностью пучка Р и интенсивностью на его оси /0 в виде
p^П叫). (7.16)
Если теперь использовать равенства (7.14)——(7.16) и положить 6У =——1, то получим выражение для пороговой мощности 尸厶 при которой начинается тепловое расплывание лазерного пучка в поперечном потоке
г ~ 4 1 a("0- 1) a •
В качестве примера рассмотрим лазерный луч с длиной волны излучения 10,6 мкм в воздухе при давлении 1 атм. Тогда константы, входящие в (7.17), равны
ро=1О5 Н/м2,по-1=3.1О~4,
у = 1,4,九=10"5 м.
После подстановки данных величин в (7.17) получим в системе СИ
匕= 0,1/・(7 18)
Теперь положим
а = 3・ КГ? м? а=10~2 м; и = 0,3 м/с. (7 19)
Подставив эти величины в (7.18), найдем, что для заданных условий порог теплового размытия лазерного пучка в воздухе равен Р/ = 103 Вт. Использованные значения величин а и и характерны для излучения лазера на длине волны 10,6 мкм при распространении пучка в неподвижном воздухе. Таким образом, тепловое расплывание лазерного пучка может наступить при сравнительно низких значениях мощности. Рэлеевская длина в данном примере приблизительно равна 40 м, и на этом расстоянии интенсивность пучка экспоненциально затухает примерно на 13%.
Изменение температуры можно оценить, воспользовавшись выражением, соответствующим нагреву идеального газа при
(7.20)(7.20)постоянном давлении:
(7.20)
(7.20)
T一一丁一一
Для рассматриваемого примера находим s =——9,1 • 10~4 и 6Т = =0,27 К. Полученное изменение температуры сопоставим с величиной, возникающей за счет атмосферной турбулентности. Однако вариации температуры ВТ, вызванные турбулентностью, влияют на пучок намного меньше, чем величина обусловленная лазерным нагревом. Это объяснется тем, что в условиях турбулентности величина 67 и соответствующее изменение 6п принимают как положительные, так и отрицательные значения на пути луча. В результате имеет место значительная взаимная компенсация такого влияния. В то же время изменение температуры 5Т, связанное с лазерным нагревом и приводящее к расплыванию пучка, соответствует значению 6п всегда одного и того же знака, а, следовательно, способно давать накапливающийся эффект.
В заключение следует отметить, что эффект теплового расплывания лазерного пучка имеет важное значение в проблеме создания с помощью лазеров мощных коллимированных пучков.
Общие замечания об изложении проблемы теплового расплывания
В разд. 7.2 приведены сведения обзорного характера о распространения оптического пучка в скалярном параксиальном приближении при использовании общего выражения для показателя преломления. Рассматриваются приближения волновой и геометрической оптики. Затем систематизированы сведения о свойствах гауссовых пучков при произвольном выборе начала координат. Пучки с гауссовым профилем являются эталонными при анализе эффекта теплового расплывания.
В разд. 7.3 получены основные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие изменение плотности в жидкой или газообразной средах, содержащих источник? тепла, с произвольным распределением в пространстве и воемени. Указанные тепловые источники имитируют нагрев среды ш счет поглощения лазерного излучения. Приведены решения, описывающие пространственно-временные возмущения плотности для различных видов распределений тепловых источников. Здесь отсутствуют попытки дать самосогласованное оптико-гидромеханическое рассмотрение задачи, так как решения такого рода Пока отсутствуют в литературе. Однако путем решения ряда частных задач оказалось возможным проанализировать неко- торне эффекты, относящиеся к механике жидкостей и газов.
В разд. 7.4 даются простые аналитические решения типовых задач, использующие линеаризованные уравнения гидродинамики и первые приближения методов возмущений, примененных к уравнениям волновой или геометрической оптики. Типовые задачи основываются на результатах для возмущений плотности, полученных в разд. 7.3 и соответствующих различным профилям нагрева.
Разд. 7.5 посвящен обсуждению численных методов и алгоритмов, использованных для анализа проблемы теплового расплывания лазерного пучка. Представлен также ряд результатов, полученных с помощью ЭВМ.
Составные части задачи исследования теплового расплывания пучка
Прежде чем приступить к детальному обсуждению перечисленных выше вопросов остановимся более подробно на значении каждого из них для общего понимания процесса расплывания лазерного пучка за счет нагрева. Обратим внимание на два главных момента: 1) начальные параметры и метод решения, 2) характер полученных решений.
Начальные параметры и метод решения
Основными компонентами исследовательской задачи, определяющими ее содержание, являются:
Временные параметры пучка. Наиболее характерные случаи здесь — это единичный импульс, последовательность импульсов, непрерывная генерация излучения. Метод анализа зависит от соотношения между параметрами, описывающими временную зависимость поля пучка, и характерными временами, связанными со средой или с геометрией пучка.
Пространственная структура пучка. Часто для описания излучения на выходе источника в качестве типичных используются гауссов или частично усеченный гауссов профили. Пучок может быть коллимированным или иметь фокусировку на конечном расстоянии. В некоторых случаях может рассматриваться пучок с переменным фокусом. Иногда важно знать, содержит ли пучок излучение на одной или нескольких длинах волн. И наконец, существенным является качество пучка как пространственно-ограниченного потока электромагнитной энергии. Это свойство характеризуется долей энергии пучка, сосредоточенной в центральном пятне дифракционной картины.
Механизм охлаждения. Термин «охлаждение» в рассматриваемой задаче характеризует одну или несколько причин, ограничивающих время облучения некоторой совокупности частиц
среды. Причем эти причины не связаны с длительностью лазер- лого импульса. Конкретными механизмами охлаждения являются такие, как постоянный ветер, сканирование пучка, конвективное охлаждение. Наконец, отвод тепла будет отсутствовать также в случае импульса малой длительности.
Степень самосогласования решения задачи распространения. Могут быть рассмотрены два предельных случая. В первом случае пространственная зависимость профиля нагрева, реализованная в момент включения лазерного пучка, считается неизменной и в последующие моменты времени. Предполагается, что процесс распространения через такую возмущенную среду изменяется по мере увеличения нагрева. Указанный подход является основой всех имеющихся в литературе аналитических расчетов по проблеме теплового расплывания лазерного пучка.
Второй случай учитывает пространственную зависимость нагрева среды пучком по мере его эволюции в процессе распространения |. К моменту работы над данной книгой указанный случай был успешно исследован только с помощью ЭВМ.
Электромагнитная теория. Решение задачи может быть основано как на строгой теории волновой оптики, так и на ее геометро-оптическом приближении. Последний вариант часто оказывается предпочтительнее, так как позволяет сравнительно легко построить физическую картину явления и более просто провести вычисления. Подход, основанный на волновой оптике, является, конечно, наиболее строгим, но этот подход требует для своей реализации численного моделирования на ЭВМ.
Характер полученных решений
Имеется несколько подходов к решению задачи теплового расплывания лазерного пучка.
Строгий подход. Наиболее точные результаты могут быть получены путем самосогласованного решения уравнения волновой оптики и полной системы уравнений механики жидкости и газа. Этот подход в наименьшей степени допускает аналитическое исследование, и для его реализации требуется большой объем вычислительной работы. В принципе указанная методика позволяет заложить в расчетный алгоритм совершенно реальные модели как для формы лазерного пучка, так и для поглощаю- Ее百 среды. Однако первоначально были исследованы лишь полностью когерентные дифракционно-ограниченные гауссовы пуч- кн с одной длиной волны излучения. И лишь недавно удалось
В отечественной литературе первый случай обычно классифицируется :к приближение заданного поля, а второй ——как самосогласованное решение “aqn теплового самовоздействия пучка, — Прим. nepeet
рассмотреть случаи, более близкие к реальной постановке задачи. В качестве примера упомянем случай двух или более пучков, излучаемых одновременно из одной апертуры, причем каждый из них характеризуется своей длиной волны, формой и величиной коэффициента поглощения. Проводился анализ пучков при произвольных параметрах дифракции. Эта задача имеет свои специфические трудности при решении, так как простого утверждения о том, что интенсивность пучка на оси за счет дифракции уменьшается в m раз, бывает недостаточно, чтобы задать его начальную амплитуду и фазу, необходимые для машинного счета. Вместо этого приходится применять усреднение по большому числу расчетных вариантов, для каждого из которых начальные условия выбираются случайным образом, но так, чтобы при распространении пучка в вакууме его интенсивность на оси уменьшилась в т раз за счет дифракции.
Аналитические результаты. Аналитические результаты удается получить с различной степенью трудности лишь для ограниченного числа частных случаев. Эти результаты оказываются предпочтительней расчетов, выполненных на ЭВМ, в том отношении, что получаемые здесь зависимости от основных параметров задачи являются более наглядными. Совместный анализ таких простых решений позволяет существенно продвинуться в понимании общих закономерностей изучаемого явления.
Результаты численного эксперимента. В этом подходе производят повторяющиеся просчеты на ЭВМ при неизменных исходных параметрах задачи, кроме полной мощности пучка, которая изменяется от варианта к варианту. Из результатов подобных расчетов могут быть получены эмпирические формулы для основных характеристик теплового уширения пучка. В число основных характеристик входят максимальная интенсивность на оси, площадь поперечного сечения пучка и отклонение пучка от первоначального направления. В ряде случаев аналогичные зависимости можно получить с помощью аналитических методов, изложенных выше.
Форма представления результатов по тепловому расплыванию пучка. Расчеты на ЭВМ дают большое количество подробной информации об интенсивности излучения как функции поперечного радиуса-вектора, дистанции и времени распространения. Обычно получаемая информация оказывается более Детальной, чем это необходимо на практике. Поэтому важно сделать правильный выбор одной или нескольких общих характеристик пучка, описывающих главные особенности решений. В частности, такими характеристиками могут быть изменения максимальной интенсивности, отклонение центра тяжести пучка или центра тяжести определенного участка в поперечном сече-
нии пучка, интенсивность в котором выше некоторой заданной пороговой величины. Сюда же могут быть отнесены различные характеристики, описывающие расширение пучка в окрестности ег0 максимума или центра тяжести.
Электромагнитная теория
В настоящем разделе дается обзор тех аспектов теории электромагнитного поля, которые представляют интерес для проблемы теплового расплывания лазерного луча. В первую очередь это относится к параксиальным пучкам в среде с малыми изменениями локального показателя преломления. Такие пучки будут рассмотрены с применением как волновой, так и лучевой оптики.
Волновое уравнение
ов1Гов1Г(7.21)(7.21)Запишем основные уравнения Максвелла при условии отсутствия в среде свободных зарядов или внешних токов. В единицах системы измерений МКСА, следуя [7.4], можно записать
ов
1Г
ов
1Г
(7.21)
(7.21)
VXH=^.
Дополнительно используются следующие соотношения:
D = eE и В = аН,(7.22)
где 8 ——диэлектрическая проницаемость,卩一магнитная проницаемость. В дальнейшем будем считать 卩 постоянной величиной, а 8 испытывающей изменения в среде.
Применим к первому уравнению в (7.21) операцию ротора V н операцию d/dt — ко второму уравнению. Затем подставим второй результат в первый. Воспользовавшись векторным соотношением
VXVXE = V(V・E) — V2E,(7.23)
получим
ВыражениеВыражениедля V- Е может быть записано, если учесть, что придля V- Е может быть записано, если учесть, что приV2E-n^(eE) = V(SE)・(7.24)
Выражение
Выражение
для V- Е может быть записано, если учесть, что при
для V- Е может быть записано, если учесть, что при
0. Используя первое из0. Используя первое изотсутствии свободного заряда V-D = соотношений (7.22), можно записать
0. Используя первое из
0. Используя первое из
(7.25) г(7.25) гЕ • (Ve) + е (V • Е) = 0.
(7.25) г
(7.25) г
Тогда уравнение (7.24) принимает вид
WE — 卩爲(еЕ) = — V [Е • V (log 叨.(7.26)
Незначительно отличающееся по виду уравнение имеет место для Н, но оно в дальнейшем не понадобится. И наконец, положим, что
8 (г, /) == 80м2 (г, /),(7.27)
где е0 — величина диэлектрической проницаемости в вакууме, п(г, /) — пространственно-временная зависимость показателя преломления. Обозначив через с скорость света в вакууме
с2 = (%)-*(7.28)
уравнение (7.26) можно представить в следующей форме:
WE — ♦否侬Е) = — 2V [Е ・ V (log 喇. (7.29)
Оценим теперь относительный вклад отдельных слагаемых в (7.29). Во-первых, можно вынести п2 из-под знака частной производной в левой части уравнения. Эта операция возможна, если временные масштабы изменения п2 намного превышают период электромагнитного поля. Следует отметить, что значительные изменения величины п2 не могут происходить быстрее, чем время распространения акустических возмущений по диаметру пучка. Для пучка в воздухе диаметром 1 см указанное время составляет около 3 • 10~5 с, что намного превышает период осцилляций поля лазерного луча, типичные значения которого находятся в интервале от 10~14 до 10~16 с.
Для оценки правой части уравнения (7.29) рассмотрим параксиальный пучок, который распространяется в положительном направлении оси On, а его поле линейно-поляризовано вдоль оси Ох. Это слагаемое слабо влияет на величину компоненты поля Ех. Как источник компоненты поля Е^, оно также мало, но, возможно, не всегда является несущественным.
Учитывая сказанное, опустим слагаемое в правой части (7.29) и запишем
V2E —(彦/,2)@2E/d/2 = 0.(7.30)
Это уравнение является исходным при анализе задачи тепло* вого расплывания пучка.
Скалярное волновое уравнение для параксиальных пучков
Рассмотрим монохроматический коллимированный пучок, характеризуемый полем Е (%, у, а,/), распространяющийся вдоль оси On и обладающий линейной поляризацией, например, вдоль
оси Ох. Под пучком будем понимать распределение поля, которое существенно отлично от нуля только в ограниченной области плоскости ху. Быстрые осцилляции поля вдоль оси On с периодом, равным длине волны, удобно представить отдельным множителем. Тогда для описания поля можно взять вещественную часть от выражения
Ех (х, у, z, /) = 2 (х, у, z) exp (ikz — zcd/). (7.31)
Волновое число k соответствует показателю преломления 〃о в невозмущенной среде. Влияние среды на распространение описывается функцией г|). Если подставить равенство (7.31) в (7.30), тогда получим
V帥+ 2z%碧一必屮+甞屮=0,(7.32)
где V^—— поперечный лапласиан, а член /屮/0/ опущен, так как в случае ограниченного пучка изменения функции 屮 вдоль являются медленными и указанным слагаемым можно пренебречь по сравнению с другими членами уравнения. По определению
8 и(733)
следовательно, уравнение (7.32) можно переписать в виде
V帥+ 2義*■ +依[史Q臂幺幺 一 1 ]2=0.(7.34)
Равенство (7.34) является основным уравнением волновой оптики, с помощью которого могут быть проведены расчеты распространения параксиальных пучков в среде с заданным показателем преломления 〃(％, у, г, /).
7・2・3・ Пучки гауссовой формы в однородной среде
Пучки гауссовой формы [7.5] соответствуют часто встречающемуся распределению поля на выходе лазерных источников. Вследствие этого, а также ввиду относительной простоты их аналитической записи они будут применяться в настоящей главе Для описания профиля лазерного пучка в моменты времени, предшествующие началу эффекта теплового расплывания. Здесь ^Дут кратко описаны свойства гауссовых волновых пучков. Причем результаты представим в виде, несколько отличающем* Ся °т общепринятого. Такое представление лучше подходит для Целей интерпретации теплового .размытия лазерного пучка.
Если подставить п(х, у, г) = и0 в уравнение (7.34) и рассматривать решение г|)(г, г), обладающее цилиндрической сим-
метрией относительно оси On, тогда из (7.34) получим
争' + 壊+ 碧=0.(7.35)
Будем искать решение уравнения (7.35) методом интегральных преобразований для пучков гауссового типа с цилиндрической симметрией. Свойства интегральных преобразований, которые могут потребоваться в данной главе, приведены в приложении.
Если применить к уравнению преобразование Ханкеля (см. приложение) и обозначить через 小(X, z) трансформанту Ханкеля функции г|?(г, г) относительно переменной г, тогда для гр получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
-九2® & N)+ 2洪察=0.(7.36)
Решение этого уравнения имеет вид
通仇，z) = 4 (九)exp [— i^zl^k)].(7.37)
где 4 (X) — функция от 九，которая находится из начальных условий.
Для функции ip(r, z) в плоскости 2 = 0 выберем гауссов профиль амплитуды и фазовый фронт, соответствующий сферической волне, сходящейся в точку на оси с координатой а = /. С учетом временной зависимости в виде ехр (——沁t) начальное распределение поля будет определяться выражением
屮亿0)= 业exp (一 孑_号｝(7.38)
где ро — начальная амплитуда поля на оси и г0 — точка, соответствующая уровню 1/е от амплитуды электрического поля на оси. Применяя преобразование Ханкеля к выражению (7.38), получим
® (儿 О) = л (%) Н 5 ехр l0爲)]•639)
Теперь мы можем подставить данный результат в формулу (7.37) и выполнить обратное преобразование Ханкеля. В результате имеем
屮 忆 2)=色—exp Г У?——] , (7.40)
(1 — z/f) + i2z/G^)2R(n)」
где 侬⑶一точка, соответствующая уровню 1/е от максимума амплитудного профиля пучка, и R(z)—радиус кривизны волнового фронта. Считается, что волновой фронт имеет положитель-
ную кривизну, если он вогнут в положительном направлении оси Oz. Функция w(z) определяется выражением
@2（力=圖1一*）2+4窗（胪嗡.@2（力=圖1一*）2+4窗（胪嗡.(7.41)(7.41)
@2（力=圖1一*）2+4窗（胪嗡.
@2（力=圖1一*）2+4窗（胪嗡.
(7.41)
(7.41)
(7.42)(7.42)Точка на оси пучка, для которой данное выражение принимает минимальное значение, получила название точки перетяжки пучка и обозначается через z = zw. Если взять производную от выражения (7.41) по г и приравнять ее нулю, тогда для коор* динаты zw получается следующее соотношение:
(7.42)
(7.42)
点Г"4产.
Радиус кривизны фазового фронта можно записать в форме
R3)=上笥等.(7.43)
Из выражения (7.43) видно, что равенство R(O) = j соответствует начальному условию. В точке перетяжки пучка радиус R{zw) принимает бесконечное значение, что соответствует плоскому фазовому фронту пучка. Для z> zw получаем R ⑶ V。, т. е. фазовый фронт становится выпуклым в положительном направлении оси г. В пределе, когда г стремится к бесконечности, функция R(z) принимает вид —(г — zw), что соответствует сфе- рически-расходящейся волне с центром кривизны на оси в точке перетяжки пучка. Приведенные результаты были получены в работе Когельника и Ли [7.5].
При известном распределении поля нетрудно записать соответствующее ей распределение интенсивности излучения. Если интенсивность выразить как
/亿 z) = I 屮(г,力 |2,(7.44)
т。из (7.40) и (7.41) находим
/ 亿力"l^y I 业 I2 exp [- 2产他2 ⑵].(7.45)
В настоящей главе используются выражения для распреде* пения интенсивности в еще более простой форме. Например, qacro применяется запись
/ 亿力=/о ехр (—产/*,(7.46)
「Де а рассматривается как константа. Это равнозначно предположению о том, что заметное изменение размера пучка, задаваемое формулой (7.41), происходит на дистанции, превышаю- Еей расстояние, которое требуется для существенного проявлеНИя аффектов самовоздействия.
Геометрическая оптика
Для расчета теплового расплывания лазерного пучка используют приближение геометрической оптики, поскольку оно позволяет достичь наглядной физической трактовки явления и получить простые аналитические результаты, которые часто не удается найти из более трудоемких вычислений, выполняемых на основе волновой оптики. В настоящем разделе приводятся краткие сведения о методе геометрической оптики, которые потребуются в дальнейшем. Изложение следует в основном монографии Борна и Вольфа [7.6].
Приближение геометрической оптики основывается на представлении о том, что в определенных областях пространства и для достаточно коротких длин волн могут быть найдены поверхности, называемые фазовыми фронтами, такие, что нормали к фазовым фронтам характеризуют направление локального потока энергии, а также направление, вдоль которого электромагнитная волна (включая ее фазу) изменяется наиболее быстро. В качестве исходной записи для электрического поля возьмем вещественную часть выражения
Е (г, /) == е (г) exp [ikQS (г) — /со/], (7.47)
где S ——скалярная функция, не зависящая от е(г),尼о ——волновое число в вакууме и е(г)——медленно меняющаяся функция пространственных координат, которая содержит информацию о поляризации. Аналогичное выражение записывается и для магнитного поля.
Если (7.47) и соответствующее выражение для магнитного поля подставить в уравнения Максвелла, мы найдем, что в коротковолновой области длин волн имеет место равенство
[VS(r)]2 = n2(r), (7.48)
где п(г) — зависящий от пространственных координат показатель преломления, a S (г) = const — уравнение поверхности равных фаз. Пусть t ——единичный вектор, совпадающий с направлением нормали к поверхностям S(r):
t = dr Ids, (7.49)
где r — радиус-вектор точки, лежащей на заданном луче, и s — длина пути вдоль луча. Используя уравнение (7.48), получим
nt = V*S (г). (7.50)
Дифференцируя это выражение и записывая величину VS(「) через и, можно получить дифференциальное уравнение для лу-
цей. Это 'равнение следующий вид:цей. Это 'равнение следующий вид:±(〃£)ir)・(7.51)±(〃£)ir)・(7.51)было найдено Борном и Вольфом и имеет
цей. Это 'равнение следующий вид:
цей. Это 'равнение следующий вид:
±(〃£)ir)・(7.51)
±(〃£)ir)・(7.51)
Используя соотношение (7.49), уравнение (7.51) можно записать в форме
枕黑十t案 = V儿(7方2)
Введем теперь кривизну луча, определяемую выражением
K = dt/ds.(7.53)
Модуль вектора К обратно пропорционален радиусу кривизны, а сам вектор расположен в плоскости, касательной к лучу. Объединяя равенства (7.52) и (7.53), получим
〃K = V〃一黑 t・(7.54)
Выражение в правой части уравнения (7.54) является разностью между градиентом величины п и его составляющей вдоль луча. Таким образом, направление вектора, описываемого правой частью (7.54), всегда перпендикулярно лучу, и лучи отклоняются в область с более высоким показателем преломления.
Рассмотрим распределение интенсивности излучения, связанное с введенной выше системой лучей. Интенсивность (мощность, приходящаяся на единичную площадку) в какой-либо точке можно рассматривать как векторную величину с амплитудой / (г) и направлением вдоль траектории луча. Если потери на поглощение в единичном объеме записать в виде а/, тогда для произвольного объема У, ограниченного поверхностью 4 при отсутствии источников имеем
、/t・du = — \ cd dv,(7.55)
av
歸е do и du — элементы поверхности и объема соответственно. Применив теорему Гаусса, получим уравнение
V・(/t) + a/ = 0,(7.56)
которое является основным для описания закономерностей из- ммнения интенсивности излучения в приближении геометрической оптики,
Скалярная теория дифракции в однородной среде
Чтобы получить аналитические оценки для эффекта теплового расплывания лазерного пучка, полезно воспользоваться некоторыми результатами, вытекающими из теории дифракции Кирхгофа. В работе Джексона (см. [7.4], стр. 282) приводится выражение для скалярного поля, дифрагированного на излучающей апертуре Si, которое имеет вид
屮贝)=一+ 卜呦簣砲n[vw + z%(l +*)号屮]曲1(7.57) Si
где 曲‘一элементарная площадка в плоскости апертуры, п — единичный вектор, направленный в область излучения, R — векторное расстояние от элемента ds‘ на апертуре до точки наблюдения; величина V" вычисляется на поверхности излучающей апертуры. Временная зависимость выбирается в виде ехр (—is/). В приближении Кирхгофа считается, что функция г|)и ее производная по нормали имеют те же значения в плоскости излучающего отверстия, как и в отсутствие экрана с отверстием.
Нас интересуют в первую очередь параксиальные пучки, описываемые выражением вида (7.31). Пусть плоскость г = О совмещена с плоскостью излучающей апертуры, как это показано на рис. 7.1. Тогда, поскольку основной вклад в [d^)/dz]z=Q вносит результат дифференцирования сомножителя exp(i^z), величину n・(V‘屮)положим равной /г|). Для поля на расстоянии, достаточно удаленном от отверстия, выполняются соотношения 々R》1 и n・(R/R)= 1. С учетом указанных условий выражение (7.57) может быть записано в виде
屮(R)= - * \ 屮(S)■斗賛S 曲'・(7.58)
Si
Введем прямоугольные координаты (g, п) для точек в плоскости излучающей апертуры. Координаты точки наблюдения Р обозначим через (招 у, г), тогда можно записать
R2 =(% —自)2 + ® 一 叫2 + *(7.59)
Обозначим через RQ расстояние от начала координат до точки 2 В этом случае (7.59) запишется как
r2 = &[i-21£^ + 1^L]・(7.60)
В представляющих интерес задачах R。всегда намного больше любой из переменных х, у,三，斗 С учетом этого условия после
рис. 7.1 Схема, поясняющая скалярную теорию дифракции параксиальных пучков
выполнения соответствующих вычислений из (7.58) и (7.60) по* лучим
屮(招巩 2)= - ^ 胃嘿蝕 \ “ (I, 3 exp ［ikf(l n)l 港 g, (7.61)
где 〃(自，n)——значения 屮 в плоскости излучающей апертуры. Функция f(E，п) задается соотношением
f怎叫=一传+加叫+ (歓+哨/(2R。)，(7.62)
где / и m — направляющие косинусы:
I = x/RQi m = y/R0.(7.63)
Рассмотрим случай одномерного источника, в котором зависимость поля от координаты “ на интервале от — оо до + 8 отсутствует. Чтобы получить картину одномерной дифракции, следует проинтегрировать выражение (7.61) по 斗 В соответствии с постановкой задачи результат не должен зависеть от координаты у. Выбирая у = 0, для искомого интеграла получим выражение вида
j exр 卩刖2/(2凡)］曲=(1 + 9 V^^.(7.64)
После подстановки полученного выражения в (7.61) имеем
W (%, %)=写匕 д/鳥 ехр (z%R°) \ “ (&) ехр 卩尼(一 /Е + 先)］篋.
Si
(7.65)
Воспользуемся этой формулой для расчета дифракционной Картины от щели, распределение поля на которой имеет вид
"低)="。(1 一 券a2严eXp(一 等)，［g)<a.(7.66)
Это распределение симметрично по 自，принимает максимальное значение 〃о при ^ = 0 и имеет фокальную точку при г = Д В разд. 7.4 мы увидим, как изменится полученный здесь результат при наличии эффекта теплового размытия пучка. Полагая Ro = f в равенстве (7.65) и подставляя в него формулу (7.66), получим следующее распределение комплексной амплитуды поля в фокальной плоскости:
2 (%, f)=丄LW (面)％ , (1 一 "SO"?cos (碉成・(7.67)
Член, содержащий sin(^/g), опущен из множителя ехр(—ikl^)f так как он является нечетным по g и поэтому не вносит существенного вклада в интеграл. Используя результаты Эрдейи и др. [7.7], получим
屮(尤，f)=与士 д/^ exp (ikf) %冗丄噜生，(7.68)
где Ji (kla)——функция Бесселя первого рода с целочисленным индексом, равным единице.
Соответствующее распределение интенсивности в фокальной плоскости
/(%, f) = a(%, f)F(7.69)
имеет вид
/(招力=点台)；询哂)，(7.70)
Интенсивность максимальна на оси Oz, когда х = 0, и опреде* ляется в этой точке следующим выражением:
/(0, /) = -/ — .(7.71)
Отсюда видно, что максимальное значение интенсивности для одномерного распределения убывает как 1/f. Отметим также, что общее распределение интенсивности содержит ряд нулевых знаиенн访，определяемых последовательностью нулей функции Бесселя.
Фазовое приближение
В изложенном выше кратком обзоре теорий дифракции мы считали, что показатель преломления в области между излу， чающей апертурой и точкой наблюдения является постоянным. Однако при наличии теплового расплывания такое предположение становится недействительным й необходимо внести соответствующие поправки в теорию. Можно показать, что выражение (7.58) останется справедливым, если заменить произве-
дение ikr в ехр (ikr) соответствующим интегралом по оптиче^ скому пути, расположенному между плоскостью источника и точкой наблюдений.
Начнем с рассмотрения скалярного поля, излучаемого точечным источником в среду с малыми возмущениями показателя преломления. По аналогии с (7.30) можно записать
V4--J-^ = O,(7.72)
где i|)(r, 0, ф)—скалярная функция поля, а функция п(г, 0, ^) содержит слабые флуктуации около невозмущенного значения, г, 0, ф ——сферические полярные координаты точки наблюдения. Если временную зависимость представить как ехр(—is/), то уравнение (7.72) в полярных координатах примет вид :爲(Н) + ;г^ё备(sin 8謂)+ т^^Т絵+嘿屮=0・
(7.73)
С целью дальнейшего упрощения задачи мы предположим, что наибольший вклад в частные производные функции 屮 вносят ее вариации вдоль оси г с характерным масштабом, равным длине волны. Указанное предположение позволяет опустить в уравнении (7.73) все члены, содержащие частные производные вида д/дд и д/дф, и рассматривать зависимость функции 屮 от 8 н 力 как параметрическую. Введем замену
尸亿 б, Ф) = г^(г) 8“)，(7.74)
где 0 и теперь рассматриваются как параметры. Запишем также
со =自％(7.75)
где kv — волновое число в вакууме. С учетом сделанных допущений уравнение (7.73) принимает вид
爵+ d底尸=0.(7.76)
Когда п — константа, уравнение (7.76) имеет общеизвестное решение вида F = ехр (土i〃^r). Когда п изменяется в простран・ стве, приближенное решение уравнения (7.76) может быть по- *чено, если воспользоваться методом Вентцеля ——Крамерса —— Ьриллюэна (В КБ-методом) [7.8]. Введем замену
F(r) = exp [g (г)].(7.77)
Подставляя это выражение в (7.76), находим
g"⑺+笈(叫2十々疗⑺=0.。78)
Пренебрегая величиной g〃(厂)，в первом приближении метода В КБ получим следующее решение:
gi (г) = 士 ikv \ п ⑺".(7.79)
Решение следующего порядка можно найти, дважды дифференцируя выражение (7.79) по г, подставляя результат для g〃(r) в уравнение (7.78) и определяя новое значение ^(г) в виде
[《⑺了 = 一必⑺& (1 ±鳥雾)•(7.80)
Извлекая квадратный корень из выражения (7.80) и принимая во внимание, что второй член в скобках является малой величиной, так как функция п слабо меняется на расстоянии порядка длины волны, находим
g(尸)=土历储(1 士备霁).(7.81)
После интегрирования этого выражения и подстановки результата в (7.74) и (7.77) получаем решение в следующем виде:
ехр 士 ikv \ и (г, 0, 3) dr
屮亿 е“) - ―——%•(7.82)
Из выражения (7.82) видно, что фаза возмущенного светового поля в точке наблюдения определяется как интеграл от локальных вариаций фазы вдоль пути распространения. Кроме того, амплитуда, рассчитанная ^о втором приближении метода ВКБ, зависит от множителя Vn ・ Однако изменения /г обычно малы и при дальнейшем анализе ролью этого множителя можно пренебречь.
Получив выражение для близкого к сферически-симметрич- ному возмущенного волнового поля от точечного источника в слабо неоднородной среде, перейдем далее к выводу формул, описывающих дифракцию в скалярном приближении в слабо неоднородной среде. Подход к этой задаче будет аналогичен подходу, изложенному ранее Борном и Вольфом (см. стр. 375— 382 в [7.6]), а также Бейкером и Копсоном [7.9] для случая дифракции Кирхгофа в однородной среде.
Вывод исходных соотношений начнем с теоремы Грина
卜奴卜一〜sdv = —\ (U*—V 祭)ds、 (7.83) 好s
где s — некоторая замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, U к V—произвольные функции с непрерывными частными производными первого и второго порядка внутри объема。
на поверхности s, / — нормаль к поверхности, направленная внутрь объема и. В практических расчетах для какой-либо из функций U и V могут выполняться и менее жесткие условия (см. стр. 23 в [7.9]). Если функции U и V удовлетворяют уравнению вида
А%|)+ 及 2居屮=0,(7.84)
т0 подынтегральное выражение в левой части (7.83) обращается в нуль.
Рис. 7.2. Расчет светового поля в точке Р, возбуждае
мого излучающей апертурой А,
Отождествим теперь скалярную функцию U с одной из поля
ризованных компонент электрического поля волны, падающей на поверхность. Нам необходимо найти возмущение этой волны во внутренней точке Р объема v. Под V будем подразумевать функцию 屮，определяемую равенством (7.82). Точку Р при этом необходимо исключить из области интегрирования, так как функция гр в этой точке имеет особенность. С этой целью окружим точку Р сферой малого радиуса е. Тогда правая часть уравнения (7.83) запишется в виде суммы двух интегралов по
поверхности:
S Р
г*曲=6
(7.85)
Рассмотрим случай, когда поверхность s содержит своей составной частью плоскость излучающей апертуры, освещаемую перпендикулярно падающей волной, и круговой сегмент радиуса R с центром в точке Р. На рис. 7.2 эти элементы обозначены через А и В. Обозначим через С малую сферу, окружающую точку наблюдения. Оценим величины поверхностных интегралов в (7.85).
Пусть UA ——амплитуда поля в плоскости излучающей апертуры. Для нормально падающей на апертуру волны основной вклад в производную dU/dt внесут быстрые вариации фазы в направлении нормали к апертуре. Это позволяет записать
dU Л
(7.86)
Проводя аналогичные рассуждения и в том случае, когда точка наблюдения Р незначительно смещена относительно оси апер- тУрь1, получим
唳= 明
eхр （方々，拉 dr ）
(7.87)
=—iknV д.
(7.88)
Объединяя эти результаты, находим следующее выражение для интеграла /л по поверхности излучающей апертуры:
г ехр ( ik \ndr\
IA = — 2彘 \ UA —d/・(7.89)
д
Рассмотрим поверхностный интеграл по малой сфере в окрестности точки Р. При условии малости радиуса (8 <С 1 /k) основной вклад дает первый член в (7.85):
@рexp ( ik \ n dr J
У =(7.90)
При стремлении радиуса сферы к нулю функции Up и dVc/dt могут быть вынесены из-под знака интеграла в (7.85), и интеграл по поверхности для сферы будет равен 4л「2. Итак, в пределе получим
/с = — 4п〃・(7.91)
В заключение рассмотрим интеграл по поверхности В. Покажем, что этот интеграл стремится к нулю при стремлении R к бесконечности. Для очень больших значений 公 в (7.85) можно записать
= -•(7・92)
Далее, поскольку площадь поверхности становится бесконечной при стремлении R к бесконечности, целесообразно записать ds = r2dQ, где d£2 ——элемент телесного угла. В результате интеграл по участку В сферической поверхности станет равным
/в = , dQr[— ikn (r)UB + -^^-] exp (z% ^ndr^. (7.93) в
Этот интеграл обратится в нуль, если
lim r [^^ —决〃⑺ /] = 0.(7.94)
Данное условие следует считать модифицированным условием из/)“сния. Спо сводился к условию излучения Зоммер фельда (см. стр. 25 в [7.9]), когда п(г) является константой Нетрудно показать, каким образом удовлетворяется это условие. Можно ожидать, что по мере стремления г к бесконечности
UB^ А ехр (冲)UB^ А ехр (冲)ехрехрфункция Ub будет все больше приближаться к полю волны, Излучаемой точечным источником. Как будет показано ниже, поле такой волны выражается в виде
UB^ А ехр (冲)
UB^ А ехр (冲)
ехр
ехр
(7.95)
где Л —- амплитуда источника, а ф представляет собой сдвиг фазы между точкой Р и излучающей апертурой. Нетрудно видеть, что выражение (7.95) удовлетворяет условию излучения (7.94).
Предполагая, что модифицированное условие излучения выполняется, и используя выражения (7.85), (7.89), (7.91), (7.94),
находимнаходимг ехрАг ехрА(7.96)(7.96)
находим
находим
г ехр
А
г ехр
А
(7.96)
(7.96)
Из сравнения равенств (7.58) и (7.96) следует, что принцип Гюйгенса справедлив в среде с малыми вариациями показателя преломления, если при суперпозиции учитываются набеги фазы в среде между апертурой и точкой наблюдения. Этот подход иногда определяют как приближение фазового экрана. Подобные результаты были получены Кравцовым и Фейзулиным [7.10], а также Лютомирским и Юрой [7.11].
Экспоненциальный сомножитель в формуле (7.96), так же как это было сделано в предыдущем разделе, целесообразно разложить в степенной ряд. В результате выполнения этой процедуры получаем следующий результат:
2л2лik ехр (ikR0)ik ехр (ikR0)R。R。Л4,Л4,(7.97)(7.97)
2л
2л
ik ехр (ikR0)
ik ехр (ikR0)
R。
R。
Л4,
Л4,
(7.97)
(7.97)
「Де 6九——разность между локальным значением показателя преломления и его возмущенной величиной. Интеграл под знаком экспоненты вычисляется вдоль прямолинейной траектории ме- ЖАУ фиксированным элементом поверхности излучающей апер- турм и точкой наблюдения 尸.
Если и показатель преломления, и распределение поля на источнике являются одномерными функциями, то легко выпол-
нить интегрирование по другим переменным, как это уже дела、 лось ранее. После некоторых преобразований получаем
ехр (决 R。)ехр (决 R。)〃(％) =〃(％) =5^(ЮХ5^(ЮХХехрХехр党 冗党 冗(7.98)(7.98)
ехр (决 R。)
ехр (决 R。)
〃(％) =
〃(％) =
5^(ЮХ
5^(ЮХ
Хехр
Хехр
党 冗
党 冗
(7.98)
(7.98)
где одномерный интеграл от функции би ограничен плоскостью 自之尤，показанной на рис. 7.1.
Гидромеханика
Основной целью применения гидромеханики в рассматриваемых задачах является расчет характеристик газов и жидкостей, которые могут оказать влияние на изменение показателя преломления, а следовательно, оптические свойства среды. Естественно ожидать, что показатель преломления будет зависеть от вариаций температуры, давления, плотности и, возможно, от величины напряженности электрического поля. Для воздуха в широком интервале изменений величин давления, температуры и напряженности электрического поля показатель преломления определяется только плотностью среды через соотношение Гладстона ——Дейля
(九一 1)=依)，(7.99)
где k ——постоянная Гладстона ——Дейля. При стандартных условиях в атмосфере ее численное значение определяется равенством (м—1) с± 3 • 10-4. Учитывая зависимость (7.99), рассмотрим вариации плотности, возникающие в идеальном газе за счет его нагрева распространяющимся лазерным пучком.
Дифференциальное уравнение в частных производных для изменений плотности идеального газа
Неподвижная среда
Ниже дается феноменологический вывод уравнения в частных производных, описывающего вариации плотности идеального газа. Строгий вывод этого уравнения является громоздким, и его изложение может увести нас слишком далеко в сторону от рассматриваемой проблемы. Этот вывод предполагает использование законов сохранения массы, энергии и момента количества движения. Указанные законы гидромеханики описаны Ландау и Лифшицем [7.12] и были использованы применительно к задачам теплового расплывания лазерного пучка Уолесом
й Камаком [7.13]. В работе Хайса [7.14] выполнен довольно подробный анализ ряда упрощений, характерных для начала ной стадии процесса нагрева среды.
Представленный ниже феноменологический вывод уравнения дополняет проведенное выше рассмотрение. Мы воспользуемся 9тим выводом, имея в виду его краткость и более наглядную возможность проследить основные механизмы явления, чем это удается сделать при строгом анализе. Будем интересоваться оЧень малыми величинами возмущений плотности и скорости движения среды. Запишем выражение для плотности через от” носительное сжатие s(r, /) в следующем виде:
p = p°[l+s(r, /)], (7.100)
где ро — невозмущенная плотность, которая считается постоянной величиной. Известно, что при отсутствии нагрева лазера ным лучом изменения плотности среды удовлетворяют акусти* ческому волновому уравнению вида
箱s(r,/) = 0. (7.101)
Подействуем на данное уравнение оператором d/df:
Левая часть уравнения (7.102) имеет удобный для дальнейшего рассмотрения вид. Остается определить соответствующим образом источник внешних сил и ввести его в уравнение (7.102). Чтобы найти это слагаемое, рассмотрим случай медленного нагрева при постоянном давлении и получим соответствующее этому режиму изменение плотности. Под медленной скоростью нагрева мы понимаем такую скорость, для которой членом (1/个)。2/0庐 в уравнении (7.102) можно пренебречь. После того как мы найдем выражение для распределенного источника, можно сохранить слагаемое QI吟®1д俨 в окончательной записи Уравнения. В такой форме полученное уравнение будет правильно описывать изменение плотности как в случае медлен- ног。，так и быстрого режимов нагрева.
Для дальнейших выкладок воспользуемся понятием мощно- сти распределенного источника тепла /^(г,/), приходящейся на единицу объема среды, которая записывается в виде
色(г, f) = dqjdt, (7.103)
q式* t) — энергия, затрачиваемая на нагревание единицы Объема среды, которая определяется в свою очередь соотно-
шением (7.10). Выполняя процедуру, аналогичную использованной при выводе соотношения (7.12), находим
±sEt) = — ^^kg /)・(7.104)
Сопоставляя формулы (7.102) и (7.104), предполагая, что s(r, f) и hv — дифференцируемые функции, и пренебрегая в (7.102) слагаемым, ответственным за акустические волны, получаем формулировку задачи в следующем простом виде:
专(屮―W-嗫■叫(г, 0.(7.105)
Уравнение (7.105) дает правильную математическую формулировку рассматриваемой задачи.
Обычно удельная скорость нагрева выражается через поток поглощаемой световой энергии лазерного луча в виде
% (г, /) = а/(г, /),(7.106)
где а ——коэффициент поглощения, / — интенсивность излучения пучка (Вт・м-2). Однако существуют особые случаи, когда поглощенная энергия временно запасается в возбужденных состояниях, прежде чем перейти в кинетическую энергию движения молекул. Для этого случая уравнение (7.106) следует модифицировать. Мы рассмотрим эту проблему, которая представляет интерес для распространения коротких импульсов, несколько позже.
Однородный поток среды
Преобразуем уравнение (7.105) для случая, когда лазерный луч распространяется в среде, движущейся с постоянной скоростью. Необходимость модификации этого уравнения очевидна, так как оно учитывает изменение плотности в каждой точке только за счет выделения тепла в этой же точке и не принимает во внимание возможный приток нагретого газа из других областей. При этом уравнение (7.105) описывает изменение нагрева во времени для любой точки среды.
Рассмотрим, в частности, распространение лазерного пучка вдоль оси Oz через однородный поток газа, имеющий постоянную скорость движения и。в положительном направлении оси Ох. Уравнение (7.105) справедливо в системе координат, равномерно перемещающейся вместе с газом. Введем новые де” картовы координаты “，и,侬 с помощью соотношений
〃 =% 十%/, V = % 侬=2.〃 =% 十%/, V = % 侬=2.(7.107)(7.107)
〃 =% 十%/, V = % 侬=2.
〃 =% 十%/, V = % 侬=2.
(7.107)
(7.107)
Введем новую функцию
S(〃，и, ш, E)ws(〃一 и。厶 и, w, /).(7.108)
Легко показать теперь, что
备［s (х, 〃 z, * , Z =(票)"爲)"•亿 109)
Следовательно, для того чтобы представить уравнение (7.105) в системе отсчета, относительно которой лазерный луч неподвижен, требуется просто заменить s(x, у, z,/) на S(〃，и,叫/) и оператор d/dt на
宗f导+ %烏・亿и。)
Если теперь переобозначить переменные S, 〃，и, ш, перейдя к прежним переменным s,尤,у, z, то для относительного изменения плотности в движущейся среде получаем уравнение вида 得+。。詛f一i■借+"。詛下(х, g, z, 0 =
=一？^丄屮自(鸠 y,爲 ％),(7.111)
YPo
где координаты 招 у, z теперь фиксированы относительно лазерного пучка. При стремлении и。к нулю, как и следовало ожидать, данное уравнение сводится к уравнению (7.105).
Методы решения задачи для изменения плотности среды
В данном разделе мы кратко изложим принятые упрощения и приближенные методы решения уравнений (7.105) и (7.111). Основным является предположение о постоянстве пространственного распределения температуры в процессе нагрева. В общем случае мы вправе ожидать изменение распределения, так как показатель преломления в среде в процессе нагрева меняется. Однако решение самосогласованной задачи в настоящее время затруднительно, за исключением случаев применения методов численного анализа с помощью ЭВМ. Хотя это основное упрощение не полностью соответствует действительности, оно Тем не менее позволяет объяснить многие эффекты теплового расплывания лазерного пучка. Аналитические расчеты, выполненные в рамках этого упрощения, в большинстве случаев дают результаты очень близкие к данным машинного счета.
Рассмотрим далее три основных метода, которые применяются при решении задач механики жидкости и газа. В первом методе используется разложение решения в ряд Тейлора по вре- Менной переменной, при этом пространственные координаты
рассматриваются как параметры задачи. Второй метод основан на применении интегральных преобразований относительно пространственных переменных. Для одномерных задач в декартовых координатах используется фурье-преобразование, в то время как для задач с цилиндрической симметрией наиболее приемлемым является преобразование Ханкеля. Представляющие интерес для дальнейшего изложения сведения о свойствах указанных интегральных преобразований приведены в приложении к главе. В третьем методе используется математический аппарат функций Грина, построенных для задачи с линейным тепловым источником.
Метод разложения в ряд Тейлора наиболее подходит к случаю постоянного во времени профиля нагрева, заданного, скажем, в момент времени /=0. Когда это условие выполняется, то метод разложения в ряд Тейлора оказывается наиболее простым для решения задачи. Основной недостаток в использовании представления решения рядом Тейлора в окрестности точки / = 0 заключается в том, что это разложение нельзя применить, если функция, описывающая профиль нагрева, или ее вторая производная (а иногда производные и более высокого порядка) не являются непрерывными функциями. Метод разложения в ряд Тейлора имеет также тот недостаток, что его трудно применять для всего временного интервала развития процесса изменения плотности.
В отличие от этого метод интегральных преобразований допускает в известной степени наличие особенностей функции, описывающей профиль нагрева, и дает правильные результаты для всех представляющих практический интерес профилей. Недостатком метода интегральных преобразований является то обстоятельство, что даже для относительно простых профилей нагрева определенные интегралы с конечными пределами не удается выразить через известные функции во всем диапазоне изменения параметров задачи.
Аппарат функций Грина служит дополнением к методу интегральных преобразований, но и при его использовании встречаются аналогичные трудности при вычислении интегралов с конечными пределами интегрирования.
Разложение в ряд Тейлора для начальной стадии процесса
Рассмотрим случай первоначально невозмущенной среды, для которой s = 0 повсюду при / < 0, а луч лазера /(г) включают в момент в, мени f = 0. Исследуем начальную стадию развития процесса, построив разложение в ряд Тейлора при />0. Полученный результат будет справедлив для произвольной скорости движения среды. Предположим также, что вся
поглощенная энергия мгновенно переходит в кинетическую энер- гИ10 тепла. Это позволяет применить выражение (7.106).
Чтобы найти производные по времени и записать ряд Тейбора, воспользуемся дифференциальными уравнениями (7.105) и (7：111), считая, что профиль нагрева — достаточно гладкая функция, и поэтому производная V2/ во всех точках пространства имеет конечные значения. Покажем, что слагаемое, содержащее /з, является первым неисчезающим членом ряда Тейлора. Действительно, если бы какая-либо производная более низкого порядка была отлична от нуля при ? = +0, то производная по времени третьего порядка, появляющаяся в (7.105) или (7.111), имела бы поведение дельта-функции и эти дифференциальные уравнения не могли быть удовлетворены. Чтобы проиллюстрировать это утверждение, выполним интегрирование в (7.105) по времени в малом интервале от / = 0 — до / = =т > 0. В результате получим слагаемые порядка т
(箒)jY(Ws)『，(7.112)
которые исчезают в пределе при /->0. Повторяя интегрирование равенства (7.112) по малому интервалу в окрестности f = 0, легко установить, что соотношения
s 忆+。=L=+° = °(7」13)
выполняются во всех точках пространства, за исключением тех точек, где функция V2/ имеет особенность.
Начальные условия, задаваемые выражением (7.113), справедливы также и для движущейся среды, поскольку применение описанной выше процедуры к уравнению (7.111) дает аналогичный результат.
Используя (7.113) и уравнения (7.105) или (7.111), находим
票 I^^aV2/ (г).(7.114)
Процесс нагрева в начальной стадии описывается первым неисчезающим членом разложения в ряд Тейлора:
s(r, /)=与^^侬\72/・(7.U5)
Нетрудно вычислить и последующий член данного разложе- ння， В движущейся среде мы будем учитывать в разложении Член четвертого порядка по переменной /. Рассмотрим пример "口я случая неподвижной среды. В этом примере вторым по по- РяАку неисчезающим членом разложения является пятый член Ряда Тейлора. Полагая функцию /(г) достаточно гладкой, еще
раз продифференцируем уравнение (7.105) по времени. Вычислив результат при / = +0, получим
/ = +о/ = +о=0./ = +о=0./ = +о(7.116)(7.116)
/ = +о
/ = +о
=0.
/ = +о
=0.
/ = +о
(7.116)
(7.116)
Принимая во внимание равенства вида (7.113), находим, что производная {d4s/dt^t=^Q в пределе равна нулю. Еще раз диф. ференцируя (7.105) по времени и используя соотношение
(7.117)(7.117)(7.114), находим
(7.117)
(7.117)
(7F* 丿 I。—
Подобную процедуру можно повторять неограниченное число раз, получая члены более высокого порядка. Таким образом, если функция / (г) имеет конечные производные любого порядка, то запись решения в виде ряда Тейлора для относительного сжатия неподвижной среды будет иметь вид
s(r，1^^^^^С^Ч{Т^(7・118)
Интересно сравнить относительные величины первого и второго членов в (7.118). Обозначая эти члены через S3 и S5, получим
S5
京=而%炉？•亿и"
Оценим это отношение по порядку величины. Если распреде* ление интенсивности соответствует коллимированному пучку с максимумом интенсивности /0 и характерным поперечным раз
мером а, то можно показать, что
(7.120)(7.121)(7.120)(7.121)汐/(г) 4备
(7.120)
(7.121)
(7.120)
(7.121)
Отсюда получим
S3 一 公 務，
где 力一время пробега звука поперек пучка. Таким образом, для f《/о членами разложения более высокого порядка можно пренебречь, и формула (7.115) должна дать хорошее приближение для s(r, /)•
Поздняя стадия процесса нагрева
Как мы сейчас покажем, поздняя стадия процесса нагрева соответствует моментам времени, превышающим в несколько раз время пробега звука поперек пучка, в условиях постоянного
нагрева. В разд. 7.1.1 и 7.3.1 мы использовали классические методЫ термодинамики, чтобы получить для поздней стадии нагрева основные дифференциальные уравнения, описывающие возмущение плотности среды. При отсутствии течения среды и постоянном продолжительном нагреве было найдено выражение s(r,?)=-若丄a/(f，/)/,(7.122)
YPo
й3 которого следует, что относительное сжатие среды имеет постоянно возрастающее по абсолютной величине и отрицательное по знаку значение. Выражение (7.122) справедливо для малых по абсолютной величине по сравнению с единицей значений s или до тех пор, пока не возникает какой-либо другой эффект типа конвективного выноса тепла из области нагрева.
Естественно ожидать, что решение вида (7.118) перейдет в (7.122) в поздней стадии нагрева, если справедливо разложение в ряд Тейлора.
Поздняя стадия нагрева в среде с однородным поперечным течением
При наличии течения среды необходимо использовать уравнение вида (7.111). Физически ясно, что газ нагревается по мере прохождения через лазерный пучок. Для анализа изменений плотности после затухания переходных процессов положим d/dt = 0. Пусть пучок, распространяясь вдоль оси Oz, испытывает незначительные изменения на интересующем нас участке трассы. Используя выражения (7.106), (7.111), имеем 。。^"[(1 -m2)晶 + 备]s(x,护=一^w2/(х,办(7.123)
где M ——число Маха для свободного потока, задаваемое формулой
М = u%s・(7.124)
Решение уравнения (7.123) существенно отличается для областей, определяемых условиями Л1 > 1 и V 1.
Рассмотрим настолько малые скорости течения, что в урав- ненни (7.123) можно считать Л4 = 0. Это не означает переход к задаче, соответствующей отсутствию всякого течения, так как в Уравнении (7.123) еще остался множитель, учитывающий ско- рО£Ть потока. Полагая М2 = 0, мы пренебрегаем только поправкой второго порядка малости. При этих предположениях урав- ненне (7.123) принимает вид
&-^ V2s (х, у)н- 2^} aW (х, у).(7.125)
При начальном условии s = 0 с наветренной стороны пространственно-ограниченного пучка операторы V2 могут быть опущены в обеих частях уравнения (7.125). Относительное сжатие среды тогда находится прямым интегрированием:
s(K,勿=—а \ / (К y)d" (7.126)
Физически данный результат равнозначен выражению (7.122), если в нем произвести замену / на df, положить dt = dx/v^ а затем выполнить интегрирование по 尤，чтобы просуммировать нагрев порции воздуха по мере ее перемещения поперек пучка.
Решение в квадратурах для одномерного профиля нагрева
В данном разделе мы получим формальный вид решений для двух типов одномерных задач с использованием преобразования Фурье. Под формальным решением будем понимать решение, которое доведено до стадии оценки определенного интеграла. В разд. 7.3.5 будут оценены эти интегралы и рассмотрены некоторые представляющие интерес результаты. Мы рассмотрим два типа профилей нагрева: профиль стационарного нагрева при включении в момент времени / = 0 и профиль, соответствующий источнику, включенному в момент времени /= 0, но произвольной зависимости интенсивности источника от времени.
Стационарный нагрев, включенный в момент времени / = О
Рассмотрим плоский пучок, распространяющийся в направлении оси Oz и не изменяющийся вдоль осей Оу и Oz. Предполагая, что происходит мгновенное нагревание и течение среды отсутствует, с помощью уравнения (7.105) получим
Здесь использована замена
吟父=2 (%, /).(7.128)
Исследуем решение данной системы уравнений в переходной стадии процесса нагрева среды. Вначале целесообразно рассмотреть случай, когда /(%, /) имеет вид
/(х, /) = К(%) 〃⑺， (7.129)
где К(力)описывает пространственную зависимость, а 〃⑴一 единичная ступенчатая функция, определяемая соотношением
(О Y0
吁/>0.(7・13。)
уравнение имеет следующее частное решение: 2(%)=-^^"aк(%)・уравнение имеет следующее частное решение: 2(%)=-^^"aк(%)・(7.131)(7.131)Приступая к решению уравнения (7.127), заметим, что однородной части уравнения (7.127) удовлетворяет произвольная функция переменной 扌=力士 cst. Кроме того, рассматриваемое
уравнение имеет следующее частное решение: 2(%)=-^^"aк(%)・
уравнение имеет следующее частное решение: 2(%)=-^^"aк(%)・
(7.131)
(7.131)
Таким образом, полное решение уравнения (7.127) может быть записано в виде
屮(力，/) = f (% —Cs/) + g(% + %/) —^^-аК(%),/>0.(7.132)
Далее остается найти явный вид функций fog. Легче всего это сделать, используя начальные условия, вытекающие из соотношения (7.109):
屮(招勿70 =宗 2(%，0^+0 = °-(7.133)
Тогда, согласно равенству (7.123), получим
fM + g (х) — К (Х) = о；(7.134)
一片(尤)+ C(%) = 0,(7.135)
причем найденные соотношения удовлетворяются при всех значениях х. Простейшее решение уравнения (7.135) имеет вид f(%)=g(%)・ Подставляя это решение в (7.134), получим
f (%) = g (%) = 丄 аК (%)• (7.136)
Таким образом, полное решение, удовлетворяющее начальным условиям, может быть представлено в форме
Р а，/)= "£“5к (% — ^) + К (% + Cst) - 2^ (%)]・(7.137)
Наконец, относительное изменение плотности находится путем прямого интегрирования по времени
"% ')= ^"а [- 2K (х) / + J К (% - “)" + J К (х + с/) ”]
(7.138)
Выражению (7.138) легко дать физическую интерпретацию. Три слагаемых в правой части представляют собой пару уходящих импульсов, наложенных на профиль, соответствующий поздней стадии нагрева, о которой шла речь ранее. Импульсы имеют вид, аналогичный профилю нагрева, и разбегаются в положительном и отрицательном направлениях оси % со скоростью звука. Спустя несколько времен пробега звука через область нагрева они оказываются за пределами этой области и их влияние на функцию 屮 затухает. Эти импульсы не будут влиять также на дальнейшее изменение плотности среды в пучке, однако останется малая добавка, равная по порядку величины изменению плотности, возникающему за время пробега звука поперек пучка.
Нагрев с временной зависимостью 6 виде коэффициента
Рассмотрим случай, для которого интенсивность источника имеет временную зависимость вида
/(х, /) = К(%)Т(/)・(7.139)
Уравнение (7.127) тогда запишется следующим образом:
屮(％, 2) = _ ^Z± аТ (/)名 К (х).(7.140)
YPodx
Перейдем от (7.140) к уравнению для фурье-трансформанты по координате х (см. приложение), рассматривая время в качестве параметра задачи:
(一次)2Q他 /)一；粤= — X2Z±a(E)2R(九)т(/)・(7.141)
Равенство (7.141) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором X является параметром, а / —— независимой переменной. Необходимо найти решение этого уравнения, а затем, выполнив обратное преобразование Фурье, получить 山(居/).
Начальным условиям
2(%, …о =(禦)ю = 0(7.142)
будут соответствовать идентичные начальные условия для фурье-трансформанты:
0 (儿力=+о =爆)ю = 0.(7.143)
Решение уравнения (7.141), удовлетворяющее заданным усл°“ вням? легко находится методом вариации постоянных [7.15] °
имеет видf
G & /)= ^^"吟成仇)cos (%〃) j T (Г) sin (csV)"—
Lо
— Sin &九/)— Sin &九/)(7.144)(7.144)
— Sin &九/)
— Sin &九/)
(7.144)
(7.144)
Данное выражение можно упростить, придав ему форму
@仇")=一^次仇)m3, /)+ 独他 0],(7.145)
где Mi и М2 равны произведениям csX на слагаемые, содержащиеся в квадратных скобках равенства (7.144). Так, например,
М = — ％九 cos (сД/) \ Т (Г) sin (分〃丿)df.(7.146)
о
После интегрирования по частям легко получается следующее выражение для Mi：
АГ】=-cos (仆〃){[Т (0) - Т (/) cos (с$М)] + J cos (分九，)备山‘ },
(7.147)
где 7(0) — значение временного множителя при f =+0. Интегрируя затем по частям выражение для функции М2 и объединяя результаты, находим
М + М2 = — Т (0) cos QM) + Т (/) —，cos &九(/ - Q]戸 df.о
(7.148)
Чтобы найти функцию 2(%,/), подставим выражение (7.148) в (7.145) и выполним обратное преобразование Фурье. Проиллюстрируем процедуру вычислений на примере расчета одного из слагаемых. Выберем в качестве примера интеграл
ООt
i = -= J dKe-^K (Л) J cos [csK (/ - f)] -^ df. (7.149) -oo0
Меняя местами порядок интегрирования и выражая косинус со* отношением
cos 2 = [exp (/z) + exp (—反)]/2,(7.150)
получим выражение вида tОО
l=； '成'(力次仇)RxP {一次比一仆口 一 CD +
2 J dt 〃2n 厶
+ exp {—/Л [x + cs (/ — Q]},(7.151)
которое в соответствии с теоремой об обратном преобразовании Фурье может быть записано в форме t
』У"齐{K[x — Cs" Г)] + К [% + с§ (/ —，)]}・(7.152)
о
Применяя подобную процедуру вычислений к другим слагаемым, нетрудно получить следующий окончательный результат: 屮(%, /)=-千 а(Т(/)К(%) — 乎[К а - с/) + К (% + //)] -
Все три слагаемых внутри круглых скобок в выражении (7.153) имеют конкретный физический смысл. Первое слагаемое соответствует медленному нагреву с заданым временным коэффициентом Т(/). Второе слагаемое описывает акустический импульс, излучаемый за счет переходного процесса, возникающего в момент включения источника. В случае стационарного во времени нагрева первые два слагаемых дают результат, идентичный полученному ранее выражению (7.137). Из анализа последнего слагаемого видно, что dT/df является непрерывным источником уходящих импульсов нагрева. Фактически второе слагаемое, содержащее Т(0), является частным случаем этого более общего выражения.
Анализ, подобный проведенному выше, можно провести и по отношению к функции нагрева /(х + ^оО- Указанным способом можно построить решение, описывающее развитие процесса во времени при постоянном ветре для источника нагрева, включенного в момент / = 0, в относительной системе координат, движущейся вместе с газом. Несложно затем преобразовать результат в систему отсчета, в которой лазер неподвижен.
Решение в квадратурах для источника нагрева с цилиндрической геометрией
Рассмотрим нагрев в отсутствие течения среды в цилиндрической системе координат г, 0, г, когда пучок распространяется вдоль оси Ог, а радиальный профиль его не зависит от коорди-
натн 0. Медленные изменения поля пучка вдоль оси Oz допусти- мн до тех пор, пока они остаются много меньше изменений поля в радиальном направлении. Если такие изменения существенны, т0 суммарную зависимость от г можно учесть в параметрической форме. Для решения задачи воспользуемся преобразованием Ханкеля. Под формальным решением будем подразумевать результат, выраженный в виде определенного интеграла. Вследствие особенностей решений, получаемых в цилиндрических координатах, здесь не удается записать такие же простые По форме выражения, как (7.137), которые были получены в случае плоских волн. Кроме того, рассмотрим пример с пучком, включенным в момент / = 0 и имеющим постоянную во времени интенсивность.
Решение на основе преобразования Ханкеля для постоянного во времени пучка, включенного 6 момент f = О
Начнем с записи уравнения (7.105) в цилиндрических координатах:
屮g？) = -/⑺，(7.154) v dr r dr W "丿YPo
где ds/dt = x|). Применяя преобразование Ханкеля (см. приложение) к уравнению (7.154), получаем
(备+九找)0他/)= 一県^"m(九)，(7.155)
При нахождении (7.155) предполагалось, что операторы дифференцирования по времени и преобразования Ханкеля можно переставлять. Уравнение (7.155) является обыкновенным дифференциальным уравнением и имеет следующее решение:
® (九，/) = 4 cos (Kcst) + В sin 仇Cs%) — 丫『丄 а/ (九)・(7.156)
Здесь А и В — постоянные, которые находятся из начальных Условий. Если среда вначале не возмущена и постоянный нагревающий импульс включается в момент времени f = 0 +, то Функции 屮，d^/dt, а также их фурье-трансформанты равны нулю ПРИ ^ = + 0. С учетом этих условий из уравнения (7.156) на- ходнм следующее решение:
®& /) = ^1 aF(X) [cos (csM) - 1].(7.157)
Применив теорему об обратном преобразовании (см. приложение) к выражению (7.157), получим
Г
(7.158)(7.158)少亿 0 =—卫二丄。/ ⑺ + \ 九/ 3) cos (csKl) /0 (Лг) d九YPo IJ
(7.158)
(7.158)
Lи
Относительное сжатие среды находится интегрированием выражения (7.158) по времени:
s (г, /) == - ^^ а Г/ (г) / ----- ^ /(Л) sin (с^/) Jo (V) dZ . (7.159)
В итоге решение исходного дифференциального уравнения в частных производных (7.154) сведено к оценке двух определенных интегралов. _Первый интеграл связан с нахождением фурье- трансформанты 7(九)от начального профиля нагрева, а второй интеграл определен в выражении (7.159). Первый интеграл можно оценить для некоторых представляющих интерес профилей нагрева. Второй интеграл обычно не удается оценить аналитически, за исключением ограниченных областей значений переменных г и /.
Легко убедиться, что выражение (7.159) удовлетворяет условиям, наложенным на функцию s(r, /). В частности, s(r, /), ее первая и вторая частные производные при f = + 0 обращаются в нуль. Кроме того, видно, что интеграл в (7.159) для больших значений убывает с увеличением / вследствие роста частоты осцилляций функции sin(Cs九f) в подынтегральном выражении. Этот вывод можно непосредственно проверить, вычисляя частные производные с целью получить разложения решения в ряд по степеням (1//) для поздних стадий развития процесса.
Функция Грина для постоянного во времени пучка, включенного 〃р〃 f = О
Воспользовавшись выражением (7.159), будем искать реше； ние для относительного сжатия в первоначально невозмущенной среде на расстоянии г от бесконечно-протяженного линейного источника, включенного при / = 0. Запишем распределение интенсивности в нормированном виде
/⑺=£里(£ 2/吟.(7.160)
Преобразование Ханкеля от (7.160) записывается в форме
7仇)=
exp (-入2紋/4)2兀
(7.161)
Используем предельное значение выражения (7.161) при =0, что соответствует в формуле (7.160) линейному норми
который был найденкоторый был найденрованному источнику. После подстановки этого результата в (7.159) получим определенный интеграл,-
который был найден
который был найден
Ватсоном (см. стр. 405 в [7.16]):
/0 (V) sin (九cJ)dA = о/0 (V) sin (九cJ)dA = о0,8，（吁一产厂叱0,8，（吁一产厂叱e st < r, %/ = г, %/ > г.e st < r, %/ = г, %/ > г.(7.162)(7.162)
/0 (V) sin (九cJ)dA = о
/0 (V) sin (九cJ)dA = о
0,
8，（吁一产厂叱
0,
8，（吁一产厂叱
e st < r, %/ = г, %/ > г.
e st < r, %/ = г, %/ > г.
(7.162)
(7.162)
Объединяя выражения (7.159) и (7.162), получим формулу для относительного изменения плотности в случае линейного нормированного источника. Решение для такого источника является искомой функцией Грина G(r, t) и имеет вид
—述⑺"ЛЯ(7・163)
G (r, /) = - -^^-a[^ ⑺ 一(2冗%7/优产一产)7] для c^r. (7.164)
где введена дельта-функция Дирака в цилиндрических координатах, которая позволяет восстановить функцию / (г) в выражении (7.159). Из выражения (7.164) видно, что функция Грина содержит дельта-функцию, соответствующую поздней стадии процесса нагрева источником, наряду с уходящей цилиндрической волной, которая имеет особенность в точке г = cst.
Следует отметить по отношению к формулам (7.163) и (7.164), что поскольку функция Грина действует на интенсивность, а не на лапласиан от интенсивности, то выражения (7.163) и (7.164) в строгом смысле не являются функцией Грина оператора, стоящего в левой части уравнения (7.105), а соответствуют оператору, определенному как произведение обратного лапласиана на оператор, стоящий в левой части уравнения
Для распределенного в пространстве источника относитель- ное изменение плотности среды можно получить с помощью суперпозиции. Если считать р и 0 полярными координатами с на- чалом в точке наблюдения г0> то можно записать
csi 2л
s(%, 0=5 dPP \ d8G(p, /)I (р, 0), (7.165) о о
г”： верхний предел интегрирования по р не должен превышать Дае ПОсколькУ за пределами этого интервала функция Грина не
Здесь интегрирование проводится по суммирующему возмущения цилиндру с осью, расположенной в точке наблюдения, таким образом, что каждая из точек внутри этого цилиндра дает вклад в изменение плотности, определяемый величиной функции Грина, в то время как вклад точек, расположенных вне цилиндра, отсутствует.
Решение эталонных задач с плоской геометрией
Ниже будут получены аналитические решения некоторых представляющих интерес задач, основанные на общих формулах, содержащихся в разд. 7.3.3.
Одномерный пучок параболического профиля, распространяющийся в среде с поперечным течением
Запишем профиль интенсивности пучка в следующей форме:
/ (%)=厶(1 一 ％2/出)，I % I v °.(7.166)
Интенсивность 1(х) полагается равной нулю при \х\> а. После подстановки выражения (7.166) в (7.126) и последующего интегрирования получим
S ⑶=-一脸* /。 (% 一 备 + 等)♦ (7・167)
Этим результатом мы воспользуемся позже для оценки эффектов теплового расплывания с профилем нагрева вида (7.166).
Гауссов пучок, включенный при / = О
(7.168)(7.168)Если пучок с гауссовым профилем нагрева /(х)==70ехр (— х2/а2),
(7.168)
(7.168)
начиная с ^ = 0, воздействует на первоначально невозмущенную среду с s = 0, то в этом случае для нахождения s(x,/) можно воспользоваться выражением (7.138). Возникающие при этом интегралы выражаются через интеграл вероятностей:
s (/')="正；:*{ - 2/ ехр (- %2/喲 +
+ f<[erf (¥) — erf (中)]} • (7.169)
Для моментов времени, намного превышающих время пробега акустической волны поперек пучка a/cSi алгебраическая сумма интегралов вероятностей равна 2. В результате относительное
сжатие среды записывается в виде
s(%，9 =(Y叫/eXр(-炉及2)+ *耍[.(7.170)
Остаточное возмущение в данном случае не зависит от %, противоположно по знаку слагаемому установившегося роста и по порядку величины равно изменению плотности, накопленному за время одного пробега звука поперек пучка.
Одномерный плоский пучок, включенный при f = 0
Рассмотрим первоначально невозмущенную среду с s = 0, которая нагревается с помощью пучка следующего вида:
(7.171)(7.171)(4^(0, \х\<а/а’ = 1 о, |х|>а.
(7.171)
(7.171)
Отметим вначале, что для / > 0 величина V2/ принимает нулевые значения всюду, за исключением точек % = ± а, где эта функция имеет особенность. В этой связи формула (7.115) неприменима для описания ранней стадии процесса нагрева, поскольку решение в этом случае нельзя представить в виде ряда Тейлора. Правильное решение здесь может быть получено с помощью формулы (7.138), которая по существу эквивалентна его фурье-преобразованию. Если подставить выражение (7.171) в (7.138), то полученные при этом интегралы легко вычисляются. В качестве примера рассмотрим интеграл, представляющий собой распространяющуюся вправо от наблюдателя волну в области % > 6:
R (招 /) = У (% — csf)成‘，(7.172)
о
D z 八—0 ^ / ^ (x + a)/cSi
R 9)= t /° (% + a)/q,/>(x + a)/Cs・ °・173)
Выражения (7.173) получены при % V a. В области х> а имеем 0,У (% — a)/cSi
R (%, /) = < /0 [/ — (х — a)/cs], (х — a)/cs &/《(％ + a)/c$, (7.174) I 2/qCz/cSi/》(％ +。)/%・
Оставшиеся слагаемые в формуле (7.138) также легко вычис- 普ются, что дает возможность записать конечный результат. Наиболее простой вид имеет решение в области 0 V % V а； симметричные результаты получаются и для области ——a V % V 0・ Н интервале 0 V % V а мы имеем три различные области, ко-
торым соответствуют три выражения для функции s (%,£)・ Обозначим их через si, S2 и S3. Области применимости этих решений оказываются следующими:
si (х, /):0 & / & (— % + a)/cSf
s2(x, /):(— х + a)/cs < / < (x + a)/cSf (7.175)
S3 (%, 0-(% + a)//《Z V 8.
Границы / = (—%+a)/cs и / = (х + а)/с$ физически соответствуют крайним точкам распространяющихся соответственно налево и направо тепловых импульсов. Решения для этих трех об' ластей выражаются в виде
si (招 0 = 0,
S2(% 0 = ^"£1/。(一，+ ^±), (7.176) $30 9 = 1^_а/<)(т + *)・
Локализация областей в плоскости xt показана на рис. 7.3. Как и следовало ожидать, исходя из физических соображений, полученные решения непрерывны на общих границах областей их существования.
В области х> а решение задачи определяется только распространяющимся вправо импульсом. Вновь находим три области и обозначаем решения в этих областях через s* S5 и S6・ Ре‘
t S(l/2)(a/cs)t« a/c8t S(l/2)(a/cs)t« a/c8t =(3/2)("Cs)t =(3/2)("Cs)t = 2a/cst = 2a/cst =(5/2)(a/cs)t =(5/2)(a/cs)Рис. 7.4. Относительное изменение плотности в случае нагрева одномерного плоского слоя как функция координ аты в различные моменты времениРис. 7.4. Относительное изменение плотности в случае нагрева одномерного плоского слоя как функция координ аты в различные моменты времени
t S(l/2)(a/cs)
t« a/c8
t S(l/2)(a/cs)
t« a/c8
t =(3/2)("Cs)
t =(3/2)("Cs)
t = 2a/cs
t = 2a/cs
t =(5/2)(a/cs)
t =(5/2)(a/cs)
Рис. 7.4. Относительное изменение плотности в случае нагрева одномерного плоского слоя как функция координ аты в различные моменты времени
Рис. 7.4. Относительное изменение плотности в случае нагрева одномерного плоского слоя как функция координ аты в различные моменты времени
шения имеют следующие области определения:
(7.177)(7.177)s4(x, /):0 < / < (х — a)/cSi
(7.177)
(7.177)
S5 (%, /)：(尤一a)/0s &/&(% + a)/G
$6 (匕 /)：(% + a)/% & % V 8 •
Эти области приведены на рис. 7.3. Выражения для относительного изменения плотности в каждой из областей имеют вид
J (%，/) = 。,
S5(% ° = ^7 а/。(/ -三冷，(7.178)
S6(芻
Функции $4, S5 и S6, как и в предыдущем случае, непрерывным образом переходят одна в другую на границах областей.
Видно, что в случае, когда профиль нагрева задан выраже- "нем (7.171), все частные производные (dns/dtn) при / = 0 об- Ращаются в нуль всюду, за исключением точки % = а. Это ис- лючает возможность построения ряда Тейлора для ранней ста- процесса нагрева. Отметим также, что на краю пучка х = а
функция s (尤,/) имеет разрыв одного и того же типа для всех значений / > 0:
As (а, /) = $2 (а, /) 一 s5 (а, /) = S3 (а, /) — S6 (а, /) = — ^^~ а/。/.
(7.179)
На рис. 7.4 показана зависимость функции s(%,/) от х в раз^ личные моменты времени.
Плоский параболический пучок, включенный при / = 0
Параболический профиль нагрева даже в одномерном случае представляет большой практический интерес. Рассмотрим профиль нагрева, заданный соотношением
J /0(1 — х2/а2) и (t)t \x\<af
{ 0,х>а. 6180)
В этом случае вычисления оказываются более громоздкими, но могут быть выполнены аналогично изложенным выше. Вновь необходимо найти шесть областей в плоскости х, /, из которых три расположены внутри области нагрева |х| V о и имеют границы, изображенные на рис. 7.3. Введем обозначение
R=^■叫.亿⑻)
Выражения для относительного изменения плотности в различных областях плоскости %, / оказываются следующими. В интервале 0 & % & а имеем
Si (х, /)= —R*"y，(7.182)
когда 0 W / W (а — %) /cs\
(7.183) когда (а — %)/叁 W f W (а + %) /备；и
S3(x, /) = r[-(1 -青)/ +許],(7.184)
когда t^(a + x)/cs. В области x^ а находим
s4 (x, /) = 0(7.185)
для 0 ^t ^(x — a)/cs\
S5a,，)=-^3[(/ -萨)1 氯疗(7演)
для (% — a)/Cs《/&(% + a)/cs； и, наконец,
S6(%,/) = ^R^，(7.187)
когда /N(% + @)/cs・
Из анализа выражений (7.182) — (7.187) следует, что функции s(x,/) и ds/dt непрерывны на границах областей в плоскости %, t. Физически первое из этих условий означает непрерывность функции профиля нагрева (7.180), а второе условие соответствует отсутствию импульсных источников в точках пересечения областей.
Специального внимания заслуживает точка % = а, в которой функции источников дифференциального уравнения для относительного сжатия среды имеют особенности. Из выражений для S2 или S5 в области 0 W f & (% + а) /с$ получаем
s@ f)=4M"i^)・(7」88)
В более поздние моменты времени / ^ (х + a) /cs имеем
s(a, f)=^R〃Cs・(7.189)
Член /2 в выражении обусловливает сингулярность производной d3s/dt2 в точке х = а при / = 0 +• Этим объясняется трудность в построении ряда Тейлора в точке х = а для ранней стадии переходного процесса. С другой стороны, видно, что функции Si, S4 могут быть разложены в ряд Тейлора с использованием соотношений вида (7.115) или (7.118), причем пределы применимости полученных выражений будут такими же, как и у функций si или S4.
Можно дать следующую простую физическую интерпретацию области применимости слагаемого порядка /3 в разложении Тейлора для ранней стадии переходного процесса в случае одномерного профиля нагрева среды. Соотношение (7.138) для ds/df содержит три слагаемых: стационарный профиль нагрева, а также профили нагрева, распространяющиеся налево и направо. Для моментов времени, при которых все три члена отЛИчны от нуля, в ранней стадии процесса нагрева зависимость от времени имеет вид 户.в отсутствие одного из трех слагае- Mbix зависимость вида /3 уже не описывает раннюю стадию переходного процесса. Например, при х — а распространяющийся Влево профиль нагрева возникает только в момент включения источника. Поэтому временной интервал с зависимостью реше- ння вида /з исчезает.
Типичные решения задач с цилиндрической геометрией
Рассмотрим теперь несколько типичных решений задачи для конкретных цилиндрических профилей нагрева.
Ранняя стадия переходного процесса в среде при воздействии гауссова пучка
Пусть первоначально невозмущенная (s = 0) среда подвергается воздействию гауссова профиля нагрева
/ = /о ехр (— г2/а2)(7.190)
для всех / > 0. Считается, что интенсивность пучка распределена в области — оо < г < + 00 и не зависит от z. Лапласиан от выражения (7.190) имеет вид
W =醬(％ — 1) ехр (—产/а?).(7.I9I)
Из формулы (7.115) видно, что относительное сжатие среды в ранней стадии переходного процесса принимает следующий простой вид:
s (г, /) = 4 -^- М ехр (-产//)告(”)・(7.192)
Основываясь на результатах решения дифференциального уравнения для s(r, /), можно показать, что выражение (7.192) имеет тот же порядок величины, что и решение для поздней стадии процесса, если его умножить на (^//0)2, но может оказаться противоположным по знаку. Эти выводы практически сохраняют силу для всех физически непротиворечивых профилей интенсивности.
Гауссов пучок в поперечном потоке
Рассмотрим случай гауссова пучка в постоянном поперечном потоке для поздних стадий процесса нагрева. Пусть переходная стадия процесса завершилась, и изменения плотности описываются выражением вида (7.126). Цилиндрический гауссов пучок удобнее записать в форме
/ (х, у) = /о ехр [—(炉 + у2)/а2].(7.193)
После подстановки этого выражения в (7.126) и вычисления интеграла получим
厶 ехр (— %)嘤U + erf (А)],(7.194)
где erf (力/а)——интеграл вероятностей. Из выражения (7.194) следует, что распределение интенсивности по координате у приводит к идентичной зависимости от у профиля относительного сжатия среды. Как следует из соотношения (7.126), такое поведение профиля сжатия следует ожидать для произвольного распределения интенсивности с разделяющимися переменными % и у・
Гауссов пучок, включаемый при f = О
Начнем изложение с записи преобразования Ханкеля (см. приложение) от гауссова профиля нагрева, заданного формулой (7.190). Проведя вычисления в соответствии с [7.16], получим
了仇)=粤 exp (- Va2/4).(7.193)
Подставляя это соотношение в (7.169), имеем
S(小一与41?⑺/一宅
X，exp (一 Va2/4) sin ©觴 4 (V) d九.(7.196)
Полученный интеграл не удается выразить через простые функции при произвольных значениях г и /. Однако на оси пучка (г = 0) этот интеграл выражается через интеграл Даусона
X
尸(%) = ехр (— %2) \ ехр 俨)山，(7.197)
о
таблицы которого приведены в [7.17]. Воспользовавшись соотношением (см. стр. 302, [7.17])
，ехр (—絞入2/4)sin at» dk = ^F (cst/d)9(7.198)
о
находим, что на оси пучка имеет место равенство
s(0, /) = -^а/°言[^L一尸©//а)].(7.199)
Зто выражение описывает цилиндрически-симметричный гауссов пУчок на оси для всех режимов воздействия по времени. Представляет интерес поведение функции F(cst/a) в случае поздней стадии нагрева. Для больших значений аргумента % имеем
尸⑴―1/(2%)(7.200)
-I-I-2-2-3-3-4-4° J 2345Время° J 2345ВремяРис. 7.5. Изменение плотности на оси гауссова пучка, включаемого при £ = 0, рассчитанное по формуле (7.203). По оси абсцисс отложено отношение длительности оптического воздействия к времени пробега звуковой волны поперек пучка. По оси ординат отложена величина относительного сжатия, отнесенная к величине сжатия, создаваемого за время пробега звуковой волны поперек пучка в поздней стадии нагрева.Рис. 7.5. Изменение плотности на оси гауссова пучка, включаемого при £ = 0, рассчитанное по формуле (7.203). По оси абсцисс отложено отношение длительности оптического воздействия к времени пробега звуковой волны поперек пучка. По оси ординат отложена величина относительного сжатия, отнесенная к величине сжатия, создаваемого за время пробега звуковой волны поперек пучка в поздней стадии нагрева.S &§Й8 堂 ql/qjEnuOHES &§Й8 堂 ql/qjEnuOHE-5-5и, следовательно, для больших временных интервалов—
-I
-I
-2
-2
-3
-3
-4
-4
° J 2345
Время
° J 2345
Время
Рис. 7.5. Изменение плотности на оси гауссова пучка, включаемого при £ = 0, рассчитанное по формуле (7.203). По оси абсцисс отложено отношение длительности оптического воздействия к времени пробега звуковой волны поперек пучка. По оси ординат отложена величина относительного сжатия, отнесенная к величине сжатия, создаваемого за время пробега звуковой волны поперек пучка в поздней стадии нагрева.
Рис. 7.5. Изменение плотности на оси гауссова пучка, включаемого при £ = 0, рассчитанное по формуле (7.203). По оси абсцисс отложено отношение длительности оптического воздействия к времени пробега звуковой волны поперек пучка. По оси ординат отложена величина относительного сжатия, отнесенная к величине сжатия, создаваемого за время пробега звуковой волны поперек пучка в поздней стадии нагрева.
S &§Й8 堂 ql/qjEnuOHE
S &§Й8 堂 ql/qjEnuOHE
-5
-5
s(。，g-3^*。”
一唠斗(7.201)
Отсюда видно, что для моментов времени, всего в несколько раз превышающих время прохождения звуковой волны поперек пучка, достигается относительное сжатие, соответствующее режиму медленного нагрева. Выполнив в (7.196) повторяющееся интегрирование по частям, можно показать, что слагаемое вида 1〃 в выражении (7.201) сохраняется для всех значений г. Фактически это есть первый член разложения интеграла в (7.196) в ряд по обратным степеням 力.
Если определить
/о = a/cs (7.202)
как время пробега акустической волны поперек пучка, то выражение (7.199) можно переписать в форме
s(0, /) = -So[(///o)-F(///o)L (7.203) где So — относительное сжатие среды в поздней стадии процесса нагрева, возникающее за время f = /0- Эта зависимость показана на рис. 7.5.
Однородный пучок радиуса а, включаемый при / = 0 Рассмотрим далее распределение интенсивности, заданное формулой
0<г^а, D = i 0,
Заметим, что V27 обращается в нуль всюду, за исключением точки 广=а, в которой эта функция сингулярна. Преобразование Ханкеля от этого профиля интенсивности имеет вид
а
7(簿=/о，мО (储)分=器乙(叫.(7.205)
о
Чтобы получить относительное сжатие, подставим данный результат в выражение (7.159). Задача опять сводится к оценке однократного интеграла. Подынтегральное выражение в этом случае включает произведение двух функций Бесселя и тригонометрической функции. Интегралы такого типа рассмотрены Ватсоном (см. гл. 13, [7.16]). Их вычисление в общем случае затруднено. Мы рассмотрим точки только на оси пучка, где сравнительно легко получить конкретные результаты. При г = 0 имеем /о(О) = 1 и интеграл в выражении (7.159) принимает вид
厶(厶 G = \ 厶(说)sin (cj* 生. (7.206) о
Следуя Ватсону (см. стр. 405, [7.16]), получим
с$〃а,а> cst> 0,
L 优，a)=L 优，a)=1,а = cst 0,
L 优，a)=
L 优，a)=
.(7.207)
7М,0 V а V cst.
Объединяя выражения (7.159) и (7.207), получим следующее относительное изменение плотности на оси пучка:
s (0, /) = 0, cst < а,(7.208)
s (0, /) = -а/。〃, cst > а. (7.209)
Из анализа производной ds/dt находим, что она обращается в минус бесконечность при t = a/cs и монотонно возрастает до отрицательного значения, соответствующего стационарному нагреву в поздней стадии процесса. Физически такое поведение можно объяснить аддитивной интерференцией при г = 0 и / = =a/cs всех импульсных возмущений, выходящих из точки г = а в момент / = 0 за счет сингулярностей функции V2/. Однако не следует ожидать такого же поведения производной ds/dt в точках, смещенных с оси (г =# 0).
Эту задачу можно решить также, используя метод функций Грнна. Рассмотрим относительное изменение плотности среды при произвольном радиусе г0 для моментов времени
/ & /о =(。一『о)/%,(7.210)
где /о — в данном случае время, за которое цилиндр, ограниченный радиусом「о, достигает границу цилиндра радиуса г = а.
Если теперь воспользоваться (7.204), (7.163)——(7.165), то полу, чим
Интеграл в (7.211) легко вычисляется и приводит к результату s(「o, /) = 0 при / < /0-(7.212)
Таким образом, относительное сжатие в случае профиля нагрева вида (7.204) не меняется до тех пор, пока суммирующий возмущения цилиндр не пересечет границы профиля нагрева. После такого пересечения двойное интегрирование в (7.165) существенно усложняется. Конечный результат получается в виде эллиптических интегралов, которые мы здесь не приводим.
Параболический профиль нагрева, включаемый при f = 0
В заключение рассмотрим невозмущенную среду, которая подвергается воздействию излучения с интенсивностью, опре
деляемой выражением
(7.213)(7.213)八(Io(l-r2/a2)u(f)t
(7.213)
(7.213)
Для этой функции при /• V а м / > 0 находим
V2/ = -4/o/q2.(7.214)
Если взять преобразование Ханкеля от такого профиля нагрева, следуя Снеддону [7.18], то получим
7仇)=岩[攀 /1 (М 一 7о(М].(7.215)
Отдельные слагаемые в формуле (7.125) при X = 0 имеют особенности разного рода. Чтобы устранить эту трудность, объединим их, применив рекуррентные соотношения для функций Бесселя. В результате получим выражение
73)=岩4@ 九)，(7.216)
которое не имеет особенностей в точке X = 0. Отыскание функции s(r, /) сводится теперь к вычислению однократного интеграла того же вида, что и раньше. Требуемое интегрирование можно выполнить до конца, ограничившись задачей вычисления функции s(0, /). Рассмотрим два предельных случая, когда значения параметра cst оказываются меньше или больше величины а. В соответствии с принятой на рис. 7.3 разметкой областей
обозначим эти решения через si и s3. Итак, для функций si и S3 имеем—
Si(0,—伊(7.217)
для cst < а и
^7)一県呜卜一勺存煮亿218)
для Csf > 0, где введено обозначение Т = cst/a. Как и ожидалось, выражение для si совпадает с разложением решения в ряд Тейлора для ранней стадии нагрева. Для поздней стадии нагрева функция S3 (0, /) выражается формулой
S3(0，T)= —^研言 б — })，(7・219)
первый член которой совпадает с выражением, полученным ранее для режима медленного нагрева постоянным источником.
Применим далее к этой задаче метод функций Грина. Вначале введем в выражении (7.213) полярные координаты р и 0 с началом в точке наблюдения г0- В результате имеем
/(Р,е)= /°(1-史注3).(7.22。)
Объединяя выражение (7.220) с (7.163) — (7.165), получим
г 2Л с$£г 2Л с$£J "啰 _p2J "啰 _p2* + p2 + 2rop COS 0* + p2 + 2rop COS 0(7.221)(7.221)
г 2Л с$£
г 2Л с$£
J "啰 _p2
J "啰 _p2
* + p2 + 2rop COS 0
* + p2 + 2rop COS 0
(7.221)
(7.221)
После вычисления интегралов при f & fo находим
s 仇,/) = 一 у ^-a/о/Мп)2,(7.222)
「ne /о определяется формулой (7.210). Таким образом, нами получено выражение для относительного изменения плотности вне оси пучка и установлены границы применимости ранней ста・ 4HH переходного процесса. Так же как и в одномерном случае, зависимость вида /3 в ранней стадии переходного процесса применима до момента пересечения суммирующим возмущения Цилиндром границы профиля нагрева. Этот вывод, конечно, не следует обобщать на случаи произвольного профиля нагрева.
Повторяющиеся импульсы
До сих пор рассматривалась в основном функция нагрева, которая включается в момент времени / = 0 и действует неограниченное время. В этом разделе будет проведен краткий анализ эффектов, возникающих в режиме повторяющихся импульсов нагрева.
Для первого из серии импульсов применимы те же начальные условия, что были использованы для большинства до сих пор рассмотренных решений. В то же время для последующих импульсов начальные условия для функции s(r,/) и ее временных производных будут отличными от нуля, как считалось до сих пор. Рассмотрим относительное изменение плотности после выключения единичного импульса длительностью 介.Обозначим через So(r,/) относительное изменение плотности, индуцированное пучком с интенсивностью /(г), включенным при f = 0 и действующим неограниченно долго. Если луч отключен в момент времени f =厶，то решение для s(「，/) при f > 介 может быть записано, согласно принципу суперпозиции, в виде
s (г, /) = So (г, /) — so (г, / — /J. (7.223)
Обозначим расстояние между импульсами через fo, а их длительность через 厶.Тогда относительное сжатие в момент прохождения n-го импульса определится следующим выражением:
s (г,厶 /г) = Е So [г, / — (j — 1) /о)]—
一 Е So [г, / — (j 一 2) /о — Л]. (7.224) / = 2
В ряде частных случев, используя (7.224), можно получить очень простые формулы. Например, в присутствии течения в среде можно подобрать интервал между импульсами /0> превышающий время переноса среды поперек пучка. В этом случае каждый из импульсов действует на невозмущенную среду, и можно воспользоваться выражениями, которые были получены ранее.
При отсутствии течения среды может происходить накопление вклада от - каждого импульса в режиме поздней стадии нагрева. Влияние переходных процессов будет сказываться в пределах нескольких времен пробега звуковой волны поперек пучка между импульсами.
Наконец, если длительность импульса 厶 оказывается короче времени пробега звуковой волны поперек пучка и функции профиля нагрева являются достаточно гладкими, можно использовать разложение второго слагаемого формулы (7.223) в ряд
Тейлора по времени /:
so (г, % — 幻=so (г, /) + (欝)J/ —川. (7.225)
Объединяя выражения (7.223) и (7.225), получаем формулу для относительного сжатия после воздействия единичного короткого импульса, включенного при / = 0:
s (г，/)=(將)厶=业"，0 九(7.226)
Для повторяющихся импульсов это воздействие можно определить, воспользовавшись формулой (7.224).
Поглощение с временной задержкой процесса нагрева
До сих пор мы считали, что энергия лазерного луча при поглощении мгновенно переходит в кинетическую энергию тепла, что в свою очередь вызывает мгновенное изменение температуры. Однако возможны случаи, когда энергия возбуждения электронных или колебательных переходов при поглощении переходит в тепло за промежуток времени 厶，величиной которого нельзя пренебрегать. Этот эффект является составной частью явления кинетического охлаждения [7.19], которое имеет место, например, при поглощении лазерного излучения на длине волны 10,6 мкм в атмосфере. Мы не будем рассматривать во всех деталях процесс кинетического охлаждения, ограничившись анализом промежуточного накопления энергии с некоторой временной задержкой.
Пусть E(r, f) является запасенной в единице объема энергией за вычетом энергии, перешедшей в тепло. Эта энергия поступает из лазерного пучка со скоростью а/(г, t) и переходит в кинетическую энергию тепла со скоростью Таким образом, мы можем записать
备 £ (г, /) = а/(г, /) 一 争卢(7.227)
и
hv (г, /) = Е(г, f)/h(7.228)
Если накопитель энергии свободен в момент / = 0 и лазер- нмй луч /(г, /) включают в этот же момент времени (/ = 0), то решение системы (7.227) — (7.228) примет вид
t
hv (г, /) = ^ ехр (—书 У (г, Qexp(£)"・ (7.229)
В частном случае, когда интенсивность пучка /о(г) с момента его включения / = 0 остается постоянной, формула (7.229) записывается следующим образом:
hv (г, /) = а/0(г)[1 — ехр (― 〃厶)]・ (7.230)
Наибольшее влияние описанный эффект оказывает на решение для относительного сжатия в ранней стадии нагрева. Из формулы (7.230) следует,, что /^ (г, 0) = 0 и, следовательно, правая часть в (7.114) равна нулю при / = + 0. Если во всей области определения s(г, 0) = 0 и /(г) является достаточно гладкой функцией, то, используя процедуру, описанную в разд. 7.3.2,
находим
S(r‘ °)1^=04- = ^ |f=0+ = 4f |/в0+ = S' L=0+ = °-(7-231)
Чтобы получить решение, вычислим частные производные по времени от выражений (7.105) и (7.230). В результате получим
嘉 L = W 卒叫(D (7.232)
Следовательно, первый неисчезающий член разложения s(r, f) во временной ряд Тейлора запишется в форме
s(~)= $T 亡石咽(г)・(7233)
Таким образом, при наличии промежуточного накопителя поглощаемой энергии первый неисчезающий член разложения оказывается на один порядок выше, чем в случае мгновенного перехода световой энергии в теплоту. Закономерности, относящиеся к поздней стадии процесса нагрева, аналогичны полученным ранее, за исключением присутствия в промежуточном накопителе энергии а^оЛ-
Нетрудно провести обобщение на случай последовательного прохождения энергии через п промежуточных накопителей. Рассматривая п накопителей, можно записать
dE2 一 dt
e1 _e2
dEn Efi—i
儿=普.(7.234)
(7.235)(7.235)Вычислим первый неисчезающий член разложения функции % в ряд Тейлора по переменной t. Для пучка постоянной интенсивности /о(г), включаемого при f = 0, когда все накопители вначале свободны, выполняется соотношение
(7.235)
(7.235)
^г\^а1^
дйфференцируя второе уравнение из (7.234) по времени и учи- 爲вая, что dE^/dt обращается в нуль при / = 0, получим
(7.236)(7.236)
(7.236)
(7.236)
(7.237)(7.237)Чтобы найти функцию s(r,/) пользуемся ранее примененным щий член в разложении s(r,/) определяется соотношениемЧтобы найти функцию s(r,/) пользуемся ранее примененным щий член в разложении s(r,/) определяется соотношениемв ранней стадии нагрева, вос- способом. Первый неисчезаю- в ряд Тейлора по времени /в ранней стадии нагрева, вос- способом. Первый неисчезаю- в ряд Тейлора по времени /
(7.237)
(7.237)
Чтобы найти функцию s(r,/) пользуемся ранее примененным щий член в разложении s(r,/) определяется соотношением
Чтобы найти функцию s(r,/) пользуемся ранее примененным щий член в разложении s(r,/) определяется соотношением
в ранней стадии нагрева, вос- способом. Первый неисчезаю- в ряд Тейлора по времени /
в ранней стадии нагрева, вос- способом. Первый неисчезаю- в ряд Тейлора по времени /
Повторяя операцию п раз, имеем
(г) I __ а/р (г)dtn If =о f 1 ... tn
(7.238)(7.238)-Vo' S (г, /) =С泞2_ 瓦
(7.238)
(7.238)
0产+3YPo S 0产 w
Тогда при условии гладкости функции /(г) для описания ранней стадии нагрева получим следующее выражение:
s(r，/)= *7Г7^Тй^Г^(г)・(7239)
Отсюда видно, что уже для нескольких промежуточных накопителей ранняя стадия нагрева может быть существенно замедлена. Следует отметить, что полученное соотношение справедливо для отрезков времени, меньших, чем интервалы накопления /1, ..., tn и время пробега звуковой волны поперек пучка. Может оказаться, что одно или несколько времен релаксации будут намного меньше остальных, что существенно ограничит область применимости выражения (7.239). Пусть время tk будет намного меньше, чем остальные времена накопления. Исходя из физических соображений, легко показать, что для f》% выражение (7.239) остается справедливым, если п заменить на 孔—1, а /々 в знаменателе опустить. При этом необходимо, чтобы время действия излучения осталось много меньше оставшихся отрезков времени tn и времени пробега акустической волны поперек пучка. Аналогичный вывод можно сделать и в случае, когда имеется несколько коротких времен релаксации, если при 9ToM t намного превышает наибольшее из времен релаксации.
7・3・9・ Эффекты электрострикции
До сих пор мы рассматривали изменения плотности, вызван- HBie только нагревом среды за счет поглощения энергии лазер- но£с излучения. В коротких импульсах лазеров с модулирован- н°й Добротностью достигаются очень большие значения электрического поля, но длительность таких импульсов настолько
мала, что исключается возможность существенных изменений плотности вследствие нагрева среды. В электрических полях возникают силы, непосредственно действующие на молекулы газа. Рассмотрим роль этих сил в задаче распространения лазерного пучка.
Если электрический диполь поместить в сильно неоднородное электрическое поле, то результирующая сила, действующая на диполь, определится (см. стр. 149, [7.4]) выражением вида
F = (p • V)E・(7.240)
Для газа, подобного воздуху, в котором р также пропорционально Е, можно записать
F = n(E・ V)E.(7.241)
Сила всегда действует в направлении локального электрического поля. В электростатике этот член можно записать как V (£2). С точки зрения электродинамики эта запись останется справедлива, если поле светового пучка имеет круговую поляризацию. Можно показать, что для узкого коллимированного пучка с круговой поляризацией сила, действующая на единицу объема среды, возникающая за счет поперечного градиента в распределении интенсивности, определяется соотношением
% =写一/,(7.242)
где п — показатель преломления среды, с — скорость света; сила 匕 усреднена по периоду колебаний и направлениям круговой поляризации светового пучка.
Получим теперь феноменологическое дифференциальное уравнение для относительного сжатия среды таким же образом, как это было сделано в разд. 7.3.1. Прежде всего заметим, что при медленных изменениях в распределении интенсивности инерционные силы оказываются малосущественными и в газе возникает поле давления, которое поддерживает равновесие с объемными силами. Условия равновесия записываются в простой форме
% — Vp = 0.(7.243)
Выразим теперь поле давления через относительное сжатие среды. Для адиабатических процессов в идеальном газе справедливо соотношение
р = const • pY,(7.244)
которое в случае малых изменений р и р сводится к выражению 6p = YpoS・(7.245)
Тогда с учетом условия (7.243) можно записать
% - YPoVs = 0. (7.246)
Объединяя данное соотношение с равенством (7.242), для относительной величины изобарного сжатия среды в поле источника /(г) получим выражение
s(r)= i^/(r)・ (7.247)
Функция s(r, f) в общем случае должна удовлетворять дифференциальному уравнению, учитывающему звуковые волны в среде. Проведя рассуждения, аналогичные изложенным в разд. 7.3.1, можно получить следующее феноменологическое дифференциальное уравнение для относительного сжатия под действием эффектов электрострикции:
①一方亲＞(一)=誌"/(-).(7.248)
Из уравнения (7.105) и (7.248) видно, что эффекты электрострикции можно учесть, вычисляя производную d/dt от правой части уравнения (7.248) и добавляя этот результат к правой части уравнения (7.105). Однако можно поступить еще проще, если сложить решения уравнений (7.105) и (7.248) при условии, что начальные условия задачи выбраны соответствующим образом.
Получим решение уравнения (7.248) для ранней стадии сжатия. Пусть лазерный пучок включен в момент f = 0, н функции s(r,/) и ds/dt обращаются в нуль при / = 0 +. Разложение в ряд Тейлора по времени в окрестности точек, где функция V2/ непрерывна, имеет следующий вид:
九一1w /2s(r))=一一寸京屮/(r)万・ (7・249)
Отсюда видно, что относительное сжатие среды в ранней стадии электрострикции пропорционально /2 в отличие от кубичной зависимости, характерной для теплового расплывания пучка. Это является следствием второго закона Ньютона, в соответствии с которым величины смещений, представленные временным рядом Тейлора, имеют показатель степенной зависимости по / на две единицы выше, чем силы, обусловливающие эти смещения. Так как силы электрострикции возникают одновременно с включением лазерного луча, то смещения в среде зависят от времени как 产.в случае нагревания среды действующе на среду силы зависят от энергетического вклада в единицу объема и вследствие этого растут линейно со временем, обусловливая временную зависимость смещений по закону /3.
Из сравнения решений (7.115) и (7.249) можно также сделать вывод о том, что упомянутые выше силы имеют одну и ту же зависимость от пространственных координат, но действуют в противоположных направлениях. Можно определить момент времени, в который оба эффекта будут взаимно скомпенсированы. Приравнивая выражения для s(r, f) друг другу, получим формулу
山=豆 с(у — 1)， (7.250)
впервые найденную Таунсом. Для воздуха при стандартных условиях п——1 с- 3-10-4, у = 1,4. В этом случае получим, что компенсация происходит при
а/= 3,8- 10~14 с/см. (7.251)
С течением времени возникает эффект теплового расплывания, который становится преобладающим.
Аналогичное сравнение можно провести и с учетом конечного времени перехода поглощенной световой энергии в теплоту. Рассмотрим случай одиночного промежуточного накопителя энергии с временем задержки 介・ Тогда приравнивая выражения (7.233) и (7.249), получим
(7.252)(7.252)(7.253)(7.253)а/2 — 6 (п — 1)^(y— О
(7.252)
(7.252)
(7.253)
(7.253)
Для воздуха при стандартных условиях
弋 1,5 ・ 10~13 с/см.
Полученное выражение дает более поздний момент времени, чем это следует из формулы (7.251), так как эффект теплового расплывания в данном случае будет медленнее нагонять эффект электрострикции.
Приближенные аналитические решения
Вследствие возникающих трудностей задача прохождения высокоэнергетичного лазерного пучка через поглощающий газ не поддается строгому решению в аналитической форме. В этой связи большое число задач теплового расплывания было решено с помощью методов теории возмущений. В приближении теории возмущений предполагается, что первоначальный лазерный луч распространяется в невозмущенной среде, не испытывая искажений. В качестве локального источника нагрева берется ре： зультат произведения интенсивности излучения в однородной среде на коэффициент поглощения. Нагрев в свою очередь вызывает изменения плотности и профиля показателя преломле-
ния. Расчет процесса распространения лазерного пучка в среде с таким профилем показателя преломления соответствует первому приближению теории возмущений. Описанную процедуру можно рассматривать как первый шаг итерационного процесса. Мы предполагаем, что если процесс итерации продолжить до бесконечности, то он приведет к точному, самосогласованному описанию поля лазерного пучка для произвольного момента времени. Нахождение поправок высокого порядка в обозримом аналитическом виде является чрезвычайно сложной задачей. Часто оказываются безрезультатными попытки найти аналитическое решение задачи уже в первом приближении теории возмущений даже для относительно простых пространственно-временных распределений поля пучка. В данном разделе мы приведем ряд примеров, для которых удается найти аналитический вид решений задачи.
Рассматриваются три взаимно дополняющих подхода к задаче распространения. Первый подход основан на геометро-оптическом приближении. Он позволяет проще провести вычисления для большого числа задач теплового расплывания лазерного пучка. Второй подход предполагает применение метода теорий возмущений непосредственно к волновому уравнению для параксиальных пучков. Несмотря на простоту подхода, он позволяет найти аналитические решения лишь для ограниченного числа частных задач. В то же время с его помощью можно получить важные результаты в областях вблизи фокуса, где решения, найденные в приближении геометрической оптики, имеют особенности.
Третий подход к решению задачи о расчете возмущений поля пучка основывается на обобщении метода Гюйгенса — Кирхгофа и называется фазовым приближением. Он является методом волновой оптики, использующим в качестве основы дифракционный интеграл, а не волновое уравнение. С помощью этого метода удается получить простые аналитические выражения лишь для отдельных задач. В то же время дифракционные интегралы сравнительно легко могут быть вычислены с применением ЭВМ.
Общий вид решений в приближении геометрической оптики
В данном разделе полученные в 7.2.4 результаты применяются Для расчета траекторий лучей и изменения интенсивности Узких по сравнению с дистанцией распространения пучков. При изложении методов расчета траекторий лучей и вариаций интенсивности вдоль лучей мы следуем соответственно работам
Келлера [7.20], Авизониса и др. [7.21] и Бергмана [7.22]. Мы модифицировали метод Бергмана с учетом эффекта затухания интенсивности вдоль луча.
Лучевые траектории для параксиальных пучков
Запишем показатель преломления в виде
п(г, /) = по + Xni (г, /),(7.254)
где по — невозмущенное значение, 〃i(r, /) —возмущение, вызванное тепловым воздействием пучка, и 九——параметр разложения в ряд. Будем искать траекторию луча r(s, /, Ro,九)как функцию точки выхода Ro, длины дуги вдоль луча s, времени / и параметра разложения 九.Предполагая, что траекторию луча можно описать рядом Тейлора по X и используя первые два члена разложения, имеем
г (s,厶 Ro,九)=г。(s, /, Ro) + 九门(s, /, Ro). (7.255)
После подстановки выражений (7.254) и (7.255) в (7.51) получим
备[(价 + 九〃i)备(「о + 九□)] = V (n0 + Ал。. (7.256)
Полагая в уравнении (7.256) X = 0 и учитывая, что п0 является постоянной величиной, получаем уравнение вида
(dW)ro==O,(7.257)
решение которого записывается в форме
ro(s,/, Ro) = Ro + su(R。)，(7.258)
где u(Ro)——единичный вектор по касательной к лучу в точке Ro. Таким образом, г0 ——прямолинейная траектория, выходящая из начальной точки Ro. Продифференцируем уравнение (7.256) по X и вновь положим 入 равным нулю. В результате получим уравнение
*6。吟 + 勿需)=^・(7259)
Используя равенство (7.258), перепишем это уравнение в несколько измененном виде
"о ^^~ VMi (Ro + us),(7.260)
где ni(Ro + us)——возмущение показателя преломления, вычисляемое вдоль невозмущенной траектории, V?——оператор поперечного градиента. Для параксиальных лучей поперечные координаты будем считать перпендикулярными к оси пучка. Урав・
нение (7.260) может быть решено путем двукратного интегрирования по s・ В результате имеем
s Р
口 = * , dp \ doV/i (Ro + uo).(7.261)
о о
Выполняя затем в (7.261) интегрирование по частям, находим
□ (s, /, Ro) = * 卜$ — a) V/i (Ro + uo) do. (7.262) о
Эта формула является основной для расчета траекторий лучей.
Изменение интенсивности вдоль лучей
Изменение интенсивности вдоль траекторий лучей можно определить различными способами. Борн и Вольф (см. стр. 117, [7.6]) выражают отношение интенсивностей в двух точках по лучу через криволинейный интеграл от лапласиана, действующего на функцию оптического пути S. Клайн [7.23] приводит аналогичное выражение, используя главные радиусы кривизны каждой точки на траектории луча. Оба этих способа дают строгие результаты в рамках применимости приближения геометрической оптики.
Обычно в задаче теплового самовоздействия пучка мы не располагаем достаточной информацией для вычисления указанных выше интегралов. Однако, имея в виду малость возмущений показателя преломления, воспользуемся для этой цели теорией возмущений. Рассматриваемый ниже способ расчета заимствован из работы Бергмана [7.22].
Исходными соотношениями здесь являются уравнение (7.48), которое мы запишем в виде
(VS)2 = 〃2,(7.263)
и уравнение (7.56), которое с учетом равенства (7.50) может быть представлено в форме
V.[(//n)VS] + a/ = 0.(7.264)
Если сделать подстановку
L = In (//п),(7.265)
То Уравнение (7.264) примет вид
VA • VS + V2s + na = 0.(7.266)
Соотношения (7.263) и (7.266) являются основными уравне- ниямн для рассматриваемой задачи. Как мы поступали ранее в
(7.267)(7.267)теории возмущений, воспользуемся равенством п = /г0 + 九〃 1・
(7.267)
(7.267)
малости, имееммалости, имеемДалее предположим, что функции S и L можно разложить в ряд Тейлора по X. Учитывая члены только первого порядка
малости, имеем
малости, имеем
(7.268)(7.268)S = So + 九 S[,厶=厶0 + XLi.
(7.268)
(7.268)
Члены разложения нулевого порядка находим путем подстановки (7.267) и (7.268) в (7.263) и (7.266), полагая 九=0. Уравнения, соответствующие первому порядку малости теории возмущений, могут быть получены, если вычислять производную по X и затем положить 九=0. Уравнения для нулевого приближения имеют вид
(VS0)2 = n|.(7.269)
VLo • VSq + V2so + «оа = 0.(7.270)
Поскольку По — постоянная величина, то из сравнения полученных соотношений с равенствами (7.263) и (7.266) находим, что приближение нулевого порядка соответствует распространению в однородной среде, и лучи в данном случае представляют собой совокупность прямых линий. Поэтому решение (7.269) может быть записано в виде
VS。= 〃о11,(7.271)
где и ——единичный вектор, ориентация которого остается постоянной вдоль данного луча, но может изменяться при переходе от одного луча к другому. Подставляя выражение (7.271) в (7.270), получим
誉 + 耍+。= 0,(7.272)
где s определяет расстояние вдоль луча.
Нетрудно найти уравнения первого порядка теории возмущений в виде
и • VSj = Пь(7.273)
u ・ V厶=-一 V厶•皿 一(7.274)
где и — единичный вектор, направленный вдоль невозмущенного луча. Все три слагаемых в правой части уравнения (7.274) имеют конкретный физический смысл. Первое слагаемое определяет затухание вдоль луча. Как правило, этим слагаемым в первом приближении можно пренебречь. Второе слагаемое описывает изменение интенсивности вдоль невозмущенной траекто-
рИИ вследствие бокового сдвига близлежащих лучей. Третье слагаемое учитывает изменения интенсивности, обусловленные линзовым эффектом за счет возмущения 九卜 Слагаемые в вира- *ениях (7.270) и (7.274), являющиеся результатом действия оператора Лапласа на функцию S, совпадают с соответствующими результатами, приведенными Борном и Вольфом [7.6, стр. 117]. К достоинствам изложенного метода следует отнести последовательное применение теории возмущений, а также автоматический учет влияния смещений близлежащих лучей.
Уравнения (7.273) и (7.274) по отдельности могут быть решены. Решение уравнения (7.273) записывается в виде
S1 (г) = \ 小(s) ds,(7.275)
о
где s — длина пути вдоль невозмущенного луча, которая отсчитывается от излучающей апертуры или другой поверхности, где заданы начальные условия. Вектор г соответствует произвольной точке на невозмущенном луче. Рассмотрим далее следующий простой пример.
Случай одномерного пучка с гауссовым профилем
Пусть коллимированный пучок с распределением интенсивности
/(%) = /оехр(—%2/а2)(7.276)
распространяется в положительном направлении оси On от излучателя, расположенного в плоскости z = 0. Для простоты предположим, что пучок является бесконечно протяженным по оси Оу, и будем пренебрегать затуханием интенсивности пучка в направлении оси 0之 за счет поглощения среды. Пусть среда Движется перпендикулярно пучку со скоростью и。в положительном направлении оси Ох. Относительное изменение плотности в этом случае определяется выражением (7.126). Вычисляя в (7.126) интеграл, получим
s ⑴=一【I + е^(%/。)]・(7.277)
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, установим связь между показателем преломления и относительным изменением плотности среды. Предполагая, что (п—1) пропорционально плотности среды, имеем
где По ——показатель преломления невозмущенной среды при s = 0. Из выражения (7.278) находим
(7.279)(7.279)П! = (п — По) — (〃о — 1) S.
(7.279)
(7.279)
(7.280)(7.280)Рассчитаем вначале изменения траекторий луча. В рассматриваемой задаче траектории луча можно описать одномерной скалярной функцией u(z, х0), характеризующей величину смещения луча, берущего начало при % = %。, 2 = 0. Невозмущенные траектории 〃о коллимированного пучка задаются следующим простым выражением:
(7.280)
(7.280)
〃0(Z, %о) = %о・
Чтобы найти смещения траекторий, воспользуемся уравнением (7 262), но для этого необходимо иметь выражение для дп^/дх. С учетом (7.277) и (7.279) находим
1 дп\ «о дх1 дп\ «о дх%0 -%0 -^-а/оекр(-炉/a2).^-а/оекр(-炉/a2).(7.281)(7.281)
1 дп\ «о дх
1 дп\ «о дх
%0 -
%0 -
^-а/оекр(-炉/a2).
^-а/оекр(-炉/a2).
(7.281)
(7.281)
Поскольку в рассматриваемом примере 几i не зависит от расстояния вдоль луча, то интеграл в (7.262) легко вычисляется. В итоге имеем
〃 (г, х0) = %。一 号“*7/； а/。exp (—圖а) (7.282)
В рассмотренном приближении все лучи отклоняются навстречу потоку на величину, пропорциональную интенсивности пучка в точке %。и квадрату расстояния от излучающей апертуры. Область применимости теории возмущений ограничена условием малости величины отклонения (и — %о) по сравнению с характерным размером а невозмущенного пучка. Если бы мы включили поглощение в формулу (7.276), то обнаружилось бы, что лучи отклоняются навстречу ветру пропорционально z? при малых г и пропорционально г для значений г, превышающих несколько длин затухания. В линейной по г части траектории угловое отклонение навстречу набегающему потоку определяется выражением
ё = arctg ［色計 号 /。exp (-圖吟｝ (7.283) которое также справедливо при условии малости величины бокового смещения по сравнению с радиусом пучка а.
Вернемся к вопросу о пересечении лучей, который важен с точки зрения применимости приближения геометрической оптики. Из выражения (7.282) следует, что лучи, выходящие из точки 尤о = 0, отклоняются в отрицательном направлении оси Ох сильнее, чем лучи, выходящие из любой точки %о с отрицательным значением координаты. Следовательно, в данном с л у-
чае можно ожидать пересечение лучей в области х0 V 0. Рассмотрим, в частности, отношение приращения отклонения луча прИ фиксированном z к приращению координаты к。：
黑Iz j + * %4 号叫eхр (一圖吩(7.284)
Обращение в нуль данного соотношения будет означать, что близлежащие лучи пересеклись в окрестности точки х0- Из (7.284) следует, что для любого отрицательного значения координаты Хо можно всегда найти значение z, при котором соседние лучи пересекаются. Для этих значений координат профиль интенсивности, рассчитанный в приближении геометрической оптики, не будет соответствовать истине.
(7.285)(7.285)В данном примере распределение интенсивности можно вычислить прямым путем. Поскольку пучок коллимирован, то единичный вектор и в выражении (7.271) всюду параллелен оси Oz и решение уравнения (7.271) будет иметь вид
(7.285)
(7.285)
So (%, z) = п(>г・
Решение уравнения (7.272), удовлетворяющее начальным условиям, запишется в следующей простой форме:
Lo (%, z) = In (/о/«о) — %2/絞(7.286)
Из уравнения (7.273) находим
(7.287)(7.287)Si (%, z) = ^ ni (х, X) d^.
(7.287)
(7.287)
о
С учетом равенств (7.277) и (7.279) выражение (7.287) преобразуется к виду
51(X, 2)= — (По - 1)叫学L [1 + erf (%/。)] 2.(7.288)
Используя равенства (7.286) и (7.288) и отбрасывая в выражении (7.274) слагаемое вида nia, получим
岩=-4"尹号叫祭exp(一炉便).(7.289)
(7.290)(7.290)Теперь можно проинтегрировать это выражение при нижнем пределе г = 0, с произвольной весовой функцией f(尤).Окончательно распределение интенсивности определим из формулы (7.265) в виде
(7.290)
(7.290)
/ = (〃о + 孔 1) exp (J%) exp (厶°.
Интегрируя уравнения (7.289) и используя равенства (7.286) (7.290), находим'
/ (招力=/о ехр (- х2/а2) ехр [- 2 练/- ^^ а/0 礬 ехр(— х2/а^,
(7.291)
Функция f (х) здесь была определена равенством
1 + 几 1 (%)饱=ехр [- / (х)],(7.292)
которое позволяет удовлетворить начальное условие при z = 0.
Так как область применимости теории возмущений ограничена условием малости Li по сравнению с 厶о, то раскладывая вторую экспоненту в выражении (7.291) в ряд Тейлора, имеем / (X, z) = /0 екр (一 炉/02)[ 1 一 2 ^^ ^^ 叫管 ехp (一 炉/喲]
(7.293)
Из формулы (7.293) следует, что в этом приближении возмущение интенсивности нарастает для отрицательных %, при этом необходимо иметь в виду возможность пересечения лучей в области больших z. Заметим также, что возмущение отсутствует при % = 0. Это связано с обращением в нуль величин V2sl и VLo в выражении (7.274) при 尤=0. Физически отсутствие эффектов фокусировки объясняется тем, что показатель преломления при % = 0 имеет точку перегиба. Более того, поскольку градиент функции £0 при % = 0 обращается в нуль, то отклонения луча не оказывают влияния на интенсивность.
Изменение интенсивности в коллимированных пучках
Общая теория возмущений, описывающая изменения интенсивности вдоль траектории луча, существенно упрощается для случая коллимированных пучков. Пусть параксиальный пучок излучается в положительном направлении оси On апертурой, расположенной в плоскости z = 0. Исходное распределение интенсивности /(%,у, z,/) выражается через функцию 厶 в виде 厶)(看弘 0, /) = ln [/0 (%, У, 0, 0/по].(7.294)
Решение уравнений (7.281) и (7.282) дает
So = пог,(7.295)
厶(修 У, г, /)=厶(％, У, 0, /) — az.(7*296)
Получим далее величину пДх, z/, z, /), используя выражение (7.279), и вычислим затем относительное сжатие среды, приме-
няя методы, изложенные в разд. 7.3. Для коллимированного пучка в результате интегрирования уравнения (7.273) имеем
2
S1 (х, у, 2, /) = \ 勿(爲 У、* 0 〃・(7.297)
о
Чтобы вычислить 厶 1, необходимо знать как градиент, так и лапласиан этого выражения. Если предположить, что длина экстинкции (1/а) намного превышает характерный поперечный размер пучка, то можно пренебречь производной по г. Тогда, согласно (7.297), имеем г
vs1 = J(Vrm) d^(7.298)
о
и
V2sl = \9部])曲‘.(7.299)
о
Подставляя эти выражения в уравнение (7.274) и опуская слагаемое nia/ио, получаем
* = - 扌 R \ 5 j Wm dz'・ (7.300) о0
Если проинтегрировать данное уравнение по а, то получится сумма двух двойных интегралов и произвольной функции /(%), которая определяется из начальных условий. В случае коллимированных пучков и в предположении, что ni убывает вдоль трассы по закону ехр(——az), двойные интегралы легко вычисляются. В конечном итоге из соотношений (7.294), (7.296) и (7.300) следует
丿(%,弘 2, /) = 7Л (х, У, /) ехр (— az) X
X ехр {[ 1 — az — ехр (— az)] (V〃 ^т^а + 屮拉力他价)}, (7.301) гае пд и /д (х, у, /) — профили показателя преломления и интенсивности, заданные в плоскости 2 = 0. Полученная формула выражает распределение интенсивности непосредственно через возмущение показателя преломления.
7・4.4・ Приближение геометрической оптики
Для сфокусированных гауссовых пучков
В приближении геометрической оптики при подходе к точке фокуса интенсивность пучка стремится к бесконечности. Вслед- ствне этого методы, изложенные в разд. 7.4.1, применимы в
Рис. 7.6. Пояснение к специальному методу расчета сфокусированных гауссовых пучков: прямолинейные траектории лучей сходятся от апертуры в точку РРис. 7.6. Пояснение к специальному методу расчета сфокусированных гауссовых пучков: прямолинейные траектории лучей сходятся от апертуры в точку РOz апертурой, расположенной вOz апертурой, расположенной впредфокальной области, д0 тех пор пока размер пучка не приближается к дифракционному пределу. Ниже мы изложим специальный метод, позволяющий в рамках геометрической оптики рассмотреть эффекты теплового расплывания в области фокуса гауссова пучка. Как и прежде, мы считаем, что пучок излучается в положительном направлении оси плоскости z = 0. Обозначим
Рис. 7.6. Пояснение к специальному методу расчета сфокусированных гауссовых пучков: прямолинейные траектории лучей сходятся от апертуры в точку Р
Рис. 7.6. Пояснение к специальному методу расчета сфокусированных гауссовых пучков: прямолинейные траектории лучей сходятся от апертуры в точку Р
Oz апертурой, расположенной в
Oz апертурой, расположенной в
через р радиальную цилиндрическую координату, как показано на рис. 7.6.
Заметим вначале, что, согласно (7.45), распределение интенсивности первоначально гауссова пучка остается гауссовым на всей трассе распространения. Однако нормали к волновым фронтам, определяемые соотношением (7.43), изменяют направление по мере распространения пучка. В рассматриваемом методе сходящийся волновой пучок, определенный выражением (7.45), заменяется пучком прямолинейных лучей, сходящихся в точку Р, расположенную за дифракционным фокусом, как это показано на рис. 7.6.
Параметры геометро-оптического пучка выбираются таким образом, чтобы обеспечить радиальное распределение интенсивности в плоскостях излучающей апертуры и дифракционного фокуса, совпадающее с выражением (7.45). В формуле (7.45) удобно ввести обозначения
a2 (z) = w2 (г)/2 и 雷=吟/2,(7.302)
где a (z)——радиус гауссова пучка по уровню убывания интенсивности в е раз, являющийся функцией координаты z; «о — Ра" диус пучка в плоскости излучающей апертуры. Реальный профиль, который мы промоделируем с помощью специального распределения, первоначально имеет вид
/ (р, 0)== /0 ехр(— р2/喲，(7.303)
а в плоскости z = f становится равным
/(р, амЛе^/^ехр]—：^^.(7・304)
Рассмотрим далее траекторию луча b⑶，заданную выражением
瓦n) = Oo(1-z/R),(7.30А
где расстояние R определяется формулой вида
(7.306)(7.306)"1-/(啕
(7.306)
(7.306)
и показано на рис. 7.6. Определенная таким образом траектория луча проходит через точки, соответствующие уровню 1/е распределений интенсивности (7.303) и (7.304). Траектория пересекает ось On в точке Р, обозначенной на рис. 7.6.
Покажем далее, что наш специальный пучок можно построить, используя лучи, выходящие из точек излучающей апертуры и пересекающиеся в точке Р. Перейдем к сферической полярной системе координат г, 6 с началом в точке Р, как это показано на рис. 7.6. Дальнейшее изложение следует разд. 7.4.2. Решение уравнения (7.269) в этом случае записывается в простом виде
So = по (/? —「)・ (7.307)
Функцию So в центре апертуры мы выбираем равной нулю. В соответствии с (7.51) знак функции So выбран таким образом, чтобы она возрастала вдоль луча. Учитывая, что в данном случае dL/ds =——dL/dr, без труда находим решение уравнения (7.272) в виде
厶(г, 0) = аг-21пг + Л (6),(7.308)
где Л (0)——произвольная функция.
В случае параксиального пучка в выражениях (7.303), (7.304) можно использовать аппроксимацию
p = R6.(7.309
Функция 4(6) определяется из граничного условия (7.303) на излучающей апертуре. Тогда, используя соотношения (7.309) и (7.265), находим
% (г, 9) = 1п(/0/п0) + ° & — R) + 2 也依〃)一必擊/唸 (7.310)
Эта функция также дает требуемое распределение (7.304) в плоскости г = /.
Случай стационарного нагрева
Рассмотрим далее случай стационарного нагрева, заданного Сражением (7.122). Используя равенство (7.279), можно записать
% (г, б) = — (п0 — 1)三U "о, ехр [а (г — /?)] (/?/г)2 ехр [—伏毋的丹
(7.311)
Получим функцию Si из уравнения (7.275), выполняя интегри^ рование по координате /:
Г
5! (г, 0)=5^ (/, 0)rfA(7.312)
R
Для простоты ограничимся анализом эффектов теплового расплывания на оси пучка при z = f(『=г。). В этом случае градиент функции Lo обращается в нуль, и, согласно (7.274), необходимо вычислять только лапласиан от функции Si при 0 = 0. В итоге получим
(V25i)e=0 = (/г。一 1) ^-- а/0/ ехр [а (г — R)] R (R〃 一 1) 4/?2/(а0г)2.
°(7.313)
Это выражение может быть подставлено в формулу (7.274), а последняя проинтегрирована и получено распределение 厶1(厂，0) на оси. В итоге полагая г = г0, имеем
/%, 9) = Аехр(— az) (R〃o)2ехр[— 2 •<” " ^^-叫筑2阉.
(7.314)
Чтобы рассмотреть предельный случай, когда расплывание пучка отсутствует, можно считать (по—1) = 0. Тогда выражение (7.314) принимает такой же вид, что и (7.304), если к последнему добавить множитель ехр(—az).
Как обычно, применимость полученных приближений ограничена требованием, чтобы показатель во второй экспоненте оставался малым по сравнению с единицей. Представляет интерес выразить показатель второй экспоненты через набег оптической фазы 6N первоначально невозмущенного пучка 厶。，возникающий за счет возмущения п\{г, 0).
Используя формулу (7.2), находим, что набег фазы в радиа^ нах выражается в виде
Го
6N= 3/〃o) \ П1 (Г； 0)(—办‘)，(7.315)
где k ——волновое число в среде. С учетом соотношения (7.311) для набега фазы на оси пучка получим
6% = —а/。/ За。)，(7.316)
Подставляя это соотношение в равенство (7.314), находим, что интенсивность на оси в дифракционном фокусе записывается в виде、
/ &о, 0) = /0 ехр (— az)低〃0产 ехр (26N).(7.3
9тот результат согласуется с принятым в разд. 7.1.1 предположением о том, что порог теплового расплывания лазерного пучка мо*ет быть оценен из условия 6N ^ ——1 радиан.
Закономерности ранней стадии теплового расплывания пучка
Проведем анализ закономерностей ранней стадии процесса теплового расплывания гауссова пучка рассматриваемого выше вида, используя почти тот же метод, что и прежде. Относительное сжатие для специального распределения интенсивности вычисляется с использованием формул (7.310) и (7.115). Поочередно находятся величины 〃i&, 6), Si (г, 0), LJr, 0) и, наконец, 7(г0, 0). Опуская промежуточные вычисления, которые достаточно очевидны, мы запишем окончательный результат для интенсивности на оси в плоскости z = /:
/(го, 0) = /оехр(—翊依伉产exp[(4/9)6^(勿。)"(7.318)
где
/о = ШМ；(7.319)
力——время пробега звуковой волны через поперечный размер светового пучка, измеренного по уровню 1/е от максимума распределения интенсивности в плоскости дифракционного фокуса (г=е). Заметим, что в формулах (7.317) и (7.318) величина 6^ всегда отрицательна. Результаты, эквивалентные формулам (7.317) и (7.318), были опубликованы Айткеном и др. [7.24].
Теория возмущений в волновой оптике
Основные соотношения
Применим методы теории возмущений непосредственно к волновому уравнению. Будем исходить из уравнения вида (7.34) Для параксиальных пучков. Как и прежде, предположим, что возмущение может быть представлено рядом Тейлора по параметру X. Удерживая члены первого порядка этого ряда, можно записать
п(г, /)=小 +九勿(г, /)(7.320)
и
屮(Г, /) = 5 (Г, /) + 师(г, /)・(7.321)
Подставляя полученные выражения в формулу (7.35) и полагая X = 0, получим
乃必 + 2ik (d^dz) = 0.(7.322)
Сравнение для функции -фь характеризующей вклад первого п°рядка малости, можно найти, если подставить формулы
и (7.321) в уравнение (7.34) и, вычислив производную по X, положить X = 0. В итоге имеем
V浊 + 2ik (d屯/也)+ (2々2侬)％ (г, /) % = 0.(7.323)
Уравнения (7.322) и (7.323) являются основными исходными уравнениями рассматриваемой задачи. В первую очередь необходимо найти решение уравнения (7.323), которое описывает процесс распространения в однородной среде, уделив соответствующее внимание граничным условиям. Затем полученные распределения интенсивности в однородной среде используются для расчета относительного сжатия с применением методов, изложенных в разд. 7.3. Окончательное выражение для функции П1(г, /) может быть получено из соотношения (7.279). При известных функциях 〃i(r, f) и i|)0(r, /) и соответствующих граничных условиях можно решить уравнения (7.323) для i|)i (г, /). Функция 屮1 должна обратиться в нуль в плоскости излучающей апертуры, где поле описывается распределением •фо, а также на бесконечности в соответствии с условиями излучения.
Применение теории возмущений к гауссовому пучку
В качестве примера рассмотрим цилиндрически-симметрич- ный сфокусированный гауссов пучок, включаемый при f = 0. Пучок распространяется от излучающей апертуры, расположенной в плоскости 之=0, в положительном направлении оси Oz. Будем рассматривать позднюю стадию нагрева неподвижной среды стационарным источником, определяя относительное сжатие среды выражением (7.122). Дальнейшее изложение повторяет в сокращенном варианте статью Ульриха [7.25].
Решение уравнения (7.322) для 屮。,удовлетворяющее граничным условиям задачи, было определено выражением (7.40)； Функция /21 (г, /) находится с использованием соотношений (7.45), (7.122), (7.279), (7.302) в следующем виде:
小=一(n0 - 1) 土二上eхp[一产仔 (力].(7.324)
Для дальнейшего изложения удобно ввести обозначение
尸(г, /) = (— 2胪//г。)勿(г, 0 业(г, /)・(7.325)
С учетом (7.325) уравнение (7.323) принимает вид
▽沌 + 2/ (О 屯/&)=尸.(7.326)
Как видно из формулы (7.325), функция F аксиально-симметрична. Следовательно, беря преобразование Ханкеля нулевого
порядка (см. приложение) от уравнения (7.326), получим
一結®1 & 之，/) + 2ik (d^/dz)=戸 & z, /),(7.327)
где, как и раньше, черта обозначает трансформанту Ханкеля соответствующей функции. Уравнение (7.327) является обыкновенным дифференциальным уравнением по переменной г для функции @i, содержащим параметр 九.Поскольку функция 电 в плоскости апертуры обращается в нуль, то здесь же равна нулю и ее трансформанта. Решение уравнения (7.327) может быть найдено методом вариации постоянных (см. стр. 20 [7.15]). В итоге имеем следующий результат:
而仇，г, /) = (— i/2团 \ 戸 & /, /) ехр [霄(У — г)] dz‘・(7.328) о
Вычисляя обратное преобразование Ханкеля от (7.328), находим
ООZ
(г, z, /) = (— i/2k) \ d九九/о 仇力 \ dzrF ® У, /) ехр [崇(/ 一 z)]. оо
(7.329)
Чтобы получить в частном случае 厂=0,之=f аналитическое представление решения, выполним в (7.329) вначале интегрирование по переменной X, а затем по г7. Вычисления довольно громоздки и приводят к следующему выражению:
屮1 (0,九 /) =^a/о绅о (0, 0) \ dp(川十 i)(i +9“
°(7.330)
Для вычисления интенсивности на оси в данном случае требуется определить
/i(0,f,/) = № + 5F・(7.331)
Из выражения (7.40) следует, что
a(0")= 一力^业(0,0)・(7.332)
Поскольку функция i|)o(O, f) является чисто мнимой, а функция Pi представляет собой малое возмущение, то вклад в выражение (7.331) вносит только ее мнимая часть Im(“i). Интеграл в (7.330) удается вычислить, применяя разложение на простые Дроби. В итоге имеем
Im [屯(0, f, /)]=譽' 勺^ П°~о -三/■ a Wo (0, 0)・(7.333)
Используя соотношения (7.331) — (7.333), находим
/ (О, Л /)=(炉喲2)喘(о, о)(1 -粤炉*^与丿 a/о/) . (7.334)
Представляет интерес выразить второй сомножитель в круглых скобках через набег фазы по отношению к невозмущенному пучку. Применяя выражение (7.315), имеем
bN =(々/〃о) \ П1 (0,父)W.(7.335)
о
С учетом соотношения (7.324) находим
62 = 一 ^必嗚_^ 号叫厶(7.336)
В итоге выражение (7.334) может быть записано в виде
/ (0, f, /)=学喘(0,。)[ 1 + 豐 S^]・(7.337)
Вновь убеждаемся, что набег фазы порядка 1 радиана можно считать порогом возникновения эффектов теплового расплывания.
Фазовое приближение
Применим изложенный в разд. 7.2.6 подход для решения конкретной задачи. Выберем такую задачу, которая позволяет сравнительно просто получить наглядные аналитические результаты. ы
Рассмотрим двумерный параксиальный пучок излучаемый апертурой в плоскости 之=0 н распространяющийся в положительном направлении оси On. Аналогично равенству (7.98) обозначим поперечные координаты в плоскостях излучения и наблюдения соответственно через & н %. Иногда через & будет обозначаться также поперечная координата точки в области между апертурой и плоскостью наблюдения, причем различие между ними будет ясно из изложения.
Рассмотрим пучок, сфокусированный на расстоянии f °т апертуры и имеющий распределение поля вида (7.66), которое мы для удобства дальнейшего изложения выпишем еще раз:
〃⑶=〃о (1 一 ^1^ exp [—灌2/2丹. (7.338)
Пусть в среде присутствует поперечное течение со скоростью °。 в положительном направлении оси О&. Рассчитаем распределение амплитуды и интенсивности в плоскости z = /, как это показано на рис. 7.7. Выражение для распределения амплитуды
Рис. 7.7. Фазовое приближение для одномерного сфокусированного пучка.
в фокальной плоскости можно получить из формулы (7.98). Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо найти выражение для интеграла от приращения показателя преломления вдоль прямолинейного луча, заключенного между точкой источника & и точкой наблюдения % в плоскости z = f.
В соответствии с (7.338) распределение интенсивности /(Е, z) на излучающей апертуре записывается в форме
/怎 0)=%(1一0/喲(7.339)
для |自| V а и обращается в нуль вне этой области.
Выражение для относительного сжатия среды в плоскости излучающей апертуры, согласно (7.126), имеет вид
S怎(7・340)
С целью дальнейшего упрощения задачи при оценке интеграла вдоль прямолинейного луча в (7.98) заменим dl на dz, введем зависимость от z в выражении (7.340) только в виде сомножителя ехр(—az) и, наконец, будем считать, что величина а настолько велика, что удовлетворяется условие af》l. Перечисленные предположения будут справедливы в том случае, если основная часть энергии пучка успевает поглотиться прежде, чем излучение приходит в плоскость наблюдения. Применимости полученных таким образом результатов для других условий распространения пока не оценены.
С учетом изложенных предположений, используя выраже- ння (7.279) и (7.340), находим
+(7.341)
Так как полученный результат не зависит от координаты х, тоДальнейшие расчеты существенно упрощаются. Для удобства
вычислений введем величины v, р, q с помощью следующих соотношений:
u=鲁，p = ^^ g=^仇。一1)^^ 唸(7.342)
Подставляя выражения (7.338) и (7.341) в (7.98), полагая затем R。= Д мы получим распределение амплитуды в фокальной плоскости
“ (%) = ^- д/寄 exp ["甘 - 2g/3)]例 X
1
X \ du (1 — y2)1/2 exp [— ipv —切(и — №/3)]・(7.343) —1
Обозначим определенный интеграл в (7.343) через К. Из симметрии подынтегрального выражения следует, что К является действительной функцией переменных р и ^. Оценку интеграла можно выполнить, используя разложение в ряд Тейлора по параметру расплывания пучка q. Ограничиваясь чле« нами разложения второго порядка малости по д, получим
K = Ko + gKi + g2K2,(7.344)
где
1
Ко= \ du (1 — М)1/2 cos (ри),(7.345)
—i i
Ki = —，du (1 —呀/2 sin (ри) ® —絞/3),(7.346)
1
K2= - 4" \ du (1 - M)i/2cos (%) ®2 — 2d/3 + 成/9)・(7.347)
Используя результаты работы [7.7], находим
Ко = К(р)/р・(7.348)
Интегралы Ki и К2 могут быть вычислены, если применить повторное дифференцирование выражений (7.345) и (7.348) по 卩 Используя рекуррентные формулы для функций Бесселя, после вычислений получим
^ = -^lP)[^J2(P)+ /3(Р)/Р],(7・349)
%』/(2р)笈”1 +打(р) + (靑一翳"№)]•(7.350)
В итоге интенсивность в фокальной плоскости запишется в виде /(%)=1〃(%)12 =脸广父.(7.351)
Общий вид аналитического выражения для функции К? яв. ляется громоздким. В этой связи удобно использовать разложение функций Ко, Ki, К2 в ряды Тейлора, ограничиваясь членами второго порядка малости по р. Эти разложения имеют вид
Ко = т/2)(1-р2/8),(7.352)
К[ = —®/2)(5р/24),(7.353)
%=的2)(一报+為円.(7.354)
Построив выражение для Л? с помощью формул (7.352) — (7.354) и удерживая слагаемые второго порядка по р, q или их произ^ ведения, получим
/(%)=子嗚牛"[1 - 4*(。+粤У-綜|・(7.355)
Отсюда видно, что на оси пучка, где р = 0, интенсивность уменьшается по сравнению с однородной средой пропорционально д2. Кроме того, из выражения (7.355) следует, что максимальное значение интенсивности достигается при
р = -5〃6・(7.356)
Таким образом, максимум интенсивности в пучке по мере достижения порога теплового расплывания смещается навстречу потоку. Максимум интенсивности излучения в соответствии с формулой (7.342) достигается в точке
_ 喘評"(п0~ О Н-(7357)
Наличие в выражении (7.355) дополнительного отрицательного слагаемого порядка q2 означает, что для малых q даже максимальное значение интенсивности уменьшается по отношению к интенсивности в вакууме. Величина рассмотренных эффектов теплового расплывания находится в полном соответствии с критерием изменения фазы волны на б^ = 1 радиан.
Методы численного решения задач теплового расплывания лазерного пучка
В настоящем разделе рассматриваются численные методы решения задач теплового расплывания пучков, которые применимы практически для всех временных режимов процесса. Воз-
можность осуществить такой общий подход к решению задачи обусловлена тем, что процесс распространения пучка происходит со скоростью света, в то время как эффекты искажения пучка возникают только вследствие наведенных полем пучка искажений среды и поэтому имеют характерные времена, равные размеру пучка, деленному на скорость звука, или размеру пучка, деленному на скорость конвективного течения. Можно считать, таким образом, что за время распространения света вдоль трассы среда существенно не меняется. Таким образом, процесс искажения поля пучка во времени можно проследить, используя последовательность мгновенных установившихся состояний. Достаточно одного варианта расчета, чтобы промоделировать распространение непрерывного излучения в среде с установившимися возмущениями плотности. Поглощающая среда в этих случаях рассматривается мгновенно замороженной. Пучок распространяется в среде с показателем преломления, который сформировался к данному моменту времени, теряя при этом энергию и изменяя соответственно показатель преломления среды, распределение которого определяет в свою очередь закономерности распространения пучка в последующий момент времени. Гидродинамические расчеты взаимодействия поля пучка и среды следует рассматривать как вспомогательные вычисления, в которых используется текущее значение интенсивности пучка и предшествовавшее пространственно-временное распределение показателя преломления среды. Итогом этих вычислений должно быть текущее значение поля пучка. Некоторые результаты расчетов с помощью ЭВМ изменений поля показателя преломления наряду с решениями отдельных задач будут представлены в настоящем разделе главы. Погрешность численного решения уравнений волновой оптики существенно зависит от выбранного способа аппроксимации уравнений при нх моделировании с помощью ЭВМ-
Уравнение параксиальной волновой оптики в приближении Френеля, согласно (7.34), записывается в следующем виде:
V帥 + 2/嗡 + 炉(£ - 1)屮=0. (7.358)
Здесь величина (п2/^—• 1) зависит от предшествующих значе* ний функции |х|)|2. Поскольку уравнение (7.358) является пара* болическим, то амплитуда $ в плоскости z = Zo + Аг может быть определена, если известны ее значения в предшествовав* шей плоскости г = г0 (см. стр. 82, 83 [7.26]). Обычно в качестве начального условия используется распределение поля в поперечном сечении излучающей апертуры лазерного источника. Кроме того, поле считается равным нулю на большом удалении
от оси пучка. Численное решение уравнения (7.358) можно осуществить, заменяя все производные конечными разностями, а все интегралы суммами. Со времени проведения первых расчете теплового расплывания лазерного пучка на ЭВМ нспользуе- мне численные методы были существенным образом усовершенствованы. Некоторые из этих методов будут рассмотрены ниже.
Техника вычислений
Алгоритм численного моделирования дифференциального уравнения должен удовлетворять двум условиям. Он должен быть устойчивым и обеспечивать сходимость решения к строгому аналитическому, когда выборка пространственно-временных переменных задачи осуществляется должным образом (см, стр. 44, 45 [7.27]). Относительно рассматриваемых ниже алгоритмов существуют доказательства их стабильности и сходимости. Обзор этой проблемы содержится в работе Ульриха [7.2] и статьях, составляющих библиографию [7.2]. Приведем краткий обзор развития улучшенных эффективных методов числен^ ного решения уравнения (7.358).
Перепишем уравнение (7.358) в форме
祭■=尸m},(7.359)
где 2 — функция пространственно-временных координат,尸一 функционал в области определения переменных задачи. Записывая уравнение в таком виде, мы перенесли все операторы поперечных координат в правую часть уравнения. Как будет ниже показано, это позволяет сформулировать алгоритм решения, работающий по принципу последовательного перехода между плоскостями z = const. Уравнение (7.359) дополняется начальными условиями при 2 = 6：
*Ф U, У, 0)=业(х, у)(7.360)
и граничными условиями при 之 > 0:
*ф (% = ± 8, у = ± ОО, z) = 0.(7.361)
В таком виде краевая задача формулируется в [7.28, стр. 226].
В качестве введения к изложению численных методов, используемых в задачах теплового расплывания лазерного пучка, рассмотрим простую разностную схему решения уравнения (7.359). Представим левую часть через конечную разность
则 屮(2 +a2)一屮(2)362)
+胪+胪(7.363)(7.363)Согласно (7.358), функционал 尸(屮)имеет вид 孙
+胪
+胪
(7.363)
(7.363)
Для простоты положим, что в этой точке п = п0 (случай рас
пространения в вакууме), и представим поперечный лапласиан через конечные разности (см. стр. 7, [7.27]):
=伸(％ + А%, У, 2)— 2屮(х, У,力 + W (% — А%, У, »]/(А%)2 +
+ 伸(%, У + Ay, N)— 22 (%, у, z) + 屮(X, у — Ду, %)]/(Ау)2 (7.364)
Лапласиан V》(％, у,之)вычисляется в плоскости z в предположении, что нам известна совокупность значений функции W(x, у, z). В случае распространения пучка в вакууме уравне^ ние (7.358), записанное через конечные разности, имеет вид
屮(修弘 z + Az)=屮(x, У, %) + 壶伸(％ + △%, % %) — 2屮(x, у,力 +
+ 2(% -a%, у, n)]7^ +表伸的 У + A//,2)一22(x, у, 2)+
+ ^(Х9 у — Ay, z]忑严.(7.365)
Данная форма записи позволяет установить некоторые общие .свойства рассматриваемых ниже алгоритмов. Отсюда видно, что совокупность значений амплитуды в каждой точке новой плоскости г = z + Аг выражается через сумму значений этой функ^ ции, вычисленных в соответствующих точках в предшествующей плоскости, и линейную комбинацию прилегающих значений переменных уравнения. Многократное повторение вычислений с использованием данного алгоритма позволяет последовательными шагами приблизиться к фокальной плоскости. Этот про“ цесс называется《прогонкой》
Уравнение (7.365) устанавливает связь между решениями в соседних плоскостях. Полное решение следует из последовательности решений на плоскостях, настолько близко расположенных, что изменение фазовых фронтов между ними остается меньше некоторой заданной величины. Это обеспечивает точность вычислений. Однако для некоторых алгоритмов используется дополнительный, как правило, более жесткий критерий выбора расстояния между плоскостями, согласно которому оно должно быть настолько малым, чтобы исчезала неустойчивость решения за счет погрешности вычислений.
Рассмотрим далее численные методы, обобщающие алгоритм вида (7.365). Эти методы усовершенствованы с целью
обеспечить более точные и более эффективные расчеты с помощью ЭВМ. Они основаны на технике прогонки, представленной в общей форме
必=Z ал匕т + 2 Mn-z Az, (7.366) te 1 i=0
где / ——индекс, относящийся к плоскостям, предшествующим 〃■ плоскости и дающим вклад в результат расчета поля на п-й плоскости. Расстояние между плоскостями Az в свою очередь может быть функцией и. Через 屮〃 сокращенно обозначим функцию 屮(％々,/Л,拉Az). Ниже будут рассмотрены некоторые частные алгоритмы численного решения задач теплового расплывания лазерного пучка.
Если Во = 0, то алгоритм называется явным алгоритмом, так как в этом случае функция ^п присутствует только в левой части уравнения, и решение получается прямым вычислением правой части выражения (7.366). Если ро =# 0, то функция ^п присутствует в обеих частях уравнения. В левой части эту функцию требуется вычислить в точке (%, у,几厶之).В правой части необходимо знать значения функций в соседних точках с координатами (х ± Ах, у 土 Ay, nAz). В итоге задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Такой алгоритм называется неявным. Явные алгоритмы, несмотря на малое время вычислений на каждом отдельном шаге, имеют ограничение на шаг An по критерию устойчивости вычислений, что приводит к необходимости выбирать малый шаг и выполнять большое число шагов. Неявные алгоритмы, как правило, устойчивы по отношению к величине шага Az. Ограничения на выбор шага Az здесь связаны только с требованиями к точности вычислений. Однако неявный алгоритм вычислений, по сравнению с явным алгоритмом, требует больших затрат времени для вычислений на одном шаге, что связано с обращением матриц при решении системы дифференциальных уравнений.
К настоящему времени разработаны различные варианты алгоритмов прогонки. Некоторые из них мы рассмотрим ниже в качестве примеров. Они различаются в основном по способу вычисления производных в поперечном лапласиане. Здесь используются также специальные способы равномерной аппроксимации поперечных производных. Для решения задачи успешно применяются линейные и кубичные сплайны. Подробное изложение этих методов выходит за рамки нашего изложения. Детальные сведения о численных методах можно найти в [7.29].
Кроме разностных и интерполяционных вычислительных схем получает широкое распространение преобразование Фурье с применением алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ)
Выбирая подходящую систему координат и проводя преобразование Фурье по переменным уравнения, как это будет показано ниже, можно получить для фурье-трансформанты обыкновенное дифференциальное уравнение, которое имеет строгое решение. Обратное преобразование Фурье этого решения используется для нахождения искомой функции на новом шаге. Применение алгоритма быстрого преобразования Фурье [7.31] делает данный метод эффективным и конкурентоспособным по сравнению с другими методами.
Описанные выше методы возникли при прямом решении исходного дифференциального уравнения в частных производных и относятся к разностным численным методам. Интегральные методы решения основываются на уравнении (7.358), преобра、 зованном в интегральное уравнение вида
^(x9y,z) = — -^- J ，d%o dy^G (х, у,爲 х0,先，0)业(网，％), (7.367)
где G — решение задачи в случае точечного источника в плоскости излучающей апертуры, т. е. функция Грина. Она является обобщением френелевского приближения функции Грина, которая при распространении в вакууме имеет вид
G (х, у,爲 ％о, Уо, 0) = ^ехр {决[(х — %о)2 + 匂 一 z/0)2W}. (7.368)
В случае нагрева поглощающей среды лазерным пучком функция G изменяет свой вид, и интеграл в выражении (7.367) необходимо оценивать численно. На практике используют [7.32] приближения функции Грина, что накладывает ограничения на величину шага разбиения трассы распространения. Таким образом, преобразование (7.367) последовательно применяется на каждом шаге разбиения, и вследствие этого рассматриваемый метод имеет многие особенности, характерные для методов конечных разностей. В некоторых случаях решения задачи получают, вычисляя интеграл (7.367) с использованием функции Грина для свободного пространства. Полученное таким образом решение для амплитуды используют, чтобы изменить функции Грина, и затем выполняют повторное интегрирование выражения (7.367). Итерационный процесс повторяют до тех пор, пока вновь получаемое решение будет мало отличаться [7.33] от амплитуды на предшествующем шаге итераций.
Показано, что все перечисленные методы дают сопоставимые решения нелинейных задач расплывания лазерного пучка. При этом интегральные методы приводят к более точным решениям в ближней зоне дифракции в то время, как разностные схемы вычислений работают эффективно в дальней зоне. Различия
ме*ДУ наиболее эффективными алгоритмами различных методов незначительны. Поэтому применение конкретного метода является делом вкуса или умения его использовать.
Ниже будут даны примеры применения численных методов дЛя решения уравнения (7.358). Примеры расположены в порядке возрастания сложности. Причем такой порядок совпадает и с хронологической последовательностью разработки методов применительно к проблеме теплового расплывания лазерного пучка.
Кеньей алгоритм
Данный алгоритм был первым среди использованных в задачах нелинейного распространения оптических пучков [7.34]. Как было показано Хармутом [7.35], при численном решении уравнения Шредингера форма уравнения вида (7.358) устойчива, если используется симметричная разность для производной по координате z. Вводя обозначение
曬尸 屮(左 A%, I Ny, m Az)(7.369)
и определяя центральный разностный оператор, выражающий вторую производную, в виде разностей первого порядка:
^Ki-^i-K^(7.370)
центрированной к точке % =々А% ——А%/2, и
А：% = (% —曬M")Q，(7・371)
центрированной к точке х =々А% + А%/2, запишем
或唬尸(А；•嵋L А：蟋>х = (См-</ + CmW*
(7.372)
Подобным образом записывается вторая производная по у, Центрированная в точке с координатами (х, у):
6評N z =(喫--2懼什喫 +)/(Ay)2.(7.373)
Используя теперь эти выражения в уравнении (7.358) наряду с симметричной разностью по координате z, как это требует Устойчивость решения, имеем
2z%鱒与尹•=(吭+%懼"+ f (嚟»嚟/, (7.374)
「Де f (г|)£/ ——учитывающее нелинейность слагаемое, которое вычисляется с учетом вызванных пучком изменений показателя
преломления. Преобразуем уравнение (7.374), группируя в правой части все известные слагаемые:
^ =噥丁 + l^-[^ + ^Ki + f(K z) К /]•(7.375)
Отсюда становится ясен смысл термина «явный алгоритм», который означает, что для перехода к плоскости с индексом (m + 1) мы используем информацию о решениях только в плоскостях (т— 1) и т.
Как было показано Хармутом [7.35], этот вычислительный алгоритм является устойчивым при условии, что сетка переменных Ах, Ду, Az удовлетворяет условию
筝[(ЕУ + 忌)i< 1 •(7.376)
Неявный вычислительный алгоритм
Кранк и Николсон [7.36] разработали алгоритм, получивший широкое распространение при решении задач теплопроводности. Применение этого алгоритма к уравнению (7.358) дает
KV = Ki+ (版)(吸+%(懼# +嚟z)/2 + f (嚟/)曬厂
(7.377)
Заметим, что здесь поле в плоскости % = тДг в слагаемых, описывающих лапласиан, заменено через среднее значение полей в плоскостях mAz и (zn+l)Az. Этот прием обеспечивает подавление роста неустойчивости вычислительного алгоритма. В отличие от явного вычислительного алгоритма, рассмотренного в предыдущем разделе, данный метод устойчив при произвольных значениях отношений Дг/(Дх)2 и Az/(Ay)2. Решение для 屮 в плоскости z = (zn+l)Az находится путем обращения матрицы. Вследствие этого вычисление с использованием данного алгоритма требует больших затрат времени, но за счет абсолютной устойчивости он позволяет уменьшить количество интервалов разбиений трассы и, следовательно, конкурентоспособен по эффективности с явным вычислительным алгоритмом.
Смешанные явные и неявные алгоритмы
Эффективный и устойчивый алгоритм обеспечивает оригинальная двухшаговая процедура [7.37—7.39], которая изменяет характер вычислительного алгоритма с явного на неявный по координате % или по координате у. Причем на первом шаге вы-
числений используется явный алгоритм по % н неявный по у:
2吃=嗯2 +磊(叉鸣? +咿吃)+ f (嚟")啖广(7.378)
Заметим, что здесь разности по координате % содержат толь
ко известные значения поля, в то время как для вычисления
(в) Неявная со встречной прогонкой
Рис. 7.8. Схематическое изображение вычислительной сетки: места пересечений называются узлами и характеризуются тройкой чисел 仅，/, m); оси координат по у или / на рисунке для простоты не обозначены а — явная вычислительная схема, которая содержит данные в узлах плоскостей 2 с номерами т и m — 1, обеспечивающих отыскание решения на плоскости т + 1 (светлый кружок) привлечение данных из узлов, окружающих узловую то?ку (电 Z, m), связано с аппроксимацией второй производной по 尤 централь- н°й разностью; аналогичная схема использования узлов применяется и в направлении оси у. 6 — схематическое представление устойчивой неявной вычислительной схемы Кранка ——Николсона, требующей знания искомой функции в плоскости m + h для которой проводятся вычисления; в этой схеме замкнутая система разностных уравнений решается обращением матрицы или процедурой восстановления, в ——схема неявного разностного алгоритма Со встречной прогонкой и сменой направления осей координат,。力 и Оу, определяющих основное содержание этого алгоритма.
2 = (т + 1) Дг. На следующем шаге вычислений алгоритм становится неявным по координате х и явным по у:
嚟У =懼寸+ (嶽)0嚟# +编瞠寸)+ f (^V)瞠八(7.379)
Здесь порядок действия разностных операторов на известные и неизвестные величины изменен на обратный. Метод двухшаговой процедуры вычислений, безусловно, устойчив. На каждом шаге вычисления сводятся к обращению треугольной матрицы, которое легко осуществить с помощью гауссова метода исключений [7.40]. Изложенный метод получил название метода встречной прогонки по неявной схеме или сокращенно МВП и оказался эффективным инструментом исследования процессов нелинейного распространения волн.
Рассмотренные три логарифма схематически представлены на рис. 7.8.
Решение с применением метода быстрого преобразования Фурье
Как будет показано ниже [см. обсуждение после формулы (7.390)], на каждом шаге можно ввести такое преобразование амплитуды поля лазерного пучка, при котором из дифференциального уравнения в частных производных вида (7.358) исключается нелинейный член. Вместо этого он появляется в фазе новой искомой функции -ф, удовлетворяющей уравнению
2柒碧+ ▽飼=°，(7.380)
которое описывает распространение в вакууме. Выполненное на конечном интервале преобразование Фурье от уравнения (7.380) представляется в виде
® (匕弘力=2 £ &шг ⑵ exp {ipmx + iq册,(7.381)
где величины p® qn равны рт = 2jvh/L, qn = 2nn/L, L — длина вычислительной сетки в плоскости (尤，у), Nx и Ny ——число точек сетки для функции ® по координатам х и у соответственно. После подстановки выражения (7.381) в уравнение (7.380) последнее переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение
2z% 啥•=(* + 呢)%•К)
Если предположить, что величины Cmn известны для заданного значения z, тогда решение для z + Az легко получается путем
Рис. 7.9. Сравнение дифракционных изображений, полученных в лабораторных измерениях (слева) и с помощью алгоритма для расчета теплового расплывания пучка в отсутствие поглощения, видно, что совпадение очень хорошее (фотография издательства «Пергамон Пресс», перепечатана из [7.6]).
прямого интегрирования:
Стп (N + Az)=图拉⑵ exp [-/#№ + 喲]・(7.383)
Амплитуда ® (%, у, z + Az) следует из обратного преобразования Фурье, использующего известные коэффициенты Стп [7.30, 7.41]. Искомое поле восстанавливают затем, вводя нелинейную фазу, как это и будет сделано в дальнейшем. Для полей V，которые могут быть выражены через компоненты Фурье вида (7.381), изменение компонент в процессе распространения волны происходит в соответствии с выражением вида (7.383). Таким образом, поля, которые удовлетворительно представляются через пространственные частоты, лежащие ниже основных частот сетки 1/А% или 1/Ау, можно вычислять, применяя преобразование Фурье. Это означает, что распределения интенсивности лазерных пучков, характеризуемые быстрыми флуктуациями, например, в случае усеченных или затемненных пучков, удовлетворительно рассчитываются с помощью данного алгоритма [7.42]. Иллюстрацией точности расчета сложной дифракционной картины от прямоугольного отверстия являются результаты, представленные на заимствованном из [7.2] рис. 7.9, где проведено сравнение экспериментальных и расчетных данных. Положения нулей и максимумов рассчитываются абсолютно точно.
Экспериментальные величины интенсивности в максимумах приведены в таблице в сравнении с результатами вычислений. Если принять во внимание, что значения интенсивности в некоторых максимумах почти на два порядка меньше, чем в центральном максимуме, то согласие теории и эксперимента следует считать очень хорошим.
Важным фактором, обеспечившим точные расчеты в случае прямоугольной апертуры, явилось использование квадратной вычислительной сетки, ориентированной параллельно излучающей апертуре. В случае круговой или какой-либо другой формы апертуры расчеты оказываются менее точными, так как граница отверстия не согласуется с типом сетки.
Интегральные методы
Если при построении вычислительного алгоритма принять за основу выражение (7.367), то для функции Грина в подынтегральном выражении необходимо использовать аппроксимацию:
Ga (%, У, Z； %1, У1, 21)三 Go (х, у, г; хь yit z) X
X exp｛柒' dz”[%(z'), ys(zf), z']卜(7.384)
где xs и ys — переменные в плоскости, перпендикулярной оси пучка, отслеживающие фокусировку или дефокусировку пучка, Go — функция Грина в вакууме； функция 力 зависит от интенсивности пучка и определяет нелинейный вклад отклонения показателя преломления среды. Чтобы пренебречь амплитудными поправками к функции Go в соотношении (7.384), необходимо наложить ограничение на величину шага по координате z. Как и в случае разностных схем, полное решение получается в результате применения итерационной процедуры.
Оптимизация эффективности вычислений
Точность и скорость вычислений могут быть улучшены различными путями, основанными на разумном выборе системы координат и соответствующей замене переменных. Такие изменения можно заранее провести в исходных уравнениях. Вводимые таким образом системы координат называют «неадаптивными». Более сложной является замена переменных в ходе итерационного процесса, что обеспечивает автоматическую 口。七 стройку выбираемой системы координат к форме поверхностей равных фаз волновых фронтов. Такой подход обеспечивает лучшую точность вычислений за счет устранения быстрых измене-
ний поля в поперечной к направлению распространения пучка плоскости. Этот способ известен как метод «адаптивных» координат и фазовых сдвигов.
Неадаптивная система координат
Рассмотрим, следуя [7.43], пример использования неадаптивной замены переменных в исходных уравнениях, которая оказывается полезной в некоторых расчетах теплового расплывания лазерного пучка. Подобные системы координат применялись также в работе [7.44]. Все эти системы обеспечивают примерно одинаковое увеличение скорости и точности вычислений.
Основная идея рассматриваемой замены координат состоит в том, чтобы в процессе вычислений определять только поправки к амплитуде пучка соответствующей распространению в вакууме и отказаться от прямых вычислений амплитуды в реальной среде. Данная процедура избавляет от необходимости выбирать вычислительную сетку достаточно частой с целью отслеживания высокочастотных фазовых осцилляций, возникающих при фокусировке пучка. Преобразование координат изменяет независимые переменные уравнения таким образом, что искомые величины приобретают другой функциональный вид, но сохраняют при этом численные значения амплитуды в соответствующих друг другу точках пространства обеих систем координат. Новый функциональный вид искомых величин является гладким и легче вычисляется. В процессе вычислений в результате возникающих в амплитуде изменений эта зависимость становится менее гладкой.
Конкретный вид преобразований координат определяется поведением поля сфокусированного гауссова пучка в вакууме. В плоскости 2 = 0 амплитуда такого пучка имеет вид 屮&, %，0)=意ехр[—(爵+ %)/2a2 —/®+ %)/2a (7.385) где а — начальный поперечный размер пучка, f — фокусное расстояние. При заданном распределении поля пучка в начальной плоскости решение на произвольном расстоянии находится после вычисления интегралов в выражениях (7.367) и (7.368): "俄D =君方eхp ((停+犷噎in D^
+ i {arctg 図(1 一 J/f)]} 一 [(炉 + 严)/2D]),(7.386)
где ^ == zlkc^, / = f/ka2t х = х/а, у = у/а.
Квадратичные слагаемые мнимой части показателя экспоненты приводят к высокочастотным осцилляциям амплитуды в области % > а; у > а. Частота этих осцилляций может превысить шаг вычислительной сетки. Поэтому при переходе к новой системе координат ставится цель избавиться от осциллирующих слагаемых путем замены фазы. Кроме того, амплитуда поля возрастает при г->/ за счет сомножителя (ла2/))~1/2. Этот фактор также целесообразно устранить. По мере уменьшения поперечного размера пучка при фокусировке шаг вычислительной сетки необходимо уменьшать с такой же скоростью, чтобы отслеживать распределение интенсивности в сечении пучка без заметных погрешностей. Изложенные соображения приводят нас к следующей последовательности преобразований:
Необходимо исключить квадратичную фазу и амплитуду оставив только действительную часть в выражении для гауссовой амплитуды в вакууме:
S (北応 z)三 V。(9 exp [— 产备 In Qi/2 —
- arctgj^切力(爲底之).
Затем ввести нормированные на размер пучка поперечные координаты:——
元=元/"0； y = y/^/D ;
屮2优,y, 0 = 21 (元応€).
После этого изменить величину шага Az, автоматически выбирая меньшие значения шага в области высокой интенсивности пучка,
d之做=1/D,
23з,贫2)=屮2优g，9.
В результате уравнение (7.358) принимает вид
2(" +卡帥3 + (2 -炉一歹)恥+ 0炉” (М - 1)a=°・(7・387)
Для случая распространения в вакууме, когда 孔2 =孔^ из выражения (7.386) и описанных выше преобразований вытекает следующее преобразованное выражение для поля в вакууме:
G (元玄 2) = exp [-(炉 + g2)/2].
После подстановки этого выражения в уравнение (7.387) получаем, что в вакууме
Таким образом, в преобразованной системе координат амплитуда при распространении пучка в вакууме не меняется, что и определяет целесообразность выбора данной системы преобразований. Если п2 =# по, тогда происходят изменения амплитуды по отношению к ее значениям в вакууме. Использование ЭВМ позволяет очень эффективно выполнить расчеты этих изменений по сравнению с вычислением быстрых изменений фазы, содержащихся в непреобразованных выражениях для комплексной амплитуды поля. Вклад в мнимую часть функции 屮 вносит последнее слагаемое левой части уравнения (7.387). По мере усиления эффекта расплывания пучка возрастают и трудности с вычислением этого вклада. Фазовые фронты искаженной волны начинают существенно отличаться от координатных поверхностей. В этих случаях для обеспечения эффективности вычислений необходимо использовать адаптацию наклона и радиуса кривизны координатных плоскостей к средним значениям этих величин в искаженном волновом фронте. Способ реализации таких преобразований рассматривается ниже. Покажем вначале, каким образом изменения фазы, вводимые на каждом шаге вычислительного процесса, позволяют преобразовать исходное уравнение к простому виду. В свою очередь это дает возможность применять простые и эффективные алгоритмы, такие, например, как рассмотренный выше метод быстрого преобразования Фурье.
Устранение нелинейной фазы
=也(北g,*)ехp=也(北g,*)ехpВ уравнении (7.387) содержатся три типа слагаемых: операторы вида d/dz и V^ (充，歹)，действующие на комплексную амплитуду волны, и произведение искомой комплексной амплитуды на известные функции. Если исключить это последнее слагаемое, то оставшееся уравнение будет описывать процесс распространения в вакууме в прямоугольной системе координат. Легко показать, что такая операция достигается введением новой комплексной амплитуды, сдвинутой по фазе относительно функции “з следующим образом: 少3 (无д,*) =_
=也(北g,*)ехp
=也(北g,*)ехp
°(7.388)
где 之0 ——константа, подлежащая определению. Уравнение (7.387) принимает вид
2,零+ "(刃屯=0,(7.389)
где оператор Н определяется выражением
Н (г) = ехр«
卜式产+尸一2_仇歯提一川血，卜
х密еXp{
+ 幺[炉 + 尸一 2 — ^D 捲一1Ж }.(7.390)
Для выполнения численных расчетов необходимо конкретизировать выражение для оператора "(2). В соответствии с [7.45] "(2) выбирается таким образом, чтобы действовать в плоскости, равноотстоящей от плоскостей 2 и 2 + А2. Кроме того, нижний предел интегрирования 备 выбирают равным z + + А2/2. В результате оператор "(2) принимает вид Н (f) = v^, и уравнение (7.389) становится аналогичным уравнению, описывающему распространение в вакууме. В итоге, операции на каждом шаге вычислений сводятся к следующему: а) исключение нелинейной фазы в плоскости z с помощью соотношения (7.388); б) решение уравнения (7.389) на участке трассы от z до 之 + Az; в) замена фазы на плоскости 2 + Az в соответствии с равенством (7.388). Решение уравнения (7.389) получают рассмотренными ранее способами, такими, как явный и неявный разностные алгоритмы, метод встречной прогонки, быстрое преобразование Фурье.
Адаптивная система координат
Неадаптивные замены неизвестной функции и координат, с помощью которых получается уравнение вида (7.387), можно обобщить на случай, когда априорная информация о радиусе кривизны и наклоне фазового фронта как функции расстояния вдоль трассы отсутствует [7.46]. С этой целью на каждом шаге вычислений в комплексной амплитуде устраняются усредненные значения наклона, радиуса кривизны и поперечного масштаба вариаций фазового фронта. В некоторой плоскости 2 фаза Ф комплексной амплитуды поля, измеренная относительно экви- фазной поверхности Фо локальной системы координат, имеет вид
①(%, У)=①о + V①•厶， (7.391)
где г — вектор в системе координат, совмещенной с волновьш фронтом. С целью минимизации влияния градиента фазы необходимо устранить наклон и фокусировку в комплексной ампли-
туде поля, имеет видтуде поля, имеет видДо внесения соответствующей коррекции амплитуда
туде поля, имеет вид
туде поля, имеет вид
*ф = 4е』・
Коррекция осуществляется путем ввода наклона и дополнительной кривизны, компенсирующих соответственно линейный и квадратичный набеги фаз по координатам %, у. Скорректированная таким образом амплитуда имеет вид
也=4е'%т ^^уУ^^^уУ)=孤-丝 (7.392)
где ах, а(/, рх, ру определяются из условия минимизации градиента V①'，усредненного в плоскости вычислений. Минимизация проводится с весовой функцией, равной распределению интенсивности пучка, так что кривизна и наклоны фронта в точках максимальной интенсивности вносят более существенный вклад. Минимум функционала:
dxdy\^ (х, у) |2 [VOZ (х, у)] = минимумdxdy\^ (х, у) |2 [VOZ (х, у)] = минимум(7.393)(7.393)
dxdy\^ (х, у) |2 [VOZ (х, у)] = минимум
dxdy\^ (х, у) |2 [VOZ (х, у)] = минимум
(7.393)
(7.393)
находится путем приравнивания к нулю частных производных от выражения (7.393) по переменным а и р. В итоге получаются четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Решения этих уравнений подставляют в (7.392), чтобы скомпенсировать линейную и квадратичную фазы. С целью сохранения формы записи исходного дифференциального уравнения в частных производных используются также преобразования сжатия или растяжения координат и сдвига начала системы координат. Это позволяет не изменять вычислительный алгоритм на протяжении всей трассы. Теперь мы можем сформулировать схему расчета, в основу которой положено уравнение (7.387) в обобщенном виде. Для осуществления автоматической адаптации функцию 0(2) необходимо определять в процессе счета.
Обобщение уравнения на этот случай (7.387) записывается следующим образом:
22 % I 1 02胱1 *也
+ [2 (Y* + Y/-f% (/ -%0)? - fy (yf - %产]也 +
+ "瓦方丁兴出(济一 1)也=0, (7.394)
где Dx, Dy наряду с у%, уУ1 fx, fy определяются на каждом шаге вычислений через ах, а^, 0%, 8次 Несмотря на то, что данный алгоритм требует большего объема вычислений на каждом Щаге, он лишь незначительно увеличивает время счета по сравнению сЛтеадаптивным алгоритмом. Это связано с сокращением числа узлов вычислительной сетки как в поперечной плоскости,
так и вдоль трассы, потому что используемые здесь координаты поверхности лучше соответствуют фазовым поверхностям искаженного поля пучка.
Результаты расчетов
Мы рассмотрели различные методы расчета теплового расплывания волнового пучка путем последовательных переходов от плоскости излучающей апертуры лазера в плоскость наблюдения. При этом предполагалось, что одновременно выполняется соответствующий каждому шагу расчет поля показателя преломления. Вернемся теперь к анализу различных режимов нагрева среды, в рамках которых определяется относительное сжатие среды и соответствующие этому сжатию изменения показателя преломления в процессе теплового расплывания пучка. Как следует из разд. 7.3, удобно выделить различные временные стадии воздействия пучка на поглощающую среду. Мы проведем ниже обзор алгоритмов и результатов расчетов гидродинамического отклика среды в каждой из временных стадий процесса нагрева.
Ранняя стадия процесса нагрева среды
Эта временная стадия занимает промежуток между момен« том времени включения лазера и временем достижения устойчивого состояния за счет какого-либо из механизмов уноса тепла, например, конвекции или теплопроводности. В пределах этого временного промежутка можно дополнительно выделить характерные для процесса интервалы в зависимости от того, превышает длительность лазерного импульса время пробега акустических волн поперек пучка или она оказывается намного короче этого времени.
Ранее с целью получения аналитического выражения для индуцированных пучком изменений плотности в каждом из режимов нагрева среды использовались соответствующие асимптотические представления полной линеаризованной системы уравнений гидродинамики вида (7.115) и (7.122) соответственно для короткого и длинного лазерных импульсов. При численном решении задачи можно отказаться от асимптотик, используя прямое интегрирование дифференциального уравнения в частных производных (7.105) с помощью ЭВМ [7.47]. В итоге режимы короткого и длинного импульсов можно изучать непрерывно без применения аппроксимаций. В некоторых из работ [7.48] ℃У， ществляется моделирование с помощью ЭВМ самих гидродинамических уравнений сохранения массы, момента и энергии.
Рис. 7.10. Численные расчеты эффекта теплового расплывания короткого лазерного импульса, иллюстрирующие уменьшение плотности энергии на оси пучка, а также его уширение или «расплывание» в крыле исходного распределения: сплошная кривая характеризует начальный гауссов профиль; распределения интенсивности в последующие моменты времени показаны кривыми с уменьшающимися значениями интенсивности на оси.Рис. 7.10. Численные расчеты эффекта теплового расплывания короткого лазерного импульса, иллюстрирующие уменьшение плотности энергии на оси пучка, а также его уширение или «расплывание» в крыле исходного распределения: сплошная кривая характеризует начальный гауссов профиль; распределения интенсивности в последующие моменты времени показаны кривыми с уменьшающимися значениями интенсивности на оси.qunoHBnlJHaEHnqunoHBnlJHaEHn
Рис. 7.10. Численные расчеты эффекта теплового расплывания короткого лазерного импульса, иллюстрирующие уменьшение плотности энергии на оси пучка, а также его уширение или «расплывание» в крыле исходного распределения: сплошная кривая характеризует начальный гауссов профиль; распределения интенсивности в последующие моменты времени показаны кривыми с уменьшающимися значениями интенсивности на оси.
Рис. 7.10. Численные расчеты эффекта теплового расплывания короткого лазерного импульса, иллюстрирующие уменьшение плотности энергии на оси пучка, а также его уширение или «расплывание» в крыле исходного распределения: сплошная кривая характеризует начальный гауссов профиль; распределения интенсивности в последующие моменты времени показаны кривыми с уменьшающимися значениями интенсивности на оси.
qunoHBnlJHaEHn
qunoHBnlJHaEHn
Если распределение интенсивности в поперечном сечении лазерного пучка обладает круговой симметрией, то в ранней стадии нагрева задача распространения также будет обладать цилиндрической симметрией, так как в этом режиме вынужденная и свободная конвекции не успевают нарушить симметрию распределения. В целях экономии машинного времени в задаче распространения моноимпульсного излучения было использовано симметричное распределение интенсивности, которое позволило ограничиться тремя переменными г, z, /. Как указывалось ранее, расплывание гауссова пучка импульсного излучения проявляется в виде его уширения и уменьшения интенсивности на оси пучка.
Самосогласованное численное решение задачи теплового расплывания подтверждает эти закономерности. На рис. 7.10 представлены типичные результаты численных расчетов радиального распределения интенсивности в фокальной плоскости первоначально гауссова пучка в различные моменты времени после включения лазерного импульса.
Переходная стадия процесса теплового расплывания пучка
Решение задачи в переходном режиме можно получить, применяя различные численные методы. Один из возможных подходов состоит в решении изобарического уравнения (7.104) для относительной плотности при учете поперечного течения среды со скоростью ио в направлении оси Ох:
导 s (г, /) + % 誥 s (г, /) = — ^1— а/ (г, 0,(7.395)
которое выполняется с помощью численного интегрирования вдоль характеристик. Второй способ заключается в вычислении с помощью ЭВМ интегрального представления решения уравне・ ния (7.395), записанного в виде
t
S(X, У, d /) = —(Y — 1)訂 \ / (% — Uo (/ —，)，у,之，，)".(7.396)
о
В качестве еще одного из возможных подходов можно указать на использование фурье-преобразования в уравнении (7.395) с последующим вычислением относительного сжатия среды путем применения алгоритма быстрого преобразования Фурье.
Выражение (7.396) определяет относительное сжатие среды в момент времени 厶 Чтобы построить вычислительный алгоритм, запишем аналогичное выражение для времени f + Af и выразим его через значение относительного сжатия среды в предшествующие моменты времени:
s(X, у, w z + А/)=—(Y—1) а/(уро) \ /[%—и()(/+А/—/), у, г, tf]df= о
=s (% — ио Д/, у, г, /) —(Y — 1) a/(YPo) X
X ， I[K-v.(t + M-t\ у, z, f]df. (7.397) t
Нам необходимо знать относительное сжатие в момент времени / + Д/, чтобы вычислить соответствующее ему значение интенсивности I(t + Д/). Но при этом требуется найти величину /(/) в предшествующие моменты времени. Такая ситуация возникает, например, когда вычисляют выражение (7.397) по методу трапеций
s (х, y,z,t + Д/) = s (% — % Д/, у, а, /)—
—(Y — 1) а Д//(2ур0) [/ (%, y^J + Д/) + /(% — % Д/, у,之，川.(7.398)
Заметим, однако, что на этой стадии вычислений функция /(х, у, г, / + А/) остается неизвестной. Для ее определения необходимо использовать выражение для s(力,у, z, f + А/)・ Для оценок /(%, у, z, f + Af) применяют разностную схему с производными по времени:
/ (招 У, 2, / + А/) * / (%, У, г, /) + м""'爲生纟 + ・.・ Q
а / (%, у, 2, /) + J [/(X,弘 2, 2 + А/) — /(%, у, Z, / — А/)].(7.399)
Такая разностная форма записи производной по времени является существенно экстраполяционной и может привести к неустойчивости счета. Если происходят быстрые изменения интенсивности по времени, то следует соблюдать осторожность при выборе временной сетки, задавая ее достаточно частой, чтобы обеспечить устойчивость вычислений.
Определяя из соотношения (7.399) интенсивность, имеем
/ (х, у, 2, / + Д/) « 2/ (х, у, %,/) — /(%, у, %, f — А/). (7.400)
Данная формула справедлива с точностью до членов порядка (Д/)2, что соответствует точности вычислений по методу трапеций. Таким образом, алгоритм вычисления (7.396) имеет вид
s(招弘爲 / + А/) = s (% — и。А/, у, а, /)—
—(у — 1) а Д//(2ур0) [2/ (х, у, 2, /)—
—/ (%, у, z, / — Af) + / (% — и Д/, у, г, /)]・ (7.401)
При задании искомых функций s и / в виде дискретных значений в узлах вычислительной сетки может оказаться, что величина иА/ не будет кратна отрезку А%. В итоге возникает незначительная дополнительная сложность, которая заключается в том, что для расчета величин s и / в правой части равенства (7.401) применяется линейная интерполяция с использованием их значений в узлах сетки.
Численное решение (7.396) с применением преобразования Фурье осуществляется по следующей схеме. Функции s и / представляются в виде конечных сумм Фурье
s = £ X s九，俏(/) exp (2就〃%/厶 + 2nimylE), (7.402) %nl他01
—^M2fnt m (0 exp (^ninxjL + ^nimylL}. (7.403) 九=1 m=1
Для простоты мы опускаем символы аргументов yuzu считаем, что конвекция поглощающего газа происходит в направлении оси %. После подстановки выражений (7.402), (7.403) в уравнение 丿(7.395) с учетом ортогональности функций ехр(2шпх/£) в интервале (0, L) получаем
dsn [ 2ninv
Решение этого уравнения при f + А/ имеет вид
srt (/ + Д/) = sn ехр (— 2л/пу A//L) +
t+м
+ \ 九(，)ехр \2ninv (f + А/ — /')/〃 ". (7.405)
Это и есть представление выражения (7.397) через конечное преобразование Фурье. Применение конечного преобразования Фурье к экспоненте ехр (2ninvM/L) дает амплитуду обратного преобразования в смещенной вдоль оси Ох точке в соответствии с заменой %->% + иА/ при условии, что выполняется равенство
vM = nДх, n = 0, 1, ..., N%— 1.(7.406)
Если величина 必f не кратна Аг, то экспонента в выражении (7.405) приводит к функции s, определенной вне узлов вычислительной ячейки. Такую ситуацию можно предотвратить двумя способами. Во-первых,必〃Аг можно округлить до ближайшего целочисленного значения перед процедурой вычисления экспонент в (7.405). Более точный алгоритм [7.42] заключается в том, чтобы ввести средневзвешенную экспоненту
ехр (2л/пу A//L) ^ q ехр (2шпП[/Ь) + (1 — д) ехр (2冗血(修 + 1)/厶)，
(7.407)
где 〃i — округленная до целочисленного значения в меньшую сторону величина uAf/A%, q = (vM — п^х)/Ах. Эта процедура аналогична линейной интерполяционной схеме, использовавшейся выше при получении решения путем непосредственного интегрирования по времени [7.49]. Формулы (7.401) и (7.405) представлены в форме, удобной для самосогласованных расчетов относительного сжатия поглощающей среды, вызванного лазерным пучком с интенсивностью /(%, у, а, f). В каждой точке поперечной плоскости запоминаются два значения интенсивности, соответствующие временам / и / — Д/. Эти реализации запоминаются в ЭВМ с целью отыскания решения на последующем шаге вдоль трассы. В расчете всегда используются текущие значения интенсивности, что обеспечивает хорошую точность для относительного сжатия. Аналогично пересчет амплитуды поля лазерного пучка на следующую вычислительную плоскость всегда осуществляется с использованием текущих значений плотности и показателя преломления среды. В итоге получается самосогласованное решение задачи. Результаты численных расчетов с использованием описанных алгоритмов представлены на рис. 7.11. Здесь показан график зависимости от времени отношения максимальной интенсивности в некоторый момент времени к максимальной интенсивности в начальный
L0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
□ ▼
▼ ▼
▲ ▲:-
▼ ▼ ▼
口
0J
Угловая скорость, с -7 Эксперимент ♦ О ▲ 0,053 ■ 0,10 ▼ 0J5 ♦ 0,23 Расчет □ 0,10
口.
"■ ■ ■ ■ ▲ ▲ ▲▲
- . ♦1■.■❷
0,3
0,4
Рис. 7.11. Экспериментальные результаты, показывающие поведение лазерного пучка в переходной стадии процесса нагрева. Пучок распространяется через неподвижную поглощающую среду при различных скоростях сканирования- на рисунке нанесены результаты расчетов на ЭВМ для скорости сканирования з = 0,10 и прочих значениях параметров, описывающих эксперимент Расчет очень хорошо совпадает с данными измерений.
момент для лазерного пучка, распространяющегося через поглощающую кювету, которая вращается для имитации сканирования пучка. Видно, что при угловой скорости 0,10 рад/с имеет место хорошее совпадение экспериментальных точек и результатов вычислений с использованием формулы (7.401).
Последовательность импульсов
Одним из видов генерации лазерного излучения является последовательность коротких импульсов. Если длительность tp отдельных импульсов намного короче, чем временные интервалы между ними tn — /п-i, то уравнение (7.395) принимает вид
>+^ = -史諧 Ё 仏(х, У) 6 (/ -幻，(7.408)
где tn = nA/; tpln ——плотность энергии импульса и 6(/) — дельтаФункция Дирака, описывающая импульс бесконечно малой длительности.
Решение уравнения (7.408) имеет вид
$(%,弘 г, пД/) = - Y\p；2 上 £ ij[x^v^^ j) д/, у, г]. (7.409)
Рис. 7.12. Схема, поясняющая рефракционный эффект усиления интенсив. ности, который возможен при распространении в поглощающем газе последовательности лазерных импульсов; пояснения даются в тексте.
Здесь в сумме взят (п—1) член, поскольку длительность импульсов предполагалась настолько короткой, что за время их действия плотность заметно не меняется. Это влияние проявляется спустя длительное время. Поглощенная энергия уносится из области пучка, при этом за время, равное или превышающее характерное время пробега звука поперек пучка, происходит накопление изменений плотности. Каждый импульс испытывает рефракцию в поле показателя преломления, которое сформировалось к моменту его прихода. Поглощенная энергия импульса запасается в среде, переносится конвективным потоком, вносит свою поправку к накопленным ранее изменениям поля показателя преломления и определяет, таким образом, процесс распространения последующего импульса данной серии.
Интересный эффект наблюдается в случае, когда импульсы распространяются через нагретый предшествующим импульсом воздух, который не успел полностью выйти за границы пучка к моменту прихода последующего импульса. Качественная картина этого явления показана на рис. 7.12. В момент времени f = 0 гауссово распределение интенсивности пучка, изображенное на рис. 7.12, а, создает после релаксации избыточного давления поле показателя преломления, показанное на рис. 7.12, б. Если последующий импульс приходит в момент времени / = =广/uo, где г — «радиус» гауссова пучка и и。——скорость конвективного уноса нагретой среды из области пучка, то половина пучка нового импульса, обращенная в сторону набегающего потока, будет распространяться в основном в ненагретой среде и не подвергнется существенным искажениям. Подветренная по-
N-число повторении
CUW6WDB в 我寻一/售工目HHSOdnwdoHс и§1ё /™2WW7£0W次星①春票CUW6WDB в 我寻一/售工目HHSOdnwdoHс и§1ё /™2WW7£0W次星①春票Многоимпульсный режимМногоимпульсный режимНепрерывный режимНепрерывный режим№=/7№=/7
CUW6WDB в 我寻一/售工目HHSOdnwdoHс и§1ё /™2WW7£0W次星①春票
CUW6WDB в 我寻一/售工目HHSOdnwdoHс и§1ё /™2WW7£0W次星①春票
Многоимпульсный режим
Многоимпульсный режим
Непрерывный режим
Непрерывный режим
№=/7
№=/7
30。4005006仞
Частота повторений у,仅
Рис. 7.13. Зависимость среднего относительного значения максимальной интенсивности лазерного пучка, состоящего из последовательности импульсов, от частоты повторения импульсов. Для каждой частоты следования энергия отдельных импульсов задавалась из условия постоянства полной средней мощности Рассмотренный в тексте и схематически поясненный на предыдущем рисунке эффект усиления интенсивности отчетливо проявляется в интервале значений параметра N = 丫厂口/卩。=1,5 + 5
ловина пучка будет испытывать отклонение в сторону набегающего потока за счет отрицательного градиента поля показателя преломления, как это показано на рис. 7.12,6.
Периферийные области нового пучка, имеющие слабую интенсивность, будут отклонены в сторону потока и в поперечных к скорости потока направлениях. Однако определяющим будет эффект отклонения пучка в сторону набегающего потока, которое существенно изменяет первоначальную интенсивность. При этом возникает увеличение максимального значения интенсивности по сравнению с исходным пучком, как это показано на рис. 7.12, г. Увеличение максимума существенно зависит от скорости потока и распределения интенсивности в поперечном сечении пучка. Полезно изобразить графически зависимость максимальной интенсивности пучка от частоты повторения импульсов (ЧПИ) для случая, когда средняя мощность постоянна. В этом случае при увеличении ЧПИ энергия каждого импульса в соответствующей пропорции уменьшается (рис. 7.13). Когда ЧПИ близка к нулю, усредненная максимальная интенсивность излучения достигает нижнего предела. Такая ситуация обуслов*
лена тем, что при конечной скорости потока и малой ЧПИ происходит полный вынос возмущенной среды из объема пучка за время между импульсами. В другом предельном случае большой ЧПИ усредненная максимальная интенсивность излучения приближается к своему стационарному значению, характерному для явления самовоздействия непрерывного пучка той же мощности. Как видно из рисунка, эффект усиления максимальной интенсивности наблюдается для промежуточных значений ЧПИ, когда через нагретую среду проходит около 50% мощности пучка.
Стационарный режим
Для промежутков времени, превышающих время пробега ветра через наибольшее поперечное сечение пучка, возникает стационарный режим, для которого уравнение (7.395) принимает вид
и(7.41。)
Если положить /(х, у, z) = 0 при х = — оо, (и > 0), то уравнение (7.410) будет иметь решение
s(%, g, z) = _ “^?? \ /(/, y,z)d/・(7.411)
Относительное сжатие, представленное выражением (7.411), можно вычислить с помощью ЭВМ, используя при оценке интеграла значения интенсивности пучка в плоскости z =及Az， найденные после выполнения п шагов вдоль трассы. Для подавляющего большинства пучков с единственным максимумом интенсивности на оси поле показателя преломления в соответствии с выражением (7.411) принимает большие значения с наветренной стороны, чем с подветренной. В итоге световые лучи отклоняются навстречу набегающему потоку, т. е. в область с более высоким показателем преломления. В дополнение к этому лучи расходятся от центра пучка в положительном и отрицательном направлениях оси Оу. В результате описанных процессов рефракции пучок принимает серповидную форму, как это показано на рис. 7.14. На рисунке представлены рассчитанные на ЭВМ линии равной интенсивности в сопоставлении с результатами лабораторного эксперимента [7.45], выполненного для принятых в расчете параметров задачи. На рис. 7.15 приведено сопоставление результатов численных расчетов в случае установившегося режима распространения непрерывного пучка
Рис. 7.14. Сопоставление расчетных профилей интенсивности для установившегося режима теплового расплывания непрерывного лазерного пучка с данными эксперимента (справа), полученными с лазерным излучением на длине волны 10,6 мкм.
с экспериментальными данными. В качестве параметра искажения ^ выбрана величина, связанная с мощностью лазерного пучка. Кривая, изображенная сплошной линией и пунктиром, соответствует результатам расчетов в приближении метода геометрической оптики. Зачерненные кружки на графике являются результатами расчетов, проведенных на основе волновой оптики. Видно, что в последнем случае наблюдается очень хорошее совпадение с экспериментом.
Частный случай стационарного режима реализуется при распространении последовательности коротких импульсов. Если последовательность импульсов продолжается дольше, чем время переноса среды поперек пучка, то возникновение стационарного режима обусловлено теми же причинами, что и в случае непрерывного излучения. Тогда значение интенсивности /； в выражении (7.409) перестает зависеть от индекса /, сохраняя зависимость только от аргумента. В результате изменение плотности определится в виде
s(% 4, Z =-"二戶 £ /— ?/М У，力・(7.412)
К。
Суммарное изменение плотности в этом случае выражается через переносимые потоком изменения плотности, индуцирован-
Рис. 7.15. Отношение интенсивности в поглощающей среде к интенсивности в вакууме как функция параметра искажений М пропорционального мощности пучка; пунктирно-сплошная линия соответствует расчету в приближении метода геометрической оптики, зачерненные точки — расчет с использованием волновой оптики, прочие точки представляют экспериментальные данные. Из рисунка видно, что для описания эксперимента необходимо использовать самосогласованный расчет в приближении волновой оптики.
ные бесконечным рядом одинаково искаженных пучков. Такой стационарный режим можно быстро рассчитать с помощью ЭВМ, так как здесь необходимо проводить просчеты вдоль трассы только один раз, а затем остается просуммировать но кажения с учетом переноса средой. Поэтому затраты машинного времени оказываются сопоставимы с затратами для рассмотренного выше расчета стационарного режима распространения непрерывного излучения. Сопоставление с результатами расчетов для переходного режима, определяемого последовательностью импульсов, при условии, что число прошедших среду импульсов значительно превышает их количество за время переноса среды поперек пучка, показывает, что формула (7.412) дает правильную зависимость от времени в рассматриваемом асимптотическом режиме процесса расплывания.
Приложение. Свойства интегральных преобразований
В данном разделе приведены некоторые свойства интегральных преобразований, которые используются в задаче теплового расплывания лазерного пучка. Мы ограничимся применением преобразований Фурье и Ханкеля к специальным функциям и волновому уравнению, следуя известной монографии Снеддона [7.50].
ДД. Преобразование Фурье
Определим преобразование Фурье 尸(а) от функции f(х) в виде
F (а) = —( f (х) exp (zax) dx.(A.l)
(a⑵(a⑵Тогда при определенных условиях с помощью обратного преобразования можно восстановить функцию f(x):
(a⑵
(a⑵
f (%) = —4=- \ 尸(a) exp (— zax) da.
V —8
Достаточными условиями существования преобразования (А.2) являются условие сходимости интеграла
—\ \fM\dx
и выполнение условий Дирихле для функции f(%)・ Эти условия формулируют следующим образом:
f(х) может иметь только конечное число максимумов и минимумов;
f (х) может иметь только ограниченное число разрывов первого рода, а разрывы второго рода должны отсутствовать.
Эти условия обычно выполняются в подавляющем большинстве физических задач, хотя и имеются некоторые исключения, которые требуют специального анализа. Иногда можно встретить менее жесткие условия применимости теоремы обращения (А.2).
Часто возникает необходимость найти преобразование Фурье от производной некоторой функции. Формула преобразования Фурье от r-й производной для функции f (%) имеет вид
尸⑺(a) = “М \ -^rf (х) J exp (fax) dx. (А.З)
Вычисляя интеграл по частям, получим
-"^^ \ exp ®х) ^^r f (х) dx. (A.4)
Повторное интегрирование приводит к формуле
(А.5)(А.5)F^ 3)=(一 奴)Г尸(a)
(А.5)
(А.5)
при условии, что все (г—1) производных обращаются в нуль, когда \х\ стремится к бесконечности.
А. 2. Преобразование Ханкеля
Для рассматриваемых нами задач часто удобно использовать преобразование Ханкеля 尸九(А) функции f(г), определяемое формулой
凡仇)=[〃&)((")〃， (А.6) о
где Jn(%r) — функция Бесселя первого рода порядка п. При выполнении тех же условий, что и для преобразования Фурье, теорема обращения для преобразования Ханкеля записывается в виде
f&)=\ KF^JMdK. (А.7) о
Применяя повторное интегрирование, можно получить соответствующие формулы преобразования Ханкеля для производных от функции, аналогично тому, как это сделано выше. Однако в процессе дифференцирования появляются функции Ханкеля высших порядков, что приводит к более сложной формуле, чем выражение (А.5).
Получим один частный, но имеющий важное значение для рассматриваемых задач результат. Если мы применим преобразование Ханкеля нулевого порядка к лапласиану от функции f(г), то в результате интегрирования по частям получим
J (爲+ ；豹/。(m"=-炉尸仇)， (A，8) о
где 尸(%)——фурье-трансформанта преобразования Ханкеля нулевого порядка от функции f(r). В ходе вычислений предполагалось, что как функция rdf/dr, так и величина rf(r) обращаются в нуль при стремлении г к нулю или к бесконечности.
Предъявляемые к преобразуемым функциям требования обычно выполняются в физических задачах. Исключение составляет случай бесконечного нитевидного источника, излучающего монохроматическую цилиндрическую волну. Соответствующее ему решение не является абсолютно интегрируемым.
Такие случаи необходимо рассматривать специально. Представленные здесь краткие сведения вполне достаточны для решения рассматриваемых в главе задач.
Литература
Leite R. С. С., Moore R. S., Whinnery J. R. Appl. Phys. Lett., 5, 141, 1964.
Ulrich P. B. Numerical Methods in High-Power Laser Propagation, AGARD Conference Proceedings No 183, Optical Propagation in the Atmosphere, Paper No 31, 27—31 October 1975 (National Technical Information Service, Springfield, Va. 22151).
Melissinos A. C., Lobkowicz F. Physics for Scientists and Engineers, Vol. 1 (W. B. Sounders Company, Philadelphia 1975) Chaps. 14—16.
Jackson /. D. Classical Electrodynamics, (Wiley and Sons, New York, London, Syndney 1962), p. 618.
Kogelnik "., Li T. Proc. IEEE, 54, 1312, 1966 (имеется перевод: Когель- ник X., Ли Т. ТИИЭР, 54, 1312, 1966); Appl. Opt. 5, 1550, 1966.
Born 〃.，Wolf E. Principles of Optics, 4th ed. (Pergamon Press, New York 1970). (Имеется перевод: Борн M., Вольф 3. Основы оптики.— М.: Наука, 1970.)
Erdelyi А , Magnus 呪，Oberhettinger Е, Tricomi F. G. Tables of Integral Transforms, Vol. 1, McGraw-Hill, New York, 1954, p. 11.
Morse P. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part II McGraw-Hill, New York, 1953, p. 1092.
Baker В. B., Copson E. T. The Mathematical Theory of Huygens Principle, 2nd ed. Clarendon Press, Oxford, 1950, pp. 23—26.
Кравцов Ю. 4, Фейзулин Ц, И. Изв. ВУЗов СССР, сер. Радиофизика, 12, 886, 1969.
Lutomirski R.尸.，Yura Н. Т. Appl. Opt., 10, 1652, 1971.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Fluid Mechanics, Engl, transl. Pergamon Press, London 1959, Chap. I.
Wallace /., Camac M. J. Opt. Soc. Am., 60, 1587, 1970.
Hayes J N. Thermal Blooming of Laser Beams in Gases, Naval Res. Lab. Rept. 7213, AD 720508. Feb 11, 1971.
Ince E. L. Ordinary Differential Equations, Dover Publ., New York, 1956.
Watson G M A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press, 1966, p. 394.
Abramowitz M, Stegun /. A. Handbook of Mathematical Functions. U. S. Government Printing Office, Washington, D. C., 1964, pp. 297—298, 319.
Sneddon /. M Fourier Transforms McGraw-Hill, New York, Toronto, London, 1951.
Wood A. D., Camac M., Gerry E. T. Appl. Opt., 10, 1877, 1971.
Keller J. B. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, Vol. XIII American Mathematical Society, Providence, 1962, pp. 230—231.
Avizonis P.，，Hogge С. B., Butts R. R., Kenemuth J. R. Appl. Opt., 11, 554, 1972.
Bergmann P. G. Phys. Rev., 70, 486, 1946.
Kline M. Comm. Pure Appl. Math., 14, 473, 1961.
Aitken A. H., Hayes J. Ulrich P. B. Appl. Opt., 12, 193, 1973.
Ulrich P. B. A Wave Optics Calculation of Pulsed Laser Propagation in Gases, Naval Res Lab. Rept. 7413, NTIS No. AD 745739 June 7, 1972.
Sommerfeld A. Partial Differential Equations in Physics Academic Press, New York, 1964.
Richtmyer R. D, Morton K. IF. Difference Methods for Initial-Value Problems, 2nd ed. Wiley-Interscience, New York, 1967.
Courant R, Hilbert D Methods of Mathematical Physics, Vol. II Wiley- Interscience, New York, 1962.
Greville T. M E. Theory and Applications of Spline Functions Academic Press, New York, London, 1969.
Wallace J. Jr., Lilly /. Q. Opt. Soc. Am., 64, 1651, 1974.
Cochran W.工，Cooley J. M., Favin D L, Helms H D, Kaenel R A, Lang W.取.，Mating G C., Nelson D. E, Rades С. M, Welch P D. What is the Fast Fourier transform? G-AE Subcommittee on Measurement Concepts, IEEE Trans. AE-15(2), 45, 1967.
Lynch P. /., Bullock D L. An Integral-Equation Formulation of Thermal Blooming, TRW Rept., TRW Systems Group, 1 Space Park, Redondo Beach, CA, 90278 14 August 1974.
Lutomirski R. F., Woodie W. £., Hines A. R., Dore M. A. Maritime Aerosol Effects on High-Energy Laser Propagation, Pacific-Sierra Res Coip. Repr. 510-S September 1975, p. 54.
Kelley P. L. Phys. Rev. Lett, 15, 1005, 1965.
Harmuth H. F. J. Math. Phys., 36, 269, 1957.
Crank /., Nicolson P. Comb. Phil. Soc Proc, 43, 50, 1947.
PeacemanD.取.，Rockford H. H. J. Soc. Indust. Appl. Math, 3, 28, 1955.
Douglas Л, Jr. J. Soc. Indust. Appl. Math., 3, 42, 1955
39 Douglas /., "., Rochford H. H. Trans. Am. Math. Soc, 82, 421, 1956
Forsyth G. E., Wasow W. R. Finite Difference Methods for Partial Differential Equations Wiley and Sons, New York, London, 1967
Breaux H. J. An Analysis of Mathematical Transformations and Comparison of Numerical Techniques for Computation of High Energy cw Laser Propagation in an Inhomogeneous Medium, U. S Army Ballistic Res. Lab. Rept. 1723 June 1974.
Fleck J. 4, Jr., Morris J. R., Feit M. D Time Dependent Propagation of High Energy Laser Beams through the Atmosphere, Lawrence Livermore Lab. Rept. UCRL-51826 June 2, 1975, Appl. Phys, 10, 129, 1976; 14, 99, 1977.
Ulrich R P. PROP-I: An Efficient Implicit Algorithm for Calculating Nonlinear Scalar Wave Propagation in Fresnel Approximation, Naval Res. Lab. Rept. 7706 May 29, 1974.
Bradley L. C., Herrmann J. Opt Soc. Am , 61, 668, 1971
Bradley L. C., Hermann J. Numerical Calculation of Light Propagation. MIT Lincoln Lab. Rept. LTR—10 July 12, 1971.
Bradley L. C., Herrmann /. Notes on the Lincoln Laboratory Propagation Code, 1974.
Ulrich P. B., Wallace /., Jr. Opt. Soc. Am., 63, 8, 1973
Ulrich P. B. A Numerical Calculation of Thermal Blooming of Pulsed, Focused Laser Beams. Noval Res. Lab. Rept. 7382, December 30, 1971.
Berger P. Л, Ulrich J. T., Gebhardt 尸.G, Ulrich P. В Appl Opt., 16, 345, 1977.
Sheddon /. M Fourier Transforms. McGraw-Hill, New York, 1951,
ПОСЛЕСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Нам хотелось бы воспользоваться любезно предоставленной издательствами «Шпрингер» и《Мир》возможностью написать послесловие к русскому изданию настоящей книги.
Цель послесловия ——осветить работы советских ученых по распространению лазерного излучения в турбулентной атмосфере, которые вносят существенный вклад в исследования по данной проблеме, но по тем или иным причинам не нашли отражения в книге.
Целесообразно включить добавления в каждую из представленных глав по отдельности, не нарушая структуры книги. Это, возможно, сделает более удобным использование материала послесловия, так как позволит обращаться к нему при последовательном или выборочном чтении отдельных глав.
Глава 2. Классическая теория распространения волн в турбулентной среде.
Отмечая прежде всего существующее в советской литературе и до сих пор не утратившее своего значения изложение классической теории распространения волн в турбулентной среде в широко известных монографиях В. И. Татарского [1,2], укажем на опубликованную в СССР монографию [3]. Здесь представлены современные сведения о статистических характеристиках турбулентных микропульсаций показателя преломления в приземном слое атмосферы, описаны метеорологические методы определения этих характеристик, основанные на измерении градиентов средних значений температуры и скорости ветра, приведены модели высотных зависимостей структурной характеристики флуктуаций показателя преломления. В монографии [3] содержится также последовательное обоснование использования для решения задач распространения оптических волн в турбулентной атмосфере параболического приближения скалярного волнового уравнения Гельмгольца, которое является основным в современной теории и всегда неявным образом использовалось f^Hee в классической (по терминологии С. Ф. Клиффорда) теории. Вопросы флуктуаций поля плоской и сферической волн (в условиях слабых флуктуаций интенсивности) нашли в книге [3] более полное (в особенности это ка-
сается экспериментальных результатов) отражение, чем в мо, нографиях [1,2]. Следует также указать на обзор [4] и монографии [5, 6], в которых содержатся сведения о характеристиках атмосферы, сформулированы основные уравнения, обсуждены методы их решения и приведены конкретные результаты классической теории распространения. Последние сравниваются с экспериментальными данными. Общие вопросы распростри нения волн в случайно-неоднородных средах, имеющие прямое отношение к материалу второй главы книги, прекрасно изложены в недавно опубликованной монографии [7].
Глава 3. Современные теории распространения оптических волн в турбулентной атмосфере.
Успехи современной теории распространения оптических волн в турбулентной атмосфере связаны в основном (и это со« вершенно определенно подчеркивается в настоящей книге) с работами советских ученых.
Мы ограничимся здесь только кратким обзором самых последних достижений в этой области, которые по времени своей публикации не могли быть отражены в третьей главе настоящей монографии.
В последние годы определенный интерес возник к задачам распространения оптических волн в турбулентной атмосфере вдоль локационных трасс. Первоначальные попытки [8] получить при такой схеме распространения уравнения для статистических моментов, подобные приведенным в третьей главе данной книги уравнениям, описывающим прямое (однократное) распространение, оказались неудачными. После того как в работе [9] была отмечена возможность применения к этой проблеме теоремы взаимности, удалось получить [10] уравнения для первых двух статистических моментов поля, описывающие процесс распространения волн вдоль локационных трасс при сильных флуктуациях интенсивности.
В теории распространения волн в случайно-неоднородной среде, начиная с работ [11, 12], получил широкое распространение [3] обобщенный на случайно-неоднородные среды метод Гюйгенса — Кирхгофа. При решении задачи этим методом искомое поле представляется в виде суперпозиции элементарных сферических волн, распространяющихся в неоднородной среде (интеграл Гюйгенса — Кирхгофа). Было обнаружено, что при* ближенное задание поля сферической волны (функции Грина), например, в виде первого приближения метода плавных возму* щений дает [3] для среднего поля, средней интенсивности [13] и функции когерентности второго порядка выражения, совпадающие с решениями уравнений для статистических моментов поля, полученных в приближении локального метода малых возмущений [14, 15] или марковского случайного процесса
[16, 17]. В случае сфокусированного пучка, распространяющегося в модельной одномерной среде, задание фазы функции Грина в приближении геометрической оптики обеспечивало [18] насыщение относительной дисперсии флуктуаций интенсивности такого пучка. Простота и физическая наглядность решения задачи с применением метода Гюйгенса — Кирхгофа, а также доступность в получении аналитических или численных результатов даже в сложном случае сильных флуктуаций интенсивности пространственно-ограниченного пучка [19] привели к относительно широкому применению этого метода для решения конкретных задач, хотя область применимости получаемых сего помощью результатов долгое время оставалась неясной.
Математически строго возможности аппроксимации решения стохастического волнового уравнения для статистических моментов поля лазерного пучка в турбулентной атмосфере с помощью так называемого фазового приближения метода Гюйгенса—Кирхгофа (①ПМГК) рассмотрены в работах [20,21,22] < Сущность ФПМГК состоит в том, что в функции Грина (поле элементарной сферической волны) учитываются только флуктуации фазы, которые находятся в первом приближении метода геометрической оптики. С использованием параболического приближения волнового уравнения и приближений, аналогичных приближению марковского случайного процесса, получены [20, 21] интегральные уравнения для случайных и статистических средних моментов поля, которые в качестве свободных членов содержат интегралы ФПМГК. Построение рядов Неймана этих уравнений позволяет оценить поправки к аппроксимациям различных статистических характеристик с помощью фазового приближения. В частности, оказывается, что ФПМГК дает совпадающие с приближением марковского случайного процесса выражения для среднего поля и функции когерентности второго порядка. Вычисление поправок к аппроксимации с помощью ФПМГК относительной дисперсии флуктуаций интенсивности плоской волны проведено в [20, 21]. Эти расчеты показывают, что фазовое приближение при расчете относительной дисперсии позволяет аппроксимировать строгое (в рамках принятых приближений) решение стохастического волнового уравнения равномерно как при слабых, так и при сильных флуктуациях интенсивности. Заметим также, что построение рядов Неймана, предложенных в работах [20, 21], является пока единственным методом решения стохастического уравнения, позволяющим найти статистические характеристики поля волны в области максимума флуктуаций интенсивности. Одновременно эти ряды позволяют получить в области насыщения относительной дисперсии (после прохождения максимума) результаты, совпа-
дающие с решениями, соответствующими асимптотическим методам, развитым в [15].
Аналогичные расчеты [22] относительной дисперсии узкого коллимированного пучка (имеющего минимальный дифракционный размер) показывают, что вывод о равномерности аппроксимации этой величины с помощью ФПМГК сохраняется, хотя ошибка аппроксимации возрастет с уменьшением числа Френеля излучающей апертуры Q = kc^/L (а ——радиус апертуры, k — волновое число, L — длина трассы). Для сфокусированного пучка в области больших значений излучающей апертуры 6о84/25 =(],23。泌7/6厶 11/6)42/25 (здесь Сп — структурная характеристика флуктуации показателя преломления) ФПМГК дает асимптотически строгое решение уравнения для четвертого момента поля при вычислении относительной дисперсии флуктуаций интенсивности.
В предельном случае сферической волны (Q->0) ФПМГК становится неприменимым для описания флуктуаций интенсив- йости. Здесь можно построить аппроксимацию решения волнового уравнения, если использовать разложение искомого решения по спектру плоских волн и применить фазовое приближение для комплексной амплитуды элементарной плоской волны. В работе [23] для случайных и статистических средних значений моментов поля элементарной плоской волны получены интегральные уравнения такого же вида, как в [20, 21]. Записан итерационный ряд этого уравнения и путем вычисления последующих членов ряда показано, что фазовые приближения для среднего поля и функции когерентности второго порядка совпадают с решениями уравнений для этих величин, полученных в приближении локального метода малых возмущений или марковского случайного процесса. Установлено, что с помощью такого подхода можно осуществить равномерную аппроксимацию относительной дисперсии сильных и слабых флуктуаций сферической волны.
Рассмотренные в работах [20, 21] и [23] аппроксимации хотя и пригодны одновременно в режимах слабых и сильных флук^ туаций, но не обеспечивают необходимой точности при переходе к сферической (Q->0) и плоской (Q-1->0) волнам соответственно. Путем использования последовательного разложения искомого решения по сферическим и плоским волнам [24,25] удается получить аппроксимацию относительной дисперсии сильных и слабых флуктуаций интенсивности, равномерную по дифракционным параметрам пучка (например, числу Френеля коллимированного пучка).
Применяя разложения по элементарным волнам в сочетании с фазовым приближением для комплексной амплитуды и моментов поля, можно получить аппроксимации решения волнового
уравнения в случае распространения лазерных пучков вдоль локационных трасс [26]. Здесь получены соответствующие интегральные уравнения и построены ряды Неймана для локационной функции Грина. Найдены поправки к аппроксимациям средней интенсивности и относительной дисперсии флуктуаций интенсивности, соответствующим фазовому приближению локационной функции Грина. Показана равномерность этой аппроксимации по отношению к режимам сильных и слабых флуктуаций интенсивности.
Обращаясь к изложенным в настоящей главе результатам расчетов статистических характеристик сильных и слабых флуктуаций интенсивности, таких, как относительная дисперсия, функция пространственной корреляции для плоской и сферической волн, следует отметить последние работы по этому вопросу [27] и [28]. Здесь приведены соответствующие решения урав- ния для четвертого момента, результаты которых совпадают с полученными ранее [15].
Эффективные численные алгоритмы решения уравнения для четвертого момента поля плоской волны, распространяющейся в турбулентной среде, основанные на использовании метода Монте-Карло, были предложены в работах [29,30]. С помощью этих алгоритмов были рассчитаны [31] относительная дисперсия, пространственные корреляционные функции и временные спектры флуктуаций интенсивности плоской волны. В этой же работе проведено сравнение результатов расчета с данными эксперимента, которое показало их удовлетворительное согласие.
В заключение сделаем несколько добавлений в раздел главы, посвященный закону распределения вероятностей флуктуаций интенсивности лазерного излучения в турбулентной атмосфере. Асимптотические решения уравнений для высших моментов поля плоской волны, найденные в работах [28, 32], показали, что нормализация флуктуаций поля плоской волны в условиях глубокого насыщения дисперсии флуктуации происходит очень медленно (особенно, по моментам более высокого порядка) по мере продвижения в глубь турбулентной среды или увеличения интенсивности турбулентности.
Рассмотрим далее результаты, относящиеся к статистическим характеристикам флуктуации поля пространственно-ограниченного пучка и зондированию параметров атмосферной турбулентности, изложенные в пятой главе книги.
Глава 5. Распространение пространственно-ограниченного лазерного пучка и зондирование турбулентности.
Как отмечает автор данной главы, для прогнозирования статистических характеристик флуктуаций поля лазерного излучения в турбулентной атмосфере недостаточно изучить распространение простейших плоской и сферической волн. Явления
дифракции на излучающей апертуре, возникающие при формировании узких коллимированных и сфокусированных пучков, приводят к новым закономерностям флуктуаций, отражающим влияние дифракционных параметров волновых пучков. Некоторые из явлений флуктуаций, например, турбулентное уширение и случайные блуждания пучков, вообще отсутствуют при распространении плоской и сферической волн.
Имея в виду изложенные в пятой главе (разд. 5.1.1) результаты для дисперсии слабых флуктуаций логарифма амплитуды на оси лазерного пучка, следует отметить, что конкретные численные расчеты дисперсии при смещении приемника с оси были проведены в работе [33]. Здесь было показано, что существенное увеличение дисперсии происходит при смещении приемника с оси на расстояние порядка дифракционного размера пучка. Этот вывод был подтвержден экспериментально [34]. Здесь же было показано, что метод плавных возмущений в случае узкого коллимированного пучка не дает правильного количественного описания роста дисперсии на краю пучка. В работах [33, 34, 35] была установлена теоретически и подтверждена экспериментально, в том числе для разнесенных по углу лазерных пучков, глубокая отрицательная корреляция слабых флуктуаций логарифма амплитуды при пространственном разносе пучков или приемников на расстояние порядка дифракционного размера пучка. Были проведены расчеты дисперсии и пространственной корреляции слабых флуктуаций логарифма амплитуды лазерного пучка, распространяющегося вдоль наклонных трасс снизу вверх в атмосфере [36], и показано, что вариации высотной зависимости структурной характеристики оказывают влияние на корреляционную функцию только во фраунгоферовой зоне дифракции. Из расчетных данных работ [33, 34, 35, 36] можно найти граничные значения дифракционных параметров пучка, начиная с которых статистические характеристики слабых флуктуаций логарифма амплитуды совпадают с величинами и функциями, соответствующими простейшим типам волн ——плоской и сферической.
В конце разд. 5.1.4 главы 5 сообщается об отсутствии детальных теоретических и экспериментальных исследований временных спектров слабых флуктуаций. К этому следует добавить, что такие расчеты, включая спектр флуктуаций разности лога* рифмов интенсивностей разнесенных по углу пучков, проведены в работах [37, 38]. Обнаруженный здесь низкочастотный сдвиг временных спектров для узких коллимированных пучков по отношению к спектрам, соответствующим плоской и сферической волнам, подтвержден экспериментально [39].
Важным для практики является вопрос усреднения флуктуаций светового потока, принимаемого апертурой конечного
диаметра. Этот вопрос, в том числе для приема излучения пространственно-ограниченных пучков, детально изложен в монографии [3].
Турбулентное уширение лазерных пучков и связанное с ним ослабление интенсивности, затронутые в разд. 5.1.2 главы 5, изложены более детально, включая данные выполненных к настоящему времени экспериментов, в монографии [3]. В дополнение укажем работы [40, 41]. Здесь показано, что расчет средней интенсивности лазерного пучка, сфокусированного в турбулентной атмосфере апертурой Кассегрена, можно производить [40] по формулам, полученным для простейшего гауссова пучка [3], если ввести соответствующую связь между эффективным начальным диаметром гауссова пучка и диаметром апертуры Кассегрена. Установлено также [41], что при сильном турбулентном уширении лазерных пучков, соответствующих высшим поперечным типам колебаний, распределение средней интенсивно* сти в поперечном сечении пучка существенно отличается от исходного и с увеличением уширения приближается к простей^ шему гауссову распределению.
Существенной характеристикой поля лазерного пучка является пространственная когерентность. Некоторые расчетные данные о пространственной когерентности, основанные на решении уравнения для второго момента поля, изложены в разд. 5.2.1. Искажение пространственной когерентности по результатам расчетов и данным экспериментов советских авторов детально рассмотрено в монографии [3]. Остановимся более подробно на явлении дифракционного увеличения радиуса пространственной когерентности поля пучка, установленном сравнительно недавно.
Вначале было показано расчетным путем [42], а затем подтверждено экспериментально [43, 44], что радиус пространственной когерентности поля узкого коллимированного пучка в условиях сильных флуктуаций интенсивности превышает радиусы когерентности, соответствующие плоской и сферической волнам. Описывающие это явление приближенные формулы были впоследствии обоснованы [45] путем численных расчетов и асимптотического анализа строгих выражений для функции когерентности. Тесно связано с явлением искажения пространственной когерентности лазерного пучка обнаруженное в [46] искривление среднего фазового фронта узкого коллимированного пучка в условиях сильных флуктуаций интенсивности. Оказывается, что в этих условиях кривизна среднего фазового фронта пучка превышает кривизну фазового фронта сферической волны, которая, как известно, в однородной среде является максимальной для данной трассы. При описании явления ис* кривления среднего фазового фронта введено [46] понятие средних дифракционных лучей и указан способ их применения для
расчета статистических характеристик флуктуаций фазы при произвольных дифракционных параметрах лазерного пучка для режимов слабых и сильных флуктуаций интенсивности. Турбулентное искривление среднего фазового фронта пучка подтверждено экспериментально [47].
При описании флуктуаций интенсивности лазерных пучков автор пятой главы указал в разд. 5.2.4 лишь на один частный результат [48], относящийся к кривой насыщения относительной дисперсии сфокусированного пучка, полученной с помощью ФПМГК- Благодаря простоте этого метода его применение дало возможность обнаружить и исследовать многие закономерности флуктуаций поля пространственно-ограниченных пучков в условиях слабых и особенно сильных флуктуаций интенсивности [3].
Приближенное решение уравнения для четвертого момента поля в случае сфокусированного лазерного пучка было получено в работах [18, 19, 49, 50]. Здесь установлен закон асимптотического стремления относительной дисперсии к единице по мере увеличения дисперсии разности фаз сферической волны, вычис* ленной на разносе точек наблюдения, равном диаметру излучающей апертуры. Этот закон совпадает с получающимся [51,48] при использовании ФПМГК. Расчет относительной дисперсии при непрерывном переходе из области слабых флуктуаций через максимум этой величины в область насыщения проведен в [51, 48]. Результаты этого расчета удовлетворительно совпадают с экспериментами [3, 52, 53].
В качестве наименьшего масштаба пространственной корреляции сильных флуктуаций интенсивности сфокусированного пучка в работе [49] был указан его дифракционный размер в однородной среде. Изменение функционального вида коэффициента пространственной корреляции сфокусированного пучка при переходе от слабых флуктуаций через максимум в область насыщения относительной дисперсии установлено в работе [51] с применением ФПМГК. Дифракционный масштаб пространственной корреляции сильных флуктуаций интенсивности сфокусированного пучка был подтвержден экспериментально [54, 55].
При расчетах [51] относительной дисперсии в смещенной с оси точке наблюдения было показано, что рост дисперсии на краю среднего поперечного размера сфокусированного пучка по отношению к величине дисперсии в центре пучка уменьшается при переходе от слабых флуктуаций к сильным. Временные спектры слабых, максимальных (область максимума относительной дисперсии) и насыщенных флуктуаций интенсивности на оси сфокусированного пучка рассчитаны с применением ФПМГК в работе [56]. Проводились также измерения [3] временных спектров сильных флуктуаций интенсивности сфокуси^
рованного пучка. Законы распределения вероятностей флуктуаций интенсивности сфокусированного пучка существенно отличаются [3] от логарифмически-нормального.
Значительное влияние на сильные флуктуации интенсивности оказывает дифракция на излучающей апертуре при формировании в турбулентной атмосфере узкого (имеющего минимальный поперечный размер) коллимированного пучка. Наряду с ростом относительной дисперсии на краю пучка [51] величина дисперсии на оси пучка оказывается больше по сравнению со случаями плоской и сферической волн [3, 57, 22, 58]. Наблюдается также [59] очень сильная зависимость относительной дисперсии флуктуаций интенсивности узкого коллимированного пучка от пространственной когерентности лазерного источника. Именно в случае узкого коллимированного пучка вариации внутреннего масштаба турбулентности в атмосфере существенно влияют [60, 61, 62] на величину относительной дисперсии сильных флуктуаций интенсивности. Это явление наблюдается в условиях, когда разность фаз сферической волны на разносе точек наблюдения, равном внутреннему масштабу, превышает л.
Радиус пространственной корреляции сильных флуктуаций интенсивности узкого коллимированного пучка при одинаковых условиях распространения в турбулентной атмосфере превышает [3, 63, 64] радиус корреляции, соответствующий плоской волне. Временные спектры слабых, максимальных и насыщенных флуктуаций интенсивности узкого коллимированного пучка были рассчитаны в работе [56] с применением ФПМГК. Результаты этих расчетов согласуются с экспериментальными данными [65, 66, 67]. В работе [56] показано, что основная частота временных флуктуаций интенсивности узкого коллимированного пучка при переходе от режима слабых флуктуаций интенсивности в режим насыщения относительной дисперсии возрастает от величины, обратно пропорциональной времени переноса неоднородностей через излучающую апертуру, до величины, обратно пропорциональной времени переноса неоднородностей через масштаб пространственной когерентности поля пучка.
Наряду с флуктуациями интенсивности лазерного пучка существенное значение имеет явление случайных смещений пучка в поперечной к направлению распространения плоскости. В пятой главе настоящей монографии этот вопрос затрагивается косвенно при рассмотрении флуктуаций углов прихода фазового фронта поля лазерного пучка. Явлению случайной рефракции лазерных пучков в турбулентной атмосфере посвящено значительное число работ советских ученых. Часть этих работ обоб щена в монографии [3]. Остановимся на некоторых результатах не получивших достаточного отражения в [3].
При расчетах случайной рефракции пучков используется ряд приближенных методов [3]. В работах [68, 69] с использованием ФПМГК проведена оценка погрешности и установлены границы применимости приближенных методов при расчете дисперсии случайных смещений пучков. Здесь показано также, что количественное прогнозирование дисперсии смещений на протяженных приземных трассах возможно только при одновременном учете дифракционного и турбулентного уширения пучков, а также влияния внешнего масштаба турбулентности.
Из результатов работы [70] следует, что взаимная корреляционная функция смещений разнесенных в пространстве лазерных пучков в случае приземной трассы имеет двухмасштабный характер. Меньший радиус корреляции пропорционален эффективному размеру пучка, а больший — внешнему масштабу турбулентности. Расчеты радиуса пространственной корреляции смещений пучков можно осуществить [71] при использовании модельного описания спектра турбулентности в энергетическом интервале волновых чисел, вводя эффективные величины внешнего масштаба турбулентности.
Результаты расчетов временных корреляционных функций и спектров смещений пучка приведены в [72]. Здесь показано, что основная частота временных случайных смещений обратно пропорциональна времени переноса неоднородностей через эффективный поперечный размер пучка. Форма и ширина спектров существенно зависят от условий фокусировки пучка и соотношения между величиной внешнего масштаба турбулентности и эффективным поперечным размером пучка. Основные выводы теории относительно пространственной корреляции и временных спектров случайных смещений лазерных пучков на приземных трассах получили экспериментальное подтверждение в работах [73, 74, 75, 76]. Расчеты смещений лазерного пучка в области насыщения относительной дисперсии флуктуаций интенсивности проведены в [58].
Далее остановимся на некоторых результатах, полученных в последнее время в области локационного распространения лазерных пучков в турбулентной атмосфере. Работы в этом новом направлении начали появляться сравнительно недавно и, по； видимому, по этой причине не нашли отражения в главе пятой настоящей монографии. При обсуждении современных методов теории распространения оптических волн в турбулентной атмосфере (глава 3) мы уже рассмотрели существующие методы теории локационного распространения лазерных пучков. Поэтому остановимся далее на физических закономерностях флуктуаций отраженных оптических волн в турбулентной атмосфере.
Особенности закономерностей локационного распространения по отношению к прямому распространению (однократное
прохождение волны вдоль трассы) возникают в результате корреляции полей прямой и обратной волн, проходящих в турбулентной атмосфере одни и те же неоднородности показателя преломления при отражении строго назад или в близких направлениях.
В результате такой корреляции возникает явление усиления средней интенсивности волны [77, 78] при отражении в турбулентной атмосфере. Суть этого явления состоит в том, что средняя интенсивность в направлении строго назад и близких к нему увеличивается как по абсолютной величине (по отношению к интенсивности в однородной среде) за счет потерь интенсивности в боковых направлениях, так и по отношению к интенсивности в боковых направлениях. Явление усиления средней интенсивности при сильных флуктуациях интенсивности изучалось в [79]. Здесь показано, что усиление имеет место только в тех случаях, когда увеличение угловой расходимости падающего на рассеивающее тело пучка за счет турбулентных неоднородностей не велико по сравнению с дифракционной расходимостью пучка в однородной среде. Если это условие выполнено, то явление усиления средней интенсивности наблюдается при любой ширине диаграммы рассеяния отражателя. Экспериментально явление усиления наблюдалось в работе [80]. В случае когда отражение происходит через тонкий слой, прилегающий к рассеивающему телу, вместо усиления может возникать [81] эффект ослабления средней интенсивности рассеянной волны в направлении строго назад. Усиление средней интенсивности происходит в области порядка первой зоны Френеля (при слабых флуктуациях интенсивности [77]) и порядка радиуса пространственной когерентности поля отраженной волны (в случае сильных флуктуаций интенсивности [79]), прилегающей к направлению строго назад.
Для получения выигрыша в средней интенсивности лазерного пучка, отраженного от плоского зеркала конечного диаметра (по сравнению с диффузным отражателем), диаметр зеркала целесообразно увеличивать [78] только до некоторого предела, определяемого турбулентными условиями распространения. При отражении лазерного пучка от плоского зеркала строго назад наряду с усилением происходит ослабление средней интенсивности по сравнению с однородной средой, такое же, как в случае прямой трассы учетверенной, а не удвоенной, длины.
Как было показано в работе [82], при отражении расходящегося лазерного пучка от плоского зеркала конечного диаметра радиус пространственной когерентности поля отраженной волны может превышать максимальное значение радиуса когерентности поля лазерного пучка, однократно прошедшего трассу. В условиях сильных флуктуаций интенсивности при отраже-
нии коллимированного лазерного пучка от круглого зеркала конечного диаметра наблюдается [83] существенная зависимость радиуса пространственной когерентности поля отраженной волны в направлении строго назад от числа Френеля для отражателя независимо от расходимости падающего на него пучка. В то же время зависимость радиуса пространственной когерентности поля отраженного пучка от числа Френеля падающего пучка наблюдается только при условии, что размер отражателя превышает некоторое значение, определяемое турбулентными условиями распространения. При отражении сферической волны от диффузной поверхности пространственная когерентность поля оказывается анизотропной [84], в то время как пространственная когерентность поля плоской волны, рассеянной диффузным диском, остается изотропной [84].
При расчетах флуктуаций интенсивности сферической волны, рассеянной точечным отражателем назад в случайно-неоднородной среде, было обнаружено усиление [85] относительной дис- персиии слабых флуктуаций логарифма интенсивности по отношению к ее значению при распространении вдоль трассы удвоенной длины и появление [86] остаточной пространственной корреляции флуктуаций интенсивности. Оба этих явления были подтверждены экспериментально в работах [87, 88]. В дальнейшем явление усиления относительной дисперсии слабых флуктуаций изучалось [87, 89] при отражении лазерного пучка от безграничного зеркала. Расчеты сильных флуктуаций интенсивности лазерных пучков, отраженных в турбулентной атмосфере, показали [90, 91], что усиление относительной дисперсии и остаточная пространственная корреляция наиболее заметно проявляются в случае отражения лазерного пучка от точечного рассеивателя. При этом количественная мера эффектов определяется угловой расходимостью падающего на отражатель пучка. При отражении узкого коллимированного пучка от плоского зеркала конечного диаметра имеет место [92, 93] существенное увеличение относительной дисперсии в области ее максимальных значений по сравнению с прямым распространением пучка. В то же время при отражении этого пучка от уголкового отражателя наблюдается [93] уменьшение относительной дисперсии по сравнению с прямой трассой.
При изучении смещений изображений плоского зеркала и уголкового отражателя в фокальной плоскости приемного телескопа при слабой дифракционной и турбулентной расходимости лоцирующих лазерных пучков расчетным путем было установлено [94], что дисперсия смещения зеркала в два раза превышает дисперсию смещений изображения источника, удаленного от телескопа на удвоенное расстояние» а изображение уголкового отражателя в фокусе телескопа не смещается. Эти вы*
воды были подтверждены экспериментально [95]. Обширный цикл исследований по флуктуациям отраженного через турбулентную атмосферу излучения в фокальной плоскости приемной линзы опубликован в [96—99].
В целом изучение проблемы распространения лазерных пучков при лазерной локации в турбулентной атмосфере далеко от своего завершения. Здесь необходимо проводить дальнейшее исследование статистических характеристик поля отраженных волн в зависимости от формы и размера рассеивающих тел, свойств отражающей поверхности, угловой расходимости освещающих отражатели лазерных пучков, рассматривать статисти- чески-неоднородные трассы типа земля ——самолет, земля ——космический корабль. Остается нерешенным широкий круг задач локационного распространения лазерных пучков, связанных с разработкой методов и средств адаптивной турбулентной оптики, позволяющей компенсировать искажающее влияние атмосферы. Актуальным является исследование рассеяния волн естественным аэрозолем в условиях турбулентной атмосферы, так как их результаты позволяют разработать моностатистические дистанционные методы зондирования атмосферной турбулентности, не требующие размещения передатчика и приемника на разных концах трассы.
В главе 5 настоящей монографии вопросам зондирования атмосферной турбулентности и скорости ветра с помощью просвечивания атмосферы лазерным пучком уделено значительное внимание. Мы рассмотрим ниже последние достижения в этой области. Обстоятельный обзор и детальное изложение методов зондирования структурной характеристики и функционального вида спектров флуктуаций показателя преломления содержатся в монографии [3]. В последнее время было обнаружено теоретически и подтверждено экспериментально [42, 43, 44], что дифракционное увеличение пространственной когерентности поля узкого коллимированного пучка необходимо учитывать при определении структурной характеристики флуктуаций показателя преломления С^ из уширения среднего изображения лазерного источника в фокальной плоскости приемной линзы. Расчет величины С〃2 по формулам, полученным для случая освещения приемной линзы простейшей плоской волной [100, 101], может привести к ошибке более чем в 4 раза, причем величина этой ошибки изменяется в зависимости от измеряемого значения Сг?. Существенно расширяются возможности моностатистиче- ского лазерного зондирования структурной характеристики флуктуаций показателя преломления при использовании отражения света от естественного атмосферного аэрозоля [102]. Становятся реальными измерения скорости ветра [103, 104] из анализа взаимных временных спектров флуктуации интенсив-
ности лазерного пучка, принимаемого в пространственно-разне^ сенных точках.
Не являясь прямыми специалистами в области оптической связи и передачи изображений, при обсуждении шестой главы монографии мы ограничимся кратким комментарием к некото рым работам советских авторов в этой области.
Глава 6. Передача изображений и оптическая связь через турбулентную атмосферу.
Детальный обзор проблемы наблюдения объектов через турбулентную атмосферу, включая обсуждение различных опти-> мальных методов обработки световых полей с целью уменьшения искажающего влияния атмосферы, содержится в [105—107]. Последние результаты по оптимальной обработке световых полей, искаженных турбулентной атмосферой, с целью улучшения качества изображения объектов показали [108], что в случае большого отношения сигнал/шум оптимальной является адаптивная обработка искаженных атмосферой световых полей.
Вопросы статистики фотоотсчетов в оптических линиях связи с учетом прохождения лазерных пучков через турбулентную атмосферу рассмотрены в [109]. Имеются попытки [НО] применить адаптацию квазиоптимального приемника импульсного ла， зерного излучения к изменениям уровня атмосферной турбулентности. Современное состояние и перспективы разработок космических лазерных линий связи освещены в обзоре [111].
Переходя к последней седьмой главе книги, посвященной тепловому расплыванию лазерных пучков в атмосфере, мы считаем необходимым указать на основополагающие работы советских авторов, посвященные этой проблеме.
Глава 7. Тепловое расплывание лазерного пучка в атмосфере.
Результаты первых исследований явления самофокусировки пространственно-ограниченных пучков в средах с различными механизмами нелинейности показателя преломления систематизированы в обзорах [112—117]. Гидродинамически-неустановив- шаяся (начальная) стадия процесса взаимодействия пучка с поглощающим газом теоретически исследовалась в работах [118—120].
Наибольший интерес с точки зрения низкопороговых эффектов теплового расплывания лазерного пучка представляет задача распространения «длинных» световых импульсов (по сравнению с временем установления постоянного давления в пучке) и пучков непрерывного излучения. В этом случае основными механизмами, лимитирующими величину нагрева среды пучком, являются молекулярная и турбулентная теплопроводности, боковой ветер и фотоабсорбционная конвекция. Самофокусировка и ветровое отклонение лазерных пучков исследовались экс-
периментально и теоретически в большом числе работ, например [114, 117, 121 —129]. Фотоабсорбционная конвекция и ее влияние на структуру пучка рассмотрены в [129——133]. Тепловое самовоздействие последовательности импульсов изучалось в [119, 129]. В работах [134] и [128] соответственно исследован эффект кинетического охлаждения при резонансном возбуждении молекулярного газа и оценено его влияние на самофокусировку пучка.
В последние годы имел место существенный прогресс в развитии и применении численных методов к задачам теплового самовоздействия лазерного излучения. Это позволило, в частности, исследовать влияние сканирования мощного пучка относительно поглощающей атмосферы и рассчитать искажения пучков сложного начального профиля, отличающегося от гауссова [124, 126—128, 135—137].
В реальной атмосфере тепловые искажения интенсивных лазерных пучков могут быть вызваны нелинейным взаимодействием излучения с поглощающими частицами аэрозоля. При этом возникает ряд новых эффектов самовоздействия пучка, обусловленных пространственно-локализованным характером теплопереноса в среде при наличии поглощающих центров и разрушении этих центров под действием излучения. Теоретическому и лабораторному исследованию эффектов теплового самовоздействия пучков в твердом и жидкокапельном аэрозоле посвящено значительное число работ. Их детальная характеристика выходит за рамки нашего рассмотрения. Наиболее крупными обзорными и монографическими публикациями по данной теме являются [138—143].
Литература
Татарский В. И, Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере. — М.: Изд-во АН СССР, 1959.
Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере.——М.: Наука, 1967.
Гурвич А. С., К。# 4 〃•，Миронов В.几 Хмелевцов С. С. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере. Отв. ред. В. И. Татарский. —М.» Наука, 1976.
Барабаненков Ю. 〃.，Кравцов Ю. 4, Рытое С. М., Татарский 8 И УФН, 102, вып. 1, 3—42, 1970.
Семенов А. Д., Арсеньян Т. И. Флуктуации электромагнитных волн на приземных трассах. — М.: Наука, 1978.
Андреев Г. А., Бисярин В. П., Соколов А. Л., Стрелков Г. М. — В кн.: Итоги науки и техники. Радиотехника. — М.: Изд. ВИНИТИ 1 5f 14$ 1977.''
Рытое С. М., Кравцов Ю. 4, Татарский В И. Введение в статистическую радиофизику. Часть 〃. 一 М : Наука, 1978.
Кляцкин В И. ЖЗТ①，65, 54—60, 1973.
Гельфгат А И. Акустич. журнал, 22, 123, 1976.
Саичев А. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 21, 1290—1293, 1978.
Фейзулин 3. И., Кравцов Ю. А. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 10, 68— 73, 1967.
Кравцов Ю. 4, Фейзулин 3. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 12, 886— 893, 1969.
Кон А. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 13, 61—70, 1970.
Чернов Л. А. Волны в случайно-неоднородных средах.——М.: Наука, 1975.
Прохоров Д. М, Бункин Ф. В., Гочелашвили К. С., Шишов В. И, УФН 102, 3—42, 1974.
Кляцкин В. И. Татарский В И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, /5, 1433— 1455, 1972.
Кляцкин В. И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. — М., Наука, 1975.
Гочелашвили К. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 14, 592—596, 1971.
Gochelashvily К. S. Preprint N172. Academy of Science of the USSR, P. N. Lebedev Physical Institute. — M., 1971.
Banakh V. A., Mironov V. L. Optics Let. 1, 172——174, 1977.
Банах В. 4, Миронов В.刀.一В кн.: Распространение оптических волн в случайно-неоднородной атмосфере.——Новосибирск; Наука, Сибирское отделение, 3—22, 1979.
Banakh V. 4, Mironov К L. Optics Letters, 4, 259—261, 1979.
Миронов В.力.——В кн.: XII Всесоюзная конференция по распространению радиоволн: Тез. докл. Часть II. — М.: Наука, 118—121, 1978.
Aksenov V. Р., Mironov К. L. Optics Letters, 3, 184—186, 1978.
Аксенов В. /7., Миронов В. Л., Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 22, 604— 613, 1979.
Aksenov К Р., Mironov V. L. JOSA, 69, 1609—1614, 1979.
Якушкин И. Г. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 18, 1660—1666, 1975.
Заворотный В. У., Кляцкин В.方.，Татарский В. И. ЖЭТ①，23, 481—497,
1977.
Марчук Г. И., Михайлов Г. 4, Назаралиев М. 4, Дарбинян Р. Л
Каргин Б. Д., Ёлепов Б. С. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике.— Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1976.
Елепов 6. С., Михайлов Г. А. ЖВМ и МФ, 16, 1264—1275, 1976.
Гурвич 4 С., Елепов Б. С., Покасов Вл. А, Сабельфельд К. К., Татарский В. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 22, 198—207, 1979.
Якушкин И. Г. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 21, 1194—1201, 1978.
Миронов В. Л., Патрушев Г. Я. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 15, 1422— 1423, 1972.
Миронов В. Л., Патрушев Г. Я., Покасов В. В., Щавлев Л. И. Изв. ВУЗов, сер Радиофизика, 18, 450—452, 1975.
Миронов В. Л., Патрушев Г. Я. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 15, 1422— 1423, 1972.
Миронов В.，.，Патрушев Г. Я., Ту зова С. И. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 17, 94—104, 1974.
Миронов В. Л., Щавлев Л. И. Радиотехника и электроника, 20, 413—416, 1975.
Миронов В. Л., Патрушев Г. Я. Квантовая электроника, 2, 1737—1741, 1975.
Миронов В. Л., Патрушев Г. Я., Покасов В. В., Щавлев Л. /7. — В кн.: Распространение оптических волн в случайно-неоднородной атмосфере.—- Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979.
Миронов В. Л., Пхалагов Ю. А. Изв. ВУЗов, сер. Физика, № 1, 145—147， 1972.
Банах В. 4, Миронов В. Л. Мышкина Т. В. Изв. АН СССР, сер.《①н” зика атмосферы и океана», 9, 539—543, 1973
Беленький М, С., Кон Д. 〃.，Миронов В. Л. Квантовая электроника, 4, 517—523, 1977.
Беленький М. С., Бороноев В. В., Гомбоев Н. 〃.，Миронов В. Л. Изв. ВУЗов, сер Радиофизика, 22, 1230—1235, 1979.
Belen%" М. S., Boronoev У У., Gomboev М Ts., Mironov V. L. Optics Letters, 5, 67—69, 1980.
Беленький M. С., Миронов В. 〃. Квантовая электроника, 7, 1042——1047, 1980.
Belenkii M. S , Mironov V. L. J. Opt. Soc. Amer. 70, 159—163, 1980.
Беленький M С., Бороноев В. А, Гомбоев 〃 Ц, Миронов В. 〃.，Трубачеве Э. 4 Оптика и спектроскопия, 48, 595—599, 1980.
Banakh V Д , Krekou G. М., Mironov V. L., Khmelevtsov S. S., Tsvik R. Sh. J Opt. Soc. Amer, 66, 730—735, 1976
Gochelashvily К M Optica Acta, 20, 193—206, 1973.
Гочелашвили К. С. Квантовая электроника, 1, 848—857, 1974.
Банах В. А , Креков Г. М., Миронов В. Л. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 17, 252—260, 1974.
Съедин В Я., Хмелевцов С. С, Цвык Р. Ш. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 15, 798—800, 1972
Грачева М. Е, Гурвич А. С, Каллистратова М. А , Старобинец И. Л. Радиотехника и электроника, 15, 1290, 1970
Гурвич А. С, Старобинец И. А. Изв ВУЗов, сер. Радиофизика, 14, 1834— 1837, 1971.
Беленький М С., Миронов В. Л. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 17, 1050—1057, 1974.
Банах В. А , Миронов В. Л. Квантовая электроника, 2, 2163—2170, 1975.
Гурвич А. С, Кашкаров С. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 18, 69—73, 1975.
Белоусов С 〃.，Якушкин И. Г. Квантовая электроника, 7, 530—537, 1980.
Балданов Ж. 77., Бороноев В. В., Занданова Г. И., Миронов В. 〃.，Трубачев Э. 4. — В кн.: V Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере: Тез. докл ч. II, Томск, 1979, с. 104—107.
Банах В. А., Миронов В.力.——В кн.: II Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере: Тез. докл Томск, 1973, с. 268-270
Банах В. А , Бороноев В. В, Гомбоев Н. 〃.，Зубрицкий Э. А, Миронов В. Л., Цыдынов Ч Ц. — В кн : Распространение оптических волн в случайно-неоднородной атмосфере.——Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979, с 23—39.
Банах В. 4, Миронов В Л Квантовая электроника, 5, 1535—1542, 1978.
Г омбоев ". Ц, Зубрицкий Э. В, Малыгина 穴 Ф., Миронов В. Л., Хмелевцов С С Квантовая электроника, 2, 1262—1267, 1975.
Бороноев В. В., Гомбоев ". 〃.，Миронов В. Л., Трубачеев Э. Л Изв. ВУЗов, сер Радиофизика, 23, 322—325, 1980
Грачева М Е, Гурвич А. С., Кашкаров С С., Покасов Вл. В. ЖЭТФ, 67, 2035—2646, 1974.
Гурвич А. С., Покасов Вл. В. Изв. ВУЗов, сер Радиофизика, 16, 913— 917, 1973.
Гурвич А. С., Казарян Р. 4., Ломадзе С. О, Погосян К. П, Покасов Вл. В. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 18, 610—613, 1975
Кон 4 勿.，Миронов В 力.，Носов В В Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 19, 1015—1018, 1976.
Mironov У L, Nosov V. V. J. Opt. Soc. Amer., 67, 1073—1080, 1977.
Кон А. И, Миронов В Л, Носов В В, Изв ВУЗов, сер Радиофизика, 17, 1051-1511, 1974
Миронов В. Л., Носов 8. В. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 17, 247—251, 1974.
Миронов В. Л., Носов В. В. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 18, 990一 996, 1975.
Воробьев М. И, Дрофа А. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 20, 1711— 1717, 1977.
Дрофа А. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 20, 1704—1710, 1977.
Дрофа А. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 21, 1202—1211, 1978.
Воробьев М. И., Дрофа 4 С. — В кн.: Первое Всесоюзное совещание по атмосферной оптике. Д. 3. Е. Доклады. Томск, 1976, ч. 1, с. 162—166.
Виноградов А. Л, Кравцов Ю. Д., Татарский В. 〃. Изв. ВУЗов, сер. радиофизика, 16, 1064—1070, 1973.
Беленький М. С., Миронов В. Л. — В кн.: Квантовая электроника. Сб. статей, под ред. Басова Н. Г. — М: Сов. радио, № 5 (11), 38—45, 1972.
Аксенов В. 〃.，Миронов В. 〃. Изв ВУЗов, сер Радиофизика, 22, 141— 194, 1979.
Гурвич А. С., Кашкаров С. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 20, 794 — 796, 1977.
Тамойкин В. 〃. Изв ВУЗов, сер Радиофизика, 23, 380—383, 1980.
Беленький М. С., Миронов В, Л. — В кн.: IV Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере. Распространение лазерного излучения в турбулентной атмосфере: Тез. докл. Томск, 1977, с. 149—153.
Аксенов В. 77., Банах В. 4, Миронов В. Л. — В кн.: Распространение оптических волн в случайно-неоднородной атмосфере.——Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979, с. 47—55.
Аксенов В. 〃.，Банах В. 4, Миронов В. Л. — В кн.: II Совещание по атмосферной оптике: Тез докл Часть II. Томск, 1980, с. 124——127.
Виноградов 4 Г., Кравцов Ю. 4 — В кн.: VI Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн: Краткие тексты докл. — М.: Ереван, 1973, кн. 1,с. 294—298.
Беленький М. С., Миронов В. Л. Квантовая электроника, t, 2253——2263, 1974.
Покасов В. В., Патрушев Г. Я., Лукин В. 〃.，Петров А. И., Емале- ев О. Н. — В кн.: XII Всесоюзная конференция по распространению радиоволн: Тез. докладов. Часть II, Томск, 1978, с. 122—124.
Беленький М С., Макаров А. А , Миронов В. 〃.，Покасов В. В. Изв ВУЗов, сер. Радиофизика, 21, 299—301, 1978
Патрушев Г. Я., Квантовая электроника, 5, 2342—2347, 1978.
Аксенов В. 〃.，Банах В. 4, Миронов В.力.一В кн.: V Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере: Тез. докладов. Часть II, Томск, 1979, с. 13—17
Аксенов В. 〃.，Банах В. 4, Миронов В. Л. — В кн. II Совещание по атмосферной оптике: Тез. докладов. Часть II, Томск, 1980, с. 128—130.
Аксенов А 〃.，Банах В. 4, Миронов В. Л. Квантовая электроника 3, 2297—2302, 1976.
Аксенов В. 〃.，Гомбоев Н. 〃.，Зубрицкий Э. В., Малыгина Г. Ф., Миронов В. Л., Трубачев Э. А. — В кн.: Распространение оптических волн в случайно-неоднородной атмосфере.——Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979, с. 40—48.
Миронов В. 〃.，Носов В. В., Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 20, 1530一 1533, 1977.。
Лукин В. 77., Сазанович В. М, Слободян С. М. — В кн.: V Всесоюзный симпозиум по лазерному и акустическому зондированию атмосферы: Тез. докл. Часть III. Томск, 1978, с. 43—47.
БеловМ.Л.,ОрловВ.М.Оптикаиспектроскопия,44,398——400.,1978.
БеловМ.Л.,ОрловВ.М.Оптикаиспектроскопия,44,594—596,1978.
БеловМ.Л.,ОрловВ.М.Оп гикаиспектроскопия,48,134—136,1980・
Белов М. Л., Орлов В. М. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 22, 290—294, 1979.
Артемьев А. В. Радиотехника и электроника, 14, 544—546, 1969
Артемьев А. В., Гурвич А. С. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 14, 734— 738, 1971.
Беленький М. С., Макаров А. А , Миронов В. 〃.，Покасов В В. — В кн.: VI Всесоюзный симпозиум по лазерному и акустическому зондированию атмосферы: Тез. докл. Часть I, Томск, 1980, с. 164—167.
Безверхний В. 4, Гурвич А. С., Покасов Вл. В. Изв АН СССР, сер. «Физика атмосферы и океана», 14, 102, 1978.
Патрушев Г. Я. — В кн : II Совещание по атмосферной оптике: Тез. докладов. Часть II, Томск, 1980, с 57—60.
Бакут П. А., Устинов 方.Д, Троицкий И. Н., Свиридов К. И. Зарубежная радиоэлектроника, № 7, 15——42, 1976.
Бакут П. А , Устинов Н. Д., Троицкий И. 〃.，Свиридов К. И. Зарубежная радиоэлектроника, № 9, 3——30, 1976.
Бакут П. 4, Устинов Н Д., Троицкий И. 〃.，Свиридов К. И. Зарубежная радиоэлектроника, № 1, 3—29, 1977.
Бакут 力.4, Свиридов К "., Троицкий И. "., Устинов Н, Д. Радиотехника и электроника, 24, 1501 —1506, 1979.
Бакут 77. А., Свиридов К. ", Устинов Н. Д. Квантовая электроника, 6, 1932—1941, 1979.
Казарян Р. А , Оганесян А В. Квантовая электроника, 6, 619——623, 1979.
Гуляев Ю. Д., Манжура Ю. Г. Зарубежная радиоэлектроника, № 9, 38—— 49, 1979
Ахманов С. 4, Сухоруков 4 〃.，Хохлов Р. В. У①Н, 93, 1967.
Беспалов В. 〃.，Литвак А. Г., Таланов В. И.——В кн Нелинейная оптика.—Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1968, с 428—463.
Akhmanov S. Л , Krindach D.尸.，Sukhorukov A.立，Khokhlov R. V. IEEE, QE-4, 568, 1968.
Луговой В. H, Прохоров А. М. УФН, 111, 203, 1973.
Аскарьян Г. 4, У①Н, 111, 249, 1973.
Сухоруков А. П. — В кн.: Нелинейные процессы в оптике. Труды I Вавиловской конференции по нелинейной оптике.——Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979, с. 61.
Райзер Ю. П. ЖЭТФ, 52, 470, 1967.
Арманд С. А. Препринт № 14, ИРЭ АН СССР, 1973.
Воробьев В. В. Квантовая электроника, 3, 605, 1976.
Аскарьян Г. Д., Михалевич В. Л, Студеное В. 5., Шипуло Г. П, ЖЭТФ, 59, 1917, 1970
Петрищев В. 4, Таланов В. И. — В кн.: Квантовая электроника Сб. статей. Под ред. Басова Н. Г. — М.: Сов. радио, № 4 (10), 170, 1971.
Алешкевич В. А., Сухоруков 4. П. Письма в ЖЭТФ, 12, 112, 1970.
Воробьев В. В. Изв. ВУЗов, сер. Физика, № 11, 61, 1977.
Мигулйн А. В. Кандидатская диссертация МГУ, М., 1973.
Агровский Б. С., Воробьев В. В., Каллистратова М. 4, Шеметов В. В. Квантовая электроника, 5, 1341, 1978.
Воробьев В. В., Муравьев Н. Я., Сорокин Ю. М, Шеметов А В. Квантовая электроника, 4, 2330, 1977.
Воробьев В. А, Шеметов В. В. Препринт ИФА АН СССР, М, 1978.
Егоров К. 〃.，Кандидов В. /7. — В кн.: V Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере: Тез. докладов. Часть III, Томск, 1979, с. 32.
Лыков А. В., Берковский Б. М. Конвекция и тепловые волны —М.: Энергия, 1974.
Герасимов Б. 〃.，Гордиенко В. М., Сухоруков А. П. ЖТФ, 45, 2485, 1975.
Петрищев В. А., Шерокова Н. М., Яшин В. Е. Изв. ВУЗов, сер. Радио* физика, 18, 963, 1975.
Воробьев В. А, Шеметов В. В. Изв. АН СССР, Сер. Физика атмосферы и океана, 11, 311, 1975.
Ахманов С. 4, Гордиенко А М., Панченко В. Я. Изв. ВУЗов, сер. фи. зика, № 11, 14, 1977.
Сухоруков А. 〃., Шу милов Э. Я. — В кн.: XII Всесоюзная конференция по распространению радиоволн: Тез. докладов. Часть III. — М.: Наука 1978, с 168'
Вдовин 8. 4, Сорокин Ю. М.— В кн.: XII Всесоюзная конференция по распространению радиоволн: Тез. докладов. Часть II. — М: Наука 1978, с. 170.'
Сухоруков А. 77., Шу милов Э. И,——В кн.: IV Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере: Тезисы докладов. Часть III, Томск, 1977, с. 160.
Зуев 8. Е. Распространение видимых и инфракрасных волн в атмосфере.—М.: Сов. радио, 1970.
Зуев В. Е, Копытин Ю. Д. Изв. ВУЗов, сер. Физика, № 11, 79, 1977.
Зуев В. Е, Кузиковский А. В. Изв. ВУЗов, сер. Физика, № 11, 106, 1977.
Бисярин В. 77., Колосов М. 4, Пожидаев В. 〃.，Соколов А. В. Изв. ВУЗов, сер. Физика, № 11, 154, 1977.
Труды института экспериментальной метеорологии. Вып, 18(71), Оптика атмосферы. — М.: Гидрометеоиздат, 1978.
Зуев В. Е., Копытин Ю. Д., Кузиковский А. В. Нелинейные оптические эффекты в аэрозолях. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1980.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адаптация наклона и радиуса кривизны 369
Адаптивных координат метод 367, 369
Адиабатические процессы 199, 334
Активные системы зондирования 198
Акустическая локация 33, 198
Акустический импульс 314
время распространения 288, 308, 312, 326, 330, 349, 372
Алгоритмы численного моделирования 357
неявные и явные 359
смешанные 362
Амплитуда 91, 103, 352
в фокальной плоскости 296
Амплитудная фильтрующая функция 102
Амплитуды дисперсия 169 ковариационная функция 103 профиль 295 спектр 48
флуктуации 44, 101
Апертура передающая (излучающая)
171, 177, 180, 248
Апертурное усреднение флуктуаций 267
Белый шум 246, 252—258
Бесконечный линейный источник 316
Бете — Солпитера уравнение 170, 183
Ближняя зона дифракции 228, 246
Боковой сдвиг лучей 341
Борна приближение 13, 52, 62, 65
Быстрое преобразование Фурье 359, 364
Бэкуса — Гилберта метод 206, 210
ван Циттерта — Цернике теорема231, 234
Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) приближение 297
Вероятность ошибки приемника 261, 264, 270—272
Взаимной когерентности функция 76, 80, 98, 104, 106, 224, 231
Взаимный спектр 182, 203
Гаусса теорема 293
Гауссов пучок 283, 289, 349
в поперечном потоке 324 одномерный 341
сфокусированный 345, 350
цилиндрически-симметричный 325, 350
Гауссова случайная функция 71
Геометрическая оптика 12, 64, 90, 93, 283, 337
Гетеродинный прием 214, 255, 263, 269
Гипергеометрическая функция 176,183
Гладстона — Дейля постоянная 280, 302
Грина функция 42, 66, 68, 70, 75, 105, 218, 225, 246, 306, 316, 327, 360, 366
Гюйгенса принцип 301
Гюйгенса — Френеля принцип 170, 183
Дайсона уравнение 73, 170, 183
Дальняя зона дифракции 227, 249
Даусона интеграл 325
Деполяризация 10, 62, 68, 219
Диаграммный метод 69, 76, 183
Дирака дельта-функция 317, 377
Дифракция 94, 96, 282, 346
одномерная 295
Диффузии уравнение 44
«Замороженная турбулентность» 27,
139
Зоммерфельда условие 300
Излучающая апертура 294
Изопланатизм 232, 236, 241, 245
Интенсивность средняя 177, 189—191
распределение 291, 343, 353
Квазиоптическое приближение 63
Кирхгофа приближение 294
теория дифракции 294
Ковариации функция 28, 99, 103, 109,
204
матрица 209
Когерентности время 169, 221, 230
диаметр 255
область 228, 258, 262
полоса 169
радиус 99, 228, 234, 243, 249
спектр 207
функция 84, 104, 107, 131—134, 140, 183
Колмогорова масштаб 131—134 спектр 48, 116, 184, 199, 204, 225
Колмогорова — Обухова модель 49,
90
спектр 52, 175
Конвективное охлаждение 285
Конвективный поток 378
Корреляции коэффициенты 155
метод наклона 200, 205
радиус 188
функция 1691a 194
Леонтовича уравнение 135
Лидар 198
Логарифм амплитуды 45, 170
дисперсия 51, 57, 183
спектр 49
флуктуации 106, 174, 202, 222, 247
Локальный метод малых возмущений
(ЛММВ) 67, 85
Максвелла уранения 287
Маркова приближение 68, 77
процесс 13, 67, 77
Масштаб турбулентности 21, 31, 40, 43, 89, 176, 204
Маха число 309
Метод встречной прогонки (МПВ) 364
Метод малых возмущений 13, 41 плавных возмущений (МПВ) 62, 64, 170
Моменты второго порядка 169 высших порядков 82 распределения 123 четвертого порядка 78, 171, 194
Наименьших квадратов метод 206
Насыщение дисперсии флуктуаций
65, 88, 99, 102, 119, 126, 268 Начальная (ранняя) стадия процесса 306, 323, 349, 372 Неустойчивая ситуация 207 Норма матрицы 207
Обратного преобразования теорема
351
Обращения метод 206
Относительное изменение плотности
316, 341, 372, 374
в движущейся среде 305
Отношение сигнал/шум 257, 263, 267
Параболический профиль нагрева 318, 328, пучок 322
Параболическое приближение 63, 66
уравнение 77, 170, 183
Параксиальные пучки 287, 295, 352
Пассивное дистанционное зондирование 198
Перенасыщение 108
Пересекающихся пучков метод 211
Поглощение с временной задержкой
335
Поглощения коэффициент 281, 304
потери 293
эффект 9, 280, 283
Поздняя стадия процесса 308, 324, 329
Показатель преломления 9, 20, 22, 27, 89, 280, 287, 296, 301, 341
Прогонка 358
Продольный масштаб 109, 131, 133
Пространственно-разнесенный прием
265
Прямое детектирование 214, 253, 256, 263, 269
Пучка временные параметры 284
Пучка блуждание 169, 181, 196
интенсивность 180, 281, 304
качество 284
размеры 169 —171, 181, 188
сканирование 205
тепловое расплывание 177, 188, 196,
248, 288
центр тяжести 196
Пучок коллимированный 170, 176, 179, 190,*88
расходящийся 144, 170
сфокусированный 170, 176, 180,284
усеченный 365
Расплывание лазерного пучка 360
Распределение вероятностей 155, 169 логарифмически-нормальное 65| 121, 124, 148, 155
Райса — Накагами 65, 100, 120, 124
Рэлея 65, 120, 124, 149
Рассеяние многократное 41, 52, 56,
67, 74, 89, 99
однократное 41, 56, 120
Рикатти уравнение 13, 63
Рытова метод 13, 52, 64, 170, 215,
223
Сильных флуктуаций теория 183
Симметричные разности 361
Система координат неадаптивная 367
Соотношения подобия 130
Сплайны 359
Тейлора гипотеза замороженности 174 разложение 305—309, 329, 332, 335, 354
Тепловое расплывание 11, 278, 284, 336
Теория слабых флуктуаций 173
Точка перетяжки пучка 291
Точность восстановления 210
Турбулентность 9, 20, 29, 248
однородная 176
распределение интенсивности 222
Угол прихода 12, 181, 248, 258
Условие устойчивости 361
Фазовое приближение 296, 301, 337, 352
Фазы набег 280, 348, 352
структурная функция 109, 181 флуктуации 44, 48, 50, 90, 174, 182, 214, 222
фронт 292
фон Кармана спектр 31
Френеля зона 43, 51, 55, 63, 134, 138 приближение 356 число 227
Фг/рье-преобразование 306, 312, 319, 374, 383
Фурье — Стилтьеса интеграл 28, 45 преобразование 24
Центральная предельная теорема 123
Центральный разностный оператор
361
Численное моделирование 357
гидродинамических уравнений 372
Ханкеля преобразование 290, 306, 315, 325, 328, 351, 384
Характеристический функционал 82, 123, 125
Электрострикция 333—336
Эффективность вычислений 366
Глава 1 ВВЕДЕНИЕ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА ВГлава 1 ВВЕДЕНИЕ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА ВСОДЕРЖАНИЕ
Глава 1 ВВЕДЕНИЕ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В
Глава 1 ВВЕДЕНИЕ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В
АТМОС①ЕР匸 Д. СТРОБЕН 9
Краткая история11
Структура книги14
Литература16
Глава 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В
ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ. С. Ф. КЛИФФОРД18
Характеристика атмосферы20
Показатель преломления атмосферы20
Роль атмосферной турбулентности20
Модель турбулентных флуктуаций показателя преломления 22
Стационарные случайные функции24
Спектральная плотность мощности флуктуаций показателя преломления27
Поведение % в свободной атмосфере31
«Классическая» теория распространения оптических волн . . . 39
Волновое уравнение распространения оптических волн . . 39
Результаты метода малых возмущений41
Корреляционные и структурные функции для модели турбулентности Колмогорова — Обухова49
Качественная интерпретация результатов теории однократного рассеяния . 53
Первые экспериментальныеисследования55
Литература58
1 19 7 802584467 966 667788880000 1211 11 111 19 7 802584467 966 667788880000 1211 11 11Глава 3. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ. Д. СТРОБЕН ..
1 19 7 802584467 96
6 667788880000 12
11 11 11
1 19 7 802584467 96
6 667788880000 12
11 11 11
Обозр
Диаграммный метод
Марковское приближение
Вывод уравнения для среднего поля
Вывод уравнения для функции взаимной когерентности ..
Вывод уравнений для высших моментов
Локальный метод малых возмущений (ЛММВ)*
Эвристические теории для области насыщения
Результаты
Среднее поле 〃(г)
Функция взаимной когерентности
Функция когерентности четвертого порядка
Плотность распределения вероятностей флуктуаций интенсивности
Литература
Глава 4. СООТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ И ИХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ПРИ СИЛЬНЫХ ФЛУКТУАЦИЯХ ИНТЕНСИВНОСТИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ. М. Е. ГРАЧЕВА, А. С. ГУРВИЧ, С.С.КАШКАРОВ, В. В. ПОКАСОВ130
Введение130
Вывод соотношенийподобия131
Соотношения подобия для функций когерентности второго порядка131
Соотношения подобия для функции когерентности четвертого порядка134
Физический смыслмасштабовLr и1т138
Сравнение с экспериментальными результатами139
Соотношения подобия для функций когерентности более высоких порядков140
Соотношения подобия при большом внутреннем масштабе турбулентности141
Схема эксперимента и методика измерений145
Результаты измерений и их обсуждение147
Распределение вероятности флуктуацийинтенсивности. .147
Зависимость распределения вероятностей отпараметраPg149
Относительная дисперсия Р2150
Коэффициенты корреляции флуктуацийинтенсивности. .155
Спектры флуктуаций интенсивности158
Сильные флуктуации интенсивности в турбулентной среде с большим внутренним масштабом163
Заключение166
Литература167
Глава 5. ВОЛНОВОЙ ПУЧОК И ДИСТАНЦИОННОЕ ЗОНДИРОВАНИЕ. А ИСИМАРУ
Теория слабых флуктуаций
Дисперсия флуктуаций логарифма амплитуды
Средняя интенсивность и уширение пучка
Угол прихода
Временные частотные спектры
Теория сильных флуктуаций
Функция когерентности в условиях сильных флуктуаций интенсивности
Временной частотный спектр
Двухчастотная функция когерентности
Моменты поля четвертого порядка
Уширение пучка при большом и малом времени усреднения
Оптическое дистанционное зондирование
Дистанционное зондирование усредненной вдоль трассы структурной характеристики С^
Дистанционное зондирование усредненной по трассе поперечной скорости ветра Метод, основанный на измерении временного спектра . • • Метод временного запаздывания Метод наклона корреляционной функции
9 3 5 7 113 3 3 4 4 6 8 9 0 0 35 5 6 7 06 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 о о о о о о о 111 <1 1А 1 11 1 1 11 11 11 1 11 «1 ^4 ох О! СЧ 04 04 СЧ9 3 5 7 113 3 3 4 4 6 8 9 0 0 35 5 6 7 06 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 о о о о о о о 111 <1 1А 1 11 1 1 11 11 11 1 11 «1 ^4 ох О! СЧ 04 04 СЧДистанционное зондирование профиля структурной характеристики и скорости ветра вдоль трассы распространения Оценивание методом наименьших квадратов Метод статистического обращения Метод обращения Бэкуса — Гилберта
9 3 5 7 113 3 3 4 4 6 8 9 0 0 35 5 6 7 0
6 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 о о о о о о о 111 <1 1А 1 11 1 1 11 11 11 1 11 «1 ^4 ох О! СЧ 04 04 СЧ
9 3 5 7 113 3 3 4 4 6 8 9 0 0 35 5 6 7 0
6 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 о о о о о о о 111 <1 1А 1 11 1 1 11 11 11 1 11 «1 ^4 ох О! СЧ 04 04 СЧ
5.3.4. Другие методы дистанционногозондирования211
Метод пересекающихся пучков211
Апертурный метод пространственной фильтрации . • . • 211
Литература 211
Глава 6.①ОРМИРОВАННЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ОПТИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ. Д. Г. ШАПИРО • • • •
Модель распространения
Обобщенный принцип Гюйгенса — Френеля
Статистические свойства функции Грина .......
Разложение по нормальным модам
Прикладные задачи в проблеме формирования изображений •.
Распространение некогерентного излучения
Формирование изображения тонкой линзой
Интерференционные методы формирования изображения
Формирование изображения с применением фазовой компенсации
Теория оптимального формирования изображения, использующая разложение по собственным волнам
Прикладные вопросы распространения волн в проблеме связи ..
Распространение волн в канале связи земля — космос ♦.
Статистические свойства продетектированных оптических сигналов
Приемник с дифракционным разрешением
Пространственно-разнесенный прием
Взаимность точечных источников
Глава 7. ТЕПЛОВОЕ РАСПЛЫВАНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В АТМО- С①ЕРЕ Дж. Л. УОЛШ, П. Б. УЛЬРИХ
Обзорная часть
Оценки по порядку величины
Общие замечания об изложении проблемы теплового расплывания
Составные части задачи исследования теплового расплывания пучка
Электромагнитная теория
Волновое уравнение
Скалярное волновое уравнение для параксиальных пучков
Пучки гауссовой формы в однородной среде
Геометрическая оптика
Скалярная теория дифракции в однородной среде ...
Фазовое приближение
Гидромеханика
Дифференциальное уравнение в частных производных для изменений плотности идеального газа
Методы решения задачи для изменения плотности среды
Решение в квадратурах для одномерного профиля нагрева
Решение в квадратурах для источника нагрева с цилиндрической геометрией
Решение эталонных задач с плоской геометрией ...：：
Типичные решения задач с цилиндрической геометрией ..
Повторяющиеся импульсы
Поглощение с временной задержкой процесса нагрева .:
Эффекты электрострикции ,.
Приближенные аналитические решения:.：：：
Общий вид решений в приближении геометрической оптики
4 67158915 1 579 2651 1 11222233 4 444 5567
2 22222222 2 2 2 2 2 2 2 2
278
7979^
2 2 2
477892462
888889990
222222223
302
305
310
48401367
11233333
33333333
14 592 57622345744 445 55678888033 3 3 3 33333333414 592 57622345744 445 55678888033 3 3 3 333333334
14 592 576223457
44 445 556788880
33 3 3 3 333333334
14 592 576223457
44 445 556788880
33 3 3 3 333333334
Случай одномерного пучка с гауссовым профилем ...
Изменение интенсивности в коллимированных пучках ...
Приближение геометрической оптики для сфокусированных гауссовых пучков
Теория возмущений в волновой оптике
Фазовое приближение
7.5. Методы численного решения задач теплового расплывания лазерного пучка
Техника вычислений
Оптимизация эффективности вычислений
Результаты расчетов . . . °
Приложение: Свойства интегральных преобразований АЛ. Преобразование Фурье
А.2. Преобразование Ханкеля
Литература
Предметный указатель
1 Более детальная историческая справка исследований в этой области
Topics in Applied Physics
Founded by Helmut K・ Loisch Volume 25
Laser Beam Propagation in the Atmosphere
Edited by J. W. Strohbehn
With contributions by
S. F. Clifford, M. E. Gracheva, A. S. Gurvich,
A. Ishimaru, S.S. Kashkarov, V. V. Pokasov,
J. H. Shapiro, J. W. Strohbehn, P. B. Ulrich, J. L. Walsh
With 78 Figures
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1978
Проблемы прикладной физики
Распространение лазерного пучка в атмосфере
Редактор Д. Стробен
Перевод с английского кандидатов физ.-мат. наук М. С. Беленького, Ю. Д. Копытина, Г. Я. Натру’ шева под редакцией
чл.-корр. АН СССР В. Е. Зуева, д-ра физ.-мат. наук В, Л. Миронова
Издательство《Мнр》
Москва 1981
УДК 621.375.826:551.51
Авторы: Клиффорд С. Ф., Грачева М. Е.» Гур- вич А. С., Исимару А., Кашкаров С. С.» Покасов В. В., Шапиро Дж., Стробен Дж., Ульрих П., Уолш Дж.
Прогресс в создании мощных лазеров и перспективы их широкого использования в геофизике, метеорологии и атмосферной оптике потребовали исследований распространения лазерного излучения в турбулентной атмосфере и теплового самовзаимодействия мощных лазерных пучков Именно этой важной в научном и практическом отношениях проблеме посвящена предлагаемая книга, написанная американскими и советскими авторами.
Для специалистов по распространению электромагнитного излучения в атмосфере, атмосферной оптике, геофизиков, метеорологов, а также разработчиков лазерных систем.
Редакция литературы по космическим исследованиям^астрономии и геофизике
1903040000
20807, 21002-99
F 041 (01)-81
99-81,4.1
© Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 1978 All Rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York
© Перевод на русский язык,《Мир》》1981
Вскоре после создания первого лазера стала очевидной возможность широкого практического применения этих изумительных источников электромагнитного излучения оптического диапазона в системах связи, передачи информации, локации, сверхточного измерения расстояний, навигации, геоде- зни, для лазерного зондирования параметров атмосферы, во многих специальных системах. Все это существенно стимулировало изучение распространения лазерного излучения в атмосфере.
Высокая монохроматичность лазерного излучения предъявила жесточайшие требования к точности определения параметров спектров поглощения атмосферных газов Когерентность, поляризация и высокая пространственная ограниченность лазерных пучков обусловили специфические особенности их распространения в рассеивающих и случайно-неоднородных средах. Гигантские мощности, необычайно большие энергии и малые длительности импульсов лазерного излучения стали причинами целой совокупности ранее неизвестных эффектов нелинейного взаимодействия с атмосферой.
Потребовалось разработать новые теории, создать многочисленные комплексы уникальной измерительной аппаратуры, прежде чем картина прояснилась настолько, что стала возможной количественная оценка эффектов взаимодействия лазерного излучения с такой сложной и динамичной средой, какой является атмосфера.
К настоящему времени многочисленные результаты экспериментальных и теоретических исследований распространения лазерного излучения в атмосфере обобщены в целой серии монографий и обзоров, в том числе опубликованных в нашей научной литературе. О масштабах ведущихся в нашей стране работ в рассматриваемом направлении убедительно свидетельствует проведение Институтом оптики атмосферы СО АН СССР пяти всесоюзных симпозиумов по распространению лазерного излучения в атмосфере, шести всесоюзных симпозиумов по лазерному зондированию "атмосферы, двух всесоюзных совещаний по оптике атмосц)еры, на которых было заслушано более Двух тысяч докладов. Поэтому представляется вполне закономерным участие советских авторов в написании выпущенной издательством «Шпрингер» в известной серии «Проблемы прикладной физики» книги, посвященной проблемам распространения лазерного излучения в турбулентной атмосфере и распльь вання лазерных пучков в атмосфере, перевод которой предлагается вниманию читателя.
В данной книге описаны не нашедшие пока отражения в отечественной литературе эвристические методы теории распространения оптических волн в случайно-неоднородных средах, которые позволяют дать наглядную физи- ческую интерпретацию флуктуациям поля лазерных пучков, включая режим сильных флуктуаций интенсивности. Дано описание некоторых разработанных за рубежом методов зондирования скорости ветра и структурной характеры- стнкн флуктуаций показателя преломления. Глава, написанная советскими авторами и посвященная экспериментальным исследованиям флуктуаций
лазерного излучения, была переработана ими для настоящего издания с учетом последних достижений в этой области.
Большую ценность представляет обзор исследований по проблемам формирования оптических изображений и оптической связи через турбулентную атмосферу, включая применение различных методов компенсации искажающего влияния среды. Интересной не только с точки зрения обобщения результатов, но и как пособие для последовательного и всестороннего ознакомления с проблемой является глава, посвященная распространению лазерных пучков, нагревающих газовую среду.
В целом настоящая монография дает достаточно полное представление о современных достижениях и возможных перспективах развития исследований по проблеме распространения лазерного излучения в атмосфере. Инженеры найдут в ней новые сведения, полезные для оценки технических характеристик лазерных систем, предназначенных для работы в атмосфере. В то же время, учитывая быстрое развитие исследований в этой бурно растущей области, мы сочли целесообразным, воспользовавшись любезным разрешением издательств «Мир» и «Шпрингер», дополнить книгу послесловием, в котором дается краткий обзор достижений советских исследователей по проблемам, рассмотренным в настоящей монографии.
В. Е. Зуев
В. Л. Миронов
При распространении оптического излучения, испускаемого звездой, теп- ловь1М источником или лазером, поле оптического излучения в «прозрачной» атмосфере существенно искажается из-за малых вариаций температуры. Два наиболее типичных примера — мерцание звезд и дрожание изображений далеких объектов при наблюдении над нагретой мостовой или другой поверхностью Небольшие изменения температуры, порядка 1 ℃ и меньше, обусловлены нагревом атмосферы Солнцем и турбулентным перемешиванием воздуха ветром и конвекцией. Малые вариации температуры вызывают изменение скорости распространения света в атмосфере, что приводит к появлению флуктуаций интенсивности (мерцаниям), фазы, угла прихода и смещениям (блужданиям) оптического пучка.
В связи с изобретением в 1960 г. лазера и открывшимися бесчисленными возможностями практического применения лазеров — от лидара (лазерного локатора) до систем оптической связи ——быстро возрос интерес к изучению влияния атмосферы на распространение оптических волн В настоящей книге мы попытались представить последние достижения в этой области Первыми монографиями по этому вопросу были книги Л А. Чернова «Распростране* ние волн в среде со случайными неоднородностями» и В. И. Татарского «Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере» и «Распространение волн в турбулентной атмосфере». Основное внимание в данной книге уделено условиям, когда атмосферная турбулентность играет определяющую роль при распространении лазерного пучка. Большая часть книги, исключая последнюю главу, посвящена влиянию на распространение волн турбулентной атмосферы Земли. В последней главе рассматривается случай, когда мощность лазерного пучка настолько велика, что он нагревает атмосферу. В книге не затрагиваются явления поглощения лазерного излучения молекулами и частицами и рассеяния излучения аэрозолем, дождем или туманом.
Первая глава является вводной. В ней сделана попытка дать как обзор проблемы в целом, так и конкретного материала, включенного в книгу. Во второй главе, написанной Клиффордом, изложена классическая теория распространения оптических волн в турбулентной атмосфере, включая описание оптических характеристик атмосферы. Глава отражает состояние теории к середине 60-х гг., и ее результаты применимы к широкому кругу важных для практики задач. В следующей главе, написанной Стробеном, даны краткий обзор развиваемых в настоящее время теорий распространения лазерного излучения в турбулентной атмосфере и сравнение их между собой. Особое внимание уделено выявлению тех условий, при которых классическая теория оказывается неприменимой. Новые теории необходимы для описания распространения лазерного излучения в случае длинных трасс или в условиях, когда интенсивность турбулентных пульсаций показателя преломления велика. В четвертой главе описаны результаты тщательно выполненных М. Е. Граче- в°й с сотрудниками экспериментов в условиях, когда классическая теория заведомо неприменима.
В главах, написанных Стробеном и Клиффордом, рассматривалось распространение плоских или сферических волн. Глава 5, написанная Исимару, посвящена теории распространения ограниченных в поперечном сечении лазерных пучков, в том числе сфокусированных пучкив. В этой же главе обсуждается использование измерений флуктуаций поля лазерных пучков для дистанционного зондирования характеристик атмосферы, таких, как интенсивность турбулентности или скорость ветра В шестой главе Шапиро обращается к проблеме связи и формирования изображения в условиях, когда оптическое излучение проходит через турбулентную атмосферу Основываясь на результатах предшествующих глав, он определяет оптимальный приемник для систем связи и анализирует эффективность его работы. Наконец, в последней главе, написанной Уолшем и Ульрихом, рассматривается проблема теплового расплывания лазерного пучка, когда интенсивность последнего настолько велика, что он нагревает атмосферу при распространении. При этом нагретая атмосфера искажает исходный лазерный пучок таким образом, что его поперечное сечение увеличивается (расплывание), а при наличии ветра пучок еще и смещается в пространстве. Авторы главы представили один из первых полных обзоров этой интересной проблемы.
Мне приятно выразить благодарность за полученные мною помощь и поддержку. В частности, я хотел бы выразить признательность А Уотермену, под руководством которого я начал заниматься распространением радиоволн, В. И. Татарскому, с которым у нас состоялось много интересных бесед по поводу современных теорий распространения лазерного излучения, и М. Моргану, обеспечившему мне идеальные условия для работы. Существенный вклад в работу над книгой своим участием в обсуждении материала внесли Р. Лоуренс, В. Браун, Д. Фрид, Р. Фантэ и X. Юра. Авторы различных разделов работали напряженно и настойчиво, чтобы обеспечить высокое качество рукописи. К. Лонг великодушно предоставил мне время и оказал поддержку при написании и издании этой книги Джанетт Браун быстро и аккуратно отпечатала мои материалы и гл. 7 книги, а Киттинг Джонсон превосходно исполнила рисунки к главам 3, 4 н 7. Наконец, я признателен своим детям Джо, Крис и Каролин за то, что они стойко переносили житейские неудобства, связанные с моей работой над книгой Именно им я и посвящаю эту книгу.
Гановер, Нью-Гэмпшир, июль 1978 〃第，Стробен